combinatoria con repeticion series paralelas y numeros naturales
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Combinatoria con repeticiΓ³n Series paralelas y NΓΊmeros naturales
πͺππ,π=β (π
π β π)π+πβπ
π=πβπ = (π + π β π
π)
πΊπ
={(
ππ
βπ)}
={(
πβ
ππ
βπ),(
ππ
βπ),(
π+
ππ
βπ),β¦
,(π
+π
βπ
πβ
π)}
βππ
ππ=π
=π
π+
π
π+
πβ‘
+π
ππβ‘+
ππ
βπ
ππ
( ππ)β‘β
ππ
βπ
πππ
( ππ)β‘+
ππ
βπ
πππ
( ππ)β‘β
ππ
βπ
πππ
( ππ)β‘
Β±...
π=
π π
>0
π>
1 π
>3
π>
5 π
>7
βπππ
π=π
= β(βπ)πβπ
π
π=π
ππ,π (π + π β π + π
π β π + π)
Combinatoria con repeticiΓ³n, Series paralelas y NΓΊmeros Naturales
Combinatoria con repeticiΓ³n
Las series paralelas de nΓΊmeros figurados
El triΓ‘ngulo de Pascal .
Series de potencias m-Γ©simas de los nΓΊmeros naturales y su expresiΓ³n
combinatoria.
Series aritmΓ©ticas de orden superior
DeterminaciΓ³n de los coeficientes de una ecuaciΓ³n polinΓ³mica de grado n en x,
cuyas soluciones corresponden a los nΓΊmeros naturales y su relaciΓ³n con los
nΓΊmeros de Stirling de 1α΅ especie
Otras expresiones de series de potencias de los nΓΊmeros naturales y su relaciΓ³n
con los nΓΊmeros de Bernoulli.
1) Combinatoria con repeticiΓ³n
Algunas anotaciones sobre combinatoria con repeticiΓ³n, y su aplicaciΓ³n posterior al cΓ‘lculo del
valor suma de potencias enteras de los nΓΊmeros naturales y a otras series aritmΓ©ticas de orden
superior.
En Γ‘nimo de no extendernos demasiado, supondremos ya conocidos los conceptos sobre
combinatoria simple o normal con respecto a las variaciones, permutaciones y combinaciones que
se pueden formar con n elementos de un conjunto donde todos sus miembros se consideran
diferentes por una caracterΓstica determinada o establecida como tal.
Procederemos a definir los conceptos involucrados, y a obtener las expresiones matemΓ‘ticas de
variaciones, permutaciones y combinaciones con repeticiΓ³n, formadas sobre conjuntos de n
elementos, donde todos pueden considerarse diferentes o sobre conjuntos de n elementos donde
algunos elementos estΓ‘n repetidos dentro del propio conjunto..
1-a) Comencemos con el concepto de variaciones con repeticiΓ³n ( π½ππ,π ) :
Se denominan asΓ, a las agrupaciones de n elementos de un conjunto, tomados m a m , repetidos o
no dentro de cada agrupaciΓ³n, que se diferencian por el orden de sus elementos en el grupo, o
porque poseen al menos un elemento diferente. Consideremos primero, el caso en el que todos los
elementos del conjunto sean diferentes y a su vez, n > m. Denominemos tales variaciones con
repeticiΓ³n como: πππ,π .
Sea por ej. El conjunto de dos elementos {π, π}, aquΓ n=2, y habrΓ‘ una sola opciΓ³n para m, es decir
m=1, de manera que las variaciones que podemos formar serΓ‘n: [a] y [b], y por ende ππ2,1= 21 = 2
Sea ahora el conjunto de tres elementos {a,b,c}, aquΓ n=3 y m puede tomar los valores m=1 y m=2
Para m=1 , se pueden formar tres grupos: [a],[b] y [c] , y resulta: ππ3,1=31=3, mientras que para
m=2, se pueden formar 9 grupos: [
[π, π] [π, π] [π, π]
[π, π] [π, π] [π, π][π, π] [π, π] [π, π]
] y resulta: ππ3,2 = 32 = 9
Consideremos el conjunto {a,b,c,d}, donde n=4 y m puede tomar los valores m=1,2,3
Para m=1, las variaciones serΓ‘n: [a],[b],[c],[d], es decir ππ4,1 = 41 = 4 , concluimos que para el
caso m=1 , y para cualquier n entero positivo, se cumple πππ,1 = π1 = π (demostrable por
inducciΓ³n).
Para m= 2 las variaciones posibles serΓ‘n: [
[π, π] [π, π] [π, π] [π, π][π, π] [π, π] [π, π] [π, π][π, π]
[π, π]
[π, π]
[π, π]
[π, π] [π, π]
[π, π] [π, π]
] y ππ4,2 = 42 = 16
Para m= 3, los grupos serΓ‘n:
[ [π, π, π] [π, π, π] [π, π, π] [π, π, π]
[π, π, π] [π, π, π] [π, π, π] [π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π. π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π. π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]]
SimbΓ³licamente llamemos π(π), al nΓΊmero de variaciones que comienzan por Ι, entonces serΓ‘
π(π) = 16, anΓ‘logamente podrΓamos escribir: π(π,π) = 4, π(π,π) = 4, π(π,π) =4, y π(π,π) = 4, y
resulta: π(π) = π(π,π) + π(π,π) + π(π,π) + π(π,π) = 4 + 4 + 4 + 4 = 4π₯4 = 42=16 . AsΓ mismo
TambiΓ©n podrΓamos escribir: π(π) = π(π,π) + π(π,π) + π(π,π) + π(π,π) = 42 = 16
π(π) = π(π,π) + π(π,π) + π(π,π) + π(π,π) = 42 = 16
π(π) = π(π,π) + π(π,π) + π(π,π) + π(π,π) = 42 = 16
En total, tendremos: ππ4,3 = π(π) + π(π) + π(π) + π(π) = 4. 42 = 43
Generalizando, resulta: π½ππ,π = ππ,expresiΓ³n tambiΓ©n demostrable por inducciΓ³n de n a n+1
Consideremos ahora el caso cuando los elementos del conjunto original son todos diferentes,
y m > n
Sea por ej. El conjunto de dos elementos {π, π } y formemos las variaciones con repeticiΓ³n de estos
dos elementos tomados tres a tres. AquΓ n = 2 mientras que m=3 > n. El nΓΊmero de grupos que se
pueden formar serΓ‘: [[π, π, π] [π, π , π] [π , π , π] [π , π, π][π, π, π ] [π, π , π ] [π , π , π ] [π , π, π ]
] , es decir: ππ2,3 = 23 = 8
Es el ejemplo clΓ‘sico del lanzamiento de una moneda al aire con dos posibilidades al caer: cara (c )
o sello (s ), y donde la lanzamos tres veces cada vez. La expresiΓ³n matemΓ‘tica que se obtiene, es la
misma que en el caso anterior para n > m. Haciendo un estudio de casos, llegarΓamos a la misma
expresiΓ³n obtenida anteriormente, y por lo tanto: : π½ππ,π = ππ, resultarΓ‘ valida independiente de
que n > m , o de que n < m.
Si consideramos el caso de un conjunto de n elementos, donde algunos de sus elementos se
encuentran repetidos, la expresiΓ³n obtenida anteriormente, sigue siendo aplicable, pero deberemos
sustituir a n por k, donde k representa el nΓΊmero de elementos del conjunto considerados diferentes
entre sΓ., y en lugar de : π½ππ,π = ππ, deberemos utilizar: π½ππ,π = ππ
Ejemplo: sea el conjunto {π, π, π, π, π, π}, con un total de n= 6 elementos, donde solo los tres
elementos π, π π¦ π pueden considerarse diferentes, es decir k = 3. Entonces, las variaciones con
repeticiΓ³n de dos elementos iguales o diferentes, que se pueden formar son:
[
[π, π] [π, π] [π, π][π, π] [π, π] [π, π]
[π, π] [π, π] [π, π]] , y π½ππ,π = ππ = π
1-b) Permutaciones con repeticiΓ³n ( π·ππ )
Se denominan asΓ a las agrupaciones que podemos formar con un conjunto de n elementos, tomados
n a n (repetidos o no en cada agrupaciΓ³n), que se diferencian entre sΓ por el orden o por tener
diferente, al menos, uno de sus elementos constituyentes.
Por la definiciΓ³n anterior, es evidente que las permutaciones con repeticiΓ³n pueden considerarse
como un caso particular ( y especial) de las variaciones con repeticiΓ³n, en el cual n= m, y por lo
tanto, su expresiΓ³n matemΓ‘tica, si utilizamos π·ππ , en lugar de π½ππ,π, vendrΓ‘ dada por:
π·ππ = ππ ,( no es necesario escribir π·ππ ,π), y existirΓ‘ una sola posibilidad para cada conjunto
dado de elementos diferentes.
Sea por ej. El conjunto {π, π} de dos elementos diferentes, entonces, las permutaciones con
repeticiΓ³n que se pueden formar con un conjunto tal serΓ‘n:
[[π, π] [π, π][π, π] [π, π]
], y π·ππ = ππ = π
Si llamamos π(π), a las permutaciones con repeticiΓ³n de dicho conjunto, que comienzan con π,
entonces serΓ‘ π(π) = 2, y si llamamos π(π), las permutaciones que comienzan con b, se tendrΓ‘:
π(π) = 2, entonces: π·ππ = π(π) + π(π) = 2.2 = 22 = 4
Consideremos ahora el conjunto {π, π, π}, donde n= 3 .Las permutaciones con repeticiΓ³n que se
pueden formar en este caso serΓ‘n:
[ [π, π, π] [π, π, π] [π, π, π]
[π, π, π] [π, π, π] [π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π. π. π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]
[π, π, π]]
SimbΓ³licamente, podemos escribir π(π) = 9, π(π) = 9, y π(π) = 9, entonces:
π·ππ = π·(π) + π·(π) + π·(π) = π. π = ππ = ππ
AnΓ‘logamente, tambiΓ©n podrΓamos escribir:
π(π,π) = 3 π(π,π) = 3 π(π,π) = 3
π(π,π) = 3 π(π,π) = 3 π(π,π) = 3
π(π,π) = 3 π(π,π) = 3 π(π,π) = 3
π·ππ=π(π,π) + π(π,π) + π(π,π) + π(π,π) + π(π,π) + π(π,π) + π(π,π) + π(π,π) + π(π,π) = 9.3 = 33 = 27
Notamos que las π·(π,π) = 31, mientras que las π·(π) = 32. Y π·ππ = π·(π,π). π·(π)
Apliquemos esta propiedad* para obtener π·ππ, para el conjunto de cuatro elementos diferentes
{π, π, π, π}. Entonces utilizando una nomenclatura simbΓ³lica anΓ‘loga a la anterior, tendrΓamos:
[ π(π,π,π) = 4
π(π,π,π) = 4
π(π,π,π) = 4
π(π,π,π) = 4]
y π(π,π) = 42 = 16
[ π(π,π,π) = 4
π(π,π,π) = 4
π(π,π,π) = 4
π(π,π,π) = 4]
y π(π,π) = 42 = 16
[ π(π,π,π) = 4
π(π,π,π) = 4
π(π,π,π) = 4
π(π,π,π) = 4]
y π(π,π) = 42 = 16
[ π(π,π,π) = 4
π(π,π,π) = 4
π(π,π,π) = 4
π(π,π,π) = 4]
y π(π,π) = 42 = 16
De manera que:
[ π(π,π,) = 16
π(π,π) = 16
π(π,π) = 16
π(π,π) = 16]
y π(π) = 4.16 = 43 = 64
De forma similar, resultarΓan:
[ π(π,π,) = 16
π(π,π) = 16
π(π,π) = 16
π(π,π) = 16]
y π(π) = 4.16 = 43 = 64
[ π(π,π,) = 16
π(π,π) = 16
π(π,π) = 16
π(π,π) = 16]
y π(π) = 4.16 = 43 = 64
[ π(π,π,) = 16
π(π,π) = 16
π(π,π) = 16
π(π,π) = 16]
y π(π) = 4.16 = 43 = 64, y resulta: π·ππ = π. ππ = ππ = πππ
* (En este caso serΓ‘: π·ππ = π·(π,π,π). π·(π) )
O tambiΓ©n: π·ππ = π·(π) + π·(π) + π·(π) + π·(π ) = π. ππ = ππ = πππ
Consideremos ahora el caso de conjuntos con elementos repetidos, y definamos de nuevo el
concepto de permutaciones con repeticiΓ³n como el nΓΊmero de permutaciones que se pueden formar
con un conjunto de n elementos donde solo m < n, elementos son diferentes, asΓ por ej. un primer
elemento se repite β1 veces, un segundo elemento se repite β2 veces, un tercero se repite β3 veces,
etc. , de manera que se cumple β1+β2+β3+ β―+βπ= π, y todas las agrupaciones (de n elementos
c/u) se diferencian solo por el orden de sus elementos.
Para encontrar una expresiΓ³n matemΓ‘tica para las permutaciones con repeticiΓ³n para estas
condiciones, comencemos por analizar algunos casos.
Sea por ej. el conjunto de n=5 elementos dados por {π, π, π, π, π}, donde π, se repite 2 veces y b, se
repite tres veces. Para hacer analogΓa con las permutaciones normales o corrientes, supongamos
que todos los elementos del conjunto, pueden considerarse diferentes, lo cual denotaremos
aΓ±adiΓ©ndole un subΓndice numΓ©rico a los elementos que se repiten, que permita identificarlos como
tales en el proceso deductivo posterior. AsΓ el conjunto original puede rescribirse como
{π, π1, π, π1, π2}, entonces las permutaciones simples que pueden hacerse con tal conjunto, serΓan:
π5=5! = 120 agrupaciones diferentes de 5 elementos c/u.
Analicemos ahora cuantos grupos pueden derivarse a partir de una permutaciΓ³n dada. Para facilitar
dicho anΓ‘lisis, escogeremos la misma agrupaciΓ³n inicial (π, π1, π, π1, π2) y permutaremos las letras,
pero sin mezclar los grupos entre sΓ, de manera que conserven en cuanto al orden, su identidad con
el grupo original.
Si partimos de la permutaciΓ³n (π, π1, π, π1, π2), y permutamos los tres elementos b, dejando fijos los
elementos π, obtenemos 3!= 6 agrupaciones posibles (incluyendo la original), a saber:
[ π, π1, π, π1, π2
π, π1,π, π2, π1
π, π1, π1, π, π2
π, π1, π1, π2, ππ, π1, π2, π, π1
π, π1, π2, π1, π]
Si permutamos ahora los elementos π, se obtendrΓ‘n 6 grupos adicionales es decir
[ π1, π, π, π1, π2
π1, π,π, π2, π1
π1, π, π1, π, π2
π1, π, π1, π2, ππ1, π, π2, π, π1
π1, π, π2, π1, π]
Obtenemos 2!.3!=2.6=12 grupos en total
Entonces, a partir de una posible permutaciΓ³n, se han obtenido 12 nuevas, que en realidad son una
misma, la (π, π1, π, π1, π2). Por ello razonando a la inversa, esto significarΓa que las 120
permutaciones hipotΓ©ticas que se derivan de la original considerada como si todos sus elementos
fueran diferentes, se reducen en definitiva a 120/12=10 es decir :( 5!
