controlo - institute for systems and...

IST-DEEC-LEEC – Controlo – 2005/2006 Outubro 2005 Controlo Digital - E. Morgado

1

CONTROLO DIGITAL

CONTROLO3º ano – 2º semestre – 2005/2006

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores (LEEC)

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores (DEEC)

Transparências de apoio às aulas teóricas

Cap. 8 - Controlo Digital

Eduardo Morgado

Abril 2002

Revisto em Outubro 2003

Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram

elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização do autor


2

CONTROLO DIGITAL

- flexibilidade na realização do controlador (programa de cálculo)

- possibilidade de controlo dinâmico associado a decisão lógica

- multiplexagem no tempo (servindo diversas cadeias de controlo)

A/D : conversor analógico-digital

D/A : conversor digital-analógico

y(t) : sinal em tempo contínuo

y(kT) : sinal em tempo discreto

T : período de amostragem

i) amostragem (operador variável no tempo)

ii) quantificação (operador não-linear) ↔ resolução do conversor A/D

iii) equações às diferenças (eq. algébricas adaptadas ao cálculo por

computador)

iv) processamento numérico com precisão de cálculo finita

v) tempo de conversão + tempo de cálculo (no controlo analógico é

praticamente instantâneo)

)(kTr

Computador

algoritmo

de controlo

A/D

clock

D/A )(sG

)(kTe )(kTu

)(kTy

)(tu )(ty

Sensor 1

)(ty

+

−

y(t)

t t

y(kT)

T 2T 3T 4T ...


3

QUANTIFICAÇÃO

Erro de quantificação na conversão A/D ↔ resolução finita do conversor

M : tensão máxima representável

n : número de bits do conversor

Resolução (variação mínima detectável no sinal de entrada): n

Mr

2=

erro de quantificação (supondo arredondamento): 1222

1

+=

=

nn

MMq

operação não-linear � pode originar oscilações de ciclo limite

� ruído de quantificação

resolução dos conversores actuais comuns : 12 – 14 bit

Consideraremos:

Níveis de

quantificação

111

110

101

100

011

010

001

000

Sinal analógica de entrada

Característica entrada-saída de um conversor A/D de 3 bits

erro de quantificação (resolução do A/D) e

erro de arredondamento (precisão finita) amplitude dos sinais

<<

Analisaremos os efeitos do período de amostragem T


4

AMOSTRAGEM - Amostrador ideal

Amostragem impulsiva ou modulação por impulsos

∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=−=−=

kkkTtkTxkTttxtx )()()()()(* δδδδδδδδ

Seja:

{ } )()( ωωωωXtxTF = { } )()( ** ωωωωXtxTF =

deduz-se que:

Ts

ππππωωωω

2= : frequência de amostragem

Será possível recuperar o sinal x(t) a partir do sinal amostrado x*(t)?

Sim ...:

i) se x(t) for de banda limitada

ii) se se utilizar um filtro passa-baixo ideal

Teorema da amostragem

x(t) x*(t)

t

x*(t)

T 2T 3T ...

T

o espectro do sinal x*(t) resultante da amostragem impulsiva de x(t), é a sobreposição

de um conjunto infinito de réplicas do espectro de x(t) distanciadas na frequência de

ωs = 2π/T.

∑∞+

−∞=−=

kskX

TX )(

1)(* ωωωωωωωωωωωω


5

TEOREMA DA AMOSTRAGEM

Um sinal x(t) de banda limitada é inteiramente definido pelas suas amostras

x(nT), n = 0, ± 1, ± 2,..., se a frequência de amostragem T

s

ππππωωωω

2= for pelo

menos duas vezes superior à frequência máxima do sinal Mωωωω :

O sinal x(t) poderá ser reconstruído a partir das amostras obtidas por

amostragem impulsiva x*(t) utilizando um filtro passa-baixo ideal de

ganho T e largura de banda ωc:

ωM <ωc< (ωs - ωM )

Ms ωωωωωωωω 2>

x(t)x(t)

∑ δ (t-kT)

H(ω) x*(t)

ω

T

H(j ω )

ω c − ω c

X*( ω )

ω s ω s -

aliasing !

