SistemasdePartculasICentrodeMasayTeoremadelMomentumMarioI.CaicedoDepartamentodeFsica,UniversidadSimonBolvarIndice1. CentrodeMasa 22. Momentumlinealdeunsistemadepartculas 613. TeoremadelMomentum 94. EnergaCineticadeunSistema 145. ElReferencialdeMomemtumCero 176. Elproblemadedoscuerpos 187. Ejemplos 217.1. ComocalcularundiferencialdevolumenI?(elcasoplano) . . . . . . . . . . . 217.2. Calculodecentrosdemasasdegurasplanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.3. ComocalcularundiferencialdevolumenII?(Objetosespaciales) . . . . . . . . 257.4. Calculodecentrosdemasasdegurasvolumetricas . . . . . . . . . . . . . . . . 288. Problemas 291. CentrodeMasaLaprimerapartedecualquier cursodefsicaelemental nos habituaatratar cuerpos deextensionnitacomosifueranobjetospuntuales.Asporejemplo,tratamosalsolylatierracomosifuerandospuntos,aunhombrecomosinotuvieraextensionylomismohacemosconcajas,poleas,etc.Ciertamentetantonuestraintuicion(nodiraustedqueunapersonavistademuylejos,digamosqueadosKmdedistancia, sevecomounpunto?)comolosresultadosdealgunoscalculosbasadosenestasaproximacionesparecenserbastanterazonables, perovalelapena2preguntarsehastaquepuntopodrajusticarselaaproximaci ondepartculapuntual?. Estapregunta esta hecha en un sentido matematico, en el entendimiento de que la mecanica pretendedarunmodelomatematicodeciertarealidad.Debemosentenderqueelhechodequenuestrasaproximaciones parezcan razonables no signica que tengan alg un soporte teorematico. Siguien-doesteordendeideasdedicaremoslasproximasclasesabuscarunajusticacionmatematicaalaaproximaci ondepartculapuntual.Conelndellevaracaboesteprogramadebemosintroducirelconceptodesistema,paraelloconsideremosunconjunto(M)departculasysusinteraccionesm utuas, unsistemadepartculasesunsubconjuntoarbitrario(C M)departculasdelconjuntoinicial,elcomple-mento de Crecibe la denominacion de ambiente o exterior, las interacciones entre las partculasdel sistema se denominan fuerzasinternas, mientras que las interacciones con las partculas delambientesedenominan: fuerzasexternas.Lasutilezadelconceptodesistemaestaasociadaalaarbitrariedadconquesedeneelsistema,enefecto,ladeniciondeunsistemadependedeloquequeramosestudiar.Consideremos por ejemplo el conjunto de objetos fsicos constituido por la tierra, la luna, elsolyelrestodelsistemasolar,esmasomenosclaroquesiqueremosestudiarlosmovimientosdelalunaconrespectoalatierradeberamostomarcomosistemaalpartierra-luna,ycomoambientealrestodelsistemasolar.Enresumen,loqueseocultadetrasdelconceptodesistemaeslaideamecanicistafunda-mental de aislar las componentes de un todo para intentar entender el comportamiento del todocomoresultadodelcomportamientodelaspartes.Conestaideaenmentevamosaintroducirunconceptobastantemaspreciso3Figura 1: Esta fotografa tomada por el telescopio espacial Huble muestra un c umulo de galaxias.Cadagalaxiatieneundiametrodelordendeloscientosdea nosluz,sinembargo,ladinamicaconqueinteract uanentres puedeaproximarserazonablementetratandoacadagalaxiacomosifueraunpunto4Denicion1Dadounsistemaconstituidoporunconjuntodepartculapuntualesdemasasm1,m2,m3,...,mN,el centrodemasa(CM)del sistemaesunpuntoabstractocuyovectordeposici onsecalculapormediodelaformula

R 1MN

i=1miri , (1)donde:M=N

i=1mi(2)eslamasatotal del sistema.Desdeel puntodevistamatematicoesevidentequeel vector

Rrepresentaunpromediopesado de las posiciones ocupadas por todas las partculas que forman al sistema. Con respectoa la denicion del centro de masa hay dos observaciones que deberan resultar obvias, en primerlugar, que la posicion del CM no tiene que coincidir con la posicion de alguna de las partculasdel sistemayensegundo, quedebidoaqueencontrar

