confidence bounds and hypothesis tests for normal ...keywords: coefficient of variation, signal to...

59
Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal Distribution Coefficients of Variation Steve P. Verrill Richard A. Johnson United States Department of Agriculture Forest Service Forest Products Laboratory Research Paper FPL–RP–638

Upload: others

Post on 12-Oct-2020

0 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal Distribution Coefficients of VariationSteve P. VerrillRichard A. Johnson

United StatesDepartment ofAgriculture

Forest Service

ForestProductsLaboratory

ResearchPaperFPL–RP–638

Page 2: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

October 2007

Verrill, Steve P.; Johnson, Richard A. 2007. Confidence bounds and hypothesis tests for normal distribution coefficients of variation. Research Paper FPL-RP-638. Madison, WI: U.S. Department of Agriculture, Forest Service, Forest Products Laboratory. 57 p.

A limited number of free copies of this publication are available to the public from the Forest Products Laboratory, One Gifford Pinchot Drive, Madison, WI 53726–2398. This publication is also available online at www.fpl.fs.fed.us. Laboratory publications are sent to hundreds of libraries in the United States and elsewhere.

The Forest Products Laboratory is maintained in cooperation with the University of Wisconsin.

The use of trade or firm names in this publication is for reader information and does not imply endorsement by the United States Department of Agriculture (USDA) of any product or service.

The USDA prohibits discrimination in all its programs and activities on the basis of race, color, national origin, age, disability, and where applicable, sex, marital status, familial status, parental status, religion, sexual orienta-tion, genetic information, political beliefs, reprisal, or because all or a part of an individual’s income is derived from any public assistance program. (Not all prohibited bases apply to all programs.) Persons with disabilities who require alternative means for communication of program informa-tion (Braille, large print, audiotape, etc.) should contact USDA’s TARGET Center at (202) 720–2600 (voice and TDD). To file a complaint of discrimi-nation, write to USDA, Director, Office of Civil Rights, 1400 Independence Avenue, S.W., Washington, D.C. 20250–9410, or call (800) 795–3272 (voice) or (202) 720–6382 (TDD). USDA is an equal opportunity provider and employer.

AbstractFor normally distributed populations, we obtain confidence bounds on a ratio of two coefficients of variation, provide a test for the equality of k coefficients of variation, and pro-vide confidence bounds on a coefficient of variation shared by k populations.

To develop these confidence bounds and test, we first establish that estimators based on Newton steps from √n-consistent estimators may be used in place of efficient solutions of the likelihood equations in likelihood ratio, Wald, and Rao tests. Taking a quadratic mean differentiabil-ity approach, Lehmann and Romano have outlined proofs of similar results. We take a Cramér condition approach and make the conditions and their use explicit.

Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method, √n-consistent estimators, efficient likelihood esti-mators, Cramér conditions, quadratic mean differentiability, likelihood ratio test, Wald test, Rao test, asymptotics

ContentsPage

1 Introduction ....................................................................... 12 Application of Our Results to Laboratory Quality Control Data ......................................................................... 23 Confidence Interval on the Ratio of Two Coefficientsof Variation ........................................................................... 34 Likelihood-Ratio–Based Confidence Interval on the Ratio of Two Coefficients of Variation ................................ 45 Confidence Interval on a Coefficient of Variation that Is Shared by Two Normally Distributed Populations .......... 56 Likelihood Ratio Test of the Hypothesis that k Normally Distributed Populations Share the Same Coefficient of Variation ........................................................ 67 Confidence Interval on a Coefficient of Variation that Is Shared by k Normally Distributed Populations ................... 88 Likelihood-Ratio–Based Confidence Interval on a Coefficient of Variation that Is Shared by k Normally Distributed Populations ........................................................ 99 Small Sample Tools and Further Research ..................... 1010 Summary ....................................................................... 11References .......................................................................... 1111 Appendix A—Verification of the Conditions Needed to Establish Theorem 1........................................................... 1212 Appendix B—Verification of the Conditions Needed to Establish Theorem 2........................................................... 1613 Appendix C—Verification of the Conditions Needed to Establish Theorem 3........................................................... 1714 Appendix D—A Proof that the Estimate of σ Obtained from Equation 70 Is Positive .............................................. 2315 Appendix E—Verification of the Conditions Needed to Establish Theorem 4........................................................... 2416 Appendix F—Verification of the Conditions Needed to Establish Theorem 5........................................................... 2617 Appendix G—Verification of the Conditions Needed to Establish Theorem 6........................................................... 2718 Appendix H—Some Asymptotic Results ...................... 2819 Appendix I—Two Useful Matrix Calculations ............. 45

21

Page 3: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

��������� ���� ��� � ������ ��� ��� ���������������� �������� �� ���������

����� �������� ���������� ���������� ���� ������ ������� ����������� ������ � ���� �� ���� �� �������� ��������� �� ���������� �������� �� ���� �� � ������ � ���� ��

� ����������

��� ��� � �� �������� �� !" �� � ����������� #��� ��� � � � ����� � �� �� ��$ �� ����� ���� �� ��% � ����� �� ���& ���������� ���� ����� �� ����'��� �� ()) � � ��'����� �� �'��� ��%�&" *���� % �������� ��� ���� �������� �� � � � ��� ����� �� ��� ���� %�� ��� ���� ������� ����������& ���������� ��� �+��� ��� ���� ��'���� � ��� ����� �� ����� ���� ���� �������� & �� � �� �� �%��� ����� ���� �� �� �������� �� �������� �� ���, �� ����� & �������� ������ � %� ����� � � '������� �� �%��� ��� � �������� � ����� � % � $�� � � ������ � '�'����� ���� �� �� �������� � � � ����� % ��� ��� �+����� �� ���� �� �� �������� &

��� ����� ����������� '�'����� �� !� %� �(--." � � !���� �/))0" ������ � ��� �+������ ����� � % � $�� � � ������ � �� %� ���� �� �� �������� & 1 ���� '�'��� ��� ���������������� '�'����� �� #� ��� �,������2����� ������� �� ����� ��%� ���'� ������ � �� ������������ � '������3

(& ���� � � $�� � � ����� � ��� ����� �� �#� ���� �� �� ��������

/& ������� � ���� �� ��� ��'������� ���� ��� ���� �� �� �������� ��������� #��� � '�'����� ���� � �+��

0& ���� � � $�� � � ����� � � ���� � �� �������� ���� �� ������ �� � '�'����� �

� �,������ ����� ���� �� ��� ��'������� ���� � ���� �� �� �������� ��� �+�� ��� '���������''����� � ��� ��������� ����� ��� � � ��4,���� (-50� 6���� � � 7�� /))0"& 8�#����� � ��%2����� ���� ������� �� ��� ����'���� ����������� ��� '�������� �''�����& 1 ������� � ����������� ����� �� ��� �+����� �� � ���� �� �� �������� ���� ��� '��'���� �*� ��� (-9.� ������� � ����� (-5.� ���� (--(� ���: � � ���� (--.� 6���� � � 7�� /))0"& �������� ������������ ��� � � ��4,���� (-50� ������ � � ����� (-5.� �� % � � ��� % (--5� 6���� � � 7�� /))0"���� ��%%����� ���� ��� ����� �� *� ��� �(-9."� ���� �(--(" �� � ����� ����$���� � ; ������� � ����� (-5.� ���: � � ���� (--."� � � ��� 1�! ��� ���� �� 6���� � � 7�� �/))0" ������������� ��:�� ���� ��� ��� ��� � ��� ��� ���'� ��:�� #��� ��� ��������� ��:� �� ��� �,��2���� ����� ���� �� ����� �����& ���� ��� �� ���� ������� �� ������ � ��� ����� �� *� ��� � ����� ���� ��� �,������ ����� ����& 8�#����� #� '������ ���2����� �������� ���� ���� '������ ���� ���� � ����� ����� ����& �� �������� ��� ��� �� � � �� ����� ���� � ��� �<� ����� &

1 � �����+�� � '�'�� #� #� ��'��� ��� '�#�� '��'������ �� ��� ����� #�� ���� �����������:�� ��� � ����� ��� ��� ��� �&

� � $�� � � ����� � � ����� �� �#� ���� �� �� �������� ��� �� '�������� �''������ ��� ���������& ��� �/))=" ��� ��,� � ������� �� �(--0" �''���� �� ����� � %� ����:��� $�� � � ����� � � ���� � �� �������� ���� �� ������ �� � '�'����� �&

(

Page 4: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

1 ����� / #� '���� � � �<��'� �� ��� �''����� �� ��� ������� �� � ��� ���� ���& 1 ����� � 0 �����%� 5� #� '���� � ��� ���� � �� �������� ��������& 1 �''� ���� � �����%� >�#� '������ ��� ������ �� ��� '����� �� ����� ��������& 1 �''� ��< 8� #� '���� � ��� '������� %� ��� �������� ���� '������ ��� ����� ��� ��� �'��$ ���� � �� �������� ��������& 1 '�������� � �''� ��< 8 #� ������ ��� ����'���� ����������� � �� %� ��� �,������ ������ ����� � 7�� ���� ���������& !����� � �� ����� ����'���� ������ ���� ��� ��'����� '�������� � ������������� ��� '����� � �� ��� '����� ��� ���� � � #� ��,� ��� � ����� � ����� �� �������� �������'���� ������ �� �<'��� ���� #� � ������ �''� ���� �� ��� �'��� ��� �� ���� �� ���������� &

1 ������� � � �''� ��< 8 #� ���� ������ ���� � ������ �� ��� �,������ �+����� � � ����'��� � �,������ ������ ���� � � 7�� ����� �� � 6�#�� ���' ��$ ��� � �� �

��2� ����� �

���������&� ��,� % � +������� ��� ��?��� �������� �''����� ����� � � 7��� � �/))=" �������� �� '����� �� ������ ������&

�� ��,� ��� �� �,������ ����� ����� � �������� /� @� � � .& ��� ����'���� ����������� � ����� ���� ��������� ��� %��� �� �������� 8&( � � 8&@& �� �������� ��� � ����� � ���� '����� �� ��� ��,� ����� �������� � �''� ���� *� A� � � >& ����� � ����� � #��� ��� ���� '�������� �� ��� ��,� �������� 8&/� 8&0� 8&=� � � 8&. �� ����� ��� ����'���� ����������� � �� ��� �����'� �� %��� � � 7�� ���� ���������&

� � ����� �� ��� ������� �� ���������� ������ ������� ����

1 ���� ����� #� �������� ��� ��� �� � � �� ��� '��%���� �� ���� ��� ��'������� ���� $�� ��Æ2�� �� �� �������� ��� �+��& ��� ���� ��� � ����� �� +����� � ��� ��������� �� �� ��� <�� '��� ��%� �<�� �� � '����������" � � ��� ���� �������� � ��� ���� ������ ������� ���2�������B� � ����� ��������� ���������� ���� ��� ����� �� / �����&� ��� ���� ��� '���� ���� ���� (& ��� ��������� �� #��� ���� ��+�� ���& ��� ��� '��'���� �� ��������� � #� ����%���'�� ���������� � ( �����%� /) � �� >���' (� ���������� � /( �����%� @) � �� >���' /� � ��� � & 1���� ��� +����� � ��� ��������� �� ��'���� � � ������ ����� '������ �� ��� ��Æ�� ��� �������� ����� �� �� �� %� %& �� '�� ��� ���� � ��%��� (& ��� ���� � ��� $%��� #��'������ �� � ��� #��%���� ��%������ �����" ��������&

���� ��� ��' '�� � ��%��� (� �� �� ��� ���� ��� '����� '��'����� ��� <�� ��������� � ��+���� �����& 8�#����� ��� ������ '�� � ��%��� ( ��%%���� ���� �� � ���� ���� ����� ��%�� ������������ ��% �$� � �� ��� �� � ��� ����& ������ #��� ()/ ���������� � � ��� �� ���� ���&��� ������ � �� � ��� ������ '�� �� ��%��� ( �������� ��� $�� %���'� �� /)&"

�� '�� ��< '��� �� ��� ���� � ��%��� /& ��� ���'� ��� � � � ��� ���� �������� � ��� '��2�� ��� � ���� /& 6���� '��������� '��� � � ����� ����� �� ������� � ������ ���� >���'� (�/� � � = �� �� ������ ��� ������� �����'��� & >���' 0 �''���� �� �� ������ � � � ����&>���' @ �''���� �� ���� �#� ������� ���� ���� ��� ������� �����'��� �� �� �������& �� ����'�������� ����� � �����& ��� ��� $��� #� ��'��� � ��� ����& ��� ��� ��� � #� ������� �#�C�������&D ��� ��� ����� #� ������� � C�������&D ��� ��� '��%��� ���� #� ���� �� � ��:���� ����� ���� �� ������� �� ����������������� ����������������& 1� �� ��������� � ��%��� 0& �� � ������ � ���� $%��� � ���� ��� � � '������ ��� '��%��� #��� ��� ����� ��%���'�� ��� ���'� ��:��� ��� �� � � ��� ���� �������� � �� ��� %���'�� � � � � ��%�� ������ %���� ��� ��� �� ��� ����� %� ������ ���� �� ���� � ��� ���2���'� �������� & ��� '��%�������� � ��� '2���� ������ ���� ��� ����'���� ���� � � � �������� 2����� ��������� '2����&

��� �� ����������� ������ � � �

������ �� � �����

�� ���� ��� ���� ����� �� ��������� ��� ����

/

Page 5: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

��� ��� ���� '���� ��� � ���� (� ��� ����'���� '2���� �� )&(@@� � � ��� ��� ���'� �������� ���� �� �� ��% �$� � �� � )&() ���& 8�#����� �� ��� �#� C�������D �� >���' @ ��� �������� �������'���� '2���� �� )&)(. � � ��� ��������� '2���� ���� ��� ��� ���'� �������� �� )&)/=& 1�� C�������D � � %���'� ��� �������� ��� ����'���� '2���� �� )&)). � � ��� ��������� '2�������� ��� ��� ���'� �������� �� )&)(/& � ���� ����� %��� %������ ���� � �� ��� ������ �� ������ ���'� �����& ���� ����� -&"�� ��'����:� ���� #� ���� '���� ��� ���� �<��'� ���� ��� ��� '��'��� �� �������� % ���

��� �� ��� '��%���& � ��� ���� ���� � ����� � ���� ��� #��� ���� �� � ����� ������ �� ������������� � � 2 ���� ����� � � ��� �%������ �� ������� % �������&�� ���� ��� �����'�� �#� ������� � ���2����� '��%����& � '��%��� ���� ������ �

� $�� � � ����� � � ����� �� �#� ���� �� �� �������� � �� ��� � ������������������� ����������������& � '��%��� ���� ������ � � $�� � � ������ � ���� � �� �������� ���� �� ������ �� � ����� ����������� '�'����� � � �� ��� � ������������������� ���������������&1 ����� � 0 �����%� 5 #� �����' ��� ��������� ������ ���� � ������ ����� '��%����& 7������

#�� ��� �� � �������� � ���� ������ ����� �,�' �� ����� -&

� �������� �������� �� ��� ���� �� � � ������� �� !���"

���

1 ����� � 0 � � @ #� '���� � �#� �''������ �� ����� � % � � $�� � � ����� � � ����� ���#� ���� �� �� �������� & 1 ����� 0 #� ����� ��� ����'���� ����������� �� ��� ��<�����,������ �������� �� ��� �����& � -=E ���� �<��'�" � $�� � � ����� �� ��� 4��� ��� ����C�������� '�� �� �� �� �#� �(&-." ��� ���� �������� �&D ��� ���# ��� ������& 1 ����� @ #���,� � �,������ ����� ���� �''����& 1 ���� ���� � -=E ���� �<��'�" � $�� � � ����� �� ���'���� ����� �� ����� ����� ����� ���� ��� �� ��4���� �� � )&)= ��% �$� � ��� �� ��� ����& ������ ��� � ��� �������� � ���� ���� � $�� � ���� �''���� ��� � � $�� � ���� ������'��� #�� #� ��,� ��� �,������ ����� �''����& ���� ��� ��� '��%���� ��'��� � � � ���������� � ����� @& 8�#����� #� � ��� ��� ����� 0 ������� ��� ��'��� ���&�� ������ ���� #� ���� �� ���������� �� ���� � � � � ����� ���� � 6���� �

��" '�'����� � � � ��

���������� �� ���� � � � � ����� ���� � 6���� ���" '�'����� � � � ���� ��� �� )& �� ������ ����

� ����� ���������� � ��� ���������� � ��'� �� �& ��� � � �� F ��& �� ������� ������ �������� � � ) � � ���� � � ) �� � � �& �� �� ��� ��� ���� � �� �������� �� ��� $���'�'����� ��

� � �����

��

�� G ����

�� �� ��� ��� ����� �� ��� ���� � �� �������� �� ��� ��� � '�'����� �� ��� ���� � ���������� �� ��� $��� '�'����� �� �& ����

� � ������"��

� �

�� G ������"

0

Page 6: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

��� � #� ���� ��� ���#� % �������&������� �

��

��������H��H��H�H�

�����

����

������

�������� �� 6��� ��"��"