X(ω)

X*(ω)

ω sω s ω s ω s -

2

-

2

- ωM ωM


6

Resposta impulsiva do filtro passa-baixo ideal:

(com Tsc /2/ ππππωωωωωωωω == )

{ }

== −

T

t

Tt

HTFthππππ

ππππωωωω sen

1)()( 1

⇔ não-causal !

sinal à saída de H(ω):

∑∞+

−∞=

−=∗=

k T

kTtsinckTxtxthtx

)()()()()( * ππππ

A função sinc faz a interpolação das amostras


7

RETENTOR DE ORDEM ZERO (ZOH – Zero Order Hold)

xh(t) provém da retenção do valor das amostras durante o intervalo de amostragem T

Função de transferência: { }s

ethTLsH

Ts−−==

1)()(

{ } [ ]

[ ])()()(

)()()()()()()(*

TkTtukTtukTx

kTxTtututxthtx

k

kh

−−−−∑=

=∫ ∑ −−−−−=∗=

∞+

−∞=

+∞

∞−

∞+

−∞=ττττδδδδττττττττττττ

Interpolação das amostras x(kT) por polinómio de ordem zero

Os conversores D/A mais utilizados funcionam no modo ZOH

x(t) x*(t)

T

ZOHx h (t)

t

x h (t)

T 2T 3T ...

x(t)

ZOH(jω)

T

ωs-ωs 2ωs-2ωs

Não é filtro passa-baixo ideal

ZOH T

1

00

δ(t)

Resposta ao impulso: h(t) = u(t) – u(t-T)


8

TRANSFORMADA Z

Seja )(* tx o sinal resultante da aplicação do amostrador ideal ao sinal causal )(tx

∑ −∑ =−=∞+

=

∞+

= 00

* )()()()()(kk

kTtkTxkTttxtx δδδδδδδδ

e tome-se a respectiva transformada de Laplace )(* sX :

skT

k

st ekTxdtetxsX −∞+

=

∞+−

∑∫ == )()()(00

**

definindo a variável z como: sTez = , vem:

∑==∞+

=

−

= 0

* )()()(k

ksT

ezzkTxzXsX

Na variável tempo discreto k, escreve-se:

[ ]∑=∞+

=

−

0

)(k

kzkxzX

que é a Transformada-Z unilateral da sequência x[k].

Algumas Propriedades:

- teorema do valor inicial: [ ] )(lim0 zXxz +∞→

=

- teorema do valor final: [ ] )()1(limlim1

1

zXzkxzk

−

→+∞→−=

⇒ ganho estático: 1

)( =zzG

- convolução: [ ] [ ]{ } )()( zYzXkykxZ =∗

- diferença: [ ]{ } )(zXznkxZ n−=− (condições iniciais nulas)


9

RELAÇÂO ENTRE OS POLOS DE X(s) E OS POLOS DE X(z)

Exemplo:

sinal analógico: )()( tuetx at−= ⇔ as

sX+

=1

)( ))(:( aseROC −>ℜ

sinal amostrado: )()( kTuekTx akT−= ⇔

⇔ ∑−

=−

==∞+

= −−−−−

011

1)(

kaTaT

kakT

ez

z

zezezX ):( aTezROC −>

donde, entre o polo de X(s), s = -a, no plano-s, e o polo de X(z), z = e-aT

, no

plano-z, observa-se a relação

em que T é o período de amostragem

Esta relação, entre os polos da transformada de Laplace de um sinal em

tempo contínuo e os polos da transformada-Z do sinal resultante da

amostragem com período T, é geral.

Mas não há uma relação geral entre os zeros das transformadas !

t 6T 4T 5T 3T 2T T 0 t

x(t)

x[kT]

sTez =


10

ESTABILIDADE

Polos no Semiplano Complexo Esquerdo:

ωωωωσσσσ js ±= com 0<σσσσ

Correspondentes no plano-z:

TjT eesTez ωωωωσσσσ ±== ( T > 0)

Donde: 0<σσσσ ⇔ 1<= ze Tσσσσ

Condição de estabilidade (assimptótica) para sistemas causais em tempo

discreto descritos por funções de transferência racionais em z:

⇔ todos os polos no interior do círculo unitário no plano-z

Conhecemos a relação:

localização de polos no plano-s � resposta transitória em tempo

contínuo

através da aplicação sT

ez = inferimos a relação:

localização de polos no plano-z � resposta transitória em tempo

discreto


11

LOCALIZAÇÂO DE POLOS NO Plano-z e RESPOSTA TRANSITÓRIA

polos no plano-s ↔ características da resposta transitória (S%, ts, ξ, tp, ...)

