chapter 6 300 fall 19... · 2019-10-21 · fall 2018 prof. sergio b. mendes 9 ðâ , =â â2 2...
TRANSCRIPT
Quantum Mechanics II
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 1
CHAPTER 6
Topics
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 2
6.1 The Schrödinger Wave Equation
6.2 Expectation Values
6.4 Finite Square-Well Potential
6.3 Infinite Square-Well Potential
6.5 Three-Dimensional Infinite-Potential Well
6.6 Simple Harmonic Oscillator
6.7 Barriers and Tunneling
6.1 Schrödinger Equation
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 3
Erwin Schrödinger (1887â1961) was an Austrian who worked at several European universities before fleeing Nazism in 1938 and accepting a position at the University of Dublin, where he remained until his retirement in 1956.
His primary work on the wave equation was performed during the period he was in Zurich from 1920 to 1927.
Schrödinger worked in many fields including philosophy, biology, history, literature, and language.
Free Particle: ð = 0
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 4
ðž = ðŸ + ð
ð ð¥, ð¡ = ðŽ ðð ð ð¥ â ð ð¡ + ð ð ð¥, ð¡ 2 = ðŽ 2
ðž = â ð = â ð ð =â
ð= â ð
=ð ð£2
2+ 0 =
ð2
2 ð
The Total Energy:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 5
ðð ð¥, ð¡
ðð¡
ð ð¥, ð¡ = ðŽ ðð ð ð¥ â ð ð¡ + ð
= â ð ð ð ð¥, ð¡= â ð ð ðŽ ðð ð ð¥ â ð ð¡ + ð
ðž = â ð =â
â ð
1
ð ð¥, ð¡
ðð ð¥, ð¡
ðð¡
The Kinetic Energy:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 6
ð ð¥, ð¡ = ðŽ ðð ð ð¥ â ð ð¡ + ð
ðð ð¥, ð¡
ðð¥= ð ð ðŽ ðð ð ð¥ â ð ð¡ + ð = ð ð ð ð¥, ð¡
ð2ð ð¥, ð¡
ðð¥2=ð
ðð¥
ðð ð¥, ð¡
ðð¥=ð
ðð¥ð ð ð ð¥, ð¡ = â ð2ð ð¥, ð¡
ðŸ =ð2
2 ð=
â2
2 ðð2 = â
â2
2 ð
1
ð ð¥, ð¡
ð2ð ð¥, ð¡
ðð¥2
Bringing the pieces together for a free particle:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 7
â ð =â2
2 ðð2
â
â ð
1
ð ð¥, ð¡
ðð ð¥, ð¡
ðð¡= â
â2
2 ð
1
ð ð¥, ð¡
ð2ð ð¥, ð¡
ðð¥2
ðž = ðŸ
In the presence of a potential ð:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 8
â ð =â2
2 ðð2 + ð
â
â ð
1
ð ð¥, ð¡
ðð ð¥, ð¡
ðð¡= â
â2
2 ð
1
ð ð¥, ð¡
ð2ð ð¥, ð¡
ðð¥2+ ð ð¥, ð¡
ð âðð ð¥, ð¡
ðð¡= â
â2
2 ð
ð2ð ð¥, ð¡
ðð¥2+ ð ð¥, ð¡ ð ð¥, ð¡
ðž = ðŸ + ð
Schrödinger Equation
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 9
ð âðð ð¥, ð¡
ðð¡= â
â2
2 ð
ð2ð ð¥, ð¡
ðð¥2+ ð ð¥, ð¡ ð ð¥, ð¡
⢠Not valid for relativistic particles (relativistic particles require Dirac Equation)
⢠Not valid for photons (light requires quantization of the electromagnetic field, which is called Second Quantization)
⢠What is really the wave function ð ð¥, ð¡ or what is its physical meaning ?
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 10
⢠Actually, we just know about the physical meaning of ð ð¥, ð¡ 2.
⢠The Schrödinger Equation is for ð ð¥, ð¡ .
⢠ð ð¥, ð¡ 2 describes the probability density of finding the wave-particle at point ð¥ at time ð¡.
⢠However, we donât have an equation for ð ð¥, ð¡ 2.
A Few Remarks
Probability Density and Probability
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 11
Because ð ð¥, ð¡ 2 describes the probability density, then:
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥ gives us the probability of finding the wave-particle between (ð¥) and (ð¥ + ðð¥) at time (ð¡).
ð¥1ð¥2 ð ð¥, ð¡ 2ðð¥ gives us the probability of
finding the wave-particle between (ð¥1) and (ð¥2) at time (ð¡).
The probability of finding the wave-particle somewhere between ââ,âwill always be 1 at any time:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 12
නââ
+â
ð ð¥, ð¡ 2ðð¥ = 1
Normalization Condition
Example 6.4
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 13
ð ð¥, ð¡ = ðŽ ðâðŒ ð¥ ð àµâ ð ðž ð¡â
ð ð¥, ð¡ 2 = ðŽ 2 ðâ2ðŒ ð¥
1 = නââ
+â
ð ð¥, ð¡ 2ðð¥
= 2 ðŽ 2න0
+â
ðâ2 ðŒ ð¥ ðð¥ = 2 ðŽ 2ðâ2 ðŒ ð¥
â2 ðŒð¥=0
ð¥=+â
=ðŽ 2
ðŒ
ðŽ = ðŒ ðð ð
= නââ
+â
ðŽ 2ðâ2ðŒ ð¥ ðð¥
How can we get predictions from the wave function for physical quantities (position, energy, linear momentum,
angular momentum, âŠ) ??