Rinvolucrael calculodeunpromedioponderadoenel quelos pesos delos objetos apromediar (las posiciones decadapartculadel sistema)estandadosporlasmasasdelaspartculas, el CMtiendeaacercarseaaquellasregionesenqueseconcentremasmasa. As porejemplo, si dospartculastienenmasasMy3My estan separadas por una distancia , su CM estara localizado a lo largo del segmento quelasseparayaunadistancia

4delapartculamasmasiva1.Ejemplo1Consideremos el sistema compuesto por la tierra y el sol y coloquemos el sistema dereferencia en el centro de este ultimo, las masas de ambos objetos celestes son: MT= 5,97610241Verque esto como ejercicio5Kg y MO= 1,9891030Kg. En este caso la posicion del centro de masa del sistema con respectoal origendecoordenadases

R =0 + 5,976 1024r1,989 1030+ 5,976 1024(3)donde res la posicion de la tierra con respecto al origen, reescribiendo las cosas un poco resulta:

R = 5,976 1024r1,989 1030(1 +5,97610241,9891030) 3,00 106r , (4)resultadocuyainterpretacionesmuysencilla: el centrodemasadel sistematierrasol seen-cuentrapracticamenteenel centrodel solSielsistemaestaconstituidoporunsistemacuyamasaestadistribuidacontinuamente,laformuladecalculodelaposiciondel centrodemasadebecambiarseligeramente. El cambioviene de observar que cada elemento innitesimal de volumen (dv) del cuerpo puede considerarsecomo una masa innitesimal de magnitud d m = dv de manera que debemos efectuar el cambiomi d myconsecuentementelasumadebecambiarseporunaintegral,esdecir,queparauncontnuo,laposiciondlecentrodemasasecalculapor

R 1M_V ol rdv (5)donde reslaposiciondelelementodevolumen.2. MomentumlinealdeunsistemadepartculasParaconvencernosdelautilidaddelanociondel centrodemasasrecordemosqueel mo-mentumlinealpdeunapartculademasamquesedesplazaconvelocidadvconrespectoa6alg unsistemadereferenciaestadadopor p = mv , (6)mientras que el momentumtotal (

P) de unconjuntode partculas estadadopor lasuma(vectorial)delosmomentaindividuales,estoes:

P=

i pi . (7)Estudiemos en detalle algunos aspectos de un sistema compuesto de dos (2) partculas de masasm1ym2demaneraqueelmomentumdelsistemaestadadopor:

P=p1 +p2 , (8)porotrapartelaposiciondelCMdelsistemaes

R =1M (r1 +r2) . (9)Scalculamosladerivadatemporalde

Rresultad

Rdt=1M_m1r1 + m2r2_=1M[ p1 +p2], (10)esdecir,

P= M

V ,, (11)donde

V=d

Rdt(12)7eslavelocidaddelcentrodemasadelsistema.Lacomparaciondelasformulas(8)(11)y(12),nosdicequeelmomentumtotaldelsistemaesigualalproductodelamasatotaldelsistemapor la velocidad del CM. Podemos dar un paso mas diferenciando la identidad (8) con respectoaltiempoparaobtenerM d2

Rdt2= p1 + p2 . (13)Ahorabien, debemosrecordarqueestamospensandoenlaideadesistemayqueporlotanto la fuerza sobre cada una de las dos partculas debe entenderse como la suma de la fuerzaque ejerce la otra y la fuerza (neta) ejercida por todos los agentes externos al sistema, es decir: p1=

F21 +

F(ext)1(14) p2=

F12 +

F(ext)2, (15)demaneraqueladerivadadelmomentumtotaldelsistemasepuedeexpresarenterminosdelasfuerzascomoM d2

Rdt2=

F21 +

F(ext)1+

F12 +

F(ext)2. (16)Enestepuntodebemosrecordarquelasfuerzasejercidasentrelaspartculas(

F21y

F12)sonparesdeaccionreaccion,asquedeacuerdoalasegundaleydeNewton

F12 +

F21= 0 (17)demanera,queendenitivahemosdemostradoelsiguienteresultadoM d2

Rdt2=

F(ext)1+

F(ext)2

F(ext), (18)cuyosignicadofsicoesbastanteclaro: el centrodemasadeunsistemapuedeconsiderarsecomounapartculade masaMque se mueve bajolainuenciade las fuerzas externas al8sistema.Esteeselresultadoqueestabamosbuscando,enefecto,laigualdad(18)nosdicequesi queremosaproximaraunsistemapor unpunto, el puntodebeser el centrodemasadelsistema, masa un, el movimientodeel puntoquesustituyeal sistemaestadictadosolamenteporlasfuerzasexternasalsistemayenconsecuencia,losdetallesdelosmovimientosinternosde las partculas que forman al sistema son irrelevantes para el movimiento del centro de masa.3. TeoremadelMomentumEl resultadoejemploquehemosestudiadoenlaseccionanteriorsepuedegeneralizarsinproblemaparaserenunciadoenlasiguienteforma:Teorema1El momentumtotal deunsistemadepartculas (

