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Etude de la déficience dans

les cactus

Yannis Paquier

Professeur responsable : Dominique de Werra

Assistant responsable : Şivan Altınakar

Projet de semestre

Automne 2007

Prof. D. de Werra

Chaire de Recherche Opérationnelle Sud-EstEPFL, FSB - IMA - ROSE1015 Lausanne

Automne 07

Projet de semestre

Sujet : Etude de la déficience dans les cactus

Candidat : Yannis Paquier, Mathématiques, Bachelor semestre 5

Responsable : Şivan Altınakar

Introduction

Dans un graphe, une coloration d’arête avec des nombres entiers est consé-

cutive (ou d’intervalles) si pour chaque sommet, les couleurs qui lui sontincidentes sont distinctes et forment un intervalle d’entiers.

Ce problème trouve des applications immédiates lors de la confectiond’horaire, quand on cherche une solution optimale sans temps d’attente entrecertaines tâches. Ce genre de cas se produit lorsque les processus considérésont des caractéristiques particulières (p.ex. température, viscosité) ou lors-qu’il n’est pas possible de stocker les articles en cours de fabrication entre lestâches d’un même job.

Le concept assez récent de déficience d’un graphe se définit comme lenombre minimum d’arêtes pendantes à rajouter à un graphe donné pourqu’il soit consécutivement colorable.

Travail à effectuer

Il s’agit d’étudier la déficience dans les cactus, une classe de graphe parti-culière définie comme l’ensemble des graphes tel que chaque arête fait partied’au plus un cycle. On souhaiterait en particulier trouver un algorithme po-lynomial pour déterminer la déficience de n’importe quel graphe dans cetteclasse, et sinon au moins trouver un bonne borne pour la déficience.

1

Rapport et présentation orale

Le candidat suivra les indications de la personne responsable et la mettraau courant de l’avancement du projet au moins une fois par semaine.

Il fera deux présentations orales de son travail, une première pour en-traînement vers la moitié du semestre entre le 5 et 9 novembre 2007 et ladeuxième peu après avoir rendu le rapport final entre le 7 et 11 janvier 2008 ;(les dates exactes seront précisées ultérieurement).

Chaque phase du projet sera soigneusement documentée dans un rapportfait avec le système LATEX qui sera remis en 3 exemplaires le 21 décembre

2007 à 12h001 au plus tard. Il se conformera aux instructions du responsablepour la rédaction du rapport et présentera une version préliminaire au moinsune semaine avant la reddition du rapport final (c’est-à-dire le 14 décembre2007). Le rapport doit contenir entre autres les points suivants :

– la présente donnée du sujet (juste après la page de titre),– une introduction didactique et motivée du travail,– une explication détaillée des résultats mis en évidence ainsi que leurs

intérêts,– une rédaction rigoureuse des résultats théorique,– des suggestions pour une extension et un approfondissement du sujet,– une bibliographie (avec des références précises).– un CD ou une disquette contenant la version électronique du rapport

et les sources LATEX.

Références

– K.Giaro, M.Kubale et M.Malafiejski, Consecutive colorings of the edges

of general graphs, Discrete Mathematics 236, pg 131-143, 2001

– S.Emery, Classes de graphes avec déficience reconnaissable en temps

polynomial, EPFL, projet de master, hiver 2006-2007

1La date officielle selon le calendrier académique est le 12 janvier 2008 à 12h00. La date

est avancée pour permettre une meilleure préparations aux examens.

2

Table des matières

Introduction 5

1 Préliminaires 7

1.1 Déficience d’un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Déficience de certaines classes de graphes . . . . . . . . . . . . 91.3 Les cactus 2-arêtes-connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Colorations équivalentes 13

2.1 Propriétés de la déficience dans les cycles . . . . . . . . . . . . 132.2 Concaténation de cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Déficience intérieure et nette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Propriétés de la déficience intérieure . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Coloration optimale 21

3.1 Graphe souris et graphe nucléaire . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Cactus 2-arêtes-connexe d-déficient . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Discussion sur la borne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Opérations 25

4.1 Cycles et modules pendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2 Suppression de sommets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Concentration de cycles ou de modules . . . . . . . . . . . . . 324.4 Chaînes de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.5 Recoloration de G à partir de G′ . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.6 Comparaison avec les opérations de Sarah Emery . . . . . . . 39

Conclusion 41

Bibliographie 43

Annexes 45

3

Introduction

Dans ce travail, nous allons étudier la déficience d’une classe de grapheparticulière, celle des cactus. La déficience d’un graphe se base sur la colora-tion d’arêtes qui consiste à attribuer une couleur, représentée par un nombreentier, à chaque arête du graphe avec la propriété qu’en chaque sommet, lescouleurs des arêtes qui lui sont incidentes soient toutes distinctes. Si de plus,ces couleurs forment un intervalle d’entier, on dit que la coloration est consé-cutive. La déficience du graphe est alors définie comme le nombre minimumd’arêtes pendantes à ajouter au graphe pour qu’il existe une coloration quisoit consécutive. Déterminer la déficience d’un graphe peut être très utilepour des problèmes d’emploi du temps, comme la confection d’horaires, lors-qu’on recherche une solution optimale sans temps d’attente entre différentestâches. Ce genre de cas se produit lorsque les processus considérés ont descaractéristiques particulières (par exemple : température ou viscosité) ou lors-qu’il n’est pas possible de stocker les articles en cours de fabrication entre lestâches d’un même job.

Le but de ce travail est d’approfondir le projet de Master Classes de

graphes avec déficience reconnaissable en temps polynomial de Sarah Emery[1] qui avait déjà pu étudier des propriétés de la déficience dans les cactus etqui avait mis en évidence quelques opérations de réduction d’un cactus G enun cactus G′ ayant la même déficience. Elle avait également calculé une bornepour la déficience dans les cactus que nous essayerons d’améliorer. Parmiles extensions possibles de son travail, elle proposait d’essayer de montrerque nous pouvons toujours nous ramener par des opérations de réductionà un cactus 2-arêtes-connexe composé uniquement de triangles. Pour nousapprocher de cet objectif, nous avons recherché des nouvelles opérations deréduction.

Nous commencerons par donner les inévitables définitions et propriétésde base permettant la bonne compréhension du sujet. Nous verrons donc lanotion de déficience d’un graphe, accompagnée d’un petit résumé des connais-sances actuelles que nous avons de la déficience dans les graphes, ainsi queles notions de cactus et de cactus 2-arêtes-connexe. Ensuite, nous verrons

5

quelques propriétés de la déficience dans les cycles. Nous prendrons connais-sance, en particulier, de quelques colorations admissibles des cycles qui vontnous être très utiles pour la déficience dans les cactus. Les cactus étant uneconcaténation particulière de cycles, nous verrons encore ce qu’il se passelorsque nous réunissons des cycles.

Fort de ces différents outils, nous nous attaquerons à la déficience descactus 2-arêtes-connexes en mettant en évidence des propriétés de la dé-ficience dans les cycles et dans les cactus 2-arêtes-connexes découvertes aucours de nos recherches. Ces propriétés permettent de faciliter les preuves desopérations de réductions que nous présenterons par la suite. En effet, nousdonnerons pour terminer des opérations de réduction d’un cactus 2-arêtes-connexe G en un cactus 2-arêtes-connexe G′ ayant la même déficience sous lacontrainte d’avoir des cactus dont tous les sommets sont de degré maximum6. Le but de ces opérations est, dans un premier temps, de se ramener à uncactus plus petit Gp pour pouvoir plus facilement calculer sa déficience et,dans un deuxième temps, de pouvoir retrouver le cactus de départ G ainsique la coloration associée à la déficience à partir de la solution de Gp. Nousprésenterons donc les opérations mises en évidence par Sarah Emery ainsique des nouvelles opérations que nous avons découvertes.

Nous proposerons finalement des possibilités d’extension de ce travail.Il reste en effet des pistes très intéressantes à explorer dans l’étude de ladéficience dans les cactus.

6

Chapitre 1

Préliminaires

Pour commencer, nous allons donner quelques définitions ainsi que desrésultats importants nous permettant de bien comprendre la problématiquede ce travail.

1.1 Déficience d’un graphe

Avant de pouvoir définir la déficience d’un graphe à proprement parler,nous devons introduire les notions de coloration d’arêtes consécutive et dedéficience dans un cadre général.

Définition 1. Soit G = (V,E) un graphe. V désigne l’ensemble des sommetsde G et E celui des arêtes. Une coloration d’arêtes est une fonction c : E → Z

telle que c(u) 6= c(v) pour tout u, v ∈ E adjacentes.

Définition 2. Une coloration d’arêtes avec des nombres entiers est consécu-

tive (ou d’intervalle) si pour chaque sommet les couleurs des arêtes qui luisont incidentes sont distinctes et forment un intervalle d’entiers.

