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CONTROL INTELIGENTEConjuntos fuzzy
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CONJUNTOS DIFUSOS
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Los Conjuntos y la Logica difusa
1965: Propuestos por Lotfi A. Zadeh, University of California, Berkeley
70’s primeras aplicaciones (Mamdani) 80’s aplicaciones industriales. Operación de
un tren en Senday, Japon. 1986: Chip VLSI 90’s productos de consumo. Camaras,
lavadoras 1994: Toolbox de MatLab
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Conjuntos Clasicos
Alguna propiedad de x determina su pertenencia al conjunto A
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Conjuntos Clasicos
Tradicionalmente un conjunto (S) se caracteriza como:
El conjunto de numeros naturales menores que cinco
5
: 0,1A X
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Conjuntos Difusos (1)
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Conjuntos Difusos (2)
Perfil subjetivo
7
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Conjuntos Difusos (3)
Un conjunto difuso (A) se caracteriza:
donde X es el universo de discurso, y µA la función de pertenencia.
Para cada elemento x, µA(x) es el grado de pertenencia al conjunto difuso A.
9
: 0,1A X
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Conjuntos Difusos (4)
Habitualmente se utilizan funciones de pertenencia estándar cuya representación nos da una determinada forma.
Nos permite representar las funciones de forma compacta, a la vez que se simplifican los cálculos.
X
µA
Conjunto Triangular
X
µA
Conjunto Trapezoidal
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Representacion de conjuntos fuzzy
Como una lista de pares pertenencia/elemento
Formula analitica para la funcion (grado) de pertenencia
1 1 , ,A A n nA x x x x
2
1
1A x x
x R
11
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Definiciones basicas y terminologia
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Confuntos fuzzy
Definicion formal :Un conjunto fuzzy A en X se expresa como un
conjunto de pares ordenados:
A x x x XA {( , ( ))| }
Universo oUniverso del discurso
Conjunto fuzzyFuncion depertenencia
(MF)
Un conjunto fuzzy esta completamentecaracterizado por una funcion de pertenencia
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Conjuntos fuzzy con Universo Continuo
B = “cerca de 50 años de edad”X = Conjunto de numeros reales positivos (continuo)B = {(x, mB(x)) | x in X}
B xx
( )
1
150
10
2
15
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Particion Fuzzy
Particion fuzzy formada por los valores linguisticos “young”, “middle aged”, y “old”:
lingmf.m
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Propiedades Support Core Crossover
points a-cut
MF
X
.5
1
0Core
Crossover points
Support
a - cut
a
22
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conjunto singleton
El conjunto singleton A
1 si ( )
0 en otro caso
s
A
x xx
0-1-2-3 1 2 3
28
El conjunto singleton es muy util en la construccion de sistemas
fuzzy
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Operaciones con Conjuntos Fuzzy
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Subconjunto de conjuntos fuzzy
Subconjunto:
A BA B
subset.m
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Operaciones sobre conjuntos fuzzy
Complemento:
1 AAA X A x x
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Operaciones sobre conjuntos fuzzy
Union:
C A B C (x) max A (x),B (x)
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Operaciones sobre conjuntos fuzzy
Interseccion:
C A B C (x) min A(x),B(x)
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Funciones de pertenencia tipicas
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Funciones de pertenencia
MF Triangular:
trimf x a b cx ab a
c xc b
( ; , , ) max min , ,
0
36
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Funciones de pertenencia
MF Trapezoidal:
trapmf x a b c dx ab a
d xd c
( ; , , , ) max min , , ,
1 0
37
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Funciones de pertenencia
gaussmf x a b c ex c
( ; , , )
12
2
38
MF Gausiana:
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Funciones de pertenencia
gbellmf x a b cx cb
b( ; , , )
1
12
39
MF Campana generalizada :
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Conjuntos fuzzy multidimencionales
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Conjuntos fuzzy multidimencionales
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Extension cilindrica
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Proyeccion 2D en X1
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Proyeccion 2D en X2
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Interseccion en el espacio producto carteciano
Una operación entre conjuntos fuzzy en dominios diferentesresulta en un conjunto fuzzy multidimensional
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Operadores generalizados
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Operadores generalizados
Complemento: NOT
Interseccion: AND
Union: OR
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Complemento Fuzzy
requiremientos Generales:
Frontera: N(0) = 1 and N(1) = 0
Monotonicidad: N(a) > N(b) if a < b
Involucion: N(N(a)) = a
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Aa
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Complemento Fuzzy
negation.m
N aa
sas( )
1
1N a aw
w w( ) ( ) / 1 1
Complemento de Sugeno: Complemento de Yager:
53
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Operadores generalizados
Las norma y conorma triangulares generalizan operaciones con conjuntos
Norma-T:
generaliza el concepto de intersección
Conorma-T:
generaliza el concepto de unión54
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Norma-T: Interseccion Fuzzy
Cuatro ejemplos:
Minimo: Tm(a, b) = min(a,b)
Producto algebraico: Ta(a, b) = a*b
Producto acotado: Tb(a, b)
Producto drastico: Td(a, b)
56
Aa
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Conorma-T o norma-S: Union Fuzzy
Cuatro ejemplos:
Maximo: Sm(a, b) = max(a,b)
Suma algebraica: Sa(a, b) = a+b-a*b
Suma acotada: Sb(a, b)
Suma drastica: Sd(a, b)
59
Aa
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Ley de DeMorgan Generalizada
Las normas-T y conormas-T son duales si soportan la generalizacion de la ley de DeMorgan:
T(a, b) = N(S(N(a), N(b)))
S(a, b) = N(T(N(a), N(b)))
Tm(a, b)Ta(a, b)Tb(a, b)Td(a, b)
Sm(a, b)Sa(a, b)Sb(a, b)Sd(a, b)
A B A B
A B A B
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min-maxalgebraica
acotadadrastica
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Algunos operadores generalizados
Norma-tConorma-t rango autor
Schweizer &Sklar [69]1 max 0, (1 a) p (1 b) p 1
1
p max 0, a p b p 1 1
p p ( ,)
a b (2 )ab
a (1 )abab
(1 )(a b ab) (0,) Hamacher [70]
min 1,(aw bw )1
w
1 min 1,((1 a)w (1 b)w )1
w
w (0,) Yager [72]
1
11
a 1
1
b 1
1
1
11
a 1
1
b 1
1
(0,) Dombi [74]
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Fuentes
J.-S. Roger Jang, Slides for Fuzzy Sets, Ch. 2 of Neuro-Fuzzy and Soft Computing. CS Dept., Tsing Hua Univ., Taiwan.
Humberto Martínez Barberá, Control Difuso. Universidad de Murcia. 2000
Robert Babuska. Fuzzy and neural control. DISC Course Lecture Notes (October 2001)
Robert Babuska. Course Fuzzy and Neural Control, 2001/2002.
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Fuentes
R. Babuska, H.B. Verbruggen, H. Hellendoorn, Promising Fuzzy Modeling and Control Methodologies for Industrial Applications, 1999
René Jager, Fuzzy Logic in Control. PHD thesis, 1995.
Javier Echauz, Sistemas y Controles Inteligentes, Universidad de Puerto Rico, 2000
L.X. Wang, “Adaptive Fuzzy Systems and Control: Design and Stability Analysis”, Prentice-Hall, 1.994
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