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Titre : SSLL14 - Calcul d'un portique plan hyperstatique é[...] Date : 06/01/2009 Page : 1/31Responsable : François VOLDOIRE Clé : V3.90.001 Révision : 0
Organisme(s) : EDF/IMA/MMN
Manuel de ValidationFascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaireDocument : V3.90.001
SSLL14 - Calcul d'un portique plan hyperstatique élastique
Résumé :
Le but de cette note est d'exposer la méthode de calcul utilisée pour déterminer la solution de référence du cas-test SSLL 14, intitulé : "Portique plan articulé en pied".
On utilise la méthode des forces (hyperstaticité 1), en ne tenant compte que de l'énergie de flexion : hypothèse poutres élancées.
On considère quatre cas de charge séparément.
Manuel de validation Fascicule v3.90 :
Document diffusé sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)
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Titre : SSLL14 - Calcul d'un portique plan hyperstatique é[...] Date : 06/01/2009 Page : 2/31Responsable : François VOLDOIRE Clé : V3.90.001 Révision : 0
Table des matières
1 Sollicitations isostatiques sous charge réelle répartie sur ......................................................4
1.1 Réactions d'appuis isostatiques..........................................................................................4
1.2 Sollicitations.......................................................................................................................5
1.3 Diagrammes.......................................................................................................................6
2 Sollicitations sous force concentrée (vers le bas)....................................................................7
2.1 Réactions d'appui...............................................................................................................7
2.2 Sollicitations.......................................................................................................................7
2.3 Diagrammes ( vers le bas)..................................................................................................8
3 Sollicitations sous la force concentrée (vers la gauche)..........................................................8
3.1 Réactions d'appui...............................................................................................................8
3.2 Sollicitations.....................................................................................................................10
3.3 Diagrammes.....................................................................................................................10
4 Sollicitations sous le couple concentré (positif)....................................................................11
4.1 Réactions d'appui.............................................................................................................11
4.2 Sollicitations.....................................................................................................................11
4.3 Diagrammes ( positif)......................................................................................................12
5 Sollicitations sous le moment hyperstatique.........................................................................13
5.1 Réactions d'appui.............................................................................................................13
5.2 Sollicitations.....................................................................................................................13
5.3 Diagrammes.....................................................................................................................15
6 Sollicitations sous charges fictives ponctuelles en ...............................................................15
6.1 Réactions d'appui.............................................................................................................15
6.2 Sollicitations.....................................................................................................................16
6.3 Diagrammes.....................................................................................................................16
7 Détermination du moment hyperstatique..............................................................................17
7.1 Charge répartie sur .........................................................................................................19
7.2 Charge ponctuelle en ......................................................................................................20
7.3 Charge ponctuelle en ......................................................................................................21
7.4 Couple ponctuel en ........................................................................................................23
7.5 Récapitulatif.....................................................................................................................24
8 Calcul du déplacement en ......................................................................................................24
8.1 Charge répartie sur .........................................................................................................24
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8.2 Charge ponctuelle en ......................................................................................................25
8.3 Charge ponctuelle en ......................................................................................................25
8.4 Couple ponctuel en ........................................................................................................27
8.5 Calcul de .........................................................................................................................27
8.6 Récapitulatif des déplacements et ..................................................................................29
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l
y
pC
C 1 C 2
F1Γ
β
αa
h
xBA
F2
On considère le portique cicontre, soumis à diverses charges. Hyperstaticité de degré 1. Inconnue hyperstatique : X : moment en C . Chargement vertical réparti p sur C1 C . Deux forces F1, F2, et un couple Γ en C1.
C
BAVA
HA HB
VB
tg α = 2al
= 0,4 ⋅ ⇒ cosα( )−1 = 1,16 =1, 077033( )tg β = l
2 a +h( )= 1
1,2
b = l2cosα
; sinα = ab
1 Sollicitations isostatiques sous charge réelle répartie p sur C C1
1.1 Réactions d'appuis isostatiques
H H V Vp
Vp
A B A B B+ = + = =02 8
2
;cos
;cos
α α
La partie CB est articulée et chargée seulement à ses extrémités :
H
VH VB
BB B
∧ = ⇔ = − ⋅BC 0 tg β
D'où les réactions isostatiques :
Hp
Vp
Hp
Vp
A A B B= = = − =
83
8 8 8costg ;
cos;
costg ;
cosαβ
α αβ
α
Remarque :
( ) tgcos
βα8 8
=+
ba h
.
