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BBooß Topologie und AnalysisEine Einführung in die Atiyah-Singer- Indexformel

Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork18451-7

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Vorwort

" V iz EA^ahAuns d u pKa}U lic.heji Lebeni le .h x t fU ngzgzn je d e n , de^ au^ i^cft actUkabzn wjXL, von eXnCA StUX& d iz ScWeA^gfe£^en__ in d&Ji Aai^ätuumg dzii&n, wai ihn i o k in d z^ z ic lU dunkXe. , gzhöJiXg erkennen; von (u.n&A. ondeAn abzA auch dzn PanitC d u EvicucJibcyi&n, ivokin man duAch gtzich^üfm igz AnAtAzngtmg cUZeA. K/iä^tz , die. in imAZÄZA. Gii^iatt iin d , geZangzn kann, AichtigiA- zu b u tv m z n und w ziieA hinauAzuAückzn."VzA G öiXingvi l^atuAioAichzA GeoAg FÖRSTER (I7S7) üfae^ dert b x i- i i i c k z n EnCdeckzA Jamej> COOK

INHALTLICHE MOTIVATION. In tens ive re Nutzung mathematischer Ideen, Methoden und Techniken in den Einzelw issenschaften und zur Lösung p ra k tisch e r Probleme e r fo rd e r t vom Mathematiker neben größerer außermathematischer "Anwendungsbereitsch a ft" zug le ich eine umfassendere innermathematische "O r ie n t ie r th e it " . In der P raxis kommt es häufig n ic h t so sehr darauf an, aus einer mathematischen Idee besonders weitre ichende Konsequenzen zu ziehen, sondern einen Gegenstands- oder Problembereich m öglichst angemessen m it e ine r V ie lfa lt mathematischer Theorien versuchsweise zu überdecken. Dafür muß der Mathematiker E in h e it vnd S p e z ifik u n te rsch ie d lich e r mathematischer Ansätze kennen, über Erfahrung m it mathematischen "Querverbindungen" verfügen. Die A tiyah -S inger-Indexfo rm e l, d ie zu den " t ie fs te n und härtesten Ergebnissen der Mathematik gerechnet w ird und in Topologie und Analysis w e ite r verzweigt i s t a ls irgende in anderes einzelnes R esu lta t"(F. HIRZEBRUCH) b ie te t v ie l le ic h t ein besonders gutes B eisp ie l fü r e ine solche Einführung in "d ie Mathematik"; Bei a l le r S chw ie rigke it und ihrem ungeheuren Beziehungsreichtum is t d ie Indexformel doch abgrenzbar und so in ih re r Idee und den verwendeten Methoden auch fü r Studenten m it t le re r Semester fa ß lic h .

Ta tsäch lich i s t d ie A tiyah-S inger-Indexform el in den le tz te n 15 Jahren immer

" le ic h te r " und "durchschaubarer" geworden. M it der Aufdeckung t ie f l ie g e n d e r und w e itre ichender Anwendungen (v g l. § I I I . 4) ging in den face tten re ichen immer neuen Darstellungen der M aterie vor allem durch M.F. ATIYAH und I.M . SINGER se lb s t wie etwa in den eigengewichtigen A rbe iten von L. HÖRMANDER und anderen eine k ra f tv o lle methodologische Durchdringung des S to ffes e inher. Die Quellen und B estandte ile der Indexformel sind enger zueinander ge rückt. Im V erg le ich zu [PALAIS 1965], der "k lass ischen" Einführung in d ie Indexform el,haben w ir u .a . die folgenden V o rte ile ;

1. Neben dem ursprünglichen "Kobordismusbeweis" kennen w ir heute zwei w eitere Beweise, wobei w ir h ie r dem "Einbettungabeweia", dem konzeptione ll - vor allem in se ine r d irek ten Verbindung zum Bottschen P e rio d iz itä ts s a tz - e infachsten Beweis der Indexformel fo lgen werden (v g l. § J_IL_3).

2. Die Struktur dea Raumes F der Fredholmoperatoren i s t heute durch den K-theoretisehen B e g r if f des " IndexbUndels" e in e r s te tigen Fam ilie von Fredholmoperatoren (v g l. insbesondere den auf dem Kuipertheorem über die Zusammenzieh- b a rk e it von B" , § beruhenden Satz von A tiyah -Jän ich , § _ ^ ) und durch das

VTl

v j i : VoauioaX VonuionX IX

p rak tische B e is p ie lre s e rv o ir der Wiener-Hopf-Operatoren (v g l. § 1.9) v ie l übers ic h t l ic h e r geworden.

3. In der Theorie der Faeudodifferentialoperatoren (und Fourie rin teg ra lop e - ra to re n , v g l. den Satz von K uran ish i, § I I .3 ) e r fu h r der fü r d ie Analysis e l l i p t is c h e r Operatoren w esentliche Kalkül der " In te g ra ld if fe re n tia lo p e ra to re n " eine grundlegende Klärung.

4. Der Bottsche F er iod iz itä tsa a tz , der das topo log ische Fundamentaltheorem der Indextheorie b i ld e t , konnte in der "K-Theorie m it kompaktem Träger" v ie l e in facher fo rm u lie r t werden, wobei auch sein fu n k tio n a la n a ly tis c h e r Kern, näml ic h der Indexsatz von Gochberg-Krein fü r W iener-Hopf-O peratoren,deutlicher h e rv o r tra t.

VORGESCHICHTE DIESES BUCHES. Das Buch geht au f einen Fortb ildungskurs fü r Ma- the m a tik leh re r (Santiago de C h ile , 1971) zurück. Sein Konzept wurde später in weiteren Vorträgen, in Gastvorlesungen an den U n ive rs itä te n K a ise rs la u te rn -T rie r und Marburg (Einladungen von B. GRAMSCH und M. BREUER) sowie in Seminaren in B ie le fe ld m it Studenten des d r it te n S tudienjahres e rp rob t.

ZUR STRUKTURIERUNG. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Topologie der allgemeinen linea ren Gruppe GL(N,t) , der Geometrie d iffe re n z ie rb a re r Mannigfa lt ig k e ite n und dem Lösungsverhalten e l l ip t is c h e r D iffe ren tia lg le ichun gen ? Wie lä ß t s ich der a n a ly tisch d e f in ie r te "Index" durch topologische Invarianten aus- drUcken? Bei der Nachzeichnung der Lösung dieses E inzel prob!ems, die zum besseren Verständnis n ic h t in g röß te r A llgem e inhe it und n ic h t in geodätischer Kürze e r f o lg t , s te h t d ie D arste llung der gegensätzlichen Methoden, d ie bei der Bezwingung des Indexproblems ineinander g re ife n , im M itte lp u n k t. Ich habe mich bemüht, h ie r an einem Brennpunkt der Mathematikentwicklung unseres Jahrhunderts die le itenden Ideen, den tie fe re n Grund und d ie weiteren Aussichten der Verschmelzung von Topolog ie und A na lys is , d iese r zwei getrennten Hauptgebiete der Mathematik, herausz u s te lle n . Zur Bewältigung der großen S to ffU lle wurde bei den geringen Vorkennt

n issen, d ie man erfahrungsgemäß nur voraussetzen kann, e in gemischter Lösungsansatz gewählt. Der größte T e il des benötigten S to ffe s w ird ausführlich und mit a llen Detaila bewiesen:

Schlangenlemma der kohomologisehen Algebra I.2 .B

A d d i t iv i tä t des Index bei Komposition I.2 .C

Die kompakten Operatoren b ilde n e in abgeschlossenes zweis e it ig e s Ideal K in der Banachalgebra B der beschränkten Operatoren im H ilbertraum I.3 .C

Rieszsches Lemma index I d + K = 0 , K€) C I.4 .A

Atkinsonsche D arste llung des Raumes F der Fredholmopera- toren durch d ie Gruppe der E inheiten der "C a lk ina lgebra"B/K I.5 .A

Lokale Konstanz des Index I.5 .C

Wegweiser Zusammenhang der E inheitengruppe ß I . 6 .A

Kuipertheorem [X ,ß ’' ] = 0 I.5 .B

K onstruktion des Indexbündels e in e r s te tig e n Fam ilie vonFredholmoperatoren I.7 .B

A tiyah-Jän ich : [X ,F ] ^ K(X) I.7 .C

Indexformel fü r d is k re te Wiener-Hopf-Operatoren I.9 .E

Satz von Vekua Uber den Index sc h ie fw in k lig e r Randwertsysteme I I . I . G

Existenz von c"-Zerlegungen der Eins I I . 2 .B

Satz von Kuranishi über d ie D arste llung a llgem einerer "F o u rie rin te g ra lo p e ra to re n " a ls P se u d o d iffe re n tia lopera toren I I .3 .C

D iffeom orph ie lnva rianz von P seudod iffe ren tia lopera to ren I I . 3 .C

S u r je k t iv i tä t des Symbols I I . 3 .D

Abgeschlossenheit des Raumes der P seudod iffe ren tia lope ra toren b z g l. Komposition und Bildung der formal A d jung ierten I I . 3 .D

Sobolewsätze w’’ ( IR ) c C°( IR) , W ^t " ) ^ )und W^(iR") +-> W^(r " " ' ' )

Die fu n k tio n a la n a ly tis ch e Ordnung eines Pseudodifferen- tia lo p e ra to rs stimmt m it der "ana ly tischen" se ine r Am

p litu d e überein

I I . 4 .D

I I . 5 .A

Vo^ofvt XI

Hauptsätze über e l l ip t is c h e Operatoren auf geschlossenenM a nn ig fa ltigke ite n (Existenz e in e r "P aram etrix", Regula-r i t ä t der Lösungen, E n d lich ke it und Homotopieinvarianzdes Index) I I . 5 .B

K onstruktion von "In d ika to rb ü n d e l" und "Randisomorphismus" fü r e l l ip t is c h e Randwertsysteme von D if fe r e n t ia l- operatoren I I . 6 .C

Fortsetzung des Symbols eines Systems von e ll ip t is c h e n D iffe re n tia lg le ich u n g e n 1. Ordnung über e in e r berandeten M a n n ig fa ltig k e it X auf das Ballbündel über dem Rand I I . 7 .A

Bottscher P e rio d iz itä ts s a tz I I I . l . E

Indexformel im euklid ischen Fa ll ( fü r Operatoren, dieim Unendlichen d ie Id e n t itä t s ind) I I I . 2 .C

Indexformel fü r e l l ip t is c h e Operatoren auf Hyperflächen I I I . 3 .A

Isomorphie von homotop g e lif te te n Vektorraumbündeln Anhang

[Y ,G L(N ,I)] ^ Vektjj(S (Y)) , wo S(Y) d ie Einhängungvon Y is t Anhang

Daneben finden s ich expoeitorisch e Darstellungen in Aufgabenform m it präzisen Formulierungen, Lbsungshinweisen und Quellenangaben sowie b r e it e ingefüg te zusammenfassende Kormentare , in denen ich versucht habe, das e r fo rd e r lic h e H intergrundwissen b e re itz u s te lle n .

ZUM GEBRAUCH. Das Buch r ic h te t s ich an Leser m it minimalen Voraussetzungen an Wissen und Erfahrung, denen eine bestimmte Sache, die Indexform el, ganz k la r gemacht und denen zug le ich e in gewisses Methodenbewußtsein v e rm it te lt werden s o l l .Es is t a ls Lehrbuch zum Selbststudium und a ls Vorlage fü r e in - b is zweisemestrige Vorlesungen aus diesem Gebiet und über verwandte Themen, vor allem aber a ls Textbuch fü r Seminare m it Studenten m it t le re r Semester geschrieben worden. Die Paragraphen bieten durchweg r e la t iv abgeschlossene Themen, so daß s ie gut zur Durch

arbeitung an e inze lne studentische Arbeitsgruppen vergeben werden können, d ie s ich bei gewichtigeren Paragraphen zur Bearbeitung der einzelnen U nterabschnitte w e ite r u n te rte ile n s o ll te n . Für die Abhandlung der einzelnen Paragraphen muß man im Seminarplan je w e ils m it e in b is v ie r Vorträgen von 60 b is 90 Minuten Dauer rechnen. Erfahrungsgemäß kommt man bei geeigneter Auswahl in zwei Semestern m it dem S to ff durch - b is zur Indexform el. Eine angemessene D arste llung der ganzen Anwendungsb re ite der A tiyah-S inger-Theorie d ü rfte dagegen im Rahmen eines normalen Mathematik

studiums kaum möglich se in . Das Eigengewicht der un tersch ied lichen Anwendungsgeb ie te i s t zu groß. Es em pfieh lt s ich daher, s ich bei der A rb e it m it Studenten auf einen einzigen Anwendungsbereich - entsprechend den vorhandenen Vorkenntnissen und weiterreichenden Forschungsinteressen - zu konzentrieren und d o rt exemplarisch und d e ta i l l ie r te r a ls in unserer Obersicht in § I I I .4 die Beziehungen zur Index

formel herauszuarbeiten.