Fig. 1.1 – Exemple d’une coloration d’arêtes consécutive

7

Sur la figure 1.1, les chiffres sur les arêtes représentent les couleurs. Nousvoyons qu’en chaque sommet, les couleurs des arêtes incidentes forment unintervalle d’entiers [a, b].

Nous définissons à présent la déficience d’un sous-ensemble des nombresnaturels N.

Définition 3. Soit A un sous-ensemble fini de nombres naturels N. La défi-

cience de A, notée def(A), est le nombre d’entiers, compris entre le minimumde A et son maximum, qui n’appartient pas à A.

def(A) = max(A) − min(A) − |A| + 1.

Un sous-ensemble A de N est donc un intervalle si sa déficience est nulle,c’est-à-dire si def(A) = 0.

Maintenant que nous avons pris connaissance de ces quelques notions,nous pouvons définir le concept de déficience pour les graphes.

Définition 4. Soit G un graphe et c : E → N une coloration d’arêtes asso-ciée. On définit la déficience de c en un sommet v, notée def(G, c, v), commeétant la déficience de l’ensemble des couleurs des arêtes incidentes au som-met v.

En d’autres termes, la déficience en un sommet est le nombre d’arêtespendantes qu’il faut lui ajouter afin que la coloration des arêtes qui lui sontincidentes soit consécutive. Sur la figure 1.2, nous pouvons voir que le sommeta est 1-déficient. Pour que la coloration d’arêtes soit consécutive, il faudraitlui ajouter une arête pendante de couleur 2.

Fig. 1.2 – Déficience en un sommet

Définition 5. La déficience d’une coloration c, notée def(G, c) est la sommedes déficiences de tous les sommets du graphe.

def(G, c) =∑

v∈V

def(G, c, v).

8

Définition 6. La déficience d’un graphe G, notée def(G), est le minimumdes déficiences def(G, c) parmi toutes les colorations possibles des arêtes deG.

def(G) = minc

def(G, c).

Un graphe G avec déficience d est dit d-déficient.

En particulier, si nous avons une coloration d’arêtes c de déficience nulle,c’est-à-dire telle que def(G, c) = 0, alors la coloration est consécutive.

1.2 Déficience de certaines classes de graphes

Le tableau suivant résume les connaissances actuelles que nous avons dela déficience dans les graphes. Il est tiré du travail de Sarah Emery [1], à lapage 12. Dans ce tableau, n est le nombre de sommets du graphe.

Auteur(s) Année Graphe Déficience

Asratian, Denley& Häggkvist [2]

1998 Arbre 0

Asratian, Denley& Häggkvist [2]

1998 Biparti com-plet

0

Giaro, Kubale &Malafiejski [3]

2000 Cycle 0 si n est pair1 si n est impair


2000 Clique 0 si n est pair⌊

n2

⌋si n est impair


2000 Roue 0 si n = 4,7,101 si n = 3,5,6,8,9,11,122 si n ≥ 13


2000 Roue brisée 0 si n = 3,4,6,7,9,101 si n = 5,8 et n ≥ 11


2000 ∆-régulieravec n impair

≥ ∆2


2001 Sevastjanov’srosette Sk

k − 6 ≤ def(Sk) ≤ k − 5


2001 Hertz’graphHk,l

kl−k−2l−2, ∀k ≥ 4, l ≥3

Sevastjanov 1998 Biparti (engénéral1)

NP-complet

1La déficience de certains cas de graphes bipartis a été étudiée plus en détail et est

calculable en temps polynomial.

9

1 k

k

1 1

k

Sk

1,1 1,l

2,1 2,l

k,1 k,l

Hk,l

Fig. 1.3 – La rosette Sk et le graphe Hk,l

Nous pouvons remarquer qu’en dehors de cas très particuliers, il devientvite difficile de déterminer la déficience d’un graphe. Nous nous intéressonsà la classe des cactus car c’est une première généralisation des arbres, classede graphes dont la déficience est connue (les arbres sont 0-déficients). Nousespérons donc pouvoir calculer la déficience exacte d’un cactus sans trop dedifficultés, ou, si ce n’est pas le cas, la borner.

1.3 Les cactus 2-arêtes-connexes

Nous allons maintenant nous focaliser sur la classe de graphes qui nousintéresse, celle des cactus, et en particulier les cactus 2-arêtes-connexes. Maisavant, nous avons besoin de définir la notion d’isthme.

Définition 7. Soit G = (V,E) un graphe connexe. Une arête est un isthme

si sa suppression sépare le graphe en deux composantes connexes.

Nous donnons à présent la définition d’un cactus.

Définition 8. Soit G = (V,E) un graphe. G est un cactus si chaque arêtefait partie d’au plus un cycle élémentaire.

Fig. 1.4 – Un cactus

10

En d’autres termes, un cactus est composé exclusivement de cycles etd’isthmes et c’est précisément pour cela que cette classe de graphes est in-téressante au niveau de la déficience. En effet, étant donné que la déficiencedans les cycles est connue (0 pour les cycles pairs, 1 pour les cycles impairs),nous pouvons espérer trouver des résultats intéressants pour la déficience descactus.

Nous nous intéressons en particulier aux cactus 2-arêtes-connexes. Afinde bien comprendre ce que nous entendons par ce terme, nous définissons àprésent la notion de graphe k-arêtes-connexe.

Définition 9. Soit G = (V,E) un graphe connexe. On dit que G est k-

arêtes-connexe si pour le déconnecter, il faut enlever au moins k arêtes.

Un graphe sans isthme est donc 2-arêtes-connexe. Ainsi, un cactus 2-arêtes-connexes est un cactus qui est composé uniquement de cycles. Nousétudions ces cactus en particulier, car la présence d’isthmes ou d’arêtes pen-dantes ne peut pas faire augmenter la déficience. Ce dernier point est détaillédans le travail de Sarah Emery [1] aux pages 18 et 19.

Fig. 1.5 – Un cactus 2-arêtes-connexe

Nous présentons une propriété intéressante qui dit que la présence d’unisthme permet de décomposer notre problème de recherche de la déficienceen deux sous-problèmes.

Propriété 1. Si un cactus G est constitué de deux composantes A et B reliées

par un isthme i, la déficience de G est égale à la somme des déficiences de

A ∪ i et de B ∪ i.

Démonstration. Supposons que nous avons une coloration optimale de A∪ iet de B ∪ i qui utilise les couleurs c et c′ respectivement pour l’isthme i.Sans perte de généralité, nous pouvons supposer que c ≤ c′. Nous avons doncc = c′ + n avec n ∈ N. Lorsque nous relions les deux parties, nous devons

11

avoir la même couleur pour l’isthme. Il suffit alors d’ajouter n aux couleursde toutes les arêtes de B ∪ i, ce qui ne change pas la déficience. Ainsi, nousavons bien def(G) = def(A ∪ i) + def(B ∪ i).

La figure 1.6 donne une visualisation de cette propriété.

Fig. 1.6 – Illustration de la propriété

Nous pouvons voir les cactus comme des cactus 2-arêtes-connexes reliéspar des isthmes. Ainsi, grâce à cette propriété, si nous pouvons calculer ladéficience dans les cactus 2-arêtes-connexes, puis dans les cactus 2-arêtes-connexes augmentés d’arêtes pendantes (qui seront les isthmes du cactusen général), nous pourrons calculer la déficience dans les cactus en général.C’est la raison pour laquelle nous nous intéressons en premier lieu aux cactus2-arêtes-connexes.

12

Chapitre 2

Colorations équivalentes

Dans ce chapitre, nous donnons, dans un premier temps, quelques proprié-tés intéressantes de la déficience dans les cycle. Ensuite, nous définissons deuxnotions de déficience propres aux cactus 2-arêtes-connexes, la déficience in-térieure et la déficience nette. Finalement, nous donnons quelques propriétésde la déficience intérieure dans les cycles et dans les cactus 2-arêtes-connexesqui vont nous être très utiles par la suite.

2.1 Propriétés de la déficience dans les cycles

Dans ce qui suit, lorsque nous parlons de déficience, nous parlons de la dé-ficience associée à une coloration d’arêtes. Dans son travail [1], Sarah Emerya mis en évidence différentes colorations permettant d’ajouter ou de suppri-mer de la déficience dans un cycle, ou encore de déplacer la déficience sur lessommets choisis, c’est-à-dire de changer le sommet contribuant à la déficiencedu cycle. Nous ne donnons ici que les énoncés des résultats importants. Pourles preuves, ainsi que pour d’autres propriétés de la déficience dans les cycles,se référer au travail de Sarah Emery.

Théorème 1 (S.Emery [1], page 24). La déficience d’une coloration dans

les cycles impairs est toujours impaire et celle des cycles pairs est toujours

paire.

De plus, nous pouvons montrer qu’à partir d’une coloration c connue,nous pouvons toujours trouver une coloration d’arêtes c′ telle que

def(c′) ∈ {def(c) + 2, def(c) − 2}.

