Chapitre 2

Triangles

I. Construction de triangles

1. Construction de triangles connaissant les longueurs

des 3 côtés

Construction n°1 :

ABC est un triangle tel que : AB = 2 cm ; AC = 3 cm ; BC = 4 cm.

Peut-on tracer tous les

triangles ? Quelles conditions

doivent avoir les mesures d’un

triangle ?

Activité

2. Inégalité triangulaire

Propriété :

Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme

des longueurs des deux autres côtés.

Exemple :

Dans le triangle ABC, on a :

AB < AC + CB AC < AB + BC BC < BA

+ AC.

Conséquence :

a, b et c sont trois longueurs données, a est la plus grande de ces

longueurs.

Si a < b + c, alors on peut construire un triangle de côtés a, b et c.

Si a > b + c, alors on ne peut pas construire un triangle de côtés a, b

et c.

Exemple :

Peut-on construire un triangle EDF sachant que ED = 1 cm, EF = 1,5

cm et DF = 3 cm ?

On compare la longueur du plus grand côté et la somme des longueurs

des deux autres côtés :

ED + EF = 1 + 1,5 = 2,5 et DF = 3

On a DF > ED + EF. L'inégalité triangulaire n'est pas vérifiée, donc

on ne peut pas construire un tel triangle.

3. Construire un triangle connaissant un angle et

les longueurs de ses côtés communs.

Construction n°2 :

DEF est un triangle tel que : DE = 3 cm ; DF = 4 cm et = 30°

4. Construire un triangle connaissant deux angles

et la longueur du côté commun.

Construction n°3 :

IJK est un triangle tel que : IJ = 4 cm ; = 60° et = 45°

5. Somme des angles dans un triangle

Propriété :

La somme des angles dans un triangle est égale à 180°.

Exemple :

Dans ce triangle, l’angle mesure

180 – ( 30 + 80 )

= 180 – 110

= 70°

Cas particulier :

Un triangle isocèle est un triangle qui à deux angles à la base égaux.

Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses 3 angles de même

mesure, c’est-à-dire 180 : 3 = 60°.

Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit, c’est-à-dire

de 90°.

II. Droites remarquables dans un triangle

1. Médiatrice

Définition :

On appelle médiatrice d'un segment la droite qui passe par le milieu

du segment et qui est perpendiculaire à ce segment.

( d ) passe par O milieu de [MN] . ( d ) est perpendiculaire à [MN] .

Propriété :

Si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est

équidistant des extrémités de ce segment. P appartient à (d) d'où PM

= PN.

Propriété :

Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il

appartient à la médiatrice de ce segment.

PM = PN donc P appartient à la médiatrice de [MN]

Remarque :

Les médiatrices du triangle sont les médiatrices des côtés de ce

triangle.

Propriété :

Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes (elles se coupent

en un même point). Leur point de concours est le centre du cercle

passant par les 3 sommets du triangle, appelé cercle circonscrit au

triangle.

2. Hauteurs

Définition:

Dans un triangle, on appelle hauteur une droite qui passe par un

sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Propriété :

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.

Leur point de concours est appelé orthocentre du triangle.

3. Médianes

Définition:

Dans un triangle, on appelle médiane une droite qui passe par un

sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.

Propriété :

Les trois médianes d'un triangle sont concourantes.

Leur point de concours est appelé centre de gravité du triangle.

4. Bissectrices

Définition:

On appelle bissectrice une droite qui partage un angle en deux

angles égaux.

Propriété :

Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes. Leur point de

concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle.