congruence properties of the partition function · but if n= 7t+5, then 8n+2 0 (mod 7). moreover,...

Congruence properties of the partition functionTony Forbes ADF040c 1.11

Talks for LSBU Mathematics Study Group, 24 Sep, 8 Oct & 19 Nov 2008

The functions pk(n)For any k, define pk(n) by

∞∑n=−∞

pk(n)xn =∞∏n=1

(1− xn)k, |x| < 1,

so that pk(n) = 0 for negative n. The partition function p(n) is p−1(n). We will be interestedin three congruence properties stated and proved by Ramanujan:

p(5k + 4) ≡ 0 (mod 5), p(7k + 5) ≡ 0 (mod 7), p(11k + 6) ≡ 0 (mod 11).

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20p(n) 1 1 2 3 5 7 11 15 22 30 42 56 77 101 135 176 231 297 385 490 627

n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33p(n) 792 1002 1255 1575 1958 2436 3010 3718 4565 5604 6842 8349 10143

Ramanujan’s tau function τ(n) is p24(n− 1).

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10τ(n) 1 −24 252 −1472 4830 −6048 −16744 84480 −113643 −115920

Apart from the silly case, p0(n) = 0|n|, there are only two values of k for which pk(n) has asimple expression, k = 1, 3. For k = 1 we have

p1(n) = (−1)r if n =3r2 ± r

2, p1(n) = 0 otherwise. (1)

This is Euler’s pentagonal number theorem. The3r2 − r

2are the pentagonal numbers.

Equality (1) can be used to compute values of p(n) thus:

(p1 ∗ p)(n) =n∑i=0

p1(i)p(n− i) = p0(n) = 0|n|;

p(n) = p(n−1)+p(n−2)−p(n−5)−p(n−7)+p(n−12)+p(n−15)−p(n−22)−p(n−26)+. . . .

The other case is

p3(n) = (−1)r(2r + 1) if n =r2 + r

2, p3(n) = 0 otherwise. (2)

Ther2 + r

2are the triangular numbers. Useful property of p3(n):

p3(n) 6= 0 ⇒ p3(n)2 = 8n+ 1.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21p1(n) 1 −1 −1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0p2(n) 1 −2 −1 2 1 2 −2 0 −2 −2 1 0 0 2 3 −2 2 0 0 −2 −2 0p3(n) 1 −3 0 5 0 0 −7 0 0 0 9 0 0 0 0 −11 0 0 0 0 0 13

Identities (1) and (2) are corollaries of Jacobi’s triple product identity.

1

Theorem 1 For |x| < 1,

∞∏n=1

(1− x2n

) (1 + zx2n−1

)(1 +

x2n−1

z

)=

∞∑n=−∞

xn2

zn. (3)

Proof See Apostol’s book [5] (or M500 212).

For the p1(n) identity, (1), replace x by x3/2, z by −x1/2. Then

∞∏n=1

(1− x3n

) (1− x3n−1

) (1− x3n−2

)=

∞∑n=−∞

(−1)nx3n2/2+n/2,

and (1) follows.

For the other one, replace x by x1/2 and z by wx1/2. Then (3) becomes

∞∏n=1

(1− xn) (1 + wxn)

(1 +

xn−1

w

)=

∞∑n=−∞

wnx(n2+n)/2,

or∞∏n=1

(1− xn) (1 + wxn)(1 + w−1xn

)=

1

1 + w−1

∞∑n=−∞

wnx(n2+n)/2.

The right-hand side can be rearranged thus

∞∑n=0

wn + w−n−1

1 + w−1x(n2+n)/2 =

∞∑n=0

w−nw2n+1 + 1

w + 1x(n2+n)/2.

Let w → −1 and use l’Hopital’s rule to get (2).

More corollaries of Jacobi’s identity. Replace x and z by x1/2:

∞∏n=1

(1− x2n

)(1 + xn) =

1

2

∞∑n=−∞

xn(n+1)/2,

and∞∏n=1

1− x2n

1− x2n−1=

1

2

∞∑n=−∞

xn(n+1)/2.

Replace x by x5/2, z by x3/2:

∞∏n=1

(1− x5n−1

) (1− x5n−4

) (1− x5n

)=

∞∑n=−∞

(−1)nx(5n+3)n/2.

Replace x by x5/2, z by x1/2:

∞∏n=1

(1− x5n−2

) (1− x5n−3

) (1− x5n

)=

∞∑n=−∞

(−1)nx(5n+1)n/2.

2

Congruence properties of pk(n)

Lemma 1 Suppose for some k, b and prime h, pk(th+ b) ≡ 0 (mod h) for all t ≥ 0. Thenpk±h(th+ b) ≡ 0 (mod h) for all t ≥ 0.

Proof We have

∞∑n=0

pk+h(n)xn =∞∏n=1

(1− xn)k+h =∞∏n=1

(1− xn)k(1− xn)h

≡∞∏n=1

(1− xn)k(1± xnh) ≡∞∑n=0

pk(n)xn∞∏n=1

(1± xnh) (mod h).

When n = th+ b, pk(n) ≡ 0 (mod h). Moreover, only powers of xh appear when the producton the right is expanded. Therefore the coefficient of xth+b will be a sum of terms of the formcj pk(jh+ b) with integer coefficients cj for various integer values of j. Hence the coefficientof xn on the right is going to be zero modulo h. The case pk−h(th+ b) is treated in a similarmanner. �

Theorem 2 p(5t+ 4) ≡ 0 (mod 5) for all t ≥ 0.

Proof Consider p9(n). We have

∞∑n=0

p9(n)xn =∞∏n=1

(1− xn)9 =

(∞∑n=0

p3(n)xn

)3

.

So

p9(n) = (p3 ∗ p3 ∗ p3)(n) =n∑r=0

n−r∑s=0

p3(r)p3(s)p3(n− r − s).

Only terms on the right where all three factors are non-zero contribute to p9(n). Recallingthat p3(n)2 = 8n+ 1 for non-zero p3(n), we have

p3(r)2 + p3(s)

2 + p3(n− r − s)2 = 8r + 1 + 8s+ 1 + 8(n− r − s) + 1 = 8n+ 3.

Now suppose n = 5t + 4. Then 8n + 3 ≡ 0 (mod 5). Moreover, you cannot have threesquares summing to zero modulo 5 unless one of the squares is zero modulo 5. Hencep9(5t+ 4) ≡ 0 (mod 5). Recall that p(n) = p−1(n) and use Lemma 1 twice. �

Ramanujan has a similarly elementary proof but involving p4(n).

Ramanujan’s proof Write (1) and (2) thus

(1− x)(1− x2) . . . = 1− x− x2 + x5 + x7 − x12 − x15 + . . . =∞∑

n=−∞

(−1)nx(3n+1)n/2,

(1− x)3(1− x2)3 . . . = 1− 3x+ 5x3 − 7x6 + 9x10 − . . . =1

2

∞∑n=−∞

(−1)n(2n+ 1)x(n+1)n/2.

3

Then

x(1− x)4(1− x2)4 . . . =1

2

∞∑m=−∞

∞∑n=−∞

(−1)m+n(2n+ 1)x1+(3m+1)m/2+(n+1)n/2.

The coefficient of x5t on the left is p4(5t − 1). Now look at the exponent of x on the right.If this is a multiple of 5 then

8

(1 +

(3m+ 1)m

2+

(n+ 1)n

2

)= 8 + 4(3m+ 1)m+ 4(n+ 1)n ≡ 0 (mod 5).

Hence

8 + 4(3m+ 1)m+ 4(n+ 1)n− 10m2 − 5 = 2(m+ 1)2 + (2n+ 1)2 ≡ 0 (mod 5).

But this is impossible unless m+ 1 and 2n+ 1 are both zero. Hence the coefficient of x5t onthe right is zero modulo 5, and hence also on the left. �

Theorem 3 p(7t+ 5) ≡ 0 (mod 7) for all t ≥ 0.

Proof Consider p6(n). Similarly to before, we have

p6(n) = (p3 ∗ p3)(n) =n∑r=0

p3(r)p3(n− r).

Only terms on the right where the two factors are non-zero contribute to p6(n). Recallingthat p3(n)2 = 8n+ 1 for non-zero p3(n), we have

p3(r)2 + p3(n− r)2 = 8r + 1 + 8(n− r) + 1 = 8n+ 2.

But if n = 7t+5, then 8n+2 ≡ 0 (mod 7). Moreover, two non-zero squares modulo 7 cannotsum to zero modulo 7. Hence p6(7t+ 5) ≡ 0 (mod 7). The result follows using Lemma 1. �

However there is no simple proof of the third congruence, p(11t+ 6) ≡ 0 (mod 11).

Ramanujan stated without proof two amazing identities:∞∑t=0

p(5t+ 4)xt = 5∞∏n=1

(1− x5n)5

(1− xn)6(4)

and∞∑t=0

p(7t+ 5)xt = 7∞∏n=1

(1− x7n)3

(1− xn)4+ 49x

∞∏n=1

(1− x7n)7

(1− xn)8. (5)

One can use these to construct simple proofs of

p(25t+ 24) ≡ 0 (mod 25), p(49t+ 47) ≡ 0 (mod 49).

Take the first one. Rewrite the (4) as

p(4)x+ p(9)x2 + . . .

5((1− x5)(1− x10)(1− x15) . . .

)4 =x

(1− x)(1− x2)(1− x3) . . .

(1− x5)(1− x10)(1− x15) . . .((1− x)(1− x2)(1− x3) . . .

)5≡ x

(1− x)(1− x2)(1− x3) . . .(mod 5).

For each non-negative integer m, the coefficient of x5m+5 on the right is p(5m + 4), andthis is congruent to 0 modulo 5; hence the coefficient of x5m+5 on the left is also congruentto 0 modulo 5. Since the coefficient of x5m+5 in the numerator of the left-hand side isp(25m+ 24) and ((1−x5)(1−x10)(1−x15) . . . )−4 is a power series in x5, it then follows thatp(25t+ 24)/5 ≡ 0 (mod 5) for all t ≥ 0.

The other congruence can be proved similarly using (5).

4

Dyson’s rank and crankIn 1919, Ramanujan gave elementary proofs of the two congruences p(5t + 4) ≡ 0 (mod 5)and p(7t + 5) ≡ 0 (mod 7). But what was lacking from his proofs (and ours) was a simpleproperty of the partitions of 5t+4 and 7t+5 that distributes them equitably over the residueclasses modulo 5 and 7, respectively.

Writing in the 1944 edition of Eureka, Freeman Dyson defined the rank of a partition, largestpart minus number of parts, and conjectured that it does just that. For x = 0, 1, 2, 3, 4,exactly p(5k+4)/5 partitions of 5t+4 have rank ≡ x (mod 5), and for x = 0, 1, ..., 6, exactlyp(7k + 5)/7 partitions of 7k + 5 have rank ≡ x (mod 7).

Oliver Atkin and Peter Swinnerton-Dyer proved Dyson’s conjecture in 1953.

However the rank function fails to work for Ramanujan’s third congruence, p(11t + 6) ≡0 (mod 11). In the same Eureka article, Dyson predicted the existence of another functionc(P ) such that the c(P ) of the partitions P of 11t + 6 are distributed uniformly over theresidue classes modulo 11. Dyson named this property the crank of a partition but at thetime he was unable to define it. He expressed the hope that the crank would not have tosuffer the same fate as the planet Vulcan and that one day somebody would discover thecorrect definition and thereby prove it does exist.

That had to wait until 1987, when George Andrews and Frank Garvan discovered the truedefinition of the crank—on the last day of the Ramanujan Centenary Conference at theUniversity of Illinois.

largest number # partspartition rank rank part of 1s > M(P ) crank crank

n m P r(P ) mod m L(P ) M(P ) N(P ) c(P ) mod m

4 5 1 1 1 1 −3 2 1 4 0 −4 11 1 2 −1 4 2 2 0 −2 31 3 1 1 3 1 1 0 02 2 0 0 2 0 2 2 24 3 3 4 0 1 4 4

5 7 1 1 1 1 1 −4 3 1 5 0 −5 21 1 1 2 −2 5 2 3 0 −3 41 1 3 0 0 3 2 1 −1 61 2 2 −1 6 2 1 2 1 11 4 2 2 4 1 1 0 02 3 1 1 3 0 2 3 35 4 4 5 0 1 5 5

6 11 1 1 1 1 1 1 −5 6 1 6 0 −6 51 1 1 1 2 −3 8 2 4 0 −4 71 1 1 3 −1 10 3 3 0 −3 81 1 2 2 −2 9 2 2 0 −2 91 1 4 1 1 4 2 1 −1 101 2 3 0 0 3 1 2 1 11 5 3 3 5 1 1 0 0

2 2 2 −1 10 2 0 3 2 22 4 2 2 4 0 2 4 43 3 1 1 3 0 2 3 36 5 5 6 0 1 6 6

5

Given a partition P , let L(P ) denote the largest part of P , let M(P ) denote the number ofones in P and let N(P ) denote the number of parts of P larger that M(P ). The crank, c(P ),is defined as follows: if M(P ) = 0, then c(P ) = L(P ), otherwise c(P ) = N(P )−M(P ).

It is easy to see that the ranks of a partition sum to zero. Is the same true for the cranks?

(No, it’s not the home of Star Trek’s Mr Spock. Vulcan was a hypothetical member of the solarsystem invented by 19th century astronomers to account for deviations from the theoretical orbit ofMercury that could not be explained by gravitational effects of the other known planets. However,Vulcan became unnecessary when a young employee of the Swiss Patent Office developed a newtheory of gravitation which correctly predicted Mercury’s erratic behaviour.)

Congruence p(11t+6) ≡ 0 (mod 11): Ramanujan’s methodThe third partition congruence appears to be in a different league from the other two.

Ramanujan [1,3] defines the following functions, which are fundamental to a lot of his work.

Sr =1

2ζ(−r) +

∞∑n=1

nrxn

1− xn, (6)

Φr,s =∞∑m=1

∞∑n=1

mrnsxmn, (7)

P = 1− 24Φ0,1 = 1− 24∞∑n=1

nxn

1− xn= 1− 24

∞∑n=1

σ(n)xn, (8)

Q = 1 + 240Φ0,3 = 1 + 240∞∑n=1

n3xn

1− xn= 1 + 240

∞∑n=1

σ3(n)xn, (9)

R = 1− 504Φ0,5 = 1− 504∞∑n=1

n5xn

1− xn= 1− 504

∞∑n=1

σ5(n)xn. (10)

The P , Q and R are related to the Eisenstein series

Gs(τ) =∑

(m,n) 6=(0,0)

1

(m+ nτ)s= 2ζ(s) +

2(2πi)s

(s− 1)!

∞∑n=1

σs−1(n)e2πinτ .

n 0 −1 −3 −5 −7 −9 −11 −13 −15 −17 −19

ζ(n) −1

2− 1

12

1

120− 1

252

1

240− 1

132

691

32760− 1

12

3617

8160−43867

14364

174611

6600

Ramanujan begins by proving two interesting identities involving elementary trigonometry,(cot θ

2

4+∞∑n=1

xn sinnθ

1− xn

)2

=

(cot θ

2

4

)2

+∞∑n=1

xn cosnθ

(1− xn)2+∞∑n=1

nxn(1− cosnθ)

2(1− xn),

(cot2 θ

2

8+

1

12+∞∑n=1

nxn(1− cosnθ)

1− xn

)2

=

(cot2 θ

2

8+

1

12

)2

+∞∑n=1

n3xn(5 + cosnθ)

12(1− xn),

and he uses them to derive two formulae involving Sr,

(n− 2)(n+ 5)

12(n+ 1)(n+ 2)Sn+3 =

n/2−1∑i=1

(n

2i

)S2i+1Sn+1−2i, n even, n > 2, (11)

6

and

(n+ 3)

2(n+ 1)Sn+1 = Φ1,n +

n/2∑i=1

(n

2i− 1

)S2i−1Sn+1−2i, n even, n > 0. (12)

Then from (11) and (12) he shows that when r + s is odd and r < s, Φr,s is expressible as apolynomial in P , Q and R of the form Φr,s =

∑al,m,nP

lQmRn, where l − 1 ≤ min(r, s) and2l + 4m+ 6n = r + s+ 1. In particular,

Q2 = 1 + 480Φ0,7, (13)

QR = 1− 264Φ0,9, (14)

441Q3 + 250R2 = 691 + 65520Φ0,11. (15)

For instance, to get (13), observe that

Sr = Φ0,r + 12ζ(−r). (16)

Then put n = 4 in (11) and use (9) to obtain

1

20

(Φ0,7 −

1

480

)= 6

(Φ0,3 +

1

240

)2

=6

2402Q2,

which is essentially (13). Similarly, put n = 6 and n = 8 in (11) to get (14) and (15)respectively. Next, denoting the differential operator xd/dx by ϑ, Ramanujan obtains

P 2 −Q = 12ϑP,PQ−R = 3ϑQ,PR−Q2 = 2ϑR,

(17)

as well as the important identity

Q3 −R2 = 123 x∞∏n=1

(1− xn)24. (18)

To prove (18), observe that

ϑ log(Q3 −R2) = P = ϑ log(x

∞∏n=1

(1− xn)24)

and then equate coefficients of x to get the factor 123.

To deal with p(11k + 6), Ramanujan uses the above identities to derive

Q(PQ−R) = 32ϑ(Q2) = 720Φ1,8,

2PQ2 − P 2R−QR = −247ϑ2(R) = 1728Φ2,7,

P 3Q− 3P 2R + 3PQ2 −QR = 725ϑ3(Q) = 3456Φ3,6

and15PQ2 − 20P 2R + 10P 3Q− 4QR− P 5 = − 864ϑ4(P ) = 20736Φ4,5.

Then he obtains this formula involving a linear combination of the last four:

(Q3 −R2)5 ≡ − 5Φ1,8 + 3Φ2,7 + 3Φ3,6 − Φ4,5 (mod 11).

7

This is what we want because the coefficient of x11t in the Φi,j s on the right has to be amultiple of 11 since in each case both subscripts i and j are positive. Hence the coefficientof x11t on the left must also be congruent to 0 modulo 11. By (18), that coefficient is1215p5·24(11t− 5). So p120(11t+ 6) ≡ 0 (mod 11) and therefore p(11t+ 6) ≡ 0 (mod 11). �

Congruence p(11t + 6) ≡ 0 (mod 11): another methodThere is another way that uses only the identities (17) involving ϑP , ϑQ, ϑR and the productexpression (18) for Q3 −R2 [4].

Let us take a typical simple example. We will prove that

p10(19n+ 17) ≡ 0 (mod 19), n ≥ 0.

By Lemma 1, it suffices to show that the same is true of p48(19r − 2), r > 0. Suppose wefind an identity such as

(Q3 −R2)2 ≡ 12ϑF (x) + 19G(x),

where F (x) and G(x) are power series in x with integer coefficients. Then the coefficient ofx19r on the right will be a multiple of 19. So the coefficient of x19r on the left must also bea multiple of 19. By (18), the coefficient of x19r on the left is 126p48(19r − 2).

We succeed because of the existence of the equality

12ϑ(9P 3Q4 + 16P 3QR2 + 13P 2Q3R + 7P 2R3 + 5PQ5 + 13PQ2R2 + 18Q4R + 14QR3)= (Q3 −R2)2 + 19(9P 4Q4 + 16P 4QR2 − 4P 3Q3R + 4P 3R3

− 3P 2Q2R2 + 6PQ4R + 10PQR3 − 6Q6 − 29Q3R2 − 3R4).(19)

And we can deal with p(11t+ 6) by means of this identity:

12ϑ (10P 3Q13 + P 3Q10R2 + 7P 3Q7R4 + 7P 3Q4R6 + 5P 3QR8

+ 4P 2Q12R + 10P 2Q9R3 + 8P 2Q6R5 + 9P 2R9 + 5PQ14

+ 6PQ11R2 + 8PQ8R4 + 2PQ5R6 + 3PQ2R8

+ 10Q13R +Q10R3 +Q7R5 + 10Q4R7 + 3QR9)= (Q3 −R2)5

+ 11 (50P 4Q13 + 5P 4Q10R2 + 35P 4Q7R4 + 35P 4Q4R6 + 25P 4QR8

− 28P 3Q12R + 32P 3Q9R3 − 32P 3Q3R7 + 44P 3R9 + 21P 2Q14

− 3P 2Q11R2 − 15P 2Q8R4 − 9P 2Q5R6 − 30P 2Q2R8 + 20PQ13R− 38PQ10R3 − 26PQ7R5 + 36PQ4R7 + 12PQR9 − 6Q15

− 49Q12R2 − 8Q9R4 − 40Q6R6 − 30Q3R8 −R10).

(20)

Thus p120(11t− 5) ≡ 0 (mod 11) and hence p(11t+ 6) ≡ 0 (mod 11). �

Identity (20) looks rather complicated, but with a bit more work we can replace it with anexpression where the left-hand side takes a simpler form:

ϑ4(2Q13 + 9R2Q10 + 8R4Q7 + 8R6Q4 +R8Q) ≡ (Q3 −R2)5 (mod 11).

Moreover, we can treat the other two congruences in the same way. For p(5t+4) ≡ 0 (mod 5),we use the identity

12ϑ(4QR) = Q3 −R2 − 5(5Q3 − 8PRQ+ 3R2)

and for p(7t+ 5) ≡ 0 (mod 7), we have

12ϑ(5PQ5 + 6RQ4 + 5PR2Q2 + 5R3Q) ≡ (Q3 −R2)2 (mod 7),

8

or the simpler formula,

122ϑ2(2Q5 + 2R2Q2) ≡ (Q3 −R2)2 (mod 7).

But how do we find identities like (19) and (20)?

Let h be a prime greater than 3 and let s be a positive integer. Let Aα,β,γλ,µ,ν denote the matrixdefined by equating coefficients in expressions of the form P xQyRz in∑

λ, µ, ν ≥ 0λ+ 2µ+ 3ν = 6s

Aα,β,γλ,µ,ν PλQµRν = 12ϑPαQβRγ

as α, β and γ run through the non-negative integers satisfying α+ 2β + 3γ = 6s− 1. Thenwe solve the system of linear congruences∑

α, β, γ ≥ 0α+ 2β + 3γ = 6s− 1

Aα,β,γλ,µ,ν aα,β,γ ≡ tλ,µ,ν (mod h)

for aα,β,γ, where

t0,µ,ν = (−1)ν/2(s

ν/2

), tλ,µ,ν = 0 for λ > 1

and, as before, λ+ 2µ+ 3ν = 6s. The t0,µ,ν are merely the binomial coefficients of QµRν inthe expansion of (Q3 −R2)s.

One can now see that aα,β,γ are the required coefficients; for

12 ϑ∑

α, β, γ ≥ 0α+ 2β + 3γ = 6s− 1

aα,β,γ PαQβRγ

≡∑

α, β, γ ≥ 0α+ 2β + 3γ = 6s− 1

∑λ, µ, ν ≥ 0

λ+ 2µ+ 3ν = 6s

P λQµRν Aα,β,γλ,µ,ν aα,β,γ

≡∑

λ, µ, ν ≥ 0λ+ 2µ+ 3ν = 6s

P λQµRν∑

α, β, γ ≥ 0α+ 2β + 3γ = 6s− 1

Aα,β,γλ,µ,ν aα,β,γ

≡∑

λ, µ, ν ≥ 0λ+ 2µ+ 3ν = 6s

P λQµRν tλ,µ,ν

≡∑

µ, ν ≥ 02µ+ 3ν = 6s

QµRν t0,µ,ν

≡ (Q3 −R2)s (mod h).

9

Example with h = 19, s = 2 and everything mod 19. Nineteen equations, 16 variables. Forinstance, the first column of the matrix says that 12ϑQR3 ≡ 15R4+Q3R2+3PQR3 (mod 19).

λ µ ν

0 0 40 3 20 6 01 1 31 4 12 2 22 5 03 0 33 3 14 1 24 4 05 2 16 0 26 3 07 1 18 2 09 0 1

10 1 012 0 0

151 3 180 13 0 183 0 11 0 17

3 7 18 0 172 0 1 7 16

2 0 13 0 161 0 15 0

1 7 3 150 0 11 14

0 13 0 1418 7 7 13

17 0 1517 13 12

16 11 1115 13

14 1513 8

11

a0,1,3

a0,4,1

a1,2,2

a1,5,0

a2,0,3

a2,3,1

a3,1,2

a3,4,0

a4,2,1

a5,0,2

a5,3,0

a6,1,1

a7,2,0

a8,0,1

a9,1,0

a11,0,0

≡

11710000000000000000

α 0 0 1 1 2 2 3 3 4 5 5 6 7 8 9 11β 1 4 2 5 0 3 1 4 2 0 3 1 2 0 1 0γ 3 1 2 0 3 1 2 0 1 2 0 1 0 1 0 0

14 18 13 5 7 13 16 9 0 0 0 0 0 0 0 0

References[1] S. Ramanujan, On certain arithmetical functions, Transactions of the Cambridge Philo-sophical Society XXII No. 9 (1916), 159–184 (No. 18 in [3]).

[2] S. Ramanujan, Congruence properties of partitions, Mathematische Zeitschrift IX(1921), 147–153 (No. 30 in [3]).

[3] S. Ramanujan, Collected Papers, Cambridge 1927.

[4] A. D. Forbes, Congruence properties of functions related to the partition function, PacificJournal of Mathematics 158 no. 1 (1993), 145–156.

[5] T. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer 1976.

10

Identities for proving congruence properties

This is a collection of identities of the form

12eϑeF = (Q3 −R2)s − hG, (∗)

where h is a prime greater than 3, e and s are positive integers, F is a linear combinationof terms PαQβRγ, α + 2β + 3γ = 6s − e, and G is a linear combination of terms P λQµRν ,λ+ 2µ+ 3ν = 6s. When e = 1 the identity is given in full; otherwise the identity is replacedby a congruence modulo h.

There are a some occasions where there is no identity of the form (∗) with s < h. However,in these cases we can achieve a proof of the relevant congruence property with a more generalexpression:

12eϑeF = P ahQbhRch(Q3 −R2)s − hG,

which reduces to (∗) when a = b = c = 0.

p4(5t+ 4) ≡ 0 (mod 5)

12ϑ(4QR

)= Q3 −R2 − 5(5Q3 − 8PRQ+ 3R2)

124ϑ4(4P 2

)≡ Q3 −R2 (mod 5)

125ϑ5(4P)≡ Q3 −R2 (mod 5)

p3(5t+ 3) ≡ 0 (mod 5)

12ϑ(3PQ5 +RQ4 + 3P 2RQ3 + 3PR2Q2 +R3Q+ 4P 2R3

)= (Q3 − R2)2 − 5(2Q6 − 9P 2Q5 + 16PRQ4 + 7R2Q3 − 12P 3RQ3 + 9P 2R2Q2 + 2PR3Q +R4 − 16P 3R3)

123ϑ3(4RQ3 + 2R3

)≡ (Q3 −R2)2 (mod 5)

p3(7t+ 6) ≡ 0 (mod 7)

12ϑ(5QP 3 + 6RP 2 +Q2P + 2QR

)= Q3 −R2 − 7(−5QP 4 − 4RP 3 + 6Q2P 2 + 2Q3 +R2)

124ϑ4(5Q)≡ Q3 −R2 (mod 7)

p6(7t+ 5) ≡ 0 (mod 7)

12ϑ(5PQ5 + 6RQ4 + 5PR2Q2 + 5R3Q

)= (Q3 −R2)2 − 7(6Q6 − 15P 2Q5 + 4PRQ4 + 27R2Q3 − 15P 2R2Q2 − 10PR3Q+ 3R4)

122ϑ2(2Q5 + 2R2Q2

)≡ (Q3 −R2)2 (mod 7)

p4(11t+ 9) ≡ 0 (mod 11)

12ϑ(9RQ4 + 8R3Q

)= (Q3 −R2)2 − 11(5Q6 − 18PRQ4 + 26R2Q3 − 16PR3Q+ 3R4)

11

p6(11t+ 8) ≡ 0 (mod 11)

12ϑ(3PQ8 + 3RQ7 + 6PR2Q5 + 8R3Q4 + 10PR4Q2 + 3R5Q

)= (Q3 −R2)3 − 11(2Q9 − 9P 2Q8 + 6PRQ7 + 21R2Q6 − 18P 2R2Q5 + 8PR3Q4 + 21R4Q3 −

30P 2R4Q2 − 2PR5Q+R6)

122ϑ2(8Q8 + 5R2Q5 +R4Q2

)≡ (Q3 −R2)3 (mod 11)

p8(11t+ 7) ≡ 0 (mod 11)

12ϑ(7PQ11 + 3P 2Q9R+ 6Q10R+ 6PQ8R2 + 9P 2Q6R3 + 5PQ5R4 + 8P 2Q3R5 + 9PQ2R6 +

5P 2R7 + 8QR7)

= (Q3 − R2)4 − 11(−27P 2Q11 + 4Q12 − 12P 3Q9R + 10PQ10R + 22Q9R2 − 36P 3Q6R3 +30PQ7R3 + 21P 2Q5R4 +Q6R4 − 32P 3Q3R5 + 40PQ4R5 − 9P 2Q2R6 + 31Q3R6 − 20P 3R7 −26PQR7 + 3R8)

123ϑ3(7RQ9 + 10R3Q6 + 4R5Q3 + 8R7

)≡ (Q3 −R2)4 (mod 11)

p10(11t+ 6) ≡ 0 (mod 11)

12ϑ(10P 3Q13 + 5PQ14 + 4P 2Q12R+ 10Q13R+P 3Q10R2 + 6PQ11R2 + 10P 2Q9R3 +Q10R3 +

7P 3Q7R4 + 8PQ8R4 + 8P 2Q6R5 + Q7R5 + 7P 3Q4R6 + 2PQ5R6 + 10Q4R7 + 5P 3QR8 +3PQ2R8 + 9P 2R9 + 3QR9

)= (Q3 − R2)5 − 11(−50P 4Q13 − 21P 2Q14 + 6Q15 + 28P 3Q12R − 20PQ13R − 5P 4Q10R2 +

3P 2Q11R2+49Q12R2−32P 3Q9R3+38PQ10R3−35P 4Q7R4+15P 2Q8R4+8Q9R4+26PQ7R5−35P 4Q4R6+9P 2Q5R6+40Q6R6+32P 3Q3R7−36PQ4R7−25P 4QR8+30P 2Q2R8+30Q3R8−44P 3R9 − 12PQR9 +R10)

124ϑ4(2Q13 + 9R2Q10 + 8R4Q7 + 8R6Q4 +R8Q

)≡ (Q3 −R2)5 (mod 11)

p3(11t+ 4) ≡ 0 (mod 11)

12ϑ(PQ20 + 6P 3Q19 + 7RQ19 + 4P 5Q18 + 5P 2RQ18 + 6P 4RQ17 + 2R3Q16 + 8P 3R2Q16 +

8P 2R3Q15+4P 5R2Q15+8PR4Q14+4P 4R3Q14+R5Q13+P 3R4Q13+3P 5R4Q12+10PR6Q11+2P 4R5Q11 + 8R7Q10 + 2P 3R6Q10 + 5P 2R7Q9 + 4P 5R6Q9 + 2PR8Q8 + 8P 4R7Q8 + 5R9Q7 +6P 3R8Q7+3P 2R9Q6+10P 5R8Q6+2PR10Q5+8P 4R9Q5+8R11Q4+8P 3R10Q4+7P 2R11Q3+2P 5R10Q3 + 5PR12Q2 + 10P 4R11Q2 + 3R13Q+ 3P 3R12Q+ 4P 2R13 + 5P 5R12

)= (Q3−R2)7−11(4Q21−3P 2Q20−38P 4Q19−44PRQ19−28P 6Q18+51R2Q18+16P 3RQ18+

48P 2R2Q17 − 12P 5RQ17 + 4PR3Q16 − 12P 4R2Q16 + 17R4Q15 − 8P 3R3Q15 − 28P 6R2Q15 −15P 2R4Q14 +66PR5Q13 +20P 4R4Q13 +33R6Q12 +12P 3R5Q12−21P 6R4Q12−54P 2R6Q11 +12P 5R5Q11 − 10PR7Q10 + 26P 4R6Q10 + 57R8Q9 − 28P 6R6Q9 + 18P 2R8Q8 − 20PR9Q7 +24P 4R8Q7 + 59R10Q6 + 40P 3R9Q6 − 70P 6R8Q6 + 36P 2R10Q5 − 24P 5R9Q5 − 22PR11Q4 +18P 4R10Q4 + 34R12Q3− 16P 3R11Q3− 14P 6R10Q3− 36P 5R11Q2− 18PR13Q− 12P 4R12Q+R14 − 28P 3R13 − 35P 6R12)

126ϑ6(4Q18+4R2Q15+3R4Q12+4R6Q9+10R8Q6+2R10Q3+5R12

)≡ (Q3−R2)7 (mod 11)

p3(13t+ 8) ≡ 0 (mod 13)

12ϑ(9PQ14 + 9P 3Q13 + 7RQ13 + 3P 5Q12 + 3P 2RQ12 + 2P 4RQ11 + R3Q10 + 9P 3R2Q10 +

7P 6RQ10 + 10P 2R3Q9 + 7PR4Q8 + 6P 4R3Q8 + 2R5Q7 + 3P 3R4Q7 + 9P 6R3Q7 + P 2R5Q6 +

12

8P 5R4Q6 + 2PR6Q5 + 6P 4R5Q5 + 10R7Q4 + 4P 6R5Q4 + 4P 2R7Q3 + 3P 5R6Q3 + 10PR8Q2 +7P 4R7Q2 + 10R9Q+ 3P 3R8Q+ 10P 6R7Q+ 3P 2R9 + P 5R8

)= (Q3−R2)5−13(4Q15−36P 2Q14−36P 4Q13 +8PRQ13−9P 6Q12 +29R2Q12 +32P 3RQ12 +

27P 2R2Q11 + 6P 5RQ11 + 10PR3Q10 − 23P 4R2Q10 − 28P 7RQ10 + 9R4Q9 − 8P 3R3Q9 +34P 6R2Q9−6P 5R3Q8+14PR5Q7+19P 4R4Q7−36P 7R3Q7+36R6Q6+4P 3R5Q6−4P 6R4Q6+6P 2R6Q5−4PR7Q4+33P 4R6Q4−16P 7R5Q4+55R8Q3−4P 3R7Q3+25P 6R6Q3−27P 2R8Q2−18P 5R7Q2 − 38PR9Q− 8P 4R8Q− 40P 7R7Q+ 3R10 − 12P 3R9 − P 6R8)

127ϑ7(4RQ10 + 7R3Q7 + 6R5Q4 + 2R7Q

)≡ (Q3 −R2)5 (mod 13)

p14(17t+ 15) ≡ 0 (mod 17)

12ϑ(10P 5Q3+P 3Q4+2PQ5+9P 4Q2R+15P 2Q3R+8Q4R+12P 5R2+15P 3QR2+6PQ2R2+

3P 2R3 + 4QR3)

= (Q3 − R2)2 − 17(−10P 6Q3 + 5P 4Q4 + 3P 2Q5 + 3Q6 + 6P 5Q2R − 4P 3Q3R − 2PQ4R −12P 6R2 − 9P 4QR2 + 9P 2Q2R2 + 12Q3R2 − 2PQR3 +R4)

126ϑ6(7Q3 + 5R2

)≡ (Q3 −R2)2 (mod 17)

p4(17t+ 14) ≡ 0 (mod 17)

12ϑ(14RQ7 + 2R3Q4 + 13R5Q

)= (Q3 −R2)3 − 17(5Q9 − 28PRQ7 + 25R2Q6 − 4PR3Q4 + 25R4Q3 − 26PR5Q+ 3R6)

p8(17t+ 11) ≡ 0 (mod 17)

12ϑ(14PQ17+8P 2Q15R+6Q16R+11PQ14R2+7P 2Q12R3+2Q13R3+15PQ11R4+8P 2Q9R5+

8Q10R5 + 10PQ8R6 + 12P 2Q6R7 + 8Q7R7 + 13PQ5R8 + 16P 2Q3R9 +Q4R9 + 15PQ2R10 +12P 2R11 + 4QR11

)= (Q3 − R2)6 − 17(−54P 2Q17 + 3Q18 − 32P 3Q15R + 40PQ16R − 9P 2Q14R2 + 25Q15R2 −

28P 3Q12R3 + 50PQ13R3 − 27P 2Q11R4 + 22Q12R4 − 32P 3Q9R5 + 28PQ10R5 + 6P 2Q8R6 +38Q9R6−48P 3Q6R7+24PQ7R7+15P 2Q5R8+18Q6R8−64P 3Q3R9+66PQ4R9−3P 2Q2R10+17Q3R10 − 48P 3R11 − 8PQR11 +R12)

123ϑ3(4RQ15 + 12R3Q12 + 4R5Q9 + 6R7Q6 + 8R9Q3 + 6R11

)≡ (Q3 −R2)6 (mod 17)

p3(17t+ 2) ≡ 0 (mod 17)

