chapter # 2 kinematics of particles
DESCRIPTION
kinematic and dynamicTRANSCRIPT
- 1 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
DYNAMICSDYNAMICSDYNAMICSDYNAMICS
Mechanical Engineering DepartmentMechanical Engineering DepartmentDiponegoro UniversityDiponegoro University
Dr. Achmad WidodoDr. Achmad Widodo / Ir. Sugiyanto / Ir. Sugiyanto DEADEA
KINEMATICS OF PARTICLESKINEMATICS OF PARTICLES
- 2 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
INTRODUCTION INTRODUCTION
Kinematika merupakan cabang dari dinamika yang menggambarkan gerakan benda tanpa mengacu kepada gaya-gaya, baik yang mengakibatkan gerakan atau yang ditimbulkan sebagai hasil dari gerakan itu
Dalam pembahasan pada bab ini, benda dianggap sebagai partikel
Gerakan partikel dapat dinyatakan dengan menggunakan koordinat yang diukur dari sumbu acuan yang tetap (analisis gerak mutlak) atau dengan menggunakan koordinat yang diukur dari sumbu acuan yang bergerak (analisis gerak relative)
- 3 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
GERAK LURUS (PROBLEM SATU DIMENSI)
Yang dimaksud dengan gerak lurus adalah suatu gerak yang lintasannya membentuk suatu garis lurus
Kedudukan P setiap saat t dapat ditentukan oleh jaraknya s yang diukur dari titik acuan O yang tetap pada garis lurus tadi. Pada waktu t + ∆t partikel telah bergeser ke P’ dan koordinatnya menjadi s + ∆s.
Perpindahan didefinisikan sebagai perubahan dalam koordinat kedudukan dalam selang waktu tertentu.
Kecepatan rata-rata dalam selang waktu ∆t adalah perpindahan dibagi selang waktu tersebut atau t
svav
Kecepatan sesaat adalah kecepatan dimana ∆t mendekati nol dalam limitnya, yaitu t
slimv
0t
atau
s
dtds
v (2.1)
Jadi, kecepatan adalah perubahan koordinat kedudukan s terhadap waktu. Harganya positif atau negative tergantung dari perpindahannya positif atau negative
- 4 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
GERAK LURUS (PROBLEM SATU DIMENSI)
Percepatan adalah perubah kecepatan
Percepatan rata-rata dalam selang waktu ∆t adalah kecepatan dibagi dengan selang waktu atau t
vaav
Percepatan sesaat adalah percepatan dimana ∆t mendekati nol dalam limitnya, yaitu
tv
lima0t
atau
s
dt
sddtdv
a 2
2
(2.2)
Percepatan positif atau negative tergantung dari apakah kecepatan bertambah atau berkurang. Bila kecepatan berkurang partikel mengalami perlambatan
Yang harus selalu diingat bahwa kecepatan dan percepatan adalah vector. Dengan demikian memiliki besar dan arah
Dari persamaan (2.1) dan (2.2) kita dapatkan
ds adv v ds ssd s
atau (2.3)
Persamaan (2.1), (2.2) dan (2.3) adalah persamaan diferensial gerak lurus partikel
- 5 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
GERAK LURUS (PROBLEM SATU DIMENSI)
Hubungan perpindahan s, kecepatan v dan percepatan a
Gambar a menunjukkan hubungan s dan t untuk suatu gerak lurus. Dengan menarik garis singgung pada kurva pada waktu t, diperoleh sudut arah (slope), yang merupakan kecepatan
dt
dsv
Gambar b menunjukkan hubungan v dan t, slope dari kurva v-t pada suatu waktu memberikan percepatan pada waktu itu
dtdv
Luasan di bawah kurva v-t dalam waktu dt adalah v dt, yang menunjukkan perpindahan tempat ds. Dengan demikian perpindahan neto partikel dalam selang waktu dari t1 ke t2
merupakan luasan di bawah kurva yang bersesuaian, yaitu
2
1
2
1
t
t
s
sdt vds
Dengan cara yang sama untuk gambar c kita dapatkan
2
1
2
1
t
t
v
vdt adv
- 6 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
GERAK LURUS (PROBLEM SATU DIMENSI)
Gambar a disamping menunjukkan hubungan a dan s. Luasan di bawah kurva selama perpindahan tempat ds adalah a ds. Jadi luasan neto di bawah kurva antara koordinat tempat s1 dan s2 adalah
2
1
2
1
s
s
v
vds adv v
Gambar b menunjukkan kecepatan sebagai fungsi koordinat tempat s. Sudut arah kurva pada titik A adalah
Selanjutnya dengan menarik garis normal AB dan garis AC sejajar sumbu v dari titik itu, kita dapatkan sebuah segitiga sebangun dengan segitiga yang dibentuk oleh sudut arah. Dari kedua segitiga sebangun ini kita dapatkan hubungan
dsdv
vCB
dvvds CB aCB
dsdv
- 7 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
GERAK LURUS (PROBLEM SATU DIMENSI)
s
dtds
v
sdt
sddtdv
a 2
2
Berdasarkan definisi dan diperoleh :
a. PERCEPATAN KONSTAN
Dari persamaan (2.2) dan (2.3) kita dapatkan
2
1
2
1
t
t
v
vdtadv
2
1
2
1
s
s
v
vdsadvv dan
Untuk kondisi yang lebih familier kita ganti t1 = 0 , t2 = t , v1 = v0 ,
v2 = v , s1 = s0 ,dan s2 = s , sehingga kita peroleh
020
2
0
ssa2vv
atvv
Selanjutnya dari persamaan (2.1) dengan mengganti harga v, kita dapatkan
t
t
t
t
s
s 000
dtatvdtvds 221
o0 attvss
- 8 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
GERAK LURUS (PROBLEM SATU DIMENSI)
b. PERCEPATAN SEBAGAI FUNGSI WAKTU
Dari persamaan (2.2) dan (2.1) kita dapatkan
2
1
2
1
t
t
v
vdttfdv
t
00 dttfvv
2
1
2
1
t
t
s
sdtvds
t
00 dtvss
c. PERCEPATAN NOL
Dari persamaan (2.2) kita dapatkan bahwa kecepatan adalah konstan, selanjutnya dari persamaan (2.1) kita peroleh
tvss 00
- 9 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
GERAK LURUS (PROBLEM SATU DIMENSI)
d. Percepatan sebagai fungsi kecepatan a = f(v)
Dari persamaan (2.2) kita dapatkan dt
dva vf
dvadv
dt v
v
t
0 0 vfdv
dtt
dsvfdvv s
s
v
v 00
dsvf
dvv
v
v0
0 vfdvv
ss
e. Percepatan sebagai fungsi perpindahan a = f(s)
dssfdvv s
s
v
v 00
dssfdvv s
s
20
2
0
dssf2vv
Dengan kata lain kita dapatkan sgv , selanjutnya kita dapatkan
dtds
v
t
0
s
sdt
sgds
o s
so sgds
t
Dari persamaan (2.3) kita dapatkan
Dari persamaan (2.3) kita dapatkan
- 10 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL GERAK LURUS
Soal no 1 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)
Gerak partikel sepanjang garis lurus ditentukan oleh persamaan 32 t152t23s
dimana s adalah koordinat tempat dalam meter, dan t waktu dalam sekon.
Gambarkan kecepatan v partikel terhadap waktu t, untuk gerakan 10 sekon pertama dan hitung percepatan a untuk t = 0 , 5 dan 10 sekon
Penyelesaian
32 t152t23s
a. Diketahui (data yang diketahui)
Perpindahan partikel dinyatakan dengan persamaan
b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan) 1). Grafik Kecepatan terhadap waktu selama 10 detik pertama 2). Percepatan partikel pada t = 0, 5 dan 10 sekon
c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan) Tidak diperlukan karena sudah merupakan problem matematik
d. Perhitungan-perhitungan
32 t152t23s 2
524 tt
dt
dsv t
dt
dva 5
44
- 11 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL GERAK LURUS
t v a t v a t v a
0.00 0.00 4.00
0.25 0.98 3.80 2.75 7.98 1.80 5.25 9.98 -0.20
0.50 1.90 3.60 3.00 8.40 1.60 5.50 9.90 -0.40
0.75 2.78 3.40 3.25 8.78 1.40 5.75 9.78 -0.60
1.00 3.60 3.20 3.50 9.10 1.20 6.00 9.60 -0.80
1.25 4.38 3.00 3.75 9.38 1.00 6.25 9.38 -1.00
1.50 5.10 2.80 4.00 9.60 0.80 6.50 9.10 -1.20
1.75 5.78 2.60 4.25 9.78 0.60 6.75 8.78 -1.40
2.00 6.40 2.40 4.50 9.90 0.40 7.00 8.40 -1.60
2.25 6.98 2.20 4.75 9.98 0.20 7.25 7.98 -1.80
2.50 7.50 2.00 5.00 10.00 0.00 7.50 7.50 -2.00
Hubungan v , t dan a adalah
- 12 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL GERAK LURUS
t v a t v a
7.75 6.98 -2.20 9.00 3.60 -3.20
8.00 6.40 -2.40 9.25 2.78 -3.40
8.25 5.78 -2.60 9.50 1.90 -3.60
8.50 5.10 -2.80 9.75 0.97 -3.80
8.75 4.38 -3.00 10.00 0.00 -4.00
e. Jawaban 1). Grafik kecepatan versus waktu : dapat dibuat berdasarkan hasil perhitungan di atas
2). Percepatan pada t = 0 sekon adalah 4 m/s2 Percepatan pada t = 5 sekon adalah 0 m/s2 Percepatan pada t = 10 sekon adalah - 4 m/s2
- 13 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL GERAK LURUS
Soal no 2 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)
Kedudukan suatu partikel ditentukan oleh 5t18t2t4s 23 dengan s dalam meter, dan t dalam sekon. Tentukan waktu t dan percepatan a , bila v = 0. Hanya untuk harga t yang positif saja
Penyelesaian a. Diketahui (data yang diketahui) 5t18t2t4s 23
b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan) Tentukan waktu t dan percepatan a, bila v = 0 (untuk harga t yang positif saja)
c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan) Tidak diperlukan karena sudah merupakan problem matematik
d. Perhitungan-perhitungan
5t18t3t4s 23 18t6t12v 2 6t24a
Untuk v = 0 kita dapatan 018t4t12 2
24306
2418124366
t 2,1
- 14 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL GERAK LURUS
didapat t1 = 1 detik dan t2 = - 1,5 detik 3061246t24a m/s2
e. Jawaban
Percepatan a = 30 m/s2
- 15 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL GERAK LURUS
Pada tahap akhir pendaratan di bulan “lunar module” turun dengan “retro-thrust” dari mesin pendaratannya sampai sejarak h = 6 m dari permukaan bulan dan mempunyai kecepatan ke bawah 3 m/s. Bila mesin pendarat tiba-tiba dimatikan pada kedudukan tersebut, hitung kecepatan tumbukan pada roda pendarat dengan bulan. Gravitasi bulan adalah 1/6 gravitasi bumi.
Soal no 3 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)
Penyelesaian
a. Diketahui (data yang diketahui)
b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan)
c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan) Tidak diperlukan karena sudah merupakan problem matematik
Pada h = 6 m, v = 3 m/s Gravitasi = gravitasi bumi61
Kecepatan tumbukan pada roda pendarat dengan bulan
- 16 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL GERAK LURUS
d. Perhitungan-perhitungan
Gravitasi = gravitasi bumi61
Bilamana kita ambil percepatan gravitasi di bumi g = 9,81 m/s2 , kita
dapatkan m/s2635,181,9g 61
bulan Dengan menggunakan persamaan h635,1vv 2
1222
1 Kita dapatkan
e. Jawaban
62,2836635,12vh635,12v 221
22
v = 5,35 m/s
Kecepatan tumbukan pada roda pendarat dengan bulan adalah 5,35 m/s
Mohon contoh-contoh soal dibuku Mariam di baca
Mohon soal-soal dibuku Mariam di kerjakan jangan di baca
- 17 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
PESAN-PESAN
DINAMIKA
POKOK BAHASAN
hanya didasarkan pada beberapa konsep dan prinsip dasar dengan mengembangkan pada beberapa variasi keadaan.
