TEMA IESTADÍSTICA

DEFINICIÓN. CONCEPTOS BÁSICOS.

La Estadística: es la parte de las Matemáticas que se encarga del estudio de una determinada característica en una población, recogiendo los datos, organizándolos en tablas, representándolos gráficamente y analizándolos para sacar conclusiones de dicha población.

Objetivo de la Estadística: describir al conjunto de datos obtenidos, Analizarlos y transformarlos en información útil para tomar decisiones o realizar generalizaciones acerca de las características de todas las observaciones bajo consideración.

Según se haga el estudio sobre todos los elementos de la población o sobre un grupo de ella, se diferencian dos tipos de Estadística:

Estadística Descriptiva: Se encarga de la recolección, organización, condensación, presentación de los datos en tablas y gráficos y del cálculo de medidas numéricas que permitan estudiar y analizar los aspectos más importantes de los datos de una población.

Estadística Inferencial: Se encarga de analizar la información presentada por la estadística descriptiva mediante técnicas que nos ayuden a conocer, con determinado grado de confianza, a la población. Lo que nos permite tomar decisiones.

Conceptos Básicos de la Estadistica:

Individuo: cada uno de los elementos, personas u objetos que se van a estudiar. Es decir cualquier elemento que porte información sobre el fenómeno que se estudia. Así, si estudiamos la altura de los niños de una clase, cada alumno es un individuo; si estudiamos el precio de la vivienda, cada vivienda es un individuo.

Población: Conjunto total de individuos u objetos con alguna característica que es de interés estudiar. Al número de integrantes de la población se llama tamaño de la población y se representa con la letra N.

Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas.

Población Finita: Es aquella que posee o incluye un número limitado de medidas y observaciones.

Población Infinita: Es infinita si se incluye un gran conjunto de medidas y observaciones que no pueden alcanzarse en el conteo.

Muestra: el subconjunto de la población que elegimos para hacer un estudio más reducido.

Muestra aleatoria: se considera aleatoria siempre y cuando cada observación, medición o individuo de la población tenga la misma probabilidad de ser seleccionado.

Experimento: Es una actividad planificada, cuyos resultados producen un conjunto de datos.

Parámetro: Son las características medibles en una población completa. Se le asigna un símbolo representado por una letra griega.

Estadístico o estadígrafo: Es la medida de una característica relativa a una muestra. La mayoría de los estadísticos muestrales se encuentran por medio de una fórmula y suelen asignárseles nombres simbólicos que son letras latinas.

Variables estadísticas.

Variables: son las características o lo que se estudia de cada individuo de la muestra. Ej: sexo, edad, peso, estatura, color de ojos, estado civil, temperatura, cantidad de nacimientos, presión, grosor, diámetro, etc.

Dependiendo de la característica podemos distinguir varios tipos de variables:

a)Variable cualitativa: Es aquella característica que no podemos expresar con números y hay que expresarla con palabras. Por ejemplo, el lugar de residencia, color de los ojos, nacionalidad, Sexo, Hábito de fumar etc.

b) Variable cuantitativa: Son las variables que pueden medirse, cuantificarse o expresarse numéricamente. Por ejemplo, el número de hermanos o la estatura.

Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos:

Variable cuantitativa discreta: Es aquella variable que puede tomar únicamente un número finito de valores. Por ejemplo, (número de hijos, número de partos, número de hermanos, etc).

Variable cuantitativa continua: Es aquella variable que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo real. Por ejemplo, (edad, peso, talla).

Datos: son los valores que toma la variable en cada caso.

Los datos pueden ser:

Datos Cualitativos: son datos que solo toman valores asociados a las cualidades o atributos, clasificándolos en una de varias categorías, es decir, no son valores numéricos.

Los Datos cualitativos pueden ser:

Dicotómicos o binarios: es aquella en la que se clasifica cada caso en uno de dos grupos. Ej: (hombre/mujer, enfermo/sano, fumador/no fumador, si/no).

Nominales: ésta es una forma de observar o medir en la que los datos se ajustan por categorías que no mantienen una relación de orden entre sí (color de los ojos, sexo, profesión, presencia o ausencia de un factor de riesgo o enfermedad, grupo sanguíneo, Religión: católica, evangélica, país de origen, estado civil, diagnóstico.