12ϑ(14PQ44 + 8P 3Q43 + 6RQ43 + 15P 5Q42 +P 2RQ42 + 8P 7Q41 + 11PR2Q41 + 14P 4RQ41 +

9R3Q40 +3P 3R2Q40 +P 6RQ40 +2P 2R3Q39 +P 5R2Q39 +7P 8RQ39 +7PR4Q38 +9P 4R3Q38 +8P 7R2Q38 + 14R5Q37 + 13P 3R4Q37 + 8P 6R3Q37 + 16P 2R5Q36 + 10P 5R4Q36 + 4P 8R3Q36 +PR6Q35 + 11P 4R5Q35 + 11P 7R4Q35 + 6R7Q34 + 16P 3R6Q34 + 6P 6R5Q34 + 15P 2R7Q33 +15P 5R6Q33 + P 8R5Q33 + PR8Q32 + 10P 4R7Q32 + 14P 7R6Q32 + 15R9Q31 + 6P 3R8Q31 +4P 6R7Q31 + 5P 2R9Q30 + 3P 5R8Q30 + 15P 8R7Q30 + 15PR10Q29 + 9P 4R9Q29 + 14R11Q28 +13P 3R10Q28+2P 6R9Q28+12P 2R11Q27+8P 5R10Q27+12P 8R9Q27+12PR12Q26+8P 4R11Q26+3P 7R10Q26 +13R13Q25 +3P 3R12Q25 +2P 2R13Q24 +13P 5R12Q24 +9P 8R11Q24 +9PR14Q23 +7P 4R13Q23 +6P 7R12Q23 +12R15Q22 +10P 3R14Q22 +15P 6R13Q22 +9P 2R15Q21 +P 5R14Q21 +6P 8R13Q21 +6PR16Q20 +6P 4R15Q20+9P 7R14Q20 +11R17Q19 +13P 6R15Q19 +16P 2R17Q18+6P 5R16Q18 +3P 8R15Q18 +3PR18Q17 +5P 4R17Q17 +12P 7R16Q17 +10R19Q16 +7P 3R18Q16 +11P 6R17Q16+6P 2R19Q15+11P 5R18Q15+10P 8R17Q15+4P 4R19Q14+13P 7R18Q14+9R21Q13+

13

14P 3R20Q13 + 13P 6R19Q13 + 13P 2R21Q12 + 9P 5R20Q12 + 12P 8R19Q12 + 14PR22Q11 +8P 4R21Q11 + P 7R20Q11 + 8R23Q10 + 9P 3R22Q10 + P 6R21Q10 + 4P 2R23Q9 + 8P 5R22Q9 +15P 8R21Q9 + 15PR24Q8 + 5P 4R23Q8 + 15P 7R22Q8 + 14R25Q7 + 15P 3R24Q7 + 16P 6R23Q7 +11P 2R25Q6 + 14P 5R24Q6 + P 8R23Q6 + 6PR26Q5 + 12P 4R25Q5 + 11P 7R24Q5 + 9R27Q4 +2P 3R26Q4 + 8P 6R25Q4 + 3P 2R27Q3 + 7P 5R26Q3 + 10P 8R25Q3 + 10PR28Q2 + 14P 4R27Q2 +13P 7R26Q2 + 13R29Q+ P 3R28Q+ 12P 6R27Q+ 12P 2R29 + 16P 5R28 + 7P 8R27

)= (Q3 − R2)15 − 17(3Q45 − 144P 2Q44 − 73P 4Q43 + 90PRQ43 − 149P 6Q42 + 70R2Q42 +

76P 3RQ42− 78P 8Q41− 102P 2R2Q41 + 6P 5RQ41 + 22PR3Q40 + 114P 4R2Q40 + 76P 7RQ40 +116R4Q39+28P 3R3Q39+11P 6R2Q39−70P 9RQ39−24P 2R4Q38−66P 5R3Q38−12P 8R2Q38−80PR5Q37−31P 4R4Q37 +8P 7R3Q37 +110R6Q36−16P 3R5Q36−17P 6R4Q36−40P 9R3Q36 +165P 2R6Q35+6P 5R5Q35−75P 8R4Q35−50PR7Q34−45P 4R6Q34+60P 7R5Q34+176R8Q33−8P 3R7Q33−89P 6R6Q33−10P 9R5Q33+123P 2R8Q32+24P 5R7Q32−96P 8R6Q32−96PR9Q31+43P 4R8Q31+72P 7R7Q31−12R10Q30+40P 3R9Q30+5P 6R8Q30−150P 9R7Q30−72P 2R10Q29−42P 5R9Q29+144P 8R8Q29+8PR11Q28−39P 4R10Q28−4P 7R9Q28+447R12Q27−24P 3R11Q27−67P 6R10Q27 − 120P 9R9Q27 − 39P 2R12Q26 + 24P 5R11Q26 + 81P 8R10Q26 − 18PR13Q25 +54P 4R12Q25 + 48P 7R11Q25 − 238R14Q24 + 48P 3R13Q24 − 61P 6R12Q24 − 90P 9R11Q24 −33P 2R14Q23 + 12P 5R13Q23 + 18P 8R12Q23 − 42PR15Q22 − 33P 4R14Q22 − 72P 7R13Q22 +507R16Q21 − 40P 3R15Q21 + 140P 6R14Q21 − 60P 9R13Q21 + 78P 2R16Q20 − 18P 5R15Q20 −45P 8R14Q20 − 66PR17Q19 + 60P 4R16Q19 − 20P 7R15Q19 − 178R18Q18 − 120P 3R17Q18 +68P 6R16Q18 − 30P 9R15Q18 + 78P 2R18Q17 + 48P 5R17Q17 − 48P 8R16Q17 − 92PR19Q16 −22P 4R18Q16 + 24P 7R17Q16 + 281R20Q15 + 64P 3R19Q15 + 22P 6R18Q15 − 100P 9R17Q15 +120P 2R20Q14 + 66P 5R19Q14 − 15P 8R18Q14 + 16PR21Q13 − 69P 4R20Q13 − 76P 7R19Q13 +13R22Q12 − 20P 3R21Q12 − 44P 6R20Q12 − 120P 9R19Q12 − 75P 2R22Q11 + 6P 5R21Q11 +135P 8R20Q11 + 80PR23Q10 − 29P 4R22Q10 + 116P 7R21Q10 + 170R24Q9 + 108P 3R23Q9 +57P 6R22Q9 − 150P 9R21Q9 − 48P 2R24Q8 + 90P 5R23Q8 − 111P 8R22Q8 − 62PR25Q7 −35P 4R24Q7−40P 7R23Q7+103R26Q6−68P 3R25Q6−41P 6R24Q6−10P 9R23Q6−18P 2R26Q5−36P 5R25Q5−21P 8R24Q5+12PR27Q4+129P 4R26Q4+56P 7R25Q4+143R28Q3−16P 3R27Q3+56P 6R26Q3−100P 9R25Q3 +21P 2R28Q2 +24P 5R27Q2−57P 8R26Q2−130PR29Q+P 4R28Q−112P 7R27Q+ 3R30 − 124P 3R29 − 160P 6R28 − 70P 9R27)

129ϑ9(11RQ39 + 16R3Q36 + 4R5Q33 + 9R7Q30 + 14R9Q27 + 2R11Q24 + 7R13Q21 + 12R15Q18 +

6R17Q15 + 14R19Q12 + 9R21Q9 + 4R23Q6 + 6R25Q3 + 11R27)≡ (Q3 −R2)15 (mod 17)

p10(19t+ 17) ≡ 0 (mod 19)

12ϑ(9P 3Q4 + 5PQ5 + 13P 2Q3R + 18Q4R + 16P 3QR2 + 13PQ2R2 + 7P 2R3 + 14QR3

)= (Q3−R2)2−19(−9P 4Q4 + 6Q6 + 4P 3Q3R−6PQ4R−16P 4QR2 + 3P 2Q2R2 + 29Q3R2−

4P 3R3 − 10PQR3 + 3R4)

124ϑ4(8Q4 + 10R2Q

)≡ (Q3 −R2)2 (mod 19)

p6(19t+ 14) ≡ 0 (mod 19)

12ϑ(6PQ14 + 2RQ13 + 7PR2Q11 + 11R3Q10 + 9PR4Q8 + 17R5Q7 + 12PR6Q5 + 4R7Q4 +

3PR8Q2 + 5R9Q)

= (Q3−R2)5−19(Q15−18P 2Q14+16PRQ13+16R2Q12−21P 2R2Q11−6PR3Q10+51R4Q9−27P 2R4Q8−14PR5Q7+34R6Q6−36P 2R6Q5+8PR7Q4+18R8Q3−9P 2R8Q2−14PR9Q+R10)

122ϑ2(13Q14 + 12R2Q11 + 10R4Q8 + 7R6Q5 + 16R8Q2

)≡ (Q3 −R2)5 (mod 19)

14

p12(19t+ 9) ≡ 0 (mod 19)

12ϑ(5P 3Q28 +4PQ29 +4P 4Q26R+9P 2Q27R+15Q28R+P 3Q25R2 +6PQ26R2 +16P 4Q23R3 +

7P 2Q24R3+4Q25R3+8P 3Q22R4+PQ23R4+12P 4Q20R5+13P 2Q21R5+13Q22R5+2P 3Q19R6+14PQ20R6 + 17P 4Q17R7 + 2P 2Q18R7 + 16Q19R7 + 5P 3Q16R8 + 8PQ17R8 + 10P 4Q14R9 +7P 2Q15R9 + 3Q16R9 + 5P 3Q13R10 + 8PQ14R10 + 8P 4Q11R11 + 5P 2Q12R11 + 10Q13R11 +4P 3Q10R12 + 16P 4Q8R13 + 7P 2Q9R13 + 15Q10R13 + 7P 3Q7R14 + PQ8R14 + 6P 4Q5R15 +16P 2Q6R15 + 5Q7R15 + 2P 3Q4R16 + 13PQ5R16 + 13P 4Q2R17 + 15P 2Q3R17 + 7Q4R17 +9P 3QR18 + 12PQ2R18 + 18P 2R19 + 14QR19

)= (Q3 −R2)10 − 19(−29P 4Q28 − 21P 2Q29 + 5Q30 − 24P 5Q26R− 24P 3Q27R− 64PQ28R+

31P 4Q25R2 +21P 2Q26R2 +92Q27R2−96P 5Q23R3−24P 3Q24R3 +10PQ25R3 +48P 4Q22R4 +51P 2Q23R4 +44Q24R4−72P 5Q20R5−36P 3Q21R5−48PQ22R5 +76P 4Q19R6−24P 2Q20R6 +90Q21R6− 102P 5Q17R7 + 12P 3Q18R7− 20PQ19R7 + 59P 4Q16R8− 21P 2Q17R8 + 84Q18R8−60P 5Q14R9−8P 3Q15R9 +36PQ16R9 +27P 4Q13R10−9P 2Q14R10 +32Q15R10−48P 5Q11R11−38PQ13R11 + 60P 4Q10R12 + 42P 2Q11R12 + 100Q12R12 − 96P 5Q8R13 − 88PQ10R13 +13P 4Q7R14 +84P 2Q8R14 +49Q9R14−36P 5Q5R15−76P 3Q6R15 +38PQ7R15 +64P 4Q4R16 +21P 2Q5R16 + 48Q6R16− 78P 5Q2R17− 36P 3Q3R17 + 40PQ4R17− 49P 4QR18 + 45P 2Q2R18 +90Q3R18 − 108P 3R19 − 80PQR19 + 3R20)

125ϑ5(16RQ26 + 7R3Q23 + 10R5Q20 + 11R7Q17 + 2R9Q14 + 13R11Q11 + 7R13Q8 + 5R15Q5 +

14R17Q2)≡ (Q3 −R2)10 (mod 19)

p3(19t+ 7) ≡ 0 (mod 19)

12ϑ(16PQ35+15P 3Q34+13RQ34+17P 5Q33+17P 2RQ33+12P 7Q32+15PR2Q32+4P 4RQ32+

15P 9Q31+4R3Q31+8P 3R2Q31+10P 6RQ31+P 2R3Q30+6P 5R2Q30+10P 8RQ30+18PR4Q29+4P 7R2Q29 + 6R5Q28 + 12P 3R4Q28 + 9P 6R3Q28 + P 9R2Q28 + 11P 2R5Q27 + P 5R4Q27 +4P 8R3Q27 + 2PR6Q26 + 13P 4R5Q26 + 5P 7R4Q26 + 10R7Q25 + 4P 3R6Q25 + 4P 6R5Q25 +5P 9R4Q25 + 8P 2R7Q24 + 5P 5R6Q24 + 18P 8R5Q24 + 17PR8Q23 + 18P 4R7Q23 + 3P 7R6Q23 +10R9Q22 + 4P 3R8Q22 + 9P 6R7Q22 + 13P 9R6Q22 + 12P 2R9Q21 + 5P 5R8Q21 + P 8R7Q21 +PR10Q20 + 14P 4R9Q20 + 18P 7R8Q20 + 7R11Q19 + 6P 3R10Q19 + 8P 6R9Q19 + 13P 9R8Q19 +3P 2R11Q18 + 13P 5R10Q18 + 17P 8R9Q18 +PR12Q17 + 18P 4R11Q17 + 2P 7R10Q17 + 3R13Q16 +8P 3R12Q16 + 12P 9R10Q16 + 17P 2R13Q15 + 12P 5R12Q15 + 15P 8R11Q15 + 12PR14Q14 +9P 4R13Q14 + 7P 7R12Q14 + 4R15Q13 + P 3R14Q13 + 9P 6R13Q13 + 3P 9R12Q13 + 3P 2R15Q12 +11P 5R14Q12 +9P 8R13Q12+4PR16Q11+8P 4R15Q11 +13R17Q10 +13P 3R16Q10 +5P 6R15Q10+3P 9R14Q10+11P 2R17Q9+14P 5R16Q9+12P 8R15Q9+4PR18Q8+16P 4R17Q8+14P 7R16Q8+R19Q7 + 18P 3R18Q7 + 17P 6R17Q7 + 6P 9R16Q7 + 8P 2R19Q6 + 18P 5R18Q6 + 16P 8R17Q6 +6PR20Q5 + 2P 7R18Q5 + 17R21Q4 + 14P 3R20Q4 + 2P 6R19Q4 + 13P 2R21Q3 + 2P 5R20Q3 +7P 8R19Q3 + 12PR22Q2 + 3P 4R21Q2 + 4P 7R20Q2 + 14R23Q + 12P 3R22Q + 2P 6R21Q +17P 9R20Q+ 15P 2R23 + 2P 5R22 + 11P 8R21

)= (Q3 − R2)12 − 19(5Q36 − 111P 2Q35 − 104P 4Q34 + 32PRQ34 − 115P 6Q33 + 97R2Q33 −

12P 3RQ33 − 75P 8Q32 + 9P 2R2Q32 + 96P 5RQ32 − 105P 10Q31 + 94PR3Q31 − 30P 4R2Q31 +16P 7RQ31 +40R4Q30 +60P 3R3Q30 +32P 6R2Q30 +28P 9RQ30−108P 2R4Q29 +42P 5R3Q29 +39P 8R2Q29 +70PR5Q28−67P 4R4Q28−32P 7R3Q28−7P 10R2Q28 +46R6Q27 +54P 6R4Q27−16P 9R3Q27+66P 2R6Q26−78P 5R5Q26+18P 8R4Q26−20PR7Q25+83P 4R6Q25+12P 7R5Q25−35P 10R4Q25+108R8Q24−24P 3R7Q24+6P 6R6Q24−76P 9R5Q24−51P 2R8Q23−90P 5R7Q23+78P 8R6Q23 +12PR9Q22 +99P 4R8Q22−4P 7R7Q22−91P 10R6Q22 +29R10Q21−48P 3R9Q21 +35P 6R8Q21 + 86P 9R7Q21 + 57P 2R10Q20 − 36P 5R9Q20 − 69P 8R8Q20 − 44PR11Q19 +81P 4R10Q19 + 32P 7R9Q19 − 91P 10R8Q19 + 89R12Q18 + 36P 3R11Q18 − 61P 6R10Q18 −30P 9R9Q18 + 75P 2R12Q17 − 36P 5R11Q17 + 108P 8R10Q17 + 36PR13Q16 + 46P 4R12Q16 +

15

40P 7R11Q16 − 84P 10R10Q16 − 12R14Q15 − 92P 3R13Q15 − 47P 6R12Q15 − 54P 9R11Q15 −21P 2R14Q14 + 24P 5R13Q14 + 36P 8R12Q14 + 26PR15Q13 + 60P 4R14Q13 − 40P 7R13Q13 −21P 10R12Q13 + 107R16Q12 + 48P 3R15Q12 − 31P 6R14Q12 − 42P 9R13Q12 + 39P 2R16Q11 +42P 5R15Q11 + 81P 8R14Q11 − 64PR17Q10 + 13P 4R16Q10 + 40P 7R15Q10 − 21P 10R14Q10 +22R18Q9 +52P 3R17Q9 +6P 6R16Q9−48P 9R15Q9 +42P 2R18Q8 +18P 5R17Q8 +12P 8R16Q8 +38PR19Q7−100P 4R18Q7−80P 7R17Q7−42P 10R16Q7+118R20Q6+56P 3R19Q6−92P 6R18Q6−104P 9R17Q6 + 54P 2R20Q5 + 36P 5R19Q5 + 48P 8R18Q5 − 36PR21Q4 − 82P 4R20Q4 +16P 7R19Q4 +116R22Q3 +2P 6R20Q3 +58P 9R19Q3 +30P 2R22Q2−6P 5R21Q2 +57P 8R20Q2−98PR23Q− 86P 4R22Q− 8P 7R21Q− 119P 10R20Q+ 3R24− 108P 3R23− 14P 6R22− 74P 9R21)

1210ϑ10(15Q31 +R2Q28 + 5R4Q25 + 13R6Q22 + 13R8Q19 + 12R10Q16 + 3R12Q13 + 3R14Q10 +

6R16Q7 + 17R20Q)≡ (Q3 −R2)12 (mod 19)

p4(23t+ 19) ≡ 0 (mod 23)

12ϑ(19RQ10 + 4R3Q7 + 16R5Q4 + 17R7Q

)= (Q3−R2)4−23(5Q12−38PRQ10 +36R2Q9−8PR3Q7 +26R4Q6−32PR5Q4 +42R6Q3−

34PR7Q+ 3R8)

p6(23t+ 17) ≡ 0 (mod 23)

12ϑ(3PQ17 + 7RQ16 + 20PR2Q14 + 5R3Q13 + 12PR4Q11 + 5R5Q10 + 4PR6Q8 + 5PR8Q5 +

9R9Q4 + 5PR10Q2 + 17R11Q)

= (Q3−R2)6−23(2Q18−9P 2Q17−2PRQ16+24R2Q15−60P 2R2Q14+46PR3Q13+19R4Q12−36P 2R4Q11+14PR5Q10+8R6Q9−12P 2R6Q8+16PR7Q7+22R8Q6−15P 2R8Q5−10PR9Q4+55R10Q3 − 15P 2R10Q2 − 50PR11Q+ 3R12)

122ϑ2(20Q17 + 3R2Q14 + 11R4Q11 + 19R6Q8 + 18R8Q5 + 18R10Q2

)≡ (Q3−R2)6 (mod 23)

p8(23t+ 15) ≡ 0 (mod 23)

12ϑ(22PQ23 + 19P 2RQ21 + 16PR2Q20 + 20R3Q19 + 17P 2R3Q18 + 14PR4Q17 + 20R5Q16 +

21P 2R5Q15+8PR6Q14+9R7Q13+14P 2R7Q12+PR8Q11+16R9Q10+11P 2R9Q9+14PR10Q8+20P 2R11Q6 + 6PR12Q5 + 9R13Q4 + P 2R13Q3 + 13PR14Q2 + 17R15Q+ 11P 2R15

)= (Q3 − R2)8 − 23(Q24 − 84P 2Q23 + 98PRQ22 + 16R2Q21 − 76P 3RQ21 + 18P 2R2Q20 −

10PR3Q19 + 94R4Q18 − 68P 3R3Q18 + 24P 2R4Q17 − 26PR5Q16 + 70R6Q15 − 84P 3R5Q15 +48P 2R6Q14 − 14PR7Q13 + 61R8Q12 − 56P 3R7Q12 + 51P 2R8Q11 − 26PR9Q10 + 26R10Q9 −44P 3R9Q9 + 18P 2R10Q8 + 40PR11Q7 + 32R12Q6 − 80P 3R11Q6 + 16PR13Q4 + 73R14Q3 −4P 3R13Q3 − 9P 2R14Q2 − 64PR15Q+ 3R16 − 44P 3R15)

123ϑ3(21RQ21 + 20R3Q18 + 22R5Q15 + 7R7Q12 + 17R9Q9 + 10R11Q6 + 12R13Q3 +

17R15)≡ (Q3 −R2)8 (mod 23)

p10(23t+ 13) ≡ 0 (mod 23)

12ϑ(4PQ29+7P 3Q28+3RQ28+17P 2RQ27+11PR2Q26+3R3Q25+7P 3R2Q25+22P 2R3Q24+

17PR4Q23 + 14R5Q22 + 12P 3R4Q22 + 20P 2R5Q21 + 9PR6Q20 + 10R7Q19 + 7P 3R6Q19 +P 2R7Q18 + 22PR8Q17 + 14R9Q16 + 22P 3R8Q16 + 17P 2R9Q15 + 12PR10Q14 + 4R11Q13 +14P 3R10Q13 + P 2R11Q12 + 17PR12Q11 + 13R13Q10 + 3P 3R12Q10 + 11PR14Q8 + 10R15Q7 +15P 3R14Q7 + 2R17Q4 + 10P 3R16Q4 + 20P 2R17Q3 + 18PR18Q2 + 17R19Q + 20P 3R18Q +

16

11P 2R19)

= (Q3 − R2)10 − 23(Q30 − 15P 2Q29 − 35P 4Q28 + 12PRQ28 + 17R2Q27 − 48P 3RQ27 +42P 2R2Q26 + 54PR3Q25− 35P 4R2Q25 + 34R4Q24− 68P 3R3Q24 + 33P 2R4Q23 + 12PR5Q22−60P 4R4Q22 + 67R6Q21 − 44P 3R5Q21 + 30P 2R6Q20 + 26PR7Q19 − 35P 4R6Q19 + 76R8Q18 +64P 3R7Q18−66P 2R8Q17+26PR9Q16−110P 4R8Q16+40R10Q15+12P 3R9Q15−12P 2R10Q14+62PR11Q13 − 70P 4R10Q13 + 63R12Q12 + 36P 3R11Q12 − 84P 2R12Q11 + 6PR13Q10 −15P 4R12Q10 + 57R14Q9 + 60P 3R13Q9− 54P 2R14Q8− 36PR15Q7− 75P 4R14Q7 + 23R16Q6 +60P 3R15Q6 + 90P 2R16Q5 + 76PR17Q4− 50P 4R16Q4 + 86R18Q3− 24P 2R18Q2− 80PR19Q−100P 4R18Q+ 3R20 − 52P 3R19)

124ϑ4(18Q28 + 18R2Q25 + 21R4Q22 + 18R6Q19 + 4R8Q16 + 13R10Q13 + 11R12Q10 + 9R14Q7 +

6R16Q4 + 12R18Q)≡ (Q3 −R2)10 (mod 23)

p14(23t+ 9) ≡ 0 (mod 23)

12ϑ(18PQ41+17P 3Q40+16RQ40+20P 5Q39+15P 2RQ39+15PR2Q38+12P 4RQ38+20R3Q37+

5P 3R2Q37 + 22P 2R3Q36 + 17P 5R2Q36 + 7PR4Q35 + 21P 4R3Q35 + 10R5Q34 + P 3R4Q34 +11P 2R5Q33 + 11P 5R4Q33 + 17PR6Q32 + 16P 4R5Q32 + 6R7Q31 + 19P 3R6Q31 + 21P 2R7Q30 +P 5R6Q30 + 10PR8Q29 + 15P 4R7Q29 + 2R9Q28 + 8P 3R8Q28 + 9P 2R9Q27 + 5P 5R8Q27 +2PR10Q26 +20P 4R9Q26 +6R11Q25 +16P 3R10Q25 +22P 5R10Q24 +2PR12Q23 +14P 4R11Q23 +16R13Q22 + 6P 2R13Q21 + 6P 5R12Q21 + 3PR14Q20 + 12P 4R13Q20 + 13R15Q19 + 21P 3R14Q19 +13P 2R15Q18+4P 5R14Q18+13PR16Q17+9P 4R15Q17+9R17Q16+10P 3R16Q16+19P 2R17Q15+5P 5R16Q15 + 7PR18Q14 + 5P 4R17Q14 + 7R19Q13 + 4P 3R18Q13 + 20P 2R19Q12 + 6P 5R18Q12 +8PR20Q11 + 3P 4R19Q11 + 9R21Q10 + 14P 3R20Q10 + 8P 2R21Q9 + 12P 5R20Q9 + 4PR22Q8 +6P 4R21Q8+5R23Q7+9P 3R22Q7+5P 2R23Q6+2P 5R22Q6+8PR24Q5+8P 4R23Q5+5R25Q4+5P 3R24Q4 +P 2R25Q3 +P 5R24Q3 +9PR26Q2 +12P 4R25Q2 +17R27Q+2P 3R26Q+18P 2R27

)= (Q3 − R2)14 − 23(5Q42 − 123P 2Q41 − 113P 4Q40 + 22PRQ40 − 140P 6Q39 + 127R2Q39 +

16P 3RQ39 +12P 2R2Q38 +60P 5RQ38−36PR3Q37 +64P 4R2Q37 +146R4Q36−120P 3R3Q36−119P 6R2Q36+102P 2R4Q35−30P 5R3Q35−2PR5Q34+144P 4R4Q34+55R6Q33−40P 3R5Q33−77P 6R4Q33−18P 2R6Q32−48P 5R5Q32 +74PR7Q31−18P 4R6Q31 +81R8Q30−28P 3R7Q30−7P 6R6Q30 +60P 2R8Q29−90P 5R7Q29 +42PR9Q28 +67P 4R8Q28−60R10Q27 +20P 3R9Q27−35P 6R8Q27 + 30P 2R10Q26 − 60P 5R9Q26 − 28PR11Q25 + 22P 4R10Q25 + 211R12Q24 +72P 3R11Q24 − 154P 6R10Q24 + 6P 2R12Q23 + 12P 5R11Q23 − 96PR13Q22 + 98P 4R12Q22 −37R14Q21 + 36P 3R13Q21 − 42P 6R12Q21 + 54P 2R14Q20 − 48P 5R13Q20 − 28PR15Q19 −71P 4R14Q19 + 214R16Q18 + 20P 3R15Q18 − 28P 6R14Q18 + 33P 2R16Q17 − 30P 5R15Q17 +8PR17Q16−21P 4R16Q16−27R18Q15−88P 3R17Q15−35P 6R16Q15+99P 2R18Q14+6P 5R17Q14+10PR19Q13 + 109R20Q12 − 60P 3R19Q12 − 42P 6R18Q12 + 30P 2R20Q11 + 54P 5R19Q11 −26PR21Q10−58P 4R20Q10+30R22Q9+20P 3R21Q9−84P 6R20Q9+15P 2R22Q8−12P 5R21Q8+20PR23Q7 − 7P 4R22Q7 + 43R24Q6 + 8P 3R23Q6 − 14P 6R22Q6 − 45P 2R24Q5 − 48P 5R23Q5 +32PR25Q4 +50P 4R24Q4 +123R26Q3 +12P 3R25Q3−7P 6R24Q3 +63P 2R26Q2−84P 5R25Q2−118PR27Q− 10P 4R26Q+ 3R28 − 128P 3R27)


22R16Q15 + 8R18Q12 + 16R20Q9 + 18R22Q6 + 9R24Q3)≡ (Q3 −R2)14 (mod 23)

p18(23t+ 5) ≡ 0 (mod 23)

12ϑ(14PQ53 + 4P 3Q52 + 9RQ52 + 20P 5Q51 + 12P 2RQ51 + 20P 7Q50 + 7PR2Q50 +

9P 4RQ50 + 18R3Q49 + 17P 3R2Q49 + 14P 6RQ49 + 13P 2R3Q48 + 6P 5R2Q48 + 11PR4Q47 +12P 4R3Q47 + 9P 7R2Q47 + 18R5Q46 + 20P 3R4Q46 + 7P 6R3Q46 + 9P 2R5Q45 + 15P 5R4Q45 +

17

12PR6Q44 + 7P 4R5Q44 + 17P 7R4Q44 + 6R7Q43 + 19P 3R6Q43 + 7P 6R5Q43 + 16P 2R7Q42 +3P 5R6Q42 + 7PR8Q41 + 11P 4R7Q41 + 11P 7R6Q41 + 8R9Q40 + 17P 3R8Q40 + 14P 6R7Q40 +5P 2R9Q39 + 10P 5R8Q39 + 10PR10Q38 + P 4R9Q38 + 2P 7R8Q38 + 12R11Q37 + 6P 3R10Q37 +14P 6R9Q37 + 16P 2R11Q36 + 6P 5R10Q36 + 9PR12Q35 + 22P 4R11Q35 + 22P 7R10Q35 +16R13Q34 +8P 3R12Q34 +2P 6R11Q34 +8P 2R13Q33 +6P 5R12Q33 +19PR14Q32 +3P 4R13Q32 +9P 7R12Q32 + 9R15Q31 + 6P 3R14Q31 + 5P 6R13Q31 + 20P 2R15Q30 +P 5R14Q30 + 13PR16Q29 +10P 4R15Q29 + 14P 7R14Q29 + 17R17Q28 + 13P 3R16Q28 + 13P 6R15Q28 + 10P 2R17Q27 +4P 5R16Q27+14PR18Q26+16P 4R17Q26+17P 7R16Q26+11R19Q25+3P 3R18Q25+2P 6R17Q25+16P 2R19Q24+4P 5R18Q24+3PR20Q23+16P 4R19Q23+19P 7R18Q23+22R21Q22+3P 3R20Q22+3P 6R19Q22 + 18P 2R21Q21 + 12P 5R20Q21 + 11PR22Q20 + 4P 4R21Q20 + 19P 7R20Q20 +14R23Q19+P 3R22Q19+10P 6R21Q19+7P 2R23Q18+15P 5R22Q18+13PR24Q17+19P 4R23Q17+14P 7R22Q17+2R25Q16+15P 3R24Q16 +3P 6R23Q16 +P 2R25Q15+22P 5R24Q15 +18PR26Q14 +7P 4R25Q14 +22P 7R24Q14 +4R27Q13 +8P 3R26Q13 +17P 6R25Q13 +P 2R27Q12 +18P 5R26Q12 +PR28Q11+10P 4R27Q11+13P 7R26Q11+21R29Q10+21P 3R28Q10+4P 6R27Q10+22P 2R29Q9+22P 5R28Q9 + 14PR30Q8 + 19P 4R29Q8 + P 7R28Q8 + 4R31Q7 + 6P 3R30Q7 + 10P 6R29Q7 +5P 2R31Q6 + 9P 5R30Q6 + 21PR32Q5 + 19P 4R31Q5 + 17P 7R30Q5 + 19R33Q4 + 10P 3R32Q4 +5P 6R31Q4 + 18P 2R33Q3 + 8P 5R32Q3 + 8PR34Q2 + 9P 4R33Q2 + 7P 7R32Q2 + 17R35Q +20P 3R34Q+ 10P 6R33Q+ 16P 2R35 + 20P 5R34

)= (Q3 − R2)18 − 23(3Q54 − 126P 2Q53 − 30P 4Q52 + 50PRQ52 − 172P 6Q51 + 95R2Q51 −

64P 3RQ51−180P 8Q50 + 54P 2R2Q50 + 102P 5RQ50−94PR3Q49−67P 4R2Q49 + 52P 7RQ49 +184R4Q48+48P 3R3Q48+73P 6R2Q48+21P 2R4Q47−42P 5R3Q47−81P 8R2Q47−58PR5Q46−73P 4R4Q46+28P 7R3Q46+120R6Q45+108P 3R5Q45−66P 6R4Q45−9P 2R6Q44+60P 5R5Q44−153P 8R4Q44+52PR7Q43−100P 4R6Q43+84P 7R5Q43+197R8Q42+32P 3R7Q42+54P 6R6Q42+66P 2R8Q41−54P 5R7Q41−99P 8R6Q41 +2PR9Q40−73P 4R8Q40−44P 7R7Q40−282R10Q39 +88P 3R9Q39 + 40P 6R8Q39 − 12P 2R10Q38 + 78P 5R9Q38 − 18P 8R8Q38 − 16PR11Q37 +16P 4R10Q37 − 56P 7R9Q37 + 939R12Q36 − 80P 3R11Q36 + 48P 6R10Q36 + 45P 2R12Q35 −144P 5R11Q35 − 198P 8R10Q35 − 24PR13Q34 + 72P 4R12Q34 + 144P 7R11Q34 − 1253R14Q33 −4P 3R13Q33 − 23P 6R12Q33 − 51P 2R14Q32 + 12P 5R13Q32 − 81P 8R12Q32 + 78PR15Q31 +P 4R14Q31 + 56P 7R13Q31 + 2027R16Q30 − 96P 3R15Q30 + 73P 6R14Q30 + 30P 2R16Q29 −66P 5R15Q29 − 126P 8R14Q29 − 26PR17Q28 + 3P 4R16Q28 + 24P 7R15Q28 − 1976R18Q27 −12P 3R17Q27 + 41P 6R16Q27 − 3P 2R18Q26 − 108P 5R17Q26 − 153P 8R16Q26 − 22PR19Q25 +125P 4R18Q25 + 148P 7R17Q25 + 2071R20Q24 − 116P 3R19Q24 − 7P 6R18Q24 + 138P 2R20Q23 −66P 5R19Q23 − 171P 8R18Q23 − 128PR21Q22 + 61P 4R20Q22 + 148P 7R19Q22 − 1215R22Q21 −148P 3R21Q21 − 37P 6R20Q21 + 6P 2R22Q20 + 96P 5R21Q20 − 171P 8R20Q20 − 10PR23Q19 +122P 4R22Q19 + 56P 7R21Q19 + 867R24Q18 + 36P 3R23Q18 − 81P 6R22Q18 − 90P 2R24Q17 +12P 5R23Q17 − 126P 8R22Q17 + 142PR25Q16 − 31P 4R24Q16 + 152P 7R23Q16 − 338R26Q15 +88P 3R25Q15 − 74P 6R24Q15 − 156P 2R26Q14 + 120P 5R25Q14 − 198P 8R24Q14 + 14PR27Q13 +18P 4R26Q13 − 12P 7R25Q13 + 301R28Q12 + 164P 3R27Q12 − 93P 6R26Q12 + 162P 2R28Q11 +108P 5R27Q11 − 117P 8R26Q11 − 82PR29Q10 − 25P 4R28Q10 − 4P 7R27Q10 + 34R30Q9 −116P 3R29Q9 − 117P 6R28Q9 − 54P 2R30Q8 − 66P 5R29Q8 − 9P 8R28Q8 + 158PR31Q7 +127P 4R30Q7+44P 7R29Q7+176R32Q6+48P 3R31Q6−24P 6R30Q6−33P 2R32Q5−96P 5R31Q5−153P 8R30Q5−86PR33Q4 +4P 4R32Q4 +28P 7R31Q4 +168R34Q3 +20P 3R33Q3 +19P 6R32Q3 +84P 2R34Q2 + 102P 5R33Q2 − 63P 8R32Q2 − 154PR35Q− 176P 4R34Q− 88P 7R33Q+ 3R36 −144P 3R35 − 180P 6R34)

128ϑ8(Q50 + 20R2Q47 + 2R4Q44 + 4R6Q41 + 7R8Q38 + 8R10Q35 + 20R12Q32 + 3R14Q29 +

2R16Q26 + 9R18Q23 + 9R20Q20 + 3R22Q17 + 8R24Q14 + 11R26Q11 + 15R28Q8 + 2R30Q5 +13R32Q2

)≡ (Q3 −R2)18 (mod 23)

18

p3(23t+ 20) ≡ 0 (mod 23) via Q23(Q3 −R2)3

12ϑ(7P 3Q30 + 19RQ30 + 8P 2RQ29 + 12P 7Q28 + 18PR2Q28 + 17P 4RQ28 + 10P 9Q27 +

22R3Q27 + 7P 3R2Q27 + 9P 6RQ27 + 10P 11Q26 + 2P 2R3Q26 + 15P 5R2Q26 + 16P 8RQ26 +16PR4Q25 + 12P 4R3Q25 + 21P 7R2Q25 + 8P 10RQ25 + 16R5Q24 + 19P 3R4Q24 + 8P 6R3Q24 +7P 9R2Q24 + 8P 2R5Q23 + 17P 5R4Q23 + 2P 8R3Q23 + 6P 11R2Q23 + 6PR6Q22 + 9P 4R5Q22 +17P 7R4Q22 +14P 10R3Q22 +4P 3R6Q21 +16P 6R5Q21 +22P 9R4Q21 +11P 2R7Q20 +P 5R6Q20 +11P 8R5Q20 + 14P 11R4Q20 +PR8Q19 + 13P 4R7Q19 + 17P 7R6Q19 + 12P 10R5Q19 + 20R9Q18 +5P 3R8Q18 +2P 6R7Q18 +21P 9R6Q18 +13P 2R9Q17 +11P 5R8Q17 +3P 8R7Q17 +5P 11R6Q17 +15PR10Q16 + 4P 4R9Q16 + 14P 7R8Q16 + 7P 10R7Q16 + 2R11Q15 + 16P 3R10Q15 + P 6R9Q15 +7P 9R8Q15+4P 5R10Q14+11P 8R9Q14+6P 11R8Q14+17PR12Q13+11P 4R11Q13+4P 7R10Q13+18P 10R9Q13 + 18R13Q12 + 18P 3R12Q12 + 6P 6R11Q12 + 17P 9R10Q12 + 18P 2R13Q11 +8P 5R12Q11 + 21P 8R11Q11 + 20P 11R10Q11 + 4PR14Q10 + 17P 4R13Q10 + 15P 7R12Q10 +6P 10R11Q10 + 20R15Q9 + 10P 3R14Q9 + 5P 9R12Q9 + 9P 5R14Q8 + 14P 8R13Q8 + 15PR16Q7 +12P 4R15Q7 +20P 7R14Q7 +7R17Q6 +13P 3R16Q6 +20P 6R15Q6 +18P 2R17Q5 +11P 5R16Q5 +18PR18Q4 + 15P 4R17Q4 + 2R19Q3 + 7P 3R18Q3 + 17P 2R19Q2 + 9PR20Q+ 20R21

