c:/documents and settings/ale/my documents/books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 &...

88

Upload: others

Post on 30-Apr-2021

7 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

������ �����

� ���� ���� ������ �� �������� � ������

�� ����� ���

Page 2: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��

Page 3: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

������

�� �� �������� ��� ���� ����� ��������� � � ��������� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� �� ����������� � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������ ������������ ���� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� ����������� ���� ����������� � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������ ��� ������ ���� ���� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� !��� ������ �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� "#� � !����� ��� ���� ��� �� �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $

���� %����� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $������ %�������� �& '(���)� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *������ %��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *

���� �� ������� ��� ���� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *������ %����� �� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +

���$ "�� ������ ���� � ��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����$�� ������������ � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����$�� �� ������ �� jμ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����$�� �� ������ ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����$�� �� ����� ��� ������ ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����$�� ������� � ������� � �� ����� ��� ������ ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����$�$ "�������� � ,�-.��� �� ���� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� ������ �������� ��

�� �� ������� ����� ��� � ��������� � ������ �� �������� � ���� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �/���� 0���� � ���������� ���� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �*

������ �'�#� � �� ���� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �*������ �'�#� � ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+

���� 0���� � ����� ��� ���� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1������ 2�������� � � 3����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1������ "�������� � !������� � 4��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1

���� 5�� � � ��������� ���� � ��� � ������ � 3� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

Page 4: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

� ������

�� �������� � ���� �� ��������� �� ! "�#������ $����� �� ����� � ���� �������� '��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

������ 6����� � ��)�)��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ �'��������� � 5� 7���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$

������ 8� � ����� ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$���� �'��������� � 5� 7���� � �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �/���� 0� ������ ��)�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �/���� 3��� � �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �*

������ 8� � ����� � � � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+������ "� ������� �� ���� )������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+

���$ �� �������� '��� ���������� 9� :�����)��; � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1���$�� �� ��� ������ �� �������� '��� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1

���/ (� � �� ������� ������������� ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����/�� 4���� � �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����/�� �� )���� � �� ������� � �'�#� � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���* �'������� �� ������� �� ��� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����*�� <��� �� � �������� � �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�% &��'� ���$�� 0� ������� � ����� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �/

�$���� ,���� � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+�$�� �'� ��� '������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�$�� !���� � � ��)�)��� � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���$�� ,���� � ����� ��� �)� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�$���� "�������� � 5 �� � 4���� & ������ �������� ���� ���� � � � � � � � � � � � � � � ���$�� <��� � ������� �� ����� � ����� ��� � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �/�$�$ ������������ �� ����� � ���� ���� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �/

�$�$�� �� ������� ������)� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �/�$�/ �� ����� ������� ���� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �*

�$�/�� "��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �*�$�/�� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+�$�/�� 3������ 9Z = 3; � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�$�/�� !�� )�� �� ��� 9� Z = 5 � Z = 10; � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�$�/�� !�� ���� ���'��� 9� Z = 11 � Z = 18; � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�$�/�$ "����� � ��� Z > 18 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�$�* 5�� � � ��� � ��� � �� ���� = � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���$�*�� 5�� � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���$�*�� 5�� � = � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� �� ��� � ��������� � �� �� ������ (��)*��'��� ���/�� 6������� '��� � ����� � :��)� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���/�� <�����)��� � ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�/���� <��� �� ��� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���/���� 2�������� � ����� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�/�� 8� ������ � !��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$�/�� (� ������ � �� ��� �� � ���� �� ��� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$

�/���� >���� '���� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$�/�� 5������� �� ���� � �� ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �*�/�$ ,���� ����� ���� � ������)��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+

�/�$�� �'���� �� ����� � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $1

Page 5: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

������

�/�/ "��������� ������� �� ����� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $1�/�/�� ����� ������ ��� �':���� ������ � ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $�

�/�* 5���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $��/�+ 2������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $�

�/�+�� ������� ������ � � ������)��� ����� �)��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $�

�+ !��� � �������� � ��������� � %��*�� 0� ������ ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $�

�*���� 5�� ��� ��� � �� � � �� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $��*���� 5�������� ���'��������� � 5� 7���� � �������� � �� ��� ��� � �� �� ������

��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $��*���� 3����� � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $��*���� 5�� ��� ��� � �� � � � � ��? �� ������ ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $/

�*�� �� � � �� ��� � ,�-.����3�� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $*�*���� �� ���@�������� ��? ��)�)��� �� �� ��� ��� � �� ������ �� �����)��� � � � � � � $+�*���� 5 �)��� � ���� ���@�������� � ������)�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /1�*���� �� �� �)������ � ,�-.����3�� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /��*���� �� �����@�� � @���� �� ����� � α � β � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /�

�*�� �� � � �� ��� � 6����!��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /��*�� �� � � �� ��� � 3����"��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /$

�*���� (�����������A ��� � �� ��� � ������ � 0����B � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � //

& ���'��� *����'������, ������� ��� "� �-(�� 2�� ���� � ������ ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /+

(���� ������ � ����� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /+(���� ��� � � �� ����� ����)�� � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *1(���� <��� �� �#�������� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *1(���� ��� � � �� ����� ����� �� � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *�(���� ������ ������� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *�

(�� (����� ��� �� � @��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *�

Page 6: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

. ������

Page 7: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�������� ��

�� ������� �������

�� ���� � ���� ��� ������ �� �� � � �������� ������� @���� � � ����� � �� ��� ��� ���� �������� ��� ��� � �� � �C ��� �� ������� �� ������������ ��� � � ���� �� � � � ���� � ���� ����� ��� ����������� @��� � � @����@� ��

���� ��������� �� ��������� ���������

8���'���� �+1� ����� ��))���� � ��� � ����� ��� @���� ��� �������� ����� ������ D ���������� �A (�)� "��� ���C ������� � ����� �'EF��� 3���� � � 3���� %��� � � ����� ���� � �� �������� � ��������� � ���� ���� � ���� � ��� �������������� ����C �� ��� � ��� �� ��G ��� �� � ������

���� HE� ��� � � ��� � ���� ��� ��� ��� ���� ����������� � ���� ����������� ���� ����I 9�����+1�;C ��� ��� ����������� ���'�#� � �� ���� ���� � �������� �'��� ��� �� ���� � � ���� ��� �� ��� � � 0����B ���� � �@��� �� ��� ��� �� ����������� �� ����� ������ � ����'������� ���� ��� � � � �� ���� ���� ���� ����� �� �� � "���� ��� �� ����� 8�)�� �� �� @���� ��� �+�� � ��� ��)��� �� ������ ������ � ���'����� ���� �������������� �� ������ ������ �����C �� ��� � ��� �� ��G ��� ��

� ������ ���� H�� �� � ���� �� ������ �� ������������ ��� J��� �� ���� �C ���� ����� � ���� ����� ���� ������������� �� �����I 9������ �+1�;C������� �� �� � )�.�����C ������ � ��� �"��� ��� � � �� ���� ���� ��? ��� ���� ��� ��))���������C �� � ��� H��������

�� �� �������� ������I 9H5���'��� �������� ������ �� ������� �IC �� ������ �+1�; ����������

�� ��)���� � � ��������� ����'��� ��� � ����� �����C �������� ��� ��������� �� ���� � ���������)����� � ��������C ������ � � ������������&���� ������ ����� �� ��� � ���� � ��� �� ������� ���� ��� D ������� ���� ����'��)��� � ���������� � ����� �@��C ����� � �� ����� ���� ������ ���� ������� ���0� ����� ���� ���� � ��� ����� �))�� ��

����� ���)�� � � ������� � ������� � ����� @���� �����C )������ )������ � ���� �� ����)���� ��� �#�� � � ����� �� � � "��� ����8�� �+1� �� ������� ���������� ��� �� ����C ��

����� ��� ������ ��)����C ������� ����� ��������� ������ � ���� ��� � @����& �� �� �������� ��������� ��. ������C ��� � ���� ����� � � ������ �������� � �� �� ��������C ����� ����� � ��? ��� ������ � ���� � ���@� �� �� ���� ���� ���@�� � �� ����� � � ����� � �� ������ ���� ���������A �� ������� � �� ��� ������� �� � ����� �8�. �� 9�� ��� ������ � �� ������� � �� ���� �� �� �� � � ������ ������� ���� � ���� ������������ � ��� ����� �� ����� �� ����� ������ ����;����� ������ � ������� � �� �� ����� � ��� ���������� � 9������� � ���� ������ �; � ����� ��������� � � �������� � � ��� �����"� ��� � )�� �� � � � �� ����� ���� ���������

���� ������� � ���� � � ���)����� � � ��������� ��������C ����� �� ��� ���� ������� �� � ������ ���� ������� � ��������� ���� �� � ��� � ������ ��������� �� ���������� ���������� �� �� �����������������C )�� �� � � ������ � � ������ � ����� � ������ ����� � ������ �� ������� ��� ����� � ��

��� ��������� ��� �� ����� ���� ���� ��������� �� ���

��������� ����������� �� ��������� �� ������� ��� ����� �� ����

��� ��������� ����� ����������� ������������� ��������� ��

������ �� �������

Page 8: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

$ �&/�01�1 ��2 �& 3��&0�4�05 !/���&��

x

y

Ox′

y′

O′v

6���� ����A 2������� � �� �� � ��� ����

��� � � 4������ � ������� ���� � ��� ��� � ������������� ���� ������� ��. �������0� @���� �� ��� ������� )������ � �� � �

���� ������ �& ��� ����� K �� ��� ��� � �������� � �������� � ��� K′ �� ��� ��� � ������� ��� �� � � ������ ������� ��� ������ � V ���� �� K� 0������� ������ � � ���'�� �� � t = 0 �� ������� �� �� ������� � ���������C ��� ���������� ���� ��������� �� ���������� ���� �C �� �������@���C � � �� �� � � K′ ���� � � K ������������ �'���� ���� ��� ���� x 9�� ������ � � ��� ����� ���� ������ �� �K � � ���� '��� ��� ��� ��� ��������� �;��� ����������� � � �� ������� � �����

��������� ��. ������ ���� � � ���� ������ ���������� 9 ����������� � 4������;

x′ = x− V t

t′ = t

5� ��G �������� � ���� � � �� ���� � � ��� ������ � � ��� �� ��� � � � � �� � � ������ �������� ���� � � KC �� ��� ��� � ���� � � K′C ����� ������ � ������ ���� � �� �� K �� ������ L�������� � ��� ���C �� ��� ��� � �� K′�!���� ����������� � 4������ �� ��G ����C ��

���������C �� ����� � ������������ ���� ������ �&�� ���� � � ������� ��� ������ � ����� x ��� �v �� KC �������� ��� ������ � ��� � v′ ����� x′

�� K′ � � �

v′ = v − V . 9����;

!����� �� ������ � ��� ���� ������� � ���� � ����)����� � � ������� � ��������� %��� � ������@�� � � ���� ������ � � � �� � ����� ������������� @���� ��� ����� ���� � � �� �� ������ �������� � ��������� 0� �������C �� �� ������������ �� ����� �� ������ � ���� ��� � �����������

�� ����� L �@�� � ���� � �� ������� � �� ��� ������� L �� ���� ��5� ��� ��)� � � � ����� �� ��)����& �� ��������

�� ���'��� ������ ���� � ,�-.��� ��� ������ �������� � � ����������� ���� ���� cA

�∇× �E = −∂�B∂t

9����;

�∇ · �B = 0 9����;

�∇× �B =1c2∂�E∂t

+ μ0�j 9����;

�∇ · �E =ρ

ε09����;

��� �B � �E ���� � �� �� �� ����� ����� ��� ���� ���C ρ ��j ���� �� ���� � � ����� � � ���� �Cc L �� ������ � ���� ���� � ε0 � μ0 �� �����)��� ���� ��� � ����� ��� �� ��� ��!� ����������� �� ��������� � ,�-.��� ��� ����

���� ������ ������ � �� ��������� � �� �������� � �������� � �� �� � 9�� H��� �� �I c ���� ������� ������ �'��������� 9����; � ������� �������� � ��� ��� � ���������� ���� ���� �� ������������ 3������ ������ �'���� ���� � �� �������� � ��������� � �� ��� �� ������ � ���� ���� ���cC ���L �� ��������� ����� ���� ���� ��� � �����8�� �+1� ���� � �� �� ��)���� � � ���������

�� ������ � �� @����& �� �� ������ �'��� ��� ����'���� ���� � �� ������� � ��������� � �� ��� ������ �� ��������� � ������ � cC � ���� � �����C ����� �� � � �������� � �� ������ ��� � ����� ����)������ ����� ����� ������ � ���� ����� �C� � ���)����� ������ � � c ����� �� � ���� �� � � � ��� �� ��������C � � � ����� ��� �))��������'��������� 9����;�>� ���� ���� � ������ � ��� @����@�� ��� � �

,�� C )�� �� � � "��� ��� 9��? � � ��� ��������� � � � ����������� �'��� ��� ���'� ��;C �� �@� ��� � ������� � ������ � ���� ������ � ���� ���������� ��. ������ � �� ��� ���))� ���� ��������������,� �� � � ���� � �� �������� � ��� �C )�� ���

� ��� � �� ���� ��� ��������C ��G � � �������"��� ��� ���� �� ��� ���� �� ��� ���������������'�������� �������C �� ����� ������C ��� �����M �� ��� ��� ����� �� �+1�� "��� �� �� �� ����� �'��� �������� �������� �������C ��� ���� ����� �� ������� �C ��� ����� � � ��� �� ����� ������ � �� ���� ���� �� �� ������ "��� ����������� �� ���� ���'�� ������� � �� ����� � �

Page 9: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��2$ �� ����*��'������ �� ������� �

�� ���� �� �� �� � ��� ��� �������& �� ����� � ��� ���'����� �������� �� �� ������� ���� ��� ������ ���� � ����� � ������ � ������� �� ���� �� ���������� �� ������� � � ������� ���� �C ����� �� � � � �� �������� ������)���9����� � � ��� ���� � �� ���� �� ���� ��; ����������� � � ��� ���� �C �� ����� ������� ����� �������� ��������� !��� � �� �� ���� �� ������ � �� ��� ����������� �� ����������! �� �������!����"������� ��� ������! �� �� �� ��������� ������ ��� ����� ����� �������! �� #���� ������ ����������� ��� ���� � ��� �� ������� ����� ��� ����������$ �� ��������� �� ������ ����� ����������� ��� ���� �� ����������! ��� �����! ����"������� ��� ������! ����� �� �� ���������% �������� �� �������! ��� ����������! ��� ����� ������� ������! ����#���� ��� �����������! �� ��� �&! ��"�������! �� � ���������� � � �� ��� �������� ��� �� ��������� ��� ���� ������ �������� �������� � ����� ������ ��������� �� #����� �������� ����� ����� �������� ���� ���� ����������! � � � ���� �� ������ ��������� !� ���� � ������������ "��� ��� �� ����� � � �������� � ��� ������ ��� 9���� ������ ���������;��� ���������� ��������� �������������� ���"���� ��#����� ���������"��� ����� ������ �� ����� �������� � ��� ��

�� �A �� ����� ����� ����� ����� ' �������� �� ������� ������� �( ������ ������ ������������ ����� ������ ��� ����� � �� ������ ���� ��������� �� ��� �� ����������! ������ ������ ������ ���������� �������� ��� ��� ���� �� �� ������ ���� ��������� �� �� ������ 8�� ��� � ����� "��� ��� �������� ��� � �������� ��������A �� �������� ����� ���� ) ������ ������� � ������ ���� ���������� ���� �������� L ��G��� ��� � ��� ��� ����C ����� �� ��������� �,�-.��� ����� �� � ���� �� � � � ������� � ��������� � ��� ����� ���� � �� ������ � ���� ����� "���� ��� � ���� �� �� �'��� ��� � �� ������ ����������� ��� � � ����� ���� � ���� ���� 9� ������ ����� ���� � ������ �� ������ E = mc2 � �� ��� ������ ��� ����� �;�())���� ��� � � � � �� ��������� � ,�-.���

��� ���� ������� � ���� � ���� ����������� �4������& �� �� ����� ���� �� �� �������� � ��� ��� ��� ��� � "��� ���C �� ����� ����� �))������ ��� ����� � ������������ ,� ���� � �����@�� � ���)�)����� � ��� � �� ��������� ��� ��)�� ����� ���@� �& ���� L ���� � ������� � ���� � ���� ����������� � 4������ � �� ���� � ���� H�)������ �IC ����� ���� �� L ��� '����� �� ���� � � � ��)��

)����� � �� ������� � � "��� ���& ����'��� ����� ���� ���� � � ���)����� �� ��������� 9)�� ��������� � � ���@�� ���'�����; �� ��� ��� � � �������� ��������� �� � � ��������

���� �� ����������� � ����� �

8�� ����� � "��� ��� ������� ����� � ����� � ������������ � �� ������� � �������� � � ��� �� ������� �� ����������� � 4������& "��� ��� ������ ��� �����C � � �� ����� � �������� �� ���� �������� ������ �� *������ �� ���� � ����� � ��� ����� � �� �� ��� �� � ����� ��� ����� � ��������C �� ����� �� ����� � �� �������� � ���� ��� � ������� ���� �� �� ��������� � ,�-.��� �� � �� ������ � ���� ���� ��� ������� � �� ��� ������������C �� � � � � �� ���� �������� � ���� ���� �� �� ������� � ������������������� ����� �� ��� ��� � ������� �

�������� K � ��� K′ �� ��� ��� � ������� � ���� � � ������ ������� ��� ������ � V ���� � �K� 0������� ������ � � ���'�� �� � t = 0 �� ������� �� �� ������� � ���������C ��� ���������� ���� ��������� �� ���������� ���� �C �� �������@���C � � �� �� � � K′ ���� � � K ������������ �'���� ���� ��� ���� x 9�� ������ � � ��� ����� ���� ������ �� �K � � ���� '��� ��� ��� ��� ��������� �;�%���� ���� �� ����������� ��? ������� � � ���

���� �� ������ � �������� � ������� ����� � �K � ��� K′N5� �������� � � �� �� � � ������ ������� �� �

��� �� ���� ��� ��� � ������� � 9��������� �������� ����� � 8�. ��;C �� ����������� �������� ������� !'�� � �� �C �� �'�������� � ��'��� ���� ���� ������ ��� �����

y′ = y ; z′ = z .

%���� �� ����������� ��? ������� L ���������� � x L �� ���

x′ = γx+ ρt .

>� � � ������� � � � � �� �� � � � �� �������� ����� � ���� ��� ��� �� ��� ��� � �������� � L ���� ��'��� ��� � �� ������ � � 8�.� ��A �� ������� ��� � �� ����� �� ���� �� �

Page 10: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

� �&/�01�1 ��2 �& 3��&0�4�05 !/���&��

����� ������ (���� ����� �� ������� ��� ������ ����������� ��� � � � ����A

t′ = σx + τt

�C �� �#�� �� �� � ��� � ������ � ��������C

ct′ = σx+ τct .

(� ���� t = t′ = 0 �� ����� � ���� �� ����'������ ������ �� �� ��� ��� � ������� ��0� �� ������ �� ��� ��� ��� ��� ����� � � ������

x2 + y2 + z2 − (ct)2 = 0

��� � �� �'������ �� ��� ��� ��� ����� � � ������

x′2 + y′2 + z′2 − (ct′)2 = 0

9�� ���� �� �� ����� � ���� ��������� � ,�-.������ �� ��� ��� � ������� � c L �� � ����;� 5� ������

x2 − (ct)2 = x′2 − (ct′)2 . 9���$;

O ��������� � ����� ����� �� ���������������� � �� ����������� ������� �� � ���)����� �C � � ���� ������ � ��� � �'��������� ���� ��������� �� � ���� �A cosh2 ψ − sinh2 ψ = 1� 5� �

x = x′ coshψ + ct′ sinhψct = x′ sinhψ + ct′ coshψ

(�������� �� ��������� ������ � ���'������ �������� ������ � �� K′ �� �

x

ct=V

c= tanhψ

� ���

sinhψ =V/c√

1 − V 2/c2; coshψ =

1√1 − V 2/c2

.

0� ��������C �� ������ � � �� ���� � �� � ��� �� ������� � �������� K � K′ �������� � @�� � �� ���� ���� � ���� ������ � ����� � �����������A

x′ =x− V

c (ct)√1 − V 2

c2

y′ = y

z′ = z

ct′ =(ct) − V

c x√1 − V 2

c2

0� � � ��� L � ��� ���� ��� �� �������� �������� �� � ���)���� �C �� �� � � � �� ����������� ���� ���� �� ������� ��� � ������ 9��� �� ��' ��� �� ��� ������; �������� � � �'������ �� ��� ���� K′ �� ����� ��� ������ � V �� K& �� � �����C������ x′ = 0 ����'��������� x′ = γx + ρtC � �ρ = −γV C �

x′ = γ(x− V t) .

5���� ������ � ��'�����

x = γ′(x′ + V t′) .

"�������� t′ ���� ��������� ������ �

t′ = γ

[t−

(1 − 1

γγ′

)x

V

]

� ������� �'���������� ������ � ��� � �����9���$;� %��� � L �� ����� ����� � � "��� ��� ������ � ����� ���������E�� ��������� � ���� ��� �� ����� � "��� ���C

��� ���� �.�BP ���� � ������ ���� � �� ������� ��� ��� � � �� ������� ���� ��� �������� ���� ���C � � ����� �� �������� � ��� ��� � � �� �� � �� ����������� �� � ��� ��� � ������� � ������� �� �����C � � �� ����������� ���� ������ �C ��� ��� ������ � ���� � ������� �� C� 2������� ��)���� ���� � ���������� � C& � �� ���� � � ��� � �� ��� ��� ��� ���� � ����� �������C ������� �� ��������� �� ������� ���� 8�� ���� �C → ∞ �� �� ������ �� ����������� � 4�������

���� ������������� ����� �������

0������ '�� �� ���

γ =1√

1 − V 2/c2; β =

V

c

���� D �� ������ ���� ���� ������ � ���� ���

ct′ = γ((ct) − βx)x′ = γ(x− β(ct))y′ = y

z′ = z

ct = γ((ct′) + βx′)x = γ(x′ + β(ct′))y = y′

z = z′

Page 11: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��2� ����������� ����� ����*��'������ �� ������� �

� ���������� �� ������ � ��)����� %��� L �� ��������� � �� ������ � � �� ���� ��� �� ��� ���� ������� �N 5� �

dt = γ

(dt′ +

V

c2dx′

)dx = γ(dx′ + V dt′)dy = dy′

dz = dz′

� �����

vx =v′x + V

1 + v′xVc2

vy =1γ

v′y1 + v′

xVc2

vz =1γ

v′z1 + v′

xVc2

.

9�� �� � � � ��� ���� � c → ∞ ��������� ��� �� ����������� � ������ � ���� @���� ��������;����� �� ��� �C �� ������ � ���� ���� L ������� �&

�� � ���� � � � �� ����� � �� ��������� ������ �������� � ������ ���� ���� L ����� ������� � c���G L ������ � ���@��� �� ��� �� ������ �� �� ������ �'���� xC �� �� ����� �� �

v =v′ + V

1 + v′Vc2

.

���� ����������� ���� ������������ � ���� �

>����� �� ����� � ����������� �� � ���� ����������� � ���� � � �������� �� �������� ��������� �� ��� ��� �� �� � @�� � ���

� �� �������� ����� ��������

!���� ����������� � ���� � ��� � ���� L ������)��� ������ �� ������ � �#� �& ��� � � ��'�� �� ���� ���� l � ����� �� KC ������� � ����� �'����xC � ��� �� ��� �� ����� �� x = x1 � x = x2&����� l = x2 − x1� >����� ���� ����� �'�� ���� ������� � K′& � �� �� ��� �� ������� ����������� x′ = x′1 � x′ = x′2 � ������ �� ������ ���������

x1 = γ(x′1 + V t′) x2 = γ(x′2 + V t′)

� ���

l = x2 − x1 = γ(x′2 − x′1)

���� �������� ������� � � �� ���� ���� ���'�� � ������ � � K′C ��� � l′ = x′2 − x′1C L ��� �� � 9�������� � t′; � L ���� � � l ���� ��������

l′ = l/γ .

!����� ��'�� � � ����� �� �� ������� � ����������� ��� � ��� ��� �� �� ������� � �������� ���� � ���� � � ���� �& ���� � �������� ���� ������ � ����������� ������������� ����� ���� �����

� �� ��������� ��� ����

>����� �� �� �� � �#� � �� ������ � � � ����� ������ ���� � ���� ����������� � ���� �&�� ��������� �� ���� � � � �������C ���� � �K′ ����� � ���� ��� � x′C �� � �� ���� �����t′ = t′1 � t′ = t′2� �'�� ������ ������� �� K′ �� �� ���� � L ����� Δt′ = t′2 − t′1� 0� ��������� �'�� ������ ������� � � �� ���� � ��� � � K)�� � ���� �� ����������� � ���� �

t1 = γ(t′1 +V

c2x′) t2 = γ(t′2 +

V

c2x′)

�� � ����

Δt = t2 − t1 = γΔt′ .

!����� �'�� ������ ������� � � �� ���� � ������ � �� ����� � �� K& ��� ������� � 9����� � �����)��� ������� ����� �; ���� �� ����� ����������� ������������� ��� �� ����� ���� � � ������ ��� � �� ��G � ���� �� ���

� ��� � ������ � � �������� � ����� �� ��� �������� � ���� ����������� � ���� �C �� ���� ����'��������� ���� ������ � � ����������� ������������ ������� � ���� @��� 9������;C ��� �����

� � �� �� ������� � �������� K′ �� �������� ����� ���M �� �A ��� ����� � � ���� E ��� � ����'������� �� ��� ��� ��� � �� ������� � � �� ������C�� ����� � �C ����� �'���� y′ @�� � ��������� �������� �� S ��� � � �� ���� h � �������������� � � ��� ����& �� ���� �� �J� � � ��� ���� � ��� ����� �� R � �C ��� �� ���������� ���� ���9�� � � � �� �������� � ����� ����C � � ���� ������ ��� ���� ���� �� � ���M ���� ��� L ����� �� � �� �� � � � �� ��� ���������� ��� �������)���

Page 12: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

% �&/�01�1 ��2 �& 3��&0�4�05 !/���&��

ER

S

h

E R

S

h

Δx

6���� ����A �'������� � ���� ��� � �� K′ 9������ �; � �� K 9� �� �;�

����� �� ���;C �� �M � � E ����� �� ����� �������C ����M ����8�� ������� � K′ �� ���� � � �� ���� �������

� ������ �� ������ ESR L ��� � Δt′ = 2h/c�(���������� �� � ���� ������� � ���� ��� � � ��������� � K � � �� ����� � �� � ������� ��������� � �� ����� V ����������� � ���'���� x′� �� ��� ������� � �� ���� �� ����� ����� �� ����� � � �C �� ���� D ��� ���� � � ���� �� � E � S �� ��� ��� �� ����� �� � � �� ����� �� �� ������������ x ��� ������ � V C �� ��� ������ ��� ���� ���� � �)������ 5� � ������� Δt �� ���� ����� ��� K ��� D �� ���� ������ ��� ������C ����� �'���� � ��C �� ����� �� � �� ����� �� �� ���� ���������� x � ��� ���� � � Δx = VΔtC ��� � �� ����� ���� �� ����� ����� h� 0� ��� ��� �� ������ �� ����������� ���� ���� L c ��� � �� KC ������� ��� ����

cΔt = 2√h2 + (Δx/2)2 =

√c2Δt′2 + V 2Δt2

� ���

Δt = γΔt′

� � L ����� �� ���� � � � ��� � ���� ��� �� ����������� � ���� ��

� � !�� ������� �������������� �� ����

!���� ������ � ���������� �� �� ��������������� �� ������ � ���� ���� � � ����C �� ������ � �� �������� � �� ����� � ���� f ������ �

��� ����� � �� ���� � �� �� ��� ��� K ����� ��� �� �� �� � ��� ��� � ������� � �������� �� �� ����� � �� ���� ��� ������ � V ����

f ′ = fγ

(1 − V

c

)

������ �� ���� ����� ������ ����� �� ������� ���� � � ����� ������ � 9����������� �; ��� ����� �� ��� ����0� ���� �� �� �������� ������ �C � �����

�'��������� � �� ����� � ��� � '��� N = fT��� ��� ��� K& ��� �� ���� �� ��� ��� K′ ��������� ���� ���� '��� ��� �

λ′ =cT ′ + V T ′

N=

(c+ V )T ′

fT

� �� �������� f ′ ��� � � �

f ′ =c

λ′= f

T

T ′cT ′

(c+ V )T ′ =f

γ

11 + V/c

= f

√1 − V/c

1 + V/c= fγ(1 − V/c) .

5� �� � � �C � �#����� ���'���������� ��������� ���'�#� � !�����C �'���������� ��� ���� �������� ���� ���� ������ � ��� ����

���� ������ ��

��� �������� �� ������ � � �� ���� � xμ ����x0 = ctC x1 = xC x2 = y � x3 = z� �� ������������ � ���� � ���� � � �� ���)����� � � ��� ���� ������� �C ��� ����� �� ����� ��� ��� � �������� � � ������ � V ���� � �� ����C �� �������������

x0′ = γ(x0 − βx1) 9���/;

x1′ = γ(x1 − βx0) 9���*;

x2′ = x2 9���+;

x3′ = x3 9����1;

%��� � ����������� ���� ������)��� ��� ���� �� ���

Λ =

⎛⎜⎜⎝

γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

⎞⎟⎟⎠

Page 13: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��2� 6����������� �

5� �� � � � �� � ������ � ���� �� ��� ���� ��0� ����������� �� ��� ��� ����)��� �� � ������

� � ��� �� �� ���� (μ, ν, ...) �� ����� � ������ � ����� � 0 � 3 9�� �� �� �� ��� ����� ��� ������ � ����� � � ����� � � � �;� 5� �������� � ������ �� ������ � "��� ��� �� �� ����� �� �� ������� �A ���� ���� ��� � �� �� ���������� �� ��� ������� ��� � � �� ��� �C ��� ���� � ��� �� �C����� �� �� ��� ��� ����� �� � ����

AαBα ≡∑

α

AαBα .

>����� �� �� )��� �� ��������� �� ��� �����? �� � �� � �� � ������� ���� � ��� �@�� � �� �� ������ ��? ��������'������� ���� ���� �C �� ������ ����C L �����

��� �)��� � ��� ������ R4& � ���� � L ����)������ ������ S � ������ ��C �@�� � ���� �� �#������ � ��� ���� � x � �� ���� � �)� ��� @��� �x0

ξ = x− x0.

