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Chapitre 29

Application des premier et second principes à la conversion d'énergie

Les machines thermiques

Contents

1 La thermodynamique, la science des machines 31.1 Naissance de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Convertir de l'énergie : la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Fournir du travail ou fournir de la chaleur : le moteur et le récepteur thermique . . . . . . 4

2 Bilans énergétiques et entropiques d'une machine thermique 42.1 De l'impossibilité d'un moteur monotherme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Bilans énergétique et entropique d'une machine ditherme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Le diagramme de Raveau : les di�érents types de fonctionnement de la machine ditherme 62.4 Le moteur thermique ditherme : fonction et rendement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Le récepteur thermique ditherme : fonction et e�cacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Quelques exemples de machines thermiques 123.1 Le moteur ditherme idéal : le cycle de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Un moteur ditherme réel : le moteur à explosion et le cycle de Beau de Rochas . . . . . . 14

4 Bilans énergétique et entropique des machines à écoulement permanent 174.1 Un système ouvert délimité par une surface de contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Conservation de la matière : la variation de masse d'un système ouvert est égale à la

somme algébrique de la matière entrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3 Régime stationnaire et conservation du débit massique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4 Premier principe pour les systèmes en écoulement permanent . . . . . . . . . . . . . . . 184.5 Utilisation du diagramme du frigoriste (p,h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.6 Exemple d'une machine frigori�que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

MPSI Chapitre 29 - Machines thermiques 2017-2018

Les prérequis du lycée

• Énergie interne

Les prérequis de la prépa

• Système thermochimique, système ouvert, fermé, isolé

• Énergie cinétique, énergie potentielle

• Interactions de Van der Waals

• Énergie interne, capacité thermique.

• Corps pur diphasé, diagramme PT, diagramme de Clapeyron

• Premier principe

• Enthalpie ; enthalpie de changement de phase.

• Second principe, entropie échangée, entropie créée.

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1 La thermodynamique, la science des machines

1.1 Naissance de la thermodynamique

(Prise de notes)

Une machine est un système qui réalise une conversion d'énergie.Jusqu'au XIXe siècle, les machines étaient mécanique :• levier, poulie, plan inclinée...

• convertissaient énergie fournie par l'homme ou l'animal ;

• convertissaient énergie potentielle en énergie mécanique...

Au XIXe, avec l'apparition de la mahine à vapeur, les ingénieurs ont imaginé et développé d'autresmoteurs thermiques ainsi que d'autre machine thermique (frigo).

C'est en étudiant les machines que les théoriciens du XIXe siècle sont arrivé à dé�nir l'énergie, chaleur,entropie et énoncé les principes de la thermodynamique.

1.2 Convertir de l'énergie : la machine

♦ Dé�nition : Une machine est un système permettant la conversion d'énergie.

Exemple

• Barrage : Énergie potentielle en travail mécanique

• Levier : Travail mécanique en énergie potentielle

• Cheval...

♦ Dé�nition :Une machine thermique permet de convertir un travail en transfert thermique ouinversement.

C'est un système dans lequel un �uide, appelé agent thermique ou �uide caloporteur, subitune transformation cyclique, ce qui permet une conversion d'énergie.

(Prise de notes)

Remarques

• La machine est l'ensemble �uide caloporteur + sources de chaleur.

• Le système qu'on étudiera : le �uide caloporteur.

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1.3 Fournir du travail ou fournir de la chaleur : le moteur et le récepteurthermique

♦ Dé�nition :Un moteur thermique est une machine qui fournit globalement, c'est-à-dire sur un cyclecomplet, du travail au milieu extérieur.

Moteur thermique⇔ Wcycle < 0

Exemple

Moteur à combustion, centrale thermique, réacteur d'avion...

♦ Dé�nition :Un récepteur thermique est une machine qui consomme globalement, c'est-à-dire sur uncycle complet, du travail du milieu extérieur. Il fournira, en échange, de la chaleur.

Récepteur thermique⇔ Wcycle > 0

2 Bilans énergétiques et entropiques d'une machine thermique

2.1 De l'impossibilité d'un moteur monotherme

(Démo à savoir refaire)L'objectif était, à partir du XIXe siècle, de fournir du travail à partir d'une source de chaleur.

D'après le premier principe, on peut convertir du transfert thermique en travail. Un système peut-ilfournir du travail en recevant du transfert thermique de la part d'une seule source de chaleur ?

Système : un �uide subissant une transformation cyclique.

Application du premier principe au �uide

∆U = W +Q

or la transformation est cyclique, donc l'état initial et l'état �nal sont identique, donc ∆Ucycle = 0. D'où

Wcycle = −Qcycle

Application du second principe au �uide

∆Scycle = Sech + Scréée ≥ Sech

avec Sech =Qcycle

T. La transformation est cyclique, donc ∆Scycle = 0. Donc

Sech =Qcycle

T≤ 0

et doncWcycle ≥ 0

O Conclusion :Un cycle monotherme moteur est impossible !

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Énoncé historique du second principe par Kelvin

Un système décrivant un cycle monotherme ne peut que recevoir du travail et fournirdu transfert thermique.

machine monotherme⇒ W ≥ 0 et Q ≤ 0

Conséquence : Il faudra échanger de la chaleur avec au moins 2 sources de chaleur.

2.2 Bilans énergétique et entropique d'une machine ditherme

(Démo à savoir refaire par coeur)Système : �uide caloporteur

Le �uide reçoit algébriquement• du travail W

• du transfert thermique Qc de la part d'une source chaude de température Tc, et du transfert ther-mique Qf de la part d'une source froide de température Tf < Tc.

Premier principe

∆U = W +Qc +Qf = 0

Second principe

∆S ≥ Qc

Tc+Qf

Tf

donc

Qc

Tc+Qf

Tf≤ 0 inégalité de Clausius

Remarques

• Il y a égalité dans le cas où le cycle est réversible.

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2.3 Le diagramme de Raveau : les di�érents types de fonctionnement dela machine ditherme

(Prise de notes)

Diagramme de Raveau :• axe des abscisses : transfert thermique Qf avec la source froide ;

• axe des ordonnées : transfert thermique Qc avec la source chaude.

D'après le premier principe, le cycle est

• moteur si et seulement siW < 0 donc si et seulement siQc +Qf > 0.L'ensemble des moteurs thermiques se situe de la seconde bissectrice.

• récépteur si et seulement siW > 0 donc si et seulement siQc +Qf < 0.L'ensemble des recepteurs thermiques se situe de la seconde bissectrice.

Les parties accessibles sont données par l'inégalité de Clausius (second principe)

• accessible si et seulement siQc ≤ −TcTfQf .

L'ensemble des machines thermiques possibles se situe sous la droite d'équation Qc = −TcTfQf

• inaccessible si et seulement siQc ≥ −TcTfQf .

Toute machine située au-dessus de la droite d'équation Qc = −TcTfQf ne peut exister.

