Centro de Investigacion Cientıfica y de EducacionSuperior de Ensenada, Baja California

MR

Maestrıa en Ciencias

en Ciencias de la Tierra con orientacion en Geociencias

Ambientales

Uso de redes de Boltzmann para la modelacion de flujo a

traves de areniscas saturadas de agua

Tesis

para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de

Maestro en Ciencias

Presenta:

Juvenal Alfredo Leon Robles

Ensenada, Baja California, Mexico

2017

Tesis defendida por

Juvenal Alfredo Leon Robles

y aprobada por el siguiente Comite

Dr. Juan Contreras Perez

Codirector del Comite

Dra. Graciela Herrera Zamarron

Codirector del Comite

Dra. Raquel Negrete Aranda

Dr. Horacio Jesus De la Cueva Salcedo

Dr. Juan Garcıa AbdeslemCoordinador del Programa de Posgrado en Ciencias de la Tierra

Dra. Rufina Hernandez MartınezDirectora de Estudios de Posgrado

Juvenal Alfredo Leon Robles © 2017Queda prohibida la reproduccion parcial o total de esta obra sin el permiso formal y explıcito del autor y director de la tesis.

ii

Resumen de la tesis que presenta Juvenal Alfredo Leon Robles como requisito parcial para la ob-tencion del grado de Maestro en Ciencias en Ciencias de la Tierra con orientacion en GeocienciasAmbientales.

Uso de redes de Boltzmann para la modelacion de flujo a traves de areniscas saturadas deagua

Resumen aprobado por:

Dr. Juan Contreras PerezDirector de la Tesis

En este trabajo se presenta un modelo numerico del flujo no reactivo a traves de muestrasde arenisca naturalmente estratificada. El modelo esta basado en el trabajo desarrollado en ex-perimentos de laboratorio de flujo en este tipo de rocas. En estos experimentos se observo quela migracion de un soluto a traves de muestras de arenisca laminadas y saturadas, esta domina-da por la estratificacion. Los resultados sugieren que el efecto de la estratificacion es dominantecuando el flujo es paralelo a la laminacion. Por otra parte, cuando el flujo es perpendicular, sucomportamiento es el esperado para medios homogeneos. En esta tesis se construyo un medioporoso artificial simulado con los parametros tomados de las muestras de arenisca reales (tamanode los granos, porosidad y permeabilidad). Se utilizo el metodo de redes de Boltzmann (LBM) paramodelar el flujo a traves de dichas muestras y comparar los resultados del modelo con los experi-mentos de laboratorio. La muestra de arenisca que se modelo, presentaba una alternancia de dostipos de capas, unas formadas por granos gruesos y otras formadas por granos finos. Los detallesde esta estructura fueron incorporados en el medio sintetico. Los resultados de la simulacion delflujo con el metodo LBM indican que, cuando el flujo es paralelo a la laminacion se presentan lascondiciones para la formacion de flujo preferencial. Es decir, la formacion de dıgitos en el frentede humectacion. Esta inestabilidad esta asociada con el arreglo de granos que forman las ca-pas. Por otro lado, el flujo uniforme, que se reporta en los experimentos de laboratorio cuando elflujo es perpendicular a la estratificacion, se debe a que las capas de granos finos actuan comodisipadoras de momento del fluido cuando este pasa repetidamente por dichas capas.

Palabras Clave: Flujo en medios porosos, modelos de redes de Boltzmann, medios porososartificiales

iii

Abstract of the thesis presented by Juvenal Alfredo Leon Robles as a partial requirement to obtainthe Master of Science degree in Master in Sciences in Earth Sciences with orientation in Environ-mental Geosciences.

Application of lattice Boltzmann method to model flow through water saturated sandstone

Abstract approved by:

Dr. Juan Contreras PerezThesis Director

A numeric model of non-reactive flow through naturally stratified sandstone samples is presen-ted. This work is based on laboratory experiments in which it was established that solute migra-tion in saturated stratified porous media was dominated by stratification. The experiment resultsstrongly suggest that the effect of the stratification is dominant for flow parallel to the lamination inthese sandstones. For flow perpendicular to stratification, the behavior is the expected for a homo-geneous medium. In this work an artificial porous media is built based on the parameters obtainedfrom the experiment samples (grain size, porosity and permeability). The Lattice Boltzmann met-hod is used for modeling the flow through the samples. The aim is to use this method to comparethe results from the model with the ones obtained from the laboratory experiments on real me-dia. The sandstone modeled, consisted of a repetition of layers of i) medium-grained sand and ii)fine-grained sand. The physical properties of this structure were used as parameters to build theartificial porous media. The results from the LBM flow simulation show that when flow is parallelto lamination, conditions arise for preferential flow, i.e., fingered flow. This instability is associatedwith the arrangement of grains of different sizes found in the layers. On the other hand, the modelpredicts uniform flow when flow is perpendicular to stratification. It is caused by the fine-grainedlayers, which diffuse the fluid momentum when it moves through these layers.

Keywords: flow in porous media, lattice Boltzmann models, artificial porous media

iv

Agradecimientos

Al Centro de Investigacion Cientıfica y de Educacion Superior de Ensenada (CICESE).

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologıa (CONACyT) por brindarme el apoyo economico

para realizar los estudios de maestrıa (numero de becario: 572201).

Al Centro Mexicano de Innovacion en Energıa Geotermica (CeMIEGeo) por el apoyo economi-

co recibido para la finalizacion de la presente tesis, ası como por los recursos computacionales:

el cluster Lamb, donde se llevaron a cabo las simulaciones requeridas por el presente trabajo. Por

lo tanto, agradezco tambien la valiosa ayuda del Dr. Jonas de Dios de Basabe Delgado, quien me

permitio tener acceso al cluster y me oriento en esta tarea.

Agradezco el constante apoyo del Dr. Juan Contreras ası como la amable ayuda de la Dra.

Graciela Herrera. Agradezco tambien, el tiempo y las observaciones de la Dra. Raquel Negrete y

el Dr. Horacio de la Cueva.

v

Tabla de contenidoPagina

Resumen en espanol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Resumen en ingles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Agradecimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Lista de figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

Lista de tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

1. Introduccion 11.1. Flujo en medios porosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Modelos de redes de Boltzmann 42.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1. Ecuaciones de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2. Automatas celulares para redes de gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Modelos de redes de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.1. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Metodologıa 153.1. Propiedades de los fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. Experimento de Bashar y Tellam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3. Creacion de un medio poroso artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.1. Eleccion de los parametros de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.2. De 3D a 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4. De dimensiones reales a dimensiones de LBM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4.1. Re para medios porosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4.2. Dimensiones LBM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5. Simulacion del flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4. Resultados 324.1. Flujo paralelo a la estratificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2. Flujo perpendicular a la estratificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3. Pertinencia del modelo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4. Causas de flujo preferencial en medios estratificados . . . . . . . . . . . . . . . 404.5. Permeabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Literatura citada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

vi

Lista de figurasFigura Pagina

1. Formacion de un frente de dıgitos de un trazador de tinta azul. [Modificada deSophocleous et al. (2010)]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Artıculos publicados por ano en cuyos tıtulos se encuentran las palabras “sandsto-ne” y “aquifers”. En los ultimos 10 anos se observa un promedio de 20 artıculos porano. Fuente: Google Scholar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3. Los vectores de velocidad unitarios del modelo FHP (Sukop y Thorne, 2010). . . . . 6

4. Arreglo D2Q9. [Modificada de Sukop y Thorne (2010)]. . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5. Implementacion del flujo: las distribuciones llegan al nodo central de las correspon-dientes de sus nodos vecinos. Las flechas punteadas corresponden a velocidadesen un tiempo t−∆t mientras que las flechas solidas representan a las velocidadesen un tiempo t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6. Esquema de diferentes tipos de condiciones de rebote (Guo y Shu, 2013). La con-dicion del inciso a) fue usada en la presente simulacion. . . . . . . . . . . . . . . . . 11

7. Condiciones de velocidad en la frontera norte. Se conocen las funciones de distri-bucion para las velocidades 0,1,2,3,5 y 6 porque llegaron de los nodos vecinos en elproceso de flujo, como se muestra en el nodo central. Se desconocen las funcionesde distribucion para las velocidades 4, 7 y 8. Las flechas punteadas correspondena velocidades en un tiempo t−∆t mientras que las flechas solidas representan alas velocidades en un tiempo t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

8. Diagrama que ilustra los experimentos de Bashar y Tellam (2006). En las columnas11-13 el flujo es perpendicular a la estratificacion. En las columnas 1-3 el flujo esparalelo a la estratificacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

9. Voxeles en un arreglo matricial 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

10. Fotomicrografıa de la seccion delgada de una roca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

11. Diagrama de flujo del algoritmo para crear las muestras artificiales de medios poro-sos. [Modificada de Coelho y Neumann (2016)]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

12. Comparacion entre las secciones delgadas de las muestras artificiales y las seccio-nes delgadas de rocas reales. [Modificada de Coelho y Neumann (2016)]. . . . . . . 21

13. Caracterısticas del bloque 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

14. Obtencion de secciones transversales de las matrices 3D generadas con el algo-ritmo de Coelho y Neumann (2016). La matriz a) corresponde a la generada paragranos muy finos y la matriz b) corresponde a la generada para granos medios.Los granos estan representados por los objetos en blanco mientras que los poroscorresponden a las partes en negro de las secciones transversales. [Modificada deZhang et al. (2005)]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

15. Conformacion del medio poroso en 2D. Bandas provenientes de secciones trans-versales de la matriz de granos finos (a) se intercalan con bandas provenientesde secciones transversales de granos medios (b), en un medio poroso en 2D. Pa-ra ambos casos se muestran los diametros usados de las esferoides ası como laporosidad elegida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

vii

Lista de figuras (continuacion)

Figura Pagina

16. Condiciones del experimento de Bashar y Tellam (2006). Se muestran los datos delbloque 1. [Modificada de Bashar y Tellam (2006)]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

17. Escalamiento del sistema real a LBM. El numero de Reynolds asegura que el com-portamiento del flujo sea similar en ambos sistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

18. Algoritmo para la simulacion del flujo a traves del medio poroso con el modelo LBM. 29

19. Primeras lıneas del archivo de texto que contiene el medio poroso artificial. . . . . . 30

20. Formacion de dıgitos en el frente de humectacion en los intervalos indicados. [Mo-dificada de Bashar y Tellam (2006)]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

21. Seccion del medio poroso que corresponde a la mitad del bloque 1 simulado. En elacercamiento se puede apreciar la alternancia de las capas de distintos tamanosde granos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