↑↓ sTez =

polos no plano-z ↔ características da resposta transitória

- lugar geométrico .cte=σσσσ no plano-s (t. estabelecimento, ou ξωn ,

constante) ↔

.ctez = (circunferência de raio r = T

eσσσσ

no plano-z)

- lugar geométrico .cte=ωωωω no plano-s (t. de pico, ou ωd , constante) ↔

.)arg( ctez = (radial formando ângulo θθθθ = Tωωωω no plano-z)

- lugar geométrico amortecimento .cte=ξξξξ espiral logarítmica no plano-z

- o limiar de estabilidade é a circunferência de raio unitário no plano-z

- a vizinhança do ponto 1+=z corresponde à vizinhança do ponto 0=s

- o eixo real negativo no plano-z representa a frequência 2

s

T

ωωωωππππ=

(frequência de Nyquist) ; ω > ωs / 2 ⇒ aliasing !

r θθθθ

ωωωωσσσσ js ±=2,1 ↔ θθθθωωωωσσσσωωωωσσσσ jTjTTj

reeeez±±± === )(

2,1


12

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DISCRETA (ou pulsada)

Objectivo: deduzir a função de transferência G(z) que relaciona a sequência

numérica u(kT) fornecida pelo computador ao conversor D/A (no modo ZOH),

com a sequência numérica y(kT) à saída do conversor A/D

Por definição: G(z) é a Transformada-Z da resposta y[kT] ao impulso δ[k]

Tendo em conta a interpolação realizada pelo ZOH:

[ ] [ ]kTkTu δδδδ= ⇒ )()()( Ttttu −−= µµµµµµµµ ⇒ s

e

ssU

sT−

−=1

)(

(µ(t): escalão unitário)

)()1(

)()()( sGs

esGsUsY

sT−−==

A sequência de saída pode então ser expressa por:

[ ]kTt

sT

kTtkTtsG

s

eLsYLtykTy

=

−−

=−

=

−=== )(

)1()()( 11

sTe− é um atraso correspondente a um período de amostragem T :

[ ]{ } ( )

Ζ−=

−Ζ=Ζ=

=

−−

=

−−

kTtkTt

sT

s

sGLzsG

s

eLkTyzG

)(1)(

)1()( 111

Em notação abreviada:

Equivalente discreto de "G(s) precedido de ZOH"

( )

Ζ−= −

s

sGzzG

)(1)( 1

D/A(ZOH)

A/DG(s)u(kT) u(t) y(t) y(kT)

T

G(z)


13

EXEMPLO:

Controlo Analógico

as

asG

+=)( lei de controlo: [ ])()()()( tytrKtKetu −==

)(1

)(

)(

)(

sKG

sKG

sR

sY

+=

Controlo Digital

i) - Cálculo do equivalente discreto de G(s) precedido do ZOH –

modelo do sistema “visto” pelo computador nos instantes de amostragem

( )

Ζ−= −

s

sGzzG

)(1)( 1

as

asG

+=)(

assass

a

s

sG

+−=

+=

11

)(

)(

)()()(1 tet

s

sGL at µµµµµµµµ −− −=

)(tµµµµ : escalão unitário (para não confundir

com o sinal de comando )(tu )

D/A

A/D

G(s)Computador

r(kT) u(kT) y(t)

y(kT)

(ZOH)

u(t)

x

plano s

-a eℜ

mℑ

)(ty

)(sG K

)(tu )(te +

−

)(tr


14

O correspondente sinal amostrado é: )()( kTekT akT µµµµµµµµ −−

Então:

( ) { }( )

aT

aT

aT

aT

aT

akT

ez

e

ze

zez

zezz

kTekTzzG

−

−

−−

−−−

−−−−

−−

−

−=

−

−=

−−

−−=

=−Ζ−=

1

11

1

1

11

)()(1)(

1

11

11

1

1 µµ

ii)- Lei de controlo proporcional: [ ])()()()( kTykTrKkTKekTu −==

)(1

)(

)(

)(

zKG

zKG

zR

zY

+=

Notar que:

- as regras de construção do root-locus no plano-z são idênticas às

utilizadas no plano-s; a interpretação é que é diferente

- o valor do polo de G(z) depende do período de amostragem

- o sistema de 1ª ordem em tempo discreto não é estável para todo o K>0,

ao contrário do seu análogo em tempo contínuo

)(kTr )(kTy

)(zGK

)(kTu)(kTe +

−

eℜ x

1-1

plano z

e -aT

mℑ


15

Detalhes do Root-Locus

Análise do polo em malha fechada

)1(

)1(

)(

)1(1

)(

)1(

)(1

)(

)(

)(

aTaT

aT

aT

aT

aT

aT

ekez

ek

ez

ek

ez

ek

zKG

zKG

zR

zY

−−

−

−

−

−

−

−+−

−=

−

−+

−

−

=

=+

=

)1(

0)1(

−+=⇒

=−+−−−

−−

aTaT

aTaT

ekez

ekez

eℜ x

1 -1

plano z

e -aT

mℑ

fechadamalhaem

instávelésistemaz

kkpara critico

⇒−<

>

1

,


16

PROJECTO DO CONTROLADOR DIGITAL (Algoritmo)

Problema: Determinar a equação às diferenças (ou a correspondente

função de transferência C(z) ) a programar no computador para obter o

comportamento desejado do sistema em malha fechada

Duas vias:

I - Obter o modelo discreto da “plant” G(s) � G(z) e projectar o

controlador no plano-z � PROJECTO DIRECTO

(projecto no plano-z precedido da discretização do sistema)

II - Projectar o controlador no plano-s, C(s), e determinar um “equivalente”

no plano-z: C(s) � C(z) � PROJECTO POR EMULAÇÂO

(projecto no plano-s seguido da discretização do controlador)

(ZOH) G(s) � G(z) = (1-z-1) Z

s

sG )(

Especificações � polos no plano-s (dominantes ...)

polos no plano-z

Projecto no

plano-z → = sTez

C(z)

G(s)

Especificações � polos no plano-s (dominantes ...)

Projecto no plano-s

C(s)

- método de Tustin - mapeamento polos e

zeros

- .............

C(z)

escolha de T


17

EXEMPLO:

as

asG

+=)( com a = 0,5

especificações da resposta ao escalão :

- erro em regime permanente nulo

- Sobreelevação ≈ 16 %

- Tempo de estabelecimento ( 5 %) ≈ 10 seg

Objectivo: Dimensionar um controlador digital )(

)()(

ββββαααα

−−

=z

zKzC

por forma a cumprir aquelas especificações

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PROJECTO DIRECTO

Dados: G(s) e especificações da resposta temporal em tempo contínuo

Etapas do projecto:

i) G(s) �

Ζ

−−=

s

sGzzG

)(11)(

(para conversor D/A no modo ZOH)

iii) especificações �

� polos desejados no plano-s →= sTez polos desejados no plano-z

iii) escolha e dimensionamento do controlador )(zC

iv) simulação e ajuste de parâmetros

via adequada a: sistema “rápido” – processador “lento”

(frequência de amostragem limitada pelo processador)

)(kTr

Computador

algoritmo

de controlo

A/D

D/A (ZOH)

)(sG )(kTe )(kTu

)(kTy

)(tu )(ty

+

−


18

é dado o período de amostragem: T = 1 seg

i) ( )607,0

393,01...

