colloque de tebessa 1

Plan de travailIntroduction

Chapitre 1: GeneralitesChapitre 2: Generalisation du theoreme de Weierstrass

Chapitre 3: ApplicationConclusion

Generalisation du theoreme de Weierstrass etapplication

DJEDDI KamelSous la direction de Professeur:KADA Allab

Colloque National sur les Sciences MathematiquesUniversite de Tebessa

17-18 Septembre 2012

DJEDDI Kamel (Universite de Oum El Bouaghi) Generalisation du theoreme de Weierstrass et application




Plan de travail

1 Introduction2 Chapitre 1: Generalites

I Theoreme classique de WeierstrassI Operateur de Hilbert-SchmidtI Operateurs polynomesI Operateur integral Hilbert-SchmidtI Operateurs polynomes Hilbert-Schmidt

3 Chapitre 2: Generalisation du theoreme de Weierstrass

I Theoreme de Weierstrass dans espace de HilbertI Theoreme de Weierstrass dans les espaces L2

4 Chapitre 3: Application

5 Conclusion





Plan de travail

1 Introduction

2 Chapitre 1: Generalites





5 Conclusion





Plan de travail

1 Introduction2 Chapitre 1: Generalites





5 Conclusion





Introduction

D’un point de vue physique un systeme peut grossierement etre considerecomme un mecanisme faisant correspondre a une action (on dira uneentree ) une reaction ( une sortie ). D’un point de vue mathematique, unsysteme peut etre represente par un operateur, celui-ci faisantcorrespondre a une fonction ( la fonction entree), une autre fonction ( lafonction sortie ).

La connaissance d’un systeme revient a celle des lois qui regissent soncomportement. L’etude du comportement a partir des lois elementairesest theoriquement possible, mais en pratique elle est souvent impossible sile systeme est complexe, si les phenomenes presents ne sont pas, ou sontmal connus etc...





Introduction

On cherche alors une approximation du comportement du systeme(Generalisation du theoreme de Weierstrass), c’est-a-dire uneapproximation de l’operateur qui le represente, a partir de certainesentrees et des sorties correspondantes.





Chapitre 1: Generalites

Theoreme classique de Weierstrass

Theoreme

Toute fonction continue sur un intervalle ferme et borne I de R , a valeursreelles, peut etre approchee uniformement sur I a ε pres, pour tout ε > 0, parune fonction polynomiale.

En d’autres termes:Theoreme

Le sous-espace vectoriel P (I, R) de l’espace vectoriel C (I, R) est dense parrapport a C (I, R) dans E = B∞ (I, R)







Theoreme


En d’autres termes:

Theoreme








Theoreme


En d’autres termes:Theoreme







Operateur de Hilbert-Schmidt

Definition

Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert ; un operateur A de H1 dans H2

est Hilbert Schmidt si et seulement si il admet la representation :

Af =

∞∑n=1

λn 〈f, en〉hn

ou (en) et (hn) sont des ensembles orthonormes dans H1 etH2 respectivement. f ∈ H1

λn > 0 et tel que la serie∑∞

1 λ2n converge.






Operateurs polynomes

Definition

Soient X et Y deux espaces vectoriels complexes. Une application y = P (x) deX dans Y definie pour tous les x est un operateur polynome de degre m si :

P (x1 + αx2) =

m∑n=0

Pn(x1, x2)αn ∀x1, x2 ∈ X, α complexe

Pn(x1, x2) etant independants de α.






Operateur integral Hilbert-Schmidt

Definition

Soit T un intervalle reel, k ∈ L2(T n+1

)un operateur integral Hilbert-Schmidt, A : L2 (T n) → L2 (T ) , s’ecrit :

(Ax) (t) =

∫T n

k (t, s) x (s) ds, t ∈ T, s = (s1, ..., sn) ∈ T n






Operateurs polynomes Hilbert-Schmidt

Definition

Un operateur polynome Hilbert-Schmidt de degre N est une combinaisonlineaire d’operateurs Hilbert-Schmidt avec x (s) = x (s1) ...x (sn) s’ecrira :

(Hx) (t) =

N∑n=0

∫T n

kn (t, s1, ..., sn) x (s1) ...x (sn) ds1...dsn





Chapitre 2: Generalisation du theoreme de Weierstrass

Theoreme de Weierstrass dans espace deHilbertTheoreme

Soit H un espace de Hilbert separable, K une partie compacte de H etC (K, H) l’espace vectoriel norme des applications continues de K dans H.

Alors la famille des operateurs polynomes definies et continus dans le compactK est dense dans C (K, H) .





