Teoria de Morita para Coalgebras -Os teoremas de Takeuchi

Ricardo Luiz dos Santos Souza

Departamento de Matematica

Universidade Federal de Minas Gerais

Orientador: John William MacQuarrie

Uma dissertacao submetida para a obtencao do grau de

Mestre em Matematica

Belo Horizonte 2017

Abstract

In this thesis we aim to define coalgebras and comodules, their main pro-

perties and results, and show a form of the Morita Theorem for coalgebras

(named the Morita-Takeuchi Theorem).

Resumo

Nesta dissertacao vamos definir coalgebras e comodulos, suas principais

propriedades e resultados, e demonstrar uma forma do Teorema de Morita

para coalgebras (chamado Teorema de Morita-Takeuchi).

Conteudo

Introducao 5

0 Pre-Requisitos 7

0.1 Adjuncoes e Equivalencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.2 Teoria de Morita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 Introducao a Teoria de Representacoes de Coalgebras 12

1.1 Conceitos Basicos e Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Objetos Livres e Cogeradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Cotensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Quase-finitude 26

2.1 Espaco de Coeficientes de um Comodulo . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Comodulos Injetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Comodulos Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Contexto Morita-Takeuchi 41

3.1 Cohom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Propriedades do Cohom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3 Coend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4 Contexto pre-equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5 Equivalencia Morita-Takeuchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 A Coalgebra de Matrizes 57

4.1 A Coalgebra Dual de Uma Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2 A Algebra Dual de Uma Coalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3 Modulos a Partir de Comodulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 Dualidade 69

5.1 Objetos Pseudo-compactos e Localmente Finitos . . . . . . . . . . . . 69

5.2 Dualidade entre Comodulos e Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3 Objetos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Bibliografia 78

4

Introducao

Quando lidamos com representacoes de algebras associativas, os resultados de Wed-

derburn-Artin e de Morita nos dao fortes ferramentas para fazermos uma caracte-

rizacao de classes de equivalencias de algebras - a equivalencia de Morita. Especifica-

mente, esses resultados classicos nos dizem que dada uma algebra qualquer A sobre

um corpo k, existe uma famılia de algebras tais que as categorias de modulos sobre

elas sao equivalentes; e nao so isso, mas nos dizem uma maneira explıcita de obter

cada um dos elementos dessa famılia: Dentre os A-modulos temos diversas maneiras

nao-isomorfas de escolher um modulo que seja projetivo, gerador e finitamente gerado

(chamado de progerador) e sao essas escolhas que determinam as algebras Morita

equivalentes a A - cada uma delas e isomorfa (como algebra) a EndA(P ), onde P

varia entre os progeradores de A-Mod.

No caso em que nossa algebra tem dimensao finita, temos um resultado um pouco

mais forte: O teorema de Wedderburn-Artin, agora, nos diz que existe uma boa

escolha de P de tal maneira que a algebra EndA(P ) e chamada basica. Essas algebras

basicas tem grande importancia e, sobre um corpo algebricamente fechado, e possıvel

mostrar que todas os modulos simples de uma algebra basica tem k-dimensao 1.

No caso em que nossas algebras nao tem dimensao finita, o resultado nao e valido

em geral, i.e., se A nao tem k-dimensao finita nada nos garante (a princıpio!) que

exista uma algebra basica Morita equivalente a A. Mas sera que conseguimos algo um

pouco menos restritivo que “dimensao finita” onde o resultado ainda continue valido?

Considere, por exemplo, uma algebra pseudocompacta - ou seja, uma algebra

topologica que e o limite inverso de algebras de dimensao finita. Como cada “com-

ponente” do limite inverso e uma algebra de dimensao finita obtemos uma colecao de

algebras basicas, cada uma delas Morita equivalente a uma algebra de dimensao finita

do limite inverso. Mas, sera que essas algebras basicas formam um sistema inverso?

Sera possıvel construir uma algebra pseudocompacta basica a partir de uma algebra

pseudocompacta? Para isso lancamos mao das coalgebras.

Apesar de nascerem como o conceito dual ao de algebras, coalgebras intrinse-

camente tem mais estrutura do que algebras em geral no seguinte sentido: Toda

coalgebra e o limite direto de suas subcoalgebras de dimensao finita (2.1.8). De fato,

coalgebras sao tao bem-comportadas que em 1977, Mitsuhiro Takeuchi publica um

artigo [Tak] chamado “Morita theorems for categories of comodules” (“Teoremas de

Morita para categorias de comodulos”, em traducao livre) em que, entre outros, Ta-

keuchi mostra que a teoria de Morita funciona em coalgebras - dada uma coalgebra

5

Λ existem Λ-comodulos injetivos, cogeradores e quase-finitos tais que a coalgebra de

coendomorfismos construıda sobre esses comodulos e Morita-Takeuchi equivalente a

Λ (ou seja, as categorias de comodulos sobre essas coalgebras sao equivalentes). O

grande trunfo vem quando, em 1997, William Chin e Susan Montgomery [CM] pro-

vam que toda coalgebra e Morita-Takeuchi equivalente a uma coalgebra basica e, nao

somente isso, o dual de toda coalgebra basica e uma algebra basica.

Isso, somado a resultados ja conhecidos (por exemplo por Pierre Gabriel em [Gab]),

que nos dizem que as categorias de k-algebras pseudocompactas e k-coalgebras sao

duais, nos permite chegar a uma forma mais forte do resultado original de Morita

para algebras de dimensao finita: Nao apenas algebras de dimensao finita possuem

uma algebra basica Morita equivalente - algebras pseudocompactas tambem possuem

algebras pseudocompactas basicas Morita equivalentes.

Ao longo deste trabalho, entao, temos tres objetivos, em ordem logica:

(1) Entender coalgebras, comodulos e a categoria de comodulos sobre uma coalgebra;

(2) Entender os resultados de Takeuchi que nos permitem construir uma coalgebra

Morita-Takeuchi equivalente a qualquer coalgebra dada;

(3) Construir uma algebra pseudocompacta basica Morita-Takeuchi equivalente a uma

algebra pseudocompacta dada.

6

Capıtulo 0

Pre-Requisitos

Neste capıtulo colocaremos alguns dos pre-requisitos para os resultados que usaremos

mais a frente.

0.1 Adjuncoes e Equivalencias

Esta secao tratara da definicao e caracterizacoes equivalentes de adjuncao funtorial e

sera baseada (apesar de nao seguir a risca) no capıtulo 9 de [Awo].

Dadas duas categorias A e B, dizemos que elas sao isomorfas se existe um par de

funtores F : A B : G tais que FG = idB e GF = idA.

Essa definicao em geral e muito restritiva, e por isso fazemos uma definicao um

pouco mais relaxada:

Definicao 0.1.1. Duas categorias A e B sao ditas equivalentes se existe um par de

funtores F : A B : G tais que os funtores compostos FG e GF sao naturalmente

isomorfos aos funtores identidade em B e A, respectivamente.

Quando dois funtores nos dao uma equivalencia entre duas categorias dizemos que

os funtores sao pseudo-inversos.

Em alguns contextos, ate mesmo o conceito de equivalencia e mais forte do que

realmente conseguimos na pratica. Para isso temos definicoes ainda menos restritivas.

Definicao 0.1.2. Uma adjuncao consiste em um par de funtores F : A B : G tais

que

HomA(X,GY ) ∼= HomB(FX, Y )

e um isomorfismo natural em X e Y .

Nesse caso dizemos que F e adjunto a esquerda de G e, similarmente, dizemos

que G e adjunto a direita de F , em sımbolos F a G.

Essa definicao “enfraquece” a definicao de equivalencia no seguinte sentido: Nao

estamos exigindo que as composicoes sejam isomorfas a identidade, mas, de certa

forma, os morfismos entre as imagens dos funtores sao preservados.

Vamos apresentar alguns resultados classicos sobre adjuncoes que nos serao uteis

mais a frente.

7

Lema 0.1.3 ([Awo] Prop.9.9, Pag.189). Seja F a G uma adjuncao entre dois funto-

res. Se F ′ a G (ou F a G′) e outra adjuncao, entao F ∼= F ′ (ou G ∼= G′). Em outras

palavras, adjuntos sao unicos a menos de isomorfismos naturais.

Lema 0.1.4 ([Awo] Prop.9.4, Pag.183). Dois funtores F : A B : G formam uma

adjuncao F a G se, e somente se, existe uma transformacao natural η : idA → GF

satisfazendo a seguinte propriedade universal: Dado qualquer morfismo f : X → GY

existe um unico morfismo u : FX → Y tal que f = G(u)ηX para quaisquer X ∈ A e

Y ∈ B.

Em outras palavras, η e tal que dado qualquer morfismo f : X → GY existe um

unico morfismo u : FX → Y tal que todo diagrama da forma

GFX GY

X

G(u)

ηXf

e comutativo.

Lema 0.1.5 ([Awo] Cor.9.5, Pag.186). Dois funtores F : A B : G formam uma

adjuncao F a G se, e somente se, existe uma transformacao natural ε : FG → idB

satisfazendo a seguinte propriedade universal: Dado qualquer morfismo g : FX → Y

existe um unico morfismo e : X → GY tal que g = εY F (f).

Em outras palavras, ε e tal que dado qualquer morfismo g : FX → Y existe um

unico morfismo e : X → GY tal que todo diagrama da forma

Y

FGY FX

εY

F (e)

g

e comutativo.

Essas transformacoes naturais η e ε sao chamadas de unidade e counidade,

respectivamente. Elas apelam ainda mais fortemente para a ideia de adjuncao como

uma generalizacao da equivalencia: Dois funtores F e G sao adjuntos se, e somente

se, existem transformacoes naturais η : id→ GF e ε : FG→ id e, no caso de ambas

serem isomorfismos naturais, dizemos que temos uma adjuncao de equivalencia.

8

0.2 Teoria de Morita

Grande parte dos resultados abordados nesta dissertacao e baseada nos resultados

obtidos anteriormente por Kiichi Morita. Nesta secao vamos, de maneira rapida,

realcar os principais resultados. Esta secao sera fortemente baseada em [Ben] e [CR].

Uma k-algebra associativa A e um espaco vetorial sobre algum corpo k munido de

uma operacao de multiplicacao M : A⊗A → A e uma unidade u : k → A de forma

que M(I ⊗M) = M(M ⊗M) e M(u ⊗ I) = I = M(I ⊗ u). Em outras palavras,

gostarıamos que M e u fossem tais que os seguinte diagramas sejam comutativos

A⊗A⊗A A⊗A

A⊗A A

M ⊗ I

I ⊗M M

M

A

A⊗A

k⊗A A⊗ k

∼=∼= M

u⊗ I

∼=

I ⊗u

em que os isomorfismos φ : A→ A⊗ k e ϕ : A→ k⊗A sao dados simplesmente por

φ(a) = a⊗ 1 e ϕ(a) = 1⊗ a para todo a ∈ A.

Similarmente, um A-modulo a esquerda X e um k-espaco vetorial munido de uma

acao µ : A⊗X → X de A a esquerda de X satisfazendo µ(M ⊗ I) = µ(I ⊗µ) e

µ(u⊗ I) = I. Em outras palavras, gostarıamos que o mapa estrutural µ fizesse os

seguintes diagramas comutarem:

A⊗A⊗X A⊗X

A⊗X X

M ⊗ I

I ⊗µ µ

µ

X k⊗X

A⊗X

∼=

u⊗ Iµ

em que o isomorfismo φ : X → k⊗X e simplesmente φ(x) = 1⊗x para todo x ∈ X.

Ao longo desta secao (salvo mencao explıcita em contrario), k sera sempre um

corpo, A sera uma k-algebra e todos os modulos serao A-modulos a esquerda. k-

algebras, produtos k-tensoriais e k-espacos vetoriais serao notados simplesmente por

algebras, produtos tensoriais e espacos vetoriais. Alem disso, salvo mencao explıcita

em contrario, I denotara o mapa identidade onde fizer sentido. Todas as nossas k-

algebras serao unitarias. Por fim, por abuso de notacao, dados a, b ∈ A vamos notar

a imagem M(a⊗ b) da multiplicacao da algebra A simplesmente por ab quando nao

houver ambiguidade. Similarmente, dados a ∈ A, x ∈ X vamos notar a imagem

µ(a⊗x) da acao de A sobre X a esquerda simplesmente por ax quando nao houver

ambiguidade.

9

Dadas duas algebras A e B, um morfismo de algebras φ : A → B e um mapa

linear que preserva as estruturas de algebras. Em outras palavras, gostarıamos que

os seguintes diagramas comutassem:

A⊗A B⊗B

A B

φ⊗φ

MA MB

φ

A B

k

φ

uBuA

Alem disso, dados dois modulos X e Y , um morfismo de modulos φ : X → Y

e um mapa linear que preserva as estruturas de modulos. Em outras palavras, gos-

tarıamos que o seguinte diagrama comutasse:

A⊗X A⊗Y

X Y

I ⊗φ

µX µY

φ

Faz-se entao a seguinte pergunta: Sabemos que se A e B sao duas algebras isomor-

fas, entao certamente as categorias A-Mod e B-Mod sao equivalentes, mas sera que essa

condicao e necessaria? Ou equivalentemente, existem algebras A e B nao-isomorfas,

tais que A-Mod e B-Mod sao equivalentes?

Definicao 0.2.1. Um contexto Morita consiste em algebras A e B, um (A,B)-

bimodulo P e um (B,A)-bimodulo Q e morfismos de bimodulos f : P ⊗B Q→ A e

g : Q⊗A P → B tais que os seguintes diagramas comutam:

P ⊗B Q⊗A P P ⊗B B Q⊗A P ⊗B Q Q⊗AA

A⊗A P P B⊗B Q Q

I ⊗B g

f ⊗A I ∼=

I ⊗ f

g⊗B I ∼=

∼= ∼=

Se alem disso f e g sao isomorfismos, dizemos que temos uma equivalencia

Morita. Nessas condicoes dizemos que A e B sao Morita equivalentes e notamos

A ≡M B.

Definicao 0.2.2. Sejam X e Y dois A-modulos.

Dizemos que um A-modulo M e um gerador em A-Mod se para qualquer par de

morfismos paralelos f, g : X → Y , existe um morfismo e : M → X tal que f 6= g

implica fe 6= ge.

10

Alem disso, dizemos que um modulo P e projetivo se dado um epimorfismo

φ : X Y e um morfismo f : P → Y , existe um morfismo f : P → X tal que

φf = f .

Temos entao os seguintes resultados:

Lema 0.2.3 ([Ben] Lem.2.2.4, Pag.26). Seja (A,B, P,Q, f, g) um contexto Morita tal

que f e g sao sobrejetivos. Entao f e g sao isomorfismos de bimodulos.

Lema 0.2.4 ([Ben] Lem.2.2.3, Pag.25). Se P e um gerador projetivo finitamente-

gerado para A-Mod, entao a algebra EndA(P ) e Morita Equivalente a A.

E por fim:

Teorema 0.2.5 (Equivalencia Morita, [Ben] Thm.2.2.6, Pag.26). Dadas duas algebras

A e B, as categorias de modulos sobre elas sao equivalentes se, e somente se, existe

um A-modulo P gerador projetivo finitamente-gerado tal que B ∼= EndA(P ).

O que vamos fazer, ao longo deste trabalho, e dar condicoes semelhantes para

tirarmos equivalencias de categorias de comodulos sobre coalgebras.

11

Capıtulo 1

Introducao a Teoria de Representacoesde Coalgebras

1.1 Conceitos Basicos e Definicoes

O foco deste trabalho sao coalgebras e comodulos. Antes de abordar os resultados,

entao, convem fixar definicoes e notacoes. Esta secao e inspirada diretamente por

[Tak], mas contem elementos tirados de [DNR], [Chi] e [Gre].

Para comecar, entao, precisamos definir coalgebras e comodulos.

Definicao 1.1.1. 1) Uma coalgebra Λ e um k-espaco vetorial munido de uma operacao

de comultiplicacao ∆ : Λ → Λ ⊗ Λ e uma counidade ε : Λ → k de forma que

(∆ ⊗ I)∆ = (I ⊗ ∆)∆ e (ε ⊗ I)∆ = I = (I ⊗ ε)∆. Em outras palavras, gos-

tarıamos que ∆ e ε fossem tais que os seguinte diagramas sejam comutativos

Λ Λ⊗Λ

Λ⊗Λ Λ⊗Λ⊗Λ

∆

∆ I ⊗∆

∆⊗ I

Λ

Λ⊗Λ

k⊗Λ Λ⊗ k

∆ ∼=∼=

I ⊗ εε⊗ I

∼=

2) Um Λ-comodulo a direita X e um k-espaco vetorial munido de uma coacao ρ :

X → X⊗Λ de Λ a direita de X satisfazendo (I⊗∆)ρ = (ρ⊗I)ρ e (I⊗ε)ρ = I. Em

outras palavras, gostarıamos que o mapa estrutural ρ fizesse os seguintes diagramas

comutarem:

X X ⊗Λ

X ⊗Λ X ⊗Λ⊗Λ

ρ

ρ ρ⊗ I

I ⊗∆

X X ⊗ k

X ⊗Λ

∼=

ρ I⊗ε

12

3) Dadas duas coalgebras Λ e Γ, um morfismo de coalgebras φ : Λ → Γ e um

mapa linear que preserva as estruturas de coalgebras. Em outras palavras, gos-

tarıamos que os seguintes diagramas comutassem:

Λ Γ

Λ⊗Λ Γ⊗Γ

φ

∆Λ ∆Γ

φ⊗φ

Λ Γ

k

εΛ

φ

εΓ

sendo ∆Λ, ∆Γ, εΛ e εΓ as comultiplicacoes de Λ e Γ, respectivamente, bem como

as counidades de Λ e Γ, respectivamente.

4) Dados dois comodulos X e Y , um morfismo de comodulos φ : X → Y e

um mapa linear que preserva as estruturas de comodulos. Em outras palavras,

gostarıamos que o seguinte diagrama comutasse:

X Y

X ⊗Λ Y ⊗Λ

φ

ρX ρY

φ⊗ I

sendo ρX e ρY , respectivamente, os mapas que conferem a X e Y a estrutura de

Λ-comodulos.

Nas definicoes (1) e (2) acima, um mapa que faz os diagramas da esquerda comuta-

rem e chamado de coassociatividade. O que estamos exigindo, entao, e que coalgebras

e comodulos sejam coassociativos.

De agora em diante, ao longo de toda esta dissertacao:

• k sera um corpo qualquer (nao necessariamente algebricamente fechado);

• Λ sera uma k-coalgebra;

• ∆Λ (ou simplesmente ∆ quando nao houver ambiguidade) sera a comultiplicacao

de Λ;

• ρΛ (ou simplesmente ρ quando nao houver ambiguidade) sera a coacao de Λ a

direita em um comodulo a direita. De maneira similar (salvo mencao explıcita

em contrario), λΛ sera a coacao de Λ a esquerda em um comodulo a esquerda;

• I denotara (salvo mencao explıcita em contrario) o morfismo identidade onde

fizer sentido.

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Proposicao 1.1.2 ([DNR] Ex.2.1.6.1) e 2), Pag.67). Agora, alguns resultados ime-

diatos:

1) Seja V um espaco vetorial e X um comodulo com mapa estrutural ρ : X → X ⊗Λ.

Entao o mapa (I ⊗ ρ) : V ⊗X → V ⊗X ⊗Λ define uma estrutura de comodulos

sobre o espaco vetorial V ⊗X.

2) Λ e um Λ-comodulo com coacao dada por ∆.

No item (1) da proposicao acima, escreva V ∼=⊕

dimk(V ) k como espacos vetoriais.

Como temos claramente um isomorfismo

V ⊗X ∼=

⊕dimk(V )

k

⊗X ∼= ⊕dimk(V )

(k⊗X) ∼=⊕

dimk(V )

X

podemos considerar o comodulo V ⊗X como sendo a soma direta de dimk(V ) copias

de X ([Gre, Pag.139] e [DNR, Rem.2.4.2, Pag.92]).

Corolario 1.1.3. Dado X comodulo, o mapa estrutural ρ : X → X ⊗Λ e um mor-

fismo de comodulos.

Por simetria, podemos definir de maneira analoga o conceito de Λ-comodulo a

esquerda e ver que as proposicoes acima continuam validas.

Definimos, de maneira intuitiva, a categoria dos Λ-comodulos a direita (Comod-Λ)

e a categoria dos Λ-comodulos a esquerda (Λ-Comod). Sera que conseguimos alguma

especie de relacao entre essas categorias?

Definicao 1.1.4. Seja Λ uma coalgebra. Definimos Λcop a coalgebra co-oposta a Λ

como sendo o mesmo espaco vetorial, mas com comultiplicacao invertida, i.e., Λcop

se torna uma coalgebra com comultiplicacao ∆cop dada por

∆cop := T∆,

sendo T : Λ⊗Λ → Λ⊗Λ o mapa (a⊗ b) 7→ (b⊗ a), e com counidade εcop simples-

mente

εcop := ε

.

Com isso, [DNR] prova o seguinte resultado:

Proposicao 1.1.5 (Prop.2.1.10, Pag.69). Seja Λ uma coalgebra. Entao Comod-Λcop

e Λ-Comod sao isomorfas.

14

De agora em diante, salvo mencao explıcita em contrario, por “Λ-comodulo” que-

remos dizer “Λ-comodulo a direita”.

Feito isso, vamos dar definicoes gerais de subobjeto e objeto quociente:

Definicao 1.1.6. Seja Λ uma coalgebra e X um Λ-comodulo. Entao:

• Se L ⊂ Λ e um subespaco vetorial tal que ∆(L) ⊂ L⊗L, dizemos que L e uma

subcoalgebra de Λ. Nesse caso, vamos notar L ≤ Λ.

• Se Y ⊂ X e um subespaco vetorial tal que ρ(Y ) ⊂ Y ⊗Λ, dizemos que Y e um

Λ-subcomodulo de X. Nesse caso, vamos notar Y ≤ X.

• Dada N ⊂ Λ subespaco vetorial tal que ∆(N) ⊂ Λ⊗N , dizemos que N e um

coideal a direita de Λ. Similarmente podemos definir o conceito de coideal a

esquerda e, portanto, dizemos que N e um coideal se ∆(N) ⊂ Λ⊗N +N ⊗Λ

e ε(N) = 0.

Para esses objetos, [DNR, Thm.1.4.10, Pag.26] mostra que o quociente asso-

ciado Λ/N tem estrutura natural de coalgebra. Tal coalgebra sera chamada de

coalgebra quociente.

• Dado subcomodulo Y ≤ X, [DNR, Prop.2.1.14, Pag. 70] mostra que o quociente

associado X/Y tem estrutura natural de comodulo com Λ acao induzida por

passagem ao quociente. Tal comodulo sera chamado de comodulo quociente.

Agora [DNR, Prop.1.4.9, Pag.25 e Prop.2.1.16, Pag.71] nos dizem que nucleos e

imagens de morfismos de coalgebras sao coideais e subcoalgebras, respectivamente,

e nucleos e imagens de morfismos de comodulos sao subcomodulos. Assim, temos o

Primeiro Teorema de Isomorfismo para comodulos e coalgebras (vamos demonstrar

apenas para comodulos, o outro e um corolario de [DNR, Thm.1.4.10, Pag.26]). Para

isso, contudo, vamos precisar de um artifıcio que sera de extrema importancia daqui

para frente: A notacao de Sweedler.

Seja Λ uma coalgebra e X um Λ-comodulo. Para um elemento qualquer l ∈ Λ

perguntamos: o que e ∆(l)? Por definicao, ∆(l) ∈ Λ⊗Λ, entao sabemos que, de fato,

∆(l) =∑

1≤i≤n

li1⊗ li2

para algum n ∈ N (explicitamente: todo elemento de Λ⊗Λ pode ser escrito como uma

soma finita de elementos da forma l1⊗ l2 com l1, l2 ∈ Λ). Na notacao de Sweedler,

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contudo, vamos omitir o numero de termos que estamos somando, de forma que

possamos escrever

∆(l) =∑

l1⊗ l2

ja que, na maioria das vezes, estamos mais interessados na forma de ∆(l) do que em

explicita-lo.

De maneira similar, podemos notar ρ(x) para x ∈ X como sendo

ρ(x) =∑

x(0)⊗ l(1)

e, nesse caso, usamos os parentesis para diferenciar quando um elemento veio de ρ ou

de ∆, como abaixo:

(I ⊗∆)ρ(x) = (I ⊗∆)∑

x(0)⊗ l(1) =∑

x(0)⊗ l(0)1 ⊗ l(0)2

em que nos elementos l(0)1 e l(0)2 o ındice (0) diz que eles vieram de uma mesma

coacao (ρ), enquanto os ındices 1 e 2 dizem que ambos sao “imagem” de um mesmo

elemento por comultiplicacao (∆).

Por fim, a coassociatividade nos diz que∑x(0)⊗ l(0)1 ⊗ l(0)2 = (I ⊗∆)ρ(x) = (ρ⊗ I)ρ(x) =

∑x(0)(0)

⊗ l(0)(1)⊗ l(1)

o que e mais um motivador para os parentesis: l(0)1 veio de ρ seguido de ∆, enquanto

l(0)(1)vem de duas aplicacoes sucessivas de ρ.

Outra grande vantagem desta notacao e que ao inves de escrevermos

(I ⊗ ε)ρ(x) =∑

x(0)⊗ ε(l(1)) =∑

ε(l(1))x(0)⊗ 1 = x⊗ 1

para todo x ∈ X, vamos escrever simplesmente

(I ⊗ ε)ρ(x) =∑

ε(l(1))x(0) = x

e equivalentemente para ∆, escreveremos (ε⊗ I)∆(l) = l = (I ⊗ ε)∆(l) (como pode-

mos ver em [DNR, Sec.1.1.9, Pag.6; Sec.2.1.5, Pag.66]).

Com isso estamos aptos a trabalhar explicitamente com comodulos e coalgebras.

Teorema 1.1.7 ([DNR], Thm.2.1.17, Pag.71). Sejam X e Y dois Λ-comodulos e

f : X → Y um morfismo de comodulos. Entao X/ ker(f) ∼= Im(f).

16

Demonstracao. Todo morfismo de comodulos e, em particular, um morfismo de espacos

vetoriais, e esse resultado vale em espacos vetoriais (i.e., como espacos vetoriais temos

X/ ker(f) ∼= Im(f)). Vamos mostrar que esse isomorfismo de espacos vetoriais e, de

fato, um isomorfismo de comodulos.

Seja f tal isomorfismo e π : X → X/ ker(f) a projecao canonica de comodulos.

Sejam, entao, φ : X/ ker(f)→ X/ ker(f)⊗Λ e ψ : Im(f)→ Im(f)⊗Λ as coacoes de

X/ ker(f) e Im(f), respectivamente. Queremos mostrar que ψf = (f ⊗ I)φ. Entao

para todo x ∈ X temos:

(f ⊗ I)φ(π(x)) =∑

f(π(x)(0))⊗ l(1)

=∑

f(π(x(0)))⊗ l(1)

=∑

f(x(0))⊗ l(1)

=∑

f(x)(0)⊗ l(1) = ψ(f(x)) = ψf(π(x))

e como π e sobrejetivo por definicao o resultado se segue.

Finalmente, temos que a categoria Comod-Λ possui coprodutos e e abeliana ([DNR,

Prop.2.1.18, Cor.2.1.19, Pag.72].

1.2 Objetos Livres e Cogeradores

Agora que sabemos que a categoria de comodulos e abeliana, vamos encontrar alguns

objetos interessantes dela.

Definicao 1.2.1. Seja W um espaco vetorial e C um comodulo junto com uma trans-

formacao linear π : C → W tal que para qualquer outro comodulo Y e outra trans-

formacao linear φ : Y → W existe um unico morfismo de comodulos φ : Y → C tal

que πφ = φ. Nessas condicoes, o comodulo C e dito colivre sobre W .

Em outras palavras, C e colivre sobre W quando dadas transformacoes lineares

π : C → W e φ : Y → W existe um unico morfismo de comodulos φ : Y → C tal que

o seguinte diagrama comuta para todo Y :

C Y

W

πφ

φ

Nao e difıcil ver que esse e o conceito dual de objeto livre. Vamos, entao, mostrar

como construir comodulos colivres e quais sao os comodulos colivres.

17

Lema 1.2.2. Seja U o funtor “esquecido” que associa a um comodulo o espaco ve-

torial subjacente. Entao temos:

Hom(U(X), V ) ∼= HomΛ(X, V ⊗Λ).

Demonstracao. Seja f : X → V morfismo de espacos vetoriais e olhe para o seguinte

diagrama:

V ⊗Λ X

V

(I ⊗ ε)f

(f ⊗ I)ρ

Defina entao f := (f ⊗ I)ρ : X → V ⊗Λ.

Queremos mostrar que f e morfismo de comodulos, i.e., o seguinte diagrama co-

muta:X X ⊗Λ

V ⊗Λ V ⊗Λ⊗Λ

f

ρ

f ⊗ I

I ⊗∆

ou seja queremos mostrar que

(I ⊗∆)f = (f ⊗ I)ρ

em outras palavras,

(I ⊗∆)(f ⊗ I)ρ = ((f ⊗ I)ρ⊗ I)ρ.

Entao, dado x ∈ X temos:

ρ(x) =∑

x(0)⊗ l(1)

(f ⊗ I)ρ(x) =∑

f(x(0))⊗ l(1)

(I ⊗∆)(f ⊗ I)ρ(x) =∑

f(x(0))⊗ l(1)1⊗ l(1)2

e, por outro lado,

((f ⊗ I)ρ⊗ I)ρ(x) =∑

f(x(0)(0)

)⊗ l(0)(1)

⊗ l(1).

Mas

∑f(x(0))⊗ l(1)1

⊗ l(1)2= (f ⊗ I ⊗ I)(I ⊗∆)ρ(x)

e

18

∑f(x(0)(0)

)⊗ l(0)(1)

⊗ l(1) = (f ⊗ I ⊗ I)(ρ⊗ I)ρ(x)

e, por definicao de comodulo, (I ⊗∆)ρ(x) = (ρ⊗ I)ρ(x) para todo x ∈ X, logo

(I ⊗∆)f(x) = (I ⊗∆)(f ⊗ I)ρ(x) =

= (f ⊗ I ⊗ I)(I ⊗∆)ρ(x) =

= (f ⊗ I ⊗ I)(ρ⊗ I)ρ(x) =

= ((f ⊗ I)ρ⊗ I)ρ(x) = (f ⊗ I)ρ(x)

para todo x ∈ X, ou seja, o diagrama comuta, logo f e um morfismo de comodulos.

Alem disso, queremos que f faca o diagrama comutar.

Entao, para todo x ∈ X:

x =∑

ε(l(1))x(0)

f(x) =∑

ε(l(1))f(x(0)) = (I ⊗ ε)(∑

f(x(0))⊗ l(1)

)= (I ⊗ ε)f(x).

Por outro lado, a cada morfismo de comodulos φ : X → V ⊗Λ corresponde um

mapa φ′ : X → V definido por φ′ := (I ⊗ ε)φ

V ⊗Λ X

V

(I ⊗ ε)φ′

φ

e como φ e (I ⊗ ε) sao ambos morfismos de espacos vetoriais (toda coalgebra e um

espaco vetorial), segue que φ′ tambem o e.

Ate agora o que fizemos foi definir funcoes

(−) : Hom(U(X), V ) HomΛ(X, V ⊗Λ) : (−)′

Vamos mostrar que essas funcoes sao, de fato, inversos.

Dado f : X → V construa f como antes e, em seguida, construa (f)′. Entao, por

definicao, (f)′ = (I ⊗ ε)f . Mas ja mostramos que f = (I ⊗ ε)f . Logo f = (f)′.

Alternativamente, suponha dado φ : X → V ⊗Λ, construa φ′ e (φ′). Entao

(φ′) = (φ′⊗ I)ρ e φ′ = (I ⊗ ε)φ por definicao. Logo, para todo x ∈ X:

x =∑

ε(l(1))x(0)

donde

φ′(x) =∑

ε(l(1))φ′(x(0)) = (I ⊗ ε)

∑φ′(x(0))⊗ l(1) = (I ⊗ ε)(φ′⊗ I)ρ(x) = (I ⊗ ε)(φ′)(x)

19

o que e simplesmente uma repeticao da demonstracao anterior de que (−) faz o

diagrama comutar.

Corolario 1.2.3. O comodulo V ⊗Λ e o comodulo colivre de base V .

Note que, neste contexto, ‘base’ se refere apenas ao espaco vetorial ‘sobre o qual’

construımos o comodulo. Vamos agora passar a outros tipos de objetos em Comod-Λ.

Definicao 1.2.4. Um comodulo X e chamado cogerador para Comod-Λ se qualquer

comodulo M e um subcomodulo de uma soma direta de copias de X, i.e., se existe

um espaco vetorial V tal que

M → V ⊗X.

Em particular temos o seguinte lema:

Lema 1.2.5. Λ e um cogerador para Comod-Λ.

Demonstracao. Da definicao de comodulos, vemos que exigir que ρ : X → X ⊗Λ seja

coassociativo e o mesmo que exigir que X ⊗Λ seja um comodulo. Resta mostrar que

ρ e monico.

Mas isso e facil: Novamente da definicao de comodulo, tome x ∈ X tal que

ρ(x) = 0. Entao

ρ(x) =∑

x(0)⊗ l(1) = 0

x = (I ⊗ ε)ρ(x) =∑

ε(l(1))x(0) = 0

ou seja, ker ρ = 0, logo ρ e monico e podemos identificar X ∼= ρ(X) ⊂ X ⊗Λ. Segue

que Λ e um cogerador para Comod-Λ, como querıamos.

Alem disso, podemos propor uma caracterizacao categorica dual a de objeto ge-

rador:

Proposicao 1.2.6 ([Lam], Prop.19.6, Pag.508). Seja X um Λ-comodulo. Entao as

seguintes afirmacoes sao equivalentes:

1. X e cogerador.

2. Dado qualquer f ∈ HomΛ(Z, Y ) para quaisquer comodulos Y e Z, f 6= 0, existe

g ∈ HomΛ(Y,X) tal que gf 6= 0.

3. HomΛ(Y,X) 6= 0 para todo Y 6= 0.

20

Demonstracao. (1 =⇒ 2)

Suponha que f : Z → Y e nao-zero. Entao a injecao i : Y → W ⊗X e tal que

if 6= 0. Entao para todo z ∈ Z temos que if(z) = (xj)j 6= 0. Segue que algum

xj′ 6= 0. Seja πj′ : W ⊗X → X a j′-esima projecao sobre X. Entao a composicao

πj′if : Z → X e tal que πj′if(z) = πj′(xj) = xj′ 6= 0 para todo z ∈ Z, como

querıamos.

(2 =⇒ 3)

Seja f : Λ → Y um morfismo de comodulos, para Λ visto como um comodulo

regular, definido de forma que f(1) = y 6= 0. Agora, seja g : Y → X o morfismo

tal que gf 6= 0 (existe por hipotese). Agora g(y) = g(f(1)) 6= 0. Segue que g ∈HomΛ(Y,X) e nao-zero.

(3 =⇒ 1)

Para todo y 6= 0 em Y , escolha um mapa iy : Y → X tal que iy(y) 6= 0. Entao o

mapa i = (iy) : Y → U(Y )⊗X, sendo U(Y ) o espaco vetorial subjacente de Y , e o

mapa procurado.

Vamos juntar os resultados sobre comodulos cogeradores e colivres para obter um

resultado final sobre comodulos colivres.

Proposicao 1.2.7. Todo comodulo e subcomodulo de um comodulo colivre.

Demonstracao. O Lema 1.2.5 implica que todo mapa estrutural de comodulos define

um monomorfismo de comodulos. Entao se X e um comodulo, o mapa estrutural

ρ : X → X ⊗Λ e um monomorfismo de comodulos. Mas, pelo Corolario 1.2.3,

X ⊗Λ e colivre, logo todo comodulo e subcomodulo de um comodulo colivre, como

querıamos.

Definicao 1.2.8. Um comodulo XΛ e dito finitamente cogerado se X e isomorfo

a um subcomodulo de algum comodulo colivre de posto finito,i.e.,

X ∼= Y ⊂ W ⊗Λ

para algum W de dimensao finita.

21

1.3 Cotensor

Quando trabalhamos com algebras sobre um corpo e modulos sobre essa algebra

surge naturalmente o conceito de produto tensorial como uma maneira de “equalizar”

acoes de modulo. Isso de fato nos permite definir o produto tensorial como um

coequalizador:

X ⊗B⊗Y X ⊗Y X ⊗B YµX ⊗ I

I ⊗µY

Com isso em mente, gostarıamos de obter construcoes similares para coalgebras e

comodulos.

Nesta secao, usaremos resultados da Secao 2.3 de [DNR].

Por fim, nesta secao Γ e Θ serao coalgebras.

Definicao 1.3.1. Um espaco vetorial H e dito um (Λ,Γ)-bicomodulo se H ∈ Λ-Comod,

H ∈ Comod-Γ e as coacoes de Λ e Γ sobre H sao compatıveis. A categoria dos (Λ,Γ)-

bicomodulos e notada (Λ,Γ)-Bicomod.

Em outras palavras, um (Λ,Γ)-bicomodulo H e um Λ-comodulo a esquerda e um

Γ-comodulo a direita tal que o seguinte diagrama comuta:

H H ⊗Γ

Λ⊗H Λ⊗H ⊗Γ

ρ

λ λ⊗ I

I ⊗ ρ

Por essa definicao, e evidente que toda coalgebra Λ tem estrutura natural de

(Λ,Λ)-bicomodulo dada por sua comultiplicacao. Esse bicomodulo sera chamado de

(Λ,Λ)-bicomodulo regular.

Vamos definir agora o conceito dual ao produto tensorial:

Definicao 1.3.2. Sejam V ∈ Λ-Comod e W ∈ Comod-Λ. Definimos o produto

cotensorial W ΛV como sendo o equalizador de λV ⊗ I e I ⊗ ρW , respectivamente

(equivalentemente, o nucleo de λV ⊗ I − I ⊗ ρW ).

W Λ V W ⊗V W ⊗Λ⊗VλV ⊗I

I⊗ρW

Podemos expandir o conceito de produtos cotensoriais de maneira a abranger o

conceito de bicomodulos (como tınhamos com tensores e bimodulos):

22

Definicao 1.3.3. Sejam V ∈ (Λ,Γ)-Bicomod e W ∈ (Γ,Θ)-Bicomod. Definimos o

produto cotensorial V Γ W como sendo o equalizador de λW ⊗ I e I ⊗ ρV .

Proposicao 1.3.4. Nas notacoes da definicao acima, V ΓW e um (Λ,Θ)-bicomo-

dulo.

Demonstracao. Vamos mostrar que V ΓW e um Λ-comodulo a esquerda. Para isso,

basta definir

λ : V ΓW → Λ⊗V

ΓW

como sendo λ(v⊗w) = λV (v)⊗w ∈ Λ⊗V ΓW para v ∈ V,w ∈ W .

De forma analoga, definimos ρ : V ΓW → V ΓW ⊗Θ simplesmente por

ρ(v⊗w) = v⊗ ρ(w) ∈ V GW ⊗Θ

Resta mostrar que esses mapas sao compatıveis, i.e., temos que (I ⊗ ρ)λ = (λ⊗ I)ρ.

De fato,

(I ⊗ ρ)λ(v⊗w) = (I ⊗ ρ)(λ(v)⊗w)

= λ(v)⊗ ρ(w)

= (λ⊗ I)(v⊗ ρ(w)) = (λ⊗ I)ρ(v⊗w)

para qualquer v⊗w ∈ V ΓW . Segue que V GW e um (Λ,Θ)-bicomodulo.

Como consequencia ([DNR, Pag.86]), dados V eW , sendo V um (Λ,Γ)-bicomodulo

e W um (Γ,Θ)-bicomodulo, estao definidos os funtores

V Γ− : Γ-Comod→ Λ-Comod e −

ΓW : Comod-Γ→ Comod-Θ

bem como o bifuntor

−Γ− : Comod-Γ× Γ-Comod→ Vectk

e, de maneira mais geral, para qualquer coalgebra Σ,

V Γ− : (Γ,Σ)-Bicomod→ (Λ,Σ)-Bicomod,

−ΓW : (Σ,Γ)-Bicomod→ (Σ,Θ)-Bicomod

bem como o bifuntor

−Γ− : (Σ,Γ)-Bicomod× (Γ,Σ)-Bicomod→ (Σ,Σ)-Bicomod.

23

Lema 1.3.5 ([DNR], Pag.86). Os funtores definidos acima sao exatos a esquerda e

preservam somas diretas.

Corolario 1.3.6 ([DNR], Prop.2.3.6 (iii), Pag.87). Se V e W , sendo V um (Λ,Γ)-

bicomodulo e W um (Γ,Θ)-bicomodulo, e X ∈ Θ-Comod, entao temos um isomorfismo

natural

V Γ

(W ΘX) ∼= (V

ΓW )

ΘX.

Em outras palavras, o produto cotensorial e associativo.

De agora em diante o produto cotensorial entre V , W e X como acima sera notado

V ΓW

ΘX

Em particular, V ΓW ΘX e um subcomodulo de V ⊗W ⊗X.

Para terminar, mais um pequeno lema tecnico:

Lema 1.3.7. Sejam X ∈ Comod-Λ e Y ∈ Λ-Comod. Entao os mapas ρX e λY induzem

isomorfismos X ∼= X Λ Λ e Y ∼= ΛΛ Y . Em particular, X ⊗W ∼= X Λ(Λ⊗W ) e

W ⊗Y ∼= (W ⊗Λ)Λ Y para qualquer W espaco vetorial.

Demonstracao. Por definicao de comodulos, ρX e tal que

X X ⊗Λ X ⊗Λ⊗ΛρX

I⊗∆

ρX⊗I

comuta. Entao, por definicao de X Λ Λ, existe ψ : X → X Λ tal que

X Λ X ⊗Λ

X

ι

ρXψ

comuta. Basta mostrar, entao, que existe um mapa φ : X Λ Λ → X tal que o

seguinte diagrama comuta:

X Λ Λ X ⊗Λ

X

ι

φρX

Como X Λ Λ ⊂ X ⊗Λ, dado u ∈ X Λ Λ podemos definir w = (I ⊗ ε)u ∈ X e,

portanto, ρX(w) = ψ(w) ∈ X Λ Λ ja que ρX = ιψ.

24

Entao, definimos

φ : X Λ

Λ→ X

colocando φ(u) = (I ⊗ ε)u para todo u ∈ X Λ Λ. Como (ρX ⊗ I)u = (I ⊗∆)u para

todo u ∈ X Λ Λ (por definicao de cotensor), escrevendo u =∑

i xi⊗ li temos:∑i

ρX(xi)⊗ li = (ρX ⊗ I)u = (I ⊗∆)u =∑i

xi⊗∆(li)

em X ⊗Λ⊗Λ, e aplicando a counidade

I ⊗ I ⊗ ε : X ⊗Λ⊗Λ→ X ⊗Λ⊗ k ∼= X ⊗Λ

temos:

(I ⊗ I ⊗ ε)

(∑i

ρX(xi)⊗ li

)=∑i

ε(li)ρX(xi) = ρX

(∑i

ε(li)xi

)= ρX(I ⊗ ε)u

e

(I ⊗ I ⊗ ε)

(∑i

xi⊗∆(li)

)=∑i

xi⊗(I ⊗ ε)∆(li) =∑i

xi⊗ li = u

Como (ρX⊗I)u = (I⊗∆)u, segue que (I ⊗ I ⊗ ε)(ρX⊗I)u = (I ⊗ I ⊗ ε)(I⊗∆)u,

donde temos que ρXφ(u) = u, ou seja, ι = ρXφ e X Λ Λ se fatora por X, como

querıamos.

O caso ΛΛ Y e analogo a esse.

25

Capıtulo 2

Quase-finitude

Para simplificar a notacao daqui em diante, vamos notar o conjunto de morfismos

V → W em Comod-Λ simplesmente por

Hom-Λ(V,W )

e similarmente para Λ-Comod, notaremos

HomΛ-(V,W )

para os morfismos entre V e W em Λ-Comod.

Definicao 2.0.1. Seja X ∈ Comod-Λ. Diremos que X e quase-finito se Hom-Λ(F,X)

tiver dimensao finita para todo F ∈ Comod-Λ de dimensao finita.

A esta altura esta condicao soa completamente arbitraria. Vamos gastar um bom

tempo tentando entender os comodulos quase-finitos e na Proposicao 3.1.1 mais a

frente vamos explicitar porque ela e necessaria (e suficiente) para nossa dissertacao.

Para trabalhar com o conceito de quase-finitude e sermos capazes de construir

comodulos quase-finitos vamos precisar de algumas ferramentas tecnicas sobre estru-

tura.

2.1 Espaco de Coeficientes de um Comodulo

O que vamos fazer agora e uma construcao feita originalmente por [Gre] e com notacao

atualizada por [Chi].

Sejam X e Y espacos vetoriais com bases xi e yj respectivamente. Entao

dado v ∈ X ⊗Y temos, de maneira unica:

v =∑

uij ⊗ yj =∑

xi⊗wij

com uij ∈ X e wij ∈ Y . Definimos entao

L(v) := 〈uij〉

R(v) := 〈wij〉

26

Para subconjuntos U ⊂ X ⊗Y definimos os subespacos L(U) e R(U) da maneira

que L(U) := L(〈U〉) e R(U) := R(〈U〉).Note que, com essa definicao, e facil provar que

L(U) =⋂X ′ ≤ X | U ⊂ X ′⊗Y ,

R(U) =⋂Y ′ ≤ Y | U ⊂ X ⊗Y ′

ou seja, L(U) eR(U) independem da escolha de bases paraX e Y , e U ⊂ L(U)⊗R(U).

Definicao 2.1.1. Sejam X e Y espacos vetoriais. Dizemos que

v =n∑i=1

xi⊗ yi

com xi ∈ X e yi ∈ Y para todo i ∈ 1, ..., n, e uma decomposicao minimal para

algum v ∈ X ⊗Y se para todo n′ ∈ N tal que

v =n′∑j=1

x′i⊗ y′i

tivermos n ≤ n′.

Agora temos um resultado mais forte:

Teorema 2.1.2 ([Gre], Thm.1.2a, Pag.142). Sejam X e Y espacos vetoriais e

v =n∑i=1

xi⊗ yi

com xi ∈ X e yi ∈ Y para todo i ∈ 1, ..., n, uma decomposicao minimal para algum

v ∈ X ⊗Y .

Nessas condicoes, entao, temos:

• xi formam uma base para L(v)

• yi formam uma base para R(v)

Demonstracao. Exigir a minimalidade de n e o mesmo que exigir que xi e yi sejam

conjuntos linearmente independentes. Segue que podemos completar esses conjuntos

e obter bases para X e Y , respectivamente. Entao, pelas definicoes de L e R temos

que xi geram L(v) e yi geram R(v). O resultado se segue.

27

Corolario 2.1.3. Seja v ∈ X ⊗Y . Entao L(v) e R(v) sao espacos vetoriais de

dimensao finita.

Fixe agora MΛ um comodulo (em particular um espaco vetorial). Entao para cada

elemento m ∈ M , ρ(m) ∈ M ⊗Λ e faz sentido calcular L(ρ(m)) ⊂ M . Explicita-

mente, usando a notacao de Sweedler:

ρ(m) =∑

m(0)⊗ l(1)

donde L(ρ(m)) = 〈m(0)〉. Alem disso, como por definicao de comodulos temos

m =∑

ε(l(1))m(0)

e como ε(l(1)) ∈ k vemos que m ∈ L(ρ(m)). Podemos melhorar isso:

Proposicao 2.1.4 ([Gre], Thm.1.2b, Pag.142). Seja MΛ um comodulo. Entao para

qualquer N subcomodulo de M temos:

L(ρ(N)) = N.

Demonstracao. A inclusao N ⊂ L(ρ(N)) ja foi mostrada (ja mostramos que n ∈L(ρ(n)) para todo n ∈ N).

A outra inclusao e ainda mais facil: ρ(N) ⊂ N ⊗Λ, por definicao de subcomodulo,

logo, por definicao de L temos que

L(ρ(N)) =⋂H ≤M | ρ(N) ⊂ H ⊗Λ

ou seja, L(ρ(N)) ⊂ N , o que encerra a prova.

Corolario 2.1.5. Seja S ⊂M um subconjunto qualquer. Entao

L(ρ(S)) = 〈S〉

Em particular, se S = s entao L(ρ(s)) = 〈s〉.

Corolario 2.1.6. Ainda nessas hipoteses, se M e um comodulo de dimensao finita,

entao R(ρ(M)) tem dimensao finita.

Demonstracao. Pelo Teorema 2.1.2, L e R tem a mesma dimensao. Agora, pela Pro-

posicao 2.1.4, L(ρ(M)) = 〈M〉 = M . Logo dim(R(ρ(M))) = dim(L(ρ(M))) =

dim(M).

28

A coalgebra R(ρ(M)) tem importancia especial - ela e chamada de espaco de

coeficientes do comodulo M , cf(M), e tem a seguinte interpretacao: para todo m ∈M , ρ(m) ∈ M ⊗ cf(M), i.e., e a menor subcoalgebra de Λ tal que todos os l(1) que

aparecem na coacao de M estao em cf(M). Visto de outra maneira, cf(M) e a menor

subcoalgebra de Λ tal que a projecao canonica π : Λ→ Λ/cf(M) ‘mata’ o comodulo

M , i.e., (I ⊗ π)ρ(m) = 0 para todo m ∈M .

Em outras palavras, o espaco de coeficientes de um comodulo e o conceito dual

ao conceito de aniquilador de um modulo.

Com isso temos o resultado central na teoria de comodulos:

Teorema 2.1.7 (Teorema Fundamental de Comodulos). Todo comodulo e a uniao

de subcomodulos de dimensao finita.

Demonstracao. Seja M um Λ-comodulo e fixe m ∈ M . Ja vimos que m ∈ L(ρ(m)).

Entao

M =⋃m∈M

m ⊂⋃m∈M

L(ρ(m)) ⊂M

ou seja,⋃m∈M L(ρ(m)) = M . Por fim, como cada L(ρ(m)) sempre tem dimensao

finita, vemos que M pode ser escrito como a uniao de subcomodulos de dimensao

finita.

Corolario 2.1.8 (Teorema Fundamental das Coalgebras, [Chi], Prop.1, Pag.3). Toda

coalgebra e a uniao de coalgebras de dimensao finita.

Demonstracao. Dada uma coalgebra Λ, defina, para todo l ∈ Λ, Xl := L(∆(l)). Mas

isso e simplesmente o espaco gerado por l, ou seja, l ∈ cf(Xl). Como cf(Xl) e uma

subcoalgebra de Λ, o resultado se segue.

2.2 Comodulos Injetivos

Os comodulos injetivos serao de central importancia no desenvolvimento dos resulta-

dos que se seguem. Vamos relembrar algumas definicoes:

Definicao 2.2.1. Um comodulo X e dito injetivo se para quaisquer comodulos

A ⊆ B e um morfismo de comodulos φ : A → X existe um morfismo φ : B → X tal

que o seguinte diagrama comuta:

A B

X

φφ

29

Note que, por definicao, o conceito de objeto injetivo e o conceito dual ao conceito

de objeto projetivo.

Vamos agora enunciar varios lemas tecnicos e classicos.

Lema 2.2.2. Um comodulo E e injetivo se, e somente se, para todo comodulo X tal

que temos um monomorfismo E → X em Comod-Λ entao esse monomorfismo cinde,

isto e, existe um epimorfismo X E tal que a composicao e a identidade em E.

Demonstracao. Uma implicacao e imediata: Se E e injetivo, entao o seguinte dia-

grama nos da o epimorfismo procurado:

E X

E

ι

idEι

De fato, por definicao de objeto injetivo, idE = ιι e como idE e isomorfismo, segue

que ι e epico.

Suponha agora que qualquer monomorfismo partindo de E cinde. Seja f : X → Y

um monomorfismo e g : X → E um morfismo e veja o diagrama:

X Y

E

f

g

Agora considere o comodulo Y ⊕ E. Temos entao o seguinte diagrama:

X Y

E Y ⊕ E

f

g ιY

ιE

Feito isso, seja X ′ o co-equalizador de ιY f e ιEg, ou seja, o objeto inicial dos

comodulos tais que os mapas induzidos i1 : Y → X ′ e i2 : E → X ′, sendo i1 := πιY e

i2 := πιE, fazem o diagrama comutar:

X Y

E Y ⊕ E

X ′

f

g ιYi1

ιE

i2

π

30

Afirmamos que i2 e monico. De fato, ker i2 = ker(πιE), logo se i ∈ ker i2, temos:

0 = i2(i) = πιE(i) = π(0 + i)

ou seja existe um x ∈ X tal que g(x) = i e f(x) = 0. Mas f e monico por hipotese,

logo x = 0 e, portanto, i = 0. Segue que i2 e monico.

Agora, por hipotese, como E e injetivo, o morfismo E → X ′ cinde. Seja φ : X ′ →E o epimorfismo tal que φi2 = idE. Afirmamos que o mapa ψ : Y → E definido por

ψ := φi1 e tal que g = ψf .

De fato:

ψf = (φi1)f = φ(i2g) = idEg = g

logo E e injetivo, como querıamos mostrar.

Disso o seguinte resultado e imediato:

Proposicao 2.2.3. Todo comodulo colivre e injetivo.

Lema 2.2.4. Somandos diretos de comodulos injetivos sao injetivos.

Demonstracao. Dado o seguinte diagrama

A B

E

C

ι

f

i π

sendo A ≤ B um subcomodulo de B e C ∼= E ⊕ R comodulo injetivo, sendo i e π,

por definicao, os mapas tais que πi = idE.

Como C e injetivo por hipotese, existe um mapa ψ : B → C que comuta o dia-

grama, isto e, ψι = if e isso nos permite construir o mapa ψ′ : B → E simplesmente

colocando ψ′ = πψ. Disso segue que

ψ′ι = (πψ)ι = πif = f

e vemos que o mapa ψ′ faz o diagrama comutar. Segue que E e injetivo.

Corolario 2.2.5. O comodulo regular Λ e injetivo.

Corolario 2.2.6. Um comodulo e injetivo se, e somente se, e somando direto de um

comodulo colivre.

31

Demonstracao. Uma direcao e imediata, bastando combinar as duas proposicoes an-

teriores. Suponha agora que E e injetivo. Vamos mostrar que E e somando direto

de um comodulo colivre. Pela Proposicao 1.2.7 existe um comodulo colivre C tal que

i : E → C. Agora, como E e injetivo por hipotese, o isomorfismo i(E) ∼= E nos

permite construir um mapa p : C → E tal que p |i(E)= i−1.

Mas isso quer dizer que i cinde, logo E e somando direto de C.

O lema e a proposicao anteriores sao resultados classicos da teoria de categorias

abelianas, e, portanto, da teoria de categorias de comodulos. Ja o proximo e bem

especıfico para as categorias de comodulos:

Teorema 2.2.7 ([Gre],Thm.1.5b, Pag 151). A soma direta de comodulos injetivos e

injetiva.

Corolario 2.2.8. A categoria Comod-Λ tem suficientes injetivos.

Demonstracao. Fixe um comodulo X qualquer e olhe para X ⊗Λ. Ora, isso e apenas

uma soma direta de copias de Λ, e portanto e injetivo. Alem disso, claramente existe

um morfismo de comodulos injetivo ρ : X → X ⊗Λ. Logo X e um subcomodulo de

algum comodulo injetivo e o resultado se segue.

Na verdade, todos esses resultados ficam muito mais simples uma vez que se mostre

que Comod-Λ e Grothendieck, mas como nao estamos supondo que sabemos trabalhar

com esse tipo de categorias, achamos melhor fazer tudo passo a passo. O que vamos

fazer agora e uma adaptacao do Capıtulo 3, Secao 3D, de [Lam].

Definicao 2.2.9. Dizemos que o comodulo V e uma extensao do comodulo X (em

sımbolos X ≤ V ) se X e um subespaco vetorial de V cuja estrutura de comodulo e

simplesmente a restricao da estrutura de comodulo de V (dito de outra maneira, se

X e um subcomodulo de V ).

Definicao 2.2.10. Um subcomodulo Y ≤ X e dito essencial se Y ∩W 6= 0 pra todo

subcomodulo W ≤ X. Nesse caso notamos Y ≤e X.

De maneira similar, uma extensao X ≤ V e dita essencial se X ∩W 6= 0 para

qualquer subextensao W ≤ V .

Uma extensao essencial X ≤e V e maximal se V < W implica X ≤ W nao

essencial. Em outras palavras, uma extensao essencial e maximal se qualquer outra

extensao propria e nao-essencial.

Vamos usar essas novas definicoes para caracterizar comodulos injetivos:

32

Proposicao 2.2.11 ([Lam], Lem.3.28, Pag.74). Um comodulo e injetivo se, e so-

mente se, nao possui extensoes essenciais proprias.

Demonstracao. Uma implicacao e imediata: Seja E injetivo e F > E uma extensao

propria de E. Entao o seguinte diagrama

E F

E

idE

junto com a injetividade de E nos diz que a sequencia exata

0→ E → F

cinde e, portanto, F = E⊕F ′ para algum F ′ 6= 0. Como a soma e direta, E∩F ′ = 0,

entao F ′ e um subcomodulo de F que intercepta E trivialmente, logo F ≥ E nao e

essencial.

Reciprocamente, suponha que E e tal que nao possui extensoes essenciais proprias.

Mas sabemos que Comod-Λ tem suficientes injetivos, entao podemos injetar E → F

em algum F injetivo. Agora, seja Si ≤ F uma cadeia ascendente de comodulos com a

seguinte propriedade: Si∩E = 0 para todo i. Certamente⋃Si ≤ F tambem satisfaz

essa propriedade. Logo, pelo lema de Zorn, existe um S ≤ F nao-zero maximal

satisfazendo essa propriedade.

Olhemos agora para o quociente F/S. Tome F ′ 6= 0 subcomodulo do quociente

F/S. O terceiro Teorema do Isomorfismo nos diz agora que F ′ ∼= S ′/S para algum

S ≤ S ′ ≤ F e, pela maximalidade de S, E ∩ S ′ 6= 0. Segue que E/S ∼= M intercepta

F ′ para todo F ′ ≤ F/S, donde vemos que F/S ≥e E.

Agora, por hipotese, E nao tem extensoes essenciais proprias, donde E ∼= F/S.

Disso temos E ⊕ S ∼= F , ou seja a inclusao E → F cinde. Logo E e injetivo, como

querıamos.

Corolario 2.2.12. A extensao essencial maximal de qualquer comodulo e injetiva.

Demonstracao. Suponha que E ≥e X seja uma extensao essencial maximal para um

comodulo X (se existir) e seja E ′ ≥e E ≥e X uma extensao essencial de E. Segue

que E ′ ≥e X e, portanto, a maximalidade de E nos garante que E = E ′. Ou seja, E

nao possui extensoes essenciais proprias. A Proposicao 2.2.11, por fim, nos garante

que E e injetivo.

33

Entao sabemos que se um comodulo possui uma extensao essencial maximal, cer-

tamente ela e injetiva. Os dois proximos resultados vao nos dizer que todo comodulo

possui uma extensao essencial maximal e que ela e justamente a casca injetiva deste

(que ainda vamos definir).

Lema 2.2.13 ([Lam], Lem.3.29, Pag.75). Todo comodulo possui uma extensao essen-

cial maximal.

Demonstracao. Seja X um comodulo e fixe X ≤ E uma extensao injetiva de X.

Agora considere uma colecao totalmente ordenada de extensoes essenciais de X em

E. Pelo [Lam, Rem.3.27.(1), Pag.74] a uniao delas e uma extensao essencial de X

em E e, portanto, pelo Lema de Zorn existe F , uma extensao essencial maximal de

X em E. Afirmamos que F e uma extensao essencial maximal de X.

De fato, suponha que X ≤e F ′ e uma extensao essencial de X tal que F ′ ≥ F .

Entao, como E e injetivo por hipotese, podemos estender a inclusao i : F → E para

φ : F ′ → E. Entao o diagrama

F F ′

E

ι

iφ

nos diz que i = φι. Entao

ker(φ) ∩X = ker(φ |X) = ker((φ |F ) |X) = ker((φι) |X) = ker(i |X) = 0

ja que i e injetivo. Mas X ≤e F ′ implica que kerφ = 0 e portanto φ e injetivo, ou

seja, F ′ ∼= φ(F ′), ou seja, F ′ e isomorfo a uma extensao essencial maximal de X em

E que contem F , o que e absurdo pois F e o objeto maximal com essa propriedade.

Segue que F ∼= F ′ e F e extensao essencial maximal de X, como querıamos.

Teorema 2.2.14 ([Lam], Thm.3.30, Pag.75). Se E ≥ X e uma extensao de comodulos,

as afirmacoes seguintes sao equivalentes:

(i) E e essencial maximal sobre X.

(ii) E e injetivo e essencial sobre X.

(iii) E e injetivo minimal sobre X, isto e, se X ≤ E ′ ≤ E para algum injetivo E ′,

entao E ′ = E.

34

Demonstracao. (i) =⇒ (ii): O Corolario 2.2.12 nos diz que E e injetivo.

(ii) =⇒ (iii): Seja X ≤ E ′ ≤ E uma cadeia ascendente de comodulos com E ′

injetivo. Entao o Lema 2.2.2 nos diz que E = E ′ ⊕ F para algum F ≤ E. Mas E

e extensao essencial de X, por hipotese. Agora X ⊂ E ′ implica que X ∩ F = 0.

Ora, E ≥e X, por hipotese, e F ≤ E, por construcao. Segue que F = 0 e, portanto,

E = E ′.

(iii) =⇒ (i): Seja E ≥ X extensao injetiva minimal de X e construa, pelo lema

anterior, F ≥e X a extensao essencial maximal de X em E (que, como ja vimos, e

maximal em geral). Agora ((i) =⇒ (ii)) nos diz que F e injetivo. Por fim, a hipotese

de minimalidade de E nos garante que F = E e mostra que E e essencial maximal

sobre X, encerrando a demonstracao.

Vamos, enfim, encerrar esta secao com uma definicao:

Definicao 2.2.15. Seja X um comodulo e E ≥ X uma extensao satisfazendo qual-

quer uma das tres condicoes do Teorema 2.2.14. Tal extensao sera chamada de casca

injetiva de X e notada E(X).

O Lema 2.2.13, entao, pode ser re-enunciado da seguinte maneira:

Lema 2.2.16. A categoria Comod-Λ possui cascas injetivas.

2.3 Comodulos Simples

Com essas ferramentas todas, vamos finalmente atacar o problema de caracterizar

comodulos quase-finitos. Para isso vamos lancar mao dos comodulos simples.

Definicao 2.3.1. Um comodulo X ∈ Comod-Λ e dito simples se X 6= 0 e X nao

possui subcomodulos proprios.

Proposicao 2.3.2. Seja X um comodulo. Se X e finitamente gerado, entao o funtor

Hom-Λ(X,−) preserva somas diretas.

Demonstracao. Certamente temos uma injecao

F :⊕i

Hom-Λ(X, Yi)→ Hom-Λ(X,⊕iYi)

mandando∑

i fi 7→ (fi)i sendo cada fi : X → Yi. Tome agora g ∈ Hom-Λ(X,⊕iYi).Como X e finitamente gerado, g(X) esta contido em uma soma finita de Yi, ou seja,

35

g(X) = (Xi)i em que Xi = 0 exceto em um numero finito de termos. Isso nos mostra

que g ∈ Im(F ). Como g foi escolhido de maneira arbitraria dentro de Hom-Λ(X,⊕iYi),o resultado se segue.

Proposicao 2.3.3. Seja Λ uma k-coalgebra. Entao os funtores

Hom-Λ(−,Λ)

Homk(−, k)

sao naturalmente isomorfos.

Demonstracao. Basta aplicar o Lema 1.2.2 com V = k.

Corolario 2.3.4. Todo comodulo finitamente cogerado e quase-finito.

Demonstracao. O comodulo Λ e obviamente finitamente cogerado:

Λ → k⊗Λ.

Fixe, entao, F comodulo de dimensao finita. Entao pela Proposicao 2.3.3,

Hom-Λ(F,Λ) ∼= Homk(F, k) = F ∗

e sabemos que se F tem dimensao finita, entao F ∗ tem dimensao finita, logo Λ e

quase-finito.

Seja agora M comodulo finitamente cogerado qualquer, i.e.,

M → kn⊗Λ

para algum n ∈ N e fixe, novamente, F de dimensao finita. Logo, pela Proposicao 2.3.2

Hom-Λ(F,M) ⊆ Hom-Λ(F, kn⊗Λ) ∼= kn⊗Hom-Λ(F,Λ) ∼= kn⊗F ∗

e, novamente, como F tem dimensao finita, F ∗ tem dimensao finita e, portanto,

kn⊗F ∗ tem dimensao finita (n dimk(F )), o que encerra a prova ja que

dimk(Hom-Λ(F,M)) ≤ n dimk(F )

pelas contas acima.

Proposicao 2.3.5. Todo comodulo simples tem dimensao finita.

36

Demonstracao. Seja XΛ comodulo simples. Entao, pelo Teorema Fundamental de

Comodulos,

X =⋃F ⊂ X | dim(F ) <∞

e, por definicao de simples, ou F = 0 pra todo F ⊂ X de dimensao finita e portanto

X = 0, uma contradicao; ou F = X para algum F ⊂ X de dimensao finita. Logo X

tem dimensao finita.

Vamos usar os comodulos simples para obter fortes teoremas de estrutura:

Teorema 2.3.6. Dado X em Comod-Λ as afirmacoes seguintes sao equivalentes:

(i) X e quase-finito.

(ii) Hom-Λ(S,X) tem dimensao finita para todo S simples.

(iii) O socle s(X) de X e da forma

s(X) =⊕α∈Ω

Snαα

sendo cada nα <∞ e Ω alguma famılia de ındices (nao necessariamente finita).

Demonstracao. (i) =⇒ (ii): Por definicao, X e quase-finito se dim(Hom-Λ(F,X)) <

∞ para todo F de dimensao finita. Em particular, pela Proposicao 2.3.5, todo

comodulo simples tem dimensao finita, logo Hom-Λ(S,X) tem dimensao finita para

todo S simples.

(ii) =⇒ (i): Tome F comodulo qualquer de dimensao finita e S ≤ F subcomodulo

simples. Entao aplicando o funtor Hom-Λ(−, X) em

0→ S → F → F/S → 0

obtemos a sequencia exata

0→ Hom-Λ(F/S,X)→ Hom-Λ(F,X)→ Hom-Λ(S,X)

donde temos que

dim (Hom-Λ(F,X)) ≤ dim (Hom-Λ(F/S,X)) + dim (Hom-Λ(S,X)) . (E(2.3.1))

Agora seja

M0 = 0 ≤M1 = S ≤ ... ≤Ml = F

37

uma serie de composicao para F (existe porque F tem dimensao finita por hipotese).

Alem disso o teorema de Jordan-Holder ([EGNO, Thm.1.5.4, Pag.5]) nos garante que

l, o comprimento da cadeia, esta bem definido. Vamos fazer inducao sobre l: Se l = 1,

entao F e simples e, por hipotese, Hom-Λ(F,X) tem dimensao finita. Suponha agora

que se um comodulo M tem comprimento l temos dim(Hom-Λ(M,X)) < ∞. Entao

dado F de comprimento l temos a seguinte serie de composicao

0 = M0 ≤ S = M1 ≤ ... ≤ F = Ml

e, fatorizando cada termo por S obtemos a serie

0 = M ′0 ≤ 0 = M ′

1 ≤ ... ≤ F/S = M ′l

e como os dois primeiros termos dessa serie sao iguais, podemos reduzi-la para a serie

0 = N0 ≤M1/S = N1 ≤ ... ≤ F/S = Nl−1

que tem comprimento l − 1 e, por hipotese de inducao, temos que

dim(Hom-Λ(F/S,X)) <∞.

Agora a desigualdade E(2.3.1) acima nos garante que

dim (Hom-Λ(F,X)) ≤ dim (Hom-Λ(F/S,X)) + dim (Hom-Λ(S,X)) <∞

e portanto dim(Hom-Λ(F,X)) <∞, como querıamos.

(ii) =⇒ (iii)

Seja s(X) ∼=⊕

i∈I Snii o socle de X e Sj um comodulo simples. Entao

s(X) → X

donde

Hom-Λ(Sj, s(X)) → Hom-Λ(Sj, X).

Por outro lado, tome φ ∈ Hom-Λ(Sj, X). Entao o primeiro teorema do isomorfismo

nos garante que φ(Sj) ∼= Sj/ kerφ. Mas Sj simples implica kerφ = 0 ou kerφ = Sj.

Em particular, se φ 6= 0, φ(Sj) ∼= Sj e portanto e simples. Ou seja, nao so todo

elemento de Hom-Λ(Sj, X) e monico, vemos que a imagem de um comodulo simples

por um homomorfismo de comodulos e sempre simples e, portanto, esta contido em

s(X). Disso temos a inclusao

Hom-Λ(Sj, X) → Hom-Λ(Sj, s(X))

38

ou seja,

Hom-Λ(Sj, X) ∼= Hom-Λ(Sj, s(X)).

Aplicando agora o Lema de Schur ([EGNO, Lem.1.5.2, Pag.5]) no lado direito

vemos que Hom-Λ(Sj, s(X)) ∼= Hom-Λ(Sj, Snjj ) e como, pela Proposicao 2.3.2, o funtor

Hom-Λ(Sj,−) preserva somas diretas, isso e simplesmente a soma de nj copias de

EndΛ(Sj).

Por fim, agora (ii) nos diz que dim(Hom-Λ(Sj, X)) <∞. Mas nos mostramos que

Hom-Λ(Sj, X) ∼=⊕nj

EndΛ(Sj) (E(2.3.2))

e, portanto,

nj dim(EndΛ(Sj)) = dim

⊕nj

EndΛ(Sj)

= dim(Hom-Λ(Sj, X)) <∞

Segue que nj <∞. Como Sj e qualquer comodulo simples o resultado se segue.

(iii) =⇒ (ii)

Suponha agora que nj e finito para todo j ∈ I. Entao a equacao E(2.3.2) junto

com a Proposicao 2.3.5 nos diz que

dim(Hom-Λ(Sj, X)) = dim

⊕nj

EndΛ(Sj)

= nj dim(EndΛ(Sj)) <∞

Como isso vale para qualquer Sj e Sji∈I e um conjunto completo de representan-

tes das classes de isomorfismos dos comodulos simples, o teorema esta provado.

Com este teorema somos capazes de construir comodulos quase-finitos a vontade:

Dado um conjunto completo de comodulos simples de uma coalgebra fixada, basta

tomarmos uma soma direta de um numero finito de copias de cada. Isso sera extre-

mamente importante para provarmos os resultados finais.

Agora vamos dar alguns resultados sobre comodulos simples e injetivos que nos

permitirao caminhar em direcao a equivalencia de Morita-Takeuchi.

Teorema 2.3.7 ([Gre], Thm.1.4d, Pag.149). Sejam X e Y comodulos. Entao um

morfismo de comodulos φ : X → Y e monico se, e somente se, φ restrito a s(X) e

monico.

Para concluir e encerrar este capıtulo, vamos unir resultados desta secao com

resultados da secao anterior e dar um bom teorema de estrutura para comodulos.

39

Proposicao 2.3.8 ([Gre], Thm.1.5c, Pag.151). Sejam E e F dois Λ-comodulos injeti-

vos. Entao todo morfismo de comodulos E → F que induz um isomorfismo entre s(E)

e s(F ) e um isomorfismo e todo isomorfismo entre estes ultimos pode ser estendido

para um isomorfismo entre E e F .

40

Capıtulo 3

Contexto Morita-Takeuchi

Vamos comecar a caminhar mais explicitamente em direcao aos resultados de Takeu-

chi.

3.1 Cohom

Proposicao 3.1.1. Dado X ∈ Comod-Λ, sao equivalentes:

(i) X e quase-finito.

(ii) O funtor

(−⊗X) : Vectk → Comod-Λ

W 7→ W ⊗X

tem adjunto a esquerda.

Demonstracao. Suponha que Hom-Λ(F,X) tem dimensao finita para todo F ∈ Comod-Λ

de dimensao finita e W e um espaco vetorial qualquer. Se F e um comodulo-Λ de

dimensao finita, entao

Hom-Λ(F,W ⊗X) ∼= W ⊗Hom-Λ(F,X) ∼= Hom(Hom-Λ(F,X)∗,W )

onde o primeiro isomorfismo e simplesmente usando a Proposicao 2.3.2, e o segundo

isomorfismo, como F e Hom-Λ(F,X) tem dimensao finita, e simplesmente o isomor-

fismo natural

α : M ⊗N → Hom(N∗,M)

que leva

m⊗n 7→ α(m⊗n)

de forma que para um f ∈ N∗ qualquer temos

α(m⊗n)(f) := f(n)m.

41

Suponha agora que Y ∈ Comod-Λ e qualquer. Nesse caso, sejam Yα os sub-

comodulos de dimensao finita de Y . Nesse caso, como funtores representaveis preser-

vam limites ([Awo, Prop.5.27, Pag.94]), temos:

Hom-Λ(Y,W ⊗X) = lim←−α

Hom-Λ(Yα,W ⊗X) ∼= lim←−α

Hom(Hom-Λ(Yα, X)∗,W )

= Hom(lim−→α

Hom-Λ(Yα, X)∗,W ) ∼= Hom(Hom-Λ(Y,X)∗,W )

logo −⊗X possui adjunto a esquerda.

Suponha, agora, que

−⊗X : k-Vect Comod-Λ : G

e uma adjuncao G a −⊗X. Defina entao o funtor

−⊗Hom-Λ(F,X) : k-Vect→ Comod-Λ

para algum F de dimensao finita.

Esse funtor claramente preserva produtos diretos, pois se W =∏Wi, temos:

W ⊗Hom-Λ(F,X) ∼= Hom-Λ(F,W ⊗X) = Hom-Λ

(F,∏

Wi⊗X)

∼= Hom-Λ

(GF,

∏Wi

)∼=∏

Hom-Λ(GF,Wi) ∼=∏

Hom-Λ(F,Wi⊗X).

Mas o isomorfismo α construıdo acima nos diz que−⊗Z preserva produtos diretos

se, e somente se, Z tem dimensao finita. Segue que Hom-Λ(F,X) tem dimensao finita

e, como F e geral, segue que Hom-Λ(F,X) tem dimensao finita para todo F ∈ Comod-Λ

de dimensao finita, como querıamos.

Vemos da demonstracao acima que a hipotese de quase-finitude de X e necessaria

e suficiente justamente para garantir a existencia do isomorfismo natural

M ⊗N ∼= Hom(M∗, N).

Definicao 3.1.2. Seja X ∈ Comod-Λ quase-finito. O funtor

h-Λ(X,−) : Comod-Λ→ Vectk

definido como

h-Λ(X,−) a (−⊗X)

e chamado de cohom.

42

Explicitamente, pela Proposicao 3.1.1,

h-Λ(X, Y ) := Hom-Λ(Y,X)∗ (E(3.1.1))

para qualquer Y ∈ Comod-Λ.

Na maioria dos artigos, a definicao de um comodulo quase-finito e a existencia do

funtor cohom, mas, como vimos, a nossa definicao e essa sao equivalentes. A grande

diferenca e que a nossa definicao apela fortemente para o aspecto de ‘finitude’ de um

comodulo quase-finito, nos dando ferramentas para lidar com ele.

Unindo agora esse resultado com o Lema 1.2.2, vemos que existe uma relacao

intrınseca entre o funtor esquecido e o funtor cohom:

U = h-Λ(Λ,−)

ou seja, podemos ver a adjuncao

h-Λ(X,−) a (−⊗X)

como uma generalizacao da adjuncao

U a (−⊗Λ).

Agora, seguindo [Tak], vamos extrair algumas propriedades do funtor cohom que

serao uteis para provar o que queremos.

3.2 Propriedades do Cohom

Por definicao de adjuncao, a adjuncao h-Λ(X,−) a (−⊗X) equivale a existencia de

uma transformacao natural

η : idComod-Λ → h-Λ(X,−)⊗X (E(3.2.2))

unidade, como no Lema 0.1.4.

Alem disso, o fato de h-Λ(X,−) possuir adjunto a direita nos garante que o funtor

preserva somas diretas, e exato a direita e e covariante (ja que seu adjunto tambem

o e). Portanto, temos um isomorfismo canonico

W ⊗h-Λ(X, Y ) ∼= h-Λ(X,W ⊗Y )

para quaisquer W espaco vetorial e Y comodulo.