#���� � � ���� ��� �� �"� �

I��� �������

������ ��� � G (� /

H�� �� ���

���

���� � I���"���� ��� � G (� /

H� � H���I���

H� � �H���I���"�H�

� � ������B� � �������� �����< �� %��� ��

��" G � ���" F � ���"

#����

���" G

�����/ F (���"���

� ) �(������" )) ) ) )

�(������" ) (��� )) ) ) )

����

���" G

����) ) ) )) �/ F (����"�"���

� �(��������" �(��������") �(��������" (������" (������") �(��������" (������" (������"

����

�����

��� '���� �� � ��� ���� �''����� �� ������� .&( �� ��'��� . �� ����� �(-50"& 1 �''� ��<� #� �������� ��� � ����� � ����� �� � ��,� ����� B� �������& �*���� � ������� (� � �''��<����� (� � � $�� � � ����� � � �� %��� ��

H� � ����

�H�����

#���� ���� �� ��� �''��'����� ����� ���� ���� � ��� ���� ���� ����������� � H��� �� ��� @��

���%� � ���� � �� �H�"��� � � �H�" �� ��" #��� ��� ��� �� � � � ��'��� �� H��� H��� H�� � � H�&

# �$������"����%&���� �������� �������� �� ��� ���� ��

� � ������� �� !������

1 ����� 0 #� ����� �� � � $�� � � ����� � ��� ����� �� �#� ���� �� �� �������� ����������� % ��� ����'���� ������� �� ��� ��������� '�������� �����& 1 ���� ����� #� ��,� �

@

Page 7: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

�,������ ����� �''���� �� ���� '�����& ���� ��� � -=E ���� �<��'�" � $�� � � ����� �� ���'���� ����� �� ����� ����� ����� ���� ��� �� ��4���� �� � )&)= ��% �$� � ��� �� ��� ����& ������ ��� � ��� �������� � ���� ���� � $�� � ���� �''���� ��� � � $�� � ���� ������'��� #�� #� ��,� ���� �,������ ����� �''����& ���� ��� ��� '��%���� ��'��� � � � ���������� � ����� @& 8�#����� #� � ��� ��� ����� 0 ������� ��� ��'��� ���&�� ��,� ��� ���� �����'��� � �� ����� ���� � ����� 0& ��� � � ��� ������ �� ����� (5&0

�� �''� ��< 8� #� ���� ��� ���#� % �������&������� �

�������� ���� ��� ����� �� ���� �� �� �������� � �� �+��� ���

/� ��H��"� ����H��"""�� ��

#���� � � ���� ��� �� �"� � � � ���� ��� �"� � �' �� � � ��� �

���" G ��� ���"�������

���� � ����"���/��

�"� �� ���"�������

���� � ������""���/��

�"

H�� G �H��� H��� H�� H�"� �� ��� ������ �� ��� � � ����� �� �,������ �+����� � �������� � � ����

#��� ������� (�

���" G

����

������ ��� ��"������ ��� ��"������ ��� ��"������ ��� ��"

���� G

����

��������

���� G

����

�������

����

� � H�� �� ��� ������ �� ��� �,������ �+����� � ����� �� � �''� ��< �&�����

*����� �#� '��������� �� ���� �� ��� � ��� � ������ ������� / �� � ��%�� �<�� ��� �� ���� ���� �,������ ����� �����& �� '���� ������� /� #� � ��,� ������� 8&( �� �''� ��< 8& 1 �''� ��< * #� �������� ��� � ����� � ����� �� � ��,� ������� 8&(& ��� ���� #����� � � 7�7�6 '��%��� ���� ���� ������� / �� '������ � ���� �� ��� ��'�������

���� � G ��& ��� '��%��� ���� ���� ���� �� ����� � � $�� � � ����� ��� �; ����� �� ���� ��� ����4���� �� � � ��% �$� � ��� � ������� � (�� � $�� � � ����� ��� �& � ���� �� ��� '��%��� ��� � � ��''� ��� ��� I���� I����

� ��������� � I���"����� � ("� � �

� ��������� � I���"����� � ("&

��� '��%��� � �� �� ���� ��� ��� �� ����������������� ����������������

' �������� �������� �� � ������ �� !������ ���� �� (�����

�� � � )��*���� ��������� +� �������

1 ���� ����� � #� ����� � � $�� � � ����� � � ���� � �� �������� ���� �� ������ �� �#� ����� ����������� '�'����� �& ������� % �(-.-" ����,�� � ������ '����� �� '��������:� %�� ��� ��� � � �� ������ ��� �� ��� ��� � � � �� #� �� ����&" 1 ����� 9 #� %� ����:� ���� '������ � ����� � � $�� � � ����� � � ���� � �� �������� ���� �� ������ �� � ����� �����������'�'����� �& ��� �'��� ��� �� �#� '�'����� � �� ��� #���� � �����%��� % ������ � ���� ���#� � ����� � ���� ���� ������ ��� ��� �������� �� ��� ���� � �� �������� & �������� �����%��� �� ����� �� �� �� ��� �2'�'����� ��� ��� ���'� �<�� ��� � �� ����� ����� �� �� ����� �#�2'�'����� ���� � � ����� ��%��� �� ��� ���� ���'� '���� ��� � ��� �#�2'�'����� ���&

=

Page 8: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

�� ������ ���� #� ���� �� ���������� �� ���� � � � � ����� ���� � 6���� ���" '�'����� � � � ��

���������� �� ���� � � � � ����� ���� � 6���� ���" '�'����� � � � ���� ��� �� )& �� ������ ����

� ����� ���������� � ��� ���������� � ��'� �� �& ��� � � �� F ��& �� ������� ������ ��������� � ) � � ����� � ) �� ���& �� �� ��� ��� ������ ���� � �� �������� �� ����#� '�'����� � ��

� G ����� G �����

��� � #� ���� ��� ���#� % �������&������� �

��

���� H��H��H�

���

�� ��

���

���� �� 6��� ��"��"

#���� � � ���� ��� �"� � H��� H��� H� ��� ������� � �''� ��< � ���� �� � �''� ��< � �� ("� ��" G � ���" F � ���"

� �

���" G

�� �/ F (���"���

� ) �(������") ) )

�(������" ) (���

��

���" G

�� ) ) )) �/ F (���"���

� �(������") �(������" (���

��

�����

��� '���� �� � ��� ���� �''����� �� ������� .&( �� ��'��� . �� ����� �(-50"& 1 �'2'� ��< � #� �������� ��� � ����� � ����� �� � ��,� ����� B� �������& �*���� � ������� 0� � �''��<����� (� � � $�� � � ����� � � �� %��� ��

H�� ����

�H�����

#���� ���� �� ��� �''��'����� ����� ���� ���� � ��� ���� ���� ����������� � H��� �� ��� �����

���%� � ���� � �� �H�"��� � � �H�" �� ��" #��� ��� ��� � � � ��'��� �� H��� H��� � � H�& 1 �''� ��< 1 #� �������� ���� ��� G �� F ���/&

, �$������ ���� ���� �� ��� -� ������ ���� � )��*����

��������� +� ������� (���� ��� (�*� ������ �� !������

�� ������ ���� #� ���� �� ���������� �� ���� � � � � ����� ���� � 6���� ���" '�'����� � �� �������2

��� �� ���� � � � � ����� ���� � 6���� ���" '�'����� � � � � � � � �� ���������� �� ���� � � � � ����� ���� �

6���� ���" '�'����� � � � ���� ��� � � � � �� )& �� ������ ���� � ����� ���������� � ��� ��������2

�� � ��'� �� �& ��� � � �� F � � � F ��& �� ������� ������ ���� ���� � � ) �� � � � ���� G (� � � � � �& �� �� ��� ��� ������ ���� � �� �������� �� ��� � '�'����� � ��

� G ����� G � � � G �����

.

Page 9: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

��� � � ��� ������ �� ����� (5&0 �� �''� ��< 8� #� ���� ��� ���#� % �������&������� �

�������� ���� ����� G � � � G ������

/� ��H��"� ������6�#�"""�� ��

���

#���� � � ���� ��� � � � � ��� ��"� � � � ���� � � � � ��� �"� J ��� ���� � ���� ����� ��� '�������� �����

�� %��� �� � � ���� ��� � � � � ��� ��"� #��� � ����� � =� 9� � � 5 � � ���� � � � � ��� �"

� K� �' �� �� ��� �

���" G

�����

���� ���"�

������

���� � ��"���/��

� "

H�� �� ��� ��� ���� ������ �� ��� � � ����� �� �,������ �+����� �� ���� ��

H�� G

�������

I�����&&&I�����

�������

#����

�� G

� ������

���� � I���"����

���" G

�������

�������

��&&&

�������

��

������� G

�������

������&&&

������

�������

��6�#� �� ��� 6�#�� ��������� �� ���� � � � � ��� �"� %��� ��

��6�#� G ���� �

�����

���

�����

���

� �����&&&

� �������

��� ����� F ��� �("

#���� ��� �� � ���2� ����� � ��������� �� ���� � � � � ��� �"

� ���� �� ���� � � � � ��� H�"� #���� H� ��

�������� � � ���� #��� A+����� 95 � �������� (=&9"& ��� '����� ����������� � A+��2��� ( ������� ��� '������ �� ��� ����L�"B� #���� � G

����

����� ������ L�"" ��� ����� �

�''� ��< �� � � � ���'� ��� �+�� ��� ���� % ��� �+����� �� '������� � �''� ��< 1&

�����

*����� � '��������� �� ���� �� ��� � ��� � ������ � � ������ #� ��� ���� % #��� � 6�#�� � �2���' ���������� ������� @ �� � ��%�� �<�� ��� �� � ��� ���� �,������ ����� �����& �� '����������� @� #� � ��,� ������� 8&@ �� �''� ��< 8& �6��� ���� � �''�� % ������� 8&@ #� � ���

9

Page 10: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

H�� �� �����2� ����� � ��������� � ��� � � ����� �� ���& ��� ��� 6�#�� (2���' ��������� ��

�%�� H��&" 1 �''� ��< A #� �������� ��� � ����� � ����� �� � ��,� ������� 8&@& ��� ���� #����� � � 7�7�6 '��%���� ���� ���� ������� @ �� '������ � ���� �� ��� ��'�������

���� ����� G � � � G �����& ��� ���� ��� � � ��''� ��� � � � � ��� I���� � � � � I����� ��������� � I���"����� � ("� � � � �

� ��������� � I���"����� � ("& ��� '��%��� � �� �� ���� ���

��� �� ����������������� ����������������&

. �������� �������� �� � ������ �� !������ ���� �� (�����

�� � )��*���� ��������� +� �������

1 ����� � 9 � � 5 #� '���� � �#� �''������ �� ����� � % � � $�� � � ����� � � ���� ��� �������� ���� �� ������ �� � ����� ����������� '�'����� �& 1 ����� 9 #� ����� �������'���� ����������� �� ��� �������� �� ��� ���� � �� �������� & � -=E ���� �<��'�" � $2�� � � ����� �� ��� 4��� ��� ���� C�������� '�� �� �� �� �#� �(&-." ��� ���� �������� �&D ������# ��� ������& 1 ����� 5 #� ��,� � �,������ ����� ���� �''����& 1 ���� ���� � -=E �����<��'�" � $�� � � ����� �� ���'� ��� ����� �� ����� ���� � �� �������� ����� ������� �� ��4���� �� � )&)= ��% �$� � ��� �� ��� ����& �� ���� ��� � ��� �������� � ���� ����� $�� � ���� �''���� ��� � � $�� � ���� ���� ��'��� #�� #� ��,� ��� �,������ ������''����& ���� ��� ��� '��%���� ��'��� � � � ��� ������� � ����� 5& 8�#����� #� � ������ ����� 9 ������� ��� ��'��� ���&�� ��,� ��� ���� �����'��� � �� ����� ���� � ����� .& 8�#����� ���� ��� '�������� �����

�� %��� �� � � ���� � � � � ��� �"� ��� �''���� �� ��� ����� ���� ��� � � � � ��� ��"� �� ����� ."&

��� � #� ���� ��� ���#� % �������&������� �

�����6�#� � �"

�� 6��� ��"��"

#���� ��6�#� �� ��� 6�#�� ��������� �� ���� � � � � ��� �"� %��� ��

��6�#� � ���� �

�����

���

�����

���

� �����&&&

� �������

��� ����� F ��� �/"

��� �� � ���2� ����� � ��������� �� ���� � � � � ��� �"

� ���� �� ���� � � � � ��� H�"� #���� H� �� ��������

� � ���� #��� A+����� 95 � �������� (=&9"� � �

��" G

�����

� ���"

#���� ��� �� � �� ���� � �� ���" �� �/F(���"���

� � ��� �� �F( �� � � �F(� � �� ���� �� �� ���" ���

�(������"� ��� �F(� �F( �� ���� � �� (���� � � ��� ����� � % ���� �� ��� )& ��� '����� ������2����� � A+����� / ������� ��� '������ �� ��� ����L�"B� #���� � G

����

����� ������ L�""

��� ����� � �''� ��< �� � � � ���'� ��� �+�� ��� ���� % ��� �+����� �� '������� � �''� ��< 1&

�� �� �� �� ��� �������� � ��� ��� ����������� ������ ���� �� ���� � � � � ��� ���� �� ��� �

���� �!��� � ����������� "��� ��� ������ �� ��� !� ��� ����������� �������� ��� �� �� �

#�� ! "��� ���

5

Page 11: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

�����*����� � '��������� �� ���� �� ��� � ��� � ������ � � ������ #� ��� ���� % #��� � 6�#��

� �2���' ���������� ������� = �� � ��%�� �<�� ��� �� � ��� ���� ��� � �,������ ��������������& �� '���� ������� =� #� � ��,� ������� ( �� ����� 8&5 �� �''� ��< 8& 1 �''� ��< �#� �������� ��� � ����� � ����� �� � ��,� ��� ������& �*���� � ������� =� � �''��<����� (� � � $�� � � ����� � � �� %��� ��

H�� ����

�H���������

#���� H� �� ��� � F ( �� ���� � �� ��6�#�� ���� �� ��� �''��'����� ����� ���� ���� � ��� ����

���� ����������� � H������� �� ��� � F ( �� ���%� � ���� � �� �H�"��� � � �H�" �� ��" #������� � � � � ��� �"

� ��'��� �� ��6�#�& 1 �''� ��< 1 #� �������� ���� ������� G �� F ���/&

/ �$������"����"&���� �������� �������� �� � ������ ��

!������ ���� �� (����� �� � )��*���� ��������� +� �������

1 ����� 9� #� ����� �� � � $�� � � ����� � � ���� � �� �������� ������ �� � ���������������� '�'����� � �� ��������� % ��� ����'���� ������� �� ��� 6�#�� � �2���' ����������� ��� '�������� �����& 1 ���� ����� #� ��,� � �,������ ����� �''���� �� ���� '�����& ������� � -=E ���� �<��'�" � $�� � � ����� �� ���'� ��� ����� �� ����� ���� � �� �������� ����� ���� ��� �� ��4���� �� � )&)= ��% �$� � ��� �� ��� ����& �� ���� ��� � ��� �������� ����� ���� � $�� � ���� �''���� ��� � � $�� � ���� ���� ��'��� #�� #� ��,� �����,������ ����� �''����& ���� ��� ��� '��%���� ��'��� � � � ��� ������� � ����� 5&8�#����� #� � ��� ��� ����� 9 ������� ��� ��'��� ���&�� ��,� ��� ���� �����'��� � �� ����� ���� � ����� 9& ��� � � ��� ������ �� ����� (5&0

�� �''� ��< 8� #� ���� ��� ���#� % �������&������� �

�������� ���� � G ���

/� ����6�#�"� ����H��"""�� ��

#���� � � ���� � � � � ��� �"� � � � ���� � � � � ��"� � �' �� � � ��� �

���" G

�����

���� ���"�

������

���� � ����"���/��

� "

��6�#� �� ��� 6�#�� ��������� �� ���� � � � � ��� �"� %��� ��

��6�#� � ���� �

����

���

�����

���

� �����&&&

� �������

��� ����� F ��� �0"

#���� ��� �� � ���2� ����� � ��������� �� ���� � � � � ��� �"

� ���� �� ���� � � � � ��� H�"� #���� H� �� ��2

������ � � ���� #��� A+����� 95 � �������� (=&9"� � � H�� �� ��� ������ �� ��� � ����� ���,������ �+����� � ����� �� � �''� ��< >& ���� � ����� � �� � G ��&"��� '����� ����������� � A+����� 0 ������� ��� '������ �� ��� ����L�"B� #���� � G �

���

����� ������ L�"" ��� ����� � �''� ��< �� � � � ���'� ��� �+�� ��� ���� % ��� �+�����

�� '������� � �''� ��< 1&

-

Page 12: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

�����

*����� � '��������� �� ���� �� ��� � ��� � ������ � � ������ #� ��� ���� % #��� � 6�#�� � �2���' ���������� ������� . �� � ��%�� �<�� ��� �� � ��� ���� �,������ ����� �����& �� '����������� .� #� � ��,� ������� 8&@ �� �''� ��< 8& �6��� ���� � �''�� % ������� 8&@ #� � ��� H�� �� ���

��2� ����� � ��������� � ��� � ����� �� ���& ��� ��� 6�#�� (2���' ���������

�� �%�� H��&" 1 �''� ��< > #� �������� ��� � ����� � ����� �� � ��,� ������� 8&@& �

�� ���� #����� � � 7�7�6 '��%���� ���� ���� ������� . �� '������ � ���� �� ��� ��2'������� ���� � G ��& ��� '��%��� ���� ���� ���� �� ����� � � $�� � � ����� ��� � ; ������� ���� ��� �� ��4���� �� � � ��% �$� � ��� � ������� � ( � � � $�� � � ����� ��� �& ����� �� ��� '��%��� ��� � � ��''� ��� � � � � ��� I���� � � � � I����

� ��������� � I���"����� � ("� � � � �� ��

������� � I���"����� � ("& ��� '��%��� � �� �� ���� ��� ��� ������������������� ���������������&

0 (*��� (�* �� ����� ��� 1������ �������

��� ������ ���� � ������ �������� ( �����%� . �� ����'���� ������& ���� ��� �� ����� %��� �'2'��<������ � ��� ��%� ���� ���� ��� '����� �''��<������ � ��� ��� ���� ����& 1 ��� ���� ��� ������� ����� �� ���� �� � $�� � � ������ ���� ��� ��� ����# � � �� ����� �� ��'������� ���� ��4������ � ��'������� ��� ���+�� ��& �� ��� ���� �� � %�%�� � ������� ���� ����� ��� �� ��2'����� ��� ���'� �''��<������ �& 1 ��� � ������ ��#����� #� ���� '������� � �������� 2�����$< �� ��� '�����& �� ���2����� '��%���� ���� ����������������� ���������������"'������ ��� ��������� ������ � ����� �� ����� � $�� � � ������ �� �� ���� ��'�������&8�#����� ���� ��� '������ ����� � � ����� � $�� � � ������ ���� ��� ����� � �������� �&1 '������� ��� ���'� ����� ����� ��� ����� �� ��� �������� � � #��� ()�))) ���'����� %� ������ ���� ��� ���� ����������� � ��������� ���� ��� ���%� � ����& ��� ���� �� ����''��'����� �,������ ����� �������� �� ������ ��� ��� �� ����� ���'��& A�'���� ����������� ��� -)��� -=��� � � --�� '��� ���� �� ��� ����������� �� ��� �,������ ����� �������� ��� ��� ����� �� ���� ����� ()�))) ����� � � ���� �� '������ ��� ���'� ����� � � �� ����� ���2���'� � $�� � � ������&

����� �������� � ��%�� �� ���'�� ������ ���� ��,� ��� �� ��������� '�'����� '����2����� ������ ��� ��� ���� �� � � , �# " '�'����� '���������& 8�#���� #� ���� '��������C�������� � �� �������� �D ���� � ����� ���� ���� ��� ���'� �''���� #��,� +���� #�& 1 '������� ��� � ������� �� ���� #� ���� '�������� ()�))) ���� �������� � � #��� #� %� ������� ���'� ���� ��� ���� , �# ���� ����������� �� ��������� '�'����� '���������� ���# ()�)))���'�� ���� ��� ��������� '�'����� �� ������ ��������� �� ��� '��� ���� �� ��� �,����������� ��������� � � ��� ���� ����� �� '������ ����� � � ����� � $�� � � ������& ���� ��:�� � �� $�� � � ����� �����%�� #��� ���� ��� ��� � ��� ��� ��� ���'� �������� �''����& ������� �� ������ ���� ���� �������� �� �������� � �''���� � ����� 0 M =& ��� ����� ����� ������� G / � � �� G ��& ��� ����� ��%%��� ���� ��� ��� ���'� �''���� #��,� #�&

�� ���� � ��� '��%���� ��'��� ���� ����'���� ������ � � �������� ������& �� #� ���� ����� �������� #��,� #� ��� ��� ��� ���'��& 8�#����� ��� ��%�� ���'��� �������� �� ����� +���� ���� � ���� %& ���� () ���'�� �� ��:� .)� ��� ��'������� ���� '��%��� ��,���''��<������ .&- ��� �� �� ��'���& ��� � $�� � � ����� '��%��� ��,�� ����� 9&0 ��� �� ����'���&" 8� � ��� ��� ��� ����'���� ������& �� ��� ���� �� � %�%�� � '������� % � #���2

�� �� �� �� ��� �������� � ��� ��� ����������� ������ ���� �� ���� � � � � ��� ���� �� ��� �

���� �!��� � ����������� "��� ��� ������ �� ��� !� ��� ����������� �������� ��� �� �� �

#�� ! "��� ���

()

Page 13: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

�� %� % ��� �� ��:�N'�#�� �������& ����� ������� ��%%��� ���� ��� �� 0)� ��� �#� �''���������� ���� �� ���& ����� #� ���� ����� � �� �� ���� ���� ���� %� ����� #� #� ������ ������ '��%��� �� ���� �������� � ��� �� '�������� ��� ��%�� ���'� ��:��& 1 ������ ��� �������%�� ���'� ��:��� � � ��� ����'���� ������ #� �� ��'�����& ���� #� ��'���� ��� '��%���B�'������� �&

�2 (�**���

�� ���� �����'�� ����'���� ������ ���� '������ �� �� ������� ����� ���� ����������� �2��� � �� �������� ��������� �� ����� % '������3 ����� � � $�� � � ����� � ��� ������� �#� ���� �� �� �������� � '������ � ���� �� ��� ��'������� ���� ��� ���� �� �� ����2���� ��������� #��� � '�'����� � ��� � �+��� � � ����� � � $�� � � ����� � � ���2$�� � �� �������� ���� �� ������ �� � '�'����� �& �� ���� �����'�� ���2����� ��'����'��%���� ���� ��'��� � ����� ��%� ���'� ��� �+���� � � ��� '������ �������� ������ ������� ���� ��� ��� ���'��& ����� '��%���� � �� ������ �� ��� ���#� % #�� ���������3����������������� ����������������� ����������������� ������������������ � ����������������� ���������������&

�313�3)�3(

*� ���� *&�& �(-9."� C � �''��<����� ���� ��� 8���%� ���� �� ����� �� �� !������� �D � ������������ �� ���� � ��������� � ����� � �� ���� �� ����� ���� �� ������ �� �����O�� P��%��� *��,������� �����%���� (.- M (9(&

�� ��� O&A& � � �� ���� 7&*& �(-50"� ��� ����� � ���� ��� ���������� � ������������ ��������� �� ��������� ��� ���28�� A %�#��� ��?�� 6�# O�����&

���� ���� 7& � � ��4,����� O&*& �(-50"� C� ���� ���'� ���� ��� ��� A+����� �� ����� �� ��!������� � 6���� ��'����� ��D ������������� �� �������� ���������� ��� �����!������� (/� (@9M(=5&

���:� �&O& � � ����� >&A& �(--."� C� ����'���� ���� ��� ��� A+����� �� ����� �� ��!������� ���� , ��'����� ��D �������� �� � ����� � (=� .@9M.=5&

�� %� �&Q& � � ��� %� �&�& �(--5"� C� �������� ����� ���'��� % ����� ��� ��� A+����� ������� �� �� !������� �D �������� �� � ����� � (9� /))0M/)(@&

����� � A&�& �(-50"� "� ��# �� ����� ���������� O�� ����� 6�# R��,&

����� � A&�& � � 7��� �� O&�& �/))="� " ���$ ���������� %#���� & "���� �������� �'�� %���6�# R��,&

������ %� 7&Q& �(-.-"� C� ���� �� A+����� �� �#� 6���� ��'����� ��� � ������ % 8���2%� ���� ����� �� �� !������� �D ���� �� ���� ������� ��������� @)� (09@M(05=&

����� >&A& �(--("� C����'���� ���� ��������� ��� ����� �� �� !������� �D ��������������� �������� "� ��# ��� � ����� /)� 00=(M00.0&

6����� Q&�& � � 7��� Q&�& �/))0"� C����� �� ����� �� �� !������� �� 6���� ��'����� �D������������� �� �������� ���������� ��� ������������ 0/� .@(M..(&

((

Page 14: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

7��� �&7& �(-90"� ��� �� ���������� '�� � �� ��� '� ����������& � ���� �������� O�� �����6�# R��,&

������ �&7& �(-5/"� �����( �$ ��� � ��� ��� ��������� O�� ����� 6�# R��,&

���S� %� 7&O& �(-5)"� ����(������� "� �� � �� ���� ������� ��������� O�� ����� 6�# R��,&

������� 6&O& � � ����� � O&�& �(-5."� C� �������� ����� �� � ���� ��� ��� A+����� �� �������� �� �� !������� �D ������������� �� �������� ���������� ��� ������������ (=�.5(M.-=&

������ �&�& �(-=-"� C��� ��%�� %�� ����'��� �����D "� ���� �� ���� ������� ��������� 0)�05-M@)9&

!� %�� �&>& �(--."� C�� $�� � 1 ������ ��� � 6���� ����� � �� !������� �D "� � ����������������� =)� /(M/.&

��� � �& �/))="� C1 ���� �� � ��� ����� ����� � �� !������� �D �������� �� � ����� � /@�//(0M///)&

!����� �& �/))0"� C�� $�� � *�� �� ��� 6���� � � ��% ���� ����������� ����� �� ��!������� �D ���� ������ ������� ���������� 7������ ��'�� ���27�2.)-&

���� �& �(-@0"� C����� �� ��������� 8�'������� �� �� � % ������ ���������� ��� ��� 6��2��� �� ��������� � �� ���%��D "��������� �� �� � ����� ���� ������� ���� �#� =@� @/.M@5/&

������� ��� �& �(--0"� C>� ����:�� �� $�� � 1 �������D )������ �� �� � ����� ������������������� 55� 5--M-)=&

��,�� �&�& �(-05"� C��� ���%�2���'� ����������� �� ��� ��,������ 7���� ��� ����� % ���'�����8�'��������D "� ���� �� ���� ������� ��������� -� .)M./&

�� � ���4 � 5 !������� �� ��� �������� )����� �� 3�"

������ ������* �

�� � ��,� ����� B� �(-50" ������� .&( �� '���� ��� ������� (� #� ���� �������� � ����� � ��! �����%� ��! � � �! �����%� "! �� �''� ��< 8&

1 ��� ������ �� ����� (5&(� � ��� ��� � ��� � ��������� � � G /�����L�" G �<'

����� ����"���/��

�"������/��� � � ����L�" G �<'

����� ������""���/��

�"������/��&

1� �� ��� ���� � ����� � ��! �����%� ��! � � �! ���&

���� ��������� �

�� ����

� ����L�"

���G

�(��F

�� ����

����

F��� ����"

���

�@"

� ����L�"

��G

���� ����"

�����="

(/

Page 15: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

� �

� ����L�"

���G

� ����L�"

��G )

����

��

�� ����L�"

���

�G ��

�� ����L�"

��

�G ��

�� ����L�"

���

�G ��

�� ����L�"

��

�G ) �."

����

� ����L�"

���G

�(��F

�� ������"

�����

F��� ������""

���

�9"

� ����L�"

��G

���� ������""

������5"

� ����L�"

��G

���� ������""

������-"

� ����L�"

���G )

����

��

�� ����L�"

���

�G ��

�� ����L�"

��

�G ��

�� ����L�"

��

�G ��

�� ����L�"

���

�G ) �()"

6�<�� #� ����

�� ����L�"

����

G(

���

� (

�����

� @��� ����"

����

� 0��� ����"�

���

�(("

�� ����L�"

�����G

(

����F

�� ����

�����

�(/"

�� ����L�"

���G � (

��F/��� ����"

�����(0"

�� ����L�"

����

G(

���

� (

�������

� @��� ������""

�����

� 0��� ������""�

���

�(@"

�� ����L�"

�����G

(

������F

�� ������"

������

�(="

�� ����L�"

���G � (

����F/��� ������""

������(."

�� ����L�"

���G � (

����F/��� ������""

������(9"

�� ����L�"

�����G

(

������F

�� ������"

������

�(5"

�� ����L�"

����G � (

����F

�� ������"

�������(-"

(0

Page 16: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

�����

��

��� ����L�"

����

�G � �/ F (���� ���

� �/)"

��

��� ����L�"

�����

�G

(

�����/("

��

��� ����L�"

���

�G � (

���//"

��

��� ����L�"

����

�G � �/ F (����"�� ���

� �/0"

��

��� ����L�"

�����

�G

(

�������/@"

��

��� ����L�"

���

�G � (

�����/="

��

��� ����L�"

���

�G � (

�����/."

��

��� ����L�"

�����

�G

(

�������/9"

��

��� ����L�"

����

�G � (

�����/5"

�� ��� ����

��

�� ����L�"

��� � ����L�"

���

�G ��

�(

���

� /�� � ����"

����

� /�� � ����"�

���

�/-"

F�� � ����"

�����

F/�� � ����"

����

F�� � ����"

��

�G

�/ F (���

����

��

�� ����L�"

�� � ����L�"

���

�G ��

��� � ����"

�����

� �� � ����"�

�����

� �� � ����"�

�����

�G � (

�����0)"

��

�� ����L�"

�� � ����L�"

��

�G ��

��� � ����"

�����

�G(

���0("

��

�� ����L�"

��� � ����L�"

���

�G ��

�(

���

� /�� � ������""

�����

� /�� � ������""�

���

F�� � ������""

�������

F/�� � ������""

�����

F�� � ������""

��

�G

�/ F (����"�

����

� �0/"

(@

Page 17: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

��

�� ����L�"

�� � ����L�"

���

�G ��

��� � ������""

������

� �� � ������""�

�������

� �� � ������""�

������

G � (

�������00"

��

�� ����L�"

�� � ����L�"

��

�G ��

��� � ������""

�������

�G

(

�����0@"

��

�� ����L�"

�� � ����L�"

��

�G ��

��� � ������""

�������

�G

(

�����0="

��

�� ����L�"

�� � ����L�"

���

�G ��

��� � ������""

������

� �� � ������""�

�������

� �� � ������""�

������

G � (

�������0."

��

�� ����L�"

�� � ����L�"

��

�G ��

��� � ������""

�������

�G

(

�����09"

7����� .� ()� � � /) �����%� 09 �������� � ����� #!&

���� ��������� ��

��� $� � ���� ��� ��� ��"& ��� ����� ������ /- �����%� 09"

$� ��"$ G �����/ F (��

�"���� F ��

���/ F (����"

�"���� F ����

� F �������""��� F ��

�����

���"

�/�����������"� /�������������"� /�������������" F /�����������"G /��

����

�� F �

��������"� ����

���F /��

����

�� F �

���������"� ������

�"� �������"��

#��� �� ���� '������� � ��� ��� ��� ��� � � �� ��� � )& ���� � ����� %! �� ����������&

��� ��������� ��

���� ������ (( �����%� (- ������ ���� ��� �����2����� ����������� ���� ��� ����� � ����"���� ��� ���� ��� ��� �� � � � ��� ��� ��� �#�� ���� ) �� ���� ��� � � ���� �� ��� �'� ��%�������� �� ��� � � ��� ��� ���� ���� ����������� � ���� $ ��� ������� ���� ��� �� �� ������� � ����� "! ����&

���� � ��������

����� B� ������� � � %���� ���� ��� �<���� � �� � ����� �� ������ � �� ��� �,������ �+����� ����� �� ����'������ ����& 1 ��� ������� ( #� ��� ���� % #��� � ����� �� ��<���� �,���������������& 1� �� #�2, �# ���� I����

� ��������� � I���"����� I���� � �

� ��������� � I���"���� ��� ���

� �+�� ������ � �� ��� �,������ �+����� � #�� ��� �,������ �� '��������:�� �� ��� ��� ��� � �

(=

Page 18: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

��& ��� ��� ���� H��� H��� H�� H� ���� �� ��� � �+�� ������ �� ��� �,������ �+����� � #�� #�'��������:� �� ��� ��� �� � � � ��� ���#� ���� ��� ������ � ��� % ��� '����� �����������& ����<��'��

� ���� G � ����� ������ �05"

F� ����� ������F � ����� ������F � ����� ������

� �

� ����� G � ����� ������� �0-"

F� ����� ������� F � ���� ������ F � ���� ������

A+����� 05 � � ��� ������ �+����� � ��� � ������ � ������ � � � ���� ������ �� �����H��� H��� H�� H�"

� �� � ���� � ������ �� ��� �,������ �+����� �& A+����� 0- � � ��� ������ �+����� ���� � ������ � ������ � � � ����� ������ �� ���� �H��� H��� H�� H�"

� ���� �� ��� � �+�� ������ �� ��� �,������ �+����� �&

�� � ���4 & 5 !������� �� ��� �������� )����� �� 3�"

������ ������* �

1 ��� ������ �� ����� (5&0� �� G ���� ��� �� �" � � �� G ���� ��� �" #���� ��� �B� ��� ���

��� ���� �������� � �� ��� �#� '�'����� �� � �� ��� ���� � �� �������� �� ��� $��� '�'����� �� � �� �� ��� ���� � �� �������� �� ��� ��� � '�'����� & � ��� ��� � ��'�������� � G ��&�� � ��,� ������� 8&( �� '���� ��� ������� /� #� ���� �������� � ����� � ��! �����%� ��!�

�! �����%� "!� � � &�! �����%� '! �� �''� ��< 8&

1 ��� ������ �� ����� (5&(� � ��� ��� � ��� � ��������� �����L�" G �<'

����� ����"���/��

�"������/��� � ����L�" G �<'

����� ������""���/��

�"������/��&

�� ����� � ��! �����%� ��! � � �! �����%� "! ��� ���������� � �''� ��< �&

���� ��������� ���

1 ��� ������ �� ����� (5&0� #� ����

����" G � � ��

� �

�� G �� G ������ ��� ��" G ��

�� G �� G ������ ��� ��" G ��

�� G � G ������ ��� ��" G ��

�� G � G ������ ��� ��" G ��

��� �+����� � �� ����� �#� ����� �� ��� � ����� �� �� ���& ���� ���� '����� ��� �B� � � � ������ ����� ���� ) �� � � � ������� � �� ��� �� %� ���� ��&

���� ��������� ���

����&

(.

