computer derive+complex reaction

8/6/2019 Computer Derive+Complex Reaction

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B i o c h e m . J . ( 1 9 8 8 ) 2 5 1 , 1 7 5 - 1 8 1 ( P r i n t e d i n G r e a t B r i t a i n )T h e c o m p u t e r i z e d d e r i v a t i o n o f r a t e e q u a t i o n s f o r enzymer e a c t i o n s on t h e b a s i s o f t h e p s e u d o - s t e a d y - s t a t e a s s u m p t i o n a n dt h e r a p i d - e q u i l i b r i u m a s s u m p t i o nH a r u o I S H I K A W A , * M T a k e k a z u MAEDA,* H a r u o HIKITA* a n d K a z u t a k a MIYATAKEt* D e p a r t m e n t o f C h e m i c a l E n g i n e e r i n g a n d t D e p a r t m e n t o f A g r i c u l t u r a l C h e m i s t r y , U n i v e r s i t y o f O s a k a P r e f e c t u r e ,8 0 4 M o z u - U m e m a c h i 4 - c h o , S a k a i , O s a k a , J a p a n

A c o m p u t e r p r o g r a m i s d e v e l o p e d f o r t h e d e r i v a t i o n o f t h e r a t e e q u a t i o n f o r e n z y m e r e a c t i o n s o n t h e b a s i so f t h e p s e u d o - s t e a d y - s t a t e a s s u m p t i o n a n d t h e c o m b i n a t i o n o f t h e p s e u d o - s t e a d y - s t a t e a n d t h e r a p i d -e q u i l i b r i u m a s s u m p t i o n s . T h e p r o g r a m n o t o n l y h a s a n e a s y i n p u t m e t h o d , b u t a l s o c a n o b t a i n a c o m p l e t er a t e e q u a t i o n i n i t s e l f o n o n l y o n e r u n . T h e u s e f u l n e s s o f t h e p r o g r a m i s d e m o n s t r a t e d b y d e r i v i n g t h e r a t ee q u a t i o n s f o r s o m e t y p i c a l e n z y m e r e a c t i o n s . D e t a i l s o f t h e p r o g r a m h a v e b e e n d e p o s i t e d a s S u p p l e m e n t a r yP u b l i c a t i o n SUP 5 0 1 4 1 ( 4 2 p a g e s ) a t t h e B r i t i s h L i b r a r y L e n d i n g D i v i s i o n , B o s t o n S p a , W e t h e r b y , W e s tY o r k s h i r e L S 2 3 7 Q B , U . K . , f r o m whom c o p i e s ma y b e o b t a i n e d a s i n d i c a t e d i n B i o c h e m . J . ( 1 9 8 8 ) ,2 4 9 , 5 .

INTRODUCTIONT h e r a t e e q u a t i o n o f a n e n z y m e r e a c t i o n i s u s u a l l yd e r i v e d b y t h e f o l l o w i n g p r o c e d u r e . F i r s t , we w r i t e t h ei n d i v i d u a l r a t e o f t h e c o n c e n t r a t i o n c h a n g e f o r e a c h o ft h e s p e c i e s i n v o l v e d , a n d s e t t h e r a t e o f c o n c e n t r a t i o nc h a n g e f o r e a c h e n z y m e f o r m t o z e r o a c c o r d i n g t o t h ep s e u d o - s t e a d y - s t a t e a s s u m p t i o n . B y r e p l a c i n g o n e o ft h e s e p s e u d o - s t e a d y - s t a t e e q u a t i o n s b y t h e e n z y m ec o n s e r v a t i o n e q u a t i o n , we c a n o b t a i n t h e c o n c e n t r a t i o n sf o r a l l t h e e n z y m e f o r m s i n t e r m s o f t h e m e a s u r a b l ec o n c e n t r a t i o n s o f t h e s u b s t r a t e s a n d t h e p r o d u c t s , t h et o t a l e n z y m e c o n c e n t r a t i o n a n d t h e i n d i v i d u a l r a t ec o n s t a n t s . F i n a l l y , we s u b s t i t u t e t h e s e r e l a t i o n s i n t o t h er a t e o f t h e c o n c e n t r a t i o n c h a n g e o f o n e o f t h e s u b s t r a t e so r t h e p r o d u c t s . T h e a b o v e s t e p i n w h i c h t h e c o n c e n -t r a t i o n s o f e a c h e n z y m e i s d e r i v e d r e d u c e s t o s o l v i n g ns i m u l t a n e o u s a l g e b r a i c e q u a t i o n s , t h e n u m b e r n b e i n ge q u i v a l e n t t o t h a t o f t h e e n z y m e f o r m s . T h i s c a n b e e a s i l yd o n e b y a p p l y i n g C r a m e r ' s r u l e . H o w e v e r , i f n a n d t h en u m b e r o f r e a c t i o n r a t e c o n s t a n t s i n c r e a s e , s o l v i n g t h ee q u a t i o n s m e n t i o n e d a b o v e i s e x t r e m e l y t e d i o u s a n dp r o n e t o human e r r o r . T h e r e f o r e a l o t o f m e t h o d s t h a tc a n d e r i v e r a t e e q u a t i o n s w i t h e a s e h a v e b e e n p r o p o s e d .K i n g & A l t m a n ( 1 9 5 6 ) d e v e l o p e d a s c h e m a t i c t e c h -n i q u e , b a s e d o n t h e d e t e r m i n a n t m e t h o d , f o r o b t a i n i n gt h e r a t e e q u a t i o n s f o r e n z y m e - c a t a l y s e d r e a c t i o n s w i t ha n y n u m b e r o f i n t e r m e d i a t e e n z y m e c o m p l e x e s . T h i s i s ,i n e f f e c t , a s e t o f g e o m e t r i c r u l e s d e s i g n e d t o s i m p l i f y a na l g e b r a i c p r o c e d u r e . H o w e v e r , i f t h e m e c h a n i s m i sc o m p l i c a t e d a n d t h e n u m b e r o f e n z y m e f o r m s i sc o n s i d e r a b l e , e v e n t h e K i n g - A l t m a n m e t h o d i s l i k e l y t ob e t e d i o u s a n d p r o n e t o human e r r o r . T h e a b o v e m e t h o dc a n b e f u r t h e r s i m p l i f i e d b y t h e a p p l i c a t i o n o f t h e t h e o r yo f g r a p h s , a s s h o w n b y V o l k e n s t e i n & G o l d s t e i n( 1 9 6 6 ) .T h e o r e t i c a l l y t h e r a t e e q u a t i o n o f e n z y m e - c a t a l y s e dr e a c t i o n s c a n b e d e r i v e d on t h e b a s i s o f t h e p s e u d o -

