INTRODUCCIN

TTULOLa interaccin con la tecnologa cas en la construccin de argumentos matemticos del estudiante

AUTOR(ES)Leobardo Mendo Ostos 1Apolo Castaeda Alonso 2

INSTITUCIN1 Instituto Tecnolgico Superior de Tantoyuca2 CICATA (Centro de Investigacin en Ciencia Aplicada y Tecnologa Aplicada) del IPN

RESUMEN:

Esta investigacin analiza la interaccin (estudiante-diseo / estudiante-estudiante) que se genera a partir de un diseo didctico, el cual se apoya en la tecnologa CAS (Computer Algebra System). El propsito de la investigacin es observar la forma en cmo los estudiantes elaboran y formulan argumentos matemticos. Con relacin al diseo se consideraron las caractersticas de las orquestaciones instrumentales propuestas por (Guin y Trouche, 1999) y las fases de la metodologa ACODESA propuesta por (Hitt, 2007, Hitt et al., 2009). Adems se complementaron con otras acciones como: uso de ejemplos-contraejemplos. En la investigacin consideramos relevante, las caractersticas de un ambiente tecnolgico, las caractersticas de las interacciones en un ambiente tecnolgico, la construccin de argumentos matemticos en un ambiente tecnolgico. Para observar y analizar estos indicadores nos apoyamos de una secuencia de aprendizaje que considera como referente terico-metodolgico la Gnesis Instrumental. La Gnesis Instrumental trabaja en dos direcciones. En la primera, se dirige hacia el artefacto, cargndolo progresivamente con potencialidades (proceso Instrumentalizacin). En la segunda direccin, se dirige hacia el sujeto y lleva al desarrollo y apropiacin de esquemas de accin instrumentada que se constituyen progresivamente en tcnicas que permiten una respuesta efectiva a tareas (proceso de instrumentacin).

La metodologa ACODESA (aprendizaje en colaboracin, debate cientfico y auto-reflexin). La metodologa ACODESA, integra varias etapas interrelacionadas unas con otras: trabajo individual, trabajo en equipo, debate en el aula, auto-reflexin y la institucionalizacin; es importante sealar que en las primeras tres etapas el maestro es un gua y es deber de los estudiantes de argumentar y validar sus producciones, en el proceso de institucionalizacin es donde el maestro resalta la diferentes representaciones y presenta las representaciones institucionales. En la secuencia de aprendizaje se pretende dar promocin al concepto de integral impropia; como lo menciona Gonzlez (2006) los estudiantes no alcanzan a comprender este concepto de forma adecuada, limitndose solo a memorizar un conjunto de criterios y tcnicas. A partir de la puesta en escena y el anlisis de los resultados; se identificaron una serie de aspectos (evidencias) que muestran los procedimientos y procesos en la construccin de argumentos matemticos en los estudiantes, particularmente en momentos como la interaccin con la tecnologa-compaeros-maestro, al transitar por las diferentes representaciones (grfica-numrica-algebraica-verbal), al analizar y construir conjeturas para dar solucin a los ejemplos y contraejemplos, al trabajar en sus informes y en el momento del proceso de institucionalizacin.

PALABRAS CLAVE: Caractersticas, interaccin, ambiente tecnolgico y construccin de argumentos.

