chapter 6 - excitation and ionization

8/12/2019 Chapter 6 - Excitation and Ionization

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C h a p t e r 6

E x c i t a t i o n a n d I o n i z a t i o n

Excitation and ionization of one-electron atoms by relativistic projectilesare treated simultaneously in this chapter and are not distinguished. Mostapplications refer to K-shell ionization which is the important process athigh velocities. The th eore tica l metho ds used for relativistic collisions arevery similar to those applied at nonrelativistic bombarding energies.

In Sec. 6.1 we start with an outline of first-order perturbation theory,and in Sec. 6.2, for the sake of illustration, we discuss the simple cases ofthe dipole approximation and of a quasirelativistic treatment of the matrixelements. Some of the me thod s used to evaluate the necessary interactionmatrix elements more exactly are presented in Sec. 6.3, so that one is ina position to derive theoretical results and to compare them with the cor-responding experimen tal da ta. In Sec. 6.4 we discuss the finite-differencemethod for solving the time-dependent Dirac equation of the collision sys-tern in a nonperturbative way. As an alternative nonperturbative method,we consider two-center coupled-channel methods in Sec. 6.5, and subse-quently specialize to single-center coupled-channel calculations.

For definiteness, we assume in this chapter that a single target electronis excited or ionized by the projectile. If the active electron is carried by theprojec t i l e , excitation can occur by the target nucleus, and one has simply tointerchange t he role of target and projectile. Exci tatio n is then influencedby the target electrons. These and other man y-electr on effects are discussedin Chap. 7.

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140 C H A P T E R 6. E X C I T A T I O N A N D I O N I Z A T I O N6 . 1 F i r s t - o r d e r p e r t u r b a t i o n t h e o r yF o r a f as t c o ll is io n a n d f or im p a c t p a r a m e t e r s b c o m p a r a b l e w i t h , o r l a r g e rt h a n t h e a t o m i c K - s h e ll ra d i u s, t h e t r a n s i e n t p e r t u r b a t i o n o f t h e t a r g e ta t o m b y t h e p r o j e c t i l e i s s m a l l e n o u g h t h a t t h e f i r s t - o r d e r t i m e - d e p e n d e n tp e r t u r b a t i o n t h e o r y i s e x p e c t e d t o b e a g o o d a p p r o x i m a t i o n , e v e n f o r ah i g h - Z p r o j e c t i l e .6 . 1 . 1 G e n e r a l e x p r e s s i o n sI n fi r s t- o r d e r p e r t u r b a t i o n t h e o r y , b y c o m b i n i n g E q s . ( 5.7 6 ) a n d ( 4 .3 2 ) , t h et r a n s i t i o n a m p l i t u d e f o r e x c i t a t i o n a n d i o n i z a t io n o f t h e t a r g e t e l e c t r o n i sw r i t t e n a s

e ~/ZPe2 i ( E f E i ) t / 1Aft(b) - - i h d t e ~ - d3 rT r - - Z a z ) D- ~ i ( r T ) . ( 6 .1 )r pH e r e , 7 is t h e L o r e n t z f a ct o r , Z p t h e p r o j e c t i le c h a r g e n u m b e r , a n d ~ ia n d ~ f a r e t h e i n i ti a l a n d f i n al e ig e n f u n c t i o n s o f t h e t a r g e t e l e c t ro n w i t hene r g i e s E i and E f . T h e coo r d ina t e s a r e exp la ine d in F ig . 3 .2 , and r} ,, g ivenby E q . ( 5 . 97) , i s t he e l ec t r on- pr o j ec t i l e d i s t ance measur ed in t he p r o j ec t i l er e s t sys t em . T h e c r oss sec t ion f o r exc i t a t i on i s d i r ec t ly g iven by E q . ( 5 .65) ,whi l e f o r t he d i f f e r en t i a l i on i za t ion c r oss sec t ion we have to r ep l ace a f t byd a f i / d E f , so tha t f o r e ach spec i f i ed in i t i a l and f ina l s t a t e ( see be low) weh a v e

d a _ 27r [A~ll 2 b d b . (6.2)d E fI n t h i s f o r m u l a , i t i s a s s u m e d t h a t t h e r a d i a l c o n t i n u u m w a v e f u n c t i o nf o r e a c h f in a l p a r t i a l w a v e ~ f o r jf , If e n t e r i n g i n th e t r a n s i t i o n a m p l i t u d ei s no r m a l i zed p e r un i t ene r gy in t e rva l , s ee E q . ( 4 .117) . S ince the em i t -t e d e l e c t r o n i s n o t r e p r e s e n t e d b y a p l a n e w a v e b u t a C o u l o m b w a v e , t h ea p p r o a c h e s d i s c u s s e d h e r e b e l o n g t o t h e c la s s o f d i s t o r t e d - w a v e B o r n a p -p r o x i m a t i o n s ( D W B A ) . I n t r o d u c i n g t h e m i n i m u m m o m e n t u m t r a n s f e r h q 0t h r o u g h E q . ( 5 . 1 0 5 ) , t h e i n t e g r a t i o n i n E q . ( 6 . 1 ) o v e r t h e t i m e d e p e n d e n c er e s i d i n g i n t h e e x p o n e n t i a l f a c t o r a n d i n t h e t e r m 1 / r ~ c a n b e d i r e c t l yca r r i ed ou t t o y i e ld [ BAH59, Am A81]

2 qo ~ / ( X T _ b ) 2 + y ~ ) i > 2 (6 .3 )A ~ [ - 4 ~ ] / f l ( l - 3 a z ) e i % z T K o ( - ~H e r e a n d i n t h e r e m a i n i n g p a r t o f t h i s c h a p t e r , w e u se t h e b r a c k e t n o t a t i o nf or t he space in t egr a l . Fu r the r m or e , ~p is g iven by E q . ( 5 .52) , and K 0d e n o t e s t h e m o d i f ie d B e ss e l f u n c t io n . I t is s e e n t h a t t h e r a n g e p a r a m e t e r


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6 .1 . F I R S T - O R D E R P E R T U R B A T I O N T H E O R Y 141-1of t he e f f e ct i ve i n t e r a c t io n i s q0 a lon g the p a th , i . e. , p a r a l l e l t o t he z - a x i s ,

b u t i s ~ / q o 1 p e r p e n d i c u l a r t o it , i .e ., i n t h e i m p a c t p a r a m e t e r p l a n e . H e n c e ,a s 7 i n c r e a s es , t h e i n t e g r a n d f al ls of f m o r e s l o w l y w i t h b t h a n i n t h e b e a md i r e c ti o n . T h i s r e fl ec ts th e p r o p e r t i e s o f t h e L i ~ n a r d - W i e c h e r t p o t e n t i a lg ive n by E q . ( 3 . 34 ) a nd de p ic t e d i n F ig . 3 . 3 .F o r m u l a t i o n i n te r m s o f t h e F o u r i e r t r a n s f o r mF o r a n a c t u a l e v a l u a t i o n o f t h e c r o ss s e c ti o n , i t is m o r e c o n v e n i e n t t o r e t u r nt o t h e e x p r e s s i o n ( 6.1 ) a n d t o r e w r i t e t h e r e t a r d e d i n t e r a c t i o n i n t e r m s o fi ts F o u r i e r tr a n s f o r m . U s i n g t h e r e l a t iv i s t i c a ll y g e n e r a li z e d B e t h e i n t e g r a l( 5 . 1 0 3 ) , t h e e l e c t r o n i c t r a n s i t i o n m a t r i x e l e m e n t i n E q . ( 6 . 1 ) c a n b e c a s ti n t o t h e f o r m ( 5 . 1 0 4 ). B y d e c o m p o s i n g q as q = ( qb , q z ) a n d p e r f o r m i n gt h e t i m e i n t e g r a t i o n , o n e o b t a i n s f r o m E q . ( 5 . 1 0 6 ) t h e t r a n s i t i o n a m p l i t u d e

A ~ ( b ) - i T v u p M fi (b ) - -Tri ,,_ f d2 qbq2 + ( 1 - /3 2 )q ~ )a n d f r o m E q . ( 6 .2 ) t h e c r o ss s e c t i o n

C i qb'b Mfi (q) (6.4)

~0 ~176d ~ _ 8 7r r,2 q b d q b [M fi(q) l u (6.5)dE f [q2 + ( 1 - 32)q~]2 ,w h e r e

Mf i (q) = ( f l (1 - ~ a z ) c i q r T [ i ) . (6.6)T h e a d v a n t a g e o f t h i s fo r m u l a t i o n i s t h a t t h e c o m p l i c a t e d t i m e d e p e n -

d e n c e c o n t a i n e d i n t h e e x p r e s s i o n ( 5 .9 7 ) f o r r~ , i s r e m o v e d a n d r e p l a c e dw i t h t h e m o r e e x p li c it w a v e n u m b e r d e p e n d e n c e ( 6.5 ) a n d ( 6 .6 ). T h e e x -p r e s s i o n ( 6 . 5 ) , v a l i d f o r e a c h t a r g e t e l e c t r o n a n d f o r s p e c i f i e d i n i t i a l a n df i n a l s t a t e s , a g r e e s w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g e x p r e s s i o n d e r i v e d i n a w a v ep i c t u r e , i n w h i c h c e r t a i n s i m p l i f i c a t i o n s , d e s c r i b e d i n S e c . 5 . 2 , a r e a d o p t e d[DAM78, Anh79] .S p e c i f i c a t i o n o f th e i n i ti a l a n d fi n a l s t a t e sF o r e x c i t a t i o n , t h e i n i t i a l a n d f i n a l b o u n d s t a t e s i a n d f a r e s p e c i f i e d b yt h e i r q u a n t u m n u m b e r s i - { h i, ~ i , P j i } a n d f - { n f , ~ f , # j f } , r es p e c ti v e ly ,s e e E q s . ( 4 .8 4 ) a n d ( 4 .8 5 ) . I n o r d e r t o o b t a i n t h e c o m p l e t e c r o s s s e c t i o n ,o n e a v e r a g e s o v e r t h e i n i t i a l a n g u l a r m o m e n t u m p r o j e c t i o n s P J i a n d s u m so v e r t h e f i n a l a n g u l a r m o m e n t u m p r o j e c t i o n s p j f .

