caractérisation et modélisation des matériaux
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Submitted on 29 Mar 2021
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Caracteacuterisation et modeacutelisation des mateacuteriauxsupraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
Mohamed Elbaa
To cite this versionMohamed Elbaa Caracteacuterisation et modeacutelisation des mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacutera-ture critique Energie eacutelectrique Universiteacute de Lorraine Universiteacute de Laghouat (Algeacuterie) 2020Franccedilais NNT 2020LORR0196 tel-03184464
AVERTISSEMENT
Ce document est le fruit dun long travail approuveacute par le jury de soutenance et mis agrave disposition de lensemble de la communauteacute universitaire eacutelargie Il est soumis agrave la proprieacuteteacute intellectuelle de lauteur Ceci implique une obligation de citation et de reacutefeacuterencement lors de lrsquoutilisation de ce document Dautre part toute contrefaccedilon plagiat reproduction illicite encourt une poursuite peacutenale Contact ddoc-theses-contactuniv-lorrainefr
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Thegravese en cotutelle Ecole Doctorale IAEM-Lorraine
et Universiteacute de Laghouat
Preacutesenteacutee et soutenue publiquement pour lrsquoobtention du titre de
DOCTEUR DE lrsquoUNIVERSITE DE LORRAINE Mention laquo Geacutenie eacutelectrique raquo
Et
DOCTEUR DE lrsquoUNIVERSITE AMAR TELIDJI DE LAGHOUAT Mention laquo Physique des mateacuteriaux raquo
par Mohamed ELBAA
Caracteacuterisation et modeacutelisation des mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute
tempeacuterature critique
Soutenance publique le 21122020 Membres du jury Preacutesident et Rapporteur M Ibn Khaldoun LEFKAIER Professeur Universiteacute de Laghouat
Examinateurs Mme Afef KEDOUS-LEBOUC Directrice de recherche CNRS G2Elab
M Mohamed SIDOUMOU Professeur Universiteacute de Blida
M Keacutevin BERGER Maitre de confeacuterences Universiteacute de Lorraine
M Bruno DOUINE Professeur Universiteacute de Lorraine (Directeur de thegravese)
M Mohamed HALIT Professeur Universiteacute de Laghouat (Directeur de thegravese)
M El-Hadj AILAM Professeur Universiteacute de Khemis Miliana (Co-directeur de thegravese)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- GREEN Groupe de Recherche en Energie Electrique de Nancy Faculteacute des Sciences
amp Techniques BP 239 54506 Vandœuvre-legraves-Nancy Cedex France LPM Laboratoire de Physique des mateacuteriaux universiteacute Amar TELIDJI route de
Ghardaiumla BP G37 (Mrsquokam) 03000 Laghouat Algeacuterie
LESI Laboratoire de lrsquoeacutenergie et des systegravemes intelligents de lrsquouniversiteacute Djilali Bounaama Route de Thegraveniet El-Had 44225 Khemis Miliana Algeacuterie
Avant propos
Les travaux de recherches entrepris dans le cadre de cette thegravese sont le fruit drsquoune cotutelle entre
lrsquouniversiteacute Amar TELIDJI de Laghouat et lrsquouniversiteacute de Lorraine en France Cette cotutelle a eacuteteacute
adosseacutee par un projet PHC-Tassili entre le laboratoire GREEN de Nancy et le laboratoire LESI de
lrsquouniversiteacute de Khemis Miliana
Je tiens agrave remercier tout drsquoabord du cocircteacute Algeacuterien Dr Ali MAHIEDDINE directeur du LESI de
mrsquoavoir inteacutegreacute dans le laboratoire et du cocircteacute franccedilais Pr Noureddine TAKORABET et Pr Bernard
DAVAT respectivement directeur et ex-directeur du GREEN de mrsquoavoir accueilli au sein du GREEN
durant toute la peacuteriode de reacutealisation de cette thegravese lors de mes seacutejours scientifiques agrave Nancy et de
mavoir permis de mener la majoriteacute de mes travaux de recherches dans les meilleures conditions
Je tiens agrave remercier aussi mes encadreurs de la partie algeacuterienne Pr Mohamed HALIT et Pr
El-Hadj AILAM drsquoavoir bien accepteacute drsquoencadrer cette thegravese et de la partie franccedilaise Pr Bruno
DOUINE initiateur du sujet de la thegravese pour son soutien et essentiellement pour sa supervision et son
aide indispensable pour bien mener surtout la partie expeacuterimentale de cette thegravese
Mes grands remerciements vont au Dr Keacutevin BERGER qui agrave dirigeacute et suivi le deacuteveloppement de
de la partie modeacutelisation et simulation par MATLAB et COMSOL Je le remercie profondeacutement pour
ses remarques pertinentes son aide majeure et preacutecieuse et eacutegalement pour avoir accepteacute de faire
partie du jury de thegravese
Je remercie Pr Ibn Khaldoun LEFKAIER pour mavoir fait lhonneur de preacutesider le jury de
soutenance de cette thegravese doctorale surtout pour sa patience et pour sa disponibiliteacute
Jrsquoadresse eacutegalement mes remerciementsagrave Mme Afef LEBOUC-KEDOUS Directrice de
recherche CNRS G2Elab et Pr Mohamed SIDOUMOU pour avoir accepteacute drsquoexaminer le preacutesent
travail
Je voudrais exprimer mes remerciements les plus sincegraveres au Dr Salah-eddine BENTRIDI et Dr
Mohamed BOUCHENAFA pour leurs encouragements et leurs conseils le long de cette thegravese
Un grand merci agrave tous les membres du laboratoire GREEN pour lrsquoagreacuteable ambiance de travail
Je remercie AREZZOUG T Lubin S MEZANI M Hinaje H MENANA S LAMALE et tous les
doctorants du GREEN sans oublier mon collegravegue de bureau Y STATRA ainsi agrave tous mes collegravegues
du laboratoire LESI et de lrsquouniversiteacute de Khemis Miliana
Ma profonde reconnaissance srsquoadresse agrave mes parents qui mrsquoont inlassablement encourageacute lors de
la preacuteparation de cette thegravese
Et enfin Je tiens agrave remercie infiniment la maman de mes enfants Chakib Issam et la petite
Anya pour sa patience et pour mrsquoavoir encourageacute durant la peacuteriode de preacuteparation de la thegravese Crsquoest
gracircce agrave elle que jrsquoai reacutealiseacute aujourdrsquohui mon recircve
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Table des matiegraveres Introduction geacuteneacuteralehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4
Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoarthelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7
I1 Historique de la supraconductiviteacutehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8
I2 Grandeurs caracteacuteristiques des supraconducteurshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11
I21 Tempeacuterature critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11
I22 Champ magneacutetique critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13
I221 Supraconducteurs Type Ihelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13
I222 Supraconducteurs Type IIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14
I23 Densiteacute de courant critique Jchelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15
I24 Surface critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17
I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18
I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19
I32 Supraconducteur YBa2Cu3O7-δhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20
a- Preacutesentationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20
b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23
133 Supraconducteur MgB2 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24
a- Preacutesentationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24
b- Structure cristalline de MgB2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25
I4 Modegraveles des supraconducteurs helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26
I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26
I411 Preacutesentation du modegravele helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26
I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long
notion de peacuteneacutetration complegravetehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)helliphelliphelliphelliphellip 30
I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et nhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 31
I5 Meacutethodes drsquoaimantation helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32
I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32
I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC) helliphelliphelliphelliphelliphellip 33
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I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization
(PFM)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 37
I51 Meacutethode eacutelectrique helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 37
I52 Meacutethode magneacutetiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 38
I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 38
I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur
le champ de peacuteneacutetration helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de
lrsquoexposant-n et Jchelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille helliphellip 43
I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et
BPhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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I6 Objectifs de la thegravese helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 48
Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit
ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphellip
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II1 Introductionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50
II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveseshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 51
II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53
II31 Reacutegion I helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53
II32 Reacutegion II helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 54
II33 Reacutegion III helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55
II34 Reacutegion IV helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55
II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II4 Conditions de passages entres interfaceshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II41 Condition drsquointerface agrave r=R3helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II42 Condition drsquointerface agrave r=R2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57
II43 Condition drsquointerface agrave r=R1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57
II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobinehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59
II6 Reacutesultats analytiques et discussionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 60
II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en preacutesence
drsquoune pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 67
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II72 Conditions de passages entres interfaceshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II721 Interface agrave r = R4helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II722 Interface agrave r = R3helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II723 Interface agrave r = R2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II724 Interface agrave r = R1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 69
II73 Expression analytique de lrsquoinductance helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 72
II74 Reacutesultats et discussion helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73
II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique
impulsionnelhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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II9 Conclusionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 82
Chapitre 3 Prise en compte de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de leur
caracteacuterisationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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III1 Introductionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 84
III2 Description du banc expeacuterimental helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 85
III21 Les pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 86
III22 Le circuit drsquoaimantationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 87
III23 Instrumentation helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 89
III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 91
III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hallhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 91
III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de
la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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III33 Simulations numeacuteriqueshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 94
III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux
pastilleshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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III5 Conclusion helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 105
Conclusion geacuteneacuterale et perspectiveshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 107
Listes des illustrations graphiques et tableauxhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 110
Reacutefeacuterences helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116
Annexeshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 124
Annexe Ihelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 125
Annexe IIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 132
Annexe IIIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 137
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Introduction geacuteneacuterale
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Faire leacuteviter un train ou avoir des cacircbles eacutelectriques beaucoup plus puissants pour le
transport du courant sans perte drsquoeacutenergie sont devenus possibles gracircce au pheacutenomegravene de la
supraconductiviteacute La deacutecouverte des mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature
critique (SHTC) agrave bases drsquooxydes de cuivre donne des nouvelles possibiliteacutes pour des
applications en eacutelectrotechnique a cause de leurs proprieacuteteacutes exceptionnelles Ils peuvent
transporter lrsquoeacutenergie eacutelectrique avec des pertes neacutegligeables en courant eacutelectrique continu et
tregraves inferieures agrave celles des conducteurs classique en courant alternatif mais aussi eacutecranter ou
pieacuteger des champs magneacutetiques eacuteleveacutes par rapport aux aimants permanents conventionnels
Sur cette deuxiegraveme qualiteacute exceptionnelle de nombreuses eacutetudes ont porteacute sur lrsquoameacutelioration
des systegravemes drsquoaimantation de mateacuteriaux SHTC massifs dont la modeacutelisation et la simulation
sont fortement recommander afin drsquooptimiser les processus
Parmi les mateacuteriaux SHTC les oxydes mixtes de baryum de cuivre et dyttrium ou
YBaCuO a eacuteteacute le premier oxyde de la famille des cuprates agrave preacutesenter une tempeacuterature
critique supeacuterieure au point drsquoeacutevaporation de lrsquoazote liquide Beaucoup drsquoeacutetudes portent sur
lrsquoeacutelaboration et la mise en forme de ce composeacute sous forme de massifs et de rubans Pour
optimiser les proprieacuteteacutes supraconductrices de ce mateacuteriau des conditions particuliegraveres de
croissances et de stœchiomeacutetrie doivent ecirctre satisfaites Des meacutethodes de caracteacuterisations des
pastilles SHTC ont eacuteteacute proposeacutees au niveau du laboratoire GREEN afin de mettre en œuvre
ces pastilles dans des applications dans le domaine de lrsquoeacutelectrotechnique Ces meacutethodes
portent sur la mesure de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete et par la suite de calculer
la densiteacute de courant critique qui est geacuteneacuteralement supposeacutee constante dans tout le volume de
la pastille
Le travail de recherche de cette thegravese porte sur la modeacutelisation et la caracteacuterisation de
mateacuteriaux SHTC Le but final est drsquooptimiser le processus drsquoaimantation par un champ pulseacute
ou PFM (Pulsed Field Magnetization) Ainsi le comportement drsquoune pastille SHTC placeacutee
dans le circuit ferromagneacutetique drsquoaimantation par PFM doit ecirctre eacutetudieacute afin de faire un
dimensionnement optimal de lrsquoinducteur du systegraveme drsquoaimantation Pour cela il est preacutefeacuterable
de maitriser des meacutethodes de calculs analytiques de champ magneacutetique pour acceacuteleacuterer
nettement le processus drsquoaimantation Pour permettre de bien modeacuteliser les pastilles SHTC
les meacutethodes de caracteacuterisations de ces pastilles doivent ecirctre ameacutelioreacutees et surtout adapteacutees agrave
la taille et au frome de ces pastilles Ceci explique le plan de cette thegravese en deux parties
relativement indeacutependantes
6
Dans le premier chapitre nous allons preacutesenter un rappel historique sur la
supraconductiviteacute puis les grandeurs et les proprieacuteteacutes caracteacuteristiques des mateacuteriaux
supraconducteurs Ensuite nous allons deacutecrire les diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantations et
nous terminons par une description des meacutethodes de caracteacuterisations deacuteveloppeacutees au niveau
du laboratoire GREEN de lrsquouniversiteacute de Lorraine
Le deuxiegraveme chapitre est deacutedieacute agrave la modeacutelisation analytique du systegraveme drsquoaimantation
par PFM Le modegravele analytique proposeacute permet de calculer lrsquoinductance de lrsquoensemble
composeacute drsquoune bobine inductrice drsquoun circuit ferromagneacutetique et en preacutesence drsquoune pastille
supraconductrice ce qui est un apport important de cette thegravese Ce modegravele sera valideacute
numeacuteriquement en utilisant le logiciel COMSOL souvent utiliseacute dans le domaine de la
supraconductiviteacute appliqueacutee
Le troisiegraveme chapitre sera consacreacute agrave la caracteacuterisation des pastilles SHTC et
particuliegraverement agrave lrsquoeacutetude de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC de type YBaCuO en termes
de densiteacute de courant critique La caracteacuterisation de ces pastilles se fait agrave lrsquoaide de la mesure
de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete lors de lrsquoaimantation de cette pastille par la
meacutethode PFM De cette mesure on deacuteduit la densiteacute de courant critique Jc Lrsquoinfluence de la
position du germe de cristallisation dans les meacutethodes de caracteacuterisation sera eacutegalement
eacutetudieacutee
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Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoart
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I1 Historique de la supraconductiviteacute
Les proprieacuteteacutes eacutelectriques et magneacutetiques de certains mateacuteriaux changent de maniegravere
cruciale agrave de tregraves basses tempeacuteratures Parmi ces mateacuteriaux on cite les mateacuteriaux dits
laquo supraconducteurs raquo Ces mateacuteriaux perdent totalement leurs reacutesistances au passage du
courant eacutelectrique et expulsent les lignes des champs magneacutetiques on parle dans ce cas de
figure drsquoun pheacutenomegravene physique assez intriguant et inteacuteressant qui srsquoappelle laquo la
supraconductiviteacute raquo Ce pheacutenomegravene est devenu un domaine tregraves passionnant de la physique
surtout qursquoil a mis en doute les principes eacutetablis de cette science notamment en
eacutelectromagneacutetisme Sa deacutecouverte datant de 1911 est due au physicien Neacuteerlandais Heike
Kamerlingh Onnes (1853-1926) lors de son eacutetude du comportement eacutelectrique des meacutetaux tregraves
purs agrave tregraves basse tempeacuterature apregraves avoir reacuteussi agrave liqueacutefier lheacutelium en 1908 pour atteindre
une tempeacuterature de 42 K soit -26895degC [1-5] On savait deacutejagrave que geacuteneacuteralement la reacutesistiviteacute
des meacutetaux diminue lineacuteairement en abaissant la tempeacuterature jusqursquoagrave une certaine valeur Au-
dessous de cette valeur elle reste geacuteneacuteralement constante mecircme en diminuant la tempeacuterature
Cette reacutesistiviteacute appeleacutee reacutesistiviteacute reacutesiduelle est due aux impureteacutes ainsi aux deacutefauts dans la
structure cristalline deacutejagrave preacutesente dans le meacutetal Onnes remarqua qursquoagrave une tempeacuterature
infeacuterieure agrave 415 degk (appeleacute tempeacuterature critique) la reacutesistiviteacute eacutelectrique du mercure tombe
brusquement agrave zeacutero (Figure I1) Une anneacutee apregraves il observa le mecircme pheacutenomegravene lors des
essais similaires reacutealiseacutes avec de lrsquoeacutetain et du Plomb (qui sont des tregraves mauvais conducteurs agrave
tempeacuterature ambiante) agrave des tempeacuteratures critiques de 37K et 6K respectivement
Figure I1 Reacutesistiviteacute eacutelectrique de mercure agrave basse tempeacuterature [2]
9
Au deacutebut toutes les recherches qui ont eacuteteacute consacreacutees pour percer le mystegravere de ce
pheacutenomegravene de supraconductiviteacute ont eacuteteacute de types pheacutenomeacutenologiques comme par exemple la
deacutecouverte de lrsquoeffet Meissner en 1933 [6-9] par les deux physiciens allemands Walter
Meissner (1882-1974) et Robert Ochsenfeld (1901-1993) qui consiste agrave observer la capaciteacute
du mateacuteriau supraconducteur agrave exclure les lignes du champ magneacutetique preacutesent dans son
voisinage immeacutediat le courant eacutelectrique est porteacute par des paires drsquoeacutelectrons apparieacutes qui
peuvent se mouvoir sans aucune reacutesistance ni dissipation En preacutesence drsquoun champ
magneacutetique les paires drsquoeacutelectrons engendrent des courants de surface permanents qui agrave leur
tour creacuteent au cœur du mateacuteriau un champ magneacutetique qui annule le champ externe Crsquoest sur
cet effet appeleacute aussi diamagneacutetisme parfait que se base la leacutevitation magneacutetique Cependant
lrsquoeffet Meissner nrsquoa lieu que si le champ externe est suffisamment faible
En 1935 la theacuteorie de London a eacuteteacute mise en place par les fregraveres Fritz London (1900-
1954) et Heinz London (1907-1970) [1011] pour expliquer le pheacutenomegravene drsquoexpulsion du
champ magneacutetique dans tout le mateacuteriau supraconducteur agrave lrsquoexception drsquoune couche de
surface du mateacuteriau Le champ magneacutetique deacutecroicirct exponentiellement agrave lrsquointeacuterieur du
mateacuteriau et peacutenegravetre sur une longueur caracteacuteristique 20L sm n eλ micro= appeleacutee longueur de
peacuteneacutetration de London avec ns eacutetant la densiteacute des laquosupra eacutelectronraquo m et e sont
respectivement la masse et la charge eacutelectrique des eacutelectrons et 0micro est la permeacuteabiliteacute du vide
Pour des supraconducteurs conventionnels Lλ varie entre 100 et 1000Å
Pendant plusieurs anneacutees les physiciens ont cru qursquoil existe un seul type de mateacuteriaux
supraconducteurs jusqursquoagrave lrsquoarriveacutee de la theacuteorie de Ginzburg-Landau en 1950 [12] une autre
theacuteorie pheacutenomeacutenologique qui a eacuteteacute mise en place par les physiciens sovieacutetiques V L
Ginzburg (1916-2009) et L D Landau (1908-1968) et qui a permis drsquoexpliquer les proprieacuteteacutes
macroscopiques des supraconducteurs Ils ont introduit une constante k quasiment
indeacutependante de la tempeacuterature appeleacutee constante de Ginzburg-Landau En particulier Alexei
Abrikosov (1928-2017) montre quavec cette theacuteorie on peut preacutevoir lexistence de deux
cateacutegories de supraconducteurs (types I et II)
En 1957 J Bardeen (1908-1991) L N Cooper (1930) et JR Schrieffer (1931-2019)
ont expliqueacute la supraconductiviteacute de faccedilon microscopique par la formation des paires
drsquoeacutelectrons appeleacute paires de Cooper sous lrsquoeffet drsquoune interaction attractive entre eacutelectrons
reacutesultant de lrsquoeacutechange de phonons [9 13 14] A basse tempeacuterature ces eacutelectrons ne subissent
aucune dissipation drsquoeacutenergie par effet joule car ils ne rencontrent aucune reacutesistance donc ils
10
sont capables de se deacuteplacer agrave travers le mateacuteriau sans aucun frottement crsquoest la theacuteorie BCS
Malheureusement cette theacuteorie nrsquoest valable que pour des mateacuteriaux supraconducteurs agrave basse
tempeacuterature (environ 30 K)
Avec lrsquoarriveacutee de lrsquoanneacutee 1986 une deacutecouverte deacutecisive a eacuteteacute faite dans le domaine de
la supraconductiviteacute Karl Alexander Muumlller (1927) et Johannes Georg Bednorz (1950)
chercheurs du laboratoire de recherche IBM agrave Ruumlschlikon en Suisse ont deacutecouvert un oxyde
agrave base de Baryum de Lanthane de Cuivre et drsquoOxygegravene (Ba-La-Cu-O) agrave une tempeacuterature de
34degK [15-17]
Cette deacutecouverte a deacuteclencheacute une vague dactiviteacutes dans le domaine de la supraconductiviteacute
Des chercheurs du monde entier ont commenceacute agrave cuisiner des ceacuteramiques de toutes les
combinaisons imaginables dans le but de trouver des supraconducteurs agrave des tempeacuteratures
plus en plus hautes
En janvier 1987 une eacutequipe de chercheurs de lrsquoUniversiteacute drsquoAlabama-Huntsville a
remplaceacute le lanthane par lrsquoyttrium dans les moleacutecules de BaLaCuO et a obtenu un incroyable
rendement agrave une tempeacuterature de 92 K Pour la premiegravere fois on avait deacutecouvert un mateacuteriau
supraconducteur (appeleacute aujourdhui YBaCuO) agrave des tempeacuteratures supeacuterieures agrave celles de
lazote liquide [18-20]
Apregraves des nouvelles geacuteneacuterations de composeacutes baseacutes sur lrsquooxyde de cuivre apparurent
avec des tempeacuteratures critiques qui deacutepassent la tempeacuterature de lrsquoheacutelium liquide tel que La-
Sr-Cu-O Y-Sr-Cu-O Bi-Sr-Ca-Cu-O Ta-Ba-Cu-O et Ti-Sr-Ca-Cu-O [21-28]
Tregraves reacutecemment une eacutequipe de linstitut Max-Planck de chimie de Mayence (Allemagne)
annonccedilait avoir observeacute des signes de lapparition dune phase supraconductrice dans
lrsquo hydrure de lanthane(LaH10) agrave une tempeacuterature de seulement 250 K soit environ -23 degC
mais ce composeacute nrsquoest pas stable qursquoagrave tregraves haute pression [29]
11
Figure I2 Historique des deacutecouvertes de la tempeacuterature critique
I2 Grandeurs caracteacuteristiques des Supraconducteurs
La supraconductiviteacute est un eacutetat de la matiegravere dont les proprieacuteteacutes eacutelectromagneacutetiques
exceptionnelles tel que la reacutesistance nulle et lrsquoexpulsion du champ magneacutetique jouent un rocircle
tregraves important tant du point de vue physique fondamentale que du point de vue application
Un supraconducteur est caracteacuteriseacute par trois grandeurs fondamentales tempeacuterature critique
CT champ magneacutetique critique119867119867119867119867 et la densiteacute de courant critique Jc Ces trois grandeurs
sont tregraves correacuteleacutees et forment ce qursquoon appelle la surface critique drsquoun mateacuteriau
supraconducteur
I21 Tempeacuterature critique
La tempeacuterature critique est la tempeacuterature en dessous de laquelle la reacutesistance tombe agrave
zeacutero et le mateacuteriau devient supraconducteur La transition apparaicirct comme une transition de
phase de lrsquoeacutetat normal vers lrsquoeacutetat supraconducteur de la matiegravere Plusieurs mateacuteriaux
preacutesentent des transitions de phase supraconductrices agrave basses tempeacuteratures La tempeacuterature
critique la plus eacuteleveacutee eacutetait denviron 23 K jusquagrave la deacutecouverte en 1986 de certains
supraconducteurs agrave haute tempeacuterature
Environ trente (30) meacutetaux purs et quelques alliages tel que 3Nb Sn [3063] et NbTi
[3132] preacutesentent une reacutesistiviteacute nulle agrave basse tempeacuterature et ont la proprieacuteteacute drsquoexclure les
12
champs magneacutetiques de lrsquointeacuterieur de ces supraconducteurs (Effet Meissner voir Tableau I1)
Ce type de supraconducteurs est appeleacutelaquo Supraconducteurs agrave Basse Tempeacuterature Critique
(SBTC) raquo [33]
Figure I3 Etat noraml et supraconducteur drsquoun meacutetal en fonction de la tempeacuterature
Par contre les ceacuteramiques en oxyde de cuivre et de baryum qui ont atteint leacutetat
supraconducteur agrave des tempeacuteratures beaucoup plus eacuteleveacutees sont souvent appeleacutees
laquo supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) raquo et forment une classe agrave part [37]
Tableau I1 Tempeacuterature critique de quelques mateacuteriaux supraconducteurs
Eleacutement Tc (K) Eleacutement Tc (K) Eleacutement Tc (K)
Al Be Cd Ga Hf Hg In Ir La Mo
1175 0023 055 109 013 415 341 014 488 092
Nb Np Os Pa Pb Re Rh Ru Sn Ta
92 0075 065 140 72 17 00003 05 375 447
Tc Th Ti Tl U V W Zn Zr Lu
78 137 039 239 02 53 0012 09 055 01
Composeacute Tc (K) Composeacute Tc (K) Composeacute Tc (K)
Nb3Sn Nb3Ge Cs3C60 Nb06Ti04
181 232 19 98
MgB2 YPd2B2C HoNi2B2C PuCoGa5
39 23 75 185
UPt3 UPd2Al3 URu2Si2 YNi2B2C
05 2 12 155
Supraconducteurs agrave HTc Tc (K) Supraconducteurs agrave HTc Tc (K)
183 017 4La Sr CuO
2 3 7YBa Cu O δminus
2 2 2 3 10Bi Sr Ca Cu O
40 93 110
2 2 2 3 1 0Tl Ba Ca Cu O δ+
2 2 3 8HgBa Ca Cu O
08 02 2 2 3 833Hg Tl Ba Ca Cu O
127 135 138
13
I22 Champ magneacutetique critique
Quand on applique un champ magneacutetique sur un supraconducteur soumis agrave une
tempeacuterature critique TC ce champ reste autour du mateacuteriau sans le peacuteneacutetrer Si on augmente
ce champ agrave un point donneacute le supraconducteur revient agrave son eacutetat normal de reacutesistiviteacute A ce
point ce champ magneacutetique est connu comme champ magneacutetique critique et est noteacute Hc Le
champ magneacutetique critique est fortement deacutependant de la tempeacuterature critique Tc du
supraconducteur
Les champs magneacutetiques eacuteleveacutes deacutetruisent la supraconductiviteacute et le mateacuteriau passe agrave lrsquoeacutetat
normal En fonction du caractegravere de cette transition on peut distinguer deux types de
supraconducteurs
I221 Supraconducteurs Type I
La figure I4 montre la variation du champ magneacutetique interne (induit)119867119867119867119867 en fonction
du champ externe appliqueacute Ha En augmentant le champ appliqueacute on remarque au deacutepart que
le champ interne reste nul (Effet Meissner [6-9]) jusqursquoagrave ce qursquoun champ magneacutetique critique
HC soit atteint ougrave se produit une transition brutale vers lrsquoeacutetat normal cela se traduit par la
peacuteneacutetration du champ appliqueacute agrave linteacuterieur du mateacuteriau Les supraconducteurs qui subissent
cette transition brutale agrave leacutetat normal au-dessus du champ magneacutetique critique sont appeleacutes
supraconducteurs de type I le Plomb pur est consideacutereacute comme eacutetant le plus fort
supraconducteur de type I avec un champ critique drsquoenviron 800 Gauss (80 mT) Tous les
supraconducteurs purs ont tendance drsquoecirctre des supraconducteurs de type I [3536]
Figure I4 Repreacutesentation de champ magneacutetique induit en fonction du champ magneacutetique
appliqueacute pur les supraconducteurs de type I
14
I222 Supraconducteurs Type II
Les supraconducteurs de type II reacutepondent diffeacuteremment agrave un champ magneacutetique
appliqueacute comme le montre la figure I5 En effet un champ induit croissant agrave partir de zeacutero se
traduit par deux champs critiques Hc1 et Hc2
Agrave Hc1 le champ appliqueacute commence agrave peacuteneacutetrer partiellement agrave linteacuterieur du
supraconducteur agrave travers des tubes volumiques dans un eacutetat normal qui srsquoappellent
laquo Vortex raquo et la supraconductiviteacute est encore maintenue Au-dessus de Hc2 la
supraconductiviteacute disparaicirct et le mateacuteriau passe agrave lrsquoeacutetat normal Pour les valeurs
intermeacutediaires entre Hc1 et Hc2 le mateacuteriau supraconducteur se trouve dans un eacutetat mixte
Geacuteneacuteralement Hc2 est plus eacuteleveacute que Hc1 et 0 2Hcmicro peut atteindre plusieurs Tesla
pour cette raison les supraconducteurs de type II sont devenus les plus utiles sur le plan
technologique La plupart des composeacutes illustreacutes dans le tableau I1 sont des supraconducteurs
de type II Les fils fabriqueacutes agrave partir de niobium-eacutetain (Nb3Sn) ont un champ 0 2Hcmicro eacutegal agrave
environ 25 teslas ce qui les rend utiles pour des applications neacutecessitant des champs
magneacutetiques eacuteleveacutes Actuellement le niobium titane (NbTi) est le mateacuteriau le plus mature
technologiquement avec un champ 0 2 12 teslasHcmicro = il est largement utiliseacute dans machines
dimagerie par reacutesonance magneacutetique (IRM)
En geacuteneacuterale les applications en eacutelectrotechnique neacutecessitent habituellement la creacuteation
de forts champs magneacutetiques (de lrsquoordre de plusieurs teslas) ce qui limite lrsquoutilisation des
supraconducteurs de type I
Figure I5 Repreacutesentation graphique (a) des diffeacuterentes drsquoeacutetats des supraconducteurs de type
II et (b) du champ magneacutetique induit en fonction du champ magneacutetique appliqueacute pour les supraconducteurs de type II
15
I23 Densiteacute de courant critique JC
Pour les supraconducteurs de type I le courant critique deacutecoule directement du champ
magneacutetique critique Il peut ecirctre deacutetermineacute par la regravegle de Silsbee [34] crsquoest le courant qui
produit le champ magneacutetique critique agrave la surface du mateacuteriau Pour un cylindre de diamegravetre
D on deacutefinit ce courant par Ic DHcπ=
La densiteacute de courant critique est donneacutee donc par
C CJ I S=
Pour les supraconducteurs type II dans lrsquoeacutetat mixte la peacuteneacutetration du champ
magneacutetique se manifeste par la preacutesence drsquoun reacuteseau de vortex de flux que lrsquoon peut
repreacutesenter sous la forme de boucles eacuteleacutementaire de courant La circulation du courant de
transport dans le supraconducteur geacutenegravere une force de type Laplace ( )LF J B= times
qui agit sur
ces vortex Une force drsquoancrage est creacuteeacutee et permet aux tubes de vortex de se fixer dans la
matiegravere La densiteacute de courant critique JC est donc lieacutee agrave lrsquoancrage de ces vortex [34] La
force drsquoancrage est deacutefinie ainsi par P CF J B= times
Si toutefois la densiteacute de courant deacutepasse la
valeur de JC la force FL exerceacutee sur les vortex sera supeacuterieure agrave la force drsquoancrage FP et les
vortex commencent agrave se deacuteplacer Ce deacuteplacement induit un champ eacutelectrique non nul aux
borne du mateacuteriau et provoque une dissipation importante drsquoeacutenergie ce qui fait transiter le
mateacuteriau de lrsquoeacutetat supraconducteur agrave lrsquoeacutetat reacutesistif
Le courant critique drsquoun mateacuteriau supraconducteur est lrsquoorigine de trois courants courant de
transport courant induit et les supra-courants Figure I6
Figure I6 Reacuteseaux vortex dans un mateacuteriau supraconducteur de type II
16
Une grande deacuteception apregraves la deacutecouverte de la supraconductiviteacute agrave haute tempeacuterature
critique fut la faible valeur de leur densiteacute de courant critique Jc Celle-ci est due agrave la
difficulteacute de syntheacutetiser de ces mateacuteriaux sous forme de monocristaux de taille laquo reacutealiste raquo
(supeacuterieure agrave quelque mm2) Tregraves souvent les eacutechantillons volumiques se preacutesentent sous
forme de grains accoleacutes aleacuteatoirement les uns aux autres (poly-cristal) Dans ce cas le courant
supraconducteur se fraie un chemin dans lrsquoeacutechantillon en passant agrave travers les joints de grains
La densiteacute de courant critique correspondante (intergrain) est geacuteneacuteralement de deux ou trois
ordres de grandeur infeacuterieure agrave la densiteacute de courant critique de grain lui-mecircme (intragrain)
[3839] figure I7
Figure I7 Densiteacute de courant intergrain et intragrain dans un mateacuteriau
supraconducteur
En conseacutequence un des buts technologiques des recherches actuelles en
supraconductiviteacute est lrsquooptimisation de la densiteacute de courant critique intergrain des mateacuteriaux
supraconducteurs pour une tempeacuterature donneacutee et en preacutesence drsquoun champ magneacutetique
intense en modifiant les paramegravetres de ses microstructures (taille et orientation des grains)
Parmi les techniques utiliseacutees pour accroicirctre la densiteacute de courant critique intergrain est la
technique drsquoalignement des grains supraconducteurs Ce processus est appeleacute texturation Des
microstructures typiques drsquoeacutechantillons drsquoYBaCuO respectivement textureacutes et non textureacutes
sont preacutesenteacutees sur la figure I8
17
Figure I 8 Microstructure drsquoun mateacuteriau Supraconducteur agrave Haute Tempeacuterature critique
(SHTC) de formule chimique 2 3 7YBa Cu O δminus
Un mateacuteriau non textureacute comprend un grand nombre de grains de tregraves petite taille
(quelques microns) Sa densiteacute de courant critique est de lrsquoordre de 100 Acm2 et deacutecroicirct
rapidement en preacutesence drsquoun faible champ magneacutetique (quelques mT) [39] Par contre les
grains preacutesents dans un eacutechantillon textureacute peuvent ecirctre relativement volumineux Si
lrsquoeacutechantillon est constitueacute drsquoun seul grain de taille importante on parle de STHC mono-
domaine Les densiteacutes de courant critiques associeacutees aux mono-domaines drsquoYBaCuO textureacutes
sont de lrsquoordre de 10 000 Acm2 agrave T=77K et B=1T De telles valeurs sont compatibles avec
les exigences requises pour diffeacuterentes applications industrielles en eacutelectrotechnique
I24 Surface critique
Lrsquoeacutetat supraconducteur eacutetant limiteacute par les trois grandeurs caracteacuteristiques physiques
la tempeacuterature critique (Tc) le champ magneacutetique critique (Hc) et la densiteacute de courant
critique (Jc) Chacun de ces grandeurs deacutepend fortement des deux autres grandeurs Le
maintien de lrsquoeacutetat supraconducteur exige que le champ magneacutetique la densiteacute de courant et la
tempeacuterature demeurent au-dessous des valeurs critiques qui deacutependent du mateacuteriau
En repreacutesentation 3D lrsquoaire deacutelimiteacutee lorsque lrsquoon prend en compte les trois grandeurs
(Tc Hc Tc) est appeleacutee laquo surface critique raquo figure I-7 En partant de cette surface vers
lrsquoorigine le mateacuteriau est supraconducteur Les valeurs les plus eacuteleveacutees pour HC et JC sont
obtenues agrave T = 0K alors que la valeur la plus eacuteleveacutee pour la TC est obtenue quand H et J sont
18
agrave zeacutero Lorsque lrsquoon trouve dans les reacutegions en dehors de cette surface le mateacuteriau est dans
lrsquoeacutetat normal ou mixte
Figure I9 Surface critique et ordre de grandeur des paramegravetres critique de quelques
mateacuteriaux Supraconducteurs [40]
I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
La mise en eacutevidence de la supraconductiviteacute dans les mateacuteriaux SHTC notamment
dans lrsquoYBaCuO par Maw-Kuen Wu et al en 1987 [19] agrave une tempeacuterature critique qui deacutepasse
la tempeacuterature de lrsquoHeacutelium liquide eu un retentissement plus important et rend la recherche
dans le domaine de la supraconductiviteacute agrave haute tempeacuterature critique tregraves attrayante et tregraves
prometteuse pour de nombreuses applications Comprendre les proprieacuteteacutes et les meacutecanismes
de fonctionnement de ces mateacuteriaux qui deacutejouent toute attente est un enjeu majeur des
recherches actuelles Et si la supraconductiviteacute agrave tempeacuterature ambiante reste pour lrsquoinstant un
recircve pour les chercheurs les supraconducteurs nrsquoont pas fini de bousculer la physique
theacuteorique
Trois familles principales de ces ceacuteramiques sont distingueacutees [41]
- Baseacutee sur le Bismuth ceacuteramique de BiSrCaCuO appeleacutee aussi laquo BSCCO raquo
- Baseacutee sur les terres rares Rare Earth (RE) ceacuteramique de RE-BaCuO
communeacutement appeleacutee laquo Re-BCO raquo Lrsquoeacuteleacutement de terre rare utiliseacute peut ecirctre
de lrsquoYttrium du Neacuteodyme du Samarium ou du Gadolinium selon les
proprieacuteteacutes rechercheacutees
- Baseacutee sur le Thallium ceacuteramique de TlBaCaCuO communeacutement appeleacutee laquo
TBCCO raquo avec des tempeacuteratures de fonctionnement supeacuterieures
19
Ces mateacuteriaux sont aujourdrsquohui les plus utiliseacutes pour les applications industrielles et la
recherche en eacutelectrotechnique
I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
Lrsquo2 3 7YBa Cu O δminus
(YBaCuO ou Y-123) le 2 2 2 8 xBi Sr CaCu O + (BSCCO ou Bi-2212) et le
2 2 2 3 10 xBi Sr Ca Cu O + (Bi-2223) repreacutesentent aujourdrsquohui les mateacuteriaux SHTC les plus usiteacutes
pour les applications industrielles et la recherche en eacutelectrotechnique Or avec une
appartenance commune aux ceacuteramiques ces deux mateacuteriaux reposent sur des proceacutedeacutes de
fabrication diffeacuterents Leurs proprieacuteteacutes permettent de les utiliser sous diverses formes
poudres massifs fils et deacutepocircts en monocouche (figure I10) [41]
Figure I10 Diffeacuterentes formes des SHTC a) pastille YBaCuO en massifs b) YBaCuO en
monocouche c) tubes de BSCCO
Certains mateacuteriaux SHTC comme le BiSCCO sont constitueacutes de poudre compresseacutee
On les trouve sous forme de tubes massifs servant drsquoameneacutees de courant ou de blindage
magneacutetique [42] Ces mateacuteriaux permettent aussi la fabrication des cacircbles conducteurs mono
ou multi- filamentaires SHTC Ces cacircbles supraconducteurs ont eacuteteacute exploiteacutes pour la premiegravere
fois aux Etats-Unis agrave partir de 2006 dans le cadre de deacutemonstrateurs subventionneacutes Puis des
liaisons furent inteacutegreacutees agrave des reacuteseaux de distribution et de transport au Japon en Coreacutee en
Chine Et pour la premiegravere fois en Allemagne en 2014 dans le bassin de la Ruhr dans un
environnement 100 public urbain Un cacircble supraconducteur drsquoun kilomegravetre a eacuteteacute reacutealiseacute par
Nexans et lrsquoeacutenergeacuteticien allemand RWE et qui a eacuteteacute mise en service agrave Essen
En 2014 eacutegalement le CERN et dans le but drsquoameacuteliorer lrsquoalimentation de ses
acceacuteleacuterateurs de particules a reacuteussi de transiteacute un courant eacutelectrique de 20000 Ampegraveres par un
cacircble supraconducteur en MgB2
20
Une particulariteacute inteacuteressante des SHTC tels que Y-123 est sa faible reacutesistance de
surface par rapport agrave celle du cuivre il permet drsquoutiliser ce mateacuteriau dans la reacutealisation de
dispositifs micro-onde utiliseacutes dans des applications en micro-eacutelectronique et en technique
micro-onde Deacuteposer sous forme de couches minces il permet la reacutealisation de reacutesonateurs agrave
haute performance de taille plus faible et plus leacutegers que les reacutesonateurs conventionnels Un
champ important drsquoapplications pour ces reacutesonateurs est ouvert pour les filtres utiliseacutes dans
les technologies de la communication notamment pour les satellites
Lrsquoaimantation des mateacuteriaux SHTC massifs trouve reacutecemment son inteacuterecirct dans
lrsquoindustrie Le pheacutenomegravene de leacutevitation magneacutetique dans les bulk SHTC est largement
exploiteacute dans la mise en service des trains Maglev-Cobra [4344] ce sont des veacutehicules
destineacutes au transport urbain des passagers flottant sur des rails sans aucun contact avec le sol
Cette technologie est baseacutee sur la leacutevitation magneacutetique geacuteneacutereacutee par des aimants situeacutes sur les
pistes et des pastilles supraconductrices dans le train dans le cas des trains agrave leacutevitation
supraconductrice
I311 Supraconducteur YBa2Cu3O7-δ
a- Preacutesentation
LrsquoOxyde mixte de Baryum de Cuivre de drsquoYttrium ou ce qui est connu communeacutement
par laquo YBaCuO raquo est un mateacuteriau cristallin supraconducteur de type II de formule chimique
YBa2Cu3O7-δ Il est connu pour avoir eacuteteacute parmi les premiers supraconducteurs qui possegravedent
des tempeacuteratures critiques supeacuterieures agrave celle de lrsquoazote liquide (77 K) et donc classeacute parmi
les mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) Ces tempeacuteratures ont
permis de reacuteduire consideacuterablement le cout de fonctionnement des mateacuteriaux dans lrsquoeacutetat
supraconducteur en utilisant la cryogeacutenie agrave lrsquoazote liquide au lieu de lrsquoheacutelium liquide qui
impose des tempeacuteratures infeacuterieures agrave 5 k
LrsquoYBaCuO est tregraves utiliseacute pour le deacuteveloppement des applications de la
supraconductiviteacute gracircce agrave sa bonne tenue sous un champ magneacutetique Ses applications
industrielles en massif impliquent de controcircler la croissance de larges monodomaines orienteacutes
dans des eacutechantillons de grande taille (plusieurs centimegravetres) Les YBaCuO massifs sont
obtenus par diffeacuterentes techniques drsquoeacutelaborations connus mais complexes dont on peu citeacute la
technique TSMG pour laquo top-seeding melt-texturing Growthraquo [45-53] une pastille fritteacute drsquoune
composition riche de yttrium est utiliseacutee Un germe 2 3 xSmBa Cu O (Sm123) monocristallin est
placeacute sur la pastille avant la texturation Le mateacuteriau Sm123 fait partie de la mecircme famille de
21
lrsquoY123 avec une structure cristalline identique par contre il est caracteacuteriseacute par un de fusion
qui est environ 50 degC plus eacuteleveacutee que celui drsquoY123 Ce qui permet une surchauffe tregraves
importante de la pastille YBaCuO pour une fusion complegravete du mateacuteriau en preacutesence de ce
germe Ensuite le systegraveme (pastille + germe) est refroidie jusqursquoagrave la tempeacuterature peacuteritectique 123Y
pT (~1010 degC) (point drsquoeacutequilibre entre les phases solides et liquides) un refroidissement
tregraves lent de 01 degh agrave 05 degh est reacutealiseacute pour obtenir la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO agrave
partir de germe de 2 3 xSmBa Cu O figure I11
Figure I11 Traitement thermique pour la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO par la
technique TSMG
b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuO
La structure cristalline de lrsquoYBa2Cu3O7-δ deacuterive de la structure tridimensionnelle de la
peacuterovskite ABO3 comme dans tous les meacutetaux de la famille des cuprates figure I12 elle
preacutesente une anisotropie structurale importante entre les deux directions principales du
mateacuteriau (Plan (a b) axe c) Ce composeacute est caracteacuteriseacute par la preacutesence de deux familles de
plans parallegraveles au plan (a b)
1- Plan CuO1- δ qui est constitueacute drsquoun atome de cuivre Cu(1) entoureacutes de 2 agrave 4 atomes
drsquooxygegravene selon la stœchiomeacutetrie Ces plans sont organiseacutes en chaines selon la
direction b du cristal pour δ=1
2- Plan CuO2 ce plan est constitueacute drsquoun atome de cuivre Cu(2) entoureacutes de cinq atomes
drsquooxygegravenes en formant une pyramide
La maille eacuteleacutementaire de lrsquoYBaCuO se compose en six (6) plans parallegraveles qui srsquoempilent
suivant lrsquoaxe (c) par 1CuO δminus BaO 2CuO Y 2CuO BaO figure I13
22
Figure I12 Structure cristalline tridimensionnelle de lrsquoYBa2Cu3O7-δ
Selon la stœchiomeacutetrie en oxygegravene YBaCuO peut se trouver en diffeacuterentes phases il
passe alors drsquoune structure orthorhombique supraconductrice pour δlt065 agrave une structure
teacutetragonale isolante pour 065ltδlt1 par suppression successive des atomes drsquooxygegravene de la
chaine CuO [54 97]
Le composeacute YBa2Cu3O7est la phase la plus oxygeacuteneacutee qui correspond agrave δ=0 ce composeacute
se cristallise dans une structure orthorhombique supraconductrice dont le groupe drsquoespace est
Pmmm et les paramegravetres de mailles sont a= 382 Aring b= 388 Aring et c=1169 Aring figure I13-(a)
Par contre la phase la moins oxygeacuteneacute correspond agrave δ=1 cette structure est
antiferromagneacutetique sa maille eacuteleacutementaire est quadratique de groupe drsquoespace P4mmm avec
des paramegravetres de maille a=b=386Aring et c=1184Aring [55] figure I13-(b)
Les deux structures sont relativement proches La transition
orthorhombiquequadratique a eacuteteacute observeacutee agrave 700 deg C dans une atmosphegravere contenant 100
doxygegravene Lors de cette transition les paramegravetres a et c augmentent et b diminue ce qui
renforce la symeacutetrie de la structure cristalline (Figure I14) et aussi induit des contraintes
atomiques et des deacutefauts comme les plans de macle qui constituent de bons sites drsquoencrages
pour les vortex [55]
23
(a) (b)
Figure I13 Repreacutesentation de structure (a) orthorhombique et (b) quadratique de la maille
eacuteleacutementaire du compos YBa2Cu3O7-δ
(a) (b)
Figure I14 Variation des paramegravetres de reacuteseau a b et c par rapport au deacuteficit en oxygegravene δ
[54]
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuO
Lrsquoanisotropie structurale drsquoYBaCuO conduit agrave lrsquoanisotropie des proprieacuteteacutes
supraconductrices Ces derniegraveres sont confineacutees dans le plan CuO2 Les proprieacuteteacutes eacutelectriques
et magneacutetiques de lrsquoYBaCuO seront diffeacuterentes selon son orientation [58] Le courant
24
eacutelectrique circule plutocirct dans le plan (a b) que suivant lrsquoaxe c [56] Ainsi la densiteacute de
courant eacutelectrique sera tregraves diffeacuterente selon la circulation parallegravele ou perpendiculaire du
courant par rapport au plan (a b) et aussi suivant lrsquoorientation du champ exteacuterieur appliqueacute
elle sera eacuteleveacutee agrave 77k lorsque le courant circule selon le plan (a b) (de lrsquoordre de 4 210 A cm
dans des massifs textureacutes et atteigne 6 210 A cm pour des eacutechantillons sous forme de couches
minces eacutepitaxieacutees [57])
Lrsquoanisotropie des caracteacuteristiques supraconductrices se retrouve aussi sur les valeurs
de champs critiques Hc1 et Hc2 Pour lrsquoYBaCuO massif agrave T=0K on a [55]
( )2
11 02 2 10c cc a b
H T H Tminus= = times
( ) 22 140 29c cc a b
H T H T= =
La tempeacuterature critique de la phase supraconductrice de lrsquoYBaCuO est fortement deacutependante
du taux drsquooxygegravene Lrsquooptimum est de 92 K pour une valeur de δ=008 [54] figure 115
Figure I15 Repreacutesentation de la tempeacuterature critique en fonction du deacuteficit en oxygegravene dans
la structure YBaCuO
I32 Supraconducteur MgB2
a- Preacutesentation
Le diborure de magneacutesium (MgB2) est un mateacuteriau dont les proprieacuteteacutes
supraconductrices ont eacuteteacute deacutecouvertes en 2001 par J Nagamatsu et al [59] Il preacutesente une
tempeacuterature critique de 39K et comme la limite entre la famille des supraconducteurs agrave basse
25
et agrave haute tempeacuterature critique est agrave environ de 30 K le MgB2 est classeacute donc parmi les
supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) Sa deacutecouverte a susciteacute un vif inteacuterecirct
car ses constituants sont bons marcheacutes et son proceacutedeacute de fabrication est semblable agrave celui des
supraconducteurs classiques
Diffeacuterents proceacutedeacutes pour la fabrication de MgB2 massif sont utiliseacutes Un premier
consiste agrave placer du magneacutesium dans un moule en Bore la supraconductiviteacute est obtenue
apregraves traitement thermique Drsquoautre utilisent un preacutecurseur sous forme de poudre de Bore et
de Magneacutesium qursquoil comprime sous haute pression [62] lrsquoensemble subit alors un traitement
thermique
b- Structure cristalline de MgB2
Le MgB2 se cristallise dans une structure Hexagonale de type AlB2 dont le groupe
drsquoespace est P6mmm les paramegravetres de mailles sont a = 308 Adeg et c=352 Adeg [5960] La
figure I16 montre que les atomes de bore sont disposeacutes en des couches similaires agrave celles du
graphite entre lesquels sont intercaleacutes des atomes de magneacutesium chaque atome de bore est agrave
distance eacutegale de trois autres atomes de bore La position drsquoatomes sont donneacutees comme suit
Mg (0 0 0) B (13 2312) (2313 12)
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2
Une forte anisotropie de la structure cristalline MgB2 est reacutesulteacute des successions de
couches de magneacutesium et de Bore (figure I11) cette anisotropie eacutetait connue depuis pregraves de
50 ans avant la deacutecouverte de la supraconductiviteacute de ce composeacute [61]
La premiegravere mesure directe drsquoune proprieacuteteacute supraconductrice anisotrope a eacuteteacute reacutealiseacutee
pour le champ magneacutetique critique Hc2 du bulk MgB2 un rapport 2 1 17ab cc cH Hγ = asymp avec
2abcH est le champ magneacutetique critique parallegravele au plan (ab) et 1
ccH est le champ magneacutetique
critique parallegravele agrave la direction de lrsquoaxeC
Depuis lors plusieurs chercheurs ont trouveacute des
valeurs de ce rapport comprises entre 11 et 16 pour une tempeacuterature variant de 32 K agrave 26 K
en utilisant diffeacuterents types drsquoeacutechantillons et diffeacuterentes techniques pour caracteacuteriser la
transition de lrsquoeacutetat normal vers lrsquoeacutetat supraconducteur
Lrsquoanisotropie de la densiteacute de courant critique a eacuteteacute eacutegalement eacutevalueacutee agrave lrsquoaide du
modegravele e Bean comme eacutetant 15ab cc cJ J asymp
26
Figure I16 Structure cristalline de MgB2
I4 Modegraveles des supraconducteurs
La connaissance des proprieacuteteacutes caracteacuteristiques drsquoun mateacuteriau supraconducteur joue un
rocircle important dans le dimensionnement drsquoun dispositif et par la suite pour deacutevelopper des
nouvelles applications dans le domaine industriel Diffeacuterentes meacutethodes de caracteacuterisations
sont adopteacutees dans le cas des supraconducteurs afin drsquoeffectuer des mesures des
caracteacuteristiques de ces mateacuteriaux agrave savoir la distribution du courant eacutelectrique densiteacute du
courant critique capaciteacute drsquoavoir un champ magneacutetique pieacutegeacute important hellipetc Les reacutesultats
obtenus peuvent diffeacuterer en fonction de la meacutethode de mesure choisie
Des meacutethodes de caracteacuterisations des pastilles supraconductrices ont eacuteteacute deacuteveloppeacute
dans le laboratoire GREEN qui ont pour but de mesurer la densiteacute du courant critique au
centre et sur la surface drsquoune pastille SHTC de type YBaCuO et cela agrave travers la
deacutetermination du champ magneacutetique de peacuteneacutetration dans la pastille
Avant de preacutesenter ces meacutethodes nous allons rappeler les deux modegraveles de caracteacuteristique
E(J) qui repreacutesente un supraconducteur
I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)
I411 Preacutesentation du modegravele
Le modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (1962) a eacuteteacute introduit par C P Bean (1923-1996)
dans le but drsquoeacutetudier lrsquoaimantation des supraconducteurs massifs [64 65] Il stipule qursquoagrave
tempeacuterature donneacutee la densiteacute de courant dans un supraconducteur est soit nulle soit eacutegale agrave
27
la densiteacute de courant critique Cest-agrave-dire que les supraconducteurs nrsquoexistent que dans les
deux cas suivants
- Une densiteacute de courant nulle pour les reacutegions ougrave le champ ne varie plus
- Une densiteacute de courant cJplusmn dans les reacutegions qui srsquooppose aux variations du champ
magneacutetique
ou 0cJ J J= plusmn =
Ce modegravele ne prend pas en consideacuteration la deacutependance de la densiteacute du courant
critique en champ magneacutetique et en tempeacuterature Aussi la discontinuiteacute de ce modegravele le rend
peu utilisable pour des deacuteveloppements numeacuteriques Par ailleurs gracircce agrave sa simpliciteacute ce
modegravele reste le plus utiliseacute dans les calculs analytiques afin drsquoeacutetudier les pertes en reacutegime
variable (AC) dans les rubans et aussi dans les pheacutenomegravenes de magneacutetisation [66][67]
En effet le modegravele de Bean connait un grand succegraves dans le cas des supraconducteurs
agrave basse tempeacuterature critique et lrsquoon y fait souvent reacutefeacuterence dans la litteacuterature
I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long notion
de peacuteneacutetration complegravete
En considegravere un cylindre supraconducteur infiniment long de rayon R soumis agrave un
champ magneacutetique exteacuterieur variable ( )aH t parallegravele agrave son axe
Nous allons eacutetudier la distribution de champ magneacutetique ( )B la densiteacute de courant eacutelectrique
( )J et le champ eacutelectrique dans ce cylindre supraconducteur
Le milieu supraconducteur de cylindre est repreacutesenteacute par 0micro micro= Les eacutequations neacutecessaires
pour deacuteterminer ces grandeurs se sont les eacutequations de Maxwell simplifieacutees suivantes
( ) I7BrotEt
part= minus
part
( )0 I8rotB Jmicro=
Les coordonneacutees cylindriques sont employeacutees Le champ magneacutetique appliqueacute ( )aB t
est orienteacute suivant lrsquoaxe Oz J et E sont donc orienteacutes suivant θ et variant en fonction de r
et t
Lorsqursquoon augmente la valeur du champ magneacutetique appliqueacute aH lrsquoinduction
magneacutetique B va peacuteneacutetrer progressivement agrave lrsquointeacuterieur de cylindre
28
En utilisant le modegravele de Bean afin de deacuteterminer la distribution de champ
magneacutetique B de la densiteacute de courant eacutelectrique J et de champ eacutelectrique E agrave lrsquointeacuterieur de
cylindre supraconducteur lrsquoeacutequation (18) donne
( )0 o u 0 I9rotB J rotBmicro= plusmn =
Lrsquoinduction agrave la surface de cylindre vaut
( ) ( ) ( )0 0 I10aB R t H tmicro=
Dans le cylindre le champ magneacutetique est orienteacute suivant lrsquoaxe Oz et ne deacutepond que r et t
( ) ( ) I11zB B r t u=
Par contre le champ eacutelectrique E et la densiteacute de courant J sont orienteacute suivant θ et
deacutependent aussi de r et t
( ) ( ) I1 2E E r t uθ=
( ) ( ) I1 3J J r t uθ=
Le champ magneacutetique exteacuterieur augmente agrave partir de zeacutero jusqursquoagrave une valeur
maximale Bmax Drsquoapregraves la loi de Lenz des courants qui srsquoopposent aux variations du champ
magneacutetique se deacuteveloppent agrave partir de lrsquoexteacuterieur du conducteur Drsquoapregraves le modegravele de Bean
ces courant ont une densiteacute de courant J eacutegale agrave (figure I17)
( )1
1
0 00
I14C
C
J ou pour r RJ
J ou pour R r Rminus lt lt
= + lt lt
Les eacutequations (I7) et (I9) deviennent
( ) ( ) I 51 1rE B
r r tpart part
= minuspart part
( )0 116C
B Jr
micropartminus = plusmnpart
Agrave partir des eacutequations (I11) et (I16) pour 1R r Rlt lt
( ) ( ) ( )0 I 1 7C aB r t J r R Bmicro= minus minus +
29
Pour une peacuteneacutetration complegravete le champ de peacuteneacutetration complegravete est donneacute sous la forme
( )0 I18p CB J Rmicro=
Si la valeur du champ externe est infeacuterieure agrave cette valeur la peacuteneacutetration dans ce cas est
incomplegravete et le champ peacutenegravetre jusqursquoagrave PR que lrsquoon peut calculer
( )max
0
I19PC
BR RJmicro
= minus
Le champ eacutelectrique est preacutesent entre ( )1R t et R et il est calculeacute agrave partir de lrsquoeacutequation (I16)
( )( )( ) ( )
2 21 I2
2 0
r R tBE r tt r
minuspart= minus
part
Lrsquoexpression de ( )1R t est donneacutee comme suit
( ) ( ) ( )max 01
0
I 12
2C
B B tR t R
Jmicrominus
= minus
En cas de peacuteneacutetration complegravete PR est eacutegal agrave 0 Quand ( )1R t srsquoannule le champ eacutelectrique
devient
( ) ( ) 22
2 IB rE r tt
part= minus
part
Figure I17 Distribution de B J E dans un cylindre supraconducteur soumis agrave un
champ magneacutetique parallegravele agrave son axe
30
I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)
Pour les supraconducteurs HTC le modegravele de la loi en puissance repreacutesente mieux la
caracteacuteristique E(J) que le modegravele CSM [68-70]
( ) ( )1
I23n n
c cc c
J JJE J E E JJ J J
minus
= =
Avec
cE Champ eacutelectrique critique (Vm) sa valeur est fixeacutee arbitrairement agrave 1 V mmicro pour les
mateacuteriaux SHTC
cJ Densiteacute de courant critique (Am2) elle caracteacuterise les performances du mateacuteriau
supraconducteur
n Exposant de la loi en puissance il deacutefinit la vitesse de transition du mateacuteriau entre les
deux cas limites 1n = correspond agrave une loi drsquoohm lineacuteaire alors que pour n plus grand ( n
gt200) on srsquoapproche du modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean
Figure I18 Comparaison entre la caracteacuteristique E(J) correspond au modegravele de Bean (courbe
rouge) et au modegravele de loi en puissance (courbe verte) avec celle obtenue expeacuterimentalement
(courbe bleu) pour un ruban
Contrairement au modegravele CSM le modegravele PLM est plus commode agrave utiliser dans les
formulations numeacuteriques car sa fonction est continue et possegravede eacutegalement une deacuteriveacutee
continue et crsquoest un modegravele dont leurs paramegravetres se rapprochent le mieux des valeurs
lrsquoexpeacuterimentales (figure I18)
31
Par ailleurs en reacutealiteacute les paramegravetres Jc et n ne sont pas constants ils sont
geacuteneacuteralement deacutependants du champ magneacutetique et de la tempeacuterature
I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et n
Depuis les anneacutees 80 beaucoup de travaux ont eacuteteacute consacreacute agrave eacutetudier la deacutependance en
champ magneacutetique de la densiteacute de courant critique des SHTC Cette deacutependance peut ecirctre
obtenue expeacuterimentalement par des meacutethodes eacutelectriques et magneacutetiques
Dans les mesures eacutelectriques la fiabiliteacute et la reacutepeacutetabiliteacute des valeurs mesureacutees du
courant critique sont reacuteduites en raison des difficulteacutes agrave eacutetablir des contacts dans leacutechantillon
et agrave choisir un critegravere de tension pour deacutefinir Jc De plus en geacuteneacuteral des courants importants
traversent lrsquoeacutechantillon pendant les mesures de sorte qursquoils produisent un champ magneacutetique
qui modifie le champ appliqueacute de maniegravere non homogegravene
Le premier modegravele qui deacutecrive la deacutependance en champ magneacutetique de Jc est proposeacute
par Y Kim [71] pour les mateacuteriaux supraconducteurs agrave basse tempeacuterature critique (SBTC)
( ) 0
01 C
CJJ BB B
=+
Ougrave Jc0 est la densiteacute d courant critique sous champ nul B est lrsquoamplitude de lrsquoinduction
magneacutetique et B0 est une constante caracteacuterisant le mateacuteriau
La formule de Kim deacutecrit un comportement isotrope alors que les supraconducteurs
HTc sont fortement anisotropes lrsquoorientation du champ magneacutetique a une influence
importante sur la densiteacute du courant critique du supraconducteur [66] Une autre forme
geacuteneacuteraliseacutee de la loi de ce modegravele de Kim a eacuteteacute proposeacutee pour prendre en consideacuteration le
pheacutenomegravene drsquoanisotropie des mateacuteriaux SHTC [7273]
( ) ( )0
2 2 2
0
1
I24JcJc B Bk B B
B
βperp
perp
= + +
k Facteur drsquoanisotropie (gt1)
etB Bperp Composantes parallegravele et perpendiculaire du champ magneacutetique
β Constante caracteacuterisant la deacutependance vis-agrave-vis du champ magneacutetique
32
Eacutegalement lrsquoexposant-n de la loi en puissance se comporte de la mecircme maniegravere que Jc vis-agrave-
vis le champ drsquoinduction magneacutetique plusieurs eacutetudes ont montreacute cette deacutependance [74-77] et
la loi du comportement est similaire agrave celle de Kim pour les milieux SHTC anisotropie
( ) ( )0 2 2 2
0
)
1
I25
n
nn B Bk B B
B
perp
perp
=+
+
Avec n0 est une constante qui repreacutesente la valeur de n sous champ nulle et Bn0 est une
constante caracteacuterisant la deacutependance du n vis-agrave-vis le champ magneacutetique
I5 Meacutethodes drsquoaimantation
Les supraconducteurs notamment sous forme massive peuvent ecirctre aimanteacutes et ainsi
reacutealiser ce qursquoon appelle des cryo-aimants qui permettent de geacuteneacuterer des champs magneacutetiques
de plusieurs teslas le record eacutetant agrave de 176 T agrave 26degK [78] Par ailleurs plusieurs axes de
recherches ont eacuteteacute consacreacutes agrave eacutetudier la possibiliteacute de profiter de lrsquoinduction magneacutetique
importante produite par des pastilles aimanteacutees en vue drsquoapplications en geacutenie eacutelectrique Il
existe diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantation des supraconducteurs massifs ces meacutethodes sont
baseacutees sur la variation du champ magneacutetique appliqueacute afin de creacuteer selon la loi de Lenz des
courants induits agrave lrsquointeacuterieur de ces supraconducteurs Ces courants induits geacutenegraverent agrave leur
tour un champ magneacutetique opposeacute au champ appliqueacute Ce principe est utiliseacute pour reacutealiser des
eacutecrans magneacutetiques ou pour pieacuteger du champ magneacutetique avec des aimants
supraconducteurs
I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)
Cette meacutethode consiste agrave appliquer un champ magneacutetique en refroidissant une pastille
supraconductrice agrave une tempeacuterature infeacuterieure agrave sa tempeacuterature critique (TltTC) en preacutesence
du champ magneacutetique appliqueacute [79-81] Ensuite et quand la tempeacuterature de refroidissement
stabilise ce champ magneacutetique appliqueacute est rameneacute tregraves lentement vers le zeacutero ce qui permet
la creacuteation des courants induits agrave lrsquointeacuterieur de la pastille en srsquoopposant agrave la deacutecroissance du
champ magneacutetique appliqueacute afin drsquoavoir un champ magneacutetique pieacutegeacute dans la pastille La
figure I19 illustre les diffeacuterentes eacutetapes drsquoaimantation par la meacutethode FC
33
Figure I19 Aimantation par refroidissement sous champ magneacutetique (Field Cooling FC)
[109]
La meacutethode FC donne des meilleurs reacutesultats en termes de champ pieacutegeacute Par contre ce
dernier ne peut pas ecirctre supeacuterieur au champ appliqueacute
Cependant lrsquoutilisation drsquoun eacutelectro-aimant supraconducteur est primordiale pour obtenir une
forte valeur du champ magneacutetique (gt10T) et permet ensuite de pieacuteger un champ magneacutetique
plus intense
En 2003 et lors de leurs travaux sur lrsquoaimantation de lrsquoYBaCuO massif les japonais
Masaru Tomita et Masato Murakami ont pu pieacuteger un champ magneacutetique eacutegale agrave 17 T agrave 29 K
en appliquant un champ magneacutetique eacutegale agrave 179T [78] et une valeur de 176T a eacuteteacute pieacutegeacutee par
J H Durrell et all agrave 28K en 2014 [82] en utilisant des pastilles supraconductrices de type
GdBCO de 2415 mm de diamegravetre et de 15 mm de hauteur
I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC)
Dans cette meacutethode et contrairement agrave la meacutethode FC lrsquoapplication du champ
magneacutetique se fait apregraves le refroidissement de la pastille agrave la tempeacuterature de fonctionnement
(tltTc) [81] figure I20
Avec cette meacutethode on peut pieacuteger une valeur de champ magneacutetique inferieur
(environ deux fois) agrave celle pieacutegeacute par la meacutethode FC car deux nappes de courant sont induites
lors de lrsquoaimantation par ZFC une correspondant agrave lrsquoapplication du champ magneacutetique et
lrsquoautre agrave la diminution du champ
34
Figure I20 Aimantation par refroidissement hors champ magneacutetique
(Zero Field Cooling ZFC) [109]
En utilisant les meacutethodes drsquoaimantations FC et ZFC un champ magneacutetique appliqueacute
externe important et constant est neacutecessaire pour eacutetablir un champ SHTC pieacutegeacute intense En
geacuteneacuterale cela signifie quun aimant soleacutenoiumlde supraconducteur agrave grande eacutechelle et des
alimentations encombrantes associeacutees sont neacutecessaires Ces exigences limitent souvent
lutilisation de ce type drsquoaimants SHTC pour une utilisation dans la recherche scientifique au
niveau des laboratoires ou dans des applications industrielles comme les machines eacutelectriques
tournantes [83]
I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization
(PFM)
Le processus drsquoaimantation par la meacutethode PFM neacutecessite lrsquoobtention drsquoune impulsion
de courant eacutelectrique intense dans une bobine de petites dimensions ce qui permet de geacuteneacuterer
une impulsion de champ magneacutetique importante pour aimanter la pastille supraconductrice
[84-86]
La meacutethode PFM est une autre forme de la meacutethode ZFC sauf que la dureacutee de
lrsquoimpulsion de champ appliqueacute dans ce cas est tregraves courte (quelques millisecondes)
Lrsquoavantage fondamental de la meacutethode PFM est qursquoelle ne neacutecessite pas un eacutelectro-aimant
supraconducteur une simple bobine de cuivre suffit pour geacuteneacuterer une impulsion de champ
magneacutetique de plusieurs teslas et produit par la suite un champ magneacutetique pieacutegeacute important
(environ 30 agrave 40 du champ appliqueacute)
35
La forme de lrsquoimpulsion du champ magneacutetique appliqueacute le volume et la forme de la
pastille utiliseacutee et sa densiteacute de courant eacutelectrique influent fortement sur la valeur du champ
magneacutetique pieacutegeacute dans la pastille
Figure I21 Aimantation par un champ impulsionnel (pulsed field magnetization PFM)
[109]
Le circuit eacutelectrique de lrsquoaimantation utiliseacute dans ce cas-lagrave est un circuit RLC composeacute drsquoun
circuit de charge de condensateur C et circuit de deacutecharge de ce condensateur dans lrsquoinducteur
Lind (Figure I22)
La forme de lrsquoimpulsion du champ magneacutetique creacuteeacute par lrsquoinducteur est lrsquoimage de la
forme du courant eacutelectrique produit par le circuit de deacutecharge LC Lrsquoamplitude et la constante
du temps caracteacuteristique du courant impulsionnel sont directement lieacutees agrave la valeur de
lrsquoinductance L
Figure I22 Scheacutema eacutelectrique simplifieacute du circuit utiliseacute pour aimanter les supraconducteurs
massifs
36
En reacutegime peacuteriodique lexpression du champ magneacutetique appliqueacute est alors donneacutee par la
solution de leacutequation de deacutecharge du circuit
( ) ( ) ex I26p 1a mt tH t Hτ τ
= minus
Avec
LCτ = Constance du temps du circuit de deacutecharge
( )0 exp(1)mH q τ= Champ maximal donneacutee pour t τ=
0q Charge initiale du condensateur C du circuit
La figure I23 preacutesente leacutevolution temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour
laimantation par la meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
Figure I23 Variation temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour laimantation par la
meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
Eacutetant donneacute que la magneacutetisation par la meacutethode PFM est un proceacutedeacute largement utiliseacute
pour laimantation des cryo-aimants il semble inteacuteressant de deacutevelopper des outils et des
meacutethodes de calcul deacutedieacutees pour ce proceacutedeacute Des travaux anteacuterieurs avaient eacuteteacute meneacutes en vue
du deacuteveloppement des modegraveles analytiques pour calculer la distribution du champ magneacutetique
des bobines circulaires seules avec un noyau de fer ou en preacutesence de noyau supraconducteur
[87-91] ainsi que le cas de bobine circulaire dans un circuit ferromagneacutetique avec entrefer
[92]
37
Dans le chapitre II de cette thegravese nous allons deacutevelopper un modegravele analytique pour
montrer lrsquoeffet de la preacutesence drsquoune pastille supraconductrice sur la valeur de lrsquoinductance
drsquoune bobine circulaire placeacutee dans un circuit ferromagneacutetique avec entrefer
I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTC
La deacutetermination de la densiteacute de courant critique du mateacuteriau supraconducteur peut ecirctre
reacutealiseacutee soit par la meacutethode eacutelectrique (meacutethode directe) soit par la meacutethode magneacutetique
(meacutethode indirecte) Chacune de ces meacutethodes comporte des problegravemes pratiques qui rendent
deacutelicate lrsquoobtention drsquoune mesure preacutecise de CJ
I51 Meacutethode eacutelectrique
La meacutethode eacutelectrique consiste agrave injecter dans lrsquoeacutechantillon des courants croissants
jusqursquoagrave ce que lrsquoeacutetat supraconducteur disparaisse [93] La meacutethode de quatre pointes est ainsi
utiliseacutee dans laquelle le courant I est injecteacute dans lrsquoeacutechantillon et la mesure de la tension U
aux bornes de lrsquoeacutechantillon est faite (figure I24) On considegravere que le courant injecteacute se
reacutepartit uniformeacutement dans tout le mateacuteriau pour obtenir une relation simple entre le courant
et la densiteacute de courant I= JS ougrave S est la section de lrsquoeacutechantillon Aussi on suppose que le
champ eacutelectrique agrave une seule composante suivant lrsquoaxe de lrsquoeacutechantillon pour avoir une
relation simplifieacutee entre le champ eacutelectrique E et la tension U aux bornes de lrsquoeacutechantillon
U=El avec l est la distance entre les prises de potentiel Le champ eacutelectrique critique EC est
souvent choisi de 1 V mmicro A partir de la mesure U(I) en deacuteduit E(J) et par la suite la densiteacute
de courant critique Jc et lrsquoexposant-n de la loi en puissance preacutesenteacutee ci-dessus
Figure 24 Scheacutema repreacutesentatif de la meacutethode eacutelectrique pour deacuteterminer la densiteacute
de courant eacutelectrique Jc drsquoun mateacuteriau supraconducteur
Cette meacutethode de mesure de Jc des SHTC est simple et donne accegraves la vraie valeur de
Jc Cependant [93] elle implique la pose de contact sur lrsquoeacutechantillon qui peut entrainer des
38
problegravemes de dissipation de chaleur aux contacts Cette meacutethode est geacuteneacuteralement tregraves utiliseacutee
surtout pour les rubans
I52 Meacutethode magneacutetique
Les meacutethodes magneacutetiques sont baseacutees sur lrsquoeacutetude des proprieacuteteacutes magneacutetique du
mateacuteriau supraconducteur Lrsquoeacutechantillon est soumis agrave un champ magneacutetique externe H Ce
champ creacutee des boucles de courant induites qui peuvent ecirctre de type intragrain ou intergrain
[39] srsquoopposant au champ appliqueacute Les meacutethodes geacuteneacuteralement utiliseacutees mesurent
lrsquoaimantation M de lrsquoeacutechantillon et permettent alors de calculer la densiteacute de courant critique
Jc agrave lrsquoaide du modegravele de Bean
Les principaux avantages des meacutethodes magneacutetiques sont drsquoune part lrsquoabsence de
contact eacutelectrique avec lrsquoeacutechantillon et donc la possibiliteacute de ne pas amener de chaleur agrave
lrsquoeacutechantillon et drsquoautre part la possibiliteacute drsquoeacutetudier des eacutechantillons de taille tregraves faible voire
mecircme des poudres
Au laboratoire GREEN Bruno DOUINE amp al ont deacuteveloppeacute une nouvelle meacutethode
magneacutetique de caracteacuterisation de pastilles SHTC pour deacuteterminer la densiteacute de courant
critique Jc et lrsquoexposant-n de la loi en puissance du mateacuteriau supraconducteur Le principe est
de mesurer le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP Ce champ magneacutetique
correspond au champ magneacutetique appliqueacute neacutecessaire pour que la diffusion du champ
magneacutetique atteigne le centre de pastille SHTC [77 94 95 96]
I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastille
Un champ magneacutetique est appliqueacute perpendiculairement sur une pastille SHTC de
rayon R et de hauteur L comme crsquoest montreacute sur la figure I25 Ce champ magneacutetique
appliqueacute est consideacutereacute lineacuteairement varie en fonction du temps
( ) ( ) I27a bB t V t=
Avec Vb est la vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacute
Figure I25 Pastille supraconductrice massive de forme cylindrique soumise agrave un champ
magneacutetique appliqueacute axialement
39
Un champ magneacutetique commence agrave apparaitre au centre de la pastille apregraves un certain
temps pt appeleacute temps de peacuteneacutetration le champ magneacutetique appliqueacute neacutecessaire agrave la
peacuteneacutetration complegravete jusqursquoau centre de la pastille est appeleacute champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete et noteacute BP (figure I26) En utilisant le modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean
(CSM) ce champ de peacuteneacutetration appeleacute aussi champ de peacuteneacutetration de Bean BPB peut-ecirctre
analytiquement obtenu agrave partir de la loi de Biot et Savart sous la forme suivante [77]
( )
22
02
2
2ln4
2
I28cPB
LR RJ LB
LR R
micro
+ + = + minus
Le principe de cette meacutethode est de mesurer le champ de peacuteneacutetration BPB et deacuteduire
par la suite la densiteacute de courant critique Jc
Figure I26 Variation du champ magneacutetique en fonction du temps Ba est le champ appliqueacute
sur la pastille et B0 repreacutesente le champ magneacutetique mesureacute au centre de la pastille
En fait lrsquoideacutee principale est de remplacer la pastille SHTC eacutetudieacutee par deux pastilles
SHTC identiques seacutepareacutees par un entrefer drsquoeacutepaisseur laquo e raquo dans lequel est placeacutee une sonde
agrave effet Hall afin de mesurer le champ magneacutetique entre ces deux pastille (figure I27) Le
champ magneacutetique mesureacute possegravede une seule composante crsquoest la composante radiale
40
Figure I27 Position de sonde agrave effet Hall entre deux pastilles SHTC
Theacuteoriquement ces deux pastilles sont consideacutereacutees comme une seule pastille dont
lrsquoinfluence de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoentrefer creacuteeacute par la sonde sur la valeur de la densiteacute de courant
Jc doit ecirctre prise en consideacuteration
Lrsquoaimantation de la pastille se fait par la meacutethode PFM le champ appliqueacute est obtenu
par une simple deacutecharge drsquoun condensateur dans une bobine en cuivre Le scheacutema eacutelectrique
du circuit drsquoaimantation est preacutesenteacute sur la figure I22
La figure I28 repreacutesente la variation du champ magneacutetique en fonction du temps pour
deux pastilles SHTC identiques de type YBaCuO caracteacuteriseacutee chacune par un rayon R de
10mm et de longueur L eacutegale agrave 5 mm et seacutepareacutees par une distance de 1mm (repreacutesente
lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall)
Figure I28 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesureacute entre deux pastilles
SHTC
41
Par conseacutequent la deacutetermination du temps de peacuteneacutetration Pt est effectueacutee comme suit
Nous consideacuterons drsquoabord que apregraves peacuteneacutetration complegravete du champ magneacutetique ( )Pt tgt
( )aB t et ( )0B t sont seacutepareacutes par une valeur eacutegale agrave PBB Deuxiegravemement nous modifions ( )0B t
B0(t) autour de tp pour quil soit identique au champ magneacutetique appliqueacute ( )aB t (figue I22)
Ceci permet au final de deacuteduire Pt et PMB
La valeur du champ magneacutetique PMB mesureacute pour des deux pastilles est drsquoenvirons 1
Tesla A partie de cette valeur de PMB cedil qursquoon suppose eacutegale agrave BPB on peut calculer la valeur
de la densiteacute de courant critique Jc agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 Elle est eacutegale agrave 110 Amm2 et
crsquoest une valeur proche des valeurs estimeacutees agrave partir des donneacutees des constructeurs et de la
litteacuterature
I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur le champ
de peacuteneacutetration
En utilisant le modegravele de la loi en puissance (PLM) le champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete noteacute BP peut srsquoexprimer numeacuteriquement en fonction du champ
magneacutetique de peacuteneacutetration ducirc au modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM) (BPB) de la vitesse
de monteacutee du champ appliqueacute Vb et de la puissance n comme [77]
( ) ln I291 bP PB
VB Bn
α β+ = +
Avec 12α = et 34β =
On peut ajouter ici qursquoil nrsquoy a pas drsquoinfluence des paramegravetres geacuteomeacutetrique de la
pastille R et L sur les valeurs de α etβ
La relation I29 saveacuterera expeacuterimentalement utile pour deacuteterminer la valeur n dune
pastille supraconductrice soumise agrave des diffeacuterentes vitesses de monteacute Vb du champ externe
Pour cela deux manipes expeacuterimentales sont installeacutees lrsquoune contient une bobine
supraconductrice afin de geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee du champ appliqueacute Ba (Meacutethode
drsquoaimantation ZFC) et lrsquoautre une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer un champ magneacutetique
agrave vitesse de monteacutee eacuteleveacutee de Ba (Meacutethode PFM) Les reacutesultats de mesure de champ
magneacutetique sont illustreacutes sur la figure I29
Lrsquoinfluence de lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall placeacutee sera prise en consideacuteration
dans les calculs de lrsquoexposant-n et la densiteacute de courant critique du mateacuteriau supraconducteur
42
(a) (b)
Figure I29 Repreacutesentation du champ magneacutetique appliqueacute et le champ magneacutetique mesureacute
entre deux pastilles SHTC en fonction de temps en utilisant a) une bobine supraconductrice
pour geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee b) une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer une
vitesse de monteacutee eacuteleveacutee
Soit 1PMB le champ de peacuteneacutetration mesureacute pour une faible vitesse de monteacutee 1bV et 2PMB est le
champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute pour une vitesse de monteacutee eacuteleveacutee 2bV
A partir de lrsquoeacutequation (I22) la valeur de n peut ecirctre deacuteduite agrave partir de
( ) ( )2 1 1 2
1 2
I3l ln
0nPM b PM b
PM PM
B V B Vn
B Bα
βminus
= minusminus
A partir de cette valeur de n et les valeurs de 1PB et 1bV on deacuteduit la valeur de PBB agrave
lrsquoaide de lrsquoeacutequation (I29) Par la suite la valeur de JC sera deacutetermineacutee agrave partir de lrsquoeacutequation
(I28) en fonction des paramegravetres geacuteomeacutetrique R et L
I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de lrsquoexposant-n et Jc
Rappelons que les mesures expeacuterimentales agrave travers la sonde agrave effet Hall placeacutee entre
deux pastilles SHTC donnent le champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute BPM et non pas le
champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP agrave cause de lrsquoentrefer existant entre les deux
pastilles ducirc agrave la sonde
Afin de trouver une relation entre BPM et BP une simulation numeacuterique est effectueacutee
pour les deux cas suivants
43
- Cas drsquoune pastille seule sans sonde agrave effet hall (e=0) pour deacutetermineacute BP au
centre de la pastille agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I8
- cas de deux pastilles identiques seacutepareacutees pour une distance laquo e raquo qui preacutesente
lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall pour deacuteterminer le champ de peacuteneacutetration BPM
La figure I30 repreacutesente la variation de rapport PM PB B en fonction de la longueur L
de la pastille pour e = 05 mm et e = 1 mm Le champ magneacutetique appliqueacute sur les pastilles est
caracteacuteriseacute par une vitesse de monteacutee Vb= 1000 Ts les pastilles utiliseacutees sont modeacuteliseacutees par
une densiteacute de courant critique Jc=100Amm2 un rayon R=10 mm et n = 15
Une relation entre BPM et BP est deacuteduite
( ) ( ) 05 00 I312ln( ) 081 368 1PM
P
B e mm LB
= = +
( ) ( ) 1 00 I3350ln( ) 07233 2PM
P
B e mm LB
= = +
Les expressions I10 et I11 sont indeacutependantes de Vb et n [95] Cependant elles sont valables
uniquement pour R=10 mm Pour drsquoautres valeurs de R des nouvelles relations entre BPM et
BP peuvent ecirctre exprimeacutes avec les mecircmes maniegraveres de calculs
Figure I30 Rapport P
PMBB
en fonction de longueur L de la pastille SHTC
I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille
Une autre meacutethode de calcul de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete a eacuteteacute
proposeacutee en utilisant une seule pastille au lieu deux agrave partir de la mesure de champ
magneacutetique au centre de la surface de la pastille agrave lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet hall placeacutee agrave une
44
distance laquo d raquo au-dessus de la surface de la pastille (figure I31) Cette meacutethode a lrsquointeacuterecirct
drsquoecirctre tregraves simple agrave exeacutecuter et moins couteuse
Figure I31 Position du sonde agrave effet Hall au centre de surface de la pastille
I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et BP
Des simulations numeacuteriques et analytiques ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour deacuteterminer la relation
entre le champ magneacutetique mesureacute agrave lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet Hall et le champ magneacutetique
de peacuteneacutetration complegravete BP
Une pastille SHTC de rayon R et de longueur L est agrave soumise agrave un champ
magneacutetique lineacuteairement variable appliqueacute perpendiculairement sur la surface de la pastille
Cela nous permet de deacuteterminer le champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur et agrave lrsquoexteacuterieur de la
pastille Ainsi de deacuteterminer la densiteacute du courant critique de cette pastille
La figure I32 repreacutesente la distribution de la densiteacute du courant CJ J dans la pastille
SHTC pour trois diffeacuterentes vitesses de monteacutee Vb (01 Ts et 10 Ts et 1000Ts) pour une
mecircme valeur de la densiteacute de flux magneacutetique appliqueacute Dans cette simulation la valeur de
lrsquoexposant-n utiliseacute est 15 ce qui repreacutesente une faible valeur pour un SHTC agrave 77 K et une
densiteacute de courant critique Jc consideacutereacutee constante eacutegale agrave 100 Amm2
On remarque que quels que soient la valeur de Vb les paramegravetres geacuteomeacutetriques de la pastille
SHTC et la valeur de n (gt 10) JJc est presque constante partout dans les reacutegions ougrave la
densiteacute de courant eacutelectrique nrsquoest pas nulle
Quand Ba devient eacutegal agrave BP on dit que la peacuteneacutetration est complegravete et CJ J est consideacutereacute
constant sur toute la pastille comme dans le cas du modegravele de Bean
45
Figure I32 Distribution de la densiteacute de courant JJc dans la pastille SHTC pour trois valeur
de vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacute
On appelle ( )0B t le champ magneacutetique au centre de la pastille SHTC et ( )zB d t le
champ magneacutetique mesureacute par la sonde agrave effet Hall au-dessus du centre de la surface de la
pastille agrave une distance d=05mm
46
( )aB t ( )0B t et ( )05 zB d mm t= sont repreacutesenteacute sur la figure I26 une densiteacute de courant
critique constante Jc=100Amm2 un champ magneacutetique appliqueacute lineacuteairement varie avec une
vitesse de monteacute Vb=1 Ts et une valeur de lrsquoexposant-n=15
La diffeacuterence ( ) ( )a zB t B tminus noteacute ( ) )ZSCB d t repreacutesente la densiteacute de flux magneacutetique
produit par le courant induit agrave lrsquointeacuterieur de la pastille SHTC La figure I33 montre que la
diffeacuterence ( ) ( )05 a zB t B d mm tminus = atteint une valeur maximale noteacute BZSCM avant que
( ) ( )0aB t B tminus atteint BP La relation entre BZSCM et BP est lieacutee aux paramegravetres geacuteomeacutetriques de
la pastille SHTC comme dans le modegravele de lrsquoeacutetat critique (CSM)
Figure I33 Calcul numeacuterique de BP au centre de la pastille et BZSCM au-dessus du centre de
surface de la pastille agrave d = 05mm
Dans le cas du champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete et modegravele de lrsquoeacutetat critique
(CSM) la densiteacute du flux magneacutetique le long de lrsquoaxe drsquoune pastille supraconductrice
cylindrique noteacute BZSCB peut ecirctre donneacute analytiquement en utilisant la loi de Biot et Savart de
la mecircme faccedilon que BPB sous forme
( ) ( ) ( )
( )
( )2 2 2 2
0
2 2 22
1 1 ln l I3n
4 1 13C
ZSCB
R Rd L RJ d RB d R L d L dR R
d Rd L R
micro
+ + + + + = + minus minus minus + + +
47
Une eacutetude comparative a eacuteteacute reacutealiseacutee entre un calcul analytique du rapport ZSCB PBB B
et un calcul numeacuterique du rapport ZSCM PB B en fonction de la distance laquo d raquo Le calcul
numeacuterique est fait pour diffeacuterentes valeurs de n et Vb (figure I34)
Figure I34 comparaison entre le calcul numeacuterique ZSCB PBB B et le calcul analytique
ZSCM PB B
On remarque que quels que soient les valeurs de n et Vb les rapports ( ) ZSCM PB d B et
( ) ZSCB PBB d B sont eacutequivalents Donc agrave partir de la valeur BZSCM(d) mesureacute le champ de
peacuteneacutetration PB peut ecirctre deacuteduit de la faccedilon suivante
( )( )( ) ( )
I34ZSCM mesureacute
PZSCB PB analytiquement
B dB
B d B=
Le rapport ( )( )ZSCB PBB d B est indeacutependant de Jc il deacutepend seulement des paramegravetres
geacuteomeacutetrique R et L de la pastille
48
I6 Objectifs de la thegravese
Apregraves avoir preacutesenteacute un rappel historique sur lrsquoeacutevolution de la supraconductiviteacute
depuis sa deacutecouverte jusqursquoau temps actuel nous avons rappeleacute quelques proprieacuteteacutes
caracteacuteristiques des mateacuteriaux supraconducteurs et leurs grandeurs critique Ensuite nous
avons preacutesenteacute les mateacuteriaux massifs supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
et leurs proprieacuteteacutes en citant deux mateacuteriaux de ce type agrave savoir lrsquoYBaCuO et le MgB2 Nous
avons preacutesenteacute eacutegalement des diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantations des pastilles supraconductrices agrave
savoir les meacutethodes ZFC FC et PFM
Enfin nous avons fait un reacutesumeacute sur une nouvelle meacutethode de caracteacuterisations reacutealiseacutee
au laboratoire GREEN par B DOUINE amp al pour calculer les grandeurs caracteacuteristiques
drsquoune pastille SHTC
Deux axes principaux sont viseacutes par cette thegravese
1 Proposer des modegraveles analytiques de dimensionnement de lrsquoinducteur drsquoun systegraveme
drsquoaimantation drsquoune pastille supraconductrice en preacutesence drsquoun circuit
ferromagneacutetique
2 Ameacuteliorer les meacutethodes de caracteacuterisation existant notamment celles utilisant la
meacutethode PFM afin drsquoeacutetudier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique drsquoune
pastille supraconductrice agrave haute tempeacuterature critique
49
Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de
lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit
ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune
pastille supraconductrice
50
II1 Introduction
La supraconductiviteacute est un domaine tregraves passionnant de la physique appliqueacutee En
geacutenie eacutelectrique comme en physique les supraconducteurs sont largement utiliseacutes pour
obtenir des champs magneacutetiques tregraves eacuteleveacutes On peut obtenir des aimants avec des mateacuteriaux
supraconducteurs massifs de type (RE) BCO agrave lrsquoaide drsquoun champ magneacutetique Ils peuvent
atteindre une densiteacute de flux magneacutetique tregraves eacuteleveacutee En effet il existe diffeacuterentes faccedilons
drsquoaimanter ce type de supraconducteurs massifs Cependant le moyen le plus commode et le
plus courant est drsquoutiliser un champ magneacutetique pulseacute Cette meacutethode est appeleacutee laquo PFM raquo
pour laquo Pulsed Field Magnetization raquo elle est geacuteneacuteralement utiliseacutee pour lrsquoaimantation des
cryo-aimants [84]
Il est tregraves important destimer et deacutevaluer les composantes du champ magneacutetique qui
deacutependent fortement de la geacuteomeacutetrie de linducteur du circuit drsquoaimantation utiliseacute et qui a
pour but final doptimiser la configuration expeacuterimentale Dans leacutetape de conception de
linducteur neacutecessaire pour magneacutetiser les supraconducteurs massifs agrave haute tempeacuterature
critique (SHTC) la modeacutelisation et la simulation sont fortement recommandeacutees pour effectuer
les calculs neacutecessaires des diffeacuterentes caracteacuteristiques eacutelectriques du systegraveme eacutetudieacute agrave savoir
la reacutesistance et linductance de la bobine La deacutetermination de la valeur de la reacutesistance est
assez simple tandis que lrsquoinductance neacutecessite un traitement particulier
De ce fait des modegraveles analytiques ont eacuteteacute proposeacutes depuis longtemps pour calculer la
distribution du champ magneacutetique creacuteeacute par des bobines circulaires sans fer [88 89 98] et plus
reacutecemment pour des bobines avec des noyaux de fer de longueur finie [90] Bien que ces
meacutethodes donnent des reacutesultats preacutecis elles ne sont pas adapteacutees pour leacutetude des bobines
axisymeacutetriques placeacutees dans un circuit ferromagneacutetique contenant un entrefer simple ou un
entrefer contenant une pastille supraconductrice Ces modegraveles sont baseacutes essentiellement sur
la loi de Biot et Savart Des logiciels commerciaux sophistiqueacutes qui donnent des reacutesultats tregraves
preacutecis en consideacuterant la non-lineacuteariteacute des mateacuteriaux impliqueacutes dans le problegraveme eacutetudieacute sont
utiliseacutes
Dans ce chapitre nous proposons drsquoutiliser des meacutethodes analytiques pour reacutealiser
cette tacircche en reacutesolvant les eacutequations de Laplace et de Poisson De telles meacutethodes conduisent
agrave des solutions significatives avec des informations physiques tregraves utiles pour lrsquoeacutetape de la
conception Il srsquoagit de calculer le potentiel vecteur magneacutetique A
dans les diffeacuterentes reacutegions
drsquointeacuterecirct drsquoun circuit ferromagneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer concentrique par rapport agrave la
51
bobine en absence de tout mateacuteriau supraconducteur Le cas de preacutesence drsquoune pastille
supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du circuit deacutecrit preacuteceacutedemment sera eacutegalement
traiteacute Pour montrer lrsquoinfluence de la preacutesence drsquoun mateacuteriau supraconducteur sur la valeur de
lrsquoinductance de la bobine utiliseacutee il sera question de calculer son inductance dans les deux cas
A la fin de ce chapitre et en prenant le problegraveme du circuit magneacutetique sans pastille
nous allons utiliser lrsquoexpression analytique du potentiel vecteur magneacutetique obtenue dans ce
cas pour calculer les courants induits dans une pastille supraconductrice en utilisant laquola
meacutethode de Brandtraquo bien connue deacuteveloppeacutee en 1998 pour les disques et les cylindres dans
un champ magneacutetique axial [100 101]
II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveses
La geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute est repreacutesenteacutee sur la figure II1
Figure II1 Geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute un circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie infeacuterieur de longueur 3 2 e Z Z= minus concentrique avec une bobine de
longueur 4 1L Z Z= minus
Les reacutegions I III et IV correspondent agrave de lrsquoair La reacutegion II correspond agrave une bobine
circulaire en cuivre de section transversale rectangulaire Cette bobine composeacutee de N spires
de rayon interne 2R de rayon externe 3R et de longueur 4 1L Z Z= minus est parcourue par une
densiteacute de courant uniforme J dans le sens uθ
La bobine est concentreacutee autour drsquoun
entrefer de rayon 1R et de longueur 3 2e Z Z= minus situeacute sur la partie infeacuterieure du circuit
ferromagneacutetique (figure II1) Lrsquoensemble du systegraveme est deacutelimiteacute dans la direction axiale par
52
0z = et 5z Z= Les limites exteacuterieures du circuit ferromagneacutetique doivent ecirctre choisies
suffisamment loin de la zone de calcul pour ne pas affecter les reacutesultats obtenus Des
conditions aux limites homogegravenes de type Dirichlet sont consideacutereacutees dans les reacutegions I II et
III agrave 0z = et 5z Z= et de type de Neumann dans la reacutegion IV agrave 2z Z= et 3z Z=
Le problegraveme est traiteacute en axisymeacutetrique la formulation en potentiel vecteur
magneacutetique en coordonneacutees cylindriques est employeacutee Seule la composante suivant θ du
potentiel vecteur magneacutetique est preacutesente et elle ne deacutepend que des coordonneacutees r et z
A partir de lrsquoeacutequation de Maxwell-Ampegravere
( )0 0 0 II1ErotB Jt
micro micro ε part= +
part
Lorsque le champ eacutelectrique est stationnaire le second membre de lrsquoeacutequation (II1) devient
neacutegligeable
Drsquoautre part lrsquoexpression de lrsquoinduction magneacutetique en fonction du potentiel vecteur
magneacutetique est donneacutee comme suit
( ) ( ) II2B rot A=
En remplaccedilant lrsquoeacutequation (II2) dans (II1) on trouve
( ) ( )20 0 ( ( ) ) ( II 3) rot rot A J grad div A A Jmicro micro= rArr minusnabla =
Compte tenu de la jauge de coulomb ( ) 0div A = lrsquoeacutequation (II3) devient
( )20 II4A Jmicronabla = minus
Donc deux cas sont possibles
( )2 0
II0 5J Equation de Poisson
AEquation de Laplace
microminusnabla =
Pour notre problegraveme les expressions du potentiel vecteur magneacutetique pour chaque
reacutegion sont obtenues agrave partir de la reacutesolution de lrsquoeacutequation de poisson dans la reacutegion de la
bobine (reacutegion II) et de Laplace dans les reacutegions I II et III en respectant les conditions de
continuiteacute des composantes tangentielles et normales du champ magneacutetique aux interfaces
entre les reacutegions
53
( ) ( ) ( )( )
( )2
0
2
II6
0
( )II
i
r z
r
A J r z Reacutegion II Bobine
A Reacutegions i i I III IVz
micronabla =minusnabla = =
Avec 0micro et J sont respectivement la permeacuteabiliteacute du vide et la densiteacute de courant dans la bobine
Sachant que la densiteacute de courant J est consideacutereacutee homogegravene dans la bobine elle est
indeacutependante de la composante r et elle ne deacutepend que de z
( )1 4 ( ) II0
7J Z z Z
J zAilleur
lt lt=
Dans la modeacutelisation analytique de ce problegraveme nous avons supposeacute que la
permeacuteabiliteacute magneacutetique du circuit ferromagneacutetique est infinie (micro rarrinfin ) Ceci implique que
le champ magneacutetique nrsquoest pas calculeacute agrave lrsquointeacuterieur du milieu ferromagneacutetique et sa
composante tangentielle est nulle aux interfaces ferromagneacutetiques
II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetique
La reacutesolution de toute eacutequation diffeacuterentielle aux deacuteriveacutes partielles est fortement
deacutependante du domaine dans laquelle la solution est deacutefinie et valable ainsi les conditions
aux limites que cette solution doit remplir La reacutesolution de lrsquoeacutequation (II6) se fait dans les
reacutegions de I agrave IV agrave lrsquoaide de la meacutethode de seacuteparation des variables [90101]
II31 Reacutegion I 3 4 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation consideacutereacutee dans cette reacutegion est une eacutequation de Laplace elle srsquoeacutecrit en
coordonneacutees cylindrique sous la forme
( )2 2
22 2 2
10 0 II8I I I II
A A A AAr r r r z
part part partnabla = rArr + minus + =
part part part
Les conditions agrave limites homogegravenes de Dirichlet sont imposeacutees ici agrave 0Z = et 5Z Z=
( )1 1 5 ( 0 ) ( ) 0 II9A r z A r z Z= = = =
La composante tangentielle du champ magneacutetique est nulle agrave lrsquointerface pour 4r R=
( )4
II1( ) 0 0r R
rAr =
part=
part
En utilisant la meacutethode de seacuteparation de variable le potentiel Vecteur magneacutetique peut
srsquoeacutecrire comme suit
54
( ) ( ) ( ) ( ) II11A r z R r Z z=
A partir des eacutequations (II9) (II10) et (II11) la forme geacuteneacuterale de lrsquoexpression du potentiel
vecteur magneacutetique dans la reacutegion I est donneacutee par (voir deacutetails en annexe I)
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 11 0 4
II12nII n n n n
n n
K RA r z b I r K r sin z
I Rα
α α αα
infin
=
= +
sum
Avec n est un entier positif 5n n Zα π= est la valeur propre du problegraveme I0 et K0 sont
respectivement les fonctions de Bessel modifieacutees du premier et du deuxiegraveme type drsquoordre 0 etI1 et
K1sont respectivement les fonctions de Bessel modifieacutees du premier et du deuxiegraveme type ordre1
[102] Alors que Inb est la constante drsquointeacutegration elle sera deacutetermineacutee par la suite en utilisant
les conditions de passages agrave lrsquointerfaces agrave 3r R= entre les reacutegions I et II
II32 Reacutegion II 2 3 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre dans cette reacutegion est une eacutequation de Poisson En coordonneacutees
cylindriques
( )2 2
02 2 2
1 ( ) II13II II II IIA A A A J zr r r r z
micropart part part+ minus + = minus
part part part
Les conditions aux limites de Dirichlet sont imposeacutees ici agrave 0z = et 5z Z=
( )5 ( 0) ( I 10 4) III IIA r z A r z Z= = = =
Lrsquoeacutequation (II13) est une eacutequation diffeacuterentielle de deuxiegraveme degreacute avec second membre sa
reacutesolution est deacutetailleacutee dans lrsquoannexe I
La solution geacuteneacuterale de (II13) est donneacutee donc par
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 11
II15II IIII n n n n n n n
n
A r z a I r b K r C L r sin zα α α αinfin
=
= + minussum
Avec 022
nn
n
JC micro πα
= et ( ) ( ) ( ) ( )( )5
1 45 0
2 2sin cos cosZ
n n n nJJ J z z dz Z Z
Z nα α α
π= = minusint
L1 est la fonction de Struve modifieacutees ordre 1
Les constantes drsquointeacutegrations IIna et II
nb sont deacutetermineacutees en utilisant les conditions de
passages aux interfaces agrave 3r R= entre les reacutegions I et II et agrave 2r R= entre les reacutegions II et III
55
II33 Reacutegion III 1 2 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Dans cette reacutegion lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre est de type Laplace
( )2 2
2 2 2
1 0 II16III III III IIIA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites imposeacutees ici sont
( )5 ( 0) II1( ) 0 7III IIIA r z A r z Z= = = =
Consideacuterons les conditions aux limites de lrsquoeacutequation (II17) la solution geacuteneacuterale de
lrsquoeacutequation (II16) est donneacutee par
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11
II18III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Les constantes drsquointeacutegrations IIIna et III
nb sont deacutetermineacutees en utilisant les conditions
de passages aux interfaces agrave 2r R= et agrave 1r R= entre les reacutegions II et III et les reacutegions III et IV
successivement
II34 Reacutegion IV 1 2 30 etr R Z z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation (II1) agrave reacutesoudre dans cette reacutegion est une eacutequation de Laplace
( )2 2
2 2 2
1 0 II19IV IV IV IVA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites imposeacutees ici agrave z=Z2 et z=Z3 sont de type de Neumann
( )2 3
II2( ) ( ) 00IV IV
z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
Une condition suppleacutementaire est imposeacutee agrave 0r = (axe de symeacutetrie)
( ) II( 0 2) 10IVA r z= =
Consideacuterons les eacutequations (II20) et (II21) la solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation (II19) est
donneacutee par
( ) ( ) ( )( ) ( )0 1 21
cos II22IVIV k k k
k
A r Z A r a I r z Zβ βinfin
=
= + minussum
56
Avec 5 2
kk
Z Zπβ =minus
0A et IVka sont des constantes drsquointeacutegration k est un entier positif
La constante dinteacutegration 0A est due agrave lrsquoapplication des conditions aux limites de Neumann
dans la reacutegion IV Elle est deacutetermineacutee en appliquant la condition de continuiteacute du potentiel
vecteur magneacutetique agrave linterface agrave 1r R= entre la reacutegion III et la reacutegion IV
II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0
On applique le principe de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique entre la reacutegion III et IV
agrave lrsquointerface agrave r= R1
( ) ( ) [ ] ( )1 1 2 3 pour II23III IVA r R z A r R z z Z Z= = isin=
Par inteacutegration par rapport agrave z sur lrsquointervalle[ ]2 3Z Z on trouve
( ) ( ) ( )( ) ( )0 1 1 1 111 3 2
1 II24III IIIn n n n n
nA m a I R b K R
R Z Zα α
infin
=
= +minus sum
Avec ( ) ( )( )2 31 cos cosn nn
n
Z Zm α αα
= minus
II4 Conditions de passages entres interfaces
Les relations entre les constantes drsquointeacutegrations etI II II III III IVn n n n n nb a b a b a sont
deacutetermineacutees en appliquant les conditions de passages aux interfaces entres les diffeacuterentes
reacutegions drsquointeacuterecirct du problegraveme consideacutereacute
Les conditions dinterface doivent satisfaire la continuiteacute des composantes radiale et axiale
de la densiteacute de flux magneacutetique Ces composantes peuvent ecirctre deacuteduites du potentiel vecteur
magneacutetique par
( ) ( ) 1 II25r z
rAAB Bz r r
partpart= =part part
II41 Condition drsquointerface agrave r=R3
En termes de potentiel vecteur magneacutetique deux conditions drsquointerface sont imposeacutees
entre les reacutegions I et II agrave 3r R=
57
( ) ( )( ) ( ) ( )
3 3
3 3
II26I II
I I
r R r R
A r R z A r R z
rA rAr r
= =
= = =part part = part part
On obtient
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 3 1 3 1 3 1 3 1 30 4
II27nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
+ minus minus = minus
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
3 3 0 3 0 3 00 4
0 30 II28nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
minus minus + = minus
II42 Condition drsquointerface agrave r=R2
Les conditions drsquointerface entre les reacutegions II et III agrave 2r R= sont donneacutees par
( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2
2 2
II29
II III
II III
r R r R
A r R z A r R z
rA rAr r
= =
= = =part part = part part
On obtient ainsi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 II30II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus minus + + = minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 II31II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus + + minus = minus
II43 Condition drsquointerface agrave r=R1
Agrave linterface entre les reacutegions III et IV des conditions particuliegraveres deacutefinies par
morceaux concernant la composante axiale du champ magneacutetique agrave r = R1 sont appliqueacutees
autour de cette interface agrave cause de la preacutesence de lentrefer dans le circuit ferromagneacutetique
( ) ( ) ( )1 1
2
2 3
3 5
0 0
II32
0
III IV
r R r R
z ZrA rA
Z z Zr r
Z z Z= =
lt lt
part part= lt ltpart part lt lt
La continuiteacute de la composante radiale de la densiteacute de flux conduit agrave
58
( ) ( ) ( )1 1 2 3 avec II33IV IIIA r R z A r R z Z z Z= = = lt lt
A partir des eacutequations (II32) et (II33) on obtient (voir deacutetail en Annexe II)
( )( )
( )( )
( ) 1 1 1 1 0 1
0 1 0 1
0 (II34)n k n n k nIII III IV
n n k n k kn k n n k n
h I R h K Ra b a g I R
f I R f K R
α αβ
α α
+ + = minus +
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 (II35)2
III III IVn n k n n n k n k k
ka g I R b g K R a I Rβπα α+ minus =
Avec
( )1 3 2
2 n kn k
m mhR Z Z
=minus
( ) ( )2
12 2
1 sin si
2 si
n
n k
n k n kf n kn n k
π
π
+minus ne= minus
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 3
12 2 3
2 2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
k kkk k k k
k
kk k k k k
kn k
Z Z
k Z Zg
Z
α β α α α βα βπ β β β α β
+
+
minus + minus ne= + + minus =
Donc les coefficients etI II II III III IVn n n n n nb a b a b a de lrsquoensemble des harmoniques drsquoespace
sont relieacutes les uns aux autres agrave travers les eacutequations (II27) (II28) (II30) (II31) (II34) et
(II35) Nous devons donc reacutesoudre un systegraveme de six eacutequations lineacuteaires agrave six inconnues en
reacuteeacutecrivant les eacutequations ci-dessus en systegraveme matriciel de taille ( ) ( )6 max 6 maxN Ntimes vu
qursquoil y a six coefficients avec Nmax est le nombre maximal drsquoharmoniques pris en charge
( )( )( )( )
11 12 13 1 3
21 22 23 0 3
32 33 34 35 1 2
42 43 44 45 0 2
54 55 56
64 65 66
0 0 00 0 0
0 00 00 0 0 00 0 0 0
In nn
IIn nn
IIn nn
IIIn nn
IIInIVn
C L RbC L RaC L RbC L Ra
ba
η η η αη η η α
η η η η αη η η η α
η η ηη η η
minus minus minus
= minus
Avec
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 3 1 3 1 21 3 1 3 1 30 4
11 nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
αη α η α η αα
+ = minus = minus=
59
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
21 3 3 22 3 23 30
0 04
0 0 nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
η α α η α η αα
= minus = minus =
( ) ( ) ( ) ( )32 1 2 33 1 2 34 1 2 35 1 2 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = minus = =
( ) ( ) ( ) ( )0 042 2 43 2 44 2 450 0 2 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = = = minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )54 1 1 0 1 55 1 1 0 1 56 0 1 n k n n k n n k n n k n n k kh I R f I R h K R f K R g I Rη α α η α α η β= minus = + =
( ) ( ) ( )64 1 1 65 1 1 66 1 1 2n k n n k n k
kg I R g K R I Rπη α η α η β = = = minus
La solution numeacuterique de ce systegraveme matriciel peut ecirctre obtenue en utilisant un
logiciel de calcul matheacutematique en lrsquooccurrence MATLAB dans le cas de la preacutesente eacutetude
Il convient de noter ici qursquoune inversion numeacuterique de cette matrice est neacutecessaire pour le
calcul des coefficients inconnus Cette inversion peut se faire en une seule fois et en calcul
symbolique
II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobine
Linductance est lune des principales caracteacuteristiques de la bobine Elle se deacutefinit
comme laptitude de celle-ci agrave sopposer agrave la variation de lintensiteacute du courant qui la traverse
Linductance dune bobine est une valeur propre deacutependante de la dimension physique de la
bobine ainsi que du mateacuteriel utiliseacute pour sa fabrication
Lrsquoinductance de la bobine est lieacutee agrave lrsquoeacutenergie magneacutetique stockeacutee par la relation suivante
21 1 (II36)2 2 V
W LI A Jdv= = int
Lrsquointeacutegrale (II36) est limiteacutee au volume de la bobine car la densiteacute de courant est nul ailleurs
Nous avons supposeacute que la densiteacute de courant eacutelectrique est uniformeacutement reacutepartie sur toute
la section de la bobine ce qui conduit agrave
(II37)JSIN
=
Avec ( )( )4 1 3 2S Z Z R R= minus minus
60
N et I sont respectivement le nombre de spires que contient la bobine et lrsquointensiteacute de courant
eacutelectrique qui les travers ( )( )4 1 3 2S Z Z R R= minus minus
Le potentiel de vecteur magneacutetique utiliseacute dans lrsquoeacutequation II36 est celui deacutefini dans la reacutegion
II de la bobine
En remplaccedilant les eacutequations (II15) et (II37) dans (II36) on obtient
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )4 3
1 2
2
2 1 11
0 1 II38II IIn n n n n n n
Z
Zn
R
Ra I r b K r C L rNL rdrsi z d
JSn zd
πα α θα α
infin
=
+= minussumint int int
En inteacutegrant (II38) par rapport aux variables r θ et z lrsquoexpression analytique de lrsquoinductance
est donc donneacutee par
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
3 3 2 2
3 3 2 221
4 40 3
1 4
3 2
2
2
II392
6
2 cos cos
IIn
IIn n n
n nn
n
a R U R R U R
b R V R R V R
J R W R R W R
NL Z ZJS
ππ α αα
αmicroπ
infin
=
minus + minus
minus minus
=
minussum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1n n n nU r I r L r I r L rα α α α= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1( ) n n n nV r K r L r K r L rα α α α= +
Et ( ) 2 23 512 3
2 2 4n rW r F α =
est la fonction hypergeacuteomeacutetrique [90]
II6 Reacutesultats analytiques et discussion
Les valeurs des paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutes dans notre problegraveme sont reacutesumeacutees
sur le tableau II1 Les solutions analytiques dans toutes les reacutegions ont eacuteteacute calculeacutees avec un
nombre fini en termes drsquoharmoniques eacutegal agrave 50 Les limites exteacuterieures du circuit dans la
direction axiale sont choisies de maniegravere agrave ce que leurs valeurs nrsquoaffectent pas les reacutesultats
obtenus
61
Tableau II1 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme sans pastille
Paramegravetre Description valeur
R1 Bord infeacuterieur du domaine dans la direction radial 0030 m
R2 Rayon interne de la bobine 0080 m
R3 Rayon externe de la bobine 0120 m
R4 Bord supeacuterieur du domaine dans la direction radial 0150 m
Z1 Limite inteacuterieure de la bobine 0200 m
Z2 Limite inteacuterieure de lrsquoentrefer 0225 m
Z3 Limite exteacuterieure de lrsquoentrefer 0275 m
Z4 Limite exteacuterieure de la bobine 0300 m
Z5 Limite exteacuterieure du domaine dans la direction axiale 0500 m
N Nombre des spires dans la bobine 1000
J Densiteacute de courant eacutelectrique dans la bobine 5 Amm2
Nmax Nombre drsquoharmoniques utiliseacute dans tout le domaine 50
Afin de valider nos reacutesultats analytiques nous devons les comparer avec ceux obtenus
en utilisant la meacutethode drsquoapproximation par eacuteleacutements finies [103104] (FEA pour Finite
Element Approximation) impleacutementeacutee sous le logiciel COMSOL Multiphysics La taille de
maillage et la preacutecision demandeacutee sont choisies de maniegravere agrave ce que les quantiteacutes deacuteriveacutees du
FEA servent de reacutefeacuterence une densiteacute de maillage drsquoenvirons 1850 triangles a eacuteteacute imposeacutee
dans la reacutegion du fer composant le circuit ferromagneacutetique La densiteacute de maillage consideacutereacutee
dans la reacutegion de lrsquoentrefer et de la bobine est moins eacuteleveacutee pour eacuteviter une augmentation
inutile de temps de calcul (figure II2) En effet les mecircmes paramegravetres geacuteomeacutetriques que ceux
deacutefinis dans le tableau 1 sont utiliseacutes Les conditions aux limites homogegravenes de type Dirichlet
et de Neumann sont eacutegalement prises en compte dans les simulations comme avec le modegravele
analytique
62
Figure II2 Maillages du circuit ferromagneacutetique avec entrefer eacutetudieacute par COMSOL
(a) (b)
Figure II3 Comparaison des distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir
du calcul analytique (a) et du calcul numeacuterique (b) avec le traceacute des lignes de champ
magneacutetique
63
La figure II3 repreacutesente la comparaison des distributions du potentiel vecteur
magneacutetique calculeacutees dans toutes les reacutegions drsquointeacuterecirct par la meacutethode analytique (a) et la
meacutethode numeacuterique (b) Nous avons ainsi repreacutesenteacute les lignes de champ magneacutetique dans
toutes les reacutegions drsquointeacuterecirct en calcul numeacuterique Les composantes radiale Br et axiale Bz de la
densiteacute de flux magneacutetique obtenues analytiquement sont ensuite repreacutesenteacutees et compareacutees agrave
celles obtenues numeacuteriquement dans la figure II4 (figure 4II (a) correspond agrave la reacutegion III et
figure 4II (b) correspond agrave la reacutegion IV)
(a)
(b)
Figure II4 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions
(a) III en ( )1 2 2r R R= + et (b) IV en 1 2r R=
64
Figure II5 Comparaison des valeurs de lrsquoinductance de la bobine en fonction de la longueur
de lrsquoentrefer obtenues numeacuteriquement avec celles obtenues analytiquement pour les
diffeacuterentes valeurs de nombres des harmoniques variant entre 1 et 50
Une comparaison est faite entre les valeurs numeacuteriques obtenues avec COMSOL et les
reacutesultats analytiques pour diffeacuterents nombres dharmoniques allant de 1 agrave 50 De toute
eacutevidence linductance diminue avec laugmentation de la longueur de lentrefer ( figure II5)
plus le nombre de termes harmoniques est eacuteleveacute plus la solution agrave la valeur de reacutefeacuterence
obtenue numeacuteriquement est proche
Lerreur maximale est de 3937 1147 635 292 152 et 075 pour un nombre de
termes harmoniques de 1 5 10 20 30 40 et 50 respectivement Nous pouvons conclure ici
que la formule proposeacutee est correcte et efficace De plus seuls 10 termes suffisent pour
obtenir moins de 10 derreur
Nous allons proceacuteder maintenant au calcul de lrsquoinductance de la bobine en preacutesence
drsquoune pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer
65
II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en
preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
Les mecircmes hypothegraveses consideacutereacutees preacuteceacutedemment dans le cas de circuit seul avec
entrefer seront consideacutereacutees par la suite en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
La figure II6 repreacutesente la geacuteomeacutetrie du problegraveme consideacutereacute
Figure II6 Circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer de longueur e dans lequel se trouve
une pastille supraconductrice
En Introduisant la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer deux reacutegions
suppleacutementaires sont consideacutereacutees en plus dans ce cas la reacutegion V et la reacutegion VI Ces deux
reacutegions correspondent agrave de lrsquoair (figure II6) La pastille supraconductrice est modeacuteliseacutee par
un diamagneacutetique parfait ( 0micro = ) de sorte que le potentiel vecteur magneacutetique est nul dans
toute la pastille y compris ses bords
De ce fait les conditions aux limites consideacutereacutees dans les reacutegions V et VI sont comme suit
( ) ( ) ( )2
3 ( ) 0 II400VV
z Z
A r z A r z Z reacutegionVz =
part= = =
part
( ) ( ) ( )5
4
0 0 ( II4) 1VIVI
z Z
A r zA r z Z reacutegionVI
z=
part= = =
part
Des conditions suppleacutementaires sont imposeacutees agrave en r=0 (lrsquoaxe de symeacutetrie)
66
( ) ( ) ( ) I0 0 et 0 0 I42V VIA r z A r z= = = =
Les expressions analytiques du potentiel vecteur magneacutetique pour les reacutegions I II et III du
problegraveme consideacutereacute dans la figure II6 sont donneacutees de la mecircme faccedilon que le problegraveme
preacuteceacutedent (en absence de la pastille supraconductrice) comme suit
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 5
1 11 0 5
II43nII n n n n
n n
K RA r z b I r K r sin z
I Rα
α α αα
infin
=
= +
sum
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 11
II44II IIII n n n n n n n
n
A r z a I r b K r C L r sin zα α α αinfin
=
= + minussum
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11
II45III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Avec7
nnZπα = 2
0 2n n nC Jπmicro α minus =
et ( )( ) ( )( )( )1 62 cos cosn n n
JJ z Z z Zn
α απ
= minus minus minus
Pour la reacutegion IV les conditions aux limites consideacutereacutees ici sont
2 5
( ) ( )0 et 0z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
Et le potentiel vecteur magneacutetique est donneacute sous forme (en suivant la mecircme meacutethode
deacutetailleacutee dans lrsquoannexe I)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )101 11 1 1 2
1
cos II46IV IVIV n n
nn n nA r Z A r A r a I r b K r z Zβ β β
infinminus
=
= + + + minussum
Avec 5 2
nn
Z Zπβ =minus
Les constantes dinteacutegrations 01A et 02A sont dues agrave lrsquoapplication des conditions aux
limites de Neumann dans la reacutegion IV Elles seront deacutetermineacutees apregraves en appliquant la
condition de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique agrave linterface entre les reacutegions III et IV
agrave 2r R= et agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI agrave r= R1
Pour les reacutegions V et VI en prenant en consideacuterations les conditions aux limites (II40) (II41)
et (II42) les expressions du potentiel vecteurs magneacutetiques sont donneacutees comme suit
( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 2 21
cos II47VV n n
nnA r z a I r z Zβ β
infin
=
= minussum
67
( ) ( )( ) ( )1 3 3 41
II4( ) s 8inVIVI n n n
nA r z a I r z Zβ β
infin
=
= minussum
Avec ( )( )2
3 2
2 1 2n
nZ Z
πβ
minus=
minuset ( )
( )53
4
2 1 2n
nZ Z
πβ
minus=
minus
II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
Agrave partir de la condition de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique agrave lrsquointerface
entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave r=R2 et agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI
agrave 1r R= on a
( ) ( ) [ ] ( )2 2 2 5 II 49IV IIIA r R z A r R z pour z Z Z= = = isin
Et
( )( ) [ ]
[ ]( ) [ ]
( )1 2 3
1 3 4
1 4 5
0
II50V
IV
VI
A r R z pour z Z Z
A r R z pour z Z Z
A r R z pour z Z Z
= isin
= = isin = isin
On integravegre les deux eacutequations (II49) et (II50) par rapport agrave z sur lrsquointervalle [ ]2 5Z Z on
trouve
( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
1 3
1
1 2 12
01 1 2 1
1
21
3
1
1
II51n
VIn n
nV
nIII III nn n
n
n
n n n
a I RA a
a I RI R b K R h q
ββα α
ββ
+
infin
=
minus = + minus +
sum
( ) ( ) ( ) ( )1 3 13
1 2111 1 2 1 01 1
15 2 2
1 1 1 II52VIn n n
n
nVn
n n
RA a I RR Aa RZ Z
I ββ
ββ
infin+
=
= minus + minus minus
sum
Avec
( ) ( )( )2 5cos co1 s n nnn
Z Zmα
α α= minus ( )
22 2
2 1
n nRh m
R R e=
minus
( )1
2 22 1
RqR R e
=minus
et 5 2e Z Z= minus
Les constantes drsquointeacutegrations I II II III III IV IV Vn n n n n n n nb a b a b a b a et VI
na sont deacutetermineacutees agrave
partir des conditions de passages aux interfaces entre les diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecircts du
problegraveme
68
II72 Conditions de passages entres interfaces
Les mecircmes conditions de passages appliqueacutees dans le cas de circuit sans pastille sont
appliqueacutees dans ce cas sauf que des conditions particuliegraveres deacutefinies par morceaux sont
appliqueacutees agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI en 1r R=
II721 Interface agrave r = R4
A lrsquointerface entre les reacutegions I et II agrave 4r R= on trouve
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
4 4 4 4 41 15
01 1 1
0
II53nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
+ minus minus = minus
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
05
0 00 4 0 4 40
4 45
II54nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
minus minus + = minus
II722 Interface agrave r = R3
Pour lrsquointerface agrave 3r R= entre les reacutegions II et III on obtient
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 31 1 1 1 1 II55II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus minus + + = minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 30 0 0 0 03 3 II56II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus + + minus = minus
II723 Interface agrave r = R2
Agrave lrsquointerface entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave 2r R= des conditions de passages
particuliegraveres deacutefinies par morceaux sont appliqueacutees ici
( ) ( ) ( )2 2
5
2 5
7
20 0
II57
0
III IV
r R r R
pour z ZrA rA
pour Z z Zr r
pour Z z Z= =
lt lt
part part= lt ltpart part lt lt
( ) ( ) ( )2 22 5 II58IV IIIA r R z A r R z pour Z z Z= = = lt lt
On obtient
69
( )( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
0 2 0 2 0 2
1 2 2 1 2 2
11 1
0 2 1 2 1 11 32 3
0 II59
1 VI
n
n n m n n mIII III IVn n n n n m
n n m n n m
nIV V
n n m n m mn
n n nn
I R f K R fa b a I R g
I R R h m K R R h m
R Rb K R g a I R h RI ha ββ
α αβ
α α
β ββ
+
minus minus minus + =
minus + + +
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 5 2 1 2 5 2 0 II60III III IV IVn n n m n n n m n n n na I R j b K R j a I R Z Z b K R Z Zα α β β+ minus minus minus minus =
Avec
( )( ) 12 22 12 nn R R e mh
minusminus=
( ) ( ) ( )2
1
2
21
2
n n
n m
n mn m
n m
sinf
m si
n si
απ α αα α
π α α
+ minus ne
minus
=
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 5 2 2
21
2 5
1
1 1
2 4
n n mm m m n
m n
n n n mn
n
cos Z cos Z si
g n msin Z cos Z cos sin Z
β αα α α βα β
β β β α βπ +
+ + minus minus= + + minus =
ne
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
12 5
15 2 2 2 5
2 2
2 cos 1 sin
1sin cos 1 cos
2
nm m n m m n
m nn m
n n n m nn
n
Z Z si
Zj
Z Z Z Z si
α α β α α βα β
β β β α ββ
+
+
+ minus ne
minus + +
minus
=
=
minus
II724 Interface agrave r = R1
Ainsi des conditions de passages particuliegraveres sont deacutefinies sur lrsquointerface entre la reacutegion IV
et les reacutegions V et VI agrave 1r R=
( )( )
( )( )
1 2 3
1 3 4
1 4 5
0 II61
V
IV
VI
A r R Z pour Z z ZA r R Z pour Z z Z
A r R Z pour Z z Z
= lt lt= = lt lt = lt lt
( ) ( ) ( )1 1
2 3 II62V IV
r R r R
rA rApour Z z Z
r r= =
part part= lt lt
part part
70
( ) ( ) ( )1 1
4 5 II63VI IV
r R r R
rA rApour Z z Z
r r= =
part part= lt lt
part part
Ainsi agrave partir des eacutequations (II61) (II62) et (II63) on obtient
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 3 0 II64VIV IV Vk k n m k k n m n n m n m
In n na I r l b K r l a a II r O prββ β β+ minus minus =
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )1 2 2 1 2 2
0
11 1
1 2 1 0 2 1 1
0 1 1
21 3
3
0 II65
1 2 1
2
III IIIn n n n n n n n
IV IVn m n n m
n
n
V
n n
VI nn n
nn n n
nn
a I R R S m b K R R S m
a q b K q
R n S Ra I R S I
R R
a R
I
R I
α α
β β
πβ β
ββ
β
+
+ + minus =
+
minus minus
minus minus
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
11 1 2 2 1
1 2 121 2 2 0 1
0
1 31
1 0 3 13
02 1
2
1
II66
1 2
nn
n
VIn n n
nIVIIIn n mn n m n mV
nIII IVnn n m n n
n
n m
m
a I R ta I R R B m B Ra I R
b K R R B m b K
na I R
R
R R I
t
B πβ β
βαβ
βα β
β
+
=minus
minus+ minus + minus
minus +
Avec
( ) ( )
( )
12 2
5 2
1 si 2n
nm
mn
n
mm
m
nn
m si
Z Z il
s
βπ β ββ β
β β
+ minus ne minus
minus =
=
( ) ( )( )
( )
1 23 2 2
2
3
2 2
2 2
21 c
osn
n nm n m
n m
n
m
m
Z Z
Z Z s
siO
i
β β β ββ β
β β
+
minus
minus minus ne
=
= minus
( )( ) ( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( )
13 4 32 2
3
3 4
3 4 313 3
2
5 4 2
5
2
2
2 1 sin
sin
2 1 sin
cos
cos1
nn m m n m
n m
n mn
n n mnn n
Z si
ZZ Z Z si
Z m
ZZ
Z
p
Z
β π ββ
ββ β
β β
β β ββ
β
+
+
minus minus ne minus= minus minus = + minus
minus
minus minus minus
71
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
1 332 2
3
13 4 3 5
4 2
2
3
3
2
4 2
2 11 cos
2
1 s
cos
cos in
in21
s4 1
n mn m n
m n
nn n
m n
n
n
n m
m
Z Z
n Z
Z Z
tZ Z
Z
π β ββ
β β
ββ ββ
ββπ β
+
+
minusminus +
= minus minus minus
minus neminus
+ minus=
minus minus
( ) ( )( )
( )
1 23 2 22
2
3
2
22
21 cos n nn
m n mm
n
m n
m
n
mqZ Z
Z Z
β ββ β ββ β
β β β
+ minus minus ne minus
minus =
=
( )( )( )2 2
1
2 5
1
2 1 2
14m
m
mRS
R R Z Zβ
+minus=
minus minus
( )( )1
2 22 1 5 23
2
mm
RBR R Z Zβ
=minus minus
Au final Les eacutequations (II53) (II54) (II55) (II56) (II59) (II60) (II64) (II65) et
(II66) peuvent se mettre en systegraveme matricielle de taille ( )9 max (9 max)N Ntimes
Les coefficients drsquointeacutegrations de lrsquoensemble des harmoniques drsquoespace
etI II II III III IV IV V VIn n n n n n n n nb a b a b a b a a sont relies les uns aux autres agrave travers ces eacutequations ils
sont obtenus par inversion numeacuterique de ce systegraveme matricielle
11 12 13
21 22 23
32 33 34 35
42 43 44 45
54 55 56 57 58 59
64 65 66 67
76 77 78 79
84 85 86 87 88 89
94 95 96 97 98 99
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0
InIInIIn
bab
η η ηη η η
η η η ηη η η η
η η η η η ηη η η η
η η η ηη η η η η ηη η η η η η
( )( )( )( )
1 4
0 4
1
0
3
3
(II67)00000
n n
n n
n n
n n
IIInIIInIVnIVnVnVIn
C L RC L
C L R
ababaa
RC L R
ααα
α minus =
minusminusminus
Avec
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
1 1 12 1 135
11 4 4 4 45
10
nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
αη α η α η αα
+ = minus = minus=
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
21 22 230
50 4 0 4 0 4 0 4
5
nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
η α α η α η αα
= minus = minus =
72
( ) ( ) ( ) ( )3 3 332 31 33 1 33 1 34 1 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = minus = =
( ) ( ) ( ) ( )0 3 0 3 042 43 44 3 345 0 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = = = minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( )54 0 2 1 2 2 55 0 2 1 2 2 n n m n n m n n m n n mI R f I R R h m K R f K R R h mη α α η α α= minus = minus +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 156 0 2 57 0 2 58 1 2 1 59 1
21 3
3
1
n
n n m n n m n m nn
mn
R RI R g K R g I R h hI Rη β η β η β η βββ
+minus= minus = = =
( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2 65 1 2 6664 1 2 5 2 6 7 1 2 5 2 n n m n n m n nI R j K R j I R Z Z K R Z Zα η α η βη η β= = minus minus minus minus= =
( ) ( ) ( ) ( )1 1 77 1 1 78 1 2 79 76 1 3 k n m k n m n n m n mnI r l K r l I Ir prOη ββ η β η β ηminus minus= = = =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 284 0 185 1 2 2 86 7 0 1 8 n n n n n n nn n m n mI R R S m K R R S R Rm I q K qα η α η β η βη = = == minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 18 8 1 2 1 0 2 1 189 1 3
32
1 2 1
2
n
nn
n
nn n n
R n S RI R I R IS Rπ
η β β η βββ
+ + = minus
minus minus= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 95 1 2 2 96 1 97 00 1 94 n m n n m n n n m mn nI R R B m K R R B m I R t K R tα η α η η βη β= = = minus=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 3 0 31 1
98 1 2 1 93
9 12
1
1 1 1
22
2 n n
n
nm m
nn
B R nI IRR RBI Rη β
ββ β
βη
π+ minus
minus= minus = minus +
II72 Expression analytique de lrsquoinductance
De la mecircme faccedilon et agrave partir de lrsquoeacutequation (II36) on obtient
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
4 4 3 3
4 4 3 321
4 40 4 4 3
1 62
3
II2 co 68s2
c
6
os
IIn
IIn n n
n nn
n
a R U R R U R
b R V R R V R
J R W R R
NL Z ZS
W RJ
α αα
αmicroπ
ππinfin
=
minus + minus
minus minus
= minussum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1n n n nU r I r L r I r L rα α α α= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1( ) n n n nV r K r L r K r L rα α α α= +
Et ( ) 2 23 512 3
2 2 4n rW r F α =
est la fonction hypergeacuteomeacutetrique [90]
73
II73 Reacutesultats et discussion
Entre le cas avec pastille supraconductrice et le cas sans on a gardeacute les mecircmes valeurs
des paramegravetres geacuteomeacutetriques pour montrer lrsquoeffet de la preacutesence de cette derniegravere sur la valeur
de lrsquoinductance de la bobine Ces valeurs des paramegravetres geacuteomeacutetriques sont reacutesumeacutees dans le
tableau 2
Les solutions analytiques dans toutes les reacutegions sont obtenues en utilisant le mecircme
nombre drsquoharmoniques qui est eacutegale agrave 50 Les valeurs du tableau II2 sont eacutegalement utiliseacutees
pour reacutesoudre le mecircme problegraveme avec la meacutethode des eacuteleacutements finis (FEM) sous COMSOL
afin de valider les reacutesultats obtenus analytiquement Des conditions aux limites identiques agrave
celles utiliseacutees lors de calcul analytique sont employeacutees dans la simulation numeacuterique
Tableau II2 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme avec pastille
Paramegravetre Description valeur
R1 Rayon de la pastille supraconductrice 0015 m
R2 Bord infeacuterieur du domaine dans la direction radial 0030 m
R3 Rayon interne de la bobine 0080 m
R4 Rayon externe de la bobine 0120 m
R5 Bord supeacuterieur du domaine dans la direction radial 0150 m
Z1 Limite inteacuterieure de la bobine 0200 m
Z2 Limite inteacuterieure de lrsquoentrefer 0225 m
Z3 Limite inteacuterieure de la pastille supraconductrice 0230 m
Z4 Limite exteacuterieure de la pastille supraconductrice 0270 m
Z5 Limite exteacuterieure de lrsquoentrefer 0275 m
Z6 Limite exteacuterieure de la bobine 0300 m
Z7 Limite exteacuterieure du domaine dans la direction axiale 0500 m
N Nombre des spires dans la bobine 1000
J Densiteacute de courant eacutelectrique dans la bobine 5 Amm2
Nmax Nombre drsquoharmoniques utiliseacute dans tout le domaine 50
74
La distribution du potentiel vecteur magneacutetique dans toutes les reacutegions drsquointeacuterecircts du
problegraveme eacutetudieacute obtenue avec un calcul analytique et un calcul numeacuterique est repreacutesenteacutee sur
la figure II7 Les composantes radiale Br et axiale Bz du la densiteacute de flux magneacutetique est
ainsi repreacutesenteacutees sur la figure II8 (a) dans la reacutegion III en r = 0055 (b) dans la reacutegion IV
en 00225r = (c) dans la reacutegion V en 00075r = et (d) dans la reacutegion VI en 00075r =
Dans ce cas une veacuteritable concordance peut ecirctre constateacutee entre les deux approches en
srsquoeacuteloignant de la reacutegion de lrsquoentrefer (figure II8 (a)) Un leacuteger deacutecalage subsiste
neacuteanmoins entre les reacutesultats analytiques et numeacuteriques (figure II8 (a)) surtout pour la
composante ZB Ce deacutecalage peut sexpliquer par le nombre limiteacute drsquoharmoniques retenus lors
du deacuteveloppement analytique mais aussi par les erreurs numeacuteriques reacutesultantes de
linversion matricielle lors du calcul des coefficients De mecircme que dans la preacuteceacutedente
section on notera que lutilisation de fonctions de Bessel modifieacutees nrsquoarrange rien puisque
qursquoelle conduit agrave une matrice tregraves mal conditionneacutee lorsque le nombre drsquoharmoniques
consideacutereacute augmente
Figure II7 Distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir du (a) calcul
numeacuterique) et du (b) calcul analytique en preacutesence de la pastille supraconductrice
75
(a) (b)
(c) (d)
Figure II8 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions
(a) III agrave ( )2 3 2r R R= + (b) IV agrave 2 2r R= (c) V agrave 1 2r R= et (d) VI agrave 1 2r R= en
preacutesence de la pastille supraconductrice
La valeur de lrsquoinductance de la bobine obtenue analytiquement agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation
(II68) est la mecircme que celle obtenue numeacuteriquement agrave lrsquoaide de la meacutethode FEM sous
COMSOL cette valeur est eacutegale agrave 0247 H Par ailleurs la valeur de lrsquoinductance en absence
de la pastille supraconductrice est de 0253 H ce qui nous amegravene agrave dire que la pastille a tregraves
peu drsquoinfluence sur la valeur de lrsquoinductance pour le problegraveme eacutetudie (une diffeacuterence de 6)
Ceci reacutesulte du fait que le rayon de la pastille consideacutereacutee dans notre calcul est relativement
petit par rapport au rayon du noyau ferromagneacutetique 15 mm pour le rayon de la pastille
contre 30 mm pour le noyau de fer
76
La figure II9 repreacutesente la variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon
r de la pastille supraconductrice avec 20 r Rlt lt Nous constatons que lrsquoinductance de la
bobine diminue en augmentant la taille de la pastille cette faible diminution est due peut-ecirctre
agrave lrsquointervalle de variation de rayon de la pastille consideacutereacutee Pour 2r Rgt deux reacutegions
drsquointeacuterecirct en plus doit ecirctre consideacuterer dans lrsquoeacutetude preacuteceacutedente et les calculs effectueacutes
deviennent tregraves compliqueacute agrave cause des nombres de variables eacuteleveacutes et par la suite des
problegravemes de convergence pour le calcul analytique sont imposeacutes
Figure II9 Variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
Pour reacutesoudre ce problegraveme un calcul numeacuterique agrave lrsquoaide de la meacutethode FEA sous
COMSOL est effectueacute le rayon de la pastille dans ce cas peut prendre des valeurs
supeacuterieures au rayon du noyau de fer ( )30 r Rlt lt La figure II10 repreacutesente la variation de
lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon de la pastille en utilisant deux types de
circuits circuit ouvert et circuit fermeacute Une diminution remarquable dans la valeur de
lrsquoinductance est constateacutee dans ce cas en fonction du rayon de la pastille supraconductrice
Par ailleurs la valeur de lrsquoinductance trouveacutee pour un circuit fermeacute est supeacuterieure agrave celle
trouveacutee dans le cas drsquoun circuit ouvert
77
Figure II10 variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
supraconductrice dans un circuit fermeacute et dans un circuit ouvert
78
II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique
impulsionnel
Nous reprenons le problegraveme de la figure II1 Une pastille supraconductrice de rayon
11R et de hauteur ( )33 22Z Zminus est placeacutee au centre de la reacutegion de lrsquoentrefer Lexpression
analytique du potentiel vecteur magneacutetique ( ) IVA r z t (eacutequation II22) est utiliseacutee pour
calculer les courants induits agrave linteacuterieur de la pastille supraconductrice La reacutegion drsquointeacuterecirct est
preacutesenteacutee sur la figure II11 avec lrsquoaxe (Oz) est en position verticale
Figure II11 Position de la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du problegraveme
de la figure II1 avec [ ]110r Risin et [ ]22 33z Z Zisin
La densiteacute de courant parcourue dans la reacutegion de la bobine est en fonction du temps
Cette densiteacute de courant est supposeacutee produite par la deacutecharge dune batterie de
condensateurs sous forme
( ) ( ) ( )( ) ( )max exp II66aJ t J t tτ τ= minus
Avec 2max 50 J A mm= et 1msτ =
La densiteacute de courant J induite dans la pastille supraconductrice est calculeacutee agrave lrsquoaide
drsquoun code de calcul deacuteveloppeacute sous MATLAB en utilisant la meacutethode de laquo Brandtraquo
deacuteveloppeacutee en 1998 pour les disques et les cylindres en preacutesence drsquoun champ magneacutetique
axial [99 100]
79
En reacutesumeacute leacutequation suivante doit ecirctre satisfaite
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11 33
22
2 21 10 2 20
I I67
R Z IVcylZ
d J r t d A r tQ r r E J dr dz
dt dtmicro minus minus
= times +
int int
( )2 )r r z= Coordonneacutees de la pastille supraconductrice
cylQ Inteacutegral de Kernel
cylQ est obtenue en inteacutegrant la fonction de Green de lrsquoeacutequation de Laplace agrave 3D en
consideacuterant que le milieu ferromagneacutetique est caracteacuteriseacute par une permeacuteabiliteacute infinie
E(J) donne la relation entre le champ eacutelectrique E et la densiteacute de courant critique J qui
deacutecrive le comportement supraconducteur de la Pastille supraconductrice Dans ce cas E(J)
est deacutefini par le modegravele de la loi en puissance
( ) ( )1
II68n
JEcE J JJc Jc
minus =
Avec 1 CE V cmmicro= 30n = et 2100 cJ A mm=
La reacutesolution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle (II67) est effectueacutee en utilisant les solveurs
disponibles dans MATLAB agrave savoir laquo ode15s raquo et laquo ode23t raquo
Figure II12 Variation de champ magneacutetique appliqueacute et du champ magneacutetique pieacutegeacute sur la
surface de la pastille supraconductrice agrave 0r = et 33z Z=
80
Un calcul numeacuterique est eacutegalement effectueacute afin de valider les reacutesultats obtenus
analytiquement Un modegravele de formulation en H impleacutementeacute sous COMSOL est utiliseacute [41]
ougrave lrsquoeacutequation aux deacuteriveacutees partielles (EDP) suivante doit ecirctre reacutesolue temporellement dans la
pastille supraconductrice
( )( ) ( )0 II0 69H J Ht
micro ρpart+nablatimes nablatimes =
part
Les composants du champ magneacutetique ( )r zH H H= sont choisis comme variables drsquoeacutetat
Le mateacuteriau supraconducteur est modeacuteliseacute par une reacutesistiviteacute non lineacuteaire
( ) ( )1
II70n
C
C C
JEJJ J
ρminus
=
La figure II12 preacutesente la variation en fonction de temps de la densiteacute de flux
magneacutetique appliqueacutee aB et la densiteacute de flux magneacutetique pieacutegeacutee pieacutegeacuteB agrave 0r = e 33z Z=
(figure II7) Une correspondance presque parfaite dans les reacutesultats est observeacutee La valeur
maximale de la densiteacute du flux magneacutetique appliqueacute est environ de 75 T et la valeur de la
densiteacute de flux magneacutetique pieacutegeacute est de 209 T agrave t=10 ms Leacutecart entre les reacutesultats
analytiques et numeacuteriques est infeacuterieur agrave 3 tout au long du processus drsquoaimantation par
PFM
Le traceacute en fonction de temps de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc dans le plan
meacutedian de pastille supraconductrice est preacutesenteacute sur la figure II13 pour diffeacuterentes valeurs du
rayon r avec ( )0479515320r mm=
81
Figure II13 Evolution de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc sur le plan meacutedian de la
pastille supraconductrice agrave ( )0479515320r mm=
Les reacutesultats obtenus analytiquement sont proches de ceux obtenus par COMSOL
Une leacutegegravere diffeacuterence est remarqueacutee en particulier pour r = 0 Cette valeur de r est singuliegravere
et on ne peut pas juger est ce que les reacutesultats obtenus pour cette valeur sont corrects ou non
En revanche la densiteacute de courant sur lrsquoaxe ne contribue pas beaucoup en termes de champ
magneacutetique pieacutegeacute A t = 5 ms la densiteacute de courant dans la pastille supraconductrice est
comprise entre 11 et 15 times Jc
82
II9 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons deacuteveloppeacute un modegravele analytique pour calculer
lrsquoinductance drsquoune bobine circulaire en cuivre de section transversale rectangulaire dans un
circuit ferromagneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie inferieure concentrique avec
la bobine Nous avons montreacute que ce modegravele analytique correspond tregraves bien aux meacutethodes
numeacuteriques avec des erreurs infeacuterieures agrave 10 pour 10 termes harmoniques Nous avons
montreacute aussi que la valeur de lrsquoinductance de la bobine diminue avec lrsquoaugmentation de la
longueur de lrsquoentrefer
Ensuite nous avons proceacutedeacute agrave lrsquoeacutetude de ce mecircme problegraveme en ajoutant une pastille
supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer Nous avons constateacute que la preacutesence de la
pastille supraconductrice dans le circuit ferromagneacutetique a tregraves peu drsquoinfluence sur la valeur
de lrsquoinductance Une diminution de 6 de la valeur de cette derniegravere a eacuteteacute trouveacutee en cas de
preacutesence de pastille supraconductrice Ceci est ducirc agrave la taille de la pastille consideacutereacutee dans
notre calcul qui est relativement petite par rapport agrave la taille du noyau ferromagneacutetique En
effet nous avons trouveacute par un calcul numeacuterique que la valeur de lrsquoinductance de la bobine
diminue en augmentant le rayon de la pastille supraconductrice preacutesente dans la reacutegion de
lrsquoentrefer
Pour le processus drsquoaimantation par la meacutethode PFM les expressions analytiques de
potentiel vecteur magneacutetique trouveacutees dans le cas de circuit sans pastille supraconductrice
sont utiliseacutees pour calculer les courants induits agrave lrsquointeacuterieur drsquoune pastille supraconductrice en
utilisant la meacutethode de Brandt Lrsquoeacutevolution temporelle de la densiteacute de flux magneacutetique
pieacutegeacutee et la densiteacute de courant eacutelectrique montre une excellence correspondance entre les
reacutesultats analytiques et numeacuteriques Une diffeacuterence infeacuterieure agrave 3 est obtenue sur la densiteacute
de flux magneacutetique pieacutegeacute
83
Chapitre 3 Prise en compte de
lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de
leur caracteacuterisation
84
III1 Introduction
Les deux paramegravetres importants qui caracteacuterisent un mateacuteriau supraconducteur massif
sont le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete PB et la densiteacute de courant critique Jc Ces
deux paramegravetres sont lieacutes et deacuteterminent les performances des applications utilisant ces
mateacuteriaux Les meacutethodes de caracteacuterisations deacuteveloppeacutees au laboratoire GREEN sont baseacutees
sur la mesure de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete PB agrave partir de lrsquoaimantation
drsquoune pastille SHTC de type YBCO par champ magneacutetique pulseacute (PFM pour Pulsed Field
Magnetization) La meacutethode PFM consiste agrave appliquer une impulsion de champ magneacutetique
sur cette derniegravere Si ce champ appliqueacute est suivant lrsquoaxe (Oz) (figure III1) des courants
induits vont ecirctre creacuteeacute agrave lrsquointeacuterieur de la pastille et circulent dans le plan (xOy) et par la suite
un champ magneacutetique appeleacute champ magneacutetique pieacutegeacute va ecirctre creacuteeacute suivant lrsquoaxe (Oz) Ce
champ pieacutegeacute est la soustraction du champ magneacutetique mesureacute agrave la surface de la pastille moins
le champ magneacutetique appliqueacute qui est eacutegal au champ magneacutetique en absence de la pastille Le
champ magneacutetique pieacutegeacute ne devrait pas disparaitre apregraves la fin du champ appliqueacute car la
reacutesistiviteacute est nulle dans la pastille supraconductrice Cette meacutethode de caracteacuterisation permet
de deacuteterminer agrave partir de BP la densiteacute de courant critique Jc mais aussi de deacuteterminer la
valeur de lrsquoexposant-n de la loi en puissance
Les meacutethodes de caracteacuterisations preacutesenteacutees au chapitre I utilisent deux pastilles dans
le premier cas et une pastille dans le deuxiegraveme cas La premiegravere meacutethode est plus preacutecise mais
neacutecessite deux pastilles qui sont supposeacutees ecirctre identiques et homogegravenes en termes de Jc Or
linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique Jc est un fait bien connu des experts [53] La
deuxiegraveme meacutethode nrsquoutilise qursquoune pastille et se dispense donc de lrsquoobligation drsquoavoir deux
pastilles identiques Cependant lrsquoinfluence de linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant
critique Jc nrsquoavait pas eacuteteacute prise en compte preacuteceacutedemment Pour prendre en compte
linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique Jc et donc remeacutedier aux deacutefauts de nos
meacutethodes de caracteacuterisation deux axes de recherche ont eacuteteacute exploreacutes Premiegraverement une
eacutetude baseacutee sur la position de la sonde agrave effet Hall dans la meacutethode agrave une pastille a eacuteteacute
reacutealiseacutee Deuxiegravemement une eacutetude des positions respectives du germe de cristallisation des
pastilles dans la meacutethode agrave deux pastilles a eacuteteacute faite
85
Figure III1 Pastille supraconductrice soumis agrave un champ magneacutetique exteacuterieur
III2 Description du banc expeacuterimental
Nous allons preacutesenter dans cette partie le banc expeacuterimental utiliseacute pour lrsquoaimantation
drsquoune pastille SHTC de type YBaCuO Le banc expeacuterimental sert agrave aimanter une pastille
supraconductrice de type YBaCuO en utilisant la meacutethode drsquoaimantation par champ
magneacutetique pulseacute (PFM) et mesurer le champ magneacutetique au milieu des surfaces planes de
cette pastille
III21 Les pastilles SHTC
Les pastilles supraconductrices utiliseacutees sont cylindriques de type YBaCuO posseacutedant
une tempeacuterature critique de 92 k de diamegravetre 311 mm et de hauteur 176 mm Ce type de
mateacuteriau drsquoYBaCuO possegravede une densiteacute de courant critique eacuteleveacutee (gt100 Ammsup2 agrave 77 K) La
figure III2 repreacutesente les deux surfaces des pastilles YBaCuO utiliseacutees (a) surface
supeacuterieure contenant le germe de cristallisation (seed) (b) surface inferieure de la pastille Ces
pastilles sont par nature inhomogegravenes et anisotropes en termes de Jc
(a) (b)
Figure III2 Les deux surfaces de la Pastille SHTC drsquoYBaCuO utiliseacutee pour lrsquoaimantation
x
y
z
O
( )B t
( )B t
86
En geacuteneacuterale la preacuteparation des supraconducteurs YBCO mono domaine par la
meacutethode (TSMG) exige des preacutecurseurs en poudres contenant une distribution uniforme des
composeacutes constituant les phases 2 3 7YBa Cu O δminus (Y-123) et 2 5Y BaCuO (Y-211)Cependant il a
eacuteteacute observeacute que la concentration de particules de Y-211dans le bulk supraconducteur traiteacutee agrave
leacutetat fondu augmente de maniegravere significative avec la distance agrave partir du germe de
cristallisation ce qui entraicircne une deacutegradation des proprieacuteteacutes supraconductrices vers le fond et
le bord de leacutechantillon supraconducteur [109]
Une technique de fabrication des bulk supraconducteurs en YBCO gradueacute baseacutee sur la
concentration de Y-211 utiliseacutee a eacuteteacute deacuteveloppeacutee par un groupe de chercheurs appeleacute laquo the
Cambridge Bulk Superconductivity Groupraquo [109] Trois types de preacutecurseurs en poudres
contenant diffeacuterentes concentrations drsquoY-211 sont disposeacutes en forme U dans une pastille
YBCO en bulk (figure III3) Le but de cette technique est drsquoameacuteliorer les proprieacuteteacutes
supraconductrices du mateacuteriau fabriqueacute
Pour la modeacutelisation de ces pastilles celles-ci peuvent ecirctre diviseacutees en deux ou trois
reacutegions en forme U chaque reacutegion eacutetant caracteacuteriseacutee par son propre Jc0 [109] (Figure III3)
Figure III3 Modegravele drsquoune pastille SHTC gradueacutee en YBCO proposeacutee pour la modeacutelisation
numeacuterique
III22 Le circuit drsquoaimantation
Lrsquoaimantation des pastilles SHTC neacutecessaire agrave la caracteacuterisation est faite par un
magneacutetiseur agrave impulsion (Impulse Magnetizer k-serie) [105] (figure III4)
Les caracteacuteristiques techniques de ce magneacutetiseur sont
- Puissance de stockage de 10kWs
- Capacitance de 5mF
87
- Tension de charge maximale de 2 kV et un courant de 25 kA
Figure III4 Magneacutetiseur agrave impulsion K-serie utiliseacute pour aimanter la pastille
Lrsquoinducteur produisant le champ magneacutetique pour aimanter la pastille
supraconductrice est une bobine agrave fil de Litz de 127 cm de longueur et de 65 cm de diamegravetre
externe ce type de bobines sont adapteacutees au transport des courants eacutelectrique agrave haute
freacutequence et produit un champ magneacutetique axial plus en moins homogegravene dans son centre
dont lequel on met la pastille pour lrsquoaimantation Un Oscilloscope est utiliseacute pour faire la
mesure du champ magneacutetique et le courant de deacutecharge produit par le magneacutetiseur Une
bobine de Rogowski est employeacutee pour mesurer le courant de deacutecharge Rappelons que la
bobine de Rogowski est un systegraveme eacutelectrotechnique servant agrave mesurer le courant alternatif
ou les impulsions de courant agrave grande vitesse [107] Elle se compose
dun enroulement heacutelicoiumldal de fil dont le fil dune extreacutemiteacute revient par le centre de
lenroulement agrave lautre extreacutemiteacute de sorte que les deux bornes sont agrave la mecircme extreacutemiteacute de
lenroulement La bobine est positionneacutee autour du conducteur dont on veut connaicirctre le
courant La figure III3 montre une photo du circuit eacutelectrique utiliseacute pour lrsquoaimantation
Le champ magneacutetique ( )aB t geacuteneacutereacute par la bobine est appliqueacute parallegravelement suivant
lrsquoaxe ( )Oz de la pastille cylindrique Ce champ est caracteacuteriseacute par une vitesse de monteacute bV
drsquoenviron 3125 Ts et une valeur maximale ( )maxaB drsquoenviron 32 Tesla (Figure III7) Une
diffeacuterence de potentiel de 600 V est choisie sur les bornes du magneacutetiseur pour avoir cette
valeur de champ appliqueacute
88
Figure III5 Circuit eacutelectrique de magneacutetisation
Figure III6 Repreacutesentation du dispositif expeacuterimentation du processus drsquoaimantation utiliseacute
89
Figure III7 Impulsion de champ magneacutetique appliqueacute sur la pastille SHTC
III23 Instrumentation
La mesure de champ magneacutetique sur les deux surfaces de la pastille drsquoYBCO se fait agrave
lrsquoaide des deux sondes agrave effet Hall de type HHP-NP adapteacutees aux basses tempeacuteratures
(figure III8) Chaque sonde agrave effet Hall comprend quatre fils deux pour les courants et deux
pour les signaux de tension Les geacuteneacuterateurs de courant illustreacutes sur la figure III5 alimentent
les sondes agrave effet Hall La distance entre la partie active de la sonde et la surface de la pastille
est drsquoenviron 05mm Cette distance est due agrave lrsquoencapsulage de la sonde Ces sondes mesurent
le champ magneacutetique suivant lrsquoaxe (Oz)
Figure III8 Sonde agrave effet Hall de type HHP-NP
90
Les caracteacuteristiques des deux sondes agrave effet Hall utiliseacutees sont donneacutees par le
fabricant (Tableau III1)
Tableau III1 Caracteacuteristiques des sondes agrave effet Hall
Paramegravetre Uniteacute Sonde 2003 (77K) Surface au-dessus
Sonde 468 (77K) Surface su dessous
Courant nominal In mA 20 20
Courant maximum mA 30 20
Sensibiliteacute agrave In TV 1356 946
Tension de deacutecalage agrave In Vmicro 58 lt -40
Reacutesistance drsquoentreacutee Ω 23 41
Reacutesistance de sortie Ω 78 18
Reacutegion de dimension efficace mm 0500 x 01 05 x 01
Dimensions globale mm 5 x 7 x 1 5 x 7 x 1
Les sondes agrave effet Hall sont placeacutees au centre des surfaces planes des pastilles et donc
perpendiculaires au champ magneacutetique appliqueacute (Figure III9)
Lrsquoensemble bobine pastille SHTC et sondes agrave effet Hall sont immergeacutees dans lrsquoazote
liquide agrave une tempeacuterature de 77 K
Lrsquoimpulsion de champ magneacutetique creacuteeacute par la bobine appliqueacutee sur la pastille SHTC
refroidie est lrsquoimage de lrsquoimpulsion de courant eacutelectrique creacuteeacute par le magneacutetiseur Les
mesures de champ magneacutetique et de courant eacutelectrique seront prises agrave lrsquooscilloscope
Figure III9 Positions des sondes agrave effet Hall sur les deux surfaces de la pastille SHTC
91
III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTC
III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hall
Le calcul de la densiteacute de courant critique Jc se fait agrave partir du champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete BP Le calcul de BP est fait agrave partir de la mesure du champ magneacutetique agrave
lrsquoaide des sondes agrave effet Hall En fait nous pouvons mesurer le champ magneacutetique sur lrsquoaxe
(Oz) de la pastille uniquement en deux positions
- Position 1 Au centre de la surface de base supeacuterieure (pregraves du germe de cristallisation
(seed))
- Position 2 Au centre de la surface inferieure de la pastille
La figure III10 repreacutesente les reacutesultats de mesure du champ magneacutetique MB au centre
des deux surfaces de la pastille SHTC (a) Position 1 (b) Position 2 Le champ magneacutetique
MB est mesureacute agrave une distance 05d mm= des deux surfaces de la pastille La diffeacuterence
( ) ( ) 05a MB t B t d mmminus = preacutesente le champ magneacutetique produit par le courant eacutelectrique
induit dans la pastille nommeacute ( )ZSCB t d Ce champ atteint une valeur maximum nommeacute
BZSCM
Agrave partir des figures III10a et III10b on constate que le champ magneacutetique mesureacute aux
positions 1 et 2 ne varie pas de la mecircme faccedilon
92
(a)
(b)
Figure III10 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer au
(a) position1 (b) position 2
93
La figure III11 preacutesente les mecircmes mesures de la figure III10 avec une eacutechelle de
temps reacuteduite Nous remarquons que le temps de peacuteneacutetration complegravete de champ magneacutetique
dans le cas de la position 1 est supeacuterieur agrave celui dans le cas de la position 2 Ainsi la reacutegion
laquo seed raquo est caracteacuteriseacutee par un champ magneacutetique induit supeacuterieur agrave celui de la reacutegion de la
surface opposeacutee (position 2)
(a)
(b)
Figure III11 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer avec une
eacutechelle de temps reacuteduite (a) position1 (b) position 2
94
III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de la
pastille
Le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP peut ecirctre deacuteduit agrave partir de
lrsquoeacutequation I34 en connaissant la valeur de BZSCM Le rapport BZSCBBPB dans lrsquoeacutequation I34
est en fonction seulement des paramegravetres geacuteomeacutetriques R et L de la pastille Ainsi le champ
magneacutetique de peacuteneacutetration de Bean BPB est calculeacute agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I29 en prenant
n=50 Une fois le champ BPB est calculeacute et agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 on peut deacuteterminer la
valeur de la densiteacute de courant critique Jc
Les valeurs de temps de peacuteneacutetration tP de champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute
BPM du max de champ magneacutetique produit par le courant eacutelectrique induit dans la pastille
BZSCM ainsi la valeur de la densiteacute de courant critique obtenues au centre des deux surfaces de
la pastille eacutequivalent aux positions 1 et 2 sont reacutesumeacutees dans le tableau III2
Tableau III2 Valeurs de la densiteacute de courant critique calculeacute agrave une distance de 05 mm au-dessus du
centre des deux surfaces de la pastille SHTC
Position 1 Position 2
tP (10-4s) 75 36
BPM(T) 23 13
BZSCM 192 139
Jc (Amm2) 201 145
Drsquoapregraves les reacutesultats de tableau III2 nous constatons que la densiteacute de courant critique
nrsquoest pas constante sur toute la pastille SHTC elle varie drsquoune reacutegion agrave lrsquoautre Cette
inhomogeacuteneacuteiteacute est due agrave la technique de fabrication utiliseacutee pour ce type de pastille SHTC
III33 Simulations numeacuteriques
Pour modeacuteliser le comportement eacutelectromagneacutetique de la pastille SHTC utiliseacutee dans
nos mesures et par la suite valider la meacutethode utiliseacutee pour calculer la densiteacute de courant
critique agrave partir de la mesure de champ magneacutetique une approximation macroscopique est
proposeacutee Le principe expliqueacute preacuteceacutedemment est de diviser la pastille en trois reacutegions
principales reacutegion supeacuterieure reacutegion centrale et reacutegion inferieure (figure III3) Chaque
95
reacutegion est caracteacuteriseacutee par sa propre densiteacute de courant critique Jc0 Lrsquoimpulsion de champ
magneacutetique appliqueacute sur la pastille est la mecircme que dans la figure III7
La simulation numeacuterique srsquoest faite agrave lrsquoaide du logiciel COMSOL Un calcul
numeacuterique en 2D-axisymeacutetrique est utiliseacute ougrave la formulation en H en coordonneacutees
cylindriques est employeacutee Lrsquoeacutequation de Maxwell suivante doit ecirctre reacutesolue en systegraveme de
coordonneacutees cylindrique
( )0 0 1IIHt
IEmicro part+nablatimes =
part
( ) 2E H IIIρ= nablatimes
Les champs magneacutetique et eacutelectrique ont respectivement deux composantes radiale et
longitudinale [ ]0r zH H H et une transversale [ ]0 0E E
( )0 30 rH E It
IIz
micro part partminus =
part part
( )0 4zH E Et r r
IIImicro part part+ = minus
part part
Le champ eacutelectrique E est donneacute en modegravele de la loi en puissance deacutefini en chapitre I
La densiteacute de courant eacutelectrique est donneacutee agrave partir de lrsquoexpression diffeacuterentielle suivante
( ) 5r z IIHz r
IHJ part part= minus
part part
Le milieu supraconducteur est repreacutesenteacute par une modeacutelisation ( )CJ B selon la loi empirique
suivante
( ) ( )0
0
1
6C iC IIIJJ B
BB
β= +
Avec JC0i est la densiteacute de courant critique de la reacutegion i (i=1 2 3) en absence de toute champ
magneacutetique externe et B0 est une constante deacutependante du mateacuteriau On choisit ici de prendre
0 01B = et 05β = pour les trois reacutegions de la pastille [109]
Nous avons fait varier Jc0i pour chaque reacutegion en suivant la mecircme meacutethode expliqueacutee
preacuteceacutedemment dans la partie expeacuterimentale pour calculer la densiteacute de courant critique
96
moyenne sur les deux surfaces des deux pastilles jusqursquoagrave retrouver les reacutesultats proches de
ceux trouveacute expeacuterimentalement (tableau III2)
Puisque la meacutethode PFM est employeacutee dans notre problegraveme ougrave le champ magneacutetique appliqueacute
est fonction de temps donc la simulation est faite en reacutegime temporel
Le temps maximal de lrsquoimpulsion choisie pour cette simulation max 5msτ = afin de minimiser
la dureacutee de calcul
Les valeurs de JC0i optimales trouveacutees sont mentionneacutees dans le tableau III3
Tableau III3 valeurs de JC0i optimiseacutees pour les trois reacutegions de la pastille
Reacutegion I Reacutegion II Reacutegion III
JC0i (Amm2) 680 1400 435
Lrsquoeacutevolution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure de la pastille est preacutesenteacutee sur la
figure III12 avec un pas de temps eacutegale agrave max 6τ Nous remarquons que le champ magneacutetique
peacutenegravetre progressivement agrave partir de la surface lateacuterale vers lrsquointeacuterieure de la pastille Cette
peacuteneacutetration atteint sa valeur maximale agrave la fin de lrsquoaimantation Le champ magneacutetique
peacuteneacutetrant est moins important coteacute seed
97
Figure III12 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur de la
pastille SHTC
98
La figure III13 repreacutesente les reacutesultats des modeacutelisations numeacuteriques de champ
magneacutetique MB au-dessus de centre des deux surfaces de la pastille SHTC agrave une distance
e=05mm (a) Position 1 et (b) position 2
(a)
(b)
Figure III13 Modeacutelisation numeacuterique du champ magneacutetique sur le centre de la surface
drsquoune pastille (a) Position 1 (b) Position 2
99
Figure III14 La phase de monteacute des graphes de mesures numeacuterique et expeacuterimentale de
champ magneacutetique au-dessus des deux surfaces de la pastille
Une premiegravere comparaison entre les graphes obtenus expeacuterimentalement (figure III9)
et par le calcul numeacuterique (figure III13) pour les deux pastilles montrent que ces graphes sont
proches seulement pendant la phase de monteacutee (la phase la plus inteacuteressante pour deacuteterminer
Jc) (figure III14) Cependant durant la phase de descente de ces graphes nous remarquons
que les graphes obtenus expeacuterimentalement sont totalement diffeacuterents de ceux obtenus
numeacuteriquement Cela srsquoexpliquerait par des pheacutenomegravenes thermiques dus aux pertes creacuteeacutees par
les diffeacuterents courants induits pendant la phase de monteacutee et la phase de descente de
lrsquoimpulsion de champ appliqueacute durant lrsquoexpeacuterience que nous nrsquoavons pas pris en
consideacuteration en simulation
III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux
pastilles
Dans cette partie nous allons mesurer la densiteacute de courant critique drsquoun ensemble de
deux pastilles supposeacutees identiques Le point de mesure srsquoeffectuera entre les deux pastilles agrave
lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet Hall Les deux pastilles sont seacutepareacutees par une distance laquo e raquo qui
preacutesente lrsquoeacutepaisseur de la sonde Afin drsquoeacutetudier lrsquoinfluence de la position des germes dans
cette meacutethode de caracteacuterisation trois configurations sont prises en consideacuteration en fonction
de la position du germe de cristallisation dans les deux pastilles utiliseacutees (figure III15)
100
(a) (b) (c)
Figure III15 Configurations utiliseacutees pour le calcul de Jc entre les deux pastilles
La figure III16 preacutesente les reacutesultats de mesure de champ magneacutetique prises entre les
deux pastilles SHTC pour les trois configurations illustreacutees dans la figure III15 On constate
ici que le temps de peacuteneacutetration complegravete varie drsquoune configuration agrave lrsquoautre (voir tableau
III4) Le champ magneacutetique prend plus de temps pour peacuteneacutetrer agrave lrsquointeacuterieure et entre les
pastilles agrave travers les seeds
Tableau III4 les valeurs de temps de peacuteneacutetration complegravete et champ magneacutetique de
peacuteneacutetration eacutequivalent mesureacutes pour les trois configurations
Configuration (a) Configuration (b) Configuration (c)
tP (10-3 s) 093 132 14
BPM (T) 257 302 31
101
(a)
(b)
(c)
Figure III16 Mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC pour les
configurations (a) (b) et (c)
102
Pour comprendre les pheacutenomegravenes observeacutes des simulations numegraveriques ont eacuteteacute
reacutealiseacutees Les mecircmes eacutetapes de simulation numeacuterique expliqueacutes preacuteceacutedemment dans le cas
drsquoune seule pastille sont utiliseacutees ici La figure III17 repreacutesente lrsquoeacutevolution de la distribution
du champ magneacutetique agrave lrsquointerieur des deux pastilles SHTC pour les trois configurations
illustreacutees dans la figure III15 Les mecircmes valeurs de Jcoi sont utiliseacutees aussi pour la deuxiegraveme
pastille Lrsquoeacutetude de lrsquoeacutevolution de champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur et entre les deux pastilles
est faite agrave un pas de temps eacutegale agrave max 3t τ=
Nous remarquons que le champ magneacutetique peacutenegravetre progressivement agrave lrsquointeacuterieure des
deux pastilles cette peacuteneacutetration est plus rapide dans le cas de la configuration (a) et moins
rapide dans le cas de la configuration (c)
103
Figure III17 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure des
deux pastilles pour les trois configurations (a) (b) et (c)
104
Afin de prendre en consideacuteration lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall utiliseacutee dans la
mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC utiliseacutees dans notre mesure nous
avons fait appel agrave la relation (I32) pour calculer le champ magneacutetique de peacuteneacutetration
complegravete BP Ce champ est neacutecessaire pour le calcul de la densiteacute de courant critique JC entre
les deux pastilles
Rappelons que la relation I32 est valable seulement pour R=10 mm R eacutetant le rayon
de la pastille utiliseacutee Par contre les deux pastilles que nous avons utiliseacutees ont un rayon
R=156 mm Pour trouver une nouvelle relation entre le champ de peacuteneacutetration mesureacute BPM et
le champ de peacuteneacutetration complegravete BP une simulation numeacuterique similaire agrave celle expliqueacutees
dans le paragraphe I5212 du chapitre I est effectueacutee en utilisant deux pastilles SHTC de
rayon R=1555 mm pour chacune ces deux pastilles sont seacutepareacutees par un entrefer e=1mm Cet
entrefer preacutesente lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall Les reacutesultats de mesure sont preacutesenteacutes
sur la figure III18
Figure III18 Rapport BPMBP en fonction de longueur L de la pastille SHTC pour
R=156mm
Donc drsquoapregraves la figure III18 la relation liant BPM et BP pour les deux pastilles utiliseacutees dons
nos mesures deacutepend seulement de la hauteur des deux pastilles et elle est donneacutee par
( ) ( ) ( 156 ) 0031 ln 0 777 PM
P
B R mm ILB
II= = times +
Les valeurs de champ de peacuteneacutetration mesureacute BPM pour les trois configurations eacutetudieacutees sont
mentionneacutees dans le tableau III4 Une fois la valeur de champ de peacuteneacutetration complegravete
deacutetermineacutee agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation III7 et agrave partir de lrsquoeacutequation I29 nous calculons la valeur
105
de champ de peacuteneacutetration de Bean BPB Enfin la densiteacute de courant critique JC entre les deux
pastilles SHTC est calculeacutee agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 Les valeurs de Jc entre les deux
pastilles pour les trois configurations de la figure III15 sont mentionneacutees dans le tableau III5
Tableau III5 Valeur de la densiteacute de courant critique entre les deux pastilles SHTC drsquoYBCO
utiliseacutees dans nos expeacuteriences
Configuration (a) Configuration (b) Configuration (c)
Jc (Amm2) 1317 1548 1589
Drsquoapregraves le tableau III5 nous remarquons que la valeur moyenne de la densiteacute de
courant eacutelectrique critique entre les deux pastilles est infeacuterieure agrave celle drsquoune pastille seule
Cette diminution est due peut-ecirctre agrave la diminution des courants eacutelectriques induits reacutesultants
entre les deux surfaces opposeacutees La configuration (b) est caracteacuteriseacutee par une densiteacute
eacutelectrique critique plus eacuteleveacutee agrave celle de la configuration (a) et moins eacuteleveacutee agrave celle de la
configuration (c) agrave cause de la preacutesence des germes de cristallisations (seed) en face agrave face
pour la configuration (c)
III5 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences pour lrsquoaimantation drsquoune pastille
SHTC de type YBaCuO par la meacutethode PFM dans le but de veacuterifier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute de cette
pastille en termes de densiteacute de courant critique Agrave lrsquoaide des sondes agrave effet Hall nous avons
mesureacute le champ magneacutetique au milieu des deux surfaces planes de la pastille dans le but de
calculer la densiteacute de courant critique agrave ces endroits Dans toutes les mesures il existe une
distance drsquoenviron 05 mm entre la partie active de la sonde et la surface de la pastille ce qui
doit ecirctre pris en compte dans les calculs de Jc Nous avons remarqueacute que la surface qui
contient le germe de cristallisation est caracteacuteriseacutee par une densiteacute de courant plus eacuteleveacutee que
lrsquoautre surface Cette inhomogeacuteneacuteiteacute est due agrave la technique de fabrication utiliseacutee pour ce type
de pastille SHTC Ensuite et sur la base des reacutesultats obtenus expeacuterimentalement nous avons
proposeacute un modegravele numeacuterique pour deacutecrire la morphologie de la pastille SHTC utiliseacute dans
nos mesures en divisant cette pastille en trois reacutegions en forme U concentriques reacutegion
supeacuterieure reacutegion centrale et reacutegion inferieure Chaque reacutegion est caracteacuteriseacutee par sa propre
densiteacute de courant critique JC0
106
Ensuite pour eacutetudier lrsquoinfluence de la position du germe de cristallisation dans la
meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles nous avons calculeacute la densiteacute de courant critique
entre deux pastilles SHTC supposeacutees identiques et seacutepareacutees par une distance e = 1mm agrave lrsquoaide
de la mesure de champ magneacutetique dans cette reacutegion Trois configurations ont eacuteteacute prises en
consideacuteration en fonction de la position du germe de cristallisation Les reacutesultats obtenus
montrent une diminution de la densiteacute de courant critique par rapport agrave une seule pastille agrave
cause de la diminution des courants induits reacutesultants entre les deux surfaces opposeacutees La
configuration qui contient les deux surfaces de laquo seed raquo est toujours caracteacuteriseacutee par une Jc
plus eacuteleveacutee que le reste des configurations eacutetudieacutees Donc nous conseillions que lors de
lrsquointeacutegration des pastilles SHTC pareilles dans des machines eacutelectriques il faut prendre en
consideacuteration la position de ces pastilles par rapport agrave leurs germes de cristallisations
107
Conclusion geacuteneacuterale et perspectives
108
Le travail meneacute dans cette thegravese intituleacutee laquo modeacutelisation et caracteacuterisation des
mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique raquo a eacuteteacute reacutealiseacute en cotutelle dans le
cadre drsquoun projet PHC-Tassili entre le laboratoire GREEN de lrsquouniversiteacute de Lorraine et le
laboratoire LESI de lrsquouniversiteacute Djilali Bounaama de Khemis Miliana
Dans la premiegravere partie de cette recherche nous avons pu deacutevelopper un modegravele
analytique qui a pour but de calculer lrsquoinductance de lrsquoensemble composeacute drsquoune bobine
inductrice circulaire de section transversale rectangulaire dans un circuit ferromagneacutetique
ouvert muni drsquoun entrefer concentrique avec la bobine Ce modegravele est baseacute sur la
deacutetermination de potentiel vecteur magneacutetique agrave partir de la reacutesolution des eacutequations de
Laplace et de Poisson dans les diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecirct du circuit en utilisant la meacutethode
de seacuteparation des variables La reacutesolution analytique srsquoest effectueacutee agrave lrsquoaide drsquoun code de
calcul deacuteveloppeacute sous MATLAB Une simulation numeacuterique est eacutegalement effectueacutee afin de
valider les reacutesultats analytiques Au deacutebut le calcul se fait en absence de tout mateacuteriau
supraconducteur dans le circuit ferromagneacutetique puis nous avons eacutetudieacute le cas de preacutesence
drsquoune pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer pour montrer lrsquoinfluence de cette
derniegravere sur la valeur de lrsquoinductance de lrsquoinducteur Nous avons montreacute pour les deux cas
que les meacutethodes analytiques correspondent tregraves bien avec les meacutethodes numeacuteriques avec des
erreurs inferieures agrave 1 pour un nombre de termes harmonique eacutegale agrave 50 et avec un
avantage aux meacutethodes analytiques en termes de temps de calcul Aussi les meacutethodes
analytiques sont peu exigeantes sur la meacutemoire de calculateur Nous avons montreacute aussi agrave
travers ce modegravele que lrsquoinfluence de la taille de la pastille supraconductrice sur la valeur de
lrsquoinductance obtenue peut servir agrave dimensionner lrsquoinducteur de systegraveme drsquoaimantation par la
meacutethode PFM Ainsi les reacutesultats obtenus montrent que cette eacutetape de modeacutelisation est tregraves
inteacuteressante dans la phase de conception des machines supraconductrices utilisant les
mateacuteriaux supraconducteurs massifs
Dans la partie caracteacuterisation le but eacutetait drsquoeacutetudier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute drsquoune pastille
supraconductrice agrave haute tempeacuterature critique de type YBaCuO en termes de densiteacute de
courant critique Pour cela et suite aux travaux de caracteacuterisations reacutealiseacutes au niveau du
laboratoire GREEN nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences de lrsquoaimantation des pastilles SHTC
de type YBaCuO par la meacutethode PFM Les reacutesultats obtenus montrent que la surface
contenant le germe de cristallisation de la pastille est caracteacuteriseacutee par une densiteacute de courant
critique plus eacuteleveacutee que lrsquoautre surface et cela ducirc agrave la meacutethode drsquoeacutelaboration de ce genre des
pastilles Ensuite nous avons proceacutedeacute agrave la caracteacuterisation de deux pastilles SHTC identiques
109
seacutepareacutees par une distance de 1mm et calculeacute la densiteacute de courant critique de ces deux
pastilles La position de germe de cristallisation drsquoune pastille par rapport agrave lrsquoautre influence
directement la valeur de Jc
Comme perspective agrave ce travail nous envisageons de confronter le modegravele analytique
deacuteveloppeacute durant de travail sur un systegraveme physique reacuteel contenant un circuit magneacutetique
fermeacute comme par exemple un transformateur avec une bobine contenant une pastille
supraconductrice De plus nous envisageons drsquoeacutetablir un modegravele analytique standard en
prenant en consideacuteration lrsquoinfluence de lrsquoeffet thermique afin de deacuteterminer les proprieacuteteacutes
caracteacuteristiques des pastilles supraconductrices agrave partir des reacutesultats obtenus lors des
expeacuteriences de caracteacuterisations par la meacutethode PFM reacutealiseacutees durant cette thegravese
110
Liste des illustrations graphiques
et tableaux
111
Figure I1 Reacutesistiviteacute eacutelectrique de mercure agrave basse tempeacuteraturehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8
Figure I2 Historique des deacutecouvertes de la tempeacuterature critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11
Figure I3 Etat noraml et supraconducteur drsquoun meacutetal en fonction de la tempeacuteraturehellip 12
Figure I4 Repreacutesentation de champ magneacutetique induit en fonction du champ
magneacutetique appliqueacute pur les supraconducteurs de type Ihelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
13
Figure I5 Repreacutesentation graphique (a) des diffeacuterentes eacutetats des supraconducteurs de
type II et (b) du champ magneacutetique induit en fonction du champ
magneacutetique appliqueacute pour les supraconducteurs de type IIhelliphelliphelliphelliphellip
14
Figure I6 Reacuteseaux vortex dans un mateacuteriau supraconducteur de type IIhelliphelliphelliphelliphellip 15
Figure I7 Densiteacute de courant intergrain et intragrain dans un mateacuteriau
supraconducteur helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
16
Figure I 8 Microstructure drsquoun mateacuteriau Supraconducteur agrave Haute Tempeacuterature
critique (SHTC) de formule chimique 2 3 7YBa Cu O δminus helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
17
Figure I9 Surface critique et ordre de grandeur des paramegravetres critique de quelques
mateacuteriaux Supraconducteurshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
18
Figure I10 Diffeacuterentes formes des SHTC a) pastille YBaCuO en massifs b)
YBaCuO en monocouche c) tubes de BSCCOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
19
Figure I11 Traitement thermique pour la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO par la
technique TSMGhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
21
Figure I12 Structure cristalline tridimensionnelle de lrsquoYBa2Cu3O7-δ helliphelliphelliphelliphelliphellip 22
Figure I13 Repreacutesentation de structure (a) orthorhombique et (b) quadratique de la
maille eacuteleacutementaire du compos YBa2Cu3O7-δhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
23
Figure I14 Variation des paramegravetres de reacuteseau a b et c par rapport au deacuteficit en
oxygegravene δ helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
23
Figure I15 Repreacutesentation de la tempeacuterature critique en fonction du deacuteficit en
oxygegravene dans la structure YBaCuOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
24
Figure I16 Structure cristalline de MgB2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25
Figure I17 Distribution de B J E dans un cylindre supraconducteur soumis agrave un
champ magneacutetique parallegravele agrave son axehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
29
112
Figure I18 Comparaison entre la caracteacuteristique E(J) correspond au modegravele de Bean
(courbe rouge) et au modegravele de loi en puissance (courbe verte) avec celle
obtenue expeacuterimentalement (courbe bleu) pour un rubanhelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
Figure I19 Aimantation par refroidissement sous champ magneacutetique (Field Cooling
FC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
33
Figure I20 Aimantation par refroidissement hors champ magneacutetique (Zero Field
Cooling ZFC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
34
Figure I21 Aimantation par un champ impulsionnel (pulsed field magnetization
PFM)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
35
Figure I22 Scheacutema eacutelectrique simplifieacute du circuit utiliseacute pour aimanter les
supraconducteurs massifshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
35
Figure I23 Variation temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour laimantation par
la meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
36
Figure 24 Scheacutema repreacutesentatif de la meacutethode eacutelectrique pour deacuteterminer la densiteacute de
courant eacutelectrique Jc drsquoun mateacuteriau supraconducteurhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
37
Figure I25 Pastille supraconductrice massive de forme cylindrique soumise agrave un
champ magneacutetique appliqueacute axialementhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
38
Figure I26 Variation du champ magneacutetique en fonction du temps Ba est le champ
appliqueacute sur la pastille et B0 repreacutesente le champ magneacutetique mesureacute au
centre de la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
39
Figure I27 Position de sonde agrave effet Hall entre deux pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphellip 40
Figure I28 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesureacute entre deux
pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
40
Figure I29 Repreacutesentation du champ magneacutetique appliqueacute et le champ magneacutetique
mesureacute entre deux pastilles SHTC en fonction de temps en utilisant a)
une bobine supraconductrice pour geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee
b) une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer une vitesse de monteacutee
eacuteleveacutee
42
Figure I30 Rapport PPMB B en fonction de longueur L de la pastille SHTChelliphelliphellip 43
113
Figure I31 Position de sonde agrave effet Hall au centre de surface de la pastillehelliphelliphelliphellip 44
Figure I32 Distribution de la densiteacute de courant JJc dans la pastille SHTC pour trois
valeur de vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacutehelliphelliphelliphelliphelliphellip
45
Figure I33 Calcul numeacuterique de BP au centre de la pastille et BZSCM au-dessus du centre de surface de la pastille agrave d = 05mmhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
46
Figure I34 Comparaison entre le calcul numeacuterique ZSCB PBB B et le calcul analytique
ZSCM PB B helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
47
Figure II1 Geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute un circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie infeacuterieur de longueur 3 2 e Z Z= minus concentrique
avec une bobine de longueur 4 1L Z Z= minus helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
51
Figure II2 Maillages du circuit ferromagneacutetique avec entrefer eacutetudieacute par COMSOLhellip 62
Figure II3 Comparaison des distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave
partir du calcul analytique (a) et du calcul numeacuterique (b) avec le traceacute
des lignes de champ magneacutetiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
62
Figure II4 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions (a) III en ( )1 2 2r R R= + et (b) IV en 1 2r R= helliphelliphelliphelliphelliphellip
63
Figure II5 Comparaison des valeurs de lrsquoinductance de la bobine en fonction de la
longueur de lrsquoentrefer obtenues numeacuteriquement avec celles obtenues
analytiquement pour les diffeacuterentes valeurs de nombres des harmoniques
variant entre 1 et 50helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
64
Figure II6 Circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer de longueur e dans lequel se
trouve une pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
65
Figure II7 Distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir du (a)
calcul numeacuterique) et du (b) calcul analytique en preacutesence de la
pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
74
Figure II8 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans la reacutegion III en ( )2 3 2r R R= + (a) et dans la reacutegion IV en 1 2r R= (b) en
preacutesence de la pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
75
Figure II9 Repreacutesentation de lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon de la
pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
76
114
Figure II10 Variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
supraconductrice dans un circuit fermeacute et dans un circuit ouverthelliphelliphelliphellip
77
Figure II11 Position de la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du problegraveme de la figure II1 avec [ ]110r Risin et [ ]22 33z Z Zisin helliphelliphelliphelliphelliphellip
78
Figure II12 Variation de champ magneacutetique appliqueacute et du champ magneacutetique pieacutegeacute sur la surface de la pastille supraconductrice agrave 0r = et 33z Z= helliphellip
79
Figure II13 Evolution de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc sur le plan meacutedian de la pastille supraconductrice agrave ( )0479515320r mm= helliphelliphelliphelliphelliphellip
81
Figure III1 Pastille supraconductrice soumis agrave un champ magneacutetique exteacuterieurhelliphelliphellip 85
Figure III2 Les deux surfaces de la Pastille SHTC drsquoYBaCuO utiliseacutee pour
lrsquoaimantationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
85
Figure III3 Modegravele drsquoune pastille SHTC gradueacutee en YBCO proposeacutee pour la
modeacutelisation numeacuteriquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
86
Figure III4 Magneacutetiseur agrave impulsion K-serie utiliseacute pour aimanter la pastillehelliphelliphellip 87
Figure III5 Circuit eacutelectrique de magneacutetisationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88
Figure III6 Repreacutesentation du dispositif expeacuterimentation du processus
drsquoaimantation utiliseacutehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
88
Figure III7 Impulsion de champ magneacutetique appliqueacute sur la pastille SHTChelliphelliphelliphellip 89
Figure III8 Sonde agrave effet Hall de type HHP-NPhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 89
Figure III9 Positions des sondes agrave effet Hall sur les deux surfaces de la pastille
SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
90
Figure III10 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer au (a)
position1 (b) position 2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
92
Figure III11 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer avec une
eacutechelle de temps reacuteduite (a) position1 (b) position 2helliphelliphelliphelliphelliphellip
93
Figure III12 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur de la
pastille SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
97
115
Figure III13 Modeacutelisation numeacuterique du champ magneacutetique sur le centre de la
surface drsquoune pastille (a) Position 1 (b) Position 2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
98
Figure III14 La phase de monteacute des graphes de mesures numeacuterique et expeacuterimentale
de champ magneacutetique au-dessus des deux surfaces de la pastillehelliphelliphellip
99
Figure III15 Configurations utiliseacutees pour le calcul de Jc entre les deux pastilleshelliphellip 100
Figure III16 Mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC pour les
configurations (a) (b) et (c)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
101
FigIII17 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure des deux
pastilles pour les trois configurations (a) (b) et (c)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
103
Figure III18 Rapport PM PB B en fonction de longueur L de la pastille SHTC pour R=156mmhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
104
Tableau I1 Tempeacuterature critique de quelques mateacuteriaux supraconducteurshelliphelliphelliphellip 12
Tableau II1 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme sans
pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
61
Tableau II2 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme avec
pastillehelliphelliphellip
73
Tableau III1 Caracteacuteristiques des sondes agrave effet Hallhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 90
Tableau III2 Valeurs de la densiteacute de courant critique calculeacute agrave une distance de
05mm au-dessus du centre des deux surfaces de la pastille SHTC helliphellip
94
Tableau III3 Valeurs de JC0i optimiseacutees pour les trois reacutegions de la pastillehelliphelliphelliphellip 96
Tableau III4 Les valeurs de temps de peacuteneacutetration complegravete et champ magneacutetique de
peacuteneacutetration eacutequivalent mesureacutes pour les trois configurationshelliphelliphelliphellip
100
Tableau III5 Valeur de la densiteacute de courant critique entre les deux pastilles SHTC
drsquoYBCO utiliseacutees dans nos expeacuteriences helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
105
116
Reacutefeacuterences
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124
Annexes
125
Annexe I reacutesolution des eacutequations de Laplace et de Poisson
1- Cas drsquoun circuit ouvert avec entrefer sans pastille supraconductrice
1-1 reacutegion I 3 4R r Rlt lt et 50 z Zlt lt
( )2 2
22 2 2
10 0 1I I I II
A A A AAr r r r z
part part partnabla = rArr + minus + =
part part part
En utilisant la meacutethode de seacuteparation des variables on met ( ) ( ) ( )I I IA r z R r Z z=
lrsquoeacutequation (1) srsquoeacutecrit donc sous forme
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 0 1 I I I I I I I II I I I
I I I
R R R Z R RZ Z Rr r r r z R r R r r r Z
Z Zz
λpart part part part part part+ minus + = rArr + minus = minus =
part part part part part part
Il existe donc deux eacutequations lieacutees agrave la constante Iλ
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 2
1 0 3
II I
I II I
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = part
part part + minus + = part part
1-1-1 Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (2) srsquoeacutecrit sous forme 2 0I IZ λ+ =
Le discriminant I∆ de cette eacutequation est donneacute par 4I Iλ∆ =
Trois cas sont possible pour I∆
1er cas 0 0I Iλ∆ = rArr =
Pour ce cas la solution de lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (2) est donneacutee par
( )I I IZ z A z B= +
En tenant en compte les conditions aux limites consideacutereacutees pour cette reacutegion on trouve
( )0 et 0 0I I IA B Z z= = rArr = Cette fonction ne nous inteacuteresse plus et 0Iλ = nrsquoest plus une
valeur propre de notre problegraveme
2egraveme cas 0 0I Iλ∆ gt rArr lt
On pose 2I Iλ β= minus soit 24I Iβ∆ = minus et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) I Iz zI I IZ z A e B eβ βminus= +
En tenant en compte les conditions aux limites
126
( )0 0I I IZ z A B= = rArr = minus
( ) ( ) ( )5 55 50 0 2 sinh 0I IZ Z
I I I IZ z Z A e e A Zβ β βminus= = rArr minus = rArr = Comme 0Iβ ne ceci nrsquoest
