coupled surface and saturated/unsaturated ground water ......coupled surface and...
TRANSCRIPT
-
Coupled Surface and Saturated/Unsaturated
Ground Water Flow in Heterogeneous Media
Heiko Berninger∗, Ralf Kornhuber, and Oliver Sander
Université de Genève∗, Freie Universität Berlin and Matheon
Multiscale Simulation & Analysis in Energy and the Environment,
Radon Special Semester 2011
-
Outline
Richards equation with homogeneous equations of state: Berninger, Kh. & Sander 10
• solver friendly finite element discretization: linear efficiency and robustness
Heterogeneous equations of state: Thesis of Berninger 07, Berninger, Kh. & Sander 07,09,...
• nonlinear domain decomposition: linear efficiency and robustness
Coupled Richards and shallow water equations: Ern et al. 06, Sochala et al. 09, Dawson 08, Berninger et al. 11
• continuous of mass flow and discontinuous pressure (clogging)
• mass conserving discretization (discontinuous Galerkin, ...) Dedner et al. 09, ...
• Steklov–Poincaré formulation and substructuring
• numerical experiments
All computations made with Dune Bastian, Gräser, Sander, ...
-
Outline
Richards equation with homogeneous equations of state: Berninger, Kh. & Sander 10
• solver friendly finite element discretization: linear efficiency and robustness
Heterogeneous equations of state: Thesis of Berninger 07, Berninger, Kh. & Sander 07,09,...
• nonlinear domain decomposition: linear efficiency and robustness
Coupled Richards and shallow water equations: Ern et al. 06, Sochala et al. 09, Dawson 08, Berninger et al. 11
• continuous of mass flow and discontinuous pressure (clogging)
• mass conserving discretization (discontinuous Galerkin, ...) Dedner et al. 09
• Steklov–Poincaré formulation and substructuring
• numerical experiments
All computations made with Dune Bastian, Gräser, Sander, ...
-
Runoff Generation for Lowland Areas
γE
γSP
saturated
γD
h
γSP
γE
vadose
mathematical challenges:
• saturated/unsaturated ground water flow: non-smooth degenerate pdesl Signorini-type bc (seepage face)
• coupling subsurface and surface water: heterogeneous domain decomposition
• uncertain parameters (permeability, ...): stochastic pdes Forster & Kh. 10, Forster 11
-
Saturated/Unsaturated Groundwater Flow: Richards Equation
∂
∂tθ(p) + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz)
equations of state: (Brooks & Corey, Burdine)
θ(p) =
{
θm + (θM − θm)(
ppb
)−ε
(p ≤ pb)
θM (p ≥ pb)kr(θ) =
(
θ − θmθM − θm
)3+2ε
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
saturation vs. pressure: p 7→ θ(p)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
relative permeability vs. saturation: θ 7→ kr(θ)
-
Saturated/Unsaturated Groundwater Flow: Richards Equation
∂
∂tθ(p) + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz)
equations of state: (Brooks & Corey, Burdine)
θ(p) =
{
θm + (θM − θm)(
ppb
)−ε
(p ≤ pb)
θM (p ≥ pb)kr(θ) =
(
θ − θmθM − θm
)3+2ε
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
saturation vs. pressure: p 7→ θ(p)
pb, ε → 0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
relative permeability vs. saturation: θ 7→ kr(θ)
-
Homogeneous Equations of State Alt & Luckhaus 83, Otto 97
Kirchhoff Transformation: κ(p) :=
∫ p
0
kr(θ(q)) dq =⇒ ∇κ(p) = kr(θ(p))∇p
−3 −1 0 3−4/3
−1
0
3
generalized pressure: u := κ(p)
−2 −4/3 −1 0 20
0.21
0.95
1
M(u) := θ(κ−1(u))
separation of ill–conditioning and numerical solution: semilinear variational equation
u(t) ∈ H10(Ω) :
∫
Ω
M(u)t v dx+
∫
Ω
(
K∇u−kr(M(u))̺gez)
∇v dx = 0 ∀v ∈ H10(Ω)
-
Solver-Friendly Discretization
lumped implicit/explicit-upwind discretization in time, finite elements Sj ⊂ H10(Ω):
un+1j ∈ Sj :
∫
Ω
ISj(M(un+1j ) v) dx+
∫
Ω
τK∇un+1j ∇v dx = ℓunj (v) ∀v ∈ Sj
equivalent convex minimization problem
uj ∈ Sj : J (uj) + φj(uj) ≤ J (v) + φj(v) ∀v ∈ Sj
quadratic energy J (v) = 12 (τK∇v,∇v) − ℓunj (v)
convex, l.s.c., proper functional φj(v) =∑
Φ(v(p)) hp =∫
ΩISj(Φ(v)) dx
nonlinear convex function Φ : R → R ∪ {+∞} with ∂Φ = M
-
Algebraic Solution: Monotone Multigrid Kh. 99, 02, Gräser & Kh. 07
• given iterate uνj
• fine grid smoothing:− successive 1D minimization of J + φj in direction of nodal basis functions of Sj:
1 step of nonlinear Gauss–Seidel iteration → smoothed iterate ūνj
• coarse grid correction:
− Newton linearization of M(u) at ūνj− constrain corrections to smooth regime of M
1 step of damped MMG → new iterate uν+1j
=⇒ (J + φj)(uν+1j ) ≤ (J + φj)(u
νj )
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.140
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
���
���
ūνj (p) u
M(u)
Theorem: (for V –cycle)Global convergence and asymptotic multigrid convergence ∀ −pb, ε ≥ 0 (robustness).