I.- INTRODUCCINLas tendencias actuales del uso de la tecnologa en el saln de clase, ha generado cambios sustanciales en la forma de cmo los estudiantes aprenden matemtica; concibindola como una alternativa didctica que permite al estudiante realizar observaciones que otros ambientes, por ejemplo lpiz-papel sera tedioso y difcil de obtener. Al respecto (Borba y Villarreal, 2005) consideran que la experimentacin en un ambiente tecnolgico permite al estudiante hacer conjeturas, transitar de un sistema de representacin a otro, reconocer patrones, deducir y analizar comportamientos en grficas y a partir de ello generar argumentos sobre un objeto matemtico en construccin. En las matemticas las argumentaciones tienen cabida y aparecen en el procesos de construccin del conocimiento, adems en situaciones de interaccin de dicho conocimiento con el estudiante a travs de un instrumento tecnolgico, es decir, cuando el estudiante interacta con el objeto matemtico a travs de un medio tecnolgico, la construccin del conocimiento est ligado a los procesos cognitivos como la deduccin, la reflexin y el establecimiento de conjeturas; as en la medida que el estudiante argumente estos procesos e ideas ser capaz de construir su propio conocimiento.En la dcada de los noventa, con la aparicin de software con capacidades simblicas y grficas CAS (Derive, Maple, Mathemtica, Mathcad, entre otros...). Este tipo de programas informticos facilitan el trabajo simblico y permiten transitar entre representaciones (grfica-algebraica-numrica). Contribuyendo a la interaccin con expresiones: algebraicas-numricas-grficas, favoreciendo mltiples representaciones del concepto matemtico en juego. El uso de la tecnologa CAS, por ofrecer caractersticas y posibilidades didcticas se ha desarrollado diferentes proyectos de investigacin, por mencionar (Artigue, 2002; Drijvers, 2002; Camacho y Depool, 2003; entre otros). En donde se reportan resultados alentadores, as como tambin algunas limitantes y potencialidades que nos permiten reconsiderar nuevos planteamientos.

II.-PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMAEn la presente investigacin el inters radica en conocer cules son las caractersticas que generan la construccin de argumentos matemticos en los estudiantes en un ambiente tecnolgico, pues consideramos que al evidenciar estos procesos se podrn adaptar los diseos didcticos y tener control en los procesos didcticos, as tambin nos permite observar la forma en cmo los estudiantes validan sus hiptesis y cmo dar sentido a las observaciones y situaciones que experimentan. Para guiar la investigacin se pretende disear una secuencia de aprendizaje que considera como referente terico-metodolgico la Gnesis Instrumental y la Metodologa ACODESA. La secuencia de aprendizaje, pretende dar promocin al concepto de integral impropia, y como objeto de estudio, analizar los momentos que promueven la construccin de argumentos matemticos del estudiante. En este caso, la pregunta qu orienta la investigacin: Cules son las caractersticas la interaccin en un ambiente tecnolgico que promueven la construccin de argumentos matemticos del estudiante?

Los conceptos clave que emergen de la pregunta de investigacin: caractersticas, interaccin, ambiente tecnolgico, construccin de argumentos. De los cuales se originan las preguntas auxiliares; al respecto (Niss, 2010) comenta que las preguntas auxiliares se pueden considerar como un levantamiento de los hechos, sirviendo como un puente para la pregunta de investigacin.PREGUNTAS AUXILIARESPor qu considerar las caractersticas de un ambiente tecnolgico? Por qu es importante? Por qu es necesario?

En torno a este cuestionamiento (Trouche, 2004) considera que un enfoque instrumental estudia las interacciones humanas y las maquinas en ambientes de aprendizaje informticos. La metfora medio ambiente es importante, ya qu pone en evidencia la cuestin de viabilidad de objetos; insiste que un ambiente de aprendizaje no es neutral, hay que considerar la iniciativa de los estudiantes con respecto a las actividades. La gnesis instrumental, es un proceso complejo, que necesita tiempo, y vincula a las caractersticas de los artefactos (sus potencialidades y sus restricciones) y la actividad del sujeto, sus conocimientos y ex-mtodos de trabajo.Cmo el estudiante interacta en un ambiente tecnolgico?; Con la tecnologa?; Con el diseo didctico?; Con sus compaeros?; Con el maestro?En este sentido (Trouche, 2003) menciona tres niveles de orquestaciones instrumentales, considerando que cada nivel, tiene caractersticas propias; en donde el estudiante interacta con las diferentes situaciones que se le presenta, con la tecnologa, con sus compaeros y con el maestro. Sin olvidar la importancia del trabajo de lpiz y papel, as tambin, el conocimiento de los estudiantes al utilizar eficazmente las interacciones entre pares de estudiantes, estudiantes y maestro, entre estudiantes y el ordenador.

Cmo lograr que los estudiantes construyan argumentos matemticos en un ambiente tecnolgico?Como lo comenta (Borba y Villarreal, 2005) la experimentacin en un ambiente tecnolgico permite al estudiante hacer conjeturas, transitar de un sistema de representacin a otro, reconocer patrones, deducir y analizar comportamientos en grficas y a partir de ello generar argumentos sobre un objeto matemtico en construccin.

