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Circuits J.J. Herstain

1

CircuitsCircuitsCircuitsCircuits ElectriqueElectriqueElectriqueElectriquessss

par Jean-Jacques HERSTAIN 11/11/2011

Les formules encadrées avec ** sont à parfaitement connaître Les formules encadrées avec * sont à savoir retrouver très rapidement (moins de 30 secondes) Les formules encadrées sans * sont à savoir retrouver

11 EElleeccttrr oocciinnéétt iiqquuee

On considère dans cette partie des circuits filiformes

1.1 Loi d’Ohm locale A l’échelle microscopique, les porteurs de charges ont un mouvement aléatoire. Cependant, en présence d’un champ électrique E

, on peut considérer que la charge d’un élément de volume

mésoscopique se déplace à la vitesse V

, moyenne des vitesses de l’ensemble des porteurs de charge de cet élément par rapport au référentiel du conducteur. Ceci à la condition que

• le champ ne soit pas trop intense • la température ne soit pas trop élevée

Dans ces deux cas la limite dépend du conducteur (ordre de grandeur pour un métal : 10 kVcm-1 et 1000 K )

• le champ ne varie pas trop rapidement : fréquence inférieure à 100 MHz

C’est l’Approximation des Régimes Quasi Stationnaires (ARQS) qui permettra d’utiliser ce qui suit aussi bien en régime continu qu’en régime variable si la fréquence n’est pas trop élevée. Cette approximation suppose que les actions des charges soient instantanées, c'est-à-dire qu’on néglige le phénomène de propagation. (le critère étant que la dimension du circuit soit très inférieur à la longueur d’onde) Cela revient également à négliger

le terme o

E

tε ∂

∂

dans l’équation de Maxwell-Ampère.

On écrira V µE=

µ est appelé mobilité.

Comme le vecteur densité de courant mj Vρ=

on a j Eγ=

**

où γ est la conductivité du conducteur, avec mµγ ρ=

µ et ρm ont tous deux le signe de la charge du porteur. γ est donc toujours positif.

1ργ

= est la résistivité.

Pour un électrolyte la conductivité est égale à : i ii

cγ = Λ∑ **

où iΛ est la conductivité équivalente de l’ion i et ic la concentration molaire de cet ion.


21.2 Force électromotrice

La circulation du vecteur densité de courant sur un circuit fermé est nécessairement différente de zéro si le courant est non nul.

0j dl⋅ ≠∫

or j Eγ=

donc 0E dl⋅ ≠∫

le champ électrique est donc différent du champ

électrostatique car 0sE dl⋅ =∫

On écrira donc s mE E E= +

avec 0mE dl⋅ ≠∫

mE

est le champ électromoteur.

• Circuit ouvert

A l’équilibre i=0 donc 0j =

donc 0E =

: 0s mE E+ =

B B B

s m

A A A

E dl E dl E dl⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫

0 A BV V e= − +

Par définition B

m

A

e E dl= ⋅∫

** est la force électromotrice et B AU V V e= − =

Pour un circuit ouvert la fem est égale à la ddp. La fem et la ddp ont donc la même unité : le Volt.

1.3 Loi d’Ohm • Circuit fermé

B B B

s m

A A A

E dl E dl E dl⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫

j

Eγ

=

colinéaire à dl

B

A B

A

j dlV V e

γ⋅ = − +∫

pour un circuit filiforme i

js

= où s est la section du circuit.

B

B A

A

dlU V V e i

sγ= − = − ∫ On peut définir la résistance de la portion AB de circuit :

B

A

dlR

sγ= ∫ ** ou

B

A

dlR

s

ρ= ∫ dl étant un élément de ligne de courant.

En convention générateur : U est défini dans le sens du courant U e Ri= − ** Remarque : Dans une même branche, il peut y avoir plusieurs fem. Comme elles sont définies par une intégration, il suffit donc d’en faire la somme : k

k

U e Ri= −∑

En convention récepteur : U est défini dans le sens opposé au courant U’= - U

'A B

A B m

B A

dlU V V E dl i

sγ= − = ⋅ +∫ ∫

'e e= − fcem (force contre électromotrice) ' 'U e Ri= + ** En l’absence de force électromotrice, e = 0, on a alors U’ = Ri ou U = Ri .


31.4 Association de résistances

• En série i

i

R R=∑ **

(en écrivant que la tension aux bornes de l’association est égale à la somme des tensions aux bornes de chaque résistance)

• En parallèle ii

G G=∑ ** où Gi est la conductance 1

ii

GR

= **

(en écrivant que le courant circulant dans l’association est égale à la somme des courants traversant chaque résistance)

Les unités sont l’Ohm (Ω ) pour les résistances (1Ω = 1VA-1), le Siemens (S) pour les conductances (1S = 1Ω-1), l’Ohm-mètre pour les résistivités (mΩ ) et le Siemens-mètre-1 pour les conductivités (Sm-1) Application : Calcul de la résistance entre deux sphères concentriques de rayons a et b, le conducteur ayant une résistivitéρ . Le circuit n’est pas filiforme, mais on peut assembler en parallèle des éléments de résistance de section dS placés sur une sphère de rayon r. Leurs conductances s’ajoutant, elles sont équivalentes à la résistance d’une coquille de surface 4πr² et d’épaisseur dr. En les associant en série on reconstitue la résistance à calculer.

Pour une coquille24

drdR

rρ

π=

24

b

a

drR

rρ

π= ∫ (les différentes coquilles étant en série)

( )4

b aR

ab

ρπ

−=

Remarque : le condensateur correspondant a une capacité 4 ab

Cb a

πε=−

On a donc RC ρε= ce qui est tout à fait général.

1.5 Rappel des théorèmes de l’électrocinétique

1.5.1 Loi des mailles

0ii

U =∑

1 2 3 4 5 0U U U U U+ + + + =

Cela exprime que la circulation du champ électrostatique est conservative.

1.5.2 Loi des nœuds

0kk

i =∑

1 2 3 4 5 0i i i i i+ + + + =

Cela exprime la conservation de la charge.


4La loi des mailles et la loi des nœuds constituent les lois de Kirchhoff. Elles permettent en théorie de déterminer les grandeurs électriques dans un réseau, mais conduisent souvent à un nombre élevé d’équations avec de nombreuses inconnues et la résolution en est souvent malaisée. Il est souvent préférable d’utiliser les théorèmes qui suivent. Il existe cependant deux cas où ces lois permettent d’obtenir un résultat simple qu’il est bon de connaître :

• Le diviseur de tension :

1

1 2

RV E

R R=

+

• Le diviseur de courant :

11

1 2

GI I

G G=

+

G1 et G2 sont les conductances des dipôles : 1

GR

=

1.5.3 Théorème de superposition **

Sur un circuit des sources de tension ek et des sources de courants jk sont responsables dans la branche n du courant in. Sur ce même circuit, des sources de tension e’k et des sources de courants j’ k sont responsables dans la branche n du courant i’ n , Des sources de tension ek+e’k et des sources de courants jk+j’ k dans ce circuit, sont responsables dans la branche n du courant in +i’ n

Exemple

• ' ' 0 '2

ee e j i

R= = ⇒ =

• " 0 " "2

je j j i= = ⇒ =

• 1

,2

ee j i j

R

⇒ = +


51.5.4 Théorème de Thévenin**

On peut isoler un dipôle d’un circuit et le considérer comme un générateur de tension idéal associé à une résistance en série. La force électromotrice équivalente du générateur est égale à la tension aux bornes du dipôle lorsque le circuit extérieur est ouvert. La résistance équivalente en série est égale à la résistance du dipôle, lorsqu’on a éteint (passivé) toutes ses sources de tension ou de courant autres que les sources liées. (une source est liée si la valeur de sa tension ou de son courant dépend d’une autre partie du circuit) Exemple Reprenons l’exercice précédent : Le dipôle est constitué des deux branches de gauche.

eqU e Rj= +

eqR R= (car j =0 donne une résistance infinie à la branche)