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 14
6.2 Physical Observables and Expectation Values
We need to confront those predictions against experimental measurements !!
Expectation Value for ð¥ :
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 15
ððð =ð1 ððð1 + ð2 ððð2 + ð3 ððð3 + ð4 ððð4 +â¯
ð1 + ð2 +ð3 + ð4 +â¯
=Ïð ðð ðððð
Ïð ðð
ð¥ =ââ+â
ð ð¥ ð¥ ðð¥
ââ+â
ð ð¥ ðð¥=ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ð¥ ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥
Expectation Value for ð ð¥ :
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 16
ð ð¥ =ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ð ð¥ ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥
Expectation Value for ð¥2:
ð¥2 =ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ð¥2ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥
Expectation Value for ð:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 17
ð =ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ð ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥=ââ+â
ðâ ð¥, ð¡ ð ð ð¥, ð¡ ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥
= ð ð ð¥, ð¡
ð
ðð¥ð ð¥, ð¡ = ð ð ð ð¥, ð¡âð â
âð âð
ðð¥ð ð¥, ð¡ = â ð ð ð¥, ð¡
=ââ+â
ðâ ð¥, ð¡ âð âððð¥
ð ð¥, ð¡ ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥
Operator for Linear Momentum:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 18
ð =ââ+â
ðâ ð¥, ð¡ âð âððð¥
ð ð¥, ð¡ ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥
â ð âð
ðð¥â¡ à·ð
=ââ+â
ðâ ð¥, ð¡ Æžð ð ð¥, ð¡ ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 19
ð2
=ââ+â
ðâ ð¥, ð¡ â â2ð2
ðð¥2ð ð¥, ð¡ ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥
Expectation Value for ð2:
=ââ+â
ðâ ð¥, ð¡ âð âððð¥
âð âððð¥
ð ð¥, ð¡ ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥
=ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ð2ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥
Expectation Value for ðž:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 20
ðž =ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðž ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥=ââ+â
ðâ ð¥, ð¡ ðž ð ð¥, ð¡ ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥
= ðž ð ð¥, ð¡
ð
ðð¡ð ð¥, ð¡ = â ð ð ð ð¥, ð¡ð â
ð âð
ðð¡ð ð¥, ð¡ = âð ð ð¥, ð¡
=ââ+â
ðâ ð¥, ð¡ ð âððð¡
ð ð¥, ð¡ ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥
Operator for Energy:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 21
ðž =ââ+â
ðâ ð¥, ð¡ ð âððð¡
ð ð¥, ð¡ ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥
=ââ+â
ðâ ð¥, ð¡ ðž ð ð¥, ð¡ ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥
ð âð
ðð¡â¡ ðž
Predicting Outcomes from the Theory:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 22
ð ð¥ =ââ+â
ðâ ð¥, ð¡ ð ð¥ ð ð¥, ð¡ ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥
ð =ââ+â
ðâ ð¥, ð¡ Æžð ð ð¥, ð¡ ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥à·ð â¡ âð â
ð
ðð¥
ðž =ââ+â
ðâ ð¥, ð¡ ðž ð ð¥, ð¡ ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥ðž â¡ ð â
ð
ðð¡
An useful result to rememberfrom Statistical Theory
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 23
ðð¥2 â¡ ð¥ â ð¥ 2 = ð¥2 â 2 ð¥ ð¥ + ð¥ 2
= ð¥2 â 2 ð¥ ð¥ + ð¥ 2
= ð¥2 â ð¥ 2
= ð¥2 â 2 ð¥ ð¥ + ð¥ 2
= ð¥2 â 2 ð¥ 2 + ð¥ 2
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 24
Schrödinger Equation becomes simpler when the potential energy ð
does not depend on time ð¡
Time Independent: ð ð¥, ð¡ = ð ð¥
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 25
ð âðð ð¥, ð¡
ðð¡= â
â2
2 ð
ð2ð ð¥, ð¡
ðð¥2+ ð ð¥, ð¡ð ð¥, ð¡ð ð¥
ð ð¥, ð¡ â¡ ð ð¥ ð ð¡
= ââ2
2 ðð ð¡
ð2ð ð¥
ðð¥2+ ð ð¥ ð ð¥ ð ð¡
ð â1
ð ð¡
ðð ð¡
ðð¡= â
â2
2 ð
1
ð ð¥
ð2ð ð¥
ðð¥2+ ð ð¥ = ðž
ð â ð ð¥ðð ð¡
ðð¡
1
ð ð¥ ð ð¡Ã
Time Dependence of Wave Function
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 26
ð ð¡ = ð àµâð ðž ð¡â
ð â1
ð ð¡
ðð ð¡
ðð¡= ðž
ð ð¥, ð¡ â¡ ð ð¥ ð ð¡ = ð ð¥ ð àµâð ðž ð¡â
ð ð¥, ð¡ 2 = ð ð¥ ð àµâð ðž ð¡â2= ð ð¥ 2
= ð ð¥ ðâ ð ð ð¡
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 27
ââ2
2 ð
1
ð ð¥
ð2ð ð¥
ðð¥2+ ð ð¥ = ðž
ââ2
2 ð
ð2ð ð¥
ðð¥2+ ð ð¥ ð ð¥ = ðž ð ð¥
Time-Independent Schrödinger Equation:
ð ð¥ Ã
ð ð¥, ð¡ = ð ð¥ ð àµâð ðž ð¡â
Requirements on the Wave Function:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 28
⢠ð ð¥ and ðð ð¥
ðð¥must be finite
everywhere.