Sangat diperlukan pengalaman dalam memecahkan persoalan dinamika dari keadaan yang sederhana meningkat ke variasi
keadaan yang semakin bertambah
Dengan demikian tidak cukup kita hanya membaca pemecahan persoalan yang telah dilakukan
- 18 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
PLANE CURVILINEAR MOTION (2 DIMENSI)
Dalam menjelaskan gerakan pada bidang kurvilinier ini kita gunakan matematika vector. Hal ini bertujuan untuk lebih mudah memahami tentang suatu perubahan posisi yang menyangkut masalah besar dan arah. Untuk hal ini diperlukan vector tempat yaitu suatu vector yang menunjukkan posisi partikel setiap saat
Gambar disamping menunjukkan sebuah partikel bergerak sepanjang kurva bidang. Pada waktu t , partikel berada di A, yang kedudukannya ditentukan oleh vector tempat r diukur dari O (titik asal yang tetap dari suatu koordinat). Pada saat t + ∆t partikel berada di A’ , kedudukannya diten-tukan oleh vector tempat r + ∆r. Jika kita perhatikan, vector r + ∆r merupakan penjumlahan dari vector r dan vector ∆r
Perpindahan partikel dalam waktu ∆t adalah vector ∆r yang merupakan perubah-an vector tempat. Sedangkan jarak sebenarnya yang ditempuh partikel ketika berpindah dari A ke A’ adalah panjang scalar ∆s yang diukur sepanjang lintasan
- 19 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
PLANE CURVILINEAR MOTION (2 DIMENSI)
vector dengan arah searah ∆r dan besarnya adalah besaran ∆r dibagi ∆t t
rvav
Vektor kecepatan rata-rata didefinisikan sebagai yang merupakan
Vektor kecepatan sesaat didefinisikan sebagai harga limit dari kecepatan rata-rata ketika selang waktu mendekati nol, jadi tt
rv
0lim
Jika kita perhatikan, arah dari ∆r mendekati garis singgung lintasan ketika ∆t mendekati nol. Dengan demikian kece- patan v selalu merupakan vector yang menyinggung lin- tasan tersebut. Sesuai dengan definisi derivative, kita da- patkan vector kecepatan (velocity) adalah
r
rv
dt
d(2.4)
Besar vector kecepatan (speed) didefinisikan
sdt
ds
dt
dv r
r v
Vektor kecepatan partikel di A adalah v dan vector kecepatan partikel di A’ adalah v’, terdapat perubahan vector kecepatan. Vektor kecepatan di A ditambah vector perubahannya harus sama dengan vector kecepatan di A’, sehingga dapat kita tuliskan persamaan vector kecepatannya adalah :
vvv'
- 20 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
PLANE CURVILINEAR MOTION (2 DIMENSI)
Vektor percepatan rata-rata dari titik A ke A’ didefinisikan t
vaav
Vektor percepatan rata-rata ini memiliki arah sama dengan arah ∆v, sedangkan besarnya adalah besar ∆v dibagi dengan ∆t
Vektor percepatan sesaat didefinisikan sebagai harga limit dari percepatan rata-rata ketika selang waktu mendekati nol, jadi
v
vva
dt
d
tlimt
0
(2.5)
Perlu dipahami bahwa percepatan mengakibatkan perubahan arah dan besar kecepatan. Pada umumnya arak vector percepatan tidak menyinggung lintasan maupun tegaklurus (normal) terhadap lintasan
- 21 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Rectangular Coordinates (x-y)Rectangular Coordinates (x-y)
Sistem koordinat tegak lurus ini sangat berguna untuk menggambarkan gerakan kurvilinier menjadi dua buah gerakan lurus ke arah sumbu x dan y
Gambar disamping menunjukkan vector tempat r, kece-patan v dan percepatan a diuraikan ke arah sumbu x dan y. Berdasarkan matematika vector kita dapatkan
jirva
jirv
jir
yx
yx
yx
i dan j adalah vector satuan kearah sumbu x dan y. Karena arahnya selalu konstan maka tidak terpengaruh oleh waktu, dengan demikian tidak memiliki derivative terhadap waktu
(2.6)
x dan y adalah perpindahan kearah sumbu x dan y, merupakan fungsi waktu, sehingga memiliki derivative terhadap waktu
- 22 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Komponen v dan a adalah
yv
xv
y
x
x
y
yx
v
v
vvv
tan
222
yva
xva
yy
xx 222yx aaa
Studi kasus : Gerakan sebuah proyektil
gaa yx 0
gt)v(v
)v(v
yy
xx
0
0
t)v(xx x 00
)yy(g)v(v yy 020
22
200 2
1gtt)v(yy y
Rectangular Coordinates (x-y)Rectangular Coordinates (x-y)
- 23 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL CONTOH SOAL Rectangular Coordinates (x-y)Rectangular Coordinates (x-y)
Soal no 1 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)
Suatu partikel yang bergerak dengan gerak kurvilinear memiliki koordinat (dalam mili-
meter) yang berubah terhadap waktu t (dalam sekon) menurut persamaan t4t3x 2 dan 3
312 tt4y
yang dibentuk vektor dengan sumbu x bila t = 2 s
Tentukan besarnya kecepatan v dan percepatan a dan sudut
Penyelesaian a. Diketahui (data yang diketahui)
b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan)
c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan)
d. Perhitungan-perhitungan
Partikel yang bergerak menurut persamaan t4t3x 2 dan 3
312 tt4y
(x dan y dalam milimeter, t dalam sekon)
Besarnya kecepatan v dan percepatan a dan sudut yang dibentuk vektor dengan sumbu x bila t = 2 s ?
Tidak memerlukan gambar
t4t3x 2 4t6vx 6ax
- 24 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL CONTOH SOAL Rectangular Coordinates (x-y)Rectangular Coordinates (x-y)
3312 tt4y 2
y tt8v t28ay
Untuk t = 2 s kita dapatkan
mm/s
mm/s
12v
8v
y
x
01
x
y1x
22
31,568
12tan
v
vtan
42,14128v
mm/s
2
2
mm/s
mm/s
4a
6a
y
x
01
x
y1x
22
69,3364
tana
atan
21,746a
2mm/s
e. Jawaban
mm/s 42,14v 0x 31,56dengan
2mm/s 21,7a dengan 0x 69,33
- 25 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL CONTOH SOAL Rectangular Coordinates (x-y)Rectangular Coordinates (x-y)
j i r122
3
3
24
23 ttt
dan percepatan a bila t = 3 s. Apa yang dijelaskan oleh hasil ini tentang lengkung lintasan pada saat itu?
a. Diketahui (data yang diketahui)
b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan)
c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan)
d. Perhitungan-perhitungan
Vektor tempat dinyatakan dengan j i r122
3
3
24
23 ttt
Kecepatan v dan percepatan a bila t = 3 s
Tidak memerlukan gambar
j i r
v3
323
2 ttt
dt
d
j i r
122
3
3
24
23 ttt
j i
va
234 tt
dt
d
Vektor tempat dari suatu titik yang bergerak dalam bidang x-y dinyatakan dengan
dengan r dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan kecepatan v
Penyelesaian
Soal no 2 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)
Untuk t = 3 s kita dapatkan
m/s ji j i j i v
999
3
33332
32 2
m/s ji j i j i a 99933342
- 26 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL CONTOH SOAL Rectangular Coordinates (x-y)Rectangular Coordinates (x-y)
Soal no 3 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)
2
4120 tx
3
6115 ty
di mana x dan y dalam milimeter dan t dalam sekon. Hitunglah besarnya kecepatan v dan percepatan a pen untuk t = 2 s. Gambarkan arah lintasan dan tunjukkan kelengkungannya pada saat itu