43

Sejam agora X ∈ Comod-Λ e Y ∈ (Γ,Λ)-Bicomod, e

ρX : X → X ⊗Λ,

ρY : Y → Y ⊗Λ, λY : Y → Γ⊗Y

os morfismos estruturais de cada comodulo. A observacao acima nos garante a

existencia de um morfismo

h-Λ(I, λY ) : h-Λ(X, Y )→ h-Λ(X,Γ⊗Y ) ∼= Γ⊗h-Λ(X, Y )

ou seja, λY induz uma estrutura de Γ-comodulo a esquerda em h-Λ(X, Y ). Em parti-

cular, o morfismo ηY se torna um morfismo de (Γ,Λ)-bicomodulos.

Seja X um (Γ,Λ)-bicomodulo, sendo que visto como um Λ-comodulo X e quase-

finito. Entao para cada Y ∈ Comod-Λ, existe ρh-Λ: h-Λ(X, Y ) → h-Λ(X, Y )⊗Γ tal

que o diagrama

Y h-Λ(X, Y )⊗X

h-Λ(X, Y )⊗X h-Λ(X, Y )⊗Γ⊗X

ηY

ηY I ⊗λX

ρh-Λ⊗ I

comuta, sendo λX : X → Γ⊗X o mapa estrutural de X ∈ Γ-Comod. Isso acontece

porque ηY , por definicao, e um morfismo de comodulos e define uma estrutura de

Γ-comodulo a direita em h-Λ(X, Y ).

Ora, esse resultado tambem nos diz que, por definicao, Im(ηY ) ⊂ h-Λ(X, Y )ΓX.

Por fim, vamos considerar o caso em que ambos X e Y sao bicomodulos: Seja X

um (Γ,Λ)-bicomodulo e Y um (Θ,Λ)-bicomodulo, sendo X ∈ Comod-Λ quase-finito.

Nesse caso, juntando algumas observacoes acima, vemos que h-Λ(X, Y ) e um (Θ,Γ)-

bicomodulo e o mapa

ηY : Y → h-Λ(X, Y )ΓX

e um morfismo de (Θ,Λ)-bicomodulos.

Entao ja esta feita grande parte da prova de

Proposicao 3.2.1. Seja X um (Γ,Λ)-bicomodulo. Entao sao equivalentes:

(i) X ∈ Comod-Λ e quase-finito.

(ii) O funtor

(−ΓX) : Comod-Γ→ Comod-Λ

possui adjunto a esquerda.

44

Demonstracao. Durante esta demonstracao, todos os cotensores serao sobre Γ.

Suponha que X e quase-finito. Vamos mostrar que o morfismo ηY : Y →h-Λ(X, Y )X satisfaz a seguinte propriedade universal: Para qualquer Γ-comodulo Z

e morfismo de Λ-comodulos f : Y → Z X existe um unico morfismo de Γ-comodulos

u : h-Λ(X, Y ) → Z tal que f = (u I)ηY . Se isso for verdade, estamos feitos, pois

isso nos diz que h-Λ(X,−) e adjunto a esquerda de −X.

Sabemos que, como h-Λ(X,−) e adjunto a esquerda de −⊗X, existe um morfismo

de k-modulos (ou seja, espacos vetoriais) u : h-Λ(X, Y )→ Z tal que f = (u⊗ I)ηY .

Considere entao os mapas

q1 : h-Λ(X, Y ) h-Λ(X, Y )⊗Γ Z ⊗Γ

q2 : h-Λ(X, Y ) Z Z ⊗Γ

ρh-Λ u⊗ I

u ρZ

Afirmamos que o diagrama comuta. De fato:

(q1⊗ I)ηY = (((u⊗ I)ρh-Λ)⊗ I)ηY

= (u⊗ I ⊗ I)(ρh-Λ⊗ I)ηY

= (u⊗ I ⊗ I)(I ⊗λX)ηY

= (I ⊗λX)(u⊗ I)ηY

= (I ⊗λX)f

= (ρZ ⊗ I)f

= (ρZ ⊗ I)(u⊗ I)ηY

= (ρZu⊗ I)ηY = (q2⊗ I)ηY

e vemos que u e morfismo de Γ-modulos, donde f = (u I)ηY . Ou seja, h-Λ(X,−) e

adjunto a esquerda de −X, como querıamos.

Reciprocamente, se o funtor −X possui adjunto a esquerda, considere o funtor

Vectk Comod-Γ Comod-Λ−⊗Γ −X

Esse funtor evidentemente possui adjunto a esquerda, ja que e a composicao de dois

funtores que possuem adjunto a esquerda (por hipotese). Por outro lado, esse funtor

manda cada espaco vetorial W no comodulo W ⊗X, ou seja, esse funtor pode ser

realizado como o funtor −⊗X. Juntando as duas observacoes e o resultado da Pro-

posicao 3.1.1 temos que X e quase-finito, o que encerra a demonstracao.

45

Ou seja se X e um (Γ,Λ)-bicomodulo e um Λ-comodulo quase finito, o funtor

h-Λ(X,−) : Comod-Λ→ Comod-Γ

e adjunto a esquerda do funtor

(−ΓX) : Comod-Γ→ Comod-Λ.

Sejam X ∈ (Γ,Λ)-Bicomod, Y ∈ (Θ,Λ)-Bicomod, Z ∈ (Θ,Γ)-Bicomod e suponha

que f : Y → X Γ Z seja um morfismo de (Θ,Λ)-bicomodulos. Por um lado, a

adjuncao nos garante que como f e morfismo em Comod-Λ, u (definido como no

teorema) e morfismo em Γ-Comod. Por outro ja vimos que quando Y tem estrutura de

(Θ,Λ)-bicomodulo, h-Λ(X, Y ) tem estrutura natural de Θ-comodulo a esquerda. Neste

caso, entao, vemos que h-Λ(X, Y ) tem naturalmente estrutura de (Θ,Γ)-bicomodulo.

Ainda usando as notacoes acima, pela Equacao E(3.1.1), vemos que h-Λ(X,−) e

exato a direita. Alem disso, o funtor e exato se, e somente se, X e injetivo (por

exemplo, por [Jac, p.156]).

Sejam X ∈ Comod-Λ quase-finito, Y ∈ (Γ,Λ)-Bicomod e Z ∈ Comod-Γ. Entao o

morfismo

δ : h-Λ(X,Z ⊗Y )→ Z ⊗h-Λ(X, Y )

induz o morfismo

∂ : h-Λ(X,Z ΓY )→ Z

Γh-Λ(X, Y ).

Esse ultimo morfismo, por definicao, e tal que o diagrama abaixo comuta:

Z Γ Y h-Λ(X,Z Γ Y )⊗X

Z Γ h-Λ(X, Y )⊗X

ηZ Γ Y

I Γ ηY ∂⊗ I

Contudo, o morfismo original δ era um isomorfismo (equivalente a afirmacao de

que o cohom preserva limites diretos). O que podemos dizer sobre ∂?

Proposicao 3.2.2 ([Tak], Prop.1.14, Pag.635). Sejam X ∈ Comod-Λ quase-finito,

Y ∈ (Γ,Λ)-Bicomod e Z ∈ Comod-Γ. Entao o morfismo canonico

∂ : h-Λ(X,Z ΓY )→ Z

Γh-Λ(X, Y )

e um isomorfismo se X ou Z sao comodulos injetivos.

46

Demonstracao. Considere os funtores F = h-Λ(X,−Γ Y ) e G = −Γ h-Λ(X, Y ).

Certamente δ nos da F (Γ) ∼= G(Γ). Em particular, como o cohom e o cotensor

comutam com somas diretas, o Corolario 2.2.6 nos diz que se Z e injetivo, podemos

escrever

F (W ⊗Γ) = F (Z)⊕ F (Q)

G(W ⊗Γ) = G(Z)⊕G(Q)

para algum W ∈ Veck e Q ∼= (W ⊗Γ)/Z. Mas δ(F (W ⊗Γ)) = G(W ⊗Γ), ja que

F (Γ) ∼= G(Γ). Segue que, como F e G sao aditivos, F (Z) ∼= G(Z).

Se X e injetivo, entao o funtor F e exato, em particular, e exato a esquerda. Alem

disso, o funtor G e exato a esquerda. Mas a Proposicao 1.2.7 nos diz que para todo

Z a sequencia

0 Z W ⊗Γ Q 0

e exata para W e Q como antes. Entao temos as sequencias exatas:

0 F (Z) F (W ⊗Γ) F (Q)

0 G(Z) G(W ⊗Γ) G(Q)

δ

e nos concluımos que ∂(F (Z)) = G(Z), o que encerra a prova.

3.3 Coend

Para terminar esta subsecao, vamos definir o objeto para o qual precisamos trabalhar

tanto, e que sera de central importancia na definicao de equivalencia Morita-Takeuchi

futuramente. Explicitamente, vamos usar a unidade E(3.2.2) que nasce da adjuncao

cohom-cotensor.

Definicao 3.3.1. Seja X um Λ-comodulo quase-finito. Definimos o coend de X

como sendo o espaco vetorial definido por

e-Λ(X) := h-Λ(X,X)

Proposicao 3.3.2. Se X e um comodulo quase-finito, entao e-Λ(X) tem estrutura

natural de coalgebra.

Demonstracao. Defina ∆ : e-Λ(X) → e-Λ(X)⊗ e-Λ(X) e ε : e-Λ(X) → k como sendo

os mapas tais que

(∆⊗ I)η = (I ⊗ ηx)ηx,

47

I = (ε⊗ I)ηx.

A propriedade universal que caracteriza η nos garante a existencia desses mapas.

Vamos mostrar que eles nos dao estrutura de coalgebra em e-Λ(X). Olhe para os

mapas

f : X e-Λ(X)⊗X e-Λ(X)⊗ e-Λ(X)⊗X e-Λ(X)⊗ e-Λ(X)⊗ e-Λ(X)⊗X

f ′ : X e-Λ(X)⊗X e-Λ(X)⊗ e-Λ(X)⊗X e-Λ(X)⊗ e-Λ(X)⊗ e-Λ(X)⊗X

ηx ∆⊗ I ∆⊗ I ⊗ I

ηx ∆⊗ I I ⊗∆⊗ I

entao, pela propriedade universal de η, o mapa u = (∆⊗ I)∆ e o unico mapa tal

que f = (u⊗ I)ηX . Similarmente, o mapa u′ = (I ⊗∆)∆ e o unico mapa tal que

f ′ = (u′⊗ I)ηX . Por outro lado, por definicao de ∆, seja x ∈ X. Entao, se ηX(x) =∑ex0 ⊗x1, temos por definicao

(∆⊗ I)ηX(x) =∑

∆(ex0)⊗x1 :=∑

ex0 ⊗ η(x1) =∑

ex0 ⊗ ex1 ⊗x2

donde

f(x) = (∆⊗ I ⊗ I)(∆⊗ I)η(x) =∑

∆(ex0)⊗ ex1 ⊗x2 =∑

ex0 ⊗ ex1 ⊗ ηX(x2)

f ′(x) = (I ⊗∆⊗ I)(∆⊗ I)η(x) =∑

ex0 ⊗∆(ex1)⊗x2 =∑

ex0 ⊗ ex1 ⊗ ηX(x2)

ou seja, f = f ′ e a unicidade dos u, u′ implica u = u′ e ∆ e coassociativo.

Novamente, sejam

g : X e-Λ(X)⊗X e-Λ(X)⊗ e-Λ(X)⊗X k⊗ e-Λ(X)⊗X

g′ : X e-Λ(X)⊗X e-Λ(X)⊗ e-Λ(X)⊗X e-Λ(X)⊗ k⊗X

ηX ∆⊗ I ε⊗ I ⊗ I

ηX ∆⊗ I I ⊗ ε⊗ I

e, novamente pelo argumento acima, existem unicos v = (ε⊗ I)∆ e v′ = (I ⊗ ε)∆ tais

que g = (v⊗ I)ηX e g′ = (v′⊗ I)ηX . Entao:

x := (ε⊗ I)ηX(x) =∑

ε(ex0)x1

donde

(I ⊗ ε⊗ I)g(x) = (ε⊗ ε⊗ I)(∆⊗ I)ηX(x) =∑

ε(ex0)ε(ex1)x2 =∑

ε(ex0)x1 = x

(ε⊗ I ⊗ I)g′(x) = (ε⊗ ε⊗ I)(∆⊗ I)ηX(x) =∑

ε(ex0)ε(ex1)x2 =∑

ε(ex0)x1 = x

48

ou seja, nao so (I ⊗ ε⊗ I)g = (ε⊗ I ⊗ I)g′, como tambem (I ⊗ ε⊗ I)g = I. A propri-

edade universal de η nos garante que

(I ⊗ ε⊗ I)(v⊗ I) = (ε⊗ I ⊗ I)(v′⊗ I) = (ε⊗ I)

isso encerra a prova, pois

(I ⊗ ε⊗ I)(v⊗ I) = (I ⊗ ε⊗ I)(ε⊗ I ⊗ I)(∆⊗ I) = (ε⊗ ε⊗ I)(∆⊗ I)

e como isso e igual ε⊗ I, temos que

(ε⊗ ε)∆ = ε

donde

g(x) = (ε⊗ I ⊗ I)(∆⊗ I)ηX(x) =∑

ε(ex0)ex1 ⊗x2

= (ε⊗ ε⊗ I ⊗ I)∑

∆(ex0)⊗ ex1 ⊗x2

= (ε⊗ ε⊗ I ⊗ I)∑

ex0 ⊗∆(ex1)⊗x2

=∑

ε(ex1)ex0 ⊗x2 = (I ⊗ ε⊗ I)(∆⊗ I)ηX(x) = g′(x)

logo g = g′ e a unicidade de v e v′ nos garante que v = v′ e portanto ∆ e ε tornam

e-Λ(X) uma coalgebra, como querıamos.

Corolario 3.3.3. Todo Λ-comodulo quase-finito tem estrutura natural de (e-Λ(X),Λ)-

bicomodulo.

Demonstracao. Seja X um Λ-comodulo quase finito. Entao ηX : X → e-Λ(X)⊗Xconfere a X uma estrutura de e-Λ(X)-comodulo a esquerda, por definicao da estrutura

de e-Λ(X) como coalgebra. Para mostrar que essa estrutura e de um (e-Λ(X),Λ)-

bicomodulo, gostarıamos que (ηX ⊗ I)ρ = (I ⊗ ρ)ηX , sendo ρ o morfismo estrutural

de X como Λ-comodulo e ηX o morfismo estrutural de X como e-Λ(X)-comodulo.

Sejam, como de praxe:

ρ(x) =∑

x(0)⊗ l(1)

ηX(x) =∑

ex−1 ⊗x0

entao,

(ηX ⊗ I)ρ(x) =∑

ex(0)−1⊗x(0)0⊗ l(1)

(I ⊗ ρ)ηX(x) =∑

ex−1 ⊗x0(0)⊗ l0(1)

49

e usando as respectivas counidades ε e εe, temos:

ρ(x) = (εe⊗ I ⊗ I)(ηX ⊗ I)ρ(x) =∑

εe(ex(0)−1)x(0)0⊗ l(1)

η(x) = (I ⊗ I ⊗ ε)(I ⊗ ρ)ηX(x) =∑

ex−1 ⊗ ε(l0(1))x0(0)

mas, por outro lado, tambem temos

(I ⊗ I ⊗ ε)(ηX ⊗ I)ρ(x) =∑

ex(0)−1⊗ ε(l(1))x(0)0 = ηX(I ⊗ ε)ρ(x) = ηX(x)

(εe⊗ I ⊗ I)(I ⊗ ρ)ηX(x) =∑

εe(ex−1)x0(0)⊗ l0(1) = ρ(εe⊗ I)ηX(x) = ρ(x)

entao, como as counidades sao monomorfismos de comodulos, (I ⊗ I ⊗ ε)(ηX ⊗ I)ρ(x) =

(I ⊗ I ⊗ ε)(I ⊗ ρ)ηX(x) implica (ηX ⊗ I)ρ = (I ⊗ ρ)ηX , o que encerra a prova.

Agora, para o caso em que X e um (Γ,Λ)-bicomodulo e um comodulo-Λ quase

finito, o morfismo

λ : X → Γ⊗X

pode ser extendido de maneira unica para um morfismo

c : e-Λ(X)→ Γ

de maneira que λ = (c⊗ I)ηX .

Afirmamos que tal c e morfismo de coalgebras. De fato, para todo x ∈ X temos

(∆Γ⊗ I)(c⊗ I)ηX(x) = (∆Γ⊗ I)λ(x)

= (I ⊗λ)λ(x)

= (I ⊗(c⊗ I)ηX)(c⊗ I)ηX(x)

= (c⊗ c⊗ I)(I ⊗ ηX)ηX(x) = (c⊗ c⊗ I)(∆⊗ I)ηX(x)

e portanto ∆Γc = (c⊗ c)∆.

Por outro lado, um morfismo de coalgebras

c : e-Λ(X)→ Γ

torna um comodulo-Λ quase-finito X em um (Γ,Λ)-bicomodulo.

De maneira geral, o que mostramos foi que, para todo objeto em Coalgk sa-

tisfazendo “Γ ∈ Coalgk tal que X e um (Γ,Λ)-bicomodulo” podemos construir um

50

morfismo c ∈ HomCoalgk(e-Λ(X),Γ) de forma que c induz um morfismo de bicomodulos

c′ : (e-Λ(X),Λ)-Bicomod→ (Γ,Λ)-Bicomod.

Agora estamos prontos para construir a equivalencia de Morita-Takeuchi.

Os passos para essa construcao sao os mesmos para a construcao da equivalencia

de Morita (por exemplo, [Ben, §2.2] e [CR, §3D]). De fato, o resultado final consiste

em mostrar que se E e um Λ-comodulo quase-finito, injetivo e cogerador, entao temos

os seguintes isomorfismos de comodulos:

EΛF ∼= Γ

F ΓE ∼= Λ

sendo F := eΛ-(E) e Γ := h-Λ(E,Λ) e que os funtores −ΓE e −Λ F sao pseudo-

inversos.

Para chegar nesse resultado, vamos precisar de alguns resultados intermediarios

sobre funtores, bem como reafirmar a necessidade e suficiencia das condicoes sobre E

(quase-finito, injetivo e cogerador).

3.4 Contexto pre-equivalencia

Proposicao 3.4.1 ([Tak], Prop.2.1, Pag.636). Seja T : Comod-Λ → Comod-Γ um

funtor linear. Se T e exato a esquerda e preserva somas diretas, entao existe um

(Λ,Γ)-bicomodulo P tal que T ∼= −Λ P .

Demonstracao. Como T preserva somas diretas, T (W ⊗X) ∼= W ⊗T (Z) para qual-

quer espaco vetorial W e Λ-comodulo Z. Alem disso, Z naturalmente gera a seguinte

sequencia exata:

Z Z ⊗Λ Z ⊗Λ⊗Λρ

I ⊗∆

ρ⊗ I

e como T e exato a esquerda, temos tambem

T (Z) T (Z ⊗Λ) ∼= Z ⊗T (Λ) T (Z ⊗Λ⊗Λ) ∼= Z ⊗Λ⊗T (Λ).T (ρ)

I ⊗T (∆)

ρ⊗ I

Entao colocando P := T (Λ), vemos que P se torna um (Λ,Γ)-bicomodulo com

mapa estutural de comodulos dado por T (∆) : P → Λ⊗P .