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1.2 Sollicitations
Poutre A C1
NM
V VA
HA
y
0
+
Np
Vp
Mp
y
iso
iso
iso
= −
=
= −
38
8
8
cos
costg
costg
α
αβ
αβ
Poutre C B2
NM
V
+
HB
VB
y
0
Np
Vp
Mp
y
iso
iso
iso
= −
= −
= −
8
8
8
cos
costg
costg
α
αβ
αβ
Poutre C C1
Γ
α
VA
HA
x
y
VM
N+ p
( )
( )
N H Vpx
p x
V H Vpx
px
Mpx
V x H y
p x x yC
iso A A
iso A A
iso A A
= − − + ⋅
= − + −
= − + ⋅
= − +
= − + −
= − + −
=
cos sincos
sin
tg tg tg
sin coscos
cos
tg tg /
cos
costg
!
α αα
α
β α α
α αα
α
β α
α
αβ
83 8
83 8
2
23
8 80
2
2
en
( ) ( )
[ ]
Mp
a hs
a hb
s a h bh
s x b
iso = −+
+
− + +
= ∈
82 2 3
0
2
avec cos ,α
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Poutre C C2
α +M
N
V
VB
HBx
y
l
( )
( )( )
( )( ) ( )
N H V
p
V H V
p
M H y V x
py x C
iso B B
iso B B
iso B B
= −
= − +
= +
= − −
= + −
= − − − =
cos sin
tg tg
sin cos
tg .tg
costg !
α α
β α
α α
β α
αβ
8
81
80 en
1.3 Diagrammes
b =
2cosα
+
− 38cosα
−8cosα
tgβ8cosα
− tgβ8cosα
βα
Niso Viso Miso
− tg8cos
h − tgβ8cos α
= − pbh8
h
(a+h)
l
l
lp
lpp
p l p
l p
l
+
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2 Sollicitations sous force concentrée F1 (vers le bas)
2.1 Réactions d'appui
H H
V V F
H
V
H
V
A B
A B
A
A
B
B
+ =+ =
∧ = =
∧
0
1
;;
AC 0 BC
C
BA
VA
HA HB
VB
F1
C1 C2
β
D'où :
H F V F H F V FA A B B= = = − =12
12
12
121 1 1 1tg ; ; tg ;β β
2.2 Sollicitations
Poutre A C1 :
tg
tg
N F
V F
M F y
iso
iso
iso
= −
=
= −
12
12
12
1
1
1
β
β
Poutre C B2 :
tg
tg
N F
V F
M F y
iso
iso
iso
= −
= −
= −
121212
1
1
1
β
β
Poutre C C1 : ( )( )
( )
tg cos sin
tg sin cos
tg
N F
V F
M F y x
iso
iso
iso
= − +
= −
= − −
1212
12
1
1
1
β α α
β α α
β
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Poutre C C2 : ( )( )
( )( )
tg cos sin
tg sin cos
tg
N F
V F
M F y x
iso
iso
iso
= − +
= − −
= − − −
12
1212
1
1
1
β α α
β α α
β
2.3 Diagrammes ( F1 vers le bas)
Niso Viso Miso
−F1 −F1
−F12
⋅ tgβh
F12 ⋅ tgβh
= −F1 lh
4 (a+h)
/2 /2
−
3 Sollicitations sous la force concentrée F2 (vers la gauche)
3.1 Réactions d'appui
• + =+ =
+ =
•
∧ =
H H F
V V
V h FH
V
A B
A B
B
B
B
2
2
00
;;
BC 0
C
BA
VA
HA HB
VB
C1C2
F2β
D'où :
H Fh
V Fh
H Fh
V Fh
A A B B= −
= = = −1 2 1 21
tg ; ; tg ;β β
Remarque :
( ) ( )h h
a hh a h
a h tg ; tgβ β=
+−
=
++2
12
2
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( )
( )( )tg sin cos ; tg cos sinβ α α β α α− = −
+− =
− ++
hb a h
a ah
b a h
2
4
4
2 2