22. Flujo paralelo a la estratificacion. a) Se muestran las magnitudes de las velocidadesde una seccion de la parte superior izquierda del medio poroso. b) Comparacionde velocidades de las columnas: la velocidad maxima de la columna de granosgruesos es unas 8 veces mas que la correspondiente de los granos finos aunquelas porosidades son las mismas en ambos casos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

23. Flujo en la interfaz de las capas. La velocidad del flujo disminuye considerablementeal entrar a la columna de granos finos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

24. a) El caso de un flujo cerrado en la columna de granos gruesos. b) En el acerca-miento se muestra que el flujo que es forzado a invadir la capa de granos finoscontigua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

25. Flujo perpendicular a la estratificacion. a) Se muestran las magnitudes de las velo-cidades de una seccion de la parte superior izquierda del medio poroso. b) Com-paracion de velocidades de las capas: la velocidad maxima de la capa de granosgruesos es 3 veces mas grande que la correspondiente de los granos finos. Laporosidad es la misma para ambas capas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

26. Flujo perpendicular a la estratificacion. Flujo en la interfaz de las capas. La velocidadmayor proveniente de la capa de granos gruesos disminuye hasta en un orden demagnitud despues de las primeras dos sub-capas de granos finos. . . . . . . . . . . 38

27. Caıda de presion en un ducto. La caıda de presion es proporcional a la viscosidaddinamica (fuerzas de friccion) y es inversamente proporcional al radio del ducto. Sieste disminuye, es mayor la caıda de presion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

28. Flujo de Poiseullie. Flujo laminar inducido por una diferencia de presion constante. . 40

29. Proporcionalidad entre la fuerza aplicada y la velocidad promedio obtenida en unamuestra determinada. La pendiente del modelo del mejor ajuste es la permeabilidadk (ecuacion 47). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

viii

30. Valor de k obtenido de las simulaciones, comparado con las permeabilidades de lasmuestras de Bashar y Tellam (2006) y con las permeabilidades teoricas (ecuacion51). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

ix

Lista de tablasTabla Pagina

1. Viscosidades de algunos fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Diametros de las esferoides, basados en granos reales, para el algoritmo deCoelho y Neumann (2016) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Matrices generadas con el algoritmo de Coelho y Neumann (2016) . . . . . . 23

4. Calculo del numero de Reynolds para las muestras del experimento de Bas-har y Tellam (2006) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5. Parametros para la simulacion a partir del medio fısico . . . . . . . . . . . . . 28

6. Dimensiones y propiedades fısicas de las columnas* . . . . . . . . . . . . . . 45

1

Capıtulo 1. Introduccion

1.1. Flujo en medios porosos

Contar con modelos de flujo en medios porosos es crıtico para entender el balance hidrologico

local, regional y global y para el transporte de nutrientes y contaminantes (Lehmann et al., 2012).

El contar con predicciones precisas de la distribucion del agua y flujos en este tipo de medios

es importante para: i) estimar la tasas de recarga de acuıferos, profundidad de infiltracion y la

redistribucion de agua despues de eventos de lluvia intensa y ii) optimizar la administracion del

agua (Lehmann et al., 2012). Con el incremento de la contribucion de la geotermia como fuente de

energıa, se ha vuelto esencial entender los mecanismos del flujo de vapor de agua en las rocas (Li

et al., 2015). Por otro lado, para la industria del gas y del petroleo es de importancia fundamental

entender la migracion de estos fluidos, dado que los yacimientos se encuentran en rocas porosas

(Coelho y Neumann, 2016).

Figura 1: Formacion de un frente de dıgitos de un trazador de tinta azul. [Modificada de Sophocleous et al.(2010)].

2

A pesar de su importancia, los modelos estandares ofrecen poca capacidad predictiva al mo-

mento de simular flujos, trayectorias y distribucion de fluidos (Lehmann et al., 2012). Muchas de

las limitaciones de los modelos son producto de suposiciones poco realistas. Por ejemplo, para

simplificar el estudio del movimiento de un fluido en un medio poroso, se puede asumir a este

como un medio homogeneo e isotropico. En un primer nivel esta suposicion ayuda a entender el

comportamiento basico. Sin embargo, por su naturaleza los materiales tiene una gran variedad

de constituyentes: suelos de diferentes tipos, rocas, red de fracturas, plantas, animales y microor-

ganismos (Nimmo, 2009). Ası, el flujo en medios porosos muchas veces esta controlado por flujo

preferencial, concepto que se refiere al flujo en el cual el agua y solutos se mueven por ciertas

trayectorias evadiendo una seccion de la matriz porosa (Hendrickx y Flury, 2001).

Figura 2: Artıculos publicados por ano en cuyos tıtulos se encuentran las palabras “sandstone” y “aquifers”.En los ultimos 10 anos se observa un promedio de 20 artıculos por ano. Fuente: Google Scholar.

Algunos mecanismos identificados de flujo preferencial son: flujo por macro-poros, flujo inesta-

ble, flujo de embudo (Hendrickx y Flury, 2001). Se dice que un flujo es estable cuando se mueve sin

romperse en dıgitos. Un flujo inestable, por el contrario (aunque empieza como un frente horizontal

de humectacion), bajo ciertas condiciones, se rompe en dıgitos de flujo preferencial a medida que

invade las zonas no saturadas (Fig. 1). Este proceso es similar al agua de lluvia que corre por una

ventana y se separa en pequenas corrientes (Hendrickx y Flury, 2001). Una complejidad adicional

es que un medio poroso puede estar constituido por una diversidad de geo-materiales como roca

porosa o cualquier otro material presente en la superficie de la Tierra (Nimmo, 2009).

3

El presente trabajo se enfocara en modelar el flujo a traves de rocas areniscas constituidas por

diferentes tipos de estratos y porosidad. Las areniscas son de especial importancia para la indus-

tria petrolera ya que la mayorıa de los yacimientos de gas y petroleo se han descubierto en algun

tipo de arenisca (Willson y Coop, 2003). En cuanto a la industria geotermica, hay yacimientos de

este tipo que se presentan en areniscas, como en el caso del yacimiento de Cerro Prieto (Elders

et al., 1979). Finalmente, en el caso del agua subterranea, los acuıferos que se encuentran en

este tipo de roca son objeto de estudio de numerosas investigaciones cientıficas. A este respecto,

la figura 2 muestra los resultados de la busqueda en Google Scholar de artıculos publicados en

cuyos tıtulos se encuentren las palabras “sandstone” y “aquifers”. Se observa que en los ultimos

diez anos se ha publicado un promedio de por lo menos 20 artıculos por ano, cuyos objetos de

estudio son los acuıferos de arenisca.

1.2. Objetivos

El objetivo del presente trabajo es analizar las condiciones de flujo preferencial en un medio

poroso con el uso del modelo de redes de Boltzmann para simular el movimiento de un frente de

humedad a traves de columnas de suelo sinteticas con estructura compleja.

Para modelar el flujo en el medio poroso, se requiere de un medio poroso digital. La creacion

de un medio poroso sintetico se llevo a cabo a traves de un algoritmo cuyos parametros de en-

trada son los tamanos de grano de la roca y su porosidad. Estos parametros fueron obtenidos de

muestras de rocas reales. A partir del medio simulado en 3D, se extrajeron secciones delgadas

para modelar el flujo en 2D.

4

Capıtulo 2. Modelos de redes de Boltzmann

2.1. Antecedentes

Existen dos formas clasicas de abordar el problema de las ecuaciones de transporte: continuo

y discreto. En el primero, se usan ecuaciones diferenciales parciales u ordinarias que toman en

cuenta los principios de conservacion de energıa, masa y momento para un volumen de control.

En dichas ecuaciones se utilizan una serie de parametros como viscosidad, conductividad termi-

ca, capacidad calorıfica, etc., para caracterizar las propiedades en cierto volumen macroscopico.

En muchos casos es difıcil resolver estas ecuaciones debido a la no linealidad, condiciones de

frontera complejas, geometrıa compleja, etc. Para estos casos, se usa la segunda aproximacion:

se convierten las ecuaciones diferenciales con sus condiciones iniciales y de frontera en un sis-

tema de ecuaciones algebraicas que pueden resolverse numericamente (Mohamad, 2011). Para

lograr esto, es necesario discretizar el dominio. La discretizacion depende del metodo de solucion

utilizado, por ejemplo, diferencias finitas, elemento finito, volumen finito.

En los ultimos 30 anos se ha desarrollado una nueva forma de abordar el problema, segun la

cual se puede considerar a un medio como constituido por una coleccion de partıculas (atomos,

moleculas) y que estas partıculas interactuan unas con otras. Estas interacciones estan definidas

en la micro-escala. En estos nuevos metodos se necesita identificar las fuerzas inter-partıculas

(inter-moleculares) y resolver la ecuacion diferencial de la segunda ley de movimiento de Newton

o conservacion de momento. Hipoteticamente, es posible conocer la posicion y velocidad de ca-

da partıcula en un instante dado. Esta informacion permite conocer el estado exacto de todo el

sistema y predecir su evolucion. En este nivel no existe definicion de temperatura, presion y pro-

piedades fısicas tales como viscosidad, conductividad termica, capacidad calorıfica, etc. La razon

es que, por ejemplo, la temperatura y presion son propiedades emergentes que estan relaciona-

das con la energıa cinetica de las partıculas (masa y velocidad) y con la frecuencia de bombardeo

en las fronteras, respectivamente. A este metodo se le conoce como simulacion dinamica mole-

cular (MD, por sus siglas en Ingles). En general MD es simple, y puede manejar cambios de fase

y geometrıas complejas, sin embargo el principal obstaculo al momento de usarlo para simular

un sistema relativamente grande, son los recursos computacionales y el proceso de reduccion de

datos (Mohamad, 2011).

5

En medio de estas dos escalas se encuentra el metodo de redes de Boltzmann (LBM, por sus

siglas en ingles), el cual representa un puente entre la macro-escala y la micro-escala. Una de

sus ventajas es que no considera el comportamiento de cada partıcula por sı sola, sino el com-

portamiento de una coleccion de partıculas como una unidad. Este comportamiento se representa

mediante una funcion de distribucion, la cual describe el estado de la coleccion de partıculas en

la meso-escala (Mohamad, 2011). El metodo LBM tiene ventajas tanto de la aproximacion ma-

croscopica como de la microscopica, ademas de que requiere recursos computacionales que son

manejables. Tambien, es facil de aplicar en dominios complejos, simula facilmente flujos multifase

y multicomponentes y puede adaptarse naturalmente a computacion paralela (Mohamad, 2011).

2.1.1. Ecuaciones de Navier-Stokes

La ecuaciones de Navier-Stokes gobiernan el movimiento de los fluidos y pueden verse como

la segunda ecuacion del movimiento de Newton para los fluidos (ecuacion 1).

ρ

(∂u

∂t+ u · ∇u

)︸ ︷︷ ︸

1

= −∇p︸ ︷︷ ︸2

+∇ ·(µ(∇u + (∇u)T

)− 2

3µ (∇ · u) I

)︸ ︷︷ ︸

3

+ F︸︷︷︸4

, (1)

donde u es la velocidad del fluido, p es la presion del fluido, ρ es la densidad del fluido y µ es la

viscosidad dinamica. Los diferentes terminos en la ecuacion (1) corresponden a (1) las fuerzas

inerciales, (2) las fuerzas de presion, (3) las fuerzas viscosas y (4) las fuerzas externas aplicadas

al fluido.

Estas ecuaciones se resuelven siempre junto con la ecuacion de continuidad o conservacion

de masa (ecuacion 2).

∂ρ

∂t+∇ · (ρu) = 0. (2)

Las ecuaciones (1) y (2) son la base para modelar el movimiento de los fluidos. Cuando se

resuelven para un conjunto especıfico de condiciones de frontera (entradas de flujo, salidas de

flujo y paredes) se puede predecir la velocidad del flujo y su presion para una region de geometrıa

conocida.

6

2.1.2. Automatas celulares para redes de gas

Un automata celular (CA, por sus siglas en ingles) es un modelo computacional discreto con

las siguientes caracterısticas: i) los objetos residen en una malla o arreglo de celdas, ii) cada

celda tiene un estado (0 o 1) y iii) existe una regla para pasar a un estado siguiente basado en los

valores de las celdas vecinas en su estado actual (Shiffman, 2012).

A pesar de su simplicidad, los automatas celulares muestran un comportamiento complejo

como el observado en varios procesos fısicos y biologicos. Los CA Pueden usarse para simular el

comportamiento de los fluidos. Sin embargo los fenomenos dinamicos de movimiento de fluidos

involucran el transporte de ciertas cantidades, hecho que no esta contemplado en las reglas de los

automatas celulares (Wolf-Gladrow, 2000). Ahora se describiran, con cierto detalle, estas reglas.

En 1986, Frisch, Hasslacher y Pomeau presentaron en un artıculo de particular importancia,

el primer modelo de automatas celulares para redes de gas (LGCA, por sus siglas en ingles) que

podıa simular apropiadamente en dos dimensiones las ecuaciones de Navier-Stokes. Al modelo se

le conoce como “FHP”, por los apellidos de sus autores. El modelo requiere de una red de triangu-

los equilateros que proporciona una solucion isotropica (Fig. 3). Los nodos de red estan separados

por una unidad de red (lu) y todas las partıculas tienen una unica rapidez (lu/unidad de tiempo:

luts−1). En cada nodo x de la red pueden existir hasta 6 partıculas, una para cada una de las

posibles velocidades definidas por la rapidez de la partıcula y una de las 6 posibles direcciones:

ea=(cosπa/3, senπa/3), donde a=1, 2, . . . , 6 y ea es el vector de velocidad (Fig. 3) que apunta des-

de el origen (0,0) al punto cartesiano (cosπa/3, senπa/3). Una cadena de variables booleanas n =

(n1, n2, . . . , n6) contiene los estados na=0 o 1, que indican la presencia o ausencia de partıculas

que se mueven de un lugar x de la red a un lugar vecino x + ea (Sukop y Thorne, 2010).

Figura 3: Los vectores de velocidad unitarios del modelo FHP (Sukop y Thorne, 2010).

7

En un arreglo como el descrito en el parrafo anterior, la funcion ni proporciona la ocupacion de

una partıcula en la direccion i, en un tiempo t:

ni(t,x) =

1, si ei esta ocupado

0, en caso contrario(3)

La ecuacion del desarrollo del modelo LGA esta dada por:

ni(x + eiδt) = ni(x, t) + Ci(n(x, t) (4)

donde i = 1, 2...6 es una de las seis posibles direcciones, ni(x, t)=0 o 1, representa el numero de

partıculas moviendose con la velocidad ei en el nodo x en el tiempo t. δt es el intervalo de tiempo

y Ci es el operador de colisiones. La configuracion de las partıculas en cada paso esta dada por

dos pasos secuenciales: flujo y colision.

Las cantidades macroscopicas, densidad (ρ) y momento (p = uρ), se obtienen mediante la

siguientes ecuaciones:

ρ =6∑i=1

ni (5)

ρu =6∑i=1

niei (6)

Los LGCA permiten a las partıculas moverse en una red discreta. Las colisiones locales entre

partıculas conservan masa y momento. Estas colisiones estan calculadas en una tabla de acceso

rapido. Estos metodos pueden simular tambien (aunque con algo de ruido estadıstico) procesos

hidrodinamicos (Wolf-Gladrow, 2000).

Sin embargo, los metodos de redes de gas tienen algunas desventajas. Por ejemplo, exhiben

una tendencia a introducir ruido y no se adecuan bien a la aparicion de terminos adicionales en las

ecuaciones de Navier-Stokes. Estos factores limitaron su aplicacion generalizada. Fue entonces

que se propuso que en lugar de partıculas discretas, se considerara a una distribucion de densidad

que se transporta con el medio. Esto elimino el ruido del metodo y permitio el uso de un operador

8

de colisiones mas generalizado. Esta es la base del modelo de redes de Boltzmann que ha sido

muy exitoso en muchas aplicaciones, incluyendo las simulaciones de la ecuacion de Schrodinger

(Sukop 2007).

2.2. Modelos de redes de Boltzmann

Los modelos de redes de Boltzmann son una alternativa para simular la dinamica de fluidos

por computadora. Historicamente, sucedieron a los metodos de redes de gas, descritos anterior-

mente. La idea subyacente es que para describir apropiadamente el movimiento de un fluido no

es tan importante saber la posicion y velocidad de cada partıcula que lo conforma. El fenomeno se

puede describir bien si se conoce que porcentaje de las partıculas del fluido, en una localidad de-

terminada, tienen velocidades dentro de un cierto rango en un instante determinado. Esto puede

ser estimado mediante el uso de la funcion de distribucion f(x,p, t).

La funcion f (1)(x,p, t) proporciona la probabilidad de encontrar una partıcula en una posicion

y momento dados y el probable numero de partıculas en la posicion x±dx con un momento p±dp

esta dada por f (1)(x,p, t)dxdp (Sukop y Thorne, 2010).

Si se aplica una fuerza externa F y no existieran colisiones entonces en un tiempo t + dt, las

nuevas posiciones de las partıculas que estaban en x, estan dadas por x+ (p/m)dt = x+ (dx/dt)

= x + dx y los nuevos momentos por p=p + Fdt = p + (dp/dt)dt = p + dp. Por lo tanto, cuando

las posiciones y momentos son conocidos en un tiempo particular t, despues de incrementarlos,

en un tiempo t+ dt, la funcion de distribucion se puede determinar como:

f (1)(x + dx,p + dp, t+ dt)dxdp = f (1)(x,p, t)dxdp (7)

Ahora bien, si se considera que existen colisiones, entonces tenemos la ecuacion de Boltz-

mann que describe el proceso:

v · ∇xf(1) + F∇pf

(1) +∂f (1)

∂t= Γ(−) − Γ(+) (8)

Donde los terminos de la derecha de la ecuacion (8) describen el efecto de las colisiones

9

entre partıculas. Con el factor de colision explıcitamente escrito, la ecuacion de Boltzmann es

una ecuacion diferencial integral no lineal, difıcil de resolver. Analıticamente, sin embargo, con los

metodos de Boltzmann, se puede aproximar a la solucion desde la perspectiva de la partıcula

(Sukop y Thorne, 2010).

Arreglos de las redes de Boltzmann. La terminologıa comun usada en los modelos de redes

de Boltzmann hace referencia a las dimensiones del problema y al numero de velocidades

implicadas: DnQm. Ası, n representa la dimension del problema (1 para 1-D, 2 para 2-D y 3

para 3-D) y m representa las velocidades del modelo (Sukop y Thorne, 2010). De particular

importancia es el arreglo D2Q9. Este modelo es muy comun, especialmente para resolver

problemas de flujo de lıquidos. La magnitud de velocidad de e1 a e4 es 1luts−1 y de√

2 para

e5 a e8 (Fig. 4).

Figura 4: Arreglo D2Q9. [Modificada de Sukop y Thorne (2010)].

Implementacion computacional. Computacionalmente la implementacion numerica del mode-

lo LBM es directa. Se comienza por discretizar la funcion de distribucion de una partıcula

individual (ecuacion 9).

ρ =

8∑a=0

fa (9)

Luego, se incorpora la velocidad macroscopica u como un promedio de las velocidades

microscopicas ea ponderadas por las densidades direccionales fa (ecuacion 10).

10

U =1

ρ

8∑a=0

faea (10)

Los siguientes pasos son el flujo y la colision de las partıculas vıa la funcion de distribucion.

La forma mas simple es usar la aproximacion de Bhatnagar-Gross-Krook para la colision

(Sukop y Thorne, 2010).

fa(x + ea∆t, t+ ∆t) = fa(x, t)︸ ︷︷ ︸Flujo

− fa(x, t)− feqa (x, t)

τ︸ ︷︷ ︸Colision

(11)

La colision de las partıculas se considera como un relajamiento hacia el equilibrio local y la

funcion de distribucion de equilibrio D2Q9 se define como:

feqa (x) = waρ(x)

[1 + 3

ea · uc2

+9

2

(ea · u)2

c4− 3

2

u2

c4

](12)

La parte que corresponde al flujo, en la ecuacion (11) se implementa moviendo las distribu-

ciones de los nodos vecinos como se muestra en la figura 5.

Figura 5: Implementacion del flujo: las distribuciones llegan al nodo central de las correspondientes de sus no-dos vecinos. Las flechas punteadas corresponden a velocidades en un tiempo t−∆t mientras que las flechassolidas representan a las velocidades en un tiempo t.

2.2.1. Condiciones de frontera

Las condiciones de frontera se definen de acuerdo con las condiciones del esquema a modelar

para obtener resultados significativos. Las condiciones de frontera mas comunmente usadas son

11

condiciones periodicas, de rebote y de aplicacion de velocidad en un lado de la frontera. Esta

ultima para simular un flujo de entrada.

Condiciones periodicas. Se considera que el flujo que sale de un lado reingresa por el lado

opuesto, como si fuera un continuo.

Condiciones de rebote. Estas condiciones se aplican para simular las fronteras cerradas del

sistema (paredes). Tambien se aplican para simular el rebote de las partıculas cuando se

encuentran con la parte solida de un medio poroso (Fig. 6).

Figura 6: Esquema de diferentes tipos de condiciones de rebote (Guo y Shu, 2013). La condicion del inciso a)fue usada en la presente simulacion.

Condiciones de velocidad. Se emplean condiciones de velocidad para simular la entrada del

flujo por una parte del sistema. En estos casos se sabe que la velocidad aplicada esta dada

por la ecuacion: (13):

U0 =

0

U0

(13)

Como se muestra en la figura (7), se conocen las contribuciones de las funciones de distri-

bucion fa para las velocidades en 0, 1 , 3, 5, 6 porque llegaron de los nodos vecinos de la

malla, en el proceso de flujo. Sin embargo para las velocidades en 4, 7 y 8, que correspon-

den a la aplicacion de la velocidad vertical U0, estas distribuciones se desconocen. Por lo

12

tanto se necesita encontrar f4, f7, f8 y la densidad local ρ. Se necesitan 4 ecuaciones para

encontrar estas cuatro incognitas.

Figura 7: Condiciones de velocidad en la frontera norte. Se conocen las funciones de distribucion para lasvelocidades 0,1,2,3,5 y 6 porque llegaron de los nodos vecinos en el proceso de flujo, como se muestra en elnodo central. Se desconocen las funciones de distribucion para las velocidades 4, 7 y 8. Las flechas punteadascorresponden a velocidades en un tiempo t−∆t mientras que las flechas solidas representan a las velocidadesen un tiempo t.

La ecuacion que indica la velocidad microscopica (10) puede reescribirse como indica la

ecuacion (14).

U =1

ρ

8∑a=0

faea (10)

U0ρ = f0e0 + f1e1 + f2e2 + f3e3 + f4e4 + f5e5 + f6e6 + f7e7 + f8e8 (14)

A su vez la ecuacion (14) puede reescribirse especificando los componentes de los vectores

ea:

f0

0

0

+f1

1

0

+f2

0

1

+f3

−1

0

+f4

0

−1

+f5

1

1

+f6

−1

1

+f7

−1

−1

+f8

1

−1

= U0ρ

(15)

13

Si realizamos las multiplicaciones:

f10

+

0

f2

+

−f30

+

0

−f4

+

f5f5

+

−f6f6

+

−f7−f7

+

f8

−f8

=

0

U0

ρ (16)

se obtienen las ecuaciones de las magnitudes de los vectores en la direccion horizontal (17)

y vertical (18). Sabemos por la ecuacion (9) que la densidad de cada celda es la suma de las

funciones de distribucion (19). Zou y He (1997) propusieron la ecuacion (20) en la direccion

vertical de la frontera (20). De esta forma, se obtienen las ecuaciones (17), (18), (19) y (20)

necesarias para encontrar f4, f7, f8 y ρ.

f1 − f3 + f5 − f6 − f7 + f8 = 0 (17)

f2 − f4 + f5 + f6 − f7 − f8 = U0ρ (18)

ρ = f0 + f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 + f7 + f8 (19)

f2 − feq2 = f4 − feq4 (20)

Se pueden reescribir (18) y (19) que contienen lo terminos desconocidos f4, f7, f8:

f4 + f7 + f8 = f2 + f5 + f6 − U0ρ (21)

f4 + f7 + f8 = ρ− (f0 + f1 + f2 + f3 + f5 + f6) (22)

Ahora, se igualan los lados derechos de cada ecuacion:

ρ− (f0 + f1 + f2 + f3 + f5 + f6) = f2 + f5 + f6 − U0ρ (23)

y se resuelve para ρ:

ρ =f0 + f1 + f3 + 2(f2 + f5 + f6)

(1+U0)(24)

14

Si se calculan feq2 y feq4 de acuerdo con la ecuacion (12) y se despeja f4 de (20), tenemos:

f4 = f2 − feq2 + feq4 = f2 −2

3ρU0 (25)

Si se despeja f8 de (17) y de (18) y se igualan los resultados de esos despejes, se puede

resolver para f7:

f7 = f5 +f1 − f3

2− 1

6U0ρ (26)

Finalmente, para encontrar la incognita restante, se puede despejar f8 de (17) y sustituirse

el valor de f7 recien encontrado:

f8 = f6 +f3 − f1

2− 1

6U0ρ (27)

15

Capıtulo 3. Metodologıa

3.1. Propiedades de los fluidos

Una de las propiedades que caracterizan a los fluidos y que es de especial importancia para el

presente trabajo es la viscosidad. La viscosidad puede verse como una medida de la resistencia

al flujo. Ası, el aire tiene baja viscosidad comparada con la del agua, y esta a su vez es menos

viscosa que el aceite. Existen dos tipos de viscosidad. La viscosidad absoluta o dinamica (µ) es

la representacion cuantitativa de la resistencia al flujo. La viscosidad cinematica (ν), por otro lado

establece la manera en que el momento se difunde en un fluido. Se relaciona con µ mediante la

ecuacion (28):

ν =µ

ρ(28)

en donde ρ es la densidad del fluido. La tabla 1 muestra las viscosidades de algunos fluidos

caracterısticos.

Tabla 1: Viscosidades de algunos fluidos

Fluido µ (Pa · s = kg/m · s) µ (g/cm · s) ρ (g/cm3) ν (cm2/s)

Acetona 3.06E-04 3.06E-03 0.79 3.87E-03Agua 8.90E-04 8.90E-03 1 8.90E-03Aceite de motor (SAE 40) 20° 3.19E-01 3.19E+00 0.89 3.58E+00Miel 2.00E+00 2.00E+01 1.42 1.41E+01

El numero de Reynolds (Re) es un numero adimensional que representa la proporcion entre

las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas (ecuacion 29).

Re =uL

ν(29)

donde u=velocidad del fluido, L=longitud caracterıstica y ν=velocidad cinematica.

Si la velocidad del flujo es baja y la viscosidad alta (predominancia de las fuerzas viscosas ν

16

sobre las fuerzas inerciales u y L ) entonces el resultado es un numero de Reynolds pequeno lo

que da lugar a un flujo laminar. Re� 1 es caracterıstico de los flujos en medios porosos (Sukop y

Thorne, 2010). Si, por el contrario, la velocidad del flujo es alta y la viscosidad es baja (predomi-

nancia de las fuerzas inerciales sobre las fuerzas viscosas) entonces el flujo es turbulento.

Una de las aplicaciones del numero de Reynolds es en el analisis de similitud. Segun este

principio, los fluidos que tienen el mismo numero de Reynolds comparten la misma dinamica.

Como ejemplo, calculemos Re para el caso del agua que fluye en una manguera de jardın de 2.5

cm de diametro a una velocidad de 2m/s. Tenemos: u = 2m/s = 200cm/s, ν = 8.94X10−3cm2/s y

L = 2.5cm. Si aplicamos la ecuacion (29) tenemos que Re = 55, 928. Esto nos indica que el flujo

es fuertemente turbulento. Ahora, nos interesa saber: ¿a que velocidad deberıa fluir, por el mismo

conducto, el aceite de motor indicado en la tabla 1 para comportarse como el agua en las mismas

condiciones?

Para responder la pregunta, primero igualamos Re para ambos casos:

uaLaνa

=uoLoνo

(30)

Donde los subındices a representan los terminos para el agua y los subındices o los corres-

pondientes al aceite. Si despejamos uo y tomamos νo = 3.58cm2/s de la tabla 1, y dado que La =

Lo tenemos:

uo =uaLaνoLoνa

=uaνoνa

=(200cm/s)(3.58cm2/s)

0.0089cm2/s≈ 80, 000cm/s = 800m/s (31)

Es decir, el aceite tendrıa que fluir aproximadamente 400 veces mas rapido que el agua, por el

mismo ducto, para comportarse de manera similar. Esta proporcion es la misma que existe entre

las viscosidades νo (aceite) y νa (agua). Si el aceite no circulara a esta velocidad y lo hiciera a 2

m/s, fluirıa de manera laminar (Re ≈ 125).

La ecuacion (30) permite ver que no solo podemos variar la viscosidad cinematica y la ve-

locidad de los dos fluidos con el objetivo de encontrar similitud entre los flujos. Tambien puede

modificarse la longitud caracterıstica. Este aspecto es de aplicacion en el modelado de un fluido,

ya sea por escalamiento fısico o por medios computacionales. De este modo la ecuacion (30)

puede generalizarse como:

17

Figura 8: Diagrama que ilustra los experimentos de Bashar y Tellam (2006). En las columnas 11-13 el flujo esperpendicular a la estratificacion. En las columnas 1-3 el flujo es paralelo a la estratificacion.

urealLrealνreal

=umodeloLmodelo

νmodelo(32)

3.2. Experimento de Bashar y Tellam

Bashar y Tellam (2006) estudiaron el flujo de un soluto a traves de muestras laminadas de are-

niscas del perıodo Triasico. El proposito fue comparar la migracion del fluido que ocurre en forma

paralela a la estratificacion con aquella que ocurre en forma perpendicular, como se muestra en la

figura 8. Para estudiar el comportamiento del flujo a traves de las muestras, los autores realizaron

pruebas de penetracion de trazadores (amino-G-acidos, bromuro, Cu-EDTA) y pruebas de traza-

dores usando colorantes, seguidas por tomas de muestras de secciones delgadas y tomografıa

computarizada.

Los experimentos fueron realizados en seis muestras de areniscas extraıdas en forma de co-

lumna, y una en forma de paralelepıpedo rectangular. De los nucleos cilındricos (Fig. 8), tres de

ellos fueron cortados de forma que el eje del cilindro fuera paralelo a la laminacion (nombrados

como columnas 1-3). Para los tres restantes el eje del cilindro era perpendicular a la laminacion

(columnas 11-13). Para los experimentos, se hizo pasar un soluto por estas muestras y se sellaron

18

los bordes laterales para tener un solo lado de entrada y un solo lado de salida.

En el caso del paralelepıpedo (llamado bloque 1), el eje longitudinal estaba alineado en forma

paralela a la laminacion y todos sus lados eran rectangulares.