S L ��� ������ �� ����� ��� ���� �� �����E� ������� � ������ �� L �� ������ � �

���� � ξμ = (ct, x, y, z)� 0� ������� �� ������������ � ���� � ��� ��� � �� �� � �����x

ξ0 = ξ0′+βξ1′√1−β2

ξ2 = ξ2′

ξ1 = ξ1′+βξ0′√1−β2

ξ3 = ξ3′

5����@�� � ��� )��� � ������� �� � ������ � �� �������� ������ �� ��� �������� � ���� �� ��� )���& �@����� �� ��� � �������� �A

• �� �������� � ��������������C � � �� ���������� �� ����� �� �� � ξ = (ξ0, ξ1, ξ2, ξ3)

• �� �������� � ����������C � � �� ������� ����� ����� �� )���� ξ = (ξ0, ξ1, ξ2, ξ3)�

�� �������� � ��� ������ � � ������� � �������� � ���� ������ � ��������A

ξ0 = ξ0 ξi = −ξi i = 1, 2, 3.

ξμ = gμνξν con

gμν =

⎛⎜⎜⎝

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

⎞⎟⎟⎠ .

5� S �� ��G �� ��� ��� � � �� �� ��� � ��� ��� � ������ (ξ, ζ) = (ζ, ξ) � �C @��� � ����� ��� � ������� � ������ �C �� ��G ����������

(ξ, ζ) = ξμζμ = ξ0

2 − �ξ 2

��� �� L ������� � � ������ ��� �ξ �� �� �� ������������� ���� � ���� �������� � �������� �ξ�5� ��G ���@��� � � �� ����������� � ���� �

�������� �� ��� � ������ ������ �& ��� � �� � ������� � �� �J������� �������� ���� ���� � ����� �9�� ��������� �������� ������ � �� ���� � � ������� �� �C � �����������C ��� � � ��� ��� �������;� 5� �� � � � �� ������� � ��� �J������� ��� ������ � ���� �� ��� � ���� � ������� � ������� ��� %���� �� ����������� � � ����� ������� �� ������� � �������� � �� �� � ������� ��������� �������� ������ � �� ��� � �������

�� �� ������C � � �� ������ �� ξC ������ � � (ξ, ξ) L ������� � �� ���)����� � �������� � ��������� 5� ����� ��� � ����

�� (ξ, ξ) > 0C �� ������ �� �� ��� � �������� ��

�� (ξ, ξ) < 0C �� ������ �� �� ��� � ������������

�� (ξ, ξ) = 0C �� ������ �� �� ��� � �����������

x

t

O

Cono laterale Cono laterale

N+

N−

V +

V −

Page 14: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

+ �&/�01�1 ��2 �& 3��&0�4�05 !/���&��

�"�� �������������# �$%���&��'���

0��� DC � � ��� �������� ������ φC �� ����#��������

dφ =∑

μ

∂φ

∂xμdxμ

��'����� ��� ������C ����� �� �������

∂φ

∂xμ≡ ∂μφ

��� ����� �� ������ �� ������� �� !�@���������� �� ��������� � ∂μ � �� ����� ������C� � L �� ���� �� ������ ����� 9�� ��G ��� ����@��� �� ��� �� � � � ������ �� )��� ���� ����������� � ���� �;��'���� ��

∂μ∂μ =

1c2∂2

∂t2−∇2 ≡ �

L ����� �� ���� �� ������& ���� ����� � � � �"+�� ��������$ �'��������� � ��'��� � � �������� � ������ � c L ����� ������� � � ��� ��

�"�� �����������

5� �@����� 9����; ����� � ���� � 9� �� ����������� � ����� � ���� ���������; �� ������� �16 ������� Aμν � � �������� ���� ��� �� �������� � � �� ������ ��

Aμν = Λμσ′Λν

ρ′Aσ′ρ′.

�� �������� � � �� ����� ������� ����� ���� ������ �C ������� � � ��� �� � ������ �� �������� ��������� ����� � ���� 1� �� �������� � ��� � � δμ

ν L �@�� � ���� ��������

δμν ξ

ν = ξμ

())������ �'����� ��� ������ � � δμν �� � ����

�� ����� ������� � gμν � � ������� ������ ����������� 5������� � �� � ���� �� ������� �������������������� gμν � 5� �

gμν = gμν =

⎛⎜⎜⎝

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

⎞⎟⎟⎠ .

�� ��� � ������ � �� �� �� �� ��G ����������� ����

(ξ, ζ) = ξμζμ = gμνξμζν .

�� ����� � � 9����; ����� � ���� 2 �� ����������� �������� � � ����� � ���� ���������&���� � �� �������� � � �� ����� ������� ������ ��� ������ � 9 � � ��� ����� �� �� �;C ������� �9 � � ��� ����� �� )����; � ��� � 9������ ����� �� ��� �C �� � �� )����;� �� ����� � � ������ �������� ���� ������ � � �������� � ������� � � �� ������ ������ ������ ���� � � ������ ��� ��� � ��� ������ �� 9� � ������� ��������� ����� ����� 1;�E�� ����� ����� 9 ������ ���� ����� ��

�� ����������� ����� � ���� �C ����� �������� ������� � � � �� ��� � � ������ � �C����� �� ������ � ���)��� � ���)����� � � ���� ��� � ������� � ��� ������ � ��� ��� V C �� ������ � ���������C �� ��� �J�������; �� ������ L �� ����� � ����� � 2����C ������ ���� ��� ������ ��� � ���� �C ���M �@�� �A

• εμνρσ = 1 �� μνρσ L ��� ���� ������ ������� �������� 1���&

• εμνρσ = −1 �� μνρσ L ��� ���� ����������� ���� �������� 1���&

• εμνρσ = 0 ����� �� � �����

���� �� ������� ��� ���� ���

8�� �+1�C ��)� � ��� �'���� � ���'� ����� � � ��� ���� �� ���� ���� ��� ��� �C "��� ��� ��))������ ������ ����� � ���� � ������ �� ��� � ��� ������ �� � ������ H�'������ � �� ���� L ������ ��� ��� ��� ��� � � ������NI� 5�))��� ��� ������ � � � ���� �� � ���� "��� ��� ����� ����� ������ � ���� ��� �� � � �������� �� ��� ������ �� �����C �� ��� ��� � � ���� � )��� �� � � ����������� � 9��� )��� � ��� ����;C ���� ��? � ������ � ������ � ����� � �� @���� �� ��� � �������� �� ����� � "��� ��� L � ��� �� ���� �� ��� ���� ���� ��� ��� � ������ � �� �������� �� ������� � �� ������ �A �� ����� � ��� �� ������� �� ��� ��� ��� � � ������ ���� ���� � � �������������� ���� ������ � � � "��� ��� � ���� � �� �

L �� �� ��� � ��������� 5�� K �� ������� � ��������� � K′ �� ������ ������� � �������� �� �� �

Page 15: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��2� �� ����'� � ���������� � -

���� � �� ���� ��� ������ � ��� �� � V ����� �'����� x� 5� �������� �� ���� �� ���� � ���� � � K� � � � �� � � �� �� � t ��� � �� ��� ��������� ����� � ������ ε/2 �������� � �� ������������ �� 0� ����� �� �� ���� ��� ����� � ������ �� ���� � ��� �'�� �� � t� 5� ���� ���� ���Ei �'������ �� ���� ���� ���'�� �� � t � ��� Ef

�'������ ���C �� ���

Ei = Ef + ε/2 + ε/2 = Ef + ε .

5� �������� �� � ���� �������� ��� ������� � K′&���� � ��� �'��������� �� ��� � '��� ��������� �� ���� �� ��� ������� � �� ����� ��� ������� � ��� �� � �� ����� ��� � V � ������ ��� ����'�#� � !����� � ��� ����� �� ������ �� ���

E′i = E′

f +ε

2γ(1 − V/c) +

ε

2γ(1 + V/c) .

!���� �������� ������ � �� � ������ ���� �

E′i = E′

f + γε .

�� �#����� � ������ �� ���� ����� � ���������� � �� ��� ���� � L �� �� � � �� ������� ��� ��� L �� ���� � L ��� ���� ��� ������ ���� ���9� ���� � ��� ��� �� � �� ��� � � ����� �������� � ���� ��� � � �����;& �����

E′i − Ei = E′

f − Ef + ε(γ − 1)

�����

Ki = Kf + ε(γ − 1) .

!����� �'������ ���� ��� �� ���� ��������� ������ ���'��������� �� ��� � '��� ��� ������� ���& �� �� ������ � �� ���� ��� ���)��C � ������������ ��� ����� �� ��� ����� � � L ������ ���������� ���� � � ������� �� V/c �� �

Ki −Kf =12εV 2

c2

� � �� ������ � � ��� �� ��������

K =12mV 2

������� ��� ���������� � ����� �� ���� ��� �ε/c2� !����� �� ����� � �� ���� ����� ������� ���� � � � ������ ��� �� �� �� � ������������ � ��� �� ���� � ���� ������ � ���� �����

8�� ��� ��� � ���� � �� ���� 9����� K; ε ��������� ���� ���������� ���� ��� ������& ������� ��� ��� ��� � ������� �

ΔK =12ΔE

V 2

c2=

12

ΔmV 2 =⇒ ΔE = (Δm)c2

=⇒ E = mc2 : 9�����;

�'������ � �� ���� ��� ��� ������� � � ���� �L ����������� ���� ��� ������

���� �����������������'�����

�� ������������ ���� ���� � � � �� � ��������Cm�vC ��� L ����� �)��� ��� �� ����������� � ����� �� 0� ������� ��� � L ��F���� � ��������� �� ��� ��� �� @���& ��� m �� ����� � ������������ �� �������

8�� ��� ��� �� ��� � � �����C �� �C ���� ����� ���������� 9�;C � ���� � x �'���� ������ ��� � y������ �� �����A

px = mv +m(−v) = 0

py = 0 .

!��� �� ���������� 9);A

px = 0

py = mv +m(−v) = 0 .

Page 16: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�. �&/�01�1 ��2 �& 3��&0�4�05 !/���&��

,� ������ �� �� �� ��� ��� � ������� � K′ ���� � ��� ������ � −v �� � ����� �'���� x ���� ��� ����� �� ��� ��� ��� �� �� ������ � �� � ����� ���� ���'� �� �� ����������� ���� ������ �����C ���� ���'� �A

px = m2v

1 + v2/c2+m(0) =

2mv1 + v2/c2

py = 0 ,

� ��� �'� �A

px = mv +m(v) = 2mv

py = 0 .

!����� �� ���� � � � �� � ��� L ������� ��>������� �@��� �� ���� � � � �� � ��� ���� ��

�� �� ��� ��� � �A

�� ��� � ����� �� �� �� ����� ������ �������������&

�� ������� ��� ������ �������� �� v � c&

�� �� ��� ������������ ��� ����� �)��� ��� �� ����������� � ���� ��

O ����� � � � �� ���� �� ��������� �������@�� � ���� ���� �

�p = m�vγ ; 9�����;

�� ���@�� � � ��� � �� ��� �� LA ����� @��������� � �� �C ���� � ��� �'� �A

px =2mv

1 − v2/c2

py = 0 .

>������� �� ��� ��� �� ������ �� ���� ����'������ � ���� ���� � � � �� � � ��� ��� ������� 0� �� 9�����;C ��� ��� ��� � ���� � ������ ������ ���� � ������ �� ��� �������

pquiete = (mc2, 0, 0, 0) .

!'�� � �� �A

• �� ���� ���� � �� ������ ��C m2c4C��� ����� ������� �&

• �� �� � �������� �� ������ ��C �� )��� ����9�����;C ��� ����� � � �

pi = mcviγ

9�� �� �� c L ����� � �� ���� �� ��������� ���'������C �� ��� ������� ���� �������� �� ����� 1;�

5� � ����� �� ������ �� ������������ �

p = (mγc2,mcγ�v) .

�� �������� � �� ������ �� ������������ �������� ��� ���� � � ������� ��

�� *�����

!���� ���� �� ������ �� ������������ �

p = (E = γmc2, γmc�v)

�� ����� ��

�v

c=

�p

E.

,�� � �� ��������� �������� ��� �� ��G ����� ��� �� ������ � ����� �����C �� ������������ ���� ��� ��G L �����)���� �� �� ������ ������������ �

pμ = (E, �pc)

���

E2 − p2c2 = 0

Page 17: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��2% �������'�������'� � �������� ��

6���� ����A 5�� ���� � �� �� ��� � �� � � ����� ����

� ����� �� ������ ���� ������ � ���� �����>��� ��� � �� �� � � � �� ��� �� ������ � �����

����� ���� �� ��� ������ ���� ������ � ���� ����9�� ���� � ���))� ������ �����;�E� ������� � �� ������ � ����� ����� L �����

�� �� ������ � ���� 9�� �� ���;�5� ������� � ������� �'�#� � ���� ��C ��

������ ��� ���� ���� ���� �� �� ��� � �����m = 0; ��� hf 9��� h L �� ��� �� � � 0����B �f L �� ��������; �� ��� ������ ���� ���'� �Chf ′ �� ��� ������ ��� �'� �& � ������� me ������� ���'��� ���� 5� �� � ������C ���� � ���������� � �� @��� 9����;A

pfotone, prima + pelettrone, prima

= pfotone, dopo + pelettrone, dopo

=⇒ (hf, hf, 0, 0) + (mec2, 0, 0, 0)

= (hf ′, hf ′ cosφ, hf ′ sinφ, 0)+ (γmec

2, γme|�v| cos θ, hf ′ sin θ, 0)

� ��� �� �����

Δλ =(c

f ′ −c

f

)=

h

mec(1 − cosφ) , 9�����;

�� ����� ��� � ���� � � ���'��������� � ����� ��� 5� �� � � � ��� ���� � � � �� �� ��� ��� ��� � ��� ���� � �� ����� �#� ��� ���'��� ��� L �������� �meA ���� � ������ �� �� � � � ���� �� ���� ���� ��� ��� ��������� � � 9�����;C �� ����� �)������ � ���� � ��

���� �� ������ ���� � ���� ��� !

>������� ������ �� ��������� � ,�-.��� �� ���� � � ����� ������� � � ��� � ���� � ���� ������������ � ���� �& �� ��� ��G �� ���������� ����� ��������� ���������

������� � � ��������� � ����� ��� ��� � ������ ��� � ����� �� �� � �� ������� ������ V ��� �� ������� �� �� �A� ���������� �� ����������� � ,�-.��� ��������

�∇ · �B = 0 ; �∇× �E +∂ �B∂t

= 0 .

�� ���� �� ��� � �

�B = �∇× �A

9 �A L �@�� � � ���� �� ����� � � ��� ��������������;& �� � �����

�∇×(�E +

∂ �A

∂t

)= 0 =⇒ �E = −∂

�A

∂t− �∇V

��� V �� ��� �@�� ��� �� �� ������� 9������ ������� ����� ��� ��� ��� �� � ���� �E = −�∇V;�

�(�� ������������� �� �����

0��� D

�B = �∇× �A

�E = −∂�A

∂t− �∇V

��������� �����������

�A → �A− �∇sV → V +

∂s

∂t

��� s �������� ������ ������ ������ � � ������ ���� ����������� ���� � � ����������� � ���������������� �� �� ��������� ����������

�∇× �B = μ0�, + ε0μ0∂�E∂t

; �∇ · �E =ρ

ε0.

0��� D

�B = �∇× �A ; �E = −∂ �A/∂t− �∇V�� ���� ������

�∇× (�∇× �A) ≡ �∇(�∇ · �A) −∇2 �A

= μ0�,− ε0μ0

(∂2 �A

∂t2+ �∇∂V

∂t

)

=⇒ ε0μ0∂2 �A

∂t2−∇2 �A = μ0�,−�∇

(�∇ · �A+ ε0μ0

∂V∂t

).

Page 18: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�$ �&/�01�1 ��2 �& 3��&0�4�05 !/���&��

�� ������ �� ��G ������

−∂(�∇ · �A)∂t

−∇2V =ρ

ε0

=⇒ ε0μ0∂2V∂t2

−∇2V =ρ

ε0+∂

∂t

(�∇ · �A+ ε0μ0

∂V∂t

).

�� ���������(�∇ · �A+ ε0μ0

∂V∂t

)= 0 L ��� �����

9����� � ���� �;& �� ��� �����

�∇2V − 1c2∂2V∂t2

= − ρ

ε0; �∇2 �A− 1

c2∂2 �A

∂t2= −μ0

�j .

�(�� �� )���������� jµ

�� ���� � �

dx0 dx1dx2dx3

L ��� ������ 9������� � �� ����������� � ����� �;� ���� �C �� ���� ���� �'���� x ����� V C �� � � � dx0 ≡ d(ct) �� ��� � � �� �� �� γC ��� �dx1 �� ��� �� � �� �� �� γ�0��� D �� ����� L �� ������� �C �� ���� � �

ρ dx1dx2dx3

��� ����� ��� ���� ��� ������ 9����� �������� �;� !����� ρ �� ������ ���� x0 �C ���� D �j L�� �� �� ������������C �� ���� � �

jμ ≡ (cρ,�j)

L �� ������ ���

�(� �� )�������������

5������� � � �������� ������� � ����� �� ������E � �B �� ����� � �� �� ������� ������ V � � ���� ������� �� �� �AC �@�� � � ���� �� ����� �� �� ����� �������!���� ���� � � L �� ������ �� �� �������

Aμ � � �

Aμ =(Vc, �A

).

!���� ���������A

∇2V − 1c2∂2V∂t2

= − ρ

ε0= −μ0ρc

2

=⇒ ∇2(V/c) − 1c2∂2(V/c)∂t2

= −μ0 (ρc)

�∇2 �A− 1c2∂2 �A

∂t2= −μ0

�j

�� � ����

�Aα = μ0jα .

,� �'��������� ��� ����� ������� � �� ������������ � ������� � ��������& �����C ������� �����)� � �� � ������ ���� �� ������ ���C ��� � �� ���)� � ����� � ��� ������������ �� ������ �� � ����� �� ������� Aμ L�� ������ ���

�(�" �� ����� ������������

O ����� �� ����� � ���� �� '������� ��� �� ��������� ��������( �� �� ��� �� ������ ���A

Fμν = ∂μAν − ∂νAμ.

!����

�E = −∂�A

∂t− �∇V ; �B = �∇× �A

�� �A

Fμν =

⎛⎜⎜⎝

0 −Ex/c −Ey/c −Ez/cEx/c 0 −Bz By

Ey/c Bz 0 −Bx

Ez/c −By Bx 0

⎞⎟⎟⎠ .

0������� ������� �� �� ����������� �� ����� �E� �B �� ��� ����������� �� � ��� ��� K � K′ ���� � ��� ��� ����� �'���� x ��� ������ � V A

E ′x = Ex B′

x = Bx

E ′y = γ(Ey − V Bz) B′

y = γ

(By +

V

c2Ez

)

E ′z = γ(Ez + V By) B′

z = γ

(Bz − V

c2Ey

)

�(�� ������� �������� �� �����������������

0� �� �� �� �������� � Fμν C �� ������ � ������ � � ���� ������� � �� ����������� �������� � ��������A

12FμνF

μν = B2 − E2

c2c

8εαβγδF

αβF γδ = �B · �E��� εαβγδ L �� ������� ����� �� ����� ���������� ������ �� ����� 4�(����� �� � � ������ ������� ���� � �� ����

����� ������ � ���� ����� � � ������������� ������

Page 19: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��2% �������'�������'� � �������� ��

�(�( )������ �� *�+,��� � ���'�� ��������

(���� ��� � �� ����� � ���� �� �� ������� ����� ��� ��� � �� ����� ����� ���C

Fμν = ∂μAν − ∂νAμ

=

⎛⎜⎜⎝

0 −Ex/c −Ey/c −Ez/cEx/c 0 −Bz By

Ey/c Bz 0 −Bx

Ez/c −By Bx 0

⎞⎟⎟⎠

�� ��G ����� � ������� �� ��������� � ,�-.����� ���� �������� �� �������� � Fμν & �� �� ���� ���� ���� ��))�� ������� � � ��� �� 5� � ��������C �� �� ��������� ����������

�∇× �B = ε0μ0∂�E∂t

+ μ0�, ; �∇ · �E =ρ

ε0

�� ������ � ���� � � 9� ���������;A

−∂2F12 − ∂3F

13 − ∂0F10 = μ0jx...

...c(∂1F

10 + ∂2F20 + ∂3F

30)

= μ0ρc2

%����(�∇ · �E =

ρ

ε0& �∇× �B = ε0μ0

∂�E∂t

+ μ0�,

)

⇐⇒ ∂βFαβ = −μ0j

α (α = 0, 1, 2, 3) .

(��������� � �

Fμν = ∂μAν − ∂νAμ

=

⎛⎜⎜⎝

0 −Ex/c −Ey/c −Ez/cEx/c 0 −Bz By

Ey/c Bz 0 −Bx

Ez/c −By Bx 0

⎞⎟⎟⎠

�� � �� �� ��������� ��������

�∇× �E +∂ �B∂t

= 0 ; �∇ · �B = 0

�� ������ � ���� � � 9� ���������;A

∂2F 03 + ∂3F 20 + ∂0F 32 = 0

... ∂1F 23 + ∂2F 31 + ∂3F 12 = 0

%����(�∇× �E = −∂

�B∂t

& �∇ · �B = 0

)

⇐⇒ εαβγδ∂βF γδ = 0 (α = 0, 1, 2, 3) .

"�#����

�� E� �� ���� � ������� ���� �� � ���� 0�-������ ��� � ������ � 1�++�++c ��� ������ � �������� >�� � ���� ���C �� ��� ������� �� ���� ����� 9�; !� ���� � ���� ������ ��N 9); %���L �� �� ���� ��� � ���'�� ���� �N

�� E� ������� �� ��G �� � �� �� ��� p ��'������� ���� ��� � � ��>� (������� �� ������ �4�>Qc2 �� �� ����� � ����� �� �� ����C ���� �� ������� ����� �����)��� � ����� ������ ��������� � X � � �� �))� �������� � �� ��� ���� �

p+ p→ p+ p+X

��� �� ������ �� ��� L �� ���� � 9H �� � �@���I;� ���� ���)���))� �� ���� � � �� ���� ��� � ������ ���� ��� � � ��> �����������'��� ��� � �'�� � ��������� ����� �� � ����������� � �� ���� ����� � 9H�������� )����I;N

�� �������� �� ���� � �� ����� �� ����� ��� ���� � ����� ��� � �� ���� � q = 10−6 � ��� ���� � 1�� �� �� ��� ���������� � �' ��������� ���'���� x : 9�; ��� ��� ��� � ������� ��� ��� �� �� ���� � �� ������� ��� ������ �'� ����� c/100 �� � ����� �'���� y; 9); ������ ��� � ������� � �� ��� �� �� ���� � ������ ���� �� 9�; "��� � �� ��� ��� � ������� ���� ����� �� ����� ��� ��� �� �������N

Page 20: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�� �&/�01�1 ��2 �& 3��&0�4�05 !/���&��

Page 21: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��� ���

������ �����������

Page 22: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x
Page 23: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�������� �

�� ������ ��� ����� �����������

(��� @�� �� ������ ����� �� �������� �������� � �� ��������� ��. ������ � �� ���� � ,�-.������'��� ������ ���� ���������� � � �� ��� �@����� 4�� �� � @���� �������� ����� � � �� �������� ������A �� ������ � ���� (����� ��������� � �������� � ���� �������� �F���� � �������� ��� ������ �������� �A �� �� ������ �������� ������� ��� ��� ����� ���� �� �� � � � ������� ��� ��� @���� ������� ������� ���� ������� )���@�� � 9���� ���� �; � ������C � � �� ������������������� L ���� ������� � � ������� �� ������� ���� � ���� �� ������C � � � �� �������������� ��� L ���� ������� � � ������� �� ������� ���� � ���� ����������'����������� �� ���� � ���� ��� ��� ������� �� ��

� ��� ���� @�����

���� �� �������� � �������

E�� ���� ��������� �� �������� ���� ���� ������ ��� �� ������� � �� ������� ���� �������� ������� � �� ���� � ��� � ����� � ����� ��T ����� � ���� �'��������� � �������� � �� � �

���� ���� �����A �� ����C �� @����� � � ��� ��������� ������ � ���� � � �� ��� � �� @����� � ���� �������� ��� ������ � ���� �C ����� D���� �� ����)���� ���� � �� ��������� ���� � ������������ ����� �� T > 0 ��� � ����������� ���� ��� ������ ��� �������� ������ � �

�������� �� �������� ������ � �� ��� � �� �����)� �� ���� � 9���� ���;� E� ��� �� ������� � L � ������� ��� )���� �������������� ��

���� ���A �� �������� � � �� � ��� ��� ��G������ ��� ��)�)��� � )�����2������ � R���� �������� �� �� �)������ �

�� ���� � I ���� ��� ������ �� �������� ���� ����� ���� '��� λ �������� �� �������� � ������� ���� ������ �������� � � �� ������� � �������� �� � � ������� ��� �� � ����)�� ��������� ���� ��������� �'���������� � ��� �

dI/dλ = 2πckBT

λ49����;

9��� kB L �� ��� �� � � 3�� ����� � c L �� ������ ����� ����; ����� �� λ → 0 9�� �� ��� �� ������� �;A � � � ���� ���))�� ��� �� � �� ��������� 9������� )��; � ���� ������� � � � �� ��� ��������� ����������� ������� ��� ���� �� ��� ��

� � ��� �� ������� �������� 96���� ����;� ��������������� ���� ���� � ���� ������ � �����A

�� ����� � 5 �����3�� �����A �'�� ���� � � ��������� �� ��� � � ���� ����

I = σT 4

��� σ 5.7 × 10−8 SQ9�2T4)� 5� �� � � �C������C �'�� ����� ���� 9����; ������

�� ����� � S���A �� ��� � � ��������� � ��������� ����� ���� ���� '���

λMAX =2.9μmT/1000K

9� ������� ����������� �� ���� ��� �� �����)� �� ���� � �� � T 6000 T;� 5� �� �� �C ������C �� 9����; ��� � ��������

Page 24: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�+ �&/�01�1 ��2 �� 13�7��� ����& ��!��& 68&�0�!0��&

6���� ����A 2�������� � ���� ����

�� ������� �������� � 2������ � R���� ������ �� � ������� ��� ���� �� ���� ���� ���� '����8�� �+11 0����B ������ ��� ���� ���� ����

����� � ���� ��� � � �������� � � � �������� ��� � � � �� ���� ���� '���� �� ���� � ������ �������� ��� ������� ���� ������ �)� ���C�� �� ��� ��� �� ������ ���� #����������C ������������ ���� ���� ����� ���� ��

E = nhf

��� f L �� �������� � ��)������C n L �� �� ������ ��� � h L ��� ��� �� �C ���� � ���� � ��� �� �� 0����B� ���� � ��� ��G � � ����� ��� ������������� � ��� � � � � ������ ��? �� � � ��� ������� ��? )���� ���� ��� � �� #����� � ������

E = hΔn f .

��� ���� � ��� ��� �C �'���������� � ��� � �� ���������� � ���� ��� L

dIdλ

= 2πc1λ5

hc

ehc/λkBT − 1.

0�

h 6.6 × 10−34Js

� � � ������� ��� ���� )�� ���� �� 0����B����� �� ��� ������� �� �������� � ���� ���&�� �� � � � �'���������� � 0����B ��� ���'����������� � 2������ � R���� ��� ���� � �� λ → ∞ ��� h→ 0�

6���� ����A (���� � ������� ��� �� ���������� �'�#� � �� ���� ����

"� ���������� ������� � ���� � � �� ��� ���� 0����B ������ ���� �� � �@��� �� ��� ��� ��������� �� ��)�����

���� "���� ! �������������� ��������

"���� -$�!�� ����������

%���� ��� ����@��� �� ������ ����� ����� � ��������� � �������� ��F���� ���� � �� � ���� ���)�� ��� ���& ��� � �� ������� � �#����� � ��� ������� V ������� � �� ��G ����� ������ ��� ����� � ����'����� � � 6���� ����� O ����� �������)��� � � �� ���� ����� � �'��������� � ��� ��� ���� ���%��� � ��������C �� � ���'������ �� ������C

�� ������� � ��� ��� ��� �� � ��������)��� ����@���� ��������� �� �� ������A

�� �'���������C �� �������C L �� �� ���� � �� ����� � ����� � ��� ����� ���'�� ���� � I ����� �������� 9������ �'��������� ������� �'��� ���� � ���� ���� � L ����������� ���'�� ����� � ���� �������� ������ �C �� ����� ������� � � ��� �� )��� � ��������� � ��������;�

�� 5� �� �������� ����� ��� ��� � ��� �� � � VL �� � �� ��� ��� � ������ �� J����C ������ � �� ������� �� �� ����� �� �� �������V = −Vs& VsC � � �� ������� � ��� �C ���

Page 25: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��2$ /������� ����� ����� ����� ���������� �-

6���� ����A (� �A !�������� ���� ���� � �����#����� � �� ������� ������� � >� 3����A ��������� �� �� ������� � ��� � ���� �������� �������� f �

����� � I� �'������ ���� ��� ���� ��� ��������� ����� ���� �������� ���� �������������� � � ��� ���� ��� �� ���� ��

�� �'��������� ������� ���� �� �� ���� � ��������������� � ��� �� � �������� � ������ f0C� �� �� ������� '��� � L ���� � ���� ������������ ��������

eVs = h(f − f0) .

�� ����������� � ���� � �������� � � ��� �� �� � �'������ ���� �������� ������ � �� ������

�� ������ ���� ��� ���� ��� ��� ��� �� �C � � ������������� �� �������� 8�� ����� ��G ���� ��� ������ ���� ����� �)� �C �� ���� � �'���������� ��� ��� ����� ������� ���'����� � ���'������� � ��� 9���� ���; � � ���� ���� � ��� ��� ������'� ���� %��� � ����� ����� ��� L � � �� ���� � �� �� ������� � ��� �C � � ����� �� ���� �� ���� ��� � ���� �� �� 9 �������� � ���� ���>;C �� �� ����� ���'��� ����"��� ��� ������� � � �'������ ���'��� �������

� ����� ������ � � �� ���� � � ���� �C � ���� ��� ���C �������� � ������

E = hf .

%����C �� �'������ � ������ ���� ��� ��� ����� � � ��? �� ��� ���� −E0C �'������ ���� ��� EK

������ � � ���� ��� ��� �� � � ����A

EK = hf − E0 (EK > E0) .

�'�� ���� � ���� �������� ������ � � ����������� �� ����� ���� ��� ��� �� ��� � � ��������'�)� �A ��? ���� � �� ��� ������ � ������� L ������� � ��� ��� ��� ��� ���� �� ���������8������ ���� �� ������������ �� �� � ���'�#� �

� �� ���� ���A � ������� ����� �� ���� �� � ��� ��������C ��� ������ �����C ����� ���� ��� �� ����@� � � �� ������� ����� � ���� � ����� � ������ �� ����� ��������� ����� � �� ������� ����� � ��� ��������� � �� �#� � ���������

"���� -$�!�� �����

8�� �+�� ���� �� ���� �� ���� �� ��)���� �� ����)����� � ���� ���� ���� '��� � ��� ���������������� ���C � ������� �� ������ � ���� =C ������� � ���'� �������� � � ��� �� ��� ������C�� ������� � ��@ �� �� ���� ���� '��� ������������ �#��� ���� ������ ���� � ����� �������� � ������ ���� �������� ������ � 9� ������� ���@�� ��� ���������� ���� ��������;C � ����������� � ���� ���� '��� ����� ���'������� ��������� 96���� ����;�%��� � �� ������� ������� ��� ����� � �����

��� ��� �� ���� ���� @���� �������� ������ ������� ���� ��� � � � �� �������� ��� ������ ����� ������� ��� ��� �� ������ �����C �� ��������� �#���C ��������� ��� �� �������C � �� � ����� �������� 9� ����� �� � ���� ���� ���� '���� �� �� ����� � ����������� ��� ���)��; ������������ ������ ��

Page 26: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

$. �&/�01�1 ��2 �� 13�7��� ����& ��!��& 68&�0�!0��&

6���� ����A 5� ��� �� ������� � ��� �������� ���

6���� ����A ,���� ���� ���� ���� '��� �� ��� ��� �#��� ��� ��� ���� ���� �� �� �����������'������ � ������������

0� ������� �� ��������C ���� �� ���� ����� � ���� ����� ���� ������ � �'�� ��� ������� ���� �� ��� ���� �������� ��� ������ ���C ���� ���G � � �� �� � ���'������ ���� ���� ��������� ����� � � � ������� ���� ��� ��� ��? �� ���� ���� ������C ���� ��� � ���� � H���������I���� ��@ ���� ���������� � ��� �� ���� �� ���� � ������ �

��� �� � � � �� �� ��� � ��'������ hf ������������ ���� ��������& ����'�� ������� ��� �'��� ������� ��� �� � ���'������ 9� ����� �� ��� ����� ���� '��� ����� �;� �� �� ������C �� ����� ���� ��� φ �'������ � �#������ �� �� ��� ����'� � ��� �'��� ��� � ��� Δλ �� �#����� � ������ ���� '��� �� �� ��� ���� � ��� �'� ��� ��G �������� 9����� ���� � ������� ��� ������ �� � �� ���� ���� ��� ��� � ��������; � �A

Δλ =h

mec(1 − cosφ)

��� c L �� ������ � ���� ����C h �� ��� �� � �0����B � me �� ����� ���'��� ���� �� ���� � ������� � � � ������� ������ ���� � � h/mc ����� � ���� � ���� ����

'��� ���� �� � ��� �� ������ � ����� m& ���'��� ��� � ����� � ���� ��� ���

���� "���� ! ����� ������� �� ���

5� �� ���� ��G ���� ������� ������ ����������CL ���������� ������ � � � ��� ��� � �� �� ������� ����� ����� � � �������� �� ������� � ����� L��������� ������� �� ��������� ����� ����

"� �� .������� �� �� /������

��G ���� � �� ���@�� ������� ����� �A �� �� �������C ��� ��� ��� ���� ����� � � �������� � �#������� ���M ���� �� ��� ������� �� �� ��� ���������'��� ��� �� ����� � ���� ��'��� � ���� ����

λ =h

p=⇒ p = �k ,

��� � = h/2π � k = 2π/λ L �� ����� '�����'��������� ������ � ����� � � �������� �

� 3������

"� �� �������� �� ������� �0�����

8���'��������� � !������� � 4��� 9�+�/; �� ������� � ��� ��� �� �� � ���� �� ��� ���� � ����B��C � � �� ��� ����� �� � � �� ������ �� �� ��)������ ������� ���� ��� ���� 5� ��G � � � �� ������� �� ����� �� ����� ����'�� ���� � ���� ��� ���

Page 27: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��2� !������ �� �'������� ����� ���'� � '������ �� 9�"� $�

6���� ���$A ,��������� � ��������� � �����)���� � ���� �����

�#���C �� ����� ��� �� ��������� � �� ���������� � ��� � H��� ��� ���� �I �J���� � ���������� � ������C �� ������ ��� ��� � ������ �������� � ���� =�� ���� � � ���� �� ����� ���� � � ��� ��� ��

�������� � � 3������( ������� � �� ��� ��� � � �� ����� � �����

�� � v = 107 �Q� L ������� � ��� ���� ���� '���� λ 7 × 10−11 �C ���'���� ���� �� ������ �� ���� ��

���� $�� � � ��������� ����� ��� � ������ � %�&

E� �� � ���� ��)���� ����� � ���'������ �� ���� ����� ������ ������� ��� � ���� !� �� �� ��� ������ �� )��� �� ����� ��� ��� ��� 9���� ���;�)� ��� � ��� �� ������ ����� ��� �'��� �)��� ����'� ���A ��� ��� ��� ���))�� ��� � ���������� �� �'��������� � � � ����� � ���� ���� �������� �C � ����� ���� ��� ������� ���� �C �� ���������� � �� � ���� � ��� L ���� � � ���)������ � � ������ ��� �� � ���� ��� ���C �� ��� �� ���� ������ ���� � ��� ���))� ����� ��� ������ 5� ������ �� ��� ��� � � �� ��� � ���� ����� ������ � � ��� ����� ��� 9���� � ������ ��������; ��� L �� ������� ��� ����C �� ������ �� �� � ���������C ���� �� �� ���� ��))� �� ����������� ���� � � ������ ������ �������� ���� ��� � ���C � �� ���� ������� ������ ����� ��������� ��� ������� 96���� ���$;� ������������ ������ �������� �� �� ������ ����)� ��(��� @�� �� ������������� ������ �� �����G � �

�� ���� ���� '��� ���� ���� ������ ���'������

6���� ���/A <�� � �������� � � 3����� �� ����� ��� �� ��'�)� � ��������

������������ ���� ��������

= RH

(1n2

− 1m2

), 9����;

��� n < m ����� �� �� � RH ��'���� ������ �� ��8�� ������ � 3� ��� ��� ��� �)� ��� �� ��

�� �� ������C ������ � ���� ���� � ���'� ��������� �� � ����5� �� ����� ���� � ���� ��� ��� L ������ �

��'���C L ������)��� � � ��� � � � � �)��� ����� ���� ����� � � ��� � ��������� 5��������� � ��� �)� � ���� ��� ��� �� �� � ��� �� �� ����� ����� � �� ��� ���� � �������� ������� ����� ������ �)� � � �)��� 96���� ���/;� 5� r L �� ��������'�)� �C �� ��� ����

2πr = nλ ; n = 1, 2...

� �����C � �������� �� �������� � � 3�����

2πr = nh

p=⇒ L = pr = n� .

�� ����� � ������� L �' ����� ���� ���� �� !����� ���� ��������� �� ����� � ������� �� ��G ������� �� ���� ��������� �� ����� �������� �� �������� ())����

14πε0

e2

r2= F =

mv2

r= 2

EK

r

=⇒ EK =1

4πε0e2

2r9����;

Ep = − 14πε0

e2

r

=⇒ EK + Ep = E = − 14πε0

e2

2r9����;

9�� �� � � � �� ������� �� ��� ��� ��������C�� ��� ��� ���L ��� ����� ���� � ��� � Z > 1

Page 28: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

$$ �&/�01�1 ��2 �� 13�7��� ����& ��!��& 68&�0�!0��&

�� ��� � �� ��� ���C L ��F���� � ����� ������ ����������� ��� � ��� 1

4πε0e2

r2 ��� 14πε0

Ze2

r2 ;�!�

L = mvr = n� 9����;

m

2v2 = EK =

14πε0

e2

2r9���$;

�� �����C ��� � ���� �'���������� � v = n�/mr����� ������ ���������C

r = 4πε0n2�2

me2≡ rn .

5� �� � � �C ���� ��� ����� �� � � � ���� �A

• �'������ � ��� L ���� ����

• �� ���� ������� ���'������ ���� ��� L ������� �� � ���� ���� ������� ���'�������� ������� �� ����� 9 ����� �� ������;�

�� ��? ������� ����� �� ����� �������� �� �������� � 3� a0A

a0 = 4πε0�2

me2= 0.053 nm . 9���/;

0��� D �� ����� � �'������ ���� �� �������� ��� � �� 9����;C �� ����� �� �� ���� ������������'������A

En = − 14πε0

e2

2rn= − 1

4πε0e2

2a0

1n2

= −13.6 eVn2

.

O ��������)��� � � �� ��� ���C ��� ������ ���� � � � � ������ Ei � ��� � � � � ������Ef < EiC ��� � �� ���� � � ������ 9�� ���; ��������� f ��� � � f = (Ei−Ef )/h 96���� ���$;�5� � �����

f =Ei − Ef

h=

14πε0

e2

2a0h

(1n2

f

− 1n2

i

)

� ���

=f

c= RH

(1n2

f

− 1n2

i

)

���

RH =1

4πε0e2

2a0hc.

< ������ ����� �� �������� 9����;�3� �� ���� � ���� � ���� ����������� ���

�� ���'������� � ���� �������� � � 3�����C���������� � �A

• � ���� � � � �������� �� �'��� ��� ����� ��������� L = n�C � � � ��� �����&

• �'� ��� ��� � � ����)� �������� ������� ��� ��� ����� � ��� � � � � �������� ����'�� �C � � �C � � ΔE �� �#����� � ������ � � �� � � �C �� �������� ���'��� ������� ��� �� ��� ������ ��� f = ΔE/h�

���� �����������

>��� �� @�� �� ������ ����� ������� ������� ����������� � �'�� � �� #������������� � ��������@����C � �� �� � � � �� ������� ������ ���� ��� ������ ����� � ��� � �� ����� � ���� ������������� � ��� ���� ����F���� ���'�� )������ � �� ����� ����� � �� �����

��� �� ��� �� � @����� 0� ������� �� � ��������'�� ������� ������ �C �� �� ������ ������� ������ ������� � � � �������� '��� �� ��� ������������ )������������ 9�� ���� ��� � � ��������� � ����;� �� ��? ������� ��)��� � �� ����� � ������� ������ ���� �� �������� ��������� ����� ������ � �������� � �� ����& �� ����� � ��?�������� ���)� ������ � ���� �� �����������$

"�#����

�� �������� �'������ � �� ����� � � �� �� ���� H����IC ��� ���� ���� '��� λU$�1 �� ��������� �� ���� ���� '��� � �� �� ��� ��������� ��� � ��1 �>�

�� 5����� � � �� �� ������� '�� ������ �� ���� ��� L Vs = 4.52 �>C � ������ �� ��������� � ������ �� ���� ��� �� ���� � ��� ����C �� ������� ������ ���� ��� �� �� ���� � ��� ����� �� �������� � ��� ���� '���� �11 �� � �� �� ������� � ��� � �� ���� ������

�� E �������� �� ����� � S���C �������� �� ����� ���� '��� ���� ����� �� ���� � � ������ �� ��)��� � 9�U�1◦�; ��� � �� �������� �������� ����� � � �)���� @�� � ����� ����� �� �� ������ � �'���� � ��� D ������� � � ����� ���� 9λU$�1 ��;�

�� 2���� = � ���� ���� '��� 1��� �� ���� ������� ������ �� �������� � ���� �� � �� ������

Page 29: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��2� ��� ������� $�

�#��� L ������ � � �� ������ � 60◦ ���� � � �� ������� � ��������� �������� �� ����� ���� '��� �� ���� = �#���C �'������ ���� ��� = �#���C �'������ ���� ��� ��� �#���� �� ��� ������� ���� � ������ '���������

�� 5 ���� �� ���� ���� '��� � � 3����� ��9�; ��'�� ���)��� �� ���� � �111 B� � � �������� � �11 B�Q � 9); �� �� ��� ��� ������� ��1 ,�>�

Page 30: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

$� �&/�01�1 ��2 �� 13�7��� ����& ��!��& 68&�0�!0��&

Page 31: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�������� ��

�������� ������ �� ��������� �����������

�� ��� �� �+�$ ".��� 5� 7���� �����G ��� ���� �������������� � � ��� �� ��� �)� � ����� �� ������ ���� �������� ���� @���� ���� �� ����C ������� �� �� �������� '��� ��'���������������� ���� ��������� ���� ��������� ���������"�������� ���� � � �������������� ����� �������

�� '���C �� ���� � ���� ��� ��������� �� ����� �� ��� ������ � �������� ��� ��� ��� ����@���� ���� �� ���C ����� � ������� �� �������� �:�����)��C �'�#� � ����� � �'���� ���� � ���������� �� � ������ �� ��� � � � � �� ��� ��� @��������������� ���������� �� ����� � ����������

� � ��� ������� �� �������� '��� ������� � ���� �� ������ �� �����C Ψ(�r, t)C � �������������� � �� ����� � ���'��������� �� � � ��������� ����������� � ��� ��� �������� '���A �'���������� � � �� ���� �� �������������� ������ ���� ��� L �'��������� � 5� 7�����

���� �� ����� ! ���� ��������� '���

>����� � ����� ����� � ������� ��� ������������ �� �������� '��� ������� � � ��� ��� ������C �� ����� �� � � �� ��� �� � �� �������� ����5� �������� ���� ��� � ���'�� ������� ��

�� ������ �� �������� '��� ����� ����� � ���������������>������� � � ����� �� ����� ���'��������

���'��� L ����C ��? ������ ��� ���� �� �� �������� �� ��� ��? �������� L ����� �� ������������ � � �� ����� ���� ���'�������� ���'���

� �� ��)�)��� � w � ���� �� �� ������ �� ������� � � � �����'�� �� �A

dw(�r, t) ∝ |Ψ(�r, t)|2 dV = Ψ∗(�r, t)Ψ(�r, t) dV 9����;

� � ������ �� ��)�)��� � � ���� �� �� ������� ��� ������ dV � �� �������� � ������������ � ����'��������� ������ � ������ ��� ��������� � ����������� �� �� ������ �� ��������� ���������������A∫

V

dV |Ψ(�r, t)|2 = 1

����������� �� Ψ(�r, t) ����� � �� ���� ����� ��� �'�� ����� L �� ��� � � � �� ������ V�� ��� �� �� ������ L ������)�������� � ������� � � �� Ψ(�r, t) ����� �������

�� ��� ���� ��� ���� � ������� ���� ��� ������ ���� ��� � ���� ������C ������� �� ��? ��� � ���� ��� �� ������ 9� ����� �����;�0� ������� � ���� � � ���'�� ������� ���� ���

�� ����� � �� �� ��� � �������� � L �����)���� � �� �� �������� '��� ����� �� �������� � ���������������� %��� � ����� �C � � ����� ������ � � �������� � �� ��� ������ ���� 9�� ��������� ����;C ��G ����� ���� � �#����� � � ���� �������� '��� Ψ1(�r, t) � Ψ2(�r, t) ���� �������������� � ��� �� ������C �� L ��� � �� ��� ����)�������� ������ c1Ψ1(�r, t) + c2Ψ2(�r, t) ��� c1 � c2����� ����������

����� ������ �� ���&�&����

�� J���� 9���� �; � ��)�)��� � �� �� ��������'��� L ������� �� J���� � ������ �� ��'����������

Page 32: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

$% �&/�01�1 ��2 �8�:�1�� � 1��& �� �68&:�1�� �� !�;3<���7�3

���M ���� �� J���� � ������ �� ��'��� � ������ ��'��� A ���� dE/Adt = (dE/dV )v⊥C ���v⊥ L �� �������� � ���� ������ � ������ ���'���AC �� J���� � ��)�)��� � �� �� �������� '��� Ψ����

dw/Adt = (dw/dV )v⊥ = |Ψ(�r, t)|2v⊥ . 9����;

���� �'��������� � $�&(�����

�� ���� ���'��������� � 5� 7���� �������'��������� '��� � � ��� ������� �� ����� ����� ������� � � ��� �� ������ ������ �'��� ���� ����� � 3�������� �������� '��� L ��� �������� � ����� ����

������ ���� ��������� � �� ����� �� )��� � ���� �� � ������ ���� � � ������ � �� �������� ���������������C �'��������� ���� ����� ���� L ���������� ��� ����� ������& �� �� ������C �� � ����@�� � �������� '��� Ψ(�r, t) �������� �� ��@�� � � � � � �� � ���� �� ������C ��� � �� ��������� eiγΨ(�r, t)C ��� γ L ��� ��� �� � ���� �)� ���C������� �� � ���� � � �A �� �����@�� � @���� � ��� ��)� ��� ��� ��� �� �� 9����;� %����C ��� �� ���� �������� '��� �������� ��� � � � � ��� � ������� ���� �� ������C �'������ L ��� � ����� �� �� �� ��������� � ����� ������ � ��8�� ����� � �� �������� � �� �� ������� � ��

��)���� ��������������� ���������� ������� ��� �� ������ ��)�� � ����� mC �� �� � ������'���� x ��� ��� ���� � � � �� � p� �� ��� ���������

E =p2

2m. 9����;

0� �� �� � �������� � 0����B � � 3����� �� 9����;���� �A

�ω =�2k2

2m. 9����;

5� ��� ������� � � �� Ψ(x, t) ���� ��� ����� �))������ �� ��� ��� Ψ(x, t) = ei(kx−ωt)C ���������� � �� ���� � ������A

∂Ψ(x, t)∂t

= −iωΨ(x, t) 9����;

��� � �� ������� �� ��� � ���� � ����������� �� �� � x � ������A

∂2Ψ(x, t)∂x2

= i2k2Ψ(x, t) . 9���$;

5�� � ���� ����� 9����; �� ���������� � ω �k2 � � �� ������� ���� 9����; � 9���$; � ��������@��A

i�∂Ψ(x, t)∂t

= − �2

2m∂2Ψ(x, t)∂x2

, 9���/;

� � L ����� �'��������� � 5� 7���� ��� ���������� �� �������� '��� � �� ������ ��)����� ��� ���� �� �� "��� �������� � ������ � � ����������� �������� �� ��))� �'��������� �� �� �� �� ������� ��� �� ���� ������� � �� �� ������� �� � ����C �������

���� �� ����� ���� ��� ����� 9����; �'�������� ������� U(x, t)A

i�∂Ψ(x, t)∂t

= − �2

2m∂2Ψ(x, t)∂x2

+ U(x, t)Ψ(x, t) .

9���*;

8�� ���� ������������ �'��������� ������ ������� �� ������ �A

i�∂Ψ(�r, t)∂t

= − �2

2m∇2Ψ(�r, t) + U(�r, t)Ψ(�r, t) ,

9���+;

��� ∇2 L �� �����������

����� 1�� ����� ��������

<�������� � � ����'��������� � 5� 7���� � ��������� ���� �� �� ����� ��� � �� � ���� �������� ����� ���� � � � �� � ����� �'���� x �'���� ��

px = −i� ∂

∂x,

� � ������ ����� �������� '���C � �����

�p = −i��∇ . 9����1;

%��� � L ��� �� ������� 9���� ����� �� ������ ��� ����������;A �� ��������� ���� �� ��� ����� ������)��� ���� ������� � ���� ��� ���� ��9���L �� � �� ��� ��� � � �� ��� ��� �������� ����'�� �;�5� �� � �� ���������� ' ��( � ������ �'���� ���

� ��������� '�'���� ��������

�� �������� ��� �� ��������� ��������C �@������'���� �� ����� � ������� ����

�L = �r × �p = −i��r × �∇ .

Page 33: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��2� /���� ���� ��=��� $�

�� ������ � ����� 9��� θ ������ ���� � ������� � ���'���� z;A

• �� ���� � ���'���� �� ����� � ������� �������� ����

L2 = −�2

[1

sin θ∂

∂θ

(sin θ

∂θ

)+

1sin2 θ

∂2

∂φ2

].

9�����;

• �� �������� � ����� �'���� z �� ����� �������� L ������� ����

Lz = −i� ∂

∂φ.

���� �'��������� � $�&(����� � ��������

�'��������� � 5� 7���� L ��'��������� ���� ����� � �������& �� ���� �� ������ ���� ��G ������ ���� � � ����� �� ������ � ���������� ��������)����0� �� ����� � ���� ������ �� �������� � �� ����

��������������� 5��������� � � �� �� ������� ����������� � �� ����C U(x, t) = U(x)& �� 9���*;������A

i�∂Ψ(x, t)∂t

= − �2

2m∂2Ψ(x, t)∂x2

+ U(x)Ψ(x, t) .

9�����;

0������ ��� ��������� ����� ����� �� Ψ(x, t) ������� ������ ���� ��� � � ��� ϕ(t) ������� � ���� �� ���� � ��� ψ(x) ���� ���� ����)������������ xC

Ψ(x, t) = ψ(x)ϕ(t) .

5�� � ���� ����� 9�����; � ����A

i�∂(ψ(x)φ(t))

∂t=

− �2

2m∂2(ψ(x)φ(t))

∂x2+ U(x)(ψ(x)φ(t)) .

��������� �� ���� � ������ �������� � ������ ������� �����A

i�ψ(x)∂φ(t)∂t

= φ(t)(− �2

2m∂2ψ(x)∂x2

+ U(x)ψ(x)).

!������ ��@�� ��)� � ���)� �� Ψ(x, t) =ψ(x)φ(t) �������� �� ����)���A

i�

φ(t)∂φ(t)∂t

= − �2

2mψ(x)∂2ψ(x)∂x2

+ U(x) .

� �� ���)� ���'����������� ������� ���� � ������ � ���� ���� ������ � ������� � ���������� "����� ������C ���� ����� ����� ������ � ������ �� �& � ��������� E� 5� ���� ����� �� ����������� �#�������� ������A

− �2

2m∂2ψ(x)∂x2

+ U(x)ψ(x) = Eψ(x)

i�∂φ(t)∂t

= Eφ(t) ,

� �C ���� D �� φ ����� ���� � t � �� ψ ���� � xC������� ����� ��� �A

− �2

2md2ψ(x)dx2

+ U(x)ψ(x) = Eψ(x) 9�����;

i�dφ(t)dt

= Eφ(t) . 9�����;

2��������� �� �������� 9�����; ������� ������)���� < ������A

φ(t) = e−i Et� ;

���� DC �� �� �������� � "��� ����0����BC �ω�������� �'������ ���� �� ������C E �� ��� �@����� �'������ � ������ ��������� ���'��������� � 5� 7���� �� ��

�� ������� �������� � �� ���� L ����� ����������� �� ���

Ψ(x, t) = ψ(x)e−i Et�

��� �� ψ(x) ����� ���� ��������� ���� 9�����;C � �L � � ��������� � 5� 7���� � ��������� 5��� � � � �� 9�����; L ��'��������� ���� �� �������& �� �������� � � �� �������� ������� � ���� ��� ��������� 9��������� ����;�

���� "� ������ ��#��

�� ���� ��? �������� � �� � �� ��� ��������� �� � �� �� ����� � �� ������� ��� �� � 9�� ��������)��;& ����� ���� �� ������� � �������� ���U(x) = 0� �'��������� � �������� ���� �A

− �2

2md2ψ(x)dx2

= Eψ(x) .

Page 34: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

$+ �&/�01�1 ��2 �8�:�1�� � 1��& �� �68&:�1�� �� !�;3<���7�3

�� �� ��������� ψ(x) � �� �������� '���Ψ(x, t) ���� ���� � ���� �� � �������� Ψ(x, t) =ψ(x)e−iEt/��5������� � � ��� �� ������ ���� ������ ���'����

��� � ��� E ���� �� ������& �� ���� � � � ������� ���� � ���� ���� �)��� �� ��������� ��� � �E ≥ 0� O �� � ��� � �� � � �� �� ��� ��� ���� �����)��� �������� '��� ��������� � ���� ���)����C �'��� �����A

Ψ(x, t) = ei(kx−ωt) .

5� ��������� �'��������� � �������� � ������

ψ(x) = Aeikx +Be−ikx (k =√

2mE/�)

� �����

Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) +Be−i(kx+ωt)

��� k =√

2mE/���� ��������� ��? ������� L ����� �� ���)����

����� ������ � ��� �������� '��� ��������� �� ��� �� ������ � � ������� ��� ���� ���� ��� ����� x � � ��� � � ������� ��� ���� ���� ��� ����xC �� ��)� ���������� � 9�� ��)�)��� � |Ψ∗Ψ| � ����� �� �� ��� � ��������� ��� ����� � x;�

���� �'��������� � $�&(����� � �� #��� � �� �������

�� ���@�������� �� �� ������� �� ���� � ���� L���� � ����� 6���� ����� �� �� ������� L �������� �A

U(x) =

⎧⎪⎨⎪⎩U0 x < 0;0 0 ≤ x ≤ a;U0 x > a

���� �� ������� ����� � � )��� � �� ������� ���� � @�� �C � ��� �� ������ �� ����� ����� ����@�� � ����� ������ 0 < x < +a �� �� �������� �� � @�� � U0 �� �� ��������%�� ��� ����� � � ������ �� ���� ���� � �� ���

�� )���� � ��� � '�� ���� ��@�� �C � ����� ���� ������ L ���@�� � ����� ������ 0 < x < aA

U(x) =

{0 0 ≤ x ≤ a;∞ �� ���� ��

6���� ����A 3��� � �� ��������

��� ���� � � � � �������C ���L ��������� ����

−�2

2md2ψ

dx2= Eψ ,

��� ψ(0) = ψ(a) = 0 ���� D ψ = 0 ���U L ��@�� ��5� � ����

d2ψ

dx2= −k2ψ con k =

√2mE�

,

�� ��� ��������� ���� �� ���

ψ(x) = Aeikx +Be−ikx .

�������� �� ���� �� ������� ������ � ������ �������� ������� �� �A

ψ(x) = (A+B) cos(kx) + i(A−B) sin(kx) .

2���� � ����� � � � �� ���� ψ(0) = 0 �� �������� ��� ����� �����& �����

ψ(x) = A sin(kx) .

5� �������� � � �� ����� ���� ���� ��������C�� ��� � �� 1 � aC �� �C ����� ���� A =

√2/a�

�������� � � ψ(a) = 0 �����

ψn(x) =

√2a

sinnπx

a9�����;

���

En =�2

2mn2π2

a2= n2

(�2π2

2ma2

)≡ n2E0

Page 35: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��2� 9� � �� ���������� $-

6���� ����A (� ��������� �������� �� �� )��� ��� ������� ��@�� � � ������� � �������

� n �� �� �������� 9�� n = 0 �'�� ��������� ��� L���������)���;�

�� ������ �������� ���� ����� ���� ���� � ����� � ������� ����� ��� ���� ��� ��� ����'� ��� ������� 9�'������ L ����������� �� ���� � ��� ����� ���� ��� n;� 5� �� � ���� � � � �� � �� � � ������ ������ 9n = 1; � ������ ���� ���������� � 1�

�� �� ��������� � �)��� ���� ����� � � �� 6�������� � ���������� ���� � � � � ��������

����� 1�� ����� ��� �����

�'��������� � 5� 7���� � �������� L

− �2

2md2ψ

dx2+ U(x)ψ = Eψ ,

��� U → U0 �� x→ ±∞� 5� E > U0C �� ��)� ����������� ���� �������� � � ��� �� ���� � � � ���� �& � � ��� � � � ����� ��� ���� �������� 9��� � ���� ����;� 5� E < U0C �'L ��� ��������� @������� ������ �� ��� ���������� ���'������ E�

�� @��� ���� ������� � �� �������A �� �� �������� � �� ������� � ��� �������� )�� ����� ���������� ���� �� ���� 9�� ��� ��������� ���������� � ����'�� ��� ���� ��������� � ������)�� ����� �� ���� ��� �;�

6���� ����A "����� �� ������� �� ��� ��������)�� �����C � ��� � ���� �� �������

����� ������ �� ���� &�����'������

"' ��'���� �� � �� ������� �� ���� ������ ��<� �� �� ������ L ������� � � ��� )���� � ������� ��@�� � � ������ �� �� ����� xy 9� ��������� ���� � � �� � a;� �� ��������� ���'���������� � 5� 7���� ����� �� � ���� � � ���� ������ ���� ���� �� ��� ���������C ��� � �� �� �� � � ��� ���� �� �� ��� � �� ��)���� � �� ����)���A

−�2

2m∂2ψ(x, y)∂x2

− �2

2m∂2ψ(x, y)∂y2

+ U(x, y)ψ(x, y)

= Eψ(x, y) .

�� ��������� � ���� '��������� �� ��� ����� ��� ����� � � ���������� ���� ����)���� ��)��� ����� �� ��������� �������� � ���� ��� � � �� ���� � � ��)�)��� � ���� ���� )���� ��� ��� ������ � ������ (��'�� ��� �� ��� ����� ��������� � ���� ��� �������� �� ������ �C ψ(x, y) = X(x)Y (y)C ��� X � Y ���� ����������� ��� ���� � �� ��� � ��� � ��� ������������������A

X(x) = Ax sin kxx+Bx cos kxx

Y (y) = Ay sinkyy +By cos kyy ,

� � ����� '��� kxC ky ���� �� �� ��� � ������ ���� � ������� ���� ��������� � � ��������� � ��� D �� ��������� � ���� ��� ���� �)����� (�������� �� ��������� � ��� ���� � �� )��Cψ(0, y) = ψ(x, 0) = ψ(a, y) = ψ(x, a) = 0 �� � ��������� ��� �� ������� � � �������� � � ��� ���� ��������� 9���������� � �� ���� ���� ��)������� � ��� ���)��� ����� ������� � �� )��C

Page 36: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�. �&/�01�1 ��2 �8�:�1�� � 1��& �� �68&:�1�� �� !�;3<���7�3

���� �� ����� � �� ��)��;� �� ������������ � ����� '��� k ���� ��� ���� ���� �C � �'������� L ����� ���� ���� � � �������)��� �� ��������� � �� ����� ���� ���� �� �������� '������������ � � � �� � ���� L

ψ(x, y) =2a

sin(nxπx/a) sin(nyπy/a)

� �'������

E = E(nx, ny) =�2π2

2ma2(n2

x + n2y) = E0(n2

x + n2y) .

