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CHAPITRE 3. TRACTION - COMPRESSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.1 -3.1. Introduction : Traction (compression) pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.1 -3.2. Formules de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.1 -

3.2.1. Etudes des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.1 -3.2.1. Etudes des allongements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.3 -

3.3. Contraintes de bridage (soumise à une différence de température) . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.6 -3.3.1. Notion de coefficient de dilatation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.6 -3.3.2. Calcul des efforts et contraintes de bridage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.7 -

3.4. Contrainte sous son poids propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.10 -3.5. Traction (compression) dans une pièce formée de deux matériaux différents . . . . . . . . . - 3.11 -3.6. Dimensionnement des boulons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.14 -

3.6.1. ! Boulons soumis à traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.14 -A) Dimensionnement statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.14 -B) Dimensionnement dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.16 -C) Dimensionnement pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.16 -

3.6.2. Calcul d’un assemblage avec boulons haute résistance (HR) . . . . . . . . . . . . . - 3.18 -3.7. ! Le matage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.19 -3.8. ! Enveloppe mince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.20 -

3.8.1. Calcul de l’effort sollicitant l’enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.21 -3.8.2. Modes de rupture : trois ruptures possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.21 -

A) Rupture du réservoir suivant le plan diamétral . . . . . . . . . . . . . . - 3.22 -B) Rupture du réservoir suivant une génératrice . . . . . . . . . . . . . . . - 3.22 -C) Rupture du réservoir suivant une section droite . . . . . . . . . . . . . - 3.22 -

3.9. ! Câble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.25 -3.10. Socle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 3.30 -

Version du 27 janvier 2017 (0h29)

Définition : la traction ou la compression pure est un état de charge tel que danstoute section droite d’une pièce il n’existe qu’un effort normal N appliqué au centrede gravité.

CHAPITRE 3. TRACTION - COMPRESSION

3.1. Introduction : Traction (compression) pure

On sait par l’introduction à ce cours que : la traction est la sollicitation la plus simple qui soit; l’essai de traction d’une pièce prismatique en constitue l’application la plus élémentaire et la

plus instructive; L’état de contrainte se réduit donc en la seule composante normale σ. La distribution des

contraintes est uniforme dans la section. Si la barre tend à s’allonger (à se raccourcir),l’effort normal est appelé traction (compression).

L’archétype de la pièce tendue est le câble ou le tirant. On rencontre également des pièces tenduesdans certaines des membrures d’une poutre ou d’un pont “en treillis”.

Attention le présent paragraphe ne traite que de la traction (compression) pure, c’est-à-dire lorsqueles forces extérieures de traction agissent dans l’axe de la pièce tendue.

Tout ce qu’il sera dit dans ce paragraphe est valable aussi bien pour la traction que pour lacompression.

Cependant il existe une différence fondamentale entre les sollicitations de traction et decompression sera le danger de flambement qui menace en principe la stabilité de toute pièce compriméeet auquel sera consacré un chapitre entier.

3.2. Formules de calculs

3.2.1. Etudes des contraintes

En application des principes fondamentaux, faisons une fois pour toutes le raisonnement suivant :la partie G “tient” à la partie D grâce aux contraintes σ dans la section A, contraintes dont la résultantevaut ; l’ équilibre de translation horizontale de G pris isolément (schéma du corps rendu libre !) A

implique que :

fig.3.1. - Contraintes.

© R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Traction-Compression Page - 3.1 -

N résultante des contraintes A

D’où :

N

A(éq. 3.3.)

et pour rester conforme aux règlements et normes, il faudra s’arranger pour que la contrainte réelle σprovoquée par l’effort N demeure inférieure ou égale à la contrainte admissible σadm, d’où la relationfondamentale, qui constitue la condition de résistance :

N

Aadm (éq. 3.4.)

N

Aadm

Notations : NAσ

σadm

effort extérieur de traction sollicitant la pièceaire de la section droite de la piècecontrainte réelle de traction en tout point de la section Acontrainte admissible du matériau constituant la pièce

Nmm2

N/mm2

N/mm2

De cette relation, on tire les formules utiles de calcul :

problème de vérification : consiste à vérifier si une pièce tendue par N, de section A connueet en matériau de contrainte admissible σadm est bien dimensionnée; il faut effectuer le test :

problème de dimensionnement : problème de dimensionnement consiste à donner à la pièceune section A telle qu’elle puisse résister à un effort N compte tenu de sa contrainte admissible σadm ; la section A est donnée par :

AN

adm

(éq. 3.6.)

C’est-à-dire que la section A doit être au moins égale à (“qui peut le plus peut leN A

moins !”)

recherche de la capacité portante : consiste à rechercher l’effort Nmax qu’une pièce de sectionA en matériau de contrainte admissible σadm peut reprendre au maximum; la valeur recherchéeest donnée par :


Par convention :allongements relatifs et contraintes de traction : positifsraccourcissements relatifs et contraintes de compression : négatifs

N A admmax (éq. 3.8.)

Par application d’un principe que nous évoquerons souvent et qui dit qu’une pièce a desperformances maximales lorsque les contraintes y ont atteint la limite permise (σadm).

3.2.1. Etudes des allongements

Sachant que : et que : et si nous remplaçons ces deux valeurs dans la loi de N

A0

l

l0

Hooke ( ), nous obtenons : E

mmlN l

E A 0

0

(éq. 3.12.)

Notations : l0

A0

E

E A

la longueur initiale de la barrela surface de la section droitemodule d’élasticité longitudinale ou module deYoungrigidité de la section transversale en traction

mmmm2

N/mm2

N

Cette relation, comme la loi de Hooke, n’est valable que dans la zone d’élasticité linéaire.