DEFINITION DER VORKENNTNISSE. Wir setzen d ie folgenden Vorkenntnisse voraus;1. Grundbegriffe der linearen Algebra (Vektorräume, lin e a re Abbildungen, Ma

tr iz e n r in g e , Determinanten) imd der r ee llen Analysis (o ffene , abgeschlossene, kompakte Mengen, s te t ig e und d iffe re n z ie rb a re Funktionen, In te g ra l b e g r if f - und zwar spätestens fü r §§ 8-9 auch d ie G rundbegriffe des Lebesguein tegra ls). V ie lle ic h t m it Ausnahme des Lebesgueintegrals gehört d iese r S to f f zur S tandardausbildung des 1. S tudienjahres. Für einen S te ilk u rs im Lebesgueintegral verweisen w ir auf [HIRZEBRUCH-SCHARLAU 1971, 43-51] oder [TRIEBEL 1972, 680-684].

2. B e g r if f des komplexen separablen Hilbertraums (S ka larprodukt, Schwarzsche Ungleichung, Norm, V o lls tä n d ig k e it , O rth o g o n a litä t, orthogonale Basis, Orthogona lp ro je k tio n auf abgeschlossene Unterräume und Id e n tif iz ie ru n g eines H ilb e r t raumes m it seinem Dualraum vermöge des S kalarproduktes). Die genauen D e fin itio nen und Sätze m it vo lls tänd igen Beweisen f in d e t man "ü b e ra ll" in elem entarer Form, siehe z.B. [ACHIESER-GLASMANN 1954/1968, 1-26 und 50-52] oder [DIEUDONNE 1974,

Kap. V I] oder [HIRZEBRUCH-SCHARLAU 1971, 83-93] oder [JÖRGENS 1970, 36-40] oder [TRIEBEL 1972, 81-90].

3. Das Prinzip der offenen Abbildung, wonach jede s te t ig e Abbildung von einem H ilbertraum auf einen anderen o ffen i s t , a lso o ffene Mengen auf offene Mengen abb i ld e t . (Dazu gehört auch a ls K o rro la r der "Satz vom inversen O perato r", wonach d ie Umkehrabbildung e ine r b ije k t iv e n s te tig en linea ren Abbildung von einem H i l bertraum in einen anderen w ieder s te t ig i s t ) . Einen vo lls tänd igen Beweis f in d e t man z.B . in [HIRZEBRUCH-SCHARLAU 1971, 22 und 39 -41]; in etwas anderer Form aber auch in [ACHIESER-GLASMANN 1954/1968, 5 3 f, 65f und 126] und in [TRIEBEL 1972,

199-201].4. E inige wenige S tandard resu lta te aus der elementaren Theorie gewöhnlicher

D ifferentialgleichungen. A lle w esentliche In form ation f in d e t man z.B. in [ERWE 1961, 88-102] in den Abschnitten über "L in ea r homogene D iffe re n tia lg le ic h u n g s systeme m it konstanten K o e ffiz ie n te n " und "L ineare D iffe re n tia lg le ich u n g e n n - te r Ordnung m it konstanten K o e ff iz ie n te n ". Wir werden im E in z e lfa ll noch zusä tz liche

L ite ra tu rh inw e ise geben.

5. B e g r if f der differem ierba ren M annigfaltigkeit. Zwar werden w ir in einem S te ilk u rs die fü r uns w ich tigs te n D e fin itio n e n und Sätze m it ausführlichen L i te ra turh inweisen zusammenstellen. Besser i s t aber, wenn der Leser - z.B . aus dem Studium der quadratischen Flächen (K eg e lschn itte ) in der linea ren Algebra - zumindest übere ine gewisse räum liche V ors te llung und R echen fe rtigke it (Koordinaten

wechsel) ve rfü g t.

X II VomoAt

DANKSAGUNGEN. Für d ie " s t i l is t is c h e " Anlage des Buches e r h ie l t ich w ich tige Hinweise von H. DINGES ( F ra n k fu r t) ,K. KRICKEBERG (P a r is ) , W. MARK (Bozen), M. OTTE (B ie le fe ld ) und F. WALDHAUSEN (B ie le fe ld ) . Für d ie k r it is c h e Durchsicht von größeren M anuskrip tte ilen danke ich den Topologen E. BRIESKDRN (B onn/P aris),A. DRESS (B ie le fe ld ) , J. DUPONT (Aarhus) und U. KDSCHDRKE (Bonn/Siegen) sowie den A na ly tike rn G. BENGEL (M ünster), R. BÖHME (E rlangen), L. BOUTET de MONVEL (Grenoble), G. GRUBB (Kopenhagen), S. PROSSDDRF (B e r lin ) und B.-W. SCHULZE (B e r lin ) . Die Korrekturen las E. H0YRUP (Kopenhagen), und Frau Ch. MONKEMÖLLER (B ie le fe ld ) sch a ffte es m it ih re r Schreibmaschine , daß der Autorenvertrag m it nur r e la t iv geringfügigen z e it l ic h e n und umfänglichen Überschreitungen eingehalten werden konnte.

Ganz besonders möchte ich aber an d iese r S te lle M.F. ATIYAH (Oxford) und I.M . SINGER (M .I.T .) fü r die Geduld danken, m it der s ie m ir in den v ie len Gesprächen Immer wieder Auskunft auf meine Fragen gaben, sowie meinem Lehrer F. HIRZEBRUCH (Bonn), von dem ich in d ie Analysis und d ie Topologie e ingefU hrt worden b in .

Inhaltsverzeichnis

Roskllde und B ie le fe ld , im J u li 1977 B. B 0 0 ß

T e il I . Operatoren m it Index

1. Fredho^moperatoren. tiieTorchie matheTmtiacheT Objekte, B eg r iff des Fredholmoperatora............................................................................................ * ...................... 1

2. A lgebraische Eigenschaften. Operatoren von endlichem Rang. Das Schlan- gentemma. Operatoren von endlichem Rang und die Fredholmsche In teg ra l-

3. A na ly tische Methoden. Kompakte Operatoren. Analytische Methoden. Der adjungierte Operator. Kompakte Operatoren. Die klassischen In teg ra l- operatoren ................................................................................................................................. 12

4. Die F redho lm alte rna tive . Das Rieszsche Lemma. Das Sturm-Liouvillesche RandüertpT^hlem....................................................................................................................... 26

5. Die Hauptsätze. Die Calkinalgebra. Störungstheorie. Homotopieinvarianzdes Index ....................................................................................................................................34

6 . Fam ilien von in ve rtie rb a re n Operatoren. Satz von Kuiper. üomotopien von operatonoertigen Funktionen. Der Satz von Kuiper....................................................48

7. Fam ilien von Fredholmoperatoren. Indexbündel. Die Topologie von F. Die Konstruktion des Indexbündels. Der Satz von Atiyah-Jänich. Homotopieund unitäre Äquivalenz.........................................................................................................61

8 . F ourie rre ihen und - In te g ra le (Zusammenstellung der G rundbegriffe ). Fourierreihen. Fourierintegral, tiöherdimensionale F ourierin tegra le ...............81

9. W iener-Hopf-Operatoren. Das B eisp ielreservo ir fü r Fredholmoperatoren. Herkunft und p r in z ip ie lle Bedeutung der Wiener-Hopf-Operatoren. Die Kennlin ie eines Wiener-Hopf-Operators. Wiener-Hopf-Operatoren und harmonische Analyse. Die d isk rete Indexformel. Der System fall. K ontinu ierliches Analogon........................................................................................................................... 88

T e il I I . Analysis au f M a n n ig fa ltig ke ite n

1. P a r t ie lle D iffe re n tia lg le ic h u n g e n . Lineare p a r t ie lle D iffe ren tia lgleichungen. E llip tisch e D ifferen tialgleichungen, Wo kornnen e l l i p t i sche D ifferen tialgleichungen vor. Randwertbedingungen, Hauptfragen der Analysis und das Indexproblem. Numerische Aspekte. Elementare Beis p ie l e ........................................................................................................................................105

2. D iffe re n tia lo p e ra to r« n über M a n n ig fa ltig ke ite n . M otivation. Q ifferen - zierbare M annigfaltigkeiten - Grundbegriffe, Geometrie der C -A bbildungen, Integration auf M annigfaltigkeiten. D ifferen tialoperatoren auf M annigfaltigkeiten. Berandete M annigfaltigkeiten ..................................................128

3. P se ud od iffe ren tia lope ra to ren . M otivation. Kanonische Pseudodifferen-

x n i

Kl\/ I nhcLtt6 veAz eÄ-chyiii

,.147

.174

.185

H aloperatoren . Pseudod-Cfferentialoperatoren auf M annigfaltigkeiten, liäkeTungar^chnitng fü r P seudodifferentialoperatoren .........................................

4. Sobolewräume (S te ilk u rs ) . M otivation. D efin ition , Die Hauptsätze über Sobolewräume, F allstudien ............................................................................................

5. E llip t is c h e Operatoren Uber geschlossenen M a n n ig fa ltig ke ite n . S te tig k e it von Pseudodifferentialoperatoren, E lliptisahe Operatoren...................

6 . E l lip t is c h e Randwertsysteme I (D if fe re n t ia lo p e ra to re n ). D ifferen tia lgleichungen mit konstanten K oeffizien ten . Systeme von D iffe ren tia lgleichungen mit konstanten K oeffizien ten . Variable K oeffiz ien ten .................193

7. E llip t is c h e D iffe re n tia lo p e ra to re n 1. Ordnung m it Randbedingungen. Die topologische Bedeutung von Randvertbedingungen (F a lls tu d ie ). V erallgemeinerungen (h eu r is tisch ) ..............................................................................................203

8 . E llip t is c h e Randwertsysteme I I (Ü b e rb lick ). Das Poissonprinzip. Die Greensche Algebra. Der e l l ip t is c h e F a ll ....................................................................213

T e il I I I . Die A tiyah-S inger-Indexform el

1. E inführung in d ie a lgebra ische Topologie (K-Theon'e). Umlaufzahlen.Die Topologie der allgemeinen linearen Gruppe. Der Ring dev Vektorraum- bündel. K'^Theorie mit kompaktem Träger. Beweis des P eriod izitä tssa tzes von n. B ott.......................................................................................... .................................. 223

2. Die Indexformel im euklid ischen F a ll. Indexformel und B ottp eriod iz itä t.Das Differenzbündel eines e llip tisch en Operators. Die Indexform el...............252

3. Die Indexformel fü r geschlossene M a n n ig fa ltig ke ite n . iHe Indexformel. Vergleich der Beweise: Der Kobordismus-Beweia. Vergleich der Beweise:Der Einbettungsbeweis. Vergleich der Beweise: Der Wärmeleitungsbeweis-,..2 ^ 1

4. Anwendungen (Ü b e rs ich t) . Kohomologisdhe Fassung der Indexformel. Der Systemfall ( t r iv ia le Biindel), B eisp iele für verschwindenden Index.Eulerzähl und Signatur. Vektorfelder auf M annigfaltigkeiten. Abelsche Integrale und Riemannsche Flächen. Der Satz von Riemann-Roch-Hirze- bruah. Der Index e ll ip t is c h e r Randwertprobleme. R eelle Operatoren.Die L efschetzsche Fixpunktformel. Analysis auf symmetrischen Räumen.Weite-re Anwendungen............................................................................................................ 276

V Anhang: Was sind Vektorraumbündel? ........................................................................309

L ite ra tu r .................................................................................................................................326

Symbol V erze ichn is ................................................................................................................ 335

Namenverzeichnis...................................................................................................................342

Sachverzei chni .......................................................................................................................345

Teil I. Operatoren mit Index

"Wenn urvi d i z SzanücoAMmg m a th em otü cfien P K o b lm i n i c k tg t i in g z n uuJJL , 40 t i z g t häa^-ig dzA. G ^ n d d a x ln , da£> vüji noch yiLckt den d tlg m tin z fL Z n G z i ic h t ip u n k t eA kam it haben , von dem aui do6 vo^ g zZ zg -tt PKobZzm nuA. iz ti z in z z ln t 6 G t ie d e-cncA K eX tz \;zAiM/idXiA P xob ltm z z u c h z l r U . " (P . HILBERT, I9ÜÜ)

1. Fredholmoperatoren

A. HIERARCHIE MATHEMATISCHER OBJEKTE "In der Hierarchie von Zweigen der Mathematik sind gewisse Punkte erkennbar^ wo ein bestimmter Übergang Von e in er Abstraktionsebene zu einer höheren s ta tt fin d e t . Die e rs te Ebene mathematischer Abstraktion führt uns zu dem Konzept der einzelnen Zah- len in der Bezeichnung z.B. durch arabische Ziffern^ jedoch noch ohne jed es unbestimmte Symbol zur Darstellung ein er u n spezifiz ierten Zahl. Dies i s t die Stufe e l e mentarer Arithmetik; in der Algebra nutzen wir unbestimmte Buchstabensymbole^ betrachten aber nur einzelne ganz bestimmte Korrbinationen d ieser Symbole, Die nächste Stufe i s t die der Analysis3 und ih r Grundbegriff i s t die b e lieb ig e Abhimgigkeit e in er Zahl von einer oder von mehreren anderen: die Funktion. Noch d i f f i z i l e r i s t der Zweig der Mathematik^ dessen Ausgangskonzept die Überführung e in er Funktion in eine andere i s t , oder, wie man auch sagt, der Operator. ”

So chara kterisierte Norbert VIENER die ''Hierarchie” mathematischer Objekte [WIENER 2922,1]. Ganz grob kann man nun sagen: Klassische Fragestellungen der Analy s is z ie len vor allem auf Untersuchungen innerhalb der d ritten oder v ierten Stufe; das g i l t für die r e e ll e und komplexe Funktionentheorie wie auch, was uns h ier besonders in te r e s s ie r t , fü r die Funktionalanalysis der D ifferen tialoperatoren mit ih rer Konzentration auf E xisten z- und E indeutigkeitssätze, Regularität der Lösungen, asymptotisches oder Rand-Verhalten, wobei die Forschung im A rbeitsprozeß zu immer kom plizierter zusammengesetzten, allgemeineren Operatoren fo r ts c h r e i t e t , ohne die Fragestellung m eist p r in z ip ie ll zu ändern; die A rbeit b le ib t hauptsächlich auf q u a lita t iv e Ergebnisse g er ich te t .

