chap2-2014.pdf

Chapitre 2 Les échelles de la turbulence

Definition of turbulent flow (Hinze)

“Turbulent fluid motion is an irregular condition of flow in which the various quantities show a random variation in time and space, so that statistically distinct average values can be

discerned”

Définition de l’écoulement turbulent

- Irrégularité de l’écoulement turbulent - Diffusivité turbulente élevée

- Grands nombres de Reynolds - Phénomène tridimensionnel - Dissipation - La turbulence est une propriété de l’écoulement - Hypothèse du continu

Traits caractéristiques de

l’écoulement turbulent

Echelles caractéristiques de la turbulence

Loi d’échelle de Kolmogorov

L'intensité de la vitesse des mouvements d’échelle est définie comme la variation typique de la vitesse turbulente sur une distance

On défini les échelles suivantes pour la turbulence

• Echelle caractéristique des grands tourbillons : échelle intégrale (ou

Echelle d’injection)

• Echelle caractéristique de la vitesse d’agitation du fluide, k étant

l’énergie cinétique turbulente

• Echelles caractéristiques de longueur, de vitesse et de temps des

plus petits tourbillons : Echelle de Kolmogorov

La turbulence est caractérisée par 3 paramètres : la taille et la vitesse des

tourbillons aux échelles d’injection (gros tourbillons) et par la viscosité du fluide

ku

,u,

I

Energie cinétique turbulente, taux de dissipation et spectre d’énergie


• L‘énergie cinétique et la puissance dissipée sont des grandeurs extensives.

Cela veut dire qu’en situation homogène, l’énergie cinétique (k) et la

puissance dissipée sont proportionnelles à la masse totale du fluide.

• On note e le taux d'injection d‘énergie dans le fluide (égal au taux de

dissipation) ramenée à l'unité de masse. La dimension de e est [L2T-3]

• On défini la densité spectrale de l’énergie cinétique (également

appelée « spectre d’énergie ». Représente l’énergie de tous les

tourbillons dont la longueur d’onde (taille caractéristique) est comprise entre

L’énergie cinétique totale s’écrit:

)(E

d)(E

2et

d

221

0

d)(Ek

Hypothèses de Kolmogorov


Première Hypothèse de Kolmogorov

Au plus petites échelles, la variation de vitesse du mouvement turbulent est

uniquement déterminée par la viscosité cinématique n et par le flux moyen

d’énergie e (par unité de masse et de temps). A ces échelles, la taille

caractéristique est petite en comparaison avec les grandes échelles de

l’écoulement ..

Les petites structures sont donc « en équilibre » ; elles ont le temps de

s’adapter aux variations “lentes” puisque leur temps caractéristique est très

petit devant celui de la décroissance énergétique. Le comportement des

échelles dissipatives ne dépend pas de l’écoulement ; il est entièrement

déterminé par la viscosité du fluide n et le montant du taux de dissipation e

)( II


Conséquences de la première Hypothèse : Les échelles de Kolmogorov

Au plus petites échelles la statistique des mouvements turbulents est

uniquement déterminée à partir de n et < e >. On peut alors construire,

dimensionnellement, une échelle dite de Kolmogorov, telle que :

Les effets visqueux sont donc comparables aux effets inertiels et les

mouvements de tailles plus petites que cette taille sont responsables de la

dissipation de l’énergie cinétique de l’écoulement sous forme de chaleur.

L’échelle de Kolmogorov est aussi appelée échelle de dissipation.

Hypothèses de Kolmogorov

2

1

4

14

13

~)(~u~

en

ne

en

1

u~R e

n

Deuxième hypothèse de Kolmogorov

Cette hypothèse prolonge la première en la précisant dans le cas des

nombres de Reynolds élevés:

Quand en plus la taille du tourbillon est importante devant les plus petites

échelles dissipatives (vitesse caractéristique ) c’est à dire dans la zone

inertielle la variation de vitesse du mouvement turbulent est

uniquement déterminée par le taux de dissipation e et ne dépend pas de la

viscosité

Conséquence

Si la séparation d’échelles le permet, il existe une zone ou le mécanisme

dominant est le transfert d’énergie vers les petites structures sans qu’il y est

transformation irréversible en chaleur par viscosité C’est la notion de sous-

domaine inertiel

)( I

u


Seconde hypothèse de Kolmogorov

Si alors la statistique des mouvements turbulents est

universelle et uniquement déterminée par < e >.