Cette relation qui nous apprend que :

l’allongement varie dans le même sens que l’effort N et la longueur initiale l0 (on s’en seraitdouté !),

l’allongement est d’autant plus petit que la pièce a une grosse section, toutes autres choses étantégales (on le comprend aisément !),

l’allongement est d’autant plus petit que le matériau de la pièce a un module d’élasticité E(rigidité) élevé, toutes autres choses étant égale,

Cette dernière réflexion signifie en pratique que par exemple une pièce en acier s’allongerabeaucoup moins (environ 3 fois moins) que la même pièce réalisée en aluminium et soumise au même effortde traction. Pour s’en rendre compte, il suffit de comparer Eacier et Ealu. Cela explique en partie que l’acierest davantage un matériau de structure que l’aluminium, outre le prix.

Dans certains problèmes, on demandera de vérifier si l’allongement réel Δl de la pièce ne dépassepas un allongement admissible fixé par le “client”. S’il y a dépassement, on augmentera la section Ajusqu’à ce que Δl redescende dans les limites acceptables. La dernière formule encadrée ci-avant permetd’effectuer cette opération.


fig.3.3. - Répartition des contrainte detraction.

Application 3.1. Une barre d’acier de 10 mm de diamètre reçoit une force de traction de 12560 N.

Quelle sera l’allongement de la barre sur 5 mètres si . Quelle sera alors laE N mm 210000 2

contrainte dans cette barre ?

Remarque :On remarque que toute section droite le reste après déformation si la longueur de la barreest infinie. Dans le cas d’une pièce de longueur finie, la loi de conservation des sectionsdroites reste pratiquement valable tant que l’on fait abstraction des zones voisines du pointd’application de la charge.

Expérimentalement, cette loi est confirmée par le fait que l’allongement (ou leraccourcissement) d’une barre est uniformément réparti tant que l’effort n’est pas tropélevé.

Et d’après la loi de Hooke il existe une relation linéaire entre la déformation et lacontrainte, si l’allongement (ou le raccourcissement) d’une barre est uniformément réparti,il en sera de même pour les contraintes.

Solution :Recherche de la section de la barre :

Ad

mm

2 2

2

4

10

47854.

L’allongement de la barre :

lN l

E Amm

0 12560 5000

210000 785438

..

La contrainte sera égale à :

N

AN mm N mm

12560

7854159 9 1602 2

..


Application 3.2. Un barreau prismatique de section et de longueur , est soumis àA cm 6 2 l m 4

une traction axiale de 123 kN. L’allongement total mesuré est de 4 mm. Trouver le module d’élasticitédu matériau.

Solution :Module d’élasticité

Nous le déterminerons au moyen de l’équation de l’allongement :

C’est un acier.

lN l

E AE

N l

l AN mm

0 0 2123000 4000

4 600205000


Application 3.3. A 15°C une tige de cuivre mesure 2.5 m de long. Trouver l’allongement quand elleest chauffée à 35 °C. Le coefficient de dilatation linéaire du cuivre utilisé est égal à 17 10 6 °C 1.

3.3. Contraintes de bridage (soumise à une différence de température)

3.3.1. Notion de coefficient de dilatation linéaire

Ainsi, dire que l’acier a un signifie qu’une barre de 1 m de longueur échauffée 1210 6 1C

de 1°C s’allonge de l2 10 6 m, soit l2 μm.

Quant est-il à présent barre de longueur soumise à une différence de température :l m0 1

T T T C 0 1

Notations : TT0

température finaletempérature initiale

°C°C

En “proportionnalisant” la définition de α on obtient la variation de longueur Δl due à unevariation de température :

l T lT 0 (éq. 3.20.)

Notations : αl0

coefficient de dilatation thermique linéaire du matériau longueur initiale du barreau

°C 1

m

On remarquera que Δl et ΔT ont le même signe du fait de cette égalité. Donc :

si échauffement allongement;T T 0 T 0 l 0

si refroidissement raccourcissement.T T 0 T 0 l 0

La longueur après dilatation thermique lT s’écrit : l l l l T lT T 0 0 0

l l TT 0 1 (éq. 3.28.)

Solution :Formule de l’allongement due à une différence de température

l T l m mmT 0

617 10 35 15 2 5 0 00085 085. . .

Définition : le coefficient de dilatation thermique linéaire α d’un matériau estl’allongement (le raccourcissement) que subit l’unité de longueur de ce matériausoumis à une élévation (diminution) de température de 1 °C.Unité de α : °C 1 (ou K 1)


3.3.2. Calcul des efforts et contraintes de bridage

Dans le cas qui nous occupe, “brider” une pièce signifie empêcher toute modification de longueurde cette pièce, en l’attachant solidement à un environnement fixe. On c’comprend dès lors que si l’onmodifie la température d’une pièce bridée, du fait de la tendance de celle-ci de modifier sa propre longueur,vont naître au sein. de la matière des efforts, et donc des contraintes, dits “de bridage”.

Que valent ces efforts et ces contraintes, et quel est leur sens ?

Pour répondre à cette double interrogation, on va raisonner sur le cas suivant : soit une barrede longueur l et de section A, réalisée dans un matériau caractérisé par α et E; cette barre est solidementancrée dans 2 murs distants de l et infiniment rigides; l est donc invariable; on chauffe cette barre demanière à ce que sa température passe de T0 à T °C avec .T T 0

Dans ces conditions, la barre a tendance à s’allonger et à écarter les murs l’un de l’autre, mais lebridage l’en empêche. La barre sera donc le siège d’un effort de compression Ncomp et de contraintes decompression σcomp, tous deux “de bridage”.

Effet de ΔT sans bridage :

(allongement) l T lT 0

Effet du bridage :

l’effort de bridage Ncomp, étant un effort de compression, va raccourcir la pièce d’une longueur :

(raccourcissement) lN l

A E

comp

0

Bilan :

l lT

0

Par application du principe de superposition, car la barre n’a pas changé de longueur au cours de

l’opération, le raccourcissement étant compensé par l’allongement . lT

l

Cette dernière égalité peut aussi s’écrire :

T lN l

A E

comp

0

d’où l’on tire l’expression la plus générale de l’effort de bridage Nbridage :

N T A Ebridage (éq. 3.37.)

