convergence towards steady state solutions of the euler equations
TRANSCRIPT
����������� ����� ���� ��� �������� �� ��� ����� �������� ���
���� ������
������ ������ ��� ������ ����
��������� �� ��� ��� �� ������ ������� ���
�������
�� ���� �� �� ���� ��� ������� �� ��� ���� ��������� �� �� ��� � �������� ��� ��
���� ��� � � ���� � �� ������� �������������� ������ ���� �� � �� ��� ! ���� ��
"�#$�� ������ %�# ��������� &'() �� ����� � ������� ���� !���� ��! ����� � ���* ��! �����
��� �� ������� � ���� ���� ��� �� ���� ��� ! �� � ���! ������ ��������+ ������������*
�� � ������ �� � ������������ �� �!��� �� !������� ��� �� ��� � �� �� , �� �������
��������������- ���� ��� �� ���� ��� ! �. �� � �� ��� � � ������/� ��� �� ��! �����
� ���� �� ���� �� �� ���������� ���� � � � �� �� ��� ! ���� �� �� � ������ ���� ��
!����� 0 ��* � ������ � � � �!����� �� ��������� ��� �� ���� ��� ! � �� �� ��� ����
������������. ����� � ����!� / �� � � �� �� �� ��� ����+ � ���� ���� �� �������� �!����� ��
��������� �� &'() ��� �� !���� � �!��� �� �� �� &'1)* ���� ��� � � �!����� �� ���������.
�� ������ ��������+ ������������ �� � !�� � �� ������������ � ��� � ��� �� ���� �� ��
���� ��� �� �!���� � ������������* ��! ����� #� ��! ��� ���� ���� �� � ���� ��� ��
���� ��� ! ���� ���� � � �!����� �� ��������� ��� ���� �� �� !����� 0 �� ��� ��
��� ��� ��! ������� �� ��� ���/� !� ���� ������ ����+ ��� � �� � �� � �� �� ��%� ��
���! �� /������� ����������*
��� ������ ���� ��� ! . �� ��� ���� ��������. �!����� �� ���������
������ ��������� �� ����� �� ����������� ������� �������� ������� ������� ������ ������ !���� �����"�������� �� ����� ������� # ��� ����� � $������� $������ ������� %�������� �������&'��(��
����� ��� �) ������ ���������� � *��+� ,����� ��� -��������� �. ��/��� ,��� ������ ��"���#��+����� �� ����� �������� ������� # ��� ����� � ����� �) ������� +���� ��� ������+� �� ����� ��� ,����� �� �) ������� �� 0�������� �) ����� 1����� ���(���23 �� ��� .� ������ �) �������������� ���������� �� �������4� 5 ����������� ���������� �������� ������ � ������ # ��6����� 7/��$%��(�����/� �� $�% ����� �����&��8(&�
'
� �����������
�� ��� ���� � �� ��!!�� �� %��� ! ������� �� ����� �� ���������� %�� � �� �� ��� �� �
/� �� ��������� ��� � ��������2��
���
������
���3 4 �'*'�
�� � � �� �� � ���� �� �� ���� ������ �����/� �. ����� �� �� �������� ������ ��� %�#
�������� �� �� ��� ��� �����. ��� � �� �� ������� ��! �����* 5!��� ��! ���� ! �����
�� �/���� �� ��! ����� �������� �� �� ������� �'*'�. �� �����/� ����� �� �� ���� ��
��������� ���� ��� ��� � �������� /� � ��! !������� ! ����2
��
��6
�����
������
���3 4 �'*1�
�� � �� ��! � ������� �� �� � ���� �� �� ���� ��� ��� � �������� �'*1� / ��! � �!���
����� ��� ���� �� !����� 0 ���. �� ��! ����� �������� �� �� �� ��� ���� ������� �'*'�
�� �/���� �*
�� !��� ������� �� ��! ������� ��!������� �� �������� �'*'� ��� �'*1� �� �� ��
�� ����+ ��� � ����� �� �/������ ��� ��!�� ���/� %���* 5����� � ����+ ��� . ��
�������� �����/� �. ���� �� � �����. �� ���� . ��� � ������. ���� / �������������* 7���
��������� ��! ����� ! ����� ���� ������ � � � �������� ������������ � �� �� ����+ ��� *
8� ��!���������� %��� ����!��� �$9�. �� � �� � � ��� ! ����� �� ��!���� �� � ���
���� � � � �������� ������������ � �� ����+ ��� � �� ��� � ������������� �* $�� #�!�� .
������ �� ��������� ��������� &':. ';) ��� �������� ��!�� �� &'4. ':. <1) � �� �� ����+ � ����
�� �!��� �� !��� ��!!���� �� � � ������ � �� ������ ������������� �* �� � ! �����
��� ���� ������� � ��� �� ��!���� �������� ������������* =�� � �. /��� ! ����� ���
�� �� ����������� �* 5����� �� ��������� ��������� ����� ������ � ������ �� �� ���������
�� �� ��. ����� ��� � � �� �� / ��>��� � ��� �� � �� ���/� !�* 5������� �� ��!�� ��
��� ���� � �� ����� ��������� ��!�������� ��?9� ���� ���. ����� !�+ � �� ! ���� � ��
������� �� �� ��!������� �� ��� ������ %��� ��������� ������ ����+ ��� �* =�� � �. ��
����������� �� �?9 ��!�� �� ���� � � � ��� �� �������� �� ���� ��� � � �� �!���� #�� !�
1
&'@)* 7�� �� �. ��! ����� %�# � ���� ��!�� �� �� � �� �!����. !�+��� ���� �� �� �������
�� ��� ���� � !�� ������*
�� �� ������� �������������� ����� ��� ! ��� �������� � /� =��� � � ��* &'')*
8��� �� �� ����� � ����� �# � �� ���� �� �����#�!�� �� ������� %�# �. �� �� � �� ��� �� ��
����� �� ������� �!���� �� �� ���� �!��� � � ��� �������� �* �� �!����� �� �� � �� ���� ��
! ���� � /� �� ���������* �� ��� ��� ! ��� �� ���� ��� �� / ��� � �� ��!����. ������!��
���� ��� � ������� ��� � �� ��/��� � �� ����+ ��� � ���� �� � �� �� ������� �� �����������
� �� ����+ ��� �* =�� � �. �� � �� ����� � � ��� ����/��+� ���� ��� / �!���� �* ��
�� !��� � � ���� �� �� ��� ���� ������������ �� ���� �� ��! ����� %�# �� ��� �!���� �� �
�� �� ���� ���� �� ����� � �� � ���/����� ������. ������� ������� �� ���� �� �� �������
�� ��� ���� �*
���� ��� ! �� �� #� ����� �� �� ��� ��� ! &'A. '()* 8��� �� �� ����� ���� ��
�� ���� ��� ����!�� �� ���� �� ��! � �� �. �� ���� ��� ! �� � ��� �������� �� �����
������� � ���� # ��!/������� �� �����#�!�� �� %�# �* �� �������� ��� / �!���� �
�� �� ����!�� ��� � �� �!���� � ����� ���� �� �� ������� �������������� ���� ��� � ��
������������� � �� !������� �* �� ���� ��� ! �� &'A) ��� � � ��� � ����� � � �� �� ���
�������� ����� ����! ��� ! �* B� �� �������� �� &'A). �� ��� ��� � ��� ��� ! ���
/ ���� �� � �� �� ��6 '��� ��� � ���� ��� ! * B�� � �� �� �������� ���� �� � ��
��� ��� ! &1@. <4) ��� � � � �!����� �� ���������. �� ���� ��� ! �� &'() ��� ���� �
�� ����!�� �1� � '��� ��� � �������� �� � ���� ����� �� ��� ��� � ��� ��� ! . ����
����� + ���� �� �� ������� �������������� ���� ��� � �� ����+ ��� �*
���� ��� ! ��� / � #� ���� �� ����� � �� !��� �� ��* �� #�!�� � ������ ��
����!���� � ����� �� � �� ���� ��!���� � �� �� ���� � ����/����� &1)C ����+ ���� # ��� �
������ ��� ����� � � ������ &D. A. 1'. 11. <D)C !��� �����������!��� &'D)C E��� ��� ������
�����/����� &<A)C ��� ���� # �������� ���� �� &@)* 5������� �� ���� ��� ! �� ����������
������ � ��� ��������� ������������� �. �� �� ���� ����� � �� �� ����!�� ���/� %�� /� F���
�* �� &<()* 5� �� ��! ��! . ���� ��� ! ��� / � ������������ � � ��� � ��� �� � ��
<
������������* ���� ��� � � &<<) � � ��� � �� ����!�� ���� ��� ! �� ����� �� � ���
������� ���/� !�C G����00��� &14) �� � ��/��� �� ��!���� ��� ���� ��� ! �� ��!����
�� ����+���/�� �� ��� �������* $�� ������ &:) ��� =� ��� ��� &'<) ��������� � ����
��� ! � �� ���������� � ! �� �* � /������ ��� ��� &1:) ��������� � ���� ��� ���������
�� ��/��!��� ��� ���� �* B������ ��� ��� &') � � ��� � � �� ���� ��� � !����������� ��
� ����� ���� ��� ! �* ���� ��� / ��! � � �� ������� ���� ��� � ��� ! ��� ���������
������������� �*
���� ��� ! ��!/�� � ���� ���� � ��� � �?9 ��� ��G� E��� H���� ��! ����� ��0�
���� &1D. 1@. () �� ��� � �� ���� � �������� ��� ���� ��� ���/� !�* $�� #�!�� . �� ���
���� ������� ������ �� � ���� � �������� �� ����+� �� ��� ����� ��� � ������ � ����+
���������� # ��� ������� &<D)* 8� ��� ���� ������ �� � ���� � �������� �� �� �������
������������� ��� � ������ 7��� � % ����� &<A. 1()* =�� � �. ��� �� ��� ���� ���/� !�. �� �
��� / � � ���/� ! ��� �� � ���� �� ���� ��� ! � �� � ��� �� !����� 0 ��* 8� !���
����������. �� � �� ���� ��� ! ��!/�� � ���� � E��� H���� ��! ����� ��0����� ��
�� � �� � ��� �� �� ��� ���� . �� � ���� ����� � �� ����� �� �� ���������� ���� � � � ��
�� ��� ! . ��� �/�� �� !����� 0 ��. �������� �� %�� �����/� � �� ��� ����� ������
������ ���� ����� � �� ������* 5������� �� � ��� / � � � /�� �� �� �!������� �� �������
�� � ���� �� !����� 0 ��. �� �� ��! ����� ���� ���� ����� / �� �� ���������� ���� � � �
������. �� �� �������� �� !��� ���� �� �� �� ��! ����� � ���� ��� � ��� !����� 0 �� ���
� �� ��� ���� �����������* I����� / &;) � �� � � � ��� ! ����� ��������� �� ������������.
