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8/10/2019 Circulos-Matematicos.pdf

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Ttulo original: Mathematical Circus

Traduccin publicada por acuerdo con Alfred A. Knopf, Inc.

Traductor: Luis Bou

Primera edicin en El Libro de Bolsillo: 1983

Segunda edicin en El Libro de Bolsillo: 1985

1968, 1969, 1970, 1971, 1979 by Martin Gardner

Ed. cast.: Alianza Editorial, S. A., Madrid, 1983, 1985

Calle Miln, 38; Telfono 200 00 45

ISBN. 84-206-1937-X

Depsito legal: M. 4.344-1985

Papel fabricado por Sniace, S. A.

Fotocomposicin: EFCA, S. A.

Impreso en Closas-Orcoyen, S. L. Polgono IgarsaParacuellos del Jarama (Madrid)

Printed in Spain

Escaneado por Dom


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Para Donald E. Knoth, extraordinario matemtico,

cientfico de computadores, escritor, msico, humorista,entusiasta de las matemticas recreativas y mucho ms.


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Circo matemticoMartin Gardner

Introduccin

A veces estas reflexiones asombran todava la nocheconturbada o el reposo a medioda. -T. S. Eliot

Los captulos que componen este libro fueron antes publicados en la seccinmensual, fija, Juegos Matemticos de la revista Scientific American. Los matemticosme preguntan a veces, qu significa para m semejante titulo. No es fcil de explicar.Ya Ludwig Wingenstein utiliz la palabra juego para ejemplificar la nocin depalabras-familia, imposibles de definir unvocamente. La idea de juego conllevamuchos significados, enlazados entre s un poco a la manera en que lo estn losmiembros de una familia humana, significados que han ido concatenndose al tiempoque evolucionaba el lenguaje. Podemos decir que los juegos matemticos o lasmatemticas recreativas son matemticas -no importa de qu tipo- cargadas de unfuerte componente ldico: pero poco aclaramos as, porque las ideas de juego,recreacin y ldico son aproximadamente sinnimas. En ltimo extremo nosencontramos con peticiones de principio, como al decir que la poesa es la obra de lospoetas, o que la msica de jazz es lo que los msicos de jazz componen ointerpretan. Las matemticas recreativas seran as la clase de matemticas que hacedisfrutar a los recreativistas.

Aunque no puedo definir los juegos matemticos ms rigurosamente que la poesa, smantengo que, sean lo que fueren, las matemticas recreativas proporcionan el mejorcamino para captar el inters de los jvenes durante la enseanza de la matemticaelemental. Un buen rompecabezas matemtico, una paradoja o un truco de aparienciamgica pueden excitar mucho ms la imaginacin de los nios que las aplicacionesprcticas, sobre todo cuando estas aplicaciones se encuentran lejanas de lasexperiencias vividas por ellos. Y si el juego se elige y prepara con cuidado, puedellevarle casi insensiblemente hasta ideas matemticas de importancia.

No slo los nios, sino tambin los adultos pueden quedar arrobados por uno deestos rompecabezas sin utilidad previsible, y la historia de las matemticas est llenade trabajos sobre tales rompecabezas -tanto de profesionales como de aficionados-

que han conducido hasta inesperados desarrollos. En su libro Mathematics: Queenand Servant of Science, Eric Temple Bell cuenta que los primeros trabajos sobreclasificacin y enumeracin de nudos apenas fueron considerados otra cosa quecuriosidades y rompecabezas. La teora de nudos ha venido, con el tiempo, aconvertirse en rama floreciente de la Topologa:

As pues, los problemas de nudos resultaron ser mucho ms que merosrompecabezas. Y es frecuente que esto suceda en matemticas, en parte porque losmatemticos replantean -no sin cierta perversidad- difciles problemas que confiaron(mas no supieron) resolver, dndoles la forma de acertijos y charadas de apariencia


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trivial, pero en el fondo, con idntica estructura que el problema original. Esta jugarretaha hecho picar e interesarse a personas ajenas a las matemticas, quienes,atemorizados ante la dificultad del problema, se haban inhibido o echado atrs. Y as,muchos aficionados han hecho a la matemtica ricas aportaciones sin sospecharlo.Tenemos un ejemplo en el problema de los quince escolares (1850) de T. P. Kirkman,que frecuentemente presentan los libros de matemticas recreativas.

Tampoco faltan rompecabezas matemticos que -por ser en realidad triviales- no

conducen a desarrollos interesantes. Empero, ambos tipos tienen algo en comn, quenadie ha expresado mejor que el distinguido matemtico Stanislaw Ulam en suautobiografa,Adventures of a Mathematician:

Las matemticas, con sus grandiosas panormicas su apreciacin de la belleza y supercepcin de nuevas realidades, posee una propiedad adictiva que es menosevidente y saludable, afn en cierto modo a los efectos de algunas drogas. El msnimio problema, an siendo inmediatamente reconocible como trivial o reiterativo,puede ejercer esta influencia adictiva. Una de las formas en que podemos vernosarrastrados es comenzar a resolverlos. Recuerdo que Mathematical Monthlypublicabade cuando en cuando unos problemas enviados por un matemtico francs, relativos aciertas configuraciones banales de circunferencias, rectas y tringulos del plano.

Belanglos (sin importancia), como dicen los alemanes; empero, con estas figuritascorrase el riesgo de quedar atrapado tan pronto se comenzaba a resolverlas, a pesarde saber perfectamente que no podran conducirnos a campos nuevos, ms generalesni ms estimulantes. Mucho contrasta esto con cuanto he dicho acerca de la historiadel teorema de Fermat, que ha suscitado la creacin de nuevas y vastas concepcionesalgebraicas. La diferencia tal vez resida en que para resolver un pequeo problemapuede bastar un esfuerzo moderado, mientras que el teorema de Fermat sigue sinestar resuelto, desafiando al mundo matemtico. No obstante, ambos tipos decuriosidades matemticas tienen una fuerte componente adictiva para el matemticoen potencia, cualidad que existe a todos los niveles de la matemtica, desde lasbagatelas a los aspectos ms inspirados.

Martin GardnerMarzo de 1979


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Captulo 1

Ilusiones pticasLas ilusiones pticas -figuras, objetos o sucesos que no son lo que aparentan al serpercibidos- han tenido y tienen todava importante papel en las bellas artes, en

matemticas, en psicologa e incluso en filosofa. Los antiguos griegos deformaron lascolumnas del Partenn con el fin de que parecieran perfectamente rectas al ser vistasdesde el suelo por la gente. En sus grandes obras murales, los pintores renacentistassolan distorsionar las figuras con objeto de que, miradas desde abajo, parecieran serde proporciones normales. El inters de los matemticos por las ilusiones pticas sedebe a que muchas de ellas guardan relacin con la perspectiva (una rama de lageometra proyectiva) y con otras cuestiones geomtricas. Los psiclogos estudianlas ilusiones para saber cmo interpreta el cerebro los datos que le llegan a travs delos sentidos. Y los filsofos de diversas escuelas de realismo directo, que mantienenque nosotros percibimos objetos reales externos a nuestras mentes, tienen elproblema de explicar cmo pueden entonces presentarse errores de percepcin.

Consideradas en su aspecto menos serio, las ilusiones visuales son, sencillamente,divertidas. Disfrutamos sabindonos engaados por ellas, por motivos que no sediferencian mucho del placer de ser confundidos por un ilusionista. Las ilusiones nosrecuerdan que el ancho mundo exterior no siempre es lo que parece. Nos fijaremosen este captulo en unas cuantas ilusiones pticas no demasiado conocidas, queexhalan todas ellas fuerte aroma matemtico.

Los procesos de que el cerebro se vale para interpretar los datos visuales son tancomplejos y poco conocidos, que no es milagro que en sus explicaciones lospsiclogos mantengan opiniones divergentes, cuando no contradictorias, incluso paralas ilusiones ms sencillas. Entre las ms clsicas estn el aumento aparente del sol,

la luna y las constelaciones cuando estn cerca del horizonte. El difunto Edwin G.Boring, de la Universidad Harvard escribi numerosos artculos explicando que laflusin de la luna se debe fundamentalmente a la accin de alzar la mirada. Unaopinin diferente, que se remonta hasta Ptolomeo, es defendida por Lloyd Kaufman eIrvin Rock en su artculo The Moon Illusion, en Scientific Americande julio de 1962.Su teora, basada en el efecto de distancia aparente, es a su vez refutada porFrank Restle en un trabajo publicado en Sciencedel 20 de febrero de 1970.

La opinin actual es que casi todas las ilusiones pticas se originan en el cerebro,cuando ste va explorando su memoria en busca de lo que Richard L. Gregorydenomina la apuesta ptima, es decir, la interpretacin que mejor explique losdatos visuales a partir de las experiencias acumuladas por el cerebro. Tal punto de

vista est sustentado por el reciente descubrimiento de que muchos animales, entreellos aves y peces, sufren ilusiones que podran ser explicadas de esta forma ytambin, por trabajos de antropologa en culturas marcadamente diferentes de lanuestra. Los zules, por ejemplo, viven inmersos en un mundo de formasredondeadas. Las cabaas son redondas, y tambin lo son sus puertas.

Al arar, sus surcos trazan lneas curvas. Raramente tienen ocasin de ver lneas ongulos rectos, y su idioma no contiene ningn vocablo que signifique cuadrado.As nos lo dice John Updike en la segunda estrofa de su poema Zulus Live in LandWithout a Square:


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Cuando los zules sonreir no pueden,ceudos fingen enojos,para siempre tener curvasfrente a los ojos.Y las distancias entre lugares y cosasse calculan a vuelo de mariposa...

Diversos estudios recientes han mostrado que ciertas ilusiones relativas a rectasparalelas y esquinas en ngulo, figuras que con tanta frecuencia observamos en elmundo rectangular de las sociedades tecnolgicamente adelantadas, difcilmente sonpercibidas por los zules. Los filsofos John Locke y George Berkeley se preguntaronambos si un ciego de nacimiento que sbitamente recuperase la vista sabradistinguir, sin tocarlos, cul de dos objetos era un cubo y cul una esfera. Locke yBerkeley respondieron que no. Una obra de Gregory, Eye and Brain, resume estudiosrecientes en esta misma direccin, y aunque no se llega a conclusiones tajantes, sparece dar la razn a aquellos filsofos, aportando de nuevo pruebas que justifican elenfoque moderno, a saber, que casi todas las ilusiones pticas se deben a que elcerebro interpreta errneamente los datos que recibe.

El descubrimiento de figuras indecidibles ha suscitado nuevos y entretenidosdesarrollos en la teora de las ilusiones visuales. Las figuras indecidibles representanobjetos que no pueden existir. La mente, incapaz de encontrarles pies ni cabeza,queda sumda en un estado de curiosa perplejidad. (Son figuras que recuerdanproposiciones indecidibles, como Esta proposicin es falsa, o No te lo pierdas sipuedes.) Entre las figuras indecidibles, la ms conocida es el notable blivet (queun americano pronunciara casi igual que believe it, cralo) de tres columnas (oslo dos?) que vemos en la Figura 1.


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Las primeras versiones empezaron a circular entre ingenieros y proyectistas hacia1964, y la portada del nmero de marzo de 1965 de la revista Madmostraba a unAlfred E. Neuman sonriente y haciendo equilibrios con el blivetsobre su dedo ndice.Roger Hayward ha publicado un artculo sobre Blivets: Research and Development[Investigacin y desarrollo de los blivets] en The Worm Runners Digest(diciembre de1968), donde presentaba algunas variantes (vase la Figura l).

Otra conocida figura indecidible es una escalinata cuadrada por la que se puedeascender o descender indefinidamente sin por ello subir ni bajar. Puede verse en una


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litografa de Maurits C. Escher titulada Ascendiendo y descendiendo, que data de1960, as como en otra litografa del mismo artista, de 1961, que representa un saltode agua haciendo funcionar una mquina de movimiento perpetuo. Estadesconcertante ilusin, creada por el genetista ingls L. S. Penrose y por su hijo, elfsicomatemtico Roger Penrose, fue inicialmente publicada en un artculo de ambos,Imposible Objects: A Special Type of Visual Illusion [Un tipo especial de ilusionesvisuales: los objetos imposibles], en The British Journal of Psychology(febrero de1958, pp. 31-33).

Estos mismos dos autores se sirvieron otra vez de ella en su coleccin de originalesrompecabezas navideos publicada en The New Scientist(25 de diciembre de1958, pp. 1580-81). Admitiendo (vase la Figura 2) que hagan falta tres peldaos parair desde A, en el suelo, hasta lo alto del escaln B, cmo se puede ir desde A hastaC sin subir ms de 10 escalones? La solucin slo es posible porque la propiaestructura dibujada no lo es.

Un tercer objeto imposible tambin muy conocido es la armazn del cubo sostenidopor la figura sedente de otra famosa litografa de Escher, que puede verse en lapgina 110 de mi Carnaval matemtico. La seccin de Cartas de Scientific

Americanreproduca una fotografa de esta Canasta de acceso libre (as fuellamada) en el nmero de junio de 1966; en realidad aquella fotografa se obtuvoretocando el negativo. No obstante, s es posible construir un modelo real que vistodesde un ngulo adecuado nos d una autntica fotografa de la canasta. Suconstruccin ha sido explicada por William G. Hyzer en Photo Methods for Industry,enero de 1970.


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Vemos en la Figura 3 el modelo de Hyzer. Si lo giramos y ladeamos hasta que,observndolo con un solo ojo, los huecos coincidan con toda exactitud con dostravesaos traseros del armazn, el cerebro se convence de que las aristas traserasestn delante, produciendo la imagen mental de un cubo imposible.

Muchas otras curiosas ilusiones son debidas a que poseemos dos ojos. Extienda losbrazos ante s, manteniendo los dedos ndices de ambas manos estiradoshorizontalmente, con las puntas en contacto. Mirando ms all de los dedos, enfoquela mirada sobre una pared distante, y separe los dedos ligeramente. Ver entoncesuna salchicha flotante entre los dedos. Como es obvio, la salchicha est formadapor las imgenes superpuestas de las yemas de los dedos, vistas cada una pordistinto ojo. Otra antigua ilusin, tambin debida a la visin binocular, se produceacercando un tubo (es suficiente una hoja arrollada de papel) a un ojo, como si fueraun telescopio. Supongamos que llevamos el tubo al ojo derecho; la mano izquierda,con la palma vuelta hacia uno mismo, se coloca verticalmente pegada al borde

izquierdo del tubo. Deslizando hacia adelante y hacia atrs la mano izquierda a lolargo del tubo, con los dos ojos abiertos y mirando algn objeto distante, seencontrar un punto donde parecer que estamos mirando a travs de un agujerorecortado en el centro de la mano izquierda.

En ciertas circunstancias, tambin la visin monocular puede crear una ilusin deprofundidad. Mirando una fotografa con un solo ojo a travs de un tubo se produce unligero efecto de tridimensionalidad. Una de las ms llamativas ilusiones de la visinmonocular puede verse en la Figura 4.


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Es necesario inclinar el libro hacia atrs, hasta que el plano de la pgina quede casienrasado con la vista. Mirando la figura con un solo ojo desde un punto prximo alborde inferior de la pgina, aproximadamente donde convergeran los clavos si fuesenprolongados hacia abajo, durante un breve instante los clavos parecern ponerse enpie. William James, en el Captulo 19 del Volumen 2 de sus famosos Principles ofPsychology, tras dar una excelente explicacin de esta ilusin, aade esta sucintacoletilla, que resume las ideas actuales sobre la percepcin: Dicho con otraspalabras, nosotros vemos, como siempre, el objeto ms verosimil.

El llamado pndulo de Pulfrich es otra asombrosa ilusin binocular, que recibe sunombre de su descubridor, Carl Pulfrich, quien la dio a conocer en 1922, en una

revista alemana. El pndulo est formado, sencillamente, por un trozo de hilo, quepuede tener desde unos 30 cm hasta ms de un metro. De l pende un objetopequeo. Pdale a otra persona que sostenga la punta libre del cordel, y quemantenga el pndulo en oscilacin en un plano perpendicular al de su lnea de visin.Sitese usted en el otro extremo de la habitacin, frente al pndulo, que se habr deobservar con ambos ojos. Con uno se mira directamente; con el otro, a travs de unode los cristales de unas gafas de sol. Es preciso fijar la mirada en el punto medio de laoscilacin; la vista no debe ir siguiendo a la plomada en su vaivn. Parecerentonces que el peso describe una rbita elptica! Trasladando al otro ojo el cristaloscuro, el peso seguir describiendo la misma rbita elptica, pero ahora recorrida ensentido contrario. Tan fuerte es la ilusin de profundidad, que colocando por detrs

del plano de oscilacin un objeto grande parece como si el plomo pasase en realidada travs del objeto, como un fantasma.

Gregory explica la ilusin de Pulfrich diciendo que el ojo adaptado a la oscuridadenva sus seales al cerebro ms lentamente que el ojo descubierto. Este desfaseentre las seales induce al cerebro a interpretar el movimiento del plomo como sialternativamente fuese pasando por delante y por detrs de su plano de oscilacin.

Pueden experirnentarse sensaciones de profundidad parecidas al mirar imgenes detelevisin, cubriendo un ojo con un cristal oscuro o mirando con uno de los ojos a


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travs de un pequeo orificio perforado en cartulina. Cuando en la pantalla apareceuna imagen que se desplaza horizontalmente con cierta velocidad, el observadortendr la impresin de que lo hace por delante o por detrs de la pantalla. Esta ilusinanim a varias compaas a anunciar, en 1966, unas gafas especiales que, de creer ala publicidad, permitiran al espectador ver en tres dimensiones las imgenes planasde su televisor. El precio era elevado, pero evidentemente las gafas no eran sino unamontura barata provista de dos lentes de plstico, una transparente y otra oscura.

Otra conocida categora de figuras ilusorias, muy analizadas por la escuelapsicolgica de la Gestalt, est formada por imgenes que pueden ser interpretadas dedos maneras con probabilidades iguales o casi iguales. La mente flucta entre ambasinterpretaciones, incapaz de decidir cul es la apuesta ptima. Probablemente elejemplo ms conocido sea el apilamiento de cubos que se invierte repentinamente,haciendo cambiar el nmero de cubos que parecen formarlo. En estos ltimos aostodos hemos tenido dificultades de interpretacin al contemplar fotografas de crtereslunares y no poderlos ver como montaas, sobre todo si invertimos la fotografa, conlo que los crteres se ven iluminados desde abajo por la luz solar, ngulo deiluminacin que raramente habremos tenido ocasin de experimentar.

Hay una figura de un jarrn oscuro cuya silueta puede ser imaginada como los perfilesde dos caras. Una ilusin parecida salt inesperadamente a la palestra en la nuevabandera canadiense, adoptada oficialmente en 1965 tras varios meses de disputasparlamentarias. Fije usted la atencin en el fondo blanco, por encima de la hoja dearce (vase la Figura 5).

Se vern entonces los perfiles de dos hombres malhumorados (quizs un liberal y unconservador?) con las frentes en contacto, zahirindose (uno en francs y otro en


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ingls?). En cuanto haya usted localizado estas dos caras, ya no tendr dificultad endescifrar el significado de los polgonos de formas irregulares que en bloques negrospodemos ver en la Figura 6.

Otra figura muy estudiada es el cubo de Necker, as llamado en honor del suizo L. A.Necker, quien escribi acerca de l all por 1830. El cubo tiene la propiedad deinvertirse al observarlo. Los Penrose, en los acertijos navideos ya mencionados,tuvieron la feliz idea de aadir un escarabajo al cubo, en este caso una cajarectangular. (Vase la Figura 7.) El insecto parece encontrarse en la pared exterior.Pero si fijamos la mirada en el ngulo inferior izquierdo de la caja, y con laimaginacin nos esforzamos en pensar que esa es la esquina ms cercana, derepente, flip, flop!, el insecto queda encerrado en su jaula, transportado por la accindel pensamiento.


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Con tres monedas podemos poner de manifiesto otra sorprendente ilusin,seguramente relacionada con la ilusin de Mller-Lyer (dos segmentos de longitudesiguales que parecen ser de tamaos distintos a causa de las puntas de flechatrazadas en sus extremos: en una de las figuras apuntan hacia afuera y en la otra

hacia adentro). Se colocan las monedas en fila (vase la Figura 8) y se le pide a otrapersona que haga deslizar hacia abajo la moneda central hasta que la distancia ABsea igual a la distancia CD. Casi nadie separa la moneda lo suficiente; en realidad,cuesta creer que la solucin correcta sea la dada en la ilustracin. El truco puederepetirse con monedas mayores, mesitas circulares, vasos de agua y objetosparecidos.


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La ilusin de la moneda fantasma, que vemos en la Figura 9, es ms conocida porlos ilusionistas que por los psiclogos. Sostenga una contra otra dos monedas entrelas yemas de los dedos ndices y frtelas rpidamente una contra otra. Aparecerentonces una tercera moneda, la moneda fantasma. Pero por qu solamente por unextremo y no por el otro?


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SolucionesPara subir hasta lo alto de la escalera de Penrose en slo 10 pasos, se suben cuatropeldaos, se gira a la derecha, se suben otros tres escalones ms, se recorre la rondade forma de U, se bajan tres peldaos, y se suben otros tres, llegando as a lo alto.

Aunque nunca he visto impresa ninguna explicacin del efecto de la moneda

fantasma, he recibido de muchos lectores una tan convincente que no dudo tiene queser correcta. Al frotar las monedas, adelante y atrs, como se ha explicado, el nguloque forman los dedos hace que las monedas tiendan a diverger en la posicinadelantada, creando all dos imgenes claramente distintas. Por el contrario, en laparte trasera, donde los dedos forman una V, el ligero movimiento lateral provoca queen la posicin retrasada las monedas tiendan a converger, y que sus imgenes sesuperpongan. La consecuencia es que las imgenes delanteras, individuales, sondbiles, mientras que las traseras se refuerzan la una a la otra, creando una imagennica, ms intensa.

