Coping  with  Mul.-­‐Scale  and  Balance    in  Data  Assimila.on  

Kayo  Ide  UMD  Jim  McWilliams  UCLA  Zhijin  Li    NASA  JPL  

Yi  Chao    Remote  Sensing  SoluBons  

USW12  for  outer  BC  

ICC6  

CenCoos.org  

MoBvaBon  I:  MulB-­‐Scaleness  in  the  Model  State  §  Geophysical  dynamics  exhibits  mulB-­‐scale  (MS)  phenomena    à  Modeling:  MulB-­‐ResoluBon  (MR),  MulB-­‐Model  (MM)  

§  This  work  focuses  on  spaBally  •  MS/MR  in  horizontal  

•  Balance  in  horizontal  and    verBcal  

         

USW12   ICC6  

ICC1.5   ICC.75  

!!!

x = xL + xS !![+ ...]xL:!!large+scale!

xS:!!smaller+scale!!

[Capet  et  al,  2008]  

FormulaBon  I.  Standard  3DVar  §  Standard  cost  funcBon  

•  Background    (xb,B)  •  ObservaBon      (yo,  R)  with  H:  xày    is  the  observaBon(forward)  operator  

§   Incremental  cost  funcBon  

•  Control  variable:        Δx  =  x  –  xb      (departure  from  xb  )    à    x  =  xb+Δx  •  InnovaBon:                                d=  yo–Hxb  (diff  between  yo  and  xb    in  y-­‐space)    

 SoluBon:      Δxa  =  BHT  (HBHT+R)  -­‐1  d  − Single  observaBon      

!!!J(Δx)= 1

2ΔxTB−1Δx+ 1

2(HΔx−d)TR−1(HΔx−d)

!!!J(x− xb)= 1

2(x− xb)TB−1(x− xb)+ 1

2(yo −Hx)TR−1(yo −Hx)

!!!

Δxa =

B1lBllBNl

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

(Bll +Rll )−1(yl

o − xlb)

!!!⇐ p(x|y)=p(y|x)p(x)

p(y)

Contour:  1pt-­‐correlaBon  (�)  Background:  SST  

SST  [ICC6  ensemble]  

.  

Courtesy  of  T.  Miyoshi  

For  Δxa  to  be  MS,  B  must  be  MS  

FormulaBon  I.  MulB-­‐Scale  Cost  FuncBon  for  x  §  MulB-­‐scale  cost  funcBon  for  Δx=ΔxL+ΔxS    with  B=BL+BS  (AB:  AddiBve  B)  

•  InnovaBon:                                  d=  yo–Hxb        [Wu  et  al,  2002]    §  Equivalent  cost  funcBons  by  decoupling  the  scales  in  control  (Δx)  

leading  to  the  two  independent  cost  funcBons  

 §  Successive    (hierarchical)  esBmaBon  from  larger  to  smaller  scales    i)  

       ii)    

•  Successive  innovaBon*  for    ΔxS:                        d*=  yo–H(xb+ΔxaL)      

!!!J(Δx)= 1

2ΔxT (BL +BS )

−1Δx+ 12(HΔx−d)TR−1(HΔx−d)

!!!J(ΔxL ,ΔxS )=

12(ΔxL )

TBL−1ΔxL +

12(ΔxS )

TBS−1ΔxS +

12(HΔx−d)TR−1(HΔx−d)

!!!JS (ΔxS )=

12(ΔxS )

TBS−1ΔxS +

12(HΔxS −d)

T (R+HBLHT )−1(HΔxS −d)

!!!JL(ΔxL )=

12(ΔxL )

TBL−1ΔxL +

12(HΔxL −d)

T (R+HBSHT )−1(HΔxL −d)

!!!JS (ΔxS )=

12(ΔxS )

TBS−1ΔxS +

12(HΔxS −d

*)T (R*)−1(HΔxS −d*)

!!!JL(ΔxL )=

12(ΔxL )

TBL−1ΔxL +

12(HΔxL −d)

T (R+HBSHT )−1(HΔxL −d)

R*=  R                                            if  ΔxaL=ΔxtL  [Li  et  al  2013]  

MoBvaBon  II:  Ocean  ObservaBon  Networks  

h"p://www.sccoos.org/  

Mooring  network  

u SpaBal  distribuBon  of  observing  networks  is  highly  inhomogeneous,  for  example  −  Satellite  images  (SST)  can  be  as  high-­‐resoluBon  as  the  model  state  in  horizontal  at  surface  