�������������

<�������� � � �� ���� ������ � ����� ���� ���� �#��� � 9����� �#��� � �������� '���; � ����� �� � ���� ������� � ����� (nx, ny) = (2, 1) �(nx, ny) = (1, 2) ���� �� ��)� E = 5E0� %��� �L �� ���� ������� � ����������� ���� �� ������ ���� ������ �� � � L � � ����� � ���� �)����� ���� � �� �� ������ � ����� ���� ��� ����������� � ��� ����)�� ���� ���� ������ �� ����� � �� �� ������� ��G ����� ��? ���������A �������� (nx, ny) = (1, 7) � (nx, ny) = (5, 5) ����������� ���� � ���� ������C 50E0� ,� �� ��������'��� 9� � ��� ����� ���� �; ���� � �� �� ���� ��������� � �#��� �� �� ����������� L ������ ��� ��� � ��? ��������� 9�� ��� � ���� ��� �#�������� � ����������� �� �� ����� �� � �� ��� ���@���� � �� �����)��� ����������� ���� �� �� �;�%��� � � � �� �� ��� )������� � �� ���� �

��� )��� � �� ������� �������������

���� �� �������� '��� ����������� )� *�����#��+

())���� ��� � � � � �#����� �� ���� ��������C��� �� ������ ���@�� � �� �� ������ � � ���� ����� a = 2Δx ��� ��G � �� ����� �� ��� ���� � �� �� � L ���� � 9��� L �� � �� ����;C � �� ���������� ���� �����)��� �������� �� ���� � �������� �� ����� ���� ���� � � � �� � ��������� ����� ������ ������ E1C � ���L

Δpx = |px| =√

2mE1 =�π

a=

�π

2Δx∼ �

Δx9����$;

� ������ Δx �� ������ ���� ���� ��� ��������� ������ � x � Δpx �� ������ ���� ���� ������������� � ���� ���� � � � �� � ����� x

ΔpxΔx ∼ � .

�� �������� ���� ������� � ����� � ���� ���������� �"������� �������� ��������������� ��(�� � � ������ � ���� �� ��� ���� '������

����� ����� � ���� � ��'������� �������� '���� ����������� ���� � ��'��� L ������)��� ������� �������� f(kx − ωt)A � � �� �������������� � �� �� ������ � ����)��� (p = �k, x) �������� �� �� ������ (E = �ω, t)� 5� ��� ����� ���� ������

ΔtΔE ∼ � . 9����/;

�'������ ��� L ����� �����)��� �� ������ �∼ �/ΔtC � ���� � L ��� � �� ���� � �� ������ ���������������� ���'������� 5� ��� ����� � ����ΔtC �� ������� ���� ���� � � ������ ��������@�� � �/Δt�

��(�� ����������� ��� ���������$������������

�� ��'��� ����� �� ���� ���� '��� 9� �� ������ '���C k; ���� ���� ���� � �@�� �C � �'���L � ����� � ���������� � ����� ������� "��� ������)� ����� �� � � ������� ��� �� ��������� ����� � � 3������ ( �������� � ���� ����� �C L ���� � � ��� � � ����������� ����� ����� � ����� ���� ���� '��� �� ����� �� �� �������� ��? � ���� ���� � � )� ���� �A�'��� ���� �� � ��� ���������� � � ������������ �� ����������� ���� �� ������� ��� � ����(��������� �� � ���� ���� '��� �� ��������������� ��� ����� ��? � ������ ���C @�� � �������� �'���� � � �� ���� � � ��������� � �� ������� � �������� Δx� �� ��������� ����� � ������ � ����� ������ � ����� ���� ���� ���� '���C�� ��� � � ΔxΔk ∼ 1A �� �'��� L ���� ���������� �C L �F���� � ���� ��� � ��� ������ ������� ���� ���� '��� � ��������� �� � ���� ������� L �� �)��� ��� ������ �� ����A �� ��'����������� �C �� � ���������� ������ ���� ��������� ������� �� ��� �� ���� ����� � ��� ������� ������ � �����C �� �'��� �� ���� ����C ����� �������� ��� ���� � ����� �A ΔtΔω ∼ 1�

Page 37: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��2� &���� ���������� �>��'��������� ������� � ������ ��

"' �� �����)��� �� ���� ���� � ����� � ��� ����������� ���'��� � � 3����� ��� ������� �������������� ����� ����������� @���� �� ����������� ��� ���� �� �������� � ��� � � � p = �kC ���� ΔxΔk ∼ 1 ��

� ���� ΔxΔpx ∼ �� (��������� �C ���� E = �ω� ���� ΔtΔω ∼ 1 �� � ���� ΔtΔE ∼ �� %��� ��� �������� ��� � ������� �� ���� 9���� ������� � ������������ � � ������� ����; �� ��������� ��� ���������� � :�����)��� �� �� ��� ����� �)������ �'�������)��� � � � ������ ����� �������� � ��� ��������� ������ � ��������� � ������ �9������ � ����; � ��� �� ������� �� ������������� ���� ������A L ������ ���� �� � ��������� �'��� ���������� �������� � ��'��� �� ���9��� � �� ������ ������ ������� � ����� ��� ��������� ���� �;C �� �� ��� �� ������ �� ��������� � L ��� � ��? �������� � � �������� �� ����� ���� �� � � �� ����� ������� !� �� � L ���� �� � ���� � � ������ �� ���� � ���'����� ������� �� ����� �������� �#� ��� ������ ���������� � ������� �� ��� ��� ��� ������ � ����� x��� � ��$ 106 �Q�C �� � ��� ��������� ���'�VC ����������� ����� ��������� ����� x � ��� � � �� ���A px = 3.3 · 10−24 B� �Q� � Δpx = 3.3 · 10−26 B��Q�C L Δx �/ΔpxU1��·10−9 � 9���'���� ������ � � �����;�������� �� ������� ������ ����� ��� ������

�� � �C �� ������� ��� �� ������ ��������� � ������ ������C �))���� )������ ���� ���)�������� ������� � ��� ��� ����� ����� '��� �k� �� ������ '��� �k ��������C � ����� �� ��������� � 3����� �p = ��kC ���� ���� � � � �� �A ������ �� ���� � � � �� � � ��� �� ������ ��������� ������ ������ ��� �� � ����� )�� �@�� ��5� �� ����� �� ��� ��� @���� �� �� �� � ���

�C �� ��� ������ ������� ������ � �� � ����� ��� ����������� 2��� ��� �� ����� �� � � ����� ����� �#��� �C ��� � �� �� � � � ���������� ��� ��� L �� � ����� 5� ���������� ����� �� ������������ ��� �� ���� ���� ��)�)��� � � � � �� ����A L �������)��� ������ �� ������� ���� �C �� ��� �� � ����� 9� ��� �� � ��� ��� ������; �� ������� ��� �� �)������ � ��)�)��� �� �� ������������� �� ��� ������� �'����� � �� ��� ��� �� ��������� ��� �� �)������� �'L ��� �#����� �� ����� � � �� ��� � ��������� ���� �� ���A ����� �����'��� �������� L ����� � ���� �������� � ����������� �� ��� ��� ���'������C ����� ������ �'���� �������� L �� ������ ���� �� ��C �������)����

6���� ����A 4���� � �� ��������

�'�������� ���'��� � � 3����� L ������� � ����� ��)�)��� � � ���� �� �� ������A ���M ���� ����)�)��� � � ���� �� �� ��� � 0����B L ������������ �� ����� ���� ���'�������� �� �������� ��� ���'���C �� ��)�)��� � ���� �� ��� L ������������ �� ����� ���� ���'�������� '���� � 3������

���, $�������� �� �� � �� �������� �������������� ���� �� � � � �

���������� � ������ � ������� �� ��������� ���'���������� � 5� 7���� � �������� �� ��� ���������� �� �� � ��� � �� ������� U(x)� (���������� ��� � ���� ������� ������� ��� ���� ��������� ���� � � ��� ��

��2�� 0����� �� ��������

8���� 6���� ���� ����� �� ��� ���� � �� ��)����� ��� �� ������ ��)�� � � ������� ������ ��x ������ � ����� � �� �� ������� ��� �� � U(x) =U0� %��� � ���@�������� ����� � � �� ������ �� ���������� �� ������� L ���M �@�� �A

U(x) =

{0 x < 0U0 �� ��� .

Page 38: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�$ �&/�01�1 ��2 �8�:�1�� � 1��& �� �68&:�1�� �� !�;3<���7�3

6�������� � ���� � �� ������� ��������� �� ��� ������� �� �� ��� ��� �� �� �� ���� �� ������� ����� ����@���� (��'�� ��� �� �� ���� �'��� ���L �� ���� � ���'������ � �� �� ������� ��� �� �C��� � ���� ���� ����@��� ����� � �� �� �������)������� � ��������!�� �������� �� ����A

�� �� �� ������ �������� � ���� x ���� ��� ������� ���� ��� E < U0������������ � �� �� ������� ����� ���� � ������ � ��� ���� � ��� ��������� � � �� �� ���� )�������� ������ ����� �� ������ �������������� x = 0C ��� ���� ���� x ������� �C �� � � ����� �� �� ����� ���'������� ������������ @�� � �� ����� � ���� �� ��������� �� ������ ��� ��G ���� �� ����� ���������� x ���� ��� ���� D �� ��� ������ ���� �������))� ���� ���� %���� ������ �� ���������� �������� �� �� ������ ��� ���� �� �� ������ ��� �� � � H��)�����I ��� ����� � ��� ������� ��� �� ����� � ������ �� ����� ������ � �� ���� � ������ � �������� C ���������� �'������ ���� ��� E = p2/2m� 8����� � '��������� x = 0 � p = 0�

8�� ���� ���� �� ��� �������� �'��������� �5� 7���� � �������� �� �� �� ������A

− �2

2md2ψ(x)dx2

= Eψ(x) (x < 0)

− �2

2md2ψ(x)dx2

+ U0ψ(x) = Eψ(x) (x ≥ 0) .

5� �������� ����� ���� � ���� � �� ���������� ������� �� ��������� �� x = 0 ����� �� ��������� ������ ����� ������ �C ���� ���� � @�� �C ������� ���� ���� � ����� 5����� ���� ���������A

ψ(x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Aeik1x +Be−ik1x x < 0(k1 =

√2mE�

)Cek2x +De−k2x x ≥ 0(k2 =

√2m(U0−E)

)

C = 0 �� � ���� ���� ������� � � ����������)��� �& �� ��������� � ��� ���� � �� �� �� ���������� � � �� ��� ���� � ��� ��� � x = 0

�������A{D = A+B

−k2D = ik1A− ik1B

5� � �����{A = D

2 (1 + ik2k1

)B = D

2 (1 − ik2k1

)

�� �������� '��� ��������� � ����⎧⎪⎨⎪⎩

D2 (1 + ik2

k1)eik1xe−iωt

+D2 (1 − ik2

k1)e−ik1xe−iωt x < 0

De−k2xe−iωt x ≥ 0

�'�� ��� ������ @���� ���� ���� L � � ���� ������ ���� x < 0 �� �������������� ������������ '��� ���� ��'��� � �������� �����'��� ������ � � ��� �J����� ������������ ���F���� � � �J������� R � � ����������� �L � � �� ���� � �� �� �������� ���'����J���� B � ������ A ���'��� ������ ��

!� � �'���������� �� J���� 9���� �; � ���)�)��� � ����� � ����� 9����;C ����� R =vrifB

∗B/(vincA∗A 9�� ���� � ���� �� �������

� ���� ��� �J���� � ������ � ���� ������;�5� � ����A

R =B∗BA∗A

=(1 − ik2/k1)∗(1 − ik2/k1)(1 + ik2/k1)∗(1 + ik2/k1)

= 1 .

�� ����� � ������ �� ���� � � � � �� �� ����������� ����� �J���� �� E < U0C �� �������� �� ��������� ��������� �� ���� �� ���������� ���� �� ��� ������� � L � � �� ��)�)���� � � ���� �� �� ������ �� � �� ����� ���L ���� ���� � ����� ������ x > 0A

Ψ∗Ψ = D∗D × ψ∗ψ × ϕ∗ϕ = |D2|e−2k2x

��� k2 �����

�� ��)�)��� � � ���� �� �� ������ � x > 0 L@�� � � ��������� %��� � �������� ���� �� �������� � � ���� ������ ����� ������ ���)� ������������ ��

)� �� �� ������ �������� � ���� x ���� ��� ������� ���� ��� E > U0������������ � �� �� ������ ����� ��� ���

Page 39: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��2� &���� ���������� �>��'��������� ������� � ������ ��

������ � ��� E � ����� � p1 ��� � � E =p21/2m ����� ������ ���� x < 0 ��� ���� ����� ��� ���'����� 8�� ��� � x = 0 L �� ����� � � ��� ���� � � �� ����� � ��� ��� �� �&����� ������ ������ � ����� � p2 ��� � �(E − U0) = p2

2/2m�

5� ���

ψ(x) =

⎧⎪⎨⎪⎩Aeik1x +Be−ik1x x < 0

(k1 =

√2mE�

)Ceik2x +De−ik2x x ≥ 0

(k2 =

√2m(E−U0)

)

2������� � � ����������� � ��� �� ������ ������ � �� ������� @���� � ��)�)��� � � � � � ������ �� ����� ��� ��� � x = 0� >������ � ���� ����� ���� �� ������ � ������������� ������ ���� � �� �� ��������� � ����� ��� �������� � ��� �� ���F���� � � �J�������� � ����������� 5� ���������� ���� ��������� �������� � � ��� �� ��� ��� �������� � �x → +∞C ����� D = 0& ���� ��������� ������ �� x = 0A{

C = A+B

k2C = k1(A−B)

5� � �����{B = Ak1−k2

k1+k2

C = A 2k1k1+k2

.

�� �� ��������� ���� �����

ψ(x) =

{Aeik1x +Ak1−k2

k1+k2e−ik1x x < 0

A 2k1k1+k2

eik2x x ≥ 0

�� ���� ���� ���� ψ(x) �� x < 0 �������� � �'��� ������ � ��� � �� ������ �'���� �J����& �� ������ ��������� ������ �������� � �'��� �������� ���������� ��R = vB∗B/vA∗AC ���L �� ���F���� � � �J�������� ���� �� ���C � � ������� � �� ��)�)���� � ���� �� ������ � ����� �J���� ����� ������x < 0A

R =(k1 − k2

k1 + k2

)2

( �#����� �� ���� � � ��������C 0 < R < 1A�� � ���'��� ����� �J����� �� ���F���� � � ���������� L T = 1 −R�

6���� ����A 3���� � �� �������C ��� ������������������ ���'�#� � ������

��2�� -� &������� �� �������� ��$�!�� ���

8���� )���� � �� ������� 96���� ����;A

U(x) =

⎧⎪⎨⎪⎩

0 x < 0;U0 0 ≤ x ≤ a;0 x > a

5��������� E < U0 � ������� k1 =√

2mE�2 �

k2 =√

2m(U0−E)�2 � 5� �

ψ(x) =

⎧⎪⎨⎪⎩eik1x +Ae−ik1x x < 0;Be−k2x + Cek2x 0 ≤ x ≤ a;Deik1x x > a ,

��� �� �� �� ��� ������ ��� �� ���� �����9��� ������ � ��� � �� )����; L � � � @��� ��)� ������ � ���'��� ��5� �� � � � �� ���� � ���� �� �� �� ��� ������ ��

�� C ���'������������ ��� ������� � ���� � ���� ���� ��� ��� ������������ � ���������A �'�� ��������� �������� ��� ����� ������ �� ������ ������������ � ���� � ����� @�� ���������� �� ��������� � ��� ���� � �))����

D =−4ik1k2

(k2 − ik1)2e(ik1+k2)a − (k2 + ik1)2e(ik1−k2)a

� �� ��)�)��� � � ������ ���'�� � �� � ����

Page 40: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�� �&/�01�1 ��2 �8�:�1�� � 1��& �� �68&:�1�� �� !�;3<���7�3

)���� '�-���� ������( L ����������� �

|D|2 =4k2

1k22

(k21 + k2

2)2 sinh2 k2a+ 4k21k

22

,

� � ���� ���� �� ������������ ������� � �� k2aC�� L ����� � ��� 9�� ����A �� �� ������� �������;�

���- �'������� �� ������� ����� ���������

E�� �� ������� ��� � ������ ��� ������ @���� ����������� ��� ���� �� ��� L )��� � �� ���� � �� ������ ���C �� �� ����� �� �� � L � ��� ������� ���� ������� 9�� ������� ������������;� �'� ��� � ������ �� ��������� ���� �� ��� �� ���� � ����L � � ���� ��� � ����� �� ����� ��� � � �� ����� �� �� �������������� � ��� ��� @���� � �� ������ ���� 9�� ������� ���� ���� � ���'������)������ ������ �� ������� � ������ � ���� ���CU(x) = kx2/2;�E� ��� ��� ������� ��� � N > 1 ��� � ��)��

� ��G �� ������� ����� ����������� � ������ � ��� ����������� ��� ��� ���� ������ � �������� � �� N ��� ��� ����������������'����� ������ �������� � ���� � ��)���� L ��

������ �� 0����� �� ��� ���� ������ � ��� ���� � � ������)��C �� ���� ��G ����� ���� � �����'���� ���� ����� � :��B�

F = −kx��� k > 0 (U(x) U(0) + 1

2kx2)& �� � ����� ��

�� ������ ����� � 8�. ��

d2

dt2x+ ω2x = 0

��� ω = 2πf =√k/m ⇒ k = 4π2f2m � ��� m L

�� ����� ���� �� �������5������� �� �'��������� � 5� 7���� � �����

���� � ������ ψ(x) �'�� ��������� ������� � ������� U(0) = 0A

d2

dx2ψ(x) − 4π2f2m2

�2x2ψ(x) = −2m

�2Eψ(x)

� �����C ������ γ = 2mE/�2 � β = 2πmf/�C

d2

dx2ψ(x) + (γ − β2x2)ψ(x) = 0 .

�� ��������� � ���� � ��������� �� � � � ������� �� ������� � �����)��� ����� � γ � ���L���'������ E� �'��������� �#�������� L �������������� �� � ���F���� � ��� ��� �� �� 0� �� ��� �� � ��������� �� ����� ���� )�)�����@� 9�� ����� �� � � 4����;�(��� @�� �� ������� �� � ����� �'����������

���� �� ������A

En = hf(n+ 1/2) con n ∈ N0 .

�� ����� � E �#����� � ������ ���� ���� ����� ������� �� � 0����B �� ��� ��� �� � �� ���E0 = 1

2hf = 12�ω� %��� � ���� � � L ���� �� �

���� D �� ��� � � ����� � � � ���� �� ��� � ������������ �� �� ������ �� ���� � �� �� ������� 9�'�������� ��; ��� ��G ����� ����C ����� ����������'������ � ��� � ��� E0 > 0� �� ������� ���'������ � ��� � ��� L ���� � �� �������� � :������)��A ������� ������������ ������ � � �������� � � ������ � ���� )��� � �� ������� ��@�� ���'���������� ���� �� ��������� ��������� � L ��

������ �A

ψn(ξ) = Ane−ξ2/2Hn(ξ) ,

��� ξ = x√βC �� Hn ���� � ������ � �� .�� ���

�@�� � ����

Hn(ξ) = (−1)neξ2 dn

dξne−ξ2

9����*;

� �� �� �� � �������������� ����

An =

√ √β√

π2nn!. 9����+;

� ���� � �������� � :��� � ����A

H0(ξ) = 1H1(ξ) = 2ξH2(ξ) = 4ξ2 − 2H3(ξ) = 8ξ3 − 12ξ .

8���� @��� ���$ ���� ��� � � � ��@�� ���� ����� �� ��������� ���'������� �� �������A �� ����� � � ��)�)��� � 9�� �������� ���� ������ � x;�� n )���� L ��� � ����� ���� � ���'�������������� ���� ����������� ����������� ������� �� �� � ����� � n

9�� ��� �� @��� ���/C ��� �'������ � �������� �

Page 41: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��2+ � �� �������� ��'��� � �� ��� ��'������� ��

6���� ���$A 0��� �� ��������� ���'������� �� �������� �� �������� ���� ���� ���� � x ���� ���������� � ������)��A ���� �'�� ���������C �� � ������ � � ��)�)��� ��

6���� ���/A 0�)�)��� � ���� �� ��� 9����� ��� �����; � ������ ���� ������ � �� �� ��������� ����������� �������� 9����� � ����� �; �� nU� �nU$�

������ ���� �� ��� ���� ������ � � �� ����� ������ � n;� �'������ � �������� L ������� � ����'������ �� ����� ���� ������ �C � � L ������������ ���� ��)�)��� � � ���� �� ���� �� ����� � � �� �� �� � � ���� �)� ����

5� �� � ��@�� � � ���� D �� �� ������� L ����� ���� �� �� ��������� ���� ��� � ����� ���� � � �����)����� � � ����� ���� x�

��3�� 4������� �� �������� � ��'�������

())���� ��� � � � �� �� ��������� ��������� ��� �'������� �� ������� �������������� ���� �� ���A

ψn(ξ) = Ane−(ξ2/2)Hn(ξ)

0� �������� � :��� � �� ������� �� ��������A

ξHn(ξ) = nHn−1(ξ) +12Hn+1(ξ) 9����1;

d

dξHn(ξ) = 2nHn−1(ξ) . 9�����;

5� ����� ���� 9����+;C 9�����; � 9����1; � �

ξψn =√n/2ψn−1 +

√(n+ 1)/2ψn+1 9�����;

d

dξψn = 2

√n/2ψn−1 − ξψn 9�����;

� ���C ������� �� 9�����; ����� 9�����;

d

dξψn =

√n/2ψn−1−

√(n+ 1)/2ψn+1 , 9�����;

� � ����� � � �� � � ���� 9�����; �A

1√2

(ξ +

d

)ψn =

√nψn−1 9�����;

1√2

(ξ − d

)ψn =

√n+ 1ψn+1 . 9����$;

!�@����� � ���� ���)� ���� ������ ����� �� � �� ������ a � � �������� a+A

a =1√2

(ξ +

d

)9����/;

a+ =1√2

(ξ − d

). 9����*;

"��� ������ ��� ��� ������ �A

aψn =√nψn−1 9����+;

a+ψn =√n+ 1ψn+1 . 9����1;

>����� ���� �������� �� �� ������� � � � ������ ���� ��� nA �'���� �� � �������� ������� �'�� ��������� ���� � � � n �� ������ ����� � � ������ ���� � ������� n + 1C ���������'���� �� � �� ������ ������ �'�� ������������� � � � n �� ������ ���� � � � ������ ���� ������� � � ����� ���� ��� n− 1�

Page 42: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�% �&/�01�1 ��2 �8�:�1�� � 1��& �� �68&:�1�� �� !�;3<���7�3

6���� ���*A 5� ��� ���� ��������� � ������������ � ����)���� �Q��������� � �������

5� �

ψn =1√n!

(a+)nψ0 .

5� � ��� �

a+aψn = nψn

�� ��� �������� �@��� �'���� ��

N = a+a

� � � ��� � ���� �� ��� �� ���' ���� ������ � ����� ������ n� �'���� �� ���� ������ ��G ������������ �� ����� ���� ���� �� � �������� ��� ������ ����� � ��A

H = hf

(N +

12

). 9�����;

5� ��@�� ������ ���� ���� � � � ������� ���� ��������� � �� ����� ���� ��� n = 0�'���� �� � �� ������ a � ������A(

ξ +d

)ψ0 = 0 .

�'������ ���'������� �� ������� ����� � � � �������� n L En = hf(n+1/2)C ��� �� n = 0 �� � ����� �'������ ���� � � � ������� ���A E0 = hf/2�%���� �� � � � ������� ψn ������� �'������ En

��? ���� � ������ ������ � nhf � <��� ������������ ��� �#����� � ������ ������ � � �� ���� �hf & ���� � ���� � �� �'������� �� ������� ������ � ������� (���� �� ��G �� ��� �� �'���������� ���� �� a+C a ��� ������� � � � ψn ������������ � �� ������ � �� �������%��� � ���� �� ������� �� ���� ������� ��

�� ����� ������ ���� ��������� ���'��� ��������

���� �� ��� 9%"!;C ����� ����� � ���� � �� �����'��� ���'������� �� ���� � �� ����5� ������ � � �'������ L ���� ���� � � ������� �

�� ����� � �� ����� ����� ���� ��� n �������� �������� ��������

E = E(n) = (n+ 1/2)ω�

dove ω =√k/m ; n = 0, 1, 2, ... .

�� �������� � ������� ����� ��� 9�� ��� � �� ��� ����; L �� ���������� � 9���� � � ��� ����� �� ���� ������ �� ��� ��� ��� � ������ ��@�� �;� (�� ���� �� ������� ����� ��� ��? )���� L ������� � 1C� �#����� �� ���� ��������� %��� � L ������ �� ���� �� �������� � :�����)���

"�#����

�� E�� ����� � )����� � ����� �U�11 � L ���� � �� �� ����� �� � �� ���� ���� � � ��0� �� �������� � ��� ���������� �))�������� �� � � �� )����� �))�� ��� ������� ������� �� ��������� �� ����� � ������ �� ������ � ��

�� E� ��� ��� L ������� � �� ��� ������ ��������������� � ���� ���� ���'���� � �� ����� � � �����C 10−10�� %��� � ������ 9������ � �� �>; �� ���� � ���'��� ��� �� ���������� �� ���� � � � ���� � � � �� �� ����'������ ��? )����N �� ���� � � � � � ������������C ���� L �� ��)�)��� � � ���� �'��� � ��� ����� ������ �� 1�1� ×10−10 � � 1���×10−10 �N

�� �������� �'�� ���� � � �J������� �� ��� ��� ������ � � ����� ��� � �� ����� � �� �������� � �� ���� U0 ��� ������ ���� ��� ���� E = �eU0, ��� �e > 1. %��� L �'�� ���� � ��J������� ��� ���� ��������N

�� %��� L �� �����@�� � @���� ���� ��������� ��������������� ���� �������� '���N

�� !���� �� � � �� ����� � ��� �� x2 �� ���)��� � ������ ��@�� � � ��� ���� a �� ������������ L � � � a2[1/3 − 1/(2n2π2)]�%��� L �� �#����� ��? ���� �� � �� ���� ����� � � � �� ����� � ��� �� xN

Page 43: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�������� ��

�����

���� "� ������� � ����� �� ������

�� ��)���� � ����� �� ������ �� �� ������� U(r) ����� ���� ���� �� ���� ���'������C ��� L ��� ��� ����� �� O ����� ��� ������� ������ � ������ � ����� ����� � (r, θ, φ) ���� �� @��� �$���5� �

x = r sin θ cosφy = r sin θ sinφz = r cos θ .

��� ��� ����������� � ������ �C � ������ �� 9�����;C �� ���������� ������

∇2 =1r2

∂r

(r2∂

∂r

)+

1r2 sin θ

∂θ

(sin θ

∂θ

)+

1r2 sin2 θ

∂2

∂φ2=

= ∇2r +

1r2

∇2θ,φ = ∇2

r −1r2

L2

�2;

�'��������� ���� �� ������ ������� � ���'��������� � 5� 7���� � �������� �� ����� �� ��� �� ������� ����� μA

− �2

[1r2

∂r

(r2∂

∂r

)+

1r2 sin θ

∂θ

(sin θ

∂θ

)+

1r2 sin2 θ

∂2

∂φ2

]ψ + U(r)ψ = Eψ . 9�$��;

��� ���� ��������� �� ��� ψ(r, θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)& ������� ����'���������� 9�$��; � ��������)� � ���)� �� RΘΦ � �������A

1Φd2Φdφ2

= − sin2 θ

R

d

dr

(r2dR

dr

)− sin θ

Θd

(sin θ

dΘdθ

)− 2μ

�2r2 sin2 θ[E − U(r)] . 9�$��;

�� ���� ���)� ����� ���� � φC �� ������ � r � θ& �� � �����C � ���� � −m2� �� ��� �� � �

����������A

d2Φdφ2

= −m2�Φ . 9�$��;

5� ��G ���@��� � � �� 9�$��; L ���� � � �������� �� ���

Φ(φ) = eim�φ ;

Page 44: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�+ �&/�01�1 �%2 &01?�

6���� �$��A ������ � ����� ����� ��

�� ��������� � � Φ(0) = Φ(2π) 9������� �; �))���� � � m� ��� ����� �� ���0� �� ������ ���)� ���� 9�$��; �� �

− 1R

d

dr

(r2dR

dr

)− 1

Θ sin θd

(sin θ

dΘdθ

)− 2μ

�2r2[E − U(r)] = − m2

sin2 θ9�$��;

� � ��G ����� ���� � ����

1R

d

dr

(r2dR

dr

)+

2μ�2r2[E − U(r)] =

m2�

sin2 θ− 1

Θ sin θd

(sin θ

dΘdθ

). 9�$��;

0������� ��������� �� ��)� � ���)� � ��� ������� ��� �� � � � � ������� �(�+ 1)& � ������ ���M

− 1sin θ

d

(sin θ

dΘdθ

)+m2

�Θsin2 θ

= �(�+ 1)Θ 9�$�$;

1r2

d

dr

(r2dR

dr

)+

2μ�2

[E − U(r)]R = �(�+ 1)R

r2. 9�$�/;

�� ���������� ���� 9�$�$; L �� ��)���� �� � �� �� ��� ���� �� ��������� ���� 9�$�$;C � ���� ��� �� �� �)� ���C �� �������� �� ��� Pm�

� (cos θ) � � �������� ������� � � ������C � � ���������@�� � @���� 9���� ����� � ��� ψ @�� �; ���� �� � ∈ Z � � ≥ |m�|A

Pm�

� (x) = (1 − x2)|m�|/2

(d

dx

)|m�|P�(x) 9�$�*;

��� � P� ���� �������� � ������� E�� �@������� �� �������� � ������ LC � ���� � �� ��C �������� � 9������ � 2������;A

P�(x) =(d

dx

)�

(x2 − 1)� .