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3.2 Sollicitations
Poutre A C1 :
/
tg
tg
N F h
V Fh
M F yh
iso
iso
iso
= −
= −
= − −
2
2
2
1
1
β
β
Poutre C B2 :
/
tg
tg
N F h
V Fh
M Fh
y
iso
iso
iso
=
=
= −
2
2
2
β
β
Poutre C C1 :
tg cos sin
tg sin cos
tg
N Fh h
V Fh h
M Fh
xh
y
iso
iso
iso
= − −
+
= −
−
= − −
2
2
2
1
1
1
β α α
β α α
β
Poutre C C2 : ( )( )
( )( )
tg cos sin
tg sin cos
tg
N Fh
V Fh
M Fh
y x
iso
iso
iso
= +
= −
= ⋅ − −
2
2
2
β α α
β α α
β
3.3 Diagrammes
Niso Viso
+
Miso
− F2h
− F2h 2a + h( )2 a + h( )
F2h 2
2 a + h( ) l
-
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4 Sollicitations sous le couple concentré Γ (positif)
4.1 Réactions d'appui
• + =+ =
+ =
•
∧ =
H H
V V
VH
V
A B
A B
B
B
B
000
;;
Γ
BC 0
C
BA
VA
HA HB
VB
C2
β
Γ
D'où :
H V
H VA A
B B
= − == = −
Γ ΓΓ Γ
tg ;tg ;
ββ
Remarque :
( )tg β
=+1
2 a h
4.2 Sollicitations
Poutre A C1 : N
V
M y
iso
iso
iso
= −= −=
ΓΓΓ
tg
tg
ββ
Poutre C B2 : N
V
M y
iso
iso
iso
===
ΓΓΓ
tg
tg
ββ
Poutre C C1 : ( )
( )
( )
N
V
M x y
iso
iso
iso
= −
= − +
= + −
Γ
Γ
Γ
tg cos sin
tg sin cos
tg
β α α
β α α
β
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Poutre C C2 : ( )
( )
( )( )
N
V
M y x
iso
iso
iso
= +
= −
= − −
Γ
Γ
Γ
tg cos sin
tg sin cos
tg
β α α
β α α
β
4.3 Diagrammes (Γ positif)
Niso Viso Miso
−Γ / Γ /−Γ tgβ
−Γh +2a( )
2 a +h( )
Γ h2 a +h( )
Γh2 a +h( )
l l
l
-
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5 Sollicitations sous le moment X hyperstatique
5.1 Réactions d'appui
( )
H H
V V
V
H a h X
A B
A B
B
B
+ =+ =
=+ − =
00
0
0
;;
;
C
BA
VA
HAHB
VB
C1 C2
+X X
D'où les réactions :
HX
a hV H
Xa h
VA A B B= −+
= =+
= ; ; ;0 0
5.2 Sollicitations
Poutre A C1 :
N
VX
a h
MX
a hy
X
X
X
=
= −+
=+
0
Poutre C B2 :
N
VX
a h
MX
a hy
X
X
X
=
=+
=+
0
Poutre C C1 :
( )
cos
sin
tg
NX
a h
VX
a h
MX
a hy
Xa h
h x
X
X
X
=+
= −+
=+
=+
+
α
α
α
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Poutre C C2 :
cos
sin
NX
a h
VX
a h
MX
a hy
X
X
X
=+
=+
=+
α
α
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5.3 Diagrammes
+
X X
X ha +h
X ha +h
Xa +h
X sinαa +hX cosα
a +h
NX VX MX
OO
6 Sollicitations sous charges fictives ponctuelles en C
Afin de calculer les déplacement en C , à l’aide du Principe des travaux Virtuels (cf. le paragraphe [§8]), il est nécessaire d’établir les diagrammes de sollicitations sous l’action de deux forces “fictives” f et g appliquées en C .