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On distingue alors 4 zones accessibles

• Zone 1

- W < 0 : fonctionnement moteur de la machine ditherme

- Qc > 0 et Qf < 0 : la machine reçoit de la chaleur de la part de la source chaude, en convertitune partie en travail W et transfert le reste à la source froide. ù

Remarque : Si Tc = Tf , la zone 1 disparait, il n'y a plus de cycle moteur : le moteurmonotherme n'existe pas.

• Zone 2

- W > 0 : fonctionnement récepteur de la machine ditherme

- Qc > 0 et Qf < 0 : on fournit du travail à la machine pour transférer du travail de lasource chaude vers la source froide, ce qui se fait naturellement sans machine... Bref, c'est unventilateur. ù Ventillo

• Zone 3


- Qc < 0 et Qf < 0 : on convertit du travail W en chaleur fournit aux deux sources. ù Shadok

• Zone 4


- Qc < 0 et Qf > 0 : on fournit du travail à la machine pour transférer du travail de la sourcefroide vers la source chaude, c'est-à-dire l'opposé de ce qui ce fait naturellement ù Frigo

2.4 Le moteur thermique ditherme : fonction et rendement

Principe de Carnot (1824)

Pour qu'un système décrive un cycle moteur, il doit nécessairement échanger de l'énergie ther-mique avec au moins deux sources à des températures di�érentes, en prélevant de l'énergie àla source chaude et en la restituant à la source froide.

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♦ Dé�nition : On dé�nit un rendement (ou une e�cacité) comme étant le rapport de laquantité utile sur la quantité qui nous coûte

η =quantité utile

quantité coûteuse

♦ Dé�nition :Le rendement d'un moteur thermique est le rapport du travail utile W , fournit au milieuextérieur, sur le transfert thermique Qc prélevé à la source chaude.

η =−WQc

Remarques

• Le transfert thermique Qf n'intervient pas, car il n'est pas utile, et ne nous coûte rien non plus.

(Démo à savoir refaire par coeur)

Premier principe

W = −Qf −Qc ⇒ η = 1 +Qf

Qc

Second principeQc

Tc+Qf

Tf≤ 0⇔ Qc

Qf

≤ −TfTc

et donc

η ≤ 1− TfTc

Théorème de Carnot

Le rendement d'un moteur thermique ditherme est inférieur à une valeur limite, appeléerendement de Carnot, fonction de la température des deux sources

η ≤ 1− TfTc.

Le rendement de Carnot est obtenu pour le cas limite du cycle moteur réversible.

(Prise de notes)

Remarques

• Le coût d'une irréversibilité se traduit par une baisse du rendement.

• Si Tc � Tf , le rendement de Carnot tend vers 1 : Ce que les ingénieurs du XIXe avaient comprisempiriquement. Ils cherchaient à augmenter la pression des chaudières des machines à vapeur, etdonc leur température, pour augmenter le rendement.

• Comparer le rendement réel au rendement de Carnot peut-être utile pour développer ou améliorerun moteur

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- Si un moteur à un rendement réel de 23% et le rendement théorique de Carnot est de 37%, onpourra chercher à améliorer le système, rechercher les pertes, les causes d'irréversibilité, pourtendre vers ce rendement.

- Si le rendement de Carnot est de 25%, on cherchera plutôt changer de technologie.

• On dé�nit parfois un second rendement comme étant le rapport du rendement réel sur le rendementthéorique (de Carnot)

ρ =ηreélηCarnot

Exemple

L'ordre de grandeur des rendements de quelques moteurs :

• 10% pour les machines à vapeur ;

• 25% pour les moteurs à combustion interne (essence, diesel) ;

À comparer aux rendements d'autres technologies :

• 90% pour un moteur électrique (mais problème de stockage de l'électricité ; autonomie; alimentation ; production de l'électricité) ;

L'ordre de grandeur des rendements la production électrique :

• 30% pour une centrale nucléaire ;


• 5% à 40% pour le photovoltaïque (coût de production, aléas du soleil, grandes surfaces,terres rares, diminution de l'albedo...) ;

• 60% pour l'éolien (mais nuisance sonores, visuelles, perturbation de la faune, aléas duvent) ;

• 60% pour une pile à combustible (mais problème de stockage de l'hydrogène, coût,membrane poreuse...) ;

• 90% pour l'hydraulique (mais destruction d'écolsystème, de terres agricaoles, de village,modi�cation de l'érosion... et tout est déjà fait en France) ;

Machine à vapeur, moteur, centrale nucléaire

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2.5 Le récepteur thermique ditherme : fonction et e�cacité

(Prise de notes)

L'intérêt des récepteurs dithermes est de faire remonter, à contre courant, le transfert thermique dela source froide à la source chaude. Les récepteurs sont utilisées pour• refroidir la source froide : réfrigérateur, climatiseur ;

• réchau�er la source chaude : pompe à chaleur.

prof

prof

♦ Dé�nition : On dé�nit toujours le rendement, appelée e�cacité dans le cas des récepteurs,ou coe�cient de performance (COP) dans le cas des pompes à chaleur, comme étant le rapportde la quantité utile sur la quantité coûteuse

e =tansfert thermique utile

travail fournit

(Démo à savoir refaire par coeur)

L'expression de l'e�cacité dépend donc de l'utilisation du récepteur

efrigo =transfert thermique prélevé à la source froide

travail fournit=Qf

W

ePAC = COP =transfert thermique fourni à la source chaude

travail fournit= −Qc

WPremier principe

W = −Qf −Qc

d'où

efrigo =Qf

W=

Qf

−Qf −Qc

= − 1

1 + QcQf

(1)

ePAC = −Qc

W=

−Qc

−Qf −Qc

=1

1 +QfQc

(2)

Inégalité de Clausius (second principe)

Qc

Tc+Qf

Tf≤ 0⇔ Qc

Qf

≤ −TcTf

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d'où

efrigo ≤1

TcTf− 1

=Tf

Tc − Tf(3)

ePAC ≤1

1− TfTc

=Tc

Tc − Tf(4)

L'e�cacité d'un récepteur thermique ditherme est inférieure à une valeur limite, appeléee�cacité de Carnot, fonction de la température des deux sources

efrigo ≤Tf

Tc − TfePAC ≤

TcTc − Tf

.

L'e�cacité de Carnot est obtenue pour le cas limite du cycle récepteur réversible.

(Prise de notes)

Remarques

• L'e�cacité théorique est supérieure à 1.

• Le coût d'une irréversibilité se traduit par une baisse de l'e�cacité.

• L'e�cacité croit si Tc tend vers Tf . C'est bien tout le problème...

• On cherche à trouver une source froide ou chaude de température la plus proche de celle désiréepour l'autre source.

