c:/documents and settings/ale/my documents/books ...deangeli/fismod/fismod2_1.pdf&/ 011 2 &...
TRANSCRIPT
������ �����
� ���� ���� ������ �� �������� � ������
�� ����� ���
��
������
�� �� �������� ��� ���� ����� ��������� � � ��������� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� �� ����������� � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
������ ������������ ���� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� ����������� ���� ����������� � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
������ ��� ������ ���� ���� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� !��� ������ �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� "#� � !����� ��� ���� ��� �� �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $
���� %����� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $������ %�������� �& '(���)� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *������ %��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *
���� �� ������� ��� ���� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *������ %����� �� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +
���$ "�� ������ ���� � ��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����$�� ������������ � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����$�� �� ������ �� jμ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����$�� �� ������ ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����$�� �� ����� ��� ������ ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����$�� ������� � ������� � �� ����� ��� ������ ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����$�$ "�������� � ,�-.��� �� ���� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� ������ �������� ��
�� �� ������� ����� ��� � ��������� � ������ �� �������� � ���� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �/���� 0���� � ���������� ���� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �*
������ �'�#� � �� ���� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �*������ �'�#� � ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+
���� 0���� � ����� ��� ���� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1������ 2�������� � � 3����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1������ "�������� � !������� � 4��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1
���� 5�� � � ��������� ���� � ��� � ������ � 3� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� ������
�� �������� � ���� �� ��������� �� ! "�#������ $����� �� ����� � ���� �������� '��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
������ 6����� � ��)�)��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ �'��������� � 5� 7���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$
������ 8� � ����� ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$���� �'��������� � 5� 7���� � �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �/���� 0� ������ ��)�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �/���� 3��� � �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �*
������ 8� � ����� � � � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+������ "� ������� �� ���� )������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+
���$ �� �������� '��� ���������� 9� :�����)��; � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1���$�� �� ��� ������ �� �������� '��� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1
���/ (� � �� ������� ������������� ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����/�� 4���� � �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����/�� �� )���� � �� ������� � �'�#� � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���* �'������� �� ������� �� ��� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �����*�� <��� �� � �������� � �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�% &��'� ���$�� 0� ������� � ����� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �/
�$���� ,���� � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+�$�� �'� ��� '������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�$�� !���� � � ��)�)��� � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���$�� ,���� � ����� ��� �)� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�$���� "�������� � 5 �� � 4���� & ������ �������� ���� ���� � � � � � � � � � � � � � � ���$�� <��� � ������� �� ����� � ����� ��� � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �/�$�$ ������������ �� ����� � ���� ���� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �/
�$�$�� �� ������� ������)� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �/�$�/ �� ����� ������� ���� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �*
�$�/�� "��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �*�$�/�� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+�$�/�� 3������ 9Z = 3; � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�$�/�� !�� )�� �� ��� 9� Z = 5 � Z = 10; � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�$�/�� !�� ���� ���'��� 9� Z = 11 � Z = 18; � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�$�/�$ "����� � ��� Z > 18 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�$�* 5�� � � ��� � ��� � �� ���� = � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���$�*�� 5�� � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���$�*�� 5�� � = � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� �� ��� � ��������� � �� �� ������ (��)*��'��� ���/�� 6������� '��� � ����� � :��)� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���/�� <�����)��� � ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�/���� <��� �� ��� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���/���� 2�������� � ����� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�/�� 8� ������ � !��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$�/�� (� ������ � �� ��� �� � ���� �� ��� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$
�/���� >���� '���� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$�/�� 5������� �� ���� � �� ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �*�/�$ ,���� ����� ���� � ������)��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+
�/�$�� �'���� �� ����� � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $1
������
�/�/ "��������� ������� �� ����� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $1�/�/�� ����� ������ ��� �':���� ������ � ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $�
�/�* 5���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $��/�+ 2������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $�
�/�+�� ������� ������ � � ������)��� ����� �)��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $�
�+ !��� � �������� � ��������� � %��*�� 0� ������ ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $�
�*���� 5�� ��� ��� � �� � � �� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $��*���� 5�������� ���'��������� � 5� 7���� � �������� � �� ��� ��� � �� �� ������
��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $��*���� 3����� � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $��*���� 5�� ��� ��� � �� � � � � ��? �� ������ ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $/
�*�� �� � � �� ��� � ,�-.����3�� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $*�*���� �� ���@�������� ��? ��)�)��� �� �� ��� ��� � �� ������ �� �����)��� � � � � � � $+�*���� 5 �)��� � ���� ���@�������� � ������)�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /1�*���� �� �� �)������ � ,�-.����3�� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /��*���� �� �����@�� � @���� �� ����� � α � β � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /�
�*�� �� � � �� ��� � 6����!��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /��*�� �� � � �� ��� � 3����"��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /$
�*���� (�����������A ��� � �� ��� � ������ � 0����B � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � //
& ���'��� *����'������, ������� ��� "� �-(�� 2�� ���� � ������ ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /+
(���� ������ � ����� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /+(���� ��� � � �� ����� ����)�� � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *1(���� <��� �� �#�������� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *1(���� ��� � � �� ����� ����� �� � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *�(���� ������ ������� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *�
(�� (����� ��� �� � @��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *�
. ������
�������� ��
�� ������� �������
�� ���� � ���� ��� ������ �� �� � � �������� ������� @���� � � ����� � �� ��� ��� ���� �������� ��� ��� � �� � �C ��� �� ������� �� ������������ ��� � � ���� �� � � � ���� � ���� ����� ��� ����������� @��� � � @����@� ��
���� ��������� �� ��������� ���������
8���'���� �+1� ����� ��))���� � ��� � ����� ��� @���� ��� �������� ����� ������ D ���������� �A (�)� "��� ���C ������� � ����� �'EF��� 3���� � � 3���� %��� � � ����� ���� � �� �������� � ��������� � ���� ���� � ���� � ��� �������������� ����C �� ��� � ��� �� ��G ��� �� � ������
���� HE� ��� � � ��� � ���� ��� ��� ��� ���� ����������� � ���� ����������� ���� ����I 9�����+1�;C ��� ��� ����������� ���'�#� � �� ���� ���� � �������� �'��� ��� �� ���� � � ���� ��� �� ��� � � 0����B ���� � �@��� �� ��� ��� �� ����������� �� ����� ������ � ����'������� ���� ��� � � � �� ���� ���� ���� ����� �� �� � "���� ��� �� ����� 8�)�� �� �� @���� ��� �+�� � ��� ��)��� �� ������ ������ � ���'����� ���� �������������� �� ������ ������ �����C �� ��� � ��� �� ��G ��� ��
� ������ ���� H�� �� � ���� �� ������ �� ������������ ��� J��� �� ���� �C ���� ����� � ���� ����� ���� ������������� �� �����I 9������ �+1�;C������� �� �� � )�.�����C ������ � ��� �"��� ��� � � �� ���� ���� ��? ��� ���� ��� ��))���������C �� � ��� H��������
�� �� �������� ������I 9H5���'��� �������� ������ �� ������� �IC �� ������ �+1�; ����������
�� ��)���� � � ��������� ����'��� ��� � ����� �����C �������� ��� ��������� �� ���� � ���������)����� � ��������C ������ � � ������������&���� ������ ����� �� ��� � ���� � ��� �� ������� ���� ��� D ������� ���� ����'��)��� � ���������� � ����� �@��C ����� � �� ����� ���� ������ ���� ������� ���0� ����� ���� ���� � ��� ����� �))�� ��
����� ���)�� � � ������� � ������� � ����� @���� �����C )������ )������ � ���� �� ����)���� ��� �#�� � � ����� �� � � "��� ����8�� �+1� �� ������� ���������� ��� �� ����C ��
����� ��� ������ ��)����C ������� ����� ��������� ������ � ���� ��� � @����& �� �� �������� ��������� ��. ������C ��� � ���� ����� � � ������ �������� � �� �� ��������C ����� ����� � ��? ��� ������ � ���� � ���@� �� �� ���� ���� ���@�� � �� ����� � � ����� � �� ������ ���� ���������A �� ������� � �� ��� ������� �� � ����� �8�. �� 9�� ��� ������ � �� ������� � �� ���� �� �� �� � � ������ ������� ���� � ���� ������������ � ��� ����� �� ����� �� ����� ������ ����;����� ������ � ������� � �� �� ����� � ��� ���������� � 9������� � ���� ������ �; � ����� ��������� � � �������� � � ��� �����"� ��� � )�� �� � � � �� ����� ���� ���������
���� ������� � ���� � � ���)����� � � ��������� ��������C ����� �� ��� ���� ������� �� � ������ ���� ������� � ��������� ���� �� � ��� � ������ ��������� �� ���������� ���������� �� �� �����������������C )�� �� � � ������ � � ������ � ����� � ������ ����� � ������ �� ������� ��� ����� � ��
��� ��������� ��� �� ����� ���� ���� ��������� �� ���
��������� ����������� �� ��������� �� ������� ��� ����� �� ����
��� ��������� ����� ����������� ������������� ��������� ��
������ �� �������
$ �&/�01�1 ��2 �& 3��&0�4�05 !/���&��
x
y
Ox′
y′
O′v
6���� ����A 2������� � �� �� � ��� ����
��� � � 4������ � ������� ���� � ��� ��� � ������������� ���� ������� ��. �������0� @���� �� ��� ������� )������ � �� � �
���� ������ �& ��� ����� K �� ��� ��� � �������� � �������� � ��� K′ �� ��� ��� � ������� ��� �� � � ������ ������� ��� ������ � V ���� �� K� 0������� ������ � � ���'�� �� � t = 0 �� ������� �� �� ������� � ���������C ��� ���������� ���� ��������� �� ���������� ���� �C �� �������@���C � � �� �� � � K′ ���� � � K ������������ �'���� ���� ��� ���� x 9�� ������ � � ��� ����� ���� ������ �� �K � � ���� '��� ��� ��� ��� ��������� �;��� ����������� � � �� ������� � �����
��������� ��. ������ ���� � � ���� ������ ���������� 9 ����������� � 4������;
x′ = x− V t
t′ = t
5� ��G �������� � ���� � � �� ���� � � ��� ������ � � ��� �� ��� � � � � �� � � ������ �������� ���� � � KC �� ��� ��� � ���� � � K′C ����� ������ � ������ ���� � �� �� K �� ������ L�������� � ��� ���C �� ��� ��� � �� K′�!���� ����������� � 4������ �� ��G ����C ��
���������C �� ����� � ������������ ���� ������ �&�� ���� � � ������� ��� ������ � ����� x ��� �v �� KC �������� ��� ������ � ��� � v′ ����� x′
�� K′ � � �
v′ = v − V . 9����;
!����� �� ������ � ��� ���� ������� � ���� � ����)����� � � ������� � ��������� %��� � ������@�� � � ���� ������ � � � �� � ����� ������������� @���� ��� ����� ���� � � �� �� ������ �������� � ��������� 0� �������C �� �� ������������ �� ����� �� ������ � ���� ��� � �����������
�� ����� L �@�� � ���� � �� ������� � �� ��� ������� L �� ���� ��5� ��� ��)� � � � ����� �� ��)����& �� ��������
�� ���'��� ������ ���� � ,�-.��� ��� ������ �������� � � ����������� ���� ���� cA
�∇× �E = −∂�B∂t
9����;
�∇ · �B = 0 9����;
�∇× �B =1c2∂�E∂t
+ μ0�j 9����;
�∇ · �E =ρ
ε09����;
��� �B � �E ���� � �� �� �� ����� ����� ��� ���� ���C ρ ��j ���� �� ���� � � ����� � � ���� �Cc L �� ������ � ���� ���� � ε0 � μ0 �� �����)��� ���� ��� � ����� ��� �� ��� ��!� ����������� �� ��������� � ,�-.��� ��� ����
���� ������ ������ � �� ��������� � �� �������� � �������� � �� �� � 9�� H��� �� �I c ���� ������� ������ �'��������� 9����; � ������� �������� � ��� ��� � ���������� ���� ���� �� ������������ 3������ ������ �'���� ���� � �� �������� � ��������� � �� ��� �� ������ � ���� ���� ���cC ���L �� ��������� ����� ���� ���� ��� � �����8�� �+1� ���� � �� �� ��)���� � � ���������
�� ������ � �� @����& �� �� ������ �'��� ��� ����'���� ���� � �� ������� � ��������� � �� ��� ������ �� ��������� � ������ � cC � ���� � �����C ����� �� � � �������� � �� ������ ��� � ����� ����)������ ����� ����� ������ � ���� ����� �C� � ���)����� ������ � � c ����� �� � ���� �� � � � ��� �� ��������C � � � ����� ��� �))��������'��������� 9����;�>� ���� ���� � ������ � ��� @����@�� ��� � �
,�� C )�� �� � � "��� ��� 9��? � � ��� ��������� � � � ����������� �'��� ��� ���'� ��;C �� �@� ��� � ������� � ������ � ���� ������ � ���� ���������� ��. ������ � �� ��� ���))� ���� ��������������,� �� � � ���� � �� �������� � ��� �C )�� ���
� ��� � �� ���� ��� ��������C ��G � � �������"��� ��� ���� �� ��� ���� �� ��� ���������������'�������� �������C �� ����� ������C ��� �����M �� ��� ��� ����� �� �+1�� "��� �� �� �� ����� �'��� �������� �������� �������C ��� ���� ����� �� ������� �C ��� ����� � � ��� �� ����� ������ � �� ���� ���� �� �� ������ "��� ����������� �� ���� ���'�� ������� � �� ����� � �
��2$ �� ����*��'������ �� ������� �
�� ���� �� �� �� � ��� ��� �������& �� ����� � ��� ���'����� �������� �� �� ������� ���� ��� ������ ���� � ����� � ������ � ������� �� ���� �� ���������� �� ������� � � ������� ���� �C ����� �� � � � �� �������� ������)���9����� � � ��� ���� � �� ���� �� ���� ��; ����������� � � ��� ���� �C �� ����� ������� ����� �������� ��������� !��� � �� �� ���� �� ������ � �� ��� ����������� �� ����������! �� �������!����"������� ��� ������! �� �� �� ��������� ������ ��� ����� ����� �������! �� #���� ������ ����������� ��� ���� � ��� �� ������� ����� ��� ����������$ �� ��������� �� ������ ����� ����������� ��� ���� �� ����������! ��� �����! ����"������� ��� ������! ����� �� �� ���������% �������� �� �������! ��� ����������! ��� ����� ������� ������! ����#���� ��� �����������! �� ��� �&! ��"�������! �� � ���������� � � �� ��� �������� ��� �� ��������� ��� ���� ������ �������� �������� � ����� ������ ��������� �� #����� �������� ����� ����� �������� ���� ���� ����������! � � � ���� �� ������ ��������� !� ���� � ������������ "��� ��� �� ����� � � �������� � ��� ������ ��� 9���� ������ ���������;��� ���������� ��������� �������������� ���"���� ��#����� ���������"��� ����� ������ �� ����� �������� � ��� ��
�� �A �� ����� ����� ����� ����� ' �������� �� ������� ������� �( ������ ������ ������������ ����� ������ ��� ����� � �� ������ ���� ��������� �� ��� �� ����������! ������ ������ ������ ���������� �������� ��� ��� ���� �� �� ������ ���� ��������� �� �� ������ 8�� ��� � ����� "��� ��� �������� ��� � �������� ��������A �� �������� ����� ���� ) ������ ������� � ������ ���� ���������� ���� �������� L ��G��� ��� � ��� ��� ����C ����� �� ��������� �,�-.��� ����� �� � ���� �� � � � ������� � ��������� � ��� ����� ���� � �� ������ � ���� ����� "���� ��� � ���� �� �� �'��� ��� � �� ������ ����������� ��� � � ����� ���� � ���� ���� 9� ������ ����� ���� � ������ �� ������ E = mc2 � �� ��� ������ ��� ����� �;�())���� ��� � � � � �� ��������� � ,�-.���
��� ���� ������� � ���� � ���� ����������� �4������& �� �� ����� ���� �� �� �������� � ��� ��� ��� ��� � "��� ���C �� ����� ����� �))������ ��� ����� � ������������ ,� ���� � �����@�� � ���)�)����� � ��� � �� ��������� ��� ��)�� ����� ���@� �& ���� L ���� � ������� � ���� � ���� ����������� � 4������ � �� ���� � ���� H�)������ �IC ����� ���� �� L ��� '����� �� ���� � � � ��)��
)����� � �� ������� � � "��� ���& ����'��� ����� ���� ���� � � ���)����� �� ��������� 9)�� ��������� � � ���@�� ���'�����; �� ��� ��� � � �������� ��������� �� � � ��������
���� �� ����������� � ����� �
8�� ����� � "��� ��� ������� ����� � ����� � ������������ � �� ������� � �������� � � ��� �� ������� �� ����������� � 4������& "��� ��� ������ ��� �����C � � �� ����� � �������� �� ���� �������� ������ �� *������ �� ���� � ����� � ��� ����� � �� �� ��� �� � ����� ��� ����� � ��������C �� ����� �� ����� � �� �������� � ���� ��� � ������� ���� �� �� ��������� � ,�-.��� �� � �� ������ � ���� ���� ��� ������� � �� ��� ������������C �� � � � � �� ���� �������� � ���� ���� �� �� ������� � ������������������� ����� �� ��� ��� � ������� �
�������� K � ��� K′ �� ��� ��� � ������� � ���� � � ������ ������� ��� ������ � V ���� � �K� 0������� ������ � � ���'�� �� � t = 0 �� ������� �� �� ������� � ���������C ��� ���������� ���� ��������� �� ���������� ���� �C �� �������@���C � � �� �� � � K′ ���� � � K ������������ �'���� ���� ��� ���� x 9�� ������ � � ��� ����� ���� ������ �� �K � � ���� '��� ��� ��� ��� ��������� �;�%���� ���� �� ����������� ��? ������� � � ���
���� �� ������ � �������� � ������� ����� � �K � ��� K′N5� �������� � � �� �� � � ������ ������� �� �
��� �� ���� ��� ��� � ������� � 9��������� �������� ����� � 8�. ��;C �� ����������� �������� ������� !'�� � �� �C �� �'�������� � ��'��� ���� ���� ������ ��� �����
y′ = y ; z′ = z .
%���� �� ����������� ��? ������� L ���������� � x L �� ���
x′ = γx+ ρt .
>� � � ������� � � � � �� �� � � � �� �������� ����� � ���� ��� ��� �� ��� ��� � �������� � L ���� ��'��� ��� � �� ������ � � 8�.� ��A �� ������� ��� � �� ����� �� ���� �� �
� �&/�01�1 ��2 �& 3��&0�4�05 !/���&��
����� ������ (���� ����� �� ������� ��� ������ ����������� ��� � � � ����A
t′ = σx + τt
�C �� �#�� �� �� � ��� � ������ � ��������C
ct′ = σx+ τct .
(� ���� t = t′ = 0 �� ����� � ���� �� ����'������ ������ �� �� ��� ��� � ������� ��0� �� ������ �� ��� ��� ��� ��� ����� � � ������
x2 + y2 + z2 − (ct)2 = 0
��� � �� �'������ �� ��� ��� ��� ����� � � ������
x′2 + y′2 + z′2 − (ct′)2 = 0
9�� ���� �� �� ����� � ���� ��������� � ,�-.������ �� ��� ��� � ������� � c L �� � ����;� 5� ������
x2 − (ct)2 = x′2 − (ct′)2 . 9���$;
O ��������� � ����� ����� �� ���������������� � �� ����������� ������� �� � ���)����� �C � � ���� ������ � ��� � �'��������� ���� ��������� �� � ���� �A cosh2 ψ − sinh2 ψ = 1� 5� �
x = x′ coshψ + ct′ sinhψct = x′ sinhψ + ct′ coshψ
(�������� �� ��������� ������ � ���'������ �������� ������ � �� K′ �� �
x
ct=V
c= tanhψ
� ���
sinhψ =V/c√
1 − V 2/c2; coshψ =
1√1 − V 2/c2
.
0� ��������C �� ������ � � �� ���� � �� � ��� �� ������� � �������� K � K′ �������� � @�� � �� ���� ���� � ���� ������ � ����� � �����������A
x′ =x− V
c (ct)√1 − V 2
c2
y′ = y
z′ = z
ct′ =(ct) − V
c x√1 − V 2
c2
0� � � ��� L � ��� ���� ��� �� �������� �������� �� � ���)���� �C �� �� � � � �� ����������� ���� ���� �� ������� ��� � ������ 9��� �� ��' ��� �� ��� ������; �������� � � �'������ �� ��� ���� K′ �� ����� ��� ������ � V �� K& �� � �����C������ x′ = 0 ����'��������� x′ = γx + ρtC � �ρ = −γV C �
x′ = γ(x− V t) .
5���� ������ � ��'�����
x = γ′(x′ + V t′) .
"�������� t′ ���� ��������� ������ �
t′ = γ
[t−
(1 − 1
γγ′
)x
V
]
� ������� �'���������� ������ � ��� � �����9���$;� %��� � L �� ����� ����� � � "��� ��� ������ � ����� ���������E�� ��������� � ���� ��� �� ����� � "��� ���C
��� ���� �.�BP ���� � ������ ���� � �� ������� ��� ��� � � �� ������� ���� ��� �������� ���� ���C � � ����� �� �������� � ��� ��� � � �� �� � �� ����������� �� � ��� ��� � ������� � ������� �� �����C � � �� ����������� ���� ������ �C ��� ��� ������ � ���� � ������� �� C� 2������� ��)���� ���� � ���������� � C& � �� ���� � � ��� � �� ��� ��� ��� ���� � ����� �������C ������� �� ��������� �� ������� ���� 8�� ���� �C → ∞ �� �� ������ �� ����������� � 4�������
���� ������������� ����� �������
0������ '�� �� ���
γ =1√
1 − V 2/c2; β =
V
c
���� D �� ������ ���� ���� ������ � ���� ���
ct′ = γ((ct) − βx)x′ = γ(x− β(ct))y′ = y
z′ = z
�
ct = γ((ct′) + βx′)x = γ(x′ + β(ct′))y = y′
z = z′
��2� ����������� ����� ����*��'������ �� ������� �
� ���������� �� ������ � ��)����� %��� L �� ��������� � �� ������ � � �� ���� ��� �� ��� ���� ������� �N 5� �
dt = γ
(dt′ +
V
c2dx′
)dx = γ(dx′ + V dt′)dy = dy′
dz = dz′
� �����
vx =v′x + V
1 + v′xVc2
vy =1γ
v′y1 + v′
xVc2
vz =1γ
v′z1 + v′
xVc2
.
9�� �� � � � ��� ���� � c → ∞ ��������� ��� �� ����������� � ������ � ���� @���� ��������;����� �� ��� �C �� ������ � ���� ���� L ������� �&
�� � ���� � � � �� ����� � �� ��������� ������ �������� � ������ ���� ���� L ����� ������� � c���G L ������ � ���@��� �� ��� �� ������ �� �� ������ �'���� xC �� �� ����� �� �
v =v′ + V
1 + v′Vc2
.
���� ����������� ���� ������������ � ���� �
>����� �� ����� � ����������� �� � ���� ����������� � ���� � � �������� �� �������� ��������� �� ��� ��� �� �� � @�� � ���
� �� �������� ����� ��������
!���� ����������� � ���� � ��� � ���� L ������)��� ������ �� ������ � �#� �& ��� � � ��'�� �� ���� ���� l � ����� �� KC ������� � ����� �'����xC � ��� �� ��� �� ����� �� x = x1 � x = x2&����� l = x2 − x1� >����� ���� ����� �'�� ���� ������� � K′& � �� �� ��� �� ������� ����������� x′ = x′1 � x′ = x′2 � ������ �� ������ ���������
x1 = γ(x′1 + V t′) x2 = γ(x′2 + V t′)
� ���
l = x2 − x1 = γ(x′2 − x′1)
���� �������� ������� � � �� ���� ���� ���'�� � ������ � � K′C ��� � l′ = x′2 − x′1C L ��� �� � 9�������� � t′; � L ���� � � l ���� ��������
l′ = l/γ .
!����� ��'�� � � ����� �� �� ������� � ����������� ��� � ��� ��� �� �� ������� � �������� ���� � ���� � � ���� �& ���� � �������� ���� ������ � ����������� ������������� ����� ���� �����
� �� ��������� ��� ����
>����� �� �� �� � �#� � �� ������ � � � ����� ������ ���� � ���� ����������� � ���� �&�� ��������� �� ���� � � � �������C ���� � �K′ ����� � ���� ��� � x′C �� � �� ���� �����t′ = t′1 � t′ = t′2� �'�� ������ ������� �� K′ �� �� ���� � L ����� Δt′ = t′2 − t′1� 0� ��������� �'�� ������ ������� � � �� ���� � ��� � � K)�� � ���� �� ����������� � ���� �
t1 = γ(t′1 +V
c2x′) t2 = γ(t′2 +
V
c2x′)
�� � ����
Δt = t2 − t1 = γΔt′ .
!����� �'�� ������ ������� � � �� ���� � ������ � �� ����� � �� K& ��� ������� � 9����� � �����)��� ������� ����� �; ���� �� ����� ����������� ������������� ��� �� ����� ���� � � ������ ��� � �� ��G � ���� �� ���
� ��� � ������ � � �������� � ����� �� ��� �������� � ���� ����������� � ���� �C �� ���� ����'��������� ���� ������ � � ����������� ������������ ������� � ���� @��� 9������;C ��� �����
� � �� �� ������� � �������� K′ �� �������� ����� ���M �� �A ��� ����� � � ���� E ��� � ����'������� �� ��� ��� ��� � �� ������� � � �� ������C�� ����� � �C ����� �'���� y′ @�� � ��������� �������� �� S ��� � � �� ���� h � �������������� � � ��� ����& �� ���� �� �J� � � ��� ���� � ��� ����� �� R � �C ��� �� ���������� ���� ���9�� � � � �� �������� � ����� ����C � � ���� ������ ��� ���� ���� �� � ���M ���� ��� L ����� �� � �� �� � � � �� ��� ���������� ��� �������)���
% �&/�01�1 ��2 �& 3��&0�4�05 !/���&��
ER
S
h
E R
S
h
Δx
6���� ����A �'������� � ���� ��� � �� K′ 9������ �; � �� K 9� �� �;�
����� �� ���;C �� �M � � E ����� �� ����� �������C ����M ����8�� ������� � K′ �� ���� � � �� ���� �������
� ������ �� ������ ESR L ��� � Δt′ = 2h/c�(���������� �� � ���� ������� � ���� ��� � � ��������� � K � � �� ����� � �� � ������� ��������� � �� ����� V ����������� � ���'���� x′� �� ��� ������� � �� ���� �� ����� ����� �� ����� � � �C �� ���� D ��� ���� � � ���� �� � E � S �� ��� ��� �� ����� �� � � �� ����� �� �� ������������ x ��� ������ � V C �� ��� ������ ��� ���� ���� � �)������ 5� � ������� Δt �� ���� ����� ��� K ��� D �� ���� ������ ��� ������C ����� �'���� � ��C �� ����� �� � �� ����� �� �� ���� ���������� x � ��� ���� � � Δx = VΔtC ��� � �� ����� ���� �� ����� ����� h� 0� ��� ��� �� ������ �� ����������� ���� ���� L c ��� � �� KC ������� ��� ����
cΔt = 2√h2 + (Δx/2)2 =
√c2Δt′2 + V 2Δt2
� ���
Δt = γΔt′
� � L ����� �� ���� � � � ��� � ���� ��� �� ����������� � ���� ��
� � !�� ������� �������������� �� ����
!���� ������ � ���������� �� �� ��������������� �� ������ � ���� ���� � � ����C �� ������ � �� �������� � �� ����� � ���� f ������ �
��� ����� � �� ���� � �� �� ��� ��� K ����� ��� �� �� �� � ��� ��� � ������� � �������� �� �� ����� � �� ���� ��� ������ � V ����
f ′ = fγ
(1 − V
c
)
������ �� ���� ����� ������ ����� �� ������� ���� � � ����� ������ � 9����������� �; ��� ����� �� ��� ����0� ���� �� �� �������� ������ �C � �����
�'��������� � �� ����� � ��� � '��� N = fT��� ��� ��� K& ��� �� ���� �� ��� ��� K′ ��������� ���� ���� '��� ��� �
λ′ =cT ′ + V T ′
N=
(c+ V )T ′
fT
� �� �������� f ′ ��� � � �
f ′ =c
λ′= f
T
T ′cT ′
(c+ V )T ′ =f
γ
11 + V/c
= f
√1 − V/c
1 + V/c= fγ(1 − V/c) .
5� �� � � �C � �#����� ���'���������� ��������� ���'�#� � !�����C �'���������� ��� ���� �������� ���� ���� ������ � ��� ����
���� ������ ��
��� �������� �� ������ � � �� ���� � xμ ����x0 = ctC x1 = xC x2 = y � x3 = z� �� ������������ � ���� � ���� � � �� ���)����� � � ��� ���� ������� �C ��� ����� �� ����� ��� ��� � �������� � � ������ � V ���� � �� ����C �� �������������
x0′ = γ(x0 − βx1) 9���/;
x1′ = γ(x1 − βx0) 9���*;
x2′ = x2 9���+;
x3′ = x3 9����1;
%��� � ����������� ���� ������)��� ��� ���� �� ���
Λ =
⎛⎜⎜⎝
γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0
0 0 1 00 0 0 1
⎞⎟⎟⎠
��2� 6����������� �
5� �� � � � �� � ������ � ���� �� ��� ���� ��0� ����������� �� ��� ��� ����)��� �� � ������
� � ��� �� �� ���� (μ, ν, ...) �� ����� � ������ � ����� � 0 � 3 9�� �� �� �� ��� ����� ��� ������ � ����� � � ����� � � � �;� 5� �������� � ������ �� ������ � "��� ��� �� �� ����� �� �� ������� �A ���� ���� ��� � �� �� ���������� �� ��� ������� ��� � � �� ��� �C ��� ���� � ��� �� �C����� �� �� ��� ��� ����� �� � ����
AαBα ≡∑
α
AαBα .
>����� �� �� )��� �� ��������� �� ��� �����? �� � �� � �� � ������� ���� � ��� �@�� � �� �� ������ ��? ��������'������� ���� ���� �C �� ������ ����C L �����
��� �)��� � ��� ������ R4& � ���� � L ����)������ ������ S � ������ ��C �@�� � ���� �� �#������ � ��� ���� � x � �� ���� � �)� ��� @��� �x0
ξ = x− x0.