Por fim, por definicao de cotensor, o mapa T (ρ) nos da, entao, um isomorfismo

natural entre T (Z) e Z Λ P , como querıamos.

51

Lema 3.4.2. Sejam P e Q dois (Λ,Γ)-bicomodulos e T = −Λ P e U = −ΛQ

os funtores lineares como na proposicao acima. Se α : T → U e uma transformacao

natural, entao existe um unico morfismo de (Λ,Γ)-bicomodulos f : P → Q tal que

α = −Λ f .

Demonstracao. Seja f = αΛ. Entao o seguinte diagrama

T (Λ) P Q U(Λ)

T (Λ⊗Λ) Λ⊗P Λ⊗Q U(Λ⊗Λ)

=

T (∆)

f

λP

=

λQ U(∆)

=I ⊗ f

=

claramente comuta e nos diz que f e morfismo de bicomodulos.

Por fim, para todo Λ-comodulo Z, a componente αZ⊗Λ de α e tal que

αZ⊗Λ : T (Z ⊗Λ) ∼= Z ΛP → U(Z ⊗Λ) ∼= Z

ΛQ

ou seja, αZ⊗Λ = I Λ f . Contudo, a componente αZ tambem e tal que

αZ : T (Z) ∼= Z ΛP → U(Z) ∼= Z

ΛQ

entao o seguinte diagrama comuta, ja que α e natural:

Z Z Λ P T (Z) U(Z) Z ΛQ

Z ⊗Λ Z Λ P T (Z ⊗Λ) U(Z ⊗Λ) Z ΛQ

λZ

∼=∼=

αZ

T (λZ) U(λZ)

∼=∼=

∼=αZ⊗Λ ∼=

ou seja, αZ = I Λ f , como querıamos.

Entao temos tudo o que precisamos para definir um contexto Morita-Takeuchi:

Definicao 3.4.3. Um contexto Morita-Takeuchi consiste em coalgebras Λ e Γ,

um (Γ,Λ)-bicomodulo P e um (Λ,Γ)-bicomodulo Q e morfismos de bicomodulos f :

Λ→ QP e g : Γ→ P Q tais que os seguintes diagramas comutam:

P P Λ Q QΓ

ΓP P QP ΛQ QP Q

∼=∼= I f

∼=∼= I g

g I f I

Se alem disso f e g sao isomorfismos, dizemos que temos uma equivalencia

Morita-Takeuchi. Nesse caso, dizemos que Λ e Γ sao Morita-Takeuchi equi-

valentes e notamos Λ ≡MT Γ.

52

Sejam S := −Γ P : Comod-Γ → Comod-Λ e T := −ΛQ : Comod-Λ → Comod-Γ

os funtores associados a P e Q. Entao, o Lema 3.4.2 nos diz que os mapas f e g

correspondem a transformacoes naturais da forma f ′ : I → ST e g′ : I → TS. Disso,

nao e difıcil ver que os diagramas da definicao acima sao comutativos se, e somente

se,

Tf ′ = g′T : T → TST

e

f ′S = Sg′ : S → STS

donde concluımos que se um dos dois morfismos, f ou g e um isomorfismo, entao o

par de funtores S e T satisfazem alguma relacao de adjuncao: Se f e isomorfismo,

entao g′ faz o papel de unidade e f ′−1 de counidade; se g e isomorfismo, f ′ faz o papel

de unidade e g′−1 de counidade. Disso e imediato que se ambos sao isomorfismos,

entao S e T sao uma equivalencia.

3.5 Equivalencia Morita-Takeuchi

Teorema 3.5.1. Se as categorias Comod-Λ e Comod-Γ sao equivalentes, entao podemos

construir uma Equivalencia Morita-Takeuchi.

Demonstracao. Seja T : Comod-Λ Comod-Γ : S uma equivalencia. A Proposicao 3.4.1

nos permite construir P = S(Γ), um (Γ,Λ)-bicomodulo, e Q = T (Λ), um (Λ,Γ)-

bicomodulo, tais que T ∼= −ΛQ e S ∼= −Γ P . Isso, por sua vez, nos permite

definir os isomorfismos naturais (ja que T e S sao equivalencia) f ′ : I → ST e

g′ : I → TS, que, por sua vez, induzem os morfismos

f = f ′Λ : Λ→ ST (Λ) = ΛΛQ

ΓP ∼= Q

ΓP

g = g′Γ : Γ→ TS(Γ) = ΓΓP

ΛQ ∼= P

ΛQ

Por fim, como T e S sao equivalencia temos Tf ′ ∼= TST ∼= g′T e da mesma

maneira, Sg′ ∼= STS ∼= f ′S.

Com isso, temos que (Λ,Γ, P,Q, f, g) e uma equivalencia Morita-Takeuchi.

Como no caso de algebras, vamos dar agora condicoes de construir essas equi-

valencias com um Teorema de Takeuchi[Tak, p. 638, Thm. 2.5]

Teorema 3.5.2. Suponha que (Λ,Γ, P,Q, f, g) e um contexto pre-equivalencia. Entao

se f : Λ→ QΓ P e injetivo, temos:

53

i. f e isomorfismo.

ii. Q ∈ Comod-Γ e quase-finito injetivo.

iii. Q ∈ Λ-Comod e cogerador.

iv. g induz isomorfismo

h-Γ(Q,Γ) ∼= P

v. A estrutura de (Γ,Λ)-bicomodulo de Q induz um isomorfismo de coalgebras

e-Γ(Q) ∼= Λ.

Demonstracao. i.) Como f e injetivo, podemos identificar Λ com um sub-(Λ,Λ)-

bicomodulo de V = QΓ P . Mas, agora, a definicao de contexto pre-equivalente

nos diz que o diagrama

V V Λ Λ

ΛΛ V V Λ V

∼=

∼= f1

f2

sendo f1 = I Γ I Λ f e f2 = f Λ I Γ I, comuta, ja que

I ΓI

Λf = I

Γg

ΛI = f

ΓI

ΛI

Agora, como f e injetiva, por definicao de cotensor temos

f1(ΛΛV ) ∩ f2(V

ΛΛ) ∼= (Λ

ΛV ) ∩ (V

ΛΛ) = Λ

ΛΛ ∼= Λ

donde

V ∼= (ΛΛV ) ∩ (V

ΛΛ) ∼= Λ

ΛΛ ∼= Λ

logo f e isomorfismo.

ii.) Como f e isomorfismo, os funtores S = −Γ P e T = −ΛQ formam um par

S a T . Entao Q e quase-finito pela Proposicao 3.2.1. Alem disso, como S e

exato, T preserva injetivos. Como Λ e injetivo em Comod-Λ, Q = T (Λ) e injetivo

em Comod-Γ.

iii.) Pela Proposicao 1.2.6 junto com o Lema 1.2.5, basta mostrar que existe morfismo

nao-zero de comodulos em Hom-Λ(Λ, Q), mas o fato de f ser isomorfismo nos

permite construir a composicao

Λ QΓ P Q⊗P Qf ι πQ

54

que define um morfismo nao-zero de comodulos (ja que cada termo da com-

posicao e nao-zero) em Hom-Λ(Λ, Q).

iv.) Como ambos S e h-Γ(Q,−) sao adjuntos a esquerda de T , segue que existe um

isomorfismo natural entre os funtores (pela unicidade da adjuncao). Ou seja,

h-Γ(Q,Γ) ∼= S(Γ) = ΓΓP ∼= P.

Isso e induzido por g no seguinte sentido: Como

g′ : I → TS = −ΓP

ΛQ

e unidade, e novamente pela unicidade da adjuncao, temos: TS ∼= h-Γ(Q,−)ΛQ.

Agora a propriedade universal da unidade nos garante a existencia do mapa

u : h-Γ(Q,Γ) → P induzido por g : Γ → P ΛQ de forma que g = (uΛ I)g′.

Esse mapa u e exatamente o isomorfismo construıdo.

v.) Juntando os itens anteriores, temos:

e-Γ(Q) = h-Γ(Q,Q) ∼= QΓh-Γ(Q,Γ) ∼= Q

ΓP ∼= Λ

sendo que o primeiro isomorfismo e dado pelo morfismo ∂ da Proposicao 3.2.2,

o segundo isomorfismo e dado pelo item (iv.) e o ultimo isomorfismo e dado por

f . Esse isomorfismo e induzido pela estrutura de bicomodulo de Q no seguinte

sentido: O morfismo c : e-Γ(Q) → Λ, determinado unicamente pela estrutura

de (Γ,Λ)-bicomodulo de Q, por definicao, e exatamente essa composicao de

morfismos que gera o isomorfismo e-Γ(Q) ∼= Λ.

Corolario 3.5.3. Todos os resultados acima continuam validos para o caso em que

g e injetivo, bastando trocar apenas os papeis de P e Q, e os papeis de Γ e Λ.

Podemos finalmente chegar nos resultados finais de Takeuchi.

Um dos resultados do Teorema e que Γ ∼= e-Λ(P ) e que Q ∼= h-Λ(P,Λ). Disso

temos alguns resultados imediatos cuja demonstracao e imediata a partir do que ja

foi feito.

Proposicao 3.5.4. Seja Λ uma coalgebra e P um Λ-comodulo a direita quase-finito.

Entao Γ = e-Λ(P ) e Q = h-Λ(P,Λ) sao tais que P e um (Γ,Λ)-bicomodulo e Q e um

(Λ,Γ)-bicomodulo.

55

Defina, agora, os morfismos:

f : Λ→ QΓP

g : Γ→ P ΛQ

pondo f = ηΛ e g como sendo a composicao

g : Γ e-Λ(P ) h-Λ(P, P ) P Λ h-Λ(P,Λ) P ΛQ= ∼= ∂ =

Temos entao:

Lema 3.5.5. O morfismo g, como definido acima, e injetivo se, e somente se, P e

um Λ-comodulo injetivo. Similarmente, o morfismo f e injetivo se, e somente se, P

e um cogerador para Comod-Λ.

Demonstracao. Ja vimos na Proposicao 3.2.2 que se P e injetivo, entao ∂ e isomor-

fismo e, portanto, g e isomorfismo (em particular, injetivo). Se g e injetivo, entao

o Teorema 3.5.2 nos diz que P e injetivo.

De maneira similar, se f e injetivo, o mesmo Teorema nos garante que P e co-

gerador. Suponha, agora que P e cogerador em Comod-Λ. Entao, por definicao de

cogerador, existe um morfismo injetivo i : Λ → W ⊗P para algum espaco vetorial

W . Agora, a propriedade universal que define η (e por extensao f) nos garante que

existe um unico morfismo u : Q→ W tal que i = (u⊗ I)f , logo f e injetivo.

Corolario 3.5.6. Se P e um Λ-comodulo injetivo cogerador e quase-finito entao f e

g sao isomorfismos.

Corolario 3.5.7. Se P e um cogerador injetivo quase-finito, as categorias Comod-Λ

e Comod-Γ sao equivalentes. Essa equivalencia e dada por

T = −ΛQ : Comod-Λ Comod-Γ : −Γ P = S

Por fim, podemos sumarizar os resultados na forma de um teorema final:

Teorema 3.5.8 (Equivalencia Morita-Takeuchi). Dadas duas coalgebras Λ e Γ, as

categorias de comodulos a direita sobre elas sao equivalentes se, e somente se, existe

um Λ-comodulo P cogerador injetivo quase-finito tal que Γ ∼= e-Λ(P ).

56

Capıtulo 4

A Coalgebra de Matrizes

Vamos agora aprender a lidar com matrizes em coalgebras:

Seja kn2

o espaco vetorial de dimensao n2 com entradas em k. Sabemos que esse

espaco tem uma estrutura de algebra dada por enxergarmos os elementos desse espaco

como matrizes n×n. Seja eij uma base para esse espaco. Definimos uma estrutura

de coalgebra nesse espaco da seguinte maneira:

∆(eij) =∑

1≤k≤n

eik⊗ ekj

ε(eij) = δij

sendo δij o sımbolo de Kronecker. Isso define uma estrutura de coalgebra de maneira

unica em k2, essa estrutura e notada M cn(k), a coalgebra de matrizes.

EXEMPLO(S): Sejam

A =

(a 00 0

), B =

(0 b0 0

), C =

(0 0c 0

), D =

(0 00 d

)para a, b, c, d ∈ k. Entao:

∆(A) = ∆(ae11) = a∆(e11) = a

( ∑1≤j≤2

e1j ⊗ ej1

)= a(e11⊗ e11 + e12⊗ e21) =

= a

((1 00 0

)⊗(

1 00 0

)+

(0 10 0

)⊗(

0 01 0

))e similarmente para B, C e D:

∆(B) = b

((1 00 0

)⊗(

0 10 0

)+

(0 10 0

)⊗(

0 00 1

))

∆(C) = c

((0 01 0

)⊗(

1 00 0

)+

(0 00 1

)⊗(

0 01 0

))∆(D) = d

((0 01 0

)⊗(

0 10 0

)+

(0 00 1

)⊗(

0 00 1

))entao

∆

(a bc d

)= ∆(A+B + C +D) = ∆(A) + ∆(B) + ∆(C) + ∆(D)

57

e sabemos como atuar, entao, em qualquer matriz usando simplesmente o que jafizemos.

Note que a counidade tambem satisfaz as propriedades de counidade, por exemploem A:

(I ⊗ ε)∆(A) = a∑

1≤j≤2

e1jε(ej1) = a(e11δ11 + e12δ21) = a(e11 + 0) = ae11 = A

A essa altura deve estar claro uma coisa: Definimos ∆(eij) =∑

1≤k≤n eik⊗ ekjpara todo elemento da base eij. Essa definicao nao e arbitraria - de fato, fixado eij

na base e sendo M a multiplicacao de matrizes usual, nao e difıcil se convencer que

M(∆(eij)) e simplesmente uma soma de varias copias de eij. Por exemplo, e11 ∈ k4,

∆(e11) = e11⊗ e11 + e12⊗ e21, donde

M(∆(e11)) = M(e11⊗ e11 + e12⊗ e21) = M(e11⊗ e11) +M(e12⊗ e21) =

= (e11e11) + (e12e21) = e11 + e11

Isso nos deixa claro uma relacao intrınseca entre as estruturas algebrica e co-

algebrica das matrizes. Na verdade, podemos deixar essa relacao mais explıcita:

Proposicao 4.0.1. A coalgebra de matrizes M cn(k) e o dual da algebra de matrizes

Mn(k).

Para provar isso, primeiro precisamos entender como construir uma coalgebra a

partir de uma algebra de dimensao finita.

4.1 A Coalgebra Dual de Uma Algebra

Seja (A, µ, u) uma algebra de dimensao finita e ei uma base para A como espaco

vetorial. Para cada elemento ei na base de A esta associado um elemento e∗i na base de

A∗ com a propriedade de que e∗i (ej) = δij. Como A tem dimensao finita por hipotese,

A∗ tambem o tem. Em particular, (ei⊗ ej)i,j e (e∗i ⊗ e∗j)i,j formam bases para A⊗Ae A∗⊗A∗, respectivamente.

Como (A⊗A)∗ tambem e espaco vetorial, seja fij uma base (existe e tem di-

mensao finita) definida como: fij ∈ (A⊗A)∗ e o unico elemento tal que fij(ek⊗ el) =

δikδjl. Entao a funcao

ψ : A∗⊗A∗ → (A⊗A)∗

58

mandando e∗i ⊗ e∗j 7→ fij e claramente injetiva. Agora a hipotese de dimensao finita

em A nos garante que cada elemento da base de (A⊗A)∗ pode ser realizado como a

imagem de um elemento da base de A∗⊗A∗ - segue que ψ e isomorfismo.

Isso nos permite definir nossa coalgebra:

Seja

µ∗ : A∗ → (A⊗A)∗

definido por µ∗(e∗i ) := e∗iµ. Desta forma, µ∗(e∗i )(ej ⊗ ek) = e∗i (ejek). Tambem coloca-

mos

u∗ : A∗ → k∗

definido por u∗(e∗i ) := e∗iu de forma que u∗(e∗i )(λ) = e∗iu(λ).

Entao nossa comultiplicacao ∆ : A∗ → A∗⊗A∗ sera definida por

∆ := ψ−1µ∗

e nossa counidade ε : A∗ → k sera definida por

ε := φu∗

sendo φ : k∗ → k o isomorfismo canonico.

Por fim, vamos caracterizar de uma maneira mais pratica essa operacao:

Sejam (A, µ, u) e (A∗,∆, ε) uma algebra de dimensao finita e sua coalgebra dual.

Entao, para cada f ∈ A∗ como ∆(f) ∈ A∗⊗A∗ e (e∗i ⊗ e∗j) formam uma base para

A∗⊗A∗ segue que existe uma colecao de aij tais que

∆(f) =∑i,j

aije∗i ⊗ e∗j

em particular,

f =∑i,j

aije∗i e∗j

Entao, fixados k, l, temos

f(ekel) =∑i,j

aije∗i (ek)e

∗j(el) = akl

donde podemos extrair uma expressao explıcita para ∆ em funcao de f :

∆(f) =∑i,j

f(eiej)e∗i ⊗ e∗j

Agora podemos provar a proposicao:

59

Demonstracao. Seja A = Mn(k) uma algebra de matrizes e eij uma base para A

como espaco vetorial. Entao a multiplicacao µ : A⊗A→ A e definida como

µ(eij ⊗ ekl) =

0, se j 6= k

eil, caso contrario

e a unidade u : k → A como

u(1) =∑

1≤i≤n

eii

Entao, pelo que fizemos acima, podemos definir ∆ : A∗ → A∗⊗A∗ fazendo:

∆(e∗ij) =∑

1≤k,l,r,s≤n

e∗ij(eklers)e∗kl⊗ e∗rs =

∑1≤k,l,s≤n

e∗ij(eks)e∗kl⊗ e∗ls =

∑1≤l≤n

e∗il⊗ e∗lj

e ε : A∗ → k:

ε(e∗ij) = e∗ij(u(1)) = δij

Logo M cn(k) ∼= (Mn(k))∗, como querıamos.

A conclusao que devemos tirar disso tudo e que o melhor jeito de apreender o

conceito de comultiplicacao a partir de uma multiplicacao e que a comultiplicacao de

um elemento x qualquer nos diz ‘quais as diferentes maneiras de escrever x como uma

multiplicacao de dois elementos’.

4.2 A Algebra Dual de Uma Coalgebra

Ja vimos que a estrutura de uma algebra de dimensao finita nos permite definir uma

coalgebra. Vamos agora fazer o contrario: Construir uma algebra de dimensao finita

a partir de uma coalgebra de dimensao finita.

Seja Λ uma coalgebra com comultiplicacao ∆ e counidade ε. Essa comultiplicacao

e um mapa

∆ : Λ→ Λ⊗Λ

o que nos permite definir o mapa

∆∗ : (Λ⊗Λ)∗ → Λ∗

e pela subsecao anterior sabemos que como Λ tem k-dimensao finita, (Λ⊗Λ)∗ e

isomorfo a Λ∗⊗Λ∗. Seja ν o mapa que da esse isomorfismo. Vamos mostrar que o

mapa

M : Λ∗⊗Λ∗ → Λ∗

60

definido por M := ∆∗ν da uma estrutura de algebra para Λ∗.