• On dé�nit parfois un second rendement comme étant le rapport de l'e�cacité réelle sur l'e�cacitéthéorique (de Carnot)

ρ =ereélleeCarnot

Exemple

L'ordre de grandeur des e�cacités de quelques pompe à chaleur :

• 4 pour une pompe à chaleur (théorique 15− 20)


• 0, 9 pour une chaudière à mazout (origine du chi�re ?) ;

• 1 pour un radiateur électrique ;

L'ordre de grandeur des e�cacités de quelques réfrigérateurs :

• 0, 3− 0, 4 pour un réfrigérateur (théorique 15− 20) (pourquoi si faible ?)


• 0, 1 pour un peltier.

Application 1 : Fonctionnement d'un réfrigérateur

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On considère le �uide caloporteur d'un réfrigérateur qui reçoit untravail W et un transfert thermique Q1 de la part de la source froide(l'intérieur du réfrigérateur) à la température T1. Il cède la chaleur Q2

à la source chaude (la cuisine) à la température T2.

1 Faire un schéma où vous représenterez les sources et les échangesd'énergie.

2 Calculer l'e�cacité dans le cas où le cycle est réversible.

3 Calculer l'e�cacité réelle sachant que

(Q2

Q1

)réel

= k

(Q2

Q1

)rev

.

4 Application numérique : T1 = 4◦C, T2 = 19◦C, k = 15

3 Quelques exemples de machines thermiques

3.1 Le moteur ditherme idéal : le cycle de Carnot

(Prise de notes)

Le cycle ditherme théorique, réversible, donnant le rendement de Carnot est appelé cycle de Carnot.

Construisons ce cycle.• Les échanges thermiques entre 2 corps à températures di�érentes sont irréversible. Les transfertsthermiques avec les sources froide et chaude, dans le cycle de Carnot, doivent nécessairement sefaire à la température des sources : Ce sont donc deux isothermes à Tc et Tf .

• Le passage d'une isotherme à l'autre doit être isentropique. Ce seront des compressions ou desdétentes réversibles. Pour un gaz parfait par exemple, elles suivront les lois de Laplace.

Cas d'un gaz parfait

Diagramme de Clapeyron (P, v) Diagramme entropique (T, s)

Isotherme Isotherme

Pv = RT ⇔ P = RT × 1

vC'est une hyperbole C'est une horizontal

Isentropique Isentropique

Pvγ = cste⇔ P = cste× 1

vγC'est une courbe plus raide qu'une hyperbole C'est une verticale

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or comme W +Q = 0, les aires sont égales

Cas d'un corps pur diphasé

Diagramme de Clapeyron (P, v) Diagramme entropique (T, s)

Isotherme IsothermeC'est isotherme d'Andrews C'est une horizontal

Isentropique IsentropiqueC'est une isentropique C'est une verticale

or comme W +Q = 0, les aires sont égales

O Conclusion :Cycle de Carnot

1. Compression isentropique (adiabatique réversible)

2. Chau�age isotherme

3. Détente isentropique

4. Refroidissement isotherme

ηCarnot = 1− TfTc

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3.2 Un moteur ditherme réel : le moteur à explosion et le cycle de Beaude Rochas

L'inconvénient majeur du cycle de Carnot est que le cycle doit être très lent pour se rapprocher de laréversibilité. L'amélioration du rendement se fait au détriment de la puissance. De plus il est très di�cileà réaliser techniquement.

Une solution, proposé par Beau de Rochas, en 1862, est de remplacer les isothermes par deux isochores:• une combustion interne rapide et isochore ;

• un refroidissement rapide et isochore (par évacuation des gaz)

Une solution technique pour se rapprocher du cycle de Beau de Rochas est le moteur à explosion ditquatre temps.

Description du cycle réel du moteur quatre temps :

profAdmission : Le cycle commence au point

mort haut (A), quand le piston est à sonpoint le plus élevé. Pendant le premier tempsle piston descend jusqu'à son point le plus bas(B). C'est l'admission, un mélange d'airet de carburant venant du carburateur ou del'injection est aspiré dans le cylindre via lasoupape d'admission.

Compression : La soupape d'admissionse referme, le piston remonte comprimant lemélange admis.

Combustion-Détente : Le mélange air-carburant est alors en�ammé, habituellementpar une bougie d'allumage, aux environs dudeuxième point mort haut (remontée com-plète du piston (C)). La pression des gazportés à haute température produit une ex-plosion lors de la combustion et force le pis-ton à descendre pour le troisième temps (combustion-détente (CDE)). Ce mouvement est le seultemps moteur (produisant de l'énergie directe-ment utilisable).

Échappement : Lors du quatrième etdernier temps la soupape d'échappement s'ouvre(E) pour évacuer les gaz brulés poussés parla remontée du piston (A).

profù

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Modélisation :

On considérera

• Que le "cycle" AB BA est sans hystérésis : on ne le comptabilis-era pas.

• On considérera comme système le mélange inclus dans le cylindreentre la fermeture de la soupape d'admission et l'ouverture de lasoupape d'échappement.

• On considerera que, malgré la combustion (et donc la réactionchimique), la composition du mélange ne varie pas : l'essencevaporisée et les gaz résultants de la combustion sont négligeablesdevant la quantité d'air introduite dans le piston. Bref, la quantitéde matière sera considérée comme constante au cours du cycle.

• On modélisera le mélange par un gaz parfait.

Le cycle est alors modélisé par un cycle de Beau de Rochas

• BC : Compression rapide, modélisée par une adiabatique réversible ;

• CD : Transformation isochore : l'énergie libérée par la combustion est modélisé par le transfertthermique Qc reçu de la part d'une source chaude à Tc ;

• DE Détente rapide, modélisée par une adiabatique réversible ;

• EB L'ouverture de la soupape se traduit par une chute brutale, isochore, de la pression.

Calcul du rendement théorique du moteur à explosion(Exercice classique à savoir refaire)

Portion BC, modélisée par une adiabatique réversible d'un gaz parfait de coe�cient γ constant. Onapplique les lois de Laplace

TBVγ−1max = TCV

γ−1min ⇔

TCTB

=

(Vmax

Vmin

)γ−1

= αγ−1

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Portion DE, modélisée par une adiabatique réversible d'un gaz parfait de coe�cient γ constant. Onapplique les lois de Laplace

TDVγ−1min = TEV

γ−1max ⇔

TDTE

=

(Vmax

Vmin

)γ−1

= αγ−1

D'oùTBTC

=TETD

Portion CD, modélisée par une isochore

WCD = 0

donc, d'après le premier principe et la loi de Joule

Qc = QCD = ∆UCD =nR

γ − 1(TD − TC)

Portion EB, modélisée par une isochore

WEB = 0

donc, d'après le premier principe et la loi de Joule

Qf = QEB = ∆UEB =nR

γ − 1(TB − TE)

Par dé�nition du rendement

η = −WQc

= 1 +QEB

QCD

= 1 +TB − TETD − TC

= 1− TE − TBTD − TC

= 1− TETD

1− TBTE

1− TCTD

= 1− α1−γ

η = 1− α1−γ

avec α = Vmax

Vminle taux de compression du moteur.