S L ��� ������ �� ����� ��� ���� �� �����E� ������� � ������ �� L �� ������ � �
���� � ξμ = (ct, x, y, z)� 0� ������� �� ������������ � ���� � ��� ��� � �� �� � �����x
ξ0 = ξ0′+βξ1′√1−β2
ξ2 = ξ2′
ξ1 = ξ1′+βξ0′√1−β2
ξ3 = ξ3′
5����@�� � ��� )��� � ������� �� � ������ � �� �������� ������ �� ��� �������� � ���� �� ��� )���& �@����� �� ��� � �������� �A
• �� �������� � ��������������C � � �� ���������� �� ����� �� �� � ξ = (ξ0, ξ1, ξ2, ξ3)
• �� �������� � ����������C � � �� ������� ����� ����� �� )���� ξ = (ξ0, ξ1, ξ2, ξ3)�
�� �������� � ��� ������ � � ������� � �������� � ���� ������ � ��������A
ξ0 = ξ0 ξi = −ξi i = 1, 2, 3.
ξμ = gμνξν con
gμν =
⎛⎜⎜⎝
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
⎞⎟⎟⎠ .
5� S �� ��G �� ��� ��� � � �� �� ��� � ��� ��� � ������ (ξ, ζ) = (ζ, ξ) � �C @��� � ����� ��� � ������� � ������ �C �� ��G ����������
(ξ, ζ) = ξμζμ = ξ0
2 − �ξ 2
��� �� L ������� � � ������ ��� �ξ �� �� �� ������������� ���� � ���� �������� � �������� �ξ�5� ��G ���@��� � � �� ����������� � ���� �
�������� �� ��� � ������ ������ �& ��� � �� � ������� � �� �J������� �������� ���� ���� � ����� �9�� ��������� �������� ������ � �� ���� � � ������� �� �C � �����������C ��� � � ��� ��� �������;� 5� �� � � � �� ������� � ��� �J������� ��� ������ � ���� �� ��� � ���� � ������� � ������� ��� %���� �� ����������� � � ����� ������� �� ������� � �������� � �� �� � ������� ��������� �������� ������ � �� ��� � �������
�� �� ������C � � �� ������ �� ξC ������ � � (ξ, ξ) L ������� � �� ���)����� � �������� � ��������� 5� ����� ��� � ����
�� (ξ, ξ) > 0C �� ������ �� �� ��� � �������� ��
�� (ξ, ξ) < 0C �� ������ �� �� ��� � ������������
�� (ξ, ξ) = 0C �� ������ �� �� ��� � �����������
x
t
O
Cono laterale Cono laterale
N+
N−
V +
V −
+ �&/�01�1 ��2 �& 3��&0�4�05 !/���&��
�"�� �������������# �$%���&��'���
0��� DC � � ��� �������� ������ φC �� ����#��������
dφ =∑
μ
∂φ
∂xμdxμ
��'����� ��� ������C ����� �� �������
∂φ
∂xμ≡ ∂μφ
��� ����� �� ������ �� ������� �� !�@���������� �� ��������� � ∂μ � �� ����� ������C� � L �� ���� �� ������ ����� 9�� ��G ��� ����@��� �� ��� �� � � � ������ �� )��� ���� ����������� � ���� �;��'���� ��
∂μ∂μ =
1c2∂2
∂t2−∇2 ≡ �
L ����� �� ���� �� ������& ���� ����� � � � �"+�� ��������$ �'��������� � ��'��� � � �������� � ������ � c L ����� ������� � � ��� ��
�"�� �����������
5� �@����� 9����; ����� � ���� � 9� �� ����������� � ����� � ���� ���������; �� ������� �16 ������� Aμν � � �������� ���� ��� �� �������� � � �� ������ ��
Aμν = Λμσ′Λν
ρ′Aσ′ρ′.
�� �������� � � �� ����� ������� ����� ���� ������ �C ������� � � ��� �� � ������ �� �������� ��������� ����� � ���� 1� �� �������� � ��� � � δμ
ν L �@�� � ���� ��������
δμν ξ
ν = ξμ
())������ �'����� ��� ������ � � δμν �� � ����
�� ����� ������� � gμν � � ������� ������ ����������� 5������� � �� � ���� �� ������� �������������������� gμν � 5� �
gμν = gμν =
⎛⎜⎜⎝
1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1
⎞⎟⎟⎠ .
�� ��� � ������ � �� �� �� �� ��G ����������� ����
(ξ, ζ) = ξμζμ = gμνξμζν .
�� ����� � � 9����; ����� � ���� 2 �� ����������� �������� � � ����� � ���� ���������&���� � �� �������� � � �� ����� ������� ������ ��� ������ � 9 � � ��� ����� �� �� �;C ������� �9 � � ��� ����� �� )����; � ��� � 9������ ����� �� ��� �C �� � �� )����;� �� ����� � � ������ �������� ���� ������ � � �������� � ������� � � �� ������ ������ ������ ���� � � ������ ��� ��� � ��� ������ �� 9� � ������� ��������� ����� ����� 1;�E�� ����� ����� 9 ������ ���� ����� ��
�� ����������� ����� � ���� �C ����� �������� ������� � � � �� ��� � � ������ � �C����� �� ������ � ���)��� � ���)����� � � ���� ��� � ������� � ��� ������ � ��� ��� V C �� ������ � ���������C �� ��� �J�������; �� ������ L �� ����� � ����� � 2����C ������ ���� ��� ������ ��� � ���� �C ���M �@�� �A
• εμνρσ = 1 �� μνρσ L ��� ���� ������ ������� �������� 1���&
• εμνρσ = −1 �� μνρσ L ��� ���� ����������� ���� �������� 1���&
• εμνρσ = 0 ����� �� � �����
���� �� ������� ��� ���� ���
8�� �+1�C ��)� � ��� �'���� � ���'� ����� � � ��� ���� �� ���� ���� ��� ��� �C "��� ��� ��))������ ������ ����� � ���� � ������ �� ��� � ��� ������ �� � ������ H�'������ � �� ���� L ������ ��� ��� ��� ��� � � ������NI� 5�))��� ��� ������ � � � ���� �� � ���� "��� ��� ����� ����� ������ � ���� ��� �� � � �������� �� ��� ������ �� �����C �� ��� ��� � � ���� � )��� �� � � ����������� � 9��� )��� � ��� ����;C ���� ��? � ������ � ������ � ����� � �� @���� �� ��� � �������� �� ����� � "��� ��� L � ��� �� ���� �� ��� ���� ���� ��� ��� � ������ � �� �������� �� ������� � �� ������ �A �� ����� � ��� �� ������� �� ��� ��� ��� � � ������ ���� ���� � � �������������� ���� ������ � � � "��� ��� � ���� � �� �
L �� �� ��� � ��������� 5�� K �� ������� � ��������� � K′ �� ������ ������� � �������� �� �� �
��2� �� ����'� � ���������� � -
���� � �� ���� ��� ������ � ��� �� � V ����� �'����� x� 5� �������� �� ���� �� ���� � ���� � � K� � � � �� � � �� �� � t ��� � �� ��� ��������� ����� � ������ ε/2 �������� � �� ������������ �� 0� ����� �� �� ���� ��� ����� � ������ �� ���� � ��� �'�� �� � t� 5� ���� ���� ���Ei �'������ �� ���� ���� ���'�� �� � t � ��� Ef
�'������ ���C �� ���
Ei = Ef + ε/2 + ε/2 = Ef + ε .
5� �������� �� � ���� �������� ��� ������� � K′&���� � ��� �'��������� �� ��� � '��� ��������� �� ���� �� ��� ������� � �� ����� ��� ������� � ��� �� � �� ����� ��� � V � ������ ��� ����'�#� � !����� � ��� ����� �� ������ �� ���
E′i = E′
f +ε
2γ(1 − V/c) +
ε
2γ(1 + V/c) .
!���� �������� ������ � �� � ������ ���� �
E′i = E′
f + γε .
�� �#����� � ������ �� ���� ����� � ���������� � �� ��� ���� � L �� �� � � �� ������� ��� ��� L �� ���� � L ��� ���� ��� ������ ���� ���9� ���� � ��� ��� �� � �� ��� � � ����� �������� � ���� ��� � � �����;& �����
E′i − Ei = E′
f − Ef + ε(γ − 1)
�����
Ki = Kf + ε(γ − 1) .
!����� �'������ ���� ��� �� ���� ��������� ������ ���'��������� �� ��� � '��� ��� ������� ���& �� �� ������ � �� ���� ��� ���)��C � ������������ ��� ����� �� ��� ����� � � L ������ ���������� ���� � � ������� �� V/c �� �
Ki −Kf =12εV 2
c2
� � �� ������ � � ��� �� ��������
K =12mV 2
������� ��� ���������� � ����� �� ���� ��� �ε/c2� !����� �� ����� � �� ���� ����� ������� ���� � � � ������ ��� �� �� �� � ������������ � ��� �� ���� � ���� ������ � ���� �����
8�� ��� ��� � ���� � �� ���� 9����� K; ε ��������� ���� ���������� ���� ��� ������& ������� ��� ��� ��� � ������� �
ΔK =12ΔE
V 2
c2=
12
ΔmV 2 =⇒ ΔE = (Δm)c2
=⇒ E = mc2 : 9�����;
�'������ � �� ���� ��� ��� ������� � � ���� �L ����������� ���� ��� ������
���� �����������������'�����
�� ������������ ���� ���� � � � �� � ��������Cm�vC ��� L ����� �)��� ��� �� ����������� � ����� �� 0� ������� ��� � L ��F���� � ��������� �� ��� ��� �� @���& ��� m �� ����� � ������������ �� �������
8�� ��� ��� �� ��� � � �����C �� �C ���� ����� ���������� 9�;C � ���� � x �'���� ������ ��� � y������ �� �����A
px = mv +m(−v) = 0
py = 0 .
!��� �� ���������� 9);A
px = 0
py = mv +m(−v) = 0 .
�. �&/�01�1 ��2 �& 3��&0�4�05 !/���&��
,� ������ �� �� �� ��� ��� � ������� � K′ ���� � ��� ������ � −v �� � ����� �'���� x ���� ��� ����� �� ��� ��� ��� �� �� ������ � �� � ����� ���� ���'� �� �� ����������� ���� ������ �����C ���� ���'� �A
px = m2v
1 + v2/c2+m(0) =
2mv1 + v2/c2
py = 0 ,
� ��� �'� �A
px = mv +m(v) = 2mv
py = 0 .
!����� �� ���� � � � �� � ��� L ������� ��>������� �@��� �� ���� � � � �� � ��� ���� ��
�� �� ��� ��� � �A
�� ��� � ����� �� �� �� ����� ������ �������������&
�� ������� ��� ������ �������� �� v � c&
�� �� ��� ������������ ��� ����� �)��� ��� �� ����������� � ���� ��
O ����� � � � �� ���� �� ��������� �������@�� � ���� ���� �
�p = m�vγ ; 9�����;
�� ���@�� � � ��� � �� ��� �� LA ����� @��������� � �� �C ���� � ��� �'� �A
px =2mv
1 − v2/c2
py = 0 .
>������� �� ��� ��� �� ������ �� ���� ����'������ � ���� ���� � � � �� � � ��� ��� ������� 0� �� 9�����;C ��� ��� ��� � ���� � ������ ������ ���� � ������ �� ��� �������
pquiete = (mc2, 0, 0, 0) .
!'�� � �� �A
• �� ���� ���� � �� ������ ��C m2c4C��� ����� ������� �&
• �� �� � �������� �� ������ ��C �� )��� ����9�����;C ��� ����� � � �
pi = mcviγ
9�� �� �� c L ����� � �� ���� �� ��������� ���'������C �� ��� ������� ���� �������� �� ����� 1;�
5� � ����� �� ������ �� ������������ �
p = (mγc2,mcγ�v) .
�� �������� � �� ������ �� ������������ �������� ��� ���� � � ������� ��
�� *�����
!���� ���� �� ������ �� ������������ �
p = (E = γmc2, γmc�v)
�� ����� ��
�v
c=
�p
E.
,�� � �� ��������� �������� ��� �� ��G ����� ��� �� ������ � ����� �����C �� ������������ ���� ��� ��G L �����)���� �� �� ������ ������������ �
pμ = (E, �pc)
���
E2 − p2c2 = 0
��2% �������'�������'� � �������� ��
6���� ����A 5�� ���� � �� �� ��� � �� � � ����� ����
� ����� �� ������ ���� ������ � ���� �����>��� ��� � �� �� � � � �� ��� �� ������ � �����
����� ���� �� ��� ������ ���� ������ � ���� ����9�� ���� � ���))� ������ �����;�E� ������� � �� ������ � ����� ����� L �����
�� �� ������ � ���� 9�� �� ���;�5� ������� � ������� �'�#� � ���� ��C ��
������ ��� ���� ���� ���� �� �� ��� � �����m = 0; ��� hf 9��� h L �� ��� �� � � 0����B �f L �� ��������; �� ��� ������ ���� ���'� �Chf ′ �� ��� ������ ��� �'� �& � ������� me ������� ���'��� ���� 5� �� � ������C ���� � ���������� � �� @��� 9����;A
pfotone, prima + pelettrone, prima
= pfotone, dopo + pelettrone, dopo
=⇒ (hf, hf, 0, 0) + (mec2, 0, 0, 0)
= (hf ′, hf ′ cosφ, hf ′ sinφ, 0)+ (γmec
2, γme|�v| cos θ, hf ′ sin θ, 0)
� ��� �� �����
Δλ =(c
f ′ −c
f
)=
h
mec(1 − cosφ) , 9�����;
�� ����� ��� � ���� � � ���'��������� � ����� ��� 5� �� � � � ��� ���� � � � �� �� ��� ��� ��� � ��� ���� � �� ����� �#� ��� ���'��� ��� L �������� �meA ���� � ������ �� �� � � � ���� �� ���� ���� ��� ��� ��������� � � 9�����;C �� ����� �)������ � ���� � ��
���� �� ������ ���� � ���� ��� !
>������� ������ �� ��������� � ,�-.��� �� ���� � � ����� ������� � � ��� � ���� � ���� ������������ � ���� �& �� ��� ��G �� ���������� ����� ��������� ���������
������� � � ��������� � ����� ��� ��� � ������ ��� � ����� �� �� � �� ������� ������ V ��� �� ������� �� �� �A� ���������� �� ����������� � ,�-.��� ��������
�∇ · �B = 0 ; �∇× �E +∂ �B∂t
= 0 .
�� ���� �� ��� � �
�B = �∇× �A
9 �A L �@�� � � ���� �� ����� � � ��� ��������������;& �� � �����
�∇×(�E +
∂ �A
∂t
)= 0 =⇒ �E = −∂
�A
∂t− �∇V
��� V �� ��� �@�� ��� �� �� ������� 9������ ������� ����� ��� ��� ��� �� � ���� �E = −�∇V;�
�(�� ������������� �� �����
0��� D
�B = �∇× �A
�E = −∂�A
∂t− �∇V
��������� �����������
�A → �A− �∇sV → V +
∂s
∂t
��� s �������� ������ ������ ������ � � ������ ���� ����������� ���� � � ����������� � ���������������� �� �� ��������� ����������
�∇× �B = μ0�, + ε0μ0∂�E∂t
; �∇ · �E =ρ
ε0.
0��� D
�B = �∇× �A ; �E = −∂ �A/∂t− �∇V�� ���� ������
�∇× (�∇× �A) ≡ �∇(�∇ · �A) −∇2 �A
= μ0�,− ε0μ0
(∂2 �A
∂t2+ �∇∂V
∂t
)
=⇒ ε0μ0∂2 �A
∂t2−∇2 �A = μ0�,−�∇
(�∇ · �A+ ε0μ0
∂V∂t
).
�$ �&/�01�1 ��2 �& 3��&0�4�05 !/���&��
�� ������ �� ��G ������
−∂(�∇ · �A)∂t
−∇2V =ρ
ε0
=⇒ ε0μ0∂2V∂t2
−∇2V =ρ
ε0+∂
∂t
(�∇ · �A+ ε0μ0
∂V∂t
).
�� ���������(�∇ · �A+ ε0μ0
∂V∂t
)= 0 L ��� �����
9����� � ���� �;& �� ��� �����
�∇2V − 1c2∂2V∂t2
= − ρ
ε0; �∇2 �A− 1
c2∂2 �A
∂t2= −μ0
�j .
�(�� �� )���������� jµ
�� ���� � �
dx0 dx1dx2dx3
L ��� ������ 9������� � �� ����������� � ����� �;� ���� �C �� ���� ���� �'���� x ����� V C �� � � � dx0 ≡ d(ct) �� ��� � � �� �� �� γC ��� �dx1 �� ��� �� � �� �� �� γ�0��� D �� ����� L �� ������� �C �� ���� � �
ρ dx1dx2dx3
��� ����� ��� ���� ��� ������ 9����� �������� �;� !����� ρ �� ������ ���� x0 �C ���� D �j L�� �� �� ������������C �� ���� � �
jμ ≡ (cρ,�j)
L �� ������ ���
�(� �� )�������������
5������� � � �������� ������� � ����� �� ������E � �B �� ����� � �� �� ������� ������ V � � ���� ������� �� �� �AC �@�� � � ���� �� ����� �� �� ����� �������!���� ���� � � L �� ������ �� �� �������
Aμ � � �
Aμ =(Vc, �A
).
!���� ���������A
∇2V − 1c2∂2V∂t2
= − ρ
ε0= −μ0ρc
2
=⇒ ∇2(V/c) − 1c2∂2(V/c)∂t2
= −μ0 (ρc)
�∇2 �A− 1c2∂2 �A
∂t2= −μ0
�j
�� � ����
�Aα = μ0jα .
,� �'��������� ��� ����� ������� � �� ������������ � ������� � ��������& �����C ������� �����)� � �� � ������ ���� �� ������ ���C ��� � �� ���)� � ����� � ��� ������������ �� ������ �� � ����� �� ������� Aμ L�� ������ ���
�(�" �� ����� ������������
O ����� �� ����� � ���� �� '������� ��� �� ��������� ��������( �� �� ��� �� ������ ���A
Fμν = ∂μAν − ∂νAμ.
!����
�E = −∂�A
∂t− �∇V ; �B = �∇× �A
�� �A
Fμν =
⎛⎜⎜⎝
0 −Ex/c −Ey/c −Ez/cEx/c 0 −Bz By
Ey/c Bz 0 −Bx
Ez/c −By Bx 0
⎞⎟⎟⎠ .
0������� ������� �� �� ����������� �� ����� �E� �B �� ��� ����������� �� � ��� ��� K � K′ ���� � ��� ��� ����� �'���� x ��� ������ � V A
E ′x = Ex B′
x = Bx
E ′y = γ(Ey − V Bz) B′
y = γ
(By +
V
c2Ez
)
E ′z = γ(Ez + V By) B′
z = γ
(Bz − V
c2Ey
)
�(�� ������� �������� �� �����������������
0� �� �� �� �������� � Fμν C �� ������ � ������ � � ���� ������� � �� ����������� �������� � ��������A
12FμνF
μν = B2 − E2
c2c
8εαβγδF
αβF γδ = �B · �E��� εαβγδ L �� ������� ����� �� ����� ���������� ������ �� ����� 4�(����� �� � � ������ ������� ���� � �� ����
����� ������ � ���� ����� � � ������������� ������
��2% �������'�������'� � �������� ��
�(�( )������ �� *�+,��� � ���'�� ��������
(���� ��� � �� ����� � ���� �� �� ������� ����� ��� ��� � �� ����� ����� ���C
Fμν = ∂μAν − ∂νAμ
=
⎛⎜⎜⎝
0 −Ex/c −Ey/c −Ez/cEx/c 0 −Bz By
Ey/c Bz 0 −Bx
Ez/c −By Bx 0
⎞⎟⎟⎠
�� ��G ����� � ������� �� ��������� � ,�-.����� ���� �������� �� �������� � Fμν & �� �� ���� ���� ���� ��))�� ������� � � ��� �� 5� � ��������C �� �� ��������� ����������
�∇× �B = ε0μ0∂�E∂t
+ μ0�, ; �∇ · �E =ρ
ε0
�� ������ � ���� � � 9� ���������;A
−∂2F12 − ∂3F
13 − ∂0F10 = μ0jx...
...c(∂1F
10 + ∂2F20 + ∂3F
30)
= μ0ρc2
%����(�∇ · �E =
ρ
ε0& �∇× �B = ε0μ0
∂�E∂t
+ μ0�,
)
⇐⇒ ∂βFαβ = −μ0j
α (α = 0, 1, 2, 3) .
(��������� � �
Fμν = ∂μAν − ∂νAμ
=
⎛⎜⎜⎝
0 −Ex/c −Ey/c −Ez/cEx/c 0 −Bz By
Ey/c Bz 0 −Bx
Ez/c −By Bx 0
⎞⎟⎟⎠
�� � �� �� ��������� ��������
�∇× �E +∂ �B∂t
= 0 ; �∇ · �B = 0
�� ������ � ���� � � 9� ���������;A
∂2F 03 + ∂3F 20 + ∂0F 32 = 0
... ∂1F 23 + ∂2F 31 + ∂3F 12 = 0
%����(�∇× �E = −∂
�B∂t
& �∇ · �B = 0
)
⇐⇒ εαβγδ∂βF γδ = 0 (α = 0, 1, 2, 3) .
"�#����
�� E� �� ���� � ������� ���� �� � ���� 0�-������ ��� � ������ � 1�++�++c ��� ������ � �������� >�� � ���� ���C �� ��� ������� �� ���� ����� 9�; !� ���� � ���� ������ ��N 9); %���L �� �� ���� ��� � ���'�� ���� �N
�� E� ������� �� ��G �� � �� �� ��� p ��'������� ���� ��� � � ��>� (������� �� ������ �4�>Qc2 �� �� ����� � ����� �� �� ����C ���� �� ������� ����� �����)��� � ����� ������ ��������� � X � � �� �))� �������� � �� ��� ���� �
p+ p→ p+ p+X
��� �� ������ �� ��� L �� ���� � 9H �� � �@���I;� ���� ���)���))� �� ���� � � �� ���� ��� � ������ ���� ��� � � ��> �����������'��� ��� � �'�� � ��������� ����� �� � ����������� � �� ���� ����� � 9H�������� )����I;N
�� �������� �� ���� � �� ����� �� ����� ��� ���� � ����� ��� � �� ���� � q = 10−6 � ��� ���� � 1�� �� �� ��� ���������� � �' ��������� ���'���� x : 9�; ��� ��� ��� � ������� ��� ��� �� �� ���� � �� ������� ��� ������ �'� ����� c/100 �� � ����� �'���� y; 9); ������ ��� � ������� � �� ��� �� �� ���� � ������ ���� �� 9�; "��� � �� ��� ��� � ������� ���� ����� �� ����� ��� ��� �� �������N
�� �&/�01�1 ��2 �& 3��&0�4�05 !/���&��
��� ���
������ �����������
�������� �
�� ������ ��� ����� �����������
(��� @�� �� ������ ����� �� �������� �������� � �� ��������� ��. ������ � �� ���� � ,�-.������'��� ������ ���� ���������� � � �� ��� �@����� 4�� �� � @���� �������� ����� � � �� �������� ������A �� ������ � ���� (����� ��������� � �������� � ���� �������� �F���� � �������� ��� ������ �������� �A �� �� ������ �������� ������� ��� ��� ����� ���� �� �� � � � ������� ��� ��� @���� ������� ������� ���� ������� )���@�� � 9���� ���� �; � ������C � � �� ������������������� L ���� ������� � � ������� �� ������� ���� � ���� �� ������C � � � �� �������������� ��� L ���� ������� � � ������� �� ������� ���� � ���� ����������'����������� �� ���� � ���� ��� ��� ������� �� ��
� ��� ���� @�����
���� �� �������� � �������
E�� ���� ��������� �� �������� ���� ���� ������ ��� �� ������� � �� ������� ���� �������� ������� � �� ���� � ��� � ����� � ����� ��T ����� � ���� �'��������� � �������� � �� � �
���� ���� �����A �� ����C �� @����� � � ��� ��������� ������ � ���� � � �� ��� � �� @����� � ���� �������� ��� ������ � ���� �C ����� D���� �� ����)���� ���� � �� ��������� ���� � ������������ ����� �� T > 0 ��� � ����������� ���� ��� ������ ��� �������� ������ � �
�������� �� �������� ������ � �� ��� � �� �����)� �� ���� � 9���� ���;� E� ��� �� ������� � L � ������� ��� )���� �������������� ��
���� ���A �� �������� � � �� � ��� ��� ��G������ ��� ��)�)��� � )�����2������ � R���� �������� �� �� �)������ �
�� ���� � I ���� ��� ������ �� �������� ���� ����� ���� '��� λ �������� �� �������� � ������� ���� ������ �������� � � �� ������� � �������� �� � � ������� ��� �� � ����)�� ��������� ���� ��������� �'���������� � ��� �
dI/dλ = 2πckBT
λ49����;
9��� kB L �� ��� �� � � 3�� ����� � c L �� ������ ����� ����; ����� �� λ → 0 9�� �� ��� �� ������� �;A � � � ���� ���))�� ��� �� � �� ��������� 9������� )��; � ���� ������� � � � �� ��� ��������� ����������� ������� ��� ���� �� ��� ��
� � ��� �� ������� �������� 96���� ����;� ��������������� ���� ���� � ���� ������ � �����A
�� ����� � 5 �����3�� �����A �'�� ���� � � ��������� �� ��� � � ���� ����
I = σT 4
��� σ 5.7 × 10−8 SQ9�2T4)� 5� �� � � �C������C �'�� ����� ���� 9����; ������
�� ����� � S���A �� ��� � � ��������� � ��������� ����� ���� ���� '���
λMAX =2.9μmT/1000K
9� ������� ����������� �� ���� ��� �� �����)� �� ���� � �� � T 6000 T;� 5� �� �� �C ������C �� 9����; ��� � ��������
�+ �&/�01�1 ��2 �� 13�7��� ����& ��!��& 68&�0�!0��&
6���� ����A 2�������� � ���� ����
�� ������� �������� � 2������ � R���� ������ �� � ������� ��� ���� �� ���� ���� ���� '����8�� �+11 0����B ������ ��� ���� ���� ����
����� � ���� ��� � � �������� � � � �������� ��� � � � �� ���� ���� '���� �� ���� � ������ �������� ��� ������� ���� ������ �)� ���C�� �� ��� ��� �� ������ ���� #����������C ������������ ���� ���� ����� ���� ��
E = nhf
��� f L �� �������� � ��)������C n L �� �� ������ ��� � h L ��� ��� �� �C ���� � ���� � ��� �� �� 0����B� ���� � ��� ��G � � ����� ��� ������������� � ��� � � � � ������ ��? �� � � ��� ������� ��? )���� ���� ��� � �� #����� � ������
E = hΔn f .
��� ���� � ��� ��� �C �'���������� � ��� � �� ���������� � ���� ��� L
dIdλ
= 2πc1λ5
hc
ehc/λkBT − 1.
0�
h 6.6 × 10−34Js
� � � ������� ��� ���� )�� ���� �� 0����B����� �� ��� ������� �� �������� � ���� ���&�� �� � � � �'���������� � 0����B ��� ���'����������� � 2������ � R���� ��� ���� � �� λ → ∞ ��� h→ 0�
6���� ����A (���� � ������� ��� �� ���������� �'�#� � �� ���� ����
"� ���������� ������� � ���� � � �� ��� ���� 0����B ������ ���� �� � �@��� �� ��� ��� ��������� �� ��)�����
���� "���� ! �������������� ��������
"���� -$�!�� ����������
%���� ��� ����@��� �� ������ ����� ����� � ��������� � �������� ��F���� ���� � �� � ���� ���)�� ��� ���& ��� � �� ������� � �#����� � ��� ������� V ������� � �� ��G ����� ������ ��� ����� � ����'����� � � 6���� ����� O ����� �������)��� � � �� ���� ����� � �'��������� � ��� ��� ���� ���%��� � ��������C �� � ���'������ �� ������C
�� ������� � ��� ��� ��� �� � ��������)��� ����@���� ��������� �� �� ������A
�� �'���������C �� �������C L �� �� ���� � �� ����� � ����� � ��� ����� ���'�� ���� � I ����� �������� 9������ �'��������� ������� �'��� ���� � ���� ���� � L ����������� ���'�� ����� � ���� �������� ������ �C �� ����� ������� � � ��� �� )��� � ��������� � ��������;�
�� 5� �� �������� ����� ��� ��� � ��� �� � � VL �� � �� ��� ��� � ������ �� J����C ������ � �� ������� �� �� ����� �� �� �������V = −Vs& VsC � � �� ������� � ��� �C ���
��2$ /������� ����� ����� ����� ���������� �-
6���� ����A (� �A !�������� ���� ���� � �����#����� � �� ������� ������� � >� 3����A ��������� �� �� ������� � ��� � ���� �������� �������� f �
����� � I� �'������ ���� ��� ���� ��� ��������� ����� ���� �������� ���� �������������� � � ��� ���� ��� �� ���� ��
�� �'��������� ������� ���� �� �� ���� � ��������������� � ��� �� � �������� � ������ f0C� �� �� ������� '��� � L ���� � ���� ������������ ��������
eVs = h(f − f0) .
�� ����������� � ���� � �������� � � ��� �� �� � �'������ ���� �������� ������ � �� ������
�� ������ ���� ��� ���� ��� ��� ��� �� �C � � ������������� �� �������� 8�� ����� ��G ���� ��� ������ ���� ����� �)� �C �� ���� � �'���������� ��� ��� ����� ������� ���'����� � ���'������� � ��� 9���� ���; � � ���� ���� � ��� ��� ������'� ���� %��� � ����� ����� ��� L � � �� ���� � �� �� ������� � ��� �C � � ����� �� ���� �� ���� ��� � ���� �� �� 9 �������� � ���� ���>;C �� �� ����� ���'��� ����"��� ��� ������� � � �'������ ���'��� �������
� ����� ������ � � �� ���� � � ���� �C � ���� ��� ���C �������� � ������
E = hf .
%����C �� �'������ � ������ ���� ��� ��� ����� � � ��? �� ��� ���� −E0C �'������ ���� ��� EK
������ � � ���� ��� ��� �� � � ����A
EK = hf − E0 (EK > E0) .