⢠ð ð¥ and ðð ð¥
ðð¥must be single-valued
everywhere.
⢠ð ð¥ and ðð ð¥
ðð¥must be continuous (no
jumps) everywhere, at least where ð ð¥is finite.
⢠ð ð¥ â 0 when ð¥ â ±â .
Predicting Expected Values for Physical Observables :
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 29
ð¥ =ââ+â
ðâ ð¥, ð¡ ð¥ ð ð¥, ð¡ ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥
ð =ââ+â
ðâ ð¥, ð¡ Æžð ð ð¥, ð¡ ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥à·ð â¡ âð â
ð
ðð¥
ðž =ââ+â
ðâ ð¥, ð¡ ðž ð ð¥, ð¡ ðð¥
ââ+â
ð ð¥, ð¡ 2 ðð¥ðž â¡ ð â
ð
ðð¡
à·ð¥ â¡ ð¥
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 30
6.3 Infinite Square-Well Potential
ââ2
2 ð
ð2ð ð¥
ðð¥2= ðž ð ð¥+ ð ð¥ ð ð¥
âð2ð ð¥
ðð¥2=2 ð ðž
â2ð ð¥ = ð2 ð ð¥
ð ð¥ = ðŽ ð ðð ð ð¥ + ðµ ððð ð ð¥
0 †ð¥ †ð¿
ð â¡2 ð ðž
â2
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 31
Infinite Square-Well Potential, cont.
ð ð¥ = ðŽ ð ðð ð ð¥ + ðµ ððð ð ð¥ 0 †ð¥ †ð¿
ð ð¥ = 0 ð¥ ⥠ð¿ð¥ †0 and
ð ð¥ = 0 ð ð¥ = 0
ð ð¥ = ðŽ ð ðð ð ð¥ + ðµ ððð ð ð¥
ð ð¥ = 0 = ðµ = 0
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 32
Infinite Square-Well Potential, cont.
ð ð¥ = ðŽ ð ðð ð ð¥ 0 †ð¥ †ð¿ð ð¥ = 0 ð ð¥ = 0
ð ð¥ = ðŽ ð ðð ð ð¥
ð ð¥ = ð¿ = ðŽ ð ðð ð ð¿ = 0
ðð = ðð
ð¿
ðð ð¥ = ðŽ ð ðð ðð ð¥
ð = 1, 2, 3, âŠ
= ðŽ ð ðð ðð
ð¿ð¥
Discrete Energy Levels:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 33
=2 ð ðžðâ2
ðð
ð¿= ðð
ð = 1, 2, 3, âŠ
ðð ð¥ = ðŽ ð ðð ðð
ð¿ð¥
ðžð = ð2â2 ð2
2 ð ð¿2
ðð ð¥, ð¡ 2 = ðŽ 2 ð ðð2 ðð
ð¿ð¥
Normalizing the Wave Function:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 34
ð ð¥, ð¡ 2 = ðð ð¥, ð¡ 2 = ðŽ 2 ð ðð2 ðð
ð¿ð¥
නââ
+â
ð ð¥, ð¡ 2ðð¥ = 1
න0
ð¿
ðŽ 2 ð ðð2 ðð
ð¿ð¥ ðð¥ = 1
ðŽ 2ð¿
2= 1 ðŽ =
2
ð¿
ð ðð2 ð =1
21 â ððð 2ð
0 †ð¥ †ð¿
Bringing All Together:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 35
ð ð¥, ð¡ = ðð ð¥ ðâ ð ð ð¡
= ðŽ ð ðð ðð ð¥ ðâ ð ð ð¡
=ðŽ
2 ðð+ð ðð ð¥ â ðâð ðð ð¥ ðâ ð ð ð¡
=ðŽ
2 ðð+ð ðð ð¥ â ð ð¡ â ðâð ðð ð¥ + ð ð¡
ð â¡ðž
â
Two Counter-Propagating Waves
A More Realistic Potential Energy:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 36
6.4 Finite Square-Well Potential
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 37
ââ2
2 ð
ð2ð ð¥
ðð¥2+ ð ð¥ ð ð¥ = ðž ð ð¥
Region II: 0 †ð¥ †ð¿
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 38
ââ2
2 ð
ð2ð ð¥
ðð¥2= ðž ð ð¥+ ð ð¥ ð ð¥
âð2ð ð¥
ðð¥2=2 ð ðž
â2ð ð¥ = ð2 ð ð¥
ððŒðŒ ð¥ = ðŽðŒðŒ ð ðð ð ð¥ + ðµðŒðŒ ððð ð ð¥
ð â¡2 ð ðž
â2
Region I: 𥠆0
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 39
ââ2
2 ð
ð2ð ð¥
ðð¥2+ ð ð¥ = ðž ð ð¥ð ð¥
ð2ð ð¥
ðð¥2=2ð ðð â ðž
â2ð ð¥ = ðŒ2 ð ð¥
ððŒ ð¥ = ðŽðŒðâðŒ ð¥ + ðµðŒ ð
+ðŒ ð¥
ðŒ â¡2 ð ðð â ðž
â2
ðð
= ðµðŒ ð+ðŒ ð¥
ðŽðŒ = 0to prevent the wave function to diverge when ð¥ â ââ
Region III: ð¥ ⥠ð¿
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 40
ââ2
2 ð
ð2ð ð¥
ðð¥2+ ð ð¥ = ðž ð ð¥ð ð¥
ð2ð ð¥
ðð¥2=2ð ðð â ðž
â2ð ð¥ = ðŒ2 ð ð¥
