ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERIA MECANICAMECANICA DE MATERIALES II1. Tema: Cilindros de pared gruesa2. Grupo: GR13. Integrantes: Chicaiza Jami Sandy Lorena Chimbolema Collaguazo Mariela Beln4. IntroduccinUn cilindro se considera de paredes gruesas si el espesor de su pared es mayor que una dcima de su radio medio.Los cilindros de pared gruesa sometidos a presin, estn solicitados de modo tal forma que presentan una distribucin simtrica en el eje axial de tensiones normales: (circunferencial, radial y longitudinal), siendo nulas las tensiones de corte. A consecuencia de la simetra axial del cilindro y las cargas, las tensiones y deformaciones en el cilindro sern tambin simtricas respecto a su eje.Cuando se trata de cilindros de pared gruesa es necesario considerar la existencia de las tensiones radiales lo que produce una variacin considerable de las tensiones en el espesor de la pared.Se trata de un caso de estado elstico plano en el que las tensiones y deformaciones no dependen del ngulo polar, es decir un caso axial-simtrico, en el que las tensiones y slo dependen del radio r.

Fig. 1 Cilindro de pared gruesa sometido a presin externa e interna

Es posible entonces calcular las tensiones utilizando las frmulas de Lam que se tratan en el tema elasticidad en coordenadas polares y que tienen la siguiente forma:

No obstante, el presente problema se analizar aplicando el mtodo general de la teora de la elasticidad que se desarrolla a continuacin. A tal fin ser necesario plantear las ecuaciones siguientes: Diferenciales de equilibrio. De Compatibilidad de las deformaciones De contorno.

Ecuacin diferencial de equilibrioPor tratarse de un estado plano axial-simtrico, donde no intervienen ni la variable z ni el ngulo polar , se considerar aislado, un pequeo prisma de seis caras limitado por dos planos perpendiculares el eje geomtrico del cilindro y separados una distancia unitaria, tambin por dos crculos concntricos con el eje del cilindro y distantes , como as tambin por dos planos que contengan al eje longitudinal y que estn separados un ngulo diferencial, tal como se representa en el diagrama de cuerpo libre de la figuras 2 y 3.

Fig. 2 Diferencial del cilindro vista 3D

Fig. 3 Diferencial del cilindro vista 2D

A las tensiones radiales se las considerar con signo positivo + si son de compresin, fig.3.Tambin se despreciarn las fuerzas msicas porque son muy pequeas en comparacin con las producidas por la presin interna o externa.Para el planteo de la condicin de equilibrio en la direccin radial del elemento diferencial de longitud unitaria, se tendrn en cuenta las reas que se consideran a continuacin:Cara CDHG: Cara ABFE: Cara DBFH: Proyectando sobre la direccin radial, Fig. 3, resulta:

Simplificando , operando algebraicamente y simplificando el primer sumando resulta:

Despreciando el infinitsimo de orden superior, dividiendo por y ordenando se obtiene:

La ecuacin (1) es la Ecuacin diferencial de equilibrio entre fuerzas interiores en cada punto de radio

Compatibilidad de las deformacionesLas deformaciones que se producen son simtricas con respecto al eje del cilindro y varan a lo largo del radio. Consisten en un corrimiento radial de todos los puntos del espesor de la pared del tubo, siendo constante para todos los puntos de una misma circunferencia, pero variables con el radio Como muestra la Fig. 4, el punto D que pertenece a la superficie genrica de radio experimenta un corrimiento , mientras que el punto B con radio lo hace en la cantidad .

Fig. 4 Deformaciones

El segmento DB de longitud experimentar entonces una variacin de longitud , por lo que la deformacin unitaria resulta:

Adems la deformacin unitaria de la circunferencia de radio se puede obtener, fig.5, haciendo:

Fig. 5 deformacin unitaria de la circunferencia de radio

Resultando:

Para que sean compatibles las deformaciones y se debe establecer una vinculacin entre las ecuaciones (2) y (3).Despejando de la ecuacin (3) resulta:

Derivando luego dicho producto con respecto a r se obtiene:

Igualando esta expresin con la ecuacin (2) queda:

La (4) es la Ecuacin de compatibilidad de deformaciones.