)(1)( 1

−=

−

−==

Ζ−=

−

−−

zez

e

s

sGzzG

aT

aT

(determinado anteriormente)

ii) S = 16 % ⇒ ξ = 0,504

ts (5%) = 10 seg = 3/ ξ ωn ⇒ ξ ωn = 0,3

ωd = 0,51

polos desejados no plano-s (supostos dominantes) : s1,2 = - 0,3 ±±±± j 0,51

polos desejados no plano-z :

z = esT = e

- 0,30T e± j 0,51T

= e- 0,30T

[cos (0,51 T) ± j sen (0,51 T)] =

= 0,647 ±±±± j 0,362

iii) erro em regime permanente nulo para entrada escalão ⇒ β = 1

Controlador Proporcional Integral (PI) discreto

)1(

)()(

−−

=z

zKzC

αααα

(mostre que o denominador (z -1) anula o erro estático ao escalão)

PROJECTO DIRECTO

(projecto no plano-z, precedido da discretização do sistema)


19

iv) dimensionamento do controlador

)()(1

)()(

)(

)(

zGzC

zGzC

zR

zY

+=

equação característica: 0)607,0(

393.0.

)1(

)(1 =

−−−

+zz

zK

α

0393,0)()607,0)(1( =−+−− αzKzz

polinómio característico desejado:

z = 0,647 ± j 0,362 ⇒ z2 – 1,294 z + 0,550

por identificação dos polinómios característicos, calcula-se:

⇒ K = 0,796 αααα = 0,182

equação às diferenças a implementar no computador:

)1(

)182,0(796,0

)(

)(

−−

=z

z

zE

zU

)(145,0)(796,0)()( zEzzEzUzzU −=−

donde:

)(145,0)1(796,0)()1( nenenunu −+=−+

ou:

)(zR )(zY

)(zG)(zU)(zE+

−

)(zC

)1(

)182,0(796,0)(

−−

=z

zzC

)1(145,0)(796,0)1()( −−+−= nenenunu


20

resposta ao escalão y(kT): 550,0294,1

0569,0313,0

)(

)(

2 +−

−=

zz

z

zR

zY

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Time (sec.)

Am

plit

ude

Step Response

projecto directo

T= 1 seg

Resposta ao escalão em tempo discreto

Root-locus - f.t.malha aberta: 607.0607.1

182.0

)607.0)(1(

393.0)182.0(796.02 +−

−=

−−

−

zz

zK

zz

z

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

projecto directo

plano-z

Root-locus – notar a circunferência unitária, os polos e zero da malha

aberta e os polos projectados da malha fechada


21

Voltando à equação às diferenças resultante do projecto:

)1(145,0)(796,0)1()( −−+−= nenenunu

... a saída u depende da entrada e no mesmo instante de amostragem ...

Impossível de realizar, porque existe um tempo finito de latência para o cálculo de u(n)!

dois procedimentos possíveis:

a) - Conversores A/D e D/A não sincronizados - O conversor D/A

espera pelo resultado do cálculo. Se o tempo de cálculo (“tempo

de latência”) << T (~1/20) aquela equação às diferenças é uma

boa aproximação do processo real.

b) - Conversores A/D e D/A sincronizados - Introduz-se um atraso

unitário z-1

correspondente a um período de amostragem (ou seja,

“ataca-se” directamente o facto de haver um período de

latência), � polo adicional do controlador em z = 0.

Adoptando este último procedimento (atraso unitário):

11 .

)1(

)(

)(

)()( −

−−

== zz

zK

zE

zUzC

αααα

haverá, então, que refazer o dimensionamento:


393.0.

)1(

)(1 =

−−−

+zzz

zK

α

0393,0)()607,0)(1( =−+−− αzKzzz

)(zR )(zY

)(zG)(zU)(zE+

−

)(zC 1−z


22


z = 0,647 ± j 0,362 ⇒ (z2 – 1,294 z + 0,550)(z – x)

notar que o polinómio característico é de 3º grau � além dos polos

projectados (desejados) existe um terceiro polo z = x.

se n – m ≥ 2 ⇒ ∑ polos da malha aberta = ∑ polos da malha fechada

temos: n–m = 2

0+1+0,607 = 0,647 + j 0,362 + 0,647 – j 0,362 + x ⇒ x = 0,313

(z2 – 1,294 z + 0,550)(z – 0,313)


⇒ K = 0,885 αααα = 0,495

equação às diferenças a implementar no computador:

)1(

)495,0(885,0

)(

)(

−

−=

zz

z

zE

zU

)(128,0)(885,0)()(2 zEzzEzzUzUz −=−

donde:

)(128,0)1(885,0)1()2( nenenunu −+=+−+

ou:

assim, a saída do filtro digital no instante de amostragem n resulta de dados

de entrada referentes a instantes de amostragem anteriores.