Avant de poursuivre nous avons encore besoin des deux définitions sui-vantes.

13

Définition 10. Si ki, i = 1, · · · , |V | est la déficience du sommet i, on notek1/k2/ · · · /k|V | la combinaison de déficience d’une coloration d’arêtes sur lessommets du cycle.

Définition 11. Dans un cycle C à n sommets, on dit que la combinaisonk1/k2/ · · · /kn est admissible si on peut trouver des coefficients ai ∈ {−1, 1},i = 1, · · · , n, tels que

n∑

i=1

ai(ki + 1) = 0.

L’idée de cette définition est la suivante : si nous fixons un sens de parcoursdes arêtes du cycle, les coefficients ai nous indiquent si nous augmentons ousi nous diminuons la couleur en passant d’une arête à la suivante.

Afin de mieux comprendre cette notion, nous donnons un exemple. Consi-dérons le pentagone illustré par la figure 2.1. Nous avons k1 = 1, k2 = k4 = 2et k3 = k5 = 0. En prenant ai = 1 pour i = 1, 2 et ai = −1 pour i = 3, 4, 5,nous avons bien :

n∑

i=1

ai(ki + 1) = (1 + 1) + (2 + 1) − (0 + 1) − (2 + 1) − (0 + 1) = 0.

La combinaison est donc admissible.

Fig. 2.1 – Une coloration admissible pour le pentagone (les sommets défi-cients sont colorés en gris).

Remarquons encore que si nous avons des coefficients ai qui donnent unecombinaison admissible, alors les coefficients a′

i = −ai, ∀i, alors la combinai-son est aussi admissible.

Nous présentons maintenant quelques théorèmes qui nous donnent descombinaisons possibles ou impossibles dans les cycles.

Théorème 2 (S.Emery [1], page 28). Soit une cycle C à n sommets.

1. Si n est pair, il est toujours possible de trouver une coloration d’arêtes

qui permet de partager une déficience de n sur chacun des sommets,

c’est-à-dire que tous les sommets ont une déficience de 1.

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2. Si n est impair, c’est impossible.

Autrement dit, la combinaison 1/1/ · · · /1︸︷︷︸

n fois

est toujours possible dans les

cycles pairs. En effet, il suffit de mettre en alternance les couleurs c et c + 2sur les arêtes du cycle. Le théorème affirme également que ce résultat estimpossible pour les cycles impairs. En revanche, nous avons les résultatssuivants :

Théorème 3 (S.Emery [1], page 29). Dans un cycle à n sommets, il est

toujours possible de trouver une coloration d’arêtes qui met une déficience de

1 sur n − p sommets, et de 0 sur les p sommets restants, où p ≥ 2 est un

nombre pair.

Fig. 2.2 – Illustration du théorème 3 sur le pentagone.

Théorème 4 (S.Emery [1], page 30). Dans un cycle impair, la combinaison

3/ 1/ · · · /1︸︷︷︸

n − 1 fois

est toujours possible.

Fig. 2.3 – Illustration du théorème 4 sur le pentagone.

Le théorème suivant nous assure que si nous avons trouvé une colorationd’arêtes qui donne une combinaison de déficience admissible sur les som-mets du cycle, alors nous pouvons trouver des colorations équivalentes quipermutent librement la déficiences sur les sommets voulus.

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Théorème 5 (S.Emery [1], page 30). Dans un cycle à n sommets, si la

combinaison k1/k2/ · · · /kn est admissible, alors pour toute permutation ϕdes sommets, la combinaison kϕ(1)/kϕ(2)/ · · · /kϕ(n) est aussi admissible. Il est

toujours possible de trouver une coloration d’arêtes qui donne la déficience

voulue sur chacun des sommets.

2.2 Concaténation de cycles

Maintenant que nous avons vu quelques combinaisons possibles de défi-cience dans les cycles, nous nous intéressons à la concaténation de cycles. Enparticulier, si nous rattachons deux cycles en un sommet, nous voulons savoirce qui se passe au niveau de la déficience en ce sommet dans le meilleur descas.

Le premier cas considéré est la concaténation d’un sommet v1 k-déficientavec un sommet v2 1-déficient en un sommet v12. Le tableau suivant résumecette situation :

Déficience de v1 Déficience de v2 Déficience de v12

0 1 11 1 02 1 1k 1 k − 2, ∀k ≥ 3

Regardons comment nous arrivons à ce résultat en prenant l’exemple de laconcaténation de deux sommets 1-déficients. Soit C1 et C2 les deux cycles quenous voulons concaténer et soit v1 et v2 respectivement les deux sommets 1-déficients. Soit c et c+2 les couleurs des arêtes incidentes au sommet v1 et c′

et c′+2 celles du sommet v2. Sans perte de généralité, nous pouvons supposerque c ≥ c′. Nous avons donc que c = c′ + n, avec n ∈ N. En ajoutant n + 1aux couleurs des arêtes de C2, nous avons que les couleurs des deux arêtesincidentes au sommet b sont c′+n+1 = c+1 et c′+2+n+1 = c+3. Lorsquenous concatènons les sommets v1 et v2, les arêtes incidentes à ce sommet ontles couleurs c, c + 1, c + 2 et c + 3. Le sommet est donc 0-déficient.

Fig. 2.4 – Illustration de l’exemple.

16

Les autres cas se traitent d’une manière analogue. Par exemple pourk ≥ 3, nous pouvons ramener les couleurs des arêtes incidentes au som-met 1-déficient dans l’intervalle d’entiers délimité par les couleurs des arêtesincidentes au sommet k-déficient. Cela diminue donc de deux la déficience ausommet v où sont rattachés les deux cycles.

D’une manière plus générale, lorsque nous concaténons deux cycles, pouravoir la déficience minimale sur le sommet où sont rattachés les deux cycles,nous faisons varier d’une constante les couleurs d’un des deux cycles afin deles faire coïncider avec les couleurs de l’autre cycle.

Le deuxième cas qui nous intéresse est la concaténation d’un sommetv1 k-déficient avec un sommet v2 0-déficient en un sommet v12. Le tableausuivant résume cette situation :

Déficience de v1 Déficience de v2 Déficience de v12

0 0 01 0 1k 0 k − 2, ∀k ≥ 2

2.3 Déficience intérieure et nette

Nous introduisons maintenant deux notions utiles pour la suite du travail.

Définition 12. Soit G = (V,E) un cactus 2-arêtes-connexe.– Nous parlons de déficience intérieure lorsque nous regardons la défi-

cience d’un sommet par rapport à un des cycles auxquels il appartient,sans tenir compte des autres cycles auquels il est rattaché.

– Nous parlons de déficience nette lorsque nous regardons la déficienceen un sommet en tenant compte de tous les cycles qui s’y rattachent.La déficience nette contribue directement à la déficience du graphe G.C’est la déficience telle que nous l’avons vue à la définition 4.

Nous avons le droit de définir ces deux types de déficience car nous tra-vaillons dans les cactus 2-arêtes-connexes, c’est-à-dire des graphes qui ont lapropriété que chaque arête appartient à un unique cycle. En effet, pour unsommet v et une arête e1 adjacente à v et appartenant à un unique cycleC, il existe une unique arête e2 adjacente à v et appartenant au même cycleC. Donc, si nous avons une coloration c de notre graphe G, la déficienceintérieure de c au sommet v du graphe G par rapport aux arêtes e1 et e2 est

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donnée par la déficience de c au sommet v du cycle C. C’est-à-dire :

defint(G, c, v, e1, e2) = max([c(e1), c(e2)]) − min([c(e1), c(e2)])

− |[c(e1), c(e2)]| + 1

= def(C, c|C , v).

Pour illustrer ces nouvelles notions, prenons l’exemple de la figure 2.5.Commençons par expliciter les conventions graphiques. La déficience inté-rieure en un sommet v est représentée par un arc de cercle reliant les deuxarêtes incidentes à v appartenant au même cycle C , tandis que nous repré-sentons la déficience nette d’un sommet en le colorant en gris et en notantla valeur en gras. Nous voyons alors que le triange T , passant par a, b et c,a une déficience intérieure de 3 au sommmet a, alors que la déficience nettede ce même sommet est de 1.

Notation simplifiée

A gauche sur la figure, nous avons mis une coloration explicite. A droite,nous avons mis la notation simplifiée en nous occupant uniquement de ladéficience intérieure de chaque cycle.

Fig. 2.5 – Un exemple de notation simplifiée de la déficience.