possible que pour 0IA = et donc 0IB =
La solution ( ) 0IZ z = ne nous inteacuteresse plus et 0Iλ lt aussi ne sont plus des valeurs propre de
ce problegraveme
3egraveme cas 0 0I Iλ∆ lt rArr gt
On pose 2I Iλ α= soit ( )24I Iiα∆ = et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) ( ) ( )cos sinI I I I IZ z A z B zα α= +
En tenant en compte les conditions aux limites
( )0 0 0I IZ z A= = rArr =
( ) ( )5 50 sin 0I I IZ z Z B Zα= = rArr = Cela nrsquoest possible que si 5
InnZπα = pour 1 0B gt avec
n=1 2 3hellip par conseacutequent 2
5In
nZπλ
=
sont les valeurs propres du problegraveme aux limites
Les fonctions propres associeacutees aux valeurs Inλ sont
( ) ( )sinI In InZ z B zα= Avec5
InnZπα =
112 Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Les valeurs propres Inλ sont maintenant connues Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle agrave reacutesoudre dans ce
cas ( ( )2
2 2 22 1 0I I
I IR Rr r r Rr r
αpart part+ minus + =
part part) est une eacutequation de Bessel modifieacutee
On effectue le changement de variable Inr rα= Lrsquoeacutequation alors srsquoeacutecrit
( )2
2 22 1 0I I
IR Rr r r Rr r
part part+ minus + =
part part
Les solutions de cette eacutequation de Bessel modifieacutees sont alors
( ) ( ) ( )1In In n In I nR r C I r D K rα α= +
La forme du potentiel vecteur magneacutetique dans la reacutegion I est donneacutee par
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 11
I In nI n n n
nIA a I r b K r sin zr z R r Z z α α α
infin
=
= += sum
Utilisant la condition aux limites4
( ) 0r R
rAr =
part=
part le potentiel A srsquoeacutecrit
127
( ) ( )( ) ( ) ( )0
101
nIn n n
n nI
K rb K r sin zA
rr
Iz
αα α
α
infin
=
+ =
sum
5n
nZπα = Avec
1-2 Reacutegion II 2 3 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre ici est une eacutequation de Laplace
2 2
02 2 2
1 ( ) (4)II II II IIA A A A J zr r r r z
micropart part part+ minus + = minus
part part part
Avec ( ) 1 4
0J pour Z z Z
J zAilleur
lt lt=
1-2-2 Reacutesolution de lrsquoeacutequation de Laplace sans second membre
En utilisant la meacutethode de seacuteparation des variables ( ) ( ) ( )II II IIA r z R r Z z= times deux
eacutequations en r et en z sont agrave reacutesoudre
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 5
1 0 6
IIII II
II IIII II
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = part
part part + minus + = part part
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de (5) srsquoeacutecrit par 2 0II IIZ λ+ = ou le discriminant II∆ de cette
eacutequation est donneacute par 4II IIλ∆ = minus
1er cas 0 0II IIλ∆ = rArr =
En suivant les mecircmes eacutetapes de la reacutesolution deacutecrit preacuteceacutedemment on trouve que
cette valeur de 0IIλ = nrsquoest pas une valeur propre du problegraveme
2egraveme cas 0 0II IIλ∆ gt rArr lt
On trouve aussi que 0IIλ lt ne sont plus aussi des valeurs propres de ce problegraveme
3egraveme cas 0 0II IIλ∆ lt rArr gt On pose 2II IIλ α= soit ( )24II IIiα∆ =
La solution srsquoeacutecrit comme ( ) ( ) ( )cos sinII II II II IIZ z A z B zα α= +
En tenant en compte les conditions aux limites agrave 0z = et 5z Z=
( )0 0 0II IIZ z A= = rArr =
128
( ) ( )5 55
0 sin 0I II II IIn nnZ z Z B ZZπα α α= = rArr = rArr = = Avec n=1 2 3hellip Donc IInλ sont les
valeurs propres du problegraveme Les fonctions propres associeacutees aux valeurs IInλ sont
( ) ( )sinII IIn nZ z B zα= Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Les valeurs propres pour dans cette reacutegion sont maintenant connues donc on peut
reacutesoudre lrsquoeacutequation (6) (eacutequation de Bessel modifieacutee) suivant la variable r
En effectuant changement de variables IInr rα= les fonctions solution de cette eacutequation sont
alors
( ) ( ) ( )1 1IIn IIn n IIn nR r C I r D K rα α= +
Deacutetermination des solutions de lrsquoeacutequation avec second membre
On effectue la transformeacutee de Fourier de la densiteacute de courant eacutelectrique sur la base des
fonctions solutions de lrsquoeacutequation homogegravene en z soit
( ) ( )1
sinIIn nn
J z J zαinfin
=
=sum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )25
1
1 25 50
2 2 2sin sin cos cosZ Z
IIn nZ
n n nJ JJ J z z dz z dz Z Z
Z Z nα α α α
π= = = minusint int
A partir de lrsquoeacutequation (4) on peut eacutecrire
( )2 2
2 2 202 2 sin II II II
II II II II II IIn nR A Zr Z rZ R Z r R rr r z
J zαmicropart part part+ minus + = minus
part part part
On remplace ( )IIZ z par son expression dans cette eacutequation (avec nr rα= ) on trouve
( )2
2 2 2 2 02 1 II II IIn
n IIIIn
R Ar r r R rr r
JBmicroαpart part
+ minus + = minuspart part
Cette eacutequation srsquoeacutecrit sous forme
( )( )
1
2 2 2 1 4Γ 1 2
r
r L r L r L
υ
υ υ υ π υ
+ + minus + =
+
Dont les fonctions de Struve sont solutions de cette eacutequation [hellip]
Pour 1ν = les fonctions solutions de cette eacutequation srsquoeacutecrivent sous forme
( ) ( ) ( ) ( )0 21 0 12 2Γ 3 2
2n IIn
II n nn n IIn
J JR r L r L rB B
micro ππ α micro αα α
= minus = minus
Drsquoougrave
129
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11
1 sinII IIII II II n n n I n n n
nnLA r z R r Z z a I r b K r C zrαα α α
infin
=
= = + minussum
Avec 0 22 etII II
n IIn II n IIn IIIIn
nna C B b D B C Jπmicro
α= = =
1-3 Reacutegion III 1 2R r Rlt lt et 50 z Zlt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre ici est une eacutequation de Poisson
( )2 2
2 2 2
1 0 7III III III IIIA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
La solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation (7) est obtenue en suivant les mecircmes eacutetapes de la
reacutesolution pour la reacutegion I avec des conditions aux limites imposeacutees agrave z=0 et z= Z5 de type
Dirichlet 5( 0 ) 0 et ( ) 0III IIIA r z A r z Z= = = =
La forme geacuteneacuterale du potentiel vecteur magneacutetique obtenue est donc
( ) ( ) ( )( ) ( )1 11
III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Avec 5
nnZπα =
1-4 reacutegion IV 10 r Rlt lt et 2 3Z z Zlt lt
( )2 2
2 2 2
1 0 8IV IV IV IVA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites consideacutereacutees ici sont de types Neumann
2 3
( ) ( )0 et 0IV IV
z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
En appliquant la meacutethode de seacuteparation de variables ( ) ( ) ( )IV IV IVA r z R r Z z= times l eacutequation (8) srsquoeacutecrit sous forme
2 2
2 2 2
11 1 1 1IV IV IVIV
IV IV IV
R RR r R r r r
ZZ z
λpart part part+ minus = minus =
part part part
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 9
1 0 11
IVIV IV
IV IVIV IV
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = partrArr
part part + minus + = part part
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
130
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (10) srsquoeacutecrit sous forme 2 0IV IVZ λ+ =
4IV IVλ∆ =
1er cas 0 0IV IVλ∆ = rArr =
La solution est donneacutee sous forme ( )IV IV IVZ z A z B= +
En tenant en compte les conditions aux limites
bull 2 2
( ) ( )0 0 0IV IVIV
z Z z Z
A r z Z r z Az z= =
part part= rArr = rArr =
part part
bull 3 3
( ) ( )0 0IV IV
z Z z Z
A r z Z r zz z= =
part part= rArr =
part part Cette condition ne nous apprend rien sur
Par conseacutequent 0 0IV IVλ λ= = est une valeur propre simple de problegraveme et ( )0 0IVZ z B= est
une fonction propre simple ( 0B est une constante arbitraire)
2egraveme cas 0 0IV IVλ∆ gt rArr lt
Pour ce cas on trouve que les valeurs de 0IVλ lt ne sont pas des valeurs propre de ce
problegraveme
3egraveme cas 0 0IV IVλ∆ lt rArr gt
On pose 2IV IVλ β= soit ( )24IV IViβ∆ = et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) ( ) ( )cos sinIV IV IV IV IVZ z A z B zβ β= +
En tenant en compte les conditions aux limites
bull ( )( )
2 2
2
2
sin( ) ( )0 0cos
IVIV IVIV IV
z Z z Z IV
ZA r z Z r z B Az z Z
ββ= =
part part= rArr = rArr =
part part
bull ( )( )3 3
3 23 2
( ) ( )0 0 sin 0IV IVIV IV
z Z z Z
A r z Z r z kZ Zz z Z Z
πβ β= =
part part= rArr = rArr minus = rArr =
part part minus
bull Donc 2
3 2IV
kZ Z
πλ
= minus sont des valeurs propres du problegraveme et la fonction associeacutee
aux ces valeurs est
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2
22
sincos sin cos
cosIV
IV IV IV IV k IVIV
ZZ z A z z C z Z
Zβ
β β ββ
= + = minus
IVB
131
Avec ( )2cos
IVk
IV
ACZβ
=
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Deux cas sont possibles pour les valeurs de IVkλ 1er cas 0IVλ =
( )2
22 011 IV IV
IVR Rr r Rr r
part part+ minus =
part partrArr Equation drsquoEuler dont la solution est donneacutee sous forme
( ) 10 0IV IV IVR r C r D rminus= +
En appliquant la condition aux limites dans ce cas ( )0 0IVA r z= = on trouve 0 0IVD =
2egraveme cas 0IVλ gt
Lrsquoeacutequation (11) est devenue une eacutequation diffeacuterentielle de Bessel modifieacutee sa solutions est
donneacutee donc par
( ) ( ) ( )1IVk IVk k IVk I kR r C I r D K rβ β= +
En appliquant la condition aux limites ( )0 0IVA r z= = on trouve 0IVkD =
Donc la forme geacuteneacuterale du potentiel vecteur magneacutetique dans cette reacutegion est donneacutee par
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )00 11 21
0 cos IV IV IV IV V k kIV
IVk
A r z R r Z z R A r a Ir Z z z Zrβ βinfin
=
= + + minus= sum
132
Annexe II Condition de passage agrave lrsquointerface entre les reacutegions III et IV agrave r =R1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ] ( )
1 1
2
2 3
3 5
1 1 2 3
0 0
1
0
2
III IV
r R r R
IV III
pour Z ZrA rA
pour Z Z Zr r
pour Z Z Z
A r R Z A r R Z pour Z Z Z
= =
lt lt part part = lt lt part part
lt lt = = = isin
Commenccedilons la premiegravere condition
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
1 2 1
3
0
1 sin sinZ Z
kI
kZ
II IV
r R r R
rA rz
Ar r
dz z dzα α= =
rArrpart
=partpart partint int
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
5
3 3
2 2
0 10
0
0 1
0 2
sin sin
32 sin cos sin
k
k k
ZIII IIIn n n n n n
Z ZIVk k k k
Z Z
a I R b K R z z dz
A z dz a I r Z Z z dz
α α α α α
α β β β α
minus =
+ minus
rArrint
int int
On a
bull ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )5 5
0 0
sin sin cos2
cosZ Z
nn n n nk k kz z dz z z dzαα α α α α α α+= minusminusint int
( )( ) ( )( )5 51 1sin si
2n sin
n nk kk
nn
kkn
Z Zα α α α α α αα α α α
minus + ne minus +minus
=
On remplace α par son expression on trouve
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )5
0
1 1sin sin sin sin si2
Z
n knnz z dz n k n k
n kn k
knα α πα π π π
minus + ne
minus
minus +=int
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 12 2
1 11 sin 1 s s2
in in n n kk k
n nk kn kn n
π π+ + + = ne minus +
=
minusminus
minus
Pour n=m
( ) ( ) ( )( )5 5
05
0
1sin sin co 22 2 2
sZ Z
n nn n nkz z nZz d z dzα αα α α α π
= minus ==int int
133
Donc ( ) ( )( ) ( )5
21
2 2
0
1 sinsin sin
si
si2
k
nZ
n n
n kk
n n
nn
k
kz z dz
π
πα α α
+ neminus
=
minus=
int
bull ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3
2
0 1 1 1 1 2 311 3 2
2 12 sin cos cosZ
III IIIn n n n n
nkZk k kA z dz m a I R b K R Z Z
R Z Zα α α α α
α
infin
=
= + minus minus
sumint
bull ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 2cos sin sin sin2
Z Zk
k k kk k kZ Z
kZ Z z dz z z Z z z Z dzββ β α α β α βminus = + minus + minus minusint int
( )( ) ( )( )3
2
2 2sin sin2 k k
Zk
k k k kZ
z Z z Z dzβ α β β α β β= + minus + minus +int
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
2 2 3 2
2 2 3 2
1 cos cos
12 cos cos
k k k kkk
k
k k k kk
k kk
k
k kk
Z Z Z Zsi
Z Z Z Z
α β β α β βα ββ α β
α β β α β βα β
+ minus minus + minus + = ne + minus + minus minus + minus
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
2 3 3 2
2 3 3 2
1 cos cos
12 cos cos
k kk
k kk
kkk
kk
Z Z Z Z
Z Z Z Z
α α βα ββ
α α βα β
minus + minus + = + minus minus minus minus
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 3 3 2 3 3 2
2 3 3 2 3 3 2
1 cos cos cos sin sin
12 cos cos cos sin sin
k kkk
k kk
k k kk
k k kk
Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z
α α β α βα ββ
α α β α βα β
minus minus minus minus + + minus minus + minus minus
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
12 3
12 3
1 cos 1 cos
12 cos 1 cos
kk k
kk
kk
k
kk
k
Z Z
Z Z
α αα ββ
α αα β
+
+
+ minus + + + minus minus
=
( ) ( ) ( )( )2 21
2 3cos 1 cos sikkk
kk k k
kk
Z Zα β α α α βα β
++ minus ne=minus
Pour kkα β=
( )( ) ( ) ( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 2cos sin sin 2 sin2
Z Zk
k k k k kZ Z
kZ Z z dz z Z Z dzββ β α β β βminus = minus +int int
( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 2 2 2 3 3 21sin cos cos
2 2k
k k k kk
Z Z Z Z Z Z Zβ β β β ββ
= minus + minus + minus
134
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )13 2 2 2 3
1sin cos 1 cos2 2
kkk k k
k
Z Z Z Z Zβ β β ββ
+ = minus + minus minus
( ) ( ) ( ) ( )( )12 2 3
1sin cos 1 cos2 4
kk k k
k Z Z Zπ β β β+= + + minus
Donc
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
3
2
2
13
2
2
22 1
3
2
cospour
1 coscos sin
cos1sin pour2 4 1 cos
kkk kkZ
k kk k
Z kk k kk
k
k
k
k
Z
ZZ Z z dz
Zk ZZ
αα β α βα β α
β β αβπ β α β
β
+
+
+ ne
minus minus = +
+ = minus
minus
int
En conclusion
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2 2
0
21
2 2
0 1 0 1
1 1 1 1 2 311 3 2
12 3
2 2
si1 sin
2 1 cos cos
cos 1 cos si
1s
1si
2
in cos 12 4
n
III IIIn n n n
III IIIn n n n n
nk k
k
k
k
kkk k k k
IV kk k
kk k
n kna I R b K R
m a I R b K R Z ZR Z Z
Z Za I
n k
rk Z
kn n
Z
k
πα α
α α α αα
α β α α α βα ββπ β β
π
+
infin
=
+
neminusrArr
=
minus
minusminus
= + minus minus
+ minus ne+
+ + minus
sum
( )( )13cos sik k kZβ α β+
=
On met
( ) ( )( )2 3cos cos1k k k
k
Zm Zα
α αminus=
( )( ) 12 1 32n k n kh m Zm R Z
minusminus=
( ) ( )2
12
2 si
si
1 s n
2
in k
n n kk
kf
n
nn
n k
π
π
+minus
ne
minus==
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 3
12 2 3
2 2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
k kkk k k k
k
kk k k k k
kn k
Z Z
k Z Zg
Z
α β α α α βα βπ β β β α β
+
+
minus + minus ne= + + minus =
On trouve
135
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
1 1 0 1 1 1
10
0 1
1
0III IIIn n k n n k n n n k n n k n
IVk n k k
a h I R f I R b h K R f K R
a g I R
α α α α
β
minus + + = +
rArr
Pour la deuxiegraveme condition
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3 3
2 2
1 2 1 2 cos co2 sZ Z
IV k III kZ Z
A r R Z z Z dz A r R Z z Z dzβ β= minus = = minusrArr int int
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
3 3
2 2
3
2
20 1 2 1 1 2
1
1 1 21
cos cos
cos
Z ZIV
k kkZ Z
ZIII IIIn n n n
k k
n kn Z
A R z Z dz a I R z Z dz
a I r b K r sin z z Z dz
β β
α α α β
βinfin
=
infin
=
minus + minus
= +
rArr
minus
sumint int
sum int
On a
bull ( )( ) ( ) ( )( )3
2
2 3 2 2 21cos sin sin 0
Z
k k kkZ
z Z dz Z Z Z Zβ β ββ
minus = minus minus minus =int
bull ( )( ) ( )( )( ) ( )3 3
2 2
22 2 3 2
1 1cos 1 cos 22 2
Z Z
k kZ Z
z Z dz z Z dz Z Zβ βminus = + minus = minusint int
bull ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 21sin cos sin sin2
Z Z
n k n k n kZ Z
z z Z d z z z Z z z Z d zα β α β α βminus = + minus + minus minusint int
( )( ) ( )( )3
2
2 21 sin sin2
Z
n k k n k kZ
z Z z Z dzα β β α β β= + minus + minus +int
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
2 2 3 2
2 2 3 2
1 cos cos1 si
12 cos cos
n k k n k kn k
n k
n k k n k kn k
Z Z Z Z
Z Z Z Z
α β β α β βα β
α βα β β α β β
α β
+ minus minus + minus + = ne + minus + minus minus + minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 3 2 31 1 1cos cos cos cos2 n n n n
n k n k
Z Z k Z Z kα α π α α πα β α β
= minus + + minus minus + minus
( ) ( ) ( )( )12 3
1 1 1cos 1 cos2
kn n
n k n k
Z Zα αα β α β
+ = + minus + + minus
( ) ( ) ( )( )12 3 2 2
21 cos 1 cos si2
k nn n n k
n k
Z Z αα α α βα β
+ = + minus ne minus
Pour n kα β=
136
( ) ( )( ) ( ) ( )3 3
2 2
2 2 21sin cos sin 2 sin2
Z Z
n k k k kZ Z
z z Z dz z Z Z dzα β β β βminus = minus +int int
( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 2 2 2 3 21 1sin cos 2 cos 22 2k k k k k
k
Z Z Z Z Z Z Zβ β β β ββ
= minus + minus minus minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )13 2 2 2 3
1 1sin cos 1 cos2 4
kk k k
k
Z Z Z Z Zβ β ββ
+= minus + + minus
En conclusion
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 3 2
12 3 2 2
1
113 2 2 2 3
21 cos 1 cos si 21 1sin cos 1
2
co4
1
s2
IV
k nIII n n n kn n n k
IIIkn n
k k k kk
k
n
ka I R Z Z
Z Za I r
b K r Z Z Z Z Z si
αα α α βα α βα
β β β α ββ
β
+
+
minus
+ minus ne minus = + minus + + minus =
rArr
En multipliant les deux coteacute de cette eacutequation par kβ on trouve
( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1
12 32 2
1 11
2 2 3
2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
IV
kn kn n n k
III III n kn n n n
kk k k k
k k
n
ka I R
Z Za I r b K r
k Z Z Z
π
α β α α α βα βα απ β β β α
β
β
+
+
+ minus ne minus= +
rArr
+ + minus =
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 02
III III IVn n k n n n k kk n
ka g I r b g K r a I Rπα βαrArr + minus =
137
Annexe III Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
En appliquant les conditions de continuiteacutes du potentiel vecteur magneacutetique aux interfaces
entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave r=R2 et entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI agrave r= R1
( ) ( ) [ ] ( )
( )( ) [ ]
[ ]( ) [ ]
( )
2 2 2 5
1 2 3
1 3 4
1 4 5
Pour 1
Pour
0 Pour 2
Pour
IV III
V
IV
VI
A r R z A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
= = = isin
= isin
= = isin = isin
Par inteacutegration de ces deux eacutequations par rapport agrave z sur lrsquointervalle [ ]2 5Z Z on trouve
( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
5 5 5
2 2 2
5
2 2
1 2 1 201 221
1 111 2 1 2 1 2
1 101 121
11 1 1 1
cos sin
cos
IV IIIZ Z Zn n n
nIV IIIn nZ Z Zn n n
IVZ Zn
IVZ Zn
nn
n
nn
n
a I R a I RA Rdz z Z dz z dz
A R b K R b K R
a I RA Rdz z Z dz
A R b K R
β αβ α
β α
ββ
β
infin infin
minus= =
minus
+ minus = + + +
+ minus + +
sum sumint int int
int( ) ( )( )
( ) ( )( )4
3
5
52
1 2 1
1 3 1 3 4
1
1
2 2
1
c
s
s
in
on
ZVIn n n
n Z
ZV
n nn Z
n
a I R z
a I R z Z dz
Z dz
β β
β βinfin
infin =
= infin
=
minus
minus
= +
sum
sumint
int
intsum
( )( )( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 2101 2 11 2 5 2 2 5
1 1 2
1101 1 11 1 5 2 1 2 1
13
321 1
1 cos cos
1 1 1
IIIn n
n nIIIn nn n
nVn
n n
VIn n n
n
a I RA R A R Z Z Z Z
b K R
A R A R Z Z a RR a II
αα α
α
βββ
β
α
infinminus
=
infin+minus
=
+ minus = minus + rArr
+ minus = minus +
sum
sum
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )1
1 22 201 2 11 2 5
15 2 1 2
12 101 1 11 1 2 3
21
5 31
1 2
1 co
1 1
s cos
1
IIIn n
n nI
VIn
IIn n n n
nVn n
n nn
n
a I
a I RRA R A Z ZZ Z b K R
RA R A a I RZ Z
Rββ
αα α
α α
ββ
infin
=
infin+
=
+ = minus minus + rArr
+ = minus + minus
sum
sum
( ) ( )( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1
1 2 12
0 1 1 2 1 21
1 2111 1 2 1 01
1 3 13
1 3 15 2 3
11 2
1
1 1
1
1
n
VIn n
n
VIn n
nV
nIII III nn n n n n
n
nVn n
n n n
a I R
a I R
a I RA a I R b K R h q
RA a I R A RZ Z
β
ββ
ββ
βα α
ββ
+
infin
=
infin+
=
minus = + minus +rArr = minus + minus minus
sum
sum
138
Avec
( )2
2 22 1
n nRh m
R R e=
minus ( ) ( )( )2 5cos co1 s n nn
n
Z Zmα
α α= minus ( )
12 2
2 1
RqR R e
=minus
et 5 2e Z Z= minus
139
Reacutesumeacute
Lrsquoobjectif de ce travail de thegravese est drsquooptimiser le processus drsquoaimantation des
pastilles supraconductrices agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) par un champ magneacutetique
impulsionnel ou PFM (Pulsed Field Magnetization) afin de les mettre en œuvre dans des
applications dans le domaine de lrsquoeacutelectrotechnique Dans lrsquoeacutetape de conception de lrsquoinducteur
neacutecessaire pour magneacutetiser ces pastilles SHTC la modeacutelisation et la simulation sont
fortement recommandeacutees pour effectuer les calculs neacutecessaires des diffeacuterentes caracteacuteristiques
eacutelectriques du systegraveme drsquoaimantation De ce fait nous avons deacuteveloppeacute un modegravele analytique
pour eacutetudier lrsquoinfluence de la preacutesence drsquoune pastille supraconductrice dans un circuit
ferromagneacutetique sur la valeur de lrsquoinductance drsquoune bobine inductrice Il srsquoagit de reacutesoudre les
eacutequations de Laplace et de Poisson dans diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecirct agrave travers le potentiel
vecteur magneacutetique La reacutesolution analytique a eacuteteacute effectueacutee agrave lrsquoaide drsquoun code de calcul
deacuteveloppeacute sous MATLAB ougrave les reacutesultats obtenus ont eacuteteacute en bonne concordances avec ceux
obtenus par simulation numeacuterique sous COMSOL
Lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC de type YBaCuO en termes de la densiteacute de
courant critique Jc a eacuteteacute eacutegalement eacutetudieacutee Pour cela nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences de
lrsquoaimantation des ces pastilles par la meacutethode PFM Nous avons montreacute que la surface plane
contenant le germe de cristallisation (seed) de ces pastilles est caracteacuteriseacutee par une Jc plus
eacuteleveacutee que lrsquoautre surface Ainsi nous avons eacutetudieacute lrsquoinfluence de la position du germe de
cristallisation dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles
Mots cleacutes Supraconducteur modeacutelisation analytique inductance aimantation champ
magneacutetique impulsionnel caracteacuterisation
140
Abstract
The aim of this thesis is to optimize the process of magnetization of superconducting
pellets at high critical temperature (SHTC) by pulsed field magnetization (PFM) in order to
use them in applications in the field of electrical engineering In the design phase of the
inductor necessary to magnetize these SHTC pellets modeling and simulation are strongly
recommended to perform the necessary calculations of the various electrical characteristics of
the magnetization system Therefore we have developed an analytical model to study the
influence of the presence of a superconducting bulk on the value of the inductance of an
induction coil in a ferromagnetic circuit The aim is to solve the Laplace and Poisson
equations in different regions of interest through the magnetic vector potential The analytical
resolution was performed (carried out) using a computer code developed under MATLAB
where the results obtained were in good agreement with those obtained by numerical
simulation under COMSOL
The inhomogeneity of YBaCuO type SHTC pellets in terms of critical current density
Jc was also investigated To do this we carried out experiments on the magnetization of these
bulks by the PFM method We have shown that the flat surface containing the crystallization
germ (seed) of these pellets is characterized by a higher Jc than the other surface Also we
studied the influence of the position of the seed crystallization in the two-pellet
characterization method
Key words Superconductor analytical modeling inductance magnetization pulsed
magnetic field characterization
141
ملخص
عالية حرجة حرارة درجة ذات التوصيل فائقة المواد مغنطة عملية تحسين هو العمل هذه من الهدف )SHTC (نبضي أو ما يعرف بطريقة مغناطيسي حقل طريق عنPFM في تطبيقات في استعمالها أجل من
حرارة درجة ذات التوصيل فائقة الاقراص لمغنطة المطلوب المحث تصميم مرحلة في الكهربائية الهندسة مجال لنظام المختلفة الكهربائية للخصائص اللازمة الحسابات لإجراء والمحاكاة بالنمذجة بشدة يوصى عالية حرجة
لوشيعة الذاتية قيمة على التوصيل فائق قرص وجود تأثير لدراسة تحليلي نموذج بتطوير قمنا لذلك المغنطةداخل الدارة مختلفة مناطق في وبواسون لابلاس معادلات حل هو الهدف حديدية مغناطيسية موجودة داخل دارة
تطويره تم برنامج باستخدام التحليلي الحل إجراء تم الشعاع المغناطيسي كمون خلال حساب من المغناطيسية تم التي تلك مع متوافقة الى حد كبير عليها الحصول تم التي النتائج كانت حيث MATLAB باستعمال الكود
COMSOL بموجب العددية المحاكاة خلال من عليها الحصول
نوع عالية من حرجة حرارة درجة التوصيل ذات فائقة أقرص تجانس عدم دراسة لقد تم أيضا YBaCuO باستخدام الأقراص هاته مغنطة من أجل تجارب أجرينا بذلك للقيام الحرج التيار كثافة حيث من
هاته الأقراص تبلور بذرة على يحتوي الذي المستوي السطح أن بينا من خلال هاته الدراسة لقد PFM طريقة في التبلور بذرة موضع تأثير درسنا وايضا الآخر السطح مرتفعة بالمقارنة مع Jc حرج تيار بكثافة يتميز
باستخدام قرصين متطابقين التوصيف طريقة
فائق الناقلية النمذجة التحليلية الذاتية المغنطة الحقل المغناطيسي النبضي التوصيف الكلمات الدالة
- Caracteacuterisation et modeacutelisation des mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
-
- Avant propos
- Table des matiegraveres
-
- Introduction geacuteneacuterale
- Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoart
-
- I1 Historique de la supraconductiviteacute
- I2 Grandeurs caracteacuteristiques des Supraconducteurs
-
- I21 Tempeacuterature critique
- I22 Champ magneacutetique critique
-
- I221 Supraconducteurs Type I
- I222 Supraconducteurs Type II
-
- I23 Densiteacute de courant critique JC
- I24 Surface critique
-
- I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
-
- I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
-
- I311Supraconducteur YBa2Cu3O7-δ
-
- a- Preacutesentation
- b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuO
- c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuO
-
- I32 Supraconducteur MgB2
-
- a- Preacutesentation
- b- Structure cristalline de MgB2
- c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2
-
- I4 Modegraveles des supraconducteurs
-
- I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)
-
- I411 Preacutesentation du modegravele
- I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long notion de peacuteneacutetration complegravete
-
- I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)
- I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et n
-
- I5 Meacutethodes drsquoaimantation
-
- I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)
- I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC)
- I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization (PFM)
-
- I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTC
-
- I51 Meacutethode eacutelectrique
- I52 Meacutethode magneacutetique
-
- I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastille
-
- I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur le champ de peacuteneacutetration
- I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de lrsquoexposant-n et Jc
-
- I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille
-
- I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et BP
-
- I6 Objectifs de la thegravese
-
- Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
-
- II1 Introduction
- II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveses
- II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetique
-
- II31 Reacutegion I R3ltrltR4 et 0ltzltZ5
- II32 Reacutegion II R2ltrltR3 et 0ltzltZ5
- II33 Reacutegion III R1ltrltR2 et 0ltzltZ5
- II34 Reacutegion IV 0ltrltR1 et Z2ltzltZ3
- II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0
-
- II4 Conditions de passages entres interfaces
-
- II41 Condition drsquointerface agrave r=R3
- II42 Condition drsquointerface agrave r=R2
- II43 Condition drsquointerface agrave r=R1
-
- II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobine
- II6 Reacutesultats analytiques et discussion
- II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
-
- II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
- II72 Conditions de passages entres interfaces
-
- II721 Interface agrave r = R4
- II722 Interface agrave r = R3
- II723 Interface agrave r = R2
- II724 Interface agrave r = R1
-
- II72 Expression analytique de lrsquoinductance
- II73 Reacutesultats et discussion
-
- II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique impulsionnel
- II9 Conclusion
-
- Chapitre 3 Prise en compte de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de leur caracteacuterisation
-
- III1 Introduction
- III2 Description du banc expeacuterimental
-
- III21 Les pastilles SHTC
- III22 Le circuit drsquoaimantation
- III23 Instrumentation
-
- III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTC
-
- III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hall
- III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de la pastille
- III33 Simulations numeacuteriques
-
- III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles
- III5 Conclusion
-
- Conclusion geacuteneacuterale et perspectives
- Liste des illustrations graphiques et tableaux
- Reacutefeacuterences
- Annexes
-
- Annexe I reacutesolution des eacutequations de Laplace et de Poisson
- Annexe II Condition de passage agrave lrsquointerface entre les reacutegions III et IV agrave r =R1
- Annexe III Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
-
AVERTISSEMENT
Ce document est le fruit dun long travail approuveacute par le jury de soutenance et mis agrave disposition de lensemble de la communauteacute universitaire eacutelargie Il est soumis agrave la proprieacuteteacute intellectuelle de lauteur Ceci implique une obligation de citation et de reacutefeacuterencement lors de lrsquoutilisation de ce document Dautre part toute contrefaccedilon plagiat reproduction illicite encourt une poursuite peacutenale Contact ddoc-theses-contactuniv-lorrainefr
LIENS Code de la Proprieacuteteacute Intellectuelle articles L 122 4 Code de la Proprieacuteteacute Intellectuelle articles L 3352- L 33510 httpwwwcfcopiescomV2legleg_droiphp httpwwwculturegouvfrcultureinfos-pratiquesdroitsprotectionhtm
Thegravese en cotutelle Ecole Doctorale IAEM-Lorraine
et Universiteacute de Laghouat
Preacutesenteacutee et soutenue publiquement pour lrsquoobtention du titre de
DOCTEUR DE lrsquoUNIVERSITE DE LORRAINE Mention laquo Geacutenie eacutelectrique raquo
Et
DOCTEUR DE lrsquoUNIVERSITE AMAR TELIDJI DE LAGHOUAT Mention laquo Physique des mateacuteriaux raquo
par Mohamed ELBAA
Caracteacuterisation et modeacutelisation des mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute
tempeacuterature critique
Soutenance publique le 21122020 Membres du jury Preacutesident et Rapporteur M Ibn Khaldoun LEFKAIER Professeur Universiteacute de Laghouat
Examinateurs Mme Afef KEDOUS-LEBOUC Directrice de recherche CNRS G2Elab
M Mohamed SIDOUMOU Professeur Universiteacute de Blida
M Keacutevin BERGER Maitre de confeacuterences Universiteacute de Lorraine
M Bruno DOUINE Professeur Universiteacute de Lorraine (Directeur de thegravese)
M Mohamed HALIT Professeur Universiteacute de Laghouat (Directeur de thegravese)
M El-Hadj AILAM Professeur Universiteacute de Khemis Miliana (Co-directeur de thegravese)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- GREEN Groupe de Recherche en Energie Electrique de Nancy Faculteacute des Sciences
amp Techniques BP 239 54506 Vandœuvre-legraves-Nancy Cedex France LPM Laboratoire de Physique des mateacuteriaux universiteacute Amar TELIDJI route de
Ghardaiumla BP G37 (Mrsquokam) 03000 Laghouat Algeacuterie
LESI Laboratoire de lrsquoeacutenergie et des systegravemes intelligents de lrsquouniversiteacute Djilali Bounaama Route de Thegraveniet El-Had 44225 Khemis Miliana Algeacuterie
Avant propos
Les travaux de recherches entrepris dans le cadre de cette thegravese sont le fruit drsquoune cotutelle entre
lrsquouniversiteacute Amar TELIDJI de Laghouat et lrsquouniversiteacute de Lorraine en France Cette cotutelle a eacuteteacute
adosseacutee par un projet PHC-Tassili entre le laboratoire GREEN de Nancy et le laboratoire LESI de
lrsquouniversiteacute de Khemis Miliana
Je tiens agrave remercier tout drsquoabord du cocircteacute Algeacuterien Dr Ali MAHIEDDINE directeur du LESI de
mrsquoavoir inteacutegreacute dans le laboratoire et du cocircteacute franccedilais Pr Noureddine TAKORABET et Pr Bernard
DAVAT respectivement directeur et ex-directeur du GREEN de mrsquoavoir accueilli au sein du GREEN
durant toute la peacuteriode de reacutealisation de cette thegravese lors de mes seacutejours scientifiques agrave Nancy et de
mavoir permis de mener la majoriteacute de mes travaux de recherches dans les meilleures conditions
Je tiens agrave remercier aussi mes encadreurs de la partie algeacuterienne Pr Mohamed HALIT et Pr
El-Hadj AILAM drsquoavoir bien accepteacute drsquoencadrer cette thegravese et de la partie franccedilaise Pr Bruno
DOUINE initiateur du sujet de la thegravese pour son soutien et essentiellement pour sa supervision et son
aide indispensable pour bien mener surtout la partie expeacuterimentale de cette thegravese
Mes grands remerciements vont au Dr Keacutevin BERGER qui agrave dirigeacute et suivi le deacuteveloppement de
de la partie modeacutelisation et simulation par MATLAB et COMSOL Je le remercie profondeacutement pour
ses remarques pertinentes son aide majeure et preacutecieuse et eacutegalement pour avoir accepteacute de faire
partie du jury de thegravese
Je remercie Pr Ibn Khaldoun LEFKAIER pour mavoir fait lhonneur de preacutesider le jury de
soutenance de cette thegravese doctorale surtout pour sa patience et pour sa disponibiliteacute
Jrsquoadresse eacutegalement mes remerciementsagrave Mme Afef LEBOUC-KEDOUS Directrice de
recherche CNRS G2Elab et Pr Mohamed SIDOUMOU pour avoir accepteacute drsquoexaminer le preacutesent
travail
Je voudrais exprimer mes remerciements les plus sincegraveres au Dr Salah-eddine BENTRIDI et Dr
Mohamed BOUCHENAFA pour leurs encouragements et leurs conseils le long de cette thegravese
Un grand merci agrave tous les membres du laboratoire GREEN pour lrsquoagreacuteable ambiance de travail
Je remercie AREZZOUG T Lubin S MEZANI M Hinaje H MENANA S LAMALE et tous les
doctorants du GREEN sans oublier mon collegravegue de bureau Y STATRA ainsi agrave tous mes collegravegues
du laboratoire LESI et de lrsquouniversiteacute de Khemis Miliana
Ma profonde reconnaissance srsquoadresse agrave mes parents qui mrsquoont inlassablement encourageacute lors de
la preacuteparation de cette thegravese
Et enfin Je tiens agrave remercie infiniment la maman de mes enfants Chakib Issam et la petite
Anya pour sa patience et pour mrsquoavoir encourageacute durant la peacuteriode de preacuteparation de la thegravese Crsquoest
gracircce agrave elle que jrsquoai reacutealiseacute aujourdrsquohui mon recircve
1
Table des matiegraveres Introduction geacuteneacuteralehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4
Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoarthelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7
I1 Historique de la supraconductiviteacutehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8
I2 Grandeurs caracteacuteristiques des supraconducteurshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11
I21 Tempeacuterature critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11
I22 Champ magneacutetique critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13
I221 Supraconducteurs Type Ihelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13
I222 Supraconducteurs Type IIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14
I23 Densiteacute de courant critique Jchelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15
I24 Surface critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17
I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18
I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19
I32 Supraconducteur YBa2Cu3O7-δhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20
a- Preacutesentationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20
b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23
133 Supraconducteur MgB2 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24
a- Preacutesentationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24
b- Structure cristalline de MgB2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25
I4 Modegraveles des supraconducteurs helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26
I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26
I411 Preacutesentation du modegravele helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26
I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long
notion de peacuteneacutetration complegravetehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)helliphelliphelliphelliphellip 30
I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et nhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 31
I5 Meacutethodes drsquoaimantation helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32
I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32
I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC) helliphelliphelliphelliphelliphellip 33
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I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization
(PFM)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 37
I51 Meacutethode eacutelectrique helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 37
I52 Meacutethode magneacutetiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 38
I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 38
I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur
le champ de peacuteneacutetration helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de
lrsquoexposant-n et Jchelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
42
I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille helliphellip 43
I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et
BPhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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I6 Objectifs de la thegravese helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 48
Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit
ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphellip
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II1 Introductionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50
II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveseshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 51
II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53
II31 Reacutegion I helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53
II32 Reacutegion II helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 54
II33 Reacutegion III helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55
II34 Reacutegion IV helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55
II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II4 Conditions de passages entres interfaceshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II41 Condition drsquointerface agrave r=R3helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II42 Condition drsquointerface agrave r=R2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57
II43 Condition drsquointerface agrave r=R1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57
II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobinehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59
II6 Reacutesultats analytiques et discussionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 60
II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en preacutesence
drsquoune pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 67
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II72 Conditions de passages entres interfaceshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II721 Interface agrave r = R4helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II722 Interface agrave r = R3helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II723 Interface agrave r = R2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II724 Interface agrave r = R1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 69
II73 Expression analytique de lrsquoinductance helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 72
II74 Reacutesultats et discussion helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73
II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique
impulsionnelhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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II9 Conclusionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 82
Chapitre 3 Prise en compte de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de leur
caracteacuterisationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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III1 Introductionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 84
III2 Description du banc expeacuterimental helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 85
III21 Les pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 86
III22 Le circuit drsquoaimantationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 87
III23 Instrumentation helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 89
III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 91
III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hallhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 91
III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de
la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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III33 Simulations numeacuteriqueshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 94
III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux
pastilleshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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III5 Conclusion helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 105
Conclusion geacuteneacuterale et perspectiveshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 107
Listes des illustrations graphiques et tableauxhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 110
Reacutefeacuterences helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116
Annexeshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 124
Annexe Ihelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 125
Annexe IIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 132
Annexe IIIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 137
4
Introduction geacuteneacuterale
5
Faire leacuteviter un train ou avoir des cacircbles eacutelectriques beaucoup plus puissants pour le
transport du courant sans perte drsquoeacutenergie sont devenus possibles gracircce au pheacutenomegravene de la
supraconductiviteacute La deacutecouverte des mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature
critique (SHTC) agrave bases drsquooxydes de cuivre donne des nouvelles possibiliteacutes pour des
applications en eacutelectrotechnique a cause de leurs proprieacuteteacutes exceptionnelles Ils peuvent
transporter lrsquoeacutenergie eacutelectrique avec des pertes neacutegligeables en courant eacutelectrique continu et
tregraves inferieures agrave celles des conducteurs classique en courant alternatif mais aussi eacutecranter ou
pieacuteger des champs magneacutetiques eacuteleveacutes par rapport aux aimants permanents conventionnels
Sur cette deuxiegraveme qualiteacute exceptionnelle de nombreuses eacutetudes ont porteacute sur lrsquoameacutelioration
des systegravemes drsquoaimantation de mateacuteriaux SHTC massifs dont la modeacutelisation et la simulation
sont fortement recommander afin drsquooptimiser les processus
Parmi les mateacuteriaux SHTC les oxydes mixtes de baryum de cuivre et dyttrium ou
YBaCuO a eacuteteacute le premier oxyde de la famille des cuprates agrave preacutesenter une tempeacuterature
critique supeacuterieure au point drsquoeacutevaporation de lrsquoazote liquide Beaucoup drsquoeacutetudes portent sur
lrsquoeacutelaboration et la mise en forme de ce composeacute sous forme de massifs et de rubans Pour
optimiser les proprieacuteteacutes supraconductrices de ce mateacuteriau des conditions particuliegraveres de
croissances et de stœchiomeacutetrie doivent ecirctre satisfaites Des meacutethodes de caracteacuterisations des
pastilles SHTC ont eacuteteacute proposeacutees au niveau du laboratoire GREEN afin de mettre en œuvre
ces pastilles dans des applications dans le domaine de lrsquoeacutelectrotechnique Ces meacutethodes
portent sur la mesure de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete et par la suite de calculer
la densiteacute de courant critique qui est geacuteneacuteralement supposeacutee constante dans tout le volume de
la pastille
Le travail de recherche de cette thegravese porte sur la modeacutelisation et la caracteacuterisation de
mateacuteriaux SHTC Le but final est drsquooptimiser le processus drsquoaimantation par un champ pulseacute
ou PFM (Pulsed Field Magnetization) Ainsi le comportement drsquoune pastille SHTC placeacutee
dans le circuit ferromagneacutetique drsquoaimantation par PFM doit ecirctre eacutetudieacute afin de faire un
dimensionnement optimal de lrsquoinducteur du systegraveme drsquoaimantation Pour cela il est preacutefeacuterable
de maitriser des meacutethodes de calculs analytiques de champ magneacutetique pour acceacuteleacuterer
nettement le processus drsquoaimantation Pour permettre de bien modeacuteliser les pastilles SHTC
les meacutethodes de caracteacuterisations de ces pastilles doivent ecirctre ameacutelioreacutees et surtout adapteacutees agrave
la taille et au frome de ces pastilles Ceci explique le plan de cette thegravese en deux parties
relativement indeacutependantes
6
Dans le premier chapitre nous allons preacutesenter un rappel historique sur la
supraconductiviteacute puis les grandeurs et les proprieacuteteacutes caracteacuteristiques des mateacuteriaux
supraconducteurs Ensuite nous allons deacutecrire les diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantations et
nous terminons par une description des meacutethodes de caracteacuterisations deacuteveloppeacutees au niveau
du laboratoire GREEN de lrsquouniversiteacute de Lorraine
Le deuxiegraveme chapitre est deacutedieacute agrave la modeacutelisation analytique du systegraveme drsquoaimantation
par PFM Le modegravele analytique proposeacute permet de calculer lrsquoinductance de lrsquoensemble
composeacute drsquoune bobine inductrice drsquoun circuit ferromagneacutetique et en preacutesence drsquoune pastille
supraconductrice ce qui est un apport important de cette thegravese Ce modegravele sera valideacute
numeacuteriquement en utilisant le logiciel COMSOL souvent utiliseacute dans le domaine de la
supraconductiviteacute appliqueacutee
Le troisiegraveme chapitre sera consacreacute agrave la caracteacuterisation des pastilles SHTC et
particuliegraverement agrave lrsquoeacutetude de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC de type YBaCuO en termes
de densiteacute de courant critique La caracteacuterisation de ces pastilles se fait agrave lrsquoaide de la mesure
de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete lors de lrsquoaimantation de cette pastille par la
meacutethode PFM De cette mesure on deacuteduit la densiteacute de courant critique Jc Lrsquoinfluence de la
position du germe de cristallisation dans les meacutethodes de caracteacuterisation sera eacutegalement
eacutetudieacutee
7
Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoart
8
I1 Historique de la supraconductiviteacute
Les proprieacuteteacutes eacutelectriques et magneacutetiques de certains mateacuteriaux changent de maniegravere
cruciale agrave de tregraves basses tempeacuteratures Parmi ces mateacuteriaux on cite les mateacuteriaux dits
laquo supraconducteurs raquo Ces mateacuteriaux perdent totalement leurs reacutesistances au passage du
courant eacutelectrique et expulsent les lignes des champs magneacutetiques on parle dans ce cas de
figure drsquoun pheacutenomegravene physique assez intriguant et inteacuteressant qui srsquoappelle laquo la
supraconductiviteacute raquo Ce pheacutenomegravene est devenu un domaine tregraves passionnant de la physique
surtout qursquoil a mis en doute les principes eacutetablis de cette science notamment en
eacutelectromagneacutetisme Sa deacutecouverte datant de 1911 est due au physicien Neacuteerlandais Heike
Kamerlingh Onnes (1853-1926) lors de son eacutetude du comportement eacutelectrique des meacutetaux tregraves
purs agrave tregraves basse tempeacuterature apregraves avoir reacuteussi agrave liqueacutefier lheacutelium en 1908 pour atteindre
une tempeacuterature de 42 K soit -26895degC [1-5] On savait deacutejagrave que geacuteneacuteralement la reacutesistiviteacute
des meacutetaux diminue lineacuteairement en abaissant la tempeacuterature jusqursquoagrave une certaine valeur Au-
dessous de cette valeur elle reste geacuteneacuteralement constante mecircme en diminuant la tempeacuterature
Cette reacutesistiviteacute appeleacutee reacutesistiviteacute reacutesiduelle est due aux impureteacutes ainsi aux deacutefauts dans la
structure cristalline deacutejagrave preacutesente dans le meacutetal Onnes remarqua qursquoagrave une tempeacuterature
infeacuterieure agrave 415 degk (appeleacute tempeacuterature critique) la reacutesistiviteacute eacutelectrique du mercure tombe
brusquement agrave zeacutero (Figure I1) Une anneacutee apregraves il observa le mecircme pheacutenomegravene lors des
essais similaires reacutealiseacutes avec de lrsquoeacutetain et du Plomb (qui sont des tregraves mauvais conducteurs agrave
tempeacuterature ambiante) agrave des tempeacuteratures critiques de 37K et 6K respectivement
Figure I1 Reacutesistiviteacute eacutelectrique de mercure agrave basse tempeacuterature [2]
9
Au deacutebut toutes les recherches qui ont eacuteteacute consacreacutees pour percer le mystegravere de ce
pheacutenomegravene de supraconductiviteacute ont eacuteteacute de types pheacutenomeacutenologiques comme par exemple la
deacutecouverte de lrsquoeffet Meissner en 1933 [6-9] par les deux physiciens allemands Walter
Meissner (1882-1974) et Robert Ochsenfeld (1901-1993) qui consiste agrave observer la capaciteacute
du mateacuteriau supraconducteur agrave exclure les lignes du champ magneacutetique preacutesent dans son
voisinage immeacutediat le courant eacutelectrique est porteacute par des paires drsquoeacutelectrons apparieacutes qui
peuvent se mouvoir sans aucune reacutesistance ni dissipation En preacutesence drsquoun champ
magneacutetique les paires drsquoeacutelectrons engendrent des courants de surface permanents qui agrave leur
tour creacuteent au cœur du mateacuteriau un champ magneacutetique qui annule le champ externe Crsquoest sur
cet effet appeleacute aussi diamagneacutetisme parfait que se base la leacutevitation magneacutetique Cependant
lrsquoeffet Meissner nrsquoa lieu que si le champ externe est suffisamment faible
En 1935 la theacuteorie de London a eacuteteacute mise en place par les fregraveres Fritz London (1900-
1954) et Heinz London (1907-1970) [1011] pour expliquer le pheacutenomegravene drsquoexpulsion du
champ magneacutetique dans tout le mateacuteriau supraconducteur agrave lrsquoexception drsquoune couche de
surface du mateacuteriau Le champ magneacutetique deacutecroicirct exponentiellement agrave lrsquointeacuterieur du
mateacuteriau et peacutenegravetre sur une longueur caracteacuteristique 20L sm n eλ micro= appeleacutee longueur de
peacuteneacutetration de London avec ns eacutetant la densiteacute des laquosupra eacutelectronraquo m et e sont
respectivement la masse et la charge eacutelectrique des eacutelectrons et 0micro est la permeacuteabiliteacute du vide
Pour des supraconducteurs conventionnels Lλ varie entre 100 et 1000Å
Pendant plusieurs anneacutees les physiciens ont cru qursquoil existe un seul type de mateacuteriaux
supraconducteurs jusqursquoagrave lrsquoarriveacutee de la theacuteorie de Ginzburg-Landau en 1950 [12] une autre
theacuteorie pheacutenomeacutenologique qui a eacuteteacute mise en place par les physiciens sovieacutetiques V L
Ginzburg (1916-2009) et L D Landau (1908-1968) et qui a permis drsquoexpliquer les proprieacuteteacutes
macroscopiques des supraconducteurs Ils ont introduit une constante k quasiment
indeacutependante de la tempeacuterature appeleacutee constante de Ginzburg-Landau En particulier Alexei
Abrikosov (1928-2017) montre quavec cette theacuteorie on peut preacutevoir lexistence de deux
cateacutegories de supraconducteurs (types I et II)
En 1957 J Bardeen (1908-1991) L N Cooper (1930) et JR Schrieffer (1931-2019)
ont expliqueacute la supraconductiviteacute de faccedilon microscopique par la formation des paires
drsquoeacutelectrons appeleacute paires de Cooper sous lrsquoeffet drsquoune interaction attractive entre eacutelectrons
reacutesultant de lrsquoeacutechange de phonons [9 13 14] A basse tempeacuterature ces eacutelectrons ne subissent
aucune dissipation drsquoeacutenergie par effet joule car ils ne rencontrent aucune reacutesistance donc ils
10
sont capables de se deacuteplacer agrave travers le mateacuteriau sans aucun frottement crsquoest la theacuteorie BCS
Malheureusement cette theacuteorie nrsquoest valable que pour des mateacuteriaux supraconducteurs agrave basse
tempeacuterature (environ 30 K)
Avec lrsquoarriveacutee de lrsquoanneacutee 1986 une deacutecouverte deacutecisive a eacuteteacute faite dans le domaine de
la supraconductiviteacute Karl Alexander Muumlller (1927) et Johannes Georg Bednorz (1950)
chercheurs du laboratoire de recherche IBM agrave Ruumlschlikon en Suisse ont deacutecouvert un oxyde
agrave base de Baryum de Lanthane de Cuivre et drsquoOxygegravene (Ba-La-Cu-O) agrave une tempeacuterature de
34degK [15-17]
Cette deacutecouverte a deacuteclencheacute une vague dactiviteacutes dans le domaine de la supraconductiviteacute
Des chercheurs du monde entier ont commenceacute agrave cuisiner des ceacuteramiques de toutes les
combinaisons imaginables dans le but de trouver des supraconducteurs agrave des tempeacuteratures
plus en plus hautes
En janvier 1987 une eacutequipe de chercheurs de lrsquoUniversiteacute drsquoAlabama-Huntsville a
remplaceacute le lanthane par lrsquoyttrium dans les moleacutecules de BaLaCuO et a obtenu un incroyable
rendement agrave une tempeacuterature de 92 K Pour la premiegravere fois on avait deacutecouvert un mateacuteriau
supraconducteur (appeleacute aujourdhui YBaCuO) agrave des tempeacuteratures supeacuterieures agrave celles de
lazote liquide [18-20]
Apregraves des nouvelles geacuteneacuterations de composeacutes baseacutes sur lrsquooxyde de cuivre apparurent
avec des tempeacuteratures critiques qui deacutepassent la tempeacuterature de lrsquoheacutelium liquide tel que La-
Sr-Cu-O Y-Sr-Cu-O Bi-Sr-Ca-Cu-O Ta-Ba-Cu-O et Ti-Sr-Ca-Cu-O [21-28]
Tregraves reacutecemment une eacutequipe de linstitut Max-Planck de chimie de Mayence (Allemagne)
annonccedilait avoir observeacute des signes de lapparition dune phase supraconductrice dans
lrsquo hydrure de lanthane(LaH10) agrave une tempeacuterature de seulement 250 K soit environ -23 degC
mais ce composeacute nrsquoest pas stable qursquoagrave tregraves haute pression [29]
11
Figure I2 Historique des deacutecouvertes de la tempeacuterature critique
I2 Grandeurs caracteacuteristiques des Supraconducteurs
La supraconductiviteacute est un eacutetat de la matiegravere dont les proprieacuteteacutes eacutelectromagneacutetiques
exceptionnelles tel que la reacutesistance nulle et lrsquoexpulsion du champ magneacutetique jouent un rocircle
tregraves important tant du point de vue physique fondamentale que du point de vue application
Un supraconducteur est caracteacuteriseacute par trois grandeurs fondamentales tempeacuterature critique
CT champ magneacutetique critique119867119867119867119867 et la densiteacute de courant critique Jc Ces trois grandeurs
sont tregraves correacuteleacutees et forment ce qursquoon appelle la surface critique drsquoun mateacuteriau
supraconducteur
I21 Tempeacuterature critique
La tempeacuterature critique est la tempeacuterature en dessous de laquelle la reacutesistance tombe agrave
zeacutero et le mateacuteriau devient supraconducteur La transition apparaicirct comme une transition de
phase de lrsquoeacutetat normal vers lrsquoeacutetat supraconducteur de la matiegravere Plusieurs mateacuteriaux
preacutesentent des transitions de phase supraconductrices agrave basses tempeacuteratures La tempeacuterature
critique la plus eacuteleveacutee eacutetait denviron 23 K jusquagrave la deacutecouverte en 1986 de certains
supraconducteurs agrave haute tempeacuterature
Environ trente (30) meacutetaux purs et quelques alliages tel que 3Nb Sn [3063] et NbTi
[3132] preacutesentent une reacutesistiviteacute nulle agrave basse tempeacuterature et ont la proprieacuteteacute drsquoexclure les
12
champs magneacutetiques de lrsquointeacuterieur de ces supraconducteurs (Effet Meissner voir Tableau I1)
Ce type de supraconducteurs est appeleacutelaquo Supraconducteurs agrave Basse Tempeacuterature Critique
(SBTC) raquo [33]
Figure I3 Etat noraml et supraconducteur drsquoun meacutetal en fonction de la tempeacuterature
Par contre les ceacuteramiques en oxyde de cuivre et de baryum qui ont atteint leacutetat
supraconducteur agrave des tempeacuteratures beaucoup plus eacuteleveacutees sont souvent appeleacutees
laquo supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) raquo et forment une classe agrave part [37]
Tableau I1 Tempeacuterature critique de quelques mateacuteriaux supraconducteurs
Eleacutement Tc (K) Eleacutement Tc (K) Eleacutement Tc (K)
Al Be Cd Ga Hf Hg In Ir La Mo
1175 0023 055 109 013 415 341 014 488 092
Nb Np Os Pa Pb Re Rh Ru Sn Ta
92 0075 065 140 72 17 00003 05 375 447
Tc Th Ti Tl U V W Zn Zr Lu
78 137 039 239 02 53 0012 09 055 01
Composeacute Tc (K) Composeacute Tc (K) Composeacute Tc (K)
Nb3Sn Nb3Ge Cs3C60 Nb06Ti04
181 232 19 98
MgB2 YPd2B2C HoNi2B2C PuCoGa5
39 23 75 185
UPt3 UPd2Al3 URu2Si2 YNi2B2C
05 2 12 155
Supraconducteurs agrave HTc Tc (K) Supraconducteurs agrave HTc Tc (K)
183 017 4La Sr CuO
2 3 7YBa Cu O δminus
2 2 2 3 10Bi Sr Ca Cu O
40 93 110
2 2 2 3 1 0Tl Ba Ca Cu O δ+
2 2 3 8HgBa Ca Cu O
08 02 2 2 3 833Hg Tl Ba Ca Cu O
127 135 138
13
I22 Champ magneacutetique critique
Quand on applique un champ magneacutetique sur un supraconducteur soumis agrave une
tempeacuterature critique TC ce champ reste autour du mateacuteriau sans le peacuteneacutetrer Si on augmente
ce champ agrave un point donneacute le supraconducteur revient agrave son eacutetat normal de reacutesistiviteacute A ce
point ce champ magneacutetique est connu comme champ magneacutetique critique et est noteacute Hc Le
champ magneacutetique critique est fortement deacutependant de la tempeacuterature critique Tc du
supraconducteur
Les champs magneacutetiques eacuteleveacutes deacutetruisent la supraconductiviteacute et le mateacuteriau passe agrave lrsquoeacutetat
normal En fonction du caractegravere de cette transition on peut distinguer deux types de
supraconducteurs
I221 Supraconducteurs Type I
La figure I4 montre la variation du champ magneacutetique interne (induit)119867119867119867119867 en fonction
du champ externe appliqueacute Ha En augmentant le champ appliqueacute on remarque au deacutepart que
le champ interne reste nul (Effet Meissner [6-9]) jusqursquoagrave ce qursquoun champ magneacutetique critique
HC soit atteint ougrave se produit une transition brutale vers lrsquoeacutetat normal cela se traduit par la
peacuteneacutetration du champ appliqueacute agrave linteacuterieur du mateacuteriau Les supraconducteurs qui subissent
cette transition brutale agrave leacutetat normal au-dessus du champ magneacutetique critique sont appeleacutes
supraconducteurs de type I le Plomb pur est consideacutereacute comme eacutetant le plus fort
supraconducteur de type I avec un champ critique drsquoenviron 800 Gauss (80 mT) Tous les
supraconducteurs purs ont tendance drsquoecirctre des supraconducteurs de type I [3536]
Figure I4 Repreacutesentation de champ magneacutetique induit en fonction du champ magneacutetique
appliqueacute pur les supraconducteurs de type I
14
I222 Supraconducteurs Type II
Les supraconducteurs de type II reacutepondent diffeacuteremment agrave un champ magneacutetique
appliqueacute comme le montre la figure I5 En effet un champ induit croissant agrave partir de zeacutero se
traduit par deux champs critiques Hc1 et Hc2
Agrave Hc1 le champ appliqueacute commence agrave peacuteneacutetrer partiellement agrave linteacuterieur du
supraconducteur agrave travers des tubes volumiques dans un eacutetat normal qui srsquoappellent
laquo Vortex raquo et la supraconductiviteacute est encore maintenue Au-dessus de Hc2 la
supraconductiviteacute disparaicirct et le mateacuteriau passe agrave lrsquoeacutetat normal Pour les valeurs
intermeacutediaires entre Hc1 et Hc2 le mateacuteriau supraconducteur se trouve dans un eacutetat mixte
Geacuteneacuteralement Hc2 est plus eacuteleveacute que Hc1 et 0 2Hcmicro peut atteindre plusieurs Tesla
pour cette raison les supraconducteurs de type II sont devenus les plus utiles sur le plan
technologique La plupart des composeacutes illustreacutes dans le tableau I1 sont des supraconducteurs
de type II Les fils fabriqueacutes agrave partir de niobium-eacutetain (Nb3Sn) ont un champ 0 2Hcmicro eacutegal agrave
environ 25 teslas ce qui les rend utiles pour des applications neacutecessitant des champs
magneacutetiques eacuteleveacutes Actuellement le niobium titane (NbTi) est le mateacuteriau le plus mature
technologiquement avec un champ 0 2 12 teslasHcmicro = il est largement utiliseacute dans machines
dimagerie par reacutesonance magneacutetique (IRM)
En geacuteneacuterale les applications en eacutelectrotechnique neacutecessitent habituellement la creacuteation
de forts champs magneacutetiques (de lrsquoordre de plusieurs teslas) ce qui limite lrsquoutilisation des
supraconducteurs de type I
Figure I5 Repreacutesentation graphique (a) des diffeacuterentes drsquoeacutetats des supraconducteurs de type
II et (b) du champ magneacutetique induit en fonction du champ magneacutetique appliqueacute pour les supraconducteurs de type II
15
I23 Densiteacute de courant critique JC
Pour les supraconducteurs de type I le courant critique deacutecoule directement du champ
magneacutetique critique Il peut ecirctre deacutetermineacute par la regravegle de Silsbee [34] crsquoest le courant qui
produit le champ magneacutetique critique agrave la surface du mateacuteriau Pour un cylindre de diamegravetre
D on deacutefinit ce courant par Ic DHcπ=
La densiteacute de courant critique est donneacutee donc par
C CJ I S=
Pour les supraconducteurs type II dans lrsquoeacutetat mixte la peacuteneacutetration du champ
magneacutetique se manifeste par la preacutesence drsquoun reacuteseau de vortex de flux que lrsquoon peut
repreacutesenter sous la forme de boucles eacuteleacutementaire de courant La circulation du courant de
transport dans le supraconducteur geacutenegravere une force de type Laplace ( )LF J B= times
qui agit sur
ces vortex Une force drsquoancrage est creacuteeacutee et permet aux tubes de vortex de se fixer dans la
matiegravere La densiteacute de courant critique JC est donc lieacutee agrave lrsquoancrage de ces vortex [34] La
force drsquoancrage est deacutefinie ainsi par P CF J B= times
Si toutefois la densiteacute de courant deacutepasse la
valeur de JC la force FL exerceacutee sur les vortex sera supeacuterieure agrave la force drsquoancrage FP et les
vortex commencent agrave se deacuteplacer Ce deacuteplacement induit un champ eacutelectrique non nul aux
borne du mateacuteriau et provoque une dissipation importante drsquoeacutenergie ce qui fait transiter le
mateacuteriau de lrsquoeacutetat supraconducteur agrave lrsquoeacutetat reacutesistif
Le courant critique drsquoun mateacuteriau supraconducteur est lrsquoorigine de trois courants courant de
transport courant induit et les supra-courants Figure I6
Figure I6 Reacuteseaux vortex dans un mateacuteriau supraconducteur de type II
16
Une grande deacuteception apregraves la deacutecouverte de la supraconductiviteacute agrave haute tempeacuterature
critique fut la faible valeur de leur densiteacute de courant critique Jc Celle-ci est due agrave la
difficulteacute de syntheacutetiser de ces mateacuteriaux sous forme de monocristaux de taille laquo reacutealiste raquo
(supeacuterieure agrave quelque mm2) Tregraves souvent les eacutechantillons volumiques se preacutesentent sous
forme de grains accoleacutes aleacuteatoirement les uns aux autres (poly-cristal) Dans ce cas le courant
supraconducteur se fraie un chemin dans lrsquoeacutechantillon en passant agrave travers les joints de grains
La densiteacute de courant critique correspondante (intergrain) est geacuteneacuteralement de deux ou trois
ordres de grandeur infeacuterieure agrave la densiteacute de courant critique de grain lui-mecircme (intragrain)
[3839] figure I7
Figure I7 Densiteacute de courant intergrain et intragrain dans un mateacuteriau
supraconducteur
En conseacutequence un des buts technologiques des recherches actuelles en
supraconductiviteacute est lrsquooptimisation de la densiteacute de courant critique intergrain des mateacuteriaux
supraconducteurs pour une tempeacuterature donneacutee et en preacutesence drsquoun champ magneacutetique
intense en modifiant les paramegravetres de ses microstructures (taille et orientation des grains)
Parmi les techniques utiliseacutees pour accroicirctre la densiteacute de courant critique intergrain est la
technique drsquoalignement des grains supraconducteurs Ce processus est appeleacute texturation Des
microstructures typiques drsquoeacutechantillons drsquoYBaCuO respectivement textureacutes et non textureacutes
sont preacutesenteacutees sur la figure I8
17
Figure I 8 Microstructure drsquoun mateacuteriau Supraconducteur agrave Haute Tempeacuterature critique
(SHTC) de formule chimique 2 3 7YBa Cu O δminus
Un mateacuteriau non textureacute comprend un grand nombre de grains de tregraves petite taille
(quelques microns) Sa densiteacute de courant critique est de lrsquoordre de 100 Acm2 et deacutecroicirct
rapidement en preacutesence drsquoun faible champ magneacutetique (quelques mT) [39] Par contre les
grains preacutesents dans un eacutechantillon textureacute peuvent ecirctre relativement volumineux Si
lrsquoeacutechantillon est constitueacute drsquoun seul grain de taille importante on parle de STHC mono-
domaine Les densiteacutes de courant critiques associeacutees aux mono-domaines drsquoYBaCuO textureacutes
sont de lrsquoordre de 10 000 Acm2 agrave T=77K et B=1T De telles valeurs sont compatibles avec
les exigences requises pour diffeacuterentes applications industrielles en eacutelectrotechnique
I24 Surface critique
Lrsquoeacutetat supraconducteur eacutetant limiteacute par les trois grandeurs caracteacuteristiques physiques
la tempeacuterature critique (Tc) le champ magneacutetique critique (Hc) et la densiteacute de courant
critique (Jc) Chacun de ces grandeurs deacutepend fortement des deux autres grandeurs Le
maintien de lrsquoeacutetat supraconducteur exige que le champ magneacutetique la densiteacute de courant et la
tempeacuterature demeurent au-dessous des valeurs critiques qui deacutependent du mateacuteriau
En repreacutesentation 3D lrsquoaire deacutelimiteacutee lorsque lrsquoon prend en compte les trois grandeurs
(Tc Hc Tc) est appeleacutee laquo surface critique raquo figure I-7 En partant de cette surface vers
lrsquoorigine le mateacuteriau est supraconducteur Les valeurs les plus eacuteleveacutees pour HC et JC sont
obtenues agrave T = 0K alors que la valeur la plus eacuteleveacutee pour la TC est obtenue quand H et J sont
18
agrave zeacutero Lorsque lrsquoon trouve dans les reacutegions en dehors de cette surface le mateacuteriau est dans
lrsquoeacutetat normal ou mixte
Figure I9 Surface critique et ordre de grandeur des paramegravetres critique de quelques
mateacuteriaux Supraconducteurs [40]
I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
La mise en eacutevidence de la supraconductiviteacute dans les mateacuteriaux SHTC notamment
dans lrsquoYBaCuO par Maw-Kuen Wu et al en 1987 [19] agrave une tempeacuterature critique qui deacutepasse
la tempeacuterature de lrsquoHeacutelium liquide eu un retentissement plus important et rend la recherche
dans le domaine de la supraconductiviteacute agrave haute tempeacuterature critique tregraves attrayante et tregraves
prometteuse pour de nombreuses applications Comprendre les proprieacuteteacutes et les meacutecanismes
de fonctionnement de ces mateacuteriaux qui deacutejouent toute attente est un enjeu majeur des
recherches actuelles Et si la supraconductiviteacute agrave tempeacuterature ambiante reste pour lrsquoinstant un
recircve pour les chercheurs les supraconducteurs nrsquoont pas fini de bousculer la physique
theacuteorique
Trois familles principales de ces ceacuteramiques sont distingueacutees [41]
- Baseacutee sur le Bismuth ceacuteramique de BiSrCaCuO appeleacutee aussi laquo BSCCO raquo
- Baseacutee sur les terres rares Rare Earth (RE) ceacuteramique de RE-BaCuO
communeacutement appeleacutee laquo Re-BCO raquo Lrsquoeacuteleacutement de terre rare utiliseacute peut ecirctre
de lrsquoYttrium du Neacuteodyme du Samarium ou du Gadolinium selon les
proprieacuteteacutes rechercheacutees
- Baseacutee sur le Thallium ceacuteramique de TlBaCaCuO communeacutement appeleacutee laquo
TBCCO raquo avec des tempeacuteratures de fonctionnement supeacuterieures
19
Ces mateacuteriaux sont aujourdrsquohui les plus utiliseacutes pour les applications industrielles et la
recherche en eacutelectrotechnique
I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
Lrsquo2 3 7YBa Cu O δminus
(YBaCuO ou Y-123) le 2 2 2 8 xBi Sr CaCu O + (BSCCO ou Bi-2212) et le
2 2 2 3 10 xBi Sr Ca Cu O + (Bi-2223) repreacutesentent aujourdrsquohui les mateacuteriaux SHTC les plus usiteacutes
pour les applications industrielles et la recherche en eacutelectrotechnique Or avec une
appartenance commune aux ceacuteramiques ces deux mateacuteriaux reposent sur des proceacutedeacutes de
fabrication diffeacuterents Leurs proprieacuteteacutes permettent de les utiliser sous diverses formes
poudres massifs fils et deacutepocircts en monocouche (figure I10) [41]
Figure I10 Diffeacuterentes formes des SHTC a) pastille YBaCuO en massifs b) YBaCuO en
monocouche c) tubes de BSCCO
Certains mateacuteriaux SHTC comme le BiSCCO sont constitueacutes de poudre compresseacutee
On les trouve sous forme de tubes massifs servant drsquoameneacutees de courant ou de blindage
magneacutetique [42] Ces mateacuteriaux permettent aussi la fabrication des cacircbles conducteurs mono
ou multi- filamentaires SHTC Ces cacircbles supraconducteurs ont eacuteteacute exploiteacutes pour la premiegravere
fois aux Etats-Unis agrave partir de 2006 dans le cadre de deacutemonstrateurs subventionneacutes Puis des
liaisons furent inteacutegreacutees agrave des reacuteseaux de distribution et de transport au Japon en Coreacutee en
Chine Et pour la premiegravere fois en Allemagne en 2014 dans le bassin de la Ruhr dans un
environnement 100 public urbain Un cacircble supraconducteur drsquoun kilomegravetre a eacuteteacute reacutealiseacute par
Nexans et lrsquoeacutenergeacuteticien allemand RWE et qui a eacuteteacute mise en service agrave Essen
En 2014 eacutegalement le CERN et dans le but drsquoameacuteliorer lrsquoalimentation de ses
acceacuteleacuterateurs de particules a reacuteussi de transiteacute un courant eacutelectrique de 20000 Ampegraveres par un
cacircble supraconducteur en MgB2
20
Une particulariteacute inteacuteressante des SHTC tels que Y-123 est sa faible reacutesistance de
surface par rapport agrave celle du cuivre il permet drsquoutiliser ce mateacuteriau dans la reacutealisation de
dispositifs micro-onde utiliseacutes dans des applications en micro-eacutelectronique et en technique
micro-onde Deacuteposer sous forme de couches minces il permet la reacutealisation de reacutesonateurs agrave
haute performance de taille plus faible et plus leacutegers que les reacutesonateurs conventionnels Un
champ important drsquoapplications pour ces reacutesonateurs est ouvert pour les filtres utiliseacutes dans
les technologies de la communication notamment pour les satellites
Lrsquoaimantation des mateacuteriaux SHTC massifs trouve reacutecemment son inteacuterecirct dans
lrsquoindustrie Le pheacutenomegravene de leacutevitation magneacutetique dans les bulk SHTC est largement
exploiteacute dans la mise en service des trains Maglev-Cobra [4344] ce sont des veacutehicules
destineacutes au transport urbain des passagers flottant sur des rails sans aucun contact avec le sol
Cette technologie est baseacutee sur la leacutevitation magneacutetique geacuteneacutereacutee par des aimants situeacutes sur les
pistes et des pastilles supraconductrices dans le train dans le cas des trains agrave leacutevitation
supraconductrice
I311 Supraconducteur YBa2Cu3O7-δ
a- Preacutesentation
LrsquoOxyde mixte de Baryum de Cuivre de drsquoYttrium ou ce qui est connu communeacutement
par laquo YBaCuO raquo est un mateacuteriau cristallin supraconducteur de type II de formule chimique
YBa2Cu3O7-δ Il est connu pour avoir eacuteteacute parmi les premiers supraconducteurs qui possegravedent
des tempeacuteratures critiques supeacuterieures agrave celle de lrsquoazote liquide (77 K) et donc classeacute parmi
les mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) Ces tempeacuteratures ont
permis de reacuteduire consideacuterablement le cout de fonctionnement des mateacuteriaux dans lrsquoeacutetat
supraconducteur en utilisant la cryogeacutenie agrave lrsquoazote liquide au lieu de lrsquoheacutelium liquide qui
impose des tempeacuteratures infeacuterieures agrave 5 k
LrsquoYBaCuO est tregraves utiliseacute pour le deacuteveloppement des applications de la
supraconductiviteacute gracircce agrave sa bonne tenue sous un champ magneacutetique Ses applications
industrielles en massif impliquent de controcircler la croissance de larges monodomaines orienteacutes
dans des eacutechantillons de grande taille (plusieurs centimegravetres) Les YBaCuO massifs sont
obtenus par diffeacuterentes techniques drsquoeacutelaborations connus mais complexes dont on peu citeacute la
technique TSMG pour laquo top-seeding melt-texturing Growthraquo [45-53] une pastille fritteacute drsquoune
composition riche de yttrium est utiliseacutee Un germe 2 3 xSmBa Cu O (Sm123) monocristallin est
placeacute sur la pastille avant la texturation Le mateacuteriau Sm123 fait partie de la mecircme famille de
21
lrsquoY123 avec une structure cristalline identique par contre il est caracteacuteriseacute par un de fusion
qui est environ 50 degC plus eacuteleveacutee que celui drsquoY123 Ce qui permet une surchauffe tregraves
importante de la pastille YBaCuO pour une fusion complegravete du mateacuteriau en preacutesence de ce
germe Ensuite le systegraveme (pastille + germe) est refroidie jusqursquoagrave la tempeacuterature peacuteritectique 123Y
pT (~1010 degC) (point drsquoeacutequilibre entre les phases solides et liquides) un refroidissement
tregraves lent de 01 degh agrave 05 degh est reacutealiseacute pour obtenir la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO agrave
partir de germe de 2 3 xSmBa Cu O figure I11
Figure I11 Traitement thermique pour la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO par la
technique TSMG
b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuO
La structure cristalline de lrsquoYBa2Cu3O7-δ deacuterive de la structure tridimensionnelle de la
peacuterovskite ABO3 comme dans tous les meacutetaux de la famille des cuprates figure I12 elle
preacutesente une anisotropie structurale importante entre les deux directions principales du
mateacuteriau (Plan (a b) axe c) Ce composeacute est caracteacuteriseacute par la preacutesence de deux familles de
plans parallegraveles au plan (a b)
1- Plan CuO1- δ qui est constitueacute drsquoun atome de cuivre Cu(1) entoureacutes de 2 agrave 4 atomes
drsquooxygegravene selon la stœchiomeacutetrie Ces plans sont organiseacutes en chaines selon la
direction b du cristal pour δ=1
2- Plan CuO2 ce plan est constitueacute drsquoun atome de cuivre Cu(2) entoureacutes de cinq atomes
drsquooxygegravenes en formant une pyramide
La maille eacuteleacutementaire de lrsquoYBaCuO se compose en six (6) plans parallegraveles qui srsquoempilent
suivant lrsquoaxe (c) par 1CuO δminus BaO 2CuO Y 2CuO BaO figure I13
22
Figure I12 Structure cristalline tridimensionnelle de lrsquoYBa2Cu3O7-δ
Selon la stœchiomeacutetrie en oxygegravene YBaCuO peut se trouver en diffeacuterentes phases il
passe alors drsquoune structure orthorhombique supraconductrice pour δlt065 agrave une structure
teacutetragonale isolante pour 065ltδlt1 par suppression successive des atomes drsquooxygegravene de la
chaine CuO [54 97]
Le composeacute YBa2Cu3O7est la phase la plus oxygeacuteneacutee qui correspond agrave δ=0 ce composeacute
se cristallise dans une structure orthorhombique supraconductrice dont le groupe drsquoespace est
Pmmm et les paramegravetres de mailles sont a= 382 Aring b= 388 Aring et c=1169 Aring figure I13-(a)
Par contre la phase la moins oxygeacuteneacute correspond agrave δ=1 cette structure est
antiferromagneacutetique sa maille eacuteleacutementaire est quadratique de groupe drsquoespace P4mmm avec
des paramegravetres de maille a=b=386Aring et c=1184Aring [55] figure I13-(b)
Les deux structures sont relativement proches La transition
orthorhombiquequadratique a eacuteteacute observeacutee agrave 700 deg C dans une atmosphegravere contenant 100
doxygegravene Lors de cette transition les paramegravetres a et c augmentent et b diminue ce qui
renforce la symeacutetrie de la structure cristalline (Figure I14) et aussi induit des contraintes
atomiques et des deacutefauts comme les plans de macle qui constituent de bons sites drsquoencrages
pour les vortex [55]
23
(a) (b)
Figure I13 Repreacutesentation de structure (a) orthorhombique et (b) quadratique de la maille
eacuteleacutementaire du compos YBa2Cu3O7-δ
(a) (b)
Figure I14 Variation des paramegravetres de reacuteseau a b et c par rapport au deacuteficit en oxygegravene δ
[54]
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuO
Lrsquoanisotropie structurale drsquoYBaCuO conduit agrave lrsquoanisotropie des proprieacuteteacutes
supraconductrices Ces derniegraveres sont confineacutees dans le plan CuO2 Les proprieacuteteacutes eacutelectriques
et magneacutetiques de lrsquoYBaCuO seront diffeacuterentes selon son orientation [58] Le courant
24
eacutelectrique circule plutocirct dans le plan (a b) que suivant lrsquoaxe c [56] Ainsi la densiteacute de
courant eacutelectrique sera tregraves diffeacuterente selon la circulation parallegravele ou perpendiculaire du
courant par rapport au plan (a b) et aussi suivant lrsquoorientation du champ exteacuterieur appliqueacute
elle sera eacuteleveacutee agrave 77k lorsque le courant circule selon le plan (a b) (de lrsquoordre de 4 210 A cm
dans des massifs textureacutes et atteigne 6 210 A cm pour des eacutechantillons sous forme de couches
minces eacutepitaxieacutees [57])
Lrsquoanisotropie des caracteacuteristiques supraconductrices se retrouve aussi sur les valeurs
de champs critiques Hc1 et Hc2 Pour lrsquoYBaCuO massif agrave T=0K on a [55]
( )2
11 02 2 10c cc a b
H T H Tminus= = times
( ) 22 140 29c cc a b
H T H T= =
La tempeacuterature critique de la phase supraconductrice de lrsquoYBaCuO est fortement deacutependante
du taux drsquooxygegravene Lrsquooptimum est de 92 K pour une valeur de δ=008 [54] figure 115
Figure I15 Repreacutesentation de la tempeacuterature critique en fonction du deacuteficit en oxygegravene dans
la structure YBaCuO
I32 Supraconducteur MgB2
a- Preacutesentation
Le diborure de magneacutesium (MgB2) est un mateacuteriau dont les proprieacuteteacutes
supraconductrices ont eacuteteacute deacutecouvertes en 2001 par J Nagamatsu et al [59] Il preacutesente une
tempeacuterature critique de 39K et comme la limite entre la famille des supraconducteurs agrave basse
25
et agrave haute tempeacuterature critique est agrave environ de 30 K le MgB2 est classeacute donc parmi les
supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) Sa deacutecouverte a susciteacute un vif inteacuterecirct
car ses constituants sont bons marcheacutes et son proceacutedeacute de fabrication est semblable agrave celui des
supraconducteurs classiques
Diffeacuterents proceacutedeacutes pour la fabrication de MgB2 massif sont utiliseacutes Un premier
consiste agrave placer du magneacutesium dans un moule en Bore la supraconductiviteacute est obtenue
apregraves traitement thermique Drsquoautre utilisent un preacutecurseur sous forme de poudre de Bore et
de Magneacutesium qursquoil comprime sous haute pression [62] lrsquoensemble subit alors un traitement
thermique
b- Structure cristalline de MgB2
Le MgB2 se cristallise dans une structure Hexagonale de type AlB2 dont le groupe
drsquoespace est P6mmm les paramegravetres de mailles sont a = 308 Adeg et c=352 Adeg [5960] La
figure I16 montre que les atomes de bore sont disposeacutes en des couches similaires agrave celles du
graphite entre lesquels sont intercaleacutes des atomes de magneacutesium chaque atome de bore est agrave
distance eacutegale de trois autres atomes de bore La position drsquoatomes sont donneacutees comme suit
Mg (0 0 0) B (13 2312) (2313 12)
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2
Une forte anisotropie de la structure cristalline MgB2 est reacutesulteacute des successions de
couches de magneacutesium et de Bore (figure I11) cette anisotropie eacutetait connue depuis pregraves de
50 ans avant la deacutecouverte de la supraconductiviteacute de ce composeacute [61]
La premiegravere mesure directe drsquoune proprieacuteteacute supraconductrice anisotrope a eacuteteacute reacutealiseacutee
pour le champ magneacutetique critique Hc2 du bulk MgB2 un rapport 2 1 17ab cc cH Hγ = asymp avec
2abcH est le champ magneacutetique critique parallegravele au plan (ab) et 1
ccH est le champ magneacutetique
critique parallegravele agrave la direction de lrsquoaxeC
Depuis lors plusieurs chercheurs ont trouveacute des
valeurs de ce rapport comprises entre 11 et 16 pour une tempeacuterature variant de 32 K agrave 26 K
en utilisant diffeacuterents types drsquoeacutechantillons et diffeacuterentes techniques pour caracteacuteriser la
transition de lrsquoeacutetat normal vers lrsquoeacutetat supraconducteur
Lrsquoanisotropie de la densiteacute de courant critique a eacuteteacute eacutegalement eacutevalueacutee agrave lrsquoaide du
modegravele e Bean comme eacutetant 15ab cc cJ J asymp
26
Figure I16 Structure cristalline de MgB2
I4 Modegraveles des supraconducteurs
La connaissance des proprieacuteteacutes caracteacuteristiques drsquoun mateacuteriau supraconducteur joue un
rocircle important dans le dimensionnement drsquoun dispositif et par la suite pour deacutevelopper des
nouvelles applications dans le domaine industriel Diffeacuterentes meacutethodes de caracteacuterisations
sont adopteacutees dans le cas des supraconducteurs afin drsquoeffectuer des mesures des
caracteacuteristiques de ces mateacuteriaux agrave savoir la distribution du courant eacutelectrique densiteacute du
courant critique capaciteacute drsquoavoir un champ magneacutetique pieacutegeacute important hellipetc Les reacutesultats
obtenus peuvent diffeacuterer en fonction de la meacutethode de mesure choisie
Des meacutethodes de caracteacuterisations des pastilles supraconductrices ont eacuteteacute deacuteveloppeacute
dans le laboratoire GREEN qui ont pour but de mesurer la densiteacute du courant critique au
centre et sur la surface drsquoune pastille SHTC de type YBaCuO et cela agrave travers la
deacutetermination du champ magneacutetique de peacuteneacutetration dans la pastille
Avant de preacutesenter ces meacutethodes nous allons rappeler les deux modegraveles de caracteacuteristique
E(J) qui repreacutesente un supraconducteur
I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)
I411 Preacutesentation du modegravele
Le modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (1962) a eacuteteacute introduit par C P Bean (1923-1996)
dans le but drsquoeacutetudier lrsquoaimantation des supraconducteurs massifs [64 65] Il stipule qursquoagrave
tempeacuterature donneacutee la densiteacute de courant dans un supraconducteur est soit nulle soit eacutegale agrave
27
la densiteacute de courant critique Cest-agrave-dire que les supraconducteurs nrsquoexistent que dans les
deux cas suivants
- Une densiteacute de courant nulle pour les reacutegions ougrave le champ ne varie plus
- Une densiteacute de courant cJplusmn dans les reacutegions qui srsquooppose aux variations du champ
magneacutetique
ou 0cJ J J= plusmn =
Ce modegravele ne prend pas en consideacuteration la deacutependance de la densiteacute du courant
critique en champ magneacutetique et en tempeacuterature Aussi la discontinuiteacute de ce modegravele le rend
peu utilisable pour des deacuteveloppements numeacuteriques Par ailleurs gracircce agrave sa simpliciteacute ce
modegravele reste le plus utiliseacute dans les calculs analytiques afin drsquoeacutetudier les pertes en reacutegime
variable (AC) dans les rubans et aussi dans les pheacutenomegravenes de magneacutetisation [66][67]
En effet le modegravele de Bean connait un grand succegraves dans le cas des supraconducteurs
agrave basse tempeacuterature critique et lrsquoon y fait souvent reacutefeacuterence dans la litteacuterature
I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long notion
de peacuteneacutetration complegravete
En considegravere un cylindre supraconducteur infiniment long de rayon R soumis agrave un
champ magneacutetique exteacuterieur variable ( )aH t parallegravele agrave son axe
Nous allons eacutetudier la distribution de champ magneacutetique ( )B la densiteacute de courant eacutelectrique
( )J et le champ eacutelectrique dans ce cylindre supraconducteur
Le milieu supraconducteur de cylindre est repreacutesenteacute par 0micro micro= Les eacutequations neacutecessaires
pour deacuteterminer ces grandeurs se sont les eacutequations de Maxwell simplifieacutees suivantes
( ) I7BrotEt
part= minus
part
( )0 I8rotB Jmicro=
Les coordonneacutees cylindriques sont employeacutees Le champ magneacutetique appliqueacute ( )aB t
est orienteacute suivant lrsquoaxe Oz J et E sont donc orienteacutes suivant θ et variant en fonction de r
et t
Lorsqursquoon augmente la valeur du champ magneacutetique appliqueacute aH lrsquoinduction
magneacutetique B va peacuteneacutetrer progressivement agrave lrsquointeacuterieur de cylindre
28
En utilisant le modegravele de Bean afin de deacuteterminer la distribution de champ
magneacutetique B de la densiteacute de courant eacutelectrique J et de champ eacutelectrique E agrave lrsquointeacuterieur de
cylindre supraconducteur lrsquoeacutequation (18) donne
( )0 o u 0 I9rotB J rotBmicro= plusmn =
Lrsquoinduction agrave la surface de cylindre vaut
( ) ( ) ( )0 0 I10aB R t H tmicro=
Dans le cylindre le champ magneacutetique est orienteacute suivant lrsquoaxe Oz et ne deacutepond que r et t
( ) ( ) I11zB B r t u=
Par contre le champ eacutelectrique E et la densiteacute de courant J sont orienteacute suivant θ et
deacutependent aussi de r et t
( ) ( ) I1 2E E r t uθ=
( ) ( ) I1 3J J r t uθ=
Le champ magneacutetique exteacuterieur augmente agrave partir de zeacutero jusqursquoagrave une valeur
maximale Bmax Drsquoapregraves la loi de Lenz des courants qui srsquoopposent aux variations du champ
magneacutetique se deacuteveloppent agrave partir de lrsquoexteacuterieur du conducteur Drsquoapregraves le modegravele de Bean
ces courant ont une densiteacute de courant J eacutegale agrave (figure I17)
( )1
1
0 00
I14C
C
J ou pour r RJ
J ou pour R r Rminus lt lt
= + lt lt
Les eacutequations (I7) et (I9) deviennent
( ) ( ) I 51 1rE B
r r tpart part
= minuspart part
( )0 116C
B Jr
micropartminus = plusmnpart
Agrave partir des eacutequations (I11) et (I16) pour 1R r Rlt lt
( ) ( ) ( )0 I 1 7C aB r t J r R Bmicro= minus minus +
29
Pour une peacuteneacutetration complegravete le champ de peacuteneacutetration complegravete est donneacute sous la forme
( )0 I18p CB J Rmicro=
Si la valeur du champ externe est infeacuterieure agrave cette valeur la peacuteneacutetration dans ce cas est
incomplegravete et le champ peacutenegravetre jusqursquoagrave PR que lrsquoon peut calculer
( )max
0
I19PC
BR RJmicro
= minus
Le champ eacutelectrique est preacutesent entre ( )1R t et R et il est calculeacute agrave partir de lrsquoeacutequation (I16)
( )( )( ) ( )
2 21 I2
2 0
r R tBE r tt r
minuspart= minus
part
Lrsquoexpression de ( )1R t est donneacutee comme suit
( ) ( ) ( )max 01
0
I 12
2C
B B tR t R
Jmicrominus
= minus
En cas de peacuteneacutetration complegravete PR est eacutegal agrave 0 Quand ( )1R t srsquoannule le champ eacutelectrique
devient
( ) ( ) 22
2 IB rE r tt
part= minus
part
Figure I17 Distribution de B J E dans un cylindre supraconducteur soumis agrave un
champ magneacutetique parallegravele agrave son axe
30
I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)
Pour les supraconducteurs HTC le modegravele de la loi en puissance repreacutesente mieux la
caracteacuteristique E(J) que le modegravele CSM [68-70]
( ) ( )1
I23n n
c cc c
J JJE J E E JJ J J
minus
= =
Avec
cE Champ eacutelectrique critique (Vm) sa valeur est fixeacutee arbitrairement agrave 1 V mmicro pour les
mateacuteriaux SHTC
cJ Densiteacute de courant critique (Am2) elle caracteacuterise les performances du mateacuteriau
supraconducteur
n Exposant de la loi en puissance il deacutefinit la vitesse de transition du mateacuteriau entre les
deux cas limites 1n = correspond agrave une loi drsquoohm lineacuteaire alors que pour n plus grand ( n
gt200) on srsquoapproche du modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean
Figure I18 Comparaison entre la caracteacuteristique E(J) correspond au modegravele de Bean (courbe
rouge) et au modegravele de loi en puissance (courbe verte) avec celle obtenue expeacuterimentalement
(courbe bleu) pour un ruban
Contrairement au modegravele CSM le modegravele PLM est plus commode agrave utiliser dans les
formulations numeacuteriques car sa fonction est continue et possegravede eacutegalement une deacuteriveacutee
continue et crsquoest un modegravele dont leurs paramegravetres se rapprochent le mieux des valeurs
lrsquoexpeacuterimentales (figure I18)
31
Par ailleurs en reacutealiteacute les paramegravetres Jc et n ne sont pas constants ils sont
geacuteneacuteralement deacutependants du champ magneacutetique et de la tempeacuterature
I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et n
Depuis les anneacutees 80 beaucoup de travaux ont eacuteteacute consacreacute agrave eacutetudier la deacutependance en
champ magneacutetique de la densiteacute de courant critique des SHTC Cette deacutependance peut ecirctre
obtenue expeacuterimentalement par des meacutethodes eacutelectriques et magneacutetiques
Dans les mesures eacutelectriques la fiabiliteacute et la reacutepeacutetabiliteacute des valeurs mesureacutees du
courant critique sont reacuteduites en raison des difficulteacutes agrave eacutetablir des contacts dans leacutechantillon
et agrave choisir un critegravere de tension pour deacutefinir Jc De plus en geacuteneacuteral des courants importants
traversent lrsquoeacutechantillon pendant les mesures de sorte qursquoils produisent un champ magneacutetique
qui modifie le champ appliqueacute de maniegravere non homogegravene
Le premier modegravele qui deacutecrive la deacutependance en champ magneacutetique de Jc est proposeacute
par Y Kim [71] pour les mateacuteriaux supraconducteurs agrave basse tempeacuterature critique (SBTC)
( ) 0
01 C
CJJ BB B
=+
Ougrave Jc0 est la densiteacute d courant critique sous champ nul B est lrsquoamplitude de lrsquoinduction
magneacutetique et B0 est une constante caracteacuterisant le mateacuteriau
La formule de Kim deacutecrit un comportement isotrope alors que les supraconducteurs
HTc sont fortement anisotropes lrsquoorientation du champ magneacutetique a une influence
importante sur la densiteacute du courant critique du supraconducteur [66] Une autre forme
geacuteneacuteraliseacutee de la loi de ce modegravele de Kim a eacuteteacute proposeacutee pour prendre en consideacuteration le
pheacutenomegravene drsquoanisotropie des mateacuteriaux SHTC [7273]
( ) ( )0
2 2 2
0
1
I24JcJc B Bk B B
B
βperp
perp
= + +
k Facteur drsquoanisotropie (gt1)
etB Bperp Composantes parallegravele et perpendiculaire du champ magneacutetique
β Constante caracteacuterisant la deacutependance vis-agrave-vis du champ magneacutetique
32
Eacutegalement lrsquoexposant-n de la loi en puissance se comporte de la mecircme maniegravere que Jc vis-agrave-
vis le champ drsquoinduction magneacutetique plusieurs eacutetudes ont montreacute cette deacutependance [74-77] et
la loi du comportement est similaire agrave celle de Kim pour les milieux SHTC anisotropie
( ) ( )0 2 2 2
0
)
1
I25
n
nn B Bk B B
B
perp
perp
=+
+
Avec n0 est une constante qui repreacutesente la valeur de n sous champ nulle et Bn0 est une
constante caracteacuterisant la deacutependance du n vis-agrave-vis le champ magneacutetique
I5 Meacutethodes drsquoaimantation
Les supraconducteurs notamment sous forme massive peuvent ecirctre aimanteacutes et ainsi
reacutealiser ce qursquoon appelle des cryo-aimants qui permettent de geacuteneacuterer des champs magneacutetiques
de plusieurs teslas le record eacutetant agrave de 176 T agrave 26degK [78] Par ailleurs plusieurs axes de
recherches ont eacuteteacute consacreacutes agrave eacutetudier la possibiliteacute de profiter de lrsquoinduction magneacutetique
importante produite par des pastilles aimanteacutees en vue drsquoapplications en geacutenie eacutelectrique Il
existe diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantation des supraconducteurs massifs ces meacutethodes sont
baseacutees sur la variation du champ magneacutetique appliqueacute afin de creacuteer selon la loi de Lenz des
courants induits agrave lrsquointeacuterieur de ces supraconducteurs Ces courants induits geacutenegraverent agrave leur
tour un champ magneacutetique opposeacute au champ appliqueacute Ce principe est utiliseacute pour reacutealiser des
eacutecrans magneacutetiques ou pour pieacuteger du champ magneacutetique avec des aimants
supraconducteurs
I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)
Cette meacutethode consiste agrave appliquer un champ magneacutetique en refroidissant une pastille
supraconductrice agrave une tempeacuterature infeacuterieure agrave sa tempeacuterature critique (TltTC) en preacutesence
du champ magneacutetique appliqueacute [79-81] Ensuite et quand la tempeacuterature de refroidissement
stabilise ce champ magneacutetique appliqueacute est rameneacute tregraves lentement vers le zeacutero ce qui permet
la creacuteation des courants induits agrave lrsquointeacuterieur de la pastille en srsquoopposant agrave la deacutecroissance du
champ magneacutetique appliqueacute afin drsquoavoir un champ magneacutetique pieacutegeacute dans la pastille La
figure I19 illustre les diffeacuterentes eacutetapes drsquoaimantation par la meacutethode FC
33
Figure I19 Aimantation par refroidissement sous champ magneacutetique (Field Cooling FC)
[109]
La meacutethode FC donne des meilleurs reacutesultats en termes de champ pieacutegeacute Par contre ce
dernier ne peut pas ecirctre supeacuterieur au champ appliqueacute
Cependant lrsquoutilisation drsquoun eacutelectro-aimant supraconducteur est primordiale pour obtenir une
forte valeur du champ magneacutetique (gt10T) et permet ensuite de pieacuteger un champ magneacutetique
plus intense
En 2003 et lors de leurs travaux sur lrsquoaimantation de lrsquoYBaCuO massif les japonais
Masaru Tomita et Masato Murakami ont pu pieacuteger un champ magneacutetique eacutegale agrave 17 T agrave 29 K
en appliquant un champ magneacutetique eacutegale agrave 179T [78] et une valeur de 176T a eacuteteacute pieacutegeacutee par
J H Durrell et all agrave 28K en 2014 [82] en utilisant des pastilles supraconductrices de type
GdBCO de 2415 mm de diamegravetre et de 15 mm de hauteur
I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC)
Dans cette meacutethode et contrairement agrave la meacutethode FC lrsquoapplication du champ
magneacutetique se fait apregraves le refroidissement de la pastille agrave la tempeacuterature de fonctionnement
(tltTc) [81] figure I20
Avec cette meacutethode on peut pieacuteger une valeur de champ magneacutetique inferieur
(environ deux fois) agrave celle pieacutegeacute par la meacutethode FC car deux nappes de courant sont induites
lors de lrsquoaimantation par ZFC une correspondant agrave lrsquoapplication du champ magneacutetique et
lrsquoautre agrave la diminution du champ
34
Figure I20 Aimantation par refroidissement hors champ magneacutetique
(Zero Field Cooling ZFC) [109]
En utilisant les meacutethodes drsquoaimantations FC et ZFC un champ magneacutetique appliqueacute
externe important et constant est neacutecessaire pour eacutetablir un champ SHTC pieacutegeacute intense En
geacuteneacuterale cela signifie quun aimant soleacutenoiumlde supraconducteur agrave grande eacutechelle et des
alimentations encombrantes associeacutees sont neacutecessaires Ces exigences limitent souvent
lutilisation de ce type drsquoaimants SHTC pour une utilisation dans la recherche scientifique au
niveau des laboratoires ou dans des applications industrielles comme les machines eacutelectriques
tournantes [83]
I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization
(PFM)
Le processus drsquoaimantation par la meacutethode PFM neacutecessite lrsquoobtention drsquoune impulsion
de courant eacutelectrique intense dans une bobine de petites dimensions ce qui permet de geacuteneacuterer
une impulsion de champ magneacutetique importante pour aimanter la pastille supraconductrice
[84-86]
La meacutethode PFM est une autre forme de la meacutethode ZFC sauf que la dureacutee de
lrsquoimpulsion de champ appliqueacute dans ce cas est tregraves courte (quelques millisecondes)
Lrsquoavantage fondamental de la meacutethode PFM est qursquoelle ne neacutecessite pas un eacutelectro-aimant
supraconducteur une simple bobine de cuivre suffit pour geacuteneacuterer une impulsion de champ
magneacutetique de plusieurs teslas et produit par la suite un champ magneacutetique pieacutegeacute important
(environ 30 agrave 40 du champ appliqueacute)
35
La forme de lrsquoimpulsion du champ magneacutetique appliqueacute le volume et la forme de la
pastille utiliseacutee et sa densiteacute de courant eacutelectrique influent fortement sur la valeur du champ
magneacutetique pieacutegeacute dans la pastille
Figure I21 Aimantation par un champ impulsionnel (pulsed field magnetization PFM)
[109]
Le circuit eacutelectrique de lrsquoaimantation utiliseacute dans ce cas-lagrave est un circuit RLC composeacute drsquoun
circuit de charge de condensateur C et circuit de deacutecharge de ce condensateur dans lrsquoinducteur
Lind (Figure I22)
La forme de lrsquoimpulsion du champ magneacutetique creacuteeacute par lrsquoinducteur est lrsquoimage de la
forme du courant eacutelectrique produit par le circuit de deacutecharge LC Lrsquoamplitude et la constante
du temps caracteacuteristique du courant impulsionnel sont directement lieacutees agrave la valeur de
lrsquoinductance L
Figure I22 Scheacutema eacutelectrique simplifieacute du circuit utiliseacute pour aimanter les supraconducteurs
massifs
36
En reacutegime peacuteriodique lexpression du champ magneacutetique appliqueacute est alors donneacutee par la
solution de leacutequation de deacutecharge du circuit
( ) ( ) ex I26p 1a mt tH t Hτ τ
= minus
Avec
LCτ = Constance du temps du circuit de deacutecharge
( )0 exp(1)mH q τ= Champ maximal donneacutee pour t τ=
0q Charge initiale du condensateur C du circuit
La figure I23 preacutesente leacutevolution temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour
laimantation par la meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
Figure I23 Variation temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour laimantation par la
meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
Eacutetant donneacute que la magneacutetisation par la meacutethode PFM est un proceacutedeacute largement utiliseacute
pour laimantation des cryo-aimants il semble inteacuteressant de deacutevelopper des outils et des
meacutethodes de calcul deacutedieacutees pour ce proceacutedeacute Des travaux anteacuterieurs avaient eacuteteacute meneacutes en vue
du deacuteveloppement des modegraveles analytiques pour calculer la distribution du champ magneacutetique
des bobines circulaires seules avec un noyau de fer ou en preacutesence de noyau supraconducteur
[87-91] ainsi que le cas de bobine circulaire dans un circuit ferromagneacutetique avec entrefer
[92]
37
Dans le chapitre II de cette thegravese nous allons deacutevelopper un modegravele analytique pour
montrer lrsquoeffet de la preacutesence drsquoune pastille supraconductrice sur la valeur de lrsquoinductance
drsquoune bobine circulaire placeacutee dans un circuit ferromagneacutetique avec entrefer
I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTC
La deacutetermination de la densiteacute de courant critique du mateacuteriau supraconducteur peut ecirctre
reacutealiseacutee soit par la meacutethode eacutelectrique (meacutethode directe) soit par la meacutethode magneacutetique
(meacutethode indirecte) Chacune de ces meacutethodes comporte des problegravemes pratiques qui rendent
deacutelicate lrsquoobtention drsquoune mesure preacutecise de CJ
I51 Meacutethode eacutelectrique
La meacutethode eacutelectrique consiste agrave injecter dans lrsquoeacutechantillon des courants croissants
jusqursquoagrave ce que lrsquoeacutetat supraconducteur disparaisse [93] La meacutethode de quatre pointes est ainsi
utiliseacutee dans laquelle le courant I est injecteacute dans lrsquoeacutechantillon et la mesure de la tension U
aux bornes de lrsquoeacutechantillon est faite (figure I24) On considegravere que le courant injecteacute se
reacutepartit uniformeacutement dans tout le mateacuteriau pour obtenir une relation simple entre le courant
et la densiteacute de courant I= JS ougrave S est la section de lrsquoeacutechantillon Aussi on suppose que le
champ eacutelectrique agrave une seule composante suivant lrsquoaxe de lrsquoeacutechantillon pour avoir une
relation simplifieacutee entre le champ eacutelectrique E et la tension U aux bornes de lrsquoeacutechantillon
U=El avec l est la distance entre les prises de potentiel Le champ eacutelectrique critique EC est
souvent choisi de 1 V mmicro A partir de la mesure U(I) en deacuteduit E(J) et par la suite la densiteacute
de courant critique Jc et lrsquoexposant-n de la loi en puissance preacutesenteacutee ci-dessus
Figure 24 Scheacutema repreacutesentatif de la meacutethode eacutelectrique pour deacuteterminer la densiteacute
de courant eacutelectrique Jc drsquoun mateacuteriau supraconducteur
Cette meacutethode de mesure de Jc des SHTC est simple et donne accegraves la vraie valeur de
Jc Cependant [93] elle implique la pose de contact sur lrsquoeacutechantillon qui peut entrainer des
38
problegravemes de dissipation de chaleur aux contacts Cette meacutethode est geacuteneacuteralement tregraves utiliseacutee
surtout pour les rubans
I52 Meacutethode magneacutetique
Les meacutethodes magneacutetiques sont baseacutees sur lrsquoeacutetude des proprieacuteteacutes magneacutetique du
mateacuteriau supraconducteur Lrsquoeacutechantillon est soumis agrave un champ magneacutetique externe H Ce
champ creacutee des boucles de courant induites qui peuvent ecirctre de type intragrain ou intergrain
[39] srsquoopposant au champ appliqueacute Les meacutethodes geacuteneacuteralement utiliseacutees mesurent
lrsquoaimantation M de lrsquoeacutechantillon et permettent alors de calculer la densiteacute de courant critique
Jc agrave lrsquoaide du modegravele de Bean
Les principaux avantages des meacutethodes magneacutetiques sont drsquoune part lrsquoabsence de
contact eacutelectrique avec lrsquoeacutechantillon et donc la possibiliteacute de ne pas amener de chaleur agrave
lrsquoeacutechantillon et drsquoautre part la possibiliteacute drsquoeacutetudier des eacutechantillons de taille tregraves faible voire
mecircme des poudres
Au laboratoire GREEN Bruno DOUINE amp al ont deacuteveloppeacute une nouvelle meacutethode
magneacutetique de caracteacuterisation de pastilles SHTC pour deacuteterminer la densiteacute de courant
critique Jc et lrsquoexposant-n de la loi en puissance du mateacuteriau supraconducteur Le principe est
de mesurer le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP Ce champ magneacutetique
correspond au champ magneacutetique appliqueacute neacutecessaire pour que la diffusion du champ
magneacutetique atteigne le centre de pastille SHTC [77 94 95 96]
I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastille
Un champ magneacutetique est appliqueacute perpendiculairement sur une pastille SHTC de
rayon R et de hauteur L comme crsquoest montreacute sur la figure I25 Ce champ magneacutetique
appliqueacute est consideacutereacute lineacuteairement varie en fonction du temps
( ) ( ) I27a bB t V t=
Avec Vb est la vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacute
Figure I25 Pastille supraconductrice massive de forme cylindrique soumise agrave un champ
magneacutetique appliqueacute axialement
39
Un champ magneacutetique commence agrave apparaitre au centre de la pastille apregraves un certain
temps pt appeleacute temps de peacuteneacutetration le champ magneacutetique appliqueacute neacutecessaire agrave la
peacuteneacutetration complegravete jusqursquoau centre de la pastille est appeleacute champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete et noteacute BP (figure I26) En utilisant le modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean
(CSM) ce champ de peacuteneacutetration appeleacute aussi champ de peacuteneacutetration de Bean BPB peut-ecirctre
analytiquement obtenu agrave partir de la loi de Biot et Savart sous la forme suivante [77]
( )
22
02
2
2ln4
2
I28cPB
LR RJ LB
LR R
micro
+ + = + minus
Le principe de cette meacutethode est de mesurer le champ de peacuteneacutetration BPB et deacuteduire
par la suite la densiteacute de courant critique Jc
Figure I26 Variation du champ magneacutetique en fonction du temps Ba est le champ appliqueacute
sur la pastille et B0 repreacutesente le champ magneacutetique mesureacute au centre de la pastille
En fait lrsquoideacutee principale est de remplacer la pastille SHTC eacutetudieacutee par deux pastilles
SHTC identiques seacutepareacutees par un entrefer drsquoeacutepaisseur laquo e raquo dans lequel est placeacutee une sonde
agrave effet Hall afin de mesurer le champ magneacutetique entre ces deux pastille (figure I27) Le
champ magneacutetique mesureacute possegravede une seule composante crsquoest la composante radiale
40
Figure I27 Position de sonde agrave effet Hall entre deux pastilles SHTC
Theacuteoriquement ces deux pastilles sont consideacutereacutees comme une seule pastille dont
lrsquoinfluence de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoentrefer creacuteeacute par la sonde sur la valeur de la densiteacute de courant
Jc doit ecirctre prise en consideacuteration
Lrsquoaimantation de la pastille se fait par la meacutethode PFM le champ appliqueacute est obtenu
par une simple deacutecharge drsquoun condensateur dans une bobine en cuivre Le scheacutema eacutelectrique
du circuit drsquoaimantation est preacutesenteacute sur la figure I22
La figure I28 repreacutesente la variation du champ magneacutetique en fonction du temps pour
deux pastilles SHTC identiques de type YBaCuO caracteacuteriseacutee chacune par un rayon R de
10mm et de longueur L eacutegale agrave 5 mm et seacutepareacutees par une distance de 1mm (repreacutesente
lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall)
Figure I28 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesureacute entre deux pastilles
SHTC
41
Par conseacutequent la deacutetermination du temps de peacuteneacutetration Pt est effectueacutee comme suit
Nous consideacuterons drsquoabord que apregraves peacuteneacutetration complegravete du champ magneacutetique ( )Pt tgt
( )aB t et ( )0B t sont seacutepareacutes par une valeur eacutegale agrave PBB Deuxiegravemement nous modifions ( )0B t
B0(t) autour de tp pour quil soit identique au champ magneacutetique appliqueacute ( )aB t (figue I22)
Ceci permet au final de deacuteduire Pt et PMB
La valeur du champ magneacutetique PMB mesureacute pour des deux pastilles est drsquoenvirons 1
Tesla A partie de cette valeur de PMB cedil qursquoon suppose eacutegale agrave BPB on peut calculer la valeur
de la densiteacute de courant critique Jc agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 Elle est eacutegale agrave 110 Amm2 et
crsquoest une valeur proche des valeurs estimeacutees agrave partir des donneacutees des constructeurs et de la
litteacuterature
I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur le champ
de peacuteneacutetration
En utilisant le modegravele de la loi en puissance (PLM) le champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete noteacute BP peut srsquoexprimer numeacuteriquement en fonction du champ
magneacutetique de peacuteneacutetration ducirc au modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM) (BPB) de la vitesse
de monteacutee du champ appliqueacute Vb et de la puissance n comme [77]
( ) ln I291 bP PB
VB Bn
α β+ = +
Avec 12α = et 34β =
On peut ajouter ici qursquoil nrsquoy a pas drsquoinfluence des paramegravetres geacuteomeacutetrique de la
pastille R et L sur les valeurs de α etβ
La relation I29 saveacuterera expeacuterimentalement utile pour deacuteterminer la valeur n dune
pastille supraconductrice soumise agrave des diffeacuterentes vitesses de monteacute Vb du champ externe
Pour cela deux manipes expeacuterimentales sont installeacutees lrsquoune contient une bobine
supraconductrice afin de geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee du champ appliqueacute Ba (Meacutethode
drsquoaimantation ZFC) et lrsquoautre une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer un champ magneacutetique
agrave vitesse de monteacutee eacuteleveacutee de Ba (Meacutethode PFM) Les reacutesultats de mesure de champ
magneacutetique sont illustreacutes sur la figure I29
Lrsquoinfluence de lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall placeacutee sera prise en consideacuteration
dans les calculs de lrsquoexposant-n et la densiteacute de courant critique du mateacuteriau supraconducteur
42
(a) (b)
Figure I29 Repreacutesentation du champ magneacutetique appliqueacute et le champ magneacutetique mesureacute
entre deux pastilles SHTC en fonction de temps en utilisant a) une bobine supraconductrice
pour geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee b) une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer une
vitesse de monteacutee eacuteleveacutee
Soit 1PMB le champ de peacuteneacutetration mesureacute pour une faible vitesse de monteacutee 1bV et 2PMB est le
champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute pour une vitesse de monteacutee eacuteleveacutee 2bV
A partir de lrsquoeacutequation (I22) la valeur de n peut ecirctre deacuteduite agrave partir de
( ) ( )2 1 1 2
1 2
I3l ln
0nPM b PM b
PM PM
B V B Vn
B Bα
βminus
= minusminus
A partir de cette valeur de n et les valeurs de 1PB et 1bV on deacuteduit la valeur de PBB agrave
lrsquoaide de lrsquoeacutequation (I29) Par la suite la valeur de JC sera deacutetermineacutee agrave partir de lrsquoeacutequation
(I28) en fonction des paramegravetres geacuteomeacutetrique R et L
I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de lrsquoexposant-n et Jc
Rappelons que les mesures expeacuterimentales agrave travers la sonde agrave effet Hall placeacutee entre
deux pastilles SHTC donnent le champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute BPM et non pas le
champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP agrave cause de lrsquoentrefer existant entre les deux
pastilles ducirc agrave la sonde
Afin de trouver une relation entre BPM et BP une simulation numeacuterique est effectueacutee
pour les deux cas suivants
43
- Cas drsquoune pastille seule sans sonde agrave effet hall (e=0) pour deacutetermineacute BP au
centre de la pastille agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I8
- cas de deux pastilles identiques seacutepareacutees pour une distance laquo e raquo qui preacutesente
lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall pour deacuteterminer le champ de peacuteneacutetration BPM
La figure I30 repreacutesente la variation de rapport PM PB B en fonction de la longueur L
de la pastille pour e = 05 mm et e = 1 mm Le champ magneacutetique appliqueacute sur les pastilles est
caracteacuteriseacute par une vitesse de monteacutee Vb= 1000 Ts les pastilles utiliseacutees sont modeacuteliseacutees par
une densiteacute de courant critique Jc=100Amm2 un rayon R=10 mm et n = 15
Une relation entre BPM et BP est deacuteduite
( ) ( ) 05 00 I312ln( ) 081 368 1PM
P
B e mm LB
= = +
( ) ( ) 1 00 I3350ln( ) 07233 2PM
P
B e mm LB
= = +
Les expressions I10 et I11 sont indeacutependantes de Vb et n [95] Cependant elles sont valables
uniquement pour R=10 mm Pour drsquoautres valeurs de R des nouvelles relations entre BPM et
BP peuvent ecirctre exprimeacutes avec les mecircmes maniegraveres de calculs
Figure I30 Rapport P
PMBB
en fonction de longueur L de la pastille SHTC
I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille
Une autre meacutethode de calcul de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete a eacuteteacute
proposeacutee en utilisant une seule pastille au lieu deux agrave partir de la mesure de champ
magneacutetique au centre de la surface de la pastille agrave lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet hall placeacutee agrave une
44
distance laquo d raquo au-dessus de la surface de la pastille (figure I31) Cette meacutethode a lrsquointeacuterecirct
drsquoecirctre tregraves simple agrave exeacutecuter et moins couteuse
Figure I31 Position du sonde agrave effet Hall au centre de surface de la pastille
I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et BP
Des simulations numeacuteriques et analytiques ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour deacuteterminer la relation
entre le champ magneacutetique mesureacute agrave lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet Hall et le champ magneacutetique
de peacuteneacutetration complegravete BP
Une pastille SHTC de rayon R et de longueur L est agrave soumise agrave un champ
magneacutetique lineacuteairement variable appliqueacute perpendiculairement sur la surface de la pastille
Cela nous permet de deacuteterminer le champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur et agrave lrsquoexteacuterieur de la
pastille Ainsi de deacuteterminer la densiteacute du courant critique de cette pastille
La figure I32 repreacutesente la distribution de la densiteacute du courant CJ J dans la pastille
SHTC pour trois diffeacuterentes vitesses de monteacutee Vb (01 Ts et 10 Ts et 1000Ts) pour une
mecircme valeur de la densiteacute de flux magneacutetique appliqueacute Dans cette simulation la valeur de
lrsquoexposant-n utiliseacute est 15 ce qui repreacutesente une faible valeur pour un SHTC agrave 77 K et une
densiteacute de courant critique Jc consideacutereacutee constante eacutegale agrave 100 Amm2
On remarque que quels que soient la valeur de Vb les paramegravetres geacuteomeacutetriques de la pastille
SHTC et la valeur de n (gt 10) JJc est presque constante partout dans les reacutegions ougrave la
densiteacute de courant eacutelectrique nrsquoest pas nulle
Quand Ba devient eacutegal agrave BP on dit que la peacuteneacutetration est complegravete et CJ J est consideacutereacute
constant sur toute la pastille comme dans le cas du modegravele de Bean
45
Figure I32 Distribution de la densiteacute de courant JJc dans la pastille SHTC pour trois valeur
de vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacute
On appelle ( )0B t le champ magneacutetique au centre de la pastille SHTC et ( )zB d t le
champ magneacutetique mesureacute par la sonde agrave effet Hall au-dessus du centre de la surface de la
pastille agrave une distance d=05mm
46
( )aB t ( )0B t et ( )05 zB d mm t= sont repreacutesenteacute sur la figure I26 une densiteacute de courant
critique constante Jc=100Amm2 un champ magneacutetique appliqueacute lineacuteairement varie avec une
vitesse de monteacute Vb=1 Ts et une valeur de lrsquoexposant-n=15
La diffeacuterence ( ) ( )a zB t B tminus noteacute ( ) )ZSCB d t repreacutesente la densiteacute de flux magneacutetique
produit par le courant induit agrave lrsquointeacuterieur de la pastille SHTC La figure I33 montre que la
diffeacuterence ( ) ( )05 a zB t B d mm tminus = atteint une valeur maximale noteacute BZSCM avant que
( ) ( )0aB t B tminus atteint BP La relation entre BZSCM et BP est lieacutee aux paramegravetres geacuteomeacutetriques de
la pastille SHTC comme dans le modegravele de lrsquoeacutetat critique (CSM)
Figure I33 Calcul numeacuterique de BP au centre de la pastille et BZSCM au-dessus du centre de
surface de la pastille agrave d = 05mm
Dans le cas du champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete et modegravele de lrsquoeacutetat critique
(CSM) la densiteacute du flux magneacutetique le long de lrsquoaxe drsquoune pastille supraconductrice
cylindrique noteacute BZSCB peut ecirctre donneacute analytiquement en utilisant la loi de Biot et Savart de
la mecircme faccedilon que BPB sous forme
( ) ( ) ( )
( )
( )2 2 2 2
0
2 2 22
1 1 ln l I3n
4 1 13C
ZSCB
R Rd L RJ d RB d R L d L dR R
d Rd L R
micro
+ + + + + = + minus minus minus + + +
47
Une eacutetude comparative a eacuteteacute reacutealiseacutee entre un calcul analytique du rapport ZSCB PBB B
et un calcul numeacuterique du rapport ZSCM PB B en fonction de la distance laquo d raquo Le calcul
numeacuterique est fait pour diffeacuterentes valeurs de n et Vb (figure I34)
Figure I34 comparaison entre le calcul numeacuterique ZSCB PBB B et le calcul analytique
ZSCM PB B
On remarque que quels que soient les valeurs de n et Vb les rapports ( ) ZSCM PB d B et
( ) ZSCB PBB d B sont eacutequivalents Donc agrave partir de la valeur BZSCM(d) mesureacute le champ de
peacuteneacutetration PB peut ecirctre deacuteduit de la faccedilon suivante
( )( )( ) ( )
I34ZSCM mesureacute
PZSCB PB analytiquement
B dB
B d B=
Le rapport ( )( )ZSCB PBB d B est indeacutependant de Jc il deacutepend seulement des paramegravetres
geacuteomeacutetrique R et L de la pastille
48
I6 Objectifs de la thegravese
Apregraves avoir preacutesenteacute un rappel historique sur lrsquoeacutevolution de la supraconductiviteacute
depuis sa deacutecouverte jusqursquoau temps actuel nous avons rappeleacute quelques proprieacuteteacutes
caracteacuteristiques des mateacuteriaux supraconducteurs et leurs grandeurs critique Ensuite nous
avons preacutesenteacute les mateacuteriaux massifs supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
et leurs proprieacuteteacutes en citant deux mateacuteriaux de ce type agrave savoir lrsquoYBaCuO et le MgB2 Nous
avons preacutesenteacute eacutegalement des diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantations des pastilles supraconductrices agrave
savoir les meacutethodes ZFC FC et PFM
Enfin nous avons fait un reacutesumeacute sur une nouvelle meacutethode de caracteacuterisations reacutealiseacutee
au laboratoire GREEN par B DOUINE amp al pour calculer les grandeurs caracteacuteristiques
drsquoune pastille SHTC
Deux axes principaux sont viseacutes par cette thegravese
1 Proposer des modegraveles analytiques de dimensionnement de lrsquoinducteur drsquoun systegraveme
drsquoaimantation drsquoune pastille supraconductrice en preacutesence drsquoun circuit
ferromagneacutetique
2 Ameacuteliorer les meacutethodes de caracteacuterisation existant notamment celles utilisant la
meacutethode PFM afin drsquoeacutetudier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique drsquoune
pastille supraconductrice agrave haute tempeacuterature critique
49
Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de
lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit
ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune
pastille supraconductrice
50
II1 Introduction
La supraconductiviteacute est un domaine tregraves passionnant de la physique appliqueacutee En
geacutenie eacutelectrique comme en physique les supraconducteurs sont largement utiliseacutes pour
obtenir des champs magneacutetiques tregraves eacuteleveacutes On peut obtenir des aimants avec des mateacuteriaux
supraconducteurs massifs de type (RE) BCO agrave lrsquoaide drsquoun champ magneacutetique Ils peuvent
atteindre une densiteacute de flux magneacutetique tregraves eacuteleveacutee En effet il existe diffeacuterentes faccedilons
drsquoaimanter ce type de supraconducteurs massifs Cependant le moyen le plus commode et le
plus courant est drsquoutiliser un champ magneacutetique pulseacute Cette meacutethode est appeleacutee laquo PFM raquo
pour laquo Pulsed Field Magnetization raquo elle est geacuteneacuteralement utiliseacutee pour lrsquoaimantation des
cryo-aimants [84]
Il est tregraves important destimer et deacutevaluer les composantes du champ magneacutetique qui
deacutependent fortement de la geacuteomeacutetrie de linducteur du circuit drsquoaimantation utiliseacute et qui a
pour but final doptimiser la configuration expeacuterimentale Dans leacutetape de conception de
linducteur neacutecessaire pour magneacutetiser les supraconducteurs massifs agrave haute tempeacuterature
critique (SHTC) la modeacutelisation et la simulation sont fortement recommandeacutees pour effectuer
les calculs neacutecessaires des diffeacuterentes caracteacuteristiques eacutelectriques du systegraveme eacutetudieacute agrave savoir
la reacutesistance et linductance de la bobine La deacutetermination de la valeur de la reacutesistance est
assez simple tandis que lrsquoinductance neacutecessite un traitement particulier
De ce fait des modegraveles analytiques ont eacuteteacute proposeacutes depuis longtemps pour calculer la
distribution du champ magneacutetique creacuteeacute par des bobines circulaires sans fer [88 89 98] et plus
reacutecemment pour des bobines avec des noyaux de fer de longueur finie [90] Bien que ces
meacutethodes donnent des reacutesultats preacutecis elles ne sont pas adapteacutees pour leacutetude des bobines
axisymeacutetriques placeacutees dans un circuit ferromagneacutetique contenant un entrefer simple ou un
entrefer contenant une pastille supraconductrice Ces modegraveles sont baseacutes essentiellement sur
la loi de Biot et Savart Des logiciels commerciaux sophistiqueacutes qui donnent des reacutesultats tregraves
preacutecis en consideacuterant la non-lineacuteariteacute des mateacuteriaux impliqueacutes dans le problegraveme eacutetudieacute sont
utiliseacutes
Dans ce chapitre nous proposons drsquoutiliser des meacutethodes analytiques pour reacutealiser
cette tacircche en reacutesolvant les eacutequations de Laplace et de Poisson De telles meacutethodes conduisent
agrave des solutions significatives avec des informations physiques tregraves utiles pour lrsquoeacutetape de la
conception Il srsquoagit de calculer le potentiel vecteur magneacutetique A
dans les diffeacuterentes reacutegions
drsquointeacuterecirct drsquoun circuit ferromagneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer concentrique par rapport agrave la
51
bobine en absence de tout mateacuteriau supraconducteur Le cas de preacutesence drsquoune pastille
supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du circuit deacutecrit preacuteceacutedemment sera eacutegalement
traiteacute Pour montrer lrsquoinfluence de la preacutesence drsquoun mateacuteriau supraconducteur sur la valeur de
lrsquoinductance de la bobine utiliseacutee il sera question de calculer son inductance dans les deux cas
A la fin de ce chapitre et en prenant le problegraveme du circuit magneacutetique sans pastille
nous allons utiliser lrsquoexpression analytique du potentiel vecteur magneacutetique obtenue dans ce
cas pour calculer les courants induits dans une pastille supraconductrice en utilisant laquola
meacutethode de Brandtraquo bien connue deacuteveloppeacutee en 1998 pour les disques et les cylindres dans
un champ magneacutetique axial [100 101]
II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveses
La geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute est repreacutesenteacutee sur la figure II1
Figure II1 Geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute un circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie infeacuterieur de longueur 3 2 e Z Z= minus concentrique avec une bobine de
longueur 4 1L Z Z= minus
Les reacutegions I III et IV correspondent agrave de lrsquoair La reacutegion II correspond agrave une bobine
circulaire en cuivre de section transversale rectangulaire Cette bobine composeacutee de N spires
de rayon interne 2R de rayon externe 3R et de longueur 4 1L Z Z= minus est parcourue par une
densiteacute de courant uniforme J dans le sens uθ
La bobine est concentreacutee autour drsquoun
entrefer de rayon 1R et de longueur 3 2e Z Z= minus situeacute sur la partie infeacuterieure du circuit
ferromagneacutetique (figure II1) Lrsquoensemble du systegraveme est deacutelimiteacute dans la direction axiale par
52
0z = et 5z Z= Les limites exteacuterieures du circuit ferromagneacutetique doivent ecirctre choisies
suffisamment loin de la zone de calcul pour ne pas affecter les reacutesultats obtenus Des
conditions aux limites homogegravenes de type Dirichlet sont consideacutereacutees dans les reacutegions I II et
III agrave 0z = et 5z Z= et de type de Neumann dans la reacutegion IV agrave 2z Z= et 3z Z=
Le problegraveme est traiteacute en axisymeacutetrique la formulation en potentiel vecteur
magneacutetique en coordonneacutees cylindriques est employeacutee Seule la composante suivant θ du
potentiel vecteur magneacutetique est preacutesente et elle ne deacutepend que des coordonneacutees r et z
A partir de lrsquoeacutequation de Maxwell-Ampegravere
( )0 0 0 II1ErotB Jt
micro micro ε part= +
part
Lorsque le champ eacutelectrique est stationnaire le second membre de lrsquoeacutequation (II1) devient
neacutegligeable
Drsquoautre part lrsquoexpression de lrsquoinduction magneacutetique en fonction du potentiel vecteur
magneacutetique est donneacutee comme suit
( ) ( ) II2B rot A=
En remplaccedilant lrsquoeacutequation (II2) dans (II1) on trouve
( ) ( )20 0 ( ( ) ) ( II 3) rot rot A J grad div A A Jmicro micro= rArr minusnabla =
Compte tenu de la jauge de coulomb ( ) 0div A = lrsquoeacutequation (II3) devient
( )20 II4A Jmicronabla = minus
Donc deux cas sont possibles
( )2 0
II0 5J Equation de Poisson
AEquation de Laplace
microminusnabla =
Pour notre problegraveme les expressions du potentiel vecteur magneacutetique pour chaque
reacutegion sont obtenues agrave partir de la reacutesolution de lrsquoeacutequation de poisson dans la reacutegion de la
bobine (reacutegion II) et de Laplace dans les reacutegions I II et III en respectant les conditions de
continuiteacute des composantes tangentielles et normales du champ magneacutetique aux interfaces
entre les reacutegions
53
( ) ( ) ( )( )
( )2
0
2
II6
0
( )II
i
r z
r
A J r z Reacutegion II Bobine
A Reacutegions i i I III IVz
micronabla =minusnabla = =
Avec 0micro et J sont respectivement la permeacuteabiliteacute du vide et la densiteacute de courant dans la bobine
Sachant que la densiteacute de courant J est consideacutereacutee homogegravene dans la bobine elle est
indeacutependante de la composante r et elle ne deacutepend que de z
( )1 4 ( ) II0
7J Z z Z
J zAilleur
lt lt=
Dans la modeacutelisation analytique de ce problegraveme nous avons supposeacute que la
permeacuteabiliteacute magneacutetique du circuit ferromagneacutetique est infinie (micro rarrinfin ) Ceci implique que
le champ magneacutetique nrsquoest pas calculeacute agrave lrsquointeacuterieur du milieu ferromagneacutetique et sa
composante tangentielle est nulle aux interfaces ferromagneacutetiques
II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetique
La reacutesolution de toute eacutequation diffeacuterentielle aux deacuteriveacutes partielles est fortement
deacutependante du domaine dans laquelle la solution est deacutefinie et valable ainsi les conditions
aux limites que cette solution doit remplir La reacutesolution de lrsquoeacutequation (II6) se fait dans les
reacutegions de I agrave IV agrave lrsquoaide de la meacutethode de seacuteparation des variables [90101]
II31 Reacutegion I 3 4 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation consideacutereacutee dans cette reacutegion est une eacutequation de Laplace elle srsquoeacutecrit en
coordonneacutees cylindrique sous la forme
( )2 2
22 2 2
10 0 II8I I I II
A A A AAr r r r z
part part partnabla = rArr + minus + =
part part part
Les conditions agrave limites homogegravenes de Dirichlet sont imposeacutees ici agrave 0Z = et 5Z Z=
( )1 1 5 ( 0 ) ( ) 0 II9A r z A r z Z= = = =
La composante tangentielle du champ magneacutetique est nulle agrave lrsquointerface pour 4r R=
( )4
II1( ) 0 0r R
rAr =
part=
part
En utilisant la meacutethode de seacuteparation de variable le potentiel Vecteur magneacutetique peut
srsquoeacutecrire comme suit
54
( ) ( ) ( ) ( ) II11A r z R r Z z=
A partir des eacutequations (II9) (II10) et (II11) la forme geacuteneacuterale de lrsquoexpression du potentiel
vecteur magneacutetique dans la reacutegion I est donneacutee par (voir deacutetails en annexe I)
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 11 0 4
II12nII n n n n
n n
K RA r z b I r K r sin z
I Rα
α α αα
infin
=
= +
sum
Avec n est un entier positif 5n n Zα π= est la valeur propre du problegraveme I0 et K0 sont
respectivement les fonctions de Bessel modifieacutees du premier et du deuxiegraveme type drsquoordre 0 etI1 et
K1sont respectivement les fonctions de Bessel modifieacutees du premier et du deuxiegraveme type ordre1
[102] Alors que Inb est la constante drsquointeacutegration elle sera deacutetermineacutee par la suite en utilisant
les conditions de passages agrave lrsquointerfaces agrave 3r R= entre les reacutegions I et II
II32 Reacutegion II 2 3 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre dans cette reacutegion est une eacutequation de Poisson En coordonneacutees
cylindriques
( )2 2
02 2 2
1 ( ) II13II II II IIA A A A J zr r r r z
micropart part part+ minus + = minus
part part part
Les conditions aux limites de Dirichlet sont imposeacutees ici agrave 0z = et 5z Z=
( )5 ( 0) ( I 10 4) III IIA r z A r z Z= = = =
Lrsquoeacutequation (II13) est une eacutequation diffeacuterentielle de deuxiegraveme degreacute avec second membre sa
reacutesolution est deacutetailleacutee dans lrsquoannexe I
La solution geacuteneacuterale de (II13) est donneacutee donc par
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 11
II15II IIII n n n n n n n
n
A r z a I r b K r C L r sin zα α α αinfin
=
= + minussum
Avec 022
nn
n
JC micro πα
= et ( ) ( ) ( ) ( )( )5
1 45 0
2 2sin cos cosZ
n n n nJJ J z z dz Z Z
Z nα α α
π= = minusint
L1 est la fonction de Struve modifieacutees ordre 1
Les constantes drsquointeacutegrations IIna et II
nb sont deacutetermineacutees en utilisant les conditions de
passages aux interfaces agrave 3r R= entre les reacutegions I et II et agrave 2r R= entre les reacutegions II et III
55
II33 Reacutegion III 1 2 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Dans cette reacutegion lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre est de type Laplace
( )2 2
2 2 2
1 0 II16III III III IIIA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites imposeacutees ici sont
( )5 ( 0) II1( ) 0 7III IIIA r z A r z Z= = = =
Consideacuterons les conditions aux limites de lrsquoeacutequation (II17) la solution geacuteneacuterale de
lrsquoeacutequation (II16) est donneacutee par
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11
II18III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Les constantes drsquointeacutegrations IIIna et III
nb sont deacutetermineacutees en utilisant les conditions
de passages aux interfaces agrave 2r R= et agrave 1r R= entre les reacutegions II et III et les reacutegions III et IV
successivement
II34 Reacutegion IV 1 2 30 etr R Z z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation (II1) agrave reacutesoudre dans cette reacutegion est une eacutequation de Laplace
( )2 2
2 2 2
1 0 II19IV IV IV IVA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites imposeacutees ici agrave z=Z2 et z=Z3 sont de type de Neumann
( )2 3
II2( ) ( ) 00IV IV
z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
Une condition suppleacutementaire est imposeacutee agrave 0r = (axe de symeacutetrie)
( ) II( 0 2) 10IVA r z= =
Consideacuterons les eacutequations (II20) et (II21) la solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation (II19) est
donneacutee par
( ) ( ) ( )( ) ( )0 1 21
cos II22IVIV k k k
k
A r Z A r a I r z Zβ βinfin
=
= + minussum
56
Avec 5 2
kk
Z Zπβ =minus
0A et IVka sont des constantes drsquointeacutegration k est un entier positif
La constante dinteacutegration 0A est due agrave lrsquoapplication des conditions aux limites de Neumann
dans la reacutegion IV Elle est deacutetermineacutee en appliquant la condition de continuiteacute du potentiel
vecteur magneacutetique agrave linterface agrave 1r R= entre la reacutegion III et la reacutegion IV
II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0
On applique le principe de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique entre la reacutegion III et IV
agrave lrsquointerface agrave r= R1
( ) ( ) [ ] ( )1 1 2 3 pour II23III IVA r R z A r R z z Z Z= = isin=
Par inteacutegration par rapport agrave z sur lrsquointervalle[ ]2 3Z Z on trouve
( ) ( ) ( )( ) ( )0 1 1 1 111 3 2
1 II24III IIIn n n n n
nA m a I R b K R
R Z Zα α
infin
=
= +minus sum
Avec ( ) ( )( )2 31 cos cosn nn
n
Z Zm α αα
= minus
II4 Conditions de passages entres interfaces
Les relations entre les constantes drsquointeacutegrations etI II II III III IVn n n n n nb a b a b a sont
deacutetermineacutees en appliquant les conditions de passages aux interfaces entres les diffeacuterentes
reacutegions drsquointeacuterecirct du problegraveme consideacutereacute
Les conditions dinterface doivent satisfaire la continuiteacute des composantes radiale et axiale
de la densiteacute de flux magneacutetique Ces composantes peuvent ecirctre deacuteduites du potentiel vecteur
magneacutetique par
( ) ( ) 1 II25r z
rAAB Bz r r
partpart= =part part
II41 Condition drsquointerface agrave r=R3
En termes de potentiel vecteur magneacutetique deux conditions drsquointerface sont imposeacutees
entre les reacutegions I et II agrave 3r R=
57
( ) ( )( ) ( ) ( )
3 3
3 3
II26I II
I I
r R r R
A r R z A r R z
rA rAr r
= =
= = =part part = part part
On obtient
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 3 1 3 1 3 1 3 1 30 4
II27nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
+ minus minus = minus
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
3 3 0 3 0 3 00 4
0 30 II28nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
minus minus + = minus
II42 Condition drsquointerface agrave r=R2
Les conditions drsquointerface entre les reacutegions II et III agrave 2r R= sont donneacutees par
( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2
2 2
II29
II III
II III
r R r R
A r R z A r R z
rA rAr r
= =
= = =part part = part part
On obtient ainsi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 II30II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus minus + + = minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 II31II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus + + minus = minus
II43 Condition drsquointerface agrave r=R1
Agrave linterface entre les reacutegions III et IV des conditions particuliegraveres deacutefinies par
morceaux concernant la composante axiale du champ magneacutetique agrave r = R1 sont appliqueacutees
autour de cette interface agrave cause de la preacutesence de lentrefer dans le circuit ferromagneacutetique
( ) ( ) ( )1 1
2
2 3
3 5
0 0
II32
0
III IV
r R r R
z ZrA rA
Z z Zr r
Z z Z= =
lt lt
part part= lt ltpart part lt lt
La continuiteacute de la composante radiale de la densiteacute de flux conduit agrave
58
( ) ( ) ( )1 1 2 3 avec II33IV IIIA r R z A r R z Z z Z= = = lt lt
A partir des eacutequations (II32) et (II33) on obtient (voir deacutetail en Annexe II)
( )( )
( )( )
( ) 1 1 1 1 0 1
0 1 0 1
0 (II34)n k n n k nIII III IV
n n k n k kn k n n k n
h I R h K Ra b a g I R
f I R f K R
α αβ
α α
+ + = minus +
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 (II35)2
III III IVn n k n n n k n k k
ka g I R b g K R a I Rβπα α+ minus =
Avec
( )1 3 2
2 n kn k
m mhR Z Z
=minus
( ) ( )2
12 2
1 sin si
2 si
n
n k
n k n kf n kn n k
π
π
+minus ne= minus
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 3
12 2 3
2 2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
k kkk k k k
k
kk k k k k
kn k
Z Z
k Z Zg
Z
α β α α α βα βπ β β β α β
+
+
minus + minus ne= + + minus =
Donc les coefficients etI II II III III IVn n n n n nb a b a b a de lrsquoensemble des harmoniques drsquoespace
sont relieacutes les uns aux autres agrave travers les eacutequations (II27) (II28) (II30) (II31) (II34) et
(II35) Nous devons donc reacutesoudre un systegraveme de six eacutequations lineacuteaires agrave six inconnues en
reacuteeacutecrivant les eacutequations ci-dessus en systegraveme matriciel de taille ( ) ( )6 max 6 maxN Ntimes vu
qursquoil y a six coefficients avec Nmax est le nombre maximal drsquoharmoniques pris en charge
( )( )( )( )
11 12 13 1 3
21 22 23 0 3
32 33 34 35 1 2
42 43 44 45 0 2
54 55 56
64 65 66
0 0 00 0 0
0 00 00 0 0 00 0 0 0
In nn
IIn nn
IIn nn
IIIn nn
IIInIVn
C L RbC L RaC L RbC L Ra
ba
η η η αη η η α
η η η η αη η η η α
η η ηη η η
minus minus minus
= minus
Avec
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 3 1 3 1 21 3 1 3 1 30 4
11 nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
αη α η α η αα
+ = minus = minus=
59
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
21 3 3 22 3 23 30
0 04
0 0 nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
η α α η α η αα
= minus = minus =
( ) ( ) ( ) ( )32 1 2 33 1 2 34 1 2 35 1 2 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = minus = =
( ) ( ) ( ) ( )0 042 2 43 2 44 2 450 0 2 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = = = minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )54 1 1 0 1 55 1 1 0 1 56 0 1 n k n n k n n k n n k n n k kh I R f I R h K R f K R g I Rη α α η α α η β= minus = + =
( ) ( ) ( )64 1 1 65 1 1 66 1 1 2n k n n k n k
kg I R g K R I Rπη α η α η β = = = minus
La solution numeacuterique de ce systegraveme matriciel peut ecirctre obtenue en utilisant un
logiciel de calcul matheacutematique en lrsquooccurrence MATLAB dans le cas de la preacutesente eacutetude
Il convient de noter ici qursquoune inversion numeacuterique de cette matrice est neacutecessaire pour le
calcul des coefficients inconnus Cette inversion peut se faire en une seule fois et en calcul
symbolique
II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobine
Linductance est lune des principales caracteacuteristiques de la bobine Elle se deacutefinit
comme laptitude de celle-ci agrave sopposer agrave la variation de lintensiteacute du courant qui la traverse
Linductance dune bobine est une valeur propre deacutependante de la dimension physique de la
bobine ainsi que du mateacuteriel utiliseacute pour sa fabrication
Lrsquoinductance de la bobine est lieacutee agrave lrsquoeacutenergie magneacutetique stockeacutee par la relation suivante
21 1 (II36)2 2 V
W LI A Jdv= = int
Lrsquointeacutegrale (II36) est limiteacutee au volume de la bobine car la densiteacute de courant est nul ailleurs
Nous avons supposeacute que la densiteacute de courant eacutelectrique est uniformeacutement reacutepartie sur toute
la section de la bobine ce qui conduit agrave
(II37)JSIN
=
Avec ( )( )4 1 3 2S Z Z R R= minus minus
60
N et I sont respectivement le nombre de spires que contient la bobine et lrsquointensiteacute de courant
eacutelectrique qui les travers ( )( )4 1 3 2S Z Z R R= minus minus
Le potentiel de vecteur magneacutetique utiliseacute dans lrsquoeacutequation II36 est celui deacutefini dans la reacutegion
II de la bobine
En remplaccedilant les eacutequations (II15) et (II37) dans (II36) on obtient
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )4 3
1 2
2
2 1 11
0 1 II38II IIn n n n n n n
Z
Zn
R
Ra I r b K r C L rNL rdrsi z d
JSn zd
πα α θα α
infin
=
+= minussumint int int
En inteacutegrant (II38) par rapport aux variables r θ et z lrsquoexpression analytique de lrsquoinductance
est donc donneacutee par
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
3 3 2 2
3 3 2 221
4 40 3
1 4
3 2
2
2
II392
6
2 cos cos
IIn
IIn n n
n nn
n
a R U R R U R
b R V R R V R
J R W R R W R
NL Z ZJS
ππ α αα
αmicroπ
infin
=
minus + minus
minus minus
=
minussum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1n n n nU r I r L r I r L rα α α α= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1( ) n n n nV r K r L r K r L rα α α α= +
Et ( ) 2 23 512 3
2 2 4n rW r F α =
est la fonction hypergeacuteomeacutetrique [90]
II6 Reacutesultats analytiques et discussion
Les valeurs des paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutes dans notre problegraveme sont reacutesumeacutees
sur le tableau II1 Les solutions analytiques dans toutes les reacutegions ont eacuteteacute calculeacutees avec un
nombre fini en termes drsquoharmoniques eacutegal agrave 50 Les limites exteacuterieures du circuit dans la
direction axiale sont choisies de maniegravere agrave ce que leurs valeurs nrsquoaffectent pas les reacutesultats
obtenus
61
Tableau II1 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme sans pastille
Paramegravetre Description valeur
R1 Bord infeacuterieur du domaine dans la direction radial 0030 m
R2 Rayon interne de la bobine 0080 m
R3 Rayon externe de la bobine 0120 m
R4 Bord supeacuterieur du domaine dans la direction radial 0150 m
Z1 Limite inteacuterieure de la bobine 0200 m
Z2 Limite inteacuterieure de lrsquoentrefer 0225 m
Z3 Limite exteacuterieure de lrsquoentrefer 0275 m
Z4 Limite exteacuterieure de la bobine 0300 m
Z5 Limite exteacuterieure du domaine dans la direction axiale 0500 m
N Nombre des spires dans la bobine 1000
J Densiteacute de courant eacutelectrique dans la bobine 5 Amm2
Nmax Nombre drsquoharmoniques utiliseacute dans tout le domaine 50
Afin de valider nos reacutesultats analytiques nous devons les comparer avec ceux obtenus
en utilisant la meacutethode drsquoapproximation par eacuteleacutements finies [103104] (FEA pour Finite
Element Approximation) impleacutementeacutee sous le logiciel COMSOL Multiphysics La taille de
maillage et la preacutecision demandeacutee sont choisies de maniegravere agrave ce que les quantiteacutes deacuteriveacutees du
FEA servent de reacutefeacuterence une densiteacute de maillage drsquoenvirons 1850 triangles a eacuteteacute imposeacutee
dans la reacutegion du fer composant le circuit ferromagneacutetique La densiteacute de maillage consideacutereacutee
dans la reacutegion de lrsquoentrefer et de la bobine est moins eacuteleveacutee pour eacuteviter une augmentation
inutile de temps de calcul (figure II2) En effet les mecircmes paramegravetres geacuteomeacutetriques que ceux
deacutefinis dans le tableau 1 sont utiliseacutes Les conditions aux limites homogegravenes de type Dirichlet
et de Neumann sont eacutegalement prises en compte dans les simulations comme avec le modegravele
analytique
62
Figure II2 Maillages du circuit ferromagneacutetique avec entrefer eacutetudieacute par COMSOL
(a) (b)
Figure II3 Comparaison des distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir
du calcul analytique (a) et du calcul numeacuterique (b) avec le traceacute des lignes de champ
magneacutetique
63
La figure II3 repreacutesente la comparaison des distributions du potentiel vecteur
magneacutetique calculeacutees dans toutes les reacutegions drsquointeacuterecirct par la meacutethode analytique (a) et la
meacutethode numeacuterique (b) Nous avons ainsi repreacutesenteacute les lignes de champ magneacutetique dans
toutes les reacutegions drsquointeacuterecirct en calcul numeacuterique Les composantes radiale Br et axiale Bz de la
densiteacute de flux magneacutetique obtenues analytiquement sont ensuite repreacutesenteacutees et compareacutees agrave
celles obtenues numeacuteriquement dans la figure II4 (figure 4II (a) correspond agrave la reacutegion III et
figure 4II (b) correspond agrave la reacutegion IV)
(a)
(b)
Figure II4 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions
(a) III en ( )1 2 2r R R= + et (b) IV en 1 2r R=
64
Figure II5 Comparaison des valeurs de lrsquoinductance de la bobine en fonction de la longueur
de lrsquoentrefer obtenues numeacuteriquement avec celles obtenues analytiquement pour les
diffeacuterentes valeurs de nombres des harmoniques variant entre 1 et 50
Une comparaison est faite entre les valeurs numeacuteriques obtenues avec COMSOL et les
reacutesultats analytiques pour diffeacuterents nombres dharmoniques allant de 1 agrave 50 De toute
eacutevidence linductance diminue avec laugmentation de la longueur de lentrefer ( figure II5)
plus le nombre de termes harmoniques est eacuteleveacute plus la solution agrave la valeur de reacutefeacuterence
obtenue numeacuteriquement est proche
Lerreur maximale est de 3937 1147 635 292 152 et 075 pour un nombre de
termes harmoniques de 1 5 10 20 30 40 et 50 respectivement Nous pouvons conclure ici
que la formule proposeacutee est correcte et efficace De plus seuls 10 termes suffisent pour
obtenir moins de 10 derreur
Nous allons proceacuteder maintenant au calcul de lrsquoinductance de la bobine en preacutesence
drsquoune pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer
65
II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en
preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
Les mecircmes hypothegraveses consideacutereacutees preacuteceacutedemment dans le cas de circuit seul avec
entrefer seront consideacutereacutees par la suite en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
La figure II6 repreacutesente la geacuteomeacutetrie du problegraveme consideacutereacute
Figure II6 Circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer de longueur e dans lequel se trouve
une pastille supraconductrice
En Introduisant la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer deux reacutegions
suppleacutementaires sont consideacutereacutees en plus dans ce cas la reacutegion V et la reacutegion VI Ces deux
reacutegions correspondent agrave de lrsquoair (figure II6) La pastille supraconductrice est modeacuteliseacutee par
un diamagneacutetique parfait ( 0micro = ) de sorte que le potentiel vecteur magneacutetique est nul dans
toute la pastille y compris ses bords
De ce fait les conditions aux limites consideacutereacutees dans les reacutegions V et VI sont comme suit
( ) ( ) ( )2
3 ( ) 0 II400VV
z Z
A r z A r z Z reacutegionVz =
part= = =
part
( ) ( ) ( )5
4
0 0 ( II4) 1VIVI
z Z
A r zA r z Z reacutegionVI
z=
part= = =
part
Des conditions suppleacutementaires sont imposeacutees agrave en r=0 (lrsquoaxe de symeacutetrie)
66
( ) ( ) ( ) I0 0 et 0 0 I42V VIA r z A r z= = = =
Les expressions analytiques du potentiel vecteur magneacutetique pour les reacutegions I II et III du
problegraveme consideacutereacute dans la figure II6 sont donneacutees de la mecircme faccedilon que le problegraveme
preacuteceacutedent (en absence de la pastille supraconductrice) comme suit
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 5
1 11 0 5
II43nII n n n n
n n
K RA r z b I r K r sin z
I Rα
α α αα
infin
=
= +
sum
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 11
II44II IIII n n n n n n n
n
A r z a I r b K r C L r sin zα α α αinfin
=
= + minussum
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11
II45III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Avec7
nnZπα = 2
0 2n n nC Jπmicro α minus =
et ( )( ) ( )( )( )1 62 cos cosn n n
JJ z Z z Zn
α απ
= minus minus minus
Pour la reacutegion IV les conditions aux limites consideacutereacutees ici sont
2 5
( ) ( )0 et 0z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
Et le potentiel vecteur magneacutetique est donneacute sous forme (en suivant la mecircme meacutethode
deacutetailleacutee dans lrsquoannexe I)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )101 11 1 1 2
1
cos II46IV IVIV n n
nn n nA r Z A r A r a I r b K r z Zβ β β
infinminus
=
= + + + minussum
Avec 5 2
nn
Z Zπβ =minus
Les constantes dinteacutegrations 01A et 02A sont dues agrave lrsquoapplication des conditions aux
limites de Neumann dans la reacutegion IV Elles seront deacutetermineacutees apregraves en appliquant la
condition de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique agrave linterface entre les reacutegions III et IV
agrave 2r R= et agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI agrave r= R1
Pour les reacutegions V et VI en prenant en consideacuterations les conditions aux limites (II40) (II41)
et (II42) les expressions du potentiel vecteurs magneacutetiques sont donneacutees comme suit
( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 2 21
cos II47VV n n
nnA r z a I r z Zβ β
infin
=
= minussum
67
( ) ( )( ) ( )1 3 3 41
II4( ) s 8inVIVI n n n
nA r z a I r z Zβ β
infin
=
= minussum
Avec ( )( )2
3 2
2 1 2n
nZ Z
πβ
minus=
minuset ( )
( )53
4
2 1 2n
nZ Z
πβ
minus=
minus
II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
Agrave partir de la condition de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique agrave lrsquointerface
entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave r=R2 et agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI
agrave 1r R= on a
( ) ( ) [ ] ( )2 2 2 5 II 49IV IIIA r R z A r R z pour z Z Z= = = isin
Et
( )( ) [ ]
[ ]( ) [ ]
( )1 2 3
1 3 4
1 4 5
0
II50V
IV
VI
A r R z pour z Z Z
A r R z pour z Z Z
A r R z pour z Z Z
= isin
= = isin = isin
On integravegre les deux eacutequations (II49) et (II50) par rapport agrave z sur lrsquointervalle [ ]2 5Z Z on
trouve
( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
1 3
1
1 2 12
01 1 2 1
1
21
3
1
1
II51n
VIn n
nV
nIII III nn n
n
n
n n n
a I RA a
a I RI R b K R h q
ββα α
ββ
+
infin
=
minus = + minus +
sum
( ) ( ) ( ) ( )1 3 13
1 2111 1 2 1 01 1
15 2 2
1 1 1 II52VIn n n
n
nVn
n n
RA a I RR Aa RZ Z
I ββ
ββ
infin+
=
= minus + minus minus
sum
Avec
( ) ( )( )2 5cos co1 s n nnn
Z Zmα
α α= minus ( )
22 2
2 1
n nRh m
R R e=
minus
( )1
2 22 1
RqR R e
=minus
et 5 2e Z Z= minus
Les constantes drsquointeacutegrations I II II III III IV IV Vn n n n n n n nb a b a b a b a et VI
na sont deacutetermineacutees agrave
partir des conditions de passages aux interfaces entre les diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecircts du
problegraveme
68
II72 Conditions de passages entres interfaces
Les mecircmes conditions de passages appliqueacutees dans le cas de circuit sans pastille sont
appliqueacutees dans ce cas sauf que des conditions particuliegraveres deacutefinies par morceaux sont
appliqueacutees agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI en 1r R=
II721 Interface agrave r = R4
A lrsquointerface entre les reacutegions I et II agrave 4r R= on trouve
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
4 4 4 4 41 15
01 1 1
0
II53nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
+ minus minus = minus
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
05
0 00 4 0 4 40
4 45
II54nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
minus minus + = minus
II722 Interface agrave r = R3
Pour lrsquointerface agrave 3r R= entre les reacutegions II et III on obtient
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 31 1 1 1 1 II55II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus minus + + = minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 30 0 0 0 03 3 II56II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus + + minus = minus
II723 Interface agrave r = R2
Agrave lrsquointerface entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave 2r R= des conditions de passages
particuliegraveres deacutefinies par morceaux sont appliqueacutees ici
( ) ( ) ( )2 2
5
2 5
7
20 0
II57
0
III IV
r R r R
pour z ZrA rA
pour Z z Zr r
pour Z z Z= =
lt lt
part part= lt ltpart part lt lt
( ) ( ) ( )2 22 5 II58IV IIIA r R z A r R z pour Z z Z= = = lt lt
On obtient
69
( )( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
0 2 0 2 0 2
1 2 2 1 2 2
11 1
0 2 1 2 1 11 32 3
0 II59
1 VI
n
n n m n n mIII III IVn n n n n m
n n m n n m
nIV V
n n m n m mn
n n nn
I R f K R fa b a I R g
I R R h m K R R h m
R Rb K R g a I R h RI ha ββ
α αβ
α α
β ββ
+
minus minus minus + =
minus + + +
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 5 2 1 2 5 2 0 II60III III IV IVn n n m n n n m n n n na I R j b K R j a I R Z Z b K R Z Zα α β β+ minus minus minus minus =
Avec
( )( ) 12 22 12 nn R R e mh
minusminus=
( ) ( ) ( )2
1
2
21
2
n n
n m
n mn m
n m
sinf
m si
n si
απ α αα α
π α α
+ minus ne
minus
=
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 5 2 2
21
2 5
1
1 1
2 4
n n mm m m n
m n
n n n mn
n
cos Z cos Z si
g n msin Z cos Z cos sin Z
β αα α α βα β
β β β α βπ +
+ + minus minus= + + minus =
ne
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
12 5
15 2 2 2 5
2 2
2 cos 1 sin
1sin cos 1 cos
2
nm m n m m n
m nn m
n n n m nn
n
Z Z si
Zj
Z Z Z Z si
α α β α α βα β
β β β α ββ
+
+
+ minus ne
minus + +
minus
=
=
minus
II724 Interface agrave r = R1
Ainsi des conditions de passages particuliegraveres sont deacutefinies sur lrsquointerface entre la reacutegion IV
et les reacutegions V et VI agrave 1r R=
( )( )
( )( )
1 2 3
1 3 4
1 4 5
0 II61
V
IV
VI
A r R Z pour Z z ZA r R Z pour Z z Z
A r R Z pour Z z Z
= lt lt= = lt lt = lt lt
( ) ( ) ( )1 1
2 3 II62V IV
r R r R
rA rApour Z z Z
r r= =
part part= lt lt
part part
70
( ) ( ) ( )1 1
4 5 II63VI IV
r R r R
rA rApour Z z Z
r r= =
part part= lt lt
part part
Ainsi agrave partir des eacutequations (II61) (II62) et (II63) on obtient
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 3 0 II64VIV IV Vk k n m k k n m n n m n m
In n na I r l b K r l a a II r O prββ β β+ minus minus =
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )1 2 2 1 2 2
0
11 1
1 2 1 0 2 1 1
0 1 1
21 3
3
0 II65
1 2 1
2
III IIIn n n n n n n n
IV IVn m n n m
n
n
V
n n
VI nn n
nn n n
nn
a I R R S m b K R R S m
a q b K q
R n S Ra I R S I
R R
a R
I
R I
α α
β β
πβ β
ββ
β
+
+ + minus =
+
minus minus
minus minus
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
11 1 2 2 1
1 2 121 2 2 0 1
0
1 31
1 0 3 13
02 1
2
1
II66
1 2
nn
n
VIn n n
nIVIIIn n mn n m n mV
nIII IVnn n m n n
n
n m
m
a I R ta I R R B m B Ra I R
b K R R B m b K
na I R
R
R R I
t
B πβ β
βαβ
βα β
β
+
=minus
minus+ minus + minus
minus +
Avec
( ) ( )
( )
12 2
5 2
1 si 2n
nm
mn
n
mm
m
nn
m si
Z Z il
s
βπ β ββ β
β β
+ minus ne minus
minus =
=
( ) ( )( )
( )
1 23 2 2
2
3
2 2
2 2
21 c
osn
n nm n m
n m
n
m
m
Z Z
Z Z s
siO
i
β β β ββ β
β β
+
minus
minus minus ne
=
= minus
( )( ) ( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( )
13 4 32 2
3
3 4
3 4 313 3
2
5 4 2
5
2
2
2 1 sin
sin
2 1 sin
cos
cos1
nn m m n m
n m
n mn
n n mnn n
Z si
ZZ Z Z si
Z m
ZZ
Z
p
Z
β π ββ
ββ β
β β
β β ββ
β
+
+
minus minus ne minus= minus minus = + minus
minus
minus minus minus
71
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
1 332 2
3
13 4 3 5
4 2
2
3
3
2
4 2
2 11 cos
2
1 s
cos
cos in
in21
s4 1
n mn m n
m n
nn n
m n
n
n
n m
m
Z Z
n Z
Z Z
tZ Z
Z
π β ββ
β β
ββ ββ
ββπ β
+
+
minusminus +
= minus minus minus
minus neminus
+ minus=
minus minus
( ) ( )( )
( )
1 23 2 22
2
3
2
22
21 cos n nn
m n mm
n
m n
m
n
mqZ Z
Z Z
β ββ β ββ β
β β β
+ minus minus ne minus
minus =
=
( )( )( )2 2
1
2 5
1
2 1 2
14m
m
mRS
R R Z Zβ
+minus=
minus minus
( )( )1
2 22 1 5 23
2
mm
RBR R Z Zβ
=minus minus
Au final Les eacutequations (II53) (II54) (II55) (II56) (II59) (II60) (II64) (II65) et
(II66) peuvent se mettre en systegraveme matricielle de taille ( )9 max (9 max)N Ntimes
Les coefficients drsquointeacutegrations de lrsquoensemble des harmoniques drsquoespace
etI II II III III IV IV V VIn n n n n n n n nb a b a b a b a a sont relies les uns aux autres agrave travers ces eacutequations ils
sont obtenus par inversion numeacuterique de ce systegraveme matricielle
11 12 13
21 22 23
32 33 34 35
42 43 44 45
54 55 56 57 58 59
64 65 66 67
76 77 78 79
84 85 86 87 88 89
94 95 96 97 98 99
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0
InIInIIn
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η η η η η ηη η η η
η η η ηη η η η η ηη η η η η η
( )( )( )( )
1 4
0 4
1
0
3
3
(II67)00000
n n
n n
n n
n n
IIInIIInIVnIVnVnVIn
C L RC L
C L R
ababaa
RC L R
ααα
α minus =
minusminusminus
Avec
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
1 1 12 1 135
11 4 4 4 45
10
nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
αη α η α η αα
+ = minus = minus=
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
21 22 230
50 4 0 4 0 4 0 4
5
nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
η α α η α η αα
= minus = minus =
72
( ) ( ) ( ) ( )3 3 332 31 33 1 33 1 34 1 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = minus = =
( ) ( ) ( ) ( )0 3 0 3 042 43 44 3 345 0 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = = = minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( )54 0 2 1 2 2 55 0 2 1 2 2 n n m n n m n n m n n mI R f I R R h m K R f K R R h mη α α η α α= minus = minus +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 156 0 2 57 0 2 58 1 2 1 59 1
21 3
3
1
n
n n m n n m n m nn
mn
R RI R g K R g I R h hI Rη β η β η β η βββ
+minus= minus = = =
( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2 65 1 2 6664 1 2 5 2 6 7 1 2 5 2 n n m n n m n nI R j K R j I R Z Z K R Z Zα η α η βη η β= = minus minus minus minus= =
( ) ( ) ( ) ( )1 1 77 1 1 78 1 2 79 76 1 3 k n m k n m n n m n mnI r l K r l I Ir prOη ββ η β η β ηminus minus= = = =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 284 0 185 1 2 2 86 7 0 1 8 n n n n n n nn n m n mI R R S m K R R S R Rm I q K qα η α η β η βη = = == minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 18 8 1 2 1 0 2 1 189 1 3
32
1 2 1
2
n
nn
n
nn n n
R n S RI R I R IS Rπ
η β β η βββ
+ + = minus
minus minus= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 95 1 2 2 96 1 97 00 1 94 n m n n m n n n m mn nI R R B m K R R B m I R t K R tα η α η η βη β= = = minus=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 3 0 31 1
98 1 2 1 93
9 12
1
1 1 1
22
2 n n
n
nm m
nn
B R nI IRR RBI Rη β
ββ β
βη
π+ minus
minus= minus = minus +
II72 Expression analytique de lrsquoinductance
De la mecircme faccedilon et agrave partir de lrsquoeacutequation (II36) on obtient
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
4 4 3 3
4 4 3 321
4 40 4 4 3
1 62
3
II2 co 68s2
c
6
os
IIn
IIn n n
n nn
n
a R U R R U R
b R V R R V R
J R W R R
NL Z ZS
W RJ
α αα
αmicroπ
ππinfin
=
minus + minus
minus minus
= minussum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1n n n nU r I r L r I r L rα α α α= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1( ) n n n nV r K r L r K r L rα α α α= +
Et ( ) 2 23 512 3
2 2 4n rW r F α =
est la fonction hypergeacuteomeacutetrique [90]
73
II73 Reacutesultats et discussion
Entre le cas avec pastille supraconductrice et le cas sans on a gardeacute les mecircmes valeurs
des paramegravetres geacuteomeacutetriques pour montrer lrsquoeffet de la preacutesence de cette derniegravere sur la valeur
de lrsquoinductance de la bobine Ces valeurs des paramegravetres geacuteomeacutetriques sont reacutesumeacutees dans le
tableau 2
Les solutions analytiques dans toutes les reacutegions sont obtenues en utilisant le mecircme
nombre drsquoharmoniques qui est eacutegale agrave 50 Les valeurs du tableau II2 sont eacutegalement utiliseacutees
pour reacutesoudre le mecircme problegraveme avec la meacutethode des eacuteleacutements finis (FEM) sous COMSOL
afin de valider les reacutesultats obtenus analytiquement Des conditions aux limites identiques agrave
celles utiliseacutees lors de calcul analytique sont employeacutees dans la simulation numeacuterique
Tableau II2 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme avec pastille
Paramegravetre Description valeur
R1 Rayon de la pastille supraconductrice 0015 m
R2 Bord infeacuterieur du domaine dans la direction radial 0030 m
R3 Rayon interne de la bobine 0080 m
R4 Rayon externe de la bobine 0120 m
R5 Bord supeacuterieur du domaine dans la direction radial 0150 m
Z1 Limite inteacuterieure de la bobine 0200 m
Z2 Limite inteacuterieure de lrsquoentrefer 0225 m
Z3 Limite inteacuterieure de la pastille supraconductrice 0230 m
Z4 Limite exteacuterieure de la pastille supraconductrice 0270 m
Z5 Limite exteacuterieure de lrsquoentrefer 0275 m
Z6 Limite exteacuterieure de la bobine 0300 m
Z7 Limite exteacuterieure du domaine dans la direction axiale 0500 m
N Nombre des spires dans la bobine 1000
J Densiteacute de courant eacutelectrique dans la bobine 5 Amm2
Nmax Nombre drsquoharmoniques utiliseacute dans tout le domaine 50
74
La distribution du potentiel vecteur magneacutetique dans toutes les reacutegions drsquointeacuterecircts du
problegraveme eacutetudieacute obtenue avec un calcul analytique et un calcul numeacuterique est repreacutesenteacutee sur
la figure II7 Les composantes radiale Br et axiale Bz du la densiteacute de flux magneacutetique est
ainsi repreacutesenteacutees sur la figure II8 (a) dans la reacutegion III en r = 0055 (b) dans la reacutegion IV
en 00225r = (c) dans la reacutegion V en 00075r = et (d) dans la reacutegion VI en 00075r =
Dans ce cas une veacuteritable concordance peut ecirctre constateacutee entre les deux approches en
srsquoeacuteloignant de la reacutegion de lrsquoentrefer (figure II8 (a)) Un leacuteger deacutecalage subsiste
neacuteanmoins entre les reacutesultats analytiques et numeacuteriques (figure II8 (a)) surtout pour la
composante ZB Ce deacutecalage peut sexpliquer par le nombre limiteacute drsquoharmoniques retenus lors
du deacuteveloppement analytique mais aussi par les erreurs numeacuteriques reacutesultantes de
linversion matricielle lors du calcul des coefficients De mecircme que dans la preacuteceacutedente
section on notera que lutilisation de fonctions de Bessel modifieacutees nrsquoarrange rien puisque
qursquoelle conduit agrave une matrice tregraves mal conditionneacutee lorsque le nombre drsquoharmoniques
consideacutereacute augmente
Figure II7 Distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir du (a) calcul
numeacuterique) et du (b) calcul analytique en preacutesence de la pastille supraconductrice
75
(a) (b)
(c) (d)
Figure II8 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions
(a) III agrave ( )2 3 2r R R= + (b) IV agrave 2 2r R= (c) V agrave 1 2r R= et (d) VI agrave 1 2r R= en
preacutesence de la pastille supraconductrice
La valeur de lrsquoinductance de la bobine obtenue analytiquement agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation
(II68) est la mecircme que celle obtenue numeacuteriquement agrave lrsquoaide de la meacutethode FEM sous
COMSOL cette valeur est eacutegale agrave 0247 H Par ailleurs la valeur de lrsquoinductance en absence
de la pastille supraconductrice est de 0253 H ce qui nous amegravene agrave dire que la pastille a tregraves
peu drsquoinfluence sur la valeur de lrsquoinductance pour le problegraveme eacutetudie (une diffeacuterence de 6)
Ceci reacutesulte du fait que le rayon de la pastille consideacutereacutee dans notre calcul est relativement
petit par rapport au rayon du noyau ferromagneacutetique 15 mm pour le rayon de la pastille
contre 30 mm pour le noyau de fer
76
La figure II9 repreacutesente la variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon
r de la pastille supraconductrice avec 20 r Rlt lt Nous constatons que lrsquoinductance de la
bobine diminue en augmentant la taille de la pastille cette faible diminution est due peut-ecirctre
agrave lrsquointervalle de variation de rayon de la pastille consideacutereacutee Pour 2r Rgt deux reacutegions
drsquointeacuterecirct en plus doit ecirctre consideacuterer dans lrsquoeacutetude preacuteceacutedente et les calculs effectueacutes
deviennent tregraves compliqueacute agrave cause des nombres de variables eacuteleveacutes et par la suite des
problegravemes de convergence pour le calcul analytique sont imposeacutes
Figure II9 Variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
Pour reacutesoudre ce problegraveme un calcul numeacuterique agrave lrsquoaide de la meacutethode FEA sous
COMSOL est effectueacute le rayon de la pastille dans ce cas peut prendre des valeurs
supeacuterieures au rayon du noyau de fer ( )30 r Rlt lt La figure II10 repreacutesente la variation de
lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon de la pastille en utilisant deux types de
circuits circuit ouvert et circuit fermeacute Une diminution remarquable dans la valeur de
lrsquoinductance est constateacutee dans ce cas en fonction du rayon de la pastille supraconductrice
Par ailleurs la valeur de lrsquoinductance trouveacutee pour un circuit fermeacute est supeacuterieure agrave celle
trouveacutee dans le cas drsquoun circuit ouvert
77
Figure II10 variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
supraconductrice dans un circuit fermeacute et dans un circuit ouvert
78
II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique
impulsionnel
Nous reprenons le problegraveme de la figure II1 Une pastille supraconductrice de rayon
11R et de hauteur ( )33 22Z Zminus est placeacutee au centre de la reacutegion de lrsquoentrefer Lexpression
analytique du potentiel vecteur magneacutetique ( ) IVA r z t (eacutequation II22) est utiliseacutee pour
calculer les courants induits agrave linteacuterieur de la pastille supraconductrice La reacutegion drsquointeacuterecirct est
preacutesenteacutee sur la figure II11 avec lrsquoaxe (Oz) est en position verticale
Figure II11 Position de la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du problegraveme
de la figure II1 avec [ ]110r Risin et [ ]22 33z Z Zisin
La densiteacute de courant parcourue dans la reacutegion de la bobine est en fonction du temps
Cette densiteacute de courant est supposeacutee produite par la deacutecharge dune batterie de
condensateurs sous forme
( ) ( ) ( )( ) ( )max exp II66aJ t J t tτ τ= minus
Avec 2max 50 J A mm= et 1msτ =
La densiteacute de courant J induite dans la pastille supraconductrice est calculeacutee agrave lrsquoaide
drsquoun code de calcul deacuteveloppeacute sous MATLAB en utilisant la meacutethode de laquo Brandtraquo
deacuteveloppeacutee en 1998 pour les disques et les cylindres en preacutesence drsquoun champ magneacutetique
axial [99 100]
79
En reacutesumeacute leacutequation suivante doit ecirctre satisfaite
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11 33
22
2 21 10 2 20
I I67
R Z IVcylZ
d J r t d A r tQ r r E J dr dz
dt dtmicro minus minus
= times +
int int
( )2 )r r z= Coordonneacutees de la pastille supraconductrice
cylQ Inteacutegral de Kernel
cylQ est obtenue en inteacutegrant la fonction de Green de lrsquoeacutequation de Laplace agrave 3D en
consideacuterant que le milieu ferromagneacutetique est caracteacuteriseacute par une permeacuteabiliteacute infinie
E(J) donne la relation entre le champ eacutelectrique E et la densiteacute de courant critique J qui
deacutecrive le comportement supraconducteur de la Pastille supraconductrice Dans ce cas E(J)
est deacutefini par le modegravele de la loi en puissance
( ) ( )1
II68n
JEcE J JJc Jc
minus =
Avec 1 CE V cmmicro= 30n = et 2100 cJ A mm=
La reacutesolution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle (II67) est effectueacutee en utilisant les solveurs
disponibles dans MATLAB agrave savoir laquo ode15s raquo et laquo ode23t raquo
Figure II12 Variation de champ magneacutetique appliqueacute et du champ magneacutetique pieacutegeacute sur la
surface de la pastille supraconductrice agrave 0r = et 33z Z=
80
Un calcul numeacuterique est eacutegalement effectueacute afin de valider les reacutesultats obtenus
analytiquement Un modegravele de formulation en H impleacutementeacute sous COMSOL est utiliseacute [41]
ougrave lrsquoeacutequation aux deacuteriveacutees partielles (EDP) suivante doit ecirctre reacutesolue temporellement dans la
pastille supraconductrice
( )( ) ( )0 II0 69H J Ht
micro ρpart+nablatimes nablatimes =
part
Les composants du champ magneacutetique ( )r zH H H= sont choisis comme variables drsquoeacutetat
Le mateacuteriau supraconducteur est modeacuteliseacute par une reacutesistiviteacute non lineacuteaire
( ) ( )1
II70n
C
C C
JEJJ J
ρminus
=
La figure II12 preacutesente la variation en fonction de temps de la densiteacute de flux
magneacutetique appliqueacutee aB et la densiteacute de flux magneacutetique pieacutegeacutee pieacutegeacuteB agrave 0r = e 33z Z=
(figure II7) Une correspondance presque parfaite dans les reacutesultats est observeacutee La valeur
maximale de la densiteacute du flux magneacutetique appliqueacute est environ de 75 T et la valeur de la
densiteacute de flux magneacutetique pieacutegeacute est de 209 T agrave t=10 ms Leacutecart entre les reacutesultats
analytiques et numeacuteriques est infeacuterieur agrave 3 tout au long du processus drsquoaimantation par
PFM
Le traceacute en fonction de temps de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc dans le plan
meacutedian de pastille supraconductrice est preacutesenteacute sur la figure II13 pour diffeacuterentes valeurs du
rayon r avec ( )0479515320r mm=
81
Figure II13 Evolution de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc sur le plan meacutedian de la
pastille supraconductrice agrave ( )0479515320r mm=
Les reacutesultats obtenus analytiquement sont proches de ceux obtenus par COMSOL
Une leacutegegravere diffeacuterence est remarqueacutee en particulier pour r = 0 Cette valeur de r est singuliegravere
et on ne peut pas juger est ce que les reacutesultats obtenus pour cette valeur sont corrects ou non
En revanche la densiteacute de courant sur lrsquoaxe ne contribue pas beaucoup en termes de champ
magneacutetique pieacutegeacute A t = 5 ms la densiteacute de courant dans la pastille supraconductrice est
comprise entre 11 et 15 times Jc
82
II9 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons deacuteveloppeacute un modegravele analytique pour calculer
lrsquoinductance drsquoune bobine circulaire en cuivre de section transversale rectangulaire dans un
circuit ferromagneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie inferieure concentrique avec
la bobine Nous avons montreacute que ce modegravele analytique correspond tregraves bien aux meacutethodes
numeacuteriques avec des erreurs infeacuterieures agrave 10 pour 10 termes harmoniques Nous avons
montreacute aussi que la valeur de lrsquoinductance de la bobine diminue avec lrsquoaugmentation de la
longueur de lrsquoentrefer
Ensuite nous avons proceacutedeacute agrave lrsquoeacutetude de ce mecircme problegraveme en ajoutant une pastille
supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer Nous avons constateacute que la preacutesence de la
pastille supraconductrice dans le circuit ferromagneacutetique a tregraves peu drsquoinfluence sur la valeur
de lrsquoinductance Une diminution de 6 de la valeur de cette derniegravere a eacuteteacute trouveacutee en cas de
preacutesence de pastille supraconductrice Ceci est ducirc agrave la taille de la pastille consideacutereacutee dans
notre calcul qui est relativement petite par rapport agrave la taille du noyau ferromagneacutetique En
effet nous avons trouveacute par un calcul numeacuterique que la valeur de lrsquoinductance de la bobine
diminue en augmentant le rayon de la pastille supraconductrice preacutesente dans la reacutegion de
lrsquoentrefer
Pour le processus drsquoaimantation par la meacutethode PFM les expressions analytiques de
potentiel vecteur magneacutetique trouveacutees dans le cas de circuit sans pastille supraconductrice
sont utiliseacutees pour calculer les courants induits agrave lrsquointeacuterieur drsquoune pastille supraconductrice en
utilisant la meacutethode de Brandt Lrsquoeacutevolution temporelle de la densiteacute de flux magneacutetique
pieacutegeacutee et la densiteacute de courant eacutelectrique montre une excellence correspondance entre les
reacutesultats analytiques et numeacuteriques Une diffeacuterence infeacuterieure agrave 3 est obtenue sur la densiteacute
de flux magneacutetique pieacutegeacute
83
Chapitre 3 Prise en compte de
lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de
leur caracteacuterisation
84
III1 Introduction
Les deux paramegravetres importants qui caracteacuterisent un mateacuteriau supraconducteur massif
sont le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete PB et la densiteacute de courant critique Jc Ces
deux paramegravetres sont lieacutes et deacuteterminent les performances des applications utilisant ces
mateacuteriaux Les meacutethodes de caracteacuterisations deacuteveloppeacutees au laboratoire GREEN sont baseacutees
sur la mesure de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete PB agrave partir de lrsquoaimantation
drsquoune pastille SHTC de type YBCO par champ magneacutetique pulseacute (PFM pour Pulsed Field
Magnetization) La meacutethode PFM consiste agrave appliquer une impulsion de champ magneacutetique
sur cette derniegravere Si ce champ appliqueacute est suivant lrsquoaxe (Oz) (figure III1) des courants
induits vont ecirctre creacuteeacute agrave lrsquointeacuterieur de la pastille et circulent dans le plan (xOy) et par la suite
un champ magneacutetique appeleacute champ magneacutetique pieacutegeacute va ecirctre creacuteeacute suivant lrsquoaxe (Oz) Ce
champ pieacutegeacute est la soustraction du champ magneacutetique mesureacute agrave la surface de la pastille moins
le champ magneacutetique appliqueacute qui est eacutegal au champ magneacutetique en absence de la pastille Le
champ magneacutetique pieacutegeacute ne devrait pas disparaitre apregraves la fin du champ appliqueacute car la
reacutesistiviteacute est nulle dans la pastille supraconductrice Cette meacutethode de caracteacuterisation permet
de deacuteterminer agrave partir de BP la densiteacute de courant critique Jc mais aussi de deacuteterminer la
valeur de lrsquoexposant-n de la loi en puissance
Les meacutethodes de caracteacuterisations preacutesenteacutees au chapitre I utilisent deux pastilles dans
le premier cas et une pastille dans le deuxiegraveme cas La premiegravere meacutethode est plus preacutecise mais
neacutecessite deux pastilles qui sont supposeacutees ecirctre identiques et homogegravenes en termes de Jc Or
linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique Jc est un fait bien connu des experts [53] La
deuxiegraveme meacutethode nrsquoutilise qursquoune pastille et se dispense donc de lrsquoobligation drsquoavoir deux
pastilles identiques Cependant lrsquoinfluence de linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant
critique Jc nrsquoavait pas eacuteteacute prise en compte preacuteceacutedemment Pour prendre en compte
linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique Jc et donc remeacutedier aux deacutefauts de nos
meacutethodes de caracteacuterisation deux axes de recherche ont eacuteteacute exploreacutes Premiegraverement une
eacutetude baseacutee sur la position de la sonde agrave effet Hall dans la meacutethode agrave une pastille a eacuteteacute
reacutealiseacutee Deuxiegravemement une eacutetude des positions respectives du germe de cristallisation des
pastilles dans la meacutethode agrave deux pastilles a eacuteteacute faite
85
Figure III1 Pastille supraconductrice soumis agrave un champ magneacutetique exteacuterieur
III2 Description du banc expeacuterimental
Nous allons preacutesenter dans cette partie le banc expeacuterimental utiliseacute pour lrsquoaimantation
drsquoune pastille SHTC de type YBaCuO Le banc expeacuterimental sert agrave aimanter une pastille
supraconductrice de type YBaCuO en utilisant la meacutethode drsquoaimantation par champ
magneacutetique pulseacute (PFM) et mesurer le champ magneacutetique au milieu des surfaces planes de
cette pastille
III21 Les pastilles SHTC
Les pastilles supraconductrices utiliseacutees sont cylindriques de type YBaCuO posseacutedant
une tempeacuterature critique de 92 k de diamegravetre 311 mm et de hauteur 176 mm Ce type de
mateacuteriau drsquoYBaCuO possegravede une densiteacute de courant critique eacuteleveacutee (gt100 Ammsup2 agrave 77 K) La
figure III2 repreacutesente les deux surfaces des pastilles YBaCuO utiliseacutees (a) surface
supeacuterieure contenant le germe de cristallisation (seed) (b) surface inferieure de la pastille Ces
pastilles sont par nature inhomogegravenes et anisotropes en termes de Jc
(a) (b)
Figure III2 Les deux surfaces de la Pastille SHTC drsquoYBaCuO utiliseacutee pour lrsquoaimantation
x
y
z
O
( )B t
( )B t
86
En geacuteneacuterale la preacuteparation des supraconducteurs YBCO mono domaine par la
meacutethode (TSMG) exige des preacutecurseurs en poudres contenant une distribution uniforme des
composeacutes constituant les phases 2 3 7YBa Cu O δminus (Y-123) et 2 5Y BaCuO (Y-211)Cependant il a
eacuteteacute observeacute que la concentration de particules de Y-211dans le bulk supraconducteur traiteacutee agrave
leacutetat fondu augmente de maniegravere significative avec la distance agrave partir du germe de
cristallisation ce qui entraicircne une deacutegradation des proprieacuteteacutes supraconductrices vers le fond et
le bord de leacutechantillon supraconducteur [109]
Une technique de fabrication des bulk supraconducteurs en YBCO gradueacute baseacutee sur la
concentration de Y-211 utiliseacutee a eacuteteacute deacuteveloppeacutee par un groupe de chercheurs appeleacute laquo the
Cambridge Bulk Superconductivity Groupraquo [109] Trois types de preacutecurseurs en poudres
contenant diffeacuterentes concentrations drsquoY-211 sont disposeacutes en forme U dans une pastille
YBCO en bulk (figure III3) Le but de cette technique est drsquoameacuteliorer les proprieacuteteacutes
supraconductrices du mateacuteriau fabriqueacute
Pour la modeacutelisation de ces pastilles celles-ci peuvent ecirctre diviseacutees en deux ou trois
reacutegions en forme U chaque reacutegion eacutetant caracteacuteriseacutee par son propre Jc0 [109] (Figure III3)
Figure III3 Modegravele drsquoune pastille SHTC gradueacutee en YBCO proposeacutee pour la modeacutelisation
numeacuterique
III22 Le circuit drsquoaimantation
Lrsquoaimantation des pastilles SHTC neacutecessaire agrave la caracteacuterisation est faite par un
magneacutetiseur agrave impulsion (Impulse Magnetizer k-serie) [105] (figure III4)
Les caracteacuteristiques techniques de ce magneacutetiseur sont
- Puissance de stockage de 10kWs
- Capacitance de 5mF
87
- Tension de charge maximale de 2 kV et un courant de 25 kA
Figure III4 Magneacutetiseur agrave impulsion K-serie utiliseacute pour aimanter la pastille
Lrsquoinducteur produisant le champ magneacutetique pour aimanter la pastille
supraconductrice est une bobine agrave fil de Litz de 127 cm de longueur et de 65 cm de diamegravetre
externe ce type de bobines sont adapteacutees au transport des courants eacutelectrique agrave haute
freacutequence et produit un champ magneacutetique axial plus en moins homogegravene dans son centre
dont lequel on met la pastille pour lrsquoaimantation Un Oscilloscope est utiliseacute pour faire la
mesure du champ magneacutetique et le courant de deacutecharge produit par le magneacutetiseur Une
bobine de Rogowski est employeacutee pour mesurer le courant de deacutecharge Rappelons que la
bobine de Rogowski est un systegraveme eacutelectrotechnique servant agrave mesurer le courant alternatif
ou les impulsions de courant agrave grande vitesse [107] Elle se compose
dun enroulement heacutelicoiumldal de fil dont le fil dune extreacutemiteacute revient par le centre de
lenroulement agrave lautre extreacutemiteacute de sorte que les deux bornes sont agrave la mecircme extreacutemiteacute de
lenroulement La bobine est positionneacutee autour du conducteur dont on veut connaicirctre le
courant La figure III3 montre une photo du circuit eacutelectrique utiliseacute pour lrsquoaimantation
Le champ magneacutetique ( )aB t geacuteneacutereacute par la bobine est appliqueacute parallegravelement suivant
lrsquoaxe ( )Oz de la pastille cylindrique Ce champ est caracteacuteriseacute par une vitesse de monteacute bV
drsquoenviron 3125 Ts et une valeur maximale ( )maxaB drsquoenviron 32 Tesla (Figure III7) Une
diffeacuterence de potentiel de 600 V est choisie sur les bornes du magneacutetiseur pour avoir cette
valeur de champ appliqueacute
88
Figure III5 Circuit eacutelectrique de magneacutetisation
Figure III6 Repreacutesentation du dispositif expeacuterimentation du processus drsquoaimantation utiliseacute
89
Figure III7 Impulsion de champ magneacutetique appliqueacute sur la pastille SHTC
III23 Instrumentation
La mesure de champ magneacutetique sur les deux surfaces de la pastille drsquoYBCO se fait agrave
lrsquoaide des deux sondes agrave effet Hall de type HHP-NP adapteacutees aux basses tempeacuteratures
(figure III8) Chaque sonde agrave effet Hall comprend quatre fils deux pour les courants et deux
pour les signaux de tension Les geacuteneacuterateurs de courant illustreacutes sur la figure III5 alimentent
les sondes agrave effet Hall La distance entre la partie active de la sonde et la surface de la pastille
est drsquoenviron 05mm Cette distance est due agrave lrsquoencapsulage de la sonde Ces sondes mesurent
le champ magneacutetique suivant lrsquoaxe (Oz)
Figure III8 Sonde agrave effet Hall de type HHP-NP
90
Les caracteacuteristiques des deux sondes agrave effet Hall utiliseacutees sont donneacutees par le
fabricant (Tableau III1)
Tableau III1 Caracteacuteristiques des sondes agrave effet Hall
Paramegravetre Uniteacute Sonde 2003 (77K) Surface au-dessus
Sonde 468 (77K) Surface su dessous
Courant nominal In mA 20 20
Courant maximum mA 30 20
Sensibiliteacute agrave In TV 1356 946
Tension de deacutecalage agrave In Vmicro 58 lt -40
Reacutesistance drsquoentreacutee Ω 23 41
Reacutesistance de sortie Ω 78 18
Reacutegion de dimension efficace mm 0500 x 01 05 x 01
Dimensions globale mm 5 x 7 x 1 5 x 7 x 1
Les sondes agrave effet Hall sont placeacutees au centre des surfaces planes des pastilles et donc
perpendiculaires au champ magneacutetique appliqueacute (Figure III9)
Lrsquoensemble bobine pastille SHTC et sondes agrave effet Hall sont immergeacutees dans lrsquoazote
liquide agrave une tempeacuterature de 77 K
Lrsquoimpulsion de champ magneacutetique creacuteeacute par la bobine appliqueacutee sur la pastille SHTC
refroidie est lrsquoimage de lrsquoimpulsion de courant eacutelectrique creacuteeacute par le magneacutetiseur Les
mesures de champ magneacutetique et de courant eacutelectrique seront prises agrave lrsquooscilloscope
Figure III9 Positions des sondes agrave effet Hall sur les deux surfaces de la pastille SHTC
91
III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTC
III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hall
Le calcul de la densiteacute de courant critique Jc se fait agrave partir du champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete BP Le calcul de BP est fait agrave partir de la mesure du champ magneacutetique agrave
lrsquoaide des sondes agrave effet Hall En fait nous pouvons mesurer le champ magneacutetique sur lrsquoaxe
(Oz) de la pastille uniquement en deux positions
- Position 1 Au centre de la surface de base supeacuterieure (pregraves du germe de cristallisation
(seed))
- Position 2 Au centre de la surface inferieure de la pastille
La figure III10 repreacutesente les reacutesultats de mesure du champ magneacutetique MB au centre
des deux surfaces de la pastille SHTC (a) Position 1 (b) Position 2 Le champ magneacutetique
MB est mesureacute agrave une distance 05d mm= des deux surfaces de la pastille La diffeacuterence
( ) ( ) 05a MB t B t d mmminus = preacutesente le champ magneacutetique produit par le courant eacutelectrique
induit dans la pastille nommeacute ( )ZSCB t d Ce champ atteint une valeur maximum nommeacute
BZSCM
Agrave partir des figures III10a et III10b on constate que le champ magneacutetique mesureacute aux
positions 1 et 2 ne varie pas de la mecircme faccedilon
92
(a)
(b)
Figure III10 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer au
(a) position1 (b) position 2
93
La figure III11 preacutesente les mecircmes mesures de la figure III10 avec une eacutechelle de
temps reacuteduite Nous remarquons que le temps de peacuteneacutetration complegravete de champ magneacutetique
dans le cas de la position 1 est supeacuterieur agrave celui dans le cas de la position 2 Ainsi la reacutegion
laquo seed raquo est caracteacuteriseacutee par un champ magneacutetique induit supeacuterieur agrave celui de la reacutegion de la
surface opposeacutee (position 2)
(a)
(b)
Figure III11 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer avec une
eacutechelle de temps reacuteduite (a) position1 (b) position 2
94
III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de la
pastille
Le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP peut ecirctre deacuteduit agrave partir de
lrsquoeacutequation I34 en connaissant la valeur de BZSCM Le rapport BZSCBBPB dans lrsquoeacutequation I34
est en fonction seulement des paramegravetres geacuteomeacutetriques R et L de la pastille Ainsi le champ
magneacutetique de peacuteneacutetration de Bean BPB est calculeacute agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I29 en prenant
n=50 Une fois le champ BPB est calculeacute et agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 on peut deacuteterminer la
valeur de la densiteacute de courant critique Jc
Les valeurs de temps de peacuteneacutetration tP de champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute
BPM du max de champ magneacutetique produit par le courant eacutelectrique induit dans la pastille
BZSCM ainsi la valeur de la densiteacute de courant critique obtenues au centre des deux surfaces de
la pastille eacutequivalent aux positions 1 et 2 sont reacutesumeacutees dans le tableau III2
Tableau III2 Valeurs de la densiteacute de courant critique calculeacute agrave une distance de 05 mm au-dessus du
centre des deux surfaces de la pastille SHTC
Position 1 Position 2
tP (10-4s) 75 36
BPM(T) 23 13
BZSCM 192 139
Jc (Amm2) 201 145
Drsquoapregraves les reacutesultats de tableau III2 nous constatons que la densiteacute de courant critique
nrsquoest pas constante sur toute la pastille SHTC elle varie drsquoune reacutegion agrave lrsquoautre Cette
inhomogeacuteneacuteiteacute est due agrave la technique de fabrication utiliseacutee pour ce type de pastille SHTC
III33 Simulations numeacuteriques
Pour modeacuteliser le comportement eacutelectromagneacutetique de la pastille SHTC utiliseacutee dans
nos mesures et par la suite valider la meacutethode utiliseacutee pour calculer la densiteacute de courant
critique agrave partir de la mesure de champ magneacutetique une approximation macroscopique est
proposeacutee Le principe expliqueacute preacuteceacutedemment est de diviser la pastille en trois reacutegions
principales reacutegion supeacuterieure reacutegion centrale et reacutegion inferieure (figure III3) Chaque
95
reacutegion est caracteacuteriseacutee par sa propre densiteacute de courant critique Jc0 Lrsquoimpulsion de champ
magneacutetique appliqueacute sur la pastille est la mecircme que dans la figure III7
La simulation numeacuterique srsquoest faite agrave lrsquoaide du logiciel COMSOL Un calcul
numeacuterique en 2D-axisymeacutetrique est utiliseacute ougrave la formulation en H en coordonneacutees
cylindriques est employeacutee Lrsquoeacutequation de Maxwell suivante doit ecirctre reacutesolue en systegraveme de
coordonneacutees cylindrique
( )0 0 1IIHt
IEmicro part+nablatimes =
part
( ) 2E H IIIρ= nablatimes
Les champs magneacutetique et eacutelectrique ont respectivement deux composantes radiale et
longitudinale [ ]0r zH H H et une transversale [ ]0 0E E
( )0 30 rH E It
IIz
micro part partminus =
part part
( )0 4zH E Et r r
IIImicro part part+ = minus
part part
Le champ eacutelectrique E est donneacute en modegravele de la loi en puissance deacutefini en chapitre I
La densiteacute de courant eacutelectrique est donneacutee agrave partir de lrsquoexpression diffeacuterentielle suivante
( ) 5r z IIHz r
IHJ part part= minus
part part
Le milieu supraconducteur est repreacutesenteacute par une modeacutelisation ( )CJ B selon la loi empirique
suivante
( ) ( )0
0
1
6C iC IIIJJ B
BB
β= +
Avec JC0i est la densiteacute de courant critique de la reacutegion i (i=1 2 3) en absence de toute champ
magneacutetique externe et B0 est une constante deacutependante du mateacuteriau On choisit ici de prendre
0 01B = et 05β = pour les trois reacutegions de la pastille [109]
Nous avons fait varier Jc0i pour chaque reacutegion en suivant la mecircme meacutethode expliqueacutee
preacuteceacutedemment dans la partie expeacuterimentale pour calculer la densiteacute de courant critique
96
moyenne sur les deux surfaces des deux pastilles jusqursquoagrave retrouver les reacutesultats proches de
ceux trouveacute expeacuterimentalement (tableau III2)
Puisque la meacutethode PFM est employeacutee dans notre problegraveme ougrave le champ magneacutetique appliqueacute
est fonction de temps donc la simulation est faite en reacutegime temporel
Le temps maximal de lrsquoimpulsion choisie pour cette simulation max 5msτ = afin de minimiser
la dureacutee de calcul
Les valeurs de JC0i optimales trouveacutees sont mentionneacutees dans le tableau III3
Tableau III3 valeurs de JC0i optimiseacutees pour les trois reacutegions de la pastille
Reacutegion I Reacutegion II Reacutegion III
JC0i (Amm2) 680 1400 435
Lrsquoeacutevolution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure de la pastille est preacutesenteacutee sur la
figure III12 avec un pas de temps eacutegale agrave max 6τ Nous remarquons que le champ magneacutetique
peacutenegravetre progressivement agrave partir de la surface lateacuterale vers lrsquointeacuterieure de la pastille Cette
peacuteneacutetration atteint sa valeur maximale agrave la fin de lrsquoaimantation Le champ magneacutetique
peacuteneacutetrant est moins important coteacute seed
97
Figure III12 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur de la
pastille SHTC
98
La figure III13 repreacutesente les reacutesultats des modeacutelisations numeacuteriques de champ
magneacutetique MB au-dessus de centre des deux surfaces de la pastille SHTC agrave une distance
e=05mm (a) Position 1 et (b) position 2
(a)
(b)
Figure III13 Modeacutelisation numeacuterique du champ magneacutetique sur le centre de la surface
drsquoune pastille (a) Position 1 (b) Position 2
99
Figure III14 La phase de monteacute des graphes de mesures numeacuterique et expeacuterimentale de
champ magneacutetique au-dessus des deux surfaces de la pastille
Une premiegravere comparaison entre les graphes obtenus expeacuterimentalement (figure III9)
et par le calcul numeacuterique (figure III13) pour les deux pastilles montrent que ces graphes sont
proches seulement pendant la phase de monteacutee (la phase la plus inteacuteressante pour deacuteterminer
Jc) (figure III14) Cependant durant la phase de descente de ces graphes nous remarquons
que les graphes obtenus expeacuterimentalement sont totalement diffeacuterents de ceux obtenus
numeacuteriquement Cela srsquoexpliquerait par des pheacutenomegravenes thermiques dus aux pertes creacuteeacutees par
les diffeacuterents courants induits pendant la phase de monteacutee et la phase de descente de
lrsquoimpulsion de champ appliqueacute durant lrsquoexpeacuterience que nous nrsquoavons pas pris en
consideacuteration en simulation