Demgegenüber waren es Topologen, wie versch iedentlich von Michael ATIIAÜ vermerkt, die sich bei der topologischen Untersuchung algebraischer M annigfaltigkeiten systematisch q u a n tita tive n Fragestellungen, der Bestimmung qu an titativer Maße qualitativen Verhaltens, der D efin ition g loba ler topologischer Invarianten, der Berechnung von S chnitt- und Dimenaionszahlen z.B . zuuandten und so wieder die starre Trennung der "hierarchischen Ebenen" auf b r e ite r Front durchbrachen und Beziehungen zwischen den Ebenen, vor allem von der zweiten und d ritten Ebene (algebraische Fläche = N u l lS t e l l e n m e n g e e in er algebraischen Funktion) zur ersten , aber auch schon von der v ierten Ebene (Laplaceoperatoren auf Riemannschen M annigfaltigkeiten,

1

2 I . Ope/L- • .Aen mU. Index

Cauchy-Riemann-Operatoren^ Hodge-Theovie) zur ersten zum eigen tlichen Forschungs- gegenatand machten.

Diese le tz te Richtung^ beginnend mit dem Werk von Villicum V,D. HODGE, g e fo lg t X>on Kimihiko KODAIRA und Donald SPENCERj von Henri CARTAN und Jean P ierre SERRÊ von Friedrich HIRZEBRVCH, Michael ATiyAH und anderen, kann man v ie l le ic h t am besten mit dem Stichwort "D ifferen tia ltop o log ie" oder "Analysis auf M annigfaltigkeiten" kennzeichnen. Dabei l i e g t ihr Zusarmenhang und ih re Besonderheit gegenüber der e igen tlichen Analysis a lso darin, "daß - grob gesprochen - die Analytiker sich mit kom plizierten Operatoren und einfachen Räumen b esch ä ftig ten (oder nur einfache Fragen s te l l t e n ) , während die algebraischen Geometer und Topologen sich nur mit einfachen Operatoren beschäftigten , aber ziem lich allgemeine M annigfaltigkeiten untersuchten und ver fe in er te Fragen s te l l t e n " . {ATI^AH 1968b, 57]. Wie sehr der Gegensatz zwischen quantitativen und qu alitativen Fragestellungen und l'fethoden über den h ier sk izz ierten Bereich hinaus durchgehend a ls eine Triebkraft der Mathematikentwicklung angesehen werden muß, läßt s ich z.B . b e i [BRIESKORN 1974, 278-283] und in der dort angegebenen L iteratur nachlesen.

Dabei hatten Mathematiker wie F ritz NOETÜER und Torsten CARLEMANN schon in den zwanziger Jahren im Zusammenhang mit Integralgleichungen das rein funktionalanalytische Konzept des "Index" eines Operators en tw ickelt und seine wesentlichen Eigenschaften f e s tg e s t e l l t . Aber "obwohl die Konstruktion d ieses Zweiges der Funktionalanalysis"(die Theorie der Fredholmoperatoren) "nicht die Entwicklung ganz besonderer M ittel benötig t, entw ickelte e r sich sehr langsam und e r fo rd erte die Anstrengungen sehr v ie le r Mathematiker" {GOCÜBERG-KREIN J957, ISS], Und obwohl sow jetische Mathe- matiker wie I l ja N. VEKUA schon Anfang der 60er Jahre auf den Index e ll ip t is c h e r D ifferentialgleichungen gestoßen waren, finden wir in dem z it i e r te n Hauptwerk über Fredholmoperatoren noch keinen Hinweis auf diese Anwendungen. Erst nach dem programmatischen Aufsatz von I s ra il M. GELFAND (1959), der ein system atisches Studium e ll ip t is c h e r D ifferentialgleichungen unter diesem quantitativen Gesichtspunkt fo r derte und die Theorie der Fredholmoperatoren mit ihrem Satz über die Homotopiein- Varianz des Index (s .u .) dabei als Ausgangspunkt nahm, nach den sich anschließenden Arbeiten von Michail S. AGRANOWITSCH, Alexander S. DYNIN, A isik I . VOLPERT und sch ließ lich nach den Arbeiten vor allem von Michael ATHAH, Raoül BOTT, Klaus JKNICH und Isadore M. SINGER wurde es klar, daß die Theorie der Fredholmoperatoren w irklich grundlegend fü r eine Vielzahl qu an tita tiver Berechnungen i s t , ein echtes K ettenglied in der Verbindung der höheren "hierarchischen Ebenen" mit der untersten, den Zahlen.

B. BEGRIFF DES FREDHOLMOPERATORS. Sei H e in (separab le r) komplexer H ilb e r t-

raum und B die Banachalgebra (z .B . [HIRZEBRUCH-SCHARLAU. 29 ]) der beschränkten

linea ren Operatoren T : H H

1.1 f^zäholmopeAcitoAtn - 3

m it der Operatornorm

|jT|| := sup { lTu| ; lu | < 1} < “ ,

wo |**1 d ie vom Skalarprodukt in d u z ie rte Norm in H i s t .

Ein Operator T £ ß he iß t Fredholmoperator, wenn

Kern T := {u ; u £ H und Tu = 0} und

Kokern T := H /B ild T

beide endlich-d im ensiona l s ind . Das h e iß t: Die homogene Gleichung Tu = 0 b e s itz t

nur end lich v ie le l in e a r unabhängige Lösungen, und fü r d ie Lösbarke it der inhomoge

nen Gleichung Tu = v i s t es e r fo rd e r l ic h , daß v e in e r endlichen Anzahl l in e a re r

Bedingungen genügt (s iehe dazu unten Aufgabe 3.1 b) . Wir schreiben T £ F und de

f in ie re n den Index von T durch

index T := dim Kern T - dim Kokern T .

Für die Dimension von Kokern T sagt man auch Kodimension von B ild T = T(H) =

= {Tu ; u € H} oder auch Defekt von T . □

ANMERKUNG: Entsprechend können w ir d e fin ie re n , wann ein beschränkter lin e a re r Operator T : H H’ Fredholmoperator h e iß t, wobei H und H' H ilberträum e - oder Banachräume - oder allgemeine topologische Vektorräume s ind- Wir werden dann d ie entsprechenden Räume m it B(H, H ') und F(H, H ') bezeichnen. Um aber e ine r In f la t io n von Bezeichnungen und Symbolen in diesem A bschn itt entgegenzuwirken, werden w ir uns soweit wie möglich nur m it einem einzigen H ilbertraum H und seinen Operatoren beschäftigen. Die Übertragung auf den allgemeinen F a ll H + H‘ bedarf

durchweg ke iner neuen Argumente.A lle Ergebnisse lassen s ich auf Banachräume übertragen und e in G roß te il auch auf

Frecheträume. E inze lhe iten z.B . in [PRZEWORSKA-ROLEWICZ, 182-318]. Wir werden davon aber keinen Gebrauch machen und uns ganz auf d ie H ilbertraum -Theorie beschränken können, deren Abhandlung z.T . weitaus e in facher i s t .

( M o tiv ie r t durch d ie A nalysis auf symmetrischen Räumen - m it Gruppenoperation G - i hat man auch Operatoren b e tra c h te t, deren "Index" keine ganze Zahl, sondern ein 'E lem ent des von den Charakteren end lich-d im ensiona le r Darstellungen von G erzeug-

I ten D arste llungsringes R(G) [ATIYAH-SINGER 1968a, 519f] oder noch a llgem eineri eine D is tr ib u t io n auf G i s t [ATIYAH 1974, 9 -17 ], Diese weitgehend analoge Theorie , werden w ir h ie r aber n ic h t behandeln - und auch n ic h t d ie Verallgemeinerung der

Fredholmtheorie auf d ie d is k re te S itu a tio n der von-Neumann-Algebren, wie s ie - m it

1

^ I . OpeAxUoAzn mit Index

ree llw ertigem Index - in [BREUER 1968/1969] zuerst durchgeführt wurde.

komplexer[AUFGABE 1; | L‘̂ (Z ^ ) sei der Raum der Folgen c = (c ^ , Cj ,̂

Zahlen m it quadratisch-summierbaren Absolutbeträgen, also

In=o

9

L ( 2 ^ ) i s t in n a tü r lic h e r Weise ein H ilbertraum (v g l. unten § 8 ) . Zeige, daß d ie

verschiebende Abbildung

sh ift"^ : c »• ( 0 , c^, C j,

und d ie abschneidende Abbildung

s h i f t " ; c H- (Cj^, c^, C j , . . . )

Fredholmoperatoren sind m it in d e x (s h ift '' ') = -1 und in d e x (s h if t ') = +1 .

WARNUNG: So wie w ir uns L ^ (Z ^ ) = l “ a ls Limes der endlich-d im ensionalen Vek- torräume l" ' , m -> “ , v o rs te lle n können, lä ß t s ich s h i f t von Endomorphismen des l ' " approxim ieren, d ie bezüglich der kanonischen Basis des c"' durch d ie Mat r i x

V»gegeben s ind . Beachte, daß Kern und Kokern d iese r Endomorphismen e ind im ensiona l, ih r Index a lso N ull i s t . (V g l. unten Aufgabe 2 .1 ).

Wieder eine andere S itu a tio n haben w ir , wenn w ir den H ilbertraum L^(2Z) betra ch ten , a lso Folgen c = ( . . . c _ 2 . c^, C j, m it

l^o l^

und darauf den entsprechenden s h ift-O p e ra to r , der a l le Fo lgeng lieder um eine S te lle w e ite rrü c k t und damit je t z t b i je k t iv i s t , a lso den Index Null ha t. □

2. Algebraische Eigenschaften. Operatoren von endlichem Rang

[AUFGABE 1 : | Für end lich-d im ensionale Vektorräume macht der B e g r if f Fredholm- operator wenig S inn , w e il dann jede lin e a re Abbildung e in “ Fredholmoperator" i s t und sein Index n ic h t mehr von seinen "K o e ffiz ie n te n " (z .B . den Zahlen in M a trix form ) abhängt, sondern nur von der Dimension der Räume, zwischen denen d ie Abbildung o p e r ie r t. Genauer: Zeige, daß jede lin e a re Abbildung

T : H H' ,

1.2 AlgebA.aiic/ie BLge.nicha(,tzn. OpzfLOXßtizn von zndtcckeM Rang 5

wo H und H' endlich-d im ensionale Vektorräume, einen Index

index T = dim H - dim H'

b e s itz t . TIP: Man macht s ich zunächst d ie n a tü r lic h e , w eil a llgem einer geltende Vektorraum-Isomorphie H/Kern T - B ild T k la r und kommt dann (H, H' e n d lich d im ensional!) zu der aus der linea ren Algebra bekannten Bestimmungsgleichung

dim H - dim Kern T = dim H' - dim Kokern T .

WARNUNG: W ollte man m it den Dimensionen von H und H' gegen • gehen, so e rh ie lte man nur d ie Formel index T = ■» - “ . Wir benötigen dann also eine zusätzlic h e Theorie , um d iese r D iffe renz einen bestimmten Wert zu geben. □

[AUFGABE 2 : 1 Betrachte fü r zwei Fredholmoperatoren F : H ->■ H und G : H' H'

d ie d ire k te Summe

F S G : H e H ' - » H 8 H' .

Zeige, daß dann F S G Fredholmoperator i s t m it

index F S G = index F + index G .

TIP : Zunächst rechnet man nach, daß Kern F 9 G = Kern F S Kern G und

B ild F 9 G entsprechend. Dann z e ig t man d ie Isomorphie

H 9 H 7 B ild F 9 B ild G = H /B ild F 9 H '/B ild G .