El objetivo del trabajo de Bashar y Tellam (2006) fue demostrar que la migracion de un soluto

a traves de muestras de arenisca esta dominada por la estratificacion. Los experimentos con

trazadores de tinta y tomografıa computarizada muestran que el trazador se mueve mucho mas

rapido en ciertas laminas que en otras. Todo sugiere fuertemente que el efecto de la estratificacion

es dominante para el flujo paralelo a la laminacion en estas areniscas. Para el flujo a 90o a la

estratificacion, la migracion es la esperada para medios homogeneos.

3.3. Creacion de un medio poroso artificial

De los experimentos de Bashar y Tellam (2006), se selecciono la muestra identificada co-

mo bloque 1 (Fig. 13) para simular el flujo mediante modelos computacionales LBM en 2D. Se

eligio esta muestra debido a que los autores mencionados aportan informacion detallada de la

estructura interna del medio poroso. Para llevar a cabo la simulacion es necesario construir una

roca sintetica con propiedades y flujos comparables a aquellos utilizados en el laboratorio.

En terminos computacionales un medio poroso se representa mediante un arreglo matricial

de voxeles igualmente espaciados de ceros y unos (Fig. 9). Los voxeles con valor cero pueden

corresponder a los espacios vacıos y los voxeles con valor uno a la parte solida de la matriz. Ahora

bien, existen en la literatura varios metodos para caracterizar un medio poroso real. Unos metodos

miden algunas propiedades estadısticas de secciones delgadas de medios reales y posteriormen-

te utilizan estas propiedades como entradas para un algoritmo que construye el modelo poroso

(Adler et al., 1990). Otros metodos utilizan, ademas, imagenes de secciones delgadas como en-

tradas principales del algoritmo que construye numericamente el medio poroso (Wu et al., 2006)

(Fig. 10).

En este trabajo se utilizara el algoritmo de Coelho y Neumann (2016). Estos autores presenta-

ron un trabajo en el que crean, a traves de un algoritmo, una matriz porosa en 3D con parametros

mas controlables que los de muestras digitalizadas de tomografıas de rocas. El algoritmo consiste

en la superposicion iterativa de elipsoides solidos en posiciones aleatorias hasta obtener una po-

19

Figura 9: Voxeles en un arreglo matricial 3D. Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File %3AVoxelgitter.png

Figura 10: Fotomicrografıa de la seccion delgada de una roca.

20

rosidad determinada (Fig. 11). El uso de elipsoides es ideal en este trabajo, ya que las areniscas

presentan propiedades de textura similares a las de un arreglo de elipsoides (si los granos estan

bien redondeados).

Los parametros de entrada del algoritmo son los diametros de los elipsoides dx, dy, dz (en

pixeles), la porosidad deseada (φt) y las dimensiones (en pixeles) de la muestra Lx, Ly, Lz. Dado

que el algoritmo permite la superposicion de elipsoides y diferentes tamanos de semiejes en las

tres dimensiones de los mismos, es posible simular texturas irregulares complejas, similares a los

observadas en los medios reales como puede notarse en la figura 12. Para validar sus resultados

los autores aplicaron la ecuacion Kozeny-Carman (ecuacion 33), la cual relaciona permeabilidad,

porosidad y superficie especıfica, a las muestras generadas. Ellos demostraron que las muestras

artificiales tienen propiedades similares las rocas naturales.

k =1

CSv2φ3

(1− φ2)(33)

donde k es la permeabilidad, C es una constante empırica adimensional, conocida como la “cons-

tante de Kozeny”, Sv es la superficie especıfica (Sv = Aobs/Vobs, donde Aobs es el area de los

obstaculos y Vobs es el volumen de los mismos) y φ es la porosidad.

En el presente trabajo nos basamos en el procedimiento de Coelho y Neumann (2016) para

construir el medio poroso, para posteriormente modelar el flujo a traves de el. Se discuten a

continuacion los parametros necesarios para ejecutar el algoritmo: los diametros de los elipsoides,

la porosidad deseada y las dimensiones de la muestra.

3.3.1. Eleccion de los parametros de entrada

Bashar y Tellam (2006) presentan una descripcion de la textura de las areniscas utilizadas

en el experimento del bloque 1. Los autores prepararon laminas delgadas para toda la seccion

transversal de la muestra. El analisis de estas laminas muestra que toda la seccion transversal

exhibe una repeticion de dos tipos de capas: 1) capas de arena de grano medio a fino y 2) capas

de arena de grano muy fino. El tamano de los granos gruesos es de 0.5 a 0.25 mm., mientras que

el tamano de los granos muy finos es de 0.125 a 0.0625 (Folk, 1980). Se encontraron 66 de estas

capas en los 15 cm del ancho del bloque. El grosor de las capas de grano mas grueso medıa de 3

21

Figura 11: Diagrama de flujo del algoritmo para crear las muestras artificiales de medios porosos. [Modificadade Coelho y Neumann (2016)].

Figura 12: Comparacion entre las secciones delgadas de las muestras artificiales y las secciones delgadas derocas reales. [Modificada de Coelho y Neumann (2016)].

22

a menos de 1 mm, mientras que el grosor de las capas de grano mas fino medıa entre 2 a menos

de 1 mm (Fig. 13).

Figura 13: Caracterısticas del bloque 1.

En el algoritmo de Coelho y Neumann (2016) la unidad de medida de las muestras sinteticas es

el pixel. Los tamanos de los elipsoides estan entre 12 y 30 pixeles. Dichos tamanos nos permiten

aproximar adecuadamente bien la forma elıptica de los granos. Si tomamos como referencia el

tamano maximo empleado, podemos establecer los diametros de los elipsoides como 30, 25 y

20 pixeles (no totalmente esfericos) para los granos medios. Ahora bien, la proporcion es de 1 a

4 para el tamano de granos muy finos a granos medios. Por lo tanto, se pueden establecer los

diametros de los granos finos como 7, 6 y 5 pixeles (tabla 2).

Otras de las propiedades que debe cumplir la roca simulada es el arreglo en capas con granos

de distinto tamano. Para incorporar esta estructura en el modelo, se crearon dos medios porosos

con las caracterısticas indicadas en la tabla 3. Los parametros restantes para construir los dos

23

Tabla 2: Diametros de las esferoides, basados en granos reales, para el algoritmo de Coelho y Neumann (2016)

Medio real Muestra simulada

Granos medios 0.50 a 0.25 mm. dx = 30, dy = 25, dz = 20

Granos muy finos 0.125 a 0.0625 mm. dx = 7, dy = 6, dz = 5

tipos de roca son las dimensiones de la muestra y la porosidad.

Tabla 3: Matrices generadas con el algoritmo de Coelho y Neumann (2016)

Matriz 1 Matriz 2

dx = 30 dx = 7dy = 25 dy = 6dz = 20 dz = 5L=208 L=208φ = 0.50 φ = 0.50

3.3.2. De 3D a 2D

Una vez que se crearon los dos medios porosos, cada uno con un tamano de grano diferente,

el paso siguiente es extraer secciones delgadas de esos medios simulados y construir un medio

poroso en 2 dimensiones (Fig. 14). Para conformar el medio poroso de acuerdo a las especifica-

ciones del bloque 1 del experimento de Bashar y Tellam (2006), creamos un algoritmo en Matlab.

Este algoritmo extrae de forma aleatoria una seccion delgada de la matriz (en el sentido compu-

tacional) de granos gruesos y toma de ahı una banda de acuerdo a las dimensiones requeridas

y la coloca en el matriz en 2D. De igual forma se extrae una banda de la matriz de granos finos

para agregarla a la matriz 2D. Estos dos pasos se repiten hasta que el medio queda conformado

por bandas de granos medios que se intercalan con bandas de granos finos en las dimensiones

de ancho y largo determinadas por el bloque 1 (Fig. 15).

3.4. De dimensiones reales a dimensiones de LBM

En la seccion anterior se describio la construccion del medio por el cual se realizara la simula-

cion del flujo. En esta seccion se analiza el procedimiento para obtener los parametros necesarios

24

Figura 14: Obtencion de secciones transversales de las matrices 3D generadas con el algoritmo de Coelho yNeumann (2016). La matriz a) corresponde a la generada para granos muy finos y la matriz b) corresponde ala generada para granos medios. Los granos estan representados por los objetos en blanco mientras que losporos corresponden a las partes en negro de las secciones transversales. [Modificada de Zhang et al. (2005)].

Figura 15: Conformacion del medio poroso en 2D. Bandas provenientes de secciones transversales de la matrizde granos finos (a) se intercalan con bandas provenientes de secciones transversales de granos medios (b),en un medio poroso en 2D. Para ambos casos se muestran los diametros usados de las esferoides ası como laporosidad elegida.

25

para llevar a cabo dicha simulacion con el modelo LBM.

3.4.1. Re para medios porosos

El numero de Reynolds (ecuacion 29) provee la liga entre el flujo en el mundo real y la simula-

cion de este flujo tanto en automatas celulares como en los modelos de redes de Boltzmann.

El objetivo es realizar simulaciones tales que Remodelo = Rerealidad. En medios porosos, sin

embargo, la ecuacion (29) no es aplicable. En este tipo de medios se utiliza el numero modificado

de Reynolds para determinar el regimen de flujo.

La razon de flujo a traves de un medio es Q (m3/s). La velocidad superficial o velocidad de

Darcy es la cantidad de flujo dividida por la seccion transversal que atraviesa (m2): U0 =Q

A.

Cuando se considera el flujo en un medio poroso la velocidad apropiada es la velocidad intersticial,

u = U , que se relaciona con la velocidad superficial mediante la siguiente ecuacion:

U =U0

φ(34)

donde U=velocidad intersticial, U0=velocidad superficial y φ=porosidad

Otra modificacion que hay que considerar es la dimension lineal caracterıstica, que es el vo-

lumen abierto al flujo dividido por la superficie sobre la cual corre el flujo (Holdich, 2002), la cual

esta dada por:

d =V φ

V (1− φ)Sv=

φ

(1− φ)Sv(35)

donde V =Volumen, d=dimension lineal caracterıstica, Sv=Superficie especıfica y φ=porosidad

Si se usa d (d = L) de la ecuacion ((35) y la ecuacion (34) en la ecuacion (29), tenemos el

numero de Reynolds modificado (Rem):

Rem =U0

(1− φ)Svν(36)

26

En la ecuacion (36) solo nos falta conocer la superficie especıfica Sv la cual se puede estimar

con la expresion de Rabbani y Jamshidi (2014):

Sv =b(1− φ)

d(37)

Donde d es el promedio del tamano de los granos (en mm) y b = 4.23 es una constante

calculada experimentalmente para areniscas.