2!3! )
Entonces el nΓΊmero de permutaciones con repeticiΓ³n que se pueden formar con un conjunto de n=5
elementos, como {π, π, π, π, π}, donde un primer elemento π, se repite 2 veces y un segundo
elemento b, se repite tres veces, se puede obtener mediante la expresiΓ³n:
ππ5,2,3 =5!
2!3!= 10, donde 2+3=5 , que son: [
π, π, π, π, π π, π, π, π, π π, π, π, π, π π, π, π, π, ππ, π, π, π, π π, π, π, π, π π, π, π, π, ππ, π, π, π, π π, π, π, π, π π, π, π, π, π
]
Analicemos un segundo caso. Por ej. sea el conjunto {π, π, π, π, π, π, π} de n=7 elementos, donde
solo m=3 elementos son diferentes. Un primer elemento π, se repite 2 veces, un segundo b, se repite
tambiΓ©n 2 veces y un tercer elemento c, se repite 3 veces. AsΓ 2+2+3=7.
Denotaremos dicho conjunto como {π, π1, π, π1, π, π1, π2}, de manera que hipotΓ©ticamente como en
el ejemplo anterior, podamos considerar todos sus elementos como diferentes entre sΓ. Si este fuera
el caso, el nΓΊmero de permutaciones posibles con 7 elementos serΓa: π7 = 7! = 5040.
AnΓ‘logamente al caso anterior, determinemos el nΓΊmero de permutaciones que se pueden generar a
partir de una permutaciΓ³n dada, y por facilidad en el anΓ‘lisis, escojamos aquella que conserva la
identidad con el grupo inicial π, π1, π, π1, π, π1, π2.
Si permutamos solo los tres tΓ©rminos c, se originaran de esta 3!=6 permutaciones adicionales
( incluyendo la original) .Si ahora permutamos los dos elementos b, cada una de estas 6 generan dos
adicionales, es decir 2!3!= 2.6=12 grupos en total.
Si por ΓΊltimo, permutamos los dos elementos π, en estas 12 agrupaciones, cada una de ellas genera
2 adicionales mas, para un total de 2! 2! 3!= 2.2.6 = 24 permutaciones nuevas, que en realidad son
una misma. Por ello las hipotΓ©ticas 5040 se reducen a 5040/24 = 210, o sean 7!/2! 2! 3! =210
permutaciones reales. Podemos entonces expresar este resultado como:
ππ7,2,2,3 =7!
2!2!3!= 210, donde 2+2+3 = 7
Estos resultados nos permiten generalizar para obtener la expresiΓ³n:
π·ππ,βπ,βπ,βπ,β¦,βπ=
π!
βπ!βπ!βπ!β¦βπ! , donde βπ+βπ+βπ+ β―+βπ= π
Siendo n el nΓΊmero de elementos de un conjunto a permutar, donde solo hay m < n elementos
diferentes, y el primero de ellos se repite β1 veces, el segundo β2 veces, el tercero β3 veces y asΓ
hasta el m-Γ©simo elemento diferente, que se repite βπ veces, siendo βπ+βπ+βπ+ β―+βπ= π
1-c) Combinaciones con repeticiΓ³n (πͺππ,π )
Se denominan asΓ a las agrupaciones que se pueden formar con los n elementos de un conjunto,
tomados de m en m (m<n , repetidos o no en cada agrupaciΓ³n) , que se diferencian una de otra por
lo menos en un elemento y no por el orden. Por ende en este caso, solo consideraremos conjuntos
formados por elementos todos diferentes.
AnΓ‘logamente al caso de las variaciones con repeticiΓ³n, cuando m=1, πͺππ,π = π, y por lo tanto,
obviaremos su anΓ‘lisis en los diversos casos adicionales a este. Para m < n, en el caso de un
conjunto de dos elementos como {π, π}, la ΓΊnica posibilidad es m=1 y πͺππ,π =2, y las ΓΊnicas
combinaciones βcon repeticiΓ³nβ que podemos formar serΓ‘n: [π] π¦ [π], es decir, solo dos
combinaciones posibles.
Sea ahora un conjunto de tres elementos ( n=3 ), tal como {π, π, π}. En este caso tendrΓamos dos
opciones: m=1 y πͺππ,π = π , y m=2. Para este ΓΊltimo caso resultarΓan las siguientes
combinaciones con repeticiΓ³n posibles:
[
π, π π, π π, π π, π π, π π, π
] De manera que πͺππ,π = π
Si comparamos este caso con el correspondiente al de las variaciones con repeticiΓ³n de tres
elementos, tomados dos a dos, notamos que las combinaciones con repeticiΓ³n de tres elementos
tomados dos a dos, se corresponden a las agrupaciones ubicadas por debajo de la lΓnea quebrada
(en rojo), seΓ±alada en la matriz que contiene todas las variaciones posibles del caso y que se
muestra a continuaciΓ³n.
π, π π, π π, π
π, π π, π π, π
π, π π, π π, π
Utilizando una notaciΓ³n simbΓ³lica similar a la ya utilizada para variaciones y permutaciones,
podemos escribir:
π(π) = 3 πΆ(π) = 3
π(π) = 3 πΆ(π) = 2
π(π) = 3 πΆ(π) = 1
ππ3,2 = 3.3 = 32 = 9 πΆπ3,2 = 3 + 2 = 1 = 6
Sea ahora el conjunto de cuatro elementos n=4, tal como: {π, π, π, π}, siendo πΆπ4,1 = 4,
analizaremos las otras dos opciones posibles.
Para m=2, tendremos:
[
π, π π, π π, π π, ππ, π
π, ππ, π
π, π π, π π, π
]
πΆπ4,2 = 10, que resulta contenida en la matriz correspondiente a ππ4,2 = 16, (grupos por debajo de
la lΓnea quebrada en rojo)
AnΓ‘logamente, de manera simbΓ³lica podemos escribir:
π(π) = 4 πΆ(π) = 4
π(π) = 4 πΆ(π) = 3
π(π) = 4 πΆ(π) = 2
π(π) = 4 πΆ(π) = 1
ππ4,2 = 4.4 = 42 = 16 πΆπ4,2 = 4 + 3 + 2 + 1 = 10
Para m=3, resultan:
πΆπ4,3 = 20, que estΓ‘n contenidas en la matriz correspondiente a ππ4,3 = 43=64 (grupos contenidos
en los recuadros escalonados seΓ±alados en rojo)
π, π π, π π, π π, π
π, π π, π π, π π, π
π, π π, π π, π π, π
π, π π, π π, π π, π
π, π, π
π, π, π π, π, π
π, π, π π, π, π π, π, π
π, π, π π, π, π π, π, π π, π, π
π, π, π
π, π, π π, π, π
π, π, π π, π, π π, π, π
π, π, π
π, π, π π, π, π
π, π, π
π, π, π π, π, π π, π, π π, π, π
π, π, π π, π, π π, π, π π, π, π
π, π, π π, π, π π, π, π π, π, π
π, π, π π, π, π π, π, π π, π, π
π, π, π π, π, π π, π, π π, π, π
π, π, π π, π, π π, π, π π, π, π
π, π, π π, π, π π, π, π π, π, π
π, π, π π, π, π π, π, π π, π, π
π, π, π π, π, π π, π, π π, π, π
π, π, π π, π, π π, π, π π, π, π
π, π, π π, π, π π, π, π π, π, π
π, π, π π, π, π π, π, π π, π, π
π, π, π π, π, π π, π, π π, π, π
π, π, π π, π, π π, π, π π, π, π
π, π, π π, π, π π, π, π π, π, π
π, π, π π, π, π π, π, π π, π, π
Utilizando la notaciΓ³n simbΓ³lica, tendremos:
π(π) = 16 πΆ(π) = 10
π(π) = 16 πΆ(π) = 6
π(π) = 16 πΆ(π) = 3
π(π) = 16 πΆ(π) = 1
ππ4,3 = 4.16 = 43 = 64 πΆπ4,3 = 10 + 6 + 3 + 1 = 20
Podemos notar que en este caso, se pone mΓ‘s en evidencia que podemos extender el lenguaje
simbΓ³lico a las combinaciones con repeticiΓ³n, para escribir:
πΆ(π,π) = 4 πΆ(π,π) = 0
πΆ(π,π) = 3 πΆ(π,π) = 3
πΆ(π,π) = 2 πΆ(π,π) = 2
πΆ(π,π) = 1 πΆ(π,π) = 1
πΆ(π) = 4 + 3 + 2 + 1 = 10 πΆ(π) = 3 + 2 + 1 = 6
AnΓ‘logamente:
πΆ(π,π) = 0 πΆ(π,π) = 0
πΆ(π,π) = 0 πΆ(π,π) = 0
πΆ(π,π) = 2 πΆ(π,π) = 0
πΆ(π,π) = 1 πΆ(π,π) = 1
πΆ(π) = 2 + 1 = 3 πΆ(π) = 1
De manera que πΆπ4,3 =(4+3+2+1) + (3+2+1) + (2+1) + (1) = 10+6+3+1=20
Que podemos escribir como: πΆπ4,3 = 1.(4) + 2.(3) + 3.(2) + 4.(1) =20
Continuemos nuestro anΓ‘lisis estudiando un ΓΊltimo caso. Sea un conjunto de n=5 elementos, tal
como {π, π, π, π, π}, y obviando la opciΓ³n m=1 ( πΆπ5,1 = 5 ), consideremos la opciΓ³n m=2
Sin necesidad de graficar la matriz que contiene los grupos a considerar, si ππ5,2 = 52 = 25 deberΓ‘
cumplirse:
π(π) = 5 πΆ(π) = 5
π(π) = 5 πΆ(π) = 4
π(π) = 5 πΆ(π) = 3
π(π) = 5 πΆ(π) = 2
π(π) = 5 πΆ(π) = 1
ππ5,2 = 5.5 = 52 = 25 πΆπ5,2 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15
Para el caso m=3, siendo ππ5,2 = 53 = 125 , se cumplirΓ‘n:
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 5
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 4
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 3
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 2
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 1
π(π) = 5.5 = 52 = 25 πΆ(π) = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 5
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 4
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 3
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 2
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 1
π(π) = 5.5 = 52 = 25 πΆ(π) = 4 + 3 + 2 + 1 = 10
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 0
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 0
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 3
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 2
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 1
π(π) = 5.5 = 52 = 25 πΆ(π) = 3 + 2 + 1 = 6
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 0
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 0
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 0
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 2
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 1
π(π) = 5.5 = 52 = 25 πΆ(π) = 2 + 1 = 3
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 0
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 0
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 0
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 0
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 1
π(π) = 5.5 = 52 = 25 πΆ(π) = 1
Resulta entonces ππ5,3 = 5.25 = 53 = 125, como ya conocΓamos, mientras que para πΆπ5,3,
obtenemos:
πΆπ5,3 = 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35, que podemos rescribir como:
πΆπ5,3 = (5 + 4 + 3 + 2 + 1) + (4 + 3 + 2 + 1) + (3 + 2 + 1) + (2 + 1) + (1) = 35, o tambiΓ©n:
πΆπ5,3 = 1. (5) + 2(4) + 3(3) + 4(2) + 5(1) = 35
Para el caso m=4, siendo ππ5,4 = 54 = 625, se cumplirΓ‘n:
π(π,π) = 25 πΆ(π,π) = 15
π(π,π) = 25 πΆ(π,π) = 10
π(π,π) = 25 πΆ(π,π) = 6
π(π,π) = 25 πΆ(π,π) = 3
π(π,π) = 25 πΆ(π,π) = 1
π(π) = 5.25 = 53 = 125 πΆ(π) = 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35
π(π,π) = 25 πΆ(π,π) = 0
π(π,π) = 25 πΆ(π,π) = 10
π(π,π) = 25 πΆ(π,π) = 6
π(π,π) = 25 πΆ(π,π) = 3
π(π,π) = 25 πΆ(π,π) = 1
π(π) = 5.25 = 53 = 125 πΆ(π) = 10 + 6 + 3 + 1 = 20
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 0
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 0
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 6
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 3
π(π,π) = 5 πΆ(π,π) = 1
π(π) = 5.5 = 53 = 125 πΆ(π) = 6 + 3 + 1 = 10
π(π,π) = 25 πΆ(π,π) = 0
π(π,π) = 25 πΆ(π,π) = 0
π(π,π) = 25 πΆ(π,π) = 0
π(π,π) = 25 πΆ(π,π) = 3
π(π,π) = 25 πΆ(π,π) = 1
π(π) = 5.25 = 53 = 125 πΆ(π) = 3 + 1 = 4
π(π,π) = 25 πΆ(π,π) = 0
π(π,π) = 25 πΆ(π,π) = 0
π(π,π) = 25 πΆ(π,π) = 0
π(π,π) = 25 πΆ(π,π) = 0
π(π,π) = 25 πΆ(π,π) = 1
π(π) = 5.25 = 53 = 125 πΆ(π) = 1
Resulta entonces: ππ5,4 = 5.125 = 54 = 625,como ya conocΓamos y
πΆπ5,4 = 35 + 20 + 10 + 4 + 1 = 70, que podemos rescribir como:
πΆπ5,4 = (15 + 10 + 6 + 3 + 1) + (10 + 6 + 3 + 1) + (6 + 3 + 1) + (3 + 1) + (1) = 70, o tambiΓ©n:
πΆπ5,4 = 1. (5) + 3. (4) + 6. (3) + 10. (2) + 15. (1)
Si escribimos un resumen de los resultados obtenidos hasta ahora;
m=1 m=2
πΆπ2,1 = 1 + 1 = 2
πΆπ3,1 = 1 + 1 + 1 = 3 πΆπ3,2 = 1 + 2 + 3 = 6
πΆπ4,1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 πΆπ4,2 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
πΆπ5,1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 πΆπ5,2 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
m=3 m=4
πΆπ4,3 = 1 + 3 + 6 + 10 = 20
πΆπ5,3 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 πΆπ5,4 = 1 + 4 + 10 + 20 + 35 = 70
Una observaciΓ³n cuidadosa de estos resultados, nos indica que los valores de πͺππ,π , se identifican
con las series paralelas del triΓ‘ngulo de Tartaglia o de Pascal. Estudiaremos dichas series a
continuaciΓ³n.
2) Las series paralelas de nΓΊmeros figurados del triΓ‘ngulo de Pascal
Para estudiar dichas series, comencemos por su obtenciΓ³n a partir de la siguiente identidad:
π₯(π₯+1)(π₯+2)β¦(π₯+πβ1)(π₯+π)
1.2.3β¦π(π+1)β
(π₯β1)π₯(π₯+1)β¦(π₯+πβ1)
1.2.3β¦π(π+1)=
π₯(π₯+1)(π₯+2)β¦(π₯+πβ1)
1.2.3β¦π,
que es , una relaciΓ³n de recurrencia.
Si en esta identidad, hacemos m=1, obtenemos: π₯(π₯+1)
1.2β
(π₯β1)π₯
1.2=
π₯
1
Y si damos a x, sucesivamente los valores: x=1,2,3,β¦,(n-1),n, resultan las siguientes identidades :
1.2
1.2β
0.1
1.2=
1
1
2.3
1.2β
1.2
1.2=
2
1
3.4
1.2β
2.3
1.2=
3
1
. . .
. . .