WARNUNG: F a lls H = H' , könnten w ir auch d ie einfache (n ic h t-d ire k te ) Summe

F + G : H H

betrach ten, die aber i . a . kein Fredholmoperator i s t . Setze etwa G := -F . □

[AUFGABE 3 : | Zeige m it algebraischen M it te ln , daß d ie Komposition G o F zweier

Fredholmoperatoren F : H ->■ H' und G : H' -» H" wieder e in Fredholmoperator i s t .

TIP: Welche Ungleichung g i l t zwischen

dim Kern G o F und dim Kern F + dim Kern G

und zwischen

dim Kokern G o F und dim Kokern F + dim Kokern G ?

WARNUNG: Warum g i l t i . a . n ic h t d ie G le ichh e it? Trotzdem lä ß t s ich aber d ie Kettenregel index G o F = index F + index G beweisen, w e il s ich bei de r D iffe re n z bildung d ie Ungle ichheiten herausheben. Anders a ls sonst meist in der Mathematik,

̂ I . Op^,-^o/ie.n mtt JndzK

wo wie z.B . beim Beweis der Kettenregel fü r d if fe re n z ie rb a re Funktionen d ie uns hauptsächlich in te ressierende Formel a ls Nebenprodukt aus dem Beweis der n ic h t sehr aufregenden allgemeineren Aussage, daß d ie Komposition d iffe re n z ie rb a re r Abbildungen d if fe re n z ie rb a r i s t , a b fä l l t , muß man h ie r a lle rd in g s zum Nachweis der Formel etwas w e ite r ausholen und entweder m it fu n k tio n a l ana ly tischen H ilfs m it te ln d ie to pologische S tru k tu r ausnutzen (siehe unten Aufgabe 3_^) - oder d ie a lgebra ische Argumentation ve rfe in e rn , was w ir je t z t tun w o llen . □

A. DAS SCHLANGENLEMMA. Wir erinnern an einen G rundbegriff der "Diagrammjagd":

H] ,̂ H j, . . . sei ein System von Vektorräumen und T|̂ : H|̂ -► Hj^^j sei fü r jedes

k = 1 ,2 , . . . eine linea re Abbildung. Wir nennenTj T j T

Hl Ĥ ^ Hj

eine exakte Sequenz, wenn fü r a l le k

B ild = Kern .

Insbesondere bedeutet dann (wobei 0 einen 0-dimensionalen Vektorraum bezeichnet)

Ti0 — ► exakt : Kern T j = 0 , a lso Tĵ in je k t iv

T i— ► H ̂ — ► 0 exakt : B ild T j = H, , a lso s u r je k t iv

exakt : Hj ä Hj

0 ^ H, H, ^ H, 0 exakt ; H, ^ H,/H, und H, ^ H, 9 H, .

[SATZ 1 ($chlangen1emma)T| Wenn in dem folgenden Diagramm von Vektorräumen und

linea ren Abbildungen d ie Spalten exakt, die P fe ile kommutativ (a lso jF = F ' i und

qF' = r “ p) und die einzelnen Zeilen Fredholmoperatoren s ind , dann g i l t

Index F - index F' + index F" = 0 .

0 0 BEWEIS: (Vgl. auch d ie algebra ische S ta n d a rd le h rb u ch lite ra tu r, z.B .

F , tMAC LANE, § I I . 5 ] ) . Wir führen den Beweis in zwei A bschnitten.

pi 1. H ier wollen w ir zeigen, daß d ie folgende Sequenz

0 Kern F ^ Kern F' ^ Kern F"

-► Kokern F -► Kokern F' Kokern F" ->• 00 0

{ " )

exakt i s t . Dafür müssen w ir zunächst e rk lä re n , wie d ie einzelnen

1.2 klge.bnalic.he. ELgzvu,cha{,tzn. OpuAotonen von zndtichm Rang 7

"P fe ile " d e f in ie r t s ind . Aufgrund der Kom m utativitä t des Diagramms sind die A b b il

dungen Kern F -

Hj -► Hj -► g ib t es dann u e Hj m it iu = u ' .

Fu = 0 . Das i s t aber k la r , da jFu = F 'iu = F 'u '

I . ÜpeAotoA.en mi-t Index

B le ib t zu zeigen, daß

0 und weil j in je k t iv .

ANMERKUNG: Bevor w ir zum 2. A bschn itt des Beweises übergehen, wollen w ir eine kurze Pause e in legen : Es i s t ganz in te re ssa n t, daß man, fü r H' = H 9 H" und i = j bzw. p = q d ie kanonische Inklusion bzw. P ro je k tio n , d ie Summationsregel aus Aufgabe 2 zu rü cke rh ä lt. Die exakte Sequenz (* ) z e r f ä l l t dabei, wie d o rt g e ze ig t, in zwei T e ile

0 -V Kern F -»• Kern F' ^ Kern F" ->■ 0 und

0 ■» Kokern F -» Kokern F' Kokern F“ ->■ 0 .

Im allgemeinen F a ll haben w ir dagegen n ic h t mehr

dim Kern F ' = dim Kern F + dim Kern F“und dim Kokern F' = dim Kokern F + dim Kokern F"

sondern müssen d ie Wechselwirkung (Kern F" ->■ Kokern F) m itbe rücks ich tigen .Vom topologischen Standpunkt i s t das Konzept des Index eines Fredholmoperators

eine gewisse Vereinseitigung des allgemeinen Konzepts der E u le rc h a ra k te r is tik x(C) eines Komplexes

C: ' r +1 ' r -1" r -1 V -2

r-2 r-3

von Vektorräumen und linea ren Abbildungen (m it T|̂ o = 0) m it endlichen E e tt i- zahlen

8|̂ = dim Kern T|^/B ild ,

wobei Kern T|^/B ild d ie k -te Homologie H|^(C) genannt w ird . Vorausgesetzt,daß a l le Zahlen und d ie Summationsgrenzen end lich s ind , de fin ie re n w ir dann

x (C ) ( - 1 )^

also

fü r

index F = x(C)

• 0 ,C; o - » o - » h £ h - ^ o

wo Cg = Cj = H und Ĉ . = 0 sonst, a lso

H2 (C) = Kern F und Hj(C) = Kokern F .

Das i s t der Grund, warum w ir h ie r im Beweis von Satz 1_ den aus der Topologie bekannten Argumenten (s iehe [GREENBERG, lOOf] = [EILENBERG-STEENROD, 5 2 f]) fo lgen können, m it denen d o r t das "A d d itio n s -" oder "Klebetheorem"

x ( C ) - x ( C ’ ) + x ( C 7 C ) = 0 ,

1.2 Alge.bKcUAc.hz ELge.nichaf,te.n. ÖpeAatoKzn von e.ndtichem Rang 9

bewiesen w ird (siehe dazu auch A bschn itt I I I .4 .0 ) . Insbesondere i s t ( * ) nur ein S p e z ia lfa ll der "langen exakten Homologiesequenz"

- H|^ l̂(C7C) -> H|̂ (C) - H(,(C) - H| (̂C7C) - H| .̂j(C) H|^_j(C) - , ( « )

[GREENBERG, 57 f] = [EILENBERG-STEENROD, 125-128].Ein V o rte il d ieser etwas allgemeineren D ars te llung wäre es, daß w ir d ie Exakt

h e it von ( * * ) nur an d re i aufeinanderfolgenden S te llen m it vom Index k unabhäng ig e r Argumentation beweisen müssen - und n ic h t an sechs S te lle n , wie bei unserer "ve re in fach ten " Betrachtung, bei der w ir uns auf Komplexe der Lange zwei beschränkt

ha tten . Doch zurück zu unserem Beweis;2. H ie r wollen w ir fü r jede exakte Sequenz

•» A_ ^ 0...

end lich-d im ensionaler Vektorräume d ie Formel

( 1)

E ( - 1 )^ k=l

dim A. 0

a b le ite n . Dazu beobachten w ir zunächst, daß fü r r h in lä n g lich groß ( r > 3) exakte Sequenz (1) durch d ie exakten (Beweis!) Sequenzen

die

und0

0 A^ - A^ ^ B ild (A^-* A^) ^ 0

B ild (Aj-> A^) A3 ^ . . . ^ A^ ^ 0

( 2 )

( 3 )

in dem Sinn "e rs e tz t" werden kann, daß die a lte rn ie rend e Dimensionssumme von (1) auf d ie a lte rn ierenden Dimensionssummen der exakten Sequenzen (2) und (3) zurückge füh rt werden kann, d ie jede nur noch eine Lange < r-1 haben. Ober v o lls tä n dige Induktion nach r i s t a lso unsere Formel bewiesen, wenn s ie fü r r = 1, 2, 3

r ic h t ig i s t .

r = 1 r = 2 r = 3

t r i v i a l , w e il dann auch k la r , weil dann also 0 + A also

sein muß.

■'1Ag - A3 - 0 exakt; auch k la r , weil dann A3 = A^/A j

dim A3 = dim A j - dim Aj

Damit i s t der 2. A bschn itt und durch Kombination m it dem 1. A bschn itt das Schlangenlemma bewiesen. Ta tsäch lich haben w ir v ie l mehr bewiesen, daß nämlich immer, wenn wenigstens zwei der d re i Abbildungen F, F ‘ , F" einen endlichen Index haben, dann auch d ie d r i t t e einen endlichen Index h a t, fü r den dann d ie Schlangenformel

g i l t . n

[AUFGABE 4T] Zeige im Anschluß an Satz ^ und Aufgabe daß

index G 0 F = index F + index G .

TIP: Betrachte das nebenstehende Diagramm,

wobei

iu ;= (u, Fu)

jv := (Gv, v)

p(u , v ) := Fu - V

q(w, v ):= w - Gv . o

10 I . Op^liUone.n mix Index

0

— ^ !■

IPH'I0

‘’ lH"

B. DPERATOREN VON ENDLICHEM RANG UND DIE FREDH0LM5CHE INTEGRALGLEICHUNG.

[AUFGABE 5: | Zeige, daß fü r jeden Operator K : H -ie.n von e.ndtLohem Rang 11

durch Zurückspie len auf e in System von n lin e a re n Gleichungen in n Unbekannten, wobei n := dim h . Dafür macht man s ich k la r , daß je d e r Operator K von endlichem

Rang d ie Form

Ku .1^ < u. u. > V.

m it festem U j........ u^, v ^ , . . . ,V j^ £ H b e s itz t (beachte d a fü r, daß a l le s te tig e n Funktio n a le in der Form < --.U jj > geschrieben werden können). Ob d iese r "d ire k te “ Weg, wie e r a u s fü h r lich z .B . in [SCHECHTER, 88-91] aufgeschrieben i s t , w ir k l ic h transpare n te r a ls der K u n s tg r iff m it der Schlangenformel i s t , hängt e in bißchen von der Perspektive ab. Während beim ersten Weg der springende Punkt, nämlich d ie Verwendung von Aufgabe ^ fü r Gleichung (1) s tä rke r zugesp itz t und von der übrigen formalen Argumentation k la r abgetrennt i s t , finden w ir im zweiten konstruk tive ren Weg eher e ine Verschmelzung von Kern und Verpackung. Dabei I s t a lle rd in g s das ja n ic h t ganz t r i v ia le Riesz-Fischer-Lemma keine Belastung in den F ä lle n , wo K schon, wie im

folgenden B e is p ie l, in de r gewünschten e x p liz ite n Form gegeben i s t .

[AUFGABE r r j Beweise fü r d ie lin e a re Fredholmsche In teg ra lg le ichu ng zw e ite r A r tfb

ii(x ) + G (x,y) u (y ) dy = h (x )

m it ausgeartetem (P rodukt-) Gewicht

G (x ,y )= j^ f . ( x ) g .(y )

bei festem a < b re e ll und f ^ , g^ quadratisch summierbar auf [a ,b ] die " Fred-

h o lm a lte rn a tive " : Entweder b e s itz t d ie In teg ra lg le ichu ng fü r jede gegebene rechte2 2 S e ite h e L [a ,b ] eine e indeu tig bestimmte Lösung u e L [a ,b ] , oder d ie homo

gene Gleichung (h = 0) b e s itz t eine n ic h t id e n tisch verschwindende Lösung. Dabei

i s t d ie Anzahl l in e a r unabhängiger Lösungen der homogenen Gleichung g le ich der An

zahl lin e a re r Bedingungen, d ie an h zu s te lle n s in d , damit d ie inhomogene Gleichung

lösba r w ird .2

TIP: Betrachte au f dem H ilbertraum L [a .b ] den Operator Id + K , wo

Ku = I < u, g^ > f^ , und wende Aufgabe ^ an. Für die In te rp re ta t io n der Dimension

des Kokerns siehe unten, Aufgabe 3 . Ib . □

ANMERKUNG: Man mag s ich daran s tö ren , daß bei dem h ie r vorgeschlagenen Lösungsweg fü r Aufgabe ^ das Ergebnis so u n v e rm itte lt m it einem T ric k aus der Schlangenformel he rauspurze lt. Ta tsäch lich kann man index I d + K auch "zu Fuß" ausrechnen

12I . OpzA.ato^e.n mcC Index

3. Analytische Methoden. Kompakte Operatoren

A. ANALYTISCHE METHODEN. Mit den le tz ten beiden Aufgaben sind wir an d ie Grenze unserer b ish er rein algebraischen krgxmentation gestoßen, b e i der wir a lle s auf die elementare Theorie der Auflösung von n linearen Gleichungen mit n Unbekannten zurückfuhren konnten. Tatsächlich war es aber der GrenzUbergang n , die Überwindung der Beschränkung auf Methoden der linearen Algebra b e i g le ic h z e it ig e r f o r t währender Orientierung an ihren Fragestellungen und Ergebnissen, der die vor allem beim Studium der Integralgleichungen e r fo lg te Herausbildung der Funktionalanalysis markiert.

