Chapter 5 적분법의 응용

Chapter 5 적분법의 응용

이문배

건국대학교 수학과

Chapter 5 적분법의 응용

Contents

5.1 곡선 사이의 넓이

5.2 부피

5.3 원주각에 의한 부피

5.5 함수의 평균값

Chapter 5 적분법의 응용

5.1 곡선 사이의 넓이

곡선 사이의 넓이

폐구간 [a, b]안의 모든 x에 대하여 f와 g가 연속이고 f(x) ≥ g(x)일 때 곡선y = f(x), y = g(x)와 직선 x = a, x = b로 둘러쌍인 영역의 넓이 A는

A =

∫ b

a

[f(x)− g(x)] dx

이다.

A = limn→∞

n∑i=1

[f(xi∗)− g(xi

∗)]∆x =

∫ b

a

[f (x)− g (x)] dx

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5.1 곡선 사이의 넓이

Example

y = x2 + 1에 의하여 위로 유계이고 y = x에 의하여 아래로 유계이며, x = 0과 x = 1의 양변에 대하여 유계인 영역의 넓이를 구하여라.

풀이.

Theorem곡선 y = f(x), y = g(x)와 직선 x = a, x = b로 둘러쌍인 영역의 넓이는

A =

∫ b

a

|f(x)− g(x)| dx

이다.

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5.1 곡선 사이의 넓이

Example

두 곡선 y = x− 1과 y2 = 2x+ 6으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라.

풀이.

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5.2 부피

부피의 정의

S를 x = a와 x = b 사이에 놓인 입체도형이라 하자. x를 지나고 x축에수직인 평면 Px에 있는 S의 절단면의 넓이가 A(x)라면, S의 부피는

V = limn→∞

n∑i=1

A(xi∗)∆x =

∫ b

a

A(x) dx

이다. 단 여기서 A(x)는 연속함수이다.

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5.2 부피

Example

곡선 y =√x와 직선 x = 1, x = 0으로 둘러싸인 영역을 x축의 둘레로

회전시켰을 때 생기는 회전체의 부피를 구하여라.

풀이.

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5.2 부피

Example

곡선 y = x와 y = x2으로 둘러싸인 영역을 x축의 둘레로 회전시켰을 때생기는 입체의 부피를 구하여라.

풀이.

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5.2 부피

Example

곡선 y = x와 y = x2으로 둘러싸인 영역을 y = 2의 둘레로 회전시켰을 때생기는 입체의 부피를 구하여라.

풀이.

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5.2 부피

Example

곡선 y = x와 y = x2으로 둘러싸인 영역을 x = −1의 둘레로 회전시켰을 때생기는 입체의 부피를 구하여라.

풀이.

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5.3 원주각에 의한 부피

y = f(x) [단, f(x) ≥ 0], y = 0, x = a 및 x = b, [단, b > a ≥ 0] 로 둘러싸인영역을 y축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 입체를 S라 하자.

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5.3 원주각에 의한 부피

구간 [a, b] 를 n개 부분 구간 [xi−1, xi] 으로 분할하고, x̄i를 [xi−1, xi]의중간점, 그리고 ∆x를 부분 구간의 폭이라 하자. 따라서, i번째 회전체(원주각)의 부피는

Vi = (2πx̄i)[f(x̄i)]∆x

따라서, 전체 부피 V는 아래처럼 근사될 수 있다:

V ≈n∑

i=1

Vi =

n∑i=1

2πx̄if(x̄i)∆x

이 근사값은 n → ∞일때 구하고자 하는 값에 더욱 더 근접하게 된다.

limn→∞

n∑i=1

2πx̄if(x̄i)∆x =

∫ b

a

2πx f(x)dx

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5.3 원주각에 의한 부피

Theorem곡선 y = f(x)와 x = a및 x = b 로 둘러싸인 영역을 y축의 둘레로 회전시킬때 생기는 입체의 부피 V는 다음 식과 같다.