Gerak x dan y dari batang pandu A dan B dengan celah siku-siku mengendalikan gerak kurvilinear dari pen penghubung P yang meluncur pada kedua celah. Untuk selang waktu yang pendek,
dan gerakan ditentukan oleh
Penyelesaian
a. Diketahui (data yang diketahui)
b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan)
2
4120 tx dan
3
6115 ty
Besarnya kecepatan v dan percepatan a pen untuk t = 2 s
c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan)
Tidak memerlukan gambar
- 27 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL CONTOH SOAL Rectangular Coordinates (x-y)Rectangular Coordinates (x-y)
d. Perhitungan-perhitungan 2
4120 tx tvx 2
1 6xa
3
6115 ty
2
21 tvy tay
Untuk t = 2 s kita dapatkan
m/s
m/s
2
1
y
x
v
vm/s 24221
22,v
2
2
m/s
m/s
2
21
y
x
a
a 2m/s 062250
22,,a
e. Jawaban
Kecepatan = 2,24 m/sPercepatan = 2,06 m/s2
- 28 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL CONTOH SOAL Rectangular Coordinates (x-y)Rectangular Coordinates (x-y)
Soal no 4 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)
Bila sekrup pengatur pada soal (3) berputar secara periodik dan menerus-kan gerak ke 22430 tsinx
dan 2tcos3240y di mana x dan y dalam milimeter dan t dalam sekon, Tentukanlah besarnya kecepatan v dan percepatan a dari pen P untuk t = 2,5 s. Gambarkan arah lintasan dan tunjukkan kelengkungannya pada saat itu
masing-masing batang pandu bercelah dengan persamaan
Penyelesaian a. Diketahui (data yang diketahui)
2tsin2430x dan 2tcos3240y
b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan)
c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan) Tidak memerlukan gambar
Besarnya kecepatan v dan percepatan a dari pen P untuk t = 2,5 s
- 29 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL CONTOH SOAL Rectangular Coordinates (x-y)Rectangular Coordinates (x-y)
d. Perhitungan-perhitungan
22430 tsinx
26
2122
tsina
tcosv
x
x
23240 tcosy
28
216
2tcosa
tsinv
y
y
Untuk t = 2 s kita dapatkan
mm/s
mm/s
535
726
,v
,v
y
x
mm/s 4244,v
2
2
mm/s
mm/s
955
841
,a
,a
y
x
2mm/s 869,a
Kecepatan v = 44,42 mm/sPercepatan a = 69,8 mm/s2
e. Jawaban
- 30 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Normal and Tangential CoordinatesNormal and Tangential Coordinates (n-t)
Bila kita tinjau sebuah kurva lengkung seperti yang ditunjukkan pada gambar , di setiap titik dari kurva dapat dibuat sebuah garis yang menghubungkan titik dimaksud dengan pusat kelengkungan kurva (disebut garis normal) dan sebuah garis singgung (disebut garis tangensial) pada titik tersebut. Kedua garis ini saling tegak lurus dan dipergunakan sebagai system koordinat yang sangat alamiah guna memberikan gambaran gerakan kurvilinier. Pada system koordinat normal-tangensial ditetapkan bahwa arah positif n adalah menuju pusat kelengkungan lintasan, sedangkan arah positif t adalah kearah gerakan partikel
- 31 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Perhatikan gambar disamping memperlihatkan sebuah partikel bergerak pada lintasan lengkung yang posisi partikel setiap saatnya ditentukan dengan koordinat normal-tangensial. Vektor satuan kearah sumbu n adalah en dan vector satuan kearah sumbu tangensial adalah et . Perlu dipahami bahwa vector satuan ini setiap saat berubah arah sesuai dengan kondisi lintasan. Sekarang kita tinjau partikel yang bergerak dari titik A ke A’ dalam waktu dt, kita dapatkan
dds Dimana ρ adalah jejari kelengkungan lintasan pada kondisi
ini (kita tidak meninjau perubahan diferensial ρ antar titik A dan A’ karena akan muncul suku order tinggi yang akan lenyap bila diambil limitnya).
dβ adalah perubahan sudut yang terjadi dalam radian
Normal and Tangential CoordinatesNormal and Tangential Coordinates (n-t)
- 32 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Jadi besarnya kecepatan adalah
dt
d
dt
d
dt
dsv
Vektor kecepatan adalah tt e e v
v (2.7)
Vektor percepatan adalah
ttt e e
e va
vv
dt
vd
dt
d(2.8)
Dari persamaan (2.8) terlihat bahwa vector satuan et memiliki derivative karena arahnya berubah.
teUntuk mendapatkan perhatikan gambar 2.10a yang
menunjukkan perubahan et selama penambahan diferensial gerak ketika partikel berpindah dari A ke A’. Sehubungan dengan hal ini vector et berubah menjadi et’ , dan selisih vector det ditunjukkan pada gambar 2.10b
Normal and Tangential CoordinatesNormal and Tangential Coordinates (n-t)
- 33 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Substitusikan persamaan (2.9) ke persamaan (2.8) dan juga memperhatikan
v , kita dapatkan
tntn e e e ea tn aav 2
(2.10)
Dimana
vv
an
22 svat
22tn aaa
Vector det dalam limit besarnya sama dengan panjang busur yang diperoleh dengan memutar vector satuan et sebesar sudut dβ dinyatakan dalam radian. Arah det sama dengan en. Jadi, kita dapatkan det = en dβ . Selanjutnya kita bagi dengan dt, kita dapatkan
nt e
e
dt
d
dt
d atau
nt e e
(2.9)
Normal and Tangential CoordinatesNormal and Tangential Coordinates (n-t)
- 34 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Fig. 2/11 shows schematic representations of the variation in the acceleration vector for particle moving from A to B with (a) increasing and (b) decreasing speed
In inflection point, normal acceleration = 0 due to = ~
Circular motion is a case of plane curvilinear motion, where is constant
We can replace to as presented in Fig. 2/12 that the angle of is measured from any convenient radial reference to OP, so that
ra
vrr
va
rv
vt
n
2
Normal and Tangential CoordinatesNormal and Tangential Coordinates (n-t)
- 35 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL CONTOH SOAL KOORDINAT NORMAL DAN TANGENSIAL (n-t)
Sebuah partikel bergerak pada lintasan lingkaran (circular path) dengan jejari 0,3 m. Hitunglah besarnya a dari percepatan partikel itu (a) bila kecepatannya adalah konstan 0,6 m/s dan (b) bila kepesatannya 0,6 m/s tetapi dengan laju pertambahan sebesar 0,9 m/s setiap detik (sekon).
Soal no 1 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)
Penyelesaian
a. Diketahui (data yang diketahui)
Lintasan lingkaran dengan jejari r = 0,3 m.
b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan)
c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan)
d. Perhitungan-perhitungan
Tidak memerlukan gambar
(1). Percepatan partikel bila v = 0,6 m/s konstan.(2). Percepatan partikel bila v = 0,6 m/s dengan laju pertambahan sebesar 0,9 m/s2
(1). Pada lintasan lingkaran bila kecepatan partikel konstan, maka berlaku :
rv
aa2
n m/s 2,13,0
6,0a
2
- 36 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL CONTOH SOAL KOORDINAT NORMAL DAN TANGENSIAL (n-t)
e. Jawaban
(2). Karena kecepatan tidak konstan, maka laju pertambahan sebesar 0,9 m/s2 adalah percepatan ke arah tangensial ( at ). Dengan demikian kita dapatkan :
2m/s 519021
2222,,,aaa tn
(1). Percepatan partikel bila v = 0,6 m/s konstan adalah 1,2 m/s2.
