combinatorics for computer scientists
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7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
1/195
BRICSLS-95-4
Breslauer&
Dubhash
i:CombinatoricsforComputerScientists
BRICSBasic Research in Computer Science
Combinatorics for
Computer Scientists
Dany Breslauer
Devdatt P. Dubhashi
BRICS Lecture Series LS-95-4
ISSN 1395-2048 August 1995
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7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
2/195
Copyright c 1995, BRICS, Department of Computer Science
University of Aarhus. All rights reserved.
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h t t p : / / w w w . b r i c s . a a u . d k / B R I C S /
f t p f t p . b r i c s . a a u . d k ( c d p u b / B R I C S )
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Com binatorics for C om puter Scientists
Dany BreslauerD evdatt P. Dubhashi
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D a n y B r e s l a u e r
D e v d a t t P . D u b h a s h i
B R I C S
1
D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e
U n i v e r s i t y o f A a r h u s
N y M u n k e g a d e
D K - 8 0 0 0 A a r h u s C , D e n m a r k
1
B a s i c R e s e a r c h I n C o m p u t e r S c i e n c e , C e n t r e o f t h e D a n i s h N a t i o n a l R e s e a r c h F o u n d a t i o n .
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P r e f a c e
T h e s e a r e i n f o r m a l l e c t u r e n o t e s f r o m t h e c o u r s e C o m b i n a t o r i c s f o r C o m p u t e r S c i e n t i s t s
t h a t w a s o e r e d a t A a r h u s U n i v e r s i t y i n S p r i n g 1 9 9 5 . A s a t e x t b o o k t h a t c o v e r s m a n y o f t h e
t o p i c s w e w e r e i n t e r e s t e d i n , w e r e c o m m e n e d e d :
J . H . v a n L i n t a n d R . M . W i l s o n , A C o u r s e i n C o m b i n a t o r i c s , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y
P r e s s , 1 9 9 2 ,
b u t w e e x t e n s i v e l y s u p p l e m e n t e d i t w i t h c l a s s n o t e s . T h e n o t e s , f o r m o s t p a r t , w e r e t a k e n b y
t h e s t u d e n t s p a r t i c i p a t i n g i n t h e c l a s s : P e e r D u s c h n e r , C l a u s G r e g e r s e n , T h o m a s H i l d e b r a n d t ,
L o n e O v e r g a a r d , T h e i s R a u h e , S r e n S k y u m a n d P e t e r U n o l d . W e h a v e t h e n e d i t e d t h e n o t e s ,
s o m e t i m e s r e o r d e r i n g p a r t s a n d o r g a n i z i n g t h e m i n a m o r e u n i f o r m f o r m a t .
T h e m a t e r i a l c o v e r e d i n t h e c o u r s e c a n b e g r o u p e d i n t o r o u g h l y t h r e e s e p a r a t e p a r t s
c o r r e s p o n d i n g t o t h e t h r e e p a r t s i n w h i c h t h e s e n o t e s a r e o r g a n i s e d .
E n u m e r a t i v e C o m b i n a t o r i c s : T h e p r i n c i p a l t o p i c s c o v e r e d w e r e t h e I n c l u s i o n E x c l u s i o n
f o r m u l a , M b i u s I n v e r s i o n a n d G e n e r a t i n g F u n c t i o n s . A s i d e f r o m t h e t e x t b o o k , t h e
p r i n c i p a l r e f e r e n c e s w e c o n s u l t e d f o r t h i s p a r t w e r e :
L . L o v s z , C o m b i n a t o r i a l P r o b l e m s a n d E x e r c i s e s ( 2 n d e d i t i o n ) , N o r t h H o l l a n d
P u b l i s h i n g C o m p a n y a n d A k a d m i a i K i o d , 1 9 9 3 .
D . E . K n u t h R . L . G r a h a m a n d O . P a t a s h n i k , C o n c r e t e M a t h e m a t i c s ( 2 n d e d i t i o n ) ,
A d d i s o n W e s l e y , 1 9 9 4 .
H . W i l f , G e n e r a t i n g f u n c t i o n o l o g y ( 2 n d e d i t i o n ) , A c a d e m i c P r e s s , 1 9 9 4 , .
R . P . S t a n l e y , E n u m e r a t i v e C o m b i n a t o r i c s , P a r t I , W a d s w o r t h a n d B r o o k s / C o l e ,
1 9 8 6 .
T h i s p a r t w a s t a u g h t m a i n l y b y D D
G r a p h T h e o r y : T h i s c o n s i s t e d o f a f a i r l y s t a n d a r d s e t o f t o p i c s i n G r a p h T h e o r y : T h e
m a i n r e f e r e n c e w e u s e d f o r t h i s p a r t w a s t h e f o l l o w i n g t e x t
J . A . B o n d y a n d U . S . R . M u r t y , G r a p h T h e o r y w i t h A p p l i c a t i o n s , M a c m i l l a n P r e s s ,
1 9 7 7 .
T h i s p a r t w a s t a u g h t m a i n l y b y D B .
L i n e a r A l g e b r a M e t h o d s : T h i s w a s a s o m e w h a t n o v e l p a r t o f t h e c o u r s e i n w h i c h w e
a i m e d t o s h o w h o w s o m e f a i r l y e l e m e n t a r y d i m e n s i o n a r g u m e n t s f r o m L i n e a r A l g e b r a
c o u l d b e t a k e n q u i t e f a r t o y i e l d n o n t r i v i a l r e s u l t s i n c o m b i n a t o r i c s . T h e m e t h o d w a s
i l l u s t r a t e d v i a a s e r i e s o f r e s u l t s r e l a t e d t o e x t r e m a l s e t t h e o r y . A n i c e a p p l i c a t i o n t h a t
t i e d i n w i t h t h e g r a p h t h e o r y p a r t w a s a c o n s t r u c t i v e p r o o f o f a R a m s e y l o w e r b o u n d .
T h e m a t e r i a l w a s m a i n l y b a s e d o n t h e f o l l o w i n g s e t o f n o t e s w h i c h i s t o a p p e a r a s a
t e x t b o o k i n t h e n e a r f u t u r e :
L . B a b a i a n d P . F r a n k l , L i n e a r A l g e b r a M e t h o d s i n C o m b i n a t o r i c s , U n i v e r s i t y o f
C h i c a g o , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e .
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A l s o f o r t h e p a r t o n m a t r o i d s , w e w e r e i n u e n c e d b y t h e t r e a t m e n t i n C h a p t e r 3 o f
D . K o z e n , T h e D e s i g n a n d A n a l y s i s o f A l g o r i t h m s , S p r i n g e r V e r l a g , 1 9 9 2 .
T h i s p a r t w a s t a u g h t b y D D .
T h e n o t e s f o r t h e c o r r e s p o n d i n g p a r t s r e e c t o u r i n d i v i d u a l s t y l i s t i c d i e r e n c e s .
D a n y B r e s l a u e r a n d D e v d a t t P . D u b h a s h i
A a r h u s , M a y 1 9 9 5
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C o n t e n t s
I E n u m e r a t i o n 1
1 I n c l u s i o n E x c l u s i o n 3
2 I n c l u s i o n E x c l u s i o n I I 9
3 M b i u s I n v e r s i o n 1 5
4 M b i u s I n v e r s i o n I I 2 5
5 G e n e r a t i n g f u n c t i o n s 3 1
6 G e n e r a t i n g f u n c t i o n s I I 3 9
7 Y e t m o r e o n G e n e r a t i n g f u n c t i o n s 4 7
8 P r o b a b i l i t y G e n e r a t i n g F u n c t i o n s 5 5
9 A c o i n i p p i n g g a m e 6 3
I I G r a p h T h e o r y 7 1
1 0 B a s i c s 7 3
1 0 . 1 G r a p h s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 3
1 0 . 2 S u b g r a p h s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 3
1 0 . 3 I s o m o r p h i s m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 4
1 0 . 4 I n c i d e n c e a n d a d j a c e n c y m a t r i c e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 4
1 0 . 5 P a t h s a n d c y c l e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 5
1 0 . 6 D e g r e e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 5
1 0 . 7 S p e c i a l g r a p h s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 6
1 1 T r e e s 7 9
1 1 . 1 C u t - v e r t i c e s a n d c u t - e d g e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 0
1 1 . 2 C a y l e y ' s f o r m u l a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 1
1 1 . 3 A p p l i c a t i o n : l o w e r b o u n d s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 6
v i i
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1 2 E u l e r i a n a n d H a m i l t o n i a n w a l k s 9 1
1 2 . 1 E u l e r t o u r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 1
1 2 . 2 H a m i l t o n c y c l e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 2
1 2 . 3 D e B r u i j n S e q u e n c e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 7
1 3 C o n n e c t i v i t y 1 0 1
1 3 . 1 C o n n e c t i v i t y a n d d e g r e e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 2
1 3 . 2 M e n g e r ' s T h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 3
1 4 M a t c h i n g 1 0 5
1 4 . 1 B e r g e ' s T h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 5
1 4 . 2 H a l l ' s T h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 6
1 4 . 3 K n i g T h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 7
1 4 . 4 T u t t e ' s T h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 8
1 5 E d g e c o l o u r i n g 1 1 3
1 5 . 1 V i z i n g ' s T h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1 4
1 6 C l i q u e s 1 1 9
1 6 . 1 R a m s e y ' s T h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2 0
1 6 . 2 T u r n ' s T h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2 2
1 7 V e r t e x c o l o u r i n g 1 2 5
1 7 . 1 C h r o m a t i c p o l y n o m i a l s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2 5
1 7 . 2 G i r t h : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2 7
1 8 P l a n a r g r a p h s 1 2 9
1 8 . 1 T h e d u a l g r a p h : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3 1
1 8 . 2 E u l e r ' s F o r m u l a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3 2
1 8 . 3 P l a t o n i c s o l i d s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3 5
1 8 . 4 K u r a t o w s k i ' s T h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3 6
1 8 . 5 C o l o u r i n g p l a n a r g r a p h s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3 6
1 9 P r o b l e m s 1 3 9
I I I L i n e a r A l g e b r a i n C o m b i n a t o r i c s 1 5 5
2 0 I n v i t a t i o n t o C l u b T h e o r y 1 5 7
2 0 . 1 A T a l e o f T w o C i t i e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 5 7
2 0 . 2 P h o n e s , n e t w o r k s a n d a d d r e s s i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 5 9
2 1 S o m e C l u b T h e o r y C l a s s i c s 1 6 3
2 2 M o r e C l u b T h e o r y 1 6 9
2 3 G r e e d y A l g o r i t h m s a n d M a t r o i d s 1 7 5
2 4 P r o b a b i l i t y S p a c e s w i t h L i m i t e d I n d e p e n d e n c e 1 8 1
v i i i
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P a r t I
E n u m e r a t i o n
1
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13/195
C h a p t e r 1
I n c l u s i o n E x c l u s i o n
I n t h e p r o p e r s p i r i t o f c o m b i n a t o r i c s , l e t u s b e g i n w i t h o n e o f t h e s i m p l e s t c o u n t i n g p r o b l e m s
p o s s i b l e : o f t h e 1 0 0 m e m b e r s o f D A I M I , 7 0 l i k e T u b o r g a n d 6 5 C a r l s b e r g . H o w m a n y l i k e
b o t h ?