Avec ce que nous avons vu à la section 2.1 sur la déficience dans les cycleset à la section 2.2 sur la concaténation de cycles, nous pouvons travailler uni-quement avec cette nouvelle notation. En effet, nous pouvons toujours vérifiersi la notation admet un coloration admissible car cette notation nous donnela déficience intérieure pour chaque sommet de chaque cycle. De plus, nouspouvons construire explicitement une coloration admissible correspondant àcette notation. Pour ceci, nous choisissons un cycle C que nous colorons entenant compte des déficiences intérieures de chaque sommet, nous coloronsensuite ses voisins en tenant compte des couleurs des arêtes de C incidentesau sommet en commun, et ainsi de suite. En faisant cette coloration, il se

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peut que nous trouvions des couleurs négatives. Il suffit alors d’augmenterles couleurs de toutes les arêtes du graphe de la valeur de la couleur négativela plus petite.

2.4 Propriétés de la déficience intérieure

Dans cette section, nous voulons montrer qu’il existe toujours une colora-tion optimale d’un cactus 2-arêtes-connexe dont les sommets sont de degrés6 au maximum, où chacun des cycles le constituant est coloré de manière àavoir une parmi quatre combinaisons de déficience prédéfinie.

Nous introduisons, pour commencer, une nouvelle notation qui nous per-met de voir plus facilement si la combinaison de déficience est admissible.Nous noterons donc la déficience ki avec son coefficient ai de la définition11, mais sans indiquer le chiffre 1. La combinaison de déficience se note donc

a1k1/a2

k2/ · · · /ankn. Par exemple, le triangle T de la figure 2.5 se note (en

commençant en a) +3/−1/−1.Nous avons alors les propriétés suivantes.

Propriété 2. Nous pouvons toujours passer de la combinaison de déficience

1/ · · · /1︸︷︷︸

n fois

/ 0/ · · · /0︸︷︷︸

p fois

à la combinaison de déficience 1/ · · · /1︸︷︷︸

n−2 fois

/ 0/ · · · /0︸︷︷︸

p+2 fois

et in-

versement.

Démonstration. Considérons le cas des cycles pairs, la combinaison

+1/−1/ · · · /+1/−1/+0/−0/ · · · /+0/−0

est admissible. Nous pouvons alors remplacer /+1/−1/ par /+0/−0/ et lacombinaison reste admissible.

Le cas des cycles impairs se traite de la même manière en partant de lacombinaison

+1/−0/−0/+1/−1/ · · · /+1/−1/+0/−0/ · · · /+0/−0.

Les preuves des deux propriétés suivantes sont un peu longues et fasti-dieuses. Nous les avons donc mises en annexe aux pages 45 et 47.

Propriété 3. Pour toute combinaison admissible b = (a1k1/a2

k2/ · · · /ankn),

il existe une autre combinaison admissible b′ = (a′

1k′

1/a′

2k′

2/ · · · /a′

n

k′n) où

k′i = ki − 2qi ≥ 0 pour qi ∈ N.

Cette propriété implique que, dans un cycle, on peut toujours se ramenerà une combinaison b′ d’un des quatre types suivants (à permutation près) :

19

– 1/ · · · /1/ 0/ · · · /0︸︷︷︸

p fois

où p est un nombre pair ;

– 3/1/ · · · /1 pour des cycles impairs ;– 1/ · · · /1 où 0/ · · · /0 pour des cycles pairs.

Nous appellerons ces combinaisons de déficience, des combinaisons de type3-1-0.

Propriété 4. Dans un cactus 2-arêtes-connexe G dont les sommets sont de

degré plus petit ou égal à 6, si nous avons une coloration de départ quelconque,

nous pouvons toujours trouver une coloration équivalente ou meilleure, où

tous les cycles le constituant ont une combinaison de déficience du type 3-1-

0.

Corollaire 1. Dans un cactus 2-arêtes-connexe G dont les sommets sont de

degré plus petit ou égal à 6, il existe toujours un coloration optimale où tous

les cycles le constituant ont une combinaison de déficience du type 3-1-0.

20

Chapitre 3

Coloration optimale

3.1 Graphe souris et graphe nucléaire

Les deux modules illustrés à la figure 3.1 vont avoir des propriétés inté-ressantes dans la suite de ce travail. En effet, ce sont les deux plus petitssous-graphes qui vont amener 1 de déficience nette dont on ne pourra pas sedébarrasser. Pour pouvoir plus facilement s’y référer, nous les avons nommés.Nous parlerons donc de graphe nucléaire pour le module composé d’un tri-angle principal T rattaché en chaque sommet à un unique triangle (à gauchesur la figure), et de graphe souris pour le module composé d’un triangle prin-cipal T rattaché en deux de ses trois sommets à un unique triangle (à droitesur la figure).

Fig. 3.1 – Le graphe nucléaire et le graphe souris.

On montre par énumération des différentes possibilités que le graphe nu-cléaire est 1-déficient. Une première propriété intéressante est que, lorsqu’onrattache le graphe nucléaire à un autre cycle C par un sommet n’appartenantpas à T , un sommet des trois triangles (un graphe souris !) qui ne touchentpas le cycle C est 1-déficient. La figure 3.2 illustre ce fait en rattachant legraphe nucléaire par un sommet n’appartenant pas au triangle T à un som-

21

met d’un cycle C qui a une déficience intérieure de 1. On voit que quelquesoit la coloration optimale choisie, la déficience nette reste de 1 et reste si-tuée sur les sommets du graphe souris. Il n’est pas nécessaire de considérer lecas où le sommet du graphe nucléaire rattaché au cycle C à 3 de déficienceintérieure car cela ne ferait qu’augmenter la déficience nette du graphe. Eneffet, la figure 16 de la page 50 montre que la déficience en ce sommet serasoit plus grande soit équivalente à celle du cas où nous aurions 1 de déficienceintérieure. De plus, cette coloration met 1 de déficience nette sur le sommetde degré 2 appartenant au triangle du graphe nucléaire où il est rattaché.

Fig. 3.2 – La déficience nette est « piégée » dans le graphe souris.

3.2 Cactus 2-arêtes-connexe d-déficient

Propriété 5. Pour tout d ∈ N, il existe un cactus 2-arêtes-connexe d-déficient.

Démonstration. Il suffit d’attacher à un sommet a, d graphes nucléaires. Eneffet, chaque graphe nucléaire apporte 1 de déficience nette. Le cactus ainsiconstruit sera donc d-déficient. La figure 3.3 donne une visualisation de cetteconstruction

Fig. 3.3 – Construction d’un cactus d-déficient.

Une autre construction plus agréable à visualiser mais moins efficace carutilisant plus de sommets est celle illustrée par la figure 3.4. Au lieu de

22

rattacher nos d graphes nucléaires à un sommet comme précédemment, nousles attachons à un cycle C à d sommets si d est pair et à d + 2 sommets si dest impair. A nouveau, chaque graphe nucléaire amène une déficience nettede 1.

Fig. 3.4 – Construction alternative d’un cactus d-déficient.

3.3 Discussion sur la borne

Après avoir vu la construction d’un cactus 2-arêtes-connexe d-déficient etremarqué que ce cactus était composé exclusivement de triangles, nous avonsvoulu vérifier la borne proposée par Sarah Emery à la page 66 de son travail[1]. Sa borne est la suivante : Si G∆ est un cactus 2-arêtes-connexe composéuniquement de triangles, alors

def(G∆) ≤

⌈n′ − 1

10

⌉

où n′ est le nombre de sommets de G∆.Pour notre cactus d-déficient, d grand, chaque graphe nucléaire a 8 som-

mets plus celui auquel tous les graphes sont rattachés. Nous avons doncn′ = 8d + 1. Cela nous donne

⌈n′ − 1

10

⌉

=

⌈8d + 1 − 1

10

⌉

=

⌈8

10d

⌉

< d.

Et donc nous avons trouvé un cactus avec une déficience plus élevée que cetteborne, qui se révèle donc fausse.

23

Essayons d’expliquer les raisons de cette erreur. Pour trouver cette borne,Sarah Emery était partie d’un triangle car c’est le plus petit graphe 1-déficientcomposé uniquement de triangles. Elle avait ensuite remarqué qu’en rajou-tant 1, 2, 3 ou 4 triangles, le graphe résultant restait 1-déficient et qu’il fallaitajouter 5 triangles pour que le graphe devienne 2-déficient. Elle avait ainsibasé son raisonnement sur le fait qu’à chaque fois qu’on ajoute 5 triangles ladéficience du graphe augmente de 1.

Notre construction de la section précédente se basait sur les graphes nu-cléaires. En effet, au lieu de partir d’un triangle, nous partions d’un sommetauquel nous ajoutions d graphes nucléaires. Or, un graphe nucléaire est com-posé de seulement 4 triangles. Nous parvenons donc à augmenter la déficiencede 1 à chaque fois que nous ajoutons 4 triangles et non 5. Pour une mêmedéficience, notre construction utilise moins de triangles et donc moins desommets. La borne qu’elle propose n’est donc pas valable.