Ordinales: existe un cierto orden o jerarquía entre las categorías Ejemplos: grados militares, organigrama de una empresa, escalafón de los profesores universitarios, grados de disnea, estadiaje de un tumor.

Datos Cuantitativos: provienen de variables que pueden medirse, cuantificarse o expresarse numéricamente. Ejemplos: Peso, Edad, Estatura, Presión, Humedad, Intensidad de un sismo, Cantidad de hermanos.

Los Datos pueden ser univariados, bivariados o multivariados.

Univariantes o unidimensionales: sólo recogen información sobre una característica (Ej: edad de los alumnos de una clase).

Bivariantes o bidimensionales: recogen información sobre dos características de la población. (Ej: edad y estatura de los alumnos de una clase).

Multivariantes o pluridimensionales: recogen información sobre tres ó más características. (Ej: edad, estatura y peso de los alumnos de una clase).

Para hacer un estudio estadístico de una característica de una población, es necesario elegir dicha característica y después hacer un recuento.

Pasos para hacer un estudio Estadístico Descriptivo:

1.- Recopilación de Datos

Fuentes de información:

Encuesta: Recopilar los datos mediante el uso de cuestionarios o entrevistas.

Experimento: Procedimiento utilizado en la investigación científica para obtener información que permita conocer el comportamiento de algún proceso.

Investigación Documental: Procedimiento para obtener datos mediante la consulta de información ya escrita y concentrada en documentos que se localicen en libros o revistas en bibliotecas, hemerotecas, o en centros virtuales.

2.- Organización de los datos:

Una vez que se ha realizado la recolección de los datos, se obtienen datos en bruto, los cuales rara vez son significativos sin una organización y tabulación.

2.1-Formas de organizar los datos:

Un arreglo: es la forma más sencilla de organizar los datos en bruto, consiste en colocar las observaciones en orden según su magnitud: ascendente o descendente. Es poco práctica cuando se tiene una gran cantidad de datos.

Hay dos métodos comunes:

Listado en orden ascendente: el proceso consiste en ordenarlos de menor a mayor.

Ejemplo 1: Para las Variables Cuantitativas, el método del Listado de orden ascendente se procede de la siguiente manera:

Considerar como variable de estudio el peso de 25 estudiantes de la sección de probabilidad y estadística. Los pesos se encuentran en la siguiente tabla:

Peso de 25 Estudiantes (en kg)

40 43 48 51 49

56 44 42 55 52

52 62 44 50 59

63 50 56 55 45

57 66 63 51 58

Solución:

Peso de 25 Estudiantes (en kg)

40 42 43 44 44

45 48 49 50 50

51 51 52 52 55

55 56 56 57 58

59 62 63 63 66

Diagrama de tallo y hojas: Si los números de los datos están formados por dos dígitos, se hace una columna con el primer dígito (decenas) y a la derecha de cada uno de ellos se escribe, en fila, sólo el segundo dígito (unidades) de cada uno de los datos que tengan el mismo primer dígito.

¿Qué información nos brinda este gráfico?Podemos observar:- El rango de las observaciones y los valores máximos y mínimos.- La forma de la distribución:- Si es aproximadamente simétrica o es asimétrica.- Cuántos picos o modas tiene la distribución.- Si existen valores que se aparten notablemente del conjunto, a los que denominaremos datos atípicos.

Ejemplos: DIAGRAMA DE TALLO Y HOJA

Ejemplo 1: datos tomados del ejemplo anterior

a) Datos sin ordenar:

4 2, 0, 8, 9, 4, 3, 4, 5

5 1,6,5,2,2,0,9,0,6,5,7,1,8

6 2, 3, 6, 3

b) Datos ordenados:

4 0,2,3,4,4,5,8,9

5 0,0,1,1,2,2,5,5,6,6,7,8,9

6 2,3,3,6

Ejemplo 2 Las edades de un grupo de amigos son las siguientes 11 12 10 11 11 10 12 12 11

Elaborar el diagrama de tallo y Hoja.