1
T h e a n s w e r , 3 5 , i s o b t a i n e d b y a p p y l i n g t h e f o r m u l a :
A B = A + B ? A \ B ; ( 1 . 1 )
v a l i d f o r t w o a r b i t r a r y n i t e s u b s e t s o f a u n i v e r s a l s e t , U
L e t u s d e m o n s t r a t e w h y t h i s h o l d s ; i t w i l l g i v e u s a c h a n c e t o i n t r o d u c e s o m e h a n d y
n o t a t i o n . F i r s t , f o r a n y s u b s e t X U , w e h a v e ,
X =
X
x 2 X
1
=
X
x 2 U
x 2 X
=
X
x
x 2 X
N o t i c e t h a t a s u m m a t i o n i n d e x w i t h o u t c o n d i t i o n s r a n g e s o v e r a l l p o s s i b l e v a l u e s . A l s o , w e
h a v e c o m m a n d e e r e d t h e I v e r s o n n o t a t i o n f r o m A P L ,
P : =
1 ; i f P i s t r u e ;
0 ; o t h e r w i s e .
f o r a n a r b i t r a r y b o o l e a n p r o p e r t y , P . T h e n , ( 1 . 1 ) i s e q u i v a l e n t t o t h e a s s e r t i o n t h a t
X
x
x 2 A + x 2 B ? x 2 A B ? x 2 A \ B = 0
T h i s s u m i s i n d e e d z e r o f o r t h e t r i v i a l r e a s o n , t h a t e a c h s u m m a n d ,
f ( x ) : = x 2 A + x 2 B ? x 2 A B ? x 2 A \ B i s , a s t h e f o l l o w i n g t r u t h t a b l e c o n r m s :
x 2 A x 2 B x 2 A B x 2 A \ B f ( x )
0 0 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 1 0 0
1 1 1 1 0
1
S i l l y o b j e c t i o n s t h a t s o m e p e o p l e m i g h t n o t d r i n k a t a l l c a n b e d i s m i s s e d i n D e n m a r k !
3
-
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C h a p t e r 1 . I n c l u s i o n E x c l u s i o n
W h a t h a p p e n s i f w e a d d a t h i r d b r a n d o f l ? T h e f o r m u l a i s n o w ,
A B C = A + B + C ? B \ C ? C \ A ? A \ B + A \ B \ C
I n g e n e r a l , w i t h n 1 b r a n d s , t h a t i s , f o r A
1
; : : : A
n
U , t h e f o r m u l a i s :
A
1
A
n
=
X
i
A
i
?
X
i < j
A
i
\ A
j
+ + ( ? 1 )
n ? 1
A
1
\ \ A
n
M o r e c o m p a c t l y , w e c a n w r i t e t h i s f o r m u l a a s f o l l o w s
2
:
i 2 n
A
i
=
X
; 6= I n
( ? 1 )
I ? 1
\
i 2 I
A
i
( 1 . 2 )
T h i s f o r m u l a i s c a l l e d t h e i n c l u s i o n e x c l u s i o n f o r m u l a , a n d i s o n e o f t h e m o s t b a s i c p r i n c i p l e s
i n c o m b i n a t o r i c s . W e s h a l l p o s t p o n e t h e p r o o f o f e q u a t i o n ( 1 . 2 ) s o t h a t w e c a n i l l u s t r a t e h o w
i t i s u s e d .
T h e r e i s a n o t h e r f o r m o f t h e e q u a t i o n ( 1 . 2 ) t h a t i s s o m e t i m e s u s e f u l . S u p p o s e t h a t w e a r e
i n a s y m m e t r i c s i t u a t i o n w h e r e
T
i 2 I
A
i
=
T
j 2 J
A
j
w h e n e v e r I = J f o r I ; J n . T h u s ,
i f I = k , t h e n
T
i 2 I
A
i
d e p e n d s o n l y o n k . D e n o t e t h i s v a l u e b y a
k
. W e u s e t h e n o t a t i o n
?
n
k
t o d e n o t e t h e s e t o f a l l s u b s e t s o f n o f s i z e k . W e h a v e ,
X
; 6= I n
( ? 1 )
I ? 1
\
i 2 I
A
i
=
X
1 k n
X
I 2
(
n
k
)
( ? 1 )
I ? 1
\
i 2 I
A
i
=
X
1 k n
X
I 2
(
n
k
)
( ? 1 )
k ? 1
a
k
=
X
1 k n
( ? 1 )
k ? 1
a
k
X
I 2
(
n
k
)
1
=
X
1 k n
( ? 1 )
k ? 1
a
k
n
k
!
H e n c e , i n t h e s y m m e t r i c c a s e , t h e i n c l u s i o n e x c l u s i o n f o r m u l a r e a d s :
i 2 n
A
i
=
X
1 k n
( ? 1 )
k ? 1
a
k
n
k
!
( 1 . 3 )
E x a m p l e 1 A h u n d r e d D a n i s h f a n s g o t o s e e t h e E u r o p e a n f o o t b a l l c h a m p i o n s h i p s . A B r i a n
a n d M i c h a e l L a u d r u p c o m b i n a t i o n s e t s u p a g o a l , a n d t h e f a n s g o w i l d ! T h e y i n g t h e i r h a t s
i n t o t h e a i r . A g u s t o f w i n d c a t c h e s t h e h a t s a n d r e t u r n s t h e m i n a r a n d o m o r d e r t o t h e i r
o w n e r s . O n e o f t h e f a n s w h o i s a D A I M I p r o f e s s o r p o n d e r s o n t h e f o l l o w i n g p e r v e r s e q u e s t i o n :
h o w m a n y w a y s a r e t h e r e t o r e t u r n t h e h a t s i n s u c h a w a y t h a t n o b o d y g e t s h i s / h e r o w n h a t
b a c k ?
L e s s f r i v o l o u s l y , a p e r m u t a t i o n o n n 1 e l e m e n t s i s a o n e o n e a n d o n t o m a p p i n g :
n ! n . W e d e n o t e t h e s e t o f a l l p e r m u t a t i o n s o n n e l e m e n t s b y S
n
. T h e r e a r e a t o t a l o f n !
p e r m u t a t i o n s i n S
n
A d e r a n g e m e n t i s a p e r m u t a t i o n , s u c h t h a t ( i ) 6= i f o r e v e r y i 2 n
T h e p r o f e s s o r ' s q u e s t i o n i s : h o w m a n y d e r a n g e m e n t s , d
n
a r e t h e r e i n S
n
?
2
W e s h a l l u s e t h e n o t a t i o n n = f 1 ; : : : ; n g c o n s i s t e n t l y .
4
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
15/195
W e u s e t h e i n c l u s i o n e x c l u s i o n f o r m u l a a p p l i e d t o t h e u n i v e r s e S
n
. I t i s c r u c i a l t o c h o o s e
t h e s e t s A
i
j u d i c i o u s l y s o t h a t c o m p u t i n g
T
i 2 I
A
i
i s e a s y f o r e v e r y I n . T o t h i s e n d ,
w e c h o o s e , f o r e a c h i 2 n ,
A
i
: = f 2 S
n
( i ) = i g
T h e n ,
\
i 2 I
A
i
= f 2 S
n
( i ) = i f o r i 2 I g
H e n c e ,
\
i 2 I
A
i
= ( n ? I ) !
a n d w e a r e i n a s y m m e t r i c c a s e . A p p l y i n g e q u a t i o n ( 1 . 3 ) , w e g e t :
i
A
i
=
X
1 k n
( ? 1 )
k ? 1
( n ? k ) !
n
k
!
= n !
X
1 k n
( ? 1 )
k ? 1
k !
S u b t r a c t i n g t h i s f r o m t h e t o t a l n u m b e r o f p e r m u t a t i o n s , t h e n u m b e r o f d e r a n g e m e n t s i s
d
n
= n !
X
0 k n
( ? 1 )
k
k !
( 1 . 4 )
I t i s u s e f u l t o a p p r o x i m a t e t h i s b y e x t e n d i n g t h e s u m m a t i o n o v e r a l l k ,
d
n
n !
X
k 0
( ? 1 )
k
k !
= n ! = e ( 1 . 5 )
E x e r c i s e 2 C h e c k t h i s a p p r o x i m a t i o n t o s h o w t h a t i n f a c t d
n
i s e x a c t l y e q u a l t o t h e i n t e g e r
n e a r e s t t o n ! = e , i . e . f o r n 1 ,
d
n
= b n ! = e + 1 = 2 c
W e m i g h t a s k t h e o r i g i n a l q u e s t i o n a s f o l l o w s : w h a t i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t n o b o d y g e t s
h i s / h e r o w n h a t b a c k ? S u c h a q u e s t i o n c a n b e a s k e d i n t h e s e t t i n g o f a p r o b a b i l i t y s p a c e
w h i c h i s a s e t , c a l l e d t h e s a m p l e s p a c e a n d a p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n w h i c h i s a f u n c t i o n
P r : ! 0 ; 1 s u c h t h a t
X
! 2
P r ( ! ) = 1
A n e v e n t i s a s u b s e t A , a n d t h e p r o b a b i l i t y o f t h e e v e n t i s
P r ( A ) : =
X
! 2 A
P r ( ! ) =
X
!
P r ( ! ) ! 2 A
I n m a n y s i t u a t i o n s , t h e s p a c e i s n i t e a n d e a c h p o i n t ! 2 i s d e m o c r a t i c a l l y a s s i g n e d t h e
s a m e v a l u e , P r ( ! ) : = 1 = . I n t h i s c a s e , t h e p r o b a b i l i t y o f a n e v e n t A i s g i v e n b y
P r ( A ) = A =
5
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
16/195
C h a p t e r 1 . I n c l u s i o n E x c l u s i o n
T h i s i s i n d e e d t h e c a s e i n o u r s i t u a t i o n . O u r s a m p l e s p a c e i s : = S
n
a n d e a c h p o i n t ,
a p e r m u t a t i o n i s a s s i g n e d t h e s a m e p r o b a b i l i t y 1 = n ! . T h e e v e n t o f i n t e r e s t c o r r e s p o n d s t o
t h e s u b s e t o f d e r a n g e m e n t s , a n d s o t h e p r o b a b i l i t y o f t h i s e v e n t i s , b y e q u a t i o n ( 1 . 5 ) , v e r y
n e a r l y 1 = e 0 3 6 7 , i n d e p e n d e n t o f n
E x e r c i s e 3 L e t A ; B b e e v e n t s i n a p r o b a b i l i t y s p a c e . S h o w t h a t
P r ( A B ) = P r ( A ) + P r ( B ) ? P r ( A \ B )
H o w d o e s t h i s g e n e r a l i s e ?
E x a m p l e 4 O u r s e c o n d e x a m p l e i s f r o m N u m b e r T h e o r y . F o r a p o s i t i v e i n t e g e r n , t h e E u l e r
t o t i e n t f u n c t i o n , ( n ) i s d e n e d a s t h e n u m b e r o f i n t e g e r s b e t w e e n 1 a n d n t h a t a r e r e l a t i v e l y
p r i m e t o n :
( n ) : = f k 2 n ( n ; k ) = 1 g
C a n w e g i v e a f o r m u l a t o c o m p u t e ?
T h e a n s w e r i s e a s y i n t h e c a s e w h e n n i s a p r i m e n u m b e r , p :
( p ) = p ? 1 ( 1 . 6 )
I f n i s a p o w e r o f a p r i m e , n : = p
w h e r e i s a p o s i t i v e i n t e g e r , t h e n a n i n t e g e r k 2 n i s n o t
r e l a t i v e l y p r i m e t o n e x a c t l y w h e n p i s a f a c t o r o f k . T h e o t h e r f a c t o r c a n b e a n y t h i n g f r o m
1 u p t o p
? 1
, s o
( p
) = p
? p
? 1
= p
( 1 ?
1
p
) ( 1 . 7 )
N o t e t h a t t h i s a g r e e s w i t h e q u a t i o n ( 1 . 6 ) w h e n = 1
F o r g e n e r a l n , w e a r e n a t u r a l l y l e d t o c o n s i d e r t h e u n i q u e p r i m e f a c t o r i s a t i o n
n : = p
1
1
p
r
r
;
w h e r e p
1
; : : : p
r
a r e d i s t i n c t p r i m e s a n d
1
; : : :
r
a r e n o n n e g a t i v e i n t e g e r s , f o r s o m e r 1
K n o w i n g e q u a t i o n ( 1 . 7 ) , w e a r e s t r o n g l y t e m p t e d t o r u s h i n ( w h e r e a n g e l s f e a r t o t r e a d ! ) a n d
c o m p u t e :
( n ) = ( p
1
1
p
r
r
)
= ( p
1
1
) ( p
r
r
)
= p
1
1
p
r
r
( 1 ?
1
p
1
) ( 1 ?
1
p
r
) u s i n g e q . ( 1 . 7 )
= n ( 1 ?