− HR  radar  (surface  velocity)  can  be  highly  concentrated  and  high-­‐resoluBon  

− Others  can  be  extremely  sparse  

h"p://sccoos.org  

SST  on  a  good  day   HF  radar  network   Glider  network  

FormulaBon  II.  MulB-­‐Scale  Cost  FuncBon  for  x  and  y  §  ObservaBon  classificaBon  based  on  network  resoluBon  

§  MulB-­‐scale  decomposiBon  for  yD  by  smoothing  

       Leads  to  MS  3D-­‐Var  formulaBon  by  matching  scales.  

!!!y =

yD

yC

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

HD(xL + xS )

HC (xL + xS )

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

densecoarse

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟!!!!!!!!with!!

RD

RC

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

yo =yDo

yCo

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

yD.Lo + yD.S

o

yCo

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⇒ y =

yD.L

yD.S

yC

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

HDxLHDxS

HC (xL + xS )

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟$$with$$

RD.LL

RD.SS

RC

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

FormulaBon  II.  MulB-­‐Scale  Cost  FuncBon  for  x  and  y  §  Successive  ImplementaBon  •  EsBmaBon  of  dynamically  important  Large-­‐scale  first,  then  higher  density  to  capture  smaller  scales  

•  Similar  to  Successive  Covariance  LocalizaBon  (SCL:  Zhang  et  al,  2009)  à Use  of  B=BL+BS  :  AddiBve  Background  Covariance  (AB  3D-­‐Var)  

•  Explicit  separaBon  in    y=yD.L+yD.S  

§  MS  3D-­‐Var:            Easily  extended  to  MS  EnKF  or  4D  DA  •  Large-­‐Scale:  (LS)  

   

•  Small-­‐scale:  (SS)  

!!!

JS (ΔxS )=12(ΔxS )

TBS−1ΔxS +

12(HDΔxS −dD.S

*)T (RD.S )−1(HDΔxS −dD.S

*)

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!+ 12(HCΔxS −dC )

T (RC +HCBLHCT )−1(HCΔxS −dC )

dD.S* = dD.S −HDΔxL

a

!!!

JL(ΔxL )=12(ΔxL )

TBL−1ΔxL +

12(HDΔxL −dD.L )

T (RD.L )−1(HDΔxL −dD.L )

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!+ 12(HCΔxL −dC )

T (RC +HCBSHCT )−1(HCΔxL −dC )

Simple  DemonstraBon  (1D-­‐Var)  §  Experimental  setup  for  MS/AB  with  {DL,  DS}  &  SS  with  {DL,  Dm1,  Dm2,  DS}  •  x:  − xt    is  MS        

− xb    is  MS        − B      may  be  MS/AB      with  (DL,  DS)=(40,  5)      &  properly  esBmated    (σbL,  σbS)                may  be  SS                        with  D  =40,  20,  10,  5    &  properly  esBmated  σb  

•  y=Hx  may  be  MR  

!!xnt = S0 ak

t cos(kπnN

+φnt ):!!!!!!!!!!!!!ak

t = k−γ !!!with!γ ⊂ [0,2]k=1

K

∑

patchy    dense   mixed:  dense-­‐coarse  completely  dense  

!!xnb = S0 ak

b cos(kπnN

+φnb ):!!!!!!!!!!!!!ak

b = p0βk akt !!!with!βk ⊂U(0,1)

k=1

K

∑

SS  (Single  Scale)                

Completely  Dense  Observing  Network  §  Analysis  (xa)  

AB  and  MS  work  we    with    DS  &  DL  

               

SS  3D-­‐Var  works  OK  at  med.  D  

3DVar  works  OK  at  DS    not  at  DL  

§  Analysis  Increment  (Δxa)  

AB  and  MS    work    Differently  at  LS  ,  and  hence  at  SS                

MS  captures    LS  more  effecBvely    than  AB  by  sequenBal  (successive)  approach      

Completely  Dense  Observing  Network  

3D-­‐Var  works  beser    at  med.  D  than  DS  or  DL    

Black:  target    (xt-­‐xb)  

 

Patchy-­‐Dense  ObservaBon  Network  §  Analysis  (xa)  