. . . (π β 1)π
1.2β
(π β 2)(π β 1)
1.2=
π β 1
1
π(π + 1)
1.2β
(π β 1)π
1.2=
π
1
Sumando miembro a miembro todas estas identidades, obtenemos:
π(π + 1)
2!= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + β―+ (π β 1) +
π
1!
Si de nuevo en la identidad inicial, hacemos m=2, resulta:
π₯(π₯+1)(π₯+2)
1.2.3β
(π₯β1)π₯(π₯+1)
1.2.3=
π₯(π₯+1)
1.2, y si en esta identidad, hacemos tomar a x, sucesivamente los
valores x=1,2,3,β¦,(n-1),n, obtenemos:
1.2.3
1.2.3β
0.1.2
1.2.3=
1.2
1.2
2.3.4
1.2.3β
1.2.3
1.2.3=
2.3
1.2
3.4.5
1.2.3β
2.3.4
1.2.3=
3.4
1.2
. . .
. . .
. . . (π β 1)π(π + 1)
1.2.3β
(π β 2)(π β 1)π
1.2.3=
(π β 1)π
1.2
π(π + 1)(π + 2)
1.2.3β
(π β 1)π(π + 1)
1.2.3=
(π β 1)π
1.2
Si sumamos miembro a miembro estas identidades, resulta:
π(π + 1)(π + 2)
3!= 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + β―+
π(π + 1)
2!
Repitiendo este procedimiento para m=3, obtendrΓamos:
π₯(π₯+1)(π₯+2)(π₯+3)
1.2.3.4β
(π₯β1)π₯(π₯+1)(π₯+2)
1.2.3.4=
π₯(π₯+1)(π₯+2)
1.2.3, y haciendo tomar a x sucesivamente los
valores x=1, 2,3,β¦, (n-1), n, y sumando miembro a miembro las identidades resultantes,
obtendremos la serie:
π(π + 1)(π + 2)(π + 3)
4!= 1 + 4 + 10 + 20 + 35 + β―+
π(π + 1)(π + 2)
3!
Si continuamos para m=4, obtendrΓamos la serie:
π(π + 1)(π + 2)(π + 3)(π + 4)
5!= 1 + 5 + 15 + 35 + 70 + β―+
π(π + 1)(π + 2)(π + 3)
4!
Y asΓ sucesivamente, podemos extendernos hasta cualquier valor de m entero natural.
Si ordenamos estos resultados, adicionando en primer lugar el caso anΓ‘logo que se obtiene de la
identidad: π₯
1β
π₯β1
1=
1
1, cuando damos a x los valores x=1,2,3,β¦,(n-1),n
1+1+1+1+...+1=π
1!, tendremos:
1+1+1+1+.1+...+1= π
1!
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + β―+ (π β 1) +π
1!=
π(π + 1)
2!
1 + 3 + 6 + 10 + 15 + β―+π(π + 1)
2!=
π(π + 1)(π + 2)
3!
1 + 4 + 10 + 20 + 35 + β―+π(π + 1)(π + 2)
3!=
π(π + 1)(π + 2)(π + 3)
4!
1 + 5 + 15 + 35 + 70 + β―+π(π + 1)(π + 2)(π + 3)
4!=
π(π + 1)(π + 2)(π + 3)(π + 4)
5!
β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.
Notamos que en estas series, el tΓ©rmino enΓ©simo de una, es igual a la suma de los primeros n
tΓ©rminos de la serie precedente, asΓ p.ej. 15=1+2+3+4+5 o 70=1+4+10+20+35.
AsΓ mismo las diferencias de los tΓ©rminos consecutivos n y (n-1) de una serie, da como resultado el
tΓ©rmino n de la serie precedente, asΓ p ej. 35-20=15 o 70-35=35.
Si escribimos estas series de tal forma que la series siguientes a la de partida se van formando como
resultado de las diferencias entre cada dos tΓ©rminos sucesivos de la serie precedentes, entonces la
serie siguiente a la original, se le denomina serie de las diferencias primeras, a la que le sigue, serie
de las diferencias segundas y asΓ sucesivamente, siempre con respecto a la serie original o de
partida.
Por ejemplo si partimos de los 7 primeros tΓ©rminos de la serie obtenida para m=4, tendrΓamos:
1 5 15 35 70 126 210 Diferencias
4 10 20 35 56 84 1β° 6 10 15 21 28 2β° 4 5 6 7 3β° 1 1 1 4β°
Cuando la serie de las k-Γ©simas diferencias se compone de tΓ©rminos iguales, se dice que la serie de
partida es de orden k. en nuestro caso la serie * 1,5,15,35,70,126,210,β¦ es de 4β° orden con respecto
a la serie 1,1,1,1,1,1,1,β¦
*Para evitar alguna supuesta ambigΓΌedad matemΓ‘tica al utilizar como sinΓ³nimos los tΓ©rminos
sucesiΓ³n y serie, (lo cual es correcto gramaticalmente) , cuando el tΓ©rmino corresponda a la suma
de los tΓ©rminos de una sucesiΓ³n de igual nomenclatura , para diferenciarlas, agregaremos un supra
Γndice + .AsΓ por ejemplo ππ , representa una sucesiΓ³n, mientras que ππ
+ , representarΓa la suma de
sus tΓ©rminos o serie.
Las series obtenidas anteriormente a partir de la identidad de recurrencia inicial, se denominan
series de los nΓΊmeros figurados o series de nΓΊmeros combinatorios y se pueden agrupar de diversas
formas:
SucesiΓ³n de sumas triangulares 0 1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5 6
0 1 3 6 10 15 21
0 1 4 10 20 35 56
0 1 5 15 35 70 126
Diferencias sucesivas 0 1 5 15 35 70 126
0 1 4 10 20 35 56
0 1 3 6 10 15 21
0 1 2 3 4 5 6
0 1 1 1 1 1 1
Sumas acumulativas 0 1 1 1 1 1 1
1
0 1 2 3 4 5 6
0 1 3 6 10 15 21
0 1 4 10 20 35 56
0 1 5 15 35 70 126
En forma de triΓ‘ngulo isΓ³sceles rectΓ‘ngulo, donde se evidencian como resultado de la suma de sus
elementos en direcciΓ³n diagonal, tal como se muestra en la figura anterior, los valores de la
sucesiΓ³n de Fibonacci: ππ = ππβ1 + ππβ2, partiendo de los dos primero valores, predeterminados:
π0 = 0 π¦ π1 = 1, se obtienen los valores de la sucesiΓ³n: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,...
Pero la manera mΓ‘s usual de representarlas, es agrupΓ‘ndolas en forma de un triΓ‘ngulo equilΓ‘tero
numΓ©rico (en nΓΊmero de elementos por cada lado), y simΓ©trico respecto a su βalturaβ, en el cual las
series de nΓΊmeros combinatorios, aparecen repetidas en ambas direcciones oblicuas del triΓ‘ngulo.
Nosotros denotaremos a dichas series como : π1 , π2
, π3 , β¦ , ππ
,donde consideramos los primeros n
tΓ©rminos de la serie, y el sub Γndice m, es un contador para indicar su ubicaciΓ³n como serie paralela,
que hacemos coincidir con el segundo tΓ©rmino de la serie respectiva.
Cada una de estas series paralelas de n tΓ©rminos se caracteriza porque su tΓ©rmino n-Γ©simo, es igual a
la suma de los n tΓ©rminos de la sucesiΓ³n precedente.
3) TriΓ‘ngulo de Pascal
El triΓ‘ngulo que a continuaciΓ³n se muestra, se denomina en Occidente como triΓ‘ngulo de Tartaglia
(1500-1557) o mΓ‘s comΓΊnmente triΓ‘ngulo de Pascal (1632-1662), porque su descubrimiento es
atribuido a dichos matemΓ‘ticos europeos, pero ya dicha distribuciΓ³n de nΓΊmeros, aparece en la
portada del Rechnung, un libro de aritmΓ©tica del matemΓ‘tico y astrΓ³nomo alemΓ‘n Peter Apian
(1499-1552), y el matemΓ‘tico chino Chu Shih Chien, lo mencionΓ³ en 1303 (3 siglos antes) en su
libro βEl espejo mΓ‘gico de los 4 elementosβ, refiriΓ©ndose a Γ©l como el antiguo mΓ©todo (usado
desde 2 siglos atrΓ‘s). Probablemente dicho triΓ‘ngulo se remonta al aΓ±o 1100 d.C., cuando el poeta y
matemΓ‘tico persa Omar KhayyΓ‘m, parece referirse a Γ©l en su famosa Γ‘lgebra.
El triΓ‘ngulo resulta ilimitado por su base y la lectura de sus filas horizontales tiene el mismo tenor,
si su lectura se hace en un sentido o en el contrario. AsΓ mismo, cada fila inicia y termina en un
valor unitario y los restantes tΓ©rminos de cada fila se puede obtener de la anterior, sumando cada
dos nΓΊmeros consecutivos de la fila anterior, siendo esto una consecuencia inmediata de que cada
serie paralela, viene a ser la serie de las diferencias primeras de la serie anterior. Ver a modo de
ejemplo el trazado de color rojo entre fila 5 y fila 6 en el grΓ‘fico a continuaciΓ³n.
TRIANGULO DE PASCAL ( β π ), (filas desde n=0, hasta n=10)
πΊπ Filas
1 πΊπ 0
1 1 πΊπ 1
1 2 1 πΊπ 2
1 3 3 1 πΊπ 3
1 4 6 4 1 πΊπ 4
1 5 10 10 5 1 πΊπ 5
1 6 15 20 15 6 1 πΊπ 6
1 7 21 35 35 21 7 1 πΊπ 7
1 8 28 56 70 56 28 8 1 πΊππ 8
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 πΊππ 9
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 10
. . . . . . . . . . . .
El triΓ‘ngulo de Pascal, se puede considerar como la distribuciΓ³n de nΓΊmeros o coeficientes que
resultan de la expansiΓ³n de las potencias sucesivas de un binomio elevado a una potencia k, como
(π₯1 + π₯2)π, cuando k varia de cero a n. Las filas del triΓ‘ngulo se numeran de arriba abajo, tal como
sea el valor de k, y los tΓ©rminos de la fila n, son los coeficientes que corresponden al desarrollo del
binomio (π₯1 + π₯2)π o binomio de Newton.
Estos coeficientes se denominan coeficientes binomiales y se denotan usualmente como:
(ππ
) =π!
(π β π)!π!=
π(π β 1)(π β 2)β¦ (π β π + 1)
1.2.3β¦π
Como es conocido, la expresiΓ³n (ππ
), se denomina nΓΊmero combinatorio, y representa el nβ° de
combinaciones que se pueden formar con los n elementos de un conjunto, tomados de m en m, de
tal manera que todos los grupos resultantes se diferencien entre sΓ, al menos en un elemento
(combinaciones simples, sin repeticiΓ³n, y por ende , el orden de los elementos en el grupo no hace
diferenciaciΓ³n alguna).Por conveniencia ,en lo que respecta a la nomenclatura a utilizar, para
nuestros fines, hemos incluido el valor 1 en el vΓ©rtice superior del triΓ‘ngulo, de manera de incluir el
caso trivial (π₯1 + π₯2)0 =1, correspondiente a k=0, y al combinatorio (
00) = 1. AsΓ aparece en la fila
cero (0), el coeficiente 1, como ΓΊnico elemento. Una identidad fundamental e inmediata de estos
nΓΊmeros es (ππ
)=(π
π β π), implΓcita en su propia definiciΓ³n.
Dos de las propiedades mΓ‘s conocidas del triΓ‘ngulo de Pascal, se derivan de :
(1 + 1)π=β (ππ)π
π=0 = 2π .La suma de los coeficientes de cualquiera fila n del triΓ‘ngulo de Pascal es
siempre igual a 2π
(1 β 1)π=β (β1)π (ππ)π
π=0 = 0 .La suma de los coeficientes de cualquiera fila n del triΓ‘ngulo de
Pascal, con signos alternados, es siempre igual a cero (0)
La identidad inicial
π₯(π₯+1)(π₯+2)β¦(π₯+πβ1)(π₯+π)
1.2.3β¦π(π+1)β
(π₯β1)π₯(π₯+1)β¦(π₯+πβ1)
1.2.3β¦π(π+1)=
π₯(π₯+1)(π₯+2)β¦(π₯+πβ1)
1.2.3β¦π de la
cual se dedujo la formaciΓ³n de las series paralelas, tiene su expresiΓ³n combinatoria en la relaciΓ³n de
recurrencia :
(π + ππ β 1
) β (π + π β 1
π β 2) = (
π + π β 1π β 1
)
AdemΓ‘s, la expresiΓ³n en nΓΊmeros combinatorios de las series paralelas serΓ‘:
πΊπ ={(
ππ β π
)} con i = (m-1),m,β¦,(m+n-2), para cada m=1,2,β¦,n
Luego para m=1 , con i= 0,1,β¦,(n-1) resulta:
π1 = {(
π0)} = {(
00) , (
10) , (
20) ,β¦ , (
π β 10
)} = {1,1,1,β¦ ,1}
Si m=2 , con i=1,2,β¦,n
π2 = {(
π1)} = {(
11) , (
21) , (
31) ,β¦ , (
π1)} = {1,2,3,β¦π}
Si m=3, con i=2,3,β¦,(n+1)
π3 = {(
π2)} = {(
22) , (
32) , (
42) ,β¦ , (
π + 12
)} = {1,3,6,β¦ ,(π + 1)π
2!}
Para m=4, con i=3,4,β¦,(n+2)
π4 = {(
π3)} = {(
33) , (
43) , (
53) ,β¦ , (
π + 23
)} = {1,4,10,β¦ ,(π + 2)(π + 1)π
3!}
β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..
La expresiΓ³n general serΓ‘:
πΊπ = {(
ππ β π
)} = {(π β ππ β π
) , (π
π β π) , (
π + ππ β π
) ,β¦ , (π + π β π
π β π)}=
{π,π
π!,(π + π)π
π!,(π + π)(π + π)π
π!, β¦ ,
[π + (π β π)][π + (π β π)]β¦π
(π β π)!}
Como hemos seΓ±alado en apuntes previos, podemos identificar los resultados obtenidos para las
combinaciones con repeticiΓ³n con estas series paralelas de nΓΊmeros combinatorios binomiales.
AsΓ, resultan:
πͺππ,π = πΊπ+ = β πππ
π=π = π
π! = (
ππ)
πͺππ,π = πΊπ+ = β π π
π=π = π(π+π)
π!= (
π + ππ
)
πͺππ,π = πΊπ+ = β
π(π+π)
π!ππ=π =
π(π+π)(π+π)
π!= (
π + ππ
), y asΓ sucesivamente, de tal manera que la
expresiΓ³n general para n y m, vendrΓ‘ dada por:
πͺππ,π= πΊπ+ = β
π(π+π)(π+π)β¦(π+πβπ)
(πβπ)!ππ=π =
π(π+π)(π+π)β¦(π+πβπ)
π! = (
π + π β ππ
) = (π + π β π
π β π)
AquΓ, contabilizamos todas estas sumatorias de i=1 hasta n, pero hay que tener claro que el valor
de n, no se refiere a la fila correspondiente de β π, sino al tΓ©rmino de lugar n de la serie πΊπ .
TRIANGULO DE COEFICIENTES COMBINATORIOS ( βπ ) , ( filas desde n=0, hasta n=9)
πΊπ fila
(ππ) πΊπ
0
(ππ) (
ππ) πΊπ
1
(ππ) (
ππ) (
ππ) πΊπ
2
(ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) πΊπ
3
(ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) πΊπ
4
(ππ)
(ππ) (
ππ) (
ππ)
(ππ) (
ππ)
πΊπ 5
(ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) πΊπ
6
(ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) πΊπ
7
(ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) 8
(ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) (
ππ) 9
Como cada uno de los elementos de las filas del triΓ‘ngulo de Pascal puede escribirse como un
nΓΊmero combinatorio, concluimos que πͺππ,π se corresponde con (π + π β π
π) , que serΓ‘ el
tΓ©rmino n-Γ©simo de πΊπ+π , que a su vez representa la suma de los n primeros tΓ©rminos de πΊπ
Entonces, podremos tambiΓ©n escribir:
πͺππ,π = β (ππ)
πβπ
π=π
= (ππ)
πͺππ,π = β(ππ) =
π
π=π
(π + π
π)
πͺππ,π = β (ππ)
π+π
π=π
= (π + π
π)
La expresiΓ³n general ,ya determinada anteriormente, serΓ‘:
πͺππ,π=β (π
π β π)π+πβπ
π=πβπ = (π + π β π
π) = (
π + π β ππ β π
)
Siendo el valor suma de cada una de estas series (hasta un cierto valor de n) ,tambiΓ©n un nΓΊmero
combinatorio (el n-Γ©simo de la serie siguiente), se podrΓ‘ determinar como la intersecciΓ³n de la fila
n+ m -1, con la serie ππ+1π
AsΓ, por ejemplo πΆπ4,1 = β (π0)3
π=0 = (00) + (
10) + (
20) + (
30) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 = (
41)
Como aquΓ n=4 y m=1, πΆπ4,1, corresponde a la intersecciΓ³n de la fila 4, con la serie π2π, ver trazos
en rojo sobre el grΓ‘fico anterior.
Y para πΆπ6,3, serΓ‘: πΆπ6,3 = β (π2)7
π=2 = (22) + (
32) + (
42) + (
52) + (
62) + (
72) = 1 + 3 + 6 + 10+15+21=56=(
83)
AquΓ n=6 y m=3, por lo tanto , (83), corresponde a la intersecciΓ³n de la fila 8, con la serie π4
π, ver
trazos en verde sobre el grΓ‘fico anterior.
Hemos deducido una expresiΓ³n* que nos permite pasar de la fila n a la fila n+r :
(π0) (
ππ
) + (π1) (
ππ + 1
) + (π2) (
ππ + 2
) + β―+ (ππ) (
ππ + π
) = (π + ππ + π
)= (π + ππ β π
)
Que podemos escribir como:β (ππ) (
ππ + π)
ππ=0 = (
π + ππ + π
) = (π + ππ β π
)
Con n β₯ r , aplicable a n-(r-1) casos, siendo m Π {0,1, β¦ , π β π}
Que para m= n-r nos da:
(π0) (
ππ) + (
π1) (
ππ β 1
) + (π2) (
ππ β 2
) + β―+ (ππ) (
π0) = (
π + ππ
) = (π + π
π)
Que podemos escribir como: β (ππ) (
ππ β π)
ππ=0 =(
π + ππ
) = (π + π
π), con n β₯ r
*Que resulta un caso particular de la identidad de Vandermonde:
(π0
)(ππ) + (
π1
)(π
π β 1) + (
π2
) (π
π β 2) + β―+ (
ππ)(
π0) = (
π + ππ
)
Cuando m= r
AsΓ , por ej. sΓ n=5 y r=3 , pasamos de la fila 5 a la fila 8, mediante:
(53) + 3 (
52) + 3 (
51) + (
50) = (
83)
NΓ³tese que los coeficientes involucrados {1,3,3,1}, corresponden a los de la fila 3 de β0(TriΓ‘ngulo
de Pascal).AnΓ‘logamente, se cumple que (61) + 2 (
63) + (
63) = (
83) al pasar de la fila 6 a la 8 ( r=2
y coeficientes 1,2,1) y tambiΓ©n que (72) + (
73) = (
83) ,al pasar de la 7 a la 8 ( r=1 y coeficientes
1,1)
Esta relaciΓ³n de valor suma constante, se podrΓa describir grΓ‘ficamente como:
(53) + 3 (
52) + 3 (
51) + (
50)
=(61) + 2 (
63) + (
63)
= (72) + (
73)
= (83)
Y es aplicable a cualquier distribuciΓ³n triangular semejante (invertida), sobre el grΓ‘fico de
coeficientes combinatorios, y los coeficientes de los nΓΊmeros combinatorios deberΓ‘n seguir una
secuencia inversa a la de βπ, dependiendo del nΓΊmero de filas involucradas.
Otra distribuciΓ³n de nΓΊmeros combinatorios interesante, es la que resulta de considerar un
triΓ‘ngulo interior a βπ, pero con igual sentido, y efectuar la suma de sus elementos afectados de
coeficientes segΓΊn las filas anΓ‘logas de βπ .La sumas resultantes de sus filas siguen la sucesiΓ³n de
sus elementos centrales (fila de por medio). Esto por supuesto es aplicable al propio βπ.
Como hemos ya seΓ±alado en los apuntes sobre combinatoria, existen otras series equivalentes (que
dan el mismo valor suma), que pueden ser desarrolladas para obtener los valores de las
combinaciones con repeticiΓ³n πΆππ,π . AsΓ por ejemplo, si m= 3, tendremos:
πΆππ,3=β π(π β π + 1)ππ=1 = 1(π) + 2(π β 1) + 3(π β 2) + β―+ (π β 1). 2 + π. 1, y sΓ m=4
πΆππ,4 = βπ
2!
ππΌ=1 (π + 1)(π β π + 1) =
1
2[1.2. (π) + 2.3. (π β 1) + 3.4. (π β 2) + β―+(n+1).n.2+n(n+1).1],
La equivalencia general entre los dos tipos de serie, cuyo desarrollo permite obtener πΆππ,π , viene
dada por la expresiΓ³n:
πͺππ,π = βπ(π + π)(π + π)β¦ (π + π β π)
(π β π)!
π
π=π
= βπ(π + π)(π + π)β¦ (π + π β π)
(π β π)!
π
π=π
. (π β π + π) = (π + π β π
π)
(m > 1) (m > 2) (n β₯ 1)
AsΓ, por ejemplo, para πΆπ5,3, , con n=5 y m=3, tendremos:
πΆπ5,3 =1.2
2!+
2.3
2!+
3.4
2!+
4.5
2!+
5.6
2!= 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35
=1.5
1!+
2.4
1!+
3.3
1!+
4.2
1!+
5.1
1!= 1(5) + 2(4) + 3(3) + 4(2) + 5(1) = (
5 + 3 β 13
) = (73) = 35
Sin olvidar que tambiΓ©n: πΆπ5,3 = β (π2)6
π=2 = (22) + (
32) + (
42) + (
52) + (
62) = (
73) = 35, valor que se
puede obtener directamente al recorrer convenientemente el triΓ‘ngulo de coeficientes binomiales
antes mostrado.
Otras formas de obtener el TriΓ‘ngulo de Pascal (βπ)
Sea {ππ}, una sucesiΓ³n numΓ©rica, correspondiente al caso inicial o caso (0), y formemos a partir de
ella, una nueva serie de sucesiones, que resultan de sumar cada par de tΓ©rminos sucesivos de la
sucesiΓ³n precedente. En cada caso, el nΓΊmero de tΓ©rminos de la sucesiΓ³n siguiente, serΓ‘ menor en
una unidad, al caso previo.
Caso:
0 : π1, π2, π3, π4, π5, β¦ , ππβ4, ππβ3, ππβ2, ππβ1, ππ
1 : π1 + π2, π2 + π3 , π3 + π4, . . . , ππβ3 + ππβ2, ππβ2 + ππβ1, ππβ1 + ππ
2 : π1 + 2π2 + π3, π2 + 2π3 + π4, π3 + 2π4 + π5, β¦ , ππβ3 + 2ππβ2 + ππβ1, ππβ2 + 2ππβ1 + ππ
3 : π1 + 3π2 + 3π3 + π4, π2 + 3π3 + 3π4 + π5, π3 + 3π4 + 3π5 + π6, β¦ , ππβ3 + 3ππβ2 + 3ππβ1 + ππ
4 : π1 + 4π2 + 6π3 + 4π4 + π5, π2 + 4π3 + 6π4 + 4π5 + π6, β¦ , ππβ4 + 4ππβ3 + 6ππβ2 + 4ππβ1 + ππ
..............................................................................................................................................................
Para el caso de las n-1-Γ©simas sumas, la sucesiΓ³n constarΓ‘ de un solo tΓ©rmino de la forma:
π1 +(π β 1)
1!π2 +
(π β 1)(π β 2)
2!π3 +
(π β 1)(π β 2)(π β 3)
3!π4 + β―+ ππ
O, en forma combinatoria: contabilizando los casos del 0 a n-1 (n casos)
β (π β 1
π)πβ1
π=0 ππ+1=(π β 1
0) π1 + (
π β 11
)π2 + (π β 1
2) π3 + β―+ (
π β 1π β 1
) ππ
Si tomamos la ΓΊltima fila como n, el ΓΊltimo elemento de la sucesiΓ³n, deberΓ‘ tomarse como ππ+1 ,
y podemos escribir:
β (ππ)πβ
π=0 ππ+1=(π0)π1 + (
π1)π2 + (
π2)π3 + β―+ (
ππ)ππ+1
Si colocamos en filas sucesivas, los resultados obtenidos para el primer elemento de cada sucesiΓ³n :
π1
π1 + π2,
π1 + 2π2 + π3
π1 + 3π2 + 3π3 + π4
π1 + 4π2 + 6π3 + 4π4 + π5
...........................................
La fila n-Γ©sima serΓ‘:
(π0)π1 + (
π1)π2 + (
π2)π3 + β―+ (
ππ)ππ+1
Como resulta evidente si colocamos ΓΊnicamente los coeficientes involucrados en cada fila,
obtendremos nuestro conocido βπ
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
............................................................................................
(π0) (
π1) (
π2) β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦ .. (
ππ)
Si procediΓ©ramos en forma similar, formando una serie de sucesiones sucesivas, donde cada
elemento se obtiene como la diferencia de cada par de tΓ©rminos sucesivos de la sucesiΓ³n anterior,
ObtendrΓamos un resultado similar, pero donde los coeficientes aparecen provistos de signos
alternativamente positivos y negativos. AnΓ‘logamente la ΓΊltima sucesiΓ³n constarΓ‘ de un solo
tΓ©rmino de la forma:
β (β1)π (ππ)πβ
π=0 ππ+1=(π0)π1 β (
π1)π2 + (
π2)π3 β β―+ (β1)π (
ππ)ππ+1 ,
ExpresiΓ³n que en tΓ©rminos solo de coeficientes combinatorios, se corresponde con:
β(β1)π (ππ)
π
π=0
= 0
4) Series de potencias m-Γ©simas de los nΓΊmeros naturales y su expresiΓ³n
combinatoria.
La series paralelas π1 , π2
, π3 , β¦ , ππ
,de los nΓΊmeros figurados del triΓ‘ngulo de Pascal, nos permiten
obtener los valores suma de las series de potencias m-Γ©simas de los nΓΊmeros naturales, como
expresiones o series combinatorias.
AsΓ, resulta inmediatamente : β πππ=1 =
π(π+1)
2= π2
+ = (π + 1
2), resumiendo, resulta:
1) β πππ=π = (
π + ππ
)
De βπ(π+1)
2!
ππ=1 =
π(π+1)(π+2)
3!= π3
+, obtenemos: β π2ππ=1 + β ππ
π=1 = 2! π3+, y con el resultado de
1), resulta: β π2ππ=1 = 2! π3
+ β π2+, que expresadas como combinatorios, nos dan:
2) β ππππ=π = π! (
π + ππ
) β π. (π + π
π)
De βπ(π+1)(π+2)
3!
ππ=1 =
π(π+1)(π+2)(π+3)
4!= π4
+, obtenemos:
β i3ni=1 + 3β i2n
i=1 + 2β ini=1 = 3! S4
+, que tomando en cuenta 1) y 2) se puede escribir como:
β π3ππ=1 = 3! π4
+ β 3[2! π3+ β π2
+] β 2π2+, y sumando tΓ©rminos semejantes:
β π3ππ=1 = 3! π4
β 6π3 + π2
, que en tΓ©rminos combinatorios resulta:
3) β ππππ=π = π! (
π + ππ
) β π(π + π
π) + (
π + ππ
)
De βπ(π+1)(π+2)(π+3)
4!ππ=1 =
π(π+1)(π+2)(π+3)(π+4)
5!= π5
+, obtenemos:
β π4ππ=1 + 6β π3π
π=1 + 11β π2ππ=1 + 6β ππ
π=1 = 4! π5+, que tomando en cuenta 1), 2), 3), resulta:
β π4ππ=1 = 4! π5
+ β 6[3! π4+ β 6π3
+ + π2+] β 11[2! π3
+ β π2+] β 6π2
+, agrupando:
β π4ππ=1 = 4! π5
+ β 36π4+ + 14π3
+ β 1. π2+, que en tΓ©rminos combinatorios serΓ‘:
4) β ππππ=π = π! (
π + ππ
) β ππ(π + π
π) + ππ(
π + ππ
) β π(π + π
π)
Si procedemos de manera anΓ‘loga, de: βπ(π+1)(π+2)(π+3)(π+4)
5!ππ=1 =
π(π+1)(π+2)(π+3)(π+4)(π+5)
6!= π6
+
Obtendremos:
5) β ππππ=π = π! (
π + ππ
) β πππ(π + π
π) + πππ(
π + ππ
) β ππ(π + π
π) + π(
π + ππ
)
Estos desarrollos, nos permitieron establecer las secuencias operacionales para determinar los
distintos coeficientes que multiplican a los nΓΊmeros combinatorios. Los resultados obtenidos, se
pueden escribir en forma de tabla de coeficientes triangulares ππ,π, donde i es un contador que
refleja la cantidad de coeficientes de cada caso y m indica la potencia a que estΓ‘n elevados los
nΓΊmeros naturales del caso. Es evidente que para cualquier caso ππ,π = π! y ππ,π=1.Estas
expresiones, reducen a m sumandos los n necesarios para determinar la sumatoria de n nΓΊmeros
naturales elevados cada uno a la potencia m y su utilidad serΓ‘ mΓ‘s importante, a medida que n>>m
La expresiΓ³n general estarΓ‘ dada por:β ππππ=π = β (βπ)πβππ
π=π ππ,π (π + π β π + π
π β π + π)
Tabla de coeficientes triangulares: Sumatorias de potencias de naturales a serie combinatoria
(de m=1, hasta m=9 )
m ππ,π ππ,π ππ,π ππ,π ππ,π ππ,π ππ,π ππ,π ππ,π
1 1
2 2 1
3 6 6 1
4 24 36 14 1
5 120 240 150 30 1
6 720 1800 1560 540 62 1
7 5040 15120 16800 8400 1806 126 1
8 40320 141120 191520 126000 40824 5796 254 1
9 362880 1451520 2328480 1905120 834120 186480 18150 510 1
ConstrucciΓ³n del triΓ‘ngulo de coeficientes triangulares:
Por βdiagonales o hipotenusasβ:
Primera diagonal
1!=1+0=1 x 1 1 + 0=1 x 1 1 +0=1
x 1 1+0 =1 ....
