James Stewart

SOLUÇÃO

Cálculo I

ÿ Cirlei XavierBacharel e Mestre em Física

pela Universidade Federal da Bahia

Maracás BahiaJunho de 2017

Sumário

1 APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO 31.1 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Bibliografia 7

1

Sumário 2

Cálculo Ib m ÿ Cirlei Xavier

Capítulo 1

APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO

Exercícios1.1 Volumes

66. Uma tigela tem a forma de um hemisfério com diâmetro de 30 cm. Uma bola pesada comdiâmetro de 10 cm é colocada dentro da tigela, e depois despeja-se água até uma profundidadede h centímetros. Encontre o volume de água na tigela.

1º Caso (a bola não está totalmente submersa): h ≤ 2r ⇒ h ≤ 10 cm, onde r = 5 cm eR = 15 cm.

x2 = R2 − (R− h′)2

x2 = R2 −R2 +2Rh′ − h′2

x2 = 2Rh′ − h′2

r ′2 = r2 − (h′ − r)2

r ′2 = r2 − h′2 +2rh′ − r2

r ′2 = 2rh′ − h′2

Área:A(h′) = (x2 − r ′2)π

3

Capítulo 1. APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO 4

A(h′) = [(2Rh′ − h′2)− (2rh′ − h′2)]π

A(h′) = (2Rh′ − h′2 − 2rh′ + h′2)π

A(h′) = 2h′(R− r)π

A(h′) = 2πh′(15− 5)

A(h′) = 20πh′ cm2

Volume:V (h) =

∫ h

0A(h′)dh′

V (h) =∫ h

020πh′ dh′ =

20πh′2

2

∣∣∣∣h0= 10πh2 cm3

V (h) = 10πh2 cm3, h ≤ 10 cm

2º Caso (a bola está totalmente submersa): 2r < h ≤ R⇒ 10 < h ≤ 15 cm.

x2 = R2 − (R− h′)2

x2 = R2 −R2 +2Rh′ − h′2

x2 = 2Rh′ − h′2

Área:A(h′) = x2π

A(h′) = (2Rh′ − h′2)π cm2

Volume:V (h) =

∫ h

10A(h′)dh′ +10π(10)2

V (h) =∫ h

10(2Rh′ − h′2)πdh′ +1000π

V (h) =[(2Rh′2

2− h′3

3

)π

] ∣∣∣∣h10

+1000π = 2R(h2 − 102

2

)π −

(h3 − 103

3

)π+1000π

V (h) = Rh2π −R102π − h3

3π+

10003

π+1000π

V (h) = 15h2π − 1500π − h3

3π+

10003

π+1000π

Cálculo Ib m ÿ Cirlei Xavier

1.1. Volumes 5

V (h) = 15h2π − h3

3π − 1500π+

10003

π+1000π

V (h) = 15h2π − h3

3π − 1500π+

4000π3

V (h) = 15h2π − h3

3π+

(−4500π+4000π3

)V (h) = 15h2π − h

3

3π − 500π

3

V (h) =13π · (45h2 − h3 − 500) cm3, 10 < h ≤ 15

ÿ Cirlei Xavier m Cálculo Ib

Capítulo 1. APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO 6

Cálculo Ib m ÿ Cirlei Xavier

Capítulo 2

Bibliografia

Stewart, James. Cálculo, volume 1, Tradução da 7a edição norte-americana, São Paulo,Editora Cengage Learning , 2013.

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