Solución:Diagrama de Tallo y HojaTallo hoja 1 0 0 1 1 1 1 1

1 2 2 2

Por medio del diagrama podemos observar que la edad de los amigos se concentra en los 11 años.

Ejemplo 3

Consideremos el siguiente ejemplo con datos sobre consumo diario per cápita de proteínas en 32 países desarrollados. Los datos se presentan ordenados de menor a mayor por simplicidad.

Tabla 3. Consumo de proteínas per cápita en países desarrollados.

7.83 9.03 10.56 8.06 9.16 10.52

8.45 9.23 10.75 8.49 9.34 10.86

8.53 9.39 10.89 8.60 9.42 11.07

8.64 9.56 11.27 8.70 9.89 11.36

8.75 10.00 11.58 8.92 10.28 11.76

8.93 10.41

Seleccionando como tallo la unidad obtenemos el gráfico de tallo-hojas de la izquierda de la Figura 4.

Figura 4. Variaciones de los tallos. Datos de consumo de proteínas per cápita.

- En este gráfico se acumula un número importante de hojas en cada tallo, por lo que podríamos estar perdiendo información acerca de la estructura de los datos. Dividiremos cada tallo en dos, es decir, representaremos dos veces cada tallo, la primera vez que este aparezca irá acompañado por las hojas 0 a 4 y la segunda vez por las hojas 5 a 9.

7 8

8 0 4 4 5 6 6 7 7 9 9

9 0 1 2 3 3 4 5 8

10 0 2 4 5 5 7 8 8

11 0 2 3 5 7

Para las Variables Cualitativitas:

El procedimiento es el siguiente:

a) Se identifican todos los valores diferentes y se acomodan en columna descendente. Por orden alfabético.

b) Se agrega una segunda columna en donde se van registrando, mediante una línea vertical, las veces que aparece el valor dado.

Ejemplo 1: Considera que la variable de estudio es el color de franelas de 25 estudiantes.

Los colores se encuentran en la siguiente tabla:

rosa azul blanco azul rosa

gris blanco Café negro blanco

rosa azul Café blanco blanco

gris azul blanco rosa gris

gris blanco Café negro verde

Color FrecuenciaAzul IIII

Blanco IIIIIII

Café III

Gris IIII

Negro II

Rosa IIII

Verde I

3.- Distribución de Frecuencia o Tabla de Frecuencia

La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias: es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.

Tipos de frecuencias

Frecuencia absoluta: La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico.

Se representa por fai. La letra f en minúscula.

La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por “N” si hablamos de población y “n” si estamos hablando de muestra.

N = ∑fai n = ∑fai

Frecuencia acumulada: La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.

Se representa por Fai. La letra F en mayúscula.

Frecuencia relativa: La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos.

Se representa por fri. fri = fai/n . La letra f en minúscula.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1. Es decir: ∑ fri = 1

Frecuencia relativa acumulada: La frecuencia relativa acumulada es el cociente

entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos.

Es la probabilidad de observar un valor menor o igual al valor que toma la variable

en estudio en ese intervalo.

Se representa: Fra : la letra F en mayúscula. Fra= Fai/n

Se puede expresar en tantos por ciento.

Frecuencia Relativa Porcentual: La frecuencia relativa porcentual es el producto de la frecuencia relativa por cien.

Se representa por : fr% = fri x 100

∑ fri% = 100

Tipos de Tablas de Distribución de Frecuencias:

Para Datos No Agrupados Para Datos Agrupados.

Tabla de Distribución de Frecuencia para Datos No agrupados:

Está formada por dos columnas: una para la variable “xi” y la otra para su frecuencia absoluta o frecuencia observada. Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.

xi fai

x1 fa1

x2 fa2

. .

. .xn fan

Con las demás frecuencia es la siguiente:

Valores de la variable (xi)

Frecuencia Absoluta o frecuencia observada (fai.)

FrecuenciaAbsoluta acumulada(Fai.)

Frecuencia Relativa(fri = fai./n)

Frecuencia relativa Acumulada(Frai)

Frecuencia Relativa Porcentual.