24

Chapitre 4

Opérations

Dans ce chapitre, on se restreint aux cactus 2-arêtes-connexes ayant dessommets de degré plus petit ou égal à 6 pour garantir l’existence d’une colo-ration optimale du type 3-1-0. Ceci est probablement valable pour les cactus2-arêtes-connexes en général, mais le montrer aurait nécessité plus de temps.Notre but est de réduire un cactus 2-arêtes-connexe G donné en un cac-tus 2-arêtes-connexe G′ par des opérations qui suppriment des cycles ou dessommets et qui ont une influence connue sur la déficience. En effet, les opéra-tions présentées sont de deux types, soit le graphe G′ obtenu par l’applicationd’une opération de réduction a la même déficience que G, soit nous connais-sons la différence de déficience entre G et G′. Nous donnerons à chaque fois unexemple d’application de l’opération avec une coloration optimale possible.

Avant de présenter ces opérations, nous donnons une propriété qui vanous être utile par la suite

Propriété 6. Considérons une cycle impair C qui a tous ses sommets de

degré plus grand que 2 coloré avec la combinaison de déficience. 3/1/ · · · /1.Lorsque nous enlevons un des cycles auxquels il est rattaché, la combinaison

3/1/ · · · /1 donne une déficience nette plus grande ou égale à la combinaison

1/ · · · /1/0/0.

Démonstration. Soit a le sommet de C où nous enlevons le cycle qui lui estrattaché. Comme nous pouvons permuter la déficience intérieure sur les som-mets de C, nous pouvons supposer que le cycle C a 1 de déficience intérieuresur le sommet a. Soit b le sommet de C où la déficience intérieure est de 3.

Avec la combinaison 3/1/ · · · /1, le sommet a est 1-déficient. Avec la com-binaison 1/ · · · /1/0/0, le sommet a est 0-déficient mais l’autre sommet surlequel cette combinaison implique une déficience intérieure de 0 devient alors1-déficient. Jusqu’ici, les deux combinaisons sont équivalentes. Mais, au som-met b, le cycle C a une déficience intérieure de 1 au lieu de 3. Les tableaux

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des pages 47 et 48 montre que dans ce cas, la déficience nette du sommet estsoit égale soit plus petite.

Fig. 4.1 – Illustration de la propriété 6.

Cette propriété implique que la combinaison 3/1/ · · · /1 peut être utiliséedans une coloration optimale uniquement si le cycle a tous ses sommets dedegré plus grand que 2. En effet, si ce n’est pas le cas, une coloration du type1/ · · · /1/0/ · · · /0 est toujours soit équivalente, soit meilleure. Notons que siun cycle C est rattaché en un sommet a à un autre cycle qui a une déficienceintérieure nulle en a, ce sommet peut être assimiler à un sommet de degré 2dans le cycle C. Nous pouvons alors toujours trouver une coloration optimalequi admet une autre combinaison de déficience que 3/1/ · · · /1.

Une dernière précision avant de passer aux opérations de réduction :Lorsque nous utilisons les termes « ajouter » ou « diminuer » de 2 la dé-ficience dans une cycle, cela veut dire que nous passons d’une coloration avecla combinaison de déficience 1/ · · · /1

︸︷︷︸

n−p fois

/ 0/ · · · /0︸︷︷︸

p fois

à une coloration avec la com-

binaison de déficience 1/ · · · /1︸︷︷︸

n−p−2 fois

/ 0/ · · · /0︸︷︷︸

p+2 fois

et inversement, où p est un nombre

pair et n est le nombre de sommets de cycle.

4.1 Cycles et modules pendants

Dans un premier temps, nous présentons des opérations de réduction quisupprime des cycles ou des modules pendants.

Opération 1

Nous supprimons une paire de cycles pendants impairs rattachés à unmême sommet d’un troisième cycle C.

26

Fig. 4.2 – Un exemple d’application de l’opération 1.

Propriété 7. Le graphe G′ obtenu après l’opération 1 a la même déficience

que le graphe de départ G.

Démonstration. Nous supposons que nous avons une coloration optimalepour la déficience. Notons a le sommet du cycle C où sont rattachés les2 cycles pendants impairs C1 et C2. Chaque cycle pendant impair est 1-déficient. Le théorème 5 nous assure que nous pouvons choisir sur quel som-met mettre la déficience, nous la mettons sur le sommet a. Le cycle C1 et lecycle C2 ont donc tous deux une déficience intérieure de 1 sur le sommet a.Nous sommes donc dans la situation d’une concaténation de deux sommets1-déficients, qui donne une déficience nette nulle. Les deux cycles ne contri-buent donc pas à la déficience nette du graphe G. Nous pouvons donc lesenlever sans changer la déficience.

Nous supposons maintenant que nous avons appliqué l’opération 1 surnotre graphe de départ G. Nous avons donc au maximum un cycle pendantimpair par sommet. L’opération suivante permet de supprimer certains deces cycles pendants impairs restants.

Opération 2

Nous supprimons une paire de cycles pendants impairs qui touchent ununique cycle pair P en deux sommets distincts de degré 4.


que le graphe de départ G

Démonstration. Supposons que nous avons une coloration optimale de notregraphe de départ G et regardons ce qui se passe lorsque nous lui appli-quons l’opération 2. Chaque cycle pendant impair, regardé séparément, est1-déficient. Or, nous avons vu qu’il est toujours possible, dans un cycle pair,

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de rajouter 1 de déficience intérieure sur une quantité paire de sommets(propriété 2 de la page 19). Nous ajoutons donc 1 de déficience intérieure surchaque sommet où est rattaché un cycle pendant impair. Ces sommets sontdonc 0-déficients.

Lorsque nous supprimons deux-à-deux les cycles pendants impairs, nousdiminuons de deux la déficience dans le cycle pair. Ainsi, les sommets oùétaient accrochés les cycles pendants impairs sont 0-déficients.


Opération 3

Nous supprimons une paire de cycles pendants impairs qui touchent ununique cycle impair C en deux sommets distincts de degré 4.

Si C a tous ses sommets de degré plus grand que 2 et si C est de longueurplus grande ou égale à 5 (i.e. plus de 4 arêtes), nous supprimons égalementles sommets de C auxquels ils étaient attachés.




28

Démonstration. Supposons que nous avons une coloration optimale de notregraphe de départ G. Nous savons que nous pouvons mettre 1 de déficience in-térieure sur les sommets du cycle C où sont rattachés les deux cycles pendantsimpairs que nous voulons enlever. Chacun de ces cycles amenant également 1de déficience intérieure sur le sommet de C où ils sont rattachés, ces sommetssont 0-déficients car la concaténation de deux sommets 1-déficients donne unsommet 0-déficient. Nous pouvons donc les enlever et enlever la déficienceintérieure de 1 due au cycle C, ce qui est toujours possible (voir propriété 2de la page 19). Les deux sommets sont donc comme avant 0-déficients.

Nous supprimons ces deux sommets dans le cas où C a tous ses sommetsde degré plus grand que 2 pour éviter de passer de la situation où nous avonsun cycle touché en tous ses sommets à celle où il ne l’est plus, auquel cas ladéficience peut se comporter différemment. Pour finir, il nous faut un cyclede longueur plus grande ou égale à 5 pour que, lorsque nous supprimons lessommets, le cycle reste un cycle.

Opération 4

Nous supprimons un cycle pendant pair, sauf s’il touche au moins deuxcycles distincts dont un est un cycle impair qui a tous ces sommets de degréplus grand que 2.




Démonstration. Supposons que nous avons une coloration optimale de notregraphe de départ G. Dans la situation d’un cycle pendant pair, deux caspeuvent se produire. Considérons pour commencer le cas où le cycle pairP est rattaché à un sommet a où ne se rattache aucun cycle impair ayant

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tous ces sommets de degré plus grand que 2. Le cycle pair P a une déficienceintérieure nulle au sommet a. Or, la figure 16 de la page 50 nous montre qu’unsommet avec déficience intérieure nulle ne peut faire baisser la déficience netteque s’il est rattaché à deux cycles dont un au moins est rattaché en un sommetavec déficience intérieure de 3. Mais ce cas est exclu par l’hypothèse. Nouspouvons donc enlever le cycle pair P sans changer la déficience nette.

Le deuxième cas est celui où le cycle P est rattaché, en un sommet a, àun unique cycle impair ayant tous ses sommets de degré plus grand que 2. Lecycle P amenant 0 de déficience intérieure au sommet a, ce dernier peut-êtreidentifié à un sommet de degré 2 pour le cycle impair. La propriété 6 nousassure qu’il existe une coloration optimale où le cycle impair a également 0de déficience intérieure au sommet a, qui est donc 0-déficient. Nous pouvonsainsi enlever le cycle P sans changer la déficience nette du graphe.

Nous considérons maintenant les noeuds papillons. Un noeud papillon estun graphe composé de deux cycles impairs relié par le sommet a. C’est ungraphe 0-déficient comme nous pouvons le voir sur la figure 4.6.

Fig. 4.6 – Un noeud papillon.