D’où e Rj

iR R

+=+

1

2

ei j

R = +

1.5.5 Théorème de Norton **

On peut isoler un dipôle d’un circuit et le considérer comme un générateur de courant idéal associé à une résistance en parallèle. Le courant équivalent (encore appelé courant de court-circuit) du générateur est égal au courant délivré par le dipôle lorsque le circuit extérieur est fermé sur un court-circuit (résistance nulle). La résistance équivalente en parallèle est égale à la résistance du dipôle, lorsqu’on a éteint (passivé) toutes ses sources de tension ou de courant autres que les sources liées. Exemple Reprenons l’exercice précédent : Le dipôle est constitué des deux branches de gauche.

cc

ei j

R= + (loi des nœuds)

eqR R=

et comme eqR R= : icc = 2i soit 1

2

ei j

R = +


61.5.6 Equivalence Thévenin-Norton **

Conséquence : Un générateur de Norton de résistance équivalente Req =R et de courant de court-circuit icc= j est équivalent à un générateur de Thévenin de résistance équivalente Req =R et de force électromotrice équivalente Ueq =R.icc

Exemple Reprenons l’exercice précédent : Remplaçons la branche de gauche par un générateur de Norton : Le courant généré sera égal à la somme des courants des deux générateurs de courant :

ei j

R= +

Il se partage entre les deux résistances égales, donc

1

2

ei j

R = +

1.5.7 Théorème de Millman **

Le potentiel en un point O, est obtenu en fonction des conductances Gi qui lui sont reliées et des potentiels Vi à l’autre extrémité de ces conductances:

i ii

Oi

i

GVV

G=∑

∑ ici 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

1 2 3 4 5O

GV G V G V G V G VV

G G G G G

+ + + +=+ + + +

1.6 Loi de Joule La puissance dissipée par une charge dq (mésoscopique) se déplaçant dans le conducteur à la

vitesse V

est :

dP dF V= ⋅

où dF

est la force électrique subie par la charge : dF dqE=

E

étant le champ électrique dans le conducteur. dP dqE V= ⋅

ρ étant la densité volumique de charges mobiles dq dρ τ= dτ élément de volume

dP V Edρ τ= ⋅

avec j Vρ=

vecteur densité de courant dP

j Edτ

= ⋅

** c’est la loi de Joule locale qui peut encore s’écrire 2dP

Ed

γτ

= ⋅

ou 2dP

jd

ρτ

=

Pour un conducteur filiforme de section s et de longueur l parcouru par un courant i :

2

0

l

P j dρ τ= ∫ i

js

= 2

0

l iP sdl

sρ =

∫ 2

0

l dlP i

s

ρ= ∫

soit 2P Ri= ** (Loi de Joule)

Tous ces théorèmes resteront valables dans le cadre de régimes lentement variables (ARQS) c'est-à-dire pour des fréquences inférieures au GHz.

⇔


722 PPhhéénnoommèènnee dd’’ iinndduucctt iioonn

2.1 Champ magnétique variable

2.1.1 Champ électromoteur

On se place dans un référentiel R dans lequel le circuit est immobile.

rotB

Et

∂= −∂

et rotB A=

avec A

potentiel vecteur

rot rot rot rotA

E A Et t

∂ ∂= − ⇒ = −∂ ∂

rot 0A

Et

∂+ = ∂

donc gradA

E Vt

∂= − −∂

**

On en déduit que le champ électromoteur est mA

Et

∂= −∂

2.1.2 Force électromotrice induite

• Circuit ouvert

La force électromotrice N N

m

M M

Ae E dl dl

t

∂= ⋅ = − ⋅∂∫ ∫

N

M

e A dlt

∂= − ⋅∂ ∫

et U=e

• Circuit fermé

e A dlt

∂= − ⋅∂ ∫

rote A dSt Σ

∂= − ⋅∂ ∫∫

(théorème de Stokes)

e B dSt Σ

∂= − ⋅∂ ∫∫

( )/e Btφ∂= − Σ

∂

comme le circuit est immobile le flux ne dépend que du temps :

d

edt

φ= − ** Loi de Faraday

φ étant le flux du champ magnétique à travers une surface s’appuyant sur le circuit.

Attention , cette relation est algébrique, ce qui signifie que le circuit doit être orienté.


82.2 Mouvement d’un circuit dans un champ magnétique constant

2.2.1 Champ électromoteur

A l’instant t, un point du conducteur MN se déplace à la vitesse V

par rapport au référentiel galiléen R dans lequel le champ magnétique B

est constant.

mA

Et

∂= −∂

ne peut pas être utilisé ici car mE

et A

ne sont pas définis dans le même

référentiel. • Dans le référentiel R, une charge q du conducteur subit

une force : sF qE qV B= + ∧

• Dans le référentiel du conducteur MN, la charge q subit

une force : ' ' 'F qE qV B qE= + ∧ =

car ' 0V =

On en déduit que ' sE V B E= ∧ +

Donc le champ électromoteur mE V B= ∧

**

( V

n’est pas nécessairement uniforme le circuit peut se déformer ) Remarque : seule la composante normale de la vitesse peut avoir une influence sur le déplacement des charges dans un circuit filiforme.

2.2.2 Force électromotrice

• Pour un circuit ouvert

( )N N

m

M M

e E dl V B dl= ⋅ = ∧ ⋅∫ ∫

d

Vdt

λ=

( )N

M

e dl V B= ∧ ⋅∫

N

M

dl de B

dt

λ ∧= ⋅ ∫

En posant ²d d dlλΣ = ∧

surface balayée par dl

On note 2 2cd B dφ = ⋅ Σ

l’élément de flux coupé par l’élément dl

et ( )N

c

M

d d dl Bφ λ= ∧∫

flux coupé par MN lors de son déplacement. cde

dt

φ= − **

• Pour un circuit fermé

Le flux de B

sortant à travers une surface fermée est nul. -Le flux sortant de la surface limitée par la position initiale du circuit

est φ− ( S

est entrant ) -Le flux sortant de la surface limitée par la position finale du circuit est


9

dφ φ+ ( S

est sortant )

-Le flux sortant de la surface balayée par le circuit est cdφ−

( 2d Σ

est dirigé vers l’intérieur de la surface fermée )

D’où ( ) 0cd dφ φ φ φ− + + − = soit cd dφ φ=

Pour un circuit fermé le flux coupé est égal à la variation de flux à travers le circuit.

Donc d

edt

φ= −

Remarque cφ se calcule sur une trajectoire et n’est pas une fonction. On ne peut pas

calculer la dérivée de cφ

S

B dSφ = ⋅∫∫

où S est une surface s’appuyant sur le circuit, est une fonction

de la position du circuit. On peut calculer la dérivée de φ .

2.2.3 Exemple

Une tige posée sur deux rails horizontaux se déplace à la vitesse v dans une zone où règne un champ magnétique uniforme vertical. La distance entre les rails est a et la résistance du circuit est R. Calculer le courant induit si B =1T, R =10Ω , a =10cm, v =1ms-1

• Méthode du flux coupé

( ) ( )cd d a B vdt ak Bφ λ= ∧ = − ⋅

(a

dans le sens du courant conventionnel)

cd Bavdtφ = −

cde Bav

dt

φ= − = 10e Bav

i mAR R

= = =

• Méthode du flux

( )B S B kS BSφ = ⋅ = − = −

(S

vers le bas à cause du sens du courant)

oS S ax= + ( oS surface du circuit quand x=0)

o Baxφ φ= − e Bav=

• Méthode du champ électromoteur

mE v B= ∧

me E dl Bav= =∫

2.3 Application : courants de Foucault Un cylindre métallique plein, de hauteur h, de rayon a de conductivité γ est baigné par un champ magnétique uniforme parallèle à son axe et variable au cours du temps. Des courants induits appelés courants de Foucault vont apparaître et de l’énergie va être dissipé par effet Joule. Calculer l’énergie dissipée rapportée au volume du cylindre.


10Un plan passant par l’axe est un plan d’antisymétrie. Les lignes de courant sont donc

circulaires. (j

, mE

et sE

sont orthoradiaux)

Sur un cercle de rayon x, la force électromotrice est 2d dBe x

dt dt

φ π= − = − (cercle orienté dans

le sens trigonométrique donc surface orientée vers le haut. La force électromotrice e étant la circulation du champ électromoteur, on en déduit le champ

électromoteur : 2m m mE e E dl xEπ= ⋅ =∫

Le champ électrique s mE E E= +

et 0sE =

car 2 0s sE dl xEπ⋅ = =∫

On obtient donc 2 2

e x dBE

x dtπ= = − . La puissance dissipée par effet Joule est 2dP E dγ τ=

22

24

x dBdP xhdx

dtγ π =

2 23 4

0

2 24 16

adB dBP h x dx ha

dt dt

γ γπ π = =

∫

2

2

8

P dBa

dt

γτ

=

La puissance dissipée est donc proportionnelle au carré du rayon du

conducteur.

33 AAuuttoo iinndduucctt iioonn

C’est le phénomène lié à la variation de flux dans un circuit où le régime est variable. Dans toute la suite, on suppose les circuits placés dans le vide.

3.1 Inductance d’un circuit Un circuit est parcouru par une intensité i.

En tout point 24

dloidl uB

r

µπ

∧= ∫

Le flux du champ magnétique B

à travers une surface

s’appuyant sur le circuit est p B dSφ = ⋅∫∫

24dlo

p

S

dl ui dS

r

µφπ

∧= ∫∫ ∫

pφ est donc proportionnel à i et on

montre que la constante de proportionnalité est positive.

On écrira p Liφ = **

L est l’inductance du circuit (on dit aussi coefficient d’auto-induction) L est toujours positive et ne dépend que de la géométrie du circuit. Le flux que crée le circuit à travers lui même s’appelle le flux propre. Il existe en l’absence de champ magnétique extérieur. Le flux total à travers le circuit peut être la somme d’un flux d’origine extérieur et du flux propre : T e pφ φ φ= +

Dans la suite du chapitre, on considère que 0eφ =

Lorsque le courant varie dans le circuit, le flux varie également ; il s’ensuit une force électromotrice dite : force électromotrice auto-induite.

pde

dt

φ= −

die L

dt= − **

En absence de ferromagnétisme (µ variable) l’inductance est constante.


11 Cette relation permet de définir l’unité d’inductance : le Henry Le Henry est l’inductance d’un circuit qui parcouru par un courant uniformément variable de un Ampère en une seconde voit à ses bornes une force électromotrice auto-induite de un Volt. Loi d’Ohm dans un circuit inductif : Convention générateur

U e Ri= − di

U Ri Ldt

= − − ou

Convention récepteur

' 'U e Ri= + 'di

U Ri Ldt

= + ou

Remarque : dans une même branche Ri et di

Ldt

sont toujours de même signe.

3.2 Régime transitoire

• A l’établissement du courant A t=0, l’interrupteur relie le circuit R, L au générateur de fem E.

diE Ri L

dt= +

di dt

E Ri L=

−

lnE Ri Rt

K L

− = −

en notant que le courant est nul à l’instant initial on obtient :

1 expE t

iR τ = − −

avec

L

Rτ =

On note à partir de l’équation différentielle que la

pente à l’origine est o

di E

dt L =

• A la rupture du courant Avec une nouvelle origine des temps : A t=0, l’interrupteur relie le circuit R, L au court-circuit.

0di

Ri Ldt

= +

en notant que le courant est égal à E

R l’instant initial on obtient :

expE t

iR τ

= −

On parle d’un régime transitoire lorsque la variable, ici le courant, évolue vers une valeur constante ou périodique : si on attend suffisamment longtemps, le courant devient constant dans le cas présent ; dans d’autres cas il pourrait devenir périodique.


12Comme son nom l’indique, le régime transitoire est appelé à s’atténuer puis à disparaître. C’est le régime établi (on dit parfois permanent) qui prend le relais.

3.3 Energie magnétique emmagasinée dans un circuit

En multipliant l’équation di

E Ri Ldt

= + par idt et en intégrant de l’instant initial à un instant

suffisamment grand pour que le courant asymptotique o

Ei

R= (régime établi) soit

pratiquement atteint, on obtient :

2

0 0 0

oit t

Eidt Lidi Ri dt= +∫ ∫ ∫ G M JW W W= +

Le premier terme WG=qE , correspond à l’énergie délivrée par le générateur ; le dernier WJ correspond à l’énergie dissipée par effet Joule dans la résistance.

La différence WG - WJ est WM = 21

2 oLi . C’est l’énergie magnétique fournie au circuit.

Lors de la rupture, le générateur n’existe plus et le courant passe de io à 0.

02

0

0o

t

i

Lidi Ri dt= +∫ ∫ 0 M JW W= − +

Le courant ne s’annule pas instantanément, il y a donc de l’énergie dissipée par effet Joule dans la résistance. Cette énergie a été mise en réserve lors de l’établissement du courant.

L’énergie magnétique 21

2mE Li= ** est donc emmagasinée dans l’inductance lors de

l’établissement du courant, et restituée lors de la rupture. Comme il ne peut y avoir de discontinuité d’énergie (cela nécessiterait une puissance infinie) il ne peut pas y avoir non plus de discontinuité de courant dans un circuit inductif.

Remarque 21

2mE Li= est à comparer à 21

2e

QE

C= en électrostatique.

3.4 Densité d’énergie magnétique

Un circuit C est parcouru par un courant i.

Son énergie magnétique 21

2mE Li= peut encore s’écrire

1

2m pE iφ= où pφ est le flux propre à travers le circuit.

En appliquant le théorème d’Ampère sur une ligne de champ Γ, on a l’expression de l’intensité en fonction du champ magnétique

créé par le circuit : oB dl µ iΓ

⋅ =∫

Le flux propre à travers le circuit est égal au flux traversant l’ensemble des tubes de champs enlacés par le circuit :


13

p

C

B dSφ = ⋅∫∫

d'où 1

2mo C

E B dl B dSµ Γ

= ⋅ ⋅∫ ∫∫

Si on se limite à un seul tube de champ ( )1

2mo

dE B dS B dlµ Γ

= ⋅ ⋅∫

et m m

C

E dE= ∫∫

or B dS⋅

est constant en tout point du tube de champ (flux conservatif)

donc ( )1

2mo

dE B dS B dlµ Γ

= ⋅ ⋅∫

dS dl⋅

étant un élément de volume dτ du tube de champ,

on obtient 21

2mo

dE B dµ

τΓ

= ∫

et

2

2moespace

BE d

µτ= ∫∫∫

* ou encore :

m

espace

E dω τ= ∫∫∫ avec

2

2m

o

dE B

d µω

τ= =

** densité d’énergie magnétique dans le vide.

Remarque : A comparer à 2

2e o

e

dE E

d

εωτ

= =

en électrostatique

3.5 Calculs d’inductance

3.5.1 Solénoïde infini

Une portion de longueur h d’un solénoïde infini comporte N spires. Sa section est S. Calculer son inductance. Lorsqu’il est parcouru par un courant i, on a vu que le champ magnétique est uniforme

oµ NiB u

h=

Le flux propre (à travers N spires) 2

op

µ N SNBS i

hφ = =

Comme p Liφ = on en déduit l’inductance 2

oµ N SL

h=

En prenant N=1000, S=100cm², h=10cm on obtient L=0,125 H

3.5.2 ligne coaxiale

Deux conducteurs cylindriques creux, concentriques, de longueur infinie et de rayons a et b se rejoignent à l’infini pour former un circuit. Le courant supposé uniforme circule donc en sens opposé dans chaque conducteur. Calculer l’inductance d’une longueur h de la ligne. Le théorème d’Ampère permet de calculer le champ magnétique à une distance r de l’axe :

si r<a ou r>b 0B =

si a<r<b 2

oµ iB u

r θπ=

La densité d’énergie magnétique est 2

2 o

B

µω =

et donc l’énergie


14

magnétique 2

2

b

moa

BE d

µτ= ∫

avec 2d rhdrτ π= volume élémentaire compris entre deux cylindres de rayons r et r+dr.

soit 2

4

bo

m

a

µ hi drE

rπ= ∫ comme par ailleurs 21

2mE Li=

on en déduit Ln2

oµ h bL

aπ=

3.6 Mutuelle inductance de deux circuits

3.6.1 Définition

Deux circuits sont en influence : c’est à dire qu’un courant i1 dans le circuit (1) crée un flux 12φ à travers le circuit (2)

2

12 1 2

S

B dSφ = ⋅∫∫

2

12 1 2rotS

A dSφ = ⋅∫∫

12 1 2

2

A dlφ = ⋅∫

(théorème de Stokes)

par ailleurs 1 11

1 4oµ i dl

Arπ

= ∫

d’où 1 212 1

2 1 4oµ dl dl

ir

φπ

= ∫ ∫

donc 12φ est proportionnel à i1

On écrira 12 1Miφ = ** M est le coefficient de mutuelle inductance (ou inductance mutuelle). Il ne dépend que de caractéristiques géométriques des deux circuits. Sa dimension est la même que celle d’une inductance, son unité sera donc également le Henry. Remarque : A la différence de L, M peut être négatif. Son signe dépend des conventions qui ont été adoptées sur le sens des courants.