1
p
1
) ( 1 ?
1
p
r
)
= n
Y
i
( 1 ?
1
p
i
)
T h a t i s ,
( n ) = n
Y
i
( 1 ?
1
p
i
) ( 1 . 8 )
6
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
17/195
T h i s i s i n d e e d t r u e p r o v i d e d w e v e r i f y t h a t h a s t h e f o l l o w i n g m u l t i p l i c a t i v e p r o p e r t y :
( n
1
n
2
) = ( n
1
) ( n
2
) ; i f ( n
1
; n
2
) = 1 ( 1 . 9 )
A l t h o u g h t h e r e i s a d i r e c t w a y t o a r g u e t h a t t h i s p r o p e r t y h o l d s ( s e e t h e n e x t e x e r c i s e ) , w e
s h a l l p r o v e i t i n a r a t h e r m o r e i n t e r e s t i n g m a n n e r .
E x e r c i s e 5 A r g u e d i r e c t l y t h a t t h e E u l e r t o t i e n t h a s t h e m u l t i p l i c a t i v e p r o p e r t y ( 1 . 9 ) .
E x e r c i s e 6 C o n s i d e r t h e s e t t i n g o f t h e g e n e r a l i n c l u s i o n e x c l u s i o n f o r m u l a , ( 1 . 2 ) . F o r e a c h
k 2 n , s e t
S
k
: =
X
I 2
(
n
k
)
\
i 2 I
A
i
P r o v e t h e f o l l o w i n g B o n f e r r o n i i n e q u a l i t i e s f o r e a c h p 1 :
X
k 2 2 p
( ? 1 )
k ? 1
S
k
i 2 n
A
i
X
k 2 2 p ? 1
( ? 1 )
k ? 1
S
k
E x e r c i s e 7 T h e l e c t u r e r s s h a r e a h o u s e t h a t h a s a v e r y s i m p l e g r o u n d p l a n : t h e h o u s e i s l a i d
o u t o n a n e a s t w e s t a x i s , w i t h t w o b e d r o o m s a t e i t h e r e n d a n d a s h a r e d k i t c h e n a n d b a t h i n
b e t w e e n . N a t u r a l l y , t h e r e a r e d o o r s t h a t c o n n e c t e a c h b e d r o o m t o b o t h t h e k i t c h e n a n d t h e
b a t h . W h a t i s t h e m i n i m u m n u m b e r o f c o l o u r s r e q u i r e d t o p a i n t t h e r o o m s o f t h e h o u s e s o
t h a t e v e r y t w o r o o m s c o n n e c t e d b y a d o o r a r e p a i n t e d w i t h d i e r e n t c o l o u r s ?
E x e r c i s e 8 B y c o u n t i n g t h e n u m b e r o f o n t o m a p p i n g s f r o m a s e t o f n e l e m e n t s t o o n e o f k
e l e m e n t s , d e d u c e t h e f o l l o w i n g c o m b i n a t o r i a l i d e n t i t y o f E u l e r v a l i d f o r a l l i n t e g e r s n ; k :
X
0 i k
( ? 1 )
i
k
i
!
( k ? i )
n
=
n ! ; i f k = n ;
0 ; i f k > n
7
-
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C h a p t e r 1 . I n c l u s i o n E x c l u s i o n
8
-
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19/195
C h a p t e r 2
I n c l u s i o n E x c l u s i o n I I
L a s t t i m e , w e w e r e l e f t w i t h t h e t a s k o f s h o w i n g t h a t t h e E u l e r t o t i e n t f u n c t i o n i s m u l t i -
p l i c a t i v e . R e c a l l t h a t a f u n c t i o n f : N ! N i s m u l t i p l i c a t i v e i f i t s a t i s e s ( 1 . 9 ) . ( A l s o t o a v o i d
t r i v i a l i t y , i n s i s t t h a t f ( 1 ) = 1 : o t h e r w i s e f w i l l b e i d e n t i c a l l y z e r o ! ) .
W e ' l l p r o v e t h i s v i a a n i n t e r e s t i n g d e t o u r . C o n s i d e r n = 1 2 a n d w r i t e o u t t h e f o l l o w i n g
f r a c t i o n s :
1
1 2
;
2
1 2
;
3
1 2
;
4
1 2
;
5
1 2
;
6
1 2
;
7
1 2
;
8
1 2
;
9
1 2
;
1 0
1 2
;
1 1
1 2
;
1 2
1 2
R e d u c e t h e f r a c t i o n s a n d g r o u p t h e m b y d e n o m i n a t o r s :
1
1
;
1
2
;
1
3
;
2
3
;
1
4
;
3
4
;
1
6
;
5
6
;
1
1 2
;
5
1 2
;
7
1 2
;
1 1
1 2
O b s e r v e t h a t b y c o u n t i n g t h e s e f r a c t i o n s i n t w o d i e r e n t w a y s , w e s e e t h a t : 1 2 = ( 1 ) + ( 2 ) +
( 3 ) + ( 4 ) + ( 6 ) + ( 1 2 ) . T h e s a m e a r g u m e n t s h o w s t h a t i n g e n e r a l , h a s t h e f o l l o w i n g
v e r y i m p o r t a n t p r o p e r t y :
n =
X
d n
( d ) ( 2 . 1 )
W e s h a l l s e e a g e n e r a l t e c h n i q u e t o i n v e r t t h i s e q u a t i o n t o d e t e r m i n e l a t e r .
C l e a r l y t h e i d e n t i t y f u n c t i o n I ( n ) : = n o n t h e l e f t s i d e o f ( 2 . 1 ) i s m u l t i p l i c a t i v e . S u p p o s e
w e h a v e t w o f u n c t i o n s f ; g : N ! N t h a t a r e r e l a t e d i n t h e s a m e w a y a s i n ( 2 . 1 ) :
g ( n ) =
X
d n
f ( d ) ; ( 2 . 2 )
( a n d f u r t h e r m o r e g ( 1 ) = 1 = f ( 1 ) . ) I t i s a n i n t e r e s t i n g f a c t t h a t i n s u c h a s i t u a t i o n , w h e n e v e r
g i s m u l t i p l i c a t i v e , t h e n s o i s f ! T h a t i s , i f g s a t i s e s ( 1 . 9 ) , t h e n s o d o e s f . W e s h a l l p r o v e
t h i s b y i n d u c t i o n o n n
1
n
2
I f n
1
n
2
= 1 , t h e n t h e r e i s n o t h i n g t o p r o v e s i n c e f ( 1 ) = 1 B y
i n d u c t i o n , s u p p o s e f s a t i s e s ( 1 . 9 ) w h e n e v e r n
1
n
2
< n f o r s o m e n > 1 a n d l e t u s c o m p u t e ,
f o r a p a i r o f r e l a t i v e l y p r i m e p o s i t i v e i n t e g e r s n
1
; n
2
w i t h n
1
n
2
,
g ( n
1
n
2
) =
X
d n
1
n
2
f ( d )
=
X
d
1
n
1
X
d
2
n
2
f ( d
1
d
2
) ; s i n c e ( n
1
; n
2
) = 1
=
X
d
1
n
1
X
d
2
n
2
f ( d
1
) f ( d
2
) ? f ( n
1
) f ( n
2
) + f ( n
1
n
2
) b y i n d u c t i o n
9
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
20/195
C h a p t e r 2 . I n c l u s i o n E x c l u s i o n I I
=
X
d
1
n
1
f ( d
1
)
X
d
2
n
2
f ( d
2
) ? f ( n
1
) f ( n
2
) + f ( n
1
n
2
) ;
= g ( n
1
) g ( n
2
) ? f ( n
1
) f ( n
2
) + f ( n
1
n
2
)
B u t a n d t h i s i s t h e c l i n c h e r ! g ( n
1
n
2
) = g ( n
1
) g ( n
2
) s i n c e g i s m u l t i p l i c a t i v e . H e n c e
f ( n
1
n
2
) = f ( n
1
) f ( n
2
) a s w e l l , a n d t h i s c o m p l e t e s t h e i n d u c t i v e s t e p . T h i s g e n e r a l f a c t
i m p l i e s , v i a ( 2 . 1 ) t h a t i s m u l t i p l i c a t i v e .
E x e r c i s e 9 P r o v e t h e f o l l o w i n g s t r o n g e r c o n v e r s e t o t h e g e n e r a l a s s e r t i o n i n t h e p r e v i o u s
p a r a g r a p h : S u p p o s e f ; g ; h : N ! i n t e g e r s a r e r e l a t e d b y
g ( n ) =
X
d n
f ( d ) h (
n
d
) ;
a n d t h a t f a n d h a r e m u l t i p l i c a t i v e . T h e n s o i s g . ( N o t e t h a t w i t h h ( n ) : = 1 , t h i s g i v e s t h e
c o n v e r s e o f t h e s t a t e m e n t a b o v e . )
W e s h a l l n o w p r o c e e d t o m o r e g e n e r a l a n d a b s t r a c t s e t t i n g s . A p a r t i a l l y o r d e r e d s e t o r
p o s e t f o r s h o r t , i s a s t r u c t u r e P : = ( P ; ) w h e r e P i s a s e t a n d i s a b i n a r y r e l a t i o n o n P
c a l l e d a p a r t i a l o r d e r . T h e r e l a t i o n i s :
1 r e f e l x i v e , t h a t i s , A A f o r e a c h A 2 P ,
2 a n t i s y m m e t r i c , t h a t i s , A B a n d B A i m p l i e s A = B f o r a l l A ; B 2 P , a n d
3 t r a n s i t i v e , t h a t i s , A B a n d B C i m p l i e s A C f o r a l l A ; B ; C 2 P
A s p e c i a l k i n d o f p o s e t i s a l a t t i c e w h i c h i s a s t r u c t u r e L : = ( L ; _ ; ; ; > ) . T h e o p e r a t i o n s _
a n d a r e b i n a r y f u n c t i o n s o n L a n d a r e c a l l e d t h e j o i n a n d m e e t r e s p e c t i v e l y . F o r A ; B 2 L
t h e e l e m e n t A _ B 2 L s a t i s e s :
A A _ B a n d B A _ B
W h e n e v e r A X a n d B X f o r a n e l e m e n t X 2 L , t h e n a l s o A _ B X
D u a l l y , f o r A ; B 2 L t h e e l e m e n t A B 2 L s a t i s e s :
A B A a n d A B B
W h e n e v e r Y A a n d Y B f o r a n e l e m e n t Y 2 L , t h e n a l s o Y A B
F o r t h i s r e a s o n , t h e s e o p e r a t i o n s a r e s o m e t i m e s c a l l e d t h e l e a s t u p p e r b o u n d a n d t h e g r e a t e s t
l o w e r b o u n d r e s p e c t i v e l y .
A r a n k e d l a t t i c e i s a p a i r ( L ; r ) , w h e r e L i s a l a t t i c e a n d t h e r a n k f u n c t i o n r : L ! N
s a t i s e s t h e p r o p e r t y t h a t r ( Y ) = r ( X ) + 1 w h e n e v e r Y c o v e r s X i n L , t h a t i s , X Y a n d
i f X Z Y t h e n Z = X o r Z = Y . O n e c a n c o n s i d e r t h e n a t u r a l g e n e r a l i s a t i o n o f t h e
i n c l u s i o n e x c l u s i o n f o r m u l a ( 1 . 2 ) i n t h e s e t t i n g o f a g e n e r a l r a n k e d l a t t i c e . O n e c a n a s k : F o r
w h i c h r a n k e d l a t t i c e s d o e s t h e f o l l o w i n g g e n e r a l i s e d i n c l u s i o n - e x c l u s i o n f o r m u l a h o l d ?
r (
_
i 2 n
A
i
) =
X
; 6= I n
( ? 1 )
I ? 1
r (
i 2 I
A
i
) ( 2 . 3 )
1 0
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
21/195
T h e c a s e n = 2 o f t h i s f o r m u l a ,
r ( A ) + r ( B ) = r ( A _ B ) + r ( A B ) ; ( 2 . 4 )
i s o b v i o u s l y a n e c e s s a y c o n d i t i o n f o r t h e g e n e r a l f o r m u l a t o h o l d . W h e n ( 2 . 4 ) h o l d s , t h e r a n k
f u n c t i o n r i s s a i d t o b e m o d u l a r
W e g i v e n o w s o m e n a t u r a l e x a m p l e s o f r a n k e d l a t t i c e s t h a t a r e i m p o r t a n t i n c o m b i n a t o r i c s .
