correction maths bacd 2009
DESCRIPTION
bacTRANSCRIPT
-
CORRECTION MATHS BAC D 2009
2.a. Calcul de le chiffre daffaires moyen X
X
XX
X
X
X
Y
Y
YY
Y
Y
Y
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
350
40
350
+
+
380
45
+
+
500
50
+
+
450
55
+
+
580
60
+
+
650
65
+
+
700
70
7
7
7
7
7
'
'
'
X
X
Y
Y
i
i
i
i
N
N
N
3610
385
515,714
55
b. Calcul de le cot moyen de production
3.a. Vrifions quun arrondi lentier de est gal 1193
cov( )
cov( )
cov( )
cov( )
,
,
,
,
-
x x x x x xx x40 45 50 55 60 65 70+ + + + + +380 500 450 580 650 700 515,714- 55
1192,86 1193
b. Justifions lexistence dun ajustement linaire entre X et Y.
r =V(X ) V(Y )%
7056
06
55
0545
04
3530
25
2015
10
5
500
-
==
= =
= 350 + 380 + 500 + 450 + 580 + 650 + 7007' Xi
N515,714X
X
X
Y
Y
cov( )
cov( )
,
,
r =V(X )
V(X )
V(X )
V(X )
V(Y )
V(Y ) V(Y )
% %
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2- -
-
15224,6
= 40 + 45 + 50 + 55 + 60 + 65 + 707' Yi
N55 100
=
= =
=1193
1193
15224,6
15224,6
x 1000,967
r0,87 1 : il existe alors une forte corrlation linaire entre les variables X et Y. Lon peut donc faire unajustement linaire entre X et Y.
4.a. Equation de la droite dajustement de Y en fonction de X(D)
(D) :
(D) :
y
y
Y
y y
=
=
= = = =
=
ax
0,078
ax ax
+
+
+
b
b b
a 0,078
- -55 0,078 x 515,714 14,593
x
X
14,593
b. Construction de (D) (voir repre ci avant).
( (D) passe par le point moyen G (515,714 ; 55)) ;
515,714 0
55 14,593
Tableau de valeurs
5. Cot de production Y de lentreprise Ivoirbois de lanne 2007 si le chiffre daffaires de lanne 2007 est de X = 800 millions de francs.
y = 0,078 x 800 + 14,593 = 76,993 millions.
Exercice 2
1. Reprsentation sur laxe des abscisses des termes U
U U
U U U0
n + 1 n
1 2 3; ; et
= =3 35 5
5
On en dduit : f
f
(x)
(x)
x ++ 11
x 0
41
Tableau de valeurs
;
-
2.a. Dmontrons par rcurrence que la suite
U
U
U U
U
U
U U
U U U U
U UU
U
U U U U
n
n
n n
n n n n
n n n
n
3 3 -2
-2 -2 -2 -2-2
5
3 3 3 33 33
5
5
5 5
5
5
5 5
5 5
5
5
5
5
5 5 5
5 5 5 55
5
5 5 5 52 25
2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
U
U
U
U
U
U
U
U
UV
V
V
U
U
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
( )
( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
Vn
est majore par .
.
U U0 0= 0
>
x 1 1- -+ ++1 11 0
0Donc , par suite est croissante.
est croissante et majore donc elle est convergente.
3. Soit la suite dfinie par : , = -
a. Dmontrons que est une suite gomtrique dont on prcisera la raison et le premier terme.
-
RR
R
5 5
5 5 5 5
5 5
5 5 3
3 53 3 3 3
3
3
3
3
3 3
5
5
5
5
5
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 5
2 25 5 5 5
5
5
5
5
5 5
2
2
2
2
2
U U UU
U U U
U
U U
U
V
V
V
V
V V
V
V V
V V
V
V
V
V
VV
n n nn
n n n
n
n n
n
n
n
n
n
n nn
n n
n
n n
n n
0
0
0
n
nn
( )
( )
( )
n
n
=
= =
= = = =
= =
=
-
- - -
-
-
-
-
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x x
x
x
x
x
Un = 5U UV V
VV
n nn n
nn
+ ++ +
++
1 11 1
11
= =
=
= =
=
= = = =
=
=
=
+ 1 car + 1
- -( est une suite gomtrique de raisonq
q
q
q
q
et de premier terme
et de premier terme
b. Exprimons puis en fonction de Un
est une suite gomtrique de raison
x
x+
+ + +
+
c. Dterminons la limite de Un( )nest une suite gomtrique de raison
< < 11- lim lim limlim0 or 0
Problme
On considre la fonction g drivable sur et dfinie par :
8+
8+ 8-
8-
8- 8-8-
lim
lim limlim
lim
lim
lim
8 8
8
8 8 8
8+
++
+
++
+ +
x
x xx
X
X
xg(x)
g(x)
V
e
e
e
e
e
e
e
e e e e
e e
e
e
e
e
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1 1
1 1
1
x
x
x
x
x
x
x
x x x x
x x
x
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
g(x) =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(
(
(
(
(
(
(
(
( (
( (( ( (
((
1
1
1 1
11
1
1
1
1
1
1 1
1 1
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- - - -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- - - -
- -
-
-
-
--
-
- -
)
)
)
)
)
)
)
)
) )
) )) ) )
))
1.a. Justifions que la limite de g en est
On pose X
X
X xX
X
x
=
Quand tend vers tend vers .