s t e a d y - s t a t e a s s u m p t i o n e v e n i f t h e m e c h a n i s m s a r ee x t r e m e l y c o m p l i c a t e d o r t h e n u m b e r o f e n z y m e f o r m si n v o l v e d i s l a r g e . H o w e v e r , t h e p s e u d o - s t e a d y - s t a t et r e a t m e n t o f t h e c o m p l i c a t e d r e a c t i o n m e c h a n i s m s l e a d st o e q u a t i o n s a n d c o n s t a n t s s o c o m p l e x t h a t t h e b a s i ck i n e t i c p r o p e r t i e s o f t h e m e c h a n i s m ma y b e o b s c u r e d .T h e r e f o r e r a t e e q u a t i o n s d e r i v e d o n t h e b a s i s o f t h e r a p i d -e q u i l i b r i u m a s s u m p t i o n s a r e s o m e t i m e s more u s e f u l t h a nt h e p s e u d o - s t e a d y - s t a t e e q u a t i o n s . F o r t h i s r e a s o n Cha( 1 9 6 8 ) p r o p o s e d a s i m p l i f i e d m e t h o d t o d e r i v e r a t ee q u a t i o n s u n d e r e q u i l i b r i u m a s s u m p t i o n s o r t h e c o m b i -n a t i o n o f t h e p s e u d o - s t e a d y - s t a t e a n d t h e e q u i l i b r i u ma s s u m p t i o n s .F u l l y a u t o m a t i c v e r s i o n s o f t h e K i n g - A l t m a n m e t h o dw e r e p u b l i s h e d b y Lam & P r i e s t ( 1 9 7 2 ) a n d C o r n i s h -B o w d e n ( 1 9 7 7 ) . O t h e r c o m p u t e r i z e d m e t h o d s i n v o l v i n ge x p a n s i o n o f d e t e r m i n a n t s b y a p p l y i n g C r a m e r ' s r u l eh a v e a l r e a d y b e e n r e p o r t e d b y S i l v e s t r i & Z a h n e r ( 1 9 6 7 ) ,R h o a d s & P r i n g ( 1 9 6 8 ) , H u r s t ( 1 9 6 9 ) a n d H e r r i e s ( 1 9 8 4 ) .S i n c e i n t h e s e p r o g r a m s d e t e r m i n a n t s a r e e x p a n d e d i n as y s t e m a t i c m a n n e r , n o e r r o r s o c c u r , h o w e v e r c o m p l i c a t e dt h e m e c h a n i s m s . U n f o r t u n a t e l y , h o w e v e r , t h e s e c o m -p u t e r i z e d p r o g r a m s p r o d u c e e i t h e r t h e n u m e r a t o r o f t h er a t e e q u a t i o n o r t h e n u m e r a t o r o f t h e e x p r e s s i o n f o r t h ep r o p o r t i o n o f a n y s p e c i f i e d e n z y m e f o r m ( S i l v e s t r i &Z a h n e r , 1 9 6 7 ) , o r t h e n u m e r a t o r o r t h e d e n o m i n a t o r o ft h e r a t e e q u a t i o n s ( H e r r i e s , 1 9 8 4 ) . None o f t h e m p r o d u c e sa c o m p l e t e r a t e e q u a t i o n . F u r t h e r m o r e , a c o m p u t e r i z e dv e r s i o n o f t h e C h a m e t h o d h a s n o t b e e n p u b l i s h e d y e t .I n t h e p r e s e n t w o r k a v e r s a t i l e p r o g r a m , w h i c h h a s a ne a s y i n p u t m e t h o d a n d c a n o b t a i n a c o m p l e t e r a t ee q u a t i o n i n i t s e l f o n t h e b a s i s o f e i t h e r t h e p s e u d o -s t e a d y - s t a t e a s s u m p t i o n o r t h e c o m b i n a t i o n o f t h ep s e u d o - s t e a d y - s t a t e a n d t h e r a p i d - e q u i l i b r i u m a s s u m p -t i o n s o n o n l y o n e e x e c u t i o n , wa s w r i t t e n i n BASIC f o r ad e s k - t o p d i g i t a l c o m p u t e r , NEC PC 9 8 0 0 s e r i e s , w h i c hr u n s o n t h e o p e r a t i n g s y s t e m o f MS-DOS.

t To whom c o r r e s p o n d e n c e s h o u l d b e a d d r e s s e d .V o l . 2 5 1

1 7 5


2/7

H . I s h i k a w a a n d o t h e r sk l [ A ] k [ B ] k 5 k 7 k 9E N = EA s EAB ' EPQ i = = ' EQ i=" Ek 2 k , e 4 k 8 [ P ] k 1 o l Q ]

S c h e m e 1 .

PRINCIPLEI n t h i s p a p e r t h e p r o c e d u r e i s e x p l a i n e d b y t h ef o l l o w i n g t w o e x a m p l e s .

O r d e r e d B i B i m e c h a n i s m o n t h e b a s i s o f t h e p s e u d o -s t e a d y - s t a t e a s s u m p t i o nT h e r e a c t i o n i s e x p r e s s e d a s s h o w n i n S c h e m e 1 , w h e r eA a n d B e x p r e s s s u b s t r a t e s , a n d P a n d Q p r o d u c t s . T h ee n z y m e e x i s t s a s f o r m s o f E , E A , E Q , EAB a n d E P Q , a n dk 1 - k 1 o e x p r e s s t h e f i r s t - o r d e r o r s e c o n d - o r d e r r a t ec o n s t a n t s . S c h e m e 1 c o n s i s t s o f t h e f o l l o w i n g r e a c t i o n s :

k iA+E=EA ( 1 )k 2

I n t h e p r e s e n t r e a c t i o n s c h e m e , t h e t o t a l c h e m i c a l s p e c i e sa r e n i n e . T h e r e f o r e n i n e o f t h e t e n e q u a t i o n s , e q n s .( 6 ) - ( 1 5 ) , a r e i n d e p e n d e n t . F i v e s p e c i e s o f t h e n i n e a r ef r e e o r c o m p l e x f o r m s o f t h e e n z y m e a n d t h e i rc o n c e n t r a t i o n s c a n n o t b e m e a s u r e d . T h e r e f o r e t h e r a t ee q u a t i o n s s h o u l d b e e x p r e s s e d o n l y i n t e r m s o f t h em e a s u r a b l e c o n c e n t r a t i o n s o f t h e t w o s u b s t r a t e s , t h e t w op r o d u c t s a n d t h e t o t a l e n z y m e . T h i s c a n b e e a s i l y d o n eb y a p p l y i n g t h e p s e u d o - s t e a d y - s t a t e a s s u m p t i o n t o a n yf o u r o u t o f t h e f i v e e n z y m e f o r m s , a l l o f w h i c hc o n c e n t r a t i o n s c a n n o t b e m e a s u r e d .F o r e x a m p l e , l e t u s a p p l y t h e p s e u d o - s t e a d y - s t a t ea s s u m p t i o n t o t h e f o u r e n z y m e c o m p l e x e s E A , E Q , EABa n d EPQ o f t h e f i v e . T h i s i s e q u i v a l e n t t o s e t t i n g t h e l e f t -h a n d s i d e o f t h e e q u a t i o n s , n a m e l y e q n s . ( 1 0 ) 8 ( 1 3 ) , t oz e r o . C o m b i n i n g t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n s w i t h t h ec o n s e r v a t i o n e q u a t i o n o f e n z y m e , we c a n o b t a i n t h ec o n c e n t r a t i o n s f o r a l l t h e s e e n z y m e f o r m s i n t e r m s o f t h em e a s u r a b l e c o n c e n t r a t i o n s o f t h e s p e c i e s A , B , P a n d Q ,t h e t o t a l e n z y m e c o n c e n t r a t i o n [ E ] O a n d t h e r e a c t i o n r a t ec o n s t a n t s k l - k l o .T h e a b o v e p r o c e d u r e i s e q u i v a l e n t t o s o l v i n g t h ef o l l o w i n g m a t r i x e q u a t i o n :- ( k 6 + k 7 ) k 5 k 8 [ P ]k 6 - ( k 4 + k 5 ) 0k 7 0 - ( k 8 P ] + k g )0 k 4 01 1 1