)1(

)495,0(885,0)(

−−

=zz

zzC

)2(128,0)1(885,0)1()( −−−+−= nenenunu


23

resposta ao escalão y(kT): 172,0955,0607,1

172,03478,0

)(

)(

23 −+−

−=

zzz

z

zR

zY

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Time (sec.)

Am

plit

ude

Step Response

projecto directo

T= 1 seg

(c/ atraso unitário)

Root-locus - f. t. malha aberta: zzz

zK

zzz

z

607.0607.1

495.0

)607.0)(1(

393.0)495.0(885.023 +−

−=

−−−

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

projecto directo

plano-z


24

Dados: G(s) e especificações da resposta temporal em tempo contínuo

Etapas do projecto:

iv) Especificações � polos desejados no plano-s � escolha e

dimensionamento do controlador )(sC

v) escolha do período de amostragem T

vi) controlador digital “equivalente” C(z)

iv) simulação e ajuste de parâmetros

No EXEMPLO presente, recordando:

sistema (plant): 5,0

5,0)(

+=

ssG

especificações da resposta ao escalão :

- erro em regime permanente nulo

- Sobreelevação ≈ 16 %

- Tempo de estabelecimento (5 %) ≈ 10 seg

PROJECTO POR EMULAÇÃO (projecto no plano-s, seguido da discretização do controlador)

)(kTr

Computador

algoritmo

de controlo

A/D

D/A (ZOH)

)(sG

)(kTe

)(kTu

)(kTy

)(tu

)(ty

+

−


25

i) projecto do controlador C(s) no plano-s

polos desejados no plano-s (supostos dominantes) : s1,2 = - 0,3 ±±±± j 0,51 (atrás deduzidos)

erro em regime permanente nulo, para a entrada escalão ⇒ controlador PI

s

asKsC

+=)(

)()(1

)()(

)(

)(

sGsC

sGsC

sR

sY

+=


5.0.

)(1 =

+

++

ss

asK

05,0)()5,0( =+++ asKss


s1,2 = - 0,3 ± j 0,51 ⇒ s2 +0,60 s + 0,35


⇒ K = 0,20 a = 3,5

)(sR )(sY

)(sG)(sU)(sE+

−

)(sC

s

ssC

)5,3(20,0)(

+=


26

resposta ao escalão: 35,06,0

)5,3(1,0

)(

)(2 ++

+=

ss

s

sR

sY

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

controlo analógico

Root-locus – f. t. da malha aberta: )5,0(

5,3

)5,0(

5,0)5,3(20,0

+

+=

+

+

ss

sK

ss

s

-4 -3 -2 -1 0 1-3

-2

-1

0

1

2

3Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

controlo analógico

plano-s


27

------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 1: Dado C(s) qual o controlador equivalente C(z) ? (i.e., como

obter o equivalente discreto de um filtro contínuo ?)

Não há uma solução exacta ! porque C(z) tem acesso apenas às amostras do

sinal de entrada nos instantes de amostragem, enquanto C(s) processa

continuamente no tempo.

Referimos dois métodos (entre outros ...) necessariamente aproximados

I - Mapeamento dos polos e dos zeros

- os polos de C(z) e de C(s) relacionam-se como z = esT

.

- os zeros de C(z) e de C(s) relacionam-se como z = esT

.