V =

∫ b

a

2πxf(x)dx

Remark반지름 x 인 원통형 띠의 원주는 2πx, 높이는 f(x), 두께는 ∆x(or dx)∫ b

a

(2πx)︸ ︷︷ ︸원주

[f(x)]︸ ︷︷ ︸높이

dx︸︷︷︸두께

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5.3 원주각에 의한 부피

Example

함수 y = 2x2 − x3를 y = 0으로 둘러싸인 영역을 y축 둘레로 회전시킬 때생기는 입체의 부피를 계산하시오.

풀이.

Example

y = x와 y = x2로 둘러싸인 영역을 y축을 둘레로 회전시킬 때 생기는 입체의부피를 계산하시오.

풀이.

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5.3 원주각에 의한 부피

Example

y =√x과 x = 0, x = 1으로 둘러싸인 영역을 x축 둘레로 회전시킬 때 생기는

입체의 체적을 계산하시오.

풀이.

Chapter 5 적분법의 응용

5.3 원주각에 의한 부피

Example

y = x− x2와 y = 0로 둘러싸인 영역을 직선 x = 2의 둘레로 회전시킬 때생기는 입체의 부피를 계산하시오.

풀이.

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5.5 함수의 평균값

▶ 유한개의 수 y1, y2, · · · , yn의 평균값을 구하는 것은 쉽다

yave =y1 + y2 + · · ·+ yn

n

▶ 만일 무한히 많은 양의 기온을 하루 동안에 측정하는 것이 가능하다면,하루 동안의 평균기온을 어떻게 계산할 수 있겠는가?

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5.5 함수의 평균값

일반적으로, 함수 y = f(x), a ≤ x ≤ b 의 평균을 계산해 보자. 먼저 구간[a, b]를 n개의 동일한 부분구간으로 분할하면 각 부분 구간의 길이는∆x = (b− a)/n이다. 그리고, 각 부분 구간에서 x∗

1, · · · , x∗n을 선택하면 수

f(x∗1), · · · , f(x∗

n)의 평균값은

f(x1∗) + · · · + f(xn∗)n

와 같이 계산된다. 그런데 ∆x = (b–a)/n이므로 n = (b–a)/∆x이며 평균값은

f(x1∗) + · · ·+ f(xn

∗)b−a∆x

=1

b− a[f(x1

∗)∆x + · · ·+ f(xn∗)∆x]

=1

b− a

n∑i=1

f(xi∗)∆x

가 된다. 만약 n이 증가하면, 좁은 간격으로 분포되어 있는 점에서 많은 함수값들의 평균값이 계산될 것이다.

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5.5 함수의 평균값

정적분의 정의에 의하여 극한값은

limn→∞

1

b− a

n∑i=1

f(xi∗)∆x =

1

b− a

∫ b

a

f(x)dx

이다.그러므로 구간 [a, b]에서 함수 f의 평균값을 다음과 같이 정의한다:

fave =1

b− a

∫ b

a

f(x)dx

Example

구간 [−1, 2]에서 함수 f(x) = 1 + x2의 평균값을 계산하여라.

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5.5 함수의 평균값

Theorem (적분에 대한 평균값 정리)

함수 f가 구간 [a, b] 위에서 연속이면, 구간 [a, b]에서 다음 식을 만족하는적어도 하나의 수 c가 존재한다.∫ b

a

f(x) dx = f (c) (b− a)

즉,

f(c) = fave =1

b− a

∫ b

a

f(x) dx

적분에 대한 평균값 정리의 기하학적 의미

양의 함수 f에 대하여, 가로 b− a, 높이 f(c)가 만드는 사각형의 넓이는 그구간에서 함수 f의 면적과 같다.

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5.5 함수의 평균값

Example

구간 [−1, 2]에서 연속함수 f(x) = 1 + x2에 대하여 평균값 정리를 만족하는

점 c를 찾아보자

풀이.