P) es igual al productodelamasadel sistemaporlavelocidaddesucentrodemasa,yobedecelaleydemovimientod

Pdt=

F(ext)(19)donde

F(ext)eslafuerzaexternanetaqueact uasobreel sistema.lademostraciondelteoremasedejacomoejerciciointeresante.Volviendoal teorema(1)referenteal momentumlineal deunsistema, veamosunpardecorolarios.Elprimero(ymasevidente)deelloseselsiguienteSi lasfuerzaexternanetaqueact uasobreunsistemaesnula, el sistematen-dramomentumconstante9La demostracion de este resultado es inmediata y se deja como ejercicio. El segundo corolarioeselsiguienteSilacomponentedelafuerzaexternanetaalolargodeunaciertadireccionesnula, el momentum del sistema a lo largo de esa direccdion sera constante constanteen terminos mas precisos, si n es un vector constante y

F(ext). n = 0 entonces

P. n = constante.Apesardequeestecorolariotieneunenunciadoalgomenostrivial queel primerosupruebatambienesinmediata.El ultimode los corolarios tiene unsignicadofsicobastante interesante que podemosilustrar facilmente. Consideremos el movimiento de una masa puntual bajo una fuerza constante(

F0)(pensemos porejemploenellanzamiento balstico demaneraquelafuerza coincidaconelpeso)ysea eunvector ortogonalalafuerza(enelejemplo,unvector horizontal),ciertamente

F0. e=0yporlotanto p. e=constante, ahorabienel momentumdelapartculanoesmasqueelproductodesumasaysuvelocidad,deestamanera,elcorolarioreejaelhechodequelacomponentehorizontaldelavelocidadenunlanzamientoparabolicoesconstante.Ejemplo2Veamosunaaplicaciondel teoremadel momentum.Consideremosunsistemaformadoportresmasasidenticasentrelasquesehancolocadodosresortes(sinmasa)comprimidos. El sistemaestacolocadoenrepososobreunamesasinrozamiento y se mantiene unido gracias a unos hilos. En cierto instante los hilos se cortan y lasmasascomienzanamoversesobrelamesa.SabiendoquelaenergaamacenadaenlosresortesesE0yquelavelocidaddedosdelasmasasu1yu2esdeidenticamagnitudyforman900entres,cualesseranlasvelocidadesdelastresmasas?.10Paracomenzarescojamosunsistemadereferenciacuyocentroseencuentreenlaposicioninicial del centrodemasadel sistema, ydotemosledeunsistemadecoordenadascartesianascuyoejezesperpendicularalamesaycuyosejesxeysonparalelosalasvelocidades u1y u2.Deacuerdoalainformacionqueposeemospodemosponer p1= pi , yp2= pj . (20)Porotraparte, el momentuminicial del sistemaesnuloycomonohayningunafuerzahori-zontalexternaelmomentumhorizontaldelsistemadebemantenersenulo,portanto,si p3eselmomentumdelamasacuyavelocidadestotalmentedesconocida,podemosasegurarque p3= p_i + j_. (21)Finalmente,laenergacineticadel sistemasecalculacomoT=

p2i2 m=2mp2(22)estaenergadebeseridenticaalaenergaalmacenadaenlosresortes,yporlotanto2mp2= 2 m v2= E0(23)dedonde:v1= E02 mi (24)v2= E02 mj (25)v3= E02 m_i + j_(26)11Ejemplo3Hemosinsistidoenqueestamosinteresadosendiscutirsistemasdepartculasyconel ndeentenderalgunosaspectosdel problemageneral,comenzaremosnuestradiscusionconunsistemabastantesencilloqueconsisteendosbolaspeque nasdemasam(queconsider-aremospuntuales)unidasporunabarrargida2.Parasera unmasespeccos,supongamosqueel centrodelahalterasedesplazaenlnearectaconrapidezuniforme0, mientrasrotaconritmouniforme0rad/segalrededordesucentro.xyyFigura2: El sistemadecoordenadasutilizado. El angulosemideconrespectoal ejey