Nous avons alors l’opération de réduction suivante.

Opération 5

Nous supprimons un noeud papillon s’il n’est pas rattaché, en un sommetdifférent de a, à au moins deux cycles distincts dont un est un cycle impairqui a tous ces sommets de degré plus grand que 2.



Démonstration. Le noeud papillon étant un graphe 0-déficient, il sera rat-taché au reste du graphe G par un sommet de déficience intérieure nulle. Ilse comporte donc comme un cycle pair. Ce qui implique que la preuve estanalogue à la preuve de la première partie de l’opération 1.

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4.2 Suppression de sommets

Regardons maintenant comment il est possible de supprimer des sommetsde notre cactus 2-arêtes-connexe.

Opération 6

Nous supprimons une paire de sommets de degrés 2 dans un cycle C delongueur plus grande ou égale à 5, avec la restriction que si C est impair, ildoit avoir au moins trois sommets de degré 2.

Remarquons qu’il n’est pas nécessaire que les sommets soient consécutifs.En effet, nous enlevons les deux sommets de degré 2 et les arêtes qui ysont adjacentes. Ensuite, nous relions les sommets restants afin de former unnouveau cycle.




Démonstration. Supposons que nous avons une coloration optimale de notregraphe de départ G. La propriété 2 de la page 19 nous assure que nouspouvons toujours trouver une coloration optimale qui met 0 de déficience surles deux sommets que nous voulons enlever. Nous pouvons donc les supprimersans changer la déficience nette du graphe.

Dans les cycles impairs, il faut un troisième sommet de degré deux pouréviter que nous passions à la situation où tous les sommets du cycle sont dedegré plus grand que 2. Auquel cas la déficience peut être différente car onaura peut-être besoin de la combinaison 3/1/ · · · /1.

31

4.3 Concentration de cycles ou de modules

Les opérations suivantes permettent de concentrer en un sommet descycles et des modules.

Opération 7

Nous concentrons en un sommet un cycle pair, sauf s’il touche au moinsdeux cycles distincts dont un est un cycle impair qui a tous ces sommets dedegré plus grand que 2.




Démonstration. Supposons que nous avons une coloration optimale de notregraphe de départ G. Le cycle P ne touchant pas de cycle impair ayant tousces sommets de degré plus grand que 2, les cycles rattachés à P amènentun déficience intérieure de 1 ou de 0. En chaque sommet, deux cas peuventse produire. Soit il y a un nombre pair de cycles amenant une déficienceintérieure de 1, auquel cas cette déficience s’annule deux-à-deux et le sommetest 0-déficient (en effet, rappelons que la concaténation de deux sommets 1-déficients donne une déficience nette nulle). Soit il y en a un nombre impair,auquel cas un sommet de déficience intérieure 1 contribue à la déficience netteet le sommet est 1-déficient.

Si nous avons un nombre pair de sommets avec 1 de déficience intérieureà compenser, nous ajoutons 1 de déficience sur ces sommets dans le cyclepair ce qui est toujours possible par la propriété 2 de la page 19. les sommetsseront donc tous 0-déficients. Lorsque nous concentrons le cycle pair P en unsommet, les cycles amenant une déficience intérieure de 1 étant en nombrepair, cette déficience va s’annuler deux-à-deux et le sommet sera 0-déficient.

32

Si nous avons un nombre impair de sommets avec 1 de déficience intérieureà compenser, nous ajoutons 1 de déficience sur tous ces sommets sauf 1 quiapportera donc 1 de déficience nette. Lorsque nous concentrons le cycle pairP en un sommet, les cycles amenant une déficience intérieure de 1 étant ennombre impair, la déficience intérieure va à nouveau être annulée

Nous nous intéressons maintenant aux cycles pairs que nous n’avons paspu concentrer en un point par l’opération précédente. Dans le cas particuliersuivant, nous pouvons encore concentrer en un point des cycles pairs.

Opération 8

Soit un cycle pair P avec les propriétés suivantes :– Un sommet a touche un unique cycle ;– Un sommet b, avec b 6= a touche un unique cycle impair qui a tous ces

sommets de degré plus grand que 2 ;– Ses autres sommets sont de degré 2.

Dans cette situation, nous concentrons le cycle P en un point.




Démonstration. Supposons que nous avons une coloration optimale de notregraphe de départ G et regardons ce qui se passe lorsque nous lui appliquonsl’opération 8. Regardons l’état de la déficience dans les deux cycles C1 etC2 rattachés à P . Que ce soit pour celui dont on ne connaît pas les spé-cificités ou pour celui qui a tous ses sommets de degré plus grand que 2.Ils apportent chacun aux sommets où ils sont rattachés respectivement unedéficience intérieure de 0, de 1 ou de 3. Nous distinguons alors 5 cas :

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1. Si un des deux cycles C1 et C2 apporte une déficience intérieure de 0 etl’autre de 1 ou 3, nous n’ajoutons pas de déficience dans le cycle pair.Cette situation apporte donc une déficience nette de 1 au graphe G.Lorsque nous concentrons le cycle pair en 1 sommet, les deux cycles C1

et C2 apportent respectivement une déficience intérieure de 0 et de 1ou 3 au sommet qui sera donc 1-déficient.

2. Si un des deux cycles C1 et C2 apporte une déficience intérieure de 1et l’autre de 3, nous ajoutons une déficience de 1 dans le cycle pairaux deux sommets auxquels sont rattachés les deux cycles, ce qui esttoujours possible (propriété 2 de la page 19). Cette situation apporteune déficience nette de 1 au graphe G. Lorsque nous concentrons le cyclepair en un sommet, les deux cycles C1 et C2 apportent respectivementune déficience de 1 et de 3 au sommet qui sera donc 1-déficient.

3. Si les deux cycles C1 et C2 apportent une déficience intérieure de 3,nous n’ajoutons pas de déficience dans le cycle pair. Les deux sommetsdu cycle pair auxquels sont rattachés les deux cycles C1 et C2 serontalors 1-déficients. Cette situation apporte donc une déficience de 2 augraphe G. Lorsque nous concentrons le cycle pair en un sommet, lesdeux cycles C1 et C2 apportent une déficience de 3 au sommet qui seradonc 2-déficient.

4. Si les deux cycles C1 et C2 n’apportent pas de déficience aux som-mets auxquels ils sont attachés, nous n’ajoutons pas de déficience dansle cycle pair. Ces deux sommets sont donc 0-déficients. Lorsque nousconcentrons le cycle pair en un sommet, ce sommet sera 0-déficient.

5. Si les deux cycles C1 et C2 apportent une déficience intérieure de 1, nousajoutons une déficience de 1 dans le cycle pair aux deux sommets aux-quels ils sont rattachés afin de rendre ces sommets 0-déficients. Lorsquenous concentrons le cycle pair en un sommet, les deux cycles C1 et C2

apportent une déficience intérieure de 1. Le sommet est donc 0-déficient.

Ainsi le graphe G′ obtenu après l’opération 8 a la même déficience que legraphe de départ G.

4.4 Chaînes de triangles

Nous supposons que nous avons appliqué les opération 3 et 5 autant defois que possible à notre graphe G. Ainsi les cycles impairs ayant exactementdeux sommets de degré 4 ont été réduits jusqu’à devenir des triangles.

Nous définissons les chaînes de triangles comme étant une suite de tri-angles avec exactement deux sommets de degré 4.

34

Opération 9

Soit alors une chaîne de n triangles T1, · · · , Tn.– Si n est pair, nous supprimons les n triangles.– Si n est impair, nous en supprimons n − 1.



que le graphe de départ G

Démonstration. Supposons que nous avons une coloration optimale de notregraphe de départ G et regardons ce qui se passe lorsqu’on lui applique l’opé-ration 8. Sans perte de généralité, nous pouvons supposer que le nombrede triangles n est un nombre pair (si n est impair, il suffit de considéreruniquement les triangles T1, · · · , Tn−1). La chaîne de triangles regardée sé-parément du reste du graphe est 0-déficiente. En effet, les triangles étant ennombre pair, la déficience de T2i−1 va s’annuler avec la déficience de T2i aveci = 1, · · · , n/2 car nous serons dans la situation de la concaténation de deuxsommets 1-déficients.

Regardons ce qui se passe aux extrémités T1 et Tn de notre chaîne detriangles. Soit a le sommet où est rattaché le triangle T1 et b celui où estrattaché le triangle Tn. Notons C1 la cycle rattaché au triangle T1 par lesommet a et C2 le cycle rattaché au triangle Tn par le sommet b. Plusieurscas se présentent :

1. Si C1 et C2 ont une déficience intérieure nulle en a et b, la chaînede triangles ne contribue pas à la déficience nette du graphe. Lorsquenous l’enlevons, nous regroupons les sommets a et b qui sont les deux0-déficients. La déficience nette sera donc nulle.