(2). Percepatan partikel bila v = 0,6 m/s dengan laju pertambahan sebesar 0,9 m/s2 adalah 1,5 m/s2
- 37 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL CONTOH SOAL KOORDINAT NORMAL DAN TANGENSIAL (n-t)
Soal no 2 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)
Sebuah partikel P bergerak pada seluruh lintasan lingkaran dengan jejari 2 m. Pada saat diamati, kecepatan partikel bertambah dengan laju 6 m/s2, dan besarnya percepatan total adalah 10 m/s2. Tentukan kecepatan v dari partikel tersebut pada saat itu
Penyelesaian a. Diketahui (data yang diketahui) m 2r 2m/s 6at
2m/s 10a
b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan)
c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan)
d. Perhitungan-perhitungan
Tidak memerlukan gambar
Kecepatan v dari partikel tersebut pada saat itu
222nt aaa 64610
222na
2m/s 8na
e. Jawaban
r
van
2
m/s 428 rav n
Kecepatan v = 4 m/s
- 38 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL CONTOH SOAL KOORDINAT NORMAL DAN TANGENSIAL (n-t)
Soal no 3 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)
Sebuah mobil balap berjalan dengan kecepatan tetap melewati belokan horisontal dengan jejari kelengkungan 300 m. Berapakah kecepatan maksimum v mobil tersebut, bila
percepatan normalnya tidak dapat melebihi 0,8g tanpa menyebabkan mobil itu selip?
a. Diketahui (data yang diketahui)
b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan)
c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan)
d. Perhitungan-perhitungan
Tidak memerlukan gambar
Sebuah mobil balap berjalan dengan kecepatan tetap melewati belokan horisontal2m/s 848,781,98,0g8,0an
Kecepatan maksimum v mobil
r
van
2
m/s 52483008487 ,,rav n
e. Jawaban
Kecepatan maksimum v mobil = 48,52 m/s
Penyelesaian
dengan jejari kelengkungan 300 m.
- 39 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Polar Coordinates (r-Polar Coordinates (r-))
Bilamana letak partikel ditentukan oleh jarak r dari suatu kutub yang tetap dan oleh pengukutan sudut θ terhadap garis radial, maka system ini dikatakan menggunakan koordinat kutub.
Gambar disamping menunjukkan koordinat kutub r dan θ yang menentukan letak sebuah partikel yang bergerak pada lintasan lengkung. Sebagai sumbu acuan untuk pengukuran kita gunakan sumbu x. Pada koordinat ini, vector satuan er dan eθ masing-masing ditetapkan pada arah r dan θ positip. Vektor tempat r bagi partikel di A mempunyai besar sama dengan jarak r dan arahnya ditentukan oleh vektor satuan er. Jadi vector tempat dapat dinyatakan
r = r er
Vektor kecepatan kita dapatkan dengan mendefe- rensialkan vector tempat, kita dapatkan
rr
r e e e r
v rrdt
rd
dt
d
- 40 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Polar Coordinates (r-Polar Coordinates (r-))
Dengan cara yang sama dengan kita mendapatkan
te pada system koordinat
normal-tangensial kita cari
te dan
eDari gambar diatas, selama waktu dt arah koordinat berputar dengan sudut dθ. Hal ini mengakibatkan terjadinya perubahan vector der pada arah θ positip, dan vector deθ pada arah r negatip. Sedangkan besarnya perubahan vector ini dalam limitnya sama dengan vector satuan sebagai jari-jari kali sudut dalam radian, dapat kita tuliskan deder dan dede r
Perlu diingat bahwa panjang vector satuan adalah satu satuan panjang. Selanjutnya kita dapatkan :
e
er dd
ree
dd
dan
e eer
dtd
dan rr e ee
dt
d (2.12)
Substitusikan persamaan (2.12) kedalam persamaan vector kecepatan diperoleh :
e e v
ee ee rv
r
rrr
vv
rrrr
r
(2.13)
Dimana :
rvr
rv 22
r vvv
- 41 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Polar Coordinates (r-Polar Coordinates (r-))
Komponen r dari v merupakan laju pertambahan vector r, sedangkan komponen θ dari v disebabkan oleh rotasi r
Vektor percepatan a kita dapatkan sebagai berikut :
ee e ee va rr rrrrr
e e a
e e a
r
r
aa
r2rrr
r
2
(2.14)
Dimana : 2
r rra
r2ra 22r aaa
Secara alternative dapat kita tuliskan
21r
dt
d
ra
e e v ee ee rv rrrr vvrrrr r
(2.13)
- 42 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Polar Coordinates (r-Polar Coordinates (r-))
Untuk lebih memahami persamaan (2.14) perhatikan gambar (a) disamping yang menunjukkan vector kecepatan dan komponen r dan θ pada kedudukan A dan A’ setelah perpindahan tempat yang sangat kecil. Komponen-komponen ini masing-masing mengalami perubahan harga dan arah (gambar b), yaitu :
a. Perubahan harga vr rddvr
hal ini menimbulkan percepatan sebesar
rdt
rd pada arah r yang positif.
Berupa perubahan panjang vr atau
b. Perubahan arah vr
drdvr
pengaruhnya terhadap percepatan adalah
r
dtd
r pada arah θ positip.
Ditunjukkan sebagai
- 43 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Polar Coordinates (r-Polar Coordinates (r-))
c. Perubahan harga vθ
v atau
rd
dan pengaruhnya pada percepatan adalah
rrdt
rdpada arah θ positip.
d. Perubahan arah vθ
drdv
dan menyumbang pada percepatan sebesar 2
rdtd
r
dalam arah r negatip.
Berupa perubahan panjang sebesar
Besarnya perubahan ini adalah
- 44 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Polar Coordinates (r-Polar Coordinates (r-))
Sekarang kita perhatikan masing-masing suku yang ada pada persamaan percepatan, yaitu :
ra). Suku adalah percepatan yang akan dimiliki
partikel sepanjang jejari. 2
rb). Suku merupakan komponen normal
percepatan bila r konstan seperti pada gerak lingkaran.
rc). Suku adalah percepatan tangensial yang akan dimiliki partikel apabila r konstan, tetapi hanyalah sebagian dari percepatan karena vθ berubah besarnya apabila r peubah.
r2
rd
d). Suku terdiri dari 2 bagian, bagian pertama adalah perubahan besarnya
dari vθ akibat berubahnya r, dan bagian kedua adalah perubahan
arah vr.
- 45 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Polar Coordinates (r-Polar Coordinates (r-))
Untuk gerak dalam lintasan lingkaran dengan r konstan, kita dapatkan
0rv
rv2
rar
ra
Perlu diingat bahwa arah r yang positif berada pada arah n negative, dengan demikian nr aa
Komponen percepatan ar dan aθ dalam bentuk scalar dapat juga diperoleh
dengan diferensiasi langsung dari hubungan koordinat x = r cos θ dan
y = r sin θ.
- 46 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL CONTOH SOAL KOORDINAT KUTUB (r-r-)
Kedudukan blok geser P dalam lengan beralur OA dikendalikan oleh sekrup penggerak seperti terlihat pada gambar. Pada saat yang ditunjukkan
Soal no 1 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)
8 rad/s dan 20
rad/s2. Juga pada saat yang
sama r = 200 mm, 300r
0r
mm/s , dan
Tentukan harga komponen r dan θ dari percepatan P untuk saat itu
Penyelesaian
a. Diketahui (data yang diketahui)
8 rad/s 20
rad/s2, r = 200 mm, 300r
mm/s dan 0r
b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan) Tentukan harga komponen r dan θ dari percepatan P
c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan) Tidak memerlukan gambar
- 47 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL CONTOH SOAL KOORDINAT KUTUB (r-r-)
d. Perhitungan-perhitungan
2m/s 8,1282,00rra 22
r
2m/s 8,883,02202,0r2ra
e. Jawaban 22 m/s dan m/s 8,8a8,12ar
- 48 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL CONTOH SOAL KOORDINAT KUTUB (r-r-)
2t52r 2 dan 4t35,0 2 di mana r dalam mm, θ dalam radian, dan t dalam sekon. Tentukanlah besarnya kecepatan v dan komponen r dan θ dari percepatan a partikel bila t = 2 s.