Segunda diagonal
2 + 1= 3 x 2 6 +1=7 x 2 14 + 1=15 x2 30 +1=31 x2 62 +1=63 ....
Tercera diagonal
6 + 6= 12
x3
36 + 14=50
x3
150 + 30=180
x3
540 + 62=602 ....
AsΓ, podemos extender la tabla hasta donde queramos, pero hemos preferido deducir una expresiΓ³n
analΓtica en funciΓ³n de la distribuciΓ³n por filas.
La fila correspondiente a un determinado valor de m, se puede expresar simbΓ³licamente como:
π0,ππ1π , π2π, β¦ , πππ, donde el elemento π0,π = 0, se incluye en razΓ³n de la coherencia de
la formulaciΓ³n matemΓ‘tica.
En general, se cumple πΆπ,π =(πΆπβπ,πβπ+ πΆπ,πβπ) (m β i + 1) , con( i =1,2,β¦,m )
Donde el primer sumando del primer parΓ©ntesis se hace nulo cuando i = 1, ( βπ,π=0 ) , y el segundo
parΓ©ntesis, a su vez, se hace unitario cuando i = m
Ejemplo: sea m=5, entonces La fΓ³rmula sumatoria nos darΓ‘::
βπ5 = 5! (π + 5
6)
π
π=1
β 240. (π + 4
5) + 150. (
π + 34
) β 30. (π + 2
3) + (
π + 12
)
(n sumandos) (5 sumandos)
La expresiΓ³n πΆπ,π =(πΆπβπ,πβπ+ πΆπ,πβπ) (m β i + 1) , con( i =1,2,β¦,m )
, permite obtener de forma inmediata los coeficientes de una fila, conociendo previamente los
coeficientes de la fila anterior.
AsΓ p.ej. Para obtener los coeficientes de la fila 6α΅ del triΓ‘ngulo, a partir de los correspondientes de
la fila 5α΅, tendremos:
( 0 + 120).6 = 720
( 120 + 240).5 = 1800
( 240 + 150).4 = 1560
( 150 + 30).3 = 540
( 240 + 120).5 = 1800
( 30 + 1).2 = 62
( 1 + 0).1 = 1
Resulta entonces:
β π6ππ=1 = 6! (
π + 67
)-1800(π + 5
6)+1560(
π + 45
) β 540(π + 3
4) + 62(
π + 23
) β (π + 1
2)
La ObtenciΓ³n de los coeficientes para una determinada fila, a partir de los correspondientes de la
fila anterior, se realiza de una manera prΓ‘ctica y sencilla. Y, la construcciΓ³n del triΓ‘ngulo es
inmediata, ya que se parte de una fila inicial con un solo coeficiente, igual a la unidad.
Para el caso trivial, correspondiente a m=0 o sea, β ππππ=1 = n, podemos interpretar la expresiΓ³n
sumatoria como:
β (β1)0πΌ1,0 0π=1 (
π1) = 1.(
π1)= n, quedando asΓ incluido este caso.
Los factores correspondientes a la expresiΓ³n combinatoria (π + π β π + 1
π β π + 2), se pueden obtener de
manera inmediata y sucesiva, variando i de 1 a m, a partir de la relaciΓ³n:
(π + π β π + 1
π β π + 2) =
π+πβπ+1
πβπ+2(π + π β ππ β π + 1
)
Otra propiedad de estos coeficientes triangulares:
β(β1)π
π
π=1
ππ,π = (β1)π
5) Series AritmΓ©ticas de orden superior
Como una aplicaciΓ³n mΓ‘s de las series paralelas, trataremos en este apartado, de obtener las
fΓ³rmulas para determinar el tΓ©rmino general de las series aritmΓ©ticas de orden k, asΓ como su
respectivo valor suma
Consideremos la serie numΓ©rica π1, π2, π3, β¦ , ππ , como una serie aritmΓ©tica de orden k, y
designemos por β1,1, β1,2, β1,3, β¦ , β1,πβ1 , la serie de sus primeras diferencias, y por
β2,1, β2,2, β2,3, β¦ , β2,πβ2, la serie de sus segundas diferencias, y asΓ sucesivamente hasta,
la serie βπ,1, βπ,2, βπ,3, β¦ , βπ,πβπ , de sus k-Γ©simas diferencias, de valor constante
( βπ,1= βπ,2= βπ,3= β― = βπ,πβπ ), y de diferencias nulas de orden k+1 .
Para obtener las expresiones buscadas, comencemos analizando el caso correspondiente a las series
de 2β orden, es decir k=2. Sean: Serie 1πDif. 2πDif.
π1
β1,1
π2 β2,1
β1,2
π3 β2,2
β1,3 .
π4 . .
. . .
. . β2,πβ2
. β1,πβ1
ππ
En este caso β2,1= β2,2, =, β¦ ,= β2,πβ2= valor comΓΊn constante que tomamos como β2,1
Calculamos a continuaciΓ³n la suma de los primeros n tΓ©rminos de la serie dada:
π1 = π1
π2 = π1 + β1,1
π3 = π2 + β1,2= (π1 + β1,1) + (β1,1 + β2,1) = π1 + 2. β1,1 + β2,1
Adicionalmente, agrupando y efectuando las sumas de tΓ©rminos intermedios, resultan:
π4 = π1 + 3. β1,1 + 3. β2,1
π5 = π1 + 4. β1,1 + 6. β2,1
π6 = π1 + 5. β1,1 + 10. β2,1
. . . .
. . . .
. . . .
ππ = π1 +(π β 1)
1!β1,1 +
(π β 1)(π β 2)
2!β2,1
Sumando miembro a miembro todas estas igualdades, se obtiene:
βππ
π
π=1
= ππ1 + [1 + 2 + 3 + 4 + β―+(π β 1)
1!] β1,1 + [1 + 3 + 6 + 10 + β―+
(π β 1)(π β 2)
2!] β2,1
Pero los tΓ©rminos entre corchetes del lado derecho de esta igualdad, representan el valor suma de las
tres primeras series paralelas del triΓ‘ngulo de Pascal, a saber:
π1+ =1+1+1+1+...+1=
π
1! = (
π1) con n sumandos
π2+ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + β―+
(πβ1)
1!=
(πβ1)π
2!= (
π2) con n-1 sumandos
π3+ = 1 + 3 + 6 + 10 + β―+
(πβ2(πβ1)
2!=
(πβ2)(πβ1)π
3!= (
π3) con n-2 sumandos
Luego, podemos escribir:
β ππππ=1 = ππ1 +
(πβ1)
1!β1,1 +
(πβ2)(πβ1)π
2!β2,1, o en su lugar:
β ππππ=1 = (
π1)π1 + (
π2)β1,1 + (
π3)β2,1, y si hacemos π1 = β0,1, el valor suma de la serie se puede
expresar como:
β ππππ=π = β (
ππ)βπβπ,π
ππ=π
Notamos que independientemente de que del lado izquierdo de esta igualdad hay n sumandos, del
lado izquierdo solo hay 3 sumandos
Y el tΓ©rmino general de la serie serΓ‘: ππ = β0,1 + (π β 1
1)β1,1 + (
π β 12
)β2,1, o en tΓ©rminos de
sumatoria: ππ = β (π β π
π)βπ,π
ππ=π
Consideremos ahora el caso de una serie aritmΓ©tica de tercer orden (k=3), tal como:
Serie 1πDif. 2πDif. 3πDif.
π1
β1,1
π2 β2,1
β1,2 β3,1
π3 β2,2
β1,3 β3,2
π4 β2,3 .
β1,4 . .
π5 . . .
. . . β3,πβ3
. . β2,πβ2
. β1,πβ1
ππ
En este caso β3,1= β3,2= β3,3= β― = β3,πβ3=valor constante, que tomamos como β3,1
Calculemos la suma de los primeros n tΓ©rminos de la serie dada, agrupando y efectuando las sumas
de tΓ©rminos intermedios, resultan:
π1 = π1
π2 = π1 + 1. β1,1
π3 = π1 + 2. β1,1 + 1. β2,1
π4 = π1 + 3. β1,1 + 3. β2,1 + 1. β3,1
π5 = π1 + 4. β1,1 + 6. β2,1 + 4β3,1
π6 = π1 + 5. β1,1 + 10. β2,1 + 10. β3,1
. . . . .
. . . . .
. . . . .
ππ = π1 +(π β 1)
1!β1,1 +
(π β 1)(π β 2)
2!β2,1 +
(π β 1)(π β 2)(π β 3)
3!β3,1
Sumando miembro a miembro estas igualdades, resulta:
βππ
π
π=1
= ππ1 + [1 + 2 + 3 + β―+(π β 1)
1!] β1,1 + [1 + 3 + 6 + β―+
(π β 1)(π β 2)
2!] β2,1
+ [1 + 4 + 10 + β―+(π β 1)(π β 2)(π β 3)
3!] β3,1
Pero los tΓ©rminos del lado derecho entre corchetes de esta igualdad resultante , representan el valor
suma de las cuatro primeras series paralelas del triΓ‘ngulo de Pascal, a saber:
π1+= 1+1+1+1+...+1=
π
1! = (
π1) con n sumandos
π2+ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + β―+
(πβ1)
1!=
(πβ1)π
2!= (
π2) con n-1 sumandos
π3+ = 1 + 3 + 6 + 10 + β―+
(πβ2(πβ1)
2!=
(πβ2)(πβ1)π
3!= (
π3) con n-2 sumandos
π4+ = 1 + 4 + 10 + 20 + β―+
(πβ3)(πβ2)(πβ1)
3!=
(πβ3)(πβ2)(πβ1)π
4!= (
π4) con n-3 sumandos
Por lo tanto, podemos escribir:
βππ
π
π=1
= ππ1 +π(π β 1)
2!β1,1 +
π(π β 1)(π β 2)
3!β2,1 +
π(π β 1)(π β 2)(π β 3)
4!β3,1
O en su lugar:β ππππ=1 = (
π1)π1 + (
π2)β1,1 + (
π3)β2,1 + (
π4)β3,1, y si hacemos: π1 = β0,1,
podemos escribir: β ππππ=π = β (
ππ)βπβπ,π
ππ=π
Y el tΓ©rmino general de la serie serΓ‘:
ππ = β0,1 +(π β 1)
1!β1,1 +
(π β 1)(π β 2)
2!β2,1 +
(π β 1)(π β 2)(π β 3)
3!β3,1
O en tΓ©rminos de sumatoria: ππ = β (π β π
π)βπ,π
ππ=π
De nuevo, notamos que independientemente de que en el lado izquierdo de esta igualdad haya n
sumandos, del lado derecho solo hay 4 sumandos.
Evidentemente, el procedimiento aplicado nos permite generalizar estos resultados (por inducciΓ³n),
al caso de una serie de orden k. (manteniendo la sustituciΓ³n π1 = β0,1)
Para el valor suma de los primeros n tΓ©rminos de la serie de orden k obtendremos:
βππ
π
π=π
= β (ππ)
π+π
π=π
βπβπ,π
Y para el tΓ©rmino general:
ππ = β(π β π
π)
π
π=π
βπ,π
Esta ΓΊltima expresiΓ³n la podemos rescribir como:
ππ = β π
π
π+ππ=π (
ππ) βπβπ,π , por lo tanto, para obtener el valor suma de los primeros n
tΓ©rminos de la serie, bastarΓ‘ multiplicar cada uno de los sumandos de esta expresiΓ³n por el cociente π
π, y efectuar la nueva suma resultante.
Igualmente resultan n sumandos del lado izquierdo de la igualdad contra apenas k+1 sumandos del
lado derecho de la misma.
Ejemplo: Supongamos que conocemos los primeros 6 tΓ©rminos de la serie:
24,124,344,729,1324,2174 y queremos determinar el valor del tΓ©rmino de lugar 12, y la suma
correspondiente de esos 12 tΓ©rminos. Lo primero que hay que determinar es sΓ la serie es una serie
aritmΓ©tica y de que orden es.
Para ello construimos las series de diferencias sucesivas posibles, dadas por
1ππ Diferencias 2ππ Diferencias 3ππ Diferencias
124-24=100 220-100=120 165-120=45
344-124=220 385-220=165 210-165=45
729-344=385 595-385=210 255-210=45
1324-729=595 850-595=255
2174-1324=850
Los datos han sido suficientes para establecer que se trata de una serie aritmΓ©tica de 3ππorden, es
decir, k =3 , y los valores a utilizar en nuestras expresiones serΓ‘n:
β0,1= 24, β1,1= 100, β2,1= 120 y β3,1= 45
Entonces el tΓ©rmino doceavo de la serie estarΓ‘ dado por:
π12 = β (11π
)3π=0 βπ,1= (
110
) 24 + (111
)100 + (112
)120 + (113
) 45 , y su valor es:
π12 = 24 + 1100 + 6600 + 7425 = 15149
Mientras que la suma de los primeros 12 tΓ©rminos , serΓ‘:
βππ
12
π=1
= β(12π
)
4
π=1
βπβ1,1= (121
) 24 + (122
) 100 + (123
)120 + (124
)45
=12.24+66.100 + 220.120 + 495.45 = 288 + 6600 + 26400 + 22275 = 55563
6) DeterminaciΓ³n de los coeficientes de una ecuaciΓ³n polinΓ³mica de grado n en x,
cuyas soluciones corresponden a los nΓΊmeros naturales y su relaciΓ³n con los nΓΊmeros
de Stirling de 1α΅ especie
Este problema puede ser abordado como una aplicaciΓ³n del determinante de Vandermonde para
resolver sistemas de ecuaciones de la forma :
π10π₯1 + π1
1π₯2 + π12π₯3 + β―+ π1
πβ1π₯π + π1π = 0
π20π₯1 + π2
1π₯2 + π22π₯3 + β―+ π2
πβ1π₯π + π2π = 0
π30π₯1 + π3
1π₯2 + π32π₯3 + β―+ π3
πβ1π₯π + π3π = 0
. . . . . . . . . . . . . . .