Los propios lectores describieron diversas formas sencillas de comprobar esta teora.Por ejemplo, Marjorie Lundquist y S. H. Norris propusieron el siguiente experimento.

Vuelva las palmas hacia afuera, con los pulgares sealando hacia usted, sosteniendodos monedas entre las puntas de los dedos y frotndolas, la imagen fantasma seforma en la V de los pulgares, en el sentido de alejarse del experimentador. Y as escomo deberamos esperar que sucediese, pues a causa de los ligeros movimientoslaterales, la superposicin tiende a producirse en el lado ms alejado. Si los dedos secolocan no formando una V, sino directamente opuestos uno a otro, en lnea recta, losdesplazamientos laterales son iguales en ambos lados, y se ven dos monedasfantasmas. La misma imagen fantasma, simtrica y doble, se producir cuando lasmonedas se sujeten con los ndices, pero en lugar de frotarlas adelante y atrs lohagamos de arriba a abajo, verticalmente.

Otra llamativa confirmacin de la teora, que descubr por m mismo, se obtienefrotando rpidamente las yemas de los dedos, adelante y atrs, sin moneda ningunaentre ellos. La divergencia por la parte delantera y la superposicin por la trasera sonevidentes. Se ver un dedo fantasma dentro de la V, con el filo de una ua justo ensu centro!

La ilusin de la moneda fantasma puede convertirse fcilmente en un truco deprestidigitacin. Se comienza ocultando una moneda no muy grande en los plieguesde la palma de la mano derecha. Se le pide a un espectador que nos preste dosmonedas, que sujetaremos entre las yemas de los dedos pulgar e ndice de la manoderecha. Se frotan las monedas rpidamente, para crear la imagen fantasma, altiempo que con la mano se mantiene oculta la moneda escondida en la palma.

Cuando ya se aprecie la imagen fantasma, se hace gesto de atraparla, cerrandorpidamente el puo, para despus abrir la mano y demostrar que el fantasma se hamaterializado, convirtindose en una moneda contante y sonante.


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Captulo 2Cerillas

Las cerillas, sean de papel o de madera, tienen dos propiedades que las hacenidneas para divertimentos matemticos. Pueden servir de cuentas y tambin desegmentos de longitud unidad. La recopilacin de todos los pasatiempos con cerillas

ocupara un grueso volumen. En este captulo nos fijaremos en unas cuantasmuestras representativas de los trucos, juegos y acertijos que se pueden realizarcon cerillas.

Todos los ilusionistas conocen el viejo truco del piano (as llamado por la posicinde las manos del espectador) que puede anunciarse como un intercambio mgico depar a impar. Se le pide a un espectador que coloque las manos sobre la mesa,palmas abajo. Entre cada par de dedos contiguos insertamos dos cerillas, exceptoentre los dedos anular y meique de una mano, donde slo colocaremos una (vasela Figura 10).

Ahora iremos retirando uno por uno los pares de cerillas, separando las cerillas decada par, que iremos colocando sobre la mesa, una frente a cada una de las manosdel espectador. En cada extraccin el mago repite Dos cerillas, y de este modo,formando un montoncito de cerillas frente a cada mano, hasta que slo quede lacerilla desemparejada. Se retira esta cerilla de la mano del paciente espectador, ysostenindola en alto, se dice: Tenemos ahora dos montones de cerillas, formadosambos por pares. En qu montn quiere que ponga esta cerilla suelta? La cerillase coloca donde nos indiquen.

Seale usted el montoncito donde qued la cerilla extra, y diga: En este montnhay una cerilla de ms. Y sealando el otro: Y aqu hay un montn formado porpares de cerillas. Se dan entonces unos cuantos pases mgicos sobre losmontones y se anuncia que con ellos la cerilla desemparejada se ver obligada apasar al otro montn. Para demostrar que verdaderamente as ha ocurrido,contamos las cerillas del grupo donde pusimos la ltima, apartndolas de dos endos, y dejndolas en un lado. Escribimos contar, entrecomillado, porque enrealidad no se las cuenta. En vez de eso, vaya diciendo tan slo dos cerillas cada


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vez que las aparte del montn. El montn estar formado justamente por pares, ypor ello, al final no quedarn cerillas desemparejadas. Se cuenta el otro montnde igual manera. Al retirar el ltimo par quedar todava una cerilla suelta. Un pocode palique en tono convincente bastar para dejar perplejo a casi todo el mundo. Eltruco funciona por s solo, sin especial habilidad del mago, y el lector que lo ensayeun poco comprender inmediatamente por qu.

En la primera recopilacin conocida de cuestiones y problemas de matemticarecreativa, Problmes plaisans et dlectables, de Claude Gaspar Bachet, publicadoen Francia en 1612, podemos ver un truco que se remonta a tiempos medievales. Laversin clsica es como sigue.

Se disponen sobre la mesa 24 cerillas y tres objetos pequeos, una moneda, unanillo y una llave, por ejemplo. Se pide colaboracin a tres espectadores.Designmoslos 1 2 y 3. Para estar seguro de recordar el orden en que han sidollamados (les dice usted) le da una cerilla a su primer ayudante, dos al segundo, ytres al tercero. Estas cerillas se toman de las 24 que hay en la mesa, con lo cualqueda un montoncito de 18 fsforos. Se dice a los ayudantes que se guarden en unbolsillo las cerillas que han recibido.

Vulvase de espaldas para no ver lo que sucede, y pdale al espectador nmero 1que coja uno de los tres objetos y se lo guarde en el bolsillo. El segundo espectadortoma uno de los dos objetos restantes, y el tercer espectador, el nico que todavaqueda. Pdale ahora a la persona que tom la moneda que retire de la mesa tantascerillas como inicialmente recibi, y que las guarde en el puo. (Usted no tiene formade saber quin es, pues est vuelto de espaldas.) Dgale a la persona que hayacogido el anillo que recoja de la mesa doble nmero de cerillas de las que recibi, yque las guarde en el puo. Pdale al que cogi la llave que tome cudruple de sunmero de cerillas, y que las guarde tambin.

Entonces se vuelve usted hacia sus ayudantes, y tras fingir durante unos instantes

concentrarse para lograr percepcin extrasensorial, le dice a cada uno el objeto queha elegido. La clave reside en el nmero de cerillas que an quedan en la mesa. Hayseis permutaciones posibles de los tres objetos tomados por los espectadores; cadauna de ellas deja en la mesa distinto nmero de cerillas sobrantes.


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Denotemos los objetos P, M y G (pequeo, mediano, y grande); la tabla de la Figura11 muestra la permutacin correspondiente a cada posible coleccin de cerillasresiduales. (Es imposible que sobren cuatro cerillas. Si viera usted que sobre lamesa quedan cuatro cerillas, alguien se ha equivocado o ha hecho trampa, y espreciso repetir el truco). Se han construido docenas de frases mnemotcnicas parafacilitar al mago la tarea de averiguar cmo estn distribuidos los objetos. Bachetmarc los objetos con las letras a, e, i,las tres primeras vocales, y construy lasiguiente frase, en francs: (1) Par fer(2) Csar(3)jadis(5) devint(6) si grand(7)prince. Las dos vocales de cada palabra o frase bastan para dar la informacinnecesaria. Por ejemplo, si el mago ve cinco cerillas sobre la mesa, la quinta palabra,

devint, le dice que el objeto efue tomado por el primer espectador (quien recibiuna cerilla) y el objeto ipor el segundo (quien tena dos cerillas). El objeto restantea debe encontrarse en el bolsillo del tercer espectador, a quien se le dieron trescerillas al comienzo del truco.

Otros ilusionistas del siglo XVII, recurriendo tambin a las tres vocales para designarlos objetos, prefirieron recordar las seis permutaciones ayudndose de las dosprimeras vocales de cada palabra de la siguiente frase latina: Salve certa animaesemita vita quies.

En la versin presentada aqu, donde los objetos han sido designados P, M y G,podemos usar la siguiente frase mnemotcnica: (1) Pimpantes (2) mapas(3)

plegaba[(4) con] (5) magnficas(6) grapas(7) gemelas. Las dos primerasapariciones de las letras clave, que estn en negrita, nos dicen los dos objetostomados por el primer y segundo espectadores, respectivamente; el tercer objetocorresponde necesariamente al tercer espectador. El lector puede pasar un ratoentretenido componiendo otras frases de su invencin. Para designar los objetospueden usarse otras letras, como A, B y C o L, M, P (ligero mediano, pesado), lasiniciales de los objetos utilizados, etc. Conviene introducir en la frase una cuartapalabra, de relleno, como hicimos antes, no obstante ser imposible que sobrencuatro cerillas, pues ello permite al ilusionista contar rpidamente las cerillassealando cada una con una palabra de la frase, sin tener que preocuparse de saltar


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el nmero cuatro cuando hayan quedado ms de tres. El truco admite unainteresante generalizacin, que data de 1893, para n objetos y n espectadores,fundado en el sistema de numeracin de base n. Puede verse en MathematicalRecreations and Essays, de W. W. Rouse Bail (pgina 30 de la edicin revisada,1960).

Un truco teleptico ms reciente se sirve de un poco de teora elemental de nmeros

(que todava algunos llaman aritmtica) y de una carterita pequea de 20 cerillas depapel. Vueltos de espaldas, le pedimos a un espectador que arranque del sobre unnmero cualquiera de cerillas, de 1 a 10, y que se las guarde en un bolsillo. Dgaleentonces que cuente para s el nmero de las restantes, y que sumando las doscifras de ese nmero, arranque de la carterita otras tantas cerillas. (Por ejemplo, sihubiesen quedado 16 cerillas, tendra que sumar 1 y 6, y arrancar 7 fsforos ms.)Estas cerillas debe tambin guardarlas en el bolsillo. Finalmente, el espectadorarranca unas cuantas cerillas ms, a su capricho, y las guarda en el puo. Entoncesse vuelve usted y recoge la carterita, contando de una ojeada el nmero de cerillassobrantes al tiempo de guardrsela en el bolsillo. Y ahora podemos decir el nmerode cerillas que el espectador oculta en su puo. En efecto, tras las dos primeras

operaciones siempre sobran en el sobre nueve cerillas. (Sabra usted decir porqu?) Bastar por tanto restar de 9 el nmero de cerillas restantes en el sobrecitopara saber el nmero de las ocultas en la mano.

Las cerillas pueden ser tiles en diversidad de juegos que, como el nim, sedesarrollan retirando fichas o cuentas, o en ciertos juegos de apuestas, como el delos chinos. Pero resultan particularmente adecuadas para el que ahoraexplicaremos, tanto por su forma como por la facilidad de tenerlas de varios colores.El juego fue inventado por Jurg Nievergelt, matemtico especialista en clculoautomtico, quien lo ha bautizado Hit-and-Run. Por lo general la partida sedesarrolla sobre una matriz cuadrada de orden 4 (vase la Figura 12).