=
== = =
= =car 0 )(
b. Dterminons la limite de g en
car et
2.a. Dmontrons que pour tout lment de , 2
2
2
2
2
2
2
b. Etudions les variations de g et donnons son tableau de variation
>
> > >
0
0 0 2
donc le signe de a le mme que
1-
Partie A
-
-
xx
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
g
gg
gg
R
R
x
x
V
,
,
,
:
:
{
{
V
V
x
x
,
,
2 2 ]
]
]8
8
8
88
88
8 8
8 8
8;
;
;
V
V
x
x
,
,
2 2
2
2
2
2
]
]
]
]
] ]
]
]
] ]
] ]
8
8
88
8
8
88
88
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
;
;
;
;
; ;
;
;
, g(x) 0
, g(x) 0
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+ , g(x) 0
, g(x) 0
Do g est strictement dcroissante sur
Do g est strictement croissante sur
Tableau de variation de g
2
2
0-1
-1
3.a. Dmontrons que lquation =
=
=
=
=
0
0
0
0
0
0
admet une solution unique " .
g est continue et strictement dcroissante sur
g est continue et strictement dcroissante sur
(
((
((
)
))
))
e e
e
e
1 1
1
1
- -- -
-
-
-
-
-
- -
-
-
1 1
1
1
1
; ;
; ;
or donc lquation
donc lquation
admet une solution unique
nadmet pas de solution sur
admet une solution unique sur
"
"
"
"
"
"
"
sur
2 2;
Finalement lquation
b. Justifions que :
0,4
0,4
0,4
0,5
0,5
0,5et en particulier sur
0,40,4
0,50,5
0,4 0,1
=
= } x 0 donc 5. Signe de g(x)
Signe de 0
0On en, dduit que :
PARTIE B
1. Dterminons les limites de f en et en
f
f
f
(x)
(x)
(x)
x
x
x
xxx x
x
x
x
x
x
x
X
=
=
=
=
=
=
= =
=
=
=
=e e
e
e
ee
e
1 1
1
1
- -
-
-
- -
-
--
-
-
-
--
--
+ +
+
+
2 2
2
2
( 1
1
1
1
1
)
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
X
x
x
8+
8+
8
8+
8
8+
8
8+
8+
8+
8+
8
88
8
car ; 0 et
et
-
car ;-
-
gg
g
((
(
xx
x
))
)
..
.
8+
8+
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
(x)
(x)
(x)
(x)
(x)
(x)
(x)
(x)
(x)
(x)
(x)
(x)
(x)
(x)
(x)
( )
(x)
(x)
x
x x x
x
x x
x
xx x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x
x
x x
x
x
x
x x
x
x
x x
x x
x
x
x
xx
x
e
e e
e
e
e e
e e
e
e
e
ee
e
1
1 1
1
1
1 1
1 1
1
1
1
1
-
- -
-
-
- --
- -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
---
-
-
-
-
- -
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
- -
-
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+ +
+
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2 2
1
2
lim lim limx x x8+ 8+ 8+
2.a. Dmontrons que f est une primitive de g.
=
=
=
=
=
=
=
= + (
(
(
)
)
)+ ++ 1
1donc f est une primitive de g.
donc le signe de est le mme que celui de g.
b. Etudions les variations de f et dressons son tableau de variation.
: : { {V V x x, , ] ] ]8 8 8; ; ;V V x x, , ] ] ]8 8 8- - -; ; ;, g(x) 0 , 0+ + + , g(x) 0 , 0" " " " " " or donc f est strictement croissante surdonc f est strictement dcroissante surx
g(x)
88
88
-
--
+
+
-1
"
" Signe de
0
Tableau de variation de f
-
1.a. Dmontrons que la droite (D) dquation y
y
=
=
est asymptote oblique (C) en
(
(
(
(
(
(
(())
)
)
)
)
))==
=
= ==
= = = =
= =
=
0 donc la droite dquation (D) : est
asymptote (C) en . .
b. Etudions la position relative de (D) et (C).