Soal no 2 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)
Koordinat kutub dari suatu partikel ditentukan oleh
Penyelesaian
a. Diketahui (data yang diketahui)
b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan)
c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan) Tidak memerlukan gambar
2t52r 2 dan 4t35,0 2
Besarnya kecepatan v dan komponen r dan θ dari percepatan a partikel bila t = 2 s
d. Perhitungan-perhitungan 2t52r 2 t5r
5r
4t35,0 2 2t3 23
Bila t = 2 s, maka :
mm/s
mm/s
36rv
10rvr
mm/s 36,373610v 22
- 49 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL CONTOH SOAL KOORDINAT KUTUB (r-r-)
e. Jawaban
2mm/s 10331025rra 22
r
2mm/s 78310223102r2ra
Besarnya kecepatan v =37,36 mm/s. 2mm/s 103ar 2mm/s 78a Komponen percepatan adalah dan
- 50 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL CONTOH SOAL KOORDINAT KUTUB (r-r-)
kt0 err dan tC
Tentukanlah persamaan yang menyatakan besarnya kecepatan v dan percepatan a pen, dalam besaran waktu t.
dengan r0 , k dan C adalah konstanta dan θ dalam radian.
Soal no 3 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)
Sebuah pen yang terkendala oleh dua bagian mesin yang bersambung dengannya mempunyai gerak kurvilinear bidang yang ditentukan oleh koordinat kutub
a. Diketahui (data yang diketahui)
b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan)
c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan) Tidak memerlukan gambar
kt0 err dan tC
adalah konstanta dan θ dalam radian
Persamaan yang menyatakan besarnya kecepatan v dan percepatan a pen, dalam besaran waktu t.
dengan r0 , k dan C
Penyelesaian
d. Perhitungan-perhitungan kt0 err kt
0 ekrr
kt20 ekrr
tC C 0
- 51 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL CONTOH SOAL KOORDINAT KUTUB (r-r-)
e. Jawaban
kt0
kt0r
erCrv
ekrrv
22kt
0
kt0
2kt0
Ckerv
eCrkerv
kt22
0
2kt0
2kt0
2kt20
kt0
kt0
2kt20
2
r
eCkra
keCr2erCekra
keCr2r2ra
erCekrrra
Besarnya kecepatan 22kt
0 Ckerv
Besarnya percepatan kt220 eCkra
- 52 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Space Curvilinear MotionSpace Curvilinear Motion
Bilamana partikel bergerak sepanjang kurva ruang , maka kita memerlukan adanya suatu system koordinat dengan tiga sumbu. System koordinat yang seperti ini adalah system koordinat tegak lurus (x-y-z) , koordinat silindris (r-θ-z) dan koordinat bola (R-θ-φ).
Perlu diperhatikan bahwa vector tempat dalam kasus ini kita gunakan notasi R.
Koordinat tegak lurus (x-y-z)
k j i R v a
k j i R v
k j i R
zyx
zyx
zyx
(2.15)
- 53 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Space Curvilinear MotionSpace Curvilinear Motion
Koordinat silindris (r-θ-z)
Vektor tempat R bagi partikel dengan koordinat silindris adalah :
R = r er + z k
Vektor kecepatan adalah
kk ee Rv rr zzrr
Dimana : e eer
dtd 0
k
Jadi : k e e Rv
k e e Rv
r
r
zr vvv
zrr
(2.16)
Dimana :
rvr
rv
zvz
2z
22r vvvv
- 54 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Space Curvilinear MotionSpace Curvilinear Motion
Vektor percepatan adalah : k e e e e e va rr
zrrrrr
Dengan substitusikan e eer
dtd
dan rr e ee
dt
d
kita dapatkan : k e e e e e va r
2
r
zrrrrr
Jadi : k e e a
k e e a
r
r
2
zr aaa
zr2rrr
(2.17)
Dimana : 2
r rra
2rdtd
r1
r2ra
zaz 2
z22
r aaaa
- 55 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Space Curvilinear MotionSpace Curvilinear Motion
Koordinat bola (R-θ-φ)Pada koordinat bola ini, kita gunakan vector satuan eR , eθ dan eφ. Berdasarkan vector satuan tersebut dapat kita tuliskan vector kecepatan dan vector percepatan adalah :
e e e v R vvvR
e e e a R aaaR
(2.18)
(2.19)
Dimana :
Rvr cosRv
Rv
222
r cosRRRa
22 cosR2Rdtd
Rcos
a
cossinRRdtd
R1
a2
2
- 56 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL Space Curvilinear MotionSpace Curvilinear Motion
yang bertambah secara teratur terhadap waktu t,
Tentukan persamaan kecepatan v dan percepatan a bagi pusat bola A, bila sekrup itu telah berputar satu putaran penuh dari keadaan diam. Jarak maju sekrup
(jarak maju setiap putaran sekrup) adalah L.
Sekrup daya mula-mula diam dan diberi laju putaran
tk
Soal no 1 (contoh soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)
sesuai persamaan dengan k adalah konstanta.
Penyelesaian
a. Diketahui (data yang diketahui)
tk Jarak maju = L. 2
b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan) Persamaan kecepatan v dan percepatan a bagi pusat bola A, bila sekrup itu telah berputar satu putaran penuh dari keadaan diam.
c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan)
- 57 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL Space Curvilinear MotionSpace Curvilinear Motion
c. Diagram Benda Bebas
d. Perhitungan-perhitungan
(gambar-gambar yg diperlukan)
Dari gambar terlihat bahwa lintasannya berbentuk heliks pada permukaan silindris, dengan demikian kita gunakan koordinat silindris.
tkdt
d
2
2
2
12
2
1
tk
tkdttk
kt
2
Sehingga laju sudut pada satu putaran adalah : kk
k 22
Pada suatu lintasan berbentuk heliks, sudut heliks diperoleh berdasarkan persamaan
b
L
2tan
222
222
4
2cos
4
sin
2
sinsin
bL
bbLbL
- 58 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL Space Curvilinear MotionSpace Curvilinear Motion
Dari gambar diperoleh hubungan cos vv
Dari koordinat silindris kita dapatkan
rv
Sehingga kita dapatkan :
222
222
42
42
cosbL
k
b
bLkb
rv
Komponen percepatan diperoleh berdasarkan persamaan (2.17)
kbkbrrar 4202
2
bkkkbrra
2022
22tan
tantan
kLk
b
Lbba
bd
dv
dt
dv
dt
dvza
z
zzz
222
22
4161
24
b
Lbka
Lkkbkba
- 59 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL Space Curvilinear MotionSpace Curvilinear Motion
Tinjaulah sekrup daya pada contoh (1) dengan jarak maju L = 30 mm. Bila b = 150 mm dan sekrup berputar dengan laju konstan 4 putaran/sekon, hitung besarnya kecepatan dan percepatan pusat bola A.