Remarques

• Plus ce taux est élevé, meilleur sera le rendement.

• En pratique, ce taux de compression est de l'ordre de 10, d'où un rendement théorique de 60%.

• En pratique, le rendement est de l'ordre de 30% à cause de la non réversibilité des compressions etdétente, de l'hystérésis de la phase d'admission et d'échappement, de frottements...

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4 Bilans énergétique et entropique des machines à écoulement

permanent

Pourquoi s'intéresser aux systèmes ouverts ? de nombreux systèmes fonctionnent avec des �uides enécoulement (réfrigérateur, climatiseur...) avec variation d'énergie mécanique (réacteur d'avion...)

4.1 Un système ouvert délimité par une surface de contrôle

♦ Dé�nition :Un système thermodynamique est ouvert s'il échange de la matière avec le milieuextérieur, par opposition avec un système fermé qui n'échange que de l'énergie.

Un système ouvert est dé�ni par la surface le délimitant, appelé surface de contrôle. Onparle de section d'entrée une surface d'échange orientée vers l'intérieur du système, et de sectionde sortie une surface d'échange orientée vers l'extérieur. Un accès désigne une entrée ou unesortie, orientée vers l'intérieur par défaut.

4.2 Conservation de la matière : la variation de masse d'un système ou-vert est égale à la somme algébrique de la matière entrante

♦ Dé�nition :Le débit de masse ou débit massique à travers une surface S est le rapport de la masse δmqui traverse S entre les instants t et t+ dt :

Dm =δm

dt. ♥

On relève ici l'analogie avec l'intensité du courant électrique i = δqdt.

Dans le cas où la vitesse des particules traversant la section S d'une conduite est uniforme, les particulestraversant S pendant dt sont comprises dans un cylindre de hauteur vdt. En notant la masse volumiqueµ du �uide, on évalue la masse δm de ce petit volume par Dm = µSv.

Le débit massique d'un écoulement de �uide à la vitesse v uniforme à travers la surface S d'uneconduite de masse volumique µ uniforme sur S est Dm = µSv.

Cas général : le débit massique est le �ux de masse à travers une surface Dm =sSµ~v ·−−→d2S.

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La variation de masse dm contenu dans un système ouvert entre les instants t et t + dt estégale à la somme des débits entrants dans le système

dmdt

=n∑k=1

Dm,k. ♥

4.3 Régime stationnaire et conservation du débit massique

ex chaudière mise en route : transitoire puis permanent.♦ Dé�nition :On appelle régime stationnaire le mode de fonctionnement au cours duquel, en tout pointdu système, les grandeurs intensives sont constantes.

En régime stationnaire, la masse volumique en tout point d'un système ouvert Σ est constante. Lamasse m incluse dans ce système est donc constante

régime stationnaire⇒ dmdt

= 0

En régime stationnaire, la conservation de la matière se traduit par la nullité de la sommedes débits entrants et sortants dans un système ouvert

régime stationnaire⇒n∑k=1

Dm,k = 0 ♥

Remarques

• Dans le cas d'un système ne comportant que 2 accès, le débit entrant et égal au débit sortantDm,e = Dm,s = Dm.

• Il y a conservation du débit tout au long d'une conduite.

• Ces résultats ne sont pas sans rappeler la loi des noeuds et l'égalité du courant dans une branche.

4.4 Premier principe pour les systèmes en écoulement permanent

• Soit Σ un système ouvert. On va réaliser un bilan d'énergie (premier principe) sur un système fermédé�ni de la manière suivante :

- À l'instant t, le système système est constitué du �uide contenu dans Σ et du �uide contenudans Σe qui va pénétrer dans Σ pendant dt. La masse de �uide contenu dans Σe est doncdm = Dmdt = µeveSedt.

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- À l'instant t+ dt, le système est consitué du �uide contenu dans Σ et du �uide contenu dansΣs qui est sorti de Σ pendant dt. La masse de �uide contenu dans ΣS est donc dm = Dmdt =µsvsSsdt = µeveSedt.

• Entre t et t+ dt, le système reçoit comme travail

δW = δWu + δWe + δWs

avec δWu le travail autre que celui des forces de pression, δWe le travail des forces de pression enamont et δWs celui en aval.

δW = Pudt+ pedVe − psdVs = Pudt+ peveSedt− psvsSsdt = Pu +peµe

dm+psµs

dm

avec Pu la puissance dans des forces autres que celles de pressions.

• D'après le premier principe appliqué au système ferme Σ′ = Σ + Σa(t) = Σ + Σs(t+ dt)

EΣ′(t+ dt)− EΣ′(t) = δW + φthdt

avec φth la puissance thermique reçue par le système à travers sa frontière. En posant ee l'énergiemassique du système Σe et es l'énergie massique du système Σs, on obtient

EΣ′(t+dt)−EΣ′(t) = δW +φthdt⇔ EΣ(t+dt) +dm.es−EΣ(t)−dm.ee = Pudt+peµe

dm+psµs

dm

Or, en régime stationnaire, EΣ′(t+ dt) = EΣ′(t). Donc

EΣ′(t+ dt)− EΣ′(t) = δW + φthdt⇔ dm.es − dm.ee = Pudt+peµe

dm+psµs

dm

En remplaçant les énergies massiques par leurs expressions

dm (us + em,s)− dm (ue + em,e) = Pudt+peµe

dm+psµs

dm+ φthdt

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où em,e = 12v2e + gze et em,s = 1

2v2s + gzs.

dm (us + em,s)− dm (ue + em,e) = Pu +peµe

dm+psµs

dm+ φthdt

⇔ dm

(us +

psµs

+ em,s

)− dm

(ue +

peµe

+ em,e

)= Pudt+ φthdt

⇔ dm (hs + em,s)− dm (he + em,e) = Pudt+ φthdt

⇔ Dm

[(us +

psµs

+ em,s

)−(ue +

peµe

+ em,e

)]= Pu + φth

⇔ Dm [(us + psvs + em,s)− (ue + peve + em,e)] = Pu + φth

Premier principe pour un système en écoulement permanent ♥

En régime stationnaire, la di�érence de l'enthalpie massique et de l'énergie mécanique massiqueentre la sortie et l'entrée d'un système ouvert, multipliée par le débit massique Dm est égaleà la puissance Pu reçue des forces non conservatives autres que les forces de pression et à lapuissance thermique φth reçue

Dm [(hs + em,s)− (he + em,e)] = Pu + φth

Remarques

• Expression en grandeur massique : (hs + em,s)− (he + em,e) = wu + q.

• Cas où il n'y a pas de dénivelé : Dm

[(hs + 1

2v2s

)−(he + 1

2v2e

)]= Pu + φth.

• Cas où il n'y a ni dénivelé ni changement de vitesse : Dm (hs − he) = Pu + φth.

• Cas de la détente de Joule-Kelvin : hs − he = 0.