k 3B+EA=EAB ( 2 )k 4

k 5EAB EPQ ( 3 )k 6k 7EPQ P + EQ ( 4 )k 8k 9EQ - = Q + E ( 5 )k i o

D i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r e x p r e s s i n g t h e c o n c e n t r a t i o nc h a n g e o f a l l t h e s p e c i e s i n v o l v e d a r e :d [ A ] / d t = - k l [ A ] [ E ] + k 2 [ E A ] ( 6 )d [ B ] / d t = - k 3 [ B ] [ E A ] + k 4 [ E A B ] ( 7 )d [ P ] / d t = k 7 [ E P Q ] - k 8 [ P ] [ E Q ] ( 8 )d [ Q ] / d t = k g [ E Q ] - k l o [ Q i E ] ( 9 )

d [ E A ] / d t = k l [ A ] [ E ] - k 2 [ E A ] - k 3 [ B ] [ E A ] + k J E A B ]( 1 0 )d [ E A B ] / d t = k 3 [ B ] [ E A ] - k 4 [ E A B ] - k j E A B ] + k 6 [ E P Q ]( 1 1 )d [ E P Q ] / d t = k j [ E A B ] - k 6 [ E P Q ] - k 7 [ E P Q ] + k 8 [ P ] [ E Q ]( 1 2 )

d [ E Q ] / d t = k 7 [ E P Q ] -k 8 [ P ] [ E Q ] -k g [ E Q ] + k j o [ Q ] [ E ]( 1 3 )d [ E ] / d t = - k l [ A ] [ E ] + k 2 [ E A ] + k 9 [ E Q ] - k j o [ Q ] [ E ] ( 1 4 )a n d t h e c o n s e r v a t i o n o f t h e e n z y m e i s g i v e n b y :

[ E ] o =[ E ] + [ E A ] + [ E A B ] + [ E P Q ] + [ E Q ] ( 1 5 )

0k 3 [ B ]0- ( k 2 + k 3 [ B ] )10 [ E P Q ] 00 [ E A B ] 0k l o [ Q ] [ E Q ] = 0k 1 [ A ] [ E A ] 01 [ E l [ E ] o

( 1 6 )

E q n . ( 1 6 ) c a n b e s o l v e d b y a p p l y i n g C r a m e r ' s r u l e , a n dt h e e x p r e s s i o n s f o r a l l t h e e n z y m e f o r m s c a n b e d e r i v e d .S u b s t i t u t i n g t h e s e r e s u l t i n g e x p r e s s i o n s i n t o t h e f u n d a -m e n t a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r t h e c o n c e n t r a t i o nc h a n g e s o f s p e c i e s A t o Q y i e l d s t h e r a t e s o f d e c r e a s e i nt h e c o n c e n t r a t i o n s o f t h e s u b s t r a t e s A a n d B o r t h e r a t e so f i n c r e a s e i n . h e c o n c e n t r a t i o n s o f t h e p r o d u c t s P a n dQ . U s u a l l y , e x c e p t f o r s p e c i e s s u c h a s m o d i f i e r t h a t d o n o tc h a n g e c h e m i c a l l y , t h e c o n s u m p t i o n r a t e s o f a l l t h es u b s t r a t e s a g r e e w i t h e a c h o t h e r , a n d f u r t h e r m o r e w i t ht h e p r o d u c t i o n r a t e s o f a l l t h e p r o d u c t s , w h i c h a l s o a g r e ew i t h e a c h o t h e r ( H e r r i e s , 1 9 8 4 ) , w h e n t h e p s e u d o - s t e a d y -s t a t e a s s u m p t i o n h o l d s . T h e r e f o r e i t i s s u f f i c i e n t t o d e r i v et h e r a t e e q u a t i o n f o r o n e o f t h e s u b s t r a t e s o r p r o d u c t s .To s o l v e t h e a b o v e m a t r i x e q u a t i o n b y u s i n g ac o m p u t e r i s s i m p l e i n p r i n c i p l e a n d i s n o t s u b j e c t t oe r r o r . T h e r e f o r e , f r o m t h e p o i n t o f a c c u r a c y , i t i ss u p e r i o r t o t h e K i n g - A l t m a n m e t h o d , b e c a u s e i n t h el a t t e r m e t h o d i t i s o f t e n d i f f i c u l t f o r u s t o j u d g e w h e t h e rt o t a k e i n t o c o n s i d e r a t i o n o r r e j e c t t h e i n d i v i d u a l t e r m s .H o w e v e r , f r o m t h e p o i n t o f t h e c o m p u t e r t i m e r e q u i r e df o r e x e c u t i o n , t h e f o r m e r m e t h o d ma y b e i n f e r i o r t o t h el a t t e r o n e . H o w e v e r , t h i s d e f e c t i s n o t s e r i o u s .I n t h i s t y p e o f p r o g r a m , t h e i n p u t a n d o u t p u t m e t h o d sa r e e s p e c i a l l y i m p o r t a n t . T h e i n p u t s h o u l d b e a s s i m p l ea n d e a s y a s p o s s i b l e , a n d n o t b e p r o n e t o e r r o r . A s t o t h eo u t p u t , t h e f i n a l f o r m o f t h e r a t e e q u a t i o n s h o u l d b ep r i n t e d o u t .D e r i v i n g a m a t r i x e q u a t i o n s u c h a s e q n . ( 1 6 ) f r o m t h ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i s n o t u s u a l l y d i f f i c u l t , a n d t h e r e f o r eo n e c a n s t a r t t h e p r o g r a m b y i n p u t t i n g t h e m a t r i xe l e m e n t s i n t o t h e c o m p u t e r a s t h e d a t a . H o w e v e r , i n t h ep r e s e n t w o r k , we w r o t e a p r o g r a m i n w h i c h we c a nc h o o s e e i t h e r o f t w o i n p u t m e t h o d s , i n p u t t i n g t h e m a t r i x

