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Colegio Universitario Boston Geometría
343
Geometría
Conceptos Básicos
Triángulo:
Se define como la figura geométrica plana, cerrada de tres lados.
Triángulo equilátero:
Es el triángulo que tiene sus tres lados iguales y sus tres ángulos
internos iguales, donde cada uno de sus ángulos mide 60º.
Triángulo isósceles:
Es el triángulo que tiene dos lados y dos ángulos de igual medida y
cuyos lados opuestos a los ángulos de igual medida son congruentes.
Triángulo escaleno:
Es el triángulo que tiene sus tres lados de diferente medida.
La suma de los ángulos internos de cualquier triangulo es igual a
180º.
Ángulo agudo:
Es el ángulo que mide menos de 90º
Ángulo recto:
Es el ángulo que mide exactamente 90º
Ángulo obtuso:
Es el ángulo que mide más de 90º pero menos de 180º
Ángulo llano:
Es el ángulo que mide exactamente 180º
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A
B C
8
6
h
A
B C
h
b
a
Teorema de Pitágoras
Dado un triángulo rectángulo:
“El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos”
Para observar la aplicación de este teorema veamos los siguientes ejemplos.
Ejemplo.
De acuerdo con los datos de la grafica, calcule el valor de la hipotenusa.
Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos
que:
Planteamos lo que dice el teorema.
Resolvemos las potencias dadas.
Sumamos los números.
Para despejar la h aplicamos raíz
cuadrada al resultado de la suma.
Y finalmente este es el valor de la
hipotenusa.
Por lo tanto la hipotenusa es
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345
45
45
x
xx 2
A
B C
30
60
x
2
x 3
2
x
A
B C
30
60
30
CB
A
El teorema de Pitágoras posee un reciproco, el cual es usado para el cálculo
de de la medida de cualquiera de los catetos de un triángulo rectángulo. Este
resultado se muestra a continuación:
Para calcular el cateto a se aplicaría:
Para calcular el cateto b se aplicaría:
Triángulos Especiales
Existen dos triángulos rectángulos que se consideran especiales puesto que sus
medidas mantienen una forma a pesar que estas sean aumentadas o
disminuidas. Estos son conocidos como el triángulo semiequilátero o 30 – 60
y el triángulo rectángulo isósceles o 45 – 45.
Ejemplos
1. De acuerdo con los datos de la figura calcule el valor de y :
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346
7
45
45
CB
A
6
60
30
CB
A
2. De acuerdo con los datos de la figura calcule el valor de y :
En ocasiones averiguar las medidas de los lados de un triangulo especial
requiere de que apliquemos ecuaciones como lo haremos en el siguiente
ejemplo, esto lo aplicamos cuando nos dan como información el lado que está
compuesto por la :
3. De acuerdo con los datos de la figura calcule el valor de y :
Entonces hasta este punto podemos afirmar que por las definición
del triangulo especial. Ahora retomando la ecuación podemos determinar el
valor de
Por lo tanto el valor de .
De forma similar se puede trabajar para el triangulo especial isósceles.
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Área y Perímetro de figuras básicas planas
Cuadrado
Área : 2lA
Perímetro: lP 4
l
l
Rectángulo
Área : alA
Perímetro: laP 22
l
a Rombo
Área : 2
dDA
Perímetro: lP 4
D
d
l
Trapecio
Área : 2
hbBA
Perímetro: cabBP
b
c
B
ah
Triángulo
Área : 2
hbA
Perímetro: lados lossumar P
b
h h
b
Triángulo
Formula de Heron
Nota: esta formula se aplica cuando
NO se tiene la altura del triángulo.
Semi-perimetro : 2
cabS
Área : csbsassA
c
b
a
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Círculo y Circunferencia
Circunferencia: Dado un punto fijo llamado centro, el conjunto de puntos coplanares que se
encuentran a la misma distancia de éste, forman una curva cerrada llamada
circunferencia.
Circulo: El conjunto de puntos que forman la circunferencia unidos con todos los
puntos del plano que ésta encierra, se llama círculo.
Nota: toda circunferencia mide 360º
Elementos de la circunferencia.
Radio:
Es segmento de recta que une el centro con cualquier punto de la
circunferencia .
r =radio
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Cuerda:
Es segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.
B
AB =cuerdaA
Diámetro:
Es la cuerda que pasa por el centro. Divide a la circunferencia en dos partes
iguales de 180º.
d =diametro
Tangente:
Es la recta que corta a la circunferencia en un único punto.
A
K = tangente
K
Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
A
B
m= secante
m
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Arco: Es una porción de la circunferencia definida entre dos puntos.
A
AC= arco
C
Relaciones en la circunferencia
Definiremos varios resultados que nos permitirán realizar de manera mas
sencilla los ejercicios planteados.
Teorema 1. En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes
dos cuerdas congruentes equidistan del centro.
C
O
A B
D
F
E
Teorema 2. Toda recta tangente a la circunferencia es perpendicular al
radio trazado por el punto de tangencia.
O
B
A
C
DFAB Entonces
COEO
OC = radio
AC = tangente
Entonces
ABOC
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Teorema 3. Si un radio de una circunferencia interseca a una cuerda en su
punto medio, entonces el radio y la cuerda son perpendiculares.
E
O
A B
D
Teorema 4. En una circunferencia si dos cuerdas son congruentes entonces
los arcos que comprenden también son congruentes.
C
O
A
BD
Teorema 5. Las dos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior
N, forman con los radios trazados desde el punto de tangencia, y la recta que
une al punto exterior y al centro, dos triángulos congruentes.
O
P
N
M
Teorema 6. En una circunferencia, si dos cuerdas son paralelas, entonces
los arcos comprendidos entre dichas cuerdas son congruentes.