Emst HELLINGEE und Otto TOEPLITZ haben schon 1927 in ihrem Enzyklopädieartikel "Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlichvielen Unbekannten" betont, daß geradjs " in d ieser Ide& der Analogie mit der analytischen Geometrie und allgemeiner überhaupt in der Idee des Übergangs von algebraischen Tatsachen zu solchen der Analy s is . . . der Sinn der Lehre von den Integralgleichungen ( l i e g t ) " {UELLINGEH-'i'OEF- LITZ, 1243]. In einem knappen h istorischen Überblick wird dort g eze ig t, wie das Bewußtsein von diesen Zusammenhängen in Jahrhunderten voransehritt, s e i t Daniel BER- NOULLI die schiyCngende Saite a ls Grenzfall eines Systems von n Massenpunkten behandelt ha tte:

"Orsus itaque sum has m edita tiones a corporibus duobus f i l o f l e x i l i in data d is ta n tia cohaerentibus; postea t r ia consideravi moxque quatuor, e t tandem numerum eorum d is ta n tiasqu e qualescunque; cumque numerum corporum in f in itu m facerem, v id i demum naturam o s c i l la n t is catenae sive aequalis s ive inaequa lis c ra s s it ie i sed ubique pe rfec te f l e x i l i s . " '*’ )

Dieses Konzept dös Grenzübergangs bedeutet fü r die Fredholmsche Integralgleichung von Aufgabe 2.6 die Zulassung allgem einerer nich t-ausgearteter Gewichtsfunktionen

j die sich dann durch ausgeartete (z.B. polynomiale) Gewichte approximieren lassen. Solche Gewichte sp ielen eine große Rolle in v ielen Anwendungen, vor allem b e i der Behandlung von D ifferentialgleichungen mit Randwertaufgaben, wie wir unten sehen werden.

Für d ie h ier en tw ickelte Theorie der Fredholmoperatoren müssen w ir entsprechend den B eg r iff des Operators von endlichem Rang aufgeben und verallgemeinern (zum Be-- g r i f f des kompakten Operators, s .u . ) , wobei nun in Zusammenhang mit dem Grenzübergang auch topologische, a lso S tetigkeitA etrachtungen w esentlich werden, die das Konzept des Fredholmoperators e rs t v o l l zum Tragen bringen. Diesen Betrachtungen wollen wir uns nun zuWenden.

) Petropol Comm. £ (17Z2/23, ed. 2738), 208-122. Zu deutsch; "Bei diesen Überlegungen bin ich somit ausgegangen von zwei über eine biegsame Saite in gegebenem Abstand zusammenhängenden Körpern; danach betrach tete ich d rei, hernach v ie r und sch ließ lich eine b e lieb ig e Anzahl von ihnen mit b elieb igen Abständen', und e r s t a ls ich die Anzahl der Körper unendlich machte, da b e g r i f f iah vollends das Wesen der schwingenden und überall biegsamen K ette von g le ich er oder auch untersch iedlich er D ick e ." (B .3 .)

1.3 A nalytuckz UiXkodzn. Kompato Qpe.AjoXo ê.n 13

[AUFGABE l : j Beweise fü r F : H H Fredholmoperator:

£ B ild F i s t abgeschlossen

b Es lassen s ich e x p liz i te K r ite r ie n angeben, wann e in Element aus H in B ild F

l ie g t . Sei nämlich n = dim Kokern F ; dann g ib t es € H , so daß fü r

a l le w £ H g i l t :

w e B ild F < w, < w, u^> = 0 .

TIP fü r a: N a tü rlich i s t B ild F a ls Untervektorraum von H abgeschlossen be

züg lich der A dd ition und der M u lt ip l ik a t io n m it komplexen Zahlen. H ie r aber in te r

e s s ie r t uns d ie topologische Abgeschlossenheit, daß also der Übergang zu Grenzwerten

n ic h t aus B ild F herausfUhrt. Das hat weitre ichende Konsequenzen, da nur abge

schlossene Unterräume d ie V o lls tä n d ig k e it des gesamten H ilbertraum s und damit d ie

Existenz von Orthonormalbasen erben (z .B , [HIRZEBRUCH-SCHARLAU, 1 2 ]) . T r iv ia l is t

d ie Abgeschlossenheit aber fü r end lich-d im ensionale Unterräume, was man so aus

schlachten kann:

Da Kokern F = H / B ild F von e n d lich e r Dimension, lassen sich V p . . . , v ^ e H

find en , deren Klassen in H / B ild F eine Basis b ild e n . Die lin e a re H ülle h von

v ^ , . . . , v n i s t dann e in algebraisches Komplement von B ild F in H . Betrachte

nun die Abbildung F' : H @ h H m it F '(u , v) ;= Fu + v . F' i s t l in e a r , su r-

je k t iv und wegen der Beschränktheit von F s te t ig , a lso ( “ P rin z ip der offenen Ab

b ildu ng “ ) o ffe n . Folgere d ie O ffe nhe it von H^F(H) = F'(H@h ^ HQ{0}) .

TIP fü r b: A ls abgeschlossener Teilraum von H i s t B ild F se lb s t e in H ilb e r t

raum und b e s itz t also eine abzahlbare Orthonormalbasis w^, W2 , . . . Setze nun

;= V. - P v ., wo wie oben, i = l , . . . , n und P : H -»■ B ild F d ie P ro jek tion

Pu := I < u , w. > w. .j= l ̂ ^

u ^ , , . . , u ^ b ilde n dann eine Basis fü r (B ild F)"'’ , das orthogonale Komplement von

B ild F in H .

Aus optischen Gründen kann man d ie noch m it dem Erhard-Schmidtschen

Verfahren orthonormieren oder o .ß .d .A , schon a ls o rthonorm ie rt ansehen und e rh ä lt

so m it w^, «2 » eine abzahlbare Orthonormalbasis fü r H . □

14 l . Oj.fmtotie.n m it Ind^x

IAUFGABE 2 : | Beweise erneut d ie Kettenregel

index GoF = index F + index G

fü r Fredholmoperatoren F : H ->■ H' und G : H' H" .

TIP: ln Abwandlung von Aufgabe 2 _ ^ m it ih re r re in algebraischen Argumentation

s o ll an d iese r S te lle von der in Aufgabe la^ erhaltenen Abgeschlossenheit des B ildes

ausgegangen und d ie in geübte Technik der orthogonalen Komplemente ins Spiel

gebracht werden. Vgl. z.B . [GOCHBERG-KREIN 1957, 195], □

K e tr iv ia l oder n ich t -tr iv ia l i s t die A bgeschlossenheit des Bildes eines Operato rs , die fü r Operatoren von endlichem Rang und fü r su rjek tiv e Operatoren s e lb s t verständlich und fü r Fredholmoperatoren in Aufgabe 2a bewiesen wurde? G ilt etwa fü r a lle (linearen und beschränkten} Operatoren die Abgeschlossenheit des Bildes? Die Antwort i s t nein , wie das folgende Gegenbeispiel e x p l iz i t z e ig t . Vir werden w eiter unten sehen, daß sogar a lle kompakten Operatoren mit nicht-endlich-dimensionalem Bild solche Gegenbeispiele sind.

IAUFGABE 3 : | Betrachte im H ilbertraum H m it Orthonormalsystem e ^ .e ^ .e ^ , . . .

den Operator

Au

Zeige, daß B ild A n ic h t abgeschlossen i s t .

TIP: O ffe n s ic h tlic h i s t A je d e n fa lls l in e a r und beschränkt (

und fe rn e r haben w ir fü r B ild A das K rite riu m

?) .

v e B i l d A * * J j < v ,e . > e . £ j■J J

Damit fo lg t fü r

und

,2 < v ,e . >

1

daß V g £ H v B i l d A und v^ £ B ild A . (Der a lte T r ic k ; [ konverg ie rt fü r

a > 1 , also z.B . fü r a = 1 + 1/n , aber d iv e rg ie r t fü r a = 1 .) Um s c h lie ß lic h

zu beweisen, daß die Folge {v^^} ta ts ä c h lic h gegen v^ ko n ve rg ie rt, b e trach te t

1. 3 h .oJüjtU che. UeXkodcn. Kompanie. Ope^iatoA,en IS

I I ' 'o - ^nl" 1 - V

j=l 7 jNun i s t zwar k la r , daß fü r jedes j

a lso dann insbesondere " ''n

0 fü r n

~> 0 . Siehe auch [JÜRGENS, 54]. Um aber

zu zeigen, daß Null fo lg e i s t fü r n ■ muß man etwas genauer ab

schätzen und dabei ausnutzen, daß zum einen I - j b e lie b ig k le in , a lso sagenj'^Jo J

w ir k le in e r a ls ein t gemacht werden kann - und daß andere rse its fü r nnh in lä n g lic h groß (so groß, daß ( 1+e)” i j^^)

V T - 1 fü r

B. DER ADJUNGIERTE OPERATOR. Wir wollen j e t z t noch w eitere Folgerungen aus der Abgeschlossenheit des Bildes eines Fredholmoperators ziehen und führen dafür den B eg r iff des "adjungierten Operators" e in . Dabei geht es darum, die Unsyrmetrie zwischen den B egriffen "Kern" und "Kokern" - oder in anderen Worten zwischen der Theorie der homogenen Gleichung (Fragen der Eindeutigkeit der Lösungen) und der Theorie der inhomogenen Gleichung (Fragen der Existenz der Lösungen)_su besei^i^en, indem mm den Kokern ein es Operators a ls Kern eines in g e e i ^ e t e r Weise "adjungier- ten " w eiteren Operators d a r s te ll t .

Vor einem vergleichbaren Problem steh t bekanntlich die p ro jek tiv e Geometriemit der D u alitätsth eorie, wo man. einmal den Raum von Punkten und andererseits von Ebenen sich a u sgefü llt denkt und entsprechend eine Gerade als Verbindung zweier Punkte oder als Schnitt zweier Ebenen darstellen kann. So wie in der analytischen Geometrie fü r die technische Behandlung dualer Aussagen das Konzept des Übergangs von e in er Matrix (a^^) zu ih rer "transponierten" (a^^) - oder (a^^) bei komplexen K oeffizien ten - en tw ickelt worden is t , können wir j e t z t auch h ier fü r Operatoren (=unendliche Matrizen) dasselbe Konzept mit Erfolg anwenden:

[AUFGABE 4:7 Zeige, daß au f dem Raum B(H) der linea ren beschränkten Operatoren

des H ilbertraum s H in n a tü r lic h e r Weise eine isom etrische (a n t il in e a re ) In vo lu tio n

8 (H) 8 (H)

*) SPERIIER, E. ; Einführung in d ie Analytische Geometrie und Algebra. Zweiter T eil. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1963, S. 378-187.

i ä 'E S I

16 l . OpeAotofLe.n mit Index

d e f in ie r t i s t , d ie jedem T £ 8 (H) den ad jung ie rten Operator T" € B(H) der

g e s ta lt zuordnet, daß fü r a l le u ,v e H

*< u ,T V > = < Tu,v > .

TIP: Daß T*v fü r jedes v e H w o h ld e fin ie r t i s t , i s t k la r , da u h- < Tu,v >

s te tig e s linea res Funktional au f H , a lso nach dem D arste llungssatz von Ernst

FISCHER und F r ie d rich RIESZ [HIRZEBRUCH-SCHARLAU, 86 ] ausdrückbar durch genau e in

Element von H , was w ir m it T 'v bezeichnen. L in e a r itä t von T nach Konstruk-

t io n k la r ; beim Beweis der S te t ig k e it (=B eschränktheit) von T zeige genauer

l |T * i l = llT jl , a lso d ie "Iso m e trie " von * .