Pour une échelle intermédiaire appartenant à la gamme d’échelles inertielles, le

taux de transfert d’énergie par unité de masse transitant par cette échelle ne

peut que s’exprimer comme :

La puissance dissipée par les plus petits tourbillons provient des grandes

structures par interactions non-linéaires. Il existe un équilibre entre les forces

d’inertie (qui ont tendance à étendre le spectre de la turbulence) et les forces

visqueuses qui vont agir comme un frein au niveau des grands nombres

d’onde.

)( I

3u

~e


Sur le domaine inertiel le montant e représente en fait le flux conservatif

d’énergie qui passe des grandes échelles vers les petites échelles

Le taux de dissipation de l’énergie dans les petites structures correspond aussi

au taux d’injection d’énergie contenu dans les tourbillons porteurs d’énergie

Les grandes structures sont crées par le mouvement moyen et dépendent de la

géométrie de l’écoulement: anisotropes, instationnaire, longue durée de vie.

La zone inertielle (transfert énergétique) entre les grandes et les petites

structures. les petits tourbillons sont plus indépendants du mouvement moyen,

isotropes avec un comportement stable mais une courte durée de vie.

Augmenter le nombre de Reynolds ne modifierai pas les grandes structures

mais élargirait la zone inertielle. (Si le nombre de Re est déjà important.)


Illustrations élémentaires Dispersion turbulente On considère l‘évolution au cours du temps de deux particules séparées d'une distance . La loi de Kolmogorov donne, pour Cette équation s'intègre pour donner Le diamètre d'une tache de polluant évolue ainsi en

Il est intéressant de noter que cette loi a été établie quinze ans avant la loi de Kolmogorov .


0 )( I

3

1

)(~dt

du

e

3u

~e

t3

1

3

2

03

2

e

2

3

2

1

te


0 )( I

3

1

)(~dt

du

e

3u

~e

t3

1

3

2

03

2

e 2

3

2

1

te

Illustrations élémentaires

Dispersion turbulente

On considère l‘évolution au cours du temps de deux particules séparées d'une distance . La loi de Kolmogorov donne, pour

Cette équation s'intègre pour donner

Le diamètre d'une tache de polluant évolue ainsi en

Il est intéressant de noter que cette loi a été établie quinze ans avant la loi de Kolmogorov .

Illustrations élémentaires Vitesse limite d'un corps en chute libre Considérons un objet de taille et de masse M en chute libre (accélération de la pesanteur g) dans un fluide de densité r et de viscosité cinématique n. Sa vitesse limite est obtenue en égalant son poids M g avec la force de résistance du fluide. Dans le régime laminaire, la force est proportionnelle à la vitesse et à la viscosité. L'analyse dimensionnelle donne: On a donc

(pour un objet sphérique on aurait au dénominateur un facteur 6 que l'analyse dimensionnelle ne peut attraper).


viscvisc u~F rn

rnMg

~u visc

Illustrations élémentaires Vitesse limite d'un corps en chute libre Dans le régime turbulent, la loi indique que la puissance est proportionnelle au cube de la vitesse. Comme la puissance est le produit de la force par la vitesse, on en déduit que la force est proportionnelle au carré de la vitesse. L'expression correcte dimensionnellement est : On en déduit :

Le rapport


22

Turb u~F r

2Turb

Mg~u

r

3u

~e

e

Visc

Turb Ru

~F

F

n

Illustrations élémentaires Vitesse limite d'un corps en chute libre Calculons l'ordre de grandeur de la vitesse de chute d'un parachutiste. Les ordres de grandeur sont : rair ~1Kg=m3, M ~100 Kg, g ~ 10 m/s2, ~1m. On trouve m/s, soit environ 120 Km/h. En prenant ~ 10 m, après l'ouverture du parachute, on trouve une vitesse d'arrivée au sol d'environ 3,3 m/s. Ces ordres de grandeur sont corrects Le nombre de Reynolds est ici d'environ : (air : )

La formule laminaire donnerait un résultat ridicule (de l'ordre de 105 m/s).


s/m10~ 25n

33~1000~uTurb

6

5e 103,310

33x1~R

Exercice Deux disques contra-rotatifs de diamètre 10cm tournent dans de l'eau à la vitesse angulaire w = 2f. On prendra, pour l’échelle d'injection, la moitié du rayon des disques et pour l’échelle de vitesse, la vitesse du disque à mi-rayon. La masse d'eau en mouvement est d'environ M = 5kg. Les disques tournent à une fréquence de f=20Hz. On demande d'estimer : • le nombre de Reynolds d’injection RI ; • la puissance W fournie aux disques; • l’échelle de dissipation . On se propose d'augmenter le nombre de Reynolds RI d'un facteur 10. Pour cela, on envisage 2 solutions : 1. faire tourner les disques dix fois plus vite,

2. remplacer l'eau par du mercure (nHg ~ neau/10; rHg = 13,6 reau). Calculer la puissance nécessaire dans les deux hypothèses. Qu'en pensez-vous ?


s/m10~ 26

eau

n

La cascade énergétique

Echelles caractéristiques des plus petites échelles

Echelles caractéristiques des tourbillons porteurs d’énergie

On sait également que le taux de dissipation est fixé par les grosses structures

de sorte qu’on a :

Lorsque le nombre de Reynolds est encore plus grand, les spectres de k et de

e sont largement séparés et la zone inertielle s’élargit. Les structures dans cette région ne font que transférer l’énergie cinétique à

dissiper, fixée par les grosses structures, vers les structures les plus fines

I

3

Iu

~

e

2

1

4

14

13

~)(~u~

en

ne

en

1

u~R e

n

I

II

I

u~k~u

u~ I

2

13

I

e nI

etI

u~R




On sait également que le taux de dissipation est fixé par les grosses structures

de sorte qu’on a :

Lorsque le nombre de Reynolds est encore plus grand, les spectres de k et de

e sont largement séparés et la zone inertielle s’élargit. Les structures dans cette région ne font que transférer l’énergie cinétique à

dissiper, fixée par les grosses structures, vers les structures les plus fines

2

1

4

14

13

~)(~u~

en

ne

en

1

u~R e

n

I

II u~k~u I

2

1

I

nI

etI

u~R

I

3

Iu

~

e




Remarquons, pour terminer cette section, que les lois sont assez bien vérifiées

expérimentalement. Pour obtenir des ordres de grandeurs dans un écoulement

turbulent, on peut retenir les coefficients de proportionnalité suivants :

Les coefficients numériques sont très approximatifs, et le premier est assez

variable d'un écoulement à l'autre

4

13

~

en

3

3

I

34

I Iu

~n

nI

etI

u~R

ee

2

33

I

k~

u~ I

4

3

etI R~

4

3

4

1

I

3

2 10etu

10 I nee

Deux conséquences importantes découlent de la notion de sous domaine inertiel

1/ Sur le sous domaine inertiel, le montant e du taux de dissipation qui règle

la décroissance énergétique représente un flux conservatif d’énergie

2/ Si l’on postule pour la densité spectrale d’énergie une expression

indépendante de la viscosité n de la forme:


e KC)(E

Dimensionnellement, on a dans la zone inertielle

pour le spectre :

L’analyse dimensionnelle permet de déterminer

les deux exposants α et β. La constante CK, est

appelée constante de Kolmogorov :


e KC)(E

5.1CC)(E K3

5

3

2

K e

Spectre d’énergie

Le modèle tourbillonnaire et la

cascade énergétique

injection d'énergie

dissipation

transfert d

'énerg

ie

35

32

)(E

e

Cascade

edissipation

d’énergie

)(Elog

logilog

Le modèle d’interaction tridimensionnelle entre le gradient de vitesse et les

tourbillons permet d’expliquer le mécanisme de transfert d’énergie à travers le

spectre. Pour illustrer ce phénomène on présente l’interaction des tourbillons

avec les gradients de la seule composante U1 du champ de vitesse

Eléments de dynamique des tourbillons

La vorticité

Eléments de dynamique des tourbillons La vorticité De la vorticité apparaît, par exemple, lorsqu’il existe un gradient de vitesse suffisamment grand entre deux couches fluides

• La présence de vorticité ne signifie pas l’existence d’une structure cohérente de type Tourbillon : la vorticité peut se dissiper sans donner naissance à une structure cohérente

• Les tourbillons sont des structures cohérentes dans le sens où ils concernent des

zones du fluide, très grandes devant les échelles visqueuses, dans lesquelles la

distribution de vorticité est continue et de même signe.