Para el caso del bloque 1, se tiene que φ=0.22 y d=0.350 mm, si se toma el valor medio entre

los lımites para el grano medio (0.5mm a 0.250mm), o d=0.088 para los granos muy finos (0.125

a 0.0625). El valor de U0=0.005 cm/s se toma de los datos reportados por Bashar y Tellam (2006)

(Fig. 16). La velocidad cinematica del agua es ν = 8.93X10−3cm2/s, (tabla 1).

En la tabla 4 se resume la obtencion del Re para cada una de las capas de las muestras de

areniscas.

Tabla 4: Calculo del numero de Reynolds para las muestras del experimento de Bashar y Tellam (2006)

Granos medios Granos finos

De 0.5 mm a 0.250 mm De 0.125 a 0.0625 mmd=0.350 mm d=0.088φ=0.22 φ=0.22

Sv = 4.23(1−0.22)0.350mm = 9.4 1

mm(10mm1cm ) = 94 1cm Sv = 4.23(1−0.22)

0.088mm = 37.4 1mm(10mm1cm ) = 374 1

cm

Rem =0.005cm/min( 1min

60s)

(1−0.22)(94cm−1)(8.93X10−3cm2/s)= 1.27X10−4 Rem =

0.005cm/min( 1min60s

)

(1−0.22)(374cm−1)(8.93X10−3cm2/s)= 3.20X10−5

3.4.2. Dimensiones LBM

Ahora que obtuvimos el Re para el medio fısico, calculemos los terminos desconocidos de la

ecuacion (36) pero ahora para el modelo LBM.

Se requiere el termino U0 para la simulacion. Se puede obtener de la ecuacion (36):

U0 = Rem((1− φ)Svν) (38)

27

Se obtiene Sv del algoritmo de Coelho y Neumann (2016) para las dos muestras creadas: Sv

= 0.4930 (grano fino) y Sv = 0.15 (grano medio)

Se obtiene ν de la expresion:

ν =1

3(τ − 1

2) (39)

Donde τ = 1 para el modelo de redes de Boltzmann sugerido por Sukop y Thorne (2010).

En la tabla 5 se resume la obtencion de los parametros para la simulacion. Es importante

destacar que la porosidad elegida para el medio poroso artificial es de 0.5, cuando en el medio

natural es de 0.22. Esto es por la razon de que al pasar de 3D a 2D los espacios abiertos al flujo

disminuyen considerablemente, lo que dificulta la simulacion. No obstante, como se explico en la

seccion 3.4.1, el hecho de mantener el mismo Re tanto para el flujo en el sistema fısico como el

correspondiente en el simulado, asegura el mismo comportamiento dinamico.

La figura 17 muestra el escalamiento.

Figura 16: Condiciones del experimento de Bashar y Tellam (2006). Se muestran los datos del bloque 1. [Modi-ficada de Bashar y Tellam (2006)].

28

Tabla 5: Parametros para la simulacion a partir del medio fısico

Sistema fısico Modelo LBM

Grano medio Grano fino

U0=0.005 cm/s U0=1.60X10−6lu/ts U0=1.31X10−6lu/tsν = 8.93X10−3cm2/s ν = 1

6φ=0.22 φ=0.5Grano medio Grano fino

Sv=94 1/cm Sv=374 1/cm Sv=0.15 Sv=0.4930Re=1.27X10−4 Re=3.20X10−5 Re=1.27X10−4 Re=3.20X10−5

Figura 17: Escalamiento del sistema real a LBM. El numero de Reynolds asegura que el comportamiento delflujo sea similar en ambos sistemas.

29

3.5. Simulacion del flujo

La figura 18 muestra los pasos seguidos en la simulacion del flujo a traves del medio poroso

creado de forma artificial como se vio en la seccion 3.3.

Figura 18: Algoritmo para la simulacion del flujo a traves del medio poroso con el modelo LBM.

Leer el medio poroso. Aquı se lee un archivo de texto donde convencionalmente los 0´s repre-

sentan los espacios vacıos y los 1´s representan la parte solida del medio, como se aprecia

en la figura 19. Nx1 y Ny1 representan las dimensiones de esta matriz.

Calculo de los parametros de inicio: τ , φ, ν, Sv,Re, U0. Se calculan los parametros necesarios

para iniciar el proceso, como se indican en la tabla 5.

Inicializar matrices. Las matrices usadas son:

30

rho: para almacenar la densidad en cada nodo (Nx1 x Ny1); se inicaliza con rho0=1.

ux (2D): para almacenar las velocidades de los nodos en la direccion horizontal; se

incializa con 0’s (Nx1 x Ny1).

uy (2D): para almacenar las velocidades de los nodos en la direccion vertical; se incia-

liza con 0’s (Nx1 x Ny1).

f (3D): para almacenar las 9 funciones de distribucion en cada nodo (Nx1 x Ny1 x 9);

se inicaliza con el calculo de la funcion de equilibro para cada nodo.

f post (3D): para almacenar los valores de las funciones de distribucion despues de la

colision (Nx1 x Ny1 x 9).

Colision. Se utiliza la parte de la colision de la ecuacion (11): fa(x,t)−feqa (x,t)τ , para las nueve

distribuciones de cada nodo de la malla y se almacenan en la matriz f post[][][].

Flujo. Para cada nodo se actualizan los valores de las funciones de distribucion con lo valores

que tienen las correspondientes velocidades de los nodos vecinos (Fig. 5). Se aplican las

condiciones de frontera de rebote para los nodos proximos a las paredes y para la parte

solida de la matriz (los granos).

Aplicar condiciones de velocidad en la frontera. Se aplican las condiciones de un flujo con la

Figura 19: Primeras lıneas del archivo de texto que contiene el medio poroso artificial.

31

velocidad vertical determinada, es decir los valores f4,f7 y f8 (Fig. 7).

Calculo de la velocidad en cada nodo. Se aplica la ecuacion (10) para calcular las componen-

tes horizontales y verticales de las velocidades en cada nodo de la malla y se almacenan en

las matrices ux[][] y uy[][] respectivamente.

Comprobar si la diferencia de velocidades en el paso anterior es menor a ε.

Escribir las velocidades de cada nodo en el archivo ”velocidades.txt”. El contenido de las ma-

trices ux[][] y uy[][] correspondientes a cada nodo, se escriben en un archivo de texto.

32

Capıtulo 4. Resultados

En este capıtulo se presentan los resultados de la simulacion del flujo a traves de una muestra

de arenisca estratificada inspirada en los resultados experimentales de Bashar y Tellam (2006, Fig.

20). Como se discutio en el Capıtulo 3, la estratificacion consiste en la alternancia de capas de

granos de diferentes tamanos. El proposito de la simulacion es analizar y entender las condiciones

que dan lugar al flujo preferencial en esta clase de medios porosos con una estructura compleja,

utilizando modelos de redes de Boltzmann. Este tipo de modelos permite incorporar naturalmente

todas las complejidades del medio. Adicionalmente, a diferencia de modelos definidos en la escala

continua macroscopica, los modelos de Boltzmann permiten modelar el flujo en la escala inter-

poros.

Figura 20: Formacion de dıgitos en el frente de humectacion en los intervalos indicados. [Modificada de Bashary Tellam (2006)].

33

El experimento numerico consistio en simular el paso de un fluido a traves de una muestra de

arenisca en forma de paralelepıpedo (Figs. 13 y 21). En especifico se busca simular el flujo en un

medio de propiedades y dimensiones similares a las de la muestra bloque 1 de Bashar y Tellam

(2006). Esta muestra, de dimensiones 15cm. x 30cm. x 2.1cm., presenta 66 capas constituidas

por granos gruesos y granos finos y tiene una porosidad de 22 %.

Figura 21: Seccion del medio poroso que corresponde a la mitad del bloque 1 simulado. En el acercamiento sepuede apreciar la alternancia de las capas de distintos tamanos de granos.

Los experimentos de laboratorio de Bashar y Tellam (2006) demuestran que la migracion de un

soluto a traves de la muestras de arenisca esta dominada por su estratificacion (Fig. 20). Cuando

el flujo es paralelo a esta, imagenes de tomografıa computarizada revelan que el trazador se

mueve mas rapido en unas laminas que en otras y se desarrolla flujo preferencial a lo largo de

dıgitos (Fig. 20). Por otra parte, cuando el flujo es perpendicular a la estratificacion, la migracion

es la esperada para medios homogeneos en forma de un frente de humectacion estable. Como se

vera mas adelante, las simulaciones presentadas en este trabajo aportan pistas importantes del

34

porque se desarrollan este tipo de patrones de flujo.

Para realizar la simulacion fue necesario, primero, crear un medio artificial bidimensional por

el cual se desplaza un fluido. El medio se construyo mediante el uso del algoritmo de Coelho y

Neumann (2016) para crear medios porosos en 3D. Se crearon dos medios, uno conformado por

granos gruesos (muestra 1) y otro compuesto por granos finos (muestra 2). Para crear dichos me-

dios con el algoritmo de Coelho y Neumann (2016) se usaron los parametros pertinentes tomados

de la muestra real (bloque 1) de Bashar y Tellam (2006) (ver tabla 2). Una vez creados los medios,

se utilizo un algoritmo que toma secciones delgadas de estos y las coloca de forma alternada en

un medio poroso artificial bidimensional. Los detalles de como se genero el medio poroso en 2D

se presentan en la seccion 3.3 del capıtulo 3. En la figura 21 se muestra el medio resultante en

donde se aprecia la alternancia de capas constituidas por dos diferentes tamanos de granos.

Despues de que se genero un medio con propiedades similares a las de la muestra bloque 1,

se procedio a calcular los parametros apropiados para ejecutar el modelo. Se tienen los datos de la

porosidad y la superficie especıfica del medio poroso real, ası como la viscosidad del fluido y la ve-

locidad real del flujo. Con estos datos se aplico la ecuacion (36). Como se recordara el numero de

Reynolds para medios porosos establece la liga entre el flujo real y el modelado. Si tanto el modelo

como el flujo real comparten el mismo numero de Raynolds, entonces ambos flujos se compor-

taran de manera similar. De esta forma, se encontro que Re para los experimentos de Bashar y

Tellam (2006) es de Re = 1.27x10−4 . Para que el modelo tenga el mismo Numero de Reynolds

se requiere que la velocidad a aplicar al modelo en sus fronteras sea U0 = 1.6X10−6lu/ts.