La argumentacin es importante, no solo porque hace viable observar las ideas y nociones que el estudiante est concibiendo sobre un saber matemtico; y as poder identificar qu tipo de concepciones tiene, sino tambin porque es una forma de generar o construir conocimiento matemtico. Los estudiantes deben encontrar palabras, frmulas, teoremas y metforas capaces de construir argumentos racionales de forma que se convenzan de que las conjeturas construidas no son falsas.

III.- MARCO TERICO

Drijvers (2002) expresa que en la enseanza de los conceptos utilizando la tecnologa CAS se distingue entre un artefacto tecnolgico y el instrumento que un ser humano es capaz de construir a partir de l. Mientras el artefacto se refiere a una herramienta objetiva, el instrumento se refiere a una construccin mental hecha por el usuario de la herramienta. El instrumento no viene dado con el artefacto, se construye mediante un proceso complejo que se denomina gnesis instrumental y da forma a la actividad y al pensamiento matemtico. Este edificio; llamado Gnesis Instrumental es un proceso complejo, vinculado a las caractersticas del artefacto (sus potencialidades y las limitaciones) y a la actividad del sujeto, a sus conocimientos y ex-mtodos de trabajo.

La Gnesis Instrumental es un proceso (por lo tanto necesita tiempo) y tiene dos componentes, el primero (instrumentalizacin) dirigido hacia el artefacto, el segundo (instrumentacin), dirigido hacia el tema. Esto puede ser visto como la combinacin de dos procesos (Trouche, 2004), como se observa en la Figura 1.1.

Figura 1.1. Gnesis Instrumental como una combinacin de dos procesos (Trouche, 2004).

LA ORQUESTACIN INSTRUMENTAL COMO GUA PARA LA GNESIS INSTRUMENTAL

Trouche (2002) introduce el trmino de orquestaciones instrumentales para sealar la necesidad de una gua externa de las gnesis instrumentales de los estudiantes. Una orquestacin instrumental viene definida por configuraciones didcticas (como la disposicin de las herramientas en el entorno, una disposicin para cada fase del tratamiento matemtico) y por los modos de explotacin de estas configuraciones. Para cada orquestacin se distinguirn los objetivos principales, los fundamentos indispensables y los objetivos secundarios, ligados a los modos de explotacin escogidos.La orquestacin instrumental puede actuar en distintos niveles (Trouche, 2003)

El primer nivel: a nivel del propio artefacto. El segundo nivel: a nivel de un instrumento o un conjunto de instrumentos. El tercer nivel (meta-nivel): a nivel de la relacin de un sujeto mantiene con un instrumento o un conjunto de instrumentos.Una orquestacin instrumental viene definida por configuraciones didcticas (como la disposicin de las herramientas disponibles en el entorno, una disposicin para cada fase del tratamiento matemtico) y por los modos de explotacin de estas configuraciones. Para cada orquestacin se distinguirn los objetivos principales, los fundamentos indispensables para la orquestacin, y los objetivos secundarios, ligados a los modos de explotacin escogidos. Trouche (2003) la define como una evolucin en un ambiente de aprendizaje, como se visualiza en la Figura 1.2.

Figura 1.2. Evolucin de un ambiente de aprendizaje, Trouche (2003)

IV.- METODOLOGA EXPERIMENTAL

Las caractersticas que guan la secuencia de aprendizaje se tomaron de las orquestaciones instrumentales propuestas por (Guin y Trouche, 1999) y las fases de la metodologa ACODESA propuesta por (Hitt, 2007, Hitt et al., 2009). Adems se complementaron con otras acciones como: uso de ejemplos y contraejemplos, resolucin de problemas no rutinarios y desafiantes.

ETAPA 1:

Objetivos:

1. Promover el proceso de instrumentalizacin.2. Acercamiento a los conceptos previos que son necesarios para construir el concepto de Integral Impropia como son: lmites que comprenden el infinito, sumas de Riemann- Teorema fundamental del clculo.3. Promover el desarrollo de estrategias para construir ensayos-pruebas-conjeturas, apoyados de las tcnicas de lpiz-papel-tecnologa.