. Ent = 0elcentrodelahalteracoincideconelorigendelsistemadereferenciax yDeacuerdoaladescripciondel sistemayescogiendounsistemadecoordenadasinercialcartesianodetal suerteque(i)ent =0el centrodelabarracoincidaconel origen, (ii)el2Estesistemasedenominahaltera, sinmasa, delongitud2 a, yesporesoqueel levantamientodepesasolmpico se conoce como halterolia12plano de giro de la barra es el plano xyy (iii) el eje x es paralelo a la direccion del movimientodel centrodelabarra,lasposicionesdelasdosbolitasmasivasestarandadasporx1(t) = 0 t + a sen, y1(t) = a cos (27)x2(t) = 0 t a sen, y2(t) = a cos, (28)donde=(t)=0 t + 0esel angulo-medidoensentidohorario-queformanel ladodelabarra conectado con una de las masas (que siempre debera ser la misma) y el ejey

comovil conel centrodelabarrita.Al calcularel Momentumtotal del sistema-comosumadelosmomentadecadapartcula-obtenemos

P = m( x1 + x2)i + m( y1 + y2)j= m[0 + a (cos cos)]i + ma [ (sen sen)]j= M 0 i , (29)dondeM= 2 meslamasadel sistema.Analicemosesteresultadoalaluzdeloquehemosaprendidohastaestepunto.Enprimerlugar, es evidentequeel centrodemasadel sistemaseencuentralocalizadoenel centrodelabarra, por otraparte, noes menos obvioel hechodequeel centrodelabarrasemueveconvelocidad

VCM=0i demaneraquelaformula(29)nohacemasqueconrmarqueelmomentum del sistema es igual al producto de la masa del sistema por la velocidad de su centrodemasa(observequeestoesindependientedequelatasaderotacionseauniforme).134. EnergaCineticadeunSistemaHemos comentado que para la dinamica del centro de masa el movimiento interno del sistemaes irrelevante, esto parece simplicar demasiado las cosas ya que no parece razonable que todoslossistemaspuedanreducirseapuntosynadamas. Vamosaestudiarunacantidadfsicaenlacual losdetallesdel movimientointernoaparecenenformanatural, conestenvamosaintroducirunsistemadereferenciaauxiliarlocalizadoenel centrodemasadel sistema. ConrespectoaunsistemadereferenciaarbitrarioO,losvectoresdeposiciondeunsistemadedospartculassonr1=

R +r(c)1(30)r2=

R +r(c)2(31)donde

Reslaposiciondel centrodemasadelahalteraconrespectoaOyr(c)1yr(c)2sonlasposicionesdelaspartculasenelsistemadelcentrodemasa.Antesdecontinuarladiscusionnotemosque(ejercicio)El momentumtotal medidoenelsistemadel centrodemasaesnuloEjemplo4Volvamosaconsiderarlahalteraqueestudiamosenel ejemplo3. Yahemosen-contradoqueconrespectoal sistemadecoordenadasinercial quehabamosintroducidolave-locidaddelcentrodemasadelsistemaes

V= 0i,mientrasquelasvelocidadesrelativasdelaspartculasconrespectoalsistemadereferenciadelsistemacentrodemasason(veriqueesto)u1= a u(+)yu1= a u()donde u()= cosi senj (32)14Al calcularloscuadradosdelosmomentaindividualesdecadapartculaobtenemos p12= m2(0 + acos)2+ m2a22sen2 == m220+ 2 m2acos + m2a22(33) p22= m2(0acos)2+ m2a22sen2 == m220 2 m2acos + m2a22(34)demaneraqueal calcularlaenergacineticaresultaT=p212 m+p222 m=M 202+ma222+ma222. (35)Elprimerterminodeestasumaesevidentementelaenergacineticatraslacionaldelcentrodemasadelsistema,losotrosdosterminosrepresentanlasumadelasenergascineticasdecadaunodelosmiembrosdel sistemamedidasconrespectoal centrodemasa.Notesequesia 0elsistemaesunsistemapuntualyqueporlotantoenesecasonopuedehaberenergacineticainternadel sistema.Si introducimos una nueva cantidad: I= ma2+ma2= 2 ma2, que solo depende de la masadel sistemaydesugeometra,podemosrescibirlaenergacineticarotacional delahalteraenlaformaTrot=I22, (36)estaexpresiontienetodalaaparienciadeunaenergacineticaenquelainercia(masa)rota-cional del sistemaesI cuyasunidadessondemasa longitud2yendondelavelocidadquehayqueusareslavelocidadangular.15Porcierto,lacantidadma22esel momentumangulardeunadelasmasasdelahalteramedidoconrespectoalcentrodelamismademaneraquesi