�!������ � ������ �!���� ��� ��� ���� ������ �� � ��� �� �� ��� ���� �� �� �� � �� ��
���� �� �� ��� * �� ������� � ���� �� ���� � ��� ! ����� ��� � �� �� � ��� � ���� �� �
��������* 8� ����. �� �!������ � ������ �!������� ! ���� �������� � �� ���������� �� ����
� �! �� �!���� ��� �� ��� ! * �� !���� � ������� ������ � � ������� � �!. ��� ��
�� ���� ������� � �! ���� �!���� � �� ���� �� �� ���� ��� �� �� ���� ��� ! * � ���
��� 7������� &1;) � ���� � � �!���� ��!�� � �� � ��������� �� %�#* 5������� �� �������
��� ��� ������� �� ���� ��� �� ���� �� �� �� �� ��� ���� ��� �� �� ��� ! . �� �� �� ��
:
��!�� � �������� �!���� � �� ���� �� �� ���� ��� �� �� �� ��� ���� �*
������� � ���� !���� � �� � �� ��! ����� � ���. � ��� �/� �� � ���� �� �!����� ��
��������� ������ �� ���� ��� ! ���� ����� �� �!������� ��� �� �� ��! ����� ��������
� �� �� ��� ����+�* �� ���� ��� ! ���� �� �������� �!����� �� ��������� ������ �
/� J���� ��� ��� &'() � ����� �� � ������ ����������� � �� � �� ��� ����+ ��� * ���� ������
����������� �������� � �� �� �!���� � ����. ������� �� � ���� �� ���� �� �� ����������
���� � � � ���� � ���� �� �� ���� �� !����� 0 ��. � � ������ �� ����������� �� �!��� ��
!������� �, �� �������- ��������������� ��� ��� / ������ �/� �� � �� �� ���� � ��� %��
�������� �* B�� � �� #� ���� ��! ����� � ���. � ������ � !���� � �!����� �� ���������
� �� �� ����+ � ���� ��� �� ���� ��� � ���� ��� ! * ���� ���� !���� � �!����� ��
���������. �� ������ ��������+ ����������� �� ��!���� � �� �� ���� � ��� � ��� �� � ��������
�� �!���� � � �� ����+�* �� ���� ��� ! ���� ���� !���� � �!����� �� ��������� ���
���� �� �� !����� 0 �� ��� �� ��� ��� ��! ������� �� ��� ���/� !� ���� ������ ����+
��� � �� � �� � �� �� ��%� �� ���! �� /������� ����������*
���� ��� � �� ������0 � �� �������* 8� �� � ���� � �����. � /�� %� �� ��� � �� ! ����
����� �� �� ���� ��� ! * �� � �� ��� ��! ����� #� ��! ��� �� �� ����� � ����� ��
� � �� �� ������ ��������+ ����������� ��� �� � ������ �!��� �� �!����� �� ���������. ��
� ���� ��� �� ���� �� �� ���� ���* 5 !���� � �!����� �� ��������� �� �������� �* ��
! ����� � ��� ��� ��!������� ��� �� ���� �� �� ���� ��� �� ����� �� � ����� :* 8� � �����
;. � ������� �� �������� �� �� ���� ��� ! ���� �� !���� � �!����� �� ���������*
�� ���� � ����� �������� ���������� � !��+�*
��� ������� �� � � ���� �� ���
8� ���� � �����. � ��� � /�� � �� ��� � �� �� ���� �� � �� ���� ��� ! ���������
�� ��! ����� %�# �. �!����� �� ���������. %�# ��������� ��� �� ����� ��0����� �� �� ��!
� ������� *
;
��� ������� �� �� �� ��� ���� �����
� ������ � �� ��������� �� ��! ������� ��� �/���� ������ ������� �� �� #�!�� 2
�� 6 ���� 3 4 �1*'�
�� ��!���������� ��!��� &�� ��) �� ����� � �� � ������! ! �� ��� ��!�������. ���� �
�������� ! �� ��0 �� 3 ���� � ��* �� ������� � ������� ����� �� �� ����� � 3 �� ��
�����#�!�� � ���� �� ���� ��� ! ����� ��� �� ��������� ���!
���� 3 �'
��& K��� �
�
� K��� �
�
) �1*1�
�� � K��� �
�
�� �� ��! ����� %�# �� ��� �
�
* ���� ��! ����� %�# �� � ���� # ��!/������� ��
��� ����� ��� � %�# � �������� � ���� ��� ��/�� ����� ���� �� !��+ � /� ��. �� ��� ��
�� $���� 1*'2
K������ 3 �K��������� 6 �
K��������� 6 �
K��������� �1*<�
�� � K���������.
K��������� ���
K��������� �� �� ��� �����/� ����� ��� � %�# � ���� �������� ��
�� ��/�� ����� ��������� �� ����� � ����� ��� �� ��������� ���!2
K��������� 3
'
<�������
D
(������ 6
''
(���� �1*:�
K��������� 3 �
'
(������ 6
;
(���� 6
'
<������ �1*;�
K��������� 3
'
<���� 6
;
(�������
'
(������� �1*(�
�� ���� �����#�!����� �� � ���� � �� ���� �� ��� ���� ��� �2 �'� �� �!���� � �����.
�� �����#�!�� � �� �������� ���� ����!�� ��� � �� ��������C �1� � �� ������������� �. �� + ��
�� �� ������� �������������� ���� ��� �� ��� ��� ! �*
�� ���� ���� ��� �� ��� �� / ������ �* �� ����!�� ��� � ����� ��� �� ��! ����� %�#
��� / ��������� � �� �� �� ���� ��������� �� �� ������ � � 1. � � '. �. � 6 ' ��� � 6 12
K� Æ
��� 3'
<4��� �
'<
(4��� 6
:D
(4� 6
@
14��� �
'
14��� �1*D�
(
j-2
j-1
j
j+1
j+2
S0
S1
S2
j+1/2
$���� 1*'2 ��� ��/�� �����
�!������ �� ��� �����#�!������ �1*<� ��� �1*D�. �� ��� �/���� �� ����!�� ��� �� � �����2
� 3 4�'. � 3 4�(. ��� � 3 4�<* �� � ���� ���� ��� ��� / ���� � � /� �� ������������
�� ������ �� � �����* �� ������ �� � ����� ������ ���� ���� �� �� ��� �� � ����� �� �!����
� ����� �� !������� ����!�� ��� � �� ��������*
��� �������� ������� �� ���������� �������
�� ����!�� � ����� �!���� �� ��� ! ���� ����!�� �������� �� �� �!���� � ����* =��
� �. �� � ��� ��� ������ �� ����+ �� ��� � ������������� � ������� �����������* �� + �
�� ���� ��� �� �� ��� ��� ! � �� ������������� �. �� ��� ! ������ �� ������� � !��
�� ������/����� ���! ��� �� ���� ���� �������� � �������������* ���� ���� ��� ��� / �!��
! �� � /� �� ������������ �� �� ������ �� � ����� ������� �� �!����� �� ���������* "��
� ��* &'A) � �� � �� ������ �� � ����� ��2
� 3������� ��
�� 3 �
��6 ���� � 3 4 ' 1 �1*A�
�� � ��������� � 3 1. � �� � �!��� ������� ��!/ � �� ����� �� � ��!������ / ��!��� 0 ��
��� �� ��+ � �� � 3 '4�� �� ��� �� ��! ����� � ��� � ����! � �� ���� ��� �. ��� ��� �� ��
�!����� �� ���������. ����� �� � �� � �� "�� �* �� &'A) �� �������
��� 3������
������
&� 6 � 6 �� � �)�
� � ��1*@�
D
��� �� ���� ��� ! ���� �� � ���! �� ��� ��� � ��� ��� ! * �� �!���� ��������.
J���� ��� ��� &'() � ���� � � �!����� �� ��������� �� ���������2
��� 3������
� ����
�
��� �
�
������
��������
���
��
�� �1*'4�
$�� �� � 3 < ��� ����� ��� � ���� ���� �� � ���! ����� ��� � ��� ��� ! �. �� #������
���!��� ��� �� �!����� �� ���������� ��
��� 3'<
'1���� � 1��� 6 ��
� 6'
:���� � :��� 6 <��
� �1*''�
��� 3'<
'1���� � 1� 6 ����
� 6'
:���� � ����
� �1*'1�
��� 3'<
'1�� � 1��� 6 ����
� 6'
:�<� � :��� 6 ����
� �1*'<�
�� ���� ��� � ���� ��� ! ���� �� �!���� ��������� �1*''��1*'<� ��� / ��! � ��
������� ���� ��� ��/�������� ��� ��� / � �� � �� ��! ���� ������������*
= ����� � ��* &'1) ����� � ���� �� ������ �� � ����� ���� �� �!����� �� ���������
�1*''��1*'<� !�� ��� �������� �� � ����� �!���� #�� !�* �� � �������� � � !��� �
��������2
��� � 3 � � 6 � ��
� � < � 6 ��
� ��� 6 �'� 1 ��
�1*':�
�� � � &4 ') ��� � 3 4 ' 1* ���� �������� �� !������������ ���� ����� ���� � ���� ����
��� ���4� 3 4. ���'� 3 '. ��� Æ
�� 3 � . ��
�� Æ
�� 3 4. ��� ���� � Æ
�� 3 4* �� !��� � � ����� ��
��� � /�2
�� 3 ��� �� �1*';�
�� � � �� ��!��� � /� �� �������� �1*A� ��� �1*''��1*'<�* ���� !��� � ����
��� ! ��� �!���� �������� �� �!���� #�� !�* 5� ���������� �������� �� ���� ��������
� � ��� !��� � �� �� �� !������� �� �� ����! � � � ��� � �� �� ��� / ��+ � ���� ��
!����� 0 ��* � � � � �� &'1) ��� !�� � �����*
8� �� ���������. � � ��� �� �������� ����; ��� ! ���� �� �!����� �� ���������
�1*''��1*'<� �� J� ���� ��� �� ���� ��� ! ���� �1*''��1*'<�. �1*':� ��� �1*';� ��
�� !��� � ����*
A
��� ��� ���������
�� ������ �� �� %�# ��������� �� �� �������� �� ���� �� ���������* 8� � � ���. �� %�#
��� / ����� ���� ��� �����2
��� 3 ���� 6 ���� �1*'(�
�� � � �
��� 4 ��� � �
��� 4* �� ��!�� �� ��� ��!!���� �� � %�# ��������� �� �� "�#
$�� ������ %�# ���������
���� 3'
1����� ��� �1*'D�
�� � � 3 !�# � �����*
��� ���� ������������
5�� � �� ������� � ������� �� ����� ��0 � ���� �� ���� ��� ! . � �/���� � � � �� ��������
�� � ����� ��������2
��
��3 ���� �1*'A�
�� �� ����� ���� �� � �� � �� � �� �1*1�* ���� � � �� �������� �� � ����� �������� ��� /
����� ��0 � /� �� ����� ��� � �?9 E��� H���� ! ���� &1D) �� �������2
���� 3 �� 6������� �1*'@�
���� 3<
:�� 6
'
:���� 6
'
:��������� �1*14�
���� 3'
<�� 6
1
<���� 6
1
<��������� �1*1'�
�� /� ����� � E��� H���� ! ����* 5�� �� ��! ����� � ����� �� ���� ��� � �� �/���� � /�
�� ���� ��� � ���� ��� ! ���� "�#$�� ������ %�# ��������� ��� �� ����� ��� � �?9
E��� H���� ! ���� �1*'@��1*1'�*
� ����� ���� �������� ������ ��� ��������� ��� ����
�������� ��������
8� ���� � �����. � � ����! ��! ����� #� ��! ��� �� ���� !�������� ����� �� ��������+
����������� ����� �� � ������/� ��� �� ������ �� �� ��! ����� � ���� �� � ��� ���� �� !�
@
���� 0 ��* �� � ���������� / �� � �� �!����� �� ��������� ��� �� ��������+ �����������
�� #���� � ��� � � � �!����� �� ��������� �� ������ �*
��� ������� ����� �� ��� �� ������ �������! �� ��� ����
�����
�� � !�� ��� ���������� ����� ����"
��� ���� #�!�� �� � �� ��! ������� ���������� ����+ �� �� �� ��! ������� ��� � ���
�����2
�� 6 � ���� 3 4 �<*'�
�� � � 3 �� �� ��� . � ��� 3 ��� ���6� ���6���� * = � � �� �� � �����. � �� �� � ������.