Soal no 1 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)
a. Diketahui (data yang diketahui)
b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan)
c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan)
d. Perhitungan-perhitungan
Tidak memerlukan gambar
Sekrup daya pada contoh (1) dengan jarak maju L = 30 mm. Bila b = 150 mm dan sekrup berputar dengan laju konstan 4 putaran/sekon
Besarnya kecepatan dan percepatan pusat bola A.
771,342150,0
rv
011 83,1032,01502
30tantan
rad
773,383,1cos
771,3
cos 0
v
v
m/s
m/s 8,9442150.00 22
rrar m/s2
Penyelesaian
- 60 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH SOAL Space Curvilinear MotionSpace Curvilinear Motion
042020150,02
rra
0083,1tan150,0tan 0
baz
- 61 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Relative Motion (Translating Axis)Relative Motion (Translating Axis)
Pada pembahasan sebelumnya kita gunakan sumbu acuan yang tetap, hasilnya disebut besaran absulut. Sebetulnya tidaklah mungkin kita mendapatkan suatu sumbu acuan yang benar-benar tetap, dengan demikian kita perlu membahas suatu gerakan yang diukur dari suatu titik acuan yang bergerak. Untuk keperluan ini, dalam sub-bab ini kita bahas suatu sumbu acuan yang bergerak translasi, hasil analisa-nya disebut analisa gerak relative. Sekarang perhatikan gambar diatas yang memperlihatkan dua buah partikel A dan B yang memiliki gerak kurvilinier yang terpisah pada suatu bidang tertentu atau pada bidang-bidang yang sejajar. Selanjutnya kita letakkan sumbu translasi (yang tidak berotasi) x-y secara sembarang pada partikel B dan mengamati gerak A dari kedudukan B yang berpindah-pindah. Vektor tempat bagi A yang diukur relative terhadap salib-sumbu x-y adalah rA/B = x i + y j. Kedudukan absulut B ditentukan oleh vector rB yang diukur dari titik asal salib sumbu tetap X-Y. Selanjutnya secara matematika vector kita dapatkan hubungan :
rA = rB + rA/B
- 62 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Relative Motion (Translating Axis)Relative Motion (Translating Axis)
Vektor kecepatan dan percepatan kita dapatkan sebagai berikut :
A/BBA rrr
atau A/BBA vvv (2.20)
A/BBA rrr
atau A/BBA aaa (2.21)
Dalam persamaan (2.20) dan (2.21) menunjukkan kecepatan dan percepatan yang dimiliki A yang kita amati dari kedudukan di B yang melekat pada sumbu bergerak x-y adalah
j i vr A/BA/B
yx
j i vr A/BA/B
yx
Perlu disadari bahwa percepatan partikel yang terlihat dalam system translasi x-y ini sama dengan yang terlihat pada system tetap X-Y bila system yang bergerak memiliki kecepatan yang konstan.
- 63 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH CONTOH Relative Motion (Translating Axis)Relative Motion (Translating Axis)
Pesawat angkut jet B sedang terbang ke utara dengan kecepatan vB = 600 km/jam ketika peawat A yang lebih kecil lewat di bawahnya dengan arah 600 seperti tergambar. Namun oleh penumpang di B peawat A tampak seperti terbang ke samping dan bergerak ke timur. Tentukan kecepatan A sebenarnya dan kecepatan A yang tampak relative bagi B.
Soal no 1 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)
Penyelesaian
a. Diketahui (data yang diketahui)
b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan)
c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan)
d. Perhitungan-perhitungan
Jet B sedang terbang ke utara dengan kecepatan vB = 600 km/jam ketika peawat A yang lebih kecil lewat di bawahnya dengan arah 600 seperti tergambar.
Kecepatan A sebenarnya dan kecepatan A yang tampak relative bagi B?
Tidak memerlukan Diagram Benda Bebas.
- 64 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH CONTOH Relative Motion (Translating Axis)Relative Motion (Translating Axis)
Dengan memperhatikan hubungan vector vA , vB dan vA/B tersebut, dapat kita selesaikan dengan tiga cara, yaitu :
I). Trigonometri Secara trigonometri kita lihat segitiga siku- siku, sehingga berlaku :
12005,0
600
60cos 0 B
Av
v km/jam
103960tan60060tan 00/ BBA vv km/jam
N
E
VB
VA/B
600
VA
II). Vektor Secara vector kita dapatkan hubungan : vA = vA/B i + vB j
di mana : 103960tan60060tan 00/ BBA vv km/jam
Sehingga vA = 1039 i + 600 j
III). Grafis Bila diselesaikan secara grafis, yang pertama harus kita lakukan adalah menentukan skala. Untuk khasus ini kita ambil skala 1 cm = 200 km/jam.
- 65 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH CONTOH Relative Motion (Translating Axis)Relative Motion (Translating Axis)
Langkah kedua gambarkan vB = 600 km/jam sesuai dengan arahnya (ke atas).
Langkah ketiga dari pangkal vB buat garis yang membentuk sudut 600 dan dari ujungnya buat garis horizontal, sehingga diperoleh perpotongannya. Kedua garis ini sesuai dengan arah yang diketahui.Langkah ke empat ukur panjang garis vA dari pangkal vB sampai perpotongan, juga ukur panjang garis vA/B dari ujung vB sampai perppotongan, diperoleh : vA = 6 cm = 6 x 200 =1200 km/jam
vA/B = 5,2 cm = 5,2 x 200 = 1040 km/jam
e. Jawaban 1200Av km/jam
1039/ BAv km/jam
- 66 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH CONTOH Relative Motion (Translating Axis)Relative Motion (Translating Axis)
Pesawat terbang penumpang B terbang ke timur dengan kece-patan vB = 800 km/jam. Pesawat jet militer A terbang ke selatan dengan kecepatan vA = 1200 km/jam lewat di bawah B dengan ketinggian sedikit lebih rendah. Berapa kecepatan yang dimiliki A yang tampak oleh penumpang di B, dan ke mana arah kece- patan yang kelihatan itu ?
Soal no 2 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)
Penyelesaian a. Diketahui (data yang diketahui)
b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan)
c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan)
Pesawat B terbang ke timur dengan kecepatan vB = 800 km/jam. Pesawat A terbang ke selatan dengan kecepatan 1200 km/jam
Kecepatan vA yang tampak oleh penum- pang di B dan arahnya.
VA
VB
VA/B
β
- 67 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH CONTOH Relative Motion (Translating Axis)Relative Motion (Translating Axis)
Dapat dilakukan dengan tiga cara yaitu : d. Perhitungan-perhitungan
I). Trigonometri 14428001200vvv 222B
2AB/A
5,1800
1200
v
vtan
B
A 03,56
km/jam
II). Vektor vA = vB + vA/B i i v
j j v
B
A
800v
1200v
B
A
vA/B = – vB + vA
= – 800 i – 1200 j
5,1800
1200vv
tanB
A 03,56
III). Grafis Penyelesaiannya seperti contoh 1)
e. Jawaban 1442v B/A km/jam
03,56
- 68 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH CONTOH Relative Motion (Translating Axis)Relative Motion (Translating Axis)
Sebuah perahu mampu berkepesatan 16 knot pada air yang tenang. Perahu itu mempertahankan arah yang benar ke barat ketika menghadapi arus yang mengalir dari utara ke selatan dengan kecepatan 3 knot. Berapa arah perahu seharusnya (diukur searah jarum jam dari utara pada sudut terkecil) ?. Berapa lama waktu yang diperlukan oleh perahu itu untuk maju 24 mil laut kearah barat ?