�������������� � ����� �� �� � ������� � �� ����A

Y�,m�(θ, φ) = Θ�,m�

(θ)Φm�(φ) = N�,m�

P|m�|� (cos θ)eim�φ 9�$�+;

Page 45: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�%2� /��������� � ��''����� �*��� � �-

6���� �$��A !������� ����� �� �� �������� ��������� ���� ���� � � ��)�)��� � �� � = 1, 2, 3, 4� m = ±l�

��� N�,m�L ��� ��� �� � � ��������������C ��� � �� P |m�|

� (cos θ) ���� �� �������� ������� � � �������� 5� �� � � � �� �������� ������� � � ������ ��� ���� �� ������� �������� �� cos θA �� �����(1 − x2)|m�|/2 ����� 9�$�*; ��G �� ����� �� sin θ� �� Y�,m�

(θ, φ) ���� � � �� ���� � ������ �/ ������ � ���� ��� � ������ ���� ���� ��? )����� �� �����C ������� �� �������� �� ���� ������������ ����� � ��� ��������C �� � � � � � = 0 ����� � � � � � sC �� � � � � = 1 ����� � � � � � pC �� � � �� = 2 ����� � � � � � dC ����

Y0,0 =1

(4π)1/2

Y1,0 =(

34π

)1/2

cos θ ; Y1,±1 = ∓(

38π

)1/2

e±iφ sin θ

Y2,0 =(

516π

)1/2

(3 cos2 θ − 1) ; Y2,±1 = ∓(

158π

)1/2

e±iφ sin θ cos θ ; Y2,±2 =(

1532π

)1/2

e±2iφ sin2 θ .

8���� @��� �$�� � �$�� �� ��� ��� � ������� ����� ��������� � ���� ���� � � ��)�)�� � �������� � ���� ������ � ����� �� 8�� ������� ����� �� �� ���� ���'������ L ����������� � Θ∗Θ 9������ � � ��)�)��� � ��� ����� � φ;�

(���� *���� �������

�������� ����'��������� 9�$�$; �� 9�$��; m2� = (−1/Φ)d2Φ/dφ2& �� �

− 1sin θ

d

(sin θ

dΘdθ

)− 1

Φd2Φdφ2

Θsin2 θ

= �(�+ 1)Θ

� �C ��� �������� �� RΦC �

− 1sin θ

d

(sin θ

)− 1

sin2 θ

d2ψ

dφ2= �(�+ 1)ψ

Page 46: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�. �&/�01�1 �%2 &01?�

6���� �$��A !������� ����� �� �� �������� ��������� ���� ���� � � ��)�)��� � �� � = 3 � �m� = 0,±1,±2,±3�

�C ��� � ��� � ���� 9�����;C

L2

�2ψ = �(�+ 1)ψ .

4�� �� ������ �� ���� � �� ����� � ������� ���� ����� ��� � �(� + 1)�2C �� ������� ��� �������� � 3� ��'��������� 9�$��; ��G � ��� ��� � ����� ��� � ����

L2z

�2Φ = m2

�Φ

�� ����� ����� � � �� �������� � �� ����� � ������� ����'���� z L ��� '���� ���� ���� � � ��� � m���

���� �'� ��� '������

5� �� � � � L �����)��� ���� �� � �C ��� �� ���� ��� ���)����� � � ����)���C �'��������� ������� �� ��� ��� ���� � � �� �� ������� ��� ��� ��������� L ��������� � � ��'��������� � 5� 7����� ��������������C � ��������� � ��������� �� �� ������� �#� ��� �� �� ������� ��� ����� � ���1/r2�"������ ���� �� ��������� � ���� '��������� �� �� �� ������� ������)����C � ����������� � ��� ���

��������A �� ��� ��� ���� � ���� ���� ��� �� � ��� � �� ������ ����� ���� ���� ���� ��� ������ � ������� �� )��� � ��� � � �� � ������@������ ����� � @���� �� ����� ���� �� ����� �� �� ���mp 1.67×10−27 B�C �� ����� ���'��� ��� me

9.1× 10−31 B�C �� ����� ��� ��� ���'��� ��� � �� �� ��� � � �� ����� ������ � ���� e 1.6× 10−19

Page 47: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�%2$ � ���'� � �������� ��

�� �� ��� ��� �� ������� ��� ���'� ��� '������ �� ��G ��������C ���� '�)� ���� �� ���������C���� � ���� � ��� �� ������ � ����� ��� ���� ����� �� � μ = memp

me+mp�)� �� � �� ��� � �� ��� �

@��� �� �� ��� ��� ��������� !� � � � �� ����� me ���'��� ��� L ���� �Q�111 ���� ����� mp ���� ���C �� ����� �� � ������� ��� �� ����� ���'��� ��� �� � ��� �� � �� �111� �� �� ������ ������ μ L �� ���� � �� �� ������� � ����� �� ������ ���� ����� � ������)

U(r) = − e2

4πε0Z

r.

0������ �� �������� � Z = 1 9� ��� '������;��'��������� � 5� 7���� �� ������ � ����� ����� � �� �� ��� ��� ��� ������ ��� �� �����A

− �2

2μ∇2ψ(r, θ, φ) + U(r)ψ(r, θ, φ) = Eψ(r, θ, φ) .

0� ���� � ��� � ����� ������� ������ � �� ψ L �� �����)��� ���� R(r)Y�,m�(θ, φ)& �� �� � �������

Y�,m�(θ, φ) L � � ���� 9�$�+; � �� R(r) ��� ������� ���'���������

1r2

d

dr

(r2dR

dr

)+

2μ�2

[E +

e2

4πε0r

]R = �(�+ 1)

R

r2. 9�$��1;

!�@�� � �� ������ �� 0� � a0 = 4πε0 �2

e2μ 53 ��C �� � � � �� ��������� ����� ���� ���� ���� �A

Rn,�(r) = Nn�e−r/na0 (r/a0)

� Ln,� (r/a0)

��� Nn� L �� ���F���� � � �������������� � ��� L ���� �������� � � �������� ������� � � �������5��� �� ��������� ��� n > � ���� ���� �)������� � ��� ����� ���� ���C �� ��������� ���'��������� � 5� 7���� �� �'� ��� '������ �������

����� ��� �ψn,�,m�

(r, θ, φ) = Rn,�(r)Θ�,m�(θ)Φm�

(φ)��� ��� ����� n, �,m� ���� � ����� ���� ��� �������� � ������� �� ���������� � ����� ���� ���������� ����A

n ����� ���� ��� ��������� �C �C �C ���� ����� ���� ��� �� ����� � ������� 1C �C �C���C n− 1m� ����� ���� ��� ����� ��� 1C ±1C ±2C ���C ±l �

�� ����� ���� ��� ��������� n �����@�� �� ������� � ������C ���� ��� ������ � 3� A

En = − me4

32π2ε20�2

1n2

.

5� �� � � � L ����� � ������������!� ����� � ����� ���� �� �������� '��� ��������� � �� ���� ����� ���� ����

ψ1,0,0(r, θ, φ) =1√πa3

0

e−r/a0

ψ2,0,0(r, θ, φ) =1

4√πa3

0

(2 − r

a0

)e−r/2a0

ψ2,1,0(r, θ, φ) =1

4√

2πa30

r

a0cos(θ) e−r/2a0

ψ2,1,±1(r, θ, φ) =1

8√πa3

0

r

a0sin(θ) e−r/2a0 e±iφ

Page 48: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�$ �&/�01�1 �%2 &01?�

���� .���� ! � ��#�#��� ! �����

�� ��)�)��� � � ���� �� ��� ��� �� ������ � � ������ ��@�� ������� dV L � � �� ����� ���� ����� �������� '��� �� �'������ � � ������� 0������ ���� ������ � ����� � ��� ���� � � �� ����������

dV = r2 sin(θ) dr dθ dφ

� ����� �� ��)�)��� � L � � �

|Ψn,�,m�(r, θ, φ)|2 dV = |Rn,�(r)|2 |Θ�,m�

(θ)|2 |Φm�(φ)|2 r2 sin(θ) dr dθ dφ .

E�� ��� ��� ��� �� ������ � � � ���� L �� ��)�)��� � ����� ������� � � ���� � �� �)������CP (r)drC ����� �� ��)�)��� � � ���� �'��� ��� �� ��� ���� ���� ������ ������� � r � r + drC�� ����� ����� ������ � �������� 0�? ��������� �C ������� �� ��������������C

P (r)dr = |Rn,�(r)|2 r2dr∫ π

0

|Θl,m�(θ)|2 sin(θ)dθ

∫ 2π

0

|Φm�(φ)|2 dφ = r2 |Rn,�(r)|2 dr ;

��� ��� ������ ��������� �� L ��� � �� �� � � � �� �� �������� � ������� ���� �������� '��� ����� � � ������ ���� � ��������� � �� ��� �������� � ���� � ���� �� � �������� ��5� ���� �� ���� �� ������ n = 1C ����� � = 0� 5�� � ���� �� ����� ��������� �C R1,0C �����

������ �� �� ��)�)��� � �����C �� � ����

P (r)dr = r24a30

e−2r/a0dr ;

�� ������ ������ ���� � � � �� ��)�)��� � � ���� �'��� ��� ��� ������ L �����C P (0) = 0� �� �����r ��� ����� P (r) ������ ����� ������� ��� �@�� �� �� ���� ��? ��)�)��� � �'��� ��� � �� �������8�� ���� ������ � �� ����� � ������� L �������� � �������)��� � ������� �� ��� ���� ���� �

����C � ���� DdP (r)dr

=8ra30

e−2r/a0

(1 − r

a0

),

�� � ���� � � ����� ��? ��)�)��� ������� ��� �� ����� � 3� a0� 5� ��G ������� � ���� �� � ��� ���� ���� �� ����� L ��? �� � � ���� � ������ �� �� ������ �� ��)�)��� � � ���� �'��� ���

Page 49: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�%2� ?�'���� '������ � ��=����� ��

6���� �$��A �� ���� � � ��)�)��� � ����� �� ��� � � � � ������ ��? )���� ���'�������

�� � �� ����� ��? ������� �� ����� � 3� L

P =∫ a0

0

P (r)dr =4a30

∫ a0

0

r2e−2r/a0dr 0.32 .

���� /���� � ����� ��� �#� ���

�� ��� ������� ������������C �� ��� ��� ���� � �� ��� � �� ������ �)� � �� ��� � ����� (�������� � �'�)� � ��� �������C L ����� ��������� � � ��� ���� ������ � ���� �

I =e

T=

e

2πr/v.

0��� D �'��� ���� ���� L A = πr2C �� ����� � ����� ��� ����

μ = IA =e

2πr/vπr2 =

evr

2.

�� ����� � ����� ��� �)� ��� �� ��G ����� ��� � ������� �� �������� �� ����� � ������� ���� ��� ��� � ���'�)� � �L = �r × �p� �� ����� �� �

μ =e

2meL

� �� ������� �C ��� � ��� � �� �� � � � e L ���� ���C

�μ = − e

2me

�L

9����������� �C �� r ∼ 10−10� �� � μ ∼ 10−23(�2;�

Page 50: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�� �&/�01�1 �%2 &01?�

6���� �$��A 2������� ������ ������������ ���� ���� � � ��)�)��� � �� ��� � � � � ������ ��?)���� ����'� ��� '�������

Page 51: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�%2� ?�'���� '������ � ��=����� ��

%����C � ���� � z �'���� ����������� �� ����� ���'�)� �C

μz = − e

2meLz .

�� ���� � � ���� �� ��� L �� � ����C �� �� ��� ���� ��� � � � �� ����� � ������� L ���� ���� �9����� ��G ������� ���� ����� ���� �;� �� �� ������

L2 = �(�+ 1)�2

Lz = m��

��� � � m� ����� �� �� � |m�| ≤ �& � = h/2πC ��� h 6 · 10−34R� L �� ��� �� � � 0����B�5� �� � ��� � � �C � �#����� �� ���� ��������C ��� ���� ���� �� ��� ���� �����)��� � � � ���� � �

����� � ������� �)� ��� �����C � ����� �� ��� ��� ���� � �� ������ '������ ��� ������������ ����� �'� ��� '������ ��� ��� � � � ������� ��� LC �����C � �)��� ����� )������ � ��� ��� � �� ��$0� �� ��� � ���� �� ����� ��� �

μz = −m�μB .

�@���� �� �������� �� 0� �

μB ≡ e�

2me 9.27 · 10−24( �2 .

���������� �'������ θ � � �� �� �� L ���� ��� �'���� zC

cos(θ) =Lz

|L| =m�√�(�+ 1)

.

!���'���������� ���� ��� � ������� �� ������ � �������������

• 0��� L l ≥ |m�| ����� � � m� <√�(�+ 1) � ����� Lz ��� ��G ��� �������� ��� L� %��� �

���� � � ��� � ��� ��� ��� ��� �� ����� � � ��� �� ������ ����� @���� ��������C ����� ��������� �� �� �� �� ��G ����� ���� �� ��� ��� � ������� � �� ������ �� ��� ��� �� �� ����� ��� �������� � ��� ������

• �� ������ ������������ ����� �� ���� ��������� ���'������C ���� � ������� �� ������ ���� ��� � � m�C ���� ��G ������� ���� �� ����� ���� � � �����C �� �� ������ 2l + 1C�� �� �������� � � �� ����� ���� ��� �� ������������ %��� � �������� ���� �� ���� ����� ��������� ���� �������

�� ���� � ���'���� z L ��� ���� � � �����������C �� � ���� �������� �� ���))� ������ � ��� ��� �� ������ 5����� �� @���� ���� �� ��� �� ��G �������� ��� ��� ���� �� ��? ��� ���� �������� � �� �� ��L 9� �� ����� � �� ������� Lz;� 6������� � ��� �������� � ��� ���������� �� ������ ����� ����

ΔLzΔφ ≥ �.

(�"�� �������� �� 5�� � 0������# ������� �������� ����� ���

8�� �+�� 5 �� � 4���� �������� � �����)��� ����� �� ����� � � ����� ����� ��� �� � ��� ����� � ������� �� ������ � ���� � � ��� � ����� �� ����� ����� ��� ��� �������C � ������� ���� )������� �� ��������� �� ����� �J������� @��� ���������� �� ������@��� � � �'�������� � ��� � � � ������ � ��� �� ������ � ��� ���&

��� z �'���� ����������� ���� ������� �� ������ ����� �� ����� �� ����� �����

Page 52: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�% �&/�01�1 �%2 &01?�

6���� �$�$A �'���� ������ ����� ������ � ����� z �� � �����)��� ����� ���� �������� � �� ����� �������� ��������� � � zU�� 5� �� � ��� D |L| > |L|z �

�'�������� � ��� � �� �����)��� ����� ���� �������� � �� ����� � � ����� ����� ��� ���'���� ��� ����� �'���� zC ��� ���� ��� � ��� ���� ���� ��G ����� � � �'��� ��� L � � � � �� ����� �� ����� ����� ��� �� ��� �������� � ����� �'���� z L ���� ���� ���� �������� ��� ���� � �� � �� @���� �������� � ��� ���� � ��� � �� �� ����� � ������� �)� ���

���'� ��� '������ ����� �� ���� ������ � � ��� ����� � � ����� ��� ������� � � �� ����� �������� �� ������ ���'��� ����

�'��� ��� � �� ����� � ������� �� ������ � ���� � ����� � ������� � ����C � ����������� �����! �S� (��������� � � ���� � ��� � �� �� ����� � ������� �)� ���C �� ���� L ���� ���� �C � L���� ���� � ��� � �� ��� ��������� �� �� ����A

Sz = ms�

Page 53: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�%2� 1����� �� ��������� ��� '�'���� '������ � ���'� � ��

���

ms = ±12.

���� ���� ��������� �� �J� � �� ��� ���� ��������� �� ����� � � ����� ����� ��� ������� �A

μs,z = ±μB .

�� ����� �� �� �� S L ����������� �√ms(ms + 1)�& ��� ����� ��� L �� � �������C � �������

�� � = 1 � ms = 1/2 ����� |S| =√

3/4� ��� � |L| =√

2��

���� 0��� � ������� �� ����� � ����� ��� � �����

<� � �� ����� � ����� ��� ���� � �� �� � ���� ��� ��� � ���� ����C �� ���� ����� � ����� ��� ���� ��� �� � �� �� ��� ��� ������ � ���� ���� �� �������� � �� ������ 9�� ��� � ��� ���;��� �@�� ��� �'� ��� ��G ���� �� ����� � ����� ��� �����C ���'���� � 10−23 ( �2��� ���� ���� � � ���� � ����� � ����� ��� �� ������� ��� �� ���� ���� ����� �� ����

���� ������������ �� ����� � ���� ���� � ! � �� �

�� ����� ���� ��� � ��� ����� �� ����� � ������� LC ��� � ms ��� ����� �� ����� � �������� ���� S� 5� � ���� J �� ���� � � � �� � � ���A J = L + S� 8� ������ �C �� ���� � ������������� �� �� ���� ���� �C ��� '���� ���� �� ���� ���� � � �� � ����� ������� �� �������� � �� ��������� ��� j�5� ������� � ���� �������� �� ���� � � � �� � � ��� � �� ��� ��� ��� ����� ���� ��� � �

ms = 1/2& ��� �� �� J � �����|J | =

√j(j + 1)�

���C �� � �= 0C ����� j ∈ {l − 1/2, l+ 1/2}C ��� � �� � = 0 ����� �� ������ � � � j = ms = 1/2��� ����� ������� �� �� ������� L �� ������ �� 5�� J1 �� ����� � ���� ���� � � � �� � 9�)� ���C �

���� � ��� ���)��������; � J2 �� �� � ����� � ���� ���� � � � �� �& �� ����� � ���� ���� � � ��� � ���� �� � � ��� J = J1 + J2 � �����

√j(j + 1)� ��� j ��G ������� ��������� �� �����

j = j1 + j2, j1 + j2 − 1, . . . , |j1 − j2| .%���� �� �������� � z �� ����� � ���� ���� � � � �� � � ��� ��G ������� ��������� �� 2j + 1�����

mj = −j,−j + 1, . . . ,+j.

(�(�� �������� ���'��&��

4�� � � � � ����� ��� ��� � ���� ����� � n � � �� ����� �#��� � � j ���� ������ �� ��' �#��� �� ����� ���'�� ������� ���� ���� ���'��� ��� ��� �� ��� ��� ������� � �)� ���� %��� � �#� � L������� � �� ������� ������)� �� �� ���� ��� ���� �� � ����� ����� ��� ��� L ������� � ���� ��� �� � �� @���0������� ����� �'�� ������� ������)� � ����� )��� � �� �������� ������ )��� � ����� ��������� �

3� ���'� ���C ��� ����� ��� ��� ��� �������� �)� � ���������'��� ��� �� ����� �� ��'�)� � ������� ���� ������ � v � ��� � �� �� ��� �� ���� �� �� ����� �

���� ���� � � � � �� � �)� ��� L L �� � �� ������� � � ���� � � ���'����?� 8�� ��� ��� � ������� ����'��� ���C �� �� ��� �� ����� � ��� � ���� �� ��� �����������C ������� ���M ��� ���� �

Page 54: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�+ �&/�01�1 �%2 &01?�

������� � � ������ �� ����� ����� ��� �B ����� ��������� ���'��� ���� �B L �� � �� ������� �� ���� � � ���� �'�� �C ����� �������� � ������ ���� � � �L� �'������ �� ������� � �� ����� ������ ��� �� �� ����� ����� ��� ����� ���� ��� ������� ���� � � � L � � �

U = −μ · �B = −μzB .�'������ �� ������� L ������ ����� �� ����� � ����� ��� L �������� � ������ ���� � � �B � L

������� ����� L �� ���������� 0��� D �� ����� � ����� ��� ���'��� ��� � ���� ����� � ���� ����9����� ����� ���� ���;C �'������ ������)� � L ������� ����� �� ���� L �������� � ������ ���� �� �B � ����� ���� � � �L� 0���G �'������ ���� � � � ���'������ �� ��� �L � �S ���� �������� � ������L �������� � ������� � ������ ���� � � � �� ��� ���� �� ����������

���, �� ����� ������� ���� ������ �

�'� ��� � ������ ��� �� �� ��� ����������� ���� � �� ����� � ���� �C �� ����� �� ���� �� ��� ��� ��? ��� ��� �� ��� ��� ��� � ���'�� ������� �� �� ���� ��� ��� � ��� ��� ������� ���������� �� ����� � ���� �����)��� ���@�������� ����� � ���'�� ��� ���'� ���� 0� ������� ���� '�� ������� � L ���������)��� ��� ��� � �� �������� � ��������� � 0����A �� �� � ��� � ��? ��� ���C ��� ���� ��� ������� ����� ����� � ���� � � � ���� ���C ���L ��� ������� ���� �� � ���� ������� � ������� ����� ���� ��� n, �,m�,ms�!�����C ��� ��� � � �� ���������� ��� ��� �� ����� ������ � ��? ����� �C ��� ��� ��� ����� �

������� ������ � � � � � ����� ������ � ��� ������ ����� �)��� ��� �� �������� � ���������� �0�����

(�2�� ���

�'���� L �'������ � ���������� ���'������& � �� ��� ��� 9Z = 2;� � ����� ���� ��� ������� � �� ����� ��� ������ n = 1C � = 0C m� = 0C ms = 1/2 � n = 1C � = 0C m� = 0C ms = −1/2� �� �������� �� � �� �� ��� ��� L ����� ���� ��� � �� ����� � ������� � ���� �'������ � ������ � ����� ��� L E ∼= −24.6 �>& ���� D ��� ������ L ��� �� � ����� � �'���� L ������� ����� � � �)���� 0����� � ��� ������ � L �� �� � ��� �� ��� ��)���� �� ������� � ���� � ������ ��� L ������ �A ���� L

Page 55: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�%2� �� ����� ������� � ����� ���'���� �-

La-Lu

57-71

Ac-Lr

89-103

Tc

Lr

Pm

Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No

BhRf Db Sg Hs Mt

1

2

3

4

5

6

7

1.00791 4.00262

20.1801014.0077

39.9481835.45317

18.998915.9998

83.8036

131.2954

(222)86

12.0116

C

10.811

B

5

26.982

Al

13 28.086

Si

14 30.974

P

15 32.065

S

16

6.941

Li

3 9.0122

Be

4

22.990

Na

11 24.305

Mg

12

39.098

K

19 40.078

Ca

20 44.956

Sc

21 47.867

Ti

22 50.942

V

23 51.996

Cr

24 54.938

Mn

25 55.845

Fe

26 58.933

Co

27 58.693

Ni

28 63.546

Cu

29 65.39

Zn

30 69.723

Ga

31 72.64

Ge

32 74.922

As

33 78.96

Se

34 79.90435

85.468

Rb

37 87.62

Sr

38 88.906

Y

39 91.224

Zr

40 92.906

Nb

41 95.94

Mo

42

132.91

Cs

55 137.33

Ba

56

138.91

La

57

178.49

Hf

72 180.95

Ta

73 183.84

W

74

(223)

Fr

87 (226)

Ra

88

(227)

Ac

89

(98)43 126.90

I

53101.07

Ru

44 102.91

Rh

45 106.42

Pd

46 107.87

Ag

47 112.41

Cd

48

186.21

Re

75 190.23

Os

76 192.22

Ir

77 195.08

Pt

78 196.97

Au

79 200.59

Hg

80 204.38

Tl

81 207.2

Pb

82 208.98

Bi

83 (209)

Po

84 (210)

At

85

114.82

In

49 118.71

Sn

50 121.76

Sb

51 127.60

Te

52

H He

NeN

ArCl

FO

Kr

Xe

Rn

Br

IA

IIA

IIIB IVB VB VIB VIIB IB IIB

IVA VA VIA VIIA

VIIIB

VIIIA1

54

2

3

13 14 15 16 17

18

6 7 8 9 10 11 12

IIIA

6

7

174.97

Lu

71140.12

Ce

58

232.04

Th

90 231.04

Pa

91 238.03

U

92

140.91

Pr

59 144.24

Nd

60

(262)103

(145)61

(237)93 (244)94 (243)95 (247)96 (247)97 (251)98 (252)99 (257)100 (258)101 (259)102

150.36

Sm

62 151.96

Eu

63 157.25

Gd

64 158.93

Tb

65 162.50

Dy

66 164.93

Ho

67 167.26

Er

68 168.93

Tm

69 173.04

Yb

70

(264)107(261)104 (262)105 (266)106 (277)108 (268)109

10.811

B

5

13 IIIA

Copyright EniG. ([email protected])© 1998-2002

(281)

Uun

110 (272)

Uuu

111 (285)

Uub

112 (289)

Uuq

114

HYDROGEN HELIUM

NEONNITROGEN

ARGONCHLORINE

FLUORINEOXYGEN

KRYPTON

XENON

RADON

CARBONBORON

ALUMINIUM SILICON PHOSPHORUS SULPHUR

LITHIUM BERYLLIUM

SODIUM MAGNESIUM

POTASSIUM CALCIUM SCANDIUM TITANIUM VANADIUM CHROMIUM MANGANESE COBALT NICKEL COPPER ZINC GALLIUM GERMANIUM ARSENIC SELENIUM BROMINE

RUBIDIUM STRONTIUM YTTRIUM ZIRCONIUM NIOBIUM MOLYBDENUM

CAESIUM BARIUM

LANTHANUM

HAFNIUM TANTALUM TUNGSTEN

FRANCIUM RADIUM

ACTINIUM

TECHNETIUM IODINERUTHENIUM RHODIUM PALLADIUM SILVER CADMIUM

RHENIUM OSMIUM IRIDIUM PLATINUM GOLD THALLIUM LEAD BISMUTH POLONIUM ASTATINE

INDIUM TIN ANTIMONY TELLURIUM

PE

RIO

D

GROUP

IRON

MERCURY

LANTHANIDE

ACTINIDE

LUTETIUMCERIUM

THORIUM PROTACTINIUM URANIUM

PRASEODYMIUM NEODYMIUM

LAWRENCIUM

PROMETHIUM

NEPTUNIUM PLUTONIUM AMERICIUM CURIUM BERKELIUM CALIFORNIUM EINSTEINIUM FERMIUM MENDELEVIUM NOBELIUM

SAMARIUM EUROPIUM GADOLINIUM TERBIUM DYSPROSIUM HOLMIUM ERBIUM THULIUM YTTERBIUM

BOHRIUMRUTHERFORDIUM DUBNIUM SEABORGIUM HASSIUM MEITNERIUM

BORON

ATOMIC NUMBER

ELEMENT NAME

SYMBOL

RELATIVE ATOMIC MASS (1)

GROUP NUMBERSCHEMICAL ABSTRACT SERVICE

(1986)

GROUP NUMBERSIUPAC RECOMMENDATION

(1985)

http://www.ktf-split.hr/periodni/en/

Lanthanide

Actinide

PERIODIC TABLE OF THE ELEMENTS

UNUNNILIUM UNUNUNIUM UNUNQUADIUMUNUNBIUM

(1) Pure Appl. Chem., , No. 4, 667-683 (2001)73

Editor: Aditya Vardhan ([email protected])

Relative atomic mass is shown with fivesignificant figures. For elements have no stablenuclides, the value enclosed in bracketsindicates the mass number of the longest-livedisotope of the element.

However three such elements (Th, Pa, and U)do have a characteristic terrestrial isotopiccomposition, and for these an atomic weight istabulated.

6���� �$�/A ������ ������� ���� ������ ��

��� ���� �����)��� �� �� ������� � � �� ��� ��� �� �� ������� � � ������ ����� ��������� ���������� � 5� 7���� ��� L ���������)��� � �� �� ������� ���������� %��� � � ������ � ���� ��������������� ���))� ��� � ����� �C ���� � ��������� �'������ ����� ��� ��� � ���'�� ������� ���� ��� ���C ��� �'��������� E1 = Z2E0/n

2C �� � ���� �� ����� ��� ����� �� ����� � ������ �#� ���C���� 54.4 �>�

(�2�� -���

�� �� �� L �'������ � ���������� ���'����C ��� Z = 3� �� ���� ������� ����� ���C n = 1C L ����� � ������ �� ��� ���� �� ��� ��� ��� �� ��������� ��� ������ ������� ����� ��� � ��� ����G n = 2� ������� ���� � ��� ������� ����� ��� L r = 4a0 ��� � ������ �� ������� ������ � L r = a0& �� ��G����� ������� �� ���� �������������� �� ������ ������ � ������ ���'������ ��� ����� �'��� ����� ��� ��� �� ��� �� ��� ��� ���� ��� ����� +3e − 2e = e 9������ �� �� ��� � ���� ��� ���;C� ���������� � ����������� �� �� ������� � �� �� ������� � ��� 1/r� ���� �������������� ������ � ����� ���������� � ���� � � �������� �'������ ��� �� ������ E ≈ Z2E0/n

2 ∼= 5.4 eV������ Z = 1 � n = 2� �� ����� � ���� � ������ L ��� � )���� � ����� L ������ ����� �� ������� � ���� �'��� ��� ��? �� ��� ���'� ���� �� �� �� L ����� �� �� � ��� �� �� ����C �� ����� �� ��� L������ ���� �� ��� ��� ��)��� � �� ���� ��� �� ���� ��� ��� ��)�� ����� � � � ��? �� ��� �������� � �� ���� ��������& �������� �� ������� ��? � ����� � ���� ����� ��������

Page 56: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�. �&/�01�1 �%2 &01?�

6���� �$�*A "����� � ���� ������������ �� �������� � Z� 4�� ������ � ��� ��� � � � ������ � ��?�� ��� ��� ��)�� ���� ������ � ������������ ��� � )�����

(�2� /������� 6Z = 37

�� ��� � ��� ��� ������ �'�� ��� � � � �����)��� ����� � � � 2s� �� ������� ����� �� ��� ��� ���n = 2, � = 0,m� = 0 ����� �� �� �����)��� ����� �� ����� ���� ��� � ���� ms� 5� �����C ��� ����������@�� � �� ���)���C � � �� ���@�������� ��� ����� �� )������ L 1s22s2�

(�2�" ��� &��� �� �� 6�� Z = 5 � Z = 107

0��� D �� �� �� � � 2s L ����� �C �� ���� � ��� ��� ��� ��������� ��� ���������� �� �� � � ������)���9�� �� �� � � � ������ ��? )����;� %��� � L �� �� �� � � 2pC ��� n = 2e� = 1� 0��� D �� ���� ������ �����)��� � m� 9W�C 1C ��; � �� ����� � ms �� ���� ����� � m�C �� ������� ����� ��� ��� ����� ���� � �� �� � ���� ���@�������� ��� ����� �� �� )�� L 1s22s22p1� �� ���@�������� ��� ����� �� ��� ������ �

�� ��)���� (Z = 6) �� ���� (Z = 10) �#����� �� �� ����� � ��� ��� ��� �� �� � � 2p� 0� ���� ������� � �'������ � ������������ ����� ��� ZC ���������� �� ����� � ���$ �> �� �'�� ���C �� ������� ���� � �� ����� ������� � ��� ��� ������ � � ����� � � � n = 2� �� ���@�������� ��� ������� �� ���� L 1s22s22p6� ( ����� ���'������ � ������������ �� �C �� ���� L ������� ����� � ��� ���'������ � ���� �� ����C �� J���C � ��� H)���I ��� �� �� � � 2p& ����� �'L ������ �� �� ��� ����� ��?� ���� ������ �C �����C �� ���)��� �������� � ��� ������ � ���� �� �� �� � � ���� �� ��� �������� � � � �� ��� 9� �������;� �� �� �C � �������C ���� �� ��� ��� ��� �� ��� �� ����� ��� ����6− � ��� ���� ��+& ����� ���� � ���� �� ��� ����� �� ����� ��� �������� � J���� � �� ���

(�2�� ��� ����� ���$���� 6�� Z = 11 � Z = 187

�'��������� ��� ��� ��� ��������� ���� � � � n = 3� 0��� D ���� � ��� ��� L ��� � ��� ��� �������� � ���� ��� ��� �� ���C L �)����� � ���� � ����'� ��� � ����� �'������ � ������������ ������ L � ���� �> ��� �� �� �� ���� ����� �� ���)��� ������� � ��� � ��� ���� �� J���� 0� n = 3C�� ����� � � ��G ����� 1C � � �� ( ����� ���'�))������� � ���'������ ��� � ���� ���� ����������� � � � ������ � ���� �� � ���� ��� ���C �� �� �� � � s L �����@�� ������ � ���� ����� ��� ���� �� � � 3p � � ������ 3d� �� �#����� � ������ ����� � ���'����� �� �� ����� � ��� ������ ���@�������� ��� ����� �� ���� L 1s22s22p63s1�(��'����� �� �� ����� � ��� ��� ZC �� �� �� � � 3s � ����� �� 3p �� ��������� %��� � �� �� ��

� � � ������� �������� �W$U* ��� ���� �� ���@�������� ��� ����� ���'���� L 1s22s22p63s23p6.�� �� �� �))� ���� �� � � �� ������������� ��� ��� �� ���������� ��� ��� �� �� � � 9�� �� �� � �dC ��� � = 2;C �� �'�#� � � ���� ������ L �� ���M �� � � � �'������ ���'��� ��� ���������� L ��?