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Los jugadores disponen inicialmente de unas carteritas de 20 cerillas, cuyas cabezashan de ser de distintos colores, gris y negro, por ejemplo. No deja de ser gratacoincidencia que las 40 cerillas de que disponen sean precisamente el mximonecesario. Los jugadores van por turno colocando cada uno una cerilla en uno

cualquiera de los segmentos de la matriz. Las negras se proponen construir uncamino que conecte los dos lados negros del tablero; las grises lo mismo con losotros dos lados. (Los caminos contrarios pueden cortarse en ngulos rectos). Elprimer jugador que consiga construir un camino gana la partida. El juego se llamaHit-and-Run, porque cada jugada puede servir tanto para bloquear un camino deladversario (un hit en bisbol) como para, al mismo tiempo, prolongar un camino(run).

El juego tiene superficialmente cierto parecido con el Hexde Piet Hein y convariantes posteriores, como el Bridg-ity el Twixt(puede verse el Bridg-iten Nuevos


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arbitrario, pero el objetivo es ahora ser el primero en delimitar una regin cerrada deforma cualquiera cuya frontera est formada por cerillas del color propio.

En la Figura 14 las negras han ganado la partida. Sabr usted descubrir unasencilla estrategia -dada ya por Silverman- mediante la cual el segundo jugadorpuede siempre impedir la victoria del primero, incluso sobre matrices infinitas?

Para terminar, he aqu seis entretenidos pasatiempos con cerillas (vase la Figura15):


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1. Retirando once cerillas, dejar seis.

2. La disposicin de seis cerillas que vemos define un mapa planar que requiere trescolores si se exige que ningn par de regiones con una cerilla frontera comn estncoloreadas del mismo tono. El problema consiste en redisponer las seis y formar unnuevo mapa planar que precise de cuatro colores. Al estar el mapa confinado alplano hay que descartar la sencilla solucin tridimensional consistente en elesqueleto de un tetraedro.

3. Cambiando de posicin dos cerillas hay que reducir de 5 a 4 el nmero decuadrculas unitarias de la figura. No es lcito dejar cabos sueltos -es decir, cerillasno utilizadas como lados de un cuadrado. Una notable caracterstica de este clsicoproblemita es que, incluso una vez resuelto, podemos volverlo del revs, volverlocabeza abajo, o ambas cosas, y seguir siendo casi tan difcil de resolver como loera inicialmente.


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4. En la disposicin de la figura es cosa fcil dejar slo dos tringulos equilterosretirando cuatro cerillas. Tampoco es dificil lograr lo mismo eliminando tres. Perosabr el lector suprimir slo dos cerillas y dejar dos tringulos equilteros? Comoantes, tampoco deben quedar cabos sueltos.

5. Moviendo solamente una cerilla debemos lograr una igualdad verdadera. No esvlido tachar el signo igual con una cerilla y obtener una desigualdad verdadera; la

expresin final debe ser una autntica igualdad.6. Moviendo solamente una cerilla hay que formar un cuadrado. (La vieja broma dedeslizar uno o dos milmetros hacia arriba la cerilla central superior, y dejar en elcentro de la cruz un minsculo hueco cuadrado no es vlida. La solucin tambin eshumorstica, pero la broma va ahora por muy distinto camino.)

Apndice

En el texto, al describir los dos juegos con cerillas hemos supuesto que sus cabezasson de distinto color; pero si encontrsemos carteritas donde las cerillas -y no slosus cabezas- fueran de colores diferentes, seria todava mejor. Y como es natural,ambos pueden jugarse sobre papel, dibujando una matriz de puntos a conectar con

trazos rectos de dos colores.Nievergelt ha hecho notar que la demostracin de Silverman acerca de estrategiasvencedoras para el segundo jugador en las partidas de Connecto deja de servlida en otras disposiciones regulares de puntos. Por ejemplo, sobre una redtriangular, el primer jugador puede vencer siempre, completando un tringulo unitarioa lo ms tardar en su sptima jugada.

Nievergelt opina que el Connecto es an ms interesante sobre otras retculas detipo diferente, y en concreto se pregunta de quin puede ser la victoria sobre unamalla cbica. Sera interesante, dice, que alguien lograse dar condiciones definiblesen trminos de teora de grafos que permitieran clasificar los grafos regulares

infinitos segn que el primer jugador consiga o no imponer un circuito cerrado.Soluciones

El rompecabezas de David Silverman se resuelve observando que todo jugador quegane una partida de Connecto ha de tener forzosamente dos cerillas que formen laletra L en la frontera de su regin. El segundo jugador puede impedir que venza elprimero -cualquiera que sea el tamao del tablero- sin ms que impedir que sucontrario forme una L. Si el primer jugador ocupase la barra vertical de una posible L,el segundo respondera trazando la correspondiente barra horizontal; y si el primerodibujase la barra horizontal, el segundo formara la vertical. Con esta estrategia elsegundo jugador tiene garantizado, como mnimo, un empate.


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En la Figura 16 pueden verse las soluciones de los seis pasatiempos con cerillas;algunos lectores descubrieron una segunda solucin para el quinto: el VI del primermiembro se transforma en un XI, que es equivalente, en cifras romanas, al 11arbigo que figura en el segundo.


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Captulo 3Esferas e hiperesferas

Mam, mam! Por qu al andar no hago ms que dar vueltas?Nio, s no te callas te clavo al suelo el otro pie.

Chiste negro, hacia 1955

Una circunferencia es el lugar geomtrico de todos los puntos del plano que seencuentran a distancia dada de un punto fijo. Generalizando esta definicin a losespacios eucldeos de dimensin cualquiera, llamaramos esfera general endimensin n(o ms brevemente, n-esfera) al conjunto de todos los puntos delespacio n-dimensional que se encuentran a distancia dada de un punto fijo delespacio. En los espacios de dimensin uno (las rectas) la 1-esfera est formada pordos puntos situados a una distancia dada, uno a cada lado de un punto central. La2-esfera no es sino la circunferencia, y la 3-esfera, la figura que ordinariamentellamamos esfera. Conforme aumenta la dimensin tenemos las hiperesferascorrespondientes a dimensin 4, 5, 6, ...

Imaginemos una varilla de longitud unidad con un extremo ligado a un punto fijo. Sislo permitimos que la varilla gire sobre un plano, su extremo libre trazar unacircunferencia de radio unidad. Dejando en libertad la varilla para voltear en elespacio tridimensional, su extremo describir una superficie esfrica. Supongamosahora que el espacio tuviese un cuarto eje de coordenadas que cortase en ngulorecto a los otros tres, y que la varilla tuviera libertad para girar en el espaciotetradimensional. Su extremo libre engendrara entonces una 4-esfera unitaria. Esimposible visualizar hiperesferas; empero, sus propiedades pueden estudiarsemediante una sencilla generalizacin de la geometra analtica, extendindola alcaso de ms de tres coordenadas.

La ecuacin cannica de una circunferencia es a2

+ b

2

= r

2

, donde r representa elradio. La ecuacin de la esfera es a2+ b2+ c2= r2. Para la 4-esfera la ecuacin seraa2+ b2+ c2 + d2= r2, y as sucesivamente al ir ascendiendo la escala de loshiperespacios euclideos.

La superficie de una n-esfera tiene dimensionalidad n-1. La superficie de uncrculo es una lnea de una dimensin, la superficie esfrica es bidimensional, y lasuperficie de una 4-esfera es tridimensional. Sera posible que el espaciotridimensional fuese en realidad la hipersuperficie de una gigantesca 4-esfera?Podran transmitirse mediante vibraciones de semejante hiperesfera fuerzas talescomo la gravedad y el electromagnetismo? Muchos matemticos y fsicos de finalesdel siglo pasado, tanto ortodoxos como iconoclastas se tomaron en serio esta

conjetura. El propio Einstein sugiri la superficie de una 4-esfera como modelo deluniverso, que sera de esta forma ilimitado y al mismo tiempo, finito. Imaginemosque la superficie de una esfera est habitada por planilandeses bidimensionales.Al viajar stos por la esfera, siguiendo la lnea ms recta posible en una direccincualquiera, acabaran retornando al punto de partida. Anlogamente (sugeraEinstein), si una nave espacial partiese de la Tierra y viajase durante suficientetiempo, siempre en la misma direccin, al cabo retornara a la Tierra. Un planilandsque fuese pintando la superficie de la esfera que habita, trazando crculosconcntricos cada vez ms amplios, alcanzara un punto medio a partir del cual los


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crculos comenzaran a decrecer, encontrndose l hacia el interior, y finalmente, elpintor tendra que pintarse a s mismo, encerrado en un punto. Anlogamente, en elcosmos de Einstein, si los astronautas terrestres empezasen a cartografiar eluniverso, proyectndolo sobre esferas concntricas siempre en aumento, acabaranen ltimo extremo encerrados en un pequeo espacio globular, en el polo de lahiperesfera diametralmente opuesto a la Tierra.

Muchas otras propiedades de la hiperesfera son justamente las que podramosesperar por analoga con esferas de orden inferior. Una circunferencia puede giraralrededor de un punto, el centro; una esfera, alrededor de una recta (un eje), y una4-esfera puede girar alrededor de un planoque contenga a su centro. En general, eleje de una n-esfera giratoria es un espacio de dimensin n-2. (No obstante, la4-esfera puede efectuar una doble rotacin muy peculiar, que no tiene analoga enlos espacios de dimensiones 2 3; puede girar simultneamente sobre s mismaalrededor de dos planos fijos mutuamente perpendiculares.) La proyeccin de unacircunferencia sobre una recta de su mismo plano es un segmento, si bien todopunto del segmento, exceptuados los extremos, se corresponde con dos puntos dela circunferencia. Proyectando una esfera sobre un plano resulta un disco, siendo

cada punto interior del disco proyeccin de dos puntos de la esfera. Al proyectar una4-esfera sobre nuestro 3-espacio se obtiene una bola maciza, y cada uno de suspuntos interiores es proyeccin de dos puntos de la superficie de la hiperesfera. Esteresultado se generaliza a todos los espacios de dimensin superior.

Otro tanto puede decirse para las secciones transversales. Al cortar unacircunferencia con una recta, la interseccin es una 1-esfera, esto es, un par depuntos. Al cortar una esfera con un plano la seccin producida es una circunferencia.Cortando una 4-esfera con un hiperplano (de dimensin 3) la seccin resultante esuna 3-esfera. (Es imposible dividir en dos una hiperesfera cortndola con un 2-plano.Una hipermanzana, pasada de parte a parte por un plano bidmensional, permanecede una pieza.) Imaginemos una 4-esfera que fuera atravesando lentamente nuestro

espacio. La veramos aparecer como un punto y en seguida transformarse en unabolita que progresivamente ira engordando hasta su mxima seccin, para ir luegoadelgazando hasta esfumarse.