6.1 Réactions d'appui
H H f
V V g
H
V
H
V
A B
A B
A
A
B
B
+ = −+ = −
∧ = =
∧
;;
AC 0 BC C
BA
VA
HA HB
VB
C2
β
C1
g
f
D'où :
( ) ( )
( ) ( )
H f g tg V g f
H f g tg V g f
A A
B B
= − + = − +
= − − = − −
12
12
12
12
β β
β β
; cot
; cot
g
g
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6.2 Sollicitations
Poutre A C1 : ( )( )
( )
cot
tg
tg
n g f
v f g
m f g y
= +
= − +
= +
12
12
12
g β
β
β
Poutre C B2 : ( )( )( )
cot
tg
tg
n g f
v f g
m f g y
= −
= − −
= − −
12
1212
g β
β
β
Poutre C C1 : ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
tg cos cot sin
tg sin cot cos
tg cot
n f g g f
v f g g f
m f g y g f x
= + + +
= − + + +
= + + − +
12
12
12
12
12
12
β α β α
β α β α
β β
g
g
g
Poutre C C2 : ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
tg cos cot sin
tg sin cot cos
tg cot
n f g g f
v f g g f
m f g y g f x
= − − + −
= − − − −
= − − − − −
12
12
12
12
12
12
β α β α
β α β α
β β
g
g
g
6.3 Diagrammes
Voici les diagrammes de sollicitations sous l’action des deux forces “fictives” f et g . On considère ici : f g f≥ ≥0, cotg β .
+
gf
−fh /2
+4 a +h( )
fh2
+gh
4 a +h( )
mvn
l l
gh
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7 Détermination du moment X hyperstatique
On se place en élasticité ; on ne considère que l'énergie de flexion, les poutres étant élancées. L’état naturel est supposé vierge (pas de précontraintes ni de déplacement d'appui).
Le potentiel complémentaire est alors :
( ) ( ) ( )F * X
M M X
EI
M M X
EIiso
poteaux
iso
charpentes
=+ ⋅⌠
⌡ +
+ ⋅⌠
⌡
12
1
12
2
Il est stationnaire à l'équilibre, d’où :
δ ⋅ =⌠
⌡+
⌠
⌡
⋅ = −⋅⌠
⌡−
⋅⌠⌡
=XMEI
MEI
XM M
EIM M
EIS
pot charp
iso
pot
iso
charp
12
1
12
2
1
1
1
2. . . .
Le coefficient de souplesse δ est la somme de :
( )
MEI
hEI
ha h
MEI
bEI
ha h
aa h
ah
a h
poteaux
charpentes
12
1 1
2
12
2 2
2 2
2
23
2 13
⌠
⌡ =
+
⌠
⌡ =
+
+
+
+
+
soit :
( )( )
Ea h
hI
b h a ah
I⋅ =
++
+ +
δ2
3
3 3
32
3
1
2 2
2
Application numérique :
Dans l'exemple considéré :
I I m
h a m m b
1 24 42 5 0 10
2 8 202
116
= = ⋅
= = = =
−,
; ; ,
D'où :
( )δ =
+⋅ +
23
192
235345347
21
2
3
E a h I
hh
b
m.
�� �
Manuel de validation Fascicule v3.90 :
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On étudie l'un après l'autre les divers chargements pour calculer les seconds membres S .
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7.1 Charge répartie p sur C C1
Le second membre S dû à p est :
( ) ( )
( ) ( )( )
− ⌠⌡
= ⋅+
⋅
+
=
+⋅
− ⌠⌡
=+
⋅+
+
+
=+
⋅+
− ⌠⌡
= ⋅
M MEI
hEI
ha h
pb ha h E a h I
ph b
M MEI
pb ha h EI
ha h
aa h E a h I
phb h a
M MEI EI
p
iso
poteaux
iso
C C
iso
C C
1
1 12
1
3
1
2
2
22
2
2
1
2 2
23 8
224
812
16
1 348
1
2
1
( )( )
( ) ( )8
2 2 3
148
2
22
0
22
22 2
a hs
a hb
s a h bh h sab
ds
E a h I
p bh ah a
b
++
− + +
⋅ + ⋅
=+
⋅ − −
∫
D'où :
( )( ) ( )
SE a h
p b hI
hb h aI
b h ah a
I=
+⋅ +
++
− −
296
4 3 22
3
1 2
2 2
2
Application numérique :
( )
I I h a p N m
SE a h I
p bhh b
N m
1 2
21
2
4
2 2 3 000
296
4132
43 946 02189
= = =
=+
⋅ +
⋅
; ; /
.
(vers le bas)
D'où :
• le moment en C :X 18 672 994 N m= ⋅.
• la réaction en A :
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( ) ( )H pb
a hX
a hpb X
a hH
Vpb
V
A
A
A
A
= ⋅+
−+
=−
+=
= −
=
88
34
0
5 175 37 N
24 233 24 N
.
.