MS  works  much  beser  than    AB  

3DVAR  works  OK  at  med.  D    

3DVAR  don’t    work  well:    Beser  at  DS    than  DL  

Patchy-­‐Dense  ObservaBon  Network  §  Analysis  Increment  (Δxa)  

AB  and  MS  work  differently    at  DS  &  DL  

Standard  3D-­‐Var  don’t    work  well:    Beser  at  DS    than  DL  

MS  captures    LS  more  effecBvely    than    AB  by  sequenBal  (successive)  approach  

Mixed  ResoluBon  Network  §  Analysis  (xa)  

MS  works  much  beser  than    AB  

3D  work  OK    at  medium  D    

3V  work  OK:    Beser  at  DS    than  DL  

Mixed  ResoluBon  Network  §  Analysis  Increment  (Δxa)  

AB  and  MS  work  differently    at  DS  &  DL  

3D  don’t    work  well:    Beser  at  DS    than  DL  

MS  captures    LS  more  effecBvely    than    AB  by  sequenBal  (successive)  approach  

Scale-­‐Dependence:  Analysis  RMSE  §  Performance  depends  on  treatment  of  MS  in  B  (D)  and  H  

H:  patchy    dense  

H:  mixed  dense-­‐coarse  

H:  completely  dense  

DL=35  

D=20  

D=10  

DS  =  5  

MS  

AB  

 smaller                                                                        larger    scale                                                                                scale  

MS  AB  DS=5  

DL=35  

D=10  D=20  

California  Coastal  Ocean  Data  AssimilaBon  System  §  Observing  System  Simula.on  Experiments  (OSSEs)    •  Model:  Regional  Ocean  Modeling  System  (ROMS)  − ResoluBon:  1km  x  40  levels  nested  in  low-­‐resoluBon  model  − Atmos  forcing:  WRF  at  2km  

•  Southern  California  Coastal  Ocean  Observing  System  (SCCOS)  

− SST  at  2km  resoluBon  − Surface  (u,v)  at  2km  resoluBon  − T/S  profiling  along  4  tracks  at  »  60km<DL  separaBon  between  tracks  »  10km<Ds,  D3Dvar  along  track  Up  to  400m  

− Balance  (geostrophic  &  hydrosta9c)  is  incorporated        

Bathymetry  and    OSSE  T/S  profiling  posiBons  

OSSE:  RMSE  Analysis  Error  in  Time  

§  Comparison  between  •  NO  DA  •  Standard  3D-­‐Var  (Ds  in  B)  •  MS  3D-­‐Var  (B  &  H)  −  Spin-­‐up  faster  and  

converges  to  smaller  RMSE  

(u,v)  at  z=30m                                                        SSH  

T  at  z=30m                                                                  S  at  30m  

OSSE:  RMSE  Analysis  Error  §  VerBcal  distribuBon  of  analysis  RMSE  At  Day  3  (along-­‐shore  average)  

NO  DA  

3D-­‐Var  

MS  3DVar  

       T                                                          S                                                                                          u                                                              v                        

California  Coastal  Ocean  Data  AssimilaBon  System  §  Real  Observa.on  Experiments  •  IniBalizaBon:  01/01/2008  •  Observing  system  (H)  

 •  Performance:  Comparison  against  independent  data  for  bias    − No  DA  − Standard  3D-­‐Var  − MS  3D-­‐Var  

h"p://www.sccoos.org/  h"p://sccoos.org  

SST  on  a  good  day   HF  radar  network  

19  

Glider  network  

Real  ObservaBon:  ValidaBon  Against  Independent  Data  §  CALCOFI  data  sets    

 (o:  not  assimilated)                  

§  MS  3D-­‐Var    •  ReducBon  of  bias  •  More  observaBon  is  needed    

Concluding  Remarks  §  MS  3D-­‐Var  works  well  •  Two  main  elements  − Successive  applicaBon  of  localizaBon  from  Large-­‐scale  to  smaller  scales  − SeparaBon  of  observing  system  network  

•  ReducBon  of  bias  

§  Extension  to  4D  &  LETKF  is  straighvorward:    •  Scale  separaBon  Δx=ΔxL+ΔxS      with  ΔxL=ULwL                    ΔxS=USwS  

•  Scale  dependent  inflaBon  

§  Coastal  LETKF  itself  is  challenging:  maybe  hybrid