III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux
pastilles
Dans cette partie nous allons mesurer la densiteacute de courant critique drsquoun ensemble de
deux pastilles supposeacutees identiques Le point de mesure srsquoeffectuera entre les deux pastilles agrave
lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet Hall Les deux pastilles sont seacutepareacutees par une distance laquo e raquo qui
preacutesente lrsquoeacutepaisseur de la sonde Afin drsquoeacutetudier lrsquoinfluence de la position des germes dans
cette meacutethode de caracteacuterisation trois configurations sont prises en consideacuteration en fonction
de la position du germe de cristallisation dans les deux pastilles utiliseacutees (figure III15)
100
(a) (b) (c)
Figure III15 Configurations utiliseacutees pour le calcul de Jc entre les deux pastilles
La figure III16 preacutesente les reacutesultats de mesure de champ magneacutetique prises entre les
deux pastilles SHTC pour les trois configurations illustreacutees dans la figure III15 On constate
ici que le temps de peacuteneacutetration complegravete varie drsquoune configuration agrave lrsquoautre (voir tableau
III4) Le champ magneacutetique prend plus de temps pour peacuteneacutetrer agrave lrsquointeacuterieure et entre les
pastilles agrave travers les seeds
Tableau III4 les valeurs de temps de peacuteneacutetration complegravete et champ magneacutetique de
peacuteneacutetration eacutequivalent mesureacutes pour les trois configurations
Configuration (a) Configuration (b) Configuration (c)
tP (10-3 s) 093 132 14
BPM (T) 257 302 31
101
(a)
(b)
(c)
Figure III16 Mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC pour les
configurations (a) (b) et (c)
102
Pour comprendre les pheacutenomegravenes observeacutes des simulations numegraveriques ont eacuteteacute
reacutealiseacutees Les mecircmes eacutetapes de simulation numeacuterique expliqueacutes preacuteceacutedemment dans le cas
drsquoune seule pastille sont utiliseacutees ici La figure III17 repreacutesente lrsquoeacutevolution de la distribution
du champ magneacutetique agrave lrsquointerieur des deux pastilles SHTC pour les trois configurations
illustreacutees dans la figure III15 Les mecircmes valeurs de Jcoi sont utiliseacutees aussi pour la deuxiegraveme
pastille Lrsquoeacutetude de lrsquoeacutevolution de champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur et entre les deux pastilles
est faite agrave un pas de temps eacutegale agrave max 3t τ=
Nous remarquons que le champ magneacutetique peacutenegravetre progressivement agrave lrsquointeacuterieure des
deux pastilles cette peacuteneacutetration est plus rapide dans le cas de la configuration (a) et moins
rapide dans le cas de la configuration (c)
103
Figure III17 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure des
deux pastilles pour les trois configurations (a) (b) et (c)
104
Afin de prendre en consideacuteration lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall utiliseacutee dans la
mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC utiliseacutees dans notre mesure nous
avons fait appel agrave la relation (I32) pour calculer le champ magneacutetique de peacuteneacutetration
complegravete BP Ce champ est neacutecessaire pour le calcul de la densiteacute de courant critique JC entre
les deux pastilles
Rappelons que la relation I32 est valable seulement pour R=10 mm R eacutetant le rayon
de la pastille utiliseacutee Par contre les deux pastilles que nous avons utiliseacutees ont un rayon
R=156 mm Pour trouver une nouvelle relation entre le champ de peacuteneacutetration mesureacute BPM et
le champ de peacuteneacutetration complegravete BP une simulation numeacuterique similaire agrave celle expliqueacutees
dans le paragraphe I5212 du chapitre I est effectueacutee en utilisant deux pastilles SHTC de
rayon R=1555 mm pour chacune ces deux pastilles sont seacutepareacutees par un entrefer e=1mm Cet
entrefer preacutesente lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall Les reacutesultats de mesure sont preacutesenteacutes
sur la figure III18
Figure III18 Rapport BPMBP en fonction de longueur L de la pastille SHTC pour
R=156mm
Donc drsquoapregraves la figure III18 la relation liant BPM et BP pour les deux pastilles utiliseacutees dons
nos mesures deacutepend seulement de la hauteur des deux pastilles et elle est donneacutee par
( ) ( ) ( 156 ) 0031 ln 0 777 PM
P
B R mm ILB
II= = times +
Les valeurs de champ de peacuteneacutetration mesureacute BPM pour les trois configurations eacutetudieacutees sont
mentionneacutees dans le tableau III4 Une fois la valeur de champ de peacuteneacutetration complegravete
deacutetermineacutee agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation III7 et agrave partir de lrsquoeacutequation I29 nous calculons la valeur
105
de champ de peacuteneacutetration de Bean BPB Enfin la densiteacute de courant critique JC entre les deux
pastilles SHTC est calculeacutee agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 Les valeurs de Jc entre les deux
pastilles pour les trois configurations de la figure III15 sont mentionneacutees dans le tableau III5
Tableau III5 Valeur de la densiteacute de courant critique entre les deux pastilles SHTC drsquoYBCO
utiliseacutees dans nos expeacuteriences
Configuration (a) Configuration (b) Configuration (c)
Jc (Amm2) 1317 1548 1589
Drsquoapregraves le tableau III5 nous remarquons que la valeur moyenne de la densiteacute de
courant eacutelectrique critique entre les deux pastilles est infeacuterieure agrave celle drsquoune pastille seule
Cette diminution est due peut-ecirctre agrave la diminution des courants eacutelectriques induits reacutesultants
entre les deux surfaces opposeacutees La configuration (b) est caracteacuteriseacutee par une densiteacute
eacutelectrique critique plus eacuteleveacutee agrave celle de la configuration (a) et moins eacuteleveacutee agrave celle de la
configuration (c) agrave cause de la preacutesence des germes de cristallisations (seed) en face agrave face
pour la configuration (c)
III5 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences pour lrsquoaimantation drsquoune pastille
SHTC de type YBaCuO par la meacutethode PFM dans le but de veacuterifier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute de cette
pastille en termes de densiteacute de courant critique Agrave lrsquoaide des sondes agrave effet Hall nous avons
mesureacute le champ magneacutetique au milieu des deux surfaces planes de la pastille dans le but de
calculer la densiteacute de courant critique agrave ces endroits Dans toutes les mesures il existe une
distance drsquoenviron 05 mm entre la partie active de la sonde et la surface de la pastille ce qui
doit ecirctre pris en compte dans les calculs de Jc Nous avons remarqueacute que la surface qui
contient le germe de cristallisation est caracteacuteriseacutee par une densiteacute de courant plus eacuteleveacutee que
lrsquoautre surface Cette inhomogeacuteneacuteiteacute est due agrave la technique de fabrication utiliseacutee pour ce type
de pastille SHTC Ensuite et sur la base des reacutesultats obtenus expeacuterimentalement nous avons
proposeacute un modegravele numeacuterique pour deacutecrire la morphologie de la pastille SHTC utiliseacute dans
nos mesures en divisant cette pastille en trois reacutegions en forme U concentriques reacutegion
supeacuterieure reacutegion centrale et reacutegion inferieure Chaque reacutegion est caracteacuteriseacutee par sa propre
densiteacute de courant critique JC0
106
Ensuite pour eacutetudier lrsquoinfluence de la position du germe de cristallisation dans la
meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles nous avons calculeacute la densiteacute de courant critique
entre deux pastilles SHTC supposeacutees identiques et seacutepareacutees par une distance e = 1mm agrave lrsquoaide
de la mesure de champ magneacutetique dans cette reacutegion Trois configurations ont eacuteteacute prises en
consideacuteration en fonction de la position du germe de cristallisation Les reacutesultats obtenus
montrent une diminution de la densiteacute de courant critique par rapport agrave une seule pastille agrave
cause de la diminution des courants induits reacutesultants entre les deux surfaces opposeacutees La
configuration qui contient les deux surfaces de laquo seed raquo est toujours caracteacuteriseacutee par une Jc
plus eacuteleveacutee que le reste des configurations eacutetudieacutees Donc nous conseillions que lors de
lrsquointeacutegration des pastilles SHTC pareilles dans des machines eacutelectriques il faut prendre en
consideacuteration la position de ces pastilles par rapport agrave leurs germes de cristallisations
107
Conclusion geacuteneacuterale et perspectives
108
Le travail meneacute dans cette thegravese intituleacutee laquo modeacutelisation et caracteacuterisation des
mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique raquo a eacuteteacute reacutealiseacute en cotutelle dans le
cadre drsquoun projet PHC-Tassili entre le laboratoire GREEN de lrsquouniversiteacute de Lorraine et le
laboratoire LESI de lrsquouniversiteacute Djilali Bounaama de Khemis Miliana
Dans la premiegravere partie de cette recherche nous avons pu deacutevelopper un modegravele
analytique qui a pour but de calculer lrsquoinductance de lrsquoensemble composeacute drsquoune bobine
inductrice circulaire de section transversale rectangulaire dans un circuit ferromagneacutetique
ouvert muni drsquoun entrefer concentrique avec la bobine Ce modegravele est baseacute sur la
deacutetermination de potentiel vecteur magneacutetique agrave partir de la reacutesolution des eacutequations de
Laplace et de Poisson dans les diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecirct du circuit en utilisant la meacutethode
de seacuteparation des variables La reacutesolution analytique srsquoest effectueacutee agrave lrsquoaide drsquoun code de
calcul deacuteveloppeacute sous MATLAB Une simulation numeacuterique est eacutegalement effectueacutee afin de
valider les reacutesultats analytiques Au deacutebut le calcul se fait en absence de tout mateacuteriau
supraconducteur dans le circuit ferromagneacutetique puis nous avons eacutetudieacute le cas de preacutesence
drsquoune pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer pour montrer lrsquoinfluence de cette
derniegravere sur la valeur de lrsquoinductance de lrsquoinducteur Nous avons montreacute pour les deux cas
que les meacutethodes analytiques correspondent tregraves bien avec les meacutethodes numeacuteriques avec des
erreurs inferieures agrave 1 pour un nombre de termes harmonique eacutegale agrave 50 et avec un
avantage aux meacutethodes analytiques en termes de temps de calcul Aussi les meacutethodes
analytiques sont peu exigeantes sur la meacutemoire de calculateur Nous avons montreacute aussi agrave
travers ce modegravele que lrsquoinfluence de la taille de la pastille supraconductrice sur la valeur de
lrsquoinductance obtenue peut servir agrave dimensionner lrsquoinducteur de systegraveme drsquoaimantation par la
meacutethode PFM Ainsi les reacutesultats obtenus montrent que cette eacutetape de modeacutelisation est tregraves
inteacuteressante dans la phase de conception des machines supraconductrices utilisant les
mateacuteriaux supraconducteurs massifs
Dans la partie caracteacuterisation le but eacutetait drsquoeacutetudier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute drsquoune pastille
supraconductrice agrave haute tempeacuterature critique de type YBaCuO en termes de densiteacute de
courant critique Pour cela et suite aux travaux de caracteacuterisations reacutealiseacutes au niveau du
laboratoire GREEN nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences de lrsquoaimantation des pastilles SHTC
de type YBaCuO par la meacutethode PFM Les reacutesultats obtenus montrent que la surface
contenant le germe de cristallisation de la pastille est caracteacuteriseacutee par une densiteacute de courant
critique plus eacuteleveacutee que lrsquoautre surface et cela ducirc agrave la meacutethode drsquoeacutelaboration de ce genre des
pastilles Ensuite nous avons proceacutedeacute agrave la caracteacuterisation de deux pastilles SHTC identiques
109
seacutepareacutees par une distance de 1mm et calculeacute la densiteacute de courant critique de ces deux
pastilles La position de germe de cristallisation drsquoune pastille par rapport agrave lrsquoautre influence
directement la valeur de Jc
Comme perspective agrave ce travail nous envisageons de confronter le modegravele analytique
deacuteveloppeacute durant de travail sur un systegraveme physique reacuteel contenant un circuit magneacutetique
fermeacute comme par exemple un transformateur avec une bobine contenant une pastille
supraconductrice De plus nous envisageons drsquoeacutetablir un modegravele analytique standard en
prenant en consideacuteration lrsquoinfluence de lrsquoeffet thermique afin de deacuteterminer les proprieacuteteacutes
caracteacuteristiques des pastilles supraconductrices agrave partir des reacutesultats obtenus lors des
expeacuteriences de caracteacuterisations par la meacutethode PFM reacutealiseacutees durant cette thegravese
110
Liste des illustrations graphiques
et tableaux
111
Figure I1 Reacutesistiviteacute eacutelectrique de mercure agrave basse tempeacuteraturehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8
Figure I2 Historique des deacutecouvertes de la tempeacuterature critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11
Figure I3 Etat noraml et supraconducteur drsquoun meacutetal en fonction de la tempeacuteraturehellip 12
Figure I4 Repreacutesentation de champ magneacutetique induit en fonction du champ
magneacutetique appliqueacute pur les supraconducteurs de type Ihelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
13
Figure I5 Repreacutesentation graphique (a) des diffeacuterentes eacutetats des supraconducteurs de
type II et (b) du champ magneacutetique induit en fonction du champ
magneacutetique appliqueacute pour les supraconducteurs de type IIhelliphelliphelliphelliphellip
14
Figure I6 Reacuteseaux vortex dans un mateacuteriau supraconducteur de type IIhelliphelliphelliphelliphellip 15
Figure I7 Densiteacute de courant intergrain et intragrain dans un mateacuteriau
supraconducteur helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
16
Figure I 8 Microstructure drsquoun mateacuteriau Supraconducteur agrave Haute Tempeacuterature
critique (SHTC) de formule chimique 2 3 7YBa Cu O δminus helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
17
Figure I9 Surface critique et ordre de grandeur des paramegravetres critique de quelques
mateacuteriaux Supraconducteurshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
18
Figure I10 Diffeacuterentes formes des SHTC a) pastille YBaCuO en massifs b)
YBaCuO en monocouche c) tubes de BSCCOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
19
Figure I11 Traitement thermique pour la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO par la
technique TSMGhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
21
Figure I12 Structure cristalline tridimensionnelle de lrsquoYBa2Cu3O7-δ helliphelliphelliphelliphelliphellip 22
Figure I13 Repreacutesentation de structure (a) orthorhombique et (b) quadratique de la
maille eacuteleacutementaire du compos YBa2Cu3O7-δhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
23
Figure I14 Variation des paramegravetres de reacuteseau a b et c par rapport au deacuteficit en
oxygegravene δ helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
23
Figure I15 Repreacutesentation de la tempeacuterature critique en fonction du deacuteficit en
oxygegravene dans la structure YBaCuOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
24
Figure I16 Structure cristalline de MgB2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25
Figure I17 Distribution de B J E dans un cylindre supraconducteur soumis agrave un
champ magneacutetique parallegravele agrave son axehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
29
112
Figure I18 Comparaison entre la caracteacuteristique E(J) correspond au modegravele de Bean
(courbe rouge) et au modegravele de loi en puissance (courbe verte) avec celle
obtenue expeacuterimentalement (courbe bleu) pour un rubanhelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
Figure I19 Aimantation par refroidissement sous champ magneacutetique (Field Cooling
FC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
33
Figure I20 Aimantation par refroidissement hors champ magneacutetique (Zero Field
Cooling ZFC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
34
Figure I21 Aimantation par un champ impulsionnel (pulsed field magnetization
PFM)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
35
Figure I22 Scheacutema eacutelectrique simplifieacute du circuit utiliseacute pour aimanter les
supraconducteurs massifshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
35
Figure I23 Variation temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour laimantation par
la meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
36
Figure 24 Scheacutema repreacutesentatif de la meacutethode eacutelectrique pour deacuteterminer la densiteacute de
courant eacutelectrique Jc drsquoun mateacuteriau supraconducteurhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
37
Figure I25 Pastille supraconductrice massive de forme cylindrique soumise agrave un
champ magneacutetique appliqueacute axialementhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
38
Figure I26 Variation du champ magneacutetique en fonction du temps Ba est le champ
appliqueacute sur la pastille et B0 repreacutesente le champ magneacutetique mesureacute au
centre de la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
39
Figure I27 Position de sonde agrave effet Hall entre deux pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphellip 40
Figure I28 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesureacute entre deux
pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
40
Figure I29 Repreacutesentation du champ magneacutetique appliqueacute et le champ magneacutetique
mesureacute entre deux pastilles SHTC en fonction de temps en utilisant a)
une bobine supraconductrice pour geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee
b) une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer une vitesse de monteacutee
eacuteleveacutee
42
Figure I30 Rapport PPMB B en fonction de longueur L de la pastille SHTChelliphelliphellip 43
113
Figure I31 Position de sonde agrave effet Hall au centre de surface de la pastillehelliphelliphelliphellip 44
Figure I32 Distribution de la densiteacute de courant JJc dans la pastille SHTC pour trois
valeur de vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacutehelliphelliphelliphelliphelliphellip
45
Figure I33 Calcul numeacuterique de BP au centre de la pastille et BZSCM au-dessus du centre de surface de la pastille agrave d = 05mmhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
46
Figure I34 Comparaison entre le calcul numeacuterique ZSCB PBB B et le calcul analytique
ZSCM PB B helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
47
Figure II1 Geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute un circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie infeacuterieur de longueur 3 2 e Z Z= minus concentrique
avec une bobine de longueur 4 1L Z Z= minus helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
51
Figure II2 Maillages du circuit ferromagneacutetique avec entrefer eacutetudieacute par COMSOLhellip 62
Figure II3 Comparaison des distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave
partir du calcul analytique (a) et du calcul numeacuterique (b) avec le traceacute
des lignes de champ magneacutetiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
62
Figure II4 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions (a) III en ( )1 2 2r R R= + et (b) IV en 1 2r R= helliphelliphelliphelliphelliphellip
63
Figure II5 Comparaison des valeurs de lrsquoinductance de la bobine en fonction de la
longueur de lrsquoentrefer obtenues numeacuteriquement avec celles obtenues
analytiquement pour les diffeacuterentes valeurs de nombres des harmoniques
variant entre 1 et 50helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
64
Figure II6 Circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer de longueur e dans lequel se
trouve une pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
65
Figure II7 Distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir du (a)
calcul numeacuterique) et du (b) calcul analytique en preacutesence de la
pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
74
Figure II8 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans la reacutegion III en ( )2 3 2r R R= + (a) et dans la reacutegion IV en 1 2r R= (b) en
preacutesence de la pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
75
Figure II9 Repreacutesentation de lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon de la
pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
76
114
Figure II10 Variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
supraconductrice dans un circuit fermeacute et dans un circuit ouverthelliphelliphelliphellip
77
Figure II11 Position de la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du problegraveme de la figure II1 avec [ ]110r Risin et [ ]22 33z Z Zisin helliphelliphelliphelliphelliphellip
78
Figure II12 Variation de champ magneacutetique appliqueacute et du champ magneacutetique pieacutegeacute sur la surface de la pastille supraconductrice agrave 0r = et 33z Z= helliphellip
79
Figure II13 Evolution de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc sur le plan meacutedian de la pastille supraconductrice agrave ( )0479515320r mm= helliphelliphelliphelliphelliphellip
81
Figure III1 Pastille supraconductrice soumis agrave un champ magneacutetique exteacuterieurhelliphelliphellip 85
Figure III2 Les deux surfaces de la Pastille SHTC drsquoYBaCuO utiliseacutee pour
lrsquoaimantationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
85
Figure III3 Modegravele drsquoune pastille SHTC gradueacutee en YBCO proposeacutee pour la
modeacutelisation numeacuteriquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
86
Figure III4 Magneacutetiseur agrave impulsion K-serie utiliseacute pour aimanter la pastillehelliphelliphellip 87
Figure III5 Circuit eacutelectrique de magneacutetisationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88
Figure III6 Repreacutesentation du dispositif expeacuterimentation du processus
drsquoaimantation utiliseacutehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
88
Figure III7 Impulsion de champ magneacutetique appliqueacute sur la pastille SHTChelliphelliphelliphellip 89
Figure III8 Sonde agrave effet Hall de type HHP-NPhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 89
Figure III9 Positions des sondes agrave effet Hall sur les deux surfaces de la pastille
SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
90
Figure III10 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer au (a)
position1 (b) position 2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
92
Figure III11 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer avec une
eacutechelle de temps reacuteduite (a) position1 (b) position 2helliphelliphelliphelliphelliphellip
93
Figure III12 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur de la
pastille SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
97
115
Figure III13 Modeacutelisation numeacuterique du champ magneacutetique sur le centre de la
surface drsquoune pastille (a) Position 1 (b) Position 2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
98
Figure III14 La phase de monteacute des graphes de mesures numeacuterique et expeacuterimentale
de champ magneacutetique au-dessus des deux surfaces de la pastillehelliphelliphellip
99
Figure III15 Configurations utiliseacutees pour le calcul de Jc entre les deux pastilleshelliphellip 100
Figure III16 Mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC pour les
configurations (a) (b) et (c)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
101
FigIII17 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure des deux
pastilles pour les trois configurations (a) (b) et (c)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
103
Figure III18 Rapport PM PB B en fonction de longueur L de la pastille SHTC pour R=156mmhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
104
Tableau I1 Tempeacuterature critique de quelques mateacuteriaux supraconducteurshelliphelliphelliphellip 12
Tableau II1 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme sans
pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
61
Tableau II2 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme avec
pastillehelliphelliphellip
73
Tableau III1 Caracteacuteristiques des sondes agrave effet Hallhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 90
Tableau III2 Valeurs de la densiteacute de courant critique calculeacute agrave une distance de
05mm au-dessus du centre des deux surfaces de la pastille SHTC helliphellip
94
Tableau III3 Valeurs de JC0i optimiseacutees pour les trois reacutegions de la pastillehelliphelliphelliphellip 96
Tableau III4 Les valeurs de temps de peacuteneacutetration complegravete et champ magneacutetique de
peacuteneacutetration eacutequivalent mesureacutes pour les trois configurationshelliphelliphelliphellip
100
Tableau III5 Valeur de la densiteacute de courant critique entre les deux pastilles SHTC
drsquoYBCO utiliseacutees dans nos expeacuteriences helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
105
116
Reacutefeacuterences
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Elektrotechnik 1 141-150 (1912) [108] httpsiopscienceioporgarticle1010881478-781491305 [109] J Zou M D Ainsli D Hu W Zhai N D Kumar J H Durrell Y H Shi and D A
Cardwell Numerical simulation and analysis of single grain YBCO processed from graded precursor powders Supercond Sci Technol 28 9pp (2015) 035016
124
Annexes
125
Annexe I reacutesolution des eacutequations de Laplace et de Poisson
1- Cas drsquoun circuit ouvert avec entrefer sans pastille supraconductrice
1-1 reacutegion I 3 4R r Rlt lt et 50 z Zlt lt
( )2 2
22 2 2
10 0 1I I I II
A A A AAr r r r z
part part partnabla = rArr + minus + =
part part part
En utilisant la meacutethode de seacuteparation des variables on met ( ) ( ) ( )I I IA r z R r Z z=
lrsquoeacutequation (1) srsquoeacutecrit donc sous forme
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 0 1 I I I I I I I II I I I
I I I
R R R Z R RZ Z Rr r r r z R r R r r r Z
Z Zz
λpart part part part part part+ minus + = rArr + minus = minus =
part part part part part part
Il existe donc deux eacutequations lieacutees agrave la constante Iλ
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 2
1 0 3
II I
I II I
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = part
part part + minus + = part part
1-1-1 Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (2) srsquoeacutecrit sous forme 2 0I IZ λ+ =
Le discriminant I∆ de cette eacutequation est donneacute par 4I Iλ∆ =
Trois cas sont possible pour I∆
1er cas 0 0I Iλ∆ = rArr =
Pour ce cas la solution de lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (2) est donneacutee par
( )I I IZ z A z B= +
En tenant en compte les conditions aux limites consideacutereacutees pour cette reacutegion on trouve
( )0 et 0 0I I IA B Z z= = rArr = Cette fonction ne nous inteacuteresse plus et 0Iλ = nrsquoest plus une
valeur propre de notre problegraveme
2egraveme cas 0 0I Iλ∆ gt rArr lt
On pose 2I Iλ β= minus soit 24I Iβ∆ = minus et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) I Iz zI I IZ z A e B eβ βminus= +
En tenant en compte les conditions aux limites
126
( )0 0I I IZ z A B= = rArr = minus
( ) ( ) ( )5 55 50 0 2 sinh 0I IZ Z
I I I IZ z Z A e e A Zβ β βminus= = rArr minus = rArr = Comme 0Iβ ne ceci nrsquoest
possible que pour 0IA = et donc 0IB =
La solution ( ) 0IZ z = ne nous inteacuteresse plus et 0Iλ lt aussi ne sont plus des valeurs propre de
ce problegraveme
3egraveme cas 0 0I Iλ∆ lt rArr gt
On pose 2I Iλ α= soit ( )24I Iiα∆ = et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) ( ) ( )cos sinI I I I IZ z A z B zα α= +
En tenant en compte les conditions aux limites
( )0 0 0I IZ z A= = rArr =
( ) ( )5 50 sin 0I I IZ z Z B Zα= = rArr = Cela nrsquoest possible que si 5
InnZπα = pour 1 0B gt avec
n=1 2 3hellip par conseacutequent 2
5In
nZπλ
=
sont les valeurs propres du problegraveme aux limites
Les fonctions propres associeacutees aux valeurs Inλ sont
( ) ( )sinI In InZ z B zα= Avec5
InnZπα =
112 Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Les valeurs propres Inλ sont maintenant connues Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle agrave reacutesoudre dans ce
cas ( ( )2
2 2 22 1 0I I
I IR Rr r r Rr r
αpart part+ minus + =
part part) est une eacutequation de Bessel modifieacutee
On effectue le changement de variable Inr rα= Lrsquoeacutequation alors srsquoeacutecrit
( )2
2 22 1 0I I
IR Rr r r Rr r
part part+ minus + =
part part
Les solutions de cette eacutequation de Bessel modifieacutees sont alors
( ) ( ) ( )1In In n In I nR r C I r D K rα α= +
La forme du potentiel vecteur magneacutetique dans la reacutegion I est donneacutee par
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 11
I In nI n n n
nIA a I r b K r sin zr z R r Z z α α α
infin
=
= += sum
Utilisant la condition aux limites4
( ) 0r R
rAr =
part=
part le potentiel A srsquoeacutecrit
127
( ) ( )( ) ( ) ( )0
101
nIn n n
n nI
K rb K r sin zA
rr
Iz
αα α
α
infin
=
+ =
sum
5n
nZπα = Avec
1-2 Reacutegion II 2 3 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre ici est une eacutequation de Laplace
2 2
02 2 2
1 ( ) (4)II II II IIA A A A J zr r r r z
micropart part part+ minus + = minus
part part part
Avec ( ) 1 4
0J pour Z z Z
J zAilleur
lt lt=
1-2-2 Reacutesolution de lrsquoeacutequation de Laplace sans second membre
En utilisant la meacutethode de seacuteparation des variables ( ) ( ) ( )II II IIA r z R r Z z= times deux
eacutequations en r et en z sont agrave reacutesoudre
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 5
1 0 6
IIII II
II IIII II
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = part
part part + minus + = part part
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de (5) srsquoeacutecrit par 2 0II IIZ λ+ = ou le discriminant II∆ de cette
eacutequation est donneacute par 4II IIλ∆ = minus
1er cas 0 0II IIλ∆ = rArr =
En suivant les mecircmes eacutetapes de la reacutesolution deacutecrit preacuteceacutedemment on trouve que
cette valeur de 0IIλ = nrsquoest pas une valeur propre du problegraveme
2egraveme cas 0 0II IIλ∆ gt rArr lt
On trouve aussi que 0IIλ lt ne sont plus aussi des valeurs propres de ce problegraveme
3egraveme cas 0 0II IIλ∆ lt rArr gt On pose 2II IIλ α= soit ( )24II IIiα∆ =
La solution srsquoeacutecrit comme ( ) ( ) ( )cos sinII II II II IIZ z A z B zα α= +
En tenant en compte les conditions aux limites agrave 0z = et 5z Z=
( )0 0 0II IIZ z A= = rArr =
128
( ) ( )5 55
0 sin 0I II II IIn nnZ z Z B ZZπα α α= = rArr = rArr = = Avec n=1 2 3hellip Donc IInλ sont les
valeurs propres du problegraveme Les fonctions propres associeacutees aux valeurs IInλ sont
( ) ( )sinII IIn nZ z B zα= Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Les valeurs propres pour dans cette reacutegion sont maintenant connues donc on peut
reacutesoudre lrsquoeacutequation (6) (eacutequation de Bessel modifieacutee) suivant la variable r
En effectuant changement de variables IInr rα= les fonctions solution de cette eacutequation sont
alors
( ) ( ) ( )1 1IIn IIn n IIn nR r C I r D K rα α= +
Deacutetermination des solutions de lrsquoeacutequation avec second membre
On effectue la transformeacutee de Fourier de la densiteacute de courant eacutelectrique sur la base des
fonctions solutions de lrsquoeacutequation homogegravene en z soit
( ) ( )1
sinIIn nn
J z J zαinfin
=
=sum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )25
1
1 25 50
2 2 2sin sin cos cosZ Z
IIn nZ
n n nJ JJ J z z dz z dz Z Z
Z Z nα α α α
π= = = minusint int
A partir de lrsquoeacutequation (4) on peut eacutecrire
( )2 2
2 2 202 2 sin II II II
II II II II II IIn nR A Zr Z rZ R Z r R rr r z
J zαmicropart part part+ minus + = minus
part part part
On remplace ( )IIZ z par son expression dans cette eacutequation (avec nr rα= ) on trouve
( )2
2 2 2 2 02 1 II II IIn
n IIIIn
R Ar r r R rr r
JBmicroαpart part
+ minus + = minuspart part
Cette eacutequation srsquoeacutecrit sous forme
( )( )
1
2 2 2 1 4Γ 1 2
r
r L r L r L
υ
υ υ υ π υ
+ + minus + =
+
Dont les fonctions de Struve sont solutions de cette eacutequation [hellip]
Pour 1ν = les fonctions solutions de cette eacutequation srsquoeacutecrivent sous forme
( ) ( ) ( ) ( )0 21 0 12 2Γ 3 2
2n IIn
II n nn n IIn
J JR r L r L rB B
micro ππ α micro αα α
= minus = minus
Drsquoougrave
129
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11
1 sinII IIII II II n n n I n n n
nnLA r z R r Z z a I r b K r C zrαα α α
infin
=
= = + minussum
Avec 0 22 etII II
n IIn II n IIn IIIIn
nna C B b D B C Jπmicro
α= = =
1-3 Reacutegion III 1 2R r Rlt lt et 50 z Zlt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre ici est une eacutequation de Poisson
( )2 2
2 2 2
1 0 7III III III IIIA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
La solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation (7) est obtenue en suivant les mecircmes eacutetapes de la
reacutesolution pour la reacutegion I avec des conditions aux limites imposeacutees agrave z=0 et z= Z5 de type
Dirichlet 5( 0 ) 0 et ( ) 0III IIIA r z A r z Z= = = =
La forme geacuteneacuterale du potentiel vecteur magneacutetique obtenue est donc
( ) ( ) ( )( ) ( )1 11
III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Avec 5
nnZπα =
1-4 reacutegion IV 10 r Rlt lt et 2 3Z z Zlt lt
( )2 2
2 2 2
1 0 8IV IV IV IVA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites consideacutereacutees ici sont de types Neumann
2 3
( ) ( )0 et 0IV IV
z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
En appliquant la meacutethode de seacuteparation de variables ( ) ( ) ( )IV IV IVA r z R r Z z= times l eacutequation (8) srsquoeacutecrit sous forme
2 2
2 2 2
11 1 1 1IV IV IVIV
IV IV IV
R RR r R r r r
ZZ z
λpart part part+ minus = minus =
part part part
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 9
1 0 11
IVIV IV
IV IVIV IV
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = partrArr
part part + minus + = part part
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
130
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (10) srsquoeacutecrit sous forme 2 0IV IVZ λ+ =
4IV IVλ∆ =
1er cas 0 0IV IVλ∆ = rArr =
La solution est donneacutee sous forme ( )IV IV IVZ z A z B= +
En tenant en compte les conditions aux limites
bull 2 2
( ) ( )0 0 0IV IVIV
z Z z Z
A r z Z r z Az z= =
part part= rArr = rArr =
part part
bull 3 3
( ) ( )0 0IV IV
z Z z Z
A r z Z r zz z= =
part part= rArr =
part part Cette condition ne nous apprend rien sur
Par conseacutequent 0 0IV IVλ λ= = est une valeur propre simple de problegraveme et ( )0 0IVZ z B= est
une fonction propre simple ( 0B est une constante arbitraire)
2egraveme cas 0 0IV IVλ∆ gt rArr lt
Pour ce cas on trouve que les valeurs de 0IVλ lt ne sont pas des valeurs propre de ce
problegraveme
3egraveme cas 0 0IV IVλ∆ lt rArr gt
On pose 2IV IVλ β= soit ( )24IV IViβ∆ = et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) ( ) ( )cos sinIV IV IV IV IVZ z A z B zβ β= +
En tenant en compte les conditions aux limites
bull ( )( )
2 2
2
2
sin( ) ( )0 0cos
IVIV IVIV IV
z Z z Z IV
ZA r z Z r z B Az z Z
ββ= =
part part= rArr = rArr =
part part
bull ( )( )3 3
3 23 2
( ) ( )0 0 sin 0IV IVIV IV
z Z z Z
A r z Z r z kZ Zz z Z Z
πβ β= =
part part= rArr = rArr minus = rArr =
part part minus
bull Donc 2
3 2IV
kZ Z
πλ
= minus sont des valeurs propres du problegraveme et la fonction associeacutee
aux ces valeurs est
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2
22
sincos sin cos
cosIV
IV IV IV IV k IVIV
ZZ z A z z C z Z
Zβ
β β ββ
= + = minus
IVB
131
Avec ( )2cos
IVk
IV
ACZβ
=
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Deux cas sont possibles pour les valeurs de IVkλ 1er cas 0IVλ =
( )2
22 011 IV IV
IVR Rr r Rr r
part part+ minus =
part partrArr Equation drsquoEuler dont la solution est donneacutee sous forme
( ) 10 0IV IV IVR r C r D rminus= +
En appliquant la condition aux limites dans ce cas ( )0 0IVA r z= = on trouve 0 0IVD =
2egraveme cas 0IVλ gt
Lrsquoeacutequation (11) est devenue une eacutequation diffeacuterentielle de Bessel modifieacutee sa solutions est
donneacutee donc par
( ) ( ) ( )1IVk IVk k IVk I kR r C I r D K rβ β= +
En appliquant la condition aux limites ( )0 0IVA r z= = on trouve 0IVkD =
Donc la forme geacuteneacuterale du potentiel vecteur magneacutetique dans cette reacutegion est donneacutee par
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )00 11 21
0 cos IV IV IV IV V k kIV
IVk
A r z R r Z z R A r a Ir Z z z Zrβ βinfin
=
= + + minus= sum
132
Annexe II Condition de passage agrave lrsquointerface entre les reacutegions III et IV agrave r =R1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ] ( )
1 1
2
2 3
3 5
1 1 2 3
0 0
1
0
2
III IV
r R r R
IV III
pour Z ZrA rA
pour Z Z Zr r
pour Z Z Z
A r R Z A r R Z pour Z Z Z
= =
lt lt part part = lt lt part part
lt lt = = = isin
Commenccedilons la premiegravere condition
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
1 2 1
3
0
1 sin sinZ Z
kI
kZ
II IV
r R r R
rA rz
Ar r
dz z dzα α= =
rArrpart
=partpart partint int
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
5
3 3
2 2
0 10
0
0 1
0 2
sin sin
32 sin cos sin
k
k k
ZIII IIIn n n n n n
Z ZIVk k k k
Z Z
a I R b K R z z dz
A z dz a I r Z Z z dz
α α α α α
α β β β α
minus =
+ minus
rArrint
int int
On a
bull ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )5 5
0 0
sin sin cos2
cosZ Z
nn n n nk k kz z dz z z dzαα α α α α α α+= minusminusint int
( )( ) ( )( )5 51 1sin si
2n sin
n nk kk
nn
kkn
Z Zα α α α α α αα α α α
minus + ne minus +minus
=
On remplace α par son expression on trouve
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )5
0
1 1sin sin sin sin si2
Z
n knnz z dz n k n k
n kn k
knα α πα π π π
minus + ne
minus
minus +=int
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 12 2
1 11 sin 1 s s2
in in n n kk k
n nk kn kn n
π π+ + + = ne minus +
=
minusminus
minus
Pour n=m
( ) ( ) ( )( )5 5
05
0
1sin sin co 22 2 2
sZ Z
n nn n nkz z nZz d z dzα αα α α α π
= minus ==int int
133
Donc ( ) ( )( ) ( )5
21
2 2
0
1 sinsin sin
si
si2
k
nZ
n n
n kk
n n
nn
k
kz z dz
π
πα α α
+ neminus
=
minus=
int
bull ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3
2
0 1 1 1 1 2 311 3 2
2 12 sin cos cosZ
III IIIn n n n n
nkZk k kA z dz m a I R b K R Z Z
R Z Zα α α α α
α
infin
=
= + minus minus
sumint
bull ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 2cos sin sin sin2
Z Zk
k k kk k kZ Z
kZ Z z dz z z Z z z Z dzββ β α α β α βminus = + minus + minus minusint int
( )( ) ( )( )3
2
2 2sin sin2 k k
Zk
k k k kZ
z Z z Z dzβ α β β α β β= + minus + minus +int
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
2 2 3 2
2 2 3 2
1 cos cos
12 cos cos
k k k kkk
k
k k k kk
k kk
k
k kk
Z Z Z Zsi
Z Z Z Z
α β β α β βα ββ α β
α β β α β βα β
+ minus minus + minus + = ne + minus + minus minus + minus
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
2 3 3 2
2 3 3 2
1 cos cos
12 cos cos
k kk
k kk
kkk
kk
Z Z Z Z
Z Z Z Z
α α βα ββ
α α βα β
minus + minus + = + minus minus minus minus
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 3 3 2 3 3 2
2 3 3 2 3 3 2
1 cos cos cos sin sin
12 cos cos cos sin sin
k kkk
k kk
k k kk
k k kk
Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z
α α β α βα ββ
α α β α βα β
minus minus minus minus + + minus minus + minus minus
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
12 3
12 3
1 cos 1 cos
12 cos 1 cos
kk k
kk
kk
k
kk
k
Z Z
Z Z
α αα ββ
α αα β
+
+
+ minus + + + minus minus
=
( ) ( ) ( )( )2 21
2 3cos 1 cos sikkk
kk k k
kk
Z Zα β α α α βα β
++ minus ne=minus
Pour kkα β=
( )( ) ( ) ( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 2cos sin sin 2 sin2
Z Zk
k k k k kZ Z
kZ Z z dz z Z Z dzββ β α β β βminus = minus +int int
( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 2 2 2 3 3 21sin cos cos
2 2k
k k k kk
Z Z Z Z Z Z Zβ β β β ββ
= minus + minus + minus
134
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )13 2 2 2 3
1sin cos 1 cos2 2
kkk k k
k
Z Z Z Z Zβ β β ββ
+ = minus + minus minus
( ) ( ) ( ) ( )( )12 2 3
1sin cos 1 cos2 4
kk k k
k Z Z Zπ β β β+= + + minus
Donc
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
3
2
2
13
2
2
22 1
3
2
cospour
1 coscos sin
cos1sin pour2 4 1 cos
kkk kkZ
k kk k
Z kk k kk
k
k
k
k
Z
ZZ Z z dz
Zk ZZ
αα β α βα β α
β β αβπ β α β
β
+
+
+ ne
minus minus = +
+ = minus
minus
int
En conclusion
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2 2
0
21
2 2
0 1 0 1
1 1 1 1 2 311 3 2
12 3
2 2
si1 sin
2 1 cos cos
cos 1 cos si
1s
1si
2
in cos 12 4
n
III IIIn n n n
III IIIn n n n n
nk k
k
k
k
kkk k k k
IV kk k
kk k
n kna I R b K R
m a I R b K R Z ZR Z Z
Z Za I
n k
rk Z
kn n
Z
k
πα α
α α α αα
α β α α α βα ββπ β β
π
+
infin
=
+
neminusrArr
=
minus
minusminus
= + minus minus
+ minus ne+
+ + minus
sum
( )( )13cos sik k kZβ α β+
=
On met
( ) ( )( )2 3cos cos1k k k
k
Zm Zα
α αminus=
( )( ) 12 1 32n k n kh m Zm R Z
minusminus=
( ) ( )2
12
2 si
si
1 s n
2
in k
n n kk
kf
n
nn
n k
π
π
+minus
ne
minus==
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 3
12 2 3
2 2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
k kkk k k k
k
kk k k k k
kn k
Z Z
k Z Zg
Z
α β α α α βα βπ β β β α β
+
+
minus + minus ne= + + minus =
On trouve
135
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
1 1 0 1 1 1
10
0 1
1
0III IIIn n k n n k n n n k n n k n
IVk n k k
a h I R f I R b h K R f K R
a g I R
α α α α
β
minus + + = +
rArr
Pour la deuxiegraveme condition
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3 3
2 2
1 2 1 2 cos co2 sZ Z
IV k III kZ Z
A r R Z z Z dz A r R Z z Z dzβ β= minus = = minusrArr int int
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
3 3
2 2
3
2
20 1 2 1 1 2
1
1 1 21
cos cos
cos
Z ZIV
k kkZ Z
ZIII IIIn n n n
k k
n kn Z
A R z Z dz a I R z Z dz
a I r b K r sin z z Z dz
β β
α α α β
βinfin
=
infin
=
minus + minus
= +
rArr
minus
sumint int
sum int
On a
bull ( )( ) ( ) ( )( )3
2
2 3 2 2 21cos sin sin 0
Z
k k kkZ
z Z dz Z Z Z Zβ β ββ
minus = minus minus minus =int
bull ( )( ) ( )( )( ) ( )3 3
2 2
22 2 3 2
1 1cos 1 cos 22 2
Z Z
k kZ Z
z Z dz z Z dz Z Zβ βminus = + minus = minusint int
bull ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 21sin cos sin sin2
Z Z
n k n k n kZ Z
z z Z d z z z Z z z Z d zα β α β α βminus = + minus + minus minusint int
( )( ) ( )( )3
2
2 21 sin sin2
Z
n k k n k kZ
z Z z Z dzα β β α β β= + minus + minus +int
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
2 2 3 2
2 2 3 2
1 cos cos1 si
12 cos cos
n k k n k kn k
n k
n k k n k kn k
Z Z Z Z
Z Z Z Z
α β β α β βα β
α βα β β α β β
α β
+ minus minus + minus + = ne + minus + minus minus + minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 3 2 31 1 1cos cos cos cos2 n n n n
n k n k
Z Z k Z Z kα α π α α πα β α β
= minus + + minus minus + minus
( ) ( ) ( )( )12 3
1 1 1cos 1 cos2
kn n
n k n k
Z Zα αα β α β
+ = + minus + + minus
( ) ( ) ( )( )12 3 2 2
21 cos 1 cos si2
k nn n n k
n k
Z Z αα α α βα β
+ = + minus ne minus
Pour n kα β=
136
( ) ( )( ) ( ) ( )3 3
2 2
2 2 21sin cos sin 2 sin2
Z Z
n k k k kZ Z
z z Z dz z Z Z dzα β β β βminus = minus +int int
( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 2 2 2 3 21 1sin cos 2 cos 22 2k k k k k
k
Z Z Z Z Z Z Zβ β β β ββ
= minus + minus minus minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )13 2 2 2 3
1 1sin cos 1 cos2 4
kk k k
k
Z Z Z Z Zβ β ββ
+= minus + + minus
En conclusion
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 3 2
12 3 2 2
1
113 2 2 2 3
21 cos 1 cos si 21 1sin cos 1
2
co4
1
s2
IV
k nIII n n n kn n n k
IIIkn n
k k k kk
k
n
ka I R Z Z
Z Za I r
b K r Z Z Z Z Z si
αα α α βα α βα
β β β α ββ
β
+
+
minus
+ minus ne minus = + minus + + minus =
rArr
En multipliant les deux coteacute de cette eacutequation par kβ on trouve
( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1
12 32 2
1 11
2 2 3
2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
IV
kn kn n n k
III III n kn n n n
kk k k k
k k
n
ka I R
Z Za I r b K r
k Z Z Z
π
α β α α α βα βα απ β β β α
β
β
+
+
+ minus ne minus= +
rArr
+ + minus =
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 02
III III IVn n k n n n k kk n
ka g I r b g K r a I Rπα βαrArr + minus =
137
Annexe III Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
En appliquant les conditions de continuiteacutes du potentiel vecteur magneacutetique aux interfaces
entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave r=R2 et entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI agrave r= R1
( ) ( ) [ ] ( )
( )( ) [ ]
[ ]( ) [ ]
( )
2 2 2 5
1 2 3
1 3 4
1 4 5
Pour 1
Pour
0 Pour 2
Pour
IV III
V
IV
VI
A r R z A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
= = = isin
= isin
= = isin = isin
Par inteacutegration de ces deux eacutequations par rapport agrave z sur lrsquointervalle [ ]2 5Z Z on trouve
( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
5 5 5
2 2 2
5
2 2
1 2 1 201 221
1 111 2 1 2 1 2
1 101 121
11 1 1 1
cos sin
cos
IV IIIZ Z Zn n n
nIV IIIn nZ Z Zn n n
IVZ Zn
IVZ Zn
nn
n
nn
n
a I R a I RA Rdz z Z dz z dz
A R b K R b K R
a I RA Rdz z Z dz
A R b K R
β αβ α
β α
ββ
β
infin infin
minus= =
minus
+ minus = + + +
+ minus + +
sum sumint int int
int( ) ( )( )
( ) ( )( )4
3
5
52
1 2 1
1 3 1 3 4
1
1
2 2
1
c
s
s
in
on
ZVIn n n
n Z
ZV
n nn Z
n
a I R z
a I R z Z dz
Z dz
β β
β βinfin
infin =
= infin
=
minus
minus
= +
sum
sumint
int
intsum
( )( )( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 2101 2 11 2 5 2 2 5
1 1 2
1101 1 11 1 5 2 1 2 1
13
321 1
1 cos cos
1 1 1
IIIn n
n nIIIn nn n
nVn
n n
VIn n n
n
a I RA R A R Z Z Z Z
b K R
A R A R Z Z a RR a II
αα α
α
βββ
β
α
infinminus
=
infin+minus
=
+ minus = minus + rArr
+ minus = minus +
sum
sum
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )1
1 22 201 2 11 2 5
15 2 1 2
12 101 1 11 1 2 3
21
5 31
1 2
1 co
1 1
s cos
1
IIIn n
n nI
VIn
IIn n n n
nVn n
n nn
n
a I
a I RRA R A Z ZZ Z b K R
RA R A a I RZ Z
Rββ
αα α
α α
ββ
infin
=
infin+
=
+ = minus minus + rArr
+ = minus + minus
sum
sum
( ) ( )( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1
1 2 12
0 1 1 2 1 21
1 2111 1 2 1 01
1 3 13
1 3 15 2 3
11 2
1
1 1
1
1
n
VIn n
n
VIn n
nV
nIII III nn n n n n
n
nVn n
n n n
a I R
a I R
a I RA a I R b K R h q
RA a I R A RZ Z
β
ββ
ββ
βα α
ββ
+
infin
=
infin+
=
minus = + minus +rArr = minus + minus minus
sum
sum
138
Avec
( )2
2 22 1
n nRh m
R R e=
minus ( ) ( )( )2 5cos co1 s n nn
n
Z Zmα
α α= minus ( )
12 2
2 1
RqR R e
=minus
et 5 2e Z Z= minus
139
Reacutesumeacute
Lrsquoobjectif de ce travail de thegravese est drsquooptimiser le processus drsquoaimantation des
pastilles supraconductrices agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) par un champ magneacutetique
impulsionnel ou PFM (Pulsed Field Magnetization) afin de les mettre en œuvre dans des
applications dans le domaine de lrsquoeacutelectrotechnique Dans lrsquoeacutetape de conception de lrsquoinducteur
neacutecessaire pour magneacutetiser ces pastilles SHTC la modeacutelisation et la simulation sont
fortement recommandeacutees pour effectuer les calculs neacutecessaires des diffeacuterentes caracteacuteristiques
eacutelectriques du systegraveme drsquoaimantation De ce fait nous avons deacuteveloppeacute un modegravele analytique
pour eacutetudier lrsquoinfluence de la preacutesence drsquoune pastille supraconductrice dans un circuit
ferromagneacutetique sur la valeur de lrsquoinductance drsquoune bobine inductrice Il srsquoagit de reacutesoudre les
eacutequations de Laplace et de Poisson dans diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecirct agrave travers le potentiel
vecteur magneacutetique La reacutesolution analytique a eacuteteacute effectueacutee agrave lrsquoaide drsquoun code de calcul
deacuteveloppeacute sous MATLAB ougrave les reacutesultats obtenus ont eacuteteacute en bonne concordances avec ceux
obtenus par simulation numeacuterique sous COMSOL
Lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC de type YBaCuO en termes de la densiteacute de
courant critique Jc a eacuteteacute eacutegalement eacutetudieacutee Pour cela nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences de
lrsquoaimantation des ces pastilles par la meacutethode PFM Nous avons montreacute que la surface plane
contenant le germe de cristallisation (seed) de ces pastilles est caracteacuteriseacutee par une Jc plus
eacuteleveacutee que lrsquoautre surface Ainsi nous avons eacutetudieacute lrsquoinfluence de la position du germe de
cristallisation dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles
Mots cleacutes Supraconducteur modeacutelisation analytique inductance aimantation champ
magneacutetique impulsionnel caracteacuterisation
140
Abstract
The aim of this thesis is to optimize the process of magnetization of superconducting
pellets at high critical temperature (SHTC) by pulsed field magnetization (PFM) in order to
use them in applications in the field of electrical engineering In the design phase of the
inductor necessary to magnetize these SHTC pellets modeling and simulation are strongly
recommended to perform the necessary calculations of the various electrical characteristics of
the magnetization system Therefore we have developed an analytical model to study the
influence of the presence of a superconducting bulk on the value of the inductance of an
induction coil in a ferromagnetic circuit The aim is to solve the Laplace and Poisson
equations in different regions of interest through the magnetic vector potential The analytical
resolution was performed (carried out) using a computer code developed under MATLAB
where the results obtained were in good agreement with those obtained by numerical
simulation under COMSOL
The inhomogeneity of YBaCuO type SHTC pellets in terms of critical current density
Jc was also investigated To do this we carried out experiments on the magnetization of these
bulks by the PFM method We have shown that the flat surface containing the crystallization
germ (seed) of these pellets is characterized by a higher Jc than the other surface Also we
studied the influence of the position of the seed crystallization in the two-pellet
characterization method
Key words Superconductor analytical modeling inductance magnetization pulsed
magnetic field characterization
141
ملخص
عالية حرجة حرارة درجة ذات التوصيل فائقة المواد مغنطة عملية تحسين هو العمل هذه من الهدف )SHTC (نبضي أو ما يعرف بطريقة مغناطيسي حقل طريق عنPFM في تطبيقات في استعمالها أجل من
حرارة درجة ذات التوصيل فائقة الاقراص لمغنطة المطلوب المحث تصميم مرحلة في الكهربائية الهندسة مجال لنظام المختلفة الكهربائية للخصائص اللازمة الحسابات لإجراء والمحاكاة بالنمذجة بشدة يوصى عالية حرجة
لوشيعة الذاتية قيمة على التوصيل فائق قرص وجود تأثير لدراسة تحليلي نموذج بتطوير قمنا لذلك المغنطةداخل الدارة مختلفة مناطق في وبواسون لابلاس معادلات حل هو الهدف حديدية مغناطيسية موجودة داخل دارة
تطويره تم برنامج باستخدام التحليلي الحل إجراء تم الشعاع المغناطيسي كمون خلال حساب من المغناطيسية تم التي تلك مع متوافقة الى حد كبير عليها الحصول تم التي النتائج كانت حيث MATLAB باستعمال الكود
COMSOL بموجب العددية المحاكاة خلال من عليها الحصول
نوع عالية من حرجة حرارة درجة التوصيل ذات فائقة أقرص تجانس عدم دراسة لقد تم أيضا YBaCuO باستخدام الأقراص هاته مغنطة من أجل تجارب أجرينا بذلك للقيام الحرج التيار كثافة حيث من
هاته الأقراص تبلور بذرة على يحتوي الذي المستوي السطح أن بينا من خلال هاته الدراسة لقد PFM طريقة في التبلور بذرة موضع تأثير درسنا وايضا الآخر السطح مرتفعة بالمقارنة مع Jc حرج تيار بكثافة يتميز
باستخدام قرصين متطابقين التوصيف طريقة
فائق الناقلية النمذجة التحليلية الذاتية المغنطة الحقل المغناطيسي النبضي التوصيف الكلمات الدالة
- Caracteacuterisation et modeacutelisation des mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
-
- Avant propos
- Table des matiegraveres
-
- Introduction geacuteneacuterale
- Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoart
-
- I1 Historique de la supraconductiviteacute
- I2 Grandeurs caracteacuteristiques des Supraconducteurs
-
- I21 Tempeacuterature critique
- I22 Champ magneacutetique critique
-
- I221 Supraconducteurs Type I
- I222 Supraconducteurs Type II
-
- I23 Densiteacute de courant critique JC
- I24 Surface critique
-
- I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
-
- I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
-
- I311Supraconducteur YBa2Cu3O7-δ
-
- a- Preacutesentation
- b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuO
- c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuO
-
- I32 Supraconducteur MgB2
-
- a- Preacutesentation
- b- Structure cristalline de MgB2
- c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2
-
- I4 Modegraveles des supraconducteurs
-
- I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)
-
- I411 Preacutesentation du modegravele
- I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long notion de peacuteneacutetration complegravete
-
- I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)
- I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et n
-
- I5 Meacutethodes drsquoaimantation
-
- I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)
- I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC)
- I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization (PFM)
-
- I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTC
-
- I51 Meacutethode eacutelectrique
- I52 Meacutethode magneacutetique
-
- I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastille
-
- I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur le champ de peacuteneacutetration
- I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de lrsquoexposant-n et Jc
-
- I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille
-
- I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et BP
-
- I6 Objectifs de la thegravese
-
- Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
-
- II1 Introduction
- II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveses
- II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetique
-
- II31 Reacutegion I R3ltrltR4 et 0ltzltZ5
- II32 Reacutegion II R2ltrltR3 et 0ltzltZ5
- II33 Reacutegion III R1ltrltR2 et 0ltzltZ5
- II34 Reacutegion IV 0ltrltR1 et Z2ltzltZ3
- II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0
-
- II4 Conditions de passages entres interfaces
-
- II41 Condition drsquointerface agrave r=R3
- II42 Condition drsquointerface agrave r=R2
- II43 Condition drsquointerface agrave r=R1
-
- II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobine
- II6 Reacutesultats analytiques et discussion
- II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
-
- II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
- II72 Conditions de passages entres interfaces
-
- II721 Interface agrave r = R4
- II722 Interface agrave r = R3
- II723 Interface agrave r = R2
- II724 Interface agrave r = R1
-
- II72 Expression analytique de lrsquoinductance
- II73 Reacutesultats et discussion
-
- II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique impulsionnel
- II9 Conclusion
-
- Chapitre 3 Prise en compte de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de leur caracteacuterisation
-
- III1 Introduction
- III2 Description du banc expeacuterimental
-
- III21 Les pastilles SHTC
- III22 Le circuit drsquoaimantation
- III23 Instrumentation
-
- III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTC
-
- III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hall
- III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de la pastille
- III33 Simulations numeacuteriques
-
- III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles
- III5 Conclusion
-
- Conclusion geacuteneacuterale et perspectives
- Liste des illustrations graphiques et tableaux
- Reacutefeacuterences
- Annexes
-
- Annexe I reacutesolution des eacutequations de Laplace et de Poisson
- Annexe II Condition de passage agrave lrsquointerface entre les reacutegions III et IV agrave r =R1
- Annexe III Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
-
Thegravese en cotutelle Ecole Doctorale IAEM-Lorraine
et Universiteacute de Laghouat
Preacutesenteacutee et soutenue publiquement pour lrsquoobtention du titre de
DOCTEUR DE lrsquoUNIVERSITE DE LORRAINE Mention laquo Geacutenie eacutelectrique raquo
Et
DOCTEUR DE lrsquoUNIVERSITE AMAR TELIDJI DE LAGHOUAT Mention laquo Physique des mateacuteriaux raquo
par Mohamed ELBAA
Caracteacuterisation et modeacutelisation des mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute
tempeacuterature critique
Soutenance publique le 21122020 Membres du jury Preacutesident et Rapporteur M Ibn Khaldoun LEFKAIER Professeur Universiteacute de Laghouat
Examinateurs Mme Afef KEDOUS-LEBOUC Directrice de recherche CNRS G2Elab
M Mohamed SIDOUMOU Professeur Universiteacute de Blida
M Keacutevin BERGER Maitre de confeacuterences Universiteacute de Lorraine
M Bruno DOUINE Professeur Universiteacute de Lorraine (Directeur de thegravese)
M Mohamed HALIT Professeur Universiteacute de Laghouat (Directeur de thegravese)
M El-Hadj AILAM Professeur Universiteacute de Khemis Miliana (Co-directeur de thegravese)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- GREEN Groupe de Recherche en Energie Electrique de Nancy Faculteacute des Sciences
amp Techniques BP 239 54506 Vandœuvre-legraves-Nancy Cedex France LPM Laboratoire de Physique des mateacuteriaux universiteacute Amar TELIDJI route de
Ghardaiumla BP G37 (Mrsquokam) 03000 Laghouat Algeacuterie
LESI Laboratoire de lrsquoeacutenergie et des systegravemes intelligents de lrsquouniversiteacute Djilali Bounaama Route de Thegraveniet El-Had 44225 Khemis Miliana Algeacuterie
Avant propos
Les travaux de recherches entrepris dans le cadre de cette thegravese sont le fruit drsquoune cotutelle entre
lrsquouniversiteacute Amar TELIDJI de Laghouat et lrsquouniversiteacute de Lorraine en France Cette cotutelle a eacuteteacute
adosseacutee par un projet PHC-Tassili entre le laboratoire GREEN de Nancy et le laboratoire LESI de
lrsquouniversiteacute de Khemis Miliana
Je tiens agrave remercier tout drsquoabord du cocircteacute Algeacuterien Dr Ali MAHIEDDINE directeur du LESI de
mrsquoavoir inteacutegreacute dans le laboratoire et du cocircteacute franccedilais Pr Noureddine TAKORABET et Pr Bernard
DAVAT respectivement directeur et ex-directeur du GREEN de mrsquoavoir accueilli au sein du GREEN
durant toute la peacuteriode de reacutealisation de cette thegravese lors de mes seacutejours scientifiques agrave Nancy et de
mavoir permis de mener la majoriteacute de mes travaux de recherches dans les meilleures conditions
Je tiens agrave remercier aussi mes encadreurs de la partie algeacuterienne Pr Mohamed HALIT et Pr
El-Hadj AILAM drsquoavoir bien accepteacute drsquoencadrer cette thegravese et de la partie franccedilaise Pr Bruno
DOUINE initiateur du sujet de la thegravese pour son soutien et essentiellement pour sa supervision et son
aide indispensable pour bien mener surtout la partie expeacuterimentale de cette thegravese
Mes grands remerciements vont au Dr Keacutevin BERGER qui agrave dirigeacute et suivi le deacuteveloppement de
de la partie modeacutelisation et simulation par MATLAB et COMSOL Je le remercie profondeacutement pour
ses remarques pertinentes son aide majeure et preacutecieuse et eacutegalement pour avoir accepteacute de faire
partie du jury de thegravese
Je remercie Pr Ibn Khaldoun LEFKAIER pour mavoir fait lhonneur de preacutesider le jury de
soutenance de cette thegravese doctorale surtout pour sa patience et pour sa disponibiliteacute
Jrsquoadresse eacutegalement mes remerciementsagrave Mme Afef LEBOUC-KEDOUS Directrice de
recherche CNRS G2Elab et Pr Mohamed SIDOUMOU pour avoir accepteacute drsquoexaminer le preacutesent
travail
Je voudrais exprimer mes remerciements les plus sincegraveres au Dr Salah-eddine BENTRIDI et Dr
Mohamed BOUCHENAFA pour leurs encouragements et leurs conseils le long de cette thegravese
Un grand merci agrave tous les membres du laboratoire GREEN pour lrsquoagreacuteable ambiance de travail
Je remercie AREZZOUG T Lubin S MEZANI M Hinaje H MENANA S LAMALE et tous les
doctorants du GREEN sans oublier mon collegravegue de bureau Y STATRA ainsi agrave tous mes collegravegues
du laboratoire LESI et de lrsquouniversiteacute de Khemis Miliana
Ma profonde reconnaissance srsquoadresse agrave mes parents qui mrsquoont inlassablement encourageacute lors de
la preacuteparation de cette thegravese
Et enfin Je tiens agrave remercie infiniment la maman de mes enfants Chakib Issam et la petite
Anya pour sa patience et pour mrsquoavoir encourageacute durant la peacuteriode de preacuteparation de la thegravese Crsquoest
gracircce agrave elle que jrsquoai reacutealiseacute aujourdrsquohui mon recircve
1
Table des matiegraveres Introduction geacuteneacuteralehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4
Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoarthelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7
I1 Historique de la supraconductiviteacutehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8
I2 Grandeurs caracteacuteristiques des supraconducteurshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11
I21 Tempeacuterature critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11
I22 Champ magneacutetique critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13
I221 Supraconducteurs Type Ihelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13
I222 Supraconducteurs Type IIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14
I23 Densiteacute de courant critique Jchelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15
I24 Surface critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17
I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18
I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19
I32 Supraconducteur YBa2Cu3O7-δhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20
a- Preacutesentationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20
b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23
133 Supraconducteur MgB2 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24
a- Preacutesentationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24
b- Structure cristalline de MgB2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25
I4 Modegraveles des supraconducteurs helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26
I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26
I411 Preacutesentation du modegravele helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26
I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long
notion de peacuteneacutetration complegravetehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
27
I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)helliphelliphelliphelliphellip 30
I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et nhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 31
I5 Meacutethodes drsquoaimantation helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32
I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32
I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC) helliphelliphelliphelliphelliphellip 33
2
I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization
(PFM)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
34
I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 37
I51 Meacutethode eacutelectrique helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 37
I52 Meacutethode magneacutetiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 38
I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 38
I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur
le champ de peacuteneacutetration helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
41
I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de
lrsquoexposant-n et Jchelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
42
I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille helliphellip 43
I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et
BPhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
44
I6 Objectifs de la thegravese helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 48
Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit
ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphellip
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II1 Introductionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50
II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveseshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 51
II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53
II31 Reacutegion I helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53
II32 Reacutegion II helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 54
II33 Reacutegion III helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55
II34 Reacutegion IV helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55
II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II4 Conditions de passages entres interfaceshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II41 Condition drsquointerface agrave r=R3helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II42 Condition drsquointerface agrave r=R2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57
II43 Condition drsquointerface agrave r=R1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57
II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobinehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59
II6 Reacutesultats analytiques et discussionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 60
II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en preacutesence
drsquoune pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 67
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II72 Conditions de passages entres interfaceshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II721 Interface agrave r = R4helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II722 Interface agrave r = R3helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II723 Interface agrave r = R2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II724 Interface agrave r = R1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 69
II73 Expression analytique de lrsquoinductance helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 72
II74 Reacutesultats et discussion helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73
II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique
impulsionnelhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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II9 Conclusionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 82
Chapitre 3 Prise en compte de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de leur
caracteacuterisationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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III1 Introductionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 84
III2 Description du banc expeacuterimental helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 85
III21 Les pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 86
III22 Le circuit drsquoaimantationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 87
III23 Instrumentation helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 89
III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 91
III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hallhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 91
III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de
la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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III33 Simulations numeacuteriqueshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 94
III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux
pastilleshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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III5 Conclusion helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 105
Conclusion geacuteneacuterale et perspectiveshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 107
Listes des illustrations graphiques et tableauxhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 110
Reacutefeacuterences helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116
Annexeshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 124
Annexe Ihelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 125
Annexe IIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 132
Annexe IIIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 137
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Introduction geacuteneacuterale
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Faire leacuteviter un train ou avoir des cacircbles eacutelectriques beaucoup plus puissants pour le
transport du courant sans perte drsquoeacutenergie sont devenus possibles gracircce au pheacutenomegravene de la
supraconductiviteacute La deacutecouverte des mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature
critique (SHTC) agrave bases drsquooxydes de cuivre donne des nouvelles possibiliteacutes pour des
applications en eacutelectrotechnique a cause de leurs proprieacuteteacutes exceptionnelles Ils peuvent
transporter lrsquoeacutenergie eacutelectrique avec des pertes neacutegligeables en courant eacutelectrique continu et
tregraves inferieures agrave celles des conducteurs classique en courant alternatif mais aussi eacutecranter ou
pieacuteger des champs magneacutetiques eacuteleveacutes par rapport aux aimants permanents conventionnels
Sur cette deuxiegraveme qualiteacute exceptionnelle de nombreuses eacutetudes ont porteacute sur lrsquoameacutelioration
des systegravemes drsquoaimantation de mateacuteriaux SHTC massifs dont la modeacutelisation et la simulation
sont fortement recommander afin drsquooptimiser les processus
Parmi les mateacuteriaux SHTC les oxydes mixtes de baryum de cuivre et dyttrium ou
YBaCuO a eacuteteacute le premier oxyde de la famille des cuprates agrave preacutesenter une tempeacuterature
critique supeacuterieure au point drsquoeacutevaporation de lrsquoazote liquide Beaucoup drsquoeacutetudes portent sur
lrsquoeacutelaboration et la mise en forme de ce composeacute sous forme de massifs et de rubans Pour
optimiser les proprieacuteteacutes supraconductrices de ce mateacuteriau des conditions particuliegraveres de
croissances et de stœchiomeacutetrie doivent ecirctre satisfaites Des meacutethodes de caracteacuterisations des
pastilles SHTC ont eacuteteacute proposeacutees au niveau du laboratoire GREEN afin de mettre en œuvre
ces pastilles dans des applications dans le domaine de lrsquoeacutelectrotechnique Ces meacutethodes
portent sur la mesure de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete et par la suite de calculer
la densiteacute de courant critique qui est geacuteneacuteralement supposeacutee constante dans tout le volume de
la pastille
Le travail de recherche de cette thegravese porte sur la modeacutelisation et la caracteacuterisation de
mateacuteriaux SHTC Le but final est drsquooptimiser le processus drsquoaimantation par un champ pulseacute
ou PFM (Pulsed Field Magnetization) Ainsi le comportement drsquoune pastille SHTC placeacutee
dans le circuit ferromagneacutetique drsquoaimantation par PFM doit ecirctre eacutetudieacute afin de faire un
dimensionnement optimal de lrsquoinducteur du systegraveme drsquoaimantation Pour cela il est preacutefeacuterable
de maitriser des meacutethodes de calculs analytiques de champ magneacutetique pour acceacuteleacuterer
nettement le processus drsquoaimantation Pour permettre de bien modeacuteliser les pastilles SHTC
les meacutethodes de caracteacuterisations de ces pastilles doivent ecirctre ameacutelioreacutees et surtout adapteacutees agrave
la taille et au frome de ces pastilles Ceci explique le plan de cette thegravese en deux parties
relativement indeacutependantes
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Dans le premier chapitre nous allons preacutesenter un rappel historique sur la
supraconductiviteacute puis les grandeurs et les proprieacuteteacutes caracteacuteristiques des mateacuteriaux
supraconducteurs Ensuite nous allons deacutecrire les diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantations et
nous terminons par une description des meacutethodes de caracteacuterisations deacuteveloppeacutees au niveau
du laboratoire GREEN de lrsquouniversiteacute de Lorraine
Le deuxiegraveme chapitre est deacutedieacute agrave la modeacutelisation analytique du systegraveme drsquoaimantation
par PFM Le modegravele analytique proposeacute permet de calculer lrsquoinductance de lrsquoensemble
composeacute drsquoune bobine inductrice drsquoun circuit ferromagneacutetique et en preacutesence drsquoune pastille
supraconductrice ce qui est un apport important de cette thegravese Ce modegravele sera valideacute
numeacuteriquement en utilisant le logiciel COMSOL souvent utiliseacute dans le domaine de la
supraconductiviteacute appliqueacutee
Le troisiegraveme chapitre sera consacreacute agrave la caracteacuterisation des pastilles SHTC et
particuliegraverement agrave lrsquoeacutetude de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC de type YBaCuO en termes
de densiteacute de courant critique La caracteacuterisation de ces pastilles se fait agrave lrsquoaide de la mesure
de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete lors de lrsquoaimantation de cette pastille par la
meacutethode PFM De cette mesure on deacuteduit la densiteacute de courant critique Jc Lrsquoinfluence de la
position du germe de cristallisation dans les meacutethodes de caracteacuterisation sera eacutegalement
eacutetudieacutee
7
Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoart
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I1 Historique de la supraconductiviteacute
Les proprieacuteteacutes eacutelectriques et magneacutetiques de certains mateacuteriaux changent de maniegravere
cruciale agrave de tregraves basses tempeacuteratures Parmi ces mateacuteriaux on cite les mateacuteriaux dits
laquo supraconducteurs raquo Ces mateacuteriaux perdent totalement leurs reacutesistances au passage du
courant eacutelectrique et expulsent les lignes des champs magneacutetiques on parle dans ce cas de
figure drsquoun pheacutenomegravene physique assez intriguant et inteacuteressant qui srsquoappelle laquo la
supraconductiviteacute raquo Ce pheacutenomegravene est devenu un domaine tregraves passionnant de la physique
surtout qursquoil a mis en doute les principes eacutetablis de cette science notamment en
eacutelectromagneacutetisme Sa deacutecouverte datant de 1911 est due au physicien Neacuteerlandais Heike
Kamerlingh Onnes (1853-1926) lors de son eacutetude du comportement eacutelectrique des meacutetaux tregraves
purs agrave tregraves basse tempeacuterature apregraves avoir reacuteussi agrave liqueacutefier lheacutelium en 1908 pour atteindre
une tempeacuterature de 42 K soit -26895degC [1-5] On savait deacutejagrave que geacuteneacuteralement la reacutesistiviteacute
des meacutetaux diminue lineacuteairement en abaissant la tempeacuterature jusqursquoagrave une certaine valeur Au-
dessous de cette valeur elle reste geacuteneacuteralement constante mecircme en diminuant la tempeacuterature
Cette reacutesistiviteacute appeleacutee reacutesistiviteacute reacutesiduelle est due aux impureteacutes ainsi aux deacutefauts dans la
structure cristalline deacutejagrave preacutesente dans le meacutetal Onnes remarqua qursquoagrave une tempeacuterature
infeacuterieure agrave 415 degk (appeleacute tempeacuterature critique) la reacutesistiviteacute eacutelectrique du mercure tombe
brusquement agrave zeacutero (Figure I1) Une anneacutee apregraves il observa le mecircme pheacutenomegravene lors des
essais similaires reacutealiseacutes avec de lrsquoeacutetain et du Plomb (qui sont des tregraves mauvais conducteurs agrave
tempeacuterature ambiante) agrave des tempeacuteratures critiques de 37K et 6K respectivement
Figure I1 Reacutesistiviteacute eacutelectrique de mercure agrave basse tempeacuterature [2]
9
Au deacutebut toutes les recherches qui ont eacuteteacute consacreacutees pour percer le mystegravere de ce
pheacutenomegravene de supraconductiviteacute ont eacuteteacute de types pheacutenomeacutenologiques comme par exemple la
deacutecouverte de lrsquoeffet Meissner en 1933 [6-9] par les deux physiciens allemands Walter
Meissner (1882-1974) et Robert Ochsenfeld (1901-1993) qui consiste agrave observer la capaciteacute
du mateacuteriau supraconducteur agrave exclure les lignes du champ magneacutetique preacutesent dans son
voisinage immeacutediat le courant eacutelectrique est porteacute par des paires drsquoeacutelectrons apparieacutes qui
peuvent se mouvoir sans aucune reacutesistance ni dissipation En preacutesence drsquoun champ
magneacutetique les paires drsquoeacutelectrons engendrent des courants de surface permanents qui agrave leur
tour creacuteent au cœur du mateacuteriau un champ magneacutetique qui annule le champ externe Crsquoest sur
cet effet appeleacute aussi diamagneacutetisme parfait que se base la leacutevitation magneacutetique Cependant
lrsquoeffet Meissner nrsquoa lieu que si le champ externe est suffisamment faible
En 1935 la theacuteorie de London a eacuteteacute mise en place par les fregraveres Fritz London (1900-
1954) et Heinz London (1907-1970) [1011] pour expliquer le pheacutenomegravene drsquoexpulsion du
champ magneacutetique dans tout le mateacuteriau supraconducteur agrave lrsquoexception drsquoune couche de
surface du mateacuteriau Le champ magneacutetique deacutecroicirct exponentiellement agrave lrsquointeacuterieur du
mateacuteriau et peacutenegravetre sur une longueur caracteacuteristique 20L sm n eλ micro= appeleacutee longueur de
peacuteneacutetration de London avec ns eacutetant la densiteacute des laquosupra eacutelectronraquo m et e sont
respectivement la masse et la charge eacutelectrique des eacutelectrons et 0micro est la permeacuteabiliteacute du vide
Pour des supraconducteurs conventionnels Lλ varie entre 100 et 1000Å
Pendant plusieurs anneacutees les physiciens ont cru qursquoil existe un seul type de mateacuteriaux
supraconducteurs jusqursquoagrave lrsquoarriveacutee de la theacuteorie de Ginzburg-Landau en 1950 [12] une autre
theacuteorie pheacutenomeacutenologique qui a eacuteteacute mise en place par les physiciens sovieacutetiques V L
Ginzburg (1916-2009) et L D Landau (1908-1968) et qui a permis drsquoexpliquer les proprieacuteteacutes
macroscopiques des supraconducteurs Ils ont introduit une constante k quasiment
indeacutependante de la tempeacuterature appeleacutee constante de Ginzburg-Landau En particulier Alexei
Abrikosov (1928-2017) montre quavec cette theacuteorie on peut preacutevoir lexistence de deux
cateacutegories de supraconducteurs (types I et II)
En 1957 J Bardeen (1908-1991) L N Cooper (1930) et JR Schrieffer (1931-2019)
ont expliqueacute la supraconductiviteacute de faccedilon microscopique par la formation des paires
drsquoeacutelectrons appeleacute paires de Cooper sous lrsquoeffet drsquoune interaction attractive entre eacutelectrons
reacutesultant de lrsquoeacutechange de phonons [9 13 14] A basse tempeacuterature ces eacutelectrons ne subissent
aucune dissipation drsquoeacutenergie par effet joule car ils ne rencontrent aucune reacutesistance donc ils
10
sont capables de se deacuteplacer agrave travers le mateacuteriau sans aucun frottement crsquoest la theacuteorie BCS
Malheureusement cette theacuteorie nrsquoest valable que pour des mateacuteriaux supraconducteurs agrave basse
tempeacuterature (environ 30 K)
Avec lrsquoarriveacutee de lrsquoanneacutee 1986 une deacutecouverte deacutecisive a eacuteteacute faite dans le domaine de
la supraconductiviteacute Karl Alexander Muumlller (1927) et Johannes Georg Bednorz (1950)
chercheurs du laboratoire de recherche IBM agrave Ruumlschlikon en Suisse ont deacutecouvert un oxyde
agrave base de Baryum de Lanthane de Cuivre et drsquoOxygegravene (Ba-La-Cu-O) agrave une tempeacuterature de
34degK [15-17]
Cette deacutecouverte a deacuteclencheacute une vague dactiviteacutes dans le domaine de la supraconductiviteacute
Des chercheurs du monde entier ont commenceacute agrave cuisiner des ceacuteramiques de toutes les
combinaisons imaginables dans le but de trouver des supraconducteurs agrave des tempeacuteratures
plus en plus hautes
En janvier 1987 une eacutequipe de chercheurs de lrsquoUniversiteacute drsquoAlabama-Huntsville a
remplaceacute le lanthane par lrsquoyttrium dans les moleacutecules de BaLaCuO et a obtenu un incroyable
rendement agrave une tempeacuterature de 92 K Pour la premiegravere fois on avait deacutecouvert un mateacuteriau
supraconducteur (appeleacute aujourdhui YBaCuO) agrave des tempeacuteratures supeacuterieures agrave celles de
lazote liquide [18-20]
Apregraves des nouvelles geacuteneacuterations de composeacutes baseacutes sur lrsquooxyde de cuivre apparurent
avec des tempeacuteratures critiques qui deacutepassent la tempeacuterature de lrsquoheacutelium liquide tel que La-
Sr-Cu-O Y-Sr-Cu-O Bi-Sr-Ca-Cu-O Ta-Ba-Cu-O et Ti-Sr-Ca-Cu-O [21-28]
Tregraves reacutecemment une eacutequipe de linstitut Max-Planck de chimie de Mayence (Allemagne)
annonccedilait avoir observeacute des signes de lapparition dune phase supraconductrice dans
lrsquo hydrure de lanthane(LaH10) agrave une tempeacuterature de seulement 250 K soit environ -23 degC
mais ce composeacute nrsquoest pas stable qursquoagrave tregraves haute pression [29]
11
Figure I2 Historique des deacutecouvertes de la tempeacuterature critique
I2 Grandeurs caracteacuteristiques des Supraconducteurs
La supraconductiviteacute est un eacutetat de la matiegravere dont les proprieacuteteacutes eacutelectromagneacutetiques
exceptionnelles tel que la reacutesistance nulle et lrsquoexpulsion du champ magneacutetique jouent un rocircle
tregraves important tant du point de vue physique fondamentale que du point de vue application
Un supraconducteur est caracteacuteriseacute par trois grandeurs fondamentales tempeacuterature critique
CT champ magneacutetique critique119867119867119867119867 et la densiteacute de courant critique Jc Ces trois grandeurs
sont tregraves correacuteleacutees et forment ce qursquoon appelle la surface critique drsquoun mateacuteriau
supraconducteur
I21 Tempeacuterature critique
La tempeacuterature critique est la tempeacuterature en dessous de laquelle la reacutesistance tombe agrave
zeacutero et le mateacuteriau devient supraconducteur La transition apparaicirct comme une transition de
phase de lrsquoeacutetat normal vers lrsquoeacutetat supraconducteur de la matiegravere Plusieurs mateacuteriaux
preacutesentent des transitions de phase supraconductrices agrave basses tempeacuteratures La tempeacuterature
critique la plus eacuteleveacutee eacutetait denviron 23 K jusquagrave la deacutecouverte en 1986 de certains
supraconducteurs agrave haute tempeacuterature
Environ trente (30) meacutetaux purs et quelques alliages tel que 3Nb Sn [3063] et NbTi
[3132] preacutesentent une reacutesistiviteacute nulle agrave basse tempeacuterature et ont la proprieacuteteacute drsquoexclure les
12
champs magneacutetiques de lrsquointeacuterieur de ces supraconducteurs (Effet Meissner voir Tableau I1)
Ce type de supraconducteurs est appeleacutelaquo Supraconducteurs agrave Basse Tempeacuterature Critique
(SBTC) raquo [33]
Figure I3 Etat noraml et supraconducteur drsquoun meacutetal en fonction de la tempeacuterature
Par contre les ceacuteramiques en oxyde de cuivre et de baryum qui ont atteint leacutetat
supraconducteur agrave des tempeacuteratures beaucoup plus eacuteleveacutees sont souvent appeleacutees
laquo supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) raquo et forment une classe agrave part [37]
Tableau I1 Tempeacuterature critique de quelques mateacuteriaux supraconducteurs
Eleacutement Tc (K) Eleacutement Tc (K) Eleacutement Tc (K)
Al Be Cd Ga Hf Hg In Ir La Mo
1175 0023 055 109 013 415 341 014 488 092
Nb Np Os Pa Pb Re Rh Ru Sn Ta
92 0075 065 140 72 17 00003 05 375 447
Tc Th Ti Tl U V W Zn Zr Lu
78 137 039 239 02 53 0012 09 055 01
Composeacute Tc (K) Composeacute Tc (K) Composeacute Tc (K)
Nb3Sn Nb3Ge Cs3C60 Nb06Ti04
181 232 19 98
MgB2 YPd2B2C HoNi2B2C PuCoGa5
39 23 75 185
UPt3 UPd2Al3 URu2Si2 YNi2B2C
05 2 12 155
Supraconducteurs agrave HTc Tc (K) Supraconducteurs agrave HTc Tc (K)
183 017 4La Sr CuO
2 3 7YBa Cu O δminus
2 2 2 3 10Bi Sr Ca Cu O
40 93 110
2 2 2 3 1 0Tl Ba Ca Cu O δ+
2 2 3 8HgBa Ca Cu O
08 02 2 2 3 833Hg Tl Ba Ca Cu O
127 135 138
13
I22 Champ magneacutetique critique
Quand on applique un champ magneacutetique sur un supraconducteur soumis agrave une
tempeacuterature critique TC ce champ reste autour du mateacuteriau sans le peacuteneacutetrer Si on augmente
ce champ agrave un point donneacute le supraconducteur revient agrave son eacutetat normal de reacutesistiviteacute A ce
point ce champ magneacutetique est connu comme champ magneacutetique critique et est noteacute Hc Le
champ magneacutetique critique est fortement deacutependant de la tempeacuterature critique Tc du
supraconducteur
Les champs magneacutetiques eacuteleveacutes deacutetruisent la supraconductiviteacute et le mateacuteriau passe agrave lrsquoeacutetat
normal En fonction du caractegravere de cette transition on peut distinguer deux types de
supraconducteurs
I221 Supraconducteurs Type I
La figure I4 montre la variation du champ magneacutetique interne (induit)119867119867119867119867 en fonction
du champ externe appliqueacute Ha En augmentant le champ appliqueacute on remarque au deacutepart que
le champ interne reste nul (Effet Meissner [6-9]) jusqursquoagrave ce qursquoun champ magneacutetique critique
HC soit atteint ougrave se produit une transition brutale vers lrsquoeacutetat normal cela se traduit par la
peacuteneacutetration du champ appliqueacute agrave linteacuterieur du mateacuteriau Les supraconducteurs qui subissent
cette transition brutale agrave leacutetat normal au-dessus du champ magneacutetique critique sont appeleacutes
supraconducteurs de type I le Plomb pur est consideacutereacute comme eacutetant le plus fort
supraconducteur de type I avec un champ critique drsquoenviron 800 Gauss (80 mT) Tous les
supraconducteurs purs ont tendance drsquoecirctre des supraconducteurs de type I [3536]
Figure I4 Repreacutesentation de champ magneacutetique induit en fonction du champ magneacutetique
appliqueacute pur les supraconducteurs de type I
14
I222 Supraconducteurs Type II
Les supraconducteurs de type II reacutepondent diffeacuteremment agrave un champ magneacutetique
appliqueacute comme le montre la figure I5 En effet un champ induit croissant agrave partir de zeacutero se
traduit par deux champs critiques Hc1 et Hc2
Agrave Hc1 le champ appliqueacute commence agrave peacuteneacutetrer partiellement agrave linteacuterieur du
supraconducteur agrave travers des tubes volumiques dans un eacutetat normal qui srsquoappellent
laquo Vortex raquo et la supraconductiviteacute est encore maintenue Au-dessus de Hc2 la
supraconductiviteacute disparaicirct et le mateacuteriau passe agrave lrsquoeacutetat normal Pour les valeurs
intermeacutediaires entre Hc1 et Hc2 le mateacuteriau supraconducteur se trouve dans un eacutetat mixte
Geacuteneacuteralement Hc2 est plus eacuteleveacute que Hc1 et 0 2Hcmicro peut atteindre plusieurs Tesla
pour cette raison les supraconducteurs de type II sont devenus les plus utiles sur le plan
technologique La plupart des composeacutes illustreacutes dans le tableau I1 sont des supraconducteurs
de type II Les fils fabriqueacutes agrave partir de niobium-eacutetain (Nb3Sn) ont un champ 0 2Hcmicro eacutegal agrave
environ 25 teslas ce qui les rend utiles pour des applications neacutecessitant des champs
magneacutetiques eacuteleveacutes Actuellement le niobium titane (NbTi) est le mateacuteriau le plus mature
technologiquement avec un champ 0 2 12 teslasHcmicro = il est largement utiliseacute dans machines
dimagerie par reacutesonance magneacutetique (IRM)
En geacuteneacuterale les applications en eacutelectrotechnique neacutecessitent habituellement la creacuteation
de forts champs magneacutetiques (de lrsquoordre de plusieurs teslas) ce qui limite lrsquoutilisation des
supraconducteurs de type I
Figure I5 Repreacutesentation graphique (a) des diffeacuterentes drsquoeacutetats des supraconducteurs de type
II et (b) du champ magneacutetique induit en fonction du champ magneacutetique appliqueacute pour les supraconducteurs de type II
15
I23 Densiteacute de courant critique JC
Pour les supraconducteurs de type I le courant critique deacutecoule directement du champ
magneacutetique critique Il peut ecirctre deacutetermineacute par la regravegle de Silsbee [34] crsquoest le courant qui
produit le champ magneacutetique critique agrave la surface du mateacuteriau Pour un cylindre de diamegravetre
D on deacutefinit ce courant par Ic DHcπ=
La densiteacute de courant critique est donneacutee donc par
C CJ I S=
Pour les supraconducteurs type II dans lrsquoeacutetat mixte la peacuteneacutetration du champ
magneacutetique se manifeste par la preacutesence drsquoun reacuteseau de vortex de flux que lrsquoon peut
repreacutesenter sous la forme de boucles eacuteleacutementaire de courant La circulation du courant de
transport dans le supraconducteur geacutenegravere une force de type Laplace ( )LF J B= times
qui agit sur
ces vortex Une force drsquoancrage est creacuteeacutee et permet aux tubes de vortex de se fixer dans la
matiegravere La densiteacute de courant critique JC est donc lieacutee agrave lrsquoancrage de ces vortex [34] La
force drsquoancrage est deacutefinie ainsi par P CF J B= times
Si toutefois la densiteacute de courant deacutepasse la
valeur de JC la force FL exerceacutee sur les vortex sera supeacuterieure agrave la force drsquoancrage FP et les
vortex commencent agrave se deacuteplacer Ce deacuteplacement induit un champ eacutelectrique non nul aux
borne du mateacuteriau et provoque une dissipation importante drsquoeacutenergie ce qui fait transiter le
mateacuteriau de lrsquoeacutetat supraconducteur agrave lrsquoeacutetat reacutesistif
Le courant critique drsquoun mateacuteriau supraconducteur est lrsquoorigine de trois courants courant de
transport courant induit et les supra-courants Figure I6
Figure I6 Reacuteseaux vortex dans un mateacuteriau supraconducteur de type II
16
Une grande deacuteception apregraves la deacutecouverte de la supraconductiviteacute agrave haute tempeacuterature
critique fut la faible valeur de leur densiteacute de courant critique Jc Celle-ci est due agrave la
difficulteacute de syntheacutetiser de ces mateacuteriaux sous forme de monocristaux de taille laquo reacutealiste raquo
(supeacuterieure agrave quelque mm2) Tregraves souvent les eacutechantillons volumiques se preacutesentent sous
forme de grains accoleacutes aleacuteatoirement les uns aux autres (poly-cristal) Dans ce cas le courant
supraconducteur se fraie un chemin dans lrsquoeacutechantillon en passant agrave travers les joints de grains
La densiteacute de courant critique correspondante (intergrain) est geacuteneacuteralement de deux ou trois
ordres de grandeur infeacuterieure agrave la densiteacute de courant critique de grain lui-mecircme (intragrain)
[3839] figure I7
Figure I7 Densiteacute de courant intergrain et intragrain dans un mateacuteriau
supraconducteur
En conseacutequence un des buts technologiques des recherches actuelles en
supraconductiviteacute est lrsquooptimisation de la densiteacute de courant critique intergrain des mateacuteriaux
supraconducteurs pour une tempeacuterature donneacutee et en preacutesence drsquoun champ magneacutetique
intense en modifiant les paramegravetres de ses microstructures (taille et orientation des grains)
Parmi les techniques utiliseacutees pour accroicirctre la densiteacute de courant critique intergrain est la
technique drsquoalignement des grains supraconducteurs Ce processus est appeleacute texturation Des
microstructures typiques drsquoeacutechantillons drsquoYBaCuO respectivement textureacutes et non textureacutes
sont preacutesenteacutees sur la figure I8
17
Figure I 8 Microstructure drsquoun mateacuteriau Supraconducteur agrave Haute Tempeacuterature critique
(SHTC) de formule chimique 2 3 7YBa Cu O δminus
Un mateacuteriau non textureacute comprend un grand nombre de grains de tregraves petite taille
(quelques microns) Sa densiteacute de courant critique est de lrsquoordre de 100 Acm2 et deacutecroicirct
rapidement en preacutesence drsquoun faible champ magneacutetique (quelques mT) [39] Par contre les
grains preacutesents dans un eacutechantillon textureacute peuvent ecirctre relativement volumineux Si
lrsquoeacutechantillon est constitueacute drsquoun seul grain de taille importante on parle de STHC mono-
domaine Les densiteacutes de courant critiques associeacutees aux mono-domaines drsquoYBaCuO textureacutes
sont de lrsquoordre de 10 000 Acm2 agrave T=77K et B=1T De telles valeurs sont compatibles avec
les exigences requises pour diffeacuterentes applications industrielles en eacutelectrotechnique
I24 Surface critique
Lrsquoeacutetat supraconducteur eacutetant limiteacute par les trois grandeurs caracteacuteristiques physiques
la tempeacuterature critique (Tc) le champ magneacutetique critique (Hc) et la densiteacute de courant
critique (Jc) Chacun de ces grandeurs deacutepend fortement des deux autres grandeurs Le
maintien de lrsquoeacutetat supraconducteur exige que le champ magneacutetique la densiteacute de courant et la
tempeacuterature demeurent au-dessous des valeurs critiques qui deacutependent du mateacuteriau
En repreacutesentation 3D lrsquoaire deacutelimiteacutee lorsque lrsquoon prend en compte les trois grandeurs
(Tc Hc Tc) est appeleacutee laquo surface critique raquo figure I-7 En partant de cette surface vers
lrsquoorigine le mateacuteriau est supraconducteur Les valeurs les plus eacuteleveacutees pour HC et JC sont
obtenues agrave T = 0K alors que la valeur la plus eacuteleveacutee pour la TC est obtenue quand H et J sont
18
agrave zeacutero Lorsque lrsquoon trouve dans les reacutegions en dehors de cette surface le mateacuteriau est dans
lrsquoeacutetat normal ou mixte
Figure I9 Surface critique et ordre de grandeur des paramegravetres critique de quelques
mateacuteriaux Supraconducteurs [40]
I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
La mise en eacutevidence de la supraconductiviteacute dans les mateacuteriaux SHTC notamment
dans lrsquoYBaCuO par Maw-Kuen Wu et al en 1987 [19] agrave une tempeacuterature critique qui deacutepasse
la tempeacuterature de lrsquoHeacutelium liquide eu un retentissement plus important et rend la recherche
dans le domaine de la supraconductiviteacute agrave haute tempeacuterature critique tregraves attrayante et tregraves
prometteuse pour de nombreuses applications Comprendre les proprieacuteteacutes et les meacutecanismes
de fonctionnement de ces mateacuteriaux qui deacutejouent toute attente est un enjeu majeur des
recherches actuelles Et si la supraconductiviteacute agrave tempeacuterature ambiante reste pour lrsquoinstant un
recircve pour les chercheurs les supraconducteurs nrsquoont pas fini de bousculer la physique
theacuteorique
Trois familles principales de ces ceacuteramiques sont distingueacutees [41]
- Baseacutee sur le Bismuth ceacuteramique de BiSrCaCuO appeleacutee aussi laquo BSCCO raquo
- Baseacutee sur les terres rares Rare Earth (RE) ceacuteramique de RE-BaCuO
communeacutement appeleacutee laquo Re-BCO raquo Lrsquoeacuteleacutement de terre rare utiliseacute peut ecirctre
de lrsquoYttrium du Neacuteodyme du Samarium ou du Gadolinium selon les
proprieacuteteacutes rechercheacutees
- Baseacutee sur le Thallium ceacuteramique de TlBaCaCuO communeacutement appeleacutee laquo
TBCCO raquo avec des tempeacuteratures de fonctionnement supeacuterieures
19
Ces mateacuteriaux sont aujourdrsquohui les plus utiliseacutes pour les applications industrielles et la
recherche en eacutelectrotechnique
I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
Lrsquo2 3 7YBa Cu O δminus
(YBaCuO ou Y-123) le 2 2 2 8 xBi Sr CaCu O + (BSCCO ou Bi-2212) et le
2 2 2 3 10 xBi Sr Ca Cu O + (Bi-2223) repreacutesentent aujourdrsquohui les mateacuteriaux SHTC les plus usiteacutes
pour les applications industrielles et la recherche en eacutelectrotechnique Or avec une
appartenance commune aux ceacuteramiques ces deux mateacuteriaux reposent sur des proceacutedeacutes de
fabrication diffeacuterents Leurs proprieacuteteacutes permettent de les utiliser sous diverses formes
poudres massifs fils et deacutepocircts en monocouche (figure I10) [41]
Figure I10 Diffeacuterentes formes des SHTC a) pastille YBaCuO en massifs b) YBaCuO en
monocouche c) tubes de BSCCO
Certains mateacuteriaux SHTC comme le BiSCCO sont constitueacutes de poudre compresseacutee
On les trouve sous forme de tubes massifs servant drsquoameneacutees de courant ou de blindage
magneacutetique [42] Ces mateacuteriaux permettent aussi la fabrication des cacircbles conducteurs mono
ou multi- filamentaires SHTC Ces cacircbles supraconducteurs ont eacuteteacute exploiteacutes pour la premiegravere
fois aux Etats-Unis agrave partir de 2006 dans le cadre de deacutemonstrateurs subventionneacutes Puis des
liaisons furent inteacutegreacutees agrave des reacuteseaux de distribution et de transport au Japon en Coreacutee en
Chine Et pour la premiegravere fois en Allemagne en 2014 dans le bassin de la Ruhr dans un
environnement 100 public urbain Un cacircble supraconducteur drsquoun kilomegravetre a eacuteteacute reacutealiseacute par
Nexans et lrsquoeacutenergeacuteticien allemand RWE et qui a eacuteteacute mise en service agrave Essen
En 2014 eacutegalement le CERN et dans le but drsquoameacuteliorer lrsquoalimentation de ses
acceacuteleacuterateurs de particules a reacuteussi de transiteacute un courant eacutelectrique de 20000 Ampegraveres par un
cacircble supraconducteur en MgB2
20
Une particulariteacute inteacuteressante des SHTC tels que Y-123 est sa faible reacutesistance de
surface par rapport agrave celle du cuivre il permet drsquoutiliser ce mateacuteriau dans la reacutealisation de
dispositifs micro-onde utiliseacutes dans des applications en micro-eacutelectronique et en technique
micro-onde Deacuteposer sous forme de couches minces il permet la reacutealisation de reacutesonateurs agrave
haute performance de taille plus faible et plus leacutegers que les reacutesonateurs conventionnels Un
champ important drsquoapplications pour ces reacutesonateurs est ouvert pour les filtres utiliseacutes dans
les technologies de la communication notamment pour les satellites
Lrsquoaimantation des mateacuteriaux SHTC massifs trouve reacutecemment son inteacuterecirct dans
lrsquoindustrie Le pheacutenomegravene de leacutevitation magneacutetique dans les bulk SHTC est largement
exploiteacute dans la mise en service des trains Maglev-Cobra [4344] ce sont des veacutehicules
destineacutes au transport urbain des passagers flottant sur des rails sans aucun contact avec le sol
Cette technologie est baseacutee sur la leacutevitation magneacutetique geacuteneacutereacutee par des aimants situeacutes sur les
pistes et des pastilles supraconductrices dans le train dans le cas des trains agrave leacutevitation
supraconductrice
I311 Supraconducteur YBa2Cu3O7-δ
a- Preacutesentation
LrsquoOxyde mixte de Baryum de Cuivre de drsquoYttrium ou ce qui est connu communeacutement
par laquo YBaCuO raquo est un mateacuteriau cristallin supraconducteur de type II de formule chimique
YBa2Cu3O7-δ Il est connu pour avoir eacuteteacute parmi les premiers supraconducteurs qui possegravedent
des tempeacuteratures critiques supeacuterieures agrave celle de lrsquoazote liquide (77 K) et donc classeacute parmi
les mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) Ces tempeacuteratures ont
permis de reacuteduire consideacuterablement le cout de fonctionnement des mateacuteriaux dans lrsquoeacutetat
supraconducteur en utilisant la cryogeacutenie agrave lrsquoazote liquide au lieu de lrsquoheacutelium liquide qui
impose des tempeacuteratures infeacuterieures agrave 5 k
LrsquoYBaCuO est tregraves utiliseacute pour le deacuteveloppement des applications de la
supraconductiviteacute gracircce agrave sa bonne tenue sous un champ magneacutetique Ses applications
industrielles en massif impliquent de controcircler la croissance de larges monodomaines orienteacutes
dans des eacutechantillons de grande taille (plusieurs centimegravetres) Les YBaCuO massifs sont
obtenus par diffeacuterentes techniques drsquoeacutelaborations connus mais complexes dont on peu citeacute la
technique TSMG pour laquo top-seeding melt-texturing Growthraquo [45-53] une pastille fritteacute drsquoune
composition riche de yttrium est utiliseacutee Un germe 2 3 xSmBa Cu O (Sm123) monocristallin est
placeacute sur la pastille avant la texturation Le mateacuteriau Sm123 fait partie de la mecircme famille de
21
lrsquoY123 avec une structure cristalline identique par contre il est caracteacuteriseacute par un de fusion
qui est environ 50 degC plus eacuteleveacutee que celui drsquoY123 Ce qui permet une surchauffe tregraves
importante de la pastille YBaCuO pour une fusion complegravete du mateacuteriau en preacutesence de ce
germe Ensuite le systegraveme (pastille + germe) est refroidie jusqursquoagrave la tempeacuterature peacuteritectique 123Y
pT (~1010 degC) (point drsquoeacutequilibre entre les phases solides et liquides) un refroidissement
tregraves lent de 01 degh agrave 05 degh est reacutealiseacute pour obtenir la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO agrave
partir de germe de 2 3 xSmBa Cu O figure I11
Figure I11 Traitement thermique pour la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO par la
technique TSMG
b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuO
La structure cristalline de lrsquoYBa2Cu3O7-δ deacuterive de la structure tridimensionnelle de la
peacuterovskite ABO3 comme dans tous les meacutetaux de la famille des cuprates figure I12 elle
preacutesente une anisotropie structurale importante entre les deux directions principales du
mateacuteriau (Plan (a b) axe c) Ce composeacute est caracteacuteriseacute par la preacutesence de deux familles de
plans parallegraveles au plan (a b)
1- Plan CuO1- δ qui est constitueacute drsquoun atome de cuivre Cu(1) entoureacutes de 2 agrave 4 atomes
drsquooxygegravene selon la stœchiomeacutetrie Ces plans sont organiseacutes en chaines selon la
direction b du cristal pour δ=1
2- Plan CuO2 ce plan est constitueacute drsquoun atome de cuivre Cu(2) entoureacutes de cinq atomes
drsquooxygegravenes en formant une pyramide
La maille eacuteleacutementaire de lrsquoYBaCuO se compose en six (6) plans parallegraveles qui srsquoempilent
suivant lrsquoaxe (c) par 1CuO δminus BaO 2CuO Y 2CuO BaO figure I13
22
Figure I12 Structure cristalline tridimensionnelle de lrsquoYBa2Cu3O7-δ
Selon la stœchiomeacutetrie en oxygegravene YBaCuO peut se trouver en diffeacuterentes phases il
passe alors drsquoune structure orthorhombique supraconductrice pour δlt065 agrave une structure
teacutetragonale isolante pour 065ltδlt1 par suppression successive des atomes drsquooxygegravene de la
chaine CuO [54 97]
Le composeacute YBa2Cu3O7est la phase la plus oxygeacuteneacutee qui correspond agrave δ=0 ce composeacute
se cristallise dans une structure orthorhombique supraconductrice dont le groupe drsquoespace est
Pmmm et les paramegravetres de mailles sont a= 382 Aring b= 388 Aring et c=1169 Aring figure I13-(a)
Par contre la phase la moins oxygeacuteneacute correspond agrave δ=1 cette structure est
antiferromagneacutetique sa maille eacuteleacutementaire est quadratique de groupe drsquoespace P4mmm avec
des paramegravetres de maille a=b=386Aring et c=1184Aring [55] figure I13-(b)
Les deux structures sont relativement proches La transition
orthorhombiquequadratique a eacuteteacute observeacutee agrave 700 deg C dans une atmosphegravere contenant 100
doxygegravene Lors de cette transition les paramegravetres a et c augmentent et b diminue ce qui
renforce la symeacutetrie de la structure cristalline (Figure I14) et aussi induit des contraintes
atomiques et des deacutefauts comme les plans de macle qui constituent de bons sites drsquoencrages
pour les vortex [55]
23
(a) (b)
Figure I13 Repreacutesentation de structure (a) orthorhombique et (b) quadratique de la maille
eacuteleacutementaire du compos YBa2Cu3O7-δ
(a) (b)
Figure I14 Variation des paramegravetres de reacuteseau a b et c par rapport au deacuteficit en oxygegravene δ
[54]
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuO
Lrsquoanisotropie structurale drsquoYBaCuO conduit agrave lrsquoanisotropie des proprieacuteteacutes
supraconductrices Ces derniegraveres sont confineacutees dans le plan CuO2 Les proprieacuteteacutes eacutelectriques
et magneacutetiques de lrsquoYBaCuO seront diffeacuterentes selon son orientation [58] Le courant
24
eacutelectrique circule plutocirct dans le plan (a b) que suivant lrsquoaxe c [56] Ainsi la densiteacute de
courant eacutelectrique sera tregraves diffeacuterente selon la circulation parallegravele ou perpendiculaire du
courant par rapport au plan (a b) et aussi suivant lrsquoorientation du champ exteacuterieur appliqueacute
elle sera eacuteleveacutee agrave 77k lorsque le courant circule selon le plan (a b) (de lrsquoordre de 4 210 A cm
dans des massifs textureacutes et atteigne 6 210 A cm pour des eacutechantillons sous forme de couches
minces eacutepitaxieacutees [57])
Lrsquoanisotropie des caracteacuteristiques supraconductrices se retrouve aussi sur les valeurs
de champs critiques Hc1 et Hc2 Pour lrsquoYBaCuO massif agrave T=0K on a [55]
( )2
11 02 2 10c cc a b
H T H Tminus= = times
( ) 22 140 29c cc a b
H T H T= =
La tempeacuterature critique de la phase supraconductrice de lrsquoYBaCuO est fortement deacutependante
du taux drsquooxygegravene Lrsquooptimum est de 92 K pour une valeur de δ=008 [54] figure 115
Figure I15 Repreacutesentation de la tempeacuterature critique en fonction du deacuteficit en oxygegravene dans
la structure YBaCuO
I32 Supraconducteur MgB2
a- Preacutesentation
Le diborure de magneacutesium (MgB2) est un mateacuteriau dont les proprieacuteteacutes
supraconductrices ont eacuteteacute deacutecouvertes en 2001 par J Nagamatsu et al [59] Il preacutesente une
tempeacuterature critique de 39K et comme la limite entre la famille des supraconducteurs agrave basse
25
et agrave haute tempeacuterature critique est agrave environ de 30 K le MgB2 est classeacute donc parmi les
supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) Sa deacutecouverte a susciteacute un vif inteacuterecirct
car ses constituants sont bons marcheacutes et son proceacutedeacute de fabrication est semblable agrave celui des
supraconducteurs classiques
Diffeacuterents proceacutedeacutes pour la fabrication de MgB2 massif sont utiliseacutes Un premier
consiste agrave placer du magneacutesium dans un moule en Bore la supraconductiviteacute est obtenue
apregraves traitement thermique Drsquoautre utilisent un preacutecurseur sous forme de poudre de Bore et
de Magneacutesium qursquoil comprime sous haute pression [62] lrsquoensemble subit alors un traitement
thermique
b- Structure cristalline de MgB2
Le MgB2 se cristallise dans une structure Hexagonale de type AlB2 dont le groupe
drsquoespace est P6mmm les paramegravetres de mailles sont a = 308 Adeg et c=352 Adeg [5960] La
figure I16 montre que les atomes de bore sont disposeacutes en des couches similaires agrave celles du
graphite entre lesquels sont intercaleacutes des atomes de magneacutesium chaque atome de bore est agrave
distance eacutegale de trois autres atomes de bore La position drsquoatomes sont donneacutees comme suit
Mg (0 0 0) B (13 2312) (2313 12)
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2
Une forte anisotropie de la structure cristalline MgB2 est reacutesulteacute des successions de
couches de magneacutesium et de Bore (figure I11) cette anisotropie eacutetait connue depuis pregraves de
50 ans avant la deacutecouverte de la supraconductiviteacute de ce composeacute [61]
La premiegravere mesure directe drsquoune proprieacuteteacute supraconductrice anisotrope a eacuteteacute reacutealiseacutee
pour le champ magneacutetique critique Hc2 du bulk MgB2 un rapport 2 1 17ab cc cH Hγ = asymp avec
2abcH est le champ magneacutetique critique parallegravele au plan (ab) et 1
ccH est le champ magneacutetique
critique parallegravele agrave la direction de lrsquoaxeC
Depuis lors plusieurs chercheurs ont trouveacute des
valeurs de ce rapport comprises entre 11 et 16 pour une tempeacuterature variant de 32 K agrave 26 K
en utilisant diffeacuterents types drsquoeacutechantillons et diffeacuterentes techniques pour caracteacuteriser la
transition de lrsquoeacutetat normal vers lrsquoeacutetat supraconducteur
Lrsquoanisotropie de la densiteacute de courant critique a eacuteteacute eacutegalement eacutevalueacutee agrave lrsquoaide du
modegravele e Bean comme eacutetant 15ab cc cJ J asymp
26
Figure I16 Structure cristalline de MgB2
I4 Modegraveles des supraconducteurs
La connaissance des proprieacuteteacutes caracteacuteristiques drsquoun mateacuteriau supraconducteur joue un
rocircle important dans le dimensionnement drsquoun dispositif et par la suite pour deacutevelopper des
nouvelles applications dans le domaine industriel Diffeacuterentes meacutethodes de caracteacuterisations
sont adopteacutees dans le cas des supraconducteurs afin drsquoeffectuer des mesures des
caracteacuteristiques de ces mateacuteriaux agrave savoir la distribution du courant eacutelectrique densiteacute du
courant critique capaciteacute drsquoavoir un champ magneacutetique pieacutegeacute important hellipetc Les reacutesultats
obtenus peuvent diffeacuterer en fonction de la meacutethode de mesure choisie
Des meacutethodes de caracteacuterisations des pastilles supraconductrices ont eacuteteacute deacuteveloppeacute
dans le laboratoire GREEN qui ont pour but de mesurer la densiteacute du courant critique au
centre et sur la surface drsquoune pastille SHTC de type YBaCuO et cela agrave travers la
deacutetermination du champ magneacutetique de peacuteneacutetration dans la pastille
Avant de preacutesenter ces meacutethodes nous allons rappeler les deux modegraveles de caracteacuteristique
E(J) qui repreacutesente un supraconducteur
I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)
I411 Preacutesentation du modegravele
Le modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (1962) a eacuteteacute introduit par C P Bean (1923-1996)
dans le but drsquoeacutetudier lrsquoaimantation des supraconducteurs massifs [64 65] Il stipule qursquoagrave
tempeacuterature donneacutee la densiteacute de courant dans un supraconducteur est soit nulle soit eacutegale agrave
27
la densiteacute de courant critique Cest-agrave-dire que les supraconducteurs nrsquoexistent que dans les
deux cas suivants
- Une densiteacute de courant nulle pour les reacutegions ougrave le champ ne varie plus
- Une densiteacute de courant cJplusmn dans les reacutegions qui srsquooppose aux variations du champ
magneacutetique
ou 0cJ J J= plusmn =
Ce modegravele ne prend pas en consideacuteration la deacutependance de la densiteacute du courant
critique en champ magneacutetique et en tempeacuterature Aussi la discontinuiteacute de ce modegravele le rend
peu utilisable pour des deacuteveloppements numeacuteriques Par ailleurs gracircce agrave sa simpliciteacute ce
modegravele reste le plus utiliseacute dans les calculs analytiques afin drsquoeacutetudier les pertes en reacutegime
variable (AC) dans les rubans et aussi dans les pheacutenomegravenes de magneacutetisation [66][67]
En effet le modegravele de Bean connait un grand succegraves dans le cas des supraconducteurs
agrave basse tempeacuterature critique et lrsquoon y fait souvent reacutefeacuterence dans la litteacuterature
I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long notion
de peacuteneacutetration complegravete
En considegravere un cylindre supraconducteur infiniment long de rayon R soumis agrave un
champ magneacutetique exteacuterieur variable ( )aH t parallegravele agrave son axe
Nous allons eacutetudier la distribution de champ magneacutetique ( )B la densiteacute de courant eacutelectrique
( )J et le champ eacutelectrique dans ce cylindre supraconducteur
Le milieu supraconducteur de cylindre est repreacutesenteacute par 0micro micro= Les eacutequations neacutecessaires
pour deacuteterminer ces grandeurs se sont les eacutequations de Maxwell simplifieacutees suivantes
( ) I7BrotEt
part= minus
part
( )0 I8rotB Jmicro=
Les coordonneacutees cylindriques sont employeacutees Le champ magneacutetique appliqueacute ( )aB t
est orienteacute suivant lrsquoaxe Oz J et E sont donc orienteacutes suivant θ et variant en fonction de r
et t
Lorsqursquoon augmente la valeur du champ magneacutetique appliqueacute aH lrsquoinduction
magneacutetique B va peacuteneacutetrer progressivement agrave lrsquointeacuterieur de cylindre
28
En utilisant le modegravele de Bean afin de deacuteterminer la distribution de champ
magneacutetique B de la densiteacute de courant eacutelectrique J et de champ eacutelectrique E agrave lrsquointeacuterieur de
cylindre supraconducteur lrsquoeacutequation (18) donne
( )0 o u 0 I9rotB J rotBmicro= plusmn =
Lrsquoinduction agrave la surface de cylindre vaut
( ) ( ) ( )0 0 I10aB R t H tmicro=
Dans le cylindre le champ magneacutetique est orienteacute suivant lrsquoaxe Oz et ne deacutepond que r et t
( ) ( ) I11zB B r t u=
Par contre le champ eacutelectrique E et la densiteacute de courant J sont orienteacute suivant θ et
deacutependent aussi de r et t
( ) ( ) I1 2E E r t uθ=
( ) ( ) I1 3J J r t uθ=
Le champ magneacutetique exteacuterieur augmente agrave partir de zeacutero jusqursquoagrave une valeur
maximale Bmax Drsquoapregraves la loi de Lenz des courants qui srsquoopposent aux variations du champ
magneacutetique se deacuteveloppent agrave partir de lrsquoexteacuterieur du conducteur Drsquoapregraves le modegravele de Bean
ces courant ont une densiteacute de courant J eacutegale agrave (figure I17)
( )1
1
0 00
I14C
C
J ou pour r RJ
J ou pour R r Rminus lt lt
= + lt lt
Les eacutequations (I7) et (I9) deviennent
( ) ( ) I 51 1rE B
r r tpart part
= minuspart part
( )0 116C
B Jr
micropartminus = plusmnpart
Agrave partir des eacutequations (I11) et (I16) pour 1R r Rlt lt
( ) ( ) ( )0 I 1 7C aB r t J r R Bmicro= minus minus +
29
Pour une peacuteneacutetration complegravete le champ de peacuteneacutetration complegravete est donneacute sous la forme
( )0 I18p CB J Rmicro=
Si la valeur du champ externe est infeacuterieure agrave cette valeur la peacuteneacutetration dans ce cas est
incomplegravete et le champ peacutenegravetre jusqursquoagrave PR que lrsquoon peut calculer
( )max
0
I19PC
BR RJmicro
= minus
Le champ eacutelectrique est preacutesent entre ( )1R t et R et il est calculeacute agrave partir de lrsquoeacutequation (I16)
( )( )( ) ( )
2 21 I2
2 0
r R tBE r tt r
minuspart= minus
part
Lrsquoexpression de ( )1R t est donneacutee comme suit
( ) ( ) ( )max 01
0
I 12
2C
B B tR t R
Jmicrominus
= minus
En cas de peacuteneacutetration complegravete PR est eacutegal agrave 0 Quand ( )1R t srsquoannule le champ eacutelectrique
devient
( ) ( ) 22
2 IB rE r tt
part= minus
part
Figure I17 Distribution de B J E dans un cylindre supraconducteur soumis agrave un
champ magneacutetique parallegravele agrave son axe
30
I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)
Pour les supraconducteurs HTC le modegravele de la loi en puissance repreacutesente mieux la
caracteacuteristique E(J) que le modegravele CSM [68-70]
( ) ( )1
I23n n
c cc c
J JJE J E E JJ J J
minus
= =
Avec
cE Champ eacutelectrique critique (Vm) sa valeur est fixeacutee arbitrairement agrave 1 V mmicro pour les
mateacuteriaux SHTC
cJ Densiteacute de courant critique (Am2) elle caracteacuterise les performances du mateacuteriau
supraconducteur
n Exposant de la loi en puissance il deacutefinit la vitesse de transition du mateacuteriau entre les
deux cas limites 1n = correspond agrave une loi drsquoohm lineacuteaire alors que pour n plus grand ( n
gt200) on srsquoapproche du modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean
Figure I18 Comparaison entre la caracteacuteristique E(J) correspond au modegravele de Bean (courbe
rouge) et au modegravele de loi en puissance (courbe verte) avec celle obtenue expeacuterimentalement
(courbe bleu) pour un ruban
Contrairement au modegravele CSM le modegravele PLM est plus commode agrave utiliser dans les
formulations numeacuteriques car sa fonction est continue et possegravede eacutegalement une deacuteriveacutee
continue et crsquoest un modegravele dont leurs paramegravetres se rapprochent le mieux des valeurs
lrsquoexpeacuterimentales (figure I18)
31
Par ailleurs en reacutealiteacute les paramegravetres Jc et n ne sont pas constants ils sont
geacuteneacuteralement deacutependants du champ magneacutetique et de la tempeacuterature
I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et n
Depuis les anneacutees 80 beaucoup de travaux ont eacuteteacute consacreacute agrave eacutetudier la deacutependance en
champ magneacutetique de la densiteacute de courant critique des SHTC Cette deacutependance peut ecirctre
obtenue expeacuterimentalement par des meacutethodes eacutelectriques et magneacutetiques
Dans les mesures eacutelectriques la fiabiliteacute et la reacutepeacutetabiliteacute des valeurs mesureacutees du
courant critique sont reacuteduites en raison des difficulteacutes agrave eacutetablir des contacts dans leacutechantillon
et agrave choisir un critegravere de tension pour deacutefinir Jc De plus en geacuteneacuteral des courants importants
traversent lrsquoeacutechantillon pendant les mesures de sorte qursquoils produisent un champ magneacutetique
qui modifie le champ appliqueacute de maniegravere non homogegravene
Le premier modegravele qui deacutecrive la deacutependance en champ magneacutetique de Jc est proposeacute
par Y Kim [71] pour les mateacuteriaux supraconducteurs agrave basse tempeacuterature critique (SBTC)
( ) 0
01 C
CJJ BB B
=+
Ougrave Jc0 est la densiteacute d courant critique sous champ nul B est lrsquoamplitude de lrsquoinduction
magneacutetique et B0 est une constante caracteacuterisant le mateacuteriau
La formule de Kim deacutecrit un comportement isotrope alors que les supraconducteurs
HTc sont fortement anisotropes lrsquoorientation du champ magneacutetique a une influence
importante sur la densiteacute du courant critique du supraconducteur [66] Une autre forme
geacuteneacuteraliseacutee de la loi de ce modegravele de Kim a eacuteteacute proposeacutee pour prendre en consideacuteration le
pheacutenomegravene drsquoanisotropie des mateacuteriaux SHTC [7273]
( ) ( )0
2 2 2
0
1
I24JcJc B Bk B B
B
βperp
perp
= + +
k Facteur drsquoanisotropie (gt1)
etB Bperp Composantes parallegravele et perpendiculaire du champ magneacutetique
β Constante caracteacuterisant la deacutependance vis-agrave-vis du champ magneacutetique
32
Eacutegalement lrsquoexposant-n de la loi en puissance se comporte de la mecircme maniegravere que Jc vis-agrave-
vis le champ drsquoinduction magneacutetique plusieurs eacutetudes ont montreacute cette deacutependance [74-77] et
la loi du comportement est similaire agrave celle de Kim pour les milieux SHTC anisotropie
( ) ( )0 2 2 2
0
)
1
I25
n
nn B Bk B B
B
perp
perp
=+
+
Avec n0 est une constante qui repreacutesente la valeur de n sous champ nulle et Bn0 est une
constante caracteacuterisant la deacutependance du n vis-agrave-vis le champ magneacutetique
I5 Meacutethodes drsquoaimantation
Les supraconducteurs notamment sous forme massive peuvent ecirctre aimanteacutes et ainsi
reacutealiser ce qursquoon appelle des cryo-aimants qui permettent de geacuteneacuterer des champs magneacutetiques
de plusieurs teslas le record eacutetant agrave de 176 T agrave 26degK [78] Par ailleurs plusieurs axes de
recherches ont eacuteteacute consacreacutes agrave eacutetudier la possibiliteacute de profiter de lrsquoinduction magneacutetique
importante produite par des pastilles aimanteacutees en vue drsquoapplications en geacutenie eacutelectrique Il
existe diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantation des supraconducteurs massifs ces meacutethodes sont
baseacutees sur la variation du champ magneacutetique appliqueacute afin de creacuteer selon la loi de Lenz des
courants induits agrave lrsquointeacuterieur de ces supraconducteurs Ces courants induits geacutenegraverent agrave leur
tour un champ magneacutetique opposeacute au champ appliqueacute Ce principe est utiliseacute pour reacutealiser des
eacutecrans magneacutetiques ou pour pieacuteger du champ magneacutetique avec des aimants
supraconducteurs
I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)
Cette meacutethode consiste agrave appliquer un champ magneacutetique en refroidissant une pastille
supraconductrice agrave une tempeacuterature infeacuterieure agrave sa tempeacuterature critique (TltTC) en preacutesence
du champ magneacutetique appliqueacute [79-81] Ensuite et quand la tempeacuterature de refroidissement
stabilise ce champ magneacutetique appliqueacute est rameneacute tregraves lentement vers le zeacutero ce qui permet
la creacuteation des courants induits agrave lrsquointeacuterieur de la pastille en srsquoopposant agrave la deacutecroissance du
champ magneacutetique appliqueacute afin drsquoavoir un champ magneacutetique pieacutegeacute dans la pastille La
figure I19 illustre les diffeacuterentes eacutetapes drsquoaimantation par la meacutethode FC
33
Figure I19 Aimantation par refroidissement sous champ magneacutetique (Field Cooling FC)
[109]
La meacutethode FC donne des meilleurs reacutesultats en termes de champ pieacutegeacute Par contre ce
dernier ne peut pas ecirctre supeacuterieur au champ appliqueacute
Cependant lrsquoutilisation drsquoun eacutelectro-aimant supraconducteur est primordiale pour obtenir une
forte valeur du champ magneacutetique (gt10T) et permet ensuite de pieacuteger un champ magneacutetique
plus intense
En 2003 et lors de leurs travaux sur lrsquoaimantation de lrsquoYBaCuO massif les japonais
Masaru Tomita et Masato Murakami ont pu pieacuteger un champ magneacutetique eacutegale agrave 17 T agrave 29 K
en appliquant un champ magneacutetique eacutegale agrave 179T [78] et une valeur de 176T a eacuteteacute pieacutegeacutee par
J H Durrell et all agrave 28K en 2014 [82] en utilisant des pastilles supraconductrices de type
GdBCO de 2415 mm de diamegravetre et de 15 mm de hauteur
I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC)
Dans cette meacutethode et contrairement agrave la meacutethode FC lrsquoapplication du champ
magneacutetique se fait apregraves le refroidissement de la pastille agrave la tempeacuterature de fonctionnement
(tltTc) [81] figure I20
Avec cette meacutethode on peut pieacuteger une valeur de champ magneacutetique inferieur
(environ deux fois) agrave celle pieacutegeacute par la meacutethode FC car deux nappes de courant sont induites
lors de lrsquoaimantation par ZFC une correspondant agrave lrsquoapplication du champ magneacutetique et
lrsquoautre agrave la diminution du champ
34
Figure I20 Aimantation par refroidissement hors champ magneacutetique
(Zero Field Cooling ZFC) [109]
En utilisant les meacutethodes drsquoaimantations FC et ZFC un champ magneacutetique appliqueacute
externe important et constant est neacutecessaire pour eacutetablir un champ SHTC pieacutegeacute intense En
geacuteneacuterale cela signifie quun aimant soleacutenoiumlde supraconducteur agrave grande eacutechelle et des
alimentations encombrantes associeacutees sont neacutecessaires Ces exigences limitent souvent
lutilisation de ce type drsquoaimants SHTC pour une utilisation dans la recherche scientifique au
niveau des laboratoires ou dans des applications industrielles comme les machines eacutelectriques
tournantes [83]
I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization
(PFM)
Le processus drsquoaimantation par la meacutethode PFM neacutecessite lrsquoobtention drsquoune impulsion
de courant eacutelectrique intense dans une bobine de petites dimensions ce qui permet de geacuteneacuterer
une impulsion de champ magneacutetique importante pour aimanter la pastille supraconductrice
[84-86]
La meacutethode PFM est une autre forme de la meacutethode ZFC sauf que la dureacutee de
lrsquoimpulsion de champ appliqueacute dans ce cas est tregraves courte (quelques millisecondes)
Lrsquoavantage fondamental de la meacutethode PFM est qursquoelle ne neacutecessite pas un eacutelectro-aimant
supraconducteur une simple bobine de cuivre suffit pour geacuteneacuterer une impulsion de champ
magneacutetique de plusieurs teslas et produit par la suite un champ magneacutetique pieacutegeacute important
(environ 30 agrave 40 du champ appliqueacute)
35
La forme de lrsquoimpulsion du champ magneacutetique appliqueacute le volume et la forme de la
pastille utiliseacutee et sa densiteacute de courant eacutelectrique influent fortement sur la valeur du champ
magneacutetique pieacutegeacute dans la pastille
Figure I21 Aimantation par un champ impulsionnel (pulsed field magnetization PFM)
[109]
Le circuit eacutelectrique de lrsquoaimantation utiliseacute dans ce cas-lagrave est un circuit RLC composeacute drsquoun
circuit de charge de condensateur C et circuit de deacutecharge de ce condensateur dans lrsquoinducteur
Lind (Figure I22)
La forme de lrsquoimpulsion du champ magneacutetique creacuteeacute par lrsquoinducteur est lrsquoimage de la
forme du courant eacutelectrique produit par le circuit de deacutecharge LC Lrsquoamplitude et la constante
du temps caracteacuteristique du courant impulsionnel sont directement lieacutees agrave la valeur de
lrsquoinductance L
Figure I22 Scheacutema eacutelectrique simplifieacute du circuit utiliseacute pour aimanter les supraconducteurs
massifs
36
En reacutegime peacuteriodique lexpression du champ magneacutetique appliqueacute est alors donneacutee par la
solution de leacutequation de deacutecharge du circuit
( ) ( ) ex I26p 1a mt tH t Hτ τ
= minus
Avec
LCτ = Constance du temps du circuit de deacutecharge
( )0 exp(1)mH q τ= Champ maximal donneacutee pour t τ=
0q Charge initiale du condensateur C du circuit
La figure I23 preacutesente leacutevolution temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour
laimantation par la meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
Figure I23 Variation temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour laimantation par la
meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
Eacutetant donneacute que la magneacutetisation par la meacutethode PFM est un proceacutedeacute largement utiliseacute
pour laimantation des cryo-aimants il semble inteacuteressant de deacutevelopper des outils et des
meacutethodes de calcul deacutedieacutees pour ce proceacutedeacute Des travaux anteacuterieurs avaient eacuteteacute meneacutes en vue
du deacuteveloppement des modegraveles analytiques pour calculer la distribution du champ magneacutetique
des bobines circulaires seules avec un noyau de fer ou en preacutesence de noyau supraconducteur
[87-91] ainsi que le cas de bobine circulaire dans un circuit ferromagneacutetique avec entrefer
[92]
37
Dans le chapitre II de cette thegravese nous allons deacutevelopper un modegravele analytique pour
montrer lrsquoeffet de la preacutesence drsquoune pastille supraconductrice sur la valeur de lrsquoinductance
drsquoune bobine circulaire placeacutee dans un circuit ferromagneacutetique avec entrefer
I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTC
La deacutetermination de la densiteacute de courant critique du mateacuteriau supraconducteur peut ecirctre
reacutealiseacutee soit par la meacutethode eacutelectrique (meacutethode directe) soit par la meacutethode magneacutetique
(meacutethode indirecte) Chacune de ces meacutethodes comporte des problegravemes pratiques qui rendent
deacutelicate lrsquoobtention drsquoune mesure preacutecise de CJ
I51 Meacutethode eacutelectrique
La meacutethode eacutelectrique consiste agrave injecter dans lrsquoeacutechantillon des courants croissants
jusqursquoagrave ce que lrsquoeacutetat supraconducteur disparaisse [93] La meacutethode de quatre pointes est ainsi
utiliseacutee dans laquelle le courant I est injecteacute dans lrsquoeacutechantillon et la mesure de la tension U
aux bornes de lrsquoeacutechantillon est faite (figure I24) On considegravere que le courant injecteacute se
reacutepartit uniformeacutement dans tout le mateacuteriau pour obtenir une relation simple entre le courant
et la densiteacute de courant I= JS ougrave S est la section de lrsquoeacutechantillon Aussi on suppose que le
champ eacutelectrique agrave une seule composante suivant lrsquoaxe de lrsquoeacutechantillon pour avoir une
relation simplifieacutee entre le champ eacutelectrique E et la tension U aux bornes de lrsquoeacutechantillon
U=El avec l est la distance entre les prises de potentiel Le champ eacutelectrique critique EC est
souvent choisi de 1 V mmicro A partir de la mesure U(I) en deacuteduit E(J) et par la suite la densiteacute
de courant critique Jc et lrsquoexposant-n de la loi en puissance preacutesenteacutee ci-dessus
Figure 24 Scheacutema repreacutesentatif de la meacutethode eacutelectrique pour deacuteterminer la densiteacute
de courant eacutelectrique Jc drsquoun mateacuteriau supraconducteur
Cette meacutethode de mesure de Jc des SHTC est simple et donne accegraves la vraie valeur de
Jc Cependant [93] elle implique la pose de contact sur lrsquoeacutechantillon qui peut entrainer des
38
problegravemes de dissipation de chaleur aux contacts Cette meacutethode est geacuteneacuteralement tregraves utiliseacutee
surtout pour les rubans
I52 Meacutethode magneacutetique
Les meacutethodes magneacutetiques sont baseacutees sur lrsquoeacutetude des proprieacuteteacutes magneacutetique du
mateacuteriau supraconducteur Lrsquoeacutechantillon est soumis agrave un champ magneacutetique externe H Ce
champ creacutee des boucles de courant induites qui peuvent ecirctre de type intragrain ou intergrain
[39] srsquoopposant au champ appliqueacute Les meacutethodes geacuteneacuteralement utiliseacutees mesurent
lrsquoaimantation M de lrsquoeacutechantillon et permettent alors de calculer la densiteacute de courant critique
Jc agrave lrsquoaide du modegravele de Bean
Les principaux avantages des meacutethodes magneacutetiques sont drsquoune part lrsquoabsence de
contact eacutelectrique avec lrsquoeacutechantillon et donc la possibiliteacute de ne pas amener de chaleur agrave
lrsquoeacutechantillon et drsquoautre part la possibiliteacute drsquoeacutetudier des eacutechantillons de taille tregraves faible voire
mecircme des poudres
Au laboratoire GREEN Bruno DOUINE amp al ont deacuteveloppeacute une nouvelle meacutethode
magneacutetique de caracteacuterisation de pastilles SHTC pour deacuteterminer la densiteacute de courant
critique Jc et lrsquoexposant-n de la loi en puissance du mateacuteriau supraconducteur Le principe est
de mesurer le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP Ce champ magneacutetique
correspond au champ magneacutetique appliqueacute neacutecessaire pour que la diffusion du champ
magneacutetique atteigne le centre de pastille SHTC [77 94 95 96]
I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastille
Un champ magneacutetique est appliqueacute perpendiculairement sur une pastille SHTC de
rayon R et de hauteur L comme crsquoest montreacute sur la figure I25 Ce champ magneacutetique
appliqueacute est consideacutereacute lineacuteairement varie en fonction du temps
( ) ( ) I27a bB t V t=
Avec Vb est la vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacute
Figure I25 Pastille supraconductrice massive de forme cylindrique soumise agrave un champ
magneacutetique appliqueacute axialement
39
Un champ magneacutetique commence agrave apparaitre au centre de la pastille apregraves un certain
temps pt appeleacute temps de peacuteneacutetration le champ magneacutetique appliqueacute neacutecessaire agrave la
peacuteneacutetration complegravete jusqursquoau centre de la pastille est appeleacute champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete et noteacute BP (figure I26) En utilisant le modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean
(CSM) ce champ de peacuteneacutetration appeleacute aussi champ de peacuteneacutetration de Bean BPB peut-ecirctre
analytiquement obtenu agrave partir de la loi de Biot et Savart sous la forme suivante [77]
( )
22
02
2
2ln4
2
I28cPB
LR RJ LB
LR R
micro
+ + = + minus
Le principe de cette meacutethode est de mesurer le champ de peacuteneacutetration BPB et deacuteduire
par la suite la densiteacute de courant critique Jc
Figure I26 Variation du champ magneacutetique en fonction du temps Ba est le champ appliqueacute
sur la pastille et B0 repreacutesente le champ magneacutetique mesureacute au centre de la pastille
En fait lrsquoideacutee principale est de remplacer la pastille SHTC eacutetudieacutee par deux pastilles
SHTC identiques seacutepareacutees par un entrefer drsquoeacutepaisseur laquo e raquo dans lequel est placeacutee une sonde
agrave effet Hall afin de mesurer le champ magneacutetique entre ces deux pastille (figure I27) Le
champ magneacutetique mesureacute possegravede une seule composante crsquoest la composante radiale
40
Figure I27 Position de sonde agrave effet Hall entre deux pastilles SHTC
Theacuteoriquement ces deux pastilles sont consideacutereacutees comme une seule pastille dont
lrsquoinfluence de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoentrefer creacuteeacute par la sonde sur la valeur de la densiteacute de courant
Jc doit ecirctre prise en consideacuteration
Lrsquoaimantation de la pastille se fait par la meacutethode PFM le champ appliqueacute est obtenu
par une simple deacutecharge drsquoun condensateur dans une bobine en cuivre Le scheacutema eacutelectrique
du circuit drsquoaimantation est preacutesenteacute sur la figure I22
La figure I28 repreacutesente la variation du champ magneacutetique en fonction du temps pour
deux pastilles SHTC identiques de type YBaCuO caracteacuteriseacutee chacune par un rayon R de
10mm et de longueur L eacutegale agrave 5 mm et seacutepareacutees par une distance de 1mm (repreacutesente
lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall)
Figure I28 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesureacute entre deux pastilles
SHTC
41
Par conseacutequent la deacutetermination du temps de peacuteneacutetration Pt est effectueacutee comme suit
Nous consideacuterons drsquoabord que apregraves peacuteneacutetration complegravete du champ magneacutetique ( )Pt tgt
( )aB t et ( )0B t sont seacutepareacutes par une valeur eacutegale agrave PBB Deuxiegravemement nous modifions ( )0B t
B0(t) autour de tp pour quil soit identique au champ magneacutetique appliqueacute ( )aB t (figue I22)
Ceci permet au final de deacuteduire Pt et PMB
La valeur du champ magneacutetique PMB mesureacute pour des deux pastilles est drsquoenvirons 1
Tesla A partie de cette valeur de PMB cedil qursquoon suppose eacutegale agrave BPB on peut calculer la valeur
de la densiteacute de courant critique Jc agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 Elle est eacutegale agrave 110 Amm2 et
crsquoest une valeur proche des valeurs estimeacutees agrave partir des donneacutees des constructeurs et de la
litteacuterature
I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur le champ
de peacuteneacutetration
En utilisant le modegravele de la loi en puissance (PLM) le champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete noteacute BP peut srsquoexprimer numeacuteriquement en fonction du champ
magneacutetique de peacuteneacutetration ducirc au modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM) (BPB) de la vitesse
de monteacutee du champ appliqueacute Vb et de la puissance n comme [77]
( ) ln I291 bP PB
VB Bn
α β+ = +
Avec 12α = et 34β =
On peut ajouter ici qursquoil nrsquoy a pas drsquoinfluence des paramegravetres geacuteomeacutetrique de la
pastille R et L sur les valeurs de α etβ
La relation I29 saveacuterera expeacuterimentalement utile pour deacuteterminer la valeur n dune
pastille supraconductrice soumise agrave des diffeacuterentes vitesses de monteacute Vb du champ externe
Pour cela deux manipes expeacuterimentales sont installeacutees lrsquoune contient une bobine
supraconductrice afin de geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee du champ appliqueacute Ba (Meacutethode
drsquoaimantation ZFC) et lrsquoautre une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer un champ magneacutetique
agrave vitesse de monteacutee eacuteleveacutee de Ba (Meacutethode PFM) Les reacutesultats de mesure de champ
magneacutetique sont illustreacutes sur la figure I29
Lrsquoinfluence de lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall placeacutee sera prise en consideacuteration
dans les calculs de lrsquoexposant-n et la densiteacute de courant critique du mateacuteriau supraconducteur
42
(a) (b)
Figure I29 Repreacutesentation du champ magneacutetique appliqueacute et le champ magneacutetique mesureacute
entre deux pastilles SHTC en fonction de temps en utilisant a) une bobine supraconductrice
pour geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee b) une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer une
vitesse de monteacutee eacuteleveacutee
Soit 1PMB le champ de peacuteneacutetration mesureacute pour une faible vitesse de monteacutee 1bV et 2PMB est le
champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute pour une vitesse de monteacutee eacuteleveacutee 2bV
A partir de lrsquoeacutequation (I22) la valeur de n peut ecirctre deacuteduite agrave partir de
( ) ( )2 1 1 2
1 2
I3l ln
0nPM b PM b
PM PM
B V B Vn
B Bα
βminus
= minusminus
A partir de cette valeur de n et les valeurs de 1PB et 1bV on deacuteduit la valeur de PBB agrave
lrsquoaide de lrsquoeacutequation (I29) Par la suite la valeur de JC sera deacutetermineacutee agrave partir de lrsquoeacutequation
(I28) en fonction des paramegravetres geacuteomeacutetrique R et L
I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de lrsquoexposant-n et Jc
Rappelons que les mesures expeacuterimentales agrave travers la sonde agrave effet Hall placeacutee entre
deux pastilles SHTC donnent le champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute BPM et non pas le
champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP agrave cause de lrsquoentrefer existant entre les deux
pastilles ducirc agrave la sonde
Afin de trouver une relation entre BPM et BP une simulation numeacuterique est effectueacutee
pour les deux cas suivants
43
- Cas drsquoune pastille seule sans sonde agrave effet hall (e=0) pour deacutetermineacute BP au
centre de la pastille agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I8
- cas de deux pastilles identiques seacutepareacutees pour une distance laquo e raquo qui preacutesente
lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall pour deacuteterminer le champ de peacuteneacutetration BPM
La figure I30 repreacutesente la variation de rapport PM PB B en fonction de la longueur L
de la pastille pour e = 05 mm et e = 1 mm Le champ magneacutetique appliqueacute sur les pastilles est
caracteacuteriseacute par une vitesse de monteacutee Vb= 1000 Ts les pastilles utiliseacutees sont modeacuteliseacutees par
une densiteacute de courant critique Jc=100Amm2 un rayon R=10 mm et n = 15
Une relation entre BPM et BP est deacuteduite
( ) ( ) 05 00 I312ln( ) 081 368 1PM
P
B e mm LB
= = +
( ) ( ) 1 00 I3350ln( ) 07233 2PM
P
B e mm LB
= = +
Les expressions I10 et I11 sont indeacutependantes de Vb et n [95] Cependant elles sont valables
uniquement pour R=10 mm Pour drsquoautres valeurs de R des nouvelles relations entre BPM et
BP peuvent ecirctre exprimeacutes avec les mecircmes maniegraveres de calculs
Figure I30 Rapport P
PMBB
en fonction de longueur L de la pastille SHTC
I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille
Une autre meacutethode de calcul de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete a eacuteteacute
proposeacutee en utilisant une seule pastille au lieu deux agrave partir de la mesure de champ
magneacutetique au centre de la surface de la pastille agrave lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet hall placeacutee agrave une
44
distance laquo d raquo au-dessus de la surface de la pastille (figure I31) Cette meacutethode a lrsquointeacuterecirct
drsquoecirctre tregraves simple agrave exeacutecuter et moins couteuse
Figure I31 Position du sonde agrave effet Hall au centre de surface de la pastille
I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et BP
Des simulations numeacuteriques et analytiques ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour deacuteterminer la relation
entre le champ magneacutetique mesureacute agrave lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet Hall et le champ magneacutetique
de peacuteneacutetration complegravete BP
Une pastille SHTC de rayon R et de longueur L est agrave soumise agrave un champ
magneacutetique lineacuteairement variable appliqueacute perpendiculairement sur la surface de la pastille
Cela nous permet de deacuteterminer le champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur et agrave lrsquoexteacuterieur de la
pastille Ainsi de deacuteterminer la densiteacute du courant critique de cette pastille
La figure I32 repreacutesente la distribution de la densiteacute du courant CJ J dans la pastille
SHTC pour trois diffeacuterentes vitesses de monteacutee Vb (01 Ts et 10 Ts et 1000Ts) pour une
mecircme valeur de la densiteacute de flux magneacutetique appliqueacute Dans cette simulation la valeur de
lrsquoexposant-n utiliseacute est 15 ce qui repreacutesente une faible valeur pour un SHTC agrave 77 K et une
densiteacute de courant critique Jc consideacutereacutee constante eacutegale agrave 100 Amm2
On remarque que quels que soient la valeur de Vb les paramegravetres geacuteomeacutetriques de la pastille
SHTC et la valeur de n (gt 10) JJc est presque constante partout dans les reacutegions ougrave la
densiteacute de courant eacutelectrique nrsquoest pas nulle
Quand Ba devient eacutegal agrave BP on dit que la peacuteneacutetration est complegravete et CJ J est consideacutereacute
constant sur toute la pastille comme dans le cas du modegravele de Bean
45
Figure I32 Distribution de la densiteacute de courant JJc dans la pastille SHTC pour trois valeur
de vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacute
On appelle ( )0B t le champ magneacutetique au centre de la pastille SHTC et ( )zB d t le
champ magneacutetique mesureacute par la sonde agrave effet Hall au-dessus du centre de la surface de la
pastille agrave une distance d=05mm
46
( )aB t ( )0B t et ( )05 zB d mm t= sont repreacutesenteacute sur la figure I26 une densiteacute de courant
critique constante Jc=100Amm2 un champ magneacutetique appliqueacute lineacuteairement varie avec une
vitesse de monteacute Vb=1 Ts et une valeur de lrsquoexposant-n=15
La diffeacuterence ( ) ( )a zB t B tminus noteacute ( ) )ZSCB d t repreacutesente la densiteacute de flux magneacutetique
produit par le courant induit agrave lrsquointeacuterieur de la pastille SHTC La figure I33 montre que la
diffeacuterence ( ) ( )05 a zB t B d mm tminus = atteint une valeur maximale noteacute BZSCM avant que
( ) ( )0aB t B tminus atteint BP La relation entre BZSCM et BP est lieacutee aux paramegravetres geacuteomeacutetriques de
la pastille SHTC comme dans le modegravele de lrsquoeacutetat critique (CSM)
Figure I33 Calcul numeacuterique de BP au centre de la pastille et BZSCM au-dessus du centre de
surface de la pastille agrave d = 05mm
Dans le cas du champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete et modegravele de lrsquoeacutetat critique
(CSM) la densiteacute du flux magneacutetique le long de lrsquoaxe drsquoune pastille supraconductrice
cylindrique noteacute BZSCB peut ecirctre donneacute analytiquement en utilisant la loi de Biot et Savart de
la mecircme faccedilon que BPB sous forme
( ) ( ) ( )
( )
( )2 2 2 2
0
2 2 22
1 1 ln l I3n
4 1 13C
ZSCB
R Rd L RJ d RB d R L d L dR R
d Rd L R
micro
+ + + + + = + minus minus minus + + +
47
Une eacutetude comparative a eacuteteacute reacutealiseacutee entre un calcul analytique du rapport ZSCB PBB B
et un calcul numeacuterique du rapport ZSCM PB B en fonction de la distance laquo d raquo Le calcul
numeacuterique est fait pour diffeacuterentes valeurs de n et Vb (figure I34)
Figure I34 comparaison entre le calcul numeacuterique ZSCB PBB B et le calcul analytique
ZSCM PB B
On remarque que quels que soient les valeurs de n et Vb les rapports ( ) ZSCM PB d B et
( ) ZSCB PBB d B sont eacutequivalents Donc agrave partir de la valeur BZSCM(d) mesureacute le champ de
peacuteneacutetration PB peut ecirctre deacuteduit de la faccedilon suivante
( )( )( ) ( )
I34ZSCM mesureacute
PZSCB PB analytiquement
B dB
B d B=
Le rapport ( )( )ZSCB PBB d B est indeacutependant de Jc il deacutepend seulement des paramegravetres
geacuteomeacutetrique R et L de la pastille
48
I6 Objectifs de la thegravese
Apregraves avoir preacutesenteacute un rappel historique sur lrsquoeacutevolution de la supraconductiviteacute
depuis sa deacutecouverte jusqursquoau temps actuel nous avons rappeleacute quelques proprieacuteteacutes
caracteacuteristiques des mateacuteriaux supraconducteurs et leurs grandeurs critique Ensuite nous
avons preacutesenteacute les mateacuteriaux massifs supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
et leurs proprieacuteteacutes en citant deux mateacuteriaux de ce type agrave savoir lrsquoYBaCuO et le MgB2 Nous
avons preacutesenteacute eacutegalement des diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantations des pastilles supraconductrices agrave
savoir les meacutethodes ZFC FC et PFM
Enfin nous avons fait un reacutesumeacute sur une nouvelle meacutethode de caracteacuterisations reacutealiseacutee
au laboratoire GREEN par B DOUINE amp al pour calculer les grandeurs caracteacuteristiques
drsquoune pastille SHTC
Deux axes principaux sont viseacutes par cette thegravese
1 Proposer des modegraveles analytiques de dimensionnement de lrsquoinducteur drsquoun systegraveme
drsquoaimantation drsquoune pastille supraconductrice en preacutesence drsquoun circuit
ferromagneacutetique
2 Ameacuteliorer les meacutethodes de caracteacuterisation existant notamment celles utilisant la
meacutethode PFM afin drsquoeacutetudier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique drsquoune
pastille supraconductrice agrave haute tempeacuterature critique
49
Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de
lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit
ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune
pastille supraconductrice
50
II1 Introduction
La supraconductiviteacute est un domaine tregraves passionnant de la physique appliqueacutee En
geacutenie eacutelectrique comme en physique les supraconducteurs sont largement utiliseacutes pour
obtenir des champs magneacutetiques tregraves eacuteleveacutes On peut obtenir des aimants avec des mateacuteriaux
supraconducteurs massifs de type (RE) BCO agrave lrsquoaide drsquoun champ magneacutetique Ils peuvent
atteindre une densiteacute de flux magneacutetique tregraves eacuteleveacutee En effet il existe diffeacuterentes faccedilons
drsquoaimanter ce type de supraconducteurs massifs Cependant le moyen le plus commode et le
plus courant est drsquoutiliser un champ magneacutetique pulseacute Cette meacutethode est appeleacutee laquo PFM raquo
pour laquo Pulsed Field Magnetization raquo elle est geacuteneacuteralement utiliseacutee pour lrsquoaimantation des
cryo-aimants [84]
Il est tregraves important destimer et deacutevaluer les composantes du champ magneacutetique qui
deacutependent fortement de la geacuteomeacutetrie de linducteur du circuit drsquoaimantation utiliseacute et qui a
pour but final doptimiser la configuration expeacuterimentale Dans leacutetape de conception de
linducteur neacutecessaire pour magneacutetiser les supraconducteurs massifs agrave haute tempeacuterature
critique (SHTC) la modeacutelisation et la simulation sont fortement recommandeacutees pour effectuer
les calculs neacutecessaires des diffeacuterentes caracteacuteristiques eacutelectriques du systegraveme eacutetudieacute agrave savoir
la reacutesistance et linductance de la bobine La deacutetermination de la valeur de la reacutesistance est
assez simple tandis que lrsquoinductance neacutecessite un traitement particulier
De ce fait des modegraveles analytiques ont eacuteteacute proposeacutes depuis longtemps pour calculer la
distribution du champ magneacutetique creacuteeacute par des bobines circulaires sans fer [88 89 98] et plus
reacutecemment pour des bobines avec des noyaux de fer de longueur finie [90] Bien que ces
meacutethodes donnent des reacutesultats preacutecis elles ne sont pas adapteacutees pour leacutetude des bobines
axisymeacutetriques placeacutees dans un circuit ferromagneacutetique contenant un entrefer simple ou un
entrefer contenant une pastille supraconductrice Ces modegraveles sont baseacutes essentiellement sur
la loi de Biot et Savart Des logiciels commerciaux sophistiqueacutes qui donnent des reacutesultats tregraves
preacutecis en consideacuterant la non-lineacuteariteacute des mateacuteriaux impliqueacutes dans le problegraveme eacutetudieacute sont
utiliseacutes
Dans ce chapitre nous proposons drsquoutiliser des meacutethodes analytiques pour reacutealiser
cette tacircche en reacutesolvant les eacutequations de Laplace et de Poisson De telles meacutethodes conduisent
agrave des solutions significatives avec des informations physiques tregraves utiles pour lrsquoeacutetape de la
conception Il srsquoagit de calculer le potentiel vecteur magneacutetique A
dans les diffeacuterentes reacutegions
drsquointeacuterecirct drsquoun circuit ferromagneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer concentrique par rapport agrave la
51
bobine en absence de tout mateacuteriau supraconducteur Le cas de preacutesence drsquoune pastille
supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du circuit deacutecrit preacuteceacutedemment sera eacutegalement
traiteacute Pour montrer lrsquoinfluence de la preacutesence drsquoun mateacuteriau supraconducteur sur la valeur de
lrsquoinductance de la bobine utiliseacutee il sera question de calculer son inductance dans les deux cas
A la fin de ce chapitre et en prenant le problegraveme du circuit magneacutetique sans pastille
nous allons utiliser lrsquoexpression analytique du potentiel vecteur magneacutetique obtenue dans ce
cas pour calculer les courants induits dans une pastille supraconductrice en utilisant laquola
meacutethode de Brandtraquo bien connue deacuteveloppeacutee en 1998 pour les disques et les cylindres dans
un champ magneacutetique axial [100 101]
II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveses
La geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute est repreacutesenteacutee sur la figure II1
Figure II1 Geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute un circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie infeacuterieur de longueur 3 2 e Z Z= minus concentrique avec une bobine de
longueur 4 1L Z Z= minus
Les reacutegions I III et IV correspondent agrave de lrsquoair La reacutegion II correspond agrave une bobine
circulaire en cuivre de section transversale rectangulaire Cette bobine composeacutee de N spires
de rayon interne 2R de rayon externe 3R et de longueur 4 1L Z Z= minus est parcourue par une
densiteacute de courant uniforme J dans le sens uθ
La bobine est concentreacutee autour drsquoun
entrefer de rayon 1R et de longueur 3 2e Z Z= minus situeacute sur la partie infeacuterieure du circuit
ferromagneacutetique (figure II1) Lrsquoensemble du systegraveme est deacutelimiteacute dans la direction axiale par
52
0z = et 5z Z= Les limites exteacuterieures du circuit ferromagneacutetique doivent ecirctre choisies
suffisamment loin de la zone de calcul pour ne pas affecter les reacutesultats obtenus Des
conditions aux limites homogegravenes de type Dirichlet sont consideacutereacutees dans les reacutegions I II et
III agrave 0z = et 5z Z= et de type de Neumann dans la reacutegion IV agrave 2z Z= et 3z Z=
Le problegraveme est traiteacute en axisymeacutetrique la formulation en potentiel vecteur
magneacutetique en coordonneacutees cylindriques est employeacutee Seule la composante suivant θ du
potentiel vecteur magneacutetique est preacutesente et elle ne deacutepend que des coordonneacutees r et z
A partir de lrsquoeacutequation de Maxwell-Ampegravere
( )0 0 0 II1ErotB Jt
micro micro ε part= +
part
Lorsque le champ eacutelectrique est stationnaire le second membre de lrsquoeacutequation (II1) devient
neacutegligeable
Drsquoautre part lrsquoexpression de lrsquoinduction magneacutetique en fonction du potentiel vecteur
magneacutetique est donneacutee comme suit
( ) ( ) II2B rot A=
En remplaccedilant lrsquoeacutequation (II2) dans (II1) on trouve
( ) ( )20 0 ( ( ) ) ( II 3) rot rot A J grad div A A Jmicro micro= rArr minusnabla =
Compte tenu de la jauge de coulomb ( ) 0div A = lrsquoeacutequation (II3) devient
( )20 II4A Jmicronabla = minus
Donc deux cas sont possibles
( )2 0
II0 5J Equation de Poisson
AEquation de Laplace
microminusnabla =
Pour notre problegraveme les expressions du potentiel vecteur magneacutetique pour chaque
reacutegion sont obtenues agrave partir de la reacutesolution de lrsquoeacutequation de poisson dans la reacutegion de la
bobine (reacutegion II) et de Laplace dans les reacutegions I II et III en respectant les conditions de
continuiteacute des composantes tangentielles et normales du champ magneacutetique aux interfaces
entre les reacutegions
53
( ) ( ) ( )( )
( )2
0
2
II6
0
( )II
i
r z
r
A J r z Reacutegion II Bobine
A Reacutegions i i I III IVz
micronabla =minusnabla = =
Avec 0micro et J sont respectivement la permeacuteabiliteacute du vide et la densiteacute de courant dans la bobine
Sachant que la densiteacute de courant J est consideacutereacutee homogegravene dans la bobine elle est
indeacutependante de la composante r et elle ne deacutepend que de z
( )1 4 ( ) II0
7J Z z Z
J zAilleur
lt lt=
Dans la modeacutelisation analytique de ce problegraveme nous avons supposeacute que la
permeacuteabiliteacute magneacutetique du circuit ferromagneacutetique est infinie (micro rarrinfin ) Ceci implique que
le champ magneacutetique nrsquoest pas calculeacute agrave lrsquointeacuterieur du milieu ferromagneacutetique et sa
composante tangentielle est nulle aux interfaces ferromagneacutetiques
II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetique
La reacutesolution de toute eacutequation diffeacuterentielle aux deacuteriveacutes partielles est fortement
deacutependante du domaine dans laquelle la solution est deacutefinie et valable ainsi les conditions
aux limites que cette solution doit remplir La reacutesolution de lrsquoeacutequation (II6) se fait dans les
reacutegions de I agrave IV agrave lrsquoaide de la meacutethode de seacuteparation des variables [90101]
II31 Reacutegion I 3 4 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation consideacutereacutee dans cette reacutegion est une eacutequation de Laplace elle srsquoeacutecrit en
coordonneacutees cylindrique sous la forme
( )2 2
22 2 2
10 0 II8I I I II
A A A AAr r r r z
part part partnabla = rArr + minus + =
part part part
Les conditions agrave limites homogegravenes de Dirichlet sont imposeacutees ici agrave 0Z = et 5Z Z=
( )1 1 5 ( 0 ) ( ) 0 II9A r z A r z Z= = = =
La composante tangentielle du champ magneacutetique est nulle agrave lrsquointerface pour 4r R=
( )4
II1( ) 0 0r R
rAr =
part=
part
En utilisant la meacutethode de seacuteparation de variable le potentiel Vecteur magneacutetique peut
srsquoeacutecrire comme suit
54
( ) ( ) ( ) ( ) II11A r z R r Z z=
A partir des eacutequations (II9) (II10) et (II11) la forme geacuteneacuterale de lrsquoexpression du potentiel
vecteur magneacutetique dans la reacutegion I est donneacutee par (voir deacutetails en annexe I)
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 11 0 4
II12nII n n n n
n n
K RA r z b I r K r sin z
I Rα
α α αα
infin
=
= +
sum
Avec n est un entier positif 5n n Zα π= est la valeur propre du problegraveme I0 et K0 sont
respectivement les fonctions de Bessel modifieacutees du premier et du deuxiegraveme type drsquoordre 0 etI1 et
K1sont respectivement les fonctions de Bessel modifieacutees du premier et du deuxiegraveme type ordre1
[102] Alors que Inb est la constante drsquointeacutegration elle sera deacutetermineacutee par la suite en utilisant
les conditions de passages agrave lrsquointerfaces agrave 3r R= entre les reacutegions I et II
II32 Reacutegion II 2 3 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre dans cette reacutegion est une eacutequation de Poisson En coordonneacutees
cylindriques
( )2 2
02 2 2
1 ( ) II13II II II IIA A A A J zr r r r z
micropart part part+ minus + = minus
part part part
Les conditions aux limites de Dirichlet sont imposeacutees ici agrave 0z = et 5z Z=
( )5 ( 0) ( I 10 4) III IIA r z A r z Z= = = =
Lrsquoeacutequation (II13) est une eacutequation diffeacuterentielle de deuxiegraveme degreacute avec second membre sa
reacutesolution est deacutetailleacutee dans lrsquoannexe I
La solution geacuteneacuterale de (II13) est donneacutee donc par
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 11
II15II IIII n n n n n n n
n
A r z a I r b K r C L r sin zα α α αinfin
=
= + minussum
Avec 022
nn
n
JC micro πα
= et ( ) ( ) ( ) ( )( )5
1 45 0
2 2sin cos cosZ
n n n nJJ J z z dz Z Z
Z nα α α
π= = minusint
L1 est la fonction de Struve modifieacutees ordre 1
Les constantes drsquointeacutegrations IIna et II
nb sont deacutetermineacutees en utilisant les conditions de
passages aux interfaces agrave 3r R= entre les reacutegions I et II et agrave 2r R= entre les reacutegions II et III
55
II33 Reacutegion III 1 2 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Dans cette reacutegion lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre est de type Laplace
( )2 2
2 2 2
1 0 II16III III III IIIA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites imposeacutees ici sont
( )5 ( 0) II1( ) 0 7III IIIA r z A r z Z= = = =
Consideacuterons les conditions aux limites de lrsquoeacutequation (II17) la solution geacuteneacuterale de
lrsquoeacutequation (II16) est donneacutee par
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11
II18III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Les constantes drsquointeacutegrations IIIna et III
nb sont deacutetermineacutees en utilisant les conditions
de passages aux interfaces agrave 2r R= et agrave 1r R= entre les reacutegions II et III et les reacutegions III et IV
successivement
II34 Reacutegion IV 1 2 30 etr R Z z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation (II1) agrave reacutesoudre dans cette reacutegion est une eacutequation de Laplace
( )2 2
2 2 2
1 0 II19IV IV IV IVA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites imposeacutees ici agrave z=Z2 et z=Z3 sont de type de Neumann
( )2 3
II2( ) ( ) 00IV IV
z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
Une condition suppleacutementaire est imposeacutee agrave 0r = (axe de symeacutetrie)
( ) II( 0 2) 10IVA r z= =
Consideacuterons les eacutequations (II20) et (II21) la solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation (II19) est
donneacutee par
( ) ( ) ( )( ) ( )0 1 21
cos II22IVIV k k k
k
A r Z A r a I r z Zβ βinfin
=
= + minussum
56
Avec 5 2
kk
Z Zπβ =minus
0A et IVka sont des constantes drsquointeacutegration k est un entier positif
La constante dinteacutegration 0A est due agrave lrsquoapplication des conditions aux limites de Neumann
dans la reacutegion IV Elle est deacutetermineacutee en appliquant la condition de continuiteacute du potentiel
vecteur magneacutetique agrave linterface agrave 1r R= entre la reacutegion III et la reacutegion IV
II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0
On applique le principe de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique entre la reacutegion III et IV
agrave lrsquointerface agrave r= R1
( ) ( ) [ ] ( )1 1 2 3 pour II23III IVA r R z A r R z z Z Z= = isin=
Par inteacutegration par rapport agrave z sur lrsquointervalle[ ]2 3Z Z on trouve
( ) ( ) ( )( ) ( )0 1 1 1 111 3 2
1 II24III IIIn n n n n
nA m a I R b K R
R Z Zα α
infin
=
= +minus sum
Avec ( ) ( )( )2 31 cos cosn nn
n
Z Zm α αα
= minus
II4 Conditions de passages entres interfaces
Les relations entre les constantes drsquointeacutegrations etI II II III III IVn n n n n nb a b a b a sont
deacutetermineacutees en appliquant les conditions de passages aux interfaces entres les diffeacuterentes
reacutegions drsquointeacuterecirct du problegraveme consideacutereacute
Les conditions dinterface doivent satisfaire la continuiteacute des composantes radiale et axiale
de la densiteacute de flux magneacutetique Ces composantes peuvent ecirctre deacuteduites du potentiel vecteur
magneacutetique par
( ) ( ) 1 II25r z
rAAB Bz r r
partpart= =part part
II41 Condition drsquointerface agrave r=R3
En termes de potentiel vecteur magneacutetique deux conditions drsquointerface sont imposeacutees
entre les reacutegions I et II agrave 3r R=
57
( ) ( )( ) ( ) ( )
3 3
3 3
II26I II
I I
r R r R
A r R z A r R z
rA rAr r
= =
= = =part part = part part
On obtient
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 3 1 3 1 3 1 3 1 30 4
II27nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
+ minus minus = minus
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
3 3 0 3 0 3 00 4
0 30 II28nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
minus minus + = minus
II42 Condition drsquointerface agrave r=R2
Les conditions drsquointerface entre les reacutegions II et III agrave 2r R= sont donneacutees par
( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2
2 2
II29
II III
II III
r R r R
A r R z A r R z
rA rAr r
= =
= = =part part = part part
On obtient ainsi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 II30II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus minus + + = minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 II31II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus + + minus = minus
II43 Condition drsquointerface agrave r=R1
Agrave linterface entre les reacutegions III et IV des conditions particuliegraveres deacutefinies par
morceaux concernant la composante axiale du champ magneacutetique agrave r = R1 sont appliqueacutees
autour de cette interface agrave cause de la preacutesence de lentrefer dans le circuit ferromagneacutetique
( ) ( ) ( )1 1
2
2 3
3 5
0 0
II32
0
III IV
r R r R
z ZrA rA
Z z Zr r
Z z Z= =
lt lt
part part= lt ltpart part lt lt
La continuiteacute de la composante radiale de la densiteacute de flux conduit agrave
58
( ) ( ) ( )1 1 2 3 avec II33IV IIIA r R z A r R z Z z Z= = = lt lt
A partir des eacutequations (II32) et (II33) on obtient (voir deacutetail en Annexe II)
( )( )
( )( )
( ) 1 1 1 1 0 1
0 1 0 1
0 (II34)n k n n k nIII III IV
n n k n k kn k n n k n
h I R h K Ra b a g I R
f I R f K R
α αβ
α α
+ + = minus +
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 (II35)2
III III IVn n k n n n k n k k
ka g I R b g K R a I Rβπα α+ minus =
Avec
( )1 3 2
2 n kn k
m mhR Z Z
=minus
( ) ( )2
12 2
1 sin si
2 si
n
n k
n k n kf n kn n k
π
π
+minus ne= minus
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 3
12 2 3
2 2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
k kkk k k k
k
kk k k k k
kn k
Z Z
k Z Zg
Z
α β α α α βα βπ β β β α β
+
+
minus + minus ne= + + minus =
Donc les coefficients etI II II III III IVn n n n n nb a b a b a de lrsquoensemble des harmoniques drsquoespace
sont relieacutes les uns aux autres agrave travers les eacutequations (II27) (II28) (II30) (II31) (II34) et
(II35) Nous devons donc reacutesoudre un systegraveme de six eacutequations lineacuteaires agrave six inconnues en
reacuteeacutecrivant les eacutequations ci-dessus en systegraveme matriciel de taille ( ) ( )6 max 6 maxN Ntimes vu
qursquoil y a six coefficients avec Nmax est le nombre maximal drsquoharmoniques pris en charge
( )( )( )( )
11 12 13 1 3
21 22 23 0 3
32 33 34 35 1 2
42 43 44 45 0 2
54 55 56
64 65 66
0 0 00 0 0
0 00 00 0 0 00 0 0 0
In nn
IIn nn
IIn nn
IIIn nn
IIInIVn
C L RbC L RaC L RbC L Ra
ba
η η η αη η η α
η η η η αη η η η α
η η ηη η η
minus minus minus
= minus
Avec
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 3 1 3 1 21 3 1 3 1 30 4
11 nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
αη α η α η αα
+ = minus = minus=
59
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
21 3 3 22 3 23 30
0 04
0 0 nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
η α α η α η αα
= minus = minus =
( ) ( ) ( ) ( )32 1 2 33 1 2 34 1 2 35 1 2 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = minus = =
( ) ( ) ( ) ( )0 042 2 43 2 44 2 450 0 2 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = = = minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )54 1 1 0 1 55 1 1 0 1 56 0 1 n k n n k n n k n n k n n k kh I R f I R h K R f K R g I Rη α α η α α η β= minus = + =
( ) ( ) ( )64 1 1 65 1 1 66 1 1 2n k n n k n k
kg I R g K R I Rπη α η α η β = = = minus
La solution numeacuterique de ce systegraveme matriciel peut ecirctre obtenue en utilisant un
logiciel de calcul matheacutematique en lrsquooccurrence MATLAB dans le cas de la preacutesente eacutetude
Il convient de noter ici qursquoune inversion numeacuterique de cette matrice est neacutecessaire pour le
calcul des coefficients inconnus Cette inversion peut se faire en une seule fois et en calcul
symbolique
II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobine
Linductance est lune des principales caracteacuteristiques de la bobine Elle se deacutefinit
comme laptitude de celle-ci agrave sopposer agrave la variation de lintensiteacute du courant qui la traverse
Linductance dune bobine est une valeur propre deacutependante de la dimension physique de la
bobine ainsi que du mateacuteriel utiliseacute pour sa fabrication
Lrsquoinductance de la bobine est lieacutee agrave lrsquoeacutenergie magneacutetique stockeacutee par la relation suivante
21 1 (II36)2 2 V
W LI A Jdv= = int
Lrsquointeacutegrale (II36) est limiteacutee au volume de la bobine car la densiteacute de courant est nul ailleurs
Nous avons supposeacute que la densiteacute de courant eacutelectrique est uniformeacutement reacutepartie sur toute
la section de la bobine ce qui conduit agrave
(II37)JSIN
=
Avec ( )( )4 1 3 2S Z Z R R= minus minus
60
N et I sont respectivement le nombre de spires que contient la bobine et lrsquointensiteacute de courant
eacutelectrique qui les travers ( )( )4 1 3 2S Z Z R R= minus minus
Le potentiel de vecteur magneacutetique utiliseacute dans lrsquoeacutequation II36 est celui deacutefini dans la reacutegion
II de la bobine
En remplaccedilant les eacutequations (II15) et (II37) dans (II36) on obtient
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )4 3
1 2
2
2 1 11
0 1 II38II IIn n n n n n n
Z
Zn
R
Ra I r b K r C L rNL rdrsi z d
JSn zd
πα α θα α
infin
=
+= minussumint int int
En inteacutegrant (II38) par rapport aux variables r θ et z lrsquoexpression analytique de lrsquoinductance
est donc donneacutee par
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
3 3 2 2
3 3 2 221
4 40 3
1 4
3 2
2
2
II392
6
2 cos cos
IIn
IIn n n
n nn
n
a R U R R U R
b R V R R V R
J R W R R W R
NL Z ZJS
ππ α αα
αmicroπ
infin
=
minus + minus
minus minus
=
minussum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1n n n nU r I r L r I r L rα α α α= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1( ) n n n nV r K r L r K r L rα α α α= +
Et ( ) 2 23 512 3
2 2 4n rW r F α =
est la fonction hypergeacuteomeacutetrique [90]
II6 Reacutesultats analytiques et discussion
Les valeurs des paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutes dans notre problegraveme sont reacutesumeacutees
sur le tableau II1 Les solutions analytiques dans toutes les reacutegions ont eacuteteacute calculeacutees avec un
nombre fini en termes drsquoharmoniques eacutegal agrave 50 Les limites exteacuterieures du circuit dans la
direction axiale sont choisies de maniegravere agrave ce que leurs valeurs nrsquoaffectent pas les reacutesultats
obtenus
61
Tableau II1 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme sans pastille
Paramegravetre Description valeur
R1 Bord infeacuterieur du domaine dans la direction radial 0030 m
R2 Rayon interne de la bobine 0080 m
R3 Rayon externe de la bobine 0120 m
R4 Bord supeacuterieur du domaine dans la direction radial 0150 m
Z1 Limite inteacuterieure de la bobine 0200 m
Z2 Limite inteacuterieure de lrsquoentrefer 0225 m
Z3 Limite exteacuterieure de lrsquoentrefer 0275 m
Z4 Limite exteacuterieure de la bobine 0300 m
Z5 Limite exteacuterieure du domaine dans la direction axiale 0500 m
N Nombre des spires dans la bobine 1000
J Densiteacute de courant eacutelectrique dans la bobine 5 Amm2
Nmax Nombre drsquoharmoniques utiliseacute dans tout le domaine 50
Afin de valider nos reacutesultats analytiques nous devons les comparer avec ceux obtenus
en utilisant la meacutethode drsquoapproximation par eacuteleacutements finies [103104] (FEA pour Finite
Element Approximation) impleacutementeacutee sous le logiciel COMSOL Multiphysics La taille de
maillage et la preacutecision demandeacutee sont choisies de maniegravere agrave ce que les quantiteacutes deacuteriveacutees du
FEA servent de reacutefeacuterence une densiteacute de maillage drsquoenvirons 1850 triangles a eacuteteacute imposeacutee
dans la reacutegion du fer composant le circuit ferromagneacutetique La densiteacute de maillage consideacutereacutee
dans la reacutegion de lrsquoentrefer et de la bobine est moins eacuteleveacutee pour eacuteviter une augmentation
inutile de temps de calcul (figure II2) En effet les mecircmes paramegravetres geacuteomeacutetriques que ceux
deacutefinis dans le tableau 1 sont utiliseacutes Les conditions aux limites homogegravenes de type Dirichlet
et de Neumann sont eacutegalement prises en compte dans les simulations comme avec le modegravele
analytique
62
Figure II2 Maillages du circuit ferromagneacutetique avec entrefer eacutetudieacute par COMSOL
(a) (b)
Figure II3 Comparaison des distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir
du calcul analytique (a) et du calcul numeacuterique (b) avec le traceacute des lignes de champ
magneacutetique
63
La figure II3 repreacutesente la comparaison des distributions du potentiel vecteur
magneacutetique calculeacutees dans toutes les reacutegions drsquointeacuterecirct par la meacutethode analytique (a) et la
meacutethode numeacuterique (b) Nous avons ainsi repreacutesenteacute les lignes de champ magneacutetique dans
toutes les reacutegions drsquointeacuterecirct en calcul numeacuterique Les composantes radiale Br et axiale Bz de la
densiteacute de flux magneacutetique obtenues analytiquement sont ensuite repreacutesenteacutees et compareacutees agrave
celles obtenues numeacuteriquement dans la figure II4 (figure 4II (a) correspond agrave la reacutegion III et
figure 4II (b) correspond agrave la reacutegion IV)
(a)
(b)
Figure II4 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions
(a) III en ( )1 2 2r R R= + et (b) IV en 1 2r R=
64
Figure II5 Comparaison des valeurs de lrsquoinductance de la bobine en fonction de la longueur
de lrsquoentrefer obtenues numeacuteriquement avec celles obtenues analytiquement pour les
diffeacuterentes valeurs de nombres des harmoniques variant entre 1 et 50
Une comparaison est faite entre les valeurs numeacuteriques obtenues avec COMSOL et les
reacutesultats analytiques pour diffeacuterents nombres dharmoniques allant de 1 agrave 50 De toute
eacutevidence linductance diminue avec laugmentation de la longueur de lentrefer ( figure II5)
plus le nombre de termes harmoniques est eacuteleveacute plus la solution agrave la valeur de reacutefeacuterence
obtenue numeacuteriquement est proche
Lerreur maximale est de 3937 1147 635 292 152 et 075 pour un nombre de
termes harmoniques de 1 5 10 20 30 40 et 50 respectivement Nous pouvons conclure ici
que la formule proposeacutee est correcte et efficace De plus seuls 10 termes suffisent pour
obtenir moins de 10 derreur
Nous allons proceacuteder maintenant au calcul de lrsquoinductance de la bobine en preacutesence
drsquoune pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer
65
II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en
preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
Les mecircmes hypothegraveses consideacutereacutees preacuteceacutedemment dans le cas de circuit seul avec
entrefer seront consideacutereacutees par la suite en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
La figure II6 repreacutesente la geacuteomeacutetrie du problegraveme consideacutereacute
Figure II6 Circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer de longueur e dans lequel se trouve
une pastille supraconductrice
En Introduisant la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer deux reacutegions
suppleacutementaires sont consideacutereacutees en plus dans ce cas la reacutegion V et la reacutegion VI Ces deux
reacutegions correspondent agrave de lrsquoair (figure II6) La pastille supraconductrice est modeacuteliseacutee par
un diamagneacutetique parfait ( 0micro = ) de sorte que le potentiel vecteur magneacutetique est nul dans
toute la pastille y compris ses bords
De ce fait les conditions aux limites consideacutereacutees dans les reacutegions V et VI sont comme suit
( ) ( ) ( )2
3 ( ) 0 II400VV
z Z
A r z A r z Z reacutegionVz =
part= = =
part
( ) ( ) ( )5
4
0 0 ( II4) 1VIVI
z Z
A r zA r z Z reacutegionVI
z=
part= = =
part
Des conditions suppleacutementaires sont imposeacutees agrave en r=0 (lrsquoaxe de symeacutetrie)
66
( ) ( ) ( ) I0 0 et 0 0 I42V VIA r z A r z= = = =
Les expressions analytiques du potentiel vecteur magneacutetique pour les reacutegions I II et III du
problegraveme consideacutereacute dans la figure II6 sont donneacutees de la mecircme faccedilon que le problegraveme
preacuteceacutedent (en absence de la pastille supraconductrice) comme suit
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 5
1 11 0 5
II43nII n n n n
n n
K RA r z b I r K r sin z
I Rα
α α αα
infin
=
= +
sum
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 11
II44II IIII n n n n n n n
n
A r z a I r b K r C L r sin zα α α αinfin
=
= + minussum
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11
II45III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Avec7
nnZπα = 2
0 2n n nC Jπmicro α minus =
et ( )( ) ( )( )( )1 62 cos cosn n n
JJ z Z z Zn
α απ
= minus minus minus
Pour la reacutegion IV les conditions aux limites consideacutereacutees ici sont
2 5
( ) ( )0 et 0z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
Et le potentiel vecteur magneacutetique est donneacute sous forme (en suivant la mecircme meacutethode
deacutetailleacutee dans lrsquoannexe I)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )101 11 1 1 2
1
cos II46IV IVIV n n
nn n nA r Z A r A r a I r b K r z Zβ β β
infinminus
=
= + + + minussum
Avec 5 2
nn
Z Zπβ =minus
Les constantes dinteacutegrations 01A et 02A sont dues agrave lrsquoapplication des conditions aux
limites de Neumann dans la reacutegion IV Elles seront deacutetermineacutees apregraves en appliquant la
condition de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique agrave linterface entre les reacutegions III et IV
agrave 2r R= et agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI agrave r= R1
Pour les reacutegions V et VI en prenant en consideacuterations les conditions aux limites (II40) (II41)
et (II42) les expressions du potentiel vecteurs magneacutetiques sont donneacutees comme suit
( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 2 21
cos II47VV n n
nnA r z a I r z Zβ β
infin
=
= minussum
67
( ) ( )( ) ( )1 3 3 41
II4( ) s 8inVIVI n n n
nA r z a I r z Zβ β
infin
=
= minussum
Avec ( )( )2
3 2
2 1 2n
nZ Z
πβ
minus=
minuset ( )
( )53
4
2 1 2n
nZ Z
πβ
minus=
minus
II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
Agrave partir de la condition de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique agrave lrsquointerface
entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave r=R2 et agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI
agrave 1r R= on a
( ) ( ) [ ] ( )2 2 2 5 II 49IV IIIA r R z A r R z pour z Z Z= = = isin
Et
( )( ) [ ]
[ ]( ) [ ]
( )1 2 3
1 3 4
1 4 5
0
II50V
IV
VI
A r R z pour z Z Z
A r R z pour z Z Z
A r R z pour z Z Z
= isin
= = isin = isin
On integravegre les deux eacutequations (II49) et (II50) par rapport agrave z sur lrsquointervalle [ ]2 5Z Z on
trouve
( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
1 3
1
1 2 12
01 1 2 1
1
21
3
1
1
II51n
VIn n
nV
nIII III nn n
n
n
n n n
a I RA a
a I RI R b K R h q
ββα α
ββ
+
infin
=
minus = + minus +
sum
( ) ( ) ( ) ( )1 3 13
1 2111 1 2 1 01 1
15 2 2
1 1 1 II52VIn n n
n
nVn
n n
RA a I RR Aa RZ Z
I ββ
ββ
infin+
=
= minus + minus minus
sum
Avec
( ) ( )( )2 5cos co1 s n nnn
Z Zmα
α α= minus ( )
22 2
2 1
n nRh m
R R e=
minus
( )1
2 22 1
RqR R e
=minus
et 5 2e Z Z= minus
Les constantes drsquointeacutegrations I II II III III IV IV Vn n n n n n n nb a b a b a b a et VI
na sont deacutetermineacutees agrave
partir des conditions de passages aux interfaces entre les diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecircts du
problegraveme
68
II72 Conditions de passages entres interfaces
Les mecircmes conditions de passages appliqueacutees dans le cas de circuit sans pastille sont
appliqueacutees dans ce cas sauf que des conditions particuliegraveres deacutefinies par morceaux sont
appliqueacutees agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI en 1r R=
II721 Interface agrave r = R4
A lrsquointerface entre les reacutegions I et II agrave 4r R= on trouve
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
4 4 4 4 41 15
01 1 1
0
II53nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
+ minus minus = minus
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
05
0 00 4 0 4 40
4 45
II54nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
minus minus + = minus
II722 Interface agrave r = R3
Pour lrsquointerface agrave 3r R= entre les reacutegions II et III on obtient
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 31 1 1 1 1 II55II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus minus + + = minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 30 0 0 0 03 3 II56II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus + + minus = minus
II723 Interface agrave r = R2
Agrave lrsquointerface entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave 2r R= des conditions de passages
particuliegraveres deacutefinies par morceaux sont appliqueacutees ici
( ) ( ) ( )2 2
5
2 5
7
20 0
II57
0
III IV
r R r R
pour z ZrA rA
pour Z z Zr r
pour Z z Z= =
lt lt
part part= lt ltpart part lt lt
( ) ( ) ( )2 22 5 II58IV IIIA r R z A r R z pour Z z Z= = = lt lt
On obtient
69
( )( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
0 2 0 2 0 2
1 2 2 1 2 2
11 1
0 2 1 2 1 11 32 3
0 II59
1 VI
n
n n m n n mIII III IVn n n n n m
n n m n n m
nIV V
n n m n m mn
n n nn
I R f K R fa b a I R g
I R R h m K R R h m
R Rb K R g a I R h RI ha ββ
α αβ
α α
β ββ
+
minus minus minus + =
minus + + +
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 5 2 1 2 5 2 0 II60III III IV IVn n n m n n n m n n n na I R j b K R j a I R Z Z b K R Z Zα α β β+ minus minus minus minus =
Avec
( )( ) 12 22 12 nn R R e mh
minusminus=
( ) ( ) ( )2
1
2
21
2
n n
n m
n mn m
n m
sinf
m si
n si
απ α αα α
π α α
+ minus ne
minus
=
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 5 2 2
21
2 5
1
1 1
2 4
n n mm m m n
m n
n n n mn
n
cos Z cos Z si
g n msin Z cos Z cos sin Z
β αα α α βα β
β β β α βπ +
+ + minus minus= + + minus =
ne
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
12 5
15 2 2 2 5
2 2
2 cos 1 sin
1sin cos 1 cos
2
nm m n m m n
m nn m
n n n m nn
n
Z Z si
Zj
Z Z Z Z si
α α β α α βα β
β β β α ββ
+
+
+ minus ne
minus + +
minus
=
=
minus
II724 Interface agrave r = R1
Ainsi des conditions de passages particuliegraveres sont deacutefinies sur lrsquointerface entre la reacutegion IV
et les reacutegions V et VI agrave 1r R=
( )( )
( )( )
1 2 3
1 3 4
1 4 5
0 II61
V
IV
VI
A r R Z pour Z z ZA r R Z pour Z z Z
A r R Z pour Z z Z
= lt lt= = lt lt = lt lt
( ) ( ) ( )1 1
2 3 II62V IV
r R r R
rA rApour Z z Z
r r= =
part part= lt lt
part part
70
( ) ( ) ( )1 1
4 5 II63VI IV
r R r R
rA rApour Z z Z
r r= =
part part= lt lt
part part
Ainsi agrave partir des eacutequations (II61) (II62) et (II63) on obtient
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 3 0 II64VIV IV Vk k n m k k n m n n m n m
In n na I r l b K r l a a II r O prββ β β+ minus minus =
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )1 2 2 1 2 2
0
11 1
1 2 1 0 2 1 1
0 1 1
21 3
3
0 II65
1 2 1
2
III IIIn n n n n n n n
IV IVn m n n m
n
n
V
n n
VI nn n
nn n n
nn
a I R R S m b K R R S m
a q b K q
R n S Ra I R S I
R R
a R
I
R I
α α
β β
πβ β
ββ
β
+
+ + minus =
+
minus minus
minus minus
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
11 1 2 2 1
1 2 121 2 2 0 1
0
1 31
1 0 3 13
02 1
2
1
II66
1 2
nn
n
VIn n n
nIVIIIn n mn n m n mV
nIII IVnn n m n n
n
n m
m
a I R ta I R R B m B Ra I R
b K R R B m b K
na I R
R
R R I
t
B πβ β
βαβ
βα β
β
+
=minus
minus+ minus + minus
minus +
Avec
( ) ( )
( )
12 2
5 2
1 si 2n
nm
mn
n
mm
m
nn
m si
Z Z il
s
βπ β ββ β
β β
+ minus ne minus
minus =
=
( ) ( )( )
( )
1 23 2 2
2
3
2 2
2 2
21 c
osn
n nm n m
n m
n
m
m
Z Z
Z Z s
siO
i
β β β ββ β
β β
+
minus
minus minus ne
=
= minus
( )( ) ( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( )
13 4 32 2
3
3 4
3 4 313 3
2
5 4 2
5
2
2
2 1 sin
sin
2 1 sin
cos
cos1
nn m m n m
n m
n mn
n n mnn n
Z si
ZZ Z Z si
Z m
ZZ
Z
p
Z
β π ββ
ββ β
β β
β β ββ
β
+
+
minus minus ne minus= minus minus = + minus
minus
minus minus minus
71
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
1 332 2
3
13 4 3 5
4 2
2
3
3
2
4 2
2 11 cos
2
1 s
cos
cos in
in21
s4 1
n mn m n
m n
nn n
m n
n
n
n m
m
Z Z
n Z
Z Z
tZ Z
Z
π β ββ
β β
ββ ββ
ββπ β
+
+
minusminus +
= minus minus minus
minus neminus
+ minus=
minus minus
( ) ( )( )
( )
1 23 2 22
2
3
2
22
21 cos n nn
m n mm
n
m n
m
n
mqZ Z
Z Z
β ββ β ββ β
β β β
+ minus minus ne minus
minus =
=
( )( )( )2 2
1
2 5
1
2 1 2
14m
m
mRS
R R Z Zβ
+minus=
minus minus
( )( )1
2 22 1 5 23
2
mm
RBR R Z Zβ
=minus minus
Au final Les eacutequations (II53) (II54) (II55) (II56) (II59) (II60) (II64) (II65) et
(II66) peuvent se mettre en systegraveme matricielle de taille ( )9 max (9 max)N Ntimes
Les coefficients drsquointeacutegrations de lrsquoensemble des harmoniques drsquoespace
etI II II III III IV IV V VIn n n n n n n n nb a b a b a b a a sont relies les uns aux autres agrave travers ces eacutequations ils
sont obtenus par inversion numeacuterique de ce systegraveme matricielle
11 12 13
21 22 23
32 33 34 35
42 43 44 45
54 55 56 57 58 59
64 65 66 67
76 77 78 79
84 85 86 87 88 89
94 95 96 97 98 99
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0
InIInIIn
bab
η η ηη η η
η η η ηη η η η
η η η η η ηη η η η
η η η ηη η η η η ηη η η η η η
( )( )( )( )
1 4
0 4
1
0
3
3
(II67)00000
n n
n n
n n
n n
IIInIIInIVnIVnVnVIn
C L RC L
C L R
ababaa
RC L R
ααα
α minus =
minusminusminus
Avec
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
1 1 12 1 135
11 4 4 4 45
10
nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
αη α η α η αα
+ = minus = minus=
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
21 22 230
50 4 0 4 0 4 0 4
5
nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
η α α η α η αα
= minus = minus =
72
( ) ( ) ( ) ( )3 3 332 31 33 1 33 1 34 1 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = minus = =
( ) ( ) ( ) ( )0 3 0 3 042 43 44 3 345 0 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = = = minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( )54 0 2 1 2 2 55 0 2 1 2 2 n n m n n m n n m n n mI R f I R R h m K R f K R R h mη α α η α α= minus = minus +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 156 0 2 57 0 2 58 1 2 1 59 1
21 3
3
1
n
n n m n n m n m nn
mn
R RI R g K R g I R h hI Rη β η β η β η βββ
+minus= minus = = =
( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2 65 1 2 6664 1 2 5 2 6 7 1 2 5 2 n n m n n m n nI R j K R j I R Z Z K R Z Zα η α η βη η β= = minus minus minus minus= =
( ) ( ) ( ) ( )1 1 77 1 1 78 1 2 79 76 1 3 k n m k n m n n m n mnI r l K r l I Ir prOη ββ η β η β ηminus minus= = = =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 284 0 185 1 2 2 86 7 0 1 8 n n n n n n nn n m n mI R R S m K R R S R Rm I q K qα η α η β η βη = = == minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 18 8 1 2 1 0 2 1 189 1 3
32
1 2 1
2
n
nn
n
nn n n
R n S RI R I R IS Rπ
η β β η βββ
+ + = minus
minus minus= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 95 1 2 2 96 1 97 00 1 94 n m n n m n n n m mn nI R R B m K R R B m I R t K R tα η α η η βη β= = = minus=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 3 0 31 1
98 1 2 1 93
9 12
1
1 1 1
22
2 n n
n
nm m
nn
B R nI IRR RBI Rη β
ββ β
βη
π+ minus
minus= minus = minus +
II72 Expression analytique de lrsquoinductance
De la mecircme faccedilon et agrave partir de lrsquoeacutequation (II36) on obtient
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
4 4 3 3
4 4 3 321
4 40 4 4 3
1 62
3
II2 co 68s2
c
6
os
IIn
IIn n n
n nn
n
a R U R R U R
b R V R R V R
J R W R R
NL Z ZS
W RJ
α αα
αmicroπ
ππinfin
=
minus + minus
minus minus
= minussum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1n n n nU r I r L r I r L rα α α α= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1( ) n n n nV r K r L r K r L rα α α α= +
Et ( ) 2 23 512 3
2 2 4n rW r F α =
est la fonction hypergeacuteomeacutetrique [90]
73
II73 Reacutesultats et discussion
Entre le cas avec pastille supraconductrice et le cas sans on a gardeacute les mecircmes valeurs
des paramegravetres geacuteomeacutetriques pour montrer lrsquoeffet de la preacutesence de cette derniegravere sur la valeur
de lrsquoinductance de la bobine Ces valeurs des paramegravetres geacuteomeacutetriques sont reacutesumeacutees dans le
tableau 2
Les solutions analytiques dans toutes les reacutegions sont obtenues en utilisant le mecircme
nombre drsquoharmoniques qui est eacutegale agrave 50 Les valeurs du tableau II2 sont eacutegalement utiliseacutees
pour reacutesoudre le mecircme problegraveme avec la meacutethode des eacuteleacutements finis (FEM) sous COMSOL
afin de valider les reacutesultats obtenus analytiquement Des conditions aux limites identiques agrave
celles utiliseacutees lors de calcul analytique sont employeacutees dans la simulation numeacuterique
Tableau II2 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme avec pastille
Paramegravetre Description valeur
R1 Rayon de la pastille supraconductrice 0015 m
R2 Bord infeacuterieur du domaine dans la direction radial 0030 m
R3 Rayon interne de la bobine 0080 m
R4 Rayon externe de la bobine 0120 m
R5 Bord supeacuterieur du domaine dans la direction radial 0150 m
Z1 Limite inteacuterieure de la bobine 0200 m
Z2 Limite inteacuterieure de lrsquoentrefer 0225 m
Z3 Limite inteacuterieure de la pastille supraconductrice 0230 m
Z4 Limite exteacuterieure de la pastille supraconductrice 0270 m
Z5 Limite exteacuterieure de lrsquoentrefer 0275 m
Z6 Limite exteacuterieure de la bobine 0300 m
Z7 Limite exteacuterieure du domaine dans la direction axiale 0500 m
N Nombre des spires dans la bobine 1000
J Densiteacute de courant eacutelectrique dans la bobine 5 Amm2
Nmax Nombre drsquoharmoniques utiliseacute dans tout le domaine 50
74
La distribution du potentiel vecteur magneacutetique dans toutes les reacutegions drsquointeacuterecircts du
problegraveme eacutetudieacute obtenue avec un calcul analytique et un calcul numeacuterique est repreacutesenteacutee sur
la figure II7 Les composantes radiale Br et axiale Bz du la densiteacute de flux magneacutetique est
ainsi repreacutesenteacutees sur la figure II8 (a) dans la reacutegion III en r = 0055 (b) dans la reacutegion IV
en 00225r = (c) dans la reacutegion V en 00075r = et (d) dans la reacutegion VI en 00075r =
Dans ce cas une veacuteritable concordance peut ecirctre constateacutee entre les deux approches en
srsquoeacuteloignant de la reacutegion de lrsquoentrefer (figure II8 (a)) Un leacuteger deacutecalage subsiste
neacuteanmoins entre les reacutesultats analytiques et numeacuteriques (figure II8 (a)) surtout pour la
composante ZB Ce deacutecalage peut sexpliquer par le nombre limiteacute drsquoharmoniques retenus lors
du deacuteveloppement analytique mais aussi par les erreurs numeacuteriques reacutesultantes de
linversion matricielle lors du calcul des coefficients De mecircme que dans la preacuteceacutedente
section on notera que lutilisation de fonctions de Bessel modifieacutees nrsquoarrange rien puisque
qursquoelle conduit agrave une matrice tregraves mal conditionneacutee lorsque le nombre drsquoharmoniques
consideacutereacute augmente
Figure II7 Distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir du (a) calcul
numeacuterique) et du (b) calcul analytique en preacutesence de la pastille supraconductrice
75
(a) (b)
(c) (d)
Figure II8 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions
(a) III agrave ( )2 3 2r R R= + (b) IV agrave 2 2r R= (c) V agrave 1 2r R= et (d) VI agrave 1 2r R= en
preacutesence de la pastille supraconductrice
La valeur de lrsquoinductance de la bobine obtenue analytiquement agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation
(II68) est la mecircme que celle obtenue numeacuteriquement agrave lrsquoaide de la meacutethode FEM sous
COMSOL cette valeur est eacutegale agrave 0247 H Par ailleurs la valeur de lrsquoinductance en absence
de la pastille supraconductrice est de 0253 H ce qui nous amegravene agrave dire que la pastille a tregraves
peu drsquoinfluence sur la valeur de lrsquoinductance pour le problegraveme eacutetudie (une diffeacuterence de 6)
Ceci reacutesulte du fait que le rayon de la pastille consideacutereacutee dans notre calcul est relativement
petit par rapport au rayon du noyau ferromagneacutetique 15 mm pour le rayon de la pastille
contre 30 mm pour le noyau de fer
76
La figure II9 repreacutesente la variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon
r de la pastille supraconductrice avec 20 r Rlt lt Nous constatons que lrsquoinductance de la
bobine diminue en augmentant la taille de la pastille cette faible diminution est due peut-ecirctre
agrave lrsquointervalle de variation de rayon de la pastille consideacutereacutee Pour 2r Rgt deux reacutegions
drsquointeacuterecirct en plus doit ecirctre consideacuterer dans lrsquoeacutetude preacuteceacutedente et les calculs effectueacutes
deviennent tregraves compliqueacute agrave cause des nombres de variables eacuteleveacutes et par la suite des
problegravemes de convergence pour le calcul analytique sont imposeacutes
Figure II9 Variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