35

2. Si C1 et C2 ont 1 de déficience intérieure en a et b, il nous faut mettrela déficience de T1 et Tn sur les sommets a et b respectivement pourrendre ces sommets 0-déficients. Le reste de la chaîne reste malgré tout0-déficiente car elle est composée d’un nombre pair de triangles. Ainsielle ne contribue pas à la déficience nette du graphe. Lorsque nousenlevons la chaîne de triangles, nous regroupons les sommets a et b quine contribueront pas à la déficience nette car deux sommets avec 1 dedéficience intérieure donnent un sommet 0-déficient.

3. Si C1 et C2 ont 3 de déficience intérieure en a et b, les sommets aet b auront 1 de déficience nette car la concaténation d’un sommet 3-déficient et d’un sommet 0-déficient donne un sommet 1-déficient. Nousaurons donc une contribution de 2 à la déficience nette. Lorsque nousenlevons la chaîne, nous avons une concaténation de deux cycles avecdéficience intérieure de 3, ce qui donne un sommet 2-déficient.

4. Si C1 a une déficience intérieure de 3 en a et C2 a une déficience inté-rieure de 0 ou 1 en b (et inversement), et si C1 a une déficience intérieurede 1 en a et C2 a une déficience intérieure de 0 en b (et inversement),un raisonnement analogue nous permet de voir que la contribution à ladéficience nette de G sera de 1 avant et après l’application de l’opéra-tion.

Ainsi le graphe G′ obtenu après l’operation 9 à la même déficience que legraphe de départ G.

Nous considérons maintenant le graphe illustré par la figure 4.11, qui estcomposé d’une chaîne de triangles T1, · · · , Tn touché en un sommet libre deT1 par un triangle et en un sommet libre de Tn par un graphe souris.

Fig. 4.11 – Illustration du graphe qui nous intéresse pour l’opération 10.

Remarquons que ce graphe est 1-déficient. Nous voulons en particulierétudier le comportement de la déficience pour ce graphe lorsqu’il est rattachéà un cycle C du graphe de départ G par le sommet a de T1, en supposantque le sommet a est de degré 4.

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En appliquant l’opération 9 à notre graphe, il peut nous rester les deuxgraphes illustrés par la figure 4.12. En effet, une fois T1 rattaché au reste dugraphe, il aura plus de deux sommets de degré 4, on ne peut donc pas lesupprimer par l’opération 8. Par contre nous pouvons supprimer la chaîneT2, · · · , Tn. Il nous restera alors un triangle de la chaîne si n est impair et 0si n est pair.

Opération 10

L’opération 10 consiste à supprimer directement ces graphes et à sous-traire un à la déficience du graphe G.

Fig. 4.12 – Les deux graphes possibles après application de l’opération 9.

Propriété 16. Le graphe G′ obtenu après l’opération 10 a 1 de déficience

nette en moins que le graphe G, i.e.

def(G) = def G′ + 1.

Démonstration. Supposons que nous avons une coloration optimale de notregraphe G et regardons ce qui se passe au niveau de la déficience lorsque nouslui appliquons l’opération 10. Trois cas peuvent se produire.

1. Si le cycle C a une déficience intérieure nulle au sommet a, nous devonsavoir une déficience intérieure nulle dans notre triangle T1 pour que lesommet a soit 0-déficient et qu’ainsi, notre coloration soit optimale. lesous-graphe de la figure 4.12 amène 1 de déficience nette au graphe dedépart G. Lorsque nous l’enlevons, nous enlevons donc 1 de déficiencenette.

2. Si le cycle C a une déficience intérieure de 1 au sommet a, nous avonsle choix entre utiliser la coloration de la figure 4.12 ou mettre 1 dedéficience intérieure au sommet a dans le triangle T1 pour que le sommeta soit 0-déficient. Nous nous retrouvons alors dans la situation illustréepar la figure 4.13.

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Fig. 4.13 – Les deux graphes rattachés à un sommet 1-déficient.

Dans les 2 cas, ces graphes amènent 2 de déficience nette au graphe.Lorsque nous supprimons un de ces sous-graphes, nous enlevons 1 dedéficience nette. En effet, nous enlevons 2 de déficience nette, mais lesommet a, qui a 1 de déficience intérieure due au cycle C, amène unecontribution de 1 à la déficience nette.

3. Si le cycle C a une déficience intérieure de 3 au sommet a, cela impliqueque le cycle C a tous ses sommets de degré plus grand que 2. En utilisantla coloration de la figure 4.12, le graphe à enlever a une déficienceintérieure nulle au sommet a qui est donc assimiler dans le cycle C àun sommet de degré 2. La propriété 6 nous assure alors qu’il existe unecoloration du cycle C avec combinaison de déficience 1/ · · · /1/0/0 quiest équivalente ou meilleure que la combinaison 3/1/ · · · /1. Nous nousretrouvons donc dans un des deux premiers cas.

4.5 Recoloration de G à partir de G′

Après avoir trouvé la coloration optimale du graphe réduit, nous voulonsfaire les opérations inverses afin de retrouver le graphe de départ ainsi qu’unecoloration associée qui donne la bonne déficience. Lorsque nous remettonsdans le graphe un cycle ou un sous-graphe que nous avions enlevé, on lecolore de la façon qui nous convient, c’est-à-dire qu’on trouve une colorationavec la combinaison de déficience permettant de ne pas changer la déficiencenette du graphe ou de l’augmenter d’une certaine valeur connue dans le cas ounous avions diminué la déficience. Enuite, par des mouvements de constantessur les couleurs des arêtes des différentes parties de notre graphe adjacentesau cycle ou sous-graphe rajouté, nous obtenons la coloration voulue.

38

4.6 Comparaison avec les opérations de Sarah

Emery

Certaines des opérations précédentes avaient déjà été remarquées par Sa-rah Emery. En effet, l’opération 1 correspond à son opération 2, les opérations4 et 7 correspondent à son opération 1, l’opération 5 correspond à son opé-ration 4 et l’opération 6 est une légère généralisation de son opération 5. Ence qui concerne l’opération 3, elle correspond à son opération 3 mais est unpeu plus générale et évite les redondances avec l’opération 6. En effet, notreopération 3 supprime les sommets uniquement dans un cas bien particulieret laisse le soin à l’opération 6 de les supprimer dans les autres cas, tandisque l’opération 3 de Sarah Emery supprime directement les sommets.

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Conclusion

Durant ces quelques mois de réflexions et de recherches, nous avons pumontrer explicitement quelques propriétés utilisées par Sarah Emery dansson travail [1] et qu’elle avait justifié plus intuitivement. En particulier, nousavons pu montrer que dans le cas des cactus 2-arêtes-connexes avec sommetsde degré plus petit ou égal à 6, il existe toujours une coloration optimale quiutilise dans chaque cycle uniquement des colorations avec des sommets dedéficience intérieure 0, 1 ou 3. Ceci nous a permis de simplifier les preuvesdes opérations de réductions. Par la suite, nous avons pu trouver d’autresopérations de réductions permettant d’obtenir un graphe encore plus petit.En particulier, nous avons vu une opération permettant de réduire d’autrescycles pairs que ceux enlevés par les opérations mises en évidence par SarahEmery et ainsi de nous approcher encore un peu plus d’un graphe com-posé uniquement de triangles. Nous avons également mis en évidence uneconstruction d’un cactus 2-arêtes-connexe d-déficient composé uniquementde triangles qui nous a permis de remarquer l’invalidité de la borne mise enévidence par Sarah Emery.

Comme extensions possibles de ce travail, nous pourrions chercher encored’autres opérations, soit pour arriver à un graphe composé uniquement detriangles, si cela est possible, soit pour obtenir un graphe extrêmement réduitdans lequel il serait possible de calculer la déficience exacte. Par exemple, onpourrait essayer d’identifier des modules 0-déficients que nous pourrions alorsremplacer par des cycles pairs (comme les noeuds papillon par exemple). Uneautre extension possible serait de généraliser la propriété affirmant qu’on peuttrouver une coloration optimale qui utilise dans chaque cycle uniquement descolorations avec des sommets de déficience intérieure 0, 1 ou 3 aux cactus2-arêtes-connexes sans restriction sur le degré des sommets. Nous avons l’in-tuition que ça fonctionne, mais le démontrer aurait nécessité plus de temps.Pour ceci, il faudrait peut-être voir à partir de quel degré, un sommet peutêtre considéré comme une réunion de plusieurs sommets de degré plus petit.Par exemple, si nous pouvons considérer les sommets de degré 10 comme uneréunion de sommets degré 2, 4, 6, et 8, il suffirait de montrer la propriété

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pour ces 4 valeurs pour avoir la preuve générale. Pour terminer, ne perdonspas de vue que nous souhaitons étudier la déficience dans les cactus en gé-néral, nous pourrions donc généraliser les résultats obtenus sur les cactus2-arêtes-connexes aux cactus.