�'�� ���� � ���� �������� ������ � � ����������� �� ����� ���� ��� ��� �� ��� � � ��������'�)� �A ��? ���� � �� ��� ������ � ������� L ������� � ��� ��� ��� ��� ���� �� ���������8������ ���� �� ������������ �� �� � ���'�#� �
� �� ���� ���A � ������� ����� �� ���� �� � ��� ��������C ��� ������ �����C ����� ���� ��� �� ����@� � � �� ������� ����� � ���� � ����� � ������ �� ����� ��������� ����� � �� ������� ����� � ��� ��������� � �� �#� � ���������
"���� -$�!�� �����
8�� �+�� ���� �� ���� �� ���� �� ��)���� �� ����)����� � ���� ���� ���� '��� � ��� ���������������� ���C � ������� �� ������ � ���� =C ������� � ���'� �������� � � ��� �� ��� ������C�� ������� � ��@ �� �� ���� ���� '��� ������������ �#��� ���� ������ ���� � ����� �������� � ������ ���� �������� ������ � 9� ������� ���@�� ��� ���������� ���� ��������;C � ����������� � ���� ���� '��� ����� ���'������� ��������� 96���� ����;�%��� � �� ������� ������� ��� ����� � �����
��� ��� �� ���� ���� @���� �������� ������ ������� ���� ��� � � � �� �������� ��� ������ ����� ������� ��� ��� �� ������ �����C �� ��������� �#���C ��������� ��� �� �������C � �� � ����� �������� 9� ����� �� � ���� ���� ���� '���� �� �� ����� � ����������� ��� ���)��; ������������ ������ ��
$. �&/�01�1 ��2 �� 13�7��� ����& ��!��& 68&�0�!0��&
6���� ����A 5� ��� �� ������� � ��� �������� ���
6���� ����A ,���� ���� ���� ���� '��� �� ��� ��� �#��� ��� ��� ���� ���� �� �� �����������'������ � ������������
0� ������� �� ��������C ���� �� ���� ����� � ���� ����� ���� ������ � �'�� ��� ������� ���� �� ��� ���� �������� ��� ������ ���C ���� ���G � � �� �� � ���'������ ���� ���� ��������� ����� � � � ������� ���� ��� ��� ��? �� ���� ���� ������C ���� ��� � ���� � H���������I���� ��@ ���� ���������� � ��� �� ���� �� ���� � ������ �
��� �� � � � �� �� ��� � ��'������ hf ������������ ���� ��������& ����'�� ������� ��� �'��� ������� ��� �� � ���'������ 9� ����� �� ��� ����� ���� '��� ����� �;� �� �� ������C �� ����� ���� ��� φ �'������ � �#������ �� �� ��� ����'� � ��� �'��� ��� � ��� Δλ �� �#����� � ������ ���� '��� �� �� ��� ���� � ��� �'� ��� ��G �������� 9����� ���� � ������� ��� ������ �� � �� ���� ���� ��� ��� � ��������; � �A
Δλ =h
mec(1 − cosφ)
��� c L �� ������ � ���� ����C h �� ��� �� � �0����B � me �� ����� ���'��� ���� �� ���� � ������� � � � ������� ������ ���� � � h/mc ����� � ���� � ���� ����
'��� ���� �� � ��� �� ������ � ����� m& ���'��� ��� � ����� � ���� ��� ���
���� "���� ! ����� ������� �� ���
5� �� ���� ��G ���� ������� ������ ����������CL ���������� ������ � � � ��� ��� � �� �� ������� ����� ����� � � �������� �� ������� � ����� L��������� ������� �� ��������� ����� ����
"� �� .������� �� �� /������
��G ���� � �� ���@�� ������� ����� �A �� �� �������C ��� ��� ��� ���� ����� � � �������� � �#������� ���M ���� �� ��� ������� �� �� ��� ���������'��� ��� �� ����� � ���� ��'��� � ���� ����
λ =h
p=⇒ p = �k ,
��� � = h/2π � k = 2π/λ L �� ����� '�����'��������� ������ � ����� � � �������� �
� 3������
"� �� �������� �� ������� �0�����
8���'��������� � !������� � 4��� 9�+�/; �� ������� � ��� ��� �� �� � ���� �� ��� ���� � ����B��C � � �� ��� ����� �� � � �� ������ �� �� ��)������ ������� ���� ��� ���� 5� ��G � � � �� ������� �� ����� �� ����� ����'�� ���� � ���� ��� ���
��2� !������ �� �'������� ����� ���'� � '������ �� 9�"� $�
6���� ���$A ,��������� � ��������� � �����)���� � ���� �����
�#���C �� ����� ��� �� ��������� � �� ���������� � ��� � H��� ��� ���� �I �J���� � ���������� � ������C �� ������ ��� ��� � ������ �������� � ���� =�� ���� � � ���� �� ����� ���� � � ��� ��� ��
�������� � � 3������( ������� � �� ��� ��� � � �� ����� � �����
�� � v = 107 �Q� L ������� � ��� ���� ���� '���� λ 7 × 10−11 �C ���'���� ���� �� ������ �� ���� ��
���� $�� � � ��������� ����� ��� � ������ � %�&
E� �� � ���� ��)���� ����� � ���'������ �� ���� ����� ������ ������� ��� � ���� !� �� �� ��� ������ �� )��� �� ����� ��� ��� ��� 9���� ���;�)� ��� � ��� �� ������ ����� ��� �'��� �)��� ����'� ���A ��� ��� ��� ���))�� ��� � ���������� �� �'��������� � � � ����� � ���� ���� �������� �C � ����� ���� ��� ������� ���� �C �� ���������� � �� � ���� � ��� L ���� � � ���)������ � � ������ ��� �� � ���� ��� ���C �� ��� �� ���� ������ ���� � ��� ���))� ����� ��� ������ 5� ������ �� ��� ��� � � �� ��� � ���� ����� ������ � � ��� ����� ��� 9���� � ������ ��������; ��� L �� ������� ��� ����C �� ������ �� �� � ���������C ���� �� �� ���� ��))� �� ����������� ���� � � ������ ������ �������� ���� ��� � ���C � �� ���� ������� ������ ����� ��������� ��� ������� 96���� ���$;� ������������ ������ �������� �� �� ������ ����)� ��(��� @�� �� ������������� ������ �� �����G � �
�� ���� ���� '��� ���� ���� ������ ���'������
6���� ���/A <�� � �������� � � 3����� �� ����� ��� �� ��'�)� � ��������
������������ ���� ��������
1λ
= RH
(1n2
− 1m2
), 9����;
��� n < m ����� �� �� � RH ��'���� ������ �� ��8�� ������ � 3� ��� ��� ��� �)� ��� �� ��
�� �� ������C ������ � ���� ���� � ���'� ��������� �� � ����5� �� ����� ���� � ���� ��� ��� L ������ �
��'���C L ������)��� � � ��� � � � � �)��� ����� ���� ����� � � ��� � ��������� 5��������� � ��� �)� � ���� ��� ��� �� �� � ��� �� �� ����� ����� � �� ��� ���� � �������� ������� ����� ������ �)� � � �)��� 96���� ���/;� 5� r L �� ��������'�)� �C �� ��� ����
2πr = nλ ; n = 1, 2...
� �����C � �������� �� �������� � � 3�����
2πr = nh
p=⇒ L = pr = n� .
�� ����� � ������� L �' ����� ���� ���� �� !����� ���� ��������� �� ����� � ������� �� ��G ������� �� ���� ��������� �� ����� �������� �� �������� ())����
14πε0
e2
r2= F =
mv2
r= 2
EK
r
=⇒ EK =1
4πε0e2
2r9����;
Ep = − 14πε0
e2
r
=⇒ EK + Ep = E = − 14πε0
e2
2r9����;
9�� �� � � � �� ������� �� ��� ��� ��������C�� ��� ��� ���L ��� ����� ���� � ��� � Z > 1
$$ �&/�01�1 ��2 �� 13�7��� ����& ��!��& 68&�0�!0��&
�� ��� � �� ��� ���C L ��F���� � ����� ������ ����������� ��� � ��� 1
4πε0e2
r2 ��� 14πε0
Ze2
r2 ;�!�
L = mvr = n� 9����;
m
2v2 = EK =
14πε0
e2
2r9���$;
�� �����C ��� � ���� �'���������� � v = n�/mr����� ������ ���������C
r = 4πε0n2�2
me2≡ rn .
5� �� � � �C ���� ��� ����� �� � � � ���� �A
• �'������ � ��� L ���� ����
• �� ���� ������� ���'������ ���� ��� L ������� �� � ���� ���� ������� ���'�������� ������� �� ����� 9 ����� �� ������;�
�� ��? ������� ����� �� ����� �������� �� �������� � 3� a0A
a0 = 4πε0�2
me2= 0.053 nm . 9���/;
0��� D �� ����� � �'������ ���� �� �������� ��� � �� 9����;C �� ����� �� �� ���� ������������'������A
En = − 14πε0
e2
2rn= − 1
4πε0e2
2a0
1n2
= −13.6 eVn2
.
O ��������)��� � � �� ��� ���C ��� ������ ���� � � � � ������ Ei � ��� � � � � ������Ef < EiC ��� � �� ���� � � ������ 9�� ���; ��������� f ��� � � f = (Ei−Ef )/h 96���� ���$;�5� � �����
f =Ei − Ef
h=
14πε0
e2
2a0h
(1n2
f
− 1n2
i
)
� ���
1λ
=f
c= RH
(1n2
f
− 1n2
i
)
���
RH =1
4πε0e2
2a0hc.
< ������ ����� �� �������� 9����;�3� �� ���� � ���� � ���� ����������� ���
�� ���'������� � ���� �������� � � 3�����C���������� � �A
• � ���� � � � �������� �� �'��� ��� ����� ��������� L = n�C � � � ��� �����&
• �'� ��� ��� � � ����)� �������� ������� ��� ��� ����� � ��� � � � � �������� ����'�� �C � � �C � � ΔE �� �#����� � ������ � � �� � � �C �� �������� ���'��� ������� ��� �� ��� ������ ��� f = ΔE/h�
���� �����������
>��� �� @�� �� ������ ����� ������� ������� ����������� � �'�� � �� #������������� � ��������@����C � �� �� � � � �� ������� ������ ���� ��� ������ ����� � ��� � �� ����� � ���� ������������� � ��� ���� ����F���� ���'�� )������ � �� ����� ����� � �� �����
��� �� ��� �� � @����� 0� ������� �� � ��������'�� ������� ������ �C �� �� ������ ������� ������ ������� � � � �������� '��� �� ��� ������������ )������������ 9�� ���� ��� � � ��������� � ����;� �� ��? ������� ��)��� � �� ����� � ������� ������ ���� �� �������� ��������� ����� ������ � �������� � �� ����& �� ����� � ��?�������� ���)� ������ � ���� �� �����������$
"�#����
�� �������� �'������ � �� ����� � � �� �� ���� H����IC ��� ���� ���� '��� λU$�1 �� ��������� �� ���� ���� '��� � �� �� ��� ��������� ��� � ��1 �>�
�� 5����� � � �� �� ������� '�� ������ �� ���� ��� L Vs = 4.52 �>C � ������ �� ��������� � ������ �� ���� ��� �� ���� � ��� ����C �� ������� ������ ���� ��� �� �� ���� � ��� ����� �� �������� � ��� ���� '���� �11 �� � �� �� ������� � ��� � �� ���� ������
�� E �������� �� ����� � S���C �������� �� ����� ���� '��� ���� ����� �� ���� � � ������ �� ��)��� � 9�U�1◦�; ��� � �� �������� �������� ����� � � �)���� @�� � ����� ����� �� �� ������ � �'���� � ��� D ������� � � ����� ���� 9λU$�1 ��;�
�� 2���� = � ���� ���� '��� 1��� �� ���� ������� ������ �� �������� � ���� �� � �� ������
��2� ��� ������� $�
�#��� L ������ � � �� ������ � 60◦ ���� � � �� ������� � ��������� �������� �� ����� ���� '��� �� ���� = �#���C �'������ ���� ��� = �#���C �'������ ���� ��� ��� �#���� �� ��� ������� ���� � ������ '���������
�� 5 ���� �� ���� ���� '��� � � 3����� ��9�; ��'�� ���)��� �� ���� � �111 B� � � �������� � �11 B�Q � 9); �� �� ��� ��� ������� ��1 ,�>�
$� �&/�01�1 ��2 �� 13�7��� ����& ��!��& 68&�0�!0��&
�������� ��
�������� ������ �� ��������� �����������
�� ��� �� �+�$ ".��� 5� 7���� �����G ��� ���� �������������� � � ��� �� ��� �)� � ����� �� ������ ���� �������� ���� @���� ���� �� ����C ������� �� �� �������� '��� ��'���������������� ���� ��������� ���� ��������� ���������"�������� ���� � � �������������� ����� �������
�� '���C �� ���� � ���� ��� ��������� �� ����� �� ��� ������ � �������� ��� ��� ��� ����@���� ���� �� ���C ����� � ������� �� �������� �:�����)��C �'�#� � ����� � �'���� ���� � ���������� �� � ������ �� ��� � � � � �� ��� ��� @��������������� ���������� �� ����� � ����������
� � ��� ������� �� �������� '��� ������� � ���� �� ������ �� �����C Ψ(�r, t)C � �������������� � �� ����� � ���'��������� �� � � ��������� ����������� � ��� ��� �������� '���A �'���������� � � �� ���� �� �������������� ������ ���� ��� L �'��������� � 5� 7�����
���� �� ����� ! ���� ��������� '���
>����� � ����� ����� � ������� ��� ������������ �� �������� '��� ������� � � ��� ��� ������C �� ����� �� � � �� ��� �� � �� �������� ����5� �������� ���� ��� � ���'�� ������� ��
�� ������ �� �������� '��� ����� ����� � ���������������>������� � � ����� �� ����� ���'��������
���'��� L ����C ��? ������ ��� ���� �� �� �������� �� ��� ��? �������� L ����� �� ������������ � � �� ����� ���� ���'�������� ���'���
� �� ��)�)��� � w � ���� �� �� ������ �� ������� � � � �����'�� �� �A
dw(�r, t) ∝ |Ψ(�r, t)|2 dV = Ψ∗(�r, t)Ψ(�r, t) dV 9����;
� � ������ �� ��)�)��� � � ���� �� �� ������� ��� ������ dV � �� �������� � ������������ � ����'��������� ������ � ������ ��� ��������� � ����������� �� �� ������ �� ��������� ���������������A∫
V
dV |Ψ(�r, t)|2 = 1
����������� �� Ψ(�r, t) ����� � �� ���� ����� ��� �'�� ����� L �� ��� � � � �� ������ V�� ��� �� �� ������ L ������)�������� � ������� � � �� Ψ(�r, t) ����� �������
�� ��� ���� ��� ���� � ������� ���� ��� ������ ���� ��� � ���� ������C ������� �� ��? ��� � ���� ��� �� ������ 9� ����� �����;�0� ������� � ���� � � ���'�� ������� ���� ���
�� ����� � �� �� ��� � �������� � L �����)���� � �� �� �������� '��� ����� �� �������� � ���������������� %��� � ����� �C � � ����� ������ � � �������� � �� ��� ������ ���� 9�� ��������� ����;C ��G ����� ���� � �#����� � � ���� �������� '��� Ψ1(�r, t) � Ψ2(�r, t) ���� �������������� � ��� �� ������C �� L ��� � �� ��� ����)�������� ������ c1Ψ1(�r, t) + c2Ψ2(�r, t) ��� c1 � c2����� ����������
����� ������ �� ���&�&����
�� J���� 9���� �; � ��)�)��� � �� �� ��������'��� L ������� �� J���� � ������ �� ��'����������
$% �&/�01�1 ��2 �8�:�1�� � 1��& �� �68&:�1�� �� !�;3<���7�3
���M ���� �� J���� � ������ �� ��'��� � ������ ��'��� A ���� dE/Adt = (dE/dV )v⊥C ���v⊥ L �� �������� � ���� ������ � ������ ���'���AC �� J���� � ��)�)��� � �� �� �������� '��� Ψ����
dw/Adt = (dw/dV )v⊥ = |Ψ(�r, t)|2v⊥ . 9����;
���� �'��������� � $�&(�����
�� ���� ���'��������� � 5� 7���� �������'��������� '��� � � ��� ������� �� ����� ����� ������� � � ��� �� ������ ������ �'��� ���� ����� � 3�������� �������� '��� L ��� �������� � ����� ����
������ ���� ��������� � �� ����� �� )��� � ���� �� � ������ ���� � � ������ � �� �������� ���������������C �'��������� ���� ����� ���� L ���������� ��� ����� ������& �� �� ������C �� � ����@�� � �������� '��� Ψ(�r, t) �������� �� ��@�� � � � � � �� � ���� �� ������C ��� � �� ��������� eiγΨ(�r, t)C ��� γ L ��� ��� �� � ���� �)� ���C������� �� � ���� � � �A �� �����@�� � @���� � ��� ��)� ��� ��� ��� �� �� 9����;� %����C ��� �� ���� �������� '��� �������� ��� � � � � ��� � ������� ���� �� ������C �'������ L ��� � ����� �� �� �� ��������� � ����� ������ � ��8�� ����� � �� �������� � �� �� ������� � ��
��)���� ��������������� ���������� ������� ��� �� ������ ��)�� � ����� mC �� �� � ������'���� x ��� ��� ���� � � � �� � p� �� ��� ���������
E =p2
2m. 9����;
0� �� �� � �������� � 0����B � � 3����� �� 9����;���� �A
�ω =�2k2
2m. 9����;
5� ��� ������� � � �� Ψ(x, t) ���� ��� ����� �))������ �� ��� ��� Ψ(x, t) = ei(kx−ωt)C ���������� � �� ���� � ������A
∂Ψ(x, t)∂t
= −iωΨ(x, t) 9����;
��� � �� ������� �� ��� � ���� � ����������� �� �� � x � ������A
∂2Ψ(x, t)∂x2
= i2k2Ψ(x, t) . 9���$;
5�� � ���� ����� 9����; �� ���������� � ω �k2 � � �� ������� ���� 9����; � 9���$; � ��������@��A
i�∂Ψ(x, t)∂t
= − �2
2m∂2Ψ(x, t)∂x2
, 9���/;
� � L ����� �'��������� � 5� 7���� ��� ���������� �� �������� '��� � �� ������ ��)����� ��� ���� �� �� "��� �������� � ������ � � ����������� �������� �� ��))� �'��������� �� �� �� �� ������� ��� �� ���� ������� � �� �� ������� �� � ����C �������
���� �� ����� ���� ��� ����� 9����; �'�������� ������� U(x, t)A
i�∂Ψ(x, t)∂t
= − �2
2m∂2Ψ(x, t)∂x2
+ U(x, t)Ψ(x, t) .
9���*;
8�� ���� ������������ �'��������� ������ ������� �� ������ �A
i�∂Ψ(�r, t)∂t
= − �2
2m∇2Ψ(�r, t) + U(�r, t)Ψ(�r, t) ,
9���+;
��� ∇2 L �� �����������
����� 1�� ����� ��������
<�������� � � ����'��������� � 5� 7���� � ��������� ���� �� �� ����� ��� � �� � ���� �������� ����� ���� � � � �� � ����� �'���� x �'���� ��
px = −i� ∂
∂x,
� � ������ ����� �������� '���C � �����
�p = −i��∇ . 9����1;
%��� � L ��� �� ������� 9���� ����� �� ������ ��� ����������;A �� ��������� ���� �� ��� ����� ������)��� ���� ������� � ���� ��� ���� ��9���L �� � �� ��� ��� � � �� ��� ��� �������� ����'�� �;�5� �� � �� ���������� ' ��( � ������ �'���� ���
� ��������� '�'���� ��������
�� �������� ��� �� ��������� ��������C �@������'���� �� ����� � ������� ����
�L = �r × �p = −i��r × �∇ .
��2� /���� ���� ��=��� $�
�� ������ � ����� 9��� θ ������ ���� � ������� � ���'���� z;A
• �� ���� � ���'���� �� ����� � ������� �������� ����
L2 = −�2
[1
sin θ∂
∂θ
(sin θ
∂
∂θ
)+
1sin2 θ
∂2
∂φ2
].
9�����;
• �� �������� � ����� �'���� z �� ����� �������� L ������� ����
Lz = −i� ∂
∂φ.
���� �'��������� � $�&(����� � ��������
�'��������� � 5� 7���� L ��'��������� ���� ����� � �������& �� ���� �� ������ ���� ��G ������ ���� � � ����� �� ������ � ���������� ��������)����0� �� ����� � ���� ������ �� �������� � �� ����
��������������� 5��������� � � �� �� ������� ����������� � �� ����C U(x, t) = U(x)& �� 9���*;������A
i�∂Ψ(x, t)∂t
= − �2
2m∂2Ψ(x, t)∂x2
+ U(x)Ψ(x, t) .
9�����;
0������ ��� ��������� ����� ����� �� Ψ(x, t) ������� ������ ���� ��� � � ��� ϕ(t) ������� � ���� �� ���� � ��� ψ(x) ���� ���� ����)������������ xC
Ψ(x, t) = ψ(x)ϕ(t) .
5�� � ���� ����� 9�����; � ����A
i�∂(ψ(x)φ(t))
∂t=
− �2
2m∂2(ψ(x)φ(t))
∂x2+ U(x)(ψ(x)φ(t)) .
��������� �� ���� � ������ �������� � ������ ������� �����A
i�ψ(x)∂φ(t)∂t
= φ(t)(− �2
2m∂2ψ(x)∂x2
+ U(x)ψ(x)).
!������ ��@�� ��)� � ���)� �� Ψ(x, t) =ψ(x)φ(t) �������� �� ����)���A
i�
φ(t)∂φ(t)∂t
= − �2
2mψ(x)∂2ψ(x)∂x2
+ U(x) .
� �� ���)� ���'����������� ������� ���� � ������ � ���� ���� ������ � ������� � ���������� "����� ������C ���� ����� ����� ������ � ������ �� �& � ��������� E� 5� ���� ����� �� ����������� �#�������� ������A
− �2
2m∂2ψ(x)∂x2
+ U(x)ψ(x) = Eψ(x)
i�∂φ(t)∂t
= Eφ(t) ,
� �C ���� D �� φ ����� ���� � t � �� ψ ���� � xC������� ����� ��� �A
− �2
2md2ψ(x)dx2
+ U(x)ψ(x) = Eψ(x) 9�����;
i�dφ(t)dt
= Eφ(t) . 9�����;
2��������� �� �������� 9�����; ������� ������)���� < ������A
φ(t) = e−i Et� ;
���� DC �� �� �������� � "��� ����0����BC �ω�������� �'������ ���� �� ������C E �� ��� �@����� �'������ � ������ ��������� ���'��������� � 5� 7���� �� ��
�� ������� �������� � �� ���� L ����� ����������� �� ���
Ψ(x, t) = ψ(x)e−i Et�
��� �� ψ(x) ����� ���� ��������� ���� 9�����;C � �L � � ��������� � 5� 7���� � ��������� 5��� � � � �� 9�����; L ��'��������� ���� �� �������& �� �������� � � �� �������� ������� � ���� ��� ��������� 9��������� ����;�
���� "� ������ ��#��
�� ���� ��? �������� � �� � �� ��� ��������� �� � �� �� ����� � �� ������� ��� �� � 9�� ��������)��;& ����� ���� �� ������� � �������� ���U(x) = 0� �'��������� � �������� ���� �A
− �2
2md2ψ(x)dx2
= Eψ(x) .
$+ �&/�01�1 ��2 �8�:�1�� � 1��& �� �68&:�1�� �� !�;3<���7�3
�� �� ��������� ψ(x) � �� �������� '���Ψ(x, t) ���� ���� � ���� �� � �������� Ψ(x, t) =ψ(x)e−iEt/��5������� � � ��� �� ������ ���� ������ ���'����
��� � ��� E ���� �� ������& �� ���� � � � ������� ���� � ���� ���� �)��� �� ��������� ��� � �E ≥ 0� O �� � ��� � �� � � �� �� ��� ��� ���� �����)��� �������� '��� ��������� � ���� ���)����C �'��� �����A
Ψ(x, t) = ei(kx−ωt) .
5� ��������� �'��������� � �������� � ������
ψ(x) = Aeikx +Be−ikx (k =√
2mE/�)
� �����
Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) +Be−i(kx+ωt)
��� k =√
2mE/���� ��������� ��? ������� L ����� �� ���)����
����� ������ � ��� �������� '��� ��������� �� ��� �� ������ � � ������� ��� ���� ���� ��� ����� x � � ��� � � ������� ��� ���� ���� ��� ����xC �� ��)� ���������� � 9�� ��)�)��� � |Ψ∗Ψ| � ����� �� �� ��� � ��������� ��� ����� � x;�
���� �'��������� � $�&(����� � �� #��� � �� �������
�� ���@�������� �� �� ������� �� ���� � ���� L���� � ����� 6���� ����� �� �� ������� L �������� �A
U(x) =
⎧⎪⎨⎪⎩U0 x < 0;0 0 ≤ x ≤ a;U0 x > a
���� �� ������� ����� � � )��� � �� ������� ���� � @�� �C � ��� �� ������ �� ����� ����� ����@�� � ����� ������ 0 < x < +a �� �� �������� �� � @�� � U0 �� �� ��������%�� ��� ����� � � ������ �� ���� ���� � �� ���
�� )���� � ��� � '�� ���� ��@�� �C � ����� ���� ������ L ���@�� � ����� ������ 0 < x < aA
U(x) =
{0 0 ≤ x ≤ a;∞ �� ���� ��
6���� ����A 3��� � �� ��������
��� ���� � � � � �������C ���L ��������� ����
−�2
2md2ψ
dx2= Eψ ,
��� ψ(0) = ψ(a) = 0 ���� D ψ = 0 ���U L ��@�� ��5� � ����
d2ψ
dx2= −k2ψ con k =
√2mE�
,
�� ��� ��������� ���� �� ���
ψ(x) = Aeikx +Be−ikx .
�������� �� ���� �� ������� ������ � ������ �������� ������� �� �A
ψ(x) = (A+B) cos(kx) + i(A−B) sin(kx) .
2���� � ����� � � � �� ���� ψ(0) = 0 �� �������� ��� ����� �����& �����
ψ(x) = A sin(kx) .
5� �������� � � �� ����� ���� ���� ��������C�� ��� � �� 1 � aC �� �C ����� ���� A =
√2/a�
�������� � � ψ(a) = 0 �����
ψn(x) =
√2a
sinnπx
a9�����;
���
En =�2
2mn2π2
a2= n2
(�2π2
2ma2
)≡ n2E0
��2� 9� � �� ���������� $-
6���� ����A (� ��������� �������� �� �� )��� ��� ������� ��@�� � � ������� � �������
� n �� �� �������� 9�� n = 0 �'�� ��������� ��� L���������)���;�
�� ������ �������� ���� ����� ���� ���� � ����� � ������� ����� ��� ���� ��� ��� ����'� ��� ������� 9�'������ L ����������� �� ���� � ��� ����� ���� ��� n;� 5� �� � ���� � � � �� � �� � � ������ ������ 9n = 1; � ������ ���� ���������� � 1�
�� �� ��������� � �)��� ���� ����� � � �� 6�������� � ���������� ���� � � � � ��������
����� 1�� ����� ��� �����
�'��������� � 5� 7���� � �������� L
− �2
2md2ψ
dx2+ U(x)ψ = Eψ ,
��� U → U0 �� x→ ±∞� 5� E > U0C �� ��)� ����������� ���� �������� � � ��� �� ���� � � � ���� �& � � ��� � � � ����� ��� ���� �������� 9��� � ���� ����;� 5� E < U0C �'L ��� ��������� @������� ������ �� ��� ���������� ���'������ E�
�� @��� ���� ������� � �� �������A �� �� �������� � �� ������� � ��� �������� )�� ����� ���������� ���� �� ���� 9�� ��� ��������� ���������� � ����'�� ��� ���� ��������� � ������)�� ����� �� ���� ��� �;�
6���� ����A "����� �� ������� �� ��� ��������)�� �����C � ��� � ���� �� �������
����� ������ �� ���� &�����'������
"' ��'���� �� � �� ������� �� ���� ������ ��<� �� �� ������ L ������� � � ��� )���� � ������� ��@�� � � ������ �� �� ����� xy 9� ��������� ���� � � �� � a;� �� ��������� ���'���������� � 5� 7���� ����� �� � ���� � � ���� ������ ���� ���� �� ��� ���������C ��� � �� �� �� � � ��� ���� �� �� ��� � �� ��)���� � �� ����)���A
−�2
2m∂2ψ(x, y)∂x2
− �2
2m∂2ψ(x, y)∂y2
+ U(x, y)ψ(x, y)
= Eψ(x, y) .
�� ��������� � ���� '��������� �� ��� ����� ��� ����� � � ���������� ���� ����)���� ��)��� ����� �� ��������� �������� � ���� ��� � � �� ���� � � ��)�)��� � ���� ���� )���� ��� ��� ������ � ������ (��'�� ��� �� ��� ����� ��������� � ���� ��� �������� �� ������ �C ψ(x, y) = X(x)Y (y)C ��� X � Y ���� ����������� ��� ���� � �� ��� � ��� � ��� ������������������A
X(x) = Ax sin kxx+Bx cos kxx
Y (y) = Ay sinkyy +By cos kyy ,
� � ����� '��� kxC ky ���� �� �� ��� � ������ ���� � ������� ���� ��������� � � ��������� � ��� D �� ��������� � ���� ��� ���� �)����� (�������� �� ��������� � ��� ���� � �� )��Cψ(0, y) = ψ(x, 0) = ψ(a, y) = ψ(x, a) = 0 �� � ��������� ��� �� ������� � � �������� � � ��� ���� ��������� 9���������� � �� ���� ���� ��)������� � ��� ���)��� ����� ������� � �� )��C
�. �&/�01�1 ��2 �8�:�1�� � 1��& �� �68&:�1�� �� !�;3<���7�3
���� �� ����� � �� ��)��;� �� ������������ � ����� '��� k ���� ��� ���� ���� �C � �'������� L ����� ���� ���� � � �������)��� �� ��������� � �� ����� ���� ���� �� �������� '������������ � � � �� � ���� L
ψ(x, y) =2a
sin(nxπx/a) sin(nyπy/a)
� �'������
E = E(nx, ny) =�2π2
2ma2(n2
x + n2y) = E0(n2
x + n2y) .