1 9 8 8

1 7 6


3/7

C o m p u t e r i z e d d e r i v a t i o n o f r a t e e q u a t i o n s f o r e n z y m e r e a c t i o n s150001501015020150301504015050150601507015080

DATA 5 : ' Number of the Elementary Reaction StepsI "Reactants","Products","Rate Constant of the Forward Reaction"I "Rate Constant o f the Backword Reaction"DATA "E+A","EA","kOl","kO2"DATA " E A + B " , " E A B " , " k O 3 " , " k O 4 "DATA "EAB", " E P Q " , 1 " k O 5 " , " k O 6 "DATA "EPQ","EQ+P","kO7","kO8"DATA "EQ","E+Q","k09","klO"DATA " P " : ' Name of Species For which Reaction Rate i s Derived.F i g . 1 . I n p u t d a t a

T h e n u m b e r o f t h e e l e m e n t a r y r e a c t i o n s t e p s , t h e r e a c t a n t s a n d t h e p r o d u c t s a n d t h e r a t e c o n s t a n t s a r e g i v e n a s t h e i n p u t d a t a ,a n d t h e s p e c i e s on w h i c h t h e r a t e e q u a t i o n i s b a s e d i s d e s i g n a t e d .Individual Reaction Steps ]

kO1 kO 3 kO5E+ A EA ( 1 ) EA+B EA B ( 2 ) EA B EP Q ( 3 )kO2 kO 4 kO6kO 7 kO 9EP Q < - - - - - - - - > EQ+P ( 4 ) EQ E+ Q ( 5 )kO8 kl O

F i g . 2 . P r i n t - o u t o f t h e e l e m e n t a r y r e a c t i o n s t e p s w i t h t h e i r r a t e c o n s t a n t s

e l e m e n t s a n d i n p u t t i n g t h e e l e m e n t a r y r e a c t i o n s t e p sw i t h t h e i r r a t e c o n s t a n t s .A s t o t h e o u t p u t , w e w r o t e t h e p r o g r a m s o t h a t t h ec o m p l e t e r a t e e q u a t i o n c a n b e p r i n t e d o u t o n o n e r u n .F i g . 1 s h o w s t h e i n p u t d a t a a c c o r d i n g t o t h e i n p u tm e t h o d i n w h i c h t h e e l e m e n t a r y r e a c t i o n s t e p s w i t h t h e i rr a t e c o n s t a n t s a r e g i v e n a s t h e i n p u t s t a t e m e n t , a n d t h e s ea r e c o n f i r m e d t o b e c o r r e c t b y F i g . 2 , w h i c h s h o w s t h ep r i n t - o u t o f t h e e l e m e n t a r y r e a c t i o n s t e p s . F i g . 3 s h o w st h e t y p i c a l o u t p u t , i n w h i c h t h e r a t e e q u a t i o n d e r i v e da g r e e s c o m p l e t e l y w i t h t h e o n e d e r i v e d b y C l e l a n d( 1 9 6 3 ) .G e n e r a l m e c h a n i s m f o r t w o - s u b s t r a t e s y s t e m s b a s e d o nt h e c o m b i n a t i o n o f t h e p s e u d o - s t e a d y - s t a t e a n d t h er a p i d - e q u i l i b r i u m a s s u m p t i o n s

L e t u s c o n s i d e r S c h e m e 2 , w h i c h i s t h e s a m e s c h e m ea s t h a t c o n s i d e r e d b y C h a ( 1 9 6 8 ) . H e r e k 1 - k 2 6 e x p r e s s t h ef i r s t - o r d e r o r s e c o n d - o r d e r r a t e c o n s t a n t s . T h e s i n g l e -l i n e d d o u b l e - h e a d e d a r r o w s * i n d i c a t e t h e e q u i l i b r i u ms t e p s a n d t h e d o u b l e - l i n e d s i n g l e - h e a d e d a r r o w s =e x p r e s s t h e s l o w r e a c t i o n s t e p s . T h e m e c h a n i s m i n v o l v e st e n e n z y m e - c o n t a i n i n g s p e c i e s a n d t h e f o l l o w i n g i n t e r -c o n v e r s i o n s t e p s : k- 1EAB EPQk2

( 1 7 )

, , N EB ,' a y ; 0

E EAB. +'

x

I x

k = Ik i - EPQk 2*1E

A EQk 2 3 k25[B]r F E' P - > ) E " 4 ) E ' Bk 2 4 [ p ] k26

S c h e m e 2 .

( 1 8 )

( 1 9 )( 2 0 )

( 2 1 )

( 2 2 )

( 2 3 )

( 2 4 )

( 2 5 )

( 2 6 )

( 2 7 )

( 2 8 )( 2 9 )

I n t h e a b o v e 1 3 s t e p s a l l t h e r e a c t i o n s e x c e p t t h e onesg i v e n b y e q n s . ( 1 7 ) - ( 1 9 ) are r a p i d a n d are i n e q u i l i b r i u m .I n o r d e r t o express t h e c o n c e n t r a t i o n s o f t h e s e enzymeV o l . 2 5 1

k 3EA=-E'Pk 4k 5E ' B = E Qk 6

k 7E+B*-EBk 8k 9EB + A * - . EABk 1 ok i lE + A + - . E Ak 1 2k 1 3EA + B * - . EABk , 4

k 1 5EPQ * - + EP + Qk 1 6k 1 7

EP- E+ Pk 1 8k 1 9EPQ * - + EQ + Pk 2 Ok 2 lE Q 4 - E E + Qk 2 2k 2 3E ' P < - . E ' + Pk24

k2 5E ' + B 4 - . E ' Bk 2 6

1 7 7

-A-


4/7

H . I s h i ka w a a n d o t h e r s[ Definition of R ate E qu a ti onV=dP/dt=+kO7[EPQI-kO8P[EQ]

[ Rate Equation Deri ved I+(kOlkO3kO5kO7kO9)*ABEo-(kO2kO4kO6kO8klO)*PQEoV ______________--+(kO2kO5kO7kO9+kO2kO4kO7kO9+kO2kO4kO6kO9)+(kO2kO4kO6kO8)*P+(k03kO5kO7kO9)tB+(kOlkO4kO7kO9+kOlkO4kO6kO9+kOlkO5kO7kO9)*A+(kO2kO5kO7klO+kO2kO4kO7klO+kO2kO4kO6klO)*Q+(kOlkO4kO6kO8)*AP+(kO3kO5kO7klO)*BQ+(kOlkO3kO6kO9+kOlkO3kO7kO9+kOlkO3kO5kO7+kOlkO3kO5kO9)*AB+(kO4kO6kO8klO+kO2kO6kO8klO+kO2kO5kO8klO+kO2kO4kO8klO)sPQ+(kOlkO3kO6kO8+kOlkO3kO5kO8)*ABP+(kO3kO6kO8klO+kO3kO5kO8klO)*BPQ