F o r i o n i z a t i o n , E q s . ( 6 . 2 ) a n d ( 6 . 5 ) , t h e i n i t i a l b o u n d s t a t e i s c h a r a c -t e r i z e d i n t h e s a m e w a y . H o w e v e r , f o r t h e f i n a l s t a t e o f a g i v e n c o n t i n u u m


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142 C H A P T E R 6. E X C I T A T I O N A N D I O N I Z A T I O Ne n e r g y E f , o n e h a s t o d i s t i n g u i s h t w o p o s s i b l e s i t u a t i o n s d e t e r m i n e d b y t h ee x p e r i m e n t a l s e t u p .

( a ) T h e en e rg y E f an d th e d i r ec t io n fr o f em is s io n o f th e e l ec t ro n i s1d e t e c t e d . T h e n t h e f in al s t a t e f} - I E f , fr a ) w i t h sp i n p r o j e c t io n c r - + 2i s a co h e ren t s u p e rp o s i t io n o f p a r t i a l wav es ~ f , p j f g iv en b y E q . (4 .1 2 4 ).B y i n s e r t i n g i n t o ( 6 .2 ) or (6 .5 ) a n d s u m m i n g o v e r t h e ( u n d e t e c t e d ) s p i np ro jec t io n s , o n e o b ta in s th e an g le -d i f f e r en t i a l c ro s s s ec t io n .

(b ) T h e d i r ec t io n o f em is s io n o f th e e l ec t ro n i s n o t d e t e c t ed . T h e n on ein te g ra te s E q s . ( 6 .2 ) an d (6 .5 ) o v e r th e d i r ec t io n 1r o f th e e m i t t e d e l ec t ro nin E q s . ( 4 .1 2 4 ) o r ( 4 .1 2 3 ) an d s u m s o v e r th e s p in p ro jec t io n a (o r m s ) .O w i n g t o t h e o r t h o g o n a l i t y o f t h e r o t a t i o n m a t r i c e s i n ( 4. 12 4 ) [o r o f t h es p h e r i ca l h a rm o n ic s in (4 .1 2 3 )] an d o f th e C leb s ch -G o rd an co e f f i ci en ts , o n eo b t a i n s a n i n coheren t s u m m a t i o n o v e r t h e p a r t i a l w a v e s ~ f , #jf.

T h e r e s u l t i n g t o t a l e n e r g y - d i f f e r e n ti a l c r o s s se c t i o n f o r i o n i z a t i o n is t h e nw r i t t e n e x p l i c i t l y a s

d E f total1 f ~ qb d qb87r@ 2 j i + 1 E E J0 [q~ + ( 1 - f 1 2 ) q 2 1 2~Ji ~f '~Jf

< E f , ~ f , # j f l ( 1 - f l . ~ ) e * q r T l n i , ~ , ~ j i ) , (6 .7)w h e r e f l = v / c .I n th e fo l lo win g , we k eep th e s y mb o ls i an d f f o r f u l ly s p ec i f i ed s t a t e s ,i.e., [i} -- Ini, Ni, PJi ) and f} -- IEf , Nf, p j f } . O n l y w h e n c a l c u l a t i n g a n g u l a rd i s t r ib u t io n s , d o we id en t i fy f w i th a co h e ren t s u p e r p o s i t io n If} - ]E f , 1r a>o f p a r t i a l w av es g iv en b y E q . ( 4 .12 4 ) .6 . 1 . 2 L o n g - r a n g e c o u p l i n g s a n d C o u l o m b b o u n d a r y

c o n d i t i o n sI n th e p r e c e d i n g s u b s e c t i o n , w e h a v e a s s u m e d t h a t t h e i n i t ia l a n d f i n als t a t e s a r e u n d i s t o r t e d t a r g e t e i g e n s t a t e s . H o w e v e r , a c c o r d i n g t o t h e d i s c u s -s io n in Sec . 5 .3 .3 , we s h o u ld u s e th e ex ac t s o lu t io n s 1 (5 .6 1 )

9 t ) - t ) (6 .8)o f t h e a s y m p t o t i c D i r a c e q u a t i o n ( 5 .4 9 ) , t h a t is , w e s h o u l d t a k e i n t o a c c o u n tt h e a s y m p t o t i c d i s t o rt i o n c a u s e d b y t h e r e s i du a l i n t e r a c t io n - S 2 Z p e 2 / R ~.In s e r t in g th e s o lu t io n (6 .8 ) in to E q . ( 5 .8 2 ), o n e f in d s f ro m E q s . ( 5 .8 2 )a n d ( 5. 83 ) t h a t , b y c o n s t r u c t i o n , t h e r e s i d u a l i n t e r a c t i o n t e r m p r o p o r t i o n a l

1An irrelevant constant ph ase factor depending on the unit of leng th is discarded.


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6 . 1 . F I R S T - O R D E R P E R T U R B A T I O N T H E O R Y 143t o 1 / R ~ h a s t o b e s u b t r a c t e d f r o m t h e i n t e r a c t i o n o c c u r r i n g i n E q . ( 6 . 1 ) ,s ee E q . (6 .9 ) b e lo w . T h e r e a s o n w h y o n e u s u a l l y d i s r e g a r d s t h e r e s i d u a li n t e r a c t i o n t e r m d e r i v e s f r o m n o n r e l a t i v i s t i c c o l l i s i o n s , w h e r e , a c c o r d i n gt o E q . (5 .4 7 ) , R - R ~, s o t h a t a t e r m p r o p o r t i o n a l to 1 / R h a s v a n i s h i n gm a t r i x e l e m e n t s b e t w e e n o r t h o g o n a l s t a t e s .

F o r r e l a t i v i s t i c c o l li s io n s , t h e s i t u a t i o n i s s o m e w h a t d i f fe r e n t . L e t u s e x -a m i n e t h e m o d i fi e d t r a n s i t i o n a m p l i t u d e A e c a l c u l a te d w i t h p h a s e - d i s t o r t e ds t a t e s ~ s a t i s f y i n g C o u l o m b b o u n d a r y c o n d i t i o n s [ T o E 90 b ]. S i n ce t h es t a t e - i n d e p e n d e n t p h a s e f a c t o r s i n E q . ( 6 . 8 ) f o r i n i t i a l a n d f i n a l s t a t e s c a n -c e l e a c h o t h e r , o n e h a s

.A~ (b ) i ~ZPe2h d t e ~ Ef-Ei )ttJ

x / f ( l - ~ a z ) ( l 1R , i ) ( 6 . 9 )i n s t e a d o f ( 6 .1 ) . T h e a d d i t i o n a l t e r m 1 / _ R I in th e p e r t u r b a t i o n o p e r a t o rw i t h R ~ = v / b 2 + v 2 t ~2 d e p e n d s o n t h e l a b o r a t o r y s p a c e c o o r d i n a t e s t h r o u g ht ~ = ~ / ( t - V Z T / C 2 ) . I n c o n t r a s t t o t h e n o n r e l a t i v i s t i c c a s e , t h e s p a c e i n t e -g r a l o f t h e 1 / R ~ t e r m d o e s n o t v a n i s h . H o w e v e r , w e s t il l h a v e t o p e r f o r mt h e t i m e i n t e g r a t i o n . S i n ce t h e in t e g r a t i o n f d 4 z o v e r t h e c o m p l e t e f o u r -d i m e n s i o n a l s p a c e is L o r e n t z i n v a r i a n t , w e m a y a s w el l e v a l u a t e t h i s i n te g r a li n t h e p r o j e c ti l e fr a m e . I n t h e m o v i n g c o o r d i n a t e s y s t e m , t h e t e r m 1 / R ~i s a c o n s t a n t , t h e r e f o r e d o e s n o t c o n t r i b u t e t o t h e m a t r i x e l e m e n t b e t w e e no r t h o g o n a l ( e x a c t ) e i g e n s ta t e s , a n d h e n c e c a n b e d is c a r d ed . W e m a y n o wt r a n s f o r m b a c k t o t h e l a b o r a t o r y f r a m e t o o b t a i n a r e s u l t w i t h o u t t h e 1 / _ R~t e r m , t h a t i s, w e r e c o v e r E q . ( 6 .1 ) . I n o t h e r w o r d s , E q s . ( 6 .1 ) a n d ( 6 .9 ) a r ee q u i v a l e n t , a n d C o u l o m b b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e w i t h o u t a n y i n f l u e n c e .I t s h o u l d b e e m p h a s i z e d h e r e t h a t t h e e q u a l i t y o f t h e t w o t r e a t m e n t s isv a l id o n l y in f i rs t - o r d e r p e r t u r b a t i o n t h e o r y a n d o n l y if w e c o n s i d e r th eo c c u p a t i o n a m p l i t u d e f o r t h e f in a l s t a t e a t t i m e t ~ o c .

O b v i o u s l y , t h e s a m e r e a s o n i n g i s v a l i d f o r a n y f u n c t i o n f ( R ~) a n d t h ec o r r e s p o n d i n g p h a s e d i s t o r t i o n . T h i s m e a n s t h a t t h e f i r s t - o r d e r t r a n s i t i o na m p l i t u d e s f o r e x c i t a t i o n a n d i o n i z a t i o n ( a n d f or p a i r p r o d u c t i o n ) a r e i n-v a r i a n t w i t h r e sp e c t t o g a u g e tr a n s f o r m a t i o n s . T h i s h a s a ls o b e e n c o n f i rm e di n [ R u S 9 3 ] b y a d i f f e r e n t m e t h o d .