L e t ' s s e e i f t h e g e n e r a l i s e d i n c l u s i o n e x c l u s i o n f o r m u l a h o l d s i n t h e s e c a s e s .
E x a m p l e 1 0 ( S e t s ) T h e r s t e x a m p l e i s o u r s t a r t i n g p o i n t : t h e l a t t i c e o f s u b s e t s o f a
u n i v e r s a l s e t U . T h e l a t t i c e i s ( 2
U
; ; \ ; ; ; U ) , a n d t h e r a n k f u n c t i o n i s j u s t t h e c a r d i n a l i t y .
T h e f a c t t h a t t h e i n c l u s i o n e x c l u s i o n f o r m u l a h o l d s i s o n e o f t h e r s t t h e o r e m s i n a n y t e x t b o o k
o n c o m b i n a t o r i c s .
E x a m p l e 1 1 ( D i v i s o r s ) L e t N b e a p o s i t i v e i n t e g e r a n d l e t D
N
d e n o t e t h e s e t o f a l l p o s i t i v e
d i v i s o r s o f N , o r d e r e d b y d i v i s i b i l i t y i . e . f o r d i v i s o r s a ; b o f N , a b i a d i v i d e s b . L e t
N : = p
1
1
p
r
r
b e t h e ( u n i q u e ) p r i m e f a c t o r i s a t i o n o f N . T h e l a t t i c e o p e r a t i o n s c a n b e
d e s c r i b e d b y r e g a r d i n g a n e l e m e n t a a s a r v e c t o r ( a
1
; : : : ; a
r
) w h e r e a
i
i s a a n i n t e g e r w i t h
0 a
i
i
f o r e a c h i 2 r . T h e e l e m e n t s a _ b a n d a b a r e g i v e n b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s
o n t h e c o m p o n e n t s i 2 r :
( a _ b )
i
: = m a x ( a
i
; b
i
) ( a b )
i
: = m i n ( a
i
; b
i
)
T h e b o t t o m e l e m e n t i s 1 a n d t h e t o p e l e m e n t i s N
T h e r a n k o f a n e l e m e n t a : = ( a
1
; : : : ; a
r
) i s
P
i
a
i
. T h e i n c l u s i o n e x c l u s i o n f o r m u l a h o l d s
i n t h i s r a n k e d l a t t i c e .
E x a m p l e 1 2 ( M u l t i s e t s ) T h i s e x a m p l e g e n e r a l i s e s t h e p r e v i o u s o n e . L e t e : = ( e
1
; e
2
; : : : )
b e a n ( i n n i t e ) v e c t o r w h o s e c o m p o n e n t s a r e n o n n e g a t i v e i n t e g e r s o r 1 . L e t M
e
d e n o t e
t h e c o l l e c t i o n o f a l l n i t e m u l t i s e t s o f i n t e g e r s w i t h m u l t i p l i c i t i e s r e s t r i c t e d t o e . B y t h i s
w e m e a n t h e f a m i l y o f a l l n i t e u n o r d e r e d c o l l e c t i o n s o f p o s i t i v e i n t e g e r s , w h e r e r e p e t i t i o n s
a r e a l l o w e d b u t e a c h i c a n a p p e a r a t m o s t e
i
t i m e s . E a c h m u l t i s e t i n M
e
c a n b e r e p r e s e n t e d
b y a v e c t o r : = (
1
;
2
; : : : ) o f n o n n e g a t i v e i n t e g e r s , w h e r e 0
i
e
i
f o r e a c h i 1 , a n d
a l s o
P
i
i
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
22/195
C h a p t e r 2 . I n c l u s i o n E x c l u s i o n I I
E x a m p l e 1 4 ( V e c t o r S p a c e s ) L e t V b e a n i t e d i m e n s i o n a l v e c t o r s p a c e o v e r a e l d k
a n d l e t L ( V ; k ) d e n o t e t h e f a m i l y o f a l l k s u b s p a c e s o f V o r d e r e d b y t h e s u b s p a c e r e l a t i o n .
T h e m e e t o p e r a t i o n i s j u s t s e t i n t e r s e c t i o n . T h e j o i n o f t h e s u b s p a c e s U a n d W i s g i v e n b y
t h e s u m U + W : = f u + w u 2 U ; w 2 W g ; t h i s i s t h e l e a s t s u b s p a c e t h a t c o n t a i n s b o t h U
a n d W . ( N o t e t h a t t h e s e t t h e o r e t i c u n i o n o f t w o s u b s p a c e s i s n o t n e c e s s a r i l y a s u b s p a c e ! )
T h e b o t t o m e l e m e n t i s t h e t r i v i a l s p a c e f 0 g a n d t h e t o p e l e m e n t i s V
T h e r a n k o f a s u b s p a c e W i s i t s d i m e n s i o n , d i m W . T h e i n c l u s i o n e x c l u s i o n f o r m u l a d o e s
n o t h o l d i n g e n e r a l i n t h i s r a n k e d l a t t i c e . T o s e e t h i s , c o n s i d e r t h e p l a n e , R
2
r e g a r d e d a s a
v e c t o r s p a c e o v e r t h e r e a l s . L e t X b e t h e o n e d i m e n s i o n a l s p a c e s p a n n e d b y ( 1 ; 0 ) , n a m e l y
t h e x a x i s , l e t Y b e t h e o n e d i m e n s i o n a l s p a c e s p a n n e d b y ( 0 ; 1 ) , n a m e l y t h e y a x i s , a n d l e t
Z b e t h e o n e d i m e n s i o n a l s p a c e s p a n n e d b y ( 1 = 2 ; 1 = 2 ) . T h e n , X + Y + Z i s t h e w h o l e p l a n e ,
a n d h a s d i m e n s i o n 2 . H o w e v e r , e a c h p a i r w i s e i n t e r s e c t i o n i s t r i v i a l , s o t h e r i g h t h a n d s i d e o f
t h e i n c l u s i o n e x c l u s i o n f o r m u l a g i v e s 3 a n d n o t 2
W h a t g o e s w r o n g i n t h e l a s t t w o e x a m p l e s ? C a n t h e f a u l t b e w i t h t h e r a n k f u n c t i o n ? O n e
c a n c h e c k t h a t t h e r a n k f u n c t i o n i n e a c h c a s e i s i n d e e d m o d u l a r , s o t h e f a u l t l i e s e l s e w h e r e
( i n o u r s t a r ? ! ) . L e t ' s d i s c o v e r w h e r e i t i s , b y t r y i n g t o p r o v e ( 2 . 3 ) .
W e p r o c e e d b y i n d u c t i o n o n n . F o r n = 1 t h i s i s t r i v i a l a n d f o r n = 2 , w e h a v e t h e
m o d u l a r l a w . F o r n 3 , w e c o m p u t e ,
r (
_
i 2 n
A
i
) = r (
_
i 2 n ? 1
A
i
_ A
n
)
= r (
_
i 2 n ? 1
A
i
) + r ( A
n
) ? r ( (
_
i 2 n ? 1
A
i
) A
n
) ; u s i n g t h e m o d u l a r l a w
= r (
_
i 2 n ? 1
A
i
) + r ( A
n
) ? r (
_
i 2 n ? 1
( A
i
A
n
) ) ; ( )
=
X
; 6= I n ? 1
( ? 1 )
I ? 1
r (
i 2 I
A
i
) + r ( A
n
) +
X
; 6= J n ? 1
( ? 1 )
J ? 1
r (
j 2 J
( A
j
A
n
) ) ;
b y i n d u c t i o n
=
X
; 6= I n n 62 I
( ? 1 )
I ? 1
r (
i 2 I
A
i
) +
X
; 6= I n n 2 I
( ? 1 )
I ? 1
r (
i 2 I
A
i
)
=
X
; 6= I n
( ? 1 )
I ? 1
r (
i 2 I
A
i
)
A n d t h e g e n e r a l i s e d i n c l u s i o n f o r m u l a h o l d s ! B u t w a i t a m i n u t e , s o m e t h i n g m u s t b e
w r o n g , b e c a u s e w e k n o w , f r o m o u r e x a m p l e s , t h a t i t d o e s n ' t h o l d i n g e n e r a l ! C h e c k i n g o u r
d e r i v a t i o n a g a i n , w e s e e t h a t i n t h e l i n e l a b e l l e d ( ) , w e c h e a t e d . T h i s s t e p i s v a l i d o n l y i f t h e
l a t t i c e i s d i s t r i b u t i v e i . e . i f f o r a l l A ; B ; C 2 L ,
( A _ B ) C = ( A C ) _ ( B C )
H o w e v e r , i f t h e l a t t i c e i s d i s t r i b u t i v e , t h e n w e h a v e a p e r f e c t l y v a l i d p r o o f o f t h e t h e g e n e r a l
i n c l u s i o n e x c l u s i o n f o r m u l a . I n c i d e n t a l l y , n o t e t h a t t h i s p r o p e r t y o f d i s t r i b u t i v i t y i n d e e d
d i s t i n g u i s h e s t h e t w o c l a s s e s o f e x a m p l e s b e f o r e . A l s o , a s a b y p r o d u c t , w e n o t e t h a t t h e
l a t t i c e o f s u b s e t s i s d i s t r i b u t i v e , a n d h e n c e n a l l y w e h a v e a p r o o f o f o u r o r i g i n a l f o r m u l a
( 1 . 2 ) ( w h i c h w e h a d k e p t o n d e f e r r i n g ) .
1 2
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
23/195
W h a t a b o u t a c o n v e r s e ? S u p p o s e w e k n o w t h a t t h e g e n e r a l i s e d i n c l u s i o n e x c l u s i o n f o r m u l a
( 2 . 3 ) h o l d s i n a r a n k e d l a t t i c e ( L ; r ) . A p p l y i n g t h e f o r m u l a w i t h n = 3 a n d A
3
: = , w e s w i f t l y
r e c o v e r t h e m o d u l a r l a w . C a n w e a l s o g e t d i s t r i b u t i v i t y ?
L e t ' s c o m p u t e r ( A _ B _ C ) f o r a r b i t r a r y A ; B ; C 2 L . A p p l y i n g t h e m o d u l a r l a w t w i c e ,
w e g e t f o r a n y A ; B ; C 2 L :
r ( A _ B _ C ) = r ( A _ B ) + r ( C ) ? r ( ( A _ B ) C )
= r ( A ) + R ( B ) + r ( C ) ? r ( A B ) ? r ( ( A _ B ) C ) ( 2 . 5 )
A l s o , a p p l y i n g t h e i n c l u s i o n e x c l u s i o n f o r m u l a f o r n = 3 d i r e c t l y a n d t h e n t h e m o d u l a r l a w
g i v e s
r ( A _ B _ C ) = r ( A ) + r ( B ) + r ( C ) ? r ( B C ) ? r ( C A ) ? r ( A B ) + r ( A B C )
= r ( A ) + r ( B ) + r ( C ) ? r ( ( B C ) _ ( C A ) ) ? r ( A B ) ( 2 . 6 )
C o m p a r i n g e q u a t i o n s ( 2 . 5 ) a n d ( 2 . 6 ) , w e s e e t h a t
r ( ( A _ B ) C ) = r ( ( B C ) _ ( C A ) ) ( 2 . 7 )
S i n c e ( B C ) _ ( C A ) ( A _ B ) ) C , ( w h y ? ) e q u a t i o n ( 2 . 7 ) i m p l i e s t h a t i n f a c t ( B C ) _
( C A ) = ( A _ B ) ) C , t h a t i s , t h e l a t t i c e i s d i s t r i b u t i v e !