Por ultimo, se definieron las condiciones de frontera para el modelo. Se emplearon condiciones

de rebote para las paredes laterales. Recuerdese que en el experimento las paredes del bloque

1 fueron selladas para evitar fugas hacia los lados. Para los obstaculos solidos del medio poroso

una condicion similar tambien fue utilizada. Para simular el flujo de entrada se usaron condiciones

de velocidad en la parte superior del bloque 1.

4.1. Flujo paralelo a la estratificacion

La figura 22 muestra el flujo estacionario que aparece en el modelo. En esta figura tambien

se puede apreciar la estructura vugular del medio. Concentraciones en la matriz solida forman

obstaculos naturales y macroporos (ver tambien la Fig. 21). Los colores azules indican bajas

35

velocidades del flujo, mientras que los colores calidos indican zonas de alto flujo. Notese como el

flujo simulado aprovecha variaciones en la estructura porosa que da lugar a regiones locales de

alto flujo. Estas corresponden a gargantas que conectan a los macroporos.

La velocidad maxima en las capas de granos gruesos es unas ocho veces mas que la velo-

cidad maxima registrada en las capas de granos finos. Esto demuestra el efecto en el modelo a

cambios de tamano de grano, a pesar de que la porosidad es constante en todo el medio poroso

simulado. Una reduccion en el tamano de los granos en un factor de 4 genera una disminucion en

un factor de 8 en las velocidades maximas observadas entre la fraccion gruesa y fina. Esto indica

claramente que las capas de grano grueso llevan la mayor parte del flujo, lo que concuerda con

las observaciones de Bashar y Tellam (2006).

Figura 22: Flujo paralelo a la estratificacion. a) Se muestran las magnitudes de las velocidades de una seccionde la parte superior izquierda del medio poroso. b) Comparacion de velocidades de las columnas: la velocidadmaxima de la columna de granos gruesos es unas 8 veces mas que la correspondiente de los granos finosaunque las porosidades son las mismas en ambos casos.

En la figura 23 se muestra el flujo en la interfaz entre las capas gruesas y finas. Se aprecia

que el flujo es practicamente paralelo a la interfaz y que el flujo hacia los lados es practicamente

negligible. Esto explica la estabilidad de los dıgitos una vez que se forman estas estructuras de

flujo preferencial. La baja dispersividad de las capas de grano fino ayuda a mantener confinado el

flujo en la direccion de las capas cuando el flujo es paralelo a estas.

36

Sin embargo hay factores relacionados a las estructuras de los solidos que fomenta la disper-

sividad del flujo. Uno de ellos se muestra en la figura 24, la cual ilustra la formacion de un callejon

sin salida. El poro cerrado impide el flujo paralelo a la estratificacion y el fluido se ve forzado a

circular a traves de la capa de granos finos.

Figura 23: Flujo en la interfaz de las capas. La velocidad del flujo disminuye considerablemente al entrar a lacolumna de granos finos.

Figura 24: a) El caso de un flujo cerrado en la columna de granos gruesos. b) En el acercamiento se muestraque el flujo que es forzado a invadir la capa de granos finos contigua.

37

4.2. Flujo perpendicular a la estratificacion

Ahora se discutiran los resultados de la simulacion numerica en donde el flujo es perpendicular

a la estratificacion. Como se menciono anteriormente, los experimentos de laboratorio indican que

a bajos numeros de Reynolds se producen frentes estables de percolacion. En la figura 25 se

grafica la magnitud de la velocidad del fluido de una seccion caracterıstica del medio simulado.

Como en la seccion anterior, el color azul indica flujos lentos y los colores calidos flujos de mayor

velocidad.

Figura 25: Flujo perpendicular a la estratificacion. a) Se muestran las magnitudes de las velocidades de unaseccion de la parte superior izquierda del medio poroso. b) Comparacion de velocidades de las capas: lavelocidad maxima de la capa de granos gruesos es 3 veces mas grande que la correspondiente de los granosfinos. La porosidad es la misma para ambas capas.

Al igual que en el caso anterior, las capas de grano grueso presentan flujos mas altos que

las capas de grano fino. Sin embargo, en el experimento numerico de flujo paralelo a la estratifi-

cacion, la diferencia de velocidades maximas es de un orden de magnitud. Para el caso del flujo

perpendicular, esta diferencia solo es de un factor de 3.

La figura 26 corresponde a un caso extremo en donde el macroporo con un alto flujo se pone

en contacto con una capa de granos mas finos. Aun en este caso extremo, si comparamos los

flujos en ambas capas, nos daremos cuenta que el flujo rapidamente pierde momento (hasta un

orden de magnitud) al inyectarse al espacio poroso de las capas de grano fino. Esta caıda de

velocidad se presenta en una distancia tıpica de ∝ 3 tamanos de grano.

Para el caso del flujo perpendicular a las estratificacion, la explicacion al flujo estable la po-

demos encontrar en la dinamica de fluidos, en particular si analizamos la caıda de presion en un

38

ducto con flujo de Poiseuillie. Bajo un flujo laminar, como el que se describe en esta simulacion,

se cumple la siguiente relacion:

∆P = P1 − P2 =8µLVavgR2

(40)

donde ∆P es la caıda de presion, µ, la viscosidad dinamica, Vavg, la velocidad promedio, L la

longitud del ducto, y R el radio del mismo. De esta ecuacion se deduce que al disminuir el radio

del ducto, o en nuestro caso el tamano de las gargantas, en un factor de 4, la caıda de presion

aumenta en un factor de 16 (Fig. 27). La caıda de presion resulta en la disminucion de la velocidad

de los vectores de flujo mostrada en la figura 26, al atravesar las primeras subcapas de granos

finos.

Figura 26: Flujo perpendicular a la estratificacion. Flujo en la interfaz de las capas. La velocidad mayor prove-niente de la capa de granos gruesos disminuye hasta en un orden de magnitud despues de las primeras dossub-capas de granos finos.

Figura 27: Caıda de presion en un ducto. La caıda de presion es proporcional a la viscosidad dinamica (fuerzasde friccion) y es inversamente proporcional al radio del ducto. Si este disminuye, es mayor la caıda de presion.

39

Finalmente, estos resultados dan informacion de la razon por la cual el flujo es estable cuando

es dirigido de forma perpendicular a la estratificacion. Los resultados de los modelos de redes de

Boltzmann indican que las capas de grano fino actuan como disipadoras de momento, lo que le

proporciona la estabilidad al flujo.

4.3. Pertinencia del modelo numerico

El objetivo del presente trabajo fue analizar las condiciones que dan lugar a flujo preferencial

en un medio poroso con el uso del modelo de redes de Boltzmann. Para esto se simulo el mo-

vimiento de un fluido discreto a traves de medios sinteticos bidimensionales. El medio simulado

tiene propiedades similares a las observadas en areniscas en experimentos de laboratorio. En la

escala mas fina, el medio incorpora arreglos de granos redondeados de diferentes tamanos. En

la siguiente escala estos granos estan organizados de modo tal que forman una alternancia de

capas de granos gruesos y capas de granos finos. La porosidad del medio simulado es de 50 %,

lo cual es tıpico de areniscas poco consolidadas.

El metodo numerico empleado simula el flujo a la escala intraporo, lo que permite entender

la influencia del arreglo de granos minerales, ası como su organizacion jerarquica en capas, en

el desplazamiento de un fluido. Gracias a este nivel de simulacion es posible revelar las razones

fundamentales por la cual el flujo evade cierta seccion de la matriz porosa dando lugar a inestabi-

lidades en el frente de humectacion.

El modelo, sin embargo tiene la limitacion de que es bidimensional. Esto es una necesidad de

la resolucion del modelo, el cual captura los detalles finos del flujo. Computacionalmente no es

practico realizar simulaciones 3D a tal nivel de detalle. Otra de las limitaciones del modelo es que

el fluido es inerte (no reacciona con la fraccion solida). En la realidad en muchas ocasiones, el

agua (la cual es el principal fluido en geomateriales) no se encuentra en equilibrio quımico con

la fase solida. Para muchas aplicaciones es importante incorporar este fenomeno (Rienzo et al.

(2012), Machado (2012)).

A pesar de estas limitaciones, el modelo resultante simula el flujo a la escala inter-poros lo

que permite entender su comportamiento. En comparacion, otros metodos numericos requieren

de suposiciones poco realistas como que el modelo sea isotropico y homogeneo. Por otra parte

si se requiere incorporar las complejidades de medios heterogeneos, se requiere de parametros

40

materiales (como el tensor de dispersividad) los cuales son difıciles de obtener.

4.4. Causas de flujo preferencial en medios estratificados

Las inestabilidades en los frentes de humectacion se han observado tanto en el campo como

en varios estudios de laboratorio por mas de 60 anos, ası como en medios porosos en roca dura.

El flujo inestable, comienza como un frente uniforme, sin embargo, bajo ciertas condiciones, se

rompe en dıgitos de flujo preferencial a medida que invade zonas no saturadas. El desarrollo de

estas inestabilidades es un asunto de suma importancia en la dispersion de NAPL’s (lıquidos en

fase no acuosa) y de otros contaminantes, dado que los dıgitos pueden traspasar la zona vadosa

y alcanzar directamente el nivel freatico. De igual forma, este fenomeno es de gran interes para

la industria petrolera ası como para la exploracion de yacimientos geo-termicos (Graf y Therrien,

2009).

La explicacion clasica al desarrollo de dıgitos nos dice que el fenomeno esta en funcion del

numero de capilaridad, Ca, que es la razon entre las fuerzas viscosas y las fuerzas superficiales

(Glass et al., 1989). Un frente estable se observa cuando Ca es alto, mientras que un Ca bajo

indica la formacion de dıgitos. La razon es que la presion capilar pc, aumenta con el diametro

del poro-garganta, D, y con la tension superficial, γ, ya que pc ∼ γ/D2. Este termino llega a ser

dominante (y hace a Ca una cantidad pequena) ya que tanto la mojabilidad del fluido y la porosidad

efectiva se reducen. Esto a su vez fuerza al fluido desplazante a invadir el espacio poroso un canal

a la vez.

Figura 28: Flujo de Poiseullie. Flujo laminar inducido por una diferencia de presion constante.

En contraste, el movimiento en los frentes de infiltracion de los experimentos numericos, que

se presentaron en las secciones previas, muestran una fuerte sensibilidad a la estructura de los

poros. La simulacion sugiere que la interfaz de mojamiento deberıa adoptar una configuracion de

41

dıgitos cuando se mueve a traves del medio poroso si el flujo es paralelo a la laminacion (Figs. 20

y 22). Los experimentos numericos indican que una infiltracion estable se desarrolla cuando las

capas se arreglan en forma perpendicular al flujo.