� �� �� ����� � ���. � �� �� �� ���� ����� �� � ��� � �� �� ����� � ��� /� � 3 ���
6 �����.
�� ����� �� �� ���� � �� � 3 '�:*
�� ��!���������� ��!��� �� � � &�' ')* 8� �� ����� � �� :44 ������!�� ���� � ! ��
������* �� ������� ��������� �� �� %�� 7��� ��!/ � �� �� � �� �� �� ����+ �� �� 3 1�4*
�� ����+ �� ����� � �� � 3 4* �� ������� ��������� �� ��� � /� �� E��+�� =�������
� ������ &1<) �� �������2
��� 4� 3
��� �� � � 4C�� �� � � 4�
�<*1�
�� � �� ��
����
� 3
��
����
�
''
�
�� ��
����
� 3
��
������
�������
���������
����
��
������
� �����
� �������������
���������������
����
���
�� 3
�� ��
��������
6 �����
��
� �� 3
�� ��
��������
6 �����
��
� �
�� ������� ��������� �� ���� �� #��� �������� �� �� �� ��� �� ��! ������� ��� � ��������*
= �� . �� �������� ������ + � �� ��! ���� ��� � � 4* =�� � �. / ���� �� �� "�#
$�� ������ %�# ���������. �� ������� ��������� �� ��� � �������� �� �� ����; ��� ! * ��
��! ����� �������� ���� ������� ���������� ������ ������ �� ����+* $���� <*' �� �� ��! �����
'4
X
Den
sity
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.00.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
$���� <*'2 9 ����� ������/����� ������ � �� ��� ����+ �� �� 3 1*
� ����� ������/����� ����� �� ��!���������� ��!���* � ��� � �� ���� ���� �� � ���� ��
�� ������� ��������������2 �� ����� �/� ������������ ��� / �/� �� �* �� ��! ����� ����+
����� �� ���� ����� ��� �� !������ �� �� � �* 8� $���� <*1 � ���� �� �������� �� ��
�� ��� � ���� ���� �� � �� � ��2
���� 3�����
����
��<*<�
�� � �� �� �� ����� � ���� � �� � ��
�� 3��
��
�
3����� � �����
�<*:�
��� � �� �� ����� ��!/ � �� ���� ������*
$��! $���� <*1. � �/� �� ���� �� �� ��� � ���� �� � ��� ���� �� �� !����� 0 ��
/�� ����� ������ '4����* �� � ������ �� %�� �����/� � ����� � �� ����� ��� � � �����
��! . �� ���� �� ����� �� �� �� ��� � ���� ��� � �� � ��� � ������ '4���� �� � ���� ��
�� !��� ���� ��* ���� �� / ���� �� ��� �� ���� � �� �� ��0 �� �� �� ��� � ����
�� � � �!�� �� � �� ���� �� ��!��������. ��� !��� � �� �� #� �� �� ��������� � ������
��!������� �� �� %�� �����/� � ��� � !��� ��! �� �� �� !�+ ���� � � �!�������*
$���� <*< �������� ��� 0��! � ���� � �� �� � ����� ������/����� � �� �� ����+* $����
<*< ��� �� � 0��! � ���� ����� �! �� �� ����+ ��� $���� <*< � � �� � 0��! � ����
''
Time
log(
Res
A)
30 60 90 120-2.2
-2.1
-2.0
-1.9
-1.8
-1.7
A C B
One Period
$���� <*12 �� �������� �� �� �� ��� � ���� �� �� �� ��! ������� �� ��� ����+ ���� 3 1*
������� �! �� �� ����+* � ��� � �� ���� ���� �� � �� �������� ������������ �� �� � � �
������ '4�� ������� �! �� �� ����+ ��� * ���� �� �� � �� +���� ��������+ �����������
���� ��� ��� ������� �! �� !��� ������ !����� �� �� ��� ��! ����� ����+�* 8� � !� ����
���� ��������+ ����������� �� �� ������� ��� �� ������ �� ����+ ��������� ��� ! � �� ���� ��
�� �� �� �� ��� ���� �*
�� � �� � ��� �� � ���������� / �� � �� ��������+ ����������� ��� �� ���� �� ��
���� ��� ����� ��� / � � �� � /� �� ��������� �� �� ����� � ���� �� �� � ����� �� �# �
������ � �� �� ����+* $���� <*: �� �� �������� �� �� � ����� �� �� ������ � 3 �4�41 ���
� 3 4�4'* �� ����� � 3 4�4' �� �� ����� ���� ����� �� �� ����� �� �� �� �� ����� ����+
�������� � 3 4* � ��� �/� �� ���� �� � ����� �� �� ����� � 3 4�4' �������� � �� � ����
�� �� ��� ����� �� �� ��� � /� � ��� � �� �� ��� ��� �� � ���� � � D4* 8� ��!�������.
�� � ����� �� �� ����� �! ����� � 3 �4�41 �� �� ������� � �������� ������ '4��* $����
<*; �� �� �������� �� �� ����� � ���� �� �� ����� � 3 4�4'* 8� �� � �� ��!���� �� ��
�������� �� �� � ����� �� $���� <*: � �* �� ����� � ���� ���� �������� � �� ���� �� �� ���
����� �� �� ��� � /� � ��� � �� �� ��� ��� ���� �� ��! � ���� � � D4* $���� <*( �� ��
�������� �� �� � ����� ��� �� ����� � ���� �� � � ���� �� ��� !�� ������ ������/�� �
������� �! �� �� ����+* � ������� ���! �� � ���� � ���� �� � �� � ������ ��������+
'1
X
Den
sity
-0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01
1.000
1.001
1.002
1.003
X
Den
sity
0.05 0.10 0.15
2.665
2.666
2.667
2.668
��� ����� �! �� �� ����+ �/� ������� �! �� �� ����+
$���� <*<2 ���! � � ����� ������/����� � �� �� ����+ �� �� 3 1*
�����������* 8� / ���� �� �� ����+ � ���� ��� �������� � ������� �! �� �� �!���� � ����*
�� � ����� ��� ����� � ���� �� ��� �# � ����� ������� �! �� �� ����+ �������� �� ����
�� �� ��� ����� �� �� ��� � /� � ��� � �� �� ��� ��� * �� �!������ �� �� �����������
/ ��! � �!��� � �� �� ����� �� ����� � ������� �! �� �� ����+. �� ��!�/�� �� �� ��
����������� �� �� ��� ! *
��� � ���+ ����� �� �� �������� �� �� �� ��� � ���� �� $���� <*1* �� � �� �
���� ��� ���! ����� ! �� ����� "* �� � ���� �� ���� � � D4 ����� �� �� ��! �� ����
�� �� �� ��� � ��� ��� �� �������� �� �� � ����� ��� �� ����� � ���� �� �# � ������
������� �! �� �� ����+* ��� ������������. �� ��������+ ����������� �� � ������/� ��� ��
�� ��� � ���� �� ���� �� � � ����� �� ���� � � � ���� �� �� ����� ���� �� !����� 0 ��*
�� �# !� ���������� �������$�� �����%
�� � ���� #�!�� �� � ��� ��! ������� �� ������� ���� #* � �� ���� #�!�� �� � � ��
�� ���� �� �� ���� ��� �� ����; �� �� ��� �!���� %���* �� ������� ���� �� �� ���� #
����! � �� �� �� ��! �� ���� �� &1A. <D)2
���� ����� � ������2 ����� 3 ������������.
������ � ������2 �� 3 4.
'<
Time
Den
sity
10 20 30 40 50 60 701.0000106
1.0000107
1.0000108
1.0000109
1.0000110
TimeD
ensi
ty
30 60 90 1202.6505
2.6510
2.6515
2.6520
��� � 3 �4�41 �/� � 3 4�4'
$���� <*:2 �� �������� �� �� � ����� �� ��� !������ � ������
Time
Res
idue
30 60 90 120
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
$���� <*;2 �� �������� �� ����� � ���� �� �� ����� � 3 4�4'
':
Time
Den
sity
0 10 20 30 40 50 60 702.6660
2.6662
2.6664
2.6666
2.6668
2.6670
2.6672
Time
Res
idue
0 10 20 30 40 50 60 70
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
��� � 3 4�4<
Time
Den
sity
0 10 20 30 40 50 60 70
2.6662
2.6664
2.6666
2.6668
2.6670
2.6672
Time
Res
idue
0 10 20 30 40 50 60 70
-0.05
0.00
0.05
�/� � 3 4�4;
Time
Den
sity
0 10 20 30 40 50 60 70
2.6664
2.6666
2.6668
2.6670
Time
Res
idue
0 10 20 30 40 50 60 70
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
��� � 3 4�4A
$���� <*(2 �� �������� �� �� � ����� �� ��� ��� �� ����� � ���� �������*
';
�� ���� 2 ���� 3 ��&'� ���
���
������ )
���� .
� �����2 ���� 3 &'� ����
����
���� )�
���
�� � � 3���� ���� 6 �# � #���. ���� �� ������� ���� # � �� � ��� #�� 3 �4�4 4�4�* �� ��
�� ��� ���� �� �� ���� # ��+ � �� �� 3 4�1;. � 3 '�: �� �� ����� �� �� ���� � ���* 8� ��
��� � ���� ���� ���� # �� �� #��� �������� �� ��� ��! ������� �� ��� ��� � ��������* = ��
�� ���� � �� �� ����� ������ ��� / �# � �� �� #��� ��������. ��� � �� ��� � � �� ���
�� ���� �� ��! ����� /������� ���������* �� ��!���������� ��!��� �� �: � � � : ���
�: � # � :* � ��+ � :44 � :44 ������ ���� � ! �� ��� � ����! �� ��!������� �����
� 3 ;4*
$���� <*D �� �� �������� �� �� �� ��� � ���� * 8� ���� �� � �� �/��� '4���* 5�������
�� �� ��� � ���� �� � ��� ���� � ��� ���� �� !����� 0 ��. �� �� �!��� ����� ��� ���
��������� ������ * $���� <*A �������� �� � ����� �������� ����� � ��� �� ��� ��� �!��� �
������ ��� � ���� �������* 8� ��� / � � ���� �� ��� �!��� � ��� � ����� �������� �� � ��
�!���� � �� �� /�������* $���� <*@ �� �� ������/����� �� �� � ����� �� �� ����0�����
��� # 3 4 ��� ��� ��!������� ���� �� #��� ��������*
�� �/�� ��� #�!�� � ���� �� ���� �� � ���� ��� �� �� ��� � ���� �� ���� �� �
� ����� �� ���� � � � ���� �� �� ����� ���� �� !����� 0 �� �� �� ������ ��������+ �����������
������� �! �� �� ����+* 8� � ��� � !�� �� � ��� ���� ��������+ �����������. � ��� �
����� �� �!���� �� ���� �� �� ���� ��� ������� �� ��� ���� �*
��� ��� ����������� "������ ��� ���������� ������� �� ���
���������� ��� ��� ���#
�� � �� � � ��� �����/� ! ����� �� � !�� �� ��������+ �����������* I����� / &;) � �� �
�� �� ������������. ������� ��� ���� ��� �!������ � ������ �!������� �� �� � �� �� ���
� �� �� �� �� ��� ���� �* �� ������� � ���� �� ���� � ��� ! ����� ��� � �� �� � ��� �
���� �� � ��������* 8� ����. �� �!������ � ������ �!������� ! ���� �������� � �� ����������
�� ���� � �! �� �!���� ��� �� ��� ! * �� !���� � ������� ������ � � ������� � �!.