Soal no 3 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)
Penyelesaian a. Diketahui (data yang diketahui)
b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan)
c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan)
Perahu mampu berkepesatan 16 knot pada air yang tenang. Perahu mem-pertahankan arah ke barat ketika menghadapi arus yang mengalir ke se- latan dengan kepesatan 3 knot.
1). Arah perahu2). Waktu yang ditempuh untuk maju
24 mil ke arah barat.
vA
vA/P
vP
β
- 69 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH CONTOH Relative Motion (Translating Axis)Relative Motion (Translating Axis)
d. Perhitungan-perhitungan
e. Jawaban
143
vv
cosP
A 06,77
P
PA
v
vsin 7,136,77sin14v 0
PA knot
75,17,13
24v24
tPA
jam = 1 jam 45 menit
1).
2). t = 1,75 jam = 1 jam 45 menit
06,77
- 70 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Constrained Motion of Connected ParticlesConstrained Motion of Connected Particles
Pada pembahasan sebelumnya kita menitikberatkan pada partikel yang berdiri sendiri, dengan demikian seolah-olah partikel tersebut gerakannya hanya dibatasi oleh lintasannya saja.
Sekarang perhatikan gambar disam-ping yang menunjukkan partikel A terhubung dengan partikel B.
Problem kita adalah bagaimana memformulasikan gerakan kedua partikel tersebut. Untuk dapat memformulasikannya, kita harus dapat memahami gerakan kedua partikel tersebut. Jika kita perhatikan dengan seksama, terdapat dua hal yang dapat kita gunakan sebagai langkah awal yaitu :
Terdapat partikel-partikel yang saling berhubungan, dengan demikian gerak partikel yang satu terkendala gerak partikel lainnya.
- 71 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Constrained Motion of Connected ParticlesConstrained Motion of Connected Particles
a. Panjang penghubung adalah konstan
bryr
xL 12 2
2
Panjang penghubung (panjang kabel) pada gambar adalah :
Di mana L, r1 , r2 dan b semuanya konstan.
yx 20 atau BA vv 2
yx 20 BA aa 2atau
Hasilnya tidak tergantung pada panjang atau jejari puli, maka panjang penghubung bisa kita nyatakan
konstanta yxL 2
Selanjutnya kita dapatkan
b. Hubungan gerakan partikel satu terhadap gerakan partikel lain. Pada gambar diatas juga ditunjukkan gerakkan garis tengah puli bawah A’B’C pada suatu saat. Gerak A dan A’ adalah sama besarnya, demikian juga B dan B’. Dalam tinjauan ini kita anggap titik C tetap. Dengan demikian gerakan titik A’ adalah dua kali gerakan B’.
SATU DERAJAT KEBEBASAN
- 72 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Constrained Motion of Connected ParticlesConstrained Motion of Connected Particles
DUA DERAJAT KEBEBASANSistem dua derajat kebebasan ditunjukkan dalam gambar disamping. Kedudukan dari silinder bawah dan puli C tergantung pada spesifikasi dua koordinat yA dan yB. Panjang kabel yang diikatkan pada silinder A dan B masing-masing dapat ditulis sebagai :
konstanta2 DAA yyL
konstanta DCCBB yyyyL
Derivatifnya terhadap waktu adalah :
DA yy 20 dan
DCB yyy 20
DA yy 20
DCB yyy 20dan
Dengan menghapuskan suku
Dy dan
Dy kita dapatkan
042
CBA yyy dan 042
CBA yyy
- 73 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
Constrained Motion of Connected ParticlesConstrained Motion of Connected Particles
Dari persamaan terlihat bahwa harga kecepatan dan percepatan tidak semuanya positip, hal ini menunjukkan adanya perbedaan arah. Misal A dan B memiliki
AA yv dan
BB yv , maka C akan memiliki
24BA
CCvv
yv
kecepatan ke bawah
kecepatan keatas
Seperti pada kasus satu derajat kebebasan, pada kasus ini dapat juga diperoleh dengan pemeriksaan gerakan dua puli di C dan D. Karena adanya penambahan dyA (dengan yB dipegang tetap), pusat D pindah ke atas sebesar 2Adymengakibatkan gerak ke atas sebesar 4Ady bagi pusat C.
2BdySedangkan penambahan dyB (dengan yA dipegang tetap), pusat C pindah ke atas sebesar
Kombinasi dari kedua gerakan tersebut akan memberikan perpindahan ke atas bagi pusat C sebesar :
24BA
Cdydy
dy 24BA
CCvv
yv
- 74 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH COAL CONTOH COAL Constrained Motion of Connected ParticlesConstrained Motion of Connected Particles
Soal no 1 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA) xBila kecepatan naik blok A pada bidang
miring bertambah dengan laju 0,044 m/s setiap sekonnya, tentukan percepatan B.
a. Diketahui (data yang diketahui)
b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan)
c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan)
044,0x
Percepatan naik
Percepatan B.
d. Perhitungan-perhitungan Dapat dilakukan dengan dua cara yaitu :
I). Peninjauan panjang kabel
Panjang kabel adalah :
konstanta yxL 2
A
B
Penyelesaian
B
Ay
x
- 75 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH COAL CONTOH COAL Constrained Motion of Connected ParticlesConstrained Motion of Connected Particles
Kita diferensialkan terhadap waktu, kita dapatkan
yx 20 BA vv 2
yx 20 BA aa 2
Selanjutnya kita dapatkan
022,02
044,0
2 A
Ba
a m/s2
C E
E’
B
II). Peninjauan gerakan puli Kita perhatikan puli bawah (tempat menggantung blok B)
Dari gambar, terlihat bahwa pergerakan blok B adalah sama dengan pergerakan titik D, sedangkan pergerakan blok A adalah sama dengan pergerakan titik E.Berdasarkan dua buah segitiga yang sebangun, maka pergerakan titik D adalah setengah pergerakan titik E. Dengan demikian kecepatan dan percepatan titik D adalah setengah kecepatan dan percepatan titik E.
022,02
044,0
2 A
Ba
a m/s2
- 76 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.
CONTOH COAL CONTOH COAL Constrained Motion of Connected ParticlesConstrained Motion of Connected Particles
Tentukan kenaikan vertical h bagi beban W selama 5 sekon bila drum pengangkat menggulung kabel dengan laju tetap sebesar 320 mm/s.
Soal no 2 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)
Penyelesaian a. Diketahui (data yang diketahui)
b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan)
c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan)
d. Perhitungan-perhitungan
Waktu t = 5 sekon Kabel pada penggulung memili-ki kecepatan konstan 320 mm/s
Tinggi angkat h.
Dari gambar terlihat bahwa pergerakan beban W adalah seperempat pergerakan kabel yang digulung, sehingga
8032025,0 Wv mm/s
Jadi tinggi angkat h adalah 400580 tvh W mm
- 77 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.