Ebenso e in fach fo lg t d ie Invo lu tionse igen scha ft T = T , d ie Kompositionsre

gel (ToR)* = R'‘ 0 T" und d ie A n t i l in e a r i tä t (aT + bR)* = äT" + 'Fr'' , wobei die

Querung der Übergang zum kom plex-adjungierten. E inze lhe iten z.B . in [HIRZEBRUCH-

SCHARLAU, 94 f] oder [TRIEBEL, 9 2 f] . Beachte dabei, daß fü r T £ B ( H , H ' ) , wo H'

und H n ic h t notwendig übereinstimmen, der ad jung ie rte Operator T* in ß(H ',H)

l ie g t . □

Kern F

und

[ S M U l l f^ijr F £ F sind d ie u ^ . , . , . u ^ in Aufgabe ^ gerade eine Basis von

also

B ild F = (Kern f’V

Kokern F = Kern F*

BEWEIS: Wir zeigen zunächst, daß u £ (B ild F)^ genau dann, wenn < u,w > =

= < u.Fv > = < F*u,v > = 0 fü r a l le w £ B ild F bzw. a l le v £ H : also

(B ild F) = Kern F* . Durch erneuten Obergang zum orthogonalen Komplement e rha lten

w ir (Kern F*') = (B ild F)'*"'' = B ild F , da B ild F nach Aufgabe la abgeschlossen

i s t . □

Beachte, daß d ie vorstehende Argumentation auch fü r be lieb ige lin e a re und beschränkte Operatoren g ü lt ig b le ib t - wenn nur ih r B ild abgeschlossen i s t . Wir haben dann immer das K rite r iu m , daß d ie Gleichung Fv = w genau dann lösbar i s t , wenn w'̂ Kern F" .

ISATZ 2 :1 Eine beschränkte lin e a re Abbildung F i s t genau dann e in Fredholm-

ope ra to r, wenn Kern F und Kern F* endlich-d im ensional und B ild F abgeschlossen.

1.3 Anaiiftlicke. MeXhode.it. Kompakte OpeJicUofien

In diesem F a ll g i l t

index F = dim Kern F - dim Kern F ,

a lso insbesondere index F = 0 , f a l l s F s e lb s ta d ju n g ie rt i s t (d .h . F* = F) .

BEWEIS: Satz und Aufgabe . □

ANMERKUNG: Beachte, daß Kern F“ f = Kern F ; => i s t k la r ; fü r c= be trach te

u £ Kern f“ F , a lso

17

< F*Fu, v > = < F u , F v > = 0 fü r a l le v £ H ,

a lso auch < Fu, Fu > = 0 und damit u £ Kern F . I s t B ild F abgeschlossen, was

ja fü r F £ F e r f ü l l t i s t , so g i l t auch

B ild F*F = B ild F* .

Dabei i s t c w ieder k la r . Zum Beweis von => be trach te F*v fü r e in v £ H , das s ich in orthogonale Komponenten v « v ’ + v “ zerlegen lä ß t m it v ‘ € B ild F und v “ e Kern F̂ ' ; a lso F v = f’’v ‘ . Auf d iese Weise lassen s ich a lso Kern und Kokern eines be lieb igen Fredholmoperators F durch Kern und Kokern der s e lb s t-

ad jung ie rten Operatoren F'V bzw. FF” d a rs te lle n . □

C. KOMPAKTE OPERATOREN. Bis zu diesem Punkt sind wir mit der Besdhreibicng von F nur BO w eit gediehen, daß F abgeachlossen unter der Komposition und beim Übergang zu Adjungierten i s t und daß insbesondere a l le Operatoren der Form Id + T j wo T ein Operator von endlichem Rang i s t , zu F gehören. Wir werden nun d ieses B ei" S p ielreservo ir durch Grenzübergang zu den ''kompakten Operatoren” k rä ftig ausbauen, wobei wir allerdings zunächst n icht über Fredholmoperatoren des Index 0 hinaus-

kormen,y i r beginnen mit einer Aufgabe, die

- eine einfache topologische Eigenschaft der Operatoren von endlichem Rang hervorhebt,

- allgemeiner eine Charakterisierung der für den Ind exbegriff ao fundamentalen endlich-dimensionalen Unterräume l i e f e r t und so

- die Einführung der ''kompakten Operatoren" v o rb ere itet.

[AUFGABE 5:~| ^ Jeder Operator von endlichem Rang b i ld e t d ie E inheitskugel von H (oder a llgem einer jede beschränkte Teilmenge) auf eine re la tiv-kom pakte T e i l

menge H ab,b Wenn H endlich-d im ensional i s t , dann i s t d ie abgeschlossene E inheitskugel

Bm := { u ; u € H und iu l < 1> kompakt.H **£ Wenn H unendlich-dimensional i s t , dann i s t B̂ ̂ n ic h t kompakt.

!( I . i/peiaioA,en mix Index

TIP zu a und b: Satz von Bernhard BOLZANO und Karl WEIERSTRASS, wonach im iR"

1.3 M -aly tlicke. MzXhockn. Kompafe.-.̂ OpeAotorLe.n 19

(oder c " ) jede abgeschlossene und beschränkte Teilmenge kompakt i s t .

Zu c: Jedes Orthonormalsystem 0^ 6 2 . . . . in H s t e l l t eine Folge in Bĵ

konvergente T e ilfo lg e dar. Wie groB i s t nämlich |e .̂ - e|^l fü r i » k ? □

ohne

Wir bezeichnen nun m it K d ie Menge der lin e a re n Operatoren von H nach H , die d ie o ffene E in he itsvo llkuge l (oder a llgem einer jede be lie b ige beschränkte T e i l menge von H) auf eine re la tiv -kom pakte Teilmenge von H abbilden. Solche Operatoren heißen kompakte (oder ge le g e n tlich auch " v o l ls te t ig e " ) Operatoren und b ilden nach Aufgabe ^ d ie größte Klasse von Qperatoren, d ie s ich ( in diesem Sinn) noch wie Operatoren von endlichem Rang und d .h . wie d ie durch M atrizen d e fin ie rte n Operatoren der linea ren Algebra verha lten .

Mit a llen Risiken räumlicher Anschaulichkeit können wir uns die kompakten Operatoren v i e l le ic h t arr besten als "asym ptotisch” kontrahierende Abbildungen vorstellen^ die im Fall der Operatoren von endlichem Rang d ie Vollkugel auf eine end lich-dimensionale Scheibe und im allgemeinen Fall auf eine spiralförm ige e llip t is c h e

eines kompakten Operators KK = K K) der Wert Ku Eigenwerten X ,, X,

K p rä z is ie r t . Danach läßt sich (im "normalen F all" nach den Eigenelementen U|»U2 * - . . mit den zugehörigen

. als K oeffiz ien ten "entw ickeln", a lsoCD

Ku = y X- < u .Uj > u. . j ^ l J J J

wobei die Eigenwerte s ich b e i 0 häufen und die Eigenelemente ein orthonormales

System bilden.In d irek ter Analogie zur Hauptachsentransformation der Analytischen Geometrie

haben wir a lso fü r die von K d e fin ie r te "quadratische Form" die Darstellung" 2

< Kü,u > = I < U.U. > .j = l J ^

A lle Beweise und die notwendigen Verallgemeinerungen fü r den nichtmormalen Fall fin d et man z.B . in [JÖRGENSj 77-82]^ den h istorischen Hintergrund in {BELLINGER- TOEPLXTZ, §§ 26, 34 und 40] oder kürzer in [KLXNE, 1064-2066].

Wir werden von diesen Ergebnissen keinen weiteren Gebrauch machen. Man mache sich jedoch noch k lar, daß ein Operator K genau dann beschränkt (= s t e t ig ) is t» wenn

in Ordern Punkt u € H

lim K(u+v) = K(u) ,| v l^>0

und daß dagegen K genau dann kompakt i s t , wenn bezüglich eines vollständigen Or~

thogonalsystems e | ,e 2 »--* von H

lim K(u+v) = K(u) ,V

sofern v auch nur komponentemeise gegen 0 geht, wenn a lso zumindest2 ® 2l im < v ,e - > = 0 fü r a lle j - wobei |v | = r (< v .e - >| nich t gegen 0 zu

\l ̂ j= l gehen braucht. XH-es s k iz z ie r t den Zusammenhang, in dem HILBERT die Idee der kompakten und von ihm damals deshalb " v o l ls t e t ig " genannten Operatoren en tw ickelte.

Für unsere Zwecke r e ich t zunächst der folgende

I SATZ 3 : 1^ K i s t "zw e ise it ig e s (n ic h t t r iv ia le s ) Ide a l" in der Banachalgebra E der be

schränkten linea ren Operatoren im separablen, unendlich-dim ensionalen H i lb e r t

raum H .

^ K i s t in B abgeschlossen.

c Genauer: K i s t d ie abgeschlossene H ülle der Operatoren von endlichem Rang,

d K i s t in v a r ia n t un te r * ; d .h . der ad jung ie rte Operator eines kompakten

i s t w ieder kompakt.

Beweis zu a: Nach D e fin it io n sind fü r beschränktes T und kompaktes K die

Qperatoren ToK und KoT e rs t rech t kompakt. Wir haben also

ßoK c K und KoB c K .

W eiter i s t m it K n a tü r lic h auch xK kompakt, wo X e £ . Seien nun K und K'

20 I . OpeAcUaA.e.n mit

kompakt. Zum Nachweis der Kompaktheit von K + K' a rbe iten w ir m it dem "F o lg e n k ri

terium " (siehe oben). Das he iß t h ie r : Ein Operator is t kompakt, wenn d ie B ildpunkte

e in e r beschränkten Folge eine konvergente T e ilfo lg e besitzen . Sei also U j^ .U j....

e ine beschränkte Folge in H . Dann kann man durch zweifache Auswahl eine T e ilfo lg e

Uj ,Uj , . . . f ind en , so daß die Folgen Ku. ,Ku. . . . . und K 'u. ,K 'u . , . . . beide ' l 'Z ’ l ’ 2 ■'l

in H konvergieren, a lso auch d ie Folge (K + K 'lu . , (K + K ')u ................h ^2

S ch lie ß lich i s t t r iv ia le rw e is e je d e r kompakte Operator beschränkt, da das B ild

der E inheitskugel re la tiv -kom pak t und damit e rs t recht beschränkt i s t ; a lso < cz 8 .

Da K nach Aufgabe ^ d ie Operatoren von endlichem Rang umfaßt, und da anderer

s e its nach Aufgabe ^ d ie Id e n t i tä t fü r unendlich-dimensionales H n ic h t kompakt

i s t , f o lg t d ie Behauptung.

Beweis zu b: Sei T £ ß ein Operator in der abgeschlossenen H ü lle von K . Um

zu zeigen, daß es zu je d e r o ffenen Oberdeckung (ohne Beschränkung der A llgem eingül

t ig k e i t [FRANZ, 87] handele es s ich um d ie offenen Kugeln vom Radius e > 0) des

B ildes T(B^) der abgeschlossenen E inheitskugel B^ von H eine endliche T e il-

überdeckung g ib t , führen w ir - wie in solchen S itua tionen ü b lich - einenII IIj - Beweis :

Wir haben uns also ein K £ K zu wählen m it |1T - K|1 < c / 3 und eine Oberdeckung

von K(B^) m it end lich v ie le n Kugeln vom Radius e / 3 , deren M itte lp u n k t w ir m it

K u,........ Ku bezeichnen, wobei n £ N und u , , . . . , u e Bu . Dann b ilden diei m 1 m Hc-Kugeln um TUp...,TU j|^ d ie gesuchte endliche Überdeckung von ; Für jedes

u e B„ lä ß t s ich dann nämlich ein i e { 1 ........ m) find en , so daß iKu - Ku.l < e /3 ,n ' Valso

]Tu - Tu^l < |Tu - Ku| + [Ku - Ku^| + |Ku^ - Tu^|

< E .

Beweis zu c : W ir fragen j e t z t , welche Operatoren s ich a ls Grenzwert e ine r

( in ß) konvergenten Folge von Operatoren von endlichem Rang d a rs te lle n lassen.

O ffe n s ic h t lic h w ird der Grenzübergang i . a . (siehe z.B . d ie folgende Aufgabe 6 ) aus

dem Raum der Operatoren von endlichem Rang hinausfuhren.

1.3 Analytliche. UeXlwde.n. Kompakit OpeAcXo>i^n 21

Sei nun e^ ,e ^ ,e 2 , . . . e in vo lls tän d ige s Orthogonalsystem in H und

«n ̂ [ e „ , , . . , e „ . i ]

d ie O rthogonalp ro jektion von H auf d ie lin e a re H ü lle der ersten n Basiselemente.

Durch dieses “Abschneiden" lä ß t s ich fü r jedes T e 8 eine Folge Q^T , Q2T , . . .

von Operatoren endlichen Ranges d e fin ie re n , d ie punktweise gegen T ko n ve rg ie rt,

d .h .Q^Tu Tu fü r a l le u £ H .

Das bedeutet noch n ic h t, daß d ie Folge QjT, Q j, T , . . . = ® s e lb s t, a lso

in der Operatornorm, gegen T ko n ve rg ie rt. Und ta ts ä c h lic h kann n a tü r lic h n ich t

je d e r beschränkte Operator (es i s t z .B . " 1*̂ 11 = 1 ä lle n) , sondern

nur - wie eben in ^ bewiesen - ein kompakter Operator a ls Grenzwert e ine r Folge

von Operatoren von endlichem Rang, d ie nach Aufgabe ^ insbesondere kompakt s ind ,

a u ftre te n . Es b le ib t zu zeigen, daß fü r jedes K e K d ie Folge (QpK)^ in 8 ge

gen K konve rg ie rt. Dafür wählen w ir w ieder zu jedem e > 0 eine endliche Über

deckung von K(Bj^) m it dem Radius e /3 und den M itte lpunk ten und

dazu passend e in n eM so groß, daß fü r i =

iKUi - Q„Ku.| < f .