�������������
<�������� � � �� ���� ������ � ����� ���� ���� �#��� � 9����� �#��� � �������� '���; � ����� �� � ���� ������� � ����� (nx, ny) = (2, 1) �(nx, ny) = (1, 2) ���� �� ��)� E = 5E0� %��� �L �� ���� ������� � ����������� ���� �� ������ ���� ������ �� � � L � � ����� � ���� �)����� ���� � �� �� ������ � ����� ���� ��� ����������� � ��� ����)�� ���� ���� ������ �� ����� � �� �� ������� ��G ����� ��? ���������A �������� (nx, ny) = (1, 7) � (nx, ny) = (5, 5) ����������� ���� � ���� ������C 50E0� ,� �� ��������'��� 9� � ��� ����� ���� �; ���� � �� �� ���� ��������� � �#��� �� �� ����������� L ������ ��� ��� � ��? ��������� 9�� ��� � ���� ��� �#�������� � ����������� �� �� ����� �� � �� ��� ���@���� � �� �����)��� ����������� ���� �� �� �;�%��� � � � �� �� ��� )������� � �� ���� �
��� )��� � �� ������� �������������
���� �� �������� '��� ����������� )� *�����#��+
())���� ��� � � � � �#����� �� ���� ��������C��� �� ������ ���@�� � �� �� ������ � � ���� ����� a = 2Δx ��� ��G � �� ����� �� ��� ���� � �� �� � L ���� � 9��� L �� � �� ����;C � �� ���������� ���� �����)��� �������� �� ���� � �������� �� ����� ���� ���� � � � �� � ��������� ����� ������ ������ E1C � ���L
Δpx = |px| =√
2mE1 =�π
a=
�π
2Δx∼ �
Δx9����$;
� ������ Δx �� ������ ���� ���� ��� ��������� ������ � x � Δpx �� ������ ���� ���� ������������� � ���� ���� � � � �� � ����� x
ΔpxΔx ∼ � .
�� �������� ���� ������� � ����� � ���� ���������� �"������� �������� ��������������� ��(�� � � ������ � ���� �� ��� ���� '������
����� ����� � ���� � ��'������� �������� '���� ����������� ���� � ��'��� L ������)��� ������� �������� f(kx − ωt)A � � �� �������������� � �� �� ������ � ����)��� (p = �k, x) �������� �� �� ������ (E = �ω, t)� 5� ��� ����� ���� ������
ΔtΔE ∼ � . 9����/;
�'������ ��� L ����� �����)��� �� ������ �∼ �/ΔtC � ���� � L ��� � �� ���� � �� ������ ���������������� ���'������� 5� ��� ����� � ����ΔtC �� ������� ���� ���� � � ������ ��������@�� � �/Δt�
��(�� ����������� ��� ���������$������������
�� ��'��� ����� �� ���� ���� '��� 9� �� ������ '���C k; ���� ���� ���� � �@�� �C � �'���L � ����� � ���������� � ����� ������� "��� ������)� ����� �� � � ������� ��� �� ��������� ����� � � 3������ ( �������� � ���� ����� �C L ���� � � ��� � � ����������� ����� ����� � ����� ���� ���� '��� �� ����� �� �� �������� ��? � ���� ���� � � )� ���� �A�'��� ���� �� � ��� ���������� � � ������������ �� ����������� ���� �� ������� ��� � ����(��������� �� � ���� ���� '��� �� ��������������� ��� ����� ��? � ������ ���C @�� � �������� �'���� � � �� ���� � � ��������� � �� ������� � �������� Δx� �� ��������� ����� � ������ � ����� ������ � ����� ���� ���� ���� '���C�� ��� � � ΔxΔk ∼ 1A �� �'��� L ���� ���������� �C L �F���� � ���� ��� � ��� ������ ������� ���� ���� '��� � ��������� �� � ���� ������� L �� �)��� ��� ������ �� ����A �� ��'����������� �C �� � ���������� ������ ���� ��������� ������� �� ��� �� ���� ����� � ��� ������� ������ � �����C �� �'��� �� ���� ����C ����� �������� ��� ���� � ����� �A ΔtΔω ∼ 1�
��2� &���� ���������� �>��'��������� ������� � ������ ��
"' �� �����)��� �� ���� ���� � ����� � ��� ����������� ���'��� � � 3����� ��� ������� �������������� ����� ����������� @���� �� ����������� ��� ���� �� �������� � ��� � � � p = �kC ���� ΔxΔk ∼ 1 ��
� ���� ΔxΔpx ∼ �� (��������� �C ���� E = �ω� ���� ΔtΔω ∼ 1 �� � ���� ΔtΔE ∼ �� %��� ��� �������� ��� � ������� �� ���� 9���� ������� � ������������ � � ������� ����; �� ��������� ��� ���������� � :�����)��� �� �� ��� ����� �)������ �'�������)��� � � � ������ ����� �������� � ��� ��������� ������ � ��������� � ������ �9������ � ����; � ��� �� ������� �� ������������� ���� ������A L ������ ���� �� � ��������� �'��� ���������� �������� � ��'��� �� ���9��� � �� ������ ������ ������� � ����� ��� ��������� ���� �;C �� �� ��� �� ������ �� ��������� � L ��� � ��? �������� � � �������� �� ����� ���� �� � � �� ����� ������� !� �� � L ���� �� � ���� � � ������ �� ���� � ���'����� ������� �� ����� �������� �#� ��� ������ ���������� � ������� �� ��� ��� ��� ������ � ����� x��� � ��$ 106 �Q�C �� � ��� ��������� ���'�VC ����������� ����� ��������� ����� x � ��� � � �� ���A px = 3.3 · 10−24 B� �Q� � Δpx = 3.3 · 10−26 B��Q�C L Δx �/ΔpxU1��·10−9 � 9���'���� ������ � � �����;�������� �� ������� ������ ����� ��� ������
�� � �C �� ������� ��� �� ������ ��������� � ������ ������C �))���� )������ ���� ���)�������� ������� � ��� ��� ����� ����� '��� �k� �� ������ '��� �k ��������C � ����� �� ��������� � 3����� �p = ��kC ���� ���� � � � �� �A ������ �� ���� � � � �� � � ��� �� ������ ��������� ������ ������ ��� �� � ����� )�� �@�� ��5� �� ����� �� ��� ��� @���� �� �� �� � ���
�C �� ��� ������ ������� ������ � �� � ����� ��� ����������� 2��� ��� �� ����� �� � � ����� ����� �#��� �C ��� � �� �� � � � ���������� ��� ��� L �� � ����� 5� ���������� ����� �� ������������ ��� �� ���� ���� ��)�)��� � � � � �� ����A L �������)��� ������ �� ������� ���� �C �� ��� �� � ����� 9� ��� �� � ��� ��� ������; �� ������� ��� �� �)������ � ��)�)��� �� �� ������������� �� ��� ������� �'����� � �� ��� ��� �� ��������� ��� �� �)������� �'L ��� �#����� �� ����� � � �� ��� � ��������� ���� �� ���A ����� �����'��� �������� L ����� � ���� �������� � ����������� �� ��� ��� ���'������C ����� ������ �'���� �������� L �� ������ ���� �� ��C �������)����
6���� ����A 4���� � �� ��������
�'�������� ���'��� � � 3����� L ������� � ����� ��)�)��� � � ���� �� �� ������A ���M ���� ����)�)��� � � ���� �� �� ��� � 0����B L ������������ �� ����� ���� ���'�������� �� �������� ��� ���'���C �� ��)�)��� � ���� �� ��� L ������������ �� ����� ���� ���'�������� '���� � 3������
���, $�������� �� �� � �� �������� �������������� ���� �� � � � �
���������� � ������ � ������� �� ��������� ���'���������� � 5� 7���� � �������� �� ��� ���������� �� �� � ��� � �� ������� U(x)� (���������� ��� � ���� ������� ������� ��� ���� ��������� ���� � � ��� ��
��2�� 0����� �� ��������
8���� 6���� ���� ����� �� ��� ���� � �� ��)����� ��� �� ������ ��)�� � � ������� ������ ��x ������ � ����� � �� �� ������� ��� �� � U(x) =U0� %��� � ���@�������� ����� � � �� ������ �� ���������� �� ������� L ���M �@�� �A
U(x) =
{0 x < 0U0 �� ��� .
�$ �&/�01�1 ��2 �8�:�1�� � 1��& �� �68&:�1�� �� !�;3<���7�3
6�������� � ���� � �� ������� ��������� �� ��� ������� �� �� ��� ��� �� �� �� ���� �� ������� ����� ����@���� (��'�� ��� �� �� ���� �'��� ���L �� ���� � ���'������ � �� �� ������� ��� �� �C��� � ���� ���� ����@��� ����� � �� �� �������)������� � ��������!�� �������� �� ����A
�� �� �� ������ �������� � ���� x ���� ��� ������� ���� ��� E < U0������������ � �� �� ������� ����� ���� � ������ � ��� ���� � ��� ��������� � � �� �� ���� )�������� ������ ����� �� ������ �������������� x = 0C ��� ���� ���� x ������� �C �� � � ����� �� �� ����� ���'������� ������������ @�� � �� ����� � ���� �� ��������� �� ������ ��� ��G ���� �� ����� ���������� x ���� ��� ���� D �� ��� ������ ���� �������))� ���� ���� %���� ������ �� ���������� �������� �� �� ������ ��� ���� �� �� ������ ��� �� � � H��)�����I ��� ����� � ��� ������� ��� �� ����� � ������ �� ����� ������ � �� ���� � ������ � �������� C ���������� �'������ ���� ��� E = p2/2m� 8����� � '��������� x = 0 � p = 0�
8�� ���� ���� �� ��� �������� �'��������� �5� 7���� � �������� �� �� �� ������A
− �2
2md2ψ(x)dx2
= Eψ(x) (x < 0)
− �2
2md2ψ(x)dx2
+ U0ψ(x) = Eψ(x) (x ≥ 0) .
5� �������� ����� ���� � ���� � �� ���������� ������� �� ��������� �� x = 0 ����� �� ��������� ������ ����� ������ �C ���� ���� � @�� �C ������� ���� ���� � ����� 5����� ���� ���������A
ψ(x) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
Aeik1x +Be−ik1x x < 0(k1 =
√2mE�
)Cek2x +De−k2x x ≥ 0(k2 =
√2m(U0−E)
�
)
C = 0 �� � ���� ���� ������� � � ����������)��� �& �� ��������� � ��� ���� � �� �� �� ���������� � � �� ��� ���� � ��� ��� � x = 0
�������A{D = A+B
−k2D = ik1A− ik1B
5� � �����{A = D
2 (1 + ik2k1
)B = D
2 (1 − ik2k1
)
�� �������� '��� ��������� � ����⎧⎪⎨⎪⎩
D2 (1 + ik2
k1)eik1xe−iωt
+D2 (1 − ik2
k1)e−ik1xe−iωt x < 0
De−k2xe−iωt x ≥ 0
�'�� ��� ������ @���� ���� ���� L � � ���� ������ ���� x < 0 �� �������������� ������������ '��� ���� ��'��� � �������� �����'��� ������ � � ��� �J����� ������������ ���F���� � � �J������� R � � ����������� �L � � �� ���� � �� �� �������� ���'����J���� B � ������ A ���'��� ������ ��
!� � �'���������� �� J���� 9���� �; � ���)�)��� � ����� � ����� 9����;C ����� R =vrifB
∗B/(vincA∗A 9�� ���� � ���� �� �������
� ���� ��� �J���� � ������ � ���� ������;�5� � ����A
R =B∗BA∗A
=(1 − ik2/k1)∗(1 − ik2/k1)(1 + ik2/k1)∗(1 + ik2/k1)
= 1 .
�� ����� � ������ �� ���� � � � � �� �� ����������� ����� �J���� �� E < U0C �� �������� �� ��������� ��������� �� ���� �� ���������� ���� �� ��� ������� � L � � �� ��)�)���� � � ���� �� �� ������ �� � �� ����� ���L ���� ���� � ����� ������ x > 0A
Ψ∗Ψ = D∗D × ψ∗ψ × ϕ∗ϕ = |D2|e−2k2x
��� k2 �����
�� ��)�)��� � � ���� �� �� ������ � x > 0 L@�� � � ��������� %��� � �������� ���� �� �������� � � ���� ������ ����� ������ ���)� ������������ ��
)� �� �� ������ �������� � ���� x ���� ��� ������� ���� ��� E > U0������������ � �� �� ������ ����� ��� ���
��2� &���� ���������� �>��'��������� ������� � ������ ��
������ � ��� E � ����� � p1 ��� � � E =p21/2m ����� ������ ���� x < 0 ��� ���� ����� ��� ���'����� 8�� ��� � x = 0 L �� ����� � � ��� ���� � � �� ����� � ��� ��� �� �&����� ������ ������ � ����� � p2 ��� � �(E − U0) = p2
2/2m�
5� ���
ψ(x) =
⎧⎪⎨⎪⎩Aeik1x +Be−ik1x x < 0
(k1 =
√2mE�
)Ceik2x +De−ik2x x ≥ 0
(k2 =
√2m(E−U0)
�
)
2������� � � ����������� � ��� �� ������ ������ � �� ������� @���� � ��)�)��� � � � � � ������ �� ����� ��� ��� � x = 0� >������ � ���� ����� ���� �� ������ � ������������� ������ ���� � �� �� ��������� � ����� ��� �������� � ��� �� ���F���� � � �J�������� � ����������� 5� ���������� ���� ��������� �������� � � ��� �� ��� ��� �������� � �x → +∞C ����� D = 0& ���� ��������� ������ �� x = 0A{
C = A+B
k2C = k1(A−B)
5� � �����{B = Ak1−k2
k1+k2
C = A 2k1k1+k2
.
�� �� ��������� ���� �����
ψ(x) =
{Aeik1x +Ak1−k2
k1+k2e−ik1x x < 0
A 2k1k1+k2
eik2x x ≥ 0
�� ���� ���� ���� ψ(x) �� x < 0 �������� � �'��� ������ � ��� � �� ������ �'���� �J����& �� ������ ��������� ������ �������� � �'��� �������� ���������� ��R = vB∗B/vA∗AC ���L �� ���F���� � � �J�������� ���� �� ���C � � ������� � �� ��)�)���� � ���� �� ������ � ����� �J���� ����� ������x < 0A
R =(k1 − k2
k1 + k2
)2
( �#����� �� ���� � � ��������C 0 < R < 1A�� � ���'��� ����� �J����� �� ���F���� � � ���������� L T = 1 −R�
6���� ����A 3���� � �� �������C ��� ������������������ ���'�#� � ������
��2�� -� &������� �� �������� ��$�!�� ���
8���� )���� � �� ������� 96���� ����;A
U(x) =
⎧⎪⎨⎪⎩
0 x < 0;U0 0 ≤ x ≤ a;0 x > a
5��������� E < U0 � ������� k1 =√
2mE�2 �
k2 =√
2m(U0−E)�2 � 5� �
ψ(x) =
⎧⎪⎨⎪⎩eik1x +Ae−ik1x x < 0;Be−k2x + Cek2x 0 ≤ x ≤ a;Deik1x x > a ,
��� �� �� �� ��� ������ ��� �� ���� �����9��� ������ � ��� � �� )����; L � � � @��� ��)� ������ � ���'��� ��5� �� � � � �� ���� � ���� �� �� �� ��� ������ ��
�� C ���'������������ ��� ������� � ���� � ���� ���� ��� ��� ������������ � ���������A �'�� ��������� �������� ��� ����� ������ �� ������ ������������ � ���� � ����� @�� ���������� �� ��������� � ��� ���� � �))����
D =−4ik1k2
(k2 − ik1)2e(ik1+k2)a − (k2 + ik1)2e(ik1−k2)a
� �� ��)�)��� � � ������ ���'�� � �� � ����
�� �&/�01�1 ��2 �8�:�1�� � 1��& �� �68&:�1�� �� !�;3<���7�3
)���� '�-���� ������( L ����������� �
|D|2 =4k2
1k22
(k21 + k2
2)2 sinh2 k2a+ 4k21k
22
,
� � ���� ���� �� ������������ ������� � �� k2aC�� L ����� � ��� 9�� ����A �� �� ������� �������;�
���- �'������� �� ������� ����� ���������
E�� �� ������� ��� � ������ ��� ������ @���� ����������� ��� ���� �� ��� L )��� � �� ���� � �� ������ ���C �� �� ����� �� �� � L � ��� ������� ���� ������� 9�� ������� ������������;� �'� ��� � ������ �� ��������� ���� �� ��� �� ���� � ����L � � ���� ��� � ����� �� ����� ��� � � �� ����� �� �� �������������� � ��� ��� @���� � �� ������ ���� 9�� ������� ���� ���� � ���'������)������ ������ �� ������� � ������ � ���� ���CU(x) = kx2/2;�E� ��� ��� ������� ��� � N > 1 ��� � ��)��
� ��G �� ������� ����� ����������� � ������ � ��� ����������� ��� ��� ���� ������ � �������� � �� N ��� ��� ����������������'����� ������ �������� � ���� � ��)���� L ��
������ �� 0����� �� ��� ���� ������ � ��� ���� � � ������)��C �� ���� ��G ����� ���� � �����'���� ���� ����� � :��B�
F = −kx��� k > 0 (U(x) U(0) + 1
2kx2)& �� � ����� ��
�� ������ ����� � 8�. ��
d2
dt2x+ ω2x = 0
��� ω = 2πf =√k/m ⇒ k = 4π2f2m � ��� m L
�� ����� ���� �� �������5������� �� �'��������� � 5� 7���� � �����
���� � ������ ψ(x) �'�� ��������� ������� � ������� U(0) = 0A
d2
dx2ψ(x) − 4π2f2m2
�2x2ψ(x) = −2m
�2Eψ(x)
� �����C ������ γ = 2mE/�2 � β = 2πmf/�C
d2
dx2ψ(x) + (γ − β2x2)ψ(x) = 0 .
�� ��������� � ���� � ��������� �� � � � ������� �� ������� � �����)��� ����� � γ � ���L���'������ E� �'��������� �#�������� L �������������� �� � ���F���� � ��� ��� �� �� 0� �� ��� �� � ��������� �� ����� ���� )�)�����@� 9�� ����� �� � � 4����;�(��� @�� �� ������� �� � ����� �'����������
���� �� ������A
En = hf(n+ 1/2) con n ∈ N0 .
�� ����� � E �#����� � ������ ���� ���� ����� ������� �� � 0����B �� ��� ��� �� � �� ���E0 = 1
2hf = 12�ω� %��� � ���� � � L ���� �� �
���� D �� ��� � � ����� � � � ���� �� ��� � ������������ �� �� ������ �� ���� � �� �� ������� 9�'�������� ��; ��� ��G ����� ����C ����� ����������'������ � ��� � ��� E0 > 0� �� ������� ���'������ � ��� � ��� L ���� � �� �������� � :������)��A ������� ������������ ������ � � �������� � � ������ � ���� )��� � �� ������� ��@�� ���'���������� ���� �� ��������� ��������� � L ��
������ �A
ψn(ξ) = Ane−ξ2/2Hn(ξ) ,
��� ξ = x√βC �� Hn ���� � ������ � �� .�� ���
�@�� � ����
Hn(ξ) = (−1)neξ2 dn
dξne−ξ2
9����*;
� �� �� �� � �������������� ����
An =
√ √β√
π2nn!. 9����+;
� ���� � �������� � :��� � ����A
H0(ξ) = 1H1(ξ) = 2ξH2(ξ) = 4ξ2 − 2H3(ξ) = 8ξ3 − 12ξ .
8���� @��� ���$ ���� ��� � � � ��@�� ���� ����� �� ��������� ���'������� �� �������A �� ����� � � ��)�)��� � 9�� �������� ���� ������ � x;�� n )���� L ��� � ����� ���� � ���'�������������� ���� ����������� ����������� ������� �� �� � ����� � n
9�� ��� �� @��� ���/C ��� �'������ � �������� �
��2+ � �� �������� ��'��� � �� ��� ��'������� ��
6���� ���$A 0��� �� ��������� ���'������� �� �������� �� �������� ���� ���� ���� � x ���� ���������� � ������)��A ���� �'�� ���������C �� � ������ � � ��)�)��� ��
6���� ���/A 0�)�)��� � ���� �� ��� 9����� ��� �����; � ������ ���� ������ � �� �� ��������� ����������� �������� 9����� � ����� �; �� nU� �nU$�
������ ���� �� ��� ���� ������ � � �� ����� ������ � n;� �'������ � �������� L ������� � ����'������ �� ����� ���� ������ �C � � L ������������ ���� ��)�)��� � � ���� �� ���� �� ����� � � �� �� �� � � ���� �)� ����
5� �� � ��@�� � � ���� D �� �� ������� L ����� ���� �� �� ��������� ���� ��� � ����� ���� � � �����)����� � � ����� ���� x�
��3�� 4������� �� �������� � ��'�������
())���� ��� � � � �� �� ��������� ��������� ��� �'������� �� ������� �������������� ���� �� ���A
ψn(ξ) = Ane−(ξ2/2)Hn(ξ)
0� �������� � :��� � �� ������� �� ��������A
ξHn(ξ) = nHn−1(ξ) +12Hn+1(ξ) 9����1;
d
dξHn(ξ) = 2nHn−1(ξ) . 9�����;
5� ����� ���� 9����+;C 9�����; � 9����1; � �
ξψn =√n/2ψn−1 +
√(n+ 1)/2ψn+1 9�����;
d
dξψn = 2
√n/2ψn−1 − ξψn 9�����;
� ���C ������� �� 9�����; ����� 9�����;
d
dξψn =
√n/2ψn−1−
√(n+ 1)/2ψn+1 , 9�����;
� � ����� � � �� � � ���� 9�����; �A
1√2
(ξ +
d
dξ
)ψn =
√nψn−1 9�����;
1√2
(ξ − d
dξ
)ψn =
√n+ 1ψn+1 . 9����$;
!�@����� � ���� ���)� ���� ������ ����� �� � �� ������ a � � �������� a+A
a =1√2
(ξ +
d
dξ
)9����/;
a+ =1√2
(ξ − d
dξ
). 9����*;
"��� ������ ��� ��� ������ �A
aψn =√nψn−1 9����+;
a+ψn =√n+ 1ψn+1 . 9����1;
>����� ���� �������� �� �� ������� � � � ������ ���� ��� nA �'���� �� � �������� ������� �'�� ��������� ���� � � � n �� ������ ����� � � ������ ���� � ������� n + 1C ���������'���� �� � �� ������ ������ �'�� ������������� � � � n �� ������ ���� � � � ������ ���� ������� � � ����� ���� ��� n− 1�
�% �&/�01�1 ��2 �8�:�1�� � 1��& �� �68&:�1�� �� !�;3<���7�3
6���� ���*A 5� ��� ���� ��������� � ������������ � ����)���� �Q��������� � �������
5� �
ψn =1√n!
(a+)nψ0 .
5� � ��� �
a+aψn = nψn
�� ��� �������� �@��� �'���� ��
N = a+a
� � � ��� � ���� �� ��� �� ���' ���� ������ � ����� ������ n� �'���� �� ���� ������ ��G ������������ �� ����� ���� ���� �� � �������� ��� ������ ����� � ��A
H = hf
(N +
12
). 9�����;
5� ��@�� ������ ���� ���� � � � ������� ���� ��������� � �� ����� ���� ��� n = 0�'���� �� � �� ������ a � ������A(
ξ +d
dξ
)ψ0 = 0 .
�'������ ���'������� �� ������� ����� � � � �������� n L En = hf(n+1/2)C ��� �� n = 0 �� � ����� �'������ ���� � � � ������� ���A E0 = hf/2�%���� �� � � � ������� ψn ������� �'������ En
��? ���� � ������ ������ � nhf � <��� ������������ ��� �#����� � ������ ������ � � �� ���� �hf & ���� � ���� � �� �'������� �� ������� ������ � ������� (���� �� ��G �� ��� �� �'���������� ���� �� a+C a ��� ������� � � � ψn ������������ � �� ������ � �� �������%��� � ���� �� ������� �� ���� ������� ��
�� ����� ������ ���� ��������� ���'��� ��������
���� �� ��� 9%"!;C ����� ����� � ���� � �� �����'��� ���'������� �� ���� � �� ����5� ������ � � �'������ L ���� ���� � � ������� �
�� ����� � �� ����� ����� ���� ��� n �������� �������� ��������
E = E(n) = (n+ 1/2)ω�
dove ω =√k/m ; n = 0, 1, 2, ... .
�� �������� � ������� ����� ��� 9�� ��� � �� ��� ����; L �� ���������� � 9���� � � ��� ����� �� ���� ������ �� ��� ��� ��� � ������ ��@�� �;� (�� ���� �� ������� ����� ��� ��? )���� L ������� � 1C� �#����� �� ���� ��������� %��� � L ������ �� ���� �� �������� � :�����)���
"�#����
�� E�� ����� � )����� � ����� �U�11 � L ���� � �� �� ����� �� � �� ���� ���� � � ��0� �� �������� � ��� ���������� �))�������� �� � � �� )����� �))�� ��� ������� ������� �� ��������� �� ����� � ������ �� ������ � ��
�� E� ��� ��� L ������� � �� ��� ������ ��������������� � ���� ���� ���'���� � �� ����� � � �����C 10−10�� %��� � ������ 9������ � �� �>; �� ���� � ���'��� ��� �� ���������� �� ���� � � � ���� � � � �� �� ����'������ ��? )����N �� ���� � � � � � ������������C ���� L �� ��)�)��� � � ���� �'��� � ��� ����� ������ �� 1�1� ×10−10 � � 1���×10−10 �N
�� �������� �'�� ���� � � �J������� �� ��� ��� ������ � � ����� ��� � �� ����� � �� �������� � �� ���� U0 ��� ������ ���� ��� ���� E = �eU0, ��� �e > 1. %��� L �'�� ���� � ��J������� ��� ���� ��������N
�� %��� L �� �����@�� � @���� ���� ��������� ��������������� ���� �������� '���N
�� !���� �� � � �� ����� � ��� �� x2 �� ���)��� � ������ ��@�� � � ��� ���� a �� ������������ L � � � a2[1/3 − 1/(2n2π2)]�%��� L �� �#����� ��? ���� �� � �� ���� ����� � � � �� ����� � ��� �� xN
�������� ��
�����
���� "� ������� � ����� �� ������
�� ��)���� � ����� �� ������ �� �� ������� U(r) ����� ���� ���� �� ���� ���'������C ��� L ��� ��� ����� �� O ����� ��� ������� ������ � ������ � ����� ����� � (r, θ, φ) ���� �� @��� �$���5� �
x = r sin θ cosφy = r sin θ sinφz = r cos θ .
��� ��� ����������� � ������ �C � ������ �� 9�����;C �� ���������� ������
∇2 =1r2
∂
∂r
(r2∂
∂r
)+
1r2 sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂
∂θ
)+
1r2 sin2 θ
∂2
∂φ2=
= ∇2r +
1r2
∇2θ,φ = ∇2
r −1r2
L2
�2;
�'��������� ���� �� ������ ������� � ���'��������� � 5� 7���� � �������� �� ����� �� ��� �� ������� ����� μA
− �2
2μ
[1r2
∂
∂r
(r2∂
∂r
)+
1r2 sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂
∂θ
)+
1r2 sin2 θ
∂2
∂φ2
]ψ + U(r)ψ = Eψ . 9�$��;
��� ���� ��������� �� ��� ψ(r, θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)& ������� ����'���������� 9�$��; � ��������)� � ���)� �� RΘΦ � �������A
1Φd2Φdφ2
= − sin2 θ
R
d
dr
(r2dR
dr
)− sin θ
Θd
dθ
(sin θ
dΘdθ
)− 2μ
�2r2 sin2 θ[E − U(r)] . 9�$��;
�� ���� ���)� ����� ���� � φC �� ������ � r � θ& �� � �����C � ���� � −m2� �� ��� �� � �
����������A
d2Φdφ2
= −m2�Φ . 9�$��;
5� ��G ���@��� � � �� 9�$��; L ���� � � �������� �� ���
Φ(φ) = eim�φ ;
�+ �&/�01�1 �%2 &01?�
6���� �$��A ������ � ����� ����� ��
�� ��������� � � Φ(0) = Φ(2π) 9������� �; �))���� � � m� ��� ����� �� ���0� �� ������ ���)� ���� 9�$��; �� �
− 1R
d
dr
(r2dR
dr
)− 1
Θ sin θd
dθ
(sin θ
dΘdθ
)− 2μ
�2r2[E − U(r)] = − m2
�
sin2 θ9�$��;
� � ��G ����� ���� � ����
1R
d
dr
(r2dR
dr
)+
2μ�2r2[E − U(r)] =
m2�
sin2 θ− 1
Θ sin θd
dθ
(sin θ
dΘdθ
). 9�$��;
0������� ��������� �� ��)� � ���)� � ��� ������� ��� �� � � � � ������� �(�+ 1)& � ������ ���M
− 1sin θ
d
dθ
(sin θ
dΘdθ
)+m2
�Θsin2 θ
= �(�+ 1)Θ 9�$�$;
1r2
d
dr
(r2dR
dr
)+
2μ�2
[E − U(r)]R = �(�+ 1)R
r2. 9�$�/;
�� ���������� ���� 9�$�$; L �� ��)���� �� � �� �� ��� ���� �� ��������� ���� 9�$�$;C � ���� ��� �� �� �)� ���C �� �������� �� ��� Pm�
� (cos θ) � � �������� ������� � � ������C � � ���������@�� � @���� 9���� ����� � ��� ψ @�� �; ���� �� � ∈ Z � � ≥ |m�|A
Pm�
� (x) = (1 − x2)|m�|/2
(d
dx
)|m�|P�(x) 9�$�*;
��� � P� ���� �������� � ������� E�� �@������� �� �������� � ������ LC � ���� � �� ��C �������� � 9������ � 2������;A
P�(x) =(d
dx
)�
(x2 − 1)� .