ETAPA 2:

Objetivos:1. Promover el proceso de instrumentacin.2. Reflexin sobre qu condiciones son necesarias para definir la integral impropia.3. Presentar a los estudiantes elementos de reflexin que permitan obtener la definicin de la integral Impropia de tipo I y II y el teorema de comparacin.4. Observacin de los distintos comportamientos para una integral impropia: convergencia y divergencia, usando para su anlisis los registros (grfico-numrico-algebraico-verbal).

ETAPA 3:Objetivos:

Generar argumentaciones en los estudiantes a travs de la articulacin de las diferentes herramientas (lpiz-papel-instrumento tecnolgico-teoremas, ejemplos-contraejemplos,...) con el fin de identificar cules son los significados que los estudiantes construyen sobre la integral impropia.

ETAPA 4:

Objetivos:

Institucionalizacin: en esta etapa el estudiante debe llegar al saber, que es considerado como lo que todo individuo debe saber al final de sus estudios en un ciclo dado, de una institucin dada.

IMPLEMENTACIN DEL DISEO EXPERIMENTAL

Para dar respuesta a la pregunta de investigacin planteada, se implement un taller extracurricular de cuatro sesiones de dos horas cada una en el Instituto Tecnolgico Superior de Tantoyuca, con 15 estudiantes de la carrera de Ingeniera Petrolera del segundo semestre. La condicin para participar en este taller fue que los estudiantes contaran con su computadora mvil (Laptop) e instalar el Software DERIVE- 6.10.V.- CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

CONCLUSIONES:

En torno a la pregunta de investigacin, se dise una secuencia de aprendizaje con el objeto de evaluar la construccin de argumentos matemticos en los estudiantes y as tambin se tom video para capturar los momentos que destaquen la construccin de conjeturas y argumentaciones de los estudiantes. Con respecto a la puesta en escena de la secuencia de aprendizaje se estructur en cuatro etapas.La pregunta de investigacin que gui al diseo de experimentos. Cules son las caractersticas de la interaccin en un ambiente tecnolgico que promueven la construccin de argumentos matemticos del estudiante?

ETAPA 1:

Se observo que los estudiantes en el desarrollo del proceso de instrumentalizacin, aproximadamente el 40% logr individualmente interactuar con la tecnologa, siguiendo las actividades planeadas para esta etapa, el resto tuvieron una serie de dificultades al momento de transitar entre las diferentes representaciones, as como tambin al momento de dar respuesta a los cuestionamientos. El maestro apoyado con la tecnologa CAS, enfatiz en algunas representaciones (grfica-numrica-algebraica-verbal) con el objeto de lograr que los estudiantes se motivaran a interactuar con la tecnologa. Con relacin a los ejemplos y contraejemplos, el 50% de los estudiantes se les dificult la actividad, pero mostraron inters por comprender la situacin; el maestro requiri replantear algunos cuestionamientos, los estudiantes con esta accin se motivaron a analizar con mayor inters, aplicando las definiciones y proposiciones, logrando estructurar algunas conjeturas y con ello argumentar sus respuestas.

ETAPA 2:

En esta etapa, se observ la dificultad en los estudiantes a expresar sus conjeturas al grupo; sin embargo, al momento de trabajar en pareja y en equipo los resultados fueron positivos. En torno a las representaciones funcionales y al trabajo en lpiz-papel-instrumento tecnolgico, su actitud fue de confianza a exponer sus ideas. En la discusin de solucin de ejemplos y contraejemplos el estudiante-sherpa gui al grupo con algunas dificultades; fue apoyado por el maestro para inducir a los estudiantes, para que lograran argumentar sus respuestas. En general, en esta etapa se observ un cambio de actitud y una mejora significativa en el anlisis de las representaciones y en la construccin de conjeturas y argumentaciones en un mayor porcentaje de estudiantes.