)= Q23(Q3 − R2)3 + 23(−5Q32 − 3P 2Q31 + 33P 4Q30 + 94PRQ30 − 6P 6Q29 − 117R2Q29 +

54P 8Q28 + 55P 2R2Q28 + 80P 5RQ28 + 44P 10Q27 + 16PR3Q27 − 58P 4R2Q27 − 28P 7RQ27 +50P 12Q26−125R4Q26−44P 3R3Q26 + 24P 6R2Q26 + 28P 9RQ26 + 65P 2R4Q25−24P 5R3Q25 +32P 8R2Q25− 8P 11RQ25 + 8PR5Q24 + 34P 4R4Q24− 68P 7R3Q24− 13P 10R2Q24− 67R6Q23−44P 3R5Q23 + 30P 6R4Q23 − 48P 9R3Q23 + 30P 12R2Q23 − 20P 2R6Q22 − 26P 5R5Q22 +57P 8R4Q22+32P 11R3Q22−26PR7Q21−37P 4R6Q21−12P 7R5Q21+36P 10R4Q21−47R8Q20+32P 3R7Q20 − 62P 6R6Q20 − 62P 9R5Q20 + 70P 12R4Q20 − 64P 2R8Q19 + 42P 5R7Q19 +36P 8R6Q19+4P 11R5Q19+66PR9Q18−28P 4R8Q18−76P 7R7Q18+52P 10R6Q18−69R10Q17+12P 3R9Q17 + 45P 6R8Q17 − 68P 9R7Q17 + 25P 12R6Q17 + 41P 2R10Q16 − 22P 5R9Q16 +35P 8R8Q16+8P 11R7Q16−84PR11Q15+42P 4R10Q15−48P 7R9Q15−29P 10R8Q15−67R12Q14−100P 3R11Q14 − 14P 9R9Q14 + 30P 12R8Q14 + 29P 2R12Q13 + 22P 5R11Q13 − 73P 8R10Q13 +24P 11R9Q13 + 44PR13Q12 + 12P 4R12Q12 − 32P 7R11Q12 + 19P 10R10Q12 − 116R14Q11 +20P 3R13Q11 + 25P 6R12Q11 + 54P 9R11Q11 + 100P 12R10Q11 − 14P 2R14Q10 + 42P 5R13Q10 −12P 8R12Q10−8P 11R11Q10+40PR15Q9−25P 4R14Q9−104P 7R13Q9+15P 10R12Q9−63R16Q8−72P 3R15Q8−37P 6R14Q8+64P 9R13Q8+84P 8R14Q7−66PR17Q6−14P 4R16Q6+80P 7R15Q6−18R18Q5 + 48P 3R17Q5 + 37P 6R16Q5− 3P 2R18Q4 + 70P 5R17Q4− 50PR19Q3 + 27P 4R18Q3−111R20Q2 + 88P 3R19Q2 + 43P 2R20Q+ 108PR21)

1212ϑ12(13Q26 + 17R2Q23 + 9R4Q20 + 18R6Q17 + 17R8Q14 + 3R10Q11

)≡ Q23(Q3 − R2)3

(mod 23)

p14(29t+ 26) ≡ 0 (mod 29)

12ϑ(7PQ8 + 2P 3Q7 + 18RQ7 + 22P 5Q6 + 23P 2RQ6 + 14PR2Q5 + 21P 4RQ5 + 2R3Q4 +

11P 3R2Q4 + 27P 2R3Q3 + 23P 5R2Q3 +PR4Q2 + 15P 4R3Q2 + 22R5Q+ 2P 3R4Q+ 22P 2R5)

= (Q3 − R2)3 − 29(4Q9 − 3P 2Q8 + 6P 4Q7 − 6PRQ7 − 22P 6Q6 + 19R2Q6 − 16P 3RQ6 +21P 2R2Q5 + 6P 5RQ5 + 10PR3Q4 + 16P 4R2Q4 + 24R4Q3 − 20P 3R3Q3 − 23P 6R2Q3 +33P 2R4Q2 − 6P 5R3Q2 − 24PR5Q+ 2P 4R4Q+ 3R6 − 24P 3R5)

126ϑ6(9Q6 + 16R2Q3

)≡ (Q3 −R2)3 (mod 29)

p4(29t+ 24) ≡ 0 (mod 29)

19

12ϑ(24RQ13 + 26R3Q10 + 23R5Q7 + 7R7Q4 + 22R9Q

)= (Q3 − R2)5 − 29(5Q15 − 48PRQ13 + 59R2Q12 − 52PR3Q10 + 60R4Q9 − 46PR5Q7 +

32R6Q6 − 14PR7Q4 + 45R8Q3 − 44PR9Q+ 3R10)

p8(29t+ 19) ≡ 0 (mod 29)

12ϑ(11PQ29+27RQ28+26P 2RQ27+5PR2Q26+24R3Q25+7P 2R3Q24+16PR4Q23+4R5Q22+

11P 2R5Q21 + 28PR6Q20 + 9R7Q19 + 27P 2R7Q18 + 13PR8Q17 + 2R9Q16 + 26P 2R9Q15 +27PR10Q14 + 23R11Q13 + 15P 2R11Q12 + 5PR12Q11 + 15R13Q10 + 15P 2R13Q9 + 25PR14Q8 +25R15Q7 + 12P 2R15Q6 + PR16Q5 + 16R17Q4 + 6P 2R17Q3 + 7R19Q+ 7P 2R19

)= (Q3−R2)10− 29(6Q30− 39P 2Q29− 62PRQ28 + 119R2Q27− 104P 3RQ27 + 81P 2R2Q26−

66PR3Q25 + 89R4Q24 − 28P 3R3Q24 − 30P 2R4Q23 + 70PR5Q22 + 22R6Q21 − 44P 3R5Q21 −42P 2R6Q20 + 64PR7Q19 + 35R8Q18− 108P 3R7Q18 + 63P 2R8Q17 + 80PR9Q16 + 49R10Q15−104P 3R9Q15 − 21P 2R10Q14 − 28PR11Q13 + 89R12Q12 − 60P 3R11Q12 + 45P 2R12Q11 +20PR13Q10 + 95R14Q9 − 60P 3R13Q9 − 45P 2R14Q8 − 70PR15Q7 + 82R16Q6 − 48P 3R15Q6 +27P 2R16Q5−64PR17Q4 +36R18Q3−24P 3R17Q3 +30P 2R18Q2−28PR19Q+R20−28P 3R19)

123ϑ3(13RQ27 +18R3Q24 +20R5Q21 +28R7Q18 +13R9Q15 +22R11Q12 +22R13Q9 +6R15Q6 +

3R17Q3 + 18R19)≡ (Q3 −R2)10 (mod 29)

p10(31t+ 28) ≡ 0 (mod 31)

12ϑ(21PQ8 +7P 3Q7 +17RQ7 +19P 2RQ6 +20PR2Q5 +26R3Q4 +24P 3R2Q4 +28P 2R3Q3 +

23PR4Q2 + 8R5Q+ 11P 3R4Q+ 13P 2R5)

= (Q3−R2)3− 31(4Q9− 18P 2Q8− 7P 4Q7 + 12PRQ7 + 31R2Q6− 4P 3RQ6 + 12P 2R2Q5 +4PR3Q4 − 24P 4R2Q4 + 22R4Q3 − 8P 3R3Q3 − 2PR5Q− 11P 4R4Q+R6 − 12P 3R5)

124ϑ4(4Q7 + 27R2Q4 + 24R4Q

)≡ (Q3 −R2)3 (mod 31)

p6(31t+ 23) ≡ 0 (mod 31)


17PR8Q11 + 2PR10Q8 + 29R11Q7 + 12PR12Q5 +R13Q4 + 30PR14Q2 + 23R15Q)

= (Q3 − R2)8 − 31(3Q24 − 24P 2Q23 − 16PRQ22 + 49R2Q21 − 21P 2R2Q20 − 8PR3Q19 +43R4Q18 − 87P 2R4Q17 + 68PR5Q16 + 27R6Q15 − 27P 2R6Q14 − 12PR7Q13 + 33R8Q12 −51P 2R8Q11 + 28PR9Q10 + 60R10Q9 − 6P 2R10Q8 − 58PR11Q7 + 30R12Q6 − 36P 2R12Q5 +86PR13Q4 + 68R14Q3 − 90P 2R14Q2 − 62PR15Q+ 3R16)

122ϑ2(23Q23 + 24R2Q20 + 2R4Q17 + 22R6Q14 + 14R8Q11 + 29R10Q8 + 19R12Q5 +

R14Q2)≡ (Q3 −R2)8 (mod 31)

p14(41t+ 37) ≡ 0 (mod 41)

12ϑ(18PQ11 + 10P 3Q10 + 31RQ10 + 40P 5Q9 + 7P 2RQ9 + 38PR2Q8 + 11P 4RQ8 + 34R3Q7 +

16P 3R2Q7 + 10P 2R3Q6 + 21P 5R2Q6 + 6P 4R3Q5 + 20R5Q4 + 26P 3R4Q4 + 14P 2R5Q3 +10P 5R4Q3 + 2PR6Q2 + 7P 4R5Q2 + 10R7Q+ 23P 3R6Q+ 17P 2R7 + 39P 5R6

)= (Q3−R2)4− 41(5Q12− 18P 2Q11− 4P 4Q10− 4PRQ10− 40P 6Q9 + 46R2Q9 + 8P 3RQ9−

30P 2R2Q8+30P 5RQ8−8PR3Q7−3P 4R2Q7+38R4Q6+16P 3R3Q6−21P 6R2Q6+18P 2R4Q5+12P 5R3Q5 − 20PR5Q4 − 18P 4R4Q4 + 18R6Q3 + 16P 3R5Q3 − 10P 6R4Q3 + 21P 2R6Q2 +

20

30P 5R5Q2 − 10PR7Q− 18P 4R6Q+R8 − 16P 3R7 − 39P 6R6)

126ϑ6(27Q9 + 7R2Q6 + 17R4Q3 + 13R6

)≡ (Q3 −R2)4 (mod 41)

p4(41t+ 34) ≡ 0 (mod 41)

12ϑ(34RQ19 + 14R3Q16 + 20R5Q13 + 20R7Q10 + 2R9Q7 + 15R11Q4 + 31R13Q

)= (Q3 − R2)7 − 41(5Q21 − 68PRQ19 + 69R2Q18 − 28PR3Q16 + 37R4Q15 − 40PR5Q13 +

45R6Q12− 40PR7Q10 + 23R8Q9− 4PR9Q7 + 25R10Q6− 30PR11Q4 + 65R12Q3− 62PR13Q+3R14)

p8(41t+ 27) ≡ 0 (mod 41)

12ϑ(9PQ41 + 12RQ40 + 22P 2RQ39 + 12PR2Q38 + 21R3Q37 + 15P 2R3Q36 + 27PR4Q35 +

10R5Q34 + 15P 2R5Q33 + 20PR6Q32 + 9R7Q31 + 8P 2R7Q30 + 27PR8Q29 + 18R9Q28 +26P 2R9Q27+35PR10Q26+21R11Q25+17P 2R11Q24+27PR12Q23+32R13Q22+22P 2R13Q21+39PR14Q20 +26R15Q19 +25P 2R15Q18 +35PR16Q17 +24R17Q16 +4P 2R17Q15 +33PR18Q14 +2R19Q13 + 23P 2R19Q12 + 15PR20Q11 + 23R21Q10 + 6P 2R21Q9 + 17PR22Q8 + 11R23Q7 +25P 2R23Q6 + 4PR24Q5 + 20R25Q4 + 25P 2R25Q3 + PR26Q2 + 10R27Q+ 6P 2R27

)= (Q3 − R2)14 − 41(2Q42 − 33P 2Q41 − 8PRQ40 + 56R2Q39 − 88P 3RQ39 + 42P 2R2Q38 −

24PR3Q37 + 86R4Q36 − 60P 3R3Q36 − 45P 2R4Q35 + 70PR5Q34 + 34R6Q33 − 60P 3R5Q33 −24P 2R6Q32 + 58PR7Q31 + 76R8Q30 − 32P 3R7Q30 − 51P 2R8Q29 + 56PR9Q28 + 35R10Q27 −104P 3R9Q27 − 45P 2R10Q26 + 52PR11Q25 + 186R12Q24 − 68P 3R11Q24 − 27P 2R12Q23 +12PR13Q22 + 43R14Q21 − 88P 3R13Q21 − 57P 2R14Q20 + 54PR15Q19 + 182R16Q18 −100P 3R15Q18 − 87P 2R16Q17 + 48PR17Q16 − 5R18Q15 − 16P 3R17Q15 − 63P 2R18Q14 +82PR19Q13 +98R20Q12−92P 3R19Q12−15P 2R20Q11−22PR21Q10 +51R22Q9−24P 3R21Q9 +21P 2R22Q8 − 16PR23Q7 + 83R24Q6 − 100P 3R23Q6 + 90P 2R24Q5 − 74PR25Q4 + 47R26Q3 −100P 3R25Q3 + 27P 2R26Q2 − 40PR27Q+R28 − 24P 3R27)

123ϑ3(11RQ39+28R3Q36+28R5Q33+4R7Q30+13R9Q27+29R11Q24+11R13Q21+33R15Q18+

2R17Q15 + 32R19Q12 + 3R21Q9 + 33R23Q6 + 33R25Q3 + 3R27)≡ (Q3 −R2)14 (mod 41)

p10(43t+ 39) ≡ 0 (mod 43)

12ϑ(14PQ11+42P 3Q10+19RQ10+41P 2RQ9+29PR2Q8+40R3Q7+39P 3R2Q7+27P 2R3Q6+

25PR4Q5 + 29R5Q4 + 4P 3R4Q4 + 37P 2R5Q3 + 2PR6Q2 + 32R7Q+ 10P 3R6Q+ 40P 2R7)

= (Q3−R2)4−43(3Q12−6P 2Q11−42P 4Q10 +4PRQ10 +35R2Q9 +8P 3RQ9 +18P 2R2Q8−6PR3Q7−39P 4R2Q7 +47R4Q6 +15P 2R4Q5−16PR5Q4−4P 4R4Q4 +42R6Q3−28P 3R5Q3 +48P 2R6Q2 − 32PR7Q− 10P 4R6Q+ 3R8 − 40P 3R7)

124ϑ4(36Q10 + 15R2Q7 + 28R4Q4 + 27R6Q

)≡ (Q3 −R2)4 (mod 43)

p6(43t+ 32) ≡ 0 (mod 43)

12ϑ(30PQ32 +2RQ31 +17PR2Q29 +5R3Q28 +13PR4Q26 +2R5Q25 +27PR6Q23 +19R7Q22 +

23PR8Q20 + 27R9Q19 + 35PR10Q17 + 6R11Q16 + 16PR12Q14 + 11R13Q13 + 34PR14Q11 +17R15Q10 + 37PR16Q8 + 4R17Q7 + 5PR18Q5 + 7R19Q4 + 39PR20Q2 + 11R21Q

)= (Q3−R2)11−43(Q33−90P 2Q32+88PRQ31+8R2Q30−51P 2R2Q29+38PR3Q28+16R4Q27−

39P 2R4Q26 + 48PR5Q25 + 20R6Q24 − 81P 2R6Q23 + 26PR7Q22 + 81R8Q21 − 69P 2R8Q20 +10PR9Q19+47R10Q18−105P 2R10Q17+64PR11Q16+40R12Q15−48P 2R12Q14+54PR13Q13+

21

42R14Q12− 102P 2R14Q11 + 66PR15Q10 + 30R16Q9− 111P 2R16Q8 + 28PR17Q7 + 20R18Q6−15P 2R18Q5 + 90PR19Q4 + 36R20Q3 − 117P 2R20Q2 − 26PR21Q+R22)


6R16Q8 + 38R18Q5 + 4R20Q2)≡ (Q3 −R2)11 (mod 43)

p4(47t+ 39) ≡ 0 (mod 47)

12ϑ(39RQ22 + 3R3Q19 + 4R5Q16 + 40R7Q13 + 42R9Q10 + 11R11Q7 + 21R13Q4 + 35R15Q

)= (Q3−R2)8−47(5Q24−78PRQ22+74R2Q21−6PR3Q19+8R4Q18−8PR5Q16+40R6Q15−

80PR7Q13+94R8Q12−84PR9Q10+50R10Q9−22PR11Q7+42R12Q6−42PR13Q4+74R14Q3−70PR15Q+ 3R16)

p6(47t+ 35) ≡ 0 (mod 47)


13PR8Q23 + 23R9Q22 + 11PR10Q20 + 36R11Q19 + 17PR12Q17 + 33R13Q16 + 23PR14Q14 +42R15Q13+35PR16Q11+25R17Q10+16PR18Q8+26R19Q7+3PR20Q5+3R21Q4+22PR22Q2+35R23Q

)= (Q3 − R2)12 − 47(6Q36 − 87P 2Q35 − 40PRQ34 + 124R2Q33 − 6P 2R2Q32 − 6PR3Q31 +

49R4Q30 − 57P 2R4Q29 − 86PR5Q28 + 108R6Q27 − 12P 2R6Q26 + 4PR7Q25 + 50R8Q24 −39P 2R8Q23−30PR9Q22+77R10Q21−33P 2R10Q20−64PR11Q19+133R12Q18−51P 2R12Q17−34PR13Q16+109R14Q15−69P 2R14Q14−28PR15Q13+112R16Q12−105P 2R16Q11−6PR17Q10+80R18Q9 − 48P 2R18Q8 − 60PR19Q7 + 25R20Q6 − 9P 2R20Q5 + 54PR21Q4 + 104R22Q3 −66P 2R22Q2 − 102PR23Q+ 3R24)

122ϑ2(18Q35+45R2Q32+28R4Q29+43R6Q26+34R8Q23+36R10Q20+30R12Q17+24R14Q14+

12R16Q11 + 31R18Q8 + 44R20Q5 + 25R22Q2)≡ (Q3 −R2)12 (mod 47)

p8(47t+ 31) ≡ 0 (mod 47)

12ϑ(PQ47 +31RQ46 +8P 2RQ45 +43PR2Q44 +8R3Q43 +19P 2R3Q42 +PR4Q41 +30R5Q40 +

8P 2R5Q39 + 28PR6Q38 + 17R7Q37 + 9P 2R7Q36 + 37PR8Q35 + 40R9Q34 + 35P 2R9Q33 +45R11Q31 + 24P 2R11Q30 + 28PR12Q29 + 5R13Q28 + 2P 2R13Q27 + 14PR14Q26 + 33R15Q25 +27P 2R15Q24+30PR16Q23+43R17Q22+44P 2R17Q21+31PR18Q20+17R19Q19+40P 2R19Q18+33PR20Q17+30R21Q16+30P 2R21Q15+30PR22Q14+40R23Q13+26P 2R23Q12+29PR24Q11+23R25Q10 + 16P 2R25Q9 + 13PR26Q8 + 27R27Q7 + 9P 2R27Q6 + 19PR28Q5 + 27R29Q4 +4P 2R29Q3 + 30PR30Q2 + 35R31Q+ 9P 2R31

)= (Q3−R2)16− 47(4Q48− 3P 2Q47− 110PRQ46 + 125R2Q45− 32P 3RQ45− 135P 2R2Q44 +

130PR3Q43 + 51R4Q42− 76P 3R3Q42 + 69P 2R4Q41− 96PR5Q40 + 106R6Q39− 32P 3R5Q39−78P 2R6Q38 + 60PR7Q37 + 139R8Q36− 36P 3R7Q36− 81P 2R8Q35− 50PR9Q34 + 86R10Q33−140P 3R9Q33 + 132P 2R10Q32 − 138PR11Q31 + 298R12Q30 − 96P 3R11Q30 − 48P 2R12Q29 +74PR13Q28 − 168R14Q27 − 8P 3R13Q27 − 40PR15Q25 + 438R16Q24 − 108P 3R15Q24 +30P 2R16Q23 − 42PR17Q22 − 121R18Q21 − 176P 3R17Q21 + 51P 2R18Q20 + 70PR19Q19 +279R20Q18 − 160P 3R19Q18 + 9P 2R20Q17 + 12PR21Q16 + 66R22Q15 − 120P 3R21Q15 −6P 2R22Q14−36PR23Q13+157R24Q12−104P 3R23Q12−39P 2R24Q11−22PR25Q10+101R26Q9−64P 3R25Q9− 9P 2R26Q8− 32PR27Q7 + 119R28Q6− 36P 3R27Q6− 57P 2R28Q5 + 14PR29Q4 +148R30Q3 − 16P 3R29Q3 − 84P 2R30Q2 − 136PR31Q+ 3R32 − 36P 3R31)

22

123ϑ3(4RQ45 + 33R3Q42 + 4R5Q39 + 28R7Q36 + 41R9Q33 + 12R11Q30 +R13Q27 + 37R15Q24 +

22R17Q21+20R19Q18+15R21Q15+13R23Q12+8R25Q9+28R27Q6+2R29Q3+28R31)≡ (Q3−

R2)16 (mod 47)

p10(47t+ 27) ≡ 0 (mod 47)

12ϑ(45PQ59+16P 3Q58+8RQ58+7P 2RQ57+PR2Q56+5R3Q55+32P 3R2Q55+21P 2R3Q54+

15PR4Q53 + 27R5Q52 + 15P 3R4Q52 + 41P 2R5Q51 + 20PR6Q50 + 25R7Q49 + 15P 3R6Q49 +10P 2R7Q48 + 3PR8Q47 + 4R9Q46 + 31P 3R8Q46 + 2P 2R9Q45 + 44PR10Q44 + 18R11Q43 +35P 3R10Q43+42P 2R11Q42+3PR12Q41+40R13Q40+41P 3R12Q40+40P 2R13Q39+17PR14Q38+2R15Q37 +41P 3R14Q37 +43P 2R15Q36 +31PR16Q35 +46R17Q34 +19P 3R16Q34 +8P 2R17Q33 +21PR18Q32 +26R19Q31 +4P 3R18Q31 +38P 2R19Q30 +16PR20Q29 +6R21Q28 +33P 3R20Q28 +39P 2R21Q27 +4PR22Q26 +12R23Q25 +46P 3R22Q25 +6P 2R23Q24 +26PR24Q23 +35R25Q22 +4P 3R24Q22 +24P 2R25Q21 +PR26Q20 +13R27Q19 +22P 3R26Q19 +33P 2R27Q18 +3PR28Q17 +16R29Q16+42P 3R28Q16+44P 2R29Q15+7PR30Q14+25R31Q13+25P 3R30Q13+11P 2R31Q12+21PR32Q11 + 32R33Q10 + 42P 3R32Q10 + 14P 2R33Q9 + 17PR34Q8 + 42R35Q7 + 31P 3R34Q7 +15P 2R35Q6 + 31PR36Q5 + 46R37Q4 + 35P 3R36Q4 + 31P 2R37Q3 + 24PR38Q2 + 35R39Q +42P 3R38Q+ 27P 2R39

)= (Q3 − R2)20 − 47(2Q60 − 225P 2Q59 − 80P 4Q58 + 186PRQ58 + 41R2Q57 + 52P 3RQ57 +

39P 2R2Q56−12PR3Q55−160P 4R2Q55 +45R4Q54 +52P 3R3Q54 +48P 2R4Q53−52PR5Q52−75P 4R4Q52 +118R6Q51−128P 3R5Q51 +87P 2R6Q50−38PR7Q49−75P 4R6Q49 +212R8Q48 +44P 3R7Q48 + 30P 2R8Q47 + 48PR9Q46 − 155P 4R8Q46 − 288R10Q45 + 156P 3R9Q45 −153P 2R10Q44 + 80PR11Q43 − 175P 4R10Q43 + 957R12Q42 − 20P 3R11Q42 + 204P 2R12Q41 −160PR13Q40 − 205P 4R12Q40 − 1509R14Q39 + 12P 3R13Q39 + 132P 2R14Q38 + 110PR15Q37 −205P 4R14Q37 + 2787R16Q36 − 48P 3R15Q36 − 6P 2R16Q35 − 92PR17Q34 − 95P 4R16Q34 −3377R18Q33 + 24P 3R17Q33 + 9P 2R18Q32 − 32PR19Q31 − 20P 4R18Q31 + 4016R20Q30 −96P 3R19Q30 + 123P 2R20Q29 + 22PR21Q28 − 165P 4R20Q28 − 3524R22Q27 + 12P 3R21Q27 +90P 2R22Q26 + 28PR23Q25 − 230P 4R22Q25 + 2818R24Q24 + 80P 3R23Q24 − 42P 2R24Q23 −122PR25Q22 − 20P 4R24Q22 − 1539R26Q21 − 40P 3R25Q21 + 153P 2R26Q20 − 52PR27Q19 −110P 4R26Q19 + 905R28Q18 + 20P 3R27Q18 + 201P 2R28Q17 − 48PR29Q16 − 210P 4R28Q16 −209R30Q15 − 68P 3R29Q15 + 66P 2R30Q14 − 32PR31Q13 − 125P 4R30Q13 + 266R32Q12 +144P 3R31Q12 − 33P 2R32Q11 − 68PR33Q10 − 210P 4R32Q10 + 191R34Q9 + 100P 3R33Q9 −6P 2R34Q8−58PR35Q7−155P 4R34Q7+247R36Q6+104P 3R35Q6−102PR37Q4−175P 4R36Q4+190R38Q3 + 60P 3R37Q3 + 24P 2R38Q2 − 172PR39Q− 210P 4R38Q+ 3R40 − 132P 3R39)

124ϑ4(13Q58 + 26R2Q55 + 21R4Q52 + 21R6Q49 + 34R8Q46 + 2R10Q43 + R12Q40 + R14Q37 +

36R16Q34 +15R18Q31 +18R20Q28 +8R22Q25 +15R24Q22 +12R26Q19 +40R28Q16 +35R30Q13 +40R32Q10 + 34R34Q7 + 2R36Q4 + 40R38Q

)≡ (Q3 −R2)20 (mod 47)

p14(47t+ 19) ≡ 0 (mod 47)

12ϑ(4PQ83 + 35P 3Q82 + 7RQ82 + P 5Q81 + 40P 2RQ81 + 7PR2Q80 + 3P 4RQ80 + 12R3Q79 +

8P 3R2Q79 + 27P 2R3Q78 + 32P 5R2Q78 + 44PR4Q77 + 17P 4R3Q77 + 35R5Q76 + 46P 3R4Q76 +15P 2R5Q75 + 41P 5R4Q75 + 31PR6Q74 + 5P 4R5Q74 + 22R7Q73 + P 2R7Q72 + 41P 5R6Q72 +3PR8Q71 + 8P 4R7Q71 + 31R9Q70 + 18P 3R8Q70 + 20P 2R9Q69 + 44P 5R8Q69 + 12PR10Q68 +5P 4R9Q68 + 30R11Q67 + 42P 3R10Q67 + 22P 2R11Q66 + 46P 5R10Q66 + 41PR12Q65 +37P 4R11Q65+2R13Q64+24P 3R12Q64+40P 2R13Q63+44P 5R12Q63+39PR14Q62+P 4R13Q62+28R15Q61+20P 3R14Q61+5P 2R15Q60+23P 5R14Q60+23PR16Q59+22P 4R15Q59+25R17Q58+38P 3R16Q58 + 24P 5R16Q57 + 14PR18Q56 + 27P 4R17Q56 + 32R19Q55 + 34P 3R18Q55 +40P 2R19Q54 + 24P 5R18Q54 + 9PR20Q53 + 24P 4R19Q53 + 41R21Q52 + 35P 3R20Q52 +

23

26P 2R21Q51+4P 5R20Q51+7PR22Q50+10P 4R21Q50+18R23Q49+37P 3R22Q49+41P 2R23Q48+6P 5R22Q48 +6PR24Q47 +41P 4R23Q47 +44R25Q46 +13P 3R24Q46 +P 2R25Q45 +37P 5R24Q45 +2PR26Q44 + 45P 4R25Q44 + 30R27Q43 + 23P 3R26Q43 + 40P 2R27Q42 + 29P 5R26Q42 +21P 4R27Q41+15R29Q40+8P 3R28Q40+5P 2R29Q39+24P 5R28Q39+33PR30Q38+5P 4R29Q38+25R31Q37 + 2P 3R30Q37 + 45P 2R31Q36 + 15P 5R30Q36 + 12PR32Q35 + 16P 4R31Q35 +3R33Q34 + 26P 3R32Q34 + 7P 2R33Q33 + 28P 5R32Q33 + 39PR34Q32 + 21P 4R33Q32 + 2R35Q31 +13P 3R34Q31 + 21P 2R35Q30 + 20P 5R34Q30 + 22PR36Q29 + 24P 4R35Q29 + 32R37Q28 +28P 2R37Q27 + 36P 5R36Q27 + 14PR38Q26 + 40P 4R37Q26 + 11R39Q25 + 31P 3R38Q25 +6P 2R39Q24+26P 5R38Q24+37PR40Q23+45P 4R39Q23+21R41Q22+15P 3R40Q22+4P 2R41Q21+8P 5R40Q21+46PR42Q20+3P 4R41Q20+43R43Q19+44P 3R42Q19+4P 2R43Q18+27P 5R42Q18+18PR44Q17+10P 4R43Q17+30R45Q16+15P 3R44Q16+10P 2R45Q15+3P 5R44Q15+10PR46Q14+28P 4R45Q14+14R47Q13+17P 3R46Q13+P 2R47Q12+41P 5R46Q12+12PR48Q11+16P 4R47Q11+22R49Q10 + 7P 3R48Q10 + 10P 2R49Q9 + 35P 5R48Q9 + 7PR50Q8 + 18P 4R49Q8 + 31R51Q7 +3P 3R50Q7 + 23P 2R51Q6 + 25P 5R50Q6 + 4PR52Q5 + 20P 4R51Q5 + 41R53Q4 + 36P 3R52Q4 +3P 2R53Q3 + 12P 5R52Q3 + 42PR54Q2 + 31P 4R53Q2 + 35R55Q+ 16P 3

)= (Q3 − R2)28 − 47(Q84 − 21P 2Q83 − 246P 4Q82 − 18PRQ82 − 7P 6Q81 + 53R2Q81 −

36P 3RQ81 +237P 2R2Q80−6P 5RQ80−14PR3Q79−26P 4R2Q79 +112R4Q78−112P 3R3Q78−224P 6R2Q78 − 120P 2R4Q77 + 114P 5R3Q77 + 64PR5Q76 − 205P 4R4Q76 + 177R6Q75 +192P 3R5Q75 − 287P 6R4Q75 − 123P 2R6Q74 + 258P 5R5Q74 + 42PR7Q73 + 43P 4R6Q73 +608R8Q72+12P 3R7Q72−287P 6R6Q72+9P 2R8Q71+240P 5R7Q71−186PR9Q70−68P 4R8Q70−1864R10Q69 + 20P 3R9Q69 − 308P 6R8Q69 + 66P 2R10Q68 + 282P 5R9Q68 − 80PR11Q67 −210P 4R10Q67 + 8191R12Q66 + 124P 3R11Q66 − 322P 6R10Q66 − 99P 2R12Q65 + 66P 5R11Q65 +284PR13Q64 + 42P 4R12Q64− 25127R14Q63− 116P 3R13Q63− 308P 6R12Q63− 51P 2R14Q62 +270P 5R13Q62 + 54PR15Q61− 91P 4R14Q61 + 66330R16Q60 + 148P 3R15Q60− 161P 6R14Q60−135P 2R16Q59 + 12P 5R15Q59− 30PR17Q58− 96P 4R16Q58− 146754R18Q57 + 268P 3R17Q57−168P 6R16Q57− 18P 5R17Q56− 136PR19Q55− 50P 4R18Q55 + 279475R20Q54− 32P 3R19Q54−168P 6R18Q54 +192P 2R20Q53−48P 5R19Q53−230PR21Q52−111P 4R20Q52−456663R22Q51 +76P 3R21Q51 − 28P 6R20Q51 + 186P 2R22Q50 − 36P 5R21Q50 − 78PR23Q49 − 97P 4R22Q49 +647487R24Q48−92P 3R23Q48−42P 6R22Q48 + 129P 2R24Q47−150P 5R23Q47−282PR25Q46 +220P 4R24Q46−796366R26Q45+124P 3R25Q45−259P 6R24Q45+129P 2R26Q44−78P 5R25Q44−204PR27Q43 +82P 4R26Q43 +853710R28Q42−168P 3R27Q42−203P 6R26Q42 +162P 2R28Q41 +42P 5R27Q41 + 20PR29Q40 + 38P 4R28Q40 − 796491R30Q39 − 168P 6R28Q39 − 39P 2R30Q38 +102P 5R29Q38−20PR31Q37 + 67P 4R30Q37 + 647363R32Q36−204P 3R31Q36−105P 6R30Q36 +84P 2R32Q35 + 48P 5R31Q35 + 184PR33Q34 − 44P 4R32Q34 − 456879R34Q33 + 84P 3R33Q33 −196P 6R32Q33− 162P 2R34Q32 + 18P 5R33Q32 + 194PR35Q31 + 75P 4R34Q31 + 279372R36Q30−112P 3R35Q30− 140P 6R34Q30 + 30P 2R36Q29 + 48P 5R35Q29− 104PR37Q28 + 252P 4R36Q28−146824R38Q27 − 44P 3R37Q27 − 252P 6R36Q27 − 3P 2R38Q26 − 72P 5R37Q26 + 142PR39Q25 +97P 4R38Q25 +66264R40Q24 +104P 3R39Q24−182P 6R38Q24−228P 2R40Q23−222P 5R39Q23 +170PR41Q22 − P 4R40Q22 − 24916R42Q21 + 236P 3R41Q21 − 56P 6R40Q21 − 294P 2R42Q20 +138P 5R41Q20−126PR43Q19−247P 4R42Q19 + 8258R44Q18 + 128P 3R43Q18−189P 6R42Q18−63P 2R44Q17 − 12P 5R43Q17 − 128PR45Q16 + 70P 4R44Q16 − 1966R46Q15 + 52P 3R45Q15 −21P 6R44Q15 − 51P 2R46Q14 + 48P 5R45Q14 − 14PR47Q13 + 14P 4R46Q13 + 589R48Q12 +56P 3R47Q12 − 287P 6R46Q12 − 21P 2R48Q11 + 144P 5R47Q11 − 100PR49Q10 + 82P 4R48Q10 +151R50Q9 − 44P 3R49Q9 − 245P 6R48Q9 + 108P 2R50Q8 + 60P 5R49Q8 − 188PR51Q7 +124P 4R50Q7+304R52Q6+80P 3R51Q6−175P 6R50Q6+6P 2R52Q5−48P 5R51Q5−34P 4R52Q4+260R54Q3+104P 3R53Q3−84P 6R52Q3−36P 2R54Q2+6P 5R53Q2−240PR55Q−104P 4R54Q+3R56 − 260P 3R55 − 224P 6R54)


24

28R16Q57 +28R18Q54 +36R20Q51 +7R22Q48 +4R24Q45 +26R26Q42 +28R28Q39 +41R30Q36 +17R32Q33 +39R34Q30 +42R36Q27 +46R38Q24 +25R40Q21 +8R42Q18 +27R44Q15 +40R46Q12 +33R48Q9 + 37R50Q6 + 14R52Q3 + 6R54