L(c)eselmomentumangulartotaldelahalteramedidoconrespectoal centrodemasadelamismapodemosponer:T=P22 M+(

L(c))22 I. (37)Queremossistematizarelresultadoquehemosencontradoenelejemploanterior,esdecir,queremosversi esposibleencontrarunaexpresionparalaenergacineticatotal del sistemaqueinvolucrealavelocidaddel centrodemasayposiblementealasvelocidadesrelativasdelaspartculasdelsistemaconrespectoalcentrodemasadelmismo,paraellorecordemosunavez mas que la energa cinetica no es mas que la suma de las energas de cada partcula, esto esT=12m1v21 +12m2v22 , (38)ahorabien,siescribimoslasvelocidadesenterminosdelavelocidaddelcentrodemasa(

V )ydelasvelocidadesrelativas u1=r(c)1, u2=r(c)2resultaT =12m1(

V+ u1)212m2(

V+ u2)2==12m1_V2+ 2

V .u1 + u21)_ +12m2_V2+ 2

V .u2 + u22)_=12(m1 + m2)V2+ V .(m1u1 + m2u2) +12m1u21 +12m1u21 . (39)Porotraparte,m1u1 +m2u2= 0yaqueestacantidadeselmomentumtotalrelativoalcentrodemasa,demaneraquehemosprobadoqueT=M2V2+ T(rel), (40)16dondeT(rel)=12m1u21 +12m2u22 . (41)Unavezmasdarunainterpretacionfsicaaunresultadomatematicoesalavezsencilloperoextremadamenteinteresante,laformula(40)nosdicequelaenergacineticadelsistemanoessolamente la energa cinetica de una partcula de masa Mmoviendose con el centro de masa sinoquehayquetomarencuentalaenergaasociadaalosmovimientosdelaestructurainternadel sistema. Esteresultadotambiensegeneralizaaunsistemaconunn umeroarbitrariodepartculas,encuyocasoelenunciadoeselsiguiente(lapruebasedejacomoejercicio)Teorema2Laenergacineticatotal(T)deunsistemadepartculaseslasumadedostermi-nos, laenergacineticadel centrodemasasylaenergacineticadelaspartculasdel sistemacalculadasconlasvelocidadesrelativasal centrodemasasT=MV22+ T(rel), donde T(rel)N

i=112miu2i(42)5. ElReferencialdeMomemtumCeroOtraforma-muynatural porcierto-deintroducirel centrodemasaesdeniendounsis-temadereferenciaenel cual el momemtumdel sistemaqueseconsidereseanulo. Enefecto,consideremos un sistema de Npartculas de masas m1, m2,...mNcuyas posiciones con respectoaalg unobservadorinercialestandadasporri(t),i = 1, 2, . . . , N.Queremosinquiriracercadelaposibilidaddedenirunnuevosistemadecoordenadasenel queel momemtumtotal delsistema:

P=

imi, ri(43)17seanule.Supongamos que tal referencial (S) existe y llamemos r

ia la posicion de la i-esima partcu-laconrespectoaS, entonces, si llamamos

P

al momemtumdel sistemaconrespectoaStendremos:

P

=

imi,r

i= 0 (44)donde los vectores r

irepresentan las posiciones de las partculas con respecto a S. Ciertamente:ri=

ROS +r

iyporlotantodeexistirSdebeocurrirque

imi,_v

i

V_ = 0 (45)donde

V =

ROSyv

i=vecr

i. Deacuerdoaesteresultado, SesunsistemadereferenciaquedebemoverseconrespectoaOconvelocidad

V=1M

imiri(46)donde M= imies la masa total del sistema. Mas a un podemos integrar para obtener que laposiciondeSconrespectoaOestadadapor:

R =1M

imiri(47)queefectivamenteeslaposiciondelcentrodemasa.6. ElproblemadedoscuerposComo una aplicacion muy interesante del sistema de referencia del centro de masa (o referen-cial de momentum nulo) estudiemos la dinamica de un sistema de dos partcula completamenteaisladodefuerzasexternas.18Las ecuaciones de movimiento de este sistema estan constituidas por el sistema de ecuacionesdiferencialesm1 r1=

F21(48)m2 r2=

F12(49)Vamosautilizaruncambiodevariablesparareescribirestesistemadeecuacionesenformamasconveniente,paracomenzarsumemosambasecuacionesparaobtenerm1r1 + r2=