[ Total Time Requ i red for Processing0 hours 1 minutes 5 1 seconds

F i g . 3 . D e f i n i t i o n o f t h e r a t e e q u a t i o n a n d t h e d e r i v e d r a t e e q u a t i o n f o r t h e o r d e r e d B i B i m e c h a n i s m o n t h e b a s i s o f t h e p s e u d o - s t e a d y -s t a t e a s s u m p t i o nT h e t o p e q u a t i o n i s t h e d e f i n i t i o n o f t h e r a t e e q u a t i o n . T h e t e r m s a b o v e t h e b r o k e n l i n e s h o w t h e n u m e r a t o r , a n d t h e o n e s b e l o wt h e l i n e e x p r e s s t h e d e n o m i n a t o r o f t h e d e r i v e d r a t e e q u a t i o n v .

f o r m s i n t e r m s o f t h e c o n c e n t r a t i o n s o f t h e m e a s u r a b l es p e c i e s A , B , P a n d Q a n d t h e t o t a l e n z y m e c o n c e n t r a t i o n[ E ] , , t e n e q u a t i o n s a r e r e q u i r e d .F i r s t o f a l l , we d e r i v e t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s f r o m e q n s .( 2 0 8 2 9 ) , a l l o f w h i c h a r e i n e q u i l i b r i u m :

T h e c o n s e r v a t i o n o f e n z y m e i s g i v e n b y :[ E ] o = [ E ] + [ E ] + [ E A ] + [ E B ] + [ E P ] + [ E Q ] + [ E ' B ]+ [ E ' P ] + [ E A B ] + [ E P Q ] ( 4 0 )

[ E B ] =K 7 [ B ] [ E ] ,[ E A B ] = K 9 [ A ] [ E B ] ,[ E A ] = K l l [ A ] [ E ] ,[ E A B ] = K 1 3 [ B ] [ E A ] ,[ E P Q ] = K , 5 [ Q ] [ E P ] 9[ E P ] =K l P f f f l ,[ E P Q ] =K l g [ P ] [ E Q ] ,[ E Q ] =K 2 , [ Q ] [ E ] ,[ E ' P ] = K 2 3 [ P ] [ E ] ,[ E ' B ] = K - 2 5 [ B ] [ E ] ,

K 7 = k 7 / k 8K g = k g / k l oK l 1 = k l l / k l 2K 1 3 = k , 3 / k l 4K l 5 = k l 6 / k , 5K 1 7 = k , 8 / k l 7K 1 9 = k 2 0 / k l 9K 2 1 = k 2 2 / k 2 lK =k2 3 = k 2 4 / k 2 3K 2 5 = k 2 5 / k 2 6

( 3 0 ) N i n e o f t h e t e n r e q u i r e d e q u a t i o n s h a v e b e e n d e r i v e da b o v e . I n g e n e r a l , i f t h e r e a r e s o m e e n z y m e f o r m s t h a t( 3 1 ) a r e c o n n e c t e d t o o t h e r e n z y m e s p e c i e s o n l y b y s l o w s t e p s ,( 3 2 ) we c a n e a s i l y o b t a i n e q u a t i o n s r e l a t i n g t h e c h a n g e i nc o n c e n t r a t i o n o f t h e e n z y m e s p e c i e s i n t e r m s o f t h e( 3 3 ) c o n c e n t r a t i o n s o f o t h e r s p e c i e s o n t h e b a s i s o f t h e( 3 4 ) p s e u d o - s t e a d y - s t a t e a s s u m p t i o n , a s m e n t i o n e d i n t h ep r e c e d i n g s e c t i o n . I n t h e p r e s e n t s c h e m e t h e r e i s n o s u c h( 3 5 ) e n z y m e f o r m . T h e r e f o r e we m u s t d e r i v e a n a p p r o p r i a t ee q u a t i o n r e l a t e d t o t h e e n z y m e c o m p l e x e s b y u s i n g a( 3 6 ) d i f f e r e n t m e t h o d .( 3 7 ) I f t h e e x i s t e n c e o f t h e r a p i d - e q u i l i b r i u m r e a c t i o n s t e p si s t e m p o r a r i l y i g n o r e d , t h e c o n c e n t r a t i o n c h a n g e s f o r a l l( 3 8 ) t h e s p e c i e s i n v o l v e d a r e g i v e n b y :( 3 9 )H e r e K 7 - K 2 5 e x p r e s s t h e e q u i l i b r i u m c o n s t a n t s . S i n c e t h ec o n c e n t r a t i o n s o f t h e c o m p l e x e s EAB and EPQ ar e b o t hg i v e n b y two e q u a t i o n s , e i t h e r r e l a t i o n ca n b e u s e d .T h e r e f o r e e i g h t o f t h e t e n e q u a t i o n s are i n d e p e n d e n t .

d [ A ] / d t = - k 9 [ A ] [ E B ] + k l o [ E A B J - k l [ A ] [ E ] + k l 2 [ E A ]( 4 1 )d [ B ] / d t = - k 7 [ B ] [ E ] + k 8 [ E B ] - k , 3 [ B ] [ E A ] + k l 4 [ E A B ]- k 2 5 [ B ] [ E ' ] + k 2 6 [ E ' B J ( 4 2 )

1 9 8 8

1 7 8


5/7

C o m p u t e r i z e d d e r i v a t i o n o f r a t e e q u a t i o n s f o r e n z y m e r e a c t i o n sd [ P ] / d t = k 1 7 [ E P ] - k 1 8 [ P ] [ E ] + k l g [ E P Q ] - k 2 0 [ P ] [ E Q ]+ k 2 3 [ E ' P ] - k 2 4 [ P ] [ E ' ] ( 4 3 )d [ Q ] / d t = k , 5 [ E P Q ] - k 1 6 [ Q ] [ E P ] + k 2 l [ E Q ] - k 2 2 [ Q ] [ E ]( 4 4 )d [ E ] / d t = - k 7 [ B ] [ E ] + k 8 [ E B ] - k l [ A ] [ E ] + k 1 2 [ E A ]+ k 1 7 [ E P ] - k , 8 [ P ] [ E ] + k 2 l [ E Q ] - k 2 2 [ Q ] [ E ] ( 4 5 )d [ E ' ] / d t = k 2 3 [ E ' P ] - k 2 4 [ P ] [ E ' ] - k 2 5 [ B ] [ E ' ] + k 2 6 [ E ' B ]( 4 6 )

d [ E A ] / d t = - k 3 [ E A ] + k 4 [ E ' P ] + k l [ A ] [ E ] - k 1 2 [ E A ]- k 1 3 [ B ] [ E A ] + k 1 4 [ E A B ] ( 4 7 )

d [ E B ] / d t = k 7 [ B ] [ E ] - k 8 [ E B ] - k 9 [ A ] [ E B ] + k l o [ E A B ]( 4 8 )d [ E P ] / d t = k , 5 [ E P Q ] -k 1 6 [ Q ] [ E P ] -k 1 7 [ E P ] + k , 8 [ P ] [ E ]( 4 9 )d [ E Q ] / d t = k 5 [ E ' B ] - k 6 [ E Q ] + k l g [ E P Q ] - k 2 0 [ P ] [ E Q ]