-
Algebraic Solution: Monotone Multigrid Kh. 99, 02, Gräser & Kh. 07
• given iterate uνj
• fine grid smoothing:− successive 1D minimization of J + φj in direction of nodal basis functions of Sj:
1 step of nonlinear Gauss–Seidel iteration → smoothed iterate ūνj
• coarse grid correction:
− Newton linearization of M(u) at ūνj− constrain corrections to smooth regime of M
1 step of damped MMG → new iterate uν+1j
=⇒ (J + φj)(uν+1j ) ≤ (J + φj)(u
νj )
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.140
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
���
���
ūνj (p) u
M(u)
Signorini condition
0
Theorem: (for V –cycle)Global convergence and asymptotic multigrid convergence ∀ −pb, ε ≥ 0 (robustness).
-
Solver–Friendly Discretization
• Kirchhoff transformation
• discretization: discrete minimization problem for uj
• algebraic solution by monotone multigrid (descent method!)
• inverse discrete Kirchhoff transformation
-
Solver–Friendly Discretization
• Kirchhoff transformation: u = κ(p)
• discretization: discrete minimization problem for uj
• algebraic solution by monotone multigrid (descent method!)
• inverse discrete Kirchhoff transformation
-
Solver–Friendly Discretization
• Kirchhoff transformation: u = κ(p)
• discretization: discrete minimization problem for uj
• algebraic solution by monotone multigrid (descent method!)
• inverse discrete Kirchhoff transformation
-
Solver–Friendly Discretization
• Kirchhoff transformation: u = κ(p)
• discretization: discrete minimization problem for uj
• algebraic solution by monotone multigrid
• inverse discrete Kirchhoff transformation
-
Solver–Friendly Discretization
• Kirchhoff transformation: u = κ(p)
• discretization: discrete minimization problem for uj
• algebraic solution by monotone multigrid
• discrete inverse Kirchhoff transformation: pj = Ij(κ−1(uj))
-
Reinterpretation and Convergence Analysis Berninger, Kh. & Sander 10
reinterpretation in terms of physical variables:
inexact finite element discretization with special quadrature points
convergence properties:
generalized variables: uj → u and M(uj) → M(u) in H1(Ω)
physical variables pj → p and θj(pj) = Ij (M(uj)) → θ(p) in L2(Ω)
-
Reinterpretation and Convergence Analysis Berninger, Kh. & Sander 10
reinterpretation in terms of physical variables:
inexact finite element discretization with special quadrature points
convergence properties:
generalized variables: uj → u and M(uj) → M(u) in H1(Ω)
physical variables pj → p and θj(pj) = Ij (M(uj)) → θ(p) in L2(Ω)
-
Experimental Order of L2-Convergence
model problem: time discretized Richards equation without gravity
physical parameters: Ω = (0, 2)× (0, 1), sandy soil → ε, θm, θM , pb, n
triangulation; uniformly refined triangulation T11 (8 394 753 nodes)
1e-07
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
0.0001 0.001 0.01 0.1 1
L2-e
rror
mesh size h
1e-07
1e-06
1e-05
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
0.0001 0.001 0.01 0.1 1
L2-e
rror
mesh size h
generalized pressure u physical pressure p
-
Experimental Order of H1-Convergence
model problem: time discretized Richards equation without gravity
physical parameters: Ω = (0, 2)× (0, 1), sandy soil → ε, θm, θM , pb, n
triangulation; uniformly refined triangulation T11 (8 394 753 nodes)
0.001
0.01
0.1
1
10
0.0001 0.001 0.01 0.1 1
H1-e
rror
mesh size h
0.001
0.01
0.1
1
10
0.0001 0.001 0.01 0.1 1
H1-e
rror
mesh size h
generalized pressure u physical pressure p
-
Evolution of a Wetting Front in a Porous Dam
physical parameters: Ω = (0, 2)× (0, 1), sand → ε, θm, θM , pb, n
triangulation; uniformly refined triangulation T4 (216 849 nodes)
initial wetting front wetting front for t = 100s pressure pj
-
Efficiency and Robustness of Monotone Multigrid (MMG)
pre- and postsmoothing steps: V(3,3) cycle
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
from unsaturated... ...to saturated soil
t = 0 convergence rates ρ over time t t = 250s
-
Robustness with respect to Soil Parameters
10−2
10−1
100
1010
0.2
0.4
0.6
0.8
1
10−2
10−1
100
1010
0.2
0.4
0.6
0.8
1
variation of ε: variation of −pb:
ρave over ε ρave over −pb
-
Part II: Heterogeneous Equations of State
Spatially varying equations of state: no global Kirchhoff transformation!
Ω =⋃N
i=1Ωi
θ = θ(x, p) = θi(p) ∀x ∈ Ωi
kr = kr(x, θ) = kri(θ) ∀x ∈ Ωi
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Jumping soil parameters ε, pbnonlinear domain decomposition: Berninger & Kh. 07, Berninger 07, ...
physical transmission conditions: continuity of p and normal flux v · n
generalized transmission conditions: κ−1i (ui) = κ−1j (uj) and ∇ui = ∇uj
nonlinear Dirichlet-Neumann and Robin methods
efficient and robust subdomain solvers: monotone multigrid
-
Part II: Heterogeneous Equations of State
Spatially varying equations of state: no global Kirchhoff transformation!
Ω =⋃N
i=1Ωi
θ = θ(x, p) = θi(p) ∀x ∈ Ωi
kr = kr(x, θ) = kri(θ) ∀x ∈ Ωi
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Jumping soil parameters ε, pbnonlinear domain decomposition: Berninger & Kh. 07, Berninger 07, ...
physical transmission conditions: continuity of p and normal flux v · n
generalized transmission conditions: κ−1i (ui) = κ−1j (uj) and ∇ui = ∇uj
nonlinear Dirichlet-Neumann and Robin methods
efficient and robust subdomain solvers: monotone multigrid
-
Solver–Friendly (?) Discretization
• transmission problem
• local Kirchhoff transformation
• discretization: discrete nonlinear transmission problem
• algebraic solution by domain decomposition (fast local solvers!)
• local inverse discrete Kirchhoff transformation
-
Solver–Friendly (?) Discretization
• transmission problem
• local Kirchhoff transformation
• discretization: discrete nonlinear transmission problem
• algebraic solution by domain decomposition (fast local solvers!)
• local inverse discrete Kirchhoff transformation
-
Solver–Friendly (?) Discretization
• transmission problem
• local Kirchhoff transformation
• discretization: discrete nonlinear transmission problem
• algebraic solution by domain decomposition (fast local solvers!)
• local inverse discrete Kirchhoff transformation
-
Solver–Friendly (?) Discretization
• transmission problem
• local Kirchhoff transformation
• discretization: discrete nonlinear transmission problem
• algebraic solution by domain decomposition (fast local solvers!)
• local inverse discrete Kirchhoff transformation
-
Solver–Friendly (?) Discretization
• transmission problem
• local Kirchhoff transformation
• discretization: discrete nonlinear transmission problem
• algebraic solution by domain decomposition (fast local solvers!)
• local inverse discrete Kirchhoff transformation
-
Solver–Friendly (?) Discretization
• transmission problem
• local Kirchhoff transformation
• discretization: discrete nonlinear transmission problem
• algebraic solution by domain decomposition (fast local solvers!)
• local inverse discrete Kirchhoff transformation
-
Nonoverlapping Domain Decomposition Problem
Richards equation (time-discretized) in two different soils:
θ(x, p) = θi(p), k(x, p) = ki(p) ∀x ∈ Ωi, i = 1, 2,
θi monotonically increasing and Lipschitz, ki ∈ L∞(R), ki ≥ c > 0.
Find p on Ω, p|Ωi = pi ∈ H1(Ωi), i = 1, 2, p|∂Ω = 0, such that
θi(pi)− div(ki(pi)∇pi) = f on Ωi
p1 = p2 on Γ
k1(p1)∇p1 · n = k2(p2)∇p2 · n on Γ
Ω1Ω2
Γ
n
-
Nonoverlapping Domain Decomposition Problem
Richards equation (time-discretized) in two different soils:
θ(x, p) = θi(p), k(x, p) = ki(p) ∀x ∈ Ωi, i = 1, 2,
θi monotonically increasing and Lipschitz, ki ∈ L∞(R), ki ≥ c > 0.
Find p on Ω, p|Ωi = pi ∈ H1(Ωi), i = 1, 2, p|∂Ω = 0, such that
θi(pi)− div(ki(pi)∇pi) = f on Ωi
p1 = p2 on Γ
k1(p1)∇p1 · n = k2(p2)∇p2 · n on Γ
Ω1Ω2
Γ
n
Kirchhoff transformation (different superposition operators on subdomains):
κi(pi) =
∫ pi
0
ki(q) dq = ui
-
Transformations in each Subdomain
Properties:
− κ′i = ki a.e. =⇒ κi strictly increasing, Lipschitz and inverse Lipschitz
− c2∫
Ωi|∇pi|
2 ≤∫
Ωi|∇ui|
2 ≤ ‖ki‖2∞
∫
Ωi|∇pi|
2 ⇒ ‖ui|Γ‖H1/200 (Γ)∼ ‖pi|Γ‖H1/200 (Γ)
Transformed problem:
Find u on Ω, u|Ωi = ui ∈ H1(Ωi), i = 1, 2, u|∂Ω = 0, such that
Mi(ui)−∆ui = f on Ωi
κ−11 (u1) = κ−12 (u2) on Γ
∂u1∂n
=∂u2∂n
on Γ
-
Analysis by Steklov–Poincaré Operators
• For given Dirichlet-value η ∈ Λ = H1/200 (Γ) find wi ∈ H
1(Ωi), wi|∂Ω = 0, with
Mi(wi)−∆wi = f in Ωi,
wi = κi(η) on Γ
and set Siη =∂wi∂ni
∈ Λ′, the Neumann-value.