O
A B
D C
EBAE Entonces
ODAB
DCAB Entonces
DCAB
DCllAB entonces
BCAD
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Ángulos en la circunferencia
Ángulo Central: Está formado por dos radios y su vértice es el centro de la circunferencia. Su
medida es igual al arco que él comprende.
ABmAOBm
O
A
B
Ángulo Inscrito: Está formado por dos cuerdas y su vértice es un punto cualquiera de la
circunferencia.
Su medida es la mitad de la medida del arco que el comprende.
2
NPmNMPm
O
P
M
N
Ángulo Semi-inscrito: Está formado por una cuerda y una tangente, además su vértice es un punto
cualquiera de la circunferencia.
Su medida es la mitad de la medida del arco que el comprende.
2
EFmDEFm
D
O
E
F
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Ángulo Circunscrito: Está formado por dos rectas tangentes y su vértice
es un punto exterior a la circunferencia.
Su medida es la mitad de la diferencia del arco mayor y arco menor que el
comprende.
2
BCCEBmCABm
C
OE A
B
Relación entre dos circunferencias.
Circunferencias exteriores La distancia D, entre sus centros es mayor que la suma de sus radios.
rRD
DrR
O O1
Circunferencias Tangentes exteriormente La distancia D, entre sus centros es igual que la suma de sus radios.
rRD
D
rR
O O1
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Circunferencias Tangentes interiormente La distancia D, entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios.
rRD
D r
R
O O1
Circunferencias interiores La distancia D, entre sus centros es menor a la diferencia de sus radios.
rRD
D
r
R
O O1
Circunferencias Secantes La distancia D, entre sus centros es menor que la suma de sus radios y mayor
que la diferencia.
rRDrR
D
rR
O O1
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Circunferencias Concéntricas La distancia D, entre sus centros es igual a cero.
0D
r R
D
OO1
Práctica
1. Si en la circunferencia de centro O, OC =20 y AB = 32 ¿cuál es la medida
de EC?
A) 414
B) 12
C) 10
D) 8
2. En una circunferencia de diámetro 20cm, si la distancia de una cuerda al
centro es de 6cm, ¿cuál es la medida de la cuerda?
A) 8cm
B) 12cm
C) 16cm
D) 10cm
3. De acuerdo con los datos de la figura. ¿Cuál es la medida del arco ABC?
A) 90
B) 76
C) 180
D) 104
P: centro del círculo.
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4. De acuerdo con los datos de la figura, si AB es tangente a la circunferencia
en B, la media del arco que subtiende, el ángulo seminscrito representado es
A) 20
B) 40
C) 80
D) 160
O: centro del círculo.
5. De acuerdo con los datos de la figura, el valor de corresponde a
A) 15
B) 30
C) 75
D) 150
6. De acuerdo con los datos de la figura, el valor de corresponde a
A) 168
B) 84
C) 54
D) 24
7. De acuerdo con los datos de la figura, si AB es diámetro y BC=30° entonces
la medida de DOB
A) 60°
B) 90°
C) 120°
D) 150°
O: centro del círculo.
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8. De acuerdo con los datos de la figura, la medida de BAO es
A) 20°
B) 40°
C) 70°
D) 120°
O: centro del círculo.
9. De acuerdo con los datos de la figura, si AB y AC son congruentes y la
medida del arco BMD es 70° ¿cuál es la medida del ángulo ABD?
A) 23°
B) 32°
C) 46°
D) 58°
O: centro del círculo.
10. De acuerdo con los datos de la figura, si m AOC=96°, entonces ¿cuál es
la medida del ABC?
A) 84°
B) 132°
C) 168°
D) 264°
O: centro del círculo.
11. De acuerdo con los datos de la figura, la medida de corresponde a
A) 140°
B) 130°
C) 100°
D) 25°
O: centro del círculo.
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12. De acuerdo con los datos de la figura, la medida del arco corresponde a
A) 40°
B) 50°
C) 80°
D) 100°
O: centro del círculo.
13. En la figura XY es tangente en B a la circunferencia de centro O, entonces
ROS mide
A) 30°
B) 90°
C) 60°
D) 120°
O: centro del círculo.
14. De acuerdo con la figura adjunta en la que BK es tangente a la
circunferencia en K, el valor de es
A) 170°
B) 120°
C) 85°
D) 60°
15. De acuerdo con la figura en la que BC es tangente a la circunferencia en B
¿cuál es el valor de ?
A) 58°
B) 32°
C) 29°
D) 26°
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16. De acuerdo con los datos de la figura, si CD es un diámetro y la medida
del arco (menor) DB es la mitad de la medida del arco (menor) AC, entonces
m COB es
A) 170°
B) 140°
C) 120°
D) 160°
O: centro del círculo.
17. De acuerdo con los datos de la circunferencia de centro O con certeza se
cumple que
A) m ABE = M ACE
B) m ACE = M ADE
C) m ABE = M BEC
D) m CAD= M BEC
O: centro del círculo.
18. De acuerdo con los datos de la figura, si AB es tangente a la circunferencia
de centro O y DC es un diámetro, entonces ¿cuál es la medida del BCD?
A) 10°
B) 75°
C) 120°
D) 300°
O: centro del círculo.
19. De acuerdo la figura, si MO=NO y m ABO=42°, la medida del arco
menor DC es
A) 48°
B) 84°
C) 96°
D) 21°
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20. Considere la siguiente figura.
O: centro del círculo.