• Dans le cas de l’existence de tourbillons stationnaires, les lignes de courant sont susceptibles de s’enrouler en spirales, voire d’être fermées, autour du centre de rotation.

• Selon la définition de Jeong et Hussain les tourbillons existent dès lors que leur coeur

peut être associé à un minimum local de pression

La vorticité

En prenant le rotationnel de l’équation de Navier et Stokes, nous obtenons l’équation de

transport de la vorticité (à aire en guise d’exercice :

Le terme à gauche correspond à la variation temporelle et à la convection de la vorticité

par l’écoulement ; le premier terme à droite correspond à l’étirement et à l’inclinaison du tourbillon, le second correspond à la diffusion visqueuse de la vorticité.

Les tourbillons ont un rôle sur le transport de masse, de quantité de mouvement et

d’énergie. L’énergie cinétique des tourbillons se définie alors par son enstrophie qui permet notamment de ne pas prendre en compte les termes de vitesse liés à la

convection.

Dans le cas où le fluide est considéré comme visqueux, cette énergie peut se dissiper

au cours du temps


dv2

1T 2

V

rw

Circulation des tourbillons

La circulation d’un tourbillon est une grandeur qui définit son intensité. Dans le cas idéal du modèle de Rankine, un tube de vorticité de rayon a satisfait aux conditions suivantes:

w= Constante si r ≤ a et w = 0 si r > a

Dans le cas du tourbillon de Rankine, le

rayon a du tube est équivalent à la taille

du coeur du tourbillon. Celle-ci est donc

calculée en considérant la rotation solide

du coeur. La circulation Г d’un tel tourbillon s’exprime par :

avec C un contour fermé contenant le tube de vorticité et uq la vitesse azimutale induite

par la vorticité

)r(ru2duC

q


Téorème de Stockes - Théorème de Kelvin

En appliquant le théorème de Stokes, la circulation s’exprime également par:

Théorème de Kelvin

- Fluide parfait

- les forces extérieures dérivent d’un potentiel scalaire

- et que le fluide soit barotropique,

Dans ces conditions

-la circulation est constante

quelle que soit la section de tourbillon considérée ; une dilatation ou une contraction des

induit une baisse ou une augmentation de la vitesse azimutale respectivement ;

Néanmoins dans la réalité des écoulements,

les fluides sont toujours visqueux, ce qui induit une diffusion et une dissipation

visqueuse des tourbillons,

wS

dSn


g

0dt

d



L’évolution des structures tourbillonnaire est supposée vérifier les hypothèses suivantes

- la masse de toute structure se conserve lors de cette déformation

- les effets de viscosité sont négligeables

La première hypothèse implique que :

La deuxième hypothèse se traduit en vertu du théorème de Kelvin par la conservation

de la circulation

Théorème de Kelvin : la circulation sur un contour fermé dont chaque point se déplace

avec la vitesse locale du fluide reste constante au cours du temps. On a donc :

tetanconsrl2''

tetanconsr2'' w


cascade énergétique Ces deux relation permettent de définir les lois de variation des différents paramètres

des structures tourbillonnaires au cours d’un étirement ou tassement d’ensemble

Propriétés Etirement /

élongation

Tassement /

compression

Longueur (l)