ππ0π₯1 + ππ
1π₯2 + ππ2π₯3 + β―+ ππ
πβ1π₯π + πππ = 0
Donde los valores de π₯π , o incΓ³gnitas del sistema lineal, vendrΓ‘n dadas en funciΓ³n de los
coeficientes ππ , mediante las relaciones:
π₯1 = (β1)π β ππππ=1 , con (
ππ) = 1 sumando, con n factores
π₯2 = (β1)πβ1 β ππππππ β¦ππππ,π,π,β¦,π=1 , (π < π < π < β― < π) ,con (
π1) = π sumandos, con n-1factores c/u
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
π₯πβ2 = (β1)3 β ππππππππ,π,π=1 , (π < π < π) ,con (
π3) =
π(πβ1)(πβ2)
3! sumandos, con 3factores c/u
π₯πβ1 = (β1)2 β ππππππ,π=1 , (π < π) ,con (
π2) =
π(πβ1)
2! sumandos, con 2factores c/u
π₯π = (β1)1 β ππππ=1 , con (
π1) = π sumandos, con un solo factor c/u
Notamos que esta propiedad, es anΓ‘loga pero recΓproca con respecto a la relaciΓ³n que existe entre
las raΓces y los coeficientes de una ecuaciΓ³n polinΓ³mica de grado n en equis, tal como:
π₯π + π1π₯πβ1 + π2π₯
πβ2 + π3π₯πβ3 + β―+ ππβ1π₯
+ ππ = 0
Si hacemos que los coeficientes de esta ecuaciΓ³n, sean los valores de las soluciones del sistema
lineal anterior, manteniendo los signos, pero invirtiendo el orden en la sustituciΓ³n de los valores
obtenidos, las soluciones de la ecuaciΓ³n se corresponderΓ‘n con los valores de los coeficientes del
sistema lineal, de manera que si estos coeficientes son una sucesiΓ³n de nΓΊmeros naturales, de uno
a n, el problema planteado queda resuelto. Para ello, deben cumplirse dos condiciones: Primero que
π1 = π₯π
π2 = π₯πβ1
π3 = π₯πβ2
. .
. .
. .
ππβ1 = π₯2
ππ = π₯1
Y, segundo que los coeficientes del sistema sean una sucesiΓ³n de nΓΊmeros naturales desde el uno
hasta n
Ejemplo: Sea el sistema lineal de 4 ecuaciones siguiente:
π₯1 + π₯2 + π₯3 + π₯4 + 1 = 0
π₯1 + 2π₯2 + 4π₯3 + 8π₯4 + 16 = 0
π₯1 + 3π₯2 + 9π₯3 + 27π₯4 + 81 = 0
π₯1 + 4π₯2 + 16π₯3 + 64π₯4 + 256 = 0
Cuyos coeficientes son: π1 = 1, π2 = 2, π3 = 3, π¦ π4 = 4 , ( n=4 )
Y cuya soluciΓ³n corresponde a los siguientes valores de π₯π :
ππ = (β1)4[1.2.3.4] = 24
ππ = (β1)3[2.3.4 + 1.3.4 + 1.2.4 + 1.2.3] = β50
ππ = (β1)2[3.4 + 2.4 + 1.4 + 2.3 + 1.3 + 1.2] = 35
ππ = (β1)1[1 + 2 + 3 + 4] = β10
Entonces, la ecuaciΓ³n polinΓ³mica de cuarto grado en equis correspondiente serΓ‘:
π₯4 β 10π₯3 + 35π₯2 β 50π₯ + 24 = 0
Cuyas soluciones serΓ‘n: π₯π{1,2,3,4}
Es evidente que este mΓ©todo se puede extender para cualquier valor de n, y por ende, nos permitirΓ‘
determinar los coeficientes de la ecuaciΓ³n polinΓ³mica correspondiente, pero nuestro objetivo es
encontrar relaciones prΓ‘cticas y sencillas de establecer, que nos permitan pasar de un caso conocido
al siguiente, sin necesidad de resolver y construir cada vez la soluciΓ³n del sistema.
Construyamos algunos casos en base al teorema fundamental del Algebra y al mecanismo ya
establecido de formaciΓ³n de los coeficientes:
Caso: n=1
EcuaciΓ³n: π₯ β 1 = 0 Soluciones: π₯ = 1 (obvia)
FormaciΓ³n de los coeficientes:
π1 = β1
Caso: n=2
EcuaciΓ³n: (π₯ β 1)(π₯ β 2) = π₯2 β 3π₯ + 2 = 0 Soluciones: π₯ β {1,2}
FormaciΓ³n de los coeficientes:
π1 = β(1 + 2) = β3
π2 = 1.2 = 2 = 2!
Caso n=3
EcuaciΓ³n: (π₯ β 1)(π₯ β 2)(π₯ β 3) = π₯3 β 6π₯2 + 11π₯ β 6 = 0 Soluciones π₯ β {1,2,3}
FormaciΓ³n de los coeficientes:
π1 = β(1 + 2 + 3) = β6
π2 = [(1.2 + 1.3) + 2.3] = [5 + 6] = 11
π3 = β(1.2.3) = β6 = β3!
Caso n=4
EcuaciΓ³n: (π₯ β 1)(π₯ β 2)(π₯ β 3)(π₯ β 4) = π₯4 β 10π₯3 + 35π₯2 β 50π₯ + 24 = 0
Soluciones: π₯ β {1,2,3,4}
FormaciΓ³n de los coeficientes:
π1 = β(1 + 2 + 3 + 4) = β10
π2 = [(1.2 + 1.3 + 1.4) + (2.3 + 2.4) + (3.4)] = [9 + 14 + 12] = 35
π3 = β[(1.2.3 + 1.2.4) + (1.3.4) + 2.3.4] = β[14 + 12 + 24] = β50
π4 = 1.2.3.4 = 24 = 4!
Caso n=5
EcuaciΓ³n: (π₯ β 1)(π₯ β 2)(π₯ β 3)(π₯ β 4)(π₯ β 5) = π₯5 β 15π₯4 + 85π₯3 β 225π₯2 + 274π₯ β 120 = 0
Soluciones: π₯ β {1,2,3,4,5}
FormaciΓ³n de los coeficientes:
π1 = β(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = β15
π2 = [(1.2 + 1.3 + 1.4 + 1.5) + (2.3 + 2.4 + 2.5) + (3.4 + 3.5) + (4.5)] = [14 + 24 + 27 + 20] = 85
π3 = β[(1.2.3 + 1.2.4 + 1.2.5) + (1.3.4 + 1.3.5) + (1.4.5) + (2.3.4 + 2.3.5) + (2.4.5) + (3.4.5)] =
β[24 + 27 + 20 + 54 + 40 + 60] = β225
π4 = [(1.2.3.4 + 1.2.3.5) + (1.2.4.5) + (1.3.4.5) + (2.3.4.5)] = [54 + 40 + 60 + 120] = 274
π5 = (1.2.3.4.5) = β120 = β5!
Caso 6
EcuaciΓ³n:
(π₯ β 1)(π₯ β 2)(π₯ β 3)(π₯ β 4)(π₯ β 5)(π₯ β 6) = π₯6 β 21π₯5 + 175π₯4 β 735π₯3 + 1624π₯2 β 1764π₯ + 720 = 0
Soluciones: π₯ β {1,2,3,4,5,6}
FormaciΓ³n de los coeficientes:
π1 = β(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = β21
π2 = [(1.2 + 1.3 + 1.4 + 1.5 + 1.6) + (2.3 + 2.4 + 2.5 + 2.6) + (3.4 + 3.5 + 3.6) + (4.5 + 4.6)] =
[20+36+45+44+30] = 175
π3 = β[(1.2.3 + 1.2.4 + 1.2.5 + 1.2.6) + (1.3.4 + 1.3.5 + 1.3.6) + (1.4.5 + 1.4.6) + (1.5.6) +
(2.3.4 + 2.3.5 + 2,3.6) + (2.4.5 + 2.4.6) + (2.5.6) + (3.4.5 + 3.4.6) + (3.5.6) + (4.5.6)] = β[36 + 45 +
+44 + 30 + 90 + 88 + 60 + 132 + 90 + 120] = β735
π4 = [(1.2.3.4 + 1.2.3.5 + 1.2.3.6) + (1.2.4.5 + 1.2.4.6) + (1.2.5.6) + (1.3.4.5 + 1.3.4.6) + (1.3.5.6) +
(1.4.5.6) + (2.3.4.5 + 2.3.4.6) + (2.3.5.6) + (2.4.5.6) + (3.4.5.6) ] = [90 + 88 + 60 + 132 + 90 + 120 +
264 + 180 + 240 + 360] = 1624
π5 = β[(1.2.3.4.5 + 1.2.3.4.6) + (1.2.3.5.6) + (1.2.4.5.6) + (1.3.4.5.6) + (2.3.4.5.6)] = β[264 + 180 +
240 + 360 + 720] = β1764
π6 = [1.2.3.4.5.6] = 720 = 6!
Podemos notar que en la formaciΓ³n de los coeficientes se repiten los resultados parciales de los
arreglos correspondientes al coeficiente anterior, y algunas otras relaciones sencillas y repetitivas.
Es evidente que el desarrollo de estas secuencias nos permite encontrar los coeficientes
correspondientes a cualquier otro valor de n, pero tiene el inconveniente de tener que desarrollar los
arreglos parciales y sus sumas hasta el caso considerado. Nuestro objetivo es obtener una relaciΓ³n
sencilla entre los coeficientes de un caso y los del siguiente, para poder pasar del uno al otro de
manera prΓ‘ctica e inmediata.
Por conveniencia, vamos a rescribir la ecuaciΓ³n polinΓ³mica de grado n en equis, de soluciones
correspondientes a los nΓΊmeros naturales, como:
β (βπ)ππ
π=ππ·π,ππ
πβπ = π·π,πππ β π·π,ππ
πβπ + π·π,πππβπ β β―+ (βπ)πβππ·πβπ,ππ
+ (βπ)ππ·π,π
Donde π·π,π, representa la suma de los productos m a m , de n nΓΊmeros naturales a partir del
uno , sin repeticiΓ³n. Y donde siempre π·π,π = π, y π·π,π = π!
Resumen de resultados para β (βπ)πππ=π π·π,πππβπ = π
n EcuaciΓ³n Soluciones
1 π₯ β 1 = 0 π₯ β {1} 2 π₯2 β 3π₯ + 2 = 0 π₯ β {1,2} 3 π₯3 β 6π₯2 + 11π₯ β 6 = 0 π₯ β {1,2,3} 4 π₯4 β 10π₯3 + 35π₯2 β 50π₯ + 24 = 0 π₯ β {1,2,3,4} 5 π₯5 β 15π₯4 + 85π₯3 β 225π₯2 + 274π₯ β 120 = 0 π₯ β {1,2,3,4,5} 6 π₯6 β 21π₯5 + 175π₯4 β 735π₯3 + 1624π₯2 β 1764π₯ + 720 = 0 π₯ β {1,2,3,4,5,6}
Estudiemos algunas propiedades del triΓ‘ngulo de coeficientes:
Notamos que se cumple: β π·π,π ππ=π =0, tomando los coeficientes con su signo.
n Suma de Coeficientes (con su signo)
1 1 β 1 = 0
2 1 β 3 + 2 = 0
3 1 β 6 + 11 β 6 = 0
4 1 β 10 + 35 β 50 + 24 = 0
5 1 β 15 + 85 β 225 + 274 β 120 = 0
6 1 β 21 + 175 β 735 + 1624 β 1764 + 720 = 0
AnΓ‘logamente se verifica: β (βπ)π ππ=π π·π,π = (π + π)!
n Suma de coeficientes en valor absoluto
1 1 + 1 = 2 = 2! 2 1 + 3 + 2 = 6 = 3! 3 1 + 6 + 11 + 6 = 24 = 4! 4 1 + 10 + 35 + 50 + 24 = 120 = 5! 5 1 + 15 + 85 + 225 + 274 + 120 = 720 = 6! 6 1 + 21 + 175 + 735 + 1624 + 1764 + 720 = 5040 = 7! EstΓ‘ claro que estas propiedades, son extensibles a cualquier valor de n, entero natural.
Tabla de coeficientes triangulares de la ecuaciΓ³n polinΓ³mica de grado n en equis, de
soluciones correspondientes a los nΓΊmeros naturales (desde n =1 hasta n = 7)
n ππβ7,π ππβ6,π ππβ5,π ππβ4,π ππβ3,π ππβ2,π ππβ1,π ππ,π = π!
1 1 1
2 1 3 2
3 1 6 11 6
4 1 10 35 50 24
5 1 15 85 225 274 120
6 1 21 175 735 1624 1764 720
7 1 28 322 1960 6769 13132 13068 5040
AquΓ
ππβπ,π, solo existe sΓ π β₯ π. AsΓ por ej. si n = 5 tendremos:
π·π,π = π , π·π,π = ππ, π·π,π = ππ, π·π,π = πππ, π·π,π = πππ, π π·π,π = πππ = π!
Una observaciΓ³n cuidadosa de las relaciones entre los valores contenidos en cada una de las filas
de la tabla anterior, nos permitiΓ³ obtener la ley que regula la formaciΓ³n de los coeficientes
correspondientes a un determinado valor n+1, partiendo de los valores correspondientes a n.
Para los coeficientes de dos filas consecutivas n y n + 1, se cumple:
1) El primer tΓ©rmino de cada fila, es la unidad.
π. (π + π) + π·π,π = π·π,π+π = π
2) Los tΓ©rminos consecutivos, posteriores al 1Β°, se pueden obtener de:
π·π,π(π + π) + π·π+π,π = π·π+π,π+π , con π β {π, π, π, β¦ , π}
Por ejemplo: Para obtener los coeficientes de la 5Β° fila, a partir de los de la 4Β° fila, se tendrΓ‘:
π = 4 , π¦ , π + 1 = 5
0.5 + 1 = 1
1.5 + 10 = 15
10.5 + 35 = 85
35.5 + 50 = 225
50.5 + 24 = 274
24.5 + 0 = 120 = 5!
La obtenciΓ³n de los coeficientes de una determinada fila, a partir de los correspondientes de la fila
anterior, se realiza de una manera prΓ‘ctica y sencilla, y la construcciΓ³n del triangulo de
coeficientes contenidos en la tabla, es inmediata, ya que se parte de una fila inicial con solo
dos coeficientes unitarios.
Los coeficientes contenidos en la tabla anterior son tambiΓ©n conocidos, como nΓΊmeros de
Stirling de ππ especie.
Aunque con estas deducciones y las expresiones resultantes, consideramos que el problema
planteado queda totalmente resuelto, hemos considerado conveniente desarrollar un mΓ©todo que nos
permita obtener las expresiones de las distintas π·π,π, en tΓ©rminos combinatorios.
Queremos hallar la suma de los productos de los nΓΊmeros naturales desde 1 hasta n, tomados de m
en m*, sin repeticiΓ³n, que hemos denominado π·π,π , Sea por ejemplo el conjunto {1,2,3,4,5}, con
π = 5, y consideremos el caso para π = 2 , para formar los productos π. π, siendo π < π, entonces:
π2,5 = β π . π 5
π,π=1= (1.5 + 2.5 + 3.5 + 4.5) + (1.4 + 2.4 + 3.4) + (1.3 + 2.3) + (1.2) = 85
Que podemos escribir como:
π2,5 = 5(1 + 2 + 3 + 4) + 4(1 + 2 + 3) + 3(1 + 2) + 2(1) , que en forma general para n, serΓ‘:
π2,π = π β ππβ1
π=1+ (π β 1)β π
πβ2
π=1+ β―+ 3β π
2
π=1+ 2β π
1
π=1
O tambiΓ©n:
π2,π = π(π β 1)π
2+ (π β 1)
(π β 2)(π β 1)
2+ (π β 2)
(π β 3)(π β 2)
2+ β―+ 3
2.3
2+ 2
1.2
2
O en forma combinatoria:
π2,π = π (π2) + (π β 1) (
π β 12
) + (π β 2) (π β 2
2) + β―+ 3(
32) + 2 (
22)
Es decir: π·π,π = β π (ππ)π
π=π
Por otra parte, tambiΓ©n se tiene:
π2,π = π2(π β 1)
2+ (π β 1)2
(π β 2)
2+ (π β 2)2
(π β 3)
2+ β―+ 32
2
2+ 22
1
2
Es decir: π·π,π =π
πβ ππ(π β π)π
π=π =π
π[β πππ
π=π β β ππππ=π ]
*Es evidente que sΓ π = 1, entonces π1,π =1
2β ππ
π=1 =π(π+1)
2= (
π + 12
), y no podemos
escribir π1,π = β πππ=1 (
π1), ya que estamos excluyendo la repeticiΓ³n.