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7.2 Charge ponctuelle F1 en C
Le second membre s’obtient à l’aide de :
( ) ( )
( )
( )( )
− ⌠⌡
= ⋅+
+
=
+⋅
− ⌠⌡
= ⋅⋅+
⋅+
+
+
=+
⋅+
M MEI
hEI
ha h
F ha h E a h I
F h
M MEI
bEI
F ha h
ha h
aa h
E a h I
F b h h a
iso
poteaux
iso
charpentes
1
1 1
12
1
13
1
2 2
1
22
1
23 4
212
24
12
16
2 324
D'où :
( )( )
SE a h
F h hI
b h aI
=+
⋅ ++
224
2 32
12
1 2
Application numérique :
( ) [ ]I I h a F N
SE a h I
F hh b
N m
1 2 1
21
12
4
2 2 20 000
224
2 7
97 485127 76
= = =
=+
⋅ +
⋅
; ;
,
(vers le bas)
D'où
• le moment en C :
X 41 422 161 N m= ⋅.
• la réaction en A :
( )H Fa h
Xa h
F Xa h
H
V F
V
A
A
A
A
= ⋅+
−+
=−
+=
= −
=
14
4
12
0
11
1
4 881 4866 N
10 000 0 N
.
.
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7.3 Charge ponctuelle F2 en C1
Le second membre s’obtient à l’aide de :
( )( ) ( )
( )− ⌠
⌡= ⋅
+
⋅
++
=+
⋅+M M
EIhEI
ha h
F h a ha h E a h I
F h a hiso
A C
1
1 1
22
1
23
13
22
2 212
( )( ) ( )
− ⌠⌡
= ⋅+
⋅
−+
=+
⋅−M M
EIhEI
ha h
F h
a h E a h I
F hiso
C B
1
1 1
22
21
24
23 2
212
( )( )
( )( )
− ⌠⌡
=+
+ +
+
+
=+
⋅+ +
M MEI
bEI
F h a ha h
ha h
aa h
E a h I
F bh h ah a
iso
C C
1
2 2
2
22
22 2
1
22
12
16
2 3 7 2
24
( ) ( )( )
− ⌠⌡
=−
+ +
+
+
=+
⋅− +M M
EIb
EIF ha h
ha h
aa h E a h I
F bh h aiso
C C
1
2 2
22
22
22
22
12
16
2 324
D'où :
( )( )S
E a h
F ha hI
bI
h a=+
⋅ + +
2
122
322
2
1 2
Application numérique :
I I h a F N1 2 22 2 10 000= = =; ; (vers la gauche)
( )( )S
E a h I
F h ah b
N m
=+
⋅ +
⋅
212
2 7
19 497 02555
21
22
4.
�� �
D'où :
• le moment en C :X 8 284 4321 N m= ⋅.
• la réaction en A :
( )( )
( )H Fa ha h
Xa h
F a h Xa hA = ⋅
++
−+
=+ −
+222
22/
HA = 5 976 297 N.
V F hA = 2 /
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VA = 4 000 00 N.
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7.4 Couple ponctuel Γ en C1
Le second membre s’obtient à l’aide de :
( ) ( )− ⌠
⌡=
−⋅
+
⋅
+=
+⋅− ⋅M M
EIh
EIh
a hh
a h E a h I
hiso
poteaux
1
1 12
1
323 2
26
Γ Γ
( )( )
( )( ) ( )
− ⌠⌡
=++ +
+
+
=+
⋅+ +
M MEI
bEI
h aa h
ha h
aa h
E a h I
h a h a b
iso
C C
1
2 2
22
1
22
12
16
2 2 324
Γ
Γ
( ) ( )( )
− ⌠⌡
=−
+ +
+
+
=+
⋅− ⋅ +M M
EIb
EIh
a hh
a ha
a h E a h I
hb h aiso
C C
1
2 22
222
12
16
2 324
Γ Γ
D'où :
( )( )
SE a h
hI
ab h aI
=+
⋅−
−+
2
122 3
2
3
1 2
Γ
Application numérique :
I I h a N m1 22 2 100 000= = = − ⋅; ; Γ (sens aiguilles de montre)
( )( )[ ]S
E a h Ih ab h a
N m
=+
⋅−
− +
⋅
26
3
1157128193
21
3
4
Γ
.
D'où
• le moment en C :X 4 916 7243 N m= ⋅.
• la réaction en A :
( ) ( )Ha h
Xa h
Xa hA =
−+
−+
=− −
+Γ Γ
22
HA = 4 576 394 N.