Page 19: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

��� ��������� � �

����&

���� ��������� ���

%���" G �)� )� )� ("���

#��� �� ���� �� �� , (� #��� �+��� � � ��� ������ �� ����� (5&0& ��%�� � '���� �� �� ��� ����� �� ��� �#,#��� ������ L ���� ��� #� ��� ��� % � �� �� ��� ���� � '�������� �� ��� ���� ���� � �� � ����� (5&0� ��� �� , �� � '������� �����<&"

���� ��������� ���

�� ����

"���" G

����( ) )) ( )) ) () ) )

����

���

#��� �� ���� �� �� , 0 G @ � (� #��� �+��� � � � � ��� ������ �� ����� (5&0& ������ �� �� �� � ����� �� ��� �#,#��� ������ L ���� ��� #� ��� ��� % � �� �� ��� ���� � '�������� ����� �� �� ���� � �� � ����� (5&0� ��� �� , �� � '������� �����<&"

���� ��������� ��

����&

���� ���������� �� ����� � !�

����� � ����� � ��� ���������� ��� � ����� � #! �����%� "" � �''� ��< �&

���" #�� �������� �� ��� ��$������� �%�&����� �� ��� '�����&���� '&��

��� �''� ��< �&

�� � ���4 � 5 !������� �� ��� �������� )����� �� 3�"

������ ������* �

�� � ��,� ����� B� �(-50" ������� .&( �� '���� ��� ������� 0� #� ���� �������� � ����� � ��! �����%� ��! � � �! �����%� "! �� �''� ��< 8&1 ��� ������ �� ����� (5&(� � ��� ��� � ��� � ��������� � � G /�

����L�" G �<'����� ����"

���/���"������/��� � � ����L�" G �<'

����� ����"���/��

�"������/��&

*����� #� ��� #� � �� ��� ��� ������� ���# �� �������� ������� /� #� %� ����:� ���� ��%����� ��,� % ����L�" G �<'���� � �������""

�"�����/�" #���� �� ) �� $<��& �������� 0 ���

�����'� �� �� ��� �� G ( ���&"1� �� ��� ���� � ����� � ��! �����%� ��! � � �! ���&�� ����� � #! �����%� "! ���# �� � �''� ��< �& 8�#����� ��� ����� � � ������ ���

'����� �� �������� /� @� =� � � . ����� �� ����� #� '������ ��� ������ ����&

(9

Page 20: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

� �� ��������� �

�� ����

� ����L�"

���G

�(��F

�� ����

����

F��� ����"

���

�@)"

� ����L�"

��G

���� ����"

�����@("

� ����L�"

���G )

����

��

�� ����L�"

���

�G ��

�� ����L�"

��

�G ��

�� ����L�"

���

�G ) �@/"

��������

� ����L�"

���G

�(��F

�� �������"

������

F��� �������""

���

�@0"

� ����L�"

��G

���� �������""

�������@@"

� ����L�"

���G )

����

��

�� ����L�"

���

�G ��

�� ����L�"

��

�G ��

�� ����L�"

���

�G ) �@="

6�<�� #� ����

�� ����L�"

����

G(

���

� (

�����

� @��� ����"

����

� 0��� ����"�

���

�@."

�� ����L�"

�����G

(

����F

�� ����

�����

�@9"

�� ����L�"

���G � (

��F/��� ����"

�����@5"

�� ����L�"

����

G(

���

� (

�������

� @��� �������""

������

� 0��� �������""�

���

�@-"

�� ����L�"

�����G

(

�������

F�� �������"

�������

�=)"

�� ����L�"

���G � (

�����F/��� �������""

�������=("

(5

Page 21: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

�����

��

��� ����L�"

����

�G � �/ F (���� ���

� �=/"

��

��� ����L�"

�����

�G

(

�����=0"

��

��� ����L�"

���

�G � (

���=@"

��

��� ����L�"

����

�G � �/ F (�������"� ���

� �=="

��

��� ����L�"

�����

�G

(

�������

�=."

��

��� ����L�"

���

�G � (

�����

�=9"

�� ��� ����

��

�� ����L�"

��� � ����L�"

���

�G ��

�(

���

� /��� ����"

����

� /�� � ����"�

���

�=5"

F�� � ����"

�����

F/�� � ����"

����

F�� � ����"

��

�G

�/ F (���

����

��

�� ����L�"

�� � ����L�"

���

�G ��

���� ����"

�����

� �� � ����"�

�����

� �� � ����"�

�����

�G � (

�����=-"

��

�� ����L�"

�� � ����L�"

��

�G ��

���� ����"

�����

�G(

���.)"

��

�� ����L�"

��� � ����L�"

���

�G ��

�(

���

� /�� � �������""

������

� /�� � �������""�

���

F�� � �������""

�������

F/�� � �������""

������

F�� � �������""

��

�G

�/ F (������

�"����

� �.("

��

�� ����L�"

�� � ����L�"

���

�G ��

��� � �������""

�������

� �� � �������""�

�������

� �� � �������""�

�������

G � (

�������

�./"

��

�� ����L�"

�� � ����L�"

��

�G ��

��� � �������""

�������

�G

(

�����

�.0"

7����� @/� @=� � � =/ �����%� .0 �������� � ����� #!&

(-

Page 22: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

� �� ��������� ��

��� $� � ���� ��� ��"& ��� � ���� ������ =5 �����%� .0 ���� ���� ��" G � ���" F � ���""

$� ��"$ G �����/ F (��

�"���� F ��

���/ F (���

���

�""���� F ����

� F �������

�""���

�/�����������"� /��������������"G /��

����

�� F �

��������"� ����

���F /��

����

�� F �

����������"� �������

�"��

#��� �� ���� '������� � ��� ��� ��� � � �� ��� � )& ���� � ����� %! �� ����������&

� � ��������� ��

���� ������ @. �����%� =( ������ ���� ��� �����2����� ����������� ���� ��� ����� � ����"���� ��� ���� ��� ��� � � � ��� ��� ��� �#�� ���� ) �� ���� ��� � � ���� �� ��� �'� ��%�������� �� ��� � � ��� ��� ���� ���� ����������� � ���� $ ��� ������� ���� ��� �� �� ������� � ����� "! ����&

� �� #�� �������� �� ��� ��$������� �%�&�����

�' �� � � ��� �� ��� �% �,������ � ���� ��� ��

� G ��� ���"�������

���� � ����"���/��

�"� �� ���"�������

���� � �������""���/��

�"

�� ����

� �

��G �

������

���� � ����"������"�

������

���� � �������""��������"

����� % �� � G )� #� �����

������

���� � ����"��� F

������

���� � �������""������" G )

��

���I������ F ��I���������"" ���� F ����

��

�G (�� �.@"

6�<��

� �

���G ������ F

������

���� � ����"������" F

������

���� � ����"����

����� % �� ��

G )� #� �����

��� G

������

���� � ����"�����"��� F

������

���� � ����"����

G �I��� � ����"�����" F

������

������� � /I�������F �����"�

G �I�������F������

�������

/)

Page 23: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

��

������

������� � ��� G I�������

�� ������� % ���� I��� G )" �������

������� � ���

���I�����" G (�� �.="

�������� ����� % �� ��

G )� #� ����� ������� % ���� I��� G )"�������

������� � ���

���I��������" G (�� �.."

���� A+����� � .@� .=� � � ..� #� �����������

������� � ���

���I�����" G ���I������ F ��I���������""�

��� F ����

��

��.9"

� � �������

������� � ���

���I��������" G ���I������ F ��I���������""�

��� F ����

��

��.5"

6�# ��$ �

� � �����

��

�� G ���� �.-"

A+����� .9 ������

������

������� � ��� G

���I�

��� F ��I���I�������

����� F ����

��

���

������

������� � ��I�������� F ����

��

�� ���I���I�������"���� F ����

��

�G ��

� �9)"

A+����� .5 ������

������

������� � �����

� G���I���I��������" F ��I�

�����

��

����� F ����

��

���

��

�������

������� � ���I������

��"�

��� F ����

��

��� ����I���I������"���� F ����

��

�G ��

� �9("

/(

Page 24: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

���� A+����� � 9) � � 9( #� ����

��� F � F � G )

�#� ��� � ���� ������ ��� ��� ��� ���� � ������ #� ���� ������ ���� � �� �� ��� ��� ���� ��� �������� " #����

� �������

������� � ���I������

��"�

��� F ����

��

��9/"

� ���� � ��"I���I������"���� F ����

��

��90"

� � ��

������

������� � ��I�������� F ����

��

���9@"

��� '������ ������ � ��� � G ����� ���� �� �������� �� � � @��

���/�"&

6�# ��� ����

� G

������

������� � ���I������

��"�

��� F ����

��

� � ������

������� � I���� � )

#��� � G ) � � �� � ��� ���B� ��� :���& �������� � � ) #��� �+����� � � �� � ��� ���B� �+��:���& ����� � ��� � ��� ���B� �+�� ) �� � ��� ���B� �+�� )�

�@�� ) � ��

� � @�� � �

�� �� )�

�� �

� � � @��

���/�" ! )

� � �� F

� � � @��

���/�" ��� �F � �"��/�" G )

1� ! )�

�� �

� � � @��

���/�" ! �� � � � �"��/�" G )

� � �� F

� � � @��

���/�" )

������ F

� � � @��

���/�" �� ��� � �+�� '������� ������ ��� � G �����& ��� ��������� �� �

��

� � ��� � ��� �� ����� �� ���� A+����� � 9) � � .-& ���� �''� ��< � ��� � '���� ���� ���

�������� �� ��� ����� �� ���� A+����� 9) �� '�������&"

//

Page 25: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

�# � ���4 � 5 � +���� ���� ��� 3��*��� �� ��

�������� ���*

36����� .2 �� +�����

������ ���� #� �� �� ����

(& ��� G � � � G ���� � � ��� G � � � G ����� ��

/& I��� G )� ��

0& I��� G )

1� I���� I��� ��� �� �''����� ��% � ��� A+����� 9) ��'��� ���� H��� ) �� ������ ���� I���I��� )&

��� � %��� A+����� 9)� �� �������� ���� H��� )� #� ��� �� ���# ����

� �� F

� � � @��

���/�"

��

�F ��/�" �

� � @����/�" �9="

#����

� ��

������

������� � ��I�������� F ����

��"

������I���I������"���� F ����

��"�

� � �� � � � � ��� %��� �� A+����� � 9/ �����%� 9@& 6�# ��''��� ����

��F ��/�""� ��

� � @����/�"��

�9."

��� ������ ����� 9= ���� ��

�F ��/�" ! ��

� � @����/�"#��� �� �+����� � ��

� !�� �

� � � @��

���/�" �99"

*�� � �� '������� � �� �� #� ��# �� ��� � � �� ����� (0&@��� �� � � @��

���/�" �� �%����� ��

� �+����� 99 � �� ���& ����� ����� 9. ��'��� ����� 9=&�� �������� ����� 9. �� ���#� % �����

������

������� � ��I�������� F ����

��"

��

�����I���I������"���� F ����

��"��

F

��������

������� � ��I�������� F ����

��"

������I���I������"���� F ����

��"��

����� � ��"I���I������"���� F ������"��

�������

������� � ���I������

��"���� F ����

��"

�������

������� � ��I�������� F ����

��"

��

�������

������� � ���I������

��"���� F ����

��"

/0

Page 26: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

�� �������

������� � ��I�������� F ����

��"

������

������� � ���I������

��"���� F ����

��"

������I���I������"���� F ����

��"��

F��� � ��"���

(

�� �������

������� � ��I�������� F ����

��"

��������

������� � ���I������

��"���� F ����

��"

������"����I���I������"���� F ����

��"��

���� #� ���# ���������

���� � I���"���� F I����

�(� ������ F ����

��"��� ���

���

���� � I���"���� F I����

�(� �����

��"���� F ����

��"��

���������"I�

���I�

������� F ����

��"

�� �������

���� � I���"����

��������

���� � I���"����

F

�������

���� � I���"����

�I���������� F ����

��"

F

�������

���� � I���"����

�I���������

��"���� F ����

��"

F���������"I�

���I�

������� F ����

��"

���������"I�

���I�

������� F ����

��"

#��� ���� ����&

�' � ���4 3 5 !������� �� ��� �������� )����� �� 3�"

������ ������* #

1 ��� ������ �� ����� (5&0� �� G ���� ��� � � � � ��� ��" � � �� G ���� � � � � ��� �" #���� ��� �B� ���

��� ��� � � � ��� �B� ��� ��� ��� ���� �������� � �� ��� � '�'����� �& � ��� ��� � ��'����������� ������ ���� � �� �������� �� �&�� � ��,� ������� 8&@ �� '���� ��� ������� @� #� ���� �������� � ����� � ��! �����%� ��!�

�! �����%� "!� � � &�! �����%� '! �� �''� ��< 8&1 ��� ������ �� ����� (5&(� � ��� ��� � ��� � ��������� �

����L�" G �<'����� ��"

���/��� "������/����� � G (� � � � � �&

1� �� ��� ���� � ����� � ��! �����%� ��! � � �! �����%� "! ���& ���� '����� ��� #�, �# � ��� /� '�������� ���&"

/@

Page 27: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

���� ��������� ���

1 ��� ������ �� ����� (5&0� #� ����

����" G ����� � �����

&&&

������" G ����� � �����

� �

�� G �� G ���� G ������� G ������ � � � � ����"

�� G �� G �� G ������ � � � � ����"

&&&

����� G �� G ���� G ������� G ��������� � � � � ����"

��� G �� G �� G ������� � � � � ����"

��� �+����� � �� ����� �#� ����� �� ��� � ����� �� ���#� ���� ��� ��� ���� ����� G � ���� G��

���� ��������� ���

����&

��� ��������� � �

�����%�����#��� ������ � ���� ������ ����

������� G �������

������� G (���

��������� G ����������

��������� G �(�����

� � ��� ����� � % $���2����� '������ ��� � )&

���� ���������� ��� &�� ���

�� ����

%���"� G

������"

���

���������

G

�����������

������� � � � �����

��

(��� � � � (���

������ )

�(��� )& & &

) ������

) �(���

�����������

#��� �� ���� �� �� , � � ( G � �� ��� ������ �� ����� (5&0"&

/=

Page 28: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

���

"���" G

�������"

���

��������

G

�������

(�� ) � � � ) ������

( ) � � � ) )& & &

&&&) � � � ) (�� �����

) � � � ) ( )

�������

#��� �� ���� �� �� , � F ( G /� � �� � (" G �� � �� ��� ������ �� ����� (5&0"&

���� ��������� ��

����&

���� ���������� �� ����� � !�

��� ������� ��%��� �� ��� �����%�����#��� �<�� ��� � �� ��� ��%��� �� ���� �� �������� � ��2��� � #! �����%� "! ��� ��� � G / ��� ������� � �''� ��< �&

���� #�� �������� �� ��� �( ��� ��$������� �%�&�����

����� % �� � G )� #� ����� ��� � �����%�����#��� �<�� ��� �� ��� �� �� � #��� #� ����� ��

A+����� .@" �� ��

���

��I������

�� � ��� F � � �F ��" G (�� �95"

1� #� ��'�� �� � A+����� 95 �� �� �� ��

������� � I���"����� #� ����� ���2� ����� ��

��������� �� (��& �������� ��� � ����� �� ���� ��������� �� ���2� ����� � ��������� �� �&

���� ���#� ���� ��� ������ �

���I������ � �����" G

���I������ � ����� F ����� � �����" G

���I��� � ��"��� F

������� � ��"������"

� �

���(�H� � (��" G ����� H�"��H��"

�, � ���4 1 5 !������� �� ��� �������� )����� �� 3�"

������ ������* '

�� � ��,� ������� ( �� ����� 8&5 � �''� ��< 8 �� '���� ������� =� #� ���� ��������� ����� � ��! �����%� ��! � � �! �����%� "! �� �''� ��< 8&1 ��� ������ �� ����� (5&(� � ��� ��� � ��� � ��������� �

����L�" G �<'����� ����"

���/��� "������/����� � G (� � � � � �&

1� �� ��� ���� � ����� � ��! �����%� ��! � � �! ���& �� ����� � #! �����%� "! � �� ���������� �� �����%�����#��� �<�� ��� � �� ��� ��%��� �� ���� � ��� � G / ��� ��������� � �''� ��< �&

��� �� ����������� ������ � � �

������ �� � �����

/.

