christian gruber - johannes reiter
DESCRIPTION
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems A. Pessoa, M. Poggi de Aragao und E. Uchoa. Christian Gruber - Johannes Reiter. AGENDA. Einleitung Problem Definitionen & Formulierungen Robust Branch-Cut-and-Price Algorithums Ergebnisse Fazit. Einleitung. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms
for Vehicle Routing ProblemsA. Pessoa, M. Poggi de Aragao und E. Uchoa
Christian Gruber - Johannes Reiter
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 2
AGENDA
• Einleitung
• Problem Definitionen & Formulierungen
• Robust Branch-Cut-and-Price Algorithums
• Ergebnisse
• Fazit
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 3
Einleitung
• Branch and Cut um 1980 entwickelt
• Branch and Price erst 1993 entwickelt
• Kombination erst nach Jahrtausendwende erfolgreich
• Was ist nun Branch-cut-and-price?
• Folgende Ideen basieren auf ACVRP„Asymmetric Capacitated Vehicle Routing Problem“
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 4
AGENDA
• Einleitung
• Problem Definitionen & Formulierungen
• Robust Branch-Cut-and-Price Algorithm
• Ergebnisse
• Fazit
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 5
Definitionen
• Gerichteter Graph G = (V,A)
V = {0,1,…,n} m = |A| 0 … Depot
• Jeder Client Bedarf d(i) - Bedarf d(0) = 0
• C … max. Kapazität einer Tour
• Jede Route startet und endet beim Depot
• Jeder Client wir nur in einer Tour besucht
• Ziel ist Minimierung der Kosten aller Routen
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 6
Definitionen (2)
• Menge aller Clients V+ = {1,…,n}
• Bedarf der Teilmenge S
• Mind. Anzahl an Touren
• Kanten in S
• Eing. Kanten
• Ausg. Kanten
VS
Si
idSd )()(
C
SdSk
)()(
SjiAjiSA ,:),()(
SVjSiAjiS \,:),()(
SjSViAjiS ,\:),()(
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 7
Aa
aaxcMinimize
..tS
)(}1,0{
,)()())((
),(1}))({(
),(1}))({(
Aax
VSSkSx
Viix
Viix
a
LP – Formulierung:
Arc Formulation
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 8
Aa
C
d
daa xcMinimize
0
..tS
),,1;(0
),,,1;(}1,0{
),,),(;(0
),(1
),(1
)0,(
})({ })({
)(
})({ 1
})({ 1
CdVix
CdAax
CiddVixx
Vix
Vix
di
da
ia ia
idda
da
ia
C
d
da
ia
C
d
da
LP – Formulierung:
Introducing Capacity-Indexed Variables
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 9
Extended Capacity Cuts
• Für alle gilt:
• Wenn bekommt man die „capacity-balance equation over S“ :
• Definition: An Extended Capacity Cut (ECC) over S is any inequality valid for P(S), the polyhedron given by the convex hull of the 0-1 solutions of the „capacity-balance equation over S“.
Vi )()( )(
iddxdxia ia
da
da
d d
VS
)()()(
SddxdxSa
da
Sa
da
dd
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 10
• Genau 3 Knoten von
• Definiert über Variablen xad,
mit
• Erstellen kompatiblen Graphen G = (V,E) ,wo falls
Fall 1: if , then
Fall 2: if , then
Fall 3: if , and then
Fall 4: if , and then
)),(,),(( 21dd kijie
)),(,),(( 21dd kijie
)),(,),(( 21dd kijie
)),(,),(( 21dd kijie
e
e),(21 jddd e),(21 jddd e
Triangle Clique Cuts
SjiAjia Cdd ,;),(
VS
),( 22
11
dd aae
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 11
Triangle Clique Cuts (2)
Für jede unabhängige Menge I V gilt:1
Ia
da
d
x
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 12
AGENDA
• Einleitung
• Problem Definitionen & Formulierungen
• Robust Branch-Cut-and-Price Algorithm
• Ergebnisse
• Fazit
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 13
• R ist eine C x n Matrix
• jeder Eintrag repräsentiert den günstigsten Weg beginnend beim Knoten v und endet beim Depot mit dem Verbrauch d
• jeder Eintrag ist gekennzeichnet durch einen Knoten (v), die Kosten des Wegs ( ) und einem Zeiger auf einen Eintrag, der den nächsten Knoten des Wegs repräsentiert
Column Generation
})),((({min)),((})({
dvw
vwcwvddRcvdRc
)),(( vdRc
),( vdR
Erzeugung der Matrix:
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 14
• Eine unabhängige Menge I V in G welchemaximiert
• Fakt 1: Der Graph G ist eine Menge von Verkettungen für jede ACVRP Instanz.
• Fakt 2: Eine Menge I ist die schwerste, unabhängige Menge für eine Menge von Verkettungen falls es die einzige, schwerste, unabhängige Menge für jede einzelne Verkettung ist.
Separation Routines
Ia
da
d
x
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 15
Branching with Route Enumeration
Traditionelles branching:
• Man wählt ein Paar {i,j}, sodass der Wert
am nähersten zu 0.65 ist
• Beim linken Ast:
• Beim rechten Ast:
C
d
dij
djiji xxx
0),(),(},{ )(
0},{ jix
1},{ jix
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 16
Branching with Route Enumeration (2)
• Kombination um Performance zu erhöhen
• Wenn Differenz der besten, bekannten, zulässigen Lösung und der aktuellen LP Relaxierung klein ist=> Enumeration aller relevanten, elementaren q-Routen
– Deren reduzierten Kosten nicht größer sind
– Keine Route mit den gleichen Clients, aber geringeren Kosten existiert
• Hybride Strategie soll robusten Ansatz bieten
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 17
AGENDA
• Einleitung
• Problem Definitionen & Formulierungen
• Robust Branch-Cut-and-Price Algorithm
• Ergebnisse
• Fazit
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 18
Ergebnisse bei ACVRP
Instance k C Fuk. LB Fuk. Time New LB New
TimePrev .
UBNew UB
a036-18f 18 150 4046.00 0.8 4046.00 0.2 4046 4046
a056-17f 17 150 4974.21 2.9 4976.69 25.2 4998 4998
a036-10f 10 250 3306.09 1.9 3313.51 29.2 3338 3338
a056-10f 10 250 3258.57 5.8 3262.08 89.3 3263 3263
a036-05f 5 500 2084.27 4.9 2088.17 67.6 2110 2110
a056-05f 5 500 2144.09 30.9 2152.87 695.9 2165 2165
a036-03f 3 1000 1635.27 22.9 1638.46 1009.4 1644 1644
a056-03f 3 1000 1725.28 256.5 1727.60 5441.1 1739 -
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 19
Ergebnisse bei ACVRP (2)
• Neuer Ansatz effektiv bei kleinen Instanzen und wenigen Fahrzeugen
• Probleme mit großen Instanzen (teilweise nicht beendet)
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 20
AGENDA
• Einleitung
• Problem Definitionen & Formulierungen
• Robust Branch-Cut-and-Price Algorithm
• Ergebnisse
• Fazit
Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 21
FAZIT
• RBCP-Ansatz für das ACVRP effizient bei verschiedenen Problemstellungen
• Tiefe des Branching-Tree kann durch die Hyprid-Strategie verringert werden.