La razon por la que el flujo se mantiene mayormente confinado a las capas de granos gruesos

puede encontrarse en la solucion al flujo de Poiseuille entre dos paredes paralelas (Fig. 28). La

solucion analıtica a de la velocidad del flujo en este problema es

Vavg = −R2

8µ

dP

dx, (41)

donde Vavg es la velocidad promedio del fluido, R es el radio del cilindro (garganta en este caso)

por el que se desplaza el fluido, µ es la viscosidad dinamica del fluido y dPdx es el gradiente de

presion. La ecuacion (41) nos dice que hay un escalamiento entre la velocidad del fluido y el radio

de las gargantas

Vavg ∝ R2,

lo cual indica que el flujo va estar concentrado en aquellas regiones donde el diametro de las

gargantas sea el mayor. Por otra parte, si las gargantas se reducen en un factor de 4 entre las

capas gruesas y finas, entonces el flujo se reduce en un factor de 16.

Dos de las predicciones del modelo son que el flujo debe estar concentrado en las capas de

grano grueso y, por lo tanto, la formacion de dıgitos debe seguir estrechamente la estratificacion.

Efectivamente esto es algo que se observa en los experimentos de Bashar y Tellam (2006).

4.5. Permeabilidad

La permeabilidad es una propiedad muy importante en el estudio del flujo en medios porosos.

Es una medida de la facilidad con la que un fluido especıfico pasa a traves del medio. En su forma

mas simple depende de la geometrıa del medio y de la viscosidad del fluido. La ley de Darcy

establece que:

42

q = −Kdh

dl(42)

donde q es la velocidad de Darcy, K es la conductividad hidraulica y dh/dl es el gradiente hidrauli-

co.

De la ecuacion (42) se tiene que:

K = − qdhdl

(43)

Si se toma en cuenta que h = Pρg + z y si se sustituye q por v (para adecuarlo a las condiciones

de nuestro caso):

Kρg = − vdPdx

(44)

Ademas, la permeabilidad k = K ρgµ , por lo que,

k = − v

µdPdx(45)

Con la relacion (45) podemos investigar k para el medio artificial creado en la presente te-

sis. Esto es importante porque permite entender si la conectividad de los poros en el modelo es

comparable a la de las muestras. Se puede calcular k de la siguiente manera. En la simulacion

del modelo LBM es posible imponer una fuerza que mueva al fluido y posteriormente medir la

velocidad promedio en la salida. Si se repite la ejecucion del modelo con incrementos en la fuer-

za impuesta y medimos cada vez la velocidad promedio resultante, podemos ver la relacion de

proporcionalidad entre la fuerza y la velocidad. Los resultados se presentan en la figura 29. La

pendiente de la relacion es la permeabilidad, k ≈ 95.

Sin embargo, es necesario hacer un ajuste para el calculo de la permeabilidad con los datos

obtenidos en la simulaciones descritas en el parrafo anterior. La ley de Darcy asume un gradiente

de presion en lugar de una fuerza. Como proponen Coelho y Neumann (2016) se puede sustituir

dP/dx por − ddx

(Fy

φAy

)en la ecuacion (44), donde Fy es la fuerza impuesta en la direccion y y φAy

43

es el area efectiva donde se aplica la fuerza. El signo negativo indica que el gradiente de presion

y la fuerza tienen signos inversos. Entonces, tenemos:

dP

dx= − 1

φ

d

dx

(FyAy

)(46)

Sea la densidad de la fuerza fy = ddx

(Fy

Ay

), con unidades de fuerza sobre volumen, entonces:

k =µvφ

fy(47)

Esta es la ecuacion que se empleo para calcular k de la muestra. Como se observa en la figura

29, la constante de proporcionalidad es ∝≈ 95, es decir v =∝ Fy. Si se sustituye esta relacion en

(47), y si recordamos que la viscosidad del fluido en el modelo es 1/6 y que la porosidad es 0.5

(ver tabla 5) se obtiene k ≈ 8lu2, donde lu es la unidad de longitud de la celda en el modelo LBM.

Adicionalmente, podemos hacer una segunda correccion por el paso de la geometrıa 3D de la

muestra a la geometrıa 2D del modelo. Si se considera un medio conformado por esferas identicas

de diametro d, igualmente distribuidas, se tiene que Sv = Aesferas/Vesferas = 6/d. La ecuacion

(33), entonces se convierte en:

k =d2

36C

φ3

(1− φ2)(48)

Figura 29: Proporcionalidad entre la fuerza aplicada y la velocidad promedio obtenida en una muestra determi-nada. La pendiente del modelo del mejor ajuste es la permeabilidad k (ecuacion 47).

44

En 2D, Sv = Pcırculos/Acırculos = 4/d, por lo que la ecuacion anterior se transforma para medios

bidimensionales en:

k =d2

16C

φ3

(1− φ2)(49)

Por lo tanto, para pasar de 2D a 3D, hay que realizar el ajuste: k3D = k2D(16/36) = 8(16/36) =

3.55lu2

Para llevar este valor a las unidades del medio real hay que considerar que lu = 30cm/20000

(ver Fig. 17). Es decir 1lu = 1.5X10−3cm. Por lo tanto:

k = 3.55X(1.5X10−3)2cm2 ≈ 8X10−6cm2 (50)

La permeabilidad intrınseca que reportan (Bashar y Tellam, 2006) para las muestras de sus

experimentos se puede ver en la tabla 6. Se observa que hay discrepancias entre la permeabilidad

intrınseca del medio sintetico con las correspondientes reportadas de los experimentos de labo-

ratorio. Como se recordara, para el modelo se considero una porosidad de 0.5, mientras que las

muestras tienen una porosidad de ≈ 0.20. Esta puede ser la causa de la discrepancia, ya que un

incremento en las porosidades de las muestras tiene el efecto de incrementar considerablemente

las permeabilidades de las mismas (compare el valor de k de la muestra Columna 12 con el valor

correspondiente de la muestra sand2 de la tabla 6).

Por otro lado, podemos calcular las permeabilidades teoricas tanto para la muestra real como

para el medio sintetico usando la ecuacion propuesta por Rabbani y Jamshidi (2014) para el

calculo de k para areniscas:

k =

(d

4.23

)2φ3

(1− φ2)(51)

donde d es el promedio del radio de los granos. Este valor lo obtenemos de la tabla 4:

d =0.0088+0.0350

2

2= 0.01095cm (52)

45

Tabla 6: Dimensiones y propiedades fısicas de las columnas*

Columna L A V k Porosidad(cm) (cm2) (cm3) (cm2)

Columna 1 6.90 10.75 74.19 1.55E-10 0.20Columna 1a 4.00 10.75 43.00 1.55E-10 0.20Columna 2 6.80 10.75 73.11 2.33E-10 0.22Columna 3 5.20 10.75 55.91 1.67E-10 0.22Columna 11 7.17 10.75 77.08 3.06E-12 0.19Columna 12 5.15 10.75 55.36 2.71E-12 0.18Columna 13 4.90 10.75 52.67 3.19E-12 0.20Bloque 1 30.00 31.50 945.00 1.08E-10 0.22Bloque 1a 15.00 31.50 473.00 1.08E-10 0.22Trsand1 17.45 10.75 187.60 2.78E-09 0.39Cylsnd1 17.45 10.75 187.60 4.06E-09 0.41sand2 17.45 10.75 187.60 4.06E-09 0.38

*L: longitud, A: seccion transversal, V : volumen, k : permeabilidadintrınseca. Modificada de (Bashar y Tellam, 2006)

Si calculamos con esta ecuacion al valor de k esperado para la muestra bloque 1 de Bashar y

Tellam (2006) obtenemos:

k =

(0.01095

4.23

)2 0.223

(1− 0.22)2= 1.17X10−7cm2 (53)

Este es un valor cercano al calculado en (50). Ahora, calculemos k para la muestra sintetica.

Como en el caso anterior, es necesario obtener el radio promedio de los granos de esta muestra

(ver tabla 3 ):

d =25+62

2= 7.75 (54)

k =

(7.75

4.23

)2 0.53

(1− 0.5)2= 1.67lu2 = 3.77X10−7cm2 (55)

Si ahora se reperesentan en una grafica (Fig. 30) las permeabilidades de las muestras de

Bashar y Tellam (2006) con la obtenida en la ecuacion (50) se observa que las k de las muestras

caen por debajo del valor predicho por el modelo. Esto sugiere que la estructura de la porosidad del

modelo aun no simula apropiadamente estructuras con superficies especıficas (Sv) mas complejas

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lo que produce mas permeabilidad.

Figura 30: Valor de k obtenido de las simulaciones, comparado con las permeabilidades de las muestras deBashar y Tellam (2006) y con las permeabilidades teoricas (ecuacion 51).

En cuanto a la propiedad Sv, los valores de la superficie especıfica que se usaron para el

calculo del numero de Reynolds, corresponden a las mediciones en 3D tanto de la muestra como

del medio sintetico. Sin embargo, para tener una comparacion mas precisa de la permeabilidad en

ambos medios, serıa necesario obtener sus superficies especıficas en 2D. Para el caso del medio

sintetico, es posible calcular Sv algorıtmicamente. En el caso del medio real, no conocemos este

dato.

4.6. Conclusiones

Los resultados del modelo de redes de Boltzmann, utilizado en el presente trabajo, predicen

que cuando la migracion del fluido es paralela a las capas estratificadas i) el flujo debe estar con-

centrado en las capas compuestas por granos gruesos y ii) la formacion de dıgitos debe seguir

estrechamente la estratificacion de estas capas. La simulacion pone de manifiesto las causas por

las que se obtienen dos tipos de flujo. El flujo preferencial, esta asociado al arreglo que presentan

los granos y no con el fenomeno de capilaridad. Las simulaciones tambien indican que la disper-

sividad en el flujo se debe a la formacion de macro-poros cerrados que fuerzan la circulacion en

las capas de grano fino. El flujo uniforme, que es el esperado para medios homogeneos, que se

presenta cuando el flujo es perpendicular a la laminacion, se debe a que las capas de granos

finos actuan como disipadoras de momento del fluido cuando este pasa repetidamente por estas

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capas.

Cuando se comparo la permeabilidad del medio sintetico con la reportada para las muestras,

se observo que discrepan fuertemente. Esto sugiere que la estructura de la porosidad del modelo

en 2D no permite simular estructuras cuyas superficies especıficas son mas complejas, lo que

produce mas permeabilidad en el medio artificial.

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