A s a n i l l u s t ra t i o n , w e s h o w i n F ig . 6 .1 t h e t i m e e v o l u t i o n o f o c c u p a -t i o n p r o b a b i l i t i e s c a l c u l a t e d f r o m E q s . (6 .1 ) a n d ( 6 .9 ) , r e s p e c ti v e ly , w i t ht h e m o d i f i c a t i o n t h a t t h e u p p e r l i m i t o f t h e t i m e i n t e g r a t i o n is t a k e n a st r a t h e r t h a n a s o c. I n t h e u p p e r p a r t o f t h e f ig u r e, c a l c u l a t e d f r o m t h ef i n i t e - t i m e v e r s i o n o f E q . ( 6 .1 ) , w e n o t i c e t h e e f f e ct o f t h e l o n g - r a n g e c o u -p l in g s w h i c h l e a d t o a s i za b l e p o p u l a t i o n o f 2 P 3 /2 a n d 2 P l / 2 s t a t e s i n t h e


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144 C H A P T E R 6 . E X C I T A T I O N A N D I O N I Z A T I O N

1.01 0 - 1

1 0 - 2> , 1 0 - 3. _. _

1 0 - ~oc..,-, lO-Sr-0._-4-o 1.0o 10 1

1 0 - 2

10- 31 0 - 41 0 - s

1 G e V / u l s ~ l zU g z * + U 9 1 +u n p e r t u r b e d B o rn , -v- - -- - 2s ~ 'lz / , ls~ lz/ / ~ - I 2 p ; , ~

/ / I r _ t ~ - z p 3 / z+ 2 P 3 - / z

l s ~ / 2b o u n d a r y - c o r r e c t e d B o r n 2s~ ~z

2 p

' - 6 . 2 o . o 0 . 2 o . +v t ( a . u . )

{ 2s ~ / z2 p ~ / zp 3 + , ~

F i g u r e 6 . 1 . T i m e e v o l u ti o n o f t h e o c c u p a t i o n p r o b a b i li t ie s o f t a r g e t s t a t e s i nU 92+ -~- U9 1+( lS l /2 ) co l l i s ions a t 1 G eV /u . Ca lcu la t io ns a re per fo rm ed in theB o r n ap p r o x im a t io n a t b = 0 .01 a . u . ( ab o u t o n e K - s h e l l r ad iu s ) . U p p e r p a r t :u n p e r tu r b e d in i t i a l an d f in a l s t a t e s , Eq . ( 6. 1 ); lo w er p a r t : b o u n d a r y - co r r ec t eds t a t e s , E q . ( 6 .9 ) . Th e ab s c i s s a i s t h e p r o j ec t i o n o f t h e p r o j ec t i l e - t a r g e t s ep a r a t i o no n t h e b e a m d i re c t io n . T h e p r o j e c t io n s o f t h e a n g u l a r m o m e n t a a r e i n d ic a t e d b y

1 1 3 a n d 3+ , - , + fo r m j - - + ~ , - ~ , + 5 , - ~ , r e sp e c ti v el y . F r o m [T o E9 0b ].

e n t r a n c e c h a n n e l f o r p r o j e c t i l e - t a r g e t s e p a r a t i o n s a s l a rg e a s 0 .4 a. u . ( a b o u t3 7 K - s h e l l r a d i i) . O n t h e o t h e r h a n d , i n t h e l o w e r p a r t o f t h e f i g u re , t h ef i n i t e - t i m e v e r s i o n o f E q . ( 6 .9 ) h a s b e e n u s e d . H e r e , a s w o u l d b e e x p e c t e df r o m t h e s h o r t - r a n g e p o t e n t i a l i n E q . ( 6 . 9 ) , t h e l o n g - r a n g e c o u p l i n g s h a v ed i s a p p e a r e d . F o r l a rg e p o s i t i v e t i m e s , t h e o c c u p a t i o n p r o b a b i l i t i e s in t h eu n p e r t u r b e d a n d i n t h e b o u n d a r y - c o r r e c t e d B o r n a p p r o x i m a t i o n a r e ex -a c t l y t h e s a m e , t h u s v e r i f y in g t h e r e a s o n i n g g i v e n a b o v e . I n a n u m e r i c a le v a l u a t i o n o f t h e t i m e i n te g r al s , o n e e x p e c t s t h a t t h e b o u n d a r y - c o r r e c t e dv e r s i o n c o n v e r g e s m u c h m o r e r a p i d l y .


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6 .2 . T W O S I M P L I F I E D T R E A T M E N T S 1456.2 T w o sim plif i ed treatm entsT h e t r e a t m e n t p r e s e n t e d s o f a r is e x a c t w i t h i n t h e f i r s t -o r d e r s e m i c la s s ic a la p p r o x i m a t i o n o f E q . ( 6. 1) . F o r t h e s ak e o f a n i n t r o d u c t o r y i l lu s t r a t i o n ,w e n o w p r e s e n t t w o d i f f e re n t a p p r o x i m a t i o n s , o n e v a l id a t l o w v a l u e s o f q0 ,w h i c h m e a n s s m a l l e x c i t a t i o n e n e r g i e s o r h i g h p r o j e c t i l e v e l o c i t i e s , t h e o t h e rv a l i d fo r C ~ Z T < < 1 . T h e s e m e t h o d s a r e c a l l e d t h e d i p o l e a p p r o x i m a t i o n a n dt h e q u a s i r e l a t i v i s t i c t r e a t m e n t , r e s p e c t i v e l y .6 .2 . 1 D i p o le a p p r o x i m a t io nI n B e t h e ' s d i p o le a p p r o x i m a t i o n [ B et 30 ], o n e r e p la c e s i n t h e m a t r i x e l e m e n t( 6.6 ) t h e f a c t o r e x p (i q - r T ) b y 1 + i q . r T . U n l e s s t h e w a v e n u m b e r qb e c o m e s l a r g e r t h a n t h e i n v e r se K - s h e l l r a d i u s a K ( fo r K - s h e l l e x c i t a t i o no r i o n i z a t i o n ) i t is j u s t i f i e d t o n e g l e c t h i g h e r - o r d e r t e r m s i n t h e e x p a n s i o nb e c a u s e t h e e x p o n e n t i a l d e c a y o f t h e b o u n d - s t a t e w a v e f u n c ti o n c u t s o ffc o n t r i b u t i o n s f r o m l a r g e r r v a l u e s .

I f w e r e w r i te t h e D i r a c m a t r i x a z w i t h t h e a i d o f t h e i d e n t i t y ( 5 .9 1 ) ,v a l i d for ex a c t e i g en s t a t e s , an d w i t h t h e d e f i n i t i o n (5 . 1 0 5 ) for q0 = q z , t h ed i p o l e a p p r o x i m a t i o n y i e l d s

Mfi ~ ~ i ( q " - 32qo) , (6 .10)w h e r e e a c h t e r m o b e y s a d i f fe r e n t s e l e c t i o n r u le . I n t r o d u c i n g s p h e r i c a lc o o r d i n a t e s r s w i t h th e m a g n e t i c q u a n t u m n u m b e r s - 0 , + 1 , s o t h a t r 0 =z w a n d r + l - T ~ ( x T + i Y T ) , a n d s u b s e q u e n t l y d e f i n i n g r e d u c e d m a t r i xe l e m e n t s [ R o s 5 7 ] t h r o u g h

/ Ji 1( J f P j f I r s J i P j i > - - [k Pj i 8

i f )P j f

(f ]] rw I] i>, (6 .1 1)w h e r e J i , P j i a n d j f , p j f a r e t h e a n g u l a r m o m e n t a a n d t h e i r p r o j e c t i o n so f i n i t i a l an d f i n a l s t a t e s , an d ( . . ]-) i s a C l eb s ch -G o r d a n co e f f ic i en t, s eeEq . (4 . 8 8 ) , we g e t

_ q o 2 ( 1 _ / 3 2 ) 2 ( J i 1\ Pj i 02Jf \] [ ( f [] r T ]] i } [ 2

# j i /IM~I2a n d

[2 _ 1 2 ( 1- 2 q x + q ~ ) J i\ P j i + 1

P j f - - P j i '(6 .12)

j f 2Pji i 1 [(f ][ rT ]] i)[ 2if Pjf - - Pj i -~- 1. (6 .13)


8/45

146 C H A P T E R 6 . E X C I T A T I O N A N D I O N I Z A T I O NB o t h t y p e s o f t e r m s c o n t r i b u t e t o t h e c ro s s s e c ti o n a f t er s u m m a t i o n o v erf in a l a n g u l a r m o m e n t u m p r o j e c t i o n s , p r o v i d e d i n i t i al a n d fi n al s t a t e s h a v ed i f f e r e n t p a r i t y a n d t h e d i p o l e s e l e c t i o n r u l e s e m b o d i e d i n t h e C l e b s c h -G or da n c oe f f i ci e n ts a r e s a t i sf i e d . I n w r i t i ng dow n E qs . ( 6 .12 ) a nd ( 6 . 13 ) w es t il l m a i n t a i n a r e l a t iv i s t i c d e s c r i p t i o n o f t h e e l e c t ro n i c s t a t e s . E x p r e s s i o n s( 6 .1 2 ) a n d ( 6 .1 3 ) h a v e d i ff e re n t q d e p e n d e n c i e s a n d c a n n o t b e c o m b i n e du n l e s s t h e s q u a r e s o f t h e C l e b s c h - G o r d a n c o e ff ic ie n ts a r e e q u a l . F o r t h epa r t i c u l a r t r a n s i t i o n S l /2 --+ P l / 2 a l l ( . - I . ) 2 - 1 / 3 , bu t i n ge ne r a l , e . g . , fo rs l / 2 ~ P 3 / 2 , t h i s is no t t r ue .

I n o r de r t o e va lu a t e t he c r o s s s e c t ions f o r e a c h o f t he tw o c a se s , w ew r i te q2 _ qg + q~ , w her e h q b is t h e tr a n s v e r s e m o m e n t u m t r an s f e r. S in c e

1 1 d q ~ w e ge t f r om E q . ( 6 . 1 )d q - -~ dq 2 - -~ ,

d o ' ~ ( ] ~ j i ~ P j i ) _ _ -- 47r@ ( J i 1dEf Pj i 0 'N]21( II rw II i)l 2JfPj i /

a n dj r 0 ~

qo2(1 - ~ 2) 2[q~ + (1 - /3 2)q g] 2 d q ~ (6.14)

d o ' ~ ( ] -~ j i ~ ~ j i - J I - 1) = 27rup2 ( J i 1d E f #ji + 1

j f 2~ [ ~ ji - 1 [- 1 I ( f II r T l i ) l 2

foo ~ q~ dq ~ (6.15)[q~ + (1 - /39 .)qg]2 "A c c o r d ing to E q . ( 6 . 5 ) , t he i n t e g r a t i on ove r q~ e x t e nds f r om z e r o t o i n f in i t y .T h e d i p o l e a p p r o x i m a t i o n b r e a k s d o w n f or l a rg e v a l u e s o f q , g i v i n g ri se t oa t e r m in E q . ( 6 .15 ) w h ic h d ive r ge s l oga r i t hm ic a l ly . I f, i n t he d ive r g e n tt e r m , w e i n t r o d u c e a c u t - o ff qm a x a s t h e u p p e r i n t e g r a t i o n l i m i t, w e h a v e

d o ' ~ ( ~ j i ~ ~ j i ) = 4 7 1 . / . ] 2 ( J i 1dEf Pj i 0

a n d

2Jf \] ] ( f ]} r T I] i ) ] 2 ( 1 - - / 3 2 ) ( 6 . 1 6 )Pji /

d o ' ~ ( J [~ j i ~ ~ [ ~ ji - I t- 1 )dEf _ 1 1 J f 2P j i P j i 1x 2 In 7 + in qm ax 1q~ + -

I( f ]l rw II i)] 2

1 ] . ( 6 . 17 )


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6 . 2 . T W O S I M P L I F I E D T R E A T M E N T S 1 4 7

I n E q . ( 6 .1 7 ) w e m a y n e g l e c t t h e t e r m 7 . 2 i n t h e s e c o n d l o g a r i t h m . I f,s o m e w h a t a r b i t ra r i l y , w e c h o o s e 2 _ 2 m E i / h 2m a x a s t h e n o n r e l a t i v i s t i ci n v e r s e K - s h e l l r a d i u s a n d , m o r e o v e r , n e g l e c t E f i n t h e d e f i n i t i o n ( 5 . 1 0 5 )f o r q0 , w e m a y r e p l a c e 2m a x/ %2 w i t h 2 m y 2 / E i .