Par un raisonnement analogue on obtient 2 121 2

1 2 4oµ dl dl

ir

φπ

= ∫ ∫

donc 21 2Miφ =

Si dans le circuit (1) le courant i1 varie, une force électromotrice induite est créée dans le

circuit (2) : 12 12 2

d die e M

dt dt

φ= − ⇒ = −

Équations des deux circuits ci-contre : L1 et L2 symbolisent l’inductance totale de chaque circuit et M l’inductance mutuelle.

1 1 1 1E e R i+ = 1 21 1

di die L M

dt dt= − −

soit 1 21 1 1 1

di diE R i L M

dt dt− − = * de même 2 1

2 2 2 2

di diE R i L M

dt dt− − =


15Si on change le sens conventionnel du courant i1 ou i2 tous les termes changent de signe sauf E1 ou E2 .

3.6.2 Energie magnétique de deux circuits

En multipliant ces deux équations respectivement par i1 et i2 et en les additionnant on obtient un bilan énergétique :

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

1 1

2 2

dE i E i R i R i L i Mi i L i

dt + = + + + +

En intégrant cette expression entre l'instant t =0 où i1 = 0 et i2 = 0 et l'instant t où i1 = I 1 et i2 = I 2

( ) ( )2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

0 0

1 1

2 2

t t

E i E i dt R i R i dt L I MI I L I+ = + + + +∫ ∫

Le premier membre ( )1 1 2 2

0

t

GW E i E i dt= +∫ représente l'énergie délivrée par les générateurs

( )2 21 1 2 2

0

t

JW R i R i dt= +∫ représente l'énergie dissipée par effet Joule

La différence 2 21 1 1 2 2 2

1 1

2 2mW L I MI I L I= + + représente l'énergie magnétique emmagasinée

dans les circuits. 2

2mo

BE d

µτ= ∫∫∫

On montre en exprimant que WM est positif : 2

1 2M L L≤

3.6.3 Calcul d’une inductance mutuelle :

Une petite bobine plate de N2 spires et de surface s est placée à l’intérieur d’un solénoïde infini de N1 spires limité à une longueur h. L’axe de la petite bobine fait un angle θ avec l'axe du solénoïde.

Dans le solénoïde : 1oµ N iB

h=

Le flux à travers la petite bobine : 1 212

cosoµ N N si

h

θφ = d’où 1 2 cosoµ N N sM

h

θ=


16

44 CChhaarr ggee eett ddéécchhaarr ggee dd’’ uunn ccoonnddeennssaatteeuurr

Il s’agit de régimes transitoires.

4.1 Dans une résistance

• Charge dq

idt

= dq q

E Rdt C

= +

dq dtq REC

=−

ln

qE tC

K RC

−= −

à t=0 q=0 donc K = E

1 expt

q CEτ

= − −

avec RCτ = *

expE t

iR τ

= −

• Décharge

0dq q

Rdt C

= +

à t=0 q=CE

expt

q CEτ

= −

expE t

iR τ

= − −

Les pentes à l’origine sont : o

dq E

dt R =

et 2

o

di E

dt R C =

La discontinuité du courant est autorisée car le circuit est dépourvu d’inductance. En réalité tout circuit possède une inductance aussi faible soit elle ; un "zoom" sur la discontinuité montrerait qu’elle n’est qu’apparente. En revanche la discontinuité de la charge est impossible : elle correspondrait à un courant infini. Le régime établi correspond ici à une intensité nulle.


17

4.2 Dans un circuit inductif

A l’instant t =0 où le condensateur est déchargé et l'intensité nulle, on ferme le circuit.

dqi

dt=

di qE L Ri

dt C= + + q1 = CE : solution particulière ; c'est le régime établi.

22 o

Eq q q

Lλ ω+ + =ɺɺ ɺ 2 1

avec 2 et o

R

L LCλ ω= =

C’est la notation standard de l’équation différentielle du second ordre.

On note 1

2o L

QR C

ωλ

= = * le facteur de qualité.

Pour obtenir la solution générale (régime transitoire), on résout en cherchant une solution de la forme ( )2 expq A pt= . En remplaçant dans l’équation différentielle sans second membre on

obtient l’équation caractéristique : 2 22 0op pλ ω+ + =

Trois cas sont à envisager selon le signe du discriminant de l’équation caractéristique

( )2 24 oλ ω∆ = − .

La valeur de R qui annule ce discriminant est appelée Rc résistance critique. 2C

LR

C=

d’où 2

CRQ

R= et si R=RC alors :

1

2Q =

• R>Rc 0∆ > le régime est apériodique amorti. ( ) ( )1 2exp expq CE A p t B p t= + +

2 2

1 op λ λ ω= − + − 2 22 op λ λ ω= − − −

A et B sont deux constantes à déterminer à partir des conditions initiales ( ici q = 0, et i = 0 par continuité du courant)

pente à l'origine de la charge : ( )0 0dq

idt

= =

pente à l'origine du courant : di E

dt L= car ( )0 0i = et ( )0 0q = .

Remarque 1 : p1 et p2 sont négatifs, donc q tend vers CE quand t tend vers l’infini. C'est le régime établi. Remarque 2 : la courbe intensité se déduit de la première comme étant sa dérivée. Le maximum de l’intensité notamment, correspond au point d’inflexion de la charge.


18

• R<RC 0∆ < le régime est pseudopériodique.

p iλ ω= − ± avec 2 2oω ω λ= − *

( ) ( ) ( ) ( )exp exp exp expq CE A t i t B t i tλ ω λ ω= + − + − −

avec ( ) ( )exp et expA BA A i B B iϕ ϕ= = −

( ) ( )( ) ( )( )exp exp expA Bq CE t A i t B i tλ ω ϕ ω ϕ = + − + + − +

or q est réel, sa partie imaginaire doit donc être nulle à tout instant t :

( ) ( )sin sin 0A BA t B tω ϕ ω ϕ+ − + = ce qui impose etB A B Aϕ ϕ= =

d’où ( ) ( )( ) ( )( )exp exp expA Aq CE A t i t i tλ ω ϕ ω ϕ = + − + + − +

que l’on peut encore écrire ( ) ( )exp cosq CE t tµ λ ω ϕ= + − +

µ et ϕ à déterminer à partir des conditions initiales. ω est la pseudo-pulsation

2T

πω

= * est la pseudo-période.

Si R = 0, c'est à dire λ = 0 on retrouve l’équation

d’un oscillateur harmonique, le régime est alors sinusoïdal de période 2oT LCπ= . 1 1

2 2 2

2 2

11 1

4o oo

T T TQ

λω

− −

= − = −

Si Q est suffisamment grand (Q>2 par exemple), un

développement limité donne 2

11

8oT TQ

+

≃

Avec Q>2, c’est à dire 4CR

R< , on voit que la pseudo période est quasiment égale à la période

de l'oscillateur harmonique : l'erreur relative est 2

1

8o

T

T Q

∆ = Pour Q>2 3,1%o

T

T

∆ <

On appelle décrément logarithmique : ( )

( )Lna t

a t Tδ =

+**

a étant l’amplitude des oscillations, ici a q CE= −

A partir de l’expression de q(t) on obtient : ( ) ( )

( )( ) ( )( )exp cos

lnexp cos

t t

t T t T

λ ω ϕδ

λ ω ϕ− ⋅ +

=− + ⋅ + +

Tδ λ= *

• R=Rc 0∆ = le régime est critique

( ) ( )expq CE At B tλ= + + − .