��� �� �� ���� ������� � �! ���� �! ��� �� ��������+ �����������* �� ������� ��� ���� �����
'(
X
Log(
Res
A)
0 10 20 30 40 50-11
-10.5
-10
-9.5
-9
$���� <*D2 �� �������� �� �� �� ��� � ���� �� �� �� ������� ���� #*
X
Y
-4 -2 0 2 4
-2
0
2
$���� <*A2 9 ����� �������� ����� � ��� � ���! 4*@ �� '*4 ���� <4 � � ��� ��� ��� �!��� ������� ��� � ���� ������� �� �� �� ������� ���� #*
'D
X
Den
sity
-4 -2 0 2 40.90
0.95
1.00
1.05WENO5Exact
$���� <*@2 9 ����� ������/����� ��� ��!������� ���� �� #��� ��������*
��� ���� ��� � ��� �� ���� �� �� ��� ��������+ ������������* � ��� ��� 7������� &1;) �
� ��� � �� ��� � ��� ��� ��� � ���� ��� ! �* �� � �������� � � �!���� ���� ��� �
��!�� � ��� �� � ������������ �� �� ��! ����� %�#* $�� �� �� ��! ������� ��� . �� ����
����+ ����������� �� � ��� � ������������ ��� �� ���� �� �� ���� ��� ������� �� ��� ���� �
�� ������������ �!���� � ��������� �� ��� ��! ����� � ��� ����� �� ��� � ���� ��� ! *
=�� � �. ��� �� ��� ��! ������� ��� . �� � ���� ����� � !� �� ���� �� � � ����� �� ����
� � �*
8� �� � �����/� �� #� �� ���� �� ������ �� � ����� ��� �!����� �� ��������� ���� ����
�� ���������� ��� �� �� � �������� � �� �� ����+ � ����* 8� ����� ��� ���� �� � ��� �
��� �� � ���������� �� �� ��������+ ����������� �� � �� �� �� �� ���� �� �� ���� ���* ��
�������� �!����� �� ��������� �� J���� ��� ��� &'() ��� / #���� � �� ������� �� �!����
� �����
��� 3'
:�1 ����
1
< �������� 6
'<
'1� ������� 6$����� �<*;�
��� 3'
:�1 ��� 6
1
< �������� 6
'<
'1� ������� 6$����� �<*(�
��� 3'
:�1 ����
1
< �������� 6
'<
'1� ������� 6$����� �<*D�
�� � �� ��� ����� %� ��� %�* %� 3��1 ���� �
� �������� �� �� ���� � �! �� �� ��������
�<*;�. �<*(� ��� �<*D� ����� ������ � �� ���� ��� ����� ��� � � ������� �* %� 3����� �������
'A
�� �� � ���� � �! �� �� �������� �<*;�. �<*(� ��� �<*D� ����� ������ � �� � ���� ��� �
� ������� * � ����� ������� ��! ����� #� ��! ��� ���� �������� �� � ���� � �! %�
����� ������������ �!���� �� ���� �� �� ���� ��� ������� �� ��� ���� �* � ����� ���
�� ��������� � ������� � ������� ��� ���� / ������* $�� � �� � �������� ���� �� ������������
����� ��� �� !���� � �� ����� �� $���� <*'4. �� ������/����� �� �� ��! ����� ���� ��� � ���
� ���� ��� � � ������� � �� ����� �� $���� <*''* � �� �� ����+. �� ���� ��� � � ������� ��
���� � ���� 0 ��* 8� ��+ � ��� !�#�!�! ���� �� �� � �� � �� �� ����+. ����� �� !��+ � /�
& � �� $���� <*''* = �� . �� ���� �� �� ���� ��� � � ������� � !� �� / � ���� ����� ��
�� �!����� �� ���������* =�� � �. �� � ���� ��� � � ������� �� �������� 0 �� �� �� � �� �
�� �� ����+. ����� �� ����� �� ����� & �� $���� <*''* L���� �� � ���� ��� � � ������� ��
� ���� �� �� �!����� �� ��������� � !� �� ����� �� ���� � �� �� �!����� �� ���������
��� �� ��� � ���/����� ������ �� �� � �� � �� �� ����+. ��� ���� �� � ��� � �� � �� �����
�� �� �!����� �� ��������� �� �� ����+ �� ���� �� ��� � ���/����� ������*
$���� <*'1 �� �� ������/����� �� �� �!����� �� ��������� �8��. %� 3������:���6<��
�
��� %� 3�������� � 1��� 6 ��
� ������ �� ��! ����� ����+ ����� �� $���� <*'* � ���
� ����� ���� %� �� � ��� � ! �� / � ���� ��!��� �� �� �� �!����� �� ��������� ���
� !� �� � �� � �� �������� / �� � �� �!����� �� ���������� �� �� ����+ � �� � ��� ���
� ���/���*
��� $ ��� ���������� �������
B�� � �� �� ��! ����� ��� �� ��� � ������� �������� �� �� �� ����� ��/� �����. � ���� ��
�� ��������� !���� � �!����� �� ��������� ��� �� ���� ��� � ���� ��� ! � �� � �� ���
����+ � ����*
��� 3 :
� ����
�
��� �
�
��
�������
��
��
���'
<
� ����
�
��� �
�
���
��������
���
��
�� �<*A�
�� #������ ���!��� ��� ���� !���� � �!����� �� ��������� �� 2
��� 3 ���� � :��� 6 <��� �<*@�
'@
X
f
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
1.0
1.5
2.0
2.5
$���� <*'42 9�����/����� �� � �� �*
X
Der
ivat
ive
-0.0 -0.0 -0.0 0.0 0.0 0.0 0.0-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5f’f’’
A
B
C
D
E
C’
D’
$���� <*''2 9 ������� � �� � �� � ��������*
14
X
Sm
ooth
Indi
cato
r
-0.01 0.00 0.01 0.02 0.03
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2 ISP1P2
$���� <*'12 9�����/����� �� �� �!���� ���������. %� ��� %�*
��� 3 ���� � ����� �<*'4�
��� 3 �<� � :��� 6 ����� �<*''�
�� � #������ ���!��� ���� ���� ���� �� !���� � �!����� �� ���������� �� ���� ����� *
�������� �!�������� ��� � � ����������� �� ������
������ �� ���� �� ���� "� � � ��" ����� ����
�������
��� ��� ���������� ����� �%������ ���� ����� ���#
5� �� #�!�� . � � �� �� ��! ���/� ! �� ������� �<*'� ���� �� ��! ������� ���������
�<*1�* $���� :*' �� �� �������� �� �� �� ��� � ���� �/���� � /� �� ���� ��� � ����
��� ! ���� �� � � �!����� �� ��������� �<*@��<*''� ��� ��� ��!������� ���� J� ����
&'(). !��� � ���� &'1) ��� ��� � ���� &1;)* 8� �� �/����� ���� �� ���� ��� !
���� �� � � �!����� �� ��������� ���� �� � �� !����� 0 �� � �� ����+��* �� ���� �� ��
�/����� �� �� !��� � ���� ��� ! �� ��!���� �� ���� �� �� ����������� ���� ��� ! *
B��� ���� �� �� �/��� '4���* �� ��� � ���� ��� ! �� !��� / �� � ��� ��� ���� ��
�� '4���*
�� � ����� �� �� � �� ���� ��� ! � ���! �� ��!�� � ���� �� �� � ����� �� ��
1'
Time
Log(
Res
A)
0 30 60 90 120-20
-15
-10
-5
0
This paperJS WENOMapped WENOPower WENO
$���� :*'2 �� �������� �� �� �� ��� � ���� ��� ��!������� �!��� ������� ������� ! � ��� �� �� ��! ������� �� ��� ����+ �� �� 3 1*
���� ��!���������� ��!��� ��� ��� / ����������� � ��������* �� � ��� � ���� ���� ��
0��! � ���� � �� �� ����+ ��� � ��!������� �� $���� :*1* �� � ����� �/���� � /� ��
���� ��� ! ���� �� � � �!����� �� ��������� ������ � � �� � �� �� ����+ ������� ��
��������+ �����������* �� � �������� �� �� ��� � ���� ��� ! �� ��!���� �� ���� �� ��
���� ��� ! ���� �� � � �!����� �� ���������* �� � �� � ����� �� ������ ��������+
������������ �� �� J� ���� ��� �� !��� � ����*
��� ��� ���������� ����� �%������ ���� � �"��%�� ���#
5� � ��� ��! ������� #�!�� . � ��!���� �� �/���� ����+ ����� ��� �� ���� �� '<;Æ
���� �� ������� � ��� �����* �� %�� 7��� ��!/ � �� �� � �� �� ����+ �� �� 3 1* ��
��!���������� ��!��� �� 4 � � � : ��� 4 � # � 1* �� ������� �/���� ����+ ���� � ��
����� �< 4�* �� ��!��� �� ����� � ���� 144 � '44 ������ ���� � ������ ���� �� 3 �#*
= �� . �� � �� ����+ ���� � �� ��� � ��� ��� � /������� �. � ������ /������� ���������
����� �� ����+ ��� ����� ��� / �!�� ! �� � ��� ��!������ � /������� ���������� ��� /
����� �* � � ��/ ��� �� ��� �� ����� ��!������ � /������� ���������� �� ��� � �� � !��
����� � �����/� ����� � ����� �� ���� �� �� �� �� � ���� * 9����� �� ��������� ���
��! ������� ��! ����� ��!�������. � �� � 3 ; ��� / �� ��� �� ��� #� ��! ���� �� �1*A�
11
X
Den
sity
-0.04 -0.02
0.9995
1.0000
1.0005
1.0010
1.0015
1.0020This paperJS WENOMapped WENOPower WENO
X
Den
sity
0.05 0.1 0.15
2.6660
2.6665
2.6670
2.6675
This paperJS WENOMapped WENOPower WENO
��� ����� �! �� �� ����+ �/� ������� �! �� �� ����+
$���� :*12 ���! � � ����� ������/����� ����� �! ��� ������� �! �� � �� 3 1 ����+*
�� ��!��� �� ������ �� � ����� ���� �� � � �!����� �� ���������* ��� ��!������� ��
� ����! � ����� � 3 ;44*
$���� :*< �������� �� � ����� �������� ��� ������� ���� ��� ! �* �� !���!�! ���
!�#�!�! ���� � �� �� �������� �� / ���� �� ���� � �� �� ��! ����� � ���� �� ���� ��
�������� ������ ��� �����!����� ��������� ��! ����� ���� * � ����. �� ��! ����� � �����
�� ���� ���/�� � � � �� ������������ �������� ��� ��� ���� ��� ! �* � �/� �� ���� ��
��! ����� ����+ �/���� � ���! �� � � �!����� �� ��������� + �� ��� �������� ��������
�������� ������� �� ����� �<.4��. /�� �� �������� �� �� ��! ����� ����+ �� ����� � �� ��
��!������� �� �� J� ����. !��� � ���� ��� ��� � ���� ��� ! �* ���� ����� ���� ��
/ ���� � ��� �� � � � ������ /������� ��������� ����� �� ����+ ��� �����. ����� ������
�# �� ����+ ��������* 5�� ������ ��! ����� � ����/����� !�� ����� �� ����+*
$���� :*: �������� �� 0��! � � ����� ������/����� � �� �� ����+ �� �� ����0����� ���
# 3 ' ��� ��� ���� ��� ! �* � ��� �/� �� ������ ��������+ ������������ ������� �! ��
�� ����+ ��� ��� ! �����* �!������ �!��� ��� ���� � �����. �� �� ���! ���� ���� ��
� � �!����� �� ��������� ��� �� �!��� �� ��������+ �����������* 5!��� �� ��� � ���
���� ��� ! �. �� J� ���� ��� � � � � ����������� >��� ��� � �� ����+. /�� �� �����
������ / ��! � � �+ � ����+�� �� �� �������� � ����� � ������� �!* �� !��� � ����
1<
1 2 3 4[0.9999,1.72] 30 contours
1 2 3 4[0.9999,1.72] 30 contours
��� ���� ��� � �/� J� ����
1 2 3 4[0.9999,1.72] 30 contours
1 2 3 4[0.9999,1.72] 30 contours
��� 7��� � ���� ��� G�� � ����
$���� :*<2 9 ����� �������� �� �� :;Æ �/���� ����+ �� �� 3 1*
��� ! ������ � ���� � ��� ������������ ����� �������� ����� � ������� �!* �� � �� �
������ ����������� �� �� ��� � ���� ��� ! . ���������� ���� �� ��!�� � !���� ��� !����
� �� �� ��� ��� ������ ��� !������! ������� ���/� !�* ���� ������ � � ����/����� !����
/ � ������/� ��� �� ��! ����� ����+ �� !�� �������� ������������ ����� �� � ��� � ��
����� /����! ���� �* $���� :*; �� �� �������� �� �� �� ��� � ���� * ������ �� �� ���
� ���� �� �� ���� ��� ! ���� �� � � �!����� �� ��������� �� � ��� ���� ���� �� ��
!����� 0 �� ��+ ���� �� �� �� ��! ������� ��� . �� � ��� � � ���� ��� � � � / ��� '4���
����� �� ������������ ��� ��� ��������� ������ * ��!���� �� �� ���!�� ����+ ��� . �� �� ���
� ���� �� �� J� ���� ��� !��� � ���� ��� ! � � ��� � ���� �� � � ����� �� ���� ����
������ '4��* �� �� ��� � ���� �� �� ��� � ���� ��� ! � ��� � �� � ��! ���� �!��� �
���� ������ '4��. ����� �� ����� ��� �/�� !����� 0 ��*
1:
X
Den
sity
1.5 2 2.5 3
0.99
1.00
1.01
1.02
This PaperJS WENOMapped WENOPower WENO
X
Den
sity
2 2.5 3 3.5 4
1.71
1.712
1.714
1.716
1.718
1.72This PaperJS WENOMapped WENOPower WENO
��� ����� �! �� �� ����+ �/� ������� �! �� �� ����+
$���� :*:2 9 ����� ������/����� �� :;Æ �/���� ����+ �� �� 3 1 ��� ������� ���� ��� ! �*
Time
Log(
Res
A)
0 100 200 300 400 500-15
-10
-5
0
This paperJS WENOMapped WENOPower WENO
$���� :*;2 �� �������� �� �� �� ��� � ���� ��� �� :;Æ �/���� ����+*
1;
��� &����� ���# ��������
�� � ����� ����+ � % ����� �� � ������� ��� ��! ������� �� ��� %��* �� %�� ��������
�� ��� !�������� ����� �� $���� :*(* �� �!������� ����+ �� ��� �� � % �� � ����+ ��
� ����� �� ��!��� ���� ��� ����� �. �� ��� ���* �� ���� �������� �������� �����/� �
�� ��. �� ��� �� � �� ���� ��* �� � ��� / ��!��� � /� �� E��+�� =������� � ������
&1<)* 8� ��� ��� . �� %�� 7��� ��!/ � �� � ���� � �� 1�@* �� �!������� ���� �� ' 3 1@Æ*
8� ���� #�!�� . �� �!������� ����+ ��� �� � % �� � ����+ ���� ������� �� ��� �
/�������* �� /������� ���� �� ��!��� � /� �� �� ��! ������� ������� ������ ! ����
�� �������* ������ ( � ) � 4. ( ( ( 6 ) * 4 �� �� ���� �� ����� � �� �� J���/��� ��
�� /�������* �� �� �� ��!��� � �������� ��� �� �� �� #��� �������� �� �� /�������*
�� J���/���. /�� � �� ��. ��� / ���������0 � �� ! 3 �M���. �� � � ��� ��� �������
�� ����� ��� � �� �� �� ����� � �� ���� �� ��� M �� � �������� !����# �� �� ����� �* ��
������� ������ �������� ���� � �� +� 3 ����� ��� +� 3 �����* 8� �� �� ����� �� ���� �
�� ���� �� 0 ��. �� ������� ������ ���� �� �� /������� �� ���� �� �� ��!��� � ���� *
��� ���� . �� �� ���� �� �� #��� ��������* �� ���� ���� � �� � �� �� ��� � /�������
�� �� 3 � �(�� (�� (
�� (
��
� * = � . �� ��� �������� � �� � �� �� ��!��� �� �� �� � ����
�� ���� � /� �� ��/�������*
�� ��!���������� ��!��� �� 4 � � � :. 4 � # � ' ����� �� ����� � �� 144 � ;4
������ ���� � �����* $���� :*D �������� �� � ����� ��������* 5����. �� !���!�! ���
�� !�#�!�! ���� � �� �� �������� �� / ���� �� ���� � �� �� ��! ����� � ���� �� ����
�� �������� ������ ��� �����!����� �/��� �� ��! ����� �������� ��������� ��! ����� ���� *
�� ��! ����� ������������ �� �� J� ���� ��� !��� � ���� �� !�� � � � ���� ����
�� �� ���� ���� �� � � �!����� �� ��������� ��� ��� � ����* $���� :*A �������� ��
�������� �� �� �� ��� � ���� * 8� ��� / �/� �� � ���� �� �� ��� � ���� �� �� ����
���� �� � � �!����� �� ��������� � ��� � ���� �� � �!��� �� ���� ������ '4����. ������ � /�
���� �� �� ��� � ���� ��� ! ����� � ��� � ���� �� � ���� ������ '4����* �� �� ���
� ���� �� �� J� ���� ��� !��� � ���� ����� �� ���� ���� �� � � ����� �� ���� � ����
1(
I II III
x
yS1
S2
$���� :*(2 ��� !���� ������! �� �� � ����� ����+ � % �����*
[0.999,2.7] 30 contours [0.999,2.7] 30 contours
��� ���� ��� � �/� J� ����
[0.999,2.7] 30 contours [0.999,2.7] 30 contours
��� 7��� � ���� ��� G�� � ����
$���� :*D2 9 ����� �������� ��� �� � ����� ����+ � % ����� ���! �� � �� ���� ��� ! �*�� 3 1�@. ' 3 1@Æ*
������ '4����* $�� ���� #�!�� . ��� �� �� ���� ��� ! � ��� ���� � � �!��� �� ���
� ���� ���� �� !����� 0 ��* �!������ ���� �� �� ����� #�!�� . � ����� ���� ��
���� ���� �� �� �� �� �� �� /������� ��������� ���� � ���� �� !������! ������� �����
�� �� ���/� ! ����� �� �� ����� #�!�� �� ���� ��� ��! ������� ���� �� �/���� ����+
/�� �� ��� � ��!�� � ������ /������� ��������� ����� �� ��� ����� �� �� ����+�* � ���
��� / � ���� ����� �� ������ � ��! ����� /������� ��������� ��� ���� #�!�� �� ���� ��
�� ��� � ���� ��� �� ���� �� � �!��� � ���� *
1D
Time
Log(
Res
A)
0 50 100 150 200 250-3.5
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0This paperJS WENOMapped WENOPower WENO
$���� :*A2 �� �������� �� �� �� ��� � ���� �� �� � ����� ����+ � % �����*
��� $ ��������� ��� ��� ������ ���� ����
�� ��� ������ %�� ���� � ������� ������ �� � �� � ������� � �� ��� �� !��� �� ����� ����� �
&'(. <:. <')* ���� %�� �������� ��!�� # �������� � ��������� /�� ����+�. ��� ������� ��� �
��� ���� ��� �* �� � ������ �� � �� �� �����/����� �� �� ���� ��� �. �� %�� �� � � ��� �
��! ����� �� ��� ���� �� �� ��! ������ � 3 '1 �� � �� �� ��� �! 7��� ��!/ � �� <
&<:. <')* � ��!���� ���� #�!�� �� � �� �� ���� ��� �� ���� �� �� ������� �� ��� ���� �
��� �� ���� ��� ! �* �� ������� ���������. �� ��!���������� ��!��� ��� /�������
���������� �� �� ��! �� ���� �� &'()* �� ���� �� ������! ���� N� 3 N# 3 ��* $����
:*@ �������� �� �������� �� �� �� ��� � ���� � ��� �� ��� ��� � �� ���� ��� ! �* $��
���� ��� . �� �� ��� � ���� � ��� � �� ������ '4��� ��� �� J� ���� ��� !��� � ����
��� ! �* �� ���� ��� ! ���� �� � � �!����� �� ��������� �<*A� � ��� � �� � �!��� �
���� ������ '4����*
$���� :*'4 �� �� ��! �������� �� %�� � �� ��� � /� �� � ����� �������� �� �������
��! � � 3 :. '1. ;4 ��� ';4* �� ���� �� �� ������� ��! � 3 : �� ���� ��� � �� �� �����
����� � &'(. <:. <')* $��! ��! � 3 : �� ';4. �� � % �� � ����+ ��� ���� � ������� ��
���%�� /������� � 3 <* ���� !���� / �� �� �� � ����� ���� �� �� ��� � ���� �� ��
���� ��� ! ���� �� � � �!����� �� ��������� �<*A� ��� ��� ���� �� �� !����� 0 ��*
1A
Time
Log(
Res
A)
0 50 100 150-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0This PaperJS WENOMWENO
$���� :*@2 �� �������� �� �� �� ��� � ���� �� �� ��� ������ %�� ���� � ������� �������� �*
$���� :*'' ����� �� ��!������� / �� � �� %�� � ��� �� �� ��� ������� ��! � � 3 '1
��� ';4* � �/� �� ���� �� � �� ����� � ������ �� � �� ��� ��� ��� ���� ��� ! � / �� �
�� � ��� ��! �. ����� ������� � ���� �� �� ��� ���� ��� ��� / � ����� � ��� � �� � 3 '1*
$���� :*'1 ����� �� ��!������� �� �� %�� � ��� �� �� ��! � � 3 ;4 ��� ';4* � �/� ��
���� �� � ����� �������� ��� � /� �� ���� ��� ! ���� �� � � �!����� �� ���������
�<*A� �� #����� �� ��! �� �� � ��� ��! �. ��� � � �� � �� ����� ������ �� � �� � �� ��
� ���� ��� � �� � % �� � ����+ ��� � ��� �� J� ���� ��� !��� � ���� ��� ! �* ����
������� � ���� �� ���� ��� ! ���� �� � � �!����� �� ��������� ��� / �� � ���� �� ��
���� ��� ������� �� ��� ���� � ���� �� ��� � ��� ���� ��� ! �*
��' $ ��������� ��� ��� �( ���� ���� � ��# ����
8� ���� � �����. � �� �� ���� ��� ! � ���� �� � � �!����� �� ��������� �<*@��<*''�.