E q u a t i o n s ( 6. 16 ) a n d ( 6. 17 ) i l l u s t r a t e a v e r y i m p o r t a n t f e a t u r e , n a m e l yt h a t f o r # j i - - + # j i t r a n s i t i o n s , t h e c r os s se c t i o n a p p r o a c h e s a c o n s t a n t v a l u e 2a s t h e p r o j e c t i l e e n e r g y i n c r e a s e s , w h i l e f o r # j i - + # j i - - t - 1 i t g r o w s p r o p o r -t i o n a l t o I n 7 f o r l a r g e v a l u e s o f 7 . T h e i n c r e a s e o f t h e c r o s s s e c t i o n a s I n 7i n t h e e x t r e m e r e l a t i v i s ti c l i m i t c a n b e u n d e r s t o o d b y c o n s i d e r in g t h e e x -t e n s i o n i n t h e t r a n s v e r s e d i r e c t i o n o f t h e L i S n a r d - W i e c h e r t p o t e n t i a l ( 3. 34 )s h o w n in F i g . 3.3 . A s a c o n s e q u e n c e , l a r g e r a n d l a r g e r i m p a c t p a r a m e t e r sc o n t r i b u t e , a n d t h e c r o s s s e c t i o n k e e p s i n c r e a s i n g w i t h e n e r g y [ A m A 8 1 ] .T h i s u n b o u n d e d i n c r e a s e w i t h e n e r g y is c h a r a c t e r i s t i c f o r a ll p e r t u r b a t i o nt h e o r y a p p r o a c h e s , w h i c h d o n o t c o n s e r v e u n i t a r i t y .

6 . 2 . 2 Q u a s i r e l a t i v i s t i c t r e a t m e n tT h e c r o s s s e c t i o n ( 6 .5 ) is e x a c t i n f i r s t - o r d e r p e r t u r b a t i o n t h e o r y a s f a r a sr e l a t i v is t i c e ff ec ts a re c o n c e r n e d . H e r e , w e p r e s e n t a t r e a t m e n t w h i c h e m -p l o y s s e m i r e l a t iv i s t i c D a r w i n b o u n d w a v e f u n c t i o n s ( Se e. 4 .3 .3 ) a n d s e m i r el -a t i v i s ti c p l a n e w a v e s t o e v a l u a t e t h e m a t r i x e l e m e n t ( 6.6 ) u s in g a c o n v e n i e n tc o o r d i n a t e s y s t e m . T h e a d v a n t a g e o f t h i s t r e a t m e n t i s t h a t t h e f in a l c r os ss e c t i o n i s a s u m o f a n o n r e l a t i v i s t i c e x p r e s s i o n p l u s a r e l a t i v i s t i c m o d i f ic a -t i o n . F o r t h e n o n r e l a t i v i s t i c p a r t , m a n y t a b u l a t i o n s e x i s t, g iv e n b e l ow , a n df or t h e r e l a t i v i s t i c p a r t , a p p r o x i m a t e e x p r e s s i o n s a r e av a i la b l e.

F o r c a l c u l a t i n g t h e t o t a l c r o s s s e c t i o n , w e s t a r t f r o m E q . ( 6 .7 ) , u s in ga n i n t e g r a t i o n o v e r q f r o m q 0 t o i n f i n i t y r a t h e r t h a n o v e r q b f r o m z e r ot o i n fi n it y . I t is a d v a n t a g e o u s t o e v a l u a t e t h e m a t r i x e l e m e n t i n a ~ , ,),c o o r d i n a t e s y s t e m , i n w h i c h t h e ~ . -a xis l ie s a l o n g q a n d t h e 2 - a x i s l ie s i nt h e p l a n e f o rm e d b y q a n d / 3 . T h e n

/ 3 - c t = / 3 c o s A ct~ + / 3 s i n A ct~ . ( 6 .1 8 )H e r e , k i s t h e a n g l e b e t w e e n q a n d / 3 , s o t h a t c o s k = q z / q = q o / q , w h e r et h e z - a x i s p o i n t s a l o n g / 3 . S u b s t i t u t i n g t h i s e x p r e ss i o n i n t o E q . ( 6. 7) , t h em a t r i x e l e m e n t o f

( ~ e i q ' r T = OL~ e i q z T

2 T h e c a n c e l l a t i o n b e t w e e n 1 a n d ~ 2 a s 3 ' --+ c c is a r e s u l t o f t h e d i p o l e a p p r o x i m a t i o n( 6 .1 0 ) . A n y d e v i a t i o n f r o m i t l e a d s to a f i n it e c o n s t a n t v a l u e in t h e e x t r e m e r e l a t iv i s t i cl i m i t .


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148 C H A P T E R 6. E X C I T A T I O N A N D I O N I Z A T IO Ncan b e ev a lu a te d w i th th e h e lp o f E q s . ( 5 .1 0 5 ) an d (5 .1 0 7 ) a s

(f[cts eiqsTli> _ ~qo ei-~--(f] qSTli>. (6 .19)T h i s an d E q . ( 6 .1 8 ) y ie ld

( f] (1 - / 3 . c~ ) e iq rT l i > - - ( 1 - - /3 2 q~ /q2 )F ( q ) _ ~ i I _ q2 /q2 G ( q ) , (6 .20)w i t h

F(q) = ,G(q) =


11/45

6 .2 . T W O SI M P L I F IE D T R E A T M E N T S 149T h e m a t r i x e l e m e n t s F a n d G h a v e b e e n e v a l u a t e d w i t h l s s e m i r e l a -

t i v i s t i c w a v e f u n c t i o n s f or t h e e l e c t r o n [ D a M 7 8 , A n h 7 9 ] . A v e r a g i n g o v e r t h ei n it ia l a n d s u m m i n g o v e r t h e f in al a n g u l a r m o m e n t u m p r o j e c ti o n s o f t h ee l e c t r o n , a n d i n t e g r a t i n g o v e r t h e f i n a l e l e c t r o n e n e r g y , o n e o b t a i n s t h e c r o s sse c t ion f o r i on i z ing a s ing l e K - she l l e l e c t r on . T he e xp r e s s ion i s s imp l i f i e d i fo n e m a k e s t h e s u b s t i t u t i o n s

W - - 2 E f - E i ( 6 . 2 4 )Z ?r e2 /a oa n d q 2 a 2

Q - z ~O n e t h e n f in d s [ M e L 5 8, K h C 6 9 , A n h 7 9 , A n G 8 6 ] a

(6.25)

(YK -- 47rag 2 P2 4 / i mr/K Z T indQ

d W m in Q 2

w h e r ea n d

(IFKI ~ + ( 3 Z T a ) 2 ( 1 - - ( ~ m i n / Q )(1 - / 3 2 Q m i n / Q ) 2~K - 9/~ZT) ~

1 2( I G K I ~ - ~ Q I F K I , (6 .26)(6 .27)

Q m i n = W 2 / 4 ~ ] K ,2 I Kx p

W m i n = O K - - Z2 e2/a O. (6 .28)H e r e , I Kx p i s t h e e x p e r i m e n t a l K - s h e l l i o n i z a t i o n e n e r g y , a n d f o r a n e u t r a lt a r g e t a t o m , t h e t a r g e t c h a r g e is t a k e n a s a n e ff ec ti ve c h ar g e Z T ~ Z b a r e -0 . 3 a c c o r d ing to t he S l a t e r s c r e e n ing r u l e s [ S l a 60 ] .

T h e f a c t o r s IFKI~, laKI ~ i n E q . ( 6 .2 6 ) a r e s q u a r e s o f q u a s i r e l a t i v i s t i cm a t r i x e l e m e n t s c a l c u l a t e d w i t h h y d r o g e n i c D a r w i n a n d f r e e - e l e c t r o n w a v ef u n c t i o n s . T h e y a r e g i v e n b y

[FK[ 2 - - ( 3 Q + W ) Q A 3 ,[ (~ K 12 __ 1 W A 2 (6 .29)4

3 S i n c e q u a s i r e l a t iv i s t i c w a v e f u n c t i o n s a r e a c c u r a t e o n l y t o o r d e r C~ZT i t i s in-c o n s i s t e n t t o i n t r o d u c e n o r m a l i z a t i o n f a c t o r s fo r t h e s e w a v e f u n c t i o n s o f t h e f o r m[1 + ( a Z T / 2 ) 2 ] - 1 / 2 an d [1 + ( ka Z T / 2 ) 2 ] - 1 / 2 , r e s p e c t i v e l y [D A M 7 8 , a n h 7 9 ] . F o r t h i sr e a s o n , t h e s e n o r m a l i z a t i o n f a c t o r s a r e o m i t t e d i n E q . ( 6 .2 6 ) , a s i s i n f a c t d o n e a l s o i n[ A n h 8 5 a , A n G 8 6 ] .