-
Analysis by Steklov–Poincaré Operators
• For given Dirichlet-value η ∈ Λ = H1/200 (Γ) find wi ∈ H
1(Ωi), wi|∂Ω = 0, with
Mi(wi)−∆wi = f in Ωi,
wi = κi(η) on Γ
and set Siη =∂wi∂ni
∈ Λ′, the Neumann-value.
• With the Dirichlet-to-Neumann-maps or Steklov–Poincaré operators S1, S2:
Find λ ∈ Λ such that
Sλ = S1λ+ S2λ =∂u1∂n1
+∂u2∂n2
= 0 in Λ′
is equivalent to the substructuring problem.
-
Nonlinear Dirichlet–Neumann Method
With damping parameter ϑ ∈ (0, 1) and given iterate λ0 on Γ :
M1(uk+11 )−∆u
k+11 = f on Ω1
uk+11 = 0 on ∂Ω1 ∩ ∂Ω
uk+11 = κ1(λk) on Γ
M2(uk+12 )−∆u
k+12 = f on Ω2
uk+12 = 0 on ∂Ω2 ∩ ∂Ω
∂uk+12∂n =
∂uk+11∂n on Γ
λk+1 := κ−12 (ϑuk+12 |Γ + (1− ϑ)κ2(λ
k))
-
Nonlinear Dirichlet–Neumann Method
With damping parameter ϑ ∈ (0, 1) and given iterate λ0 on Γ :
M1(uk+11 )−∆u
k+11 = f on Ω1
uk+11 = 0 on ∂Ω1 ∩ ∂Ω
uk+11 = κ1(λk) on Γ
M2(uk+12 )−∆u
k+12 = f on Ω2
uk+12 = 0 on ∂Ω2 ∩ ∂Ω
∂uk+12∂n =
∂uk+11∂n on Γ
λk+1 := κ−12 (ϑuk+12 |Γ + (1− ϑ)κ2(λ
k))
For Mi = 0 (stationary case): Convergence in 1D for small ϑ if 0 < c ≤ κ′i(·) ≤ C.
-
Stationary Richards Equation: Strongly Heterogeneous Case
− domain: unit Yin Yang Ω = Ω1 ∪ Ω2
− hydrological data: USDA soil texture triangle (Maidment)
Ω1 (grey clay): ε2 = 0.165, pb,2 = −0.373 [m],
K1 = 1.67 · 10−7 [m/s]
Ω2 (white sand): ε1 = 0.694, pb,1 = −0.073 [m],
K2 = 6.54 · 10−5 [m/s]
− Right hand side:
source (f1 = 5 · 10−5) in grey circle
sink (f2 = −2.5 · 10−3) in white circle
− no gravity term
Ω1
Ω2
− discretization: uniformly refined triangulations T0 – T7 (938 000 nodes)
-
Solution
Physical pressure p:
Ranges: p1 ∈ [−56.1, 0.0] (clay)
p2 ∈ [−36.2, 3.0] (sand)pi smooth across pi = pb,i
p nonsmooth across Γ
-
Comparison of Nonlinear and Linear Dirichlet–Neumann Method
• linear case: mesh-independence for sufficiently small damping parameter (proof)
• nonlinear case:
(i) mesh-independence for sufficiently small damping parameter (proof in 1D)
(ii) numerical mesh-independence (observed in 2D)
(iii) mildly heterogeneous data:much damping (ϑopt ≈ 0.17) needed for acceptable optimal rates ρopt ≈ 0.77
(iv) strongly heterogeneous data:little damping (ϑopt ≈ 0.85) needed for good optimal rates ρopt ≈ 0.15
• general observation:jumping diffusion coefficients K1/K2 ≫ 1 seem to improve convergence
-
Nonlinear Robin Method Gustave Robin (1855–1897)
With acceleration parameters γ1, γ2 > 0 and given u02 :
M1(uk+11 )−∆u
k+11 = f on Ω1
uk+11 = 0 on ∂Ω1 ∩ ∂Ω
∂uk+11∂n + γ1κ
−11 (u
k+11 ) =
∂uk2∂n + γ1κ
−12 (u
k2) on Γ
M2(uk+12 )−∆u
k+12 = f on Ω2
uk+12 = 0 on ∂Ω2 ∩ ∂Ω
∂uk+12∂n − γ2κ
−12 (u
k+12 ) =
∂uk+11∂n − γ2κ
−11 (u
k+11 ) on Γ
-
Nonlinear Robin Method Gustave Robin (1855–1897)
With acceleration parameters γ1, γ2 > 0 and given u02 :
M1(uk+11 )−∆u
k+11 = f on Ω1
uk+11 = 0 on ∂Ω1 ∩ ∂Ω
∂uk+11∂n + γ1κ
−11 (u
k+11 ) =
∂uk2∂n + γ1κ
−12 (u
k2) on Γ
M2(uk+12 )−∆u
k+12 = f on Ω2
uk+12 = 0 on ∂Ω2 ∩ ∂Ω
∂uk+12∂n − γ2κ
−12 (u
k+12 ) =
∂uk+11∂n − γ2κ
−11 (u
k+11 ) on Γ
convergence in 1D if 0 < c ≤ κ′i(·) ≤ C andMi : R → R Lipschitz continuous and monotonically increasing, i = 1, 2.