�������������� � ����� �� �� � ������� � �� ����A
Y�,m�(θ, φ) = Θ�,m�
(θ)Φm�(φ) = N�,m�
P|m�|� (cos θ)eim�φ 9�$�+;
�%2� /��������� � ��''����� �*��� � �-
6���� �$��A !������� ����� �� �� �������� ��������� ���� ���� � � ��)�)��� � �� � = 1, 2, 3, 4� m = ±l�
��� N�,m�L ��� ��� �� � � ��������������C ��� � �� P |m�|
� (cos θ) ���� �� �������� ������� � � �������� 5� �� � � � �� �������� ������� � � ������ ��� ���� �� ������� �������� �� cos θA �� �����(1 − x2)|m�|/2 ����� 9�$�*; ��G �� ����� �� sin θ� �� Y�,m�
(θ, φ) ���� � � �� ���� � ������ �/ ������ � ���� ��� � ������ ���� ���� ��? )����� �� �����C ������� �� �������� �� ���� ������������ ����� � ��� ��������C �� � � � � � = 0 ����� � � � � � sC �� � � � � = 1 ����� � � � � � pC �� � � �� = 2 ����� � � � � � dC ����
Y0,0 =1
(4π)1/2
Y1,0 =(
34π
)1/2
cos θ ; Y1,±1 = ∓(
38π
)1/2
e±iφ sin θ
Y2,0 =(
516π
)1/2
(3 cos2 θ − 1) ; Y2,±1 = ∓(
158π
)1/2
e±iφ sin θ cos θ ; Y2,±2 =(
1532π
)1/2
e±2iφ sin2 θ .
8���� @��� �$�� � �$�� �� ��� ��� � ������� ����� ��������� � ���� ���� � � ��)�)�� � �������� � ���� ������ � ����� �� 8�� ������� ����� �� �� ���� ���'������ L ����������� � Θ∗Θ 9������ � � ��)�)��� � ��� ����� � φ;�
(���� *���� �������
�������� ����'��������� 9�$�$; �� 9�$��; m2� = (−1/Φ)d2Φ/dφ2& �� �
− 1sin θ
d
dθ
(sin θ
dΘdθ
)− 1
Φd2Φdφ2
Θsin2 θ
= �(�+ 1)Θ
� �C ��� �������� �� RΦC �
− 1sin θ
d
dθ
(sin θ
dψ
dθ
)− 1
sin2 θ
d2ψ
dφ2= �(�+ 1)ψ
�. �&/�01�1 �%2 &01?�
6���� �$��A !������� ����� �� �� �������� ��������� ���� ���� � � ��)�)��� � �� � = 3 � �m� = 0,±1,±2,±3�
�C ��� � ��� � ���� 9�����;C
L2
�2ψ = �(�+ 1)ψ .
4�� �� ������ �� ���� � �� ����� � ������� ���� ����� ��� � �(� + 1)�2C �� ������� ��� �������� � 3� ��'��������� 9�$��; ��G � ��� ��� � ����� ��� � ����
L2z
�2Φ = m2
�Φ
�� ����� ����� � � �� �������� � �� ����� � ������� ����'���� z L ��� '���� ���� ���� � � ��� � m���
���� �'� ��� '������
5� �� � � � L �����)��� ���� �� � �C ��� �� ���� ��� ���)����� � � ����)���C �'��������� ������� �� ��� ��� ���� � � �� �� ������� ��� ��� ��������� L ��������� � � ��'��������� � 5� 7����� ��������������C � ��������� � ��������� �� �� ������� �#� ��� �� �� ������� ��� ����� � ���1/r2�"������ ���� �� ��������� � ���� '��������� �� �� �� ������� ������)����C � ����������� � ��� ���
��������A �� ��� ��� ���� � ���� ���� ��� �� � ��� � �� ������ ����� ���� ���� ���� ��� ������ � ������� �� )��� � ��� � � �� � ������@������ ����� � @���� �� ����� ���� �� ����� �� �� ���mp 1.67×10−27 B�C �� ����� ���'��� ��� me
9.1× 10−31 B�C �� ����� ��� ��� ���'��� ��� � �� �� ��� � � �� ����� ������ � ���� e 1.6× 10−19
�%2$ � ���'� � �������� ��
�� �� ��� ��� �� ������� ��� ���'� ��� '������ �� ��G ��������C ���� '�)� ���� �� ���������C���� � ���� � ��� �� ������ � ����� ��� ���� ����� �� � μ = memp
me+mp�)� �� � �� ��� � �� ��� �
@��� �� �� ��� ��� ��������� !� � � � �� ����� me ���'��� ��� L ���� �Q�111 ���� ����� mp ���� ���C �� ����� �� � ������� ��� �� ����� ���'��� ��� �� � ��� �� � �� �111� �� �� ������ ������ μ L �� ���� � �� �� ������� � ����� �� ������ ���� ����� � ������)
U(r) = − e2
4πε0Z
r.
0������ �� �������� � Z = 1 9� ��� '������;��'��������� � 5� 7���� �� ������ � ����� ����� � �� �� ��� ��� ��� ������ ��� �� �����A
− �2
2μ∇2ψ(r, θ, φ) + U(r)ψ(r, θ, φ) = Eψ(r, θ, φ) .
0� ���� � ��� � ����� ������� ������ � �� ψ L �� �����)��� ���� R(r)Y�,m�(θ, φ)& �� �� � �������
Y�,m�(θ, φ) L � � ���� 9�$�+; � �� R(r) ��� ������� ���'���������
1r2
d
dr
(r2dR
dr
)+
2μ�2
[E +
e2
4πε0r
]R = �(�+ 1)
R
r2. 9�$��1;
!�@�� � �� ������ �� 0� � a0 = 4πε0 �2
e2μ 53 ��C �� � � � �� ��������� ����� ���� ���� ���� �A
Rn,�(r) = Nn�e−r/na0 (r/a0)
� Ln,� (r/a0)
��� Nn� L �� ���F���� � � �������������� � ��� L ���� �������� � � �������� ������� � � �������5��� �� ��������� ��� n > � ���� ���� �)������� � ��� ����� ���� ���C �� ��������� ���'��������� � 5� 7���� �� �'� ��� '������ �������
����� ��� �ψn,�,m�
(r, θ, φ) = Rn,�(r)Θ�,m�(θ)Φm�
(φ)��� ��� ����� n, �,m� ���� � ����� ���� ��� �������� � ������� �� ���������� � ����� ���� ���������� ����A
n ����� ���� ��� ��������� �C �C �C ���� ����� ���� ��� �� ����� � ������� 1C �C �C���C n− 1m� ����� ���� ��� ����� ��� 1C ±1C ±2C ���C ±l �
�� ����� ���� ��� ��������� n �����@�� �� ������� � ������C ���� ��� ������ � 3� A
En = − me4
32π2ε20�2
1n2
.
5� �� � � � L ����� � ������������!� ����� � ����� ���� �� �������� '��� ��������� � �� ���� ����� ���� ����
ψ1,0,0(r, θ, φ) =1√πa3
0
e−r/a0
ψ2,0,0(r, θ, φ) =1
4√πa3
0
(2 − r
a0
)e−r/2a0
ψ2,1,0(r, θ, φ) =1
4√
2πa30
r
a0cos(θ) e−r/2a0
ψ2,1,±1(r, θ, φ) =1
8√πa3
0
r
a0sin(θ) e−r/2a0 e±iφ
�$ �&/�01�1 �%2 &01?�
���� .���� ! � ��#�#��� ! �����
�� ��)�)��� � � ���� �� ��� ��� �� ������ � � ������ ��@�� ������� dV L � � �� ����� ���� ����� �������� '��� �� �'������ � � ������� 0������ ���� ������ � ����� � ��� ���� � � �� ����������
dV = r2 sin(θ) dr dθ dφ
� ����� �� ��)�)��� � L � � �
|Ψn,�,m�(r, θ, φ)|2 dV = |Rn,�(r)|2 |Θ�,m�
(θ)|2 |Φm�(φ)|2 r2 sin(θ) dr dθ dφ .
E�� ��� ��� ��� �� ������ � � � ���� L �� ��)�)��� � ����� ������� � � ���� � �� �)������CP (r)drC ����� �� ��)�)��� � � ���� �'��� ��� �� ��� ���� ���� ������ ������� � r � r + drC�� ����� ����� ������ � �������� 0�? ��������� �C ������� �� ��������������C
P (r)dr = |Rn,�(r)|2 r2dr∫ π
0
|Θl,m�(θ)|2 sin(θ)dθ
∫ 2π
0
|Φm�(φ)|2 dφ = r2 |Rn,�(r)|2 dr ;
��� ��� ������ ��������� �� L ��� � �� �� � � � �� �� �������� � ������� ���� �������� '��� ����� � � ������ ���� � ��������� � �� ��� �������� � ���� � ���� �� � �������� ��5� ���� �� ���� �� ������ n = 1C ����� � = 0� 5�� � ���� �� ����� ��������� �C R1,0C �����
������ �� �� ��)�)��� � �����C �� � ����
P (r)dr = r24a30
e−2r/a0dr ;
�� ������ ������ ���� � � � �� ��)�)��� � � ���� �'��� ��� ��� ������ L �����C P (0) = 0� �� �����r ��� ����� P (r) ������ ����� ������� ��� �@�� �� �� ���� ��? ��)�)��� � �'��� ��� � �� �������8�� ���� ������ � �� ����� � ������� L �������� � �������)��� � ������� �� ��� ���� ���� �
����C � ���� DdP (r)dr
=8ra30
e−2r/a0
(1 − r
a0
),
�� � ���� � � ����� ��? ��)�)��� ������� ��� �� ����� � 3� a0� 5� ��G ������� � ���� �� � ��� ���� ���� �� ����� L ��? �� � � ���� � ������ �� �� ������ �� ��)�)��� � � ���� �'��� ���
�%2� ?�'���� '������ � ��=����� ��
6���� �$��A �� ���� � � ��)�)��� � ����� �� ��� � � � � ������ ��? )���� ���'�������
�� � �� ����� ��? ������� �� ����� � 3� L
P =∫ a0
0
P (r)dr =4a30
∫ a0
0
r2e−2r/a0dr 0.32 .
���� /���� � ����� ��� �#� ���
�� ��� ������� ������������C �� ��� ��� ���� � �� ��� � �� ������ �)� � �� ��� � ����� (�������� � �'�)� � ��� �������C L ����� ��������� � � ��� ���� ������ � ���� �
I =e
T=
e
2πr/v.
0��� D �'��� ���� ���� L A = πr2C �� ����� � ����� ��� ����
μ = IA =e
2πr/vπr2 =
evr
2.
�� ����� � ����� ��� �)� ��� �� ��G ����� ��� � ������� �� �������� �� ����� � ������� ���� ��� ��� � ���'�)� � �L = �r × �p� �� ����� �� �
μ =e
2meL
� �� ������� �C ��� � ��� � �� �� � � � e L ���� ���C
�μ = − e
2me
�L
9����������� �C �� r ∼ 10−10� �� � μ ∼ 10−23(�2;�
�� �&/�01�1 �%2 &01?�
6���� �$��A 2������� ������ ������������ ���� ���� � � ��)�)��� � �� ��� � � � � ������ ��?)���� ����'� ��� '�������
�%2� ?�'���� '������ � ��=����� ��
%����C � ���� � z �'���� ����������� �� ����� ���'�)� �C
μz = − e
2meLz .
�� ���� � � ���� �� ��� L �� � ����C �� �� ��� ���� ��� � � � �� ����� � ������� L ���� ���� �9����� ��G ������� ���� ����� ���� �;� �� �� ������
L2 = �(�+ 1)�2
Lz = m��
��� � � m� ����� �� �� � |m�| ≤ �& � = h/2πC ��� h 6 · 10−34R� L �� ��� �� � � 0����B�5� �� � ��� � � �C � �#����� �� ���� ��������C ��� ���� ���� �� ��� ���� �����)��� � � � ���� � �
����� � ������� �)� ��� �����C � ����� �� ��� ��� ���� � �� ������ '������ ��� ������������ ����� �'� ��� '������ ��� ��� � � � ������� ��� LC �����C � �)��� ����� )������ � ��� ��� � �� ��$0� �� ��� � ���� �� ����� ��� �
μz = −m�μB .
�@���� �� �������� �� 0� �
μB ≡ e�
2me 9.27 · 10−24( �2 .
���������� �'������ θ � � �� �� �� L ���� ��� �'���� zC
cos(θ) =Lz
|L| =m�√�(�+ 1)
.
!���'���������� ���� ��� � ������� �� ������ � �������������
• 0��� L l ≥ |m�| ����� � � m� <√�(�+ 1) � ����� Lz ��� ��G ��� �������� ��� L� %��� �
���� � � ��� � ��� ��� ��� ��� �� ����� � � ��� �� ������ ����� @���� ��������C ����� ��������� �� �� �� �� ��G ����� ���� �� ��� ��� � ������� � �� ������ �� ��� ��� �� �� ����� ��� �������� � ��� ������
• �� ������ ������������ ����� �� ���� ��������� ���'������C ���� � ������� �� ������ ���� ��� � � m�C ���� ��G ������� ���� �� ����� ���� � � �����C �� �� ������ 2l + 1C�� �� �������� � � �� ����� ���� ��� �� ������������ %��� � �������� ���� �� ���� ����� ��������� ���� �������
�� ���� � ���'���� z L ��� ���� � � �����������C �� � ���� �������� �� ���))� ������ � ��� ��� �� ������ 5����� �� @���� ���� �� ��� �� ��G �������� ��� ��� ���� �� ��? ��� ���� �������� � �� �� ��L 9� �� ����� � �� ������� Lz;� 6������� � ��� �������� � ��� ���������� �� ������ ����� ����
ΔLzΔφ ≥ �.
(�"�� �������� �� 5�� � 0������# ������� �������� ����� ���
8�� �+�� 5 �� � 4���� �������� � �����)��� ����� �� ����� � � ����� ����� ��� �� � ��� ����� � ������� �� ������ � ���� � � ��� � ����� �� ����� ����� ��� ��� �������C � ������� ���� )������� �� ��������� �� ����� �J������� @��� ���������� �� ������@��� � � �'�������� � ��� � � � ������ � ��� �� ������ � ��� ���&
��� z �'���� ����������� ���� ������� �� ������ ����� �� ����� �� ����� �����
�% �&/�01�1 �%2 &01?�
6���� �$�$A �'���� ������ ����� ������ � ����� z �� � �����)��� ����� ���� �������� � �� ����� �������� ��������� � � zU�� 5� �� � ��� D |L| > |L|z �
�'�������� � ��� � �� �����)��� ����� ���� �������� � �� ����� � � ����� ����� ��� ���'���� ��� ����� �'���� zC ��� ���� ��� � ��� ���� ���� ��G ����� � � �'��� ��� L � � � � �� ����� �� ����� ����� ��� �� ��� �������� � ����� �'���� z L ���� ���� ���� �������� ��� ���� � �� � �� @���� �������� � ��� ���� � ��� � �� �� ����� � ������� �)� ���
���'� ��� '������ ����� �� ���� ������ � � ��� ����� � � ����� ��� ������� � � �� ����� �������� �� ������ ���'��� ����
�'��� ��� � �� ����� � ������� �� ������ � ���� � ����� � ������� � ����C � ����������� �����! �S� (��������� � � ���� � ��� � �� �� ����� � ������� �)� ���C �� ���� L ���� ���� �C � L���� ���� � ��� � �� ��� ��������� �� �� ����A
Sz = ms�
�%2� 1����� �� ��������� ��� '�'���� '������ � ���'� � ��
���
ms = ±12.
���� ���� ��������� �� �J� � �� ��� ���� ��������� �� ����� � � ����� ����� ��� ������� �A
μs,z = ±μB .
�� ����� �� �� �� S L ����������� �√ms(ms + 1)�& ��� ����� ��� L �� � �������C � �������
�� � = 1 � ms = 1/2 ����� |S| =√
3/4� ��� � |L| =√
2��
���� 0��� � ������� �� ����� � ����� ��� � �����
<� � �� ����� � ����� ��� ���� � �� �� � ���� ��� ��� � ���� ����C �� ���� ����� � ����� ��� ���� ��� �� � �� �� ��� ��� ������ � ���� ���� �� �������� � �� ������ 9�� ��� � ��� ���;��� �@�� ��� �'� ��� ��G ���� �� ����� � ����� ��� �����C ���'���� � 10−23 ( �2��� ���� ���� � � ���� � ����� � ����� ��� �� ������� ��� �� ���� ���� ����� �� ����
���� ������������ �� ����� � ���� ���� � ! � �� �
�� ����� ���� ��� � ��� ����� �� ����� � ������� LC ��� � ms ��� ����� �� ����� � �������� ���� S� 5� � ���� J �� ���� � � � �� � � ���A J = L + S� 8� ������ �C �� ���� � ������������� �� �� ���� ���� �C ��� '���� ���� �� ���� ���� � � �� � ����� ������� �� �������� � �� ��������� ��� j�5� ������� � ���� �������� �� ���� � � � �� � � ��� � �� ��� ��� ��� ����� ���� ��� � �
ms = 1/2& ��� �� �� J � �����|J | =
√j(j + 1)�
���C �� � �= 0C ����� j ∈ {l − 1/2, l+ 1/2}C ��� � �� � = 0 ����� �� ������ � � � j = ms = 1/2��� ����� ������� �� �� ������� L �� ������ �� 5�� J1 �� ����� � ���� ���� � � � �� � 9�)� ���C �
���� � ��� ���)��������; � J2 �� �� � ����� � ���� ���� � � � �� �& �� ����� � ���� ���� � � ��� � ���� �� � � ��� J = J1 + J2 � �����
√j(j + 1)� ��� j ��G ������� ��������� �� �����
j = j1 + j2, j1 + j2 − 1, . . . , |j1 − j2| .%���� �� �������� � z �� ����� � ���� ���� � � � �� � � ��� ��G ������� ��������� �� 2j + 1�����
mj = −j,−j + 1, . . . ,+j.
(�(�� �������� ���'��&��
4�� � � � � ����� ��� ��� � ���� ����� � n � � �� ����� �#��� � � j ���� ������ �� ��' �#��� �� ����� ���'�� ������� ���� ���� ���'��� ��� ��� �� ��� ��� ������� � �)� ���� %��� � �#� � L������� � �� ������� ������)� �� �� ���� ��� ���� �� � ����� ����� ��� ��� L ������� � ���� ��� �� � �� @���0������� ����� �'�� ������� ������)� � ����� )��� � �� �������� ������ )��� � ����� ��������� �
3� ���'� ���C ��� ����� ��� ��� ��� �������� �)� � ���������'��� ��� �� ����� �� ��'�)� � ������� ���� ������ � v � ��� � �� �� ��� �� ���� �� �� ����� �
���� ���� � � � � �� � �)� ��� L L �� � �� ������� � � ���� � � ���'����?� 8�� ��� ��� � ������� ����'��� ���C �� �� ��� �� ����� � ��� � ���� �� ��� �����������C ������� ���M ��� ���� �
�+ �&/�01�1 �%2 &01?�
������� � � ������ �� ����� ����� ��� �B ����� ��������� ���'��� ���� �B L �� � �� ������� �� ���� � � ���� �'�� �C ����� �������� � ������ ���� � � �L� �'������ �� ������� � �� ����� ������ ��� �� �� ����� ����� ��� ����� ���� ��� ������� ���� � � � L � � �
U = −μ · �B = −μzB .�'������ �� ������� L ������ ����� �� ����� � ����� ��� L �������� � ������ ���� � � �B � L
������� ����� L �� ���������� 0��� D �� ����� � ����� ��� ���'��� ��� � ���� ����� � ���� ����9����� ����� ���� ���;C �'������ ������)� � L ������� ����� �� ���� L �������� � ������ ���� �� �B � ����� ���� � � �L� 0���G �'������ ���� � � � ���'������ �� ��� �L � �S ���� �������� � ������L �������� � ������� � ������ ���� � � � �� ��� ���� �� ����������
���, �� ����� ������� ���� ������ �
�'� ��� � ������ ��� �� �� ��� ����������� ���� � �� ����� � ���� �C �� ����� �� ���� �� ��� ��� ��? ��� ��� �� ��� ��� ��� � ���'�� ������� �� �� ���� ��� ��� � ��� ��� ������� ���������� �� ����� � ���� �����)��� ���@�������� ����� � ���'�� ��� ���'� ���� 0� ������� ���� '�� ������� � L ���������)��� ��� ��� � �� �������� � ��������� � 0����A �� �� � ��� � ��? ��� ���C ��� ���� ��� ������� ����� ����� � ���� � � � ���� ���C ���L ��� ������� ���� �� � ���� ������� � ������� ����� ���� ��� n, �,m�,ms�!�����C ��� ��� � � �� ���������� ��� ��� �� ����� ������ � ��? ����� �C ��� ��� ��� ����� �
������� ������ � � � � � ����� ������ � ��� ������ ����� �)��� ��� �� �������� � ���������� �0�����
(�2�� ���
�'���� L �'������ � ���������� ���'������& � �� ��� ��� 9Z = 2;� � ����� ���� ��� ������� � �� ����� ��� ������ n = 1C � = 0C m� = 0C ms = 1/2 � n = 1C � = 0C m� = 0C ms = −1/2� �� �������� �� � �� �� ��� ��� L ����� ���� ��� � �� ����� � ������� � ���� �'������ � ������ � ����� ��� L E ∼= −24.6 �>& ���� D ��� ������ L ��� �� � ����� � �'���� L ������� ����� � � �)���� 0����� � ��� ������ � L �� �� � ��� �� ��� ��)���� �� ������� � ���� � ������ ��� L ������ �A ���� L
�%2� �� ����� ������� � ����� ���'���� �-
La-Lu
57-71
Ac-Lr
89-103
Tc
Lr
Pm
Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No
BhRf Db Sg Hs Mt
1
2
3
4
5
6
7
1.00791 4.00262
20.1801014.0077
39.9481835.45317
18.998915.9998
83.8036
131.2954
(222)86
12.0116
C
10.811
B
5
26.982
Al
13 28.086
Si
14 30.974
P
15 32.065
S
16
6.941
Li
3 9.0122
Be
4
22.990
Na
11 24.305
Mg
12
39.098
K
19 40.078
Ca
20 44.956
Sc
21 47.867
Ti
22 50.942
V
23 51.996
Cr
24 54.938
Mn
25 55.845
Fe
26 58.933
Co
27 58.693
Ni
28 63.546
Cu
29 65.39
Zn
30 69.723
Ga
31 72.64
Ge
32 74.922
As
33 78.96
Se
34 79.90435
85.468
Rb
37 87.62
Sr
38 88.906
Y
39 91.224
Zr
40 92.906
Nb
41 95.94
Mo
42
132.91
Cs
55 137.33
Ba
56
138.91
La
57
178.49
Hf
72 180.95
Ta
73 183.84
W
74
(223)
Fr
87 (226)
Ra
88
(227)
Ac
89
(98)43 126.90
I
53101.07
Ru
44 102.91
Rh
45 106.42
Pd
46 107.87
Ag
47 112.41
Cd
48
186.21
Re
75 190.23
Os
76 192.22
Ir
77 195.08
Pt
78 196.97
Au
79 200.59
Hg
80 204.38
Tl
81 207.2
Pb
82 208.98
Bi
83 (209)
Po
84 (210)
At
85
114.82
In
49 118.71
Sn
50 121.76
Sb
51 127.60
Te
52
H He
NeN
ArCl
FO
Kr
Xe
Rn
Br
IA
IIA
IIIB IVB VB VIB VIIB IB IIB
IVA VA VIA VIIA
VIIIB
VIIIA1
54
2
3
13 14 15 16 17
18
6 7 8 9 10 11 12
IIIA
6
7
174.97
Lu
71140.12
Ce
58
232.04
Th
90 231.04
Pa
91 238.03
U
92
140.91
Pr
59 144.24
Nd
60
(262)103
(145)61
(237)93 (244)94 (243)95 (247)96 (247)97 (251)98 (252)99 (257)100 (258)101 (259)102
150.36
Sm
62 151.96
Eu
63 157.25
Gd
64 158.93
Tb
65 162.50
Dy
66 164.93
Ho
67 167.26
Er
68 168.93
Tm
69 173.04
Yb
70
(264)107(261)104 (262)105 (266)106 (277)108 (268)109
10.811
B
5
13 IIIA
Copyright EniG. ([email protected])© 1998-2002
(281)
Uun
110 (272)
Uuu
111 (285)
Uub
112 (289)
Uuq
114
HYDROGEN HELIUM
NEONNITROGEN
ARGONCHLORINE
FLUORINEOXYGEN
KRYPTON
XENON
RADON
CARBONBORON
ALUMINIUM SILICON PHOSPHORUS SULPHUR
LITHIUM BERYLLIUM
SODIUM MAGNESIUM
POTASSIUM CALCIUM SCANDIUM TITANIUM VANADIUM CHROMIUM MANGANESE COBALT NICKEL COPPER ZINC GALLIUM GERMANIUM ARSENIC SELENIUM BROMINE
RUBIDIUM STRONTIUM YTTRIUM ZIRCONIUM NIOBIUM MOLYBDENUM
CAESIUM BARIUM
LANTHANUM
HAFNIUM TANTALUM TUNGSTEN
FRANCIUM RADIUM
ACTINIUM
TECHNETIUM IODINERUTHENIUM RHODIUM PALLADIUM SILVER CADMIUM
RHENIUM OSMIUM IRIDIUM PLATINUM GOLD THALLIUM LEAD BISMUTH POLONIUM ASTATINE
INDIUM TIN ANTIMONY TELLURIUM
PE
RIO
D
GROUP
IRON
MERCURY
LANTHANIDE
ACTINIDE
LUTETIUMCERIUM
THORIUM PROTACTINIUM URANIUM
PRASEODYMIUM NEODYMIUM
LAWRENCIUM
PROMETHIUM
NEPTUNIUM PLUTONIUM AMERICIUM CURIUM BERKELIUM CALIFORNIUM EINSTEINIUM FERMIUM MENDELEVIUM NOBELIUM
SAMARIUM EUROPIUM GADOLINIUM TERBIUM DYSPROSIUM HOLMIUM ERBIUM THULIUM YTTERBIUM
BOHRIUMRUTHERFORDIUM DUBNIUM SEABORGIUM HASSIUM MEITNERIUM
BORON
ATOMIC NUMBER
ELEMENT NAME
SYMBOL
RELATIVE ATOMIC MASS (1)
GROUP NUMBERSCHEMICAL ABSTRACT SERVICE
(1986)
GROUP NUMBERSIUPAC RECOMMENDATION
(1985)
http://www.ktf-split.hr/periodni/en/
Lanthanide
Actinide
PERIODIC TABLE OF THE ELEMENTS
UNUNNILIUM UNUNUNIUM UNUNQUADIUMUNUNBIUM
(1) Pure Appl. Chem., , No. 4, 667-683 (2001)73
Editor: Aditya Vardhan ([email protected])
Relative atomic mass is shown with fivesignificant figures. For elements have no stablenuclides, the value enclosed in bracketsindicates the mass number of the longest-livedisotope of the element.
However three such elements (Th, Pa, and U)do have a characteristic terrestrial isotopiccomposition, and for these an atomic weight istabulated.
6���� �$�/A ������ ������� ���� ������ ��
��� ���� �����)��� �� �� ������� � � �� ��� ��� �� �� ������� � � ������ ����� ��������� ���������� � 5� 7���� ��� L ���������)��� � �� �� ������� ���������� %��� � � ������ � ���� ��������������� ���))� ��� � ����� �C ���� � ��������� �'������ ����� ��� ��� � ���'�� ������� ���� ��� ���C ��� �'��������� E1 = Z2E0/n
2C �� � ���� �� ����� ��� ����� �� ����� � ������ �#� ���C���� 54.4 �>�
(�2�� -���
�� �� �� L �'������ � ���������� ���'����C ��� Z = 3� �� ���� ������� ����� ���C n = 1C L ����� � ������ �� ��� ���� �� ��� ��� ��� �� ��������� ��� ������ ������� ����� ��� � ��� ����G n = 2� ������� ���� � ��� ������� ����� ��� L r = 4a0 ��� � ������ �� ������� ������ � L r = a0& �� ��G����� ������� �� ���� �������������� �� ������ ������ � ������ ���'������ ��� ����� �'��� ����� ��� ��� �� ��� �� ��� ��� ���� ��� ����� +3e − 2e = e 9������ �� �� ��� � ���� ��� ���;C� ���������� � ����������� �� �� ������� � �� �� ������� � ��� 1/r� ���� �������������� ������ � ����� ���������� � ���� � � �������� �'������ ��� �� ������ E ≈ Z2E0/n
2 ∼= 5.4 eV������ Z = 1 � n = 2� �� ����� � ���� � ������ L ��� � )���� � ����� L ������ ����� �� ������� � ���� �'��� ��� ��? �� ��� ���'� ���� �� �� �� L ����� �� �� � ��� �� �� ����C �� ����� �� ��� L������ ���� �� ��� ��� ��)��� � �� ���� ��� �� ���� ��� ��� ��)�� ����� � � � ��? �� ��� �������� � �� ���� ��������& �������� �� ������� ��? � ����� � ���� ����� ��������
�. �&/�01�1 �%2 &01?�
6���� �$�*A "����� � ���� ������������ �� �������� � Z� 4�� ������ � ��� ��� � � � ������ � ��?�� ��� ��� ��)�� ���� ������ � ������������ ��� � )�����
(�2� /������� 6Z = 37
�� ��� � ��� ��� ������ �'�� ��� � � � �����)��� ����� � � � 2s� �� ������� ����� �� ��� ��� ���n = 2, � = 0,m� = 0 ����� �� �� �����)��� ����� �� ����� ���� ��� � ���� ms� 5� �����C ��� ����������@�� � �� ���)���C � � �� ���@�������� ��� ����� �� )������ L 1s22s2�
(�2�" ��� &��� �� �� 6�� Z = 5 � Z = 107
0��� D �� �� �� � � 2s L ����� �C �� ���� � ��� ��� ��� ��������� ��� ���������� �� �� � � ������)���9�� �� �� � � � ������ ��? )����;� %��� � L �� �� �� � � 2pC ��� n = 2e� = 1� 0��� D �� ���� ������ �����)��� � m� 9W�C 1C ��; � �� ����� � ms �� ���� ����� � m�C �� ������� ����� ��� ��� ����� ���� � �� �� � ���� ���@�������� ��� ����� �� �� )�� L 1s22s22p1� �� ���@�������� ��� ����� �� ��� ������ �
�� ��)���� (Z = 6) �� ���� (Z = 10) �#����� �� �� ����� � ��� ��� ��� �� �� � � 2p� 0� ���� ������� � �'������ � ������������ ����� ��� ZC ���������� �� ����� � ���$ �> �� �'�� ���C �� ������� ���� � �� ����� ������� � ��� ��� ������ � � ����� � � � n = 2� �� ���@�������� ��� ������� �� ���� L 1s22s22p6� ( ����� ���'������ � ������������ �� �C �� ���� L ������� ����� � ��� ���'������ � ���� �� ����C �� J���C � ��� H)���I ��� �� �� � � 2p& ����� �'L ������ �� �� ��� ����� ��?� ���� ������ �C �����C �� ���)��� �������� � ��� ������ � ���� �� �� �� � � ���� �� ��� �������� � � � �� ��� 9� �������;� �� �� �C � �������C ���� �� ��� ��� ��� �� ��� �� ����� ��� ����6− � ��� ���� ��+& ����� ���� � ���� �� ��� ����� �� ����� ��� �������� � J���� � �� ���
(�2�� ��� ����� ���$���� 6�� Z = 11 � Z = 187
�'��������� ��� ��� ��� ��������� ���� � � � n = 3� 0��� D ���� � ��� ��� L ��� � ��� ��� �������� � ���� ��� ��� �� ���C L �)����� � ���� � ����'� ��� � ����� �'������ � ������������ ������ L � ���� �> ��� �� �� �� ���� ����� �� ���)��� ������� � ��� � ��� ���� �� J���� 0� n = 3C�� ����� � � ��G ����� 1C � � �� ( ����� ���'�))������� � ���'������ ��� � ���� ���� ����������� � � � ������ � ���� �� � ���� ��� ���C �� �� �� � � s L �����@�� ������ � ���� ����� ��� ���� �� � � 3p � � ������ 3d� �� �#����� � ������ ����� � ���'����� �� �� ����� � ��� ������ ���@�������� ��� ����� �� ���� L 1s22s22p63s1�(��'����� �� �� ����� � ��� ��� ZC �� �� �� � � 3s � ����� �� 3p �� ��������� %��� � �� �� ��
� � � ������� �������� �W$U* ��� ���� �� ���@�������� ��� ����� ���'���� L 1s22s22p63s23p6.�� �� �� �))� ���� �� � � �� ������������� ��� ��� �� ���������� ��� ��� �� �� � � 9�� �� �� � �dC ��� � = 2;C �� �'�#� � � ���� ������ L �� ���M �� � � � �'������ ���'��� ��� ���������� L ��?