Pour reacutesoudre ce problegraveme un calcul numeacuterique agrave lrsquoaide de la meacutethode FEA sous
COMSOL est effectueacute le rayon de la pastille dans ce cas peut prendre des valeurs
supeacuterieures au rayon du noyau de fer ( )30 r Rlt lt La figure II10 repreacutesente la variation de
lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon de la pastille en utilisant deux types de
circuits circuit ouvert et circuit fermeacute Une diminution remarquable dans la valeur de
lrsquoinductance est constateacutee dans ce cas en fonction du rayon de la pastille supraconductrice
Par ailleurs la valeur de lrsquoinductance trouveacutee pour un circuit fermeacute est supeacuterieure agrave celle
trouveacutee dans le cas drsquoun circuit ouvert
77
Figure II10 variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
supraconductrice dans un circuit fermeacute et dans un circuit ouvert
78
II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique
impulsionnel
Nous reprenons le problegraveme de la figure II1 Une pastille supraconductrice de rayon
11R et de hauteur ( )33 22Z Zminus est placeacutee au centre de la reacutegion de lrsquoentrefer Lexpression
analytique du potentiel vecteur magneacutetique ( ) IVA r z t (eacutequation II22) est utiliseacutee pour
calculer les courants induits agrave linteacuterieur de la pastille supraconductrice La reacutegion drsquointeacuterecirct est
preacutesenteacutee sur la figure II11 avec lrsquoaxe (Oz) est en position verticale
Figure II11 Position de la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du problegraveme
de la figure II1 avec [ ]110r Risin et [ ]22 33z Z Zisin
La densiteacute de courant parcourue dans la reacutegion de la bobine est en fonction du temps
Cette densiteacute de courant est supposeacutee produite par la deacutecharge dune batterie de
condensateurs sous forme
( ) ( ) ( )( ) ( )max exp II66aJ t J t tτ τ= minus
Avec 2max 50 J A mm= et 1msτ =
La densiteacute de courant J induite dans la pastille supraconductrice est calculeacutee agrave lrsquoaide
drsquoun code de calcul deacuteveloppeacute sous MATLAB en utilisant la meacutethode de laquo Brandtraquo
deacuteveloppeacutee en 1998 pour les disques et les cylindres en preacutesence drsquoun champ magneacutetique
axial [99 100]
79
En reacutesumeacute leacutequation suivante doit ecirctre satisfaite
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11 33
22
2 21 10 2 20
I I67
R Z IVcylZ
d J r t d A r tQ r r E J dr dz
dt dtmicro minus minus
= times +
int int
( )2 )r r z= Coordonneacutees de la pastille supraconductrice
cylQ Inteacutegral de Kernel
cylQ est obtenue en inteacutegrant la fonction de Green de lrsquoeacutequation de Laplace agrave 3D en
consideacuterant que le milieu ferromagneacutetique est caracteacuteriseacute par une permeacuteabiliteacute infinie
E(J) donne la relation entre le champ eacutelectrique E et la densiteacute de courant critique J qui
deacutecrive le comportement supraconducteur de la Pastille supraconductrice Dans ce cas E(J)
est deacutefini par le modegravele de la loi en puissance
( ) ( )1
II68n
JEcE J JJc Jc
minus =
Avec 1 CE V cmmicro= 30n = et 2100 cJ A mm=
La reacutesolution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle (II67) est effectueacutee en utilisant les solveurs
disponibles dans MATLAB agrave savoir laquo ode15s raquo et laquo ode23t raquo
Figure II12 Variation de champ magneacutetique appliqueacute et du champ magneacutetique pieacutegeacute sur la
surface de la pastille supraconductrice agrave 0r = et 33z Z=
80
Un calcul numeacuterique est eacutegalement effectueacute afin de valider les reacutesultats obtenus
analytiquement Un modegravele de formulation en H impleacutementeacute sous COMSOL est utiliseacute [41]
ougrave lrsquoeacutequation aux deacuteriveacutees partielles (EDP) suivante doit ecirctre reacutesolue temporellement dans la
pastille supraconductrice
( )( ) ( )0 II0 69H J Ht
micro ρpart+nablatimes nablatimes =
part
Les composants du champ magneacutetique ( )r zH H H= sont choisis comme variables drsquoeacutetat
Le mateacuteriau supraconducteur est modeacuteliseacute par une reacutesistiviteacute non lineacuteaire
( ) ( )1
II70n
C
C C
JEJJ J
ρminus
=
La figure II12 preacutesente la variation en fonction de temps de la densiteacute de flux
magneacutetique appliqueacutee aB et la densiteacute de flux magneacutetique pieacutegeacutee pieacutegeacuteB agrave 0r = e 33z Z=
(figure II7) Une correspondance presque parfaite dans les reacutesultats est observeacutee La valeur
maximale de la densiteacute du flux magneacutetique appliqueacute est environ de 75 T et la valeur de la
densiteacute de flux magneacutetique pieacutegeacute est de 209 T agrave t=10 ms Leacutecart entre les reacutesultats
analytiques et numeacuteriques est infeacuterieur agrave 3 tout au long du processus drsquoaimantation par
PFM
Le traceacute en fonction de temps de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc dans le plan
meacutedian de pastille supraconductrice est preacutesenteacute sur la figure II13 pour diffeacuterentes valeurs du
rayon r avec ( )0479515320r mm=
81
Figure II13 Evolution de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc sur le plan meacutedian de la
pastille supraconductrice agrave ( )0479515320r mm=
Les reacutesultats obtenus analytiquement sont proches de ceux obtenus par COMSOL
Une leacutegegravere diffeacuterence est remarqueacutee en particulier pour r = 0 Cette valeur de r est singuliegravere
et on ne peut pas juger est ce que les reacutesultats obtenus pour cette valeur sont corrects ou non
En revanche la densiteacute de courant sur lrsquoaxe ne contribue pas beaucoup en termes de champ
magneacutetique pieacutegeacute A t = 5 ms la densiteacute de courant dans la pastille supraconductrice est
comprise entre 11 et 15 times Jc
82
II9 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons deacuteveloppeacute un modegravele analytique pour calculer
lrsquoinductance drsquoune bobine circulaire en cuivre de section transversale rectangulaire dans un
circuit ferromagneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie inferieure concentrique avec
la bobine Nous avons montreacute que ce modegravele analytique correspond tregraves bien aux meacutethodes
numeacuteriques avec des erreurs infeacuterieures agrave 10 pour 10 termes harmoniques Nous avons
montreacute aussi que la valeur de lrsquoinductance de la bobine diminue avec lrsquoaugmentation de la
longueur de lrsquoentrefer
Ensuite nous avons proceacutedeacute agrave lrsquoeacutetude de ce mecircme problegraveme en ajoutant une pastille
supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer Nous avons constateacute que la preacutesence de la
pastille supraconductrice dans le circuit ferromagneacutetique a tregraves peu drsquoinfluence sur la valeur
de lrsquoinductance Une diminution de 6 de la valeur de cette derniegravere a eacuteteacute trouveacutee en cas de
preacutesence de pastille supraconductrice Ceci est ducirc agrave la taille de la pastille consideacutereacutee dans
notre calcul qui est relativement petite par rapport agrave la taille du noyau ferromagneacutetique En
effet nous avons trouveacute par un calcul numeacuterique que la valeur de lrsquoinductance de la bobine
diminue en augmentant le rayon de la pastille supraconductrice preacutesente dans la reacutegion de
lrsquoentrefer
Pour le processus drsquoaimantation par la meacutethode PFM les expressions analytiques de
potentiel vecteur magneacutetique trouveacutees dans le cas de circuit sans pastille supraconductrice
sont utiliseacutees pour calculer les courants induits agrave lrsquointeacuterieur drsquoune pastille supraconductrice en
utilisant la meacutethode de Brandt Lrsquoeacutevolution temporelle de la densiteacute de flux magneacutetique
pieacutegeacutee et la densiteacute de courant eacutelectrique montre une excellence correspondance entre les
reacutesultats analytiques et numeacuteriques Une diffeacuterence infeacuterieure agrave 3 est obtenue sur la densiteacute
de flux magneacutetique pieacutegeacute
83
Chapitre 3 Prise en compte de
lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de
leur caracteacuterisation
84
III1 Introduction
Les deux paramegravetres importants qui caracteacuterisent un mateacuteriau supraconducteur massif
sont le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete PB et la densiteacute de courant critique Jc Ces
deux paramegravetres sont lieacutes et deacuteterminent les performances des applications utilisant ces
mateacuteriaux Les meacutethodes de caracteacuterisations deacuteveloppeacutees au laboratoire GREEN sont baseacutees
sur la mesure de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete PB agrave partir de lrsquoaimantation
drsquoune pastille SHTC de type YBCO par champ magneacutetique pulseacute (PFM pour Pulsed Field
Magnetization) La meacutethode PFM consiste agrave appliquer une impulsion de champ magneacutetique
sur cette derniegravere Si ce champ appliqueacute est suivant lrsquoaxe (Oz) (figure III1) des courants
induits vont ecirctre creacuteeacute agrave lrsquointeacuterieur de la pastille et circulent dans le plan (xOy) et par la suite
un champ magneacutetique appeleacute champ magneacutetique pieacutegeacute va ecirctre creacuteeacute suivant lrsquoaxe (Oz) Ce
champ pieacutegeacute est la soustraction du champ magneacutetique mesureacute agrave la surface de la pastille moins
le champ magneacutetique appliqueacute qui est eacutegal au champ magneacutetique en absence de la pastille Le
champ magneacutetique pieacutegeacute ne devrait pas disparaitre apregraves la fin du champ appliqueacute car la
reacutesistiviteacute est nulle dans la pastille supraconductrice Cette meacutethode de caracteacuterisation permet
de deacuteterminer agrave partir de BP la densiteacute de courant critique Jc mais aussi de deacuteterminer la
valeur de lrsquoexposant-n de la loi en puissance
Les meacutethodes de caracteacuterisations preacutesenteacutees au chapitre I utilisent deux pastilles dans
le premier cas et une pastille dans le deuxiegraveme cas La premiegravere meacutethode est plus preacutecise mais
neacutecessite deux pastilles qui sont supposeacutees ecirctre identiques et homogegravenes en termes de Jc Or
linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique Jc est un fait bien connu des experts [53] La
deuxiegraveme meacutethode nrsquoutilise qursquoune pastille et se dispense donc de lrsquoobligation drsquoavoir deux
pastilles identiques Cependant lrsquoinfluence de linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant
critique Jc nrsquoavait pas eacuteteacute prise en compte preacuteceacutedemment Pour prendre en compte
linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique Jc et donc remeacutedier aux deacutefauts de nos
meacutethodes de caracteacuterisation deux axes de recherche ont eacuteteacute exploreacutes Premiegraverement une
eacutetude baseacutee sur la position de la sonde agrave effet Hall dans la meacutethode agrave une pastille a eacuteteacute
reacutealiseacutee Deuxiegravemement une eacutetude des positions respectives du germe de cristallisation des
pastilles dans la meacutethode agrave deux pastilles a eacuteteacute faite
85
Figure III1 Pastille supraconductrice soumis agrave un champ magneacutetique exteacuterieur
III2 Description du banc expeacuterimental
Nous allons preacutesenter dans cette partie le banc expeacuterimental utiliseacute pour lrsquoaimantation
drsquoune pastille SHTC de type YBaCuO Le banc expeacuterimental sert agrave aimanter une pastille
supraconductrice de type YBaCuO en utilisant la meacutethode drsquoaimantation par champ
magneacutetique pulseacute (PFM) et mesurer le champ magneacutetique au milieu des surfaces planes de
cette pastille
III21 Les pastilles SHTC
Les pastilles supraconductrices utiliseacutees sont cylindriques de type YBaCuO posseacutedant
une tempeacuterature critique de 92 k de diamegravetre 311 mm et de hauteur 176 mm Ce type de
mateacuteriau drsquoYBaCuO possegravede une densiteacute de courant critique eacuteleveacutee (gt100 Ammsup2 agrave 77 K) La
figure III2 repreacutesente les deux surfaces des pastilles YBaCuO utiliseacutees (a) surface
supeacuterieure contenant le germe de cristallisation (seed) (b) surface inferieure de la pastille Ces
pastilles sont par nature inhomogegravenes et anisotropes en termes de Jc
(a) (b)
Figure III2 Les deux surfaces de la Pastille SHTC drsquoYBaCuO utiliseacutee pour lrsquoaimantation
x
y
z
O
( )B t
( )B t
86
En geacuteneacuterale la preacuteparation des supraconducteurs YBCO mono domaine par la
meacutethode (TSMG) exige des preacutecurseurs en poudres contenant une distribution uniforme des
composeacutes constituant les phases 2 3 7YBa Cu O δminus (Y-123) et 2 5Y BaCuO (Y-211)Cependant il a
eacuteteacute observeacute que la concentration de particules de Y-211dans le bulk supraconducteur traiteacutee agrave
leacutetat fondu augmente de maniegravere significative avec la distance agrave partir du germe de
cristallisation ce qui entraicircne une deacutegradation des proprieacuteteacutes supraconductrices vers le fond et
le bord de leacutechantillon supraconducteur [109]
Une technique de fabrication des bulk supraconducteurs en YBCO gradueacute baseacutee sur la
concentration de Y-211 utiliseacutee a eacuteteacute deacuteveloppeacutee par un groupe de chercheurs appeleacute laquo the
Cambridge Bulk Superconductivity Groupraquo [109] Trois types de preacutecurseurs en poudres
contenant diffeacuterentes concentrations drsquoY-211 sont disposeacutes en forme U dans une pastille
YBCO en bulk (figure III3) Le but de cette technique est drsquoameacuteliorer les proprieacuteteacutes
supraconductrices du mateacuteriau fabriqueacute
Pour la modeacutelisation de ces pastilles celles-ci peuvent ecirctre diviseacutees en deux ou trois
reacutegions en forme U chaque reacutegion eacutetant caracteacuteriseacutee par son propre Jc0 [109] (Figure III3)
Figure III3 Modegravele drsquoune pastille SHTC gradueacutee en YBCO proposeacutee pour la modeacutelisation
numeacuterique
III22 Le circuit drsquoaimantation
Lrsquoaimantation des pastilles SHTC neacutecessaire agrave la caracteacuterisation est faite par un
magneacutetiseur agrave impulsion (Impulse Magnetizer k-serie) [105] (figure III4)
Les caracteacuteristiques techniques de ce magneacutetiseur sont
- Puissance de stockage de 10kWs
- Capacitance de 5mF
87
- Tension de charge maximale de 2 kV et un courant de 25 kA
Figure III4 Magneacutetiseur agrave impulsion K-serie utiliseacute pour aimanter la pastille
Lrsquoinducteur produisant le champ magneacutetique pour aimanter la pastille
supraconductrice est une bobine agrave fil de Litz de 127 cm de longueur et de 65 cm de diamegravetre
externe ce type de bobines sont adapteacutees au transport des courants eacutelectrique agrave haute
freacutequence et produit un champ magneacutetique axial plus en moins homogegravene dans son centre
dont lequel on met la pastille pour lrsquoaimantation Un Oscilloscope est utiliseacute pour faire la
mesure du champ magneacutetique et le courant de deacutecharge produit par le magneacutetiseur Une
bobine de Rogowski est employeacutee pour mesurer le courant de deacutecharge Rappelons que la
bobine de Rogowski est un systegraveme eacutelectrotechnique servant agrave mesurer le courant alternatif
ou les impulsions de courant agrave grande vitesse [107] Elle se compose
dun enroulement heacutelicoiumldal de fil dont le fil dune extreacutemiteacute revient par le centre de
lenroulement agrave lautre extreacutemiteacute de sorte que les deux bornes sont agrave la mecircme extreacutemiteacute de
lenroulement La bobine est positionneacutee autour du conducteur dont on veut connaicirctre le
courant La figure III3 montre une photo du circuit eacutelectrique utiliseacute pour lrsquoaimantation
Le champ magneacutetique ( )aB t geacuteneacutereacute par la bobine est appliqueacute parallegravelement suivant
lrsquoaxe ( )Oz de la pastille cylindrique Ce champ est caracteacuteriseacute par une vitesse de monteacute bV
drsquoenviron 3125 Ts et une valeur maximale ( )maxaB drsquoenviron 32 Tesla (Figure III7) Une
diffeacuterence de potentiel de 600 V est choisie sur les bornes du magneacutetiseur pour avoir cette
valeur de champ appliqueacute
88
Figure III5 Circuit eacutelectrique de magneacutetisation
Figure III6 Repreacutesentation du dispositif expeacuterimentation du processus drsquoaimantation utiliseacute
89
Figure III7 Impulsion de champ magneacutetique appliqueacute sur la pastille SHTC
III23 Instrumentation
La mesure de champ magneacutetique sur les deux surfaces de la pastille drsquoYBCO se fait agrave
lrsquoaide des deux sondes agrave effet Hall de type HHP-NP adapteacutees aux basses tempeacuteratures
(figure III8) Chaque sonde agrave effet Hall comprend quatre fils deux pour les courants et deux
pour les signaux de tension Les geacuteneacuterateurs de courant illustreacutes sur la figure III5 alimentent
les sondes agrave effet Hall La distance entre la partie active de la sonde et la surface de la pastille
est drsquoenviron 05mm Cette distance est due agrave lrsquoencapsulage de la sonde Ces sondes mesurent
le champ magneacutetique suivant lrsquoaxe (Oz)
Figure III8 Sonde agrave effet Hall de type HHP-NP
90
Les caracteacuteristiques des deux sondes agrave effet Hall utiliseacutees sont donneacutees par le
fabricant (Tableau III1)
Tableau III1 Caracteacuteristiques des sondes agrave effet Hall
Paramegravetre Uniteacute Sonde 2003 (77K) Surface au-dessus
Sonde 468 (77K) Surface su dessous
Courant nominal In mA 20 20
Courant maximum mA 30 20
Sensibiliteacute agrave In TV 1356 946
Tension de deacutecalage agrave In Vmicro 58 lt -40
Reacutesistance drsquoentreacutee Ω 23 41
Reacutesistance de sortie Ω 78 18
Reacutegion de dimension efficace mm 0500 x 01 05 x 01
Dimensions globale mm 5 x 7 x 1 5 x 7 x 1
Les sondes agrave effet Hall sont placeacutees au centre des surfaces planes des pastilles et donc
perpendiculaires au champ magneacutetique appliqueacute (Figure III9)
Lrsquoensemble bobine pastille SHTC et sondes agrave effet Hall sont immergeacutees dans lrsquoazote
liquide agrave une tempeacuterature de 77 K
Lrsquoimpulsion de champ magneacutetique creacuteeacute par la bobine appliqueacutee sur la pastille SHTC
refroidie est lrsquoimage de lrsquoimpulsion de courant eacutelectrique creacuteeacute par le magneacutetiseur Les
mesures de champ magneacutetique et de courant eacutelectrique seront prises agrave lrsquooscilloscope
Figure III9 Positions des sondes agrave effet Hall sur les deux surfaces de la pastille SHTC
91
III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTC
III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hall
Le calcul de la densiteacute de courant critique Jc se fait agrave partir du champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete BP Le calcul de BP est fait agrave partir de la mesure du champ magneacutetique agrave
lrsquoaide des sondes agrave effet Hall En fait nous pouvons mesurer le champ magneacutetique sur lrsquoaxe
(Oz) de la pastille uniquement en deux positions
- Position 1 Au centre de la surface de base supeacuterieure (pregraves du germe de cristallisation
(seed))
- Position 2 Au centre de la surface inferieure de la pastille
La figure III10 repreacutesente les reacutesultats de mesure du champ magneacutetique MB au centre
des deux surfaces de la pastille SHTC (a) Position 1 (b) Position 2 Le champ magneacutetique
MB est mesureacute agrave une distance 05d mm= des deux surfaces de la pastille La diffeacuterence
( ) ( ) 05a MB t B t d mmminus = preacutesente le champ magneacutetique produit par le courant eacutelectrique
induit dans la pastille nommeacute ( )ZSCB t d Ce champ atteint une valeur maximum nommeacute
BZSCM
Agrave partir des figures III10a et III10b on constate que le champ magneacutetique mesureacute aux
positions 1 et 2 ne varie pas de la mecircme faccedilon
92
(a)
(b)
Figure III10 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer au
(a) position1 (b) position 2
93
La figure III11 preacutesente les mecircmes mesures de la figure III10 avec une eacutechelle de
temps reacuteduite Nous remarquons que le temps de peacuteneacutetration complegravete de champ magneacutetique
dans le cas de la position 1 est supeacuterieur agrave celui dans le cas de la position 2 Ainsi la reacutegion
laquo seed raquo est caracteacuteriseacutee par un champ magneacutetique induit supeacuterieur agrave celui de la reacutegion de la
surface opposeacutee (position 2)
(a)
(b)
Figure III11 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer avec une
eacutechelle de temps reacuteduite (a) position1 (b) position 2
94
III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de la
pastille
Le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP peut ecirctre deacuteduit agrave partir de
lrsquoeacutequation I34 en connaissant la valeur de BZSCM Le rapport BZSCBBPB dans lrsquoeacutequation I34
est en fonction seulement des paramegravetres geacuteomeacutetriques R et L de la pastille Ainsi le champ
magneacutetique de peacuteneacutetration de Bean BPB est calculeacute agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I29 en prenant
n=50 Une fois le champ BPB est calculeacute et agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 on peut deacuteterminer la
valeur de la densiteacute de courant critique Jc
Les valeurs de temps de peacuteneacutetration tP de champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute
BPM du max de champ magneacutetique produit par le courant eacutelectrique induit dans la pastille
BZSCM ainsi la valeur de la densiteacute de courant critique obtenues au centre des deux surfaces de
la pastille eacutequivalent aux positions 1 et 2 sont reacutesumeacutees dans le tableau III2
Tableau III2 Valeurs de la densiteacute de courant critique calculeacute agrave une distance de 05 mm au-dessus du
centre des deux surfaces de la pastille SHTC
Position 1 Position 2
tP (10-4s) 75 36
BPM(T) 23 13
BZSCM 192 139
Jc (Amm2) 201 145
Drsquoapregraves les reacutesultats de tableau III2 nous constatons que la densiteacute de courant critique
nrsquoest pas constante sur toute la pastille SHTC elle varie drsquoune reacutegion agrave lrsquoautre Cette
inhomogeacuteneacuteiteacute est due agrave la technique de fabrication utiliseacutee pour ce type de pastille SHTC
III33 Simulations numeacuteriques
Pour modeacuteliser le comportement eacutelectromagneacutetique de la pastille SHTC utiliseacutee dans
nos mesures et par la suite valider la meacutethode utiliseacutee pour calculer la densiteacute de courant
critique agrave partir de la mesure de champ magneacutetique une approximation macroscopique est
proposeacutee Le principe expliqueacute preacuteceacutedemment est de diviser la pastille en trois reacutegions
principales reacutegion supeacuterieure reacutegion centrale et reacutegion inferieure (figure III3) Chaque
95
reacutegion est caracteacuteriseacutee par sa propre densiteacute de courant critique Jc0 Lrsquoimpulsion de champ
magneacutetique appliqueacute sur la pastille est la mecircme que dans la figure III7
La simulation numeacuterique srsquoest faite agrave lrsquoaide du logiciel COMSOL Un calcul
numeacuterique en 2D-axisymeacutetrique est utiliseacute ougrave la formulation en H en coordonneacutees
cylindriques est employeacutee Lrsquoeacutequation de Maxwell suivante doit ecirctre reacutesolue en systegraveme de
coordonneacutees cylindrique
( )0 0 1IIHt
IEmicro part+nablatimes =
part
( ) 2E H IIIρ= nablatimes
Les champs magneacutetique et eacutelectrique ont respectivement deux composantes radiale et
longitudinale [ ]0r zH H H et une transversale [ ]0 0E E
( )0 30 rH E It
IIz
micro part partminus =
part part
( )0 4zH E Et r r
IIImicro part part+ = minus
part part
Le champ eacutelectrique E est donneacute en modegravele de la loi en puissance deacutefini en chapitre I
La densiteacute de courant eacutelectrique est donneacutee agrave partir de lrsquoexpression diffeacuterentielle suivante
( ) 5r z IIHz r
IHJ part part= minus
part part
Le milieu supraconducteur est repreacutesenteacute par une modeacutelisation ( )CJ B selon la loi empirique
suivante
( ) ( )0
0
1
6C iC IIIJJ B
BB
β= +
Avec JC0i est la densiteacute de courant critique de la reacutegion i (i=1 2 3) en absence de toute champ
magneacutetique externe et B0 est une constante deacutependante du mateacuteriau On choisit ici de prendre
0 01B = et 05β = pour les trois reacutegions de la pastille [109]
Nous avons fait varier Jc0i pour chaque reacutegion en suivant la mecircme meacutethode expliqueacutee
preacuteceacutedemment dans la partie expeacuterimentale pour calculer la densiteacute de courant critique
96
moyenne sur les deux surfaces des deux pastilles jusqursquoagrave retrouver les reacutesultats proches de
ceux trouveacute expeacuterimentalement (tableau III2)
Puisque la meacutethode PFM est employeacutee dans notre problegraveme ougrave le champ magneacutetique appliqueacute
est fonction de temps donc la simulation est faite en reacutegime temporel
Le temps maximal de lrsquoimpulsion choisie pour cette simulation max 5msτ = afin de minimiser
la dureacutee de calcul
Les valeurs de JC0i optimales trouveacutees sont mentionneacutees dans le tableau III3
Tableau III3 valeurs de JC0i optimiseacutees pour les trois reacutegions de la pastille
Reacutegion I Reacutegion II Reacutegion III
JC0i (Amm2) 680 1400 435
Lrsquoeacutevolution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure de la pastille est preacutesenteacutee sur la
figure III12 avec un pas de temps eacutegale agrave max 6τ Nous remarquons que le champ magneacutetique
peacutenegravetre progressivement agrave partir de la surface lateacuterale vers lrsquointeacuterieure de la pastille Cette
peacuteneacutetration atteint sa valeur maximale agrave la fin de lrsquoaimantation Le champ magneacutetique
peacuteneacutetrant est moins important coteacute seed
97
Figure III12 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur de la
pastille SHTC
98
La figure III13 repreacutesente les reacutesultats des modeacutelisations numeacuteriques de champ
magneacutetique MB au-dessus de centre des deux surfaces de la pastille SHTC agrave une distance
e=05mm (a) Position 1 et (b) position 2
(a)
(b)
Figure III13 Modeacutelisation numeacuterique du champ magneacutetique sur le centre de la surface
drsquoune pastille (a) Position 1 (b) Position 2
99
Figure III14 La phase de monteacute des graphes de mesures numeacuterique et expeacuterimentale de
champ magneacutetique au-dessus des deux surfaces de la pastille
Une premiegravere comparaison entre les graphes obtenus expeacuterimentalement (figure III9)
et par le calcul numeacuterique (figure III13) pour les deux pastilles montrent que ces graphes sont
proches seulement pendant la phase de monteacutee (la phase la plus inteacuteressante pour deacuteterminer
Jc) (figure III14) Cependant durant la phase de descente de ces graphes nous remarquons
que les graphes obtenus expeacuterimentalement sont totalement diffeacuterents de ceux obtenus
numeacuteriquement Cela srsquoexpliquerait par des pheacutenomegravenes thermiques dus aux pertes creacuteeacutees par
les diffeacuterents courants induits pendant la phase de monteacutee et la phase de descente de
lrsquoimpulsion de champ appliqueacute durant lrsquoexpeacuterience que nous nrsquoavons pas pris en
consideacuteration en simulation
III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux
pastilles
Dans cette partie nous allons mesurer la densiteacute de courant critique drsquoun ensemble de
deux pastilles supposeacutees identiques Le point de mesure srsquoeffectuera entre les deux pastilles agrave
lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet Hall Les deux pastilles sont seacutepareacutees par une distance laquo e raquo qui
preacutesente lrsquoeacutepaisseur de la sonde Afin drsquoeacutetudier lrsquoinfluence de la position des germes dans
cette meacutethode de caracteacuterisation trois configurations sont prises en consideacuteration en fonction
de la position du germe de cristallisation dans les deux pastilles utiliseacutees (figure III15)
100
(a) (b) (c)
Figure III15 Configurations utiliseacutees pour le calcul de Jc entre les deux pastilles
La figure III16 preacutesente les reacutesultats de mesure de champ magneacutetique prises entre les
deux pastilles SHTC pour les trois configurations illustreacutees dans la figure III15 On constate
ici que le temps de peacuteneacutetration complegravete varie drsquoune configuration agrave lrsquoautre (voir tableau
III4) Le champ magneacutetique prend plus de temps pour peacuteneacutetrer agrave lrsquointeacuterieure et entre les
pastilles agrave travers les seeds
Tableau III4 les valeurs de temps de peacuteneacutetration complegravete et champ magneacutetique de
peacuteneacutetration eacutequivalent mesureacutes pour les trois configurations
Configuration (a) Configuration (b) Configuration (c)
tP (10-3 s) 093 132 14
BPM (T) 257 302 31
101
(a)
(b)
(c)
Figure III16 Mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC pour les
configurations (a) (b) et (c)
102
Pour comprendre les pheacutenomegravenes observeacutes des simulations numegraveriques ont eacuteteacute
reacutealiseacutees Les mecircmes eacutetapes de simulation numeacuterique expliqueacutes preacuteceacutedemment dans le cas
drsquoune seule pastille sont utiliseacutees ici La figure III17 repreacutesente lrsquoeacutevolution de la distribution
du champ magneacutetique agrave lrsquointerieur des deux pastilles SHTC pour les trois configurations
illustreacutees dans la figure III15 Les mecircmes valeurs de Jcoi sont utiliseacutees aussi pour la deuxiegraveme
pastille Lrsquoeacutetude de lrsquoeacutevolution de champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur et entre les deux pastilles
est faite agrave un pas de temps eacutegale agrave max 3t τ=
Nous remarquons que le champ magneacutetique peacutenegravetre progressivement agrave lrsquointeacuterieure des
deux pastilles cette peacuteneacutetration est plus rapide dans le cas de la configuration (a) et moins
rapide dans le cas de la configuration (c)
103
Figure III17 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure des
deux pastilles pour les trois configurations (a) (b) et (c)
104
Afin de prendre en consideacuteration lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall utiliseacutee dans la
mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC utiliseacutees dans notre mesure nous
avons fait appel agrave la relation (I32) pour calculer le champ magneacutetique de peacuteneacutetration
complegravete BP Ce champ est neacutecessaire pour le calcul de la densiteacute de courant critique JC entre
les deux pastilles
Rappelons que la relation I32 est valable seulement pour R=10 mm R eacutetant le rayon
de la pastille utiliseacutee Par contre les deux pastilles que nous avons utiliseacutees ont un rayon
R=156 mm Pour trouver une nouvelle relation entre le champ de peacuteneacutetration mesureacute BPM et
le champ de peacuteneacutetration complegravete BP une simulation numeacuterique similaire agrave celle expliqueacutees
dans le paragraphe I5212 du chapitre I est effectueacutee en utilisant deux pastilles SHTC de
rayon R=1555 mm pour chacune ces deux pastilles sont seacutepareacutees par un entrefer e=1mm Cet
entrefer preacutesente lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall Les reacutesultats de mesure sont preacutesenteacutes
sur la figure III18
Figure III18 Rapport BPMBP en fonction de longueur L de la pastille SHTC pour
R=156mm
Donc drsquoapregraves la figure III18 la relation liant BPM et BP pour les deux pastilles utiliseacutees dons
nos mesures deacutepend seulement de la hauteur des deux pastilles et elle est donneacutee par
( ) ( ) ( 156 ) 0031 ln 0 777 PM
P
B R mm ILB
II= = times +
Les valeurs de champ de peacuteneacutetration mesureacute BPM pour les trois configurations eacutetudieacutees sont
mentionneacutees dans le tableau III4 Une fois la valeur de champ de peacuteneacutetration complegravete
deacutetermineacutee agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation III7 et agrave partir de lrsquoeacutequation I29 nous calculons la valeur
105
de champ de peacuteneacutetration de Bean BPB Enfin la densiteacute de courant critique JC entre les deux
pastilles SHTC est calculeacutee agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 Les valeurs de Jc entre les deux
pastilles pour les trois configurations de la figure III15 sont mentionneacutees dans le tableau III5
Tableau III5 Valeur de la densiteacute de courant critique entre les deux pastilles SHTC drsquoYBCO
utiliseacutees dans nos expeacuteriences
Configuration (a) Configuration (b) Configuration (c)
Jc (Amm2) 1317 1548 1589
Drsquoapregraves le tableau III5 nous remarquons que la valeur moyenne de la densiteacute de
courant eacutelectrique critique entre les deux pastilles est infeacuterieure agrave celle drsquoune pastille seule
Cette diminution est due peut-ecirctre agrave la diminution des courants eacutelectriques induits reacutesultants
entre les deux surfaces opposeacutees La configuration (b) est caracteacuteriseacutee par une densiteacute
eacutelectrique critique plus eacuteleveacutee agrave celle de la configuration (a) et moins eacuteleveacutee agrave celle de la
configuration (c) agrave cause de la preacutesence des germes de cristallisations (seed) en face agrave face
pour la configuration (c)
III5 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences pour lrsquoaimantation drsquoune pastille
SHTC de type YBaCuO par la meacutethode PFM dans le but de veacuterifier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute de cette
pastille en termes de densiteacute de courant critique Agrave lrsquoaide des sondes agrave effet Hall nous avons
mesureacute le champ magneacutetique au milieu des deux surfaces planes de la pastille dans le but de
calculer la densiteacute de courant critique agrave ces endroits Dans toutes les mesures il existe une
distance drsquoenviron 05 mm entre la partie active de la sonde et la surface de la pastille ce qui
doit ecirctre pris en compte dans les calculs de Jc Nous avons remarqueacute que la surface qui
contient le germe de cristallisation est caracteacuteriseacutee par une densiteacute de courant plus eacuteleveacutee que
lrsquoautre surface Cette inhomogeacuteneacuteiteacute est due agrave la technique de fabrication utiliseacutee pour ce type
de pastille SHTC Ensuite et sur la base des reacutesultats obtenus expeacuterimentalement nous avons
proposeacute un modegravele numeacuterique pour deacutecrire la morphologie de la pastille SHTC utiliseacute dans
nos mesures en divisant cette pastille en trois reacutegions en forme U concentriques reacutegion
supeacuterieure reacutegion centrale et reacutegion inferieure Chaque reacutegion est caracteacuteriseacutee par sa propre
densiteacute de courant critique JC0
106
Ensuite pour eacutetudier lrsquoinfluence de la position du germe de cristallisation dans la
meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles nous avons calculeacute la densiteacute de courant critique
entre deux pastilles SHTC supposeacutees identiques et seacutepareacutees par une distance e = 1mm agrave lrsquoaide
de la mesure de champ magneacutetique dans cette reacutegion Trois configurations ont eacuteteacute prises en
consideacuteration en fonction de la position du germe de cristallisation Les reacutesultats obtenus
montrent une diminution de la densiteacute de courant critique par rapport agrave une seule pastille agrave
cause de la diminution des courants induits reacutesultants entre les deux surfaces opposeacutees La
configuration qui contient les deux surfaces de laquo seed raquo est toujours caracteacuteriseacutee par une Jc
plus eacuteleveacutee que le reste des configurations eacutetudieacutees Donc nous conseillions que lors de
lrsquointeacutegration des pastilles SHTC pareilles dans des machines eacutelectriques il faut prendre en
consideacuteration la position de ces pastilles par rapport agrave leurs germes de cristallisations
107
Conclusion geacuteneacuterale et perspectives
108
Le travail meneacute dans cette thegravese intituleacutee laquo modeacutelisation et caracteacuterisation des
mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique raquo a eacuteteacute reacutealiseacute en cotutelle dans le
cadre drsquoun projet PHC-Tassili entre le laboratoire GREEN de lrsquouniversiteacute de Lorraine et le
laboratoire LESI de lrsquouniversiteacute Djilali Bounaama de Khemis Miliana
Dans la premiegravere partie de cette recherche nous avons pu deacutevelopper un modegravele
analytique qui a pour but de calculer lrsquoinductance de lrsquoensemble composeacute drsquoune bobine
inductrice circulaire de section transversale rectangulaire dans un circuit ferromagneacutetique
ouvert muni drsquoun entrefer concentrique avec la bobine Ce modegravele est baseacute sur la
deacutetermination de potentiel vecteur magneacutetique agrave partir de la reacutesolution des eacutequations de
Laplace et de Poisson dans les diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecirct du circuit en utilisant la meacutethode
de seacuteparation des variables La reacutesolution analytique srsquoest effectueacutee agrave lrsquoaide drsquoun code de
calcul deacuteveloppeacute sous MATLAB Une simulation numeacuterique est eacutegalement effectueacutee afin de
valider les reacutesultats analytiques Au deacutebut le calcul se fait en absence de tout mateacuteriau
supraconducteur dans le circuit ferromagneacutetique puis nous avons eacutetudieacute le cas de preacutesence
drsquoune pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer pour montrer lrsquoinfluence de cette
derniegravere sur la valeur de lrsquoinductance de lrsquoinducteur Nous avons montreacute pour les deux cas
que les meacutethodes analytiques correspondent tregraves bien avec les meacutethodes numeacuteriques avec des
erreurs inferieures agrave 1 pour un nombre de termes harmonique eacutegale agrave 50 et avec un
avantage aux meacutethodes analytiques en termes de temps de calcul Aussi les meacutethodes
analytiques sont peu exigeantes sur la meacutemoire de calculateur Nous avons montreacute aussi agrave
travers ce modegravele que lrsquoinfluence de la taille de la pastille supraconductrice sur la valeur de
lrsquoinductance obtenue peut servir agrave dimensionner lrsquoinducteur de systegraveme drsquoaimantation par la
meacutethode PFM Ainsi les reacutesultats obtenus montrent que cette eacutetape de modeacutelisation est tregraves
inteacuteressante dans la phase de conception des machines supraconductrices utilisant les
mateacuteriaux supraconducteurs massifs
Dans la partie caracteacuterisation le but eacutetait drsquoeacutetudier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute drsquoune pastille
supraconductrice agrave haute tempeacuterature critique de type YBaCuO en termes de densiteacute de
courant critique Pour cela et suite aux travaux de caracteacuterisations reacutealiseacutes au niveau du
laboratoire GREEN nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences de lrsquoaimantation des pastilles SHTC
de type YBaCuO par la meacutethode PFM Les reacutesultats obtenus montrent que la surface
contenant le germe de cristallisation de la pastille est caracteacuteriseacutee par une densiteacute de courant
critique plus eacuteleveacutee que lrsquoautre surface et cela ducirc agrave la meacutethode drsquoeacutelaboration de ce genre des
pastilles Ensuite nous avons proceacutedeacute agrave la caracteacuterisation de deux pastilles SHTC identiques
109
seacutepareacutees par une distance de 1mm et calculeacute la densiteacute de courant critique de ces deux
pastilles La position de germe de cristallisation drsquoune pastille par rapport agrave lrsquoautre influence
directement la valeur de Jc
Comme perspective agrave ce travail nous envisageons de confronter le modegravele analytique
deacuteveloppeacute durant de travail sur un systegraveme physique reacuteel contenant un circuit magneacutetique
fermeacute comme par exemple un transformateur avec une bobine contenant une pastille
supraconductrice De plus nous envisageons drsquoeacutetablir un modegravele analytique standard en
prenant en consideacuteration lrsquoinfluence de lrsquoeffet thermique afin de deacuteterminer les proprieacuteteacutes
caracteacuteristiques des pastilles supraconductrices agrave partir des reacutesultats obtenus lors des
expeacuteriences de caracteacuterisations par la meacutethode PFM reacutealiseacutees durant cette thegravese
110
Liste des illustrations graphiques
et tableaux
111
Figure I1 Reacutesistiviteacute eacutelectrique de mercure agrave basse tempeacuteraturehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8
Figure I2 Historique des deacutecouvertes de la tempeacuterature critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11
Figure I3 Etat noraml et supraconducteur drsquoun meacutetal en fonction de la tempeacuteraturehellip 12
Figure I4 Repreacutesentation de champ magneacutetique induit en fonction du champ
magneacutetique appliqueacute pur les supraconducteurs de type Ihelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
13
Figure I5 Repreacutesentation graphique (a) des diffeacuterentes eacutetats des supraconducteurs de
type II et (b) du champ magneacutetique induit en fonction du champ
magneacutetique appliqueacute pour les supraconducteurs de type IIhelliphelliphelliphelliphellip
14
Figure I6 Reacuteseaux vortex dans un mateacuteriau supraconducteur de type IIhelliphelliphelliphelliphellip 15
Figure I7 Densiteacute de courant intergrain et intragrain dans un mateacuteriau
supraconducteur helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
16
Figure I 8 Microstructure drsquoun mateacuteriau Supraconducteur agrave Haute Tempeacuterature
critique (SHTC) de formule chimique 2 3 7YBa Cu O δminus helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
17
Figure I9 Surface critique et ordre de grandeur des paramegravetres critique de quelques
mateacuteriaux Supraconducteurshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
18
Figure I10 Diffeacuterentes formes des SHTC a) pastille YBaCuO en massifs b)
YBaCuO en monocouche c) tubes de BSCCOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
19
Figure I11 Traitement thermique pour la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO par la
technique TSMGhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
21
Figure I12 Structure cristalline tridimensionnelle de lrsquoYBa2Cu3O7-δ helliphelliphelliphelliphelliphellip 22
Figure I13 Repreacutesentation de structure (a) orthorhombique et (b) quadratique de la
maille eacuteleacutementaire du compos YBa2Cu3O7-δhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
23
Figure I14 Variation des paramegravetres de reacuteseau a b et c par rapport au deacuteficit en
oxygegravene δ helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
23
Figure I15 Repreacutesentation de la tempeacuterature critique en fonction du deacuteficit en
oxygegravene dans la structure YBaCuOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
24
Figure I16 Structure cristalline de MgB2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25
Figure I17 Distribution de B J E dans un cylindre supraconducteur soumis agrave un
champ magneacutetique parallegravele agrave son axehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
29
112
Figure I18 Comparaison entre la caracteacuteristique E(J) correspond au modegravele de Bean
(courbe rouge) et au modegravele de loi en puissance (courbe verte) avec celle
obtenue expeacuterimentalement (courbe bleu) pour un rubanhelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
Figure I19 Aimantation par refroidissement sous champ magneacutetique (Field Cooling
FC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
33
Figure I20 Aimantation par refroidissement hors champ magneacutetique (Zero Field
Cooling ZFC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
34
Figure I21 Aimantation par un champ impulsionnel (pulsed field magnetization
PFM)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
35
Figure I22 Scheacutema eacutelectrique simplifieacute du circuit utiliseacute pour aimanter les
supraconducteurs massifshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
35
Figure I23 Variation temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour laimantation par
la meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
36
Figure 24 Scheacutema repreacutesentatif de la meacutethode eacutelectrique pour deacuteterminer la densiteacute de
courant eacutelectrique Jc drsquoun mateacuteriau supraconducteurhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
37
Figure I25 Pastille supraconductrice massive de forme cylindrique soumise agrave un
champ magneacutetique appliqueacute axialementhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
38
Figure I26 Variation du champ magneacutetique en fonction du temps Ba est le champ
appliqueacute sur la pastille et B0 repreacutesente le champ magneacutetique mesureacute au
centre de la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
39
Figure I27 Position de sonde agrave effet Hall entre deux pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphellip 40
Figure I28 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesureacute entre deux
pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
40
Figure I29 Repreacutesentation du champ magneacutetique appliqueacute et le champ magneacutetique
mesureacute entre deux pastilles SHTC en fonction de temps en utilisant a)
une bobine supraconductrice pour geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee
b) une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer une vitesse de monteacutee
eacuteleveacutee
42
Figure I30 Rapport PPMB B en fonction de longueur L de la pastille SHTChelliphelliphellip 43
113
Figure I31 Position de sonde agrave effet Hall au centre de surface de la pastillehelliphelliphelliphellip 44
Figure I32 Distribution de la densiteacute de courant JJc dans la pastille SHTC pour trois
valeur de vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacutehelliphelliphelliphelliphelliphellip
45
Figure I33 Calcul numeacuterique de BP au centre de la pastille et BZSCM au-dessus du centre de surface de la pastille agrave d = 05mmhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
46
Figure I34 Comparaison entre le calcul numeacuterique ZSCB PBB B et le calcul analytique
ZSCM PB B helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
47
Figure II1 Geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute un circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie infeacuterieur de longueur 3 2 e Z Z= minus concentrique
avec une bobine de longueur 4 1L Z Z= minus helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
51
Figure II2 Maillages du circuit ferromagneacutetique avec entrefer eacutetudieacute par COMSOLhellip 62
Figure II3 Comparaison des distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave
partir du calcul analytique (a) et du calcul numeacuterique (b) avec le traceacute
des lignes de champ magneacutetiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
62
Figure II4 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions (a) III en ( )1 2 2r R R= + et (b) IV en 1 2r R= helliphelliphelliphelliphelliphellip
63
Figure II5 Comparaison des valeurs de lrsquoinductance de la bobine en fonction de la
longueur de lrsquoentrefer obtenues numeacuteriquement avec celles obtenues
analytiquement pour les diffeacuterentes valeurs de nombres des harmoniques
variant entre 1 et 50helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
64
Figure II6 Circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer de longueur e dans lequel se
trouve une pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
65
Figure II7 Distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir du (a)
calcul numeacuterique) et du (b) calcul analytique en preacutesence de la
pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
74
Figure II8 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans la reacutegion III en ( )2 3 2r R R= + (a) et dans la reacutegion IV en 1 2r R= (b) en
preacutesence de la pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
75
Figure II9 Repreacutesentation de lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon de la
pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
76
114
Figure II10 Variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
supraconductrice dans un circuit fermeacute et dans un circuit ouverthelliphelliphelliphellip
77
Figure II11 Position de la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du problegraveme de la figure II1 avec [ ]110r Risin et [ ]22 33z Z Zisin helliphelliphelliphelliphelliphellip
78
Figure II12 Variation de champ magneacutetique appliqueacute et du champ magneacutetique pieacutegeacute sur la surface de la pastille supraconductrice agrave 0r = et 33z Z= helliphellip
79
Figure II13 Evolution de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc sur le plan meacutedian de la pastille supraconductrice agrave ( )0479515320r mm= helliphelliphelliphelliphelliphellip
81
Figure III1 Pastille supraconductrice soumis agrave un champ magneacutetique exteacuterieurhelliphelliphellip 85
Figure III2 Les deux surfaces de la Pastille SHTC drsquoYBaCuO utiliseacutee pour
lrsquoaimantationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
85
Figure III3 Modegravele drsquoune pastille SHTC gradueacutee en YBCO proposeacutee pour la
modeacutelisation numeacuteriquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
86
Figure III4 Magneacutetiseur agrave impulsion K-serie utiliseacute pour aimanter la pastillehelliphelliphellip 87
Figure III5 Circuit eacutelectrique de magneacutetisationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88
Figure III6 Repreacutesentation du dispositif expeacuterimentation du processus
drsquoaimantation utiliseacutehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
88
Figure III7 Impulsion de champ magneacutetique appliqueacute sur la pastille SHTChelliphelliphelliphellip 89
Figure III8 Sonde agrave effet Hall de type HHP-NPhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 89
Figure III9 Positions des sondes agrave effet Hall sur les deux surfaces de la pastille
SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
90
Figure III10 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer au (a)
position1 (b) position 2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
92
Figure III11 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer avec une
eacutechelle de temps reacuteduite (a) position1 (b) position 2helliphelliphelliphelliphelliphellip
93
Figure III12 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur de la
pastille SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
97
115
Figure III13 Modeacutelisation numeacuterique du champ magneacutetique sur le centre de la
surface drsquoune pastille (a) Position 1 (b) Position 2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
98
Figure III14 La phase de monteacute des graphes de mesures numeacuterique et expeacuterimentale
de champ magneacutetique au-dessus des deux surfaces de la pastillehelliphelliphellip
99
Figure III15 Configurations utiliseacutees pour le calcul de Jc entre les deux pastilleshelliphellip 100
Figure III16 Mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC pour les
configurations (a) (b) et (c)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
101
FigIII17 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure des deux
pastilles pour les trois configurations (a) (b) et (c)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
103
Figure III18 Rapport PM PB B en fonction de longueur L de la pastille SHTC pour R=156mmhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
104
Tableau I1 Tempeacuterature critique de quelques mateacuteriaux supraconducteurshelliphelliphelliphellip 12
Tableau II1 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme sans
pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
61
Tableau II2 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme avec
pastillehelliphelliphellip
73
Tableau III1 Caracteacuteristiques des sondes agrave effet Hallhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 90
Tableau III2 Valeurs de la densiteacute de courant critique calculeacute agrave une distance de
05mm au-dessus du centre des deux surfaces de la pastille SHTC helliphellip
94
Tableau III3 Valeurs de JC0i optimiseacutees pour les trois reacutegions de la pastillehelliphelliphelliphellip 96
Tableau III4 Les valeurs de temps de peacuteneacutetration complegravete et champ magneacutetique de
peacuteneacutetration eacutequivalent mesureacutes pour les trois configurationshelliphelliphelliphellip
100
Tableau III5 Valeur de la densiteacute de courant critique entre les deux pastilles SHTC
drsquoYBCO utiliseacutees dans nos expeacuteriences helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
105
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124
Annexes
125
Annexe I reacutesolution des eacutequations de Laplace et de Poisson
1- Cas drsquoun circuit ouvert avec entrefer sans pastille supraconductrice
1-1 reacutegion I 3 4R r Rlt lt et 50 z Zlt lt
( )2 2
22 2 2
10 0 1I I I II
A A A AAr r r r z
part part partnabla = rArr + minus + =
part part part
En utilisant la meacutethode de seacuteparation des variables on met ( ) ( ) ( )I I IA r z R r Z z=
lrsquoeacutequation (1) srsquoeacutecrit donc sous forme
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 0 1 I I I I I I I II I I I
I I I
R R R Z R RZ Z Rr r r r z R r R r r r Z
Z Zz
λpart part part part part part+ minus + = rArr + minus = minus =
part part part part part part
Il existe donc deux eacutequations lieacutees agrave la constante Iλ
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 2
1 0 3
II I
I II I
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = part
part part + minus + = part part
1-1-1 Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (2) srsquoeacutecrit sous forme 2 0I IZ λ+ =
Le discriminant I∆ de cette eacutequation est donneacute par 4I Iλ∆ =
Trois cas sont possible pour I∆
1er cas 0 0I Iλ∆ = rArr =
Pour ce cas la solution de lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (2) est donneacutee par
( )I I IZ z A z B= +
En tenant en compte les conditions aux limites consideacutereacutees pour cette reacutegion on trouve
( )0 et 0 0I I IA B Z z= = rArr = Cette fonction ne nous inteacuteresse plus et 0Iλ = nrsquoest plus une
valeur propre de notre problegraveme
2egraveme cas 0 0I Iλ∆ gt rArr lt
On pose 2I Iλ β= minus soit 24I Iβ∆ = minus et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) I Iz zI I IZ z A e B eβ βminus= +
En tenant en compte les conditions aux limites
126
( )0 0I I IZ z A B= = rArr = minus
( ) ( ) ( )5 55 50 0 2 sinh 0I IZ Z
I I I IZ z Z A e e A Zβ β βminus= = rArr minus = rArr = Comme 0Iβ ne ceci nrsquoest
possible que pour 0IA = et donc 0IB =
La solution ( ) 0IZ z = ne nous inteacuteresse plus et 0Iλ lt aussi ne sont plus des valeurs propre de
ce problegraveme
3egraveme cas 0 0I Iλ∆ lt rArr gt
On pose 2I Iλ α= soit ( )24I Iiα∆ = et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) ( ) ( )cos sinI I I I IZ z A z B zα α= +
En tenant en compte les conditions aux limites
( )0 0 0I IZ z A= = rArr =
( ) ( )5 50 sin 0I I IZ z Z B Zα= = rArr = Cela nrsquoest possible que si 5
InnZπα = pour 1 0B gt avec
n=1 2 3hellip par conseacutequent 2
5In
nZπλ
=
sont les valeurs propres du problegraveme aux limites
Les fonctions propres associeacutees aux valeurs Inλ sont
( ) ( )sinI In InZ z B zα= Avec5
InnZπα =
112 Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Les valeurs propres Inλ sont maintenant connues Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle agrave reacutesoudre dans ce
cas ( ( )2
2 2 22 1 0I I
I IR Rr r r Rr r
αpart part+ minus + =
part part) est une eacutequation de Bessel modifieacutee
On effectue le changement de variable Inr rα= Lrsquoeacutequation alors srsquoeacutecrit
( )2
2 22 1 0I I
IR Rr r r Rr r
part part+ minus + =
part part
Les solutions de cette eacutequation de Bessel modifieacutees sont alors
( ) ( ) ( )1In In n In I nR r C I r D K rα α= +
La forme du potentiel vecteur magneacutetique dans la reacutegion I est donneacutee par
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 11
I In nI n n n
nIA a I r b K r sin zr z R r Z z α α α
infin
=
= += sum
Utilisant la condition aux limites4
( ) 0r R
rAr =
part=
part le potentiel A srsquoeacutecrit
127
( ) ( )( ) ( ) ( )0
101
nIn n n
n nI
K rb K r sin zA
rr
Iz
αα α
α
infin
=
+ =
sum
5n
nZπα = Avec
1-2 Reacutegion II 2 3 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre ici est une eacutequation de Laplace
2 2
02 2 2
1 ( ) (4)II II II IIA A A A J zr r r r z
micropart part part+ minus + = minus
part part part
Avec ( ) 1 4
0J pour Z z Z
J zAilleur
lt lt=
1-2-2 Reacutesolution de lrsquoeacutequation de Laplace sans second membre
En utilisant la meacutethode de seacuteparation des variables ( ) ( ) ( )II II IIA r z R r Z z= times deux
eacutequations en r et en z sont agrave reacutesoudre
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 5
1 0 6
IIII II
II IIII II
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = part
part part + minus + = part part
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de (5) srsquoeacutecrit par 2 0II IIZ λ+ = ou le discriminant II∆ de cette
eacutequation est donneacute par 4II IIλ∆ = minus
1er cas 0 0II IIλ∆ = rArr =
En suivant les mecircmes eacutetapes de la reacutesolution deacutecrit preacuteceacutedemment on trouve que
cette valeur de 0IIλ = nrsquoest pas une valeur propre du problegraveme
2egraveme cas 0 0II IIλ∆ gt rArr lt
On trouve aussi que 0IIλ lt ne sont plus aussi des valeurs propres de ce problegraveme
3egraveme cas 0 0II IIλ∆ lt rArr gt On pose 2II IIλ α= soit ( )24II IIiα∆ =
La solution srsquoeacutecrit comme ( ) ( ) ( )cos sinII II II II IIZ z A z B zα α= +
En tenant en compte les conditions aux limites agrave 0z = et 5z Z=
( )0 0 0II IIZ z A= = rArr =
128
( ) ( )5 55
0 sin 0I II II IIn nnZ z Z B ZZπα α α= = rArr = rArr = = Avec n=1 2 3hellip Donc IInλ sont les
valeurs propres du problegraveme Les fonctions propres associeacutees aux valeurs IInλ sont
( ) ( )sinII IIn nZ z B zα= Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Les valeurs propres pour dans cette reacutegion sont maintenant connues donc on peut
reacutesoudre lrsquoeacutequation (6) (eacutequation de Bessel modifieacutee) suivant la variable r
En effectuant changement de variables IInr rα= les fonctions solution de cette eacutequation sont
alors
( ) ( ) ( )1 1IIn IIn n IIn nR r C I r D K rα α= +
Deacutetermination des solutions de lrsquoeacutequation avec second membre
On effectue la transformeacutee de Fourier de la densiteacute de courant eacutelectrique sur la base des
fonctions solutions de lrsquoeacutequation homogegravene en z soit
( ) ( )1
sinIIn nn
J z J zαinfin
=
=sum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )25
1
1 25 50
2 2 2sin sin cos cosZ Z
IIn nZ
n n nJ JJ J z z dz z dz Z Z
Z Z nα α α α
π= = = minusint int
A partir de lrsquoeacutequation (4) on peut eacutecrire
( )2 2
2 2 202 2 sin II II II
II II II II II IIn nR A Zr Z rZ R Z r R rr r z
J zαmicropart part part+ minus + = minus
part part part
On remplace ( )IIZ z par son expression dans cette eacutequation (avec nr rα= ) on trouve
( )2
2 2 2 2 02 1 II II IIn
n IIIIn
R Ar r r R rr r
JBmicroαpart part
+ minus + = minuspart part
Cette eacutequation srsquoeacutecrit sous forme
( )( )
1
2 2 2 1 4Γ 1 2
r
r L r L r L
υ
υ υ υ π υ
+ + minus + =
+
Dont les fonctions de Struve sont solutions de cette eacutequation [hellip]
Pour 1ν = les fonctions solutions de cette eacutequation srsquoeacutecrivent sous forme
( ) ( ) ( ) ( )0 21 0 12 2Γ 3 2
2n IIn
II n nn n IIn
J JR r L r L rB B
micro ππ α micro αα α
= minus = minus
Drsquoougrave
129
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11
1 sinII IIII II II n n n I n n n
nnLA r z R r Z z a I r b K r C zrαα α α
infin
=
= = + minussum
Avec 0 22 etII II
n IIn II n IIn IIIIn
nna C B b D B C Jπmicro
α= = =
1-3 Reacutegion III 1 2R r Rlt lt et 50 z Zlt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre ici est une eacutequation de Poisson
( )2 2
2 2 2
1 0 7III III III IIIA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
La solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation (7) est obtenue en suivant les mecircmes eacutetapes de la
reacutesolution pour la reacutegion I avec des conditions aux limites imposeacutees agrave z=0 et z= Z5 de type
Dirichlet 5( 0 ) 0 et ( ) 0III IIIA r z A r z Z= = = =
La forme geacuteneacuterale du potentiel vecteur magneacutetique obtenue est donc
( ) ( ) ( )( ) ( )1 11
III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Avec 5
nnZπα =
1-4 reacutegion IV 10 r Rlt lt et 2 3Z z Zlt lt
( )2 2
2 2 2
1 0 8IV IV IV IVA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites consideacutereacutees ici sont de types Neumann
2 3
( ) ( )0 et 0IV IV
z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
En appliquant la meacutethode de seacuteparation de variables ( ) ( ) ( )IV IV IVA r z R r Z z= times l eacutequation (8) srsquoeacutecrit sous forme
2 2
2 2 2
11 1 1 1IV IV IVIV
IV IV IV
R RR r R r r r
ZZ z
λpart part part+ minus = minus =
part part part
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 9
1 0 11
IVIV IV
IV IVIV IV
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = partrArr
part part + minus + = part part
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
130
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (10) srsquoeacutecrit sous forme 2 0IV IVZ λ+ =
4IV IVλ∆ =
1er cas 0 0IV IVλ∆ = rArr =
La solution est donneacutee sous forme ( )IV IV IVZ z A z B= +
En tenant en compte les conditions aux limites
bull 2 2
( ) ( )0 0 0IV IVIV
z Z z Z
A r z Z r z Az z= =
part part= rArr = rArr =
part part
bull 3 3
( ) ( )0 0IV IV
z Z z Z
A r z Z r zz z= =
part part= rArr =
part part Cette condition ne nous apprend rien sur
Par conseacutequent 0 0IV IVλ λ= = est une valeur propre simple de problegraveme et ( )0 0IVZ z B= est
une fonction propre simple ( 0B est une constante arbitraire)
2egraveme cas 0 0IV IVλ∆ gt rArr lt
Pour ce cas on trouve que les valeurs de 0IVλ lt ne sont pas des valeurs propre de ce
problegraveme
3egraveme cas 0 0IV IVλ∆ lt rArr gt
On pose 2IV IVλ β= soit ( )24IV IViβ∆ = et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) ( ) ( )cos sinIV IV IV IV IVZ z A z B zβ β= +
En tenant en compte les conditions aux limites
bull ( )( )
2 2
2
2
sin( ) ( )0 0cos
IVIV IVIV IV
z Z z Z IV
ZA r z Z r z B Az z Z
ββ= =
part part= rArr = rArr =
part part
bull ( )( )3 3
3 23 2
( ) ( )0 0 sin 0IV IVIV IV
z Z z Z
A r z Z r z kZ Zz z Z Z
πβ β= =
part part= rArr = rArr minus = rArr =
part part minus
bull Donc 2
3 2IV
kZ Z
πλ
= minus sont des valeurs propres du problegraveme et la fonction associeacutee
aux ces valeurs est
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2
22
sincos sin cos
cosIV
IV IV IV IV k IVIV
ZZ z A z z C z Z
Zβ
β β ββ
= + = minus
IVB
131
Avec ( )2cos
IVk
IV
ACZβ
=
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Deux cas sont possibles pour les valeurs de IVkλ 1er cas 0IVλ =
( )2
22 011 IV IV
IVR Rr r Rr r
part part+ minus =
part partrArr Equation drsquoEuler dont la solution est donneacutee sous forme
( ) 10 0IV IV IVR r C r D rminus= +
En appliquant la condition aux limites dans ce cas ( )0 0IVA r z= = on trouve 0 0IVD =
2egraveme cas 0IVλ gt
Lrsquoeacutequation (11) est devenue une eacutequation diffeacuterentielle de Bessel modifieacutee sa solutions est
donneacutee donc par
( ) ( ) ( )1IVk IVk k IVk I kR r C I r D K rβ β= +
En appliquant la condition aux limites ( )0 0IVA r z= = on trouve 0IVkD =
Donc la forme geacuteneacuterale du potentiel vecteur magneacutetique dans cette reacutegion est donneacutee par
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )00 11 21
0 cos IV IV IV IV V k kIV
IVk
A r z R r Z z R A r a Ir Z z z Zrβ βinfin
=
= + + minus= sum
132
Annexe II Condition de passage agrave lrsquointerface entre les reacutegions III et IV agrave r =R1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ] ( )
1 1
2
2 3
3 5
1 1 2 3
0 0
1
0
2
III IV
r R r R
IV III
pour Z ZrA rA
pour Z Z Zr r
pour Z Z Z
A r R Z A r R Z pour Z Z Z
= =
lt lt part part = lt lt part part
lt lt = = = isin
Commenccedilons la premiegravere condition
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
1 2 1
3
0
1 sin sinZ Z
kI
kZ
II IV
r R r R
rA rz
Ar r
dz z dzα α= =
rArrpart
=partpart partint int
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
5
3 3
2 2
0 10
0
0 1
0 2
sin sin
32 sin cos sin
k
k k
ZIII IIIn n n n n n
Z ZIVk k k k
Z Z
a I R b K R z z dz
A z dz a I r Z Z z dz
α α α α α
α β β β α
minus =
+ minus
rArrint
int int
On a
bull ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )5 5
0 0
sin sin cos2
cosZ Z
nn n n nk k kz z dz z z dzαα α α α α α α+= minusminusint int
( )( ) ( )( )5 51 1sin si
2n sin
n nk kk
nn
kkn
Z Zα α α α α α αα α α α
minus + ne minus +minus
=
On remplace α par son expression on trouve
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )5
0
1 1sin sin sin sin si2
Z
n knnz z dz n k n k
n kn k
knα α πα π π π
minus + ne
minus
minus +=int
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 12 2
1 11 sin 1 s s2
in in n n kk k
n nk kn kn n
π π+ + + = ne minus +
=
minusminus
minus
Pour n=m
( ) ( ) ( )( )5 5
05
0
1sin sin co 22 2 2
sZ Z
n nn n nkz z nZz d z dzα αα α α α π
= minus ==int int
133
Donc ( ) ( )( ) ( )5
21
2 2
0
1 sinsin sin
si
si2
k
nZ
n n
n kk
n n
nn
k
kz z dz
π
πα α α
+ neminus
=
minus=
int
bull ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3
2
0 1 1 1 1 2 311 3 2
2 12 sin cos cosZ
III IIIn n n n n
nkZk k kA z dz m a I R b K R Z Z
R Z Zα α α α α
α
infin
=
= + minus minus
sumint
bull ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 2cos sin sin sin2
Z Zk
k k kk k kZ Z
kZ Z z dz z z Z z z Z dzββ β α α β α βminus = + minus + minus minusint int
( )( ) ( )( )3
2
2 2sin sin2 k k
Zk
k k k kZ
z Z z Z dzβ α β β α β β= + minus + minus +int
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
2 2 3 2
2 2 3 2
1 cos cos
12 cos cos
k k k kkk
k
k k k kk
k kk
k
k kk
Z Z Z Zsi
Z Z Z Z
α β β α β βα ββ α β
α β β α β βα β
+ minus minus + minus + = ne + minus + minus minus + minus
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
2 3 3 2
2 3 3 2
1 cos cos
12 cos cos
k kk
k kk
kkk
kk
Z Z Z Z
Z Z Z Z
α α βα ββ
α α βα β
minus + minus + = + minus minus minus minus
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 3 3 2 3 3 2
2 3 3 2 3 3 2
1 cos cos cos sin sin
12 cos cos cos sin sin
k kkk
k kk
k k kk
k k kk
Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z
α α β α βα ββ
α α β α βα β
minus minus minus minus + + minus minus + minus minus
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
12 3
12 3
1 cos 1 cos
12 cos 1 cos
kk k
kk
kk
k
kk
k
Z Z
Z Z
α αα ββ
α αα β
+
+
+ minus + + + minus minus
=
( ) ( ) ( )( )2 21
2 3cos 1 cos sikkk
kk k k
kk
Z Zα β α α α βα β
++ minus ne=minus
Pour kkα β=
( )( ) ( ) ( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 2cos sin sin 2 sin2
Z Zk
k k k k kZ Z
kZ Z z dz z Z Z dzββ β α β β βminus = minus +int int
( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 2 2 2 3 3 21sin cos cos
2 2k
k k k kk
Z Z Z Z Z Z Zβ β β β ββ
= minus + minus + minus
134
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )13 2 2 2 3
1sin cos 1 cos2 2
kkk k k
k
Z Z Z Z Zβ β β ββ
+ = minus + minus minus
( ) ( ) ( ) ( )( )12 2 3
1sin cos 1 cos2 4
kk k k
k Z Z Zπ β β β+= + + minus
Donc
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
3
2
2
13
2
2
22 1
3
2
cospour
1 coscos sin
cos1sin pour2 4 1 cos
kkk kkZ
k kk k
Z kk k kk
k
k
k
k
Z
ZZ Z z dz
Zk ZZ
αα β α βα β α
β β αβπ β α β
β
+
+
+ ne
minus minus = +
+ = minus
minus
int
En conclusion
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2 2
0
21
2 2
0 1 0 1
1 1 1 1 2 311 3 2
12 3
2 2
si1 sin
2 1 cos cos
cos 1 cos si
1s
1si
2
in cos 12 4
n
III IIIn n n n
III IIIn n n n n
nk k
k
k
k
kkk k k k
IV kk k
kk k
n kna I R b K R
m a I R b K R Z ZR Z Z
Z Za I
n k
rk Z
kn n
Z
k
πα α
α α α αα
α β α α α βα ββπ β β
π
+
infin
=
+
neminusrArr
=
minus
minusminus
= + minus minus
+ minus ne+
+ + minus
sum
( )( )13cos sik k kZβ α β+
=
On met
( ) ( )( )2 3cos cos1k k k
k
Zm Zα
α αminus=
( )( ) 12 1 32n k n kh m Zm R Z
minusminus=
( ) ( )2
12
2 si
si
1 s n
2
in k
n n kk
kf
n
nn
n k
π
π
+minus
ne
minus==
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 3
12 2 3
2 2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
k kkk k k k
k
kk k k k k
kn k
Z Z
k Z Zg
Z
α β α α α βα βπ β β β α β
+
+
minus + minus ne= + + minus =
On trouve
135
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
1 1 0 1 1 1
10
0 1
1
0III IIIn n k n n k n n n k n n k n
IVk n k k
a h I R f I R b h K R f K R
a g I R
α α α α
β
minus + + = +
rArr
Pour la deuxiegraveme condition
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3 3
2 2
1 2 1 2 cos co2 sZ Z
IV k III kZ Z
A r R Z z Z dz A r R Z z Z dzβ β= minus = = minusrArr int int
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
3 3
2 2
3
2
20 1 2 1 1 2
1
1 1 21
cos cos
cos
Z ZIV
k kkZ Z
ZIII IIIn n n n
k k
n kn Z
A R z Z dz a I R z Z dz
a I r b K r sin z z Z dz
β β
α α α β
βinfin
=
infin
=
minus + minus
= +
rArr
minus
sumint int
sum int
On a
bull ( )( ) ( ) ( )( )3
2
2 3 2 2 21cos sin sin 0
Z
k k kkZ
z Z dz Z Z Z Zβ β ββ
minus = minus minus minus =int
bull ( )( ) ( )( )( ) ( )3 3
2 2
22 2 3 2
1 1cos 1 cos 22 2
Z Z
k kZ Z
z Z dz z Z dz Z Zβ βminus = + minus = minusint int
bull ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 21sin cos sin sin2
Z Z
n k n k n kZ Z
z z Z d z z z Z z z Z d zα β α β α βminus = + minus + minus minusint int
( )( ) ( )( )3
2
2 21 sin sin2
Z
n k k n k kZ
z Z z Z dzα β β α β β= + minus + minus +int
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
2 2 3 2
2 2 3 2
1 cos cos1 si
12 cos cos
n k k n k kn k
n k
n k k n k kn k
Z Z Z Z
Z Z Z Z
α β β α β βα β
α βα β β α β β
α β
+ minus minus + minus + = ne + minus + minus minus + minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 3 2 31 1 1cos cos cos cos2 n n n n
n k n k
Z Z k Z Z kα α π α α πα β α β
= minus + + minus minus + minus
( ) ( ) ( )( )12 3
1 1 1cos 1 cos2
kn n
n k n k
Z Zα αα β α β
+ = + minus + + minus
( ) ( ) ( )( )12 3 2 2
21 cos 1 cos si2
k nn n n k
n k
Z Z αα α α βα β
+ = + minus ne minus
Pour n kα β=
136
( ) ( )( ) ( ) ( )3 3
2 2
2 2 21sin cos sin 2 sin2
Z Z
n k k k kZ Z
z z Z dz z Z Z dzα β β β βminus = minus +int int
( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 2 2 2 3 21 1sin cos 2 cos 22 2k k k k k
k
Z Z Z Z Z Z Zβ β β β ββ
= minus + minus minus minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )13 2 2 2 3
1 1sin cos 1 cos2 4
kk k k
k
Z Z Z Z Zβ β ββ
+= minus + + minus
En conclusion
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 3 2
12 3 2 2
1
113 2 2 2 3
21 cos 1 cos si 21 1sin cos 1
2
co4
1
s2
IV
k nIII n n n kn n n k
IIIkn n
k k k kk
k
n
ka I R Z Z
Z Za I r
b K r Z Z Z Z Z si
αα α α βα α βα
β β β α ββ
β
+
+
minus
+ minus ne minus = + minus + + minus =
rArr
En multipliant les deux coteacute de cette eacutequation par kβ on trouve
( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1
12 32 2
1 11
2 2 3
2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
IV
kn kn n n k
III III n kn n n n
kk k k k
k k
n
ka I R
Z Za I r b K r
k Z Z Z
π
α β α α α βα βα απ β β β α
β
β
+
+
+ minus ne minus= +
rArr
+ + minus =
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 02
III III IVn n k n n n k kk n
ka g I r b g K r a I Rπα βαrArr + minus =
137
Annexe III Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
En appliquant les conditions de continuiteacutes du potentiel vecteur magneacutetique aux interfaces
entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave r=R2 et entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI agrave r= R1
( ) ( ) [ ] ( )
( )( ) [ ]
[ ]( ) [ ]
( )
2 2 2 5
1 2 3
1 3 4
1 4 5
Pour 1
Pour
0 Pour 2
Pour
IV III
V
IV
VI
A r R z A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
= = = isin
= isin
= = isin = isin
Par inteacutegration de ces deux eacutequations par rapport agrave z sur lrsquointervalle [ ]2 5Z Z on trouve
( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
5 5 5
2 2 2
5
2 2
1 2 1 201 221
1 111 2 1 2 1 2
1 101 121
11 1 1 1
cos sin
cos
IV IIIZ Z Zn n n
nIV IIIn nZ Z Zn n n
IVZ Zn
IVZ Zn
nn
n
nn
n
a I R a I RA Rdz z Z dz z dz
A R b K R b K R
a I RA Rdz z Z dz
A R b K R
β αβ α
β α
ββ
β
infin infin
minus= =
minus
+ minus = + + +
+ minus + +
sum sumint int int
int( ) ( )( )
( ) ( )( )4
3
5
52
1 2 1
1 3 1 3 4
1
1
2 2
1
c
s
s
in
on
ZVIn n n
n Z
ZV
n nn Z
n
a I R z
a I R z Z dz
Z dz
β β
β βinfin
infin =
= infin
=
minus
minus
= +
sum
sumint
int
intsum
( )( )( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 2101 2 11 2 5 2 2 5
1 1 2
1101 1 11 1 5 2 1 2 1
13
321 1
1 cos cos
1 1 1
IIIn n
n nIIIn nn n
nVn
n n
VIn n n
n
a I RA R A R Z Z Z Z
b K R
A R A R Z Z a RR a II
αα α
α
βββ
β
α
infinminus
=
infin+minus
=
+ minus = minus + rArr
+ minus = minus +
sum
sum
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )1
1 22 201 2 11 2 5
15 2 1 2
12 101 1 11 1 2 3
21
5 31
1 2
1 co
1 1
s cos
1
IIIn n
n nI
VIn
IIn n n n
nVn n
n nn
n
a I
a I RRA R A Z ZZ Z b K R
RA R A a I RZ Z
Rββ
αα α
α α
ββ
infin
=
infin+
=
+ = minus minus + rArr
+ = minus + minus
sum
sum
( ) ( )( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1
1 2 12
0 1 1 2 1 21
1 2111 1 2 1 01
1 3 13
1 3 15 2 3
11 2
1
1 1
1
1
n
VIn n
n
VIn n
nV
nIII III nn n n n n
n
nVn n
n n n
a I R
a I R
a I RA a I R b K R h q
RA a I R A RZ Z
β
ββ
ββ
βα α
ββ
+
infin
=
infin+
=
minus = + minus +rArr = minus + minus minus
sum
sum
138
Avec
( )2
2 22 1
n nRh m
R R e=
minus ( ) ( )( )2 5cos co1 s n nn
n
Z Zmα
α α= minus ( )
12 2
2 1
RqR R e
=minus
et 5 2e Z Z= minus
139
Reacutesumeacute
Lrsquoobjectif de ce travail de thegravese est drsquooptimiser le processus drsquoaimantation des
pastilles supraconductrices agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) par un champ magneacutetique
impulsionnel ou PFM (Pulsed Field Magnetization) afin de les mettre en œuvre dans des
applications dans le domaine de lrsquoeacutelectrotechnique Dans lrsquoeacutetape de conception de lrsquoinducteur
neacutecessaire pour magneacutetiser ces pastilles SHTC la modeacutelisation et la simulation sont
fortement recommandeacutees pour effectuer les calculs neacutecessaires des diffeacuterentes caracteacuteristiques
eacutelectriques du systegraveme drsquoaimantation De ce fait nous avons deacuteveloppeacute un modegravele analytique
pour eacutetudier lrsquoinfluence de la preacutesence drsquoune pastille supraconductrice dans un circuit
ferromagneacutetique sur la valeur de lrsquoinductance drsquoune bobine inductrice Il srsquoagit de reacutesoudre les
eacutequations de Laplace et de Poisson dans diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecirct agrave travers le potentiel
vecteur magneacutetique La reacutesolution analytique a eacuteteacute effectueacutee agrave lrsquoaide drsquoun code de calcul
deacuteveloppeacute sous MATLAB ougrave les reacutesultats obtenus ont eacuteteacute en bonne concordances avec ceux
obtenus par simulation numeacuterique sous COMSOL
Lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC de type YBaCuO en termes de la densiteacute de
courant critique Jc a eacuteteacute eacutegalement eacutetudieacutee Pour cela nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences de
lrsquoaimantation des ces pastilles par la meacutethode PFM Nous avons montreacute que la surface plane
contenant le germe de cristallisation (seed) de ces pastilles est caracteacuteriseacutee par une Jc plus
eacuteleveacutee que lrsquoautre surface Ainsi nous avons eacutetudieacute lrsquoinfluence de la position du germe de
cristallisation dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles
Mots cleacutes Supraconducteur modeacutelisation analytique inductance aimantation champ
magneacutetique impulsionnel caracteacuterisation
140
Abstract
The aim of this thesis is to optimize the process of magnetization of superconducting
pellets at high critical temperature (SHTC) by pulsed field magnetization (PFM) in order to
use them in applications in the field of electrical engineering In the design phase of the
inductor necessary to magnetize these SHTC pellets modeling and simulation are strongly
recommended to perform the necessary calculations of the various electrical characteristics of
the magnetization system Therefore we have developed an analytical model to study the
influence of the presence of a superconducting bulk on the value of the inductance of an
induction coil in a ferromagnetic circuit The aim is to solve the Laplace and Poisson
equations in different regions of interest through the magnetic vector potential The analytical
resolution was performed (carried out) using a computer code developed under MATLAB
where the results obtained were in good agreement with those obtained by numerical
simulation under COMSOL
The inhomogeneity of YBaCuO type SHTC pellets in terms of critical current density
Jc was also investigated To do this we carried out experiments on the magnetization of these
bulks by the PFM method We have shown that the flat surface containing the crystallization
germ (seed) of these pellets is characterized by a higher Jc than the other surface Also we
studied the influence of the position of the seed crystallization in the two-pellet
characterization method
Key words Superconductor analytical modeling inductance magnetization pulsed
magnetic field characterization
141
ملخص
عالية حرجة حرارة درجة ذات التوصيل فائقة المواد مغنطة عملية تحسين هو العمل هذه من الهدف )SHTC (نبضي أو ما يعرف بطريقة مغناطيسي حقل طريق عنPFM في تطبيقات في استعمالها أجل من
حرارة درجة ذات التوصيل فائقة الاقراص لمغنطة المطلوب المحث تصميم مرحلة في الكهربائية الهندسة مجال لنظام المختلفة الكهربائية للخصائص اللازمة الحسابات لإجراء والمحاكاة بالنمذجة بشدة يوصى عالية حرجة
لوشيعة الذاتية قيمة على التوصيل فائق قرص وجود تأثير لدراسة تحليلي نموذج بتطوير قمنا لذلك المغنطةداخل الدارة مختلفة مناطق في وبواسون لابلاس معادلات حل هو الهدف حديدية مغناطيسية موجودة داخل دارة
تطويره تم برنامج باستخدام التحليلي الحل إجراء تم الشعاع المغناطيسي كمون خلال حساب من المغناطيسية تم التي تلك مع متوافقة الى حد كبير عليها الحصول تم التي النتائج كانت حيث MATLAB باستعمال الكود
COMSOL بموجب العددية المحاكاة خلال من عليها الحصول
نوع عالية من حرجة حرارة درجة التوصيل ذات فائقة أقرص تجانس عدم دراسة لقد تم أيضا YBaCuO باستخدام الأقراص هاته مغنطة من أجل تجارب أجرينا بذلك للقيام الحرج التيار كثافة حيث من
هاته الأقراص تبلور بذرة على يحتوي الذي المستوي السطح أن بينا من خلال هاته الدراسة لقد PFM طريقة في التبلور بذرة موضع تأثير درسنا وايضا الآخر السطح مرتفعة بالمقارنة مع Jc حرج تيار بكثافة يتميز
باستخدام قرصين متطابقين التوصيف طريقة
فائق الناقلية النمذجة التحليلية الذاتية المغنطة الحقل المغناطيسي النبضي التوصيف الكلمات الدالة
- Caracteacuterisation et modeacutelisation des mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
-
- Avant propos
- Table des matiegraveres
-
- Introduction geacuteneacuterale
- Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoart
-
- I1 Historique de la supraconductiviteacute
- I2 Grandeurs caracteacuteristiques des Supraconducteurs
-
- I21 Tempeacuterature critique
- I22 Champ magneacutetique critique
-
- I221 Supraconducteurs Type I
- I222 Supraconducteurs Type II
-
- I23 Densiteacute de courant critique JC
- I24 Surface critique
-
- I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
-
- I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
-
- I311Supraconducteur YBa2Cu3O7-δ
-
- a- Preacutesentation
- b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuO
- c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuO
-
- I32 Supraconducteur MgB2
-
- a- Preacutesentation
- b- Structure cristalline de MgB2
- c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2
-
- I4 Modegraveles des supraconducteurs
-
- I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)
-
- I411 Preacutesentation du modegravele
- I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long notion de peacuteneacutetration complegravete
-
- I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)
- I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et n
-
- I5 Meacutethodes drsquoaimantation
-
- I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)
- I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC)
- I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization (PFM)
-
- I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTC
-
- I51 Meacutethode eacutelectrique
- I52 Meacutethode magneacutetique
-
- I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastille
-
- I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur le champ de peacuteneacutetration
- I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de lrsquoexposant-n et Jc
-
- I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille
-
- I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et BP
-
- I6 Objectifs de la thegravese
-
- Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
-
- II1 Introduction
- II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveses
- II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetique
-
- II31 Reacutegion I R3ltrltR4 et 0ltzltZ5
- II32 Reacutegion II R2ltrltR3 et 0ltzltZ5
- II33 Reacutegion III R1ltrltR2 et 0ltzltZ5
- II34 Reacutegion IV 0ltrltR1 et Z2ltzltZ3
- II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0
-
- II4 Conditions de passages entres interfaces
-
- II41 Condition drsquointerface agrave r=R3
- II42 Condition drsquointerface agrave r=R2
- II43 Condition drsquointerface agrave r=R1
-
- II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobine
- II6 Reacutesultats analytiques et discussion
- II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
-
- II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
- II72 Conditions de passages entres interfaces
-
- II721 Interface agrave r = R4
- II722 Interface agrave r = R3
- II723 Interface agrave r = R2
- II724 Interface agrave r = R1
-
- II72 Expression analytique de lrsquoinductance
- II73 Reacutesultats et discussion
-
- II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique impulsionnel
- II9 Conclusion
-
- Chapitre 3 Prise en compte de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de leur caracteacuterisation
-
- III1 Introduction
- III2 Description du banc expeacuterimental
-
- III21 Les pastilles SHTC
- III22 Le circuit drsquoaimantation
- III23 Instrumentation
-
- III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTC
-
- III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hall
- III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de la pastille
- III33 Simulations numeacuteriques
-
- III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles
- III5 Conclusion
-
- Conclusion geacuteneacuterale et perspectives
- Liste des illustrations graphiques et tableaux
- Reacutefeacuterences
- Annexes
-
- Annexe I reacutesolution des eacutequations de Laplace et de Poisson
- Annexe II Condition de passage agrave lrsquointerface entre les reacutegions III et IV agrave r =R1
- Annexe III Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
-
Avant propos
Les travaux de recherches entrepris dans le cadre de cette thegravese sont le fruit drsquoune cotutelle entre
lrsquouniversiteacute Amar TELIDJI de Laghouat et lrsquouniversiteacute de Lorraine en France Cette cotutelle a eacuteteacute
adosseacutee par un projet PHC-Tassili entre le laboratoire GREEN de Nancy et le laboratoire LESI de
lrsquouniversiteacute de Khemis Miliana
Je tiens agrave remercier tout drsquoabord du cocircteacute Algeacuterien Dr Ali MAHIEDDINE directeur du LESI de
mrsquoavoir inteacutegreacute dans le laboratoire et du cocircteacute franccedilais Pr Noureddine TAKORABET et Pr Bernard
DAVAT respectivement directeur et ex-directeur du GREEN de mrsquoavoir accueilli au sein du GREEN
durant toute la peacuteriode de reacutealisation de cette thegravese lors de mes seacutejours scientifiques agrave Nancy et de
mavoir permis de mener la majoriteacute de mes travaux de recherches dans les meilleures conditions
Je tiens agrave remercier aussi mes encadreurs de la partie algeacuterienne Pr Mohamed HALIT et Pr
El-Hadj AILAM drsquoavoir bien accepteacute drsquoencadrer cette thegravese et de la partie franccedilaise Pr Bruno
DOUINE initiateur du sujet de la thegravese pour son soutien et essentiellement pour sa supervision et son
aide indispensable pour bien mener surtout la partie expeacuterimentale de cette thegravese
Mes grands remerciements vont au Dr Keacutevin BERGER qui agrave dirigeacute et suivi le deacuteveloppement de
de la partie modeacutelisation et simulation par MATLAB et COMSOL Je le remercie profondeacutement pour
ses remarques pertinentes son aide majeure et preacutecieuse et eacutegalement pour avoir accepteacute de faire
partie du jury de thegravese
Je remercie Pr Ibn Khaldoun LEFKAIER pour mavoir fait lhonneur de preacutesider le jury de
soutenance de cette thegravese doctorale surtout pour sa patience et pour sa disponibiliteacute
Jrsquoadresse eacutegalement mes remerciementsagrave Mme Afef LEBOUC-KEDOUS Directrice de
recherche CNRS G2Elab et Pr Mohamed SIDOUMOU pour avoir accepteacute drsquoexaminer le preacutesent
travail
Je voudrais exprimer mes remerciements les plus sincegraveres au Dr Salah-eddine BENTRIDI et Dr
Mohamed BOUCHENAFA pour leurs encouragements et leurs conseils le long de cette thegravese
Un grand merci agrave tous les membres du laboratoire GREEN pour lrsquoagreacuteable ambiance de travail
Je remercie AREZZOUG T Lubin S MEZANI M Hinaje H MENANA S LAMALE et tous les
doctorants du GREEN sans oublier mon collegravegue de bureau Y STATRA ainsi agrave tous mes collegravegues
du laboratoire LESI et de lrsquouniversiteacute de Khemis Miliana
Ma profonde reconnaissance srsquoadresse agrave mes parents qui mrsquoont inlassablement encourageacute lors de
la preacuteparation de cette thegravese
Et enfin Je tiens agrave remercie infiniment la maman de mes enfants Chakib Issam et la petite
Anya pour sa patience et pour mrsquoavoir encourageacute durant la peacuteriode de preacuteparation de la thegravese Crsquoest
gracircce agrave elle que jrsquoai reacutealiseacute aujourdrsquohui mon recircve
1
Table des matiegraveres Introduction geacuteneacuteralehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4
Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoarthelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7
I1 Historique de la supraconductiviteacutehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8
I2 Grandeurs caracteacuteristiques des supraconducteurshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11
I21 Tempeacuterature critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11
I22 Champ magneacutetique critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13
I221 Supraconducteurs Type Ihelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13
I222 Supraconducteurs Type IIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14
I23 Densiteacute de courant critique Jchelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15
I24 Surface critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17
I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18
I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19
I32 Supraconducteur YBa2Cu3O7-δhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20
a- Preacutesentationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20
b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23
133 Supraconducteur MgB2 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24
a- Preacutesentationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24
b- Structure cristalline de MgB2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25
I4 Modegraveles des supraconducteurs helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26
I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26
I411 Preacutesentation du modegravele helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26
I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long
notion de peacuteneacutetration complegravetehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)helliphelliphelliphelliphellip 30
I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et nhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 31
I5 Meacutethodes drsquoaimantation helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32
I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32
I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC) helliphelliphelliphelliphelliphellip 33
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I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization
(PFM)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 37
I51 Meacutethode eacutelectrique helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 37
I52 Meacutethode magneacutetiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 38
I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 38
I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur
le champ de peacuteneacutetration helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de
lrsquoexposant-n et Jchelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille helliphellip 43
I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et
BPhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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I6 Objectifs de la thegravese helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 48
Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit
ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphellip
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II1 Introductionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50
II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveseshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 51
II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53
II31 Reacutegion I helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53
II32 Reacutegion II helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 54
II33 Reacutegion III helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55
II34 Reacutegion IV helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55
II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II4 Conditions de passages entres interfaceshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II41 Condition drsquointerface agrave r=R3helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
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II43 Condition drsquointerface agrave r=R1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57
II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobinehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59
II6 Reacutesultats analytiques et discussionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 60
II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en preacutesence
drsquoune pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 67
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II72 Conditions de passages entres interfaceshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II721 Interface agrave r = R4helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II722 Interface agrave r = R3helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II723 Interface agrave r = R2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
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II73 Expression analytique de lrsquoinductance helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 72
II74 Reacutesultats et discussion helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73
II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique
impulsionnelhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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II9 Conclusionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 82
Chapitre 3 Prise en compte de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de leur
caracteacuterisationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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III1 Introductionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 84
III2 Description du banc expeacuterimental helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 85
III21 Les pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 86
III22 Le circuit drsquoaimantationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 87
III23 Instrumentation helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 89
III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 91
III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hallhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 91
III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de
la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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III33 Simulations numeacuteriqueshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 94
III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux
pastilleshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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III5 Conclusion helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 105
Conclusion geacuteneacuterale et perspectiveshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 107
Listes des illustrations graphiques et tableauxhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 110
Reacutefeacuterences helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116
Annexeshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 124
Annexe Ihelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 125
Annexe IIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 132
Annexe IIIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 137
4
Introduction geacuteneacuterale
5
Faire leacuteviter un train ou avoir des cacircbles eacutelectriques beaucoup plus puissants pour le
transport du courant sans perte drsquoeacutenergie sont devenus possibles gracircce au pheacutenomegravene de la
supraconductiviteacute La deacutecouverte des mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature
critique (SHTC) agrave bases drsquooxydes de cuivre donne des nouvelles possibiliteacutes pour des
applications en eacutelectrotechnique a cause de leurs proprieacuteteacutes exceptionnelles Ils peuvent
transporter lrsquoeacutenergie eacutelectrique avec des pertes neacutegligeables en courant eacutelectrique continu et
tregraves inferieures agrave celles des conducteurs classique en courant alternatif mais aussi eacutecranter ou
pieacuteger des champs magneacutetiques eacuteleveacutes par rapport aux aimants permanents conventionnels
Sur cette deuxiegraveme qualiteacute exceptionnelle de nombreuses eacutetudes ont porteacute sur lrsquoameacutelioration
des systegravemes drsquoaimantation de mateacuteriaux SHTC massifs dont la modeacutelisation et la simulation
sont fortement recommander afin drsquooptimiser les processus
Parmi les mateacuteriaux SHTC les oxydes mixtes de baryum de cuivre et dyttrium ou
YBaCuO a eacuteteacute le premier oxyde de la famille des cuprates agrave preacutesenter une tempeacuterature
critique supeacuterieure au point drsquoeacutevaporation de lrsquoazote liquide Beaucoup drsquoeacutetudes portent sur
lrsquoeacutelaboration et la mise en forme de ce composeacute sous forme de massifs et de rubans Pour
optimiser les proprieacuteteacutes supraconductrices de ce mateacuteriau des conditions particuliegraveres de
croissances et de stœchiomeacutetrie doivent ecirctre satisfaites Des meacutethodes de caracteacuterisations des
pastilles SHTC ont eacuteteacute proposeacutees au niveau du laboratoire GREEN afin de mettre en œuvre
ces pastilles dans des applications dans le domaine de lrsquoeacutelectrotechnique Ces meacutethodes
portent sur la mesure de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete et par la suite de calculer
la densiteacute de courant critique qui est geacuteneacuteralement supposeacutee constante dans tout le volume de
la pastille
Le travail de recherche de cette thegravese porte sur la modeacutelisation et la caracteacuterisation de
mateacuteriaux SHTC Le but final est drsquooptimiser le processus drsquoaimantation par un champ pulseacute
ou PFM (Pulsed Field Magnetization) Ainsi le comportement drsquoune pastille SHTC placeacutee
dans le circuit ferromagneacutetique drsquoaimantation par PFM doit ecirctre eacutetudieacute afin de faire un
dimensionnement optimal de lrsquoinducteur du systegraveme drsquoaimantation Pour cela il est preacutefeacuterable
de maitriser des meacutethodes de calculs analytiques de champ magneacutetique pour acceacuteleacuterer
nettement le processus drsquoaimantation Pour permettre de bien modeacuteliser les pastilles SHTC
les meacutethodes de caracteacuterisations de ces pastilles doivent ecirctre ameacutelioreacutees et surtout adapteacutees agrave
la taille et au frome de ces pastilles Ceci explique le plan de cette thegravese en deux parties
relativement indeacutependantes
6
Dans le premier chapitre nous allons preacutesenter un rappel historique sur la
supraconductiviteacute puis les grandeurs et les proprieacuteteacutes caracteacuteristiques des mateacuteriaux
supraconducteurs Ensuite nous allons deacutecrire les diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantations et
nous terminons par une description des meacutethodes de caracteacuterisations deacuteveloppeacutees au niveau
du laboratoire GREEN de lrsquouniversiteacute de Lorraine
Le deuxiegraveme chapitre est deacutedieacute agrave la modeacutelisation analytique du systegraveme drsquoaimantation
par PFM Le modegravele analytique proposeacute permet de calculer lrsquoinductance de lrsquoensemble
composeacute drsquoune bobine inductrice drsquoun circuit ferromagneacutetique et en preacutesence drsquoune pastille
supraconductrice ce qui est un apport important de cette thegravese Ce modegravele sera valideacute
numeacuteriquement en utilisant le logiciel COMSOL souvent utiliseacute dans le domaine de la
supraconductiviteacute appliqueacutee
Le troisiegraveme chapitre sera consacreacute agrave la caracteacuterisation des pastilles SHTC et
particuliegraverement agrave lrsquoeacutetude de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC de type YBaCuO en termes
de densiteacute de courant critique La caracteacuterisation de ces pastilles se fait agrave lrsquoaide de la mesure
de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete lors de lrsquoaimantation de cette pastille par la
meacutethode PFM De cette mesure on deacuteduit la densiteacute de courant critique Jc Lrsquoinfluence de la
position du germe de cristallisation dans les meacutethodes de caracteacuterisation sera eacutegalement
eacutetudieacutee
7
Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoart
8
I1 Historique de la supraconductiviteacute
Les proprieacuteteacutes eacutelectriques et magneacutetiques de certains mateacuteriaux changent de maniegravere
cruciale agrave de tregraves basses tempeacuteratures Parmi ces mateacuteriaux on cite les mateacuteriaux dits
laquo supraconducteurs raquo Ces mateacuteriaux perdent totalement leurs reacutesistances au passage du
courant eacutelectrique et expulsent les lignes des champs magneacutetiques on parle dans ce cas de
figure drsquoun pheacutenomegravene physique assez intriguant et inteacuteressant qui srsquoappelle laquo la
supraconductiviteacute raquo Ce pheacutenomegravene est devenu un domaine tregraves passionnant de la physique
surtout qursquoil a mis en doute les principes eacutetablis de cette science notamment en
eacutelectromagneacutetisme Sa deacutecouverte datant de 1911 est due au physicien Neacuteerlandais Heike
Kamerlingh Onnes (1853-1926) lors de son eacutetude du comportement eacutelectrique des meacutetaux tregraves
purs agrave tregraves basse tempeacuterature apregraves avoir reacuteussi agrave liqueacutefier lheacutelium en 1908 pour atteindre
une tempeacuterature de 42 K soit -26895degC [1-5] On savait deacutejagrave que geacuteneacuteralement la reacutesistiviteacute
des meacutetaux diminue lineacuteairement en abaissant la tempeacuterature jusqursquoagrave une certaine valeur Au-
dessous de cette valeur elle reste geacuteneacuteralement constante mecircme en diminuant la tempeacuterature
Cette reacutesistiviteacute appeleacutee reacutesistiviteacute reacutesiduelle est due aux impureteacutes ainsi aux deacutefauts dans la
structure cristalline deacutejagrave preacutesente dans le meacutetal Onnes remarqua qursquoagrave une tempeacuterature
infeacuterieure agrave 415 degk (appeleacute tempeacuterature critique) la reacutesistiviteacute eacutelectrique du mercure tombe
brusquement agrave zeacutero (Figure I1) Une anneacutee apregraves il observa le mecircme pheacutenomegravene lors des
essais similaires reacutealiseacutes avec de lrsquoeacutetain et du Plomb (qui sont des tregraves mauvais conducteurs agrave
tempeacuterature ambiante) agrave des tempeacuteratures critiques de 37K et 6K respectivement
Figure I1 Reacutesistiviteacute eacutelectrique de mercure agrave basse tempeacuterature [2]
9
Au deacutebut toutes les recherches qui ont eacuteteacute consacreacutees pour percer le mystegravere de ce
pheacutenomegravene de supraconductiviteacute ont eacuteteacute de types pheacutenomeacutenologiques comme par exemple la
deacutecouverte de lrsquoeffet Meissner en 1933 [6-9] par les deux physiciens allemands Walter
Meissner (1882-1974) et Robert Ochsenfeld (1901-1993) qui consiste agrave observer la capaciteacute
du mateacuteriau supraconducteur agrave exclure les lignes du champ magneacutetique preacutesent dans son
voisinage immeacutediat le courant eacutelectrique est porteacute par des paires drsquoeacutelectrons apparieacutes qui
peuvent se mouvoir sans aucune reacutesistance ni dissipation En preacutesence drsquoun champ
magneacutetique les paires drsquoeacutelectrons engendrent des courants de surface permanents qui agrave leur
tour creacuteent au cœur du mateacuteriau un champ magneacutetique qui annule le champ externe Crsquoest sur
cet effet appeleacute aussi diamagneacutetisme parfait que se base la leacutevitation magneacutetique Cependant
lrsquoeffet Meissner nrsquoa lieu que si le champ externe est suffisamment faible
En 1935 la theacuteorie de London a eacuteteacute mise en place par les fregraveres Fritz London (1900-
1954) et Heinz London (1907-1970) [1011] pour expliquer le pheacutenomegravene drsquoexpulsion du
champ magneacutetique dans tout le mateacuteriau supraconducteur agrave lrsquoexception drsquoune couche de
surface du mateacuteriau Le champ magneacutetique deacutecroicirct exponentiellement agrave lrsquointeacuterieur du
mateacuteriau et peacutenegravetre sur une longueur caracteacuteristique 20L sm n eλ micro= appeleacutee longueur de
peacuteneacutetration de London avec ns eacutetant la densiteacute des laquosupra eacutelectronraquo m et e sont
respectivement la masse et la charge eacutelectrique des eacutelectrons et 0micro est la permeacuteabiliteacute du vide
Pour des supraconducteurs conventionnels Lλ varie entre 100 et 1000Å
Pendant plusieurs anneacutees les physiciens ont cru qursquoil existe un seul type de mateacuteriaux
supraconducteurs jusqursquoagrave lrsquoarriveacutee de la theacuteorie de Ginzburg-Landau en 1950 [12] une autre
theacuteorie pheacutenomeacutenologique qui a eacuteteacute mise en place par les physiciens sovieacutetiques V L
Ginzburg (1916-2009) et L D Landau (1908-1968) et qui a permis drsquoexpliquer les proprieacuteteacutes
macroscopiques des supraconducteurs Ils ont introduit une constante k quasiment
indeacutependante de la tempeacuterature appeleacutee constante de Ginzburg-Landau En particulier Alexei
Abrikosov (1928-2017) montre quavec cette theacuteorie on peut preacutevoir lexistence de deux
cateacutegories de supraconducteurs (types I et II)
En 1957 J Bardeen (1908-1991) L N Cooper (1930) et JR Schrieffer (1931-2019)
ont expliqueacute la supraconductiviteacute de faccedilon microscopique par la formation des paires
drsquoeacutelectrons appeleacute paires de Cooper sous lrsquoeffet drsquoune interaction attractive entre eacutelectrons
reacutesultant de lrsquoeacutechange de phonons [9 13 14] A basse tempeacuterature ces eacutelectrons ne subissent
aucune dissipation drsquoeacutenergie par effet joule car ils ne rencontrent aucune reacutesistance donc ils
10
sont capables de se deacuteplacer agrave travers le mateacuteriau sans aucun frottement crsquoest la theacuteorie BCS
Malheureusement cette theacuteorie nrsquoest valable que pour des mateacuteriaux supraconducteurs agrave basse
tempeacuterature (environ 30 K)
Avec lrsquoarriveacutee de lrsquoanneacutee 1986 une deacutecouverte deacutecisive a eacuteteacute faite dans le domaine de
la supraconductiviteacute Karl Alexander Muumlller (1927) et Johannes Georg Bednorz (1950)
chercheurs du laboratoire de recherche IBM agrave Ruumlschlikon en Suisse ont deacutecouvert un oxyde
agrave base de Baryum de Lanthane de Cuivre et drsquoOxygegravene (Ba-La-Cu-O) agrave une tempeacuterature de
34degK [15-17]
Cette deacutecouverte a deacuteclencheacute une vague dactiviteacutes dans le domaine de la supraconductiviteacute
Des chercheurs du monde entier ont commenceacute agrave cuisiner des ceacuteramiques de toutes les
combinaisons imaginables dans le but de trouver des supraconducteurs agrave des tempeacuteratures
plus en plus hautes
En janvier 1987 une eacutequipe de chercheurs de lrsquoUniversiteacute drsquoAlabama-Huntsville a
remplaceacute le lanthane par lrsquoyttrium dans les moleacutecules de BaLaCuO et a obtenu un incroyable
rendement agrave une tempeacuterature de 92 K Pour la premiegravere fois on avait deacutecouvert un mateacuteriau
supraconducteur (appeleacute aujourdhui YBaCuO) agrave des tempeacuteratures supeacuterieures agrave celles de
lazote liquide [18-20]
Apregraves des nouvelles geacuteneacuterations de composeacutes baseacutes sur lrsquooxyde de cuivre apparurent
avec des tempeacuteratures critiques qui deacutepassent la tempeacuterature de lrsquoheacutelium liquide tel que La-
Sr-Cu-O Y-Sr-Cu-O Bi-Sr-Ca-Cu-O Ta-Ba-Cu-O et Ti-Sr-Ca-Cu-O [21-28]
Tregraves reacutecemment une eacutequipe de linstitut Max-Planck de chimie de Mayence (Allemagne)
annonccedilait avoir observeacute des signes de lapparition dune phase supraconductrice dans
lrsquo hydrure de lanthane(LaH10) agrave une tempeacuterature de seulement 250 K soit environ -23 degC
mais ce composeacute nrsquoest pas stable qursquoagrave tregraves haute pression [29]
11
Figure I2 Historique des deacutecouvertes de la tempeacuterature critique
I2 Grandeurs caracteacuteristiques des Supraconducteurs
La supraconductiviteacute est un eacutetat de la matiegravere dont les proprieacuteteacutes eacutelectromagneacutetiques
exceptionnelles tel que la reacutesistance nulle et lrsquoexpulsion du champ magneacutetique jouent un rocircle
tregraves important tant du point de vue physique fondamentale que du point de vue application
Un supraconducteur est caracteacuteriseacute par trois grandeurs fondamentales tempeacuterature critique
CT champ magneacutetique critique119867119867119867119867 et la densiteacute de courant critique Jc Ces trois grandeurs
sont tregraves correacuteleacutees et forment ce qursquoon appelle la surface critique drsquoun mateacuteriau
supraconducteur
I21 Tempeacuterature critique
La tempeacuterature critique est la tempeacuterature en dessous de laquelle la reacutesistance tombe agrave
zeacutero et le mateacuteriau devient supraconducteur La transition apparaicirct comme une transition de
phase de lrsquoeacutetat normal vers lrsquoeacutetat supraconducteur de la matiegravere Plusieurs mateacuteriaux
preacutesentent des transitions de phase supraconductrices agrave basses tempeacuteratures La tempeacuterature
critique la plus eacuteleveacutee eacutetait denviron 23 K jusquagrave la deacutecouverte en 1986 de certains
supraconducteurs agrave haute tempeacuterature
Environ trente (30) meacutetaux purs et quelques alliages tel que 3Nb Sn [3063] et NbTi
[3132] preacutesentent une reacutesistiviteacute nulle agrave basse tempeacuterature et ont la proprieacuteteacute drsquoexclure les
12
champs magneacutetiques de lrsquointeacuterieur de ces supraconducteurs (Effet Meissner voir Tableau I1)
Ce type de supraconducteurs est appeleacutelaquo Supraconducteurs agrave Basse Tempeacuterature Critique
(SBTC) raquo [33]
Figure I3 Etat noraml et supraconducteur drsquoun meacutetal en fonction de la tempeacuterature
Par contre les ceacuteramiques en oxyde de cuivre et de baryum qui ont atteint leacutetat
supraconducteur agrave des tempeacuteratures beaucoup plus eacuteleveacutees sont souvent appeleacutees
laquo supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) raquo et forment une classe agrave part [37]
Tableau I1 Tempeacuterature critique de quelques mateacuteriaux supraconducteurs
Eleacutement Tc (K) Eleacutement Tc (K) Eleacutement Tc (K)
Al Be Cd Ga Hf Hg In Ir La Mo
1175 0023 055 109 013 415 341 014 488 092
Nb Np Os Pa Pb Re Rh Ru Sn Ta
92 0075 065 140 72 17 00003 05 375 447
Tc Th Ti Tl U V W Zn Zr Lu
78 137 039 239 02 53 0012 09 055 01
Composeacute Tc (K) Composeacute Tc (K) Composeacute Tc (K)
Nb3Sn Nb3Ge Cs3C60 Nb06Ti04
181 232 19 98
MgB2 YPd2B2C HoNi2B2C PuCoGa5
39 23 75 185
UPt3 UPd2Al3 URu2Si2 YNi2B2C
05 2 12 155
Supraconducteurs agrave HTc Tc (K) Supraconducteurs agrave HTc Tc (K)
183 017 4La Sr CuO
2 3 7YBa Cu O δminus
2 2 2 3 10Bi Sr Ca Cu O
40 93 110
2 2 2 3 1 0Tl Ba Ca Cu O δ+
2 2 3 8HgBa Ca Cu O
08 02 2 2 3 833Hg Tl Ba Ca Cu O
127 135 138
13
I22 Champ magneacutetique critique
Quand on applique un champ magneacutetique sur un supraconducteur soumis agrave une
tempeacuterature critique TC ce champ reste autour du mateacuteriau sans le peacuteneacutetrer Si on augmente
ce champ agrave un point donneacute le supraconducteur revient agrave son eacutetat normal de reacutesistiviteacute A ce
point ce champ magneacutetique est connu comme champ magneacutetique critique et est noteacute Hc Le
champ magneacutetique critique est fortement deacutependant de la tempeacuterature critique Tc du
supraconducteur
Les champs magneacutetiques eacuteleveacutes deacutetruisent la supraconductiviteacute et le mateacuteriau passe agrave lrsquoeacutetat
normal En fonction du caractegravere de cette transition on peut distinguer deux types de
supraconducteurs
I221 Supraconducteurs Type I
La figure I4 montre la variation du champ magneacutetique interne (induit)119867119867119867119867 en fonction
du champ externe appliqueacute Ha En augmentant le champ appliqueacute on remarque au deacutepart que
le champ interne reste nul (Effet Meissner [6-9]) jusqursquoagrave ce qursquoun champ magneacutetique critique
HC soit atteint ougrave se produit une transition brutale vers lrsquoeacutetat normal cela se traduit par la
peacuteneacutetration du champ appliqueacute agrave linteacuterieur du mateacuteriau Les supraconducteurs qui subissent
cette transition brutale agrave leacutetat normal au-dessus du champ magneacutetique critique sont appeleacutes
supraconducteurs de type I le Plomb pur est consideacutereacute comme eacutetant le plus fort
supraconducteur de type I avec un champ critique drsquoenviron 800 Gauss (80 mT) Tous les
supraconducteurs purs ont tendance drsquoecirctre des supraconducteurs de type I [3536]
Figure I4 Repreacutesentation de champ magneacutetique induit en fonction du champ magneacutetique
appliqueacute pur les supraconducteurs de type I
14
I222 Supraconducteurs Type II
Les supraconducteurs de type II reacutepondent diffeacuteremment agrave un champ magneacutetique
appliqueacute comme le montre la figure I5 En effet un champ induit croissant agrave partir de zeacutero se
traduit par deux champs critiques Hc1 et Hc2
Agrave Hc1 le champ appliqueacute commence agrave peacuteneacutetrer partiellement agrave linteacuterieur du
supraconducteur agrave travers des tubes volumiques dans un eacutetat normal qui srsquoappellent
laquo Vortex raquo et la supraconductiviteacute est encore maintenue Au-dessus de Hc2 la
supraconductiviteacute disparaicirct et le mateacuteriau passe agrave lrsquoeacutetat normal Pour les valeurs
intermeacutediaires entre Hc1 et Hc2 le mateacuteriau supraconducteur se trouve dans un eacutetat mixte
Geacuteneacuteralement Hc2 est plus eacuteleveacute que Hc1 et 0 2Hcmicro peut atteindre plusieurs Tesla
pour cette raison les supraconducteurs de type II sont devenus les plus utiles sur le plan
technologique La plupart des composeacutes illustreacutes dans le tableau I1 sont des supraconducteurs
de type II Les fils fabriqueacutes agrave partir de niobium-eacutetain (Nb3Sn) ont un champ 0 2Hcmicro eacutegal agrave
environ 25 teslas ce qui les rend utiles pour des applications neacutecessitant des champs
magneacutetiques eacuteleveacutes Actuellement le niobium titane (NbTi) est le mateacuteriau le plus mature
technologiquement avec un champ 0 2 12 teslasHcmicro = il est largement utiliseacute dans machines
dimagerie par reacutesonance magneacutetique (IRM)
En geacuteneacuterale les applications en eacutelectrotechnique neacutecessitent habituellement la creacuteation
de forts champs magneacutetiques (de lrsquoordre de plusieurs teslas) ce qui limite lrsquoutilisation des
supraconducteurs de type I
Figure I5 Repreacutesentation graphique (a) des diffeacuterentes drsquoeacutetats des supraconducteurs de type
II et (b) du champ magneacutetique induit en fonction du champ magneacutetique appliqueacute pour les supraconducteurs de type II
15
I23 Densiteacute de courant critique JC
Pour les supraconducteurs de type I le courant critique deacutecoule directement du champ
magneacutetique critique Il peut ecirctre deacutetermineacute par la regravegle de Silsbee [34] crsquoest le courant qui
produit le champ magneacutetique critique agrave la surface du mateacuteriau Pour un cylindre de diamegravetre
D on deacutefinit ce courant par Ic DHcπ=
La densiteacute de courant critique est donneacutee donc par
C CJ I S=
Pour les supraconducteurs type II dans lrsquoeacutetat mixte la peacuteneacutetration du champ
magneacutetique se manifeste par la preacutesence drsquoun reacuteseau de vortex de flux que lrsquoon peut
repreacutesenter sous la forme de boucles eacuteleacutementaire de courant La circulation du courant de
transport dans le supraconducteur geacutenegravere une force de type Laplace ( )LF J B= times
qui agit sur
ces vortex Une force drsquoancrage est creacuteeacutee et permet aux tubes de vortex de se fixer dans la
matiegravere La densiteacute de courant critique JC est donc lieacutee agrave lrsquoancrage de ces vortex [34] La
force drsquoancrage est deacutefinie ainsi par P CF J B= times
Si toutefois la densiteacute de courant deacutepasse la
valeur de JC la force FL exerceacutee sur les vortex sera supeacuterieure agrave la force drsquoancrage FP et les
vortex commencent agrave se deacuteplacer Ce deacuteplacement induit un champ eacutelectrique non nul aux
borne du mateacuteriau et provoque une dissipation importante drsquoeacutenergie ce qui fait transiter le
mateacuteriau de lrsquoeacutetat supraconducteur agrave lrsquoeacutetat reacutesistif
Le courant critique drsquoun mateacuteriau supraconducteur est lrsquoorigine de trois courants courant de
transport courant induit et les supra-courants Figure I6
Figure I6 Reacuteseaux vortex dans un mateacuteriau supraconducteur de type II
16
Une grande deacuteception apregraves la deacutecouverte de la supraconductiviteacute agrave haute tempeacuterature
critique fut la faible valeur de leur densiteacute de courant critique Jc Celle-ci est due agrave la
difficulteacute de syntheacutetiser de ces mateacuteriaux sous forme de monocristaux de taille laquo reacutealiste raquo
(supeacuterieure agrave quelque mm2) Tregraves souvent les eacutechantillons volumiques se preacutesentent sous
forme de grains accoleacutes aleacuteatoirement les uns aux autres (poly-cristal) Dans ce cas le courant
supraconducteur se fraie un chemin dans lrsquoeacutechantillon en passant agrave travers les joints de grains
La densiteacute de courant critique correspondante (intergrain) est geacuteneacuteralement de deux ou trois
ordres de grandeur infeacuterieure agrave la densiteacute de courant critique de grain lui-mecircme (intragrain)
[3839] figure I7
Figure I7 Densiteacute de courant intergrain et intragrain dans un mateacuteriau
supraconducteur
En conseacutequence un des buts technologiques des recherches actuelles en
supraconductiviteacute est lrsquooptimisation de la densiteacute de courant critique intergrain des mateacuteriaux
supraconducteurs pour une tempeacuterature donneacutee et en preacutesence drsquoun champ magneacutetique
intense en modifiant les paramegravetres de ses microstructures (taille et orientation des grains)
Parmi les techniques utiliseacutees pour accroicirctre la densiteacute de courant critique intergrain est la
technique drsquoalignement des grains supraconducteurs Ce processus est appeleacute texturation Des
microstructures typiques drsquoeacutechantillons drsquoYBaCuO respectivement textureacutes et non textureacutes
sont preacutesenteacutees sur la figure I8
17
Figure I 8 Microstructure drsquoun mateacuteriau Supraconducteur agrave Haute Tempeacuterature critique
(SHTC) de formule chimique 2 3 7YBa Cu O δminus
Un mateacuteriau non textureacute comprend un grand nombre de grains de tregraves petite taille
(quelques microns) Sa densiteacute de courant critique est de lrsquoordre de 100 Acm2 et deacutecroicirct
rapidement en preacutesence drsquoun faible champ magneacutetique (quelques mT) [39] Par contre les
grains preacutesents dans un eacutechantillon textureacute peuvent ecirctre relativement volumineux Si
lrsquoeacutechantillon est constitueacute drsquoun seul grain de taille importante on parle de STHC mono-
domaine Les densiteacutes de courant critiques associeacutees aux mono-domaines drsquoYBaCuO textureacutes
sont de lrsquoordre de 10 000 Acm2 agrave T=77K et B=1T De telles valeurs sont compatibles avec
les exigences requises pour diffeacuterentes applications industrielles en eacutelectrotechnique
I24 Surface critique
Lrsquoeacutetat supraconducteur eacutetant limiteacute par les trois grandeurs caracteacuteristiques physiques
la tempeacuterature critique (Tc) le champ magneacutetique critique (Hc) et la densiteacute de courant
critique (Jc) Chacun de ces grandeurs deacutepend fortement des deux autres grandeurs Le
maintien de lrsquoeacutetat supraconducteur exige que le champ magneacutetique la densiteacute de courant et la
tempeacuterature demeurent au-dessous des valeurs critiques qui deacutependent du mateacuteriau
En repreacutesentation 3D lrsquoaire deacutelimiteacutee lorsque lrsquoon prend en compte les trois grandeurs
(Tc Hc Tc) est appeleacutee laquo surface critique raquo figure I-7 En partant de cette surface vers
lrsquoorigine le mateacuteriau est supraconducteur Les valeurs les plus eacuteleveacutees pour HC et JC sont
obtenues agrave T = 0K alors que la valeur la plus eacuteleveacutee pour la TC est obtenue quand H et J sont
18
agrave zeacutero Lorsque lrsquoon trouve dans les reacutegions en dehors de cette surface le mateacuteriau est dans
lrsquoeacutetat normal ou mixte
Figure I9 Surface critique et ordre de grandeur des paramegravetres critique de quelques
mateacuteriaux Supraconducteurs [40]
I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
La mise en eacutevidence de la supraconductiviteacute dans les mateacuteriaux SHTC notamment
dans lrsquoYBaCuO par Maw-Kuen Wu et al en 1987 [19] agrave une tempeacuterature critique qui deacutepasse
la tempeacuterature de lrsquoHeacutelium liquide eu un retentissement plus important et rend la recherche
dans le domaine de la supraconductiviteacute agrave haute tempeacuterature critique tregraves attrayante et tregraves
prometteuse pour de nombreuses applications Comprendre les proprieacuteteacutes et les meacutecanismes
de fonctionnement de ces mateacuteriaux qui deacutejouent toute attente est un enjeu majeur des
recherches actuelles Et si la supraconductiviteacute agrave tempeacuterature ambiante reste pour lrsquoinstant un
recircve pour les chercheurs les supraconducteurs nrsquoont pas fini de bousculer la physique
theacuteorique
Trois familles principales de ces ceacuteramiques sont distingueacutees [41]
- Baseacutee sur le Bismuth ceacuteramique de BiSrCaCuO appeleacutee aussi laquo BSCCO raquo
- Baseacutee sur les terres rares Rare Earth (RE) ceacuteramique de RE-BaCuO
communeacutement appeleacutee laquo Re-BCO raquo Lrsquoeacuteleacutement de terre rare utiliseacute peut ecirctre
de lrsquoYttrium du Neacuteodyme du Samarium ou du Gadolinium selon les
proprieacuteteacutes rechercheacutees
- Baseacutee sur le Thallium ceacuteramique de TlBaCaCuO communeacutement appeleacutee laquo
TBCCO raquo avec des tempeacuteratures de fonctionnement supeacuterieures
19
Ces mateacuteriaux sont aujourdrsquohui les plus utiliseacutes pour les applications industrielles et la
recherche en eacutelectrotechnique
I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
Lrsquo2 3 7YBa Cu O δminus
(YBaCuO ou Y-123) le 2 2 2 8 xBi Sr CaCu O + (BSCCO ou Bi-2212) et le
2 2 2 3 10 xBi Sr Ca Cu O + (Bi-2223) repreacutesentent aujourdrsquohui les mateacuteriaux SHTC les plus usiteacutes
pour les applications industrielles et la recherche en eacutelectrotechnique Or avec une
appartenance commune aux ceacuteramiques ces deux mateacuteriaux reposent sur des proceacutedeacutes de
fabrication diffeacuterents Leurs proprieacuteteacutes permettent de les utiliser sous diverses formes
poudres massifs fils et deacutepocircts en monocouche (figure I10) [41]
Figure I10 Diffeacuterentes formes des SHTC a) pastille YBaCuO en massifs b) YBaCuO en
monocouche c) tubes de BSCCO
Certains mateacuteriaux SHTC comme le BiSCCO sont constitueacutes de poudre compresseacutee
On les trouve sous forme de tubes massifs servant drsquoameneacutees de courant ou de blindage
magneacutetique [42] Ces mateacuteriaux permettent aussi la fabrication des cacircbles conducteurs mono
ou multi- filamentaires SHTC Ces cacircbles supraconducteurs ont eacuteteacute exploiteacutes pour la premiegravere
fois aux Etats-Unis agrave partir de 2006 dans le cadre de deacutemonstrateurs subventionneacutes Puis des
liaisons furent inteacutegreacutees agrave des reacuteseaux de distribution et de transport au Japon en Coreacutee en
Chine Et pour la premiegravere fois en Allemagne en 2014 dans le bassin de la Ruhr dans un
environnement 100 public urbain Un cacircble supraconducteur drsquoun kilomegravetre a eacuteteacute reacutealiseacute par
Nexans et lrsquoeacutenergeacuteticien allemand RWE et qui a eacuteteacute mise en service agrave Essen
En 2014 eacutegalement le CERN et dans le but drsquoameacuteliorer lrsquoalimentation de ses
acceacuteleacuterateurs de particules a reacuteussi de transiteacute un courant eacutelectrique de 20000 Ampegraveres par un
cacircble supraconducteur en MgB2
20
Une particulariteacute inteacuteressante des SHTC tels que Y-123 est sa faible reacutesistance de
surface par rapport agrave celle du cuivre il permet drsquoutiliser ce mateacuteriau dans la reacutealisation de
dispositifs micro-onde utiliseacutes dans des applications en micro-eacutelectronique et en technique
micro-onde Deacuteposer sous forme de couches minces il permet la reacutealisation de reacutesonateurs agrave
haute performance de taille plus faible et plus leacutegers que les reacutesonateurs conventionnels Un
champ important drsquoapplications pour ces reacutesonateurs est ouvert pour les filtres utiliseacutes dans
les technologies de la communication notamment pour les satellites
Lrsquoaimantation des mateacuteriaux SHTC massifs trouve reacutecemment son inteacuterecirct dans
lrsquoindustrie Le pheacutenomegravene de leacutevitation magneacutetique dans les bulk SHTC est largement
exploiteacute dans la mise en service des trains Maglev-Cobra [4344] ce sont des veacutehicules
destineacutes au transport urbain des passagers flottant sur des rails sans aucun contact avec le sol
Cette technologie est baseacutee sur la leacutevitation magneacutetique geacuteneacutereacutee par des aimants situeacutes sur les
pistes et des pastilles supraconductrices dans le train dans le cas des trains agrave leacutevitation
supraconductrice
I311 Supraconducteur YBa2Cu3O7-δ
a- Preacutesentation
LrsquoOxyde mixte de Baryum de Cuivre de drsquoYttrium ou ce qui est connu communeacutement
par laquo YBaCuO raquo est un mateacuteriau cristallin supraconducteur de type II de formule chimique
YBa2Cu3O7-δ Il est connu pour avoir eacuteteacute parmi les premiers supraconducteurs qui possegravedent
des tempeacuteratures critiques supeacuterieures agrave celle de lrsquoazote liquide (77 K) et donc classeacute parmi
les mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) Ces tempeacuteratures ont
permis de reacuteduire consideacuterablement le cout de fonctionnement des mateacuteriaux dans lrsquoeacutetat
supraconducteur en utilisant la cryogeacutenie agrave lrsquoazote liquide au lieu de lrsquoheacutelium liquide qui
impose des tempeacuteratures infeacuterieures agrave 5 k
LrsquoYBaCuO est tregraves utiliseacute pour le deacuteveloppement des applications de la
supraconductiviteacute gracircce agrave sa bonne tenue sous un champ magneacutetique Ses applications
industrielles en massif impliquent de controcircler la croissance de larges monodomaines orienteacutes
dans des eacutechantillons de grande taille (plusieurs centimegravetres) Les YBaCuO massifs sont
obtenus par diffeacuterentes techniques drsquoeacutelaborations connus mais complexes dont on peu citeacute la
technique TSMG pour laquo top-seeding melt-texturing Growthraquo [45-53] une pastille fritteacute drsquoune
composition riche de yttrium est utiliseacutee Un germe 2 3 xSmBa Cu O (Sm123) monocristallin est
placeacute sur la pastille avant la texturation Le mateacuteriau Sm123 fait partie de la mecircme famille de
21
lrsquoY123 avec une structure cristalline identique par contre il est caracteacuteriseacute par un de fusion
qui est environ 50 degC plus eacuteleveacutee que celui drsquoY123 Ce qui permet une surchauffe tregraves
importante de la pastille YBaCuO pour une fusion complegravete du mateacuteriau en preacutesence de ce
germe Ensuite le systegraveme (pastille + germe) est refroidie jusqursquoagrave la tempeacuterature peacuteritectique 123Y
pT (~1010 degC) (point drsquoeacutequilibre entre les phases solides et liquides) un refroidissement
tregraves lent de 01 degh agrave 05 degh est reacutealiseacute pour obtenir la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO agrave
partir de germe de 2 3 xSmBa Cu O figure I11
Figure I11 Traitement thermique pour la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO par la
technique TSMG
b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuO
La structure cristalline de lrsquoYBa2Cu3O7-δ deacuterive de la structure tridimensionnelle de la
peacuterovskite ABO3 comme dans tous les meacutetaux de la famille des cuprates figure I12 elle
preacutesente une anisotropie structurale importante entre les deux directions principales du
mateacuteriau (Plan (a b) axe c) Ce composeacute est caracteacuteriseacute par la preacutesence de deux familles de
plans parallegraveles au plan (a b)
1- Plan CuO1- δ qui est constitueacute drsquoun atome de cuivre Cu(1) entoureacutes de 2 agrave 4 atomes
drsquooxygegravene selon la stœchiomeacutetrie Ces plans sont organiseacutes en chaines selon la
direction b du cristal pour δ=1
2- Plan CuO2 ce plan est constitueacute drsquoun atome de cuivre Cu(2) entoureacutes de cinq atomes
drsquooxygegravenes en formant une pyramide
La maille eacuteleacutementaire de lrsquoYBaCuO se compose en six (6) plans parallegraveles qui srsquoempilent
suivant lrsquoaxe (c) par 1CuO δminus BaO 2CuO Y 2CuO BaO figure I13
22
Figure I12 Structure cristalline tridimensionnelle de lrsquoYBa2Cu3O7-δ
Selon la stœchiomeacutetrie en oxygegravene YBaCuO peut se trouver en diffeacuterentes phases il
passe alors drsquoune structure orthorhombique supraconductrice pour δlt065 agrave une structure
teacutetragonale isolante pour 065ltδlt1 par suppression successive des atomes drsquooxygegravene de la
chaine CuO [54 97]
Le composeacute YBa2Cu3O7est la phase la plus oxygeacuteneacutee qui correspond agrave δ=0 ce composeacute
se cristallise dans une structure orthorhombique supraconductrice dont le groupe drsquoespace est
Pmmm et les paramegravetres de mailles sont a= 382 Aring b= 388 Aring et c=1169 Aring figure I13-(a)
Par contre la phase la moins oxygeacuteneacute correspond agrave δ=1 cette structure est
antiferromagneacutetique sa maille eacuteleacutementaire est quadratique de groupe drsquoespace P4mmm avec
des paramegravetres de maille a=b=386Aring et c=1184Aring [55] figure I13-(b)
Les deux structures sont relativement proches La transition
orthorhombiquequadratique a eacuteteacute observeacutee agrave 700 deg C dans une atmosphegravere contenant 100
doxygegravene Lors de cette transition les paramegravetres a et c augmentent et b diminue ce qui
renforce la symeacutetrie de la structure cristalline (Figure I14) et aussi induit des contraintes
atomiques et des deacutefauts comme les plans de macle qui constituent de bons sites drsquoencrages
pour les vortex [55]
23
(a) (b)
Figure I13 Repreacutesentation de structure (a) orthorhombique et (b) quadratique de la maille
eacuteleacutementaire du compos YBa2Cu3O7-δ
(a) (b)
Figure I14 Variation des paramegravetres de reacuteseau a b et c par rapport au deacuteficit en oxygegravene δ
[54]
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuO
Lrsquoanisotropie structurale drsquoYBaCuO conduit agrave lrsquoanisotropie des proprieacuteteacutes
supraconductrices Ces derniegraveres sont confineacutees dans le plan CuO2 Les proprieacuteteacutes eacutelectriques
et magneacutetiques de lrsquoYBaCuO seront diffeacuterentes selon son orientation [58] Le courant
24
eacutelectrique circule plutocirct dans le plan (a b) que suivant lrsquoaxe c [56] Ainsi la densiteacute de
courant eacutelectrique sera tregraves diffeacuterente selon la circulation parallegravele ou perpendiculaire du
courant par rapport au plan (a b) et aussi suivant lrsquoorientation du champ exteacuterieur appliqueacute
elle sera eacuteleveacutee agrave 77k lorsque le courant circule selon le plan (a b) (de lrsquoordre de 4 210 A cm
dans des massifs textureacutes et atteigne 6 210 A cm pour des eacutechantillons sous forme de couches
minces eacutepitaxieacutees [57])
Lrsquoanisotropie des caracteacuteristiques supraconductrices se retrouve aussi sur les valeurs
de champs critiques Hc1 et Hc2 Pour lrsquoYBaCuO massif agrave T=0K on a [55]
( )2
11 02 2 10c cc a b
H T H Tminus= = times
( ) 22 140 29c cc a b
H T H T= =
La tempeacuterature critique de la phase supraconductrice de lrsquoYBaCuO est fortement deacutependante
du taux drsquooxygegravene Lrsquooptimum est de 92 K pour une valeur de δ=008 [54] figure 115
Figure I15 Repreacutesentation de la tempeacuterature critique en fonction du deacuteficit en oxygegravene dans
la structure YBaCuO
I32 Supraconducteur MgB2
a- Preacutesentation
Le diborure de magneacutesium (MgB2) est un mateacuteriau dont les proprieacuteteacutes
supraconductrices ont eacuteteacute deacutecouvertes en 2001 par J Nagamatsu et al [59] Il preacutesente une
tempeacuterature critique de 39K et comme la limite entre la famille des supraconducteurs agrave basse
25
et agrave haute tempeacuterature critique est agrave environ de 30 K le MgB2 est classeacute donc parmi les
supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) Sa deacutecouverte a susciteacute un vif inteacuterecirct
car ses constituants sont bons marcheacutes et son proceacutedeacute de fabrication est semblable agrave celui des
supraconducteurs classiques
Diffeacuterents proceacutedeacutes pour la fabrication de MgB2 massif sont utiliseacutes Un premier
consiste agrave placer du magneacutesium dans un moule en Bore la supraconductiviteacute est obtenue
apregraves traitement thermique Drsquoautre utilisent un preacutecurseur sous forme de poudre de Bore et
de Magneacutesium qursquoil comprime sous haute pression [62] lrsquoensemble subit alors un traitement
thermique
b- Structure cristalline de MgB2
Le MgB2 se cristallise dans une structure Hexagonale de type AlB2 dont le groupe
drsquoespace est P6mmm les paramegravetres de mailles sont a = 308 Adeg et c=352 Adeg [5960] La
figure I16 montre que les atomes de bore sont disposeacutes en des couches similaires agrave celles du
graphite entre lesquels sont intercaleacutes des atomes de magneacutesium chaque atome de bore est agrave
distance eacutegale de trois autres atomes de bore La position drsquoatomes sont donneacutees comme suit
Mg (0 0 0) B (13 2312) (2313 12)
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2
Une forte anisotropie de la structure cristalline MgB2 est reacutesulteacute des successions de
couches de magneacutesium et de Bore (figure I11) cette anisotropie eacutetait connue depuis pregraves de
50 ans avant la deacutecouverte de la supraconductiviteacute de ce composeacute [61]
La premiegravere mesure directe drsquoune proprieacuteteacute supraconductrice anisotrope a eacuteteacute reacutealiseacutee
pour le champ magneacutetique critique Hc2 du bulk MgB2 un rapport 2 1 17ab cc cH Hγ = asymp avec
2abcH est le champ magneacutetique critique parallegravele au plan (ab) et 1
ccH est le champ magneacutetique
critique parallegravele agrave la direction de lrsquoaxeC
Depuis lors plusieurs chercheurs ont trouveacute des
valeurs de ce rapport comprises entre 11 et 16 pour une tempeacuterature variant de 32 K agrave 26 K
en utilisant diffeacuterents types drsquoeacutechantillons et diffeacuterentes techniques pour caracteacuteriser la
transition de lrsquoeacutetat normal vers lrsquoeacutetat supraconducteur
Lrsquoanisotropie de la densiteacute de courant critique a eacuteteacute eacutegalement eacutevalueacutee agrave lrsquoaide du
modegravele e Bean comme eacutetant 15ab cc cJ J asymp
26
Figure I16 Structure cristalline de MgB2
I4 Modegraveles des supraconducteurs
La connaissance des proprieacuteteacutes caracteacuteristiques drsquoun mateacuteriau supraconducteur joue un
rocircle important dans le dimensionnement drsquoun dispositif et par la suite pour deacutevelopper des
nouvelles applications dans le domaine industriel Diffeacuterentes meacutethodes de caracteacuterisations
sont adopteacutees dans le cas des supraconducteurs afin drsquoeffectuer des mesures des
caracteacuteristiques de ces mateacuteriaux agrave savoir la distribution du courant eacutelectrique densiteacute du
courant critique capaciteacute drsquoavoir un champ magneacutetique pieacutegeacute important hellipetc Les reacutesultats
obtenus peuvent diffeacuterer en fonction de la meacutethode de mesure choisie
Des meacutethodes de caracteacuterisations des pastilles supraconductrices ont eacuteteacute deacuteveloppeacute
dans le laboratoire GREEN qui ont pour but de mesurer la densiteacute du courant critique au
centre et sur la surface drsquoune pastille SHTC de type YBaCuO et cela agrave travers la
deacutetermination du champ magneacutetique de peacuteneacutetration dans la pastille
Avant de preacutesenter ces meacutethodes nous allons rappeler les deux modegraveles de caracteacuteristique
E(J) qui repreacutesente un supraconducteur
I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)
I411 Preacutesentation du modegravele
Le modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (1962) a eacuteteacute introduit par C P Bean (1923-1996)
dans le but drsquoeacutetudier lrsquoaimantation des supraconducteurs massifs [64 65] Il stipule qursquoagrave
tempeacuterature donneacutee la densiteacute de courant dans un supraconducteur est soit nulle soit eacutegale agrave
27
la densiteacute de courant critique Cest-agrave-dire que les supraconducteurs nrsquoexistent que dans les
deux cas suivants
- Une densiteacute de courant nulle pour les reacutegions ougrave le champ ne varie plus
- Une densiteacute de courant cJplusmn dans les reacutegions qui srsquooppose aux variations du champ
magneacutetique
ou 0cJ J J= plusmn =
Ce modegravele ne prend pas en consideacuteration la deacutependance de la densiteacute du courant
critique en champ magneacutetique et en tempeacuterature Aussi la discontinuiteacute de ce modegravele le rend
peu utilisable pour des deacuteveloppements numeacuteriques Par ailleurs gracircce agrave sa simpliciteacute ce
modegravele reste le plus utiliseacute dans les calculs analytiques afin drsquoeacutetudier les pertes en reacutegime
variable (AC) dans les rubans et aussi dans les pheacutenomegravenes de magneacutetisation [66][67]
En effet le modegravele de Bean connait un grand succegraves dans le cas des supraconducteurs
agrave basse tempeacuterature critique et lrsquoon y fait souvent reacutefeacuterence dans la litteacuterature
I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long notion
de peacuteneacutetration complegravete
En considegravere un cylindre supraconducteur infiniment long de rayon R soumis agrave un
champ magneacutetique exteacuterieur variable ( )aH t parallegravele agrave son axe
Nous allons eacutetudier la distribution de champ magneacutetique ( )B la densiteacute de courant eacutelectrique
( )J et le champ eacutelectrique dans ce cylindre supraconducteur
Le milieu supraconducteur de cylindre est repreacutesenteacute par 0micro micro= Les eacutequations neacutecessaires
pour deacuteterminer ces grandeurs se sont les eacutequations de Maxwell simplifieacutees suivantes
( ) I7BrotEt
part= minus
part
( )0 I8rotB Jmicro=
Les coordonneacutees cylindriques sont employeacutees Le champ magneacutetique appliqueacute ( )aB t
est orienteacute suivant lrsquoaxe Oz J et E sont donc orienteacutes suivant θ et variant en fonction de r
et t
Lorsqursquoon augmente la valeur du champ magneacutetique appliqueacute aH lrsquoinduction
magneacutetique B va peacuteneacutetrer progressivement agrave lrsquointeacuterieur de cylindre
28
En utilisant le modegravele de Bean afin de deacuteterminer la distribution de champ
magneacutetique B de la densiteacute de courant eacutelectrique J et de champ eacutelectrique E agrave lrsquointeacuterieur de
cylindre supraconducteur lrsquoeacutequation (18) donne
( )0 o u 0 I9rotB J rotBmicro= plusmn =
Lrsquoinduction agrave la surface de cylindre vaut
( ) ( ) ( )0 0 I10aB R t H tmicro=
Dans le cylindre le champ magneacutetique est orienteacute suivant lrsquoaxe Oz et ne deacutepond que r et t
( ) ( ) I11zB B r t u=
Par contre le champ eacutelectrique E et la densiteacute de courant J sont orienteacute suivant θ et
deacutependent aussi de r et t
( ) ( ) I1 2E E r t uθ=
( ) ( ) I1 3J J r t uθ=
Le champ magneacutetique exteacuterieur augmente agrave partir de zeacutero jusqursquoagrave une valeur
maximale Bmax Drsquoapregraves la loi de Lenz des courants qui srsquoopposent aux variations du champ
magneacutetique se deacuteveloppent agrave partir de lrsquoexteacuterieur du conducteur Drsquoapregraves le modegravele de Bean
ces courant ont une densiteacute de courant J eacutegale agrave (figure I17)
( )1
1
0 00
I14C
C
J ou pour r RJ
J ou pour R r Rminus lt lt
= + lt lt
Les eacutequations (I7) et (I9) deviennent
( ) ( ) I 51 1rE B
r r tpart part
= minuspart part
( )0 116C
B Jr
micropartminus = plusmnpart
Agrave partir des eacutequations (I11) et (I16) pour 1R r Rlt lt
( ) ( ) ( )0 I 1 7C aB r t J r R Bmicro= minus minus +
29
Pour une peacuteneacutetration complegravete le champ de peacuteneacutetration complegravete est donneacute sous la forme
( )0 I18p CB J Rmicro=
Si la valeur du champ externe est infeacuterieure agrave cette valeur la peacuteneacutetration dans ce cas est
incomplegravete et le champ peacutenegravetre jusqursquoagrave PR que lrsquoon peut calculer
( )max
0
I19PC
BR RJmicro
= minus
Le champ eacutelectrique est preacutesent entre ( )1R t et R et il est calculeacute agrave partir de lrsquoeacutequation (I16)
( )( )( ) ( )
2 21 I2
2 0
r R tBE r tt r
minuspart= minus
part
Lrsquoexpression de ( )1R t est donneacutee comme suit
( ) ( ) ( )max 01
0
I 12
2C
B B tR t R
Jmicrominus
= minus
En cas de peacuteneacutetration complegravete PR est eacutegal agrave 0 Quand ( )1R t srsquoannule le champ eacutelectrique
devient
( ) ( ) 22
2 IB rE r tt
part= minus
part
Figure I17 Distribution de B J E dans un cylindre supraconducteur soumis agrave un
champ magneacutetique parallegravele agrave son axe
30
I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)
Pour les supraconducteurs HTC le modegravele de la loi en puissance repreacutesente mieux la
caracteacuteristique E(J) que le modegravele CSM [68-70]
( ) ( )1
I23n n
c cc c
J JJE J E E JJ J J
minus
= =
Avec
cE Champ eacutelectrique critique (Vm) sa valeur est fixeacutee arbitrairement agrave 1 V mmicro pour les
mateacuteriaux SHTC
cJ Densiteacute de courant critique (Am2) elle caracteacuterise les performances du mateacuteriau
supraconducteur
n Exposant de la loi en puissance il deacutefinit la vitesse de transition du mateacuteriau entre les
deux cas limites 1n = correspond agrave une loi drsquoohm lineacuteaire alors que pour n plus grand ( n
gt200) on srsquoapproche du modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean
Figure I18 Comparaison entre la caracteacuteristique E(J) correspond au modegravele de Bean (courbe
rouge) et au modegravele de loi en puissance (courbe verte) avec celle obtenue expeacuterimentalement
(courbe bleu) pour un ruban
Contrairement au modegravele CSM le modegravele PLM est plus commode agrave utiliser dans les
formulations numeacuteriques car sa fonction est continue et possegravede eacutegalement une deacuteriveacutee
continue et crsquoest un modegravele dont leurs paramegravetres se rapprochent le mieux des valeurs
lrsquoexpeacuterimentales (figure I18)
31
Par ailleurs en reacutealiteacute les paramegravetres Jc et n ne sont pas constants ils sont
geacuteneacuteralement deacutependants du champ magneacutetique et de la tempeacuterature
I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et n
Depuis les anneacutees 80 beaucoup de travaux ont eacuteteacute consacreacute agrave eacutetudier la deacutependance en
champ magneacutetique de la densiteacute de courant critique des SHTC Cette deacutependance peut ecirctre
obtenue expeacuterimentalement par des meacutethodes eacutelectriques et magneacutetiques
Dans les mesures eacutelectriques la fiabiliteacute et la reacutepeacutetabiliteacute des valeurs mesureacutees du
courant critique sont reacuteduites en raison des difficulteacutes agrave eacutetablir des contacts dans leacutechantillon
et agrave choisir un critegravere de tension pour deacutefinir Jc De plus en geacuteneacuteral des courants importants
traversent lrsquoeacutechantillon pendant les mesures de sorte qursquoils produisent un champ magneacutetique
qui modifie le champ appliqueacute de maniegravere non homogegravene
Le premier modegravele qui deacutecrive la deacutependance en champ magneacutetique de Jc est proposeacute
par Y Kim [71] pour les mateacuteriaux supraconducteurs agrave basse tempeacuterature critique (SBTC)
( ) 0
01 C
CJJ BB B
=+
Ougrave Jc0 est la densiteacute d courant critique sous champ nul B est lrsquoamplitude de lrsquoinduction
magneacutetique et B0 est une constante caracteacuterisant le mateacuteriau
La formule de Kim deacutecrit un comportement isotrope alors que les supraconducteurs
HTc sont fortement anisotropes lrsquoorientation du champ magneacutetique a une influence
importante sur la densiteacute du courant critique du supraconducteur [66] Une autre forme
geacuteneacuteraliseacutee de la loi de ce modegravele de Kim a eacuteteacute proposeacutee pour prendre en consideacuteration le
pheacutenomegravene drsquoanisotropie des mateacuteriaux SHTC [7273]
( ) ( )0
2 2 2
0
1
I24JcJc B Bk B B
B
βperp
perp
= + +
k Facteur drsquoanisotropie (gt1)
etB Bperp Composantes parallegravele et perpendiculaire du champ magneacutetique
β Constante caracteacuterisant la deacutependance vis-agrave-vis du champ magneacutetique
32
Eacutegalement lrsquoexposant-n de la loi en puissance se comporte de la mecircme maniegravere que Jc vis-agrave-
vis le champ drsquoinduction magneacutetique plusieurs eacutetudes ont montreacute cette deacutependance [74-77] et
la loi du comportement est similaire agrave celle de Kim pour les milieux SHTC anisotropie
( ) ( )0 2 2 2
0
)
1
I25
n
nn B Bk B B
B
perp
perp
=+
+
Avec n0 est une constante qui repreacutesente la valeur de n sous champ nulle et Bn0 est une
constante caracteacuterisant la deacutependance du n vis-agrave-vis le champ magneacutetique
I5 Meacutethodes drsquoaimantation
Les supraconducteurs notamment sous forme massive peuvent ecirctre aimanteacutes et ainsi
reacutealiser ce qursquoon appelle des cryo-aimants qui permettent de geacuteneacuterer des champs magneacutetiques
de plusieurs teslas le record eacutetant agrave de 176 T agrave 26degK [78] Par ailleurs plusieurs axes de
recherches ont eacuteteacute consacreacutes agrave eacutetudier la possibiliteacute de profiter de lrsquoinduction magneacutetique
importante produite par des pastilles aimanteacutees en vue drsquoapplications en geacutenie eacutelectrique Il
existe diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantation des supraconducteurs massifs ces meacutethodes sont
baseacutees sur la variation du champ magneacutetique appliqueacute afin de creacuteer selon la loi de Lenz des
courants induits agrave lrsquointeacuterieur de ces supraconducteurs Ces courants induits geacutenegraverent agrave leur
tour un champ magneacutetique opposeacute au champ appliqueacute Ce principe est utiliseacute pour reacutealiser des
eacutecrans magneacutetiques ou pour pieacuteger du champ magneacutetique avec des aimants
supraconducteurs
I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)
Cette meacutethode consiste agrave appliquer un champ magneacutetique en refroidissant une pastille
supraconductrice agrave une tempeacuterature infeacuterieure agrave sa tempeacuterature critique (TltTC) en preacutesence
du champ magneacutetique appliqueacute [79-81] Ensuite et quand la tempeacuterature de refroidissement
stabilise ce champ magneacutetique appliqueacute est rameneacute tregraves lentement vers le zeacutero ce qui permet
la creacuteation des courants induits agrave lrsquointeacuterieur de la pastille en srsquoopposant agrave la deacutecroissance du
champ magneacutetique appliqueacute afin drsquoavoir un champ magneacutetique pieacutegeacute dans la pastille La
figure I19 illustre les diffeacuterentes eacutetapes drsquoaimantation par la meacutethode FC
33
Figure I19 Aimantation par refroidissement sous champ magneacutetique (Field Cooling FC)
[109]
La meacutethode FC donne des meilleurs reacutesultats en termes de champ pieacutegeacute Par contre ce
dernier ne peut pas ecirctre supeacuterieur au champ appliqueacute
Cependant lrsquoutilisation drsquoun eacutelectro-aimant supraconducteur est primordiale pour obtenir une
forte valeur du champ magneacutetique (gt10T) et permet ensuite de pieacuteger un champ magneacutetique
plus intense
En 2003 et lors de leurs travaux sur lrsquoaimantation de lrsquoYBaCuO massif les japonais
Masaru Tomita et Masato Murakami ont pu pieacuteger un champ magneacutetique eacutegale agrave 17 T agrave 29 K
en appliquant un champ magneacutetique eacutegale agrave 179T [78] et une valeur de 176T a eacuteteacute pieacutegeacutee par
J H Durrell et all agrave 28K en 2014 [82] en utilisant des pastilles supraconductrices de type
GdBCO de 2415 mm de diamegravetre et de 15 mm de hauteur
I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC)
Dans cette meacutethode et contrairement agrave la meacutethode FC lrsquoapplication du champ
magneacutetique se fait apregraves le refroidissement de la pastille agrave la tempeacuterature de fonctionnement
(tltTc) [81] figure I20
Avec cette meacutethode on peut pieacuteger une valeur de champ magneacutetique inferieur
(environ deux fois) agrave celle pieacutegeacute par la meacutethode FC car deux nappes de courant sont induites
lors de lrsquoaimantation par ZFC une correspondant agrave lrsquoapplication du champ magneacutetique et
lrsquoautre agrave la diminution du champ
34
Figure I20 Aimantation par refroidissement hors champ magneacutetique
(Zero Field Cooling ZFC) [109]
En utilisant les meacutethodes drsquoaimantations FC et ZFC un champ magneacutetique appliqueacute
externe important et constant est neacutecessaire pour eacutetablir un champ SHTC pieacutegeacute intense En
geacuteneacuterale cela signifie quun aimant soleacutenoiumlde supraconducteur agrave grande eacutechelle et des
alimentations encombrantes associeacutees sont neacutecessaires Ces exigences limitent souvent
lutilisation de ce type drsquoaimants SHTC pour une utilisation dans la recherche scientifique au
niveau des laboratoires ou dans des applications industrielles comme les machines eacutelectriques
tournantes [83]
I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization
(PFM)
Le processus drsquoaimantation par la meacutethode PFM neacutecessite lrsquoobtention drsquoune impulsion
de courant eacutelectrique intense dans une bobine de petites dimensions ce qui permet de geacuteneacuterer
une impulsion de champ magneacutetique importante pour aimanter la pastille supraconductrice
[84-86]
La meacutethode PFM est une autre forme de la meacutethode ZFC sauf que la dureacutee de
lrsquoimpulsion de champ appliqueacute dans ce cas est tregraves courte (quelques millisecondes)
Lrsquoavantage fondamental de la meacutethode PFM est qursquoelle ne neacutecessite pas un eacutelectro-aimant
supraconducteur une simple bobine de cuivre suffit pour geacuteneacuterer une impulsion de champ
magneacutetique de plusieurs teslas et produit par la suite un champ magneacutetique pieacutegeacute important
(environ 30 agrave 40 du champ appliqueacute)
35
La forme de lrsquoimpulsion du champ magneacutetique appliqueacute le volume et la forme de la
pastille utiliseacutee et sa densiteacute de courant eacutelectrique influent fortement sur la valeur du champ
magneacutetique pieacutegeacute dans la pastille
Figure I21 Aimantation par un champ impulsionnel (pulsed field magnetization PFM)
[109]
Le circuit eacutelectrique de lrsquoaimantation utiliseacute dans ce cas-lagrave est un circuit RLC composeacute drsquoun
circuit de charge de condensateur C et circuit de deacutecharge de ce condensateur dans lrsquoinducteur
Lind (Figure I22)
La forme de lrsquoimpulsion du champ magneacutetique creacuteeacute par lrsquoinducteur est lrsquoimage de la
forme du courant eacutelectrique produit par le circuit de deacutecharge LC Lrsquoamplitude et la constante
du temps caracteacuteristique du courant impulsionnel sont directement lieacutees agrave la valeur de
lrsquoinductance L
Figure I22 Scheacutema eacutelectrique simplifieacute du circuit utiliseacute pour aimanter les supraconducteurs
massifs
36
En reacutegime peacuteriodique lexpression du champ magneacutetique appliqueacute est alors donneacutee par la
solution de leacutequation de deacutecharge du circuit
( ) ( ) ex I26p 1a mt tH t Hτ τ
= minus
Avec
LCτ = Constance du temps du circuit de deacutecharge
( )0 exp(1)mH q τ= Champ maximal donneacutee pour t τ=
0q Charge initiale du condensateur C du circuit
La figure I23 preacutesente leacutevolution temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour
laimantation par la meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
Figure I23 Variation temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour laimantation par la
meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
Eacutetant donneacute que la magneacutetisation par la meacutethode PFM est un proceacutedeacute largement utiliseacute
pour laimantation des cryo-aimants il semble inteacuteressant de deacutevelopper des outils et des
meacutethodes de calcul deacutedieacutees pour ce proceacutedeacute Des travaux anteacuterieurs avaient eacuteteacute meneacutes en vue
du deacuteveloppement des modegraveles analytiques pour calculer la distribution du champ magneacutetique
des bobines circulaires seules avec un noyau de fer ou en preacutesence de noyau supraconducteur
[87-91] ainsi que le cas de bobine circulaire dans un circuit ferromagneacutetique avec entrefer
[92]
37
Dans le chapitre II de cette thegravese nous allons deacutevelopper un modegravele analytique pour
montrer lrsquoeffet de la preacutesence drsquoune pastille supraconductrice sur la valeur de lrsquoinductance
drsquoune bobine circulaire placeacutee dans un circuit ferromagneacutetique avec entrefer
I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTC
La deacutetermination de la densiteacute de courant critique du mateacuteriau supraconducteur peut ecirctre
reacutealiseacutee soit par la meacutethode eacutelectrique (meacutethode directe) soit par la meacutethode magneacutetique
(meacutethode indirecte) Chacune de ces meacutethodes comporte des problegravemes pratiques qui rendent
deacutelicate lrsquoobtention drsquoune mesure preacutecise de CJ
I51 Meacutethode eacutelectrique
La meacutethode eacutelectrique consiste agrave injecter dans lrsquoeacutechantillon des courants croissants
jusqursquoagrave ce que lrsquoeacutetat supraconducteur disparaisse [93] La meacutethode de quatre pointes est ainsi
utiliseacutee dans laquelle le courant I est injecteacute dans lrsquoeacutechantillon et la mesure de la tension U
aux bornes de lrsquoeacutechantillon est faite (figure I24) On considegravere que le courant injecteacute se
reacutepartit uniformeacutement dans tout le mateacuteriau pour obtenir une relation simple entre le courant
et la densiteacute de courant I= JS ougrave S est la section de lrsquoeacutechantillon Aussi on suppose que le
champ eacutelectrique agrave une seule composante suivant lrsquoaxe de lrsquoeacutechantillon pour avoir une
relation simplifieacutee entre le champ eacutelectrique E et la tension U aux bornes de lrsquoeacutechantillon
U=El avec l est la distance entre les prises de potentiel Le champ eacutelectrique critique EC est
souvent choisi de 1 V mmicro A partir de la mesure U(I) en deacuteduit E(J) et par la suite la densiteacute
de courant critique Jc et lrsquoexposant-n de la loi en puissance preacutesenteacutee ci-dessus
Figure 24 Scheacutema repreacutesentatif de la meacutethode eacutelectrique pour deacuteterminer la densiteacute
de courant eacutelectrique Jc drsquoun mateacuteriau supraconducteur
Cette meacutethode de mesure de Jc des SHTC est simple et donne accegraves la vraie valeur de
Jc Cependant [93] elle implique la pose de contact sur lrsquoeacutechantillon qui peut entrainer des
38
problegravemes de dissipation de chaleur aux contacts Cette meacutethode est geacuteneacuteralement tregraves utiliseacutee
surtout pour les rubans
I52 Meacutethode magneacutetique
Les meacutethodes magneacutetiques sont baseacutees sur lrsquoeacutetude des proprieacuteteacutes magneacutetique du
mateacuteriau supraconducteur Lrsquoeacutechantillon est soumis agrave un champ magneacutetique externe H Ce
champ creacutee des boucles de courant induites qui peuvent ecirctre de type intragrain ou intergrain
[39] srsquoopposant au champ appliqueacute Les meacutethodes geacuteneacuteralement utiliseacutees mesurent
lrsquoaimantation M de lrsquoeacutechantillon et permettent alors de calculer la densiteacute de courant critique
Jc agrave lrsquoaide du modegravele de Bean
Les principaux avantages des meacutethodes magneacutetiques sont drsquoune part lrsquoabsence de
contact eacutelectrique avec lrsquoeacutechantillon et donc la possibiliteacute de ne pas amener de chaleur agrave
lrsquoeacutechantillon et drsquoautre part la possibiliteacute drsquoeacutetudier des eacutechantillons de taille tregraves faible voire
mecircme des poudres
Au laboratoire GREEN Bruno DOUINE amp al ont deacuteveloppeacute une nouvelle meacutethode
magneacutetique de caracteacuterisation de pastilles SHTC pour deacuteterminer la densiteacute de courant
critique Jc et lrsquoexposant-n de la loi en puissance du mateacuteriau supraconducteur Le principe est
de mesurer le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP Ce champ magneacutetique
correspond au champ magneacutetique appliqueacute neacutecessaire pour que la diffusion du champ
magneacutetique atteigne le centre de pastille SHTC [77 94 95 96]
I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastille
Un champ magneacutetique est appliqueacute perpendiculairement sur une pastille SHTC de
rayon R et de hauteur L comme crsquoest montreacute sur la figure I25 Ce champ magneacutetique
appliqueacute est consideacutereacute lineacuteairement varie en fonction du temps
( ) ( ) I27a bB t V t=
Avec Vb est la vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacute
Figure I25 Pastille supraconductrice massive de forme cylindrique soumise agrave un champ
magneacutetique appliqueacute axialement
39
Un champ magneacutetique commence agrave apparaitre au centre de la pastille apregraves un certain
temps pt appeleacute temps de peacuteneacutetration le champ magneacutetique appliqueacute neacutecessaire agrave la
peacuteneacutetration complegravete jusqursquoau centre de la pastille est appeleacute champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete et noteacute BP (figure I26) En utilisant le modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean
(CSM) ce champ de peacuteneacutetration appeleacute aussi champ de peacuteneacutetration de Bean BPB peut-ecirctre
analytiquement obtenu agrave partir de la loi de Biot et Savart sous la forme suivante [77]
( )
22
02
2
2ln4
2
I28cPB
LR RJ LB
LR R
micro
+ + = + minus
Le principe de cette meacutethode est de mesurer le champ de peacuteneacutetration BPB et deacuteduire
par la suite la densiteacute de courant critique Jc
Figure I26 Variation du champ magneacutetique en fonction du temps Ba est le champ appliqueacute
sur la pastille et B0 repreacutesente le champ magneacutetique mesureacute au centre de la pastille
En fait lrsquoideacutee principale est de remplacer la pastille SHTC eacutetudieacutee par deux pastilles
SHTC identiques seacutepareacutees par un entrefer drsquoeacutepaisseur laquo e raquo dans lequel est placeacutee une sonde
agrave effet Hall afin de mesurer le champ magneacutetique entre ces deux pastille (figure I27) Le
champ magneacutetique mesureacute possegravede une seule composante crsquoest la composante radiale
40
Figure I27 Position de sonde agrave effet Hall entre deux pastilles SHTC
Theacuteoriquement ces deux pastilles sont consideacutereacutees comme une seule pastille dont
lrsquoinfluence de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoentrefer creacuteeacute par la sonde sur la valeur de la densiteacute de courant
Jc doit ecirctre prise en consideacuteration
Lrsquoaimantation de la pastille se fait par la meacutethode PFM le champ appliqueacute est obtenu
par une simple deacutecharge drsquoun condensateur dans une bobine en cuivre Le scheacutema eacutelectrique
du circuit drsquoaimantation est preacutesenteacute sur la figure I22
La figure I28 repreacutesente la variation du champ magneacutetique en fonction du temps pour
deux pastilles SHTC identiques de type YBaCuO caracteacuteriseacutee chacune par un rayon R de
10mm et de longueur L eacutegale agrave 5 mm et seacutepareacutees par une distance de 1mm (repreacutesente
lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall)
Figure I28 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesureacute entre deux pastilles
SHTC
41
Par conseacutequent la deacutetermination du temps de peacuteneacutetration Pt est effectueacutee comme suit
Nous consideacuterons drsquoabord que apregraves peacuteneacutetration complegravete du champ magneacutetique ( )Pt tgt
( )aB t et ( )0B t sont seacutepareacutes par une valeur eacutegale agrave PBB Deuxiegravemement nous modifions ( )0B t
B0(t) autour de tp pour quil soit identique au champ magneacutetique appliqueacute ( )aB t (figue I22)
Ceci permet au final de deacuteduire Pt et PMB
La valeur du champ magneacutetique PMB mesureacute pour des deux pastilles est drsquoenvirons 1
Tesla A partie de cette valeur de PMB cedil qursquoon suppose eacutegale agrave BPB on peut calculer la valeur
de la densiteacute de courant critique Jc agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 Elle est eacutegale agrave 110 Amm2 et
crsquoest une valeur proche des valeurs estimeacutees agrave partir des donneacutees des constructeurs et de la
litteacuterature
I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur le champ
de peacuteneacutetration
En utilisant le modegravele de la loi en puissance (PLM) le champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete noteacute BP peut srsquoexprimer numeacuteriquement en fonction du champ
magneacutetique de peacuteneacutetration ducirc au modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM) (BPB) de la vitesse
de monteacutee du champ appliqueacute Vb et de la puissance n comme [77]
( ) ln I291 bP PB
VB Bn
α β+ = +
Avec 12α = et 34β =
On peut ajouter ici qursquoil nrsquoy a pas drsquoinfluence des paramegravetres geacuteomeacutetrique de la
pastille R et L sur les valeurs de α etβ
La relation I29 saveacuterera expeacuterimentalement utile pour deacuteterminer la valeur n dune
pastille supraconductrice soumise agrave des diffeacuterentes vitesses de monteacute Vb du champ externe
Pour cela deux manipes expeacuterimentales sont installeacutees lrsquoune contient une bobine
supraconductrice afin de geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee du champ appliqueacute Ba (Meacutethode
drsquoaimantation ZFC) et lrsquoautre une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer un champ magneacutetique
agrave vitesse de monteacutee eacuteleveacutee de Ba (Meacutethode PFM) Les reacutesultats de mesure de champ
magneacutetique sont illustreacutes sur la figure I29
Lrsquoinfluence de lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall placeacutee sera prise en consideacuteration
dans les calculs de lrsquoexposant-n et la densiteacute de courant critique du mateacuteriau supraconducteur
42
(a) (b)
Figure I29 Repreacutesentation du champ magneacutetique appliqueacute et le champ magneacutetique mesureacute
entre deux pastilles SHTC en fonction de temps en utilisant a) une bobine supraconductrice
pour geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee b) une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer une
vitesse de monteacutee eacuteleveacutee
Soit 1PMB le champ de peacuteneacutetration mesureacute pour une faible vitesse de monteacutee 1bV et 2PMB est le
champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute pour une vitesse de monteacutee eacuteleveacutee 2bV
A partir de lrsquoeacutequation (I22) la valeur de n peut ecirctre deacuteduite agrave partir de
( ) ( )2 1 1 2
1 2
I3l ln
0nPM b PM b
PM PM
B V B Vn
B Bα
βminus
= minusminus
A partir de cette valeur de n et les valeurs de 1PB et 1bV on deacuteduit la valeur de PBB agrave
lrsquoaide de lrsquoeacutequation (I29) Par la suite la valeur de JC sera deacutetermineacutee agrave partir de lrsquoeacutequation
(I28) en fonction des paramegravetres geacuteomeacutetrique R et L
I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de lrsquoexposant-n et Jc
Rappelons que les mesures expeacuterimentales agrave travers la sonde agrave effet Hall placeacutee entre
deux pastilles SHTC donnent le champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute BPM et non pas le
champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP agrave cause de lrsquoentrefer existant entre les deux
pastilles ducirc agrave la sonde
Afin de trouver une relation entre BPM et BP une simulation numeacuterique est effectueacutee
pour les deux cas suivants
43
- Cas drsquoune pastille seule sans sonde agrave effet hall (e=0) pour deacutetermineacute BP au
centre de la pastille agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I8
- cas de deux pastilles identiques seacutepareacutees pour une distance laquo e raquo qui preacutesente
lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall pour deacuteterminer le champ de peacuteneacutetration BPM
La figure I30 repreacutesente la variation de rapport PM PB B en fonction de la longueur L
de la pastille pour e = 05 mm et e = 1 mm Le champ magneacutetique appliqueacute sur les pastilles est
caracteacuteriseacute par une vitesse de monteacutee Vb= 1000 Ts les pastilles utiliseacutees sont modeacuteliseacutees par
une densiteacute de courant critique Jc=100Amm2 un rayon R=10 mm et n = 15
Une relation entre BPM et BP est deacuteduite
( ) ( ) 05 00 I312ln( ) 081 368 1PM
P
B e mm LB
= = +
( ) ( ) 1 00 I3350ln( ) 07233 2PM
P
B e mm LB
= = +
Les expressions I10 et I11 sont indeacutependantes de Vb et n [95] Cependant elles sont valables
uniquement pour R=10 mm Pour drsquoautres valeurs de R des nouvelles relations entre BPM et
BP peuvent ecirctre exprimeacutes avec les mecircmes maniegraveres de calculs
Figure I30 Rapport P
PMBB
en fonction de longueur L de la pastille SHTC
I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille
Une autre meacutethode de calcul de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete a eacuteteacute
proposeacutee en utilisant une seule pastille au lieu deux agrave partir de la mesure de champ
magneacutetique au centre de la surface de la pastille agrave lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet hall placeacutee agrave une
44
distance laquo d raquo au-dessus de la surface de la pastille (figure I31) Cette meacutethode a lrsquointeacuterecirct
drsquoecirctre tregraves simple agrave exeacutecuter et moins couteuse
Figure I31 Position du sonde agrave effet Hall au centre de surface de la pastille
I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et BP
Des simulations numeacuteriques et analytiques ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour deacuteterminer la relation
entre le champ magneacutetique mesureacute agrave lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet Hall et le champ magneacutetique
de peacuteneacutetration complegravete BP
Une pastille SHTC de rayon R et de longueur L est agrave soumise agrave un champ
magneacutetique lineacuteairement variable appliqueacute perpendiculairement sur la surface de la pastille
Cela nous permet de deacuteterminer le champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur et agrave lrsquoexteacuterieur de la
pastille Ainsi de deacuteterminer la densiteacute du courant critique de cette pastille
La figure I32 repreacutesente la distribution de la densiteacute du courant CJ J dans la pastille
SHTC pour trois diffeacuterentes vitesses de monteacutee Vb (01 Ts et 10 Ts et 1000Ts) pour une
mecircme valeur de la densiteacute de flux magneacutetique appliqueacute Dans cette simulation la valeur de
lrsquoexposant-n utiliseacute est 15 ce qui repreacutesente une faible valeur pour un SHTC agrave 77 K et une
densiteacute de courant critique Jc consideacutereacutee constante eacutegale agrave 100 Amm2
On remarque que quels que soient la valeur de Vb les paramegravetres geacuteomeacutetriques de la pastille
SHTC et la valeur de n (gt 10) JJc est presque constante partout dans les reacutegions ougrave la
densiteacute de courant eacutelectrique nrsquoest pas nulle
Quand Ba devient eacutegal agrave BP on dit que la peacuteneacutetration est complegravete et CJ J est consideacutereacute
constant sur toute la pastille comme dans le cas du modegravele de Bean
45
Figure I32 Distribution de la densiteacute de courant JJc dans la pastille SHTC pour trois valeur
de vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacute
On appelle ( )0B t le champ magneacutetique au centre de la pastille SHTC et ( )zB d t le
champ magneacutetique mesureacute par la sonde agrave effet Hall au-dessus du centre de la surface de la
pastille agrave une distance d=05mm
46
( )aB t ( )0B t et ( )05 zB d mm t= sont repreacutesenteacute sur la figure I26 une densiteacute de courant
critique constante Jc=100Amm2 un champ magneacutetique appliqueacute lineacuteairement varie avec une
vitesse de monteacute Vb=1 Ts et une valeur de lrsquoexposant-n=15
La diffeacuterence ( ) ( )a zB t B tminus noteacute ( ) )ZSCB d t repreacutesente la densiteacute de flux magneacutetique
produit par le courant induit agrave lrsquointeacuterieur de la pastille SHTC La figure I33 montre que la
diffeacuterence ( ) ( )05 a zB t B d mm tminus = atteint une valeur maximale noteacute BZSCM avant que
( ) ( )0aB t B tminus atteint BP La relation entre BZSCM et BP est lieacutee aux paramegravetres geacuteomeacutetriques de
la pastille SHTC comme dans le modegravele de lrsquoeacutetat critique (CSM)
Figure I33 Calcul numeacuterique de BP au centre de la pastille et BZSCM au-dessus du centre de
surface de la pastille agrave d = 05mm
Dans le cas du champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete et modegravele de lrsquoeacutetat critique
(CSM) la densiteacute du flux magneacutetique le long de lrsquoaxe drsquoune pastille supraconductrice
cylindrique noteacute BZSCB peut ecirctre donneacute analytiquement en utilisant la loi de Biot et Savart de
la mecircme faccedilon que BPB sous forme
( ) ( ) ( )
( )
( )2 2 2 2
0
2 2 22
1 1 ln l I3n
4 1 13C
ZSCB
R Rd L RJ d RB d R L d L dR R
d Rd L R
micro
+ + + + + = + minus minus minus + + +
47
Une eacutetude comparative a eacuteteacute reacutealiseacutee entre un calcul analytique du rapport ZSCB PBB B
et un calcul numeacuterique du rapport ZSCM PB B en fonction de la distance laquo d raquo Le calcul
numeacuterique est fait pour diffeacuterentes valeurs de n et Vb (figure I34)
Figure I34 comparaison entre le calcul numeacuterique ZSCB PBB B et le calcul analytique
ZSCM PB B
On remarque que quels que soient les valeurs de n et Vb les rapports ( ) ZSCM PB d B et
( ) ZSCB PBB d B sont eacutequivalents Donc agrave partir de la valeur BZSCM(d) mesureacute le champ de
peacuteneacutetration PB peut ecirctre deacuteduit de la faccedilon suivante
( )( )( ) ( )
I34ZSCM mesureacute
PZSCB PB analytiquement
B dB
B d B=
Le rapport ( )( )ZSCB PBB d B est indeacutependant de Jc il deacutepend seulement des paramegravetres
geacuteomeacutetrique R et L de la pastille
48
I6 Objectifs de la thegravese
Apregraves avoir preacutesenteacute un rappel historique sur lrsquoeacutevolution de la supraconductiviteacute
depuis sa deacutecouverte jusqursquoau temps actuel nous avons rappeleacute quelques proprieacuteteacutes
caracteacuteristiques des mateacuteriaux supraconducteurs et leurs grandeurs critique Ensuite nous
avons preacutesenteacute les mateacuteriaux massifs supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
et leurs proprieacuteteacutes en citant deux mateacuteriaux de ce type agrave savoir lrsquoYBaCuO et le MgB2 Nous
avons preacutesenteacute eacutegalement des diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantations des pastilles supraconductrices agrave
savoir les meacutethodes ZFC FC et PFM
Enfin nous avons fait un reacutesumeacute sur une nouvelle meacutethode de caracteacuterisations reacutealiseacutee
au laboratoire GREEN par B DOUINE amp al pour calculer les grandeurs caracteacuteristiques
drsquoune pastille SHTC
Deux axes principaux sont viseacutes par cette thegravese
1 Proposer des modegraveles analytiques de dimensionnement de lrsquoinducteur drsquoun systegraveme
drsquoaimantation drsquoune pastille supraconductrice en preacutesence drsquoun circuit
ferromagneacutetique
2 Ameacuteliorer les meacutethodes de caracteacuterisation existant notamment celles utilisant la
meacutethode PFM afin drsquoeacutetudier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique drsquoune
pastille supraconductrice agrave haute tempeacuterature critique
49
Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de
lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit
ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune
pastille supraconductrice
50
II1 Introduction
La supraconductiviteacute est un domaine tregraves passionnant de la physique appliqueacutee En
geacutenie eacutelectrique comme en physique les supraconducteurs sont largement utiliseacutes pour
obtenir des champs magneacutetiques tregraves eacuteleveacutes On peut obtenir des aimants avec des mateacuteriaux
supraconducteurs massifs de type (RE) BCO agrave lrsquoaide drsquoun champ magneacutetique Ils peuvent
atteindre une densiteacute de flux magneacutetique tregraves eacuteleveacutee En effet il existe diffeacuterentes faccedilons
drsquoaimanter ce type de supraconducteurs massifs Cependant le moyen le plus commode et le
plus courant est drsquoutiliser un champ magneacutetique pulseacute Cette meacutethode est appeleacutee laquo PFM raquo
pour laquo Pulsed Field Magnetization raquo elle est geacuteneacuteralement utiliseacutee pour lrsquoaimantation des
cryo-aimants [84]
Il est tregraves important destimer et deacutevaluer les composantes du champ magneacutetique qui
deacutependent fortement de la geacuteomeacutetrie de linducteur du circuit drsquoaimantation utiliseacute et qui a
pour but final doptimiser la configuration expeacuterimentale Dans leacutetape de conception de
linducteur neacutecessaire pour magneacutetiser les supraconducteurs massifs agrave haute tempeacuterature
critique (SHTC) la modeacutelisation et la simulation sont fortement recommandeacutees pour effectuer
les calculs neacutecessaires des diffeacuterentes caracteacuteristiques eacutelectriques du systegraveme eacutetudieacute agrave savoir
la reacutesistance et linductance de la bobine La deacutetermination de la valeur de la reacutesistance est
assez simple tandis que lrsquoinductance neacutecessite un traitement particulier
De ce fait des modegraveles analytiques ont eacuteteacute proposeacutes depuis longtemps pour calculer la
distribution du champ magneacutetique creacuteeacute par des bobines circulaires sans fer [88 89 98] et plus
reacutecemment pour des bobines avec des noyaux de fer de longueur finie [90] Bien que ces
meacutethodes donnent des reacutesultats preacutecis elles ne sont pas adapteacutees pour leacutetude des bobines
axisymeacutetriques placeacutees dans un circuit ferromagneacutetique contenant un entrefer simple ou un
entrefer contenant une pastille supraconductrice Ces modegraveles sont baseacutes essentiellement sur
la loi de Biot et Savart Des logiciels commerciaux sophistiqueacutes qui donnent des reacutesultats tregraves
preacutecis en consideacuterant la non-lineacuteariteacute des mateacuteriaux impliqueacutes dans le problegraveme eacutetudieacute sont
utiliseacutes
Dans ce chapitre nous proposons drsquoutiliser des meacutethodes analytiques pour reacutealiser
cette tacircche en reacutesolvant les eacutequations de Laplace et de Poisson De telles meacutethodes conduisent
agrave des solutions significatives avec des informations physiques tregraves utiles pour lrsquoeacutetape de la
conception Il srsquoagit de calculer le potentiel vecteur magneacutetique A
dans les diffeacuterentes reacutegions
drsquointeacuterecirct drsquoun circuit ferromagneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer concentrique par rapport agrave la
51
bobine en absence de tout mateacuteriau supraconducteur Le cas de preacutesence drsquoune pastille
supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du circuit deacutecrit preacuteceacutedemment sera eacutegalement
traiteacute Pour montrer lrsquoinfluence de la preacutesence drsquoun mateacuteriau supraconducteur sur la valeur de
lrsquoinductance de la bobine utiliseacutee il sera question de calculer son inductance dans les deux cas
A la fin de ce chapitre et en prenant le problegraveme du circuit magneacutetique sans pastille
nous allons utiliser lrsquoexpression analytique du potentiel vecteur magneacutetique obtenue dans ce
cas pour calculer les courants induits dans une pastille supraconductrice en utilisant laquola
meacutethode de Brandtraquo bien connue deacuteveloppeacutee en 1998 pour les disques et les cylindres dans
un champ magneacutetique axial [100 101]
II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveses
La geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute est repreacutesenteacutee sur la figure II1
Figure II1 Geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute un circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie infeacuterieur de longueur 3 2 e Z Z= minus concentrique avec une bobine de
longueur 4 1L Z Z= minus
Les reacutegions I III et IV correspondent agrave de lrsquoair La reacutegion II correspond agrave une bobine
circulaire en cuivre de section transversale rectangulaire Cette bobine composeacutee de N spires
de rayon interne 2R de rayon externe 3R et de longueur 4 1L Z Z= minus est parcourue par une
densiteacute de courant uniforme J dans le sens uθ
La bobine est concentreacutee autour drsquoun
entrefer de rayon 1R et de longueur 3 2e Z Z= minus situeacute sur la partie infeacuterieure du circuit
ferromagneacutetique (figure II1) Lrsquoensemble du systegraveme est deacutelimiteacute dans la direction axiale par
52
0z = et 5z Z= Les limites exteacuterieures du circuit ferromagneacutetique doivent ecirctre choisies
suffisamment loin de la zone de calcul pour ne pas affecter les reacutesultats obtenus Des
conditions aux limites homogegravenes de type Dirichlet sont consideacutereacutees dans les reacutegions I II et
III agrave 0z = et 5z Z= et de type de Neumann dans la reacutegion IV agrave 2z Z= et 3z Z=
Le problegraveme est traiteacute en axisymeacutetrique la formulation en potentiel vecteur
magneacutetique en coordonneacutees cylindriques est employeacutee Seule la composante suivant θ du
potentiel vecteur magneacutetique est preacutesente et elle ne deacutepend que des coordonneacutees r et z
A partir de lrsquoeacutequation de Maxwell-Ampegravere
( )0 0 0 II1ErotB Jt
micro micro ε part= +
part
Lorsque le champ eacutelectrique est stationnaire le second membre de lrsquoeacutequation (II1) devient
neacutegligeable
Drsquoautre part lrsquoexpression de lrsquoinduction magneacutetique en fonction du potentiel vecteur
magneacutetique est donneacutee comme suit
( ) ( ) II2B rot A=
En remplaccedilant lrsquoeacutequation (II2) dans (II1) on trouve
( ) ( )20 0 ( ( ) ) ( II 3) rot rot A J grad div A A Jmicro micro= rArr minusnabla =
Compte tenu de la jauge de coulomb ( ) 0div A = lrsquoeacutequation (II3) devient
( )20 II4A Jmicronabla = minus
Donc deux cas sont possibles
( )2 0
II0 5J Equation de Poisson
AEquation de Laplace
microminusnabla =
Pour notre problegraveme les expressions du potentiel vecteur magneacutetique pour chaque
reacutegion sont obtenues agrave partir de la reacutesolution de lrsquoeacutequation de poisson dans la reacutegion de la
bobine (reacutegion II) et de Laplace dans les reacutegions I II et III en respectant les conditions de
continuiteacute des composantes tangentielles et normales du champ magneacutetique aux interfaces
entre les reacutegions
53
( ) ( ) ( )( )
( )2
0
2
II6
0
( )II
i
r z
r
A J r z Reacutegion II Bobine
A Reacutegions i i I III IVz
micronabla =minusnabla = =
Avec 0micro et J sont respectivement la permeacuteabiliteacute du vide et la densiteacute de courant dans la bobine
Sachant que la densiteacute de courant J est consideacutereacutee homogegravene dans la bobine elle est
indeacutependante de la composante r et elle ne deacutepend que de z
( )1 4 ( ) II0
7J Z z Z
J zAilleur
lt lt=
Dans la modeacutelisation analytique de ce problegraveme nous avons supposeacute que la
permeacuteabiliteacute magneacutetique du circuit ferromagneacutetique est infinie (micro rarrinfin ) Ceci implique que
le champ magneacutetique nrsquoest pas calculeacute agrave lrsquointeacuterieur du milieu ferromagneacutetique et sa
composante tangentielle est nulle aux interfaces ferromagneacutetiques
II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetique
La reacutesolution de toute eacutequation diffeacuterentielle aux deacuteriveacutes partielles est fortement
deacutependante du domaine dans laquelle la solution est deacutefinie et valable ainsi les conditions
aux limites que cette solution doit remplir La reacutesolution de lrsquoeacutequation (II6) se fait dans les
reacutegions de I agrave IV agrave lrsquoaide de la meacutethode de seacuteparation des variables [90101]
II31 Reacutegion I 3 4 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation consideacutereacutee dans cette reacutegion est une eacutequation de Laplace elle srsquoeacutecrit en
coordonneacutees cylindrique sous la forme
( )2 2
22 2 2
10 0 II8I I I II
A A A AAr r r r z
part part partnabla = rArr + minus + =
part part part
Les conditions agrave limites homogegravenes de Dirichlet sont imposeacutees ici agrave 0Z = et 5Z Z=
( )1 1 5 ( 0 ) ( ) 0 II9A r z A r z Z= = = =
La composante tangentielle du champ magneacutetique est nulle agrave lrsquointerface pour 4r R=
( )4
II1( ) 0 0r R
rAr =
part=
part
En utilisant la meacutethode de seacuteparation de variable le potentiel Vecteur magneacutetique peut
srsquoeacutecrire comme suit
54
( ) ( ) ( ) ( ) II11A r z R r Z z=
A partir des eacutequations (II9) (II10) et (II11) la forme geacuteneacuterale de lrsquoexpression du potentiel
vecteur magneacutetique dans la reacutegion I est donneacutee par (voir deacutetails en annexe I)
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 11 0 4
II12nII n n n n
n n
K RA r z b I r K r sin z
I Rα
α α αα
infin
=
= +
sum
Avec n est un entier positif 5n n Zα π= est la valeur propre du problegraveme I0 et K0 sont
respectivement les fonctions de Bessel modifieacutees du premier et du deuxiegraveme type drsquoordre 0 etI1 et
K1sont respectivement les fonctions de Bessel modifieacutees du premier et du deuxiegraveme type ordre1
[102] Alors que Inb est la constante drsquointeacutegration elle sera deacutetermineacutee par la suite en utilisant
les conditions de passages agrave lrsquointerfaces agrave 3r R= entre les reacutegions I et II
II32 Reacutegion II 2 3 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre dans cette reacutegion est une eacutequation de Poisson En coordonneacutees
cylindriques
( )2 2
02 2 2
1 ( ) II13II II II IIA A A A J zr r r r z
micropart part part+ minus + = minus
part part part
Les conditions aux limites de Dirichlet sont imposeacutees ici agrave 0z = et 5z Z=
( )5 ( 0) ( I 10 4) III IIA r z A r z Z= = = =
Lrsquoeacutequation (II13) est une eacutequation diffeacuterentielle de deuxiegraveme degreacute avec second membre sa
reacutesolution est deacutetailleacutee dans lrsquoannexe I
La solution geacuteneacuterale de (II13) est donneacutee donc par
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 11
II15II IIII n n n n n n n
n
A r z a I r b K r C L r sin zα α α αinfin
=
= + minussum
Avec 022
nn
n
JC micro πα
= et ( ) ( ) ( ) ( )( )5
1 45 0
2 2sin cos cosZ
n n n nJJ J z z dz Z Z
Z nα α α
π= = minusint
L1 est la fonction de Struve modifieacutees ordre 1
Les constantes drsquointeacutegrations IIna et II
nb sont deacutetermineacutees en utilisant les conditions de
passages aux interfaces agrave 3r R= entre les reacutegions I et II et agrave 2r R= entre les reacutegions II et III
55
II33 Reacutegion III 1 2 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Dans cette reacutegion lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre est de type Laplace
( )2 2
2 2 2
1 0 II16III III III IIIA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites imposeacutees ici sont
( )5 ( 0) II1( ) 0 7III IIIA r z A r z Z= = = =
Consideacuterons les conditions aux limites de lrsquoeacutequation (II17) la solution geacuteneacuterale de
lrsquoeacutequation (II16) est donneacutee par
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11
II18III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Les constantes drsquointeacutegrations IIIna et III
nb sont deacutetermineacutees en utilisant les conditions
de passages aux interfaces agrave 2r R= et agrave 1r R= entre les reacutegions II et III et les reacutegions III et IV
successivement
II34 Reacutegion IV 1 2 30 etr R Z z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation (II1) agrave reacutesoudre dans cette reacutegion est une eacutequation de Laplace
( )2 2
2 2 2
1 0 II19IV IV IV IVA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites imposeacutees ici agrave z=Z2 et z=Z3 sont de type de Neumann
( )2 3
II2( ) ( ) 00IV IV
z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
Une condition suppleacutementaire est imposeacutee agrave 0r = (axe de symeacutetrie)
( ) II( 0 2) 10IVA r z= =
Consideacuterons les eacutequations (II20) et (II21) la solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation (II19) est
donneacutee par
( ) ( ) ( )( ) ( )0 1 21
cos II22IVIV k k k
k
A r Z A r a I r z Zβ βinfin
=
= + minussum
56
Avec 5 2
kk
Z Zπβ =minus
0A et IVka sont des constantes drsquointeacutegration k est un entier positif
La constante dinteacutegration 0A est due agrave lrsquoapplication des conditions aux limites de Neumann
dans la reacutegion IV Elle est deacutetermineacutee en appliquant la condition de continuiteacute du potentiel
vecteur magneacutetique agrave linterface agrave 1r R= entre la reacutegion III et la reacutegion IV
II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0
On applique le principe de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique entre la reacutegion III et IV
agrave lrsquointerface agrave r= R1
( ) ( ) [ ] ( )1 1 2 3 pour II23III IVA r R z A r R z z Z Z= = isin=
Par inteacutegration par rapport agrave z sur lrsquointervalle[ ]2 3Z Z on trouve
( ) ( ) ( )( ) ( )0 1 1 1 111 3 2
1 II24III IIIn n n n n
nA m a I R b K R
R Z Zα α
infin
=
= +minus sum
Avec ( ) ( )( )2 31 cos cosn nn
n
Z Zm α αα
= minus
II4 Conditions de passages entres interfaces
Les relations entre les constantes drsquointeacutegrations etI II II III III IVn n n n n nb a b a b a sont
deacutetermineacutees en appliquant les conditions de passages aux interfaces entres les diffeacuterentes
reacutegions drsquointeacuterecirct du problegraveme consideacutereacute
Les conditions dinterface doivent satisfaire la continuiteacute des composantes radiale et axiale
de la densiteacute de flux magneacutetique Ces composantes peuvent ecirctre deacuteduites du potentiel vecteur
magneacutetique par
( ) ( ) 1 II25r z
rAAB Bz r r
partpart= =part part
II41 Condition drsquointerface agrave r=R3
En termes de potentiel vecteur magneacutetique deux conditions drsquointerface sont imposeacutees
entre les reacutegions I et II agrave 3r R=
57
( ) ( )( ) ( ) ( )
3 3
3 3
II26I II
I I
r R r R
A r R z A r R z
rA rAr r
= =
= = =part part = part part
On obtient
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 3 1 3 1 3 1 3 1 30 4
II27nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
+ minus minus = minus
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
3 3 0 3 0 3 00 4
0 30 II28nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
minus minus + = minus
II42 Condition drsquointerface agrave r=R2
Les conditions drsquointerface entre les reacutegions II et III agrave 2r R= sont donneacutees par
( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2
2 2
II29
II III
II III
r R r R
A r R z A r R z
rA rAr r
= =
= = =part part = part part
On obtient ainsi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 II30II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus minus + + = minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 II31II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus + + minus = minus
II43 Condition drsquointerface agrave r=R1
Agrave linterface entre les reacutegions III et IV des conditions particuliegraveres deacutefinies par
morceaux concernant la composante axiale du champ magneacutetique agrave r = R1 sont appliqueacutees
autour de cette interface agrave cause de la preacutesence de lentrefer dans le circuit ferromagneacutetique
( ) ( ) ( )1 1
2
2 3
3 5
0 0
II32
0
III IV
r R r R
z ZrA rA
Z z Zr r
Z z Z= =
lt lt
part part= lt ltpart part lt lt
La continuiteacute de la composante radiale de la densiteacute de flux conduit agrave
58
( ) ( ) ( )1 1 2 3 avec II33IV IIIA r R z A r R z Z z Z= = = lt lt
A partir des eacutequations (II32) et (II33) on obtient (voir deacutetail en Annexe II)
( )( )
( )( )
( ) 1 1 1 1 0 1
0 1 0 1
0 (II34)n k n n k nIII III IV
n n k n k kn k n n k n
h I R h K Ra b a g I R
f I R f K R
α αβ
α α
+ + = minus +
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 (II35)2
III III IVn n k n n n k n k k
ka g I R b g K R a I Rβπα α+ minus =
Avec
( )1 3 2
2 n kn k
m mhR Z Z
=minus
( ) ( )2
12 2
1 sin si
2 si
n
n k
n k n kf n kn n k
π
π
+minus ne= minus
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 3
12 2 3
2 2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
k kkk k k k
k
kk k k k k
kn k
Z Z
k Z Zg
Z
α β α α α βα βπ β β β α β
+
+
minus + minus ne= + + minus =
Donc les coefficients etI II II III III IVn n n n n nb a b a b a de lrsquoensemble des harmoniques drsquoespace
sont relieacutes les uns aux autres agrave travers les eacutequations (II27) (II28) (II30) (II31) (II34) et
(II35) Nous devons donc reacutesoudre un systegraveme de six eacutequations lineacuteaires agrave six inconnues en
reacuteeacutecrivant les eacutequations ci-dessus en systegraveme matriciel de taille ( ) ( )6 max 6 maxN Ntimes vu
qursquoil y a six coefficients avec Nmax est le nombre maximal drsquoharmoniques pris en charge
( )( )( )( )
11 12 13 1 3
21 22 23 0 3
32 33 34 35 1 2
42 43 44 45 0 2
54 55 56
64 65 66
0 0 00 0 0
0 00 00 0 0 00 0 0 0
In nn
IIn nn
IIn nn
IIIn nn
IIInIVn
C L RbC L RaC L RbC L Ra
ba
η η η αη η η α
η η η η αη η η η α
η η ηη η η
minus minus minus
= minus
Avec
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 3 1 3 1 21 3 1 3 1 30 4
11 nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
αη α η α η αα
+ = minus = minus=
59
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
21 3 3 22 3 23 30
0 04
0 0 nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
η α α η α η αα
= minus = minus =
( ) ( ) ( ) ( )32 1 2 33 1 2 34 1 2 35 1 2 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = minus = =
( ) ( ) ( ) ( )0 042 2 43 2 44 2 450 0 2 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = = = minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )54 1 1 0 1 55 1 1 0 1 56 0 1 n k n n k n n k n n k n n k kh I R f I R h K R f K R g I Rη α α η α α η β= minus = + =
( ) ( ) ( )64 1 1 65 1 1 66 1 1 2n k n n k n k
kg I R g K R I Rπη α η α η β = = = minus
La solution numeacuterique de ce systegraveme matriciel peut ecirctre obtenue en utilisant un
logiciel de calcul matheacutematique en lrsquooccurrence MATLAB dans le cas de la preacutesente eacutetude
Il convient de noter ici qursquoune inversion numeacuterique de cette matrice est neacutecessaire pour le
calcul des coefficients inconnus Cette inversion peut se faire en une seule fois et en calcul
symbolique
II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobine
Linductance est lune des principales caracteacuteristiques de la bobine Elle se deacutefinit