En résumé, ce travail a permis d’avancer dans l’étude de la déficience dansles cactus en consolidant des bases et des intuitions, mais il reste encore denombreuses pistes à explorer.

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Bibliographie

[1] S. Emery. Classes de graphes avec déficience reconnaissable en temps

polynomial. EPFL, projet de master, hiver 2006-2007.

[2] A.S. Asratian, T.M.J. Denley, and R. Häggkvist. Bipartite graphs and

their applications. Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

[3] K. Giaro, M. Kubale, and M. Malafiejski. Consecutive colorings of the

edges of general graphs. Discrete Mathematics 236, pg 131-143, 2001.

[4] K. Giaro, M. Kubale, and M. Malafiejski. On the deficiency of bipartite

graphs. Discrete Applied Mathematics 94, pg 193-203, 2001.

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Annexes

Preuve de la propriété 3 de la page 19

Rappel (Propriété 3). Pour toute combinaison b = (a1k1/a2

k2/ · · · /ankn) ad-

missible, il existe une autre combinaison admissible b′ = (a′

1k′

1/a′

2k′

2/ · · · /a′

n

k′n)

où k′i = ki − 2qi ≥ 0 pour qi ∈ N.

Démonstration. Considérons la combinaison de déficience admissible suivante :

+k1/∗/ · · · /∗, où les étoiles représentent les déficiences sur les autres sommetsdu cycle. Supposons k1 ≥ 4. Comme la combinaison de déficience reste ad-missible par permutation des sommets, nous n’avons pas besoin de regarderquel sommet a quelle déficience. Deux cas peuvent alors se produire.

1. Il existe −k2 ≥ 2, alors

+k1/−k2/ ∗ / · · · /∗ ⇒ +(k1 − 2)/−(k2 − 2)/ ∗ / · · · / ∗ .

2. Il n’existe pas −k2 ≥ 2, on a les deux possibilités suivantes.

(a) Il existe −0, alors

+k1/−0/ ∗ / · · · /∗ ⇒ +(k1 − 2)/+0/ ∗ / · · · / ∗ .

(b) Il n’existe pas −0. Ce qui implique qu’il existe −1, alors

+k1/−1/ ∗ / · · · /∗ ⇒ +(k1 − 4)/+1/ ∗ / · · · / ∗ .

Ainsi, nous obtenons que ki ∈ {0, 1, 2, 3}. Il reste à voir ce qui se passe pourk1 = 2 et k1 = 3. Supposons donc maintenant que k1 = 2. Nous avons ànouveau deux cas à considérer.

1. Il existe −2, alors

+2/−2/ ∗ / · · · /∗ ⇒ +0/−0/ ∗ / · · · / ∗ .

2. Il n’existe pas −2, on a les deux possibilités suivantes.

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+2/−0/ ∗ / · · · /∗ ⇒ +0/+0/ ∗ / · · · / ∗ .

(b) Il n’existe pas −0. On a alors encore deux cas à considérer.

i. Il existe +0, alors

+2/−1/−1/+0/ ∗ / · · · /∗ ⇒ +0/+1/−1/−0/ ∗ / · · · / ∗ .

ii. Il n’existe pas +0, alors

+2/+2/−1/−1/−1/ ∗ / · · · /∗ ⇒ +0/+0/+1/−1/−1/ ∗ / · · · / ∗ .

Ainsi, nous avons que ki ∈ {0, 1, 3}. Supposons k1 = 3. Nous avons à nouveaudeux cas à considérer.

1. Il existe −3, alors

+3/−3/ ∗ / · · · /∗ ⇒ +1/−1/ ∗ / · · · / ∗ .

2. Il n’existe pas −3, on a les deux possibilités suivantes.


+3/−0/ ∗ / · · · /∗ ⇒ +1/+0/ ∗ / · · · / ∗ .

(b) Il n’existe pas −0. Ce qui implique qu’il existe −1, alors

+3/−1/ ∗ / · · · /∗ ⇒ +3/−1/ ∗ / · · · / ∗ .

Preuve de la propriété 4 de la page 20

Rappel (Propriété 4). Dans un cactus 2-arêtes-connexe G dont les sommets

sont de degré plus petit ou égal à 6, si nous avons une coloration de dé-

part quelconque, nous pouvons toujours trouver une coloration équivalente ou

meilleure, où tous les cycles le constituant ont une combinaison de déficience

du type 3-1-0.

Avant de faire la preuve de cette propriété, nous introduisons les nota-tions que nous allons utiliser. Si nous avons plusieurs cycles rattachés à unmême sommet, nous notons par une sorte de broche les deux arêtes d’uncycle. Cette broche est plus ou moins écartée selon la déficience intérieuredu cycle considéré. Nous la plaçons ensuite sur une échelle représentant descouleurs que peuvent prendre les arêtes. La déficience nette du sommet estalors donnée par le nombre d’échelons vides entre l’arête qui a la couleur mi-nimale et celle qui a la couleur maximale. Nous notons k1k2 · · · kn un sommetoù sont rattachés n cycles avec respectivement une déficience intérieure dek1, k2, · · · , kn en ce sommet.

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Fig. 14 – Un exemple de la notation utilisée.

Démonstration. Nous distinguons deux cas, celui des sommets de degré 4 etcelui des sommets de degré 6.

Sommets de degré 4 Supposons que nous ayons une coloration du grapheavec un sommet v adjacent à deux cycles C1 et C2 qui ont respec-tivement k et j de déficience intérieure au sommet v. Sans perte degénéralité, nous supposons k ≥ j. Nous remarquons alors que la défi-cience nette du sommet vaut au mieux k − 2. En effet nous avons dansle meilleur des cas,

{d = k − 2 si j ≤ k − 2d = k − 1 si k − 2 < j ≤ k.

La propriété 3 nous dit que nous pouvons toujours trouver une colo-ration qui n’utilise que des combinaisons du type 3-1-0. Nous voulonsvoir si cette coloration est toujours soit équivalente, soit meilleure, quela coloration de départ. Deux cas peuvent se produire.

1. Si k ≥ 4, alors nous aurons pour le déficience nette du sommet :d ≥ k − 2 ≥ 2. Or avec k′ ≤ 3, nous avons toujours d′ ≤ 2. Doncd′ ≤ d.

2. Si k ≤ 3, le tableau suivant montre, en énumérant les cas, que lacoloration utilisant des combinaisons du type 3-1-0 est équivalenteou meilleure que la coloration de départ.

Déficience du sommet 2 1 0

Sommets 2-déficients 33 31 1132 30 ou 10

Sommets 1-déficients 31 1130 1022 0021 10

Sommets 0-déficients 20 00

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Sommets de degré 6 Supposons que nous ayons une coloration du grapheavec un sommet v adjacent à trois cycles C1, C2 et C3 qui ont respec-tivement k, j et l de déficience intérieure au sommet v. Sans perte degénéralité, nous supposons k ≥ j ≥ l. Nous remarquons alors que ladéficience nette du sommet vaut k − 4. En effet nous avons

d = k − 4 si (l ≤ j < k − 2)ou (l ≤ k − 4 et j = k − 2)

d = k − 3 si (k − 3 ≤ l < k − 2 et j = k − 2)ou (l ≤ k − 2 et k − 2 < j ≤ k)

d = k − 2 si (k − 2 < l ≤ j ≤ k)

.

La figure 15 permet de visualiser ces conditions.

Fig. 15 – Notation et explication des conditions.

La propriété 3 nous dit un fois encore que nous pouvons toujours trou-ver une coloration qui n’utilise que des combinaisons du type 3-1-0.Nous voulons voir si cette coloration est toujours soit équivalente, soitmeilleure, que la coloration de départ. Deux cas peuvent se produire.

1. Si k ≥ 5, alors nous aurons pour le déficience nette du sommet :d ≥ k − 4 ≥ 1. Or avec k′ ≤ 3, nous avons toujours d′ ≤ 1. Doncd′ ≤ d.

2. Si k ≤ 4, le tableau suivant montre, en énumérant les cas, quela coloration utilisant des combinaisons du type 3-1-0 est équiva-lente ou meilleure que la coloration de départ. Pour les colorationsexplicites associées, se référer à la figure 16 de la page 50.

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Déficience du sommet 2 1 0

Sommets 2-déficients 444 000443 300 000442 000433 330, 310, 110432 300, 100333 331, 311, 111

Sommets 1-déficients 441 100440 000431 310, 110430 300, 100422 000421 100420 000410 100332 310, 110331 311, 111322 300, 100320 300, 100311 111300 100221 100220 000210 100

Sommets 0-déficients 411 110400 000330 310, 110321 310, 110310 110222 000211 110200 000

Ainsi, nous avons pu démontrer que la coloration utilisant que des com-binaisons de type 3-1-0 est équivalente ou meilleure que la coloration dedépart.

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Fig. 16 – Coloration relative optimale des sommets de degré 6.

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