On remarquera :

si échauffement compressionT T 0 Nbridage 0

si refroidissement tractionT T 0 Nbridage 0


+ si tractionN A

si compressionN A

+ si refroidissement (traction) T E

si échauffement (compression) T E

En divisent l’effort de bridage par la section A, on obtient la contrainte de bridage :

bridage T E (éq. 3.42.)

avec les mêmes remarques que ci-dessus : si échauffement : les contraintes de bridage sont de compression si refroidissement : les contraintes de bridage sont de traction

Conclusion pratique importante :Les contraintes de bridage se superposent aux contraintes de service provoquées par lescharges d’exploitation et par les charges permanentes. Il se peut donc qu’en certainspoints de la structure, les contraintes totales dépassent la contrainte admissible (voire Re

ou Rm). Pensons par exemple au béton qui supporte très mal les contraintes de traction.

Ceci doit nous convaincre de la nécessité de joints de dilatation dans toute structure dèsque les dimensions deviennent importantes.

Dans la résolution d’un grand nombre de problèmes, en même temps que des allongements dus àl’effort de traction (compression) N, on doit prendre en considération les allongements (raccourcissements)dus à la température.

Et ce cas on obtient :

N

AT E (éq. 3.43.)

Nous vérifierons le signe de chaque terme :

Remarque :Tout ce qui c’est dit sur les contraintes thermiques n’est valable que si E varie peu avecla température (pour les aciers : valable jusque 300 ... 400 °C).

Le Tableau 3.1. donne la valeur de α pour divers matériaux.


Application 3.4. Quelle est la valeur du jeu minimum qu’il faut prévoir entre deux rails de chemin defer, si le plus grand écart de température est de 50 °C ? La longueur d’un rail est de 12 m. Quelle serala contrainte engendrée ?

Coefficient de dilatation linéaire α en 1/°C(Les valeurs du tableau sont à multiplier par : 10 6)

Matériaux α Matériaux α

Aluminium 23.7Aciers 12.0Aciers Inox 17.3Fonte grise 12.0Cuivre 16.0Laiton 18.9Bronze ordinaire 12.0Plomb 29.0Magnésium 23.0Zinc 30.0Nickel 13.1Tungstène 4.5Invar (Fe+36%Ni) 1.5Silicium 3.0Verre 9.0

Epoxyde 55.0Nylon 6-6 80.0Nylon 6-6 +33% fibres de verre

20.0Polyéthylène 100.0Polyéthylène +33% fibres deverre 48.0Polystyrène 70.0Al2O3 6.7ZrO2 stabilisé 10.6SiC 4.3Si3N4 3.3Granite 8.7Grès 17.1

Tableau 3.1. - Coefficients de dilatation linéaire.

Solution :Coefficient de dilatation thermique de l’acier

Dans le tableau on trouve pour l’acier :

acier C 12 10 6 1

Recherche de l’allongement

l T l mmT 0

612 10 50 12 000 7 2.

Remarque :Si la dilatation est libre : la contrainte est nulle !Si la dilatation est empêchée : l’allongement est nul et la contrainte engendrée est égale à :

bridage T E N mm 12 10 50 210000 1266 2

Contrainte de compression.

Une autre approche serait d’utiliser la loi de Hooke :

(en compression) El

lE N mm

0

27 2

12 000210000 126

.


e

h

l

fig.3.4. - Pression sous le poids propre.

Application 3.5. Calculer la hauteur h à laquelle peut être construit un mur de béton, en admettant unerésistance à la compression du béton de 173 daN/cm2 et un facteur de sécurité de 4. La masse volumiqueρ du béton vaut 2200 kg/m3.

3.4. Contrainte sous son poids propre

Soit un mur, d’épaisseur e et de hauteur h, reposant surle sol. La contrainte à la base du mur, sous son seul poidspropre, vaut :

poids du mur

surface au sol

poids du mur m g

V g

h e l g

surface au sol e l

d’où :

h e l g

e lg h

Notations : mρVlg

masse du murmasse volumique du murvolume du murlongueur du muraccélération de la pesanteur

kgkg/m3

m3

mm/s2

p g hs (éq. 3.52.)

Cette contrainte à la base du mur correspond aussi à la pression du mur sur le sol.

Remarque importante :Cette contrainte (pression) est indépendante de la longueur et de l’épaisseur du mur !

Cette contrainte (pression) devra évidemment être inférieure à la pression admissible du sol. Si cen’est pas le cas, il faudra prévoir à intercaler des fondations entre le mur et le sol afin de répartir la pressiondu mur sur une plus grande surface.

Solution :Appliquons la formule éq. 3.52. :

g h

Sh

g Smadm

comp comp 173010

2 200 9 81 4200

4

.


3.5. Traction (compression) dans une pièce formée de deux matériaux différents

Considérons, pour fixer les idées, une poutre constituée d’un profilen acier enrobée de béton comme représenté ci-contre.

Soit Aa et Ab les surfaces des sections droites respectivement del’acier et du béton. De même, soit Ea et Eb leurs modules d’élasticité Onadmettra que les contraintes dans le béton sont suffisamment faibles pourpouvoir le considérer comme élastique. La poutre étant soumise à un effortde traction N, il faut déterminer quelles sont les parts Na et Nb de cet effortreprises par chacun des matériaux.

On résout ce problème en exprimant que l’acier et le béton subissentla même déformation car l’adhérence de ces deux matériaux empêche toutglissement relatif.

Pour une longueur l0 de la poutre travaillant en période élastique (loi de Hooke), on a :

lN l

E A0

0

l lN l

E A

N l

E Aa b

a

a a

b

b b

0 0 N

E A

N

E Aa

a a

b

b b

(éq. 3.56.)

D’autre part, on sait par la statique que les efforts intérieurs équilibrent les efforts extérieurs, c’est-à-dire :

N N Na b (éq. 3.57.)

En remplaçant l’expression éq.3.56. dans l’équation éq.3.57., on obtient :

N NE A

E A E A

N NE A

E A E A

aa a

a a b b

bb b

a a b b

(éq. 3.58.)

