ANTECEDENTES HISTRICOS

DEFINICIN DE LAS CNICASSECCIONES CNICAS:(cono de revolucin circular recto y un plano de corte)curva cnica que se obtiene dependiendo de la relacin entre el ngulo de conicidad y la inclinacin del plano respecto del eje del cono

LUGAR GEOMTRICO: (propiedad aditiva)(suma de distancias, propiedades geomtricas, propiedades analticas)subconjunto de puntos que cumplen ciertas propiedades que se expresan en trminos de distancia:lugar geomtrico de puntos en R cuyas coordenadas satisfacen cierta ecuacin

LUGAR GEOMTRICO: (propiedad multiplicativas) (multiplicacin de distancias, propiedades geomtricas, excentricidad)lugar geomtrico de los puntos p del plano cuya razn de sus distancias a un foco, f, y a una recta D, llamada Directriz, es una constante fijaANTECEDENTES HISTRICOSDuplicacin del cubo(construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo)

Triseccin de un ngulo(dividir un ngulo dado en tres partes iguales)

Cuadratura del crculo(construir un cuadrado con rea igual a un crculo determinado)TRES PROBLEMAS GEOMTRICOS FUNDAMENTALES:Evariste Galois; 1830Ferdinand Lindemann; 1882CONO CIRCULAR

Base circularEje de simetraDirectriz Generatriz Vrtice Cono Circular OblicuoCono Circular RectoCONO CIRCULAR RECTOPOR REVOLUCIN

e : eje

g : generatriz

v : vrtice

: ngulo de inclinacin

s : superficie cnicavgesCONO CIRCULAR RECTO POR REVOLUCIN

egvr : tringulo rectngulo

e : eje

g : generatriz

v : vrtice

b : base

s : superficie cnicasbMENECMO(Proconeso, c. 375 c. 325 a.c.)Solucin parcial al problema Duplicacin del cubo: Triada de Menecmo : secciones cnicasCono circular recto

Varia el ngulo en el vrtice

El plano de corte siempre es perpendicular a la generatrizcono acutngulo, rectngulo y obtusngulo para la elipse, parbola e hiprbola, respectivamente.SECCIN CNICA DE MENECMO

Cono circular agudo o acutngulo (oxitoma)Plano de corteELIPSESECCIN CNICA DE MENECMO

Plano de corteCono circular recto o rectngulo (ortotoma)PARBOLASECCIN CNICA DE MENECMO

Plano de corteCono circular obtuso o obtusngulo (amblitoma)HIPRBOLAAPOLONIO DE PERGA (c. 262 190 a. c.)Las nombro CNICAS, estudio sus propiedades y le dio nombre a cada una.Ellipsis (deficiencia), Hyperbola (avanzar ms all) y Parbola (colocar al lado o comparar)

ELIPSEPARBOLAHIPRBOLASECCIONES CNICASDE APOLONIO

ELIPSECIRCUNFERENCIAPARBOLAHIPRBOLAHIPRBOLANGULO DE CONICIDADY PLANO DE CORTEEltipodecurvaquese obtiene depende de la relacin entre el ngulo de conicidad a (de la superficie cnica) y la inclinacin del plano respecto del eje del cono (ngulo , que forma el plano P con el eje e).

Si>aentonceselplano corta a todas las generatrices de la superficie cnica y, por tanto, se obtiene una curva cerrada. Si a se obtiene una curva abierta. ELIPSESi >a y 0 gnero elipse3 ) A C < 0 gnero hiprbolaSIN COEFICIENTE B (incompleta o rotada)A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0 ( A 0 A 2 + C 2 > 0 )EXCENTRICIDAD DE LAS CNICASDISCUSION gnero parbola

gnero elipse

Circunferencia

gnero hiprbolae = 1

e < 1

e = 0

e > 1e = c ae : excentricidadc : semi- parametroa : semi- parametroCNICAS DEGENERADAScnicas degeneradas e incluso cnicas imaginariasBxy = 0B 0