A l l i n a l l , w e ' v e s h o w n t h e f o l l o w i n g c y c l e o f i m p l i c a t i o n s :
T h e o r e m 1 5 L e t ( L ; r ) b e a r a n k e d l a t t i c e . T h e f o l l o w i n g a r e e q u i v a l e n t :
1 L i s a d i s t r i b u t i v e l a t t i c e a n d r i s m o d u l a r .
2 . T h e g e n e r a l i n c l u s i o n e x c l u s i o n f o r m u l a ( 2 . 3 ) f o r e v e r y p o s i t i v e i n t e g e r n h o l d s f o r
( L ; r )
3 . T h e i n c l u s i o n e x c l u s i o n f o r m u l a ( 2 . 3 ) f o r n = 3 h o l d s f o r ( L ; r )
T h e i m p l i c a t i o n ( 3 ) ! ( 2 ) i s a b i t s u r p r i s i n g a n d I h a v e n ' t f o u n d i t m e n t i o n e d i n t h e
l i t e r a t u r e .
1 3
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
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C h a p t e r 2 . I n c l u s i o n E x c l u s i o n I I
1 4
-
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C h a p t e r 3
M b i u s I n v e r s i o n
W e w i l l n o w d e v e l o p a t e c h n i q u e t h a t w i l l e n a b l e u s t o d i r e c t l y d e d u c e t h e v a l u e o f t h e E u l e r
t o t i e n t f u n c t i o n , b y i n v e r t i n g ( 2 . 1 ) ,
n =
X
d n
( d ) ;
I n f a c t , t h e t e c h n i q u e w i l l b e g e n e r a l e n o u g h t o i n v e r t t h e f o l l o w i n g t y p e s o f r e l a t i o n s b e t w e e n
f u n c t i o n s f ; g ; h : L ! R o v e r a n a r b i t r a r y p o s e t P
g ( x ) =
X
y
P
x
f ( y ) ; ( 3 . 1 )
h ( x ) =
X
y
P
x
f ( y ) ( 3 . 2 )
I n f a c t , o n c e w e s e t u p t h e a p p r o p r i a t e m a c h i n e r y , t h i s w i l l b e a p i e c e o f c a k e !
L e t P b e a n a r b i t r a r y p o s e t . T h e Z e t a - f u n c t i o n o f P ,
P
: P P ! f 0 ; 1 g i s t h e n d e n e d
a s
P
( x ; y ) : =
1 ; i f x y ;
0 ; o t h e r w i s e .
( 3 . 3 )
o r , i n o u r h a n d y n o t a t i o n ,
P
( x ; y ) : = x y ( 3 . 4 )
W h e n t h e p o s e t i s c l e a r f r o m t h e c o n t e x t , w e ' l l o m i t t h e s u b s c r i p t .
E x a m p l e 1 6 C o n s i d e r t h e l a t t i c e D
1 2
o f d i v i s o r s o f 1 2 , s h o w n i n t h e f o l l o w i n g g u r e :
1 2
4 6
2 3
1
? @
@ ?
F i g u r e 3 . 1 : T h e l a t t i c e D
1 2
1 5
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
26/195
C h a p t e r 3 . M b i u s I n v e r s i o n
W e c a n r e p r e s e n t
D
1 2
a s a m a t r i x i n d e x e d b y t h e e l e m e n t s o f D
1 2
; n o t e t h a t e . g .
D
1 2
( 2 ; 3 ) = 0 ,
s i n c e 2 6 3 i n t h e l a t t i c e D
1 2
!
D
1 2
: =
2 1 3 1 2 6 4
2 1 0 0 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
3 0 0 1 1 1 0
1 2 0 0 0 1 0 0
6 0 0 0 1 1 0
4 0 0 0 1 0 1
o r
1 2 3 4 6 1 2
1 1 1 1 1 1 1
2 0 1 0 1 1 1
3 0 0 1 0 1 1
4 0 0 0 1 0 1
6 0 0 0 0 1 1
1 2 0 0 0 0 0 1
N o t i c e t h a t t h e n a t u r a l l y i n d e x e d m a t r i x ( o n t h e r i g h t h a n d s i d e ) i s u p p e r t r i a n g u l a r .
T h e f a c t t h a t t h e r i g h t h a n d m a t r i x i s u p p e r t r i a n g u l a r i s n o t a n a c c i d e n t . T h e e l e m e n t s
o f a n y n i t e p o s e t P c a n b e l i s t e d i n s u c h a w a y t h a t t h e Z e t a m a t r i x o f P i s u p p e r t r i a n g u l a r .
T h i s i s p a r t i c u l a r l y e a s y f o r u s a s c o m p u t e r s c i e n t i s t s t o s e e s i m p l y d r a w t h e d i a g r a m o f t h e
p o s e t a s a b o v e
1
a n d n u m b e r i t b o t t o m u p i n a b r e a d t h r s t m a n n e r ! A l t e r n a t i v e l y , w e c a n
a c h i e v e t h i s i n d u c t i v e l y a s f o l l o w s : d e l e t e a m a x i m a l e l e m e n t , n u m b e r t h e r e m a i n i n g p o s e t ,
a n d p u t t h e d e l e t e d e l e m e n t b a c k , n u m b e r i n g i t l a s t .
L e t P = n , a n d l e t f x
1
; x
2
; : : : ; x
n
g b e a n u m b e r i n g o f t h e e l e m e n t s o f P , s u c h t h a t
w h e n e v e r x
i
P
x
j
, t h e n i j . W i t h t h i s , i t i s e a s y t o s h o w b y i n d u c t i o n o n t h e s i z e o f
t h e l a t t i c e s t h a t
P
i s u p p e r t r i a n g u l a r . I n t h e e x a m p l e a b o v e , t h e n a t u r a l n u m b e r i n g
x
1
: = 1 ; x
2
: = 2 ; x
3
: = 3 ; x
a
: = 4 ; x
5
: = 6 ; x
7
: = 1 2 h a s t h i s p r o p e r t y .
1 2 = x
6
x
4
= 4 6 = x
5
x
2
= 2 3 = x
3
x
1
= 1
? @
@ ?
F i g u r e 3 . 2 : L
1 2
w i t h n u m b e r i n g .
T h e s e t T , o f a l l s u c h u p p e r t r i a n g u l a r m a t r i c e s i n d e x e d b y e l e m e n t s o f t h e p o s e t h a s n i c e
p r o p e r t i e s . F i r s t , i t i s a R a l g e b r a . W h a t t h i s m e a n s i s t h a t
I f A 2 T a n d c 2 R , t h e n c A 2 T
I f A ; B 2 T , t h e n a l s o A + B 2 T
I f A ; B 2 T , t h e n a l s o A B 2 T
I f A 2 T i s i n v e r t i b l e o v e r t h e r e a l s , t h e n A
? 1
2 T
T h i s a l g e b r a i s c a l l e d t h e i n c i d e n c e a l g e b r a o f t h e p o s e t .
A n o t h e r e x t r e m e l y n i c e p r o p e r t y o f u p p e r t r i a n g u l a r m a t r i c e s i s t h a t o n e c a n c o m p u t e t h e i r
d e t e r m i n a n t s e a s i l y : s i m p l y m u l t i p l y t h e e l e m e n t s o n t h e d i a g o n a l ! F o r e x a m p l e , d e t = 1
L e t ' s r e c a l l h o w t o m u l t i p l y t w o m a t r i c e s a r e m u l t i p l i e d , j u s t i n c a s e w e ' r e a b i t r u s t y
i n t h a t d e p a r t m e n t . T h e p r o d u c t o f t w o m a t r i c e s C = A B , i s a m a t r i x d e n e d w h e n t h e
1
T h i s i s c a l l e d t h e H a s s e D i a g r a m o f t h e p o s e t .
1 6
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
27/195
m a t r i c e s A a n d B a r e c o m p a t i b l e i . e . t h e n u m b e r o f c o l u m n s o f A i s e q u a l t o t h e n u m b e r o f
r o w s o f B . I n o u r c a s e , w e a l w a y s d e a l w i t h s q u a r e m a t i c e s o f s i z e n , w h e r e n i s t h e n u m b e r
o f e l e m e n t s i n P . T h e m a t r i x C h a s e l e m e n t s g i v e n b y t h e f o r m u l a :
C
i j
=
X
1 k n
A
i k
B
k j
;
w h i c h w e i n t h e f o l l o w i n g w i l l w r i t e i n f u n c t i o n a l n o t a t i o n a n d d r o p p i n g t h e s u b s c r i p t r a n g e
a s p e r o u r c o n v e n t i o n s a s :
C ( i ; j ) =
X
k
A ( i ; k ) B ( k ; j )
J u s t t o t e s t o u t o u r m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n s k i l l s , l e t ' s c o m p u t e
2
:
2
( x ; y ) =
X
z
( x ; z ) ( z ; y )
=
X
z
x z z y
=
X
x z y
1
= # f z x z y g
A c o n g u r a t i o n x < z < y i n t h e p o s e t i s c a l l e d a c h a i n o f l e n g t h 1 . L e t ' s c o n t i n u e a n d
y z x
F i g u r e 3 . 3 : A c h a i n o f l e n g t h 2
c o m p u t e
3
:
3
( x ; y ) =
X
z
( x ; z )
2
( z ; y )
=
X
z
x z
X
z z y
1
=
X
x z
1
X
z z y
1
=
X
x z z y
1
A c o n g u r a t i o n x < z < z
0
< y i s a c h a i n o f l e n g t h 2 : I n g e n e r a l , b y i n d u c t i o n w e c a n
y z
0
z x
F i g u r e 3 . 4 : A c h a i n o f l e n g t h 3
c o m p u t e
k
f o r a n y k 0 a n d v e r i f y t h a t
k
=
X
x z
1
z
2
z
k 1
y
1
1 7
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
28/195
C h a p t e r 3 . M b i u s I n v e r s i o n
A c o n g u r a t i o n x : = z
0
< z
1
< z
2
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
29/195
N o w l e t u s a p p l y i n g t h e - f u n c t i o n t o f :
( f ) ( x ) =
X
y
( x ; y ) f ( y )
=
X
y
x y f ( y )
=
X
x y
f ( y )
= h ( x )
a n d ,
(
T
f ) ( x ) =
X
y
T
( x ; y ) f ( y )
=
X
y
( y ; x ) f ( y )
=
X
y x
f ( y )
= g ( x )
I n m a t r i x n o t a t i o n , ( 3 . 1 ) a n d ( 3 . 2 ) t a k e t h e c o m p a c t f o r m :
g =
T
f a n d h = f ( 3 . 5 )
T h i s i s t h e p r o m i s e d p i e c e o f c a k e : t h e s o l u t i o n t o t h i s s e t o f e q u a t i o n s i s t r i v i a l :
f = (
? 1
)
T
g a n d f =
? 1
h ( 3 . 6 )
L e t u s i n t r o d u c e a s p e c i a l n a m e f o r
? 1
:
: =
? 1
( 3 . 7 )
T h i s i s c a l l e d t h e M b i u s f u n c t i o n o f t h e p o s e t . U s i n g t h i s , w e c a n r e w r i t e ( 3 . 6 ) a s f o l l o w s :
f =
T
g a n d f = h ( 3 . 8 )
W h e n e x p a n d e d o u t , t h e s o l u t i o n s t o ( 3 . 1 ) a n d ( 3 . 2 ) a r e :
f ( x ) =
X
y x
( y ; x ) g ( y ) ; ( 3 . 9 )
a n d
f ( x ) =
X
x y
( x ; y ) h ( y ) ; ( 3 . 1 0 )
B u t i t i s e a s i e s t t o r e m e m b e r t h e m a t r i x f o r m s . T a b l e 3 . 1 s u m m a r i z e s t h e r e s u l t s .
T h u s , t h e M b i u s - f u n c t i o n i s t h e k e y t o t h e i n v e r s i o n p r o b l e m : o n c e w e k n o w t h e M b i u s
f u n c t i o n o f a p o s e t , w e ' r e i n b u s i n e s s t o p e r f o r m t h e i n v e r s i o n .
1 9
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
30/195
C h a p t e r 3 . M b i u s I n v e r s i o n
h = f , f = h ,
g =
T
f , f =
T
g
T a b l e 3 . 1 : M b i u s I n v e r s i o n f o r m u l a e .