C’est ce régime qui permet de se rapprocher le plus rapidement possible de l’asymptote, donc du régime établi.


19Pour la décharge du condensateur, c'est à dire pour la fermeture de l'interrupteur sur une résistance nulle, on obtient les mêmes courbes, à la différence que la charge du condensateur a pour limite zéro et l'intensité le signe opposé de celui calculé précédemment.

4.3 Analogies électromécaniques

équation q

Lq Rq EC

+ + =ɺɺ ɺ équation mx x kx Fα+ + =ɺɺ ɺ

22 o

Eq q q

Lλ ω+ + =ɺɺ ɺ

2R

Lλ =

22 o

Fx x x

mλ ω+ + =ɺɺ ɺ

2m

αλ =

2 1o LC

ω = 2o

k

mω =

intensité i q= ɺ vitesse v x= ɺ

dérivée de l’intensité di

qdt

= ɺɺ accélération a x= ɺɺ

inverse de la capacité 1

C raideur k

résistance R Coefficient de frottement visqueux

α

inductance L masse m force électromotrice E force F

énergie électrostatique 21

2s

qE

C= énergie potentielle 21

2pE kx=

énergie magnétique 21

2mE Li= énergie cinétique 21

2cE mv=

énergie dissipée 2JE Ri dt= ∫ énergie dissipée 2

fE v dtα= ∫

ddp aux bornes du condensateur c

qU

C= − force de raideur rF kx= −

ddp aux bornes de la résistance RU Ri= − force de frottement fF vα= −

ddp aux bornes de la bobine L

diU L

dt= − force d’inertie iF ma= −


20

55 RRééggiimmee ssiinnuussooïïddaall Il s’agit d’un régime établi. On suppose qu’il fonctionne depuis déjà longtemps et que le régime transitoire est devenu négligeable. Dans tout ce chapitre on adopte la convention récepteur.

oU cosu tω= ( )oI cosi tω ϕ= −

u : tension instantanée oU : amplitude de la tension

i : intensité instantanée oI : amplitude de l’intensité

ω : pulsation 2

Tπ

ω= : période

2f

ωπ

= : fréquence

ϕ : retard de l’intensité sur la tension ou déphasage

5.1 Valeur moyenne

La valeur moyenne d’une fonction périodique f(t) est noté 1

( )t T

t

f f t dtT

+

< > = ⋅ ∫

On appelle courant moyen Im i=< >

remarque : ce n’est pas la valeur moyenne de l’intensité. Cette dernière serait nulle pour un courant sinusoïdal.

( )0

1I

T

m i t dtT

= ∫

pour un courant sinusoïdal de la forme oI sini tω= 2

πϕ =

:

[ ]2

o 2o 0

0

2I2I I sin cos

T

T

m t dt tT T

ω ωω

= = −∫ d’où o

2I Im π

=

Il en serait de même avec la tension moyenne : o

2U Um π

=

Remarque : C’est la valeur moyenne du courant passant dans un redresseur (pont de diodes ou pont de Graetz.)

5.2 Valeur efficace L’intensité efficace d’un courant périodique est l’intensité d’un courant continu qui circulant dans une même résistance pendant le même nombre de périodes dissipe la même énergie.

2 2

0

IT

R t Ri dt= ∫ 2 2

0

1I

T

i dtT

= ∫ l’intensité efficace est donc la moyenne quadratique de

l’intensité.

Pour un courant sinusoïdal de la forme oI sini tω= 2 2 2o

0

1I I sin

T

t dtT

ω= ∫

2 2 22 o o o

00

I I I1 cos 2 sin 2I

2 2 4 2

TT t t tdt

T T

ω ωω

− = = − = ∫

d’où oII2

= * de même pour la tension efficace oUU

2= *

Remarque : Noter que les petites lettres sont réservées aux valeurs instantanées et les grandes lettres sans indice aux valeurs efficaces.


21

5.3 Représentation complexe

On cherche la solution particulière de l’équation différentielle à laquelle satisfait le courant, la tension étant supposée connue. (régime établi)

• Tension complexe ( )oU expU j tω=

La partie réelle de la valeur complexe donne la valeur instantanée : ( ) oRe U cosU tω=

d’où ( )Reu U=

• Intensité complexe ( )( )oI expI j tω ϕ= −

( ) ( )oRe I cosI tω ϕ= − d’où ( )Rei I=

On écrit encore ( )expoI I j tω= avec ( )oI expoI jϕ= − amplitude complexe.

L’opérateur partie réelle est linéaire, notamment : ( )( ) ( )Re Red d

X Xdt dt

=

Toutes les opérations linéaires sur les valeurs instantanées peuvent être effectuées sur les valeurs complexes. ( mais pas sur les valeurs efficaces : 1 2 1 2 1 2mais pas I I + Ii i i I I I= + ⇒ = + = )

( Attention : Le produit n’est pas une opération linéaire : ( ) ( ) ( )1 2 1 2Re Re ReX X X X⋅ ≠ ⋅ )

On définit l’impédance complexe : ( )o

o

Uexp

I

UZ j

Iϕ= =

avec o

o

U

IoZ Z= = * et ( )arg Zϕ = *

L’argument de l’impédance complexe est égal au déphasage de l’intensité sur la tension.

L’admittance complexe est l’inverse de l’impédance complexe : 1I

YU Z

= = *

Remarque 1 : Tous les théorèmes sur le courant continu ( Kirchhoff, Superposition, Millman, Thévenin, Norton) restent valables en sinusoïdal (dans le cadre de l’ARQS) : il suffit de raisonner en complexe et de remplacer la résistance par l'impédance.

Remarque 2 : En mécanique on définit de même l’impédance mécanique F

ZV

= où F est la

force complexe exercée sur un point et V la vitesse complexe de ce point.

5.3.1 Résistance

u Ri U RI= ⇒ =

oZ Z R= = ** et 0ϕ = *

5.3.2 Condensateur

q Cu= dq

idt

= d’où du dU

i C I C jC Udt dt

ω= ⇒ = =

1Z

jCω= **

1oZ

Cω= et

2

πϕ = − *

u

i R

i q u

C


225.3.3 Inductance

diu L

dt= ⇒

d IU L jL I

dtω= =

Z jLω= ** oZ Lω= et 2

πϕ = *

5.4 Représentation de Fresnel

La projection du vecteur de Fresnel sur l’axe ∆ donne la valeur instantanée :

• ( ) oPr U cosU tω=

d’où ( )Pru U=

• ( ) ( )oPr I cosI tω ϕ= −

d’où ( )Pri I=

L’opérateur projection est linéaire, notamment : ( )( ) ( )Pr Prd d

X Xdt dt

=

Toutes les opérations linéaires sur les valeurs instantanées peuvent être effectuées sur les vecteurs de Fresnel. La dérivée d’un vecteur de Fresnel par rapport au temps s’obtient en multipliant sa norme par

ω et en lui faisant subir une rotation de 2

π

du du dn

dt d dt

θ ωθ

= =

5.4.1 Résistance

u Ri U RI= ⇒ =

0ϕ = Le courant est en phase avec la tension.

5.4.2 Condensateur

du dUi C I C

dt dt= ⇒ =

Le courant est en avance de ππππ/2 sur la tension. **

5.4.3 Inductance

diu L

dt= ⇒

d IU L

dt=

Le courant est en retard de ππππ/2 sur la tension. **

u

i R

i qu

C

u

i L

u

i L


235.5 Associations

• en série Les tensions s’ajoutent, donc les impédances complexes s’ajoutent et les vecteurs de Fresnel tension s’ajoutent.

• en parallèle

Les intensités s’ajoutent, donc les admittances complexes s’ajoutent et les vecteurs de Fresnel intensité s’ajoutent.

exemple : L’intensité dans la bobine et dans la résistance ont la même valeur efficace : IL = IR . En déduire le déphasage

entre u1 et u2 puis 1

2

U

U.