�%2+ !������ ���� � � ������� ��� ����� @ ��
)���� ��� �� �� � � 4s � � ��� �� �� � � 3d� %���� �'L ��� ���� �#����� � ������ � �� ����� ����� � �� ������������� ��� ���C � ���M �'����C ��� �� ��� � � � 3p �����C L ������� ����� �� �)��� � ��� ��
(�2�( ����� �� Z > 18
�� ������������� ��� ��� ��� �� ����� (Z = 19) � �� ��� ����� ��� ��� ��� ������ (Z = 20) �� ������������ �� �� � � 4s ����� D ��� 3d� �� ���@�������� ��� ����� �� ���������� �1 ������ �C ���� ������(Z = 21) ���� ����� (Z = 20) �#����� ���� �� �� ����� � ��� ��� ��� �� �� � � 3dC � �� � �� ����(Z = 24) � �� ��� (Z = 29)C � � ���� ���� �� ��� ��� ����� � � � 4s� %��� � ���� ������ � ����� ���� � ������ � � ���������& � � � � �� ��� ����� � � ���� � ���� ��� � ����������� � �� ������ ��� ��� �� �� � � 4sC ���� ���� ����� ���� � ��� � �������
���- $�� � � ��� � ��� � �� ���� 1
%���� �� � ��� L �� ��� � � � ���� � � 9���L ����� ���� � ��'������ ������� �� ������� �������� ���;C �� ��� ��� ��G ����� � ��� � � � � ������ ��? )����C � �� �� ��� ��� �� ����������� ������ ���� �� ���� ���� '��� ���� �������� ��� ������ ��� ������ L ������� � ��� �� ���������� �������� � @���� ���� ������ f = (Ei − Ef )/hC ��� Ei �� Ef ���� ���� ������ � �'�������������� � ������ @���� � h L �� ��� �� � � 0����B�8�� � � �� ��������� ���� �����)���A � �������C ������ �� ���� �� �� ��� ��� � � �� ��� � � �C ����
�� ��������� ��� Δ� = ±1 ���� ������� 9� �����C � �������C ��� �� ��G ��� ���� ��� ��������� � �� � � � s;��'� ��� ��G ����� ���� � � � ��� ��������� � ��? �� � ������ )��)������ ��� �� ������ �
��� ��� ���� �� �� �)� � ����� � � ��'�� � �������� 0��� D � ������� � ������ � �� � ��� �������� ������� ���� � 9��� �� � � � ��� ����;C ���� � ����� � ���� ���� '��� ���� ������� %��� ����� ���� '��� ���� �������� ������ ��� � ������� �� ��� � ���'��������� ���'� ����
(�3�� 5���� ����
0� ����� ��� ��� � � ����� �))���� ����� ��� � � � ���� � � ���'� ���� �� �� ������� �� �� � ������ ��� � ��� ��� LC �� �������C ��� � ��? �������� � � ������ ���'� ��� � ������ � � � ���� ����� ���� E�� � � � ���� � � ���'� ��� ��G ���������� �� ���)����� � ����� � � � � ��� ������������� ��� ���C � � ��? ��� ����8���� ������ �� � �� ����C ��� � � � ���� � � � �� � ��� ��������� �'���� ������ � ��� ���� ����
��� ��� ����'� ���� �� ������ � ���� ������ ���� � � � �� ��� 9��� ��� � �������; � �� � ��� �������'���� ���� ������ �>� �� ��������� � � ����������� ���� � ��� ��� ������� �� ��� ����� ��� �����)��� � � ���C � �� ������� � 9������� � � �� ������ �� �� ��� ����)��� ������ � ���� �C� � ��>;� �� ������ � ���� ������ ������� ����� ������� � ��������� ������ � ��� �� ������ �������� ����� �'� ��� L ���� � ���� ������� ��� ��� ��? �� ������ � �)��� � � ������ � ��� ������ ��? ��� �� ���� ��� �� ���� %��� � ������ �������� �� �������� � )��� �� � �� ���� ��������A ��C 8�C TC 2)C��� �� ��� � ����� ��� � ���� � L ������ � ������ ���'�������
(�3�� 5���� 8
� ���� = 9�� ��� ��� ������ ���'���� �� B�>; ������� �������� � ���� ��� � )��)���� ��)������� ��� �� ������ � ��� ��� � �� � ������� �� ���� � � ������ � �� ��� ��� � ��� ���� � ������ ���� ���'������ ���� ��� ��� ���� ���C � ��� ��� � � �� � ��� ��� ��� �� )�������� ����� � � �� � ���� � ���'���� ������ ���� ��� ��� ����� � � � �� ��� ���� � ��� �� )�������C ����� �� ���������� ������ ������ ��� ��������� � �� ����
�$ �&/�01�1 �%2 &01?�
6���� �$�+A 5�� � �� ���� = �� ����)����
�'������ ��������� �� ���� �� �� ��� ��� � ��� � � � �� ��� ��� ������� �� ��� ��� ������ � � n = 1 9� � � � � ��� K;� L ��� � ��? ���� � ������ �� ��� � �� ���� �� �� ��� ��� ���� � � ��� ��� 9��� ��� � �������;� �� �������� � ���������� �������� ���� ��� ��� � ��� �� �� � � � ��������� � 9� �������C �� �� ����C �� � � � n = 2;� �'������ �� ��� � �� ���� �� �� ��� ��� �� � � ���)�� L �������� � ���'���� �� B�>� 5� �'��� ��� L ������� ���� � ��� KC �� ��� ��� �������& ���� ���G ����� ������ � � �� ��� ��� ���� � � � LC � n = 2C � � ��� � � � � ������ ����� ��? �� ��� �� ��� ������ � ����������� ������ �� ��� � � �� ���'������� 9��� � � � � �� ������; ���� �� � ������ ����� ��������� ���� � ��� � n = 2 9� ��� L)
���� � ��� � n = 1 9� ��� K) L � � Kα 9� � � � �� ���� �������������� �'������ ����� ���� ������� ���� ��� ���������C ����� � ���� � ��� � ��� Kα;� �� ����� Kβ ����� ���� ��������� ����� ��� n = 3 ���� n = 1� (��������� �C ��� ������ ���� � �� �C �� ���� L, L ��� � � ���������� � � � � ��? �� � ������ ���� �� � ��� L.�� �������� �� ���� = ������� ����� ������� � �� )���� �������������� � �������� �� ������ �
3� �
"�#����
�� "������ � �$ �����)��� � � � � n = 4 �� �'�������
�� �������� �� ��������� 9�� ���������; �� ��� �� ��)�)��� � ����� L ������� �� �� � � � n = 2C � = 0���'� ��� '������& �� �� � ���� � � �C �������� �� ���� ���� �� ������ ������ ���
�� 5� �������� �� ���@�������� ��� ����� �� ��)���� � ������ ���'���������
�������� ��
�� ����� ����������� �� �� ��������� ����
�'������� ��������� ���� @���� ���� �� ��� L ��� �@� � � L � � � ������ � � ������ �� � ��? ����������� �� ������ 9:�����)��C 3� �C ��� 8������ ���� �� �� ��� ������;� �� �� � � � ���� ��� �������� ������ ���������� � ������ � � ��� ���� � ��� ��������� � � �))�� ����� � �������� ����������%��� � ���� ��� ��� � �'��)������ � ���������� ��'������� ���C �� ���� � ������� �� �� ���������� ��? ��������� � ��� ������ � �� � ����� ��'���� ��� L � � � ������ � ��� ���� ��� ������ ��
�,�� 2������� '��� � ����� � *��#�
8���'�� ��� ������ ��)�)���� ��� � ��� �������� '��� Ψ(�r, t) � ��� �� ������C �� �#��������
|Ψ(�r, t)|2 dV = Ψ∗(�r, t)Ψ(�r, t) dV 9�/��;
������� � �� ��)�)��� � � ���� �� �� ������ ��� ������ dV C �� ��� �� ��� � �rC �� ���� t� ����)�)��� � ����������� � ���� �� �� ������ � ����� � �� � ����� ������ L ������ � �C � �������'�����A∫
dV |Ψ(�r, t)|2 = 1 9�/��;
��� �'�� ����� �� �� ��� �� � � �� ������ �������)��� ���� �� ������� 0� �� � ����� �� ��������� ���������������C �� ���������� ����� ���� � ��� ���'������� L2 ���� �������� � ������ �� �����C����� �'������� ���� �������� �� �� ����� �'�� ����� 9�/��; ��������
�'������� L2 � �� � � �� � ������ ��������� ��� ����� �� ����� ��������� C& ���� �A
• ∃ ��'������� W �� ��� � L2 ��� � � 9L2CW; L �� ����� ��������C �����A
L ����� � ���&
L ������� ���&
���� � �� ����� ������ � ��� � 9� � ��� � ����� � ��� 0;&
∀ Ψ ∈ L2 ∃ Φ ∈ L2 ��� � � Ψ + Φ = 0& Φ L � � ������� � Ψ � ����� � ��� −Ψ&
• ∃ ��� ��� ����������� ���� ������ � � L2 �� ��� ������C ���L �� ������ � �� �����C ��� � �A
�� �&/�01�1 ��2 �& ��!��& 68&�0�!0��& �� 8� 68&�31 (��)�13?&��
L �� �)� ��� ���� � ���'�������A ∀ c, c1, c2 ∈ C, Ψ,Ψ1,Ψ2 ∈ L2
c(Ψ1 + Ψ2) = cΨ1 + cΨ2&(c1 + c2)Ψ = c1Ψ + c2Ψ&
���� �� ����� �A ∀ c1, c2 ∈ C, Ψ ∈ L2
c1(c2Ψ) = (c1c2)Ψ�
5� L2 �@����� �� ��� � ������ (Ψ,Φ) ����
(Ψ,Φ) =∫
V
dV Ψ∗(�r, t)Φ(�r, t) 9�/��;
�� ����� L ��� � � ∀ Ψ,Φ1,Φ2 ∈ L2, λ1, λ2 ∈ C A
• (Ψ,Φ) = (Φ,Ψ)∗&
• (Ψ, λ1Φ1 + λ2Φ2) = λ1(Ψ,Φ1) + λ2(Ψ,Φ2)�
� ����� �� L2 �� ���� |Ψ|2 = (Ψ,Ψ) ≥ 0�
E�� ������ �� ����� ���� � L � � ������ � ������& ����� �������� �� � � L2 L ��� ������ �:��)� �� C 9��� �� ���� ���� � | Ψ |2;�<�������� � � ���� �� ������������� �������� � 5� .��A
| Ψ + Φ |2 ≤ | Ψ |2 + | Φ |2 .
�,�� 0�����#��� � ���� ��
E� ������� ������ M �� L2 L �� �� � �� ��� ��� � � ������� � ��� �������� Ψ � L2 �� ��������� Ψ′ ��� � ��� ����������� ������ M A Ψ′ = MΨ ��� � � ∀ Ψ1,Ψ2 ∈ L2, λ1, λ2 ∈ C
M(λ1Ψ1 + λ2Ψ2) = λ1MΨ1 + λ2MΨ2�
>������� �� ������� �� ��� ������)��� ��� � ���� ��C ������ D ���� � ��� � � � @���� ��������� ��� �������� '��� Ψ(�r, t)C ���M ���'��������� � ����� �������� �� ���� �� ������ M �2�� ������ � � ��� ���� �� ������ ��� ��� ���� 9� �� ������� �;�
2���� 4������� ��������
5� �@����� ������� �������� � M �'���� �� M+ ��� � �
∀ Ψ,Φ ∈ L2 (M+Ψ,Φ) = (Ψ, MΦ) 9�/��;
E� ���� �� ������ M �� ��� ������������ � �� ������ �� M+ = M C ���L �� ∀ Ψ,Φ ∈ L2
(MΨ,Φ) = (Ψ, MΦ) 9�/��;
�����∫dVΨ∗(MΦ) =
∫dV (MΨ)∗Φ 9�/�$;
��2$ 1�����=��� � ��������� ��
5� �@������� ��� � �� ����� � �� ��� � � ���� ��C ��� ��� ������ �A5����A
C = (A+ B) L ��� � �
∀ Ψ ∈ L2 CΨ = (A+ B)Ψ = AΨ + BΨ 9�/�/;
�������� ���� �@������� � ���� �� ������ � � � �� ����� � �� ���� �� ��� ���� L ����� ������ �� ��� �����0�� �A
C = (AB) L ��� � �
∀ Ψ ∈ L2 CΨ = (AB)Ψ = A(BΨ) 9�/�*;
!� ���� � �@������� ����� � � �'���� �� ������ � �� ��� � � �� ���� �� (AB)+ L B+A+����� �A
(Ψ, (AB)Φ) =∫
V
dV Ψ∗(A(BΦ)) ==∫
V
dV (A+Ψ)∗(BΦ) =
=∫
V
dV (B+(A+Ψ))∗Φ = ((B+A+)Ψ,Φ)
<�������� � �C �� �������C (AB) �= (BA)� 0� �������C
� xp(xΨ) �= x(� xpΨ)
���� D
−i�∂(xΨ)∂x
�= x
(−i�∂Ψ
∂x
)>����� �� ������ � ���� �� �� ������� �����'��� �2 �'���� �� ��������� �rC ���������� � ��� ��� � ����� ����C L ��� ��������'��� $2 �'���� �� ���� � � � �� � �p = −i��∇C L ��� �����!� � � � �p = (px, 0, 0) + (0, py, 0) + (0, 0, pz)C ���� ������ � ���� �� � � px 9�� �������; L
�� ������� �A
(Ψ, pxΦ) =∫ +∞
−∞dx Ψ∗(x)
(−i�∂Φ(x)
∂x
)= [Ψ∗Φ]+∞
−∞ −∫ +∞
−∞dx
(−i�Φ(x)
∂Ψ∗
∂x
)=
=∫ +∞
−∞dx
(−i�∂Ψ(x)
∂x
)∗Φ(x) = (pxΨ,Φ)
���� D [Ψ∗Φ]+∞−∞ = 0 �� ����� � � � �� �� �������� ���� � ���� � �����)����
2���� .������� �� ����������
5� �@����� �� ������ � �� ���� �� A � B �'���� �� [A, B]− 9 ���� ��? )������ � ����� ����� [A, B]; ����� � �� �������� [A, B]− = (AB − BA)C � �� ��� � � �� ���� �� �� ���������� �� ��� ����� � �� L �'���� �� ������
�� ����� � �� � �� ���� �� L ��� ���� ���� ����� L �'���� �� ������ 5� � �� ���� �� A �B ���� �� ������� �C �� � ���� �A
[A, B]+− = (AB − BA)+
= B+A+ − A+B+ = BA− AB = −[A, B]−
�% �&/�01�1 ��2 �& ��!��& 68&�0�!0��& �� 8� 68&�31 (��)�13?&��
(��������� �C �� �@����� ������ ������ � �� ���� �� A � B �'���� �� [A, B]+ ���� [A, B]+ =(AB + BA)C � � L ����� �� ������� � �� � �� ���� �� A � B ���� �� ������� �� 5� � ���� �A
[A, B]++ = (AB + BA)+
= B+A+ + A+B+ = BA+ AB = [A, B]+
<�������� � �
AB =12[A, B]+ +
12[A, B]−
� ����� � � �� ��� � � �� ���� �� ��� ���� L ��� ���� �� � ���� �� ��� ���� �� ����� ������ �� ������C �� ������� �� ���� An � �� ���� �� L �� ���� �� �� ������� ��
���'��� �2 �'���� �� ���� ������ H(�r) = p2/2m + U(�r) = −�2∇2/2m + U(�r) L ��� ����C��� D �� ���� �� ����� � �� �� ���� � ���� �� ��� �����
�,�� 3� ������ � .���
8���� ��������� � ���� �� ��� ����� �� �����C �� �� �� ���� ������ L ��� �@�� � �� ���)��� | Φ >C� L � ���� � ���C ��� � �� ���)��� < Ψ | L � ���� � ����� ��� ���� ����������� ���� �� ������ < Ψ | Φ >C � � ������� � �� ��� � ������ �� ��
�� ��A
< Ψ | Φ > = (Ψ,Φ) =∫dVΨ∗Φ .
�� ���� � �� ������C ���� ���� �� A ������ �� �� B� | Φ > C � �� ������ ��� B� A | Φ > C ������
< Ψ | A | Φ > =∫dVΨ∗(AΦ) .
�� ���� � A | Φ > L [ A | Φ > ]∗ = < A Φ | �
�,�� 4� ������ � �� ��� �� � ���� �� &��� ����
2�"�� 9����� �$���������
(��� ����� � ������� �� �� �������� '���C �'������� L2 ���� �C � �� ��� � � ��� � @����C ��������A �� �������� '��� ����� ������� ������ ����� � � ������ �C �� �������� �� �����@�� �� �)�� � � |Ψ(�r, t)|2�0������� �������� � � ���� � � �� �������� Ψ(�r, t) �� � � �@��� ��� � � � @���� ����� �@�� �
�� ��������� ��� � �� ��� �� ������ 9������� �� ��? ��� � � ��� ��� � ����� �����;C ��� ����C ��#������)��� ��@�� � ��� � 9�� �������C �� � � � �� ��� �������� '��� ����� ����� ���� �� �� � ���� � ���� ������ ��� � �����@�� � @����C � � � � ������ �������� � �� ���� � � ���� �������� �������� ���� �� ����� ��� � �������C ���'���� � 10−30 �;� 0������� ��� � ���� � ���������� �������� '��� � � ���� �� ������ ���� � � 9�� ���� �� �� ���� � � ��� �� ������ ����� ����� ��� � �� � ��� ������ @�� � ���� ������C �� ������� �� � �� ��)�� ���;�5���� �� ��� ��� � ������ � ������ � � ���� � ��������� ��������� ��C � ������� H �'�������
9��� ��� � �� L2; ���� �������� '��� H�� �I � ������� �� ������� @��� ��
6�������� � ���� � ��� � �� ��� ��� ��
��2� &�������� � ���������� �� ��������� "��'������ ��
• �� � � � � ��� �� ������ � �� ���� t L ������� � � � ��� �������� '��� 9�� B� ; | Ψt(�r) >∈ H�
• �'��������� � ����� L ������� � � ���'������������ � �� ���� �� ��� ���� A � �� B� A
A | Ψt(�r) >
� �� ����� � ���� ������ 9����� ���� � ����� � ���; � ��� ��������� � ����� L
A = < Ψt(�r) | A | Ψt(�r) > .
5� ��� � � �'���� �� A L �� ������� ��� )��B� < Ψt(�r) | A | Ψt(�r) > 9=∫
VdV Ψt(�r)∗AΨt(�r);�
<�������� � � �� ��������� � � �))���� ���� � L ��� � � � ���� � � ���� ����� ���� ����� ����&���� �A
��''� � ∀ Ψ,Φ ∈ H < Ψ | A | Φ > = < Φ | A+ | Ψ >∗
��'����������2
< Ψ | A | Φ > = < Ψ | AΦ > = < AΦ | Ψ >∗ == < Φ | A+Ψ >∗ = < Φ | A+ | Ψ >∗
�
0����'� � 1� ����� ���� A �� ��"����������� A ) �����$
��'����������2 4���� �� ����� � � ���' ��� ��� � � A
A = < Ψ | A | Ψ > = < Ψ | A+ | Ψ >∗
= < Ψ | A | Ψ >∗ = A ∗
�
5� �@����� �� ����� 9����; ΔA ���'���� �� A �� �#����� ΔA = A−A& ���� ����� ���� � ���������� ����� �� ����� � �� ����� � ���� ������� "���� ���� � ΔA L ��� ���� ����� �� L AC ��� ���� ���� �� L ��� � (ΔA)2�<�������� � � (ΔA)2 = < Ψ | (ΔA)2 | Ψ > ≥ 0 9���� �����@�� � ���� ���;�5���� �� �� ����� � � ����� ������ � � � ΨA �� � ����� �� ��� � �� ������� 9��� A L ��� ��� �� �;C
���L ��� � �A< ΨA | ΔA | ΨA > = 0
!� � � � ��� ������� � � < Ψ | Ψ > = 1C
(A−A) | Ψ > = 0 ⇒ < Ψ | (A− A) | Ψ > = 0 ⇒ A | Ψ > = A | Ψ >
���L �������� ������� �'��������� ���� �� ������
A | Ψ > = A | Ψ >
��� A ��� ��� �� � 9����X;�0�� ������ �����A
• � � � �����)��� ���� � � � ��� ����� ����� ��� �� ������ ���'���� �� � � �� ������� � 9���L � �A | Ψ > = A | Ψ >;C �
�+ �&/�01�1 ��2 �& ��!��& 68&�0�!0��& �� 8� 68&�31 (��)�13?&��
• � � ������ ���� � ��� �� ����� � � � � � ���� ���� � � �'�� ������ A �� ��� ��� ��� �� ���� � � ��������� � � �����'�� �������
5�� Ai, i ∈ N �'������� ���� �� ������ ���'���� �� A�
0����'� $ *� ������������ �������� �� ���������� ������� ���� ����������$
��'����������2 5���� ΨmC ΨnC AmC An ��� � � n �= m⇒ Am �= An �
A | Ψm > = Am |Ψm > A | Ψn > = An |Ψn >
(����
An < Ψn | Ψm > = < Ψn | A | Ψm > = Am < Ψn | Ψm >
⇒ 0 = (An −Am) < Ψn | Ψm >
⇒ < Ψn | Ψm > = 0 ∀ m �= n .�
��� �� ���� ��� ��������������C �� � ���� � �
< Ψn | Ψm > = δmn
��� δmn L �� �������� ���� � �������C � � ���� � �� m = n � 1 �� m �= n�8� ������ � ������ �� ������ ������� ����� ������C � ��������� � ��? �� ��� �� �������� ��
�,�� $������� �� ���� � �� ���� ��
5� ���� � � � �� �� ��������� � �� ���� �� ��� ���� ��� � ������� ��� )��� ������ � �� �� ������� :��)� ���� �����)��� �������� '��� � �� ���� t� ( �� �� � ��� )��� ������ �C L ����� �����)������ ��� ��� )��� � ������� ���� ������ 9�� �� � 4���5� �� ;C ���� D
I =∑m
| Ψm > < Ψm | . 9�/�+;
9�������� � ������ ����;�%��� � �����@�� � � ��� ��������� �������� '��� ��G ����� ������� � � �� ���� � )���
� ������� � ��'����� ���)�������� ������ ���� ������ � ���� )���A
| Ψ > =∑m
| Ψm > < Ψm | Ψ > =∑m
cm | Ψm >
9� < Ψm | Ψ > = cm ���� �����;��� �������������� �� ����� ���� ���� |Ψ > � � �������� � ��� �������� ����� cmA
1 =< Ψ|Ψ >=∑m
< Ψ| Ψm > < Ψm |Ψ >=∑m
|cm|2 ,
� �� ��)�)��� � � � ���� � ��� ����� �'�� ������ am ����
Pm = | < Ψm|Ψ > |2 = |cm|2 .���� �C ���� ��� ���F���� � amn = < Ψm | A | Ψn > ��� � �A
A | Ψ > =∑mn
| Ψm > < Ψm | A | Ψn > < Ψn | Ψ > =∑m,n
amncn | Ψm > .
[amn] L ��� �� ��� ���� � 9��@�� �;C � � ������� � �'���� �� A ����� ������ � :��)� L2 �� ������ ������& �� cn ���� ��� �� ���� � �������� � �� �� �� � � ������� � �� |Ψ >�
��2% ?����� ��'������� �� ������=��� ������ �-
�,�� /���� ����� ���� � ������#��� �����
5���� A � B �� ���� �� ��� ����& �@����� ���� � �� �������� � A � B �'���� �� C ��� � �
[A, B]− = iC
<�������� � � C L ��� ����A
C =1i
[A, B]−
⇒ C+ = −1i
[A, B]+− = −1i
(−[A, B]−) =1i
[A, B]− = C
5� � ��� � � �
[ΔA,ΔB]− = [(A−A), (B −B)]− =
=((A−A)(B −B) − (B −B)(A−A)
)=
=((AB −AB −BA+AB) − (BA−BA−AB +AB)
)=
= (AB − BA)=⇒ [ΔA,ΔB]− = [A, B]− = iC
5�� I(α) =∫dV |(αΔA− iΔB)Ψ|2 ��� �� ������� α ∈ R& I(α) ≥ 0∀ α ∈ R�
(����
I(α) =∫dV
((αΔA − iΔB)Ψ
)∗ ((αΔA− iΔB)Ψ
)=
=∫dV
(Ψ∗(αΔA + iΔB)(αΔA − iΔB)
)Ψ =
=∫dV
(Ψ∗
(α2(ΔA)2 + iα(ΔBΔA− ΔAΔB) + (ΔB)2
)Ψ)
=
=∫dV
(Ψ∗
(α2(ΔA)2 + αC + (ΔB)2
)Ψ)≥ 0
�� ��?C
0 ≤ I(α) =∫dV
(Ψ∗
(α2(ΔA)2 + αC + (ΔB)2
)Ψ)
=
= α2 < Ψ | (ΔA)2 | Ψ > + < Ψ | (ΔB)2 | Ψ > + α < Ψ | C | Ψ > =
= (ΔA)2[α2 + α
C
(ΔA)2
]+ (ΔB)2 =
= (ΔA)2[α2 + α
C
(ΔA)2+
C2
4(ΔA)4
]+ (ΔB)2 − C
2
4(ΔA)2=
= (ΔA)2[α+
C
2(ΔA)2
]2
+ (ΔB)2 − C2
4(ΔA)2∀ α ∈ R
⇒ (ΔB)2 − C2
4(ΔA)2≥ 0 ⇔ (ΔA)2 (ΔB)2 ≥ C
2
4.
%. �&/�01�1 ��2 �& ��!��& 68&�0�!0��& �� 8� 68&�31 (��)�13?&��
%��� � �����@�� � � �� �� ������)��� ��� ����� ��� � ���C ��� ������� ����� ����� ���� ����������� � ��� ��������� �)� ����
���'���2 0�������� � ���� � � � �� ��
[pxx] =[−i� ∂
∂x, x
]=
(−i�∂x·
∂x
)− x
(−i� ∂
∂x
)=
(−xi� ∂
∂x+ 1(−i�)
)− x
(−i� ∂
∂x
)= −i�
�����
(Δpx)2 (Δx)2 ≥ �2
4
� � ��G ������� ����
ΔpxΔx ≥ �
2
9�������� � ��� ���������� � :�����)�� �� ��������� � �������;�
2�(�� -$�������� ����� �������
�� �������� ��� �� ��������� ��������C �'���� �� ����� � ������� L �@�� � ����
�L = �r × �p .
5� ������ � � �'���� �� L ��� ����� �� ���� � ���'���� ��
L2 = L2x + L2
y + L2z
L ��� '���� ��� �����>������ �� ������ � ����� � � ����� ������A[
Lx, Ly
]= i�Lz ;
[Ly, Lz
]= i�Lx ;
[Lz , Lx
]= i�Ly
[L2, Lx
]= [L2, Ly] = [L2, Lz] = 0
� ����� L �������)��� ������ ��� ����������� � ��� ��������� �� �������� � ����� �� ����� ��������C ��� � L �����)��� ������ ��� ����������� � ��� �)� ��� ��������� �� ���� � ������� � ������� � �� ��������� �� �� ���� ������ ��
�,�, ��������� ������� �� ����� ���
5� ��� ��� � �
• �'���������� ������� � ��� � � � ��� ����� � ���'��������� � 5� 7����
i�∂
∂t|Ψ >= H |Ψ > ,
��� H �@�� � ���� ��� ���� ��� ������ �C � ��� �� �@������� � ����� � � ��������� �� ���� ��������� ��
��2+ !�''����� %�
���������� �� ���� �� ��� ���� A ��� ������� ���� � ������ � �� ����� �� ���� �������� ���� � � A ������ �� ������� �� ���� ��� � ��
∂A
∂t=
∂
∂t< Ψ | A | Ψ >=
⟨∂Ψ∂t
∣∣∣ A ∣∣∣ Ψ⟩
+⟨
Ψ∣∣∣ A ∣∣∣ ∂Ψ
∂t
⟩
�C ���� D ���'��������� � 5� 7���� i�∂Ψ/∂t = HΨ � H L ��� ����C
dA
dt=
⟨−i�HΨ
∣∣∣ A ∣∣∣ Ψ⟩
+⟨
Ψ∣∣∣ A ∣∣∣ −i
�HΨ
⟩=
⟨i
�ΨH
∣∣∣ A ∣∣∣ Ψ⟩−
⟨Ψ
∣∣∣ A ∣∣∣ i
�HΨ
⟩=
=i
�
(< Ψ|HA|Ψ > − < Ψ|AH |Ψ >
)=i
�< Ψ|[H, A]|Ψ >
%����
dA
dt=i
�[H, A] .