VA =Γ
VA = 5 000 000 N. Manuel de validation Fascicule v3.90 :
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7.5 Récapitulatif
CAS Moment en C Réactions en A (N) (N.m) HA VA
p sur C C1 18672.994 5175.37 24233.240F1 en C 41422.161 4881.487 10000.000F2 en C1 8284.432 5976.297 4000.000
Γ en C1 4916.724 4576.394 5000.000TOTAL 22033.31 43233.24
Remarque
Rappel : dans le poteau A C1 : effort normal = − VA , effort tranchant = HA .
8 Calcul du déplacement en C
On ne considère aussi que l'énergie élastique de flexion (poutres élancées). En appliquant le Principe des Travaux virtuels sur la structure soumise aux forces fictives du paragraphe [§6], travaillant dans les déplacements cherchés, on calcule les nombres w et d dépendant linéairement de f et g :
( ) ( ) ( )f u g vm M X M
EIm M X M
EIw Xd f gC C
iso
pot
iso
charp
⋅ + ⋅ =⋅ +⌠
⌡ +
⋅ +⌠
⌡ = + ∀1
1
1
2. .
, ,
8.1 Charge répartie p sur C C1
( ) ( ) ( )m M
EIh
EIgha h
pbha h E a h I
gpbhiso
poteaux
⋅⌠⌡
= ⋅+
⋅−
+=
+⋅−
1 12
1
3 223 4 8
296
( )( )( ) ( )m M
EI E a h I
p hbf a h g h aiso
C C
⋅⌠⌡
=+
⋅−
⋅ + + ⋅ −2
22
2
1
2384
2
( ) ( ) ( )( )( )M
EIbEI
pbha h
fh g ha h E a h I
pb h g f a hiso
C C 2 22
2
2 2
23 8 2 4
2 2192
⌠⌡
= ⋅+
⋅ −+
=
+⋅− − +
D'où :
( )( ) ( )
wE a h
pbh g hI
g b h a fb a hI
=+
⋅−
⋅ +− − +
2384
4 3 22
2
1
2
2
Application numérique :
I I h a p N m1 22 2 3 000= = =; ; / (vers le bas)
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( )w
E a h Ig h b fbh
p bh
N m
=+
⋅ +
−
⋅−
− ⋅
22
52
92 192
2154065922
21
2
3
�� �
.
8.2 Charge ponctuelle F1 en C
( ) ( ) ( )m M
EIh
EIgha h
F ha h E a h I
F ghiso
poteaux
⋅⌠⌡
= ⋅+
⋅−
+=
+⋅−
1 1
12
1
13 22
3 4 42
48
( ) ( ) ( )m M
EIb
EIgha h
F ha h E a h I
F gbhiso
charp
⋅⌠⌡
= ⋅+
⋅−
+=
+⋅−
2 2
12
2
12 22
3 4 42
48.
D'où (on constate que w ne dépend pas de f pour ce chargement) :
( )w
E a h
F gh hI
bI
=+
⋅−
+
2482
12 2
1 2
Application numérique :
I I h a F N1 2 12 2 20 000= = =; ; (vers le bas)
( )( )w
g
E a h I
F hh b
N m
=+
⋅−
⋅ +
⋅
248
2
315100 3650
21
12 2
5
.
8.3 Charge ponctuelle F2 en C1
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
m MEI
hEI
F ha h
a hfh gh
a hh
fh gha h
E a h I
F hag f a h
iso
poteaux
⋅⌠⌡
= ⋅+
⋅ − + ⋅ ++
+ ⋅
−+
+
=+
⋅− ⋅
+ +
1 1
2
21
23
2
3 22
2 4 2 4
224
2
( )( )( )m M
EI E a h I
F bhag f a hiso
charp
⋅⌠⌡
=+
⋅−
+ +2
22
22
2224
2.
D'où :
( )( )( )w
E a h
F hag f a h
hI
bI
=+
⋅−
+ + ⋅ +
224
222
22
1 2
Application numérique :
I I h a F N1 2 22 2 10 000= = =; ; (vers la gauche) Manuel de validation Fascicule v3.90 :
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( ) ( ) ( )w
E a h Ig gh
F h h b
N m
=+
⋅ +− +
− ⋅
29
248
315100365
21
23
4
.