On peut en déduire que l’effort N se répartit entre les deux pièces au prorata de leurs rigidités

en traction et . E Aa a E Ab b

Les contraintes dans les deux matériaux valent donc :

aa

a

a

a a b b

bb

b

b

a a b b

N

AN

E

E A E A

N

AN

E

E A E A

(éq. 3.61.)

On peut généraliser sans peine les résultats précédents pour des pièces composées d’un nombrequelconque de matériaux.

fig.3.5. - Pièce formée de 2matériaux différents.


Application 3.6. Une poutre en béton est renforcée avec 4 fers en acier de diamètre d inconnu. La poutreest rectangulaire (200 x 220). La contrainte maximale admissible en compression du béton est de 7N/mm² tandis que celle de l’acier est de 150 N/mm2. Le module de Young du béton vaut 14000 N/mm2

et celui de l’acier 210000 N/mm2. Si la poutre doit supporter une charge de compression N de 500 kN,déterminer le diamètre d des fers.

Solution :Hypothèses :

L’adhérence entre le béton et l’acier empêche tout glissement relatif; On néglige les effets du flambement (poutre courte).

Démarche de résolution :On commence le calcul par la matière qui a la plus faible contrainte admissible, soit dans ce cas-ci le béton.

Compression d’une structure formée de deux matériaux différentsUtilisons l’expression de la contrainte dans le béton :

bb

b

b

a a b b

adm b

N

AN

E

E A E A

NE

Ed

E Ad

b

a b poutre

adm b

44

44

2 2

d

N EE A

E E

mm

b

adm b

b poutre

a b

500000 14 000

714 000 200 220

210000 14 000

24 9.

Gamme de diamètres standards : 6, 8, 10, 12, 14, 16, 20, 25, 28, 32, 40, 50 et 63.5 mm.

Les diamètres des fers à béton normalisés supérieurs sont 25 mm et 28 mm.

Dans notre cas prendre est un peu juste (si on prend on trouved mm 25 E N mma 200000 2

), donc on prendra .d mm 256. d mm 28

fig.3.6. - Application 3.6.


Vérification de la contrainte dans le bétonIl s’agit maintenant de vérifier si la contrainte dans le béton ne dépasse pas la limite maximaleadmissible de 7 N/mm² :

bb

a a b b

N E

E A E A

N mm

500000 14000

210000 428

414000 200 220 4

28

4

6 4

2 2

2.

Cette contrainte dans le béton de 6.4 N/mm2 est donc bien inférieure à la contrainte maximaleadmissible de 7 N/mm2.


3.6. Dimensionnement des boulons

3.6.1. ! Boulons soumis à traction

A) Dimensionnement statique

Le problème que nous étudions ici se rencontre très souvent; il intéresse les assemblages parboulons des organes de machines. Un assemblage serré par boulon est soumis à un effort externe F ayantpour effet de tendre à dissocier les éléments précontraints, cet effort F se répartit entre le boulon soustension et l’assemblage sous compression proportionnellement à leur facteur de raideur pour autant quel’effort de précontrainte Fp a été suffisant pour maintenir l’assemblage en compression.

Nous devons donc vérifier en premier lieu la condition de non décollement des surfaces, soit :

F FF

nbs

K

K Kp p

b

a

a b

minmax

(éq. 3.70.)

Notations : Fp

Fmax

nbsb

Ka

Kb

force de précontrainte dans le bouloneffort maximum de traction subit par l’assemblagenombre de boulonsraideur de l’assemblageraideur du boulon

NN-N/mmN/mm

Définition : La raideur K, en N/mm, est définie par :

K E A la (éq. 3.71.)

Notations : Ela

AEA

module d’élasticitélongueur activesurface sous contraintemodule de rigidité à la traction

N/mm2

mmmm2

N

La raideur est donc :L’effort produisant une déformation d’amplitude égale à l’unité.

En effet :

avec lN l

E AN K la

aa la 1

Ayant défini la force de précontrainte minimum afin que les surface ne se décolle pas, il faut choisirune force de précontrainte réelle égale à 1.2 ... 1.8 fois la force de précontrainte minimum.

Il faut vérifier ensuite que cette valeur est inférieur à la force maximum admissible en fonction dela classe de boulons choisies (voir tableau en annexe)

La contrainte dans le boulon σb sera, quant à elle, égale à la somme de la contrainte due à l’effort


Rappel : Pour calculer la contrainte dans un boulon, on se sert de la section de tensionAt. Celle-ci est la moyenne entre la section du noyau et la section à flanc defilet.

de précontrainte Fp et de celle due à l’effort extérieur maximum Fmax au prorata des raideurs,

d’où : b p Fb

a b

adm b

K

K K

max (éq. 3.74.)

Notations : σp contrainte dans le boulon, due à Fp

p

p

t b

F

A

avec At b la section de tension du boulon

N/mm2

σF max contrainte dans le boulon, due à Fmax

F

F

t b

F

Amax

max

avec Fmax b la force maximale dans le boulon( )F nbsbmax

N/mm2

σadm b contrainte admissible dans le boulon N/mm2

et cette contrainte σb devra obligatoirement être inférieur (ou égal) à la contrainte admissible dans le boulon.Soit, en statique :

B adm b eR 08 0 9. ... . (éq. 3.78.)

Nous percevons, en conséquence, l’intérêt d’adopter :

1) pour un assemblage devant supporter des efforts purement statiques (ex. : tuyau sous-pression) :

un boulon très peu élastique (raideur Kb forte), donc une petite longueur et une “grosse”section;

un assemblage compressible (raideur Ka faible) (ajout d’un joint d’étanchéité déformable);

C’est la condition de non décollement qui est prépondérante. En effet il ne peut y avoir defuite. C’est pourquoi, afin de diminuer la raideur de l’assemblage (ex. : flasque) on rajoute unjoint d’étanchéité déformable. C’est une façon de diminuer la raideur de cet assemblage.

2) pour un assemblage devant supporter des efforts pulsés (ex. : boulons de culasse) :

un boulon très élastique (raideur Kb faible), donc une grande longueur et une faiblesection;

un assemblage peu compressible (raideur Ka élevée);

Dans ce cas, c’est la condition de contrainte qui est prépondérante. Il faut que lescontraintes d’origines externes ne s’ajoutent (pratiquement) pas aux contraintes statiques de


précontrainte; le supplément d’allongement créé dans les boulons par les surtensionsdynamiques soulage, en effet, les structures comprimées de l’assemblage, donc diminue leursréactions sur le boulon tendu avec un gradient de relaxation croissant avec la raideur des partiesprécomprimées Ka .

De plus, le taux de serrage (en réalité nous devrions dire le taux d’allongement) doit êtreaussi élevé que le permet la limite des contraintes totales admissibles.

B) Dimensionnement dynamique

Si l’assemblage boulonné doit supporté une charge qui fluctue entre un minimum nul et unmaximum Fmax (c’est par ailleurs ce type de charge que la plupart des assemblages boulonnés doiventsupporter), le genre d’approche de calcul est un peu différent.

En plus des deux conditions purement statiques il convient de vérifier l’inéquation suivante :

a b

F b

a b

a adm b

K

K K

max

2(éq. 3.79.)

Notations : σa b

σa adm b

σF max

contrainte alternée subie par le bouloncontrainte alternée admissible dans le bouloncontrainte dans le boulon, due à Fmax

N/mm2

N/mm2

N/mm2

On peut, dans une première approche, vérifier que la contrainte alternée σa dans le boulon nedépasse pas les contraintes admissibles σa adm données par le tableau ci-dessous :

Classe M 4 à M 8 M 10 à M 16 M 18 à M 30

8.8 - 12.9 60 N/mm2 50 N/mm2 40 N/mm2

Tableau 3.2. - Contraintes dynamiques admissibles pour une contrainte statique moyenneσm = 0.7 Re

Si le design initial ne s’avère pas satisfaisant, il y a, de manière générale, trois possibilités :

diminuer la force de précontrainte, et risquer que le boulon ne se desserre;

augmenter le rapport raideur assemblage / raideur boulon ( );K Ka b

utiliser un plus grand nombre de boulons.

C) Dimensionnement pratique

Si les matériaux du boulon et de l’assemblage sont les mêmes, il s’ensuit que les modulesd’élasticité longitudinale sont les mêmes aussi. De plus, sauf cas relativement rare, les longueurs activesdu boulon et de l’assemblage sont aussi identiques. C’est pourquoi, on peut simplifier les formulesprécédentes en utilisant, non pas les raideurs K, mais directement les surfaces sous contraintes A.


Application 3.7. Vérifiez la tenue d’un assemblage par boulons entre unchapeau et le corps de bielle. Cet assemblage, comprenant deux boulonsM8, est soumis à une force d’extension F de 12000 N.


Solution :Calculons les différentes raideurs :

Comme la bielle et le boulon sont fait en acier (E égaux) et que leslongueurs actives sont les mêmes, la raideur K se réduit à la surfacecomprimé.

KE A

lK A

A mma

105 228

4180 7

22. .

A mmb 36 6 2.

Calculons la force de précontrainte :

F FF

nbs

K

K K

N

p p

b

a

a b

minmax

.

. ..

12 000

2

180 7

180 7 36 64989 4

Prenons comme sécurité , et donc :S 15.

F Np 15 5000 7500.

Vérifions que le M8 de la classe 8.8 supporte cetteprécontrainte :

7 500 16550 OK

Vérifions la contrainte dans le boulon :

b p Fb

a b

adm b

K

K K

N mm

max

. .

.

. ..

7500

36 6

12 000 2

36 6

36 6

180 7 36 6232 5 2

232 5 0 7 0 9

08 640 512

. . ... .

.

R

OKe

Vérifions le dimensionnement dynamique :

a b

F b

a b

a adm b

K

K K

N mm

max

. .

. ..

2

6000 36 6

2

36 6

180 7 36 6138 2

OK 138 60 8 8 82. . N mm M

Les boulons sont un peu surdimensionnés.

fig.3.8. - Section A-B


3.6.2. Calcul d’un assemblage avec boulons haute résistance (HR)


3.7. ! Le matage

Le matage est une compression locale (superficielle) entre deux éléments pressés l’un contrel’autre. La loi exacte de répartition des pressions sur la surface écrasée n’étant pas connue, pour simplifierles calculs techniques on suppose par convention que la pression est uniformément répartie non sur lasurface écrasée, mais sur l’aire Amat, qui est la projection de la surface écrasée sur un plan perpendiculaireà la direction de la force de pression pmat. Cette erreur est prise en considération dans la valeur de lacontrainte de matage admissible padm mat. Dans la pratique, la pression (contrainte) admissible de matagepadm mat peut être prise égale à deux fois la contrainte admissible en traction-compression.

padm mat adm traction 2 (éq. 3.92.)

En ce qui concerne les clavettes, la pression admissible de matage doit être beaucoup plus faible.En effet, il faut que l’on puisse facilement monter et démonter l’assemblage. Aucune déformation n’estpermise. (Voir tableau 3.3.)

Ci-dessous quelques valeurs de pression admissible pour différents matériaux.

Matériau Pression admissible MPa

Acier recuitAcier structurauxAcier trempé + revenuAcier cémentéAcier inoxydableAcier NiCr austénitiqueFonteFonte à graphite sphéroïdalAlliage d’aluminium (forgé)Alliage d’aluminium (moulé)Alliage de magnésiumAlliage de titaneComposite

240 à 320400 à 700

750 à 10001400 à 1800

210460 à 860450 à 550600 à 900230 à 260220 à 380180 à 210

890120

St37 (acier doux)St50 (acier mi-dur)C45v (acier traité)CDMgA19 (fonte alliée)GKMgA19 (fonte alliée)GKAlSi6Cu4 (fonte alliée)GG22 (fonte lamellaire)

300500900200200300

1000

Tableau 3.3. - Pression admissible de matage.