Page 29: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

�. � ���4 7 5 !������� �� ��� �������� )����� �� 3�"

������ ������* ,

1 ��� ������ �� ����� (5&0� �� G ���� � � � � ��� �" � � �� G ���� � � � � ��" #���� ��� �B� ��� ���

��� ���� �������� � �� ��� � '�'����� � � � � �� ��� ������ ���� � �� �������� & � ��� ��� ���'�������� ���� ������ ���� � �� �������� �� ��&

�� � ��,� ������� 8&@ �� '���� ��� ������� .� #� ���� �������� � ����� � ��! �����%� ��!� �! �����%� "!� � � &�! �����%� '! �� �''� ��< 8&

1 ��� ������ �� ����� (5&(� � ��� ��� � ��� � ��������� �

����L�" G �<'����� ����"

���/��� "������/����� � G (� � � � � �&

��� ��� ���� � ����� � ��! �����%� ��! � � �! ��� �� ���&

�� ����� � #! �����%� "! � �� ���������� �� �����%�����#��� �<�� ��� � �� ��� ��%��� ������ �� �������� � ����� � #! �����%� "! ��� ��� � G / ��� � �''� ��< �&

���� ��������� ���

1 ��� ������ �� ����� (5&0� #� ����

����" G �� ��

� �

�� G �� G ������ � � � � ��" G ��&&&

�� G �� G ������ � � � � ��" G ��

���� G � G �������� � � � � ��" G ��

��� �+����� � �� ����� �#� ����� �� ��� � ����� �� �� ���& ���� ���� '����� ��� �B� �� ��������� ���� ) �� � � � ������� � �� ��� �� %� ���� ��&

���� ��������� ���

����&

��� ��������� � �

����&

���� ��������� ���

%���" G �)� � � � � )� ("������

#��� �� ���� �� �� , ( G � �� ��� ������ �� ����� (5&0"&

/9

Page 30: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

���� ��������� ���

�� ����

"���" G

�����( ) � � � ) )

& & &

) ) � � � ) () ) � � � ) )

�����

���� ��

#��� �� ���� �� �� , � G �� F ("� ( G �� � �� ��� ������ �� ����� (5&0"&

���� ��������� ��

����&

���� ���������� �� ����� � !�

��� ������� ��%��� �� ��� �����%�����#��� �<�� ��� � �� ��� ��%��� �� ���� �� �������� � ��2��� � #! �����%� "! ��� ��� � G / ��� ������� � �''� ��< �& �6��� ����� � ���� #� �� ������ �� �� �� ��� #��, ���� �� � �''� ��< � ������ ���� � �� $<�� �� ��&"

���" #�� �������� �� ��� ��$������� �%�&����� �� ��� '�����&���� '&��

�� ����

� �

���G�����

F

��������� � �����"

�����

F

��������� � �����"

���

�9-"

����� ����� % �� ��

G ) � � '������� % ���� ���'� �%����� #� �����

��� F �I������"�� �

������

������� G ) �5)"

#���� � �+�� '������� ������ �� %��� ��

H�� G

���I������ F

�I�������� F @������

�������

�� �/ �5("

�/ � ���4 - 5 (�*� ���* ��� �������

���� �''� ��< �� ����� � ������� ���� �''���� � ��'��� . �� ����� �(-50" � � ��'��� @�� ���S� % �(-5)"& 1 ����� @&@&@ �� ��� ���,� ���S� % � �����%���� ��� ����'���� '��'������ ����� �,������ ����� ���� ��� ��� ��� � #��� ��� � ��'������� �� ��'����� � � ��� ����� �����'��� �� �+��� � �& ��� ��� '��'���� #� ��� �� �<�� � ��� '����� �� ��� ��� � #��� � (&���� �� � �������� ������ ���, � � #� ��%�� #��� ��� �� �� #��� �� �� ��� ��� ��� ���� ����� ��� S�# � ���S� %B� '����& 8��� #� ����� ���� S�#&�� ��� ���� ������ ������ ���� ��� ���������� � ��� ������ � ����� � �� ����� �(-=-"& �

���� � �� � ���� ����� '���� �� ������ ���� ������ �� ��� �������� 8&( �����%� 8&0 �� '�������

/5

Page 31: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

� ����� .�&0 �� 7�� �(-90"& ��,� % � +������� ��� ��?��� �������� �''����� ����� � �7��� � �/))=" ���� � ��� '���� �� ������ ���� ����� ����� � (/&@&/ �����%� (/&@&@" ���� �������� ��� �������� 8&( �����%� 8&.& �� ��,� � ����T�� � ����� �''���� � � ��,� ��� � ����� �� � ����� ��� �<'���& ��� ���%� � #��, � ����'���� ����� �� ��'����� ��'������� #�� ��� ����,� �(-05" � � ��� �(-@0"&*����� #� '����� #��� ��� '���� �� �� ����� �� ��� ����� B� ������ � �� ��� ����T�� � 2

����� �� � � � � �� ����� B� ����'���� ������&

�"�� )��*&��+� �," � -������ �( ��� ��&*.�� '���������

��� ��� '�������� �'�� �� �� ���� �� U � ��& ��� �� � U �� ��� ��� ���� '�������� ����&��''��� ���� #� ���� � � ��'� �� � ���'��& ��� "���" �� ��� ��� ����������� ��������� #���

��� ��� ���'�& ��$ � � � ��F � � �F�� � � ������� ��''��� ���� ��� � G (� � � � � �� ����� � )�� ���&

��! ����� � �B� �����'� � �� ����� � "���"B�&

��! ��� ����������� � "���" ���� ���� ��''���&

��! ��� � G (� � � � � �� ��� ���������� � ��� (� G ���� � � � ����"� #���� ��� ��� ��� ��� #��� '���2

������ �� ���� ����L�" �� � ��� ���������� � ���� ��� � ��?��� � ���'�� ��� � ��'� �� �"&

�! ����� �<���� � �'� ������ # �� U ���� � ��� � ��� ���� '�������� ���� �� ��� ���� ���� � � �(� � � � � �� � � ����� � �� ��� �� ������ ����L�" ���� � �� ���� ����� ������������������L�"��������� ��� � � � # &

#! ��� � � � # � ��� $��� � � ��� � �%������� ����������� �� �� ������� ��� �+����� �

���� ����L�"���" G )

��� � G (� � � � � �L $ G (� � � � � � � �

����" � ���� ����L�"��� � ����L�"����" G ������ ����L�"������"

��� � G (� � � � � �L $�% G (� � � � � �& ��� �� ��� $ ���&

%!

��" � � ���" F � � �F � ���"

�� '������� ��$ ��� ��� � � � # & 8��� ���" � J ��K���&

"! ��� � $�%� &� �� �� ����L�"��������� �� � � �� ���� �� ��� �� � ��� � � # & ����� �<���� ��%���� �� ��� � '�����" ��� �������� ����L�"���������

�� �'�����"

��� � � � # � � �

%��� � ����'�����"" !���� � $�%� &� �&

�"� �� �� �� �� ���� ���� �$�%�&� �� '��� (� �� ���� � )(�� ���* ���! � �� �� �����

+,������ ����-��� ������

�� .�

/-

Page 32: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

�"�� /�� �( )��*&��+� �������

>��� � ����� � ��! �����%� "!� ����� �(-50" ���������� �������� .&( �� ��� ��'��� ."���� #��� '��������� �� �� % �� ( �� � � �� ����� �<���� � ������ �� ��� �,������ �+����� ��H��� ���� �����$��

���H�� � ��"

�� (��� ���"��" �5/"

#����

���" G � ����" F � � �F � ����"

�"� �� �0������� �( ���1�� +� ��$������� �&��� ������* �� ��� '&�� �( � �&*2���

�� ��� �#� ������� � �����'��� �3

&�! ����� ��� �#� �+����� � ������� ��� ��������:� % ��� ����� �� ��� �'�� ���� � ����������� � ��'�������& 1� � �� �'��$�� �� ��� � ����� ��3

����" G )

&&&

����" G )

�� �� ��� �+����� �

�� G ������ � � � � ����"

&&&

�� G ������ � � � � ����"

1 ���� ���� ��� �?����� ���� ��� �� ��� '�������� �'�� �� �� � �#� ������ ���� � ! �"������ ��� �&

&�! � ��,�� ���� ( �� ( � �� ��&

� ��� �����'��� � &�! � � &�!� ����� �<���� � � �+�� �� ��� ����

�� G ������"�

�� ��� �� �������� � ������ ���' ���#�� ��� �#� ����� �� �'����� % ��� � ��'�������'�������� �'��& ��$ �

%��" �������"

���

����

� �

"��" �������"

���

�������

0)

Page 33: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

)���� *��

������ ���� � ����� � &�! � � &�! ���& ������� ������ ���� ��� $ � �(� � � � � ��� ) ��(� � � � � ��� ������ �� � �� ���� #���� � �'� ��%�������� �� ��� � � ���� ��� $ � �(� � � � � �����) � �(� � � � � ��� ������ �� � �� ���� #���� � �'� ��%�������� �� ��&

���

%���""���" G ������� �50"

�����

��� ���� � ��� �� � ���� ��� � � ��'������� �'��� �� �����B� ������� #� �������

����"&&&

����"

��� G

���

�����"&&&

�����"

���F

���J�������"���K

&&&J�������"���K

��� �� � ��" �5@"

#���� ��� ��� � ��� � � ��%�� � ���#�� � � � ��&�� ��� ����

� � �� G ���"� ����" G

���J�������"���K

&&&J�������"���K

��� �� � ��" �5="

#���� ��� ��� � ��� � � ��%�� � ���#�� � � � ��&6�# ��''��� ���� %���""���" G ������� & ��� %���""���" � ��� � ���� � 2:��� ��� &

������ ���� ��� ��� �� ��� $��� ��� & ���� '���� �� ���� ���� ��� ���� � ��� ����� ����&"��,�

� � �� G *

�����()&&&)

�����

���� ��

��� � �� ���������� % A+����� 5= � �� A+����� 5@� � � ��� % ���� ���� ��� ����� � ��� ���2�� � ���� �� A+����� 5@ � � ��� $��� ����� � ��� ��%��2�� � ���� �� A+����� 5@ ���� �+�� ���� � � � � �� ��� � ��� � ��'������� �'��"� #� ����

���� G *

������ ( ��

���J�������"���K

&&&J�������"���K

������J�������"���K

&&&J�������"���K

��� !"

������ % �� * � � ��� ���� % * � ���%� �� )� #� ����� � � �������� ����� ��� $��� ��� ��%���""���" �+��� ����"&�6�<� #� ��� �� �������� � ������ ���' ���#�� ��� ������ �� ��� �,������ �+����� � � ���

��������� ���� H��� � � ��� ������ � ��� � ��������� ���� H��& �� �� �� #� $��� ��� � ������� ������� �� �����'��� �3

&�! ��� $ � �(� � � � � ��� ) � �(� � � � � ��� ������ �� � �� ���� #���� � �'� ��%�������� �� ��&

&�! %���"��� �� �� �� , �&

0(

Page 34: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

&�! "���"������ �� �� �� , �� �&

+! ����� �<���� � �'� ��%��������� +� �� �� � ���� ��� ���� ��� � � � ���� ��%���������������"��������� �� � �� ���� ��� ) � �(� � � � � ��L $�%� & � �(� � � � � �� ��&

,! ��� � � � +� ��� $��� � � ��� � �%������� ����������� �� �� ������� ��� �+����� �

���� ����L���""���" G )

��� � � �(� � � � � ��L $ � �(� � � � � �� ��� � �

,����" � ���� ����L���""��� � ����L���""����" G ������ ����L���""������"

��� � � �(� � � � � ��L $�% � �(� � � � � �� ��& ��� ,�� ��� $ ���& �6��� ����� ��� �<��'��

�����L���""��� G �����L�"���������� �����"��� F � � �F �����L�"���������� �����"���

�� ���� � ����� '��� ��������� � � ��� �������� �� ��� '������ �� ��� ��B� �� #� �� ���'������ �� ��� ��B�&"

*!

,��" � �,���" F � � � F �,���"

�� '������� ��$ ��� ��� � � � +& 8��� ,���" � J,�� K���� ����� &

'! ��� � $�%� &� �� �� ����L���""��������� �� � � �� ���� �� ��� �� �� ����� �<��� � ��%������ ��� � (�����" ��� �������� ����L���""���������

�� � (�����"

��� � � � +� � �

���� � ����(�����"" !�

��� � $�%� &� �&

6�# #� � ����� � � '���� ��� ���#� % ����&

)���� *��

������ ���� � ����� � ��! �����%� �!� &�!� &�!� � � +! �����%� '! ���& ��� ������<���� � ������ �� ��� �,������ �+����� �� H��� ���� �����$��

���H�� � ��"

�� 6�������"��" �5."

�6��� ���� � ���� � ��<�� � ������ �� ��� �,������ �+����� � �� � ������ �� � �����""���� G� � � G � �����""������ G )&"

�����

��� ����� ���#� ���� ������� .&( � ��'��� . �� ����� �(-50"& �

0/

Page 35: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

6��� ����

�� �������

G�

��

�� �����

������

F � � �F� �����

������

G

��� ��������

�����

F � � �F�� ��������

�����

�������

F&&&

F��� ��������

�����

F � � �F�� ��������

�����

�������

F� �����

���������

F � � � F� �����

���������

����� %��� � ����� #! � ��� ���� ��� �<'������ �� ��� ��� � � ����� �� )"�

,���" G

�����

�,����" G

�����

�����

��� �������

��

G��

���

�"���"� ����""���" G "���"

� ���""���" �59"

)���� *��

� ��� � ����� #! � � ��� � ����� � ����� �� �������� ����� 8&/�

������ � ��"

�� 6���"���"

�"���"

� ���""���"���

"���"��

#����

��� � ��H��"�

�����

*� �����B� ������� � � �����'��� +!� #� ����

������ � ��" G

��

���

������� � � � ���������&&&

������� � � � ���������

��� �H�� � ��"

#���� ��� '������ ��� �������� �� �B� ���� �� � ��� � � ��%�� � ���#�� H�� � � ��& ��� �������� ���#� ���� ����� 8&/� ����� 59� � � �����'��� +!&�%�������-

� ��� � ����� � ��! �����%� "!� &�!� &�!� � � +! �����%� '!�

������ � H��" G .��(" �55"

�����

� ��� � ����� � ��! �����%� "!� ����� B� ������� ��'���

���H�� � ��" G .��("

00

Page 36: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

���� ����� � � ����� 8&0 ���� ��� ������& �6�<� #� ��� ��� ���#� % ����&

)���� *��

7�� ���� ��� � ��H��"& ������ % ���� ��� '������ �<���� #� ����

"�H��"�

���

� �����"����&&&

� �����"����

��� G ����� ��

�����

�� ����

����� �� G

���

� ����H��""����&&&

� ����H��""������

���

G

���

� ����H��""���� ����H��"���� F � � � F � ����H��""���� ����H��"����&&&

� ����H��""���� ����H��"������ F � � � F � ����H��""���� ����H��"������

���

G "�H��"�

���

� �����"����&&&

� �����"����

���

�� ��� �# � � '������ �� �������� � ���� ������ ���' ���#�� ��� � �H��&

)���� *��

� ��� � ����� � ��! �����%� "!� &�!� &�!� � � +! �����%� '!�

"���"� ���"

������ � H��" G ���("

�����

*� �����B� ������� #� �������

� �����&&&

� �����

��� ���� G

���

� �����&&&

� �����

��� ���� F

��� �

�����

����

���� � H��"

#���� ��� ��� � '������ ��� �������� �� �B� �� % � � � ��%�� � ���� ��� ��

H��& ����

"�H��"�

���

� �����&&&

� �����

��� ���� G "�H��"

���

� �����&&&

� �����

��� ���� F"�H��"

��� �

�����

����

���� � H��"

�5-"

*� �����'��� � "! ����� �����'��� ��'��� ���� ��� $��� '������ �� � �<��� � � ��%���������� ��" � � +! ���'��� � ���� �����'��� �� ��� � ���� ���� -��" �<���� � � ��%�������� ����"� � � ������ 8&/� 8&0� � � 8&@� ��� ��� �� � ���� �� A+����� 5- �� ���("& *� ��� ��$ ����

�� H��� ��� $��� ���� � ��� ��%�� �� � ���� �� A+����� 5- �� ���("& ���� #� ����

"�H��"�

��� �

�����

����

���� � H��" G ���("

0@

Page 37: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

� �

"�H��"�

����� �

�����

����

��

������� � H��" G ���(" �-)"

#���� ��� ��� � '������ ��� �������� �� �B� �� % � � � ��%�� � ���� ��� ��

H��&*� ����� 8&/� H�� � �� G ���("& ���� �� � ��� +!" ��� '����� ����������� � "�H��" ���

� �� ���� �� ��� � �� ��� ��%��� �� ��� ���� �� �� "�H��" � ���%� � '��������� �� ��� ����2�'� �� % ���� �� �� "���"&6�<� #� , �# ��� ��!� #!� � � ��� ���� % �# �� ��%� ������" ���� ��� ���� �� ��

���� �

�����

����

�����

� ���%� ����� ����� �� ����� �� ���"&*� ����� 8&0 � � ����� B� ������� .&(� ������ G ���(" � � H����� G ���("� �� �����'���

"! ��'��� ���� ��� ��?��� �� � ��� ���� �� ��

���� �

�����

����

��

�������� �� �B� �� % � � � ��%�� � ���� ��� ��

H�� � � ��� ���� �� �������� �� �� � ���%� � '��������� �� :���&�� ��� �� ��� ������ �� ����� 8&0�

������ � H��" G .��("

����� ��� ���� ���#� ���� ����� -)&��� �<� ��� �� �������� ��� ���#� % ����&

)���� *��

������ ���� ���" �� '������� ��$ ���� � � ���� � ����� � &�! �����%� &�!� � � +! ���&���

'��� G �� F�� �-("

#����

�� � ���"���"���"J"���"

� ���""���"K��"���"

� ���"���

� �

�� � ���"����%���"

� J%���" ���"��%���"

� K��%���" ���"����

�����

*� �����'��� &�!� "���"������ �� �� �� �� , ��� , �� �"& ����� �� � ���"��� �� '�������

��$ ���� ���"��� �� �� �� �� , � �

#� � ���"���"���"������

�� �� �� �� ,& ����

�� G #��#�� #�"

��#��

0=

Page 38: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

�� ��� '��4���� �����< � �� ��� � ��� �'� �� ��� ��� � �� #�& ��� /�� � � � �/��� �� � ��2��� ���� ����� �� ���� � ��� �'� & ���

�� G /�/�� F � � �F /���/

����

�������� �� �����'��� &�!�

#� � ���"����%���"

����

�� �� �� �� ,� � �

�� G #��#�� #�"

��#��

�� ��� '��4���� �����< � �� ��� � ��� �'� �� ��� ��� � �� #�& ��� /������ � � � �/� �� � ����� ���� ����� �� ���� � ��� �'� & ���

�� G /�����/������ F � � �F /�/

��

�� ��� �� &�! �����%� &�!� � � +!� ����� 8&( ��'��� ���� .�.� G ���� �� � ��� /B� �������� ���� � �

'��� G /�/�� F � � � F /�/

�� G �� F���

)���� *�0

>��� � ����� � ��! �����%� "!� &�! �����%� &�!� � � +! �����%� '!� #� ����

��H�� � ���"

�%����"��%���" ���"

��%���"����

%����"�H�� � �

��"

�� ��� �-/"

�����

*� �����B� �������� #� �������

���H��"&&&

���H��"

��� G

���

�����"&&&

�����"

���F

���J�������"���K

&&&J�������"���K

��� �H�� � ��" �-0"

#���� ��� ��� � ��� � � ��%�� � ���#�� H�� � � ��&*� ��� ��$ ���� �� ��� ��B�� ��� $��� ���� � ��� ��%��2�� � ���� �� A+����� -0 �+��� ����&

����

��

���

���H��"&&&

���H��"

��� G

���J�������"���K

&&&J�������"���K

������H�� � ��" �-@"

�����'��� � &�! � � &�! � � ������ 5/ � � -@ ��'�

�%���" ���"

��%���"�������

���

���H��"&&&

���H��"

��� �� 6������ '���" �-="

0.

Page 39: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

6�<� ��� ���� �� �����'��� &�!� ������ ��� G ��H��"� ������" G � � � G ����

��" G )� �� ��

�����B� ������� #� ����

��

���

���H��"&&&

���H��"

��� G

���J�������"���K

&&&J�������"���K

������H�� � �

��" �-."

#���� ��� ��� � ��� � � ��%�� � ���#�� H�� � � ���& *� �����'��� &�! � � ������ 5/� 55�

� � -.

��

���

���H��"&&&

���H��"

����%����"

���H�� � �

��" G ���(" �-9"

���� ������ -= � � -9� #� �����%���" ���"

��%���"������

%����"���H�� � �

��"

�� 6������ '���"

��

��H�� � ���"

�%����"��%���" ���"

��%���"����

%����"�H�� � �

��"

�� ���

#��� ��'���� ��� '����&��� ��� �# '��'���� �� �������� ��� ��� ������&

������� *�� ��1������ ����� ��������!

� ��� �����'��� � ��! �����%� "! � � &�! �����%� '!� #� ����

/� ���H��""� ������""" �� ���

�����

*� �����B� ������� #� ����

/� ������""� ���H��""" G /

���

� �����&&&

� �����

���

�������� � H��" �-5"

F������ � H��"�

���� �

�����

���

������� � H��"

#���� ��� ��� � '������ ��� �������� �� � '�� � � ��� � � ��%�� � ���#�� ��� � �H��&

6�# �� ��� ��$ ���� �� H�� � � ��� ������ �� ����� 8&0� ��� $��� ���� � ��� ��%�� ��A+����� -5 �� /��("& *� ��!� #!� "!� ����� 8&0� ����� 5/� � � ��� �# �� ��%� ������� ��������< � ��� ��� � ���� � ��� ��%�� �� ��� �+����� � ���%�� � '��������� �� � ���"& ������� ��� ������ �� ����� 8&0 #� #� �� �� � �� #� � �������� ����

0 � ������ � H��"� ���"������ � H��" �� ��

� �--"

���� ����� 8&. #� ����

0 G������ � H��"� ���"���'��� ���"

��������� � H��"G

������ � H��"� ���"����� ���"

��������� � H��"F������ � H��"� ���"����� ���"

��������� � H��"G

������ � H��"� ���""���"J"���"

� ���""���"K��"���"

� ���"������ � H��"

F������ � H��"�%���"� J%���" ���"��%���"

� K��%���"������ � H��"

09

Page 40: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

*� ����� 8&= ��� "���" ���� � ���%�� � '��������� �� )& *� ����� 8&9� �����'��� &�!�� � ����� 8&0 � � ��� ������� ��� %���" ���� � ���%�� � ����������� �� � ��

� �� ��� �������&�

�� � � #��� �<'�� #� � ����� ����'���� ����������� � �� ��� ��� � � 7�� ��������� ���������� �� ��� �����'�� � ���� % �� ������� 8&(&������� *�� 2�� 3� ��������!

������ ���� ��" �� � � �� ���� �� ��� �� � �� ��& ��� � ��� �����'��� � ��! �����%� "!�� � &�! �����%� &�!� #� ����

���

���H��"&&&

���H��"

���

� �%�H��" �H��"

��%�H��"����

���

���H��"&&&

���H��"

��� �� ��

� �())"

�����

*� ����� �-=" #� #� �� �� � �� #� ���������%�H��" �H��"

��%�H��"����

� �%���" ���"��%���"����

G J/��("K��� �()("

7���� ()( ���#� ���� ����� 5/� �����'��� � %!� &�!� � � &�!� � � ��� �����'��� ���� ��"�� � � �� ���� �� ��� �� � �� ��& �������� *�� ��3� ��������!

������ ���� ��" �� � � �� ���� �� ��� �� � �� ��& ��� � ��� �����'��� � ��! �����%� "!

� � &�! �����%� '!� #� ����

(

���

� �����&&&

� �����

���

����

����"��

���

� �����&&&

� �����

���

����

�� ��� �()/"

�����

�� ���� ���

� �����&&&

� �����

���

����

G

���

� �����&&&

� �����

���

����

F

��� �

�����

����

���� � H��"

#���� ��� ��� � '������ ��� �������� �� '�� �� � ��� � � ��%�� � ���#�� ��� � �

H��& ������� �<'������ � ��� ��� �� � ���� �� �()/" �� �+�� ��

������ � H��"�

��� �

�������

� ����"

��

��� �

�������

������� � H��"

�� �� ��� ������ �� ����� 8&0 � � ����� --� #� #� �� �� � �� #� � �������� ������� �

�������

� ����"

��

��� �

�������

�� ���" G J/��("K��� �()0"

#���� ��� ��� � '������ ��� �������� �� '�� �� � ��� � � ��%�� � ���#�� ��� � �

H��& A+��2��� ()0 ���#� ���� ��� ������� � �� ���� �� ��"� ����� 5/� ����� 8&0� �����'��� � ��!� #!

� � "!� � � ��� �# �� ��%� ������& �

05

Page 41: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

�"�� 3��� 4�5��� *����� ����*&���� �&���� ��&� ��������� �( ��� ��$��������%�&�����

�� ��������� $ � �� ���� �� ����� ���� ���� ������ � �� ��� �,������ �+����� � �� ���������� ���� ��� ������ � ��� � �+��& 1 ���� ���� �� #� ��%� #��� �

��2� ����� � ���������

� � ��,� � 6�#�� ���' #� #� �� �� �� � ��������� ���� �� ����'������ ��� �& ����� ����<��'�� �������� 0&( � � @&/ � ��'��� . �� ����� �(-50"&" 8��� #� �������� ���� � �,������������ ���� � � 7�� ������ #� � ��'�� ������ � �� ��� �,������ �+����� � #��� 6�#�� ���'����������&)���� *�4

������ ���� � ����� � ��! �����%� "! ���&��� ��� �� �

��2� ����� � ��������� �� ��& ���� ��� ������ ����

������ � ��" G .��(" �()@"

��� � (" #��� '��������� �''����� % � � �� ���� ��� 6�#�� ����������

��6�#� � ���� �

����

���

���

�����

���

� �����&&&

� �����

��� ����� F ��� �()="

�� #�2��$ �� ����� �� ��� '������ �<��� � � ��� �����< �� � �������"� � � /"

��6�#� � H�� G .�����" �()."

#���� H�� �� � � ����� � ������ �� ��� �,������ �+����� � %���� ���� �� ������� .&( � ��'��� .�� ����� �(-50" ���� ����� 5/"&������� #� �� ��,� % ��� �� ��� ��� ���� ��� 6�#�� ������ ����� +������� � ���%� �& 1

'�������� #� #� ������ ��� � ����� � �� ������� =&/&( � �� �� � � �� ��� �(-50"&*� �����'��� "! #� � ��$ �

,���" � ���

�� �

����

����

���

��

�� ����

,��H��"� ,����" G ��� �����

�����"

������

��� ����� L�"

��������� �

�� ����� L�"

���������

���

"���

� �� ��,� % ��� �� �����'��� "!� �� �����B� �������

�� ����� L�"

��������� �

�� ����� L�"

�������� G

��� �����L�"

��������� � � � �

�� �����L�"

��������

�������

�H�� � ��"

#���� ���� ��� � ��� � � ��%�� � ���#�� H�� � � ��&

���� �� �����'��� "!� ��� H�� � # �� �'� ��%�������� �� ��"� ��� ������� ���� �� ���$%�� ���� � �� ,��H��"� ,����" �� ��� ��� ��

�����

�����"

������

�����

'�������"���H��� � ���

��� ��� �()9"

0-

Page 42: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

�� � ��� �����'��� � ��! � � "! � � ��� ���� % �# �� ��%� ������"

������

'�������"�������� %��� !�

��� $�%� & � �(� � � � � ��� � � �(� � � � � ��� ������ 5/ � � ()9 ��'� ����

��,��H��"� ,����"��� �� ) �()5"

#���� ��' ��� �� ���� ��� ����� ��� ��� �� ��� �����< ' &6�# �� �����'��� � ��! � � #! � � ��� ���� % �# �� ��%� ������� #� , �# ����

,����"����� ���" �()-"

7����� ()5 � � ()- ��'� ����

��,��H��"� ���"��� �� ) �(()"

*� �����'��� %!� ���" �� '������� ��$ ���& �� � ��� � ����� � � ��� �� � �����< ���� �� ���� �� ��� � �� ��� ���� �� �� ��� �����<� ���� ��'��� ���� %��� � � Æ )� #� � $ �� (Æ� ��� ���� � (Æ� ��'��� ����

�������,��H��"����� ! /�� ���"�����

� (� Æ �((("

�� � ����� ��� �<��'�� ������� 0&(&0 �� �� �� � � �� ��� �(-50""

��'������ ��� � ��'������ � ��'������

#���� ��' ��� �� ���� ��� $� � ���� �����< ��� ��' ����� ��� �<��'�� '�%�� @0 � � @@ �� �� ��� � �� ��� �(-50""� ����� ((( ��'��� ���� ��� � (�

�������,��H��"����� ! /

���� ���"�����

� (� Æ

��

�������,��H��"����� ! 1

� (� Æ �((/"

#���� 1 � /��� � � �� ��� ������ ��%� ���� �� ���"&��� � ) �� ��� ���� -���L /�" � # � ��� �'� ��%�������� �� �� � �����'��� � �!

�����%� "!& �8���� -���L /�" �� ���� ��� �'� �� �� ������ /� � ����� �� ��&" �� � ������ 5/"H��

�� ��� %��� � � Æ )� #� � $ � � (Æ� ��� ���� � (Æ� ��'��� ���� �����H�� �-���L �"" (� Æ&6�#� '������� ���� ����� � -���L /�"�

��,����"� ,����"��� G ��J��K������#����

�� ���

���

�����"

������

��� �����L�"

�������� �

�� ����� L�"

���������

���

G

�����

�����"

������

��� �����L�"

��������� � � � �

�� �����L�"

��������

�������

��� � ��"���

@)

Page 43: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

#���� ���� ��� � ��� � � ��%�� � ���#�� �� � � ��&

����� �� �����'��� "!� �� ��� �� ��� #���� � �� H��� ��� ��� � (�� #��� '���������%������ ��� (� � #� ����

��,����"� ,����"���� G��

��

�����

��� ��

����

�����

������

�((0"

��� ��

��

�����

�����

�����"

������

�����

�'�������"���" ���� � ������

�� � ��� �����'��� "!"

������

'�������"�������� %��� !�

��� $�%� & � �(� � � � � ��� � � �(� � � � � ��� ����� ((0 ��'��� ���� %��� � � Æ )� #� � $ � � (Æ�

��� ���� � (� ��'��� ����� �� ��� �� ��� #���� � �� H��� ��� #��� '��������� %������ ��� (� �

��,����"� ,����"���� ��� ��

��

�����

�����

�����"��

���

�%��� F ("���� � ������

� 2����� � �����

#����

2 ��� ��

��

�����

�����

�� F ("��

���

�%��� F ("

�� !�

�7�� ���� ����� � �� ���&" ���� ��� ��� � (�� #��� '��������� %������ ��� (� �

,� � ��'��-�H��� �"" �((@"

7����� ((/ � � ((@ '����� �� �� � ��,� �� �� � � �� ���B� �(-50" ������� =&/&( �� � ������� %��� � � Æ )� #� � $ � � (Æ� ��� ���� � (Æ� ��'��� ���� #��� '��������� %��������� (� Æ

��6�#� � ���� �

�����

���

�����

���

� �����&&&

� �����

��� ����� F ���

�� #�2��$ �� ����� �� ��� '������ �<��� � � ��� �����< �� � �������"� � �

����6�#� � H���� � 1 2 ����� � H����� �((="

@(

Page 44: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

'������� ����

����� � H���� ! 3 � �� ��� (

/12"

*�� �� ����� 5/ � � ��� ��� ���� ��� �� ���2� ����� � ��������� �� ��� #� ����

������� H��" G

.��(" �� %��� � � Æ ) #� � $ � � 4Æ � � � (Æ� ��� ���� � (Æ� ��'���

������������ � H���� � 4Æ" � (� Æ �((."

1� #� ��+���� ���� (Æ� 4�Æ �3

�� ��� � (� ��� ��'���

���������� � H���� ! 3" � (� Æ �((9"

7����� ((=� ((.� � � ((9 ��'� ���� %��� � � Æ )� #� � $ � � ( ��� ���� � (��'��� ���� #��� '��������� %������ ��� (� Æ�

����6�#� � H���� � 1 2 4�Æ �� �((5"

#��� ��'���� ��� '���� �� ��� ����& �%�������- �

������ ���� � ����� � ��! �����%� "! ���& ���

�����6�#� � ��"

�� (��� ���"��"

�����

>��� � ����� � ��! �����%� "!� ����� B� ������� .&( ��'��� ����

���H�� � ��"

�� (��� ���"��" �((-"

7����� (). � � ((- ���� ��� ������&%�������- �

������ ���� � ����� � ��! �����%� �!� &�!� &�!� � � +! �����%� '! ���&��� ��� �� �

��2� ����� � ��������� �� ��& ���� ��� ������ ����

������ � ��" G .��(" �(/)"

��� � (" #��� '��������� �''����� % � � �� ���� ��� 6�#�� ����������

��6�#� � ���� �

�����

���

�����

���

� �����&&&

� �������

��� ����� F ��� �(/("

�� #�2��$ �� ����� �� ��� '������ �<��� � � ��� �����< �� � �������"� � � /"

��6�#� � H�� G .�����"

#���� H�� �� ��� � ����� � ������ �� ��� � ����� �� �,������ �+����� � %���� ���� �� ����� 8&/&�� ��� �# � � '������ �� �������� ��� ���#� % ����� ����� ��������&

@/

Page 45: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

������� *�� ��1������ ����� ��������5 6�7��� ���8 �������!� ��� �����'��� � ��! �����%� '!� #� ����

/� ����6�#�"� ������6�#�"""�� ��

#���� ��6�#� �� ��$ �� �� A+����� ()= � � ��6�#� �� ��$ �� �� A+����� (/(&�����

�� ����

����6�#�"� ��H��" G

�� �

���� � �

� �

���

��������6�#� � H��" �(//"

F(

/

�����6�#� � H��"�

��� �

�����������

������6�#� � H��"

#���� ��� ��� � ��� � � ��%�� � ���#�� ��6�#� � �H��&

�� , �# ��� ��!� #!� � � ��� ���� % �# �� ��%� ������" ���� ��� ���� �� ��

���� �

�����

����

�����

� ���%� � '��������� �� ����� �� ���"&�� � ��� ����� 8&5" ��6�#��H�� G /��(" � � ��� ����� 5/" H����� G /��("� �����'��� "!