-
Properties of the Linear Robin Method Lions 90, Gander 04, Liu 06, Dubois 07
• no mesh-independence in general. O.K.
• convergence speed can be increased by a good choice of Robin parameters. O.K.
• for γ1 = γ2 = γ one has the asymptotic behaviour
γopt = O(h−1/2) and ρopt = 1−O(h
1/2). O.K.
• for possibly different γ1 and γ2 one has the improved asymptotic behaviour
γopt = O(h−1/4) and ρopt = 1−O(h
1/4). quite O.K.
• for possibly different γ1 and γ2 and jumping diffusion coefficients K1/K2 > 1
one can even obtain ρopt = 1/µ−O(h1/4/µ), i.e. mesh-independence. O.K.
• optimal Robin tends to undamped Dirichlet-Neumann for K1/K2 → ∞ O.K.
-
Comparison of Nonlinear and Linear Robin Method
• no mesh-independence in general. O.K.
• convergence speed can be increased by a good choice of Robin parameters. O.K.
• for γ1 = γ2 = γ one has the asymptotic behaviour
γopt = O(h−1/2) and ρopt = 1−O(h
1/2). O.K.
• for possibly different γ1 and γ2 one has the improved asymptotic behaviour
γopt = O(h−1/4) and ρopt = 1−O(h
1/4). quite O.K.
• for possibly different γ1 and γ2 and jumping diffusion coefficients K1/K2 > 1
one can even obtain ρopt = 1/µ−O(h1/4/µ), i.e. mesh-independence. O.K.
• optimal Robin tends to undamped Dirichlet-Neumann for K1/K2 → ∞ O.K.
-
Robustness: Dirichlet–Neumann Berninger, Kh. & Sander 11
problem: unit Yin Yang problem with homogeneous soil (sand / sand)
10−2
10−1
100
1010
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−101
−100
−10−1
−10−20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
variation of ε: variation of pb:
ρave over ε ρave over pb
-
Conclusion of Numerical Experiments Berninger, Kh. & Sander 09
Nonlinear Dirichlet-Neumann and Robin methods
behave surprisingly similar as in the linear case.
-
Part III: Coupling of Ground and Surface Water
non-moving surface water: compartment model
mass conservation: m′(t) =∫
γD∪γSPv(x, p) · n dσ
hydrostatic pressure: p = h(m)ρg on γD, Signorini b.c. on γSP ∪ γE
γE
γSP
saturated
γD
h
γSP
γE
vadose
discretization: explicit Euler method
-
Compartment Model with Heterogeneous Dam Berninger 07
flow of water through into a 2D-domain
with 4 different soils and surface water:
− soil types (from top to bottom):
sand, loamy sand, sandy loam, loam
soil parameters: εi ∈ [0.252, 0.694],
Ki ∈ [3.67 · 10−6, 6.54 · 10−5],
pb,i ∈ [−0.147,−0.073], i = 1, 2, 3, 4
− initial condition: p0 = −10 (dry soil) and surface water
− boundary conditions: dynamic Dirichlet/Signorini and surface water on the top
−v · n = 3 · 10−4 [m/s] on the left and v · n = 0 elsewhere
− discretization: implicit/explicit Euler (time step size 10 [s]), FE (h = 1/24)
− domain decomposition: nonlinear Robin method (γ = 10−4)
− local solver: monotone multigrid (3 levels, accuracy 10−12 in H1-norm w.r.t. u)
-
Coupling of Richards Equation with the Shallow Water Equations
(R) θ(p)t + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz) on Ω ⊂ Rd
(S1) mass conservation: ht + div q = gS on Γ
(S2) momentum conservation: qt + div (q2/h+ gh2/2) = 0 on Γ
coupling: mass flux gS = v · n hydrostatic pressure: p = ̺gh on Γ
Γ
Ω
-
Coupling of Richards Equation with the Shallow Water Equations
(R) θ(p)t + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz) on Ω ⊂ Rd
(S1) mass conservation: ht + div q = gS on Γ
(S2) momentum conservation: qt + div (q2/h+ gh2/2) = 0 on Γ
coupling: mass flux: gS = v · n hydrostatic pressure: p = ̺gh on Γ
Γ
Ω
-
Coupling of Richards Equation with the Shallow Water Equations
(R) θ(p)t + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz) on Ω ⊂ Rd
(S1) mass conservation: ht + div q = gS on Γ
(S2) momentum conservation: qt + div (q2/h+ gh2/2) = 0 on Γ
coupling: mass flux: gS = v · n hydrostatic pressure: p = ̺gh on Γ
Γ
Ω
-
Coupling of Richards Equation with the Shallow Water Equations
(R) θ(p)t + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz) on Ω ⊂ Rd
(S1) mass conservation: ht + div q = gS on Γ
(S2) momentum conservation: qt + div (q2/h+ gh2/2) = 0 on Γ
coupling: mass flux: gS = v ·n discont. pressure: p = ̺gh+α div(q/h) on Γ
Jäger–Mikelić condition (Navier–Stokes/Darcy):
pD = pN − αn ·∂uN∂n on Γ and n ·
∂uN∂n = O(ε), ε = char. pore size.
shallow water equations on Γ: n · ∂uN∂n ≈∂∂zuz = −
∂∂xux −
∂∂yuy = −div(q/h).