B y d e n i t i o n , = 1 = . T h u s ,
x = y = ( ) ( x ; y )
=
X
z
( x ; z ) ( z ; y )
=
X
x z y
( z ; y )
T a k i n g y = x , w e s e e t h a t f o r a l l x , ( x ; x ) = 1 ; t h a t i s , t h e d i a g o n a l e n t r i e s o f t h e m a t r i x
a r e a l w a y s 1 . N e x t w r i t i n g t h e l a s t e q u a t i o n a s
( x ; y ) +
X
x z < y
( z ; y ) = 0
g i v e s u s a m e t h o d t o d e t e r m i n e t h e v a l u e s o f t h e M b i u s - f u n c t i o n i n a t o p d o w n m a n n e r ,
n a m e l y
( x ; y ) = ?
X
x z < y
( z ; y ) ( 3 . 1 1 )
A l t e r n a t i v e l y ,
x = y = ( ) ( x ; y )
=
X
z
( z ; y ) ( x ; z )
=
X
x z y
( x ; z )
c a n b e u s e d f o r a b o t t o m - u p c a l c u l a t i o n o f t h e v a l u e s o f :
( x ; y ) = ?
X
x z < y
( x ; z ) ( 3 . 1 2 )
L e t u s t r y i t o u t o n a s i m p l e e x a m p l e . C o n s i d e r t h e l a t t i c e L = ( f 1 ; 2 ; : : : ; n g ; ) w h e r e
i s t h e n a t u r a l o r d e r i n g o n t h e i n t e g e r s . L e t u s c a l c u l a t e t h e M b i u s f u n c t i o n . F i r s t , s i n c e
m u i s u p p e r t r i a n g u l a r , w e k n o w t h a t ( x ; y ) = 0 f o r y < x . A l s o , w e k n o w t h a t ( x ; x ) = 1
a l w a y s . S o w e a r e o n l y l e f t w i t h c o m p u t i n g ( x ; y ) f o r x < y . L e t ' s t r y t h e s i m p l e s t c a s e :
y = x + 1 . W e h a v e , b y ( 3 . 1 1 ) o r ( 3 . 1 2 ) ,
( x ; x + 1 ) = ? ( x ; x ) = ? 1
N e x t , w e t r y ( x ; x + 2 ) a n d a g a i n b y ( 3 . 1 1 ) o r ( 3 . 1 2 ) ,
( x ; x + 2 ) = ? ( ( x ; x ) + ( x ; x + 1 ) ) = 0
2 0
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
31/195
W e c a n c o n t i n u e t h i s , a n d f o r a n y k 0 , w e h a v e b y ( 3 . 1 1 ) o r ( 3 . 1 2 ) ,
( x ; x + k ) = ? ( ( x ; x ) + ( x ; x + 1 ) + + ( x ; x + k ? 1 )
T h i s m e a n s o f c o u r s e , t h a t ( x ; x + k ) = 0 f o r a l l k > 1 . W e h a v e f u l l y d e t e r m i n e d t h e M b i u s
f u n c t i o n o f t h e c h a i n ! T o s u m m a r i s e i n o u r s h o r t h a n d n o t a t i o n ,
( x ; y ) = x = y ? y = x + 1 ( 3 . 1 3 )
N o w t h a t w e h a v e t h e M b i u s f u n c t i o n , w e c a n ' t r e s i s t p u t t i n g i t t o u s e : s o i f
g ( x ) : =
X
y x
f ( y ) ;
w h a t i s t h e i n v e r s e r e l a t i o n ? A p p l y i n g T a b l e 3 o r ( 3 . 9 ) , a n d s u b s t i t u t i n g t h e M b i u s f u n c t i o n
w e j u s t d e t e r m i n e d , w e g e t :
f ( x ) =
X
y x
( y ; x ) g ( y )
=
X
y x
( x = y ? x = y + 1 ] ) g ( y )
= g ( x ) ? g ( x ? 1 )
N o t v e r y e x c i t i n g ! B u t a t l e a s t i t ' s r e a s s u r i n g .
E x e r c i s e 1 8 L e t P b e a ( n i t e ) p o s e t w i t h a u n i q u e b o t t o m e l e m e n t a n d a u n i q u e t o p
e l e m e n t , > . F o r i 0 , d e n o t e b y c
i
t h e n u m b e r o f c h a i n s = x
0
< x
1
o f
l e n g t h i b e t w e e n a n d > . ( T h u s c
0
= 0 a n d c
1
= 1 . ) S h o w t h a t
P
( ; > ) =
X
i
( ? 1 )
i
c
i
E x e r c i s e 1 9 L e t P b e a f o r e s t i . e . f o r e a c h a 2 P , t h e e l e m e n t s f x 2 P x a g f o r m a
c h a i n . ( O u r f o r e s t s g r o w u p w a r d s , a s t h e y s h o u l d ! ) . C o m p u t e t h e M b i u s f u n c t i o n o f P
I t w o u l d b e n i c e t o c o m p u t e t h e M b i u s f u n c t i o n s o f m o r e c o m p l i c a t e d p o s e t s . H e r e i s a
s t a n d a r d c o n s t r u c t i o n t o b u i l d m o r e c o m p l e x p o s e t s f r o m s i m p l e o n e s :
D e n i t i o n 2 0 L e t P
1
: = ( P
1
;
1
) a n d P
2
: = ( P
2
;
2
) b e t w o p a r t i a l l y o r d e r e d s e t s . T h e
p r o d u c t o f P
1
a n d P
2
i s
P
1
P
2
: = ( P
1
P
2
; ) ;
w h e r e
( x
1
; x
2
) ( y
1
; y
2
) ( ) x
1
1
x
2
a n d y
1
2
y
2
S u p p o s e w e k n o w t h e M b i u s f u n c t i o n s o f P
1
a n d P
2
. H o w c a n w e u s e t h a t t o c o m p u t e
t h e M b i u s f u n c t i o n o f t h e i r p r o d u c t ? T o a n s w e r t h i s , l e t ' s l o o k a t t h e Z e t a f u n c t i o n :
( ( x
1
; x
2
) ; ( y
1
; y
2
) ) = ( x
1
; x
2
) ( y
1
; y
2
= x
1
1
y
1
x
2
2
y
2
=
1
( x
1
; y
1
)
2
( x
2
; y
2
)
2 1
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
32/195
C h a p t e r 3 . M b i u s I n v e r s i o n
M o t i v a t e d b y t h i s , w e s u s p e c t t h a t t h e s a m e f o r m u l a s h o u l d a l s o w o r k w i t h :
P
1
P
2
( ( x
1
; x
2
) ; ( y
1
; y
2
) ) =
P
1
( x
1
; y
1
)
P
2
( x
2
; y
2
) ( 3 . 1 4 )
T o c o n r m t h i s , w e c o m p u t e :
( ( x
1
; x
2
) ; ( y
1
; y
2
) ) =
X
( u v )
( ( x
1
; x
2
) ; ( u ; v ) ) ( ( u ; v ) ( y
1
; y
2
) )
=
X
( u v )
1
( x
1
; u )
1
( u ; y
1
)
2
( x
2
; v )
2
( v ; y
2
)
=
X
u
1
( x
1
; u )
1
( u ; y
1
)
X
v
2
( x
2
; v )
2
( v ; y
2
)
= x
1
= y
1
x
2
= y
2
= ( x
1
; x
2
) = ( y
1
; y
2
)
W h i c h s h o w s t h a t i n d e e d w e h a v e t h e r i g h t f o r m u l a !
T h e o p e r a t i o n o n m a t r i c e s i n ( 3 . 1 4 ) i s a f u n n y k i n d o f m a t r i x p r o d u c t . I t i s c a l l e d t h e
K r o n e c k e r o r t e n s o r p r o d u c t o f m a t r i c e s . I f A i s a m n m a t r i x a n d B i s a p q m a t r i x ,
t h e n t h e i r t e n s o r p r o d u c t , A B i s t h e m p n q m a t r i x g i v e n b y :
A B : =
2
6
6
6
6
4
a
1 1
B a
1 2
B a
1 n
B
a
2 1
B a
2 2
B a
2 n
B
a
m 1
B a
m 2
B a
m n
B
3
7
7
7
7
5
H e n c e , i n m a t r i x n o t a t i o n , w e c a n w r i t e :
P
1
P
2
=
P
1
P
2
( 3 . 1 5 )
E x e r c i s e 2 1 V e r i f y t h a t ( A B )
T
= A
T
B
T
a n d t h a t i f A a n d B a r e n o n s i n g u l a r , t h e n
( A B )
? 1
= A
? 1
B
? 1
. H e n c e d e d u c e t h e f o r m u l a ( 3 . 1 4 ) d i r e c t l y .
T o s t a r t w i t h a s i m p l e e x a m p l e , c o n s i d e r t h e l a t t i c e o f t r u t h v a l u e s
0
1
T h i s o n e ' s M b i u s - f u n c t i o n i s g i v e n b y
2
: =
0 1
0 1 ? 1
1 0 1
N o w , l e t u s f o r m t h e p r o d u c t o f t w o o f t h e s e l a t t i c e s ; t h i s y i e l d s t h e B o o l e a n a l g e b r a o f 4
e l e m e n t s :
0
1
0
1
= )
( 0 ; 1 ) ( 1 ; 0 )
( 0 ; 0 )
( 1 ; 1 )
?
?
@
@
@
@
?
?
2 2
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
33/195
T o c o m p u t e t h e M b i u s f u n c t i o n , w e c o m p u t e t h e t e n s o r p r o d u c t :
0 1
0 1 ? 1
1 0 1
0 1
0 1 ? 1
1 0 1
=
2
6
6
6
4
1 ? 1 ? 1 1
0 1 0 ? 1
0 0 1 ? 1
0 0 0 1
3
7
7
7
5
W e c a n i t e r a t e t h i s m a n y t i m e s a n d t o a p u r p o s e !
L e t n b e a p o s i t i v e i n t e g e r a n d c o n s i d e r t h e l a t t i c e ( ( 2
n
; ; \ ; ; ; n ) . W e c a n i d e n t i f y a
s u b s e t I n w i t h i t s c h a r a c t e r i s t i c v e c t o r ( i
1
; i
2
; : : : ; i
n
) i n 2
n
s u c h t h a t
i
k
: = =
1 ; i f k 2 I ;
0 ; o t h e r w i s e .