RV , >
> >
0
0
0
0
0
donc le signe de est le mme que celui de
donc (C) est au dessus de (D) sur
donc (C) est en dessous de (D) sur
]
]
0 ; +
;
88
8 8
8
8
0
4. Dmontrons que (C) admet en une branche parabolique de direction (OJ).
x x
x
x
X
x x
x
e
e
e
e
1
1
1-
-
-- -
- -
+ +
+
2 2
2
( 1 1
1 1
)
lim limlim limx Xx x8+ 8+
8+8+ Car et (C) admet une
branche parabolique de direction (OJ) en .
-
xx
x
x
x
x x
1 1
1 1
1
1
1
1
(
(
( (
(
(
(
(
(
-
-
-
-
-
-
-
--
-
-
-
- -
- - -
-
-
-
-
-
-
-
-
- -
- -
-
-
-
-
- -
-
)
)
) )
)
)
)
)
)
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1 1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11 1
1
x
x x
x
x
x x
x
x
x
x x
x x
x xx xx x
x x
xx
x
x
x
x
x
x x
x x
x x
e
e e
e e
e e
ee
e
e
e
e
e
e
e e e
e e e
1
1 1
1 1
1 1
11
1
1 1 1
1 11 1 1 0
-
- -
- -
- -
--
-
- - --
-
- - -
-
-
-
- -
-
-
-
- -
- -
---
-
- -
+
+
+
+ +
+
+
+
+ +
+ +
+
+ +
+ ++ +
+
+ + ++
2
2
2
2 2
2
2
2
2 2
2 2
2
2 2
222
f
f
f
f
f f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f ff f f
f
(
(
(
(
( (
(
(
(
( ( ( ( (
(
(
(
(
(
(
( ( ( ( (
(
)
)
)
)
) )
)
)
)
) ) )))
)
)
)
)
)
)
) )) ) )
)
"
"
"
"
"
" " "
"
"
"
" "
" " "
"
"
"
"
"
"
"
"
"
" " "
" "
" "
" " " "
" "
"
" " "
5. Dterminons une quation de la tangente (T) (C) au point dabscisse 1.
(T) :
(T) :
y
y
=
=
= =
= =
= = =
=
=
=
=
==
=
= =
= = =
=
=
=
= =
=
=
=
= =
=
= == =
==
=
=
=
=
f (1)
f (1)
f (1)
f (1)
+
+
+
+
+
+
+ + + +
+ +
+
+
+
+
++ +g(1)
g ( )
2
2
2 2 2
2 1 1 1
2
2 2
2
2 2 2
2
21
x 3
6. Dmontrons que
0 0
Do x
Donc
7. Justifions que pour tout rel x,
[[ [
8. Dmontrons que si est lune des solutions de lquation alors est lautre solution. $
$ $
$
$$
$
$ $
0
0 00 0
0,4 et
0
On sait que :
est solution de est solution de
8. Construction de (D), (T), et (C). (On prendra )2,5
;
et (1) 2
-
22
2 2 2
8+
PARTIE C
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
lim
lim lim
limlim
8
8 888
+
+
+
**
*
* *
d
d
d
d d
x
x
x
x x
UA
UA
UA
UA
UA UA
UA
UA
UA
UA
0
0
0
0 00
0 0
0
0
1. Calcul de laide dune intgration par parties.
x
x
x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x xx
x x
x
x
0
x
e
e e
e
e
e ee
e e
e e e
e
e e
e
e e
ee
ee
e
e
e
e
e
e e e
e
ee
e
e
e
e
1
1 1
1
1
1 11
1 1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
-
- -
-
-
- --
- -
- - -
-
- -
- -
-
-- - -
-
- -
- -
-
-
-
- -
- - -
-
- -
-
-
-
--
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
2
2
f
f
(
(
(
(
)
)
)
)
=
=
=
=
=
=
=
= =
=
=
= =
=
= =
=
=
=
On pose u(x) = x u(x) = 1
v(x) = v(x) =
=
= =
= = =
= =
( ( (
(
( (
( (
(
(1 1 1
1
1 1
1
1
1) ) )
)
) )
)
)
)0 +
+
+ +
+ +
+
x
x x
x
x x
x
x
x
xavec 2 cm 2 cm 4 cm
4 cm
4 cm 4 cm
Dterminons la limite de lorsque tend vers
1 1
10,872 cm
Car { - --- XXX X XX 00 ( en posant )