)≡ (Q3 −R2)28 (mod 47)

p26(47t+ 42) ≡ 0 (mod 47) via Q47(Q3 −R2)5


6P 4RQ58 + 23P 9Q57 + 30R3Q57 + 29P 3R2Q57 + 7P 6RQ57 + 26P 11Q56 + 17P 2R3Q56 +11P 5R2Q56 + 17P 8RQ56 + 37PR4Q55 + 3P 4R3Q55 + 6P 7R2Q55 + 7P 10RQ55 + 7R5Q54 +30P 3R4Q54+38P 6R3Q54+4P 9R2Q54+14P 2R5Q53+16P 5R4Q53+28P 8R3Q53+44P 11R2Q53+22PR6Q52 + 46P 4R5Q52 + 18P 7R4Q52 + 29P 10R3Q52 + 4R7Q51 + 9P 3R6Q51 + 45P 6R5Q51 +22P 9R4Q51+38P 2R7Q50+43P 5R6Q50+11P 8R5Q50+14P 11R4Q50+45PR8Q49+34P 4R7Q49+16P 7R6Q49 +24P 10R5Q49 +24R9Q48 +15P 3R8Q48 +2P 6R7Q48 +38P 9R6Q48 +33P 2R9Q47 +39P 5R8Q47+35P 8R7Q47+43P 11R6Q47+2PR10Q46+31P 4R9Q46+25P 7R8Q46+5P 10R7Q46+32R11Q45+34P 3R10Q45+14P 6R9Q45+44P 9R8Q45+13P 2R11Q44+3P 5R10Q44+45P 8R9Q44+5P 11R8Q44 + 19PR12Q43 + 25P 4R11Q43 + 36P 7R10Q43 + 21P 10R9Q43 + 41R13Q42 +36P 3R12Q42 + P 6R11Q42 + 43P 9R10Q42 + 38P 2R13Q41 + 27P 5R12Q41 + 28P 8R11Q41 +46P 11R10Q41+12PR14Q40+33P 4R13Q40+3P 7R12Q40+3P 10R11Q40+33R15Q39+P 3R14Q39+34P 6R13Q39 + 14P 9R12Q39 + 13P 2R15Q38 + 3P 5R14Q38 + 18P 8R13Q38 + 33P 11R12Q38 +31PR16Q37 + 41P 4R15Q37 + 36P 7R14Q37 + P 10R13Q37 + 40R17Q36 + 16P 3R16Q36 +45P 6R15Q36 + 26P 9R14Q36 + 9P 2R17Q35 + 39P 5R16Q35 + 25P 8R15Q35 + 8P 11R14Q35 +18PR18Q34 + 38P 4R17Q34 + 4P 7R16Q34 + 46P 10R15Q34 + 26R19Q33 + 15P 3R18Q33 +3P 6R17Q33 + 27P 9R16Q33 + 26P 2R19Q32 + 44P 5R18Q32 + 10P 8R17Q32 + 27P 11R16Q32 +45PR20Q31 + 28P 4R19Q31 + 27P 7R18Q31 + 16P 10R17Q31 + 25R21Q30 + 37P 3R20Q30 +38P 6R19Q30 + 45P 9R18Q30 + 5P 2R21Q29 + 28P 5R20Q29 + 41P 8R19Q29 + 43P 11R18Q29 +37PR22Q28+8P 4R21Q28+25P 7R20Q28+25P 10R19Q28+41R23Q27+P 3R22Q27+35P 6R21Q27+17P 9R20Q27 + 24P 2R23Q26 + 2P 5R22Q26 + P 8R21Q26 + 17P 11R20Q26 + 22PR24Q25 +33P 4R23Q25 + 21P 7R22Q25 + 12P 10R21Q25 + 33R25Q24 + 39P 3R24Q24 + 36P 6R23Q24 +29P 9R22Q24 + 37P 2R25Q23 + 14P 5R24Q23 + 31P 8R23Q23 + 28P 11R22Q23 + 23PR26Q22 +31P 4R25Q22 + 45P 7R24Q22 + 29P 10R23Q22 + 45R27Q21 + 15P 3R26Q21 + 29P 6R25Q21 +9P 9R24Q21 + 28P 2R27Q20 + 11P 5R26Q20 + 44P 8R25Q20 + 44P 11R24Q20 + 44PR28Q19 +3P 4R27Q19 + 23P 7R26Q19 + 25P 10R25Q19 + 18R29Q18 + 4P 3R28Q18 + 16P 6R27Q18 +42P 9R26Q18 + 22P 2R29Q17 + 36P 5R28Q17 + 9P 8R27Q17 + 2P 11R26Q17 + 11PR30Q16 +40P 7R28Q16 + 2P 10R27Q16 + 19R31Q15 + 23P 3R30Q15 + 13P 6R29Q15 + 31P 9R28Q15 +46P 2R31Q14 + 22P 5R30Q14 + 22P 8R29Q14 + 2P 11R28Q14 + 6PR32Q13 + 10P 4R31Q13 +46P 7R30Q13 + 13P 10R29Q13 + 17R33Q12 + 7P 3R32Q12 + 15P 6R31Q12 + 29P 9R30Q12 +33P 2R33Q11 + 16P 5R32Q11 + 20P 8R31Q11 + 30P 11R30Q11 + 38PR34Q10 + 2P 4R33Q10 +27P 7R32Q10 +4P 10R31Q10 +21R35Q9 +8P 6R33Q9 +33P 9R32Q9 +41P 2R35Q8 +42P 5R34Q8 +20P 8R33Q8 + 40PR36Q7 + 21P 4R35Q7 + 19P 7R34Q7 + 7R37Q6 + 32P 3R36Q6 + 3P 6R35Q6 +45P 2R37Q5 +12P 5R36Q5 +41PR38Q4 +41P 4R37Q4 +21R39Q3 +35P 3R38Q3 +31P 2R39Q2 +6PR40Q+ 15R41

)= Q47(Q3 − R2)5 − 47(4Q62 − 61P 2Q61 − 81P 4Q60 − 76PRQ60 − 39P 6Q59 +

160R2Q59−144P 3RQ59−207P 8Q58 + 104P 2R2Q58 + 18P 5RQ58−109P 10Q57−14PR3Q57−118P 4R2Q57 +176P 7RQ57−130P 12Q56 +151R4Q56 +68P 3R3Q56−7P 6R2Q56 +28P 9RQ56−101P 2R4Q55 + 50P 5R3Q55 + 62P 8R2Q55 + 100P 11RQ55 + 154PR5Q54 − 110P 4R4Q54 −152P 7R3Q54 + 34P 10R2Q54 + 36R6Q53 + 76P 3R5Q53 + 124P 6R4Q53 − 106P 9R3Q53 −220P 12R2Q53 − 17P 2R6Q52 − 126P 5R5Q52 + 46P 8R4Q52 + 60P 11R3Q52 + 124PR7Q51 +192P 4R6Q51 − 136P 7R5Q51 + 36P 10R4Q51 + 46R8Q50 − 140P 3R7Q50 − 21P 6R6Q50 +74P 9R5Q50−70P 12R4Q50−34P 2R8Q49+48P 5R7Q49+4P 8R6Q49−28P 11R5Q49+66PR9Q48+

25

104P 4R8Q48 + 88P 7R7Q48 − 77P 10R6Q48 + 143R10Q47 − 64P 3R9Q47 − 172P 6R8Q47 +24P 9R7Q47 − 215P 12R6Q47 + 142P 2R10Q46 + 2P 5R9Q46 + 73P 8R8Q46 + 152P 11R7Q46 −130PR11Q45 − 19P 4R10Q45 + 80P 7R9Q45 − 177P 10R8Q45 + 191R12Q44 + 120P 3R11Q44 +45P 6R10Q44 − 25P 12R8Q44 + 15P 2R12Q43 − 76P 5R11Q43 + 33P 8R10Q43 − 28P 11R9Q43 −122PR13Q42 − 37P 4R12Q42 + 136P 7R11Q42 − 125P 10R10Q42 + 210R14Q41 − 64P 3R13Q41 −78P 6R12Q41 + 34P 9R11Q41 − 230P 12R10Q41 + 95P 2R14Q40 − 66P 5R13Q40 + 115P 8R12Q40 +196P 11R11Q40 − 68PR15Q39 + 186P 4R14Q39 − 96P 7R13Q39 − 51P 10R12Q39 + 197R16Q38 −28P 3R15Q38 + 189P 6R14Q38 + 2P 9R13Q38 − 165P 12R12Q38 − 99P 2R16Q37 − 116P 5R15Q37 −72P 8R14Q37 + 116P 11R13Q37− 70PR17Q36 + 133P 4R16Q36− 104P 7R15Q36− 38P 10R14Q36 +186R18Q35 + 40P 3R17Q35 − 55P 6R16Q35 + 18P 9R15Q35 − 40P 12R14Q35 − 3P 2R18Q34 +22P 5R17Q34 + 81P 8R16Q34 − 152P 11R15Q34 + 32PR19Q33 + 105P 4R18Q33 + 60P 7R17Q33 +38P 10R16Q33 + 141R20Q32 + 4P 3R19Q32 − 121P 6R18Q32 + 132P 9R17Q32 − 135P 12R16Q32 −148P 2R20Q31 + 52P 5R19Q31 − 2P 8R18Q31 + 92P 11R17Q31 + 92PR21Q30 − 93P 4R20Q30 −52P 7R19Q30 − 114P 10R18Q30 + 185R22Q29 + 72P 3R21Q29 + 51P 6R20Q29 − 44P 9R19Q29 −215P 12R18Q29 − 110P 2R22Q28 + 38P 5R21Q28 − 20P 8R20Q28 + 24P 11R19Q28 − 58PR23Q27 +111P 4R22Q27 − 60P 7R21Q27 + 10P 10R20Q27 + 200R24Q26 + 179P 6R22Q26 + 118P 9R21Q26 −85P 12R20Q26 + 59P 2R24Q25 − 118P 5R23Q25 − 8P 8R22Q25 + 56P 11R21Q25 − 48PR25Q24 −31P 4R24Q24 + 4P 7R23Q24 − 29P 10R22Q24 + 223R26Q23 − 60P 3R25Q23 + 101P 6R24Q23 −64P 9R23Q23 − 140P 12R22Q23 + 50P 2R26Q22 − 92P 5R25Q22 − 26P 8R24Q22 + 44P 11R23Q22 −34PR27Q21 − 8P 4R26Q21 + 20P 7R25Q21 + 99P 10R24Q21 + 148R28Q20 − 104P 3R27Q20 +54P 6R26Q20 − 62P 9R25Q20 − 220P 12R24Q20 − 100P 2R28Q19 + 134P 5R27Q19 − 3P 8R26Q19 −44P 11R25Q19 + 20PR29Q18 − 12P 4R28Q18 + 100P 7R27Q18 − 164P 10R26Q18 + 103R30Q17 −20P 3R29Q17−106P 6R28Q17 +130P 9R27Q17−10P 12R26Q17 +158P 2R30Q16 +138P 5R29Q16−103P 8R28Q16 − 58PR31Q15 − 77P 4R30Q15 + 168P 7R29Q15 − 105P 10R28Q15 + 96R32Q14 −180P 3R31Q14 − 30P 6R30Q14 + 42P 9R29Q14 − 10P 12R28Q14 + 163P 2R32Q13 + 42P 5R31Q13 −123P 8R30Q13 + 52P 11R29Q13 + 84PR33Q12 − 15P 4R32Q12 + 88P 7R31Q12 − 109P 10R30Q12 +112R34Q11 − 164P 3R33Q11 − 29P 6R32Q11 + 64P 9R31Q11 − 150P 12R30Q11 + 16P 2R34Q10 +188P 5R33Q10 − 28P 8R32Q10 + 8P 11R31Q10 + 108PR35Q9 + 100P 4R34Q9 + 68P 7R33Q9 −163P 10R32Q9 + 50R36Q8 − 64P 3R35Q8 − 193P 6R34Q8 − 76P 9R33Q8 + 34P 2R36Q7 −24P 5R35Q7−83P 8R34Q7+188PR37Q6+42P 4R36Q6−4P 7R35Q6+109R38Q5−44P 3R37Q5−60P 6R36Q5−38P 2R38Q4−206P 5R37Q4−64PR39Q3−167P 4R38Q3+84R40Q2−152P 3R39Q2−26P 2R40Q− 78PR41)

1212ϑ12(38Q56 + 39R2Q53 + 6R4Q50 + 5R6Q47 + 29R8Q44 + 13R10Q41 + 41R12Q38 +

37R14Q35 +25R16Q32 +5R18Q29 +14R20Q26 +12R22Q23 +39R24Q20 +21R26Q17 +21R28Q14 +33R30Q11

)≡ Q47(Q3 −R2)5 (mod 47)

p14(53t+ 48) ≡ 0 (mod 53)


29P 3R2Q10 + 30P 2R3Q9 + 27P 5R2Q9 + 19PR4Q8 + 45P 4R3Q8 + 31R5Q7 + 23P 3R4Q7 +19P 2R5Q6 + 21P 5R4Q6 + 32PR6Q5 + 26P 4R5Q5 + 52R7Q4 + 50P 3R6Q4 + 29P 2R7Q3 +25P 5R6Q3 + 24PR8Q2 + 11P 4R7Q2 + 40R9Q+ 3P 3R8Q+ 4P 2R9 + 26P 5R8

)= (Q3−R2)5−53(6Q15−48P 2Q14−P 4Q13 +10PRQ13−18P 6Q12 +56R2Q12−8P 3RQ12−

12P 2R2Q11 + 6PR3Q10 + 6P 4R2Q10 + 43R4Q9 + 4P 3R3Q9 − 27P 6R2Q9 + 12P 2R4Q8 −18P 5R3Q8 + 20P 4R4Q7 + 58R6Q6 + 28P 3R5Q6 − 21P 6R4Q6 − 22PR7Q4 − 31P 4R6Q4 +57R8Q3 − 12P 3R7Q3 − 25P 6R6Q3 − 15P 2R8Q2 + 18P 5R7Q2 − 40PR9Q+ P 4R8Q+ 3R10 −4P 3R9 − 26P 6R8)

26

126ϑ6(29Q12 + 17R2Q9 + 25R4Q6 + 2R6Q3 + 36R8

)≡ (Q3 −R2)5 (mod 53)

p4(53t+ 44) ≡ 0 (mod 53)

12ϑ(44RQ25 + 24R3Q22 + 45R5Q19 + 19R7Q16 + 36R9Q13 + 41R11Q10 +R13Q7 + 26R15Q4 +

40R17Q)

= (Q3 − R2)9 − 53(5Q27 − 88PRQ25 + 91R2Q24 − 48PR3Q22 + 66R4Q21 − 90PR5Q19 +78R6Q18−38PR7Q16+62R8Q15−72PR9Q13+84R10Q12−82PR11Q10+34R12Q9−2PR13Q7+44R14Q6 − 52PR15Q4 + 85R16Q3 − 80PR17Q+ 3R18)

p8(53t+ 35) ≡ 0 (mod 53)


23R5Q46 + 9P 2R5Q45 + 41PR6Q44 + 30R7Q43 + 52P 2R7Q42 + 21PR8Q41 + 27R9Q40 +30P 2R9Q39 + 22PR10Q38 + 3R11Q37 + 29P 2R11Q36 + 50PR12Q35 + 3R13Q34 + 30P 2R13Q33 +46PR14Q32 +7R15Q31 +26P 2R15Q30 +52PR16Q29 +13R17Q28 +25P 2R17Q27 +46PR18Q26 +20R19Q25 + 26P 2R19Q24 + 36PR20Q23 + 37R21Q22 + 36P 2R21Q21 + 48PR22Q20 + 30R23Q19 +13P 2R23Q18 +17PR24Q17 +33R25Q16 +2P 2R25Q15 +29PR26Q14 +40R27Q13 +5P 2R27Q12 +4PR28Q11 + 21R29Q10 + 9P 2R29Q9 + 18PR30Q8 + 22R31Q7 + 24P 2R31Q6 + 29PR32Q5 +4R33Q4 + 5P 2R33Q3 + 33PR34Q2 + 13R35Q+ 40P 2R35

)= (Q3−R2)18−53(6Q54−183P 2Q53 + 18PRQ52 + 191R2Q51−208P 3RQ51 + 45P 2R2Q50 +

10PR3Q49 + 168R4Q48− 208P 3R3Q48 + 93P 2R4Q47 + 24PR5Q46 + 89R6Q45− 36P 3R5Q45−93P 2R6Q44 +36PR7Q43 +183R8Q42−208P 3R7Q42 +111P 2R8Q41−18PR9Q40−76R10Q39−120P 3R9Q39 + 36P 2R10Q38 + 120PR11Q37 + 364R12Q36 − 116P 3R11Q36 − 78P 2R12Q35 +194PR13Q34 − 580R14Q33 − 120P 3R13Q33 − 66P 2R14Q32 + 178PR15Q31 + 868R16Q30 −104P 3R15Q30 − 102P 2R16Q29 + 156PR17Q28 − 846R18Q27 − 100P 3R17Q27 − 78P 2R18Q26 +92PR19Q25 + 952R20Q24 − 104P 3R19Q24 − 12P 2R20Q23 + 34PR21Q22 − 460R22Q21 −144P 3R21Q21 − 102P 2R22Q20 − 2PR23Q19 + 487R24Q18 − 52P 3R23Q18 − 45P 2R24Q17 −26PR25Q16 +R26Q15−8P 3R25Q15−99P 2R26Q14−118PR27Q13 +166R28Q12−20P 3R27Q12 +18P 2R28Q11− 20PR29Q10 + 78R30Q9− 36P 3R29Q9 + 18P 2R30Q8 + 28PR31Q7 + 30R32Q6−96P 3R31Q6−87P 2R32Q5 + 122PR33Q4 + 53R34Q3−20P 3R33Q3 + 27P 2R34Q2−46PR35Q+R36 − 160P 3R35)


39R17Q27 + 13R19Q24 + 18R21Q21 + 33R23Q18 +R25Q15 + 29R27Q12 + 31R29Q9 + 12R31Q6 +29R33Q3 + 20R35

)≡ (Q3 −R2)18 (mod 53)

p4(59t+ 49) ≡ 0 (mod 59)

12ϑ(49RQ28 + 30R3Q25 + 46R5Q22 + 2R7Q19 + 37R9Q16 + 18R11Q13 + 8R13Q10 + 24R15Q7 +

19R17Q4 + 44R19Q)

= (Q3 − R2)10 − 59(5Q30 − 98PRQ28 + 102R2Q27 − 60PR3Q25 + 75R4Q24 − 92PR5Q22 +68R6Q21 − 4PR7Q19 + 40R8Q18 − 74PR9Q16 + 56R10Q15 − 36PR11Q13 + 30R12Q12 −16PR13Q10 + 40R14Q9 − 48PR15Q7 + 45R16Q6 − 38PR17Q4 + 90R18Q3 − 88PR19Q+ 3R20)

p6(59t+ 44) ≡ 0 (mod 59)

12ϑ(PQ44 +39RQ43 +23PR2Q41 +53R3Q40 +54PR4Q38 +9R5Q37 +23PR6Q35 +46R7Q34 +

15PR8Q32 + 5R9Q31 + 32PR10Q29 + 24R11Q28 + 34PR12Q26 + 56R13Q25 + 26PR14Q23 +

27

28R15Q22 + 27PR16Q20 + 49R17Q19 + 40PR18Q17 + 29R19Q16 + 41PR20Q14 + 7R21Q13 +43PR22Q11 +42R23Q10 +6PR24Q8 +5R25Q7 +37PR26Q5 +52R27Q4 +24PR28Q2 +15R29Q

)= (Q3 −R2)15 − 59(4Q45 − 3P 2Q44 − 110PRQ43 + 130R2Q42 − 69P 2R2Q41 − 74PR3Q40 +

151R4Q39− 162P 2R4Q38 + 126PR5Q37 + 48R6Q36− 69P 2R6Q35− 72PR7Q34 + 134R8Q33−45P 2R8Q32+50PR9Q31−13R10Q30−96P 2R10Q29+32PR11Q28+205R12Q27−102P 2R12Q26−72PR13Q25 +29R14Q24−78P 2R14Q23 +236R16Q21−81P 2R16Q20−38PR17Q19 +35R18Q18−120P 2R18Q17 + 42PR19Q16 + 98R20Q15 − 123P 2R20Q14 + 114PR21Q13 + 82R22Q12 −129P 2R22Q11−80PR23Q10+49R24Q9−18P 2R24Q8+86PR25Q7+144R26Q6−111P 2R26Q5−76PR27Q4 + 59R28Q3 − 72P 2R28Q2 − 42PR29Q+R30)

122ϑ2(58Q44 +36R2Q41 +5R4Q38 +36R6Q35 +44R8Q32 +27R10Q29 +25R12Q26 +33R14Q23 +

32R16Q20+19R18Q17+18R20Q14+16R22Q11+53R24Q8+22R26Q5+35R28Q2)≡ (Q3−R2)15

(mod 59)

p8(59t+ 39) ≡ 0 (mod 59)

12ϑ(6PQ59+48RQ58+P 2RQ57+57PR2Q56+25R3Q55+20P 2R3Q54+24PR4Q53+18R5Q52+

22P 2R5Q51 + 42PR6Q50 + 55R7Q49 + 29P 2R7Q48 + 8PR8Q47 + 35R9Q46 + 50P 2R9Q45 +39R11Q43 + 46P 2R11Q42 + 8PR12Q41 + 10R13Q40 + 16P 2R13Q39 + 32PR14Q38 + 29R15Q37 +29P 2R15Q36+28PR16Q35+38R17Q34+38P 2R17Q33+38PR18Q32+51R19Q31+35P 2R19Q30+3PR20Q29 + 17R21Q28 + 58P 2R21Q27 + 3PR22Q26 + 22R23Q25 + 38P 2R23Q24 + 14PR24Q23 +21R25Q22 + 45P 2R25Q21 + 58PR26Q20 + 37R27Q19 + 20P 2R27Q18 + 7PR28Q17 + 34R29Q16 +45P 2R29Q15+11PR30Q14+44R31Q13+29P 2R31Q12+16PR32Q11+22R33Q10+30P 2R33Q9+52PR34Q8 + 51R35Q7 + 35P 2R35Q6 + 58PR36Q5 + 27R37Q4 + 39P 2R37Q3 + 30PR38Q2 +44R39Q+ 42P 2R39

)= (Q3−R2)20− 59(5Q60− 24P 2Q59− 158PRQ58 + 197R2Q57− 4P 3RQ57− 219P 2R2Q56 +

126PR3Q55 + 106R4Q54− 80P 3R3Q54− 12P 2R4Q53 + 40PR5Q52 + 84R6Q51− 88P 3R5Q51−72P 2R6Q50−72PR7Q49+297R8Q48−116P 3R7Q48+108P 2R8Q47−114PR9Q46−110R10Q45−200P 3R9Q45 + 204P 2R10Q44 − 146PR11Q43 + 784R12Q42 − 184P 3R11Q42 + 120P 2R12Q41 +28PR13Q40 − 1242R14Q39 − 64P 3R13Q39 − 42P 2R14Q38 + 12PR15Q37 + 2274R16Q36 −116P 3R15Q36 + 24P 2R16Q35 − 16PR17Q34 − 2660R18Q33 − 152P 3R17Q33 − 116PR19Q31 +3275R20Q30 − 140P 3R19Q30 + 183P 2R20Q29 − 54PR21Q28 − 2763R22Q27 − 232P 3R21Q27 +183P 2R22Q26 − 48PR23Q25 + 2226R24Q24 − 152P 3R23Q24 + 120P 2R24Q23 + 92PR25Q22 −1180R26Q21 − 180P 3R25Q21 − 114P 2R26Q20 − 50PR27Q19 + 805R28Q18 − 80P 3R27Q18 +129P 2R28Q17 − 94PR29Q16 − 87R30Q15 − 180P 3R29Q15 + 93P 2R30Q14 − 114PR31Q13 +195R32Q12 − 116P 3R31Q12 + 60P 2R32Q11 + 104PR33Q10 + 178R34Q9 − 120P 3R33Q9 −66P 2R34Q8 +36PR35Q7 +130R36Q6−140P 3R35Q6−72P 2R36Q5 +28PR37Q4 +182R38Q3−156P 3R37Q3 + 54P 2R38Q2 − 172PR39Q+ 3R40 − 168P 3R39)


19R17Q33+47R19Q30+29R21Q27+19R23Q24+52R25Q21+10R27Q18+52R29Q15+44R31Q12+15R33Q9 + 47R35Q6 + 49R37Q3 + 21R39

)≡ (Q3 −R2)20 (mod 59)

p10(59t+ 34) ≡ 0 (mod 59)

12ϑ(45PQ74 + 43P 3Q73 + 12RQ73 + 23P 2RQ72 + 20PR2Q71 + 58R3Q70 + 52P 3R2Q70 +

32P 2R3Q69 + 58PR4Q68 + 21R5Q67 + 24P 3R4Q67 + 6P 2R5Q66 + 27PR6Q65 + 3R7Q64 +28P 3R6Q64 + 29P 2R7Q63 + 58PR8Q62 + 52R9Q61 + 46P 2R9Q60 + 17PR10Q59 + 52R11Q58 +46P 3R10Q58 +P 2R11Q57 +30PR12Q56 +R13Q55 +46P 3R12Q55 +46P 2R13Q54 +25PR14Q53 +12R15Q52+36P 3R14Q52+24P 2R15Q51+43PR16Q50+3R17Q49+55P 3R16Q49+27P 2R17Q48+

28

9PR18Q47 + 21R19Q46 + 31P 3R18Q46 + 2P 2R19Q45 + 39PR20Q44 +R21Q43 + 40P 3R20Q43 +53P 2R21Q42 +46PR22Q41 +22R23Q40 +56P 3R22Q40 +23P 2R23Q39 +51PR24Q38 +7R25Q37 +8P 3R24Q37+12P 2R25Q36+49PR26Q35+50R27Q34+53P 3R26Q34+17P 2R27Q33+2PR28Q32+48R29Q31+32P 3R28Q31+51P 2R29Q30+27PR30Q29+9R31Q28+12P 3R30Q28+30P 2R31Q27+25PR32Q26+50R33Q25+54P 3R32Q25+23P 2R33Q24+19PR34Q23+12R35Q22+15P 3R34Q22+33P 2R35Q21 +24PR36Q20 +58R37Q19 +26P 3R36Q19 +40P 2R37Q18 +7PR38Q17 +4R39Q16 +6P 3R38Q16+26P 2R39Q15+48PR40Q14+2R41Q13+58P 3R40Q13+25P 2R41Q12+21PR42Q11+41R43Q10 + 38P 3R42Q10 + 28P 2R43Q9 + PR44Q8 + 42R45Q7 + 31P 3R44Q7 + 18P 2R45Q6 +28PR46Q5 + 6R47Q4 + 23P 3R46Q4 + 7P 2R47Q3 + 12PR48Q2 + 15R49Q+P 3R48Q+ 4P 2R49

)= (Q3−R2)25− 59(2Q75− 222P 2Q74− 215P 4Q73 + 170PRQ73 + 77R2Q72 + 108P 3RQ72 +

24P 2R2Q71 − 172PR3Q70 − 260P 4R2Q70 + 292R4Q69 + 96P 3R3Q69 − 138P 2R4Q68 +178PR5Q67−120P 4R4Q67+59R6Q66+96P 3R5Q66−87P 2R6Q65+152PR7Q64−140P 4R6Q64+276R8Q63 − 24P 3R7Q63 − 126P 2R8Q62 − 627R10Q60 − 184P 3R9Q60 + 105P 2R10Q59 −158PR11Q58 − 230P 4R10Q58 + 3208R12Q57 + 232P 3R11Q57 − 84P 2R12Q56 + 146PR13Q55 −230P 4R12Q55 − 8125R14Q54 − 8P 3R13Q54 + 81P 2R14Q53 + 100PR15Q52 − 180P 4R14Q52 +18380R16Q51 + 96P 3R15Q51 − 84P 2R16Q50 + 148PR17Q49 − 275P 4R16Q49 − 34576R18Q48 +104P 3R17Q48 + 48P 2R18Q47 + 2PR19Q46 − 155P 4R18Q46 + 55471R20Q45 + 168P 3R19Q45 −75P 2R20Q44 + 216PR21Q43 − 200P 4R20Q43 − 75494R22Q42 − 24P 3R21Q42 − 24P 2R22Q41 +142PR23Q40− 280P 4R22Q40 + 88219R24Q39 + 56P 3R23Q39− 165P 2R24Q38 + 226PR25Q37−40P 4R24Q37−87985R26Q36 + 100P 3R25Q36−168P 2R26Q35−130PR27Q34−265P 4R26Q34 +75806R28Q33 +128P 3R27Q33 +180P 2R28Q32−154PR29Q31−160P 4R28Q31−55273R30Q30−152P 3R29Q30 + 63P 2R30Q29 + 90PR31Q28 − 60P 4R30Q28 + 34812R32Q27 + 48P 3R31Q27 +9P 2R32Q26 − 142PR33Q25 − 270P 4R32Q25 − 18204R34Q24 + 28P 3R33Q24 + 60P 2R34Q23 +58PR35Q22 − 75P 4R34Q22 + 8384R36Q21 − 48P 3R35Q21 + 78P 2R36Q20 − 232PR37Q19 −130P 4R36Q19− 2911R38Q18− 144P 3R37Q18 + 117P 2R38Q17 + 184PR39Q16− 30P 4R38Q16 +914R40Q15 + 112P 3R39Q15 − 108P 2R40Q14 + 126PR41Q13 − 290P 4R40Q13 − 33R42Q12 +88P 3R41Q12 + 39P 2R42Q11 − 186PR43Q10 − 190P 4R42Q10 + 259R44Q9 + 24P 3R43Q9 +96P 2R44Q8−80PR45Q7−155P 4R44Q7 +44R46Q6 +32P 3R45Q6−99P 2R46Q5 +38PR47Q4−115P 4R46Q4 +77R48Q3−24P 3R47Q3−39P 2R48Q2−74PR49Q−5P 4R48Q+R50−20P 3R49)

124ϑ4(42Q73 + 11R2Q70 + 55R4Q67 + 15R6Q64 + 12R10Q58 + 12R12Q55 + 53R14Q52 +

40R16Q49 +44R18Q46 +13R20Q43 +30R22Q40 +38R24Q37 +R26Q34 +34R28Q31 +57R30Q28 +50R32Q25 + 27R34Q22 + 35R36Q19 + 58R38Q16 + 10R40Q13 + 33R42Q10 + 44R44Q7 + 6R46Q4 +49R48Q

)≡ (Q3 −R2)25 (mod 59)

p14(59t+ 24) ≡ 0 (mod 59)

12ϑ(26PQ104 + 29P 3Q103 + 25RQ103 + 46P 5Q102 + 52P 2RQ102 + 10PR2Q101 + 50P 4RQ101 +

29R3Q100 + 43P 3R2Q100 + 39P 2R3Q99 + 43P 5R2Q99 + 9PR4Q98 + 8P 4R3Q98 + 18R5Q97 +17P 3R4Q97 +57P 2R5Q96 +48P 5R4Q96 +39PR6Q95 +42P 4R5Q95 +42R7Q94 +25P 3R6Q94 +16P 2R7Q93 +30P 5R6Q93 +17PR8Q92 +25P 4R7Q92 +52R9Q91 +44P 3R8Q91 +35P 2R9Q90 +20P 5R8Q90+11PR10Q89+37P 4R9Q89+2R11Q88+48P 3R10Q88+40P 2R11Q87+35P 5R10Q87+2PR12Q86+54P 4R11Q86+43R13Q85+41P 2R13Q84+43P 5R12Q84+25PR14Q83+14P 4R13Q83+47R15Q82 +31P 3R14Q82 +5P 2R15Q81 +15P 5R14Q81 +5PR16Q80 +39R17Q79 +19P 3R16Q79 +4P 2R17Q78 +P 5R16Q78 + 41PR18Q77 + 9P 4R17Q77 + 29R19Q76 +P 3R18Q76 + 21P 2R19Q75 +48P 5R18Q75 + 21PR20Q74 + 15P 4R19Q74 + 15R21Q73 + 56P 3R20Q73 + 28P 2R21Q72 +35P 5R20Q72 + 42PR22Q71 + 5P 4R21Q71 + 25R23Q70 + 25P 3R22Q70 + 41P 2R23Q69 +P 5R22Q69+58PR24Q68+5P 4R23Q68+36R25Q67+32P 3R24Q67+12P 2R25Q66+10P 5R24Q66+33PR26Q65+28P 4R25Q65+2R27Q64+58P 3R26Q64+37P 2R27Q63+12P 5R26Q63+23PR28Q62+

29

45P 4R27Q62 + 36R29Q61 + 12P 3R28Q61 + 41P 2R29Q60 + 36P 5R28Q60 + 39PR30Q59 +55P 4R29Q59+10R31Q58+34P 3R30Q58+14P 2R31Q57+49P 5R30Q57+29PR32Q56+34R33Q55+4P 3R32Q55+44P 2R33Q54+34P 5R32Q54+5PR34Q53+26P 4R33Q53+49R35Q52+34P 3R34Q52+51P 2R35Q51 + 48P 5R34Q51 + 37PR36Q50 + 28P 4R35Q50 + 28R37Q49 + 30P 3R36Q49 +31P 2R37Q48 + 28P 5R36Q48 + 45PR38Q47 + 18P 4R37Q47 + 50R39Q46 + 17P 3R38Q46 +50P 2R39Q45 + 6P 5R38Q45 + 17PR40Q44 + 38P 4R39Q44 + 16R41Q43 + 14P 3R40Q43 +23P 2R41Q42 + 5P 5R40Q42 + 29PR42Q41 + 10P 4R41Q41 + 58R43Q40 + 32P 3R42Q40 +13P 2R43Q39 + 44P 5R42Q39 + 25PR44Q38 + 31P 4R43Q38 + 29R45Q37 + 48P 3R44Q37 +5P 2R45Q36+32P 5R44Q36+19PR46Q35+40P 4R45Q35+R47Q34+12P 3R46Q34+16P 2R47Q33+51P 5R46Q33 + 13PR48Q32 + 31P 4R47Q32 + 56R49Q31 + 8P 3R48Q31 + 19P 2R49Q30 +47P 5R48Q30 + 46PR50Q29 + 57P 4R49Q29 + 36R51Q28 + 27P 3R50Q28 + 22P 2R51Q27 +28P 5R50Q27 + 3PR52Q26 + 24P 4R51Q26 + 39P 3R52Q25 + 5P 2R53Q24 + 4P 5R52Q24 +54PR54Q23+12P 4R53Q23+46R55Q22+19P 3R54Q22+6P 2R55Q21+36P 5R54Q21+41PR56Q20+47P 4R55Q20+6R57Q19+4P 3R56Q19+49P 2R57Q18+31P 5R56Q18+27PR58Q17+6P 4R57Q17+13R59Q16 + 40P 3R58Q16 + 49P 2R59Q15 + 17P 5R58Q15 + 13PR60Q14 + 19P 4R59Q14 +12R61Q13+8P 3R60Q13+13P 2R61Q12+20P 5R60Q12+27PR62Q11+42P 4R61Q11+33R63Q10+32P 3R62Q10 + 4P 2R63Q9 + 8P 5R62Q9 + 3PR64Q8 + 42P 4R63Q8 + 24R65Q7 + 19P 3R64Q7 +39P 2R65Q6 +39P 5R64Q6 +24PR66Q5 +55P 4R65Q5 +36R67Q4 +20P 3R66Q4 +55P 2R67Q3 +31P 5R66Q3 + 23PR68Q2 + 30P 4R67Q2 + 15R69Q+ 55P 3R68Q+ 34P 2R69 + 33P 5R68

)= (Q3 − R2)35 − 59(3Q105 − 177P 2Q104 − 195P 4Q103 + 10PRQ103 − 322P 6Q102 +

183R2Q102 − 152P 3RQ102 + 303P 2R2Q101 − 24P 5RQ101 − 132PR3Q100 + 46P 4R2Q100 +216R4Q99 + 24P 3R3Q99 − 301P 6R2Q99 + 228P 2R4Q98 + 252P 5R3Q98 − 42PR5Q97 −41P 4R4Q97 + 38R6Q96 − 272P 3R5Q96 − 336P 6R4Q96 + 108P 2R6Q95 + 36P 5R5Q95 −32PR7Q94 + 115P 4R6Q94 + 1203R8Q93 + 84P 3R7Q93 − 210P 6R6Q93 + 15P 2R8Q92 +30P 5R7Q92 − 250PR9Q91 − 118P 4R8Q91 − 5179R10Q90 + 76P 3R9Q90 − 140P 6R8Q90 +183P 2R10Q89 − 102P 5R9Q89 + 56PR11Q88 − 51P 4R10Q88 + 27580R12Q87 + 8P 3R11Q87 −245P 6R10Q87+276P 2R12Q86−120P 5R11Q86−256PR13Q85+337P 4R12Q85−113655R14Q84−244P 3R13Q84−301P 6R12Q84 +66P 2R14Q83 +168P 5R13Q83−184PR15Q82−138P 4R14Q82 +399241R16Q81 +168P 3R15Q81−105P 6R14Q81 +84P 5R15Q80−174PR17Q79−118P 4R16Q79−1196471R18Q78 + 76P 3R17Q78 − 7P 6R16Q78 − 228P 2R18Q77 + 30P 5R17Q77 + 52PR19Q76 +73P 4R18Q76 +3111697R20Q75−28P 3R19Q75−336P 6R18Q75 +21P 2R20Q74 +210P 5R19Q74 +94PR21Q73−305P 4R20Q73−7071492R22Q72 +136P 3R21Q72−245P 6R20Q72−63P 2R22Q71 +138P 5R21Q71 +168PR23Q70−140P 4R22Q70 +14143462R24Q69−92P 3R23Q69−7P 6R22Q69−186P 2R24Q68−6P 5R23Q68+100PR25Q67−130P 4R24Q67−25022505R26Q66+216P 3R25Q66−70P 6R24Q66−75P 2R26Q65−120P 5R25Q65+198PR27Q64−160P 4R26Q64+39321461R28Q63+28P 3R27Q63 − 84P 6R26Q63 + 117P 2R28Q62 − 162P 5R27Q62 − 38PR29Q61 + 270P 4R28Q61 −55049703R30Q60−132P 3R29Q60−252P 6R28Q60−63P 2R30Q59−90P 5R29Q59+180PR31Q58−15P 4R30Q58 +68812509R32Q57 +48P 3R31Q57−343P 6R30Q57−3P 2R32Q56 +300P 5R31Q56−112PR33Q55+62P 4R32Q55−76907625R34Q54−176P 3R33Q54−238P 6R32Q54+309P 2R34Q53+108P 5R33Q53−192PR35Q52−42P 4R34Q52+76908205R36Q51−128P 3R35Q51−336P 6R34Q51+33P 2R36Q50 + 72P 5R35Q50 + 102PR37Q49−46P 4R36Q49−68812063R38Q48−52P 3R37Q48−196P 6R36Q48−18P 2R38Q47−12P 5R37Q47−140PR39Q46 +89P 4R38Q46 +55050107R40Q45−240P 3R39Q45 − 42P 6R38Q45 + 129P 2R40Q44 − 228P 5R39Q44 + 62PR41Q43 + 57P 4R40Q43 −39321045R42Q42 +16P 3R41Q42−35P 6R40Q42−81P 2R42Q41 +132P 5R41Q41−218PR43Q40−58P 4R42Q40+25022965R44Q39+212P 3R43Q39−308P 6R42Q39−117P 2R44Q38+42P 5R43Q38−52PR45Q37−72P 4R44Q37−14143173R46Q36 +144P 3R45Q36−224P 6R44Q36−45P 2R46Q35 +36P 5R45Q35 +102PR47Q34 +163P 4R46Q34 +7071907R48Q33−44P 3R47Q33−357P 6R46Q33 +39P 2R48Q32 +126P 5R47Q32−134PR49Q31 +299P 4R48Q31−3111210R50Q30 +24P 3R49Q30−329P 6R48Q30−171P 2R50Q29−162P 5R49Q29−148PR51Q28+49P 4R50Q28+1196805R52Q27+