Page 57: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�%2+ !������ ���� � � ������� ��� ����� @ ��

)���� ��� �� �� � � 4s � � ��� �� �� � � 3d� %���� �'L ��� ���� �#����� � ������ � �� ����� ����� � �� ������������� ��� ���C � ���M �'����C ��� �� ��� � � � 3p �����C L ������� ����� �� �)��� � ��� ��

(�2�( ����� �� Z > 18

�� ������������� ��� ��� ��� �� ����� (Z = 19) � �� ��� ����� ��� ��� ��� ������ (Z = 20) �� ������������ �� �� � � 4s ����� D ��� 3d� �� ���@�������� ��� ����� �� ���������� �1 ������ �C ���� ������(Z = 21) ���� ����� (Z = 20) �#����� ���� �� �� ����� � ��� ��� ��� �� �� � � 3dC � �� � �� ����(Z = 24) � �� ��� (Z = 29)C � � ���� ���� �� ��� ��� ����� � � � 4s� %��� � ���� ������ � ����� ���� � ������ � � ���������& � � � � �� ��� ����� � � ���� � ���� ��� � ����������� � �� ������ ��� ��� �� �� � � 4sC ���� ���� ����� ���� � ��� � �������

���- $�� � � ��� � ��� � �� ���� 1

%���� �� � ��� L �� ��� � � � ���� � � 9���L ����� ���� � ��'������ ������� �� ������� �������� ���;C �� ��� ��� ��G ����� � ��� � � � � ������ ��? )����C � �� �� ��� ��� �� ����������� ������ ���� �� ���� ���� '��� ���� �������� ��� ������ ��� ������ L ������� � ��� �� ���������� �������� � @���� ���� ������ f = (Ei − Ef )/hC ��� Ei �� Ef ���� ���� ������ � �'�������������� � ������ @���� � h L �� ��� �� � � 0����B�8�� � � �� ��������� ���� �����)���A � �������C ������ �� ���� �� �� ��� ��� � � �� ��� � � �C ����

�� ��������� ��� Δ� = ±1 ���� ������� 9� �����C � �������C ��� �� ��G ��� ���� ��� ��������� � �� � � � s;��'� ��� ��G ����� ���� � � � ��� ��������� � ��? �� � ������ )��)������ ��� �� ������ �

��� ��� ���� �� �� �)� � ����� � � ��'�� � �������� 0��� D � ������� � ������ � �� � ��� �������� ������� ���� � 9��� �� � � � ��� ����;C ���� � ����� � ���� ���� '��� ���� ������� %��� ����� ���� '��� ���� �������� ������ ��� � ������� �� ��� � ���'��������� ���'� ����

(�3�� 5���� ����

0� ����� ��� ��� � � ����� �))���� ����� ��� � � � ���� � � ���'� ���� �� �� ������� �� �� � ������ ��� � ��� ��� LC �� �������C ��� � ��? �������� � � ������ ���'� ��� � ������ � � � ���� ����� ���� E�� � � � ���� � � ���'� ��� ��G ���������� �� ���)����� � ����� � � � � ��� ������������� ��� ���C � � ��? ��� ����8���� ������ �� � �� ����C ��� � � � ���� � � � �� � ��� ��������� �'���� ������ � ��� ���� ����

��� ��� ����'� ���� �� ������ � ���� ������ ���� � � � �� ��� 9��� ��� � �������; � �� � ��� �������'���� ���� ������ �>� �� ��������� � � ����������� ���� � ��� ��� ������� �� ��� ����� ��� �����)��� � � ���C � �� ������� � 9������� � � �� ������ �� �� ��� ����)��� ������ � ���� �C� � ��>;� �� ������ � ���� ������ ������� ����� ������� � ��������� ������ � ��� �� ������ �������� ����� �'� ��� L ���� � ���� ������� ��� ��� ��? �� ������ � �)��� � � ������ � ��� ������ ��? ��� �� ���� ��� �� ���� %��� � ������ �������� �� �������� � )��� �� � �� ���� ��������A ��C 8�C TC 2)C��� �� ��� � ����� ��� � ���� � L ������ � ������ ���'�������

(�3�� 5���� 8

� ���� = 9�� ��� ��� ������ ���'���� �� B�>; ������� �������� � ���� ��� � )��)���� ��)������� ��� �� ������ � ��� ��� � �� � ������� �� ���� � � ������ � �� ��� ��� � ��� ���� � ������ ���� ���'������ ���� ��� ��� ���� ���C � ��� ��� � � �� � ��� ��� ��� �� )�������� ����� � � �� � ���� � ���'���� ������ ���� ��� ��� ����� � � � �� ��� ���� � ��� �� )�������C ����� �� ���������� ������ ������ ��� ��������� � �� ����

Page 58: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�$ �&/�01�1 �%2 &01?�

6���� �$�+A 5�� � �� ���� = �� ����)����

�'������ ��������� �� ���� �� �� ��� ��� � ��� � � � �� ��� ��� ������� �� ��� ��� ������ � � n = 1 9� � � � � ��� K;� L ��� � ��? ���� � ������ �� ��� � �� ���� �� �� ��� ��� ���� � � ��� ��� 9��� ��� � �������;� �� �������� � ���������� �������� ���� ��� ��� � ��� �� �� � � � ��������� � 9� �������C �� �� ����C �� � � � n = 2;� �'������ �� ��� � �� ���� �� �� ��� ��� �� � � ���)�� L �������� � ���'���� �� B�>� 5� �'��� ��� L ������� ���� � ��� KC �� ��� ��� �������& ���� ���G ����� ������ � � �� ��� ��� ���� � � � LC � n = 2C � � ��� � � � � ������ ����� ��? �� ��� �� ��� ������ � ����������� ������ �� ��� � � �� ���'������� 9��� � � � � �� ������; ���� �� � ������ ����� ��������� ���� � ��� � n = 2 9� ��� L)

���� � ��� � n = 1 9� ��� K) L � � Kα 9� � � � �� ���� �������������� �'������ ����� ���� ������� ���� ��� ���������C ����� � ���� � ��� � ��� Kα;� �� ����� Kβ ����� ���� ��������� ����� ��� n = 3 ���� n = 1� (��������� �C ��� ������ ���� � �� �C �� ���� L, L ��� � � ���������� � � � � ��? �� � ������ ���� �� � ��� L.�� �������� �� ���� = ������� ����� ������� � �� )���� �������������� � �������� �� ������ �

3� �

"�#����

�� "������ � �$ �����)��� � � � � n = 4 �� �'�������

�� �������� �� ��������� 9�� ���������; �� ��� �� ��)�)��� � ����� L ������� �� �� � � � n = 2C � = 0���'� ��� '������& �� �� � ���� � � �C �������� �� ���� ���� �� ������ ������ ���

�� 5� �������� �� ���@�������� ��� ����� �� ��)���� � ������ ���'���������

Page 59: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�������� ��

�� ����� ����������� �� �� ��������� ����

�'������� ��������� ���� @���� ���� �� ��� L ��� �@� � � L � � � ������ � � ������ �� � ��? ����������� �� ������ 9:�����)��C 3� �C ��� 8������ ���� �� �� ��� ������;� �� �� � � � ���� ��� �������� ������ ���������� � ������ � � ��� ���� � ��� ��������� � � �))�� ����� � �������� ����������%��� � ���� ��� ��� � �'��)������ � ���������� ��'������� ���C �� ���� � ������� �� �� ���������� ��? ��������� � ��� ������ � �� � ����� ��'���� ��� L � � � ������ � ��� ���� ��� ������ ��

�,�� 2������� '��� � ����� � *��#�

8���'�� ��� ������ ��)�)���� ��� � ��� �������� '��� Ψ(�r, t) � ��� �� ������C �� �#��������

|Ψ(�r, t)|2 dV = Ψ∗(�r, t)Ψ(�r, t) dV 9�/��;

������� � �� ��)�)��� � � ���� �� �� ������ ��� ������ dV C �� ��� �� ��� � �rC �� ���� t� ����)�)��� � ����������� � ���� �� �� ������ � ����� � �� � ����� ������ L ������ � �C � �������'�����A∫

dV |Ψ(�r, t)|2 = 1 9�/��;

��� �'�� ����� �� �� ��� �� � � �� ������ �������)��� ���� �� ������� 0� �� � ����� �� ��������� ���������������C �� ���������� ����� ���� � ��� ���'������� L2 ���� �������� � ������ �� �����C����� �'������� ���� �������� �� �� ����� �'�� ����� 9�/��; ��������

�'������� L2 � �� � � �� � ������ ��������� ��� ����� �� ����� ��������� C& ���� �A

• ∃ ��'������� W �� ��� � L2 ��� � � 9L2CW; L �� ����� ��������C �����A

L ����� � ���&

L ������� ���&

���� � �� ����� ������ � ��� � 9� � ��� � ����� � ��� 0;&

∀ Ψ ∈ L2 ∃ Φ ∈ L2 ��� � � Ψ + Φ = 0& Φ L � � ������� � Ψ � ����� � ��� −Ψ&

• ∃ ��� ��� ����������� ���� ������ � � L2 �� ��� ������C ���L �� ������ � �� �����C ��� � �A

Page 60: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�� �&/�01�1 ��2 �& ��!��& 68&�0�!0��& �� 8� 68&�31 (��)�13?&��

L �� �)� ��� ���� � ���'�������A ∀ c, c1, c2 ∈ C, Ψ,Ψ1,Ψ2 ∈ L2

c(Ψ1 + Ψ2) = cΨ1 + cΨ2&(c1 + c2)Ψ = c1Ψ + c2Ψ&

���� �� ����� �A ∀ c1, c2 ∈ C, Ψ ∈ L2

c1(c2Ψ) = (c1c2)Ψ�

5� L2 �@����� �� ��� � ������ (Ψ,Φ) ����

(Ψ,Φ) =∫

V

dV Ψ∗(�r, t)Φ(�r, t) 9�/��;

�� ����� L ��� � � ∀ Ψ,Φ1,Φ2 ∈ L2, λ1, λ2 ∈ C A

• (Ψ,Φ) = (Φ,Ψ)∗&

• (Ψ, λ1Φ1 + λ2Φ2) = λ1(Ψ,Φ1) + λ2(Ψ,Φ2)�

� ����� �� L2 �� ���� |Ψ|2 = (Ψ,Ψ) ≥ 0�

E�� ������ �� ����� ���� � L � � ������ � ������& ����� �������� �� � � L2 L ��� ������ �:��)� �� C 9��� �� ���� ���� � | Ψ |2;�<�������� � � ���� �� ������������� �������� � 5� .��A

| Ψ + Φ |2 ≤ | Ψ |2 + | Φ |2 .

�,�� 0�����#��� � ���� ��

E� ������� ������ M �� L2 L �� �� � �� ��� ��� � � ������� � ��� �������� Ψ � L2 �� ��������� Ψ′ ��� � ��� ����������� ������ M A Ψ′ = MΨ ��� � � ∀ Ψ1,Ψ2 ∈ L2, λ1, λ2 ∈ C

M(λ1Ψ1 + λ2Ψ2) = λ1MΨ1 + λ2MΨ2�

>������� �� ������� �� ��� ������)��� ��� � ���� ��C ������ D ���� � ��� � � � @���� ��������� ��� �������� '��� Ψ(�r, t)C ���M ���'��������� � ����� �������� �� ���� �� ������ M �2�� ������ � � ��� ���� �� ������ ��� ��� ���� 9� �� ������� �;�

2���� 4������� ��������

5� �@����� ������� �������� � M �'���� �� M+ ��� � �

∀ Ψ,Φ ∈ L2 (M+Ψ,Φ) = (Ψ, MΦ) 9�/��;

E� ���� �� ������ M �� ��� ������������ � �� ������ �� M+ = M C ���L �� ∀ Ψ,Φ ∈ L2

(MΨ,Φ) = (Ψ, MΦ) 9�/��;

�����∫dVΨ∗(MΦ) =

∫dV (MΨ)∗Φ 9�/�$;

Page 61: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��2$ 1�����=��� � ��������� ��

5� �@������� ��� � �� ����� � �� ��� � � ���� ��C ��� ��� ������ �A5����A

C = (A+ B) L ��� � �

∀ Ψ ∈ L2 CΨ = (A+ B)Ψ = AΨ + BΨ 9�/�/;

�������� ���� �@������� � ���� �� ������ � � � �� ����� � �� ���� �� ��� ���� L ����� ������ �� ��� �����0�� �A

C = (AB) L ��� � �

∀ Ψ ∈ L2 CΨ = (AB)Ψ = A(BΨ) 9�/�*;

!� ���� � �@������� ����� � � �'���� �� ������ � �� ��� � � �� ���� �� (AB)+ L B+A+����� �A

(Ψ, (AB)Φ) =∫

V

dV Ψ∗(A(BΦ)) ==∫

V

dV (A+Ψ)∗(BΦ) =

=∫

V

dV (B+(A+Ψ))∗Φ = ((B+A+)Ψ,Φ)

<�������� � �C �� �������C (AB) �= (BA)� 0� �������C

� xp(xΨ) �= x(� xpΨ)

���� D

−i�∂(xΨ)∂x

�= x

(−i�∂Ψ

∂x

)>����� �� ������ � ���� �� �� ������� �����'��� �2 �'���� �� ��������� �rC ���������� � ��� ��� � ����� ����C L ��� ��������'��� $2 �'���� �� ���� � � � �� � �p = −i��∇C L ��� �����!� � � � �p = (px, 0, 0) + (0, py, 0) + (0, 0, pz)C ���� ������ � ���� �� � � px 9�� �������; L

�� ������� �A

(Ψ, pxΦ) =∫ +∞

−∞dx Ψ∗(x)

(−i�∂Φ(x)

∂x

)= [Ψ∗Φ]+∞

−∞ −∫ +∞

−∞dx

(−i�Φ(x)

∂Ψ∗

∂x

)=

=∫ +∞

−∞dx

(−i�∂Ψ(x)

∂x

)∗Φ(x) = (pxΨ,Φ)

���� D [Ψ∗Φ]+∞−∞ = 0 �� ����� � � � �� �� �������� ���� � ���� � �����)����

2���� .������� �� ����������

5� �@����� �� ������ � �� ���� �� A � B �'���� �� [A, B]− 9 ���� ��? )������ � ����� ����� [A, B]; ����� � �� �������� [A, B]− = (AB − BA)C � �� ��� � � �� ���� �� �� ���������� �� ��� ����� � �� L �'���� �� ������

�� ����� � �� � �� ���� �� L ��� ���� ���� ����� L �'���� �� ������ 5� � �� ���� �� A �B ���� �� ������� �C �� � ���� �A

[A, B]+− = (AB − BA)+

= B+A+ − A+B+ = BA− AB = −[A, B]−

Page 62: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�% �&/�01�1 ��2 �& ��!��& 68&�0�!0��& �� 8� 68&�31 (��)�13?&��

(��������� �C �� �@����� ������ ������ � �� ���� �� A � B �'���� �� [A, B]+ ���� [A, B]+ =(AB + BA)C � � L ����� �� ������� � �� � �� ���� �� A � B ���� �� ������� �� 5� � ���� �A

[A, B]++ = (AB + BA)+

= B+A+ + A+B+ = BA+ AB = [A, B]+

<�������� � �

AB =12[A, B]+ +

12[A, B]−

� ����� � � �� ��� � � �� ���� �� ��� ���� L ��� ���� �� � ���� �� ��� ���� �� ����� ������ �� ������C �� ������� �� ���� An � �� ���� �� L �� ���� �� �� ������� ��

���'��� �2 �'���� �� ���� ������ H(�r) = p2/2m + U(�r) = −�2∇2/2m + U(�r) L ��� ����C��� D �� ���� �� ����� � �� �� ���� � ���� �� ��� �����

�,�� 3� ������ � .���

8���� ��������� � ���� �� ��� ����� �� �����C �� �� �� ���� ������ L ��� �@�� � �� ���)��� | Φ >C� L � ���� � ���C ��� � �� ���)��� < Ψ | L � ���� � ����� ��� ���� ����������� ���� �� ������ < Ψ | Φ >C � � ������� � �� ��� � ������ �� ��

�� ��A

< Ψ | Φ > = (Ψ,Φ) =∫dVΨ∗Φ .

�� ���� � �� ������C ���� ���� �� A ������ �� �� B� | Φ > C � �� ������ ��� B� A | Φ > C ������

< Ψ | A | Φ > =∫dVΨ∗(AΦ) .

�� ���� � A | Φ > L [ A | Φ > ]∗ = < A Φ | �

�,�� 4� ������ � �� ��� �� � ���� �� &��� ����

2�"�� 9����� �$���������

(��� ����� � ������� �� �� �������� '���C �'������� L2 ���� �C � �� ��� � � ��� � @����C ��������A �� �������� '��� ����� ������� ������ ����� � � ������ �C �� �������� �� �����@�� �� �)�� � � |Ψ(�r, t)|2�0������� �������� � � ���� � � �� �������� Ψ(�r, t) �� � � �@��� ��� � � � @���� ����� �@�� �

�� ��������� ��� � �� ��� �� ������ 9������� �� ��? ��� � � ��� ��� � ����� �����;C ��� ����C ��#������)��� ��@�� � ��� � 9�� �������C �� � � � �� ��� �������� '��� ����� ����� ���� �� �� � ���� � ���� ������ ��� � �����@�� � @����C � � � � ������ �������� � �� ���� � � ���� �������� �������� ���� �� ����� ��� � �������C ���'���� � 10−30 �;� 0������� ��� � ���� � ���������� �������� '��� � � ���� �� ������ ���� � � 9�� ���� �� �� ���� � � ��� �� ������ ����� ����� ��� � �� � ��� ������ @�� � ���� ������C �� ������� �� � �� ��)�� ���;�5���� �� ��� ��� � ������ � ������ � � ���� � ��������� ��������� ��C � ������� H �'�������

9��� ��� � �� L2; ���� �������� '��� H�� �I � ������� �� ������� @��� ��

6�������� � ���� � ��� � �� ��� ��� ��

Page 63: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��2� &�������� � ���������� �� ��������� "��'������ ��

• �� � � � � ��� �� ������ � �� ���� t L ������� � � � ��� �������� '��� 9�� B� ; | Ψt(�r) >∈ H�

• �'��������� � ����� L ������� � � ���'������������ � �� ���� �� ��� ���� A � �� B� A

A | Ψt(�r) >

� �� ����� � ���� ������ 9����� ���� � ����� � ���; � ��� ��������� � ����� L

A = < Ψt(�r) | A | Ψt(�r) > .

5� ��� � � �'���� �� A L �� ������� ��� )��B� < Ψt(�r) | A | Ψt(�r) > 9=∫

VdV Ψt(�r)∗AΨt(�r);�

<�������� � � �� ��������� � � �))���� ���� � L ��� � � � ���� � � ���� ����� ���� ����� ����&���� �A

��''� � ∀ Ψ,Φ ∈ H < Ψ | A | Φ > = < Φ | A+ | Ψ >∗

��'����������2

< Ψ | A | Φ > = < Ψ | AΦ > = < AΦ | Ψ >∗ == < Φ | A+Ψ >∗ = < Φ | A+ | Ψ >∗

0����'� � 1� ����� ���� A �� ��"����������� A ) �����$

��'����������2 4���� �� ����� � � ���' ��� ��� � � A

A = < Ψ | A | Ψ > = < Ψ | A+ | Ψ >∗

= < Ψ | A | Ψ >∗ = A ∗

5� �@����� �� ����� 9����; ΔA ���'���� �� A �� �#����� ΔA = A−A& ���� ����� ���� � ���������� ����� �� ����� � �� ����� � ���� ������� "���� ���� � ΔA L ��� ���� ����� �� L AC ��� ���� ���� �� L ��� � (ΔA)2�<�������� � � (ΔA)2 = < Ψ | (ΔA)2 | Ψ > ≥ 0 9���� �����@�� � ���� ���;�5���� �� �� ����� � � ����� ������ � � � ΨA �� � ����� �� ��� � �� ������� 9��� A L ��� ��� �� �;C

���L ��� � �A< ΨA | ΔA | ΨA > = 0

!� � � � ��� ������� � � < Ψ | Ψ > = 1C

(A−A) | Ψ > = 0 ⇒ < Ψ | (A− A) | Ψ > = 0 ⇒ A | Ψ > = A | Ψ >

���L �������� ������� �'��������� ���� �� ������

A | Ψ > = A | Ψ >

��� A ��� ��� �� � 9����X;�0�� ������ �����A

• � � � �����)��� ���� � � � ��� ����� ����� ��� �� ������ ���'���� �� � � �� ������� � 9���L � �A | Ψ > = A | Ψ >;C �

Page 64: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�+ �&/�01�1 ��2 �& ��!��& 68&�0�!0��& �� 8� 68&�31 (��)�13?&��

• � � ������ ���� � ��� �� ����� � � � � � ���� ���� � � �'�� ������ A �� ��� ��� ��� �� ���� � � ��������� � � �����'�� �������

5�� Ai, i ∈ N �'������� ���� �� ������ ���'���� �� A�

0����'� $ *� ������������ �������� �� ���������� ������� ���� ����������$

��'����������2 5���� ΨmC ΨnC AmC An ��� � � n �= m⇒ Am �= An �

A | Ψm > = Am |Ψm > A | Ψn > = An |Ψn >

(����

An < Ψn | Ψm > = < Ψn | A | Ψm > = Am < Ψn | Ψm >

⇒ 0 = (An −Am) < Ψn | Ψm >

⇒ < Ψn | Ψm > = 0 ∀ m �= n .�

��� �� ���� ��� ��������������C �� � ���� � �

< Ψn | Ψm > = δmn

��� δmn L �� �������� ���� � �������C � � ���� � �� m = n � 1 �� m �= n�8� ������ � ������ �� ������ ������� ����� ������C � ��������� � ��? �� ��� �� �������� ��

�,�� $������� �� ���� � �� ���� ��

5� ���� � � � �� �� ��������� � �� ���� �� ��� ���� ��� � ������� ��� )��� ������ � �� �� ������� :��)� ���� �����)��� �������� '��� � �� ���� t� ( �� �� � ��� )��� ������ �C L ����� �����)������ ��� ��� )��� � ������� ���� ������ 9�� �� � 4���5� �� ;C ���� D

I =∑m

| Ψm > < Ψm | . 9�/�+;

9�������� � ������ ����;�%��� � �����@�� � � ��� ��������� �������� '��� ��G ����� ������� � � �� ���� � )���

� ������� � ��'����� ���)�������� ������ ���� ������ � ���� )���A

| Ψ > =∑m

| Ψm > < Ψm | Ψ > =∑m

cm | Ψm >

9� < Ψm | Ψ > = cm ���� �����;��� �������������� �� ����� ���� ���� |Ψ > � � �������� � ��� �������� ����� cmA

1 =< Ψ|Ψ >=∑m

< Ψ| Ψm > < Ψm |Ψ >=∑m

|cm|2 ,

� �� ��)�)��� � � � ���� � ��� ����� �'�� ������ am ����

Pm = | < Ψm|Ψ > |2 = |cm|2 .���� �C ���� ��� ���F���� � amn = < Ψm | A | Ψn > ��� � �A

A | Ψ > =∑mn

| Ψm > < Ψm | A | Ψn > < Ψn | Ψ > =∑m,n

amncn | Ψm > .

[amn] L ��� �� ��� ���� � 9��@�� �;C � � ������� � �'���� �� A ����� ������ � :��)� L2 �� ������ ������& �� cn ���� ��� �� ���� � �������� � �� �� �� � � ������� � �� |Ψ >�

Page 65: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��2% ?����� ��'������� �� ������=��� ������ �-

�,�� /���� ����� ���� � ������#��� �����

5���� A � B �� ���� �� ��� ����& �@����� ���� � �� �������� � A � B �'���� �� C ��� � �

[A, B]− = iC

<�������� � � C L ��� ����A

C =1i

[A, B]−

⇒ C+ = −1i

[A, B]+− = −1i

(−[A, B]−) =1i

[A, B]− = C

5� � ��� � � �

[ΔA,ΔB]− = [(A−A), (B −B)]− =

=((A−A)(B −B) − (B −B)(A−A)

)=

=((AB −AB −BA+AB) − (BA−BA−AB +AB)

)=

= (AB − BA)=⇒ [ΔA,ΔB]− = [A, B]− = iC

5�� I(α) =∫dV |(αΔA− iΔB)Ψ|2 ��� �� ������� α ∈ R& I(α) ≥ 0∀ α ∈ R�

(����

I(α) =∫dV

((αΔA − iΔB)Ψ

)∗ ((αΔA− iΔB)Ψ

)=

=∫dV

(Ψ∗(αΔA + iΔB)(αΔA − iΔB)

)Ψ =

=∫dV

(Ψ∗

(α2(ΔA)2 + iα(ΔBΔA− ΔAΔB) + (ΔB)2

)Ψ)

=

=∫dV

(Ψ∗

(α2(ΔA)2 + αC + (ΔB)2

)Ψ)≥ 0

�� ��?C

0 ≤ I(α) =∫dV

(Ψ∗

(α2(ΔA)2 + αC + (ΔB)2

)Ψ)

=

= α2 < Ψ | (ΔA)2 | Ψ > + < Ψ | (ΔB)2 | Ψ > + α < Ψ | C | Ψ > =

= (ΔA)2[α2 + α

C

(ΔA)2

]+ (ΔB)2 =

= (ΔA)2[α2 + α

C

(ΔA)2+

C2

4(ΔA)4

]+ (ΔB)2 − C

2

4(ΔA)2=

= (ΔA)2[α+

C

2(ΔA)2

]2

+ (ΔB)2 − C2

4(ΔA)2∀ α ∈ R

⇒ (ΔB)2 − C2

4(ΔA)2≥ 0 ⇔ (ΔA)2 (ΔB)2 ≥ C

2

4.

Page 66: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

%. �&/�01�1 ��2 �& ��!��& 68&�0�!0��& �� 8� 68&�31 (��)�13?&��

%��� � �����@�� � � �� �� ������)��� ��� ����� ��� � ���C ��� ������� ����� ����� ���� ����������� � ��� ��������� �)� ����

���'���2 0�������� � ���� � � � �� ��

[pxx] =[−i� ∂

∂x, x

]=

(−i�∂x·

∂x

)− x

(−i� ∂

∂x

)=

(−xi� ∂

∂x+ 1(−i�)

)− x

(−i� ∂

∂x

)= −i�

�����

(Δpx)2 (Δx)2 ≥ �2

4

� � ��G ������� ����

ΔpxΔx ≥ �

2

9�������� � ��� ���������� � :�����)�� �� ��������� � �������;�

2�(�� -$�������� ����� �������

�� �������� ��� �� ��������� ��������C �'���� �� ����� � ������� L �@�� � ����

�L = �r × �p .

5� ������ � � �'���� �� L ��� ����� �� ���� � ���'���� ��

L2 = L2x + L2

y + L2z

L ��� '���� ��� �����>������ �� ������ � ����� � � ����� ������A[

Lx, Ly

]= i�Lz ;

[Ly, Lz

]= i�Lx ;

[Lz , Lx

]= i�Ly

[L2, Lx

]= [L2, Ly] = [L2, Lz] = 0

� ����� L �������)��� ������ ��� ����������� � ��� ��������� �� �������� � ����� �� ����� ��������C ��� � L �����)��� ������ ��� ����������� � ��� �)� ��� ��������� �� ���� � ������� � ������� � �� ��������� �� �� ���� ������ ��

�,�, ��������� ������� �� ����� ���

5� ��� ��� � �

• �'���������� ������� � ��� � � � ��� ����� � ���'��������� � 5� 7����

i�∂

∂t|Ψ >= H |Ψ > ,

��� H �@�� � ���� ��� ���� ��� ������ �C � ��� �� �@������� � ����� � � ��������� �� ���� ��������� ��

Page 67: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��2+ !�''����� %�

���������� �� ���� �� ��� ���� A ��� ������� ���� � ������ � �� ����� �� ���� �������� ���� � � A ������ �� ������� �� ���� ��� � ��

∂A

∂t=

∂t< Ψ | A | Ψ >=

⟨∂Ψ∂t

∣∣∣ A ∣∣∣ Ψ⟩

+⟨

Ψ∣∣∣ A ∣∣∣ ∂Ψ

∂t

�C ���� D ���'��������� � 5� 7���� i�∂Ψ/∂t = HΨ � H L ��� ����C

dA

dt=

⟨−i�HΨ

∣∣∣ A ∣∣∣ Ψ⟩

+⟨

Ψ∣∣∣ A ∣∣∣ −i

�HΨ

⟩=

⟨i

�ΨH

∣∣∣ A ∣∣∣ Ψ⟩−

⟨Ψ

∣∣∣ A ∣∣∣ i

�HΨ

⟩=

=i

(< Ψ|HA|Ψ > − < Ψ|AH |Ψ >

)=i

�< Ψ|[H, A]|Ψ >

%����

dA

dt=i

�[H, A] .