ððŒðŒðŒ ð¥ = ðŽðŒðŒðŒ ðâðŒ ð¥ + ðµðŒðŒðŒ ð
+ðŒ ð¥
ðŒ â¡2 ð ðð â ðž
â2
ðð
= ðŽðŒðŒðŒ ðâðŒ ð¥
ðµðŒðŒðŒ = 0to prevent the wave function to diverge when ð¥ â +â
Bringing All the Pieces Together:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 41
ððŒðŒ ð¥ = ðŽðŒðŒ ð ðð ð ð¥ + ðµðŒðŒ ððð ð ð¥
ððŒðŒðŒ ð¥ = ðŽðŒðŒðŒ ðâðŒ ð¥
ððŒ ð¥ = ðµðŒ ð+ðŒ ð¥
Boundary Conditions for Wave Function:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 42
ð¥ = 0 ðµðŒ = ðµðŒðŒ
ð¥ = ð¿ ðŽðŒðŒ ð ðð ð ð¿ + ðµðŒðŒ ððð ð ð¿ = ðŽðŒðŒðŒ ðâðŒ ð¿
ððŒðŒ ð¥ = ðŽðŒðŒ ð ðð ð ð¥ + ðµðŒðŒ ððð ð ð¥
ððŒðŒðŒ ð¥ = ðŽðŒðŒðŒ ðâðŒ ð¥
ððŒ ð¥ = ðµðŒ ð+ðŒ ð¥
Boundary Conditions for the Derivative:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 43
ðððŒðŒ ð¥
ðð¥= ðŽðŒðŒ ð ððð ð ð¥ â ðµðŒðŒ ð ð ðð ð ð¥
ðððŒðŒðŒ ð¥
ðð¥= âðŽðŒðŒðŒ ðŒ ð
âðŒ ð¥
ðððŒ ð¥
ðð¥= ðµðŒ ðŒ ð
+ðŒ ð¥
ð¥ = 0 ðµðŒ ðŒ = ðŽðŒðŒ ð
ð¥ = ð¿ ðŽðŒðŒ ð ððð ð ð¿ â ðµðŒðŒ ð ð ðð ð ð¿ = âðŽðŒðŒðŒ ðŒ ðâðŒ ð¿
After Some Algebra (Appendix 1):
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 44
2 ð¡ððâ1ðð â ðž
ðž+ ð â 1 ð =
2 ð ðž
â2ð¿
ðð â¡2ð ðžðâ2
ðŒð â¡2ð ðð â ðžð
â2ð = 1, 2, 3, âŠ
ððŒ,ð ð¥ = ðµðŒðŒ,ð ð+ðŒð ð¥
ððŒðŒ,ð ð¥ = ðµðŒðŒ,ððŒððð
ð ðð ðð ð¥ + ððð ðð ð¥
ððŒðŒðŒ,ð ð¥ = ðµðŒðŒ,ð ð+ðŒð ð¿
ðŒððð
ð ðð ðð ð¿ + ððð ðð ð¿ ðâðŒð ð¥
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 45
ð â¡2 ð ð¿2 ðð
â22 ð¡ððâ1
1
ð¥â 1 + ð â 1 ð = ð ð¥ ð¥ â¡
ðž
ðð
ð = 10
ðž1ðð
ðž2ðð
ðž3ðð
ðž4ðð
Discrete Energy Levelsand Associated Wave Functions
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 46
PhET
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 47
Number of Confined Wave Functions
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 48
ðð¢ðððð ðð ð¶ððððððð ððð£ð ð¹ð¢ððð¡ðððð = ðŒðð¡ððððð
ð+ 1
= ðŒðð¡ðððð2 ð ð¿2 ððâ2 ð2
+ 1
= ðŒðð¡ðððð8 ð ð¿2 ðð
â2+ 1
Classical Physics
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 49
6.7 Potential Barrier
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 50
ðž ⥠ðð
Total energy higher than the barrier
Region I: 𥠆0
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 51
ââ2
2 ð
ð2ð ð¥
ðð¥2= ðž ð ð¥+ ð ð¥ ð ð¥
âð2ð ð¥
ðð¥2=2 ð ðž
â2ð ð¥ = ð2 ð ð¥
ððŒ ð¥ = ðŽðŒ ð+ð ð ð¥ + ðµðŒ ð
âð ð ð¥
ð â¡2 ð ðž
â2
Region III: ð¥ ⥠ð¿
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 52
ââ2
2 ð
ð2ð ð¥
ðð¥2= ðž ð ð¥+ ð ð¥ ð ð¥
âð2ð ð¥
ðð¥2=2 ð ðž
â2ð ð¥ = ð2 ð ð¥
ððŒðŒðŒ ð¥ = ðŽðŒðŒðŒ ð+ð ð ð¥ + ðµðŒðŒðŒ ð
âð ð ð¥
ð â¡2 ð ðž
â2
= ðŽðŒðŒðŒ ð+ð ð ð¥ ðµðŒðŒðŒ = 0
Region II: 0 †ð¥ †ð¿
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 53
ââ2
2 ð
ð2ð ð¥
ðð¥2+ ð ð¥ = ðž ð ð¥ð ð¥
âð2ð ð¥
ðð¥2=2 ð ðž â ðð
â2ð ð¥ = ðâ²2 ð ð¥
ðâ² â¡2 ð ðž â ðð
â2
ððŒðŒ ð¥ = ðŽðŒðŒ ð+ð ðâ² ð¥ + ðµðŒðŒ ð
âð ðâ² ð¥
ðð
Bringing All the Pieces Together:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 54
ððŒ ð¥ = ðŽðŒ ð+ð ð ð¥ + ðµðŒ ð
âð ð ð¥
ððŒðŒðŒ ð¥ = ðŽðŒðŒðŒ ð+ð ð ð¥