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w i t h

An ----2 7 e x p { - 2 / k a r c t a n [ 2 k / ( Q + 1 - k2)]}

311 - e x p ( - 2 7 r / k ) ] [ ( Q + 1 - k 2 ) 2 + 4 k2 ] n 'k - v / W - 1. ( 6 .3 0 )

T h e i n t e g r a t i o n o v e r q i n E q . ( 6 .2 6 ) h a s to b e p e r f o r m e d w i t h s o m e c a r e( se e t h e d i s c u s si o n p r e c e d i n g E q . ( 6 .2 2 ) a n d i n [ M e L 5 8, A n h 7 9 , A n G 8 6 ] ) .T h e f ir st t e r m w i t h ] FK I 2 a r is e s f r o m t h e l o n g i t u d i n a l c o n t r i b u t i o n p r e s e n ta l so i n n o n r e l a t i v i s t ic c o ll is io n s. T h e t e r m s p r o p o r t i o n a l t o I G K [2 a n d1 1 2Q ] F K a r e i n t e r p r e t e d a s t r a n s v e r s e a n d s p in - fl ip c o n t r i b u t i o n s , r e s p e c -t i v e l y [A n h 7 9] . T h e t r a n s v e r s e a n d s p i n -f li p t e r m s a r e m o s t i m p o r t a n t f o rh i g h - Z t a r g e t s , f o r w h i c h t h e q u a s i r e l a t i v i s t ic a p p r o x i m a t i o n s a c t u a l l y lo s et h e i r j u s ti f i c a ti o n . T a b l e s f o r t h e l o n g i t u d i n a l p a r t o f t h e c r o s s s e c t i o n a r ea v a i l a b le [ K h C 6 9 , C h M 7 3 , R I B 7 7 , B e K 7 8 , J O B 7 9] , b u t r a t h e r t h a n u s i n gt h e p r o j e c t i l e e n e r g y e n t e r i n g i n t h e t a b l e s , f o r r e l a t i v i s t i c c o l l i s i o n s o n em u s t u s e t h e i o n v e l o c i t y e n t e r i n g t h r o u g h t h e p a r a m e t e r ~]K g i v e n i n E q .( 6 .2 7 ) . 4 E s t i m a t e s f or t h e t r a n s v e r s e a n d s p in - f li p c o n t r i b u t i o n s a r e g i v e ni n [ A n h 7 9 , A n B 8 7 ] .I n F i g . 6 . 2 , t h e o r e t i c a l u r a n i u m K - v a c a n c y p r o d u c t i o n c r o s s s e c t i o n s a r es h o w n f o r b a r e p r o j e c t i l e s o f c h a r g e Z p . A c c o r d i n g t o E q . ( 6 .2 6 ) , t h e t o t a lc r o ss s e c t i o n is p r o p o r t i o n a l t o Z ~ . H e n c e , t h e c r o s s s e c t io n s h o w n h a sb e e n d i v i d e d b y Z ~ . F o r 7 >- 1 0, t h e t r a n s v e r s e a n d s p in - fl ip c o n t r i b u t i o n sa c c o u n t f o r m o r e t h a n o n e - h a l f o f t h e t o t a l c r o ss s ec t io n . F i g u r e 6 .9 s h o w st h a t t h e s e c o n t r i b u t i o n s b r i n g t h e t h e o r y i n t o c l o s e a g r e e m e n t w i t h t h e e x -p e r i m e n t a l d a t a . A l t h o u g h , a s n o t e d p r e v i o u s ly , t h e w a v e f u n c t i o n s u s e d t oe v a l u a t e t h e c r o s s s e c t i o n s a r e v a l i d o n l y f o r c ~ Z T


13/45

6 .2 . T W O S I M P L I F I E D T R E A T M E N T S 151

2 5

2 O

o 1 5. J ~

I 0

_ I I / / / ~ _

I 0 I 0 0 I 0 0 0

F i g u r e 6 . 2 . C a l c u l a t e d c r os s s e c ti o ns fo r U K - v a c a n c y p r o d u c t i o n b y b a r e pr o -j e c t i le s o f c h a r g e Z p , d i v i d e d b y Z ~ , a s a f u n c t i o n o f th e L o r e n t z f a c t o r 0 ', u s i n gE q . ( 6 .2 6 ) . T h e l o n g i t u d i n a l , t r a n s v e r s e , a n d s pi n - fl ip c o n t r i b u t i o n s a r e s h o w n ,a s w e l l a s t h e t o t a l c r o s s s e c t i o n . F r o m [ A n h 7 9 ] .

1 4

1 2A. . Q,q- 10+o

~ 8N

out.. 6I%

2 [0 I I J1 0 1 0 2 1 0 3

-1371 02 0

5 O92

F i g u r e 6 . 3 . C a l c u l a t e d c ro s s s e c t io n s f or o n e - e l e c t r o n t a r g e t ( l s ) io n i z a t i o nb y b a r e p r o j e c t i le s o f c h a r g e Z p , m u l t i p l i e d b y ( Z T / Z p ) 2, a s a f u n c t i o n o f t h ep r o j e c t i l e L o r e n t z f a c t o r y . T h e c a l c u l a t e d c u r v e s a r e b a s e d o n E q . ( 6 .2 6 ) . T h eu n i t s a re b / e l e c t r o n . A d a p t e d f r o m [ A n B 87 ].


14/45


6 .3 M u l t i p o l e e x p a n s i o nF o r h i g h - Z t a r g e t a t o m s , i t is m a n d a t o r y t o u s e e x a c t r e l a t i v is t i c w a v e fu n c -t i o n s f o r i n i t i a l a n d f i n a l s t a t e s . T h e f a c t o r r s- 1 i n t h e D i r a c l s b o u n d a n dc o n t i n u u m w a v e f u n c t i o n s [ s e e E q s . ( 4 .9 8 ) , ( 4 .1 0 3 ) , a n d ( 4 .1 1 4 )] c o n t r a c t st h e r a d i a l e l e c tr o n i c d e n s i t y d i s t r i b u t i o n . T h e r e s u l t i n g d e c r e a s e o f t h e r a -d i a l m a t r i x e l e m e n t s l e a d s t o s m a l l e r c r o s s s e c t i o n s [ A n G 8 6 ] c o m p a r e d t ot h e n o n r e l a t i v i s t i c t r e a t m e n t o f e l e c tr o n s .

F o r c a l c u l a t i n g e x a c t m a t r i x e l e m e n t s , o n e m a y e i t h e r u s e a m u l t i -p o l e d e c o m p o s i t i o n o f t h e i n t e r a c t i o n i n c o o r d i n a t e s p a c e [ M e S8 9] , o r o n em a y d e c o u p l e t h e a n g u l a r p a r t o f t h e e l e c tr o n ic a n d p r o j e c ti le c o o r d i n a t e s[ V a B 8 4 , B E G 8 5 , B e c 8 6 ] b y i n t r o d u c i n g a m u l t i p o l e e x p a n s i o n f o r t h e e x p o -n e n t i a l e x p ( i q . r T ) o c c u r r i n g in E q . ( 6 .4 ) . T h i s a m o u n t s t o a n e x p a n s i o ni n m o m e n t u m s p a c e. I n t h e f o ll ow i n g , w e d i s cu s s b o t h t y p e s o f e x p a n s i o ni n t u r n .

6 .3 .1 M u l t i p o l e e x p a n s i o n in c o o r d i n a t e s p a c eR e t u r n i n g t o t h e s t a r t i n g e q u a t i o n ( 6 . 1 ) , o n e m a y t r y t o d e c o u p l e t h e t i m ei n t e g r a t i o n a s s o c i a te d w i t h t h e n u c l e a r m o t i o n f r o m th e i n t e g r a t i o n o v e rt h e e l e ct ro n i c c o o r d i n a t e s b y p e r f o r m i n g a m u l t i p o l e d e c o m p o s i t io n o f t h ei n t e r a c t i o n t e r m 1 / @ . S u c h a n e x p a n s i o n i s a p p l i c a b l e n o t o n l y i n t h e p e r -t u r b a t i v e f o r m u l a ( 6 . 1 ) b u t a l s o i n a m o r e r i g o r o u s c o u p l e d - c h a n n e l t r e a t -m en t , s ee S ec . 6 . 5 .

F o r a n o n r e l a t i v i s t i c i n t e r a c t i o n 1 / I r 1 - r21 , t h e s t a n d a r d m u l t i p o l e e x -p a n s i o n l ea d s t o a c o m p l e t e d e c o u p l i n g o f t h e a n g u l a r d e p e n d e n c e o f t h ev e c t o r s r 1 a n d r 2 , i .e ., a d e c o u p l i n g o f t h e u n i t v e c t o r s r l a n d f 2 . I n a r e l a -t i v i s ti c c o ll is io n , t h e L o r e n t z c o n t r a c t i o n a c t s i n t h e z - d i r e c t io n , s o t h a t t h eC a r t e s i a n c o o r d i n a t e s a r e n o t t r e a t e d o n e q u a l f o o t i n g i n E q . ( 5 .9 7 ). S o m ec o u p l i n g i n t h e p o l a r a n g l e s w i ll t h e r e f o r e r e m a i n . A p a r t i a l d e c o u p l i n g[ R u S 9 3 ] c a n b e a c h i e v e d b y r e w r i t i n g t h e i n t e r a c t i o n t e r m i n t h e f o r m

1 1 1r{~ V/(XT b)2 + y2 + ~/2(z T _ v t ) 2 I P e - - P P I ' ( 6 . 3 1 )

w h e r e w e h a v e f o r m a l l y i n t r o d u c e d t h e v e c t o r sPe - (X w, YT , ~ZT ) w i t h p e - - IX 2 w + y 2 + 7 2Z2 (6 . 3 2 )

a n dpp = (b , 0 , ~ / v t ) w i t h p p = v / b 2 + ~ 2 v 2 t 2 . (6 .33)


15/45

6 .3 . M U L T I P O L E E X P A N S I O N 153

z T

I T

( x . ~ + y m ) 1 , 2F i g u r e 6 . 4 . D e f i n it io n o f t h e v e c t o r P e"