-
Coupling of Richards Equation with the Shallow Water Equations
(R) θ(p)t + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz) on Ω ⊂ Rd
(S1) mass conservation: ht + div q = gS on Γ
(S2) momentum conservation: qt + div (q2/h+ gh2/2) = 0 on Γ
coupling: mass flux: gS = v · n discont. pressure: p = ̺gh+ αv · n on Γ
clogging:
pressure discontinuity due to a thin and nearly impermeable river bed
with thickness ε and conductivity Kε. Darcy’s law provides:
v = −Kε∇peff := −Kε̺gh− p
εn , α =
ε
Kε(leakage coefficient)
-
Formal Steklov–Poincaré Formulation Quarteroni & Valli 99, Deparis et al. 05, ...
coupled problem: Sochala et al. 09, Dawson 08, ...
n θ(p)t + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz) on Ω× [0, T ]
ht + div q = gS, qt + div (q2/h+ gh2/2) = 0 on Γ× [0, T ]
gS = v · n, p = ̺gh on Γ× [0, T ]
Dirichlet to Neumann maps:
subsurface: h 7→ SΩ(h) = v · n
surface: h 7→ SΓ(h) = − div q(h)
Steklov–Poincaré formulation: ht = SΩ(h) + SΓ(h) on Γ× [0, T ]
-
Formal Steklov–Poincaré Formulation Quarteroni & Valli 99, Deparis et al. 05, ...
coupled problem: Sochala et al. 09, Dawson 08, ...
n θ(p)t + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz) on Ω× [0, T ]
ht + div q = gS, qt + div (q2/h+ gh2/2) = 0 on Γ× [0, T ]
gS = v · n, p = ̺gh on Γ× [0, T ]
Dirichlet to Neumann maps:
subsurface: h 7→ SΩ(h) = v · n
surface: h 7→ SΓ(h) = − div q(h)
Steklov–Poincaré formulation: ht = SΩ(h) + SΓ(h) on Γ× [0, T ]
-
Formal Steklov–Poincaré Formulation Quarteroni & Valli 99, Deparis et al. 05, ...
coupled problem: Sochala et al. 09, Dawson 08, ...
n θ(p)t + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz) on Ω× [0, T ]
ht + div q = gS, qt + div (q2/h+ gh2/2) = 0 on Γ× [0, T ]
gS = v · n, p = ̺gh on Γ× [0, T ]
Dirichlet to Neumann maps:
subsurface: h 7→ SΩ(h) = v · n
surface: h 7→ SΓ(h) = − div q(h)
Steklov–Poincaré formulation: ht = SΩ(h) + SΓ(h) on Γ× [0, T ]
-
Formal Steklov–Poincaré Formulation Quarteroni & Valli 99, Deparis et al. 05, ...
coupled problem: Sochala et al. 09, Dawson 08, ...
n θ(p)t + div v(x, p) = 0 , v(x, p) = −K(x) kr(θ(p))∇(p− ̺gz) on Ω× [0, T ]
ht + div q = gS, qt + div (q2/h+ gh2/2) = 0 on Γ× [0, T ]
gS = v · n, p = ̺gh on Γ× [0, T ]
Dirichlet to Neumann maps:
subsurface: h 7→ SΩ(h) = v · n
surface: h 7→ SΓ(h) = − div q(h)
Steklov–Poincaré formulation: ht = SΩ(h) + SΓ(h) on Γ× [0, T ]
-
Iterative SubstructuringDirichlet–Neumann iteration:
hν+1t − SΓ(hν+1) = SΩ(h
ν), on Γ× [0, T ], k = 1, . . . , N
local Dirichlet–Neumann iteration:
hν+1k,t − SΓ(hν+1k ) = SΩ(h
νk), h
0k = h
ν∗
k−1 on Γ× [tk−1, tk], k = 1, . . . , N
Dirichlet–Neumann time stepping:
hk,t + SΓ(hk) = SΩ(hk−1), on Γ× [tk−1, tk], k = 1, . . . , N
other substructuring methods: Neumann–Dirichlet, Neumann–Neumann, ...
Neumann–Dirichlet: hν+1t − SΩ(hν+1) = SΓ(h
ν), Neumann–Neumann, ...
discretization: different schemes, time steps, grids, ...
-
Iterative SubstructuringDirichlet–Neumann iteration:
hν+1t − SΓ(hν+1) = SΩ(h
ν), on Γ× [0, T ], k = 1, . . . , N
local Dirichlet–Neumann iteration:
hν+1k,t − SΓ(hν+1k ) = SΩ(h
νk), h
0k = h
ν∗
k−1 on Γ× [tk−1, tk], k = 1, . . . , N
Dirichlet–Neumann time stepping:
hk,t + SΓ(hk) = SΩ(hk−1), on Γ× [tk−1, tk], k = 1, . . . , N
other substructuring methods: Neumann–Dirichlet, Neumann–Neumann, ...