Une enveloppe mince est un corps dont une des dimensions (l’épaisseur) est bienplus petite que les deux autres.

3.8. ! Enveloppe mince

Une autre application des contraintes normales distribuées uniformément apparaît dans l’analyseapproximative des récipients sous pression à paroi mince, tels que des récipients de forme cylindrique,sphérique, conique ou toroïdale soumis à une pression interne ou externe due à un gaz ou un liquide. Dansce chapitre, nous traiterons seulement des récipients à paroi mince de révolution et nous nous limiteronsaux déformations à symétrie axiale dans ces récipients.

Limitations

Le rapport de l’épaisseur de la paroi e à l’un quelconque des rayons de courbure r ne doit pasdépasser approximativement 0.10.

Soit : e r 010. (éq. 3.93.)

Il ne doit pas y avoir de discontinuité dans la structure. La solution simplifiée présentée ici nepermet pas de prendre en considération des anneaux de renforcement. Elle ne peut non plus donner uneindication précise sur les contraintes et déformations au voisinage des plaques de fermeture d’extrémité desrécipients cylindriques sous pression. Cette analyse est cependant satisfaisante pour de nombreuxproblèmes de conception.

Les problèmes qui suivent concernent les contraintes dues à une pression interne uniforme agissantdans un récipient de révolution à paroi mince. Les formules donnant les diverses contraintes restent valableslorsque le sens de la pression est inversé, c’est-à-dire lorsqu’une pression extérieure agit sur le conteneur.Pourtant, il doit être noté qu’une considération supplémentaire, qui dépasse le cadre de cet ouvrage, doitêtre prise en compte. Il faut non seulement chercher la distribution des contraintes, mais aussi procéder àune autre étude de nature entièrement différente pour déterminer la charge à laquelle le récipient flambesous l’effet de la compression. Une rupture de flambement ou d’instabilité peut se produire, même si lacontrainte la plus élevée est très inférieure à la contrainte pratique du matériau.

Applications

Les réservoirs de stockage et les conteneurs de liquide, les canalisations d’eau, les chaudières, lescoques de sous-marins et certaines pièces d’avion, sont des exemples courants de récipients sous pressionà paroi mince.

Rappel : la pression sollicitant l’enveloppe est la pression effective.

p p peff ext int (éq. 3.94.)

Notations : pint

pext

la pression interne à l’enveloppe (pression absolue)la pression externe à l’enveloppe (souvent la pressionatmosphérique)

N/mm2

N/mm2

Le problème du calcul des enveloppes minces (de révolution) se résout le plus simplementlorsqu’on peut admettre que les contraintes dans l’enveloppe sont distribuées uniformément dans sonépaisseur.


fig.3.9. - Effort sollicitant une enveloppe cylindrique.

fig.3.10. - Suivant plan diamétral - une génératrice - une section droite.

3.8.1. Calcul de l’effort sollicitant l’enveloppe

Soit un réservoir de diamètre intérieur d, de longueur l et soumis à une pression effective peff.Considérons la demi-enveloppe supérieur, F étant la résultante des composantes verticales des pressionspeff.

Dans ce cas, on peut démontrer que :

F p l deff (éq. 3.95.)

Et donc nous pouvons en déduire une conclusion importante :

L’effort F est égal au produit de la pression effective peff par la surface diamétrale .l d

De même, l’effort F est le même que celui qui agirait sur la face latérale du parallélépipèdecirconscrit au réservoir (surface projetée).

3.8.2. Modes de rupture : trois ruptures possibles

Calculons l’épaisseur du réservoir dans chaque cas en considérant les données suivantes : le diamètre d en mm; la longueur l en mm; la pression effective peff en N/mm2.


fig.3.11. - Rupture suivant le plan diamétral.

fig.3.12. - Rupture suivant une génératrice.

fig.3.13. - Rupture suivant la section droite.

A) Rupture du réservoir suivant le plan diamétral

Nous avons la contrainte qui vaut : F

A

avec : etF p l deff A e l 2

d’où :

p l d

e l

eff

2

et donc : ep deff

adm

2

(éq. 3.101.)

B) Rupture du réservoir suivant une génératrice


A

2

avec : etF p l deff A e l '

d’où :

p l d

e l

eff 2

'

et donc : ep deff

adm

' 2

(éq. 3.106.)

C) Rupture du réservoir suivant une section droite


A

avec : etF pd

eff

2

4 A d e "

d’où :

p

d

d e

eff

2

4

"

et donc : ep deff

adm

" 4

(éq. 3.111.)

En conclusion : en comparant les formules, onremarque que la rupture suivant un plan diamétral ou suivant une génératrice sont les cas les plusdéfavorables puisqu’ils exigent une épaisseur e double de e”. Nous ne retiendrons donc qu’une seulerelation :


Application 3.8. Quelle épaisseur faut-il donner aux tôles d’un réservoir à air comprimé de 1500 mmde diamètre, sachant que la pression effective est de 8 bars et que la tension de rupture des tôles est de360 N/mm2 et la limite élastique 270 N/mm2, si le coefficient de sécurité 3 et que le réservoir est enconstruction soudée ?

ep deff

adm

2

(éq. 3.112.)

ou :

p d

e

eff

adm2

(éq. 3.113.)

La formule précédente est valable quand toutes les génératrices ont la même résistance (quandl’enveloppe est tournée). Cependant lorsqu’elle est soudée, la soudure crée un affaiblissement de la viroledû aux effets thermiques le long de la soudure et de ce fait la contrainte admissible sera moindre.

Dans ce cas on utilisera :

adm soudure adm 0 65. (éq. 3.114.)

De plus, on majore ensuite le résultat obtenu de 1 ou plusieurs millimètres (2 mm), pour lesaciers, pour tenir compte de la corrosion ou de l’usure de l’enveloppe.