ððŒðŒ ð¥ = ðŽðŒðŒ ð+ð ðâ² ð¥ + ðµðŒðŒ ð
âð ðâ² ð¥
Boundary Conditions for Wave Function:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 55
ððŒ ð¥ = ðŽðŒ ð+ð ð ð¥ + ðµðŒ ð
âð ð ð¥
ððŒðŒðŒ ð¥ = ðŽðŒðŒðŒ ð+ð ð ð¥
ððŒðŒ ð¥ = ðŽðŒðŒ ð+ð ðâ² ð¥ + ðµðŒðŒ ð
âð ðâ² ð¥
ð¥ = 0
ð¥ = ð¿
ðŽðŒ + ðµðŒ = ðŽðŒðŒ + ðµðŒðŒ
ðŽðŒðŒ ð+ð ðâ² ð¿ + ðµðŒðŒ ð
âð ðâ² ð¿ = ðŽðŒðŒðŒ ð+ð ð ð¿
Boundary Conditions for the Derivative:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 56
ðððŒðŒ ð¥
ðð¥= ð ðâ² ðŽðŒðŒ ð
+ð ðâ² ð¥ â ðµðŒðŒ ðâð ðâ² ð¥
ðððŒðŒðŒ ð¥
ðð¥= ð ð ðŽðŒðŒðŒ ð
+ð ð ð¥
ðððŒ ð¥
ðð¥= ð ð ðŽðŒ ð
+ð ð ð¥ â ðµðŒ ðâð ð ð¥
ð¥ = 0
ð¥ = ð¿
ð ðŽðŒ â ðµðŒ = ðâ² ðŽðŒðŒ â ðµðŒðŒ
ðâ² ðŽðŒðŒ ð+ð ðâ² ð¿ â ðµðŒðŒ ð
âð ðâ² ð¿ = ð ðŽðŒðŒðŒ ð+ð ð ð¿
Reflectance and Transmittance
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 57
ð â¡ðŽðŒðŒðŒ
2
ðŽðŒ2
ð â¡ðµðŒ
2
ðŽðŒ2
ððŒ ð¥= ðŽðŒ ð
+ð ð ð¥
+ ðµðŒ ðâð ð ð¥
ððŒðŒðŒ ð¥= ðŽðŒðŒðŒ ð
+ð ð ð¥
ð = 1 +ð0
2 ð ðð2 ðâ²ð¿
4 ðž ðž â ð0
â1
ðâ²ð¿ = ð ð ð = 1
see Appendix 2
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 58
ðž †ððPotential Barrier:
Region II: 𥠆0
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 59
âð2ð ð¥
ðð¥2=2 ð ðž â ðð
â2ð ð¥ = â ð 2 ð ð¥
ð â¡2 ð ðð â ðž
â2
ððŒðŒ ð¥ = ðŽðŒðŒ ð+ ð ð¥ + ðµðŒðŒ ð
â ð ð¥
ââ2
2 ð
ð2ð ð¥
ðð¥2+ ð ð¥ = ðž ð ð¥ð ð¥ðð
= ð ðâ²
Tunneling Probability
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 60
ð = 1 +ð0
2 ð ððâ2 ð ð¿
4 ðž ð0 â ðž
â1
ðž
ð0
â 16 ðž ð0 â ðž
ð02 ðâ 2 ð ð¿
ð â¡2 ð ðð â ðž
â2
Tunneling in Classical Optics
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 61
Quantum Tunneling
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 62
PhET
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 63
Scanning Tunneling Microscope
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 64
Heinrich Rohrer (right, 1933â ) and GerdBinnig (1947â ) received the Nobel Prize for Physics in 1986 for their design of the scanning tunneling micro-scope.
The Swiss Rohrer was educated at the Swiss Federal Institute of Technology in Zurich and joined the IBM Research Laboratory in Zurich in 1963.
The German Binnig received his doctorate from the University of Frankfurt (Germany) in 1978 and then joined the same IBM Research Laboratory. He moved to the IBM Physics Group in Munich in 1984
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 65
Xe Atoms on Ni Surface
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 66
Photo taken with an STM, show xenon atoms placed on a nickel surface. The xenon atoms are 0.16 nm high and adjacent xenon atoms are 0.5 nm apart (the vertical scale has been exaggerated). The small force between the STM tip and an atom is enough to drag one xenon atom at a time across the nickel. The nickel atoms are represented by the black-and-white stripes on the horizontal surface. The image is magnified about 5 million times.