T h e s e v e c t o r s a r e n o t p h y s i c a l p o s i t i o n v e c t o r s f o r t h e e l e c t r o n a n d p r o -j e c t i l e , r e s p e c t i v e l y , n e v e r t h e l e s s t h e y a r e f o r m a l l y u s e f u l i n p a r t l y s e p a r a t -i n g t h e e l e c t r o n m o t i o n f r o m t h e p r o j e c t i l e m o t i o n . I n F ig . 6 .4 , w e s h o w t h er e l a t i o n o f t h e m o d i f i e d v e c t o r P e t o t h e p o s i t i o n v e c t o r r T = ( X T , Y T, Z T)"I n t r o d u c i n g t h e p o l a r a n g l e s 0 o f r T a n d 0 ' o f P c , w e c an r e w r i t e

p ~ - - r T u ( O ) (6 .34)w i t h

u(O) - V/1 + (7 2 1) co s 2 O, (6 .35)s o t h a t

COSO - - 7 Z T _ _ 7 C O S 0p ~ - - u (O) (6 .36)W e n o w d e c o m p o s e t h e i n ve r se d i s ta n c e 1 / I p ~ - p p [ o f E q . ( 6 . 3 1 ) i n t o s p h e r -i c a l h a r m o n i c s Y L M , d e p e n d i n g o n t h e d i re c t io n s ~ a n d ~ p , in t h e f o rm

1Ip~ - pp [

E L = O 2 L 4 - 1 p L + l E M - - - L Y ; M ( R P ) Y L M ( R e ) ,i f Pe ~- P P ,

o o 471 p L L}-~L=O 2L + 1 [r TU (O ) ]L + 1 ~ - ~- M =- L Y ; M ( P P ) Y L M ( P ~ ) ,if p~ _> p p ,

(6 .37)


16/45


~ p =pp lu(O)

F ig u r e 6 .5 . I l l u s t r a t i o n o f t h e i n n e r an d o u t e r r eg io n s i n w h ich t h e an g u la r an dth e r ad i a l i n t eg r a t i o n d eco u p le a n d o f t h e i n t e r m ed ia t e r eg io n s in w h ich t h ey d ono t decoup le .

o r , e q u i v a l e n t l y ,

I P e - - P P [47t= E 2 L + 1 v L ( r T ' O ' p P ) Y [ M ( ~ P ) Y L M ( ~ )L M (6 .38 )

w i t h[ r T U ( O )] Lp L + l ,

vL( r~ , e , pp) - p~i f r T ~ p p / U ( O ) ,i f r T ~ p p / u ( O ) . (6 .39 )

T h e d i s t i n c t i o n , w h i c h o n e o f P e o r pp is l a r g e r, i s s e e n t o d e p e n d o n t h ea n g l e 0 , u n l i k e f or t h e n o n r e l a t i v i s t i c c a s e . S i n c e , a c c o r d i n g t o E q . ( 6 . 3 5 ),u (O) v a r ie s b e t w e e n 1 a n d 7 , t h e s e p a r a t i o n b e t w e e n t h e r a d i a l a n d t h ea n g u l a r i n t e g r a t i o n is c o m p l e t e o n l y i n t h e r a n g e r w < p p / ~ / a n d r w >__ p p .T h e d i v i d i n g s u rf a c e b e t w e e n t h e i n n e r a n d t h e o u t e r r e g i o n is g i v en b y t h ee l l i p s o id p e = r w u (O ) = p p . T h e i n n e r , o u t e r , a n d i n t e r m e d i a t e r e g i o n s a r ei l l u s t r a t e d i n F i g . 6 .5 .T h e f i r s t -o r d e r t r a n s i t i o n a m p l i t u d e ( 6. 1) is n o w e x p r e s s e d a s

A ~ b) - i ~/ZPe2... h d t e i ( E e - E i ) t / h M f i ( b , t ) . (6 .40 )


17/45

6 .3 . M U L T I P O L E E X P A N S I O N 155H e r e , t h e m a t r i x e l e m e n t i s

47rM ~ ( b , t ) - E 2 L + 1 ( fl( 1 - / 3 a z )L = 0V L ( r T O , p p ) Y L , t t j f _ p j i ( ~ ) l i } Y * ~ r~J - - " J i (P P ) (6 .41)

T h e q u a n t i t i e s #ji a n d # i f a r e t h e a n g u l a r m o m e n t u m p r o j e c ti o n s o f t h ei n i t i a l a n d f i n al s t a t e s , r e s p e c t i v e l y . F o r m u l a ( 6 .4 0 ) is a p o s s i b l e p o i n t o fd e p a r t u r e f or t h e a c c u r a t e e v a l u a t i o n o f e x c i t a t i o n , i o n i z a t io n , a n d p a i r p ro -d u c t i o n c r o s s s e c t i o n s u s in g E q s . ( 5 .6 4 ) a n d ( 5 .6 5 ) w i t h i n f i r s t- o r d e r p e r t u r -b a t i o n t h e o r y . T h e m a t r i x e l e m e n t s ( 6 .4 1 ) c a n, o f c o u r se , a l so b e e m p l o y e df o r d e t a i l e d s i n g l e - c e n t e r c o u p l e d - c h a n n e l c a l c u l a t i o n s [ R u S9 3 ].

I n e v a l u a t i n g t h e m a t r i x e l e m e n t s ( 6 . 4 1 ) , o n e h a s t o o b s e r v e t h a t , o w i n gt o ( 6 .3 9 ) , n o t o n l y t h e r a d i a l i n t e g r a t i o n o v e r r T b u t a l so t h e i n t e g r a t i o no v e r t h e p o l a r a n g l e 0 w i t h i n t h e i n t e r v a l flp /~ / < r T


18/45

156 C H A P T E R 6 . E X C I T A T I O N A N D I O N I Z A T IO Ni t_ ( ~ ) 1 ( q z )2 ~ i - " ld q~ _ 9~qz y ~ , ~ rccos- ,q o J M ( b v / q ~ - q ~ ) .

(6 .43)B y s u b s t i t u t i n g E q . ( 6 .4 2 ) i n t o ( 6. 4) a n d e m p l o y i n g E q . ( 6 .4 3 ) , o n e o b t a i n st h e t r a n s i t i o n a m p l i t u d e

A~ (b) 8iTrup E iL- M ~0cc q dqq ~ _ 9 ~ q ~ ,L , Mx (f[(1 - 3C tz)jL(qrT )YLM(~T )[i ) BLM(b , qo, q), (6 .44)

w h e r e( r c c o s ~ , 0 4 ,

is t h e s t r a i g h t - l i n e p a t h f a c t o r [ A m A 8 1 , V a B 8 4 , B E G 85 ] t h a t a l r e a d y o c -cu r s in th e SC A fo r n o n re la t iv i s t i c co l li s io n s [BA H5 9 ] . T h e H eav i s id e s t epf u n c t i o n O ( q - q 0) a s s u r e s t h a t q is g r e a t e r t h a n i ts p r o j e c t i o n q 0.

T h e to t a l c ro s s s ec t io n i s d e r iv ed e i th e r f ro m E q . ( 6 .4 4 ) u s in g th e o r -t h o g o n a l i t y r e l a t i o n f o r t h e B e s s e l f u n c t i o n s o r , m o r e d i r e c t l y , f r o m E q .(6 .5 ) . T h e f in a l r e s u l t f o r th e io n iza t io n c ro s s s ec t io n p e r e l ec t ro n can b ew r i t t e n a s dcr~ _ 87c@ q dqdEf o (q2 _/ 32 q~ )2 IMfi(q)l 2, (6.46 )w i t h

(2O

M fi(q) - 47r E iL < f](1 - / 3 a z ) j L ( q r T ) Y L , , j f _ , j i (~T)li}L = 0

a r c c o s - - , 0 , (6 .4 7)X rL,#jf_#j i qw h e r e ] _ L j i a n d #jf a r e t h e a n g u l a r m o m e n t u m p r o j e c ti o n s o f t h e i n i ti a la n d f i n a l s t a t e , r e s p e c ti v e l y . T h i s f o r m u l a is t h e s t a r t i n g p o i n t f o r t h ea c c u r a t e e v a l u a t i o n o f e x c i t a t i o n a n d i o n i z a t io n c r os s s e c t io n s w i t h i n f i r st -o r d e r p e r t u r b a t i o n t h e o r y [ V a B 8 4 , B E G 8 5 ] .

B e f o r e m o v i n g o n t o d i s c u s s s o m e d e t a i l s a n d g e n e r a l i z a t i o n s , a f e wc o m m e n t s m a y b e a p p r o p r i a t e .( a ) F i r s t , we o b s e rv e th a t in co n t r a s t to E q . ( 6 .1 5 ) in th e d ip o le ap -p r o x i m a t i o n , t h e r e i s n o c o n v e r g e n c e p r o b l e m a t t h e u p p e r l i m i t o f t h eq - in teg r a t io n in E q . ( 6 .4 6 ). T h e c ro s s s ec t io n is we l l -d e f in ed w i th o u t a m -b i g u o u s c u t - o f f p r o c e d u r e s .


19/45

6 .3 . M U L T I P O L E E X P A N S I O N 157( b ) T h e b e h a v i o r o f t h e c r o ss s e c ti o n ( 6 .4 6 ) i n t h e e x t r e m e r e l a t iv i s t ic

l i m i t ~ / >> 1 c a n b e i n v e s t i g a t e d b y e x p a n d i n g t h e i n t e g r a n d a r o u n d q - q0.I n t h i s w a y , i t i s s h o w n b y B e c k e r [ B e c 8 6 ] t h a t f o r # i f - #j i ( a n d a l s ofo r IP jf - #j i I >- 2 ) , t h e i n t e g r a l t e n d s t o a c o n s t a n t v a l u e a s ~ / i n c r e a s e s .H o w e v e r , f o r #jr - # j i + 1, t h e i n t e g r a l i n c r e a s e s w i t h ~ / a s l n ~ . T h i si s i n a c c o r d a n c e w i t h t h e r e s u l t s ( 6 . 1 7 ) o r ( 6 . 2 3 ) , d e r i v e d m o r e s i m p l y i nt h e d i po l e a p p r o x i m a t i o n o r th e q u a s i r e la t iv i s ti c t r e a t m e n t , a n d w i t h th ea s y m p t o t i c b e h a v i o r g i v e n i n E q s . ( 1 .1 0 ) a n d ( 1 .1 1 ).