4.5 Utilisation du diagramme du frigoriste (p,h)

Description du diagramme

Dans le cas des machines à écoulement où le �uide subit un changement de phase, un diagrammes'avère bien adapté à leur étude : le diagramme du frigoriste (p, h) car ses axes sont gradués en :• enthalpie massique h en abscisses ;

• pression p en ordonnées, souvent donnée en échelle logarithmique car la gamme de pression usuelles'étend sur plusieurs ordre de grandeur.

Comme sur le diagramme de Clapeyron, on distingue trois zones : liquide, vapeur, liquide+vapeur, délim-itées par les courbes de rosée et d'ébullition se rencontrant au point critique.

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Isobares et isotermes

Les isobares sont des droites horizontales. Dans la zone liquide-vapeur, elle sont confondues avec lesisothermes. Dans la zone de vapeur sèche, les isothermes tendent vers de verticales. En e�et, plus ons'éloigne de la zone L+V, le gaz se rapproche d'un GP, et les isothermes tendent vers des isenthalpiquesd'après la seconde loi de Joule.

Dans la zone de vapeur sèche, l'état du �uide est donné par l'intersection de l'isobare et de l'isotherme.

Le cas liquide seul n'est en générale jamais atteint dans une machine thermique.

Isotitre

Dans la zone L+V, isothermes et isobares sont confondus. L'état du �uide est donné par l'intersectiondes isobares et des isotitres en vapeur.

Isenthalpique et isentropique

À chaque état du système correspond une valeur d'enthalpie massique. Les isenthalpiques sont bien-sûrdes verticales ici.

À chaque état du système correspond aussi une valeur d'entropie massique, qu'on peut lire à l'aide d'unréseau d'isentropique. Ces courbes sont croissantes. En e�et, d'après la seconde identité thermodynamique

dh = Tds+ vdp

or, le long d'une isentropique, ds = 0, doncdhdp

= v > 0.

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4.6 Exemple d'une machine frigori�que

On reprend ici l'étude d'un récepteur ditherme entamé au paragraphe 2.5, une machine frigori�queici, en l'illustrant dans un schéma de réalisation très courant. On conduit l'étude à l'aide du diagramme(p, h) présenté ci-dessus.

Détail du cycle

• Partant du point (1) où il est dans l'état de vapeur juste saturante (x = 1) à la températureT1 = 4◦C, le �uide subit une compression adiabatique réversible le menant à l'état (2) à lapression p2 = 5, 5 bar.

• L'évolution 2-3 est un refroidissement isobare (p = p2) : le �uide voit sa température diminuéedans un premier temps, puis se liqué�e jusqu'à l'état de liquide juste saturant (x = 0).

• La détente 3-4 est une détente isenthalpique de type Joule-Kelvin, jusqu'à atteindre la pressioninitiale p1.

• L'évolution 4-1 est un réchau�ement isobare jusqu'à l'état (1). C'est la phase au cours de laquellel'énergie est prélever à l'intérieur du réfrigérateur.

Enthalpies massiques

• État 1 : p1 = 3, 3 bar, x = 1 donc h1 = hv(T1) = 400 kJ · kg−1 ;

• État 2 : p2 = 5, 5 bar, h2 = 410kJ · kg−1 ;

• État 3 : T3 = 19◦C, p3 = 5, 5 bar, h3 = hl(T3) = 225kJ · kg−1 ;

• État 4 : x4 = 0, 1, T1 = 4◦C, p1 = 3, 3 bar, loi des moments h4 = (1− x4)hl(T1) + x4hv(T1) =225kJ · kg−1.

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Bilan énergétique

• Le transfert thermique de la source froide vers le �uide est la grandeur utile :

qf = h1 − h4 = 175kJ · kg−1 > 0.

• Le travail massique de compression est la grandeur coûteuse : wc = h2 − h1 = 10kJ · kg−1 > 0

Par dé�nition de l'e�cacité de la machine

e =qfwc

=h1 − h4

h2 − h1

= 17, 5

Performance de l'installation

On compare l'e�cacité réelle à l'e�cacité de Carnot :

eCarnot =Tf

Tc − Tf= 18, 5 > e

Source irréversibilité :• Partie 2-3 au cours de laquelle le �uide passe de T2 à T3 = Tf ;

• La détente de Joule-Kelvin irréversible (inhomogénéité de pression).

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Le programme : ce qu'il faut savoir faire

Notions et contenus Capacités exigibles5. Machines thermiques .Application du premier principe et du deux-ième principe aux machines thermiques cycliquesdithermes : rendement, e�cacité, théorème deCarnot.

Donner le sens des échanges énergétiques pourun moteur ou un récepteur thermique ditherme(Paragraphes 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 3.2, 4.5 ; appli-cation 1 ; exercices 1 à 4, 6 à 8).

Analyser un dispositif concret et le modéliser parune machine cyclique ditherme (Paragraphe 3.2; exercices 2, 3 et 4) .

Dé�nir un rendement ou une e�cacité et la re-lier aux énergies échangées au cours d'un cycle.Justi�er et utiliser le théorème de Carnot (Para-graphes 2.4, 2.5, 4.5 ; application 1 ; exercices 1à 8).

Citer quelques ordres de grandeur des rende-ments des machines thermiques réelles actuelles(Paragraphes 2.4, 2.5, 3.2 ; exercices 2, 4).

Exemples d'études de machines thermody-namiques réelles à l'aide de diagrammes (p, h).

Utiliser le 1er principe dans un écoulement sta-tionnaire sous la forme h2 − h1 = wu + q, pourétudier une machine thermique ditherme (Para-graphes 4.3, 4.4, 4.5 ; exercice 3).

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TD n◦29 - Machine thermique

Exercice 1 : Un dispositif thermodynamiquement avantageux

La température extérieure étant T1 = −23◦C, on veut maintenir dans une serre une température con-stante de T2 = 26◦C. Par un système de chau�age central ordinaire, on brûle une masse m de charbonpar jour, ce qui fournit la quantité massique de chaleur q nécessaire pour compenser les déperditionsjournalières. Les gaz brûlés sont encore, en sortant de la cheminée, à plus de 300◦C.

Un ingénieur vient proposer un dispositif thermodynamiquement plus avantageux, où sont toujoursextraits d'une masse m de charbon brûlé, q Joules par unité de masse, mais sur un temps plus long. Lacombustion du charbon assure d'abord l'entretien de la vapeur d'eau dans une chaudière à T3 = 227◦C.Deux machines de Carnot couplées sont ensuite placées entre les températures T1 et T2 et entre lestempératures T2 et T3. En régime permanent, les températures sont constantes.

1 Dessiner l'organigramme du dispositif proposé.

2 Préciser la nature motrice ou réceptrice des cycles de Carnot.

3 Expliciter, en fonction de q, les quantités d'énergie échangées par les deux machines pour une massem de charbons brûlés.