Rayon (r) )l( 21 )l( 21

Vitesse angulaire

(w )l( )l( 1

Vitesse azimutale )l( 21 )l( 21

Masse

Circulation

Energie cinétique )l( )l( 1

Le système tourbillonnaire évolue dans le sens d’une réduction de la section des structures avec augmentation des vitesses radiale et azimutale ainsi que celle de

l’énergie cinétique. Le moment cinétique se conserve et le nombre reste constant


cascade énergétique Considérons l’interaction des tourbillons avec les gradients de la seule

composante U1 du champ de vitesse

x3

x1

x2

U1

dlx

UU

1

1

1

x1

x2

U1

x1

x2

U1

x3

dlx

UU

2

1

1

dlx

UU

3

1

1

Deux types d’interaction vitesse-tourbillon :

- étirement – tassement

- basculement



L’interaction inertielle par étirement tourbillonnaire successif est une phénoménologie

selon laquelle l’énergie cinétique d’agitation se redistribue vers les structures de taille

décroissante avec perte de mémoire de l’anisotropie initiale du déclanchement du

processus

z

y

y

y y y z y z z x y z z x z x x x

x z z

x

z z y y x x x x

Tourbillon anisotrope

Turbulence quasi-

isotrope

RICHARDSON

Big whirls have little whirls

that feed on their velocity

Little whirls have lesser whirls

and so on to viscosity

Les équations des bilans instantanés de masse et de quantité de mouvement s'écrivent pour les fluides newtoniens considérés ici: Conservation de la masse : Conservation de la quantité de mouvement

ijij s2 )x

u

x

u(

2

1s

i

j

j

iij

0x

u

t i

i

r

r

i

jj

i

2

ij

ij

i gxx

u

x

p

x

uu

t

ur

r

r

Pour les fluides incompressibles on a : Ces deux équations sont suffisantes pour décrire la turbulence dans un écoulement incompressible (l’aspect énergétique ou des espèces n’est pas abordé dans ce cours). On peut donc envisager de résoudre ces équations directement. Il s’agit de la Simulation Numérique Directe ou encore DNS (Direct Numerical Simulation).

et

i

j

ij

ij

ij

i gxx

p

x

uu

t

ur

r

r

0x

u

i

i

Simulation numérique directe

Simulation numérique directe La simulation directe représente la méthode la plus exacte pour prédéterminer la

turbulence : elle consiste à résoudre directement les équations de Navier Stokes sans

hypothèse préalable

AVANTAGES :

- Accès à toutes les informations sur la physique de l’écoulement : structures,

transferts énergétiques, vitesses, dissipations, . . .

-Pas de modèles à mettre en œuvre, on se concentre sur la physique des

phénomènes étudiés.

MAIS :

Limitations très rapide au niveau des moyens de calcul (rapidité et la taille mémoire).

.

3

3

I

34

I Iu

~n

4

3

etI R~

4

9

et

3

Id R~N

2

1

etI

t R~N

I

I u~ I

2

1

3

I2

1

Iu

~~

n

en

Simulation numérique directe La capacité de calcul devrait augmenter proportionnellement à

Conséquences pratiques:

Pour simuler numériquement de façon directe le même écoulement turbulent avec un

nombre de Reynolds 10 fois supérieur, il faut disposer d’un temps de calcul 1000 fois

plus grand.

Quelques valeurs caractéristiques:

• pour un écoulement atmosphérique pour une turbulence

de grille obtenue en laboratoire

• Pour la simulation d’un tourbillon anticyclonique de le maillage

nécessaire demanderait un nombre de points de grille

• Pour une simulation directe d’un jet turbulent environ 107 points de grille pour un

Reynolds de 1000 (assez faible). Le temps de calcul sur une machine (2,2 G-Flops) est

de 50 h avec une occupation de la mémoire vive de 1 G0

3

et4

11

ettd R~R~NN

mm1 mm1.0

km4000I 30

d 10~N

Ecoulements libres :

expériences de jets

Simulation numérique directe Pour une simulation directe d’un jet turbulent environ 107 points de grille pour un

Reynolds de 1000 (assez faible). Le temps de calcul sur une machine (2,2 G-Flops) est

de 50 h avec une occupation de la mémoire vive de 1 G0.

Dans les applications les plus courantes, les jets ont des nombres de Reynolds 1000

fois plus grands. Il faut 5,62 1013 points de grille, 106 Go de mémoire vive et 50 milliard

d’heures de calcul sur la même machine !