De acuerdo con los datos de la figura, si AM=MD, la medida de ADB es
A) 42°
B) 60°
C) 48°
D) 96°
21. En una circunferencia, la longitud de una cuerda es 10. Si la distancia de
esa cuerda al centro de la circunferencia es 4, entonces ¿Cuál es la longitud del
radio
A) 292
B) 41
C) 9
D) 3
22. De acuerdo con los datos de la figura, si DC es tangente al círculo en C,
AB es un diámetro y m DCB=116° entonces ¿cuál es la medida de EAC?
A) 32°
B) 74°
C) 148°
D) 190°
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23. De acuerdo con los datos de la figura, si CD es tangente a la circunferencia
en el punto C, entonces la medida del arco (menor) AB es
A) 56°
B) 86°
C) 43°
D) 60°
24. De acuerdo con los datos de la circunferencia de centro O, ¿cuál es la
medida del arco (menor) AM?
A) 65°
B) 70°
C) 40°
D) 80°
25. De acuerdo con los datos de la figura, si AB=12 y AC = 54 , entonces la
distancia de AC al centro O del círculo es
A) 4
B) 52
C) 58
D) 142
26. Si BD=50º y los círculos con centros en O y O1 son tangentes, entonces la
medida de m CAE es
A) 25°
B) 40°
C) 50°
D) 100°
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27. Si dos circunferencias tangentes interiormente tienen diámetros cuyas
medidas son 12 y 8, respectivamente, entonces la medida del segmento de
recta que une los centros de las circunferencias es
A) 2
B) 4
C) 10
D) 20
28. De acuerdo con los datos de la figura; si R y S son puntos de tangencia,
entonces m RMS
A) 100°
B) 160°
C) 260°
D) 280°
29. De acuerdo con los datos de la figura, si m CD=118º y m BOC=106º,
entonces, ¿cuál es la medida del BOD?
A) 22°
B) 44°
C) 68°
D) 136°
30. De acuerdo con los datos de la figura, si AB y AC son dos cuerdas
congruentes de la circunferencia de centro P, AM =MP y AC=8, entonces la
medida del diámetro de la circunferencia corresponde a
A) 8
B) 16
C) 24
D) 28
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31. Si AM es tangente a la circunferencia en M, m AMB=60º y MB= 18 ,
entonces la medida del radio es
A) 6
B) 2
6
C) 62
D) 2
18
32. De acuerdo con los datos de la figura, Si AB║DC , m AB=108º y m
DC=68º, entonces la m DEC es
A) 46°
B) 68°
C) 88°
D) 92°
33. De acuerdo con los datos de la figura, si BC es tangente a la circunferencia
en B, m AB=96º, entonces m ABO es
A) 42°
B) 45°
C) 48°
D) 84°
O: centro del círculo.
34. En un mismo plano, la distancia entre los centros de dos circunferencias es
10. Si R representa la medida del radio de una de ellas y 10-R representa la
medida del radio de la otra, entonces se cumple que las circunferencias son
A) secantes.
B) concéntricas.
C) tangentes interiormente.
D) tangentes exteriormente.
A-E-C B-E-D
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364
C
E
B
D
AO
DC
BA
O
35. En la circunferencia dada, AM y MB son cuerdas equidistantes del centro,
m AMB=60º y AB= 62 ¿cuál es la medida del radio?
A) 2
B) 6
C) 22
D) 62
36. Si AC y AB son rectas tangentes a la circunferencia en C y B,
respectivamente, AC AB y la medida del diámetro es 12, entonces BC es
igual a
A) 6
B) 12
C) 26
D) 224
37. De acuerdo con los datos de la figura, si es perpendicular a la cuerda
. Si , entonces la medida en grados del es:
A)
B)
C)
D)
38. De acuerdo con los datos de la figura, es un diámetro y
, entonces el valor en grados del es:
A)
B)
C)
D)
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B
C
A
3x
4x
2x
O
C
E
D
O
B
A
39. De acuerdo con los datos de la figura, la medida del ángulo es de:
A)
B)
C)
D)
40. Según la siguiente figura
O: centro de la circunferencia
Si se cumple que, CEOD y ambos miden 8cm, entonces la distancia del
centro de la circunferencia a la cuerda CE en centímetros corresponde a
A)
B)
C)
D)
41. Si dos circunferencias exteriores tienen radios de 12cm y 15cm, y entre
ellas hay una distancia de 5cm, la longitud del segmento que une los centros
corresponde a
A) 3cm
B) 22cm
C) 27cm
D) 32cm
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366
16cm24cm
A B
42. Considere la siguiente figura
A y B son los centros.
De acuerdo con los datos de la figura la distancia entre A y B corresponde a
A) 0cm
B) 8cm
C) 40cm
D) 48cm
43. Si dos circunferencias son tangentes interiores cuyos radios corresponden
a 17cm y 14cm, entonces la distancia que hay entre los centros corresponde a
A). 0cm
B) 3cm
C) 12cm
D) 31cm
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16cm
5cm
8cmx
B
F
DA
C
E
C
E
D
O
B
A
44. Según la siguiente figura
Si AC y AB CB, , son tangentes a la circunferencia en los puntos E, D y F
respectivamente, entonces el valor de x corresponde a
A). 3cm
B) 8cm
C) 11cm
D) 16cm
45. Según la siguiente figura
O: centro de la circunferencia
Si se cumple que, CEOD y ambos miden 16cm, entonces la distancia del
centro de la circunferencia a la cuerda CE corresponde a
A) cm4
B) cm34
C) cm8
D) cm38
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368
AO
C
B
CO
A
B
46. Según los datos de la siguiente figura
O: Centro de la
circunferencia
Si se cumple que º40CABm , AC y AB son segmentos tangentes a la
circunferencia, entonces COAmide
A) 20º
B) 70º
C) 90º
D) 140º
47. Si tenemos que la distancia de los centros de dos circunferencias es 20cm
y los radios corresponden a 12cm y 10cm respectivamente, según la posición
de estas circunferencias se clasifican en
A) tangentes interiores
B) tangentes exteriores
C) secantes
D) concéntricas
48. Según los datos de la siguiente figura
cmOA 12
cmCB 8
O: Centro de la circunferencia
Si se cumple que AB es tangente a la circunferencia, entonces AB mide
A. cm12
B. cm312
C. 16cm
D. cm54
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369
AO
C
B
mDB=80º
mBC=220ºD
O
C
A
B
49. En una circunferencia se tiene un ángulo central de 80º, entonces la
medida del arco que lo subtiende corresponde a
A) 20º
B) 40º
C) 80º
D. 160º
50. Según la siguiente figura
Si O es el centro de la circunferencia, entonces la ABCm corresponde a
A) 45º
B) 90º
C) 180º
D) 360º
51. Según la siguiente figura
El valor de corresponde a
A) 60º
B) 80º
C) 150º
D) 160º
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370
45º
B
O
D
A
C
A
E
C
D
B
A
E
D
C
B
52. Según la siguiente figura
El valor de corresponde a A) 45º
B) 90º
C) 135º
D) 180º
53. En la figura, tenemos que: .¿Cuánto
mide el arco menor ?
A) 80° B) 90° C) 100°
D) 120°
54. En la figura, considérese que:
. ¿Cuánto mide el ángulo <
BAD ?
A ) 30° B) 43°
C) 45°
D) 86°
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Áreas en el círculo.
A continuación les brindaremos las formulas para calcular áreas en el círculo.
r
Circunferencia
rLc 2
Círculo 2rA
Anillo o Corona Circular 22 rRA
r
O
B
A
Sector Circular
360
2 o
sc
nrA
r
O
B
A
Longitud de arco AB
180
o
arco
nrL
r
O
B
A
Segmento Circular
2360
2 hbnrA
o
sgc
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372
Práctica. 55. En la figura AC y BD son diámetros de la circunferencia de centro O,
AC = 8, entonces el área total de las regiones destacadas en gris es
A) 388
B) 3816
C) 31616
D) 33264
O: centro del círculo.
56. De acuerdo con los datos de la figura, AB=16cm, entonces el área en
centímetros cuadrados de la región destacada es
A) 12864
B) 64256
C) 6464
D) 3264
O: centro del círculo.
57. En la figura ABCD es un cuadrado inscrito en una circunferencia de
diámetro 10cm, entonces, el área en metros cuadrados en la región destacada
en gris corresponde a
A) 50100
B) 5025
C) 5025
D) 5010
58. De acuerdo con las datos de la figura, OA es un radio del círculo de centro
O y un diámetro del circulo de centro B. Si OA=10cm. ¿Cuál es el área de la
región destaca con gris?
A) 300
B) 75
C) 20
D) 10 O: centro del círculo.
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59. El área de un anillo circular determinado por dos circunferencias
concéntricas cuyos diámetros son 4
5 y
2
1 respectivamente es
A) 2
4
3cm
B) 2
2
3cm
C) 2
64
21cm
D) 2
16
21cm
60. De acuerdo con los datos de la figura, formada por un rombo y una
circunferencia donde el radio del círculo es 4, la diagonal AB mide el doble de
lo que mide la otra diagonal, ¿cuál es el área total de las regiones destacadas
en gris?
A) 328
B) 1616
C) 3216
D) 1664
O: centro del círculo.
61. De acuerdo con los datos de la figura, CB mide 12cm y la medida del
AOB=50º, el área sombreada corresponde a
A) 5
B) 3
5
C) 10
D) 8
O: centro del círculo.
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62. ¿Cuál es el área de un sector circular determinado por un ángulo central de
80º en un círculo de radio 6?
A) 16
B) 3
4
C) 3
8
D) 8
63. ¿Cuál es el área de la región determinada por un ángulo central de medida
3 en una circunferencia de radio 6?
A) 6
B) 12
C) 30
2
D) 5400
3
64. En la figura OM=AM y OM=2cm. Por lo tanto el área de la región
destacada en gris corresponde a
A) 2
B) 6
C) 2
D) 2
3 O: centro del círculo.
65. De acuerdo con los datos de la figura, si el área del círculo es 30cm2, ¿cuál
es el área de la región destacada en gris?
A) 220 cm
B) 210 cm
C) 220cm
D) 210cm
O: centro del círculo
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66. Si en la figura adjunta OM=AM y OM=2cm. Por lo tanto el área de la
región sombreada es
A) 6
B) 7
C) 2
7
D) 24
O: centro del círculo.
67. De acuerdo con los datos de la figura determinada por un triángulo
isósceles inscrito en una circunferencia de radio `r´, el área destacada es
A) 22
22
rr
B) 22
2r
r
C) 22 rr
D) 22 2r
68. Si ABDC es un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 4cm,
entonces el área de la región destacada en gris es
A) 3216
B) 816
C) 644
D) 84
69. En la figura adjunta O es el centro del círculo de radio 2, entonces el área
sombreada es
A) 2,19
B) 2,46
C) 3,19
D) 3,32
70. En la figura adjunta AB = 34 y º120AOBm , entonces el área
sombreada corresponde a
A) 343
16
B) 31216
C) 343
32
D) 31232
Colegio Universitario Boston Geometría
376
O
r
A
O
71. En la figura AB = 4 y BO=4, entonces el área de la región destacada en
gris corresponde a
A) 816
B) 164
C) 84
D) 88
72. ¿Cuanto mide el área en centímetros de la región sombreada, si la diagonal
del cuadrado mide cm?