30

104P 3R51Q27− 196P 6R50Q27 + 48P 2R52Q26− 96P 5R51Q26 + 302PR53Q25− 167P 4R52Q25−398654R54Q24 + 136P 3R53Q24− 28P 6R52Q24− 339P 2R54Q23 + 120P 5R53Q23− 8PR55Q22 +151P 4R54Q22 + 114079R56Q21 + 12P 3R55Q21− 252P 6R54Q21 + 3P 2R56Q20− 102P 5R55Q20 +174PR57Q19 + 73P 4R56Q19−27425R58Q18−104P 3R57Q18−217P 6R56Q18 + 165P 2R58Q17 +96P 5R57Q17 + 20PR59Q16 − 159P 4R58Q16 + 5591R60Q15 − 252P 3R59Q15 − 119P 6R58Q15 +39P 2R60Q14 + 6P 5R59Q14 + 98PR61Q13 + 224P 4R60Q13 − 665R62Q12 + 120P 3R61Q12 −140P 6R60Q12 − 153P 2R62Q11 − 228P 5R61Q11 − 194PR63Q10 + 76P 4R62Q10 + 292R64Q9 +120P 3R63Q9−56P 6R62Q9+240P 2R64Q8−36P 5R63Q8−6PR65Q7+256P 4R64Q7+247R66Q6−128P 3R65Q6 − 273P 6R64Q6 + 222P 2R66Q5 − 162P 5R65Q5 − 86PR67Q4 + 85P 4R66Q4 +116R68Q3 − 217P 6R66Q3 + 90P 2R68Q2 + 24P 5R67Q2 − 102PR69Q − 380P 4R68Q + R70 −236P 3R69 − 231P 6R68)


29R16Q78 +35R18Q75 +12R20Q72 +29R22Q69 +54R24Q66 +53R26Q63 +41R28Q60 +5R30Q57 +42R32Q54 +35R34Q51 +45R36Q48 +56R38Q45 +27R40Q42 +37R42Q39 +43R44Q36 +4R46Q33 +6R48Q30 +45R50Q27 +57R52Q24 +41R54Q21 +14R56Q18 +21R58Q15 +49R60Q12 +55R62Q9 +10R64Q6 + 14R66Q3 + 13R68

)≡ (Q3 −R2)35 (mod 59)

p26(59t+ 53) ≡ 0 (mod 59) via Q59(Q3 −R2)6

12ϑ(46PQ76 +3P 3Q75 +2RQ75 +2P 5Q74 +26P 2RQ74 +23P 7Q73 +22PR2Q73 +22P 4RQ73 +

29P 9Q72 + 51R3Q72 + 6P 3R2Q72 + 44P 6RQ72 + 40P 11Q71 + 36P 2R3Q71 + 30P 5R2Q71 +21P 8RQ71 + PR4Q70 + 57P 4R3Q70 + 15P 7R2Q70 + 15P 10RQ70 + 33R5Q69 + 50P 3R4Q69 +18P 6R3Q69+49P 9R2Q69+40P 2R5Q68+48P 5R4Q68+31P 8R3Q68+33P 11R2Q68+5PR6Q67+24P 4R5Q67+20P 7R4Q67+24P 10R3Q67+49R7Q66+37P 3R6Q66+36P 6R5Q66+13P 9R4Q66+5P 2R7Q65 + 49P 5R6Q65 + 54P 8R5Q65 + 40P 11R4Q65 + 4PR8Q64 + 4P 4R7Q64 + 8P 7R6Q64 +55P 10R5Q64+54R9Q63+54P 3R8Q63+21P 6R7Q63+25P 9R6Q63+13P 2R9Q62+30P 5R8Q62+39P 8R7Q62+6P 11R6Q62+16PR10Q61+54P 4R9Q61+28P 7R8Q61+24P 10R7Q61+10R11Q60+40P 3R10Q60 + 35P 6R9Q60 + 10P 9R8Q60 + 34P 2R11Q59 + 44P 5R10Q59 + 42P 8R9Q59 +58P 11R8Q59 + 7PR12Q58 + 20P 4R11Q58 + 28P 7R10Q58 + 44P 10R9Q58 + 13R13Q57 +55P 3R12Q57 + 15P 6R11Q57 + 54P 2R13Q56 + 22P 5R12Q56 + 16P 8R11Q56 + 44P 11R10Q56 +45PR14Q55 + 34P 4R13Q55 + 15P 10R11Q55 + 8P 3R14Q54 + 35P 6R13Q54 + 33P 9R12Q54 +8P 2R15Q53 + 40P 5R14Q53 + 10P 8R13Q53 + 10P 11R12Q53 + 27PR16Q52 + 36P 4R15Q52 +51P 7R14Q52 + P 10R13Q52 + 57R17Q51 + 55P 3R16Q51 + 15P 6R15Q51 + 39P 9R14Q51 +22P 2R17Q50 + 8P 5R16Q50 + 3P 8R15Q50 + 12P 11R14Q50 + 49PR18Q49 + 30P 4R17Q49 +32P 7R16Q49 + 22P 10R15Q49 + 43R19Q48 + 5P 3R18Q48 + 40P 6R17Q48 + 36P 9R16Q48 +52P 2R19Q47 + 45P 5R18Q47 + 35P 8R17Q47 + 33P 11R16Q47 + 14PR20Q46 + 56P 4R19Q46 +57P 7R18Q46 + 48P 10R17Q46 + 43R21Q45 + 55P 3R20Q45 + 20P 6R19Q45 + 3P 9R18Q45 +36P 2R21Q44 + 36P 5R20Q44 + 46P 8R19Q44 + 2P 11R18Q44 + 9PR22Q43 + 13P 4R21Q43 +50P 7R20Q43 + 29P 10R19Q43 + 58R23Q42 + 54P 3R22Q42 + 20P 6R21Q42 + 8P 9R20Q42 +10P 2R23Q41 + 30P 5R22Q41 + 7P 8R21Q41 + 45P 11R20Q41 + 55PR24Q40 + 38P 4R23Q40 +21P 7R22Q40 + 32P 10R21Q40 + 57R25Q39 + 39P 3R24Q39 + 49P 6R23Q39 + 47P 9R22Q39 +P 2R25Q38 + 23P 5R24Q38 + 23P 8R23Q38 + 23P 11R22Q38 + 10PR26Q37 + 54P 4R25Q37 +7P 7R24Q37 + 34P 10R23Q37 + 31R27Q36 + 13P 3R26Q36 + 46P 6R25Q36 + 23P 9R24Q36 +10P 2R27Q35 + 38P 5R26Q35 + 5P 8R25Q35 + 3P 11R24Q35 + 37PR28Q34 + 39P 4R27Q34 +15P 7R26Q34 + 22P 10R25Q34 + 45R29Q33 + 58P 3R28Q33 + 44P 6R27Q33 + 27P 9R26Q33 +8P 2R29Q32 + 46P 5R28Q32 + 51P 8R27Q32 + 33P 11R26Q32 + 36PR30Q31 + 38P 4R29Q31 +5P 7R28Q31 + 47P 10R27Q31 + 44R31Q30 + 37P 3R30Q30 + 7P 6R29Q30 + 51P 9R28Q30 +45P 2R31Q29 + 41P 8R29Q29 + 38P 11R28Q29 + 4PR32Q28 + P 4R31Q28 + 30P 7R30Q28 +

31

42P 10R29Q28 + 49R33Q27 + 10P 3R32Q27 + 21P 6R31Q27 + 44P 9R30Q27 + 16P 2R33Q26 +55P 5R32Q26 + 44P 8R31Q26 + 50P 4R33Q25 + 27P 7R32Q25 + 5P 10R31Q25 + 22R35Q24 +6P 3R34Q24 + 42P 6R33Q24 + 23P 9R32Q24 + 42P 2R35Q23 + 54P 5R34Q23 + 19P 8R33Q23 +20P 11R32Q23 + 57PR36Q22 + 42P 4R35Q22 + 42P 7R34Q22 + 55P 10R33Q22 + 58R37Q21 +36P 3R36Q21 + 45P 6R35Q21 + 42P 9R34Q21 + 7P 2R37Q20 + 23P 5R36Q20 + 39P 8R35Q20 +6P 11R34Q20 + 18PR38Q19 + 3P 4R37Q19 + 21P 7R36Q19 + 13P 10R35Q19 + 26R39Q18 +25P 3R38Q18 + 22P 6R37Q18 + 3P 9R36Q18 + 21P 2R39Q17 + 30P 5R38Q17 + 46P 8R37Q17 +44P 11R36Q17 + 14PR40Q16 + 30P 4R39Q16 + 40P 7R38Q16 + 12P 10R37Q16 + 12R41Q15 +54P 3R40Q15 + 16P 6R39Q15 + 10P 9R38Q15 + 32P 2R41Q14 + 20P 5R40Q14 + 54P 8R39Q14 +48P 11R38Q14 + 22PR42Q13 + 30P 4R41Q13 + 39P 7R40Q13 + 48P 10R39Q13 + 36R43Q12 +44P 3R42Q12 + 48P 6R41Q12 + 36P 9R40Q12 + 3P 2R43Q11 + 21P 5R42Q11 + 23P 8R41Q11 +48P 11R40Q11 + 11PR44Q10 + 2P 4R43Q10 + 39P 7R42Q10 + 47P 10R41Q10 + 20R45Q9 +58P 3R44Q9+20P 6R43Q9+55P 9R42Q9+22P 2R45Q8+18P 5R44Q8+11P 8R43Q8+17PR46Q7+26P 4R45Q7 +29P 7R44Q7 +34R47Q6 +18P 3R46Q6 +9P 6R45Q6 +18P 2R47Q5 +36P 5R46Q5 +45PR48Q4 + 27P 4R47Q4 + 35R49Q3 + 54P 3R48Q3 + 13P 2R49Q2 + 34PR50Q+ 7R51

)= Q59(Q3 − R2)6 − 59(Q77 − 235P 2Q76 − 13P 4Q75 + 232PRQ75 − 3P 6Q74 + 26R2Q74 −

116P 3RQ74−110P 8Q73 +28P 2R2Q73−92P 5RQ73−137P 10Q72−154PR3Q72 +98P 4R2Q72−104P 7RQ72−200P 12Q71+266R4Q71−132P 3R3Q71+69P 6R2Q71+48P 9RQ71+191P 2R4Q70−126P 5R3Q70 + 42P 8R2Q70 + 124P 11RQ70 − 162PR5Q69 + 30P 4R4Q69 − 8P 7R3Q69 −162P 10R2Q69 + 189R6Q68 + 52P 3R5Q68 − 140P 6R4Q68 + 82P 9R3Q68 − 165P 12R2Q68 +164P 2R6Q67 + 132P 5R5Q67 + 71P 8R4Q67 + 48P 11R3Q67 − 228PR7Q66 − 74P 4R6Q66 −80P 7R5Q66 + 79P 10R4Q66 + 269R8Q65 + 184P 3R7Q65 − 73P 6R6Q65 − 190P 9R5Q65 −200P 12R4Q65 + 16P 2R8Q64 + 222P 5R7Q64 + 229P 8R6Q64 − 96P 11R5Q64 − 246PR9Q63 −208P 4R8Q63 − 44P 7R7Q63 + 131P 10R6Q63 + 242R10Q62 + 208P 3R9Q62 − 28P 6R8Q62 −78P 9R7Q62 − 30P 12R6Q62 + 12P 2R10Q61 − 102P 5R9Q61 + 62P 8R8Q61 − 48P 11R7Q61 +24PR11Q60 + 44P 4R10Q60 − 28P 7R9Q60 + 100P 10R8Q60 + 58R12Q59 + 56P 3R11Q59 −62P 6R10Q59− 164P 9R9Q59− 290P 12R8Q59 + 174P 2R12Q58 + 102P 5R11Q58 + 44P 8R10Q58 +56P 11R9Q58 + 26PR13Q57 − 157P 4R12Q57 + 36P 7R11Q57 + 198P 10R10Q57 + 51R14Q56 −52P 3R13Q56 − 8P 6R12Q56 − 38P 9R11Q56 − 220P 12R10Q56 − 15P 2R14Q55 − 30P 5R13Q55 +79P 8R12Q55+104P 11R11Q55+212PR15Q54+144P 4R14Q54−104P 7R13Q54−107P 10R12Q54+99R16Q53 + 80P 3R15Q53 − 47P 6R14Q53 + 126P 9R13Q53 − 50P 12R12Q53 − 70P 2R16Q52 −26P 5R15Q52−212P 8R14Q52 + 48P 11R13Q52−110PR17Q51−103P 4R16Q51 + 156P 7R15Q51−157P 10R14Q51 + 281R18Q50 + 88P 3R17Q50 + 84P 6R16Q50 + 182P 9R15Q50 − 60P 12R14Q50 −78P 2R18Q49 − 40P 5R17Q49 − 86P 8R16Q49 − 16P 11R15Q49 − 30PR19Q48 + 186P 4R18Q48 +12P 7R17Q48 − 19P 10R16Q48 + 232R20Q47 − 136P 3R19Q47 − 54P 6R18Q47 − 46P 9R17Q47 −165P 12R16Q47 +173P 2R20Q46−68P 5R19Q46−88P 8R18Q46−132P 11R17Q46−158PR21Q45−77P 4R20Q45 + 184P 7R19Q45 + 191P 10R18Q45 + 267R22Q44 + 104P 3R21Q44 − 74P 6R20Q44 −202P 9R19Q44−10P 12R18Q44 +87P 2R22Q43 +110P 5R21Q43−100P 8R20Q43−48P 11R19Q43−140PR23Q42 − 148P 4R22Q42 + 92P 7R21Q42 + 121P 10R20Q42 + 311R24Q41 + 200P 3R23Q41 +21P 6R22Q41 + 98P 9R21Q41 − 225P 12R20Q41 − 252P 2R24Q40 − 50P 5R23Q40 − 26P 8R22Q40 +16P 11R21Q40 − 120PR25Q39 + 42P 4R24Q39 − 172P 7R23Q39 − 66P 10R22Q39 + 236R26Q38 +136P 3R25Q38 +130P 6R24Q38 +70P 9R23Q38−115P 12R22Q38−21P 2R26Q37−112P 5R25Q37 +40P 8R24Q37− 104P 11R23Q37− 30PR27Q36 + 179P 4R26Q36− 176P 7R25Q36 + 26P 10R24Q36 +209R28Q35 + 148P 3R27Q35 + 41P 6R26Q35 + 106P 9R25Q35 − 15P 12R24Q35 − 141P 2R28Q34 +26P 5R27Q34 + 80P 8R26Q34 − 16P 11R25Q34 − 38PR29Q33 − 92P 4R28Q33 − 168P 7R27Q33 +50P 10R26Q33 + 240R30Q32 + 204P 3R29Q32− 115P 6R28Q32− 44P 9R27Q32− 165P 12R26Q32−25P 2R30Q31− 94P 5R29Q31 + 214P 8R28Q31− 56P 11R27Q31− 138PR31Q30− 107P 4R30Q30 +72P 7R29Q30 − 27P 10R28Q30 + 254R32Q29 − 124P 3R31Q29 + 84P 6R30Q29 + 38P 9R29Q29 −190P 12R28Q29+122P 2R32Q28+176P 5R31Q28+74P 8R30Q28−136P 11R29Q28−246PR33Q27+

32

123P 4R32Q27 + 44P 7R31Q27 − 126P 10R30Q27 + 168R34Q26 − 40P 3R33Q26 − 98P 6R32Q26 −66P 9R31Q26 + 178P 2R34Q25 + 32P 5R33Q25 + 8P 8R32Q25 + 40P 11R31Q25 + 96PR35Q24 +208P 4R34Q24 − 20P 7R33Q24 + 81P 10R32Q24 + 255R36Q23 − 72P 3R35Q23 − 42P 6R34Q23 +96P 9R33Q23−100P 12R32Q23−201P 2R36Q22−42P 5R35Q22−38P 8R34Q22−224P 11R33Q22−146PR37Q21 − 109P 4R36Q21 − 84P 7R35Q21 − 82P 10R34Q21 + 186R38Q20 + 112P 3R37Q20 +32P 6R36Q20 − 124P 9R35Q20 − 30P 12R34Q20 + P 2R38Q19 + 134P 5R37Q19 + 120P 8R36Q19 +104P 11R35Q19 − 54PR39Q18 − 3P 4R38Q18 + 76P 7R37Q18 + 55P 10R36Q18 + 82R40Q17 +144P 3R39Q17− 58P 6R38Q17− 188P 9R37Q17− 220P 12R36Q17 + 88P 2R40Q16− 36P 5R39Q16 +66P 8R38Q16 +176P 11R37Q16 +48PR41Q15−118P 4R40Q15 +128P 7R39Q15 +162P 10R38Q15 +170R42Q14 + 80P 3R41Q14 + 119P 6R40Q14 − 108P 9R39Q14 − 240P 12R38Q14 − 68P 2R42Q13 −40P 5R41Q13 − 45P 8R40Q13 − 118PR43Q12 − 189P 4R42Q12 − 40P 7R41Q12 + 66P 10R40Q12 +121R44Q11 + 280P 3R43Q11 + 24P 6R42Q11 + 156P 9R41Q11 − 240P 12R40Q11 + 49P 2R44Q10 +88P 5R43Q10 − 124P 8R42Q10 − 200P 11R41Q10 − 16PR45Q9 − 176P 4R44Q9 + 56P 7R43Q9 −245P 10R42Q9+175R46Q8+8P 3R45Q8−35P 6R44Q8−22P 9R43Q8+11P 2R46Q7+46P 5R45Q7−141P 8R44Q7 + 52PR47Q6 + 52P 4R46Q6 − 32P 7R45Q6 + 189R48Q5 + 180P 3R47Q5 −180P 6R46Q5−159P 2R48Q4−126P 5R47Q4+4PR49Q3−270P 4R48Q3+44R50Q2−56P 3R49Q2−174P 2R50Q− 34PR51)


23R16Q47 +30R18Q44 +26R20Q41 +50R22Q38 +45R24Q35 +23R26Q32 +39R28Q29 +5R32Q23 +31R34Q20 + 11R36Q17 + 12R38Q14 + 12R40Q11

)≡ Q59(Q3 −R2)6 (mod 59)

p22(61t+ 55) ≡ 0 (mod 61)

12ϑ(Q14 + 16P 9Q13 + 52R3Q13 + 8P 3R2Q13 + 56P 6RQ13 + 57P 2R3Q12 + 55P 5R2Q12 +

5P 8RQ12 +26PR4Q11 +44P 4R3Q11 +52P 7R2Q11 +25P 3R4Q10 +20P 6R3Q10 +48P 9R2Q10 +21P 2R5Q9 + 6P 5R4Q9 + 43P 8R3Q9 + 45PR6Q8 + 33P 4R5Q8 + 25P 7R4Q8 + 27R7Q7 +15P 3R6Q7 + 11P 6R5Q7 + 26P 9R4Q7 + 20P 2R7Q6 + 12P 5R6Q6 + 48P 8R5Q6 + 6PR8Q5 +54P 4R7Q5 + 7P 7R6Q5 + 50R9Q4 + 10P 3R8Q4 + 58P 6R7Q4 + 15P 9R6Q4 + 5P 2R9Q3 +6P 8R7Q3+46PR10Q2+15P 4R9Q2+48P 7R8Q2+15R11Q+2P 3R10Q+15P 6R9Q+18P 9R8Q+36P 2R11 + 15P 5R10 + 11P 8R9

)= (Q3 − R2)6 − 61(4Q18 − 15P 2Q17 − 20P 4Q16 − 16PRQ16 − 32P 6Q15 + 56R2Q15 +

20P 3RQ15 − 24P 8Q14 − 36P 2R2Q14 + 18P 5RQ14 − 16P 10Q13 + 2PR3Q13 + 39P 4R2Q13 −24P 7RQ13 + 45R4Q12 − 44P 3R3Q12 + P 6R2Q12 + 18P 9RQ12 + 27P 2R4Q11 − 30P 8R2Q11 +46PR5Q10 + 21P 4R4Q10 + 32P 7R3Q10 − 48P 10R2Q10 + 19R6Q9 + 4P 3R5Q9 + 15P 6R4Q9 −2P 9R3Q9 − 24P 2R6Q8 − 24P 5R5Q8 + 27P 8R4Q8 − 2PR7Q7 + 39P 4R6Q7 + 12P 7R5Q7 −26P 10R4Q7 + 57R8Q6 − 4P 3R7Q6 + 33P 6R6Q6 − 28P 9R5Q6 + 6P 2R8Q5 − 48P 5R7Q5 +18P 8R6Q5 − 10PR9Q4 + 20P 4R8Q4 − 20P 7R7Q4 − 15P 10R6Q4 + 30R10Q3 + 34P 6R8Q3 +12P 9R7Q3− 12P 2R10Q2− 36P 8R8Q2− 10PR11Q+P 4R10Q− 8P 7R9Q− 18P 10R8Q+R12−40P 3R11 − 15P 6R10 − 10P 9R9)

1210ϑ10(56qq13 + 46qq10rr2 + 30qq7rr4 + 22qq4rr6 + 2qqrr8

)≡ (Q3 −R2)6 (mod 61)

p10(67t+ 61) ≡ 0 (mod 67)


60P 2R3Q12+6PR4Q11+2R5Q10+55P 3R4Q10+53P 2R5Q9+42PR6Q8+55R7Q7+39P 3R6Q7+16P 2R7Q6+32PR8Q5+19R9Q4+39P 3R8Q4+13P 2R9Q3+20PR10Q2+50R11Q+49P 3R10Q+

33

62P 2R11)

= (Q3 − R2)6 − 67(4Q18 − 41P 4Q16 − 40PRQ16 + 58R2Q15 + 28P 3RQ15 + 15P 2R2Q14 −46PR3Q13− 17P 4R2Q13 + 47R4Q12− 28P 3R3Q12 + 63P 2R4Q11 + 26PR5Q10− 55P 4R4Q10 +36R6Q9−3P 2R6Q8−14PR7Q7−39P 4R6Q7 +39R8Q6 +28P 3R7Q6−15P 2R8Q5 +8PR9Q4−39P 4R8Q4 +54R10Q3 +40P 3R9Q3 +45P 2R10Q2−48PR11Q−49P 4R10Q+3R12−60P 3R11)

124ϑ4(49Q16 + 53R2Q13 + 2R4Q10 + 27R6Q7 + 27R8Q4 + 3R10Q

)≡ (Q3 −R2)6 (mod 67)

p6(67t+ 50) ≡ 0 (mod 67)

12ϑ(38PQ50+27RQ49+11PR2Q47+19R3Q46+57PR4Q44+49R5Q43+58R7Q40+4PR8Q38+

52R9Q37 + 22PR10Q35 + 56R11Q34 + 25PR12Q32 + 38R13Q31 + 15PR14Q29 + 5R15Q28 +58PR16Q26 + 42R17Q25 + 50PR18Q23 + 2R19Q22 + 3PR20Q20 + 33R21Q19 + 3PR22Q17 +4R23Q16 + 47PR24Q14 + 34R25Q13 + 22PR26Q11 + 45R27Q10 + 30PR28Q8 + 21R29Q7 +16PR30Q5 + 58R31Q4 + 44PR32Q2 + 17R33Q

)= (Q3 − R2)17 − 67(3Q51 − 114P 2Q50 + 34PRQ49 + 84R2Q48 − 33P 2R2Q47 −

6PR3Q46 + 77R4Q45 − 171P 2R4Q44 + 2PR5Q43 + 152R6Q42 − 172PR7Q40 + 216R8Q39 −12P 2R8Q38−128PR9Q37+78R10Q36−66P 2R10Q35−96PR11Q34+343R12Q33−75P 2R12Q32−48PR13Q31 − 213R14Q30 − 45P 2R14Q29 + 94PR15Q28 + 436R16Q27 − 174P 2R16Q26 +44PR17Q25−296R18Q24−150P 2R18Q23+68PR19Q22+355R20Q21−9P 2R20Q20−90PR21Q19−139R22Q18−9P 2R22Q17+92PR23Q16+173R24Q15−141P 2R24Q14−12PR25Q13+100R26Q12−66P 2R26Q11− 46PR27Q10 + 92R28Q9− 90P 2R28Q8− 6PR29Q7 + 168R30Q6− 48P 2R30Q5−44PR31Q4 + 65R32Q3 − 132P 2R32Q2 − 46PR33Q+R34)

122ϑ2(29Q50 + 56R2Q47 + 10R4Q44 + 63R8Q38 + 45R10Q35 + 42R12Q32 + 52R14Q29 +

9R16Q26 + 17R18Q23 + 64R20Q20 + 64R22Q17 + 20R24Q14 + 45R26Q11 + 37R28Q8 + 51R30Q5 +23R32Q2

)≡ (Q3 −R2)17 (mod 67)

p4(71t+ 59) ≡ 0 (mod 71)

12ϑ(59RQ34 + 44R3Q31 + 10R5Q28 + 9R7Q25 + 57R9Q22 + 7R11Q19 + 5R13Q16 + 51R15Q13 +

13R17Q10 + 31R19Q7 + 14R21Q4 + 53R23Q)

= (Q3 −R2)12 − 71(5Q36 − 118PRQ34 + 124R2Q33 − 88PR3Q31 + 82R4Q30 − 20PR5Q28 +18R6Q27 − 18PR7Q25 + 63R8Q24 − 114PR9Q22 + 66R10Q21 − 14PR11Q19 + 26R12Q18 −10PR13Q16 + 58R14Q15 − 102PR15Q13 + 63R16Q12 − 26PR17Q10 + 54R18Q9 − 62PR19Q7 +38R20Q6 − 28PR21Q4 + 106R22Q3 − 106PR23Q+ 3R24)

p6(71t+ 53) ≡ 0 (mod 71)

12ϑ(60PQ53 + 49RQ52 + 15PR2Q50 + 69R3Q49 + 11PR4Q47 + 36R5Q46 + 54PR6Q44 +

43R7Q43 + 44PR8Q41 + 58R9Q40 + 44PR10Q38 + 66R11Q37 + 52PR12Q35 + 53R13Q34 +23PR14Q32 + 50R15Q31 + 66PR16Q29 + R17Q28 + 56PR18Q26 + 4R19Q25 + 58PR20Q23 +30R21Q22 + 62PR22Q20 + 68R23Q19 + 39PR24Q17 + 55R25Q16 + 63PR26Q14 + 54R27Q13 +63PR28Q11+21R29Q10+64PR30Q8+69R31Q7+30PR32Q5+70R33Q4+51PR34Q2+53R35Q

)= (Q3 − R2)18 − 71(5Q54 − 180P 2Q53 + 34PRQ52 + 161R2Q51 − 45P 2R2Q50 −

162PR3Q49 +208R4Q48−33P 2R4Q47−52PR5Q46 +108R6Q45−162P 2R6Q44 +34PR7Q43 +192R8Q42−132P 2R8Q41−36PR9Q40+72R10Q39−132P 2R10Q38−52PR11Q37+458R12Q36−156P 2R12Q35 − 30PR13Q34 − 283R14Q33 − 69P 2R14Q32 − 20PR15Q31 + 706R16Q30 −198P 2R16Q29 + 190PR17Q28 − 676R18Q27 − 168P 2R18Q26 + 168PR19Q25 + 676R20Q24 −

34

174P 2R20Q23 + 100PR21Q22 − 278R22Q21 − 186P 2R22Q20 − 56PR23Q19 + 451R24Q18 −117P 2R24Q17 + 10PR25Q16 + 53R26Q15 − 189P 2R26Q14 + 36PR27Q13 + 135R28Q12 −189P 2R28Q11 + 138PR29Q10 + 182R30Q9 − 192P 2R30Q8 − 98PR31Q7 + 225R32Q6 −90P 2R32Q5 − 56PR33Q4 + 173R34Q3 − 153P 2R34Q2 − 154PR35Q+ 3R36)


5R16Q29 + 15R18Q26 + 13R20Q23 + 9R22Q20 + 32R24Q17 + 8R26Q14 + 8R28Q11 + 7R30Q8 +41R32Q5 + 20R34Q2

)≡ (Q3 −R2)18 (mod 71)

p8(71t+ 47) ≡ 0 (mod 71)


64R5Q64 + 26P 2R5Q63 + 68PR6Q62 + 25R7Q61 + 62P 2R7Q60 + 11PR8Q59 + 49R9Q58 +31P 2R9Q57+52PR10Q56+17R11Q55+40P 2R11Q54+21PR12Q53+64R13Q52+67P 2R13Q51+23PR14Q50 +22R15Q49 +18P 2R15Q48 +35PR16Q47 +39R17Q46 +66P 2R17Q45 +3PR18Q44 +42R19Q43 + 21P 2R19Q42 + 35PR20Q41 + 38R21Q40 + 63P 2R21Q39 + 11PR22Q38 + 68R23Q37 +58P 2R23Q36 +26PR24Q35 +46R25Q34 +42P 2R25Q33 +55PR26Q32 +18R27Q31 +6P 2R27Q30 +36PR28Q29+46R29Q28+23P 2R29Q27+52PR30Q26+23R31Q25+48P 2R31Q24+30PR32Q23+50R33Q22 + 7P 2R33Q21 + 21PR34Q20 + 37R35Q19 + 47P 2R35Q18 + 25PR36Q17 + 42R37Q16 +37P 2R37Q15 + 53PR38Q14 + 61R39Q13 + 5P 2R39Q12 + 52PR40Q11 + 2R41Q10 + 61P 2R41Q9 +53PR42Q8+R43Q7+36P 2R43Q6+67PR44Q5+62R45Q4+62P 2R45Q3+61PR46Q2+53R47Q+22P 2R47

)= (Q3−R2)24−71(3Q72−270P 2Q71 +178PRQ70 +98R2Q69−140P 3RQ69 +102P 2R2Q68−

12PR3Q67 +84R4Q66−96P 3R3Q66 +36P 2R4Q65−164PR5Q64 +218R6Q63−104P 3R5Q63−144P 2R6Q62 + 146PR7Q61 + 273R8Q60 − 248P 3R7Q60 + 189P 2R8Q59 − 116PR9Q58 −422R10Q57 − 124P 3R9Q57 − 72P 2R10Q56 + 118PR11Q55 + 2019R12Q54 − 160P 3R11Q54 +111P 2R12Q53 − 166PR13Q52 − 4659R14Q51 − 268P 3R13Q51 + 123P 2R14Q50 + 24PR15Q49 +10476R16Q48 − 72P 3R15Q48 + 3P 2R16Q47 − 58PR17Q46 − 18247R18Q45 − 264P 3R17Q45 +189P 2R18Q44 − 102PR19Q43 + 27793R20Q42 − 84P 3R19Q42 + 21P 2R20Q41 − 50PR21Q40 −34939R22Q39−252P 3R21Q39 +207P 2R22Q38−196PR23Q37 +38326R24Q36−232P 3R23Q36 +102P 2R24Q35− 12PR25Q34− 35027R26Q33− 168P 3R25Q33− 129P 2R26Q32 + 112PR27Q31 +27768R28Q30 − 24P 3R27Q30 − 78P 2R28Q29 + 6PR29Q28 − 18282R30Q27 − 92P 3R29Q27 −48P 2R30Q26 + 66PR31Q25 + 10531R32Q24 − 192P 3R31Q24 − 36P 2R32Q23 − 102PR33Q22 −4703R34Q21 − 28P 3R33Q21 + 63P 2R34Q20 − 48PR35Q19 + 2067R36Q18 − 188P 3R35Q18 +63P 2R36Q17 + 26PR37Q16 − 359R38Q15 − 148P 3R37Q15 − 165P 2R38Q14 − 28PR39Q13 +202R40Q12−20P 3R39Q12+6P 2R40Q11+214PR41Q10−23R42Q9−244P 3R41Q9−51P 2R42Q8+270PR43Q7 +241R44Q6−144P 3R43Q6−21P 2R44Q5 +8PR45Q4 +225R46Q3−248P 3R45Q3−147P 2R46Q2 − 206PR47Q+ 3R48 − 88P 3R47)


9R15Q48 +33R17Q45 +46R19Q42 +67R21Q39 +29R23Q36 +21R25Q33 +3R27Q30 +47R29Q27 +24R31Q24 +39R33Q21 +59R35Q18 +54R37Q15 +38R39Q12 +66R41Q9 +18R43Q6 +31R45Q3 +11R47

)≡ (Q3 −R2)24 (mod 71)

p10(71t+ 41) ≡ 0 (mod 71)


43P 2R3Q84 + 55PR4Q83 + 2R5Q82 + 49P 3R4Q82 + 26P 2R5Q81 + 24PR6Q80 + 23R7Q79 +44P 2R7Q78 + 60PR8Q77 + 5R9Q76 + 66P 3R8Q76 + 52P 2R9Q75 + 68PR10Q74 + 46R11Q73 +12P 3R10Q73+47P 2R11Q72+9PR12Q71+27R13Q70+22P 3R12Q70+17P 2R13Q69+20PR14Q68+

35

13R15Q67+19P 3R14Q67+10P 2R15Q66+70PR16Q65+65R17Q64+58P 3R16Q64+42P 2R17Q63+58PR18Q62 +66R19Q61 +22P 3R18Q61 +6P 2R19Q60 +58PR20Q59 +26R21Q58 +63P 3R20Q58 +28P 2R21Q57+46PR22Q56+18R23Q55+53P 3R22Q55+33P 2R23Q54+25PR24Q53+66R25Q52+44P 3R24Q52+4P 2R25Q51+61PR26Q50+47R27Q49+16P 3R26Q49+41P 2R27Q48+19R29Q46+53P 3R28Q46+53P 2R29Q45+23PR30Q44+2R31Q43+68P 3R30Q43+41P 2R31Q42+51PR32Q41+58R33Q40+58P 3R32Q40+38P 2R33Q39+27PR34Q38+15R35Q37+25P 3R34Q37+66P 2R35Q36+23PR36Q35 +55R37Q34 +43P 3R36Q34 +55P 2R37Q33 +2PR38Q32 +21R39Q31 +54P 3R38Q31 +66P 2R39Q30 +9PR40Q29 +15R41Q28 +70P 3R40Q28 +64P 2R41Q27 +33PR42Q26 +60R43Q25 +30P 3R42Q25 + 21P 2R43Q24 + 44PR44Q23 + 39R45Q22 + 46P 3R44Q22 + 36P 2R45Q21 +30PR46Q20+54R47Q19+40P 3R46Q19+51P 2R47Q18+54PR48Q17+10R49Q16+16P 3R48Q16+8P 2R49Q15 +11PR50Q14 +16R51Q13 +43P 3R50Q13 +54P 2R51Q12 +57PR52Q11 +24R53Q10 +59P 3R52Q10 + 66P 2R53Q9 + 21PR54Q8 + 16R55Q7 + 3P 3R54Q7 + 59PR56Q5 + 67R57Q4 +53P 3R56Q4 + 25P 2R57Q3 + 5PR58Q2 + 53R59Q+ 6P 3R58Q+ 24P 2R59

)= (Q3 − R2)30 − 71(Q90 − 225P 2Q89 − 45P 4Q88 + 216PRQ88 + 23R2Q87 − 304P 3RQ87 +

249P 2R2Q86+56PR3Q85−70P 4R2Q85+70R4Q84−132P 3R3Q84−60P 2R4Q83+260PR5Q82−245P 4R4Q82−34R6Q81 +96P 3R5Q81 +24P 2R6Q80 +34PR7Q79 +493R8Q78−176P 3R7Q78−66P 2R8Q77 + 294PR9Q76 − 330P 4R8Q76 − 1942R10Q75 + 32P 3R9Q75 − 78P 2R10Q74 +62PR11Q73 − 60P 4R10Q73 + 8582R12Q72 − 164P 3R11Q72 + 165P 2R12Q71 − 76PR13Q70 −110P 4R12Q70 − 28550R14Q69 + 24P 3R13Q69 − 21P 2R14Q68 + 106PR15Q67 − 95P 4R14Q67 +82579R16Q66 +100P 3R15Q66−252P 2R16Q65 +18PR17Q64−290P 4R16Q64−201168R18Q63 +32P 3R17Q63−132P 2R18Q62−32PR19Q61−110P 4R18Q61 + 423443R20Q60 + 152P 3R19Q60−219P 2R20Q59 +148PR21Q58−315P 4R20Q58−769278R22Q57 +164P 3R21Q57−75P 2R22Q56 +106PR23Q55−265P 4R22Q55 +1218410R24Q54 +88P 3R23Q54−15P 2R24Q53−124PR25Q52−220P 4R24Q52−1686457R26Q51 +144P 3R25Q51−201P 2R26Q50−64PR27Q49−80P 4R26Q49 +2048383R28Q48−36P 3R27Q48+243P 2R28Q47−36PR29Q46−265P 4R28Q46−2184699R30Q45+44P 3R29Q45+129P 2R30Q44+186PR31Q43−340P 4R30Q43+2048374R32Q42+116P 3R31Q42−51P 2R32Q41−96PR33Q40−290P 4R32Q40−1686583R34Q39 + 12P 3R33Q39 + 144P 2R34Q38 +54PR35Q37−125P 4R34Q37 +1218418R36Q36−148P 3R35Q36 +192P 2R36Q35−224PR37Q34−215P 4R36Q34−769224R38Q33−20P 3R37Q33 + 312P 2R38Q32−70PR39Q31−270P 4R38Q31 +423258R40Q30+291P 2R40Q29+58PR41Q28−350P 4R40Q28−201267R42Q27−104P 3R41Q27+9P 2R42Q26 − 90PR43Q25 − 150P 4R42Q25 + 82669R44Q24 + 108P 3R43Q24 − 54P 2R44Q23 −22PR45Q22 − 230P 4R44Q22 − 28410R46Q21 + 32P 3R45Q21 + 96P 2R46Q20 − 18PR47Q19 −200P 4R46Q19 + 8463R48Q18 − 148P 3R47Q18 − 186P 2R48Q17 + 48PR49Q16 − 80P 4R48Q16 −1929R50Q15 + 156P 3R49Q15 + 186P 2R50Q14 + 180PR51Q13 − 215P 4R50Q13 + 506R52Q12 +20P 3R51Q12 + 48P 2R52Q11 + 12PR53Q10 − 295P 4R52Q10 + 31R54Q9 − 284P 3R53Q9 −72P 2R54Q8 + 208PR55Q7 − 15P 4R54Q7 + 336R56Q6 + 252P 3R55Q6 − 174P 2R56Q5 −296PR57Q4−265P 4R56Q4+279R58Q3−84P 3R57Q3+99P 2R58Q2−266PR59Q−30P 4R58Q+3R60 − 120P 3R59)


20R18Q61 +25R20Q58 +3R22Q55 +40R24Q52 +21R26Q49 +3R28Q46 +36R30Q43 +14R32Q40 +55R34Q37+52R36Q34+62R38Q31+12R40Q28+66R42Q25+16R44Q22+17R46Q19+21R48Q16+52R50Q13 + 2R52Q10 + 35R54Q7 + 3R56Q4 + 70R58Q

)≡ (Q3 −R2)30 (mod 71)

p14(71t+ 29) ≡ 0 (mod 71)


4R3Q121 +54P 3R2Q121 +36P 5R2Q120 +2PR4Q119 +46P 4R3Q119 +70R5Q118 +63P 3R4Q118 +20P 2R5Q117 + 57P 5R4Q117 + 65PR6Q116 + 34P 4R5Q116 + 21R7Q115 + 16P 3R6Q115 +

36

29P 2R7Q114 + 37P 5R6Q114 + 22PR8Q113 + 18P 4R7Q113 + 62R9Q112 + 23P 3R8Q112 +25P 2R9Q111 + 66P 5R8Q111 + 9PR10Q110 + 15P 4R9Q110 + 44R11Q109 + 64P 3R10Q109 +36P 2R11Q108 + 55P 5R10Q108 + 22PR12Q107 + 43P 4R11Q107 + 12R13Q106 + 6P 3R12Q106 +40P 2R13Q105 + 68P 5R12Q105 + 6PR14Q104 + 22P 4R13Q104 + 40R15Q103 + 58P 3R14Q103 +P 2R15Q102 + 44P 5R14Q102 + 16PR16Q101 + 36P 4R15Q101 + 68R17Q100 + 24P 3R16Q100 +53P 2R17Q99 + 53P 5R16Q99 + 12PR18Q98 + 30P 4R17Q98 + 48R19Q97 + 16P 3R18Q97 +70P 2R19Q96 + 15P 5R18Q96 + 35PR20Q95 + 64P 4R19Q95 + 52R21Q94 + 39P 3R20Q94 +50P 2R21Q93 + 33P 5R20Q93 + 36PR22Q92 + 30P 4R21Q92 + 54R23Q91 + 15P 3R22Q91 +28P 2R23Q90 + 46P 5R22Q90 + 15PR24Q89 + 41P 4R23Q89 + 60R25Q88 + 70P 3R24Q88 +17P 2R25Q87 + 12P 5R24Q87 + 23PR26Q86 + 67P 4R25Q86 + 20R27Q85 + 35P 3R26Q85 +55P 2R27Q84 + 26P 5R26Q84 + 23PR28Q83 + 9P 4R27Q83 + 27R29Q82 + 47P 3R28Q82 +40P 2R29Q81 + 33P 5R28Q81 + 49PR30Q80 + 22P 4R29Q80 + 31R31Q79 + 66P 3R30Q79 +12P 2R31Q78 + 63P 5R30Q78 + 44P 4R31Q77 + 7R33Q76 + 43P 3R32Q76 + 31P 2R33Q75 +65P 5R32Q75 + 3PR34Q74 + 39P 4R33Q74 + 14R35Q73 + 43P 2R35Q72 + 56P 5R34Q72 +30PR36Q71 + 60P 4R35Q71 + 69R37Q70 + 34P 3R36Q70 + 46P 2R37Q69 + 40P 5R36Q69 +50PR38Q68 + 9P 4R37Q68 + 59R39Q67 + 49P 3R38Q67 + 64P 2R39Q66 + 3P 5R38Q66 +10PR40Q65 + 26P 4R39Q65 + 37R41Q64 + 6P 3R40Q64 + 33P 2R41Q63 + 40P 5R40Q63 +62PR42Q62 + 67P 4R41Q62 + 36R43Q61 + 20P 3R42Q61 + 45P 2R43Q60 + 40P 5R42Q60 +33PR44Q59 + 39P 4R43Q59 + 21R45Q58 + 64P 3R44Q58 + 15P 2R45Q57 + 13P 5R44Q57 +50PR46Q56+19P 4R45Q56+2R47Q55+5P 3R46Q55+20P 2R47Q54+22P 5R46Q54+68PR48Q53+48P 4R47Q53 + 61R49Q52 + 47P 3R48Q52 + 31P 5R48Q51 + 10PR50Q50 + 20P 4R49Q50 +18R51Q49 + 23P 3R50Q49 + 60P 2R51Q48 + 32P 5R50Q48 + 34PR52Q47 + 26P 4R51Q47 +32R53Q46 + 4P 3R52Q46 + 24P 2R53Q45 + 30P 5R52Q45 + 56PR54Q44 + 40P 4R53Q44 +40R55Q43+22P 3R54Q43+33P 2R55Q42+8P 5R54Q42+67PR56Q41+23P 4R55Q41+25R57Q40+68P 3R56Q40+P 2R57Q39+6P 5R56Q39+51PR58Q38+69P 4R57Q38+45R59Q37+11P 3R58Q37+56P 2R59Q36 + 63P 5R58Q36 + 20PR60Q35 + 60P 4R59Q35 + 37R61Q34 + 15P 3R60Q34 +64P 2R61Q33+P 5R60Q33+60PR62Q32+39P 4R61Q32+22R63Q31+45P 3R62Q31+54P 2R63Q30+53P 5R62Q30+7PR64Q29+47P 4R63Q29+62R65Q28+5P 3R64Q28+12P 2R65Q27+10P 5R64Q27+27PR66Q26 + 50P 4R65Q26 + 38R67Q25 + 62P 3R66Q25 + 4P 2R67Q24 + 58P 5R66Q24 +67PR68Q23 + 52P 4R67Q23 + 44R69Q22 + 24P 3R68Q22 + 63P 2R69Q21 + 54P 5R68Q21 +65PR70Q20+3P 4R69Q20+68R71Q19+3P 3R70Q19+9P 2R71Q18+10P 5R70Q18+39PR72Q17+41P 4R71Q17+8R73Q16+22P 3R72Q16+60P 2R73Q15+17P 5R72Q15+6PR74Q14+66P 4R73Q14+59R75Q13+67P 3R74Q13+29P 2R75Q12+18P 5R74Q12+18PR76Q11+49P 4R75Q11+8R77Q10+53P 3R76Q10 +24P 2R77Q9 +32P 5R76Q9 +8PR78Q8 +53P 4R77Q8 +43R79Q7 +51P 3R78Q7 +49P 2R79Q6 + 33P 5R78Q6 + 4PR80Q5 + 24P 4R79Q5 + 59R81Q4 + 10P 3R80Q4 + 63P 2R81Q3 +41P 5R80Q3 + 39PR82Q2 + 54P 4R81Q2 + 53R83Q+ 9P 3R82Q+ 12P 2R83 + 45P 5R82

)= (Q3−R2)42−71(4Q126−255P 2Q125−276P 4Q124−26PRQ124−266P 6Q123 +287R2Q123−

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37

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)≡ (Q3 −R2)42 (mod 71)

p26(71t+ 64) ≡ 0 (mod 71) via Q71(Q3 −R2)7

38

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39

63P 6R51Q12 + 23P 9R50Q12 + 19P 2R53Q11 + 27P 5R52Q11 + 69P 8R51Q11 + 60P 11R50Q11 +9PR54Q10+60P 4R53Q10+32P 7R52Q10+13P 10R51Q10+9R55Q9+49P 3R54Q9+22P 6R53Q9+47P 9R52Q9+13P 2R55Q8+13P 5R54Q8+67P 8R53Q8+45PR56Q7+46P 4R55Q7+39P 7R54Q7+12R57Q6 + 59P 3R56Q6 + 48P 6R55Q6 + 11P 2R57Q5 + 50P 5R56Q5 + 2PR58Q4 + 11P 4R57Q4 +6R59Q3 + 22P 3R58Q3 + 53P 2R59Q2 + 14PR60Q+ 18R61

)= Q71(Q3−R2)7− 71(5Q92− 276P 2Q91− 35P 4Q90 + 30PRQ90− 331P 6Q89 + 269R2Q89−

32P 3RQ89−335P 8Q88−233P 2R2Q88 +278P 5RQ88−205P 10Q87 +24PR3Q87−27P 4R2Q87 +176P 7RQ87−220P 12Q86+308R4Q86−84P 3R3Q86−134P 6R2Q86+24P 9RQ86−26P 2R4Q85+186P 5R3Q85 − 141P 8R2Q85 − 44P 11RQ85 − 52PR5Q84 + 58P 4R4Q84 + 304P 7R3Q84 +26P 10R2Q84 + 284R6Q83 − 28P 3R5Q83 − 190P 6R4Q83 − 34P 9R3Q83 − 105P 12R2Q83 −84P 2R6Q82 − 52P 5R5Q82 + P 8R4Q82 + 108P 11R3Q82 − 38PR7Q81 + 311P 4R6Q81 +124P 7R5Q81 − 271P 10R4Q81 + 246R8Q80 + 8P 3R7Q80 − 173P 6R6Q80 + 24P 9R5Q80 −145P 12R4Q80 − 168P 2R8Q79 + 82P 5R7Q79 + 240P 8R6Q79 − 168P 11R5Q79 + 76PR9Q78 −5P 4R8Q78 − 212P 7R7Q78 + 67P 10R6Q78 + 191R10Q77 + 72P 3R9Q77 + 239P 6R8Q77 −94P 9R7Q77 − 120P 12R6Q77 − 191P 2R10Q76 − 8P 5R9Q76 + 140P 8R8Q76 − 64P 11R7Q76 +106PR11Q75 − 53P 4R10Q75 + 48P 7R9Q75 + 113P 10R8Q75 + 226R12Q74 − 168P 3R11Q74 +20P 6R10Q74 − 64P 9R9Q74 − 240P 12R8Q74 + 154P 2R12Q73 − 134P 5R11Q73 + 42P 8R10Q73 +112P 11R9Q73 − 54PR13Q72 + 197P 4R12Q72 − 184P 7R11Q72 + 126P 10R10Q72 + 179R14Q71 −272P 3R13Q71+178P 6R12Q71−164P 9R11Q71−250P 12R10Q71+320P 2R14Q70−92P 5R13Q70+207P 8R12Q70+108P 11R11Q70−108PR15Q69+194P 4R14Q69−160P 7R13Q69+48P 10R12Q69+186R16Q68− 320P 3R15Q68 + 174P 6R14Q68− 64P 9R13Q68− 115P 12R12Q68 + 287P 2R16Q67−212P 5R15Q67+252P 8R14Q67−172P 11R13Q67−248PR17Q66+244P 4R16Q66−312P 7R15Q66−75P 10R14Q66 + 258R18Q65 − 232P 3R17Q65 + 148P 6R16Q65 − 34P 9R15Q65 − 45P 12R14Q65 +211P 2R18Q64−132P 5R17Q64 +235P 8R16Q64−46PR19Q63 +185P 4R18Q63−112P 7R17Q63−219P 10R16Q63 + 201R20Q62 + 84P 3R19Q62 + 94P 6R18Q62 + 184P 9R17Q62 − 45P 12R16Q62 −7P 2R20Q61 + 14P 5R19Q61 − 108P 8R18Q61 − 176P 11R17Q61 − 216PR21Q60 − 33P 4R20Q60 +16P 7R19Q60 + 48P 10R18Q60 + 280R22Q59 − 156P 3R21Q59 − 11P 6R20Q59 + 4P 9R19Q59 −340P 12R18Q59 + 265P 2R22Q58 + 86P 5R21Q58 + 36P 8R20Q58− 88P 11R19Q58− 108PR23Q57−36P 4R22Q57 + 108P 7R21Q57 + 64P 10R20Q57 + 140R24Q56 + 32P 3R23Q56 − 250P 6R22Q56 −2P 9R21Q56 − 50P 12R20Q56 − 14P 2R24Q55 + 318P 5R23Q55 + 81P 8R22Q55 + 4P 11R21Q55 +98PR25Q54 − 44P 4R24Q54 + 84P 7R23Q54 + 64P 10R22Q54 + 86R26Q53 + 180P 3R25Q53 −148P 6R24Q53 +96P 9R23Q53−290P 12R22Q53−232P 2R26Q52−20P 5R25Q52−256P 8R24Q52 +12P 11R23Q52 + 248PR27Q51 − 225P 4R26Q51 + 84P 7R25Q51 − 136P 10R24Q51 + 175R28Q50 +168P 3R27Q50 +44P 6R26Q50 +160P 9R25Q50−60P 12R24Q50−269P 2R28Q49 +156P 5R27Q49−104P 8R26Q49 + 8P 11R25Q49 − 98PR29Q48 + 18P 4R28Q48 + 156P 7R27Q48 + 106P 10R26Q48 +191R30Q47 + 128P 3R29Q47 − 116P 6R28Q47 + 32P 9R27Q47 − 295P 12R26Q47 + 50P 2R30Q46 −4P 5R29Q46 − 19P 8R28Q46 + 84P 11R27Q46 + 52PR31Q45 − 82P 4R30Q45 − 156P 7R29Q45 +3P 10R28Q45 + 75R32Q44 + 4P 3R31Q44 + 192P 6R30Q44 + 80P 9R29Q44 − 250P 12R28Q44 −25P 2R32Q43 + 2P 5R31Q43 + 191P 8R30Q43 + 68P 11R29Q43 + 192PR33Q42 − 108P 4R32Q42 −164P 7R31Q42 + 49P 10R30Q42 + 176R34Q41 + 88P 3R33Q41 + 247P 6R32Q41 − 104P 9R31Q41 −305P 12R30Q41− 292P 2R34Q40− 112P 5R33Q40 + 211P 8R32Q40 + 4P 11R31Q40− 94PR35Q39 +195P 4R34Q39 − 176P 7R33Q39 − 85P 10R32Q39 + 315R36Q38 + 128P 3R35Q38 + 59P 6R34Q38 +150P 9R33Q38−25P 12R32Q38+174P 2R36Q37−86P 5R35Q37−197P 8R34Q37−224P 11R33Q37−254PR37Q36 + 2P 4R36Q36 + 208P 7R35Q36 − 19P 10R34Q36 + 334R38Q35 − 72P 3R37Q35 +83P 6R36Q35 + 132P 9R35Q35− 150P 12R34Q35 + 65P 2R38Q34 + 38P 5R37Q34− 234P 8R36Q34 +44P 11R35Q34 − 154PR39Q33 − 46P 4R38Q33 − 100P 7R37Q33 + 130P 10R36Q33 + 209R40Q32 −12P 3R39Q32 + 64P 6R38Q32 − 14P 9R37Q32 − 280P 12R36Q32 + 42P 2R40Q31 + 98P 5R39Q31 −77P 8R38Q31 + 84P 11R37Q31 + 14PR41Q30 + 224P 4R40Q30 − 84P 7R39Q30 − 4P 10R38Q30 +55R42Q29 − 88P 3R41Q29 − 196P 6R40Q29 + 68P 9R39Q29 − 200P 12R38Q29 + 64P 2R42Q28 −

40

124P 5R41Q28 + 37P 8R40Q28 + 196P 11R39Q28 + 96PR43Q27 + 12P 4R42Q27 − 20P 7R41Q27 −128P 10R40Q27 + 182R44Q26− 88P 3R43Q26 + 56P 6R42Q26 + 162P 9R41Q26− 260P 12R40Q26−26P 2R44Q25 − 92P 5R43Q25 + 90P 8R42Q25 + 32P 11R41Q25 − 142PR45Q24 + 58P 4R44Q24 +76P 7R43Q24 + 56P 10R42Q24 + 322R46Q23 + 168P 3R45Q23 + 37P 6R44Q23 − 36P 9R43Q23 −185P 12R42Q23 + 10P 2R46Q22− 86P 5R45Q22− 129P 8R44Q22− 104P 11R43Q22− 58PR47Q21−160P 4R46Q21 + 260P 7R45Q21 + 96P 10R44Q21 + 202R48Q20 + 84P 3R47Q20 − 15P 6R46Q20 +102P 9R45Q20−180P 12R44Q20−277P 2R48Q19 +268P 5R47Q19 +84P 8R46Q19 +4P 11R45Q19−84PR49Q18 − 212P 4R48Q18 + 276P 7R47Q18 − 109P 10R46Q18 + 233R50Q17 + 44P 3R49Q17 −187P 6R48Q17 + 2P 9R47Q17 − 140P 12R46Q17 + 277P 2R50Q16 + 206P 5R49Q16 + 2P 8R48Q16 −164P 11R47Q16 − 200PR51Q15 + 133P 4R50Q15 + 8P 7R49Q15 − 242P 10R48Q15 + 219R52Q14 −132P 3R51Q14 + 113P 6R50Q14− 128P 9R49Q14− 80P 12R48Q14 + 92P 2R52Q13− 10P 5R51Q13 +213P 8R50Q13 +216P 11R49Q13−158PR53Q12 +64P 4R52Q12−152P 7R51Q12−43P 10R50Q12 +69R54Q11 + 160P 3R53Q11 + 7P 6R52Q11 − 124P 9R51Q11 − 300P 12R50Q11 + 28P 2R54Q10 −228P 5R53Q10 + 187P 8R52Q10 − 28P 11R51Q10 + 172PR55Q9 − 2P 4R54Q9 + 92P 7R53Q9 −229P 10R52Q9 + 63R56Q8 + 240P 3R55Q8 + 172P 6R54Q8 − 314P 9R53Q8 − 170P 2R56Q7 +12P 5R55Q7 − 167P 8R54Q7 − 34PR57Q6 − 227P 4R56Q6 − 228P 7R55Q6 + 34R58Q5 +72P 3R57Q5−238P 6R56Q5+258P 2R58Q4−42P 5R57Q4+42PR59Q3−110P 4R58Q3+94R60Q2−268P 3R59Q2 − 66P 2R60Q− 92PR61)


33R16Q62+60R18Q59+13R20Q56+47R22Q53+44R24Q50+27R26Q47+65R28Q44+58R30Q41+42R32Q38 +39R34Q35 +16R36Q32 +52R38Q29 +25R40Q26 +41R42Q23 +61R44Q20 +8R46Q17 +35R48Q14 + 7R50Q11

)≡ Q71(Q3 −R2)7 (mod 71)

p10(79t+ 72) ≡ 0 (mod 79)


31P 2R3Q15 + 61PR4Q14 + 27R5Q13 + 52P 3R4Q13 + 58P 2R5Q12 + 38PR6Q11 + 6R7Q10 +45P 3R6Q10 + 32P 2R7Q9 + 7PR8Q8 + 65R9Q7 + 29P 3R8Q7 + 49P 2R9Q6 + 15PR10Q5 +18R11Q4 + 36P 3R10Q4 + 60P 2R11Q3 + 41PR12Q2 + 20R13Q+ 6P 3R12Q+ 24P 2R13

)= (Q3 − R2)7 − 79(4Q21 − 69P 2Q20 − 20P 4Q19 + 36PRQ19 + 56R2Q18 + 12P 3RQ18 −

36P 2R2Q17− 6PR3Q16− 39P 4R2Q16 + 68R4Q15 + 16P 3R3Q15− 15P 2R4Q14 + 34PR5Q13−52P 4R4Q13 + 21R6Q12 − 4P 3R5Q12 + 15P 2R6Q11 + 20PR7Q10 − 45P 4R6Q10 + 48R8Q9 +8P 3R7Q9 + 42P 2R8Q8 − 52PR9Q7 − 29P 4R8Q7 + 38R10Q6 − 12P 3R9Q6 + 51P 2R10Q5 +24PR11Q4 − 36P 4R10Q4 + 24R12Q3 − 48P 3R11Q3 − 9P 2R12Q2 − 16PR13Q − 6P 4R12Q +R14 − 24P 3R13)

124ϑ4(23Q19 +33R2Q16 +44R4Q13 +32R6Q10 +61R8Q7 +73R10Q4 +78R12Q

)≡ (Q3−R2)7

(mod 79)

p6(79t+ 59) ≡ 0 (mod 79)

12ϑ(8PQ59+38RQ58+17PR2Q56+59R3Q55+38PR4Q53+39R5Q52+56PR6Q50+17R7Q49+

32PR8Q47 + 25R9Q46 + 70PR10Q44 + 66R11Q43 + 69PR12Q41 + 16R13Q40 + 31PR14Q38 +68R15Q37 + PR16Q35 + 7R17Q34 + 39PR18Q32 + 17R19Q31 + 54PR20Q29 + 10R21Q28 +40PR22Q26 + 34R23Q25 + 69PR24Q23 + 54R25Q22 + 66PR26Q20 + 45R27Q19 + 69PR28Q17 +R29Q16 +13PR30Q14 +29R31Q13 +5PR32Q11 +3R33Q10 +76PR34Q8 +6R35Q7 +29PR36Q5 +10R37Q4 + 37PR38Q2 + 59R39Q

)= (Q3 − R2)20 − 79(3Q60 − 24P 2Q59 − 88PRQ58 + 125R2Q57 − 51P 2R2Q56 −

41

118PR3Q55+182R4Q54−114P 2R4Q53+10PR5Q52+98R6Q51−168P 2R6Q50+110PR7Q49+121R8Q48−96P 2R8Q47 +54PR9Q46−82R10Q45−210P 2R10Q44 +20PR11Q43 +651R12Q42−207P 2R12Q41 + 128PR13Q40 − 871R14Q39 − 93P 2R14Q38 − 144PR15Q37 + 1731R16Q36 −3P 2R16Q35 + 34PR17Q34 − 2089R18Q33 − 117P 2R18Q32 + 94PR19Q31 + 2382R20Q30 −162P 2R20Q29 + 116PR21Q28 − 2052R22Q27 − 120P 2R22Q26 + 76PR23Q25 + 1741R24Q24 −207P 2R24Q23 + 48PR25Q22 − 828R26Q21 − 198P 2R26Q20 + 78PR27Q19 + 537R28Q18 −207P 2R28Q17 + 86PR29Q16 − 127R30Q15 − 39P 2R30Q14 − 66PR31Q13 + 88R32Q12 −15P 2R32Q11 + 190PR33Q10 + 4R34Q9− 228P 2R34Q8 + 92PR35Q7 + 33R36Q6− 87P 2R36Q5 +84PR37Q4 + 177R38Q3 − 111P 2R38Q2 − 174PR39Q+ 3R40)


78R16Q35+40R18Q32+25R20Q29+39R22Q26+10R24Q23+13R26Q20+10R28Q17+66R30Q14+74R32Q11 + 3R34Q8 + 50R36Q5 + 42R38Q2

)≡ (Q3 −R2)20 (mod 79)

p4(83t+ 69) ≡ 0 (mod 83)

12ϑ(69RQ40 +33R3Q37 +14R5Q34 +74R7Q31 +59R9Q28 +61R11Q25 +61R13Q22 +8R15Q19 +

24R17Q16 + 7R19Q13 + 3R21Q10 + 15R23Q7 + 6R25Q4 + 62R27Q)

= (Q3 −R2)14 − 83(5Q42 − 138PRQ40 + 140R2Q39 − 66PR3Q37 + 65R4Q36 − 28PR5Q34 +56R6Q33−148PR7Q31 + 161R8Q30−118PR9Q28 + 104R10Q27−122PR11Q25 + 167R12Q24−122PR13Q22 + 32R14Q21 − 16PR15Q19 + 73R16Q18 − 48PR17Q16 + 4R18Q15 − 14PR19Q13 +21R20Q12 − 6PR21Q10 + 22R22Q9 − 30PR23Q7 + 17R24Q6 − 12PR25Q4 + 122R26Q3 −124PR27Q+ 3R28)

p6(83t+ 62) ≡ 0 (mod 83)


66R7Q52 + 40PR8Q50 + 20R9Q49 + 33PR10Q47 + 12R11Q46 + 80PR12Q44 + 39R13Q43 +69PR14Q41 + 63R15Q40 + 41PR16Q38 + 6R17Q37 + 73PR18Q35 + 2R19Q34 + 2PR20Q32 +6R21Q31 + 22PR22Q29 + 76R23Q28 + 22PR24Q26 + 63R25Q25 + 15PR26Q23 + 29R27Q22 +30PR28Q20 + 20R29Q19 + 79PR30Q17 + 81R31Q16 + 4PR32Q14 + 19R33Q13 + 23PR34Q11 +64R35Q10 + 74PR36Q8 + 30R37Q7 + 56PR38Q5 + 7R39Q4 + 13PR40Q2 + 21R41Q

)= (Q3 −R2)21 − 83(2Q63 − 63P 2Q62 + 75R2Q60 − 198P 2R2Q59 + 156PR3Q58 + 78R4Q57 −

234P 2R4Q56 +10PR5Q55 +195R6Q54−9P 2R6Q53−168PR7Q52 +251R8Q51−120P 2R8Q50 +60PR9Q49 − 188R10Q48 − 99P 2R10Q47 + 108PR11Q46 + 718R12Q45 − 240P 2R12Q44 +122PR13Q43 − 1251R14Q42 − 207P 2R14Q41 − 6PR15Q40 + 2581R16Q39 − 123P 2R16Q38 +152PR17Q37 − 3527R18Q36 − 219P 2R18Q35 + 120PR19Q34 + 4262R20Q33 − 6P 2R20Q32 +20PR21Q31 − 4114R22Q30 − 66P 2R22Q29 − 160PR23Q28 + 3758R24Q27 − 66P 2R24Q26 −134PR25Q25 − 2319R26Q24 − 45P 2R26Q23 − 10PR27Q22 + 1474R28Q21 − 90P 2R28Q20 +140PR29Q19 − 453R30Q18 − 237P 2R30Q17 − 170PR31Q16 + 353R32Q15 − 12P 2R32Q14 +2PR33Q13 +102R34Q12−69P 2R34Q11 +12PR35Q10 +128R36Q9−222P 2R36Q8 +92PR37Q7 +28R38Q6 − 168P 2R38Q5 + 30PR39Q4 + 64R40Q3 − 39P 2R40Q2 − 62PR41Q+R42)


42R16Q38 +10R18Q35 +81R20Q32 +61R22Q29 +61R24Q26 +68R26Q23 +53R28Q20 +4R30Q17 +79R32Q14 + 60R34Q11 + 9R36Q8 + 27R38Q5 + 70R40Q2

)≡ (Q3 −R2)21 (mod 83)

p8(83t+ 55) ≡ 0 (mod 83)

42

12ϑ(42PQ83+62RQ82+7P 2RQ81+23PR2Q80+74R3Q79+9P 2R3Q78+10PR4Q77+21R5Q76+

34P 2R5Q75 + 29PR6Q74 + 34R7Q73 + 76P 2R7Q72 + 20PR8Q71 + 13R9Q70 + 50P 2R9Q69 +12PR10Q68+63R11Q67+25P 2R11Q66+71PR12Q65+55R13Q64+11P 2R13Q63+54PR14Q62+3R15Q61 + 3P 2R15Q60 + 68PR16Q59 + 80R17Q58 + 5P 2R17Q57 + 48PR18Q56 + 20R19Q55 +21P 2R19Q54+75PR20Q53+18R21Q52+14P 2R21Q51+28PR22Q50+13R23Q49+18P 2R23Q48+6PR24Q47 +36R25Q46 +60P 2R25Q45 +18PR26Q44 +76R27Q43 +81P 2R27Q42 +71PR28Q41 +22R29Q40 + 82P 2R29Q39 + 49PR30Q38 + 43R31Q37 + 31P 2R31Q36 + 72PR32Q35 + 63R33Q34 +8P 2R33Q33 +74PR34Q32 +81R35Q31 +72P 2R35Q30 +40PR36Q29 +10R37Q28 +48P 2R37Q27 +23PR38Q26 + 67R39Q25 +P 2R39Q24 + 39PR40Q23 + 62R41Q22 + 19P 2R41Q21 + 50PR42Q20 +48R43Q19 + 68P 2R43Q18 + 35PR44Q17 + 30R45Q16 + 61P 2R45Q15 + 11PR46Q14 + 70R47Q13 +68P 2R47Q12 + 29PR48Q11 + 50R49Q10 + 48P 2R49Q9 + 19PR50Q8 + 57R51Q7 + 37P 2R51Q6 +45PR52Q5 + 79R53Q4 + 78P 2R53Q3 + 50PR54Q2 + 62R55Q+ 28P 2R55

)= (Q3−R2)28− 83(5Q84− 168P 2Q83− 78PRQ82 + 261R2Q81− 28P 3RQ81− 63P 2R2Q80−

206PR3Q79 + 294R4Q78− 36P 3R3Q78 + 6P 2R4Q77− 34PR5Q76 + 55R6Q75− 136P 3R5Q75 +45P 2R6Q74−20PR7Q73+375R8Q72−304P 3R7Q72+216P 2R8Q71+26PR9Q70−1090R10Q69−200P 3R9Q69 + 138P 2R10Q68− 152PR11Q67 + 4795R12Q66− 100P 3R11Q66− 195P 2R12Q65 +56PR13Q64 − 14092R14Q63 − 44P 3R13Q63 − 180P 2R14Q62 + 228PR15Q61 + 37555R16Q60 −12P 3R15Q60 − 258P 2R16Q59 − 66PR17Q58 − 82964R18Q57 − 20P 3R17Q57 − 150P 2R18Q56 +158PR19Q55 +158191R20Q54−84P 3R19Q54−225P 2R20Q53 +164PR21Q52−258658R22Q51−56P 3R21Q51 − 48P 2R22Q50 + 26PR23Q49 + 366623R24Q48 − 72P 3R23Q48 + 126P 2R24Q47 −96PR25Q46−450882R26Q45−240P 3R25Q45 +216P 2R26Q44−122PR27Q43 +483537R28Q42−324P 3R27Q42 + 51P 2R28Q41 + 160PR29Q40− 450971R30Q39− 328P 3R29Q39 + 27P 2R30Q38 +84PR31Q37 + 366755R32Q36− 124P 3R31Q36− 216P 2R32Q35 + 50PR33Q34− 258416R34Q33−32P 3R33Q33−102P 2R34Q32−106PR35Q31 + 158258R36Q30−288P 3R35Q30 + 72P 2R36Q29 +80PR37Q28 − 83013R38Q27 − 192P 3R37Q27 − 27P 2R38Q26 − 128PR39Q25 + 37712R40Q24 −4P 3R39Q24 − 99P 2R40Q23 − 54PR41Q22 − 14050R42Q21 − 76P 3R41Q21 + 30P 2R42Q20 −32PR43Q19 + 4681R44Q18 − 272P 3R43Q18 + 117P 2R44Q17 − 54PR45Q16 − 923R46Q15 −244P 3R45Q15 + 231P 2R46Q14 − 172PR47Q13 + 468R48Q12 − 272P 3R47Q12 + 93P 2R48Q11 −116PR49Q10+195R50Q9−192P 3R49Q9+81P 2R50Q8−52PR51Q7+327R52Q6−148P 3R51Q6+129P 2R52Q5 − 110PR53Q4 + 262R54Q3 − 312P 3R53Q3 − 78P 2R54Q2 − 244PR55Q+ 3R56 −112P 3R55)


44R17Q57 +52R19Q54 +7R21Q51 +9R23Q48 +30R25Q45 +82R27Q42 +41R29Q39 +57R31Q36 +4R33Q33 +36R35Q30 +24R37Q27 +42R39Q24 +51R41Q21 +34R43Q18 +72R45Q15 +34R47Q12 +24R49Q9 + 60R51Q6 + 39R53Q3 + 14R55

)≡ (Q3 −R2)28 (mod 83)

p10(83t+ 48) ≡ 0 (mod 83)

12ϑ(77PQ104 + 72P 3Q103 + 70RQ103 + 45P 2RQ102 + 52PR2Q101 + 43R3Q100 + P 3R2Q100 +

60P 2R3Q99 + 57R5Q97 + 55P 3R4Q97 + 74P 2R5Q96 + 26PR6Q95 + 14R7Q94 + 41P 3R6Q94 +47P 2R7Q93 + 49PR8Q92 + 74R9Q91 + 17P 3R8Q91 + 26P 2R9Q90 + 26PR10Q89 + 3R11Q88 +55P 3R10Q88 + 69P 2R11Q87 + 76PR12Q86 + 13R13Q85 + 56P 3R12Q85 + 58P 2R13Q84 +7PR14Q83 +59R15Q82 +25P 3R14Q82 +53P 2R15Q81 +31PR16Q80 +6R17Q79 +82P 3R16Q79 +17P 2R17Q78+74PR18Q77+47R19Q76+10P 3R18Q76+71P 2R19Q75+39PR20Q74+24R21Q73+5P 3R20Q73+35P 2R21Q72+27PR22Q71+5R23Q70+59P 3R22Q70+65P 2R23Q69+18PR24Q68+79R25Q67+50P 3R24Q67+39P 2R25Q66+67PR26Q65+10R27Q64+33P 3R26Q64+13P 2R27Q63+7PR28Q62+57P 3R28Q61+17P 2R29Q60+4PR30Q59+55R31Q58+69P 3R30Q58+6P 2R31Q57+43PR32Q56 +47R33Q55 +23P 3R32Q55 +33P 2R33Q54 +39PR34Q53 +7R35Q52 +49P 3R34Q52 +

43

76P 2R35Q51 +3PR36Q50 +41R37Q49 +50P 3R36Q49 +17P 2R37Q48 +52PR38Q47 +82R39Q46 +39P 3R38Q46+58P 2R39Q45+2PR40Q44+3R41Q43+7P 3R40Q43+55P 2R41Q42+15PR42Q41+80R43Q40+32P 3R42Q40+45P 2R43Q39+12PR44Q38+76R45Q37+49P 3R44Q37+63P 2R45Q36+10PR46Q35 +39R47Q34 +35P 3R46Q34 +52P 2R47Q33 +7PR48Q32 +46R49Q31 +24P 3R48Q31 +38P 2R49Q30 +52PR50Q29 +30R51Q28 +14P 3R50Q28 +7P 2R51Q27 +82PR52Q26 +46R53Q25 +49P 3R52Q25 + 35P 2R53Q24 + 20PR54Q23 + 65R55Q22 + 79P 3R54Q22 + 77P 2R55Q21 +69PR56Q20+41R57Q19+45P 3R56Q19+59P 2R57Q18+34PR58Q17+46R59Q16+13P 3R58Q16+61P 2R59Q15 +PR60Q14 + 30R61Q13 + 11P 3R60Q13 + 55P 2R61Q12 + 23PR62Q11 + 5R63Q10 +68P 3R62Q10 + 33P 2R63Q9 + 45PR64Q8 + 6R65Q7 + P 3R64Q7 + 54P 2R65Q6 + 15PR66Q5 +13R67Q4 + 3P 3R66Q4 + 47P 2R67Q3 + 27PR68Q2 + 21R69Q+ 12P 3R68Q+ 48P 2R69

)= (Q3 − R2)35 − 83(6Q105 − 381P 2Q104 − 360P 4Q103 + 42PRQ103 + 357R2Q102 +

132P 3RQ102 − 27P 2R2Q101 + 38PR3Q100 − 5P 4R2Q100 + 235R4Q99 − 280P 3R3Q99 +315P 2R4Q98 − 274PR5Q97 − 275P 4R4Q97 + 195R6Q96 − 96P 3R5Q96 + 237P 2R6Q95 +78PR7Q94 − 205P 4R6Q94 + 743R8Q93 − 40P 3R7Q93 − 18P 2R8Q92 − 136PR9Q91 −85P 4R8Q91 − 3584R10Q90 − 16P 3R9Q90 + 39P 2R10Q89 + 164PR11Q88 − 275P 4R10Q88 +19582R12Q87 − 64P 3R11Q87 − 36P 2R12Q86 + 258PR13Q85 − 280P 4R12Q85 − 80901R14Q84 −36P 3R13Q84 + 258P 2R14Q83−232PR15Q82−125P 4R14Q82 + 283805R16Q81−72P 3R15Q81 +75P 2R16Q80 +186PR17Q79−410P 4R16Q79−850604R18Q78 +240P 3R17Q78−210P 2R18Q77 +96PR19Q76− 50P 4R18Q76 + 2212009R20Q75− 312P 3R19Q75 + 114P 2R20Q74 + 62PR21Q73−25P 4R20Q73−5026725R22Q72−64P 3R21Q72 + 96P 2R22Q71 + 100PR23Q70−295P 4R22Q70 +10053796R24Q69 − 40P 3R23Q69 + 198P 2R24Q68 − 212PR25Q67 − 250P 4R24Q67 −17786927R26Q66 + 28P 3R25Q66 − 186P 2R26Q65 + 174PR27Q64 − 165P 4R26Q64 +27951349R28Q63 + 152P 3R27Q63 + 42P 2R28Q62 + 30PR29Q61 − 285P 4R28Q61 −39131722R30Q60 + 232P 3R29Q60 + 45P 2R30Q59 − 166PR31Q58 − 345P 4R30Q58 +48915073R32Q57 + 216P 3R31Q57 − 120P 2R32Q56 − 24PR33Q55 − 115P 4R32Q55 −54669347R34Q54 + 16P 3R33Q54 + 84P 2R34Q53 + 74PR35Q52 − 245P 4R34Q52 +54669617R36Q51 − 128P 3R35Q51 + 219P 2R36Q50 − 56PR37Q49 − 250P 4R36Q49 −48914478R38Q48 + 140P 3R37Q48 − 57P 2R38Q47 − 288PR39Q46 − 195P 4R38Q46 +39132036R40Q45 − 184P 3R39Q45 + 279P 2R40Q44 + 36PR41Q43 − 35P 4R40Q43 −27951063R42Q42 − 164P 3R41Q42 + 177P 2R42Q41 − 334PR43Q40 − 160P 4R42Q40 +17787604R44Q39 − 8P 3R43Q39 + 231P 2R44Q38 − 326PR45Q37 − 245P 4R44Q37 −10053368R46Q36 − 112P 3R45Q36 + 237P 2R46Q35 − 154PR47Q34 − 175P 4R46Q34 +5027045R48Q33 − 120P 3R47Q33 + 183P 2R48Q32 − 32PR49Q31 − 120P 4R48Q31 −2211620R50Q30−104P 3R49Q30−180P 2R50Q29+230PR51Q28−70P 4R50Q28+850910R52Q27+168P 3R51Q27−267P 2R52Q26−50PR53Q25−245P 4R52Q25−283250R54Q24 +192P 3R53Q24 +249P 2R54Q23− 24PR55Q22− 395P 4R54Q22 + 81257R56Q21− 120P 3R55Q21− 24P 2R56Q20 +4PR57Q19 − 225P 4R56Q19 − 19322R58Q18 − 200P 3R57Q18 + 141P 2R58Q17 − 198PR59Q16 −65P 4R58Q16 + 4079R60Q15 − 248P 3R59Q15 + 282P 2R60Q14 − 46PR61Q13 − 55P 4R60Q13 −589R62Q12 + 36P 3R61Q12 + 69P 2R62Q11 + 196PR63Q10 − 340P 4R62Q10 + 110R64Q9 −128P 3R63Q9 + 42P 2R64Q8 + 60PR65Q7 − 5P 4R64Q7 + 58R66Q6 − 256P 3R65Q6 +168P 2R66Q5 + 72PR67Q4 − 15P 4R66Q4 + 108R68Q3 − 176P 3R67Q3 + 111P 2R68Q2 −102PR69Q− 60P 4R68Q+R70 − 240P 3R69)