2�2�� ���������� �� �$:�������� � ��������

���� �������� �� �� � � � �� ���� � �� ����� � ���� ������ � ��'������)��� ���� � �� ����L �� ����� � ���� ������ �� ����� � �� ���':���� ������ ��� �'���� �� ������� � ���'������)����� � �� �� � � � �� �� ���� �� ����� � ��� �' ���� ������ �� ����� � ���� ������ ���'������)���������� � L ��� ��� �� � �� �� �� %��� � �� � ��� � ��'�� ������ � �������� ��� �� ����� � 87 ��� ��������� ����������� �� ������ �':���� ������ ����� � ��� �� � ����& �����C �� ��� L ������ � ������� ���� � ��

����C �'������)��� � ���� ������� � 9�'������; �� ��������5� ∂U/∂x = 0 �'���� �� px ����� � ��� H & ����� � ������ � ������� �� py � pz� �� ������� �

���� �� ���C �� ���� � � � �� � �� ���������� ������� � ���� ��� ���C ����� ������ � ���� � rC�� ����� � ������� 9� � �� ������ �

����� ����� � L �������� ��� �� � � θ � φ; ����� � ��� �' ���� ������A ����� �� ����� � ��������� ��������

�,�- $���� ��

5� �' ���� ������ L ������� � �� �'������������ � �� ���� �� � ����� ��C ���� ����� � ����'���� �� � ���� 9����� L �@��)��� ��� ���� ��� ��� �� � �� �� �A � ������ �� ����� � 87 �;���G � ��'������������ �� ������ ��� ���� ���� ����� � �� ����� ��������C � � ���L ���� ��

����� @�� � � �� ����������������� � ������� �'���� �� ������ � � ������ ����� )��� �r ����� � �� �����������

Π|�r >= | − �r >

9�� �� ��� ����)�� �� ������ � �r ��� −�r;� �'���� �� L ��� � �

Π2 = I

� ����� ���� � �� ������ ±1� E� ���� ������ ������� � �� �J������� ������� �� ��� ��(����� � ������������ ������� ���� �� ���� �� ���� �� ������������ � ����� C � � ����)�� ��

���� � ���� �� �������

Page 68: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

%$ �&/�01�1 ��2 �& ��!��& 68&�0�!0��& �� 8� 68&�31 (��)�13?&��

�,�5 6������� ������

���)��� ������� ������ �����@�� ���)��� )����

0����'� � �� ��� ��������� A � B �� �����! � �� |ψ > ) �� ����������� �� A! ������ B|ψ > ) ��� ������������ �� A ��� �� ������ ����������$

5� � ���� �

A|ψ >= A|ψ >⇒ BA|ψ >= AB|ψ >

� �����C ��� ��� �� ����� ������

A(B|ψ >) = A(B|ψ >)�

,� ����� (B|ψ >) L ����������� � |ψ > ��� ���� ��� ������C � �������� ���� ���� ���� � ���� �� � ������� ��� ���� ������A ����� �� �� ������)��� ����� ��� �� ��G ��� ��� ��� )��� � ��������� �� ������ H � �� �� � �� ��� �� ������ �� �� ���� ����� ������� �� ���� �� ��� ����� ���A ����� �� ���)����� � � ������� ������ ��� � ����� ��

���)����� � � )���� %��� � ���)����� � ��G ����� ������� � � �������� �� �������� � ������ ����9�/�+;�!�� ������� ������ �� �������� � � ������ � ���� ������ ����� )��� �r ���� �� ��� �� ���� ���������

� ����� )��� �p ���� �� ��� �� �� ����� ��

2�;�� ������ ������� �� �������&��� ������&���

0� �@������� �� ������� � ������)��� ��� � ����� �� ������� ������ � � ������)��� ����� �)��� ��A

• �� � �� ������)��� ����� ��� � ������&

• 5����@��� ��� �� ������ � � � �� ������)��� � ����� �� ����� �� ��� �� 9� ���� � �� ����� ������ ���;A �'������� � ������)��� ������ �� ������������

"�#����

�� 0� �'���� �� ����� � �������C �������� � ������ � ����� � ��A

•[L2, Lx

]•

[Lx, Ly

]•

[Lx, Lz

]�� 0� ��� �� ������ � ����� m �� ���� � � ��� ���� ���� ��������C ��� � �

H =p2

2m−G

mM

r

��� G � M ��� �� �C ���� �� � � �� ����� � ������� ���� � ���'������ �� ��������

Page 69: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�������� ��

���� � ���������� �����������

�� �������� '��� ���������� ��� ������ � � �� ������ � ��� �� ������ ��� �� � � �� ���� �������� ������� ��G ��J����� �� �� �)������ � ������ � ������� � �� ������ ��� �� �& �� ��� � � �� � ������ ���� �� ��� ����� � ��� ��� ��� ��� �� ������ ���� �� ������C �� �����

��� ���� �� ����� ����� )� �� ������ � )P ����� �� ��P �� ��� ���� PC ����� � �.��� �P.��� �� )� ��� ���� �� ��� ����� �� �� ��������� ��� �����C � �-�� ���� �� � ���P �@��)�� �Y�� ������ �������� �� ����� ��B�� � �����)�� �� �������� � �� ������ )� .��� �� ����� � �� ��� �����-��� �� �� �� �C ����� ��� �� ���� ��� )� �����.� ���� � ����� �� �� �-������ � �� ���� ����� �����C � @�� � ���� �� � ������� �� � .��� ���B� � ��B�� � �������)�� � �� ������ )� .������ ���� �� ����� )������ �� �� ���� ����C ���������P �� �P �� ��� .� ��� � � � �� �������)���- �� � � �� �� � ���� �� � ���� ��� �� � ������ � ��C . �� .� ��� ���� � � ����� ��� �� ��� �� ������ .��� ���B� � )��B� �.� ������ ��P�

� � �������)��� P �� �������� �� ��� ������ ��� )� .��� ��� ���� �� ����� �� ��� ���� ������ ������ ��)���� ��� ��� � �#�� � � ��� �� ��������� ��������� (� �� �-�����C .� ������ � ���� �� ��������� �� .� ��� ���� �� ����� � ��� � �� ����� �� ��� ��� )� .��� ��C .� ���������� �� .� �#��� �� ����� � ��� � ���� �� ��� ��� )� .��� ��� �� � ��������� �� ��� C �� �� �� �#����� �� �������� )� .��� � ���� � �� ��� .� �-������ �C ����� � �� �����)�� ��� ������ )� .��� � ������ �� � ��B �� ����� �� � @� ���� �� .��� �� �� � ������ �� ��� ����C �.���C �� �� ��� ��� .��� ������P )� ��� ���P �� � ����� �-������ � � ��C ������� ���������� ��� �����C � ����� �� �#��� ��� ���� ��� ��� �� � @� �-������ �� ����� � � ��� �� � ���������� ���� ��� ���� ������ �� � ������ �� � ��B �� ����� �� � ����� �-������ ��� � ���������� ���� ��� ��� ������ �� �� ���C � ��� ���� �� ����� �� � @� �-������ ����� )� �� ������ � )P ����� �� �� �Y�� ����C ����� �P ����� )� .��� �������� .� �� �� ������.� � ��� ���� ������� � �� � ��� ��� ��� )� .��� ������ �� � ��B �� ����� �� �� � P����������@�����C �� � ������ ������ ��� )� .��� � ���� � �� � .� �-������ � � �� ���� �� ���������� ���� ��� �� �-�� � S� ��� � .� ��� ���� � ����)� �� ����� � ��� )� ��)� � � � ��� ��� � � ��� � ��� C �����'� �����)�� ������ ����� .� �� � ���� �� � � P����� �� �� ������� ���� �� ����� ��� �� ���� ����� )� �� ������ � ��� ��� ��C �C �� . �� �� .��� ���B� � ��� ��� ��� (�� � ����C ������� ��� ����P �� 5��� ��C ����� . �� ��� �� � �� ����� ����������� �� '����� ���� ������ ����� ��C . �� �� � ���� �� �� � �� ��� �� '� �� ����� ���������� � ������� � �������� �� � ���� � ;�� ���� ' -�� �� Z�55�����9Z ��< < � ���� �� ��� �� ���������C ��� �� ����� ��� )� ���C ������ �9Z �� �P ��� �#��� ���� �������� �� ����� � �� �� B�� ��� C �������C )� � ����������� �� � �������� � .� ��. �� ���

�� ���� � ���� ��� ���������� �� )��� ���� � � �� ��� �������� � ��@�� �� ����� �� � � �� �� ����� �� �� ��

Page 70: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

%� �&/�01�1 �+2 !/�� � !0&0�!0��& 68&�0�!0��&

�-�� "� ������ ��� ��&�

3���� 5����� ������� �� ��� ���������

0� ��� �� ������ �������C �� �������� '��� Ψ(r, t) L ��� �������� ���� ������ � �������� r � �� ����t 9�� �� ����� � �������� �� ����;� �� �������� '��� � �� ��� ��� ��� � �� � � �� �� ������ L��� �������� ���� ������ � r1 ���� �� ������ �C ���� ������ � r2 ���� �� ������ �C � �� ���� A

Ψ = Ψ(r1, r2, t) . 9�*��;

�� ��� ���������� ������� L � ����� � 9���� �� ���� �; ���'��������� � 5� 7����

i�∂Ψ∂t

= HΨ 9�*��;

��� H L �' ���� ������ ���'�� �� ��� ���C ���L

H = − �2

2m1∇2

1 −�2

2m2∇2

2 + U(r1, r2, t)

��� ∇21 = ∂2

∂x21

+ ∂2

∂y21

+ ∂2

∂z21� ∇2

2 = ∂2

∂x22

+ ∂2

∂y22

+ ∂2

∂z22�

�� �����@�� � @���� � Ψ(r1, r2, t) L �� ������ �A |Ψ(r1, r2, t)|2d3r1d3r2 ������� � �� ��)�)��� � �

���� �� �� ������ � ����'������ � � ������ d3r1 � �� �� ������ � ����'������ � � ������ d3r2� 0����������� Ψ )������ ����� � �

1 =∫V|Ψ(r1, r2, t)|2d3r1d

3r2 .

5� �'������ �� ������� U ��� ����� �� ����C �������� ������� �'��������� � 5� 7���� � ������� ������� ������ � � ��������� ��� �� �� �� ���� ���������� ���� ����)���� 3�� � ���C � �� @��C

Ψ(r1, r2, t) = Ψ(r1, r2)e−iEt/� .

�� �� ���� �� �������� Ψ(r1, r2)C � � ����� ���� ���� ������ � ��������C ������ �'��������� �5� 7���� � ��������A

− �2

2m1∇2

1Ψ − �2

2m2∇2

2Ψ + UΨ = EΨ 9�*��;

������ E �'������ � ��� �� ��� ����

3���� 5������� ����$�)������ �� 5���<����� ��������� �� � ������ ����� ��������� �������

0������� �������� � ���@��� � � ��� �����)��� ��������� ���� 9�*��; L � � �� ��� �

Ψa,b(r1, r2) = Ψa(r1)Ψb(r2)

��� Ψa(r1) L �� ��������� ���'��������� � 5� 7���� � �� ������ �������

− �2

2m∇2

1Ψa(r1) + UΨa(r1) = EaΨa(r1)

Page 71: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�+2� /���� ���� ������ "� %�

� Ψb(r2) L �� ��������� �

− �2

2m∇2

2Ψb(r2) + UΨb(r2) = EbΨb(r2)

��� Ea + Eb = E��� ���� � � ��)�)��� � ������� � ���� �������� Ψa,b(r1, r2) L � � �

Ψ∗a,b(r1, r2)Ψa,b(r1, r2) = Ψ∗

a(r1)Ψ∗b(r2)Ψa(r1)Ψb(r2) .

�� ��)�)��� � � ���� �� �� ������ � ����'������ � � ������ d3r1 � �� �� ������ � ����'������ � ������� d3r2 L

|Ψa,b(r1, r2)|2d3r1d3r2 = |Ψa(r1)|2|Ψb(r2)|2d3r1d

3r2 .

<� ��������� � � ���'������ E = Ea + Eb �������� ��'�� � ��������� � � �

Ψa,b(r1, r2) = Ψa(r2)Ψb(r1)

������ Ψa(r2) ��������� ���'���������

− �2

2m∇2

2Ψa(r2) + UΨa(r2) = EaΨa(r2)

� Ψb(r2) ��������� ���'���������

− �2

2m∇2

1Ψb(r1) + UΨb(r1) = EbΨb(r1) .

�� ���� � ���� �� ���� � � ��)�)��� � ������� � ���� �������� Ψa,b(r1, r2) = Ψa(r2)Ψb(r1) ���� �

Ψ∗a,b(r1, r2)Ψa,b(r1, r2) = Ψ∗

a(r2)Ψ∗b(r1)Ψa(r2)Ψb(r1)

� �� ��)�)��� � � ���� �� �� ������ � ����'������ � � ������ d3r1 � �� �� ������ � ����'������ � ������� � d3r2 L � � �

|Ψa,b(r1, r2)|2d3r1d3r2 = |Ψa(r2)|2|Ψb(r1)|2d3r1d

3r2 .

�� �������C |Ψa(r1)|2 �= |Ψa(r2)|2 � |Ψb(r2)|2 �= |Ψb(r1)|2� ��G �����@�� � � ������ �� ��� ��� ������ �� � � � �� ��� ��� ��� � �� � � �� �� ������ ����� �� �� ������ � �� ��� �� r1 ����'������ Ea � �� �� ������ � �� ��� �� r2 ��� �'������ EbC ���� � � � �� ��� �� �� ������ � �� ��� �� r2

��� �'������ Eb � �� �� ������ � �� ��� �� r1 ��� �'������ Ea� ,� �� �� �� ������ ���� ��� �� � � ���G ��� ��G ������� 0� � ��� ���� ���� �� � �'������ � ��� E = Ea +EbC �� ����)�� � �� ��������� ��G ����� �� ����� ��� ����� ��

3��� /���� � �������

�� ����� � ��������C �� ��������� �������� �������� ����� �� ������ ��� �� ������ ���'�� �� 0��������C �������� �������� ��� � ���� � �'�� � � )��C ����� �������� ���� �� ����� � � ����� �@� ��� �C ��@��C ������� �� ��� ���� 8���� � � � ���� � L �����)��� �� ��������� ���� �� ����8�� �� ������� ������� ��� ��� ���C ��� �� �� ��G � �� � ��C � ���� � � ��� �� �� ��G ������ �� ��� ��� 9����� �� �)��� �����)����� �;� �� ���� �� ��������� ���� �� ��� ������� ��� � ���� ��� ������� �F������� � �� ���� � �� ������ � � ����C �� ����� � ��������C ���� �����)���� ���� �C�������� ��� ��� ��� �������� '��� � � ������ �� � � � �� ��� ���C ��� � �� � � �� �� ��������� �� �C ����� ��� �����@��� H����� �� ������ �� ��� �� �� � ����� � � � � 9� �� ������ �������;� H����� �� �� �� �� �� ���� �� ��� �� � ���� ��� ��� �������� '���A

Ψ±(r1, r2) = A(Ψa(r1)Ψb(r2) ± Ψb(r1)Ψa(r2)

)9�*��;

Page 72: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

%% �&/�01�1 �+2 !/�� � !0&0�!0��& 68&�0�!0��&

������ A ��� ���� ��� ��� �� � � ��������������� 0�? ������ �� ��� ������

Ψ+ = ΨS(r1, r2) = AS

(Ψa(r1)Ψb(r2) + Ψb(r1)Ψa(r2)

)�

Ψ− = ΨA(r1, r2) = AA

(Ψa(r1)Ψb(r2) − Ψb(r1)Ψa(r2)

)��� S � A � ���� �� ����� �� � �� � ����� ��� ��G �����@�� � �C �� ����C �� ���� �� ��� ��� ������ ��� �� �A � )�����C �� � ����� ����� 9�*��; ������� �� ����� ��? 9���� � ��C ���������� ���������� ����� ���; � � ������� �� � ����� ������� �� ����� ���� 9���� � ��C �� �� �������� �� ������ ���;�� �� ��� � � ������ ���� )�����C � �� ��� � ��� ��� ��� ���� �������� �'������� ������� ���

������� � � � � �� �� ������ � � ��������� ���� �� �� ���� )�����C ��� � � � �� �� ������ ��� ����������� �� ���� �������� �� �� ������� �� )����� � ������� L ���������� �� ��������� � � �� ���C ���LC����� � ��� � ���� �� �� ������ � �� � � ��� ��� �������� � ������� ����� ��� ������� 9���'������)�� �����;� �� �� ������C ���� 9�*��;C �������� ��� � � �� ������� ��� ��� 9�� ��� ���C ��������; ��� ������� ������� �� � ���� � � � ���� ���� ���� �C ������ Ψa = ΨbC ���L Ψa(r1) = Ψb(r1)� Ψa(r2) = Ψb(r2)C ������

ΨA(r1, r2) = AA

(Ψa(r1)Ψb(r2) − Ψb(r1)Ψa(r2)

)= 0

� ����� |ΨA(r1, r2)|2 = 0C ����� L ����� �� ��)�)��� � � ���� �� ������� ��� ��� ����� � ���� � � ���� ��G ������ � �� ����)� �������� � ���������� � ������%��� � �������� L ��� ����������� ���� ����� ��� ��� �))���� ����� � �� �������� '��� �� ��

��� ��� ��� � �� � � �� �� ������ �� �� �C �������� �C ����� ��� � ����� ��� ����� �� ��������'��� � � �������� ��� ��� ��� � �� � � N ������� ��� ���� 6������� ������� ���� � ������ � �

Ψ∗S(r1, r2)ΨS(r1, r2) =ASA

∗S

(Ψ∗

a(r1)Ψ∗b(r2)Ψa(r1)Ψb(r2)+

+ Ψ∗a(r1)Ψ∗

b(r2)Ψa(r2)Ψb(r1)++ Ψ∗

a(r2)Ψ∗b(r1)Ψa(r1)Ψb(r2)+

+ Ψ∗a(r2)Ψ∗

b(r1)Ψa(r2)Ψb(r1))

L � ������ � �������)��� ���� ����)�� � r2 ��� r1 � ���� ���� �'���� �����)��� � ���� �� ������� ��� ���� ���� �� ��G �� �� Ψ∗

A(r1, r2)ΨA(r1, r2)�0������� � ���� �� ������ � �'������ � �� ������ �'���� �� � ����)�� P � � ����)�� ��

9��������� ����; �� �� ������& ����� �� ��� �������� '��� � � ������ �� ��� ��� � �� �� ������L

PΨ(r1, r2) = Ψ(r2, r1) .

0��� D �� ����)�� ���� ��������� ���� �� ������ ��� ��G ���)��� �� ���� � � ��)�)��� �C ��'�����

P |Ψ(r1, r2)|2 = |Ψ(r1, r2)|2 9�*��;

���� � ��P(Ψ∗(r1, r2)Ψ(r1, r2)

)= Ψ∗(r2, r1)Ψ(r2, r1)

����� ��� � ���'������ � P ����� �������� ��� � Ψ∗ΨC �

P (Ψ∗Ψ) = (PΨ∗)(PΨ) 9�*�$;

����� ��� � ���'������ � P �� Ψ∗ � �� ΨA PΨ∗(r1, r2) = Ψ∗(r2, r1) � PΨ(r1, r2) = Ψ∗(r2, r1)������� ��� �� 9�*��; � �� 9�*�$; ������

(PΨ∗)(PΨ) = Ψ∗Ψ

Page 73: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�+2� /���� ���� ������ "� %�

� � �������� ������� ����(PΨ)∗(PΨ)

����� ����Ψ∗(r2, r1)Ψ(r2, r1) = Ψ∗(r1, r2)Ψ(r1, r2) .

%��� � ��������� L ������ � ��Ψ(r2, r1) = ±Ψ(r1, r2)

� �����Ψ∗(r2, r1) = ±Ψ∗(r1, r2) .

��G �����@�� � �PΨ(r1, r2) = ±Ψ(r1, r2)

� ����� �'���� �� � ����)�� P � ���� �� ������ ±1� <�������� � �C ������

HΨ(r2, r1) = EΨ(r2, r1)

�������� ������H(PΨ(r1, r2)

)= E

(PΨ(r1, r2)

).

!'�� � �� � �))���� ��� �

P(HΨ(r1, r2) = P

(EΨ(r1, r2)

)= EΨ(r2, r1) = E

(PΨ(r1, r2)

)����G

P(HΨ(r1, r2)

)= H

(PΨ(r1, r2)

)����� [P,H ] = 0�0������� ����� � ������ �� ������� ������ � � �������� � � ���� ����� ������� � �� �� � � ��� ��)� ��� ���� �� H � P C ���� � �� �������� ���� ��������� ���'��������� � 5� 7���� � ����� ����� �� � 9�� ������ +1; � �� ������ �� � 9�� ������ −1; �� �#� � � ��� ����)�� 9���������� � � ���������;A

Ψ(r1, r2) = ±Ψ(r2, r1)(

+ �� � )�����C − �� � �������).

5��� ����� ����� � �������� ����� �� � � �� � ����� �� ��

3���" 5����� ������� �� �� � ��= ��������� �������

5��������� � ���� � ������ �� �������� '��� Ψ(r1, r2, r3) � � ������ �� ��� ��� ��� � �� � � � �� ������ ��� �� �C �������� ���� ����� ��G ����� �� ��� � � � 9� �� ������ �������; Ψa(r)C Ψb(r)� Ψc(r)� 5� �� �� ������ ���� ������� ������C ����� ���� ���C � � ΨA(r1, r2, r3) �� ��� ����� ��� �������� � �� � ������ � �� ��� ����� 0�? ��������� �

ΨA(r1, r2, r3) = AA

∣∣∣∣∣∣Ψa(r1) Ψa(r2) Ψa(r3)Ψb(r1) Ψb(r2) Ψb(r3)Ψc(r1) Ψc(r2) Ψc(r3)

∣∣∣∣∣∣��� AA L ��� ��� �� � � ��������������� 5��������� �� � ������ � � ������

ΨA(r1, r2, r3) =AA

(Ψa(r1)Ψb(r2)Ψc(r3) − Ψa(r1)Ψb(r3)Ψc(r2)+

+ Ψa(r2)Ψb(r3)Ψc(r1) − Ψa(r2)Ψb(r1)Ψc(r3)+

+ Ψa(r3)Ψb(r1)Ψc(r2) − Ψa(r3)Ψb(r2)Ψc(r1))

Page 74: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

%+ �&/�01�1 �+2 !/�� � !0&0�!0��& 68&�0�!0��&

�� �������� L �� ������ ��� � ��� �� ���� � ���� �ΨA(r1, r2, r3) = 0 � |ΨA(r1, r2, r3)|2d3r1d3r2d

3r3 = 0�� Ψa = Ψb ����� Ψa = Ψc ����� Ψb = ΨcC ���L �� ������ �� ���� � �� ������ �������� �� � ����� � � 9� �� ������ �������; ����� �� �� �� �C ������C �� � ������ � ���� ������� 5� �� �� ���������� )�����C �� ����� � � �� ���� � � � ���� �� �������� ����� ��� ΨS(r1, r2, r3) L �� ������ �A

ΨS(r1, r2, r3) = As

∑p

p(Ψa(r1)Ψb(r2)Ψc(r3)

)

��� �� �����C ���� ����� �� ���)��� pC �� �� ��� � � � �� �����)��� ���� ������ �� r1C r2 � r3 � ����� ����� � ����� ������ 5�������� Ψa �= Ψb �= ΨcC �))����

ΨS(r1, r2, r3) =AS

(Ψa(r1)Ψb(r2)Ψc(r3) + Ψa(r1)Ψb(r3)Ψc(r2)+

+ Ψa(r2)Ψb(r3)Ψc(r1) + Ψa(r2)Ψb(r1)Ψc(r3)+

+ Ψa(r3)Ψb(r1)Ψc(r2) − Ψa(r3)Ψb(r2)Ψc(r1))

�� ���� � ����C �))����

AA = AS =

√13!

0������� ����������� �� ������ ����� � ��� ���� � � �� ������ �� ���� � N �� ������ ��� �� ��0� � ������� � ������ �� �������� '��� ΨA(r1, r2, . . . , rN ) ���� �������� � �� � ������ � ����� N � 0�������� �A

ΨA(r1, r2, . . . , rN ) =1√N !

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Ψa1(r1) Ψa1(r2) · · · Ψa1(rN )Ψa2(r1) Ψa2(r2) · · · Ψa2(rN )

������

� � ����

ΨaN (r1) ΨaN (r2) · · · ΨaN (rN )

∣∣∣∣∣∣∣∣∣0� � )�����C �))����

ΨS(r1, r2, . . . , rN ) =

√n1!n2! . . . ns!

N !

∑p

p(Ψa1(r1)Ψa2(r2) . . .Ψas(rs)

)

��� n1! � � � ������ � �C ���� N �� ������ �� �� ���� n1 ����� � ���� � � � 9� �� ������ �������;Ψai C n2! ����� � � �� �� ���� n2 ����� � ���� � � � Ψaj C � � � C ns! ����� ��@�� � � �� �� ���� ns ������ ���� � � � Ψaw C ����� ��� � �� �� � � � n1 + n2 + . . .+ ns = N �

�-�� �� � � �� ��� � /�78����%�� �����

�� � � �� ��� � ,�-.����3�� ����� � ��� ��� ��� � �� ������ �� �����)���� %�� �������� � ������ ������� ���� � �� ������ � � �������� �� � � ������� � ������ ����� �� ��� ��� � ���� � �� �������� ��� �� ������)�� ����� ��� �� ���� � � � ����� �� T � ������� ������ ����������� E�0������� ������ � �C �� �� ��� ��� L ��� � �� � � N �� ������ �� �����)���C �� �� ����� n1 ��� ������� ε1Cn2 ��� ������� ε2C � � � C ns ��� ������� εsC ������ n1ε1 + n2ε2 + . . . + nsεs = E � n1 + n2 + . . . + ns = N �>������� � ������ �� ����� �� ������� nrC ��� r = 1, 2, . . . , sC ���'������)�� ������ �� ������ � �������� ���� � ����� L �� � ���� ����������� � ������������� ����

Page 75: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�+2$ �� �������� � �� ?�AB���>9����'��� %-

3���� -� ��>�������� ��= ���&�&��� ��� � ������ �� ����������������&���

5��������� � �������� �� ��� ��� ��� � �� � � N �� ������ �� �����)���C ���@�� � �� ��� ���� ��� 9���� ���� � �� ��)�C � �������;� � ������� � ������ ������� �� ��� ������� �� ������� ����� ε1, ε2, . . . , εr, . . . 9��� ���� ���� ��� ��� ��)��� �� ��� ��� ε1 = 3�

2π2(2ml2)−1, ε2 =6�2π2(2ml2)−1, ε3 = 9�2π2(2ml2)−1 � ���M ���;� ( ������� ������� ����� ������� � g1, g2, . . . , gr, . . .� � � ���� ���C ���� � �� ��� g1 �'���� � ����������� �� ���� ������� 9����� �� ����� � ���� (nx, ny, nz) ��� � � n2

x + n2y + n2

z = 1;C ��� g2 �'���� � ����������� �� ������ ������� 9����� ������� � ��� (nx, ny, nz) ��� � � n2

x + n2y + n2

z = 6;C ��� gr �'���� � ����������� �� ������� εrC ����M ���� ())���� ��� ���@�������� �� ��� ��� ����� n1 �������� �� ������� ε1C n2 �������� �� �������ε2C���C ns �������� �� ������� εsC �� ��� ��� � � n1 + n2+, . . . ,+ns = N � 5��������� � � �� ��� ����� ��� ���'������)�� ����� ��� �� ���� � �C ���� ����� �� T C � ������� ������ � ��� E ������� ����� ���� ������� ������ ���� �� ������C � � ����� ������� � ���� ��� �� ����� �C � ������C���M �)����� � �� ����� � � � �� ��� ������ � �� ������� ���� � �����)��� 9�� ���� ���������������;� (���� �������� �#���� � � �� ����� �� ��� ������� � � ��� ������� ���@��������C ������� @���C L � � �

WMB(N ;E; ε1, . . . , εs; g1, . . . , gs;n1, . . . , ns) =

=N !

n1!n2! . . . ns!gn11 . . . gns

s = N !s∏

r=1

gnrr

nr!9�*�/;

��� � ������� ��� ����� � ��� ���� �� ������ � ����'������ � ���

⎧⎨⎩

∑sr=1 nr = N

∑sr=1 nrεr = E

9�*�*;

6������� �'��� ��� � � �� � � ���C ������� � � ��� � � ���@��������C �))�� �� � ���� �����)��� � ���������� � �� ��������� �� � ���C ������� � ���� � ���� � � ��'�� � ���@��������C ��� D � ������� �'L ������ ������ � � �� ����� � ������ �� ��� � �� �� �� (���� ��� ���@�������� L �� ���? ��)�)��� ���� � ������� L �� ����� �� ��� � ���� ������� �� �� ������� ����� � ��� L������� � ���� ���@�������� ��? ��)�)���� (�������� � �C ���'������)�� �����C �� ��� ��� �� �������� ��� ���@�������� ��? ��)�)���C � � �� � ��� �@�� � �� �� ������ ����� ����� � � n1, . . . , ns�8� � ���� � �����C ����� �� ��� � � ������ � ����� ���� ������� ��������� � � �������� ������C � �������C �� ���� � �������� � ������ � � � ��� ������� �� ��� ��� � �� ������� �� �������0� � ������ �� ���@�������� ��? ��)�)��� �))���� �������� �� ������� ���� �������� 9�*�/;

����� s ����)��� n1, . . . , ns ����� ��� � �� ������� 9�*�*;� 0������� ������� ���� �� n1, . . . , ns ����������)��� ��� ���� � ��� ���� �� ���� � �������� �'��� ��� � ������ �� ���@�������� �� ��� n1, . . . , ns

���� ����� �������� ���������� ���� �� ���@�������� �� ��� nr � 1� �� �� ���� �������� �������'�������������� � 5 ����� �� ������� �� ����� �� �� ����� nr!� 0��� D

∂ lnWMB

∂nr=

1WMB

∂WMB

∂nrC

� ��� � � �� ��� � WMB C � � �� ������� � ∂WMB/∂nr = 0C ��������� ��� � ��� � � �� ��� �lnWMB C � � �� ������� � ∂ lnWMB/∂nr = 0C ������ WMB > 0������� � ����� �� ������� � WMB C��� ���� �� ������� � lnWMB C ����� ����� ��� � �� �������� �*�*� (��� ����� �������� ������ �� ���� �� ������������ � ������C � � ������ � ���

Page 76: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�. �&/�01�1 �+2 !/�� � !0&0�!0��& 68&�0�!0��&

� ������ �� ������� ��)�� ���� ��������

LMB(n1, . . . , ns, α, β) = lnWMB + α

(s∑

r=1

nr −N

)+ β

(s∑

r=1

nrεr − E

).