2�2�� ���������� �� �$:�������� � ��������
���� �������� �� �� � � � �� ���� � �� ����� � ���� ������ � ��'������)��� ���� � �� ����L �� ����� � ���� ������ �� ����� � �� ���':���� ������ ��� �'���� �� ������� � ���'������)����� � �� �� � � � �� �� ���� �� ����� � ��� �' ���� ������ �� ����� � ���� ������ ���'������)���������� � L ��� ��� �� � �� �� �� %��� � �� � ��� � ��'�� ������ � �������� ��� �� ����� � 87 ��� ��������� ����������� �� ������ �':���� ������ ����� � ��� �� � ����& �����C �� ��� L ������ � ������� ���� � ��
����C �'������)��� � ���� ������� � 9�'������; �� ��������5� ∂U/∂x = 0 �'���� �� px ����� � ��� H & ����� � ������ � ������� �� py � pz� �� ������� �
���� �� ���C �� ���� � � � �� � �� ���������� ������� � ���� ��� ���C ����� ������ � ���� � rC�� ����� � ������� 9� � �� ������ �
����� ����� � L �������� ��� �� � � θ � φ; ����� � ��� �' ���� ������A ����� �� ����� � ��������� ��������
�,�- $���� ��
5� �' ���� ������ L ������� � �� �'������������ � �� ���� �� � ����� ��C ���� ����� � ����'���� �� � ���� 9����� L �@��)��� ��� ���� ��� ��� �� � �� �� �A � ������ �� ����� � 87 �;���G � ��'������������ �� ������ ��� ���� ���� ����� � �� ����� ��������C � � ���L ���� ��
����� @�� � � �� ����������������� � ������� �'���� �� ������ � � ������ ����� )��� �r ����� � �� �����������
Π|�r >= | − �r >
9�� �� ��� ����)�� �� ������ � �r ��� −�r;� �'���� �� L ��� � �
Π2 = I
� ����� ���� � �� ������ ±1� E� ���� ������ ������� � �� �J������� ������� �� ��� ��(����� � ������������ ������� ���� �� ���� �� ���� �� ������������ � ����� C � � ����)�� ��
���� � ���� �� �������
%$ �&/�01�1 ��2 �& ��!��& 68&�0�!0��& �� 8� 68&�31 (��)�13?&��
�,�5 6������� ������
���)��� ������� ������ �����@�� ���)��� )����
0����'� � �� ��� ��������� A � B �� �����! � �� |ψ > ) �� ����������� �� A! ������ B|ψ > ) ��� ������������ �� A ��� �� ������ ����������$
5� � ���� �
A|ψ >= A|ψ >⇒ BA|ψ >= AB|ψ >
� �����C ��� ��� �� ����� ������
A(B|ψ >) = A(B|ψ >)�
,� ����� (B|ψ >) L ����������� � |ψ > ��� ���� ��� ������C � �������� ���� ���� ���� � ���� �� � ������� ��� ���� ������A ����� �� �� ������)��� ����� ��� �� ��G ��� ��� ��� )��� � ��������� �� ������ H � �� �� � �� ��� �� ������ �� �� ���� ����� ������� �� ���� �� ��� ����� ���A ����� �� ���)����� � � ������� ������ ��� � ����� ��
���)����� � � )���� %��� � ���)����� � ��G ����� ������� � � �������� �� �������� � ������ ����9�/�+;�!�� ������� ������ �� �������� � � ������ � ���� ������ ����� )��� �r ���� �� ��� �� ���� ���������
� ����� )��� �p ���� �� ��� �� �� ����� ��
2�;�� ������ ������� �� �������&��� ������&���
0� �@������� �� ������� � ������)��� ��� � ����� �� ������� ������ � � ������)��� ����� �)��� ��A
• �� � �� ������)��� ����� ��� � ������&
• 5����@��� ��� �� ������ � � � �� ������)��� � ����� �� ����� �� ��� �� 9� ���� � �� ����� ������ ���;A �'������� � ������)��� ������ �� ������������
"�#����
�� 0� �'���� �� ����� � �������C �������� � ������ � ����� � ��A
•[L2, Lx
]•
[Lx, Ly
]•
[Lx, Lz
]�� 0� ��� �� ������ � ����� m �� ���� � � ��� ���� ���� ��������C ��� � �
H =p2
2m−G
mM
r
��� G � M ��� �� �C ���� �� � � �� ����� � ������� ���� � ���'������ �� ��������
�������� ��
���� � ���������� �����������
�� �������� '��� ���������� ��� ������ � � �� ������ � ��� �� ������ ��� �� � � �� ���� �������� ������� ��G ��J����� �� �� �)������ � ������ � ������� � �� ������ ��� �� �& �� ��� � � �� � ������ ���� �� ��� ����� � ��� ��� ��� ��� �� ������ ���� �� ������C �� �����
��� ���� �� ����� ����� )� �� ������ � )P ����� �� ��P �� ��� ���� PC ����� � �.��� �P.��� �� )� ��� ���� �� ��� ����� �� �� ��������� ��� �����C � �-�� ���� �� � ���P �@��)�� �Y�� ������ �������� �� ����� ��B�� � �����)�� �� �������� � �� ������ )� .��� �� ����� � �� ��� �����-��� �� �� �� �C ����� ��� �� ���� ��� )� �����.� ���� � ����� �� �� �-������ � �� ���� ����� �����C � @�� � ���� �� � ������� �� � .��� ���B� � ��B�� � �������)�� � �� ������ )� .������ ���� �� ����� )������ �� �� ���� ����C ���������P �� �P �� ��� .� ��� � � � �� �������)���- �� � � �� �� � ���� �� � ���� ��� �� � ������ � ��C . �� .� ��� ���� � � ����� ��� �� ��� �� ������ .��� ���B� � )��B� �.� ������ ��P�
� � �������)��� P �� �������� �� ��� ������ ��� )� .��� ��� ���� �� ����� �� ��� ���� ������ ������ ��)���� ��� ��� � �#�� � � ��� �� ��������� ��������� (� �� �-�����C .� ������ � ���� �� ��������� �� .� ��� ���� �� ����� � ��� � �� ����� �� ��� ��� )� .��� ��C .� ���������� �� .� �#��� �� ����� � ��� � ���� �� ��� ��� )� .��� ��� �� � ��������� �� ��� C �� �� �� �#����� �� �������� )� .��� � ���� � �� ��� .� �-������ �C ����� � �� �����)�� ��� ������ )� .��� � ������ �� � ��B �� ����� �� � @� ���� �� .��� �� �� � ������ �� ��� ����C �.���C �� �� ��� ��� .��� ������P )� ��� ���P �� � ����� �-������ � � ��C ������� ���������� ��� �����C � ����� �� �#��� ��� ���� ��� ��� �� � @� �-������ �� ����� � � ��� �� � ���������� ���� ��� ���� ������ �� � ������ �� � ��B �� ����� �� � ����� �-������ ��� � ���������� ���� ��� ��� ������ �� �� ���C � ��� ���� �� ����� �� � @� �-������ ����� )� �� ������ � )P ����� �� �� �Y�� ����C ����� �P ����� )� .��� �������� .� �� �� ������.� � ��� ���� ������� � �� � ��� ��� ��� )� .��� ������ �� � ��B �� ����� �� �� � P����������@�����C �� � ������ ������ ��� )� .��� � ���� � �� � .� �-������ � � �� ���� �� ���������� ���� ��� �� �-�� � S� ��� � .� ��� ���� � ����)� �� ����� � ��� )� ��)� � � � ��� ��� � � ��� � ��� C �����'� �����)�� ������ ����� .� �� � ���� �� � � P����� �� �� ������� ���� �� ����� ��� �� ���� ����� )� �� ������ � ��� ��� ��C �C �� . �� �� .��� ���B� � ��� ��� ��� (�� � ����C ������� ��� ����P �� 5��� ��C ����� . �� ��� �� � �� ����� ����������� �� '����� ���� ������ ����� ��C . �� �� � ���� �� �� � �� ��� �� '� �� ����� ���������� � ������� � �������� �� � ���� � ;�� ���� ' -�� �� Z�55�����9Z ��< < � ���� �� ��� �� ���������C ��� �� ����� ��� )� ���C ������ �9Z �� �P ��� �#��� ���� �������� �� ����� � �� �� B�� ��� C �������C )� � ����������� �� � �������� � .� ��. �� ���
�� ���� � ���� ��� ���������� �� )��� ���� � � �� ��� �������� � ��@�� �� ����� �� � � �� �� ����� �� �� ��
%� �&/�01�1 �+2 !/�� � !0&0�!0��& 68&�0�!0��&
�-�� "� ������ ��� ��&�
3���� 5����� ������� �� ��� ���������
0� ��� �� ������ �������C �� �������� '��� Ψ(r, t) L ��� �������� ���� ������ � �������� r � �� ����t 9�� �� ����� � �������� �� ����;� �� �������� '��� � �� ��� ��� ��� � �� � � �� �� ������ L��� �������� ���� ������ � r1 ���� �� ������ �C ���� ������ � r2 ���� �� ������ �C � �� ���� A
Ψ = Ψ(r1, r2, t) . 9�*��;
�� ��� ���������� ������� L � ����� � 9���� �� ���� �; ���'��������� � 5� 7����
i�∂Ψ∂t
= HΨ 9�*��;
��� H L �' ���� ������ ���'�� �� ��� ���C ���L
H = − �2
2m1∇2
1 −�2
2m2∇2
2 + U(r1, r2, t)
��� ∇21 = ∂2
∂x21
+ ∂2
∂y21
+ ∂2
∂z21� ∇2
2 = ∂2
∂x22
+ ∂2
∂y22
+ ∂2
∂z22�
�� �����@�� � @���� � Ψ(r1, r2, t) L �� ������ �A |Ψ(r1, r2, t)|2d3r1d3r2 ������� � �� ��)�)��� � �
���� �� �� ������ � ����'������ � � ������ d3r1 � �� �� ������ � ����'������ � � ������ d3r2� 0����������� Ψ )������ ����� � �
1 =∫V|Ψ(r1, r2, t)|2d3r1d
3r2 .
5� �'������ �� ������� U ��� ����� �� ����C �������� ������� �'��������� � 5� 7���� � ������� ������� ������ � � ��������� ��� �� �� �� ���� ���������� ���� ����)���� 3�� � ���C � �� @��C
Ψ(r1, r2, t) = Ψ(r1, r2)e−iEt/� .
�� �� ���� �� �������� Ψ(r1, r2)C � � ����� ���� ���� ������ � ��������C ������ �'��������� �5� 7���� � ��������A
− �2
2m1∇2
1Ψ − �2
2m2∇2
2Ψ + UΨ = EΨ 9�*��;
������ E �'������ � ��� �� ��� ����
3���� 5������� ����$�)������ �� 5���<����� ��������� �� � ������ ����� ��������� �������
0������� �������� � ���@��� � � ��� �����)��� ��������� ���� 9�*��; L � � �� ��� �
Ψa,b(r1, r2) = Ψa(r1)Ψb(r2)
��� Ψa(r1) L �� ��������� ���'��������� � 5� 7���� � �� ������ �������
− �2
2m∇2
1Ψa(r1) + UΨa(r1) = EaΨa(r1)
�+2� /���� ���� ������ "� %�
� Ψb(r2) L �� ��������� �
− �2
2m∇2
2Ψb(r2) + UΨb(r2) = EbΨb(r2)
��� Ea + Eb = E��� ���� � � ��)�)��� � ������� � ���� �������� Ψa,b(r1, r2) L � � �
Ψ∗a,b(r1, r2)Ψa,b(r1, r2) = Ψ∗
a(r1)Ψ∗b(r2)Ψa(r1)Ψb(r2) .
�� ��)�)��� � � ���� �� �� ������ � ����'������ � � ������ d3r1 � �� �� ������ � ����'������ � ������� d3r2 L
|Ψa,b(r1, r2)|2d3r1d3r2 = |Ψa(r1)|2|Ψb(r2)|2d3r1d
3r2 .
<� ��������� � � ���'������ E = Ea + Eb �������� ��'�� � ��������� � � �
Ψa,b(r1, r2) = Ψa(r2)Ψb(r1)
������ Ψa(r2) ��������� ���'���������
− �2
2m∇2
2Ψa(r2) + UΨa(r2) = EaΨa(r2)
� Ψb(r2) ��������� ���'���������
− �2
2m∇2
1Ψb(r1) + UΨb(r1) = EbΨb(r1) .
�� ���� � ���� �� ���� � � ��)�)��� � ������� � ���� �������� Ψa,b(r1, r2) = Ψa(r2)Ψb(r1) ���� �
Ψ∗a,b(r1, r2)Ψa,b(r1, r2) = Ψ∗
a(r2)Ψ∗b(r1)Ψa(r2)Ψb(r1)
� �� ��)�)��� � � ���� �� �� ������ � ����'������ � � ������ d3r1 � �� �� ������ � ����'������ � ������� � d3r2 L � � �
|Ψa,b(r1, r2)|2d3r1d3r2 = |Ψa(r2)|2|Ψb(r1)|2d3r1d
3r2 .
�� �������C |Ψa(r1)|2 �= |Ψa(r2)|2 � |Ψb(r2)|2 �= |Ψb(r1)|2� ��G �����@�� � � ������ �� ��� ��� ������ �� � � � �� ��� ��� ��� � �� � � �� �� ������ ����� �� �� ������ � �� ��� �� r1 ����'������ Ea � �� �� ������ � �� ��� �� r2 ��� �'������ EbC ���� � � � �� ��� �� �� ������ � �� ��� �� r2
��� �'������ Eb � �� �� ������ � �� ��� �� r1 ��� �'������ Ea� ,� �� �� �� ������ ���� ��� �� � � ���G ��� ��G ������� 0� � ��� ���� ���� �� � �'������ � ��� E = Ea +EbC �� ����)�� � �� ��������� ��G ����� �� ����� ��� ����� ��
3��� /���� � �������
�� ����� � ��������C �� ��������� �������� �������� ����� �� ������ ��� �� ������ ���'�� �� 0��������C �������� �������� ��� � ���� � �'�� � � )��C ����� �������� ���� �� ����� � � ����� �@� ��� �C ��@��C ������� �� ��� ���� 8���� � � � ���� � L �����)��� �� ��������� ���� �� ����8�� �� ������� ������� ��� ��� ���C ��� �� �� ��G � �� � ��C � ���� � � ��� �� �� ��G ������ �� ��� ��� 9����� �� �)��� �����)����� �;� �� ���� �� ��������� ���� �� ��� ������� ��� � ���� ��� ������� �F������� � �� ���� � �� ������ � � ����C �� ����� � ��������C ���� �����)���� ���� �C�������� ��� ��� ��� �������� '��� � � ������ �� � � � �� ��� ���C ��� � �� � � �� �� ��������� �� �C ����� ��� �����@��� H����� �� ������ �� ��� �� �� � ����� � � � � 9� �� ������ �������;� H����� �� �� �� �� �� ���� �� ��� �� � ���� ��� ��� �������� '���A
Ψ±(r1, r2) = A(Ψa(r1)Ψb(r2) ± Ψb(r1)Ψa(r2)
)9�*��;
%% �&/�01�1 �+2 !/�� � !0&0�!0��& 68&�0�!0��&
������ A ��� ���� ��� ��� �� � � ��������������� 0�? ������ �� ��� ������
Ψ+ = ΨS(r1, r2) = AS
(Ψa(r1)Ψb(r2) + Ψb(r1)Ψa(r2)
)�
Ψ− = ΨA(r1, r2) = AA
(Ψa(r1)Ψb(r2) − Ψb(r1)Ψa(r2)
)��� S � A � ���� �� ����� �� � �� � ����� ��� ��G �����@�� � �C �� ����C �� ���� �� ��� ��� ������ ��� �� �A � )�����C �� � ����� ����� 9�*��; ������� �� ����� ��? 9���� � ��C ���������� ���������� ����� ���; � � ������� �� � ����� ������� �� ����� ���� 9���� � ��C �� �� �������� �� ������ ���;�� �� ��� � � ������ ���� )�����C � �� ��� � ��� ��� ��� ���� �������� �'������� ������� ���
������� � � � � �� �� ������ � � ��������� ���� �� �� ���� )�����C ��� � � � �� �� ������ ��� ����������� �� ���� �������� �� �� ������� �� )����� � ������� L ���������� �� ��������� � � �� ���C ���LC����� � ��� � ���� �� �� ������ � �� � � ��� ��� �������� � ������� ����� ��� ������� 9���'������)�� �����;� �� �� ������C ���� 9�*��;C �������� ��� � � �� ������� ��� ��� 9�� ��� ���C ��������; ��� ������� ������� �� � ���� � � � ���� ���� ���� �C ������ Ψa = ΨbC ���L Ψa(r1) = Ψb(r1)� Ψa(r2) = Ψb(r2)C ������
ΨA(r1, r2) = AA
(Ψa(r1)Ψb(r2) − Ψb(r1)Ψa(r2)
)= 0
� ����� |ΨA(r1, r2)|2 = 0C ����� L ����� �� ��)�)��� � � ���� �� ������� ��� ��� ����� � ���� � � ���� ��G ������ � �� ����)� �������� � ���������� � ������%��� � �������� L ��� ����������� ���� ����� ��� ��� �))���� ����� � �� �������� '��� �� ��
��� ��� ��� � �� � � �� �� ������ �� �� �C �������� �C ����� ��� � ����� ��� ����� �� ��������'��� � � �������� ��� ��� ��� � �� � � N ������� ��� ���� 6������� ������� ���� � ������ � �
Ψ∗S(r1, r2)ΨS(r1, r2) =ASA
∗S
(Ψ∗
a(r1)Ψ∗b(r2)Ψa(r1)Ψb(r2)+
+ Ψ∗a(r1)Ψ∗
b(r2)Ψa(r2)Ψb(r1)++ Ψ∗
a(r2)Ψ∗b(r1)Ψa(r1)Ψb(r2)+
+ Ψ∗a(r2)Ψ∗
b(r1)Ψa(r2)Ψb(r1))
L � ������ � �������)��� ���� ����)�� � r2 ��� r1 � ���� ���� �'���� �����)��� � ���� �� ������� ��� ���� ���� �� ��G �� �� Ψ∗
A(r1, r2)ΨA(r1, r2)�0������� � ���� �� ������ � �'������ � �� ������ �'���� �� � ����)�� P � � ����)�� ��
9��������� ����; �� �� ������& ����� �� ��� �������� '��� � � ������ �� ��� ��� � �� �� ������L
PΨ(r1, r2) = Ψ(r2, r1) .
0��� D �� ����)�� ���� ��������� ���� �� ������ ��� ��G ���)��� �� ���� � � ��)�)��� �C ��'�����
P |Ψ(r1, r2)|2 = |Ψ(r1, r2)|2 9�*��;
���� � ��P(Ψ∗(r1, r2)Ψ(r1, r2)
)= Ψ∗(r2, r1)Ψ(r2, r1)
����� ��� � ���'������ � P ����� �������� ��� � Ψ∗ΨC �
P (Ψ∗Ψ) = (PΨ∗)(PΨ) 9�*�$;
����� ��� � ���'������ � P �� Ψ∗ � �� ΨA PΨ∗(r1, r2) = Ψ∗(r2, r1) � PΨ(r1, r2) = Ψ∗(r2, r1)������� ��� �� 9�*��; � �� 9�*�$; ������
(PΨ∗)(PΨ) = Ψ∗Ψ
�+2� /���� ���� ������ "� %�
� � �������� ������� ����(PΨ)∗(PΨ)
����� ����Ψ∗(r2, r1)Ψ(r2, r1) = Ψ∗(r1, r2)Ψ(r1, r2) .
%��� � ��������� L ������ � ��Ψ(r2, r1) = ±Ψ(r1, r2)
� �����Ψ∗(r2, r1) = ±Ψ∗(r1, r2) .
��G �����@�� � �PΨ(r1, r2) = ±Ψ(r1, r2)
� ����� �'���� �� � ����)�� P � ���� �� ������ ±1� <�������� � �C ������
HΨ(r2, r1) = EΨ(r2, r1)
�������� ������H(PΨ(r1, r2)
)= E
(PΨ(r1, r2)
).
!'�� � �� � �))���� ��� �
P(HΨ(r1, r2) = P
(EΨ(r1, r2)
)= EΨ(r2, r1) = E
(PΨ(r1, r2)
)����G
P(HΨ(r1, r2)
)= H
(PΨ(r1, r2)
)����� [P,H ] = 0�0������� ����� � ������ �� ������� ������ � � �������� � � ���� ����� ������� � �� �� � � ��� ��)� ��� ���� �� H � P C ���� � �� �������� ���� ��������� ���'��������� � 5� 7���� � ����� ����� �� � 9�� ������ +1; � �� ������ �� � 9�� ������ −1; �� �#� � � ��� ����)�� 9���������� � � ���������;A
Ψ(r1, r2) = ±Ψ(r2, r1)(
+ �� � )�����C − �� � �������).
5��� ����� ����� � �������� ����� �� � � �� � ����� �� ��
3���" 5����� ������� �� �� � ��= ��������� �������
5��������� � ���� � ������ �� �������� '��� Ψ(r1, r2, r3) � � ������ �� ��� ��� ��� � �� � � � �� ������ ��� �� �C �������� ���� ����� ��G ����� �� ��� � � � 9� �� ������ �������; Ψa(r)C Ψb(r)� Ψc(r)� 5� �� �� ������ ���� ������� ������C ����� ���� ���C � � ΨA(r1, r2, r3) �� ��� ����� ��� �������� � �� � ������ � �� ��� ����� 0�? ��������� �
ΨA(r1, r2, r3) = AA
∣∣∣∣∣∣Ψa(r1) Ψa(r2) Ψa(r3)Ψb(r1) Ψb(r2) Ψb(r3)Ψc(r1) Ψc(r2) Ψc(r3)
∣∣∣∣∣∣��� AA L ��� ��� �� � � ��������������� 5��������� �� � ������ � � ������
ΨA(r1, r2, r3) =AA
(Ψa(r1)Ψb(r2)Ψc(r3) − Ψa(r1)Ψb(r3)Ψc(r2)+
+ Ψa(r2)Ψb(r3)Ψc(r1) − Ψa(r2)Ψb(r1)Ψc(r3)+
+ Ψa(r3)Ψb(r1)Ψc(r2) − Ψa(r3)Ψb(r2)Ψc(r1))
%+ �&/�01�1 �+2 !/�� � !0&0�!0��& 68&�0�!0��&
�� �������� L �� ������ ��� � ��� �� ���� � ���� �ΨA(r1, r2, r3) = 0 � |ΨA(r1, r2, r3)|2d3r1d3r2d
3r3 = 0�� Ψa = Ψb ����� Ψa = Ψc ����� Ψb = ΨcC ���L �� ������ �� ���� � �� ������ �������� �� � ����� � � 9� �� ������ �������; ����� �� �� �� �C ������C �� � ������ � ���� ������� 5� �� �� ���������� )�����C �� ����� � � �� ���� � � � ���� �� �������� ����� ��� ΨS(r1, r2, r3) L �� ������ �A
ΨS(r1, r2, r3) = As
∑p
p(Ψa(r1)Ψb(r2)Ψc(r3)
)
��� �� �����C ���� ����� �� ���)��� pC �� �� ��� � � � �� �����)��� ���� ������ �� r1C r2 � r3 � ����� ����� � ����� ������ 5�������� Ψa �= Ψb �= ΨcC �))����
ΨS(r1, r2, r3) =AS
(Ψa(r1)Ψb(r2)Ψc(r3) + Ψa(r1)Ψb(r3)Ψc(r2)+
+ Ψa(r2)Ψb(r3)Ψc(r1) + Ψa(r2)Ψb(r1)Ψc(r3)+
+ Ψa(r3)Ψb(r1)Ψc(r2) − Ψa(r3)Ψb(r2)Ψc(r1))
�� ���� � ����C �))����
AA = AS =
√13!
0������� ����������� �� ������ ����� � ��� ���� � � �� ������ �� ���� � N �� ������ ��� �� ��0� � ������� � ������ �� �������� '��� ΨA(r1, r2, . . . , rN ) ���� �������� � �� � ������ � ����� N � 0�������� �A
ΨA(r1, r2, . . . , rN ) =1√N !
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Ψa1(r1) Ψa1(r2) · · · Ψa1(rN )Ψa2(r1) Ψa2(r2) · · · Ψa2(rN )
������
� � ����
ΨaN (r1) ΨaN (r2) · · · ΨaN (rN )
∣∣∣∣∣∣∣∣∣0� � )�����C �))����
ΨS(r1, r2, . . . , rN ) =
√n1!n2! . . . ns!
N !
∑p
p(Ψa1(r1)Ψa2(r2) . . .Ψas(rs)
)
��� n1! � � � ������ � �C ���� N �� ������ �� �� ���� n1 ����� � ���� � � � 9� �� ������ �������;Ψai C n2! ����� � � �� �� ���� n2 ����� � ���� � � � Ψaj C � � � C ns! ����� ��@�� � � �� �� ���� ns ������ ���� � � � Ψaw C ����� ��� � �� �� � � � n1 + n2 + . . .+ ns = N �
�-�� �� � � �� ��� � /�78����%�� �����
�� � � �� ��� � ,�-.����3�� ����� � ��� ��� ��� � �� ������ �� �����)���� %�� �������� � ������ ������� ���� � �� ������ � � �������� �� � � ������� � ������ ����� �� ��� ��� � ���� � �� �������� ��� �� ������)�� ����� ��� �� ���� � � � ����� �� T � ������� ������ ����������� E�0������� ������ � �C �� �� ��� ��� L ��� � �� � � N �� ������ �� �����)���C �� �� ����� n1 ��� ������� ε1Cn2 ��� ������� ε2C � � � C ns ��� ������� εsC ������ n1ε1 + n2ε2 + . . . + nsεs = E � n1 + n2 + . . . + ns = N �>������� � ������ �� ����� �� ������� nrC ��� r = 1, 2, . . . , sC ���'������)�� ������ �� ������ � �������� ���� � ����� L �� � ���� ����������� � ������������� ����
�+2$ �� �������� � �� ?�AB���>9����'��� %-
3���� -� ��>�������� ��= ���&�&��� ��� � ������ �� ����������������&���
5��������� � �������� �� ��� ��� ��� � �� � � N �� ������ �� �����)���C ���@�� � �� ��� ���� ��� 9���� ���� � �� ��)�C � �������;� � ������� � ������ ������� �� ��� ������� �� ������� ����� ε1, ε2, . . . , εr, . . . 9��� ���� ���� ��� ��� ��)��� �� ��� ��� ε1 = 3�
2π2(2ml2)−1, ε2 =6�2π2(2ml2)−1, ε3 = 9�2π2(2ml2)−1 � ���M ���;� ( ������� ������� ����� ������� � g1, g2, . . . , gr, . . .� � � ���� ���C ���� � �� ��� g1 �'���� � ����������� �� ���� ������� 9����� �� ����� � ���� (nx, ny, nz) ��� � � n2
x + n2y + n2
z = 1;C ��� g2 �'���� � ����������� �� ������ ������� 9����� ������� � ��� (nx, ny, nz) ��� � � n2
x + n2y + n2
z = 6;C ��� gr �'���� � ����������� �� ������� εrC ����M ���� ())���� ��� ���@�������� �� ��� ��� ����� n1 �������� �� ������� ε1C n2 �������� �� �������ε2C���C ns �������� �� ������� εsC �� ��� ��� � � n1 + n2+, . . . ,+ns = N � 5��������� � � �� ��� ����� ��� ���'������)�� ����� ��� �� ���� � �C ���� ����� �� T C � ������� ������ � ��� E ������� ����� ���� ������� ������ ���� �� ������C � � ����� ������� � ���� ��� �� ����� �C � ������C���M �)����� � �� ����� � � � �� ��� ������ � �� ������� ���� � �����)��� 9�� ���� ���������������;� (���� �������� �#���� � � �� ����� �� ��� ������� � � ��� ������� ���@��������C ������� @���C L � � �
WMB(N ;E; ε1, . . . , εs; g1, . . . , gs;n1, . . . , ns) =
=N !
n1!n2! . . . ns!gn11 . . . gns
s = N !s∏
r=1
gnrr
nr!9�*�/;
��� � ������� ��� ����� � ��� ���� �� ������ � ����'������ � ���
⎧⎨⎩
∑sr=1 nr = N
∑sr=1 nrεr = E
9�*�*;
6������� �'��� ��� � � �� � � ���C ������� � � ��� � � ���@��������C �))�� �� � ���� �����)��� � ���������� � �� ��������� �� � ���C ������� � ���� � ���� � � ��'�� � ���@��������C ��� D � ������� �'L ������ ������ � � �� ����� � ������ �� ��� � �� �� �� (���� ��� ���@�������� L �� ���? ��)�)��� ���� � ������� L �� ����� �� ��� � ���� ������� �� �� ������� ����� � ��� L������� � ���� ���@�������� ��? ��)�)���� (�������� � �C ���'������)�� �����C �� ��� ��� �� �������� ��� ���@�������� ��? ��)�)���C � � �� � ��� �@�� � �� �� ������ ����� ����� � � n1, . . . , ns�8� � ���� � �����C ����� �� ��� � � ������ � ����� ���� ������� ��������� � � �������� ������C � �������C �� ���� � �������� � ������ � � � ��� ������� �� ��� ��� � �� ������� �� �������0� � ������ �� ���@�������� ��? ��)�)��� �))���� �������� �� ������� ���� �������� 9�*�/;
����� s ����)��� n1, . . . , ns ����� ��� � �� ������� 9�*�*;� 0������� ������� ���� �� n1, . . . , ns ����������)��� ��� ���� � ��� ���� �� ���� � �������� �'��� ��� � ������ �� ���@�������� �� ��� n1, . . . , ns
���� ����� �������� ���������� ���� �� ���@�������� �� ��� nr � 1� �� �� ���� �������� �������'�������������� � 5 ����� �� ������� �� ����� �� �� ����� nr!� 0��� D
∂ lnWMB
∂nr=
1WMB
∂WMB
∂nrC
� ��� � � �� ��� � WMB C � � �� ������� � ∂WMB/∂nr = 0C ��������� ��� � ��� � � �� ��� �lnWMB C � � �� ������� � ∂ lnWMB/∂nr = 0C ������ WMB > 0������� � ����� �� ������� � WMB C��� ���� �� ������� � lnWMB C ����� ����� ��� � �� �������� �*�*� (��� ����� �������� ������ �� ���� �� ������������ � ������C � � ������ � ���
�. �&/�01�1 �+2 !/�� � !0&0�!0��& 68&�0�!0��&
� ������ �� ������� ��)�� ���� ��������
LMB(n1, . . . , ns, α, β) = lnWMB + α
(s∑
r=1
nr −N
)+ β
(s∑
r=1
nrεr − E
).