Es necesario expresar la (4) en funcin de las tensiones, pero se debe tener en cuenta que en el presente anlisis es de compresin cuando su signo es positivo:La Ley de Hooke generalizada para este estado plano se expresa del siguiente modo:

Reemplazando (5) y (6) en la ecuacin (4) se obtiene:

Multiplicando miembro a miembro por E y operando al factor entre parntesis resulta:

Teniendo en cuenta por la (1) que:

La expresin anterior queda as:

Simplificando los sumandos: y queda:

Y teniendo nuevamente en cuenta la (1):

Debe ser por lo tanto:

Lo que implica que:

Se cuenta entonces con dos ecuaciones en y : la de equilibrio (1) y la de compatibilidad de las deformaciones en funcin de las tensiones (7):

Que conforman un sistema que permite hallar las respectivas funciones.

Despejando de la (7) y sustituyendo en la (1) se obtiene:

Separando variables para poder integrar se obtiene:

Ya que la derivada de una funcin () es igual a la derivada de esa misma funcin a la que se le sume una constante A ().Integrando queda as:

De donde se obtiene: que permite despejar :

De la (7) es: y por la (8):

Simplificando:

Las (8) y (9) se conocen con el nombre de Ecuaciones de Lam. Las constantes A y B se determinan en cada caso por medio de las condiciones de contorno.

Ecuaciones de contorno

Fig. 6 Cilindro sometido a presin interna

a) Cilindro sometido solamente a presin interior Fuerzas externas: Condiciones de contorno: para es: para ; es: En consecuencia, efectuando las correspondientes sustituciones en la expresin (8) se obtiene:Con :

Con :

Con la (10) y la (11) se obtienen las dos constantes A y B:Restando (10) y (11):

Quedando:

Sustituyendo (12) en (11) resulta:

Reemplazando (12) y (13) en la (9) se obtiene:

Procediendo de igual modo con la (8) resulta:

Por ser , y resultan positivas, que implica: de traccin y de compresin.En las expresiones (14) y (15) el radio opera en el denominador, por lo tanto las tensiones y sern mximas para el menor valor de () y mnimas para el mayor valor Para

Para

En la fig. 6 se muestra la variacin de ambas tensiones. A la se la representa hacia abajo para mostrar grficamente su carcter de compresin ya que su signo es contrario al habitual.

b) Cilindro sometido solamente a presin exterior

Fig. 7 Cilindro sometido a presin externa

Fuerzas externas: Condiciones de contorno: para r=a es: para r=b ; es: En consecuencia, efectuando las correspondientes sustituciones en la expresin (8), se obtiene:Con r=a:

Con r=b:

De estas ecuaciones se obtiene A y B:

Sustituyendo las (20) y (21) en las (8) y (9) se obtiene:

Por ser resulta < 0 (compresin) y > 0 (compresin).La tensin ser mxima para , mientras que ser mxima para .Para :

Para :

En la Fig. 7 se muestra la variacin de ambas tensiones

EJERCICIO RESUELTOUn cilindro de acero tiene 150 mm de dimetro interior y 450 mm de dimetro exterior. Si el cilindro se somete a una presin interna , (a) determine las distribuciones de los esfuerzos radial y tangencial y muestre los resultados en una grfica. (b) Determine el esfuerzo cortante mximo (principal).Datos:

(a)

Dando valores a se obtendr los respectivos valores de y 75100125150175200225

-150-76.2-42-23.4-12.2-50

187.5113.779.560.949.742.537.5

(b)

Bibliografa:POPOV, Egor; Mecnica de slidos; Segunda Edicion; Editorial Pearson Prentice Hall; Pgs. 190-193SINGER, Ferdinand; Resistencia de Materiales; Cuarta Edicion; Editorial Alfaomega; Pgs. 465-469http://dim.usal.es/eps/im/roberto/cmm/tema2/Cilindros%20de%20pared%20gruesa%20demostracion.pdfhttp://www.tdx.cat/bitstream/handle/10803/6739/12EAsm12de13.pdf?sequence=12file:///C:/Users/Usuario/Downloads/TUBOS_GRUESOS%20(1).pdf