Una esfera de dimensin cualquiera, construida con material lo suficientementeflexible, puede ser siempre vuelta del revs, de adentro a afuera, sumergindola enel espacio de dimensin inmediatamente superior. De igual forma que nosotrospodemos retorcer un delgado aro de goma hasta que su cara interior pase a serexterior, y recprocamente, tambin una hipercriatura podra asir una de nuestraspelotas de tenis y volverla, como un guante, del revs, manipulndola a travs delhiperespacio. Y podra hacerlo de una sola maniobra o tambin comenzando por unpunto de la pelota, irla volviendo del revs a partir de l, hasta dejar toda la bola conel interior expuesto al exterior.

Entre las frmulas que es posible generalizar fcilmente a esferas de dimensinarbitraria, una de las ms elegantes es la que relaciona los radios del nmeromximo de esferas n-dimensionales mtuamente tangentes. En el plano esimposible situar ms de cuatro circunferencias de forma que cada una toque a lasdems, sieno tangente cada par en un punto diferente. Hay dos situacionesposibles (dejando aparte casos degenerados, donde una de las circunferencias esde radio infinito, convirtindose as en una lnea recta): o bien tres circunferencias


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rodean a una cuarta, menor, (Figura 17, izquierda), o bien tres estn contenidas enla cuarta (Figura 17, derecha).

Frederick Soddy, qumico ingls descubridor de los elementos istopos (lo que levali el premio Nobel), expres este hecho como sigue, en la primera estrofa de supoema The Kiss Precisepublicado en la revista Nature(el 20 de junio de 1936, p.

1.021), y aqu traducido con alguna impertinencia:

Pueden besarse los labios, dos a dos,sin mucho calcular, sin trigonometra;mas ay! no sucede igual en la Geometra,pues si cuatro crculos tangentes quieren sery besar cada uno a los otros tres,para lograrlo habrn de estar los cuatroo tres dentro de uno, o algunopor otros tres a coro rodeado.De estar uno entre tres, el caso es evidente

pues tres veces son todos besados desde afuera.Y el caso tres en uno no es quimera,al ser este uno por tres veces besado internamente.

En la siguiente estrofa de su poema, Soddy da la sencilla frmula que relaciona losradios de los crculos. La curvatura es la inversa del radio; as, un crculo de radio 4tiene curvatura 1/4. Cuando un crculo es contactado desde su interior, como lesucede al crculo grande que contiene a los otros tres, se dice que su curvatura es


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cncava, y a tal curvatura se le atribuye signo negativo. As dice Soddy en susegunda estrofa:

Cuatro crculos llegaron a besarse,cuanto menores tanto ms curvados,y es su curvatura tan slo la inversa

de la distancia desde el centro.Aunque este enigma a Euclides asombrara,ninguna regla emprica es necesaria:al ser las rectas de nula curvaturay ser las curvas cncavas tomadas negativas,la suma de cuadrados de las cuatro curvaturases igual a un medio del cuadrado de su suma.

Denotando a, b, c y dlos recprocos de los cuatro radios, la frmula de Soddy es2(a2+ b2+ c2+ d2) = (a + b + c + d)2. El lector no deberia ya tener dificultad encalcular el radio del cuarto circulo osculatriz de cada ilustracin. En la tercera y

ltima estrofa del poema de Soddy, la frmula es generalizada a cinco esferasmutuamente osculatrices:

Espiar de las esferaslos enredos amorosospudirale al inquisidorrequerir clculos tediosos,pues siendo las esferas ms corridasa ms de un par de paresuna quinta entra en la movida.Empero, siendo signos y ceros como antespara besar cada una a las otras cuatro.

El cuadrado de la suma de las cinco curvaturasha de ser triple de la suma de sus cuadrados.

En el nmero del 9 de enero de 1937 (Vol. 139, pg. 62), la redaccin de Natureacusaba recibo de varias cuartas estrofas que generalizaban la frmula de Soddy aespacios n-dimensionales, aunque public solamente la que sigue, debida a ThoroldGosset, abogado ingls aficionado a las matemticas.

No debemos empero confinar nuestros cuidadosa los simples crculos, esferas y planos,sino elevarnos a n-espacios e hipercurvaturasdonde tambin las mltiples tangenciasson seguras.En n-espacios, los pares de tangentesson hiperesferas, y es verdad-mas no evidente-cuando n + 2 de tales se osculeancada una con n + 1 compaerasque el cuadrado de la suma de todas las curvaturases n veces la suma de sus cuadrados.


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Dicho en prosa simple y llana, en el espacio n-dimensional el mximo nmero dehiperesferas mutuamente tangentes es n+ 2, y al multiplicar por nla suma de loscuadrados de todas sus curvaturas resulta el cuadrado de la suma de las curvaturas.Ms tarde se ha sabido que la frmula correspondiente a cuatro circunferencias eraya conocida por Descartes, pero Soddy la redescubri y, segn parece, fue elprimero en generalizarla para esferas.

Vale la pena notar que la frmula general es aplicable incluso a tres esferasbipuntuales del espacio unidimensional que sean mutuamente tangentes: dossegmentos de recta que se tocan, dentro de un tercero que es la suma de ambos.Para los aficionados a las matemticas recreativas, la frmula de Descartes-Soddyes un autntico don del cielo. Casi todos los problemas sobre crculos o esferasmutuamente tangentes ceden pronto frente a ella. He aqu uno muy bonito. Trespomelos perfectamente esfricos, todos de 3 cm de radio, descansan sobre unmostrador plano. Tambin sobre el mostrador, pero debajo de los pomelos ytangente a ellos, se tiene una pequea naranja perfectamente esfrica. Qu radiotendr la naranja?

En cambio, los problemas sobre empaquetamiento de esferas unitarias no admiten

generalizaciones sencillas al ir ascendiendo por el escalafn de espacios dedimensin cada vez mayor; en realidad, se tornan cada vez ms dificiles. Tomemospor ejemplo el problema de hallar el nmero mximo de esferas unitarias quepueden ser tangentes a otra esfera unitaria tambin. Para circunferencias tal nmeroes seis (vase la Figura 18).

Para esferas ordinarias es 12, pero no pudo probarse que as fuera hasta 1874. Ladificultad se debe a que al colocar 12 esferas en torno a una decimotercera, con sus


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centros en los vrtces de un icosaedro imaginario (Figura 19), entre cada par deesferas queda espacio vaco.

El espacio vaco es ligeramente superior al necesario para alojar una dcimoterceraadmitiendo que fuera posible desplazar adecuadamente las 12 primeras,manteniendo el contacto y el empaquetamiento. S el lector se toma la molestia debaar de goma arbiga 14 pelotas de pin-pong, ver que puede fcilmente adherir auna de ellas otras 12, no estando claro si se podr o no incluir una ms sin forzarlasni deformarlas indebidamente. He aqu una cuestin equivalente (sabr el lectorexplicar por qu?): podremos pegar sobre una esfera 13 discos de papel, que cubracada uno un arco de 60 grados de un crculo mximo, sin que se traslapen unos conotros?

H. S. M. Coxeter, al escribir sobre The Problem of Packing a Number of EqualNonoverlapping Circles on a Sphere (en Transactions of the New York Academy ofSciences. Vol. 24, enero de 1962, pp. 320-31), cuenta la historia de la que podra serla primera discusin documentada sobre el problema de las 13 esferas. David


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de slo 5,1 + , y a partir de ah, contina decreciendo sistemticamente, tanto as, quecuando ntiende a infinito, el hipervolumen, de la n-esfera unitaria tiende a cero. Sesiguen de aqu resultados que podramos calificar de extraterrestres. DavidSingmaster, escribiendo sobre Piezas redondas en agujeros cuadrados, y piezascuadradas en agujeros redondos (On Round Pegs in Square Holes and Square Pegsin Round Holes, Mathematics Magazine, (vol. 37, noviembre de 1964, pp. 335-37) llega la conclusin de que las piezas redondas encajan mejor en agujeros cuadrados que ala inversa, porque la razn de la superficie del crculo a la de su cuadrado circunscrito(/4) es mayor que la razn del cuadrado inscrito al crculo que lo contiene (2/ ).Anlogamente, podemos demostrar que una bola encaja mejor en una caja cbica queun cubo en un envase esfrico, si bien la diferencia de los cocientes es algo menor.Singmaster descubri que la diferencia sigue decreciendo hasta los espacios dedimensin 8; a partir de ah se cambian las tornas, y en el espacio de dimensin 9 larazn de la n-bola al n-cubo es menor que la relacin del n-cubo a la n-bola. Dicho deotra forma, la condicin necesaria y suficiente para que una n-bola est mejor envasadaen un n-cubo que un n-cubo en una n-bola es que nsea menor o igual que 8.

La misma curiosa extravagancia del espacio de dimensin 9 se manifiesta en unaparadoja descubierta por Leo Moser y no publicada hasta ahora. En un cuadrado delado 4 podemos alojar cuatro discos unitarios (vase laFigura 20); en el centro entratodava un circulo de radio 2 - 1. Anlogamente, podernos encajar ocho esferasunitarias contra los rincones de una caja cbica de arista 4 (vase la Figura 21).


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La mxima esfera que podr alojarse en el espacio central comprendido entre lasocho tiene radio 3 - 1. La situacin se generaliza de forma evidente: en un 4-cubode arista 4 podemos acomodar 16 esferas unitarias de dimensin 4, ms una esferacentral de radio 4 - 1, o sea 1, con lo que la esfera central tiene ahora el mismotamao que las otras. En general, en los vrtices de un n-cubo de arista 4 puedenalojarse 2nesferas unitarias y adems, presurniblemente, otra esfera central de radion - 1. Veamos, sin embargo, qu sucede al llegar al espacio de dimensin 9. La

hiperesfera central tiene radio 9 - 1 = 2, que es igual a la semiarista del hipercubo.La esfera central llena ahora el hipercubo, siendo tangente a cada una de lashipercaras en su centro, pero de todas formas, deja suficiente espacio en cada unode los 29 = 512 vrtices corno para alojar 512 esferas unitarias de dimensin 9!Otra paradoja relacionada con sta, descubierta tambin por Leo Moser, se refiere atableros de ajedrez n-dimensionales. Imaginemos todos los cuadros negros de undamero encerrados en crculos circunscritos (vase la Figura 22). Supongamos quecada casilla tenga lado 2 y rea 4. Cada crculo tendr entonces radio 2 , y rea 2.En cada casilla, el rea de la regin que permanece blanca (que no forma parte de uncrculo) es 8 - 2= 1,71 +. En la generalizacin a tres dimensiones, cada celdillanegra de un damero cubiculado est englobada en una esfera circunscrita. Cada


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cubculo tiene volumen 8, y el volumen de cada esfera, cuyo radio es 3 , es 4 3 -,aunque el volumen de la regin libre de las cuadrculas blancas no es tan fcil decalcular, porque las seis esferas adyacentes a ellas se interceptan entre s.