Das i s t kein Problem, da ja (Q „)” zumindest "punktweise" gegen d ie Id e n titä 't Id

ko n ve rg ie rt. Damit haben w ir fü r jedes u e B̂^

iKu - Q^Kul < IKu - Ku.| + |Ku. - Q^Ku.| + | Q /u . - Q^Ku|

< e / 3 + e / 3 + e/ 3 ,

wenn i £ { 1 ........ m) geeignet gewählt w ird . Beachte fü r den le tz te n Term, daß

11Q J 1 = 1 . a lso

lQ„Ku. - Q^Kul = lQ„(Ku^ - Ku)l < |Ku ̂ - Ku] .

Damit i s t a lso ||K - Q^K|| < e bewiesen.

Beweis zu d: O ffe n s ic h tlic h i s t der Raum der Operatoren von endlichem Rang inva

r ia n t un te r * , da s ich je d e r solche Operator T (wie oben in der Anmerkung nach

Aufgabe 2.5 bewiesen) in der Form nT = < . . ,U . > V.

22 I. 0},'\̂ iaXoA.zn mit Index

d a rs te lle n lä ß t m it n € IN und ^ ^ {Nachrechnen!)

ft _T = I < . . . v j > Uj ,

also auch wieder von endlichem Rang. Damit können w ir den allgemeinen Fa ll K £K

h ie ra u f zurückspie len. Wir approxim ieren nämlich K durch einn Folge von

Operatoren von endlichem Rang, deren A d jung ie rte dann automatisch K* approxim ie

ren, da (nach Aufgabe

ilTn - K ll(Tn - K) II = ||T^ - K II . □

ANMERKUNG 1: Die Aussagen in £ , ^ und d kann man auch ( f r e i l i c h m it etwas ande rer Beweisführung, v g l. etwa [HIRZEBRUCH-SCHARLAU, 103-105]) auf den allgem eineren Fa ll eines Banachraumes übertragen, n ic h t dagegen Aussage c. Die Suche nach einem Gegenbeispiel, d ie 1973 (P. ENFLO, Acta Math.) zu einem E rfo lg fü h r te , l i e f e r te übrigens v ie le schöne B e isp ie le gerade fü r d ie R ic h tig k e it von ^ im E in z e lfa l l , insbesondere Beweise fü r fa s t a l le wohlbekannten Banachräume, siehe z.B . [JÜRGENS, 190],

ANMERKUNG 2: Da d ie abgeschlossene H ülle eines Idea ls wieder e in Ideal i s t (Beweis t r i v i a l ) und da die Operatoren von endlichem Rang o ffe n s ic h t l ic h e in Ideal in B b ild e n , fo lg t ^ aus c - f r e i l i c h etwas v e rm it te lt und n ic h t so d ire k t wie in dem oben aufgeschriebenen Beweis.

ANMERKUNG 3: Für prak tische Bedürfnisse i s t d ie im Beweis von £ angegebene Folge (QnK)j keine gute Approximation von K durch Operatoren von endlichem Rang, da s ie d ie Kenntnis von K auf ganz H voraussetz t, andere rse its aber m it einem v ö l l ig be lieb igen Orthonormalsystem a rb e ite t , obwohl K häufig (siehe z.B . die folgenden Aufgaben ^ und 7̂ ) schon in e in e r Form gegeben i s t , d ie ganz bestimmte Approximationen nahelegt oder gewisse Orthonormalsysteme - nämlich d ie Eigenelemente von K - ausze ichnet. Dagegen l ie g t d ie numerische Relevanz der oben im Kommentar nach Aufgabe ^angesprochenen "S pek tra ld a rs te llu n g " d a r in , daß dann

n-1QnKu = KQ^u = Xj < u,u^ > Uj ,

wodurch e rs t eine w irk l ic h "s c h r ittw e is e " Approximation e rm ög lich t w ird . □

IAUFGABE 6 : | Zeige, daß der in Aufgabe ^ d e f in ie r te Operator A kompakt i s t .1 2Gib nämlich eine Abschätzung fü r |Au - I ' u ,e - > e J an, d ie von u unab-

j= l ̂ J Jhängig i s t , wenn |u| < 1 . Beachte d ie Schwarzsche Ungleichung

; |u| |e ,| . □

1.3 A nalytlich i HeMiode.n. OpeAoto>i.zn

IAUFGABE 7 : 1 Zeige, daß jede auf [a ,b ] x [a ,b ] quadratisch-summierbare Funk

t io n G einen kompakten Operator K auf dem H ilbertraum (s iehe § B) L ^ [a ,b ] de

f i n i e r t vermöge

(K u)(x) := G (x,y) u (y) dy , x e [a ,b ] .

Dabei sei [a ,b ] ein kompaktes In te rv a ll in R .

TIP: Approximiere nämlich d ie G ew ichtsfunktion G durch Treppenfunktionen und

damit K durch Operatoren von endlichen; Rang der in Aufgabe 2_^ e r lä u te r te n A rt

( In tegra lopera to ren m it "ausgeartetem" Gewicht). Für E inze lhe iten der Argumentation

v g l. [HIRZEBRUCH-SCHARLAU, 116-118) . □

[AUFGABE 8:1 Zeige fü r d ie in Aufgabe d e f in ie r te Abbildung

L ^ ( [a .b ] X [a ,b ] ) K (L ^ [a ,b ])

Die Abbildung i s t l in e a r und in je k t iv .

I s t G d ie G ew ichtsfunktion von K , so g i l t

l|K|| : |G| : = lG (x ,y ) | 2 dxdy)^''^

c Der ad ju ng ie rte Operator K' hat dann d ie G ew ichtsfunktion

G (x ,y ) = G (y,x) .

d Sind Kj und durch d ie Gewichte Ĝ und G2 gegeben, so gehört zu

dem Operator K20KJ d ie Gewichtsfunktion

G (x.y) G2 (x ,z )G j(z ,y ) dz

1 < u ,e j

TIP: L in e a r itä t i s t k la r . Zur I n je k t iv i t ä t braucht man n a tü r lic h (Lebesgueinte-fß fä

g r a l! ) nur G (x,y) dxdy = < 1 , , , K l , j j > zu zeigen, wenn und

1 , , , d ie ch a ra k te ris tisch e n Funktionen auf T e i1in te rv a l1en [o ,ß ] ,

[ y , 6 ] c= [a ,b ] und K = 0 der durch G d e f in ie r te Operator. E inze lhe iten (und

Übertragung auf den F a ll unbeschränkter In te rv a lle ) in [JÜRGENS, 1 6 5 f]. Zum Beweis

von b, £ und ^ muß man je w e ils den Satz von FUBINI über mehrfache In te g ra tio n aus

nutzen. E inze lhe iten z.B . in [JÜRGENS, 166-169). □

Z4 I . Opdfiatofitn mit Index

S elbstverständlich h le ib t die Aussage von Aufgabe r ich tig , wenn wir [a ,b ] durch eine kompakte Untermannigkeit X des euklidischen Baumes R ersetzen und die Beg r i f f e "meßbar” und "sumrrierbar" übertragen. Tatsächlich s p i e l t auch d ie Kompaktheit des Integrationsbereiches Überhaupt keine R olle, da a lle Beschränktheitsbedingungen schon darin stecken , daß die Gewichtsfunktion quadratisch-summierbar i s t . Wir können also s ta t t [a ,b ] insbesondere IR oder nehmen, ohne daß irgendein Argumentbeim Nachweis der Kompaktheit des Integraloperators abgeändert werden müßte. Dasselbe g i l t für Aufgabe 8_ mit der dort fü r den Beweis von a gemachten Einschränkung.

D. DIE KLASSISCHEN INTEGRALOPERATOREN. Integraloperatoren der h ier behandelten A rt, d ie a lso durch auf dem "Produktraum" quadi^atisch-summierbare Gewichtsfunktionen gegeben sind, heißen heute Hilbert-Schmidt-'Operatoren. Mit ih rer Einführung durch den ungarischen Mathematiker Friedrich RIESZ (190?) wurde nich t nur die vorher von Vito VOLTERRA (Turin, 2896), Erik Ivar FREDÜOLM (Stockholm, 1900) und David HILBERT (Göttingen, 1904 f f ) geschaffene Theorie der Integralgleichungen mit s te t ig e r Gewichts funktion verallgem einert, sondern zugleich radikal verein fach t, da die im Zu- saimenhang mit der X?"-Integrationstheorie im Hilbertraum zu führenden Beweise sich sehr v o r te ilh a ft von dem mühsamen Operieren mit der gleichmäßigen Konvergenz im Ba- nachraum der s te tig en Funktionen unterscheiden.

Es gib t f r e i l i c h auch sehr w ichtige Integraloperatoren, deren Gewichtsfunktionen gerade n icht quadratisch-summierbar sind: Das bekannteste B eisp iel i s t die Fouriertransformation (siehe unten § 8 )

f ( x ) = f ( y ) dy

2 2 die L (R) b i je k tiv auf sich s e lb s t abbildet, wobei die "L -Norm" des Gewichts

|e dxdy 1 dxdy

|G ( x ,y ) r dy fü r X £ IR

A lle diese Operatoren haben eine große Bedeutung sowohl in der kinematischen als auch in der stochastischen Modellierung und Lösung e in er Vielzahl von insbesondere physikalischen, technischen und ökonomischen Problemen: Sei es b ei der auf George GREEN zurückgehenden und dann von David HILBERT im großen S ti l w eiterentw ickelten

"stark unendlich" i s t .In einem m ittleren Bereich zwischen diesen beiden in gewissem Sinn ideal-einfachen

Grundtypen ~ den kompakten Hilbert-Schmidt-Operatoren und der in vertierbaren Fouriertransformation - sind d ie "Faltungsoperatoven", insbeso'xdere die "Wiener-Hopf-Ope- ratoren" und andere "singuläre Integraloperatoren" angesied elt, deren Gewichte zwar nicht in L^ liegen , sich aber häufig wenigstens komponentenweise in tegrieren lassen, a lso z.B.

1 .3 A nalytik cJiZ MzXhoden. KompalUc C?pcAatoA.en 25

ro I O ^ Ot-H CT>

-M z:

ro col

■ 01 >- CO I ) -r- O-■ £ I—

6 ^

26 I. c)|̂ c- = 0 ni s t .

Die Aussage heißt "Fredholmalternative", ih re Äquivalenz mit der Aussage Index F = 0 fo lg t aus Satz .

Wir sahen schon^ daß die Fredholmalternative triv ia lerw eise fü r selbstad ju ngier- te (F = F) , aber auch allgem einer fü r normale (F 'F = FF’ ) Fredholmoperatoren g i l t j fern er - in Analogie zur linearen Algebra - auch fü r Operatoren der Form Id + T , wenn T ein Operator von endlichem Rang i s t . Noch w ichtiger fü r v ie le Anwendungen sind die folgenden Operatoren^ fü r die eben fa lls die Fredholmalternative g i l t :

ISATZ 1 (F. RIESZ, 1918):| Für jeden kompakten Operator K i s t Id + K Fred

holmoperator m it verschwindendem Index.

BEWEIS: Approximiere gemäß Satz 3.3c -K durch eine Folge von Opera

toren von endlichem Rang und wähle e in n m it II K - || < 1 . Dann is t

Id + K - in v e r t ie rb a r . Setze nämlich Q := - K und betrachte d ie Reihe

Wegen 1|Q|| < 1 und

kii r rk=o

M kI I Q l : l IIqNi

ZS I . ÖpzA£itOKe.n mX Index

B. DAS STURM-LIOUVILLESCHE RANDWERTPROBLEM. wollen Satz I bzw. Aufgabe I nun auf eine klaseiache Randwertaufgabe aus der Theorie der gewöhnlichen D ifferen tialgleichungen anwendent d ie zunächst eti>as i^nühersiahtlich i s t . Beginnen wir mit einem dynamischen System von endlich v ielen Freiheitsgraden^ das durch ein System gewöhnlicher D ifferen tialgleichungen beschrieben wird.. Solche "ideal einfachen" Mod e lle benutzt man in der Hirmelsmechar.'.k zur Berechnung der 'Planetenbewegung^ fü r die Untersuchung von Pendel und Kreisel^ bei der ökonometrischen Simulation w irtsch a ftlich er Vorgänge und b e i der Behandlung v ie le r anderer d isk reter schwingender Systeme . V iele mathematische Probleme sind dabei noch ungelöst,aber man weiß dann wenigstens^ daß zu jedem Satz Anfco^gswerte genau eine Lösungskurve gehört, daß das System a lso bei gegebener D ifferen tialgleich un g (mit e in ig er maßen "vernünftigen” K oe ffiz ien ten ) durch die Kennzeichnung seines Zustands zu einem einzigen Zeitpunkt vollstän dig determ iniert i s t . Das enscheidende mathematische H ilfsm ittel sind dabei die E xisten z- und Eindeutigkeitssätze von Emile PICARD und Rudolf IIPSCHIHZ. Siehe z.B . [ERl^j 50-63) oder [UNESCO, 264-270].