( c) T h e c h o ic e o f t h e g a u g e f o r t h e e l e c t r o m a g n e t i c p o t e n t i a l s is d is -c u s s e d in s o m e d e t a i l i n [ A m A 8 1 ] . H e r e , w e h a v e u s e d t h e L o r e n t z c o n -d i t i o n ( 3 .3 ) w h i c h is L o r e n t z i n v a r i a n t a n d h e n c e a ll o w s u s t o d e r iv e t h ee l e c t r o m a g n e t i c p o t e n t i a l s A a n d (I) b y a L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o n f r o m t h es t a t i c C o u l o m b p o t e n t i a l . T h i s r e n d e r s it p o s s i b le to u s e E q . ( 6.4 ) t o de -r i v e r a t h e r s i m p l e p a t h f a c t o r s ( 6 . 4 5 ) w h i c h a c t u a l l y a r e t h e s a m e a s f o rn o n r e l a t i v i s t i c p r o je c t i le s . O n t h e o t h e r h a n d , t h e C o u l o m b g a u g e d e fi n e db y V - A C ~ - 0 l ea d s t o m o r e c o m p l i c a t e d p a t h f a ct o rs . A c o m p a r i s o n ofn u m e r i c a l r e s u l t s f o r c r o s s s e c t i o n s c a l c u l a t e d i n t h e L o r e n t z a n d C o u l o m bg a u g e s i n t h e p l a n e - w a v e B o r n a p p r o x i m a t i o n a s w e l l a s i n t h e S C A s h o w sa g r e e m e n t w i t h o n e a n o t h e r o n t h e 1 % l e v e l .

( d ) T h e e l e c t r o n i c m a t r i x e l e m e n t s in E q . ( 6 .4 7 ) h a v e t o b e c a l c u l a t e dw i t h r e la t i v i s ti c w a v e fu n c t i o n s . T h e u s e o f n o n r e l a t i v i s t ic a p p r o x i m a t i o n se i t h e r l e a d s t o a v i o l a t i o n o f g a u g e i n v a r i a n c e ( s in c e t h e e l e c t r o m a g n e t i cc o u p l i n g j u A P / c , E q . ( 5. 31 ) is n o t c o m p a t i b l e w i t h t h e S c h r S d i n g e r e q u a -t i o n ) o r le a d s to s e c o n d - o r d e r t e r m s i n t h e p o t e n t i a l s a n d h e n c e t o a s p u r i o u sp r o j e c t i l e c h a r g e d e p e n d e n c e a s Z ~ . O n l y b y a c a r e f u l a n a l y s i s l A m A 8 1 ] i si t p o s s i b l e t o r e m o v e t h e s e s p u r i o u s t e r m s .

I n e v a l u a t i n g t h e m a t r i x e l e m e n t s ( 6 .4 7 ) r i g o ro u s l y , i t is n o l o n g e r u s e fu lt o r e d u c e t h e t e r m s c o n t a i n i n g t h e D i r a c m a t r i x C~z b y e m p l o y i n g E q . ( 5 .9 0 ) .R a t h e r , w i t h th e d e f i n i t io n s ( 4 .8 6 ) a n d ( 4 .8 7 ) , o n e m a y d e c o m p o s e t h em a t r i x e l e m e n t s a s [ V a B 8 4 , B E G 8 5 ]

( f l ( 1 - ~ C ~ z) j ~ ( q r T ) Y Z m ( ~ T ) l i } - -A 1 f (1) (q) + i ~ A 2 f ( 2 ) ( q) - i ~ A 3 f ( 3 ) ( q) (6 .48)

w h e r e t h e a n g u l a r i n t e g r a l s a r e d e f i n e d b y~Jf Pj"d l - { / ~ g f I Y L M I ~ a i ' )

_ _ (~ PJf ~Jim e , ) ~ _ ~ f l YL M O z I X ~ i }A 3 ~ ]~jf ~Ji- I r L . zl _ l (6 .49)

a n d a r e e v a l u a t e d w i t h s t a n d a r d t e c h n i q u e s [ R o s5 7, E d m 5 7 ] . T h e r a d ia l


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158 C H A P T E R 6 . E X C I T A T I O N A N D I O N I Z A T I O Ni n t e g r a l s a r e d e f i n e d a s

f 0 C ~L1) (q) -- j L ( q r ) ( g i g f - J r - f i f f ) r 2 d r/ 0t 2 ) ( q ) - - J L ( q r ) g i f f r 2 d rF i 3)(q) -- j L ( q r ) f i g f r 2 d r . (6.50)

T h e i n t e g r a l s c a n b e r e w r i t t e n i n t e r m s o f h y p e r g e o m e t r i c f u n c t io n s [ Ja Z 5 7,A m u 7 8 , J a A 8 0 , T r B 8 3 , V a B 8 4] i f e x a c t C o u l o m b b o u n d - s t a t e w a v e f u nc -t i o n s ( 4 .9 8 ) a n d c o n t i n u u m p a r t i a l w a v e s ( 4 .1 1 4 ) ar e i n s e r t e d . T h e a c t u a le v a l u a t i o n is p e r f o r m e d n u m e r i c a l l y [B E G8 5].

T h e c a l c u l a t i o n o f t h e t o t a l a n d e n e r g y - d i f f e r e n t ia l io n i z a t i o n c r o ss se c -t i o n a c c o r d i n g t o E q . ( 6 . 7 ) r e q u i r e s a n a v e r a g i n g o v e r a l l # j i a n d a s u m -m a t i o n o v e r a ll v a l u e s o f ~ f a n d # i f . I n p r a c t i c e , t h e s u m m a t i o n h a s t o b et r u n c a t e d a t a m a x i m u m v a l u e ~ m ax b e c a u s e o f c o m p u t e r l i m i t a t i o n s . F o rt h e a n g l e - d i f f e r e n t i a l c r o s s s e c t i o n , o n e h a s t o u s e t h e w a v e f u n c t i o n s ( 4 . 1 2 3 )o r ( 4 .1 2 4) w i t h w e ll -d e f in e d a s y m p t o t i c m o m e n t a i n s t e a d o f t h e s p h e r i c a lp a r t i a l w a v e s .6 . 3 . 3 P e r t u r b a t i v e r e s u l t s a n d c o m p a r i s o n w i t h e x p e r -

i m e n tI n a n e x p e r i m e n t , w e u s u a l l y h a v e a s o l i d o r g a s t a r g e t , t h a t i s , w e h a v et o t a k e i n t o a c c o u n t m a n y - e l e c t r o n e ff ec ts . D e f e r r i n g a m o r e d e t a i l e dd i s c u s s io n to C h a p . 7 , w e a s s u m e f o r t h e p r e s e n t p u r p o s e t h a t t h e K -s h e ll w a v e fu n c t i o n o f a c o m p l e x t a r g e t a t o m c a n b e a p p r o x i m a t e d b y a ne f fe c ti ve h y d r o g e n i c w a v e fu n c t io n . T h e g e n e r a l ly a c c e p t e d m e t h o d u s esa n e f f ec ti v e S la t e r -s c r e e n e d t a r g e t c h a r g e Z ~ = Z b a r e - 0 .3 i n c o n j u n c t i o nw i t h e x p e r i m e n t a l K - s h el l b i n d i n g e n e r g ie s . T h e s e b i n d i n g e n e r g ie s a r e n o tc o n s i s t e n t w i t h th e w a v e f u n c t io n s u s e d . O n e m a y e x p e c t , h o w e v er , t h a tm a i n l y t h e i n n e r p a r t o f t h e w a v e fu n c t i o n i s r e s p o n s ib l e f o r t h e m a t r i xe l e m e n t s . T h i s p a r t is w e ll d e s c r i b e d b y t h e e f fe c ti v e n u c l e a r c h a r g e Z ~ .T h e o u t e r p a r t is r e l a t e d t o t h e b i n d i n g e n e r g y b u t d o e s n o t e n t e r s e n si ti v e lyi n t o t h e r e s u l t s . N e v e r t h e l e s s , it is n o t c l e a r w h e t h e r t h e i n c o n s i s t e n c y m a yl e a d t o s i z a b l e e f f e c t s i n s o m e c a s e s . I n m o s t r e s u l t s t o b e d i s c u s s e d i n t h i sc h a p t e r , i t is j u s t i f i e d t o n e g l e c t t h e e f f e c t i v e - c h a r g e c o r r e c t i o n .T h e f i r s t s t e p i n c a l c u l a t i n g d i f f e r e n t i a l ( i n e l e c t r o n e n e r g y a n d a n g l e )a n d t o t a l c r o s s s e c t i o n s c o n s i s t s i n s t u d y i n g t h e i m p a c t - p a r a m e t e r d e p e n -d e n c e o f t h e i o n i z a ti o n p r o b a b i l i ty P ( b ) . T h e w e i g h t e d K - s h e l l i o n i z a t i o np r o b a b i l i t y 2 7 r b P ( b ) u s u a l ly h a s a m a x i m u m i n t h e v i c i n i ty o f t h e K - s h e ll


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6 .3 . M U L T I P O L E E X P A N S I O N 159r a d i u s a K . T h i s i s s i m i l a r a s f or th e e x c i t a t i o n p r o b a b i l i t i e s i n F ig . 6 . 1 3 fo rc o u p l e d - c h a n n e l c a l c u l a t i o n s .

F i g u r e s 6 . 6 a n d 6 . 7 s h o w c a l c u l a t e d d o u b l e - d i f f e r e n t i a l i o n i z a t i o n c r o s ss e c t i o n s d 2 c r / d E e d f~ e f o r f i x e d e l e c t r o n e n e r g i e s a n d f i x e d e l e c t r o n e m i s s i o na n g l e s , r e s p e c t iv e l y , f o r t h e s y s t e m Z p + U [ M o G 8 9 ]. I n F i g . 6 .6 , w ec a n s e e t h a t e l e c t r o n e m i s s i o n o c c u r s m a i n l y a t s m a l l e r e l e c t r o n e n e r g i e s .A s F ig . 6 .7 d e m o n s t r a t e s , t h e a n g u l a r a n i s o t r o p y o f t h e e m i t t e d e l e c t ro n sb e c o m e s p e a k e d i n t h e f o r w a r d d i r e c t i o n a s t h e i r k i n e t i c e n e r g y i n c r e a s e s .S i n c e , o w i n g t o l i m i t a t i o n s i n c o m p u t i n g p o w e r , I ~ 1 _ < 1 0 h a s b e e n u s e d ,t h e c o n v e r g e n c e o f t h e p a r t i a l - w a v e c o n t r i b u t i o n s i n E q . ( 4 .1 2 3 ) b e c o m e su n s a t i s f a c t o r y a t b a c k w a r d a n g l e s , s o t h a t t h i s a n g u l a r r a n g e i s n o t i n c l u d e din F ig . 6 .7 .