Ammonia Inversion
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 67
Field Effect Transistor
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 68
6.6 Harmonic Oscillator
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 69
Potential Energy and Wave Function
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 70
Lowest Order Solutions:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 71
ðžð = ð +1
2â ð
N = 10
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 72
6.5 Three-Dimensional, Time-Independent, Schrödinger Equation
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 73
ââ2
2 ð
ð2ð ð¥
ðð¥2+ ð ð¥ ð ð¥ = ðž ð ð¥
ââ2
2 ð
ð2
ðð¥2+
ð2
ððŠ2+
ð2
ðð§2ð ð¥, ðŠ, ð§ + ð ð¥, ðŠ, ð§ ð ð¥, ðŠ, ð§ = ðž ð ð¥, ðŠ, ð§
1D
3D
Appendix 1
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 74
Matching Boundary Conditions on Finite Square-Well Potential
Bringing All the Pieces Together:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 75
ððŒðŒ ð¥ = ðŽðŒðŒ ð ðð ð ð¥ + ðµðŒðŒ ððð ð ð¥
ððŒðŒðŒ ð¥ = ðŽðŒðŒðŒ ðâðŒ ð¥
ððŒ ð¥ = ðµðŒ ð+ðŒ ð¥
Matching Boundary Conditions:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 76
ð¥ = 0 ðµðŒ = ðµðŒðŒ
ð¥ = ð¿ ðŽðŒðŒ ð ðð ð ð¿ + ðµðŒðŒ ððð ð ð¿ = ðŽðŒðŒðŒ ðâðŒ ð¿
ððŒðŒ ð¥ = ðŽðŒðŒ ð ðð ð ð¥ + ðµðŒðŒ ððð ð ð¥
ððŒðŒðŒ ð¥ = ðŽðŒðŒðŒ ðâðŒ ð¥
ððŒ ð¥ = ðµðŒ ð+ðŒ ð¥
Bound. Cond. for the Derivatives:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 77
ðððŒðŒ ð¥
ðð¥= ðŽðŒðŒ ð ððð ð ð¥ â ðµðŒðŒ ð ð ðð ð ð¥
ðððŒðŒðŒ ð¥
ðð¥= âðŽðŒðŒðŒ ðŒ ð
âðŒ ð¥
ðððŒ ð¥
ðð¥= ðµðŒ ðŒ ð
+ðŒ ð¥
ð¥ = 0 ðµðŒ ðŒ = ðŽðŒðŒ ð
ð¥ = ð¿ ðŽðŒðŒ ð ððð ð ð¿ â ðµðŒðŒ ð ð ðð ð ð¿ = âðŽðŒðŒðŒ ðŒ ðâðŒ ð¿
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 78
ðµðŒ = ðµðŒðŒ
ðŽðŒðŒ ð ðð ð ð¿ + ðµðŒðŒ ððð ð ð¿ = ðŽðŒðŒðŒ ðâðŒ ð¿
ðµðŒ ðŒ = ðŽðŒðŒ ð
ðŽðŒðŒ ð ððð ð ð¿ â ðµðŒðŒ ð ð ðð ð ð¿ = âðŽðŒðŒðŒ ðŒ ðâðŒ ð¿
ðµðŒðŒ ðŒ = ðŽðŒðŒ ð
ðŽðŒðŒ ð ððð ð ð¿ â ðµðŒðŒ ð ð ðð ð ð¿ = â ðŒ ðŽðŒðŒ ð ðð ð ð¿ + ðµðŒðŒ ððð ð ð¿
1
2
3
4
1 3&
2 4&
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 79
ðµðŒðŒ ðŒ = ðŽðŒðŒ ð
ðŽðŒðŒ ð ððð ð ð¿ â ðµðŒðŒ ð ð ðð ð ð¿ = â ðŒ ðŽðŒðŒ ð ðð ð ð¿ + ðµðŒðŒ ððð ð ð¿
ðµðŒðŒ ðŒ ð ððð ð ð¿ â ðµðŒðŒ ð2 ð ðð ð ð¿ = â ðŒ ðµðŒðŒ ðŒ ð ðð ð ð¿ + ðµðŒðŒ ð ððð ð ð¿
ðŒ ð ððð ð ð¿ â ð2 ð ðð ð ð¿ = âðŒ2 ð ðð ð ð¿ â ðŒ ð ððð ð ð¿
2 ðŒ ð ððð ð ð¿ = ð2 â ðŒ2 ð ðð ð ð¿
2 ðŒ ð
ð2 â ðŒ2= ð¡ðð ð ð¿