Podemos comprobar fΓ‘cilmente que [β π3ππ=2 β β π2π
π=2 ] = [β π3ππ=1 β β π2π
π=1 ]
Ya que los tΓ©rminos extras de la segunda expresiΓ³n son idΓ©nticos y se anulan entre sΓ al efectuar la
diferencia. Luego podemos escribir:
π·π,π =π
π[β ππ
π
π=πβ β ππ
π
π=π]
Y utilizando las expresiones ya obtenidas para cada una de estas sumatorias en el apartado 4) de
Series de potencias,
β ππππ=π = π! (
π + ππ
) β π(π + π
π) + (
π + ππ
)
βπππ
π=π
= π! (π + π
π) β π. (
π + ππ
)
Resulta:
π·π,π = π(π + π
π) β π(
π + ππ
) + (π + π
π)
Comprobando para n = 5 : π2,5 = 3(84) β 4 (
73) + (
62) = 3.70 β 4.35 + 15 = 85
Analicemos ahora el caso π = 3, para el mismo conjunto, ( π = 5 )
π3,5 = β π π π5π,π,π=1 , (π < π < π)
π3,5 = (1.2.5 + 1.3.5 + 1.4.5 + 2.3.5 + 2.4.5 + 3.4.5) + (1.2.4 + 1.3.4 + 2.3.4) + (1.2.3) =
5(1.2 + 1.3 + 1.4 + 2.3 + 2.4 + 3.4) + 4(1.2 + 1.3 + 2.3) + 3(1.2) , es decir:
π3,5 = 5β π. π4π,π=1 + 4β π. π3
π,π=1 + 3β π. π2π,π=1 , que por definiciΓ³n equivale a:
π3,5 = 5π2,4 + 4π2,3 + 3π2,2
que en forma general para n, estas relaciones se puede escribir como:
π·π,π = π β π. πππ,π=π + (π β π)β π. ππ
π,π=π + β―+ πβ π. πππ,π=π
Y: π·π,π = β πππ=π π·π,πβπ
Entonces: π3,π = ππ2,πβ1 + (π β 1)π2,πβ2 + (π β 2)π2,πβ3 + β―+ 4π2,3 + 3π2,2
Como
π·π,π = π(π + π
π) β π(
π + ππ
) + (π + π
π)
Tendremos:
π2,πβ1 = 3(π + 2
4) β 4 (
π + 13
) + (π2)
π2,πβ2 = 3(π + 1
4) β 4 (
π3) + (
π β 12
)
π2,πβ3 = 3(π4) β 4 (
π β 13
) + (π β 2
2)
. . . . . . . . . . . .
π2,3 = 3 (64) β 4 (
53) + (
42)
π2,2 = 3 (54) β 4 (
43) + (
32)
Sumando y agrupando todas estas igualdades, resulta:
π3,π = 3 [π (π + 2
4) + (π β 1) (
π + 14
) + (π β 2) (π4) + β―+ 4(
64) + 3 (
54)] β 4 [π (
π + 13
) +
(π β 1) (π3) + (π β 2) (
π β 13
) + β―+ 4(53) + 3 (
43)] + [π (
π2) + (π β 1) (
π β 12
) +
(π β 2) (π β 2
2) + β―+ 4(
42) + 3 (
32)] , igualdad que podemos rescribir como:
π3,π = 3β π (π + 2
4)
π
π=3β 4β π (
π + 13
)π
π=3+ β π (
π2)
π
π=3
Y siendo π (π + 2
4) =
π(π+2)(π+1)π(πβ1)
4!
π (π + 1
3) =
π(π+1)π(πβ1)
3!
π (π2) =
π(πβ1)
2!
Sustituyendo:
π3,π =3
4!β π(π + 2)(π + 1)π(π β 1)
π
π=3β
4
3!β π(π + 1)π(π β 1)
π
π=3+
1
2!β π. π(π β 1)
π
π=3
Efectuando y agrupando, resulta:
π3,π =1
8β π5π
π=3 β5
12β π4π
π=3 +3
8β π3π
π=3 β1
12β π2π
π=3 , expresiΓ³n, que por razones
anΓ‘logas a las del caso anterior π2,π, puede sustituirse por:
π3,π =1
8βπ5π
π=1
β5
12βπ4π
π=1
+3
8βπ3π
π=1
β1
12βπ2π
π=1
Y recordando que β ππππ=π = β (βπ)πβππ
π=π ππ,π (π + π β π + π
π β π + π), donde las ππ,π , son los
coeficientes triangulares recogidos en la tabla del apartado 4) correspondiente a las sumas de
potencias de nΓΊmeros naturales, ya calculados.
β ππππ=π = π! (
π + ππ
) β πππ (π + π
π) + πππ(
π + ππ
) β ππ (π + π
π) + π(
π + ππ
)
β πππ π=π = π! (
π + ππ
) β ππ(π + π
π) + ππ (
π + ππ
) β π (π + π
π)
β ππππ=π = π! (
π + ππ
) β π (π + π
π) + (
π + ππ
)
β ππππ=π = π! (
π + ππ
) β π. (π + π
π)
Efectuando operaciones y agrupando, resulta:
π·π,π = ππ(π + π
π) β ππ(
π + ππ
) + ππ(π + π
π) β ππ(
π + ππ
) + (π + π
π)
Repitiendo el procedimiento a partir de π·π,π = β πππ=π π·πβπ,πβπ , podemos obtener las expresiones
de ππ,π , para cualquier valor entero positivo de m, pero reconocemos que la obtenciΓ³n de los
coeficientes de la ecuaciΓ³n polinΓ³mica de soluciones correspondientes a los nΓΊmeros naturales, a
partir de la tabla ya mostrada anteriormente, resulta mΓ‘s inmediato y sencillo.
7) Otras expresiones de series de potencias de los nΓΊmeros naturales y su relaciΓ³n con
los nΓΊmeros de Bernoulli.
Si desarrollamos el binomio de Newton (π₯ β 1)2 = π₯2 β 2π₯ + 1, dΓ‘ndole a x los valores sucesivos
de la serie de los nΓΊmeros naturales, π₯ β {1,2,3,β¦ , π}, obtendremos:
0 = 12 β 2.1 + 1
12 = 22 β 2.2 + 1
22 = 32 β 2.3 + 1
32 = 42 β 2.4 + 1 . . . . . . . . . . . .
(π β 2)2 = (π β 1)2 β 2(π β 1) + 1
(π β 1)2 = π2 β 2. π + 1
Sumando miembro a miembro todas estas identidades numΓ©ricas, resulta:
π = ππ β π.β ππ
π=π + π
NΓ³tese que π = β π0ππ=1 = 1 + 1 + β―+ 1, con n sumandos.
Procediendo de manera anΓ‘loga para (π₯ β 1)3 = π₯3 β 3π₯2 + 3π₯ β 1, obtendremos:
0 = 13 β 3. 12 + 3.1 β 1
13 = 23 β 3. 22 + 3.2 β 1
23 = 33 β 3. 32 + 3.3 β 1
33 = 43 β 3. 42 + 3.4 β 1 . . . . . . . . . . . . . . .
(π β 2)3 = (π β 1)3 β 3. (π β 1)2 + 3. (π β 1) β 1
(π β 1)3 = π3 β 3. π2 + 3. π β 1
Sumando miembro a miembro, resulta:
π = ππ β π.β πππ
π=π + π.β π
π
π=π β π
Este resultado, puede extenderse a la potencia m +1 del binomio de Newton, correspondiente a
(π₯ β 1)π+1, para obtener el siguiente resultado:
π = ππ+π β (π + π
π)β ππ
π
π=π
+ (π + π
π)βππβπ
π
π=π
β (π + π
π)βππβπ
π
π=π
+ β―+ (βπ)π+π (π + ππ + π
)βπππ
π=π
Que puede resumirse como: π = ππ+π + β π+ππ=π (βπ)π (
π + ππ
)β ππ+πβπππ=π
Estas series nos permiten obtener β ππππ=1 , en funciΓ³n de los valores sucesivos de β π0π
π=1 , β π1ππ=1 ,
β π2ππ=1 , β¦ , β ππβ1π
π=1
AsΓ por ejemplo, para m = 0, obtenemos:
0 = π β β π0ππ=1 , de donde: β πππ
π=π = π
Para m = 1, serΓ‘:
0 = π2 β 2.β πππ=1 + π, de donde: β π π
π=π =ππ
π+
π
π=
π(π+π)
π!
Para m = 2, tenemos:
0 = π3 β 3.β π2ππ=1 + 3.β ππ
π=1 β π, de donde, tomando en cuenta los casos anteriores, resulta:
β π2π
π=1
=π3
3+ [
π2
2+
π
2] β
π
3=
π3
3+
π2
2+ [
1
2β
1
3] . π =
π3
3+
π2
2+
π
6=
π(π + 1)(2π + 1)
3!
Para m = 3 , serΓ‘:
0 = π4 β 4.βπ3π
π=1
+ 6.β π2π
π=1
β 4.β π
π
π=1
+ π
De donde, tomando en cuenta los resultados previos, resulta:
β π3ππ=1 =
π4
4+
6
4[π3
3+
π2
2+
π
2β
π
3] β
4
4[π2
2+
π
2] +
π
4=
π4
4+
3π3
2.3+ [
3
4β
1
2] π2 + [
3
4β
1
2β
1
2+
1
4] π, es decir:
βπππ
π=π
=ππ
π+
ππ
π+
ππ
π=
ππ(ππ + ππ + π)
π=
ππ(π + π)π
π= [
π(π + π)
π]π
Siguiendo este procedimiento hemos resumido en la siguiente tabla los resultados obtenidos para
m =0, hasta m = 10
m βπππ
π=1
0 π 1β
1 π2 2β + π 2β
2 π3 3β + π2 2β + π 6β
3 π4 4β + π3 2β + π2 4β
4 π5 5β + π4 2β + π3 3β β π 30β
5 π6 6β + π5 2β + (5 12β )π4 β π2 12β
6 π7 7β + π6 2β + π5 2β β π3 6β + π 42β
7 π8 8β + π7 2β + (7 12β )π6 β (7 24β )π4 + π2 12β
8 π9 9β + π8 2β + (2 3β )π7 β (7 15β )π5 + (2 9β )π3 β π 30β
9 π10 10β + π9 2β + (3 4β )π8 β (7 10β )π6 + π4 2β β (3 20β )π2
10 π11 11β + π10 2β + (5 6β )π9 β π7 + π5 β π3 2β + (5 66β )π
Es de notar que en cuanto a la factorizaciΓ³n, ΓΊnicamente en factores racionales de la forma
(ππ + π), ya no es posible para valores de m iguales o superiores a 4.
Pero lo que realmente nos ocupa, es encontrar una expresiΓ³n o formula general para el desarrollo de
β ππππ=1 , en potencias de n, donde los coeficientes sean sΓ³lo funciones de m.
Para ello, consideraremos cada uno de los resultados obtenidos hasta ahora, como un caso particular
del polinomio:
βπππ
π=π
= ππππ+π + πππ
π + ππππβπ + β―+ ππππ + ππ+ππ
= β ππππ+πβπ
π+π
π=π
AsΓ, por ejemplo:
β π5π
π=1=
1
6π6 +
1
2π5 +
5
12π4 + 0. π3 β
1
12π2 + 0. π
O tambiΓ©n:
β π8π
π=1=
1
9π9 +
1
2π8 +
2
3π7 + 0. π6 β
7
15π5 + 0. π4 +
2
9π3 + 0. π2 β
1
30π
Los resultados obtenidos anteriormente, y resumidos en la tabla anterior, pueden ahora presentarse
como:
m π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9 π10 π11
0 1 1β
1 1 2β 1 2β
2 1 3β 1 2β 1 6β
3 1 4β 1 2β 1 4β 0
4 1 5β 1 2β 1 3β 0 β1 30β
5 1 6β 1 2β 5 12β 0 β1 12β 0
6 1 7β 1 2β 1 2β 0 β1 6β 0 1 42β
7 1 8β 1 2β 7 12β 0 β7 24β 0 1 12β 0
8 1 9β 1 2β 2 3β 0 β7 15β 0 2 9β 0 β1 30β
9 1 10β 1 2β 3 4β 0 β7 10β 0 1 2β 0 β3 20β 0
10 1 11β 1 2β 5 6β 0 β1 0 1 0 β1 2β 0 5 66β
Como es de inmediato, observamos que ππ = π (π + πβ ), para cada caso, y que ππ = π πβ , es
constante para cada m β₯ 1, por otra parte para cada k par, igual o mayor que 4, serΓ‘ ππ = 0. De
manera que habrΓ‘ que determinar las leyes de variaciΓ³n de las ππ, cuando k, es impar e igual o
mayor que 3. Para ello podemos utilizar el mΓ©todo del tanteo, para obtener los coeficientes
indeterminados y estudiar cada caso particular.
Para el caso de k = 3, es inmediato que π3 = π 12β , que podemos denotar como: ππ =π
ππ(ππ
),
con m β₯ 2
Si suponemos que π5 = βπ΄. (π3
) = βπ΄π(πβ1)(πβ2)
3!, serΓ‘: π΄ = β
3!π5
π(πβ1)(πβ2)
Que para π = 4, y π5 = β1
30, obtenemos: π΄ =
6(1 30β )
4.3.2=
1
120, comprobamos que el valor de A
,resulta constante con los siguientes valores de la tabla: π = 5, π¦ π5 = β1
12 , entonces:
π΄ =6(1 12β )
5.4.3=
1
120, AsΓ mismo, se puede verificar que π΄ =
1
120, para cada uno de los valores de m y
de π5, previamente calculados y ya recogidos en la tabla anterior. Concluimos que:
ππ = βπ
πππ(ππ
) = βπ
πππ.π(πβπ)(πβπ)
π!, para π β₯ 4
De manera anΓ‘loga, supondremos que π7 = π΅. (π5
) = π΅.π(πβ1)(πβ2)(πβ3)(πβ4)
5!, de donde:
π΅ =5!π7
π(πβ1)(πβ2)(πβ3(πβ4), que para π = 6, π¦ π7 = 1 42β , toma el valor:
π΅ =5!(1 42β )
6.5.4.3.2=
1
252, comprobamos que B, resulta tambiΓ©n constante con los siguientes valores de
π π¦ π7 , AsΓ para π = 7, π¦ π7 =1
12, tenemos:
π΅ =5!(1 12β )
7.6.5.4.3=
1
252, AsΓ mismo, se verifica que π΅ =
1
252, para cada uno de los valores de m y de π7,
previamente calculados y recogidos en la tabla anterior. Concluimos que:
ππ =π
πππ(ππ
) =π
πππ.π(πβπ)(πβπ)(πβπ)(πβπ)
π!, para π β₯ 6.