��'��� ���� ��� ��?��� �� � ��� ���� �� ��

���� �

�����

����

��

�������� �� ��� � � ��� ���� �� �������� �� �� � ���%� � '��������� �� :���& ����� ��A+����� (// � � ����� 8&5

����6�#�"� ��H��" G /��(" �(/0"

��������

������6�#�""� ����H��"" G

�� �����"

���� � �

� �����"

�����

��������6�#� � H��" �(/@"

F(

/

�����6�#� � H��"

��� �����"

�����������

������6�#� � H��"

#���� ��� ��� � ��� � � ��%�� � ���#�� ��6�#� � � H��� � � �� � ��� �����" ��� �����<� ���%�� � '��������� �� �,���"� ������� / �� ����� 8&5 ��'��� ����

������6�#�""� ����H��"" G /��(" �(/="

������� 8&(� � � ������ (/0 � � (/= ���� ���� ��� � ��H��"" ��'��� ��� '����& �������� *�� 2�� 3� ��������5 6�7��� ���8 �������!

������ ���� ��" �� � � �� ���� �� ��� �� � �� ��& ��� � ��� �����'��� � ��! �����%� "!�� � &�! �����%� &�!� #� ����

���

�����6�#�"&&&

�����6�#�"

���

� �%���6�#�" ���6�#�"

��%���6�#�"����

���

�����6�#�"&&&

�����6�#�"

��� �� ��

�(/."

@0

Page 46: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

#���� ��6�#� �� ��$ �� �� A+����� ()=&�����

��� ) � �(� � � � � �� #� ����

�����6�#�"����H��" G

����

���� � � � �

���

���

����6�#� � H��

��(/9"

#���� ��� '������ ��� �������� � � � � ��%�� � ���#�� ��6�#� � �H��&

*� ������ (/9 � � 5/� ������� ( �� ����� 8&5� �����'��� &�!� � � ����� 8&5� ���) � �(� � � � � �� #� ����

��������6�#�"����H��"

�G /��(" �(/5"

7���� (/5 ��'��� ���� ����� -= ���� #��� H�� ��'��� �� ��6�#�& ���� #� #� �� �� � ��#� � ���������

%���6�#�" ���6�#�"��%���6�#�"

����

� �%���" ���"��%���"����

G J/��("K��� �(/-"

7���� (/- ���#� ���� ������� ( �� ����� 8&5� �����'��� � %!� &�!� � � &�!� � � ��������'��� ���� ��" �� � � �� ���� �� ��� �� � �� ��& �������� *�� ��3� ��������5 6�7��� ���8 �������!

��$ �

���6�#� � ����6�#�"

#���� � �� ��$ �� � � ���� #��� �����'��� &�! � � ��6�#� �� ��$ �� �� A+����� (/(&������ ���� ��" �� � � �� ���� �� ��� �� � �� ��& ��� � ��� �����'��� � ��! �����%� "!� � &�! �����%� '!� #� ����

(

���

� �����&&&

� �����

���

�����6�#�

����6�#�"

��

���

� �����&&&

� �����

���

�����6�#�

�� ��� �(0)"

�����

�� ����

����6�#�"� ��H��" G

�������

�������

���6�#� � H��"

#���� ��� '������ ��� �������� � � � � ��%�� � ���#�� ��6�#� � � H��& ����� �� ����� 8&/�������� / �� ����� 8&5� � � �����'��� +!� #� ����

�����

�6�#� � ���" G

�������6�#�"� ��H��"" G ���(" �(0("

7���� (0( � � ����� 8&0 ��'�

�����

�6�#� � ��" G .��(" �(0/"

7���� (0( � � ��� ������ �� ����� 8&0 ��'�

�����

�6�#� � H��" G .��(" �(00"

@@

Page 47: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

7����� (0(� (00� � � --� � � ��� ������ �� ����� 8&0 ��'�

�����

�6�#� � H��"� ���"�����

�6�#� � H��"�� ��

� �(0@"

6�# #� �������

� �����&&&

� �����

���

�����6�#�

G

���

� �����&&&

� �����

���

����

F

��� �

�����

����

����6�#� � H��"

#���� ��� ��� � '������ ��� �������� �� '�� �� � ��� � � ��%�� � ���#�� ���6�#� � �

H��&

���� ��� �<'������ � ��� ��� �� � ���� �� �(0)" �� �+�� ��

�����

�6�#� � H��"���� �

�������

� ���

�6�#�"��

��� �

�������

������

�6�#� � H��"

�� �� ������ (00 � � (0@� #� #� �� �� � �� #� � �������� ������� �

�������

� ���

�6�#�"��

��� �

�������

�� ���" G J/��("K��� �(0="

#���� ��� ��� � '������ ��� �������� �� '�� �� � ��� � � ��%�� � ���#�� ���6�#� � �

H��&

A+����� (0= ���#� ���� ��� ������� � �� ���� �� ��"� ����� 5/� ����� (0/� �����'��� � ��!� #! � � "!� � � ��� �# �� ��%� ������& �

�0 � ���4 � 5 � � 8����� 9���4 ����������

�,�� #�� �� � ���� ������

��� ������� ������ �� 4��� � � ��� � �� � ���� ��'��� � ����� ����� ��� �<��'������� �(-5/"� �� '�%� 00 �� 7�� �(-90""& ��� ����� ���

� #

#� "

���

G

���� F +&��+� �+&��

�&��+� &��

#���� & G "�#����# � � + G ���#&��� ��� �������� 0 � � = #� ����

��" G

�� #

#� "

#����

� G

���

��/ F (���"���

� ) � � � ) )& & &

) ) � � � ) ��/ F (���"���

���

# G

��������

���"&&&

��������"

���

@=

Page 48: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

� �

" G (���

�� ����� � ����'���� � $�� � � ����� � H� #� ��� &�� #����

& G "�#����# G (��� ���

���

��������

� ""��� ����/ F (��

�"" G (���� F ���/"

�7�� ���� �

��� � G (&"

�,�� #�� 4�5��� ���2 �� #�����*� �6 �6 &�� �

�� ��,� ���� ���' #� ���� �����

9 G ���� �

�����

���

�����

���

� �����&&&

� �������

��� �����

�� �� ���� �� ����� � % � � ���� ������ �� ��� �+����� � ��� �� �+����� �

��� �

�����

������9 G �

���

� �����&&&

� �������

��� �����

��� �+����� � ���� ��� �'��� ����

�� #

#� "

�9 G )

#����

� G

���

�� ) � � � ) )& & &

) ) � � � ) ��

���

# G

���

�&&& �

���

" G �

9 G

���

�&&&

���

���

) G

���

$�&&&

$���

���

@.

Page 49: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

����� �+����� � � �� ��#����� ��

$� G ��� F ����

&&& �(0."

$� G ��� F ����

$��� G �� F � � � F �� F ����

6�# ��� ��� � G (� � � � � �� #� ����'� ��� ��� �+����� �� ���� �#��� #� � �� �� � �� �� ���� ," � � ��� ������� ��� ��� �� ��� ������ % � �+����� � ���� ��� ���%� � �F(�� �+����� #������

�$��� � � �$���� F � � �F �$����""��� � � ����� F � � �F �����"" G ���

���� �� ��� ���� ���� �� � 2:��� �� �� #

#� "

�� �� �� �� ,& 1� ��� �� ��� ���� #��� :���� ��� ��� ��# �� ��� �����< #��� �� � � ��� ���� ���� �� ��� $��� , ��#�&" >��� Æ��� #� � ��� ���� ��� ��� ����� � % ÆB� ���

� G �$� � ����"���

@9

Page 50: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

���� (3 ��������� � ����� � � <�� � �� �

���� V�� � �� � �E" ���� V�� � �� � �E" ���� V�� � �� � �E"

( .&0@ @. .&// -( .&@// .&0= @9 .&09 -/ .&@00 .&09 @5 .&/@ -0 .&/5@ .&== @- .&(- -@ .&05= .&/5 =) .&0- -= .&0/. .&0) =( .&05 -. .&0.9 .&0- =/ .&0- -9 .&/=5 .&/- =0 .&09 -5 .&0=- .&/. =@ .&@) -- .&0@() .&(( == .&09 ()) .&@((( .&/= =. .&@0 ()( .&/@(/ .&// =9 .&/0 ()/ .&00(0 .&/= =5 .&@=(@ .&0. =- .&0.(= .&0) .) .&/5(. .&00 .( .&00(9 .&@( ./ .&0=(5 .&@5 .0 .&/=(- .&05 .@ .&0)/) .&0( .= .&0(/( .&/5 .. .&0=// .&0( .9 .&0=/0 .&09 .5 .&/5/@ .&(= .- .&0@/= .&@= 9) .&@5/. .&/= 9( .&=-/9 .&(5 9/ .&///5 .&0. 90 .&09/- .&/. 9@ .&/.0) .&/. 9= .&/)0( .&0) 9. .&/50/ .&/9 99 .&0@00 .&(- 95 .&090@ .&0( 9- .&/=0= .&/5 5) .&000. .&/0 5( .&0@09 .&/5 5/ .&0@05 .&0@ 50 .&0@0- .&0( 5@ .&00@) .&// 5= .&@0@( .&// 5. .&(-@/ .&/9 59 .&@)@0 .&(@ 55 .&/5@@ .&(0 5- .&0@@= .&(9 -) .&0.

@5

Page 51: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

���� /3 ���'� ��� � � � ��� ���� �������� � �� ��� <�� ����

C ������D � C ������D ���>���' ��� �� ��� ��

( .&0/.= )&)-@99 .&0/.( )&).=-)/ .&/5)) )&).--. .&/9(( )&)=5-.0 .&0))) )&()(.9 .&0))) )&()(.9@ .&0/9= )&)55(0 .&0)@@ )&)=(-0= .&0@@= )&).(0@ .&0=/. )&)=)9=

���� 03 �� $�� � � ����� �����%� �� ��� ����� �� �#� ���� �� �� �������� ������ � ������� /"� � G �� G ��

����'���� '������� �������� '�������6��� � A�������� -=E �1� A�������� -=E �1�

� ! � �����%� �� �����%� � �����%� �� �����%� � �����%�

)&-) )&500) J)&5/=.�)&5@)/K )&5-59 J)&5-/9�)&-)@=K= )&-= )&-)). J)&5-@9�)&-).@K )&-@-. J)&-@=/�)&-=05K

)&-- )&-9(( J)&-.99�)&-9@0K )&-55. J)&-5.@�)&--).K)&-) )&59)- J)&5.@0�)&599@K )&-))9 J)&5-@5�)&-).=K

)&)( () )&-= )&-0/@ J)&-/9@�)&-09/K )&-=/- J)&-@59�)&-=9)K)&-- )&-50. J)&-5()�)&-5.)K )&--(= J)&-5-.�)&--0/K)&-) )&55@@ J)&595(�)&5-).K )&5--= J)&5-0=�)&-)=0K

/) )&-= )&-@(0 J)&-0..�)&-@=5K )&-=)) J)&-@=.�)&-=@/K)&-- )&-5.@ J)&-5@)�)&-55.K )&--)@ J)&-55@�)&--//K)&-) )&5-@= J)&555@�)&-))@K )&-)// J)&5-.0�)&-)9-K

0) )&-= )&-@=- J)&-@(@�)&-=)/K )&-=(/ J)&[email protected]�)&-==0K)&-- )&-55( J)&-5=-�)&--)(K )&--)0 J)&-550�)&--/(K

)&-) )&509/ J)&5/--�)&5@@@K )&5-5= J)&5-/=�)&-)@0K= )&-= )&-))9 J)&5-@5�)&-).=K )&-@-) J)&-@@.�)&-=0/K

)&-- )&-9/0 J)&-.-)�)&-9=@K )&-55= J)&-5.0�)&--)=K)&-) )&590/ J)&5...�)&59-.K )&-)00 J)&5-9@�)&-)-)K

)&)= () )&-= )&-0(@ J)&-/.@�)&-0.0K )&-=(5 J)&-@9=�)&-==-K)&-- )&-50) J)&-5)@�)&-5=@K )&--)5 J)&-555�)&--/.K)&-) )&55.0 J)&55))�)&5-/@K )&5--) J)&5-0)�)&-)@5K

/) )&-= )&-@)0 J)&-0=.�)&-@@-K )&-@5@ J)&-@@)�)&-=/.K)&-- )&-5=0 J)&-5/5�)&-59.K )&-5-/ J)&-59(�)&--((K)&-) )&555) J)&55(9�)&5-@(K )&5-=. J)&55-=�)&-)(=K

0) )&-= )&-0-5 J)&-0=(�)&-@@@K )&-@== J)&-@()�)&-@--K)&-- )&-5@9 J)&-5//�)&-59)K )&-55) J)&-5=5�)&--))K

�'��� � � �� �� ��� ��/��� �� �.�... ��� � ���� �.�... ��� � ����� ��� � �� � ����� � ���! ��������� ������ �� !�

!�� � �����!� ��� ����� ���#��� ����� ��

@-

Page 52: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

���� 0 � �� ���3 �� $�� � � ����� �����%� �� ��� ����� �� �#� ���� �� �� �������� ������ � ������� /"� � G �� G ��

����'���� '������� �������� '�������6��� � A�������� -=E �1� A�������� -=E �1�

� ! � �����%� �� �����%� � �����%� �� �����%� � �����%�

)&-) )&5/55 J)&5/(@�)&50.(K )&5--) J)&5-0)�)&-)@5K= )&-= )&-))- J)&5-=)�)&-).9K )&-=)@ J)&-@.(�)&[email protected]

)&-- )&-9(5 J)&-.5=�)&-9=)K )&--(0 J)&-5-@�)&--0)K)&-) )&59(= J)&5.@-�)&595)K )&-))- J)&5-=)�)&-).9K

)&(= () )&-= )&-/-@ J)&-/@0�)&-0@0K )&-@-) J)&-@@.�)&-=0/K)&-- )&-5/= J)&-9-5�)&-5=)K )&--(( J)&-5-/�)&--/5K)&-) )&55.- J)&55).�)&5-0)K )&-))( J)&5-@(�)&-)=-K

/) )&-= )&-@/9 J)&-05(�)&-@9/K )&-=)9 J)&-@.@�)&-=@-K)&-- )&-5.5 J)&-5@=�)&-55-K )&--)/ J)&-55/�)&--/)K)&-) )&55-( J)&55/-�)&5-=/K )&5-.= J)&5-)=�)&-)/@K

0) )&-= )&-@.. J)&-@/(�)&-=)-K )&-=(@ J)&-@9(�)&-===K)&-- )&-5-( J)&-59)�)&--()K )&--(/ J)&-5-0�)&--/-K

)&-) )&50@- J)&5/9.�)&5@/(K )&5-=. J)&55-=�)&-)(=K= )&-= )&5-9@ J)&5-(@�)&-)00K )&-@-. J)&-@=/�)&-=05K

)&-- )&-9)) J)&-...�)&-900K )&--)) J)&-55)�)&--(-K)&-) )&5.9) J)&5.)0�)&590.K )&5-.. J)&5-).�)&-)/=K

)&/= () )&-= )&-/=9 J)&-/)=�)&-0)5K )&-@-( J)&-@@9�)&-=00K)&-- )&-5/5 J)&-5)/�)&-5=0K )&--)) J)&-55)�)&--(-K)&-) )&55-. J)&550@�)&5-=9K )&-)0- J)&5-5)�)&-)-.K

/) )&-= )&-@0- J)&-0-0�)&-@50K )&-=05 J)&-@-.�)&-=95K)&-- )&-5== J)&-50(�)&-599K )&-55. J)&-5.@�)&--).K)&-) )&5-(0 J)&55=(�)&5-90K )&-))9 J)&5-@5�)&-).=K

0) )&-= )&-@9) J)&-@/=�)&-=(0K )&-=/. J)&-@50�)&-=.9K)&-- )&-599 J)&-5=@�)&-5-5K )&-5-. J)&-59=�)&--(=K

)&-) )&5/-( J)&5/(9�)&50.@K )&5-99 J)&5-(9�)&-)0.K= )&-= )&5-5= J)&5-/=�)&-)@0K )&-@-- J)&-@==�)&-=@(K

)&-- )&-9(@ J)&-.5)�)&[email protected] )&--)@ J)&-55@�)&--//K)&-) )&5.-/ J)&5./=�)&59=9K )&5-=. J)&55-=�)&-)(=K