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8.4 Couple ponctuel Γ en C1
( ) ( ) ( )
( )
m MEI
hEI
ha h
fh g ha h
fh g ha h
E a h I
h g
iso
poteaux
⋅⌠⌡
= ⋅+
⋅ ++
+ − +
+
=+
⋅
1 1
21
3
3 2 2 4 2 4
224
Γ
Γ
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
m MEI
bEI a h
a hfh g h
a hh
fh g ha h
E a h I
bhag f a h
iso
charp
⋅⌠⌡
= ⋅+
⋅ − + ⋅ ++
+ − +
+
=−+
⋅ ⋅ + +
2 2
22
2
3 22
2 4 2 4
224
2
.
Γ
Γ
Application numérique :
I I h a Nm1 22 2 100 000= = = −; ; Γ
( )( )( )w
E a h I
h
N m
g h b fhb=+
⋅
− ⋅
− −2
24
266 666 667
921
2
3
Γ
.
8.5 Calcul de dm M
EI=
⋅∫ 1
( ) ( )m M
EIh
EIg ha h
ha h E a h I
g h
poteaux
⋅⌠⌡
= ⋅+
⋅+
=+
⋅1
1 12
1
323 4
212
( ) ( )( )m M
EIb
EIh
a ha
a hg ha h E a h I
h a
charpente
⋅⌠⌡
=+
+
+
+
=+
⋅+1
2 22
2
2 12
16 4
2 324
g bh
D'où (on constate que d ne dépend pas de f ) :
( )( )
dE a h
g h hI
b h aI
=+
⋅ ⋅ ++
2
242 3
2
2
1 2
Application numérique :
I I h a1 22 2= =;
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( )( )d
E a h Ig
hh b
m
=+
⋅ ⋅ +2
242 7
4 874 2564
21
2
4
.
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8.6 Récapitulatif des déplacements uC et vC
I m
E MPa1
4 45 010210 000
==
−,
CAS X X d wV
pression sur C C1 18672.994 91016960.3 –184930109.4F1 en C 41422.161 201902233.4 –315100365.0F2 en C1 8284.432 40380445.6 –63020073.0
Γ en C1 4916.724 23965373.4 14775091.25
CAS wH ( )u mC ( )v mC
pression sur C C1 83519999.94 0.0110476 –0.012422374F1 en C 0.00 0.00 –0.01497330F2 en C1 –226872262.8 –0.03000956 –0.00299466
Γ en C1 206790328.5 0.0273532 –0.001215646
Note :
( )d
E a h Ig d=
+⋅
22
1, avec : d m= 4 874 2564 4.
( ) ( )wE a h I
g w f wV H=+
⋅ +2
21
voir plus haut
( ) ( ) ( )uE a h I
w vE a h I
w XdC H C V=+
⋅ =+
+2 2
21
21
;
( )2
132275132 1021
10 1 4
E a h IN m
+= ⋅ ⋅ ⋅− − −.
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Comparaison Aster - référence analytique (R.)
CAS Moment en C (N.m)
Réaction HA (N)
Réaction VA (N)
Déplacement uC (m)
Déplacement vC (m)
p surC C1
R :Aster :
18672.99418673.20
5175.375175.36
24233.2424233.2
0.01104760.0110472
–0.012422374–0.0124233
F1 en C R :Aster :
41422.16141422.40
4881.4874881.47
10000.0010000.0
0.000000.0000
–0.01497330–0.0
F2 en C1 R :Aster :
8284.4328284.34
5976.2975976.31
4000.004000.0
–0.03000956–0.0300098
–0.00299466–0.00299450
Γ en C1 R :Aster :
4916.7244916.62
4576.3944576.38
5000.005000.0
0.02735320.0273536
–0.001215646–0.00121583
Nota :
Le calcul Aster a été réalisé en prenant des éléments très élancés, de telle sorte que : S I2 << . Ainsi, l’énergie de flexion est prédominante. Les valeurs du calcul Aster sont issues du cas-test VPCS appelé SSLL14, avec les données suivantes :
I m I m E MPa14 4
24 45010 2 510 210 000= = =− −. ; . ; ,
h a m m b= = = =2 8 202
116; ; .
,
p N m= 3 000 / (vers le bas) ,F N1 20 000= (vers le bas) ,F N2 10 000= (vers la gauche) ,Γ = − 100 000 Nm .
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