Ax + Dx + F = 0A 0

Cy + Ey + F = 0 C 0

a (x h) + b (y k) = 0

Siendo a, b, h,k constantes y cuando menos uno de los primeros diferentes a ceroAx + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0Wikipedia secciones conicas

27CNICAS DEGENERADAS

cnicas degeneradas e incluso cnicas imaginariasX + Y = -1 X + Y = 0 X - Y = 0 X = -1X = 1X = 0Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0Wikipedia secciones conicas

28PARBOLA1 ) C D 0 parbola con eje de simetra paralelo al eje X

2 ) A E 0 parbola con eje de simetra paralelo al eje Y

CASOS PARTICULARES

3 ) A = D = 0a ) E 2 4 C F > 0 2 rectas paralelas al eje Xb ) E 2 4 C F = 0 1 recta paralela al eje Xc ) E 2 4 C F < 0 ningn lugar geomtrico

4 ) C = E = 0a ) D 2 4 A F > 0 2 rectas paralelas al eje Yb ) D 2 4 A F = 0 1 recta paralela al eje Yc ) D 2 4 A F < 0 ningn lugar geomtricoX - Y = 0parbola unitariaCIRCUNFERENCIAX + Y = 1circunferencia unitaria(x h) + (y k) = rcircunferencia centro: c (h, k)radio: r > 0Toda circunferencia en R es una ecuacin cuadrtica con dos variables X y YELIPSE1 ) CD 2 + AE 2 4 ACF > 0 a ) A = C circunferenciab ) A < C elipse con eje focal paralelo al eje Xc ) A > C elipse con eje focal paralelo al eje YCASOS PARTICULARES

2 ) CD 2 + AE 2 4 ACF = 0 un punto

3 ) CD 2 + AE 2 4 ACF < 0 ningn lugar geomtrico

Si f1 = f2, se obtiene una circunferencia de r = a, y c = f1

HIPRBOLACD 2 + AE 2 4 ACF < 0 hiprbola con eje focal paralelo al eje X

2) CD 2 + AE 2 4 ACF > 0 hiprbola con eje focal paralelo al eje YCASO PARTICULAR

3 ) CD 2 + AE 2 4 ACF = 0 2 rectas secantes X - Y = 1hiprbolaEJERCICIOSEJEMPLO DEL USO DE CADA CURVA, O SUPERFICIE DE REVOLUCION, EN LA VIDA DIARIA. EXPLICANDO SUS EL APROVECHAMIENTO DE SUS PORPIEDADES FOCALES Y/O GEOMETRICASEXPRESIN ANALITICA

Qu nombre recibe el rea que se obtiene del corte anterior?Qu nombre recibe el permetro del rea? Cmo se les llama al conjunto de curvas que acabas identificar al hacerle diversos cortes al cono?Por qu se les llama as?Qu caractersticas tiene cada una de las curvas que encontraste en sta actividad?Identifica algunas curvas de las aqu encontradas, en la arquitectura de Campeche Colonial.Qu curvas de las aqu encontradas observas en los juegos mecnicos de la feria?Qu curvas de las aqu encontradas observas en los cortes que realizas al partir alguna fruta? Especifica. en la que, en funcin de los valores de los parmetros, se tendr:D > ab: hiprbola. D = ab: parbola. D < ab: elipse. a = b y h = 0: circunferencia (considerada un caso particular de elipse). Wikipedia secciones conicas

34ECUACIN GENERAL DE SEGUNDO GRADOECUACIN REDUCIDARotacin y traslacin de ejesEl centro (si lo tiene) de la cnica con el origen de las coordenadasLos ejes presentan relacin con los ejes coordenados.

DISCUSION gnero parbola

gnero elipse

gnero hiprbola

y = 2px x = 2pyCNICAS DEGENERADAS

cnicas degeneradas e incluso cnicas imaginariasX + Y = -1 circunferencia imaginariaX + Y = 0 circunferencia de radio cero o puntoX - Y = 0 par de rectasX = -1 rectas paralelasX = 1 rectas paralelas imaginariasX = 0 rectas doblesAx + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0Wikipedia secciones conicas

36