�� J� ���� ��� �� !��� � ���� ��� ! � �� ��!���� �� ��� ������ %�� ���� � 19
���� ���� �� ';Æ �����+ ���� * �� �� ��� �! 7��� ��!/ � �� �� 3 <�4* �� ���
!�� � ���! � �� ������ �� ���� * �� ������� ��������� �� � 3 ����
�
. � 3 '. � 3 ������ ���
( 3 ������. ���� � 3 ';Æ / ��� �� �����+ ���� * �� ��!���������� ��!��� �� 4 � � � 14.
�'4 � # � '4 ����� �� ����� � �� � :44 � :44 ����* �� ���� �� ����� � �� ' � � � 1*
1@
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
��� �3:
$���� :*'42 $��� ���� � ������� ������ �� �. <4 ������ ���� � �������� ��� � ����� ���!4�1;(A �� (�(4D ���� �� ���� N� 3 N# 3 �
�* ���2 ���� ��� �C 7���� 2 J� ����C B����!2
7��� � ����*
<4
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
�/� �3'1
$���� :*'42 ������� �*�
<'
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
��� �3;4
$���� :*'42 ������� �*�
<1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
��� �3';4
$���� :*'42 ������� �*�
<<
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
��� ���� ��� �
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
�/� J�����
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
��� 7����
$���� :*''2 $��� ��!������� / �� � ��� ������� ��! �2 ����� ��� �2 � 3 '1. 9��� � ��� �2� 3 ';4* <4 ������ ���� � �������� ��� � ����� ���! 4�1;(A �� (�(4D*
<:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
��� ���� ��� �
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
�/� J� ����
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
��� 7��� � ����
$���� :*'12 $��� ��!������� / �� � ��� ������� ��! �2 ����� ��� �2 � 3 ;4. 9��� � ��� �2� 3 ';4* <4 ������ ���� � �������� ��� � ����� ���! 4�1;(A �� (�(4D*
<;
�� ���� �� ���� ����� � #��� ������� � �� �� ���� * �� ���� /������� ��������� �� �� �
�� �� ���� * �� �������� ���� �� �� ��� /������� � �� ��!��� � /� �� ������� ������
! ���� �������� � �� �� � ����� :*<*
$���� :*'< �� �� �������� �� �� �� ��� � ���� �� �� ��� ��� � �� ���� ��� ! �*
�� ���� �� �� ��!���� �� ���� �� �� �� ����� #�!�� �* ��� �� �� ��� ��� ! � ���
� ��� � � ���� � �� !����� 0 ��. �������� �� ���� ��� ! ���� �� � � �!����� ��
��������� �<*@��<*''� � ��� � �� � �!��� � ���� ������ '4����. ��!������ �� �� J� ����
��� !��� � ���� ��� ! �. ����� � ��� �� � ���� ������ '4���* $���� :*': ��������
�� �� ���� �������� �� � 3 ';4 �/���� � /� �� ��� ��� ! �. �� � �' ��� �1 � �� � ��
�� ��� ����+ ��� � ��� �' ��� �1 � �� � �� �� ��� ��� ������� ��� �* �� � ������
�� /������� �� � �� ��� ���! �� ���� . ��� �� ��� � ��������� �� ����+ ��� � ��� ��
��� ������� ��� � ����� ���� ������� �� /������� �* �� ��� � �' ��� �1 ���� ������� ��
/������� �����#�!�� �� �� � 3 14. ��� �� ��� � �' ��� �1 ���� ������� �� /�������
�����#�!�� �� �� # 3 '4* ���� !���� / �� �� �� � ����� ���� �� �� ��� � ���� �� ��
���� ��� ! ���� �� � � �!����� �� ��������� �<*@��<*''� ��� ��� ���� �� �� !�����
0 ��* � ���� �/� �� ���� �� � �� � ������ ����������� � �� �� ����+ ��� �1 ��� �� J�
���� ��� ! ��� � !�� ���������� ����������� �� �� ��! �������� ��� �� !��� � ����
��� ! * �� ���� ��� ! ���� �� � � �!����� �� ��������� � !� �� � ����! / �� � ��
���� #�!�� �� ��������� �� ����+ ��� � ������� ������������*
# $������� �����
� ��� � !������� � �� �� �� ����� � ������ ���� �� � � �!����� �� ��������� �<*@�
�<*''� �� !�� �����/� �� �� �� ��� ����+ � ���� ���� �� �������� J� �!����� �� ���������
�1*''��1*'<� �� �� !��� � �!����� �� ��������� �1*';�* =�� � �. � ��� �� ������� ����
�� �������� �� �!���� � �����* 8� �� �������� ���� ��� � &'(). �� ���������� ��� ����
���� ��� � �������� �� ������� �* �� �������� J� ���� ��� ! �� ���� ��� � ������� ��
�!���� � ����� /�� !�� ��� �������� � �� ��! ��� � �� �!���� #�� !� &'1). ���� ��
<(
Time
Log(
Res
A)
0 50 100 150-3.5
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0This PaperJS WENOMapped WENO
$���� :*'<2 �� �������� �� �� �� ��� � ���� �� �� ��� ������ %�� ���� � ���� ���� �������+ ���� ';Æ*
0 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
0
1
2
3
4
S1
S2
R1
R2
[0.02, 0.23] 30 Levels
0 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
0
1
2
3
4
S1
S2
R1
R2
[0.02, 0.23] 30 Levels
0 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
0
1
2
3
4
S1
S2R1
R2
[0.02, 0.23] 30 Levels
$���� :*':2 $��� ���� � ���� . <4 ������ ���� � �������� ��� �� ���� ���! 4�41 �� 4�1< ����� ���� �� :44� :44 ������* " ��2 ���� ��� �C 7���� 2 J� ����C E����2 7��� � ����*
<D
���� ��� ! /�� � �� �� !��� � �!����� �� ��������� &'1) ������ / ���� ��� � �������
�� ��� �!���� � �����* 8� � � � �� ���� �������� �������� ��� �� � � �!����� �� ���������
������ � �� ���� ��� �. � ��� ���� �� ��� ! �� ���� ��� � ������� �� �!����. !������
� �����. /�� !�� ��� �������� � �� ��! ��� � �� �!���� #�� !�* 8� ��� � �����. �� ������
/ ��� ��!������ �� �� �������� J� ���� ��� ! ��� ��� �� ���� �� �� !���� � ����
��� ! �� &'1)* 5 ���� ����� �� !���� / �� �� �� � � �!����� �� ��������� ���� � ��
�� ��� ����+�. �� ���� � /� ��! +��� �� ����+ � � �����. *�* ���� ������� � �� &<) �� ��
&<;). ��� �� �� �� !��� � �!����� �� ��������� &'1) �� �� � *
� ��� ����� ��� � � �� �� �� ��! ����� #� ��! ��� �� � !������� ���� ��������
���� * 8� �� ��������� #�!�� �. � ��� ��>��� � �� ��! �� � �� �� 3 ���
� �� ���� ��!
����� ��0����� ���� ���� ��� ��!���� *
�%�$�� &� � "�� �� ������ ���/� !*
� ���� ���� �� ��������� ��� �� ������ �������2
�� 6 �� 3 4 � ' � � � ' �;*'�
��� 4� 3 ����� ����,��)
���� ��� �� � �� ������� ����������2 ����� 3 ����-��. ����� 3 ����-�� ��������
� ��� ����� 3
����-��*
8� ��/� ;*' �� �� ��� �� ����� ��� ��! ����� ��� �� �� �������� �� ��� � ��� ��
���� ��� ! � ���� �� � � �!����� �� ���������. �� J� �!����� �� ��������� ��� ��
!��� � ���� ��� �� ���� ������� ��������� �� � 3 '* ���� �� �� ��� � �� ��� ��� �� �
�� � �� ����� �� � �� �!��� �� � ���� ��� ! �* $���� ��� � �������� �� ���� � � �� ���
��� �* �� !������� � �� �� ����� ��� �� ��! ! �� ��0 �� ���� / �� � J� �!����
��������� ��� �� � � �!���� ���������* �� !��� � ���� ��� ! ��� � �!��� � �����
��� �� ��! ! �� ��0 *
$�� �� � ���� ������� ���������. �� � �� &'1). �� � �� ��� �������� ������ �� � � 3 4
/�� ��� 3 4* ��/� ;*1 �������� �� ����� ��� ��� �� �� �������� �� � 3 1 ��� �� ����
<A
��/� ;*'2 �� ��� �� ����� ��� ��! ����� ��� �� �� �������� �� �� 6 �� 3 4 ���� ����� 3����-��* � �� �� ����� ��!/ � �� ���� ������ �� � ������! ! ��* � 3 '*
7 ���� � �� ���� �� ��� � �� ���� �� ��� ����� ��� � '4 '�A<�� 1 <�<:�� 1
14 (�AD�� : :�D: '�;'�� < :�:D:4 1�1D�� ; :�@1 :�D<�� ; :�@@A4 D�14�� D :�@A '�:4�� ( ;�4A'(4 1�1(�� A ;�44 <�@:�� A ;�';<14 D�4;�� '4 ;�44 '�'@�� @ ;�4;
J� ���� '4 '�D1�� 1 1�@A�� 114 D�D;�� : :�:A '�:@�� < :�<<:4 1�<:�� ; ;�4; :�D4�� ; :�@AA4 D�1<�� D ;�4' '�;1�� ( :�@('(4 1�1(�� A ;�44 :�;<�� A ;�4(<14 D�4(�� '4 ;�44 '�<@�� @ ;�41
7��� � ���� '4 ;�<D�� < D�1D�� <14 '�<4�� : ;�<D '�@(�� : ;�1':4 <�@@�� ( ;�4< (�1:�� ( :�@DA4 '�1;�� D ;�44 '�@(�� D :�@@'(4 <�@4�� @ ;�44 (�'<�� @ ;�44<14 '�11�� '4 ;�44 '�@'�� '4 ;�44
<@
��/� ;*12 �� ��� �� ����� ��� ��! ����� ��� �� �� �������� �� �� 6 �� 3 4 ���� ����� 3����-�� ����-��.-�* � �� �� ����� ��!/ � �� ���� ������ �� � ������! ! ��* � 3 1*
7 ���� � �� ���� �� ��� � �� ���� �� ��� ����� ��� � '4 D�:@�� 1 '�(D�� '
14 ;�@D�� < <�(; '�A1�� 1 <�14:4 :�(A�� : <�(D '�A1�� < <�<1A4 1�<4�� ; :�<; '�;:�� : <�;('(4 '�4;�� ( :�:; '�1@�� ; <�;@<14 <�A;�� A :�DD D�@1�� D :�41(:4 A�A(�� '4 ;�:: 1�'<�� A ;�1''1A4 '�(<�� '' ;�D( 1�4@�� '4 (�(D
J� ���� '4 (�'@�� 1 '�<@�� '14 :�@@�� < <�(< '�1D�� 1 <�:;:4 <�(D�� : <�DD '�4@�� < <�;:A4 '�D<�� ; :�:' A�A<�� ; <�(<'(4 D�DD�� D :�:D A�4A�� ( <�:;<14 <�D:�� A :�<A D�:(�� D <�::(:4 '�1A�� @ :�AD <�@(�� A :�1<'1A4 1�::�� '' ;�D' (�4'�� '4 (�4:
7��� � ���� '4 <�AD�� 1 A�A<�� 114 '�AA�� < :�<D ;�4:�� < :�'<:4 D�1D�� ; :�(@ 1�1'�� : :�;'A4 1�:4�� ( :�@1 (�D@�� ( ;�41'(4 D�('�� A :�@A 1�':�� D :�@@<14 1�<@�� @ :�@@ (�D'�� @ ;�44(:4 D�:D�� '' ;�44 1�''�� '4 :�@@'1A4 1�D<�� '1 :�DD A�AD�� '1 :�;D