A)
B)
C)
D)
73. Según los datos de la siguiente figura, el valor del área sombreada si
cmr 6 y º60m corresponde a
A) 2392 cm
B) 2396 cm
C) 2392 cm
D) 2396 cm
74. ¿Cuanto mide el área en centímetros de la región sombreada, si la diagonal
del cuadrado mide cm?
A)
B)
C)
D)
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377
r
A
75. Según los datos de la siguiente figura, el valor del área sombreada si
cmr 4 y º60m corresponde a
A.2342 cm
B.234
3
16cm
C.2342 cm
D.234
3
8cm
76. ¿Cual el área del sector circular que tiene como ángulo central a 120° y
cuyo diámetro es de 18 centímetros?
A) B) C) D)
77. Si el área de un sector circular cuyo ángulo central es 10° es entonces
¿cual es la longitud de la circunferencia?
A)
B)
C)
D)
78. Si un segmento circular está determinado por un radio de 10 unidades y
por un triangulo equilátero cuya área es de unidades cuadradas
entonces su área aproximada es de:
A) 15.43
B) 9.06
C) 7.12
D) 6.36
79. Si el radio de una circunferencia se aumenta en tres unidades, entonces ¿en
cuántas unidades aumenta la circunferencia?
A) B)
C)
D) 6
Colegio Universitario Boston Geometría
378
80. ¿Cuánto mide el radio de un círculo si un arco de longitud determina
en él un sector circular de área ?
A) 9
B)
C)
D)
81.Un cuadrado se circunscribe en una circunferencia de radio cm24 ,
entonces el lado de dicho cuadrado corresponde a
A) 4cm
B) 8cm
C) 24 cm
D) 28 cm
82. Si una circunferencia inscrita a un cuadrado tiene longitud cm 18 ,
entonces el área de dicho cuadrado
A) 29cm
B) 218cm
C) 281cm
D) 2324cm
Polígonos Regulares e Irregulares.
Polígono Irregular:
Un polígono es irregular si todos sus lados y todos sus ángulos internos son
distintos.
Polígono Regular:
Un polígono es regular si todos sus lados tienen igual medida y todos sus
ángulos internos son congruentes, es decir es equilátero y equiángulo.
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379
Clasificación de polígonos
Cantidad de lados Nombre
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octágono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Endecágono
12 Dodecágono
15 Pentadecágono
20 Icoságono
Ángulos.
n = cantidad de lados del polígono
Medida de cada ángulo interno
n
nm i
2º180
Suma de las medidas de los ángulos
internos
2º180 n
Medida de cada ángulo externo
nm e
º360
Suma de las medidas de los ángulos
externos
360º
Medida de cada ángulo central
nm c
º360
La suma del ángulo interno con el
ángulo externo es igual a 180º
º180ei mm
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380
Segmentos.
Diagonal:
Una diagonal de un polígono es el segmento de recta que une dos vértices No
consecutivos.
El número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice es: 3n
El número total de diagonales desde todos los vértices es: 2
3nn
Radio: Es el segmento de recta que une el centro con un vértice.
Apotema: Es el segmento de recta que va desde el centro a un lado en forma
perpendicular.
Área y Perímetros:
Área
2
aPA
P = perímetro = apotema
Perímetro
lnP l = longitud del lado n = cantidad de lados
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381
Polígonos regulares especiales.
Cuadrado
2
2
2
2
2
la
dl
ld
lA
A = área, l = lado, d = diagonal, a = apotema
Triangulo Equilátero
4
3
3
2
3
2
3
2lA
hr
ha
lh
A = área, l = lado, r = radio, h = altura, a = apotema
Hexágono
2
33
2
3
2lA
lr
la
A = área, l = lado, r = radio, a = apotema
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382
Polígonos regulares y circunferencia.
Circunferencia inscrita:
Los lados del polígono son tangentes a la circunferencia y el radio del circulo coincide con
la apotema del polígono.
Circunferencia circunscrita:
Los vértices del polígono están en la circunferencia y el radio del circulo coincide con el
radio del polígono.
Circunferencia inscrita
al hexágono.
Circunferencia
inscrita al
cuadrado.
Circunferencia inscrita al triángulo.
Circunferencia
circunscrita al
hexágono.
Circunferencia
circunscrita al
cuadrado.
Circunferencia circunscrita al triángulo.
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383
Práctica
83. De acuerdo con los datos de la figura, el área destacada corresponde a
A) 5315
B) 30
C) 24
D) 15
84. De acuerdo con los datos de la figura, si EB║DC ¿cuál es el área del
pentágono ABCD?
A) 54,7
B) 34,7
C) 45,0
D) 35,0
85. De acuerdo con los datos de la figura ABCD el área de aproximada es
A) 96,26
B) 184,55
C) 278,15
D) 92,25
86. De acuerdo con los de la figura si AC=8 y DE=2 entonces ¿cuál es el área
del ݝABCDA?
A) 16310
B) 8310
C) 310
D) 20
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384
E
DB
C
13
4 4
69
A
87. De acuerdo con los datos de la figura, ¿Cuál es el área en centímetros
cuadrado del polígono ABCDE?
A)
B)
C)
D)
88. ¿Cuál es el número de lados de un polígono regular que tiene 20
diagonales?
A) 18
B) 10
C) 8
D) 5
89. Si ángulo interno de un polígono regular mide 135° ¿cuál es el número
total de diagonales de ese polígono?