L e t I J n . I f w e i d e n t i f y J w i t h i t s c h a r a c t e r i s t i c v e c t o r j
1
; j
2
; : : : ; j
n
, t h e n n o t i c e r s t
t h a t i
k
j
k
f o r a l l k 2 n . L e t u s c o m p u t e : u s i n g t h e t e n s o r p r o d u c t f o r m u l a ( 3 . 1 5 ) i n t h e
s e c o n d l i n e :
( I ; J ) = ( ( i
1
; i
2
; : : : ; i
n
) ; ( j
1
; j
2
; : : : ; j
n
) )
= ( i
1
; j
1
) ( i
2
; j
2
) ( i
n
; j
n
)
= ( ? 1 )
j
1
? i
1
( ? 1 )
j
2
? i
2
( ? 1 )
j
n
? i
n
= ( ? 1 )
P
k
( j
k
? i
k
)
= ( ? 1 )
J ? I
( 3 . 1 6 )
I n t h e s e c o n d l i n e , w e u s e d t h e t e n s o r p r o d u c t f o r m u l a ( 3 . 1 5 ) , a n d i n t h e t h i r d l i n e , w e u s e d
t h e v a l u e s o f
2
N o w , t a k e a f a m i l y A
1
; A
2
; : : : ; A
n
o f s u b s e t s o f a u n i v e r s e U , a n d f o r a n i n d e x s e t I n ,
s e t
h ( I ) : =
\
i 2 I
A
i
; f ( I ) : =
\
i 2 I
A
i
\
\
i 62 I
A
i
O b s e r v e t h a t h ( I ) =
X
J I
f ( J ) . I n v e r t i n g t h i s u s i n g ( 3 . 1 0 ) w e g e t , u s i n g ( 3 . 1 6 ) i n t h e t h i r d
e q u a l i t y , :
f ( I ) =
X
J
( I ; J ) h ( J )
=
X
I J
( I ; J ) h ( J )
=
X
I J
( ? 1 )
J ? I
h ( J ) ;
T h a t i s ,
\
i 2 I
A
i
\
\
i 62 I
A
i
=
X
I J
( ? 1 )
J ? I
\
j 2 J
A
j
S e t t i n g I = ; , w e h a v e :
2 3
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
34/195
C h a p t e r 3 . M b i u s I n v e r s i o n
A
1
\
A
2
\ \
A
n
=
X
J
( ? 1 )
J
\
j 2 J
A
j
;
a n d u s i n g d e M o r g a n ' s l a w , t h i s i s e q u i v a l e n t t o :
U ? A
1
A
2
A
n
=
\
j 2 ;
A
j
+
X
; 6= J n
( ? 1 )
J
\
j 2 J
A
j
T h i s m a y s e e m a b i t m y s t e r i o u s ; b u t n o t i c e t h a t
T
j 2 ;
A
j
= U , h e n c e , w e n a l l y h a v e :
A
1
A
2
A
n
=
X
; 6= J n
( ? 1 )
J ? 1
\
j 2 J
A
j
W e h a v e r e c o v e r e d t h e i n c l u s i o n e x c l u s i o n f o r m u l a f r o m t h e r s t l e c t u r e ! T h u s w e h a v e s e e n
t h a t M b i u s i n v e r s i o n y i e l d s t h e p r i n c i p l e o f i n c l u s i o n e x c l u s i o n a s a s p e c i a l c a s e .
E x e r c i s e 2 2 I n t h i s e x e r c i s e , w e d e v e l o p t h e p r o d u c t f o r m o f t h e M b i u s i n v e r s i o n f o r m u l a .
L e t
g ( x ) =
Y
y x
f ( y )
S h o w t h a t t h e n
f ( x ) =
Y
y x
g ( y )
( y x )
E x e r c i s e 2 3 L e t m b e a p o s i t i v e i n t e g e r a n d l e t
! : = e
2 i = m
= c o s ( 2 = m ) + i s i n ( 2 = m )
W e s a y t h a t ! i s a n m t h r o o t o f u n i t y s i n c e !
m
= e
2 i
= 1 , b u t !
k
6= 1 f o r k < m . I n f a c t ,
e a c h o f t h e m c o m p l e x n u m b e r s !
0
; !
1
; : : : ; !
m ? 1
i s a l s o a n m t h r o o t o f u n i t y . H e n c e z ? !
k
i s a f a c t o r o f t h e p o l y n o m i a l z
m
? 1 f o r e a c h 0 k < m . S i n c e t h e s e f a c t o r s a r e d i s t i n c t , t h e
c o m p l e t e f a c t o r i s a t i o n o f z
m
? 1 o v e r t h e c o m p l e x e s i s :
z
m
? 1 =
Y
0 k < m
( z ? !
k
)
1 . L e t
m
( z ) : =
Q
0 k < m ; ( k m ) = 1
( z ? !
k
) . T h i s i s c a l l e d t h e c y c l o t o m i c p o l y n o m i a l o f o r d e r
m . P r o v e t h a t
z
m
? 1 =
Y
d m
d
( z )
2 . I n v e r t t h i s u s i n g t h e p r e v i o u s e x e r c i s e t o s h o w t h a t
m
( z ) =
Y
d m
( z
d
? 1 )
( m = d )
2 4
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
35/195
C h a p t e r 4
M b i u s I n v e r s i o n I I
I n t h i s l e c t u r e , w e ' l l c o n t i n u e w h e r e w e l e f t o a n d c o m p u t e t h e M b i u s f u n c t i o n s f o r a f e w
m o r e l a t t i c e s o f i n t e r e s t .
F o r a s t a r t , w e a r e n o w r e a d y t o u s e t h e t e c h n i q u e p r e s e n t e d i n t h e l a s t c h a p t e r t o i n v e r t
t h e e q u a t i o n
n =
X
d n
( d ) ;
t o g e t t h e v a l u e o f t h e E u l e r t o t i e n t f u n c t i o n . R e m e m b e r i n g t h e o r d e r i n g o n t h e l a t t i c e o f
d i v i s o r s D w e s e e t h a t t h i s i s a n e x a m p l e o f t h e f o r m g ( n ) =
P
d n
f ( d ) ( g =
T
f ) w h e r e g i s
t h e i d e n t i t y f u n c t i o n i d a n d f i s t h e E u l e r t o t i e n t f u n c t i o n . S o w e h a v e =
T
i d
T h e j o b t h e n i s t o c o m p u t e t h e - f u n c t i o n f o r a d i v i s o r l a t t i c e D
n
. T o t a c k l e t h i s , w e
o b s e r v e t h a t a d i v i s o r l a t t i c e D
n
i s i s o m o r p h i c t o t h e p r o d u c t o f a n u m b e r o f l i n e a r o r d e r e d
l a t t i c e s . T o w i t , i f N = p
1
1
p
2
2
: : : p
r
r
e v e r y e l e m e n t i n t h e D i v i s o r l a t t i c e D
n
c a n b e r e p r e -
s e n t e d a s a n r - t u p l e : (
1
;
2
; : : : ;
r
) ; w h e r e 0
i
i
, f o r 1 i r i . e . e a c h e n t r y i s t h e
e x p o n e n t o f t h e c o r r e s p o n d i n g p r i m e f a c t o r . T h i s g i v e s u s e x a c t l y t h e p r o d u c t l a t t i c e
C
1
C
2
C
r
; w h e r e C
i
i s t h e l i n e a r o r d e r e d c h a i n l a t t i c e f 0 ; 1 ; : : : ;
i
g
E x a m p l e 2 4 C o n s i d e r t h e l a t t i c e L
1 2
p i c t u r e d i n t h e l a s t s e c t i o n ( g u r e 3 . 1 ) . W e h a v e
1 2 = 2
2
3
1
s o t h e i s o m o r p h i c l a t t i c e i s f 0 ; 1 ; 2 g f 0 ; 1 g a n d t h e r e l a b e l l i n g g o e s a s :
1 2 ! ( 2 ; 1 )
( 2 ; 0 ) 4 6 ! ( 1 ; 1 )
( 1 ; 0 ) 2 3 ! ( 0 ; 1 )
( 0 ; 0 ) 1
? @
@ ?
F i g u r e 4 . 1 : L
1 2
w i t h r e l a b e l i n g .
W e a r e n o w i n p o s i t i o n t o c a l c u l a t e t h e - f u n c t i o n f o r t h e d i v i s o r l a t t i c e , s i n c e t h e -
f u n c t i o n i s t h e s a m e f o r i s o m o r p h i c l a t t i c e s . F r o m t h e p r e v i o u s c h a p t e r w e k n o w h o w t o
c o m p u t e t h e - f u n c t i o n o n t h e l i n e a r o r d e r e d c h a i n s ( 3 . 1 3 ) a n d w e a r e a l s o a r m e d w i t h t h e
p r o d u c t f o r m u l a ( 3 . 1 4 ) . R e c a l l t h a t f o r a c h a i n , ( x ; y ) = 0 u n l e s s 0 y ? x 1 a n d t h e n
t h e v a l u e i s ( ? 1 )
y ? x
. S u p p o s e a
d
b , w h e r e a : = ( a
1
; a
2
; : : : ; a
r
) , a n d b : = = ( b
1
; b
2
; : : : ; b
r
)
2 5
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
36/195
C h a p t e r 4 . M b i u s I n v e r s i o n I I
a r e t h e p r o d u c t r e p r e s e n t a t i o n s ( n o t e t h a t t h e r e f o r , a
i
b
i
f o r e a c h i ) . T h e n :
( a ; b ) = ( ( a
1
; a
2
; : : : ; a
r
) ; ( b
1
; b
2
; : : : ; b
r
) )
= ( a
1
; b
1
) ( a
2
; b
2
) : : : ( a
r
; b
r
)
=
( ? 1 )
P
( b ? a )
; i f b
i
? a
i
1 ;
0 o t h e w i s e .
( 4 . 1 )
I n t h e a b o v e e x a m p l e w e c o u l d c o m p u t e ( 2 ; 4 ) = ( ( 1 ; 0 ) ; ( 2 ; 0 ) ) = ( ? 1 )
1
= ? 1 , a n d ( 1 ; 4 ) =
( ( 0 ; 0 ) ; ( 2 ; 0 ) ) = 0
O b s e r v e t h a t ( 2 ; 1 2 ) = ( 1 ; 6 ) a n d ( 4 ; 1 2 ) = ( 2 ; 6 ) . I n g e n e r a l , w e w i l l u s e t h e f o l l o w i n g
f a c t r e p e a t e d l y .
F a c t 2 5 T h e v a l u e o f ( A ; B ) i n a l a t t i c e L w h e r e A
L
B o n l y d e p e n d s o n t h e s t r u c t u r e o f
t h e s u b l a t t i c e o f L b e t w e e n A a n d B . W e d e n o t e t h i s s u b l a t t i c e L
( A B )
H a v i n g e x p l i c i t l y w e n o w g e t f r o m =
T
i d :
( n ) =
X
d n
T
( n ; d ) d
=
X
d n
( d ; n ) d
=
X
d n
( 1 ;
n
d
) d
=
X
d n
( 1 ; d
0
) (
n
d
0
)
=
X
d n
( d ) (
n
d
) u s i n g ( d ) a s s h o r t f o r ( 1 ; d )
T h e e q u a l i t y ( d ; n ) = ( 1 ;
n
d
) f o l l o w s i f y o u c o n s i d e r ( 4 . 1 ) , ( d i v i d i n g w i t h d d o e s n o t c h a n g e
( b
i
? a
i
) f o r a n y i ) .
T h e s e c o n d l a s t e q u a t i o n i s j u s t d o i n g t h e s u m m a t i o n i n a d i e r e n t o r d e r .
A t l a s t , u s i n g ( 4 . 1 ) w e g e t
( d ) =
8
-
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37/195
E x e r c i s e 2 6 V e r i f y t h i s a s s e r t i o n !
I n s t e a d w e c a n u s e W e i s n e r ' s t h e o r e m :
T h e o r e m 2 7 ( W i e s n e r ) L e t L = ( L ; _ ; ; ; > ) b e a n i t e l a t t i c e a n d l e t 2 L ; >
T h e n
X
x x _ = >
( ; x ) = 0
P r o o f :
X
x x _ = >
( ; x ) =
X
x
( ; x ) x _ = >
=
X
x
( ; x )
X
y x _ y >
( y ; > ) ( a = b = ( ) ( a ; b ) )
=
X
x
( ; x )
X
y x y
( y ; > )
=
X
y y
X
x x y
( ; x ) ( y ; > )
=
X
y y
( y ; > )
X
x x y
( ; x )
=
X
y y
( y ; > ) = y ( a = b = ( ) ( a ; b ) )
= 0 ( s i n c e y > )
2
C o r o l l a r y 2 8 L e t L = ( L ; _ ; ; ; > ) b e a n i t e l a t t i c e w i t h s o m e 2 L ; . T h e n
X
x x =
( x ; > ) = 0
T h i s i s t h e d u a l t o W e i s n e r ' s t h e o r e m . Y o u c a n p r o v e t h i s b y s t a n d i n g o n y o u r h e a d a n d
l o o k i n g a t t h e l a t t i c e u p s i d e d o w n :
E x e r c i s e 2 9 L e t L
: = ( L ; ; _ ; > ; ) b e t h e d u a l l a t t i c e o f L : = ( L ; _ ; ; ; > ) . W h a t i s
L
i n t e r m s o f
L
? ( H i n t : A s k w h a t i s t h e Z e t a f u n c t i o n o f L
a n d a p p l y a c e r t a i n m a t r i x
o p e r a t i o n t o t h e i d e n t i t y = 1 )
L e t u s i l l u s t r a t e h o w t o a p p l y W i e s n e r ' s t h e o r e m b y r e w o r k i n g t h e f u n c t i o n o f t h e l a t t i c e
o f s e t s . W e s h a l l r e p e a t e d l y u s e t h e f a c t t h a t i s o m o r p h i c l a t t i c e s h a v e t h e s a m e f u n c t i o n ,
a n d t h a t ( x ; y ) o n l y d e p e n d s o n t h e s u b i n t e r v a l l a t t i c e x ; y
C o n s i d e r t h e l a t t i c e 2
U
o f s u b s e t s o f a u n i v e r s a l s e t , a n d l e t A B , O b s e r v e t h a t A ; B
i s i s o m o r p h i c t o ; ; B n A . H e n c e ,
( A ; B ) = ( ; ; B n A )
i . e . i f w e c a n c o m p u t e ( ; ; C ) f o r a s u b s e t C w e a r e d o n e . F o r s t a r t e r s , w e h a v e
( ; ; ; ) = 1
2 7
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
38/195
C h a p t e r 4 . M b i u s I n v e r s i o n I I
N o w s u p p o s e C 6= ; t h e n c o n s i d e r a n y c 2 C a n d t a k e f c g t o b e t h e s p e c i a l e l e m e n t c h o s e n
i n W i e s n e r ' s T h e o r e m . A p p l y i n g i t , w e g e t :
( ; ; C ) + ( ; ; C n f c g ) = 0
T h u s ,
( ; ; C ) = ? ( ; ; C n f c g )
I t e r a t i n g t h i s , ( o r m o r e f o r m a l l y , u s i n g i n d u c t i o n ) w e c o n c l u d e t h a t
( ; ; C ) = ( ? 1 )
C
;
a s w e h a d c o m p u t e d b e f o r e .