4 En déduire la quantité d'énergie reçue par la serre pour une masse m de charbons brûlés.

5 Donner la durée ∆t durant laquelle le chau�age est assuré par ce dispositif pour une masse m decharbons brûlés. Commenter.

6 Le moteur est plus e�cace quand la di�érence de température entre source chaude et source froideaugmente. Intuitivement, on aurait pu penser qu'il aurait été plus avantageux de placer le moteurentre la chaudière et l'extérieur. Montrer qu'il n'en n'est rien. Commenter.

Solutions :

3) W = mq

(1− T2

T3

); 4) Q2 = mq

T2

T3

(T3 − T1

T2 − T1

); 5) ∆t = 3 jours ; 6) même résul-

tat. .

Exercice 2 : Moteur Diesel

Ce moteur, inventé par Rudolf Diesel en 1893, est un mo-teur à quatre temps• 1er temps : admissionCette phase est semblable à celle du moteur à essence,mais seul de l'air est aspiré.

• 2ème temps : compressionCette phase est identique à celle du moteur à essence,les soupapes sont fermées.


• 3ème temps : combustion-détenteLe combustible (en général du gazole, moins ra�néque l'essence) est injecté sous pression en haut ducylindre. À la température élevée de l'air comprimé,l'in�ammation se produit spontanément (absence debougie). La combustion progressive produit des gaz quirepoussent le piston ; quand la combustion s'arrête, les gaz se détendent. Ce temps constitue laphase motrice.

• 4ème temps : échappementCette phase est identique à celle du moteur à essence.

On adopte le modèle du moteur Diesel suivant : une même quantité d'un gaz supposé parfait decoe�cient de Laplace constant γ = 1, 4 décrit de manière supposé réversible un cycle d'Otto ABCD.Les évolutions AB et CD sont adiabatiques. L'évolution BC modélise la phase de combustion, provoquéepar l'in�ammation spontanée du mélange, par une évolution isobare au cours de laquelle le gaz reçoit untransfert thermique Qc en provenance d'une source chaude �ctive de température Tc. L'évolution DAest modélisée par une évolution isochore au contact de l'atmosphère jouant le rôle d'une source froide detempérature TA.Le tableau suivant résume les données concernant les di�érents états du gaz.

A B C DP en bar 1,00T en K 323 954V en L 2,40 0,24

1 Compléter le tableau et tracer l'allure du cycle dans un diagramme de Watt.

2 Calculer les travaux et les transferts thermiques reçus par le gaz au cours de chacune des évolutions.

3 Dé�nir et calculer le rendement. Le comparer au rendement de Carnot.

Solutions :1) PB = 44, 3 bar, VB = 0, 16 L, TC = 1, 45.103 K, VC = 0, 24 L, PD = 1, 76 bar, TD = 570 K ;2) WAB = 1, 17 kJ, QAB = 0 kJ, WBC = −0, 35 kJ, QBC = 1, 24 kJ, WCD = −1, 60 kJ, QCD =0 kJ, WDA = 0 kJ, QDA = −0, 46 kJ, 3) η = 63% =, ηCarnot = 77% .

Exercice 3 : Installation frigori�que simple

On étudie un réfrigérateur qui fonctionne selon le cycle de réfrigération à compression de vapeur. Le�uide frigorigène est le R-134a, dont le diagramme des frigoristes logP = f(h) est donné en �n de TD.L'installation comprend un compresseur réel (adiabatique irréversible), un détendeur, un condenseur et un

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évaporateur, ces di�érents organes étant ici donnés dans un ordre quelconque.

Le �uide R-134a entre dans le compresseur sous forme de vapeur surchau�ée à P1 = 1, 4 bar etT1 = −10◦C, avec un débit Dm = 0, 05 kg · s−1. Il en ressort à P2 = 8, 0 bar et à T2 = 50◦C. Il estensuite refroidi dans le condenseur jusqu'à T3 = 26◦C et P3 = 7, 2 bar. Il est alors dans un état liquidesous refroidi. Il subit �nalement une détente dans un robinet de laminage parfaitement calorifugé jusqu'àla pression P4 = 1, 4 bar.

1 Faire un schéma de l'installation.

2 Tracer le cycle dans le diagramme des frigoristes fourni en �n de TD.

3 Expliquer l'origine des légères chutes de pression lors du passage dans le condenseur.

4 Déterminer la puissance thermique extraite du milieu réfrigéré.

5 Déterminer la puissance indiquée de compression.

6 En faisant d'éventuelles approximations, estimer le taux de création d'entropie par unité de tempsdans le compresseur.

7 Déterminer le coe�cient de performance de l'installation.

Solutions :4) φth = 8, 1 kW ; 5) Pu = 2, 0 kW ; 6) δSc

dt= 1, 3 J ·K−1 · s−1 ; 7) e = 4, 1. .

Exercice 4 : Fonctionnement d'une machine à vapeur

Dans une machine à vapeur, une mole d'eau con-tenue dans un cylindre fermé décrit, de manière su�-isamment lente pour pouvoir dé�nir, à tout instant,les grandeurs thermodynamiques P et T , le cycleABCD représenté dans le diagramme de Clapey-ron de la �gure ci-contre (traits pleins). On a tracéen outre, la courbe de saturation (traits pointillés).L'évolution AB est adiabatique. L'évolution CD alieu le long de la courbe de saturation. Au coursde l'évolution CD, on néglige le travail WCD reçupar l'eau. Les évolutions BC et DA sont isobares.Au cours de l'évolution BC, l'eau reçoit algébrique-ment une chaleur QBC d'une source froide dontla température est égale à T ′ = 373K. Au coursde l'évolution DA, l'eau reçoit algébriquement unechaleur QDA d'une source chaude dont la tempéra-ture est égale à T ′′ = TA.

NB : l'arc CD est commun au cycle ABCD et àla courbe de saturation.

Données :

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État A B C DP (bar) 20 1 1 20T (K) ? 373 373 485

Chaleur latente molaire de vaporisation (ou enthalpie molaire de vaporisation) de l'eau :

Lvm(373 K) = 46, 8 kJ.mol−1 à la température T ′ = 373 K

Capacité thermique massique de l'eau liquide (de masse molaire M = 18, 0 g.mol−1) :

c = 4, 2 kJ · kg−1 ·K−1 supposé indépendant de T

1 Indiquer sous quelle forme (liquide, vapeur,...) se trouve l'eau dans chacun des états A,B,C,D.

2 Indiquer, en justi�ant la réponse, le signe du travail W reçu par l'eau au cours d'un cycle ABCD.

3 On dé�nit le rendement thermodynamique de la machine par r =−Wcycle

QCD +QDA

. Montrer que r est

inférieur à un rendement maximum rC (théorème de Carnot) et exprimer le rendement de CarnotrC en fonction des températures T ′ et T ′′.