Fijmonos ahora en un retculo tetradimensional de hipercubos de arista 2, cuyoscubculos supondremos alternativamente coloreados de blanco y negro, de forma quecada uno de ellos estar rodeado por ocho hipercubculos de color contrario. En tornoa cada hipercubculo negro est circunscrita una hiperesfera. Qu volumen tiene laregin libre de cada cubiculo blanco? La respuesta, sorprendentemente sencilla,puede averiguarse rpidamente sin conocer siquiera el volumen de la hiperesfera.

SolucionesEl primer problema consista en hallar los radios de dos crculos, cada uno de loscuales es tangente a tres circunferencias, mutuamente tangentes, de radios 1, 2 y 3unidades. Valindose de la frmula explicada en el capitulo,

2(1 +4

1 +9

1 +2

1

x) = (1 +

2

1 +3

1 +x

1 )2

siendo x el radio del cuarto crculo, se obtienen las soluciones 6/23 (radio del circulopequeo) y 6 (para el crculo grande).

El segundo problema se refera a tres pomelos y una naranja; todas descansan sobreun mostrador plano y son mutuamente tangenges. Los pomelos son de igual tamao,y de 3 cm de radio. Qu tamao tiene la naranja? El plano sobre el que descansanlas cuatro esferas puede considerarse como una quinta esfera de radio infinito,


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tangente a las otras cuatro. Por tener curvatura nula, el trmino correspondiente a elladesaparece de la frmula que relaciona los recprocos de los radios de cinco esferasmutuamente tangentes. Sea xel radio de la naranja. Tendremos la ecuacin:

3(23

1+

23

1+

23

1+

2

1

x) = (

3

1+

3

1+

3

1+

x

1)2

de donde resulta que xtiene el valor de 1 cm.

Evidentemente, el problema puede resolverse por otros procedimientos. Cuando fuepropuesto (Problema 46, en el Pi Mu Epsilon Journal, noviembre de 1952) LeonBankoff lo resolvi como sigue, siendo Rel radio de las esferas grandes y rel de laesfera ms pequea:La esfera pequea, de radio r, descansa sobre un punto de la mesa situado a igualdistancia de los puntos de contacto de cada una de las esferas grandes con el planodel tablero. Se encuentra por tanto en el circuncentro de un tringulo equiltero delado 2R. Por consiguiente (R+ r) es la hipotenusa de un tringulo rectngulo, cuyaaltura mide (R - r) y cuya base es de 2R 3 /3. Por ello,

(R+ r)2= (R r)2+ 4R2/3,es decir,

La solucin de la paradoja de Leo Moser sobre el hiperdamero cbico del espaciotetradimensional es que las hiperesferas que engloban los cubculos negros no dejanlibre ninguna porcin de los cubculos blancos. El radio de cada hiperesfera es 4 osea, 2. Como las aristas de las hipercasillas miden 2 unidades, vernos enseguida quecada una de las ocho hiperesferas que cercan la celdilla blanca llegan a pasar por elcentro de la casilla. Las ocho hiperesferas se traslapan entre s, sin dejar ningunaporcin del cubculo blanco fuera de todas ellas.


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Captulo 4Pautas de induccin

Entre los juegos y pasatiempos son muchos los que muestran atisbos del proceso

mental llamado induccin, que es el curioso procedimiento por el cual loscientficos, tras observar que algunas avestruces lucen largos cuellos, concluyen quetodas las avestruces tendrn asimismo cuellos largos. En el pker y en el bridge, porejemplo, los jugadores van observando el juego en busca de pistas e indicios que lespermitan formarse conjeturas probables acerca de las manos de sus contrarios. Siun criptgrafo, al descifrar un mensaje, llegase a sospechar que BCTVSEP esABSURDO, reconociendo en ella una pauta o regla de formacin, lo que hace esponer a prueba esta hiptesis, tanteando con estas letras en algn otro prrafo delmensaje. Hay un viejo juego de saln que consiste en ir pasando de mano en manounas tijeras por un corro de jugadores. Al entregrselas al vecino, cada jugador dicecruzadas o juntas; los ya familiarizados con el truco aaden entonces cierto ofalso, y la broma contina hasta que todos han descubierto la regla, por induccin.Las tijeras no son ms que para despistar: los jugadores tienen que decircruzadas si y solamente si ellos tienen las piernas cruzadas.

Otros conocidos juegos, como la clsica batalla de barcos de los escolares,presentan mayores analogas con el mtodo cientfico. De todas formas, el primer

juego de induccin deliberadamente ideado para ello fue el de Eleusis, juego denaipes inventado por Robert Abbott y que expliqu por vez primera en mi seccin deScientific Americande junio de 1959. (Hay una exposicin ms amplia enAbbottsNew Card Games, publicado por Stein and Day en 1963, y en edicin de bolsillo, porFunk & Wagnalls, en 1969). El juego Eleusis interes a muchos matemticos, yprincipalmente a Martin D. Kruskal, de la Princeton University, quien prepar una

excelente variante, Delphi - a Game of Inductive Reasoning, que explic en un folletoeditado a expensas propias.

En Eletisis y Delphi hay una regla secreta que estipula el orden en que debejugarse cada naipe. La regla hace las veces de una ley natural; los jugadores debenconjeturar la ley, por induccin, y despus, lo mismo que los cientficos someter aprueba su conjetura. En este captulo expondr un juego de induccin de nuevocuo, llamado Pautas (Patterns), creado por Sidney Sackson, que ste explica ensu delicioso libroA Gamut of Games.

Se juega a pautas con lpiz y papel. El nmero de participantes puede sercualquiera, pero no es conveniente que exceda de seis. Aunque es notablemente

distinto de Eleusis y Delphi, comparte con aqullos la misma llamativa semejanzacon el mtodo cientfico; tanto, que muchos de los espinosos problemas que desdelos das en que David Hume dej claro que la induccin no tiene fundamento en lalgica han venido aguijando a los filsofos de la ciencia tienen en el juegointeresantes paralelos.

Cada jugador dibuja un casillero cuadrado, de seis por seis. Uno de los jugadores,llamado diseador (el papel de diseador cambia de manos tras cada partida)rellena en secreto sus 36 casillas trazando en cada una un smbolo, que puede ser


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de cuatro clases. Sackson propone los cuatro modelos que vemos en la Figura 23,pero pueden servir otros cuatro de formas cualesquiera.

El diseador, que asume el papel de la Naturaleza, el Universo o la Divinidad, tienecompleta libertad para rellenar las casillas como guste; puede trazar motivosfuertemente o dbilmente organizados; motivos slo parcialmente ordenados, omotivos enteramente caticos. No obstante (y en este aspecto Sackson retorna lalcida y original idea de Abbott) el sistema de puntuacin est pensado de forma queimpela al diseador a crear patrones -regularidades de, la naturaleza- lo

suficientemente sencillos como para ser descubiertos por al menos un jugador, y losuficientemente difciles como para impedir que al menos otro sea incapaz deconseguirlo.

Cuatro motivos tpicos, tomados del libro de Sackson, han sido reproducidos en laFigura 23, colocados ms o menos por orden de dificultad. Todos muestran algunaforma de simetra o regularidad visual. Cuando los jugadores sean muy avezados, otengan buena preparacin matemtica, pueden usarse tambin motivos asimtricos.Por ejemplo, el diseador podra ir rellenando las casillas, de izquierda a derecha, yde arriba a abajo, poniendo un signo ms en todas las cuadrculas de lugares


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primos, y estrellas en las restantes. El sistema para confeccionar el diseo patrnest ntimamente relacionado con la capacidad del diseador para estimar lahabilidad de los otros jugadores, porque, como veremos, la puntuacin del diseadores mxima cuando uno de los jugadores logra lucirse, y otro, en cambia fracasaestrepitosamente. Por cierto, sabr el lector discernir la idea que ha servido paraconfeccionar el motivo asimtrico de la Figura 24?

El diseador pone su hoja boca abajo, sobre la mesa. Cualquiera de los jugadorespuede irle haciendo preguntas; para ello dibuja en su casillero un trazo oblcuo en elngulo inferior izquierdo de las casillas cuyo contenido desee conocer. Esta hoja sele pasa boca abajo al diseador, quien debe rellenar con el smbolo correcto todaslas casillas solicitadas. No hay turnos. Cada jugador puede pedir tanta informacincomo desee, sin limitacin del nmero de casillas. Cada peticin representa unaobservacin de la naturaleza o si se quiere, un experimento, que no es sino unaforma de realizar observaciones en condiciones controladas; las respuestas del

diseador equivalen a los resultados de tales observaciones. Los jugadores podranpedir informacin sobre el contenido de las 36 casillas y disponer inmediatamente dela configuracin completa, pero eso nada les reportara, pues su puntuacin seraentonces cero.

Cuando un jugador cree haber adivinado el patrn maestro, dibuja smbolos en todaslas casillas que quedan todava en blanco. Para facilitar la localizacin de estossmbolos conjeturados se los encierra entre parntesis. Si el jugador se ve incapazde adivinar el motivo, puede salirse de la partida, con puntuacin cero. En ocasiones


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es recomendable hacerlo as, porque puede ahorrarle una puntuacin negativa, yadems, inflinge al diseador una penalizacin.

Una vez que todos los jugadores, bien han rellenado la totalidad de sus 36 casillas,bien han abandonado la partida, el diseador vuelve boca arriba su motivo patrn.Cada jugador contrasta sus propias marcas con las del modelo, anotndose unpunto positivo por cada acierto y uno negativo por cada error. La suma algebraica de

unos y otros da su puntuacin en la prtida. Si hizo pocas preguntas al diseador ysupo atinar en todo o casi todo el modelo, su puntuacin ser elevada. Si el nmerode fallos es mayor que el de aciertos, su puntuacin ser negativa. Las altaspuntuaciones corresponderan a cientficos brillantes (o simplemente, afortunados).Las bajas, a los mediocres o los impulsivos (y a veces, a los simplementedesafortunados), que se lanzan a publicar teoras sin suficiente fundamento. Losabandonos corresponden a cientficos mediocres y excesivamente cautelosos, queprefieren no aventurarse a formar hiptesis ninguna.

La puntuacin del dseador es el doble de la diferencia entre la mejor y la peor delas logradas por los jugadores. Cuando hay abandonos su puntuacin sufre merma:si slo hay un abandono se le restan cinco puntos; cada abandono ms le cuesta

otros diez puntos. Sackson da los siguientes ejemplos, donde D es el diseador, y A,B, C son los jugadores:

Si A punta 18, B 15, y C 14, la puntuacin de D sera 8, doble de la diferencia entre18 y 14.

Si A punta 18, B 15, y C - 2, la puntuacin de D sera 40, doble de la diferenciaentre 18 y - 2.

Si A punta 12, B 7 y C se sale de la partida (puntuacin 0), la puntuacin de D sera19, que es el doble de la diferencia entre 12 y 0, con deduccin de 5 puntos, debidosal nico abandono.