F i n a l l y , w e s h a l l t r y t o c o m p u t e t h e f u n c t i o n f o r t h e l a t t i c e o f p a r t i t i o n s . T h i s i s a t r u l y
h a r d n u t t o c r a c k , a n d w e s h a l l b e f o r c e d t o u s e a l l o f t h e a r s e n a l a t o u r d i s p o s a l !
F i r s t l e t u s t r y t o c o m p u t e ( ; > ) f o r t h e l a t t i c e P
n
o f p a r t i t i o n s o f n . R e c a l l t h a t
> = f 1 2 : : : n g a n d = f 1 ; 2 ; : : : ; n g . W e a p p l y W i e s n e r ' s T h e o r e m w i t h t h e s p e c i a l e l e m e n t
0
: = f 1 ; 2 3 : : : n g . F o r w h i c h p a r t i t i o n s c a n
0
= ? A n i m m e d i a t e a n s w e r i s
= , o f c o u r s e . A l i t t l e r e e c t i o n s h o w s t h a t m u s t c o m e f r o m t h e s e t S f g , w h e r e
S : = f f ; f 1 2 ; 3 ; : : : ; n g ; f 1 3 ; 2 ; : : : ; n g ; : : : ; f 1 n ; 2 ; : : : ; n ? 1 g g . A p p l y i n g W i e s n e r ' s T h e o r e m ,
w e g e t :
( ; > ) = ?
X
x 2 S
( x ; > )
T a k e a n y x 2 S , s a y t h e o n e w h i c h h a s t h e b l o c k 1 i . I n a n y p a r t i t i o n b e t w e e n x a n d > , t h e s e
t w o r e m a i n s t u c k t o g e t h e r , h e n c e w e c a n i d e n t i f y t h e m a s a s i n g l e c o m p o u n d e n t i t y . T h e n t h e
i n t e r v a l l a t t i c e x ; > i s i s o m o r p h i c t o t h e p a r t i t i o n l a t t i c e o n n ? 1 e l e m e n t s . H e n c e , d e n o t i n g
n
( ; > ) f o r P
n
b y
n
, f o r n 1 , w e h a v e
n
= ? ( n ? 1 )
n ? 1
;
w h o s e s o l u t i o n i s
n
= ( ? 1 )
n ? 1
( n ? 1 ) !
C o n s i d e r n o w , t w o p a r t i t i o n s
1
;
2
w i t h
1
2
. S a y t h a t
2
h a s k b l o c k s t h a t
w h e n n u m b e r e d a r e t h e u n i o n s o f n
1
; n
2
; : : : ; n
k
b l o c k s o f
1
. T h e n t h e i n t e r v a l
1
;
2
i s
i s o m o r p h i c t o t h e p r o d u c t :
n
1
n
2
n
k
T o s e e t h i s , t h i n k o f t h e b l o c k s o f
1
a s c o m p o u n d e n t i t i e s . U s i n g o u r p r o d u c t f o r m u l a , w e
g e t
(
1
;
2
) = ( ? 1 )
2
?
1
Y
B 2
2
( n
B
? 1 ) ! ;
w h e r e n
B
d e n o t e s t h e n u m b e r o f b l o c k s o f
1
t h a t a r e c o n t a i n e d i n a b l o c k B o f
2
a n d
r e c a l l i n g t h a t f o r p a r t i t i o n s , t h e r a n k f u n c t i o n i s n m i n u s t h e n u m b e r o f b l o c k s .
E x e r c i s e 3 0 C a r r y o u t t h e s l i g h t l y t r i c k y v e r i c a t i o n o f t h e s e s t a t e m e n t s .
N o w t h a t w e ' v e s w e a t e d t o c o m p u t e t h i s f u n c t i o n , w e ' d b e t t e r h a v e s o m e u s e f o r i t !
L e t ( V ; E ) b e a n u n d i r e c t e d g r a p h . W e c a n a s u m e V = n . F o r a p o s i t i v e i n t e g e r k , a m a p
: V ! k i s c a l l e d a k - c o l o u r i n g I f f u r t h e r s a t i s e s t h e c o n d i t i o n t h a t f o r e a c h e d g e
2 8
-
7/22/2019 Combinatorics for Computer Scientists
39/195
( u ; v ) 2 E , ( u ) 6= ( v ) t h e n i t i s c a l l e d a p r o p e r k - c o l o u r i n g . W e s h a l l a l w a y s m e a n p r o p e r k
c o l o u r i n g , w h e n w e s a y c o l o u r i n g b e l o w . W e d e n e
G
( k ) : = f
i
i s a k - c o l o u r i n g o f G g
L e t ( V ; E ) b e a n u n d i r e c t e d g r a p h . H o w m a n y w a y s a r e t h e r e t o d e c o r a t e i t w i t h a ( p r o p e r )
k - c o l o u r i n g ? T h a t i s , w h a t i s t h e s i z e o f
G
( k ) ?
G i v e n a n u n d i r e c t e d g r a p h G : = ( V ; E ) ; V n , w e d e n e t h e p a r t i t i o n l a t t i c e
G
: = f f o r e a c h b l o c k A 2 ; G
A
i s c o n n e c t e d g
W e n o w d e n e t h e s e t s G ( ) ; F ( ) a s f o l l o w s :
G ( ) : = f
A
i s c o n s t a n t o n e a c h A 2 g
i . e . i t i s t h e s e t o f a l l c o l o u r i n g s t h a t g i v e t h e s a m e c o l o u r t o e a c h m e m b e r o f a n y g i v e n b l o c k .
F ( ) : = G ( ) \ f
A
6=
B
i f a 2 A ; b 2 B ; ( a ; b ) 2 E g
i . e . i f A a n d B a r e t w o b l o c k s w i t h a n e d g e o f G g o i n g b e t w e e n t h e m , t h e n a c o l o u r i n g i n
F ( ) m u s t a s s i g n d i e r e n t c o l o u r s t o t h e m . T h i s i s a l l g e t t i n g v e r y b i z a r r e ! H o w e v e r , n o t e
t h a t w e w o u l d b e i n t e r e s t e d i n F ( ) . S e t
g ( ) : = G ( ) a n d f ( ) : = F ( )
w e h a v e
G
( k ) = f ( ) . I n o t h e r w o r d s w e h a v e t h e s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m i f w e c a n c o m p u t e
f ( ) . I t i s e a s y t o c o m p u t e g ( ) = k
( S i n c e t h e r e a r e n o r e s t r i c t i o n s w e c a n p i c k a n y o n e
o f t h e k c o l o u r s f o r e a c h b l o c k ) . O b s e r v e n o w , t h a t g i v e n a n e l e m e n t ( c o l o u r i n g )
0
2 G ( )
w e c a n m a p i t t o a n u n i q u e c o l o u r i n g i n F (
0
) f o r s o m e
0
P
. W e d o t h i s b y m e r g i n g
e v e r y t w o b l o c k s A ; B 2 w h i c h c o n i c t , i . e . i f a 2 A ; b 2 B ; ( a ; b ) 2 E b u t
A
=
B
. T h e
o t h e r w a y r o u n d , e v e r y c o l o u r i n g i n F (
0
) f o r a
0
P
c o r r e s p o n d s t o a n u n i q u e c o l o u r i n g
i n G ( ) , n a m e l y t h e s a m e c o l o u r i n g .
I . e . w e h a v e a n b i j e c t i o n :
G ( ) $
P
F (
0
)
a n d s o w e g e t
g ( ) =
X
P
f (
0
)
B y M b i u s i n v e r s i o n w e h a v e t h a t f = g . R e m e m b e r i n g
G
( k ) = f ( ) t h i s n a l l y g i v e s u s
G
( k ) =
X
( ; ) g ( )
=
X
( ; ) k
=
X
1 j n
(
X
= j
( ; ) ) k
j
S o i n f a c t , t h e n u m b e r o f c o l o u r i n g s i s p o l y n o m i a l i n t h e n u m b e r o f c o l o u r s . T h i s p o l y n o m i a l
i s c a l l e d t h e c h r o m a t i c p o l y n o m i a l o f t h e g r a p h .
2 9
-
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C h a p t e r 4 . M b i u s I n v e r s i o n I I
3 0
-
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41/195
C h a p t e r 5
G e n e r a t i n g f u n c t i o n s
Y o u ' v e j u s t o r d e r e d a p i z z a t o b e d e l i v e r e d a n d w h i l e y o u ' r e w a i t i n g y o u s t a r t w o n d e r i n g i n
h o w m a n y w a y s y o u c a n p a y f o r i t u s i n g o n l y c o i n s o f d e n o m i n a t i o n D k r . 1 , 5 , 1 0 a n d 2 0 . Y o u
k n o w t h a t t h e p i z z a c o s t s D k r 4 0
1
. L e t t i n g C
i
d e n o t e t h e a m o u n t s y o u c a n p a y w i t h c o i n s
o f d e n o m i n a t i o n i a n d s m a l l e r w e c a n w r i t e t h e e q u a t i o n s ( h e r e = D k r . 1 ,
J
= D k r . 5 ,
= D k r . 1 0 a n d = D k r . 2 0 ) :
C
1
= ( 6 + + + + )
= ( 6 + +
2
+
3
)
C
5
= ( 6
K
+
K
+
2
K
+ ) C
1
C
1 0
= ( 6 + +
2
+ ) C
5
C
2 0
= ( 6 + +
2
+ ) C
1 0
a n d c o u n t t h e n u m b e r o f c o i n c o m b i n a t i o n s i n C
2 0
y i e l d i n g 4 0 . T h i s i s c l e a r l y t h e n u m b e r o f
w a y s t o p a y 4 0 k r u s i n g o n l y c o i n s o f d e n o m i n a t i o n D k r 1 , 5 , 1 0 a n d 2 0 . T h e p r o b l e m i s , y o u
m i g h t r u n o u t o f p a p e r t r y i n g t o c o m p u t e C
2 0
! S o l u t i o n : t h r o w i n s o m e a l g e b r a t o d o t h e
w o r k f o r y o u !
L e t t i n g z d e n o t e D k r . 1 , z
5
; z
1 0
a n d z
2 0
r e p r e s e n t r e s p e c t i v e l y D k r . 5 , 1 0 a n d 2 0 , w e c a n
w r i t e t h e e q u a t i o n s a b o v e a s f u n c t i o n s w h e r e t h e c o e c i e n t o f z
n
i n C
i
t e l l s u s i n