7/23/2019 Cours Demonstrations Electromagnetisme 2

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DÉMONSTRATIONS DU COURSD’ÉLECTROMAGNÉTISME

Démonstration 1 : énergie emmagasinée par un condensateur

∫∫∫∫∫∫  →  

⋅ε

−=ε

=

armaturesentre

30

armaturesentre

32

0 dgrad2

d2

V   V   

V   V      V E E 

U C r

car V E E E E  →  

⋅−=⋅= grad2  rrr

 

Or V E E V E V 

 →  

⋅+= graddiv)(div

  rrr

 

∫∫∫∫∫∫  ε

+ε

−=⇒

armaturesentre

30

armaturesentre

30 ddiv2

d)(div2

V   V   

V   V      E V E V U C rr

 

Dans le vide 0divM.G=E 

r d’où

⋅−⋅ε

−=⋅ε

−= ∫∫∫∫∫∫12

12

220

 entourant

20G.O

dd2

d2

 S   S  V    S  

 S   S   S  

rrrrrrE V E V E V U C  ,

le signe négatif pour l’intégrale sur 1 S   provenant de l’orientation de l’intérieur vers l’extérieurpour la normale à la surface  S    qui délimite le vide. 1 S   et 2 S   sont deux surfaces dans le videinfiniment proches des surfaces des conducteurs, donc équipotentielles (continuité du

potentiel). On a donc

⋅−⋅ε

= ∫∫∫∫21

22

212

10 dd2

 S   S  

 S   S  

rrrrE V E V U C  ,

or d’après le théorème de Gauss0

22

12

21

ddε

=⋅=⋅ ∫∫∫∫  q E E 

 S   S  

 S   S  rrrr

 

d’où )(21

21   V V q U C    −=  

Démonstration 2 : énergie magnétostatique d’une distribution localisée de courants

∫∫∫∫∫∫  →  

⋅µ

=µ

=

espace

3

0espace

3

0

2

m drot2

1d

2V   V      AB 

B U 

rr car AB B B B 

rrrr   →  

⋅=⋅= rot2  

Or B AAB B A

rrrrrr   →   →  

⋅−⋅=∧ rotrot)(div

V      entre armature (vide)

12d   S   

22d   S   

 S   1

 S   2

q 

-q 

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∫∫∫∫∫∫  →  

⋅µ

+∧µ

=⇒

espace

3

0espace

3

0m drot

21

d)(div2

1V   V      B AB AU 

rrrr 

Avec J B rr

0

M.Arot   µ= →  

 d’où ∫∫∫∫∫   ⋅⋅+⋅∧µ

=⇒

espace

32

0

G.O

m d21

d)(2

1V    S  

 S  

AJ B AU 

r 

rrrrr.

r  S     est une sphère de rayon r   qui tend vers l’infini afin d’entourer tout l’espace. Pour une

distribution de courants localisée, on a à grande distancer 

A1

∝r

  et 21

r B  ∝r

  (ces champs

peuvent même tendre plus vite vers 0 si la distribution est dipolaire…). La surface der 

 S    étant

24   r π , on a 0doncet1

d)( 2

∞→→∝⋅∧∫∫   r r 

B A

r  S  

 S  rrr

.

Finalement, vu que D M J    ∉∀=  0rr

, on a

∫∫∫  ⋅⋅=

D 

AJ U  V   3

m d

2

1   rr 

Démonstration 3 : loi de Faraday dans le cas de l’induction de Lorentz

Dans ce cas, le champ électromoteur est B v E rrr

∧= em , où ev r

  est la vitesse de l’élément de

conducteur de longueur ld par rapport au référentiel dulaboratoire.

À un instant t   donné, le conducteur supposé filiforme estconstitué d’un contour fermé )(t γ   noté γ .

Entre t  et t t  d+ , le conducteur se déplace et se déforme.

À t t  d+ , il est constitué d’un contour fermé )d(   t t  +γ   noté γ ′ .

Un point M  de γ   se retrouve à t t  d+  en un point M ′  de ′  tel

que t v OM M M  dd er

==′ →   →  

.

La f.e.m e  à l’instant t  est la circulation de B v E  rrr ∧= em  le long de γ  :

[ ] ∫∫∫γ 

 →  

γ 

 →  

γ 

⋅

∧=⋅

∧=⋅∧=   B t 

OM B 

t 

OM B v e 

rlr

lrr

lrrr

dd

ddd

dde   en utilisant le fait qu’un produit mixte

est invariant par permutation circulaire.

Or lat2ddd   S  

rlr

=∧ →  

OM  , élément de la surface « latérale » latd   S    balayée par le conducteur :

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∫γ 

Φ=

⋅=

t t 

B e 

d

d

dd

latlat2

  S   S  

rr

  oùlat S  Φ   est le flux de B 

r  à

travers la surface latérale balayée entre t  et t t  d+  parle conducteur.

La réunion Σ d’une surface  S    s’appuyant sur γ , de  S   ′  

s’appuyant sur ′ , et de latd   S    est une surface fermée.Le flux de B 

r  à travers Σ  est nul à la date t (avec la

convention représentée en bleu où les vecteurssurfaces sont orientés de l’intérieur vers l’extérieur de

Σ). En remarquant que lat2d   S  

r est orienté de l’intérieur vers l’extérieur ainsi que  S    ′

r2d mais à

l’inverse de  S  

r2d , on a à la date t  : 0d

lat=Φ′+Φ+Φ−

  S   .

Le champ magnétique étant stationnaire, )()d(   t t t    Φ′=+Φ′  et donc Φ=Φ−Φ′ d est la variationdu flux à travers le circuit en mouvement entre t  et t t  d+ .

On a ainsit t 

e dd

d

dlat

  Φ−=

Φ=  

 S   ce qui prouve que la loi de Faraday reste valable dans le cas de

l’induction de Lorentz.

Démonstration 4 : loi de Faraday dans le cas général

Dans le référentiel du conducteur, le champ électromoteur est B v 

t 

AE 

rrr

r∧+

∂

∂−= em .

Le circuit étant mobile dans un champ magnétique qui dépend du temps, le flux du champ B r

 àtravers le circuit varie entre t  et t t  d+  de :

[ ] [ ])()d()()d(d )()d(   t B t t B t t t  t t t 

rr

γ +γ    Φ−+Φ=Φ−+Φ=Φ  que l’on peut écrire :

[ ] [ ] [ ] [ ]4 4 4 4 34 4 4 4 21

rr

4 4 4 4 4 4 34 4 4 4 4 4 21

rr

r LORENTZ:drestationnai

)()d(

NEUMANN:dfixé

)d()d( )()()()d(d

t B t 

t t t 

t t 

t t t t    t B t B t B t t B 

∂

Φ∂

γ +γ 

γ ∂

Φ∂

+γ +γ    Φ−Φ+Φ−+Φ=Φ  d’où :

( )

e OM E OM B v t 

A

OM B v OM t 

A

B t t t 

=⋅=⋅ 

  

 ∧+

∂

∂−=

⋅∧+⋅ 

  

 

∂

∂−=

∂

Φ∂−

γ ∂

Φ∂−=

Φ−

∫∫

∫∫

γ 

 →  

γ 

 →  

γ 

 →  

γ 

 →  

dd 

dd d

d

me

e

rrrr

rrr

r

 

On a bient 

e ddΦ

−=  dans le cas général.

ld

 →  

OM dlat2d   S   

+  S    ′2d

latd S  

++

+

+

+

γ ′

 S  2d+