�� ��������� ��������� �� ���� �� �� ��� L � � �� ���� � ������� ���� � LMB �� ���������A

∂LMB

∂nr=

∂ lnWMB

∂nr+ α+ βεr = 0, r = 1, 2, . . . , s 9�*�+;

∂LMB

∂α=

s∑r=1

nr −N = 0 9�*��1;

∂LMB

∂β=

s∑r=1

nrεr − E = 0 9�*���;

�� ��������� �*��1 � �*��� ��������� � ����� � �������& ���� ��������� �*�+ ������ � ����� � nr

� � ��������� �� �� ��� � lnWMB � ����� � WMB � ( ���� � ��� � �� �� ������� �#� ��� �������� � ������� ���� � LMB ���� � ���� ����)��� n1, . . . , nsC L ���� ��� ���� �'�������������� �5 ����� � � ���� � � ��� lnn! n lnn− n ����� n� 1�0������� ������ ���� �

lnWMB = lnN ! +s∑

r=1

nr ln gr −s∑

r=1

lnnr!

lnN ! +s∑

r=1

nr ln gr −s∑

r=1

(nr lnnr − nr)

� ���∂WMB

∂nr= ln gr − lnnr

(���� �� �*�+ ���� �lngr

nr+ α+ βεr = 0

���� �����C ������� �� ����� �� ���� ������������C � ������ �� ����� � �����������

nr = gr eαeβεr , ��� r = 1, 2, . . . , s

%��� � ��������� ��������� � ����� � nr �� ����������� �� ����� WMB ���� � �� �� ����<������� ���� � � �

∂2 lnWMB

∂nq∂nr= 0

∂2 lnWMB

∂n2r

= − 1nr

< 0

�������� �#���� � � ���� � �� ��� L �#� ������ � �� ��������

3���� 5�&���� ����� ��>�������� �� �)����&���

�� ���@�������� �� ��� nr = greαeβεr �� ������ �������� �� ������� � ������ εrC ���L �� ���@��������

��? ��)�)���C ��G ����� ������� � �� ������ � ���� ��� � � � � �������� �� ����� �� ��� ���C��� � �� � ���� N �� ������ �� ��� � � ��� �� ���� � �C ��G ����� �����C �� ��� ��� ��)�)��� ��� ������ � �������� 0������� ����� �������� ��� ������ � ����

Page 77: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�+2$ �� �������� � �� ?�AB���>9����'��� ��

5��������� lnWMB �� ���� � ��P�� �� �� �� ��� �� ��� � � ������� 9����� � ��� �� ����� m;C� ������

lnWMB =(lnWMB)m +s∑

r=1

(∂ lnWMB

∂nr

)m

Δnr+

+12

s∑r=1

(∂2 lnWMB

∂n2r

)m

(Δnr)2 + . . .

9�*���;

������ Δnr = nr − (nr)m = nr − greαeβεr �� ��������� � � �� ������ �� ����� � ������������ 0��� L

(∂2 lnWMB

∂nq∂nr)m = 0 (

∂2 lnWMB

∂n2r

)m = −(

1nr

)m

< 0

�� �*��� ���� � ��? ����������� �C ������� ��� � � ����� � ��� ������� �� ������C

lnWMB (lnWMB)m − 12

s∑r=1

(1nr

)mΔn2r 9�*���;

���LC ������� �� ����� �� ���� ������������C

WMB (WMB)me− 1

2�s

r=1Δn2

r(nr)m 9�*���;

())���� ��� ������� � � (WMB)m L �#� ������ � �� ������� �� ���� � ��� ��������� ������������� ��� � ���� ��� �� ����� � ����������� nr = gre

αeβεr �� � ����� � ��� ���@�������� � ����������� �� ����� � ��� WMB ������� � (WMB)m�0� ��� � ��� � ���� �WMB L ������� � (WMB)m ��������� � �C ������ Δnr/(nr)m = δrC ��������������� �� �*��� ����� ����

WMB = (WMB)me− 1

2

�sr=1(nr)mδ2

r . 9�*���;

0����� δr = δC ��������� ��� rC �))���� �����

WMB (WMB)me− 1

2 δ2�sr=1(nr)m

�����C ����� ��� � �� �� � � �∑s

r=1(nr)m = N C

WMB = (WMB)me− 1

2 Nδ2

(������ � ���� � ������������ � N = 1023 � δ = 10−9C � ������

WMB (WMB)me−25000 (WMB)m · 10−23 500

� ����� �� ��)�)��� � � � �� ������� ��� ���@�������� ����� ���� ���@�������� � ������)�� L���M ������� � �� � ����� � ��� � �� ������ � ������

3��� -� �����&����� �� *�+,���'/�����

8���� ������

nr = greαeβεr 9�*��$;

Page 78: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�$ �&/�01�1 �+2 !/�� � !0&0�!0��& 68&�0�!0��&

�� ����� � nr �� � ������ ���� � � ����� � ��� ������ L �� � �� ����� �� ����� � α � β� �������� � ����C � � ������� �� ����� � �� ������ � � �������� �� ������� εr ���'������)�� �����C L �� ����� �� �)������ � ,�-.����3�� ������ �� �� ������C eβεr ����� � ���� � �� �� � 3�� ������ 8������ �� ��� �� ��� � ���'������ � ��� �� ������ ������� ����� ����� ������� � ��� ���� 9 �������� ������ �� ��� ��� � �� ������ L ���@�� � �� ��� ��� ��� � ������ ����;C �� �*��$ ��G ����� ��� � �� ����� ������

n(ε)dε = eαeβεg(ε)dε

� ������ �� ����� � �� ������ � � �������� � ������� � ������ ������� ����'�� ������ �� ε � ε+ dε�6������� �� �� ���� � � �

eαeβε =n(ε)g(ε)

= n

������ �� ����� ���� 9� � ��G ��� � ����� ���������; � �� ������ � � �������� �� ������� � � ����� ����

3���" �� ����>��� >���� ��� �������� α � β

� ����� � α � β � � ��������� ����� �� �)������ � ,�-.����3�� �����C �� �������� ��� ����������� ���@�������� ��? ��)�)��� ���� ��� ������ �� � �������� �� ����� � α L ������� � �� ����� � ��� � �� ������& �� ����� � β L ������� � ���'������ � ��� �� ��� ���� <�������� � �

N =s∑

r=1

(nr)m =s∑

r=1

greαeβεr = eα

s∑r=1

greβεr

� �����

α = lnN − lns∑

r=1

greβεr

8�� ���� ���� ��� � ��� ���� �������� ������

α = lnN − ln∫ εmax

εmin

eβεg(ε)dε

(���� ��� �

Z =s∑

r=1

greβεr

�����

Z =∫ εmax

εmin

eβεg(ε)dε

�������� ��� � ������α = ln N

Z A = eα = NZ

.

0� � ������ �� ����� � βC �� ���� � �

E =s∑

r=1

nrεr = eαs∑

r=1

greβεrεr =

N

Z

s∑r=1

greβεrεr =

= N

∑sr=1 gre

βεr∑sr=1 greβεrεr

= N

(∂

∂βlnZ

)

Page 79: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�+2$ �� �������� � �� ?�AB���>9����'��� ��

�����C ��� ���� ���� ��� � ��� ����C

E = N

∫ εmax

εminεg(ε)eβεrdε∫ εmax

εming(ε)eβεr

= N

(∂

∂βlnZ

)

!����� �� �� ������� �� ����� � α � β L ��������� ������ �� ������� � ZC � ���� � ��� � ��������� ���������� 5� ���������� �� ���� � ��� ��� ��� ��)���C �))����

g(ε) = 2π( m

2�2π2

)3/2

V ε1/2

�����

g(ε)dε = g(k)dk =V

2π2k2dk

<�������� �� � � �� ����� � β ��'����� ���� ���� ���� �C ���� D Z ������ �� ����� @�� �C ������N = AZC �� ���� ���� � � eβε −→ 0 ����� ε −→ ∞� 6�������� � ε −→ ∞ ����� �� ����� �� �� ���� � � ��� ��� L � ��� � � �� ��� ��� ��� ���'��@�� �� (�� � g(ε) −→ ∞C �� �� N ��� �� ��@�� �C �'�� �����

Z =∫ εmax

εmin

eβεg(ε)dε

��� ��������C � ���� � L �������)��� �� β ≥ 0�8�� ������� � Z �������� ��� εmin = 0 ��� D �� ������� ��? )���� ���'������C �� �� ���C �� ����� ���� � ���� � ���� 0������� ��� � ��� εmax = ∞ ��� DC ������ β < 0C �� ��� �)� � ���'�� ������� ε > εmax ���� � ������� �� !�����

Z =∫ ∞

0

eβεg(ε)dε

�����

Z =∫ ∞

0

g(k)eβ�2k2/(2m)dk

������ ε = �2k2/(2m)� 2���� �

Z =∫ ∞

0

V

2π2k2eβ�

2k2/(2m)dk

=V m

π2�2

∫ ∞

0

�2k2

2meβ�

2k2/(2m)dk =V m

π2�2

∫ ∞

0

∂β

(eβ�

2k2/(2m)dk)

=∂

∂β

(V m

π2�2

∫ ∞

0

eβ�2k2/(2m)dk

)=

∂β

(√2V m3/2

�3π2(−β)−1/2

)

����� ��� � ξ2 = (−β)�2k2/(2m) �C �����C dξ = (−β)1/2�2−1/2m� ������ ��� � �� �� � � �∫ ∞

0

e−ξ2dξ = π1/2

������C �� �@�� ���C

Z = V

( −m2πβ�2

)3/2

= V( m

2π�2

)3/2

(−β)−3/2

0���G

A = eα =N

Z=N

V

(2π�2

m

)3/2

(−β)3/2

Page 80: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�� �&/�01�1 �+2 !/�� � !0&0�!0��& 68&�0�!0��&

α = lnA = ln

(N

V

(2π�2

m

)3/2

(−β)3/2

)

���� �C �'������ ���� � ��� ������� �� ������ L � � �

E

N= ε =

∂βlnZ =

1Z

∂Z

∂β

=(−3

2

)(−1)

(−β)−5/2

(−β)3/2= − 3

!���� ���� ���� ��� ������ �� �������� � �C �� �������� ����� ���� �C ���� � ε = 32kBT � !�����

32kbT = −3

21β

=⇒ β = − 1kBT

8� � �� ����� �� ����� � α � βC �� �� �)������ � ,�-.����3�� ����� ���� �

n(ε)dε = 2Nπ−1/2(−β)3/2eβεε1/2dε

=2πN

(πkBT )3/2e−ε/(kBT )ε1/2dε

E���� ���� � ������ � ������ � �C ������ �� ��������� ��������C ε = 12mv

2 ������

nv(v)dv = 4πN(

m

2πkBT

)3/2

e−mv2/(2kBT )v2dv

� � ������� � �� �� �)������ ���� ������ � � �� ��� ���� � ���'������)�� ����� ������ ,�-.����

�-�� �� � � �� ��� � 2����.���

0� ������ �� �� �� � ���� � � � �� ��� ������ �� ��� ���� � � ��� ���C � � �������� ���������� � �� �������� � 0����� �� ��� � ���� ����� L � ���� �� �� �)������ ���� ��� ��� ������������ �����& ����� ��G ����� � � � �� �'L �� ����� � ����� ����� � ����� ���� �� �����)��� �� ���� ������ ���� ����� !'�� � �� � ���� ����� ��G ����� ������ � � �� ��� ��� �� �������C ������ �� ����� � ����������� ���� 1 � ��"#� ����� �� ������� �� ����� � �� �)������ �� �����)���� 5�� nr �� ����� � ��� ��� ����'r�

����� � � �C �� �)�� � ����� gr ����� ���� � ����& � ���� � ����� nr ���� ������ � � ����G gr − nr ������� � 9����� '����������� � � 1 ���� ������ �;�0������� ��� ������ ��� �� �)������ ��������� � �������� ����� �� ��� ����� '�����������C

� �����@���� �� ����� ��� � � ������ ������ � � �� ��� ���� ���� � ��� � � � �� �� ������ �������� �����)���C �� ��)�)��� � � ��� �� �)������ ��� ����� � � nr ����� ������ � L ����������� �

Wr =gr!

nr!(gr − nr)!;

����� �� ��)�)��� � � ��� �� �)������ ��� ����� � �� ����� � ����������� n1C n2C n3C ��� ��������� � � � L ����������� �

W =∏r

gr!nr!(gr − nr)!

Page 81: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�+2� �� �������� � �� ���'�>���� ��

�����C � �������� �'�������������� � 5 �����C

lnW ∑

r

[gr ln gr − nr lnnr − (gr − nr) ln(gr − nr)] . 9�*��/;

>������� ���� �� �� �)������ ��? ��)�)��� ��� �� ������� ���� ��������� ���������∑r

nr = N

∑r

nrεr = E ;

� ������∂ lnW∂nr

= − lnnr + ln(gr − nr) = lngr − nr

nr= α+ βεr

� �����

nr =gr

eα+βεr + 1. 9�*��*;

E �������� �� ����� � gr 9��� �� �� �� � � ����� ���� �� ���� ������ ���� ����; �� � ���� �� ������� ������������� �� 2�� ������/

dn = F (ε)√εdε =

8πVh3

√2m3

√εdε

eα+βε + 1. 9�*��+;

5� ���@�� � � ����� �'����������� ���� L ��� � ������� �� � ��� �� � � �� ��� ���������5� ��� �� ��� ��� �� ������ �������� �� αC ������ εF = −αkBT C ��� εF L � � ������ �

6���� �� )��� � ���� � �@�������C �� �� �)������ � 6����!��� L � � �

nr =gr

e(εr−εF )/kBT + 1.

�'������ � 6��� ����� �)����� � ���� ����� ����'������ � � ���� � �� �)������ L ��� � �� ������ � ������� � � ����� � ������ �� 5������

�� ����� ������������ � ������� �� � ����� ���� � �� T → 0 � ������ � � ���� � εr �������� ����� � εF C �� �� ���� � � � ��� ������ � 6��� ���� � �� ���� �� �� ��� ����'������ � ������ �)������� 6�������� �C �� �������� � ���������� ������ �� ���� ���� �� H����#������� � ����� � � �� �������A �� �� �)������ � ,�-.����3�� ����� ����� � � �� )���� ����� �� ��� �� � � �� ����� ������ � ����� ������ � ����� ��? �� ��������� �� ������� ���� � �� 8�� ���� �� �������C�� ������� ����������� ��� ����� � �������� � � ���� ����������� ���� �� ��� �� �������C gr�!�����C ��� ���� � � ����� �� ���� � � ���C �� ���� ���� � � �� �� ������ �������� � � �������� � ������ ������ ����� �)����� � ��� �� �������� � ����������� 8� �������� �� �������� �� � � � � ������ �������� ������ � 9@�� � ���� ����� � �� �� ������ � �����������;� ��G ��������� ����������� ���'������ � 6���C ���� ���� � )�� �������� � ���� @��� �*�� � � ��� � ������������� � 6����!��� �� �U1� 0� ����� �� ��� �����C �� ����� �� ���� ��������� � �� �� ������ � ������� � ������� ���� � � ������ ���'������ � 6���A ���� ���� � ��� ����� � � ������� ������������ ����� ������ ������ ���� � ��������� � ������ �� ������� ��? )����C ��� ��� ���'������ �6���� ���� �� ��G �� ��� �� ��@��C �� ������ ���� � ����� ��� � ����� �� �������� L ������������ � � � ������� �#� � �� ��� �� � ������ �� ����� ����� �� �������� � ��� � ����� �� �� @����*�� L �� ��� ���� � �� �� ������� �� ��� ���C � �� ������ ���� � ������� 9������ � ��� ���; ������������ ���� � � ������ ���'������ � 6����

Page 82: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�% �&/�01�1 �+2 !/�� � !0&0�!0��& 68&�0�!0��&

6���� �*��A ������� ����� ��� � ������ � 6����

�-�� �� � � �� ��� � %���� ��� ���

���������� �� �� ��)���� ���� ����������� � ������� ����� ��� �� �� ������ ��� �� �C ���� �����)����� ��� ����� � �� �������� � ���������� � 0����� �� ������� ���� ��� ������ � �� ����� � � L �������� ��� � �������)��� ���� ����� � ��� � ������ � ��� ���� �������� � ���� � � �� ��� � 6����!���� ���� ������C �� ����������� �� �������C � ��)�)��� � �� ������C ��� L ��? ��� � ���� �� ��������� ��� ����������� �� ������� � ���� 9�� �������� � ���������� ��� �� �������;� >� ����C �� ���� � � � ��������� εrC nr �� ������ � �������� �� �)������ 9���� ���� �����)���; ��� gr � � � ������� (�������C ��� n = 1 � g = 3C �� �� ������ ��G ������� ��� ��������� �� � � � � ������� ��� n = 2C�� �� ������ �C ) ������� ����� ������� � ������ �� �� ��� � ����������� Z�)[ [ \C Z [�)[ \C Z [ [�)\C Z�[ [)\CZ�[)[ \C Z [�[)\� 8�� ��������� �������� � �� ���� ������ �� � � ) ��� D �� �� ������ ���� ��� �� ���� �������C �� ���� (nr + gr − 1)! ��� ������� � ���� ���� ������ � nr �� ������ �� gr − 1 �����C � ������ �� � � nr! ��� ��� D �� �� ������ ���� ��� �� � � � (gr − 1)! ��� �� ���� ��� � ��������������� �� �������� 2�� ��� ����� (nr + gr −1)!/[nr!(gr −1)!] ��� � ����� �� �� ������ ������ � � ������� �� ��� ������ � � ���C ����� ��� ��� �C L � � �� ��� � ���� ��� ������ � �� ��������������C �� ���

W =k∏

i=1

(gi + ni − 1)!ni!(gi − 1)!

.

(�������� �� ����� � � ��������������� ������� � ��� ������� ���� �� ������ ���� ���� ������ �)������ ���� ����������� � ������� )�������C � � �� �)������ � 3����"��� ���C � � �

nr =gr

eα+βεr − 1,

��� ����� �� ����� � β L ������� � ���� ����� �� ������ � �� ��� ��� � α L ���� � ���� ������������� �� ����� � ��� ���� �� ������� O ������ ���� ������ �� �� �)������ � 3����"��� ��� ���������

nr =gr

eα+βεr − 1.

Page 83: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�+2� �� �������� � �� 9���>�������� ��

8���� �� � �� � � � ����������� ��� �� �� �)������ � 6����!���C �� �����@�� � @���� ���� ������ ����������� � � �� ��� �� � )����� L � ����� � �#��� �C �� ���� � �� ��� ���� � ����� �������������� ���'����������� � �� ��������� ������� ����� ���� �� �� ������C �� ����� �� ���� �� ����� ����� ��? �������C �� ����� � � �� H���������� � � )����� ��� ������� ��? )���� � ������C�������� �� � ���� ������������ � 3����"��� ���� �'������ � ���� �� �)������ L ������������A�� ����� � A ����� ���� ���� ����� �� 9�� ��� ��� �� ����� ��������� � ����� ����� �6����!���C � � ���� � ��������� �'������ � 6��� �� ��� ���;C � �� ������� ���� � �� ����� �A L ���� � ����� �� ����� ��������� �� �� �)������ � ,�-.����3�� ������ ( ���� � ����� ��� � � �� ��� ������ ������ ������ � ���� �� ��� � ��� L ��? �����)��� � ������� �� �� ��� ���������2���� � �� ����� ��������C �� �� �)������ � 3����"��� ��� � )���� ����� �� ��������� �� �� ������� � ��������� ��� ������� ��� ����� ����

3�"�� %����������? ��� �� ���� � ������� �� @���A

���������� ��C ���� �����@�� ������������ ���� �� �)������ � � �� ��� �� )�����C �� � ��� � ��H��� � �� ���C ����� �� ������ � ������ ��� ����� ��� ��� ������ �� � ���� �� ������)�� ����� ����� ��� � �� ��� ��� ��A �� � � � ��� ������� ������ �������� �� ��� ��� @���� � � � ���� � ����H�� �� ��� �� ������ � �� �'������ � ���� ���� � � �������� ������ � �� ���� ��� � ���� ����� ��� ��� � ���� ��������� � 0����B � "��� ���� �� ���� � �������C ���������� �� ������������ ���� �C ����� ���� � ���� �� ����� ����)��� � �� ��� 9����)��� �� ���� � ���� ������� ���� ������� � ��� �Q�� � � �� �� ������� ��� ��� � ��� �� ��� ��� ��;� 5������ � �� ��� ���� ������ ��C ������ ���� �� � � �� ��� � 3����"��� ���� �� ����� � α ��� L ������ � �� ���� � ����C �� ���� ����� � ���� ���� � �� ��� ��� � �C ��� � �� �����)��� � � �������� � �� ������ � �� ��� ��� ��� �C ���L ��� �� �� 0�? ���� �� � L �� � ���������� �� ����� � ���� � � � � �C g(ε)� � �� ���C � � ����� �� ������ ���� �� �� �C ������� ��� �� ��� ��� ������ �� � � �C �� ������� �� ����������� ��� ��� ��� �� ��� � ���� ��� �� ��� ��� ��C ����� ����� ������� � ��� ��� � �� ��� � � ����������� �� )��� ��G ������C ���� ��� � �)��� � �� ��������C � ����� � ���� ��������� ������� � �� �� ����� '��� �� ����� �� ���� � � � �� �� �� �� ���� !���� ��������� � ���� ���������ka = πna/L, a = x, y, z, �� � ���� � �

p =√p2

x + p2y + p2

z = �

√k2

x + k2y + k2

z =h

2L

√n2

x + n2y + n2

z

� ������ �� � �� ��� E = pc �� � � �

E =hc

2L

√n2

x + n2y + n2

z .

�� �� ����� �� � ���� �� ���� � ���� � � �C g(E). ( ��� �����C ���������� ��� ������ ������

������� ��� ������ � �� ������ nx, ny, nz > 0C �����√n2

x + n2y + n2

zC ������ � � ������ 9������;

4πn2dn� �� �� ��� ���� �� � �� � �� � � ����C �� ��������� � ��� � ������������� �� �� �C ����� �� ���� � �� ����� g(n)dn = 2(1/8)4πn2dn� !���� E = hcn/(2L)C ����� dE = (hc/2L)dnC �� �� � g(E)dE = 8πL3E2dE/(h3c3)� �� �� �)������ 9� 3����"��� ���C ����� �; ��� ����� ��� � ��������� g(E)fBE(E)C �����

W (E) =8πL3

h3c3E2

eE/kBT − 1.

O �����)��� ����� �� ���� '���������� ����� ����� � 0����B ������ ���� � ������� � ��������� ���� � � ������ �� ��� � � ������� ())���� ����� � ��� � � � �� ������ � ���� ������������� �������� ��� ������ ���C � � L �� �������� � ����� ��� �� ��� � � ��������� ������ � ���� ���� ��� �� ������)�� �����C L �������� � ���� �@�� � � ��� � ������ � � �� ��� ����� ����� ��� ��� ���� ���� � �� ����� � ��� � � �� ��� ���� �� ��� )��������

Page 84: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

�+ �&/�01�1 �+2 !/�� � !0&0�!0��& 68&�0�!0��&

Page 85: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

��������� �

����� ����������! �������� ������

4�� 6��&���� � ������ ������

%���� �������� ������ ��������

x = r sin θ cosφy = r sin θ sinφz = r cos θ .

"����� � � �����A

d�l = dr�ur + (rdθ)�uθ + (r sin θdφ)�uφ

"����� � � ������ �����A

dΩ = sin θdθdφ

"����� � � ����@��� ����������� � �rA

d�S = dS�ur = r2d�ur

"����� � � ������A

d3x = dV = drdS = r2drdΩ

Page 86: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

+. &//������ &2 �13?8�� �1��&?��0&��, �1!0&�0� ��!��;�

%���� ����� �������� ����&����� �������

�a ·�b ≡ ∑i,j δijajbj = ab cos θ = �b · �a

�a×�b ≡�ux �uy �uz

ax ay az

bx by bz

= −�b× �a

�a · (�b× �c) = (�a×�b) · �c�a× (�b× �c) = �b(�a · �c) − �c(�a ·�b)

%��� 4������� ��!�������� ��������

4���� �A

�∇f ≡ ∂f

∂x�ux +

∂f

∂y�uy +

∂f

∂z�uz

!��������A

�∇ · �A ≡ ∂Ax

∂x+∂Ay

∂y+∂Az

∂z

2� ��A

�∇× �A ≡�ux �uy �uz∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ax Ay Az

����������A

∇2f ≡ �∇ · �∇f =∂2f

∂x2+∂2f

∂y2+∂2f

∂z2

�� ���������� L �@�� � ��� � ���� ���� �� �� ��� �������� �� �����A

∇2 �A ≡ ∇2Ax�ux + ∇2Ay�uy + ∇2Az�uz

1�������� ��C��������� �� ��������� ������ �*��� "�

• �∇ = ∂∂r�ur + 1

r∂∂θ�uθ + 1

r sin θ∂

∂φ�uφ

• �∇· = 1r2

∂∂r (r2�ur·) + 1

r sin θ∂∂θ (sin θ�uθ·) + 1

r sin θ∂

∂φ (�uφ·)

• �∇× = 1r sin θ

[∂∂θ (sin θ�uφ·) − ∂

∂φ (�uθ·)]�ur + 1

r

[1

sin θ∂

∂φ (�ur·) − ∂∂r (r�uφ·)

]�uθ + 1

r

[∂∂r (r�uθ·) − ∂

∂θ (�ur·)]�uφ

• ∇2 = 1r2

∂∂r (r2 ∂

∂r ) + 1r2 sin θ

∂∂θ (sin θ ∂

∂θ ) + 1r2 sin2 θ

∂2

∂φ2

Page 87: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

&2� 3� "��'� �� �� ��� *��'��� +�

%���" ����� �������� �������� �������

�∇(fg) = f �∇g + g�∇f�∇ · (f �A) = �A · �∇f + f �∇ · �A�∇× (f �A) = f �∇× �A− �A× �∇f

�∇ · ( �A× �B) = �B · (�∇× �A) − �A · (�∇× �B)�∇× ( �A× �B) = �A(�∇ · �B) − �B(�∇ · �A) + ( �B · �∇) �A− ( �A · �∇) �B

�∇( �A · �B) = �A× (�∇× �B) + �B × (�∇× �A) + ( �B · �∇) �A+ ( �A · �∇) �B�∇× �∇f = 0

�∇ · (�∇× �A) = 0�∇× (�∇× �A) = �∇(�∇ · �A) −∇2 �A

%���� ������� ���������

������ �� ����� �A

f(�r1) − f(�r0) =∫ �r1

�r0

�∇f · d�l

������ ���� ��������A ∮S

�A · d�S =∫

V (S)

(�∇ · �A) dV

������ �� � ��A ∮C

�Ad�l =∫

S(C)

(�∇× �A) · d�S

Page 88: C:/Documents and Settings/Ale/My Documents/Books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 & 3 & 0 4 0 5!/ & ( A t = σx+τt C # C ct = σx+τct. t = t =0 0 x2 +y2 +z2 −(ct)2 =0 x

+$ &//������ &2 �13?8�� �1��&?��0&��, �1!0&�0� ��!��;�

4�� 4����� ��� �� � 9���&�

>����� � ���� ���� c 3.00 · 108 �Q���� �� � � 0����B h 6.63 · 10−34 R �

hc 1240 �> ��� = h/2π 1.05 · 10−34 R � 96.58 · 10−16 �> �;�c 197 ,�> ��

��� �� � � ���� ������ ��������� G 6.67 · 10−11 8�2B�−2

��� �� � ��� ��� �� ��� � 1/4πε0 8.99 · 109 8�2�−2

ε0 8.85 · 10−12 6Q���� �� � ����� ��� �� ��� � μ0/4π 10−7 :Q������ ������ �� e 1.60 · 10−19 ���� �� � � � � �� @�� α = e2/4πε0�c �Q��/,���� ���'��� ��� me 0.911 · 10−30 B� 91���� ,�>Qc2;,���� �� �� ��� mp 1.67 · 10−27 B� 9+�* ,�>Qc2;2����� �������� ���'��� ��� re = e2/4πε0mec

2 2.82 · 10−15 �λCompton ���'��� ��� h/mec ��� ��2����� � 3� a0 = 4πε0�2/mee

2 0.53 · 10−10 �"����� � 2P)�� E0 = mec

2α/2 ���$ �>,���� �� 5��� MS 1.99 · 1030 B�,���� ���� ��� MT 5.98 · 1024 B�,���� ���� ���� ML 3.75 · 1022 B�2����� ���� ��� RT 6380 B�!�� ���� �������� dTL 3.84 · 108 �!�� ���� ���� ����5��� 9� ��; dTS 1.50 · 1011 �� ���� 9P; π · 107�0���� ����� TL ���$ �16� 9�/ / ��';� ��������� 9�P; �P·c 1016�� ����� 9��; U ���Q� �� ��� ���$ �P8���� � (����� NA 6.02 · 1023 ���−1

��� �� � � 3�� ����� kB 1.38 · 10−23 RQT 98.62 · 10−5 �>QT;"�������� � ��������� ���� ������ ��*1 RQB������ �� � �� ��� ���� � R 8.21 RQT0������� � �������� � ��� � � � 1.01 · 105 0���� �� � � 5 �����3�� ����� σ 5.67 · 10−8 S �−2T−4

��� �� � � S��� b 2.90 · 10−3 � T��� �� � � :�))�� H0 71 B�Q9� ,��;!���� � �� ��� ���'E������ ρC � 4�>Q�3