A) 5
B) 8
C) 20
D) 40
90. Si el ángulo central de un polígono regular mide 45°, entonces el polígono
regular es un
A) cuadrado
B) octágono
C) hexágono
D) decágono
91. El polígono regular cuyo ángulo interno mide 144° se llama
A) dodecágono
B) eneágono
C) decágono
D) endecágono
Colegio Universitario Boston Geometría
385
92. La suma de los ángulos internos de un heptágono corresponde a
A) 450°
B) 900°
C) 720°
D) 2700°
93. La suma de los ángulos externos de un polígono regular de 36 lados
corresponde a
A) 6120°
B) 594°
C) 181°
D) 360°
94. En un polígono regular de 10 lados la medida de un ángulo externo es
A) 144°
B) 36°
C) 35°
D) 18°
95. La medida de un ángulo externo de un pentadecágono corresponde a
A) 36°
B) 24°
C) 108°
D) 126°
96. El lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 12cm
de radio, mide en centímetros
A) 12
B) 312
C) 36
D) 324
97. El radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero de 9cm
de altura mide en centímetros
A) 6
B) 3
C) 36
D) 37
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386
98. La apotema de un cuadrado de 18cm de lado mide en centímetros
A) 9
B) 18
C) 29
D) 218
99. ¿Cuál es la longitud de un lado de cuadrado circunscrito a una
circunferencia de radio 23 ?
A) 3
B) 6
C) 12
D) 26
100. El área de una circunferencia inscrita en un cuadrado de radio 10 es
A) 144
B) 48
C) 72
D) 24
101. El área del hexágono regular de la figura adjunta corresponde a
A) 24
B) 12
C) 312
D) 36
102. La longitud de la apotema de un hexágono regular circunscrito en una
circunferencia de radio 4 es
A) 34
B) 32
C) 4
D) 2
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387
103. Si un hexágono regular tiene perímetro 12, entonces la medida del
diámetro de la circunferencia inscrita en el hexágono es
A) 32
B) 3
4
C) 3
D) 4
104. Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de 32 radio. El
área del hexágono es aproximadamente
A)48,50
B)62,35
C)41,57
D)31,18
105. La apotema de un hexágono regular mide 32
3 entonces la medida de
cada lado es
A) 3
B) 6
C) 33
D) 39
106. Si la longitud de una circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero
es 12 , entonces la altura de dicho triángulo es
A) 9
B) 18
C) 3
18
D) 3
36
107. En un polígono regular la medida de cada ángulo interno es 135°, si el
perímetro es 48, entonces la medida de cada lado del polígono es
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
Colegio Universitario Boston Geometría
388
108. El área de un hexágono regular es 324 , su perímetro es
A) 24
B) 48
C) 34
D) 324
109. ¿Cuál es la longitud del lado de un triángulo equilátero inscrito en una
circunferencia de radio 4?
A) 8
B) 34
C) 38
D) 32
110. Considere los datos de la figura, para el hexágono regular ABCDEF el
área de la región destacada en gris es
A) 2
B) 4
C) 32
D) 34
111. ¿Cuál es la longitud aproximada de la circunferencia circunscrita a un
decágono regular si la medida de su apotema es 12?
A) 79,25
B) 93,13
C) 128,92
D) 243,92
112. Considere el siguiente pentágono regular. Si el perímetro del pentágono
es 50, entonces la medida aproximada de la diagonal AB es
A) 9,51
B) 11,76
C) 16,18
D) 34,03
Colegio Universitario Boston Geometría
389
113. Considere el siguiente hexágono regular, si AB=2, entonces la medida de
CD es
A) 4
B) 8
C) 32
D) 34
114. ¿Cuál es el área total en decímetros de un prisma de altura 8 y cuyo lado
de la base es un triángulo equilátero de lado 10?
A) 240,0
B) 283,3
C) 326,6
D) 166,6
115. Un triangulo equilátero se inscribe en una circunferencia de radio 4 cm.
¿Cuánto mide la altura de este triangulo?
A)
B)
C)
D)
116. ¿Cuál es la medida de lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia
de radio ?
A)
B)
C)
D)
Colegio Universitario Boston Geometría
390
117 ¿Cual es la medida en grados de un ángulo interno de un polígono que
posee 21 diagonales desde cualquiera de sus vértices?
A)
B)
C)
D)
118. Si la apotema de un octágono regular mide 6dm entonces el área de dicho
polígono corresponde aproximadamente a
A) dm8,29
B) dm6,59
C) dm3,119
D) dm6,238
119. Si un polígono tiene 15 diagonales desde un vértice, entonces la medida
del ángulo central de dicho polígono corresponde a
A) 20º
B) 24º
C) 30º
D) 360º
120. El polígono regular que tiene en total 20 diagonales corresponde a
A) pentágono
B) heptágono
C) octágono
D) dodecágono
121. La medida de un ángulo interno de un pentadecágono regular
corresponde a
A) º24
B) º36
C) º144
D) º156
122. En un polígono regular se cumple que la medida del ángulo interno es
igual a la medida del ángulo central, entonces dicho polígono debe ser
A. triángulo equilátero
B. cuadrado
C. hexágono
D. octágono
Colegio Universitario Boston Geometría
391
123. La suma de los ángulos externos de un polígono de 20 lados corresponde
a
A) 18º
B) 36º
C) 162º
D) 360º
124. Si el número de diagonales desde un vértice de un polígono regular es 17,
entonces el ángulo central de dicho polígono corresponde a
A) 18º
B) 36º
C) 162º
D) 360º
125. Se inscribe en una circunferencia un triangulo equilátero de 6cm de altura
¿Cuánto mide el radio de la circunferencia?
A) B)
C)
D)
126. Si la apotema de un hexágono regular mide entonces la medida
de cada lado es de:
A) B)
C)
D)
127. Un ángulo externo de un polígono regular mide 15° entonces el numero
de diagonales que se pueden trazar desde un vértice es de:
A) 15
B) 12
C) 21
D) 24
128. ¿Cuánto mide un de los ángulos externos de un polígono regular que
posee 135 diagonales en total?