- k 2 l [ E Q ] + k 2 2 [ Q ] [ E ] ( 5 0 )d [ E ' B ] / d t = - k 5 [ E ' B ] + k 6 [ E Q ] + k 2 5 [ B ] [ E i - k 2 6 [ E ' B ]( 5 1 )d [ E ' P ] / d t = - k 3 [ E A ] - k 4 [ E ' P ] - k 2 3 [ E ' P ] + k 2 4 [ P ] [ E ' ]( 5 2 )

d [ E A B ] / d t = k l [ E A B ] + k 2 [ E P Q ] + k 9 [ A ] [ E B ] - k l o [ E A B ]+ k 1 3 [ B ] [ E A ] - k 1 4 [ E A B ] ( 5 3 )d [ E P Q ] / d t = k l [ E A B ] - k 2 [ E P Q ] - k , 5 [ E P Q ] + k 1 6 [ Q ] [ E P ]- k l g [ E P Q ] + k 2 0 [ P ] [ E Q ] ( 5 4 )

A d d i n g e a c h s i d e o f e q n s . ( 4 5 ) , ( 4 7 ) - ( 5 0 ) , ( 5 3 ) a n d ( 5 4 )a n d e l i m i n a t i n g t h e t e r m s i n v o l v e d i n t h e r a p i d -e q u i l i b r i u m s t e p s y i e l d s :d [ E ] / d t + d [ E A ] / d t + d [ E B ] / d t + d [ E P ] / d t+ d [ E Q ] / d t + d [ E A B ] / d t + d [ E P Q ] / d t

= - k 3 [ E A ] + k 4 [ E ' P ] + k 5 [ E ' B ] - k 6 [ E Q ] ( 5 5 )E q n . ( 5 5 ) r e d u c e s t o :

d [ X ] / d t = - k 3 [ E A ] + k 4 [ E ' P ] + k 5 [ E ' B ] - k 6 [ E Q ] ( 5 6 )w h e r e [ X ] i s g i v e n b y

[ X ] = [ E ] + [ E A ] + [ E B ] + [ E P ] + [ E Q ] + [ E A B ] + [ E P Q ]( 5 7 )

When t h e p s e u d o - s t e a d y - s t a t e a s s u m p t i o n i s a p p l i e d t o[ X ] ( C h a , 1 9 6 8 ) , e q n . ( 5 6 ) y i e l d s :- k 3 [ E A ] + k 4 [ E ' P ] + k 5 [ E ' B ] -k 6 [ E Q ] = 0 ( 5 8 )E q n . ( 5 8 ) c a n a l s o b e o b t a i n e d f r o m e q n s . ( 4 6 ) , ( 5 1 ) a n d( 5 2 ) .C o m b i n i n g e q n s . ( 3 0 ) - ( 3 2 ) , ( 3 4 ) , ( 3 5 ) a n d ( 3 7 ) - ( 3 9 )w i t h e q n s . ( 4 0 ) a n d ( 5 8 ) r e d u c e s t o t h e m a t r i x e q u a t i o n ,a s s h o w n i n F i g . 4 . B y s o l v i n g i t , o n e c a n o b t a i n t h ec o n c e n t r a t i o n s f o r a l l t h e e n z y m e f o r m s i n t e r m s o f t h em e a s u r a b l e c o n c e n t r a t i o n s o f t h e s p e c i e s A , B , P a n d Q ,t h e t o t a l e n z y m e c o n c e n t r a t i o n [ E ] O , t h e r a t e c o n s t a n t sk - k 6 a n d t h e e q u i l i b r i u m c o n s t a n t s K 7 - K 2 5 .N e x t , w e d e r i v e t h e r a t e e q u a t i o n . W e d e f i n e t h er e a c t i o n r a t e v b y t h e r a t e o f p r o d u c t i o n o f t h e p r o d u c tP : v = d [ P ] / d t ( 5 9 )T h e r e f o r e v i s g i v e n b y e q n s . ( 4 3 ) a n d ( 5 9 ) . T h e r i g h t -h a n d s i d e o f e q n . ( 4 3 ) i s i n d e t e r m i n a t e , b e c a u s e a l l t h et e r m s a r e c o n c e r n e d w i t h t h e r a p i d - e q u i l i b r i u m s t e p s .T h e s e t e r m s c a n b e e l i m i n a t e d b y a d d i n g e a c h s i d e o fe q n s . ( 4 3 ) , ( 4 9 ) , ( 5 2 ) a n d ( 5 4 ) , a n d t h e r e s u l t a n t e q u a t i o ni s a s f o l l o w s :d [ P ] / d t + d [ E P ] / d t + d [ E ' P ] / d t + d [ E P Q ] / d t

= k 1 [ E A B ] - k 2 [ E P Q ] + k 3 [ E A ] - k 4 [ E ' P ] ( 6 0 )U n d e r u s u a l c o n d i t i o n s w h e r e t h e c o n c e n t r a t i o n o f t h ee n z y m e i s much l o w e r t h a n t h a t o f s u b s t r a t e s o r p r o d u c t s ,t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n h o l d s :

d [ P ] / d t > d [ E P ] / d t + d [ E ' P ] / d t + d [ E P Q ] / d t % 0 ( 6 1 )T h e r e f o r e e q n s . ( 5 9 ) a n d ( 6 0 ) r e d u c e t o :

v = k l [ E A B ] - k 2 [ E P Q ] + k 3 [ E A ] - k 4 [ E ' P ] ( 6 2 )E q n . ( 6 2 ) c o i n c i d e s w i t h t h e e q u a t i o n u s e d b y C h a( 1 9 6 8 ) .

E q n . ( 6 2 ) i s a l s o d e r i v e d b y t h e f o l l o w i n g p r o c e d u r e .F i r s t , o v e r a l l r a t e o f p r o d u c t i o n o f P i s e q u a t e d t o t h es u m m a t i o n o f t h e r a t e o f e a c h s t e p t h a t r e l e a s e s t h ep r o d u c t P . T h e n , i f a n y o f t h e p r o d u c t - r e l e a s i n g s t e p s a r ei n r a p i d e q u i l i b r i u m , we t r a c e u p t h e r e a c t i o n s t e p s u n t i la s l o w s t e p i s e n c o u n t e r e d . T h u s , i n t h e p r e s e n t e x a m p l e ,v i s d e r i v e d a s :V= P V E P Q * _ EQ+P +VEP E+P+ V E ' P E'+P