��� ! � ���� �� � � �!����� �� ���������. �� J� �!����� �� ��������� ��� �� !��� �
�!����� �� ���������* 8� � !� ���� �� ���� ��� ! � ���� �� � � �!����� �� ���������
��� �� J� �!����� �� ��������� / ��� ��!������ ��� ���� #�!�� . �������� ���� ����� ��� �
�������� ��� ��������� � ������ ���� ��� � �������� ���� ! �� � �� ! ��* �� !������� �
�� �� ����� ��� �� ��! ! �� ��0 �� ���� ��!����/� ��� �� � ��� ���� ��� ! �* ��
�� ��� � ����. �� ���� ��� ! ���� �� !��� � �!����� �� ��������� &'1) ���� � � ����
��� � �������� !��� ���� � ��� ���� ��� ����� ���� �!��� � !������� � ��� �� ��! ! ��
��0 ��!������ ���� �� ��� � ��� ���� ��� ! �*
:4
��/� ;*<2 �� ��� �� ����� ��� ��! ����� ��� �� �� �������� �� �� 6 �� 3 4 ���� ����� 3����-��* � �� �� ����� ��!/ � �� ���� ������ �� � ������! ! ��* � 3 '4*
7 ���� � �� ���� �� ��� � �� ���� �� ��� ����� ��� � '4 <�;;�� ' :�:<�� '
14 1�4;�� ' 4�D@ :�1(�� ' 4�4;:4 '�DD�� ' 4�1' 1�('�� ' 4�D'A4 D�AA�� 1 '�'D '�(;�� ' 4�(('(4 '�(D�� 1 1�1< @�1@�� 1 4�A<<14 ;�((�� ( ''�;< <�4D�� ; ''�;((:4 '�1(�� D ;�:A ;�@;�� D ;�(@'1A4 1�:'�� @ ;�D' D�(1�� @ (�1@
J� ���� '4 <�;;�� ' :�::�� '14 '�;<�� ' '�1' <�<4�� ' 4�:<:4 1�AA�� 1 1�:' (�((�� 1 1�<'A4 1�:;�� < <�;; :�(D�� < <�A<'(4 '�AD�� : <�D' A�'(�� : 1�;1<14 (�<:�� ( :�A@ <�A4�� ; :�:<(:4 '�;A�� D ;�<< @�;4�� D ;�<1'1A4 <�(@�� @ ;�:1 '�(:�� A ;�A(
7��� � ���� '4 <�;A�� ' :�:@�� '14 @�4D�� 1 '�@A 1�4'�� ' '�'(:4 '�'<�� 1 <�44 1�1@�� 1 <�':A4 ;�A'�� : :�1@ '�D(�� < <�D4'(4 :�1(�� ; <�DD 1�@;�� : 1�;A<14 1�(;�� ( :�44 <�A;�� ; 1�@:(:4 1�A1�� A (�;( <�:@�� D (�DA'1A4 ;�4'�� '4 ;�A' @�@1�� '4 A�:(
�� ����� ��� �� � !�� � !������ � �� ��� / ���� �� ��� � ���� � ��� � �������� �����
���� �
3 ��
3 ���
3 4 �� � 3 4* ��/� ;*< �������� �� ��! ����� � ����� �� � 3 '4* �
�/� �� ���� ��� ��� ���� ��� ! � � ��� ���� ��� � �������� !��� ��� � ������ �� ! ��
� �� ! �� ���� ���� �� �� �� ����� ��� ������� ����������* �� ���� ��� ! � ���� ��
� � �!����� �� ��������� ��� ��� � ��� � � ���� ��� � �������� �� � �� ���� �� � �� ����
A4 ������* �� ���� ��� ! ���� �� J� �!����� �� ��������� / ��� � � ����� / �� �. ���
�� ���� ��� ! ���� �� !��� � �!����� �� ��������� ����� � ����!� �� / �� �!���
�� ��� ���� ��� ! � ��� ���� ��� *
:'
�%�$�� &�#� ��� ��! ������� ���� � ���+ � ��������*
5� � � ���� #�!�� . � � �� �� �������� �� �� ���� ��� ! ���� �� � � �!����� ��
��������� �� ��!���� ��� ��! ������� ���� ��� ���� ����+ � �������* �� ���� ����+ �
������� �� ��� � /�
�� 6 � ���� 6/���� 3 ������� 6/������ �;*1�
�� � �� #��� ���!� �� �� �������� %�# � � ��� ���/���. ��� �� ������� %�# � ������
��� /����� ��� / ����� ��. *�* &<D)* �� ��!���������� ��!��� �� 4 � � � 1-
��� 4 � # � 1-* �� � �� �������� �� ��� � /�2 � 3 '�4. � 3 '� 6 4�' ����� 6 # 6 ��.
( 3 '� 4�' �����6 #6 ��. � 3 ����
�
. � 3 ���
6 ������6 (��. �� 3 4�<. ��� � 3 '�:* 8� �� ��
, #��� ��������- �� ������� �;*1� �� � � ��� � �����/� ����� � �!* �� ������� � �!�
������� ��� /������ �� ����� ��0 � /� � ����� �� � �� ���!���� �� ��!����/�
��� �� �� ��������* � � � � �� &<D) ��� !�� � ����� �� ���� � �� ��� *
8� ��/� � ;*:. ;*;. ;*( ��� ;*D � ���� �� �� ��� �� ����� ��� ��! ����� ��� �� ��
�������� �� � 3 '�4 ��� �� � �����. � ������ ���� ��!��� ���� ��� � ��� � �� ���� ��* �
�/� �� ���� �� ���� ��� ! � ���� �� � � �!����� �� ��������� ��� �� J� �!����� ��
��������� / ��� ��!������ ��� ���� #�!�� . /��� ���� ���� ���� ��� � �������� ���� ��!��
��/� ���� !������� ��� �� ��! ! �� ��0 * 5����. �� !��� � ���� ��� ! / ��� �
/ �� �*
% &�������� �������
�� ���� �� �� ������� �� ��� ���� ��������� �� �� ��� � �������� ��� �� ���� ��� �
���� ��� ! ���� "�#$�� ������ %�# ��������� �� ����� � ������� ��! ����� #� ��! ���
��� � ������� ��������* �� ��! ����� #� ��! ��� ���� ���� �� � �� ������ ��������+
����������� ����� � ����� �� �� � ���� ������� �� � � ����� �� ���� ���� ���� �� �� � ������
���� �� !����� 0 ��*
�� � �� � ��� �� � ���������� �!��� �� �!����� �� ���������. ��������+ ����������� ���
�� � ���� * �� �������� �!����� �� ��������� ������ � /� J���� ��� ��� &'() ������ �
:1
��/� ;*:2 �� ��� �� ����� ��� ��! ����� ��� �� �� �������� ��� � ����� �� �� ��� ��! ������� ���� ����+ � �������* � �� �� ����� ��!/ � �� ���� ������ �� � ������! ! ��*� 3 '*
7 ���� � �� ���� �� ��� � �� ���� �� ��� ����� ��� � 14 <�A<�� ( (�<@�� (
:4 '�<4�� D :�AA 1�1<�� D :�A:A4 :�<D�� @ :�@4 D�:1�� @ :�@''(4 '�:1�� '4 :�@: 1�::�� '4 :�@<<14 :�<'�� '1 ;�4: D�D(�� '1 :�@D
J� ���� 14 1�1D�� ( (�D;�� (:4 '�'<�� D :�<< 1�1:�� D :�@'A4 :�4;�� @ :�A4 D�1@�� @ :�@:'(4 '�<D�� '4 :�AA 1�<(�� '4 :�@;<14 :�:;�� '1 :�@; D�D4�� '1 :�@:
7��� � ���� 14 :�:A�� D '�(4�� (:4 1�41�� A :�:D <�@'�� A ;�<;A4 (�:1�� '4 :�@A '�1;�� @ :�@D'(4 1�4'�� '' ;�44 <�@1�� '' :�@@<14 (�<'�� '< :�@@ '�1:�� '1 :�@@
��/� ;*;2 �� ��� �� ����� ��� ��! ����� ��� �� �� �������� ��� �� �� ������ �� �� �����! ������� ���� ����+ � �������* � �� �� ����� ��!/ � �� ���� ������ �� � ������! ! ��*� 3 '*
7 ���� � �� ���� �� ��� � �� ���� �� ��� ����� ��� � 14 @�;D�� ; '�;;�� :
:4 <�4:�� ( :�@A :�AA�� ( :�@AA4 @�'D�� A ;�4; '�:A�� D ;�4:'(4 1�(@�� @ ;�4@ :�<A�� @ ;�4A<14 D�1@�� '' ;�14 '�14�� '4 ;�'@
J� ���� 14 @�'<�� ; '�:@�� ::4 <�4@�� ( :�A@ ;�4(�� ( :�AAA4 @�;4�� A ;�41 '�;:�� D ;�4:'(4 1�A:�� @ ;�4( :�('�� @ ;�4(<14 A�1<�� '' ;�'' '�<;�� '4 ;�'4
7��� � ���� 14 '�A1�� ; <�4A�� ;:4 :�@;�� D ;�14 D�AA�� D ;�1@A4 '�;:�� A ;�44 1�:(�� A ;�44'(4 :�A<�� '4 ;�44 D�D4�� '4 ;�44<14 '�;'�� '' ;�44 1�:'�� '' ;�44
:<
��/� ;*(2 �� ��� �� ����� ��� ��! ����� ��� �� �� �������� ��� �� #� ������ �� �� �����! ������� ���� ����+ � �������* � �� �� ����� ��!/ � �� ���� ������ �� � ������! ! ��*� 3 '*
7 ���� � �� ���� �� ��� � �� ���� �� ��� ����� ��� � 14 A�1;�� ; '�<;�� :
:4 1�;A�� ( ;�44 :�1;�� ( :�@@A4 D�(A�� A ;�4D '�1(�� D ;�4A'(4 1�14�� @ ;�'1 <�('�� @ ;�'1<14 ;�DA�� '' ;�1; @�;:�� '' ;�1:
J� ���� 14 A�'(�� ; '�:4�� ::4 1�(:�� ( :�@; :�;4�� ( :�@(A4 A�4;�� A ;�4: '�<<�� D ;�4A'(4 1�<D�� @ ;�4@ <�A@�� @ ;�'4<14 (�D'�� '' ;�': '�'4�� '4 ;�':
7��� � ���� 14 '�D<�� ; <�1(�� ;:4 :�1;�� D ;�<; (�A'�� D ;�;AA4 '�<<�� A ;�44 1�'1�� A ;�44'(4 :�';�� '4 ;�44 (�(:�� '4 ;�44<14 '�<4�� '' ;�44 1�4A�� '' ;�44
��/� ;*D2 �� ��� �� ����� ��� ��! ����� ��� �� �� �������� ��� �� � ��� �� �� �����! ������� ���� ����+ � �������* � �� �� ����� ��!/ � �� ���� ������ �� � ������! ! ��*� 3 '*
7 ���� � �� ���� �� ��� � �� ���� �� ��� ����� ��� � 14 D�<A�� ; '�<4�� :
:4 1�;<�� ( :�AD :�'<�� ( :�@AA4 A�'D�� A :�@; '�:'�� D :�AA'(4 1�(:�� @ :�@; :�(<�� @ :�@<<14 A�<@�� '' :�@A '�:4�� '4 ;�4:
J� ���� 14 (�@D�� ; '�(1�� ::4 1�;:�� ( :�DA <�D(�� ( ;�:<A4 A�''�� A :�@D '�<<�� D :�A1'(4 1�;A�� @ :�@D :�:(�� @ :�@4<14 A�<;�� '' :�@; '�:;�� '4 :�@:
7��� � ���� 14 '�A(�� ; (�;'�� ;:4 <�A;�� D ;�;@ (�<;�� D (�(AA4 '�11�� A :�@A 1�4<�� A :�@D'(4 <�A<�� '4 :�@@ (�<@�� '4 :�@@<14 '�14�� '' ;�44 1�44�� '' ;�44
::
������/������ ���! �� � ���� ��� � � ������� �� �� ��! ����� ��������. ����� !�� � �� �
�� ����� �� �� �!����� �� ��������� �� �� ����+ �� ���� �� ��� � ���/���* ���� !���� /
� ������/� ��� �� ������ ��������+ �����������*
5 � � �!����� �� ��������� �� ������ � �� ����� � � !�� �� ��%� �� �� �� � ����
��� � � ������� * ���� � � �!����� �� ��������� � !� �� / !�� �����/� ��� �� �� ���
����+ � ����* ���� ���� � � �!����� �� ���������. �� ��������+ ����������� �� � !�� � ��
�� ���� � ��� �* �� � ���� ��� � ��� ���� �� !����� 0 �� ��� �� ��� ��� ��! �������
���/� !� �� � �� � �� �� ��%� �� ���! �� /������� ����������*
�� ���� �� �� ���� ��� � !� ���� �� / ��%� �� � /� �� /������� ���������* ���� ��
� ��!������ � ���� ��� � ��� ��� / � �/� �� �� ����� �����/� /������� ���������� �� �
�� ����+ ���� � ������� �� /������� �� ��� � �� � ��� �� ���� � ���� �� !�����
0 ��* ���� ���� �� � �� ��� ����� �����*
'���������
&') B������. 9* �* ��� ���. *�* �1444�. 7����������� �� � ����� � ���� � �� �������
�������������� ��� ! � ���� ���� ������� ���� ��� � �� ��������* J* �!���* G���* '(4.