Eine andere Situation haben wir b ei kon tinu ierlich ausgebreiteten schwingungsfähigen Systemen wie b ei der Schwingung ein er Saite, eines ela stischen Stabes, bei e le k tr isch e n SchH-ngungen in Drähten, akustischen Schwingungen in Röhren, b e i der Wärmeleitung, Värmeausbreitung und anderen Diffusionsvorgängen und insbesondere bei der s ta tis tisch en Behandlung von Gleichgewichts- und Bewegungsvorgängen. Für v ie le solcher Vorgänge hat man p a r t ie l le D ifferentialgleichungen (siehe unten T eil I I ) z.B. der Form

( 1)

die man unter geeign eter Voraussetzung durch "Trennung der Variablen"

U (x ,t) = u(x) i)/(t)

auf eine gewöhnliche D ifferen tia lg leich un g, z.B.

u" + ru = f (2 )

mit r , f gegeben und u gesucht zurückführen kann, wobei (2) in der Regel von der Bewegungsgleichung (1 ), d ie m eist nur in einem abgeschlossenen und beschränkten Geb ie t g i l t , Randwertbedingungen erb t, z.B.

u (0 ) . u ( l) = 0 . ( 3 )

E inzelheiten dazu in {COVRANT-EILBERT I , 245-250] oder [UNESCO, 193],Wir bleiben bei diesem B eisp iel, das h istorisch übrigens auf das ß em oullisch e

"Brachistochrone"-Problem und allgem einer auf die Anfänge der Variationsrechnung und der geometrischen Optik schon bei Pierre de FEB4AT zurückgeht [KLINE, § 2 4 ] . Zunächst s e i nun r = 0 . O ffen sich tlich g ib t es dann fü r d ie zu (2) gehörende homogene D ifferen tialgleichung ( f = 0) nur die tr iv ia le Lösung u = 0 , wenn die Randwertbedingung (3) e r f ü l l t sein s o l l . In diesem Fall hat man dann eine Greensche

1.4 P-ce fAe-dfiolmaZtzAnatl^c 29

Funktion (siehe z.B. [COURANT-HILBERT I , 302-337]]y die einem fü r jedes (stückweise s te t ig e ) f eine Lösung u der D ifferen tialgleich un g (2) mit den Randbedingungen (3) l i e f e r t und zwar durch die Formel

M x .y ) f ( y ) dy . (4)

In unserem Fall i s t

u(x) =

k (x ,y ) ='x ( y - l )

y ( x - l )fü r

X < y

X > y

ICOURANT-HILBERT I , 3221.Sei nun f = 0 und r eine p o sitiv e T eelte Zahl, Die altgemeine Lösung von (2)

hat dam die Form

u = .

d.h. fü r jed e der beiden Randbedingungen von (3) fü r sich al haben wir eine eindimensionale Lösungsschar mit

c^ /c^ = -1 fü r u(D) = 0

und

■ Anfangswert genommen

Cj/C2 = fü r u ( l)

Die Lösungsscharen stimmen überein genau dann, wenn / r ein Vielfaches diesem Fall g ib t es neben der Nullfunktion noch eine w eitere Lösung

In

g e n e n D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g

u" + ru = 0

u der homo-

( 5 )

d ie d ie Randwertbedingungen (2 ) e r f ü l l t . Wir haben a lso anders a ls im Lipschitzachen Eindeutigkeitssatz (siehe z.B . [ERWE, 59]) h ier eine gewöhnliche D iffe re n tia lg le ichung zw eiter Ordnung "mit zwei Bestimmungsstücken" (die aber j e t z t nicht in einem "Anfangspunkt" kon zen triert, sondern über zwei Punkte v e r t e i l t s ind ), deren Lösung

nich t eindeutig bestimmt i s t .Eine w eitere Besonderheit i s t in diesem Fall, daß im Unterschied zum Picardschen

E xistenzsatz IeRWE, 54] nicht immer eine Lösung der inhomgenen D ifferen tialgleich un g(2) mit den Bedingungen (3) zu e x is tie r e n braucht, z.B . wenn die Einflußkraft f g le ich der Eigenschwingung i s t , oder allgem einer [COURANT-HILBERT I , 307], wenn

f ( x ) Ug(x)dx ♦ 0 .■'0

Man sprich t dann von Resonanz oder Rückkopplung und meint damit, daß das schwingende System unter dem Einfluß ein er äußeren Kraft in sta b il wird. N ichtexistenz e in er Lösung besagt also n ich t, daß etwa gar nichts geschieh t, sondern i s t aus der Sicht des Anwenders ein Indiz fü r die M öglichkeit k r itis ch er Phänomene: Kurzschluß in einem Draht, Einsturz einer Brücke, extreme und im Laser auch technisch nutzbar gemachte

r

50 I . CpthxU.o^e.n mit Index

Bündelung von Strahlen usw. (Auch aus der Sicht des Mathematikers besagt die Niaht- ex isten z e in er Lösung ja nur, daß keine Lösung des vorgegebenen bzw. nachgefragten Typs e x i s t i e r t , in unserem B eisp iel keine heeahränkte, zweimal stückweise s te t ig differen zierbare Funktion - o f t ein Hinweis fü r notwendige UmfomTulierungen oder Weiterentwicklungen der Fragestellung.)

Wir merken noch an, daß im anderen F all, wenn die Lösungsscharen mit u(0) = 0 und die mit u ( l ) = 0 nich t iibereinstirrmen, d ie Gleichungen (2) und (2) immer ein deutig lösbar eind und daß man eine Greensche Funktion konstruieren kann, die die Wesentliche Information von (2) und (3) enthält und fü r jed e rech te S eite f die Löeung in Integralform (4) l i e f e r t {COVRAHT-HILBERT I , 304-306].

Fassen wir d ie beiden Fälle zusammen, eo erhalten wir eine Aussage nach Art der Fredho Ima 11 em a tiv e :

Entweder b e s i tz t b ei den vorgegebenen Randbedingungen (3) die D ifferen tia lgleichung (2) fü r jed e gegebene rech te S eite f eine eindeutig bestimmte Lösung U , oder die homogene Gleichung (S) b e s i t z t eine nicht identisch verschwindende Lösung. Im zweiten F alle i s t fü r die Lösbarkeit des durch (2) und(3) gegebenen Problemes notwendig und hinreichend, daß mit den Lösungen der homogenen Gleichung (S) fü r die rech te S eite f die Orthogonalitätsbeziehung

f ( x ) u^(x ) dx = 0•'0

e r fü l l t i s t .Die Analogie mit der Fredholm altem ative fü r Integralgleichungen (Aufgabe 1) i s t

nich t äuJierlich. Der Zusammenhang wird hei E indeutigkeit der Lösung durch die Greensche Funktion wie in (4) h e r g es te llt . Aber auch wenn nicht immer Lösungen ex is tier en - bzw. die Lösungen nicht eindeutig sind, versteh t es d ie klassische Theorie, mit "Greenschen Funktionen im erw eiterten Sinne" zu a rbeiten . Wir wollen diese Fragen hier nicht ins Einzelne verfolgen und verweisen auf die o .a . L iteratur. Der grundlegende methodische und uns in diesem Zusammenhang besonders in teressieren de Gesichts^ punkt läßt sich v ie l le ic h t am besten so p rä zisieren :

{AUFGABE 2 : | Betrachte d ie D if fe re n tia lg le ic h u n g

u “ + pu ' + qu = f

In te rv a ll [0 ,1 ] m it p ,q , f G C °[0 ,1 ] und m it den Randbedingungen

u ( 0 ) = a und u ( 1 ) = b .

Zeige, daß d ie In teg ra lg le ichung

V - Kv = 9 ( . . . )

1.4 P ie f/is-dholmaMiAncutive.

äqu iva len t zu dem Randwertproblem ( * ) , (•” '') wenn

f lKv(x)

31

G (x,y) :=

G (x ,y )v (y ) dy . x € [ 0 , 1 ]

f y ( q ( x ) ( l- x ) - p (x )) y ; xfü r

[ ( i - y lC q ix ) * + p (x )) y t ^

ph ' + qh - f und

a ( l- x ) + bx (a lso h ‘ = b-a) .

TIP: Zeige, daß jede zweimal s te t ig d iffe re n z ie rb a re Lösung u von {* ) und ( * * ) eine s te t ig e Lösung v ;= u" von (••'■**) und umgekehrt jede s te t ig e Lösung

V von ( * * * ) vermöge

9 : =

h(x) : =

wobei

u(x) := h(x) +

k (x ,y ) :=

k (x ,y )v (y ) dy ,

x ( l - y ) x < yfü r

y ( l - x ) x > y

eine zweimal s te t ig d iffe re n z ie rb a re Lösung u von (* ) und ( * * ) l i e f e r t . E inze lhe iten in tJöRGENS, 126f] . Zum ersten Nachrechnen und um den Zusammenhang m it den Vorbemerkungen nich t zu v e r lie re n , e m p fieh lt es s ich zunächst q = 0 , p konstant

und p o s it iv und a = b = 0 zu setzen. □

A.NMERKUNG-. M it ftufgabe ^ fo lg t aus der in Aufgabe 2 bewiesenen Äquivalenz d ie "F redho lm a ltem ative " fü r das Randwertproblem. Genauer: Id -K i s t Fredholmoperator auf dem H ilbertraum L ^ [0 ,1 ] und es g i l t index Id-K = 0 . Damit g i l t d ie Fredholmal-te rn a tiv e bezüglich L ^ [0 ,1 ].T a ts ä c h lic h g i l t nach dem "Satz vom abgeschlossenen Graphen "und nach einem R e gu la ritä tssa tz (siehe auch unten §§ I I . 5 / I I . 8 - h ie r ze ig t s ich übrigens, daß d ie Banachraumtheorie echt schw ieriger a ls d ie H ilbe rtraum theorie is t),w onach jede quadra tisch summierbare Lösung der Gleichung ( * « ) s te t ig i s t . sofern d ie rechte S e ite s te t ig i s t , damit die F redho lm a ltem ative auch in C ° [0 ,1 ]: Entweder i s t dim Kern Id-K = 0 und damit(wegen index Id-K = 0 und fo lg l ic h dim Kokern Id-K = 0) d ie Gleichung (*>■■*) fü r jedes g £ C °[0 ,1 ] e indeu tig lösba r, und daher auch das Randwertproblem (* ) , ( * * ) fü r jedes f e C [0 ,1 ] und b e lie bige Randwerte a ,b oder d ie homogene Gleichung v - Kv = 0 ha t eine n ic h t - t r iv ia le

Lösung.Im zweiten F a ll hat auch d ie ad ju ng ie rte In teg ra lg le ichung w - K"w = 0 eine

n ic h t - t r iv ia le Lösung, d .h . es g ib t e in w e L ^ [0 ,1 ] m it

w(x) = ( 1 -x ) (q(y)y + p(y))w(y) dy

(q(y)(i-y) - p(y))«(y)

32I . OpeAatoA^n mU Index

Wir können nach der oberen bzw. unteren Grenze a b le iten und e rha lten so, daß w s te t ig d if fe re n z ie rb a r i s t und

(q (y)y+p(y))w (y) dy

|+ ( l-x )(q (x )x + p (x ))w (x )■1

(q (y ) ( l- y ) -p (y ) )w (y ) dy

L- x (q (x ) ( l- x ) -p (x ) )w (x )

P(x )w(x) - .... J n

Wir bringen p (x)w (x) au f d ie l in k e S e ite , d iffe re n z ie re n noch einmal und erha lten

(w '-p w )' + qw = 0 . ( * * * * )

ftus de r In teg ra lg le ichu ng fü r w fo lg t fe rn e r w(0 ) = w ( l) = 0 .

Jede Lösung w der homogenen ad jung ie rten In teg ra lg le ichung i s t dam it zug le ich Lösung der fo rm al-ad jung ie rten homogenen D iffe re n tia lg le ic h u n g (* *« * ) m it der homogenen Randbedingung w(0) = w ( l) = 0 . H it fo rm a l-a d ju n g ie rt meinen w ir h ie r , daß2 ----------.V-------fü r a l le u , w £ C [0 ,1 ] m it der homogenen Randbedingung g i l t , daß

,1 f lu ( (w '-p w )’ +qw) dx = (u''+pu'+qu)w dx

'o Jo

i s t , wie man durch p a r t ie l le In te g ra tio n ausrechnet. Dabei haben w ir der Kürze h a lber a l le Funktionen a ls re e llw e r t ig angenommen.

Im zweiten F a ll der Fredholmschen A lte rn a tiv e i s t das Problem ( " ) , ( * * ) genau dann lösba r, wenn (**■•») lösbar i s t , wenn a lso ( * * * * ) eine n ic h t - t r iv ia le Lösung w b e s itz t und wenn < g,w > - 0 ; in ausgerechnete