L'évolution AB est une transformation adiabatique et réversible. Au cours de cette évolution, lavapeur d'eau est assimilée à un gaz parfait de capacité calori�que molaire à volume constantCvm = 41, 40 J.K−1.mol−1 et de coe�cient isentropique γ = Cpm/Cvm = 1, 20.

4 Calculer la température TA et le travail WAB reçu par l'eau au cours de l'évolution AB. Quelle estla signi�cation du signe de WAB ?

5 Calculer le travail WBC et la chaleur QBC reçus par l'eau au cours de l'évolution BC. On négligerale volume molaire de l'eau dans l'état C devant sa valeur dans l'état B où l'eau est assimilée à ungaz parfait.

6 Calculer le travail WDA reçu par l'eau au cours de l'évolution DA. On négligera de même le volumemolaire de l'eau dans l'état D devant sa valeur dans l'état A.

7 7.1 Le travail WCD est supposé négligeable. À l'aide du diagramme de Clapeyron, justi�er briève-ment et qualitativement cette hypothèse. Dtéerminer le transfert thermique QCD

7.2 Calculer le travail total W reçu par l'eau pour un cycle ABCD, puis la chaleur QDA. Calculerles rendements thermodynamiques r et rC dé�nis à la question 3. Les comparer et commenter.

Solutions :

2)W < 0 ; 3) r ≤ 1− T′

T”; 4) TA =

(PBPA

) 1γγ

TB = 615 K , WAB = nRγ−1

(TB−TA) = −10 kJ

; 5) QBC = −nLvm = −46, 8 kJ, WBC = nRTB = 3, 1 kJ, 6) WDA = −nRTA = −5, 1 kJ

; 7) QCD = 8, 5 kJ ; WTot = −12 kJ, QDA = nLvm +nR

γ − 1(TA − TD) = 50 kJ, r = 21 <

rC = 39%

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.

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Pour s'entraîner seul(e) - 29. Machine thermique

Questions de cours

1 Dé�nir les termes : machines thermiques, moteur thermique, récepteur thermique.

2 Dé�nir les termes : cycle moteur, cycle récepteur ; distinguer toutes ces notions d'un travail moteuret récepteur.

3 Montrer qu'il ne peut exister de cycle monotherme moteur.

4 Donner et établir l'inégalité de Clausius. Dans quel cas a-t-on égalité ?

5 Établir puis présenter le diagramme de Raveau.

6 Énoncer le principe de Carnot.

7 Dé�nir le rendement d'un moteur ditherme. Donner son expression.

8 ÉNoncer le théorème de Carnot.

9 Dé�nir l'e�cacité d'un recepteur ditherme. Expliquer en quoi elle di�ère d'un rendement et pourquoielle peut être supérieure à 1.

10 Dé�nir l'e�cacité de Carnot.

11 Présenter le cycle moteur ditherme de Carnot. Donner deux exemples dans un diagramme deClapeyron. Pourquoi ce cycle n'est-il pas e�cace ?

12 Présenter le cycle de Beau de Rochas ainsi que sa modélisation.

Exercice 5 : Un congélateur

Une machine frigori�que fonctionne réversiblement entre deux sources à 0◦C et 20◦C. La sourcechaude représente l'atmosphère et la source froide une salle parfaitement calorifugée dans laquelle eststockée de la glace qui est maintenue à 0◦C grâce à la machine frigori�que.• Calculer le prix de revient de 1 tonne de glace sachant que l'eau est introduite dans la salle frigori-�que à la température de 20◦C.

Données : cpeau liq = à connaitre par coeur ; lfus = 330 J.kg−1 ; prix du kW.h = 0, 13 euros.

Solutions :1) 2,8 centimes .

Exercice 6 : Couplage moteur-climatiseur

On souhaite réguler la température d'un bungalow (c'est-à-dire la maintenir constante) à T2 = 293 Ken utilisant le site où on se trouve : air extérieur chaud à T1 = 310 K (c'est les tropiques !) et eau froided'un lac T3 = 285 K.On utilise à cet e�et un moteur ditherme supposé réversible fonctionnant entre l'air et le lac, fournissantl'énergie nécessaire à une pompe à chaleur réversible fonctionnant entre le bungalow et le lac.

1 En notant Q1 le transfert thermique reçu par le moteur de la part de l'air extérieur, et Q2 le transfert

thermique reçu par le bungalow, déterminer l'e�cacité thermique du dispositif e =Q2

Q1

.


Solutions :

1) e =T2

T1

(T1 − T3

T1 − T2

).

Exercice 7 : Utilisation d'un moteur

Un moteur, de rendement ρ = 0, 68, sert à faire fonctionner le compresseur d'une pompe à chaleur,qui fonctionne réversiblement (suivant un cycle de Carnot) entre une source froide (rivière) et une sourcechaude dont les températures respectives sont T2 = 268K et T1 = 300K. On suppose les rendementsmécaniques du moteur et du compresseur égaux à 1.

1 On appelle Q′1 la quantité de chaleur apportée à la source chaude. Exprimer le travail que doitfournir le moteur en fonction de Q′1, T1, et T2.

2 Exprimer puis calculer l'e�cacité thermique de la pompe à chaleur.

3 Le volume à chau�er est V = 300 m3 et ne contient que de l'air assimilé à un gaz parfait. On désireaugmenter la température de cet espace de 5◦C. Combien de temps doit on faire fonctionner lemoteur si sa puissance mécanique est P = 18, 4 kW ? (la pression atmosphérique est P0 = 105 Pa ;γair = 1, 4).

4 Si on avait brûlé directement le carburant nécessaire au moteur, quelle serait l'augmentation detempérature de cet habitacle ? Conclure.

Solutions :

1) W = Q′1

(1− T2

T1

); 2) ePC =

1

1− T2T1

= 13, 8 ;

3) ∆t =P0V

T1

× γ

γ − 1× 1

P

(∆T − T2 ln

T1 + ∆T

T1

)= 7, 7 s ; 4) ∆t′ =

P0V

T1

× γ

γ − 1× ρ

P×∆T =

65 s .

Exercice 8 : Cycle réversible

Un �uide décrit le cycle réversible décrit ci-dessous dans le sens (1,2,3,4,1) ou dans le sens (1,4,3,2,1).Les transformations 1 → 2 et 3 → 4 sont des isochores et les transformations 2 → 3 et 4 → 1 sont desisothermes. Les pression, volume, température sont notés respectivement P , V , T .

Toute grandeur a�ectée d'un indice i ∈ {1, 2, 3, 4} se rapportera respectivement aux points 1,2,3,4 dudiagramme.

1 Représenter le cycle dans un diagramme de Watt.

2 Donner la signi�cation de l'aire intérieure du cycle. Dans quel sens sera parcouru le cycle s'il estmoteur ?

3 On note Qij et Wij les chaleur et travail échangés par le �uide lors d'une transformation i→ j. Le�uide se comportant comme un gaz parfait, comparer :

Q23 et W23, Q41 et W41, W12 et W34, Q12 et W34.