�� ��������� ��������� �� ���� �� �� ��� L � � �� ���� � ������� ���� � LMB �� ���������A
∂LMB
∂nr=
∂ lnWMB
∂nr+ α+ βεr = 0, r = 1, 2, . . . , s 9�*�+;
∂LMB
∂α=
s∑r=1
nr −N = 0 9�*��1;
∂LMB
∂β=
s∑r=1
nrεr − E = 0 9�*���;
�� ��������� �*��1 � �*��� ��������� � ����� � �������& ���� ��������� �*�+ ������ � ����� � nr
� � ��������� �� �� ��� � lnWMB � ����� � WMB � ( ���� � ��� � �� �� ������� �#� ��� �������� � ������� ���� � LMB ���� � ���� ����)��� n1, . . . , nsC L ���� ��� ���� �'�������������� �5 ����� � � ���� � � ��� lnn! n lnn− n ����� n� 1�0������� ������ ���� �
lnWMB = lnN ! +s∑
r=1
nr ln gr −s∑
r=1
lnnr!
lnN ! +s∑
r=1
nr ln gr −s∑
r=1
(nr lnnr − nr)
� ���∂WMB
∂nr= ln gr − lnnr
(���� �� �*�+ ���� �lngr
nr+ α+ βεr = 0
���� �����C ������� �� ����� �� ���� ������������C � ������ �� ����� � �����������
nr = gr eαeβεr , ��� r = 1, 2, . . . , s
%��� � ��������� ��������� � ����� � nr �� ����������� �� ����� WMB ���� � �� �� ����<������� ���� � � �
∂2 lnWMB
∂nq∂nr= 0
∂2 lnWMB
∂n2r
= − 1nr
< 0
�������� �#���� � � ���� � �� ��� L �#� ������ � �� ��������
3���� 5�&���� ����� ��>�������� �� �)����&���
�� ���@�������� �� ��� nr = greαeβεr �� ������ �������� �� ������� � ������ εrC ���L �� ���@��������
��? ��)�)���C ��G ����� ������� � �� ������ � ���� ��� � � � � �������� �� ����� �� ��� ���C��� � �� � ���� N �� ������ �� ��� � � ��� �� ���� � �C ��G ����� �����C �� ��� ��� ��)�)��� ��� ������ � �������� 0������� ����� �������� ��� ������ � ����
�+2$ �� �������� � �� ?�AB���>9����'��� ��
5��������� lnWMB �� ���� � ��P�� �� �� �� ��� �� ��� � � ������� 9����� � ��� �� ����� m;C� ������
lnWMB =(lnWMB)m +s∑
r=1
(∂ lnWMB
∂nr
)m
Δnr+
+12
s∑r=1
(∂2 lnWMB
∂n2r
)m
(Δnr)2 + . . .
9�*���;
������ Δnr = nr − (nr)m = nr − greαeβεr �� ��������� � � �� ������ �� ����� � ������������ 0��� L
(∂2 lnWMB
∂nq∂nr)m = 0 (
∂2 lnWMB
∂n2r
)m = −(
1nr
)m
< 0
�� �*��� ���� � ��? ����������� �C ������� ��� � � ����� � ��� ������� �� ������C
lnWMB (lnWMB)m − 12
s∑r=1
(1nr
)mΔn2r 9�*���;
���LC ������� �� ����� �� ���� ������������C
WMB (WMB)me− 1
2�s
r=1Δn2
r(nr)m 9�*���;
())���� ��� ������� � � (WMB)m L �#� ������ � �� ������� �� ���� � ��� ��������� ������������� ��� � ���� ��� �� ����� � ����������� nr = gre
αeβεr �� � ����� � ��� ���@�������� � ����������� �� ����� � ��� WMB ������� � (WMB)m�0� ��� � ��� � ���� �WMB L ������� � (WMB)m ��������� � �C ������ Δnr/(nr)m = δrC ��������������� �� �*��� ����� ����
WMB = (WMB)me− 1
2
�sr=1(nr)mδ2
r . 9�*���;
0����� δr = δC ��������� ��� rC �))���� �����
WMB (WMB)me− 1
2 δ2�sr=1(nr)m
�����C ����� ��� � �� �� � � �∑s
r=1(nr)m = N C
WMB = (WMB)me− 1
2 Nδ2
(������ � ���� � ������������ � N = 1023 � δ = 10−9C � ������
WMB (WMB)me−25000 (WMB)m · 10−23 500
� ����� �� ��)�)��� � � � �� ������� ��� ���@�������� ����� ���� ���@�������� � ������)�� L���M ������� � �� � ����� � ��� � �� ������ � ������
3��� -� �����&����� �� *�+,���'/�����
8���� ������
nr = greαeβεr 9�*��$;
�$ �&/�01�1 �+2 !/�� � !0&0�!0��& 68&�0�!0��&
�� ����� � nr �� � ������ ���� � � ����� � ��� ������ L �� � �� ����� �� ����� � α � β� �������� � ����C � � ������� �� ����� � �� ������ � � �������� �� ������� εr ���'������)�� �����C L �� ����� �� �)������ � ,�-.����3�� ������ �� �� ������C eβεr ����� � ���� � �� �� � 3�� ������ 8������ �� ��� �� ��� � ���'������ � ��� �� ������ ������� ����� ����� ������� � ��� ���� 9 �������� ������ �� ��� ��� � �� ������ L ���@�� � �� ��� ��� ��� � ������ ����;C �� �*��$ ��G ����� ��� � �� ����� ������
n(ε)dε = eαeβεg(ε)dε
� ������ �� ����� � �� ������ � � �������� � ������� � ������ ������� ����'�� ������ �� ε � ε+ dε�6������� �� �� ���� � � �
eαeβε =n(ε)g(ε)
= n
������ �� ����� ���� 9� � ��G ��� � ����� ���������; � �� ������ � � �������� �� ������� � � ����� ����
3���" �� ����>��� >���� ��� �������� α � β
� ����� � α � β � � ��������� ����� �� �)������ � ,�-.����3�� �����C �� �������� ��� ����������� ���@�������� ��? ��)�)��� ���� ��� ������ �� � �������� �� ����� � α L ������� � �� ����� � ��� � �� ������& �� ����� � β L ������� � ���'������ � ��� �� ��� ���� <�������� � �
N =s∑
r=1
(nr)m =s∑
r=1
greαeβεr = eα
s∑r=1
greβεr
� �����
α = lnN − lns∑
r=1
greβεr
8�� ���� ���� ��� � ��� ���� �������� ������
α = lnN − ln∫ εmax
εmin
eβεg(ε)dε
(���� ��� �
Z =s∑
r=1
greβεr
�����
Z =∫ εmax
εmin
eβεg(ε)dε
�������� ��� � ������α = ln N
Z A = eα = NZ
.
0� � ������ �� ����� � βC �� ���� � �
E =s∑
r=1
nrεr = eαs∑
r=1
greβεrεr =
N
Z
s∑r=1
greβεrεr =
= N
∑sr=1 gre
βεr∑sr=1 greβεrεr
= N
(∂
∂βlnZ
)
�+2$ �� �������� � �� ?�AB���>9����'��� ��
�����C ��� ���� ���� ��� � ��� ����C
E = N
∫ εmax
εminεg(ε)eβεrdε∫ εmax
εming(ε)eβεr
= N
(∂
∂βlnZ
)
!����� �� �� ������� �� ����� � α � β L ��������� ������ �� ������� � ZC � ���� � ��� � ��������� ���������� 5� ���������� �� ���� � ��� ��� ��� ��)���C �))����
g(ε) = 2π( m
2�2π2
)3/2
V ε1/2
�����
g(ε)dε = g(k)dk =V
2π2k2dk
<�������� �� � � �� ����� � β ��'����� ���� ���� ���� �C ���� D Z ������ �� ����� @�� �C ������N = AZC �� ���� ���� � � eβε −→ 0 ����� ε −→ ∞� 6�������� � ε −→ ∞ ����� �� ����� �� �� ���� � � ��� ��� L � ��� � � �� ��� ��� ��� ���'��@�� �� (�� � g(ε) −→ ∞C �� �� N ��� �� ��@�� �C �'�� �����
Z =∫ εmax
εmin
eβεg(ε)dε
��� ��������C � ���� � L �������)��� �� β ≥ 0�8�� ������� � Z �������� ��� εmin = 0 ��� D �� ������� ��? )���� ���'������C �� �� ���C �� ����� ���� � ���� � ���� 0������� ��� � ��� εmax = ∞ ��� DC ������ β < 0C �� ��� �)� � ���'�� ������� ε > εmax ���� � ������� �� !�����
Z =∫ ∞
0
eβεg(ε)dε
�����
Z =∫ ∞
0
g(k)eβ�2k2/(2m)dk
������ ε = �2k2/(2m)� 2���� �
Z =∫ ∞
0
V
2π2k2eβ�
2k2/(2m)dk
=V m
π2�2
∫ ∞
0
�2k2
2meβ�
2k2/(2m)dk =V m
π2�2
∫ ∞
0
∂
∂β
(eβ�
2k2/(2m)dk)
=∂
∂β
(V m
π2�2
∫ ∞
0
eβ�2k2/(2m)dk
)=
∂
∂β
(√2V m3/2
�3π2(−β)−1/2
)
����� ��� � ξ2 = (−β)�2k2/(2m) �C �����C dξ = (−β)1/2�2−1/2m� ������ ��� � �� �� � � �∫ ∞
0
e−ξ2dξ = π1/2
������C �� �@�� ���C
Z = V
( −m2πβ�2
)3/2
= V( m
2π�2
)3/2
(−β)−3/2
0���G
A = eα =N
Z=N
V
(2π�2
m
)3/2
(−β)3/2
�� �&/�01�1 �+2 !/�� � !0&0�!0��& 68&�0�!0��&
�
α = lnA = ln
(N
V
(2π�2
m
)3/2
(−β)3/2
)
���� �C �'������ ���� � ��� ������� �� ������ L � � �
E
N= ε =
∂
∂βlnZ =
1Z
∂Z
∂β
=(−3
2
)(−1)
(−β)−5/2
(−β)3/2= − 3
2β
!���� ���� ���� ��� ������ �� �������� � �C �� �������� ����� ���� �C ���� � ε = 32kBT � !�����
32kbT = −3
21β
=⇒ β = − 1kBT
8� � �� ����� �� ����� � α � βC �� �� �)������ � ,�-.����3�� ����� ���� �
n(ε)dε = 2Nπ−1/2(−β)3/2eβεε1/2dε
=2πN
(πkBT )3/2e−ε/(kBT )ε1/2dε
E���� ���� � ������ � ������ � �C ������ �� ��������� ��������C ε = 12mv
2 ������
nv(v)dv = 4πN(
m
2πkBT
)3/2
e−mv2/(2kBT )v2dv
� � ������� � �� �� �)������ ���� ������ � � �� ��� ���� � ���'������)�� ����� ������ ,�-.����
�-�� �� � � �� ��� � 2����.���
0� ������ �� �� �� � ���� � � � �� ��� ������ �� ��� ���� � � ��� ���C � � �������� ���������� � �� �������� � 0����� �� ��� � ���� ����� L � ���� �� �� �)������ ���� ��� ��� ������������ �����& ����� ��G ����� � � � �� �'L �� ����� � ����� ����� � ����� ���� �� �����)��� �� ���� ������ ���� ����� !'�� � �� � ���� ����� ��G ����� ������ � � �� ��� ��� �� �������C ������ �� ����� � ����������� ���� 1 � ��"#� ����� �� ������� �� ����� � �� �)������ �� �����)���� 5�� nr �� ����� � ��� ��� ����'r�
����� � � �C �� �)�� � ����� gr ����� ���� � ����& � ���� � ����� nr ���� ������ � � ����G gr − nr ������� � 9����� '����������� � � 1 ���� ������ �;�0������� ��� ������ ��� �� �)������ ��������� � �������� ����� �� ��� ����� '�����������C
� �����@���� �� ����� ��� � � ������ ������ � � �� ��� ���� ���� � ��� � � � �� �� ������ �������� �����)���C �� ��)�)��� � � ��� �� �)������ ��� ����� � � nr ����� ������ � L ����������� �
Wr =gr!
nr!(gr − nr)!;
����� �� ��)�)��� � � ��� �� �)������ ��� ����� � �� ����� � ����������� n1C n2C n3C ��� ��������� � � � L ����������� �
W =∏r
gr!nr!(gr − nr)!
�+2� �� �������� � �� ���'�>���� ��
�����C � �������� �'�������������� � 5 �����C
lnW ∑
r
[gr ln gr − nr lnnr − (gr − nr) ln(gr − nr)] . 9�*��/;
>������� ���� �� �� �)������ ��? ��)�)��� ��� �� ������� ���� ��������� ���������∑r
nr = N
∑r
nrεr = E ;
� ������∂ lnW∂nr
= − lnnr + ln(gr − nr) = lngr − nr
nr= α+ βεr
� �����
nr =gr
eα+βεr + 1. 9�*��*;
E �������� �� ����� � gr 9��� �� �� �� � � ����� ���� �� ���� ������ ���� ����; �� � ���� �� ������� ������������� �� 2�� ������/
dn = F (ε)√εdε =
8πVh3
√2m3
√εdε
eα+βε + 1. 9�*��+;
5� ���@�� � � ����� �'����������� ���� L ��� � ������� �� � ��� �� � � �� ��� ���������5� ��� �� ��� ��� �� ������ �������� �� αC ������ εF = −αkBT C ��� εF L � � ������ �
6���� �� )��� � ���� � �@�������C �� �� �)������ � 6����!��� L � � �
nr =gr
e(εr−εF )/kBT + 1.
�'������ � 6��� ����� �)����� � ���� ����� ����'������ � � ���� � �� �)������ L ��� � �� ������ � ������� � � ����� � ������ �� 5������
�� ����� ������������ � ������� �� � ����� ���� � �� T → 0 � ������ � � ���� � εr �������� ����� � εF C �� �� ���� � � � ��� ������ � 6��� ���� � �� ���� �� �� ��� ����'������ � ������ �)������� 6�������� �C �� �������� � ���������� ������ �� ���� ���� �� H����#������� � ����� � � �� �������A �� �� �)������ � ,�-.����3�� ����� ����� � � �� )���� ����� �� ��� �� � � �� ����� ������ � ����� ������ � ����� ��? �� ��������� �� ������� ���� � �� 8�� ���� �� �������C�� ������� ����������� ��� ����� � �������� � � ���� ����������� ���� �� ��� �� �������C gr�!�����C ��� ���� � � ����� �� ���� � � ���C �� ���� ���� � � �� �� ������ �������� � � �������� � ������ ������ ����� �)����� � ��� �� �������� � ����������� 8� �������� �� �������� �� � � � � ������ �������� ������ � 9@�� � ���� ����� � �� �� ������ � �����������;� ��G ��������� ����������� ���'������ � 6���C ���� ���� � )�� �������� � ���� @��� �*�� � � ��� � ������������� � 6����!��� �� �U1� 0� ����� �� ��� �����C �� ����� �� ���� ��������� � �� �� ������ � ������� � ������� ���� � � ������ ���'������ � 6���A ���� ���� � ��� ����� � � ������� ������������ ����� ������ ������ ���� � ��������� � ������ �� ������� ��? )����C ��� ��� ���'������ �6���� ���� �� ��G �� ��� �� ��@��C �� ������ ���� � ����� ��� � ����� �� �������� L ������������ � � � ������� �#� � �� ��� �� � ������ �� ����� ����� �� �������� � ��� � ����� �� �� @����*�� L �� ��� ���� � �� �� ������� �� ��� ���C � �� ������ ���� � ������� 9������ � ��� ���; ������������ ���� � � ������ ���'������ � 6����
�% �&/�01�1 �+2 !/�� � !0&0�!0��& 68&�0�!0��&
6���� �*��A ������� ����� ��� � ������ � 6����
�-�� �� � � �� ��� � %���� ��� ���
���������� �� �� ��)���� ���� ����������� � ������� ����� ��� �� �� ������ ��� �� �C ���� �����)����� ��� ����� � �� �������� � ���������� � 0����� �� ������� ���� ��� ������ � �� ����� � � L �������� ��� � �������)��� ���� ����� � ��� � ������ � ��� ���� �������� � ���� � � �� ��� � 6����!���� ���� ������C �� ����������� �� �������C � ��)�)��� � �� ������C ��� L ��? ��� � ���� �� ��������� ��� ����������� �� ������� � ���� 9�� �������� � ���������� ��� �� �������;� >� ����C �� ���� � � � ��������� εrC nr �� ������ � �������� �� �)������ 9���� ���� �����)���; ��� gr � � � ������� (�������C ��� n = 1 � g = 3C �� �� ������ ��G ������� ��� ��������� �� � � � � ������� ��� n = 2C�� �� ������ �C ) ������� ����� ������� � ������ �� �� ��� � ����������� Z�)[ [ \C Z [�)[ \C Z [ [�)\C Z�[ [)\CZ�[)[ \C Z [�[)\� 8�� ��������� �������� � �� ���� ������ �� � � ) ��� D �� �� ������ ���� ��� �� ���� �������C �� ���� (nr + gr − 1)! ��� ������� � ���� ���� ������ � nr �� ������ �� gr − 1 �����C � ������ �� � � nr! ��� ��� D �� �� ������ ���� ��� �� � � � (gr − 1)! ��� �� ���� ��� � ��������������� �� �������� 2�� ��� ����� (nr + gr −1)!/[nr!(gr −1)!] ��� � ����� �� �� ������ ������ � � ������� �� ��� ������ � � ���C ����� ��� ��� �C L � � �� ��� � ���� ��� ������ � �� ��������������C �� ���
W =k∏
i=1
(gi + ni − 1)!ni!(gi − 1)!
.
(�������� �� ����� � � ��������������� ������� � ��� ������� ���� �� ������ ���� ���� ������ �)������ ���� ����������� � ������� )�������C � � �� �)������ � 3����"��� ���C � � �
nr =gr
eα+βεr − 1,
��� ����� �� ����� � β L ������� � ���� ����� �� ������ � �� ��� ��� � α L ���� � ���� ������������� �� ����� � ��� ���� �� ������� O ������ ���� ������ �� �� �)������ � 3����"��� ��� ���������
nr =gr
eα+βεr − 1.
�+2� �� �������� � �� 9���>�������� ��
8���� �� � �� � � � ����������� ��� �� �� �)������ � 6����!���C �� �����@�� � @���� ���� ������ ����������� � � �� ��� �� � )����� L � ����� � �#��� �C �� ���� � �� ��� ���� � ����� �������������� ���'����������� � �� ��������� ������� ����� ���� �� �� ������C �� ����� �� ���� �� ����� ����� ��? �������C �� ����� � � �� H���������� � � )����� ��� ������� ��? )���� � ������C�������� �� � ���� ������������ � 3����"��� ���� �'������ � ���� �� �)������ L ������������A�� ����� � A ����� ���� ���� ����� �� 9�� ��� ��� �� ����� ��������� � ����� ����� �6����!���C � � ���� � ��������� �'������ � 6��� �� ��� ���;C � �� ������� ���� � �� ����� �A L ���� � ����� �� ����� ��������� �� �� �)������ � ,�-.����3�� ������ ( ���� � ����� ��� � � �� ��� ������ ������ ������ � ���� �� ��� � ��� L ��? �����)��� � ������� �� �� ��� ���������2���� � �� ����� ��������C �� �� �)������ � 3����"��� ��� � )���� ����� �� ��������� �� �� ������� � ��������� ��� ������� ��� ����� ����
3�"�� %����������? ��� �� ���� � ������� �� @���A
���������� ��C ���� �����@�� ������������ ���� �� �)������ � � �� ��� �� )�����C �� � ��� � ��H��� � �� ���C ����� �� ������ � ������ ��� ����� ��� ��� ������ �� � ���� �� ������)�� ����� ����� ��� � �� ��� ��� ��A �� � � � ��� ������� ������ �������� �� ��� ��� @���� � � � ���� � ����H�� �� ��� �� ������ � �� �'������ � ���� ���� � � �������� ������ � �� ���� ��� � ���� ����� ��� ��� � ���� ��������� � 0����B � "��� ���� �� ���� � �������C ���������� �� ������������ ���� �C ����� ���� � ���� �� ����� ����)��� � �� ��� 9����)��� �� ���� � ���� ������� ���� ������� � ��� �Q�� � � �� �� ������� ��� ��� � ��� �� ��� ��� ��;� 5������ � �� ��� ���� ������ ��C ������ ���� �� � � �� ��� � 3����"��� ���� �� ����� � α ��� L ������ � �� ���� � ����C �� ���� ����� � ���� ���� � �� ��� ��� � �C ��� � �� �����)��� � � �������� � �� ������ � �� ��� ��� ��� �C ���L ��� �� �� 0�? ���� �� � L �� � ���������� �� ����� � ���� � � � � �C g(ε)� � �� ���C � � ����� �� ������ ���� �� �� �C ������� ��� �� ��� ��� ������ �� � � �C �� ������� �� ����������� ��� ��� ��� �� ��� � ���� ��� �� ��� ��� ��C ����� ����� ������� � ��� ��� � �� ��� � � ����������� �� )��� ��G ������C ���� ��� � �)��� � �� ��������C � ����� � ���� ��������� ������� � �� �� ����� '��� �� ����� �� ���� � � � �� �� �� �� ���� !���� ��������� � ���� ���������ka = πna/L, a = x, y, z, �� � ���� � �
p =√p2
x + p2y + p2
z = �
√k2
x + k2y + k2
z =h
2L
√n2
x + n2y + n2
z
� ������ �� � �� ��� E = pc �� � � �
E =hc
2L
√n2
x + n2y + n2
z .
�� �� ����� �� � ���� �� ���� � ���� � � �C g(E). ( ��� �����C ���������� ��� ������ ������
������� ��� ������ � �� ������ nx, ny, nz > 0C �����√n2
x + n2y + n2
zC ������ � � ������ 9������;
4πn2dn� �� �� ��� ���� �� � �� � �� � � ����C �� ��������� � ��� � ������������� �� �� �C ����� �� ���� � �� ����� g(n)dn = 2(1/8)4πn2dn� !���� E = hcn/(2L)C ����� dE = (hc/2L)dnC �� �� � g(E)dE = 8πL3E2dE/(h3c3)� �� �� �)������ 9� 3����"��� ���C ����� �; ��� ����� ��� � ��������� g(E)fBE(E)C �����
W (E) =8πL3
h3c3E2
eE/kBT − 1.
O �����)��� ����� �� ���� '���������� ����� ����� � 0����B ������ ���� � ������� � ��������� ���� � � ������ �� ��� � � ������� ())���� ����� � ��� � � � �� ������ � ���� ������������� �������� ��� ������ ���C � � L �� �������� � ����� ��� �� ��� � � ��������� ������ � ���� ���� ��� �� ������)�� �����C L �������� � ���� �@�� � � ��� � ������ � � �� ��� ����� ����� ��� ��� ���� ���� � �� ����� � ��� � � �� ��� ���� �� ��� )��������
�+ �&/�01�1 �+2 !/�� � !0&0�!0��& 68&�0�!0��&
��������� �
����� ����������! �������� ������
4�� 6��&���� � ������ ������
%���� �������� ������ ��������
x = r sin θ cosφy = r sin θ sinφz = r cos θ .
"����� � � �����A
d�l = dr�ur + (rdθ)�uθ + (r sin θdφ)�uφ
"����� � � ������ �����A
dΩ = sin θdθdφ
"����� � � ����@��� ����������� � �rA
d�S = dS�ur = r2d�ur
"����� � � ������A
d3x = dV = drdS = r2drdΩ
+. &//������ &2 �13?8�� �1��&?��0&��, �1!0&�0� ��!��;�
%���� ����� �������� ����&����� �������
�a ·�b ≡ ∑i,j δijajbj = ab cos θ = �b · �a
�a×�b ≡�ux �uy �uz
ax ay az
bx by bz
= −�b× �a
�a · (�b× �c) = (�a×�b) · �c�a× (�b× �c) = �b(�a · �c) − �c(�a ·�b)
%��� 4������� ��!�������� ��������
4���� �A
�∇f ≡ ∂f
∂x�ux +
∂f
∂y�uy +
∂f
∂z�uz
!��������A
�∇ · �A ≡ ∂Ax
∂x+∂Ay
∂y+∂Az
∂z
2� ��A
�∇× �A ≡�ux �uy �uz∂∂x
∂∂y
∂∂z
Ax Ay Az
����������A
∇2f ≡ �∇ · �∇f =∂2f
∂x2+∂2f
∂y2+∂2f
∂z2
�� ���������� L �@�� � ��� � ���� ���� �� �� ��� �������� �� �����A
∇2 �A ≡ ∇2Ax�ux + ∇2Ay�uy + ∇2Az�uz
1�������� ��C��������� �� ��������� ������ �*��� "�
• �∇ = ∂∂r�ur + 1
r∂∂θ�uθ + 1
r sin θ∂
∂φ�uφ
• �∇· = 1r2
∂∂r (r2�ur·) + 1
r sin θ∂∂θ (sin θ�uθ·) + 1
r sin θ∂
∂φ (�uφ·)
• �∇× = 1r sin θ
[∂∂θ (sin θ�uφ·) − ∂
∂φ (�uθ·)]�ur + 1
r
[1
sin θ∂
∂φ (�ur·) − ∂∂r (r�uφ·)
]�uθ + 1
r
[∂∂r (r�uθ·) − ∂
∂θ (�ur·)]�uφ
• ∇2 = 1r2
∂∂r (r2 ∂
∂r ) + 1r2 sin θ
∂∂θ (sin θ ∂
∂θ ) + 1r2 sin2 θ
∂2
∂φ2
&2� 3� "��'� �� �� ��� *��'��� +�
%���" ����� �������� �������� �������
�∇(fg) = f �∇g + g�∇f�∇ · (f �A) = �A · �∇f + f �∇ · �A�∇× (f �A) = f �∇× �A− �A× �∇f
�∇ · ( �A× �B) = �B · (�∇× �A) − �A · (�∇× �B)�∇× ( �A× �B) = �A(�∇ · �B) − �B(�∇ · �A) + ( �B · �∇) �A− ( �A · �∇) �B
�∇( �A · �B) = �A× (�∇× �B) + �B × (�∇× �A) + ( �B · �∇) �A+ ( �A · �∇) �B�∇× �∇f = 0
�∇ · (�∇× �A) = 0�∇× (�∇× �A) = �∇(�∇ · �A) −∇2 �A
%���� ������� ���������
������ �� ����� �A
f(�r1) − f(�r0) =∫ �r1
�r0
�∇f · d�l
������ ���� ��������A ∮S
�A · d�S =∫
V (S)
(�∇ · �A) dV
������ �� � ��A ∮C
�Ad�l =∫
S(C)
(�∇× �A) · d�S
+$ &//������ &2 �13?8�� �1��&?��0&��, �1!0&�0� ��!��;�
4�� 4����� ��� �� � 9���&�
>����� � ���� ���� c 3.00 · 108 �Q���� �� � � 0����B h 6.63 · 10−34 R �
hc 1240 �> ��� = h/2π 1.05 · 10−34 R � 96.58 · 10−16 �> �;�c 197 ,�> ��
��� �� � � ���� ������ ��������� G 6.67 · 10−11 8�2B�−2
��� �� � ��� ��� �� ��� � 1/4πε0 8.99 · 109 8�2�−2
ε0 8.85 · 10−12 6Q���� �� � ����� ��� �� ��� � μ0/4π 10−7 :Q������ ������ �� e 1.60 · 10−19 ���� �� � � � � �� @�� α = e2/4πε0�c �Q��/,���� ���'��� ��� me 0.911 · 10−30 B� 91���� ,�>Qc2;,���� �� �� ��� mp 1.67 · 10−27 B� 9+�* ,�>Qc2;2����� �������� ���'��� ��� re = e2/4πε0mec
2 2.82 · 10−15 �λCompton ���'��� ��� h/mec ��� ��2����� � 3� a0 = 4πε0�2/mee
2 0.53 · 10−10 �"����� � 2P)�� E0 = mec
2α/2 ���$ �>,���� �� 5��� MS 1.99 · 1030 B�,���� ���� ��� MT 5.98 · 1024 B�,���� ���� ���� ML 3.75 · 1022 B�2����� ���� ��� RT 6380 B�!�� ���� �������� dTL 3.84 · 108 �!�� ���� ���� ����5��� 9� ��; dTS 1.50 · 1011 �� ���� 9P; π · 107�0���� ����� TL ���$ �16� 9�/ / ��';� ��������� 9�P; �P·c 1016�� ����� 9��; U ���Q� �� ��� ���$ �P8���� � (����� NA 6.02 · 1023 ���−1
��� �� � � 3�� ����� kB 1.38 · 10−23 RQT 98.62 · 10−5 �>QT;"�������� � ��������� ���� ������ ��*1 RQB������ �� � �� ��� ���� � R 8.21 RQT0������� � �������� � ��� � � � 1.01 · 105 0���� �� � � 5 �����3�� ����� σ 5.67 · 10−8 S �−2T−4
��� �� � � S��� b 2.90 · 10−3 � T��� �� � � :�))�� H0 71 B�Q9� ,��;!���� � �� ��� ���'E������ ρC � 4�>Q�3