D’une façon générale, Les nombres de Reynolds accessibles à la simulation directe

sont très inférieurs à ceux associés aux écoulements des géofluides ou des

écoulement d’intérêt industriel. La DNS reste encore et pour longtemps du domaine de

la recherche


DNS : Plus gros calcul connu actuellement, THI avec 20483 et 40963 (Reλg = 1217)

Yokokawa, Itukara, Ishihara & Kaneda (2002) sur Earth Simulator (Japan)

Modélisation et Simulation de la

turbulence Il est techniquement, impossible de résoudre une configuration industrielle ou

expérimentale de dimension importante à grand nombre de Reynolds avec la DNS .

Approches statistiques : Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS)

Puisque l’on ne peut connaître tous les paramètres du fluide en tout point et à tout

instant, on va essayer d’obtenir une description statistique de ses propriétés de ses

propriétés à travers leur moyenne et leurs moments d’ordre 2, 3 ou plus.

Simulation des Grandes Échelles : Large Eddy Simulation (LES)

Observations.

- GS anisotropes - instationnaires - ...

- GS responsables du transport convectif.

- PS comportement auto-similaire - ...

- PS responsables de la dissipation

Principe du modèle LES.

Simulation ‘exacte’ de l’effet des GS. Modélisation de l’effet des PS.

moyenne - fluctuation-filtrage

Simulation des Grandes Echelles de Turbulence (LES).

Avantages

- Prise en compte des instabilités dues aux GS.

- Résultat moins sensible au modèle.

- Augmentation de la précision statistique.

Inconvénients

- Contraintes numériques (schéma-maillage)

- Temps calcul.

Modélisation et Simulation de la turbulence

DNS-LES traitement statistique des résultats obtenus.

RANS traitement statistique des équations avant résolution.

Modélisation et Simulation de la

turbulence

Valeur instantanée - moyenne

Simulation des Grandes Echelles de la

turbulence (LES) La simulation des grandes échelles repose sur les équations de Navier-Stokes filtrées

spatialement.

Filtrage des équations de Navier-Stokes.

Espace Physique

Application d’un ‘filtre’

Espace Spectral

Coupure du spectre.

edissipation

d’énergie

)(Elog

log

Echelles résolues

Echelles de-sous maille

m

fréquence de coupure

Simulation des Grandes Echelles de la

turbulence (LES) Les échelles les plus petites, non résolues par le calcul, peuvent être modélisées en

estimant qu’elles ont un comportement quasi-isotrope et/ou auto-similaire

Modèle de sous-maille :

- rôle structurel : modélisation de la dissipation non assurée par les échelles résolues

- rôle fonctionnel : modélisation de l’interaction entre les échelles non résolues et

résolues autour de la fréquence de coupure

Il est absolument impossible de séparer la formulation du modèle de sous-maille de

l’algorithme numérique (filtrage + résolution Navier-Stokes),

Pas de formulation “universelle”, toujours un sujet de recherche ....

Petites structures - isotropes - comportement stable - courte duree de vie

Grandes structures - instationnaires - longue duree de vie - anisotropes

Chapitre 2 Les échelles de la turbulence

Illustrations Métrologie en écoulement turbulent

Signal d ’écoulement turbulent

U(t)

t

U

Small scale

Large scale

Tube de Pitot

différents types de sondes de Prandtl (tubes de Pitot-double)

Anémométrie Laser à effet Doppler (LDA)

Vélocimétrie par Image de Particules (PIV)

Anémométrie à film (ou à fil) chaud

Tube de pitot

Anémométrie à film (ou à fil) chaud

moyenne - fluctuation-filtrage

moyenne - filtrage

Adaptation des tailles des sondes aux échelles mesurées

Exemple Un anémomètre à fil chaud est monté sur l'aile d'un avion en vol (l'anémomètre à fil

chaud est un instrument qui mesure les fluctuations de vitesse en écoulement

turbulent de gaz).

L'avion est animé d'une vitesse de 50 m/s. L'échelle de longueur des gros tourbillons

est de 100 m. L'anémomètre est conçu pour mesurer les fluctuations des plus petites

échelles de la turbulence.