4 On étudie le cycle dans le sens moteur. En raison de la technologie du moteur, la seule chaleurréellement dépensée est celle qu'on fournit au �uide sur l'isotherme T2.Écrire le rendement du moteur en fonction des Qij.

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5 Le coe�cient isentropique du gaz parfait est γ = 75. On donne par ailleurs V4 = 2V1, T1 = 300 K,

T2 = 400 K et R = 8, 314 J.K−1.mol−1. Le cycle est parcouru par une mole de gaz parfait.Calculer Q12, Q23 et Q41.

6 Exprimer le rendement en fonction de T1 et T2 et le calculer numériquement.

Solutions :4) ρ = 1 + Q41

Q23; 5) Q12 = 2, 08 kJ = −Q34, Q23 = 22, 3 kJ, Q41 = −1, 73 kJ .

Exercice 9 : Principe d'un système de refroidissement du LHC

A�n d'éviter une perte d'énergie par e�et Joule trop importante, le choix a été fait au LHC d'utiliser desmatériaux supraconducteurs, notamment pour les bobines générant un champ électromagnétique. Il estnécessaire de refroidir ces matériaux en faisant circuler de l'hélium liquide à la température extrêmementbasse de 1, 9 K. Le refroidissement de l'hélium liquide utilisé se déroule en plusieurs phases ; une de cesphases utilise des turbines de réfrigérateurs a�n de liqué�er l'hélium à la température de 4, 2 K. Le but decet exercice est d'étudier le fonctionnement d'un réfrigérateur

Caractéristique d'un réfrigérateur ditherme réversible

Un �uide réfrigérant décrit un cycle ditherme réversible entre une source chaude de température Tc etune source froide de température Tf . On note Qc < 0 et Qf > 0 les transferts thermiques reçus par le�uide, pendant un cycle, respectivement de la part des sources chaude et froide et W le travail reçu parle �uide pendant un cycle.

1 Dans le cas d'une machine frigori�que, quel milieu (extérieur ou intérieur du réfrigérateur) constituela source chaude ? La source froide ?

2 Justi�er que pour une telle machine Qc < 0 et Qf > 0. Quel est le signe de W ? Justi�er.

3 À partir du premier principe de la thermodynamique, exprimer la relation entre Qc, Qf et W .

4 Dé�nir l'e�cacité η de la machine frigori�que puis l'exprimer en fonction de Qc et Qf .

5 À partir du deuxième principe de la thermodynamique, établir la relation suivante pour le cycleréversible du réfrigérateur :

Qc

Tc+Qf

Tf= 0.

6 En déduire que pour le réfrigérateur réversible, l'e�cacité η s'écrit

η =Tf

Tc − Tf

Calculer η pour Tc = 300 K et Tf = 280 K.

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Étude d'un réfrigérateur

Le schéma ci-dessous décrit le fonctionnement d'une machine frigori�que réelle. Elle comporte quatreéléments : un compresseur, un condenseur, un détendeur et un évaporateur.

Le �uide réfrigérant est de l'ammoniac.

Données sur l'ammoniac :

• Soit γ = 1, 3 = CpCv, le rapport des capacités thermiques massiques à pression et à volume constants

;

• Relation de Mayer : Cp − Cv = RM

;

• Constante des gaz parfaits : R = 8, 314 J ·K−1 ·mol−1 ;

• Masse molaire : M = 17, 0 g.mol−1 ;

• Enthalpie massique de vaporisation à T1 = 263 K (ou chaleur latente massique de vaporisation) :∆hvap(T1) = 1450 kJ · kg−1.

Description du cycle réfrigérant :

L'ammoniac est considéré comme un gaz parfait à l'état gazeux.

• L'ammoniac sort de l'évaporateur sous forme de vapeur saturante à l'état 1 (pression P1, températureT1).

• L'ammoniac gazeux subit ensuite, dans le compresseur, une compression adiabatique et réversiblequi l'amène à l'état 2.

• La vapeur subit dans le condenseur une transformation à pression constante : elle est d'abordrefroidie jusqu'à la température de l'état 3, notée T3, où elle commence à se condenser jusqu'àliquéfaction totale (état 4).

• L'ammoniac liquide passe ensuite dans le détendeur où il subit une détente isenthalpique qui leramène à la pression initiale P5 = P1 et à la température T5 (état 5).

• La vaporisation du liquide restant se termine dans l'évaporateur pour un retour à l'état 1.

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État 1 2 3 4 5T en K T1 = 263 T2 T3 T4 T5

P en bar P1 = 3, 0 P2 = 10 P3 P4 P5 = 3, 0x x1 x2 x3 x4 x5

s en kJ ·K−1 · kg−1 s1 = 5, 8 s2 s3 s4 s5

h en kJ · kg−1 h1 = 1450 h2 = 1620 h3 = 1490 h4 h5

La fraction massique en vapeur sera notée x.

6 Représenter l'allure de ce cycle dans un diagramme de Clapeyron (Pression P , volume massique v)

7 Tracer le cycle dans le diagramme entropique (Température T , entropie massique s) fourni enannexe.

8 Donner les valeurs numériques de la fraction massique de la vapeur :

• x1, dans l'état 1 ;



ainsi que des autres grandeurs manquantes dans le tableau. Ces valeurs seront comparées à cellesdu modèle pris par la suite. Calcul des températures T2 et T3

9 Pourquoi l'entropie massique ne varie-t-elle pas entre les états 1 et 2 ?

10 En déduire l'expression de T2 en fonction de T1, P1, P2 et T2. Calculer T2.

11 Exprimer la capacité thermique massique à pression constante Cp de l'ammoniac gazeux en fonctionde γ, R et de la masse molaire M de l'ammoniac.

12 Exprimer la variation d'enthalpie massique ∆h2→3 entre les états 2 et 3 en fonction de T2, T3, M ,R et γ. Calculer T3.

Calcul de x5 et de Qf .

13 Justi�er que la variation d'enthalpie massique ∆h5→1 s'écrit :

∆h5→1 = h1 − h5 = (1− x5)∆hvap(T1).

14 Exprimer puis calculer x5 en utilisant les données du tableau.

15 À quel niveau du cycle le transfert thermique Qf est-il reçu par le �uide de la source froide ?

16 Exprimer Qf en fonction de la masse m de �uide et des enthalpies massiques.

Calcul de l'e�cacité ηr du réfrigérateur

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17 En écrivant le premier principe de la thermodynamique sur un cycle et en considérant que h1−h5)+(h5 +h4) + (h4−h2) + (h2−h1) = 0, montrer que le travail W de compression sur le cycle s'écrit :

W = m× (h2 − h1)

où m désigne la masse de �uide contenue dans le réfrigérateur.

18 Exprimer puis calculer l'e�cacité ηr du réfrigérateur réel.

19 Comparer à l'e�cacité calculée à la question 5 et commenter.

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chapitre 29 application des premier et second principes à...

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