- ganhos estáticos iguais: C(s)s=0 = C(z)z=1

é atraente pela simplicidade

II - Método de Tustin ou da transformação bilinear

baseia-se numa aproximação numérica da integração:

seja o integrador: s

sCsE

sU 1)(

)(

)(== ∫= t

detu0

)()( ττττττττ

ou ∫ −+−= kTTkT

dtteTkTukTu )()()(

aproximando aquele integral no intervalo T pela área de um trapézio

(integração trapezoidal) :

[ ])()(2

)()( kTeTkTeT

TkTukTu +−+−=


28

aproximando aquele integral no intervalo T pela área de um trapézio

(integração trapezoidal) :

[ ])()(2

)()( kTeTkTeT

TkTukTu +−+−=

na transformada-Z :

)(1

1

2)(

)(1

1

zCz

zT

zE

zU=

−

+=

−

−

↔ s

sCsE

sU 1)(

)(

)(==

donde, aquela aproximação numérica corresponde à relação:

+−

=

+

−=

−

−

1

12

1

12

1

1

z

z

Tz

z

Ts (transformação bilinear)

------------------------------------------------------------------------------------------

Problema 2: como escolher o período de amostragem T ?

×≥= 202

Ts

ππππωωωω Largura de Banda (-3dB) da malha fechada

[G.F.Franklin,J.D.Powell,M.L.Workman,DigitalControl of Dynamic Systems, Addison-Wesley]

(note-se que, adoptando a via do Projecto Directo no plano-z podem utilizar-se

frequências de amostragem ωs menores com resultados aceitáveis)

------------------------------------------------------------------------------------------

s z

10

e(t)

tkT-T kT


29

Retomando o EXEMPLO de projecto por emulação:

vii) escolha do período de amostragem T

L.B. (-3dB) da malha fechada:

( ) )0(

)0(.

2

1

35,06,0

)5,3(1,0

)(

)(2

R

Y

jj

j

jR

jY=

++

+=

ωω

ωωω

⇒ ωLB ≈ 0,75 rad/s

ωs ≥ 20× 0,75 = 15 rad/s ⇒ T ≈≈≈≈ 0,4 seg

iii) controlador digital “equivalente” C(z)

utilizando o método de Tustin (ou da transformação bilinear):

s

ssC

)5,3(20,0)(

+= (resultante do projecto no plano-s)

+−

=

+

−=

−

−

1

12

1

12

1

1

z

z

Tz

z

Ts T = 0,4 seg

obtem-se: ( )

1

176,0340,0)(

−−

=z

zzC

viii) simulação

para simular teremos de achar o modelo discreto do sistema, G(z),

para T = 0,4 seg :

( )819,0

181,01...

)(1)(

1

−=

−

−==

Ζ−=−

−−

zez

e

s

sGzzG

aT

aT


30

resposta ao escalão: 808,0758,1

0109,00615,0

)(

)(

2 +−

−=

zz

z

zR

zY

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Time (sec.)

Am

plit

ude

Step Response

Método de Tustin

T= 0.4 seg

O que acontecerá se na escolha do período de amostragem nos desviarmos

do critério ×≥= 202

Ts

ππππωωωω Largura de Banda (-3dB) da malha fechada ?

Seja T = 1seg :

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Time (sec.)

Am

plit

ude

Step Response

Método de Tustin

T= 1 seg

666,0391,1

059,0216,0

)(

)(

2 +−

+=

zz

z

zR

zY

607,0

393,0)(

−=

zzG

( )1

273,0550,0)(

−

+=

z

zzC


31

Com T = 1 seg. observa-se uma degradação da resposta dinâmica face à

escolha de T = 0,4 seg, com afastamento significativo das especificações

(recorde-se contudo que na via Projecto Directo fez-se T = 1 seg com bons

resultados !)

As modificações na resposta temporal estão associadas à dependência da

localização dos polos no plano-z com o valor do período de amostragem.

(calcule os polos da malha fechada para os dois casos anteriores, T = 0,4 e

T = 1, e justifique as alterações observadas na resposta ao escalão)

Nas respostas temporais obtidas, verificou-se sempre que as especificaçõe

dinâmicas nunca eram rigorosamente satisfeitas; tal deve-se ou às

aproximações inerentes à conversão plano-s/plano-z ou aos polos

projectados (de 2ª ordem) não serem suficientemente dominantes

� o passo seguinte do projecto seria o ajuste dos parâmetros do

controlador em simulação na vizinhança dos valores calculados.

controlo - institute for systems and...

Documents