3

4

πϕ =

R 21

I 2I UU 2

C C RCω ω ω= = = 1

2

U 2

U RCω=

5.6 Fonction de transfert Un quadripôle est constitué de deux broches d’entrée et de deux broches de sortie. Il est dit passif s’il ne comporte que des éléments passifs (résistances, inductances, condensateurs, diode…) ou actif s’il possède des sources d’énergie (A.O., transistors…) On le suppose alimenté en entrée par une tension sinusoïdale de pulsation ω et on note eU la tension complexe d’entrée.

On note sU la tension complexe en sortie.

On définit la fonction de transfert ( ) s

e

UH j

Uω = ** et le gain sa norme : ( ) ( )G H jω ω=

On peut représenter directement le gain en fonction de la pulsation (ou de la fréquence) : G = f(ω). On peut également le représenter dans un diagramme logarithmique appelé diagramme de Bode :

logdBr

G fωω

=

avec 20logdB

r

G Gωω

=

gain en décibels (logarithme décimal)

ωr est une pulsation de référence arbitraire, par exemple avec ωr = 1 rds-1 : ( )20logdBG G ω= La pulsation de coupure cω est la pulsation qui donne un gain égal à la valeur maximum du

gain divisé par 2 ( ) max

2c

GG ω = **

la fréquence de coupure s’en déduit : 2

ccf

ωπ

= on l’appelle encore fréquence de coupure à

3 dB car dans le diagramme de Bode ( ) 20log 2 3MAX MAXdB c dB dBG G G dBω = − = −


24 Une tension périodique de période T, de forme quelconque (rectangulaire par exemple) peut

être décomposée en série de Fourier : ( )1

cos sink kk

u t a k t b k tω ω∞

== +∑ avec

2

T

πω = .

Le premier terme (k=1) est le fondamental, les autres sont les harmoniques. ak et bk sont les coefficients de Fourier. Un filtre permet d'atténuer certains harmoniques et donc de modifier la forme du signal.

5.6.1 Filtre passe-bas

R

HR jLω

=+

2 2 2

RG

R Lω=

+ c

R

Lω =

( )2

1

1c

G ωωω

=

+

On notera qu’à basse fréquence, l’inductance se comporte comme une résistance nulle ce qui explique que s eU U= et à haute fréquence comme un circuit ouvert donc 0sU =

Diagramme de Bode :2

10log 1dBc

Gωω

= − +

Ce diagramme est asymptotique : la courbe est toujours très proche des asymptotes.

• cω ω< 0dBG ≃

• cω ω> 20 logdBc

Gωω

−≃

droite de pente –20 dB par décade.

5.6.2 Filtre passe-haut

1 1

R jRCH

jRCRjC

ωω

ω

= =++

2 2 21

RCG

R C

ωω

=+

1

c RCω =

( )2

1

1 c

G ωωω

= +


25

pente à l'origine : ( )

0

1lim

c

Gω

ωω ω→

=

On notera qu’à basse fréquence, le condensateur se comporte comme un circuit ouvert ce qui explique que 0sU = et à haute fréquence comme une résistance nulle donc s eU U=

Diagramme de Bode : 2

10log 1 cdBG

ωω

= − +

• cω ω< 20 logdBc

Gωω

≃

droite de pente 20 dB par décade. • cω ω> 0dBG ≃

5.6.3 Filtre passe-bande

1R

HR jL

jCω

ω

=+ +

22 1

RG

R LC

ωω

= + −

2

1

11

GL

R RC

ωω

= + −

en notant 1

oLC

ω = et 2

R

Lλ =

le facteur de qualité : 1

2o L

QR C

ωλ

= = d’où oLQ

R

ω= et 1

o

QRCω

=

( )2

2

1

1 o

o

G

Q

ωωω

ω ω

=

+ −

A retenir : Le maximum a toujours lieu pour oω ω= :

C’est la résonance En 0ω = le gain est nul. En oω ω= le gain est égal à 1.

Bande passante : intervalle [ ]1 2,ω ω dans lequel ( ) 1

2G ω >

2

2 1o

o

Qωω

ω ω

− =

1o

o Q

ωωω ω

− = ± 2 210o oQ

ω ω ω ω± − =

2

21 2

14

2 2o o

oQ Q

ω ωω ω= + − 2

22 2

14

2 2o o

oQ Q

ω ωω ω= + + 2 1 1

o o Q

ω ω ωω ω− ∆= =


26

Diagramme de Bode : 2

210log 1 odB

o

G Qωω

ω ω

= − + −

si 20 logo dBo

GQ

ωω ωω

<< =

si 20 logo dBo

QG

ωω ωω

>> = −

On peut tracer de manière équivalente les courbes intensité en fonction de la fréquence :

( )

e

GI U

R

ω= ou ( ) e

CI Q G U

Lω=

On parle de résonance en courant.

5.6.4 Surtension

( )2

11

1 1

jCH

LC jRCR jLjC

ωω ωω

ω

= =− ++ +

( )22 2 2 2

1

1G

LC R Cω ω=

− +

en notant 1

oLC

ω = et 2

R

Lλ =

le facteur de qualité : 1

2o L

QR C

ωλ

= = 1

oQRC

ω = donc 1

o

RCQω

=

( )22 2

2 2 2

1

11

o o

G

Q

ωω ωω ω

=

− +

( )oG Qω = et ( )0 1G =


27on remarquera que le maximum est obtenu pour une valeur de ω légèrement inférieure à ωο : En calculant la dérivée de l’expression sous la racine et en l’annulant, on obtient la valeur de ω qui rend G maximum.

2

2 2 2 2

22 1 2 0

o o oQ

ω ω ωω ω ω

− − + =

2

2 2

12 1 0

o Q

ωω

− − + =

soit 2

11

2M o Qω ω= −

ce maximum n’existe donc que si 1

2Q > c’est la résonance en tension.

En remplaçant ωM dans l’expression de G(ω) on obtient :

max

2

11

4

QG

Q

=−

( )2maxG Q si Q>≃

La bande passante est l’intervalle [ ]1 2,ω ω dans lequel ( )2

QG ω >

22 2

2 2 2

1 21

o oQ Q

ω ωω ω

− + =

en posant

2

2o

uωω

= ( )2

2 2

1 21 u u

Q Q− + =

si Q est grand (devant 1), u est voisin de 1. On pose alors 1u ε= + d’où 22

1

Qε =

2 2 11o Q

ω ω = ±

1

11

2o Qω ω

= −

et 2

11

2o Qω ω

= +

2 1 1

o o Q

ω ω ωω ω− ∆= =

A retenir : Il n’y a pas toujours de maximum. Les maxima ne sont pas alignés. En 0ω = le gain est égal à 1, c’est donc un circuit passe-bas, mais avec une résonance en ωM.

En oω ω= le gain est égal à Q

La bande passante relative est proche de 1

Q

On notera que lorsque le facteur de qualité est élevé, la tension aux bornes du condensateur peut être beaucoup plus importante que la tension d’alimentation. C’est la surtension. Ce circuit peut donc être dangereux si on ne prend aucune précaution.


28

5.7 Puissance

oU cosu tω= ( )oI cosi tω ϕ= −

• Puissance instantanée

L’énergie électrique fournie par un générateur à une charge dq pour la porter au potentiel u est dW = udq. Si cette opération est réalisée en un temps dt, la puissance fournie au circuit est

dqp u

dt= C’est la puissance instantanée : .p u i= **

p puissance fournie par le générateur, en convention générateur dans la branche du générateur ou p puissance consommée dans le circuit, en convention récepteur dans la branche du circuit.

( )o oU I cos cosp t tω ω ϕ= −

( )( )o oU Icos cos 2

2p tϕ ω ϕ= + −

• Puissance moyenne

o oU Icos

2P ϕ= car ( )cos 2 0tω ϕ< − >=

soit UIcosP ϕ= ** avec U et I tension et intensité efficaces cosϕ est appelé facteur de puissance

• Puissance complexe

( )oU expU j tω=

( )( )oI expI j tω ϕ= − *1

2P U I= *I est l’intensité complexe conjuguée

( )exp2o oU I

P jϕ= ( )UIexpP jϕ=

• Puissance active

( )ReP P= d’où UIcosP ϕ= **

La puissance active est égale à la puissance moyenne. Elle s’exprime en Watt (W) tout comme la puissance instantanée.