= V E P Q EQ+P + V E P Q EP+Q + V E ' P - + E'+PV E A B = EP Q + V E A = E ' P= k l [ E A B ] - k 2 [ E P Q ] + k 3 [ E A ] - k 4 [ E ' P ] ( 6 3 )

t Matrix E q u a t i o n I/ 1 0 0 0 - ( K 2 3 P ) 0 0 0 0 0 \/E'P\ /0\O 1 0 0 0 0 - ( K 1 5 0 ) 0 0 0 E P O 0O 0 1 0 - ( K 2 5 8 ) 0 0 0 0 0 E ' B 0O O 0 1 0 0 0 - ( K 0 9 A ) o o E A B Ok O 4 0 k O 5 0 0 - ( k O 6 ) 0 0 - ( k O 3 ) 0 E 'O O 0 0 0 1 0 - ( K 2 1 l ) E Q 0O O 0 0 0 0 1 0 0 - ( K 1 7 P ) E P 0O O 0 0 0 0 0 1 0 - ( K O S 7 ) E S 0O O 0 0 0 0 0 0 1 - ( K l 1 A ) E A 0\ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 /\E / \E./

F i g . 4 . M a t r i x e q u a t i o n d e r i v e d b y t h e c o m p u t e rK e x p r e s s e s t h e e q u i l i b r i u m c o n s t a n t K a n d i t s d e f i n i t i o n i s g i v e n i n F i g . 5 ; k e x p r e s s e s t h e r a t e c o n s t a n t k .

V o l . 2 5 1

1 7 9


6/7

H . I s h i k a w a a n d o t h e r s[ In d i v i d u a l R e a ca ion Steps ]

kO 1EA B < - - - - - - - - > EP Q ( 1 )kO 2kO 7E+ B < - - - - - - - - > EB :equil. ( 4 )kO 8k1 3

EA+B < - - - - - - - - > EAB :equil. ( 7 )k1 4k1 9EP Q < -------- > EQ+Pk2 0 :equil. (10)

kO3EA E' P ( 2 )kO 4kO 9EB+A < -- - -- - -- > EA B :equil. ( 5 )klO

kl 5EP Q < - - - - - - - - > EP+Q :equil. ( 8 )k1 6

k2 1EQ E+ Q :equil. (11)k2 2

kO 5E' B EQ ( 3 )kO6kl lE+ A < - - - - - - - - > EA :equil. ( 6 )k1 2

k1 7EP E+P :equil. ( 9 )k1 8

k2 3E' P < - - - - - - - - > E'+P :equil. (12)k24k2 5E'+B < - - - - - - - - > E' B :equil. (13)k2 6

[ Definition of E q u i l i b r i u m Constants II;07=kO7/kO8 , K09=kO9/klO , Kll=kll/kl2 , K13=kl3/kl4 , K15=kl6/kl5 , K 1 7 = kl 8 /kl 7A I I 9 = k 2 0 O / k 1 9 , K 2 1 = k 2 2 / k 2 1 , K 2 3 = k 2 4 / k 2 3 , K 2 5 = k 2 5 / k 2 6

F i g . 5 . P r i n t - o u t o f t h e e l e m e n t a r y r e a c t i o n s t e p s w i t h t h e i r r a t e c o n s t a n t sT h e r e a c t i o n s d e s i g n a t e d b y ' e q u i l . ' ar e i n t h e r a p i d e q u i l i b r i u m . T h e d e f i n i t i o n o f t h e e q u i l i b r i u m c o n s t a n t s i s g i v e n .

[ Definition of Rate Equation IV = d P / d t = + k O [ E A B ] - k O 2 [ E P Q ] + k O 3 [ E A ] - k O 4 [ E ' P ][ Rate Equation D e r i v e d I

+(kO3kO5KllK25)*ABEo-(kO4kO6K21K23)*PQEo+(kOlkO5K07K09K25)*ABBEo+(kOlkO4K07K09K23)*ABPEo-(kO2kO5K15K17K25)*BPQEo-(kO2kO4Kl5K17K23)*PPQEo

S u b s t i t u t i o n o f [ E A B ] , [ E P Q ] , [ E A ] a n d [ E ' P ] d e r i v e db y s o l v i n g t h e m a t r i x e q u a t i o n i n t o eqn. ( 6 2 ) or eqn. ( 6 3 )y i e l d s t h e r e q u i r e d r a t e e q u a t i o n .T h e p r o c e d u r e m e n t i o n e d a b o v e ca n e a s i l y b e com-p u t e r i z e d , a n d i s a c t u a l l y p r o c e s s e d b y t h e same programm e n t i o n e d i n t h e a b o v e s e c t i o n . H o w e v e r , i n t h i s case weh a v e t o i n p u t i n f o r m a t i o n i n t o t h e computer c o n c e r n i n gw h e t h e r t h e s c h e m e i n v o l v e s t h e r a p i d - e q u i l i b r i u m s t e p sa n d w h i c h s t e p s ar e i n e q u i l i b r i u m .F i g . 5 s h o w s t h e p r i n t - o u t o f t h e i n p u t t e d r e a c t i o ns t e p s , i n w h i c h t h e r a p i d - e q u i l i b r i u m s t e p s are d e s i g n a t e db y ' e q u i l . ' . A s a l r e a d y s h o w n i n F i g . 4 , t h e m a t r i xe q u a t i o n i s c o r r e c t l y d e r i v e d i n t h e c o m p u t e r . F i g . 6s h o w s t h e f i n a l p r i n t - o u t , i n w h i c h t h e r a t e e q u a t i o nd e r i v e d agrees w i t h t h e on e d e r i v e d b y C h a ( 1 9 6 8 ) .

+(kO6K21)*Q+(kO3Kll)*A+(lk05K25)*B+(kO4K23)*P+(kO5Ki K25+kO3KllK25)*AB+(kO5K07K25)*BB+(kO5K17K25+kO4K07K23)*BP+(kO5K2lK25+kO6K21K25)*BQ+(kO4KllK23+kO3K11K23)*AP+(kO4K17K23)*PP+(kO4K2lK23+kO6K21K23)*PQ+(kO5K07K09K25)*ABB+( kO 5K 1 5K 17K 2 5) *B P Q+(kO4K07K09K23)*ABP+( kO4K 15K 17K 2 3 ) *PP Q

[ Total Time R e q u i r e d for P ro ce s s in g0 hou r s 6 minutes 14 seconds

IMPLEMENTATIONT h e a b o v e - m e n t i o n e d p r o c e d u r e was p r o g r a m e d i nBASIC a n d wa s i m p l e m e n t e d on a d e s k - t o p c o m p u t e r ,NEC PC 9 8 0 0 s e r i e s , o f w h i c h t h e o p e r a t i n g s y s t e m i sMS-DOS. T h i s p rogr a m ca n b e r e w r i t t e n i n FORTRAN7 7 i n o r d e r t o r e d u c e t h e computer t i m e . I n t h e p r e s e n t

p r og r a m as many as 5 0 enzyme f o r m s ar e t h e o r e t i c a l l ya l l o w e d i f many o f t h e m a t r i x e l e m e n t s ar e zero, e x c e p tas l i m i t e d b y t h e memory s t o r a g e r e q u i r e m e n t s o f t h ec o m p u t e r e m p l o y e d . From t h e p o i n t o f memory s t o r a g er e q u i r e m e n t s , u p t o 2 0 0 0 t e r m s t h a t ar e p r o d u c e d b ye x p a n d i n g t h e d e t e r m i n a n t ca n b e p r o c e s s e d w i t h t h eNEC PC 9 8 0 1 E computer ( 5 1 2 k i l o b y t e s ) , a n d up t o2 0 0 0 0 t e r m s w i t h t h e same computer w i t h an e x t e r n a lmemory s t o r a g e ( a d i s c - d r i v e w i t h two 1 - m e g a b y t e d i s c s ) .I f t h e memory r e q u i r e d f o r p r o c e s s i n g e x c e e d s t h e