ð¡ðð 2 ð¿ =2 ð¡ðð ð¿
1 â ð¡ðð2 ð¿= ð¡ðð ð ð¿
ð¡ðð ð¿ â¡ðŒ
ð
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 80
ð¡ðð 2 ð¿ = ð¡ðð ð ð¿
2 ð¿ + ð â 1 ð = ð ð¿
2 ð¡ððâ1ðŒ
ð+ ð â 1 ð = ð ð¿
2 ð¡ððâ1ðð â ðž
ðž+ ð â 1 ð =
2 ð ðž
â2ð¿
ð = 1, 2, 3, âŠ
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 81
ð â¡2 ð ð¿2 ðð
â22 ð¡ððâ1
1
ð¥â 1 + ð â 1 ð = ð ð¥ ð¥ â¡
ðž
ðð
ð = 10
ðž1ðð
ðž2ðð
ðž3ðð
ðž4ðð
Number of Confined Wave Functions
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 82
ðð¢ðððð ðð ð¶ððððððð ððð£ð ð¹ð¢ððð¡ðððð = ðŒðð¡ððððð
ð+ 1
= ðŒðð¡ðððð2 ð ð¿2 ððâ2 ð2
+ 1
= ðŒðð¡ðððð8 ð ð¿2 ðð
â2+ 1
Region I:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 83
ððŒ,ð ð¥ = ðµðŒ,ð ð+ðŒð ð¥
ðµðŒ = ðµðŒðŒ
= ðµðŒðŒ,ð ð+ðŒð ð¥
Region II:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 84
ððŒðŒ,ð ð¥ = ðŽðŒðŒ,ð ð ðð ðð ð¥ + ðµðŒðŒ,ð ððð ðð ð¥
= ðµðŒðŒ,ððŒððð
ð ðð ðð ð¥ + ððð ðð ð¥
ðµðŒ = ðµðŒðŒ
ðµðŒ ðŒ = ðŽðŒðŒ ð
Region III:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 85
ððŒðŒðŒ,ð ð¥ = ðŽðŒðŒðŒ,ð ðâðŒð ð¥
= ðµðŒðŒ,ð ð+ðŒð ð¿
ðŒððð
ð ðð ðð ð¿ + ððð ðð ð¿ ðâðŒð ð¥
ðµðŒ = ðµðŒðŒ
ðŽðŒðŒ ð ðð ð ð¿ + ðµðŒðŒ ððð ð ð¿ = ðŽðŒðŒðŒ ðâðŒ ð¿
ðµðŒ ðŒ = ðŽðŒðŒ ð
All Regions:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 86
ððŒ,ð ð¥ = ðµðŒðŒ,ð ð+ðŒð ð¥
ððŒðŒ,ð ð¥ = ðµðŒðŒ,ððŒððð
ð ðð ðð ð¥ + ððð ðð ð¥
ððŒðŒðŒ,ð ð¥ = ðµðŒðŒ,ð ð+ðŒð ð¿
ðŒððð
ð ðð ðð ð¿ + ððð ðð ð¿ ðâðŒð ð¥
Verification:
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 87
ðð ðµðŒðŒ,ððŒððð
ððð ðð ð¿ â ð ðð ðð ð¿ = âðŒð ðµðŒðŒ,ð ð+ðŒð ð¿
ðŒððð
ð ðð ðð ð¿ + ððð ðð ð¿ ðâðŒð ð¿
ðððŒððð
ððð ðð ð¿ â ð ðð ðð ð¿ = âðŒððŒððð
ð ðð ðð ð¿ + ððð ðð ð¿
ðŒððŒððð
â ðð ð ðð ðð ð¿ = âðððŒððð
â ðŒð ððð ðð ð¿
ð¡ðð ðð ð¿ =âðð
ðŒððð
â ðŒð
ðŒððŒððð
â ðð
=2 ðð ðŒð
ðð2 â ðŒð
2
Appendix 2
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 88
Matching Boundary Conditions on Barrier Potential
ðž ⥠ðð
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 89
ðŽðŒ + ðµðŒ = ðŽðŒðŒ + ðµðŒðŒ
ðŽðŒðŒ ð+ð ðâ² ð¿ + ðµðŒðŒ ð
âð ðâ² ð¿ = ðŽðŒðŒðŒ ð+ð ð ð¿
ð ðŽðŒ â ðµðŒ = ðâ² ðŽðŒðŒ â ðµðŒðŒ
ðâ² ðŽðŒðŒ ð+ð ðâ² ð¿ â ðµðŒðŒ ð
âð ðâ² ð¿ = ð ðŽðŒðŒðŒ ð+ð ð ð¿
ðâ² ðŽðŒðŒ ð+ð ðâ² ð¿ â ðµðŒðŒ ð
âð ðâ² ð¿ = ð ðŽðŒðŒ ð+ð ðâ² ð¿ + ðµðŒðŒ ð
âð ðâ² ð¿
ð 2 ðŽðŒ â ðŽðŒðŒ â ðµðŒðŒ = ðâ² ðŽðŒðŒ â ðµðŒðŒ
1
2
3
4
1 3
2 4
&
&
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 90
ðâ² ðŽðŒðŒ ð+ð ðâ² ð¿ â ðµðŒðŒ ð