Neumann–Dirichlet: hν+1t − SΩ(hν+1) = SΓ(h
ν), Neumann–Neumann, ...
discretization: different schemes, time steps, grids, ...
-
Iterative SubstructuringDirichlet–Neumann iteration:
hν+1t − SΓ(hν+1) = SΩ(h
ν), on Γ× [0, T ], k = 1, . . . , N
local Dirichlet–Neumann iteration:
hν+1k,t − SΓ(hν+1k ) = SΩ(h
νk), h
0k = h
ν∗
k−1 on Γ× [tk−1, tk], k = 1, . . . , N
Dirichlet–Neumann time stepping:
hk,t − SΓ(hk) = SΩ(hk−1), on Γ× [tk−1, tk], k = 1, . . . , N
other substructuring methods: Neumann–Dirichlet, Neumann–Neumann, ...
Neumann–Dirichlet: hν+1t − SΩ(hν+1) = SΓ(h
ν), Neumann–Neumann, ...
discretization: different schemes, time steps, grids, ...
-
Iterative SubstructuringDirichlet–Neumann iteration:
hν+1t − SΓ(hν+1) = SΩ(h
ν), on Γ× [0, T ], k = 1, . . . , N
local Dirichlet–Neumann iteration:
hν+1k,t − SΓ(hν+1k ) = SΩ(h
νk), h
0k = h
ν∗
k−1 on Γ× [tk−1, tk], k = 1, . . . , N
Dirichlet–Neumann time stepping:
hk,t − SΓ(hk) = SΩ(hk−1), on Γ× [tk−1, tk], k = 1, . . . , N
other substructuring methods:
Neumann–Dirichlet: hν+1 = S−1Ω (hνt − SΓ(h
ν)), Neumann–Neumann, ...
discretization: different schemes, time steps, grids, ...
-
Iterative SubstructuringDirichlet–Neumann iteration:
hν+1t − SΓ(hν+1) = SΩ(h
ν), on Γ× [0, T ], k = 1, . . . , N
local Dirichlet–Neumann iteration:
hν+1k,t − SΓ(hν+1k ) = SΩ(h
νk), h
0k = h
ν∗
k−1 on Γ× [tk−1, tk], k = 1, . . . , N
Dirichlet–Neumann time stepping:
hk,t − SΓ(hk) = SΩ(hk−1), on Γ× [tk−1, tk], k = 1, . . . , N
other substructuring methods:
Neumann–Dirichlet: hν+1 = S−1Ω (hνt − SΓ(h
ν)), Neumann–Neumann, ...
discretization: different schemes, time steps, grids, ...
-
Coupling Conditions Revisited
continuous pressure:
Dirichlet conditions: pν+1Γ (t) = ρghν(t)
regularity gap: hν(t) ∈ L∞(Γ) 6⊂ H1/2(Γ)
clogging: p = ρgh+ αv · n
Robin condition in weak form:
∫
Γ
(pν+1 − ρghν)v dσ
well-defined: hν(t) ∈ L1(Γ) ∩ L∞(Γ) ⊂ H1/2(Γ)′
=⇒ Robin-Neumann iteration
-
Coupling Conditions Revisited
continuous pressure:
Dirichlet conditions: pν+1Γ (t) = ρghν(t)
regularity gap: hν(t) ∈ L∞(Γ) 6⊂ H1/2(Γ) =⇒ pν+1(t) 6∈ H1(Ω)
clogging: p = ρgh+ αv · n
Robin condition in weak form:
∫
Γ
(pν+1 − ρghν)v dσ
well-defined: hν(t) ∈ L1(Γ) ∩ L∞(Γ) ⊂ H1/2(Γ)′
=⇒ Robin-Neumann iteration
-
Coupling Conditions Revisited
continuous pressure:
Dirichlet conditions: pν+1Γ (t) = ρghν(t)
regularity gap: hν(t) ∈ L∞(Γ) 6⊂ H1/2(Γ) =⇒ pν+1(t) 6∈ H1(Ω)
discontinuous pressure (clogging): pν+1 = ρghν + αvν+1 · n
Robin condition in weak form:
∫
Γ
(pν+1 − ρghν)v dσ
well-defined: hν(t) ∈ L∞(Γ) ⊂ H1/2(Γ)′
=⇒ Robin-Neumann iteration
-
Coupling Conditions Revisited
continuous pressure:
Dirichlet conditions: pν+1Γ (t) = ρghν(t)
regularity gap: hν(t) ∈ L∞(Γ) 6⊂ H1/2(Γ) =⇒ pν+1(t) 6∈ H1(Ω)
discontinuous pressure (clogging): pν+1 = ρghν + αvν+1 · n
weak formulation of Robin condition: α−1(
〈pν+1, v〉Γ − (ρghν, v)
)
Γ
well-defined: hν(t) ∈ L∞(Γ) ⊂ H1/2(Γ)′
=⇒ Robin-Neumann iteration
-
Coupling Conditions Revisited
continuous pressure:
Dirichlet conditions: pν+1Γ (t) = ρghν(t)
regularity gap: hν(t) ∈ L∞(Γ) 6⊂ H1/2(Γ) =⇒ pν+1(t) 6∈ H1(Ω)
discontinuous pressure (clogging): pν+1 = ρghν + αvν+1 · n