• Puissance réactive

( )ImQ P= d’où UIsinQ ϕ= *

La puissance réactive s’exprime en VAR ( Volt Ampère réactif ) Elle a évidemment la même dimension que la puissance active. Elle peut se déduire de la puissance active par la relation tanQ P ϕ= **


29• Puissance apparente

S=UI 2 2 2P Q S+ = ** s’exprime en Volt Ampère (VA)

Exemple du condensateur : 1

ZjCω

= I jC Uω= * *I jC Uω= −

22oU

U2

jCP jC

ω ω= − = −

donc 0CP = et 2UCQ Cω= − *

• Théorème de Boucherot

Deux portions de circuit (1) et (2) sont en série :

1 2U U U= +

* **1 2

1 1 1

2 2 2U I U I U I⋅ = ⋅ + ⋅

1 2P P P= +

Deux portions de circuit (1) et (2) sont en parallèle :

1 2I I I= + * * *1 2I I I= +

* **1 2

1 1 1

2 2 2U I U I U I⋅ = ⋅ + ⋅

1 2P P P= +

On peut généraliser :

La puissance complexe consommée dans un circuit est égale à la somme des puissances complexes consommées dans chaque élément du circuit. En identifiant les parties réelles et les parties imaginaires :

La puissance active consommée dans un circuit est égale à la somme des puissances

actives consommées dans chaque élément du circuit. ( conséquence du premier principe )

La puissance réactive consommée dans un circuit est égale à la somme des puissances

réactives consommées dans chaque élément du circuit. Remarque : cela reste vrai, que les éléments soient en série, en parallèle, en triangle, etc…

i ii i

P P Q Q= =∑ ∑ **

Application : Un moteur consommant une puissance P avec un facteur de puissance cosϕ est alimenté par un générateur de tension efficace U à la pulsation ω . Il est monté en parallèle avec un condensateur de capacité C. Calculer l’intensité efficace du courant délivré par le


30générateur et le facteur de puissance cosφ de l’installation. Puissance active totale : 0TP P= +

Puissance réactive totale : 2tan UTQ P Cϕ ω= −

2 2UI T TP Q= +

donc ( )22 2tan U

IU

P P Cϕ ω+ −=

Remarque : en l'absence de condensateur l'intensité délivrée par le générateur serait plus élevée.

( )22 2

costan U

P

P P Cφ

ϕ ω=

+ −

cos

PI

U φ=

Pour diminuer les pertes en ligne, le facteur de puissance doit être le plus proche possible de 1.

5.8 Transformateur de tension idéal Un transformateur idéal est constitué de deux circuits dont les bobinages ont une résistance négligeable et "reliés" par un circuit magnétique tel que toutes les lignes de champs passant dans le circuit primaire passent également dans le circuit secondaire. (On dit qu'il n'y a pas de fuites magnétiques)

N1 est le nombre de spires du circuit primaire ; son inductance est 21 1L kN=

En effet, lorsque le circuit primaire est parcouru par un courant i1 , le champ magnétique dans une spire est proportionnel à i1 et à N1, le flux à travers une spire est donc proportionnel à N1 et pour N1 spires le flux propre est donc proportionnel à N1² De même :

N2 est le nombre de spires du circuit secondaire ; son inductance est 22 2L kN=

Par un raisonnement identique L'inductance mutuelle est telle que : 1 2M kN N= Circuit équivalent du transformateur idéal :

1 1 21 1v

d di diL M

dt dt dt

φ= = +

2 2 12 2v

d di diL M

dt dt dt

φ= = + et 2 2v Ri= −

Si on alimente le circuit en régime sinusoïdal, on peut utiliser la notation complexe :


31

1 1 1 2v jL i jM iω ω= + 2 2 2 1v jL i jM iω ω= +

Lorsque le secondaire est ouvert R = ∞ d'où 2 0i =

alors : 2

1 1

v

v

M

L=

2 2

1 1

v

v

N

N= * ou en valeur efficace : 2 2

1 1

V N

V N=

cela reste vrai si la résistance de la charge est grande devant l’impédance du secondaire.

Le transformateur permet d'avoir sur le secondaire une tension beaucoup plus élevée (ou beaucoup plus faible) que celle du générateur. Ce dispositif permet également d'isoler les deux circuits : la masse peut être placée indépendamment en n'importe quel point du primaire et du secondaire. Si la masse du secondaire est laissée "flottante", un opérateur peut toucher sans danger un point du secondaire : il imposera alors la masse.

Lorsque le secondaire fonctionne en court-circuit, 0R = d'où 2v 0=

alors 2

1 2

i M

i L= −

2 1

1 2

i N

i N= − * ou en valeur efficace : 2 1

1 2

I N

I N=

Le transformateur fonctionne alors en transformateur de courant. Cela reste vrai si la résistance de la charge est petite devant l’impédance du secondaire. Remarque : En régime périodique non sinusoïdal, on peut appliquer le théorème de Fourier à chaque harmonique et le transformateur idéal continue à jouer son rôle. Seulement dans la réalité, on ne peut négliger les résistances, le circuit devient alors un filtre passe-bas et les harmoniques élevés sont donc atténués. Il s'ensuit une déformation du signal.

5.9 Convertisseur électromécanique

5.9.1 Champ tournant

Trois solénoïdes en forme d'étoiles (leurs axes font un angle de 2

3

π)

sont parcourus par trois courants de même amplitude Io et déphasés

de 2

3

πϕ =

on parle de courants triphasés. Appelons Bo la norme du champ magnétique créé au voisinage du centre O de l'étoile par un solénoïde lorsqu'il est traversé par le courant Io . Le champ magnétique résultant en O a pour composantes :

2 2 2 4cos cos cos cos cos

3 3 3 3x o o o oB B t t tπ π π πω ω ω − = + − + −

soit :


32

1 2 4cos cos cos

2 3 3x o o o oB B t t tπ πω ω ω

= − − + −

( )cos cos cos3x o o oB B t tπω ω π

= − − ⋅

3

cos2

ox o

BB tω=

et

2 2 2 4sin cos sin cos

3 3 3 3y o o oB B t tπ π π πω ω = − − −

soit : 3 2 4

cos cos2 3 3y o o oB B t t

π πω ω = − − −

( )3 sin sin3y o oB B tπω π = − − ⋅

3

sin2

oy o

BB tω=

Le champ magnétique a donc un module constant : 3

2oB

et tourne à la vitesse ωο dans le plan

des bobines. C'est un champ tournant.

5.9.2 Moteur synchrone

Un dispositif tel que celui étudié précédemment crée un champ tournant de module B et de vitesse angulaire ωo : c’est le stator. Le rotor est une pièce aimantée, assimilable à un dipôle

magnétique placé en O et pouvant tourner autour d'un axe Oz

perpendiculaire aux bobines, à la vitesse angulaire ω . Soit M

son moment magnétique et θ l'angle ( ),B M

. A l'instant initial

M

fait un angle α avec l'axe Ox

Le rotor subit à chaque instant un couple de moment M B zΓ = ∧ = Γ

de valeur algébrique : sinMB θΓ = −

( )o tθ ω ω α= − + et ( )sin oMB tω ω αΓ = − −

si oω ω≠ Γ va être nul en moyenne et le rotor ne tourne pas

si oω ω= sinMB αΓ = −

Le système est donc un moteur à la condition que le rotor tourne à la même vitesse angulaire que le champ tournant. Il faut donc lancer le rotor, ce moteur ne démarre pas tout seul. De plus pour que Γ soit positif il faut que α soit négatif ( )0π α− < < , donc que le moment

magnétique soit en retard sur le champ.

Lorsque le moteur fonctionne en régime permanent, l'angle θ entre B

et M

est donc constant égal à α.


33Si une perturbation vient à modifier cet angle de dα, il s'ensuit une variation du couple moteur de dΓ. Si dΓ est du même signe que dα, la perturbation est amplifiée puisque la variation du couple tend à faire varier l'angle dans le même sens. Le système est instable. Dans le cas contraire, le rotor revient vers son régime précédent : le régime est stable.

cosd

MBd

ααΓ = − . Le régime est stable si cos 0α > donc si 0

2

π α − < <

Si la charge à laquelle est soumis le moteur est trop forte, α décroît, puis lorsque α atteint la

valeur 2

π− le moteur décroche : il s'arrête.