A) 24°
B) 20°
C) 150°
D) 160°
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392
129. La suma de los ángulos internos de un polígono regular de 15 lados es de:
A) 156°
B) 312°
C) 2224°
D) 2340°
130. Si las diagonales totales de un polígono regular son 54 entonces este
polígono tiene:
A) 15 lados
B) 25 lados
C) 12 lados
D) 18 lados
Sólidos Geométricos
Cubo Poliedro regular formado por seis caras cuadradas.
Área total: 26aAT
Volumen: 3aV
a
a
a
Prisma Poliedro limitado por dos polígonos iguales, llamados bases, situados en
planos paralelos, y por varios paralelogramos, llamados caras laterales.
Área total: LBT AAA
Volumen: hAV b
h
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393
Pirámide Poliedro limitado por una base, que es un polígono cualquiera, y varias caras
laterales, que son triángulos con un vértice común llamado vértice de la
pirámide.
Área total: LBT AAA
Volumen: hAV b3
1
aH
L
Cilindro Es el cuerpo en revolución generado por un rectángulo al girar alrededor de
uno de sus lados. El cilindro consta de dos bases circulares y una superficie
lateral que, al desarrollarse, da lugar a un rectángulo.
Área total: hrrAT 2
Volumen: hrV 2
Cono Es el cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo al girar
alrededor de uno de sus catetos.
Área total: grrAT
Volumen: hrV 2
3
1
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394
Esfera Cuerpo de revolución que se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su
diámetro. El centro y el radio de la esfera son los del semicírculo que la
genera.
Área total: 24
TA r
Volumen: 34
3V r
r
Práctica
131. El volumen, en decímetros cúbicos de un prisma hexagonal de altura
45dm y cuyo lado de la base mide 3dm corresponde a
A) 35607,
B) 360750
C) 37560,
D) 310125
132. El volumen en decímetros cúbicos de un paralelepípedo cuyas
dimensiones son 5cm, 2cm y 6cm corresponde a
A) 60
B) 6
C) 0,06
D) 0,00060
133. Si la diagonal de un cubo mide 37 entonces la medida de su arista mide
en centímetros
A) 3
B) 3
C) 7
D) 2
Colegio Universitario Boston Geometría
395
134 . ¿Cuál es él área total en centímetros cuadrados de un cubo de 16cm de
arista?
A) 1536
B) 4096
C) 1280
D) 1024
135. Si el volumen de un cubo es 327cm , entones el área basal del cubo en
centímetros cuadrados es
A) 3
B) 6
C) 12
D) 18
136. ¿Cuál es el área lateral de una pirámide recta, de base cuadrada, si el lado
de la base mide 10m y la altura de la pirámide es 12m?
A) 65
B) 240
C) 260
D) 624
137. Si la altura de una pirámide es 20cm y su base en un cuadrado de 18cm
de lado, entonces el área lateral de la pirámide es aproximadamente es
A) 789,54
B) 394,74
C) 324
D) 1578,96
138. ¿Cuál es el área total de una pirámide regular de base hexagonal, si se
sabe que el lado de base mide 5cm y la apotema de la pirámide mide 4,4cm?
A) 196,95
B) 130,95
C) 64,95
D) 11
139. Si la base de una pirámide es un hexágono regular de 36 cm de
apotema y su altura es 15cm, entonces la medida de su arista corresponde a
A) 18,25
B) 16,00
C) 10,54
D) 19,21
Colegio Universitario Boston Geometría
396
140. Si el lado de la base de una pirámide hexagonal mide 6cm y la altura de
la pirámide es 8cm, entonces el volumen en centímetros cúbicos de la
pirámide es
A) 72
B) 372
C) 324
D) 3144
141. Si el área lateral de un cilindro es 260 cm ¿cuál es el área del rectángulo
destacado?
A) 30
B) 60
C) 90
D) 30
142. ¿Cuál es el área lateral en centímetros cuadrados de un cilindro cuya
altura es 18cm y el diámetro de la base es 10cm ?
A) 450
B) 230
C) 180
D) 50
143. El volumen de un cilindro circular recto de 12cm de altura es 3192 cm ,
¿cuál es el área total del cilindro?
A) 96
B) 128
C) 384
D) 896
144. En un cilindro circular recto el área de la base es 25 m2. Si su generatriz
mide 10m, entonces su volumen es
A) 2500
B) 250
C) 83
D) 25 .
Colegio Universitario Boston Geometría
397
145. En un cilindro circular recto cuya altura es 10, si el área de la base es
36 , entonces ¿cuál es el área lateral?
A) 120
B) 180
C) 240
D) 60 .
146. ¿Cuál es el volumen de un cono de diámetro 6cm y de altura mide 9cm?
A) 108
B) 81
C) 27
D) 18 .
147. El diámetro de un cono circular recto mide 10cm y la altura mide 12cm
¿Cuál es el área total del cono?
A) 85
B) 90
C) 100
D) 230 .
148. ¿Cuál es el área lateral aproximada de un cono de 36 cm3 de volumen y
12cm se altura?
A) 251,116 cm
B) 29,423 cm
C) 204,113 cm
D) 212,339 cm .
149. En un cono circular recto, la altura mide 16cm y la generatriz 20cm.
¿Cuál es el área de la base?
A) 24
B) 240
C) 768
D) 144
Colegio Universitario Boston Geometría
398
150. ¿Cuál es la altura de un cono circular recto si el volumen es 24 y el
diámetro es 6?