Sabemos, por definicao de coalgebra, que ∆ faz o seguinte diagrama comutar:

Λ Λ⊗Λ

Λ⊗Λ Λ⊗Λ⊗Λ

∆

∆ (∆⊗ I)

(I ⊗∆)

Seja ei uma base para Λ e e∗i a base dual para Λ∗. Entao:

M(e∗i ⊗ e∗j)(es) : = ∆∗(e∗i ⊗ e∗j)(es)

= (e∗i ⊗ e∗j)∆(es) =∑

e∗i (es0)e∗j(es1)

donde vemos que

M(I ⊗M)(e∗i ⊗ e∗j ⊗ e∗l )(es) = M(e∗i ⊗(e∗j ⊗ e∗l )∆)(es)

= M(e∗i ⊗(e∗j ⊗ e∗l ))(I ⊗∆)(es)

= (e∗i ⊗(e∗j ⊗ e∗l ))(I ⊗∆)∆(es)

= (e∗i ⊗(e∗j ⊗ e∗l ))∑

es0 ⊗ es1 ⊗ es2=∑

e∗i (es0)⊗(e∗j ⊗ e∗l )(es1 ⊗ es2)

=∑

e∗i (es0)e∗j(es1)e∗l (es2)

=∑

(e∗i ⊗ e∗j)(es0 ⊗ es1)⊗ e∗l (es2)

= ((e∗i ⊗ e∗j)⊗ e∗l )∑

es0 ⊗ es1 ⊗ es2= ((e∗i ⊗ e∗j)⊗ e∗l )(∆⊗ I)∆(es)

= M((e∗i ⊗ e∗j)⊗ e∗l )(∆⊗ I)(es)

= M((e∗i ⊗ e∗j)∆⊗ e∗l )(es) = M(M ⊗ I)(e∗i ⊗ e∗j ⊗ e∗l )(es)

De maneira similar, podemos definir a unidade u : k → Λ∗ a partir da counidade

ε : Λ→ k.

Seja

ε∗ : k∗ → Λ∗

o morfismo dual de ε definido de maneira obvia, e

η : k → k∗

o isomorfismo natural. Entao definimos u := ε∗η. Queremos, agora, mostrar que o

diagrama

61

Λ∗⊗Λ∗

Λ∗⊗ k k⊗Λ∗

Λ∗

M

(I ⊗u) (u⊗ I)

comuta.

De fato,

u(1)(ei) := ε∗(1)(ei) = 1ε(ei) = ε(ei)

implica que

M(I ⊗u)(e∗i ⊗ 1)(ej) = M(e∗i ⊗ ε)(ej)

= (e∗i ⊗ ε)∆(ej)

=∑

e∗i (ej0)ε(ej1)

=∑

ε(ej1)e∗i (ej0)

= (ε⊗ e∗i )∆(ej)

= M(ε⊗ e∗i )(ej) = M(u⊗ I)(1⊗ e∗i )(ej)

como gostarıamos.

Ou seja, M e de fato uma multiplicacao em Λ.

Surge entao uma questao bastante natural: Seja (A,M, u) uma algebra de di-

mensao finita. Na subsecao anterior aprendemos a construir a coalgebra dual de A,

(A∗,∆, ε). Agora, aprendemos a construir (A∗∗,M∗, u∗) a algebra dual de A∗. Como

A tem dimensao finita, sabemos que A ∼= A∗∗ como espacos vetoriais. Sera que

M = M∗? Vamos fazer um exemplo:

EXEMPLO(S): Seja A = M3(k) a algebra de matrizes com multiplicacao usual.Ja construımos A∗ = M c

3(k) a coalgebra de matrizes, dual da algebra de matrizes.Vamos ver, entao, como a operacao M∗ := ∆∗ν atua nas matrizes. Por exemplo,considere as matrizes abaixo

A =

a b cd e fg h i

, B = e11

Na multiplicacao usual M ,

M(A⊗B) =

a 0 0d 0 0g 0 0

62

Ja a multiplicacao M∗

M∗(A⊗B)(e∗ij) := ∆∗(A⊗B)(e∗ij) = (A⊗B)∆(e∗ij) =

(A⊗B)∑

1≤l≤3

e∗il⊗ e∗lj =∑

1≤l≤3

e∗il(A)e∗lj(B)

entao podemos recuperar a matriz M∗(A⊗B) fazendo (aij) = M∗(A⊗B)(e∗ij), o quenos da a seguinte matriz:

M∗(A⊗B) =

a 0 0d 0 0g 0 0

= M(A⊗B)

De maneira geral, temos:

M(eij ⊗ ers) = δjreis

e

M∗(eij ⊗ ers)(e∗mn) =∑

1≤l≤3

e∗nl(eij)e∗lm(ers) =

∑1≤l≤3

δniδljδlrδms = δniδjrδms = δjre∗mn(eis)

ou seja,M∗(eij ⊗ ers) = δjreis = M(eij ⊗ ers)

e note que o numero 3 nao fez diferenca nenhuma nessas contas. De fato, nos mos-tramos que nao so como espacos vetoriais A ∼= A∗∗, mas tambem como algebras.

Na verdade, isso pode ser feito com muito mais generalidade, como vemos em

[DNR, Prop.1.3.14, Pag.22]:

Proposicao 4.2.1. Seja A uma algebra de dimensao finita e Λ uma coalgebra de

dimensao finita. Entao os isomorfismos canonicos de espacos vetoriais

φ : A→ A∗∗

ψ : Λ→ Λ∗∗

sao isomorfismos de algebras e coalgebras, respectivamente.

Antes de avancarmos, convem notar que como essas operacoes que podem ser ob-

tidas atraves da estrutura dual sao tao bem comportadas, vamos adotar uma notacao

para elas: De agora em diante a multiplicacao induzida por uma comultiplicacao sera

chamada de convolucao e notaremos M(f ⊗ g) simplesmente por f ∗ g.

63

4.3 Modulos a Partir de Comodulos

Seja X um k-espaco vetorial e Λ uma coalgebra. Suponha que nos e dado um mapa

em Homk(X,X ⊗Λ). Sera possıvel definir um mapa em Homk(Λ∗⊗X,X) a partir

do mapa dado?

Certamente: Sabemos definir de maneira natural um mapa de Λ∗⊗Λ em k sim-

plesmente pela avaliacao (i.e., para cada par f ⊗ a ∈ Λ∗⊗Λ associamos o elemento

f(a) ∈ k). Seja j esse morfismo canonico e T : X ⊗Λ→ Λ⊗X o morfismo twist que

leva o par x⊗ a no par a⊗x. Entao podemos definir a seguinte composicao:

Λ∗⊗X Λ∗⊗X ⊗Λ Λ∗⊗Λ⊗X k⊗X ∼= XI ⊗ ρ I ⊗T j⊗ I

que e uma composicao de k-morfismos e, portanto, e um k-morfismo de Λ∗⊗X em

X. Vamos chamar esse morfismo de λ.

O que λ faz do ponto de vista de elementos? Suponha que ρ(x) =∑x0⊗ l1 para

algum x ∈ X. Entao, para f ∈ Λ∗ temos (compare com a composicao acima):

f ⊗x f ⊗ (∑x0⊗ l1) f ⊗ (

∑l1⊗x0)

∑f(l1)⊗x0 =

∑f(l1)x0

I ⊗ ρ I ⊗T j⊗ I

ou seja, podemos definir λ explicitamente da seguinte maneira:

λ : Λ∗⊗X → X

f ⊗x 7→ (I ⊗ f)ρ(x)

Mas o que podemos dizer de λ no caso em que ρ e um mapa estrutural de

comodulos?

Proposicao 4.3.1 ([DNR], Prop.2.2.1, Pag.73). Seja ρ ∈ Homk(X,X ⊗Λ) um mor-

fismo de espacos vetoriais. Entao ρ define uma estrutura de Λ-comodulo a direita em

X se, e somente se, λ define uma estrutura de Λ∗-modulo a esquerda em X.

Demonstracao. Seja X ∈ Comod-Λ um comodulo e

ρ : X → X ⊗Λ

seu mapa estrutural. Por abuso de notacao, vamos notar λ(f ⊗x) simplesmente por

f · x.

Entao precisamos mostrar que λ e associativo e satisfaz a unidade:

u(1) · x := (I ⊗u(1))∑

x(0)⊗ l(1) =∑

x(0)⊗u(1)(l(1)) =

64

=∑

x(0)⊗ ε(l(1)) = (I ⊗ ε)ρ(x) = x

ou seja, 1Λ∗ · x = x. Alem disso:

f · (g · x) := f · ((I ⊗ g)ρ(x)) = (I ⊗ f)ρ ((I ⊗ g)ρ(x))

= (I ⊗ f)ρ(∑

g(l(1))x(0)

)= (I ⊗ f)

∑g(l(1))ρ(x(0))

=∑

g(l(1))f(l(0)(1))x(0)(0)

=∑

g(l(2))f(l(1))x(0)

=∑

(f ∗ g)(l(1))x(0) = (f ∗ g) · x

e · e associativa, como gostarıamos.

Reciprocamente, suponha que X e um Λ∗-modulo a esquerda e temos um morfismo

ρ : X → X ⊗Λ. Vamos mostrar que X e um Λ-comodulo a direita.

Fixe ρ(x) =∑x(0)⊗ l(1). Entao:

(I ⊗ ε)ρ(x) =∑

ε(l(1))x(0) =∑

1Λ∗(l(1))x(0) = 1Λ∗ · x = x

ja que X e um Λ∗-modulo, por hipotese. Ou seja, ρ satisfaz a counidade. Alem disso,

temos que

f · (g · x) =∑

g(l(1))(f · x(0))

=∑

g(l(1))f(l(0)(1))x(0)(0)

= (I ⊗ f ⊗ g)(ρ⊗ I)ρ(x)

e

(f ∗ g) · x =∑

(f ∗ g)l(1)x(0)

=∑

f(l(1)1)g(l(1)2)x0 = (I ⊗ f ⊗ g)(I ⊗∆)ρ(x)

mas, como X e modulo, f · (g · x)) = (f ∗ g) · x para quaisquer f, g ∈ Λ∗, ou seja

0 = f · (g · x)− (f ∗ g) · x = (I ⊗ f ⊗ g)(ρ⊗ I)ρ(x)− (I ⊗ f ⊗ g)(I ⊗∆)ρ(x) =

= (I ⊗ f ⊗ g)((ρ⊗ I)ρ(x)− (I ⊗∆)ρ(x))

e isso basta, pois se ei e uma base de Λ, e∗i e a base dual de Λ∗ e y = (ρ⊗ I)ρ(x)−(I ⊗∆)ρ(x) ∈ X ⊗Λ⊗Λ, podemos escrever de forma unica

y =∑i,j

xij ⊗ ei⊗ ej

65

o que nos diz que cada xij = 0, pois

0 = (I ⊗ e∗i ⊗ e∗j)(y) = xij

o que, por sua vez, nos diz que y = 0 ja que 0⊗ a = 0 para todo a ∈ Λ.

Entao y = (ρ⊗ I)ρ(x) − (I ⊗∆)ρ(x) = 0, ou seja, (ρ⊗ I)ρ(x) = (I ⊗∆)ρ(x) e

ρ e coassociativa, o que mostra que ρ e um morfismo de coalgebras e encerra nossa

demonstracao.

Definicao 4.3.2. Seja X um Λ-comodulo. A estrutura natural construıda acima

de X como um Λ∗-modulo damos o nome de estrutura de modulo racional e

dizemos que X e um Λ∗-modulo racional.

Observacao 4.3.3. [DNR, Thm 2.2.5, Pag. 75] mostra que dada uma coalgebra Λ as

categorias Comod-Λ e Rat(Λ∗) (sendo Rat(Λ∗) a categoria dos Λ∗-modulos racionais)

sao isomorfas.

Entao vamos voltar para nossa coalgebra de matrizes.

Seja Λ = M c3(k) a coalgebra de matrizes e Λ∗ a algebra dual de Λ. Ja vimos que

Λ∗ ∼= M3(k). Alem disso, ja vimos que, por definicao, Λ pode ser considerada como

um Λ-comodulo a direita com mapa estrutural dado simplesmente por ∆.

Vamos construir, entao, nosso λ: Por definicao, λ : Λ∗⊗Λ → Λ e o mapa

λ(f ⊗ a) := (I ⊗ f)∆(a).

O que seria e∗ij · emn? Aplicando a definicao temos:

e∗ij · emn =∑

1≤l≤3

e∗ij(eln)eml =∑

1≤l≤3

δilδjneml = δjnemi

Por exemplo, vamos calcular e∗ij · e23: Por definicao,

e∗ij ·

0 0 00 0 10 0 0

= e∗ij · e23 =∑

1≤l≤3

e∗ij(el3)e2l =

0 0 0e∗ij(e13) 0 0

0 0 0

+

0 0 00 e∗ij(e23) 00 0 0

+

0 0 00 0 e∗ij(e33)0 0 0

=

0 0 0e∗ij(e13) e∗ij(e23) e∗ij(e33)

0 0 0

o que, por sua vez e igual a 0 se j 6= 3 e, caso contrario, e igual a e2i, ou seja,

e∗ij · e23 = δj3e2i.

66

Alem disso, temos que entender como a convolucao atua:

(e∗ij ∗ e∗mn) · ers = (I ⊗(e∗ij ∗ e∗mn))∑l

erl⊗ els =

=∑l

(e∗ij ∗ e∗mn)(els)erl =

=∑l,t

e∗ij(elt)e∗mn(ets)erl =

=∑l,t

δilδjtδtmδnserl = δjmδnseri

E chegamos a um ponto interessante: Como elementos, tanto e∗ij · emn quanto

(e∗ij ∗ e∗mn) · ers podem ser considerados como pertencendo a M3(k) ja que, como

espacos vetoriais, M3(k) ∼=k Mc3(k). Entao, enxergando esses elementos meramente

como matrizes em M3(k), percebemos que o elemento e∗ij · emn pode ser realizado,

por exemplo, como emneji = t(eijt(emn)) sendo t a trasposicao. De maneira similar,

podemos realizar (e∗ij ∗ e∗mn) · ers como ersenmeji = t(eijemnt(ers)).

Isso nos permite definir o seguinte mapa:

ω : M3(k)⊗Λ→ Λ

eij ⊗ emn 7→ t(eijt(emn))

que corresponde a acao λ. De fato, por definicao,

ω(eij ⊗ emn) = λ(e∗ij ⊗ emn).

Vamos mostrar que ω da a Λ estrutura de M3(k)-modulo a esquerda. Para isso,

basta mostrar que ω e associativa

ω((eijemn)⊗ ers) = t(eijemnt(ers))

= (e∗ij ∗ e∗mn) · ers= e∗ij · (e∗mn · ers)

= e∗ij · ω(emn⊗ ers) = ω(eij ⊗ω(emn⊗ ers))

e satisfaz a unidade:

ω(u(1)⊗ eij) = t(u(1)t(eij)) = t(t(eij)) = eij

Por que fazemos isso? Pelo seguinte fato:

67

Seja Λ = M c3(k) e ν : Λ ∼=k M3(k). Entao temos que ω induz

α : M3(k)⊗M3(k)→M3(k)

definido por α := ω(I ⊗ ν) e que, pela definicao de ω, α e naturalmente uma mul-

tiplicacao em M3(k). Em particular, isso nos permite corresponder, de maneira

biunıvoca, os subcomodulos do comodulo regular Λ com submodulos do modulo re-

gular M3(k).

Por fim, o numero 3 na dimensao das matrizes e apenas ilustrativo - ele apenas nos

permitiu construir alguns exemplos concretos. Nao e difıcil, portanto, se convencer

do seguinte resultado (cuja prova e simplesmente repetir os passos acima para n):

Teorema 4.3.4. Seja Λ = M cn(k) a coalgebra de matrizes com comultiplicacao ∆,

A = Mn(k) a algebra de matrizes com multiplicacao α definida como acima e X um

subespaco do k-espaco vetorial de matrizes n × n. Entao X e um subcomodulo a

direita do comodulo regular Λ se, e somente se, X e um submodulo a esquerda do

modulo regular A.

68

Capıtulo 5

Dualidade

5.1 Objetos Pseudo-compactos e Localmente Fini-

tos

Ate agora lidamos centralmente com coalgebras e suas propriedades. Agora vamos

finalmente abordar um dos propositos finaisum dos propositos finais deste trabalho:

Algebras pseudocompactas.

Vamos abrir esta secao com algumas definicoes (obs.: Nesta secao vamos seguir

muito fortemente [Gab] e [Tak, Sec. 4]).

Definicao 5.1.1. Seja A uma algebra e F uma filtracao descendente de A. Dizemos

que A e completa sobre F se A = lim←−I∈F

A/I.

Definicao 5.1.2. Uma algebra topologica A e dita pseudocompacta se e Hausdorff,

completa sobre uma filtracao I que satisfaz o seguinte axioma:

APC: I e uma base de vizinhancas do zero tal que I ∈ I implica dim(A/I) <∞.

Podemos definir de maneira similar

Definicao 5.1.3. Um A-modulo topologico M e dito pseudocompacto se e Haus-

dorff, completo sobre uma filtracao N satisfazendo o seguinte axioma:

MPC: N e uma base de vizinhancas do zero tal que N ∈ N implica dim(M/N) <∞.

Com essas definicoes, Pierre Gabriel provou em [Gab, Thm. 3, pag. 392] o seguinte

teorema:

Teorema 5.1.4. Os modulos pseudocompactos sobre uma algebra pseudocompacta A

formam uma categoria abeliana com cogeradores e limites projetivos exatos.

Vamos notar essa categoria por A-PCMod.

Como estamos falando de categorias, vamos definir uma nova famılia de categorias:

Definicao 5.1.5. Uma categoria A e localmente finita se:

i.) A possui somas diretas.

69

ii.) Para cada colecao direcionada Ml de subobjetos de um objeto M ∈ A o mapa

canonico lim−→Ml →M induz um isomorfismo lim−→Ml∼= ∪lMl.

iii.) Existe um conjunto de geradores Mi de A, sendo cada gerador de comprimento

finito.

Gabriel [Gab, Prop.6, Pag.337] demonstra que as condicoes (i.) e (ii.) nos garan-

tem que A possui colimites direcionados exatos (em particular, limites diretos). Ta-

keuchi [Tak, Sec.2, Pag.640] nos diz que terceira condicao nos garante que a colecao

de subobjetos de um dado objeto e um conjunto e nao uma classe propria.

Alem disso, [Gab, Thm.4, pag. 398; Cor.1, Pag.400] demonstra o seguinte resul-

tado:

Teorema 5.1.6. Seja E um objeto injetivo de uma categoria localmente finita A,

A = End(E) e F o funtor que associa a cada objeto M ∈ A o conjunto Hom(M,E).

Se E contem um representante de cada classe de isomorfismo de objetos injetivos

indecomponıveis de A, entao o funtor F e uma dualidade entre A e A-PCMod.

Vamos comecar a colar os resultados, entao:

Proposicao 5.1.7 ([EGNO], Prop.1.9.5, Pag.12). Para qualquer coalgebra Λ, a ca-

tegoria Comod-Λ e localmente finita.

Como Takeuchi nota [Tak, Pag.40], isso ja nos garante varios dos resultados que

mostramos, ja que Gabriel mostra que esses resultados sao validos em qualquer cate-

goria localmente finita (por exemplo, a existencia de cascas injetivas).