comme laptitude de celle-ci agrave sopposer agrave la variation de lintensiteacute du courant qui la traverse
Linductance dune bobine est une valeur propre deacutependante de la dimension physique de la
bobine ainsi que du mateacuteriel utiliseacute pour sa fabrication
Lrsquoinductance de la bobine est lieacutee agrave lrsquoeacutenergie magneacutetique stockeacutee par la relation suivante
21 1 (II36)2 2 V
W LI A Jdv= = int
Lrsquointeacutegrale (II36) est limiteacutee au volume de la bobine car la densiteacute de courant est nul ailleurs
Nous avons supposeacute que la densiteacute de courant eacutelectrique est uniformeacutement reacutepartie sur toute
la section de la bobine ce qui conduit agrave
(II37)JSIN
=
Avec ( )( )4 1 3 2S Z Z R R= minus minus
60
N et I sont respectivement le nombre de spires que contient la bobine et lrsquointensiteacute de courant
eacutelectrique qui les travers ( )( )4 1 3 2S Z Z R R= minus minus
Le potentiel de vecteur magneacutetique utiliseacute dans lrsquoeacutequation II36 est celui deacutefini dans la reacutegion
II de la bobine
En remplaccedilant les eacutequations (II15) et (II37) dans (II36) on obtient
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )4 3
1 2
2
2 1 11
0 1 II38II IIn n n n n n n
Z
Zn
R
Ra I r b K r C L rNL rdrsi z d
JSn zd
πα α θα α
infin
=
+= minussumint int int
En inteacutegrant (II38) par rapport aux variables r θ et z lrsquoexpression analytique de lrsquoinductance
est donc donneacutee par
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
3 3 2 2
3 3 2 221
4 40 3
1 4
3 2
2
2
II392
6
2 cos cos
IIn
IIn n n
n nn
n
a R U R R U R
b R V R R V R
J R W R R W R
NL Z ZJS
ππ α αα
αmicroπ
infin
=
minus + minus
minus minus
=
minussum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1n n n nU r I r L r I r L rα α α α= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1( ) n n n nV r K r L r K r L rα α α α= +
Et ( ) 2 23 512 3
2 2 4n rW r F α =
est la fonction hypergeacuteomeacutetrique [90]
II6 Reacutesultats analytiques et discussion
Les valeurs des paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutes dans notre problegraveme sont reacutesumeacutees
sur le tableau II1 Les solutions analytiques dans toutes les reacutegions ont eacuteteacute calculeacutees avec un
nombre fini en termes drsquoharmoniques eacutegal agrave 50 Les limites exteacuterieures du circuit dans la
direction axiale sont choisies de maniegravere agrave ce que leurs valeurs nrsquoaffectent pas les reacutesultats
obtenus
61
Tableau II1 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme sans pastille
Paramegravetre Description valeur
R1 Bord infeacuterieur du domaine dans la direction radial 0030 m
R2 Rayon interne de la bobine 0080 m
R3 Rayon externe de la bobine 0120 m
R4 Bord supeacuterieur du domaine dans la direction radial 0150 m
Z1 Limite inteacuterieure de la bobine 0200 m
Z2 Limite inteacuterieure de lrsquoentrefer 0225 m
Z3 Limite exteacuterieure de lrsquoentrefer 0275 m
Z4 Limite exteacuterieure de la bobine 0300 m
Z5 Limite exteacuterieure du domaine dans la direction axiale 0500 m
N Nombre des spires dans la bobine 1000
J Densiteacute de courant eacutelectrique dans la bobine 5 Amm2
Nmax Nombre drsquoharmoniques utiliseacute dans tout le domaine 50
Afin de valider nos reacutesultats analytiques nous devons les comparer avec ceux obtenus
en utilisant la meacutethode drsquoapproximation par eacuteleacutements finies [103104] (FEA pour Finite
Element Approximation) impleacutementeacutee sous le logiciel COMSOL Multiphysics La taille de
maillage et la preacutecision demandeacutee sont choisies de maniegravere agrave ce que les quantiteacutes deacuteriveacutees du
FEA servent de reacutefeacuterence une densiteacute de maillage drsquoenvirons 1850 triangles a eacuteteacute imposeacutee
dans la reacutegion du fer composant le circuit ferromagneacutetique La densiteacute de maillage consideacutereacutee
dans la reacutegion de lrsquoentrefer et de la bobine est moins eacuteleveacutee pour eacuteviter une augmentation
inutile de temps de calcul (figure II2) En effet les mecircmes paramegravetres geacuteomeacutetriques que ceux
deacutefinis dans le tableau 1 sont utiliseacutes Les conditions aux limites homogegravenes de type Dirichlet
et de Neumann sont eacutegalement prises en compte dans les simulations comme avec le modegravele
analytique
62
Figure II2 Maillages du circuit ferromagneacutetique avec entrefer eacutetudieacute par COMSOL
(a) (b)
Figure II3 Comparaison des distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir
du calcul analytique (a) et du calcul numeacuterique (b) avec le traceacute des lignes de champ
magneacutetique
63
La figure II3 repreacutesente la comparaison des distributions du potentiel vecteur
magneacutetique calculeacutees dans toutes les reacutegions drsquointeacuterecirct par la meacutethode analytique (a) et la
meacutethode numeacuterique (b) Nous avons ainsi repreacutesenteacute les lignes de champ magneacutetique dans
toutes les reacutegions drsquointeacuterecirct en calcul numeacuterique Les composantes radiale Br et axiale Bz de la
densiteacute de flux magneacutetique obtenues analytiquement sont ensuite repreacutesenteacutees et compareacutees agrave
celles obtenues numeacuteriquement dans la figure II4 (figure 4II (a) correspond agrave la reacutegion III et
figure 4II (b) correspond agrave la reacutegion IV)
(a)
(b)
Figure II4 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions
(a) III en ( )1 2 2r R R= + et (b) IV en 1 2r R=
64
Figure II5 Comparaison des valeurs de lrsquoinductance de la bobine en fonction de la longueur
de lrsquoentrefer obtenues numeacuteriquement avec celles obtenues analytiquement pour les
diffeacuterentes valeurs de nombres des harmoniques variant entre 1 et 50
Une comparaison est faite entre les valeurs numeacuteriques obtenues avec COMSOL et les
reacutesultats analytiques pour diffeacuterents nombres dharmoniques allant de 1 agrave 50 De toute
eacutevidence linductance diminue avec laugmentation de la longueur de lentrefer ( figure II5)
plus le nombre de termes harmoniques est eacuteleveacute plus la solution agrave la valeur de reacutefeacuterence
obtenue numeacuteriquement est proche
Lerreur maximale est de 3937 1147 635 292 152 et 075 pour un nombre de
termes harmoniques de 1 5 10 20 30 40 et 50 respectivement Nous pouvons conclure ici
que la formule proposeacutee est correcte et efficace De plus seuls 10 termes suffisent pour
obtenir moins de 10 derreur
Nous allons proceacuteder maintenant au calcul de lrsquoinductance de la bobine en preacutesence
drsquoune pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer
65
II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en
preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
Les mecircmes hypothegraveses consideacutereacutees preacuteceacutedemment dans le cas de circuit seul avec
entrefer seront consideacutereacutees par la suite en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
La figure II6 repreacutesente la geacuteomeacutetrie du problegraveme consideacutereacute
Figure II6 Circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer de longueur e dans lequel se trouve
une pastille supraconductrice
En Introduisant la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer deux reacutegions
suppleacutementaires sont consideacutereacutees en plus dans ce cas la reacutegion V et la reacutegion VI Ces deux
reacutegions correspondent agrave de lrsquoair (figure II6) La pastille supraconductrice est modeacuteliseacutee par
un diamagneacutetique parfait ( 0micro = ) de sorte que le potentiel vecteur magneacutetique est nul dans
toute la pastille y compris ses bords
De ce fait les conditions aux limites consideacutereacutees dans les reacutegions V et VI sont comme suit
( ) ( ) ( )2
3 ( ) 0 II400VV
z Z
A r z A r z Z reacutegionVz =
part= = =
part
( ) ( ) ( )5
4
0 0 ( II4) 1VIVI
z Z
A r zA r z Z reacutegionVI
z=
part= = =
part
Des conditions suppleacutementaires sont imposeacutees agrave en r=0 (lrsquoaxe de symeacutetrie)
66
( ) ( ) ( ) I0 0 et 0 0 I42V VIA r z A r z= = = =
Les expressions analytiques du potentiel vecteur magneacutetique pour les reacutegions I II et III du
problegraveme consideacutereacute dans la figure II6 sont donneacutees de la mecircme faccedilon que le problegraveme
preacuteceacutedent (en absence de la pastille supraconductrice) comme suit
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 5
1 11 0 5
II43nII n n n n
n n
K RA r z b I r K r sin z
I Rα
α α αα
infin
=
= +
sum
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 11
II44II IIII n n n n n n n
n
A r z a I r b K r C L r sin zα α α αinfin
=
= + minussum
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11
II45III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Avec7
nnZπα = 2
0 2n n nC Jπmicro α minus =
et ( )( ) ( )( )( )1 62 cos cosn n n
JJ z Z z Zn
α απ
= minus minus minus
Pour la reacutegion IV les conditions aux limites consideacutereacutees ici sont
2 5
( ) ( )0 et 0z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
Et le potentiel vecteur magneacutetique est donneacute sous forme (en suivant la mecircme meacutethode
deacutetailleacutee dans lrsquoannexe I)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )101 11 1 1 2
1
cos II46IV IVIV n n
nn n nA r Z A r A r a I r b K r z Zβ β β
infinminus
=
= + + + minussum
Avec 5 2
nn
Z Zπβ =minus
Les constantes dinteacutegrations 01A et 02A sont dues agrave lrsquoapplication des conditions aux
limites de Neumann dans la reacutegion IV Elles seront deacutetermineacutees apregraves en appliquant la
condition de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique agrave linterface entre les reacutegions III et IV
agrave 2r R= et agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI agrave r= R1
Pour les reacutegions V et VI en prenant en consideacuterations les conditions aux limites (II40) (II41)
et (II42) les expressions du potentiel vecteurs magneacutetiques sont donneacutees comme suit
( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 2 21
cos II47VV n n
nnA r z a I r z Zβ β
infin
=
= minussum
67
( ) ( )( ) ( )1 3 3 41
II4( ) s 8inVIVI n n n
nA r z a I r z Zβ β
infin
=
= minussum
Avec ( )( )2
3 2
2 1 2n
nZ Z
πβ
minus=
minuset ( )
( )53
4
2 1 2n
nZ Z
πβ
minus=
minus
II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
Agrave partir de la condition de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique agrave lrsquointerface
entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave r=R2 et agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI
agrave 1r R= on a
( ) ( ) [ ] ( )2 2 2 5 II 49IV IIIA r R z A r R z pour z Z Z= = = isin
Et
( )( ) [ ]
[ ]( ) [ ]
( )1 2 3
1 3 4
1 4 5
0
II50V
IV
VI
A r R z pour z Z Z
A r R z pour z Z Z
A r R z pour z Z Z
= isin
= = isin = isin
On integravegre les deux eacutequations (II49) et (II50) par rapport agrave z sur lrsquointervalle [ ]2 5Z Z on
trouve
( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
1 3
1
1 2 12
01 1 2 1
1
21
3
1
1
II51n
VIn n
nV
nIII III nn n
n
n
n n n
a I RA a
a I RI R b K R h q
ββα α
ββ
+
infin
=
minus = + minus +
sum
( ) ( ) ( ) ( )1 3 13
1 2111 1 2 1 01 1
15 2 2
1 1 1 II52VIn n n
n
nVn
n n
RA a I RR Aa RZ Z
I ββ
ββ
infin+
=
= minus + minus minus
sum
Avec
( ) ( )( )2 5cos co1 s n nnn
Z Zmα
α α= minus ( )
22 2
2 1
n nRh m
R R e=
minus
( )1
2 22 1
RqR R e
=minus
et 5 2e Z Z= minus
Les constantes drsquointeacutegrations I II II III III IV IV Vn n n n n n n nb a b a b a b a et VI
na sont deacutetermineacutees agrave
partir des conditions de passages aux interfaces entre les diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecircts du
problegraveme
68
II72 Conditions de passages entres interfaces
Les mecircmes conditions de passages appliqueacutees dans le cas de circuit sans pastille sont
appliqueacutees dans ce cas sauf que des conditions particuliegraveres deacutefinies par morceaux sont
appliqueacutees agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI en 1r R=
II721 Interface agrave r = R4
A lrsquointerface entre les reacutegions I et II agrave 4r R= on trouve
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
4 4 4 4 41 15
01 1 1
0
II53nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
+ minus minus = minus
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
05
0 00 4 0 4 40
4 45
II54nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
minus minus + = minus
II722 Interface agrave r = R3
Pour lrsquointerface agrave 3r R= entre les reacutegions II et III on obtient
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 31 1 1 1 1 II55II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus minus + + = minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 30 0 0 0 03 3 II56II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus + + minus = minus
II723 Interface agrave r = R2
Agrave lrsquointerface entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave 2r R= des conditions de passages
particuliegraveres deacutefinies par morceaux sont appliqueacutees ici
( ) ( ) ( )2 2
5
2 5
7
20 0
II57
0
III IV
r R r R
pour z ZrA rA
pour Z z Zr r
pour Z z Z= =
lt lt
part part= lt ltpart part lt lt
( ) ( ) ( )2 22 5 II58IV IIIA r R z A r R z pour Z z Z= = = lt lt
On obtient
69
( )( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
0 2 0 2 0 2
1 2 2 1 2 2
11 1
0 2 1 2 1 11 32 3
0 II59
1 VI
n
n n m n n mIII III IVn n n n n m
n n m n n m
nIV V
n n m n m mn
n n nn
I R f K R fa b a I R g
I R R h m K R R h m
R Rb K R g a I R h RI ha ββ
α αβ
α α
β ββ
+
minus minus minus + =
minus + + +
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 5 2 1 2 5 2 0 II60III III IV IVn n n m n n n m n n n na I R j b K R j a I R Z Z b K R Z Zα α β β+ minus minus minus minus =
Avec
( )( ) 12 22 12 nn R R e mh
minusminus=
( ) ( ) ( )2
1
2
21
2
n n
n m
n mn m
n m
sinf
m si
n si
απ α αα α
π α α
+ minus ne
minus
=
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 5 2 2
21
2 5
1
1 1
2 4
n n mm m m n
m n
n n n mn
n
cos Z cos Z si
g n msin Z cos Z cos sin Z
β αα α α βα β
β β β α βπ +
+ + minus minus= + + minus =
ne
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
12 5
15 2 2 2 5
2 2
2 cos 1 sin
1sin cos 1 cos
2
nm m n m m n
m nn m
n n n m nn
n
Z Z si
Zj
Z Z Z Z si
α α β α α βα β
β β β α ββ
+
+
+ minus ne
minus + +
minus
=
=
minus
II724 Interface agrave r = R1
Ainsi des conditions de passages particuliegraveres sont deacutefinies sur lrsquointerface entre la reacutegion IV
et les reacutegions V et VI agrave 1r R=
( )( )
( )( )
1 2 3
1 3 4
1 4 5
0 II61
V
IV
VI
A r R Z pour Z z ZA r R Z pour Z z Z
A r R Z pour Z z Z
= lt lt= = lt lt = lt lt
( ) ( ) ( )1 1
2 3 II62V IV
r R r R
rA rApour Z z Z
r r= =
part part= lt lt
part part
70
( ) ( ) ( )1 1
4 5 II63VI IV
r R r R
rA rApour Z z Z
r r= =
part part= lt lt
part part
Ainsi agrave partir des eacutequations (II61) (II62) et (II63) on obtient
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 3 0 II64VIV IV Vk k n m k k n m n n m n m
In n na I r l b K r l a a II r O prββ β β+ minus minus =
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )1 2 2 1 2 2
0
11 1
1 2 1 0 2 1 1
0 1 1
21 3
3
0 II65
1 2 1
2
III IIIn n n n n n n n
IV IVn m n n m
n
n
V
n n
VI nn n
nn n n
nn
a I R R S m b K R R S m
a q b K q
R n S Ra I R S I
R R
a R
I
R I
α α
β β
πβ β
ββ
β
+
+ + minus =
+
minus minus
minus minus
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
11 1 2 2 1
1 2 121 2 2 0 1
0
1 31
1 0 3 13
02 1
2
1
II66
1 2
nn
n
VIn n n
nIVIIIn n mn n m n mV
nIII IVnn n m n n
n
n m
m
a I R ta I R R B m B Ra I R
b K R R B m b K
na I R
R
R R I
t
B πβ β
βαβ
βα β
β
+
=minus
minus+ minus + minus
minus +
Avec
( ) ( )
( )
12 2
5 2
1 si 2n
nm
mn
n
mm
m
nn
m si
Z Z il
s
βπ β ββ β
β β
+ minus ne minus
minus =
=
( ) ( )( )
( )
1 23 2 2
2
3
2 2
2 2
21 c
osn
n nm n m
n m
n
m
m
Z Z
Z Z s
siO
i
β β β ββ β
β β
+
minus
minus minus ne
=
= minus
( )( ) ( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( )
13 4 32 2
3
3 4
3 4 313 3
2
5 4 2
5
2
2
2 1 sin
sin
2 1 sin
cos
cos1
nn m m n m
n m
n mn
n n mnn n
Z si
ZZ Z Z si
Z m
ZZ
Z
p
Z
β π ββ
ββ β
β β
β β ββ
β
+
+
minus minus ne minus= minus minus = + minus
minus
minus minus minus
71
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
1 332 2
3
13 4 3 5
4 2
2
3
3
2
4 2
2 11 cos
2
1 s
cos
cos in
in21
s4 1
n mn m n
m n
nn n
m n
n
n
n m
m
Z Z
n Z
Z Z
tZ Z
Z
π β ββ
β β
ββ ββ
ββπ β
+
+
minusminus +
= minus minus minus
minus neminus
+ minus=
minus minus
( ) ( )( )
( )
1 23 2 22
2
3
2
22
21 cos n nn
m n mm
n
m n
m
n
mqZ Z
Z Z
β ββ β ββ β
β β β
+ minus minus ne minus
minus =
=
( )( )( )2 2
1
2 5
1
2 1 2
14m
m
mRS
R R Z Zβ
+minus=
minus minus
( )( )1
2 22 1 5 23
2
mm
RBR R Z Zβ
=minus minus
Au final Les eacutequations (II53) (II54) (II55) (II56) (II59) (II60) (II64) (II65) et
(II66) peuvent se mettre en systegraveme matricielle de taille ( )9 max (9 max)N Ntimes
Les coefficients drsquointeacutegrations de lrsquoensemble des harmoniques drsquoespace
etI II II III III IV IV V VIn n n n n n n n nb a b a b a b a a sont relies les uns aux autres agrave travers ces eacutequations ils
sont obtenus par inversion numeacuterique de ce systegraveme matricielle
11 12 13
21 22 23
32 33 34 35
42 43 44 45
54 55 56 57 58 59
64 65 66 67
76 77 78 79
84 85 86 87 88 89
94 95 96 97 98 99
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0
InIInIIn
bab
η η ηη η η
η η η ηη η η η
η η η η η ηη η η η
η η η ηη η η η η ηη η η η η η
( )( )( )( )
1 4
0 4
1
0
3
3
(II67)00000
n n
n n
n n
n n
IIInIIInIVnIVnVnVIn
C L RC L
C L R
ababaa
RC L R
ααα
α minus =
minusminusminus
Avec
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
1 1 12 1 135
11 4 4 4 45
10
nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
αη α η α η αα
+ = minus = minus=
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
21 22 230
50 4 0 4 0 4 0 4
5
nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
η α α η α η αα
= minus = minus =
72
( ) ( ) ( ) ( )3 3 332 31 33 1 33 1 34 1 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = minus = =
( ) ( ) ( ) ( )0 3 0 3 042 43 44 3 345 0 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = = = minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( )54 0 2 1 2 2 55 0 2 1 2 2 n n m n n m n n m n n mI R f I R R h m K R f K R R h mη α α η α α= minus = minus +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 156 0 2 57 0 2 58 1 2 1 59 1
21 3
3
1
n
n n m n n m n m nn
mn
R RI R g K R g I R h hI Rη β η β η β η βββ
+minus= minus = = =
( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2 65 1 2 6664 1 2 5 2 6 7 1 2 5 2 n n m n n m n nI R j K R j I R Z Z K R Z Zα η α η βη η β= = minus minus minus minus= =
( ) ( ) ( ) ( )1 1 77 1 1 78 1 2 79 76 1 3 k n m k n m n n m n mnI r l K r l I Ir prOη ββ η β η β ηminus minus= = = =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 284 0 185 1 2 2 86 7 0 1 8 n n n n n n nn n m n mI R R S m K R R S R Rm I q K qα η α η β η βη = = == minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 18 8 1 2 1 0 2 1 189 1 3
32
1 2 1
2
n
nn
n
nn n n
R n S RI R I R IS Rπ
η β β η βββ
+ + = minus
minus minus= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 95 1 2 2 96 1 97 00 1 94 n m n n m n n n m mn nI R R B m K R R B m I R t K R tα η α η η βη β= = = minus=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 3 0 31 1
98 1 2 1 93
9 12
1
1 1 1
22
2 n n
n
nm m
nn
B R nI IRR RBI Rη β
ββ β
βη
π+ minus
minus= minus = minus +
II72 Expression analytique de lrsquoinductance
De la mecircme faccedilon et agrave partir de lrsquoeacutequation (II36) on obtient
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
4 4 3 3
4 4 3 321
4 40 4 4 3
1 62
3
II2 co 68s2
c
6
os
IIn
IIn n n
n nn
n
a R U R R U R
b R V R R V R
J R W R R
NL Z ZS
W RJ
α αα
αmicroπ
ππinfin
=
minus + minus
minus minus
= minussum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1n n n nU r I r L r I r L rα α α α= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1( ) n n n nV r K r L r K r L rα α α α= +
Et ( ) 2 23 512 3
2 2 4n rW r F α =
est la fonction hypergeacuteomeacutetrique [90]
73
II73 Reacutesultats et discussion
Entre le cas avec pastille supraconductrice et le cas sans on a gardeacute les mecircmes valeurs
des paramegravetres geacuteomeacutetriques pour montrer lrsquoeffet de la preacutesence de cette derniegravere sur la valeur
de lrsquoinductance de la bobine Ces valeurs des paramegravetres geacuteomeacutetriques sont reacutesumeacutees dans le
tableau 2
Les solutions analytiques dans toutes les reacutegions sont obtenues en utilisant le mecircme
nombre drsquoharmoniques qui est eacutegale agrave 50 Les valeurs du tableau II2 sont eacutegalement utiliseacutees
pour reacutesoudre le mecircme problegraveme avec la meacutethode des eacuteleacutements finis (FEM) sous COMSOL
afin de valider les reacutesultats obtenus analytiquement Des conditions aux limites identiques agrave
celles utiliseacutees lors de calcul analytique sont employeacutees dans la simulation numeacuterique
Tableau II2 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme avec pastille
Paramegravetre Description valeur
R1 Rayon de la pastille supraconductrice 0015 m
R2 Bord infeacuterieur du domaine dans la direction radial 0030 m
R3 Rayon interne de la bobine 0080 m
R4 Rayon externe de la bobine 0120 m
R5 Bord supeacuterieur du domaine dans la direction radial 0150 m
Z1 Limite inteacuterieure de la bobine 0200 m
Z2 Limite inteacuterieure de lrsquoentrefer 0225 m
Z3 Limite inteacuterieure de la pastille supraconductrice 0230 m
Z4 Limite exteacuterieure de la pastille supraconductrice 0270 m
Z5 Limite exteacuterieure de lrsquoentrefer 0275 m
Z6 Limite exteacuterieure de la bobine 0300 m
Z7 Limite exteacuterieure du domaine dans la direction axiale 0500 m
N Nombre des spires dans la bobine 1000
J Densiteacute de courant eacutelectrique dans la bobine 5 Amm2
Nmax Nombre drsquoharmoniques utiliseacute dans tout le domaine 50
74
La distribution du potentiel vecteur magneacutetique dans toutes les reacutegions drsquointeacuterecircts du
problegraveme eacutetudieacute obtenue avec un calcul analytique et un calcul numeacuterique est repreacutesenteacutee sur
la figure II7 Les composantes radiale Br et axiale Bz du la densiteacute de flux magneacutetique est
ainsi repreacutesenteacutees sur la figure II8 (a) dans la reacutegion III en r = 0055 (b) dans la reacutegion IV
en 00225r = (c) dans la reacutegion V en 00075r = et (d) dans la reacutegion VI en 00075r =
Dans ce cas une veacuteritable concordance peut ecirctre constateacutee entre les deux approches en
srsquoeacuteloignant de la reacutegion de lrsquoentrefer (figure II8 (a)) Un leacuteger deacutecalage subsiste
neacuteanmoins entre les reacutesultats analytiques et numeacuteriques (figure II8 (a)) surtout pour la
composante ZB Ce deacutecalage peut sexpliquer par le nombre limiteacute drsquoharmoniques retenus lors
du deacuteveloppement analytique mais aussi par les erreurs numeacuteriques reacutesultantes de
linversion matricielle lors du calcul des coefficients De mecircme que dans la preacuteceacutedente
section on notera que lutilisation de fonctions de Bessel modifieacutees nrsquoarrange rien puisque
qursquoelle conduit agrave une matrice tregraves mal conditionneacutee lorsque le nombre drsquoharmoniques
consideacutereacute augmente
Figure II7 Distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir du (a) calcul
numeacuterique) et du (b) calcul analytique en preacutesence de la pastille supraconductrice
75
(a) (b)
(c) (d)
Figure II8 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions
(a) III agrave ( )2 3 2r R R= + (b) IV agrave 2 2r R= (c) V agrave 1 2r R= et (d) VI agrave 1 2r R= en
preacutesence de la pastille supraconductrice
La valeur de lrsquoinductance de la bobine obtenue analytiquement agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation
(II68) est la mecircme que celle obtenue numeacuteriquement agrave lrsquoaide de la meacutethode FEM sous
COMSOL cette valeur est eacutegale agrave 0247 H Par ailleurs la valeur de lrsquoinductance en absence
de la pastille supraconductrice est de 0253 H ce qui nous amegravene agrave dire que la pastille a tregraves
peu drsquoinfluence sur la valeur de lrsquoinductance pour le problegraveme eacutetudie (une diffeacuterence de 6)
Ceci reacutesulte du fait que le rayon de la pastille consideacutereacutee dans notre calcul est relativement
petit par rapport au rayon du noyau ferromagneacutetique 15 mm pour le rayon de la pastille
contre 30 mm pour le noyau de fer
76
La figure II9 repreacutesente la variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon
r de la pastille supraconductrice avec 20 r Rlt lt Nous constatons que lrsquoinductance de la
bobine diminue en augmentant la taille de la pastille cette faible diminution est due peut-ecirctre
agrave lrsquointervalle de variation de rayon de la pastille consideacutereacutee Pour 2r Rgt deux reacutegions
drsquointeacuterecirct en plus doit ecirctre consideacuterer dans lrsquoeacutetude preacuteceacutedente et les calculs effectueacutes
deviennent tregraves compliqueacute agrave cause des nombres de variables eacuteleveacutes et par la suite des
problegravemes de convergence pour le calcul analytique sont imposeacutes
Figure II9 Variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
Pour reacutesoudre ce problegraveme un calcul numeacuterique agrave lrsquoaide de la meacutethode FEA sous
COMSOL est effectueacute le rayon de la pastille dans ce cas peut prendre des valeurs
supeacuterieures au rayon du noyau de fer ( )30 r Rlt lt La figure II10 repreacutesente la variation de
lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon de la pastille en utilisant deux types de
circuits circuit ouvert et circuit fermeacute Une diminution remarquable dans la valeur de
lrsquoinductance est constateacutee dans ce cas en fonction du rayon de la pastille supraconductrice
Par ailleurs la valeur de lrsquoinductance trouveacutee pour un circuit fermeacute est supeacuterieure agrave celle
trouveacutee dans le cas drsquoun circuit ouvert
77
Figure II10 variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
supraconductrice dans un circuit fermeacute et dans un circuit ouvert
78
II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique
impulsionnel
Nous reprenons le problegraveme de la figure II1 Une pastille supraconductrice de rayon
11R et de hauteur ( )33 22Z Zminus est placeacutee au centre de la reacutegion de lrsquoentrefer Lexpression
analytique du potentiel vecteur magneacutetique ( ) IVA r z t (eacutequation II22) est utiliseacutee pour
calculer les courants induits agrave linteacuterieur de la pastille supraconductrice La reacutegion drsquointeacuterecirct est
preacutesenteacutee sur la figure II11 avec lrsquoaxe (Oz) est en position verticale
Figure II11 Position de la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du problegraveme
de la figure II1 avec [ ]110r Risin et [ ]22 33z Z Zisin
La densiteacute de courant parcourue dans la reacutegion de la bobine est en fonction du temps
Cette densiteacute de courant est supposeacutee produite par la deacutecharge dune batterie de
condensateurs sous forme
( ) ( ) ( )( ) ( )max exp II66aJ t J t tτ τ= minus
Avec 2max 50 J A mm= et 1msτ =
La densiteacute de courant J induite dans la pastille supraconductrice est calculeacutee agrave lrsquoaide
drsquoun code de calcul deacuteveloppeacute sous MATLAB en utilisant la meacutethode de laquo Brandtraquo
deacuteveloppeacutee en 1998 pour les disques et les cylindres en preacutesence drsquoun champ magneacutetique
axial [99 100]
79
En reacutesumeacute leacutequation suivante doit ecirctre satisfaite
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11 33
22
2 21 10 2 20
I I67
R Z IVcylZ
d J r t d A r tQ r r E J dr dz
dt dtmicro minus minus
= times +
int int
( )2 )r r z= Coordonneacutees de la pastille supraconductrice
cylQ Inteacutegral de Kernel
cylQ est obtenue en inteacutegrant la fonction de Green de lrsquoeacutequation de Laplace agrave 3D en
consideacuterant que le milieu ferromagneacutetique est caracteacuteriseacute par une permeacuteabiliteacute infinie
E(J) donne la relation entre le champ eacutelectrique E et la densiteacute de courant critique J qui
deacutecrive le comportement supraconducteur de la Pastille supraconductrice Dans ce cas E(J)
est deacutefini par le modegravele de la loi en puissance
( ) ( )1
II68n
JEcE J JJc Jc
minus =
Avec 1 CE V cmmicro= 30n = et 2100 cJ A mm=
La reacutesolution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle (II67) est effectueacutee en utilisant les solveurs
disponibles dans MATLAB agrave savoir laquo ode15s raquo et laquo ode23t raquo
Figure II12 Variation de champ magneacutetique appliqueacute et du champ magneacutetique pieacutegeacute sur la
surface de la pastille supraconductrice agrave 0r = et 33z Z=
80
Un calcul numeacuterique est eacutegalement effectueacute afin de valider les reacutesultats obtenus
analytiquement Un modegravele de formulation en H impleacutementeacute sous COMSOL est utiliseacute [41]
ougrave lrsquoeacutequation aux deacuteriveacutees partielles (EDP) suivante doit ecirctre reacutesolue temporellement dans la
pastille supraconductrice
( )( ) ( )0 II0 69H J Ht
micro ρpart+nablatimes nablatimes =
part
Les composants du champ magneacutetique ( )r zH H H= sont choisis comme variables drsquoeacutetat
Le mateacuteriau supraconducteur est modeacuteliseacute par une reacutesistiviteacute non lineacuteaire
( ) ( )1
II70n
C
C C
JEJJ J
ρminus
=
La figure II12 preacutesente la variation en fonction de temps de la densiteacute de flux
magneacutetique appliqueacutee aB et la densiteacute de flux magneacutetique pieacutegeacutee pieacutegeacuteB agrave 0r = e 33z Z=
(figure II7) Une correspondance presque parfaite dans les reacutesultats est observeacutee La valeur
maximale de la densiteacute du flux magneacutetique appliqueacute est environ de 75 T et la valeur de la
densiteacute de flux magneacutetique pieacutegeacute est de 209 T agrave t=10 ms Leacutecart entre les reacutesultats
analytiques et numeacuteriques est infeacuterieur agrave 3 tout au long du processus drsquoaimantation par
PFM
Le traceacute en fonction de temps de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc dans le plan
meacutedian de pastille supraconductrice est preacutesenteacute sur la figure II13 pour diffeacuterentes valeurs du
rayon r avec ( )0479515320r mm=
81
Figure II13 Evolution de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc sur le plan meacutedian de la
pastille supraconductrice agrave ( )0479515320r mm=
Les reacutesultats obtenus analytiquement sont proches de ceux obtenus par COMSOL
Une leacutegegravere diffeacuterence est remarqueacutee en particulier pour r = 0 Cette valeur de r est singuliegravere
et on ne peut pas juger est ce que les reacutesultats obtenus pour cette valeur sont corrects ou non
En revanche la densiteacute de courant sur lrsquoaxe ne contribue pas beaucoup en termes de champ
magneacutetique pieacutegeacute A t = 5 ms la densiteacute de courant dans la pastille supraconductrice est
comprise entre 11 et 15 times Jc
82
II9 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons deacuteveloppeacute un modegravele analytique pour calculer
lrsquoinductance drsquoune bobine circulaire en cuivre de section transversale rectangulaire dans un
circuit ferromagneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie inferieure concentrique avec
la bobine Nous avons montreacute que ce modegravele analytique correspond tregraves bien aux meacutethodes
numeacuteriques avec des erreurs infeacuterieures agrave 10 pour 10 termes harmoniques Nous avons
montreacute aussi que la valeur de lrsquoinductance de la bobine diminue avec lrsquoaugmentation de la
longueur de lrsquoentrefer
Ensuite nous avons proceacutedeacute agrave lrsquoeacutetude de ce mecircme problegraveme en ajoutant une pastille
supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer Nous avons constateacute que la preacutesence de la
pastille supraconductrice dans le circuit ferromagneacutetique a tregraves peu drsquoinfluence sur la valeur
de lrsquoinductance Une diminution de 6 de la valeur de cette derniegravere a eacuteteacute trouveacutee en cas de
preacutesence de pastille supraconductrice Ceci est ducirc agrave la taille de la pastille consideacutereacutee dans
notre calcul qui est relativement petite par rapport agrave la taille du noyau ferromagneacutetique En
effet nous avons trouveacute par un calcul numeacuterique que la valeur de lrsquoinductance de la bobine
diminue en augmentant le rayon de la pastille supraconductrice preacutesente dans la reacutegion de
lrsquoentrefer
Pour le processus drsquoaimantation par la meacutethode PFM les expressions analytiques de
potentiel vecteur magneacutetique trouveacutees dans le cas de circuit sans pastille supraconductrice
sont utiliseacutees pour calculer les courants induits agrave lrsquointeacuterieur drsquoune pastille supraconductrice en
utilisant la meacutethode de Brandt Lrsquoeacutevolution temporelle de la densiteacute de flux magneacutetique
pieacutegeacutee et la densiteacute de courant eacutelectrique montre une excellence correspondance entre les
reacutesultats analytiques et numeacuteriques Une diffeacuterence infeacuterieure agrave 3 est obtenue sur la densiteacute
de flux magneacutetique pieacutegeacute
83
Chapitre 3 Prise en compte de
lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de
leur caracteacuterisation
84
III1 Introduction
Les deux paramegravetres importants qui caracteacuterisent un mateacuteriau supraconducteur massif
sont le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete PB et la densiteacute de courant critique Jc Ces
deux paramegravetres sont lieacutes et deacuteterminent les performances des applications utilisant ces
mateacuteriaux Les meacutethodes de caracteacuterisations deacuteveloppeacutees au laboratoire GREEN sont baseacutees
sur la mesure de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete PB agrave partir de lrsquoaimantation
drsquoune pastille SHTC de type YBCO par champ magneacutetique pulseacute (PFM pour Pulsed Field
Magnetization) La meacutethode PFM consiste agrave appliquer une impulsion de champ magneacutetique
sur cette derniegravere Si ce champ appliqueacute est suivant lrsquoaxe (Oz) (figure III1) des courants
induits vont ecirctre creacuteeacute agrave lrsquointeacuterieur de la pastille et circulent dans le plan (xOy) et par la suite
un champ magneacutetique appeleacute champ magneacutetique pieacutegeacute va ecirctre creacuteeacute suivant lrsquoaxe (Oz) Ce
champ pieacutegeacute est la soustraction du champ magneacutetique mesureacute agrave la surface de la pastille moins
le champ magneacutetique appliqueacute qui est eacutegal au champ magneacutetique en absence de la pastille Le
champ magneacutetique pieacutegeacute ne devrait pas disparaitre apregraves la fin du champ appliqueacute car la
reacutesistiviteacute est nulle dans la pastille supraconductrice Cette meacutethode de caracteacuterisation permet
de deacuteterminer agrave partir de BP la densiteacute de courant critique Jc mais aussi de deacuteterminer la
valeur de lrsquoexposant-n de la loi en puissance
Les meacutethodes de caracteacuterisations preacutesenteacutees au chapitre I utilisent deux pastilles dans
le premier cas et une pastille dans le deuxiegraveme cas La premiegravere meacutethode est plus preacutecise mais
neacutecessite deux pastilles qui sont supposeacutees ecirctre identiques et homogegravenes en termes de Jc Or
linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique Jc est un fait bien connu des experts [53] La
deuxiegraveme meacutethode nrsquoutilise qursquoune pastille et se dispense donc de lrsquoobligation drsquoavoir deux
pastilles identiques Cependant lrsquoinfluence de linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant
critique Jc nrsquoavait pas eacuteteacute prise en compte preacuteceacutedemment Pour prendre en compte
linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique Jc et donc remeacutedier aux deacutefauts de nos
meacutethodes de caracteacuterisation deux axes de recherche ont eacuteteacute exploreacutes Premiegraverement une
eacutetude baseacutee sur la position de la sonde agrave effet Hall dans la meacutethode agrave une pastille a eacuteteacute
reacutealiseacutee Deuxiegravemement une eacutetude des positions respectives du germe de cristallisation des
pastilles dans la meacutethode agrave deux pastilles a eacuteteacute faite
85
Figure III1 Pastille supraconductrice soumis agrave un champ magneacutetique exteacuterieur
III2 Description du banc expeacuterimental
Nous allons preacutesenter dans cette partie le banc expeacuterimental utiliseacute pour lrsquoaimantation
drsquoune pastille SHTC de type YBaCuO Le banc expeacuterimental sert agrave aimanter une pastille
supraconductrice de type YBaCuO en utilisant la meacutethode drsquoaimantation par champ
magneacutetique pulseacute (PFM) et mesurer le champ magneacutetique au milieu des surfaces planes de
cette pastille
III21 Les pastilles SHTC
Les pastilles supraconductrices utiliseacutees sont cylindriques de type YBaCuO posseacutedant
une tempeacuterature critique de 92 k de diamegravetre 311 mm et de hauteur 176 mm Ce type de
mateacuteriau drsquoYBaCuO possegravede une densiteacute de courant critique eacuteleveacutee (gt100 Ammsup2 agrave 77 K) La
figure III2 repreacutesente les deux surfaces des pastilles YBaCuO utiliseacutees (a) surface
supeacuterieure contenant le germe de cristallisation (seed) (b) surface inferieure de la pastille Ces
pastilles sont par nature inhomogegravenes et anisotropes en termes de Jc
(a) (b)
Figure III2 Les deux surfaces de la Pastille SHTC drsquoYBaCuO utiliseacutee pour lrsquoaimantation
x
y
z
O
( )B t
( )B t
86
En geacuteneacuterale la preacuteparation des supraconducteurs YBCO mono domaine par la
meacutethode (TSMG) exige des preacutecurseurs en poudres contenant une distribution uniforme des
composeacutes constituant les phases 2 3 7YBa Cu O δminus (Y-123) et 2 5Y BaCuO (Y-211)Cependant il a
eacuteteacute observeacute que la concentration de particules de Y-211dans le bulk supraconducteur traiteacutee agrave
leacutetat fondu augmente de maniegravere significative avec la distance agrave partir du germe de
cristallisation ce qui entraicircne une deacutegradation des proprieacuteteacutes supraconductrices vers le fond et
le bord de leacutechantillon supraconducteur [109]
Une technique de fabrication des bulk supraconducteurs en YBCO gradueacute baseacutee sur la
concentration de Y-211 utiliseacutee a eacuteteacute deacuteveloppeacutee par un groupe de chercheurs appeleacute laquo the
Cambridge Bulk Superconductivity Groupraquo [109] Trois types de preacutecurseurs en poudres
contenant diffeacuterentes concentrations drsquoY-211 sont disposeacutes en forme U dans une pastille
YBCO en bulk (figure III3) Le but de cette technique est drsquoameacuteliorer les proprieacuteteacutes
supraconductrices du mateacuteriau fabriqueacute
Pour la modeacutelisation de ces pastilles celles-ci peuvent ecirctre diviseacutees en deux ou trois
reacutegions en forme U chaque reacutegion eacutetant caracteacuteriseacutee par son propre Jc0 [109] (Figure III3)
Figure III3 Modegravele drsquoune pastille SHTC gradueacutee en YBCO proposeacutee pour la modeacutelisation
numeacuterique
III22 Le circuit drsquoaimantation
Lrsquoaimantation des pastilles SHTC neacutecessaire agrave la caracteacuterisation est faite par un
magneacutetiseur agrave impulsion (Impulse Magnetizer k-serie) [105] (figure III4)
Les caracteacuteristiques techniques de ce magneacutetiseur sont
- Puissance de stockage de 10kWs
- Capacitance de 5mF
87
- Tension de charge maximale de 2 kV et un courant de 25 kA
Figure III4 Magneacutetiseur agrave impulsion K-serie utiliseacute pour aimanter la pastille
Lrsquoinducteur produisant le champ magneacutetique pour aimanter la pastille
supraconductrice est une bobine agrave fil de Litz de 127 cm de longueur et de 65 cm de diamegravetre
externe ce type de bobines sont adapteacutees au transport des courants eacutelectrique agrave haute
freacutequence et produit un champ magneacutetique axial plus en moins homogegravene dans son centre
dont lequel on met la pastille pour lrsquoaimantation Un Oscilloscope est utiliseacute pour faire la
mesure du champ magneacutetique et le courant de deacutecharge produit par le magneacutetiseur Une
bobine de Rogowski est employeacutee pour mesurer le courant de deacutecharge Rappelons que la
bobine de Rogowski est un systegraveme eacutelectrotechnique servant agrave mesurer le courant alternatif
ou les impulsions de courant agrave grande vitesse [107] Elle se compose
dun enroulement heacutelicoiumldal de fil dont le fil dune extreacutemiteacute revient par le centre de
lenroulement agrave lautre extreacutemiteacute de sorte que les deux bornes sont agrave la mecircme extreacutemiteacute de
lenroulement La bobine est positionneacutee autour du conducteur dont on veut connaicirctre le
courant La figure III3 montre une photo du circuit eacutelectrique utiliseacute pour lrsquoaimantation
Le champ magneacutetique ( )aB t geacuteneacutereacute par la bobine est appliqueacute parallegravelement suivant
lrsquoaxe ( )Oz de la pastille cylindrique Ce champ est caracteacuteriseacute par une vitesse de monteacute bV
drsquoenviron 3125 Ts et une valeur maximale ( )maxaB drsquoenviron 32 Tesla (Figure III7) Une
diffeacuterence de potentiel de 600 V est choisie sur les bornes du magneacutetiseur pour avoir cette
valeur de champ appliqueacute
88
Figure III5 Circuit eacutelectrique de magneacutetisation
Figure III6 Repreacutesentation du dispositif expeacuterimentation du processus drsquoaimantation utiliseacute
89
Figure III7 Impulsion de champ magneacutetique appliqueacute sur la pastille SHTC
III23 Instrumentation
La mesure de champ magneacutetique sur les deux surfaces de la pastille drsquoYBCO se fait agrave
lrsquoaide des deux sondes agrave effet Hall de type HHP-NP adapteacutees aux basses tempeacuteratures
(figure III8) Chaque sonde agrave effet Hall comprend quatre fils deux pour les courants et deux
pour les signaux de tension Les geacuteneacuterateurs de courant illustreacutes sur la figure III5 alimentent
les sondes agrave effet Hall La distance entre la partie active de la sonde et la surface de la pastille
est drsquoenviron 05mm Cette distance est due agrave lrsquoencapsulage de la sonde Ces sondes mesurent
le champ magneacutetique suivant lrsquoaxe (Oz)
Figure III8 Sonde agrave effet Hall de type HHP-NP
90
Les caracteacuteristiques des deux sondes agrave effet Hall utiliseacutees sont donneacutees par le
fabricant (Tableau III1)
Tableau III1 Caracteacuteristiques des sondes agrave effet Hall
Paramegravetre Uniteacute Sonde 2003 (77K) Surface au-dessus
Sonde 468 (77K) Surface su dessous
Courant nominal In mA 20 20
Courant maximum mA 30 20
Sensibiliteacute agrave In TV 1356 946
Tension de deacutecalage agrave In Vmicro 58 lt -40
Reacutesistance drsquoentreacutee Ω 23 41
Reacutesistance de sortie Ω 78 18
Reacutegion de dimension efficace mm 0500 x 01 05 x 01
Dimensions globale mm 5 x 7 x 1 5 x 7 x 1
Les sondes agrave effet Hall sont placeacutees au centre des surfaces planes des pastilles et donc
perpendiculaires au champ magneacutetique appliqueacute (Figure III9)
Lrsquoensemble bobine pastille SHTC et sondes agrave effet Hall sont immergeacutees dans lrsquoazote
liquide agrave une tempeacuterature de 77 K
Lrsquoimpulsion de champ magneacutetique creacuteeacute par la bobine appliqueacutee sur la pastille SHTC
refroidie est lrsquoimage de lrsquoimpulsion de courant eacutelectrique creacuteeacute par le magneacutetiseur Les
mesures de champ magneacutetique et de courant eacutelectrique seront prises agrave lrsquooscilloscope
Figure III9 Positions des sondes agrave effet Hall sur les deux surfaces de la pastille SHTC
91
III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTC
III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hall
Le calcul de la densiteacute de courant critique Jc se fait agrave partir du champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete BP Le calcul de BP est fait agrave partir de la mesure du champ magneacutetique agrave
lrsquoaide des sondes agrave effet Hall En fait nous pouvons mesurer le champ magneacutetique sur lrsquoaxe
(Oz) de la pastille uniquement en deux positions
- Position 1 Au centre de la surface de base supeacuterieure (pregraves du germe de cristallisation
(seed))
- Position 2 Au centre de la surface inferieure de la pastille
La figure III10 repreacutesente les reacutesultats de mesure du champ magneacutetique MB au centre
des deux surfaces de la pastille SHTC (a) Position 1 (b) Position 2 Le champ magneacutetique
MB est mesureacute agrave une distance 05d mm= des deux surfaces de la pastille La diffeacuterence
( ) ( ) 05a MB t B t d mmminus = preacutesente le champ magneacutetique produit par le courant eacutelectrique
induit dans la pastille nommeacute ( )ZSCB t d Ce champ atteint une valeur maximum nommeacute
BZSCM
Agrave partir des figures III10a et III10b on constate que le champ magneacutetique mesureacute aux
positions 1 et 2 ne varie pas de la mecircme faccedilon
92
(a)
(b)
Figure III10 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer au
(a) position1 (b) position 2
93
La figure III11 preacutesente les mecircmes mesures de la figure III10 avec une eacutechelle de
temps reacuteduite Nous remarquons que le temps de peacuteneacutetration complegravete de champ magneacutetique
dans le cas de la position 1 est supeacuterieur agrave celui dans le cas de la position 2 Ainsi la reacutegion
laquo seed raquo est caracteacuteriseacutee par un champ magneacutetique induit supeacuterieur agrave celui de la reacutegion de la
surface opposeacutee (position 2)
(a)
(b)
Figure III11 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer avec une
eacutechelle de temps reacuteduite (a) position1 (b) position 2
94
III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de la
pastille
Le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP peut ecirctre deacuteduit agrave partir de
lrsquoeacutequation I34 en connaissant la valeur de BZSCM Le rapport BZSCBBPB dans lrsquoeacutequation I34
est en fonction seulement des paramegravetres geacuteomeacutetriques R et L de la pastille Ainsi le champ
magneacutetique de peacuteneacutetration de Bean BPB est calculeacute agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I29 en prenant
n=50 Une fois le champ BPB est calculeacute et agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 on peut deacuteterminer la
valeur de la densiteacute de courant critique Jc
Les valeurs de temps de peacuteneacutetration tP de champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute
BPM du max de champ magneacutetique produit par le courant eacutelectrique induit dans la pastille
BZSCM ainsi la valeur de la densiteacute de courant critique obtenues au centre des deux surfaces de
la pastille eacutequivalent aux positions 1 et 2 sont reacutesumeacutees dans le tableau III2
Tableau III2 Valeurs de la densiteacute de courant critique calculeacute agrave une distance de 05 mm au-dessus du
centre des deux surfaces de la pastille SHTC
Position 1 Position 2
tP (10-4s) 75 36
BPM(T) 23 13
BZSCM 192 139
Jc (Amm2) 201 145
Drsquoapregraves les reacutesultats de tableau III2 nous constatons que la densiteacute de courant critique
nrsquoest pas constante sur toute la pastille SHTC elle varie drsquoune reacutegion agrave lrsquoautre Cette
inhomogeacuteneacuteiteacute est due agrave la technique de fabrication utiliseacutee pour ce type de pastille SHTC
III33 Simulations numeacuteriques
Pour modeacuteliser le comportement eacutelectromagneacutetique de la pastille SHTC utiliseacutee dans
nos mesures et par la suite valider la meacutethode utiliseacutee pour calculer la densiteacute de courant
critique agrave partir de la mesure de champ magneacutetique une approximation macroscopique est
proposeacutee Le principe expliqueacute preacuteceacutedemment est de diviser la pastille en trois reacutegions
principales reacutegion supeacuterieure reacutegion centrale et reacutegion inferieure (figure III3) Chaque
95
reacutegion est caracteacuteriseacutee par sa propre densiteacute de courant critique Jc0 Lrsquoimpulsion de champ
magneacutetique appliqueacute sur la pastille est la mecircme que dans la figure III7
La simulation numeacuterique srsquoest faite agrave lrsquoaide du logiciel COMSOL Un calcul
numeacuterique en 2D-axisymeacutetrique est utiliseacute ougrave la formulation en H en coordonneacutees
cylindriques est employeacutee Lrsquoeacutequation de Maxwell suivante doit ecirctre reacutesolue en systegraveme de
coordonneacutees cylindrique
( )0 0 1IIHt
IEmicro part+nablatimes =
part
( ) 2E H IIIρ= nablatimes
Les champs magneacutetique et eacutelectrique ont respectivement deux composantes radiale et
longitudinale [ ]0r zH H H et une transversale [ ]0 0E E
( )0 30 rH E It
IIz
micro part partminus =
part part
( )0 4zH E Et r r
IIImicro part part+ = minus
part part
Le champ eacutelectrique E est donneacute en modegravele de la loi en puissance deacutefini en chapitre I
La densiteacute de courant eacutelectrique est donneacutee agrave partir de lrsquoexpression diffeacuterentielle suivante
( ) 5r z IIHz r
IHJ part part= minus
part part
Le milieu supraconducteur est repreacutesenteacute par une modeacutelisation ( )CJ B selon la loi empirique
suivante
( ) ( )0
0
1
6C iC IIIJJ B
BB
β= +
Avec JC0i est la densiteacute de courant critique de la reacutegion i (i=1 2 3) en absence de toute champ
magneacutetique externe et B0 est une constante deacutependante du mateacuteriau On choisit ici de prendre
0 01B = et 05β = pour les trois reacutegions de la pastille [109]
Nous avons fait varier Jc0i pour chaque reacutegion en suivant la mecircme meacutethode expliqueacutee
preacuteceacutedemment dans la partie expeacuterimentale pour calculer la densiteacute de courant critique
96
moyenne sur les deux surfaces des deux pastilles jusqursquoagrave retrouver les reacutesultats proches de
ceux trouveacute expeacuterimentalement (tableau III2)
Puisque la meacutethode PFM est employeacutee dans notre problegraveme ougrave le champ magneacutetique appliqueacute
est fonction de temps donc la simulation est faite en reacutegime temporel
Le temps maximal de lrsquoimpulsion choisie pour cette simulation max 5msτ = afin de minimiser
la dureacutee de calcul
Les valeurs de JC0i optimales trouveacutees sont mentionneacutees dans le tableau III3
Tableau III3 valeurs de JC0i optimiseacutees pour les trois reacutegions de la pastille
Reacutegion I Reacutegion II Reacutegion III
JC0i (Amm2) 680 1400 435
Lrsquoeacutevolution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure de la pastille est preacutesenteacutee sur la
figure III12 avec un pas de temps eacutegale agrave max 6τ Nous remarquons que le champ magneacutetique
peacutenegravetre progressivement agrave partir de la surface lateacuterale vers lrsquointeacuterieure de la pastille Cette
peacuteneacutetration atteint sa valeur maximale agrave la fin de lrsquoaimantation Le champ magneacutetique
peacuteneacutetrant est moins important coteacute seed
97
Figure III12 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur de la
pastille SHTC
98
La figure III13 repreacutesente les reacutesultats des modeacutelisations numeacuteriques de champ
magneacutetique MB au-dessus de centre des deux surfaces de la pastille SHTC agrave une distance
e=05mm (a) Position 1 et (b) position 2
(a)
(b)
Figure III13 Modeacutelisation numeacuterique du champ magneacutetique sur le centre de la surface
drsquoune pastille (a) Position 1 (b) Position 2
99
Figure III14 La phase de monteacute des graphes de mesures numeacuterique et expeacuterimentale de
champ magneacutetique au-dessus des deux surfaces de la pastille
Une premiegravere comparaison entre les graphes obtenus expeacuterimentalement (figure III9)
et par le calcul numeacuterique (figure III13) pour les deux pastilles montrent que ces graphes sont
proches seulement pendant la phase de monteacutee (la phase la plus inteacuteressante pour deacuteterminer
Jc) (figure III14) Cependant durant la phase de descente de ces graphes nous remarquons
que les graphes obtenus expeacuterimentalement sont totalement diffeacuterents de ceux obtenus
numeacuteriquement Cela srsquoexpliquerait par des pheacutenomegravenes thermiques dus aux pertes creacuteeacutees par
les diffeacuterents courants induits pendant la phase de monteacutee et la phase de descente de
lrsquoimpulsion de champ appliqueacute durant lrsquoexpeacuterience que nous nrsquoavons pas pris en
consideacuteration en simulation
III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux
pastilles
Dans cette partie nous allons mesurer la densiteacute de courant critique drsquoun ensemble de
deux pastilles supposeacutees identiques Le point de mesure srsquoeffectuera entre les deux pastilles agrave
lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet Hall Les deux pastilles sont seacutepareacutees par une distance laquo e raquo qui
preacutesente lrsquoeacutepaisseur de la sonde Afin drsquoeacutetudier lrsquoinfluence de la position des germes dans
cette meacutethode de caracteacuterisation trois configurations sont prises en consideacuteration en fonction
de la position du germe de cristallisation dans les deux pastilles utiliseacutees (figure III15)
100
(a) (b) (c)
Figure III15 Configurations utiliseacutees pour le calcul de Jc entre les deux pastilles
La figure III16 preacutesente les reacutesultats de mesure de champ magneacutetique prises entre les
deux pastilles SHTC pour les trois configurations illustreacutees dans la figure III15 On constate
ici que le temps de peacuteneacutetration complegravete varie drsquoune configuration agrave lrsquoautre (voir tableau
III4) Le champ magneacutetique prend plus de temps pour peacuteneacutetrer agrave lrsquointeacuterieure et entre les
pastilles agrave travers les seeds
Tableau III4 les valeurs de temps de peacuteneacutetration complegravete et champ magneacutetique de
peacuteneacutetration eacutequivalent mesureacutes pour les trois configurations
Configuration (a) Configuration (b) Configuration (c)
tP (10-3 s) 093 132 14
BPM (T) 257 302 31
101
(a)
(b)
(c)
Figure III16 Mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC pour les
configurations (a) (b) et (c)
102
Pour comprendre les pheacutenomegravenes observeacutes des simulations numegraveriques ont eacuteteacute
reacutealiseacutees Les mecircmes eacutetapes de simulation numeacuterique expliqueacutes preacuteceacutedemment dans le cas
drsquoune seule pastille sont utiliseacutees ici La figure III17 repreacutesente lrsquoeacutevolution de la distribution
du champ magneacutetique agrave lrsquointerieur des deux pastilles SHTC pour les trois configurations
illustreacutees dans la figure III15 Les mecircmes valeurs de Jcoi sont utiliseacutees aussi pour la deuxiegraveme
pastille Lrsquoeacutetude de lrsquoeacutevolution de champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur et entre les deux pastilles
est faite agrave un pas de temps eacutegale agrave max 3t τ=
Nous remarquons que le champ magneacutetique peacutenegravetre progressivement agrave lrsquointeacuterieure des
deux pastilles cette peacuteneacutetration est plus rapide dans le cas de la configuration (a) et moins
rapide dans le cas de la configuration (c)
103
Figure III17 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure des
deux pastilles pour les trois configurations (a) (b) et (c)
104
Afin de prendre en consideacuteration lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall utiliseacutee dans la
mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC utiliseacutees dans notre mesure nous
avons fait appel agrave la relation (I32) pour calculer le champ magneacutetique de peacuteneacutetration
complegravete BP Ce champ est neacutecessaire pour le calcul de la densiteacute de courant critique JC entre
les deux pastilles
Rappelons que la relation I32 est valable seulement pour R=10 mm R eacutetant le rayon
de la pastille utiliseacutee Par contre les deux pastilles que nous avons utiliseacutees ont un rayon
R=156 mm Pour trouver une nouvelle relation entre le champ de peacuteneacutetration mesureacute BPM et
le champ de peacuteneacutetration complegravete BP une simulation numeacuterique similaire agrave celle expliqueacutees
dans le paragraphe I5212 du chapitre I est effectueacutee en utilisant deux pastilles SHTC de
rayon R=1555 mm pour chacune ces deux pastilles sont seacutepareacutees par un entrefer e=1mm Cet
entrefer preacutesente lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall Les reacutesultats de mesure sont preacutesenteacutes
sur la figure III18
Figure III18 Rapport BPMBP en fonction de longueur L de la pastille SHTC pour
R=156mm
Donc drsquoapregraves la figure III18 la relation liant BPM et BP pour les deux pastilles utiliseacutees dons
nos mesures deacutepend seulement de la hauteur des deux pastilles et elle est donneacutee par
( ) ( ) ( 156 ) 0031 ln 0 777 PM
P
B R mm ILB
II= = times +
Les valeurs de champ de peacuteneacutetration mesureacute BPM pour les trois configurations eacutetudieacutees sont
mentionneacutees dans le tableau III4 Une fois la valeur de champ de peacuteneacutetration complegravete
deacutetermineacutee agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation III7 et agrave partir de lrsquoeacutequation I29 nous calculons la valeur
105
de champ de peacuteneacutetration de Bean BPB Enfin la densiteacute de courant critique JC entre les deux
pastilles SHTC est calculeacutee agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 Les valeurs de Jc entre les deux
pastilles pour les trois configurations de la figure III15 sont mentionneacutees dans le tableau III5
Tableau III5 Valeur de la densiteacute de courant critique entre les deux pastilles SHTC drsquoYBCO
utiliseacutees dans nos expeacuteriences
Configuration (a) Configuration (b) Configuration (c)
Jc (Amm2) 1317 1548 1589
Drsquoapregraves le tableau III5 nous remarquons que la valeur moyenne de la densiteacute de
courant eacutelectrique critique entre les deux pastilles est infeacuterieure agrave celle drsquoune pastille seule
Cette diminution est due peut-ecirctre agrave la diminution des courants eacutelectriques induits reacutesultants
entre les deux surfaces opposeacutees La configuration (b) est caracteacuteriseacutee par une densiteacute
eacutelectrique critique plus eacuteleveacutee agrave celle de la configuration (a) et moins eacuteleveacutee agrave celle de la
configuration (c) agrave cause de la preacutesence des germes de cristallisations (seed) en face agrave face
pour la configuration (c)
III5 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences pour lrsquoaimantation drsquoune pastille
SHTC de type YBaCuO par la meacutethode PFM dans le but de veacuterifier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute de cette
pastille en termes de densiteacute de courant critique Agrave lrsquoaide des sondes agrave effet Hall nous avons
mesureacute le champ magneacutetique au milieu des deux surfaces planes de la pastille dans le but de
calculer la densiteacute de courant critique agrave ces endroits Dans toutes les mesures il existe une
distance drsquoenviron 05 mm entre la partie active de la sonde et la surface de la pastille ce qui
doit ecirctre pris en compte dans les calculs de Jc Nous avons remarqueacute que la surface qui
contient le germe de cristallisation est caracteacuteriseacutee par une densiteacute de courant plus eacuteleveacutee que
lrsquoautre surface Cette inhomogeacuteneacuteiteacute est due agrave la technique de fabrication utiliseacutee pour ce type
de pastille SHTC Ensuite et sur la base des reacutesultats obtenus expeacuterimentalement nous avons
proposeacute un modegravele numeacuterique pour deacutecrire la morphologie de la pastille SHTC utiliseacute dans
nos mesures en divisant cette pastille en trois reacutegions en forme U concentriques reacutegion
supeacuterieure reacutegion centrale et reacutegion inferieure Chaque reacutegion est caracteacuteriseacutee par sa propre
densiteacute de courant critique JC0
106
Ensuite pour eacutetudier lrsquoinfluence de la position du germe de cristallisation dans la
meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles nous avons calculeacute la densiteacute de courant critique
entre deux pastilles SHTC supposeacutees identiques et seacutepareacutees par une distance e = 1mm agrave lrsquoaide
de la mesure de champ magneacutetique dans cette reacutegion Trois configurations ont eacuteteacute prises en
consideacuteration en fonction de la position du germe de cristallisation Les reacutesultats obtenus
montrent une diminution de la densiteacute de courant critique par rapport agrave une seule pastille agrave
cause de la diminution des courants induits reacutesultants entre les deux surfaces opposeacutees La
configuration qui contient les deux surfaces de laquo seed raquo est toujours caracteacuteriseacutee par une Jc
plus eacuteleveacutee que le reste des configurations eacutetudieacutees Donc nous conseillions que lors de
lrsquointeacutegration des pastilles SHTC pareilles dans des machines eacutelectriques il faut prendre en
consideacuteration la position de ces pastilles par rapport agrave leurs germes de cristallisations
107
Conclusion geacuteneacuterale et perspectives
108
Le travail meneacute dans cette thegravese intituleacutee laquo modeacutelisation et caracteacuterisation des
mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique raquo a eacuteteacute reacutealiseacute en cotutelle dans le
cadre drsquoun projet PHC-Tassili entre le laboratoire GREEN de lrsquouniversiteacute de Lorraine et le
laboratoire LESI de lrsquouniversiteacute Djilali Bounaama de Khemis Miliana
Dans la premiegravere partie de cette recherche nous avons pu deacutevelopper un modegravele
analytique qui a pour but de calculer lrsquoinductance de lrsquoensemble composeacute drsquoune bobine
inductrice circulaire de section transversale rectangulaire dans un circuit ferromagneacutetique
ouvert muni drsquoun entrefer concentrique avec la bobine Ce modegravele est baseacute sur la
deacutetermination de potentiel vecteur magneacutetique agrave partir de la reacutesolution des eacutequations de
Laplace et de Poisson dans les diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecirct du circuit en utilisant la meacutethode
de seacuteparation des variables La reacutesolution analytique srsquoest effectueacutee agrave lrsquoaide drsquoun code de
calcul deacuteveloppeacute sous MATLAB Une simulation numeacuterique est eacutegalement effectueacutee afin de
valider les reacutesultats analytiques Au deacutebut le calcul se fait en absence de tout mateacuteriau
supraconducteur dans le circuit ferromagneacutetique puis nous avons eacutetudieacute le cas de preacutesence
drsquoune pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer pour montrer lrsquoinfluence de cette
derniegravere sur la valeur de lrsquoinductance de lrsquoinducteur Nous avons montreacute pour les deux cas
que les meacutethodes analytiques correspondent tregraves bien avec les meacutethodes numeacuteriques avec des
erreurs inferieures agrave 1 pour un nombre de termes harmonique eacutegale agrave 50 et avec un
avantage aux meacutethodes analytiques en termes de temps de calcul Aussi les meacutethodes
analytiques sont peu exigeantes sur la meacutemoire de calculateur Nous avons montreacute aussi agrave
travers ce modegravele que lrsquoinfluence de la taille de la pastille supraconductrice sur la valeur de
lrsquoinductance obtenue peut servir agrave dimensionner lrsquoinducteur de systegraveme drsquoaimantation par la
meacutethode PFM Ainsi les reacutesultats obtenus montrent que cette eacutetape de modeacutelisation est tregraves
inteacuteressante dans la phase de conception des machines supraconductrices utilisant les
mateacuteriaux supraconducteurs massifs
Dans la partie caracteacuterisation le but eacutetait drsquoeacutetudier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute drsquoune pastille
supraconductrice agrave haute tempeacuterature critique de type YBaCuO en termes de densiteacute de
courant critique Pour cela et suite aux travaux de caracteacuterisations reacutealiseacutes au niveau du
laboratoire GREEN nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences de lrsquoaimantation des pastilles SHTC
de type YBaCuO par la meacutethode PFM Les reacutesultats obtenus montrent que la surface
contenant le germe de cristallisation de la pastille est caracteacuteriseacutee par une densiteacute de courant
critique plus eacuteleveacutee que lrsquoautre surface et cela ducirc agrave la meacutethode drsquoeacutelaboration de ce genre des
pastilles Ensuite nous avons proceacutedeacute agrave la caracteacuterisation de deux pastilles SHTC identiques
109
seacutepareacutees par une distance de 1mm et calculeacute la densiteacute de courant critique de ces deux
pastilles La position de germe de cristallisation drsquoune pastille par rapport agrave lrsquoautre influence
directement la valeur de Jc
Comme perspective agrave ce travail nous envisageons de confronter le modegravele analytique
deacuteveloppeacute durant de travail sur un systegraveme physique reacuteel contenant un circuit magneacutetique
fermeacute comme par exemple un transformateur avec une bobine contenant une pastille
supraconductrice De plus nous envisageons drsquoeacutetablir un modegravele analytique standard en
prenant en consideacuteration lrsquoinfluence de lrsquoeffet thermique afin de deacuteterminer les proprieacuteteacutes
caracteacuteristiques des pastilles supraconductrices agrave partir des reacutesultats obtenus lors des
expeacuteriences de caracteacuterisations par la meacutethode PFM reacutealiseacutees durant cette thegravese
110
Liste des illustrations graphiques
et tableaux
111
Figure I1 Reacutesistiviteacute eacutelectrique de mercure agrave basse tempeacuteraturehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8
Figure I2 Historique des deacutecouvertes de la tempeacuterature critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11
Figure I3 Etat noraml et supraconducteur drsquoun meacutetal en fonction de la tempeacuteraturehellip 12
Figure I4 Repreacutesentation de champ magneacutetique induit en fonction du champ
magneacutetique appliqueacute pur les supraconducteurs de type Ihelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
13
Figure I5 Repreacutesentation graphique (a) des diffeacuterentes eacutetats des supraconducteurs de
type II et (b) du champ magneacutetique induit en fonction du champ
magneacutetique appliqueacute pour les supraconducteurs de type IIhelliphelliphelliphelliphellip
14
Figure I6 Reacuteseaux vortex dans un mateacuteriau supraconducteur de type IIhelliphelliphelliphelliphellip 15
Figure I7 Densiteacute de courant intergrain et intragrain dans un mateacuteriau
supraconducteur helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
16
Figure I 8 Microstructure drsquoun mateacuteriau Supraconducteur agrave Haute Tempeacuterature
critique (SHTC) de formule chimique 2 3 7YBa Cu O δminus helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
17
Figure I9 Surface critique et ordre de grandeur des paramegravetres critique de quelques
mateacuteriaux Supraconducteurshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
18
Figure I10 Diffeacuterentes formes des SHTC a) pastille YBaCuO en massifs b)
YBaCuO en monocouche c) tubes de BSCCOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
19
Figure I11 Traitement thermique pour la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO par la
technique TSMGhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
21
Figure I12 Structure cristalline tridimensionnelle de lrsquoYBa2Cu3O7-δ helliphelliphelliphelliphelliphellip 22
Figure I13 Repreacutesentation de structure (a) orthorhombique et (b) quadratique de la
maille eacuteleacutementaire du compos YBa2Cu3O7-δhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
23
Figure I14 Variation des paramegravetres de reacuteseau a b et c par rapport au deacuteficit en
oxygegravene δ helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
23
Figure I15 Repreacutesentation de la tempeacuterature critique en fonction du deacuteficit en
oxygegravene dans la structure YBaCuOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
24
Figure I16 Structure cristalline de MgB2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25
Figure I17 Distribution de B J E dans un cylindre supraconducteur soumis agrave un
champ magneacutetique parallegravele agrave son axehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
29
112
Figure I18 Comparaison entre la caracteacuteristique E(J) correspond au modegravele de Bean
(courbe rouge) et au modegravele de loi en puissance (courbe verte) avec celle
obtenue expeacuterimentalement (courbe bleu) pour un rubanhelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
Figure I19 Aimantation par refroidissement sous champ magneacutetique (Field Cooling
FC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
33
Figure I20 Aimantation par refroidissement hors champ magneacutetique (Zero Field
Cooling ZFC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
34
Figure I21 Aimantation par un champ impulsionnel (pulsed field magnetization
PFM)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
35
Figure I22 Scheacutema eacutelectrique simplifieacute du circuit utiliseacute pour aimanter les
supraconducteurs massifshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
35
Figure I23 Variation temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour laimantation par
la meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
36
Figure 24 Scheacutema repreacutesentatif de la meacutethode eacutelectrique pour deacuteterminer la densiteacute de
courant eacutelectrique Jc drsquoun mateacuteriau supraconducteurhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
37
Figure I25 Pastille supraconductrice massive de forme cylindrique soumise agrave un
champ magneacutetique appliqueacute axialementhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
38
Figure I26 Variation du champ magneacutetique en fonction du temps Ba est le champ
appliqueacute sur la pastille et B0 repreacutesente le champ magneacutetique mesureacute au
centre de la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
39
Figure I27 Position de sonde agrave effet Hall entre deux pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphellip 40
Figure I28 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesureacute entre deux
pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
40
Figure I29 Repreacutesentation du champ magneacutetique appliqueacute et le champ magneacutetique
mesureacute entre deux pastilles SHTC en fonction de temps en utilisant a)
une bobine supraconductrice pour geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee
b) une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer une vitesse de monteacutee
eacuteleveacutee
42
Figure I30 Rapport PPMB B en fonction de longueur L de la pastille SHTChelliphelliphellip 43
113
Figure I31 Position de sonde agrave effet Hall au centre de surface de la pastillehelliphelliphelliphellip 44
Figure I32 Distribution de la densiteacute de courant JJc dans la pastille SHTC pour trois
valeur de vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacutehelliphelliphelliphelliphelliphellip
45
Figure I33 Calcul numeacuterique de BP au centre de la pastille et BZSCM au-dessus du centre de surface de la pastille agrave d = 05mmhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
46
Figure I34 Comparaison entre le calcul numeacuterique ZSCB PBB B et le calcul analytique
ZSCM PB B helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
47
Figure II1 Geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute un circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie infeacuterieur de longueur 3 2 e Z Z= minus concentrique
avec une bobine de longueur 4 1L Z Z= minus helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
51
Figure II2 Maillages du circuit ferromagneacutetique avec entrefer eacutetudieacute par COMSOLhellip 62
Figure II3 Comparaison des distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave
partir du calcul analytique (a) et du calcul numeacuterique (b) avec le traceacute
des lignes de champ magneacutetiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
62
Figure II4 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions (a) III en ( )1 2 2r R R= + et (b) IV en 1 2r R= helliphelliphelliphelliphelliphellip
63
Figure II5 Comparaison des valeurs de lrsquoinductance de la bobine en fonction de la
longueur de lrsquoentrefer obtenues numeacuteriquement avec celles obtenues
analytiquement pour les diffeacuterentes valeurs de nombres des harmoniques
variant entre 1 et 50helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
64
Figure II6 Circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer de longueur e dans lequel se
trouve une pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
65
Figure II7 Distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir du (a)
calcul numeacuterique) et du (b) calcul analytique en preacutesence de la
pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
74
Figure II8 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans la reacutegion III en ( )2 3 2r R R= + (a) et dans la reacutegion IV en 1 2r R= (b) en
preacutesence de la pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
75
Figure II9 Repreacutesentation de lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon de la
pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
76
114
Figure II10 Variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
supraconductrice dans un circuit fermeacute et dans un circuit ouverthelliphelliphelliphellip
77
Figure II11 Position de la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du problegraveme de la figure II1 avec [ ]110r Risin et [ ]22 33z Z Zisin helliphelliphelliphelliphelliphellip
78
Figure II12 Variation de champ magneacutetique appliqueacute et du champ magneacutetique pieacutegeacute sur la surface de la pastille supraconductrice agrave 0r = et 33z Z= helliphellip
79
Figure II13 Evolution de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc sur le plan meacutedian de la pastille supraconductrice agrave ( )0479515320r mm= helliphelliphelliphelliphelliphellip
81
Figure III1 Pastille supraconductrice soumis agrave un champ magneacutetique exteacuterieurhelliphelliphellip 85
Figure III2 Les deux surfaces de la Pastille SHTC drsquoYBaCuO utiliseacutee pour
lrsquoaimantationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
85
Figure III3 Modegravele drsquoune pastille SHTC gradueacutee en YBCO proposeacutee pour la
modeacutelisation numeacuteriquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
86
Figure III4 Magneacutetiseur agrave impulsion K-serie utiliseacute pour aimanter la pastillehelliphelliphellip 87
Figure III5 Circuit eacutelectrique de magneacutetisationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88
Figure III6 Repreacutesentation du dispositif expeacuterimentation du processus
drsquoaimantation utiliseacutehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
88
Figure III7 Impulsion de champ magneacutetique appliqueacute sur la pastille SHTChelliphelliphelliphellip 89
Figure III8 Sonde agrave effet Hall de type HHP-NPhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 89
Figure III9 Positions des sondes agrave effet Hall sur les deux surfaces de la pastille
SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
90
Figure III10 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer au (a)
position1 (b) position 2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
92
Figure III11 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer avec une
eacutechelle de temps reacuteduite (a) position1 (b) position 2helliphelliphelliphelliphelliphellip
93
Figure III12 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur de la
pastille SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
97
115
Figure III13 Modeacutelisation numeacuterique du champ magneacutetique sur le centre de la
surface drsquoune pastille (a) Position 1 (b) Position 2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
98
Figure III14 La phase de monteacute des graphes de mesures numeacuterique et expeacuterimentale
de champ magneacutetique au-dessus des deux surfaces de la pastillehelliphelliphellip
99
Figure III15 Configurations utiliseacutees pour le calcul de Jc entre les deux pastilleshelliphellip 100
Figure III16 Mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC pour les
configurations (a) (b) et (c)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
101
FigIII17 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure des deux
pastilles pour les trois configurations (a) (b) et (c)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
103
Figure III18 Rapport PM PB B en fonction de longueur L de la pastille SHTC pour R=156mmhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
104
Tableau I1 Tempeacuterature critique de quelques mateacuteriaux supraconducteurshelliphelliphelliphellip 12
Tableau II1 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme sans
pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
61
Tableau II2 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme avec
pastillehelliphelliphellip
73
Tableau III1 Caracteacuteristiques des sondes agrave effet Hallhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 90
Tableau III2 Valeurs de la densiteacute de courant critique calculeacute agrave une distance de
05mm au-dessus du centre des deux surfaces de la pastille SHTC helliphellip
94
Tableau III3 Valeurs de JC0i optimiseacutees pour les trois reacutegions de la pastillehelliphelliphelliphellip 96
Tableau III4 Les valeurs de temps de peacuteneacutetration complegravete et champ magneacutetique de
peacuteneacutetration eacutequivalent mesureacutes pour les trois configurationshelliphelliphelliphellip
100
Tableau III5 Valeur de la densiteacute de courant critique entre les deux pastilles SHTC
drsquoYBCO utiliseacutees dans nos expeacuteriences helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
105
116
Reacutefeacuterences
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124
Annexes
125
Annexe I reacutesolution des eacutequations de Laplace et de Poisson
1- Cas drsquoun circuit ouvert avec entrefer sans pastille supraconductrice
1-1 reacutegion I 3 4R r Rlt lt et 50 z Zlt lt
( )2 2
22 2 2
10 0 1I I I II
A A A AAr r r r z
part part partnabla = rArr + minus + =
part part part
En utilisant la meacutethode de seacuteparation des variables on met ( ) ( ) ( )I I IA r z R r Z z=
lrsquoeacutequation (1) srsquoeacutecrit donc sous forme
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 0 1 I I I I I I I II I I I
I I I
R R R Z R RZ Z Rr r r r z R r R r r r Z
Z Zz
λpart part part part part part+ minus + = rArr + minus = minus =
part part part part part part
Il existe donc deux eacutequations lieacutees agrave la constante Iλ
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 2
1 0 3
II I
I II I
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = part
part part + minus + = part part
1-1-1 Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (2) srsquoeacutecrit sous forme 2 0I IZ λ+ =
Le discriminant I∆ de cette eacutequation est donneacute par 4I Iλ∆ =
Trois cas sont possible pour I∆
1er cas 0 0I Iλ∆ = rArr =
Pour ce cas la solution de lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (2) est donneacutee par
( )I I IZ z A z B= +
En tenant en compte les conditions aux limites consideacutereacutees pour cette reacutegion on trouve
( )0 et 0 0I I IA B Z z= = rArr = Cette fonction ne nous inteacuteresse plus et 0Iλ = nrsquoest plus une
valeur propre de notre problegraveme
2egraveme cas 0 0I Iλ∆ gt rArr lt
On pose 2I Iλ β= minus soit 24I Iβ∆ = minus et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) I Iz zI I IZ z A e B eβ βminus= +
En tenant en compte les conditions aux limites
126
( )0 0I I IZ z A B= = rArr = minus
( ) ( ) ( )5 55 50 0 2 sinh 0I IZ Z
I I I IZ z Z A e e A Zβ β βminus= = rArr minus = rArr = Comme 0Iβ ne ceci nrsquoest
possible que pour 0IA = et donc 0IB =
La solution ( ) 0IZ z = ne nous inteacuteresse plus et 0Iλ lt aussi ne sont plus des valeurs propre de
ce problegraveme
3egraveme cas 0 0I Iλ∆ lt rArr gt
On pose 2I Iλ α= soit ( )24I Iiα∆ = et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) ( ) ( )cos sinI I I I IZ z A z B zα α= +
En tenant en compte les conditions aux limites
( )0 0 0I IZ z A= = rArr =
( ) ( )5 50 sin 0I I IZ z Z B Zα= = rArr = Cela nrsquoest possible que si 5
InnZπα = pour 1 0B gt avec
n=1 2 3hellip par conseacutequent 2
5In
nZπλ
=
sont les valeurs propres du problegraveme aux limites
Les fonctions propres associeacutees aux valeurs Inλ sont
( ) ( )sinI In InZ z B zα= Avec5
InnZπα =
112 Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Les valeurs propres Inλ sont maintenant connues Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle agrave reacutesoudre dans ce
cas ( ( )2
2 2 22 1 0I I
I IR Rr r r Rr r
αpart part+ minus + =
part part) est une eacutequation de Bessel modifieacutee
On effectue le changement de variable Inr rα= Lrsquoeacutequation alors srsquoeacutecrit
( )2
2 22 1 0I I
IR Rr r r Rr r
part part+ minus + =
part part
Les solutions de cette eacutequation de Bessel modifieacutees sont alors
( ) ( ) ( )1In In n In I nR r C I r D K rα α= +
La forme du potentiel vecteur magneacutetique dans la reacutegion I est donneacutee par
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 11
I In nI n n n
nIA a I r b K r sin zr z R r Z z α α α
infin
=
= += sum
Utilisant la condition aux limites4
( ) 0r R
rAr =
part=
part le potentiel A srsquoeacutecrit
127
( ) ( )( ) ( ) ( )0
101
nIn n n
n nI
K rb K r sin zA
rr
Iz
αα α
α
infin
=
+ =
sum
5n
nZπα = Avec
1-2 Reacutegion II 2 3 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre ici est une eacutequation de Laplace
2 2
02 2 2
1 ( ) (4)II II II IIA A A A J zr r r r z
micropart part part+ minus + = minus
part part part
Avec ( ) 1 4
0J pour Z z Z
J zAilleur
lt lt=
1-2-2 Reacutesolution de lrsquoeacutequation de Laplace sans second membre
En utilisant la meacutethode de seacuteparation des variables ( ) ( ) ( )II II IIA r z R r Z z= times deux
eacutequations en r et en z sont agrave reacutesoudre
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 5
1 0 6
IIII II
II IIII II
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = part
part part + minus + = part part
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de (5) srsquoeacutecrit par 2 0II IIZ λ+ = ou le discriminant II∆ de cette
eacutequation est donneacute par 4II IIλ∆ = minus
1er cas 0 0II IIλ∆ = rArr =
En suivant les mecircmes eacutetapes de la reacutesolution deacutecrit preacuteceacutedemment on trouve que
cette valeur de 0IIλ = nrsquoest pas une valeur propre du problegraveme
2egraveme cas 0 0II IIλ∆ gt rArr lt
On trouve aussi que 0IIλ lt ne sont plus aussi des valeurs propres de ce problegraveme
3egraveme cas 0 0II IIλ∆ lt rArr gt On pose 2II IIλ α= soit ( )24II IIiα∆ =
La solution srsquoeacutecrit comme ( ) ( ) ( )cos sinII II II II IIZ z A z B zα α= +
En tenant en compte les conditions aux limites agrave 0z = et 5z Z=
( )0 0 0II IIZ z A= = rArr =
128
( ) ( )5 55
0 sin 0I II II IIn nnZ z Z B ZZπα α α= = rArr = rArr = = Avec n=1 2 3hellip Donc IInλ sont les
valeurs propres du problegraveme Les fonctions propres associeacutees aux valeurs IInλ sont
( ) ( )sinII IIn nZ z B zα= Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Les valeurs propres pour dans cette reacutegion sont maintenant connues donc on peut
reacutesoudre lrsquoeacutequation (6) (eacutequation de Bessel modifieacutee) suivant la variable r
En effectuant changement de variables IInr rα= les fonctions solution de cette eacutequation sont
alors
( ) ( ) ( )1 1IIn IIn n IIn nR r C I r D K rα α= +
Deacutetermination des solutions de lrsquoeacutequation avec second membre
On effectue la transformeacutee de Fourier de la densiteacute de courant eacutelectrique sur la base des
fonctions solutions de lrsquoeacutequation homogegravene en z soit
( ) ( )1
sinIIn nn
J z J zαinfin
=
=sum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )25
1
1 25 50
2 2 2sin sin cos cosZ Z
IIn nZ
n n nJ JJ J z z dz z dz Z Z
Z Z nα α α α
π= = = minusint int
A partir de lrsquoeacutequation (4) on peut eacutecrire
( )2 2
2 2 202 2 sin II II II
II II II II II IIn nR A Zr Z rZ R Z r R rr r z
J zαmicropart part part+ minus + = minus
part part part
On remplace ( )IIZ z par son expression dans cette eacutequation (avec nr rα= ) on trouve
( )2
2 2 2 2 02 1 II II IIn
n IIIIn
R Ar r r R rr r
JBmicroαpart part
+ minus + = minuspart part
Cette eacutequation srsquoeacutecrit sous forme
( )( )
1
2 2 2 1 4Γ 1 2
r
r L r L r L
υ
υ υ υ π υ
+ + minus + =
+
Dont les fonctions de Struve sont solutions de cette eacutequation [hellip]
Pour 1ν = les fonctions solutions de cette eacutequation srsquoeacutecrivent sous forme
( ) ( ) ( ) ( )0 21 0 12 2Γ 3 2
2n IIn
II n nn n IIn
J JR r L r L rB B
micro ππ α micro αα α
= minus = minus
Drsquoougrave
129
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11
1 sinII IIII II II n n n I n n n
nnLA r z R r Z z a I r b K r C zrαα α α
infin
=
= = + minussum
Avec 0 22 etII II
n IIn II n IIn IIIIn
nna C B b D B C Jπmicro
α= = =
1-3 Reacutegion III 1 2R r Rlt lt et 50 z Zlt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre ici est une eacutequation de Poisson
( )2 2
2 2 2
1 0 7III III III IIIA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
La solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation (7) est obtenue en suivant les mecircmes eacutetapes de la
reacutesolution pour la reacutegion I avec des conditions aux limites imposeacutees agrave z=0 et z= Z5 de type
Dirichlet 5( 0 ) 0 et ( ) 0III IIIA r z A r z Z= = = =
La forme geacuteneacuterale du potentiel vecteur magneacutetique obtenue est donc
( ) ( ) ( )( ) ( )1 11
III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Avec 5
nnZπα =
1-4 reacutegion IV 10 r Rlt lt et 2 3Z z Zlt lt
( )2 2
2 2 2
1 0 8IV IV IV IVA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites consideacutereacutees ici sont de types Neumann
2 3
( ) ( )0 et 0IV IV
z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
En appliquant la meacutethode de seacuteparation de variables ( ) ( ) ( )IV IV IVA r z R r Z z= times l eacutequation (8) srsquoeacutecrit sous forme
2 2
2 2 2
11 1 1 1IV IV IVIV
IV IV IV
R RR r R r r r
ZZ z
λpart part part+ minus = minus =
part part part
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 9
1 0 11
IVIV IV
IV IVIV IV
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = partrArr
part part + minus + = part part
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
130
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (10) srsquoeacutecrit sous forme 2 0IV IVZ λ+ =
4IV IVλ∆ =
1er cas 0 0IV IVλ∆ = rArr =
La solution est donneacutee sous forme ( )IV IV IVZ z A z B= +
En tenant en compte les conditions aux limites
bull 2 2
( ) ( )0 0 0IV IVIV
z Z z Z
A r z Z r z Az z= =
part part= rArr = rArr =
part part
bull 3 3
( ) ( )0 0IV IV
z Z z Z
A r z Z r zz z= =
part part= rArr =
part part Cette condition ne nous apprend rien sur
Par conseacutequent 0 0IV IVλ λ= = est une valeur propre simple de problegraveme et ( )0 0IVZ z B= est
une fonction propre simple ( 0B est une constante arbitraire)
2egraveme cas 0 0IV IVλ∆ gt rArr lt
Pour ce cas on trouve que les valeurs de 0IVλ lt ne sont pas des valeurs propre de ce
problegraveme
3egraveme cas 0 0IV IVλ∆ lt rArr gt
On pose 2IV IVλ β= soit ( )24IV IViβ∆ = et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) ( ) ( )cos sinIV IV IV IV IVZ z A z B zβ β= +
En tenant en compte les conditions aux limites
bull ( )( )
2 2
2
2
sin( ) ( )0 0cos
IVIV IVIV IV
z Z z Z IV
ZA r z Z r z B Az z Z
ββ= =
part part= rArr = rArr =
part part
bull ( )( )3 3
3 23 2
( ) ( )0 0 sin 0IV IVIV IV
z Z z Z
A r z Z r z kZ Zz z Z Z
πβ β= =
part part= rArr = rArr minus = rArr =
part part minus
bull Donc 2
3 2IV
kZ Z
πλ
= minus sont des valeurs propres du problegraveme et la fonction associeacutee
aux ces valeurs est
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2
22
sincos sin cos
cosIV
IV IV IV IV k IVIV
ZZ z A z z C z Z
Zβ
β β ββ
= + = minus
IVB
131
Avec ( )2cos
IVk
IV
ACZβ
=
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Deux cas sont possibles pour les valeurs de IVkλ 1er cas 0IVλ =
( )2
22 011 IV IV
IVR Rr r Rr r
part part+ minus =
part partrArr Equation drsquoEuler dont la solution est donneacutee sous forme
( ) 10 0IV IV IVR r C r D rminus= +
En appliquant la condition aux limites dans ce cas ( )0 0IVA r z= = on trouve 0 0IVD =
2egraveme cas 0IVλ gt
Lrsquoeacutequation (11) est devenue une eacutequation diffeacuterentielle de Bessel modifieacutee sa solutions est
donneacutee donc par
( ) ( ) ( )1IVk IVk k IVk I kR r C I r D K rβ β= +
En appliquant la condition aux limites ( )0 0IVA r z= = on trouve 0IVkD =
Donc la forme geacuteneacuterale du potentiel vecteur magneacutetique dans cette reacutegion est donneacutee par
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )00 11 21
0 cos IV IV IV IV V k kIV
IVk
A r z R r Z z R A r a Ir Z z z Zrβ βinfin
=
= + + minus= sum
132
Annexe II Condition de passage agrave lrsquointerface entre les reacutegions III et IV agrave r =R1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ] ( )
1 1
2
2 3
3 5
1 1 2 3
0 0
1
0
2
III IV
r R r R
IV III
pour Z ZrA rA
pour Z Z Zr r
pour Z Z Z
A r R Z A r R Z pour Z Z Z
= =
lt lt part part = lt lt part part
lt lt = = = isin
Commenccedilons la premiegravere condition
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
1 2 1
3
0
1 sin sinZ Z
kI
kZ
II IV
r R r R
rA rz
Ar r
dz z dzα α= =
rArrpart
=partpart partint int
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
5
3 3
2 2
0 10
0
0 1
0 2
sin sin
32 sin cos sin
k
k k
ZIII IIIn n n n n n
Z ZIVk k k k
Z Z
a I R b K R z z dz
A z dz a I r Z Z z dz
α α α α α
α β β β α
minus =
+ minus
rArrint
int int
On a
bull ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )5 5
0 0
sin sin cos2
cosZ Z
nn n n nk k kz z dz z z dzαα α α α α α α+= minusminusint int
( )( ) ( )( )5 51 1sin si
2n sin
n nk kk
nn
kkn
Z Zα α α α α α αα α α α
minus + ne minus +minus
=
On remplace α par son expression on trouve
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )5
0
1 1sin sin sin sin si2
Z
n knnz z dz n k n k
n kn k
knα α πα π π π
minus + ne
minus
minus +=int
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 12 2
1 11 sin 1 s s2
in in n n kk k
n nk kn kn n
π π+ + + = ne minus +
=
minusminus
minus
Pour n=m
( ) ( ) ( )( )5 5
05
0
1sin sin co 22 2 2
sZ Z
n nn n nkz z nZz d z dzα αα α α α π
= minus ==int int
133
Donc ( ) ( )( ) ( )5
21
2 2
0
1 sinsin sin
si
si2
k
nZ
n n
n kk
n n
nn
k
kz z dz
π
πα α α
+ neminus
=
minus=
int
bull ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3
2
0 1 1 1 1 2 311 3 2
2 12 sin cos cosZ
III IIIn n n n n
nkZk k kA z dz m a I R b K R Z Z
R Z Zα α α α α
α
infin
=
= + minus minus
sumint
bull ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 2cos sin sin sin2
Z Zk
k k kk k kZ Z
kZ Z z dz z z Z z z Z dzββ β α α β α βminus = + minus + minus minusint int
( )( ) ( )( )3
2
2 2sin sin2 k k
Zk
k k k kZ
z Z z Z dzβ α β β α β β= + minus + minus +int
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
2 2 3 2
2 2 3 2
1 cos cos
12 cos cos
k k k kkk
k
k k k kk
k kk
k
k kk
Z Z Z Zsi
Z Z Z Z
α β β α β βα ββ α β
α β β α β βα β
+ minus minus + minus + = ne + minus + minus minus + minus
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
2 3 3 2
2 3 3 2
1 cos cos
12 cos cos
k kk
k kk
kkk
kk
Z Z Z Z
Z Z Z Z
α α βα ββ
α α βα β
minus + minus + = + minus minus minus minus
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 3 3 2 3 3 2
2 3 3 2 3 3 2
1 cos cos cos sin sin
12 cos cos cos sin sin
k kkk
k kk
k k kk
k k kk
Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z
α α β α βα ββ
α α β α βα β
minus minus minus minus + + minus minus + minus minus
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
12 3
12 3
1 cos 1 cos
12 cos 1 cos
kk k
kk
kk
k
kk
k
Z Z
Z Z
α αα ββ
α αα β
+
+
+ minus + + + minus minus
=
( ) ( ) ( )( )2 21
2 3cos 1 cos sikkk
kk k k
kk
Z Zα β α α α βα β
++ minus ne=minus
Pour kkα β=
( )( ) ( ) ( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 2cos sin sin 2 sin2
Z Zk
k k k k kZ Z
kZ Z z dz z Z Z dzββ β α β β βminus = minus +int int
( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 2 2 2 3 3 21sin cos cos
2 2k
k k k kk
Z Z Z Z Z Z Zβ β β β ββ
= minus + minus + minus
134
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )13 2 2 2 3
1sin cos 1 cos2 2
kkk k k
k
Z Z Z Z Zβ β β ββ
+ = minus + minus minus
( ) ( ) ( ) ( )( )12 2 3
1sin cos 1 cos2 4
kk k k
k Z Z Zπ β β β+= + + minus
Donc
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
3
2
2
13
2
2
22 1
3
2
cospour
1 coscos sin
cos1sin pour2 4 1 cos
kkk kkZ
k kk k
Z kk k kk
k
k
k
k
Z
ZZ Z z dz
Zk ZZ
αα β α βα β α
β β αβπ β α β
β
+
+
+ ne
minus minus = +
+ = minus
minus
int
En conclusion
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2 2
0
21
2 2
0 1 0 1
1 1 1 1 2 311 3 2
12 3
2 2
si1 sin
2 1 cos cos
cos 1 cos si
1s
1si
2
in cos 12 4
n
III IIIn n n n
III IIIn n n n n
nk k
k
k
k
kkk k k k
IV kk k
kk k
n kna I R b K R
m a I R b K R Z ZR Z Z
Z Za I
n k
rk Z
kn n
Z
k
πα α
α α α αα
α β α α α βα ββπ β β
π
+
infin
=
+
neminusrArr
=
minus
minusminus
= + minus minus
+ minus ne+
+ + minus
sum
( )( )13cos sik k kZβ α β+
=
On met
( ) ( )( )2 3cos cos1k k k
k
Zm Zα
α αminus=
( )( ) 12 1 32n k n kh m Zm R Z
minusminus=
( ) ( )2
12
2 si
si
1 s n
2
in k
n n kk
kf
n
nn
n k
π
π
+minus
ne
minus==
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 3
12 2 3
2 2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
k kkk k k k
k
kk k k k k
kn k
Z Z
k Z Zg
Z
α β α α α βα βπ β β β α β
+
+
minus + minus ne= + + minus =
On trouve
135
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
1 1 0 1 1 1
10
0 1
1
0III IIIn n k n n k n n n k n n k n
IVk n k k
a h I R f I R b h K R f K R
a g I R
α α α α
β
minus + + = +
rArr
Pour la deuxiegraveme condition
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3 3
2 2
1 2 1 2 cos co2 sZ Z
IV k III kZ Z
A r R Z z Z dz A r R Z z Z dzβ β= minus = = minusrArr int int
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
3 3
2 2
3
2
20 1 2 1 1 2
1
1 1 21
cos cos
cos
Z ZIV
k kkZ Z
ZIII IIIn n n n
k k
n kn Z
A R z Z dz a I R z Z dz
a I r b K r sin z z Z dz
β β
α α α β
βinfin
=
infin
=
minus + minus
= +
rArr
minus
sumint int
sum int
On a
bull ( )( ) ( ) ( )( )3
2
2 3 2 2 21cos sin sin 0
Z
k k kkZ
z Z dz Z Z Z Zβ β ββ
minus = minus minus minus =int
bull ( )( ) ( )( )( ) ( )3 3
2 2
22 2 3 2
1 1cos 1 cos 22 2
Z Z
k kZ Z
z Z dz z Z dz Z Zβ βminus = + minus = minusint int
bull ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 21sin cos sin sin2
Z Z
n k n k n kZ Z
z z Z d z z z Z z z Z d zα β α β α βminus = + minus + minus minusint int
( )( ) ( )( )3
2
2 21 sin sin2
Z
n k k n k kZ
z Z z Z dzα β β α β β= + minus + minus +int
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
2 2 3 2
2 2 3 2
1 cos cos1 si
12 cos cos
n k k n k kn k
n k
n k k n k kn k
Z Z Z Z
Z Z Z Z
α β β α β βα β
α βα β β α β β
α β
+ minus minus + minus + = ne + minus + minus minus + minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 3 2 31 1 1cos cos cos cos2 n n n n
n k n k
Z Z k Z Z kα α π α α πα β α β
= minus + + minus minus + minus
( ) ( ) ( )( )12 3
1 1 1cos 1 cos2
kn n
n k n k
Z Zα αα β α β
+ = + minus + + minus
( ) ( ) ( )( )12 3 2 2
21 cos 1 cos si2
k nn n n k
n k
Z Z αα α α βα β
+ = + minus ne minus
Pour n kα β=
136
( ) ( )( ) ( ) ( )3 3
2 2
2 2 21sin cos sin 2 sin2
Z Z
n k k k kZ Z
z z Z dz z Z Z dzα β β β βminus = minus +int int
( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 2 2 2 3 21 1sin cos 2 cos 22 2k k k k k
k
Z Z Z Z Z Z Zβ β β β ββ
= minus + minus minus minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )13 2 2 2 3
1 1sin cos 1 cos2 4
kk k k
k
Z Z Z Z Zβ β ββ
+= minus + + minus
En conclusion
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 3 2
12 3 2 2
1
113 2 2 2 3
21 cos 1 cos si 21 1sin cos 1
2
co4
1
s2
IV
k nIII n n n kn n n k
IIIkn n
k k k kk
k
n
ka I R Z Z
Z Za I r
b K r Z Z Z Z Z si
αα α α βα α βα
β β β α ββ
β
+
+
minus
+ minus ne minus = + minus + + minus =
rArr
En multipliant les deux coteacute de cette eacutequation par kβ on trouve
( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1
12 32 2
1 11
2 2 3
2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
IV
kn kn n n k
III III n kn n n n
kk k k k
k k
n
ka I R
Z Za I r b K r
k Z Z Z
π
α β α α α βα βα απ β β β α
β
β
+
+
+ minus ne minus= +
rArr
+ + minus =
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 02
III III IVn n k n n n k kk n
ka g I r b g K r a I Rπα βαrArr + minus =
137
Annexe III Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
En appliquant les conditions de continuiteacutes du potentiel vecteur magneacutetique aux interfaces
entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave r=R2 et entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI agrave r= R1
( ) ( ) [ ] ( )
( )( ) [ ]
[ ]( ) [ ]
( )
2 2 2 5
1 2 3
1 3 4
1 4 5
Pour 1
Pour
0 Pour 2
Pour
IV III
V
IV
VI
A r R z A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
= = = isin
= isin
= = isin = isin
Par inteacutegration de ces deux eacutequations par rapport agrave z sur lrsquointervalle [ ]2 5Z Z on trouve
( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
5 5 5
2 2 2
5
2 2
1 2 1 201 221
1 111 2 1 2 1 2
1 101 121
11 1 1 1
cos sin
cos
IV IIIZ Z Zn n n
nIV IIIn nZ Z Zn n n
IVZ Zn
IVZ Zn
nn
n
nn
n
a I R a I RA Rdz z Z dz z dz
A R b K R b K R
a I RA Rdz z Z dz
A R b K R
β αβ α
β α
ββ
β
infin infin
minus= =
minus
+ minus = + + +
+ minus + +
sum sumint int int
int( ) ( )( )
( ) ( )( )4
3
5
52
1 2 1
1 3 1 3 4
1
1
2 2
1
c
s
s
in
on
ZVIn n n
n Z
ZV
n nn Z
n
a I R z
a I R z Z dz
Z dz
β β
β βinfin
infin =
= infin
=
minus
minus
= +
sum
sumint
int
intsum
( )( )( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 2101 2 11 2 5 2 2 5
1 1 2
1101 1 11 1 5 2 1 2 1
13
321 1
1 cos cos
1 1 1
IIIn n
n nIIIn nn n
nVn
n n
VIn n n
n
a I RA R A R Z Z Z Z
b K R
A R A R Z Z a RR a II
αα α
α
βββ
β
α
infinminus
=
infin+minus
=
+ minus = minus + rArr
+ minus = minus +
sum
sum
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )1
1 22 201 2 11 2 5
15 2 1 2
12 101 1 11 1 2 3
21
5 31
1 2
1 co
1 1
s cos
1
IIIn n
n nI
VIn
IIn n n n
nVn n
n nn
n
a I
a I RRA R A Z ZZ Z b K R
RA R A a I RZ Z
Rββ
αα α
α α
ββ
infin
=
infin+
=
+ = minus minus + rArr
+ = minus + minus
sum
sum
( ) ( )( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1
1 2 12
0 1 1 2 1 21
1 2111 1 2 1 01
1 3 13
1 3 15 2 3
11 2
1
1 1
1
1
n
VIn n
n
VIn n
nV
nIII III nn n n n n
n
nVn n
n n n
a I R
a I R
a I RA a I R b K R h q
RA a I R A RZ Z
β
ββ
ββ
βα α
ββ
+
infin
=
infin+
=
minus = + minus +rArr = minus + minus minus
sum
sum
138
Avec
( )2
2 22 1
n nRh m
R R e=
minus ( ) ( )( )2 5cos co1 s n nn
n
Z Zmα
α α= minus ( )
12 2
2 1
RqR R e
=minus
et 5 2e Z Z= minus
139
Reacutesumeacute
Lrsquoobjectif de ce travail de thegravese est drsquooptimiser le processus drsquoaimantation des
pastilles supraconductrices agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) par un champ magneacutetique
impulsionnel ou PFM (Pulsed Field Magnetization) afin de les mettre en œuvre dans des
applications dans le domaine de lrsquoeacutelectrotechnique Dans lrsquoeacutetape de conception de lrsquoinducteur
neacutecessaire pour magneacutetiser ces pastilles SHTC la modeacutelisation et la simulation sont
fortement recommandeacutees pour effectuer les calculs neacutecessaires des diffeacuterentes caracteacuteristiques
eacutelectriques du systegraveme drsquoaimantation De ce fait nous avons deacuteveloppeacute un modegravele analytique
pour eacutetudier lrsquoinfluence de la preacutesence drsquoune pastille supraconductrice dans un circuit
ferromagneacutetique sur la valeur de lrsquoinductance drsquoune bobine inductrice Il srsquoagit de reacutesoudre les
eacutequations de Laplace et de Poisson dans diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecirct agrave travers le potentiel
vecteur magneacutetique La reacutesolution analytique a eacuteteacute effectueacutee agrave lrsquoaide drsquoun code de calcul
deacuteveloppeacute sous MATLAB ougrave les reacutesultats obtenus ont eacuteteacute en bonne concordances avec ceux
obtenus par simulation numeacuterique sous COMSOL
Lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC de type YBaCuO en termes de la densiteacute de
courant critique Jc a eacuteteacute eacutegalement eacutetudieacutee Pour cela nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences de
lrsquoaimantation des ces pastilles par la meacutethode PFM Nous avons montreacute que la surface plane
contenant le germe de cristallisation (seed) de ces pastilles est caracteacuteriseacutee par une Jc plus
eacuteleveacutee que lrsquoautre surface Ainsi nous avons eacutetudieacute lrsquoinfluence de la position du germe de
cristallisation dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles
Mots cleacutes Supraconducteur modeacutelisation analytique inductance aimantation champ
magneacutetique impulsionnel caracteacuterisation
140
Abstract
The aim of this thesis is to optimize the process of magnetization of superconducting
pellets at high critical temperature (SHTC) by pulsed field magnetization (PFM) in order to
use them in applications in the field of electrical engineering In the design phase of the
inductor necessary to magnetize these SHTC pellets modeling and simulation are strongly
recommended to perform the necessary calculations of the various electrical characteristics of
the magnetization system Therefore we have developed an analytical model to study the
influence of the presence of a superconducting bulk on the value of the inductance of an
induction coil in a ferromagnetic circuit The aim is to solve the Laplace and Poisson
equations in different regions of interest through the magnetic vector potential The analytical
resolution was performed (carried out) using a computer code developed under MATLAB
where the results obtained were in good agreement with those obtained by numerical
simulation under COMSOL
The inhomogeneity of YBaCuO type SHTC pellets in terms of critical current density
Jc was also investigated To do this we carried out experiments on the magnetization of these
bulks by the PFM method We have shown that the flat surface containing the crystallization
germ (seed) of these pellets is characterized by a higher Jc than the other surface Also we
studied the influence of the position of the seed crystallization in the two-pellet
characterization method
Key words Superconductor analytical modeling inductance magnetization pulsed
magnetic field characterization
141
ملخص
عالية حرجة حرارة درجة ذات التوصيل فائقة المواد مغنطة عملية تحسين هو العمل هذه من الهدف )SHTC (نبضي أو ما يعرف بطريقة مغناطيسي حقل طريق عنPFM في تطبيقات في استعمالها أجل من
حرارة درجة ذات التوصيل فائقة الاقراص لمغنطة المطلوب المحث تصميم مرحلة في الكهربائية الهندسة مجال لنظام المختلفة الكهربائية للخصائص اللازمة الحسابات لإجراء والمحاكاة بالنمذجة بشدة يوصى عالية حرجة
لوشيعة الذاتية قيمة على التوصيل فائق قرص وجود تأثير لدراسة تحليلي نموذج بتطوير قمنا لذلك المغنطةداخل الدارة مختلفة مناطق في وبواسون لابلاس معادلات حل هو الهدف حديدية مغناطيسية موجودة داخل دارة
تطويره تم برنامج باستخدام التحليلي الحل إجراء تم الشعاع المغناطيسي كمون خلال حساب من المغناطيسية تم التي تلك مع متوافقة الى حد كبير عليها الحصول تم التي النتائج كانت حيث MATLAB باستعمال الكود
COMSOL بموجب العددية المحاكاة خلال من عليها الحصول
نوع عالية من حرجة حرارة درجة التوصيل ذات فائقة أقرص تجانس عدم دراسة لقد تم أيضا YBaCuO باستخدام الأقراص هاته مغنطة من أجل تجارب أجرينا بذلك للقيام الحرج التيار كثافة حيث من
هاته الأقراص تبلور بذرة على يحتوي الذي المستوي السطح أن بينا من خلال هاته الدراسة لقد PFM طريقة في التبلور بذرة موضع تأثير درسنا وايضا الآخر السطح مرتفعة بالمقارنة مع Jc حرج تيار بكثافة يتميز
باستخدام قرصين متطابقين التوصيف طريقة
فائق الناقلية النمذجة التحليلية الذاتية المغنطة الحقل المغناطيسي النبضي التوصيف الكلمات الدالة
- Caracteacuterisation et modeacutelisation des mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
-
- Avant propos
- Table des matiegraveres
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- Introduction geacuteneacuterale
- Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoart
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- I1 Historique de la supraconductiviteacute
- I2 Grandeurs caracteacuteristiques des Supraconducteurs
-
- I21 Tempeacuterature critique
- I22 Champ magneacutetique critique
-
- I221 Supraconducteurs Type I
- I222 Supraconducteurs Type II
-
- I23 Densiteacute de courant critique JC
- I24 Surface critique
-
- I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
-
- I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
-
- I311Supraconducteur YBa2Cu3O7-δ
-
- a- Preacutesentation
- b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuO
- c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuO
-
- I32 Supraconducteur MgB2
-
- a- Preacutesentation
- b- Structure cristalline de MgB2
- c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2
-
- I4 Modegraveles des supraconducteurs
-
- I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)
-
- I411 Preacutesentation du modegravele
- I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long notion de peacuteneacutetration complegravete
-
- I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)
- I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et n
-
- I5 Meacutethodes drsquoaimantation
-
- I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)
- I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC)
- I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization (PFM)
-
- I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTC
-
- I51 Meacutethode eacutelectrique
- I52 Meacutethode magneacutetique
-
- I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastille
-
- I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur le champ de peacuteneacutetration
- I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de lrsquoexposant-n et Jc
-
- I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille
-
- I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et BP
-
- I6 Objectifs de la thegravese
-
- Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
-
- II1 Introduction
- II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveses
- II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetique
-
- II31 Reacutegion I R3ltrltR4 et 0ltzltZ5
- II32 Reacutegion II R2ltrltR3 et 0ltzltZ5
- II33 Reacutegion III R1ltrltR2 et 0ltzltZ5
- II34 Reacutegion IV 0ltrltR1 et Z2ltzltZ3
- II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0
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- II4 Conditions de passages entres interfaces
-
- II41 Condition drsquointerface agrave r=R3
- II42 Condition drsquointerface agrave r=R2
- II43 Condition drsquointerface agrave r=R1
-
- II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobine
- II6 Reacutesultats analytiques et discussion
- II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
-
- II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
- II72 Conditions de passages entres interfaces
-
- II721 Interface agrave r = R4
- II722 Interface agrave r = R3
- II723 Interface agrave r = R2
- II724 Interface agrave r = R1
-
- II72 Expression analytique de lrsquoinductance
- II73 Reacutesultats et discussion
-
- II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique impulsionnel
- II9 Conclusion
-
- Chapitre 3 Prise en compte de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de leur caracteacuterisation
-
- III1 Introduction
- III2 Description du banc expeacuterimental
-
- III21 Les pastilles SHTC
- III22 Le circuit drsquoaimantation
- III23 Instrumentation
-
- III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTC
-
- III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hall
- III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de la pastille
- III33 Simulations numeacuteriques
-
- III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles
- III5 Conclusion
-
- Conclusion geacuteneacuterale et perspectives
- Liste des illustrations graphiques et tableaux
- Reacutefeacuterences
- Annexes
-
- Annexe I reacutesolution des eacutequations de Laplace et de Poisson
- Annexe II Condition de passage agrave lrsquointerface entre les reacutegions III et IV agrave r =R1
- Annexe III Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
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Table des matiegraveres Introduction geacuteneacuteralehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4
Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoarthelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 7
I1 Historique de la supraconductiviteacutehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8
I2 Grandeurs caracteacuteristiques des supraconducteurshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11
I21 Tempeacuterature critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11
I22 Champ magneacutetique critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13
I221 Supraconducteurs Type Ihelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13
I222 Supraconducteurs Type IIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 14
I23 Densiteacute de courant critique Jchelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 15
I24 Surface critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 17
I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18
I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 19
I32 Supraconducteur YBa2Cu3O7-δhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20
a- Preacutesentationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 20
b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 21
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 23
133 Supraconducteur MgB2 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24
a- Preacutesentationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 24
b- Structure cristalline de MgB2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25
I4 Modegraveles des supraconducteurs helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26
I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26
I411 Preacutesentation du modegravele helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 26
I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long
notion de peacuteneacutetration complegravetehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)helliphelliphelliphelliphellip 30
I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et nhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 31
I5 Meacutethodes drsquoaimantation helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32
I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 32
I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC) helliphelliphelliphelliphelliphellip 33
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I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization
(PFM)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 37
I51 Meacutethode eacutelectrique helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 37
I52 Meacutethode magneacutetiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 38
I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 38
I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur
le champ de peacuteneacutetration helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de
lrsquoexposant-n et Jchelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille helliphellip 43
I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et
BPhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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I6 Objectifs de la thegravese helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 48
Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit
ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphellip
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II1 Introductionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50
II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveseshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 51
II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53
II31 Reacutegion I helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53
II32 Reacutegion II helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 54
II33 Reacutegion III helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55
II34 Reacutegion IV helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55
II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II4 Conditions de passages entres interfaceshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II41 Condition drsquointerface agrave r=R3helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II42 Condition drsquointerface agrave r=R2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57
II43 Condition drsquointerface agrave r=R1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57
II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobinehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59
II6 Reacutesultats analytiques et discussionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 60
II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en preacutesence
drsquoune pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 67
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II72 Conditions de passages entres interfaceshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II721 Interface agrave r = R4helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II722 Interface agrave r = R3helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II723 Interface agrave r = R2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II724 Interface agrave r = R1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 69
II73 Expression analytique de lrsquoinductance helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 72
II74 Reacutesultats et discussion helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73
II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique
impulsionnelhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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II9 Conclusionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 82
Chapitre 3 Prise en compte de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de leur
caracteacuterisationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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III1 Introductionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 84
III2 Description du banc expeacuterimental helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 85
III21 Les pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 86
III22 Le circuit drsquoaimantationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 87
III23 Instrumentation helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 89
III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 91
III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hallhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 91
III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de
la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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III33 Simulations numeacuteriqueshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 94
III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux
pastilleshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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III5 Conclusion helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 105
Conclusion geacuteneacuterale et perspectiveshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 107
Listes des illustrations graphiques et tableauxhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 110
Reacutefeacuterences helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116
Annexeshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 124
Annexe Ihelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 125
Annexe IIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 132
Annexe IIIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 137
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Introduction geacuteneacuterale
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Faire leacuteviter un train ou avoir des cacircbles eacutelectriques beaucoup plus puissants pour le
transport du courant sans perte drsquoeacutenergie sont devenus possibles gracircce au pheacutenomegravene de la
supraconductiviteacute La deacutecouverte des mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature
critique (SHTC) agrave bases drsquooxydes de cuivre donne des nouvelles possibiliteacutes pour des
applications en eacutelectrotechnique a cause de leurs proprieacuteteacutes exceptionnelles Ils peuvent
transporter lrsquoeacutenergie eacutelectrique avec des pertes neacutegligeables en courant eacutelectrique continu et
tregraves inferieures agrave celles des conducteurs classique en courant alternatif mais aussi eacutecranter ou
pieacuteger des champs magneacutetiques eacuteleveacutes par rapport aux aimants permanents conventionnels
Sur cette deuxiegraveme qualiteacute exceptionnelle de nombreuses eacutetudes ont porteacute sur lrsquoameacutelioration
des systegravemes drsquoaimantation de mateacuteriaux SHTC massifs dont la modeacutelisation et la simulation
sont fortement recommander afin drsquooptimiser les processus
Parmi les mateacuteriaux SHTC les oxydes mixtes de baryum de cuivre et dyttrium ou
YBaCuO a eacuteteacute le premier oxyde de la famille des cuprates agrave preacutesenter une tempeacuterature
critique supeacuterieure au point drsquoeacutevaporation de lrsquoazote liquide Beaucoup drsquoeacutetudes portent sur
lrsquoeacutelaboration et la mise en forme de ce composeacute sous forme de massifs et de rubans Pour
optimiser les proprieacuteteacutes supraconductrices de ce mateacuteriau des conditions particuliegraveres de
croissances et de stœchiomeacutetrie doivent ecirctre satisfaites Des meacutethodes de caracteacuterisations des
pastilles SHTC ont eacuteteacute proposeacutees au niveau du laboratoire GREEN afin de mettre en œuvre
ces pastilles dans des applications dans le domaine de lrsquoeacutelectrotechnique Ces meacutethodes
portent sur la mesure de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete et par la suite de calculer
la densiteacute de courant critique qui est geacuteneacuteralement supposeacutee constante dans tout le volume de
la pastille
Le travail de recherche de cette thegravese porte sur la modeacutelisation et la caracteacuterisation de
mateacuteriaux SHTC Le but final est drsquooptimiser le processus drsquoaimantation par un champ pulseacute
ou PFM (Pulsed Field Magnetization) Ainsi le comportement drsquoune pastille SHTC placeacutee
dans le circuit ferromagneacutetique drsquoaimantation par PFM doit ecirctre eacutetudieacute afin de faire un
dimensionnement optimal de lrsquoinducteur du systegraveme drsquoaimantation Pour cela il est preacutefeacuterable
de maitriser des meacutethodes de calculs analytiques de champ magneacutetique pour acceacuteleacuterer
nettement le processus drsquoaimantation Pour permettre de bien modeacuteliser les pastilles SHTC
les meacutethodes de caracteacuterisations de ces pastilles doivent ecirctre ameacutelioreacutees et surtout adapteacutees agrave
la taille et au frome de ces pastilles Ceci explique le plan de cette thegravese en deux parties
relativement indeacutependantes
6
Dans le premier chapitre nous allons preacutesenter un rappel historique sur la
supraconductiviteacute puis les grandeurs et les proprieacuteteacutes caracteacuteristiques des mateacuteriaux
supraconducteurs Ensuite nous allons deacutecrire les diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantations et
nous terminons par une description des meacutethodes de caracteacuterisations deacuteveloppeacutees au niveau
du laboratoire GREEN de lrsquouniversiteacute de Lorraine
Le deuxiegraveme chapitre est deacutedieacute agrave la modeacutelisation analytique du systegraveme drsquoaimantation
par PFM Le modegravele analytique proposeacute permet de calculer lrsquoinductance de lrsquoensemble
composeacute drsquoune bobine inductrice drsquoun circuit ferromagneacutetique et en preacutesence drsquoune pastille
supraconductrice ce qui est un apport important de cette thegravese Ce modegravele sera valideacute
numeacuteriquement en utilisant le logiciel COMSOL souvent utiliseacute dans le domaine de la
supraconductiviteacute appliqueacutee
Le troisiegraveme chapitre sera consacreacute agrave la caracteacuterisation des pastilles SHTC et
particuliegraverement agrave lrsquoeacutetude de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC de type YBaCuO en termes
de densiteacute de courant critique La caracteacuterisation de ces pastilles se fait agrave lrsquoaide de la mesure
de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete lors de lrsquoaimantation de cette pastille par la
meacutethode PFM De cette mesure on deacuteduit la densiteacute de courant critique Jc Lrsquoinfluence de la
position du germe de cristallisation dans les meacutethodes de caracteacuterisation sera eacutegalement
eacutetudieacutee
7
Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoart
8
I1 Historique de la supraconductiviteacute
Les proprieacuteteacutes eacutelectriques et magneacutetiques de certains mateacuteriaux changent de maniegravere
cruciale agrave de tregraves basses tempeacuteratures Parmi ces mateacuteriaux on cite les mateacuteriaux dits
laquo supraconducteurs raquo Ces mateacuteriaux perdent totalement leurs reacutesistances au passage du
courant eacutelectrique et expulsent les lignes des champs magneacutetiques on parle dans ce cas de
figure drsquoun pheacutenomegravene physique assez intriguant et inteacuteressant qui srsquoappelle laquo la
supraconductiviteacute raquo Ce pheacutenomegravene est devenu un domaine tregraves passionnant de la physique
surtout qursquoil a mis en doute les principes eacutetablis de cette science notamment en
eacutelectromagneacutetisme Sa deacutecouverte datant de 1911 est due au physicien Neacuteerlandais Heike
Kamerlingh Onnes (1853-1926) lors de son eacutetude du comportement eacutelectrique des meacutetaux tregraves
purs agrave tregraves basse tempeacuterature apregraves avoir reacuteussi agrave liqueacutefier lheacutelium en 1908 pour atteindre
une tempeacuterature de 42 K soit -26895degC [1-5] On savait deacutejagrave que geacuteneacuteralement la reacutesistiviteacute
des meacutetaux diminue lineacuteairement en abaissant la tempeacuterature jusqursquoagrave une certaine valeur Au-
dessous de cette valeur elle reste geacuteneacuteralement constante mecircme en diminuant la tempeacuterature
Cette reacutesistiviteacute appeleacutee reacutesistiviteacute reacutesiduelle est due aux impureteacutes ainsi aux deacutefauts dans la
structure cristalline deacutejagrave preacutesente dans le meacutetal Onnes remarqua qursquoagrave une tempeacuterature
infeacuterieure agrave 415 degk (appeleacute tempeacuterature critique) la reacutesistiviteacute eacutelectrique du mercure tombe
brusquement agrave zeacutero (Figure I1) Une anneacutee apregraves il observa le mecircme pheacutenomegravene lors des
essais similaires reacutealiseacutes avec de lrsquoeacutetain et du Plomb (qui sont des tregraves mauvais conducteurs agrave
tempeacuterature ambiante) agrave des tempeacuteratures critiques de 37K et 6K respectivement
Figure I1 Reacutesistiviteacute eacutelectrique de mercure agrave basse tempeacuterature [2]
9
Au deacutebut toutes les recherches qui ont eacuteteacute consacreacutees pour percer le mystegravere de ce
pheacutenomegravene de supraconductiviteacute ont eacuteteacute de types pheacutenomeacutenologiques comme par exemple la
deacutecouverte de lrsquoeffet Meissner en 1933 [6-9] par les deux physiciens allemands Walter
Meissner (1882-1974) et Robert Ochsenfeld (1901-1993) qui consiste agrave observer la capaciteacute
du mateacuteriau supraconducteur agrave exclure les lignes du champ magneacutetique preacutesent dans son
voisinage immeacutediat le courant eacutelectrique est porteacute par des paires drsquoeacutelectrons apparieacutes qui
peuvent se mouvoir sans aucune reacutesistance ni dissipation En preacutesence drsquoun champ
magneacutetique les paires drsquoeacutelectrons engendrent des courants de surface permanents qui agrave leur
tour creacuteent au cœur du mateacuteriau un champ magneacutetique qui annule le champ externe Crsquoest sur
cet effet appeleacute aussi diamagneacutetisme parfait que se base la leacutevitation magneacutetique Cependant
lrsquoeffet Meissner nrsquoa lieu que si le champ externe est suffisamment faible
En 1935 la theacuteorie de London a eacuteteacute mise en place par les fregraveres Fritz London (1900-
1954) et Heinz London (1907-1970) [1011] pour expliquer le pheacutenomegravene drsquoexpulsion du
champ magneacutetique dans tout le mateacuteriau supraconducteur agrave lrsquoexception drsquoune couche de
surface du mateacuteriau Le champ magneacutetique deacutecroicirct exponentiellement agrave lrsquointeacuterieur du
mateacuteriau et peacutenegravetre sur une longueur caracteacuteristique 20L sm n eλ micro= appeleacutee longueur de
peacuteneacutetration de London avec ns eacutetant la densiteacute des laquosupra eacutelectronraquo m et e sont
respectivement la masse et la charge eacutelectrique des eacutelectrons et 0micro est la permeacuteabiliteacute du vide
Pour des supraconducteurs conventionnels Lλ varie entre 100 et 1000Å
Pendant plusieurs anneacutees les physiciens ont cru qursquoil existe un seul type de mateacuteriaux
supraconducteurs jusqursquoagrave lrsquoarriveacutee de la theacuteorie de Ginzburg-Landau en 1950 [12] une autre
theacuteorie pheacutenomeacutenologique qui a eacuteteacute mise en place par les physiciens sovieacutetiques V L
Ginzburg (1916-2009) et L D Landau (1908-1968) et qui a permis drsquoexpliquer les proprieacuteteacutes
macroscopiques des supraconducteurs Ils ont introduit une constante k quasiment
indeacutependante de la tempeacuterature appeleacutee constante de Ginzburg-Landau En particulier Alexei
Abrikosov (1928-2017) montre quavec cette theacuteorie on peut preacutevoir lexistence de deux
cateacutegories de supraconducteurs (types I et II)
En 1957 J Bardeen (1908-1991) L N Cooper (1930) et JR Schrieffer (1931-2019)
ont expliqueacute la supraconductiviteacute de faccedilon microscopique par la formation des paires
drsquoeacutelectrons appeleacute paires de Cooper sous lrsquoeffet drsquoune interaction attractive entre eacutelectrons
reacutesultant de lrsquoeacutechange de phonons [9 13 14] A basse tempeacuterature ces eacutelectrons ne subissent
aucune dissipation drsquoeacutenergie par effet joule car ils ne rencontrent aucune reacutesistance donc ils
10
sont capables de se deacuteplacer agrave travers le mateacuteriau sans aucun frottement crsquoest la theacuteorie BCS
Malheureusement cette theacuteorie nrsquoest valable que pour des mateacuteriaux supraconducteurs agrave basse
tempeacuterature (environ 30 K)
Avec lrsquoarriveacutee de lrsquoanneacutee 1986 une deacutecouverte deacutecisive a eacuteteacute faite dans le domaine de
la supraconductiviteacute Karl Alexander Muumlller (1927) et Johannes Georg Bednorz (1950)
chercheurs du laboratoire de recherche IBM agrave Ruumlschlikon en Suisse ont deacutecouvert un oxyde
agrave base de Baryum de Lanthane de Cuivre et drsquoOxygegravene (Ba-La-Cu-O) agrave une tempeacuterature de
34degK [15-17]
Cette deacutecouverte a deacuteclencheacute une vague dactiviteacutes dans le domaine de la supraconductiviteacute
Des chercheurs du monde entier ont commenceacute agrave cuisiner des ceacuteramiques de toutes les
combinaisons imaginables dans le but de trouver des supraconducteurs agrave des tempeacuteratures
plus en plus hautes
En janvier 1987 une eacutequipe de chercheurs de lrsquoUniversiteacute drsquoAlabama-Huntsville a
remplaceacute le lanthane par lrsquoyttrium dans les moleacutecules de BaLaCuO et a obtenu un incroyable
rendement agrave une tempeacuterature de 92 K Pour la premiegravere fois on avait deacutecouvert un mateacuteriau
supraconducteur (appeleacute aujourdhui YBaCuO) agrave des tempeacuteratures supeacuterieures agrave celles de
lazote liquide [18-20]
Apregraves des nouvelles geacuteneacuterations de composeacutes baseacutes sur lrsquooxyde de cuivre apparurent
avec des tempeacuteratures critiques qui deacutepassent la tempeacuterature de lrsquoheacutelium liquide tel que La-
Sr-Cu-O Y-Sr-Cu-O Bi-Sr-Ca-Cu-O Ta-Ba-Cu-O et Ti-Sr-Ca-Cu-O [21-28]
Tregraves reacutecemment une eacutequipe de linstitut Max-Planck de chimie de Mayence (Allemagne)
annonccedilait avoir observeacute des signes de lapparition dune phase supraconductrice dans
lrsquo hydrure de lanthane(LaH10) agrave une tempeacuterature de seulement 250 K soit environ -23 degC
mais ce composeacute nrsquoest pas stable qursquoagrave tregraves haute pression [29]
11
Figure I2 Historique des deacutecouvertes de la tempeacuterature critique
I2 Grandeurs caracteacuteristiques des Supraconducteurs
La supraconductiviteacute est un eacutetat de la matiegravere dont les proprieacuteteacutes eacutelectromagneacutetiques
exceptionnelles tel que la reacutesistance nulle et lrsquoexpulsion du champ magneacutetique jouent un rocircle
tregraves important tant du point de vue physique fondamentale que du point de vue application
Un supraconducteur est caracteacuteriseacute par trois grandeurs fondamentales tempeacuterature critique
CT champ magneacutetique critique119867119867119867119867 et la densiteacute de courant critique Jc Ces trois grandeurs
sont tregraves correacuteleacutees et forment ce qursquoon appelle la surface critique drsquoun mateacuteriau
supraconducteur
I21 Tempeacuterature critique
La tempeacuterature critique est la tempeacuterature en dessous de laquelle la reacutesistance tombe agrave
zeacutero et le mateacuteriau devient supraconducteur La transition apparaicirct comme une transition de
phase de lrsquoeacutetat normal vers lrsquoeacutetat supraconducteur de la matiegravere Plusieurs mateacuteriaux
preacutesentent des transitions de phase supraconductrices agrave basses tempeacuteratures La tempeacuterature
critique la plus eacuteleveacutee eacutetait denviron 23 K jusquagrave la deacutecouverte en 1986 de certains
supraconducteurs agrave haute tempeacuterature
Environ trente (30) meacutetaux purs et quelques alliages tel que 3Nb Sn [3063] et NbTi
[3132] preacutesentent une reacutesistiviteacute nulle agrave basse tempeacuterature et ont la proprieacuteteacute drsquoexclure les
12
champs magneacutetiques de lrsquointeacuterieur de ces supraconducteurs (Effet Meissner voir Tableau I1)
Ce type de supraconducteurs est appeleacutelaquo Supraconducteurs agrave Basse Tempeacuterature Critique
(SBTC) raquo [33]
Figure I3 Etat noraml et supraconducteur drsquoun meacutetal en fonction de la tempeacuterature
Par contre les ceacuteramiques en oxyde de cuivre et de baryum qui ont atteint leacutetat
supraconducteur agrave des tempeacuteratures beaucoup plus eacuteleveacutees sont souvent appeleacutees
laquo supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) raquo et forment une classe agrave part [37]
Tableau I1 Tempeacuterature critique de quelques mateacuteriaux supraconducteurs
Eleacutement Tc (K) Eleacutement Tc (K) Eleacutement Tc (K)
Al Be Cd Ga Hf Hg In Ir La Mo
1175 0023 055 109 013 415 341 014 488 092
Nb Np Os Pa Pb Re Rh Ru Sn Ta
92 0075 065 140 72 17 00003 05 375 447
Tc Th Ti Tl U V W Zn Zr Lu
78 137 039 239 02 53 0012 09 055 01
Composeacute Tc (K) Composeacute Tc (K) Composeacute Tc (K)
Nb3Sn Nb3Ge Cs3C60 Nb06Ti04
181 232 19 98
MgB2 YPd2B2C HoNi2B2C PuCoGa5
39 23 75 185
UPt3 UPd2Al3 URu2Si2 YNi2B2C
05 2 12 155
Supraconducteurs agrave HTc Tc (K) Supraconducteurs agrave HTc Tc (K)
183 017 4La Sr CuO
2 3 7YBa Cu O δminus
2 2 2 3 10Bi Sr Ca Cu O
40 93 110
2 2 2 3 1 0Tl Ba Ca Cu O δ+
2 2 3 8HgBa Ca Cu O
08 02 2 2 3 833Hg Tl Ba Ca Cu O
127 135 138
13
I22 Champ magneacutetique critique
Quand on applique un champ magneacutetique sur un supraconducteur soumis agrave une
tempeacuterature critique TC ce champ reste autour du mateacuteriau sans le peacuteneacutetrer Si on augmente
ce champ agrave un point donneacute le supraconducteur revient agrave son eacutetat normal de reacutesistiviteacute A ce
point ce champ magneacutetique est connu comme champ magneacutetique critique et est noteacute Hc Le
champ magneacutetique critique est fortement deacutependant de la tempeacuterature critique Tc du
supraconducteur
Les champs magneacutetiques eacuteleveacutes deacutetruisent la supraconductiviteacute et le mateacuteriau passe agrave lrsquoeacutetat
normal En fonction du caractegravere de cette transition on peut distinguer deux types de
supraconducteurs
I221 Supraconducteurs Type I
La figure I4 montre la variation du champ magneacutetique interne (induit)119867119867119867119867 en fonction
du champ externe appliqueacute Ha En augmentant le champ appliqueacute on remarque au deacutepart que
le champ interne reste nul (Effet Meissner [6-9]) jusqursquoagrave ce qursquoun champ magneacutetique critique
HC soit atteint ougrave se produit une transition brutale vers lrsquoeacutetat normal cela se traduit par la
peacuteneacutetration du champ appliqueacute agrave linteacuterieur du mateacuteriau Les supraconducteurs qui subissent
cette transition brutale agrave leacutetat normal au-dessus du champ magneacutetique critique sont appeleacutes
supraconducteurs de type I le Plomb pur est consideacutereacute comme eacutetant le plus fort
supraconducteur de type I avec un champ critique drsquoenviron 800 Gauss (80 mT) Tous les
supraconducteurs purs ont tendance drsquoecirctre des supraconducteurs de type I [3536]
Figure I4 Repreacutesentation de champ magneacutetique induit en fonction du champ magneacutetique
appliqueacute pur les supraconducteurs de type I
14
I222 Supraconducteurs Type II
Les supraconducteurs de type II reacutepondent diffeacuteremment agrave un champ magneacutetique
appliqueacute comme le montre la figure I5 En effet un champ induit croissant agrave partir de zeacutero se
traduit par deux champs critiques Hc1 et Hc2
Agrave Hc1 le champ appliqueacute commence agrave peacuteneacutetrer partiellement agrave linteacuterieur du
supraconducteur agrave travers des tubes volumiques dans un eacutetat normal qui srsquoappellent
laquo Vortex raquo et la supraconductiviteacute est encore maintenue Au-dessus de Hc2 la
supraconductiviteacute disparaicirct et le mateacuteriau passe agrave lrsquoeacutetat normal Pour les valeurs
intermeacutediaires entre Hc1 et Hc2 le mateacuteriau supraconducteur se trouve dans un eacutetat mixte
Geacuteneacuteralement Hc2 est plus eacuteleveacute que Hc1 et 0 2Hcmicro peut atteindre plusieurs Tesla
pour cette raison les supraconducteurs de type II sont devenus les plus utiles sur le plan
technologique La plupart des composeacutes illustreacutes dans le tableau I1 sont des supraconducteurs
de type II Les fils fabriqueacutes agrave partir de niobium-eacutetain (Nb3Sn) ont un champ 0 2Hcmicro eacutegal agrave
environ 25 teslas ce qui les rend utiles pour des applications neacutecessitant des champs
magneacutetiques eacuteleveacutes Actuellement le niobium titane (NbTi) est le mateacuteriau le plus mature
technologiquement avec un champ 0 2 12 teslasHcmicro = il est largement utiliseacute dans machines
dimagerie par reacutesonance magneacutetique (IRM)
En geacuteneacuterale les applications en eacutelectrotechnique neacutecessitent habituellement la creacuteation
de forts champs magneacutetiques (de lrsquoordre de plusieurs teslas) ce qui limite lrsquoutilisation des
supraconducteurs de type I
Figure I5 Repreacutesentation graphique (a) des diffeacuterentes drsquoeacutetats des supraconducteurs de type
II et (b) du champ magneacutetique induit en fonction du champ magneacutetique appliqueacute pour les supraconducteurs de type II
15
I23 Densiteacute de courant critique JC
Pour les supraconducteurs de type I le courant critique deacutecoule directement du champ
magneacutetique critique Il peut ecirctre deacutetermineacute par la regravegle de Silsbee [34] crsquoest le courant qui
produit le champ magneacutetique critique agrave la surface du mateacuteriau Pour un cylindre de diamegravetre
D on deacutefinit ce courant par Ic DHcπ=
La densiteacute de courant critique est donneacutee donc par
C CJ I S=
Pour les supraconducteurs type II dans lrsquoeacutetat mixte la peacuteneacutetration du champ
magneacutetique se manifeste par la preacutesence drsquoun reacuteseau de vortex de flux que lrsquoon peut
repreacutesenter sous la forme de boucles eacuteleacutementaire de courant La circulation du courant de
transport dans le supraconducteur geacutenegravere une force de type Laplace ( )LF J B= times
qui agit sur
ces vortex Une force drsquoancrage est creacuteeacutee et permet aux tubes de vortex de se fixer dans la
matiegravere La densiteacute de courant critique JC est donc lieacutee agrave lrsquoancrage de ces vortex [34] La
force drsquoancrage est deacutefinie ainsi par P CF J B= times
Si toutefois la densiteacute de courant deacutepasse la
valeur de JC la force FL exerceacutee sur les vortex sera supeacuterieure agrave la force drsquoancrage FP et les
vortex commencent agrave se deacuteplacer Ce deacuteplacement induit un champ eacutelectrique non nul aux
borne du mateacuteriau et provoque une dissipation importante drsquoeacutenergie ce qui fait transiter le
mateacuteriau de lrsquoeacutetat supraconducteur agrave lrsquoeacutetat reacutesistif
Le courant critique drsquoun mateacuteriau supraconducteur est lrsquoorigine de trois courants courant de
transport courant induit et les supra-courants Figure I6
Figure I6 Reacuteseaux vortex dans un mateacuteriau supraconducteur de type II
16
Une grande deacuteception apregraves la deacutecouverte de la supraconductiviteacute agrave haute tempeacuterature
critique fut la faible valeur de leur densiteacute de courant critique Jc Celle-ci est due agrave la
difficulteacute de syntheacutetiser de ces mateacuteriaux sous forme de monocristaux de taille laquo reacutealiste raquo
(supeacuterieure agrave quelque mm2) Tregraves souvent les eacutechantillons volumiques se preacutesentent sous
forme de grains accoleacutes aleacuteatoirement les uns aux autres (poly-cristal) Dans ce cas le courant
supraconducteur se fraie un chemin dans lrsquoeacutechantillon en passant agrave travers les joints de grains
La densiteacute de courant critique correspondante (intergrain) est geacuteneacuteralement de deux ou trois
ordres de grandeur infeacuterieure agrave la densiteacute de courant critique de grain lui-mecircme (intragrain)
[3839] figure I7
Figure I7 Densiteacute de courant intergrain et intragrain dans un mateacuteriau
supraconducteur
En conseacutequence un des buts technologiques des recherches actuelles en
supraconductiviteacute est lrsquooptimisation de la densiteacute de courant critique intergrain des mateacuteriaux
supraconducteurs pour une tempeacuterature donneacutee et en preacutesence drsquoun champ magneacutetique
intense en modifiant les paramegravetres de ses microstructures (taille et orientation des grains)
Parmi les techniques utiliseacutees pour accroicirctre la densiteacute de courant critique intergrain est la
technique drsquoalignement des grains supraconducteurs Ce processus est appeleacute texturation Des
microstructures typiques drsquoeacutechantillons drsquoYBaCuO respectivement textureacutes et non textureacutes
sont preacutesenteacutees sur la figure I8
17
Figure I 8 Microstructure drsquoun mateacuteriau Supraconducteur agrave Haute Tempeacuterature critique
(SHTC) de formule chimique 2 3 7YBa Cu O δminus
Un mateacuteriau non textureacute comprend un grand nombre de grains de tregraves petite taille
(quelques microns) Sa densiteacute de courant critique est de lrsquoordre de 100 Acm2 et deacutecroicirct
rapidement en preacutesence drsquoun faible champ magneacutetique (quelques mT) [39] Par contre les
grains preacutesents dans un eacutechantillon textureacute peuvent ecirctre relativement volumineux Si
lrsquoeacutechantillon est constitueacute drsquoun seul grain de taille importante on parle de STHC mono-
domaine Les densiteacutes de courant critiques associeacutees aux mono-domaines drsquoYBaCuO textureacutes
sont de lrsquoordre de 10 000 Acm2 agrave T=77K et B=1T De telles valeurs sont compatibles avec
les exigences requises pour diffeacuterentes applications industrielles en eacutelectrotechnique
I24 Surface critique
Lrsquoeacutetat supraconducteur eacutetant limiteacute par les trois grandeurs caracteacuteristiques physiques
la tempeacuterature critique (Tc) le champ magneacutetique critique (Hc) et la densiteacute de courant
critique (Jc) Chacun de ces grandeurs deacutepend fortement des deux autres grandeurs Le
maintien de lrsquoeacutetat supraconducteur exige que le champ magneacutetique la densiteacute de courant et la
tempeacuterature demeurent au-dessous des valeurs critiques qui deacutependent du mateacuteriau
En repreacutesentation 3D lrsquoaire deacutelimiteacutee lorsque lrsquoon prend en compte les trois grandeurs
(Tc Hc Tc) est appeleacutee laquo surface critique raquo figure I-7 En partant de cette surface vers
lrsquoorigine le mateacuteriau est supraconducteur Les valeurs les plus eacuteleveacutees pour HC et JC sont
obtenues agrave T = 0K alors que la valeur la plus eacuteleveacutee pour la TC est obtenue quand H et J sont
18
agrave zeacutero Lorsque lrsquoon trouve dans les reacutegions en dehors de cette surface le mateacuteriau est dans
lrsquoeacutetat normal ou mixte
Figure I9 Surface critique et ordre de grandeur des paramegravetres critique de quelques
mateacuteriaux Supraconducteurs [40]
I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
La mise en eacutevidence de la supraconductiviteacute dans les mateacuteriaux SHTC notamment
dans lrsquoYBaCuO par Maw-Kuen Wu et al en 1987 [19] agrave une tempeacuterature critique qui deacutepasse
la tempeacuterature de lrsquoHeacutelium liquide eu un retentissement plus important et rend la recherche
dans le domaine de la supraconductiviteacute agrave haute tempeacuterature critique tregraves attrayante et tregraves
prometteuse pour de nombreuses applications Comprendre les proprieacuteteacutes et les meacutecanismes
de fonctionnement de ces mateacuteriaux qui deacutejouent toute attente est un enjeu majeur des
recherches actuelles Et si la supraconductiviteacute agrave tempeacuterature ambiante reste pour lrsquoinstant un
recircve pour les chercheurs les supraconducteurs nrsquoont pas fini de bousculer la physique
theacuteorique
Trois familles principales de ces ceacuteramiques sont distingueacutees [41]
- Baseacutee sur le Bismuth ceacuteramique de BiSrCaCuO appeleacutee aussi laquo BSCCO raquo
- Baseacutee sur les terres rares Rare Earth (RE) ceacuteramique de RE-BaCuO
communeacutement appeleacutee laquo Re-BCO raquo Lrsquoeacuteleacutement de terre rare utiliseacute peut ecirctre
de lrsquoYttrium du Neacuteodyme du Samarium ou du Gadolinium selon les
proprieacuteteacutes rechercheacutees
- Baseacutee sur le Thallium ceacuteramique de TlBaCaCuO communeacutement appeleacutee laquo
TBCCO raquo avec des tempeacuteratures de fonctionnement supeacuterieures
19
Ces mateacuteriaux sont aujourdrsquohui les plus utiliseacutes pour les applications industrielles et la
recherche en eacutelectrotechnique
I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
Lrsquo2 3 7YBa Cu O δminus
(YBaCuO ou Y-123) le 2 2 2 8 xBi Sr CaCu O + (BSCCO ou Bi-2212) et le
2 2 2 3 10 xBi Sr Ca Cu O + (Bi-2223) repreacutesentent aujourdrsquohui les mateacuteriaux SHTC les plus usiteacutes
pour les applications industrielles et la recherche en eacutelectrotechnique Or avec une
appartenance commune aux ceacuteramiques ces deux mateacuteriaux reposent sur des proceacutedeacutes de
fabrication diffeacuterents Leurs proprieacuteteacutes permettent de les utiliser sous diverses formes
poudres massifs fils et deacutepocircts en monocouche (figure I10) [41]
Figure I10 Diffeacuterentes formes des SHTC a) pastille YBaCuO en massifs b) YBaCuO en
monocouche c) tubes de BSCCO
Certains mateacuteriaux SHTC comme le BiSCCO sont constitueacutes de poudre compresseacutee
On les trouve sous forme de tubes massifs servant drsquoameneacutees de courant ou de blindage
magneacutetique [42] Ces mateacuteriaux permettent aussi la fabrication des cacircbles conducteurs mono
ou multi- filamentaires SHTC Ces cacircbles supraconducteurs ont eacuteteacute exploiteacutes pour la premiegravere
fois aux Etats-Unis agrave partir de 2006 dans le cadre de deacutemonstrateurs subventionneacutes Puis des
liaisons furent inteacutegreacutees agrave des reacuteseaux de distribution et de transport au Japon en Coreacutee en
Chine Et pour la premiegravere fois en Allemagne en 2014 dans le bassin de la Ruhr dans un
environnement 100 public urbain Un cacircble supraconducteur drsquoun kilomegravetre a eacuteteacute reacutealiseacute par
Nexans et lrsquoeacutenergeacuteticien allemand RWE et qui a eacuteteacute mise en service agrave Essen
En 2014 eacutegalement le CERN et dans le but drsquoameacuteliorer lrsquoalimentation de ses
acceacuteleacuterateurs de particules a reacuteussi de transiteacute un courant eacutelectrique de 20000 Ampegraveres par un
cacircble supraconducteur en MgB2
20
Une particulariteacute inteacuteressante des SHTC tels que Y-123 est sa faible reacutesistance de
surface par rapport agrave celle du cuivre il permet drsquoutiliser ce mateacuteriau dans la reacutealisation de
dispositifs micro-onde utiliseacutes dans des applications en micro-eacutelectronique et en technique
micro-onde Deacuteposer sous forme de couches minces il permet la reacutealisation de reacutesonateurs agrave
haute performance de taille plus faible et plus leacutegers que les reacutesonateurs conventionnels Un
champ important drsquoapplications pour ces reacutesonateurs est ouvert pour les filtres utiliseacutes dans
les technologies de la communication notamment pour les satellites
Lrsquoaimantation des mateacuteriaux SHTC massifs trouve reacutecemment son inteacuterecirct dans
lrsquoindustrie Le pheacutenomegravene de leacutevitation magneacutetique dans les bulk SHTC est largement
exploiteacute dans la mise en service des trains Maglev-Cobra [4344] ce sont des veacutehicules
destineacutes au transport urbain des passagers flottant sur des rails sans aucun contact avec le sol
Cette technologie est baseacutee sur la leacutevitation magneacutetique geacuteneacutereacutee par des aimants situeacutes sur les
pistes et des pastilles supraconductrices dans le train dans le cas des trains agrave leacutevitation
supraconductrice
I311 Supraconducteur YBa2Cu3O7-δ
a- Preacutesentation
LrsquoOxyde mixte de Baryum de Cuivre de drsquoYttrium ou ce qui est connu communeacutement
par laquo YBaCuO raquo est un mateacuteriau cristallin supraconducteur de type II de formule chimique
YBa2Cu3O7-δ Il est connu pour avoir eacuteteacute parmi les premiers supraconducteurs qui possegravedent
des tempeacuteratures critiques supeacuterieures agrave celle de lrsquoazote liquide (77 K) et donc classeacute parmi
les mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) Ces tempeacuteratures ont
permis de reacuteduire consideacuterablement le cout de fonctionnement des mateacuteriaux dans lrsquoeacutetat
supraconducteur en utilisant la cryogeacutenie agrave lrsquoazote liquide au lieu de lrsquoheacutelium liquide qui
impose des tempeacuteratures infeacuterieures agrave 5 k
LrsquoYBaCuO est tregraves utiliseacute pour le deacuteveloppement des applications de la
supraconductiviteacute gracircce agrave sa bonne tenue sous un champ magneacutetique Ses applications
industrielles en massif impliquent de controcircler la croissance de larges monodomaines orienteacutes
dans des eacutechantillons de grande taille (plusieurs centimegravetres) Les YBaCuO massifs sont
obtenus par diffeacuterentes techniques drsquoeacutelaborations connus mais complexes dont on peu citeacute la
technique TSMG pour laquo top-seeding melt-texturing Growthraquo [45-53] une pastille fritteacute drsquoune
composition riche de yttrium est utiliseacutee Un germe 2 3 xSmBa Cu O (Sm123) monocristallin est
placeacute sur la pastille avant la texturation Le mateacuteriau Sm123 fait partie de la mecircme famille de
21
lrsquoY123 avec une structure cristalline identique par contre il est caracteacuteriseacute par un de fusion
qui est environ 50 degC plus eacuteleveacutee que celui drsquoY123 Ce qui permet une surchauffe tregraves
importante de la pastille YBaCuO pour une fusion complegravete du mateacuteriau en preacutesence de ce
germe Ensuite le systegraveme (pastille + germe) est refroidie jusqursquoagrave la tempeacuterature peacuteritectique 123Y
pT (~1010 degC) (point drsquoeacutequilibre entre les phases solides et liquides) un refroidissement
tregraves lent de 01 degh agrave 05 degh est reacutealiseacute pour obtenir la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO agrave
partir de germe de 2 3 xSmBa Cu O figure I11
Figure I11 Traitement thermique pour la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO par la
technique TSMG
b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuO
La structure cristalline de lrsquoYBa2Cu3O7-δ deacuterive de la structure tridimensionnelle de la
peacuterovskite ABO3 comme dans tous les meacutetaux de la famille des cuprates figure I12 elle
preacutesente une anisotropie structurale importante entre les deux directions principales du
mateacuteriau (Plan (a b) axe c) Ce composeacute est caracteacuteriseacute par la preacutesence de deux familles de
plans parallegraveles au plan (a b)
1- Plan CuO1- δ qui est constitueacute drsquoun atome de cuivre Cu(1) entoureacutes de 2 agrave 4 atomes
drsquooxygegravene selon la stœchiomeacutetrie Ces plans sont organiseacutes en chaines selon la
direction b du cristal pour δ=1
2- Plan CuO2 ce plan est constitueacute drsquoun atome de cuivre Cu(2) entoureacutes de cinq atomes
drsquooxygegravenes en formant une pyramide
La maille eacuteleacutementaire de lrsquoYBaCuO se compose en six (6) plans parallegraveles qui srsquoempilent
suivant lrsquoaxe (c) par 1CuO δminus BaO 2CuO Y 2CuO BaO figure I13
22
Figure I12 Structure cristalline tridimensionnelle de lrsquoYBa2Cu3O7-δ
Selon la stœchiomeacutetrie en oxygegravene YBaCuO peut se trouver en diffeacuterentes phases il
passe alors drsquoune structure orthorhombique supraconductrice pour δlt065 agrave une structure
teacutetragonale isolante pour 065ltδlt1 par suppression successive des atomes drsquooxygegravene de la
chaine CuO [54 97]
Le composeacute YBa2Cu3O7est la phase la plus oxygeacuteneacutee qui correspond agrave δ=0 ce composeacute
se cristallise dans une structure orthorhombique supraconductrice dont le groupe drsquoespace est
Pmmm et les paramegravetres de mailles sont a= 382 Aring b= 388 Aring et c=1169 Aring figure I13-(a)
Par contre la phase la moins oxygeacuteneacute correspond agrave δ=1 cette structure est
antiferromagneacutetique sa maille eacuteleacutementaire est quadratique de groupe drsquoespace P4mmm avec
des paramegravetres de maille a=b=386Aring et c=1184Aring [55] figure I13-(b)
Les deux structures sont relativement proches La transition
orthorhombiquequadratique a eacuteteacute observeacutee agrave 700 deg C dans une atmosphegravere contenant 100
doxygegravene Lors de cette transition les paramegravetres a et c augmentent et b diminue ce qui
renforce la symeacutetrie de la structure cristalline (Figure I14) et aussi induit des contraintes
atomiques et des deacutefauts comme les plans de macle qui constituent de bons sites drsquoencrages
pour les vortex [55]
23
(a) (b)
Figure I13 Repreacutesentation de structure (a) orthorhombique et (b) quadratique de la maille
eacuteleacutementaire du compos YBa2Cu3O7-δ
(a) (b)
Figure I14 Variation des paramegravetres de reacuteseau a b et c par rapport au deacuteficit en oxygegravene δ
[54]
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuO
Lrsquoanisotropie structurale drsquoYBaCuO conduit agrave lrsquoanisotropie des proprieacuteteacutes
supraconductrices Ces derniegraveres sont confineacutees dans le plan CuO2 Les proprieacuteteacutes eacutelectriques
et magneacutetiques de lrsquoYBaCuO seront diffeacuterentes selon son orientation [58] Le courant
24
eacutelectrique circule plutocirct dans le plan (a b) que suivant lrsquoaxe c [56] Ainsi la densiteacute de
courant eacutelectrique sera tregraves diffeacuterente selon la circulation parallegravele ou perpendiculaire du
courant par rapport au plan (a b) et aussi suivant lrsquoorientation du champ exteacuterieur appliqueacute
elle sera eacuteleveacutee agrave 77k lorsque le courant circule selon le plan (a b) (de lrsquoordre de 4 210 A cm
dans des massifs textureacutes et atteigne 6 210 A cm pour des eacutechantillons sous forme de couches
minces eacutepitaxieacutees [57])
Lrsquoanisotropie des caracteacuteristiques supraconductrices se retrouve aussi sur les valeurs
de champs critiques Hc1 et Hc2 Pour lrsquoYBaCuO massif agrave T=0K on a [55]
( )2
11 02 2 10c cc a b
H T H Tminus= = times
( ) 22 140 29c cc a b
H T H T= =
La tempeacuterature critique de la phase supraconductrice de lrsquoYBaCuO est fortement deacutependante
du taux drsquooxygegravene Lrsquooptimum est de 92 K pour une valeur de δ=008 [54] figure 115
Figure I15 Repreacutesentation de la tempeacuterature critique en fonction du deacuteficit en oxygegravene dans
la structure YBaCuO
I32 Supraconducteur MgB2
a- Preacutesentation
Le diborure de magneacutesium (MgB2) est un mateacuteriau dont les proprieacuteteacutes
supraconductrices ont eacuteteacute deacutecouvertes en 2001 par J Nagamatsu et al [59] Il preacutesente une
tempeacuterature critique de 39K et comme la limite entre la famille des supraconducteurs agrave basse
25
et agrave haute tempeacuterature critique est agrave environ de 30 K le MgB2 est classeacute donc parmi les
supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) Sa deacutecouverte a susciteacute un vif inteacuterecirct
car ses constituants sont bons marcheacutes et son proceacutedeacute de fabrication est semblable agrave celui des
supraconducteurs classiques
Diffeacuterents proceacutedeacutes pour la fabrication de MgB2 massif sont utiliseacutes Un premier
consiste agrave placer du magneacutesium dans un moule en Bore la supraconductiviteacute est obtenue
apregraves traitement thermique Drsquoautre utilisent un preacutecurseur sous forme de poudre de Bore et
de Magneacutesium qursquoil comprime sous haute pression [62] lrsquoensemble subit alors un traitement
thermique
b- Structure cristalline de MgB2
Le MgB2 se cristallise dans une structure Hexagonale de type AlB2 dont le groupe
drsquoespace est P6mmm les paramegravetres de mailles sont a = 308 Adeg et c=352 Adeg [5960] La
figure I16 montre que les atomes de bore sont disposeacutes en des couches similaires agrave celles du
graphite entre lesquels sont intercaleacutes des atomes de magneacutesium chaque atome de bore est agrave
distance eacutegale de trois autres atomes de bore La position drsquoatomes sont donneacutees comme suit
Mg (0 0 0) B (13 2312) (2313 12)
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2
Une forte anisotropie de la structure cristalline MgB2 est reacutesulteacute des successions de
couches de magneacutesium et de Bore (figure I11) cette anisotropie eacutetait connue depuis pregraves de
50 ans avant la deacutecouverte de la supraconductiviteacute de ce composeacute [61]
La premiegravere mesure directe drsquoune proprieacuteteacute supraconductrice anisotrope a eacuteteacute reacutealiseacutee
pour le champ magneacutetique critique Hc2 du bulk MgB2 un rapport 2 1 17ab cc cH Hγ = asymp avec
2abcH est le champ magneacutetique critique parallegravele au plan (ab) et 1
ccH est le champ magneacutetique
critique parallegravele agrave la direction de lrsquoaxeC
Depuis lors plusieurs chercheurs ont trouveacute des
valeurs de ce rapport comprises entre 11 et 16 pour une tempeacuterature variant de 32 K agrave 26 K
en utilisant diffeacuterents types drsquoeacutechantillons et diffeacuterentes techniques pour caracteacuteriser la
transition de lrsquoeacutetat normal vers lrsquoeacutetat supraconducteur
Lrsquoanisotropie de la densiteacute de courant critique a eacuteteacute eacutegalement eacutevalueacutee agrave lrsquoaide du
modegravele e Bean comme eacutetant 15ab cc cJ J asymp
26
Figure I16 Structure cristalline de MgB2
I4 Modegraveles des supraconducteurs
La connaissance des proprieacuteteacutes caracteacuteristiques drsquoun mateacuteriau supraconducteur joue un
rocircle important dans le dimensionnement drsquoun dispositif et par la suite pour deacutevelopper des
nouvelles applications dans le domaine industriel Diffeacuterentes meacutethodes de caracteacuterisations
sont adopteacutees dans le cas des supraconducteurs afin drsquoeffectuer des mesures des
caracteacuteristiques de ces mateacuteriaux agrave savoir la distribution du courant eacutelectrique densiteacute du
courant critique capaciteacute drsquoavoir un champ magneacutetique pieacutegeacute important hellipetc Les reacutesultats
obtenus peuvent diffeacuterer en fonction de la meacutethode de mesure choisie
Des meacutethodes de caracteacuterisations des pastilles supraconductrices ont eacuteteacute deacuteveloppeacute
dans le laboratoire GREEN qui ont pour but de mesurer la densiteacute du courant critique au
centre et sur la surface drsquoune pastille SHTC de type YBaCuO et cela agrave travers la
deacutetermination du champ magneacutetique de peacuteneacutetration dans la pastille
Avant de preacutesenter ces meacutethodes nous allons rappeler les deux modegraveles de caracteacuteristique
E(J) qui repreacutesente un supraconducteur
I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)
I411 Preacutesentation du modegravele
Le modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (1962) a eacuteteacute introduit par C P Bean (1923-1996)
dans le but drsquoeacutetudier lrsquoaimantation des supraconducteurs massifs [64 65] Il stipule qursquoagrave
tempeacuterature donneacutee la densiteacute de courant dans un supraconducteur est soit nulle soit eacutegale agrave
27
la densiteacute de courant critique Cest-agrave-dire que les supraconducteurs nrsquoexistent que dans les
deux cas suivants
- Une densiteacute de courant nulle pour les reacutegions ougrave le champ ne varie plus
- Une densiteacute de courant cJplusmn dans les reacutegions qui srsquooppose aux variations du champ
magneacutetique
ou 0cJ J J= plusmn =
Ce modegravele ne prend pas en consideacuteration la deacutependance de la densiteacute du courant
critique en champ magneacutetique et en tempeacuterature Aussi la discontinuiteacute de ce modegravele le rend
peu utilisable pour des deacuteveloppements numeacuteriques Par ailleurs gracircce agrave sa simpliciteacute ce
modegravele reste le plus utiliseacute dans les calculs analytiques afin drsquoeacutetudier les pertes en reacutegime
variable (AC) dans les rubans et aussi dans les pheacutenomegravenes de magneacutetisation [66][67]
En effet le modegravele de Bean connait un grand succegraves dans le cas des supraconducteurs
agrave basse tempeacuterature critique et lrsquoon y fait souvent reacutefeacuterence dans la litteacuterature
I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long notion
de peacuteneacutetration complegravete
En considegravere un cylindre supraconducteur infiniment long de rayon R soumis agrave un
champ magneacutetique exteacuterieur variable ( )aH t parallegravele agrave son axe
Nous allons eacutetudier la distribution de champ magneacutetique ( )B la densiteacute de courant eacutelectrique
( )J et le champ eacutelectrique dans ce cylindre supraconducteur
Le milieu supraconducteur de cylindre est repreacutesenteacute par 0micro micro= Les eacutequations neacutecessaires
pour deacuteterminer ces grandeurs se sont les eacutequations de Maxwell simplifieacutees suivantes
( ) I7BrotEt
part= minus
part
( )0 I8rotB Jmicro=
Les coordonneacutees cylindriques sont employeacutees Le champ magneacutetique appliqueacute ( )aB t
est orienteacute suivant lrsquoaxe Oz J et E sont donc orienteacutes suivant θ et variant en fonction de r
et t
Lorsqursquoon augmente la valeur du champ magneacutetique appliqueacute aH lrsquoinduction
magneacutetique B va peacuteneacutetrer progressivement agrave lrsquointeacuterieur de cylindre
28
En utilisant le modegravele de Bean afin de deacuteterminer la distribution de champ
magneacutetique B de la densiteacute de courant eacutelectrique J et de champ eacutelectrique E agrave lrsquointeacuterieur de
cylindre supraconducteur lrsquoeacutequation (18) donne
( )0 o u 0 I9rotB J rotBmicro= plusmn =
Lrsquoinduction agrave la surface de cylindre vaut
( ) ( ) ( )0 0 I10aB R t H tmicro=
Dans le cylindre le champ magneacutetique est orienteacute suivant lrsquoaxe Oz et ne deacutepond que r et t
( ) ( ) I11zB B r t u=
Par contre le champ eacutelectrique E et la densiteacute de courant J sont orienteacute suivant θ et
deacutependent aussi de r et t
( ) ( ) I1 2E E r t uθ=
( ) ( ) I1 3J J r t uθ=
Le champ magneacutetique exteacuterieur augmente agrave partir de zeacutero jusqursquoagrave une valeur
maximale Bmax Drsquoapregraves la loi de Lenz des courants qui srsquoopposent aux variations du champ
magneacutetique se deacuteveloppent agrave partir de lrsquoexteacuterieur du conducteur Drsquoapregraves le modegravele de Bean
ces courant ont une densiteacute de courant J eacutegale agrave (figure I17)
( )1
1
0 00
I14C
C
J ou pour r RJ
J ou pour R r Rminus lt lt
= + lt lt
Les eacutequations (I7) et (I9) deviennent
( ) ( ) I 51 1rE B
r r tpart part
= minuspart part
( )0 116C
B Jr
micropartminus = plusmnpart
Agrave partir des eacutequations (I11) et (I16) pour 1R r Rlt lt
( ) ( ) ( )0 I 1 7C aB r t J r R Bmicro= minus minus +
29
Pour une peacuteneacutetration complegravete le champ de peacuteneacutetration complegravete est donneacute sous la forme
( )0 I18p CB J Rmicro=
Si la valeur du champ externe est infeacuterieure agrave cette valeur la peacuteneacutetration dans ce cas est
incomplegravete et le champ peacutenegravetre jusqursquoagrave PR que lrsquoon peut calculer
( )max
0
I19PC
BR RJmicro
= minus
Le champ eacutelectrique est preacutesent entre ( )1R t et R et il est calculeacute agrave partir de lrsquoeacutequation (I16)
( )( )( ) ( )
2 21 I2
2 0
r R tBE r tt r
minuspart= minus
part
Lrsquoexpression de ( )1R t est donneacutee comme suit
( ) ( ) ( )max 01
0
I 12
2C
B B tR t R
Jmicrominus
= minus
En cas de peacuteneacutetration complegravete PR est eacutegal agrave 0 Quand ( )1R t srsquoannule le champ eacutelectrique
devient
( ) ( ) 22
2 IB rE r tt
part= minus
part
Figure I17 Distribution de B J E dans un cylindre supraconducteur soumis agrave un
champ magneacutetique parallegravele agrave son axe
30
I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)
Pour les supraconducteurs HTC le modegravele de la loi en puissance repreacutesente mieux la
caracteacuteristique E(J) que le modegravele CSM [68-70]
( ) ( )1
I23n n
c cc c
J JJE J E E JJ J J
minus
= =
Avec
cE Champ eacutelectrique critique (Vm) sa valeur est fixeacutee arbitrairement agrave 1 V mmicro pour les
mateacuteriaux SHTC
cJ Densiteacute de courant critique (Am2) elle caracteacuterise les performances du mateacuteriau
supraconducteur
n Exposant de la loi en puissance il deacutefinit la vitesse de transition du mateacuteriau entre les
deux cas limites 1n = correspond agrave une loi drsquoohm lineacuteaire alors que pour n plus grand ( n
gt200) on srsquoapproche du modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean
Figure I18 Comparaison entre la caracteacuteristique E(J) correspond au modegravele de Bean (courbe
rouge) et au modegravele de loi en puissance (courbe verte) avec celle obtenue expeacuterimentalement
(courbe bleu) pour un ruban
Contrairement au modegravele CSM le modegravele PLM est plus commode agrave utiliser dans les
formulations numeacuteriques car sa fonction est continue et possegravede eacutegalement une deacuteriveacutee
continue et crsquoest un modegravele dont leurs paramegravetres se rapprochent le mieux des valeurs
lrsquoexpeacuterimentales (figure I18)
31
Par ailleurs en reacutealiteacute les paramegravetres Jc et n ne sont pas constants ils sont
geacuteneacuteralement deacutependants du champ magneacutetique et de la tempeacuterature
I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et n
Depuis les anneacutees 80 beaucoup de travaux ont eacuteteacute consacreacute agrave eacutetudier la deacutependance en
champ magneacutetique de la densiteacute de courant critique des SHTC Cette deacutependance peut ecirctre
obtenue expeacuterimentalement par des meacutethodes eacutelectriques et magneacutetiques
Dans les mesures eacutelectriques la fiabiliteacute et la reacutepeacutetabiliteacute des valeurs mesureacutees du
courant critique sont reacuteduites en raison des difficulteacutes agrave eacutetablir des contacts dans leacutechantillon
et agrave choisir un critegravere de tension pour deacutefinir Jc De plus en geacuteneacuteral des courants importants
traversent lrsquoeacutechantillon pendant les mesures de sorte qursquoils produisent un champ magneacutetique
qui modifie le champ appliqueacute de maniegravere non homogegravene
Le premier modegravele qui deacutecrive la deacutependance en champ magneacutetique de Jc est proposeacute
par Y Kim [71] pour les mateacuteriaux supraconducteurs agrave basse tempeacuterature critique (SBTC)
( ) 0
01 C
CJJ BB B
=+
Ougrave Jc0 est la densiteacute d courant critique sous champ nul B est lrsquoamplitude de lrsquoinduction
magneacutetique et B0 est une constante caracteacuterisant le mateacuteriau
La formule de Kim deacutecrit un comportement isotrope alors que les supraconducteurs
HTc sont fortement anisotropes lrsquoorientation du champ magneacutetique a une influence
importante sur la densiteacute du courant critique du supraconducteur [66] Une autre forme
geacuteneacuteraliseacutee de la loi de ce modegravele de Kim a eacuteteacute proposeacutee pour prendre en consideacuteration le
pheacutenomegravene drsquoanisotropie des mateacuteriaux SHTC [7273]
( ) ( )0
2 2 2
0
1
I24JcJc B Bk B B
B
βperp
perp
= + +
k Facteur drsquoanisotropie (gt1)
etB Bperp Composantes parallegravele et perpendiculaire du champ magneacutetique
β Constante caracteacuterisant la deacutependance vis-agrave-vis du champ magneacutetique
32
Eacutegalement lrsquoexposant-n de la loi en puissance se comporte de la mecircme maniegravere que Jc vis-agrave-
vis le champ drsquoinduction magneacutetique plusieurs eacutetudes ont montreacute cette deacutependance [74-77] et
la loi du comportement est similaire agrave celle de Kim pour les milieux SHTC anisotropie
( ) ( )0 2 2 2
0
)
1
I25
n
nn B Bk B B
B
perp
perp
=+
+
Avec n0 est une constante qui repreacutesente la valeur de n sous champ nulle et Bn0 est une
constante caracteacuterisant la deacutependance du n vis-agrave-vis le champ magneacutetique
I5 Meacutethodes drsquoaimantation
Les supraconducteurs notamment sous forme massive peuvent ecirctre aimanteacutes et ainsi
reacutealiser ce qursquoon appelle des cryo-aimants qui permettent de geacuteneacuterer des champs magneacutetiques
de plusieurs teslas le record eacutetant agrave de 176 T agrave 26degK [78] Par ailleurs plusieurs axes de
recherches ont eacuteteacute consacreacutes agrave eacutetudier la possibiliteacute de profiter de lrsquoinduction magneacutetique
importante produite par des pastilles aimanteacutees en vue drsquoapplications en geacutenie eacutelectrique Il
existe diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantation des supraconducteurs massifs ces meacutethodes sont
baseacutees sur la variation du champ magneacutetique appliqueacute afin de creacuteer selon la loi de Lenz des
courants induits agrave lrsquointeacuterieur de ces supraconducteurs Ces courants induits geacutenegraverent agrave leur
tour un champ magneacutetique opposeacute au champ appliqueacute Ce principe est utiliseacute pour reacutealiser des
eacutecrans magneacutetiques ou pour pieacuteger du champ magneacutetique avec des aimants
supraconducteurs
I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)
Cette meacutethode consiste agrave appliquer un champ magneacutetique en refroidissant une pastille
supraconductrice agrave une tempeacuterature infeacuterieure agrave sa tempeacuterature critique (TltTC) en preacutesence
du champ magneacutetique appliqueacute [79-81] Ensuite et quand la tempeacuterature de refroidissement
stabilise ce champ magneacutetique appliqueacute est rameneacute tregraves lentement vers le zeacutero ce qui permet
la creacuteation des courants induits agrave lrsquointeacuterieur de la pastille en srsquoopposant agrave la deacutecroissance du
champ magneacutetique appliqueacute afin drsquoavoir un champ magneacutetique pieacutegeacute dans la pastille La
figure I19 illustre les diffeacuterentes eacutetapes drsquoaimantation par la meacutethode FC
33
Figure I19 Aimantation par refroidissement sous champ magneacutetique (Field Cooling FC)
[109]
La meacutethode FC donne des meilleurs reacutesultats en termes de champ pieacutegeacute Par contre ce
dernier ne peut pas ecirctre supeacuterieur au champ appliqueacute
Cependant lrsquoutilisation drsquoun eacutelectro-aimant supraconducteur est primordiale pour obtenir une
forte valeur du champ magneacutetique (gt10T) et permet ensuite de pieacuteger un champ magneacutetique
plus intense
En 2003 et lors de leurs travaux sur lrsquoaimantation de lrsquoYBaCuO massif les japonais
Masaru Tomita et Masato Murakami ont pu pieacuteger un champ magneacutetique eacutegale agrave 17 T agrave 29 K
en appliquant un champ magneacutetique eacutegale agrave 179T [78] et une valeur de 176T a eacuteteacute pieacutegeacutee par
J H Durrell et all agrave 28K en 2014 [82] en utilisant des pastilles supraconductrices de type
GdBCO de 2415 mm de diamegravetre et de 15 mm de hauteur
I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC)
Dans cette meacutethode et contrairement agrave la meacutethode FC lrsquoapplication du champ
magneacutetique se fait apregraves le refroidissement de la pastille agrave la tempeacuterature de fonctionnement
(tltTc) [81] figure I20
Avec cette meacutethode on peut pieacuteger une valeur de champ magneacutetique inferieur
(environ deux fois) agrave celle pieacutegeacute par la meacutethode FC car deux nappes de courant sont induites
lors de lrsquoaimantation par ZFC une correspondant agrave lrsquoapplication du champ magneacutetique et
lrsquoautre agrave la diminution du champ
34
Figure I20 Aimantation par refroidissement hors champ magneacutetique
(Zero Field Cooling ZFC) [109]
En utilisant les meacutethodes drsquoaimantations FC et ZFC un champ magneacutetique appliqueacute
externe important et constant est neacutecessaire pour eacutetablir un champ SHTC pieacutegeacute intense En
geacuteneacuterale cela signifie quun aimant soleacutenoiumlde supraconducteur agrave grande eacutechelle et des
alimentations encombrantes associeacutees sont neacutecessaires Ces exigences limitent souvent
lutilisation de ce type drsquoaimants SHTC pour une utilisation dans la recherche scientifique au
niveau des laboratoires ou dans des applications industrielles comme les machines eacutelectriques
tournantes [83]
I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization
(PFM)
Le processus drsquoaimantation par la meacutethode PFM neacutecessite lrsquoobtention drsquoune impulsion
de courant eacutelectrique intense dans une bobine de petites dimensions ce qui permet de geacuteneacuterer
une impulsion de champ magneacutetique importante pour aimanter la pastille supraconductrice
[84-86]
La meacutethode PFM est une autre forme de la meacutethode ZFC sauf que la dureacutee de
lrsquoimpulsion de champ appliqueacute dans ce cas est tregraves courte (quelques millisecondes)
Lrsquoavantage fondamental de la meacutethode PFM est qursquoelle ne neacutecessite pas un eacutelectro-aimant
supraconducteur une simple bobine de cuivre suffit pour geacuteneacuterer une impulsion de champ
magneacutetique de plusieurs teslas et produit par la suite un champ magneacutetique pieacutegeacute important
(environ 30 agrave 40 du champ appliqueacute)
35
La forme de lrsquoimpulsion du champ magneacutetique appliqueacute le volume et la forme de la
pastille utiliseacutee et sa densiteacute de courant eacutelectrique influent fortement sur la valeur du champ
magneacutetique pieacutegeacute dans la pastille
Figure I21 Aimantation par un champ impulsionnel (pulsed field magnetization PFM)
[109]
Le circuit eacutelectrique de lrsquoaimantation utiliseacute dans ce cas-lagrave est un circuit RLC composeacute drsquoun
circuit de charge de condensateur C et circuit de deacutecharge de ce condensateur dans lrsquoinducteur
Lind (Figure I22)
La forme de lrsquoimpulsion du champ magneacutetique creacuteeacute par lrsquoinducteur est lrsquoimage de la
forme du courant eacutelectrique produit par le circuit de deacutecharge LC Lrsquoamplitude et la constante
du temps caracteacuteristique du courant impulsionnel sont directement lieacutees agrave la valeur de
lrsquoinductance L
Figure I22 Scheacutema eacutelectrique simplifieacute du circuit utiliseacute pour aimanter les supraconducteurs
massifs
36
En reacutegime peacuteriodique lexpression du champ magneacutetique appliqueacute est alors donneacutee par la
solution de leacutequation de deacutecharge du circuit
( ) ( ) ex I26p 1a mt tH t Hτ τ
= minus
Avec
LCτ = Constance du temps du circuit de deacutecharge
( )0 exp(1)mH q τ= Champ maximal donneacutee pour t τ=
0q Charge initiale du condensateur C du circuit
La figure I23 preacutesente leacutevolution temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour
laimantation par la meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
Figure I23 Variation temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour laimantation par la
meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
Eacutetant donneacute que la magneacutetisation par la meacutethode PFM est un proceacutedeacute largement utiliseacute
pour laimantation des cryo-aimants il semble inteacuteressant de deacutevelopper des outils et des
meacutethodes de calcul deacutedieacutees pour ce proceacutedeacute Des travaux anteacuterieurs avaient eacuteteacute meneacutes en vue
du deacuteveloppement des modegraveles analytiques pour calculer la distribution du champ magneacutetique
des bobines circulaires seules avec un noyau de fer ou en preacutesence de noyau supraconducteur
[87-91] ainsi que le cas de bobine circulaire dans un circuit ferromagneacutetique avec entrefer
[92]
37
Dans le chapitre II de cette thegravese nous allons deacutevelopper un modegravele analytique pour
montrer lrsquoeffet de la preacutesence drsquoune pastille supraconductrice sur la valeur de lrsquoinductance
drsquoune bobine circulaire placeacutee dans un circuit ferromagneacutetique avec entrefer
I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTC
La deacutetermination de la densiteacute de courant critique du mateacuteriau supraconducteur peut ecirctre
reacutealiseacutee soit par la meacutethode eacutelectrique (meacutethode directe) soit par la meacutethode magneacutetique
(meacutethode indirecte) Chacune de ces meacutethodes comporte des problegravemes pratiques qui rendent
deacutelicate lrsquoobtention drsquoune mesure preacutecise de CJ
I51 Meacutethode eacutelectrique
La meacutethode eacutelectrique consiste agrave injecter dans lrsquoeacutechantillon des courants croissants
jusqursquoagrave ce que lrsquoeacutetat supraconducteur disparaisse [93] La meacutethode de quatre pointes est ainsi
utiliseacutee dans laquelle le courant I est injecteacute dans lrsquoeacutechantillon et la mesure de la tension U
aux bornes de lrsquoeacutechantillon est faite (figure I24) On considegravere que le courant injecteacute se
reacutepartit uniformeacutement dans tout le mateacuteriau pour obtenir une relation simple entre le courant
et la densiteacute de courant I= JS ougrave S est la section de lrsquoeacutechantillon Aussi on suppose que le
champ eacutelectrique agrave une seule composante suivant lrsquoaxe de lrsquoeacutechantillon pour avoir une
relation simplifieacutee entre le champ eacutelectrique E et la tension U aux bornes de lrsquoeacutechantillon
U=El avec l est la distance entre les prises de potentiel Le champ eacutelectrique critique EC est
souvent choisi de 1 V mmicro A partir de la mesure U(I) en deacuteduit E(J) et par la suite la densiteacute
de courant critique Jc et lrsquoexposant-n de la loi en puissance preacutesenteacutee ci-dessus
Figure 24 Scheacutema repreacutesentatif de la meacutethode eacutelectrique pour deacuteterminer la densiteacute
de courant eacutelectrique Jc drsquoun mateacuteriau supraconducteur
Cette meacutethode de mesure de Jc des SHTC est simple et donne accegraves la vraie valeur de
Jc Cependant [93] elle implique la pose de contact sur lrsquoeacutechantillon qui peut entrainer des
38
problegravemes de dissipation de chaleur aux contacts Cette meacutethode est geacuteneacuteralement tregraves utiliseacutee
surtout pour les rubans
I52 Meacutethode magneacutetique
Les meacutethodes magneacutetiques sont baseacutees sur lrsquoeacutetude des proprieacuteteacutes magneacutetique du
mateacuteriau supraconducteur Lrsquoeacutechantillon est soumis agrave un champ magneacutetique externe H Ce
champ creacutee des boucles de courant induites qui peuvent ecirctre de type intragrain ou intergrain
[39] srsquoopposant au champ appliqueacute Les meacutethodes geacuteneacuteralement utiliseacutees mesurent
lrsquoaimantation M de lrsquoeacutechantillon et permettent alors de calculer la densiteacute de courant critique
Jc agrave lrsquoaide du modegravele de Bean
Les principaux avantages des meacutethodes magneacutetiques sont drsquoune part lrsquoabsence de
contact eacutelectrique avec lrsquoeacutechantillon et donc la possibiliteacute de ne pas amener de chaleur agrave
lrsquoeacutechantillon et drsquoautre part la possibiliteacute drsquoeacutetudier des eacutechantillons de taille tregraves faible voire
mecircme des poudres
Au laboratoire GREEN Bruno DOUINE amp al ont deacuteveloppeacute une nouvelle meacutethode
magneacutetique de caracteacuterisation de pastilles SHTC pour deacuteterminer la densiteacute de courant
critique Jc et lrsquoexposant-n de la loi en puissance du mateacuteriau supraconducteur Le principe est
de mesurer le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP Ce champ magneacutetique
correspond au champ magneacutetique appliqueacute neacutecessaire pour que la diffusion du champ
magneacutetique atteigne le centre de pastille SHTC [77 94 95 96]
I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastille
Un champ magneacutetique est appliqueacute perpendiculairement sur une pastille SHTC de
rayon R et de hauteur L comme crsquoest montreacute sur la figure I25 Ce champ magneacutetique
appliqueacute est consideacutereacute lineacuteairement varie en fonction du temps
( ) ( ) I27a bB t V t=
Avec Vb est la vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacute
Figure I25 Pastille supraconductrice massive de forme cylindrique soumise agrave un champ
magneacutetique appliqueacute axialement
39
Un champ magneacutetique commence agrave apparaitre au centre de la pastille apregraves un certain
temps pt appeleacute temps de peacuteneacutetration le champ magneacutetique appliqueacute neacutecessaire agrave la
peacuteneacutetration complegravete jusqursquoau centre de la pastille est appeleacute champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete et noteacute BP (figure I26) En utilisant le modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean
(CSM) ce champ de peacuteneacutetration appeleacute aussi champ de peacuteneacutetration de Bean BPB peut-ecirctre
analytiquement obtenu agrave partir de la loi de Biot et Savart sous la forme suivante [77]
( )
22
02
2
2ln4
2
I28cPB
LR RJ LB
LR R
micro
+ + = + minus
Le principe de cette meacutethode est de mesurer le champ de peacuteneacutetration BPB et deacuteduire
par la suite la densiteacute de courant critique Jc
Figure I26 Variation du champ magneacutetique en fonction du temps Ba est le champ appliqueacute
sur la pastille et B0 repreacutesente le champ magneacutetique mesureacute au centre de la pastille
En fait lrsquoideacutee principale est de remplacer la pastille SHTC eacutetudieacutee par deux pastilles
SHTC identiques seacutepareacutees par un entrefer drsquoeacutepaisseur laquo e raquo dans lequel est placeacutee une sonde
agrave effet Hall afin de mesurer le champ magneacutetique entre ces deux pastille (figure I27) Le
champ magneacutetique mesureacute possegravede une seule composante crsquoest la composante radiale
40
Figure I27 Position de sonde agrave effet Hall entre deux pastilles SHTC
Theacuteoriquement ces deux pastilles sont consideacutereacutees comme une seule pastille dont
lrsquoinfluence de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoentrefer creacuteeacute par la sonde sur la valeur de la densiteacute de courant
Jc doit ecirctre prise en consideacuteration
Lrsquoaimantation de la pastille se fait par la meacutethode PFM le champ appliqueacute est obtenu
par une simple deacutecharge drsquoun condensateur dans une bobine en cuivre Le scheacutema eacutelectrique
du circuit drsquoaimantation est preacutesenteacute sur la figure I22
La figure I28 repreacutesente la variation du champ magneacutetique en fonction du temps pour
deux pastilles SHTC identiques de type YBaCuO caracteacuteriseacutee chacune par un rayon R de
10mm et de longueur L eacutegale agrave 5 mm et seacutepareacutees par une distance de 1mm (repreacutesente
lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall)
Figure I28 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesureacute entre deux pastilles
SHTC
41
Par conseacutequent la deacutetermination du temps de peacuteneacutetration Pt est effectueacutee comme suit
Nous consideacuterons drsquoabord que apregraves peacuteneacutetration complegravete du champ magneacutetique ( )Pt tgt
( )aB t et ( )0B t sont seacutepareacutes par une valeur eacutegale agrave PBB Deuxiegravemement nous modifions ( )0B t
B0(t) autour de tp pour quil soit identique au champ magneacutetique appliqueacute ( )aB t (figue I22)
Ceci permet au final de deacuteduire Pt et PMB
La valeur du champ magneacutetique PMB mesureacute pour des deux pastilles est drsquoenvirons 1
Tesla A partie de cette valeur de PMB cedil qursquoon suppose eacutegale agrave BPB on peut calculer la valeur
de la densiteacute de courant critique Jc agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 Elle est eacutegale agrave 110 Amm2 et
crsquoest une valeur proche des valeurs estimeacutees agrave partir des donneacutees des constructeurs et de la
litteacuterature
I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur le champ
de peacuteneacutetration
En utilisant le modegravele de la loi en puissance (PLM) le champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete noteacute BP peut srsquoexprimer numeacuteriquement en fonction du champ
magneacutetique de peacuteneacutetration ducirc au modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM) (BPB) de la vitesse
de monteacutee du champ appliqueacute Vb et de la puissance n comme [77]
( ) ln I291 bP PB
VB Bn
α β+ = +
Avec 12α = et 34β =
On peut ajouter ici qursquoil nrsquoy a pas drsquoinfluence des paramegravetres geacuteomeacutetrique de la
pastille R et L sur les valeurs de α etβ
La relation I29 saveacuterera expeacuterimentalement utile pour deacuteterminer la valeur n dune
pastille supraconductrice soumise agrave des diffeacuterentes vitesses de monteacute Vb du champ externe
Pour cela deux manipes expeacuterimentales sont installeacutees lrsquoune contient une bobine
supraconductrice afin de geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee du champ appliqueacute Ba (Meacutethode
drsquoaimantation ZFC) et lrsquoautre une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer un champ magneacutetique
agrave vitesse de monteacutee eacuteleveacutee de Ba (Meacutethode PFM) Les reacutesultats de mesure de champ
magneacutetique sont illustreacutes sur la figure I29
Lrsquoinfluence de lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall placeacutee sera prise en consideacuteration
dans les calculs de lrsquoexposant-n et la densiteacute de courant critique du mateacuteriau supraconducteur
42
(a) (b)
Figure I29 Repreacutesentation du champ magneacutetique appliqueacute et le champ magneacutetique mesureacute
entre deux pastilles SHTC en fonction de temps en utilisant a) une bobine supraconductrice
pour geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee b) une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer une
vitesse de monteacutee eacuteleveacutee
Soit 1PMB le champ de peacuteneacutetration mesureacute pour une faible vitesse de monteacutee 1bV et 2PMB est le
champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute pour une vitesse de monteacutee eacuteleveacutee 2bV
A partir de lrsquoeacutequation (I22) la valeur de n peut ecirctre deacuteduite agrave partir de
( ) ( )2 1 1 2
1 2
I3l ln
0nPM b PM b
PM PM
B V B Vn
B Bα
βminus
= minusminus
A partir de cette valeur de n et les valeurs de 1PB et 1bV on deacuteduit la valeur de PBB agrave
lrsquoaide de lrsquoeacutequation (I29) Par la suite la valeur de JC sera deacutetermineacutee agrave partir de lrsquoeacutequation
(I28) en fonction des paramegravetres geacuteomeacutetrique R et L
I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de lrsquoexposant-n et Jc
Rappelons que les mesures expeacuterimentales agrave travers la sonde agrave effet Hall placeacutee entre
deux pastilles SHTC donnent le champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute BPM et non pas le
champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP agrave cause de lrsquoentrefer existant entre les deux
pastilles ducirc agrave la sonde
Afin de trouver une relation entre BPM et BP une simulation numeacuterique est effectueacutee
pour les deux cas suivants
43
- Cas drsquoune pastille seule sans sonde agrave effet hall (e=0) pour deacutetermineacute BP au
centre de la pastille agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I8
- cas de deux pastilles identiques seacutepareacutees pour une distance laquo e raquo qui preacutesente
lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall pour deacuteterminer le champ de peacuteneacutetration BPM
La figure I30 repreacutesente la variation de rapport PM PB B en fonction de la longueur L
de la pastille pour e = 05 mm et e = 1 mm Le champ magneacutetique appliqueacute sur les pastilles est
caracteacuteriseacute par une vitesse de monteacutee Vb= 1000 Ts les pastilles utiliseacutees sont modeacuteliseacutees par
une densiteacute de courant critique Jc=100Amm2 un rayon R=10 mm et n = 15
Une relation entre BPM et BP est deacuteduite
( ) ( ) 05 00 I312ln( ) 081 368 1PM
P
B e mm LB
= = +
( ) ( ) 1 00 I3350ln( ) 07233 2PM
P
B e mm LB
= = +
Les expressions I10 et I11 sont indeacutependantes de Vb et n [95] Cependant elles sont valables
uniquement pour R=10 mm Pour drsquoautres valeurs de R des nouvelles relations entre BPM et
BP peuvent ecirctre exprimeacutes avec les mecircmes maniegraveres de calculs
Figure I30 Rapport P
PMBB
en fonction de longueur L de la pastille SHTC
I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille
Une autre meacutethode de calcul de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete a eacuteteacute
proposeacutee en utilisant une seule pastille au lieu deux agrave partir de la mesure de champ
magneacutetique au centre de la surface de la pastille agrave lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet hall placeacutee agrave une
44
distance laquo d raquo au-dessus de la surface de la pastille (figure I31) Cette meacutethode a lrsquointeacuterecirct
drsquoecirctre tregraves simple agrave exeacutecuter et moins couteuse
Figure I31 Position du sonde agrave effet Hall au centre de surface de la pastille
I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et BP
Des simulations numeacuteriques et analytiques ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour deacuteterminer la relation
entre le champ magneacutetique mesureacute agrave lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet Hall et le champ magneacutetique
de peacuteneacutetration complegravete BP
Une pastille SHTC de rayon R et de longueur L est agrave soumise agrave un champ
magneacutetique lineacuteairement variable appliqueacute perpendiculairement sur la surface de la pastille
Cela nous permet de deacuteterminer le champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur et agrave lrsquoexteacuterieur de la
pastille Ainsi de deacuteterminer la densiteacute du courant critique de cette pastille
La figure I32 repreacutesente la distribution de la densiteacute du courant CJ J dans la pastille
SHTC pour trois diffeacuterentes vitesses de monteacutee Vb (01 Ts et 10 Ts et 1000Ts) pour une
mecircme valeur de la densiteacute de flux magneacutetique appliqueacute Dans cette simulation la valeur de
lrsquoexposant-n utiliseacute est 15 ce qui repreacutesente une faible valeur pour un SHTC agrave 77 K et une
densiteacute de courant critique Jc consideacutereacutee constante eacutegale agrave 100 Amm2
On remarque que quels que soient la valeur de Vb les paramegravetres geacuteomeacutetriques de la pastille
SHTC et la valeur de n (gt 10) JJc est presque constante partout dans les reacutegions ougrave la
densiteacute de courant eacutelectrique nrsquoest pas nulle
Quand Ba devient eacutegal agrave BP on dit que la peacuteneacutetration est complegravete et CJ J est consideacutereacute
constant sur toute la pastille comme dans le cas du modegravele de Bean
45
Figure I32 Distribution de la densiteacute de courant JJc dans la pastille SHTC pour trois valeur
de vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacute
On appelle ( )0B t le champ magneacutetique au centre de la pastille SHTC et ( )zB d t le
champ magneacutetique mesureacute par la sonde agrave effet Hall au-dessus du centre de la surface de la
pastille agrave une distance d=05mm
46
( )aB t ( )0B t et ( )05 zB d mm t= sont repreacutesenteacute sur la figure I26 une densiteacute de courant
critique constante Jc=100Amm2 un champ magneacutetique appliqueacute lineacuteairement varie avec une
vitesse de monteacute Vb=1 Ts et une valeur de lrsquoexposant-n=15
La diffeacuterence ( ) ( )a zB t B tminus noteacute ( ) )ZSCB d t repreacutesente la densiteacute de flux magneacutetique
produit par le courant induit agrave lrsquointeacuterieur de la pastille SHTC La figure I33 montre que la
diffeacuterence ( ) ( )05 a zB t B d mm tminus = atteint une valeur maximale noteacute BZSCM avant que