La puissance mécanique maximale est : max oP MBω= pour

2

πα = −

5.9.3 Moteur asynchrone

Le rotor est une bobine de N spires, de surface S, de résistance R et d'inductance L, parcourue par un courant i induit par le champ tournant (le rotor n’est pas alimenté par un générateur). Il est assimilable à un dipôle magnétique placé en O et pouvant tourner autour de l'axe

Oz

à la vitesse angulaire ω. Soit M NiS=

son moment

magnétique et θ l'angle ( ),B M

. On a toujours ( )o tθ ω ω α= − +

et comme précédemment, le rotor subit un couple : sinMB θΓ = − soit sinNBSi θΓ = − Par ailleurs, la rotation relative du rotor par rapport au champ magnétique induit une force

électromotrice d

edt

φ= − avec cosNBSφ θ= , flux du champ B

(supposé uniforme) à travers

la bobine. L’équation du circuit est : di

e Ri Ldt

= + avec ( )sine NSB t α= Ω Ω + en notant

oω ωΩ = − .

On utilise la notation complexe ; le courant induit vaut : [ ]( )expNSB

I j tR jL

αΩ= Ω ++ Ω

Soit ( )expo oI I jϕ= − avec 2 2 2o

NSBI

R L

Ω=+ Ω

et tanL

Rϕ Ω= ( ϕ retard de i sur e)

d'où ( )sinoi I t α ϕ= Ω + − et ( )sin sinoNBSI θ θ ϕΓ = − −

( ) ( ) ( )2

2 2 2

1cos cos 2

2

NBS

R Lθ ϕ θ θ ϕ

− ΩΓ = − − − − + Ω

( )cos 2 o tω ω ϕ− + est nul en moyenne, le couple moyen sera donc

( )2

2 2 2cos

2

NBS

R Lϕ

− Ω< Γ >=

+ Ω et comme

2 2

2

1cos

1L

R

ϕ =Ω+

finalement : ( ) ( )

( )( )2

22 22

o

o

R NBS

R L

ω ωω ω

− −< Γ >=

+ −

en posant Y=<Γ> X=ω−ωo ( )2

22

R NBSA

L= et

Rk

L= on a : 2 2

AXY

k X

−=+


34

( )( )

2 2

22 2'

A X kY

k X

−=

+

Le système est moteur quand le couple moyen a le même signe que la vitesse de rotation ω, c'est-à-dire si 0 oω ω< <

Le rotor tourne moins vite que le champ tournant. Pour 0ω = le moment n'est pas nul, le moteur démarre donc sans aide extérieure. Le moment moyen ne dépend pas de α, position initiale du rotor. Le régime est stable si une perturbation dω de la vitesse angulaire provoque une variation d<Γ> du moment moyen de signe opposé :

0d

dω< Γ > <

0 o

d RX k

d Lω ω

ω< Γ > = ⇒ = ± ⇒ = ±

donc le régime est stable si o

R

Lω ω> − ce qui

sera toujours réalisé si oR

Lω < (car 0ω > )

(cas de la figure précédente).

Mais si o

R

Lω< le moteur sera instable pour les

faibles vitesses comprises entre 0 et o

R

Lω − :

il ne pourra pas tourner à faible vitesse. La puissance mécanique moyenne est P ω< >=< Γ > .

( ) ( )( )( )

2

22 22

o

o

R NBSP

R L

ω ω ωω ω

− −< >=

+ −

Elle s'annule pour ω = 0 et pour ω = ωo .


35

Table des matières

11 EElleeccttrr oocciinnéétt iiqquuee ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 11 1.1 Loi d’Ohm locale .................................. ........................................................................................................... 1 1.2 Force électromotrice .............................. ........................................................................................................ 2 1.3 Loi d’Ohm ......................................... ............................................................................................................... 2 1.4 Association de résistances ........................ ................................................................................................... 3 1.5 Rappel des théorèmes de l’électrocinétique ........ ....................................................................................... 3 1.5.1 Loi des mailles ......................................................................................................................................................................................3 1.5.2 Loi des nœuds........................................................................................................................................................................................3 1.5.3 Théorème de superposition ....................................................................................................................................................................4 1.5.4 Théorème de Thévenin ..........................................................................................................................................................................5 1.5.5 Théorème de Norton ..............................................................................................................................................................................5 1.5.6 Equivalence Thévenin-Norton ...............................................................................................................................................................6 1.5.7 Théorème de Millman ...........................................................................................................................................................................6 1.6 Loi de Joule ...................................... ............................................................................................................... 6

22 PPhhéénnoommèènnee dd’’ iinndduucctt iioonn .................................................................................................................................................................................................................................................... 77 2.1 Champ magnétique variable ......................... ................................................................................................. 7 2.1.1 Champ électromoteur ............................................................................................................................................................................7 2.1.2 Force électromotrice induite ..................................................................................................................................................................7 2.2 Mouvement d’un circuit dans un champ magnétique con stant ............................................. ................... 8 2.2.1 Champ électromoteur ............................................................................................................................................................................8 2.2.2 Force électromotrice ..............................................................................................................................................................................8 2.2.3 Exemple.................................................................................................................................................................................................9 2.3 Application : courants de Foucault ................ ............................................................................................... 9

33 AAuuttoo iinndduucctt iioonn .............................................................................................................................................................................................................................................................................. 1100 3.1 Inductance d’un circuit ........................... ..................................................................................................... 10 3.2 Régime transitoire ................................ ........................................................................................................ 11 3.3 Energie magnétique emmagasinée dans un circuit .... .............................................................................. 12 3.4 Densité d’énergie magnétique ...................... ............................................................................................... 12 3.5 Calculs d’inductance .............................. ...................................................................................................... 13 3.5.1 Solénoïde infini ................................................................................................................................................................................... 13 3.5.2 ligne coaxiale....................................................................................................................................................................................... 13 3.6 Mutuelle inductance de deux circuits .............. ........................................................................................... 14 3.6.1 Définition ............................................................................................................................................................................................ 14 3.6.2 Energie magnétique de deux circuits ................................................................................................................................................... 15 3.6.3 Calcul d’une inductance mutuelle : ..................................................................................................................................................... 15

44 CChhaarr ggee eett ddéécchhaarr ggee dd’’ uunn ccoonnddeennssaatteeuurr ............................................................................................................................................................................................ 1166 4.1 Dans une résistance ............................... ...................................................................................................... 16 4.2 Dans un circuit inductif .......................... ...................................................................................................... 17 4.3 Analogies électromécaniques ....................... .............................................................................................. 19

55 RRééggiimmee ssiinnuussooïïddaall .................................................................................................................................................................................................................................................................. 2200 5.1 Valeur moyenne .................................... ........................................................................................................ 20 5.2 Valeur efficace ................................... ............................................................................................................ 20 5.3 Représentation complexe ........................... ................................................................................................. 21 5.3.1 Résistance ............................................................................................................................................................................................ 21 5.3.2 Condensateur ....................................................................................................................................................................................... 21 5.3.3 Inductance ........................................................................................................................................................................................... 22 5.4 Représentation de Fresnel ......................... .................................................................................................. 22 5.4.1 Résistance ............................................................................................................................................................................................ 22 5.4.2 Condensateur ....................................................................................................................................................................................... 22 5.4.3 Inductance ........................................................................................................................................................................................... 22 5.5 Associations ...................................... ............................................................................................................ 23 5.6 Fonction de transfert ............................. ....................................................................................................... 23 5.6.1 Filtre passe-bas .................................................................................................................................................................................... 24 5.6.2 Filtre passe-haut .................................................................................................................................................................................. 24 5.6.3 Filtre passe-bande ................................................................................................................................................................................ 25


365.6.4 Surtension ............................................................................................................................................................................................ 26 5.7 Puissance ......................................... ............................................................................................................. 28 5.8 Transformateur de tension idéal ................... .............................................................................................. 30 5.9 Convertisseur électromécanique .................... ............................................................................................ 31 5.9.1 Champ tournant ................................................................................................................................................................................... 31 5.9.2 Moteur synchrone ................................................................................................................................................................................ 32 5.9.3 Moteur asynchrone .............................................................................................................................................................................. 33

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