14R16Q79 +26R18Q76 +13R20Q73 +4R22Q70 +47R24Q67 +36R26Q64 +32R28Q61 +30R30Q58 +10R32Q55 +61R34Q52 +47R36Q49 +35R38Q46 +68R40Q43 +50R42Q40 +61R44Q37 +8R46Q34 +79R48Q31+53R50Q28+61R52Q25+56R54Q22+34R56Q19+67R58Q16+12R60Q13+44R62Q10+69R64Q7 + 41R66Q4 + 81R68Q

)≡ (Q3 −R2)35 (mod 83)

44

p14(83t+ 34) ≡ 0 (mod 83)


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)

45

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46

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126ϑ6(Q144 + 66R2Q141 + 82R4Q138 + 18R6Q135 + 12R8Q132 + 36R10Q129 + 67R12Q126 +

29R14Q123 + 70R16Q120 + 59R18Q117 + 22R20Q114 + 60R22Q111 + 79R24Q108 + 42R26Q105 +49R28Q102+18R30Q99+59R32Q96+58R34Q93+7R36Q90+58R38Q87+69R40Q84+57R42Q81+60R44Q78+12R46Q75+33R48Q72+45R50Q69+32R52Q66+73R54Q63+22R56Q60+81R58Q57+49R60Q54 +64R62Q51 +7R64Q48 +9R66Q45 +72R68Q42 +14R70Q39 +50R72Q36 +51R74Q33 +R76Q30 + 72R78Q27 + 33R80Q24 + 77R82Q21 + 77R84Q18 + 10R86Q15 + 57R88Q12 + 3R90Q9 +28R92Q6 + 28R94Q3 + 29R96

)≡ (Q3 −R2)49 (mod 83)

p26(83t+ 75) ≡ 0 (mod 83) via Q71(Q3 −R2)7


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47

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)= Q83(Q3−R2)8−83(4Q107−28P 2Q106−292P 4Q105−234PRQ105−292P 6Q104+276R2Q104−

100P 3RQ104 − 219P 8Q103 + 215P 2R2Q103 − 54P 5RQ103 − 280P 10Q102 + 140PR3Q102 +307P 4R2Q102 − 16P 7RQ102 − 280P 12Q101 + 76R4Q101 − 240P 3R3Q101 − 25P 6R2Q101 +166P 9RQ101 + 213P 2R4Q100 + 110P 5R3Q100 + 109P 8R2Q100 + 4P 11RQ100 − 182PR5Q99 −90P 4R4Q99 − 228P 7R3Q99 + 105P 10R2Q99 + 308R6Q98 − 80P 3R5Q98 + 8P 6R4Q98 −140P 9R3Q98 − 245P 12R2Q98 + 233P 2R6Q97 − 30P 5R5Q97 − 40P 8R4Q97 − 80P 11R3Q97 −118PR7Q96 − 49P 4R6Q96 + 232P 7R5Q96 + 274P 10R4Q96 + 299R8Q95 + 40P 3R7Q95 −268P 6R6Q95 − 158P 9R5Q95 − 335P 12R4Q95 + 212P 2R8Q94 + 98P 5R7Q94 − 34P 8R6Q94 +

48

296P 11R5Q94 − 264PR9Q93 − 61P 4R8Q93 + 188P 7R7Q93 − 95P 10R6Q93 + 380R10Q92 +276P 3R9Q92− 230P 6R8Q92− 182P 9R7Q92− 165P 12R6Q92− 354P 2R10Q91 + 288P 5R9Q91 +151P 8R8Q91 + 64P 11R7Q91 + 296PR11Q90 − 150P 4R10Q90 + 192P 7R9Q90 − 192P 10R8Q90 +159R12Q89 + 176P 3R11Q89 − 308P 6R10Q89 − 48P 9R9Q89 − 25P 12R8Q89 − 285P 2R12Q88 +108P 5R11Q88 + 9P 8R10Q88 − 48P 11R9Q88 + 10PR13Q87 + 138P 4R12Q87 + 184P 7R11Q87 −268P 10R10Q87 + 357R14Q86 − 176P 3R13Q86 + 145P 6R12Q86 + 52P 9R11Q86 − 5P 12R10Q86 −32P 2R14Q85 − 224P 5R13Q85 + 7P 8R12Q85 − 304P 11R11Q85 + 34PR15Q84 + 112P 4R14Q84 −100P 7R13Q84 − 35P 10R12Q84 + 295R16Q83 − 204P 3R15Q83 + 30P 6R14Q83 + 188P 9R13Q83 −15P 12R12Q83 + 314P 2R16Q82 − 6P 5R15Q82 + 94P 8R14Q82 − 296P 11R13Q82 − 244PR17Q81 +261P 4R16Q81 +144P 7R15Q81 +324P 10R14Q81 +341R18Q80−376P 3R17Q80−257P 6R16Q80−168P 9R15Q80−385P 12R14Q80+371P 2R18Q79+110P 5R17Q79−44P 8R16Q79+32P 11R15Q79−302PR19Q78 + 101P 4R18Q78 − 68P 7R17Q78 − 56P 10R16Q78 + 315R20Q77 − 248P 3R19Q77 +311P 6R18Q77+146P 9R17Q77−350P 12R16Q77+179P 2R20Q76+68P 5R19Q76+143P 8R18Q76+72P 11R17Q76 − 32PR21Q75 − 197P 4R20Q75 − 152P 7R19Q75 + 109P 10R18Q75 + 223R22Q74 +260P 3R21Q74− 83P 6R20Q74− 162P 9R19Q74− 280P 12R18Q74 + 35P 2R22Q73− 96P 5R21Q73 +91P 8R20Q73 − 256PR23Q72 + 3P 4R22Q72 + 84P 7R21Q72 − 39P 10R20Q72 + 386R24Q71 +168P 3R23Q71 + 193P 6R22Q71− 58P 9R21Q71− 280P 12R20Q71− 69P 2R24Q70 + 52P 5R23Q70−102P 8R22Q70−84P 11R21Q70−182PR25Q69−67P 4R24Q69 +128P 7R23Q69 +141P 10R22Q69 +319R26Q68− 104P 3R25Q68 + 223P 6R24Q68 + 128P 9R23Q68− 205P 12R22Q68 + 39P 2R26Q67−10P 5R25Q67− 293P 8R24Q67 + 208P 11R23Q67 + 38PR27Q66 + 88P 4R26Q66− 128P 7R25Q66−328P 10R24Q66 + 272R28Q65− 96P 3R27Q65 + 49P 6R26Q65 + 226P 9R25Q65− 270P 12R24Q65 +93P 2R28Q64−230P 5R27Q64 + 65P 8R26Q64 + 208P 11R25Q64−292PR29Q63 + 296P 4R28Q63 +148P 7R27Q63− 288P 10R26Q63 + 376R30Q62− 240P 3R29Q62 + 14P 6R28Q62 + 138P 9R27Q62−130P 12R26Q62 + 184P 2R30Q61− 192P 5R29Q61− 5P 8R28Q61− 48P 11R27Q61− 172PR31Q60 +78P 4R30Q60 + 188P 7R29Q60 − 72P 10R28Q60 + 340R32Q59 + 72P 3R31Q59 − 5P 6R30Q59 −218P 9R29Q59−160P 12R28Q59−64P 2R32Q58+116P 5R31Q58−23P 8R30Q58+192P 11R29Q58−152PR33Q57 − 84P 4R32Q57 + 160P 7R31Q57 + 34P 10R30Q57 + 388R34Q56 − 8P 3R33Q56 −171P 6R32Q56 +36P 9R31Q56−360P 12R30Q56−20P 2R34Q55 +218P 5R33Q55−127P 8R32Q55 +96P 11R31Q55− 276PR35Q54− 216P 4R34Q54− 248P 7R33Q54 + 272P 10R32Q54 + 345R36Q53 +200P 3R35Q53 +156P 6R34Q53 +84P 9R33Q53−340P 12R32Q53 +137P 2R36Q52 +32P 5R35Q52−9P 8R34Q52 − 24P 11R33Q52 − 224PR37Q51 − 39P 4R36Q51 + 16P 7R35Q51 + 155P 10R34Q51 +214R38Q50 + 20P 3R37Q50 + 302P 6R36Q50 + 16P 9R35Q50 − 230P 12R34Q50 + 122P 2R38Q49 −206P 5R37Q49− 259P 8R36Q49− 112P 11R35Q49− 44PR39Q48 + 31P 4R38Q48 + 44P 7R37Q48 +134P 10R36Q48 + 116R40Q47 + 12P 3R39Q47 + 37P 6R38Q47 + 70P 9R37Q47 − 140P 12R36Q47 +194P 2R40Q46 +216P 5R39Q46−215P 8R38Q46−184P 11R37Q46 +72PR41Q45−139P 4R40Q45 +44P 7R39Q45 + 221P 10R38Q45 + 282R42Q44 + 8P 3R41Q44 + 35P 6R40Q44 + 16P 9R39Q44 −170P 12R38Q44− 62P 2R42Q43 + 48P 5R41Q43− 68P 8R40Q43− 272P 11R39Q43− 294PR43Q42−181P 4R42Q42 +160P 7R41Q42−151P 10R40Q42 +210R44Q41 +256P 3R43Q41−253P 6R42Q41−100P 9R41Q41−55P 12R40Q41 +90P 2R44Q40 +206P 5R43Q40 +131P 8R42Q40 +12P 11R41Q40 +10PR45Q39 − 128P 4R44Q39 + 4P 7R43Q39 + 71P 10R42Q39 + 258R46Q38 + 116P 3R45Q38 +116P 6R44Q38 − 182P 9R43Q38 − 50P 12R42Q38 + 7P 2R46Q37 − 92P 5R45Q37 + 107P 8R44Q37 −88P 11R43Q37 − 252PR47Q36 + 15P 4R46Q36 − 40P 7R45Q36 + 78P 10R44Q36 + 166R48Q35 +60P 3R47Q35 + 28P 6R46Q35 − 218P 9R45Q35 − 85P 12R44Q35 + 85P 2R48Q34 − 22P 5R47Q34 +254P 8R46Q34 − 12P 11R45Q34 + 176PR49Q33 + 196P 4R48Q33 + 56P 7R47Q33 − 8P 10R46Q33 +82R50Q32 + 72P 3R49Q32 + 107P 6R48Q32 − 64P 9R47Q32 − 180P 12R46Q32 − 145P 2R50Q31 −114P 5R49Q31 + 25P 8R48Q31 − 64P 11R47Q31 + 312PR51Q30 − P 4R50Q30 − 284P 7R49Q30 −156P 10R48Q30 + 208R52Q29 − 56P 3R51Q29 + 94P 6R50Q29 − 62P 9R49Q29 − 95P 12R48Q29 −108P 2R52Q28 + 56P 5R51Q28 + 211P 8R50Q28 + 80P 11R49Q28 + 74PR53Q27 + 109P 4R52Q27 +80P 7R51Q27 − 4P 10R50Q27 + 246R54Q26 − 76P 3R53Q26 − 74P 6R52Q26 + 234P 9R51Q26 −

49

275P 12R50Q26 +112P 2R54Q25 +198P 5R53Q25−171P 8R52Q25−68PR55Q24−301P 4R54Q24−104P 7R53Q24 − 303P 10R52Q24 + 173R56Q23 + 4P 3R55Q23 − 100P 6R54Q23 − 106P 9R53Q23 −335P 12R52Q23 + 231P 2R56Q22 + 166P 5R55Q22 + 96P 8R54Q22 + 52P 11R53Q22 + 26PR57Q21−137P 4R56Q21 + 8P 7R55Q21 + 29P 10R54Q21 + 307R58Q20 + 76P 3R57Q20 + 149P 6R56Q20 −166P 9R55Q20−10P 12R54Q20+28P 2R58Q19−142P 5R57Q19+272P 8R56Q19+192P 11R55Q19−188PR59Q18 − 314P 4R58Q18 + 4P 7R57Q18 + 48P 10R56Q18 + 286R60Q17 − 52P 3R59Q17 +27P 6R58Q17− 376P 9R57Q17− 340P 12R56Q17 + 31P 2R60Q16 + 50P 5R59Q16− 186P 8R58Q16 +196P 11R57Q16 − 22PR61Q15 + 78P 4R60Q15 + 72P 7R59Q15 + 93P 10R58Q15 + 316R62Q14 −28P 3R61Q14 + 294P 6R60Q14 + 32P 9R59Q14− 245P 12R58Q14 + 71P 2R62Q13 + 194P 5R61Q13−P 8R60Q13 + 168P 11R59Q13 − 220PR63Q12 + 140P 4R62Q12 − 340P 7R61Q12 + 98P 10R60Q12 +167R64Q11 − 88P 3R63Q11 − 285P 6R62Q11 − 94P 9R61Q11 − 300P 12R60Q11 + 342P 2R64Q10 +134P 5R63Q10 + 278P 8R62Q10− 304P 11R61Q10− 126PR65Q9− 181P 4R64Q9 + 300P 7R63Q9−28P 10R62Q9 + 172R66Q8 − 276P 3R65Q8 − 279P 6R64Q8 − 302P 9R63Q8 + 176P 2R66Q7 +102P 5R65Q7 − 345P 8R64Q7 + 186PR67Q6 + 9P 4R66Q6 − 112P 7R65Q6 + 180R68Q5 +80P 3R67Q5 − 119P 6R66Q5 − 40P 2R68Q4 − 116P 5R67Q4 − 68PR69Q3 − 240P 4R68Q3 +426R70Q2 − 320P 3R69Q2 − 86P 2R70Q− 420PR71)


47R16Q77 +21R18Q74 +21R20Q71 +5R22Q68 +41R24Q65 +72R26Q62 +12R28Q59 +27R30Q56 +67R32Q53+38R34Q50+52R36Q47+75R38Q44+56R40Q41+66R42Q38+79R44Q35+55R46Q32+59R48Q29+31R50Q26+77R52Q23+63R54Q20+67R56Q17+8R58Q14+64R60Q11

)≡ (Q3−R2)8

(mod 83)

p14(89t+ 81) ≡ 0 (mod 89)


14P 3R2Q19 +86P 2R3Q18 +74P 5R2Q18 +67PR4Q17 +65P 4R3Q17 +78R5Q16 +52P 3R4Q16 +5P 2R5Q15 + 44P 5R4Q15 + 62PR6Q14 + 9P 4R5Q14 + 59R7Q13 + 38P 3R6Q13 + 13P 2R7Q12 +53P 5R6Q12 + 13PR8Q11 + 28P 4R7Q11 + 29R9Q10 + 63P 3R8Q10 + 37P 2R9Q9 + 44P 5R8Q9 +5PR10Q8 + 15P 4R9Q8 + 25R11Q7 + 79P 3R10Q7 + 48P 2R11Q6 + 5P 5R10Q6 + 81PR12Q5 +77P 4R11Q5 +25R13Q4 +56P 3R12Q4 +42P 2R13Q3 +13P 5R12Q3 +31PR14Q2 +71P 4R13Q2 +22R15Q+ 15P 3R14Q+ 20P 2R15 + 17P 5R14

)= (Q3−R2)8−89(4Q24−6P 2Q23−56P 4Q22−44PRQ22−55P 6Q21+61R2Q21−16P 3RQ21+

87P 2R2Q20− 18P 5RQ20 + 2PR3Q19 + 74P 4R2Q19 + 47R4Q18− 60P 3R3Q18− 74P 6R2Q18 +3P 2R4Q17 + 6P 5R3Q17 − 6PR5Q16 + 2P 4R4Q16 + 84R6Q15 + 48P 3R5Q15 − 44P 6R4Q15 −54P 2R6Q14 +42P 5R5Q14−16PR7Q13−17P 4R6Q13 +53R8Q12 +44P 3R7Q12−53P 6R6Q12 +18P 2R8Q11 + 24P 5R7Q11− 20PR9Q10− 39P 4R8Q10 + 31R10Q9 + 44P 3R9Q9− 44P 6R8Q9 +48P 2R10Q8 + 6P 5R9Q8 + 42PR11Q7 − 18P 4R10Q7 + 31R12Q6 + 24P 3R11Q6 − 5P 6R10Q6 −33P 2R12Q5−66P 5R11Q5 +22PR13Q4 +23P 4R12Q4 +27R14Q3−16P 3R13Q3−13P 6R12Q3−6P 2R14Q2 − 54P 5R13Q2 − 20PR15Q− 8P 4R14Q+R16 − 20P 3R15 − 17P 6R14)

126ϑ6(70Q21 + 78R2Q18 + 56R4Q15 + 27R6Q12 + 56R8Q9 + 63R10Q6 + 57R12Q3 +

54R14)≡ (Q3 −R2)8 (mod 89)

p4(89t+ 74) ≡ 0 (mod 89)

12ϑ(74RQ43 +70R3Q40 +83R5Q37 +68R7Q34 +82R9Q31 +60R11Q28 +6R13Q25 +50R15Q22 +

36R17Q19 + 16R19Q16 + 86R21Q13 + 71R23Q10 + 70R25Q7 + 77R27Q4 + 67R29Q)

= (Q3−R2)15−89(5Q45−148PRQ43 +157R2Q42−140PR3Q40 +155R4Q39−166PR5Q37 +

50

165R6Q36−136PR7Q34 +169R8Q33−164PR9Q31 +125R10Q30−120PR11Q28 +137R12Q27−12PR13Q25− 15R14Q24− 100PR15Q22 + 163R16Q21− 72PR17Q19− 5R18Q18− 32PR19Q16 +167R20Q15−172PR21Q13+145R22Q12−142PR23Q10+155R24Q9−140PR25Q7+161R26Q6−154PR27Q4 + 145R28Q3 − 134PR29Q+ 3R30)

p8(89t+ 59) ≡ 0 (mod 89)


25R5Q82 + 39P 2R5Q81 + 78PR6Q80 + 14R7Q79 + 57P 2R7Q78 + 53PR8Q77 + 26R9Q76 +26P 2R9Q75+78PR10Q74+29R11Q73+61P 2R11Q72+74PR12Q71+13R13Q70+45P 2R13Q69+33PR14Q68 +79R15Q67 +73P 2R15Q66 +29PR16Q65 +4R17Q64 +67P 2R17Q63 +79PR18Q62 +68R19Q61 + 22P 2R19Q60 + 60PR20Q59 + 42R21Q58 + 73P 2R21Q57 + 77PR22Q56 + 70R23Q55 +7P 2R23Q54 +PR24Q53 + 16R25Q52 + 19P 2R25Q51 + 18PR26Q50 + 74R27Q49 + 52P 2R27Q48 +53PR28Q47 +49R29Q46 +13P 2R29Q45 +38PR30Q44 +64R31Q43 +46P 2R31Q42 +8PR32Q41 +56R33Q40 + 59P 2R33Q39 + 52PR34Q38 + 14R35Q37 + 70P 2R35Q36 + 42PR36Q35 + 43R37Q34 +51P 2R37Q33+85PR38Q32+83R39Q31+45P 2R39Q30+87PR40Q29+85R41Q28+75P 2R41Q27+PR42Q26 + 74R43Q25 + 15PR44Q23 + 44R45Q22 + 5P 2R45Q21 + 63PR46Q20 + 59R47Q19 +83P 2R47Q18 +12PR48Q17 +16R49Q16 +56P 2R49Q15 +16PR50Q14 +8R51Q13 +74P 2R51Q12 +80PR52Q11 + 48R53Q10 + 82P 2R53Q9 + 12PR54Q8 + 14R55Q7 + 72P 2R55Q6 + 25PR56Q5 +10R57Q4 + 39P 2R57Q3 + 3PR58Q2 + 22R59Q+ 10P 2R59

)= (Q3 − R2)30 − 89(4Q90 − 195P 2Q89 + 212R2Q87 − 92P 3RQ87 − 150P 2R2Q86 +

64PR3Q85 +201R4Q84−332P 3R3Q84 +150P 2R4Q83 +96PR5Q82 +54R6Q81−156P 3R5Q81−144P 2R6Q80 + 254PR7Q79 + 374R8Q78 − 228P 3R7Q78 + 3P 2R8Q77 + 132PR9Q76 −1490R10Q75 − 104P 3R9Q75 − 180P 2R10Q74 + 204PR11Q73 + 6779R12Q72 − 244P 3R11Q72 −60P 2R12Q71 + 216PR13Q70 − 22753R14Q69 − 180P 3R13Q69 + 81P 2R14Q68 − 184PR15Q67 +66006R16Q66−292P 3R15Q66+177P 2R16Q65+166PR17Q64−160655R18Q63−268P 3R17Q63−99P 2R18Q62 + 28PR19Q61 + 337831R20Q60 − 88P 3R19Q60 − 78P 2R20Q59 + 106PR21Q58 −613571R22Q57−292P 3R21Q57−111P 2R22Q56−86PR23Q55 +972034R24Q54−28P 3R23Q54 +45P 2R24Q53 − 30PR25Q52 − 1345444R26Q51 − 76P 3R25Q51 + 66P 2R26Q50 − 156PR27Q49 +1634222R28Q48−208P 3R27Q48−75P 2R28Q47−8PR29Q46−1742658R30Q45−52P 3R29Q45−30P 2R30Q44−164PR31Q43 +1634211R32Q42−184P 3R31Q42 +186P 2R32Q41−90PR33Q40−1345482R34Q39−236P 3R33Q39+60P 2R34Q38+136PR35Q37+971965R36Q36−280P 3R35Q36+72P 2R36Q35 + 112PR37Q34− 613505R38Q33− 204P 3R37Q33− 147P 2R38Q32 + 24PR39Q31 +337936R40Q30−180P 3R39Q30−81P 2R40Q29−224PR41Q28−160433R42Q27−300P 3R41Q27+87P 2R42Q26 − 252PR43Q25 + 65980R44Q24 − 45P 2R44Q23 + 34PR45Q22 − 22643R46Q21 −20P 3R45Q21 + 15P 2R46Q20 − 140PR47Q19 + 6775R48Q18 − 332P 3R47Q18 + 204P 2R48Q17 −1562R50Q15 − 224P 3R49Q15 + 228P 2R50Q14 + 260PR51Q13 + 485R52Q12 − 296P 3R51Q12 +12P 2R52Q11−108PR53Q10+28R54Q9−328P 3R53Q9+252P 2R54Q8+44PR55Q7+48R56Q6−288P 3R55Q6 +69P 2R56Q5−22PR57Q4 +89R58Q3−156P 3R57Q3 +33P 2R58Q2−88PR59Q+R60 − 40P 3R59)


78R17Q63+11R19Q60+81R21Q57+48R23Q54+54R25Q51+26R27Q48+51R29Q45+23R31Q42+74R33Q39+35R35Q36+70R37Q33+67R39Q30+82R41Q27+47R45Q21+86R47Q18+28R49Q15+37R51Q12 + 41R53Q9 + 36R55Q6 + 64R57Q3 + 5R59

)≡ (Q3 −R2)30 (mod 89)

p14(101t+ 92) ≡ 0 (mod 101)

51

12ϑ(15PQ26 +59P 3Q25 +31RQ25 +39P 5Q24 +31P 2RQ24 +4PR2Q23 +4P 4RQ23 +2R3Q22 +

45P 3R2Q22 + 2P 2R3Q21 + 25P 5R2Q21 + 27PR4Q20 + 73P 4R3Q20 + 56R5Q19 + 84P 3R4Q19 +30P 2R5Q18 + 46P 5R4Q18 + 92PR6Q17 + 12P 4R5Q17 + 62R7Q16 + 9P 3R6Q16 + 12P 2R7Q15 +43P 5R6Q15 +65PR8Q14 +36P 4R7Q14 +67R9Q13 +11P 3R8Q13 +90P 2R9Q12 +48P 5R8Q12 +85PR10Q11+11P 4R9Q11+32R11Q10+38P 3R10Q10+91P 2R11Q9+51P 5R10Q9+74PR12Q8+68P 4R11Q8 +23R13Q7 +28P 3R12Q7 +41P 2R13Q6 +54P 5R12Q6 +72PR14Q5 +60P 4R13Q5 +71R15Q4 + 53P 3R14Q4 + 41P 2R15Q3 + 43P 5R14Q3 + 92PR16Q2 + 18P 4R15Q2 + 76R17Q +18P 3R16Q+ 24P 2R17 + 39P 5R16

)= (Q3 − R2)9 − 101(2Q27 − 12P 2Q26 − 58P 4Q25 − 16PRQ25 − 39P 6Q24 + 31R2Q24 +

32P 3RQ24 + 27P 2R2Q23 + 36P 5RQ23 + 8PR3Q22 − 28P 4R2Q22 + 19R4Q21 + 60P 3R3Q21 −25P 6R2Q21− 15P 2R4Q20− 42P 5R3Q20− 4PR5Q19− 22P 4R4Q19 + 68R6Q18 + 36P 3R5Q18−46P 6R4Q18−69P 2R6Q17 +36P 5R5Q17 +28PR7Q16 +16P 4R6Q16 +77R8Q15−43P 6R6Q15−12P 2R8Q14 +12P 5R7Q14 +18PR9Q13 +17P 4R8Q13 +55R10Q12−64P 3R9Q12−48P 6R8Q12 +15P 2R10Q11+42P 5R9Q11+58PR11Q10+13P 4R10Q10+32R12Q9−56P 3R11Q9−51P 6R10Q9−12P 2R12Q8−12P 5R11Q8 +60PR13Q7 +42P 4R12Q7 +70R14Q6 +12P 3R13Q6−54P 6R12Q6−27P 2R14Q5−12P 5R13Q5 +28PR15Q4−24P 4R14Q4 +89R16Q3−16P 3R15Q3−43P 6R14Q3−66P 2R16Q2 + 24P 5R15Q2 − 72PR17Q− 15P 4R16Q+ 3R18 − 24P 3R17 − 39P 6R16)


83R16)≡ (Q3 −R2)9 (mod 101)

p4(101t+ 84) ≡ 0 (mod 101)

12ϑ(84RQ49+57R3Q46+97R5Q43+47R7Q40+86R9Q37+57R11Q34+32R13Q31+71R15Q28+

58R17Q25+72R19Q22+15R21Q19+58R23Q16+35R25Q13+87R27Q10+62R29Q7+100R31Q4+76R33Q

)= (Q3−R2)17−101(5Q51−168PRQ49+173R2Q48−114PR3Q46+134R4Q45−194PR5Q43+

178R6Q42−94PR7Q40 + 144R8Q39−172PR9Q37 + 102R10Q36−114PR11Q34 + 224R12Q33−64PR13Q31−90R14Q30−142PR15Q28+378R16Q27−116PR17Q25−102R18Q24−144PR19Q22+274R20Q21−30PR21Q19−32R22Q18−116PR23Q16 +150R24Q15−70PR25Q13 +134R26Q12−174PR27Q10 +148R28Q9−124PR29Q7 +200R30Q6−200PR31Q4 +165R32Q3−152PR33Q+3R34)

p8(101t+ 67) ≡ 0 (mod 101)


22R5Q94 + 95P 2R5Q93 + 97PR6Q92 + 37R7Q91 + 29P 2R7Q90 + 31PR8Q89 + 34R9Q88 +56P 2R9Q87+51PR10Q86+75R11Q85+59P 2R11Q84+71PR12Q83+31R13Q82+64P 2R13Q81+24PR14Q80+77R15Q79+19P 2R15Q78+18PR16Q77+52R17Q76+49P 2R17Q75+89PR18Q74+93R19Q73 + 57P 2R19Q72 + 10PR20Q71 + 55R21Q70 + 75P 2R21Q69 + 70PR22Q68 + 38R23Q67 +73P 2R23Q66+23PR24Q65+66R25Q64+73P 2R25Q63+82PR26Q62+81R27Q61+69P 2R27Q60+33PR28Q59+29R29Q58+60P 2R29Q57+63PR30Q56+77R31Q55+62P 2R31Q54+75PR32Q53+95R33Q52 + 72P 2R33Q51 + 52PR34Q50 + 100R35Q49 + 39P 2R35Q48 + 45PR36Q47 +R37Q46 +47P 2R37Q45+44PR38Q44+94R39Q43+40P 2R39Q42+17PR40Q41+82R41Q40+29P 2R41Q39+11PR42Q38+92R43Q37+15P 2R43Q36+70PR44Q35+87R45Q34+97P 2R45Q33+42PR46Q32+60R47Q31 + 45P 2R47Q30 + 13PR48Q29 + 36R49Q28 + 15P 2R49Q27 + 51PR50Q26 + 99R51Q25 +83P 2R51Q24 +9PR52Q23 +37R53Q22 +35P 2R53Q21 +81PR54Q20 +28R55Q19 +40P 2R55Q18 +60PR56Q17+97R57Q16+52P 2R57Q15+46PR58Q14+18R59Q13+13P 2R59Q12+17PR60Q11+84R61Q10 + 8P 2R61Q9 + 6PR62Q8 + 78R63Q7 + 73P 2R63Q6 + 100PR64Q5 + 95R65Q4 +17P 2R65Q3 + 79PR66Q2 + 25R67Q+ 12P 2R67

)52

= (Q3 − R2)34 − 101(6Q102 − 135P 2Q101 − 230PRQ100 + 391R2Q99 − 360P 3RQ99 +27P 2R2Q98 + 24PR3Q97 + 320R4Q96 − 336P 3R3Q96 + 111P 2R4Q95 + 170PR5Q94 +39R6Q93 − 380P 3R5Q93 − 27P 2R6Q92 + 220PR7Q91 + 611R8Q90 − 116P 3R7Q90 +9P 2R8Q89 + 4PR9Q88 − 2587R10Q87 − 224P 3R9Q87 + 27P 2R10Q86 − 76PR11Q85 +13593R12Q84− 236P 3R11Q84− 39P 2R12Q83 + 130PR13Q82− 53094R14Q81− 256P 3R13Q81 +126P 2R14Q80 − 216PR15Q79 + 180058R16Q78 − 76P 3R15Q78 + 36P 2R16Q77 − 58PR17Q76 −519057R18Q75 − 196P 3R17Q75 − 147P 2R18Q74 − 100PR19Q73 + 1298636R20Q72 −228P 3R19Q72+216P 2R20Q71−100PR21Q70−2832446R22Q69−300P 3R21Q69+24P 2R22Q68+70PR23Q67+5429447R24Q66−292P 3R23Q66+207P 2R24Q65−78PR25Q64−9187660R26Q63−292P 3R25Q63−36P 2R26Q62−68PR27Q61+13782183R28Q60−276P 3R27Q60+135P 2R28Q59+74PR29Q58−18375707R30Q57−240P 3R29Q57−3P 2R30Q56−26PR31Q55+21821755R32Q54−248P 3R31Q54 − 27P 2R32Q53 − 118PR33Q52 − 23104608R34Q51 − 288P 3R33Q51 +18P 2R34Q50−202PR35Q49 +21821597R36Q48−156P 3R35Q48−3P 2R36Q47 +180PR37Q46−18375696R38Q45 − 188P 3R37Q45 − 260PR39Q43 + 13782297R40Q42 − 160P 3R39Q42 +69P 2R40Q41−274PR41Q40−9187593R42Q39−116P 3R41Q39 +39P 2R42Q38−170PR43Q37 +5429616R44Q36−60P 3R43Q36−136PR45Q34−2832366R46Q33−388P 3R45Q33+84P 2R46Q32−150PR47Q31 +1298477R48Q30−180P 3R47Q30 +45P 2R48Q29 +22PR49Q28−518979R50Q27−60P 3R49Q27 + 63P 2R50Q26− 316PR51Q25 + 179979R52Q24− 332P 3R51Q24 + 153P 2R52Q23 +120PR53Q22− 53139R54Q21− 140P 3R53Q21− 165P 2R54Q20 + 152PR55Q19 + 13666R56Q18−160P 3R55Q18− 36P 2R56Q17− 190PR57Q16− 2630R58Q15− 208P 3R57Q15− 108P 2R58Q14 +14PR59Q13 + 773R60Q12 − 52P 3R59Q12 − 33P 2R60Q11 − 308PR61Q10 + 266R62Q9 −32P 3R61Q9 + 252P 2R62Q8 + 70PR63Q7 + 395R64Q6 − 292P 3R63Q6 − 318P 2R64Q5 −52PR65Q4 + 115R66Q3 − 68P 3R65Q3 − 267P 2R66Q2 − 94PR67Q+R68 − 48P 3R67)


75R17Q75+79R19Q72+88R21Q69+87R23Q66+87R25Q63+85R27Q60+30R29Q57+31R31Q54+36R33Q51+70R35Q48+74R37Q45+20R39Q42+65R41Q39+58R43Q36+99R45Q33+73R47Q30+58R49Q27 + 92R51Q24 + 68R53Q21 + 20R55Q18 + 26R57Q15 + 57R59Q12 + 4R61Q9 + 87R63Q6 +59R65Q3 + 6R67

)≡ (Q3 −R2)34 (mod 101)

p10(103t+ 94) ≡ 0 (mod 103)


4P 2R3Q21 + 74PR4Q20 + 61R5Q19 + 14P 3R4Q19 + 61P 2R5Q18 + 69PR6Q17 + 69R7Q16 +78P 3R6Q16 +55P 2R7Q15 +18PR8Q14 +30R9Q13 +101P 3R8Q13 +77P 2R9Q12 +92PR10Q11 +83R11Q10 + 94P 3R10Q10 + 58P 2R11Q9 + 10PR12Q8 + 83R13Q7 + 43P 3R12Q7 + 92P 2R13Q6 +8PR14Q5+34R15Q4+26P 3R14Q4+32P 2R15Q3+91PR16Q2+26R17Q+99P 3R16Q+87P 2R17

)= (Q3 − R2)9 − 103(3Q27 − 96P 2Q26 − 30P 4Q25 + 70PRQ25 + 51R2Q24 − 20P 3RQ24 −

3P 2R2Q23− 34PR3Q22− 29P 4R2Q22 + 100R4Q21 + 24P 3R3Q21− 54P 2R4Q20 + 20PR5Q19−14P 4R4Q19 + 73R6Q18 − 24P 3R5Q18 − 3P 2R6Q17 − 16PR7Q16 − 78P 4R6Q16 + 60R8Q15 +40P 3R7Q15+57P 2R8Q14+34PR9Q13−101P 4R8Q13+68R10Q12+28P 3R9Q12−18P 2R10Q11−38PR11Q10−94P 4R10Q10 +96R12Q9 +8P 3R11Q9 +81P 2R12Q8−74PR13Q7−43P 4R12Q7 +52R14Q6 − 60P 3R13Q6 + 42P 2R14Q5 + 52PR15Q4 − 26P 4R14Q4 + 32R16Q3 + 64P 3R15Q3 −18PR17Q− 99P 4R16Q+R18 − 84P 3R17)


35R16Q ≡ (Q3 −R2)9 (mod 103)

53

p6(103t+ 77) ≡ 0 (mod 103)


63R7Q67 + 22PR8Q65 + 9R9Q64 + 37PR10Q62 + 42R11Q61 + 82PR12Q59 + 64R13Q58 +99PR14Q56 + 69R15Q55 + 24PR16Q53 + 34R17Q52 + 81PR18Q50 + 28R19Q49 + 6PR20Q47 +78R21Q46 + 81PR22Q44 + 21R23Q43 + 2PR24Q41 + 61R25Q40 + 28PR26Q38 + 71R27Q37 +102PR28Q35 + 55R29Q34 + 44PR30Q32 + 71R31Q31 + 22PR32Q29 + 12R33Q28 + 34PR34Q26 +53R35Q25 + 74PR36Q23 + 20R37Q22 + 66PR38Q20 + 54R39Q19 + 22PR40Q17 + 43R41Q16 +2PR42Q14+83R43Q13+51PR44Q11+12R45Q10+77PR46Q8+96R47Q7+49PR48Q5+5R49Q4+74PR50Q2 + 77R51Q