)&@) () )&-= )&-/90 J)&-//(�)&-0/0K )&-@5. J)&-@@/�)&-=/5K)&-- )&-5/( J)&-9-@�)&[email protected] )&-5-- J)&-595�)&--(5K)&-) )&59-- J)&590=�)&55./K )&5-@- J)&5555�)&-))5K

/) )&-= )&-099 J)&-0/-�)&-@/@K )&-@99 J)&-@00�)&-=/)K)&-- )&-5@. J)&-5/(�)&-5.-K )&-5-/ J)&-59(�)&--((K)&-) )&5-.9 J)&5-)9�)&-)/.K )&-)@0 J)&5-5=�)&-())K

0) )&-= )&-@=) J)&-@)@�)&-@-@K )&-=)= J)&-@./�)&-=@9K)&-- )&-5-) J)&-5.-�)&--()K )&--(. J)&-5-9�)&--00K

�'��� � � �� �� ��� ��/��� �� �.�... ��� � ���� �.�... ��� � ����� ��� � �� � ����� � ���! ��������� ������ �� !�

!�� � �����!� ��� ����� ���#��� ����� ��

=)

Page 53: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

���� @3 ��:� �� � ���� ���� � ���� �� �� �������� ��� �+�� ������ � ������� @"� � G /�� G �� G ��

����'���� '������� �������� '�������6��� � A�������� -=E �1� A�������� -=E �1�

� ! � ��:� �� ��:� � ��:� �� ��:� � ��:�

)&() )&(.0- J)&(=.9�)&(9(/K )&()(0 J)&)-==�)&()90K= )&)= )&)--( J)&)-00�)&()=)K )&)=/= J)&)@5/�)&)=9)K

)&)( )&)/-= J)&)/.0�)&)0/-K )&))-/ J)&))9@�)&)((/K)&() )&(0/- J)&(/.0�)&(0-.K )&()@@ J)&)-5=�)&(()=K

)&)( () )&)= )&)9/5 J)&).95�)&)95)K )&)=/) J)&)@99�)&)=.@K)&)( )&)(9@ J)&)(@-�)&)/)(K )&))-5 J)&))5)�)&)((5K)&() )&((=- J)&()-9�)&(///K )&()0- J)&)-5)�)&(())K

/) )&)= )&)=-@ J)&)=@-�)&).@(K )&)=)- J)&)@.9�)&)==0K)&)( )&)(0- J)&)((9�)&)(.0K )&))-= J)&))99�)&)((=K)&() )&(((. J)&()==�)&((95K )&()@) J)&)-5(�)&(()(K

0) )&)= )&)=-- J)&)==0�)&)[email protected] )&)=0/ J)&)@5-�)&)=99K)&)( )&)(0) J)&)()-�)&)(=0K )&)((0 J)&))-0�)&)(0=K

)&() )&(.0- J)&(=.9�)&(9(/K )&)-5( J)&)-/0�)&()@)K= )&)= )&)-.( J)&)-)@�)&()/)K )&)@99 J)&)@0.�)&)=/)K

)&)( )&)/-( J)&)/=-�)&)0/=K )&)((/ J)&))-/�)&)(0@K)&() )&(00@ J)&(/.5�)&(@)(K )&()=@ J)&)--=�)&(((=K

)&)= () )&)= )&)9@/ J)&).-(�)&)9-@K )&)=/) J)&)@99�)&)=.@K)&)( )&)(5@ J)&)(=-�)&)/((K )&)((0 J)&))-0�)&)(0=K)&() )&((.0 J)&(()(�)&(//9K )&())- J)&)-=(�)&().-K

/) )&)= )&)=5- J)&)=@@�)&).0.K )&)=)0 J)&)@.(�)&)=@9K)&)( )&)(@5 J)&)(/=�)&)(90K )&)((- J)&))--�)&)(@(K)&() )&().@ J)&())@�)&((/=K )&()). J)&)-@5�)&()..K

0) )&)= )&)=.0 J)&)=(-�)&).)-K )&)=)@ J)&)@./�)&)=@5K)&)( )&)(// J)&)()(�)&)(@@K )&)()) J)&))5(�)&)(/)K

�/��� �� �.�... ��� � ���� �.�... ��� � ����� ��� � �� � ����� � ���! ��������� ������ �� !��

=(

Page 54: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

���� @ � �� ���3 ��:� �� � ���� ���� � ���� �� �� �������� ��� �+�� ������ � ������� @"�� G /� � G �� G ��

����'���� '������� �������� '�������6��� � A�������� -=E �1� A�������� -=E �1�

� ! � ��:� �� ��:� � ��:� �� ��:� � ��:�

)&() )&(.95 J)&(.)=�)&(9=/K )&()/. J)&)-.9�)&()5.K= )&)= )&())- J)&)-=(�)&().-K )&)=(@ J)&)@9/�)&)==5K

)&)( )&)/-) J)&)/=5�)&)0/@K )&))-@ J)&))9.�)&)((@K)&() )&(/59 J)&(///�)&(0=0K )&)-.@ J)&)-)9�)&()/0K

)&(= () )&)= )&).9= J)&)./9�)&)9/=K )&)@-5 J)&)@=.�)&)=@(K)&)( )&)(.- J)&)(@=�)&)(-=K )&)()- J)&))-)�)&)(0)K)&() )&((/5 J)&().9�)&((-(K )&)--. J)&)-05�)&()==K

/) )&)= )&)=59 J)&)=@/�)&).0@K )&)@-9 J)&)@==�)&)=@)K)&)( )&)(@. J)&)(/0�)&)(9)K )&)()( J)&))5/�)&)(//K)&() )&().@ J)&())@�)&((/=K )&())( J)&)-@0�)&().(K

0) )&)= )&)=9) J)&)=/=�)&).(.K )&)=)- J)&)@.9�)&)==0K)&)( )&)(/@ J)&)()0�)&)(@9K )&))-. J)&))95�)&)((.K

)&() )&(.@0 J)&(=9(�)&(9(.K )&()() J)&)-=/�)&()9)K= )&)= )&)--@ J)&)-0.�)&()=0K )&)=(= J)&)@90�)&)==-K

)&)( )&)/-5 J)&)/..�)&)00/K )&)()0 J)&))5@�)&)(/@K)&() )&(/9= J)&(/()�)&(0@(K )&)-5@ J)&)-/.�)&()@0K

)&/= () )&)= )&)9)( J)&).=/�)&)9=/K )&)@-9 J)&)@==�)&)=@)K)&)( )&)(.9 J)&)(@0�)&)(-0K )&))-@ J)&))9.�)&)((@K)&() )&(()( J)&()@)�)&((.0K )&)-.. J)&)-)-�)&()/=K

/) )&)= )&)=5) J)&)=0=�)&)./9K )&)@.9 J)&)@/9�)&)=)-K)&)( )&)(/( J)&)()(�)&)(@0K )&))-) J)&))9/�)&)()-K)&() )&((/@ J)&().0�)&((59K )&()@5 J)&)-5-�)&(()-K

0) )&)= )&)=5- J)&)=@@�)&).0.K )&)=/- J)&)@5.�)&)=9@K)&)( )&)(/) J)&)())�)&)(@/K )&))-( J)&))90�)&)(((K

)&() )&(../ J)&(=-)�)&(90.K )&)--9 J)&)-0-�)&()=.K= )&)= )&)-55 J)&)-0)�)&()@9K )&)=(( J)&)@.-�)&)===K

)&)( )&)/-. J)&)/.@�)&)00)K )&))-0 J)&))9=�)&)((0K)&() )&(0/( J)&(/==�)&(055K )&()@( J)&)-5/�)&(()/K

)&@) () )&)= )&)9@/ J)&).-(�)&)9-@K )&)=(0 J)&)@9(�)&)==9K)&)( )&)(5) J)&)(==�)&)/)9K )&)()( J)&))5/�)&)(//K)&() )&()-- J)&()05�)&((.(K )&)-9/ J)&)-(=�)&()0(K

/) )&)= )&).)- J)&)=.0�)&).=9K )&)=(( J)&)@.-�)&)===K)&)( )&)(@/ J)&)(/)�)&)(..K )&)()= J)&))5.�)&)(/.K)&() )&()@9 J)&)-55�)&(()5K )&)-9. J)&)-(-�)&()0=K

0) )&)= )&)=@. J)&)=)/�)&)=-(K )&)@-) J)&)@@-�)&)=00K)&)( )&)(/@ J)&)()0�)&)(@9K )&)()0 J)&))5@�)&)(/@K

�/��� �� �.�... ��� � ���� �.�... ��� � ����� ��� � �� � ����� � ���! ��������� ������ �� !��

=/

Page 55: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

���� =3 �� $�� � � ����� � � ���� � �� �������� ������ �� � ����� �����������'�'����� � ������ � ������� ."� � G /� � G �� G ��

����'���� '������� �������� '�������6��� � A�������� -=E �1� A�������� -=E �1�

� ! � �����%� �� �����%� � �����%� �� �����%� � �����%�

)&-) )&5)-( J)&5)(0�)&5(.9K )&5-5( J)&5-/(�)&-)@)K= )&-= )&55=) J)&5959�)&5-(/K )&-@95 J)&-@0@�)&-=/(K

)&-- )&-./- J)&-=-(�)&-..=K )&--)0 J)&-550�)&--/(K)&-) )&5=50 J)&5=(@�)&5.=(K )&5-9= J)&5-(=�)&-)0@K

)&)( () )&-= )&-//0 J)&-(9)�)&-/9=K )&-=)) J)&-@=.�)&-=@/K)&-- )&-95@ J)&-9==�)&-5(/K )&-5-9 J)&-59.�)&--(.K)&-) )&5500 J)&59.-�)&55-=K )&-))- J)&5-=)�)&-).9K

/) )&-= )&-09@ J)&-0/.�)&-@/(K )&-@5= J)&-@@(�)&-=/9K)&-- )&-5.) J)&-50.�)&-55/K )&-5-9 J)&-59.�)&--(.K)&-) )&559/ J)&55)-�)&5-00K )&-))) J)&5-@)�)&-)=5K

0) )&-= )&-@0- J)&-0-0�)&-@50K )&-=(= J)&-@9/�)&-==.K)&-- )&-55/ J)&-5.)�)&--)/K )&--)@ J)&-55@�)&--//K

)&-) )&5(0@ J)&5)=9�)&5/()K )&-)/. J)&5-.9�)&-)50K= )&-= )&555- J)&55/9�)&5-=)K )&-=). J)&[email protected]�)&-=@5K

)&-- )&-.=0 J)&-.(.�)&-.55K )&--(/ J)&-5-0�)&--/-K)&-) )&5=9@ J)&5=)=�)&5.@/K )&5-5@ J)&5-/@�)&-)@/K

)&)= () )&-= )&-(-9 J)&-(@0�)&-/@-K )&-@-. J)&-@=/�)&-=05K)&-- )&-9-- J)&-99(�)&-5/.K )&-5-0 J)&-59/�)&--(/K)&-) )&595- J)&59/@�)&55=/K )&5-90 J)&5-(0�)&-)0/K

/) )&-= )&-00( J)&-/5(�)&-09-K )&-@99 J)&-@00�)&-=/)K)&-- )&-5@5 J)&-5/0�)&-59(K )&-559 J)&-5.=�)&--)9K)&-) )&55.@ J)&55)(�)&5-/=K )&-))5 J)&5-@-�)&-)..K

0) )&-= )&-@(9 J)&-09)�)&-@./K )&-@-/ J)&-@@5�)&-=0@K)&-- )&-595 J)&-5=.�)&-5--K )&--(@ J)&-5-=�)&--0(K

�/��� �� �.�... ��� � ���� �.�... ��� � ����� ��� � �� � ����� � ���! ��������� ������ �� !�!�� � �����!� ��� ����� ���#��� ����� ��

=0

Page 56: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

���� = � �� ���3 �� $�� � � ����� � � ���� � �� �������� ������ �� � ���������������� '�'����� � ������ � ������� ."� � G /� � G �� G ��

����'���� '������� �������� '�������6��� � A�������� -=E �1� A�������� -=E �1�

� ! � �����%� �� �����%� � �����%� �� �����%� � �����%�

)&-) )&5(@. J)&5).-�)&5///K )&-)(/ J)&5-=0�)&-)9)K= )&-= )&5550 J)&55/(�)&5-@@K )&-@-- J)&-@==�)&-=@(K

)&-- )&-.=) J)&-.(0�)&-.5=K )&--)) J)&-55)�)&--(-K)&-) )&5=-. J)&5=/9�)&5..0K )&-)() J)&5-=(�)&-).5K

)&(= () )&-= )&-/05 J)&-(5=�)&-/5-K )&-=(9 J)&-@9@�)&-==5K)&-- )&-5/. J)&-9--�)&-5=(K )&--)- J)&-55-�)&--/9K)&-) )&55=0 J)&59-)�)&5-(=K )&-)0= J)&5-9.�)&-)-/K

/) )&-= )&-0-( J)&-0@0�)&-@09K )&-=(. J)&-@90�)&-==9K)&-- )&-59= J)&-5=/�)&-5-.K )&--)5 J)&-555�)&--/.K)&-) )&5-)) J)&5505�)&5-.(K )&-)0( J)&5-9/�)&-)55K

0) )&-= )&-@/9 J)&-05(�)&-@9/K )&-=). J)&[email protected]�)&-=@5K)&-- )&-5.- J)&-5@.�)&-5-)K )&-5-0 J)&-59/�)&--(/K

)&-) )&5(.0 J)&5)5.�)&5/05K )&5-5= J)&5-/=�)&-)@0K= )&-= )&5550 J)&55/(�)&5-@@K )&-@9- J)&-@0=�)&-=//K

)&-- )&-.=5 J)&-./(�)&-.-0K )&--)@ J)&-55@�)&--//K)&-) )&5.)0 J)&5=0@�)&5.9)K )&5-59 J)&5-/9�)&-)@=K

)&/= () )&-= )&-/0( J)&-(95�)&-/5/K )&-=(/ J)&[email protected]�)&-==0K)&-- )&-5)@ J)&-99.�)&-50)K )&-5-) J)&-5.-�)&--()K)&-) )&5555 J)&55/.�)&5-@-K )&-)9) J)&-)(/�)&-(/.K

/) )&-= )&-@// J)&-09=�)&[email protected] )&-=@) J)&-@-5�)&-=5)K)&-- )&-599 J)&-5=@�)&-5-5K )&--(( J)&-5-/�)&--/5K)&-) )&555. J)&55/@�)&5-@9K )&5--. J)&5-0.�)&-)=@K

0) )&-= )&-@@( J)&-0-=�)&-@5=K )&-=/( J)&-@95�)&-=./K)&-- )&-59( J)&-5@5�)&-5-/K )&-5-= J)&-59@�)&--(@K

)&-) )&50=) J)&5/99�)&5@//K )&-((/ J)&-)==�)&-(.9K= )&-= )&-)0/ J)&5-90�)&-)5-K )&-=./ J)&-=/(�)&-.)(K

)&-- )&-9/( J)&-.55�)&-9=/K )&--/( J)&--)0�)&--09K)&-) )&5.== J)&5=59�)&59/(K )&5-9= J)&5-(=�)&-)0@K

)&@) () )&-= )&-/@. J)&-(-0�)&-/-9K )&-@5/ J)&-@05�)&-=/=K)&-- )&-9-0 J)&-9.@�)&-5/)K )&-559 J)&-5.=�)&--)9K)&-) )&555( J)&55(5�)&5-@/K )&-)(- J)&5-.)�)&-)99K

/) )&-= )&-@/) J)&-090�)&-@.=K )&-=09 J)&-@-=�)&-=99K)&-- )&-55/ J)&-5.)�)&--)/K )&--(( J)&-5-/�)&--/5K)&-) )&5-/= J)&55.@�)&5-5=K )&-)/( J)&5-./�)&-)95K

0) )&-= )&-@@. J)&-@))�)&-@-)K )&-=)5 J)&-@.=�)&-==)K)&-- )&-550 J)&-5.(�)&--)0K )&--)/ J)&-55/�)&--/)K

�/��� �� �.�... ��� � ���� �.�... ��� � ����� ��� � �� � ����� � ���! ��������� ������ �� !�!�� � �����!� ��� ����� ���#��� ����� ��

=@

Page 57: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

order

Xyl

an p

erce

nt

0 20 40 60 80 100

02

46 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

••••••••••••••••••••••••••••••••

order

Xyl

an p

erce

nt

0 20 40 60 80 100

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

•••

••

••

•••

•••

••

••••

••

••••

••••••

•••

••••

••

•••••••

••••

•••

••••

•••••

••••••

•••

••

•••

•••

������ �� �� �� ���� ������� ��� ��� � ���� �����

��

Page 58: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

Xyl

an p

erce

nt

������ �� ������ �� ��� ���� ���� ��� ��� �����

Page 59: Confidence Bounds and Hypothesis Tests for Normal ...Keywords: coefficient of variation, signal to noise ratio, risk to return ratio, one-step Newton estimators, Newton’s method,

������ !� "�# ���� ��� � �� � �� ��� �$����� �� � �������� �� ���������

�%