5.2 Dualidade entre Comodulos e Modulos

Ja mostramos na secao sobre Algebras e Coalgebras que dadas A uma algebra de

dimensao finita e Λ uma coalgebra os espacos vetoriais A∗ e Λ∗ tem estrutura natural

de coalgebra e algebra, respectivamente. O que vamos fazer agora e generalizar esse

resultado baseando em [Sim], especialmente as Secoes 3 e 4.

Seja Λ uma coalgebra. Para qualquer N < Λ ideal bilateral, definimos de maneira

classica

N⊥ := φ ∈ Λ∗ | φ(N) = 0

de forma que a colecao N⊥ ⊂ Λ∗ | dimk(N) < ∞ se torna um sistema de vizi-

nhancas do zero por [Sim, Lema 2.2, pag. 104], ou seja, temos o seguinte resultado:

70

Proposicao 5.2.1. Se Λ e uma coalgebra, entao o espaco dual Λ∗ tem estrutura

natural de algebra pseudocompacta.

Demonstracao. O mapa

ρ : Λ∗⊗Λ∗ → (Λ⊗Λ)∗

definido por ρ(f ⊗ g)(u⊗ v) := f(u)g(v) junto com ∆∗ : (Λ⊗Λ)∗ → Λ∗ nos permitem

definir M := ∆∗ρ : Λ∗⊗Λ∗ → Λ∗ e, pelos mesmos argumentos da subsecao 4.2, temos

que Λ∗ e uma algebra.

Por fim, como, pelo “Teorema Fundamental das Coalgebras” temos que, natural-

mente,

Λ∗ ∼=

(lim−→N∈F

N

)∗∼= lim←−

N∈FΛ∗/N⊥

sendo F := N ⊂ Λ | dimk(N) <∞, segue que Λ∗ e uma algebra pseudocompacta,

como querıamos.

Com isso vemos que o dual de uma coalgebra e sempre uma algebra pseudocom-

pacta. Sera que podemos afirmar o contrario? O seguinte teorema, por Simson, nos

diz que sim.

Teorema 5.2.2 ([Sim], Thm.3.6(d), Pag.108). Sejam k-Coalg e k-PCAlg as catego-

rias das k-coalgebras e k-algebras pseudocompactas, respectivamente. Entao os fun-

tores

D1 : k-Coalg k-PCAlg : D2

definidos por D1(X) := X∗ e D2(M) := M para todo X ∈ k-Coalg e M ∈ k-PCAlg,

sendo M := f ∈ M∗ | ker f contem um ideal de codimensao finita, sao uma dua-

lidade.

Demonstracao. A proposicao acima mostra que de fato D1(X) ∈ k-PCAlg.

Seja agora M ∈ k-PCAlg. Entao M ∼= lim←−i∈I

M/Ni com cada ideal Ni de codimensao

finita. Segue que

M = f ∈ Homk(M,k)|∃I < ker f, codimk(I) <∞∼= f ∈ Homk(lim←−

i∈IM/Ni, k)|∃I < ker f, codimk(I) <∞

∼= f ∈ (lim←−i∈I

M/Ni)∗|∃I < ker f, codimk(I) <∞

∼= f ∈ lim−→i∈I

(M/Ni)∗|∃I < ker f, codimk(I) <∞ ∼= lim−→

i∈I(M/Ni)

∗

71

ja que como M/Ni tem dimensao finita para todo Ni, segue que todo ideal de (M/Ni)∗

tem codimensao finita. Mas, entao, como cada M/Ni tem dimensao finita, segue que

a estrutura de algebra de M/Ni induz, para cada i ∈ I, uma estrutura unica de

coalgebra em (M/Ni)∗. Essa estrutura e tal que os mapas sobrejetivos M/Ni →M/Nj

induzem morfismos injetivos de coalgebras entre (M/Ni)∗ → (M/Nj)

∗ sempre que

Ni ⊂ Nj. Isso nos define, por limite, uma estrutura de coalgebra em M.

Vamos mostrar que esses funtores sao, de fato, dualidade. Dada algebra pseudo-

compacta A temos:

(A)∗ = (lim−→i∈I

(A/Ni)∗)∗ ∼= lim←−

i∈I(A/Ni)

∗∗ ∼= lim←−i∈I

A/Ni∼= A

ou seja, D1 D2∼= id. Analogamente, dada coalgebra Λ temos:

(Λ∗) ∼= ( lim←−N∈F

Λ∗/N⊥) ∼= lim−→N∈F

(Λ∗/N⊥) = lim−→N∈F

(Λ∗/N⊥)∗ ∼= lim−→N∈F

N ∼= Λ

ou seja, D2 D1∼= id. Segue que os funtores D1 e D2 sao uma dualidade, como

querıamos.

Podemos agora enunciar um dos resultados centrais deste trabalho:

Teorema 5.2.3 ([Sim],Thm.4.3(d), Pag.109). Seja Λ uma coalgebra e A uma algebra

pseudocompacta. Entao Λ∗ e uma algebra pseudocompacta e A e uma coalgebra.

Alem disso, as categorias Λ-Comod e Λ∗-PCMod sao duais, bem como A-PCMod e

A-Comod.

Simson argumenta que de fato os funtores

(−)∗ : Λ-Comod Λ∗-PCMod : (−)

sao duais. Note que esses funtores nao sao os mesmos que aparecem no Teorema 5.2.2,

apesar de agirem de maneira similar em virtude do Teorema Fundamental dos Como-

dulos: O funtor (−)∗ associa a cada Λ-comodulo X o espaco vetorial dual X∗ com

estrutura de Λ∗-modulo pseudocompacto dada por

X∗ ∼= (lim−→Y ∈F

Y )∗ ∼= lim←−Y ∈F

Y ∗ ∼= lim←−Y ∈F

X∗/Y ⊥

sendo F a colecao de todos subcomodulos de dimensao finita de X (note que como

os Y tem todos dimensao finita, claramente Y ∗ ∼= X∗/Y ⊥ tambem tem).

Similarmente, definimos, para todo A-modulo pseudocompacto M , M := f ∈M∗ | ker f contem um ideal de codimensao finita.. Simson mostra que esses modulos

72

tem naturalmente estrutura de A-modulos discretos ([Sim, Prop.2.6(d), Pag.106]) e

que estes, por fim, correspondem a A-comodulos ([Sim, Thm.4.3(a), Pag.109]), como

querıamos.

Isso, junto com o teorema anterior, e suficiente para nos garantir que, como Λ ∼=(Λ∗) e A ∼= (A)∗, nao somente Λ-Comod e Λ∗-PCMod sao duais, mas tambem A-Comod

e A-PCMod.

5.3 Objetos Basicos

Seja, agora, Sαα∈Ω um conjunto completo de representantes de classes de isomorfis-

mos de objetos simples de Comod-Λ e sejam Eα as cascas injetivas de cada Sα. Entao

Gabriel nos diz em [Gab, Prop. 11, pag. 361] que como s(Eα) = Sα para todo α ∈ Ω,

os Eα sao indecomponıveis e dois-a-dois nao-isomorfos. Pelo mesmo resultado, vemos

que se E e um injetivo indecomponıvel qualquer, entao E ∼= Eα para algum α ∈ Ω

ja que E e injetivo indecomponıvel se, e somente se, s(E) e simples e, portanto, iso-

morfo a algum Sα. Isso nos diz que a colecao dos Eα forma um conjunto completo de

representantes das classes de isomorfismos de injetivos indecomponıveis em Comod-Λ.

Com isso temos o seguinte teorema, consequencia direta de [Gab, Thm. 2, pag.

388]:

Teorema 5.3.1. Seja Eαα∈Ω um conjunto completo de representantes das classes

de isomorfismo de objetos injetivos indecomponıveis de Comod-Λ. Entao todo injetivo

E ∈ Comod-Λ e da forma

E ∼=⊕α∈Ω

Enαα

com cada nα determinado de maneira unica.

Demonstracao. Ja sabemos que a soma direta de injetivos e injetiva.

Por outro lado, seja E um injetivo e olhe para s(E). Entao certamente

s(E) =⊕α∈Ω

Snαα

sendo que cada ordinal nα depende de E. Mas s(E) ∼= s(s(E)) e, pela Proposicao 2.3.8

isso implica E ∼= E(s(E)) e, por fim, como

E(s(E)) =⊕α∈Ω

E(Snαα ) =⊕α∈Ω

Enαα

o resultado se segue.

73

Em particular, Λ, visto como comodulo, e injetivo e, portanto estamos prontos

para provar o seguinte resultado:

Proposicao 5.3.2. Seja E ∼=⊕

α∈Ω Enαα um objeto injetivo em Comod-Λ e Eαα∈Ω

um conjunto completo de representantes das classes de isomorfismo de injetivos in-

decomponıveis em Comod-Λ. Entao E e cogerador se, e somente se, nα > 0 para todo

α ∈ Ω.

Demonstracao. Primeiro note que a condicao de todos nα > 0 e equivalente a condicao

de que Hom(Sα, E) 6= 0 para todo α ∈ Ω ja que s(E) =⊕

α∈Ω Snαα .

Com isso, o resultado vira um corolario da Proposicao 1.2.6. Por um lado, suponha

que E e um cogerador injetivo. Entao, como Sαα∈Ω e um conjunto completo das

classes de isomorfismo de comodulos simples, segue que Hom(Sα, E) 6= 0 para todo

α.

Por outro lado, se Hom(Sα, E) 6= 0 para todo α, para E injetivo, seja X um

comodulo qualquer. Vamos mostrar que Hom(X,E) 6= 0 e, portanto, E e cogerador.

Mas isso e facil: Como Sαα∈Ω e um conjunto completo de representantes das clas-

ses de isomorfismos dos comodulos simples, existe um subconjunto A ∈ Ω tal que

para todo α ∈ A, Hom(Sα, X) 6= 0. Agora o Lema de Schur nos garante que tais

morfismos sao sempre injetivos, ja que Hom(Sα, Sβ) 6= 0 ⇐⇒ α = β e a imagem

de comodulos simples por morfismos de comodulos e sempre um comodulo simples.

Entao o diagrama

Sα X

E

nos garante a existencia de um morfismo X → E ja que E e injetivo e, portanto,

Hom(X,E) 6= 0, encerrando, assim, a demonstracao.

Corolario 5.3.3. Em Comod-Λ, E ∼=⊕

α∈Ω Enαα com 0 < nα <∞ para todo α ∈ Ω e

um cogerador injetivo quase-finito.

Demonstracao. Pela proposicao anterior, nα > 0,∀α ∈ Ω implica que E e cogerador

injetivo. Por outro lado, o Teorema 2.3.6 nos diz que nα <∞,∀α ∈ Ω implica que E

e quase-finito.

Se essa construcao parece familiar, ela deveria. De fato, William Chin e Susan

Montgomery [CM, p.43] fazem a seguinte definicao:

74

Definicao 5.3.4. Seja Λ uma coalgebra e E =⊕

α∈ΩEα como acima. Entao a

coalgebra Γ := e-Λ(E) e chamada de coalgebra basica de Λ.

Diremos que uma coalgebra Λ e basica se Λ ∼= e-Λ(E).

Essa coalgebra, pelo Teorema 3.5.8, e Morita-Takeuchi equivalente a Λ. Alem

disso, por nossa construcao, cada coalgebra admite uma unica coalgebra basica asso-

ciada a menos de isomorfismos.

Proposicao 5.3.5. Toda coalgebra e Morita-Takeuchi equivalente a uma coalgebra

basica.

Vamos agora apelar para a motivacao por tras do nome “basica”:

Lema 5.3.6. Seja Λ uma coalgebra basica. Entao toda subcoalgebra simples e o dual

de uma algebra de divisao.

Demonstracao. Seja s(Λ) =⊕

α∈Ω Snαα o socle de Λ. Entao, para cada Sα temos:

S∗α∼= Homk(Sα, k) ∼= Hom-Λ(Sα,Λ) ∼= Hom-Λ(Sα, s(Λ)) ∼= Hom-Λ(Sα, Sα)nα

Agora, como Λ e basica, nα = 1 para todo α ∈ Ω, logo S∗α∼= End-Λ(Sα) que e uma

algebra de divisao pelo Lema de Schur.

Para mostrar um corolario desse lema, vamos precisar de um pequeno lema tecnico

antes:

Lema 5.3.7. Se D e uma algebra de divisao de dimensao finita sobre um corpo

algebricamente fechado k, entao k ∼= D.

Demonstracao. Primeiro, note que como D tem dimensao finita, Z(D) tambem tem

e, portanto, Z(D)/k e uma extensao de corpos finita (e, portanto, algebrica). Logo

Z(D) = k.

Tome agora a ∈ D e olhe para a algebra k[a]. Como k comuta com D e a comuta

consigo mesmo, algebra k[a] e comutativa. Entao

k ≤ k[a] ≤ Z(D)

e como Z(D), k[a] = k ou seja D ⊂ k, o que nos mostra que D ∼= k, como querıamos.

Corolario 5.3.8. Se k e algebricamente fechado, entao toda coalgebra basica e pon-

tuada.

75

Demonstracao. Se Λ e basica, entao todo End-Λ(Sα) e uma k-algebra de divisao

de k-dimensao finita. Pelo lema acima, vemos que k ∼= End-Λ(Sα). Segue que

dimk(End-Λ(Sα)) = 1 e, portanto, dimk Sα = 1, donde Λ e pontuada.

Proposicao 5.3.9. Seja Λ uma coalgebra pontuada. Entao Λ e basica.

Demonstracao. Pelo raciocınio acima, temos

dimk(Sα) = dimk(S∗α) = nα · dimk(End-Λ(Sα))

Agora, como Λ e pontuada, dimk Sα = 1, logo nα = dimk(End-Λ(Sα)) = 1 e segue que

Λ ∼=⊕

Eα, donde Λ e basica, como querıamos mostrar.

Esses resultados nos permitem, entao, estender os resultados classicos da Teoria

de Morita para algebras de dimensao finita:

Definicao 5.3.10. Seja A uma algebra. Dizemos que A e basica se A/m e algebra

de divisao para todo m ideal maximal de A.

Proposicao 5.3.11. Seja Λ uma coalgebra basica. Entao Λ∗ e uma algebra pseudo-

compacta basica.

Demonstracao. Como s(Λ)∗ = Λ∗/J(Λ∗) (novamente por definicao), e como s(Λ) ∼=⊕Si, temos que Λ∗/J(Λ∗) ∼=

∏S∗i sendo cada S∗i uma algebra de divisao (ja que Λ

e basica), ou seja, Λ∗ e basica.

Por fim, o Teorema 5.2.2 nos diz que Λ∗ e uma algebra pseudocompacta, como

querıamos.

E, por fim, podemos apresentar uma demonstracao alternativa para um resultado

ja conhecido sobre algebras pseudocompactas:

Teorema 5.3.12. Seja A uma algebra pseudocompacta. Entao existe uma algebra

pseudocompacta basica Ab tal que A e Ab sao Morita equivalentes.

Demonstracao. Para provar isso, basta fazermos uma composicao: Dada a nossa

algebra pseudocompacta A construımos a coalgebra dual A pelo Teorema 5.2.2.

Agora dada a coalgebra A, construımos (A)b coalgebra basica Morita-Takeuchi

equivalente a A da seguinte maneira: Dado A, tomamos s(A). Como A e um

A-comodulo quase-finito, o Teorema 2.3.6 nos diz que o seu socle pode ser escrito

como

s(A) ∼=⊕α∈Ω

Snαα

76

para algum conjunto de ındices Ω, sendo Sαα∈Ω um conjunto completo de represen-

tantes das classes de isomorfismos de A-comodulos simples. Agora, o Lema 2.2.16

nos garante que podemos tomar Eα, a casca injetiva de cada Sα. Novamente, [Gab,

Prop. 11, pag. 361] nos diz que Eαα∈Ω e um conjunto completo de representantes

das classes de isomorfismo de A-comodulos injetivos indecomponıveis.

Definimos o A-comodulo

E :=⊕α∈Ω

Eα

e o Corolario 5.3.3 nos garante que E e um A-comodulo cogerador injetivo quase-

finito e, portanto, o Teorema 3.5.8 nos garante que A ≡MT (A)b, sendo (A)b :=

e-A(E).

Novamente aplicamos o Teorema 5.2.2 e obtemos a algebra pseudocompacta Ab :=

((A)b)∗ que e basica pela proposicao anterior.

Por fim, o Teorema 5.2.3 junto com o Teorema 3.5.8 nos dao o seguinte diagrama:

A-PCMod A-Comod

Ab-PCMod (A)b-Comod

(−)

(−)∗

≡(−)

(−)∗

que nos diz que A e Ab sao Morita equivalentes, como querıamos.

Esse ultimo resultado nos permite analisar os seguintes exemplos:

EXEMPLO(S): A coalgebra de matrizes M cn(k) e Morita-Takeuchi equivalente a

coalgebra k.Primeiro note que como k ∼= M c

1(k), k tem estrutura de coalgebra dada por∆(1) = 1⊗ 1 e ε(1) = 1.

Tomamos entao s(M cn(k)) e notamos que como M c

n(k) e um M cn(k)-comodulo

quase-finito, temos que

s(M cn(k)) ∼=

⊕α∈Ω

Snαα

para algum conjunto de ındices Ω. Mas sabemos que os M cn(k)-comodulos simples

sao justamente as colunas, de forma que

s(M cn(k)) ∼=

⊕1≤i≤n

kn

e como todos os kn sao injetivos, essa e a nossa casca injetiva.Definimos entao E = kn e vemos, pelas consideracoes acima, que E e um M c

n(k)-comodulo cogerador, injetivo e quase-finito. Agora e-Mc

n(k)(E) e, por definicao, iso-morfo a EndMc

n(k)(E) e isso, por sua vez, e simplesmente EndMn(k)(E∗). Mas como

77

E∗ ∼= E, o Lema de Schur ([Ben, Lem.1.3.3, Pag.5]) nos diz que EndMn(k)(kn) ∼= k,

donde vemos que e-Mcn(k)(E) ∼= k, como querıamos.

EXEMPLO(S): Seja

A = k ×M2(k)× · · · ×Mn(k)× · · ·

Escrevendo A = lim←−n∈N

(n∏i=1

Mi(k)

)∼= lim←−

n∈N

(A/∏i>n

Mi(k)

)vemos que A e uma

algebra pseudocompacta. Vamos, entao, construir a algebra pseudocompacta basicaMorita equivalente a A.

Primeiro, seguindo os passos da demonstracao do Teorema 5.2.2, temos

A ∼= lim−→n∈N

(n∏i=1

Mi(k)

)∗∼= lim−→

n∈N

(n⊕i=1

Mi(k)∗

)

e isso, pela Proposicao 4.0.1, e simplesmente

lim−→n∈N

(n⊕i=1

M ci (k)

)

ou seja, como coalgebra

A ∼= k ⊕M c2(k)⊕ · · · ⊕M c

n(k)⊕ · · · .

Mas nos acabamos de mostrar no exemplo anterior que cada M cn(k) e Morita-

Takeuchi equivalente a k. Entao a coalgebra basica (A)b associada a A e simples-mente

(A)b = k ⊕ k ⊕ · · · ⊕ k ⊕ · · ·

donde podemos concluir que a algebra pseudocompacta Ab dual a (A)b e simples-mente

Ab = k × k × · · · × k × · · ·

Ou seja, a algebra pseudocompacta basica Morita equivalente a∏

i≥1Mi(k) esimplesmente

∏i≥1 k.

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