ETAPA 3:

En esta etapa, se regres al trabajo individual, promoviendo la auto-reflexin. Cada estudiante explic y justific sus observaciones en su informe de prcticas. Esta actividad se complement con la articulacin del trabajo en lpiz-papel-tecnologa instrumentada- teoremas-ejemplos-contraejemplos. Tambin se permiti que algunos estudiantes trabajaran en parejas y en algunas ocasiones el maestro expresaba en el pizarrn algunas pistas con el fin de que los estudiantes identificaran los significados y construyeran argumentos del concepto de integral impropia. El 100% de los estregaron un informe de las prcticas desarrolladas.

ETAPA 4:

Despus de revisar y analizar las producciones (informes) de los estudiantes en torno a la construccin de argumentos del concepto de integral impropia. En maestro enfatiz las observaciones generales de los informes y dio solucin a algunos ejemplos y contraejemplos que consider ilustrativos. En ellos, los estudiantes y el maestro discutieron sobre sus argumentaciones de tipo analtico, visual y discursivo, llegando a un consenso sobre las caractersticas que definen a las integrales impropias, y construir su conocimiento a partir de sus argumentaciones.

RECOMENDACIONES:

Investigar y documentar el proceso de interaccin del estudiante con las herramientas tecnolgicas, cuando resuelve ejemplos y contraejemplos; observando aspectos relacionados con su uso, las representaciones que emplea, el tipo de conjeturas y argumentos que obtiene. Proporciona argumentos para identificar qu tipo de actividades son las que se tienen que planear, para alcanzar una mayor comprensin de los conceptos matemticos en juego, as como identificar las ventajas y desventajas que se presentan al trabajar con este tipo de herramientas tecnolgicas.

VI.- REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Borba, M. y Villarreal, M. (2005). Humans-with-media and the Reorganization of Mathematical Thinking. Information and Communication Technologies, Modeling, Visualization and Experimentation. E.U.A.: Springer. Drijvers, P. (2002). Learning mathematics in a computer algebra environment. Obstacles are opportunities. Zentralblatt fr Didaktik der Mathematik. 34(5), 221-228.

Gonzalez, M. (2006). La generalizacin de la integral definida desde las perspectivas numrica, grfica y simblica utilizando entornos informticos. Problemas de enseanza y de aprendizaje. These Doctorale, Universite de la Laguna, ISBN: 84-7756-679-8.

Niss, M. (2010). What is quality in a PhD dissertation in mathematics education? Nordic Studies in Mathematics Education, 15(1), 5-23. Trouche, L. (2002). Gnesis Instrumentales, aspects individuals et collectives. Calculatrices symboliques. Transformer un outil en un instrument du travail mathmatique: un problme didactique (Guin, D. y Thouche, L. eds), pp. 243-276. Grenoble: La Pense Sauvage Editions.

Trouche, L. (2003) From Artifact to Instrument: Mathematics Teaching Mediated by Symbolic Calculators, in P. Rabardel and Y. Waern (Eds.), Actes de IUniversit d t de Saint-Flour, 15 (6), 265-293.

Trouche, L. (2004). Managing the Complexity of Human/Machine Interactions in Computerized Learning Environments: Guiding Students Command Process Through Instrumental Orchestrations, International Journal of Computers for Mathematical Learning, 9(3), 281-307.

Una Herramienta

Sus Limitaciones

Sus Potencialidades

Un sujeto/Un tema

Su/sus conocimientos

Su/sus mtodos de trabajo

Proceso de Instrumentalizacin (dirigido hacia el artefacto)

Proceso de Instrumentacin (dirigido hacia el sujeto)

Un Instrumento de hacer algo

Parte de la herramienta + planes de accin instrumentado

Gnesis de Instruccin

A travs de la actividad individual del sujeto,

A travs de la actividad organizada del maestro.

Un entorno

Un lugar, un maestro,

los estudiantes, los artefactos,

Instrumentos,

los sistemas de representacin.

Una Situacin matemtica.

Un escenario de explotacin Didctica (dependiendo del entorno y la situacin)

Gestin de diferentes etapas de situacin.

Una Orquestacin instrumental (para cada etapa de situacin)

Un nuevo entorno

(Instrumentos y sistemas de instrumentos se mueven de un estado a otro)

Evolucin de un ambiente de aprendizaje

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