Chapitre 2: Generalisation du theoreme de Weierstrass

Theoreme de Weierstrass dans espace deHilbertEn d’autres termes:Theoreme

Si A : K → H est une application continue, alors ∀ε > 0, existe un operateurpolynome P

(ε)N tel que∥∥∥A− P

(ε)N

∥∥∥ = supx∈K

∥∥∥Ax− P(ε)N x

∥∥∥ < ε

P(ε)N = L0 + L1x + ... + LNxN

L0 = application constanteLn = application n−lineaire Hn → H, Lnxn = Ln (x, ..., x) .





Generalisation du theoreme de Weierstrass

Theoreme de Weierstrass dans les espaces L2

Soit T un intervalle reel, t ∈ T, X un compact de L2 (T ) et C[X, L2 (T )]l’espace vectoriel norme des applications continues de X dans L2 (T )(muni de la norme des sup).

Notons =n l’ensemble des polynomes Hilbert-Schmidt de degre ≤ n,definis sur X :

H ∈ =n ⇔ (Hx) (t) =n∑

j=0

∫T j

kj (t; s1, ..., sj) x (s1) ...x (sj) ds1...dsj .

ou x ∈ X. En supposant les kj symetriques par rapport a s1, ..., sj .Pardefinition des operateurs Hilbert-Schmidt =n ⊂ C[X, L2 (T )].







Theoreme

Soit k ⊂ C[X, L2 (T )] relativement compact (k compact)

Alors ∀ε > 0, ∃N = N (ε) tel que ∀F ∈ k, il existe un polynomeHilbert-Schmidt : H ∈ =n satisfaisant la relation

‖F −H‖C[X,L2(T )] = supx∈X

‖Fx−Hx‖L2(T ) < ε

Proposition

Soit F une fonctionnelle sur X compact, F : X ⊂ L2 (T ) → R. Alors ilexiste une suite d’elements de = , c’est-a-dire des fonctionnellesHilbert-Schmidt, qui converge uniformement vers F.






Preuve- = est manifestement une algebre.- = separe les point de X car si x1 = x2, il existe un noyau k1 tel que∫

T

k1(s)x1(s)ds 6=∫

T

k1(s)x2(s)ds

- toute fonctionnelle appartenant a = est evidement continue.D’apres le theoreme de Stone-Weierstrass, ∀ε > 0, il existe un entierN(ε) = N tel que pour toute fonctionnelle F continue sur X on dit

|F (x)− k(x)| =

∣∣∣∣∣∣F (x)−n∑

j=0

∫T j

kj(s1, ..., sj)x(s1)...x(sj)ds1...dsj

∣∣∣∣∣∣ < ε,

∀x ∈ X.Aussi, la classe = des fonctionnelles Hilbert-Schmidt est partait densedans c [X, R] .






Le passage a un operateur dans L2(T ) utilisera le fait qui k(x) est precompact et peut etre recouvert ∀ε > 0 par un nombre fini de boules dediametre k.Ou simulera aussi un operateur A a une famille de fonctionnelles At

definies par

At(x) = (Ax)(t), x ∈ L2(T ), t ∈ T.





Chapitre 3: Application

On va decrire la determination d’un systeme non lineaire enl’approximant par un operateur Hilbert-Schmidt d’ordre 2.Calcul formel d’identificationLe systeme est approxime par un polynome Hilbert-Schmidt d’ordre 2.{Φi (t)} etant une base de L2 (T ), la sortie du systeme y(t)correspondant a l’entree x (z) est donnee par :

y(t) =∫T

k1 (t− z) x (z) dz +∫∫T 2

k2(t− z1, t− z2)x(z1)x(z2)dz1dz2

avec

k1 (t) =N∑

i=1

αiΦi(t)

k2 (t1, t2) =N∑

i,j=1

βijΦi (t1) Φj (t2)





Application

avec les donneesentrees mesurees: vecteur x (tk) , k = 1, ..., psorties mesurees: vecteur y′(tk), k = 1, ..., p

Probleme

Trouver les N coefficients αi et les N2 coefficients βij .





Application

Calculs:

y(tk) = y1(tk) + y2(tk)

avec

y1(tk) =∫T

k1 (tk − z) x (z) dz

y2(tk) =∫∫T 2

k2(tk − z1, tk − z2)x(z1)x(z2)dz1dz2





Application

Expression de y1(tk) :

y1(tk) =N∑

i=1

∫T

Φi (tk − z) x (z) dz

On applique la methode des trapezes pour calculer∫T

Φi (tk − z) x (z) dz

pour cela, on divise l’intervalle [0, T ] en D sous intervalles d’amplitudeTD = h cette integrale devient :

y1(tk) =N∑

i=1

hαi

[D∑

l=1

Φi (tk − zl)x (zl)

]

avec zl ∈ [(l − 1) h, lh]





Application

Expression de y2(tk) :

y2(tk) =N∑

i,j=1

βij

(∫T

Φi (tk − z1) x (z1) dz1)(∫T

Φj (tk − z2) x (z2) dz2)

En appliquant la methode des trapezes on obtient :∫

T

Φi (tk − z1) x (z1) dz1 = h

D∑l=1

Φi (tk − zl) x (zl)

∫T

Φj (tk − z2) x (z2) dz2 = hD∑

l=1

Φj (tk − zl) x (zl)





Application

donc

y2(tk) =N∑

i,j=1

h2βij

{(

D∑l=1

Φi (tk − zl)x (z1)).(D∑

l=1

Φj (tk − zl) x (zl))

}





Application

Expression de y(tk) :

y(tk) = y1(tk) + y2(tk)

alors

y(tk) = h

{N∑

i=1

αi

(D∑

l=1

Φi (tk − zl)x (zl)

)}

+2h2

N∑

i 6=j=1

βij

[(

D∑l=1

Φi (tk − zl) x (zl)).(D∑

l=1

Φj (tk − zl) x (zl))

]+h2

N∑

i=1

βii

[D∑

l=1

Φi (tk − zl) x (zl)

]2





Application

En appliquant la methode de Moindres carres :y et y′ etant respectivement les sorties calculee et mesuree :

Sp = (y (tp)− y′ (tp))

S =P∑

p=1

(y (tp)− y′ (tp))2 =

P∑p=1

(Sp)2

On a un systeme de(N + N + N2−N

2

)equations.

On pose : F (n1, n2, n3) = Φn1 (tn2 − zn3) x (zn2)





Application

∂Sp

∂αi= h

[D∑

l=1

F (i, p, l)

]

∂Sp

∂βii= h2

[D∑

l=1

F (i, p, l)

]2

∂Sp

∂βij= 2h2

[D∑

l=1

F (i, p, l)

].

[D∑

l=1

F (j, p, l)

]

Sp = h

{N∑

i=1

αi

[D∑

l=1

F (i, p, l)

]}+ h2

N∑

i=1

βii

[D∑

l=1

F (i, p, l)

]2

+2h2

N∑1

i 6=j

βij

[(D∑

l=1

F (i, p, l)

).

(D∑

l=1

F (i, p, l)

)]− y′ (tp)





Application

Formation du vecteur V des inconnues de dimension 2N + N2−N2

αi = V (i) avec i = 1, ..., N

βii = V (N + i) avec i = 1, ..., N

βij = V (2N + k) avec i = 1, ..., N et j > i, k = (i− 1)(

N − i

2

)+ j − i

On pose G (i, j) =∑D

l=1 F (i, j, l) avec F (i, j, l) = Φi (ti − zl)x (zl)





Application

donc :

Sp = hN∑

i=1

αiG (i, p) + h2N∑

i=1

βii (G (i, p))2

+2h2N−1∑i=1j>i

βijG (i, p) G (j, p)− y′ (tp)

12

∂S

∂αi=

P∑p=1

Sp∂Sp

∂αi= 0

12

∂S

∂βii=

P∑p=1

Sp∂Sp

∂βii= 0

12

∂S

∂βij=

P∑p=1

Sp∂Sp

∂βij= 0





Application

avec

∂Sp

∂αi= hG (i, p)

∂Sp

∂βii= h2 [G (i, p)]2

∂Sp

∂βij= 2h2G (i, p) G (j, p)

Pour completer les algorithmes, on determine les coefficients de lamatrice des moindres carres, on droit distinguer, pour l’applicationinformatique, les differents cas :





Application

Par exemplecas 1: r ≤ N

s ≤ N

B (r, s) =P∑

p=1

{hG (r, p) hG (s, p)}

H (r) =P∑

p=1

{hG (r, p) y′ (tp)}

cas 2 : r ≤ N , N < s ≤ 2N , s−N = i

B (r, s) =P∑

p=1

{hG (r, p) h2 [G (s, p)]2

}DJEDDI Kamel (Universite de Oum El Bouaghi) Generalisation du theoreme de Weierstrass et application




Conclusion

ConclusionDans ce travail relatif a la recherche du modele, etudie les proprietes desoperateurs polynomes et speciallement ceux du type Hilbert Schmidt.Elle etude leur utilisation pour approximer des operateurs non lineaire.On montrera tout operateur non lineaire defini et continu sur un compactX de L2(T ) (T intervalle reel) peut etre represente par un polynomeHilbert Schmidt est (donc par des integrales a noyaux) ; autrement ditl’ensemble des polynomes Hilbert Schmidt est dense dans C[X, L2(T )].Si au lieu de L2(T ), l’operateur est defini sur un Hilbert separable, onverra qu’il peut etre represente par un operateur polynome.






Merci pour votre attention

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