F i g . 6 . D e f i n i t i o n o f t h e r a t e e q u a t i o n a n d t h e d e r i v e d r a t ee q u a t i o n f o r t h e g e n e r a l i z e d t w o - s u b s t r a t e s y s t e m ( C h a ,1 9 6 8 ) on t h e b a s i s o f t h e c o m b i n a t i o n o f t h e p s e u d o -s t e a d y - s t a t e a n d t h e r a p i d - e q u i l i b r i u m a s s u m p t i o n s

1 9 8 8

1 8 0


7/7

C o m p u t e r i z e d d e r i v a t i o n o f r a t e e q u a t i o n s f o r e n z y m e r e a c t i o n s 1 8 1a v a i l a b l e o n e , t h e i m p l e m e n t a t i o n i s t o s t o p a f t e r p r i n t i n gt h e m e s s a g e ' M e m o r y o v e r ' .W e h a v e s u c c e s s f u l l y d e r i v e d t h e r a t e e q u a t i o n f o r ar e a c t i o n w i t h n i n e e n z y m e f o r m s a n d 2 0 k i n e t i c c o n s t a n t so n t h e b a s i s o f t h e p s e u d o - s t e a d y - s t a t e a s s u m p t i o n . I ft h e s c h e m e i n v o l v e s s o m e r a p i d - e q u i l i b r i u m s t e p s , t h er a t e e q u a t i o n b e c o m e s s i m p l e r . T h e r e f o r e i n t h i s c a s e t h en u m b e r o f e n z y m e f o r m s t h a t c a n b e p r o c e s s e d w i l la p p r o a c h t h e l i m i t m e n t i o n e d a b o v e .T h e p r o g r a m , t o g e t h e r w i t h i n p u t a n d o u t p u t e x a m p l e s ,a n d r u n n i n g i n s t r u c t i o n s , h a s b e e n d e p o s i t e d a s S u p p l e -m e n t a r y P u b l i c a t i o n SUP 5 0 1 4 1 a t t h e B r i t i s h L i b r a r yL e n d i n g D i v i s i o n .CONCLUSION

T h e p r o g r a m d e v e l o p e d i n t h e p r e s e n t w o r k i s b a s e do n t h e d e t e r m i n a n t m e t h o d , i n w h i c h t h e d e t e r m i n a n t i se x p a n d e d i n a s y s t e m a t i c m a n n e r . T h e r e f o r e t h e r e i s n oa m b i g u i t y i n t h e d e r i v a t i o n o f t h e r a t e e q u a t i o n s .A l l t h e p a s t c o m p u t e r i z e d p r o g r a m s e x c e p t t h e o n ed e v e l o p e d b y C o r n i s h - B o w d e n ( 1 9 7 7 ) c a n n o t d e r i v e t h er a t e e q u a t i o n w h e n t h e m e c h a n i s m i n v o l v e s t h e r a p i d -e q u i l i b r i u m s t e p s . T h e C o r n i s h - B o w d e n p r o g r a m , h o w -e v e r , r e q u i r e s s o m e p r e p a r a t i o n o f t h e d a t a f o r p r e s e n -t a t i o n t o t h e c o m p u t e r , w h i c h ma y c a u s e s o m e m i s t a k e sw h e n t h e m e c h a n i s m i s c o m p l i c a t e d .

S o m e m o r e f e a t u r e s o f o u r p r o g r a m c a n b e s u m m a r i z e da s f o l l o w s .1 . T h e p r o g r a m i s v e r s a t i l e a n d c a n d e r i v e t h e r a t ee q u a t i o n f o r t h e r e a c t i o n s i r r e s p e c t i v e o f w h e t h e r t h es c h e m e i n v o l v e s t h e r a p i d - e q u i l i b r i u m s t e p s o r n o t .2 . T h e p r o g r a m w a s w r i t t e n s o t h a t w e c a n c h o o s ee i t h e r o f t h e t w o i n p u t m e t h o d s , i n p u t t i n g t h e m a t r i xe l e m e n t s a n d i n p u t t i n g t h e e l e m e n t a r y r e a c t i o n s t e p sw i t h t h e i r r a t e c o n s t a n t s , t h e l a t t e r m e t h o d b e i n ge s p e c i a l l y s i m p l e a n d e a s y a n d n o t p r o n e t o humane r r o r .3 . A c o m p l e t e r a t e e q u a t i o n c a n b e o b t a i n e d o n o n er u n .REFERENCES-C h a , S . ( 1 9 6 8 ) J . B i o l . C h e m . 2 4 3 , 8 2 0 - 8 2 5C l e l a n d , W. W. ( 1 9 6 3 ) B i o c h i m . B i o p h y s . A c t a 6 7 , 1 0 4 - 1 3 7C o r n i s h - B o w d e n , A . ( 1 9 7 7 ) B i o c h e m . J . 1 6 5 , 5 5 - 5 9H e r r i e s , D . G . ( 1 9 8 4 ) B i o c h e m . J . 2 2 3 , 5 5 1 - 5 5 3H u r s t , R . 0 . ( 1 9 6 9 ) C a n . J . B i o c h e m . 4 7 , 9 4 1 - 9 4 4K i n g , E . L . & A l t m a n , C . ( 1 9 5 6 ) J . P h y s . C h e m . 6 0 , 1 3 7 5 - 1 3 7 8L a m , C . F . & P r i e s t , D . G . ( 1 9 7 2 ) B i o p h y s . J . 1 2 , 2 4 8 - 2 5 6R h o a d s , D . G . & P r i n g , M . ( 1 9 6 8 ) J . T h e o r . B i o l . 2 0 , 2 9 7 - 3 1 3S i l v e s t r i , A . J . & Z a h n e r , J . C . ( 1 9 6 7 ) C h e m . E n g . S c i . 2 2 ,4 6 5 - 4 6 7V o l k e n s t e i n , M. V . & G o l d s t e i n , B . N . ( 1 9 6 6 ) B i o c h i m .B i o p h y s . A c t a 1 1 5 , 4 7 1 - 4 7 7

R e c e iv e d 2 7 J u l y 1 9 8 7 / 2 9 S e p t e m b e r 1 9 8 7 ; a c c e p t e d 2 7 N o v e m b e r 1 9 8 7

V o l . 2 5 1

computer derive+complex reaction

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