( ) ( )0aB t B tminus atteint BP La relation entre BZSCM et BP est lieacutee aux paramegravetres geacuteomeacutetriques de
la pastille SHTC comme dans le modegravele de lrsquoeacutetat critique (CSM)
Figure I33 Calcul numeacuterique de BP au centre de la pastille et BZSCM au-dessus du centre de
surface de la pastille agrave d = 05mm
Dans le cas du champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete et modegravele de lrsquoeacutetat critique
(CSM) la densiteacute du flux magneacutetique le long de lrsquoaxe drsquoune pastille supraconductrice
cylindrique noteacute BZSCB peut ecirctre donneacute analytiquement en utilisant la loi de Biot et Savart de
la mecircme faccedilon que BPB sous forme
( ) ( ) ( )
( )
( )2 2 2 2
0
2 2 22
1 1 ln l I3n
4 1 13C
ZSCB
R Rd L RJ d RB d R L d L dR R
d Rd L R
micro
+ + + + + = + minus minus minus + + +
47
Une eacutetude comparative a eacuteteacute reacutealiseacutee entre un calcul analytique du rapport ZSCB PBB B
et un calcul numeacuterique du rapport ZSCM PB B en fonction de la distance laquo d raquo Le calcul
numeacuterique est fait pour diffeacuterentes valeurs de n et Vb (figure I34)
Figure I34 comparaison entre le calcul numeacuterique ZSCB PBB B et le calcul analytique
ZSCM PB B
On remarque que quels que soient les valeurs de n et Vb les rapports ( ) ZSCM PB d B et
( ) ZSCB PBB d B sont eacutequivalents Donc agrave partir de la valeur BZSCM(d) mesureacute le champ de
peacuteneacutetration PB peut ecirctre deacuteduit de la faccedilon suivante
( )( )( ) ( )
I34ZSCM mesureacute
PZSCB PB analytiquement
B dB
B d B=
Le rapport ( )( )ZSCB PBB d B est indeacutependant de Jc il deacutepend seulement des paramegravetres
geacuteomeacutetrique R et L de la pastille
48
I6 Objectifs de la thegravese
Apregraves avoir preacutesenteacute un rappel historique sur lrsquoeacutevolution de la supraconductiviteacute
depuis sa deacutecouverte jusqursquoau temps actuel nous avons rappeleacute quelques proprieacuteteacutes
caracteacuteristiques des mateacuteriaux supraconducteurs et leurs grandeurs critique Ensuite nous
avons preacutesenteacute les mateacuteriaux massifs supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
et leurs proprieacuteteacutes en citant deux mateacuteriaux de ce type agrave savoir lrsquoYBaCuO et le MgB2 Nous
avons preacutesenteacute eacutegalement des diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantations des pastilles supraconductrices agrave
savoir les meacutethodes ZFC FC et PFM
Enfin nous avons fait un reacutesumeacute sur une nouvelle meacutethode de caracteacuterisations reacutealiseacutee
au laboratoire GREEN par B DOUINE amp al pour calculer les grandeurs caracteacuteristiques
drsquoune pastille SHTC
Deux axes principaux sont viseacutes par cette thegravese
1 Proposer des modegraveles analytiques de dimensionnement de lrsquoinducteur drsquoun systegraveme
drsquoaimantation drsquoune pastille supraconductrice en preacutesence drsquoun circuit
ferromagneacutetique
2 Ameacuteliorer les meacutethodes de caracteacuterisation existant notamment celles utilisant la
meacutethode PFM afin drsquoeacutetudier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique drsquoune
pastille supraconductrice agrave haute tempeacuterature critique
49
Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de
lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit
ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune
pastille supraconductrice
50
II1 Introduction
La supraconductiviteacute est un domaine tregraves passionnant de la physique appliqueacutee En
geacutenie eacutelectrique comme en physique les supraconducteurs sont largement utiliseacutes pour
obtenir des champs magneacutetiques tregraves eacuteleveacutes On peut obtenir des aimants avec des mateacuteriaux
supraconducteurs massifs de type (RE) BCO agrave lrsquoaide drsquoun champ magneacutetique Ils peuvent
atteindre une densiteacute de flux magneacutetique tregraves eacuteleveacutee En effet il existe diffeacuterentes faccedilons
drsquoaimanter ce type de supraconducteurs massifs Cependant le moyen le plus commode et le
plus courant est drsquoutiliser un champ magneacutetique pulseacute Cette meacutethode est appeleacutee laquo PFM raquo
pour laquo Pulsed Field Magnetization raquo elle est geacuteneacuteralement utiliseacutee pour lrsquoaimantation des
cryo-aimants [84]
Il est tregraves important destimer et deacutevaluer les composantes du champ magneacutetique qui
deacutependent fortement de la geacuteomeacutetrie de linducteur du circuit drsquoaimantation utiliseacute et qui a
pour but final doptimiser la configuration expeacuterimentale Dans leacutetape de conception de
linducteur neacutecessaire pour magneacutetiser les supraconducteurs massifs agrave haute tempeacuterature
critique (SHTC) la modeacutelisation et la simulation sont fortement recommandeacutees pour effectuer
les calculs neacutecessaires des diffeacuterentes caracteacuteristiques eacutelectriques du systegraveme eacutetudieacute agrave savoir
la reacutesistance et linductance de la bobine La deacutetermination de la valeur de la reacutesistance est
assez simple tandis que lrsquoinductance neacutecessite un traitement particulier
De ce fait des modegraveles analytiques ont eacuteteacute proposeacutes depuis longtemps pour calculer la
distribution du champ magneacutetique creacuteeacute par des bobines circulaires sans fer [88 89 98] et plus
reacutecemment pour des bobines avec des noyaux de fer de longueur finie [90] Bien que ces
meacutethodes donnent des reacutesultats preacutecis elles ne sont pas adapteacutees pour leacutetude des bobines
axisymeacutetriques placeacutees dans un circuit ferromagneacutetique contenant un entrefer simple ou un
entrefer contenant une pastille supraconductrice Ces modegraveles sont baseacutes essentiellement sur
la loi de Biot et Savart Des logiciels commerciaux sophistiqueacutes qui donnent des reacutesultats tregraves
preacutecis en consideacuterant la non-lineacuteariteacute des mateacuteriaux impliqueacutes dans le problegraveme eacutetudieacute sont
utiliseacutes
Dans ce chapitre nous proposons drsquoutiliser des meacutethodes analytiques pour reacutealiser
cette tacircche en reacutesolvant les eacutequations de Laplace et de Poisson De telles meacutethodes conduisent
agrave des solutions significatives avec des informations physiques tregraves utiles pour lrsquoeacutetape de la
conception Il srsquoagit de calculer le potentiel vecteur magneacutetique A
dans les diffeacuterentes reacutegions
drsquointeacuterecirct drsquoun circuit ferromagneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer concentrique par rapport agrave la
51
bobine en absence de tout mateacuteriau supraconducteur Le cas de preacutesence drsquoune pastille
supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du circuit deacutecrit preacuteceacutedemment sera eacutegalement
traiteacute Pour montrer lrsquoinfluence de la preacutesence drsquoun mateacuteriau supraconducteur sur la valeur de
lrsquoinductance de la bobine utiliseacutee il sera question de calculer son inductance dans les deux cas
A la fin de ce chapitre et en prenant le problegraveme du circuit magneacutetique sans pastille
nous allons utiliser lrsquoexpression analytique du potentiel vecteur magneacutetique obtenue dans ce
cas pour calculer les courants induits dans une pastille supraconductrice en utilisant laquola
meacutethode de Brandtraquo bien connue deacuteveloppeacutee en 1998 pour les disques et les cylindres dans
un champ magneacutetique axial [100 101]
II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveses
La geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute est repreacutesenteacutee sur la figure II1
Figure II1 Geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute un circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie infeacuterieur de longueur 3 2 e Z Z= minus concentrique avec une bobine de
longueur 4 1L Z Z= minus
Les reacutegions I III et IV correspondent agrave de lrsquoair La reacutegion II correspond agrave une bobine
circulaire en cuivre de section transversale rectangulaire Cette bobine composeacutee de N spires
de rayon interne 2R de rayon externe 3R et de longueur 4 1L Z Z= minus est parcourue par une
densiteacute de courant uniforme J dans le sens uθ
La bobine est concentreacutee autour drsquoun
entrefer de rayon 1R et de longueur 3 2e Z Z= minus situeacute sur la partie infeacuterieure du circuit
ferromagneacutetique (figure II1) Lrsquoensemble du systegraveme est deacutelimiteacute dans la direction axiale par
52
0z = et 5z Z= Les limites exteacuterieures du circuit ferromagneacutetique doivent ecirctre choisies
suffisamment loin de la zone de calcul pour ne pas affecter les reacutesultats obtenus Des
conditions aux limites homogegravenes de type Dirichlet sont consideacutereacutees dans les reacutegions I II et
III agrave 0z = et 5z Z= et de type de Neumann dans la reacutegion IV agrave 2z Z= et 3z Z=
Le problegraveme est traiteacute en axisymeacutetrique la formulation en potentiel vecteur
magneacutetique en coordonneacutees cylindriques est employeacutee Seule la composante suivant θ du
potentiel vecteur magneacutetique est preacutesente et elle ne deacutepend que des coordonneacutees r et z
A partir de lrsquoeacutequation de Maxwell-Ampegravere
( )0 0 0 II1ErotB Jt
micro micro ε part= +
part
Lorsque le champ eacutelectrique est stationnaire le second membre de lrsquoeacutequation (II1) devient
neacutegligeable
Drsquoautre part lrsquoexpression de lrsquoinduction magneacutetique en fonction du potentiel vecteur
magneacutetique est donneacutee comme suit
( ) ( ) II2B rot A=
En remplaccedilant lrsquoeacutequation (II2) dans (II1) on trouve
( ) ( )20 0 ( ( ) ) ( II 3) rot rot A J grad div A A Jmicro micro= rArr minusnabla =
Compte tenu de la jauge de coulomb ( ) 0div A = lrsquoeacutequation (II3) devient
( )20 II4A Jmicronabla = minus
Donc deux cas sont possibles
( )2 0
II0 5J Equation de Poisson
AEquation de Laplace
microminusnabla =
Pour notre problegraveme les expressions du potentiel vecteur magneacutetique pour chaque
reacutegion sont obtenues agrave partir de la reacutesolution de lrsquoeacutequation de poisson dans la reacutegion de la
bobine (reacutegion II) et de Laplace dans les reacutegions I II et III en respectant les conditions de
continuiteacute des composantes tangentielles et normales du champ magneacutetique aux interfaces
entre les reacutegions
53
( ) ( ) ( )( )
( )2
0
2
II6
0
( )II
i
r z
r
A J r z Reacutegion II Bobine
A Reacutegions i i I III IVz
micronabla =minusnabla = =
Avec 0micro et J sont respectivement la permeacuteabiliteacute du vide et la densiteacute de courant dans la bobine
Sachant que la densiteacute de courant J est consideacutereacutee homogegravene dans la bobine elle est
indeacutependante de la composante r et elle ne deacutepend que de z
( )1 4 ( ) II0
7J Z z Z
J zAilleur
lt lt=
Dans la modeacutelisation analytique de ce problegraveme nous avons supposeacute que la
permeacuteabiliteacute magneacutetique du circuit ferromagneacutetique est infinie (micro rarrinfin ) Ceci implique que
le champ magneacutetique nrsquoest pas calculeacute agrave lrsquointeacuterieur du milieu ferromagneacutetique et sa
composante tangentielle est nulle aux interfaces ferromagneacutetiques
II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetique
La reacutesolution de toute eacutequation diffeacuterentielle aux deacuteriveacutes partielles est fortement
deacutependante du domaine dans laquelle la solution est deacutefinie et valable ainsi les conditions
aux limites que cette solution doit remplir La reacutesolution de lrsquoeacutequation (II6) se fait dans les
reacutegions de I agrave IV agrave lrsquoaide de la meacutethode de seacuteparation des variables [90101]
II31 Reacutegion I 3 4 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation consideacutereacutee dans cette reacutegion est une eacutequation de Laplace elle srsquoeacutecrit en
coordonneacutees cylindrique sous la forme
( )2 2
22 2 2
10 0 II8I I I II
A A A AAr r r r z
part part partnabla = rArr + minus + =
part part part
Les conditions agrave limites homogegravenes de Dirichlet sont imposeacutees ici agrave 0Z = et 5Z Z=
( )1 1 5 ( 0 ) ( ) 0 II9A r z A r z Z= = = =
La composante tangentielle du champ magneacutetique est nulle agrave lrsquointerface pour 4r R=
( )4
II1( ) 0 0r R
rAr =
part=
part
En utilisant la meacutethode de seacuteparation de variable le potentiel Vecteur magneacutetique peut
srsquoeacutecrire comme suit
54
( ) ( ) ( ) ( ) II11A r z R r Z z=
A partir des eacutequations (II9) (II10) et (II11) la forme geacuteneacuterale de lrsquoexpression du potentiel
vecteur magneacutetique dans la reacutegion I est donneacutee par (voir deacutetails en annexe I)
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 11 0 4
II12nII n n n n
n n
K RA r z b I r K r sin z
I Rα
α α αα
infin
=
= +
sum
Avec n est un entier positif 5n n Zα π= est la valeur propre du problegraveme I0 et K0 sont
respectivement les fonctions de Bessel modifieacutees du premier et du deuxiegraveme type drsquoordre 0 etI1 et
K1sont respectivement les fonctions de Bessel modifieacutees du premier et du deuxiegraveme type ordre1
[102] Alors que Inb est la constante drsquointeacutegration elle sera deacutetermineacutee par la suite en utilisant
les conditions de passages agrave lrsquointerfaces agrave 3r R= entre les reacutegions I et II
II32 Reacutegion II 2 3 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre dans cette reacutegion est une eacutequation de Poisson En coordonneacutees
cylindriques
( )2 2
02 2 2
1 ( ) II13II II II IIA A A A J zr r r r z
micropart part part+ minus + = minus
part part part
Les conditions aux limites de Dirichlet sont imposeacutees ici agrave 0z = et 5z Z=
( )5 ( 0) ( I 10 4) III IIA r z A r z Z= = = =
Lrsquoeacutequation (II13) est une eacutequation diffeacuterentielle de deuxiegraveme degreacute avec second membre sa
reacutesolution est deacutetailleacutee dans lrsquoannexe I
La solution geacuteneacuterale de (II13) est donneacutee donc par
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 11
II15II IIII n n n n n n n
n
A r z a I r b K r C L r sin zα α α αinfin
=
= + minussum
Avec 022
nn
n
JC micro πα
= et ( ) ( ) ( ) ( )( )5
1 45 0
2 2sin cos cosZ
n n n nJJ J z z dz Z Z
Z nα α α
π= = minusint
L1 est la fonction de Struve modifieacutees ordre 1
Les constantes drsquointeacutegrations IIna et II
nb sont deacutetermineacutees en utilisant les conditions de
passages aux interfaces agrave 3r R= entre les reacutegions I et II et agrave 2r R= entre les reacutegions II et III
55
II33 Reacutegion III 1 2 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Dans cette reacutegion lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre est de type Laplace
( )2 2
2 2 2
1 0 II16III III III IIIA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites imposeacutees ici sont
( )5 ( 0) II1( ) 0 7III IIIA r z A r z Z= = = =
Consideacuterons les conditions aux limites de lrsquoeacutequation (II17) la solution geacuteneacuterale de
lrsquoeacutequation (II16) est donneacutee par
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11
II18III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Les constantes drsquointeacutegrations IIIna et III
nb sont deacutetermineacutees en utilisant les conditions
de passages aux interfaces agrave 2r R= et agrave 1r R= entre les reacutegions II et III et les reacutegions III et IV
successivement
II34 Reacutegion IV 1 2 30 etr R Z z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation (II1) agrave reacutesoudre dans cette reacutegion est une eacutequation de Laplace
( )2 2
2 2 2
1 0 II19IV IV IV IVA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites imposeacutees ici agrave z=Z2 et z=Z3 sont de type de Neumann
( )2 3
II2( ) ( ) 00IV IV
z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
Une condition suppleacutementaire est imposeacutee agrave 0r = (axe de symeacutetrie)
( ) II( 0 2) 10IVA r z= =
Consideacuterons les eacutequations (II20) et (II21) la solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation (II19) est
donneacutee par
( ) ( ) ( )( ) ( )0 1 21
cos II22IVIV k k k
k
A r Z A r a I r z Zβ βinfin
=
= + minussum
56
Avec 5 2
kk
Z Zπβ =minus
0A et IVka sont des constantes drsquointeacutegration k est un entier positif
La constante dinteacutegration 0A est due agrave lrsquoapplication des conditions aux limites de Neumann
dans la reacutegion IV Elle est deacutetermineacutee en appliquant la condition de continuiteacute du potentiel
vecteur magneacutetique agrave linterface agrave 1r R= entre la reacutegion III et la reacutegion IV
II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0
On applique le principe de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique entre la reacutegion III et IV
agrave lrsquointerface agrave r= R1
( ) ( ) [ ] ( )1 1 2 3 pour II23III IVA r R z A r R z z Z Z= = isin=
Par inteacutegration par rapport agrave z sur lrsquointervalle[ ]2 3Z Z on trouve
( ) ( ) ( )( ) ( )0 1 1 1 111 3 2
1 II24III IIIn n n n n
nA m a I R b K R
R Z Zα α
infin
=
= +minus sum
Avec ( ) ( )( )2 31 cos cosn nn
n
Z Zm α αα
= minus
II4 Conditions de passages entres interfaces
Les relations entre les constantes drsquointeacutegrations etI II II III III IVn n n n n nb a b a b a sont
deacutetermineacutees en appliquant les conditions de passages aux interfaces entres les diffeacuterentes
reacutegions drsquointeacuterecirct du problegraveme consideacutereacute
Les conditions dinterface doivent satisfaire la continuiteacute des composantes radiale et axiale
de la densiteacute de flux magneacutetique Ces composantes peuvent ecirctre deacuteduites du potentiel vecteur
magneacutetique par
( ) ( ) 1 II25r z
rAAB Bz r r
partpart= =part part
II41 Condition drsquointerface agrave r=R3
En termes de potentiel vecteur magneacutetique deux conditions drsquointerface sont imposeacutees
entre les reacutegions I et II agrave 3r R=
57
( ) ( )( ) ( ) ( )
3 3
3 3
II26I II
I I
r R r R
A r R z A r R z
rA rAr r
= =
= = =part part = part part
On obtient
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 3 1 3 1 3 1 3 1 30 4
II27nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
+ minus minus = minus
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
3 3 0 3 0 3 00 4
0 30 II28nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
minus minus + = minus
II42 Condition drsquointerface agrave r=R2
Les conditions drsquointerface entre les reacutegions II et III agrave 2r R= sont donneacutees par
( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2
2 2
II29
II III
II III
r R r R
A r R z A r R z
rA rAr r
= =
= = =part part = part part
On obtient ainsi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 II30II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus minus + + = minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 II31II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus + + minus = minus
II43 Condition drsquointerface agrave r=R1
Agrave linterface entre les reacutegions III et IV des conditions particuliegraveres deacutefinies par
morceaux concernant la composante axiale du champ magneacutetique agrave r = R1 sont appliqueacutees
autour de cette interface agrave cause de la preacutesence de lentrefer dans le circuit ferromagneacutetique
( ) ( ) ( )1 1
2
2 3
3 5
0 0
II32
0
III IV
r R r R
z ZrA rA
Z z Zr r
Z z Z= =
lt lt
part part= lt ltpart part lt lt
La continuiteacute de la composante radiale de la densiteacute de flux conduit agrave
58
( ) ( ) ( )1 1 2 3 avec II33IV IIIA r R z A r R z Z z Z= = = lt lt
A partir des eacutequations (II32) et (II33) on obtient (voir deacutetail en Annexe II)
( )( )
( )( )
( ) 1 1 1 1 0 1
0 1 0 1
0 (II34)n k n n k nIII III IV
n n k n k kn k n n k n
h I R h K Ra b a g I R
f I R f K R
α αβ
α α
+ + = minus +
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 (II35)2
III III IVn n k n n n k n k k
ka g I R b g K R a I Rβπα α+ minus =
Avec
( )1 3 2
2 n kn k
m mhR Z Z
=minus
( ) ( )2
12 2
1 sin si
2 si
n
n k
n k n kf n kn n k
π
π
+minus ne= minus
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 3
12 2 3
2 2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
k kkk k k k
k
kk k k k k
kn k
Z Z
k Z Zg
Z
α β α α α βα βπ β β β α β
+
+
minus + minus ne= + + minus =
Donc les coefficients etI II II III III IVn n n n n nb a b a b a de lrsquoensemble des harmoniques drsquoespace
sont relieacutes les uns aux autres agrave travers les eacutequations (II27) (II28) (II30) (II31) (II34) et
(II35) Nous devons donc reacutesoudre un systegraveme de six eacutequations lineacuteaires agrave six inconnues en
reacuteeacutecrivant les eacutequations ci-dessus en systegraveme matriciel de taille ( ) ( )6 max 6 maxN Ntimes vu
qursquoil y a six coefficients avec Nmax est le nombre maximal drsquoharmoniques pris en charge
( )( )( )( )
11 12 13 1 3
21 22 23 0 3
32 33 34 35 1 2
42 43 44 45 0 2
54 55 56
64 65 66
0 0 00 0 0
0 00 00 0 0 00 0 0 0
In nn
IIn nn
IIn nn
IIIn nn
IIInIVn
C L RbC L RaC L RbC L Ra
ba
η η η αη η η α
η η η η αη η η η α
η η ηη η η
minus minus minus
= minus
Avec
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 3 1 3 1 21 3 1 3 1 30 4
11 nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
αη α η α η αα
+ = minus = minus=
59
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
21 3 3 22 3 23 30
0 04
0 0 nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
η α α η α η αα
= minus = minus =
( ) ( ) ( ) ( )32 1 2 33 1 2 34 1 2 35 1 2 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = minus = =
( ) ( ) ( ) ( )0 042 2 43 2 44 2 450 0 2 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = = = minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )54 1 1 0 1 55 1 1 0 1 56 0 1 n k n n k n n k n n k n n k kh I R f I R h K R f K R g I Rη α α η α α η β= minus = + =
( ) ( ) ( )64 1 1 65 1 1 66 1 1 2n k n n k n k
kg I R g K R I Rπη α η α η β = = = minus
La solution numeacuterique de ce systegraveme matriciel peut ecirctre obtenue en utilisant un
logiciel de calcul matheacutematique en lrsquooccurrence MATLAB dans le cas de la preacutesente eacutetude
Il convient de noter ici qursquoune inversion numeacuterique de cette matrice est neacutecessaire pour le
calcul des coefficients inconnus Cette inversion peut se faire en une seule fois et en calcul
symbolique
II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobine
Linductance est lune des principales caracteacuteristiques de la bobine Elle se deacutefinit
comme laptitude de celle-ci agrave sopposer agrave la variation de lintensiteacute du courant qui la traverse
Linductance dune bobine est une valeur propre deacutependante de la dimension physique de la
bobine ainsi que du mateacuteriel utiliseacute pour sa fabrication
Lrsquoinductance de la bobine est lieacutee agrave lrsquoeacutenergie magneacutetique stockeacutee par la relation suivante
21 1 (II36)2 2 V
W LI A Jdv= = int
Lrsquointeacutegrale (II36) est limiteacutee au volume de la bobine car la densiteacute de courant est nul ailleurs
Nous avons supposeacute que la densiteacute de courant eacutelectrique est uniformeacutement reacutepartie sur toute
la section de la bobine ce qui conduit agrave
(II37)JSIN
=
Avec ( )( )4 1 3 2S Z Z R R= minus minus
60
N et I sont respectivement le nombre de spires que contient la bobine et lrsquointensiteacute de courant
eacutelectrique qui les travers ( )( )4 1 3 2S Z Z R R= minus minus
Le potentiel de vecteur magneacutetique utiliseacute dans lrsquoeacutequation II36 est celui deacutefini dans la reacutegion
II de la bobine
En remplaccedilant les eacutequations (II15) et (II37) dans (II36) on obtient
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )4 3
1 2
2
2 1 11
0 1 II38II IIn n n n n n n
Z
Zn
R
Ra I r b K r C L rNL rdrsi z d
JSn zd
πα α θα α
infin
=
+= minussumint int int
En inteacutegrant (II38) par rapport aux variables r θ et z lrsquoexpression analytique de lrsquoinductance
est donc donneacutee par
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
3 3 2 2
3 3 2 221
4 40 3
1 4
3 2
2
2
II392
6
2 cos cos
IIn
IIn n n
n nn
n
a R U R R U R
b R V R R V R
J R W R R W R
NL Z ZJS
ππ α αα
αmicroπ
infin
=
minus + minus
minus minus
=
minussum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1n n n nU r I r L r I r L rα α α α= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1( ) n n n nV r K r L r K r L rα α α α= +
Et ( ) 2 23 512 3
2 2 4n rW r F α =
est la fonction hypergeacuteomeacutetrique [90]
II6 Reacutesultats analytiques et discussion
Les valeurs des paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutes dans notre problegraveme sont reacutesumeacutees
sur le tableau II1 Les solutions analytiques dans toutes les reacutegions ont eacuteteacute calculeacutees avec un
nombre fini en termes drsquoharmoniques eacutegal agrave 50 Les limites exteacuterieures du circuit dans la
direction axiale sont choisies de maniegravere agrave ce que leurs valeurs nrsquoaffectent pas les reacutesultats
obtenus
61
Tableau II1 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme sans pastille
Paramegravetre Description valeur
R1 Bord infeacuterieur du domaine dans la direction radial 0030 m
R2 Rayon interne de la bobine 0080 m
R3 Rayon externe de la bobine 0120 m
R4 Bord supeacuterieur du domaine dans la direction radial 0150 m
Z1 Limite inteacuterieure de la bobine 0200 m
Z2 Limite inteacuterieure de lrsquoentrefer 0225 m
Z3 Limite exteacuterieure de lrsquoentrefer 0275 m
Z4 Limite exteacuterieure de la bobine 0300 m
Z5 Limite exteacuterieure du domaine dans la direction axiale 0500 m
N Nombre des spires dans la bobine 1000
J Densiteacute de courant eacutelectrique dans la bobine 5 Amm2
Nmax Nombre drsquoharmoniques utiliseacute dans tout le domaine 50
Afin de valider nos reacutesultats analytiques nous devons les comparer avec ceux obtenus
en utilisant la meacutethode drsquoapproximation par eacuteleacutements finies [103104] (FEA pour Finite
Element Approximation) impleacutementeacutee sous le logiciel COMSOL Multiphysics La taille de
maillage et la preacutecision demandeacutee sont choisies de maniegravere agrave ce que les quantiteacutes deacuteriveacutees du
FEA servent de reacutefeacuterence une densiteacute de maillage drsquoenvirons 1850 triangles a eacuteteacute imposeacutee
dans la reacutegion du fer composant le circuit ferromagneacutetique La densiteacute de maillage consideacutereacutee
dans la reacutegion de lrsquoentrefer et de la bobine est moins eacuteleveacutee pour eacuteviter une augmentation
inutile de temps de calcul (figure II2) En effet les mecircmes paramegravetres geacuteomeacutetriques que ceux
deacutefinis dans le tableau 1 sont utiliseacutes Les conditions aux limites homogegravenes de type Dirichlet
et de Neumann sont eacutegalement prises en compte dans les simulations comme avec le modegravele
analytique
62
Figure II2 Maillages du circuit ferromagneacutetique avec entrefer eacutetudieacute par COMSOL
(a) (b)
Figure II3 Comparaison des distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir
du calcul analytique (a) et du calcul numeacuterique (b) avec le traceacute des lignes de champ
magneacutetique
63
La figure II3 repreacutesente la comparaison des distributions du potentiel vecteur
magneacutetique calculeacutees dans toutes les reacutegions drsquointeacuterecirct par la meacutethode analytique (a) et la
meacutethode numeacuterique (b) Nous avons ainsi repreacutesenteacute les lignes de champ magneacutetique dans
toutes les reacutegions drsquointeacuterecirct en calcul numeacuterique Les composantes radiale Br et axiale Bz de la
densiteacute de flux magneacutetique obtenues analytiquement sont ensuite repreacutesenteacutees et compareacutees agrave
celles obtenues numeacuteriquement dans la figure II4 (figure 4II (a) correspond agrave la reacutegion III et
figure 4II (b) correspond agrave la reacutegion IV)
(a)
(b)
Figure II4 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions
(a) III en ( )1 2 2r R R= + et (b) IV en 1 2r R=
64
Figure II5 Comparaison des valeurs de lrsquoinductance de la bobine en fonction de la longueur
de lrsquoentrefer obtenues numeacuteriquement avec celles obtenues analytiquement pour les
diffeacuterentes valeurs de nombres des harmoniques variant entre 1 et 50
Une comparaison est faite entre les valeurs numeacuteriques obtenues avec COMSOL et les
reacutesultats analytiques pour diffeacuterents nombres dharmoniques allant de 1 agrave 50 De toute
eacutevidence linductance diminue avec laugmentation de la longueur de lentrefer ( figure II5)
plus le nombre de termes harmoniques est eacuteleveacute plus la solution agrave la valeur de reacutefeacuterence
obtenue numeacuteriquement est proche
Lerreur maximale est de 3937 1147 635 292 152 et 075 pour un nombre de
termes harmoniques de 1 5 10 20 30 40 et 50 respectivement Nous pouvons conclure ici
que la formule proposeacutee est correcte et efficace De plus seuls 10 termes suffisent pour
obtenir moins de 10 derreur
Nous allons proceacuteder maintenant au calcul de lrsquoinductance de la bobine en preacutesence
drsquoune pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer
65
II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en
preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
Les mecircmes hypothegraveses consideacutereacutees preacuteceacutedemment dans le cas de circuit seul avec
entrefer seront consideacutereacutees par la suite en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
La figure II6 repreacutesente la geacuteomeacutetrie du problegraveme consideacutereacute
Figure II6 Circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer de longueur e dans lequel se trouve
une pastille supraconductrice
En Introduisant la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer deux reacutegions
suppleacutementaires sont consideacutereacutees en plus dans ce cas la reacutegion V et la reacutegion VI Ces deux
reacutegions correspondent agrave de lrsquoair (figure II6) La pastille supraconductrice est modeacuteliseacutee par
un diamagneacutetique parfait ( 0micro = ) de sorte que le potentiel vecteur magneacutetique est nul dans
toute la pastille y compris ses bords
De ce fait les conditions aux limites consideacutereacutees dans les reacutegions V et VI sont comme suit
( ) ( ) ( )2
3 ( ) 0 II400VV
z Z
A r z A r z Z reacutegionVz =
part= = =
part
( ) ( ) ( )5
4
0 0 ( II4) 1VIVI
z Z
A r zA r z Z reacutegionVI
z=
part= = =
part
Des conditions suppleacutementaires sont imposeacutees agrave en r=0 (lrsquoaxe de symeacutetrie)
66
( ) ( ) ( ) I0 0 et 0 0 I42V VIA r z A r z= = = =
Les expressions analytiques du potentiel vecteur magneacutetique pour les reacutegions I II et III du
problegraveme consideacutereacute dans la figure II6 sont donneacutees de la mecircme faccedilon que le problegraveme
preacuteceacutedent (en absence de la pastille supraconductrice) comme suit
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 5
1 11 0 5
II43nII n n n n
n n
K RA r z b I r K r sin z
I Rα
α α αα
infin
=
= +
sum
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 11
II44II IIII n n n n n n n
n
A r z a I r b K r C L r sin zα α α αinfin
=
= + minussum
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11
II45III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Avec7
nnZπα = 2
0 2n n nC Jπmicro α minus =
et ( )( ) ( )( )( )1 62 cos cosn n n
JJ z Z z Zn
α απ
= minus minus minus
Pour la reacutegion IV les conditions aux limites consideacutereacutees ici sont
2 5
( ) ( )0 et 0z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
Et le potentiel vecteur magneacutetique est donneacute sous forme (en suivant la mecircme meacutethode
deacutetailleacutee dans lrsquoannexe I)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )101 11 1 1 2
1
cos II46IV IVIV n n
nn n nA r Z A r A r a I r b K r z Zβ β β
infinminus
=
= + + + minussum
Avec 5 2
nn
Z Zπβ =minus
Les constantes dinteacutegrations 01A et 02A sont dues agrave lrsquoapplication des conditions aux
limites de Neumann dans la reacutegion IV Elles seront deacutetermineacutees apregraves en appliquant la
condition de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique agrave linterface entre les reacutegions III et IV
agrave 2r R= et agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI agrave r= R1
Pour les reacutegions V et VI en prenant en consideacuterations les conditions aux limites (II40) (II41)
et (II42) les expressions du potentiel vecteurs magneacutetiques sont donneacutees comme suit
( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 2 21
cos II47VV n n
nnA r z a I r z Zβ β
infin
=
= minussum
67
( ) ( )( ) ( )1 3 3 41
II4( ) s 8inVIVI n n n
nA r z a I r z Zβ β
infin
=
= minussum
Avec ( )( )2
3 2
2 1 2n
nZ Z
πβ
minus=
minuset ( )
( )53
4
2 1 2n
nZ Z
πβ
minus=
minus
II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
Agrave partir de la condition de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique agrave lrsquointerface
entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave r=R2 et agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI
agrave 1r R= on a
( ) ( ) [ ] ( )2 2 2 5 II 49IV IIIA r R z A r R z pour z Z Z= = = isin
Et
( )( ) [ ]
[ ]( ) [ ]
( )1 2 3
1 3 4
1 4 5
0
II50V
IV
VI
A r R z pour z Z Z
A r R z pour z Z Z
A r R z pour z Z Z
= isin
= = isin = isin
On integravegre les deux eacutequations (II49) et (II50) par rapport agrave z sur lrsquointervalle [ ]2 5Z Z on
trouve
( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
1 3
1
1 2 12
01 1 2 1
1
21
3
1
1
II51n
VIn n
nV
nIII III nn n
n
n
n n n
a I RA a
a I RI R b K R h q
ββα α
ββ
+
infin
=
minus = + minus +
sum
( ) ( ) ( ) ( )1 3 13
1 2111 1 2 1 01 1
15 2 2
1 1 1 II52VIn n n
n
nVn
n n
RA a I RR Aa RZ Z
I ββ
ββ
infin+
=
= minus + minus minus
sum
Avec
( ) ( )( )2 5cos co1 s n nnn
Z Zmα
α α= minus ( )
22 2
2 1
n nRh m
R R e=
minus
( )1
2 22 1
RqR R e
=minus
et 5 2e Z Z= minus
Les constantes drsquointeacutegrations I II II III III IV IV Vn n n n n n n nb a b a b a b a et VI
na sont deacutetermineacutees agrave
partir des conditions de passages aux interfaces entre les diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecircts du
problegraveme
68
II72 Conditions de passages entres interfaces
Les mecircmes conditions de passages appliqueacutees dans le cas de circuit sans pastille sont
appliqueacutees dans ce cas sauf que des conditions particuliegraveres deacutefinies par morceaux sont
appliqueacutees agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI en 1r R=
II721 Interface agrave r = R4
A lrsquointerface entre les reacutegions I et II agrave 4r R= on trouve
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
4 4 4 4 41 15
01 1 1
0
II53nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
+ minus minus = minus
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
05
0 00 4 0 4 40
4 45
II54nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
minus minus + = minus
II722 Interface agrave r = R3
Pour lrsquointerface agrave 3r R= entre les reacutegions II et III on obtient
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 31 1 1 1 1 II55II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus minus + + = minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 30 0 0 0 03 3 II56II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus + + minus = minus
II723 Interface agrave r = R2
Agrave lrsquointerface entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave 2r R= des conditions de passages
particuliegraveres deacutefinies par morceaux sont appliqueacutees ici
( ) ( ) ( )2 2
5
2 5
7
20 0
II57
0
III IV
r R r R
pour z ZrA rA
pour Z z Zr r
pour Z z Z= =
lt lt
part part= lt ltpart part lt lt
( ) ( ) ( )2 22 5 II58IV IIIA r R z A r R z pour Z z Z= = = lt lt
On obtient
69
( )( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
0 2 0 2 0 2
1 2 2 1 2 2
11 1
0 2 1 2 1 11 32 3
0 II59
1 VI
n
n n m n n mIII III IVn n n n n m
n n m n n m
nIV V
n n m n m mn
n n nn
I R f K R fa b a I R g
I R R h m K R R h m
R Rb K R g a I R h RI ha ββ
α αβ
α α
β ββ
+
minus minus minus + =
minus + + +
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 5 2 1 2 5 2 0 II60III III IV IVn n n m n n n m n n n na I R j b K R j a I R Z Z b K R Z Zα α β β+ minus minus minus minus =
Avec
( )( ) 12 22 12 nn R R e mh
minusminus=
( ) ( ) ( )2
1
2
21
2
n n
n m
n mn m
n m
sinf
m si
n si
απ α αα α
π α α
+ minus ne
minus
=
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 5 2 2
21
2 5
1
1 1
2 4
n n mm m m n
m n
n n n mn
n
cos Z cos Z si
g n msin Z cos Z cos sin Z
β αα α α βα β
β β β α βπ +
+ + minus minus= + + minus =
ne
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
12 5
15 2 2 2 5
2 2
2 cos 1 sin
1sin cos 1 cos
2
nm m n m m n
m nn m
n n n m nn
n
Z Z si
Zj
Z Z Z Z si
α α β α α βα β
β β β α ββ
+
+
+ minus ne
minus + +
minus
=
=
minus
II724 Interface agrave r = R1
Ainsi des conditions de passages particuliegraveres sont deacutefinies sur lrsquointerface entre la reacutegion IV
et les reacutegions V et VI agrave 1r R=
( )( )
( )( )
1 2 3
1 3 4
1 4 5
0 II61
V
IV
VI
A r R Z pour Z z ZA r R Z pour Z z Z
A r R Z pour Z z Z
= lt lt= = lt lt = lt lt
( ) ( ) ( )1 1
2 3 II62V IV
r R r R
rA rApour Z z Z
r r= =
part part= lt lt
part part
70
( ) ( ) ( )1 1
4 5 II63VI IV
r R r R
rA rApour Z z Z
r r= =
part part= lt lt
part part
Ainsi agrave partir des eacutequations (II61) (II62) et (II63) on obtient
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 3 0 II64VIV IV Vk k n m k k n m n n m n m
In n na I r l b K r l a a II r O prββ β β+ minus minus =
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )1 2 2 1 2 2
0
11 1
1 2 1 0 2 1 1
0 1 1
21 3
3
0 II65
1 2 1
2
III IIIn n n n n n n n
IV IVn m n n m
n
n
V
n n
VI nn n
nn n n
nn
a I R R S m b K R R S m
a q b K q
R n S Ra I R S I
R R
a R
I
R I
α α
β β
πβ β
ββ
β
+
+ + minus =
+
minus minus
minus minus
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
11 1 2 2 1
1 2 121 2 2 0 1
0
1 31
1 0 3 13
02 1
2
1
II66
1 2
nn
n
VIn n n
nIVIIIn n mn n m n mV
nIII IVnn n m n n
n
n m
m
a I R ta I R R B m B Ra I R
b K R R B m b K
na I R
R
R R I
t
B πβ β
βαβ
βα β
β
+
=minus
minus+ minus + minus
minus +
Avec
( ) ( )
( )
12 2
5 2
1 si 2n
nm
mn
n
mm
m
nn
m si
Z Z il
s
βπ β ββ β
β β
+ minus ne minus
minus =
=
( ) ( )( )
( )
1 23 2 2
2
3
2 2
2 2
21 c
osn
n nm n m
n m
n
m
m
Z Z
Z Z s
siO
i
β β β ββ β
β β
+
minus
minus minus ne
=
= minus
( )( ) ( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( )
13 4 32 2
3
3 4
3 4 313 3
2
5 4 2
5
2
2
2 1 sin
sin
2 1 sin
cos
cos1
nn m m n m
n m
n mn
n n mnn n
Z si
ZZ Z Z si
Z m
ZZ
Z
p
Z
β π ββ
ββ β
β β
β β ββ
β
+
+
minus minus ne minus= minus minus = + minus
minus
minus minus minus
71
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
1 332 2
3
13 4 3 5
4 2
2
3
3
2
4 2
2 11 cos
2
1 s
cos
cos in
in21
s4 1
n mn m n
m n
nn n
m n
n
n
n m
m
Z Z
n Z
Z Z
tZ Z
Z
π β ββ
β β
ββ ββ
ββπ β
+
+
minusminus +
= minus minus minus
minus neminus
+ minus=
minus minus
( ) ( )( )
( )
1 23 2 22
2
3
2
22
21 cos n nn
m n mm
n
m n
m
n
mqZ Z
Z Z
β ββ β ββ β
β β β
+ minus minus ne minus
minus =
=
( )( )( )2 2
1
2 5
1
2 1 2
14m
m
mRS
R R Z Zβ
+minus=
minus minus
( )( )1
2 22 1 5 23
2
mm
RBR R Z Zβ
=minus minus
Au final Les eacutequations (II53) (II54) (II55) (II56) (II59) (II60) (II64) (II65) et
(II66) peuvent se mettre en systegraveme matricielle de taille ( )9 max (9 max)N Ntimes
Les coefficients drsquointeacutegrations de lrsquoensemble des harmoniques drsquoespace
etI II II III III IV IV V VIn n n n n n n n nb a b a b a b a a sont relies les uns aux autres agrave travers ces eacutequations ils
sont obtenus par inversion numeacuterique de ce systegraveme matricielle
11 12 13
21 22 23
32 33 34 35
42 43 44 45
54 55 56 57 58 59
64 65 66 67
76 77 78 79
84 85 86 87 88 89
94 95 96 97 98 99
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0
InIInIIn
bab
η η ηη η η
η η η ηη η η η
η η η η η ηη η η η
η η η ηη η η η η ηη η η η η η
( )( )( )( )
1 4
0 4
1
0
3
3
(II67)00000
n n
n n
n n
n n
IIInIIInIVnIVnVnVIn
C L RC L
C L R
ababaa
RC L R
ααα
α minus =
minusminusminus
Avec
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
1 1 12 1 135
11 4 4 4 45
10
nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
αη α η α η αα
+ = minus = minus=
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
21 22 230
50 4 0 4 0 4 0 4
5
nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
η α α η α η αα
= minus = minus =
72
( ) ( ) ( ) ( )3 3 332 31 33 1 33 1 34 1 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = minus = =
( ) ( ) ( ) ( )0 3 0 3 042 43 44 3 345 0 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = = = minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( )54 0 2 1 2 2 55 0 2 1 2 2 n n m n n m n n m n n mI R f I R R h m K R f K R R h mη α α η α α= minus = minus +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 156 0 2 57 0 2 58 1 2 1 59 1
21 3
3
1
n
n n m n n m n m nn
mn
R RI R g K R g I R h hI Rη β η β η β η βββ
+minus= minus = = =
( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2 65 1 2 6664 1 2 5 2 6 7 1 2 5 2 n n m n n m n nI R j K R j I R Z Z K R Z Zα η α η βη η β= = minus minus minus minus= =
( ) ( ) ( ) ( )1 1 77 1 1 78 1 2 79 76 1 3 k n m k n m n n m n mnI r l K r l I Ir prOη ββ η β η β ηminus minus= = = =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 284 0 185 1 2 2 86 7 0 1 8 n n n n n n nn n m n mI R R S m K R R S R Rm I q K qα η α η β η βη = = == minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 18 8 1 2 1 0 2 1 189 1 3
32
1 2 1
2
n
nn
n
nn n n
R n S RI R I R IS Rπ
η β β η βββ
+ + = minus
minus minus= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 95 1 2 2 96 1 97 00 1 94 n m n n m n n n m mn nI R R B m K R R B m I R t K R tα η α η η βη β= = = minus=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 3 0 31 1
98 1 2 1 93
9 12
1
1 1 1
22
2 n n
n
nm m
nn
B R nI IRR RBI Rη β
ββ β
βη
π+ minus
minus= minus = minus +
II72 Expression analytique de lrsquoinductance
De la mecircme faccedilon et agrave partir de lrsquoeacutequation (II36) on obtient
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
4 4 3 3
4 4 3 321
4 40 4 4 3
1 62
3
II2 co 68s2
c
6
os
IIn
IIn n n
n nn
n
a R U R R U R
b R V R R V R
J R W R R
NL Z ZS
W RJ
α αα
αmicroπ
ππinfin
=
minus + minus
minus minus
= minussum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1n n n nU r I r L r I r L rα α α α= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1( ) n n n nV r K r L r K r L rα α α α= +
Et ( ) 2 23 512 3
2 2 4n rW r F α =
est la fonction hypergeacuteomeacutetrique [90]
73
II73 Reacutesultats et discussion
Entre le cas avec pastille supraconductrice et le cas sans on a gardeacute les mecircmes valeurs
des paramegravetres geacuteomeacutetriques pour montrer lrsquoeffet de la preacutesence de cette derniegravere sur la valeur
de lrsquoinductance de la bobine Ces valeurs des paramegravetres geacuteomeacutetriques sont reacutesumeacutees dans le
tableau 2
Les solutions analytiques dans toutes les reacutegions sont obtenues en utilisant le mecircme
nombre drsquoharmoniques qui est eacutegale agrave 50 Les valeurs du tableau II2 sont eacutegalement utiliseacutees
pour reacutesoudre le mecircme problegraveme avec la meacutethode des eacuteleacutements finis (FEM) sous COMSOL
afin de valider les reacutesultats obtenus analytiquement Des conditions aux limites identiques agrave
celles utiliseacutees lors de calcul analytique sont employeacutees dans la simulation numeacuterique
Tableau II2 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme avec pastille
Paramegravetre Description valeur
R1 Rayon de la pastille supraconductrice 0015 m
R2 Bord infeacuterieur du domaine dans la direction radial 0030 m
R3 Rayon interne de la bobine 0080 m
R4 Rayon externe de la bobine 0120 m
R5 Bord supeacuterieur du domaine dans la direction radial 0150 m
Z1 Limite inteacuterieure de la bobine 0200 m
Z2 Limite inteacuterieure de lrsquoentrefer 0225 m
Z3 Limite inteacuterieure de la pastille supraconductrice 0230 m
Z4 Limite exteacuterieure de la pastille supraconductrice 0270 m
Z5 Limite exteacuterieure de lrsquoentrefer 0275 m
Z6 Limite exteacuterieure de la bobine 0300 m
Z7 Limite exteacuterieure du domaine dans la direction axiale 0500 m
N Nombre des spires dans la bobine 1000
J Densiteacute de courant eacutelectrique dans la bobine 5 Amm2
Nmax Nombre drsquoharmoniques utiliseacute dans tout le domaine 50
74
La distribution du potentiel vecteur magneacutetique dans toutes les reacutegions drsquointeacuterecircts du
problegraveme eacutetudieacute obtenue avec un calcul analytique et un calcul numeacuterique est repreacutesenteacutee sur
la figure II7 Les composantes radiale Br et axiale Bz du la densiteacute de flux magneacutetique est
ainsi repreacutesenteacutees sur la figure II8 (a) dans la reacutegion III en r = 0055 (b) dans la reacutegion IV
en 00225r = (c) dans la reacutegion V en 00075r = et (d) dans la reacutegion VI en 00075r =
Dans ce cas une veacuteritable concordance peut ecirctre constateacutee entre les deux approches en
srsquoeacuteloignant de la reacutegion de lrsquoentrefer (figure II8 (a)) Un leacuteger deacutecalage subsiste
neacuteanmoins entre les reacutesultats analytiques et numeacuteriques (figure II8 (a)) surtout pour la
composante ZB Ce deacutecalage peut sexpliquer par le nombre limiteacute drsquoharmoniques retenus lors
du deacuteveloppement analytique mais aussi par les erreurs numeacuteriques reacutesultantes de
linversion matricielle lors du calcul des coefficients De mecircme que dans la preacuteceacutedente
section on notera que lutilisation de fonctions de Bessel modifieacutees nrsquoarrange rien puisque
qursquoelle conduit agrave une matrice tregraves mal conditionneacutee lorsque le nombre drsquoharmoniques
consideacutereacute augmente
Figure II7 Distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir du (a) calcul
numeacuterique) et du (b) calcul analytique en preacutesence de la pastille supraconductrice
75
(a) (b)
(c) (d)
Figure II8 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions
(a) III agrave ( )2 3 2r R R= + (b) IV agrave 2 2r R= (c) V agrave 1 2r R= et (d) VI agrave 1 2r R= en
preacutesence de la pastille supraconductrice
La valeur de lrsquoinductance de la bobine obtenue analytiquement agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation
(II68) est la mecircme que celle obtenue numeacuteriquement agrave lrsquoaide de la meacutethode FEM sous
COMSOL cette valeur est eacutegale agrave 0247 H Par ailleurs la valeur de lrsquoinductance en absence
de la pastille supraconductrice est de 0253 H ce qui nous amegravene agrave dire que la pastille a tregraves
peu drsquoinfluence sur la valeur de lrsquoinductance pour le problegraveme eacutetudie (une diffeacuterence de 6)
Ceci reacutesulte du fait que le rayon de la pastille consideacutereacutee dans notre calcul est relativement
petit par rapport au rayon du noyau ferromagneacutetique 15 mm pour le rayon de la pastille
contre 30 mm pour le noyau de fer
76
La figure II9 repreacutesente la variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon
r de la pastille supraconductrice avec 20 r Rlt lt Nous constatons que lrsquoinductance de la
bobine diminue en augmentant la taille de la pastille cette faible diminution est due peut-ecirctre
agrave lrsquointervalle de variation de rayon de la pastille consideacutereacutee Pour 2r Rgt deux reacutegions
drsquointeacuterecirct en plus doit ecirctre consideacuterer dans lrsquoeacutetude preacuteceacutedente et les calculs effectueacutes
deviennent tregraves compliqueacute agrave cause des nombres de variables eacuteleveacutes et par la suite des
problegravemes de convergence pour le calcul analytique sont imposeacutes
Figure II9 Variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
Pour reacutesoudre ce problegraveme un calcul numeacuterique agrave lrsquoaide de la meacutethode FEA sous
COMSOL est effectueacute le rayon de la pastille dans ce cas peut prendre des valeurs
supeacuterieures au rayon du noyau de fer ( )30 r Rlt lt La figure II10 repreacutesente la variation de
lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon de la pastille en utilisant deux types de
circuits circuit ouvert et circuit fermeacute Une diminution remarquable dans la valeur de
lrsquoinductance est constateacutee dans ce cas en fonction du rayon de la pastille supraconductrice
Par ailleurs la valeur de lrsquoinductance trouveacutee pour un circuit fermeacute est supeacuterieure agrave celle
trouveacutee dans le cas drsquoun circuit ouvert
77
Figure II10 variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
supraconductrice dans un circuit fermeacute et dans un circuit ouvert
78
II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique
impulsionnel
Nous reprenons le problegraveme de la figure II1 Une pastille supraconductrice de rayon
11R et de hauteur ( )33 22Z Zminus est placeacutee au centre de la reacutegion de lrsquoentrefer Lexpression
analytique du potentiel vecteur magneacutetique ( ) IVA r z t (eacutequation II22) est utiliseacutee pour
calculer les courants induits agrave linteacuterieur de la pastille supraconductrice La reacutegion drsquointeacuterecirct est
preacutesenteacutee sur la figure II11 avec lrsquoaxe (Oz) est en position verticale
Figure II11 Position de la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du problegraveme
de la figure II1 avec [ ]110r Risin et [ ]22 33z Z Zisin
La densiteacute de courant parcourue dans la reacutegion de la bobine est en fonction du temps
Cette densiteacute de courant est supposeacutee produite par la deacutecharge dune batterie de
condensateurs sous forme
( ) ( ) ( )( ) ( )max exp II66aJ t J t tτ τ= minus
Avec 2max 50 J A mm= et 1msτ =
La densiteacute de courant J induite dans la pastille supraconductrice est calculeacutee agrave lrsquoaide
drsquoun code de calcul deacuteveloppeacute sous MATLAB en utilisant la meacutethode de laquo Brandtraquo
deacuteveloppeacutee en 1998 pour les disques et les cylindres en preacutesence drsquoun champ magneacutetique
axial [99 100]
79
En reacutesumeacute leacutequation suivante doit ecirctre satisfaite
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11 33
22
2 21 10 2 20
I I67
R Z IVcylZ
d J r t d A r tQ r r E J dr dz
dt dtmicro minus minus
= times +
int int
( )2 )r r z= Coordonneacutees de la pastille supraconductrice
cylQ Inteacutegral de Kernel
cylQ est obtenue en inteacutegrant la fonction de Green de lrsquoeacutequation de Laplace agrave 3D en
consideacuterant que le milieu ferromagneacutetique est caracteacuteriseacute par une permeacuteabiliteacute infinie
E(J) donne la relation entre le champ eacutelectrique E et la densiteacute de courant critique J qui
deacutecrive le comportement supraconducteur de la Pastille supraconductrice Dans ce cas E(J)
est deacutefini par le modegravele de la loi en puissance
( ) ( )1
II68n
JEcE J JJc Jc
minus =
Avec 1 CE V cmmicro= 30n = et 2100 cJ A mm=
La reacutesolution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle (II67) est effectueacutee en utilisant les solveurs
disponibles dans MATLAB agrave savoir laquo ode15s raquo et laquo ode23t raquo
Figure II12 Variation de champ magneacutetique appliqueacute et du champ magneacutetique pieacutegeacute sur la
surface de la pastille supraconductrice agrave 0r = et 33z Z=
80
Un calcul numeacuterique est eacutegalement effectueacute afin de valider les reacutesultats obtenus
analytiquement Un modegravele de formulation en H impleacutementeacute sous COMSOL est utiliseacute [41]
ougrave lrsquoeacutequation aux deacuteriveacutees partielles (EDP) suivante doit ecirctre reacutesolue temporellement dans la
pastille supraconductrice
( )( ) ( )0 II0 69H J Ht
micro ρpart+nablatimes nablatimes =
part
Les composants du champ magneacutetique ( )r zH H H= sont choisis comme variables drsquoeacutetat
Le mateacuteriau supraconducteur est modeacuteliseacute par une reacutesistiviteacute non lineacuteaire
( ) ( )1
II70n
C
C C
JEJJ J
ρminus
=
La figure II12 preacutesente la variation en fonction de temps de la densiteacute de flux
magneacutetique appliqueacutee aB et la densiteacute de flux magneacutetique pieacutegeacutee pieacutegeacuteB agrave 0r = e 33z Z=
(figure II7) Une correspondance presque parfaite dans les reacutesultats est observeacutee La valeur
maximale de la densiteacute du flux magneacutetique appliqueacute est environ de 75 T et la valeur de la
densiteacute de flux magneacutetique pieacutegeacute est de 209 T agrave t=10 ms Leacutecart entre les reacutesultats
analytiques et numeacuteriques est infeacuterieur agrave 3 tout au long du processus drsquoaimantation par
PFM
Le traceacute en fonction de temps de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc dans le plan
meacutedian de pastille supraconductrice est preacutesenteacute sur la figure II13 pour diffeacuterentes valeurs du
rayon r avec ( )0479515320r mm=
81
Figure II13 Evolution de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc sur le plan meacutedian de la
pastille supraconductrice agrave ( )0479515320r mm=
Les reacutesultats obtenus analytiquement sont proches de ceux obtenus par COMSOL
Une leacutegegravere diffeacuterence est remarqueacutee en particulier pour r = 0 Cette valeur de r est singuliegravere
et on ne peut pas juger est ce que les reacutesultats obtenus pour cette valeur sont corrects ou non
En revanche la densiteacute de courant sur lrsquoaxe ne contribue pas beaucoup en termes de champ
magneacutetique pieacutegeacute A t = 5 ms la densiteacute de courant dans la pastille supraconductrice est
comprise entre 11 et 15 times Jc
82
II9 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons deacuteveloppeacute un modegravele analytique pour calculer
lrsquoinductance drsquoune bobine circulaire en cuivre de section transversale rectangulaire dans un
circuit ferromagneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie inferieure concentrique avec
la bobine Nous avons montreacute que ce modegravele analytique correspond tregraves bien aux meacutethodes
numeacuteriques avec des erreurs infeacuterieures agrave 10 pour 10 termes harmoniques Nous avons
montreacute aussi que la valeur de lrsquoinductance de la bobine diminue avec lrsquoaugmentation de la
longueur de lrsquoentrefer
Ensuite nous avons proceacutedeacute agrave lrsquoeacutetude de ce mecircme problegraveme en ajoutant une pastille
supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer Nous avons constateacute que la preacutesence de la
pastille supraconductrice dans le circuit ferromagneacutetique a tregraves peu drsquoinfluence sur la valeur
de lrsquoinductance Une diminution de 6 de la valeur de cette derniegravere a eacuteteacute trouveacutee en cas de
preacutesence de pastille supraconductrice Ceci est ducirc agrave la taille de la pastille consideacutereacutee dans
notre calcul qui est relativement petite par rapport agrave la taille du noyau ferromagneacutetique En
effet nous avons trouveacute par un calcul numeacuterique que la valeur de lrsquoinductance de la bobine
diminue en augmentant le rayon de la pastille supraconductrice preacutesente dans la reacutegion de
lrsquoentrefer
Pour le processus drsquoaimantation par la meacutethode PFM les expressions analytiques de
potentiel vecteur magneacutetique trouveacutees dans le cas de circuit sans pastille supraconductrice
sont utiliseacutees pour calculer les courants induits agrave lrsquointeacuterieur drsquoune pastille supraconductrice en
utilisant la meacutethode de Brandt Lrsquoeacutevolution temporelle de la densiteacute de flux magneacutetique
pieacutegeacutee et la densiteacute de courant eacutelectrique montre une excellence correspondance entre les
reacutesultats analytiques et numeacuteriques Une diffeacuterence infeacuterieure agrave 3 est obtenue sur la densiteacute
de flux magneacutetique pieacutegeacute
83
Chapitre 3 Prise en compte de
lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de
leur caracteacuterisation
84
III1 Introduction
Les deux paramegravetres importants qui caracteacuterisent un mateacuteriau supraconducteur massif
sont le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete PB et la densiteacute de courant critique Jc Ces
deux paramegravetres sont lieacutes et deacuteterminent les performances des applications utilisant ces
mateacuteriaux Les meacutethodes de caracteacuterisations deacuteveloppeacutees au laboratoire GREEN sont baseacutees
sur la mesure de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete PB agrave partir de lrsquoaimantation
drsquoune pastille SHTC de type YBCO par champ magneacutetique pulseacute (PFM pour Pulsed Field
Magnetization) La meacutethode PFM consiste agrave appliquer une impulsion de champ magneacutetique
sur cette derniegravere Si ce champ appliqueacute est suivant lrsquoaxe (Oz) (figure III1) des courants
induits vont ecirctre creacuteeacute agrave lrsquointeacuterieur de la pastille et circulent dans le plan (xOy) et par la suite
un champ magneacutetique appeleacute champ magneacutetique pieacutegeacute va ecirctre creacuteeacute suivant lrsquoaxe (Oz) Ce
champ pieacutegeacute est la soustraction du champ magneacutetique mesureacute agrave la surface de la pastille moins
le champ magneacutetique appliqueacute qui est eacutegal au champ magneacutetique en absence de la pastille Le
champ magneacutetique pieacutegeacute ne devrait pas disparaitre apregraves la fin du champ appliqueacute car la
reacutesistiviteacute est nulle dans la pastille supraconductrice Cette meacutethode de caracteacuterisation permet
de deacuteterminer agrave partir de BP la densiteacute de courant critique Jc mais aussi de deacuteterminer la
valeur de lrsquoexposant-n de la loi en puissance
Les meacutethodes de caracteacuterisations preacutesenteacutees au chapitre I utilisent deux pastilles dans
le premier cas et une pastille dans le deuxiegraveme cas La premiegravere meacutethode est plus preacutecise mais
neacutecessite deux pastilles qui sont supposeacutees ecirctre identiques et homogegravenes en termes de Jc Or
linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique Jc est un fait bien connu des experts [53] La
deuxiegraveme meacutethode nrsquoutilise qursquoune pastille et se dispense donc de lrsquoobligation drsquoavoir deux
pastilles identiques Cependant lrsquoinfluence de linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant
critique Jc nrsquoavait pas eacuteteacute prise en compte preacuteceacutedemment Pour prendre en compte
linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique Jc et donc remeacutedier aux deacutefauts de nos
meacutethodes de caracteacuterisation deux axes de recherche ont eacuteteacute exploreacutes Premiegraverement une
eacutetude baseacutee sur la position de la sonde agrave effet Hall dans la meacutethode agrave une pastille a eacuteteacute
reacutealiseacutee Deuxiegravemement une eacutetude des positions respectives du germe de cristallisation des
pastilles dans la meacutethode agrave deux pastilles a eacuteteacute faite
85
Figure III1 Pastille supraconductrice soumis agrave un champ magneacutetique exteacuterieur
III2 Description du banc expeacuterimental
Nous allons preacutesenter dans cette partie le banc expeacuterimental utiliseacute pour lrsquoaimantation
drsquoune pastille SHTC de type YBaCuO Le banc expeacuterimental sert agrave aimanter une pastille
supraconductrice de type YBaCuO en utilisant la meacutethode drsquoaimantation par champ
magneacutetique pulseacute (PFM) et mesurer le champ magneacutetique au milieu des surfaces planes de
cette pastille
III21 Les pastilles SHTC
Les pastilles supraconductrices utiliseacutees sont cylindriques de type YBaCuO posseacutedant
une tempeacuterature critique de 92 k de diamegravetre 311 mm et de hauteur 176 mm Ce type de
mateacuteriau drsquoYBaCuO possegravede une densiteacute de courant critique eacuteleveacutee (gt100 Ammsup2 agrave 77 K) La
figure III2 repreacutesente les deux surfaces des pastilles YBaCuO utiliseacutees (a) surface
supeacuterieure contenant le germe de cristallisation (seed) (b) surface inferieure de la pastille Ces
pastilles sont par nature inhomogegravenes et anisotropes en termes de Jc
(a) (b)
Figure III2 Les deux surfaces de la Pastille SHTC drsquoYBaCuO utiliseacutee pour lrsquoaimantation
x
y
z
O
( )B t
( )B t
86
En geacuteneacuterale la preacuteparation des supraconducteurs YBCO mono domaine par la
meacutethode (TSMG) exige des preacutecurseurs en poudres contenant une distribution uniforme des
composeacutes constituant les phases 2 3 7YBa Cu O δminus (Y-123) et 2 5Y BaCuO (Y-211)Cependant il a
eacuteteacute observeacute que la concentration de particules de Y-211dans le bulk supraconducteur traiteacutee agrave
leacutetat fondu augmente de maniegravere significative avec la distance agrave partir du germe de
cristallisation ce qui entraicircne une deacutegradation des proprieacuteteacutes supraconductrices vers le fond et
le bord de leacutechantillon supraconducteur [109]
Une technique de fabrication des bulk supraconducteurs en YBCO gradueacute baseacutee sur la
concentration de Y-211 utiliseacutee a eacuteteacute deacuteveloppeacutee par un groupe de chercheurs appeleacute laquo the
Cambridge Bulk Superconductivity Groupraquo [109] Trois types de preacutecurseurs en poudres
contenant diffeacuterentes concentrations drsquoY-211 sont disposeacutes en forme U dans une pastille
YBCO en bulk (figure III3) Le but de cette technique est drsquoameacuteliorer les proprieacuteteacutes
supraconductrices du mateacuteriau fabriqueacute
Pour la modeacutelisation de ces pastilles celles-ci peuvent ecirctre diviseacutees en deux ou trois
reacutegions en forme U chaque reacutegion eacutetant caracteacuteriseacutee par son propre Jc0 [109] (Figure III3)
Figure III3 Modegravele drsquoune pastille SHTC gradueacutee en YBCO proposeacutee pour la modeacutelisation
numeacuterique
III22 Le circuit drsquoaimantation
Lrsquoaimantation des pastilles SHTC neacutecessaire agrave la caracteacuterisation est faite par un
magneacutetiseur agrave impulsion (Impulse Magnetizer k-serie) [105] (figure III4)
Les caracteacuteristiques techniques de ce magneacutetiseur sont
- Puissance de stockage de 10kWs
- Capacitance de 5mF
87
- Tension de charge maximale de 2 kV et un courant de 25 kA
Figure III4 Magneacutetiseur agrave impulsion K-serie utiliseacute pour aimanter la pastille
Lrsquoinducteur produisant le champ magneacutetique pour aimanter la pastille
supraconductrice est une bobine agrave fil de Litz de 127 cm de longueur et de 65 cm de diamegravetre
externe ce type de bobines sont adapteacutees au transport des courants eacutelectrique agrave haute
freacutequence et produit un champ magneacutetique axial plus en moins homogegravene dans son centre
dont lequel on met la pastille pour lrsquoaimantation Un Oscilloscope est utiliseacute pour faire la
mesure du champ magneacutetique et le courant de deacutecharge produit par le magneacutetiseur Une
bobine de Rogowski est employeacutee pour mesurer le courant de deacutecharge Rappelons que la
bobine de Rogowski est un systegraveme eacutelectrotechnique servant agrave mesurer le courant alternatif
ou les impulsions de courant agrave grande vitesse [107] Elle se compose
dun enroulement heacutelicoiumldal de fil dont le fil dune extreacutemiteacute revient par le centre de
lenroulement agrave lautre extreacutemiteacute de sorte que les deux bornes sont agrave la mecircme extreacutemiteacute de
lenroulement La bobine est positionneacutee autour du conducteur dont on veut connaicirctre le
courant La figure III3 montre une photo du circuit eacutelectrique utiliseacute pour lrsquoaimantation
Le champ magneacutetique ( )aB t geacuteneacutereacute par la bobine est appliqueacute parallegravelement suivant
lrsquoaxe ( )Oz de la pastille cylindrique Ce champ est caracteacuteriseacute par une vitesse de monteacute bV
drsquoenviron 3125 Ts et une valeur maximale ( )maxaB drsquoenviron 32 Tesla (Figure III7) Une
diffeacuterence de potentiel de 600 V est choisie sur les bornes du magneacutetiseur pour avoir cette
valeur de champ appliqueacute
88
Figure III5 Circuit eacutelectrique de magneacutetisation
Figure III6 Repreacutesentation du dispositif expeacuterimentation du processus drsquoaimantation utiliseacute
89
Figure III7 Impulsion de champ magneacutetique appliqueacute sur la pastille SHTC
III23 Instrumentation
La mesure de champ magneacutetique sur les deux surfaces de la pastille drsquoYBCO se fait agrave
lrsquoaide des deux sondes agrave effet Hall de type HHP-NP adapteacutees aux basses tempeacuteratures
(figure III8) Chaque sonde agrave effet Hall comprend quatre fils deux pour les courants et deux
pour les signaux de tension Les geacuteneacuterateurs de courant illustreacutes sur la figure III5 alimentent
les sondes agrave effet Hall La distance entre la partie active de la sonde et la surface de la pastille
est drsquoenviron 05mm Cette distance est due agrave lrsquoencapsulage de la sonde Ces sondes mesurent
le champ magneacutetique suivant lrsquoaxe (Oz)
Figure III8 Sonde agrave effet Hall de type HHP-NP
90
Les caracteacuteristiques des deux sondes agrave effet Hall utiliseacutees sont donneacutees par le
fabricant (Tableau III1)
Tableau III1 Caracteacuteristiques des sondes agrave effet Hall
Paramegravetre Uniteacute Sonde 2003 (77K) Surface au-dessus
Sonde 468 (77K) Surface su dessous
Courant nominal In mA 20 20
Courant maximum mA 30 20
Sensibiliteacute agrave In TV 1356 946
Tension de deacutecalage agrave In Vmicro 58 lt -40
Reacutesistance drsquoentreacutee Ω 23 41
Reacutesistance de sortie Ω 78 18
Reacutegion de dimension efficace mm 0500 x 01 05 x 01
Dimensions globale mm 5 x 7 x 1 5 x 7 x 1
Les sondes agrave effet Hall sont placeacutees au centre des surfaces planes des pastilles et donc
perpendiculaires au champ magneacutetique appliqueacute (Figure III9)
Lrsquoensemble bobine pastille SHTC et sondes agrave effet Hall sont immergeacutees dans lrsquoazote
liquide agrave une tempeacuterature de 77 K
Lrsquoimpulsion de champ magneacutetique creacuteeacute par la bobine appliqueacutee sur la pastille SHTC
refroidie est lrsquoimage de lrsquoimpulsion de courant eacutelectrique creacuteeacute par le magneacutetiseur Les
mesures de champ magneacutetique et de courant eacutelectrique seront prises agrave lrsquooscilloscope
Figure III9 Positions des sondes agrave effet Hall sur les deux surfaces de la pastille SHTC
91
III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTC
III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hall
Le calcul de la densiteacute de courant critique Jc se fait agrave partir du champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete BP Le calcul de BP est fait agrave partir de la mesure du champ magneacutetique agrave
lrsquoaide des sondes agrave effet Hall En fait nous pouvons mesurer le champ magneacutetique sur lrsquoaxe
(Oz) de la pastille uniquement en deux positions
- Position 1 Au centre de la surface de base supeacuterieure (pregraves du germe de cristallisation
(seed))
- Position 2 Au centre de la surface inferieure de la pastille
La figure III10 repreacutesente les reacutesultats de mesure du champ magneacutetique MB au centre
des deux surfaces de la pastille SHTC (a) Position 1 (b) Position 2 Le champ magneacutetique
MB est mesureacute agrave une distance 05d mm= des deux surfaces de la pastille La diffeacuterence
( ) ( ) 05a MB t B t d mmminus = preacutesente le champ magneacutetique produit par le courant eacutelectrique
induit dans la pastille nommeacute ( )ZSCB t d Ce champ atteint une valeur maximum nommeacute
BZSCM
Agrave partir des figures III10a et III10b on constate que le champ magneacutetique mesureacute aux
positions 1 et 2 ne varie pas de la mecircme faccedilon
92
(a)
(b)
Figure III10 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer au
(a) position1 (b) position 2
93
La figure III11 preacutesente les mecircmes mesures de la figure III10 avec une eacutechelle de
temps reacuteduite Nous remarquons que le temps de peacuteneacutetration complegravete de champ magneacutetique
dans le cas de la position 1 est supeacuterieur agrave celui dans le cas de la position 2 Ainsi la reacutegion
laquo seed raquo est caracteacuteriseacutee par un champ magneacutetique induit supeacuterieur agrave celui de la reacutegion de la
surface opposeacutee (position 2)
(a)
(b)
Figure III11 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer avec une
eacutechelle de temps reacuteduite (a) position1 (b) position 2
94
III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de la
pastille
Le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP peut ecirctre deacuteduit agrave partir de
lrsquoeacutequation I34 en connaissant la valeur de BZSCM Le rapport BZSCBBPB dans lrsquoeacutequation I34
est en fonction seulement des paramegravetres geacuteomeacutetriques R et L de la pastille Ainsi le champ
magneacutetique de peacuteneacutetration de Bean BPB est calculeacute agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I29 en prenant
n=50 Une fois le champ BPB est calculeacute et agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 on peut deacuteterminer la
valeur de la densiteacute de courant critique Jc
Les valeurs de temps de peacuteneacutetration tP de champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute
BPM du max de champ magneacutetique produit par le courant eacutelectrique induit dans la pastille
BZSCM ainsi la valeur de la densiteacute de courant critique obtenues au centre des deux surfaces de
la pastille eacutequivalent aux positions 1 et 2 sont reacutesumeacutees dans le tableau III2
Tableau III2 Valeurs de la densiteacute de courant critique calculeacute agrave une distance de 05 mm au-dessus du
centre des deux surfaces de la pastille SHTC
Position 1 Position 2
tP (10-4s) 75 36
BPM(T) 23 13
BZSCM 192 139
Jc (Amm2) 201 145
Drsquoapregraves les reacutesultats de tableau III2 nous constatons que la densiteacute de courant critique
nrsquoest pas constante sur toute la pastille SHTC elle varie drsquoune reacutegion agrave lrsquoautre Cette
inhomogeacuteneacuteiteacute est due agrave la technique de fabrication utiliseacutee pour ce type de pastille SHTC
III33 Simulations numeacuteriques
Pour modeacuteliser le comportement eacutelectromagneacutetique de la pastille SHTC utiliseacutee dans
nos mesures et par la suite valider la meacutethode utiliseacutee pour calculer la densiteacute de courant
critique agrave partir de la mesure de champ magneacutetique une approximation macroscopique est
proposeacutee Le principe expliqueacute preacuteceacutedemment est de diviser la pastille en trois reacutegions
principales reacutegion supeacuterieure reacutegion centrale et reacutegion inferieure (figure III3) Chaque
95
reacutegion est caracteacuteriseacutee par sa propre densiteacute de courant critique Jc0 Lrsquoimpulsion de champ
magneacutetique appliqueacute sur la pastille est la mecircme que dans la figure III7
La simulation numeacuterique srsquoest faite agrave lrsquoaide du logiciel COMSOL Un calcul
numeacuterique en 2D-axisymeacutetrique est utiliseacute ougrave la formulation en H en coordonneacutees
cylindriques est employeacutee Lrsquoeacutequation de Maxwell suivante doit ecirctre reacutesolue en systegraveme de
coordonneacutees cylindrique
( )0 0 1IIHt
IEmicro part+nablatimes =
part
( ) 2E H IIIρ= nablatimes
Les champs magneacutetique et eacutelectrique ont respectivement deux composantes radiale et
longitudinale [ ]0r zH H H et une transversale [ ]0 0E E
( )0 30 rH E It
IIz
micro part partminus =
part part
( )0 4zH E Et r r
IIImicro part part+ = minus
part part
Le champ eacutelectrique E est donneacute en modegravele de la loi en puissance deacutefini en chapitre I
La densiteacute de courant eacutelectrique est donneacutee agrave partir de lrsquoexpression diffeacuterentielle suivante
( ) 5r z IIHz r
IHJ part part= minus
part part
Le milieu supraconducteur est repreacutesenteacute par une modeacutelisation ( )CJ B selon la loi empirique
suivante
( ) ( )0
0
1
6C iC IIIJJ B
BB
β= +
Avec JC0i est la densiteacute de courant critique de la reacutegion i (i=1 2 3) en absence de toute champ
magneacutetique externe et B0 est une constante deacutependante du mateacuteriau On choisit ici de prendre
0 01B = et 05β = pour les trois reacutegions de la pastille [109]
Nous avons fait varier Jc0i pour chaque reacutegion en suivant la mecircme meacutethode expliqueacutee
preacuteceacutedemment dans la partie expeacuterimentale pour calculer la densiteacute de courant critique
96
moyenne sur les deux surfaces des deux pastilles jusqursquoagrave retrouver les reacutesultats proches de
ceux trouveacute expeacuterimentalement (tableau III2)
Puisque la meacutethode PFM est employeacutee dans notre problegraveme ougrave le champ magneacutetique appliqueacute
est fonction de temps donc la simulation est faite en reacutegime temporel
Le temps maximal de lrsquoimpulsion choisie pour cette simulation max 5msτ = afin de minimiser
la dureacutee de calcul
Les valeurs de JC0i optimales trouveacutees sont mentionneacutees dans le tableau III3
Tableau III3 valeurs de JC0i optimiseacutees pour les trois reacutegions de la pastille
Reacutegion I Reacutegion II Reacutegion III
JC0i (Amm2) 680 1400 435
Lrsquoeacutevolution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure de la pastille est preacutesenteacutee sur la
figure III12 avec un pas de temps eacutegale agrave max 6τ Nous remarquons que le champ magneacutetique
peacutenegravetre progressivement agrave partir de la surface lateacuterale vers lrsquointeacuterieure de la pastille Cette
peacuteneacutetration atteint sa valeur maximale agrave la fin de lrsquoaimantation Le champ magneacutetique
peacuteneacutetrant est moins important coteacute seed
97
Figure III12 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur de la
pastille SHTC
98
La figure III13 repreacutesente les reacutesultats des modeacutelisations numeacuteriques de champ
magneacutetique MB au-dessus de centre des deux surfaces de la pastille SHTC agrave une distance
e=05mm (a) Position 1 et (b) position 2
(a)
(b)
Figure III13 Modeacutelisation numeacuterique du champ magneacutetique sur le centre de la surface
drsquoune pastille (a) Position 1 (b) Position 2
99
Figure III14 La phase de monteacute des graphes de mesures numeacuterique et expeacuterimentale de
champ magneacutetique au-dessus des deux surfaces de la pastille
Une premiegravere comparaison entre les graphes obtenus expeacuterimentalement (figure III9)
et par le calcul numeacuterique (figure III13) pour les deux pastilles montrent que ces graphes sont
proches seulement pendant la phase de monteacutee (la phase la plus inteacuteressante pour deacuteterminer
Jc) (figure III14) Cependant durant la phase de descente de ces graphes nous remarquons
que les graphes obtenus expeacuterimentalement sont totalement diffeacuterents de ceux obtenus
numeacuteriquement Cela srsquoexpliquerait par des pheacutenomegravenes thermiques dus aux pertes creacuteeacutees par
les diffeacuterents courants induits pendant la phase de monteacutee et la phase de descente de
lrsquoimpulsion de champ appliqueacute durant lrsquoexpeacuterience que nous nrsquoavons pas pris en
consideacuteration en simulation
III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux
pastilles
Dans cette partie nous allons mesurer la densiteacute de courant critique drsquoun ensemble de
deux pastilles supposeacutees identiques Le point de mesure srsquoeffectuera entre les deux pastilles agrave
lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet Hall Les deux pastilles sont seacutepareacutees par une distance laquo e raquo qui
preacutesente lrsquoeacutepaisseur de la sonde Afin drsquoeacutetudier lrsquoinfluence de la position des germes dans
cette meacutethode de caracteacuterisation trois configurations sont prises en consideacuteration en fonction
de la position du germe de cristallisation dans les deux pastilles utiliseacutees (figure III15)
100
(a) (b) (c)
Figure III15 Configurations utiliseacutees pour le calcul de Jc entre les deux pastilles
La figure III16 preacutesente les reacutesultats de mesure de champ magneacutetique prises entre les
deux pastilles SHTC pour les trois configurations illustreacutees dans la figure III15 On constate
ici que le temps de peacuteneacutetration complegravete varie drsquoune configuration agrave lrsquoautre (voir tableau
III4) Le champ magneacutetique prend plus de temps pour peacuteneacutetrer agrave lrsquointeacuterieure et entre les
pastilles agrave travers les seeds
Tableau III4 les valeurs de temps de peacuteneacutetration complegravete et champ magneacutetique de
peacuteneacutetration eacutequivalent mesureacutes pour les trois configurations
Configuration (a) Configuration (b) Configuration (c)
tP (10-3 s) 093 132 14
BPM (T) 257 302 31
101
(a)
(b)
(c)
Figure III16 Mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC pour les
configurations (a) (b) et (c)
102
Pour comprendre les pheacutenomegravenes observeacutes des simulations numegraveriques ont eacuteteacute
reacutealiseacutees Les mecircmes eacutetapes de simulation numeacuterique expliqueacutes preacuteceacutedemment dans le cas
drsquoune seule pastille sont utiliseacutees ici La figure III17 repreacutesente lrsquoeacutevolution de la distribution
du champ magneacutetique agrave lrsquointerieur des deux pastilles SHTC pour les trois configurations
illustreacutees dans la figure III15 Les mecircmes valeurs de Jcoi sont utiliseacutees aussi pour la deuxiegraveme
pastille Lrsquoeacutetude de lrsquoeacutevolution de champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur et entre les deux pastilles
est faite agrave un pas de temps eacutegale agrave max 3t τ=
Nous remarquons que le champ magneacutetique peacutenegravetre progressivement agrave lrsquointeacuterieure des
deux pastilles cette peacuteneacutetration est plus rapide dans le cas de la configuration (a) et moins
rapide dans le cas de la configuration (c)
103
Figure III17 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure des
deux pastilles pour les trois configurations (a) (b) et (c)
104
Afin de prendre en consideacuteration lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall utiliseacutee dans la
mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC utiliseacutees dans notre mesure nous
avons fait appel agrave la relation (I32) pour calculer le champ magneacutetique de peacuteneacutetration
complegravete BP Ce champ est neacutecessaire pour le calcul de la densiteacute de courant critique JC entre
les deux pastilles
Rappelons que la relation I32 est valable seulement pour R=10 mm R eacutetant le rayon
de la pastille utiliseacutee Par contre les deux pastilles que nous avons utiliseacutees ont un rayon
R=156 mm Pour trouver une nouvelle relation entre le champ de peacuteneacutetration mesureacute BPM et
le champ de peacuteneacutetration complegravete BP une simulation numeacuterique similaire agrave celle expliqueacutees
dans le paragraphe I5212 du chapitre I est effectueacutee en utilisant deux pastilles SHTC de
rayon R=1555 mm pour chacune ces deux pastilles sont seacutepareacutees par un entrefer e=1mm Cet
entrefer preacutesente lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall Les reacutesultats de mesure sont preacutesenteacutes
sur la figure III18
Figure III18 Rapport BPMBP en fonction de longueur L de la pastille SHTC pour
R=156mm
Donc drsquoapregraves la figure III18 la relation liant BPM et BP pour les deux pastilles utiliseacutees dons
nos mesures deacutepend seulement de la hauteur des deux pastilles et elle est donneacutee par
( ) ( ) ( 156 ) 0031 ln 0 777 PM
P
B R mm ILB
II= = times +
Les valeurs de champ de peacuteneacutetration mesureacute BPM pour les trois configurations eacutetudieacutees sont
mentionneacutees dans le tableau III4 Une fois la valeur de champ de peacuteneacutetration complegravete
deacutetermineacutee agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation III7 et agrave partir de lrsquoeacutequation I29 nous calculons la valeur
105
de champ de peacuteneacutetration de Bean BPB Enfin la densiteacute de courant critique JC entre les deux
pastilles SHTC est calculeacutee agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 Les valeurs de Jc entre les deux
pastilles pour les trois configurations de la figure III15 sont mentionneacutees dans le tableau III5
Tableau III5 Valeur de la densiteacute de courant critique entre les deux pastilles SHTC drsquoYBCO
utiliseacutees dans nos expeacuteriences
Configuration (a) Configuration (b) Configuration (c)
Jc (Amm2) 1317 1548 1589
Drsquoapregraves le tableau III5 nous remarquons que la valeur moyenne de la densiteacute de
courant eacutelectrique critique entre les deux pastilles est infeacuterieure agrave celle drsquoune pastille seule
Cette diminution est due peut-ecirctre agrave la diminution des courants eacutelectriques induits reacutesultants
entre les deux surfaces opposeacutees La configuration (b) est caracteacuteriseacutee par une densiteacute
eacutelectrique critique plus eacuteleveacutee agrave celle de la configuration (a) et moins eacuteleveacutee agrave celle de la
configuration (c) agrave cause de la preacutesence des germes de cristallisations (seed) en face agrave face
pour la configuration (c)
III5 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences pour lrsquoaimantation drsquoune pastille
SHTC de type YBaCuO par la meacutethode PFM dans le but de veacuterifier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute de cette
pastille en termes de densiteacute de courant critique Agrave lrsquoaide des sondes agrave effet Hall nous avons
mesureacute le champ magneacutetique au milieu des deux surfaces planes de la pastille dans le but de
calculer la densiteacute de courant critique agrave ces endroits Dans toutes les mesures il existe une
distance drsquoenviron 05 mm entre la partie active de la sonde et la surface de la pastille ce qui
doit ecirctre pris en compte dans les calculs de Jc Nous avons remarqueacute que la surface qui
contient le germe de cristallisation est caracteacuteriseacutee par une densiteacute de courant plus eacuteleveacutee que
lrsquoautre surface Cette inhomogeacuteneacuteiteacute est due agrave la technique de fabrication utiliseacutee pour ce type
de pastille SHTC Ensuite et sur la base des reacutesultats obtenus expeacuterimentalement nous avons
proposeacute un modegravele numeacuterique pour deacutecrire la morphologie de la pastille SHTC utiliseacute dans
nos mesures en divisant cette pastille en trois reacutegions en forme U concentriques reacutegion
supeacuterieure reacutegion centrale et reacutegion inferieure Chaque reacutegion est caracteacuteriseacutee par sa propre
densiteacute de courant critique JC0
106
Ensuite pour eacutetudier lrsquoinfluence de la position du germe de cristallisation dans la
meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles nous avons calculeacute la densiteacute de courant critique
entre deux pastilles SHTC supposeacutees identiques et seacutepareacutees par une distance e = 1mm agrave lrsquoaide
de la mesure de champ magneacutetique dans cette reacutegion Trois configurations ont eacuteteacute prises en
consideacuteration en fonction de la position du germe de cristallisation Les reacutesultats obtenus
montrent une diminution de la densiteacute de courant critique par rapport agrave une seule pastille agrave
cause de la diminution des courants induits reacutesultants entre les deux surfaces opposeacutees La
configuration qui contient les deux surfaces de laquo seed raquo est toujours caracteacuteriseacutee par une Jc
plus eacuteleveacutee que le reste des configurations eacutetudieacutees Donc nous conseillions que lors de
lrsquointeacutegration des pastilles SHTC pareilles dans des machines eacutelectriques il faut prendre en
consideacuteration la position de ces pastilles par rapport agrave leurs germes de cristallisations
107
Conclusion geacuteneacuterale et perspectives
108
Le travail meneacute dans cette thegravese intituleacutee laquo modeacutelisation et caracteacuterisation des
mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique raquo a eacuteteacute reacutealiseacute en cotutelle dans le
cadre drsquoun projet PHC-Tassili entre le laboratoire GREEN de lrsquouniversiteacute de Lorraine et le
laboratoire LESI de lrsquouniversiteacute Djilali Bounaama de Khemis Miliana
Dans la premiegravere partie de cette recherche nous avons pu deacutevelopper un modegravele
analytique qui a pour but de calculer lrsquoinductance de lrsquoensemble composeacute drsquoune bobine
inductrice circulaire de section transversale rectangulaire dans un circuit ferromagneacutetique
ouvert muni drsquoun entrefer concentrique avec la bobine Ce modegravele est baseacute sur la
deacutetermination de potentiel vecteur magneacutetique agrave partir de la reacutesolution des eacutequations de
Laplace et de Poisson dans les diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecirct du circuit en utilisant la meacutethode
de seacuteparation des variables La reacutesolution analytique srsquoest effectueacutee agrave lrsquoaide drsquoun code de
calcul deacuteveloppeacute sous MATLAB Une simulation numeacuterique est eacutegalement effectueacutee afin de
valider les reacutesultats analytiques Au deacutebut le calcul se fait en absence de tout mateacuteriau
supraconducteur dans le circuit ferromagneacutetique puis nous avons eacutetudieacute le cas de preacutesence
drsquoune pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer pour montrer lrsquoinfluence de cette
derniegravere sur la valeur de lrsquoinductance de lrsquoinducteur Nous avons montreacute pour les deux cas
que les meacutethodes analytiques correspondent tregraves bien avec les meacutethodes numeacuteriques avec des
erreurs inferieures agrave 1 pour un nombre de termes harmonique eacutegale agrave 50 et avec un
avantage aux meacutethodes analytiques en termes de temps de calcul Aussi les meacutethodes
analytiques sont peu exigeantes sur la meacutemoire de calculateur Nous avons montreacute aussi agrave
travers ce modegravele que lrsquoinfluence de la taille de la pastille supraconductrice sur la valeur de
lrsquoinductance obtenue peut servir agrave dimensionner lrsquoinducteur de systegraveme drsquoaimantation par la
meacutethode PFM Ainsi les reacutesultats obtenus montrent que cette eacutetape de modeacutelisation est tregraves
inteacuteressante dans la phase de conception des machines supraconductrices utilisant les
mateacuteriaux supraconducteurs massifs
Dans la partie caracteacuterisation le but eacutetait drsquoeacutetudier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute drsquoune pastille
supraconductrice agrave haute tempeacuterature critique de type YBaCuO en termes de densiteacute de
courant critique Pour cela et suite aux travaux de caracteacuterisations reacutealiseacutes au niveau du
laboratoire GREEN nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences de lrsquoaimantation des pastilles SHTC
de type YBaCuO par la meacutethode PFM Les reacutesultats obtenus montrent que la surface
contenant le germe de cristallisation de la pastille est caracteacuteriseacutee par une densiteacute de courant
critique plus eacuteleveacutee que lrsquoautre surface et cela ducirc agrave la meacutethode drsquoeacutelaboration de ce genre des
pastilles Ensuite nous avons proceacutedeacute agrave la caracteacuterisation de deux pastilles SHTC identiques
109
seacutepareacutees par une distance de 1mm et calculeacute la densiteacute de courant critique de ces deux
pastilles La position de germe de cristallisation drsquoune pastille par rapport agrave lrsquoautre influence
directement la valeur de Jc
Comme perspective agrave ce travail nous envisageons de confronter le modegravele analytique
deacuteveloppeacute durant de travail sur un systegraveme physique reacuteel contenant un circuit magneacutetique
fermeacute comme par exemple un transformateur avec une bobine contenant une pastille
supraconductrice De plus nous envisageons drsquoeacutetablir un modegravele analytique standard en
prenant en consideacuteration lrsquoinfluence de lrsquoeffet thermique afin de deacuteterminer les proprieacuteteacutes
caracteacuteristiques des pastilles supraconductrices agrave partir des reacutesultats obtenus lors des
expeacuteriences de caracteacuterisations par la meacutethode PFM reacutealiseacutees durant cette thegravese
110
Liste des illustrations graphiques
et tableaux
111
Figure I1 Reacutesistiviteacute eacutelectrique de mercure agrave basse tempeacuteraturehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8
Figure I2 Historique des deacutecouvertes de la tempeacuterature critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11
Figure I3 Etat noraml et supraconducteur drsquoun meacutetal en fonction de la tempeacuteraturehellip 12
Figure I4 Repreacutesentation de champ magneacutetique induit en fonction du champ
magneacutetique appliqueacute pur les supraconducteurs de type Ihelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
13
Figure I5 Repreacutesentation graphique (a) des diffeacuterentes eacutetats des supraconducteurs de
type II et (b) du champ magneacutetique induit en fonction du champ
magneacutetique appliqueacute pour les supraconducteurs de type IIhelliphelliphelliphelliphellip
14
Figure I6 Reacuteseaux vortex dans un mateacuteriau supraconducteur de type IIhelliphelliphelliphelliphellip 15
Figure I7 Densiteacute de courant intergrain et intragrain dans un mateacuteriau
supraconducteur helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
16
Figure I 8 Microstructure drsquoun mateacuteriau Supraconducteur agrave Haute Tempeacuterature
critique (SHTC) de formule chimique 2 3 7YBa Cu O δminus helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
17
Figure I9 Surface critique et ordre de grandeur des paramegravetres critique de quelques
mateacuteriaux Supraconducteurshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
18
Figure I10 Diffeacuterentes formes des SHTC a) pastille YBaCuO en massifs b)
YBaCuO en monocouche c) tubes de BSCCOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
19
Figure I11 Traitement thermique pour la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO par la
technique TSMGhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
21
Figure I12 Structure cristalline tridimensionnelle de lrsquoYBa2Cu3O7-δ helliphelliphelliphelliphelliphellip 22
Figure I13 Repreacutesentation de structure (a) orthorhombique et (b) quadratique de la
maille eacuteleacutementaire du compos YBa2Cu3O7-δhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
23
Figure I14 Variation des paramegravetres de reacuteseau a b et c par rapport au deacuteficit en
oxygegravene δ helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
23
Figure I15 Repreacutesentation de la tempeacuterature critique en fonction du deacuteficit en
oxygegravene dans la structure YBaCuOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
24
Figure I16 Structure cristalline de MgB2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25
Figure I17 Distribution de B J E dans un cylindre supraconducteur soumis agrave un
champ magneacutetique parallegravele agrave son axehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
29
112
Figure I18 Comparaison entre la caracteacuteristique E(J) correspond au modegravele de Bean
(courbe rouge) et au modegravele de loi en puissance (courbe verte) avec celle
obtenue expeacuterimentalement (courbe bleu) pour un rubanhelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
Figure I19 Aimantation par refroidissement sous champ magneacutetique (Field Cooling
FC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
33
Figure I20 Aimantation par refroidissement hors champ magneacutetique (Zero Field
Cooling ZFC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
34
Figure I21 Aimantation par un champ impulsionnel (pulsed field magnetization
PFM)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
35
Figure I22 Scheacutema eacutelectrique simplifieacute du circuit utiliseacute pour aimanter les
supraconducteurs massifshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
35
Figure I23 Variation temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour laimantation par
la meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
36
Figure 24 Scheacutema repreacutesentatif de la meacutethode eacutelectrique pour deacuteterminer la densiteacute de
courant eacutelectrique Jc drsquoun mateacuteriau supraconducteurhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
37
Figure I25 Pastille supraconductrice massive de forme cylindrique soumise agrave un
champ magneacutetique appliqueacute axialementhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
38
Figure I26 Variation du champ magneacutetique en fonction du temps Ba est le champ
appliqueacute sur la pastille et B0 repreacutesente le champ magneacutetique mesureacute au
centre de la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
39
Figure I27 Position de sonde agrave effet Hall entre deux pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphellip 40
Figure I28 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesureacute entre deux
pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
40
Figure I29 Repreacutesentation du champ magneacutetique appliqueacute et le champ magneacutetique
mesureacute entre deux pastilles SHTC en fonction de temps en utilisant a)
une bobine supraconductrice pour geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee
b) une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer une vitesse de monteacutee
eacuteleveacutee
42
Figure I30 Rapport PPMB B en fonction de longueur L de la pastille SHTChelliphelliphellip 43
113
Figure I31 Position de sonde agrave effet Hall au centre de surface de la pastillehelliphelliphelliphellip 44
Figure I32 Distribution de la densiteacute de courant JJc dans la pastille SHTC pour trois
valeur de vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacutehelliphelliphelliphelliphelliphellip
45
Figure I33 Calcul numeacuterique de BP au centre de la pastille et BZSCM au-dessus du centre de surface de la pastille agrave d = 05mmhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
46
Figure I34 Comparaison entre le calcul numeacuterique ZSCB PBB B et le calcul analytique
ZSCM PB B helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
47
Figure II1 Geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute un circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie infeacuterieur de longueur 3 2 e Z Z= minus concentrique
avec une bobine de longueur 4 1L Z Z= minus helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
51
Figure II2 Maillages du circuit ferromagneacutetique avec entrefer eacutetudieacute par COMSOLhellip 62
Figure II3 Comparaison des distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave
partir du calcul analytique (a) et du calcul numeacuterique (b) avec le traceacute
des lignes de champ magneacutetiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
62
Figure II4 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions (a) III en ( )1 2 2r R R= + et (b) IV en 1 2r R= helliphelliphelliphelliphelliphellip
63
Figure II5 Comparaison des valeurs de lrsquoinductance de la bobine en fonction de la
longueur de lrsquoentrefer obtenues numeacuteriquement avec celles obtenues
analytiquement pour les diffeacuterentes valeurs de nombres des harmoniques
variant entre 1 et 50helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
64
Figure II6 Circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer de longueur e dans lequel se
trouve une pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
65
Figure II7 Distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir du (a)
calcul numeacuterique) et du (b) calcul analytique en preacutesence de la
pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
74
Figure II8 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans la reacutegion III en ( )2 3 2r R R= + (a) et dans la reacutegion IV en 1 2r R= (b) en
preacutesence de la pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
75
Figure II9 Repreacutesentation de lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon de la
pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
76
114
Figure II10 Variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
supraconductrice dans un circuit fermeacute et dans un circuit ouverthelliphelliphelliphellip
77
Figure II11 Position de la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du problegraveme de la figure II1 avec [ ]110r Risin et [ ]22 33z Z Zisin helliphelliphelliphelliphelliphellip
78
Figure II12 Variation de champ magneacutetique appliqueacute et du champ magneacutetique pieacutegeacute sur la surface de la pastille supraconductrice agrave 0r = et 33z Z= helliphellip
79
Figure II13 Evolution de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc sur le plan meacutedian de la pastille supraconductrice agrave ( )0479515320r mm= helliphelliphelliphelliphelliphellip
81
Figure III1 Pastille supraconductrice soumis agrave un champ magneacutetique exteacuterieurhelliphelliphellip 85
Figure III2 Les deux surfaces de la Pastille SHTC drsquoYBaCuO utiliseacutee pour
lrsquoaimantationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
85
Figure III3 Modegravele drsquoune pastille SHTC gradueacutee en YBCO proposeacutee pour la
modeacutelisation numeacuteriquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
86
Figure III4 Magneacutetiseur agrave impulsion K-serie utiliseacute pour aimanter la pastillehelliphelliphellip 87
Figure III5 Circuit eacutelectrique de magneacutetisationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88
Figure III6 Repreacutesentation du dispositif expeacuterimentation du processus
drsquoaimantation utiliseacutehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
88
Figure III7 Impulsion de champ magneacutetique appliqueacute sur la pastille SHTChelliphelliphelliphellip 89
Figure III8 Sonde agrave effet Hall de type HHP-NPhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 89
Figure III9 Positions des sondes agrave effet Hall sur les deux surfaces de la pastille
SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
90
Figure III10 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer au (a)
position1 (b) position 2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
92
Figure III11 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer avec une
eacutechelle de temps reacuteduite (a) position1 (b) position 2helliphelliphelliphelliphelliphellip
93
Figure III12 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur de la
pastille SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
97
115
Figure III13 Modeacutelisation numeacuterique du champ magneacutetique sur le centre de la
surface drsquoune pastille (a) Position 1 (b) Position 2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
98
Figure III14 La phase de monteacute des graphes de mesures numeacuterique et expeacuterimentale
de champ magneacutetique au-dessus des deux surfaces de la pastillehelliphelliphellip
99
Figure III15 Configurations utiliseacutees pour le calcul de Jc entre les deux pastilleshelliphellip 100
Figure III16 Mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC pour les
configurations (a) (b) et (c)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
101
FigIII17 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure des deux
pastilles pour les trois configurations (a) (b) et (c)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
103
Figure III18 Rapport PM PB B en fonction de longueur L de la pastille SHTC pour R=156mmhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
104
Tableau I1 Tempeacuterature critique de quelques mateacuteriaux supraconducteurshelliphelliphelliphellip 12
Tableau II1 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme sans
pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
61
Tableau II2 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme avec
pastillehelliphelliphellip
73
Tableau III1 Caracteacuteristiques des sondes agrave effet Hallhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 90
Tableau III2 Valeurs de la densiteacute de courant critique calculeacute agrave une distance de
05mm au-dessus du centre des deux surfaces de la pastille SHTC helliphellip
94
Tableau III3 Valeurs de JC0i optimiseacutees pour les trois reacutegions de la pastillehelliphelliphelliphellip 96
Tableau III4 Les valeurs de temps de peacuteneacutetration complegravete et champ magneacutetique de
peacuteneacutetration eacutequivalent mesureacutes pour les trois configurationshelliphelliphelliphellip
100
Tableau III5 Valeur de la densiteacute de courant critique entre les deux pastilles SHTC
drsquoYBCO utiliseacutees dans nos expeacuteriences helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
105
116
Reacutefeacuterences
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124
Annexes
125
Annexe I reacutesolution des eacutequations de Laplace et de Poisson
1- Cas drsquoun circuit ouvert avec entrefer sans pastille supraconductrice
1-1 reacutegion I 3 4R r Rlt lt et 50 z Zlt lt
( )2 2
22 2 2
10 0 1I I I II
A A A AAr r r r z
part part partnabla = rArr + minus + =
part part part
En utilisant la meacutethode de seacuteparation des variables on met ( ) ( ) ( )I I IA r z R r Z z=
lrsquoeacutequation (1) srsquoeacutecrit donc sous forme
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 0 1 I I I I I I I II I I I
I I I
R R R Z R RZ Z Rr r r r z R r R r r r Z
Z Zz
λpart part part part part part+ minus + = rArr + minus = minus =
part part part part part part
Il existe donc deux eacutequations lieacutees agrave la constante Iλ
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 2
1 0 3
II I
I II I
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = part
part part + minus + = part part
1-1-1 Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (2) srsquoeacutecrit sous forme 2 0I IZ λ+ =
Le discriminant I∆ de cette eacutequation est donneacute par 4I Iλ∆ =
Trois cas sont possible pour I∆
1er cas 0 0I Iλ∆ = rArr =
Pour ce cas la solution de lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (2) est donneacutee par
( )I I IZ z A z B= +
En tenant en compte les conditions aux limites consideacutereacutees pour cette reacutegion on trouve
( )0 et 0 0I I IA B Z z= = rArr = Cette fonction ne nous inteacuteresse plus et 0Iλ = nrsquoest plus une
valeur propre de notre problegraveme
2egraveme cas 0 0I Iλ∆ gt rArr lt
On pose 2I Iλ β= minus soit 24I Iβ∆ = minus et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) I Iz zI I IZ z A e B eβ βminus= +
En tenant en compte les conditions aux limites
126
( )0 0I I IZ z A B= = rArr = minus
( ) ( ) ( )5 55 50 0 2 sinh 0I IZ Z
I I I IZ z Z A e e A Zβ β βminus= = rArr minus = rArr = Comme 0Iβ ne ceci nrsquoest
possible que pour 0IA = et donc 0IB =
La solution ( ) 0IZ z = ne nous inteacuteresse plus et 0Iλ lt aussi ne sont plus des valeurs propre de
ce problegraveme
3egraveme cas 0 0I Iλ∆ lt rArr gt
On pose 2I Iλ α= soit ( )24I Iiα∆ = et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) ( ) ( )cos sinI I I I IZ z A z B zα α= +
En tenant en compte les conditions aux limites
( )0 0 0I IZ z A= = rArr =
( ) ( )5 50 sin 0I I IZ z Z B Zα= = rArr = Cela nrsquoest possible que si 5
InnZπα = pour 1 0B gt avec
n=1 2 3hellip par conseacutequent 2
5In
nZπλ
=
sont les valeurs propres du problegraveme aux limites
Les fonctions propres associeacutees aux valeurs Inλ sont
( ) ( )sinI In InZ z B zα= Avec5
InnZπα =
112 Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Les valeurs propres Inλ sont maintenant connues Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle agrave reacutesoudre dans ce
cas ( ( )2
2 2 22 1 0I I
I IR Rr r r Rr r
αpart part+ minus + =
part part) est une eacutequation de Bessel modifieacutee
On effectue le changement de variable Inr rα= Lrsquoeacutequation alors srsquoeacutecrit
( )2
2 22 1 0I I
IR Rr r r Rr r
part part+ minus + =
part part
Les solutions de cette eacutequation de Bessel modifieacutees sont alors
( ) ( ) ( )1In In n In I nR r C I r D K rα α= +
La forme du potentiel vecteur magneacutetique dans la reacutegion I est donneacutee par
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 11
I In nI n n n
nIA a I r b K r sin zr z R r Z z α α α
infin
=
= += sum
Utilisant la condition aux limites4
( ) 0r R
rAr =
part=
part le potentiel A srsquoeacutecrit
127
( ) ( )( ) ( ) ( )0
101
nIn n n
n nI
K rb K r sin zA
rr
Iz
αα α
α
infin
=
+ =
sum
5n
nZπα = Avec
1-2 Reacutegion II 2 3 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre ici est une eacutequation de Laplace
2 2
02 2 2
1 ( ) (4)II II II IIA A A A J zr r r r z
micropart part part+ minus + = minus
part part part
Avec ( ) 1 4
0J pour Z z Z
J zAilleur
lt lt=
1-2-2 Reacutesolution de lrsquoeacutequation de Laplace sans second membre
En utilisant la meacutethode de seacuteparation des variables ( ) ( ) ( )II II IIA r z R r Z z= times deux
eacutequations en r et en z sont agrave reacutesoudre
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 5
1 0 6
IIII II
II IIII II
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = part
part part + minus + = part part
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de (5) srsquoeacutecrit par 2 0II IIZ λ+ = ou le discriminant II∆ de cette
eacutequation est donneacute par 4II IIλ∆ = minus
1er cas 0 0II IIλ∆ = rArr =
En suivant les mecircmes eacutetapes de la reacutesolution deacutecrit preacuteceacutedemment on trouve que
cette valeur de 0IIλ = nrsquoest pas une valeur propre du problegraveme
2egraveme cas 0 0II IIλ∆ gt rArr lt
On trouve aussi que 0IIλ lt ne sont plus aussi des valeurs propres de ce problegraveme
3egraveme cas 0 0II IIλ∆ lt rArr gt On pose 2II IIλ α= soit ( )24II IIiα∆ =
La solution srsquoeacutecrit comme ( ) ( ) ( )cos sinII II II II IIZ z A z B zα α= +
En tenant en compte les conditions aux limites agrave 0z = et 5z Z=
( )0 0 0II IIZ z A= = rArr =
128
( ) ( )5 55
0 sin 0I II II IIn nnZ z Z B ZZπα α α= = rArr = rArr = = Avec n=1 2 3hellip Donc IInλ sont les
valeurs propres du problegraveme Les fonctions propres associeacutees aux valeurs IInλ sont
( ) ( )sinII IIn nZ z B zα= Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Les valeurs propres pour dans cette reacutegion sont maintenant connues donc on peut
reacutesoudre lrsquoeacutequation (6) (eacutequation de Bessel modifieacutee) suivant la variable r
En effectuant changement de variables IInr rα= les fonctions solution de cette eacutequation sont
alors
( ) ( ) ( )1 1IIn IIn n IIn nR r C I r D K rα α= +
Deacutetermination des solutions de lrsquoeacutequation avec second membre
On effectue la transformeacutee de Fourier de la densiteacute de courant eacutelectrique sur la base des
fonctions solutions de lrsquoeacutequation homogegravene en z soit
( ) ( )1
sinIIn nn
J z J zαinfin
=
=sum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )25
1
1 25 50
2 2 2sin sin cos cosZ Z
IIn nZ
n n nJ JJ J z z dz z dz Z Z
Z Z nα α α α
π= = = minusint int
A partir de lrsquoeacutequation (4) on peut eacutecrire
( )2 2
2 2 202 2 sin II II II
II II II II II IIn nR A Zr Z rZ R Z r R rr r z
J zαmicropart part part+ minus + = minus
part part part
On remplace ( )IIZ z par son expression dans cette eacutequation (avec nr rα= ) on trouve
( )2
2 2 2 2 02 1 II II IIn
n IIIIn
R Ar r r R rr r
JBmicroαpart part
+ minus + = minuspart part
Cette eacutequation srsquoeacutecrit sous forme
( )( )
1
2 2 2 1 4Γ 1 2
r
r L r L r L
υ
υ υ υ π υ
+ + minus + =
+
Dont les fonctions de Struve sont solutions de cette eacutequation [hellip]
Pour 1ν = les fonctions solutions de cette eacutequation srsquoeacutecrivent sous forme
( ) ( ) ( ) ( )0 21 0 12 2Γ 3 2
2n IIn
II n nn n IIn
J JR r L r L rB B
micro ππ α micro αα α
= minus = minus
Drsquoougrave
129
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11
1 sinII IIII II II n n n I n n n
nnLA r z R r Z z a I r b K r C zrαα α α
infin
=
= = + minussum
Avec 0 22 etII II
n IIn II n IIn IIIIn
nna C B b D B C Jπmicro
α= = =
1-3 Reacutegion III 1 2R r Rlt lt et 50 z Zlt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre ici est une eacutequation de Poisson
( )2 2
2 2 2
1 0 7III III III IIIA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
La solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation (7) est obtenue en suivant les mecircmes eacutetapes de la
reacutesolution pour la reacutegion I avec des conditions aux limites imposeacutees agrave z=0 et z= Z5 de type
Dirichlet 5( 0 ) 0 et ( ) 0III IIIA r z A r z Z= = = =
La forme geacuteneacuterale du potentiel vecteur magneacutetique obtenue est donc
( ) ( ) ( )( ) ( )1 11
III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Avec 5
nnZπα =
1-4 reacutegion IV 10 r Rlt lt et 2 3Z z Zlt lt
( )2 2
2 2 2
1 0 8IV IV IV IVA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites consideacutereacutees ici sont de types Neumann
2 3
( ) ( )0 et 0IV IV
z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
En appliquant la meacutethode de seacuteparation de variables ( ) ( ) ( )IV IV IVA r z R r Z z= times l eacutequation (8) srsquoeacutecrit sous forme
2 2
2 2 2
11 1 1 1IV IV IVIV
IV IV IV
R RR r R r r r
ZZ z
λpart part part+ minus = minus =
part part part
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 9
1 0 11
IVIV IV
IV IVIV IV
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = partrArr
part part + minus + = part part
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
130
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (10) srsquoeacutecrit sous forme 2 0IV IVZ λ+ =
4IV IVλ∆ =
1er cas 0 0IV IVλ∆ = rArr =
La solution est donneacutee sous forme ( )IV IV IVZ z A z B= +
En tenant en compte les conditions aux limites
bull 2 2
( ) ( )0 0 0IV IVIV
z Z z Z
A r z Z r z Az z= =
part part= rArr = rArr =
part part
bull 3 3
( ) ( )0 0IV IV
z Z z Z
A r z Z r zz z= =
part part= rArr =
part part Cette condition ne nous apprend rien sur
Par conseacutequent 0 0IV IVλ λ= = est une valeur propre simple de problegraveme et ( )0 0IVZ z B= est
une fonction propre simple ( 0B est une constante arbitraire)
2egraveme cas 0 0IV IVλ∆ gt rArr lt
Pour ce cas on trouve que les valeurs de 0IVλ lt ne sont pas des valeurs propre de ce
problegraveme
3egraveme cas 0 0IV IVλ∆ lt rArr gt
On pose 2IV IVλ β= soit ( )24IV IViβ∆ = et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) ( ) ( )cos sinIV IV IV IV IVZ z A z B zβ β= +
En tenant en compte les conditions aux limites
bull ( )( )
2 2
2
2
sin( ) ( )0 0cos
IVIV IVIV IV
z Z z Z IV
ZA r z Z r z B Az z Z
ββ= =
part part= rArr = rArr =
part part
bull ( )( )3 3
3 23 2
( ) ( )0 0 sin 0IV IVIV IV
z Z z Z
A r z Z r z kZ Zz z Z Z
πβ β= =
part part= rArr = rArr minus = rArr =
part part minus
bull Donc 2
3 2IV
kZ Z
πλ
= minus sont des valeurs propres du problegraveme et la fonction associeacutee
aux ces valeurs est
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2
22
sincos sin cos
cosIV
IV IV IV IV k IVIV
ZZ z A z z C z Z
Zβ
β β ββ
= + = minus
IVB
131
Avec ( )2cos
IVk
IV
ACZβ
=
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Deux cas sont possibles pour les valeurs de IVkλ 1er cas 0IVλ =
( )2
22 011 IV IV
IVR Rr r Rr r
part part+ minus =
part partrArr Equation drsquoEuler dont la solution est donneacutee sous forme
( ) 10 0IV IV IVR r C r D rminus= +
En appliquant la condition aux limites dans ce cas ( )0 0IVA r z= = on trouve 0 0IVD =
2egraveme cas 0IVλ gt
Lrsquoeacutequation (11) est devenue une eacutequation diffeacuterentielle de Bessel modifieacutee sa solutions est
donneacutee donc par
( ) ( ) ( )1IVk IVk k IVk I kR r C I r D K rβ β= +
En appliquant la condition aux limites ( )0 0IVA r z= = on trouve 0IVkD =
Donc la forme geacuteneacuterale du potentiel vecteur magneacutetique dans cette reacutegion est donneacutee par
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )00 11 21
0 cos IV IV IV IV V k kIV
IVk
A r z R r Z z R A r a Ir Z z z Zrβ βinfin
=
= + + minus= sum
132
Annexe II Condition de passage agrave lrsquointerface entre les reacutegions III et IV agrave r =R1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ] ( )
1 1
2
2 3
3 5
1 1 2 3
0 0
1
0
2
III IV
r R r R
IV III
pour Z ZrA rA
pour Z Z Zr r
pour Z Z Z
A r R Z A r R Z pour Z Z Z
= =
lt lt part part = lt lt part part
lt lt = = = isin
Commenccedilons la premiegravere condition
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
1 2 1
3
0
1 sin sinZ Z
kI
kZ
II IV
r R r R
rA rz
Ar r
dz z dzα α= =
rArrpart
=partpart partint int
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
5
3 3
2 2
0 10
0
0 1
0 2
sin sin
32 sin cos sin
k
k k
ZIII IIIn n n n n n
Z ZIVk k k k
Z Z
a I R b K R z z dz
A z dz a I r Z Z z dz
α α α α α
α β β β α
minus =
+ minus
rArrint
int int
On a
bull ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )5 5
0 0
sin sin cos2
cosZ Z
nn n n nk k kz z dz z z dzαα α α α α α α+= minusminusint int
( )( ) ( )( )5 51 1sin si
2n sin
n nk kk
nn
kkn
Z Zα α α α α α αα α α α
minus + ne minus +minus
=
On remplace α par son expression on trouve
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )5
0
1 1sin sin sin sin si2
Z
n knnz z dz n k n k
n kn k
knα α πα π π π
minus + ne
minus
minus +=int
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 12 2
1 11 sin 1 s s2
in in n n kk k
n nk kn kn n
π π+ + + = ne minus +
=
minusminus
minus
Pour n=m
( ) ( ) ( )( )5 5
05
0
1sin sin co 22 2 2
sZ Z
n nn n nkz z nZz d z dzα αα α α α π
= minus ==int int
133
Donc ( ) ( )( ) ( )5
21
2 2
0
1 sinsin sin
si
si2
k
nZ
n n
n kk
n n
nn
k
kz z dz
π
πα α α
+ neminus
=
minus=
int
bull ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3
2
0 1 1 1 1 2 311 3 2
2 12 sin cos cosZ
III IIIn n n n n
nkZk k kA z dz m a I R b K R Z Z
R Z Zα α α α α
α
infin
=
= + minus minus
sumint
bull ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 2cos sin sin sin2
Z Zk
k k kk k kZ Z
kZ Z z dz z z Z z z Z dzββ β α α β α βminus = + minus + minus minusint int
( )( ) ( )( )3
2
2 2sin sin2 k k
Zk
k k k kZ
z Z z Z dzβ α β β α β β= + minus + minus +int
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
2 2 3 2
2 2 3 2
1 cos cos
12 cos cos
k k k kkk
k
k k k kk
k kk
k
k kk
Z Z Z Zsi
Z Z Z Z
α β β α β βα ββ α β
α β β α β βα β
+ minus minus + minus + = ne + minus + minus minus + minus
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
2 3 3 2
2 3 3 2
1 cos cos
12 cos cos
k kk
k kk
kkk
kk
Z Z Z Z
Z Z Z Z
α α βα ββ
α α βα β
minus + minus + = + minus minus minus minus
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 3 3 2 3 3 2
2 3 3 2 3 3 2
1 cos cos cos sin sin
12 cos cos cos sin sin
k kkk
k kk
k k kk
k k kk
Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z
α α β α βα ββ
α α β α βα β
minus minus minus minus + + minus minus + minus minus
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
12 3
12 3
1 cos 1 cos
12 cos 1 cos
kk k
kk
kk
k
kk
k
Z Z
Z Z
α αα ββ
α αα β
+
+
+ minus + + + minus minus
=
( ) ( ) ( )( )2 21
2 3cos 1 cos sikkk
kk k k
kk
Z Zα β α α α βα β
++ minus ne=minus
Pour kkα β=
( )( ) ( ) ( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 2cos sin sin 2 sin2
Z Zk
k k k k kZ Z
kZ Z z dz z Z Z dzββ β α β β βminus = minus +int int
( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 2 2 2 3 3 21sin cos cos
2 2k
k k k kk
Z Z Z Z Z Z Zβ β β β ββ
= minus + minus + minus
134
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )13 2 2 2 3
1sin cos 1 cos2 2
kkk k k
k
Z Z Z Z Zβ β β ββ
+ = minus + minus minus
( ) ( ) ( ) ( )( )12 2 3
1sin cos 1 cos2 4
kk k k
k Z Z Zπ β β β+= + + minus
Donc
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
3
2
2
13
2
2
22 1
3
2
cospour
1 coscos sin
cos1sin pour2 4 1 cos
kkk kkZ
k kk k
Z kk k kk
k
k
k
k
Z
ZZ Z z dz
Zk ZZ
αα β α βα β α
β β αβπ β α β
β
+
+
+ ne
minus minus = +
+ = minus
minus
int
En conclusion
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2 2
0
21
2 2
0 1 0 1
1 1 1 1 2 311 3 2
12 3
2 2
si1 sin
2 1 cos cos
cos 1 cos si
1s
1si
2
in cos 12 4
n
III IIIn n n n
III IIIn n n n n
nk k
k
k
k
kkk k k k
IV kk k
kk k
n kna I R b K R
m a I R b K R Z ZR Z Z
Z Za I
n k
rk Z
kn n
Z
k
πα α
α α α αα
α β α α α βα ββπ β β
π
+
infin
=
+
neminusrArr
=
minus
minusminus
= + minus minus
+ minus ne+
+ + minus
sum
( )( )13cos sik k kZβ α β+
=
On met
( ) ( )( )2 3cos cos1k k k
k
Zm Zα
α αminus=
( )( ) 12 1 32n k n kh m Zm R Z
minusminus=
( ) ( )2
12
2 si
si
1 s n
2
in k
n n kk
kf
n
nn
n k
π
π
+minus
ne
minus==
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 3
12 2 3
2 2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
k kkk k k k
k
kk k k k k
kn k
Z Z
k Z Zg
Z
α β α α α βα βπ β β β α β
+
+
minus + minus ne= + + minus =
On trouve
135
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
1 1 0 1 1 1
10
0 1
1
0III IIIn n k n n k n n n k n n k n
IVk n k k
a h I R f I R b h K R f K R
a g I R
α α α α
β
minus + + = +
rArr
Pour la deuxiegraveme condition
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3 3
2 2
1 2 1 2 cos co2 sZ Z
IV k III kZ Z
A r R Z z Z dz A r R Z z Z dzβ β= minus = = minusrArr int int
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
3 3
2 2
3
2
20 1 2 1 1 2
1
1 1 21
cos cos
cos
Z ZIV
k kkZ Z
ZIII IIIn n n n
k k
n kn Z
A R z Z dz a I R z Z dz
a I r b K r sin z z Z dz
β β
α α α β
βinfin
=
infin
=
minus + minus
= +
rArr
minus
sumint int
sum int
On a
bull ( )( ) ( ) ( )( )3
2
2 3 2 2 21cos sin sin 0
Z
k k kkZ
z Z dz Z Z Z Zβ β ββ
minus = minus minus minus =int
bull ( )( ) ( )( )( ) ( )3 3
2 2
22 2 3 2
1 1cos 1 cos 22 2
Z Z
k kZ Z
z Z dz z Z dz Z Zβ βminus = + minus = minusint int
bull ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 21sin cos sin sin2
Z Z
n k n k n kZ Z
z z Z d z z z Z z z Z d zα β α β α βminus = + minus + minus minusint int
( )( ) ( )( )3
2
2 21 sin sin2
Z
n k k n k kZ
z Z z Z dzα β β α β β= + minus + minus +int
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
2 2 3 2
2 2 3 2
1 cos cos1 si
12 cos cos
n k k n k kn k
n k
n k k n k kn k
Z Z Z Z
Z Z Z Z
α β β α β βα β
α βα β β α β β
α β
+ minus minus + minus + = ne + minus + minus minus + minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 3 2 31 1 1cos cos cos cos2 n n n n
n k n k
Z Z k Z Z kα α π α α πα β α β
= minus + + minus minus + minus
( ) ( ) ( )( )12 3
1 1 1cos 1 cos2
kn n
n k n k
Z Zα αα β α β
+ = + minus + + minus
( ) ( ) ( )( )12 3 2 2
21 cos 1 cos si2
k nn n n k
n k
Z Z αα α α βα β
+ = + minus ne minus
Pour n kα β=
136
( ) ( )( ) ( ) ( )3 3
2 2
2 2 21sin cos sin 2 sin2
Z Z
n k k k kZ Z
z z Z dz z Z Z dzα β β β βminus = minus +int int
( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 2 2 2 3 21 1sin cos 2 cos 22 2k k k k k
k
Z Z Z Z Z Z Zβ β β β ββ
= minus + minus minus minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )13 2 2 2 3
1 1sin cos 1 cos2 4
kk k k
k
Z Z Z Z Zβ β ββ
+= minus + + minus
En conclusion
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 3 2
12 3 2 2
1
113 2 2 2 3
21 cos 1 cos si 21 1sin cos 1
2
co4
1
s2
IV
k nIII n n n kn n n k
IIIkn n
k k k kk
k
n
ka I R Z Z
Z Za I r
b K r Z Z Z Z Z si
αα α α βα α βα
β β β α ββ
β
+
+
minus
+ minus ne minus = + minus + + minus =
rArr
En multipliant les deux coteacute de cette eacutequation par kβ on trouve
( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1
12 32 2
1 11
2 2 3
2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
IV
kn kn n n k
III III n kn n n n
kk k k k
k k
n
ka I R
Z Za I r b K r
k Z Z Z
π
α β α α α βα βα απ β β β α
β
β
+
+
+ minus ne minus= +
rArr
+ + minus =
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 02
III III IVn n k n n n k kk n
ka g I r b g K r a I Rπα βαrArr + minus =
137
Annexe III Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
En appliquant les conditions de continuiteacutes du potentiel vecteur magneacutetique aux interfaces
entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave r=R2 et entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI agrave r= R1
( ) ( ) [ ] ( )
( )( ) [ ]
[ ]( ) [ ]
( )
2 2 2 5
1 2 3
1 3 4
1 4 5
Pour 1
Pour
0 Pour 2
Pour
IV III
V
IV
VI
A r R z A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
= = = isin
= isin
= = isin = isin
Par inteacutegration de ces deux eacutequations par rapport agrave z sur lrsquointervalle [ ]2 5Z Z on trouve
( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
5 5 5
2 2 2
5
2 2
1 2 1 201 221
1 111 2 1 2 1 2
1 101 121
11 1 1 1
cos sin
cos
IV IIIZ Z Zn n n
nIV IIIn nZ Z Zn n n
IVZ Zn
IVZ Zn
nn
n
nn
n
a I R a I RA Rdz z Z dz z dz
A R b K R b K R
a I RA Rdz z Z dz
A R b K R
β αβ α
β α
ββ
β
infin infin
minus= =
minus
+ minus = + + +
+ minus + +
sum sumint int int
int( ) ( )( )
( ) ( )( )4
3
5
52
1 2 1
1 3 1 3 4
1
1
2 2
1
c
s
s
in
on
ZVIn n n
n Z
ZV
n nn Z
n
a I R z
a I R z Z dz
Z dz
β β
β βinfin
infin =
= infin
=
minus
minus
= +
sum
sumint
int
intsum
( )( )( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 2101 2 11 2 5 2 2 5
1 1 2
1101 1 11 1 5 2 1 2 1
13
321 1
1 cos cos
1 1 1
IIIn n
n nIIIn nn n
nVn
n n
VIn n n
n
a I RA R A R Z Z Z Z
b K R
A R A R Z Z a RR a II
αα α
α
βββ
β
α
infinminus
=
infin+minus
=
+ minus = minus + rArr
+ minus = minus +
sum
sum
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )1
1 22 201 2 11 2 5
15 2 1 2
12 101 1 11 1 2 3
21
5 31
1 2
1 co
1 1
s cos
1
IIIn n
n nI
VIn
IIn n n n
nVn n
n nn
n
a I
a I RRA R A Z ZZ Z b K R
RA R A a I RZ Z
Rββ
αα α
α α
ββ
infin
=
infin+
=
+ = minus minus + rArr
+ = minus + minus
sum
sum
( ) ( )( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1
1 2 12
0 1 1 2 1 21
1 2111 1 2 1 01
1 3 13
1 3 15 2 3
11 2
1
1 1
1
1
n
VIn n
n
VIn n
nV
nIII III nn n n n n
n
nVn n
n n n
a I R
a I R
a I RA a I R b K R h q
RA a I R A RZ Z
β
ββ
ββ
βα α
ββ
+
infin
=
infin+
=
minus = + minus +rArr = minus + minus minus
sum
sum
138
Avec
( )2
2 22 1
n nRh m
R R e=
minus ( ) ( )( )2 5cos co1 s n nn
n
Z Zmα
α α= minus ( )
12 2
2 1
RqR R e
=minus
et 5 2e Z Z= minus
139
Reacutesumeacute
Lrsquoobjectif de ce travail de thegravese est drsquooptimiser le processus drsquoaimantation des
pastilles supraconductrices agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) par un champ magneacutetique
impulsionnel ou PFM (Pulsed Field Magnetization) afin de les mettre en œuvre dans des
applications dans le domaine de lrsquoeacutelectrotechnique Dans lrsquoeacutetape de conception de lrsquoinducteur
neacutecessaire pour magneacutetiser ces pastilles SHTC la modeacutelisation et la simulation sont
fortement recommandeacutees pour effectuer les calculs neacutecessaires des diffeacuterentes caracteacuteristiques
eacutelectriques du systegraveme drsquoaimantation De ce fait nous avons deacuteveloppeacute un modegravele analytique
pour eacutetudier lrsquoinfluence de la preacutesence drsquoune pastille supraconductrice dans un circuit
ferromagneacutetique sur la valeur de lrsquoinductance drsquoune bobine inductrice Il srsquoagit de reacutesoudre les
eacutequations de Laplace et de Poisson dans diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecirct agrave travers le potentiel
vecteur magneacutetique La reacutesolution analytique a eacuteteacute effectueacutee agrave lrsquoaide drsquoun code de calcul
deacuteveloppeacute sous MATLAB ougrave les reacutesultats obtenus ont eacuteteacute en bonne concordances avec ceux
obtenus par simulation numeacuterique sous COMSOL
Lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC de type YBaCuO en termes de la densiteacute de
courant critique Jc a eacuteteacute eacutegalement eacutetudieacutee Pour cela nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences de
lrsquoaimantation des ces pastilles par la meacutethode PFM Nous avons montreacute que la surface plane
contenant le germe de cristallisation (seed) de ces pastilles est caracteacuteriseacutee par une Jc plus
eacuteleveacutee que lrsquoautre surface Ainsi nous avons eacutetudieacute lrsquoinfluence de la position du germe de
cristallisation dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles
Mots cleacutes Supraconducteur modeacutelisation analytique inductance aimantation champ
magneacutetique impulsionnel caracteacuterisation
140
Abstract
The aim of this thesis is to optimize the process of magnetization of superconducting
pellets at high critical temperature (SHTC) by pulsed field magnetization (PFM) in order to
use them in applications in the field of electrical engineering In the design phase of the
inductor necessary to magnetize these SHTC pellets modeling and simulation are strongly
recommended to perform the necessary calculations of the various electrical characteristics of
the magnetization system Therefore we have developed an analytical model to study the
influence of the presence of a superconducting bulk on the value of the inductance of an
induction coil in a ferromagnetic circuit The aim is to solve the Laplace and Poisson
equations in different regions of interest through the magnetic vector potential The analytical
resolution was performed (carried out) using a computer code developed under MATLAB
where the results obtained were in good agreement with those obtained by numerical
simulation under COMSOL
The inhomogeneity of YBaCuO type SHTC pellets in terms of critical current density
Jc was also investigated To do this we carried out experiments on the magnetization of these
bulks by the PFM method We have shown that the flat surface containing the crystallization
germ (seed) of these pellets is characterized by a higher Jc than the other surface Also we
studied the influence of the position of the seed crystallization in the two-pellet
characterization method
Key words Superconductor analytical modeling inductance magnetization pulsed
magnetic field characterization
141
ملخص
عالية حرجة حرارة درجة ذات التوصيل فائقة المواد مغنطة عملية تحسين هو العمل هذه من الهدف )SHTC (نبضي أو ما يعرف بطريقة مغناطيسي حقل طريق عنPFM في تطبيقات في استعمالها أجل من
حرارة درجة ذات التوصيل فائقة الاقراص لمغنطة المطلوب المحث تصميم مرحلة في الكهربائية الهندسة مجال لنظام المختلفة الكهربائية للخصائص اللازمة الحسابات لإجراء والمحاكاة بالنمذجة بشدة يوصى عالية حرجة
لوشيعة الذاتية قيمة على التوصيل فائق قرص وجود تأثير لدراسة تحليلي نموذج بتطوير قمنا لذلك المغنطةداخل الدارة مختلفة مناطق في وبواسون لابلاس معادلات حل هو الهدف حديدية مغناطيسية موجودة داخل دارة
تطويره تم برنامج باستخدام التحليلي الحل إجراء تم الشعاع المغناطيسي كمون خلال حساب من المغناطيسية تم التي تلك مع متوافقة الى حد كبير عليها الحصول تم التي النتائج كانت حيث MATLAB باستعمال الكود
COMSOL بموجب العددية المحاكاة خلال من عليها الحصول
نوع عالية من حرجة حرارة درجة التوصيل ذات فائقة أقرص تجانس عدم دراسة لقد تم أيضا YBaCuO باستخدام الأقراص هاته مغنطة من أجل تجارب أجرينا بذلك للقيام الحرج التيار كثافة حيث من
هاته الأقراص تبلور بذرة على يحتوي الذي المستوي السطح أن بينا من خلال هاته الدراسة لقد PFM طريقة في التبلور بذرة موضع تأثير درسنا وايضا الآخر السطح مرتفعة بالمقارنة مع Jc حرج تيار بكثافة يتميز
باستخدام قرصين متطابقين التوصيف طريقة
فائق الناقلية النمذجة التحليلية الذاتية المغنطة الحقل المغناطيسي النبضي التوصيف الكلمات الدالة
- Caracteacuterisation et modeacutelisation des mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
-
- Avant propos
- Table des matiegraveres
-
- Introduction geacuteneacuterale
- Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoart
-
- I1 Historique de la supraconductiviteacute
- I2 Grandeurs caracteacuteristiques des Supraconducteurs
-
- I21 Tempeacuterature critique
- I22 Champ magneacutetique critique
-
- I221 Supraconducteurs Type I
- I222 Supraconducteurs Type II
-
- I23 Densiteacute de courant critique JC
- I24 Surface critique
-
- I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
-
- I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
-
- I311Supraconducteur YBa2Cu3O7-δ
-
- a- Preacutesentation
- b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuO
- c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuO
-
- I32 Supraconducteur MgB2
-
- a- Preacutesentation
- b- Structure cristalline de MgB2
- c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2
-
- I4 Modegraveles des supraconducteurs
-
- I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)
-
- I411 Preacutesentation du modegravele
- I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long notion de peacuteneacutetration complegravete
-
- I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)
- I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et n
-
- I5 Meacutethodes drsquoaimantation
-
- I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)
- I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC)
- I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization (PFM)
-
- I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTC
-
- I51 Meacutethode eacutelectrique
- I52 Meacutethode magneacutetique
-
- I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastille
-
- I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur le champ de peacuteneacutetration
- I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de lrsquoexposant-n et Jc
-
- I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille
-
- I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et BP
-
- I6 Objectifs de la thegravese
-
- Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
-
- II1 Introduction
- II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveses
- II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetique
-
- II31 Reacutegion I R3ltrltR4 et 0ltzltZ5
- II32 Reacutegion II R2ltrltR3 et 0ltzltZ5
- II33 Reacutegion III R1ltrltR2 et 0ltzltZ5
- II34 Reacutegion IV 0ltrltR1 et Z2ltzltZ3
- II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0
-
- II4 Conditions de passages entres interfaces
-
- II41 Condition drsquointerface agrave r=R3
- II42 Condition drsquointerface agrave r=R2
- II43 Condition drsquointerface agrave r=R1
-
- II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobine
- II6 Reacutesultats analytiques et discussion
- II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
-
- II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
- II72 Conditions de passages entres interfaces
-
- II721 Interface agrave r = R4
- II722 Interface agrave r = R3
- II723 Interface agrave r = R2
- II724 Interface agrave r = R1
-
- II72 Expression analytique de lrsquoinductance
- II73 Reacutesultats et discussion
-
- II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique impulsionnel
- II9 Conclusion
-
- Chapitre 3 Prise en compte de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de leur caracteacuterisation
-
- III1 Introduction
- III2 Description du banc expeacuterimental
-
- III21 Les pastilles SHTC
- III22 Le circuit drsquoaimantation
- III23 Instrumentation
-
- III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTC
-
- III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hall
- III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de la pastille
- III33 Simulations numeacuteriques
-
- III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles
- III5 Conclusion
-
- Conclusion geacuteneacuterale et perspectives
- Liste des illustrations graphiques et tableaux
- Reacutefeacuterences
- Annexes
-
- Annexe I reacutesolution des eacutequations de Laplace et de Poisson
- Annexe II Condition de passage agrave lrsquointerface entre les reacutegions III et IV agrave r =R1
- Annexe III Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
-
2
I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization
(PFM)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
34
I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 37
I51 Meacutethode eacutelectrique helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 37
I52 Meacutethode magneacutetiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 38
I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 38
I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur
le champ de peacuteneacutetration helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
41
I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de
lrsquoexposant-n et Jchelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
42
I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille helliphellip 43
I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et
BPhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
44
I6 Objectifs de la thegravese helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 48
Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit
ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphellip
49
II1 Introductionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 50
II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveseshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 51
II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53
II31 Reacutegion I helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53
II32 Reacutegion II helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 54
II33 Reacutegion III helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55
II34 Reacutegion IV helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 55
II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II4 Conditions de passages entres interfaceshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II41 Condition drsquointerface agrave r=R3helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 56
II42 Condition drsquointerface agrave r=R2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57
II43 Condition drsquointerface agrave r=R1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 57
II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobinehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59
II6 Reacutesultats analytiques et discussionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 60
II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en preacutesence
drsquoune pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
65
II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 67
3
II72 Conditions de passages entres interfaceshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II721 Interface agrave r = R4helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II722 Interface agrave r = R3helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II723 Interface agrave r = R2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II724 Interface agrave r = R1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 69
II73 Expression analytique de lrsquoinductance helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 72
II74 Reacutesultats et discussion helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73
II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique
impulsionnelhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
78
II9 Conclusionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 82
Chapitre 3 Prise en compte de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de leur
caracteacuterisationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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III1 Introductionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 84
III2 Description du banc expeacuterimental helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 85
III21 Les pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 86
III22 Le circuit drsquoaimantationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 87
III23 Instrumentation helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 89
III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 91
III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hallhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 91
III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de
la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
94
III33 Simulations numeacuteriqueshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 94
III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux
pastilleshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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III5 Conclusion helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 105
Conclusion geacuteneacuterale et perspectiveshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 107
Listes des illustrations graphiques et tableauxhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 110
Reacutefeacuterences helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116
Annexeshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 124
Annexe Ihelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 125
Annexe IIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 132
Annexe IIIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 137
4
Introduction geacuteneacuterale
5
Faire leacuteviter un train ou avoir des cacircbles eacutelectriques beaucoup plus puissants pour le
transport du courant sans perte drsquoeacutenergie sont devenus possibles gracircce au pheacutenomegravene de la
supraconductiviteacute La deacutecouverte des mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature
critique (SHTC) agrave bases drsquooxydes de cuivre donne des nouvelles possibiliteacutes pour des
applications en eacutelectrotechnique a cause de leurs proprieacuteteacutes exceptionnelles Ils peuvent
transporter lrsquoeacutenergie eacutelectrique avec des pertes neacutegligeables en courant eacutelectrique continu et
tregraves inferieures agrave celles des conducteurs classique en courant alternatif mais aussi eacutecranter ou
pieacuteger des champs magneacutetiques eacuteleveacutes par rapport aux aimants permanents conventionnels
Sur cette deuxiegraveme qualiteacute exceptionnelle de nombreuses eacutetudes ont porteacute sur lrsquoameacutelioration
des systegravemes drsquoaimantation de mateacuteriaux SHTC massifs dont la modeacutelisation et la simulation
sont fortement recommander afin drsquooptimiser les processus
Parmi les mateacuteriaux SHTC les oxydes mixtes de baryum de cuivre et dyttrium ou
YBaCuO a eacuteteacute le premier oxyde de la famille des cuprates agrave preacutesenter une tempeacuterature
critique supeacuterieure au point drsquoeacutevaporation de lrsquoazote liquide Beaucoup drsquoeacutetudes portent sur
lrsquoeacutelaboration et la mise en forme de ce composeacute sous forme de massifs et de rubans Pour
optimiser les proprieacuteteacutes supraconductrices de ce mateacuteriau des conditions particuliegraveres de
croissances et de stœchiomeacutetrie doivent ecirctre satisfaites Des meacutethodes de caracteacuterisations des
pastilles SHTC ont eacuteteacute proposeacutees au niveau du laboratoire GREEN afin de mettre en œuvre
ces pastilles dans des applications dans le domaine de lrsquoeacutelectrotechnique Ces meacutethodes
portent sur la mesure de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete et par la suite de calculer
la densiteacute de courant critique qui est geacuteneacuteralement supposeacutee constante dans tout le volume de
la pastille
Le travail de recherche de cette thegravese porte sur la modeacutelisation et la caracteacuterisation de
mateacuteriaux SHTC Le but final est drsquooptimiser le processus drsquoaimantation par un champ pulseacute
ou PFM (Pulsed Field Magnetization) Ainsi le comportement drsquoune pastille SHTC placeacutee
dans le circuit ferromagneacutetique drsquoaimantation par PFM doit ecirctre eacutetudieacute afin de faire un
dimensionnement optimal de lrsquoinducteur du systegraveme drsquoaimantation Pour cela il est preacutefeacuterable
de maitriser des meacutethodes de calculs analytiques de champ magneacutetique pour acceacuteleacuterer
nettement le processus drsquoaimantation Pour permettre de bien modeacuteliser les pastilles SHTC
les meacutethodes de caracteacuterisations de ces pastilles doivent ecirctre ameacutelioreacutees et surtout adapteacutees agrave
la taille et au frome de ces pastilles Ceci explique le plan de cette thegravese en deux parties
relativement indeacutependantes
6
Dans le premier chapitre nous allons preacutesenter un rappel historique sur la
supraconductiviteacute puis les grandeurs et les proprieacuteteacutes caracteacuteristiques des mateacuteriaux
supraconducteurs Ensuite nous allons deacutecrire les diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantations et
nous terminons par une description des meacutethodes de caracteacuterisations deacuteveloppeacutees au niveau
du laboratoire GREEN de lrsquouniversiteacute de Lorraine
Le deuxiegraveme chapitre est deacutedieacute agrave la modeacutelisation analytique du systegraveme drsquoaimantation
par PFM Le modegravele analytique proposeacute permet de calculer lrsquoinductance de lrsquoensemble
composeacute drsquoune bobine inductrice drsquoun circuit ferromagneacutetique et en preacutesence drsquoune pastille
supraconductrice ce qui est un apport important de cette thegravese Ce modegravele sera valideacute
numeacuteriquement en utilisant le logiciel COMSOL souvent utiliseacute dans le domaine de la
supraconductiviteacute appliqueacutee
Le troisiegraveme chapitre sera consacreacute agrave la caracteacuterisation des pastilles SHTC et
particuliegraverement agrave lrsquoeacutetude de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC de type YBaCuO en termes
de densiteacute de courant critique La caracteacuterisation de ces pastilles se fait agrave lrsquoaide de la mesure
de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete lors de lrsquoaimantation de cette pastille par la
meacutethode PFM De cette mesure on deacuteduit la densiteacute de courant critique Jc Lrsquoinfluence de la
position du germe de cristallisation dans les meacutethodes de caracteacuterisation sera eacutegalement
eacutetudieacutee
7
Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoart
8
I1 Historique de la supraconductiviteacute
Les proprieacuteteacutes eacutelectriques et magneacutetiques de certains mateacuteriaux changent de maniegravere
cruciale agrave de tregraves basses tempeacuteratures Parmi ces mateacuteriaux on cite les mateacuteriaux dits
laquo supraconducteurs raquo Ces mateacuteriaux perdent totalement leurs reacutesistances au passage du
courant eacutelectrique et expulsent les lignes des champs magneacutetiques on parle dans ce cas de
figure drsquoun pheacutenomegravene physique assez intriguant et inteacuteressant qui srsquoappelle laquo la
supraconductiviteacute raquo Ce pheacutenomegravene est devenu un domaine tregraves passionnant de la physique
surtout qursquoil a mis en doute les principes eacutetablis de cette science notamment en
eacutelectromagneacutetisme Sa deacutecouverte datant de 1911 est due au physicien Neacuteerlandais Heike
Kamerlingh Onnes (1853-1926) lors de son eacutetude du comportement eacutelectrique des meacutetaux tregraves
purs agrave tregraves basse tempeacuterature apregraves avoir reacuteussi agrave liqueacutefier lheacutelium en 1908 pour atteindre
une tempeacuterature de 42 K soit -26895degC [1-5] On savait deacutejagrave que geacuteneacuteralement la reacutesistiviteacute
des meacutetaux diminue lineacuteairement en abaissant la tempeacuterature jusqursquoagrave une certaine valeur Au-
dessous de cette valeur elle reste geacuteneacuteralement constante mecircme en diminuant la tempeacuterature
Cette reacutesistiviteacute appeleacutee reacutesistiviteacute reacutesiduelle est due aux impureteacutes ainsi aux deacutefauts dans la
structure cristalline deacutejagrave preacutesente dans le meacutetal Onnes remarqua qursquoagrave une tempeacuterature
infeacuterieure agrave 415 degk (appeleacute tempeacuterature critique) la reacutesistiviteacute eacutelectrique du mercure tombe
brusquement agrave zeacutero (Figure I1) Une anneacutee apregraves il observa le mecircme pheacutenomegravene lors des
essais similaires reacutealiseacutes avec de lrsquoeacutetain et du Plomb (qui sont des tregraves mauvais conducteurs agrave
tempeacuterature ambiante) agrave des tempeacuteratures critiques de 37K et 6K respectivement
Figure I1 Reacutesistiviteacute eacutelectrique de mercure agrave basse tempeacuterature [2]
9
Au deacutebut toutes les recherches qui ont eacuteteacute consacreacutees pour percer le mystegravere de ce
pheacutenomegravene de supraconductiviteacute ont eacuteteacute de types pheacutenomeacutenologiques comme par exemple la
deacutecouverte de lrsquoeffet Meissner en 1933 [6-9] par les deux physiciens allemands Walter
Meissner (1882-1974) et Robert Ochsenfeld (1901-1993) qui consiste agrave observer la capaciteacute
du mateacuteriau supraconducteur agrave exclure les lignes du champ magneacutetique preacutesent dans son
voisinage immeacutediat le courant eacutelectrique est porteacute par des paires drsquoeacutelectrons apparieacutes qui
peuvent se mouvoir sans aucune reacutesistance ni dissipation En preacutesence drsquoun champ
magneacutetique les paires drsquoeacutelectrons engendrent des courants de surface permanents qui agrave leur
tour creacuteent au cœur du mateacuteriau un champ magneacutetique qui annule le champ externe Crsquoest sur
cet effet appeleacute aussi diamagneacutetisme parfait que se base la leacutevitation magneacutetique Cependant
lrsquoeffet Meissner nrsquoa lieu que si le champ externe est suffisamment faible
En 1935 la theacuteorie de London a eacuteteacute mise en place par les fregraveres Fritz London (1900-
1954) et Heinz London (1907-1970) [1011] pour expliquer le pheacutenomegravene drsquoexpulsion du
champ magneacutetique dans tout le mateacuteriau supraconducteur agrave lrsquoexception drsquoune couche de
surface du mateacuteriau Le champ magneacutetique deacutecroicirct exponentiellement agrave lrsquointeacuterieur du
mateacuteriau et peacutenegravetre sur une longueur caracteacuteristique 20L sm n eλ micro= appeleacutee longueur de
peacuteneacutetration de London avec ns eacutetant la densiteacute des laquosupra eacutelectronraquo m et e sont
respectivement la masse et la charge eacutelectrique des eacutelectrons et 0micro est la permeacuteabiliteacute du vide
Pour des supraconducteurs conventionnels Lλ varie entre 100 et 1000Å
Pendant plusieurs anneacutees les physiciens ont cru qursquoil existe un seul type de mateacuteriaux
supraconducteurs jusqursquoagrave lrsquoarriveacutee de la theacuteorie de Ginzburg-Landau en 1950 [12] une autre
theacuteorie pheacutenomeacutenologique qui a eacuteteacute mise en place par les physiciens sovieacutetiques V L
Ginzburg (1916-2009) et L D Landau (1908-1968) et qui a permis drsquoexpliquer les proprieacuteteacutes
macroscopiques des supraconducteurs Ils ont introduit une constante k quasiment
indeacutependante de la tempeacuterature appeleacutee constante de Ginzburg-Landau En particulier Alexei
Abrikosov (1928-2017) montre quavec cette theacuteorie on peut preacutevoir lexistence de deux
cateacutegories de supraconducteurs (types I et II)
En 1957 J Bardeen (1908-1991) L N Cooper (1930) et JR Schrieffer (1931-2019)
ont expliqueacute la supraconductiviteacute de faccedilon microscopique par la formation des paires
drsquoeacutelectrons appeleacute paires de Cooper sous lrsquoeffet drsquoune interaction attractive entre eacutelectrons
reacutesultant de lrsquoeacutechange de phonons [9 13 14] A basse tempeacuterature ces eacutelectrons ne subissent
aucune dissipation drsquoeacutenergie par effet joule car ils ne rencontrent aucune reacutesistance donc ils
10
sont capables de se deacuteplacer agrave travers le mateacuteriau sans aucun frottement crsquoest la theacuteorie BCS
Malheureusement cette theacuteorie nrsquoest valable que pour des mateacuteriaux supraconducteurs agrave basse
tempeacuterature (environ 30 K)
Avec lrsquoarriveacutee de lrsquoanneacutee 1986 une deacutecouverte deacutecisive a eacuteteacute faite dans le domaine de
la supraconductiviteacute Karl Alexander Muumlller (1927) et Johannes Georg Bednorz (1950)
chercheurs du laboratoire de recherche IBM agrave Ruumlschlikon en Suisse ont deacutecouvert un oxyde
agrave base de Baryum de Lanthane de Cuivre et drsquoOxygegravene (Ba-La-Cu-O) agrave une tempeacuterature de
34degK [15-17]
Cette deacutecouverte a deacuteclencheacute une vague dactiviteacutes dans le domaine de la supraconductiviteacute
Des chercheurs du monde entier ont commenceacute agrave cuisiner des ceacuteramiques de toutes les
combinaisons imaginables dans le but de trouver des supraconducteurs agrave des tempeacuteratures
plus en plus hautes
En janvier 1987 une eacutequipe de chercheurs de lrsquoUniversiteacute drsquoAlabama-Huntsville a
remplaceacute le lanthane par lrsquoyttrium dans les moleacutecules de BaLaCuO et a obtenu un incroyable
rendement agrave une tempeacuterature de 92 K Pour la premiegravere fois on avait deacutecouvert un mateacuteriau
supraconducteur (appeleacute aujourdhui YBaCuO) agrave des tempeacuteratures supeacuterieures agrave celles de
lazote liquide [18-20]
Apregraves des nouvelles geacuteneacuterations de composeacutes baseacutes sur lrsquooxyde de cuivre apparurent
avec des tempeacuteratures critiques qui deacutepassent la tempeacuterature de lrsquoheacutelium liquide tel que La-
Sr-Cu-O Y-Sr-Cu-O Bi-Sr-Ca-Cu-O Ta-Ba-Cu-O et Ti-Sr-Ca-Cu-O [21-28]
Tregraves reacutecemment une eacutequipe de linstitut Max-Planck de chimie de Mayence (Allemagne)
annonccedilait avoir observeacute des signes de lapparition dune phase supraconductrice dans
lrsquo hydrure de lanthane(LaH10) agrave une tempeacuterature de seulement 250 K soit environ -23 degC
mais ce composeacute nrsquoest pas stable qursquoagrave tregraves haute pression [29]
11
Figure I2 Historique des deacutecouvertes de la tempeacuterature critique
I2 Grandeurs caracteacuteristiques des Supraconducteurs
La supraconductiviteacute est un eacutetat de la matiegravere dont les proprieacuteteacutes eacutelectromagneacutetiques
exceptionnelles tel que la reacutesistance nulle et lrsquoexpulsion du champ magneacutetique jouent un rocircle
tregraves important tant du point de vue physique fondamentale que du point de vue application
Un supraconducteur est caracteacuteriseacute par trois grandeurs fondamentales tempeacuterature critique
CT champ magneacutetique critique119867119867119867119867 et la densiteacute de courant critique Jc Ces trois grandeurs
sont tregraves correacuteleacutees et forment ce qursquoon appelle la surface critique drsquoun mateacuteriau
supraconducteur
I21 Tempeacuterature critique
La tempeacuterature critique est la tempeacuterature en dessous de laquelle la reacutesistance tombe agrave
zeacutero et le mateacuteriau devient supraconducteur La transition apparaicirct comme une transition de
phase de lrsquoeacutetat normal vers lrsquoeacutetat supraconducteur de la matiegravere Plusieurs mateacuteriaux
preacutesentent des transitions de phase supraconductrices agrave basses tempeacuteratures La tempeacuterature
critique la plus eacuteleveacutee eacutetait denviron 23 K jusquagrave la deacutecouverte en 1986 de certains
supraconducteurs agrave haute tempeacuterature
Environ trente (30) meacutetaux purs et quelques alliages tel que 3Nb Sn [3063] et NbTi
[3132] preacutesentent une reacutesistiviteacute nulle agrave basse tempeacuterature et ont la proprieacuteteacute drsquoexclure les
12
champs magneacutetiques de lrsquointeacuterieur de ces supraconducteurs (Effet Meissner voir Tableau I1)
Ce type de supraconducteurs est appeleacutelaquo Supraconducteurs agrave Basse Tempeacuterature Critique
(SBTC) raquo [33]
Figure I3 Etat noraml et supraconducteur drsquoun meacutetal en fonction de la tempeacuterature
Par contre les ceacuteramiques en oxyde de cuivre et de baryum qui ont atteint leacutetat
supraconducteur agrave des tempeacuteratures beaucoup plus eacuteleveacutees sont souvent appeleacutees
laquo supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) raquo et forment une classe agrave part [37]
Tableau I1 Tempeacuterature critique de quelques mateacuteriaux supraconducteurs
Eleacutement Tc (K) Eleacutement Tc (K) Eleacutement Tc (K)
Al Be Cd Ga Hf Hg In Ir La Mo
1175 0023 055 109 013 415 341 014 488 092
Nb Np Os Pa Pb Re Rh Ru Sn Ta
92 0075 065 140 72 17 00003 05 375 447
Tc Th Ti Tl U V W Zn Zr Lu
78 137 039 239 02 53 0012 09 055 01
Composeacute Tc (K) Composeacute Tc (K) Composeacute Tc (K)
Nb3Sn Nb3Ge Cs3C60 Nb06Ti04
181 232 19 98
MgB2 YPd2B2C HoNi2B2C PuCoGa5
39 23 75 185
UPt3 UPd2Al3 URu2Si2 YNi2B2C
05 2 12 155
Supraconducteurs agrave HTc Tc (K) Supraconducteurs agrave HTc Tc (K)
183 017 4La Sr CuO
2 3 7YBa Cu O δminus
2 2 2 3 10Bi Sr Ca Cu O
40 93 110
2 2 2 3 1 0Tl Ba Ca Cu O δ+
2 2 3 8HgBa Ca Cu O
08 02 2 2 3 833Hg Tl Ba Ca Cu O
127 135 138
13
I22 Champ magneacutetique critique
Quand on applique un champ magneacutetique sur un supraconducteur soumis agrave une
tempeacuterature critique TC ce champ reste autour du mateacuteriau sans le peacuteneacutetrer Si on augmente
ce champ agrave un point donneacute le supraconducteur revient agrave son eacutetat normal de reacutesistiviteacute A ce
point ce champ magneacutetique est connu comme champ magneacutetique critique et est noteacute Hc Le
champ magneacutetique critique est fortement deacutependant de la tempeacuterature critique Tc du
supraconducteur
Les champs magneacutetiques eacuteleveacutes deacutetruisent la supraconductiviteacute et le mateacuteriau passe agrave lrsquoeacutetat
normal En fonction du caractegravere de cette transition on peut distinguer deux types de
supraconducteurs
I221 Supraconducteurs Type I
La figure I4 montre la variation du champ magneacutetique interne (induit)119867119867119867119867 en fonction
du champ externe appliqueacute Ha En augmentant le champ appliqueacute on remarque au deacutepart que
le champ interne reste nul (Effet Meissner [6-9]) jusqursquoagrave ce qursquoun champ magneacutetique critique
HC soit atteint ougrave se produit une transition brutale vers lrsquoeacutetat normal cela se traduit par la
peacuteneacutetration du champ appliqueacute agrave linteacuterieur du mateacuteriau Les supraconducteurs qui subissent
cette transition brutale agrave leacutetat normal au-dessus du champ magneacutetique critique sont appeleacutes
supraconducteurs de type I le Plomb pur est consideacutereacute comme eacutetant le plus fort
supraconducteur de type I avec un champ critique drsquoenviron 800 Gauss (80 mT) Tous les
supraconducteurs purs ont tendance drsquoecirctre des supraconducteurs de type I [3536]
Figure I4 Repreacutesentation de champ magneacutetique induit en fonction du champ magneacutetique
appliqueacute pur les supraconducteurs de type I
14
I222 Supraconducteurs Type II
Les supraconducteurs de type II reacutepondent diffeacuteremment agrave un champ magneacutetique
appliqueacute comme le montre la figure I5 En effet un champ induit croissant agrave partir de zeacutero se
traduit par deux champs critiques Hc1 et Hc2
Agrave Hc1 le champ appliqueacute commence agrave peacuteneacutetrer partiellement agrave linteacuterieur du
supraconducteur agrave travers des tubes volumiques dans un eacutetat normal qui srsquoappellent
laquo Vortex raquo et la supraconductiviteacute est encore maintenue Au-dessus de Hc2 la
supraconductiviteacute disparaicirct et le mateacuteriau passe agrave lrsquoeacutetat normal Pour les valeurs
intermeacutediaires entre Hc1 et Hc2 le mateacuteriau supraconducteur se trouve dans un eacutetat mixte
Geacuteneacuteralement Hc2 est plus eacuteleveacute que Hc1 et 0 2Hcmicro peut atteindre plusieurs Tesla
pour cette raison les supraconducteurs de type II sont devenus les plus utiles sur le plan
technologique La plupart des composeacutes illustreacutes dans le tableau I1 sont des supraconducteurs
de type II Les fils fabriqueacutes agrave partir de niobium-eacutetain (Nb3Sn) ont un champ 0 2Hcmicro eacutegal agrave
environ 25 teslas ce qui les rend utiles pour des applications neacutecessitant des champs
magneacutetiques eacuteleveacutes Actuellement le niobium titane (NbTi) est le mateacuteriau le plus mature
technologiquement avec un champ 0 2 12 teslasHcmicro = il est largement utiliseacute dans machines
dimagerie par reacutesonance magneacutetique (IRM)
En geacuteneacuterale les applications en eacutelectrotechnique neacutecessitent habituellement la creacuteation
de forts champs magneacutetiques (de lrsquoordre de plusieurs teslas) ce qui limite lrsquoutilisation des
supraconducteurs de type I
Figure I5 Repreacutesentation graphique (a) des diffeacuterentes drsquoeacutetats des supraconducteurs de type
II et (b) du champ magneacutetique induit en fonction du champ magneacutetique appliqueacute pour les supraconducteurs de type II
15
I23 Densiteacute de courant critique JC
Pour les supraconducteurs de type I le courant critique deacutecoule directement du champ
magneacutetique critique Il peut ecirctre deacutetermineacute par la regravegle de Silsbee [34] crsquoest le courant qui
produit le champ magneacutetique critique agrave la surface du mateacuteriau Pour un cylindre de diamegravetre
D on deacutefinit ce courant par Ic DHcπ=
La densiteacute de courant critique est donneacutee donc par
C CJ I S=
Pour les supraconducteurs type II dans lrsquoeacutetat mixte la peacuteneacutetration du champ
magneacutetique se manifeste par la preacutesence drsquoun reacuteseau de vortex de flux que lrsquoon peut
repreacutesenter sous la forme de boucles eacuteleacutementaire de courant La circulation du courant de
transport dans le supraconducteur geacutenegravere une force de type Laplace ( )LF J B= times
qui agit sur
ces vortex Une force drsquoancrage est creacuteeacutee et permet aux tubes de vortex de se fixer dans la
matiegravere La densiteacute de courant critique JC est donc lieacutee agrave lrsquoancrage de ces vortex [34] La
force drsquoancrage est deacutefinie ainsi par P CF J B= times
Si toutefois la densiteacute de courant deacutepasse la
valeur de JC la force FL exerceacutee sur les vortex sera supeacuterieure agrave la force drsquoancrage FP et les
vortex commencent agrave se deacuteplacer Ce deacuteplacement induit un champ eacutelectrique non nul aux
borne du mateacuteriau et provoque une dissipation importante drsquoeacutenergie ce qui fait transiter le
mateacuteriau de lrsquoeacutetat supraconducteur agrave lrsquoeacutetat reacutesistif
Le courant critique drsquoun mateacuteriau supraconducteur est lrsquoorigine de trois courants courant de
transport courant induit et les supra-courants Figure I6
Figure I6 Reacuteseaux vortex dans un mateacuteriau supraconducteur de type II
16
Une grande deacuteception apregraves la deacutecouverte de la supraconductiviteacute agrave haute tempeacuterature
critique fut la faible valeur de leur densiteacute de courant critique Jc Celle-ci est due agrave la
difficulteacute de syntheacutetiser de ces mateacuteriaux sous forme de monocristaux de taille laquo reacutealiste raquo
(supeacuterieure agrave quelque mm2) Tregraves souvent les eacutechantillons volumiques se preacutesentent sous
forme de grains accoleacutes aleacuteatoirement les uns aux autres (poly-cristal) Dans ce cas le courant
supraconducteur se fraie un chemin dans lrsquoeacutechantillon en passant agrave travers les joints de grains
La densiteacute de courant critique correspondante (intergrain) est geacuteneacuteralement de deux ou trois
ordres de grandeur infeacuterieure agrave la densiteacute de courant critique de grain lui-mecircme (intragrain)
[3839] figure I7
Figure I7 Densiteacute de courant intergrain et intragrain dans un mateacuteriau
supraconducteur
En conseacutequence un des buts technologiques des recherches actuelles en
supraconductiviteacute est lrsquooptimisation de la densiteacute de courant critique intergrain des mateacuteriaux
supraconducteurs pour une tempeacuterature donneacutee et en preacutesence drsquoun champ magneacutetique
intense en modifiant les paramegravetres de ses microstructures (taille et orientation des grains)
Parmi les techniques utiliseacutees pour accroicirctre la densiteacute de courant critique intergrain est la
technique drsquoalignement des grains supraconducteurs Ce processus est appeleacute texturation Des
microstructures typiques drsquoeacutechantillons drsquoYBaCuO respectivement textureacutes et non textureacutes
sont preacutesenteacutees sur la figure I8
17
Figure I 8 Microstructure drsquoun mateacuteriau Supraconducteur agrave Haute Tempeacuterature critique
(SHTC) de formule chimique 2 3 7YBa Cu O δminus
Un mateacuteriau non textureacute comprend un grand nombre de grains de tregraves petite taille
(quelques microns) Sa densiteacute de courant critique est de lrsquoordre de 100 Acm2 et deacutecroicirct
rapidement en preacutesence drsquoun faible champ magneacutetique (quelques mT) [39] Par contre les
grains preacutesents dans un eacutechantillon textureacute peuvent ecirctre relativement volumineux Si
lrsquoeacutechantillon est constitueacute drsquoun seul grain de taille importante on parle de STHC mono-
domaine Les densiteacutes de courant critiques associeacutees aux mono-domaines drsquoYBaCuO textureacutes
sont de lrsquoordre de 10 000 Acm2 agrave T=77K et B=1T De telles valeurs sont compatibles avec
les exigences requises pour diffeacuterentes applications industrielles en eacutelectrotechnique
I24 Surface critique
Lrsquoeacutetat supraconducteur eacutetant limiteacute par les trois grandeurs caracteacuteristiques physiques
la tempeacuterature critique (Tc) le champ magneacutetique critique (Hc) et la densiteacute de courant
critique (Jc) Chacun de ces grandeurs deacutepend fortement des deux autres grandeurs Le
maintien de lrsquoeacutetat supraconducteur exige que le champ magneacutetique la densiteacute de courant et la
tempeacuterature demeurent au-dessous des valeurs critiques qui deacutependent du mateacuteriau
En repreacutesentation 3D lrsquoaire deacutelimiteacutee lorsque lrsquoon prend en compte les trois grandeurs
(Tc Hc Tc) est appeleacutee laquo surface critique raquo figure I-7 En partant de cette surface vers
lrsquoorigine le mateacuteriau est supraconducteur Les valeurs les plus eacuteleveacutees pour HC et JC sont
obtenues agrave T = 0K alors que la valeur la plus eacuteleveacutee pour la TC est obtenue quand H et J sont
18
agrave zeacutero Lorsque lrsquoon trouve dans les reacutegions en dehors de cette surface le mateacuteriau est dans
lrsquoeacutetat normal ou mixte
Figure I9 Surface critique et ordre de grandeur des paramegravetres critique de quelques
mateacuteriaux Supraconducteurs [40]
I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
La mise en eacutevidence de la supraconductiviteacute dans les mateacuteriaux SHTC notamment
dans lrsquoYBaCuO par Maw-Kuen Wu et al en 1987 [19] agrave une tempeacuterature critique qui deacutepasse
la tempeacuterature de lrsquoHeacutelium liquide eu un retentissement plus important et rend la recherche
dans le domaine de la supraconductiviteacute agrave haute tempeacuterature critique tregraves attrayante et tregraves
prometteuse pour de nombreuses applications Comprendre les proprieacuteteacutes et les meacutecanismes
de fonctionnement de ces mateacuteriaux qui deacutejouent toute attente est un enjeu majeur des
recherches actuelles Et si la supraconductiviteacute agrave tempeacuterature ambiante reste pour lrsquoinstant un
recircve pour les chercheurs les supraconducteurs nrsquoont pas fini de bousculer la physique
theacuteorique
Trois familles principales de ces ceacuteramiques sont distingueacutees [41]
- Baseacutee sur le Bismuth ceacuteramique de BiSrCaCuO appeleacutee aussi laquo BSCCO raquo
- Baseacutee sur les terres rares Rare Earth (RE) ceacuteramique de RE-BaCuO
communeacutement appeleacutee laquo Re-BCO raquo Lrsquoeacuteleacutement de terre rare utiliseacute peut ecirctre
de lrsquoYttrium du Neacuteodyme du Samarium ou du Gadolinium selon les
proprieacuteteacutes rechercheacutees
- Baseacutee sur le Thallium ceacuteramique de TlBaCaCuO communeacutement appeleacutee laquo
TBCCO raquo avec des tempeacuteratures de fonctionnement supeacuterieures
19
Ces mateacuteriaux sont aujourdrsquohui les plus utiliseacutes pour les applications industrielles et la
recherche en eacutelectrotechnique
I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
Lrsquo2 3 7YBa Cu O δminus
(YBaCuO ou Y-123) le 2 2 2 8 xBi Sr CaCu O + (BSCCO ou Bi-2212) et le
2 2 2 3 10 xBi Sr Ca Cu O + (Bi-2223) repreacutesentent aujourdrsquohui les mateacuteriaux SHTC les plus usiteacutes
pour les applications industrielles et la recherche en eacutelectrotechnique Or avec une
appartenance commune aux ceacuteramiques ces deux mateacuteriaux reposent sur des proceacutedeacutes de
fabrication diffeacuterents Leurs proprieacuteteacutes permettent de les utiliser sous diverses formes
poudres massifs fils et deacutepocircts en monocouche (figure I10) [41]
Figure I10 Diffeacuterentes formes des SHTC a) pastille YBaCuO en massifs b) YBaCuO en
monocouche c) tubes de BSCCO
Certains mateacuteriaux SHTC comme le BiSCCO sont constitueacutes de poudre compresseacutee
On les trouve sous forme de tubes massifs servant drsquoameneacutees de courant ou de blindage
magneacutetique [42] Ces mateacuteriaux permettent aussi la fabrication des cacircbles conducteurs mono
ou multi- filamentaires SHTC Ces cacircbles supraconducteurs ont eacuteteacute exploiteacutes pour la premiegravere
fois aux Etats-Unis agrave partir de 2006 dans le cadre de deacutemonstrateurs subventionneacutes Puis des
liaisons furent inteacutegreacutees agrave des reacuteseaux de distribution et de transport au Japon en Coreacutee en
Chine Et pour la premiegravere fois en Allemagne en 2014 dans le bassin de la Ruhr dans un
environnement 100 public urbain Un cacircble supraconducteur drsquoun kilomegravetre a eacuteteacute reacutealiseacute par
Nexans et lrsquoeacutenergeacuteticien allemand RWE et qui a eacuteteacute mise en service agrave Essen
En 2014 eacutegalement le CERN et dans le but drsquoameacuteliorer lrsquoalimentation de ses
acceacuteleacuterateurs de particules a reacuteussi de transiteacute un courant eacutelectrique de 20000 Ampegraveres par un
cacircble supraconducteur en MgB2
20
Une particulariteacute inteacuteressante des SHTC tels que Y-123 est sa faible reacutesistance de
surface par rapport agrave celle du cuivre il permet drsquoutiliser ce mateacuteriau dans la reacutealisation de
dispositifs micro-onde utiliseacutes dans des applications en micro-eacutelectronique et en technique
micro-onde Deacuteposer sous forme de couches minces il permet la reacutealisation de reacutesonateurs agrave
haute performance de taille plus faible et plus leacutegers que les reacutesonateurs conventionnels Un
champ important drsquoapplications pour ces reacutesonateurs est ouvert pour les filtres utiliseacutes dans
les technologies de la communication notamment pour les satellites
Lrsquoaimantation des mateacuteriaux SHTC massifs trouve reacutecemment son inteacuterecirct dans
lrsquoindustrie Le pheacutenomegravene de leacutevitation magneacutetique dans les bulk SHTC est largement
exploiteacute dans la mise en service des trains Maglev-Cobra [4344] ce sont des veacutehicules
destineacutes au transport urbain des passagers flottant sur des rails sans aucun contact avec le sol
Cette technologie est baseacutee sur la leacutevitation magneacutetique geacuteneacutereacutee par des aimants situeacutes sur les
pistes et des pastilles supraconductrices dans le train dans le cas des trains agrave leacutevitation
supraconductrice
I311 Supraconducteur YBa2Cu3O7-δ
a- Preacutesentation
LrsquoOxyde mixte de Baryum de Cuivre de drsquoYttrium ou ce qui est connu communeacutement
par laquo YBaCuO raquo est un mateacuteriau cristallin supraconducteur de type II de formule chimique
YBa2Cu3O7-δ Il est connu pour avoir eacuteteacute parmi les premiers supraconducteurs qui possegravedent
des tempeacuteratures critiques supeacuterieures agrave celle de lrsquoazote liquide (77 K) et donc classeacute parmi
les mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) Ces tempeacuteratures ont
permis de reacuteduire consideacuterablement le cout de fonctionnement des mateacuteriaux dans lrsquoeacutetat
supraconducteur en utilisant la cryogeacutenie agrave lrsquoazote liquide au lieu de lrsquoheacutelium liquide qui
impose des tempeacuteratures infeacuterieures agrave 5 k
LrsquoYBaCuO est tregraves utiliseacute pour le deacuteveloppement des applications de la
supraconductiviteacute gracircce agrave sa bonne tenue sous un champ magneacutetique Ses applications
industrielles en massif impliquent de controcircler la croissance de larges monodomaines orienteacutes
dans des eacutechantillons de grande taille (plusieurs centimegravetres) Les YBaCuO massifs sont
obtenus par diffeacuterentes techniques drsquoeacutelaborations connus mais complexes dont on peu citeacute la
technique TSMG pour laquo top-seeding melt-texturing Growthraquo [45-53] une pastille fritteacute drsquoune
composition riche de yttrium est utiliseacutee Un germe 2 3 xSmBa Cu O (Sm123) monocristallin est
placeacute sur la pastille avant la texturation Le mateacuteriau Sm123 fait partie de la mecircme famille de
21
lrsquoY123 avec une structure cristalline identique par contre il est caracteacuteriseacute par un de fusion
qui est environ 50 degC plus eacuteleveacutee que celui drsquoY123 Ce qui permet une surchauffe tregraves
importante de la pastille YBaCuO pour une fusion complegravete du mateacuteriau en preacutesence de ce
germe Ensuite le systegraveme (pastille + germe) est refroidie jusqursquoagrave la tempeacuterature peacuteritectique 123Y
pT (~1010 degC) (point drsquoeacutequilibre entre les phases solides et liquides) un refroidissement
tregraves lent de 01 degh agrave 05 degh est reacutealiseacute pour obtenir la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO agrave
partir de germe de 2 3 xSmBa Cu O figure I11
Figure I11 Traitement thermique pour la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO par la
technique TSMG
b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuO
La structure cristalline de lrsquoYBa2Cu3O7-δ deacuterive de la structure tridimensionnelle de la
peacuterovskite ABO3 comme dans tous les meacutetaux de la famille des cuprates figure I12 elle
preacutesente une anisotropie structurale importante entre les deux directions principales du
mateacuteriau (Plan (a b) axe c) Ce composeacute est caracteacuteriseacute par la preacutesence de deux familles de
plans parallegraveles au plan (a b)
1- Plan CuO1- δ qui est constitueacute drsquoun atome de cuivre Cu(1) entoureacutes de 2 agrave 4 atomes
drsquooxygegravene selon la stœchiomeacutetrie Ces plans sont organiseacutes en chaines selon la
direction b du cristal pour δ=1
2- Plan CuO2 ce plan est constitueacute drsquoun atome de cuivre Cu(2) entoureacutes de cinq atomes
drsquooxygegravenes en formant une pyramide
La maille eacuteleacutementaire de lrsquoYBaCuO se compose en six (6) plans parallegraveles qui srsquoempilent
suivant lrsquoaxe (c) par 1CuO δminus BaO 2CuO Y 2CuO BaO figure I13
22
Figure I12 Structure cristalline tridimensionnelle de lrsquoYBa2Cu3O7-δ
Selon la stœchiomeacutetrie en oxygegravene YBaCuO peut se trouver en diffeacuterentes phases il
passe alors drsquoune structure orthorhombique supraconductrice pour δlt065 agrave une structure
teacutetragonale isolante pour 065ltδlt1 par suppression successive des atomes drsquooxygegravene de la
chaine CuO [54 97]
Le composeacute YBa2Cu3O7est la phase la plus oxygeacuteneacutee qui correspond agrave δ=0 ce composeacute
se cristallise dans une structure orthorhombique supraconductrice dont le groupe drsquoespace est
Pmmm et les paramegravetres de mailles sont a= 382 Aring b= 388 Aring et c=1169 Aring figure I13-(a)
Par contre la phase la moins oxygeacuteneacute correspond agrave δ=1 cette structure est
antiferromagneacutetique sa maille eacuteleacutementaire est quadratique de groupe drsquoespace P4mmm avec
des paramegravetres de maille a=b=386Aring et c=1184Aring [55] figure I13-(b)
Les deux structures sont relativement proches La transition
orthorhombiquequadratique a eacuteteacute observeacutee agrave 700 deg C dans une atmosphegravere contenant 100
doxygegravene Lors de cette transition les paramegravetres a et c augmentent et b diminue ce qui
renforce la symeacutetrie de la structure cristalline (Figure I14) et aussi induit des contraintes
atomiques et des deacutefauts comme les plans de macle qui constituent de bons sites drsquoencrages
pour les vortex [55]
23
(a) (b)
Figure I13 Repreacutesentation de structure (a) orthorhombique et (b) quadratique de la maille
eacuteleacutementaire du compos YBa2Cu3O7-δ
(a) (b)
Figure I14 Variation des paramegravetres de reacuteseau a b et c par rapport au deacuteficit en oxygegravene δ
[54]
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuO
Lrsquoanisotropie structurale drsquoYBaCuO conduit agrave lrsquoanisotropie des proprieacuteteacutes
supraconductrices Ces derniegraveres sont confineacutees dans le plan CuO2 Les proprieacuteteacutes eacutelectriques
et magneacutetiques de lrsquoYBaCuO seront diffeacuterentes selon son orientation [58] Le courant
24
eacutelectrique circule plutocirct dans le plan (a b) que suivant lrsquoaxe c [56] Ainsi la densiteacute de
courant eacutelectrique sera tregraves diffeacuterente selon la circulation parallegravele ou perpendiculaire du
courant par rapport au plan (a b) et aussi suivant lrsquoorientation du champ exteacuterieur appliqueacute
elle sera eacuteleveacutee agrave 77k lorsque le courant circule selon le plan (a b) (de lrsquoordre de 4 210 A cm
dans des massifs textureacutes et atteigne 6 210 A cm pour des eacutechantillons sous forme de couches
minces eacutepitaxieacutees [57])
Lrsquoanisotropie des caracteacuteristiques supraconductrices se retrouve aussi sur les valeurs
de champs critiques Hc1 et Hc2 Pour lrsquoYBaCuO massif agrave T=0K on a [55]
( )2
11 02 2 10c cc a b
H T H Tminus= = times
( ) 22 140 29c cc a b
H T H T= =
La tempeacuterature critique de la phase supraconductrice de lrsquoYBaCuO est fortement deacutependante
du taux drsquooxygegravene Lrsquooptimum est de 92 K pour une valeur de δ=008 [54] figure 115
Figure I15 Repreacutesentation de la tempeacuterature critique en fonction du deacuteficit en oxygegravene dans
la structure YBaCuO
I32 Supraconducteur MgB2
a- Preacutesentation
Le diborure de magneacutesium (MgB2) est un mateacuteriau dont les proprieacuteteacutes
supraconductrices ont eacuteteacute deacutecouvertes en 2001 par J Nagamatsu et al [59] Il preacutesente une
tempeacuterature critique de 39K et comme la limite entre la famille des supraconducteurs agrave basse
25
et agrave haute tempeacuterature critique est agrave environ de 30 K le MgB2 est classeacute donc parmi les
supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) Sa deacutecouverte a susciteacute un vif inteacuterecirct
car ses constituants sont bons marcheacutes et son proceacutedeacute de fabrication est semblable agrave celui des
supraconducteurs classiques
Diffeacuterents proceacutedeacutes pour la fabrication de MgB2 massif sont utiliseacutes Un premier
consiste agrave placer du magneacutesium dans un moule en Bore la supraconductiviteacute est obtenue
apregraves traitement thermique Drsquoautre utilisent un preacutecurseur sous forme de poudre de Bore et
de Magneacutesium qursquoil comprime sous haute pression [62] lrsquoensemble subit alors un traitement
thermique
b- Structure cristalline de MgB2
Le MgB2 se cristallise dans une structure Hexagonale de type AlB2 dont le groupe
drsquoespace est P6mmm les paramegravetres de mailles sont a = 308 Adeg et c=352 Adeg [5960] La
figure I16 montre que les atomes de bore sont disposeacutes en des couches similaires agrave celles du
graphite entre lesquels sont intercaleacutes des atomes de magneacutesium chaque atome de bore est agrave
distance eacutegale de trois autres atomes de bore La position drsquoatomes sont donneacutees comme suit
Mg (0 0 0) B (13 2312) (2313 12)
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2
Une forte anisotropie de la structure cristalline MgB2 est reacutesulteacute des successions de
couches de magneacutesium et de Bore (figure I11) cette anisotropie eacutetait connue depuis pregraves de
50 ans avant la deacutecouverte de la supraconductiviteacute de ce composeacute [61]
La premiegravere mesure directe drsquoune proprieacuteteacute supraconductrice anisotrope a eacuteteacute reacutealiseacutee
pour le champ magneacutetique critique Hc2 du bulk MgB2 un rapport 2 1 17ab cc cH Hγ = asymp avec
2abcH est le champ magneacutetique critique parallegravele au plan (ab) et 1
ccH est le champ magneacutetique
critique parallegravele agrave la direction de lrsquoaxeC
Depuis lors plusieurs chercheurs ont trouveacute des
valeurs de ce rapport comprises entre 11 et 16 pour une tempeacuterature variant de 32 K agrave 26 K
en utilisant diffeacuterents types drsquoeacutechantillons et diffeacuterentes techniques pour caracteacuteriser la
transition de lrsquoeacutetat normal vers lrsquoeacutetat supraconducteur
Lrsquoanisotropie de la densiteacute de courant critique a eacuteteacute eacutegalement eacutevalueacutee agrave lrsquoaide du
modegravele e Bean comme eacutetant 15ab cc cJ J asymp
26
Figure I16 Structure cristalline de MgB2
I4 Modegraveles des supraconducteurs
La connaissance des proprieacuteteacutes caracteacuteristiques drsquoun mateacuteriau supraconducteur joue un
rocircle important dans le dimensionnement drsquoun dispositif et par la suite pour deacutevelopper des
nouvelles applications dans le domaine industriel Diffeacuterentes meacutethodes de caracteacuterisations
sont adopteacutees dans le cas des supraconducteurs afin drsquoeffectuer des mesures des
caracteacuteristiques de ces mateacuteriaux agrave savoir la distribution du courant eacutelectrique densiteacute du
courant critique capaciteacute drsquoavoir un champ magneacutetique pieacutegeacute important hellipetc Les reacutesultats
obtenus peuvent diffeacuterer en fonction de la meacutethode de mesure choisie
Des meacutethodes de caracteacuterisations des pastilles supraconductrices ont eacuteteacute deacuteveloppeacute
dans le laboratoire GREEN qui ont pour but de mesurer la densiteacute du courant critique au
centre et sur la surface drsquoune pastille SHTC de type YBaCuO et cela agrave travers la
deacutetermination du champ magneacutetique de peacuteneacutetration dans la pastille
Avant de preacutesenter ces meacutethodes nous allons rappeler les deux modegraveles de caracteacuteristique
E(J) qui repreacutesente un supraconducteur
I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)
I411 Preacutesentation du modegravele
Le modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (1962) a eacuteteacute introduit par C P Bean (1923-1996)
dans le but drsquoeacutetudier lrsquoaimantation des supraconducteurs massifs [64 65] Il stipule qursquoagrave
tempeacuterature donneacutee la densiteacute de courant dans un supraconducteur est soit nulle soit eacutegale agrave
27
la densiteacute de courant critique Cest-agrave-dire que les supraconducteurs nrsquoexistent que dans les
deux cas suivants
- Une densiteacute de courant nulle pour les reacutegions ougrave le champ ne varie plus
- Une densiteacute de courant cJplusmn dans les reacutegions qui srsquooppose aux variations du champ
magneacutetique
ou 0cJ J J= plusmn =
Ce modegravele ne prend pas en consideacuteration la deacutependance de la densiteacute du courant
critique en champ magneacutetique et en tempeacuterature Aussi la discontinuiteacute de ce modegravele le rend
peu utilisable pour des deacuteveloppements numeacuteriques Par ailleurs gracircce agrave sa simpliciteacute ce
modegravele reste le plus utiliseacute dans les calculs analytiques afin drsquoeacutetudier les pertes en reacutegime
variable (AC) dans les rubans et aussi dans les pheacutenomegravenes de magneacutetisation [66][67]
En effet le modegravele de Bean connait un grand succegraves dans le cas des supraconducteurs
agrave basse tempeacuterature critique et lrsquoon y fait souvent reacutefeacuterence dans la litteacuterature
I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long notion
de peacuteneacutetration complegravete
En considegravere un cylindre supraconducteur infiniment long de rayon R soumis agrave un
champ magneacutetique exteacuterieur variable ( )aH t parallegravele agrave son axe
Nous allons eacutetudier la distribution de champ magneacutetique ( )B la densiteacute de courant eacutelectrique
( )J et le champ eacutelectrique dans ce cylindre supraconducteur
Le milieu supraconducteur de cylindre est repreacutesenteacute par 0micro micro= Les eacutequations neacutecessaires
pour deacuteterminer ces grandeurs se sont les eacutequations de Maxwell simplifieacutees suivantes
( ) I7BrotEt
part= minus
part
( )0 I8rotB Jmicro=
Les coordonneacutees cylindriques sont employeacutees Le champ magneacutetique appliqueacute ( )aB t
est orienteacute suivant lrsquoaxe Oz J et E sont donc orienteacutes suivant θ et variant en fonction de r
et t
Lorsqursquoon augmente la valeur du champ magneacutetique appliqueacute aH lrsquoinduction
magneacutetique B va peacuteneacutetrer progressivement agrave lrsquointeacuterieur de cylindre
28
En utilisant le modegravele de Bean afin de deacuteterminer la distribution de champ
magneacutetique B de la densiteacute de courant eacutelectrique J et de champ eacutelectrique E agrave lrsquointeacuterieur de
cylindre supraconducteur lrsquoeacutequation (18) donne
( )0 o u 0 I9rotB J rotBmicro= plusmn =
Lrsquoinduction agrave la surface de cylindre vaut
( ) ( ) ( )0 0 I10aB R t H tmicro=
Dans le cylindre le champ magneacutetique est orienteacute suivant lrsquoaxe Oz et ne deacutepond que r et t
( ) ( ) I11zB B r t u=
Par contre le champ eacutelectrique E et la densiteacute de courant J sont orienteacute suivant θ et
deacutependent aussi de r et t
( ) ( ) I1 2E E r t uθ=
( ) ( ) I1 3J J r t uθ=
Le champ magneacutetique exteacuterieur augmente agrave partir de zeacutero jusqursquoagrave une valeur
maximale Bmax Drsquoapregraves la loi de Lenz des courants qui srsquoopposent aux variations du champ
magneacutetique se deacuteveloppent agrave partir de lrsquoexteacuterieur du conducteur Drsquoapregraves le modegravele de Bean
ces courant ont une densiteacute de courant J eacutegale agrave (figure I17)
( )1
1
0 00
I14C
C
J ou pour r RJ
J ou pour R r Rminus lt lt
= + lt lt
Les eacutequations (I7) et (I9) deviennent
( ) ( ) I 51 1rE B
r r tpart part
= minuspart part
( )0 116C
B Jr
micropartminus = plusmnpart
Agrave partir des eacutequations (I11) et (I16) pour 1R r Rlt lt
( ) ( ) ( )0 I 1 7C aB r t J r R Bmicro= minus minus +
29
Pour une peacuteneacutetration complegravete le champ de peacuteneacutetration complegravete est donneacute sous la forme
( )0 I18p CB J Rmicro=
Si la valeur du champ externe est infeacuterieure agrave cette valeur la peacuteneacutetration dans ce cas est
incomplegravete et le champ peacutenegravetre jusqursquoagrave PR que lrsquoon peut calculer
( )max
0
I19PC
BR RJmicro
= minus
Le champ eacutelectrique est preacutesent entre ( )1R t et R et il est calculeacute agrave partir de lrsquoeacutequation (I16)
( )( )( ) ( )
2 21 I2
2 0
r R tBE r tt r
minuspart= minus
part
Lrsquoexpression de ( )1R t est donneacutee comme suit
( ) ( ) ( )max 01
0
I 12
2C
B B tR t R
Jmicrominus
= minus
En cas de peacuteneacutetration complegravete PR est eacutegal agrave 0 Quand ( )1R t srsquoannule le champ eacutelectrique
devient
( ) ( ) 22
2 IB rE r tt
part= minus
part
Figure I17 Distribution de B J E dans un cylindre supraconducteur soumis agrave un
champ magneacutetique parallegravele agrave son axe
30
I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)
Pour les supraconducteurs HTC le modegravele de la loi en puissance repreacutesente mieux la
caracteacuteristique E(J) que le modegravele CSM [68-70]
( ) ( )1
I23n n
c cc c
J JJE J E E JJ J J
minus
= =
Avec
cE Champ eacutelectrique critique (Vm) sa valeur est fixeacutee arbitrairement agrave 1 V mmicro pour les
mateacuteriaux SHTC
cJ Densiteacute de courant critique (Am2) elle caracteacuterise les performances du mateacuteriau
supraconducteur
n Exposant de la loi en puissance il deacutefinit la vitesse de transition du mateacuteriau entre les
deux cas limites 1n = correspond agrave une loi drsquoohm lineacuteaire alors que pour n plus grand ( n
gt200) on srsquoapproche du modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean
Figure I18 Comparaison entre la caracteacuteristique E(J) correspond au modegravele de Bean (courbe
rouge) et au modegravele de loi en puissance (courbe verte) avec celle obtenue expeacuterimentalement
(courbe bleu) pour un ruban
Contrairement au modegravele CSM le modegravele PLM est plus commode agrave utiliser dans les
formulations numeacuteriques car sa fonction est continue et possegravede eacutegalement une deacuteriveacutee
continue et crsquoest un modegravele dont leurs paramegravetres se rapprochent le mieux des valeurs
lrsquoexpeacuterimentales (figure I18)
31
Par ailleurs en reacutealiteacute les paramegravetres Jc et n ne sont pas constants ils sont
geacuteneacuteralement deacutependants du champ magneacutetique et de la tempeacuterature
I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et n
Depuis les anneacutees 80 beaucoup de travaux ont eacuteteacute consacreacute agrave eacutetudier la deacutependance en
champ magneacutetique de la densiteacute de courant critique des SHTC Cette deacutependance peut ecirctre
obtenue expeacuterimentalement par des meacutethodes eacutelectriques et magneacutetiques
Dans les mesures eacutelectriques la fiabiliteacute et la reacutepeacutetabiliteacute des valeurs mesureacutees du
courant critique sont reacuteduites en raison des difficulteacutes agrave eacutetablir des contacts dans leacutechantillon
et agrave choisir un critegravere de tension pour deacutefinir Jc De plus en geacuteneacuteral des courants importants
traversent lrsquoeacutechantillon pendant les mesures de sorte qursquoils produisent un champ magneacutetique
qui modifie le champ appliqueacute de maniegravere non homogegravene
Le premier modegravele qui deacutecrive la deacutependance en champ magneacutetique de Jc est proposeacute
par Y Kim [71] pour les mateacuteriaux supraconducteurs agrave basse tempeacuterature critique (SBTC)
( ) 0
01 C
CJJ BB B
=+
Ougrave Jc0 est la densiteacute d courant critique sous champ nul B est lrsquoamplitude de lrsquoinduction
magneacutetique et B0 est une constante caracteacuterisant le mateacuteriau
La formule de Kim deacutecrit un comportement isotrope alors que les supraconducteurs
HTc sont fortement anisotropes lrsquoorientation du champ magneacutetique a une influence
importante sur la densiteacute du courant critique du supraconducteur [66] Une autre forme
geacuteneacuteraliseacutee de la loi de ce modegravele de Kim a eacuteteacute proposeacutee pour prendre en consideacuteration le
pheacutenomegravene drsquoanisotropie des mateacuteriaux SHTC [7273]
( ) ( )0
2 2 2
0
1
I24JcJc B Bk B B
B
βperp
perp
= + +
k Facteur drsquoanisotropie (gt1)
etB Bperp Composantes parallegravele et perpendiculaire du champ magneacutetique
β Constante caracteacuterisant la deacutependance vis-agrave-vis du champ magneacutetique
32
Eacutegalement lrsquoexposant-n de la loi en puissance se comporte de la mecircme maniegravere que Jc vis-agrave-
vis le champ drsquoinduction magneacutetique plusieurs eacutetudes ont montreacute cette deacutependance [74-77] et
la loi du comportement est similaire agrave celle de Kim pour les milieux SHTC anisotropie
( ) ( )0 2 2 2
0
)
1
I25
n
nn B Bk B B
B
perp
perp
=+
+
Avec n0 est une constante qui repreacutesente la valeur de n sous champ nulle et Bn0 est une
constante caracteacuterisant la deacutependance du n vis-agrave-vis le champ magneacutetique
I5 Meacutethodes drsquoaimantation
Les supraconducteurs notamment sous forme massive peuvent ecirctre aimanteacutes et ainsi
reacutealiser ce qursquoon appelle des cryo-aimants qui permettent de geacuteneacuterer des champs magneacutetiques
de plusieurs teslas le record eacutetant agrave de 176 T agrave 26degK [78] Par ailleurs plusieurs axes de
recherches ont eacuteteacute consacreacutes agrave eacutetudier la possibiliteacute de profiter de lrsquoinduction magneacutetique
importante produite par des pastilles aimanteacutees en vue drsquoapplications en geacutenie eacutelectrique Il
existe diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantation des supraconducteurs massifs ces meacutethodes sont
baseacutees sur la variation du champ magneacutetique appliqueacute afin de creacuteer selon la loi de Lenz des
courants induits agrave lrsquointeacuterieur de ces supraconducteurs Ces courants induits geacutenegraverent agrave leur
tour un champ magneacutetique opposeacute au champ appliqueacute Ce principe est utiliseacute pour reacutealiser des
eacutecrans magneacutetiques ou pour pieacuteger du champ magneacutetique avec des aimants
supraconducteurs
I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)
Cette meacutethode consiste agrave appliquer un champ magneacutetique en refroidissant une pastille
supraconductrice agrave une tempeacuterature infeacuterieure agrave sa tempeacuterature critique (TltTC) en preacutesence
du champ magneacutetique appliqueacute [79-81] Ensuite et quand la tempeacuterature de refroidissement
stabilise ce champ magneacutetique appliqueacute est rameneacute tregraves lentement vers le zeacutero ce qui permet
la creacuteation des courants induits agrave lrsquointeacuterieur de la pastille en srsquoopposant agrave la deacutecroissance du
champ magneacutetique appliqueacute afin drsquoavoir un champ magneacutetique pieacutegeacute dans la pastille La
figure I19 illustre les diffeacuterentes eacutetapes drsquoaimantation par la meacutethode FC
33
Figure I19 Aimantation par refroidissement sous champ magneacutetique (Field Cooling FC)
[109]
La meacutethode FC donne des meilleurs reacutesultats en termes de champ pieacutegeacute Par contre ce
dernier ne peut pas ecirctre supeacuterieur au champ appliqueacute
Cependant lrsquoutilisation drsquoun eacutelectro-aimant supraconducteur est primordiale pour obtenir une
forte valeur du champ magneacutetique (gt10T) et permet ensuite de pieacuteger un champ magneacutetique
plus intense
En 2003 et lors de leurs travaux sur lrsquoaimantation de lrsquoYBaCuO massif les japonais
Masaru Tomita et Masato Murakami ont pu pieacuteger un champ magneacutetique eacutegale agrave 17 T agrave 29 K
en appliquant un champ magneacutetique eacutegale agrave 179T [78] et une valeur de 176T a eacuteteacute pieacutegeacutee par
J H Durrell et all agrave 28K en 2014 [82] en utilisant des pastilles supraconductrices de type
GdBCO de 2415 mm de diamegravetre et de 15 mm de hauteur
I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC)
Dans cette meacutethode et contrairement agrave la meacutethode FC lrsquoapplication du champ
magneacutetique se fait apregraves le refroidissement de la pastille agrave la tempeacuterature de fonctionnement
(tltTc) [81] figure I20
Avec cette meacutethode on peut pieacuteger une valeur de champ magneacutetique inferieur
(environ deux fois) agrave celle pieacutegeacute par la meacutethode FC car deux nappes de courant sont induites
lors de lrsquoaimantation par ZFC une correspondant agrave lrsquoapplication du champ magneacutetique et
lrsquoautre agrave la diminution du champ
34
Figure I20 Aimantation par refroidissement hors champ magneacutetique
(Zero Field Cooling ZFC) [109]
En utilisant les meacutethodes drsquoaimantations FC et ZFC un champ magneacutetique appliqueacute
externe important et constant est neacutecessaire pour eacutetablir un champ SHTC pieacutegeacute intense En
geacuteneacuterale cela signifie quun aimant soleacutenoiumlde supraconducteur agrave grande eacutechelle et des
alimentations encombrantes associeacutees sont neacutecessaires Ces exigences limitent souvent