De manera anΓ‘loga, podemos obtener:
ππ = βπ
πππ(ππ
) = βπ
πππ.π(πβπ)(πβπ)(πβπ)(πβπ)(πβπ)
π!, y asΓ sucesivamente.
Estos resultados, los podemos recoger en una expresiΓ³n de sumatorias parciales acumulativas de
tΓ©rminos combinatorios para β ππππ=1 , tal como:
β ππππ=π =
ππ+π
π+πβ+
ππ
πβ+
ππβπ
ππ(ππ
)ββππβπ
πππ(ππ
)β+ππβπ
πππ(ππ
)ββππβπ
πππ(ππ
)βΒ±...
π = π π > 0 π > 1 π > 3 π > 5 π > 7
Donde se van agregando tΓ©rminos adicionales a la sumatoria, en funciΓ³n del valor de m
Por ejemplo, para calcular β π410π=1 , tomaremos solo los 4 primeros tΓ©rminos de la expresiΓ³n
anterior, ya que m es mayor que tres pero menor que cinco. AsΓ tendremos:
βπ410
π=1
=105
5+
104
2+
103
12(41) β
10
120(43) = 20000 + 5000 +
1000
3β
1
3= 25333
El problema que se nos presenta ahora, es encontrar un mΓ©todo o una manera de determinar
directamente los tΓ©rminos siguientes de la sumatoria, en funciΓ³n de los determinados previamente.
Un anΓ‘lisis cuidadoso del mecanismo de formaciΓ³n de los coeficientes ππ, recogidos en la tabla
anterior, nos permite establecer las siguientes relaciones para la determinaciΓ³n del ΓΊltimo
coeficiente ππ+1 , correspondiente a cada fila de la tabla:
ππ+π = ππ β β πππβππ πβπ=π , para m entero par β₯ π
ππ+π = ππ β β πππβπ(π+π) πβπ=π , para m entero impar β₯ π
Donde ππ =π
π, constante
Podemos entonces construir una nueva tabla para reflejar la relaciΓ³n de cada una de las ππ+π, con
los valores anteriores de las ππ, de su propia fila
Tabla de las ππ+π en funciΓ³n de las ππ de cada fila
m ππ+1=
1 1 2β = 1 2β
2 1 6β = 1 2β β 1 3β
3 0 = 1 2β β 1 4β β 1 4β
4 β1 30β = 1 2β β 1 5β β 1 3β
5 0 = 1 2β β 1 6β β 5 12β + 1 12β
6 1 42β = 1 2β β 1 7β β 1 2β + 1 6β
7 0 = 1 2β β 1 8β β 7 12β + 7 24β β 1 12β
8 β 1 30β = 1 2β β 1 9β β 2 3β + 7 15β β 2 9β
9 0 = 1 2β β 1 10β β 3 4β + 7 10β β 1 2β + 3 20β
10 5 66β = 1 2β β 1 11β β 5 6β + 1 β 1 + 1 2β
Estas relaciones son claves, para determinar nuevos tΓ©rminos en la expresiΓ³n de sumas parciales
acumulativas, establecida con anterioridad para β ππππ=π
Si queremos por ej. la expresiΓ³n de este tipo, que corresponde a β πππππ=π , podemos desarrollarla
de dos formas equivalentes:
1Β°, Como agregado de sumas parciales de tΓ©rminos combinatorios, en este caso:
βπ10
π
π=1
=π11
11+
π10
2+
π9
12(101
) βπ7
120(103
) +π5
252(105
) βπ3
240(107
) + π΄. π (109
)
Aunque no conocemos el ΓΊltimo tΓ©rmino en esta expresiΓ³n, la secuencia de la serie nos permite
deducir que tiene la forma supuesta.
Donde debemos determinar el coeficiente A (fraccionario), correspondiente a π = 10
2Β°, Simplificando cada uno de los tΓ©rminos de la expresiΓ³n anterior, obtendremos la expresiΓ³n
equivalente, en tΓ©rminos de las ππ:
β π10ππ=1 =
1
11π11 +
1
2π10 +
5
6π9 β π7 + π5 β
1
2π3 + π11. π,
Donde debemos determinar el coeficiente π11, ( ππ+1 para π = 10 )
Pero segΓΊn las relaciones entre las ππ+1, y las demΓ‘s ππ de su fila, deberΓ‘ cumplirse:
π11 = π2 β (π1 + π3 + π5 + π7 + π9) =1
2β
1
11β
5
6+ 1 β 1 +
1
2=
5
66
(Valor que ya habΓamos obtenido al confeccionar la tabla de coeficientes ππ, hasta π = 10)
Entonces, de π΄ (109
) = π11, resulta: π΄ =π11
10=
5
660=
1
132
Por lo tanto, el nuevo tΓ©rmino que podemos agregar a la serie en sumas parciales para β ππππ=π ,
Que se tomarΓ‘ en cuenta para π = 10 π¦ π = 11, serΓ‘: +1
132ππβ9 (
π9
), vΓ‘lido para π > 9
Si queremos obtener el tΓ©rmino siguiente de las sumatorias, vΓ‘lido para π = 12 π¦ π = 13,
Deberemos calcular β π12ππ=1 , para ello, 1Β°, utilizaremos la expresiΓ³n en sumas parciales:
βπ12
π
π=1
=π13
13+
π12
2+
12π11
12β
π9
120(123
) +π7
252(125
) βπ
240
5
(127
) +π3
132(129
) β π΅. π (1211
)
2Β°, simplificamos, y obtenemos la misma ecuaciΓ³n en funciΓ³n de las ππ, es decir:
βπ12
π
π=1
=π13
13+
π12
2+ π11 β
11
6π9 +
22
7π7 β
33
10π5 +
5
3π3 β π13 π
Donde debemos determinar el coeficiente π13, ( ππ+1 para π = 12 )
Pero segΓΊn las relaciones entre las ππ+1, y las demΓ‘s ππ de su fila, deberΓ‘ cumplirse:
π13 = π2 β (π1 + π3 + π5 + π7 + π9 + π11)
Es decir: π13 =1
2β
1
13β 1 +
11
6β
22
7+
33
10β
5
3= β
691
2730
Y de π13 = π΅. (1211
), obtenemos: π΅ =π13
12=
691
32760, y por lo tanto el tΓ©rmino adicional
para nuestra expresiΓ³n en sumatorias parciales serΓ‘: β691
32760ππβ11 (
π11
), aplicable para
π = 12 π¦ π = 13
AsΓ sucesivamente, podemos determinar cualquier otro tΓ©rmino adicional que sea necesario para el
cΓ‘lculo.
La revisiΓ³n bibliogrΓ‘fica necesaria, nos lleva a concluir que los coeficientes ππ+π ,del polinomio:
βπππ
π=π
= ππππ+π + πππ
π + ππππβπ + β―+ ππππ + ππ+ππ
= β ππππ+πβπ
π+π
π=π
Corresponden a los denominados nΓΊmeros de Bernoulli (π©π), por lo cual vamos a rescribir
dicho polinomio como: β ππππ=π = πππ
π+π + ππππ + πππ
πβπ + β―+ ππππ + π©ππ , donde π©π,
siempre es el coeficiente de n y las ππ, con π desde 1 hasta m, son los coeficientes triangulares de
la tabla correspondiente.
En este caso, se tendrΓ‘:
π1 = 1 (π + 1β ) , para π β₯ 0 y π2 = 1 2β , constante, mientras que: π©π = 1 2β , que es el
coeficiente de n en β πππ=1 =
π2
2+
π
2. AsΓ mismo, podrΓamos tomar a π©π = 1, que es el coeficiente
de n en β π0ππ=1 = π, es decir podrΓamos comenzar la determinaciΓ³n de los π©π en π = 0.
Adicionalmente, ππ = 0, β© k par > 2
π3 =1
12(π1
), que se calcula para m > 2, ya que para m = 2, se tiene:
π©π =1
12(21) =
1
6, y π©π = 0 = π4
AnΓ‘logamente, π5 = β1
120(π3
), que se calcula para m > 4, ya que para m = 4,se tiene:
π©π = β1
120(43) = β
1
30, y π©π = 0 = π6
AsΓ mismo, π7 =1
252(π5
), que se calcula para m > 6, ya que para m = 6, se tiene:
π©π =1
252(65) =
1
42, y π©π = 0 = π8, y asΓ sucesivamente.
En vista de los resultados obtenidos previamente, podemos escribir una expresiΓ³n que nos de los
π©π, en funciΓ³n de sumas parciales de tΓ©rminos combinatorios, a saber:
π©π =π
πβ γ
π
π + πβ +
π
ππ(ππ
)β βπ
πππ(ππ
)β +π
πππ(ππ
)β βπ
πππ(ππ
)β +π
πππ(ππ
)β βπππ
πππππ(πππ
)β Β± β― ]
π = π m>1 m>2 m>4 m>6 m>8 m>10 m>12 ...
ExplicaciΓ³n:
Supongamos que conocemos la expresiΓ³n solo hasta su cuarto tΓ©rmino :βπ
πππ(ππ
) , esto nos permite
calcular π΅1 = 1 2β , π΅2 = 1 6β , π΅3 = 0, π΅4 = 1 30β , π΅5 = 0, π¦ π΅6 = 1 42β . Llamemos πΆ5 al
coeficiente del tΓ©rmino combinatorio siguiente, que sabemos tiene la forma πΆ5 (π5
), y que es
necesario para calcular π΅7 π¦ π΅8.Este coeficiente se obtiene de π΅6 = πΆ5 (65), de donde:
πΆ5 =π΅6
6=
1
252, con lo que queda determinado el quinto tΓ©rmino de las sumatorias: +
π
πππ(ππ
), lo
que nos permite a su vez, calcular π΅7 = 0 π¦ π΅8 = β1 30β . AnΓ‘logamente se tendrΓ‘ :
πΆ6 = π΅8 8β = β1 240β , con lo que obtenemos el sexto tΓ©rmino de las sumatorias: βπ
πππ(ππ
) ,que nos
permite calcular π΅9 = 0 π¦ π΅10 = 5 66β , y con estos valores se obtiene πΆ7 = π΅10 10β = 1 32β , y
asΓ sucesivamente.
Tomando en cuenta estos resultados, podemos escribir una expresiΓ³n que nos permite calcular el
valor de una determinada π©π, en funciΓ³n de los valores previos ya conocidos.
π©π =π
πβ [
π
π + πβ +
π©π
π(ππ
)β +π©π
π(ππ
)β +π©π
π(ππ
)β + β―]
π = π π > 1 π > 2 π > 4 π > 6 β¦
ExplicaciΓ³n: Conocido π΅1 = 1 2β , este valor nos permite calcular π΅2 = 1 2β β 1 3β = 1 6β
Conocido π΅2, podemos calcular π΅3 =1
2β [
1
4+
1 6β
2(31)] = 0, y π΅4 =
1
2β [
1
5+
1 6β
2(41)] = β
1
30
Conocido π΅4, nos permite calcular π΅5 =1
2β [
1
6+
1 6β
2(51) β
1 30β
4(53)] = 0, y
π΅6 =1
2β [
1
7+
1 6β
2(61) β
1 30β
4(63)] =
1
42, conocido π΅6, nos permite calcular π΅7 π¦ π΅8, y asΓ
sucesivamente.
Como hemos encontrado que se verifican las siguientes relaciones:
π΅2
2=
1
12 ,
π΅4
4= β
1
120,
π΅6
6=
1
252 ,
π΅8
8= β
1
240,
π΅10
10=
1
132
y asΓ sucesivamente, podemos entonces rescribir la expresiΓ³n encontrada para : β ππππ=π , en
tΓ©rminos de las π΅π, y asΓ resulta:
βππ =
π
π=1
ππ+1
π + 1+ (
π0
)π΅1
1ππ + (
π1
)π΅2
2ππβ1 + (
π3
)π΅4
4ππβ3 + (
π5
)π΅6
6ππβ5 + +(
π7
)π΅8
8ππβ7 + β―
A esta expresiΓ³n, podemos agregarle los π΅π πβ , para valores impares de π β₯ 3, ya que todos son
ceros, y por lo tanto no afectan la sumatoria. Podemos entonces escribir:
β ππ =ππ=1
ππ+1
π+1+ (
π0
)π΅1
1ππ + (
π1
)π΅2
2ππβ1 + (
π2
)π΅3
3ππβ2 + (
π3
)π΅4
4ππβ3 + (
π4
)π΅5
5ππβ4 +
(π5
)π΅6
6ππβ5 + (
π6
)π΅7
7ππβ7 + β―
Tomando en cuenta que (π + 1
π) =
π+1
π(
ππ β 1), o lo que es equivalente:
(π
π β 1) = (π + 1
π)
π
π+1, podemos hacer las sustituciones siguientes en los tΓ©rminos de la expresiΓ³n
sumatoria:
(π0
) = (π + 1
1)
1
π + 1
(π1
) = (π + 1
2)
2
π + 1
(π2
) = (π + 1
3)
3
π + 1
Y asΓ sucesivamente para cada valor combinatorio de la sumatoria.
Sustituyendo, se eliminan todos y cada uno de los denominadores de los π΅π πβ , y ademΓ‘s se puede
sacar a la fracciΓ³n 1 (π + 1β ), como factor comΓΊn. Entonces, tomando en cuenta que π΅0 = 1 y que
(π + 1
0) = 1, podemos escribir:
βπππ
π=1
=1
π + 1[(
π + 10
)π΅0ππ+1 + (
π + 11
)π΅1ππ + (
π + 12
)π΅2ππβ1 + (
π + 13
)π΅3ππβ2 + β―]
Con lo que queda normalizada (homogenizada), la expresiΓ³n, y como conocemos que se trata de un
polinomio de π + 1 , tΓ©rminos y de grado π + 1 en n, la expresiΓ³n completa podemos escribirla
como:
β ππππ=π =
π
π+π[(
π + ππ
)π©πππ+π + (
π + ππ
)π©πππ + (
π + ππ
)π©πππβπ + β― +
(π + ππ β π
)π©πβπππ (
π + ππ
)π©ππ ]
Que puede resumirse en:
β ππππ=π =
π
π+πβ (
π + ππ
)π©πππ+πβππ
π=π , con π©π = π πβ y π β₯ π
AsΓ, por ej. para π = 0, con π΅0 = 1
βπ0π
π=1
=1
1[(
10)π΅0π] = π
Para π = 1, con π΅0 = 1 π¦ π΅1 = 1 2β
βπ π
π=1
=1
2[(
20)π΅0π
2 + (21)π΅1π
] =1
2[π2 + π] =
π2
2+
π
2
Para π = 2, con π΅0 = 1 , π΅1 = 1 2β , π¦ π΅2 = 1 6β
βπ2π
π=1
=1
3[(
30)π΅0π
3 + (31)π΅1π
2 + (32)π΅2π
] =1
3[π3 +
3
2π2 +
1
2π] =
π3
3+
π2
2+
π
6
Con estos ejemplos que a su vez sirven de comprobaciΓ³n de la ΓΊltima fΓ³rmula de sumatorias
deducida para β ππππ=π , damos por terminados estos breves apuntes sobre algunos aspectos
relevantes e interrelacionados, de la combinatoria con repeticiΓ³n, las series paralelas y los
nΓΊmeros naturales.
Enrique R. Acosta R. 1998-Revisado 2016