Si A logra 12 puntos, y B y C abandonan, D conseguira 9 puntos, que es el doble dela diferencia entre 12 y 0, con deduccin de cinco puntos por el abandono del primerjugador y de diez por el del segundo.

Si los tres jugadores abandonan, D recibe la puntuacin - 25. Su puntuacin bsicaes 0, a la que debemos descontar 25 puntos, en vista de los tres abandonos.

Para hacernos una idea de cmo razona un jugador experimentado, echaremos unvistazo a una partida autntica, jugada por Sackson (vase la Figura 25). Sus cincopreguntas iniciales tienen la finalidad de sondear el motivo, en busca de elementosde simetra (izquierda). Vemos luego la hoja, con los smbolos pedidos (centro). Unaserie de nuevas preguntas recaban ms informacin (derecha). Da la impresin de

que el modelo fuese simtrico con respecto al eje diagonal que va desde el ngulosuperior izquierdo al inferior derecho. Como todava no ha salido ninguna estrella,Sackson induce que el modelo no las contiene.


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Viene ahora ese instante crucial, del que tan poco sabemos, que se produce lacorazonada, el golpe de vista, el chispazo de intuicin, que simboliza la formulacinde una hiptesis por el cientfico imaginativo e impuesto en su materia. Sackson

conjetura que la casilla del ngulo superior izquierdo contiene un crculo, que las trescasillas que lo flanquean tienen todas signos ms y que al ir descendiendo por ladiagonal los signos ms estn escoltados por signos triple punto, repitindosela pauta cada vez con bordes ms anchos, compuestos por estos tres smbolos, enel mismo orden. Para contrastar su teora haciendo tan pocas preguntas nuevascomo sea posible, Sackson decide pedir informacin tan slo acerca de otras doscasillas ms, las dos que vemos vacas, marcadas con lneas oblicuas en el estadillode la derecha en la Figura 25. Si estas dos casillas del modelo no contuvierancrculos, la conjetura de Sackson sera errnea.

Como dice el filsofo Karl Popper, la conjetura ms fuerte es la que msfcilmente puede ser invalidada; Popper opina que esta nocin es equivalente a la

de conjetura ms sencilla. En el juego de Sackson, la conjetura ms fuerte (y lams sencilla) es que todas las casillas contienen un mismo smbolo, una estrella,pongamos por caso. Es una hiptesis muy fuerte, pues para invalidarla es suficientecon que al tomar una sola muestra en un lugar cualquiera se obtenga un smbolodistinto del esperado. La conjetura ms dbil es que dentro de cada casilla haya unode los cuatro smbolos. Semejante hiptesis puede ser plenamente confirmada.Empero, puesto que ningn experimento puede falsearla, es una hiptesisverdadera, aunque intil, desprovista, por completo de contenido empirico, porquenada puede decirnos acerca del modelo patrn.

Los dos crculos resultan encontrarse donde Sackson esperaba; ello refuerza lo queel filsofo Rudolf Carnap llama grado de confirmacin de la hiptesis de Sacksonen relacin con la evidencia total de que dispone. Sackson decide entonces dar elpaso definitivo y publicar la conjetura que ha inducido. Rellena las casillas anvacas de su estadillo. Al comparar su modelo con el patrn (vase la Figura 26) elrecuento de smbolos muestra que tiene 20 aciertos y un fallo, lo que le dapuntuacin 19.


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La estrella, el nico fallo de Sackson, es totalmente inesperada, pero tpica de lassorpresas que suele depararnos la Naturaleza. La ciencia es un juego complejo y eluniverso parece estar provisto de un orden misterioso, un orden que los humanosslo podemos descubrir en parte y no sin gran esfuerzo. Cuanto ms estudiamos lahistoria de este juego trascendental, tanto mayor es la angustiosa sensacin de queel universo est buscando lograr mxima puntuacin. Un ejemplo excelente y actuales el descubrimiento de la organizacin octal, realizado independientemente porMurray Gell-Mann y Yuval Ne'eman. Se trata de una pauta de simetra, definida poruna estructura de grupo continuo, a la que parecen acoplarse todas las partculaselementales. En cuanto se logr acumular informacin suficiente, la pauta result lobastante sencilla como para que dos fsicos, cada uno por su cuenta, lograsen

detectarla; empero, sigui siendo lo suficientemente compleja como para que losdems jugadores no se percataran de ella.

Sackson, el inventor de Pautas, es ingeniero en ejercicio, que ha trabajado sobrepuentes y edificios de estructura metlica. A lo largo de su vida, su entretenimientofavorito ha sido coleccionar, estudiar e inventar juegos. Sin duda posee la mayor delas colecciones particulares de juegos de especulacin, de libros sobre juegos, yde notas logradas a costa de concienzuda investigacin en grandes bibliotecas ymuseos de todo el mundo. l mismo ha inventado centenares de juegos. El primero,nos revela en su libro, lo ide cuando estaba en primer curso de escuela primaria.Se basaba en encerrar palabras dentro de un crculo, y luego concatenarlas. Elprimero de los juegos de tablero que invent fue Uncle Wiggily, que todava sigue

a la venta. Inmediatamente lo modific, alterando las reglas y cambiando losconejitos de la primera versin por soldaditos de juguete, transformndolo as en

juego guerrero.

Casi todos los juegos comercializados por Sackson tienden a primar la habilidadintelectual sobre la pura suerte. Desde el punto de vista de ventas, el de ms xitoha sido el llamado Acquire, cuyo tema es la inversin en cadenas hoteleras. Entrelos otros juegos suyos disponibles en el mercado se cuentan El caso del asesinoescurridizo (juego lgico basado en los diagramas de Venn), Focus, Bazaar,


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Tam-Bit, Take Five, Odd or Even, Tempo, Interplay, y dos juegos de naipes, Venturey Monad.

A Gamut of Gameses un libro de juegos muy singular, pues prcticamente latotalidad de los 38 juegos que contiene les sern desconocidos a los lectores. Entodos ellos, el material necesario es fcil de adquirir o construir: naipes, dados,domins, tableros de ajedrez... De los 38, 22 son originales de Sackson, y los

restantes, o bien son invencin de otros aficionados amigos de Sackson, o bien sonjuegos antiguos, hoy olvidados, pero que merece la pena resucitar. Como es obvio,no habr dos lectores que frente a un mismo juego muestren reacciones idnticas. Ami me resulta particularmente grato el llamado Knight Chase, que se desarrollasobre un tablero de ajedrez, con un caballo blanco y otro negro, y 30 fichasmenudas. Este juego ha sido inventado por Alexander Randolph, un checo denacimiento que hoy reside en Venecia, y que tiene a la venta en los EE.UU. variosotros juegos excelentes. Otro juego al que no falta inters matemtico, es Plank,una variante del tatet (tres en raya), que se vale de 12 tiras tricolores de cartulina.La seccin final del libro es un valioso obsequio que Sackson hace al lector: se danall recensiones sucintas de ms de 200 juegos para adultos, seleccionados entre los

mejores que hay en venta en los EE.UU.El texto de Sackson, nada engolado, est salpicado de ancdotas personales y debreves referencias histricas, tan curiosas como sorprendentes. Antes de leer ellibro, por ejemplo, yo ignoraba que el cribbage(juego de naipes ingls, para dos otres personas) hubiera sido ideado por Sir John Suckling (poeta del siglo XVII), nisaba tampoco que el Monopoly, sin duda el ms difundido de los juegos deespeculacin y compra-venta, se derivase de The Landlords Game, patentado en1904 por una tal Lizzie J. Magie, juego cuya finalidad era ensear la teora delimpuesto simple de Henry George. En su libro, Sackson reproduce el tableropatentado por Magie; la semejanza con el Monopoly salta a la vista.

Los juegos de tablero comerciales, nos recuerda Sackson, tienden a reflejar losacontecimientos y los temas que interesan a las gentes de su tiempo. Aunque l nolo menciona, tenemos un irnico ejemplo de su afirmacin en The Money Game(el

juego del diriero), juego de naipes inventado por Sir Norman Angell, premio Nobelde la Paz en 1933. La baraja, especial, y el dinero en miniatura precisos para este

juego de especulacin burstil venan empaquetados junto a un libro explicativo de204 pginas. Publicado por E. P. Dutton, en la sobrecubierta hacan de lexagerados elogios Walter Lippmann, John Dewey y destacados economistas.CuI es la gracia -gracia macabra- del juego del dinero de Angell? Su fecha depublicacin: 1929.

Apndice

Robert Abbott ha modificado considerablemente su juego Eleusis, logrando asque las partidas sean mucho ms entretenidas. Las reglas de la Nueva Eleusispueden verse en la seccin Juegos Matemticos de Investigacin y Ciencia dediciembre de 1977.

Sidney Sackson se retir en 1970 de sus tareas ingenieriles, dedicndose desdeentonces enteramente a inventar nuevos juegos y escribir. Su Gamut of Gamessigue en prensa, en edicin encuadernada (Castle Books); hay en la actualidad


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cuatro libros suyos ms, que ha preparado para Pantheon, una divisin de RandomHouse.

Los cuatro, en rstica, son Beyond Tic Tac Toe(1975), Beyond Solitaire(1976),Beyond Words(1977) y Beyond Competition(1977). Todos ellos contienen hojasdesprendibles donde jugar a estos novedosos pasatiempos. Sackson continahaciendo la recensin de nuevos juegos en su seccin habitual de Strategy and

Tactics, revista bimensual dedicada a juegos blicos, y colabora en la revista inglesaGames and Puzzlesy en la nueva publicacin americana Games.

En los EE.UU. estn a la venta ms de dos docenas de juegos de tablero originalesde Sackson, de los cuales, los ms conocidos son los de marca 3M: Acquire,Bazaar, Executive Decision, Venture, Monad, y Sleuth. Otro juego suyo, Focus, secomenta en mi libro Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American,capitulo 5.

Se estn haciendo decididos esfuerzos para lograr programas de ordenador capacesde ejecutar automticamente procesos de induccin y cada vez es mayor labibliografa sobre el tema. Varios especialistas e investigadores en ciencias de

computadores han experimentado diversos programas para el juego de Pautascreado por Sackson. Uno de tales programas es analizado con detalle en A GamePlaying Procedure for a Game of Induction, trabajo de Edward Thomas Purcell, conl logr el grado de master en ciencias de computadores en la Universidad deCalifornia, en Los Angeles.

Soluciones

El problema consista en determinar el criterio de organizacin de cierto modelo parael juego de induccin de Sackson. He aqu la solucin: partiendo del ngulo superiorizquierdo, y movindose en espiral hacia el centro, en el sentido de las agujas delreloj, vemos primero un smbolo, luego dos smbolos, luego tres, despus cuatro, y a

continuacin, los smbolos anteriores se repiten, en el mismo orden, en grupos decinco, seis, siete y ocho.