weak formulation of Robin condition: α−1(
〈pν+1, v〉Γ − (ρghν, v)
)
Γ
well-defined: hν(t) ∈ L∞(Γ) ⊂ H1/2(Γ)′
=⇒ Robin-Neumann iteration
-
Coupling Conditions Revisited
continuous pressure:
Dirichlet conditions: pν+1Γ (t) = ρghν(t)
regularity gap: hν(t) ∈ L∞(Γ) 6⊂ H1/2(Γ) =⇒ pν+1(t) 6∈ H1(Ω)
discontinuous pressure (clogging): pν+1 = ρghν + αvν+1 · n
weak formulation of Robin condition: α−1(
〈pν+1, v〉Γ − (ρghν, v)
)
Γ
well-defined: hν(t) ∈ L∞(Γ) ⊂ H1/2(Γ)′
Robin-Neumann iteration: hν+1t − SΓ(hν+1) = SΩ(h
ν),
-
Discretization of the Shallow Water Equations
spatial discretization of : ∂∂tu = S− divF(u):
uh ∈ VΓ :∂∂t
∫
Γ
uhw dσ =N∑
i=1
∫
Γi
S w − F(uh) · ∇w dσ
−
∫
∂Γi
w G(u+h ,u−
h ) · n dσ ∀w ∈ V2Γ
discontinuous Galerkin: VΓ = {v ∈ L2(Γ) | v|Γi polynomial of degree p ≥ 0}
discrete flux G(u+h ,u−
h ), u+h ,u
−
h ∈ V2Γ
time discretization by a stabilized Runge–Kutta scheme Dedner & Klöfkorn 08
-
Discrete Robin–Neumann Iteration
Robin boundary conditions for Richards equation:
evaluation of right hand side:
∫
Γ
hν v dσ, hν ∈ VΓ, v ∈ Sh
source term for shallow water equation: extension by zero: E : Sh|′
Γ → V′
Γ
〈E(v · n), w〉 = 〈v · n, wS〉, hierarchical decomposition w = wS + wDG
discrete mass conservation:∫
Ω
θν+1h dx+
∫
Γ
hν+1h dσ =
∫
Ω
θνh dx+
∫
Γ
hνh dσ , ν = 0, 1, . . . ,
-
Discrete Robin–Neumann Iteration
Robin conditions for Richards equation:
...+ α−1〈pν+1, v〉Γ = α−1(hν, v)Γ, h
ν ∈ VΓ, v ∈ Sh
source term for shallow water equation:
(v · n, v)Γ = α−1(pν+1, v)Γ − (ρgh
ν, v)Γ, pν+1h ∈ Sh, v ∈ VΓ
Discrete mass conservation:∫
Ω
θν+1h dx+
∫
Γ
hν+1h dσ =
∫
Ω
θνh dx+
∫
Γ
hνh dσ , ν = 0, 1, . . . ,
-
Discrete Robin–Neumann Iteration
Robin conditions for Richards equation:
...+ α−1〈pν+1, v〉Γ = α−1(hν, v)Γ, h
ν ∈ VΓ, v ∈ Sh
source term for shallow water equation:
(v · n, v)Γ = α−1
(
(pν+1, v)Γ − (ρghν, v)Γ
)
, pν+1 ∈ Sh, v ∈ VΓ
Discrete mass conservation:∫
Ω
θν+1h dx+
∫
Γ
hν+1h dσ =
∫
Ω
θνh dx+
∫
Γ
hνh dσ , ν = 0, 1, . . . ,
-
Discrete Robin–Neumann Iteration
Robin conditions for Richards equation:
...+ α−1〈pν+1, v〉Γ = α−1(hν, v)Γ, h
ν ∈ VΓ, v ∈ Sh
source term for shallow water equation:
(v · n, v)Γ = α−1
(
(pν+1, v)Γ − (ρghν, v)Γ
)
, pν+1 ∈ Sh, v ∈ VΓ
Discrete mass conservation:∫
Ω
θν+1 dx+
∫
Γ
hν+1 dσ =
∫
Ω
θν dx+
∫
Γ
hν dσ + inflow− outflow
-
Numerical Results: Supercritical Surface Flow over Dry Soil
soil: sandy soil, α = ρgL−1, L = 10−5s−1 (Wiese & Nützmann 09)
problem: p(0) = −20 Pa, h(0) = 10m, q(0) = 10m2s−1 + oscillating bc
discretization: ∆TΩ = 500s, ∆xΩ = 10 ·2−6m, δTΓ = 3−1 ·10−5∆T , δxΓ = 10 ·400−1m
total mass conservation up to 10−10
-
Convergence of Robin–Neumann Iteration
α = ρg 105: weak coupling
Wiese & Nützmann 09
α = ρg 5: medium coupling
-
Convergence of Robin–Neumann Iteration
α = ρg 105: weak coupling
Wiese & Nützmann 09
α = ρg 5: medium coupling
-
Ongoing Work
Further convergence studies of Robin–Neumann iterations
Other substructuring methods (Neumann–Robin, ...)
Analysis of coupled problem (existence, uniqueness, ...)
Numerical analysis of Robin–Neumann iterations (convergence, convergence rates, ...)
flooding