âð ðâ² ð¿ = ð ðŽðŒðŒ ð+ð ðâ² ð¿ + ðµðŒðŒ ð
âð ðâ² ð¿
ðŽðŒ =ð ðŽðŒðŒ + ðµðŒðŒ + ðâ² ðŽðŒðŒ â ðµðŒðŒ
2 ð=ðŽðŒðŒ ð + ðâ² + ðµðŒðŒ ð â ðâ²
2 ð
ðŽðŒðŒ ð+ð ðâ² ð¿ ðâ² â ð = ðµðŒðŒ ð
âð ðâ² ð¿ ðâ² + ð
ðµðŒðŒ = ðŽðŒðŒ ðð 2 ðâ²ð¿
ðâ² â ð
ðâ² + ð
ð 2 ðŽðŒ â ðŽðŒðŒ â ðµðŒðŒ = ðâ² ðŽðŒðŒ â ðµðŒðŒ
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 91
ðŽðŒ =ðŽðŒðŒ ð + ðâ² + ðµðŒðŒ ð â ðâ²
2 ð= ðŽðŒðŒ
ðâ² + ð 2 â ðð 2 ðâ²ð¿ ðâ² â ð 2
2 ð ðâ² + ð
ðŽðŒðŒðŒ = ðâ ð ð ð¿ ðŽðŒðŒ ð+ð ðâ² ð¿ + ðµðŒðŒ ð
âð ðâ² ð¿
= ðŽðŒðŒ ðâ ð ð ð¿ ð+ð ð
â² ð¿ + ðð 2 ðâ²ð¿
ðâ² â ð
ðâ² + ððâð ð
â² ð¿
= ðŽðŒðŒ ðâ ð ð ð¿ ð+ð ð
â² ð¿2 ðâ²
ðâ² + ð
ðµðŒðŒ = ðŽðŒðŒ ðð 2 ðâ²ð¿
ðâ² â ð
ðâ² + ð
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 92
=ðŽðŒðŒ ð
ð ðâ²ð¿
ðâ² + ð
ðâð ðâ²ð¿ ðâ² + ð 2 â ðð ð
â²ð¿ ðâ² â ð 2
2 ð
ðŽðŒ = ðŽðŒðŒðâ² + ð 2 â ðð 2 ð
â²ð¿ ðâ² â ð 2
2 ð ðâ² + ð
ðŽðŒðŒðŒ =ðŽðŒðŒ ð
â ð ð ð¿ ð+ð ðâ² ð¿
ðâ² + ð2 ðâ²
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 93
ð =ðŽðŒðŒðŒ
2
ðŽðŒ2
ðŽðŒ =ðŽðŒðŒ ð
ð ðâ²ð¿
ðâ² + ð
ðâð ðâ²ð¿ ðâ² + ð 2 â ðð ð
â²ð¿ ðâ² â ð 2
2 ð
ðŽðŒðŒðŒ =ðŽðŒðŒ ð
â ð ð ð¿ ð+ð ðâ² ð¿
ðâ² + ð2 ðâ²
ð =ðŽðŒðŒðŒ
2
ðŽðŒ2=
16 ðâ²2ð2
ðâ² + ð 4 + ðâ² â ð 4 â 2 ðâ² + ð 2 ðâ² â ð 2 ððð 2 ðâ²ð¿
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 94
ð =ðŽðŒðŒðŒ
2
ðŽðŒ2=
16 ðâ²2ð2
ðâ² + ð 4 + ðâ² â ð 4 â 2 ðâ² + ð 2 ðâ² â ð 2 ððð 2 ðâ²ð¿
=16 ðâ²
2ð2
ðâ² + ð 4 + ðâ² â ð 4 â 2 ðâ² + ð 2 ðâ² â ð 2 1 â 2 ð ðð2 ðâ²ð¿
1
ð=
ðâ² + ð 4 + ðâ² â ð 4 â 2 ðâ² + ð 2 ðâ² â ð 2 +4 ðâ² + ð 2 ðâ² â ð 2ð ðð2 ðâ²ð¿
16 ðâ²2 ð2
=ðâ² + ð 2 â ðâ² â ð 2 2 +4 ðâ² + ð 2 ðâ² â ð 2ð ðð2 ðâ²ð¿
16 ðâ²2 ð2
= 1 +ðâ² + ð 2 ðâ² â ð 2 ð ðð2 ðâ²ð¿
4 ðâ²2 ð2
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 95
ðâ² â¡2 ð ðž â ðð
â2
1
ð= 1 +
ðâ² + ð 2 ðâ² â ð 2 ð ðð2 ðâ²ð¿
4 ðâ²2 ð2
ð â¡2 ð ðž
â2
1
ð= 1 +
ðž â ðð â ðž 2 ð ðð2 ðâ²ð¿
4 ðž â ðð2 ðž2
= 1 +ðð
2 ð ðð2 ðâ²ð¿
4 ðž â ðð ðž
= 1 +ðâ² 2 â ð 2 2 ð ðð2 ðâ²ð¿
4 ðâ²2 ð2
= 1 +ð ðð2 ðâ²ð¿
4ðžððâ 1
ðžðð
Appendix 3
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 96
Matching Boundary Conditions on Barrier Potential
ðž †ðð
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 97
ð â¡ ð ðâ²ðâ² â¡2 ð ðž â ðð
â2ð â¡
2 ð ðð â ðž
â2
ðŽðŒ =ðŽðŒðŒ ð
ð ðâ²ð¿
ðâ² + ð
ðâð ðâ²ð¿ ðâ² + ð 2 â ðð ð
â²ð¿ ðâ² â ð 2
2 ð
ðŽðŒðŒðŒ =ðŽðŒðŒ ð
â ð ð ð¿ ð+ð ðâ² ð¿
ðâ² + ð2 ðâ²
Fall 2018 Prof. Sergio B. Mendes 98
ð =ðŽðŒðŒðŒ
2
ðŽðŒ2