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Captulo 5

Los elegantes tringulos

Cabra suponer que el humilde tringulo fue ya tan exhaustivamente estudiado porlos gemetras de la Grecia clsica, que mal podran los siglos posteriores tenerocasin de aportar sobre ellos nuevos conocimientos de inters. Sin embargo, no escierto. Evidentemente, el nmero de teoremas sobre tringulos es infinito, si bien, apartir de cierto punto, se complican tanto y se hacen tan estriles que nadie puedecalificarlos de elegantes. George Polya defini en cierta ocasin la elegancia de losteoremas geomtricos como directarnente proporcional al nmero de ideas que enellos vemos, e inversamente proporcional al esfuerzo requerido paracomprenderlas. Durante los ltimos siglos se han descubierto muchos elegantesresultados sobre tringulos, tan bellos como importantes, pero con los que no esprobable que se haya tropezado el lector durante su formacin en geometra plana

elemental. En este captulo examinaremos solamente una porcin mnima de estosteoremas, detenindonos un poco en aquellos que han suscitado problemas conmatiz recreativo.


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Comencemos por un tringulo ABC de forma arbitraria (vase la Figura 27). Sobrecada uno de sus lados se construye un tringulo equiltero, bien hacia el exterior(arriba, a la izquierda), bien hacia el interior (arriba, derecha). En ambos casos sedescubre que al unir por lneas rectas (de trazos en la figura) los centros de losnuevos tringulos (estos centros pueden determinarse por interseccin de dosalturas) queda construido un cuarto tringulo equiltero. (A veces, el teorema seenuncia construyendo sobre cada lado un tringulo issceles, con ngulos de 30grados en la base. El cuarto tringulo resulta de unir los vrtices de los tringulosissceles as construidos. Estos vrtices son los centros de nuestros tringulosequilteros, as que ambos teoremas son idnticos.) Si el tringulo ABC de partida

fuese ya equiltero, los tringulos trazados hacia el interior definen un tringuloequiltero degenerado, reducido a un punto. El teorema, que es precioso, siguesiendo vlido cuando el tringulo inicial queda degenerado en un segmentorectilineo, como vemos en la parte inferior derecha de la ilustracin. Ignoro quin fueel primero en descubrirlo -ha sido atribuido a Napolen-, pero de l se han publicadoen estos ltimos aos muchas demostraciones. Una muy poco comn, basadaexclusivamente en teora de grupos y transformaciones de simetria, puede verse enGeometric Transformations, del matemtico ruso Isaac Moisevitch Yaglom.


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En un tringulo, se llaman medianas a las rectas que unen cada vrtice con el puntomedio del lado opuesto (vase la Figura 29). Tambin las medianas concurren en unpunto, que se denomina baricentro (y tambin centroide, centro de gravedad, ycentro de masas). El baricentro dista de cada lado un tercio de la longitud de lacorrespondiente mediana; las medianas dividen al tringulo en seis porcionestriangulares de iguales reas. Adems, el baricentro o centroide es el centro degravedad del tringulo, hecho que ya conoca Arqumedes. Es posible que el lectorhaya visto demostrada esta propiedad recortando en cartulina un tringulo escaleno,trazando las medianas para hallar su baricentro y sostenindolo en equilibrio sobrela punta del lpiz en ese punto.

Las medianas son casos particulares de rectas ms generales, llamadas cevianas(en honor de un matemtico italiano del siglo XVII, Giovanni Ceva). Las cevianas sonrectas trazadas desde un vrtice del tringulo a un punto del lado opuesto. Si enlugar de los puntos medios tomsemos en los lados los puntos de triseccin, las trescevianas que vemos en la Figura 30 dividiran al tringulo en siete regiones cuyassuperficies seran todas mltiplos enteros de 1/21 del rea del tringulo de partida. Eltringulo central, sombreado, tiene rea 3/21, o sea, 1/7. Existen muchas ingeniosas


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demostraciones de esta propiedad, as como de los resultados de un caso msgeneral, donde cada lado del tringulo es dividido en npartes iguales. Si lascevianas se trazan como antes, hasta el prirnero de los puntos de divisin de cadalado, recorriendo el tringulo en sentido horario (o antihorario, si se prefiere), eltringulo central tendr un rea de (n- 2)2/ (n2- n+ 1). En su Introduction toGeometry(de la que existe versin castellana, del mismo titulo) H. S. M. Coxeterestudia una generalizacin an ms amplia, donde cada lado del tringulo puede serdescompuesto en nmeros arbitrarios de partes iguales. All se da una frmula quese remonta a 1896, y Coxeter muestra cun sencillamente puede ser deducida sinms que alojar el tringulo en una reticulacin regular de puntos del plano.

Todo tringulo tiene tres lados y tres ngulos. Euclides estudi tres casos decongruencia de tringulos en los que sta queda asegurada por la igualdad deciertas ternas de elementos, por ejemplo, dos lados y el ngulo comprendido entreambos. Pero, es posible que dos tringulos tengan idnticos cinco de sus seiselementos, sin ser, pese a ello, congruentes? Puede parecer imposible a primeravista, mas resulta que hay una infinidad de pares de estos tringulos congruentes a5, como han sido bautizados por Richard A. Pawley. Si en un par de tringulos

congruentes a 5 fuesen iguales los tres lados, los tringulos seran totalmentecongruentes; por lo tanto, la nica situacin en que puede darse la no-congruenciaes la igualdad de los tres ngulos y de dos lados. Cuando se exige, adems, que loslados de los tringulos vengan todos dados por nmeros enteros, el ejemplo mnimoser el que vemos en la Figura 31.

Observemos que los lados de 12 y 18 unidades, aunque de longitud igual, no sonlados homlogos. Los tringulos son forzosamente semejantes, porque los nguloshomlogos s son respectivamente iguales; pero no son congruentes. El problema dehallar todos los pares de tringulos como stos guarda ntima relacin con elproblema de la razn urea.

Existen muchas frmulas -conocidas desde antiguo- para hallar los lados, ngulos, el

rea, etc., de un tringulo, conocidos ciertos datos sobre sus alturas, medianas, etc.La expresin ))()(( csbsass , donde a, by cson las longitudes de los lados del

tringulo y ses el serniperrnetro, es decir, la mitad de la suma de longitudes de loslados, da el rea del tringulo. Esta frmula, tan sorprendente como sencilla, fuedemostrada por vez primera en la Mtrica de Hern de Alejandra, quien vivi en lossiglos I o II despus de Cristo. La frmula, que constituye el principal mritomatemtico de Hern, es fcil de demostrar con ayuda de trigonometra. En nuestrosdas, el renombre de Hern se debe, sobre todo, a sus deliciosos tratados sobreautmatas griegos y juguetes hidrulicos, como la paradjica fuente de Hern


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esta cuestin fue Alfred A. Bennett, en 1941 (vase la bibliografa). Desde entonces,sus soluciones han sido redescubiertas muchas otras veces. La solucin mssencilla (pues hace mnimas tanto la altura del cruce como la separacin entremuros) corresponde a escaleras de longitudes 119 y 70 unidades, con altura en elcruce de 30 unidades y anchura de 56. Adems, el conjunto de soluciones enterases infinito. Hay tambin infinitas soluciones donde no slo son enteras las cantidadesya mencionadas, sino asimismo la distancia que separa los extremos ms altos delas escaleras. (Vase la solucin de Gerald J. Janusz, citada en la bibliografa.)

Si tan slo se requiere que sean enteras las longitudes de las escaleras, la distanciaentre edificios y la altura del cruce, tendremos libertad para buscar soluciones quehagan mnimos otros valores. H. G. ApSimon me ha enviado el anlisis mscompleto que conozco. La solucin que hace mnima la separacin entre paredes es40 para esta incgnita, 38 para la altura del cruce, y 58 y 401 para las escaleras. Laaltura de cruce alcanza el mnimo de 14 cuando la anchura entre edificios es 112, ylas escaleras miden 113 y 238. (Estas dos soluciones haban sido ya descubiertascon anterioridad por John W. Harris.) La solucin que logra hacer mnima la longitudde la mayor de las escaleras es 63 para el vano entre edificios, 38 para la altura del

cruce, y 87 y 105 para las escaleras. La solucin que hace mnima la longitud de laescalera pequea es 40 para la separacin entre edificios, 38 para la altura de cruce,y 58 y 401 para las escaleras.

ApSimon busc tambin una solucin que hiciera mnima la diferencia de longitudesde las escaleras. La mejor de las soluciones que consigui fue de 1540 para el vanoentre muros, 272 para la altura de cruce, y escaleras de longitudes 1639 y 1628, condiferencia de 11 unidades.

Empero, no consigui demostrar que su solucin fuese mnima.

Si tan slo se nos dan las distancias desde un punto a los tres vrtices de untringulo, es evidente que habr infinitos tringulos que satisfagan estas condiciones

de distancia. Empero, si se exige que el tringulo sea equiltero, estas tresdistancias pueden determinar unvocamente el lado del tringulo. El punto dadopuede encontrarse en el interior del tringulo, en el exterior, o sobre uno de suslados. Los lectores me envan a menudo un antiguo problema de este tipo, que porlo comn presenta la siguiente forma: Un punto situado en el interior de un tringuloequiltero dista de los vrtices 3, 4 y 5 unidades. Cunto mide el lado del tringulo?

Soluciones


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El problema peda hallar el lado de un tringulo equiltero, sabiendo que contiene unpunto que dista de sus vrtices 3, 4 y 5 unidades. La solucin aqu presentada sedebe a Charles W. Trigg, en Mathematical Quickies. Las lneas de trazos de laFigura 33 estn construidas de forma que PCFsea un tringulo equiltero, yAEseaperpendicular a la prolongacin de PChacia la izquierda. El ngulo PCB= 60grados, menos el ngulo PCA= nguloACF. Los tringulos PCBy FCAson por estemotivo congruentesAF= 5. En vista de queAPFes rectngulo, el nguloAPE= 180- 60 - 90 = 30 grados. De aqu deducimos queAEmide 2, y que EPes la razcuadrada de 3. Podemos ahora plantear la igualdad

AC= 22 )323(2 ++ = 31225+

de donde obtenemos que el lado del tringulo,ACtiene el valor de 6,766 +.

Hay una frmula, de preciosa simetra, que permite calcular el lado de un tringuloequiltero, conocidas las distancias desde un punto a sus vrtices:

3(a4+ b4+ c4+ d4) = (a2+ b2+ c2+ d2)2

Tomando cualesquiera tres de estas incgnitas como distancias a los vrtices, bastadespejar la cuarta para tener el lado del tringulo. Entre las soluciones con valoresenteros, la ms sencilla es 3, 5, 7, 8. El punto estar situado en el exterior deltringulo salvo en el caso de lado 8; en tal caso yacer sobre un lado. Varioslectores me han enviado demostraciones de que en los tres casos (punto en el

interior, sobre un lado, o exterior) hay infinitas soluciones primitivas (es decir,soluciones sin divisores comunes), con valores enteros. Cuando el punto es interior,la ms sencilla es 57, 65 y 73 par

circulos-matematicos.pdf

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