F21 +

F12= 0 (50)oRCM= 0 (51)donde hemos utilizadolaterceraleyde Newtonparademostrar que el ladoderechode laecuaciondebesernulo.Adicionalmente, si dividimoscadaecuacionporlamasaqueapareceencadaecuacionyrestamoslosresultadosobtenidosresulta r2 r1=

F12m2

F21m1(52)pero, r2 r=r12noesotracosaqueel vectordeposiciondelapartcula2conrespectoala1, adicionalmente, si volvemosautilizarlaterceraleydeNewtonenel ladoderechodelaecuacion52resulta r12=_1m2+1m1_

F12 , (53)o r12=

F12 , (54)19donde m1 m2m1 + m2(55)sedenominalamasareducidadel sistema. Endenitiva, lasecuacionesdiferencialesquede-scribenladinamicadelsistemadedospartculasaisladasdesuentornopuedereescribirseenlaforma

RCM=

V= ctte (56) r12=

F12 . (57)Laprimeradeestasecuacionessolonosdiceloqueyasabamos: queenestascondicioneslavelocidaddel centrodemasas es constante. Lasegundaes bastantemas interesante, nosdicequepodemospensarenladinamicadel movimientorelativodelasdospartculascomoelmovimientodeunasolapartcula,cuyamasaeslamasareducidadelsistema,sobrelaqueact ualafuerzadeinteraccionentrelasdospartculas.Ejemplo5Si pensamosenel problemadelatierraeninteraccionconel sol ydespreciamosel efectodelosotrosplanetasdel sistemasolar,laecuacion57sereducea rST= G Mo MTr3STrST , (58)dondeMoyMTsonlasmasasdesol ylatierrarespectivamente,rSTesel vectordeposiciondelatierraconrespectoal sol ylamasareducidadel sistematierra-solNoteseque =m1 m2m2(1 +m1m2)=m1(1 +m1m2) , (59)20sim10delplano.Estavezreescribiremoslaposiciongeneral del centrodemasaenlaforma

RCM=1M_objetor dm (71)donder es laposiciondel elementodemasadm; debidoal usodelas coordenas polares elelementodemasaseexpresaenlaformadm = r dr d (72)donde=2,M R2esladensidaddel semidisco.Porotraparte,sabemosquer = r (cosi + senj) (73)yporlotantolaposiciondel centrodemasaseexpresacomo

RCM=M_i I1 + j I2_(74)24dondeI1=_0d _R0dr r2cos y I2=_0d _R0dr r2sen (75)el calculodelasintegraleseselemental yresultaI1= 0 y I2= 2 R33(76)sustituyendoen

RCMobtenemosnalmente

RCM=2 M R21MR2j=43 Rj (77)7.3. Comocalcular undiferencial devolumenII?(Objetos espa-ciales)Comoanteslascoordenadascartesianasnohacenmasquedividiral espacioenpeque nosparaleleppedos elementales de lados dx, dy, dz. Al igual que enel casoplanoel elementode volumende las coordenadas cartesianas se calculasinning unproblema, el elementoessencillamenteuncubitodeladosdx,dy,dzyporlotantoelvolumeninnitesimalesdv= dxdy dz (78)Las coordenadas cilndricas son una extension al espacio de las coordenadas polares planas.En las coordenadas polares el plano se divide en crculos que e cortan con semirectas (denidaspor los angulos), las coordenadas cilndricas se construyen con cildros rectos cuyo eje es el eje zque se cortan con dos tipos de planos, (i) semiplanos que contienen al eje (z) y planos paralelos25al planox ydemaneraquelasformulasdecambiodecoordenadasson(lanotacionusualasignalaletragriegaalradiocilndrico):x = cos (79)y = sen (80)z = z (81)Loscortesadecuadosdeunelementoinnitesimalproducenuncubitodelados:ds= d ,d s= d yd sz= dzcuyovolumenesdv= d ddz (82)Sipreerelanotacionvectorialobservequeeldesplazamientoinnitesimalencoordenadascilndricasestadadoporelvector:dr = d u + d u + d z k (83)yqueporlotantoelvolumendelparaleleppedoformadoporlostresdesplazamientosortogo-nalesinnitesimalesposibles(radial,tangencialyvertical)estadadoporeltripleproducto:dv= ds.(ds dsz) = d ddz (84)Finalmente, el sistemade coordenadas esfericas estadenidopor el corte desuperciesesfericasderadiorconconosrectosdesemiangulo(0