lutilisation de ce type drsquoaimants SHTC pour une utilisation dans la recherche scientifique au
niveau des laboratoires ou dans des applications industrielles comme les machines eacutelectriques
tournantes [83]
I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization
(PFM)
Le processus drsquoaimantation par la meacutethode PFM neacutecessite lrsquoobtention drsquoune impulsion
de courant eacutelectrique intense dans une bobine de petites dimensions ce qui permet de geacuteneacuterer
une impulsion de champ magneacutetique importante pour aimanter la pastille supraconductrice
[84-86]
La meacutethode PFM est une autre forme de la meacutethode ZFC sauf que la dureacutee de
lrsquoimpulsion de champ appliqueacute dans ce cas est tregraves courte (quelques millisecondes)
Lrsquoavantage fondamental de la meacutethode PFM est qursquoelle ne neacutecessite pas un eacutelectro-aimant
supraconducteur une simple bobine de cuivre suffit pour geacuteneacuterer une impulsion de champ
magneacutetique de plusieurs teslas et produit par la suite un champ magneacutetique pieacutegeacute important
(environ 30 agrave 40 du champ appliqueacute)
35
La forme de lrsquoimpulsion du champ magneacutetique appliqueacute le volume et la forme de la
pastille utiliseacutee et sa densiteacute de courant eacutelectrique influent fortement sur la valeur du champ
magneacutetique pieacutegeacute dans la pastille
Figure I21 Aimantation par un champ impulsionnel (pulsed field magnetization PFM)
[109]
Le circuit eacutelectrique de lrsquoaimantation utiliseacute dans ce cas-lagrave est un circuit RLC composeacute drsquoun
circuit de charge de condensateur C et circuit de deacutecharge de ce condensateur dans lrsquoinducteur
Lind (Figure I22)
La forme de lrsquoimpulsion du champ magneacutetique creacuteeacute par lrsquoinducteur est lrsquoimage de la
forme du courant eacutelectrique produit par le circuit de deacutecharge LC Lrsquoamplitude et la constante
du temps caracteacuteristique du courant impulsionnel sont directement lieacutees agrave la valeur de
lrsquoinductance L
Figure I22 Scheacutema eacutelectrique simplifieacute du circuit utiliseacute pour aimanter les supraconducteurs
massifs
36
En reacutegime peacuteriodique lexpression du champ magneacutetique appliqueacute est alors donneacutee par la
solution de leacutequation de deacutecharge du circuit
( ) ( ) ex I26p 1a mt tH t Hτ τ
= minus
Avec
LCτ = Constance du temps du circuit de deacutecharge
( )0 exp(1)mH q τ= Champ maximal donneacutee pour t τ=
0q Charge initiale du condensateur C du circuit
La figure I23 preacutesente leacutevolution temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour
laimantation par la meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
Figure I23 Variation temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour laimantation par la
meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
Eacutetant donneacute que la magneacutetisation par la meacutethode PFM est un proceacutedeacute largement utiliseacute
pour laimantation des cryo-aimants il semble inteacuteressant de deacutevelopper des outils et des
meacutethodes de calcul deacutedieacutees pour ce proceacutedeacute Des travaux anteacuterieurs avaient eacuteteacute meneacutes en vue
du deacuteveloppement des modegraveles analytiques pour calculer la distribution du champ magneacutetique
des bobines circulaires seules avec un noyau de fer ou en preacutesence de noyau supraconducteur
[87-91] ainsi que le cas de bobine circulaire dans un circuit ferromagneacutetique avec entrefer
[92]
37
Dans le chapitre II de cette thegravese nous allons deacutevelopper un modegravele analytique pour
montrer lrsquoeffet de la preacutesence drsquoune pastille supraconductrice sur la valeur de lrsquoinductance
drsquoune bobine circulaire placeacutee dans un circuit ferromagneacutetique avec entrefer
I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTC
La deacutetermination de la densiteacute de courant critique du mateacuteriau supraconducteur peut ecirctre
reacutealiseacutee soit par la meacutethode eacutelectrique (meacutethode directe) soit par la meacutethode magneacutetique
(meacutethode indirecte) Chacune de ces meacutethodes comporte des problegravemes pratiques qui rendent
deacutelicate lrsquoobtention drsquoune mesure preacutecise de CJ
I51 Meacutethode eacutelectrique
La meacutethode eacutelectrique consiste agrave injecter dans lrsquoeacutechantillon des courants croissants
jusqursquoagrave ce que lrsquoeacutetat supraconducteur disparaisse [93] La meacutethode de quatre pointes est ainsi
utiliseacutee dans laquelle le courant I est injecteacute dans lrsquoeacutechantillon et la mesure de la tension U
aux bornes de lrsquoeacutechantillon est faite (figure I24) On considegravere que le courant injecteacute se
reacutepartit uniformeacutement dans tout le mateacuteriau pour obtenir une relation simple entre le courant
et la densiteacute de courant I= JS ougrave S est la section de lrsquoeacutechantillon Aussi on suppose que le
champ eacutelectrique agrave une seule composante suivant lrsquoaxe de lrsquoeacutechantillon pour avoir une
relation simplifieacutee entre le champ eacutelectrique E et la tension U aux bornes de lrsquoeacutechantillon
U=El avec l est la distance entre les prises de potentiel Le champ eacutelectrique critique EC est
souvent choisi de 1 V mmicro A partir de la mesure U(I) en deacuteduit E(J) et par la suite la densiteacute
de courant critique Jc et lrsquoexposant-n de la loi en puissance preacutesenteacutee ci-dessus
Figure 24 Scheacutema repreacutesentatif de la meacutethode eacutelectrique pour deacuteterminer la densiteacute
de courant eacutelectrique Jc drsquoun mateacuteriau supraconducteur
Cette meacutethode de mesure de Jc des SHTC est simple et donne accegraves la vraie valeur de
Jc Cependant [93] elle implique la pose de contact sur lrsquoeacutechantillon qui peut entrainer des
38
problegravemes de dissipation de chaleur aux contacts Cette meacutethode est geacuteneacuteralement tregraves utiliseacutee
surtout pour les rubans
I52 Meacutethode magneacutetique
Les meacutethodes magneacutetiques sont baseacutees sur lrsquoeacutetude des proprieacuteteacutes magneacutetique du
mateacuteriau supraconducteur Lrsquoeacutechantillon est soumis agrave un champ magneacutetique externe H Ce
champ creacutee des boucles de courant induites qui peuvent ecirctre de type intragrain ou intergrain
[39] srsquoopposant au champ appliqueacute Les meacutethodes geacuteneacuteralement utiliseacutees mesurent
lrsquoaimantation M de lrsquoeacutechantillon et permettent alors de calculer la densiteacute de courant critique
Jc agrave lrsquoaide du modegravele de Bean
Les principaux avantages des meacutethodes magneacutetiques sont drsquoune part lrsquoabsence de
contact eacutelectrique avec lrsquoeacutechantillon et donc la possibiliteacute de ne pas amener de chaleur agrave
lrsquoeacutechantillon et drsquoautre part la possibiliteacute drsquoeacutetudier des eacutechantillons de taille tregraves faible voire
mecircme des poudres
Au laboratoire GREEN Bruno DOUINE amp al ont deacuteveloppeacute une nouvelle meacutethode
magneacutetique de caracteacuterisation de pastilles SHTC pour deacuteterminer la densiteacute de courant
critique Jc et lrsquoexposant-n de la loi en puissance du mateacuteriau supraconducteur Le principe est
de mesurer le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP Ce champ magneacutetique
correspond au champ magneacutetique appliqueacute neacutecessaire pour que la diffusion du champ
magneacutetique atteigne le centre de pastille SHTC [77 94 95 96]
I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastille
Un champ magneacutetique est appliqueacute perpendiculairement sur une pastille SHTC de
rayon R et de hauteur L comme crsquoest montreacute sur la figure I25 Ce champ magneacutetique
appliqueacute est consideacutereacute lineacuteairement varie en fonction du temps
( ) ( ) I27a bB t V t=
Avec Vb est la vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacute
Figure I25 Pastille supraconductrice massive de forme cylindrique soumise agrave un champ
magneacutetique appliqueacute axialement
39
Un champ magneacutetique commence agrave apparaitre au centre de la pastille apregraves un certain
temps pt appeleacute temps de peacuteneacutetration le champ magneacutetique appliqueacute neacutecessaire agrave la
peacuteneacutetration complegravete jusqursquoau centre de la pastille est appeleacute champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete et noteacute BP (figure I26) En utilisant le modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean
(CSM) ce champ de peacuteneacutetration appeleacute aussi champ de peacuteneacutetration de Bean BPB peut-ecirctre
analytiquement obtenu agrave partir de la loi de Biot et Savart sous la forme suivante [77]
( )
22
02
2
2ln4
2
I28cPB
LR RJ LB
LR R
micro
+ + = + minus
Le principe de cette meacutethode est de mesurer le champ de peacuteneacutetration BPB et deacuteduire
par la suite la densiteacute de courant critique Jc
Figure I26 Variation du champ magneacutetique en fonction du temps Ba est le champ appliqueacute
sur la pastille et B0 repreacutesente le champ magneacutetique mesureacute au centre de la pastille
En fait lrsquoideacutee principale est de remplacer la pastille SHTC eacutetudieacutee par deux pastilles
SHTC identiques seacutepareacutees par un entrefer drsquoeacutepaisseur laquo e raquo dans lequel est placeacutee une sonde
agrave effet Hall afin de mesurer le champ magneacutetique entre ces deux pastille (figure I27) Le
champ magneacutetique mesureacute possegravede une seule composante crsquoest la composante radiale
40
Figure I27 Position de sonde agrave effet Hall entre deux pastilles SHTC
Theacuteoriquement ces deux pastilles sont consideacutereacutees comme une seule pastille dont
lrsquoinfluence de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoentrefer creacuteeacute par la sonde sur la valeur de la densiteacute de courant
Jc doit ecirctre prise en consideacuteration
Lrsquoaimantation de la pastille se fait par la meacutethode PFM le champ appliqueacute est obtenu
par une simple deacutecharge drsquoun condensateur dans une bobine en cuivre Le scheacutema eacutelectrique
du circuit drsquoaimantation est preacutesenteacute sur la figure I22
La figure I28 repreacutesente la variation du champ magneacutetique en fonction du temps pour
deux pastilles SHTC identiques de type YBaCuO caracteacuteriseacutee chacune par un rayon R de
10mm et de longueur L eacutegale agrave 5 mm et seacutepareacutees par une distance de 1mm (repreacutesente
lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall)
Figure I28 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesureacute entre deux pastilles
SHTC
41
Par conseacutequent la deacutetermination du temps de peacuteneacutetration Pt est effectueacutee comme suit
Nous consideacuterons drsquoabord que apregraves peacuteneacutetration complegravete du champ magneacutetique ( )Pt tgt
( )aB t et ( )0B t sont seacutepareacutes par une valeur eacutegale agrave PBB Deuxiegravemement nous modifions ( )0B t
B0(t) autour de tp pour quil soit identique au champ magneacutetique appliqueacute ( )aB t (figue I22)
Ceci permet au final de deacuteduire Pt et PMB
La valeur du champ magneacutetique PMB mesureacute pour des deux pastilles est drsquoenvirons 1
Tesla A partie de cette valeur de PMB cedil qursquoon suppose eacutegale agrave BPB on peut calculer la valeur
de la densiteacute de courant critique Jc agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 Elle est eacutegale agrave 110 Amm2 et
crsquoest une valeur proche des valeurs estimeacutees agrave partir des donneacutees des constructeurs et de la
litteacuterature
I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur le champ
de peacuteneacutetration
En utilisant le modegravele de la loi en puissance (PLM) le champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete noteacute BP peut srsquoexprimer numeacuteriquement en fonction du champ
magneacutetique de peacuteneacutetration ducirc au modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM) (BPB) de la vitesse
de monteacutee du champ appliqueacute Vb et de la puissance n comme [77]
( ) ln I291 bP PB
VB Bn
α β+ = +
Avec 12α = et 34β =
On peut ajouter ici qursquoil nrsquoy a pas drsquoinfluence des paramegravetres geacuteomeacutetrique de la
pastille R et L sur les valeurs de α etβ
La relation I29 saveacuterera expeacuterimentalement utile pour deacuteterminer la valeur n dune
pastille supraconductrice soumise agrave des diffeacuterentes vitesses de monteacute Vb du champ externe
Pour cela deux manipes expeacuterimentales sont installeacutees lrsquoune contient une bobine
supraconductrice afin de geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee du champ appliqueacute Ba (Meacutethode
drsquoaimantation ZFC) et lrsquoautre une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer un champ magneacutetique
agrave vitesse de monteacutee eacuteleveacutee de Ba (Meacutethode PFM) Les reacutesultats de mesure de champ
magneacutetique sont illustreacutes sur la figure I29
Lrsquoinfluence de lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall placeacutee sera prise en consideacuteration
dans les calculs de lrsquoexposant-n et la densiteacute de courant critique du mateacuteriau supraconducteur
42
(a) (b)
Figure I29 Repreacutesentation du champ magneacutetique appliqueacute et le champ magneacutetique mesureacute
entre deux pastilles SHTC en fonction de temps en utilisant a) une bobine supraconductrice
pour geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee b) une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer une
vitesse de monteacutee eacuteleveacutee
Soit 1PMB le champ de peacuteneacutetration mesureacute pour une faible vitesse de monteacutee 1bV et 2PMB est le
champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute pour une vitesse de monteacutee eacuteleveacutee 2bV
A partir de lrsquoeacutequation (I22) la valeur de n peut ecirctre deacuteduite agrave partir de
( ) ( )2 1 1 2
1 2
I3l ln
0nPM b PM b
PM PM
B V B Vn
B Bα
βminus
= minusminus
A partir de cette valeur de n et les valeurs de 1PB et 1bV on deacuteduit la valeur de PBB agrave
lrsquoaide de lrsquoeacutequation (I29) Par la suite la valeur de JC sera deacutetermineacutee agrave partir de lrsquoeacutequation
(I28) en fonction des paramegravetres geacuteomeacutetrique R et L
I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de lrsquoexposant-n et Jc
Rappelons que les mesures expeacuterimentales agrave travers la sonde agrave effet Hall placeacutee entre
deux pastilles SHTC donnent le champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute BPM et non pas le
champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP agrave cause de lrsquoentrefer existant entre les deux
pastilles ducirc agrave la sonde
Afin de trouver une relation entre BPM et BP une simulation numeacuterique est effectueacutee
pour les deux cas suivants
43
- Cas drsquoune pastille seule sans sonde agrave effet hall (e=0) pour deacutetermineacute BP au
centre de la pastille agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I8
- cas de deux pastilles identiques seacutepareacutees pour une distance laquo e raquo qui preacutesente
lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall pour deacuteterminer le champ de peacuteneacutetration BPM
La figure I30 repreacutesente la variation de rapport PM PB B en fonction de la longueur L
de la pastille pour e = 05 mm et e = 1 mm Le champ magneacutetique appliqueacute sur les pastilles est
caracteacuteriseacute par une vitesse de monteacutee Vb= 1000 Ts les pastilles utiliseacutees sont modeacuteliseacutees par
une densiteacute de courant critique Jc=100Amm2 un rayon R=10 mm et n = 15
Une relation entre BPM et BP est deacuteduite
( ) ( ) 05 00 I312ln( ) 081 368 1PM
P
B e mm LB
= = +
( ) ( ) 1 00 I3350ln( ) 07233 2PM
P
B e mm LB
= = +
Les expressions I10 et I11 sont indeacutependantes de Vb et n [95] Cependant elles sont valables
uniquement pour R=10 mm Pour drsquoautres valeurs de R des nouvelles relations entre BPM et
BP peuvent ecirctre exprimeacutes avec les mecircmes maniegraveres de calculs
Figure I30 Rapport P
PMBB
en fonction de longueur L de la pastille SHTC
I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille
Une autre meacutethode de calcul de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete a eacuteteacute
proposeacutee en utilisant une seule pastille au lieu deux agrave partir de la mesure de champ
magneacutetique au centre de la surface de la pastille agrave lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet hall placeacutee agrave une
44
distance laquo d raquo au-dessus de la surface de la pastille (figure I31) Cette meacutethode a lrsquointeacuterecirct
drsquoecirctre tregraves simple agrave exeacutecuter et moins couteuse
Figure I31 Position du sonde agrave effet Hall au centre de surface de la pastille
I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et BP
Des simulations numeacuteriques et analytiques ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour deacuteterminer la relation
entre le champ magneacutetique mesureacute agrave lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet Hall et le champ magneacutetique
de peacuteneacutetration complegravete BP
Une pastille SHTC de rayon R et de longueur L est agrave soumise agrave un champ
magneacutetique lineacuteairement variable appliqueacute perpendiculairement sur la surface de la pastille
Cela nous permet de deacuteterminer le champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur et agrave lrsquoexteacuterieur de la
pastille Ainsi de deacuteterminer la densiteacute du courant critique de cette pastille
La figure I32 repreacutesente la distribution de la densiteacute du courant CJ J dans la pastille
SHTC pour trois diffeacuterentes vitesses de monteacutee Vb (01 Ts et 10 Ts et 1000Ts) pour une
mecircme valeur de la densiteacute de flux magneacutetique appliqueacute Dans cette simulation la valeur de
lrsquoexposant-n utiliseacute est 15 ce qui repreacutesente une faible valeur pour un SHTC agrave 77 K et une
densiteacute de courant critique Jc consideacutereacutee constante eacutegale agrave 100 Amm2
On remarque que quels que soient la valeur de Vb les paramegravetres geacuteomeacutetriques de la pastille
SHTC et la valeur de n (gt 10) JJc est presque constante partout dans les reacutegions ougrave la
densiteacute de courant eacutelectrique nrsquoest pas nulle
Quand Ba devient eacutegal agrave BP on dit que la peacuteneacutetration est complegravete et CJ J est consideacutereacute
constant sur toute la pastille comme dans le cas du modegravele de Bean
45
Figure I32 Distribution de la densiteacute de courant JJc dans la pastille SHTC pour trois valeur
de vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacute
On appelle ( )0B t le champ magneacutetique au centre de la pastille SHTC et ( )zB d t le
champ magneacutetique mesureacute par la sonde agrave effet Hall au-dessus du centre de la surface de la
pastille agrave une distance d=05mm
46
( )aB t ( )0B t et ( )05 zB d mm t= sont repreacutesenteacute sur la figure I26 une densiteacute de courant
critique constante Jc=100Amm2 un champ magneacutetique appliqueacute lineacuteairement varie avec une
vitesse de monteacute Vb=1 Ts et une valeur de lrsquoexposant-n=15
La diffeacuterence ( ) ( )a zB t B tminus noteacute ( ) )ZSCB d t repreacutesente la densiteacute de flux magneacutetique
produit par le courant induit agrave lrsquointeacuterieur de la pastille SHTC La figure I33 montre que la
diffeacuterence ( ) ( )05 a zB t B d mm tminus = atteint une valeur maximale noteacute BZSCM avant que
( ) ( )0aB t B tminus atteint BP La relation entre BZSCM et BP est lieacutee aux paramegravetres geacuteomeacutetriques de
la pastille SHTC comme dans le modegravele de lrsquoeacutetat critique (CSM)
Figure I33 Calcul numeacuterique de BP au centre de la pastille et BZSCM au-dessus du centre de
surface de la pastille agrave d = 05mm
Dans le cas du champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete et modegravele de lrsquoeacutetat critique
(CSM) la densiteacute du flux magneacutetique le long de lrsquoaxe drsquoune pastille supraconductrice
cylindrique noteacute BZSCB peut ecirctre donneacute analytiquement en utilisant la loi de Biot et Savart de
la mecircme faccedilon que BPB sous forme
( ) ( ) ( )
( )
( )2 2 2 2
0
2 2 22
1 1 ln l I3n
4 1 13C
ZSCB
R Rd L RJ d RB d R L d L dR R
d Rd L R
micro
+ + + + + = + minus minus minus + + +
47
Une eacutetude comparative a eacuteteacute reacutealiseacutee entre un calcul analytique du rapport ZSCB PBB B
et un calcul numeacuterique du rapport ZSCM PB B en fonction de la distance laquo d raquo Le calcul
numeacuterique est fait pour diffeacuterentes valeurs de n et Vb (figure I34)
Figure I34 comparaison entre le calcul numeacuterique ZSCB PBB B et le calcul analytique
ZSCM PB B
On remarque que quels que soient les valeurs de n et Vb les rapports ( ) ZSCM PB d B et
( ) ZSCB PBB d B sont eacutequivalents Donc agrave partir de la valeur BZSCM(d) mesureacute le champ de
peacuteneacutetration PB peut ecirctre deacuteduit de la faccedilon suivante
( )( )( ) ( )
I34ZSCM mesureacute
PZSCB PB analytiquement
B dB
B d B=
Le rapport ( )( )ZSCB PBB d B est indeacutependant de Jc il deacutepend seulement des paramegravetres
geacuteomeacutetrique R et L de la pastille
48
I6 Objectifs de la thegravese
Apregraves avoir preacutesenteacute un rappel historique sur lrsquoeacutevolution de la supraconductiviteacute
depuis sa deacutecouverte jusqursquoau temps actuel nous avons rappeleacute quelques proprieacuteteacutes
caracteacuteristiques des mateacuteriaux supraconducteurs et leurs grandeurs critique Ensuite nous
avons preacutesenteacute les mateacuteriaux massifs supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
et leurs proprieacuteteacutes en citant deux mateacuteriaux de ce type agrave savoir lrsquoYBaCuO et le MgB2 Nous
avons preacutesenteacute eacutegalement des diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantations des pastilles supraconductrices agrave
savoir les meacutethodes ZFC FC et PFM
Enfin nous avons fait un reacutesumeacute sur une nouvelle meacutethode de caracteacuterisations reacutealiseacutee
au laboratoire GREEN par B DOUINE amp al pour calculer les grandeurs caracteacuteristiques
drsquoune pastille SHTC
Deux axes principaux sont viseacutes par cette thegravese
1 Proposer des modegraveles analytiques de dimensionnement de lrsquoinducteur drsquoun systegraveme
drsquoaimantation drsquoune pastille supraconductrice en preacutesence drsquoun circuit
ferromagneacutetique
2 Ameacuteliorer les meacutethodes de caracteacuterisation existant notamment celles utilisant la
meacutethode PFM afin drsquoeacutetudier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique drsquoune
pastille supraconductrice agrave haute tempeacuterature critique
49
Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de
lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit
ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune
pastille supraconductrice
50
II1 Introduction
La supraconductiviteacute est un domaine tregraves passionnant de la physique appliqueacutee En
geacutenie eacutelectrique comme en physique les supraconducteurs sont largement utiliseacutes pour
obtenir des champs magneacutetiques tregraves eacuteleveacutes On peut obtenir des aimants avec des mateacuteriaux
supraconducteurs massifs de type (RE) BCO agrave lrsquoaide drsquoun champ magneacutetique Ils peuvent
atteindre une densiteacute de flux magneacutetique tregraves eacuteleveacutee En effet il existe diffeacuterentes faccedilons
drsquoaimanter ce type de supraconducteurs massifs Cependant le moyen le plus commode et le
plus courant est drsquoutiliser un champ magneacutetique pulseacute Cette meacutethode est appeleacutee laquo PFM raquo
pour laquo Pulsed Field Magnetization raquo elle est geacuteneacuteralement utiliseacutee pour lrsquoaimantation des
cryo-aimants [84]
Il est tregraves important destimer et deacutevaluer les composantes du champ magneacutetique qui
deacutependent fortement de la geacuteomeacutetrie de linducteur du circuit drsquoaimantation utiliseacute et qui a
pour but final doptimiser la configuration expeacuterimentale Dans leacutetape de conception de
linducteur neacutecessaire pour magneacutetiser les supraconducteurs massifs agrave haute tempeacuterature
critique (SHTC) la modeacutelisation et la simulation sont fortement recommandeacutees pour effectuer
les calculs neacutecessaires des diffeacuterentes caracteacuteristiques eacutelectriques du systegraveme eacutetudieacute agrave savoir
la reacutesistance et linductance de la bobine La deacutetermination de la valeur de la reacutesistance est
assez simple tandis que lrsquoinductance neacutecessite un traitement particulier
De ce fait des modegraveles analytiques ont eacuteteacute proposeacutes depuis longtemps pour calculer la
distribution du champ magneacutetique creacuteeacute par des bobines circulaires sans fer [88 89 98] et plus
reacutecemment pour des bobines avec des noyaux de fer de longueur finie [90] Bien que ces
meacutethodes donnent des reacutesultats preacutecis elles ne sont pas adapteacutees pour leacutetude des bobines
axisymeacutetriques placeacutees dans un circuit ferromagneacutetique contenant un entrefer simple ou un
entrefer contenant une pastille supraconductrice Ces modegraveles sont baseacutes essentiellement sur
la loi de Biot et Savart Des logiciels commerciaux sophistiqueacutes qui donnent des reacutesultats tregraves
preacutecis en consideacuterant la non-lineacuteariteacute des mateacuteriaux impliqueacutes dans le problegraveme eacutetudieacute sont
utiliseacutes
Dans ce chapitre nous proposons drsquoutiliser des meacutethodes analytiques pour reacutealiser
cette tacircche en reacutesolvant les eacutequations de Laplace et de Poisson De telles meacutethodes conduisent
agrave des solutions significatives avec des informations physiques tregraves utiles pour lrsquoeacutetape de la
conception Il srsquoagit de calculer le potentiel vecteur magneacutetique A
dans les diffeacuterentes reacutegions
drsquointeacuterecirct drsquoun circuit ferromagneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer concentrique par rapport agrave la
51
bobine en absence de tout mateacuteriau supraconducteur Le cas de preacutesence drsquoune pastille
supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du circuit deacutecrit preacuteceacutedemment sera eacutegalement
traiteacute Pour montrer lrsquoinfluence de la preacutesence drsquoun mateacuteriau supraconducteur sur la valeur de
lrsquoinductance de la bobine utiliseacutee il sera question de calculer son inductance dans les deux cas
A la fin de ce chapitre et en prenant le problegraveme du circuit magneacutetique sans pastille
nous allons utiliser lrsquoexpression analytique du potentiel vecteur magneacutetique obtenue dans ce
cas pour calculer les courants induits dans une pastille supraconductrice en utilisant laquola
meacutethode de Brandtraquo bien connue deacuteveloppeacutee en 1998 pour les disques et les cylindres dans
un champ magneacutetique axial [100 101]
II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveses
La geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute est repreacutesenteacutee sur la figure II1
Figure II1 Geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute un circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie infeacuterieur de longueur 3 2 e Z Z= minus concentrique avec une bobine de
longueur 4 1L Z Z= minus
Les reacutegions I III et IV correspondent agrave de lrsquoair La reacutegion II correspond agrave une bobine
circulaire en cuivre de section transversale rectangulaire Cette bobine composeacutee de N spires
de rayon interne 2R de rayon externe 3R et de longueur 4 1L Z Z= minus est parcourue par une
densiteacute de courant uniforme J dans le sens uθ
La bobine est concentreacutee autour drsquoun
entrefer de rayon 1R et de longueur 3 2e Z Z= minus situeacute sur la partie infeacuterieure du circuit
ferromagneacutetique (figure II1) Lrsquoensemble du systegraveme est deacutelimiteacute dans la direction axiale par
52
0z = et 5z Z= Les limites exteacuterieures du circuit ferromagneacutetique doivent ecirctre choisies
suffisamment loin de la zone de calcul pour ne pas affecter les reacutesultats obtenus Des
conditions aux limites homogegravenes de type Dirichlet sont consideacutereacutees dans les reacutegions I II et
III agrave 0z = et 5z Z= et de type de Neumann dans la reacutegion IV agrave 2z Z= et 3z Z=
Le problegraveme est traiteacute en axisymeacutetrique la formulation en potentiel vecteur
magneacutetique en coordonneacutees cylindriques est employeacutee Seule la composante suivant θ du
potentiel vecteur magneacutetique est preacutesente et elle ne deacutepend que des coordonneacutees r et z
A partir de lrsquoeacutequation de Maxwell-Ampegravere
( )0 0 0 II1ErotB Jt
micro micro ε part= +
part
Lorsque le champ eacutelectrique est stationnaire le second membre de lrsquoeacutequation (II1) devient
neacutegligeable
Drsquoautre part lrsquoexpression de lrsquoinduction magneacutetique en fonction du potentiel vecteur
magneacutetique est donneacutee comme suit
( ) ( ) II2B rot A=
En remplaccedilant lrsquoeacutequation (II2) dans (II1) on trouve
( ) ( )20 0 ( ( ) ) ( II 3) rot rot A J grad div A A Jmicro micro= rArr minusnabla =
Compte tenu de la jauge de coulomb ( ) 0div A = lrsquoeacutequation (II3) devient
( )20 II4A Jmicronabla = minus
Donc deux cas sont possibles
( )2 0
II0 5J Equation de Poisson
AEquation de Laplace
microminusnabla =
Pour notre problegraveme les expressions du potentiel vecteur magneacutetique pour chaque
reacutegion sont obtenues agrave partir de la reacutesolution de lrsquoeacutequation de poisson dans la reacutegion de la
bobine (reacutegion II) et de Laplace dans les reacutegions I II et III en respectant les conditions de
continuiteacute des composantes tangentielles et normales du champ magneacutetique aux interfaces
entre les reacutegions
53
( ) ( ) ( )( )
( )2
0
2
II6
0
( )II
i
r z
r
A J r z Reacutegion II Bobine
A Reacutegions i i I III IVz
micronabla =minusnabla = =
Avec 0micro et J sont respectivement la permeacuteabiliteacute du vide et la densiteacute de courant dans la bobine
Sachant que la densiteacute de courant J est consideacutereacutee homogegravene dans la bobine elle est
indeacutependante de la composante r et elle ne deacutepend que de z
( )1 4 ( ) II0
7J Z z Z
J zAilleur
lt lt=
Dans la modeacutelisation analytique de ce problegraveme nous avons supposeacute que la
permeacuteabiliteacute magneacutetique du circuit ferromagneacutetique est infinie (micro rarrinfin ) Ceci implique que
le champ magneacutetique nrsquoest pas calculeacute agrave lrsquointeacuterieur du milieu ferromagneacutetique et sa
composante tangentielle est nulle aux interfaces ferromagneacutetiques
II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetique
La reacutesolution de toute eacutequation diffeacuterentielle aux deacuteriveacutes partielles est fortement
deacutependante du domaine dans laquelle la solution est deacutefinie et valable ainsi les conditions
aux limites que cette solution doit remplir La reacutesolution de lrsquoeacutequation (II6) se fait dans les
reacutegions de I agrave IV agrave lrsquoaide de la meacutethode de seacuteparation des variables [90101]
II31 Reacutegion I 3 4 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation consideacutereacutee dans cette reacutegion est une eacutequation de Laplace elle srsquoeacutecrit en
coordonneacutees cylindrique sous la forme
( )2 2
22 2 2
10 0 II8I I I II
A A A AAr r r r z
part part partnabla = rArr + minus + =
part part part
Les conditions agrave limites homogegravenes de Dirichlet sont imposeacutees ici agrave 0Z = et 5Z Z=
( )1 1 5 ( 0 ) ( ) 0 II9A r z A r z Z= = = =
La composante tangentielle du champ magneacutetique est nulle agrave lrsquointerface pour 4r R=
( )4
II1( ) 0 0r R
rAr =
part=
part
En utilisant la meacutethode de seacuteparation de variable le potentiel Vecteur magneacutetique peut
srsquoeacutecrire comme suit
54
( ) ( ) ( ) ( ) II11A r z R r Z z=
A partir des eacutequations (II9) (II10) et (II11) la forme geacuteneacuterale de lrsquoexpression du potentiel
vecteur magneacutetique dans la reacutegion I est donneacutee par (voir deacutetails en annexe I)
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 11 0 4
II12nII n n n n
n n
K RA r z b I r K r sin z
I Rα
α α αα
infin
=
= +
sum
Avec n est un entier positif 5n n Zα π= est la valeur propre du problegraveme I0 et K0 sont
respectivement les fonctions de Bessel modifieacutees du premier et du deuxiegraveme type drsquoordre 0 etI1 et
K1sont respectivement les fonctions de Bessel modifieacutees du premier et du deuxiegraveme type ordre1
[102] Alors que Inb est la constante drsquointeacutegration elle sera deacutetermineacutee par la suite en utilisant
les conditions de passages agrave lrsquointerfaces agrave 3r R= entre les reacutegions I et II
II32 Reacutegion II 2 3 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre dans cette reacutegion est une eacutequation de Poisson En coordonneacutees
cylindriques
( )2 2
02 2 2
1 ( ) II13II II II IIA A A A J zr r r r z
micropart part part+ minus + = minus
part part part
Les conditions aux limites de Dirichlet sont imposeacutees ici agrave 0z = et 5z Z=
( )5 ( 0) ( I 10 4) III IIA r z A r z Z= = = =
Lrsquoeacutequation (II13) est une eacutequation diffeacuterentielle de deuxiegraveme degreacute avec second membre sa
reacutesolution est deacutetailleacutee dans lrsquoannexe I
La solution geacuteneacuterale de (II13) est donneacutee donc par
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 11
II15II IIII n n n n n n n
n
A r z a I r b K r C L r sin zα α α αinfin
=
= + minussum
Avec 022
nn
n
JC micro πα
= et ( ) ( ) ( ) ( )( )5
1 45 0
2 2sin cos cosZ
n n n nJJ J z z dz Z Z
Z nα α α
π= = minusint
L1 est la fonction de Struve modifieacutees ordre 1
Les constantes drsquointeacutegrations IIna et II
nb sont deacutetermineacutees en utilisant les conditions de
passages aux interfaces agrave 3r R= entre les reacutegions I et II et agrave 2r R= entre les reacutegions II et III
55
II33 Reacutegion III 1 2 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Dans cette reacutegion lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre est de type Laplace
( )2 2
2 2 2
1 0 II16III III III IIIA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites imposeacutees ici sont
( )5 ( 0) II1( ) 0 7III IIIA r z A r z Z= = = =
Consideacuterons les conditions aux limites de lrsquoeacutequation (II17) la solution geacuteneacuterale de
lrsquoeacutequation (II16) est donneacutee par
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11
II18III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Les constantes drsquointeacutegrations IIIna et III
nb sont deacutetermineacutees en utilisant les conditions
de passages aux interfaces agrave 2r R= et agrave 1r R= entre les reacutegions II et III et les reacutegions III et IV
successivement
II34 Reacutegion IV 1 2 30 etr R Z z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation (II1) agrave reacutesoudre dans cette reacutegion est une eacutequation de Laplace
( )2 2
2 2 2
1 0 II19IV IV IV IVA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites imposeacutees ici agrave z=Z2 et z=Z3 sont de type de Neumann
( )2 3
II2( ) ( ) 00IV IV
z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
Une condition suppleacutementaire est imposeacutee agrave 0r = (axe de symeacutetrie)
( ) II( 0 2) 10IVA r z= =
Consideacuterons les eacutequations (II20) et (II21) la solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation (II19) est
donneacutee par
( ) ( ) ( )( ) ( )0 1 21
cos II22IVIV k k k
k
A r Z A r a I r z Zβ βinfin
=
= + minussum
56
Avec 5 2
kk
Z Zπβ =minus
0A et IVka sont des constantes drsquointeacutegration k est un entier positif
La constante dinteacutegration 0A est due agrave lrsquoapplication des conditions aux limites de Neumann
dans la reacutegion IV Elle est deacutetermineacutee en appliquant la condition de continuiteacute du potentiel
vecteur magneacutetique agrave linterface agrave 1r R= entre la reacutegion III et la reacutegion IV
II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0
On applique le principe de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique entre la reacutegion III et IV
agrave lrsquointerface agrave r= R1
( ) ( ) [ ] ( )1 1 2 3 pour II23III IVA r R z A r R z z Z Z= = isin=
Par inteacutegration par rapport agrave z sur lrsquointervalle[ ]2 3Z Z on trouve
( ) ( ) ( )( ) ( )0 1 1 1 111 3 2
1 II24III IIIn n n n n
nA m a I R b K R
R Z Zα α
infin
=
= +minus sum
Avec ( ) ( )( )2 31 cos cosn nn
n
Z Zm α αα
= minus
II4 Conditions de passages entres interfaces
Les relations entre les constantes drsquointeacutegrations etI II II III III IVn n n n n nb a b a b a sont
deacutetermineacutees en appliquant les conditions de passages aux interfaces entres les diffeacuterentes
reacutegions drsquointeacuterecirct du problegraveme consideacutereacute
Les conditions dinterface doivent satisfaire la continuiteacute des composantes radiale et axiale
de la densiteacute de flux magneacutetique Ces composantes peuvent ecirctre deacuteduites du potentiel vecteur
magneacutetique par
( ) ( ) 1 II25r z
rAAB Bz r r
partpart= =part part
II41 Condition drsquointerface agrave r=R3
En termes de potentiel vecteur magneacutetique deux conditions drsquointerface sont imposeacutees
entre les reacutegions I et II agrave 3r R=
57
( ) ( )( ) ( ) ( )
3 3
3 3
II26I II
I I
r R r R
A r R z A r R z
rA rAr r
= =
= = =part part = part part
On obtient
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 3 1 3 1 3 1 3 1 30 4
II27nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
+ minus minus = minus
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
3 3 0 3 0 3 00 4
0 30 II28nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
minus minus + = minus
II42 Condition drsquointerface agrave r=R2
Les conditions drsquointerface entre les reacutegions II et III agrave 2r R= sont donneacutees par
( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2
2 2
II29
II III
II III
r R r R
A r R z A r R z
rA rAr r
= =
= = =part part = part part
On obtient ainsi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 II30II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus minus + + = minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 II31II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus + + minus = minus
II43 Condition drsquointerface agrave r=R1
Agrave linterface entre les reacutegions III et IV des conditions particuliegraveres deacutefinies par
morceaux concernant la composante axiale du champ magneacutetique agrave r = R1 sont appliqueacutees
autour de cette interface agrave cause de la preacutesence de lentrefer dans le circuit ferromagneacutetique
( ) ( ) ( )1 1
2
2 3
3 5
0 0
II32
0
III IV
r R r R
z ZrA rA
Z z Zr r
Z z Z= =
lt lt
part part= lt ltpart part lt lt
La continuiteacute de la composante radiale de la densiteacute de flux conduit agrave
58
( ) ( ) ( )1 1 2 3 avec II33IV IIIA r R z A r R z Z z Z= = = lt lt
A partir des eacutequations (II32) et (II33) on obtient (voir deacutetail en Annexe II)
( )( )
( )( )
( ) 1 1 1 1 0 1
0 1 0 1
0 (II34)n k n n k nIII III IV
n n k n k kn k n n k n
h I R h K Ra b a g I R
f I R f K R
α αβ
α α
+ + = minus +
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 (II35)2
III III IVn n k n n n k n k k
ka g I R b g K R a I Rβπα α+ minus =
Avec
( )1 3 2
2 n kn k
m mhR Z Z
=minus
( ) ( )2
12 2
1 sin si
2 si
n
n k
n k n kf n kn n k
π
π
+minus ne= minus
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 3
12 2 3
2 2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
k kkk k k k
k
kk k k k k
kn k
Z Z
k Z Zg
Z
α β α α α βα βπ β β β α β
+
+
minus + minus ne= + + minus =
Donc les coefficients etI II II III III IVn n n n n nb a b a b a de lrsquoensemble des harmoniques drsquoespace
sont relieacutes les uns aux autres agrave travers les eacutequations (II27) (II28) (II30) (II31) (II34) et
(II35) Nous devons donc reacutesoudre un systegraveme de six eacutequations lineacuteaires agrave six inconnues en
reacuteeacutecrivant les eacutequations ci-dessus en systegraveme matriciel de taille ( ) ( )6 max 6 maxN Ntimes vu
qursquoil y a six coefficients avec Nmax est le nombre maximal drsquoharmoniques pris en charge
( )( )( )( )
11 12 13 1 3
21 22 23 0 3
32 33 34 35 1 2
42 43 44 45 0 2
54 55 56
64 65 66
0 0 00 0 0
0 00 00 0 0 00 0 0 0
In nn
IIn nn
IIn nn
IIIn nn
IIInIVn
C L RbC L RaC L RbC L Ra
ba
η η η αη η η α
η η η η αη η η η α
η η ηη η η
minus minus minus
= minus
Avec
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 3 1 3 1 21 3 1 3 1 30 4
11 nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
αη α η α η αα
+ = minus = minus=
59
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
21 3 3 22 3 23 30
0 04
0 0 nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
η α α η α η αα
= minus = minus =
( ) ( ) ( ) ( )32 1 2 33 1 2 34 1 2 35 1 2 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = minus = =
( ) ( ) ( ) ( )0 042 2 43 2 44 2 450 0 2 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = = = minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )54 1 1 0 1 55 1 1 0 1 56 0 1 n k n n k n n k n n k n n k kh I R f I R h K R f K R g I Rη α α η α α η β= minus = + =
( ) ( ) ( )64 1 1 65 1 1 66 1 1 2n k n n k n k
kg I R g K R I Rπη α η α η β = = = minus
La solution numeacuterique de ce systegraveme matriciel peut ecirctre obtenue en utilisant un
logiciel de calcul matheacutematique en lrsquooccurrence MATLAB dans le cas de la preacutesente eacutetude
Il convient de noter ici qursquoune inversion numeacuterique de cette matrice est neacutecessaire pour le
calcul des coefficients inconnus Cette inversion peut se faire en une seule fois et en calcul
symbolique
II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobine
Linductance est lune des principales caracteacuteristiques de la bobine Elle se deacutefinit
comme laptitude de celle-ci agrave sopposer agrave la variation de lintensiteacute du courant qui la traverse
Linductance dune bobine est une valeur propre deacutependante de la dimension physique de la
bobine ainsi que du mateacuteriel utiliseacute pour sa fabrication
Lrsquoinductance de la bobine est lieacutee agrave lrsquoeacutenergie magneacutetique stockeacutee par la relation suivante
21 1 (II36)2 2 V
W LI A Jdv= = int
Lrsquointeacutegrale (II36) est limiteacutee au volume de la bobine car la densiteacute de courant est nul ailleurs
Nous avons supposeacute que la densiteacute de courant eacutelectrique est uniformeacutement reacutepartie sur toute
la section de la bobine ce qui conduit agrave
(II37)JSIN
=
Avec ( )( )4 1 3 2S Z Z R R= minus minus
60
N et I sont respectivement le nombre de spires que contient la bobine et lrsquointensiteacute de courant
eacutelectrique qui les travers ( )( )4 1 3 2S Z Z R R= minus minus
Le potentiel de vecteur magneacutetique utiliseacute dans lrsquoeacutequation II36 est celui deacutefini dans la reacutegion
II de la bobine
En remplaccedilant les eacutequations (II15) et (II37) dans (II36) on obtient
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )4 3
1 2
2
2 1 11
0 1 II38II IIn n n n n n n
Z
Zn
R
Ra I r b K r C L rNL rdrsi z d
JSn zd
πα α θα α
infin
=
+= minussumint int int
En inteacutegrant (II38) par rapport aux variables r θ et z lrsquoexpression analytique de lrsquoinductance
est donc donneacutee par
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
3 3 2 2
3 3 2 221
4 40 3
1 4
3 2
2
2
II392
6
2 cos cos
IIn
IIn n n
n nn
n
a R U R R U R
b R V R R V R
J R W R R W R
NL Z ZJS
ππ α αα
αmicroπ
infin
=
minus + minus
minus minus
=
minussum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1n n n nU r I r L r I r L rα α α α= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1( ) n n n nV r K r L r K r L rα α α α= +
Et ( ) 2 23 512 3
2 2 4n rW r F α =
est la fonction hypergeacuteomeacutetrique [90]
II6 Reacutesultats analytiques et discussion
Les valeurs des paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutes dans notre problegraveme sont reacutesumeacutees
sur le tableau II1 Les solutions analytiques dans toutes les reacutegions ont eacuteteacute calculeacutees avec un
nombre fini en termes drsquoharmoniques eacutegal agrave 50 Les limites exteacuterieures du circuit dans la
direction axiale sont choisies de maniegravere agrave ce que leurs valeurs nrsquoaffectent pas les reacutesultats
obtenus
61
Tableau II1 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme sans pastille
Paramegravetre Description valeur
R1 Bord infeacuterieur du domaine dans la direction radial 0030 m
R2 Rayon interne de la bobine 0080 m
R3 Rayon externe de la bobine 0120 m
R4 Bord supeacuterieur du domaine dans la direction radial 0150 m
Z1 Limite inteacuterieure de la bobine 0200 m
Z2 Limite inteacuterieure de lrsquoentrefer 0225 m
Z3 Limite exteacuterieure de lrsquoentrefer 0275 m
Z4 Limite exteacuterieure de la bobine 0300 m
Z5 Limite exteacuterieure du domaine dans la direction axiale 0500 m
N Nombre des spires dans la bobine 1000
J Densiteacute de courant eacutelectrique dans la bobine 5 Amm2
Nmax Nombre drsquoharmoniques utiliseacute dans tout le domaine 50
Afin de valider nos reacutesultats analytiques nous devons les comparer avec ceux obtenus
en utilisant la meacutethode drsquoapproximation par eacuteleacutements finies [103104] (FEA pour Finite
Element Approximation) impleacutementeacutee sous le logiciel COMSOL Multiphysics La taille de
maillage et la preacutecision demandeacutee sont choisies de maniegravere agrave ce que les quantiteacutes deacuteriveacutees du
FEA servent de reacutefeacuterence une densiteacute de maillage drsquoenvirons 1850 triangles a eacuteteacute imposeacutee
dans la reacutegion du fer composant le circuit ferromagneacutetique La densiteacute de maillage consideacutereacutee
dans la reacutegion de lrsquoentrefer et de la bobine est moins eacuteleveacutee pour eacuteviter une augmentation
inutile de temps de calcul (figure II2) En effet les mecircmes paramegravetres geacuteomeacutetriques que ceux
deacutefinis dans le tableau 1 sont utiliseacutes Les conditions aux limites homogegravenes de type Dirichlet
et de Neumann sont eacutegalement prises en compte dans les simulations comme avec le modegravele
analytique
62
Figure II2 Maillages du circuit ferromagneacutetique avec entrefer eacutetudieacute par COMSOL
(a) (b)
Figure II3 Comparaison des distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir
du calcul analytique (a) et du calcul numeacuterique (b) avec le traceacute des lignes de champ
magneacutetique
63
La figure II3 repreacutesente la comparaison des distributions du potentiel vecteur
magneacutetique calculeacutees dans toutes les reacutegions drsquointeacuterecirct par la meacutethode analytique (a) et la
meacutethode numeacuterique (b) Nous avons ainsi repreacutesenteacute les lignes de champ magneacutetique dans
toutes les reacutegions drsquointeacuterecirct en calcul numeacuterique Les composantes radiale Br et axiale Bz de la
densiteacute de flux magneacutetique obtenues analytiquement sont ensuite repreacutesenteacutees et compareacutees agrave
celles obtenues numeacuteriquement dans la figure II4 (figure 4II (a) correspond agrave la reacutegion III et
figure 4II (b) correspond agrave la reacutegion IV)
(a)
(b)
Figure II4 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions
(a) III en ( )1 2 2r R R= + et (b) IV en 1 2r R=
64
Figure II5 Comparaison des valeurs de lrsquoinductance de la bobine en fonction de la longueur
de lrsquoentrefer obtenues numeacuteriquement avec celles obtenues analytiquement pour les
diffeacuterentes valeurs de nombres des harmoniques variant entre 1 et 50
Une comparaison est faite entre les valeurs numeacuteriques obtenues avec COMSOL et les
reacutesultats analytiques pour diffeacuterents nombres dharmoniques allant de 1 agrave 50 De toute
eacutevidence linductance diminue avec laugmentation de la longueur de lentrefer ( figure II5)
plus le nombre de termes harmoniques est eacuteleveacute plus la solution agrave la valeur de reacutefeacuterence
obtenue numeacuteriquement est proche
Lerreur maximale est de 3937 1147 635 292 152 et 075 pour un nombre de
termes harmoniques de 1 5 10 20 30 40 et 50 respectivement Nous pouvons conclure ici
que la formule proposeacutee est correcte et efficace De plus seuls 10 termes suffisent pour
obtenir moins de 10 derreur
Nous allons proceacuteder maintenant au calcul de lrsquoinductance de la bobine en preacutesence
drsquoune pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer
65
II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en
preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
Les mecircmes hypothegraveses consideacutereacutees preacuteceacutedemment dans le cas de circuit seul avec
entrefer seront consideacutereacutees par la suite en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
La figure II6 repreacutesente la geacuteomeacutetrie du problegraveme consideacutereacute
Figure II6 Circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer de longueur e dans lequel se trouve
une pastille supraconductrice
En Introduisant la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer deux reacutegions
suppleacutementaires sont consideacutereacutees en plus dans ce cas la reacutegion V et la reacutegion VI Ces deux
reacutegions correspondent agrave de lrsquoair (figure II6) La pastille supraconductrice est modeacuteliseacutee par
un diamagneacutetique parfait ( 0micro = ) de sorte que le potentiel vecteur magneacutetique est nul dans
toute la pastille y compris ses bords
De ce fait les conditions aux limites consideacutereacutees dans les reacutegions V et VI sont comme suit
( ) ( ) ( )2
3 ( ) 0 II400VV
z Z
A r z A r z Z reacutegionVz =
part= = =
part
( ) ( ) ( )5
4
0 0 ( II4) 1VIVI
z Z
A r zA r z Z reacutegionVI
z=
part= = =
part
Des conditions suppleacutementaires sont imposeacutees agrave en r=0 (lrsquoaxe de symeacutetrie)
66
( ) ( ) ( ) I0 0 et 0 0 I42V VIA r z A r z= = = =
Les expressions analytiques du potentiel vecteur magneacutetique pour les reacutegions I II et III du
problegraveme consideacutereacute dans la figure II6 sont donneacutees de la mecircme faccedilon que le problegraveme
preacuteceacutedent (en absence de la pastille supraconductrice) comme suit
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 5
1 11 0 5
II43nII n n n n
n n
K RA r z b I r K r sin z
I Rα
α α αα
infin
=
= +
sum
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 11
II44II IIII n n n n n n n
n
A r z a I r b K r C L r sin zα α α αinfin
=
= + minussum
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11
II45III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Avec7
nnZπα = 2
0 2n n nC Jπmicro α minus =
et ( )( ) ( )( )( )1 62 cos cosn n n
JJ z Z z Zn
α απ
= minus minus minus
Pour la reacutegion IV les conditions aux limites consideacutereacutees ici sont
2 5
( ) ( )0 et 0z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
Et le potentiel vecteur magneacutetique est donneacute sous forme (en suivant la mecircme meacutethode
deacutetailleacutee dans lrsquoannexe I)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )101 11 1 1 2
1
cos II46IV IVIV n n
nn n nA r Z A r A r a I r b K r z Zβ β β
infinminus
=
= + + + minussum
Avec 5 2
nn
Z Zπβ =minus
Les constantes dinteacutegrations 01A et 02A sont dues agrave lrsquoapplication des conditions aux
limites de Neumann dans la reacutegion IV Elles seront deacutetermineacutees apregraves en appliquant la
condition de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique agrave linterface entre les reacutegions III et IV
agrave 2r R= et agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI agrave r= R1
Pour les reacutegions V et VI en prenant en consideacuterations les conditions aux limites (II40) (II41)
et (II42) les expressions du potentiel vecteurs magneacutetiques sont donneacutees comme suit
( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 2 21
cos II47VV n n
nnA r z a I r z Zβ β
infin
=
= minussum
67
( ) ( )( ) ( )1 3 3 41
II4( ) s 8inVIVI n n n
nA r z a I r z Zβ β
infin
=
= minussum
Avec ( )( )2
3 2
2 1 2n
nZ Z
πβ
minus=
minuset ( )
( )53
4
2 1 2n
nZ Z
πβ
minus=
minus
II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
Agrave partir de la condition de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique agrave lrsquointerface
entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave r=R2 et agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI
agrave 1r R= on a
( ) ( ) [ ] ( )2 2 2 5 II 49IV IIIA r R z A r R z pour z Z Z= = = isin
Et
( )( ) [ ]
[ ]( ) [ ]
( )1 2 3
1 3 4
1 4 5
0
II50V
IV
VI
A r R z pour z Z Z
A r R z pour z Z Z
A r R z pour z Z Z
= isin
= = isin = isin
On integravegre les deux eacutequations (II49) et (II50) par rapport agrave z sur lrsquointervalle [ ]2 5Z Z on
trouve
( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
1 3
1
1 2 12
01 1 2 1
1
21
3
1
1
II51n
VIn n
nV
nIII III nn n
n
n
n n n
a I RA a
a I RI R b K R h q
ββα α
ββ
+
infin
=
minus = + minus +
sum
( ) ( ) ( ) ( )1 3 13
1 2111 1 2 1 01 1
15 2 2
1 1 1 II52VIn n n
n
nVn
n n
RA a I RR Aa RZ Z
I ββ
ββ
infin+
=
= minus + minus minus
sum
Avec
( ) ( )( )2 5cos co1 s n nnn
Z Zmα
α α= minus ( )
22 2
2 1
n nRh m
R R e=
minus
( )1
2 22 1
RqR R e
=minus
et 5 2e Z Z= minus
Les constantes drsquointeacutegrations I II II III III IV IV Vn n n n n n n nb a b a b a b a et VI
na sont deacutetermineacutees agrave
partir des conditions de passages aux interfaces entre les diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecircts du
problegraveme
68
II72 Conditions de passages entres interfaces
Les mecircmes conditions de passages appliqueacutees dans le cas de circuit sans pastille sont
appliqueacutees dans ce cas sauf que des conditions particuliegraveres deacutefinies par morceaux sont
appliqueacutees agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI en 1r R=
II721 Interface agrave r = R4
A lrsquointerface entre les reacutegions I et II agrave 4r R= on trouve
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
4 4 4 4 41 15
01 1 1
0
II53nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
+ minus minus = minus
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
05
0 00 4 0 4 40
4 45
II54nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
minus minus + = minus
II722 Interface agrave r = R3
Pour lrsquointerface agrave 3r R= entre les reacutegions II et III on obtient
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 31 1 1 1 1 II55II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus minus + + = minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 30 0 0 0 03 3 II56II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus + + minus = minus
II723 Interface agrave r = R2
Agrave lrsquointerface entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave 2r R= des conditions de passages
particuliegraveres deacutefinies par morceaux sont appliqueacutees ici
( ) ( ) ( )2 2
5
2 5
7
20 0
II57
0
III IV
r R r R
pour z ZrA rA
pour Z z Zr r
pour Z z Z= =
lt lt
part part= lt ltpart part lt lt
( ) ( ) ( )2 22 5 II58IV IIIA r R z A r R z pour Z z Z= = = lt lt
On obtient
69
( )( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
0 2 0 2 0 2
1 2 2 1 2 2
11 1
0 2 1 2 1 11 32 3
0 II59
1 VI
n
n n m n n mIII III IVn n n n n m
n n m n n m
nIV V
n n m n m mn
n n nn
I R f K R fa b a I R g
I R R h m K R R h m
R Rb K R g a I R h RI ha ββ
α αβ
α α
β ββ
+
minus minus minus + =
minus + + +
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 5 2 1 2 5 2 0 II60III III IV IVn n n m n n n m n n n na I R j b K R j a I R Z Z b K R Z Zα α β β+ minus minus minus minus =
Avec
( )( ) 12 22 12 nn R R e mh
minusminus=
( ) ( ) ( )2
1
2
21
2
n n
n m
n mn m
n m
sinf
m si
n si
απ α αα α
π α α
+ minus ne
minus
=
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 5 2 2
21
2 5
1
1 1
2 4
n n mm m m n
m n
n n n mn
n
cos Z cos Z si
g n msin Z cos Z cos sin Z
β αα α α βα β
β β β α βπ +
+ + minus minus= + + minus =
ne
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
12 5
15 2 2 2 5
2 2
2 cos 1 sin
1sin cos 1 cos
2
nm m n m m n
m nn m
n n n m nn
n
Z Z si
Zj
Z Z Z Z si
α α β α α βα β
β β β α ββ
+
+
+ minus ne
minus + +
minus
=
=
minus
II724 Interface agrave r = R1
Ainsi des conditions de passages particuliegraveres sont deacutefinies sur lrsquointerface entre la reacutegion IV
et les reacutegions V et VI agrave 1r R=
( )( )
( )( )
1 2 3
1 3 4
1 4 5
0 II61
V
IV
VI
A r R Z pour Z z ZA r R Z pour Z z Z
A r R Z pour Z z Z
= lt lt= = lt lt = lt lt
( ) ( ) ( )1 1
2 3 II62V IV
r R r R
rA rApour Z z Z
r r= =
part part= lt lt
part part
70
( ) ( ) ( )1 1
4 5 II63VI IV
r R r R
rA rApour Z z Z
r r= =
part part= lt lt
part part
Ainsi agrave partir des eacutequations (II61) (II62) et (II63) on obtient
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 3 0 II64VIV IV Vk k n m k k n m n n m n m
In n na I r l b K r l a a II r O prββ β β+ minus minus =
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )1 2 2 1 2 2
0
11 1
1 2 1 0 2 1 1
0 1 1
21 3
3
0 II65
1 2 1
2
III IIIn n n n n n n n
IV IVn m n n m
n
n
V
n n
VI nn n
nn n n
nn
a I R R S m b K R R S m
a q b K q
R n S Ra I R S I
R R
a R
I
R I
α α
β β
πβ β
ββ
β
+
+ + minus =
+
minus minus
minus minus
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
11 1 2 2 1
1 2 121 2 2 0 1
0
1 31
1 0 3 13
02 1
2
1
II66
1 2
nn
n
VIn n n
nIVIIIn n mn n m n mV
nIII IVnn n m n n
n
n m
m
a I R ta I R R B m B Ra I R
b K R R B m b K
na I R
R
R R I
t
B πβ β
βαβ
βα β
β
+
=minus
minus+ minus + minus
minus +
Avec
( ) ( )
( )
12 2
5 2
1 si 2n
nm
mn
n
mm
m
nn
m si
Z Z il
s
βπ β ββ β
β β
+ minus ne minus
minus =
=
( ) ( )( )
( )
1 23 2 2
2
3
2 2
2 2
21 c
osn
n nm n m
n m
n
m
m
Z Z
Z Z s
siO
i
β β β ββ β
β β
+
minus
minus minus ne
=
= minus
( )( ) ( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( )
13 4 32 2
3
3 4
3 4 313 3
2
5 4 2
5
2
2
2 1 sin
sin
2 1 sin
cos
cos1
nn m m n m
n m
n mn
n n mnn n
Z si
ZZ Z Z si
Z m
ZZ
Z
p
Z
β π ββ
ββ β
β β
β β ββ
β
+
+
minus minus ne minus= minus minus = + minus
minus
minus minus minus
71
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
1 332 2
3
13 4 3 5
4 2
2
3
3
2
4 2
2 11 cos
2
1 s
cos
cos in
in21
s4 1
n mn m n
m n
nn n
m n
n
n
n m
m
Z Z
n Z
Z Z
tZ Z
Z
π β ββ
β β
ββ ββ
ββπ β
+
+
minusminus +
= minus minus minus
minus neminus
+ minus=
minus minus
( ) ( )( )
( )
1 23 2 22
2
3
2
22
21 cos n nn
m n mm
n
m n
m
n
mqZ Z
Z Z
β ββ β ββ β
β β β
+ minus minus ne minus
minus =
=
( )( )( )2 2
1
2 5
1
2 1 2
14m
m
mRS
R R Z Zβ
+minus=
minus minus
( )( )1
2 22 1 5 23
2
mm
RBR R Z Zβ
=minus minus
Au final Les eacutequations (II53) (II54) (II55) (II56) (II59) (II60) (II64) (II65) et
(II66) peuvent se mettre en systegraveme matricielle de taille ( )9 max (9 max)N Ntimes
Les coefficients drsquointeacutegrations de lrsquoensemble des harmoniques drsquoespace
etI II II III III IV IV V VIn n n n n n n n nb a b a b a b a a sont relies les uns aux autres agrave travers ces eacutequations ils
sont obtenus par inversion numeacuterique de ce systegraveme matricielle
11 12 13
21 22 23
32 33 34 35
42 43 44 45
54 55 56 57 58 59
64 65 66 67
76 77 78 79
84 85 86 87 88 89
94 95 96 97 98 99
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0
InIInIIn
bab
η η ηη η η
η η η ηη η η η
η η η η η ηη η η η
η η η ηη η η η η ηη η η η η η
( )( )( )( )
1 4
0 4
1
0
3
3
(II67)00000
n n
n n
n n
n n
IIInIIInIVnIVnVnVIn
C L RC L
C L R
ababaa
RC L R
ααα
α minus =
minusminusminus
Avec
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
1 1 12 1 135
11 4 4 4 45
10
nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
αη α η α η αα
+ = minus = minus=
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
21 22 230
50 4 0 4 0 4 0 4
5
nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
η α α η α η αα
= minus = minus =
72
( ) ( ) ( ) ( )3 3 332 31 33 1 33 1 34 1 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = minus = =
( ) ( ) ( ) ( )0 3 0 3 042 43 44 3 345 0 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = = = minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( )54 0 2 1 2 2 55 0 2 1 2 2 n n m n n m n n m n n mI R f I R R h m K R f K R R h mη α α η α α= minus = minus +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 156 0 2 57 0 2 58 1 2 1 59 1
21 3
3
1
n
n n m n n m n m nn
mn
R RI R g K R g I R h hI Rη β η β η β η βββ
+minus= minus = = =
( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2 65 1 2 6664 1 2 5 2 6 7 1 2 5 2 n n m n n m n nI R j K R j I R Z Z K R Z Zα η α η βη η β= = minus minus minus minus= =
( ) ( ) ( ) ( )1 1 77 1 1 78 1 2 79 76 1 3 k n m k n m n n m n mnI r l K r l I Ir prOη ββ η β η β ηminus minus= = = =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 284 0 185 1 2 2 86 7 0 1 8 n n n n n n nn n m n mI R R S m K R R S R Rm I q K qα η α η β η βη = = == minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 18 8 1 2 1 0 2 1 189 1 3
32
1 2 1
2
n
nn
n
nn n n
R n S RI R I R IS Rπ
η β β η βββ
+ + = minus
minus minus= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 95 1 2 2 96 1 97 00 1 94 n m n n m n n n m mn nI R R B m K R R B m I R t K R tα η α η η βη β= = = minus=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 3 0 31 1
98 1 2 1 93
9 12
1
1 1 1
22
2 n n
n
nm m
nn
B R nI IRR RBI Rη β
ββ β
βη
π+ minus
minus= minus = minus +
II72 Expression analytique de lrsquoinductance
De la mecircme faccedilon et agrave partir de lrsquoeacutequation (II36) on obtient
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
4 4 3 3
4 4 3 321
4 40 4 4 3
1 62
3
II2 co 68s2
c
6
os
IIn
IIn n n
n nn
n
a R U R R U R
b R V R R V R
J R W R R
NL Z ZS
W RJ
α αα
αmicroπ
ππinfin
=
minus + minus
minus minus
= minussum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1n n n nU r I r L r I r L rα α α α= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1( ) n n n nV r K r L r K r L rα α α α= +
Et ( ) 2 23 512 3
2 2 4n rW r F α =
est la fonction hypergeacuteomeacutetrique [90]
73
II73 Reacutesultats et discussion
Entre le cas avec pastille supraconductrice et le cas sans on a gardeacute les mecircmes valeurs
des paramegravetres geacuteomeacutetriques pour montrer lrsquoeffet de la preacutesence de cette derniegravere sur la valeur
de lrsquoinductance de la bobine Ces valeurs des paramegravetres geacuteomeacutetriques sont reacutesumeacutees dans le
tableau 2
Les solutions analytiques dans toutes les reacutegions sont obtenues en utilisant le mecircme
nombre drsquoharmoniques qui est eacutegale agrave 50 Les valeurs du tableau II2 sont eacutegalement utiliseacutees
pour reacutesoudre le mecircme problegraveme avec la meacutethode des eacuteleacutements finis (FEM) sous COMSOL
afin de valider les reacutesultats obtenus analytiquement Des conditions aux limites identiques agrave
celles utiliseacutees lors de calcul analytique sont employeacutees dans la simulation numeacuterique
Tableau II2 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme avec pastille
Paramegravetre Description valeur
R1 Rayon de la pastille supraconductrice 0015 m
R2 Bord infeacuterieur du domaine dans la direction radial 0030 m
R3 Rayon interne de la bobine 0080 m
R4 Rayon externe de la bobine 0120 m
R5 Bord supeacuterieur du domaine dans la direction radial 0150 m
Z1 Limite inteacuterieure de la bobine 0200 m
Z2 Limite inteacuterieure de lrsquoentrefer 0225 m
Z3 Limite inteacuterieure de la pastille supraconductrice 0230 m
Z4 Limite exteacuterieure de la pastille supraconductrice 0270 m
Z5 Limite exteacuterieure de lrsquoentrefer 0275 m
Z6 Limite exteacuterieure de la bobine 0300 m
Z7 Limite exteacuterieure du domaine dans la direction axiale 0500 m
N Nombre des spires dans la bobine 1000
J Densiteacute de courant eacutelectrique dans la bobine 5 Amm2
Nmax Nombre drsquoharmoniques utiliseacute dans tout le domaine 50
74
La distribution du potentiel vecteur magneacutetique dans toutes les reacutegions drsquointeacuterecircts du
problegraveme eacutetudieacute obtenue avec un calcul analytique et un calcul numeacuterique est repreacutesenteacutee sur
la figure II7 Les composantes radiale Br et axiale Bz du la densiteacute de flux magneacutetique est
ainsi repreacutesenteacutees sur la figure II8 (a) dans la reacutegion III en r = 0055 (b) dans la reacutegion IV
en 00225r = (c) dans la reacutegion V en 00075r = et (d) dans la reacutegion VI en 00075r =
Dans ce cas une veacuteritable concordance peut ecirctre constateacutee entre les deux approches en
srsquoeacuteloignant de la reacutegion de lrsquoentrefer (figure II8 (a)) Un leacuteger deacutecalage subsiste
neacuteanmoins entre les reacutesultats analytiques et numeacuteriques (figure II8 (a)) surtout pour la
composante ZB Ce deacutecalage peut sexpliquer par le nombre limiteacute drsquoharmoniques retenus lors
du deacuteveloppement analytique mais aussi par les erreurs numeacuteriques reacutesultantes de
linversion matricielle lors du calcul des coefficients De mecircme que dans la preacuteceacutedente
section on notera que lutilisation de fonctions de Bessel modifieacutees nrsquoarrange rien puisque
qursquoelle conduit agrave une matrice tregraves mal conditionneacutee lorsque le nombre drsquoharmoniques
consideacutereacute augmente
Figure II7 Distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir du (a) calcul
numeacuterique) et du (b) calcul analytique en preacutesence de la pastille supraconductrice
75
(a) (b)
(c) (d)
Figure II8 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions
(a) III agrave ( )2 3 2r R R= + (b) IV agrave 2 2r R= (c) V agrave 1 2r R= et (d) VI agrave 1 2r R= en
preacutesence de la pastille supraconductrice
La valeur de lrsquoinductance de la bobine obtenue analytiquement agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation
(II68) est la mecircme que celle obtenue numeacuteriquement agrave lrsquoaide de la meacutethode FEM sous
COMSOL cette valeur est eacutegale agrave 0247 H Par ailleurs la valeur de lrsquoinductance en absence
de la pastille supraconductrice est de 0253 H ce qui nous amegravene agrave dire que la pastille a tregraves
peu drsquoinfluence sur la valeur de lrsquoinductance pour le problegraveme eacutetudie (une diffeacuterence de 6)
Ceci reacutesulte du fait que le rayon de la pastille consideacutereacutee dans notre calcul est relativement
petit par rapport au rayon du noyau ferromagneacutetique 15 mm pour le rayon de la pastille
contre 30 mm pour le noyau de fer
76
La figure II9 repreacutesente la variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon
r de la pastille supraconductrice avec 20 r Rlt lt Nous constatons que lrsquoinductance de la
bobine diminue en augmentant la taille de la pastille cette faible diminution est due peut-ecirctre
agrave lrsquointervalle de variation de rayon de la pastille consideacutereacutee Pour 2r Rgt deux reacutegions
drsquointeacuterecirct en plus doit ecirctre consideacuterer dans lrsquoeacutetude preacuteceacutedente et les calculs effectueacutes
deviennent tregraves compliqueacute agrave cause des nombres de variables eacuteleveacutes et par la suite des
problegravemes de convergence pour le calcul analytique sont imposeacutes
Figure II9 Variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
Pour reacutesoudre ce problegraveme un calcul numeacuterique agrave lrsquoaide de la meacutethode FEA sous
COMSOL est effectueacute le rayon de la pastille dans ce cas peut prendre des valeurs
supeacuterieures au rayon du noyau de fer ( )30 r Rlt lt La figure II10 repreacutesente la variation de
lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon de la pastille en utilisant deux types de
circuits circuit ouvert et circuit fermeacute Une diminution remarquable dans la valeur de
lrsquoinductance est constateacutee dans ce cas en fonction du rayon de la pastille supraconductrice
Par ailleurs la valeur de lrsquoinductance trouveacutee pour un circuit fermeacute est supeacuterieure agrave celle
trouveacutee dans le cas drsquoun circuit ouvert
77
Figure II10 variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
supraconductrice dans un circuit fermeacute et dans un circuit ouvert
78
II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique
impulsionnel
Nous reprenons le problegraveme de la figure II1 Une pastille supraconductrice de rayon
11R et de hauteur ( )33 22Z Zminus est placeacutee au centre de la reacutegion de lrsquoentrefer Lexpression
analytique du potentiel vecteur magneacutetique ( ) IVA r z t (eacutequation II22) est utiliseacutee pour
calculer les courants induits agrave linteacuterieur de la pastille supraconductrice La reacutegion drsquointeacuterecirct est
preacutesenteacutee sur la figure II11 avec lrsquoaxe (Oz) est en position verticale
Figure II11 Position de la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du problegraveme
de la figure II1 avec [ ]110r Risin et [ ]22 33z Z Zisin
La densiteacute de courant parcourue dans la reacutegion de la bobine est en fonction du temps
Cette densiteacute de courant est supposeacutee produite par la deacutecharge dune batterie de
condensateurs sous forme
( ) ( ) ( )( ) ( )max exp II66aJ t J t tτ τ= minus
Avec 2max 50 J A mm= et 1msτ =
La densiteacute de courant J induite dans la pastille supraconductrice est calculeacutee agrave lrsquoaide
drsquoun code de calcul deacuteveloppeacute sous MATLAB en utilisant la meacutethode de laquo Brandtraquo
deacuteveloppeacutee en 1998 pour les disques et les cylindres en preacutesence drsquoun champ magneacutetique
axial [99 100]
79
En reacutesumeacute leacutequation suivante doit ecirctre satisfaite
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11 33
22
2 21 10 2 20
I I67
R Z IVcylZ
d J r t d A r tQ r r E J dr dz
dt dtmicro minus minus
= times +
int int
( )2 )r r z= Coordonneacutees de la pastille supraconductrice
cylQ Inteacutegral de Kernel
cylQ est obtenue en inteacutegrant la fonction de Green de lrsquoeacutequation de Laplace agrave 3D en
consideacuterant que le milieu ferromagneacutetique est caracteacuteriseacute par une permeacuteabiliteacute infinie
E(J) donne la relation entre le champ eacutelectrique E et la densiteacute de courant critique J qui
deacutecrive le comportement supraconducteur de la Pastille supraconductrice Dans ce cas E(J)
est deacutefini par le modegravele de la loi en puissance
( ) ( )1
II68n
JEcE J JJc Jc
minus =
Avec 1 CE V cmmicro= 30n = et 2100 cJ A mm=
La reacutesolution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle (II67) est effectueacutee en utilisant les solveurs
disponibles dans MATLAB agrave savoir laquo ode15s raquo et laquo ode23t raquo
Figure II12 Variation de champ magneacutetique appliqueacute et du champ magneacutetique pieacutegeacute sur la
surface de la pastille supraconductrice agrave 0r = et 33z Z=
80
Un calcul numeacuterique est eacutegalement effectueacute afin de valider les reacutesultats obtenus
analytiquement Un modegravele de formulation en H impleacutementeacute sous COMSOL est utiliseacute [41]
ougrave lrsquoeacutequation aux deacuteriveacutees partielles (EDP) suivante doit ecirctre reacutesolue temporellement dans la
pastille supraconductrice
( )( ) ( )0 II0 69H J Ht
micro ρpart+nablatimes nablatimes =
part
Les composants du champ magneacutetique ( )r zH H H= sont choisis comme variables drsquoeacutetat
Le mateacuteriau supraconducteur est modeacuteliseacute par une reacutesistiviteacute non lineacuteaire
( ) ( )1
II70n
C
C C
JEJJ J
ρminus
=
La figure II12 preacutesente la variation en fonction de temps de la densiteacute de flux
magneacutetique appliqueacutee aB et la densiteacute de flux magneacutetique pieacutegeacutee pieacutegeacuteB agrave 0r = e 33z Z=
(figure II7) Une correspondance presque parfaite dans les reacutesultats est observeacutee La valeur
maximale de la densiteacute du flux magneacutetique appliqueacute est environ de 75 T et la valeur de la
densiteacute de flux magneacutetique pieacutegeacute est de 209 T agrave t=10 ms Leacutecart entre les reacutesultats
analytiques et numeacuteriques est infeacuterieur agrave 3 tout au long du processus drsquoaimantation par
PFM
Le traceacute en fonction de temps de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc dans le plan
meacutedian de pastille supraconductrice est preacutesenteacute sur la figure II13 pour diffeacuterentes valeurs du
rayon r avec ( )0479515320r mm=
81
Figure II13 Evolution de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc sur le plan meacutedian de la
pastille supraconductrice agrave ( )0479515320r mm=
Les reacutesultats obtenus analytiquement sont proches de ceux obtenus par COMSOL
Une leacutegegravere diffeacuterence est remarqueacutee en particulier pour r = 0 Cette valeur de r est singuliegravere
et on ne peut pas juger est ce que les reacutesultats obtenus pour cette valeur sont corrects ou non
En revanche la densiteacute de courant sur lrsquoaxe ne contribue pas beaucoup en termes de champ
magneacutetique pieacutegeacute A t = 5 ms la densiteacute de courant dans la pastille supraconductrice est
comprise entre 11 et 15 times Jc
82
II9 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons deacuteveloppeacute un modegravele analytique pour calculer
lrsquoinductance drsquoune bobine circulaire en cuivre de section transversale rectangulaire dans un
circuit ferromagneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie inferieure concentrique avec
la bobine Nous avons montreacute que ce modegravele analytique correspond tregraves bien aux meacutethodes
numeacuteriques avec des erreurs infeacuterieures agrave 10 pour 10 termes harmoniques Nous avons
montreacute aussi que la valeur de lrsquoinductance de la bobine diminue avec lrsquoaugmentation de la
longueur de lrsquoentrefer
Ensuite nous avons proceacutedeacute agrave lrsquoeacutetude de ce mecircme problegraveme en ajoutant une pastille
supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer Nous avons constateacute que la preacutesence de la
pastille supraconductrice dans le circuit ferromagneacutetique a tregraves peu drsquoinfluence sur la valeur
de lrsquoinductance Une diminution de 6 de la valeur de cette derniegravere a eacuteteacute trouveacutee en cas de
preacutesence de pastille supraconductrice Ceci est ducirc agrave la taille de la pastille consideacutereacutee dans
notre calcul qui est relativement petite par rapport agrave la taille du noyau ferromagneacutetique En
effet nous avons trouveacute par un calcul numeacuterique que la valeur de lrsquoinductance de la bobine
diminue en augmentant le rayon de la pastille supraconductrice preacutesente dans la reacutegion de
lrsquoentrefer
Pour le processus drsquoaimantation par la meacutethode PFM les expressions analytiques de
potentiel vecteur magneacutetique trouveacutees dans le cas de circuit sans pastille supraconductrice
sont utiliseacutees pour calculer les courants induits agrave lrsquointeacuterieur drsquoune pastille supraconductrice en
utilisant la meacutethode de Brandt Lrsquoeacutevolution temporelle de la densiteacute de flux magneacutetique
pieacutegeacutee et la densiteacute de courant eacutelectrique montre une excellence correspondance entre les
reacutesultats analytiques et numeacuteriques Une diffeacuterence infeacuterieure agrave 3 est obtenue sur la densiteacute
de flux magneacutetique pieacutegeacute
83
Chapitre 3 Prise en compte de
lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de
leur caracteacuterisation
84
III1 Introduction
Les deux paramegravetres importants qui caracteacuterisent un mateacuteriau supraconducteur massif
sont le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete PB et la densiteacute de courant critique Jc Ces
deux paramegravetres sont lieacutes et deacuteterminent les performances des applications utilisant ces
mateacuteriaux Les meacutethodes de caracteacuterisations deacuteveloppeacutees au laboratoire GREEN sont baseacutees
sur la mesure de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete PB agrave partir de lrsquoaimantation
drsquoune pastille SHTC de type YBCO par champ magneacutetique pulseacute (PFM pour Pulsed Field
Magnetization) La meacutethode PFM consiste agrave appliquer une impulsion de champ magneacutetique
sur cette derniegravere Si ce champ appliqueacute est suivant lrsquoaxe (Oz) (figure III1) des courants
induits vont ecirctre creacuteeacute agrave lrsquointeacuterieur de la pastille et circulent dans le plan (xOy) et par la suite
un champ magneacutetique appeleacute champ magneacutetique pieacutegeacute va ecirctre creacuteeacute suivant lrsquoaxe (Oz) Ce
champ pieacutegeacute est la soustraction du champ magneacutetique mesureacute agrave la surface de la pastille moins
le champ magneacutetique appliqueacute qui est eacutegal au champ magneacutetique en absence de la pastille Le
champ magneacutetique pieacutegeacute ne devrait pas disparaitre apregraves la fin du champ appliqueacute car la
reacutesistiviteacute est nulle dans la pastille supraconductrice Cette meacutethode de caracteacuterisation permet
de deacuteterminer agrave partir de BP la densiteacute de courant critique Jc mais aussi de deacuteterminer la
valeur de lrsquoexposant-n de la loi en puissance
Les meacutethodes de caracteacuterisations preacutesenteacutees au chapitre I utilisent deux pastilles dans
le premier cas et une pastille dans le deuxiegraveme cas La premiegravere meacutethode est plus preacutecise mais
neacutecessite deux pastilles qui sont supposeacutees ecirctre identiques et homogegravenes en termes de Jc Or
linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique Jc est un fait bien connu des experts [53] La
deuxiegraveme meacutethode nrsquoutilise qursquoune pastille et se dispense donc de lrsquoobligation drsquoavoir deux
pastilles identiques Cependant lrsquoinfluence de linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant
critique Jc nrsquoavait pas eacuteteacute prise en compte preacuteceacutedemment Pour prendre en compte
linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique Jc et donc remeacutedier aux deacutefauts de nos
meacutethodes de caracteacuterisation deux axes de recherche ont eacuteteacute exploreacutes Premiegraverement une
eacutetude baseacutee sur la position de la sonde agrave effet Hall dans la meacutethode agrave une pastille a eacuteteacute
reacutealiseacutee Deuxiegravemement une eacutetude des positions respectives du germe de cristallisation des
pastilles dans la meacutethode agrave deux pastilles a eacuteteacute faite
85
Figure III1 Pastille supraconductrice soumis agrave un champ magneacutetique exteacuterieur
III2 Description du banc expeacuterimental
Nous allons preacutesenter dans cette partie le banc expeacuterimental utiliseacute pour lrsquoaimantation
drsquoune pastille SHTC de type YBaCuO Le banc expeacuterimental sert agrave aimanter une pastille
supraconductrice de type YBaCuO en utilisant la meacutethode drsquoaimantation par champ
magneacutetique pulseacute (PFM) et mesurer le champ magneacutetique au milieu des surfaces planes de
cette pastille
III21 Les pastilles SHTC
Les pastilles supraconductrices utiliseacutees sont cylindriques de type YBaCuO posseacutedant
une tempeacuterature critique de 92 k de diamegravetre 311 mm et de hauteur 176 mm Ce type de
mateacuteriau drsquoYBaCuO possegravede une densiteacute de courant critique eacuteleveacutee (gt100 Ammsup2 agrave 77 K) La
figure III2 repreacutesente les deux surfaces des pastilles YBaCuO utiliseacutees (a) surface
supeacuterieure contenant le germe de cristallisation (seed) (b) surface inferieure de la pastille Ces
pastilles sont par nature inhomogegravenes et anisotropes en termes de Jc
(a) (b)
Figure III2 Les deux surfaces de la Pastille SHTC drsquoYBaCuO utiliseacutee pour lrsquoaimantation
x
y
z
O
( )B t
( )B t
86
En geacuteneacuterale la preacuteparation des supraconducteurs YBCO mono domaine par la
meacutethode (TSMG) exige des preacutecurseurs en poudres contenant une distribution uniforme des
composeacutes constituant les phases 2 3 7YBa Cu O δminus (Y-123) et 2 5Y BaCuO (Y-211)Cependant il a
eacuteteacute observeacute que la concentration de particules de Y-211dans le bulk supraconducteur traiteacutee agrave
leacutetat fondu augmente de maniegravere significative avec la distance agrave partir du germe de
cristallisation ce qui entraicircne une deacutegradation des proprieacuteteacutes supraconductrices vers le fond et
le bord de leacutechantillon supraconducteur [109]
Une technique de fabrication des bulk supraconducteurs en YBCO gradueacute baseacutee sur la
concentration de Y-211 utiliseacutee a eacuteteacute deacuteveloppeacutee par un groupe de chercheurs appeleacute laquo the
Cambridge Bulk Superconductivity Groupraquo [109] Trois types de preacutecurseurs en poudres
contenant diffeacuterentes concentrations drsquoY-211 sont disposeacutes en forme U dans une pastille
YBCO en bulk (figure III3) Le but de cette technique est drsquoameacuteliorer les proprieacuteteacutes
supraconductrices du mateacuteriau fabriqueacute
Pour la modeacutelisation de ces pastilles celles-ci peuvent ecirctre diviseacutees en deux ou trois
reacutegions en forme U chaque reacutegion eacutetant caracteacuteriseacutee par son propre Jc0 [109] (Figure III3)
Figure III3 Modegravele drsquoune pastille SHTC gradueacutee en YBCO proposeacutee pour la modeacutelisation
numeacuterique
III22 Le circuit drsquoaimantation
Lrsquoaimantation des pastilles SHTC neacutecessaire agrave la caracteacuterisation est faite par un
magneacutetiseur agrave impulsion (Impulse Magnetizer k-serie) [105] (figure III4)
Les caracteacuteristiques techniques de ce magneacutetiseur sont
- Puissance de stockage de 10kWs
- Capacitance de 5mF
87
- Tension de charge maximale de 2 kV et un courant de 25 kA
Figure III4 Magneacutetiseur agrave impulsion K-serie utiliseacute pour aimanter la pastille
Lrsquoinducteur produisant le champ magneacutetique pour aimanter la pastille
supraconductrice est une bobine agrave fil de Litz de 127 cm de longueur et de 65 cm de diamegravetre
externe ce type de bobines sont adapteacutees au transport des courants eacutelectrique agrave haute
freacutequence et produit un champ magneacutetique axial plus en moins homogegravene dans son centre
dont lequel on met la pastille pour lrsquoaimantation Un Oscilloscope est utiliseacute pour faire la
mesure du champ magneacutetique et le courant de deacutecharge produit par le magneacutetiseur Une
bobine de Rogowski est employeacutee pour mesurer le courant de deacutecharge Rappelons que la
bobine de Rogowski est un systegraveme eacutelectrotechnique servant agrave mesurer le courant alternatif
ou les impulsions de courant agrave grande vitesse [107] Elle se compose
dun enroulement heacutelicoiumldal de fil dont le fil dune extreacutemiteacute revient par le centre de
lenroulement agrave lautre extreacutemiteacute de sorte que les deux bornes sont agrave la mecircme extreacutemiteacute de
lenroulement La bobine est positionneacutee autour du conducteur dont on veut connaicirctre le
courant La figure III3 montre une photo du circuit eacutelectrique utiliseacute pour lrsquoaimantation
Le champ magneacutetique ( )aB t geacuteneacutereacute par la bobine est appliqueacute parallegravelement suivant
lrsquoaxe ( )Oz de la pastille cylindrique Ce champ est caracteacuteriseacute par une vitesse de monteacute bV
drsquoenviron 3125 Ts et une valeur maximale ( )maxaB drsquoenviron 32 Tesla (Figure III7) Une
diffeacuterence de potentiel de 600 V est choisie sur les bornes du magneacutetiseur pour avoir cette
valeur de champ appliqueacute
88
Figure III5 Circuit eacutelectrique de magneacutetisation
Figure III6 Repreacutesentation du dispositif expeacuterimentation du processus drsquoaimantation utiliseacute
89
Figure III7 Impulsion de champ magneacutetique appliqueacute sur la pastille SHTC
III23 Instrumentation
La mesure de champ magneacutetique sur les deux surfaces de la pastille drsquoYBCO se fait agrave
lrsquoaide des deux sondes agrave effet Hall de type HHP-NP adapteacutees aux basses tempeacuteratures
(figure III8) Chaque sonde agrave effet Hall comprend quatre fils deux pour les courants et deux
pour les signaux de tension Les geacuteneacuterateurs de courant illustreacutes sur la figure III5 alimentent
les sondes agrave effet Hall La distance entre la partie active de la sonde et la surface de la pastille
est drsquoenviron 05mm Cette distance est due agrave lrsquoencapsulage de la sonde Ces sondes mesurent
le champ magneacutetique suivant lrsquoaxe (Oz)
Figure III8 Sonde agrave effet Hall de type HHP-NP
90
Les caracteacuteristiques des deux sondes agrave effet Hall utiliseacutees sont donneacutees par le
fabricant (Tableau III1)
Tableau III1 Caracteacuteristiques des sondes agrave effet Hall
Paramegravetre Uniteacute Sonde 2003 (77K) Surface au-dessus
Sonde 468 (77K) Surface su dessous
Courant nominal In mA 20 20
Courant maximum mA 30 20
Sensibiliteacute agrave In TV 1356 946
Tension de deacutecalage agrave In Vmicro 58 lt -40
Reacutesistance drsquoentreacutee Ω 23 41
Reacutesistance de sortie Ω 78 18
Reacutegion de dimension efficace mm 0500 x 01 05 x 01
Dimensions globale mm 5 x 7 x 1 5 x 7 x 1
Les sondes agrave effet Hall sont placeacutees au centre des surfaces planes des pastilles et donc
perpendiculaires au champ magneacutetique appliqueacute (Figure III9)
Lrsquoensemble bobine pastille SHTC et sondes agrave effet Hall sont immergeacutees dans lrsquoazote
liquide agrave une tempeacuterature de 77 K
Lrsquoimpulsion de champ magneacutetique creacuteeacute par la bobine appliqueacutee sur la pastille SHTC
refroidie est lrsquoimage de lrsquoimpulsion de courant eacutelectrique creacuteeacute par le magneacutetiseur Les
mesures de champ magneacutetique et de courant eacutelectrique seront prises agrave lrsquooscilloscope
Figure III9 Positions des sondes agrave effet Hall sur les deux surfaces de la pastille SHTC
91
III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTC
III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hall
Le calcul de la densiteacute de courant critique Jc se fait agrave partir du champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete BP Le calcul de BP est fait agrave partir de la mesure du champ magneacutetique agrave
lrsquoaide des sondes agrave effet Hall En fait nous pouvons mesurer le champ magneacutetique sur lrsquoaxe
(Oz) de la pastille uniquement en deux positions
- Position 1 Au centre de la surface de base supeacuterieure (pregraves du germe de cristallisation
(seed))
- Position 2 Au centre de la surface inferieure de la pastille
La figure III10 repreacutesente les reacutesultats de mesure du champ magneacutetique MB au centre
des deux surfaces de la pastille SHTC (a) Position 1 (b) Position 2 Le champ magneacutetique
MB est mesureacute agrave une distance 05d mm= des deux surfaces de la pastille La diffeacuterence
( ) ( ) 05a MB t B t d mmminus = preacutesente le champ magneacutetique produit par le courant eacutelectrique
induit dans la pastille nommeacute ( )ZSCB t d Ce champ atteint une valeur maximum nommeacute
BZSCM
Agrave partir des figures III10a et III10b on constate que le champ magneacutetique mesureacute aux
positions 1 et 2 ne varie pas de la mecircme faccedilon
92
(a)
(b)
Figure III10 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer au
(a) position1 (b) position 2
93
La figure III11 preacutesente les mecircmes mesures de la figure III10 avec une eacutechelle de
temps reacuteduite Nous remarquons que le temps de peacuteneacutetration complegravete de champ magneacutetique
dans le cas de la position 1 est supeacuterieur agrave celui dans le cas de la position 2 Ainsi la reacutegion
laquo seed raquo est caracteacuteriseacutee par un champ magneacutetique induit supeacuterieur agrave celui de la reacutegion de la
surface opposeacutee (position 2)
(a)
(b)
Figure III11 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer avec une
eacutechelle de temps reacuteduite (a) position1 (b) position 2
94
III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de la
pastille
Le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP peut ecirctre deacuteduit agrave partir de
lrsquoeacutequation I34 en connaissant la valeur de BZSCM Le rapport BZSCBBPB dans lrsquoeacutequation I34
est en fonction seulement des paramegravetres geacuteomeacutetriques R et L de la pastille Ainsi le champ
magneacutetique de peacuteneacutetration de Bean BPB est calculeacute agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I29 en prenant
n=50 Une fois le champ BPB est calculeacute et agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 on peut deacuteterminer la
valeur de la densiteacute de courant critique Jc
Les valeurs de temps de peacuteneacutetration tP de champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute
BPM du max de champ magneacutetique produit par le courant eacutelectrique induit dans la pastille
BZSCM ainsi la valeur de la densiteacute de courant critique obtenues au centre des deux surfaces de
la pastille eacutequivalent aux positions 1 et 2 sont reacutesumeacutees dans le tableau III2
Tableau III2 Valeurs de la densiteacute de courant critique calculeacute agrave une distance de 05 mm au-dessus du
centre des deux surfaces de la pastille SHTC
Position 1 Position 2
tP (10-4s) 75 36
BPM(T) 23 13
BZSCM 192 139
Jc (Amm2) 201 145
Drsquoapregraves les reacutesultats de tableau III2 nous constatons que la densiteacute de courant critique
nrsquoest pas constante sur toute la pastille SHTC elle varie drsquoune reacutegion agrave lrsquoautre Cette
inhomogeacuteneacuteiteacute est due agrave la technique de fabrication utiliseacutee pour ce type de pastille SHTC
III33 Simulations numeacuteriques
Pour modeacuteliser le comportement eacutelectromagneacutetique de la pastille SHTC utiliseacutee dans
nos mesures et par la suite valider la meacutethode utiliseacutee pour calculer la densiteacute de courant
critique agrave partir de la mesure de champ magneacutetique une approximation macroscopique est
proposeacutee Le principe expliqueacute preacuteceacutedemment est de diviser la pastille en trois reacutegions
principales reacutegion supeacuterieure reacutegion centrale et reacutegion inferieure (figure III3) Chaque
95
reacutegion est caracteacuteriseacutee par sa propre densiteacute de courant critique Jc0 Lrsquoimpulsion de champ
magneacutetique appliqueacute sur la pastille est la mecircme que dans la figure III7
La simulation numeacuterique srsquoest faite agrave lrsquoaide du logiciel COMSOL Un calcul
numeacuterique en 2D-axisymeacutetrique est utiliseacute ougrave la formulation en H en coordonneacutees
cylindriques est employeacutee Lrsquoeacutequation de Maxwell suivante doit ecirctre reacutesolue en systegraveme de
coordonneacutees cylindrique
( )0 0 1IIHt
IEmicro part+nablatimes =
part
( ) 2E H IIIρ= nablatimes
Les champs magneacutetique et eacutelectrique ont respectivement deux composantes radiale et
longitudinale [ ]0r zH H H et une transversale [ ]0 0E E
( )0 30 rH E It
IIz
micro part partminus =
part part
( )0 4zH E Et r r
IIImicro part part+ = minus
part part
Le champ eacutelectrique E est donneacute en modegravele de la loi en puissance deacutefini en chapitre I
La densiteacute de courant eacutelectrique est donneacutee agrave partir de lrsquoexpression diffeacuterentielle suivante
( ) 5r z IIHz r
IHJ part part= minus
part part
Le milieu supraconducteur est repreacutesenteacute par une modeacutelisation ( )CJ B selon la loi empirique
suivante
( ) ( )0
0
1
6C iC IIIJJ B
BB
β= +
Avec JC0i est la densiteacute de courant critique de la reacutegion i (i=1 2 3) en absence de toute champ
magneacutetique externe et B0 est une constante deacutependante du mateacuteriau On choisit ici de prendre
0 01B = et 05β = pour les trois reacutegions de la pastille [109]
Nous avons fait varier Jc0i pour chaque reacutegion en suivant la mecircme meacutethode expliqueacutee
preacuteceacutedemment dans la partie expeacuterimentale pour calculer la densiteacute de courant critique
96
moyenne sur les deux surfaces des deux pastilles jusqursquoagrave retrouver les reacutesultats proches de
ceux trouveacute expeacuterimentalement (tableau III2)
Puisque la meacutethode PFM est employeacutee dans notre problegraveme ougrave le champ magneacutetique appliqueacute
est fonction de temps donc la simulation est faite en reacutegime temporel
Le temps maximal de lrsquoimpulsion choisie pour cette simulation max 5msτ = afin de minimiser
la dureacutee de calcul
Les valeurs de JC0i optimales trouveacutees sont mentionneacutees dans le tableau III3
Tableau III3 valeurs de JC0i optimiseacutees pour les trois reacutegions de la pastille
Reacutegion I Reacutegion II Reacutegion III
JC0i (Amm2) 680 1400 435
Lrsquoeacutevolution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure de la pastille est preacutesenteacutee sur la
figure III12 avec un pas de temps eacutegale agrave max 6τ Nous remarquons que le champ magneacutetique
peacutenegravetre progressivement agrave partir de la surface lateacuterale vers lrsquointeacuterieure de la pastille Cette
peacuteneacutetration atteint sa valeur maximale agrave la fin de lrsquoaimantation Le champ magneacutetique
peacuteneacutetrant est moins important coteacute seed
97
Figure III12 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur de la
pastille SHTC
98
La figure III13 repreacutesente les reacutesultats des modeacutelisations numeacuteriques de champ
magneacutetique MB au-dessus de centre des deux surfaces de la pastille SHTC agrave une distance
e=05mm (a) Position 1 et (b) position 2
(a)
(b)
Figure III13 Modeacutelisation numeacuterique du champ magneacutetique sur le centre de la surface
drsquoune pastille (a) Position 1 (b) Position 2
99
Figure III14 La phase de monteacute des graphes de mesures numeacuterique et expeacuterimentale de
champ magneacutetique au-dessus des deux surfaces de la pastille
Une premiegravere comparaison entre les graphes obtenus expeacuterimentalement (figure III9)
et par le calcul numeacuterique (figure III13) pour les deux pastilles montrent que ces graphes sont
proches seulement pendant la phase de monteacutee (la phase la plus inteacuteressante pour deacuteterminer
Jc) (figure III14) Cependant durant la phase de descente de ces graphes nous remarquons
que les graphes obtenus expeacuterimentalement sont totalement diffeacuterents de ceux obtenus
numeacuteriquement Cela srsquoexpliquerait par des pheacutenomegravenes thermiques dus aux pertes creacuteeacutees par
les diffeacuterents courants induits pendant la phase de monteacutee et la phase de descente de
lrsquoimpulsion de champ appliqueacute durant lrsquoexpeacuterience que nous nrsquoavons pas pris en
consideacuteration en simulation
III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux
pastilles
Dans cette partie nous allons mesurer la densiteacute de courant critique drsquoun ensemble de
deux pastilles supposeacutees identiques Le point de mesure srsquoeffectuera entre les deux pastilles agrave
lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet Hall Les deux pastilles sont seacutepareacutees par une distance laquo e raquo qui
preacutesente lrsquoeacutepaisseur de la sonde Afin drsquoeacutetudier lrsquoinfluence de la position des germes dans
cette meacutethode de caracteacuterisation trois configurations sont prises en consideacuteration en fonction
de la position du germe de cristallisation dans les deux pastilles utiliseacutees (figure III15)
100
(a) (b) (c)
Figure III15 Configurations utiliseacutees pour le calcul de Jc entre les deux pastilles
La figure III16 preacutesente les reacutesultats de mesure de champ magneacutetique prises entre les
deux pastilles SHTC pour les trois configurations illustreacutees dans la figure III15 On constate
ici que le temps de peacuteneacutetration complegravete varie drsquoune configuration agrave lrsquoautre (voir tableau
III4) Le champ magneacutetique prend plus de temps pour peacuteneacutetrer agrave lrsquointeacuterieure et entre les
pastilles agrave travers les seeds
Tableau III4 les valeurs de temps de peacuteneacutetration complegravete et champ magneacutetique de
peacuteneacutetration eacutequivalent mesureacutes pour les trois configurations
Configuration (a) Configuration (b) Configuration (c)
tP (10-3 s) 093 132 14
BPM (T) 257 302 31
101
(a)
(b)
(c)
Figure III16 Mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC pour les
configurations (a) (b) et (c)
102
Pour comprendre les pheacutenomegravenes observeacutes des simulations numegraveriques ont eacuteteacute
reacutealiseacutees Les mecircmes eacutetapes de simulation numeacuterique expliqueacutes preacuteceacutedemment dans le cas
drsquoune seule pastille sont utiliseacutees ici La figure III17 repreacutesente lrsquoeacutevolution de la distribution
du champ magneacutetique agrave lrsquointerieur des deux pastilles SHTC pour les trois configurations
illustreacutees dans la figure III15 Les mecircmes valeurs de Jcoi sont utiliseacutees aussi pour la deuxiegraveme
pastille Lrsquoeacutetude de lrsquoeacutevolution de champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur et entre les deux pastilles
est faite agrave un pas de temps eacutegale agrave max 3t τ=
Nous remarquons que le champ magneacutetique peacutenegravetre progressivement agrave lrsquointeacuterieure des
deux pastilles cette peacuteneacutetration est plus rapide dans le cas de la configuration (a) et moins
rapide dans le cas de la configuration (c)
103
Figure III17 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure des
deux pastilles pour les trois configurations (a) (b) et (c)
104
Afin de prendre en consideacuteration lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall utiliseacutee dans la
mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC utiliseacutees dans notre mesure nous
avons fait appel agrave la relation (I32) pour calculer le champ magneacutetique de peacuteneacutetration
complegravete BP Ce champ est neacutecessaire pour le calcul de la densiteacute de courant critique JC entre
les deux pastilles
Rappelons que la relation I32 est valable seulement pour R=10 mm R eacutetant le rayon
de la pastille utiliseacutee Par contre les deux pastilles que nous avons utiliseacutees ont un rayon
R=156 mm Pour trouver une nouvelle relation entre le champ de peacuteneacutetration mesureacute BPM et
le champ de peacuteneacutetration complegravete BP une simulation numeacuterique similaire agrave celle expliqueacutees
dans le paragraphe I5212 du chapitre I est effectueacutee en utilisant deux pastilles SHTC de
rayon R=1555 mm pour chacune ces deux pastilles sont seacutepareacutees par un entrefer e=1mm Cet
entrefer preacutesente lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall Les reacutesultats de mesure sont preacutesenteacutes
sur la figure III18
Figure III18 Rapport BPMBP en fonction de longueur L de la pastille SHTC pour
R=156mm
Donc drsquoapregraves la figure III18 la relation liant BPM et BP pour les deux pastilles utiliseacutees dons
nos mesures deacutepend seulement de la hauteur des deux pastilles et elle est donneacutee par
( ) ( ) ( 156 ) 0031 ln 0 777 PM
P
B R mm ILB
II= = times +
Les valeurs de champ de peacuteneacutetration mesureacute BPM pour les trois configurations eacutetudieacutees sont
mentionneacutees dans le tableau III4 Une fois la valeur de champ de peacuteneacutetration complegravete
deacutetermineacutee agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation III7 et agrave partir de lrsquoeacutequation I29 nous calculons la valeur
105
de champ de peacuteneacutetration de Bean BPB Enfin la densiteacute de courant critique JC entre les deux
pastilles SHTC est calculeacutee agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 Les valeurs de Jc entre les deux
pastilles pour les trois configurations de la figure III15 sont mentionneacutees dans le tableau III5
Tableau III5 Valeur de la densiteacute de courant critique entre les deux pastilles SHTC drsquoYBCO
utiliseacutees dans nos expeacuteriences
Configuration (a) Configuration (b) Configuration (c)
Jc (Amm2) 1317 1548 1589
Drsquoapregraves le tableau III5 nous remarquons que la valeur moyenne de la densiteacute de
courant eacutelectrique critique entre les deux pastilles est infeacuterieure agrave celle drsquoune pastille seule
Cette diminution est due peut-ecirctre agrave la diminution des courants eacutelectriques induits reacutesultants
entre les deux surfaces opposeacutees La configuration (b) est caracteacuteriseacutee par une densiteacute
eacutelectrique critique plus eacuteleveacutee agrave celle de la configuration (a) et moins eacuteleveacutee agrave celle de la
configuration (c) agrave cause de la preacutesence des germes de cristallisations (seed) en face agrave face
pour la configuration (c)
III5 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences pour lrsquoaimantation drsquoune pastille
SHTC de type YBaCuO par la meacutethode PFM dans le but de veacuterifier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute de cette
pastille en termes de densiteacute de courant critique Agrave lrsquoaide des sondes agrave effet Hall nous avons
mesureacute le champ magneacutetique au milieu des deux surfaces planes de la pastille dans le but de
calculer la densiteacute de courant critique agrave ces endroits Dans toutes les mesures il existe une
distance drsquoenviron 05 mm entre la partie active de la sonde et la surface de la pastille ce qui
doit ecirctre pris en compte dans les calculs de Jc Nous avons remarqueacute que la surface qui
contient le germe de cristallisation est caracteacuteriseacutee par une densiteacute de courant plus eacuteleveacutee que
lrsquoautre surface Cette inhomogeacuteneacuteiteacute est due agrave la technique de fabrication utiliseacutee pour ce type
de pastille SHTC Ensuite et sur la base des reacutesultats obtenus expeacuterimentalement nous avons
proposeacute un modegravele numeacuterique pour deacutecrire la morphologie de la pastille SHTC utiliseacute dans
nos mesures en divisant cette pastille en trois reacutegions en forme U concentriques reacutegion
supeacuterieure reacutegion centrale et reacutegion inferieure Chaque reacutegion est caracteacuteriseacutee par sa propre
densiteacute de courant critique JC0
106
Ensuite pour eacutetudier lrsquoinfluence de la position du germe de cristallisation dans la
meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles nous avons calculeacute la densiteacute de courant critique
entre deux pastilles SHTC supposeacutees identiques et seacutepareacutees par une distance e = 1mm agrave lrsquoaide
de la mesure de champ magneacutetique dans cette reacutegion Trois configurations ont eacuteteacute prises en
consideacuteration en fonction de la position du germe de cristallisation Les reacutesultats obtenus
montrent une diminution de la densiteacute de courant critique par rapport agrave une seule pastille agrave
cause de la diminution des courants induits reacutesultants entre les deux surfaces opposeacutees La
configuration qui contient les deux surfaces de laquo seed raquo est toujours caracteacuteriseacutee par une Jc
plus eacuteleveacutee que le reste des configurations eacutetudieacutees Donc nous conseillions que lors de
lrsquointeacutegration des pastilles SHTC pareilles dans des machines eacutelectriques il faut prendre en
consideacuteration la position de ces pastilles par rapport agrave leurs germes de cristallisations
107
Conclusion geacuteneacuterale et perspectives
108
Le travail meneacute dans cette thegravese intituleacutee laquo modeacutelisation et caracteacuterisation des
mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique raquo a eacuteteacute reacutealiseacute en cotutelle dans le
cadre drsquoun projet PHC-Tassili entre le laboratoire GREEN de lrsquouniversiteacute de Lorraine et le
laboratoire LESI de lrsquouniversiteacute Djilali Bounaama de Khemis Miliana
Dans la premiegravere partie de cette recherche nous avons pu deacutevelopper un modegravele
analytique qui a pour but de calculer lrsquoinductance de lrsquoensemble composeacute drsquoune bobine
inductrice circulaire de section transversale rectangulaire dans un circuit ferromagneacutetique
ouvert muni drsquoun entrefer concentrique avec la bobine Ce modegravele est baseacute sur la
deacutetermination de potentiel vecteur magneacutetique agrave partir de la reacutesolution des eacutequations de
Laplace et de Poisson dans les diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecirct du circuit en utilisant la meacutethode
de seacuteparation des variables La reacutesolution analytique srsquoest effectueacutee agrave lrsquoaide drsquoun code de
calcul deacuteveloppeacute sous MATLAB Une simulation numeacuterique est eacutegalement effectueacutee afin de
valider les reacutesultats analytiques Au deacutebut le calcul se fait en absence de tout mateacuteriau
supraconducteur dans le circuit ferromagneacutetique puis nous avons eacutetudieacute le cas de preacutesence
drsquoune pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer pour montrer lrsquoinfluence de cette
derniegravere sur la valeur de lrsquoinductance de lrsquoinducteur Nous avons montreacute pour les deux cas
que les meacutethodes analytiques correspondent tregraves bien avec les meacutethodes numeacuteriques avec des
erreurs inferieures agrave 1 pour un nombre de termes harmonique eacutegale agrave 50 et avec un
avantage aux meacutethodes analytiques en termes de temps de calcul Aussi les meacutethodes
analytiques sont peu exigeantes sur la meacutemoire de calculateur Nous avons montreacute aussi agrave
travers ce modegravele que lrsquoinfluence de la taille de la pastille supraconductrice sur la valeur de
lrsquoinductance obtenue peut servir agrave dimensionner lrsquoinducteur de systegraveme drsquoaimantation par la
meacutethode PFM Ainsi les reacutesultats obtenus montrent que cette eacutetape de modeacutelisation est tregraves
inteacuteressante dans la phase de conception des machines supraconductrices utilisant les
mateacuteriaux supraconducteurs massifs
Dans la partie caracteacuterisation le but eacutetait drsquoeacutetudier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute drsquoune pastille
supraconductrice agrave haute tempeacuterature critique de type YBaCuO en termes de densiteacute de
courant critique Pour cela et suite aux travaux de caracteacuterisations reacutealiseacutes au niveau du
laboratoire GREEN nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences de lrsquoaimantation des pastilles SHTC
de type YBaCuO par la meacutethode PFM Les reacutesultats obtenus montrent que la surface
contenant le germe de cristallisation de la pastille est caracteacuteriseacutee par une densiteacute de courant
critique plus eacuteleveacutee que lrsquoautre surface et cela ducirc agrave la meacutethode drsquoeacutelaboration de ce genre des
pastilles Ensuite nous avons proceacutedeacute agrave la caracteacuterisation de deux pastilles SHTC identiques
109
seacutepareacutees par une distance de 1mm et calculeacute la densiteacute de courant critique de ces deux
pastilles La position de germe de cristallisation drsquoune pastille par rapport agrave lrsquoautre influence
directement la valeur de Jc
Comme perspective agrave ce travail nous envisageons de confronter le modegravele analytique
deacuteveloppeacute durant de travail sur un systegraveme physique reacuteel contenant un circuit magneacutetique
fermeacute comme par exemple un transformateur avec une bobine contenant une pastille
supraconductrice De plus nous envisageons drsquoeacutetablir un modegravele analytique standard en
prenant en consideacuteration lrsquoinfluence de lrsquoeffet thermique afin de deacuteterminer les proprieacuteteacutes
caracteacuteristiques des pastilles supraconductrices agrave partir des reacutesultats obtenus lors des
expeacuteriences de caracteacuterisations par la meacutethode PFM reacutealiseacutees durant cette thegravese
110
Liste des illustrations graphiques
et tableaux
111
Figure I1 Reacutesistiviteacute eacutelectrique de mercure agrave basse tempeacuteraturehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8
Figure I2 Historique des deacutecouvertes de la tempeacuterature critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11
Figure I3 Etat noraml et supraconducteur drsquoun meacutetal en fonction de la tempeacuteraturehellip 12
Figure I4 Repreacutesentation de champ magneacutetique induit en fonction du champ
magneacutetique appliqueacute pur les supraconducteurs de type Ihelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
13
Figure I5 Repreacutesentation graphique (a) des diffeacuterentes eacutetats des supraconducteurs de
type II et (b) du champ magneacutetique induit en fonction du champ
magneacutetique appliqueacute pour les supraconducteurs de type IIhelliphelliphelliphelliphellip
14
Figure I6 Reacuteseaux vortex dans un mateacuteriau supraconducteur de type IIhelliphelliphelliphelliphellip 15
Figure I7 Densiteacute de courant intergrain et intragrain dans un mateacuteriau
supraconducteur helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
16
Figure I 8 Microstructure drsquoun mateacuteriau Supraconducteur agrave Haute Tempeacuterature
critique (SHTC) de formule chimique 2 3 7YBa Cu O δminus helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
17
Figure I9 Surface critique et ordre de grandeur des paramegravetres critique de quelques
mateacuteriaux Supraconducteurshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
18
Figure I10 Diffeacuterentes formes des SHTC a) pastille YBaCuO en massifs b)
YBaCuO en monocouche c) tubes de BSCCOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
19
Figure I11 Traitement thermique pour la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO par la
technique TSMGhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
21
Figure I12 Structure cristalline tridimensionnelle de lrsquoYBa2Cu3O7-δ helliphelliphelliphelliphelliphellip 22
Figure I13 Repreacutesentation de structure (a) orthorhombique et (b) quadratique de la
maille eacuteleacutementaire du compos YBa2Cu3O7-δhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
23
Figure I14 Variation des paramegravetres de reacuteseau a b et c par rapport au deacuteficit en
oxygegravene δ helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
23
Figure I15 Repreacutesentation de la tempeacuterature critique en fonction du deacuteficit en
oxygegravene dans la structure YBaCuOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
24
Figure I16 Structure cristalline de MgB2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25
Figure I17 Distribution de B J E dans un cylindre supraconducteur soumis agrave un
champ magneacutetique parallegravele agrave son axehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
29
112
Figure I18 Comparaison entre la caracteacuteristique E(J) correspond au modegravele de Bean
(courbe rouge) et au modegravele de loi en puissance (courbe verte) avec celle
obtenue expeacuterimentalement (courbe bleu) pour un rubanhelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
Figure I19 Aimantation par refroidissement sous champ magneacutetique (Field Cooling
FC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
33
Figure I20 Aimantation par refroidissement hors champ magneacutetique (Zero Field
Cooling ZFC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
34
Figure I21 Aimantation par un champ impulsionnel (pulsed field magnetization
PFM)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
35
Figure I22 Scheacutema eacutelectrique simplifieacute du circuit utiliseacute pour aimanter les
supraconducteurs massifshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
35
Figure I23 Variation temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour laimantation par
la meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
36
Figure 24 Scheacutema repreacutesentatif de la meacutethode eacutelectrique pour deacuteterminer la densiteacute de
courant eacutelectrique Jc drsquoun mateacuteriau supraconducteurhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
37
Figure I25 Pastille supraconductrice massive de forme cylindrique soumise agrave un
champ magneacutetique appliqueacute axialementhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
38
Figure I26 Variation du champ magneacutetique en fonction du temps Ba est le champ
appliqueacute sur la pastille et B0 repreacutesente le champ magneacutetique mesureacute au
centre de la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
39
Figure I27 Position de sonde agrave effet Hall entre deux pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphellip 40
Figure I28 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesureacute entre deux
pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
40
Figure I29 Repreacutesentation du champ magneacutetique appliqueacute et le champ magneacutetique
mesureacute entre deux pastilles SHTC en fonction de temps en utilisant a)
une bobine supraconductrice pour geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee
b) une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer une vitesse de monteacutee
eacuteleveacutee
42
Figure I30 Rapport PPMB B en fonction de longueur L de la pastille SHTChelliphelliphellip 43
113
Figure I31 Position de sonde agrave effet Hall au centre de surface de la pastillehelliphelliphelliphellip 44
Figure I32 Distribution de la densiteacute de courant JJc dans la pastille SHTC pour trois
valeur de vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacutehelliphelliphelliphelliphelliphellip
45
Figure I33 Calcul numeacuterique de BP au centre de la pastille et BZSCM au-dessus du centre de surface de la pastille agrave d = 05mmhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
46
Figure I34 Comparaison entre le calcul numeacuterique ZSCB PBB B et le calcul analytique
ZSCM PB B helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
47
Figure II1 Geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute un circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie infeacuterieur de longueur 3 2 e Z Z= minus concentrique
avec une bobine de longueur 4 1L Z Z= minus helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
51
Figure II2 Maillages du circuit ferromagneacutetique avec entrefer eacutetudieacute par COMSOLhellip 62
Figure II3 Comparaison des distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave
partir du calcul analytique (a) et du calcul numeacuterique (b) avec le traceacute
des lignes de champ magneacutetiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
62
Figure II4 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions (a) III en ( )1 2 2r R R= + et (b) IV en 1 2r R= helliphelliphelliphelliphelliphellip
63
Figure II5 Comparaison des valeurs de lrsquoinductance de la bobine en fonction de la
longueur de lrsquoentrefer obtenues numeacuteriquement avec celles obtenues
analytiquement pour les diffeacuterentes valeurs de nombres des harmoniques
variant entre 1 et 50helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
64
Figure II6 Circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer de longueur e dans lequel se
trouve une pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
65
Figure II7 Distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir du (a)
calcul numeacuterique) et du (b) calcul analytique en preacutesence de la
pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
74
Figure II8 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans la reacutegion III en ( )2 3 2r R R= + (a) et dans la reacutegion IV en 1 2r R= (b) en
preacutesence de la pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
75
Figure II9 Repreacutesentation de lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon de la
pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
76
114
Figure II10 Variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
supraconductrice dans un circuit fermeacute et dans un circuit ouverthelliphelliphelliphellip
77
Figure II11 Position de la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du problegraveme de la figure II1 avec [ ]110r Risin et [ ]22 33z Z Zisin helliphelliphelliphelliphelliphellip
78
Figure II12 Variation de champ magneacutetique appliqueacute et du champ magneacutetique pieacutegeacute sur la surface de la pastille supraconductrice agrave 0r = et 33z Z= helliphellip
79
Figure II13 Evolution de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc sur le plan meacutedian de la pastille supraconductrice agrave ( )0479515320r mm= helliphelliphelliphelliphelliphellip
81
Figure III1 Pastille supraconductrice soumis agrave un champ magneacutetique exteacuterieurhelliphelliphellip 85
Figure III2 Les deux surfaces de la Pastille SHTC drsquoYBaCuO utiliseacutee pour
lrsquoaimantationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
85
Figure III3 Modegravele drsquoune pastille SHTC gradueacutee en YBCO proposeacutee pour la
modeacutelisation numeacuteriquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
86
Figure III4 Magneacutetiseur agrave impulsion K-serie utiliseacute pour aimanter la pastillehelliphelliphellip 87
Figure III5 Circuit eacutelectrique de magneacutetisationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88
Figure III6 Repreacutesentation du dispositif expeacuterimentation du processus
drsquoaimantation utiliseacutehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
88
Figure III7 Impulsion de champ magneacutetique appliqueacute sur la pastille SHTChelliphelliphelliphellip 89
Figure III8 Sonde agrave effet Hall de type HHP-NPhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 89
Figure III9 Positions des sondes agrave effet Hall sur les deux surfaces de la pastille
SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
90
Figure III10 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer au (a)
position1 (b) position 2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
92
Figure III11 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer avec une
eacutechelle de temps reacuteduite (a) position1 (b) position 2helliphelliphelliphelliphelliphellip
93
Figure III12 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur de la
pastille SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
97
115
Figure III13 Modeacutelisation numeacuterique du champ magneacutetique sur le centre de la
surface drsquoune pastille (a) Position 1 (b) Position 2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
98
Figure III14 La phase de monteacute des graphes de mesures numeacuterique et expeacuterimentale
de champ magneacutetique au-dessus des deux surfaces de la pastillehelliphelliphellip
99
Figure III15 Configurations utiliseacutees pour le calcul de Jc entre les deux pastilleshelliphellip 100
Figure III16 Mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC pour les
configurations (a) (b) et (c)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
101
FigIII17 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure des deux
pastilles pour les trois configurations (a) (b) et (c)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
103
Figure III18 Rapport PM PB B en fonction de longueur L de la pastille SHTC pour R=156mmhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
104
Tableau I1 Tempeacuterature critique de quelques mateacuteriaux supraconducteurshelliphelliphelliphellip 12
Tableau II1 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme sans
pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
61
Tableau II2 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme avec
pastillehelliphelliphellip
73
Tableau III1 Caracteacuteristiques des sondes agrave effet Hallhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 90
Tableau III2 Valeurs de la densiteacute de courant critique calculeacute agrave une distance de
05mm au-dessus du centre des deux surfaces de la pastille SHTC helliphellip
94
Tableau III3 Valeurs de JC0i optimiseacutees pour les trois reacutegions de la pastillehelliphelliphelliphellip 96
Tableau III4 Les valeurs de temps de peacuteneacutetration complegravete et champ magneacutetique de
peacuteneacutetration eacutequivalent mesureacutes pour les trois configurationshelliphelliphelliphellip
100
Tableau III5 Valeur de la densiteacute de courant critique entre les deux pastilles SHTC
drsquoYBCO utiliseacutees dans nos expeacuteriences helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
105
116
Reacutefeacuterences
117
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124
Annexes
125
Annexe I reacutesolution des eacutequations de Laplace et de Poisson
1- Cas drsquoun circuit ouvert avec entrefer sans pastille supraconductrice
1-1 reacutegion I 3 4R r Rlt lt et 50 z Zlt lt
( )2 2
22 2 2
10 0 1I I I II
A A A AAr r r r z
part part partnabla = rArr + minus + =
part part part
En utilisant la meacutethode de seacuteparation des variables on met ( ) ( ) ( )I I IA r z R r Z z=
lrsquoeacutequation (1) srsquoeacutecrit donc sous forme
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 0 1 I I I I I I I II I I I
I I I
R R R Z R RZ Z Rr r r r z R r R r r r Z
Z Zz
λpart part part part part part+ minus + = rArr + minus = minus =
part part part part part part
Il existe donc deux eacutequations lieacutees agrave la constante Iλ
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 2
1 0 3
II I
I II I
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = part
part part + minus + = part part
1-1-1 Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (2) srsquoeacutecrit sous forme 2 0I IZ λ+ =
Le discriminant I∆ de cette eacutequation est donneacute par 4I Iλ∆ =
Trois cas sont possible pour I∆
1er cas 0 0I Iλ∆ = rArr =
Pour ce cas la solution de lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (2) est donneacutee par
( )I I IZ z A z B= +
En tenant en compte les conditions aux limites consideacutereacutees pour cette reacutegion on trouve
( )0 et 0 0I I IA B Z z= = rArr = Cette fonction ne nous inteacuteresse plus et 0Iλ = nrsquoest plus une
valeur propre de notre problegraveme
2egraveme cas 0 0I Iλ∆ gt rArr lt
On pose 2I Iλ β= minus soit 24I Iβ∆ = minus et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) I Iz zI I IZ z A e B eβ βminus= +
En tenant en compte les conditions aux limites
126
( )0 0I I IZ z A B= = rArr = minus
( ) ( ) ( )5 55 50 0 2 sinh 0I IZ Z
I I I IZ z Z A e e A Zβ β βminus= = rArr minus = rArr = Comme 0Iβ ne ceci nrsquoest
possible que pour 0IA = et donc 0IB =
La solution ( ) 0IZ z = ne nous inteacuteresse plus et 0Iλ lt aussi ne sont plus des valeurs propre de
ce problegraveme
3egraveme cas 0 0I Iλ∆ lt rArr gt
On pose 2I Iλ α= soit ( )24I Iiα∆ = et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) ( ) ( )cos sinI I I I IZ z A z B zα α= +
En tenant en compte les conditions aux limites
( )0 0 0I IZ z A= = rArr =
( ) ( )5 50 sin 0I I IZ z Z B Zα= = rArr = Cela nrsquoest possible que si 5
InnZπα = pour 1 0B gt avec
n=1 2 3hellip par conseacutequent 2
5In
nZπλ
=
sont les valeurs propres du problegraveme aux limites
Les fonctions propres associeacutees aux valeurs Inλ sont
( ) ( )sinI In InZ z B zα= Avec5
InnZπα =
112 Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Les valeurs propres Inλ sont maintenant connues Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle agrave reacutesoudre dans ce
cas ( ( )2
2 2 22 1 0I I
I IR Rr r r Rr r
αpart part+ minus + =
part part) est une eacutequation de Bessel modifieacutee
On effectue le changement de variable Inr rα= Lrsquoeacutequation alors srsquoeacutecrit
( )2
2 22 1 0I I
IR Rr r r Rr r
part part+ minus + =
part part
Les solutions de cette eacutequation de Bessel modifieacutees sont alors
( ) ( ) ( )1In In n In I nR r C I r D K rα α= +
La forme du potentiel vecteur magneacutetique dans la reacutegion I est donneacutee par
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 11
I In nI n n n
nIA a I r b K r sin zr z R r Z z α α α
infin
=
= += sum
Utilisant la condition aux limites4
( ) 0r R
rAr =
part=
part le potentiel A srsquoeacutecrit
127
( ) ( )( ) ( ) ( )0
101
nIn n n
n nI
K rb K r sin zA
rr
Iz
αα α
α
infin
=
+ =
sum
5n
nZπα = Avec
1-2 Reacutegion II 2 3 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre ici est une eacutequation de Laplace
2 2
02 2 2
1 ( ) (4)II II II IIA A A A J zr r r r z
micropart part part+ minus + = minus
part part part
Avec ( ) 1 4
0J pour Z z Z
J zAilleur
lt lt=
1-2-2 Reacutesolution de lrsquoeacutequation de Laplace sans second membre
En utilisant la meacutethode de seacuteparation des variables ( ) ( ) ( )II II IIA r z R r Z z= times deux
eacutequations en r et en z sont agrave reacutesoudre
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 5
1 0 6
IIII II
II IIII II
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = part
part part + minus + = part part
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de (5) srsquoeacutecrit par 2 0II IIZ λ+ = ou le discriminant II∆ de cette
eacutequation est donneacute par 4II IIλ∆ = minus
1er cas 0 0II IIλ∆ = rArr =
En suivant les mecircmes eacutetapes de la reacutesolution deacutecrit preacuteceacutedemment on trouve que
cette valeur de 0IIλ = nrsquoest pas une valeur propre du problegraveme
2egraveme cas 0 0II IIλ∆ gt rArr lt
On trouve aussi que 0IIλ lt ne sont plus aussi des valeurs propres de ce problegraveme
3egraveme cas 0 0II IIλ∆ lt rArr gt On pose 2II IIλ α= soit ( )24II IIiα∆ =
La solution srsquoeacutecrit comme ( ) ( ) ( )cos sinII II II II IIZ z A z B zα α= +
En tenant en compte les conditions aux limites agrave 0z = et 5z Z=
( )0 0 0II IIZ z A= = rArr =
128
( ) ( )5 55
0 sin 0I II II IIn nnZ z Z B ZZπα α α= = rArr = rArr = = Avec n=1 2 3hellip Donc IInλ sont les
valeurs propres du problegraveme Les fonctions propres associeacutees aux valeurs IInλ sont
( ) ( )sinII IIn nZ z B zα= Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Les valeurs propres pour dans cette reacutegion sont maintenant connues donc on peut
reacutesoudre lrsquoeacutequation (6) (eacutequation de Bessel modifieacutee) suivant la variable r
En effectuant changement de variables IInr rα= les fonctions solution de cette eacutequation sont
alors
( ) ( ) ( )1 1IIn IIn n IIn nR r C I r D K rα α= +
Deacutetermination des solutions de lrsquoeacutequation avec second membre
On effectue la transformeacutee de Fourier de la densiteacute de courant eacutelectrique sur la base des
fonctions solutions de lrsquoeacutequation homogegravene en z soit
( ) ( )1
sinIIn nn
J z J zαinfin
=
=sum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )25
1
1 25 50
2 2 2sin sin cos cosZ Z
IIn nZ
n n nJ JJ J z z dz z dz Z Z
Z Z nα α α α
π= = = minusint int
A partir de lrsquoeacutequation (4) on peut eacutecrire
( )2 2
2 2 202 2 sin II II II
II II II II II IIn nR A Zr Z rZ R Z r R rr r z
J zαmicropart part part+ minus + = minus
part part part
On remplace ( )IIZ z par son expression dans cette eacutequation (avec nr rα= ) on trouve
( )2
2 2 2 2 02 1 II II IIn
n IIIIn
R Ar r r R rr r
JBmicroαpart part
+ minus + = minuspart part
Cette eacutequation srsquoeacutecrit sous forme
( )( )
1
2 2 2 1 4Γ 1 2
r
r L r L r L
υ
υ υ υ π υ
+ + minus + =
+
Dont les fonctions de Struve sont solutions de cette eacutequation [hellip]
Pour 1ν = les fonctions solutions de cette eacutequation srsquoeacutecrivent sous forme
( ) ( ) ( ) ( )0 21 0 12 2Γ 3 2
2n IIn
II n nn n IIn
J JR r L r L rB B
micro ππ α micro αα α
= minus = minus
Drsquoougrave
129
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11
1 sinII IIII II II n n n I n n n
nnLA r z R r Z z a I r b K r C zrαα α α
infin
=
= = + minussum
Avec 0 22 etII II
n IIn II n IIn IIIIn
nna C B b D B C Jπmicro
α= = =
1-3 Reacutegion III 1 2R r Rlt lt et 50 z Zlt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre ici est une eacutequation de Poisson
( )2 2
2 2 2
1 0 7III III III IIIA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
La solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation (7) est obtenue en suivant les mecircmes eacutetapes de la
reacutesolution pour la reacutegion I avec des conditions aux limites imposeacutees agrave z=0 et z= Z5 de type
Dirichlet 5( 0 ) 0 et ( ) 0III IIIA r z A r z Z= = = =
La forme geacuteneacuterale du potentiel vecteur magneacutetique obtenue est donc
( ) ( ) ( )( ) ( )1 11
III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Avec 5
nnZπα =
1-4 reacutegion IV 10 r Rlt lt et 2 3Z z Zlt lt
( )2 2
2 2 2
1 0 8IV IV IV IVA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites consideacutereacutees ici sont de types Neumann
2 3
( ) ( )0 et 0IV IV
z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
En appliquant la meacutethode de seacuteparation de variables ( ) ( ) ( )IV IV IVA r z R r Z z= times l eacutequation (8) srsquoeacutecrit sous forme
2 2
2 2 2
11 1 1 1IV IV IVIV
IV IV IV
R RR r R r r r
ZZ z
λpart part part+ minus = minus =
part part part
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 9
1 0 11
IVIV IV
IV IVIV IV
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = partrArr
part part + minus + = part part
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
130
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (10) srsquoeacutecrit sous forme 2 0IV IVZ λ+ =
4IV IVλ∆ =
1er cas 0 0IV IVλ∆ = rArr =
La solution est donneacutee sous forme ( )IV IV IVZ z A z B= +
En tenant en compte les conditions aux limites
bull 2 2
( ) ( )0 0 0IV IVIV
z Z z Z
A r z Z r z Az z= =
part part= rArr = rArr =
part part
bull 3 3
( ) ( )0 0IV IV
z Z z Z
A r z Z r zz z= =
part part= rArr =
part part Cette condition ne nous apprend rien sur
Par conseacutequent 0 0IV IVλ λ= = est une valeur propre simple de problegraveme et ( )0 0IVZ z B= est
une fonction propre simple ( 0B est une constante arbitraire)
2egraveme cas 0 0IV IVλ∆ gt rArr lt
Pour ce cas on trouve que les valeurs de 0IVλ lt ne sont pas des valeurs propre de ce
problegraveme
3egraveme cas 0 0IV IVλ∆ lt rArr gt
On pose 2IV IVλ β= soit ( )24IV IViβ∆ = et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) ( ) ( )cos sinIV IV IV IV IVZ z A z B zβ β= +
En tenant en compte les conditions aux limites
bull ( )( )
2 2
2
2
sin( ) ( )0 0cos
IVIV IVIV IV
z Z z Z IV
ZA r z Z r z B Az z Z
ββ= =
part part= rArr = rArr =
part part
bull ( )( )3 3
3 23 2
( ) ( )0 0 sin 0IV IVIV IV
z Z z Z
A r z Z r z kZ Zz z Z Z
πβ β= =
part part= rArr = rArr minus = rArr =
part part minus
bull Donc 2
3 2IV
kZ Z
πλ
= minus sont des valeurs propres du problegraveme et la fonction associeacutee
aux ces valeurs est
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2
22
sincos sin cos
cosIV
IV IV IV IV k IVIV
ZZ z A z z C z Z
Zβ
β β ββ
= + = minus
IVB
131
Avec ( )2cos
IVk
IV
ACZβ
=
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Deux cas sont possibles pour les valeurs de IVkλ 1er cas 0IVλ =
( )2
22 011 IV IV
IVR Rr r Rr r
part part+ minus =
part partrArr Equation drsquoEuler dont la solution est donneacutee sous forme
( ) 10 0IV IV IVR r C r D rminus= +
En appliquant la condition aux limites dans ce cas ( )0 0IVA r z= = on trouve 0 0IVD =
2egraveme cas 0IVλ gt
Lrsquoeacutequation (11) est devenue une eacutequation diffeacuterentielle de Bessel modifieacutee sa solutions est
donneacutee donc par
( ) ( ) ( )1IVk IVk k IVk I kR r C I r D K rβ β= +
En appliquant la condition aux limites ( )0 0IVA r z= = on trouve 0IVkD =
Donc la forme geacuteneacuterale du potentiel vecteur magneacutetique dans cette reacutegion est donneacutee par
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )00 11 21
0 cos IV IV IV IV V k kIV
IVk
A r z R r Z z R A r a Ir Z z z Zrβ βinfin
=
= + + minus= sum
132
Annexe II Condition de passage agrave lrsquointerface entre les reacutegions III et IV agrave r =R1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ] ( )
1 1
2
2 3
3 5
1 1 2 3
0 0
1
0
2
III IV
r R r R
IV III
pour Z ZrA rA
pour Z Z Zr r
pour Z Z Z
A r R Z A r R Z pour Z Z Z
= =
lt lt part part = lt lt part part
lt lt = = = isin
Commenccedilons la premiegravere condition
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
1 2 1
3
0
1 sin sinZ Z
kI
kZ
II IV
r R r R
rA rz
Ar r
dz z dzα α= =
rArrpart
=partpart partint int
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
5
3 3
2 2
0 10
0
0 1
0 2
sin sin
32 sin cos sin
k
k k
ZIII IIIn n n n n n
Z ZIVk k k k
Z Z
a I R b K R z z dz
A z dz a I r Z Z z dz
α α α α α
α β β β α
minus =
+ minus
rArrint
int int
On a
bull ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )5 5
0 0
sin sin cos2
cosZ Z
nn n n nk k kz z dz z z dzαα α α α α α α+= minusminusint int
( )( ) ( )( )5 51 1sin si
2n sin
n nk kk
nn
kkn
Z Zα α α α α α αα α α α
minus + ne minus +minus
=
On remplace α par son expression on trouve
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )5
0
1 1sin sin sin sin si2
Z
n knnz z dz n k n k
n kn k
knα α πα π π π
minus + ne
minus
minus +=int
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 12 2
1 11 sin 1 s s2
in in n n kk k
n nk kn kn n
π π+ + + = ne minus +
=
minusminus
minus
Pour n=m
( ) ( ) ( )( )5 5
05
0
1sin sin co 22 2 2
sZ Z
n nn n nkz z nZz d z dzα αα α α α π
= minus ==int int
133
Donc ( ) ( )( ) ( )5
21
2 2
0
1 sinsin sin
si
si2
k
nZ
n n
n kk
n n
nn
k
kz z dz
π
πα α α
+ neminus
=
minus=
int
bull ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3
2
0 1 1 1 1 2 311 3 2
2 12 sin cos cosZ
III IIIn n n n n
nkZk k kA z dz m a I R b K R Z Z
R Z Zα α α α α
α
infin
=
= + minus minus
sumint
bull ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 2cos sin sin sin2
Z Zk
k k kk k kZ Z
kZ Z z dz z z Z z z Z dzββ β α α β α βminus = + minus + minus minusint int
( )( ) ( )( )3
2
2 2sin sin2 k k
Zk
k k k kZ
z Z z Z dzβ α β β α β β= + minus + minus +int
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
2 2 3 2
2 2 3 2
1 cos cos
12 cos cos
k k k kkk
k
k k k kk
k kk
k
k kk
Z Z Z Zsi
Z Z Z Z
α β β α β βα ββ α β
α β β α β βα β
+ minus minus + minus + = ne + minus + minus minus + minus
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
2 3 3 2
2 3 3 2
1 cos cos
12 cos cos
k kk
k kk
kkk
kk
Z Z Z Z
Z Z Z Z
α α βα ββ
α α βα β
minus + minus + = + minus minus minus minus
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 3 3 2 3 3 2
2 3 3 2 3 3 2
1 cos cos cos sin sin
12 cos cos cos sin sin
k kkk
k kk
k k kk
k k kk
Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z
α α β α βα ββ
α α β α βα β
minus minus minus minus + + minus minus + minus minus
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
12 3
12 3
1 cos 1 cos
12 cos 1 cos
kk k
kk
kk
k
kk
k
Z Z
Z Z
α αα ββ
α αα β
+
+
+ minus + + + minus minus
=
( ) ( ) ( )( )2 21
2 3cos 1 cos sikkk
kk k k
kk
Z Zα β α α α βα β
++ minus ne=minus
Pour kkα β=
( )( ) ( ) ( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 2cos sin sin 2 sin2
Z Zk
k k k k kZ Z
kZ Z z dz z Z Z dzββ β α β β βminus = minus +int int
( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 2 2 2 3 3 21sin cos cos
2 2k
k k k kk
Z Z Z Z Z Z Zβ β β β ββ
= minus + minus + minus
134
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )13 2 2 2 3
1sin cos 1 cos2 2
kkk k k
k
Z Z Z Z Zβ β β ββ
+ = minus + minus minus
( ) ( ) ( ) ( )( )12 2 3
1sin cos 1 cos2 4
kk k k
k Z Z Zπ β β β+= + + minus
Donc
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
3
2
2
13
2
2
22 1
3
2
cospour
1 coscos sin
cos1sin pour2 4 1 cos
kkk kkZ
k kk k
Z kk k kk
k
k
k
k
Z
ZZ Z z dz
Zk ZZ
αα β α βα β α
β β αβπ β α β
β
+
+
+ ne
minus minus = +
+ = minus
minus
int
En conclusion
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2 2
0
21
2 2
0 1 0 1
1 1 1 1 2 311 3 2
12 3
2 2
si1 sin
2 1 cos cos
cos 1 cos si
1s
1si
2
in cos 12 4
n
III IIIn n n n
III IIIn n n n n
nk k
k
k
k
kkk k k k
IV kk k
kk k
n kna I R b K R
m a I R b K R Z ZR Z Z
Z Za I
n k
rk Z
kn n
Z
k
πα α
α α α αα
α β α α α βα ββπ β β
π
+
infin
=
+
neminusrArr
=
minus
minusminus
= + minus minus
+ minus ne+
+ + minus
sum
( )( )13cos sik k kZβ α β+
=
On met
( ) ( )( )2 3cos cos1k k k
k
Zm Zα
α αminus=
( )( ) 12 1 32n k n kh m Zm R Z
minusminus=
( ) ( )2
12
2 si
si
1 s n
2
in k
n n kk
kf
n
nn
n k
π
π
+minus
ne
minus==
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 3
12 2 3
2 2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
k kkk k k k
k
kk k k k k
kn k
Z Z
k Z Zg
Z
α β α α α βα βπ β β β α β
+
+
minus + minus ne= + + minus =
On trouve
135
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
1 1 0 1 1 1
10
0 1
1
0III IIIn n k n n k n n n k n n k n
IVk n k k
a h I R f I R b h K R f K R
a g I R
α α α α
β
minus + + = +
rArr
Pour la deuxiegraveme condition
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3 3
2 2
1 2 1 2 cos co2 sZ Z
IV k III kZ Z
A r R Z z Z dz A r R Z z Z dzβ β= minus = = minusrArr int int
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
3 3
2 2
3
2
20 1 2 1 1 2
1
1 1 21
cos cos
cos
Z ZIV
k kkZ Z
ZIII IIIn n n n
k k
n kn Z
A R z Z dz a I R z Z dz
a I r b K r sin z z Z dz
β β
α α α β
βinfin
=
infin
=
minus + minus
= +
rArr
minus
sumint int
sum int
On a
bull ( )( ) ( ) ( )( )3
2
2 3 2 2 21cos sin sin 0
Z
k k kkZ
z Z dz Z Z Z Zβ β ββ
minus = minus minus minus =int
bull ( )( ) ( )( )( ) ( )3 3
2 2
22 2 3 2
1 1cos 1 cos 22 2
Z Z
k kZ Z
z Z dz z Z dz Z Zβ βminus = + minus = minusint int
bull ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 21sin cos sin sin2
Z Z
n k n k n kZ Z
z z Z d z z z Z z z Z d zα β α β α βminus = + minus + minus minusint int
( )( ) ( )( )3
2
2 21 sin sin2
Z
n k k n k kZ
z Z z Z dzα β β α β β= + minus + minus +int
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
2 2 3 2
2 2 3 2
1 cos cos1 si
12 cos cos
n k k n k kn k
n k
n k k n k kn k
Z Z Z Z
Z Z Z Z
α β β α β βα β
α βα β β α β β
α β
+ minus minus + minus + = ne + minus + minus minus + minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 3 2 31 1 1cos cos cos cos2 n n n n
n k n k
Z Z k Z Z kα α π α α πα β α β
= minus + + minus minus + minus
( ) ( ) ( )( )12 3
1 1 1cos 1 cos2
kn n
n k n k
Z Zα αα β α β
+ = + minus + + minus
( ) ( ) ( )( )12 3 2 2
21 cos 1 cos si2
k nn n n k
n k
Z Z αα α α βα β
+ = + minus ne minus
Pour n kα β=
136
( ) ( )( ) ( ) ( )3 3
2 2
2 2 21sin cos sin 2 sin2
Z Z
n k k k kZ Z
z z Z dz z Z Z dzα β β β βminus = minus +int int
( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 2 2 2 3 21 1sin cos 2 cos 22 2k k k k k
k
Z Z Z Z Z Z Zβ β β β ββ
= minus + minus minus minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )13 2 2 2 3
1 1sin cos 1 cos2 4
kk k k
k
Z Z Z Z Zβ β ββ
+= minus + + minus
En conclusion
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 3 2
12 3 2 2
1
113 2 2 2 3
21 cos 1 cos si 21 1sin cos 1
2
co4
1
s2
IV
k nIII n n n kn n n k
IIIkn n
k k k kk
k
n
ka I R Z Z
Z Za I r
b K r Z Z Z Z Z si
αα α α βα α βα
β β β α ββ
β
+
+
minus
+ minus ne minus = + minus + + minus =
rArr
En multipliant les deux coteacute de cette eacutequation par kβ on trouve
( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1
12 32 2
1 11
2 2 3
2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
IV
kn kn n n k
III III n kn n n n
kk k k k
k k
n
ka I R
Z Za I r b K r
k Z Z Z
π
α β α α α βα βα απ β β β α
β
β
+
+
+ minus ne minus= +
rArr
+ + minus =
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 02
III III IVn n k n n n k kk n
ka g I r b g K r a I Rπα βαrArr + minus =
137
Annexe III Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
En appliquant les conditions de continuiteacutes du potentiel vecteur magneacutetique aux interfaces
entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave r=R2 et entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI agrave r= R1
( ) ( ) [ ] ( )
( )( ) [ ]
[ ]( ) [ ]
( )
2 2 2 5
1 2 3
1 3 4
1 4 5
Pour 1
Pour
0 Pour 2
Pour
IV III
V
IV
VI
A r R z A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
= = = isin
= isin
= = isin = isin
Par inteacutegration de ces deux eacutequations par rapport agrave z sur lrsquointervalle [ ]2 5Z Z on trouve
( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
5 5 5
2 2 2
5
2 2
1 2 1 201 221
1 111 2 1 2 1 2
1 101 121
11 1 1 1
cos sin
cos
IV IIIZ Z Zn n n
nIV IIIn nZ Z Zn n n
IVZ Zn
IVZ Zn
nn
n
nn
n
a I R a I RA Rdz z Z dz z dz
A R b K R b K R
a I RA Rdz z Z dz
A R b K R
β αβ α
β α
ββ
β
infin infin
minus= =
minus
+ minus = + + +
+ minus + +
sum sumint int int
int( ) ( )( )
( ) ( )( )4
3
5
52
1 2 1
1 3 1 3 4
1
1
2 2
1
c
s
s
in
on
ZVIn n n
n Z
ZV
n nn Z
n
a I R z
a I R z Z dz
Z dz
β β
β βinfin
infin =
= infin
=
minus
minus
= +
sum
sumint
int
intsum
( )( )( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 2101 2 11 2 5 2 2 5
1 1 2
1101 1 11 1 5 2 1 2 1
13
321 1
1 cos cos
1 1 1
IIIn n
n nIIIn nn n
nVn
n n
VIn n n
n
a I RA R A R Z Z Z Z
b K R
A R A R Z Z a RR a II
αα α
α
βββ
β
α
infinminus
=
infin+minus
=
+ minus = minus + rArr
+ minus = minus +
sum
sum
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )1
1 22 201 2 11 2 5
15 2 1 2
12 101 1 11 1 2 3
21
5 31
1 2
1 co
1 1
s cos
1
IIIn n
n nI
VIn
IIn n n n
nVn n
n nn
n
a I
a I RRA R A Z ZZ Z b K R
RA R A a I RZ Z
Rββ
αα α
α α
ββ
infin
=
infin+
=
+ = minus minus + rArr
+ = minus + minus
sum
sum
( ) ( )( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1
1 2 12
0 1 1 2 1 21
1 2111 1 2 1 01
1 3 13
1 3 15 2 3
11 2
1
1 1
1
1
n
VIn n
n
VIn n
nV
nIII III nn n n n n
n
nVn n
n n n
a I R
a I R
a I RA a I R b K R h q
RA a I R A RZ Z
β
ββ
ββ
βα α
ββ
+
infin
=
infin+
=
minus = + minus +rArr = minus + minus minus
sum
sum
138
Avec
( )2
2 22 1
n nRh m
R R e=
minus ( ) ( )( )2 5cos co1 s n nn
n
Z Zmα
α α= minus ( )
12 2
2 1
RqR R e
=minus
et 5 2e Z Z= minus
139
Reacutesumeacute
Lrsquoobjectif de ce travail de thegravese est drsquooptimiser le processus drsquoaimantation des
pastilles supraconductrices agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) par un champ magneacutetique
impulsionnel ou PFM (Pulsed Field Magnetization) afin de les mettre en œuvre dans des
applications dans le domaine de lrsquoeacutelectrotechnique Dans lrsquoeacutetape de conception de lrsquoinducteur
neacutecessaire pour magneacutetiser ces pastilles SHTC la modeacutelisation et la simulation sont
fortement recommandeacutees pour effectuer les calculs neacutecessaires des diffeacuterentes caracteacuteristiques
eacutelectriques du systegraveme drsquoaimantation De ce fait nous avons deacuteveloppeacute un modegravele analytique
pour eacutetudier lrsquoinfluence de la preacutesence drsquoune pastille supraconductrice dans un circuit
ferromagneacutetique sur la valeur de lrsquoinductance drsquoune bobine inductrice Il srsquoagit de reacutesoudre les
eacutequations de Laplace et de Poisson dans diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecirct agrave travers le potentiel
vecteur magneacutetique La reacutesolution analytique a eacuteteacute effectueacutee agrave lrsquoaide drsquoun code de calcul
deacuteveloppeacute sous MATLAB ougrave les reacutesultats obtenus ont eacuteteacute en bonne concordances avec ceux
obtenus par simulation numeacuterique sous COMSOL
Lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC de type YBaCuO en termes de la densiteacute de
courant critique Jc a eacuteteacute eacutegalement eacutetudieacutee Pour cela nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences de
lrsquoaimantation des ces pastilles par la meacutethode PFM Nous avons montreacute que la surface plane
contenant le germe de cristallisation (seed) de ces pastilles est caracteacuteriseacutee par une Jc plus
eacuteleveacutee que lrsquoautre surface Ainsi nous avons eacutetudieacute lrsquoinfluence de la position du germe de
cristallisation dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles
Mots cleacutes Supraconducteur modeacutelisation analytique inductance aimantation champ
magneacutetique impulsionnel caracteacuterisation
140
Abstract
The aim of this thesis is to optimize the process of magnetization of superconducting
pellets at high critical temperature (SHTC) by pulsed field magnetization (PFM) in order to
use them in applications in the field of electrical engineering In the design phase of the
inductor necessary to magnetize these SHTC pellets modeling and simulation are strongly
recommended to perform the necessary calculations of the various electrical characteristics of
the magnetization system Therefore we have developed an analytical model to study the
influence of the presence of a superconducting bulk on the value of the inductance of an
induction coil in a ferromagnetic circuit The aim is to solve the Laplace and Poisson
equations in different regions of interest through the magnetic vector potential The analytical
resolution was performed (carried out) using a computer code developed under MATLAB
where the results obtained were in good agreement with those obtained by numerical
simulation under COMSOL
The inhomogeneity of YBaCuO type SHTC pellets in terms of critical current density
Jc was also investigated To do this we carried out experiments on the magnetization of these
bulks by the PFM method We have shown that the flat surface containing the crystallization
germ (seed) of these pellets is characterized by a higher Jc than the other surface Also we
studied the influence of the position of the seed crystallization in the two-pellet
characterization method
Key words Superconductor analytical modeling inductance magnetization pulsed
magnetic field characterization
141
ملخص
عالية حرجة حرارة درجة ذات التوصيل فائقة المواد مغنطة عملية تحسين هو العمل هذه من الهدف )SHTC (نبضي أو ما يعرف بطريقة مغناطيسي حقل طريق عنPFM في تطبيقات في استعمالها أجل من
حرارة درجة ذات التوصيل فائقة الاقراص لمغنطة المطلوب المحث تصميم مرحلة في الكهربائية الهندسة مجال لنظام المختلفة الكهربائية للخصائص اللازمة الحسابات لإجراء والمحاكاة بالنمذجة بشدة يوصى عالية حرجة
لوشيعة الذاتية قيمة على التوصيل فائق قرص وجود تأثير لدراسة تحليلي نموذج بتطوير قمنا لذلك المغنطةداخل الدارة مختلفة مناطق في وبواسون لابلاس معادلات حل هو الهدف حديدية مغناطيسية موجودة داخل دارة
تطويره تم برنامج باستخدام التحليلي الحل إجراء تم الشعاع المغناطيسي كمون خلال حساب من المغناطيسية تم التي تلك مع متوافقة الى حد كبير عليها الحصول تم التي النتائج كانت حيث MATLAB باستعمال الكود
COMSOL بموجب العددية المحاكاة خلال من عليها الحصول
نوع عالية من حرجة حرارة درجة التوصيل ذات فائقة أقرص تجانس عدم دراسة لقد تم أيضا YBaCuO باستخدام الأقراص هاته مغنطة من أجل تجارب أجرينا بذلك للقيام الحرج التيار كثافة حيث من
هاته الأقراص تبلور بذرة على يحتوي الذي المستوي السطح أن بينا من خلال هاته الدراسة لقد PFM طريقة في التبلور بذرة موضع تأثير درسنا وايضا الآخر السطح مرتفعة بالمقارنة مع Jc حرج تيار بكثافة يتميز
باستخدام قرصين متطابقين التوصيف طريقة
فائق الناقلية النمذجة التحليلية الذاتية المغنطة الحقل المغناطيسي النبضي التوصيف الكلمات الدالة
- Caracteacuterisation et modeacutelisation des mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
-
- Avant propos
- Table des matiegraveres
-
- Introduction geacuteneacuterale
- Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoart
-
- I1 Historique de la supraconductiviteacute
- I2 Grandeurs caracteacuteristiques des Supraconducteurs
-
- I21 Tempeacuterature critique
- I22 Champ magneacutetique critique
-
- I221 Supraconducteurs Type I
- I222 Supraconducteurs Type II
-
- I23 Densiteacute de courant critique JC
- I24 Surface critique
-
- I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
-
- I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
-
- I311Supraconducteur YBa2Cu3O7-δ
-
- a- Preacutesentation
- b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuO
- c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuO
-
- I32 Supraconducteur MgB2
-
- a- Preacutesentation
- b- Structure cristalline de MgB2
- c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2
-
- I4 Modegraveles des supraconducteurs
-
- I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)
-
- I411 Preacutesentation du modegravele
- I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long notion de peacuteneacutetration complegravete
-
- I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)
- I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et n
-
- I5 Meacutethodes drsquoaimantation
-
- I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)
- I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC)
- I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization (PFM)
-
- I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTC
-
- I51 Meacutethode eacutelectrique
- I52 Meacutethode magneacutetique
-
- I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastille
-
- I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur le champ de peacuteneacutetration
- I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de lrsquoexposant-n et Jc
-
- I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille
-
- I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et BP
-
- I6 Objectifs de la thegravese
-
- Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
-
- II1 Introduction
- II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveses
- II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetique
-
- II31 Reacutegion I R3ltrltR4 et 0ltzltZ5
- II32 Reacutegion II R2ltrltR3 et 0ltzltZ5
- II33 Reacutegion III R1ltrltR2 et 0ltzltZ5
- II34 Reacutegion IV 0ltrltR1 et Z2ltzltZ3
- II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0
-
- II4 Conditions de passages entres interfaces
-
- II41 Condition drsquointerface agrave r=R3
- II42 Condition drsquointerface agrave r=R2
- II43 Condition drsquointerface agrave r=R1
-
- II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobine
- II6 Reacutesultats analytiques et discussion
- II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
-
- II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
- II72 Conditions de passages entres interfaces
-
- II721 Interface agrave r = R4
- II722 Interface agrave r = R3
- II723 Interface agrave r = R2
- II724 Interface agrave r = R1
-
- II72 Expression analytique de lrsquoinductance
- II73 Reacutesultats et discussion
-
- II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique impulsionnel
- II9 Conclusion
-
- Chapitre 3 Prise en compte de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de leur caracteacuterisation
-
- III1 Introduction
- III2 Description du banc expeacuterimental
-
- III21 Les pastilles SHTC
- III22 Le circuit drsquoaimantation
- III23 Instrumentation
-
- III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTC
-
- III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hall
- III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de la pastille
- III33 Simulations numeacuteriques
-
- III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles
- III5 Conclusion
-
- Conclusion geacuteneacuterale et perspectives
- Liste des illustrations graphiques et tableaux
- Reacutefeacuterences
- Annexes
-
- Annexe I reacutesolution des eacutequations de Laplace et de Poisson
- Annexe II Condition de passage agrave lrsquointerface entre les reacutegions III et IV agrave r =R1
- Annexe III Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
-
3
II72 Conditions de passages entres interfaceshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II721 Interface agrave r = R4helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II722 Interface agrave r = R3helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II723 Interface agrave r = R2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 68
II724 Interface agrave r = R1helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 69
II73 Expression analytique de lrsquoinductance helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 72
II74 Reacutesultats et discussion helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 73
II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique
impulsionnelhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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II9 Conclusionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 82
Chapitre 3 Prise en compte de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de leur
caracteacuterisationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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III1 Introductionhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 84
III2 Description du banc expeacuterimental helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 85
III21 Les pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 86
III22 Le circuit drsquoaimantationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 87
III23 Instrumentation helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 89
III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 91
III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hallhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 91
III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de
la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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III33 Simulations numeacuteriqueshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 94
III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux
pastilleshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
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III5 Conclusion helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 105
Conclusion geacuteneacuterale et perspectiveshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 107
Listes des illustrations graphiques et tableauxhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 110
Reacutefeacuterences helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 116
Annexeshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 124
Annexe Ihelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 125
Annexe IIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 132
Annexe IIIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 137
4
Introduction geacuteneacuterale
5
Faire leacuteviter un train ou avoir des cacircbles eacutelectriques beaucoup plus puissants pour le
transport du courant sans perte drsquoeacutenergie sont devenus possibles gracircce au pheacutenomegravene de la
supraconductiviteacute La deacutecouverte des mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature
critique (SHTC) agrave bases drsquooxydes de cuivre donne des nouvelles possibiliteacutes pour des
applications en eacutelectrotechnique a cause de leurs proprieacuteteacutes exceptionnelles Ils peuvent
transporter lrsquoeacutenergie eacutelectrique avec des pertes neacutegligeables en courant eacutelectrique continu et
tregraves inferieures agrave celles des conducteurs classique en courant alternatif mais aussi eacutecranter ou
pieacuteger des champs magneacutetiques eacuteleveacutes par rapport aux aimants permanents conventionnels
Sur cette deuxiegraveme qualiteacute exceptionnelle de nombreuses eacutetudes ont porteacute sur lrsquoameacutelioration
des systegravemes drsquoaimantation de mateacuteriaux SHTC massifs dont la modeacutelisation et la simulation
sont fortement recommander afin drsquooptimiser les processus
Parmi les mateacuteriaux SHTC les oxydes mixtes de baryum de cuivre et dyttrium ou
YBaCuO a eacuteteacute le premier oxyde de la famille des cuprates agrave preacutesenter une tempeacuterature
critique supeacuterieure au point drsquoeacutevaporation de lrsquoazote liquide Beaucoup drsquoeacutetudes portent sur
lrsquoeacutelaboration et la mise en forme de ce composeacute sous forme de massifs et de rubans Pour
optimiser les proprieacuteteacutes supraconductrices de ce mateacuteriau des conditions particuliegraveres de
croissances et de stœchiomeacutetrie doivent ecirctre satisfaites Des meacutethodes de caracteacuterisations des
pastilles SHTC ont eacuteteacute proposeacutees au niveau du laboratoire GREEN afin de mettre en œuvre
ces pastilles dans des applications dans le domaine de lrsquoeacutelectrotechnique Ces meacutethodes
portent sur la mesure de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete et par la suite de calculer
la densiteacute de courant critique qui est geacuteneacuteralement supposeacutee constante dans tout le volume de
la pastille
Le travail de recherche de cette thegravese porte sur la modeacutelisation et la caracteacuterisation de
mateacuteriaux SHTC Le but final est drsquooptimiser le processus drsquoaimantation par un champ pulseacute
ou PFM (Pulsed Field Magnetization) Ainsi le comportement drsquoune pastille SHTC placeacutee
dans le circuit ferromagneacutetique drsquoaimantation par PFM doit ecirctre eacutetudieacute afin de faire un
dimensionnement optimal de lrsquoinducteur du systegraveme drsquoaimantation Pour cela il est preacutefeacuterable
de maitriser des meacutethodes de calculs analytiques de champ magneacutetique pour acceacuteleacuterer
nettement le processus drsquoaimantation Pour permettre de bien modeacuteliser les pastilles SHTC
les meacutethodes de caracteacuterisations de ces pastilles doivent ecirctre ameacutelioreacutees et surtout adapteacutees agrave
la taille et au frome de ces pastilles Ceci explique le plan de cette thegravese en deux parties
relativement indeacutependantes
6
Dans le premier chapitre nous allons preacutesenter un rappel historique sur la
supraconductiviteacute puis les grandeurs et les proprieacuteteacutes caracteacuteristiques des mateacuteriaux
supraconducteurs Ensuite nous allons deacutecrire les diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantations et
nous terminons par une description des meacutethodes de caracteacuterisations deacuteveloppeacutees au niveau
du laboratoire GREEN de lrsquouniversiteacute de Lorraine
Le deuxiegraveme chapitre est deacutedieacute agrave la modeacutelisation analytique du systegraveme drsquoaimantation
par PFM Le modegravele analytique proposeacute permet de calculer lrsquoinductance de lrsquoensemble
composeacute drsquoune bobine inductrice drsquoun circuit ferromagneacutetique et en preacutesence drsquoune pastille
supraconductrice ce qui est un apport important de cette thegravese Ce modegravele sera valideacute
numeacuteriquement en utilisant le logiciel COMSOL souvent utiliseacute dans le domaine de la
supraconductiviteacute appliqueacutee
Le troisiegraveme chapitre sera consacreacute agrave la caracteacuterisation des pastilles SHTC et
particuliegraverement agrave lrsquoeacutetude de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC de type YBaCuO en termes
de densiteacute de courant critique La caracteacuterisation de ces pastilles se fait agrave lrsquoaide de la mesure
de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete lors de lrsquoaimantation de cette pastille par la
meacutethode PFM De cette mesure on deacuteduit la densiteacute de courant critique Jc Lrsquoinfluence de la
position du germe de cristallisation dans les meacutethodes de caracteacuterisation sera eacutegalement
eacutetudieacutee
7
Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoart
8
I1 Historique de la supraconductiviteacute
Les proprieacuteteacutes eacutelectriques et magneacutetiques de certains mateacuteriaux changent de maniegravere
cruciale agrave de tregraves basses tempeacuteratures Parmi ces mateacuteriaux on cite les mateacuteriaux dits
laquo supraconducteurs raquo Ces mateacuteriaux perdent totalement leurs reacutesistances au passage du
courant eacutelectrique et expulsent les lignes des champs magneacutetiques on parle dans ce cas de
figure drsquoun pheacutenomegravene physique assez intriguant et inteacuteressant qui srsquoappelle laquo la
supraconductiviteacute raquo Ce pheacutenomegravene est devenu un domaine tregraves passionnant de la physique
surtout qursquoil a mis en doute les principes eacutetablis de cette science notamment en
eacutelectromagneacutetisme Sa deacutecouverte datant de 1911 est due au physicien Neacuteerlandais Heike
Kamerlingh Onnes (1853-1926) lors de son eacutetude du comportement eacutelectrique des meacutetaux tregraves
purs agrave tregraves basse tempeacuterature apregraves avoir reacuteussi agrave liqueacutefier lheacutelium en 1908 pour atteindre
une tempeacuterature de 42 K soit -26895degC [1-5] On savait deacutejagrave que geacuteneacuteralement la reacutesistiviteacute
des meacutetaux diminue lineacuteairement en abaissant la tempeacuterature jusqursquoagrave une certaine valeur Au-
dessous de cette valeur elle reste geacuteneacuteralement constante mecircme en diminuant la tempeacuterature
Cette reacutesistiviteacute appeleacutee reacutesistiviteacute reacutesiduelle est due aux impureteacutes ainsi aux deacutefauts dans la
structure cristalline deacutejagrave preacutesente dans le meacutetal Onnes remarqua qursquoagrave une tempeacuterature
infeacuterieure agrave 415 degk (appeleacute tempeacuterature critique) la reacutesistiviteacute eacutelectrique du mercure tombe
brusquement agrave zeacutero (Figure I1) Une anneacutee apregraves il observa le mecircme pheacutenomegravene lors des
essais similaires reacutealiseacutes avec de lrsquoeacutetain et du Plomb (qui sont des tregraves mauvais conducteurs agrave
tempeacuterature ambiante) agrave des tempeacuteratures critiques de 37K et 6K respectivement
Figure I1 Reacutesistiviteacute eacutelectrique de mercure agrave basse tempeacuterature [2]
9
Au deacutebut toutes les recherches qui ont eacuteteacute consacreacutees pour percer le mystegravere de ce
pheacutenomegravene de supraconductiviteacute ont eacuteteacute de types pheacutenomeacutenologiques comme par exemple la
deacutecouverte de lrsquoeffet Meissner en 1933 [6-9] par les deux physiciens allemands Walter
Meissner (1882-1974) et Robert Ochsenfeld (1901-1993) qui consiste agrave observer la capaciteacute
du mateacuteriau supraconducteur agrave exclure les lignes du champ magneacutetique preacutesent dans son
voisinage immeacutediat le courant eacutelectrique est porteacute par des paires drsquoeacutelectrons apparieacutes qui
peuvent se mouvoir sans aucune reacutesistance ni dissipation En preacutesence drsquoun champ
magneacutetique les paires drsquoeacutelectrons engendrent des courants de surface permanents qui agrave leur
tour creacuteent au cœur du mateacuteriau un champ magneacutetique qui annule le champ externe Crsquoest sur
cet effet appeleacute aussi diamagneacutetisme parfait que se base la leacutevitation magneacutetique Cependant
lrsquoeffet Meissner nrsquoa lieu que si le champ externe est suffisamment faible
En 1935 la theacuteorie de London a eacuteteacute mise en place par les fregraveres Fritz London (1900-
1954) et Heinz London (1907-1970) [1011] pour expliquer le pheacutenomegravene drsquoexpulsion du
champ magneacutetique dans tout le mateacuteriau supraconducteur agrave lrsquoexception drsquoune couche de
surface du mateacuteriau Le champ magneacutetique deacutecroicirct exponentiellement agrave lrsquointeacuterieur du
mateacuteriau et peacutenegravetre sur une longueur caracteacuteristique 20L sm n eλ micro= appeleacutee longueur de
peacuteneacutetration de London avec ns eacutetant la densiteacute des laquosupra eacutelectronraquo m et e sont
respectivement la masse et la charge eacutelectrique des eacutelectrons et 0micro est la permeacuteabiliteacute du vide
Pour des supraconducteurs conventionnels Lλ varie entre 100 et 1000Å
Pendant plusieurs anneacutees les physiciens ont cru qursquoil existe un seul type de mateacuteriaux
supraconducteurs jusqursquoagrave lrsquoarriveacutee de la theacuteorie de Ginzburg-Landau en 1950 [12] une autre
theacuteorie pheacutenomeacutenologique qui a eacuteteacute mise en place par les physiciens sovieacutetiques V L
Ginzburg (1916-2009) et L D Landau (1908-1968) et qui a permis drsquoexpliquer les proprieacuteteacutes
macroscopiques des supraconducteurs Ils ont introduit une constante k quasiment
indeacutependante de la tempeacuterature appeleacutee constante de Ginzburg-Landau En particulier Alexei
Abrikosov (1928-2017) montre quavec cette theacuteorie on peut preacutevoir lexistence de deux
cateacutegories de supraconducteurs (types I et II)
En 1957 J Bardeen (1908-1991) L N Cooper (1930) et JR Schrieffer (1931-2019)
ont expliqueacute la supraconductiviteacute de faccedilon microscopique par la formation des paires
drsquoeacutelectrons appeleacute paires de Cooper sous lrsquoeffet drsquoune interaction attractive entre eacutelectrons
reacutesultant de lrsquoeacutechange de phonons [9 13 14] A basse tempeacuterature ces eacutelectrons ne subissent
aucune dissipation drsquoeacutenergie par effet joule car ils ne rencontrent aucune reacutesistance donc ils
10
sont capables de se deacuteplacer agrave travers le mateacuteriau sans aucun frottement crsquoest la theacuteorie BCS
Malheureusement cette theacuteorie nrsquoest valable que pour des mateacuteriaux supraconducteurs agrave basse
tempeacuterature (environ 30 K)
Avec lrsquoarriveacutee de lrsquoanneacutee 1986 une deacutecouverte deacutecisive a eacuteteacute faite dans le domaine de
la supraconductiviteacute Karl Alexander Muumlller (1927) et Johannes Georg Bednorz (1950)
chercheurs du laboratoire de recherche IBM agrave Ruumlschlikon en Suisse ont deacutecouvert un oxyde
agrave base de Baryum de Lanthane de Cuivre et drsquoOxygegravene (Ba-La-Cu-O) agrave une tempeacuterature de
34degK [15-17]
Cette deacutecouverte a deacuteclencheacute une vague dactiviteacutes dans le domaine de la supraconductiviteacute
Des chercheurs du monde entier ont commenceacute agrave cuisiner des ceacuteramiques de toutes les
combinaisons imaginables dans le but de trouver des supraconducteurs agrave des tempeacuteratures
plus en plus hautes
En janvier 1987 une eacutequipe de chercheurs de lrsquoUniversiteacute drsquoAlabama-Huntsville a
remplaceacute le lanthane par lrsquoyttrium dans les moleacutecules de BaLaCuO et a obtenu un incroyable
rendement agrave une tempeacuterature de 92 K Pour la premiegravere fois on avait deacutecouvert un mateacuteriau
supraconducteur (appeleacute aujourdhui YBaCuO) agrave des tempeacuteratures supeacuterieures agrave celles de
lazote liquide [18-20]
Apregraves des nouvelles geacuteneacuterations de composeacutes baseacutes sur lrsquooxyde de cuivre apparurent
avec des tempeacuteratures critiques qui deacutepassent la tempeacuterature de lrsquoheacutelium liquide tel que La-
Sr-Cu-O Y-Sr-Cu-O Bi-Sr-Ca-Cu-O Ta-Ba-Cu-O et Ti-Sr-Ca-Cu-O [21-28]
Tregraves reacutecemment une eacutequipe de linstitut Max-Planck de chimie de Mayence (Allemagne)
annonccedilait avoir observeacute des signes de lapparition dune phase supraconductrice dans
lrsquo hydrure de lanthane(LaH10) agrave une tempeacuterature de seulement 250 K soit environ -23 degC
mais ce composeacute nrsquoest pas stable qursquoagrave tregraves haute pression [29]
11
Figure I2 Historique des deacutecouvertes de la tempeacuterature critique
I2 Grandeurs caracteacuteristiques des Supraconducteurs
La supraconductiviteacute est un eacutetat de la matiegravere dont les proprieacuteteacutes eacutelectromagneacutetiques
exceptionnelles tel que la reacutesistance nulle et lrsquoexpulsion du champ magneacutetique jouent un rocircle
tregraves important tant du point de vue physique fondamentale que du point de vue application
Un supraconducteur est caracteacuteriseacute par trois grandeurs fondamentales tempeacuterature critique
CT champ magneacutetique critique119867119867119867119867 et la densiteacute de courant critique Jc Ces trois grandeurs
sont tregraves correacuteleacutees et forment ce qursquoon appelle la surface critique drsquoun mateacuteriau
supraconducteur
I21 Tempeacuterature critique
La tempeacuterature critique est la tempeacuterature en dessous de laquelle la reacutesistance tombe agrave
zeacutero et le mateacuteriau devient supraconducteur La transition apparaicirct comme une transition de
phase de lrsquoeacutetat normal vers lrsquoeacutetat supraconducteur de la matiegravere Plusieurs mateacuteriaux
preacutesentent des transitions de phase supraconductrices agrave basses tempeacuteratures La tempeacuterature
critique la plus eacuteleveacutee eacutetait denviron 23 K jusquagrave la deacutecouverte en 1986 de certains
supraconducteurs agrave haute tempeacuterature
Environ trente (30) meacutetaux purs et quelques alliages tel que 3Nb Sn [3063] et NbTi
[3132] preacutesentent une reacutesistiviteacute nulle agrave basse tempeacuterature et ont la proprieacuteteacute drsquoexclure les
12
champs magneacutetiques de lrsquointeacuterieur de ces supraconducteurs (Effet Meissner voir Tableau I1)
Ce type de supraconducteurs est appeleacutelaquo Supraconducteurs agrave Basse Tempeacuterature Critique
(SBTC) raquo [33]
Figure I3 Etat noraml et supraconducteur drsquoun meacutetal en fonction de la tempeacuterature
Par contre les ceacuteramiques en oxyde de cuivre et de baryum qui ont atteint leacutetat
supraconducteur agrave des tempeacuteratures beaucoup plus eacuteleveacutees sont souvent appeleacutees
laquo supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) raquo et forment une classe agrave part [37]
Tableau I1 Tempeacuterature critique de quelques mateacuteriaux supraconducteurs
Eleacutement Tc (K) Eleacutement Tc (K) Eleacutement Tc (K)
Al Be Cd Ga Hf Hg In Ir La Mo
1175 0023 055 109 013 415 341 014 488 092
Nb Np Os Pa Pb Re Rh Ru Sn Ta
92 0075 065 140 72 17 00003 05 375 447
Tc Th Ti Tl U V W Zn Zr Lu
78 137 039 239 02 53 0012 09 055 01
Composeacute Tc (K) Composeacute Tc (K) Composeacute Tc (K)
Nb3Sn Nb3Ge Cs3C60 Nb06Ti04
181 232 19 98
MgB2 YPd2B2C HoNi2B2C PuCoGa5
39 23 75 185
UPt3 UPd2Al3 URu2Si2 YNi2B2C
05 2 12 155
Supraconducteurs agrave HTc Tc (K) Supraconducteurs agrave HTc Tc (K)
183 017 4La Sr CuO
2 3 7YBa Cu O δminus
2 2 2 3 10Bi Sr Ca Cu O
40 93 110
2 2 2 3 1 0Tl Ba Ca Cu O δ+
2 2 3 8HgBa Ca Cu O
08 02 2 2 3 833Hg Tl Ba Ca Cu O
127 135 138
13
I22 Champ magneacutetique critique
Quand on applique un champ magneacutetique sur un supraconducteur soumis agrave une
tempeacuterature critique TC ce champ reste autour du mateacuteriau sans le peacuteneacutetrer Si on augmente
ce champ agrave un point donneacute le supraconducteur revient agrave son eacutetat normal de reacutesistiviteacute A ce
point ce champ magneacutetique est connu comme champ magneacutetique critique et est noteacute Hc Le
champ magneacutetique critique est fortement deacutependant de la tempeacuterature critique Tc du
supraconducteur
Les champs magneacutetiques eacuteleveacutes deacutetruisent la supraconductiviteacute et le mateacuteriau passe agrave lrsquoeacutetat
normal En fonction du caractegravere de cette transition on peut distinguer deux types de
supraconducteurs
I221 Supraconducteurs Type I
La figure I4 montre la variation du champ magneacutetique interne (induit)119867119867119867119867 en fonction
du champ externe appliqueacute Ha En augmentant le champ appliqueacute on remarque au deacutepart que
le champ interne reste nul (Effet Meissner [6-9]) jusqursquoagrave ce qursquoun champ magneacutetique critique
HC soit atteint ougrave se produit une transition brutale vers lrsquoeacutetat normal cela se traduit par la
peacuteneacutetration du champ appliqueacute agrave linteacuterieur du mateacuteriau Les supraconducteurs qui subissent
cette transition brutale agrave leacutetat normal au-dessus du champ magneacutetique critique sont appeleacutes
supraconducteurs de type I le Plomb pur est consideacutereacute comme eacutetant le plus fort
supraconducteur de type I avec un champ critique drsquoenviron 800 Gauss (80 mT) Tous les
supraconducteurs purs ont tendance drsquoecirctre des supraconducteurs de type I [3536]
Figure I4 Repreacutesentation de champ magneacutetique induit en fonction du champ magneacutetique
appliqueacute pur les supraconducteurs de type I
14
I222 Supraconducteurs Type II
Les supraconducteurs de type II reacutepondent diffeacuteremment agrave un champ magneacutetique
appliqueacute comme le montre la figure I5 En effet un champ induit croissant agrave partir de zeacutero se
traduit par deux champs critiques Hc1 et Hc2
Agrave Hc1 le champ appliqueacute commence agrave peacuteneacutetrer partiellement agrave linteacuterieur du
supraconducteur agrave travers des tubes volumiques dans un eacutetat normal qui srsquoappellent
laquo Vortex raquo et la supraconductiviteacute est encore maintenue Au-dessus de Hc2 la
supraconductiviteacute disparaicirct et le mateacuteriau passe agrave lrsquoeacutetat normal Pour les valeurs
intermeacutediaires entre Hc1 et Hc2 le mateacuteriau supraconducteur se trouve dans un eacutetat mixte
Geacuteneacuteralement Hc2 est plus eacuteleveacute que Hc1 et 0 2Hcmicro peut atteindre plusieurs Tesla
pour cette raison les supraconducteurs de type II sont devenus les plus utiles sur le plan
technologique La plupart des composeacutes illustreacutes dans le tableau I1 sont des supraconducteurs
de type II Les fils fabriqueacutes agrave partir de niobium-eacutetain (Nb3Sn) ont un champ 0 2Hcmicro eacutegal agrave
environ 25 teslas ce qui les rend utiles pour des applications neacutecessitant des champs
magneacutetiques eacuteleveacutes Actuellement le niobium titane (NbTi) est le mateacuteriau le plus mature
technologiquement avec un champ 0 2 12 teslasHcmicro = il est largement utiliseacute dans machines
dimagerie par reacutesonance magneacutetique (IRM)
En geacuteneacuterale les applications en eacutelectrotechnique neacutecessitent habituellement la creacuteation
de forts champs magneacutetiques (de lrsquoordre de plusieurs teslas) ce qui limite lrsquoutilisation des
supraconducteurs de type I
Figure I5 Repreacutesentation graphique (a) des diffeacuterentes drsquoeacutetats des supraconducteurs de type
II et (b) du champ magneacutetique induit en fonction du champ magneacutetique appliqueacute pour les supraconducteurs de type II
15
I23 Densiteacute de courant critique JC
Pour les supraconducteurs de type I le courant critique deacutecoule directement du champ
magneacutetique critique Il peut ecirctre deacutetermineacute par la regravegle de Silsbee [34] crsquoest le courant qui
produit le champ magneacutetique critique agrave la surface du mateacuteriau Pour un cylindre de diamegravetre
D on deacutefinit ce courant par Ic DHcπ=
La densiteacute de courant critique est donneacutee donc par
C CJ I S=
Pour les supraconducteurs type II dans lrsquoeacutetat mixte la peacuteneacutetration du champ
magneacutetique se manifeste par la preacutesence drsquoun reacuteseau de vortex de flux que lrsquoon peut
repreacutesenter sous la forme de boucles eacuteleacutementaire de courant La circulation du courant de
transport dans le supraconducteur geacutenegravere une force de type Laplace ( )LF J B= times
qui agit sur
ces vortex Une force drsquoancrage est creacuteeacutee et permet aux tubes de vortex de se fixer dans la
matiegravere La densiteacute de courant critique JC est donc lieacutee agrave lrsquoancrage de ces vortex [34] La
force drsquoancrage est deacutefinie ainsi par P CF J B= times
Si toutefois la densiteacute de courant deacutepasse la
valeur de JC la force FL exerceacutee sur les vortex sera supeacuterieure agrave la force drsquoancrage FP et les
vortex commencent agrave se deacuteplacer Ce deacuteplacement induit un champ eacutelectrique non nul aux
borne du mateacuteriau et provoque une dissipation importante drsquoeacutenergie ce qui fait transiter le
mateacuteriau de lrsquoeacutetat supraconducteur agrave lrsquoeacutetat reacutesistif
Le courant critique drsquoun mateacuteriau supraconducteur est lrsquoorigine de trois courants courant de
transport courant induit et les supra-courants Figure I6
Figure I6 Reacuteseaux vortex dans un mateacuteriau supraconducteur de type II
16
Une grande deacuteception apregraves la deacutecouverte de la supraconductiviteacute agrave haute tempeacuterature
critique fut la faible valeur de leur densiteacute de courant critique Jc Celle-ci est due agrave la
difficulteacute de syntheacutetiser de ces mateacuteriaux sous forme de monocristaux de taille laquo reacutealiste raquo
(supeacuterieure agrave quelque mm2) Tregraves souvent les eacutechantillons volumiques se preacutesentent sous
forme de grains accoleacutes aleacuteatoirement les uns aux autres (poly-cristal) Dans ce cas le courant
supraconducteur se fraie un chemin dans lrsquoeacutechantillon en passant agrave travers les joints de grains
La densiteacute de courant critique correspondante (intergrain) est geacuteneacuteralement de deux ou trois
ordres de grandeur infeacuterieure agrave la densiteacute de courant critique de grain lui-mecircme (intragrain)
[3839] figure I7
Figure I7 Densiteacute de courant intergrain et intragrain dans un mateacuteriau
supraconducteur
En conseacutequence un des buts technologiques des recherches actuelles en
supraconductiviteacute est lrsquooptimisation de la densiteacute de courant critique intergrain des mateacuteriaux
supraconducteurs pour une tempeacuterature donneacutee et en preacutesence drsquoun champ magneacutetique
intense en modifiant les paramegravetres de ses microstructures (taille et orientation des grains)
Parmi les techniques utiliseacutees pour accroicirctre la densiteacute de courant critique intergrain est la
technique drsquoalignement des grains supraconducteurs Ce processus est appeleacute texturation Des
microstructures typiques drsquoeacutechantillons drsquoYBaCuO respectivement textureacutes et non textureacutes
sont preacutesenteacutees sur la figure I8
17
Figure I 8 Microstructure drsquoun mateacuteriau Supraconducteur agrave Haute Tempeacuterature critique
(SHTC) de formule chimique 2 3 7YBa Cu O δminus
Un mateacuteriau non textureacute comprend un grand nombre de grains de tregraves petite taille
(quelques microns) Sa densiteacute de courant critique est de lrsquoordre de 100 Acm2 et deacutecroicirct
rapidement en preacutesence drsquoun faible champ magneacutetique (quelques mT) [39] Par contre les
grains preacutesents dans un eacutechantillon textureacute peuvent ecirctre relativement volumineux Si
lrsquoeacutechantillon est constitueacute drsquoun seul grain de taille importante on parle de STHC mono-
domaine Les densiteacutes de courant critiques associeacutees aux mono-domaines drsquoYBaCuO textureacutes
sont de lrsquoordre de 10 000 Acm2 agrave T=77K et B=1T De telles valeurs sont compatibles avec
les exigences requises pour diffeacuterentes applications industrielles en eacutelectrotechnique
I24 Surface critique
Lrsquoeacutetat supraconducteur eacutetant limiteacute par les trois grandeurs caracteacuteristiques physiques
la tempeacuterature critique (Tc) le champ magneacutetique critique (Hc) et la densiteacute de courant
critique (Jc) Chacun de ces grandeurs deacutepend fortement des deux autres grandeurs Le
maintien de lrsquoeacutetat supraconducteur exige que le champ magneacutetique la densiteacute de courant et la
tempeacuterature demeurent au-dessous des valeurs critiques qui deacutependent du mateacuteriau
En repreacutesentation 3D lrsquoaire deacutelimiteacutee lorsque lrsquoon prend en compte les trois grandeurs
(Tc Hc Tc) est appeleacutee laquo surface critique raquo figure I-7 En partant de cette surface vers
lrsquoorigine le mateacuteriau est supraconducteur Les valeurs les plus eacuteleveacutees pour HC et JC sont
obtenues agrave T = 0K alors que la valeur la plus eacuteleveacutee pour la TC est obtenue quand H et J sont
18
agrave zeacutero Lorsque lrsquoon trouve dans les reacutegions en dehors de cette surface le mateacuteriau est dans
lrsquoeacutetat normal ou mixte
Figure I9 Surface critique et ordre de grandeur des paramegravetres critique de quelques
mateacuteriaux Supraconducteurs [40]
I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
La mise en eacutevidence de la supraconductiviteacute dans les mateacuteriaux SHTC notamment
dans lrsquoYBaCuO par Maw-Kuen Wu et al en 1987 [19] agrave une tempeacuterature critique qui deacutepasse
la tempeacuterature de lrsquoHeacutelium liquide eu un retentissement plus important et rend la recherche
dans le domaine de la supraconductiviteacute agrave haute tempeacuterature critique tregraves attrayante et tregraves
prometteuse pour de nombreuses applications Comprendre les proprieacuteteacutes et les meacutecanismes
de fonctionnement de ces mateacuteriaux qui deacutejouent toute attente est un enjeu majeur des
recherches actuelles Et si la supraconductiviteacute agrave tempeacuterature ambiante reste pour lrsquoinstant un
recircve pour les chercheurs les supraconducteurs nrsquoont pas fini de bousculer la physique
theacuteorique
Trois familles principales de ces ceacuteramiques sont distingueacutees [41]
- Baseacutee sur le Bismuth ceacuteramique de BiSrCaCuO appeleacutee aussi laquo BSCCO raquo
- Baseacutee sur les terres rares Rare Earth (RE) ceacuteramique de RE-BaCuO
communeacutement appeleacutee laquo Re-BCO raquo Lrsquoeacuteleacutement de terre rare utiliseacute peut ecirctre
de lrsquoYttrium du Neacuteodyme du Samarium ou du Gadolinium selon les
proprieacuteteacutes rechercheacutees
- Baseacutee sur le Thallium ceacuteramique de TlBaCaCuO communeacutement appeleacutee laquo
TBCCO raquo avec des tempeacuteratures de fonctionnement supeacuterieures
19
Ces mateacuteriaux sont aujourdrsquohui les plus utiliseacutes pour les applications industrielles et la
recherche en eacutelectrotechnique
I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
Lrsquo2 3 7YBa Cu O δminus
(YBaCuO ou Y-123) le 2 2 2 8 xBi Sr CaCu O + (BSCCO ou Bi-2212) et le
2 2 2 3 10 xBi Sr Ca Cu O + (Bi-2223) repreacutesentent aujourdrsquohui les mateacuteriaux SHTC les plus usiteacutes
pour les applications industrielles et la recherche en eacutelectrotechnique Or avec une
appartenance commune aux ceacuteramiques ces deux mateacuteriaux reposent sur des proceacutedeacutes de
fabrication diffeacuterents Leurs proprieacuteteacutes permettent de les utiliser sous diverses formes
poudres massifs fils et deacutepocircts en monocouche (figure I10) [41]
Figure I10 Diffeacuterentes formes des SHTC a) pastille YBaCuO en massifs b) YBaCuO en
monocouche c) tubes de BSCCO
Certains mateacuteriaux SHTC comme le BiSCCO sont constitueacutes de poudre compresseacutee
On les trouve sous forme de tubes massifs servant drsquoameneacutees de courant ou de blindage
magneacutetique [42] Ces mateacuteriaux permettent aussi la fabrication des cacircbles conducteurs mono
ou multi- filamentaires SHTC Ces cacircbles supraconducteurs ont eacuteteacute exploiteacutes pour la premiegravere
fois aux Etats-Unis agrave partir de 2006 dans le cadre de deacutemonstrateurs subventionneacutes Puis des
liaisons furent inteacutegreacutees agrave des reacuteseaux de distribution et de transport au Japon en Coreacutee en
Chine Et pour la premiegravere fois en Allemagne en 2014 dans le bassin de la Ruhr dans un
environnement 100 public urbain Un cacircble supraconducteur drsquoun kilomegravetre a eacuteteacute reacutealiseacute par
Nexans et lrsquoeacutenergeacuteticien allemand RWE et qui a eacuteteacute mise en service agrave Essen
En 2014 eacutegalement le CERN et dans le but drsquoameacuteliorer lrsquoalimentation de ses
acceacuteleacuterateurs de particules a reacuteussi de transiteacute un courant eacutelectrique de 20000 Ampegraveres par un
cacircble supraconducteur en MgB2
20
Une particulariteacute inteacuteressante des SHTC tels que Y-123 est sa faible reacutesistance de
surface par rapport agrave celle du cuivre il permet drsquoutiliser ce mateacuteriau dans la reacutealisation de
dispositifs micro-onde utiliseacutes dans des applications en micro-eacutelectronique et en technique
micro-onde Deacuteposer sous forme de couches minces il permet la reacutealisation de reacutesonateurs agrave
haute performance de taille plus faible et plus leacutegers que les reacutesonateurs conventionnels Un
champ important drsquoapplications pour ces reacutesonateurs est ouvert pour les filtres utiliseacutes dans
les technologies de la communication notamment pour les satellites
Lrsquoaimantation des mateacuteriaux SHTC massifs trouve reacutecemment son inteacuterecirct dans
lrsquoindustrie Le pheacutenomegravene de leacutevitation magneacutetique dans les bulk SHTC est largement
exploiteacute dans la mise en service des trains Maglev-Cobra [4344] ce sont des veacutehicules
destineacutes au transport urbain des passagers flottant sur des rails sans aucun contact avec le sol
Cette technologie est baseacutee sur la leacutevitation magneacutetique geacuteneacutereacutee par des aimants situeacutes sur les
pistes et des pastilles supraconductrices dans le train dans le cas des trains agrave leacutevitation
supraconductrice
I311 Supraconducteur YBa2Cu3O7-δ
a- Preacutesentation
LrsquoOxyde mixte de Baryum de Cuivre de drsquoYttrium ou ce qui est connu communeacutement
par laquo YBaCuO raquo est un mateacuteriau cristallin supraconducteur de type II de formule chimique
YBa2Cu3O7-δ Il est connu pour avoir eacuteteacute parmi les premiers supraconducteurs qui possegravedent
des tempeacuteratures critiques supeacuterieures agrave celle de lrsquoazote liquide (77 K) et donc classeacute parmi
les mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) Ces tempeacuteratures ont
permis de reacuteduire consideacuterablement le cout de fonctionnement des mateacuteriaux dans lrsquoeacutetat
supraconducteur en utilisant la cryogeacutenie agrave lrsquoazote liquide au lieu de lrsquoheacutelium liquide qui
impose des tempeacuteratures infeacuterieures agrave 5 k
LrsquoYBaCuO est tregraves utiliseacute pour le deacuteveloppement des applications de la
supraconductiviteacute gracircce agrave sa bonne tenue sous un champ magneacutetique Ses applications
industrielles en massif impliquent de controcircler la croissance de larges monodomaines orienteacutes
dans des eacutechantillons de grande taille (plusieurs centimegravetres) Les YBaCuO massifs sont
obtenus par diffeacuterentes techniques drsquoeacutelaborations connus mais complexes dont on peu citeacute la
technique TSMG pour laquo top-seeding melt-texturing Growthraquo [45-53] une pastille fritteacute drsquoune
composition riche de yttrium est utiliseacutee Un germe 2 3 xSmBa Cu O (Sm123) monocristallin est
placeacute sur la pastille avant la texturation Le mateacuteriau Sm123 fait partie de la mecircme famille de
21
lrsquoY123 avec une structure cristalline identique par contre il est caracteacuteriseacute par un de fusion
qui est environ 50 degC plus eacuteleveacutee que celui drsquoY123 Ce qui permet une surchauffe tregraves
importante de la pastille YBaCuO pour une fusion complegravete du mateacuteriau en preacutesence de ce
germe Ensuite le systegraveme (pastille + germe) est refroidie jusqursquoagrave la tempeacuterature peacuteritectique 123Y
pT (~1010 degC) (point drsquoeacutequilibre entre les phases solides et liquides) un refroidissement
tregraves lent de 01 degh agrave 05 degh est reacutealiseacute pour obtenir la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO agrave
partir de germe de 2 3 xSmBa Cu O figure I11
Figure I11 Traitement thermique pour la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO par la
technique TSMG
b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuO
La structure cristalline de lrsquoYBa2Cu3O7-δ deacuterive de la structure tridimensionnelle de la
peacuterovskite ABO3 comme dans tous les meacutetaux de la famille des cuprates figure I12 elle
preacutesente une anisotropie structurale importante entre les deux directions principales du
mateacuteriau (Plan (a b) axe c) Ce composeacute est caracteacuteriseacute par la preacutesence de deux familles de
plans parallegraveles au plan (a b)
1- Plan CuO1- δ qui est constitueacute drsquoun atome de cuivre Cu(1) entoureacutes de 2 agrave 4 atomes
drsquooxygegravene selon la stœchiomeacutetrie Ces plans sont organiseacutes en chaines selon la
direction b du cristal pour δ=1
2- Plan CuO2 ce plan est constitueacute drsquoun atome de cuivre Cu(2) entoureacutes de cinq atomes
drsquooxygegravenes en formant une pyramide
La maille eacuteleacutementaire de lrsquoYBaCuO se compose en six (6) plans parallegraveles qui srsquoempilent
suivant lrsquoaxe (c) par 1CuO δminus BaO 2CuO Y 2CuO BaO figure I13
22
Figure I12 Structure cristalline tridimensionnelle de lrsquoYBa2Cu3O7-δ
Selon la stœchiomeacutetrie en oxygegravene YBaCuO peut se trouver en diffeacuterentes phases il
passe alors drsquoune structure orthorhombique supraconductrice pour δlt065 agrave une structure
teacutetragonale isolante pour 065ltδlt1 par suppression successive des atomes drsquooxygegravene de la
chaine CuO [54 97]
Le composeacute YBa2Cu3O7est la phase la plus oxygeacuteneacutee qui correspond agrave δ=0 ce composeacute
se cristallise dans une structure orthorhombique supraconductrice dont le groupe drsquoespace est
Pmmm et les paramegravetres de mailles sont a= 382 Aring b= 388 Aring et c=1169 Aring figure I13-(a)
Par contre la phase la moins oxygeacuteneacute correspond agrave δ=1 cette structure est
antiferromagneacutetique sa maille eacuteleacutementaire est quadratique de groupe drsquoespace P4mmm avec
des paramegravetres de maille a=b=386Aring et c=1184Aring [55] figure I13-(b)
Les deux structures sont relativement proches La transition
orthorhombiquequadratique a eacuteteacute observeacutee agrave 700 deg C dans une atmosphegravere contenant 100
doxygegravene Lors de cette transition les paramegravetres a et c augmentent et b diminue ce qui
renforce la symeacutetrie de la structure cristalline (Figure I14) et aussi induit des contraintes
atomiques et des deacutefauts comme les plans de macle qui constituent de bons sites drsquoencrages
pour les vortex [55]
23
(a) (b)
Figure I13 Repreacutesentation de structure (a) orthorhombique et (b) quadratique de la maille
eacuteleacutementaire du compos YBa2Cu3O7-δ
(a) (b)
Figure I14 Variation des paramegravetres de reacuteseau a b et c par rapport au deacuteficit en oxygegravene δ
[54]
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuO
Lrsquoanisotropie structurale drsquoYBaCuO conduit agrave lrsquoanisotropie des proprieacuteteacutes
supraconductrices Ces derniegraveres sont confineacutees dans le plan CuO2 Les proprieacuteteacutes eacutelectriques
et magneacutetiques de lrsquoYBaCuO seront diffeacuterentes selon son orientation [58] Le courant
24
eacutelectrique circule plutocirct dans le plan (a b) que suivant lrsquoaxe c [56] Ainsi la densiteacute de
courant eacutelectrique sera tregraves diffeacuterente selon la circulation parallegravele ou perpendiculaire du
courant par rapport au plan (a b) et aussi suivant lrsquoorientation du champ exteacuterieur appliqueacute
elle sera eacuteleveacutee agrave 77k lorsque le courant circule selon le plan (a b) (de lrsquoordre de 4 210 A cm
dans des massifs textureacutes et atteigne 6 210 A cm pour des eacutechantillons sous forme de couches
minces eacutepitaxieacutees [57])
Lrsquoanisotropie des caracteacuteristiques supraconductrices se retrouve aussi sur les valeurs
de champs critiques Hc1 et Hc2 Pour lrsquoYBaCuO massif agrave T=0K on a [55]
( )2
11 02 2 10c cc a b
H T H Tminus= = times
( ) 22 140 29c cc a b
H T H T= =
La tempeacuterature critique de la phase supraconductrice de lrsquoYBaCuO est fortement deacutependante
du taux drsquooxygegravene Lrsquooptimum est de 92 K pour une valeur de δ=008 [54] figure 115
Figure I15 Repreacutesentation de la tempeacuterature critique en fonction du deacuteficit en oxygegravene dans
la structure YBaCuO
I32 Supraconducteur MgB2
a- Preacutesentation
Le diborure de magneacutesium (MgB2) est un mateacuteriau dont les proprieacuteteacutes
supraconductrices ont eacuteteacute deacutecouvertes en 2001 par J Nagamatsu et al [59] Il preacutesente une
tempeacuterature critique de 39K et comme la limite entre la famille des supraconducteurs agrave basse
25