A) 3
8
B) 3
8
C) 8
D) 2
151. El volumen de un cono inscrito en un cilindro, cuyo volumen es 300cm3
es
A) 100
B) 180
C) 200
D) 300
152. El volumen de un cono circular recto de generatriz 13 y de altura 12 es
A) 300
B) 150
C) 100
D) 50
153. Si un cubo de arista 12 se inscribe en una esfera, entonces la longitud del
radio de la esfera es
A) 26
B) 26,0
C) 36
D) 36,0
154. ¿Cuál es el área total de una esfera cuyo diámetro mide 1,2m?
A) 44,1
B) 76,5
C) 29,0
D) 30,2
Colegio Universitario Boston Geometría
399
155. ¿Cuánto material se necesita para construir la superficie de un globo
esférico de diámetro 10m?
A) 25
B) 100
C) 167
D) 400
156. ¿Cuál es en centímetros cúbicos el volumen de una esfera de diámetro
10cm?
A) 3
4000
B) 3
500
C) 3
100
D) 100
157. El volumen de un cubo es 216. ¿Cuál es la longitud de la diagonal del
cubo?
A) 6
B) 36
C) 26
D) 36
158. Se tienen dos esferas cuyos radios miden 6 y 3 respectivamente. Si dichas
esferas se unen para formar otra esfera, entonces, ¿cuál es la medida radio es
la esfera formada?
A) 9
B) 2
9
C) 36
D) 3 93
Colegio Universitario Boston Geometría
400
159. En un cilindro circular recto el radio de una de las bases es 6cm y la
altura del cilindro es 8cm, ¿Cuál es el área total en centímetros cuadrados del
cilindro?
A)
B)
C)
D)
160. Si la genetriz de un cono mide 15cm y su altura es 9cm, calcule el área de
la base del cono.
A)
B)
C)
D)
161. Un cubo tiene un área total de ¿cuánto mide su arista?
A)
B)
C)
D)
162. Si la diagonal de cubo mide , entonces su volumen es:
A)
B)
C)
D)
163. Cual es el volumen del paralelepípedo rectangular que tiene por medidas
12 cm 5.5 cm y 10 cm de largo ancho y alto respectivamente:
A)
B)
C)
D)
Colegio Universitario Boston Geometría
401
164. Calcule el volumen en centímetros cúbicos de una pirámide de base
cuadrada cuyo lado de la base es y cuya arista lateral es de 26 cm.
A) 200
B) 1600
C) 4800
D) 5200
165. Si el lado de la base de una pirámide hexagonal mide 6cm y la altura de
la pirámide es 8cm, entonces el volumen en centímetros cúbicos de la
pirámide es
A) 72
B) 372
C) 324
D) 3144
166. El volumen de una pirámide de base hexagonal regular es de 18
centímetros cúbicos y su altura de , halle su lado de la base.
A)
B)
C)
D)
167. Halle el volumen de un cono circular recto en función de radio sabiendo
que su diámetro tiene la misma medida de la altura.
A)
B)
C)
D)
168. En un cilindro circular recto el área lateral es de y la altura del
cilindro es de 10cm ¿Cuál es el volumen en centímetros cúbicos del cilindro?
A) 1960
B) 2800
C) 1960
D) 2800
Colegio Universitario Boston Geometría
402
169. Halle el volumen de un cono circular recto de radio 3, sabiendo que el
área de la base es un tercio de su área lateral.
A) 6
B) 8
C)
D)
170. Un cono circular recto tiene un volumen de . Sabiendo que su
diámetro es 12cm halle la medida en centímetros de su altura.
A) 6
B) 9
C) 12
D) 15
171. En un cono circular recto, la altura mide 12cm y la generatriz 13cm.
¿Cuál es el área de la base?
A) 25
B) 240
C) 768
D) 144
172. ¿Cuál es el área total de una esfera cuyo diámetro mide 2,3m?
A) 44,1
B) 76,5
C) 29,5
D) 30,2
Colegio Universitario Boston Geometría
403
Soluciones.
Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta
1 D 26 A 51 B 76 D
2 C 27 A 52 A 77 D
3 D 28 C 53 D 78 B
4 D 29 D 54 B 79 A
5 C 30 D 55 B 80 D
6 B 31 A 56 C 81 D
7 C 32 C 57 B 82 C
8 A 33 A 58 B 83 D
9 C 34 D 59 C 84 B
10 B 35 C 60 D 85 D
11 C 36 C 61 A 86 B
12 D 37 B 62 D 87 C
13 C 38 B 63 A 88 C
14 D 39 C 64 B 89 B
15 D 40 A 65 C 90 C
16 D 41 D 66 B 91 B
17 A 42 C 67 B 92 D
18 A 43 B 68 B 93 B
19 C 44 B 69 B 94 B
20 A 45 D 70 A 95 B
21 B 46 D 71 C 96 A
22 B 47 C 72 B 97 A
23 D 48 C 73 B 98 D
24 C 49 C 74 B 99 C
25 A 50 B 75 D 100 D
Colegio Universitario Boston Geometría
404
101 D 126 A 151 A
102 A 127 B 152 C
103 D 128 C 153 D
104 A 129 D 154 A
105 A 130 C 155 B
106 A 131 A 156 B
107 C 132 C 157 D
108 A 133 C 158 D
109 B 134 A 159 B
110 C 135 B 160 A
111 A 136 C 161 C
112 B 137 A 162 C
113 D 138 B 163 B
114 C 139 D 164 D
115 A 140 D 165 C
116 B 141 B 166 C
117 D 142 C 167 C
118 B 143 B 168 D
119 C 144 B 169 D
120 C 145 A 170 A
121 A 146 C 171 C
122 B 147 B 172 C
123 D 148 A
124 A 149 D
125 B 150 C