Remarque :Dans la cas d’une sphère la relation est :

ep d

sphère

eff

adm

4

(éq. 3.115.)

Solution :Recherche de la contrainte admissible

adm soudure admeR

SN mm 0 65 0 65 0 65

270

3585 2. . . .

L’épaisseur vaut :

soit 12 mmep deff

adm

2

08 1500

2 58510 3

.

..


Application 3.9. Le submersible pour recherches profondes Aluminaut a une coque cylindrique dediamètre extérieur de 240 cm et d’épaisseur 14 cm. Il est construit en alliage d’aluminium 7079-T6 delimite d’élasticité de 420 N/mm2. Calculer la contrainte maximale de la partie cylindrique de la coquelorsque le submersible est à sa profondeur opérationnelle de 4500 m en dessous du niveau de la mer.Utiliser dans les calculs le diamètre moyen de la coque et prendre 1024 kg/m3 pour masse volumique del’eau de mer. Quel a été le coefficient de sécurité utilisé ?

Solution :Recherche de la pression existante à 4500 m de profondeur

p g h Pa bars 1024 9 81 4500 452 10 4526. .

Recherche du diamètre moyen de la coque

d de

mmmoyen ext 2

22400 140 2260

Recherche de la contrainte dans la coque

p d

eN mm

eff moyen

2

45210 10 2 260

2 140365

6 6

2.

Recherche du coefficient de sécurité :

SRe

420

365115.

Remarque :p est directement la pression effective car la patm s’exerce au-dessus de la mer et àl’intérieur du sous-marin.


fig.3.14. - Exemple de câble.

3.9. ! Câble

1) Un câble (ou fil flexible) ne résiste qu’à la traction.

2) Charge de rupture réelle est de 10 à 20 % inférieure à celleque l’on obtiendrait en considérant la section totale des filset la résistance à la rupture de l’acier : conséquence ducâblage.

3) Nous savons que pour les fils d’acier, le module de Young

. Mais dans les câbles, les filsE N mm 210000 2

composant les torons sont enroulés en hélice, ce qui fausse

les résultats. Des essais ont donné, dans l’ensemble des câbles, des valeurs de ,E N mmcable 120000 2

variables suivant le type de câble.

4) L’enroulement des câbles sur les tambours ou sur la poulie crée dans les fibres extérieures un excès detension qui s’ajoute à la tension de traction. On doit mettre beaucoup d’importance au diamètre de ceux-ci. Pour éviter cela, les diamètres d’enroulement seront :

a) 7 à 15 fois le diamètre du câble en chanvre (15 = cordes serrées)

b) 500 fois le diamètre du fil pour le câble métallique.

Dans les câbles de grande longueur par exemple le câble de mines nous devons compte du poids propredu câble. Ces câbles sont plats et la section n’est pas constante sur toute la longueur.

5) Dans le cas du calcul des câbles, le coefficient de sécurité, par rapport à la limite de rupture, sera priségal à 12.

Pour le calcul des contraintes dans un câble, en pratique, on tient compte de :

A) la contrainte de traction (poids de la charge + éventuellement le poids du câble).

B) la contrainte due au démarrage (inertie de la charge).

C) la contrainte d’incurvation du câble sur la poulie.

A) Calcul de la contrainte de traction (poids de la charge et le poids du câble) (σ1)

La contrainte dans une section quelconque d’un câble, de section constante, soumise à l’actiond’une force extérieure de traction F, compte tenu du poids propre du câble, peut être déterminer d’aprèsla formule :

11

N

Acable

et ici :

N F Poids du cable F g A lcable cable1

Notations : ρ masse volumique ( )acier kg m 7800 3 kg/m3


g accélération de la pesanteur ( )g m s 9 81 2. m/s2

Acâble

lcâble

section du câblelongueur du câble

m2

m2

et donc :

1

F g A l

A

F

Ag lcable cable

cable cable

cable

(éq. 3.128.)

B) Calcul de la contrainte due au démarrage (σ2)

Il faut se rendre compte que lors du démarrage de la charge, il existe une accélération et donc, en

raison de la relation fondamentale de la dynamique ( ), cette accélération créera une force d’inertie F m a

qui s’ajoutera à la charge.

Donc : F m aTot

Notations : amTot

accélération maximummasse totale (charge + éventuellement celle du câble sicelle-ci est importante)

m/s2

kg

La masse totale équivaut à :

m m A lTot cable cable charge

La contrainte correspondante :

2 F

A

m a

Ain

cable

Tot

cable

et donc : 2 m a

Al a

cable

cable

charge

(éq. 3.133.)

C) Calcul de la contrainte d’incurvation du câble sur la poulie (σ3)

Cette dernière contrainte nous est donnée par la relation empirique :

3 0 8 . Ed

dcable

fil

poulie

(éq. 3.134.)

D) La contrainte globale dans le câble (σcâble) sera :

cable 1 2 3 (éq. 3.135.)

Laquelle contrainte devra être inférieure à la contrainte admissible dans le câble !

E) Recherche de la section nette du câble (Acâble)

Si nous ne tenons pas compte du poids du câble dans un premier temps, nous aurons :

cable

cable cable

adm

F

A

m a

A

charge

3


Application 3.10. Un câble d’acier comporte 6 torons de 19 fils de 1 mm de diamètre. L’acier à unerésistance à la rupture de 200 daN/mm2. Quelle sera la charge maximale admissible sachant que lecoefficient de réduction est de 15 % de la charge admissible et que le coefficient de sécurité est de 5 ?

Application 3.11. Quelle est la section nette d’un câble d’ascenseur sachant que celui-ci doit reprendreune charge de 20000 N subissant une accélération de 1 m/s2. L’acier utilisé a une résistance à la tractionde 2000 N/mm2 et un coefficient de réduction de 20 %.

AF m a

cable

adm

charge

3

(éq. 3.137.)

C’est avec cette section que l’on pourra calculer le poids du câble et vérifier alors la bonne tenuede celui-ci.

Solution :Section du fil :

Ad

mmfil

fil

2 2

2

4

1

40 785.

Section du câble :

A A nbs nbs mmcable fil fil torons . . 0 785 19 6 89 5 2

Contrainte admissible :Si on admet une réduction de 15 % :

admmR

SN mm 085 085

2000

5340 2. .

Recherche de la charge admissible

admadm

cable

adm adm cable

N

AN A N

.340 89 5 30430

Solution :La section du câble est donné par :

AF m a

cable

adm

charge

3

Recherche de la force et de la masse

F N et mF

gkg 20000

20000

9 812040charge

.

Recherche de la contrainte admissibleOn prendra un coefficient de sécurité égal à 12 pour tenir compte notamment de la contrainted’incurvation


Application 3.12. Un wagon de funiculaire (masse totale ), tracté par un câble de 500 mm kg 3000

de long, gravit une pente de 100 % (45°). Il atteint une vitesse de 3 m/s en 2.5 s. Calculer la section ducâble, sa masse et son allongement.

On prendra ; ; . adm cable N mm 100 2 E N mmcable 120000 2 acier kg m 7800 3

PT

T’

45°


admmR

SN mm 080 080

2000

121333 2. . .

Section nette du câble :

A

F m ammcable

adm

.

charge

3

220000 2040 1

1333165

Solution :

N

AA

Nadm

adm

Il “suffit” dès lors de déterminer la valeur de l’effort N quesubit le câble.

Cette valeur est constituée de 4 parties :

l’effort du à la masse du funiculaire mfuniculaire; l’effort d’inertie du funiculaire; le poids du câble (dans la direction de la pente); l’effort d’inertie du câble.

P

A

F

A

m g

A

F

Acable

in funiculaire

cable

cable

cable

in cable

cable

adm

sin sin

45 45

m g

A

m a

A

A l g

A

A l a

A

funiculaire funiculaire cable cableadm

sin sin 45 45

Ce qui nous permet de mettre en évidence la section du câble :

m g a

l g aA

funiculaire

adm cable

cable

sin

sin

45

45

Recherchons l’accélération. C’est un MRUA :

v v a t a a m s 023 0 2 5 12. .

Et donc la section minimale du câble vaut :

3000 9 81 45 12

10010 500 7800 9 81 45 12357

6

2. sin .

. sin .

mm Acable

La masse du câble, avec la section nette, vaut :


m V A l

kg

cable

357 10 500 7800 13926

Recherchons l’allongement. La force N qui tend à allonger le câble sera égale à :

N Effort Fm

g F

N

in funiculairecable

in cable

sin

. . sin .

245

20810 3000 121392

29 81 45 1392 12

30910

Remarque :Nous avons pris la moitié du poids du câble car celui-ci est réparti sur toute la longueurdu câble.

Et donc l’allongement total vaut :

lN l

E Am

0

6 6

30910 500

12000010 357 100 361.


Application 3.13. Une poutrelle HEB,repéré 1 sur la figure, supporte un effort decompression de 50000 daN. La poutrelle estsoudé sur un plat carré en acier de côté brepéré 2. L’ensemble repose sur un supportcirculaire 3 en béton de diamètre d posé àmême le sol.a) Calculer la section (dénomination) de la

poutrelle si la contrainte admissible del’acier est de 100 N/mm2.

b) Déterminer le coté b du carré 2 si lacontrainte admissible en compression dubéton est de 4 N/mm2.

c) Calculer le diamètre d du socle 3 si lacontrainte admissible à l’écrasement dusol est de 25 N/cm2

d) Quel hauteur h faut’il donner au bloc debéton ?

On négligera le poids de la poutrelle.

.béton kg m 2 400 3

3.10. Socle

Solution : a) Recherche de la section de la poutrelle HEB

N

AA

Nmm

HEB

adm acier HEB

adm acier

500000

1005000 2

La poutrelle HEB 160 convient avec une section A cmHEB 54 3 2.

b) Recherche du côté b du plat en acier

N

AA

Nmm cm

plat

adm béton plat

adm béton

500000

4125000 12502 2

A b b A cm cmplat plat 2 1250 354 36.

c) Recherche du diamètre du socleEn principe il faut tenir compte du poids du béton du socle. Comme on ne connaît pas sa hauteuril nous est impossible de déterminer, par avance, le poids de ce socle. D’où, on n’en tiendra pascompte dans un premier temps.Donc, en ne tenant pas compte du poids du béton, nous avons :

N

AA

Nmm cm

socle

adm sol socle

adm sol

500000

0 252 000000 200002 2

.

Ad

dA

cm cmsoclesocle

2

4

4 4 20000159 6 160.



d) Recherche de la hauteur du soclePente à 45° pour avoir que de la compressiondans le socle en béton (voir fig. 3.18.).Pour le calcul de la hauteur, on pourrait prendresoit la coupe AA, soit la coupe BB. On doitprendre impérativement la longueur la pluslongue (c’est celle qui donnera la hauteur la plusgrande). Et donc, pour la coupe AA, nousavons :

hd b

mAAsol

2

16 0 36

20 62

. ..

La coupe BB nous donnerait une hauteur :

hd b

m

BBsol

2

2

16 2 0 36

2055

. ..

Vérification en tenant compte du poids du béton :

N

Ag h

solbéton adm sol

50010

16

4

2400 9 81 0 62 26310 250103

2

3 3 2

.. .

?!

N m KO

Augmentons le diamètre du socle et prenons 1.7 m. La contrainte au sol devient :

sol N m OK 232 10 2503 2

La hauteur du socle devient, suivant la coupe AA :

hd b

mAAsol

2

17 0 36

20 67

. ..

Et comme la hauteur a augmenté, le poids du béton aussi, mais de manière faible. Si on refait unevérification, on trouve :

. sol N m OK 23610 2503 2

fig.3.17. - Calcul hauteur du socle.


chapitre 3. traction - compression - 3.1 - …traction)x.pdf · de cette relation, on tire les...

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