)= (Q3 − R2)26 − 103(3Q78 − 6P 2Q77 − 146PRQ76 + 167R2Q75 − 39P 2R2Q74 −

246PR3Q73+302R4Q72−33P 2R4Q71−238PR5Q70+276R6Q69−306P 2R6Q68+90PR7Q67+314R8Q66−66P 2R8Q65+50PR9Q64−589R10Q63−111P 2R10Q62+20PR11Q61+2384R12Q60−246P 2R12Q59 + 76PR13Q58 − 6181R14Q57 − 297P 2R14Q56 + 30PR15Q55 + 15349R16Q54 −72P 2R16Q53 + 32PR17Q52 − 30235R18Q51 − 243P 2R18Q50 + 80PR19Q49 + 51719R20Q48 −18P 2R20Q47 − 120PR21Q46 − 74843R22Q45 − 243P 2R22Q44 + 78PR23Q43 + 93888R24Q42 −6P 2R24Q41 − 138PR25Q40 − 100770R26Q39 − 84P 2R26Q38 − 6PR27Q37 + 93960R28Q36 −306P 2R28Q35 + 50PR29Q34 − 74810R30Q33 − 132P 2R30Q32 − 118PR31Q31 + 51679R32Q30 −66P 2R32Q29 + 56PR33Q28 − 30214R34Q27 − 102P 2R34Q26 + 30PR35Q25 + 15263R36Q24 −222P 2R36Q23 + 152PR37Q22 − 6246R38Q21 − 198P 2R38Q20 − 60PR39Q19 + 2378R40Q18 −66P 2R40Q17 − 110PR41Q16 − 404R42Q15 − 6P 2R42Q14 − 118PR43Q13 + 219R44Q12 −153P 2R44Q11 + 192PR45Q10 + 243R46Q9 − 231P 2R46Q8 − 128PR47Q7 + 44R48Q6 −147P 2R48Q5 + 210PR49Q4 + 230R50Q3 − 222P 2R50Q2 − 226PR51Q+ 3R52)

122ϑ2(101Q77 + 90R2Q74 + 92R4Q71 +R6Q68 + 81R8Q65 + 66R10Q62 + 21R12Q59 + 4R14Q56 +

79R16Q53 +22R18Q50 +97R20Q47 +22R22Q44 +101R24Q41 +75R26Q38 +R28Q35 +59R30Q32 +81R32Q29+69R34Q26+29R36Q23+37R38Q20+81R40Q17+101R42Q14+52R44Q11+26R46Q8+54R48Q5 + 29R50Q2

)≡ (Q3 −R2)26 (mod 103)

p4(107t+ 89) ≡ 0 (mod 107)

12ϑ(89RQ52+102R3Q49+24R5Q46+6R7Q43+55R9Q40+97R11Q37+91R13Q34+33R15Q31+

47R17Q28 + 3R19Q25 + 7R21Q22 + 23R23Q19 + 90R25Q16 + 53R27Q13 + 17R29Q10 + 41R31Q7 +88R33Q4 + 80R35Q

)= (Q3−R2)18−107(5Q54−178PRQ52 +190R2Q51−204PR3Q49 +195R4Q48−48PR5Q46 +

36R6Q45 − 12PR7Q43 + 66R8Q42 − 110PR9Q40 + 62R10Q39 − 194PR11Q37 + 374R12Q36 −182PR13Q34−154R14Q33−66PR15Q31 +492R16Q30−94PR17Q28−402R18Q27−6PR19Q25 +420R20Q24−14PR21Q22−262R22Q21−46PR23Q19 +316R24Q18−180PR25Q16 +54R26Q15−106PR27Q13 + 82R28Q12 − 34PR29Q10 + 70R30Q9 − 82PR31Q7 + 175R32Q6 − 176PR33Q4 +170R34Q3 − 160PR35Q+ 3R36)

p6(107t+ 80) ≡ 0 (mod 107)

12ϑ(30PQ80+84RQ79+63PR2Q77+57R3Q76+90PR4Q74+39R5Q73+19PR6Q71+63R7Q70+

65PR8Q68 + 3R9Q67 + 46PR10Q65 + 56R11Q64 + 13PR12Q62 + 50R13Q61 + 31PR14Q59 +69R15Q58 + 46PR16Q56 + 30R17Q55 + 105PR18Q53 + 22R19Q52 + 59PR20Q50 + 67R21Q49 +40PR22Q47 + 60R23Q46 + 76PR24Q44 + 70R25Q43 + 56PR26Q41 + 50R27Q40 + 59PR28Q38 +51R29Q37 + 64PR30Q35 + 35R31Q34 + 2PR32Q32 + 20R33Q31 + 45PR34Q29 + 102R35Q28 +9PR36Q26 + 14R37Q25 + 87PR38Q23 + 56R39Q22 + 40PR40Q20 + 81R41Q19 + 39PR42Q17 +

54

67R43Q16 + 66PR44Q14 + 78R45Q13 + 59PR46Q11 + 89R47Q10 + 63PR48Q8 + 84R49Q7 +92PR50Q5 + 4R51Q4 + 97PR52Q2 + 27R53Q

)= (Q3−R2)27−107(5Q81−90P 2Q80−156PRQ79 +258R2Q78−189P 2R2Q77 +30PR3Q76 +

177R4Q75−270P 2R4Q74 +138PR5Q73 +104R6Q72−57P 2R6Q71−110PR7Q70 +331R8Q69−195P 2R8Q68 + 182PR9Q67 − 712R10Q66 − 138P 2R10Q65 − 48PR11Q64 + 2937R12Q63 −39P 2R12Q62 − 96PR13Q61 − 8127R14Q60 − 93P 2R14Q59 − 98PR15Q58 + 20927R16Q57 −138P 2R16Q56 + 112PR17Q55− 43716R18Q54− 315P 2R18Q53 + 208PR19Q52 + 78966R20Q51−177P 2R20Q50 − 42PR21Q49 − 121649R22Q48 − 120P 2R22Q47 − 8PR23Q46 + 162668R24Q45 −228P 2R24Q44 − 4PR25Q43 − 187272R26Q42 − 168P 2R26Q41 + 28PR27Q40 + 187619R28Q39 −177P 2R28Q38 + 38PR29Q37− 162334R30Q36− 192P 2R30Q35− 18PR31Q34 + 121931R32Q33−6P 2R32Q32 + 28PR33Q31 − 78620R34Q30 − 135P 2R34Q29 − 240PR35Q28 + 43938R36Q27 −27P 2R36Q26 + 152PR37Q25 − 20612R38Q24 − 261P 2R38Q23 − 4PR39Q22 + 8532R40Q21 −120P 2R40Q20 − 122PR41Q19 − 2547R42Q18 − 117P 2R42Q17 − 14PR43Q16 + 992R44Q15 −198P 2R44Q14 − 48PR45Q13 + 109R46Q12 − 177P 2R46Q11 − 74PR47Q10 + 292R48Q9 −189P 2R48Q8 +24PR49Q7 +31R50Q6−276P 2R50Q5 +288PR51Q4 +82R52Q3−291P 2R52Q2−74PR53Q+R54)


61R16Q56 +2R18Q53 +48R20Q50 +67R22Q47 +31R24Q44 +51R26Q41 +48R28Q38 +43R30Q35 +105R32Q32+62R34Q29+98R36Q26+20R38Q23+67R40Q20+68R42Q17+41R44Q14+48R46Q11+44R48Q8 + 15R50Q5 + 10R52Q2

)≡ (Q3 −R2)27 (mod 107)

p8(107t+ 71) ≡ 0 (mod 107)

12ϑ(59PQ107+97RQ106+99P 2RQ105+71PR2Q104+85R3Q103+42P 2R3Q102+48PR4Q101+

37R5Q100 + 51P 2R5Q99 + 55PR6Q98 + 94R7Q97 + 58P 2R7Q96 + 16PR8Q95 + 102R9Q94 +59PR10Q92 +54R11Q91 +9P 2R11Q90 +95PR12Q89 +12R13Q88 +90P 2R13Q87 +49PR14Q86 +77R15Q85 + 96P 2R15Q84 + 67PR16Q83 + 26R17Q82 + 82P 2R17Q81 + 7PR18Q80 + 76R19Q79 +27P 2R19Q78+41PR20Q77+68R21Q76+60P 2R21Q75+99PR22Q74+54R23Q73+68P 2R23Q72+43PR24Q71+2R25Q70+93P 2R25Q69+103PR26Q68+92R27Q67+41P 2R27Q66+16PR28Q65+74R29Q64 + 99P 2R29Q63 + 42PR30Q62 + 57R31Q61 + 87P 2R31Q60 + 19PR32Q59 + 9R33Q58 +80P 2R33Q57 +56PR34Q56 +14R35Q55 +52P 2R35Q54 +3PR36Q53 +48R37Q52 +81P 2R37Q51 +11PR38Q50 +38R39Q49 +25P 2R39Q48 +81PR40Q47 +55R41Q46 +3P 2R41Q45 +30PR42Q44 +77R43Q43 + 3P 2R43Q42 + 60PR44Q41 + 89R45Q40 + 15P 2R45Q39 + 106PR46Q38 + 51R47Q37 +71P 2R47Q36+42PR48Q35+49R49Q34+68P 2R49Q33+78PR50Q32+16R51Q31+101P 2R51Q30+82PR52Q29 +50R53Q28 +18P 2R53Q27 +25PR54Q26 +2R55Q25 +84P 2R55Q24 +44PR56Q23 +106R57Q22 +41P 2R57Q21 +57PR58Q20 +94R59Q19 +53P 2R59Q18 +69PR60Q17 +45R61Q16 +38P 2R61Q15+95PR62Q14+76R63Q13+33P 2R63Q12+46PR64Q11+25R65Q10+63P 2R65Q9+79PR66Q8+92R67Q7+6P 2R67Q6+75PR68Q5+28R69Q4+89P 2R69Q3+69PR70Q2+80R71Q+18P 2R71

)= (Q3 − R2)36 − 107(6Q108 − 231P 2Q107 − 144PRQ106 + 399R2Q105 − 396P 3RQ105 +

111P 2R2Q104 − 54PR3Q103 + 344R4Q102 − 168P 3R3Q102 − 18P 2R4Q101 + 52PR5Q100 +109R6Q99−204P 3R5Q99−9P 2R6Q98−168PR7Q97+943R8Q96−232P 3R7Q96+144P 2R8Q95−320PR9Q94 − 3131R10Q93 − 231P 2R10Q92 + 50PR11Q91 + 18397R12Q90 − 36P 3R11Q90 −285P 2R12Q89 + 308PR13Q88− 77911R14Q87− 360P 3R13Q87 + 177P 2R14Q86− 90PR15Q85 +283077R16Q84−384P 3R15Q84+111P 2R16Q83+112PR17Q82−879683R18Q81−328P 3R17Q81+249P 2R18Q80−238PR19Q79 +2375883R20Q78−108P 3R19Q78−15P 2R20Q77−32PR21Q76−5614739R22Q75 − 240P 3R21Q75 − 141P 2R22Q74 + 116PR23Q73 + 11698073R24Q72 −272P 3R23Q72 + 141P 2R24Q71 + 258PR25Q70 − 21596019R26Q69 − 372P 3R25Q69 −

55

111P 2R26Q68−82PR27Q67+35479764R28Q66−164P 3R27Q66+198P 2R28Q65−186PR29Q64−52036196R30Q63 − 396P 3R29Q63 + 216P 2R30Q62 − 96PR31Q61 + 68298017R32Q60 −348P 3R31Q60 + 267P 2R32Q59 + 114PR33Q58 − 80350388R34Q57 − 320P 3R33Q57 +48P 2R34Q56 +68PR35Q55 +84814477R36Q54−208P 3R35Q54 +261P 2R36Q53−162PR37Q52−80350259R38Q51 − 324P 3R37Q51 + 165P 2R38Q50 + 50PR39Q49 + 68298067R40Q48 −100P 3R39Q48−273P 2R40Q47−8PR41Q46−52036192R42Q45−12P 3R41Q45−108P 2R42Q44−112PR43Q43+35479762R44Q42−12P 3R43Q42−198P 2R44Q41+8PR45Q40−21595896R46Q39−60P 3R45Q39−216P 2R46Q38+60PR47Q37+11698128R48Q36−284P 3R47Q36+114P 2R48Q35+78PR49Q34−5614894R50Q33−272P 3R49Q33+60P 2R50Q32+270PR51Q31+2375746R52Q30−404P 3R51Q30−162P 2R52Q29−36PR53Q28−879785R54Q27−72P 3R53Q27 + 177P 2R54Q26 +156PR55Q25 + 283148R56Q24− 336P 3R55Q24 + 30P 2R56Q23− 202PR57Q22− 77617R58Q21−164P 3R57Q21−21P 2R58Q20−102PR59Q19 + 18425R60Q18−212P 3R59Q18−111P 2R60Q17 +194PR61Q16 − 3227R62Q15 − 152P 3R61Q15 − 243P 2R62Q14 − 90PR63Q13 + 679R64Q12 −132P 3R63Q12 + 60P 2R64Q11 + 212PR65Q10 + 289R66Q9 − 252P 3R65Q9 − 273P 2R66Q8 −60PR67Q7 +139R68Q6−24P 3R67Q6 +45P 2R68Q5 +174PR69Q4 +323R70Q3−356P 3R69Q3−195P 2R70Q2 − 316PR71Q+ 3R72 − 72P 3R71)


41R17Q81 + 67R19Q78 + 30R21Q75 + 34R23Q72 + 100R25Q69 + 74R27Q66 + 103R29Q63 +97R31Q60+40R33Q57+26R35Q54+94R37Q51+66R39Q48+55R41Q45+55R43Q42+61R45Q39+89R47Q36+34R49Q33+104R51Q30+9R53Q27+42R55Q24+74R57Q21+80R59Q18+19R61Q15+70R63Q12 + 85R65Q9 + 3R67Q6 + 98R69Q3 + 9R71

)≡ (Q3 −R2)36 (mod 107)

p10(107t+ 62) ≡ 0 (mod 107)


11P 2R3Q129+79PR4Q128+40R5Q127+96P 3R4Q127+49P 2R5Q126+60PR6Q125+87R7Q124+5P 3R6Q124+3P 2R7Q123+29PR8Q122+99R9Q121+71P 3R8Q121+55P 2R9Q120+8PR10Q119+25R11Q118 + 47P 3R10Q118 + 18P 2R11Q117 + 71PR12Q116 + 28P 3R12Q115 + 104P 2R13Q114 +69PR14Q113 + 101R15Q112 + 67P 3R14Q112 + 68P 2R15Q111 + 77PR16Q110 + 95R17Q109 +67P 3R16Q109 + 13P 2R17Q108 + 84PR18Q107 + 24R19Q106 + 12P 3R18Q106 + 42P 2R19Q105 +32PR20Q104 + 29R21Q103 + 81P 3R20Q103 + 104P 2R21Q102 + 79PR22Q101 + 55R23Q100 +56P 3R22Q100 + 15P 2R23Q99 + 52PR24Q98 + 82R25Q97 + 37P 3R24Q97 + 11P 2R25Q96 +93PR26Q95+64R27Q94+61P 3R26Q94+75P 2R27Q93+23PR28Q92+82R29Q91+62P 3R28Q91+59P 2R29Q90 + 6PR30Q89 + 49R31Q88 + 105P 3R30Q88 + 93P 2R31Q87 + 94PR32Q86 +53R33Q85+27P 3R32Q85+70P 2R33Q84+11PR34Q83+19R35Q82+55P 3R34Q82+4P 2R35Q81+71PR36Q80+41R37Q79+77P 3R36Q79+81P 2R37Q78+94PR38Q77+48R39Q76+18P 3R38Q76+102P 2R39Q75+20PR40Q74+81R41Q73+98P 3R40Q73+59P 2R41Q72+8PR42Q71+102R43Q70+51P 3R42Q70+46P 2R43Q69+53PR44Q68+63R45Q67+62P 3R44Q67+47P 2R45Q66+2PR46Q65+17R47Q64+90P 3R46Q64+100P 2R47Q63+30PR48Q62+8R49Q61+11P 3R48Q61+5P 2R49Q60+53PR50Q59+18R51Q58+97P 3R50Q58+21P 2R51Q57+45PR52Q56+85R53Q55+49P 3R52Q55+10P 2R53Q54 + 71PR54Q53 + 19R55Q52 + 48P 3R54Q52 + 57P 2R55Q51 + 77PR56Q50 +69R57Q49+23P 3R56Q49+21P 2R57Q48+50PR58Q47+94R59Q46+28P 3R58Q46+8P 2R59Q45+106PR60Q44+67R61Q43+19P 3R60Q43+19P 2R61Q42+57PR62Q41+40R63Q40+37P 3R62Q40+6P 2R63Q39+103PR64Q38+56R65Q37+42P 3R64Q37+56PR66Q35+103R67Q34+7P 3R66Q34+50P 2R67Q33+98PR68Q32+93R69Q31+13P 3R68Q31+101P 2R69Q30+47PR70Q29+41R71Q28+15P 3R70Q28+97P 2R71Q27+37PR72Q26+3R73Q25+59P 3R72Q25+87P 2R73Q24+10PR74Q23+97R75Q22+58P 3R74Q22+90P 2R75Q21+59PR76Q20+38R77Q19+12P 3R76Q19+57P 2R77Q18+96PR78Q17 +19R79Q16 +99P 3R78Q16 +69P 2R79Q15 +19PR80Q14 +63R81Q13 +5P 3R80Q13 +

56

60P 2R81Q12 +53PR82Q11 +51R83Q10 +37P 3R82Q10 +104P 2R83Q9 +77PR84Q8 +6R85Q7 +72P 3R84Q7 + 11P 2R85Q6 + 6PR86Q5 + 36R87Q4 + 83P 3R86Q4 + 55P 2R87Q3 + 48PR88Q2 +27R89Q+ 29P 3R88Q+ 9P 2R89

)= (Q3 − R2)45 − 107(4Q135 − 90P 2Q134 − 225P 4Q133 − 242PRQ133 + 343R2Q132 −

136P 3RQ132 + 213P 2R2Q131 + 14PR3Q130 − 265P 4R2Q130 + 167R4Q129 + 224P 3R3Q129 −327P 2R4Q128 + 198PR5Q127 − 480P 4R4Q127 + 92R6Q126 + 212P 3R5Q126 − 69P 2R6Q125 −144PR7Q124 − 25P 4R6Q124 + 1846R8Q123 + 40P 3R7Q123 − 102P 2R8Q122 − 360PR9Q121 −355P 4R8Q121−10955R10Q120+72P 3R9Q120+219P 2R10Q119−42PR11Q118−235P 4R10Q118+76233R12Q117 + 136P 3R11Q117 − 201P 2R12Q116 + 364PR13Q115 − 140P 4R12Q115 −424023R14Q114 − 348P 3R13Q114 + 156P 2R14Q113 − 146PR15Q112 − 335P 4R14Q112 +2015030R16Q111 − 90P 2R16Q110 − 76PR17Q109 − 335P 4R16Q109 − 8281485R18Q108 +220P 3R17Q108 − 324P 2R18Q107 + 252PR19Q106 − 60P 4R18Q106 + 29814964R20Q105 −72P 3R19Q105 + 129P 2R20Q104 + 78PR21Q103 − 405P 4R20Q103 − 94865199R22Q102 −140P 3R21Q102 + 21P 2R22Q101 + 92PR23Q100 − 280P 4R22Q100 + 268785571R24Q99 +184P 3R23Q99 − 189P 2R24Q98 − 86PR25Q97 − 185P 4R24Q97 − 682300624R26Q96 +168P 3R25Q96 − 312P 2R26Q95 + 46PR27Q94 − 305P 4R26Q94 + 1559545545R28Q93 −64P 3R27Q93 + 243P 2R28Q92 − 322PR29Q91 − 310P 4R28Q91 − 3223059688R30Q90 +92P 3R29Q90+333P 2R30Q89−56PR31Q88−525P 4R30Q88+6043237858R32Q87−72P 3R31Q87−39P 2R32Q86 + 58PR33Q85 − 135P 4R32Q85 − 10309052167R34Q84 − 160P 3R33Q84 +174P 2R34Q83 + 82PR35Q82 − 275P 4R34Q82 + 16036303835R36Q81 + 304P 3R35Q81 −174P 2R36Q80 + 208PR37Q79 − 385P 4R36Q79 − 22788431334R38Q78 − 140P 3R37Q78 −12P 2R38Q77 + 76PR39Q76 − 90P 4R38Q76 + 29624961352R40Q75 − 240P 3R39Q75 +324P 2R40Q74 − 332PR41Q73 − 490P 4R40Q73 − 35267810282R42Q72 + 92P 3R41Q72 +231P 2R42Q71 − 360PR43Q70 − 255P 4R42Q70 + 38473975789R44Q69 + 56P 3R43Q69 −27P 2R44Q68 − 176PR45Q67 − 310P 4R44Q67 − 38473975160R46Q66 + 152P 3R45Q66 +372P 2R46Q65 + 2PR47Q64 − 450P 4R46Q64 + 35267810812R48Q63 − 256P 3R47Q63 +99P 2R48Q62 + 178PR49Q61 − 55P 4R48Q61 − 29624960959R50Q60 + 272P 3R49Q60 −192P 2R50Q59 + 158PR51Q58 − 485P 4R50Q58 + 22788431853R52Q57 + 248P 3R51Q57 −150P 2R52Q56 − 118PR53Q55 − 245P 4R52Q55 − 16036303457R54Q54 + 196P 3R53Q54 −159P 2R54Q53 + 288PR55Q52 − 240P 4R54Q52 + 10309052631R56Q51 − 120P 3R55Q51 −210P 2R56Q50 − 40PR57Q49 − 115P 4R56Q49 − 6043237160R58Q48 + 28P 3R57Q48 −186P 2R58Q47 − 28PR59Q46 − 140P 4R58Q46 + 3223060444R60Q45 + 72P 3R59Q45 −453P 2R60Q44+36PR61Q43−95P 4R60Q43−1559544937R62Q42+64P 3R61Q42−234P 2R62Q41+256PR63Q40 − 185P 4R62Q40 + 682301284R64Q39 + 176P 3R63Q39 − 507P 2R64Q38 +72PR65Q37−210P 4R64Q37−268784785R66Q36 +84P 3R65Q36−93P 2R66Q35−70PR67Q34−35P 4R66Q34 +94865874R68Q33−192P 3R67Q33−39P 2R68Q32−164PR69Q31−65P 4R68Q31−29814563R70Q30−432P 3R69Q30+264P 2R70Q29−4PR71Q28−75P 4R70Q28+8281954R72Q27−232P 3R71Q27+270P 2R72Q26+64PR73Q25−295P 4R72Q25−2014105R74Q24−140P 3R73Q24+408P 2R74Q23−226PR75Q22−290P 4R74Q22 +424353R76Q21−352P 3R75Q21 +21P 2R76Q20 +274PR77Q19 − 60P 4R76Q19 − 76010R78Q18 + 156P 3R77Q18 − 135P 2R78Q17 + 52PR79Q16 −495P 4R78Q16 + 11716R80Q15− 264P 3R79Q15 + 216P 2R80Q14− 62PR81Q13− 25P 4R80Q13−1124R82Q12 − 128P 3R81Q12 + 246P 2R82Q11 + 130PR83Q10 − 185P 4R82Q10 + 181R84Q9 −168P 3R83Q9 − 297P 2R84Q8 + 22PR85Q7 − 360P 4R84Q7 + 168R86Q6 + 364P 3R85Q6 +243P 2R86Q5 + 58PR87Q4 − 415P 4R86Q4 + 141R88Q3 − 120P 3R87Q3 − 189P 2R88Q2 −132PR89Q− 145P 4R88Q+R90 − 44P 3R89)

p14(107t+ 44) ≡ 0 (mod 107)

[Identity unavailable at present]

57

p26(107t+ 97) ≡ 0 (mod 107) via Q107(Q3 −R2)10

12ϑ(35PQ136 + 42P 3Q135 + 101RQ135 + 5P 5Q134 + 73P 2RQ134 + P 7Q133 + 72PR2Q133 +

34P 4RQ133 + 67P 9Q132 + 22R3Q132 + 17P 3R2Q132 + 93P 6RQ132 + 4P 11Q131 + 45P 2R3Q131 +71P 5R2Q131 + 25P 8RQ131 + 51PR4Q130 + 47P 4R3Q130 + 58P 7R2Q130 + 15P 10RQ130 +59R5Q129 + 14P 3R4Q129 + 67P 6R3Q129 + 15P 9R2Q129 + 83P 5R4Q128 + 92P 8R3Q128 +103P 11R2Q128 + 69PR6Q127 + 99P 4R5Q127 + 24P 7R4Q127 + 82P 10R3Q127 + 33R7Q126 +38P 3R6Q126 + 57P 6R5Q126 + 65P 9R4Q126 + 29P 2R7Q125 + 39P 5R6Q125 + 15P 8R5Q125 +62P 11R4Q125 + 63PR8Q124 + 85P 7R6Q124 + 34P 10R5Q124 + 2R9Q123 + P 3R8Q123 +8P 6R7Q123 + 24P 9R6Q123 + 74P 2R9Q122 + 101P 5R8Q122 + 18P 8R7Q122 + 85P 11R6Q122 +87PR10Q121 + 76P 4R9Q121 + 29P 7R8Q121 + 13P 10R7Q121 + 80R11Q120 + 87P 3R10Q120 +103P 6R9Q120 + 11P 9R8Q120 + 83P 2R11Q119 + P 5R10Q119 + 14P 8R9Q119 + 30P 11R8Q119 +76PR12Q118 + 100P 4R11Q118 + 92P 7R10Q118 + 68P 10R9Q118 + 50R13Q117 + 101P 3R12Q117 +94P 6R11Q117 +69P 9R10Q117 +22P 2R13Q116 +25P 5R12Q116 +33P 8R11Q116 +77P 11R10Q116 +35PR14Q115 + 47P 4R13Q115 + 15P 7R12Q115 + 72P 10R11Q115 + 56R15Q114 + 31P 3R14Q114 +58P 6R13Q114 +11P 9R12Q114 +26P 5R14Q113 +46P 8R13Q113 +16P 11R12Q113 +75PR16Q112 +6P 4R15Q112 + P 7R14Q112 + 70P 10R13Q112 + 38R17Q111 + 13P 3R16Q111 + 49P 6R15Q111 +89P 9R14Q111 + 29P 2R17Q110 + 31P 5R16Q110 + 30P 8R15Q110 + 9P 11R14Q110 + 37PR18Q109 +77P 4R17Q109 + 50P 7R16Q109 + 84P 10R15Q109 + R19Q108 + 66P 3R18Q108 + 104P 6R17Q108 +42P 9R16Q108 +36P 2R19Q107 +78P 5R18Q107 +22P 8R17Q107 +80P 11R16Q107 +96PR20Q106 +54P 4R19Q106 + 51P 7R18Q106 + 101P 10R17Q106 + 51R21Q105 + 95P 3R20Q105 + 94P 6R19Q105 +65P 9R18Q105 +13P 2R21Q104 +68P 5R20Q104 +22P 8R19Q104 +101P 11R18Q104 +71PR22Q103 +56P 4R21Q103 + 63P 7R20Q103 + 101P 10R19Q103 + 73R23Q102 + 9P 3R22Q102 + 66P 6R21Q102 +25P 9R20Q102+103P 2R23Q101+71P 5R22Q101+66P 8R21Q101+101P 11R20Q101+96PR24Q100+75P 4R23Q100 + 11P 7R22Q100 + 63P 10R21Q100 + 79R25Q99 + 97P 3R24Q99 + 78P 6R23Q99 +7P 9R22Q99 + 83P 2R25Q98 + 10P 5R24Q98 + 85P 8R23Q98 + 31P 11R22Q98 + 43PR26Q97 +6P 4R25Q97 + 67P 7R24Q97 + 36P 10R23Q97 + 16R27Q96 + 65P 3R26Q96 + 56P 6R25Q96 +9P 9R24Q96 + 80P 2R27Q95 + 21P 5R26Q95 + 78P 8R25Q95 + 8P 11R24Q95 + 46PR28Q94 +80P 4R27Q94 + 4P 7R26Q94 + 2P 10R25Q94 + 21R29Q93 + 78P 3R28Q93 + 103P 6R27Q93 +19P 9R26Q93 + 91P 5R28Q92 + 3P 8R27Q92 + 45P 11R26Q92 + 33PR30Q91 + 71P 4R29Q91 +29P 7R28Q91 + 50P 10R27Q91 + 70R31Q90 + 75P 3R30Q90 + 96P 6R29Q90 + 55P 9R28Q90 +23P 2R31Q89 + 40P 5R30Q89 + 13P 8R29Q89 + 10P 11R28Q89 + 17PR32Q88 + 68P 4R31Q88 +98P 7R30Q88 + 27P 10R29Q88 + 58R33Q87 + 97P 3R32Q87 + 35P 6R31Q87 + 51P 9R30Q87 +98P 2R33Q86 + 71P 5R32Q86 + 11P 8R31Q86 + 63P 11R30Q86 + 62PR34Q85 + 72P 4R33Q85 +32P 7R32Q85 + 51P 10R31Q85 + 86R35Q84 + 42P 3R34Q84 + 13P 6R33Q84 + 94P 9R32Q84 +12P 2R35Q83 + 3P 5R34Q83 + 54P 8R33Q83 + 83P 11R32Q83 + 86PR36Q82 + 21P 4R35Q82 +44P 7R34Q82 + 39P 10R33Q82 + 42R37Q81 + 18P 3R36Q81 + 41P 6R35Q81 + 14P 9R34Q81 +4P 2R37Q80 + 41P 5R36Q80 + 29P 8R35Q80 + 66P 11R34Q80 + 20PR38Q79 + 81P 4R37Q79 +100P 7R36Q79 + 2P 10R35Q79 + 89R39Q78 + 52P 3R38Q78 + 75P 6R37Q78 + 66P 9R36Q78 +88P 2R39Q77 + 103P 5R38Q77 + 73P 8R37Q77 + 34P 11R36Q77 + 80PR40Q76 + 26P 4R39Q76 +59P 7R38Q76 + 78P 10R37Q76 + 66R41Q75 + 28P 3R40Q75 + 44P 6R39Q75 + 10P 9R38Q75 +18P 2R41Q74 + 36P 5R40Q74 + 28P 8R39Q74 + 83P 11R38Q74 + 99PR42Q73 + 62P 4R41Q73 +59P 7R40Q73 + 27P 10R39Q73 + 56R43Q72 + 47P 3R42Q72 + 6P 6R41Q72 + 75P 9R40Q72 +66P 2R43Q71 + 6P 5R42Q71 + 65P 8R41Q71 + 15P 11R40Q71 + 35PR44Q70 + 39P 4R43Q70 +80P 7R42Q70 + 24P 10R41Q70 + 19R45Q69 + 89P 3R44Q69 + 85P 6R43Q69 + 2P 9R42Q69 +47P 2R45Q68 + 96P 5R44Q68 + 98P 8R43Q68 + 80P 11R42Q68 + 25PR46Q67 + 69P 4R45Q67 +52P 7R44Q67 + 90P 10R43Q67 + 72R47Q66 + 29P 3R46Q66 + 74P 6R45Q66 + 71P 9R44Q66 +52P 2R47Q65 + 23P 5R46Q65 + 15P 8R45Q65 + 16P 11R44Q65 + 46PR48Q64 + 2P 4R47Q64 +83P 7R46Q64 + 54P 10R45Q64 + 32R49Q63 + 30P 3R48Q63 + 98P 6R47Q63 + 78P 9R46Q63 +

58

63P 2R49Q62 + 30P 5R48Q62 + 104P 8R47Q62 + 96P 11R46Q62 + 15PR50Q61 + 83P 4R49Q61 +9P 7R48Q61 + 73P 10R47Q61 + 25R51Q60 + 38P 3R50Q60 + 90P 6R49Q60 + 96P 9R48Q60 +12P 2R51Q59 + 67P 5R50Q59 + 15P 8R49Q59 + 74P 11R48Q59 + 34PR52Q58 + 4P 4R51Q58 +43P 7R50Q58 + 13P 10R49Q58 + 14R53Q57 + 52P 3R52Q57 + 28P 6R51Q57 + 21P 9R50Q57 +98P 2R53Q56 + P 5R52Q56 + 16P 8R51Q56 + 82P 11R50Q56 + 103PR54Q55 + 101P 4R53Q55 +49P 7R52Q55 + 23P 10R51Q55 + 50R55Q54 + 95P 3R54Q54 + 29P 6R53Q54 + 41P 9R52Q54 +69P 2R55Q53 + 103P 5R54Q53 + 4P 8R53Q53 + 41P 11R52Q53 + 79PR56Q52 + 55P 4R55Q52 +11P 7R54Q52 + 62P 10R53Q52 + 73R57Q51 + 64P 3R56Q51 + 18P 6R55Q51 + 91P 9R54Q51 +86P 2R57Q50 + 75P 5R56Q50 + 105P 8R55Q50 + 48P 11R54Q50 + 33PR58Q49 + 63P 4R57Q49 +40P 7R56Q49 + 98P 10R55Q49 + 73R59Q48 + 47P 3R58Q48 + 88P 6R57Q48 + 52P 9R56Q48 +26P 2R59Q47 + 91P 8R57Q47 + 87P 11R56Q47 + 29PR60Q46 + 49P 4R59Q46 + 16P 7R58Q46 +23P 10R57Q46 + 104R61Q45 + 22P 3R60Q45 + 65P 6R59Q45 + 40P 9R58Q45 + 20P 2R61Q44 +18P 5R60Q44 + 53P 8R59Q44 + 45P 11R58Q44 + 45PR62Q43 + 75P 4R61Q43 + 18P 7R60Q43 +44P 10R59Q43 + 65R63Q42 + 27P 3R62Q42 + 82P 6R61Q42 + 99P 9R60Q42 + 78P 2R63Q41 +77P 5R62Q41 + 86P 8R61Q41 + 34P 11R60Q41 + 10PR64Q40 + 11P 4R63Q40 + 87P 7R62Q40 +11P 10R61Q40 + 68R65Q39 + 93P 3R64Q39 + 88P 6R63Q39 + 88P 9R62Q39 + 102P 2R65Q38 +3P 5R64Q38 + 47P 8R63Q38 + 86P 11R62Q38 + 33PR66Q37 + 75P 4R65Q37 + 62P 7R64Q37 +72P 10R63Q37 + 43R67Q36 + 93P 3R66Q36 + 85P 6R65Q36 + 99P 9R64Q36 + 47P 2R67Q35 +84P 5R66Q35 + 5P 8R65Q35 + 62P 11R64Q35 + 38PR68Q34 + 77P 4R67Q34 + 44P 7R66Q34 +51P 10R65Q34 + 17R69Q33 + 70P 3R68Q33 + 27P 6R67Q33 + 43P 9R66Q33 + 91P 2R69Q32 +93P 5R68Q32 + 105P 8R67Q32 + 59P 11R66Q32 + 97PR70Q31 + 61P 4R69Q31 + 83P 7R68Q31 +95P 10R67Q31 + 47R71Q30 + 80P 3R70Q30 + 4P 6R69Q30 + 32P 9R68Q30 + 2P 2R71Q29 +60P 5R70Q29 + 55P 8R69Q29 + 100P 11R68Q29 + 37PR72Q28 + 81P 4R71Q28 + 55P 7R70Q28 +90P 10R69Q28 + 85R73Q27 + 38P 3R72Q27 + 92P 6R71Q27 + 77P 9R70Q27 + 88P 2R73Q26 +56P 5R72Q26 + 56P 8R71Q26 + 21P 11R70Q26 + 76PR74Q25 + 101P 4R73Q25 + 68P 7R72Q25 +103P 10R71Q25 + 17R75Q24 + 62P 3R74Q24 + 41P 6R73Q24 + 6P 9R72Q24 + 77P 2R75Q23 +46P 5R74Q23 + 60P 8R73Q23 + 95P 11R72Q23 + 24PR76Q22 + 88P 4R75Q22 + 46P 7R74Q22 +33P 10R73Q22 + 52R77Q21 + 48P 3R76Q21 + 33P 6R75Q21 + 75P 9R74Q21 + 84P 2R77Q20 +9P 5R76Q20 + 4P 8R75Q20 + 51P 11R74Q20 + 75PR78Q19 + 56P 4R77Q19 + 78P 7R76Q19 +39P 10R75Q19 + 36R79Q18 + 73P 3R78Q18 + 11P 6R77Q18 + 29P 9R76Q18 + 12P 2R79Q17 +49P 5R78Q17 + 33P 8R77Q17 + 20P 11R76Q17 + 21PR80Q16 + 80P 4R79Q16 + 90P 7R78Q16 +78P 10R77Q16 + 97R81Q15 + 43P 3R80Q15 + 22P 6R79Q15 + 3P 9R78Q15 + 15P 2R81Q14 +10P 5R80Q14 + 105P 8R79Q14 + 91P 11R78Q14 + 37PR82Q13 + 57P 4R81Q13 + 11P 7R80Q13 +35P 10R79Q13 + 86R83Q12 + 97P 3R82Q12 + 12P 6R81Q12 + 72P 9R80Q12 + 9P 2R83Q11 +95P 5R82Q11 + 69P 8R81Q11 + 57P 11R80Q11 + 77PR84Q10 + 98P 4R83Q10 + 77P 7R82Q10 +47P 10R81Q10 + 104R85Q9 + 105P 3R84Q9 + 61P 6R83Q9 + 84P 9R82Q9 + 49P 2R85Q8 +90P 5R84Q8 +45P 8R83Q8 +62PR86Q7 +77P 4R85Q7 +39P 7R84Q7 +87R87Q6 +23P 3R86Q6 +90P 6R85Q6 + 70P 2R87Q5 + 39P 5R86Q5 + 9PR88Q4 + 35P 4R87Q4 + 64R89Q3 + 70P 3R88Q3 +22P 2R89Q2 + 39PR90Q+ 92R91

)= Q107(Q3 − R2)10 − 107(6Q137 − 173P 2Q136 − 211P 4Q135 − 328PRQ135 −

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59

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60

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p26(179t+ 163) ≡ 0 (mod 179)


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61

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62

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)≡ Q2411(Q3 −R2) (mod 2411)

100

congruence properties of the partition function · but if n= 7t+5, then 8n+2 0 (mod 7). moreover,...

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