:4;:;1*
&1) 9 �0����. "*. ? ���. 7* ��� "��������. G* �'@@A�. 9���!���� � ����� �� � �� ���� ��
!���� � �� �� ���� � ����/������2 ��! ����� ��!��������* 5�����* 5��������* <<4.
"'<"'(*
&<) 9�����. $*. $ �����. ?*. ������. $*. � / �. *. 9������. 9*. I��� �� �. * ��� G������.
�* �'@@@�. "��� ��� ��!������� �� �� ����+O���/�� �� ��� �������* J* �!���* G���*
';1. ;'D;:@*
&:) $�� ������. �* �'@@A�. � ���� � �� ������� �������������� ��� ! � ��� �� ��� ���������
�� ! �� ���� � �� ���������� � �����* J* �!���* G���* '::. '@:1'1*
:;
&;) I����� /. �* �'@@A�. ��� �� �� �� �� ������� �� � ���� � ��� ��� ! �. ���! ��
� ����� E��� H���� ! ����� ��� � !���� � ���>���� ����� �� ! ����* G�*9* �� ���.
9������� �� 5���� � 7��� !�����. B���� L��� �����*
&() I����� /. �*. ���. *�* ��� ���!��. �* �144'�. ������ ���/����� �� � ����� ���� ��� �
��! ����� ��0����� ! �����. �857 E �� � :<. A@''1*
&D) I�����. $* ��� G���00���. �* �1444�. ����+ ��� �� �!�� ����!�� � ��� ��� ��������2
�������� ��� ��! ����� ��!�������� �� ����� � � ������* G���* $�����. '1. 14;1'@*
&A) I�����. $* ��� G���00���. �* �1444�. ����+��� ���� # ��� ��������2 ����+ ��� ���� #
� ���!������. ��� ����� ����������* �� �� �* �!���* $���� 9��* '<. :1':;(*
&@) I�����. $* ��� G���00���. �* �144'�. ��!�������� ��� �������� �� �� �������� ���� �� ��
��!�� ���/� ���� # �����2 $� �������� ��� ����+ ����� � ��������* G���* $����� '<.
'<:<'<((*
&'4) =��� �. 5* �'@A<�. =��� � �������� ��� ! � ��� ��� �/���� ���� ������� ����* J* �!���*
G���* :@. <;D<@<*
&'') =��� �. 5* ��������. B* ��� �. �* ��� ��+��������. �* �'@AD�. L�����!�� ���� ��� �
�� ������� �������������� ��� ! �. 888* J* �!���* G���* D'. 1<'<4<*
&'1) = ����+. 5*H*. 5���!. �* 9* ��� G�� ��. J*7* �144;�. 7��� � � ���� � �� �������
�������������� ��� ! �2 ���� ���� ����!�� ��� � � �� �������� ������* J* �!���* G���*
14D. ;:1;(D*
&'<) =�. * ��� ���. *�* �'@@@�. � ���� � �� ������� �������������� ��� ! � �� �����
����� ! �� �. J* �!���* G���* ';4. @D'1D*
&':) J�! ���. 5* �'@@<�. 5�������� �� �����. ������ /������. ��!�� �� ��� �� �� �� ��
�������� ��� !�������� ���� �� �� �� ��������� ��� ��� ������ %���* 5855 G�� �
@<<<;@*
:(
&';) J�! ���. 5* �144'�. 5 � ��� ���� �� ��!���������� ��������!� ��� � ������!�� ����
���� ��� � ����* G���� �� �� 5 ������ ��� �� �. <D. '@D1:<*
&'() J����. I*�* ��� ���. *�* �'@@(�. ��� �� �!�� ! ������� �� � ���� � ��� ��� ! �*
J* �!���* G���* '1(. 14111A*
&'D) J����. I*�* ��� ��. ** �'@@@�. 5 ������� � ���� ���� �� � �� ��� ! ��� ��
�������� �� �� �� !��� �����������!���* J* �!���* G���* ';4. ;(';@:*
&'A) "��. P*9*. ��� �. �* ��� ���. �* �'@@:�. � ���� � �� ������� �������������� ��� ! �.
J* �!���* G���* '';. 1441'1*
&'@) ��� �. �* ��� ��+��������. * �'@A:�. =��� � �������� ��� ! � ��� �� ������ ���
������. �857 J* ��! �* 5���* 1'. @;;@A:*
&14) G���00���. �* �1441�. ��� ������ ��/��� ��!�������� ��� ! � ��� ����+���/�� ��
��� �������* J* �!���* G���* 'DA. A'''D*
&1') G���00���. �*. I�����. $* ��� 9Q5��� �. 5* �144'�. 8�� ������� �� � ����+ ��� ����
��� ����� ��������� ������ �2 ����+ ����!��� ��� ����� ����������* G���* $����� '<.
<:(4<:A'*
&11) E����. 5*. ��������. I* ��� 9����. E* �144<�. ����+���� # ��� �������� �� ���� 7���
��!/ ��* J* ���* �!���* '@. <:D<D'*
&1<) ����. 7*5* �'@@<�. �!�� ���/� $���� $���. G� ���� =���*
&1:) � /������. H* ��� ���. *�* �144<�. 7���� ��!��� ���� ���� �� � �� ! ����
���� ��� ��������� �� ��/��!��� ��� ���� �. J* ���* �!���* '@. :4;:<A*
&1;) � ���. �* ��� 7�������. 5* �144:�. G�� � ���! �����2 � ������� � ������� � ���� �
��� � ��� ! ����* J* �!���* G���* '@:. (<1(;A*
:D
&1() ���. J*. �����. F*�* ��� ���. *�* �144<�. E �������� �� ���� ��� � ���� ��� ! �
��� ��!������ � %�� �������� �* J* �!���* G���* 'A(. (@4(@(*
&1D) ���. *�* �'@AA�. �����?��������9�!�������� ��! ����� ��0������* �857 J* ���* ����*
�!���* @. '4D<'4A:*
&1A) ���. *�* �'@@A�. ��� ������� �������������� ��� � ���� � �� ������� ��������������
��� ! � ��� ��� �/���� ���� ������� ����. �� �������� ������� ����������� ��
�������� ��������� ���������. B* ��+/���. * J������. *�* ��� ��� �* ���!��
�������2 5* R���� �����. " ���� ��� � �� 7��� !�����. ����! '(@D. ������ �. <1;
:<1*
&1@) ���. *�* ��� ��� �. �* �'@AA�. ��� �� �!�� ! ������� �� �� ������� ��������������
����+ ��������� ��� ! �* J* �!���* G���* DD. :<@:D'*
&<4) ���. *�* ��� ��� �. �* �'@A@�. ��� �� �!�� ! ������� �� �� ������� ��� �����������
����+ ��������� ��� ! � 88* J* �!���* G���* A<. <1DA*
&<') ?�� " �. B* �'@D@�. ������� �� ����!�� ���� ������ �� � �� ��� ! * ?* 5 � ����
��� � � �� � �� I������Q� ! ����* J* �!���* G���* <1. '4''<(*
&<1) ? �+���+�������. ?* �'@@;�. ��� �� �� �� �� ��� ���� ��������� �� �� ��� � ���
����� �� ���������� � ����� ���� ��!�� ��* J* �!���* G���* ''A. '14'<4*
&<<) ����. �*J* ��� � �. E*$* �144'�. ����!�0 � � ���� � �� ������� ��������������
��� ! � ��� ��� �� ��� � ���� �������������* J* �!���* G���* 'D:. <A':4:*
&<:) ��������. G* ��� �� ��� G* �'@A:�. �� ��! ����� ��!������� �� �����! ������� %���
%�� ���� ������ ����+�* J* �!���* G���* ;:. '';'D<*
&<;) P�. �* ��� ���. *�* �144;�. 5����� ���� %�# ���� ������ ��� ���� ��� � ���� ���
� � �� ���� ��� ! �. J* �!���* G���* 14;. :;A:A;*
:A
&<() F���. F*. F���. �*. � �. F* ��� =��. * �'@@A� 8!������ � ���� � ��� ��� ! � ���
�� ��� ��! ������� ����!�� ���/� ���� ����+ � ��������* J* �!���* G���* ':(.
:(::AD*
&<D) �����. �*. �����. F*�* ��� ���. *�* �144;�. 7�������� ��� ������� �� � ����+ ���
��� � ������ ���� #* G���* $���� 'D. ''('4'*
&<A) �����. F*�*. ���. J*. ���. *�* ��� ����. F* �144<�. ��! ����� ��������� ��� � ��
������ �� ������� � � ���� � �� ������� �������������� ��� ! � ��� ��!�� ���/� %���
���� ���� E ������ ��!/ ��. G���* E �* � (A. 4:(D4@*
:@