Exemple

Un anémomètre à fil chaud est monté sur l'aile d'un avion en vol (l'anémomètre à fil


turbulent de gaz).


est de 100 m. L'anémomètre est conçu pour mesurer les fluctuations des plus petites


1. En admettant que les gros tourillons correspondent aux échelles porteuses

d’énergie, donner une évaluation de l’ordre de grandeur du taux de dissipation. 2. Donner alors une évaluation de l'ordre de grandeur des plus petites échelles de la

turbulence, quel est alors l'ordre de grandeur des fluctuations de vitesse à ces

échelles

3. Quelles sont les fréquences les plus élevées que va rencontrer l'anémomètre?

Quelle fréquence d'acquisition doit t-on prévoir ?

4. quelle est la taille maximale que doit présenter le capteur (fil chaud)

5. si on s'autorise à interpréter le bruit électronique de l'appareil en terme de

fluctuations de vitesse, quel doit être le niveau maximal tolérable de ce bruit.

Exemple

Un anémomètre à fil chaud est monté sur l'aile d'un avion en vol (l'anémomètre à fil


turbulent de gaz).


estt de 100 m. L'anémomètre est conçu pour mesurer les fluctuations des plus petites


1. En admettant que les gros tourillons correspondent aux échelles porteuses

d’énergie, donner une évaluation de l’ordre de grandeur du taux de dissipation. 2. Donner alors une évaluation de l'ordre de grandeur des plus petites échelles de la

turbulence, quel est alors l'ordre de grandeur des fluctuations de vitesse à ces

échelles

3. Quelles sont les fréquences les plus élevées que va rencontrer l'anémomètre?

Quelle fréquence d'acquisition doit t-on prévoir ?

4. quelle est la taille maximale que doit présenter le capteur (fil chaud)

5. si on s'autorise à interpréter le bruit électronique de l'appareil en terme de

fluctuations de vitesse, quel doit être le niveau maximal tolérable de ce bruit.

Exemple

On réalise des expériences d'écoulement à bulles sur un dispositifs

expérimental embarqué dans l'avion. Il s'agit d'abord de l'étude de la

turbulence induite par l'ascension de bulles d'air sphériques de 1 mm

dans un liquide au repos (eau). La vitesse d'ascension des bulles est

estimée à 0.1 m/s

6. Donner une estimation du taux de dissipation provoqué par

l'ascension des bulles si on suppose que la fraction volumique du gaz

est de l'ordre de 10%

7. En admettant que les échelles de la bulles correspondent au

échelles porteuses d'énergie, donner une estimation des plus petites

échelles de la turbulence dans le liquide

8. L'acquisition du signal est réalisée à une fréquence de 1 KHz. Est ce

que cette fréquence est suffisante pour capter les plus petites échelles

de la turbulence x

u

g

y

Expériences d ’écoulement turbulent à bulles en micro-gravité

50° 50°

Inlet Ressources 1.8g

Micro-Gravity 0 g Outlet Ressources 1.8g

Chahed J., Colin C., Masbernat L., (2002), "Turbulence and phase distribution in

bubbly pipe flow under micro-gravity condition", Journal of Fluids Engineering,

Vol.124, pp. 951-956

Expériences d ’écoulement turbulent à bulles en micro-gravité

x

u

g

y

Signal en écoulement turbulent gaz-liquide

Exemple

On réalise maintenant un écoulement à bulles en micro-gravité avec une vitesse du

liquide égale 2 m/s. le diamètre de la conduite est de 10 cm. Notons qu ’en micro-

gravité, le glissement des bulles est nul et on suppose que la turbulence est

quasiment monophasique.

9. En admettant que les échelles de la conduites correspondent aux échelles

porteuses d'énergie, donner une évaluation des ordres de grandeurs des échelles

dissipatrices

10. Quel doit être dans ce cas la fréquence d'acquisition si on veut capter les plus

petites échelles de la turbulence

NB. On prend : viscosité cinématique de l'air (1,5 10-5 m2/s) viscosité cinématique de

l'eau (10-6 m2/s)

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Documents

chelles de kolmogorov

kolmogorov lnergie cintique

petites chelles

kolmogorov loi dchelle

kolmogorov consquences

kolmogorov lintensit

vitesse des tourbillons

dissipation la turbulence