(fri%)fri*100

x1 f1

x2 f2

... ...

xn fn Fai = n Frai = 1

 Totales n=∑fai

∑ fri = 1 ∑fri%= 100

Ejemplo:

Durante el mes de julio, en la ciudad de Maracay se han registrado las siguientes temperaturas máximas:

32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda anotamos la frecuencia absoluta.

xi fai Fai fri=fai/n Frai fr%=fri*100 Fra%

27 1 1 0.032 0.032 3,2 3,228 2 3 0.065 0.097 6,5 9,729 6 9 0.194 0.290 19,4 29,030 7 16 0.226 0.516 22,6 51,631 8 24 0.258 0.774 25,8 77,432 3 27 0.097 0.871 9,7 87,133 3 30 0.097 0.968 9,7 96,834 1 31 0.032 1 3,2 100

n=31 1 100

Distribución de Frecuencias para Datos Agrupadas

Cuando los valores de la variable son muchos, conviene agrupar los datos en intervalos para así realizar un mejor análisis e interpretación de ellos.

La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua.

Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.

Tabla De Frecuencias Para Datos Agrupados

Cuando los datos contienen una gran cantidad de elementos, para facilitar los cálculos es necesario agruparlos, a estos grupos se los llama intervalos o clases.

Un intervalo es una serie de números incluidos entre dos extremos. Se recomienda su uso cuando se tienen grandes cantidades de datos (N).

Reglas generales para formas distribuciones de frecuencias para datos agrupados en intervalos son:

1) Calcular el Rango (R).- También se llama recorrido o amplitud total. Es la diferencia entre el valor mayor y el menor de los datos.

R = Xmax - Xmin

2) Seleccionar el Número de Intervalos de Clase ( k ).- No debe ser menor de 5 y mayor de 15, ya que un número mayor o menor de clases podría oscurecer el comportamiento de los datos.

¿Cuántas clases usar?

Existen distintas fórmulas que permiten calcular el número máximo de clases apropiado para un conjunto de datos, en base al rango de datos y al número de datos.

Si por alguna razón no es fácil decidir el ancho del intervalo de clase (k), y el número de ellos, se pueden utilizar las siguientes fórmulas:

La regla de Sturges: k = 1 + 3.3log(n) k = n 2k > n 5 ≤K ≥ 15

Siendo n el tamaño de la muestra.

La decisión, tal como ocurre en el gráfico de tallo-hojas, es una solución de compromiso.

En general entre 6 y 15 clases resulta ser una buena elección. Muchos intervalos harán que caigan muy pocas observaciones en cada clase, por lo que las alturas de las barras variarán irregularmente. Muy pocas clases producen una gráfica más regular, pero demasiado agrupamiento puede hacer que se pierdan las características principales.

3) Calcule la Amplitud del Intervalo (ai ) .- Se obtiene dividiendo el Rango para el número de intervalos

Amplitud de los intervalos ( ai ) = Rango / K

Cuando el valor de la Amplitud del Intervalo (ai ) no es exacto, se debe redondear al valor superior más cercano. Esto altera el valor de rango por lo que es necesario efectuar un ajuste así:

Nuevo R (NR) = k. ai

Al obtener el nuevo rango este se resta con el anterior. Diferencia de rango = NR – R

La diferencia que se obtiene se utiliza para calcular los nuevos valores minimos y maxiomos: X’min y X’max

4) Se calculan los nuevos valores mínimos y máximos: X’min , X’max

X’min = Xmin/K si la división es exacta no se cambia,

X’max = Xmax/K si la división es exacta no se cambia

5) para formar los intervalos de clase se inicia con el nuevo valor mínimo será el límite inferior [Li , Li + ai). El último intervalo de clase debe finalizar con el límite superior igual al nuevo valor máximo. [Ls-1 , Ls) donde Ls-1 es el límite superior del intervalo anterior y Ls

es el nuevo valor superior.

6) Marca de clase o Punto Medio

La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.

La marca la vamos a representar por: mi

mi = (Ls + Li)/2 donde: Ls: Limite Superior y Li: Límite Inferior.

7) para datos agrupados la frecuencia absoluta es el número de datos que se encuentran entre cada intervalo de clase. Las demás frecuencias se obtienen igual que para datos no agrupados.

Construcción de una tabla de datos agrupados

Clase

KIntervalo

[Li – Ls)

Marca

mi

Frecuencia Absoluta

fai

Frecuencia Acumulada

Fa

Frecuencia Relativa

fri

Frecuencia R.

AcumuladaFra

Frecuencia R. Porcentual

fr%

Fai = n Frai = 1

Total n=∑fai∑ fri = 1 ∑fri%= 100

Ejemplo 1 .Construcción de una tabla de datos agrupados

3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

1.-) Se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso son 3 y 48.

2.-) Se restan para obtener el Rango.

En este caso, R = 48 - 3 = 45.

3.-) Clases: Para n = 40 utilizar k = 1 + 3.3log(n)

k = 1 + 3.3log(40) = 6,28 esto nos dice que el número mínimo de intervalos a formar es 6, vamos a utilizar un K= 10 para facilitar los próximos cálculos.

4.-) Amplitud. ai = R/K = 45/10 = 4,5 se aproxima al inmediato superior : ai = 5

5.-) Se obtiene el nuevo Rango porque la amplitud no es exacta. NR = ai*k

NR = 5*10=50

6.-) se calcula la diferencia de rangos. Dif R = NR – R

Dif R = 50 – 45 = 5 esta diferencia se distribuye entre el valor mínimo y el máximo

7.-) Se calculan los nuevos valores mínimos y máximos: X’min , X’max

X’min = Xmin/K si la división es exacta no se cambia,

X’min = 3/10 = 0,3 no es exacto se cambia

X’max = Xmax/K, entonces X’max = 48/10 = 4,8 no es exacto se cambia.

Los 5 puntos de diferencias se distribuyen entre el valor minimo y el valor máximo de manera que la división de exacta.

Si al Xmin = 3 – 3 = 0 le restamos 3 para obtener X’min = 0 si dividimos 0/10 = 0 exacta

Si al Xmax = 48 + 2 = 50 se le suman las dos unidades restantes que quedan de la diferencia de 5. Al dividir el nuevo valor máximo entre K debe dar un numero exacto. 50/10 = 5 entonces los nuevos valores son

X’min = 0

X’max =50

8.-) para formar los intervalos de clase se inicia con el nuevo valor mínimo será el límite inferior [Li , Li + ai), así [0, 5). El ultimo intervalo de clase debe finalizar con el límite superior igual al nuevo valor máximo. [Ls-1 , Ls) donde Ls-1 es el límite superior del intervalo anterior y Ls es el nuevo valor superior. [45,50) ver tabla.

Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el límite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.

Clase

(K)Intervalo m i fa i Fa i fr i Fra

fr i%

1 [0, 5) 2.5 1 1 0.025 0.025 2,5

2 [5, 10) 7.5 1 2 0.025 0.050 2,5

3 [10, 15) 12.5 3 5 0.075 0.125 7,5

4 [15, 20) 17.5 3 8 0.075 0.200 7,5

5 [20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.275 7,5

6 [25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425 15,0

7 [30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600 17,5

8 [35, 40) 37.5 10 34 0.250 0.850 25,0

9 [40, 45) 42.5 4 38 0.100 0.950 10,0

10 [45, 50) 47.5 2 40 0.050 1 5,0

Total 40 1 100

Ejemplo: En la siguiente tabla de frecuencias con datos agrupados, se han organizado 175 datos.

VariableEdad(xi)

Marca o Pto Medio(mi)

Frecuenciaabsoluta(fai)

FrecuenciaAcumuladaFai

FrecuenciaRelativafri

Frecuencia relativaporcentual%(fr%)

11 - 15 13 5 5 0,029 2,916 – 20 18 12 17 0,069 6,921 – 25 23 20 37 0,114 11,426 – 30 28 30 67 0,171 17,131 – 35 33 35 102 0,20 20

36 – 40 38 32 134 0,183 18,341 – 45 43 26 160 0,149 14,946 - 50 48 15 175 0,085 8,5Total n = 175 1 100%

Las edades que estánconsideradas en este intervalo son 26 – 27 – 28 – 29 – 30 años

Hay 35 personasque tienen entre 31 y 35 años

El 20% de las personas tienen entre 31 y 35 años