I n F i g u r e 6 . 8 , t h e t o t a l K - s h e l l i o n i z a t i o n c r o s s s e c t i o n f o r p + Uc o l l is i o n s i s p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f t h e L o r e n t z f a c t o r -y. A s a l r e a d y s e e ne x p l i c i t l y in t h e d i p o l e a p p r o x i m a t i o n o f E q . ( 6 .1 7 ) , t h e c r o s s s e c t i o n in -c r e a s es m o n o t o n i c a l l y w i t h "y. T h e q u a s i r e l a t i v i s ti c c a l c u l a t i o n o f A n h o l t[ A n h 79 ] a n d t h e m u l t i p o l e e x p a n s i o n c a l c u l a t i o n o f B e c k e r e t al . [ B eG 8 5 ]s h o w t h e s a m e q u a l i t a t i v e b e h a v i o r a s t h e c o l li si o n e n e r g y i n c r e a se s . F o r-y > 2 , t h e a b s o l u t e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e c a l c u l a t i o n s i n c r e a s e s s lo w l yw i t h ~ ,. F o r l a r g e v a l u e s o f -y, B e c k e r e t a l . h a v e t h e p r o b l e m t h a t a g ro w -i ng n u m b e r o f t e r m s c o n t r i b u t e i n t h e m u l t ip o l e e x p a n s i o n ( c a lc u l a ti o n sh a v e b e e n c a r r i e d u p t o 1 = 6 ); h ow e v e r , t h e a u t h o r s e s t i m a t e t h e r e s u l t i n gi n a c c u r a c y t o b e l e s s t h a n 5 % . O n t h e o t h e r h a n d , d i f f e r e n c e s i n t h e w a v ef u n c t i o n w i l l a f f e c t t h e m a t r i x e l e m e n t s c h a n g i n g t h e m a g n e t i c q u a n t u mn u m b e r b y o n e u n i t a n d h e n c e w i ll i n c r e a s e a s l n ' y fo r l a r g e e n e rg i e s . I tis t h e r e f o r e q u i t e n a t u r a l t h a t d i s c r e p a n c i e s s l o w l y b u i l d u p a s th e e n e r g yi n c r e a s e s .

N u m e r i c a l c a l c u l a t i o n s h a v e e s t a b l i s h e d a n a p p r o x i m a t e s c a l i n g r u l el A m A S 1 , B e e 8 6 ] f o r t h e i o n i z a t i o n p r o b a b i l i t y a t h i g h r e l a t i v i s t i c e n e r g i e s(3' > 5 ) a n d f ix e d i m p a c t p a r a m e t e r s . F o r b = 0 , t h e i o n i z a t i o n p r o b a b i l i t y

P ( b - O ) - 1 .8 x l O - 4 Z ~ ( 6.5 1)is i n d e p e n d e n t ( w i t h i n + 1 0 % ) o f t h e t a r g e t c h a r g e u p to t h e h e a v i e s t el-e m e n t s . T h i s e m p i r i c a l f in d i n g s h o w s t h a t f o r Z p _> 7 5 t h e i o n i z a t i o np r o b a b i l i t y e x c e e d s u n i t y , a n d h e n c e p e r t u r b a t i o n t h e o r y b r e a k s d o w n .

T h e r e a r e f ew e x p e r i m e n t a l d a t a t o c o m p a r e w i t h th e o r e t i c a l r e s ul ts .A t p r e s e n t , o n l y m e a s u r e m e n t s f or t o t a l c r o ss s e c ti o n s o f K - s h e l l io n i za -t i o n i n v a r i o u s t a r g e t a t o m s a r e a v a i l a b le . I n F i g . 6 .9 , t h e t o t a l K - s h e l li o n i z a t i o n c r o s s s e c t i o n i s s h o w n f o r 4 . 8 8 G e V p r o t o n s i m p i n g i n g o n t a r g e ta t o m s w i t h c h a r g e n u m b e r s Z T . F o r t h e c a l c u l a t i o n s o f [D A M 7 8, A n h 7 9 ] ,q u a s i r e l a t i v i s t i c w a v e f u n c t i o n s a r e u s e d . F o r h i g h - Z t a r g e t s , t h e d e v i a t i o n


22/45

1 6 0 C H A P T E R 6 . E X C I T A T I O N A N D I O N I Z A T I O N

lO1 0 1

u ' l9 1>~~ E,Z3

~ 10-3

10-6

" I

I

I I i I I 1

2 S l l 2

e ( d e g )

9 O9 0 "

I2 4 . 6 8E , ( M e V )

1 0 - 3

1 0 - 6

. 1 1 0 6

F i g u r e 6 . 6 . D o u b l e - d i ff e r e n t ia l c r o ss s e c t i o n f or t h e i o n i z a t i o n o f t h e l S l / 2 a n d2 S l /2 t a r g e t s t a t e s i n Z p + U c o l l is i o n s a t E l a b - - 1 G e V / u a s a f u n c t i o n o f t h ee n e r g y o f t h e i o n i z e d e l e c t ro n . T h e p a r a m e t e r a t e a c h cu r v e gi v es t h e l a b o r a t o r ye m i s s i o n a n g l e 0 . F r o m [ M o G 8 9 ] .

1 0 - z

~ " 1 0 - 3-U e l"T>( l J 10 ~

~ . I 0 s- o 0 - 6uYl~ 1 0 - 7

3 m e 2

0 20 / ,0 60 80e {deg)

F i g u r e 6 . 7 . D o u b l e - d i f fe r e n t i a l c r o ss s e c t i o n f or t a r g e t K - s h e ll i o n i z a t i o n i n Z p+ U c o l l is i on s a t E l ab - - 1 G e V / u a s a f u n c t i o n o f t h e e l e c t r o n l a b o r a t o r y e m i s s io na n g l e 0 f o r v a r i o u s e l e c t r o n e n e r g i e s E e. F r o m [ M o G 8 9 ] .


23/45

6 .3 . M U L T I P O L E E X P A N S I O N 161

1/. , . r~

1 2 " . ' "

1 0 , o . . ~ ~ S S ' ' ' ' ~

1 1 0Y

F i g u r e 6 . 8 . K-she l l ion iza t ion c ross sec t ion fo r p + U co l l i s ions as a func t ionof the Lo ren tz f ac to r ~ . Da shed cu rve : [Anh79]; so l id cu rve : [BeG85] . In bo thcu r v es , ex p e r im en ta l b in d in g en e r g i e s h av e b een u s ed .

f r o m e x a c t r e l a t i v i s t i c w a v e f u n c t i o n s ( u s e d i n [ B E G 8 5 ] ) s h o u l d b e m o s ts i g n i f ic a n t . I n f a c t, t h e r e s u l t s f o r t h e t w o t y p e s o f c a l c u l a t i o n s d i ff e r b yo n l y 1 0% . U n f o r t u n a t e l y , t h e c a l c u l a t i o n s u s in g m o r e a c c u r a t e e l e c t ro n i cw a v e f u n c t i o n s lie f a r t h e r a w a y fr o m th e e x p e r i m e n t a l d a t a . C o n s i d e r i n gt h e e x p e r i m e n t a l e r r o r s , i t c e r t a i n l y w o u l d n o t b e ju s t i f i e d t o p r e fe r a n yo f t h e c a l c u l a t i o n s j u s t o n t h e b a s is o f a c o m p a r i s o n w i t h t h e d a t a . F o rf u r t h e r d i s c u s s i o n s e e [ E i c 9 0 ] .

I n v i e w o f t h e s c a r c i t y o f i o n i z a t i o n d a t a f or r e la t i v i s ti c a t o m i c p r o j e c -t il e s, it is t e m p t i n g t o t u r n t o o t h e r p r o j e c t il e s . I o n i z a t i o n m e a s u r e m e n t sh a v e b e e n m a d e w i t h e l e c t r o n s u p t o 2 3 G e V , c o r r e s p o n d i n g t o 3' = 4 .4 x 104[S p M 9 4 ]. A t t h e s e e x t r e m e l y h i g h v a l u e s o f 3 ', t h e r e l e v a n t i m p a c t p a r a m e -t e rs a r e s o l a rg e t h a t t h e y l ie in th e m e d i u m s u r r o u n d i n g t h e t a r g e t a t o m . 6T h i s l e a d s t o a s h i e l d i n g o f t h e p r o j e c t i l e ' s e l e c t r o m a g n e t i c f ie ld [ F e r4 0 ],w h i c h c a u s e s t h e c r os s s e c t i o n t o s a t u r a t e [ So r8 7 , C h E 8 9 ] . S u c h " m a n y -b o d y " e f fe c ts li e o u t s i d e t h e s c o p e o f t h i s b o o k . B e l o w t h e o n s e t o f t h es a t u r a t i o n , t h o u g h , t y p i c a l l y f o r "y _< 1 03 , o n e c a n e x p e c t t h a t h i g h - e n e r g ye l e c t r o n s h a v e i o n i z a t i o n c r o s s s e c t i o n s s i m i l a r t o t h o s e o f p r o t o n s . T h i s ist r u e , a s lo n g a s t h e t r a j e c t o r y o f t h e e l e c t r o n p r o j e c t i l e c a n b e a p p r o x i m a t e db y a s t r a i g h t l in e fo r t h e r e l e v a n t c o l l is i on s . C a l c u l a t i o n s b y D a v i d o v i d e ta l. [D A M 7 8 ], b a s e d o n a r e l a t i v i s t i c f i r s t - o r d e r w a v e t h e o r y , s h o w t h a t e v e n

6At these high values of -y, the de Broglie wavelength h / ( ~me C ) is small enough(~ 10 -2 fm) tha t the concept of impac t pa ram ete r is applicabl e even to electrons.


24/45

1 6 2 C H A P T E R 6 . E X C I T A T I O N A N D I O N I Z A T I O NI I

20 \r - ,

,4

10

0 i70 80 90

ZTF i g u r e 6 . 9 . K - s h e ll i o n i z a ti o n c ro s s s e c t io n fo r 4 .8 8 G e V p r o t o n s v e r s u s t h et a r g e t c h a r g e . E x p e r i m e n t a l d a t a a n d d a s h e d c u rv e : A n h o l t e t a l. [ A nh 7 9] , s eea l so Dav ido v id e t al . [DAM78]; so l i d cu rv e : Be cke t e t a l . [BEG85].

AJQ

z 1 6 0OI -ULOo o 1 2 00k)zo 8 OI - -

chapter 6 - excitation and ionization

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