et agrave haute tempeacuterature critique est agrave environ de 30 K le MgB2 est classeacute donc parmi les
supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) Sa deacutecouverte a susciteacute un vif inteacuterecirct
car ses constituants sont bons marcheacutes et son proceacutedeacute de fabrication est semblable agrave celui des
supraconducteurs classiques
Diffeacuterents proceacutedeacutes pour la fabrication de MgB2 massif sont utiliseacutes Un premier
consiste agrave placer du magneacutesium dans un moule en Bore la supraconductiviteacute est obtenue
apregraves traitement thermique Drsquoautre utilisent un preacutecurseur sous forme de poudre de Bore et
de Magneacutesium qursquoil comprime sous haute pression [62] lrsquoensemble subit alors un traitement
thermique
b- Structure cristalline de MgB2
Le MgB2 se cristallise dans une structure Hexagonale de type AlB2 dont le groupe
drsquoespace est P6mmm les paramegravetres de mailles sont a = 308 Adeg et c=352 Adeg [5960] La
figure I16 montre que les atomes de bore sont disposeacutes en des couches similaires agrave celles du
graphite entre lesquels sont intercaleacutes des atomes de magneacutesium chaque atome de bore est agrave
distance eacutegale de trois autres atomes de bore La position drsquoatomes sont donneacutees comme suit
Mg (0 0 0) B (13 2312) (2313 12)
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2
Une forte anisotropie de la structure cristalline MgB2 est reacutesulteacute des successions de
couches de magneacutesium et de Bore (figure I11) cette anisotropie eacutetait connue depuis pregraves de
50 ans avant la deacutecouverte de la supraconductiviteacute de ce composeacute [61]
La premiegravere mesure directe drsquoune proprieacuteteacute supraconductrice anisotrope a eacuteteacute reacutealiseacutee
pour le champ magneacutetique critique Hc2 du bulk MgB2 un rapport 2 1 17ab cc cH Hγ = asymp avec
2abcH est le champ magneacutetique critique parallegravele au plan (ab) et 1
ccH est le champ magneacutetique
critique parallegravele agrave la direction de lrsquoaxeC
Depuis lors plusieurs chercheurs ont trouveacute des
valeurs de ce rapport comprises entre 11 et 16 pour une tempeacuterature variant de 32 K agrave 26 K
en utilisant diffeacuterents types drsquoeacutechantillons et diffeacuterentes techniques pour caracteacuteriser la
transition de lrsquoeacutetat normal vers lrsquoeacutetat supraconducteur
Lrsquoanisotropie de la densiteacute de courant critique a eacuteteacute eacutegalement eacutevalueacutee agrave lrsquoaide du
modegravele e Bean comme eacutetant 15ab cc cJ J asymp
26
Figure I16 Structure cristalline de MgB2
I4 Modegraveles des supraconducteurs
La connaissance des proprieacuteteacutes caracteacuteristiques drsquoun mateacuteriau supraconducteur joue un
rocircle important dans le dimensionnement drsquoun dispositif et par la suite pour deacutevelopper des
nouvelles applications dans le domaine industriel Diffeacuterentes meacutethodes de caracteacuterisations
sont adopteacutees dans le cas des supraconducteurs afin drsquoeffectuer des mesures des
caracteacuteristiques de ces mateacuteriaux agrave savoir la distribution du courant eacutelectrique densiteacute du
courant critique capaciteacute drsquoavoir un champ magneacutetique pieacutegeacute important hellipetc Les reacutesultats
obtenus peuvent diffeacuterer en fonction de la meacutethode de mesure choisie
Des meacutethodes de caracteacuterisations des pastilles supraconductrices ont eacuteteacute deacuteveloppeacute
dans le laboratoire GREEN qui ont pour but de mesurer la densiteacute du courant critique au
centre et sur la surface drsquoune pastille SHTC de type YBaCuO et cela agrave travers la
deacutetermination du champ magneacutetique de peacuteneacutetration dans la pastille
Avant de preacutesenter ces meacutethodes nous allons rappeler les deux modegraveles de caracteacuteristique
E(J) qui repreacutesente un supraconducteur
I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)
I411 Preacutesentation du modegravele
Le modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (1962) a eacuteteacute introduit par C P Bean (1923-1996)
dans le but drsquoeacutetudier lrsquoaimantation des supraconducteurs massifs [64 65] Il stipule qursquoagrave
tempeacuterature donneacutee la densiteacute de courant dans un supraconducteur est soit nulle soit eacutegale agrave
27
la densiteacute de courant critique Cest-agrave-dire que les supraconducteurs nrsquoexistent que dans les
deux cas suivants
- Une densiteacute de courant nulle pour les reacutegions ougrave le champ ne varie plus
- Une densiteacute de courant cJplusmn dans les reacutegions qui srsquooppose aux variations du champ
magneacutetique
ou 0cJ J J= plusmn =
Ce modegravele ne prend pas en consideacuteration la deacutependance de la densiteacute du courant
critique en champ magneacutetique et en tempeacuterature Aussi la discontinuiteacute de ce modegravele le rend
peu utilisable pour des deacuteveloppements numeacuteriques Par ailleurs gracircce agrave sa simpliciteacute ce
modegravele reste le plus utiliseacute dans les calculs analytiques afin drsquoeacutetudier les pertes en reacutegime
variable (AC) dans les rubans et aussi dans les pheacutenomegravenes de magneacutetisation [66][67]
En effet le modegravele de Bean connait un grand succegraves dans le cas des supraconducteurs
agrave basse tempeacuterature critique et lrsquoon y fait souvent reacutefeacuterence dans la litteacuterature
I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long notion
de peacuteneacutetration complegravete
En considegravere un cylindre supraconducteur infiniment long de rayon R soumis agrave un
champ magneacutetique exteacuterieur variable ( )aH t parallegravele agrave son axe
Nous allons eacutetudier la distribution de champ magneacutetique ( )B la densiteacute de courant eacutelectrique
( )J et le champ eacutelectrique dans ce cylindre supraconducteur
Le milieu supraconducteur de cylindre est repreacutesenteacute par 0micro micro= Les eacutequations neacutecessaires
pour deacuteterminer ces grandeurs se sont les eacutequations de Maxwell simplifieacutees suivantes
( ) I7BrotEt
part= minus
part
( )0 I8rotB Jmicro=
Les coordonneacutees cylindriques sont employeacutees Le champ magneacutetique appliqueacute ( )aB t
est orienteacute suivant lrsquoaxe Oz J et E sont donc orienteacutes suivant θ et variant en fonction de r
et t
Lorsqursquoon augmente la valeur du champ magneacutetique appliqueacute aH lrsquoinduction
magneacutetique B va peacuteneacutetrer progressivement agrave lrsquointeacuterieur de cylindre
28
En utilisant le modegravele de Bean afin de deacuteterminer la distribution de champ
magneacutetique B de la densiteacute de courant eacutelectrique J et de champ eacutelectrique E agrave lrsquointeacuterieur de
cylindre supraconducteur lrsquoeacutequation (18) donne
( )0 o u 0 I9rotB J rotBmicro= plusmn =
Lrsquoinduction agrave la surface de cylindre vaut
( ) ( ) ( )0 0 I10aB R t H tmicro=
Dans le cylindre le champ magneacutetique est orienteacute suivant lrsquoaxe Oz et ne deacutepond que r et t
( ) ( ) I11zB B r t u=
Par contre le champ eacutelectrique E et la densiteacute de courant J sont orienteacute suivant θ et
deacutependent aussi de r et t
( ) ( ) I1 2E E r t uθ=
( ) ( ) I1 3J J r t uθ=
Le champ magneacutetique exteacuterieur augmente agrave partir de zeacutero jusqursquoagrave une valeur
maximale Bmax Drsquoapregraves la loi de Lenz des courants qui srsquoopposent aux variations du champ
magneacutetique se deacuteveloppent agrave partir de lrsquoexteacuterieur du conducteur Drsquoapregraves le modegravele de Bean
ces courant ont une densiteacute de courant J eacutegale agrave (figure I17)
( )1
1
0 00
I14C
C
J ou pour r RJ
J ou pour R r Rminus lt lt
= + lt lt
Les eacutequations (I7) et (I9) deviennent
( ) ( ) I 51 1rE B
r r tpart part
= minuspart part
( )0 116C
B Jr
micropartminus = plusmnpart
Agrave partir des eacutequations (I11) et (I16) pour 1R r Rlt lt
( ) ( ) ( )0 I 1 7C aB r t J r R Bmicro= minus minus +
29
Pour une peacuteneacutetration complegravete le champ de peacuteneacutetration complegravete est donneacute sous la forme
( )0 I18p CB J Rmicro=
Si la valeur du champ externe est infeacuterieure agrave cette valeur la peacuteneacutetration dans ce cas est
incomplegravete et le champ peacutenegravetre jusqursquoagrave PR que lrsquoon peut calculer
( )max
0
I19PC
BR RJmicro
= minus
Le champ eacutelectrique est preacutesent entre ( )1R t et R et il est calculeacute agrave partir de lrsquoeacutequation (I16)
( )( )( ) ( )
2 21 I2
2 0
r R tBE r tt r
minuspart= minus
part
Lrsquoexpression de ( )1R t est donneacutee comme suit
( ) ( ) ( )max 01
0
I 12
2C
B B tR t R
Jmicrominus
= minus
En cas de peacuteneacutetration complegravete PR est eacutegal agrave 0 Quand ( )1R t srsquoannule le champ eacutelectrique
devient
( ) ( ) 22
2 IB rE r tt
part= minus
part
Figure I17 Distribution de B J E dans un cylindre supraconducteur soumis agrave un
champ magneacutetique parallegravele agrave son axe
30
I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)
Pour les supraconducteurs HTC le modegravele de la loi en puissance repreacutesente mieux la
caracteacuteristique E(J) que le modegravele CSM [68-70]
( ) ( )1
I23n n
c cc c
J JJE J E E JJ J J
minus
= =
Avec
cE Champ eacutelectrique critique (Vm) sa valeur est fixeacutee arbitrairement agrave 1 V mmicro pour les
mateacuteriaux SHTC
cJ Densiteacute de courant critique (Am2) elle caracteacuterise les performances du mateacuteriau
supraconducteur
n Exposant de la loi en puissance il deacutefinit la vitesse de transition du mateacuteriau entre les
deux cas limites 1n = correspond agrave une loi drsquoohm lineacuteaire alors que pour n plus grand ( n
gt200) on srsquoapproche du modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean
Figure I18 Comparaison entre la caracteacuteristique E(J) correspond au modegravele de Bean (courbe
rouge) et au modegravele de loi en puissance (courbe verte) avec celle obtenue expeacuterimentalement
(courbe bleu) pour un ruban
Contrairement au modegravele CSM le modegravele PLM est plus commode agrave utiliser dans les
formulations numeacuteriques car sa fonction est continue et possegravede eacutegalement une deacuteriveacutee
continue et crsquoest un modegravele dont leurs paramegravetres se rapprochent le mieux des valeurs
lrsquoexpeacuterimentales (figure I18)
31
Par ailleurs en reacutealiteacute les paramegravetres Jc et n ne sont pas constants ils sont
geacuteneacuteralement deacutependants du champ magneacutetique et de la tempeacuterature
I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et n
Depuis les anneacutees 80 beaucoup de travaux ont eacuteteacute consacreacute agrave eacutetudier la deacutependance en
champ magneacutetique de la densiteacute de courant critique des SHTC Cette deacutependance peut ecirctre
obtenue expeacuterimentalement par des meacutethodes eacutelectriques et magneacutetiques
Dans les mesures eacutelectriques la fiabiliteacute et la reacutepeacutetabiliteacute des valeurs mesureacutees du
courant critique sont reacuteduites en raison des difficulteacutes agrave eacutetablir des contacts dans leacutechantillon
et agrave choisir un critegravere de tension pour deacutefinir Jc De plus en geacuteneacuteral des courants importants
traversent lrsquoeacutechantillon pendant les mesures de sorte qursquoils produisent un champ magneacutetique
qui modifie le champ appliqueacute de maniegravere non homogegravene
Le premier modegravele qui deacutecrive la deacutependance en champ magneacutetique de Jc est proposeacute
par Y Kim [71] pour les mateacuteriaux supraconducteurs agrave basse tempeacuterature critique (SBTC)
( ) 0
01 C
CJJ BB B
=+
Ougrave Jc0 est la densiteacute d courant critique sous champ nul B est lrsquoamplitude de lrsquoinduction
magneacutetique et B0 est une constante caracteacuterisant le mateacuteriau
La formule de Kim deacutecrit un comportement isotrope alors que les supraconducteurs
HTc sont fortement anisotropes lrsquoorientation du champ magneacutetique a une influence
importante sur la densiteacute du courant critique du supraconducteur [66] Une autre forme
geacuteneacuteraliseacutee de la loi de ce modegravele de Kim a eacuteteacute proposeacutee pour prendre en consideacuteration le
pheacutenomegravene drsquoanisotropie des mateacuteriaux SHTC [7273]
( ) ( )0
2 2 2
0
1
I24JcJc B Bk B B
B
βperp
perp
= + +
k Facteur drsquoanisotropie (gt1)
etB Bperp Composantes parallegravele et perpendiculaire du champ magneacutetique
β Constante caracteacuterisant la deacutependance vis-agrave-vis du champ magneacutetique
32
Eacutegalement lrsquoexposant-n de la loi en puissance se comporte de la mecircme maniegravere que Jc vis-agrave-
vis le champ drsquoinduction magneacutetique plusieurs eacutetudes ont montreacute cette deacutependance [74-77] et
la loi du comportement est similaire agrave celle de Kim pour les milieux SHTC anisotropie
( ) ( )0 2 2 2
0
)
1
I25
n
nn B Bk B B
B
perp
perp
=+
+
Avec n0 est une constante qui repreacutesente la valeur de n sous champ nulle et Bn0 est une
constante caracteacuterisant la deacutependance du n vis-agrave-vis le champ magneacutetique
I5 Meacutethodes drsquoaimantation
Les supraconducteurs notamment sous forme massive peuvent ecirctre aimanteacutes et ainsi
reacutealiser ce qursquoon appelle des cryo-aimants qui permettent de geacuteneacuterer des champs magneacutetiques
de plusieurs teslas le record eacutetant agrave de 176 T agrave 26degK [78] Par ailleurs plusieurs axes de
recherches ont eacuteteacute consacreacutes agrave eacutetudier la possibiliteacute de profiter de lrsquoinduction magneacutetique
importante produite par des pastilles aimanteacutees en vue drsquoapplications en geacutenie eacutelectrique Il
existe diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantation des supraconducteurs massifs ces meacutethodes sont
baseacutees sur la variation du champ magneacutetique appliqueacute afin de creacuteer selon la loi de Lenz des
courants induits agrave lrsquointeacuterieur de ces supraconducteurs Ces courants induits geacutenegraverent agrave leur
tour un champ magneacutetique opposeacute au champ appliqueacute Ce principe est utiliseacute pour reacutealiser des
eacutecrans magneacutetiques ou pour pieacuteger du champ magneacutetique avec des aimants
supraconducteurs
I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)
Cette meacutethode consiste agrave appliquer un champ magneacutetique en refroidissant une pastille
supraconductrice agrave une tempeacuterature infeacuterieure agrave sa tempeacuterature critique (TltTC) en preacutesence
du champ magneacutetique appliqueacute [79-81] Ensuite et quand la tempeacuterature de refroidissement
stabilise ce champ magneacutetique appliqueacute est rameneacute tregraves lentement vers le zeacutero ce qui permet
la creacuteation des courants induits agrave lrsquointeacuterieur de la pastille en srsquoopposant agrave la deacutecroissance du
champ magneacutetique appliqueacute afin drsquoavoir un champ magneacutetique pieacutegeacute dans la pastille La
figure I19 illustre les diffeacuterentes eacutetapes drsquoaimantation par la meacutethode FC
33
Figure I19 Aimantation par refroidissement sous champ magneacutetique (Field Cooling FC)
[109]
La meacutethode FC donne des meilleurs reacutesultats en termes de champ pieacutegeacute Par contre ce
dernier ne peut pas ecirctre supeacuterieur au champ appliqueacute
Cependant lrsquoutilisation drsquoun eacutelectro-aimant supraconducteur est primordiale pour obtenir une
forte valeur du champ magneacutetique (gt10T) et permet ensuite de pieacuteger un champ magneacutetique
plus intense
En 2003 et lors de leurs travaux sur lrsquoaimantation de lrsquoYBaCuO massif les japonais
Masaru Tomita et Masato Murakami ont pu pieacuteger un champ magneacutetique eacutegale agrave 17 T agrave 29 K
en appliquant un champ magneacutetique eacutegale agrave 179T [78] et une valeur de 176T a eacuteteacute pieacutegeacutee par
J H Durrell et all agrave 28K en 2014 [82] en utilisant des pastilles supraconductrices de type
GdBCO de 2415 mm de diamegravetre et de 15 mm de hauteur
I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC)
Dans cette meacutethode et contrairement agrave la meacutethode FC lrsquoapplication du champ
magneacutetique se fait apregraves le refroidissement de la pastille agrave la tempeacuterature de fonctionnement
(tltTc) [81] figure I20
Avec cette meacutethode on peut pieacuteger une valeur de champ magneacutetique inferieur
(environ deux fois) agrave celle pieacutegeacute par la meacutethode FC car deux nappes de courant sont induites
lors de lrsquoaimantation par ZFC une correspondant agrave lrsquoapplication du champ magneacutetique et
lrsquoautre agrave la diminution du champ
34
Figure I20 Aimantation par refroidissement hors champ magneacutetique
(Zero Field Cooling ZFC) [109]
En utilisant les meacutethodes drsquoaimantations FC et ZFC un champ magneacutetique appliqueacute
externe important et constant est neacutecessaire pour eacutetablir un champ SHTC pieacutegeacute intense En
geacuteneacuterale cela signifie quun aimant soleacutenoiumlde supraconducteur agrave grande eacutechelle et des
alimentations encombrantes associeacutees sont neacutecessaires Ces exigences limitent souvent
lutilisation de ce type drsquoaimants SHTC pour une utilisation dans la recherche scientifique au
niveau des laboratoires ou dans des applications industrielles comme les machines eacutelectriques
tournantes [83]
I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization
(PFM)
Le processus drsquoaimantation par la meacutethode PFM neacutecessite lrsquoobtention drsquoune impulsion
de courant eacutelectrique intense dans une bobine de petites dimensions ce qui permet de geacuteneacuterer
une impulsion de champ magneacutetique importante pour aimanter la pastille supraconductrice
[84-86]
La meacutethode PFM est une autre forme de la meacutethode ZFC sauf que la dureacutee de
lrsquoimpulsion de champ appliqueacute dans ce cas est tregraves courte (quelques millisecondes)
Lrsquoavantage fondamental de la meacutethode PFM est qursquoelle ne neacutecessite pas un eacutelectro-aimant
supraconducteur une simple bobine de cuivre suffit pour geacuteneacuterer une impulsion de champ
magneacutetique de plusieurs teslas et produit par la suite un champ magneacutetique pieacutegeacute important
(environ 30 agrave 40 du champ appliqueacute)
35
La forme de lrsquoimpulsion du champ magneacutetique appliqueacute le volume et la forme de la
pastille utiliseacutee et sa densiteacute de courant eacutelectrique influent fortement sur la valeur du champ
magneacutetique pieacutegeacute dans la pastille
Figure I21 Aimantation par un champ impulsionnel (pulsed field magnetization PFM)
[109]
Le circuit eacutelectrique de lrsquoaimantation utiliseacute dans ce cas-lagrave est un circuit RLC composeacute drsquoun
circuit de charge de condensateur C et circuit de deacutecharge de ce condensateur dans lrsquoinducteur
Lind (Figure I22)
La forme de lrsquoimpulsion du champ magneacutetique creacuteeacute par lrsquoinducteur est lrsquoimage de la
forme du courant eacutelectrique produit par le circuit de deacutecharge LC Lrsquoamplitude et la constante
du temps caracteacuteristique du courant impulsionnel sont directement lieacutees agrave la valeur de
lrsquoinductance L
Figure I22 Scheacutema eacutelectrique simplifieacute du circuit utiliseacute pour aimanter les supraconducteurs
massifs
36
En reacutegime peacuteriodique lexpression du champ magneacutetique appliqueacute est alors donneacutee par la
solution de leacutequation de deacutecharge du circuit
( ) ( ) ex I26p 1a mt tH t Hτ τ
= minus
Avec
LCτ = Constance du temps du circuit de deacutecharge
( )0 exp(1)mH q τ= Champ maximal donneacutee pour t τ=
0q Charge initiale du condensateur C du circuit
La figure I23 preacutesente leacutevolution temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour
laimantation par la meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
Figure I23 Variation temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour laimantation par la
meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
Eacutetant donneacute que la magneacutetisation par la meacutethode PFM est un proceacutedeacute largement utiliseacute
pour laimantation des cryo-aimants il semble inteacuteressant de deacutevelopper des outils et des
meacutethodes de calcul deacutedieacutees pour ce proceacutedeacute Des travaux anteacuterieurs avaient eacuteteacute meneacutes en vue
du deacuteveloppement des modegraveles analytiques pour calculer la distribution du champ magneacutetique
des bobines circulaires seules avec un noyau de fer ou en preacutesence de noyau supraconducteur
[87-91] ainsi que le cas de bobine circulaire dans un circuit ferromagneacutetique avec entrefer
[92]
37
Dans le chapitre II de cette thegravese nous allons deacutevelopper un modegravele analytique pour
montrer lrsquoeffet de la preacutesence drsquoune pastille supraconductrice sur la valeur de lrsquoinductance
drsquoune bobine circulaire placeacutee dans un circuit ferromagneacutetique avec entrefer
I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTC
La deacutetermination de la densiteacute de courant critique du mateacuteriau supraconducteur peut ecirctre
reacutealiseacutee soit par la meacutethode eacutelectrique (meacutethode directe) soit par la meacutethode magneacutetique
(meacutethode indirecte) Chacune de ces meacutethodes comporte des problegravemes pratiques qui rendent
deacutelicate lrsquoobtention drsquoune mesure preacutecise de CJ
I51 Meacutethode eacutelectrique
La meacutethode eacutelectrique consiste agrave injecter dans lrsquoeacutechantillon des courants croissants
jusqursquoagrave ce que lrsquoeacutetat supraconducteur disparaisse [93] La meacutethode de quatre pointes est ainsi
utiliseacutee dans laquelle le courant I est injecteacute dans lrsquoeacutechantillon et la mesure de la tension U
aux bornes de lrsquoeacutechantillon est faite (figure I24) On considegravere que le courant injecteacute se
reacutepartit uniformeacutement dans tout le mateacuteriau pour obtenir une relation simple entre le courant
et la densiteacute de courant I= JS ougrave S est la section de lrsquoeacutechantillon Aussi on suppose que le
champ eacutelectrique agrave une seule composante suivant lrsquoaxe de lrsquoeacutechantillon pour avoir une
relation simplifieacutee entre le champ eacutelectrique E et la tension U aux bornes de lrsquoeacutechantillon
U=El avec l est la distance entre les prises de potentiel Le champ eacutelectrique critique EC est
souvent choisi de 1 V mmicro A partir de la mesure U(I) en deacuteduit E(J) et par la suite la densiteacute
de courant critique Jc et lrsquoexposant-n de la loi en puissance preacutesenteacutee ci-dessus
Figure 24 Scheacutema repreacutesentatif de la meacutethode eacutelectrique pour deacuteterminer la densiteacute
de courant eacutelectrique Jc drsquoun mateacuteriau supraconducteur
Cette meacutethode de mesure de Jc des SHTC est simple et donne accegraves la vraie valeur de
Jc Cependant [93] elle implique la pose de contact sur lrsquoeacutechantillon qui peut entrainer des
38
problegravemes de dissipation de chaleur aux contacts Cette meacutethode est geacuteneacuteralement tregraves utiliseacutee
surtout pour les rubans
I52 Meacutethode magneacutetique
Les meacutethodes magneacutetiques sont baseacutees sur lrsquoeacutetude des proprieacuteteacutes magneacutetique du
mateacuteriau supraconducteur Lrsquoeacutechantillon est soumis agrave un champ magneacutetique externe H Ce
champ creacutee des boucles de courant induites qui peuvent ecirctre de type intragrain ou intergrain
[39] srsquoopposant au champ appliqueacute Les meacutethodes geacuteneacuteralement utiliseacutees mesurent
lrsquoaimantation M de lrsquoeacutechantillon et permettent alors de calculer la densiteacute de courant critique
Jc agrave lrsquoaide du modegravele de Bean
Les principaux avantages des meacutethodes magneacutetiques sont drsquoune part lrsquoabsence de
contact eacutelectrique avec lrsquoeacutechantillon et donc la possibiliteacute de ne pas amener de chaleur agrave
lrsquoeacutechantillon et drsquoautre part la possibiliteacute drsquoeacutetudier des eacutechantillons de taille tregraves faible voire
mecircme des poudres
Au laboratoire GREEN Bruno DOUINE amp al ont deacuteveloppeacute une nouvelle meacutethode
magneacutetique de caracteacuterisation de pastilles SHTC pour deacuteterminer la densiteacute de courant
critique Jc et lrsquoexposant-n de la loi en puissance du mateacuteriau supraconducteur Le principe est
de mesurer le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP Ce champ magneacutetique
correspond au champ magneacutetique appliqueacute neacutecessaire pour que la diffusion du champ
magneacutetique atteigne le centre de pastille SHTC [77 94 95 96]
I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastille
Un champ magneacutetique est appliqueacute perpendiculairement sur une pastille SHTC de
rayon R et de hauteur L comme crsquoest montreacute sur la figure I25 Ce champ magneacutetique
appliqueacute est consideacutereacute lineacuteairement varie en fonction du temps
( ) ( ) I27a bB t V t=
Avec Vb est la vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacute
Figure I25 Pastille supraconductrice massive de forme cylindrique soumise agrave un champ
magneacutetique appliqueacute axialement
39
Un champ magneacutetique commence agrave apparaitre au centre de la pastille apregraves un certain
temps pt appeleacute temps de peacuteneacutetration le champ magneacutetique appliqueacute neacutecessaire agrave la
peacuteneacutetration complegravete jusqursquoau centre de la pastille est appeleacute champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete et noteacute BP (figure I26) En utilisant le modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean
(CSM) ce champ de peacuteneacutetration appeleacute aussi champ de peacuteneacutetration de Bean BPB peut-ecirctre
analytiquement obtenu agrave partir de la loi de Biot et Savart sous la forme suivante [77]
( )
22
02
2
2ln4
2
I28cPB
LR RJ LB
LR R
micro
+ + = + minus
Le principe de cette meacutethode est de mesurer le champ de peacuteneacutetration BPB et deacuteduire
par la suite la densiteacute de courant critique Jc
Figure I26 Variation du champ magneacutetique en fonction du temps Ba est le champ appliqueacute
sur la pastille et B0 repreacutesente le champ magneacutetique mesureacute au centre de la pastille
En fait lrsquoideacutee principale est de remplacer la pastille SHTC eacutetudieacutee par deux pastilles
SHTC identiques seacutepareacutees par un entrefer drsquoeacutepaisseur laquo e raquo dans lequel est placeacutee une sonde
agrave effet Hall afin de mesurer le champ magneacutetique entre ces deux pastille (figure I27) Le
champ magneacutetique mesureacute possegravede une seule composante crsquoest la composante radiale
40
Figure I27 Position de sonde agrave effet Hall entre deux pastilles SHTC
Theacuteoriquement ces deux pastilles sont consideacutereacutees comme une seule pastille dont
lrsquoinfluence de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoentrefer creacuteeacute par la sonde sur la valeur de la densiteacute de courant
Jc doit ecirctre prise en consideacuteration
Lrsquoaimantation de la pastille se fait par la meacutethode PFM le champ appliqueacute est obtenu
par une simple deacutecharge drsquoun condensateur dans une bobine en cuivre Le scheacutema eacutelectrique
du circuit drsquoaimantation est preacutesenteacute sur la figure I22
La figure I28 repreacutesente la variation du champ magneacutetique en fonction du temps pour
deux pastilles SHTC identiques de type YBaCuO caracteacuteriseacutee chacune par un rayon R de
10mm et de longueur L eacutegale agrave 5 mm et seacutepareacutees par une distance de 1mm (repreacutesente
lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall)
Figure I28 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesureacute entre deux pastilles
SHTC
41
Par conseacutequent la deacutetermination du temps de peacuteneacutetration Pt est effectueacutee comme suit
Nous consideacuterons drsquoabord que apregraves peacuteneacutetration complegravete du champ magneacutetique ( )Pt tgt
( )aB t et ( )0B t sont seacutepareacutes par une valeur eacutegale agrave PBB Deuxiegravemement nous modifions ( )0B t
B0(t) autour de tp pour quil soit identique au champ magneacutetique appliqueacute ( )aB t (figue I22)
Ceci permet au final de deacuteduire Pt et PMB
La valeur du champ magneacutetique PMB mesureacute pour des deux pastilles est drsquoenvirons 1
Tesla A partie de cette valeur de PMB cedil qursquoon suppose eacutegale agrave BPB on peut calculer la valeur
de la densiteacute de courant critique Jc agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 Elle est eacutegale agrave 110 Amm2 et
crsquoest une valeur proche des valeurs estimeacutees agrave partir des donneacutees des constructeurs et de la
litteacuterature
I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur le champ
de peacuteneacutetration
En utilisant le modegravele de la loi en puissance (PLM) le champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete noteacute BP peut srsquoexprimer numeacuteriquement en fonction du champ
magneacutetique de peacuteneacutetration ducirc au modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM) (BPB) de la vitesse
de monteacutee du champ appliqueacute Vb et de la puissance n comme [77]
( ) ln I291 bP PB
VB Bn
α β+ = +
Avec 12α = et 34β =
On peut ajouter ici qursquoil nrsquoy a pas drsquoinfluence des paramegravetres geacuteomeacutetrique de la
pastille R et L sur les valeurs de α etβ
La relation I29 saveacuterera expeacuterimentalement utile pour deacuteterminer la valeur n dune
pastille supraconductrice soumise agrave des diffeacuterentes vitesses de monteacute Vb du champ externe
Pour cela deux manipes expeacuterimentales sont installeacutees lrsquoune contient une bobine
supraconductrice afin de geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee du champ appliqueacute Ba (Meacutethode
drsquoaimantation ZFC) et lrsquoautre une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer un champ magneacutetique
agrave vitesse de monteacutee eacuteleveacutee de Ba (Meacutethode PFM) Les reacutesultats de mesure de champ
magneacutetique sont illustreacutes sur la figure I29
Lrsquoinfluence de lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall placeacutee sera prise en consideacuteration
dans les calculs de lrsquoexposant-n et la densiteacute de courant critique du mateacuteriau supraconducteur
42
(a) (b)
Figure I29 Repreacutesentation du champ magneacutetique appliqueacute et le champ magneacutetique mesureacute
entre deux pastilles SHTC en fonction de temps en utilisant a) une bobine supraconductrice
pour geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee b) une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer une
vitesse de monteacutee eacuteleveacutee
Soit 1PMB le champ de peacuteneacutetration mesureacute pour une faible vitesse de monteacutee 1bV et 2PMB est le
champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute pour une vitesse de monteacutee eacuteleveacutee 2bV
A partir de lrsquoeacutequation (I22) la valeur de n peut ecirctre deacuteduite agrave partir de
( ) ( )2 1 1 2
1 2
I3l ln
0nPM b PM b
PM PM
B V B Vn
B Bα
βminus
= minusminus
A partir de cette valeur de n et les valeurs de 1PB et 1bV on deacuteduit la valeur de PBB agrave
lrsquoaide de lrsquoeacutequation (I29) Par la suite la valeur de JC sera deacutetermineacutee agrave partir de lrsquoeacutequation
(I28) en fonction des paramegravetres geacuteomeacutetrique R et L
I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de lrsquoexposant-n et Jc
Rappelons que les mesures expeacuterimentales agrave travers la sonde agrave effet Hall placeacutee entre
deux pastilles SHTC donnent le champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute BPM et non pas le
champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP agrave cause de lrsquoentrefer existant entre les deux
pastilles ducirc agrave la sonde
Afin de trouver une relation entre BPM et BP une simulation numeacuterique est effectueacutee
pour les deux cas suivants
43
- Cas drsquoune pastille seule sans sonde agrave effet hall (e=0) pour deacutetermineacute BP au
centre de la pastille agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I8
- cas de deux pastilles identiques seacutepareacutees pour une distance laquo e raquo qui preacutesente
lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall pour deacuteterminer le champ de peacuteneacutetration BPM
La figure I30 repreacutesente la variation de rapport PM PB B en fonction de la longueur L
de la pastille pour e = 05 mm et e = 1 mm Le champ magneacutetique appliqueacute sur les pastilles est
caracteacuteriseacute par une vitesse de monteacutee Vb= 1000 Ts les pastilles utiliseacutees sont modeacuteliseacutees par
une densiteacute de courant critique Jc=100Amm2 un rayon R=10 mm et n = 15
Une relation entre BPM et BP est deacuteduite
( ) ( ) 05 00 I312ln( ) 081 368 1PM
P
B e mm LB
= = +
( ) ( ) 1 00 I3350ln( ) 07233 2PM
P
B e mm LB
= = +
Les expressions I10 et I11 sont indeacutependantes de Vb et n [95] Cependant elles sont valables
uniquement pour R=10 mm Pour drsquoautres valeurs de R des nouvelles relations entre BPM et
BP peuvent ecirctre exprimeacutes avec les mecircmes maniegraveres de calculs
Figure I30 Rapport P
PMBB
en fonction de longueur L de la pastille SHTC
I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille
Une autre meacutethode de calcul de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete a eacuteteacute
proposeacutee en utilisant une seule pastille au lieu deux agrave partir de la mesure de champ
magneacutetique au centre de la surface de la pastille agrave lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet hall placeacutee agrave une
44
distance laquo d raquo au-dessus de la surface de la pastille (figure I31) Cette meacutethode a lrsquointeacuterecirct
drsquoecirctre tregraves simple agrave exeacutecuter et moins couteuse
Figure I31 Position du sonde agrave effet Hall au centre de surface de la pastille
I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et BP
Des simulations numeacuteriques et analytiques ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour deacuteterminer la relation
entre le champ magneacutetique mesureacute agrave lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet Hall et le champ magneacutetique
de peacuteneacutetration complegravete BP
Une pastille SHTC de rayon R et de longueur L est agrave soumise agrave un champ
magneacutetique lineacuteairement variable appliqueacute perpendiculairement sur la surface de la pastille
Cela nous permet de deacuteterminer le champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur et agrave lrsquoexteacuterieur de la
pastille Ainsi de deacuteterminer la densiteacute du courant critique de cette pastille
La figure I32 repreacutesente la distribution de la densiteacute du courant CJ J dans la pastille
SHTC pour trois diffeacuterentes vitesses de monteacutee Vb (01 Ts et 10 Ts et 1000Ts) pour une
mecircme valeur de la densiteacute de flux magneacutetique appliqueacute Dans cette simulation la valeur de
lrsquoexposant-n utiliseacute est 15 ce qui repreacutesente une faible valeur pour un SHTC agrave 77 K et une
densiteacute de courant critique Jc consideacutereacutee constante eacutegale agrave 100 Amm2
On remarque que quels que soient la valeur de Vb les paramegravetres geacuteomeacutetriques de la pastille
SHTC et la valeur de n (gt 10) JJc est presque constante partout dans les reacutegions ougrave la
densiteacute de courant eacutelectrique nrsquoest pas nulle
Quand Ba devient eacutegal agrave BP on dit que la peacuteneacutetration est complegravete et CJ J est consideacutereacute
constant sur toute la pastille comme dans le cas du modegravele de Bean
45
Figure I32 Distribution de la densiteacute de courant JJc dans la pastille SHTC pour trois valeur
de vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacute
On appelle ( )0B t le champ magneacutetique au centre de la pastille SHTC et ( )zB d t le
champ magneacutetique mesureacute par la sonde agrave effet Hall au-dessus du centre de la surface de la
pastille agrave une distance d=05mm
46
( )aB t ( )0B t et ( )05 zB d mm t= sont repreacutesenteacute sur la figure I26 une densiteacute de courant
critique constante Jc=100Amm2 un champ magneacutetique appliqueacute lineacuteairement varie avec une
vitesse de monteacute Vb=1 Ts et une valeur de lrsquoexposant-n=15
La diffeacuterence ( ) ( )a zB t B tminus noteacute ( ) )ZSCB d t repreacutesente la densiteacute de flux magneacutetique
produit par le courant induit agrave lrsquointeacuterieur de la pastille SHTC La figure I33 montre que la
diffeacuterence ( ) ( )05 a zB t B d mm tminus = atteint une valeur maximale noteacute BZSCM avant que
( ) ( )0aB t B tminus atteint BP La relation entre BZSCM et BP est lieacutee aux paramegravetres geacuteomeacutetriques de
la pastille SHTC comme dans le modegravele de lrsquoeacutetat critique (CSM)
Figure I33 Calcul numeacuterique de BP au centre de la pastille et BZSCM au-dessus du centre de
surface de la pastille agrave d = 05mm
Dans le cas du champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete et modegravele de lrsquoeacutetat critique
(CSM) la densiteacute du flux magneacutetique le long de lrsquoaxe drsquoune pastille supraconductrice
cylindrique noteacute BZSCB peut ecirctre donneacute analytiquement en utilisant la loi de Biot et Savart de
la mecircme faccedilon que BPB sous forme
( ) ( ) ( )
( )
( )2 2 2 2
0
2 2 22
1 1 ln l I3n
4 1 13C
ZSCB
R Rd L RJ d RB d R L d L dR R
d Rd L R
micro
+ + + + + = + minus minus minus + + +
47
Une eacutetude comparative a eacuteteacute reacutealiseacutee entre un calcul analytique du rapport ZSCB PBB B
et un calcul numeacuterique du rapport ZSCM PB B en fonction de la distance laquo d raquo Le calcul
numeacuterique est fait pour diffeacuterentes valeurs de n et Vb (figure I34)
Figure I34 comparaison entre le calcul numeacuterique ZSCB PBB B et le calcul analytique
ZSCM PB B
On remarque que quels que soient les valeurs de n et Vb les rapports ( ) ZSCM PB d B et
( ) ZSCB PBB d B sont eacutequivalents Donc agrave partir de la valeur BZSCM(d) mesureacute le champ de
peacuteneacutetration PB peut ecirctre deacuteduit de la faccedilon suivante
( )( )( ) ( )
I34ZSCM mesureacute
PZSCB PB analytiquement
B dB
B d B=
Le rapport ( )( )ZSCB PBB d B est indeacutependant de Jc il deacutepend seulement des paramegravetres
geacuteomeacutetrique R et L de la pastille
48
I6 Objectifs de la thegravese
Apregraves avoir preacutesenteacute un rappel historique sur lrsquoeacutevolution de la supraconductiviteacute
depuis sa deacutecouverte jusqursquoau temps actuel nous avons rappeleacute quelques proprieacuteteacutes
caracteacuteristiques des mateacuteriaux supraconducteurs et leurs grandeurs critique Ensuite nous
avons preacutesenteacute les mateacuteriaux massifs supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
et leurs proprieacuteteacutes en citant deux mateacuteriaux de ce type agrave savoir lrsquoYBaCuO et le MgB2 Nous
avons preacutesenteacute eacutegalement des diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantations des pastilles supraconductrices agrave
savoir les meacutethodes ZFC FC et PFM
Enfin nous avons fait un reacutesumeacute sur une nouvelle meacutethode de caracteacuterisations reacutealiseacutee
au laboratoire GREEN par B DOUINE amp al pour calculer les grandeurs caracteacuteristiques
drsquoune pastille SHTC
Deux axes principaux sont viseacutes par cette thegravese
1 Proposer des modegraveles analytiques de dimensionnement de lrsquoinducteur drsquoun systegraveme
drsquoaimantation drsquoune pastille supraconductrice en preacutesence drsquoun circuit
ferromagneacutetique
2 Ameacuteliorer les meacutethodes de caracteacuterisation existant notamment celles utilisant la
meacutethode PFM afin drsquoeacutetudier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique drsquoune
pastille supraconductrice agrave haute tempeacuterature critique
49
Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de
lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit
ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune
pastille supraconductrice
50
II1 Introduction
La supraconductiviteacute est un domaine tregraves passionnant de la physique appliqueacutee En
geacutenie eacutelectrique comme en physique les supraconducteurs sont largement utiliseacutes pour
obtenir des champs magneacutetiques tregraves eacuteleveacutes On peut obtenir des aimants avec des mateacuteriaux
supraconducteurs massifs de type (RE) BCO agrave lrsquoaide drsquoun champ magneacutetique Ils peuvent
atteindre une densiteacute de flux magneacutetique tregraves eacuteleveacutee En effet il existe diffeacuterentes faccedilons
drsquoaimanter ce type de supraconducteurs massifs Cependant le moyen le plus commode et le
plus courant est drsquoutiliser un champ magneacutetique pulseacute Cette meacutethode est appeleacutee laquo PFM raquo
pour laquo Pulsed Field Magnetization raquo elle est geacuteneacuteralement utiliseacutee pour lrsquoaimantation des
cryo-aimants [84]
Il est tregraves important destimer et deacutevaluer les composantes du champ magneacutetique qui
deacutependent fortement de la geacuteomeacutetrie de linducteur du circuit drsquoaimantation utiliseacute et qui a
pour but final doptimiser la configuration expeacuterimentale Dans leacutetape de conception de
linducteur neacutecessaire pour magneacutetiser les supraconducteurs massifs agrave haute tempeacuterature
critique (SHTC) la modeacutelisation et la simulation sont fortement recommandeacutees pour effectuer
les calculs neacutecessaires des diffeacuterentes caracteacuteristiques eacutelectriques du systegraveme eacutetudieacute agrave savoir
la reacutesistance et linductance de la bobine La deacutetermination de la valeur de la reacutesistance est
assez simple tandis que lrsquoinductance neacutecessite un traitement particulier
De ce fait des modegraveles analytiques ont eacuteteacute proposeacutes depuis longtemps pour calculer la
distribution du champ magneacutetique creacuteeacute par des bobines circulaires sans fer [88 89 98] et plus
reacutecemment pour des bobines avec des noyaux de fer de longueur finie [90] Bien que ces
meacutethodes donnent des reacutesultats preacutecis elles ne sont pas adapteacutees pour leacutetude des bobines
axisymeacutetriques placeacutees dans un circuit ferromagneacutetique contenant un entrefer simple ou un
entrefer contenant une pastille supraconductrice Ces modegraveles sont baseacutes essentiellement sur
la loi de Biot et Savart Des logiciels commerciaux sophistiqueacutes qui donnent des reacutesultats tregraves
preacutecis en consideacuterant la non-lineacuteariteacute des mateacuteriaux impliqueacutes dans le problegraveme eacutetudieacute sont
utiliseacutes
Dans ce chapitre nous proposons drsquoutiliser des meacutethodes analytiques pour reacutealiser
cette tacircche en reacutesolvant les eacutequations de Laplace et de Poisson De telles meacutethodes conduisent
agrave des solutions significatives avec des informations physiques tregraves utiles pour lrsquoeacutetape de la
conception Il srsquoagit de calculer le potentiel vecteur magneacutetique A
dans les diffeacuterentes reacutegions
drsquointeacuterecirct drsquoun circuit ferromagneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer concentrique par rapport agrave la
51
bobine en absence de tout mateacuteriau supraconducteur Le cas de preacutesence drsquoune pastille
supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du circuit deacutecrit preacuteceacutedemment sera eacutegalement
traiteacute Pour montrer lrsquoinfluence de la preacutesence drsquoun mateacuteriau supraconducteur sur la valeur de
lrsquoinductance de la bobine utiliseacutee il sera question de calculer son inductance dans les deux cas
A la fin de ce chapitre et en prenant le problegraveme du circuit magneacutetique sans pastille
nous allons utiliser lrsquoexpression analytique du potentiel vecteur magneacutetique obtenue dans ce
cas pour calculer les courants induits dans une pastille supraconductrice en utilisant laquola
meacutethode de Brandtraquo bien connue deacuteveloppeacutee en 1998 pour les disques et les cylindres dans
un champ magneacutetique axial [100 101]
II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveses
La geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute est repreacutesenteacutee sur la figure II1
Figure II1 Geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute un circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie infeacuterieur de longueur 3 2 e Z Z= minus concentrique avec une bobine de
longueur 4 1L Z Z= minus
Les reacutegions I III et IV correspondent agrave de lrsquoair La reacutegion II correspond agrave une bobine
circulaire en cuivre de section transversale rectangulaire Cette bobine composeacutee de N spires
de rayon interne 2R de rayon externe 3R et de longueur 4 1L Z Z= minus est parcourue par une
densiteacute de courant uniforme J dans le sens uθ
La bobine est concentreacutee autour drsquoun
entrefer de rayon 1R et de longueur 3 2e Z Z= minus situeacute sur la partie infeacuterieure du circuit
ferromagneacutetique (figure II1) Lrsquoensemble du systegraveme est deacutelimiteacute dans la direction axiale par
52
0z = et 5z Z= Les limites exteacuterieures du circuit ferromagneacutetique doivent ecirctre choisies
suffisamment loin de la zone de calcul pour ne pas affecter les reacutesultats obtenus Des
conditions aux limites homogegravenes de type Dirichlet sont consideacutereacutees dans les reacutegions I II et
III agrave 0z = et 5z Z= et de type de Neumann dans la reacutegion IV agrave 2z Z= et 3z Z=
Le problegraveme est traiteacute en axisymeacutetrique la formulation en potentiel vecteur
magneacutetique en coordonneacutees cylindriques est employeacutee Seule la composante suivant θ du
potentiel vecteur magneacutetique est preacutesente et elle ne deacutepend que des coordonneacutees r et z
A partir de lrsquoeacutequation de Maxwell-Ampegravere
( )0 0 0 II1ErotB Jt
micro micro ε part= +
part
Lorsque le champ eacutelectrique est stationnaire le second membre de lrsquoeacutequation (II1) devient
neacutegligeable
Drsquoautre part lrsquoexpression de lrsquoinduction magneacutetique en fonction du potentiel vecteur
magneacutetique est donneacutee comme suit
( ) ( ) II2B rot A=
En remplaccedilant lrsquoeacutequation (II2) dans (II1) on trouve
( ) ( )20 0 ( ( ) ) ( II 3) rot rot A J grad div A A Jmicro micro= rArr minusnabla =
Compte tenu de la jauge de coulomb ( ) 0div A = lrsquoeacutequation (II3) devient
( )20 II4A Jmicronabla = minus
Donc deux cas sont possibles
( )2 0
II0 5J Equation de Poisson
AEquation de Laplace
microminusnabla =
Pour notre problegraveme les expressions du potentiel vecteur magneacutetique pour chaque
reacutegion sont obtenues agrave partir de la reacutesolution de lrsquoeacutequation de poisson dans la reacutegion de la
bobine (reacutegion II) et de Laplace dans les reacutegions I II et III en respectant les conditions de
continuiteacute des composantes tangentielles et normales du champ magneacutetique aux interfaces
entre les reacutegions
53
( ) ( ) ( )( )
( )2
0
2
II6
0
( )II
i
r z
r
A J r z Reacutegion II Bobine
A Reacutegions i i I III IVz
micronabla =minusnabla = =
Avec 0micro et J sont respectivement la permeacuteabiliteacute du vide et la densiteacute de courant dans la bobine
Sachant que la densiteacute de courant J est consideacutereacutee homogegravene dans la bobine elle est
indeacutependante de la composante r et elle ne deacutepend que de z
( )1 4 ( ) II0
7J Z z Z
J zAilleur
lt lt=
Dans la modeacutelisation analytique de ce problegraveme nous avons supposeacute que la
permeacuteabiliteacute magneacutetique du circuit ferromagneacutetique est infinie (micro rarrinfin ) Ceci implique que
le champ magneacutetique nrsquoest pas calculeacute agrave lrsquointeacuterieur du milieu ferromagneacutetique et sa
composante tangentielle est nulle aux interfaces ferromagneacutetiques
II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetique
La reacutesolution de toute eacutequation diffeacuterentielle aux deacuteriveacutes partielles est fortement
deacutependante du domaine dans laquelle la solution est deacutefinie et valable ainsi les conditions
aux limites que cette solution doit remplir La reacutesolution de lrsquoeacutequation (II6) se fait dans les
reacutegions de I agrave IV agrave lrsquoaide de la meacutethode de seacuteparation des variables [90101]
II31 Reacutegion I 3 4 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation consideacutereacutee dans cette reacutegion est une eacutequation de Laplace elle srsquoeacutecrit en
coordonneacutees cylindrique sous la forme
( )2 2
22 2 2
10 0 II8I I I II
A A A AAr r r r z
part part partnabla = rArr + minus + =
part part part
Les conditions agrave limites homogegravenes de Dirichlet sont imposeacutees ici agrave 0Z = et 5Z Z=
( )1 1 5 ( 0 ) ( ) 0 II9A r z A r z Z= = = =
La composante tangentielle du champ magneacutetique est nulle agrave lrsquointerface pour 4r R=
( )4
II1( ) 0 0r R
rAr =
part=
part
En utilisant la meacutethode de seacuteparation de variable le potentiel Vecteur magneacutetique peut
srsquoeacutecrire comme suit
54
( ) ( ) ( ) ( ) II11A r z R r Z z=
A partir des eacutequations (II9) (II10) et (II11) la forme geacuteneacuterale de lrsquoexpression du potentiel
vecteur magneacutetique dans la reacutegion I est donneacutee par (voir deacutetails en annexe I)
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 11 0 4
II12nII n n n n
n n
K RA r z b I r K r sin z
I Rα
α α αα
infin
=
= +
sum
Avec n est un entier positif 5n n Zα π= est la valeur propre du problegraveme I0 et K0 sont
respectivement les fonctions de Bessel modifieacutees du premier et du deuxiegraveme type drsquoordre 0 etI1 et
K1sont respectivement les fonctions de Bessel modifieacutees du premier et du deuxiegraveme type ordre1
[102] Alors que Inb est la constante drsquointeacutegration elle sera deacutetermineacutee par la suite en utilisant
les conditions de passages agrave lrsquointerfaces agrave 3r R= entre les reacutegions I et II
II32 Reacutegion II 2 3 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre dans cette reacutegion est une eacutequation de Poisson En coordonneacutees
cylindriques
( )2 2
02 2 2
1 ( ) II13II II II IIA A A A J zr r r r z
micropart part part+ minus + = minus
part part part
Les conditions aux limites de Dirichlet sont imposeacutees ici agrave 0z = et 5z Z=
( )5 ( 0) ( I 10 4) III IIA r z A r z Z= = = =
Lrsquoeacutequation (II13) est une eacutequation diffeacuterentielle de deuxiegraveme degreacute avec second membre sa
reacutesolution est deacutetailleacutee dans lrsquoannexe I
La solution geacuteneacuterale de (II13) est donneacutee donc par
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 11
II15II IIII n n n n n n n
n
A r z a I r b K r C L r sin zα α α αinfin
=
= + minussum
Avec 022
nn
n
JC micro πα
= et ( ) ( ) ( ) ( )( )5
1 45 0
2 2sin cos cosZ
n n n nJJ J z z dz Z Z
Z nα α α
π= = minusint
L1 est la fonction de Struve modifieacutees ordre 1
Les constantes drsquointeacutegrations IIna et II
nb sont deacutetermineacutees en utilisant les conditions de
passages aux interfaces agrave 3r R= entre les reacutegions I et II et agrave 2r R= entre les reacutegions II et III
55
II33 Reacutegion III 1 2 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Dans cette reacutegion lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre est de type Laplace
( )2 2
2 2 2
1 0 II16III III III IIIA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites imposeacutees ici sont
( )5 ( 0) II1( ) 0 7III IIIA r z A r z Z= = = =
Consideacuterons les conditions aux limites de lrsquoeacutequation (II17) la solution geacuteneacuterale de
lrsquoeacutequation (II16) est donneacutee par
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11
II18III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Les constantes drsquointeacutegrations IIIna et III
nb sont deacutetermineacutees en utilisant les conditions
de passages aux interfaces agrave 2r R= et agrave 1r R= entre les reacutegions II et III et les reacutegions III et IV
successivement
II34 Reacutegion IV 1 2 30 etr R Z z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation (II1) agrave reacutesoudre dans cette reacutegion est une eacutequation de Laplace
( )2 2
2 2 2
1 0 II19IV IV IV IVA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites imposeacutees ici agrave z=Z2 et z=Z3 sont de type de Neumann
( )2 3
II2( ) ( ) 00IV IV
z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
Une condition suppleacutementaire est imposeacutee agrave 0r = (axe de symeacutetrie)
( ) II( 0 2) 10IVA r z= =
Consideacuterons les eacutequations (II20) et (II21) la solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation (II19) est
donneacutee par
( ) ( ) ( )( ) ( )0 1 21
cos II22IVIV k k k
k
A r Z A r a I r z Zβ βinfin
=
= + minussum
56
Avec 5 2
kk
Z Zπβ =minus
0A et IVka sont des constantes drsquointeacutegration k est un entier positif
La constante dinteacutegration 0A est due agrave lrsquoapplication des conditions aux limites de Neumann
dans la reacutegion IV Elle est deacutetermineacutee en appliquant la condition de continuiteacute du potentiel
vecteur magneacutetique agrave linterface agrave 1r R= entre la reacutegion III et la reacutegion IV
II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0
On applique le principe de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique entre la reacutegion III et IV
agrave lrsquointerface agrave r= R1
( ) ( ) [ ] ( )1 1 2 3 pour II23III IVA r R z A r R z z Z Z= = isin=
Par inteacutegration par rapport agrave z sur lrsquointervalle[ ]2 3Z Z on trouve
( ) ( ) ( )( ) ( )0 1 1 1 111 3 2
1 II24III IIIn n n n n
nA m a I R b K R
R Z Zα α
infin
=
= +minus sum
Avec ( ) ( )( )2 31 cos cosn nn
n
Z Zm α αα
= minus
II4 Conditions de passages entres interfaces
Les relations entre les constantes drsquointeacutegrations etI II II III III IVn n n n n nb a b a b a sont
deacutetermineacutees en appliquant les conditions de passages aux interfaces entres les diffeacuterentes
reacutegions drsquointeacuterecirct du problegraveme consideacutereacute
Les conditions dinterface doivent satisfaire la continuiteacute des composantes radiale et axiale
de la densiteacute de flux magneacutetique Ces composantes peuvent ecirctre deacuteduites du potentiel vecteur
magneacutetique par
( ) ( ) 1 II25r z
rAAB Bz r r
partpart= =part part
II41 Condition drsquointerface agrave r=R3
En termes de potentiel vecteur magneacutetique deux conditions drsquointerface sont imposeacutees
entre les reacutegions I et II agrave 3r R=
57
( ) ( )( ) ( ) ( )
3 3
3 3
II26I II
I I
r R r R
A r R z A r R z
rA rAr r
= =
= = =part part = part part
On obtient
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 3 1 3 1 3 1 3 1 30 4
II27nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
+ minus minus = minus
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
3 3 0 3 0 3 00 4
0 30 II28nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
minus minus + = minus
II42 Condition drsquointerface agrave r=R2
Les conditions drsquointerface entre les reacutegions II et III agrave 2r R= sont donneacutees par
( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2
2 2
II29
II III
II III
r R r R
A r R z A r R z
rA rAr r
= =
= = =part part = part part
On obtient ainsi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 II30II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus minus + + = minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 II31II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus + + minus = minus
II43 Condition drsquointerface agrave r=R1
Agrave linterface entre les reacutegions III et IV des conditions particuliegraveres deacutefinies par
morceaux concernant la composante axiale du champ magneacutetique agrave r = R1 sont appliqueacutees
autour de cette interface agrave cause de la preacutesence de lentrefer dans le circuit ferromagneacutetique
( ) ( ) ( )1 1
2
2 3
3 5
0 0
II32
0
III IV
r R r R
z ZrA rA
Z z Zr r
Z z Z= =
lt lt
part part= lt ltpart part lt lt
La continuiteacute de la composante radiale de la densiteacute de flux conduit agrave
58
( ) ( ) ( )1 1 2 3 avec II33IV IIIA r R z A r R z Z z Z= = = lt lt
A partir des eacutequations (II32) et (II33) on obtient (voir deacutetail en Annexe II)
( )( )
( )( )
( ) 1 1 1 1 0 1
0 1 0 1
0 (II34)n k n n k nIII III IV
n n k n k kn k n n k n
h I R h K Ra b a g I R
f I R f K R
α αβ
α α
+ + = minus +
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 (II35)2
III III IVn n k n n n k n k k
ka g I R b g K R a I Rβπα α+ minus =
Avec
( )1 3 2
2 n kn k
m mhR Z Z
=minus
( ) ( )2
12 2
1 sin si
2 si
n
n k
n k n kf n kn n k
π
π
+minus ne= minus
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 3
12 2 3
2 2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
k kkk k k k
k
kk k k k k
kn k
Z Z
k Z Zg
Z
α β α α α βα βπ β β β α β
+
+
minus + minus ne= + + minus =
Donc les coefficients etI II II III III IVn n n n n nb a b a b a de lrsquoensemble des harmoniques drsquoespace
sont relieacutes les uns aux autres agrave travers les eacutequations (II27) (II28) (II30) (II31) (II34) et
(II35) Nous devons donc reacutesoudre un systegraveme de six eacutequations lineacuteaires agrave six inconnues en
reacuteeacutecrivant les eacutequations ci-dessus en systegraveme matriciel de taille ( ) ( )6 max 6 maxN Ntimes vu
qursquoil y a six coefficients avec Nmax est le nombre maximal drsquoharmoniques pris en charge
( )( )( )( )
11 12 13 1 3
21 22 23 0 3
32 33 34 35 1 2
42 43 44 45 0 2
54 55 56
64 65 66
0 0 00 0 0
0 00 00 0 0 00 0 0 0
In nn
IIn nn
IIn nn
IIIn nn
IIInIVn
C L RbC L RaC L RbC L Ra
ba
η η η αη η η α
η η η η αη η η η α
η η ηη η η
minus minus minus
= minus
Avec
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 3 1 3 1 21 3 1 3 1 30 4
11 nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
αη α η α η αα
+ = minus = minus=
59
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
21 3 3 22 3 23 30
0 04
0 0 nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
η α α η α η αα
= minus = minus =
( ) ( ) ( ) ( )32 1 2 33 1 2 34 1 2 35 1 2 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = minus = =
( ) ( ) ( ) ( )0 042 2 43 2 44 2 450 0 2 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = = = minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )54 1 1 0 1 55 1 1 0 1 56 0 1 n k n n k n n k n n k n n k kh I R f I R h K R f K R g I Rη α α η α α η β= minus = + =
( ) ( ) ( )64 1 1 65 1 1 66 1 1 2n k n n k n k
kg I R g K R I Rπη α η α η β = = = minus
La solution numeacuterique de ce systegraveme matriciel peut ecirctre obtenue en utilisant un
logiciel de calcul matheacutematique en lrsquooccurrence MATLAB dans le cas de la preacutesente eacutetude
Il convient de noter ici qursquoune inversion numeacuterique de cette matrice est neacutecessaire pour le
calcul des coefficients inconnus Cette inversion peut se faire en une seule fois et en calcul
symbolique
II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobine
Linductance est lune des principales caracteacuteristiques de la bobine Elle se deacutefinit
comme laptitude de celle-ci agrave sopposer agrave la variation de lintensiteacute du courant qui la traverse
Linductance dune bobine est une valeur propre deacutependante de la dimension physique de la
bobine ainsi que du mateacuteriel utiliseacute pour sa fabrication
Lrsquoinductance de la bobine est lieacutee agrave lrsquoeacutenergie magneacutetique stockeacutee par la relation suivante
21 1 (II36)2 2 V
W LI A Jdv= = int
Lrsquointeacutegrale (II36) est limiteacutee au volume de la bobine car la densiteacute de courant est nul ailleurs
Nous avons supposeacute que la densiteacute de courant eacutelectrique est uniformeacutement reacutepartie sur toute
la section de la bobine ce qui conduit agrave
(II37)JSIN
=
Avec ( )( )4 1 3 2S Z Z R R= minus minus
60
N et I sont respectivement le nombre de spires que contient la bobine et lrsquointensiteacute de courant
eacutelectrique qui les travers ( )( )4 1 3 2S Z Z R R= minus minus
Le potentiel de vecteur magneacutetique utiliseacute dans lrsquoeacutequation II36 est celui deacutefini dans la reacutegion
II de la bobine
En remplaccedilant les eacutequations (II15) et (II37) dans (II36) on obtient
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )4 3
1 2
2
2 1 11
0 1 II38II IIn n n n n n n
Z
Zn
R
Ra I r b K r C L rNL rdrsi z d
JSn zd
πα α θα α
infin
=
+= minussumint int int
En inteacutegrant (II38) par rapport aux variables r θ et z lrsquoexpression analytique de lrsquoinductance
est donc donneacutee par
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
3 3 2 2
3 3 2 221
4 40 3
1 4
3 2
2
2
II392
6
2 cos cos
IIn
IIn n n
n nn
n
a R U R R U R
b R V R R V R
J R W R R W R
NL Z ZJS
ππ α αα
αmicroπ
infin
=
minus + minus
minus minus
=
minussum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1n n n nU r I r L r I r L rα α α α= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1( ) n n n nV r K r L r K r L rα α α α= +
Et ( ) 2 23 512 3
2 2 4n rW r F α =
est la fonction hypergeacuteomeacutetrique [90]
II6 Reacutesultats analytiques et discussion
Les valeurs des paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutes dans notre problegraveme sont reacutesumeacutees
sur le tableau II1 Les solutions analytiques dans toutes les reacutegions ont eacuteteacute calculeacutees avec un
nombre fini en termes drsquoharmoniques eacutegal agrave 50 Les limites exteacuterieures du circuit dans la
direction axiale sont choisies de maniegravere agrave ce que leurs valeurs nrsquoaffectent pas les reacutesultats
obtenus
61
Tableau II1 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme sans pastille
Paramegravetre Description valeur
R1 Bord infeacuterieur du domaine dans la direction radial 0030 m
R2 Rayon interne de la bobine 0080 m
R3 Rayon externe de la bobine 0120 m
R4 Bord supeacuterieur du domaine dans la direction radial 0150 m
Z1 Limite inteacuterieure de la bobine 0200 m
Z2 Limite inteacuterieure de lrsquoentrefer 0225 m
Z3 Limite exteacuterieure de lrsquoentrefer 0275 m
Z4 Limite exteacuterieure de la bobine 0300 m
Z5 Limite exteacuterieure du domaine dans la direction axiale 0500 m
N Nombre des spires dans la bobine 1000
J Densiteacute de courant eacutelectrique dans la bobine 5 Amm2
Nmax Nombre drsquoharmoniques utiliseacute dans tout le domaine 50
Afin de valider nos reacutesultats analytiques nous devons les comparer avec ceux obtenus
en utilisant la meacutethode drsquoapproximation par eacuteleacutements finies [103104] (FEA pour Finite
Element Approximation) impleacutementeacutee sous le logiciel COMSOL Multiphysics La taille de
maillage et la preacutecision demandeacutee sont choisies de maniegravere agrave ce que les quantiteacutes deacuteriveacutees du
FEA servent de reacutefeacuterence une densiteacute de maillage drsquoenvirons 1850 triangles a eacuteteacute imposeacutee
dans la reacutegion du fer composant le circuit ferromagneacutetique La densiteacute de maillage consideacutereacutee
dans la reacutegion de lrsquoentrefer et de la bobine est moins eacuteleveacutee pour eacuteviter une augmentation
inutile de temps de calcul (figure II2) En effet les mecircmes paramegravetres geacuteomeacutetriques que ceux
deacutefinis dans le tableau 1 sont utiliseacutes Les conditions aux limites homogegravenes de type Dirichlet
et de Neumann sont eacutegalement prises en compte dans les simulations comme avec le modegravele
analytique
62
Figure II2 Maillages du circuit ferromagneacutetique avec entrefer eacutetudieacute par COMSOL
(a) (b)
Figure II3 Comparaison des distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir
du calcul analytique (a) et du calcul numeacuterique (b) avec le traceacute des lignes de champ
magneacutetique
63
La figure II3 repreacutesente la comparaison des distributions du potentiel vecteur
magneacutetique calculeacutees dans toutes les reacutegions drsquointeacuterecirct par la meacutethode analytique (a) et la
meacutethode numeacuterique (b) Nous avons ainsi repreacutesenteacute les lignes de champ magneacutetique dans
toutes les reacutegions drsquointeacuterecirct en calcul numeacuterique Les composantes radiale Br et axiale Bz de la
densiteacute de flux magneacutetique obtenues analytiquement sont ensuite repreacutesenteacutees et compareacutees agrave
celles obtenues numeacuteriquement dans la figure II4 (figure 4II (a) correspond agrave la reacutegion III et
figure 4II (b) correspond agrave la reacutegion IV)
(a)
(b)
Figure II4 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions
(a) III en ( )1 2 2r R R= + et (b) IV en 1 2r R=
64
Figure II5 Comparaison des valeurs de lrsquoinductance de la bobine en fonction de la longueur
de lrsquoentrefer obtenues numeacuteriquement avec celles obtenues analytiquement pour les
diffeacuterentes valeurs de nombres des harmoniques variant entre 1 et 50
Une comparaison est faite entre les valeurs numeacuteriques obtenues avec COMSOL et les
reacutesultats analytiques pour diffeacuterents nombres dharmoniques allant de 1 agrave 50 De toute
eacutevidence linductance diminue avec laugmentation de la longueur de lentrefer ( figure II5)
plus le nombre de termes harmoniques est eacuteleveacute plus la solution agrave la valeur de reacutefeacuterence
obtenue numeacuteriquement est proche
Lerreur maximale est de 3937 1147 635 292 152 et 075 pour un nombre de
termes harmoniques de 1 5 10 20 30 40 et 50 respectivement Nous pouvons conclure ici
que la formule proposeacutee est correcte et efficace De plus seuls 10 termes suffisent pour
obtenir moins de 10 derreur
Nous allons proceacuteder maintenant au calcul de lrsquoinductance de la bobine en preacutesence
drsquoune pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer
65
II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en
preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
Les mecircmes hypothegraveses consideacutereacutees preacuteceacutedemment dans le cas de circuit seul avec
entrefer seront consideacutereacutees par la suite en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
La figure II6 repreacutesente la geacuteomeacutetrie du problegraveme consideacutereacute
Figure II6 Circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer de longueur e dans lequel se trouve
une pastille supraconductrice
En Introduisant la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer deux reacutegions
suppleacutementaires sont consideacutereacutees en plus dans ce cas la reacutegion V et la reacutegion VI Ces deux
reacutegions correspondent agrave de lrsquoair (figure II6) La pastille supraconductrice est modeacuteliseacutee par
un diamagneacutetique parfait ( 0micro = ) de sorte que le potentiel vecteur magneacutetique est nul dans
toute la pastille y compris ses bords
De ce fait les conditions aux limites consideacutereacutees dans les reacutegions V et VI sont comme suit
( ) ( ) ( )2
3 ( ) 0 II400VV
z Z
A r z A r z Z reacutegionVz =
part= = =
part
( ) ( ) ( )5
4
0 0 ( II4) 1VIVI
z Z
A r zA r z Z reacutegionVI
z=
part= = =
part
Des conditions suppleacutementaires sont imposeacutees agrave en r=0 (lrsquoaxe de symeacutetrie)
66
( ) ( ) ( ) I0 0 et 0 0 I42V VIA r z A r z= = = =
Les expressions analytiques du potentiel vecteur magneacutetique pour les reacutegions I II et III du
problegraveme consideacutereacute dans la figure II6 sont donneacutees de la mecircme faccedilon que le problegraveme
preacuteceacutedent (en absence de la pastille supraconductrice) comme suit
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 5
1 11 0 5
II43nII n n n n
n n
K RA r z b I r K r sin z
I Rα
α α αα
infin
=
= +
sum
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 11
II44II IIII n n n n n n n
n
A r z a I r b K r C L r sin zα α α αinfin
=
= + minussum
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11
II45III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Avec7
nnZπα = 2
0 2n n nC Jπmicro α minus =
et ( )( ) ( )( )( )1 62 cos cosn n n
JJ z Z z Zn
α απ
= minus minus minus
Pour la reacutegion IV les conditions aux limites consideacutereacutees ici sont
2 5
( ) ( )0 et 0z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
Et le potentiel vecteur magneacutetique est donneacute sous forme (en suivant la mecircme meacutethode
deacutetailleacutee dans lrsquoannexe I)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )101 11 1 1 2
1
cos II46IV IVIV n n
nn n nA r Z A r A r a I r b K r z Zβ β β
infinminus
=
= + + + minussum
Avec 5 2
nn
Z Zπβ =minus
Les constantes dinteacutegrations 01A et 02A sont dues agrave lrsquoapplication des conditions aux
limites de Neumann dans la reacutegion IV Elles seront deacutetermineacutees apregraves en appliquant la
condition de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique agrave linterface entre les reacutegions III et IV
agrave 2r R= et agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI agrave r= R1
Pour les reacutegions V et VI en prenant en consideacuterations les conditions aux limites (II40) (II41)
et (II42) les expressions du potentiel vecteurs magneacutetiques sont donneacutees comme suit
( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 2 21
cos II47VV n n
nnA r z a I r z Zβ β
infin
=
= minussum
67
( ) ( )( ) ( )1 3 3 41
II4( ) s 8inVIVI n n n
nA r z a I r z Zβ β
infin
=
= minussum
Avec ( )( )2
3 2
2 1 2n
nZ Z
πβ
minus=
minuset ( )
( )53
4
2 1 2n
nZ Z
πβ
minus=
minus
II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
Agrave partir de la condition de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique agrave lrsquointerface
entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave r=R2 et agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI
agrave 1r R= on a
( ) ( ) [ ] ( )2 2 2 5 II 49IV IIIA r R z A r R z pour z Z Z= = = isin
Et
( )( ) [ ]
[ ]( ) [ ]
( )1 2 3
1 3 4
1 4 5
0
II50V
IV
VI
A r R z pour z Z Z
A r R z pour z Z Z
A r R z pour z Z Z
= isin
= = isin = isin
On integravegre les deux eacutequations (II49) et (II50) par rapport agrave z sur lrsquointervalle [ ]2 5Z Z on
trouve
( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
1 3
1
1 2 12
01 1 2 1
1
21
3
1
1
II51n
VIn n
nV
nIII III nn n
n
n
n n n
a I RA a
a I RI R b K R h q
ββα α
ββ
+
infin
=
minus = + minus +
sum
( ) ( ) ( ) ( )1 3 13
1 2111 1 2 1 01 1
15 2 2
1 1 1 II52VIn n n
n
nVn
n n
RA a I RR Aa RZ Z
I ββ
ββ
infin+
=
= minus + minus minus
sum
Avec
( ) ( )( )2 5cos co1 s n nnn
Z Zmα
α α= minus ( )
22 2
2 1
n nRh m
R R e=
minus
( )1
2 22 1
RqR R e
=minus
et 5 2e Z Z= minus
Les constantes drsquointeacutegrations I II II III III IV IV Vn n n n n n n nb a b a b a b a et VI
na sont deacutetermineacutees agrave
partir des conditions de passages aux interfaces entre les diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecircts du
problegraveme
68
II72 Conditions de passages entres interfaces
Les mecircmes conditions de passages appliqueacutees dans le cas de circuit sans pastille sont
appliqueacutees dans ce cas sauf que des conditions particuliegraveres deacutefinies par morceaux sont
appliqueacutees agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI en 1r R=
II721 Interface agrave r = R4
A lrsquointerface entre les reacutegions I et II agrave 4r R= on trouve
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
4 4 4 4 41 15
01 1 1
0
II53nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
+ minus minus = minus
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
05
0 00 4 0 4 40
4 45
II54nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
minus minus + = minus
II722 Interface agrave r = R3
Pour lrsquointerface agrave 3r R= entre les reacutegions II et III on obtient
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 31 1 1 1 1 II55II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus minus + + = minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 30 0 0 0 03 3 II56II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus + + minus = minus
II723 Interface agrave r = R2
Agrave lrsquointerface entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave 2r R= des conditions de passages
particuliegraveres deacutefinies par morceaux sont appliqueacutees ici
( ) ( ) ( )2 2
5
2 5
7
20 0
II57
0
III IV
r R r R
pour z ZrA rA
pour Z z Zr r
pour Z z Z= =
lt lt
part part= lt ltpart part lt lt
( ) ( ) ( )2 22 5 II58IV IIIA r R z A r R z pour Z z Z= = = lt lt
On obtient
69
( )( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
0 2 0 2 0 2
1 2 2 1 2 2
11 1
0 2 1 2 1 11 32 3
0 II59
1 VI
n
n n m n n mIII III IVn n n n n m
n n m n n m
nIV V
n n m n m mn
n n nn
I R f K R fa b a I R g
I R R h m K R R h m
R Rb K R g a I R h RI ha ββ
α αβ
α α
β ββ
+
minus minus minus + =
minus + + +
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 5 2 1 2 5 2 0 II60III III IV IVn n n m n n n m n n n na I R j b K R j a I R Z Z b K R Z Zα α β β+ minus minus minus minus =
Avec
( )( ) 12 22 12 nn R R e mh
minusminus=
( ) ( ) ( )2
1
2
21
2
n n
n m
n mn m
n m
sinf
m si
n si
απ α αα α
π α α
+ minus ne
minus
=
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 5 2 2
21
2 5
1
1 1
2 4
n n mm m m n
m n
n n n mn
n
cos Z cos Z si
g n msin Z cos Z cos sin Z
β αα α α βα β
β β β α βπ +
+ + minus minus= + + minus =
ne
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
12 5
15 2 2 2 5
2 2
2 cos 1 sin
1sin cos 1 cos
2
nm m n m m n
m nn m
n n n m nn
n
Z Z si
Zj
Z Z Z Z si
α α β α α βα β
β β β α ββ
+
+
+ minus ne
minus + +
minus
=
=
minus
II724 Interface agrave r = R1
Ainsi des conditions de passages particuliegraveres sont deacutefinies sur lrsquointerface entre la reacutegion IV
et les reacutegions V et VI agrave 1r R=
( )( )
( )( )
1 2 3
1 3 4
1 4 5
0 II61
V
IV
VI
A r R Z pour Z z ZA r R Z pour Z z Z
A r R Z pour Z z Z
= lt lt= = lt lt = lt lt
( ) ( ) ( )1 1
2 3 II62V IV
r R r R
rA rApour Z z Z
r r= =
part part= lt lt
part part
70
( ) ( ) ( )1 1
4 5 II63VI IV
r R r R
rA rApour Z z Z
r r= =
part part= lt lt
part part
Ainsi agrave partir des eacutequations (II61) (II62) et (II63) on obtient
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 3 0 II64VIV IV Vk k n m k k n m n n m n m
In n na I r l b K r l a a II r O prββ β β+ minus minus =
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )1 2 2 1 2 2
0
11 1
1 2 1 0 2 1 1
0 1 1
21 3
3
0 II65
1 2 1
2
III IIIn n n n n n n n
IV IVn m n n m
n
n
V
n n
VI nn n
nn n n
nn
a I R R S m b K R R S m
a q b K q
R n S Ra I R S I
R R
a R
I
R I
α α
β β
πβ β
ββ
β
+
+ + minus =
+
minus minus
minus minus
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
11 1 2 2 1
1 2 121 2 2 0 1
0
1 31
1 0 3 13
02 1
2
1
II66
1 2
nn
n
VIn n n
nIVIIIn n mn n m n mV
nIII IVnn n m n n
n
n m
m
a I R ta I R R B m B Ra I R
b K R R B m b K
na I R
R
R R I
t
B πβ β
βαβ
βα β
β
+
=minus
minus+ minus + minus
minus +
Avec
( ) ( )
( )
12 2
5 2
1 si 2n
nm
mn
n
mm
m
nn
m si
Z Z il
s
βπ β ββ β
β β
+ minus ne minus
minus =
=
( ) ( )( )
( )
1 23 2 2
2
3
2 2
2 2
21 c
osn
n nm n m
n m
n
m
m
Z Z
Z Z s
siO
i
β β β ββ β
β β
+
minus
minus minus ne
=
= minus
( )( ) ( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( )
13 4 32 2
3
3 4
3 4 313 3
2
5 4 2
5
2
2
2 1 sin
sin
2 1 sin
cos
cos1
nn m m n m
n m
n mn
n n mnn n
Z si
ZZ Z Z si
Z m
ZZ
Z
p
Z
β π ββ
ββ β
β β
β β ββ
β
+
+
minus minus ne minus= minus minus = + minus
minus
minus minus minus
71
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
1 332 2
3
13 4 3 5
4 2
2
3
3
2
4 2
2 11 cos
2
1 s
cos
cos in
in21
s4 1
n mn m n
m n
nn n
m n
n
n
n m
m
Z Z
n Z
Z Z
tZ Z
Z
π β ββ
β β
ββ ββ
ββπ β
+
+
minusminus +
= minus minus minus
minus neminus
+ minus=
minus minus
( ) ( )( )
( )
1 23 2 22
2
3
2
22
21 cos n nn
m n mm
n
m n
m
n
mqZ Z
Z Z
β ββ β ββ β
β β β
+ minus minus ne minus
minus =
=
( )( )( )2 2
1
2 5
1
2 1 2
14m
m
mRS
R R Z Zβ
+minus=
minus minus
( )( )1
2 22 1 5 23
2
mm
RBR R Z Zβ
=minus minus
Au final Les eacutequations (II53) (II54) (II55) (II56) (II59) (II60) (II64) (II65) et
(II66) peuvent se mettre en systegraveme matricielle de taille ( )9 max (9 max)N Ntimes
Les coefficients drsquointeacutegrations de lrsquoensemble des harmoniques drsquoespace
etI II II III III IV IV V VIn n n n n n n n nb a b a b a b a a sont relies les uns aux autres agrave travers ces eacutequations ils
sont obtenus par inversion numeacuterique de ce systegraveme matricielle
11 12 13
21 22 23
32 33 34 35
42 43 44 45
54 55 56 57 58 59
64 65 66 67
76 77 78 79
84 85 86 87 88 89
94 95 96 97 98 99
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0
InIInIIn
bab
η η ηη η η
η η η ηη η η η
η η η η η ηη η η η
η η η ηη η η η η ηη η η η η η
( )( )( )( )
1 4
0 4
1
0
3
3
(II67)00000
n n
n n
n n
n n
IIInIIInIVnIVnVnVIn
C L RC L
C L R
ababaa
RC L R
ααα
α minus =
minusminusminus
Avec
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
1 1 12 1 135
11 4 4 4 45
10
nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
αη α η α η αα
+ = minus = minus=
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
21 22 230
50 4 0 4 0 4 0 4
5
nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
η α α η α η αα
= minus = minus =
72
( ) ( ) ( ) ( )3 3 332 31 33 1 33 1 34 1 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = minus = =
( ) ( ) ( ) ( )0 3 0 3 042 43 44 3 345 0 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = = = minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( )54 0 2 1 2 2 55 0 2 1 2 2 n n m n n m n n m n n mI R f I R R h m K R f K R R h mη α α η α α= minus = minus +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 156 0 2 57 0 2 58 1 2 1 59 1
21 3
3
1
n
n n m n n m n m nn
mn
R RI R g K R g I R h hI Rη β η β η β η βββ
+minus= minus = = =
( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2 65 1 2 6664 1 2 5 2 6 7 1 2 5 2 n n m n n m n nI R j K R j I R Z Z K R Z Zα η α η βη η β= = minus minus minus minus= =
( ) ( ) ( ) ( )1 1 77 1 1 78 1 2 79 76 1 3 k n m k n m n n m n mnI r l K r l I Ir prOη ββ η β η β ηminus minus= = = =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 284 0 185 1 2 2 86 7 0 1 8 n n n n n n nn n m n mI R R S m K R R S R Rm I q K qα η α η β η βη = = == minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 18 8 1 2 1 0 2 1 189 1 3
32
1 2 1
2
n
nn
n
nn n n
R n S RI R I R IS Rπ
η β β η βββ
+ + = minus
minus minus= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 95 1 2 2 96 1 97 00 1 94 n m n n m n n n m mn nI R R B m K R R B m I R t K R tα η α η η βη β= = = minus=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 3 0 31 1
98 1 2 1 93
9 12
1
1 1 1
22
2 n n
n
nm m
nn
B R nI IRR RBI Rη β
ββ β
βη
π+ minus
minus= minus = minus +
II72 Expression analytique de lrsquoinductance
De la mecircme faccedilon et agrave partir de lrsquoeacutequation (II36) on obtient
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
4 4 3 3
4 4 3 321
4 40 4 4 3
1 62
3
II2 co 68s2
c
6
os
IIn
IIn n n
n nn
n
a R U R R U R
b R V R R V R
J R W R R
NL Z ZS
W RJ
α αα
αmicroπ
ππinfin
=
minus + minus
minus minus
= minussum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1n n n nU r I r L r I r L rα α α α= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1( ) n n n nV r K r L r K r L rα α α α= +
Et ( ) 2 23 512 3
2 2 4n rW r F α =
est la fonction hypergeacuteomeacutetrique [90]
73
II73 Reacutesultats et discussion
Entre le cas avec pastille supraconductrice et le cas sans on a gardeacute les mecircmes valeurs
des paramegravetres geacuteomeacutetriques pour montrer lrsquoeffet de la preacutesence de cette derniegravere sur la valeur
de lrsquoinductance de la bobine Ces valeurs des paramegravetres geacuteomeacutetriques sont reacutesumeacutees dans le
tableau 2
Les solutions analytiques dans toutes les reacutegions sont obtenues en utilisant le mecircme
nombre drsquoharmoniques qui est eacutegale agrave 50 Les valeurs du tableau II2 sont eacutegalement utiliseacutees
pour reacutesoudre le mecircme problegraveme avec la meacutethode des eacuteleacutements finis (FEM) sous COMSOL
afin de valider les reacutesultats obtenus analytiquement Des conditions aux limites identiques agrave
celles utiliseacutees lors de calcul analytique sont employeacutees dans la simulation numeacuterique
Tableau II2 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme avec pastille
Paramegravetre Description valeur
R1 Rayon de la pastille supraconductrice 0015 m
R2 Bord infeacuterieur du domaine dans la direction radial 0030 m
R3 Rayon interne de la bobine 0080 m
R4 Rayon externe de la bobine 0120 m
R5 Bord supeacuterieur du domaine dans la direction radial 0150 m
Z1 Limite inteacuterieure de la bobine 0200 m
Z2 Limite inteacuterieure de lrsquoentrefer 0225 m
Z3 Limite inteacuterieure de la pastille supraconductrice 0230 m
Z4 Limite exteacuterieure de la pastille supraconductrice 0270 m
Z5 Limite exteacuterieure de lrsquoentrefer 0275 m
Z6 Limite exteacuterieure de la bobine 0300 m
Z7 Limite exteacuterieure du domaine dans la direction axiale 0500 m
N Nombre des spires dans la bobine 1000
J Densiteacute de courant eacutelectrique dans la bobine 5 Amm2
Nmax Nombre drsquoharmoniques utiliseacute dans tout le domaine 50
74
La distribution du potentiel vecteur magneacutetique dans toutes les reacutegions drsquointeacuterecircts du
problegraveme eacutetudieacute obtenue avec un calcul analytique et un calcul numeacuterique est repreacutesenteacutee sur
la figure II7 Les composantes radiale Br et axiale Bz du la densiteacute de flux magneacutetique est
ainsi repreacutesenteacutees sur la figure II8 (a) dans la reacutegion III en r = 0055 (b) dans la reacutegion IV
en 00225r = (c) dans la reacutegion V en 00075r = et (d) dans la reacutegion VI en 00075r =
Dans ce cas une veacuteritable concordance peut ecirctre constateacutee entre les deux approches en
srsquoeacuteloignant de la reacutegion de lrsquoentrefer (figure II8 (a)) Un leacuteger deacutecalage subsiste
neacuteanmoins entre les reacutesultats analytiques et numeacuteriques (figure II8 (a)) surtout pour la
composante ZB Ce deacutecalage peut sexpliquer par le nombre limiteacute drsquoharmoniques retenus lors
du deacuteveloppement analytique mais aussi par les erreurs numeacuteriques reacutesultantes de
linversion matricielle lors du calcul des coefficients De mecircme que dans la preacuteceacutedente
section on notera que lutilisation de fonctions de Bessel modifieacutees nrsquoarrange rien puisque
qursquoelle conduit agrave une matrice tregraves mal conditionneacutee lorsque le nombre drsquoharmoniques
consideacutereacute augmente
Figure II7 Distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir du (a) calcul
numeacuterique) et du (b) calcul analytique en preacutesence de la pastille supraconductrice
75
(a) (b)
(c) (d)
Figure II8 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions
(a) III agrave ( )2 3 2r R R= + (b) IV agrave 2 2r R= (c) V agrave 1 2r R= et (d) VI agrave 1 2r R= en
preacutesence de la pastille supraconductrice
La valeur de lrsquoinductance de la bobine obtenue analytiquement agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation
(II68) est la mecircme que celle obtenue numeacuteriquement agrave lrsquoaide de la meacutethode FEM sous
COMSOL cette valeur est eacutegale agrave 0247 H Par ailleurs la valeur de lrsquoinductance en absence
de la pastille supraconductrice est de 0253 H ce qui nous amegravene agrave dire que la pastille a tregraves
peu drsquoinfluence sur la valeur de lrsquoinductance pour le problegraveme eacutetudie (une diffeacuterence de 6)
Ceci reacutesulte du fait que le rayon de la pastille consideacutereacutee dans notre calcul est relativement
petit par rapport au rayon du noyau ferromagneacutetique 15 mm pour le rayon de la pastille
contre 30 mm pour le noyau de fer
76
La figure II9 repreacutesente la variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon
r de la pastille supraconductrice avec 20 r Rlt lt Nous constatons que lrsquoinductance de la
bobine diminue en augmentant la taille de la pastille cette faible diminution est due peut-ecirctre
agrave lrsquointervalle de variation de rayon de la pastille consideacutereacutee Pour 2r Rgt deux reacutegions
drsquointeacuterecirct en plus doit ecirctre consideacuterer dans lrsquoeacutetude preacuteceacutedente et les calculs effectueacutes
deviennent tregraves compliqueacute agrave cause des nombres de variables eacuteleveacutes et par la suite des
problegravemes de convergence pour le calcul analytique sont imposeacutes
Figure II9 Variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
Pour reacutesoudre ce problegraveme un calcul numeacuterique agrave lrsquoaide de la meacutethode FEA sous
COMSOL est effectueacute le rayon de la pastille dans ce cas peut prendre des valeurs
supeacuterieures au rayon du noyau de fer ( )30 r Rlt lt La figure II10 repreacutesente la variation de
lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon de la pastille en utilisant deux types de
circuits circuit ouvert et circuit fermeacute Une diminution remarquable dans la valeur de
lrsquoinductance est constateacutee dans ce cas en fonction du rayon de la pastille supraconductrice
Par ailleurs la valeur de lrsquoinductance trouveacutee pour un circuit fermeacute est supeacuterieure agrave celle
trouveacutee dans le cas drsquoun circuit ouvert
77
Figure II10 variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
supraconductrice dans un circuit fermeacute et dans un circuit ouvert
78
II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique
impulsionnel
Nous reprenons le problegraveme de la figure II1 Une pastille supraconductrice de rayon
11R et de hauteur ( )33 22Z Zminus est placeacutee au centre de la reacutegion de lrsquoentrefer Lexpression
analytique du potentiel vecteur magneacutetique ( ) IVA r z t (eacutequation II22) est utiliseacutee pour
calculer les courants induits agrave linteacuterieur de la pastille supraconductrice La reacutegion drsquointeacuterecirct est
preacutesenteacutee sur la figure II11 avec lrsquoaxe (Oz) est en position verticale
Figure II11 Position de la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du problegraveme
de la figure II1 avec [ ]110r Risin et [ ]22 33z Z Zisin
La densiteacute de courant parcourue dans la reacutegion de la bobine est en fonction du temps
Cette densiteacute de courant est supposeacutee produite par la deacutecharge dune batterie de
condensateurs sous forme
( ) ( ) ( )( ) ( )max exp II66aJ t J t tτ τ= minus
Avec 2max 50 J A mm= et 1msτ =
La densiteacute de courant J induite dans la pastille supraconductrice est calculeacutee agrave lrsquoaide
drsquoun code de calcul deacuteveloppeacute sous MATLAB en utilisant la meacutethode de laquo Brandtraquo
deacuteveloppeacutee en 1998 pour les disques et les cylindres en preacutesence drsquoun champ magneacutetique
axial [99 100]
79
En reacutesumeacute leacutequation suivante doit ecirctre satisfaite
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11 33
22
2 21 10 2 20
I I67
R Z IVcylZ
d J r t d A r tQ r r E J dr dz
dt dtmicro minus minus
= times +
int int
( )2 )r r z= Coordonneacutees de la pastille supraconductrice
cylQ Inteacutegral de Kernel
cylQ est obtenue en inteacutegrant la fonction de Green de lrsquoeacutequation de Laplace agrave 3D en
consideacuterant que le milieu ferromagneacutetique est caracteacuteriseacute par une permeacuteabiliteacute infinie
E(J) donne la relation entre le champ eacutelectrique E et la densiteacute de courant critique J qui
deacutecrive le comportement supraconducteur de la Pastille supraconductrice Dans ce cas E(J)
est deacutefini par le modegravele de la loi en puissance
( ) ( )1
II68n
JEcE J JJc Jc
minus =
Avec 1 CE V cmmicro= 30n = et 2100 cJ A mm=
La reacutesolution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle (II67) est effectueacutee en utilisant les solveurs
disponibles dans MATLAB agrave savoir laquo ode15s raquo et laquo ode23t raquo
Figure II12 Variation de champ magneacutetique appliqueacute et du champ magneacutetique pieacutegeacute sur la
surface de la pastille supraconductrice agrave 0r = et 33z Z=
80
Un calcul numeacuterique est eacutegalement effectueacute afin de valider les reacutesultats obtenus
analytiquement Un modegravele de formulation en H impleacutementeacute sous COMSOL est utiliseacute [41]
ougrave lrsquoeacutequation aux deacuteriveacutees partielles (EDP) suivante doit ecirctre reacutesolue temporellement dans la
pastille supraconductrice
( )( ) ( )0 II0 69H J Ht
micro ρpart+nablatimes nablatimes =
part
Les composants du champ magneacutetique ( )r zH H H= sont choisis comme variables drsquoeacutetat
Le mateacuteriau supraconducteur est modeacuteliseacute par une reacutesistiviteacute non lineacuteaire
( ) ( )1
II70n
C
C C
JEJJ J
ρminus
=
La figure II12 preacutesente la variation en fonction de temps de la densiteacute de flux
magneacutetique appliqueacutee aB et la densiteacute de flux magneacutetique pieacutegeacutee pieacutegeacuteB agrave 0r = e 33z Z=
(figure II7) Une correspondance presque parfaite dans les reacutesultats est observeacutee La valeur
maximale de la densiteacute du flux magneacutetique appliqueacute est environ de 75 T et la valeur de la
densiteacute de flux magneacutetique pieacutegeacute est de 209 T agrave t=10 ms Leacutecart entre les reacutesultats
analytiques et numeacuteriques est infeacuterieur agrave 3 tout au long du processus drsquoaimantation par
PFM
Le traceacute en fonction de temps de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc dans le plan
meacutedian de pastille supraconductrice est preacutesenteacute sur la figure II13 pour diffeacuterentes valeurs du
rayon r avec ( )0479515320r mm=
81
Figure II13 Evolution de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc sur le plan meacutedian de la
pastille supraconductrice agrave ( )0479515320r mm=
Les reacutesultats obtenus analytiquement sont proches de ceux obtenus par COMSOL
Une leacutegegravere diffeacuterence est remarqueacutee en particulier pour r = 0 Cette valeur de r est singuliegravere
et on ne peut pas juger est ce que les reacutesultats obtenus pour cette valeur sont corrects ou non
En revanche la densiteacute de courant sur lrsquoaxe ne contribue pas beaucoup en termes de champ
magneacutetique pieacutegeacute A t = 5 ms la densiteacute de courant dans la pastille supraconductrice est
comprise entre 11 et 15 times Jc
82
II9 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons deacuteveloppeacute un modegravele analytique pour calculer
lrsquoinductance drsquoune bobine circulaire en cuivre de section transversale rectangulaire dans un
circuit ferromagneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie inferieure concentrique avec
la bobine Nous avons montreacute que ce modegravele analytique correspond tregraves bien aux meacutethodes
numeacuteriques avec des erreurs infeacuterieures agrave 10 pour 10 termes harmoniques Nous avons
montreacute aussi que la valeur de lrsquoinductance de la bobine diminue avec lrsquoaugmentation de la
longueur de lrsquoentrefer
Ensuite nous avons proceacutedeacute agrave lrsquoeacutetude de ce mecircme problegraveme en ajoutant une pastille
supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer Nous avons constateacute que la preacutesence de la
pastille supraconductrice dans le circuit ferromagneacutetique a tregraves peu drsquoinfluence sur la valeur
de lrsquoinductance Une diminution de 6 de la valeur de cette derniegravere a eacuteteacute trouveacutee en cas de
preacutesence de pastille supraconductrice Ceci est ducirc agrave la taille de la pastille consideacutereacutee dans
notre calcul qui est relativement petite par rapport agrave la taille du noyau ferromagneacutetique En
effet nous avons trouveacute par un calcul numeacuterique que la valeur de lrsquoinductance de la bobine
diminue en augmentant le rayon de la pastille supraconductrice preacutesente dans la reacutegion de
lrsquoentrefer
Pour le processus drsquoaimantation par la meacutethode PFM les expressions analytiques de
potentiel vecteur magneacutetique trouveacutees dans le cas de circuit sans pastille supraconductrice
sont utiliseacutees pour calculer les courants induits agrave lrsquointeacuterieur drsquoune pastille supraconductrice en
utilisant la meacutethode de Brandt Lrsquoeacutevolution temporelle de la densiteacute de flux magneacutetique
pieacutegeacutee et la densiteacute de courant eacutelectrique montre une excellence correspondance entre les
reacutesultats analytiques et numeacuteriques Une diffeacuterence infeacuterieure agrave 3 est obtenue sur la densiteacute
de flux magneacutetique pieacutegeacute
83
Chapitre 3 Prise en compte de
lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de
leur caracteacuterisation
84
III1 Introduction
Les deux paramegravetres importants qui caracteacuterisent un mateacuteriau supraconducteur massif
sont le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete PB et la densiteacute de courant critique Jc Ces
deux paramegravetres sont lieacutes et deacuteterminent les performances des applications utilisant ces
mateacuteriaux Les meacutethodes de caracteacuterisations deacuteveloppeacutees au laboratoire GREEN sont baseacutees
sur la mesure de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete PB agrave partir de lrsquoaimantation
drsquoune pastille SHTC de type YBCO par champ magneacutetique pulseacute (PFM pour Pulsed Field
Magnetization) La meacutethode PFM consiste agrave appliquer une impulsion de champ magneacutetique
sur cette derniegravere Si ce champ appliqueacute est suivant lrsquoaxe (Oz) (figure III1) des courants
induits vont ecirctre creacuteeacute agrave lrsquointeacuterieur de la pastille et circulent dans le plan (xOy) et par la suite
un champ magneacutetique appeleacute champ magneacutetique pieacutegeacute va ecirctre creacuteeacute suivant lrsquoaxe (Oz) Ce
champ pieacutegeacute est la soustraction du champ magneacutetique mesureacute agrave la surface de la pastille moins
le champ magneacutetique appliqueacute qui est eacutegal au champ magneacutetique en absence de la pastille Le
champ magneacutetique pieacutegeacute ne devrait pas disparaitre apregraves la fin du champ appliqueacute car la
reacutesistiviteacute est nulle dans la pastille supraconductrice Cette meacutethode de caracteacuterisation permet
de deacuteterminer agrave partir de BP la densiteacute de courant critique Jc mais aussi de deacuteterminer la
valeur de lrsquoexposant-n de la loi en puissance
Les meacutethodes de caracteacuterisations preacutesenteacutees au chapitre I utilisent deux pastilles dans
le premier cas et une pastille dans le deuxiegraveme cas La premiegravere meacutethode est plus preacutecise mais
neacutecessite deux pastilles qui sont supposeacutees ecirctre identiques et homogegravenes en termes de Jc Or
linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique Jc est un fait bien connu des experts [53] La
deuxiegraveme meacutethode nrsquoutilise qursquoune pastille et se dispense donc de lrsquoobligation drsquoavoir deux
pastilles identiques Cependant lrsquoinfluence de linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant
critique Jc nrsquoavait pas eacuteteacute prise en compte preacuteceacutedemment Pour prendre en compte
linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique Jc et donc remeacutedier aux deacutefauts de nos
meacutethodes de caracteacuterisation deux axes de recherche ont eacuteteacute exploreacutes Premiegraverement une
eacutetude baseacutee sur la position de la sonde agrave effet Hall dans la meacutethode agrave une pastille a eacuteteacute
reacutealiseacutee Deuxiegravemement une eacutetude des positions respectives du germe de cristallisation des
pastilles dans la meacutethode agrave deux pastilles a eacuteteacute faite
85
Figure III1 Pastille supraconductrice soumis agrave un champ magneacutetique exteacuterieur
III2 Description du banc expeacuterimental
Nous allons preacutesenter dans cette partie le banc expeacuterimental utiliseacute pour lrsquoaimantation
drsquoune pastille SHTC de type YBaCuO Le banc expeacuterimental sert agrave aimanter une pastille
supraconductrice de type YBaCuO en utilisant la meacutethode drsquoaimantation par champ
magneacutetique pulseacute (PFM) et mesurer le champ magneacutetique au milieu des surfaces planes de
cette pastille
III21 Les pastilles SHTC
Les pastilles supraconductrices utiliseacutees sont cylindriques de type YBaCuO posseacutedant
une tempeacuterature critique de 92 k de diamegravetre 311 mm et de hauteur 176 mm Ce type de
mateacuteriau drsquoYBaCuO possegravede une densiteacute de courant critique eacuteleveacutee (gt100 Ammsup2 agrave 77 K) La
figure III2 repreacutesente les deux surfaces des pastilles YBaCuO utiliseacutees (a) surface
supeacuterieure contenant le germe de cristallisation (seed) (b) surface inferieure de la pastille Ces
pastilles sont par nature inhomogegravenes et anisotropes en termes de Jc
(a) (b)
Figure III2 Les deux surfaces de la Pastille SHTC drsquoYBaCuO utiliseacutee pour lrsquoaimantation
x
y
z
O
( )B t
( )B t
86
En geacuteneacuterale la preacuteparation des supraconducteurs YBCO mono domaine par la
meacutethode (TSMG) exige des preacutecurseurs en poudres contenant une distribution uniforme des
composeacutes constituant les phases 2 3 7YBa Cu O δminus (Y-123) et 2 5Y BaCuO (Y-211)Cependant il a
eacuteteacute observeacute que la concentration de particules de Y-211dans le bulk supraconducteur traiteacutee agrave
leacutetat fondu augmente de maniegravere significative avec la distance agrave partir du germe de
cristallisation ce qui entraicircne une deacutegradation des proprieacuteteacutes supraconductrices vers le fond et
le bord de leacutechantillon supraconducteur [109]
Une technique de fabrication des bulk supraconducteurs en YBCO gradueacute baseacutee sur la
concentration de Y-211 utiliseacutee a eacuteteacute deacuteveloppeacutee par un groupe de chercheurs appeleacute laquo the
Cambridge Bulk Superconductivity Groupraquo [109] Trois types de preacutecurseurs en poudres
contenant diffeacuterentes concentrations drsquoY-211 sont disposeacutes en forme U dans une pastille
YBCO en bulk (figure III3) Le but de cette technique est drsquoameacuteliorer les proprieacuteteacutes
supraconductrices du mateacuteriau fabriqueacute
Pour la modeacutelisation de ces pastilles celles-ci peuvent ecirctre diviseacutees en deux ou trois
reacutegions en forme U chaque reacutegion eacutetant caracteacuteriseacutee par son propre Jc0 [109] (Figure III3)
Figure III3 Modegravele drsquoune pastille SHTC gradueacutee en YBCO proposeacutee pour la modeacutelisation
numeacuterique
III22 Le circuit drsquoaimantation
Lrsquoaimantation des pastilles SHTC neacutecessaire agrave la caracteacuterisation est faite par un
magneacutetiseur agrave impulsion (Impulse Magnetizer k-serie) [105] (figure III4)
Les caracteacuteristiques techniques de ce magneacutetiseur sont
- Puissance de stockage de 10kWs
- Capacitance de 5mF
87
- Tension de charge maximale de 2 kV et un courant de 25 kA
Figure III4 Magneacutetiseur agrave impulsion K-serie utiliseacute pour aimanter la pastille
Lrsquoinducteur produisant le champ magneacutetique pour aimanter la pastille
supraconductrice est une bobine agrave fil de Litz de 127 cm de longueur et de 65 cm de diamegravetre
externe ce type de bobines sont adapteacutees au transport des courants eacutelectrique agrave haute
freacutequence et produit un champ magneacutetique axial plus en moins homogegravene dans son centre
dont lequel on met la pastille pour lrsquoaimantation Un Oscilloscope est utiliseacute pour faire la
mesure du champ magneacutetique et le courant de deacutecharge produit par le magneacutetiseur Une
bobine de Rogowski est employeacutee pour mesurer le courant de deacutecharge Rappelons que la
bobine de Rogowski est un systegraveme eacutelectrotechnique servant agrave mesurer le courant alternatif
ou les impulsions de courant agrave grande vitesse [107] Elle se compose
dun enroulement heacutelicoiumldal de fil dont le fil dune extreacutemiteacute revient par le centre de
lenroulement agrave lautre extreacutemiteacute de sorte que les deux bornes sont agrave la mecircme extreacutemiteacute de
lenroulement La bobine est positionneacutee autour du conducteur dont on veut connaicirctre le
courant La figure III3 montre une photo du circuit eacutelectrique utiliseacute pour lrsquoaimantation
Le champ magneacutetique ( )aB t geacuteneacutereacute par la bobine est appliqueacute parallegravelement suivant
lrsquoaxe ( )Oz de la pastille cylindrique Ce champ est caracteacuteriseacute par une vitesse de monteacute bV
drsquoenviron 3125 Ts et une valeur maximale ( )maxaB drsquoenviron 32 Tesla (Figure III7) Une
diffeacuterence de potentiel de 600 V est choisie sur les bornes du magneacutetiseur pour avoir cette
valeur de champ appliqueacute
88
Figure III5 Circuit eacutelectrique de magneacutetisation
Figure III6 Repreacutesentation du dispositif expeacuterimentation du processus drsquoaimantation utiliseacute
89
Figure III7 Impulsion de champ magneacutetique appliqueacute sur la pastille SHTC
III23 Instrumentation
La mesure de champ magneacutetique sur les deux surfaces de la pastille drsquoYBCO se fait agrave
lrsquoaide des deux sondes agrave effet Hall de type HHP-NP adapteacutees aux basses tempeacuteratures
(figure III8) Chaque sonde agrave effet Hall comprend quatre fils deux pour les courants et deux
pour les signaux de tension Les geacuteneacuterateurs de courant illustreacutes sur la figure III5 alimentent
les sondes agrave effet Hall La distance entre la partie active de la sonde et la surface de la pastille
est drsquoenviron 05mm Cette distance est due agrave lrsquoencapsulage de la sonde Ces sondes mesurent
le champ magneacutetique suivant lrsquoaxe (Oz)
Figure III8 Sonde agrave effet Hall de type HHP-NP
90
Les caracteacuteristiques des deux sondes agrave effet Hall utiliseacutees sont donneacutees par le
fabricant (Tableau III1)
Tableau III1 Caracteacuteristiques des sondes agrave effet Hall
Paramegravetre Uniteacute Sonde 2003 (77K) Surface au-dessus
Sonde 468 (77K) Surface su dessous
Courant nominal In mA 20 20
Courant maximum mA 30 20
Sensibiliteacute agrave In TV 1356 946
Tension de deacutecalage agrave In Vmicro 58 lt -40
Reacutesistance drsquoentreacutee Ω 23 41
Reacutesistance de sortie Ω 78 18
Reacutegion de dimension efficace mm 0500 x 01 05 x 01
Dimensions globale mm 5 x 7 x 1 5 x 7 x 1
Les sondes agrave effet Hall sont placeacutees au centre des surfaces planes des pastilles et donc
perpendiculaires au champ magneacutetique appliqueacute (Figure III9)
Lrsquoensemble bobine pastille SHTC et sondes agrave effet Hall sont immergeacutees dans lrsquoazote
liquide agrave une tempeacuterature de 77 K
Lrsquoimpulsion de champ magneacutetique creacuteeacute par la bobine appliqueacutee sur la pastille SHTC
refroidie est lrsquoimage de lrsquoimpulsion de courant eacutelectrique creacuteeacute par le magneacutetiseur Les
mesures de champ magneacutetique et de courant eacutelectrique seront prises agrave lrsquooscilloscope
Figure III9 Positions des sondes agrave effet Hall sur les deux surfaces de la pastille SHTC
91
III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTC
III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hall
Le calcul de la densiteacute de courant critique Jc se fait agrave partir du champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete BP Le calcul de BP est fait agrave partir de la mesure du champ magneacutetique agrave
lrsquoaide des sondes agrave effet Hall En fait nous pouvons mesurer le champ magneacutetique sur lrsquoaxe
(Oz) de la pastille uniquement en deux positions
- Position 1 Au centre de la surface de base supeacuterieure (pregraves du germe de cristallisation
(seed))
- Position 2 Au centre de la surface inferieure de la pastille
La figure III10 repreacutesente les reacutesultats de mesure du champ magneacutetique MB au centre
des deux surfaces de la pastille SHTC (a) Position 1 (b) Position 2 Le champ magneacutetique
MB est mesureacute agrave une distance 05d mm= des deux surfaces de la pastille La diffeacuterence
( ) ( ) 05a MB t B t d mmminus = preacutesente le champ magneacutetique produit par le courant eacutelectrique
induit dans la pastille nommeacute ( )ZSCB t d Ce champ atteint une valeur maximum nommeacute
BZSCM
Agrave partir des figures III10a et III10b on constate que le champ magneacutetique mesureacute aux
positions 1 et 2 ne varie pas de la mecircme faccedilon
92
(a)
(b)
Figure III10 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer au
(a) position1 (b) position 2
93
La figure III11 preacutesente les mecircmes mesures de la figure III10 avec une eacutechelle de
temps reacuteduite Nous remarquons que le temps de peacuteneacutetration complegravete de champ magneacutetique
dans le cas de la position 1 est supeacuterieur agrave celui dans le cas de la position 2 Ainsi la reacutegion
laquo seed raquo est caracteacuteriseacutee par un champ magneacutetique induit supeacuterieur agrave celui de la reacutegion de la
surface opposeacutee (position 2)
(a)
(b)
Figure III11 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer avec une
eacutechelle de temps reacuteduite (a) position1 (b) position 2
94
III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de la
pastille
Le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP peut ecirctre deacuteduit agrave partir de
lrsquoeacutequation I34 en connaissant la valeur de BZSCM Le rapport BZSCBBPB dans lrsquoeacutequation I34
est en fonction seulement des paramegravetres geacuteomeacutetriques R et L de la pastille Ainsi le champ
magneacutetique de peacuteneacutetration de Bean BPB est calculeacute agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I29 en prenant
n=50 Une fois le champ BPB est calculeacute et agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 on peut deacuteterminer la
valeur de la densiteacute de courant critique Jc
Les valeurs de temps de peacuteneacutetration tP de champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute
BPM du max de champ magneacutetique produit par le courant eacutelectrique induit dans la pastille
BZSCM ainsi la valeur de la densiteacute de courant critique obtenues au centre des deux surfaces de
la pastille eacutequivalent aux positions 1 et 2 sont reacutesumeacutees dans le tableau III2
Tableau III2 Valeurs de la densiteacute de courant critique calculeacute agrave une distance de 05 mm au-dessus du
centre des deux surfaces de la pastille SHTC
Position 1 Position 2
tP (10-4s) 75 36
BPM(T) 23 13
BZSCM 192 139
Jc (Amm2) 201 145
Drsquoapregraves les reacutesultats de tableau III2 nous constatons que la densiteacute de courant critique
nrsquoest pas constante sur toute la pastille SHTC elle varie drsquoune reacutegion agrave lrsquoautre Cette
inhomogeacuteneacuteiteacute est due agrave la technique de fabrication utiliseacutee pour ce type de pastille SHTC
III33 Simulations numeacuteriques
Pour modeacuteliser le comportement eacutelectromagneacutetique de la pastille SHTC utiliseacutee dans
nos mesures et par la suite valider la meacutethode utiliseacutee pour calculer la densiteacute de courant
critique agrave partir de la mesure de champ magneacutetique une approximation macroscopique est
proposeacutee Le principe expliqueacute preacuteceacutedemment est de diviser la pastille en trois reacutegions
principales reacutegion supeacuterieure reacutegion centrale et reacutegion inferieure (figure III3) Chaque
95
reacutegion est caracteacuteriseacutee par sa propre densiteacute de courant critique Jc0 Lrsquoimpulsion de champ
magneacutetique appliqueacute sur la pastille est la mecircme que dans la figure III7
La simulation numeacuterique srsquoest faite agrave lrsquoaide du logiciel COMSOL Un calcul
numeacuterique en 2D-axisymeacutetrique est utiliseacute ougrave la formulation en H en coordonneacutees
cylindriques est employeacutee Lrsquoeacutequation de Maxwell suivante doit ecirctre reacutesolue en systegraveme de
coordonneacutees cylindrique
( )0 0 1IIHt
IEmicro part+nablatimes =
part
( ) 2E H IIIρ= nablatimes
Les champs magneacutetique et eacutelectrique ont respectivement deux composantes radiale et
longitudinale [ ]0r zH H H et une transversale [ ]0 0E E
( )0 30 rH E It
IIz
micro part partminus =
part part
( )0 4zH E Et r r
IIImicro part part+ = minus
part part
Le champ eacutelectrique E est donneacute en modegravele de la loi en puissance deacutefini en chapitre I
La densiteacute de courant eacutelectrique est donneacutee agrave partir de lrsquoexpression diffeacuterentielle suivante
( ) 5r z IIHz r
IHJ part part= minus
part part
Le milieu supraconducteur est repreacutesenteacute par une modeacutelisation ( )CJ B selon la loi empirique
suivante
( ) ( )0
0
1
6C iC IIIJJ B
BB
β= +
Avec JC0i est la densiteacute de courant critique de la reacutegion i (i=1 2 3) en absence de toute champ
magneacutetique externe et B0 est une constante deacutependante du mateacuteriau On choisit ici de prendre
0 01B = et 05β = pour les trois reacutegions de la pastille [109]
Nous avons fait varier Jc0i pour chaque reacutegion en suivant la mecircme meacutethode expliqueacutee
preacuteceacutedemment dans la partie expeacuterimentale pour calculer la densiteacute de courant critique
96
moyenne sur les deux surfaces des deux pastilles jusqursquoagrave retrouver les reacutesultats proches de
ceux trouveacute expeacuterimentalement (tableau III2)
Puisque la meacutethode PFM est employeacutee dans notre problegraveme ougrave le champ magneacutetique appliqueacute
est fonction de temps donc la simulation est faite en reacutegime temporel
Le temps maximal de lrsquoimpulsion choisie pour cette simulation max 5msτ = afin de minimiser
la dureacutee de calcul
Les valeurs de JC0i optimales trouveacutees sont mentionneacutees dans le tableau III3
Tableau III3 valeurs de JC0i optimiseacutees pour les trois reacutegions de la pastille
Reacutegion I Reacutegion II Reacutegion III
JC0i (Amm2) 680 1400 435
Lrsquoeacutevolution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure de la pastille est preacutesenteacutee sur la
figure III12 avec un pas de temps eacutegale agrave max 6τ Nous remarquons que le champ magneacutetique
peacutenegravetre progressivement agrave partir de la surface lateacuterale vers lrsquointeacuterieure de la pastille Cette
peacuteneacutetration atteint sa valeur maximale agrave la fin de lrsquoaimantation Le champ magneacutetique
peacuteneacutetrant est moins important coteacute seed
97
Figure III12 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur de la
pastille SHTC
98
La figure III13 repreacutesente les reacutesultats des modeacutelisations numeacuteriques de champ
magneacutetique MB au-dessus de centre des deux surfaces de la pastille SHTC agrave une distance
e=05mm (a) Position 1 et (b) position 2
(a)
(b)
Figure III13 Modeacutelisation numeacuterique du champ magneacutetique sur le centre de la surface
drsquoune pastille (a) Position 1 (b) Position 2
99
Figure III14 La phase de monteacute des graphes de mesures numeacuterique et expeacuterimentale de
champ magneacutetique au-dessus des deux surfaces de la pastille
Une premiegravere comparaison entre les graphes obtenus expeacuterimentalement (figure III9)
et par le calcul numeacuterique (figure III13) pour les deux pastilles montrent que ces graphes sont
proches seulement pendant la phase de monteacutee (la phase la plus inteacuteressante pour deacuteterminer
Jc) (figure III14) Cependant durant la phase de descente de ces graphes nous remarquons
que les graphes obtenus expeacuterimentalement sont totalement diffeacuterents de ceux obtenus
numeacuteriquement Cela srsquoexpliquerait par des pheacutenomegravenes thermiques dus aux pertes creacuteeacutees par
les diffeacuterents courants induits pendant la phase de monteacutee et la phase de descente de
lrsquoimpulsion de champ appliqueacute durant lrsquoexpeacuterience que nous nrsquoavons pas pris en
consideacuteration en simulation
III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux
pastilles
Dans cette partie nous allons mesurer la densiteacute de courant critique drsquoun ensemble de
deux pastilles supposeacutees identiques Le point de mesure srsquoeffectuera entre les deux pastilles agrave
lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet Hall Les deux pastilles sont seacutepareacutees par une distance laquo e raquo qui
preacutesente lrsquoeacutepaisseur de la sonde Afin drsquoeacutetudier lrsquoinfluence de la position des germes dans
cette meacutethode de caracteacuterisation trois configurations sont prises en consideacuteration en fonction
de la position du germe de cristallisation dans les deux pastilles utiliseacutees (figure III15)
100
(a) (b) (c)
Figure III15 Configurations utiliseacutees pour le calcul de Jc entre les deux pastilles
La figure III16 preacutesente les reacutesultats de mesure de champ magneacutetique prises entre les
deux pastilles SHTC pour les trois configurations illustreacutees dans la figure III15 On constate
ici que le temps de peacuteneacutetration complegravete varie drsquoune configuration agrave lrsquoautre (voir tableau
III4) Le champ magneacutetique prend plus de temps pour peacuteneacutetrer agrave lrsquointeacuterieure et entre les
pastilles agrave travers les seeds
Tableau III4 les valeurs de temps de peacuteneacutetration complegravete et champ magneacutetique de
peacuteneacutetration eacutequivalent mesureacutes pour les trois configurations
Configuration (a) Configuration (b) Configuration (c)
tP (10-3 s) 093 132 14
BPM (T) 257 302 31
101
(a)
(b)
(c)
Figure III16 Mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC pour les
configurations (a) (b) et (c)
102
Pour comprendre les pheacutenomegravenes observeacutes des simulations numegraveriques ont eacuteteacute
reacutealiseacutees Les mecircmes eacutetapes de simulation numeacuterique expliqueacutes preacuteceacutedemment dans le cas
drsquoune seule pastille sont utiliseacutees ici La figure III17 repreacutesente lrsquoeacutevolution de la distribution
du champ magneacutetique agrave lrsquointerieur des deux pastilles SHTC pour les trois configurations
illustreacutees dans la figure III15 Les mecircmes valeurs de Jcoi sont utiliseacutees aussi pour la deuxiegraveme
pastille Lrsquoeacutetude de lrsquoeacutevolution de champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur et entre les deux pastilles
est faite agrave un pas de temps eacutegale agrave max 3t τ=
Nous remarquons que le champ magneacutetique peacutenegravetre progressivement agrave lrsquointeacuterieure des
deux pastilles cette peacuteneacutetration est plus rapide dans le cas de la configuration (a) et moins
rapide dans le cas de la configuration (c)
103
Figure III17 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure des
deux pastilles pour les trois configurations (a) (b) et (c)
104
Afin de prendre en consideacuteration lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall utiliseacutee dans la
mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC utiliseacutees dans notre mesure nous
avons fait appel agrave la relation (I32) pour calculer le champ magneacutetique de peacuteneacutetration
complegravete BP Ce champ est neacutecessaire pour le calcul de la densiteacute de courant critique JC entre
les deux pastilles
Rappelons que la relation I32 est valable seulement pour R=10 mm R eacutetant le rayon
de la pastille utiliseacutee Par contre les deux pastilles que nous avons utiliseacutees ont un rayon
R=156 mm Pour trouver une nouvelle relation entre le champ de peacuteneacutetration mesureacute BPM et
le champ de peacuteneacutetration complegravete BP une simulation numeacuterique similaire agrave celle expliqueacutees
dans le paragraphe I5212 du chapitre I est effectueacutee en utilisant deux pastilles SHTC de
rayon R=1555 mm pour chacune ces deux pastilles sont seacutepareacutees par un entrefer e=1mm Cet
entrefer preacutesente lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall Les reacutesultats de mesure sont preacutesenteacutes
sur la figure III18
Figure III18 Rapport BPMBP en fonction de longueur L de la pastille SHTC pour
R=156mm
Donc drsquoapregraves la figure III18 la relation liant BPM et BP pour les deux pastilles utiliseacutees dons
nos mesures deacutepend seulement de la hauteur des deux pastilles et elle est donneacutee par
( ) ( ) ( 156 ) 0031 ln 0 777 PM
P
B R mm ILB
II= = times +
Les valeurs de champ de peacuteneacutetration mesureacute BPM pour les trois configurations eacutetudieacutees sont
mentionneacutees dans le tableau III4 Une fois la valeur de champ de peacuteneacutetration complegravete
deacutetermineacutee agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation III7 et agrave partir de lrsquoeacutequation I29 nous calculons la valeur
105
de champ de peacuteneacutetration de Bean BPB Enfin la densiteacute de courant critique JC entre les deux
pastilles SHTC est calculeacutee agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 Les valeurs de Jc entre les deux
pastilles pour les trois configurations de la figure III15 sont mentionneacutees dans le tableau III5
Tableau III5 Valeur de la densiteacute de courant critique entre les deux pastilles SHTC drsquoYBCO
utiliseacutees dans nos expeacuteriences
Configuration (a) Configuration (b) Configuration (c)
Jc (Amm2) 1317 1548 1589
Drsquoapregraves le tableau III5 nous remarquons que la valeur moyenne de la densiteacute de
courant eacutelectrique critique entre les deux pastilles est infeacuterieure agrave celle drsquoune pastille seule
Cette diminution est due peut-ecirctre agrave la diminution des courants eacutelectriques induits reacutesultants
entre les deux surfaces opposeacutees La configuration (b) est caracteacuteriseacutee par une densiteacute
eacutelectrique critique plus eacuteleveacutee agrave celle de la configuration (a) et moins eacuteleveacutee agrave celle de la
configuration (c) agrave cause de la preacutesence des germes de cristallisations (seed) en face agrave face
pour la configuration (c)
III5 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences pour lrsquoaimantation drsquoune pastille
SHTC de type YBaCuO par la meacutethode PFM dans le but de veacuterifier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute de cette
pastille en termes de densiteacute de courant critique Agrave lrsquoaide des sondes agrave effet Hall nous avons
mesureacute le champ magneacutetique au milieu des deux surfaces planes de la pastille dans le but de
calculer la densiteacute de courant critique agrave ces endroits Dans toutes les mesures il existe une
distance drsquoenviron 05 mm entre la partie active de la sonde et la surface de la pastille ce qui
doit ecirctre pris en compte dans les calculs de Jc Nous avons remarqueacute que la surface qui
contient le germe de cristallisation est caracteacuteriseacutee par une densiteacute de courant plus eacuteleveacutee que
lrsquoautre surface Cette inhomogeacuteneacuteiteacute est due agrave la technique de fabrication utiliseacutee pour ce type
de pastille SHTC Ensuite et sur la base des reacutesultats obtenus expeacuterimentalement nous avons
proposeacute un modegravele numeacuterique pour deacutecrire la morphologie de la pastille SHTC utiliseacute dans
nos mesures en divisant cette pastille en trois reacutegions en forme U concentriques reacutegion
supeacuterieure reacutegion centrale et reacutegion inferieure Chaque reacutegion est caracteacuteriseacutee par sa propre
densiteacute de courant critique JC0
106
Ensuite pour eacutetudier lrsquoinfluence de la position du germe de cristallisation dans la
meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles nous avons calculeacute la densiteacute de courant critique
entre deux pastilles SHTC supposeacutees identiques et seacutepareacutees par une distance e = 1mm agrave lrsquoaide
de la mesure de champ magneacutetique dans cette reacutegion Trois configurations ont eacuteteacute prises en
consideacuteration en fonction de la position du germe de cristallisation Les reacutesultats obtenus
montrent une diminution de la densiteacute de courant critique par rapport agrave une seule pastille agrave
cause de la diminution des courants induits reacutesultants entre les deux surfaces opposeacutees La
configuration qui contient les deux surfaces de laquo seed raquo est toujours caracteacuteriseacutee par une Jc
plus eacuteleveacutee que le reste des configurations eacutetudieacutees Donc nous conseillions que lors de
lrsquointeacutegration des pastilles SHTC pareilles dans des machines eacutelectriques il faut prendre en
consideacuteration la position de ces pastilles par rapport agrave leurs germes de cristallisations
107
Conclusion geacuteneacuterale et perspectives
108
Le travail meneacute dans cette thegravese intituleacutee laquo modeacutelisation et caracteacuterisation des
mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique raquo a eacuteteacute reacutealiseacute en cotutelle dans le
cadre drsquoun projet PHC-Tassili entre le laboratoire GREEN de lrsquouniversiteacute de Lorraine et le
laboratoire LESI de lrsquouniversiteacute Djilali Bounaama de Khemis Miliana
Dans la premiegravere partie de cette recherche nous avons pu deacutevelopper un modegravele
analytique qui a pour but de calculer lrsquoinductance de lrsquoensemble composeacute drsquoune bobine
inductrice circulaire de section transversale rectangulaire dans un circuit ferromagneacutetique
ouvert muni drsquoun entrefer concentrique avec la bobine Ce modegravele est baseacute sur la
deacutetermination de potentiel vecteur magneacutetique agrave partir de la reacutesolution des eacutequations de
Laplace et de Poisson dans les diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecirct du circuit en utilisant la meacutethode
de seacuteparation des variables La reacutesolution analytique srsquoest effectueacutee agrave lrsquoaide drsquoun code de
calcul deacuteveloppeacute sous MATLAB Une simulation numeacuterique est eacutegalement effectueacutee afin de
valider les reacutesultats analytiques Au deacutebut le calcul se fait en absence de tout mateacuteriau
supraconducteur dans le circuit ferromagneacutetique puis nous avons eacutetudieacute le cas de preacutesence
drsquoune pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer pour montrer lrsquoinfluence de cette
derniegravere sur la valeur de lrsquoinductance de lrsquoinducteur Nous avons montreacute pour les deux cas
que les meacutethodes analytiques correspondent tregraves bien avec les meacutethodes numeacuteriques avec des
erreurs inferieures agrave 1 pour un nombre de termes harmonique eacutegale agrave 50 et avec un
avantage aux meacutethodes analytiques en termes de temps de calcul Aussi les meacutethodes
analytiques sont peu exigeantes sur la meacutemoire de calculateur Nous avons montreacute aussi agrave
travers ce modegravele que lrsquoinfluence de la taille de la pastille supraconductrice sur la valeur de
lrsquoinductance obtenue peut servir agrave dimensionner lrsquoinducteur de systegraveme drsquoaimantation par la
meacutethode PFM Ainsi les reacutesultats obtenus montrent que cette eacutetape de modeacutelisation est tregraves
inteacuteressante dans la phase de conception des machines supraconductrices utilisant les
mateacuteriaux supraconducteurs massifs
Dans la partie caracteacuterisation le but eacutetait drsquoeacutetudier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute drsquoune pastille
supraconductrice agrave haute tempeacuterature critique de type YBaCuO en termes de densiteacute de
courant critique Pour cela et suite aux travaux de caracteacuterisations reacutealiseacutes au niveau du
laboratoire GREEN nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences de lrsquoaimantation des pastilles SHTC
de type YBaCuO par la meacutethode PFM Les reacutesultats obtenus montrent que la surface
contenant le germe de cristallisation de la pastille est caracteacuteriseacutee par une densiteacute de courant
critique plus eacuteleveacutee que lrsquoautre surface et cela ducirc agrave la meacutethode drsquoeacutelaboration de ce genre des
pastilles Ensuite nous avons proceacutedeacute agrave la caracteacuterisation de deux pastilles SHTC identiques
109
seacutepareacutees par une distance de 1mm et calculeacute la densiteacute de courant critique de ces deux
pastilles La position de germe de cristallisation drsquoune pastille par rapport agrave lrsquoautre influence
directement la valeur de Jc
Comme perspective agrave ce travail nous envisageons de confronter le modegravele analytique
deacuteveloppeacute durant de travail sur un systegraveme physique reacuteel contenant un circuit magneacutetique
fermeacute comme par exemple un transformateur avec une bobine contenant une pastille
supraconductrice De plus nous envisageons drsquoeacutetablir un modegravele analytique standard en
prenant en consideacuteration lrsquoinfluence de lrsquoeffet thermique afin de deacuteterminer les proprieacuteteacutes
caracteacuteristiques des pastilles supraconductrices agrave partir des reacutesultats obtenus lors des
expeacuteriences de caracteacuterisations par la meacutethode PFM reacutealiseacutees durant cette thegravese
110
Liste des illustrations graphiques
et tableaux
111
Figure I1 Reacutesistiviteacute eacutelectrique de mercure agrave basse tempeacuteraturehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8
Figure I2 Historique des deacutecouvertes de la tempeacuterature critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11
Figure I3 Etat noraml et supraconducteur drsquoun meacutetal en fonction de la tempeacuteraturehellip 12
Figure I4 Repreacutesentation de champ magneacutetique induit en fonction du champ
magneacutetique appliqueacute pur les supraconducteurs de type Ihelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
13
Figure I5 Repreacutesentation graphique (a) des diffeacuterentes eacutetats des supraconducteurs de
type II et (b) du champ magneacutetique induit en fonction du champ
magneacutetique appliqueacute pour les supraconducteurs de type IIhelliphelliphelliphelliphellip
14
Figure I6 Reacuteseaux vortex dans un mateacuteriau supraconducteur de type IIhelliphelliphelliphelliphellip 15
Figure I7 Densiteacute de courant intergrain et intragrain dans un mateacuteriau
supraconducteur helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
16
Figure I 8 Microstructure drsquoun mateacuteriau Supraconducteur agrave Haute Tempeacuterature
critique (SHTC) de formule chimique 2 3 7YBa Cu O δminus helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
17
Figure I9 Surface critique et ordre de grandeur des paramegravetres critique de quelques
mateacuteriaux Supraconducteurshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
18
Figure I10 Diffeacuterentes formes des SHTC a) pastille YBaCuO en massifs b)
YBaCuO en monocouche c) tubes de BSCCOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
19
Figure I11 Traitement thermique pour la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO par la
technique TSMGhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
21
Figure I12 Structure cristalline tridimensionnelle de lrsquoYBa2Cu3O7-δ helliphelliphelliphelliphelliphellip 22
Figure I13 Repreacutesentation de structure (a) orthorhombique et (b) quadratique de la
maille eacuteleacutementaire du compos YBa2Cu3O7-δhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
23
Figure I14 Variation des paramegravetres de reacuteseau a b et c par rapport au deacuteficit en
oxygegravene δ helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
23
Figure I15 Repreacutesentation de la tempeacuterature critique en fonction du deacuteficit en
oxygegravene dans la structure YBaCuOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
24
Figure I16 Structure cristalline de MgB2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25
Figure I17 Distribution de B J E dans un cylindre supraconducteur soumis agrave un
champ magneacutetique parallegravele agrave son axehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
29
112
Figure I18 Comparaison entre la caracteacuteristique E(J) correspond au modegravele de Bean
(courbe rouge) et au modegravele de loi en puissance (courbe verte) avec celle
obtenue expeacuterimentalement (courbe bleu) pour un rubanhelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
Figure I19 Aimantation par refroidissement sous champ magneacutetique (Field Cooling
FC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
33
Figure I20 Aimantation par refroidissement hors champ magneacutetique (Zero Field
Cooling ZFC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
34
Figure I21 Aimantation par un champ impulsionnel (pulsed field magnetization
PFM)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
35
Figure I22 Scheacutema eacutelectrique simplifieacute du circuit utiliseacute pour aimanter les
supraconducteurs massifshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
35
Figure I23 Variation temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour laimantation par
la meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
36
Figure 24 Scheacutema repreacutesentatif de la meacutethode eacutelectrique pour deacuteterminer la densiteacute de
courant eacutelectrique Jc drsquoun mateacuteriau supraconducteurhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
37
Figure I25 Pastille supraconductrice massive de forme cylindrique soumise agrave un
champ magneacutetique appliqueacute axialementhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
38
Figure I26 Variation du champ magneacutetique en fonction du temps Ba est le champ
appliqueacute sur la pastille et B0 repreacutesente le champ magneacutetique mesureacute au
centre de la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
39
Figure I27 Position de sonde agrave effet Hall entre deux pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphellip 40
Figure I28 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesureacute entre deux
pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
40
Figure I29 Repreacutesentation du champ magneacutetique appliqueacute et le champ magneacutetique
mesureacute entre deux pastilles SHTC en fonction de temps en utilisant a)
une bobine supraconductrice pour geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee
b) une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer une vitesse de monteacutee
eacuteleveacutee
42
Figure I30 Rapport PPMB B en fonction de longueur L de la pastille SHTChelliphelliphellip 43
113
Figure I31 Position de sonde agrave effet Hall au centre de surface de la pastillehelliphelliphelliphellip 44
Figure I32 Distribution de la densiteacute de courant JJc dans la pastille SHTC pour trois
valeur de vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacutehelliphelliphelliphelliphelliphellip
45
Figure I33 Calcul numeacuterique de BP au centre de la pastille et BZSCM au-dessus du centre de surface de la pastille agrave d = 05mmhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
46
Figure I34 Comparaison entre le calcul numeacuterique ZSCB PBB B et le calcul analytique
ZSCM PB B helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
47
Figure II1 Geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute un circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie infeacuterieur de longueur 3 2 e Z Z= minus concentrique
avec une bobine de longueur 4 1L Z Z= minus helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
51
Figure II2 Maillages du circuit ferromagneacutetique avec entrefer eacutetudieacute par COMSOLhellip 62
Figure II3 Comparaison des distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave
partir du calcul analytique (a) et du calcul numeacuterique (b) avec le traceacute
des lignes de champ magneacutetiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
62
Figure II4 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions (a) III en ( )1 2 2r R R= + et (b) IV en 1 2r R= helliphelliphelliphelliphelliphellip
63
Figure II5 Comparaison des valeurs de lrsquoinductance de la bobine en fonction de la
longueur de lrsquoentrefer obtenues numeacuteriquement avec celles obtenues
analytiquement pour les diffeacuterentes valeurs de nombres des harmoniques
variant entre 1 et 50helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
64
Figure II6 Circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer de longueur e dans lequel se
trouve une pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
65
Figure II7 Distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir du (a)
calcul numeacuterique) et du (b) calcul analytique en preacutesence de la
pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
74
Figure II8 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans la reacutegion III en ( )2 3 2r R R= + (a) et dans la reacutegion IV en 1 2r R= (b) en
preacutesence de la pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
75
Figure II9 Repreacutesentation de lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon de la
pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
76
114
Figure II10 Variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
supraconductrice dans un circuit fermeacute et dans un circuit ouverthelliphelliphelliphellip
77
Figure II11 Position de la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du problegraveme de la figure II1 avec [ ]110r Risin et [ ]22 33z Z Zisin helliphelliphelliphelliphelliphellip
78
Figure II12 Variation de champ magneacutetique appliqueacute et du champ magneacutetique pieacutegeacute sur la surface de la pastille supraconductrice agrave 0r = et 33z Z= helliphellip
79
Figure II13 Evolution de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc sur le plan meacutedian de la pastille supraconductrice agrave ( )0479515320r mm= helliphelliphelliphelliphelliphellip
81
Figure III1 Pastille supraconductrice soumis agrave un champ magneacutetique exteacuterieurhelliphelliphellip 85
Figure III2 Les deux surfaces de la Pastille SHTC drsquoYBaCuO utiliseacutee pour
lrsquoaimantationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
85
Figure III3 Modegravele drsquoune pastille SHTC gradueacutee en YBCO proposeacutee pour la
modeacutelisation numeacuteriquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
86
Figure III4 Magneacutetiseur agrave impulsion K-serie utiliseacute pour aimanter la pastillehelliphelliphellip 87
Figure III5 Circuit eacutelectrique de magneacutetisationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88
Figure III6 Repreacutesentation du dispositif expeacuterimentation du processus
drsquoaimantation utiliseacutehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
88
Figure III7 Impulsion de champ magneacutetique appliqueacute sur la pastille SHTChelliphelliphelliphellip 89
Figure III8 Sonde agrave effet Hall de type HHP-NPhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 89
Figure III9 Positions des sondes agrave effet Hall sur les deux surfaces de la pastille
SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
90
Figure III10 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer au (a)
position1 (b) position 2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
92
Figure III11 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer avec une
eacutechelle de temps reacuteduite (a) position1 (b) position 2helliphelliphelliphelliphelliphellip
93
Figure III12 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur de la
pastille SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
97
115
Figure III13 Modeacutelisation numeacuterique du champ magneacutetique sur le centre de la
surface drsquoune pastille (a) Position 1 (b) Position 2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
98
Figure III14 La phase de monteacute des graphes de mesures numeacuterique et expeacuterimentale
de champ magneacutetique au-dessus des deux surfaces de la pastillehelliphelliphellip
99
Figure III15 Configurations utiliseacutees pour le calcul de Jc entre les deux pastilleshelliphellip 100
Figure III16 Mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC pour les
configurations (a) (b) et (c)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
101
FigIII17 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure des deux
pastilles pour les trois configurations (a) (b) et (c)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
103
Figure III18 Rapport PM PB B en fonction de longueur L de la pastille SHTC pour R=156mmhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
104
Tableau I1 Tempeacuterature critique de quelques mateacuteriaux supraconducteurshelliphelliphelliphellip 12
Tableau II1 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme sans
pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
61
Tableau II2 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme avec
pastillehelliphelliphellip
73
Tableau III1 Caracteacuteristiques des sondes agrave effet Hallhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 90
Tableau III2 Valeurs de la densiteacute de courant critique calculeacute agrave une distance de
05mm au-dessus du centre des deux surfaces de la pastille SHTC helliphellip
94
Tableau III3 Valeurs de JC0i optimiseacutees pour les trois reacutegions de la pastillehelliphelliphelliphellip 96
Tableau III4 Les valeurs de temps de peacuteneacutetration complegravete et champ magneacutetique de
peacuteneacutetration eacutequivalent mesureacutes pour les trois configurationshelliphelliphelliphellip
100
Tableau III5 Valeur de la densiteacute de courant critique entre les deux pastilles SHTC
drsquoYBCO utiliseacutees dans nos expeacuteriences helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
105
116
Reacutefeacuterences
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[94] B Douine F Sirois J Leveque K Berger C H Bonnard T C Hoang and S Mezani A New Direct Magnetic Method for Determining in Bulk Superconductors From Magnetic Field Diffusion Measurements IEEE Trans Appl Supercond vol 22 no 3 (2012)
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123
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124
Annexes
125
Annexe I reacutesolution des eacutequations de Laplace et de Poisson
1- Cas drsquoun circuit ouvert avec entrefer sans pastille supraconductrice
1-1 reacutegion I 3 4R r Rlt lt et 50 z Zlt lt
( )2 2
22 2 2
10 0 1I I I II
A A A AAr r r r z
part part partnabla = rArr + minus + =
part part part
En utilisant la meacutethode de seacuteparation des variables on met ( ) ( ) ( )I I IA r z R r Z z=
lrsquoeacutequation (1) srsquoeacutecrit donc sous forme
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 0 1 I I I I I I I II I I I
I I I
R R R Z R RZ Z Rr r r r z R r R r r r Z
Z Zz
λpart part part part part part+ minus + = rArr + minus = minus =
part part part part part part
Il existe donc deux eacutequations lieacutees agrave la constante Iλ
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 2
1 0 3
II I
I II I
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = part
part part + minus + = part part
1-1-1 Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (2) srsquoeacutecrit sous forme 2 0I IZ λ+ =
Le discriminant I∆ de cette eacutequation est donneacute par 4I Iλ∆ =
Trois cas sont possible pour I∆
1er cas 0 0I Iλ∆ = rArr =
Pour ce cas la solution de lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (2) est donneacutee par
( )I I IZ z A z B= +
En tenant en compte les conditions aux limites consideacutereacutees pour cette reacutegion on trouve
( )0 et 0 0I I IA B Z z= = rArr = Cette fonction ne nous inteacuteresse plus et 0Iλ = nrsquoest plus une
valeur propre de notre problegraveme
2egraveme cas 0 0I Iλ∆ gt rArr lt
On pose 2I Iλ β= minus soit 24I Iβ∆ = minus et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) I Iz zI I IZ z A e B eβ βminus= +
En tenant en compte les conditions aux limites
126
( )0 0I I IZ z A B= = rArr = minus
( ) ( ) ( )5 55 50 0 2 sinh 0I IZ Z
I I I IZ z Z A e e A Zβ β βminus= = rArr minus = rArr = Comme 0Iβ ne ceci nrsquoest
possible que pour 0IA = et donc 0IB =
La solution ( ) 0IZ z = ne nous inteacuteresse plus et 0Iλ lt aussi ne sont plus des valeurs propre de
ce problegraveme
3egraveme cas 0 0I Iλ∆ lt rArr gt
On pose 2I Iλ α= soit ( )24I Iiα∆ = et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) ( ) ( )cos sinI I I I IZ z A z B zα α= +
En tenant en compte les conditions aux limites
( )0 0 0I IZ z A= = rArr =
( ) ( )5 50 sin 0I I IZ z Z B Zα= = rArr = Cela nrsquoest possible que si 5
InnZπα = pour 1 0B gt avec
n=1 2 3hellip par conseacutequent 2
5In
nZπλ
=
sont les valeurs propres du problegraveme aux limites
Les fonctions propres associeacutees aux valeurs Inλ sont
( ) ( )sinI In InZ z B zα= Avec5
InnZπα =
112 Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Les valeurs propres Inλ sont maintenant connues Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle agrave reacutesoudre dans ce
cas ( ( )2
2 2 22 1 0I I
I IR Rr r r Rr r
αpart part+ minus + =
part part) est une eacutequation de Bessel modifieacutee
On effectue le changement de variable Inr rα= Lrsquoeacutequation alors srsquoeacutecrit
( )2
2 22 1 0I I
IR Rr r r Rr r
part part+ minus + =
part part
Les solutions de cette eacutequation de Bessel modifieacutees sont alors
( ) ( ) ( )1In In n In I nR r C I r D K rα α= +
La forme du potentiel vecteur magneacutetique dans la reacutegion I est donneacutee par
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 11
I In nI n n n
nIA a I r b K r sin zr z R r Z z α α α
infin
=
= += sum
Utilisant la condition aux limites4
( ) 0r R
rAr =
part=
part le potentiel A srsquoeacutecrit
127
( ) ( )( ) ( ) ( )0
101
nIn n n
n nI
K rb K r sin zA
rr
Iz
αα α
α
infin
=
+ =
sum
5n
nZπα = Avec
1-2 Reacutegion II 2 3 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre ici est une eacutequation de Laplace
2 2
02 2 2
1 ( ) (4)II II II IIA A A A J zr r r r z
micropart part part+ minus + = minus
part part part
Avec ( ) 1 4
0J pour Z z Z
J zAilleur
lt lt=
1-2-2 Reacutesolution de lrsquoeacutequation de Laplace sans second membre
En utilisant la meacutethode de seacuteparation des variables ( ) ( ) ( )II II IIA r z R r Z z= times deux
eacutequations en r et en z sont agrave reacutesoudre
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 5
1 0 6
IIII II
II IIII II
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = part
part part + minus + = part part
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de (5) srsquoeacutecrit par 2 0II IIZ λ+ = ou le discriminant II∆ de cette
eacutequation est donneacute par 4II IIλ∆ = minus
1er cas 0 0II IIλ∆ = rArr =
En suivant les mecircmes eacutetapes de la reacutesolution deacutecrit preacuteceacutedemment on trouve que
cette valeur de 0IIλ = nrsquoest pas une valeur propre du problegraveme
2egraveme cas 0 0II IIλ∆ gt rArr lt
On trouve aussi que 0IIλ lt ne sont plus aussi des valeurs propres de ce problegraveme
3egraveme cas 0 0II IIλ∆ lt rArr gt On pose 2II IIλ α= soit ( )24II IIiα∆ =
La solution srsquoeacutecrit comme ( ) ( ) ( )cos sinII II II II IIZ z A z B zα α= +
En tenant en compte les conditions aux limites agrave 0z = et 5z Z=
( )0 0 0II IIZ z A= = rArr =
128
( ) ( )5 55
0 sin 0I II II IIn nnZ z Z B ZZπα α α= = rArr = rArr = = Avec n=1 2 3hellip Donc IInλ sont les
valeurs propres du problegraveme Les fonctions propres associeacutees aux valeurs IInλ sont
( ) ( )sinII IIn nZ z B zα= Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Les valeurs propres pour dans cette reacutegion sont maintenant connues donc on peut
reacutesoudre lrsquoeacutequation (6) (eacutequation de Bessel modifieacutee) suivant la variable r
En effectuant changement de variables IInr rα= les fonctions solution de cette eacutequation sont
alors
( ) ( ) ( )1 1IIn IIn n IIn nR r C I r D K rα α= +
Deacutetermination des solutions de lrsquoeacutequation avec second membre
On effectue la transformeacutee de Fourier de la densiteacute de courant eacutelectrique sur la base des
fonctions solutions de lrsquoeacutequation homogegravene en z soit
( ) ( )1
sinIIn nn
J z J zαinfin
=
=sum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )25
1
1 25 50
2 2 2sin sin cos cosZ Z
IIn nZ
n n nJ JJ J z z dz z dz Z Z
Z Z nα α α α
π= = = minusint int
A partir de lrsquoeacutequation (4) on peut eacutecrire
( )2 2
2 2 202 2 sin II II II
II II II II II IIn nR A Zr Z rZ R Z r R rr r z
J zαmicropart part part+ minus + = minus
part part part
On remplace ( )IIZ z par son expression dans cette eacutequation (avec nr rα= ) on trouve
( )2
2 2 2 2 02 1 II II IIn
n IIIIn
R Ar r r R rr r
JBmicroαpart part
+ minus + = minuspart part
Cette eacutequation srsquoeacutecrit sous forme
( )( )
1
2 2 2 1 4Γ 1 2
r
r L r L r L
υ
υ υ υ π υ
+ + minus + =
+
Dont les fonctions de Struve sont solutions de cette eacutequation [hellip]
Pour 1ν = les fonctions solutions de cette eacutequation srsquoeacutecrivent sous forme
( ) ( ) ( ) ( )0 21 0 12 2Γ 3 2
2n IIn
II n nn n IIn
J JR r L r L rB B
micro ππ α micro αα α
= minus = minus
Drsquoougrave
129
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11
1 sinII IIII II II n n n I n n n
nnLA r z R r Z z a I r b K r C zrαα α α
infin
=
= = + minussum
Avec 0 22 etII II
n IIn II n IIn IIIIn
nna C B b D B C Jπmicro
α= = =
1-3 Reacutegion III 1 2R r Rlt lt et 50 z Zlt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre ici est une eacutequation de Poisson
( )2 2
2 2 2
1 0 7III III III IIIA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
La solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation (7) est obtenue en suivant les mecircmes eacutetapes de la
reacutesolution pour la reacutegion I avec des conditions aux limites imposeacutees agrave z=0 et z= Z5 de type
Dirichlet 5( 0 ) 0 et ( ) 0III IIIA r z A r z Z= = = =
La forme geacuteneacuterale du potentiel vecteur magneacutetique obtenue est donc
( ) ( ) ( )( ) ( )1 11
III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Avec 5
nnZπα =
1-4 reacutegion IV 10 r Rlt lt et 2 3Z z Zlt lt
( )2 2
2 2 2
1 0 8IV IV IV IVA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites consideacutereacutees ici sont de types Neumann
2 3
( ) ( )0 et 0IV IV
z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
En appliquant la meacutethode de seacuteparation de variables ( ) ( ) ( )IV IV IVA r z R r Z z= times l eacutequation (8) srsquoeacutecrit sous forme
2 2
2 2 2
11 1 1 1IV IV IVIV
IV IV IV
R RR r R r r r
ZZ z
λpart part part+ minus = minus =
part part part
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 9
1 0 11
IVIV IV
IV IVIV IV
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = partrArr
part part + minus + = part part
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
130
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (10) srsquoeacutecrit sous forme 2 0IV IVZ λ+ =
4IV IVλ∆ =
1er cas 0 0IV IVλ∆ = rArr =
La solution est donneacutee sous forme ( )IV IV IVZ z A z B= +
En tenant en compte les conditions aux limites
bull 2 2
( ) ( )0 0 0IV IVIV
z Z z Z
A r z Z r z Az z= =
part part= rArr = rArr =
part part
bull 3 3
( ) ( )0 0IV IV
z Z z Z
A r z Z r zz z= =
part part= rArr =
part part Cette condition ne nous apprend rien sur
Par conseacutequent 0 0IV IVλ λ= = est une valeur propre simple de problegraveme et ( )0 0IVZ z B= est
une fonction propre simple ( 0B est une constante arbitraire)
2egraveme cas 0 0IV IVλ∆ gt rArr lt
Pour ce cas on trouve que les valeurs de 0IVλ lt ne sont pas des valeurs propre de ce
problegraveme
3egraveme cas 0 0IV IVλ∆ lt rArr gt
On pose 2IV IVλ β= soit ( )24IV IViβ∆ = et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) ( ) ( )cos sinIV IV IV IV IVZ z A z B zβ β= +
En tenant en compte les conditions aux limites
bull ( )( )
2 2
2
2
sin( ) ( )0 0cos
IVIV IVIV IV
z Z z Z IV
ZA r z Z r z B Az z Z
ββ= =
part part= rArr = rArr =
part part
bull ( )( )3 3
3 23 2
( ) ( )0 0 sin 0IV IVIV IV
z Z z Z
A r z Z r z kZ Zz z Z Z
πβ β= =
part part= rArr = rArr minus = rArr =
part part minus
bull Donc 2
3 2IV
kZ Z
πλ
= minus sont des valeurs propres du problegraveme et la fonction associeacutee
aux ces valeurs est
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2
22
sincos sin cos
cosIV
IV IV IV IV k IVIV
ZZ z A z z C z Z
Zβ
β β ββ
= + = minus
IVB
131
Avec ( )2cos
IVk
IV
ACZβ
=
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Deux cas sont possibles pour les valeurs de IVkλ 1er cas 0IVλ =
( )2
22 011 IV IV
IVR Rr r Rr r
part part+ minus =
part partrArr Equation drsquoEuler dont la solution est donneacutee sous forme
( ) 10 0IV IV IVR r C r D rminus= +
En appliquant la condition aux limites dans ce cas ( )0 0IVA r z= = on trouve 0 0IVD =
2egraveme cas 0IVλ gt
Lrsquoeacutequation (11) est devenue une eacutequation diffeacuterentielle de Bessel modifieacutee sa solutions est
donneacutee donc par
( ) ( ) ( )1IVk IVk k IVk I kR r C I r D K rβ β= +
En appliquant la condition aux limites ( )0 0IVA r z= = on trouve 0IVkD =
Donc la forme geacuteneacuterale du potentiel vecteur magneacutetique dans cette reacutegion est donneacutee par
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )00 11 21
0 cos IV IV IV IV V k kIV
IVk
A r z R r Z z R A r a Ir Z z z Zrβ βinfin
=
= + + minus= sum
132
Annexe II Condition de passage agrave lrsquointerface entre les reacutegions III et IV agrave r =R1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ] ( )
1 1
2
2 3
3 5
1 1 2 3
0 0
1
0
2
III IV
r R r R
IV III
pour Z ZrA rA
pour Z Z Zr r
pour Z Z Z
A r R Z A r R Z pour Z Z Z
= =
lt lt part part = lt lt part part
lt lt = = = isin
Commenccedilons la premiegravere condition
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
1 2 1
3
0
1 sin sinZ Z
kI
kZ
II IV
r R r R
rA rz
Ar r
dz z dzα α= =
rArrpart
=partpart partint int
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
5
3 3
2 2
0 10
0
0 1
0 2
sin sin
32 sin cos sin
k
k k
ZIII IIIn n n n n n
Z ZIVk k k k
Z Z
a I R b K R z z dz
A z dz a I r Z Z z dz
α α α α α
α β β β α
minus =
+ minus
rArrint
int int
On a
bull ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )5 5
0 0
sin sin cos2
cosZ Z
nn n n nk k kz z dz z z dzαα α α α α α α+= minusminusint int
( )( ) ( )( )5 51 1sin si
2n sin
n nk kk
nn
kkn
Z Zα α α α α α αα α α α
minus + ne minus +minus
=
On remplace α par son expression on trouve
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )5
0
1 1sin sin sin sin si2
Z
n knnz z dz n k n k
n kn k
knα α πα π π π
minus + ne
minus
minus +=int
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 12 2
1 11 sin 1 s s2
in in n n kk k
n nk kn kn n
π π+ + + = ne minus +
=
minusminus
minus
Pour n=m
( ) ( ) ( )( )5 5
05
0
1sin sin co 22 2 2
sZ Z
n nn n nkz z nZz d z dzα αα α α α π
= minus ==int int
133
Donc ( ) ( )( ) ( )5
21
2 2
0
1 sinsin sin
si
si2
k
nZ
n n
n kk
n n
nn
k
kz z dz
π
πα α α
+ neminus
=
minus=
int
bull ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3
2
0 1 1 1 1 2 311 3 2
2 12 sin cos cosZ
III IIIn n n n n
nkZk k kA z dz m a I R b K R Z Z
R Z Zα α α α α
α
infin
=
= + minus minus
sumint
bull ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 2cos sin sin sin2
Z Zk
k k kk k kZ Z
kZ Z z dz z z Z z z Z dzββ β α α β α βminus = + minus + minus minusint int
( )( ) ( )( )3
2
2 2sin sin2 k k
Zk
k k k kZ
z Z z Z dzβ α β β α β β= + minus + minus +int
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
2 2 3 2
2 2 3 2
1 cos cos
12 cos cos
k k k kkk
k
k k k kk
k kk
k
k kk
Z Z Z Zsi
Z Z Z Z
α β β α β βα ββ α β
α β β α β βα β
+ minus minus + minus + = ne + minus + minus minus + minus
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
2 3 3 2
2 3 3 2
1 cos cos
12 cos cos
k kk
k kk
kkk
kk
Z Z Z Z
Z Z Z Z
α α βα ββ
α α βα β
minus + minus + = + minus minus minus minus
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 3 3 2 3 3 2
2 3 3 2 3 3 2
1 cos cos cos sin sin
12 cos cos cos sin sin
k kkk
k kk
k k kk
k k kk
Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z
α α β α βα ββ
α α β α βα β
minus minus minus minus + + minus minus + minus minus
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
12 3
12 3
1 cos 1 cos
12 cos 1 cos
kk k
kk
kk
k
kk
k
Z Z
Z Z
α αα ββ
α αα β
+
+
+ minus + + + minus minus
=
( ) ( ) ( )( )2 21
2 3cos 1 cos sikkk
kk k k
kk
Z Zα β α α α βα β
++ minus ne=minus
Pour kkα β=
( )( ) ( ) ( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 2cos sin sin 2 sin2
Z Zk
k k k k kZ Z
kZ Z z dz z Z Z dzββ β α β β βminus = minus +int int
( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 2 2 2 3 3 21sin cos cos
2 2k
k k k kk
Z Z Z Z Z Z Zβ β β β ββ
= minus + minus + minus
134
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )13 2 2 2 3
1sin cos 1 cos2 2
kkk k k
k
Z Z Z Z Zβ β β ββ
+ = minus + minus minus
( ) ( ) ( ) ( )( )12 2 3
1sin cos 1 cos2 4
kk k k
k Z Z Zπ β β β+= + + minus
Donc
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
3
2
2
13
2
2
22 1
3
2
cospour
1 coscos sin
cos1sin pour2 4 1 cos
kkk kkZ
k kk k
Z kk k kk
k
k
k
k
Z
ZZ Z z dz
Zk ZZ
αα β α βα β α
β β αβπ β α β
β
+
+
+ ne
minus minus = +
+ = minus
minus
int
En conclusion
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2 2
0
21
2 2
0 1 0 1
1 1 1 1 2 311 3 2
12 3
2 2
si1 sin
2 1 cos cos
cos 1 cos si
1s
1si
2
in cos 12 4
n
III IIIn n n n
III IIIn n n n n
nk k
k
k
k
kkk k k k
IV kk k
kk k
n kna I R b K R
m a I R b K R Z ZR Z Z
Z Za I
n k
rk Z
kn n
Z
k
πα α
α α α αα
α β α α α βα ββπ β β
π
+
infin
=
+
neminusrArr
=
minus
minusminus
= + minus minus
+ minus ne+
+ + minus
sum
( )( )13cos sik k kZβ α β+
=
On met
( ) ( )( )2 3cos cos1k k k
k
Zm Zα
α αminus=
( )( ) 12 1 32n k n kh m Zm R Z
minusminus=
( ) ( )2
12
2 si
si
1 s n
2
in k
n n kk
kf
n
nn
n k
π
π
+minus
ne
minus==
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 3
12 2 3
2 2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
k kkk k k k
k
kk k k k k
kn k
Z Z
k Z Zg
Z
α β α α α βα βπ β β β α β
+
+
minus + minus ne= + + minus =
On trouve
135
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
1 1 0 1 1 1
10
0 1
1
0III IIIn n k n n k n n n k n n k n
IVk n k k
a h I R f I R b h K R f K R
a g I R
α α α α
β
minus + + = +
rArr
Pour la deuxiegraveme condition
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3 3
2 2
1 2 1 2 cos co2 sZ Z
IV k III kZ Z
A r R Z z Z dz A r R Z z Z dzβ β= minus = = minusrArr int int
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
3 3
2 2
3
2
20 1 2 1 1 2
1
1 1 21
cos cos
cos
Z ZIV
k kkZ Z
ZIII IIIn n n n
k k
n kn Z
A R z Z dz a I R z Z dz
a I r b K r sin z z Z dz
β β
α α α β
βinfin
=
infin
=
minus + minus
= +
rArr
minus
sumint int
sum int
On a
bull ( )( ) ( ) ( )( )3
2
2 3 2 2 21cos sin sin 0
Z
k k kkZ
z Z dz Z Z Z Zβ β ββ
minus = minus minus minus =int
bull ( )( ) ( )( )( ) ( )3 3
2 2
22 2 3 2
1 1cos 1 cos 22 2
Z Z
k kZ Z
z Z dz z Z dz Z Zβ βminus = + minus = minusint int
bull ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 21sin cos sin sin2
Z Z
n k n k n kZ Z
z z Z d z z z Z z z Z d zα β α β α βminus = + minus + minus minusint int
( )( ) ( )( )3
2
2 21 sin sin2
Z
n k k n k kZ
z Z z Z dzα β β α β β= + minus + minus +int
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
2 2 3 2
2 2 3 2
1 cos cos1 si
12 cos cos
n k k n k kn k
n k
n k k n k kn k
Z Z Z Z
Z Z Z Z
α β β α β βα β
α βα β β α β β
α β
+ minus minus + minus + = ne + minus + minus minus + minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 3 2 31 1 1cos cos cos cos2 n n n n
n k n k
Z Z k Z Z kα α π α α πα β α β
= minus + + minus minus + minus
( ) ( ) ( )( )12 3
1 1 1cos 1 cos2
kn n
n k n k
Z Zα αα β α β
+ = + minus + + minus
( ) ( ) ( )( )12 3 2 2
21 cos 1 cos si2
k nn n n k
n k
Z Z αα α α βα β
+ = + minus ne minus
Pour n kα β=
136
( ) ( )( ) ( ) ( )3 3
2 2
2 2 21sin cos sin 2 sin2
Z Z
n k k k kZ Z
z z Z dz z Z Z dzα β β β βminus = minus +int int
( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 2 2 2 3 21 1sin cos 2 cos 22 2k k k k k
k
Z Z Z Z Z Z Zβ β β β ββ
= minus + minus minus minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )13 2 2 2 3
1 1sin cos 1 cos2 4
kk k k
k
Z Z Z Z Zβ β ββ
+= minus + + minus
En conclusion
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 3 2
12 3 2 2
1
113 2 2 2 3
21 cos 1 cos si 21 1sin cos 1
2
co4
1
s2
IV
k nIII n n n kn n n k
IIIkn n
k k k kk
k
n
ka I R Z Z
Z Za I r
b K r Z Z Z Z Z si
αα α α βα α βα
β β β α ββ
β
+
+
minus
+ minus ne minus = + minus + + minus =
rArr
En multipliant les deux coteacute de cette eacutequation par kβ on trouve
( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1
12 32 2
1 11
2 2 3
2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
IV
kn kn n n k
III III n kn n n n
kk k k k
k k
n
ka I R
Z Za I r b K r
k Z Z Z
π
α β α α α βα βα απ β β β α
β
β
+
+
+ minus ne minus= +
rArr
+ + minus =
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 02
III III IVn n k n n n k kk n
ka g I r b g K r a I Rπα βαrArr + minus =
137
Annexe III Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
En appliquant les conditions de continuiteacutes du potentiel vecteur magneacutetique aux interfaces
entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave r=R2 et entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI agrave r= R1
( ) ( ) [ ] ( )
( )( ) [ ]
[ ]( ) [ ]
( )
2 2 2 5
1 2 3
1 3 4
1 4 5
Pour 1
Pour
0 Pour 2
Pour
IV III
V
IV
VI
A r R z A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
= = = isin
= isin
= = isin = isin
Par inteacutegration de ces deux eacutequations par rapport agrave z sur lrsquointervalle [ ]2 5Z Z on trouve
( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
5 5 5
2 2 2
5
2 2
1 2 1 201 221
1 111 2 1 2 1 2
1 101 121
11 1 1 1
cos sin
cos
IV IIIZ Z Zn n n
nIV IIIn nZ Z Zn n n
IVZ Zn
IVZ Zn
nn
n
nn
n
a I R a I RA Rdz z Z dz z dz
A R b K R b K R
a I RA Rdz z Z dz
A R b K R
β αβ α
β α
ββ
β
infin infin
minus= =
minus
+ minus = + + +
+ minus + +
sum sumint int int
int( ) ( )( )
( ) ( )( )4
3
5
52
1 2 1
1 3 1 3 4
1
1
2 2
1
c
s
s
in
on
ZVIn n n
n Z
ZV
n nn Z
n
a I R z
a I R z Z dz
Z dz
β β
β βinfin
infin =
= infin
=
minus
minus
= +
sum
sumint
int
intsum
( )( )( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 2101 2 11 2 5 2 2 5
1 1 2
1101 1 11 1 5 2 1 2 1
13
321 1
1 cos cos
1 1 1
IIIn n
n nIIIn nn n
nVn
n n
VIn n n
n
a I RA R A R Z Z Z Z
b K R
A R A R Z Z a RR a II
αα α
α
βββ
β
α
infinminus
=
infin+minus
=
+ minus = minus + rArr
+ minus = minus +
sum
sum
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )1
1 22 201 2 11 2 5
15 2 1 2
12 101 1 11 1 2 3
21
5 31
1 2
1 co
1 1
s cos
1
IIIn n
n nI
VIn
IIn n n n
nVn n
n nn
n
a I
a I RRA R A Z ZZ Z b K R
RA R A a I RZ Z
Rββ
αα α
α α
ββ
infin
=
infin+
=
+ = minus minus + rArr
+ = minus + minus
sum
sum
( ) ( )( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1
1 2 12
0 1 1 2 1 21
1 2111 1 2 1 01
1 3 13
1 3 15 2 3
11 2
1
1 1
1
1
n
VIn n
n
VIn n
nV
nIII III nn n n n n
n
nVn n
n n n
a I R
a I R
a I RA a I R b K R h q
RA a I R A RZ Z
β
ββ
ββ
βα α
ββ
+
infin
=
infin+
=
minus = + minus +rArr = minus + minus minus
sum
sum
138
Avec
( )2
2 22 1
n nRh m
R R e=
minus ( ) ( )( )2 5cos co1 s n nn
n
Z Zmα
α α= minus ( )
12 2
2 1
RqR R e
=minus
et 5 2e Z Z= minus
139
Reacutesumeacute
Lrsquoobjectif de ce travail de thegravese est drsquooptimiser le processus drsquoaimantation des
pastilles supraconductrices agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) par un champ magneacutetique
impulsionnel ou PFM (Pulsed Field Magnetization) afin de les mettre en œuvre dans des
applications dans le domaine de lrsquoeacutelectrotechnique Dans lrsquoeacutetape de conception de lrsquoinducteur
neacutecessaire pour magneacutetiser ces pastilles SHTC la modeacutelisation et la simulation sont
fortement recommandeacutees pour effectuer les calculs neacutecessaires des diffeacuterentes caracteacuteristiques
eacutelectriques du systegraveme drsquoaimantation De ce fait nous avons deacuteveloppeacute un modegravele analytique
pour eacutetudier lrsquoinfluence de la preacutesence drsquoune pastille supraconductrice dans un circuit
ferromagneacutetique sur la valeur de lrsquoinductance drsquoune bobine inductrice Il srsquoagit de reacutesoudre les
eacutequations de Laplace et de Poisson dans diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecirct agrave travers le potentiel
vecteur magneacutetique La reacutesolution analytique a eacuteteacute effectueacutee agrave lrsquoaide drsquoun code de calcul
deacuteveloppeacute sous MATLAB ougrave les reacutesultats obtenus ont eacuteteacute en bonne concordances avec ceux
obtenus par simulation numeacuterique sous COMSOL
Lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC de type YBaCuO en termes de la densiteacute de
courant critique Jc a eacuteteacute eacutegalement eacutetudieacutee Pour cela nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences de
lrsquoaimantation des ces pastilles par la meacutethode PFM Nous avons montreacute que la surface plane
contenant le germe de cristallisation (seed) de ces pastilles est caracteacuteriseacutee par une Jc plus
eacuteleveacutee que lrsquoautre surface Ainsi nous avons eacutetudieacute lrsquoinfluence de la position du germe de
cristallisation dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles
Mots cleacutes Supraconducteur modeacutelisation analytique inductance aimantation champ
magneacutetique impulsionnel caracteacuterisation
140
Abstract
The aim of this thesis is to optimize the process of magnetization of superconducting
pellets at high critical temperature (SHTC) by pulsed field magnetization (PFM) in order to
use them in applications in the field of electrical engineering In the design phase of the
inductor necessary to magnetize these SHTC pellets modeling and simulation are strongly
recommended to perform the necessary calculations of the various electrical characteristics of
the magnetization system Therefore we have developed an analytical model to study the
influence of the presence of a superconducting bulk on the value of the inductance of an
induction coil in a ferromagnetic circuit The aim is to solve the Laplace and Poisson
equations in different regions of interest through the magnetic vector potential The analytical
resolution was performed (carried out) using a computer code developed under MATLAB
where the results obtained were in good agreement with those obtained by numerical
simulation under COMSOL
The inhomogeneity of YBaCuO type SHTC pellets in terms of critical current density
Jc was also investigated To do this we carried out experiments on the magnetization of these
bulks by the PFM method We have shown that the flat surface containing the crystallization
germ (seed) of these pellets is characterized by a higher Jc than the other surface Also we
studied the influence of the position of the seed crystallization in the two-pellet
characterization method
Key words Superconductor analytical modeling inductance magnetization pulsed
magnetic field characterization
141
ملخص
عالية حرجة حرارة درجة ذات التوصيل فائقة المواد مغنطة عملية تحسين هو العمل هذه من الهدف )SHTC (نبضي أو ما يعرف بطريقة مغناطيسي حقل طريق عنPFM في تطبيقات في استعمالها أجل من
حرارة درجة ذات التوصيل فائقة الاقراص لمغنطة المطلوب المحث تصميم مرحلة في الكهربائية الهندسة مجال لنظام المختلفة الكهربائية للخصائص اللازمة الحسابات لإجراء والمحاكاة بالنمذجة بشدة يوصى عالية حرجة
لوشيعة الذاتية قيمة على التوصيل فائق قرص وجود تأثير لدراسة تحليلي نموذج بتطوير قمنا لذلك المغنطةداخل الدارة مختلفة مناطق في وبواسون لابلاس معادلات حل هو الهدف حديدية مغناطيسية موجودة داخل دارة
تطويره تم برنامج باستخدام التحليلي الحل إجراء تم الشعاع المغناطيسي كمون خلال حساب من المغناطيسية تم التي تلك مع متوافقة الى حد كبير عليها الحصول تم التي النتائج كانت حيث MATLAB باستعمال الكود
COMSOL بموجب العددية المحاكاة خلال من عليها الحصول
نوع عالية من حرجة حرارة درجة التوصيل ذات فائقة أقرص تجانس عدم دراسة لقد تم أيضا YBaCuO باستخدام الأقراص هاته مغنطة من أجل تجارب أجرينا بذلك للقيام الحرج التيار كثافة حيث من
هاته الأقراص تبلور بذرة على يحتوي الذي المستوي السطح أن بينا من خلال هاته الدراسة لقد PFM طريقة في التبلور بذرة موضع تأثير درسنا وايضا الآخر السطح مرتفعة بالمقارنة مع Jc حرج تيار بكثافة يتميز
باستخدام قرصين متطابقين التوصيف طريقة
فائق الناقلية النمذجة التحليلية الذاتية المغنطة الحقل المغناطيسي النبضي التوصيف الكلمات الدالة
- Caracteacuterisation et modeacutelisation des mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
-
- Avant propos
- Table des matiegraveres
-
- Introduction geacuteneacuterale
- Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoart
-
- I1 Historique de la supraconductiviteacute
- I2 Grandeurs caracteacuteristiques des Supraconducteurs
-
- I21 Tempeacuterature critique
- I22 Champ magneacutetique critique
-
- I221 Supraconducteurs Type I
- I222 Supraconducteurs Type II
-
- I23 Densiteacute de courant critique JC
- I24 Surface critique
-
- I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
-
- I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
-
- I311Supraconducteur YBa2Cu3O7-δ
-
- a- Preacutesentation
- b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuO
- c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuO
-
- I32 Supraconducteur MgB2
-
- a- Preacutesentation
- b- Structure cristalline de MgB2
- c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2
-
- I4 Modegraveles des supraconducteurs
-
- I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)
-
- I411 Preacutesentation du modegravele
- I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long notion de peacuteneacutetration complegravete
-
- I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)
- I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et n
-
- I5 Meacutethodes drsquoaimantation
-
- I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)
- I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC)
- I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization (PFM)
-
- I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTC
-
- I51 Meacutethode eacutelectrique
- I52 Meacutethode magneacutetique
-
- I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastille
-
- I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur le champ de peacuteneacutetration
- I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de lrsquoexposant-n et Jc
-
- I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille
-
- I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et BP
-
- I6 Objectifs de la thegravese
-
- Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
-
- II1 Introduction
- II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveses
- II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetique
-
- II31 Reacutegion I R3ltrltR4 et 0ltzltZ5
- II32 Reacutegion II R2ltrltR3 et 0ltzltZ5
- II33 Reacutegion III R1ltrltR2 et 0ltzltZ5
- II34 Reacutegion IV 0ltrltR1 et Z2ltzltZ3
- II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0
-
- II4 Conditions de passages entres interfaces
-
- II41 Condition drsquointerface agrave r=R3
- II42 Condition drsquointerface agrave r=R2
- II43 Condition drsquointerface agrave r=R1
-
- II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobine
- II6 Reacutesultats analytiques et discussion
- II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
-
- II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
- II72 Conditions de passages entres interfaces
-
- II721 Interface agrave r = R4
- II722 Interface agrave r = R3
- II723 Interface agrave r = R2
- II724 Interface agrave r = R1
-
- II72 Expression analytique de lrsquoinductance
- II73 Reacutesultats et discussion
-
- II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique impulsionnel
- II9 Conclusion
-
- Chapitre 3 Prise en compte de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de leur caracteacuterisation
-
- III1 Introduction
- III2 Description du banc expeacuterimental
-
- III21 Les pastilles SHTC
- III22 Le circuit drsquoaimantation
- III23 Instrumentation
-
- III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTC
-
- III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hall
- III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de la pastille
- III33 Simulations numeacuteriques
-
- III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles
- III5 Conclusion
-
- Conclusion geacuteneacuterale et perspectives
- Liste des illustrations graphiques et tableaux
- Reacutefeacuterences
- Annexes
-
- Annexe I reacutesolution des eacutequations de Laplace et de Poisson
- Annexe II Condition de passage agrave lrsquointerface entre les reacutegions III et IV agrave r =R1
- Annexe III Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
-
4
Introduction geacuteneacuterale
5
Faire leacuteviter un train ou avoir des cacircbles eacutelectriques beaucoup plus puissants pour le
transport du courant sans perte drsquoeacutenergie sont devenus possibles gracircce au pheacutenomegravene de la
supraconductiviteacute La deacutecouverte des mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature
critique (SHTC) agrave bases drsquooxydes de cuivre donne des nouvelles possibiliteacutes pour des
applications en eacutelectrotechnique a cause de leurs proprieacuteteacutes exceptionnelles Ils peuvent
transporter lrsquoeacutenergie eacutelectrique avec des pertes neacutegligeables en courant eacutelectrique continu et
tregraves inferieures agrave celles des conducteurs classique en courant alternatif mais aussi eacutecranter ou
pieacuteger des champs magneacutetiques eacuteleveacutes par rapport aux aimants permanents conventionnels
Sur cette deuxiegraveme qualiteacute exceptionnelle de nombreuses eacutetudes ont porteacute sur lrsquoameacutelioration
des systegravemes drsquoaimantation de mateacuteriaux SHTC massifs dont la modeacutelisation et la simulation
sont fortement recommander afin drsquooptimiser les processus
Parmi les mateacuteriaux SHTC les oxydes mixtes de baryum de cuivre et dyttrium ou
YBaCuO a eacuteteacute le premier oxyde de la famille des cuprates agrave preacutesenter une tempeacuterature
critique supeacuterieure au point drsquoeacutevaporation de lrsquoazote liquide Beaucoup drsquoeacutetudes portent sur
lrsquoeacutelaboration et la mise en forme de ce composeacute sous forme de massifs et de rubans Pour
optimiser les proprieacuteteacutes supraconductrices de ce mateacuteriau des conditions particuliegraveres de
croissances et de stœchiomeacutetrie doivent ecirctre satisfaites Des meacutethodes de caracteacuterisations des
pastilles SHTC ont eacuteteacute proposeacutees au niveau du laboratoire GREEN afin de mettre en œuvre
ces pastilles dans des applications dans le domaine de lrsquoeacutelectrotechnique Ces meacutethodes
portent sur la mesure de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete et par la suite de calculer
la densiteacute de courant critique qui est geacuteneacuteralement supposeacutee constante dans tout le volume de
la pastille
Le travail de recherche de cette thegravese porte sur la modeacutelisation et la caracteacuterisation de
mateacuteriaux SHTC Le but final est drsquooptimiser le processus drsquoaimantation par un champ pulseacute
ou PFM (Pulsed Field Magnetization) Ainsi le comportement drsquoune pastille SHTC placeacutee
dans le circuit ferromagneacutetique drsquoaimantation par PFM doit ecirctre eacutetudieacute afin de faire un
dimensionnement optimal de lrsquoinducteur du systegraveme drsquoaimantation Pour cela il est preacutefeacuterable
de maitriser des meacutethodes de calculs analytiques de champ magneacutetique pour acceacuteleacuterer
nettement le processus drsquoaimantation Pour permettre de bien modeacuteliser les pastilles SHTC
les meacutethodes de caracteacuterisations de ces pastilles doivent ecirctre ameacutelioreacutees et surtout adapteacutees agrave
la taille et au frome de ces pastilles Ceci explique le plan de cette thegravese en deux parties
relativement indeacutependantes
6
Dans le premier chapitre nous allons preacutesenter un rappel historique sur la
supraconductiviteacute puis les grandeurs et les proprieacuteteacutes caracteacuteristiques des mateacuteriaux
supraconducteurs Ensuite nous allons deacutecrire les diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantations et
nous terminons par une description des meacutethodes de caracteacuterisations deacuteveloppeacutees au niveau
du laboratoire GREEN de lrsquouniversiteacute de Lorraine
Le deuxiegraveme chapitre est deacutedieacute agrave la modeacutelisation analytique du systegraveme drsquoaimantation
par PFM Le modegravele analytique proposeacute permet de calculer lrsquoinductance de lrsquoensemble
composeacute drsquoune bobine inductrice drsquoun circuit ferromagneacutetique et en preacutesence drsquoune pastille
supraconductrice ce qui est un apport important de cette thegravese Ce modegravele sera valideacute
numeacuteriquement en utilisant le logiciel COMSOL souvent utiliseacute dans le domaine de la
supraconductiviteacute appliqueacutee
Le troisiegraveme chapitre sera consacreacute agrave la caracteacuterisation des pastilles SHTC et
particuliegraverement agrave lrsquoeacutetude de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC de type YBaCuO en termes
de densiteacute de courant critique La caracteacuterisation de ces pastilles se fait agrave lrsquoaide de la mesure
de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete lors de lrsquoaimantation de cette pastille par la
meacutethode PFM De cette mesure on deacuteduit la densiteacute de courant critique Jc Lrsquoinfluence de la
position du germe de cristallisation dans les meacutethodes de caracteacuterisation sera eacutegalement
eacutetudieacutee
7
Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoart
8
I1 Historique de la supraconductiviteacute
Les proprieacuteteacutes eacutelectriques et magneacutetiques de certains mateacuteriaux changent de maniegravere
cruciale agrave de tregraves basses tempeacuteratures Parmi ces mateacuteriaux on cite les mateacuteriaux dits
laquo supraconducteurs raquo Ces mateacuteriaux perdent totalement leurs reacutesistances au passage du
courant eacutelectrique et expulsent les lignes des champs magneacutetiques on parle dans ce cas de
figure drsquoun pheacutenomegravene physique assez intriguant et inteacuteressant qui srsquoappelle laquo la
supraconductiviteacute raquo Ce pheacutenomegravene est devenu un domaine tregraves passionnant de la physique
surtout qursquoil a mis en doute les principes eacutetablis de cette science notamment en
eacutelectromagneacutetisme Sa deacutecouverte datant de 1911 est due au physicien Neacuteerlandais Heike
Kamerlingh Onnes (1853-1926) lors de son eacutetude du comportement eacutelectrique des meacutetaux tregraves
purs agrave tregraves basse tempeacuterature apregraves avoir reacuteussi agrave liqueacutefier lheacutelium en 1908 pour atteindre
une tempeacuterature de 42 K soit -26895degC [1-5] On savait deacutejagrave que geacuteneacuteralement la reacutesistiviteacute
des meacutetaux diminue lineacuteairement en abaissant la tempeacuterature jusqursquoagrave une certaine valeur Au-
dessous de cette valeur elle reste geacuteneacuteralement constante mecircme en diminuant la tempeacuterature
Cette reacutesistiviteacute appeleacutee reacutesistiviteacute reacutesiduelle est due aux impureteacutes ainsi aux deacutefauts dans la
structure cristalline deacutejagrave preacutesente dans le meacutetal Onnes remarqua qursquoagrave une tempeacuterature
infeacuterieure agrave 415 degk (appeleacute tempeacuterature critique) la reacutesistiviteacute eacutelectrique du mercure tombe
brusquement agrave zeacutero (Figure I1) Une anneacutee apregraves il observa le mecircme pheacutenomegravene lors des
essais similaires reacutealiseacutes avec de lrsquoeacutetain et du Plomb (qui sont des tregraves mauvais conducteurs agrave
tempeacuterature ambiante) agrave des tempeacuteratures critiques de 37K et 6K respectivement
Figure I1 Reacutesistiviteacute eacutelectrique de mercure agrave basse tempeacuterature [2]
9
Au deacutebut toutes les recherches qui ont eacuteteacute consacreacutees pour percer le mystegravere de ce
pheacutenomegravene de supraconductiviteacute ont eacuteteacute de types pheacutenomeacutenologiques comme par exemple la
deacutecouverte de lrsquoeffet Meissner en 1933 [6-9] par les deux physiciens allemands Walter
Meissner (1882-1974) et Robert Ochsenfeld (1901-1993) qui consiste agrave observer la capaciteacute
du mateacuteriau supraconducteur agrave exclure les lignes du champ magneacutetique preacutesent dans son
voisinage immeacutediat le courant eacutelectrique est porteacute par des paires drsquoeacutelectrons apparieacutes qui
peuvent se mouvoir sans aucune reacutesistance ni dissipation En preacutesence drsquoun champ
magneacutetique les paires drsquoeacutelectrons engendrent des courants de surface permanents qui agrave leur
tour creacuteent au cœur du mateacuteriau un champ magneacutetique qui annule le champ externe Crsquoest sur
cet effet appeleacute aussi diamagneacutetisme parfait que se base la leacutevitation magneacutetique Cependant
lrsquoeffet Meissner nrsquoa lieu que si le champ externe est suffisamment faible
En 1935 la theacuteorie de London a eacuteteacute mise en place par les fregraveres Fritz London (1900-
1954) et Heinz London (1907-1970) [1011] pour expliquer le pheacutenomegravene drsquoexpulsion du
champ magneacutetique dans tout le mateacuteriau supraconducteur agrave lrsquoexception drsquoune couche de
surface du mateacuteriau Le champ magneacutetique deacutecroicirct exponentiellement agrave lrsquointeacuterieur du
mateacuteriau et peacutenegravetre sur une longueur caracteacuteristique 20L sm n eλ micro= appeleacutee longueur de
peacuteneacutetration de London avec ns eacutetant la densiteacute des laquosupra eacutelectronraquo m et e sont
respectivement la masse et la charge eacutelectrique des eacutelectrons et 0micro est la permeacuteabiliteacute du vide
Pour des supraconducteurs conventionnels Lλ varie entre 100 et 1000Å
Pendant plusieurs anneacutees les physiciens ont cru qursquoil existe un seul type de mateacuteriaux
supraconducteurs jusqursquoagrave lrsquoarriveacutee de la theacuteorie de Ginzburg-Landau en 1950 [12] une autre
theacuteorie pheacutenomeacutenologique qui a eacuteteacute mise en place par les physiciens sovieacutetiques V L
Ginzburg (1916-2009) et L D Landau (1908-1968) et qui a permis drsquoexpliquer les proprieacuteteacutes
macroscopiques des supraconducteurs Ils ont introduit une constante k quasiment
indeacutependante de la tempeacuterature appeleacutee constante de Ginzburg-Landau En particulier Alexei
Abrikosov (1928-2017) montre quavec cette theacuteorie on peut preacutevoir lexistence de deux
cateacutegories de supraconducteurs (types I et II)
En 1957 J Bardeen (1908-1991) L N Cooper (1930) et JR Schrieffer (1931-2019)
ont expliqueacute la supraconductiviteacute de faccedilon microscopique par la formation des paires
drsquoeacutelectrons appeleacute paires de Cooper sous lrsquoeffet drsquoune interaction attractive entre eacutelectrons
reacutesultant de lrsquoeacutechange de phonons [9 13 14] A basse tempeacuterature ces eacutelectrons ne subissent
aucune dissipation drsquoeacutenergie par effet joule car ils ne rencontrent aucune reacutesistance donc ils
10
sont capables de se deacuteplacer agrave travers le mateacuteriau sans aucun frottement crsquoest la theacuteorie BCS
Malheureusement cette theacuteorie nrsquoest valable que pour des mateacuteriaux supraconducteurs agrave basse
tempeacuterature (environ 30 K)
Avec lrsquoarriveacutee de lrsquoanneacutee 1986 une deacutecouverte deacutecisive a eacuteteacute faite dans le domaine de
la supraconductiviteacute Karl Alexander Muumlller (1927) et Johannes Georg Bednorz (1950)
chercheurs du laboratoire de recherche IBM agrave Ruumlschlikon en Suisse ont deacutecouvert un oxyde
agrave base de Baryum de Lanthane de Cuivre et drsquoOxygegravene (Ba-La-Cu-O) agrave une tempeacuterature de
34degK [15-17]
Cette deacutecouverte a deacuteclencheacute une vague dactiviteacutes dans le domaine de la supraconductiviteacute
Des chercheurs du monde entier ont commenceacute agrave cuisiner des ceacuteramiques de toutes les
combinaisons imaginables dans le but de trouver des supraconducteurs agrave des tempeacuteratures
plus en plus hautes
En janvier 1987 une eacutequipe de chercheurs de lrsquoUniversiteacute drsquoAlabama-Huntsville a
remplaceacute le lanthane par lrsquoyttrium dans les moleacutecules de BaLaCuO et a obtenu un incroyable
rendement agrave une tempeacuterature de 92 K Pour la premiegravere fois on avait deacutecouvert un mateacuteriau
supraconducteur (appeleacute aujourdhui YBaCuO) agrave des tempeacuteratures supeacuterieures agrave celles de
lazote liquide [18-20]
Apregraves des nouvelles geacuteneacuterations de composeacutes baseacutes sur lrsquooxyde de cuivre apparurent
avec des tempeacuteratures critiques qui deacutepassent la tempeacuterature de lrsquoheacutelium liquide tel que La-
Sr-Cu-O Y-Sr-Cu-O Bi-Sr-Ca-Cu-O Ta-Ba-Cu-O et Ti-Sr-Ca-Cu-O [21-28]
Tregraves reacutecemment une eacutequipe de linstitut Max-Planck de chimie de Mayence (Allemagne)
annonccedilait avoir observeacute des signes de lapparition dune phase supraconductrice dans
lrsquo hydrure de lanthane(LaH10) agrave une tempeacuterature de seulement 250 K soit environ -23 degC
mais ce composeacute nrsquoest pas stable qursquoagrave tregraves haute pression [29]
11
Figure I2 Historique des deacutecouvertes de la tempeacuterature critique
I2 Grandeurs caracteacuteristiques des Supraconducteurs
La supraconductiviteacute est un eacutetat de la matiegravere dont les proprieacuteteacutes eacutelectromagneacutetiques
exceptionnelles tel que la reacutesistance nulle et lrsquoexpulsion du champ magneacutetique jouent un rocircle
tregraves important tant du point de vue physique fondamentale que du point de vue application
Un supraconducteur est caracteacuteriseacute par trois grandeurs fondamentales tempeacuterature critique
CT champ magneacutetique critique119867119867119867119867 et la densiteacute de courant critique Jc Ces trois grandeurs
sont tregraves correacuteleacutees et forment ce qursquoon appelle la surface critique drsquoun mateacuteriau
supraconducteur
I21 Tempeacuterature critique
La tempeacuterature critique est la tempeacuterature en dessous de laquelle la reacutesistance tombe agrave
zeacutero et le mateacuteriau devient supraconducteur La transition apparaicirct comme une transition de
phase de lrsquoeacutetat normal vers lrsquoeacutetat supraconducteur de la matiegravere Plusieurs mateacuteriaux
preacutesentent des transitions de phase supraconductrices agrave basses tempeacuteratures La tempeacuterature
critique la plus eacuteleveacutee eacutetait denviron 23 K jusquagrave la deacutecouverte en 1986 de certains
supraconducteurs agrave haute tempeacuterature
Environ trente (30) meacutetaux purs et quelques alliages tel que 3Nb Sn [3063] et NbTi
[3132] preacutesentent une reacutesistiviteacute nulle agrave basse tempeacuterature et ont la proprieacuteteacute drsquoexclure les
12
champs magneacutetiques de lrsquointeacuterieur de ces supraconducteurs (Effet Meissner voir Tableau I1)
Ce type de supraconducteurs est appeleacutelaquo Supraconducteurs agrave Basse Tempeacuterature Critique
(SBTC) raquo [33]
Figure I3 Etat noraml et supraconducteur drsquoun meacutetal en fonction de la tempeacuterature
Par contre les ceacuteramiques en oxyde de cuivre et de baryum qui ont atteint leacutetat
supraconducteur agrave des tempeacuteratures beaucoup plus eacuteleveacutees sont souvent appeleacutees
laquo supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) raquo et forment une classe agrave part [37]
Tableau I1 Tempeacuterature critique de quelques mateacuteriaux supraconducteurs
Eleacutement Tc (K) Eleacutement Tc (K) Eleacutement Tc (K)
Al Be Cd Ga Hf Hg In Ir La Mo
1175 0023 055 109 013 415 341 014 488 092
Nb Np Os Pa Pb Re Rh Ru Sn Ta
92 0075 065 140 72 17 00003 05 375 447
Tc Th Ti Tl U V W Zn Zr Lu
78 137 039 239 02 53 0012 09 055 01
Composeacute Tc (K) Composeacute Tc (K) Composeacute Tc (K)
Nb3Sn Nb3Ge Cs3C60 Nb06Ti04
181 232 19 98
MgB2 YPd2B2C HoNi2B2C PuCoGa5
39 23 75 185
UPt3 UPd2Al3 URu2Si2 YNi2B2C
05 2 12 155
Supraconducteurs agrave HTc Tc (K) Supraconducteurs agrave HTc Tc (K)
183 017 4La Sr CuO
2 3 7YBa Cu O δminus
2 2 2 3 10Bi Sr Ca Cu O
40 93 110
2 2 2 3 1 0Tl Ba Ca Cu O δ+
2 2 3 8HgBa Ca Cu O
08 02 2 2 3 833Hg Tl Ba Ca Cu O
127 135 138
13
I22 Champ magneacutetique critique
Quand on applique un champ magneacutetique sur un supraconducteur soumis agrave une
tempeacuterature critique TC ce champ reste autour du mateacuteriau sans le peacuteneacutetrer Si on augmente
ce champ agrave un point donneacute le supraconducteur revient agrave son eacutetat normal de reacutesistiviteacute A ce
point ce champ magneacutetique est connu comme champ magneacutetique critique et est noteacute Hc Le
champ magneacutetique critique est fortement deacutependant de la tempeacuterature critique Tc du
supraconducteur
Les champs magneacutetiques eacuteleveacutes deacutetruisent la supraconductiviteacute et le mateacuteriau passe agrave lrsquoeacutetat
normal En fonction du caractegravere de cette transition on peut distinguer deux types de
supraconducteurs
I221 Supraconducteurs Type I
La figure I4 montre la variation du champ magneacutetique interne (induit)119867119867119867119867 en fonction
du champ externe appliqueacute Ha En augmentant le champ appliqueacute on remarque au deacutepart que
le champ interne reste nul (Effet Meissner [6-9]) jusqursquoagrave ce qursquoun champ magneacutetique critique
HC soit atteint ougrave se produit une transition brutale vers lrsquoeacutetat normal cela se traduit par la
peacuteneacutetration du champ appliqueacute agrave linteacuterieur du mateacuteriau Les supraconducteurs qui subissent
cette transition brutale agrave leacutetat normal au-dessus du champ magneacutetique critique sont appeleacutes
supraconducteurs de type I le Plomb pur est consideacutereacute comme eacutetant le plus fort
supraconducteur de type I avec un champ critique drsquoenviron 800 Gauss (80 mT) Tous les
supraconducteurs purs ont tendance drsquoecirctre des supraconducteurs de type I [3536]
Figure I4 Repreacutesentation de champ magneacutetique induit en fonction du champ magneacutetique
appliqueacute pur les supraconducteurs de type I
14
I222 Supraconducteurs Type II
Les supraconducteurs de type II reacutepondent diffeacuteremment agrave un champ magneacutetique
appliqueacute comme le montre la figure I5 En effet un champ induit croissant agrave partir de zeacutero se
traduit par deux champs critiques Hc1 et Hc2
Agrave Hc1 le champ appliqueacute commence agrave peacuteneacutetrer partiellement agrave linteacuterieur du
supraconducteur agrave travers des tubes volumiques dans un eacutetat normal qui srsquoappellent
laquo Vortex raquo et la supraconductiviteacute est encore maintenue Au-dessus de Hc2 la
supraconductiviteacute disparaicirct et le mateacuteriau passe agrave lrsquoeacutetat normal Pour les valeurs
intermeacutediaires entre Hc1 et Hc2 le mateacuteriau supraconducteur se trouve dans un eacutetat mixte
Geacuteneacuteralement Hc2 est plus eacuteleveacute que Hc1 et 0 2Hcmicro peut atteindre plusieurs Tesla
pour cette raison les supraconducteurs de type II sont devenus les plus utiles sur le plan
technologique La plupart des composeacutes illustreacutes dans le tableau I1 sont des supraconducteurs
de type II Les fils fabriqueacutes agrave partir de niobium-eacutetain (Nb3Sn) ont un champ 0 2Hcmicro eacutegal agrave
environ 25 teslas ce qui les rend utiles pour des applications neacutecessitant des champs
magneacutetiques eacuteleveacutes Actuellement le niobium titane (NbTi) est le mateacuteriau le plus mature
technologiquement avec un champ 0 2 12 teslasHcmicro = il est largement utiliseacute dans machines
dimagerie par reacutesonance magneacutetique (IRM)
En geacuteneacuterale les applications en eacutelectrotechnique neacutecessitent habituellement la creacuteation
de forts champs magneacutetiques (de lrsquoordre de plusieurs teslas) ce qui limite lrsquoutilisation des
supraconducteurs de type I
Figure I5 Repreacutesentation graphique (a) des diffeacuterentes drsquoeacutetats des supraconducteurs de type
II et (b) du champ magneacutetique induit en fonction du champ magneacutetique appliqueacute pour les supraconducteurs de type II
15
I23 Densiteacute de courant critique JC
Pour les supraconducteurs de type I le courant critique deacutecoule directement du champ
magneacutetique critique Il peut ecirctre deacutetermineacute par la regravegle de Silsbee [34] crsquoest le courant qui
produit le champ magneacutetique critique agrave la surface du mateacuteriau Pour un cylindre de diamegravetre
D on deacutefinit ce courant par Ic DHcπ=
La densiteacute de courant critique est donneacutee donc par
C CJ I S=
Pour les supraconducteurs type II dans lrsquoeacutetat mixte la peacuteneacutetration du champ
magneacutetique se manifeste par la preacutesence drsquoun reacuteseau de vortex de flux que lrsquoon peut
repreacutesenter sous la forme de boucles eacuteleacutementaire de courant La circulation du courant de
transport dans le supraconducteur geacutenegravere une force de type Laplace ( )LF J B= times
qui agit sur
ces vortex Une force drsquoancrage est creacuteeacutee et permet aux tubes de vortex de se fixer dans la
matiegravere La densiteacute de courant critique JC est donc lieacutee agrave lrsquoancrage de ces vortex [34] La
force drsquoancrage est deacutefinie ainsi par P CF J B= times
Si toutefois la densiteacute de courant deacutepasse la
valeur de JC la force FL exerceacutee sur les vortex sera supeacuterieure agrave la force drsquoancrage FP et les
vortex commencent agrave se deacuteplacer Ce deacuteplacement induit un champ eacutelectrique non nul aux
borne du mateacuteriau et provoque une dissipation importante drsquoeacutenergie ce qui fait transiter le
mateacuteriau de lrsquoeacutetat supraconducteur agrave lrsquoeacutetat reacutesistif
Le courant critique drsquoun mateacuteriau supraconducteur est lrsquoorigine de trois courants courant de
transport courant induit et les supra-courants Figure I6
Figure I6 Reacuteseaux vortex dans un mateacuteriau supraconducteur de type II
16
Une grande deacuteception apregraves la deacutecouverte de la supraconductiviteacute agrave haute tempeacuterature
critique fut la faible valeur de leur densiteacute de courant critique Jc Celle-ci est due agrave la
difficulteacute de syntheacutetiser de ces mateacuteriaux sous forme de monocristaux de taille laquo reacutealiste raquo
(supeacuterieure agrave quelque mm2) Tregraves souvent les eacutechantillons volumiques se preacutesentent sous
forme de grains accoleacutes aleacuteatoirement les uns aux autres (poly-cristal) Dans ce cas le courant
supraconducteur se fraie un chemin dans lrsquoeacutechantillon en passant agrave travers les joints de grains
La densiteacute de courant critique correspondante (intergrain) est geacuteneacuteralement de deux ou trois
ordres de grandeur infeacuterieure agrave la densiteacute de courant critique de grain lui-mecircme (intragrain)
[3839] figure I7
Figure I7 Densiteacute de courant intergrain et intragrain dans un mateacuteriau
supraconducteur
En conseacutequence un des buts technologiques des recherches actuelles en
supraconductiviteacute est lrsquooptimisation de la densiteacute de courant critique intergrain des mateacuteriaux
supraconducteurs pour une tempeacuterature donneacutee et en preacutesence drsquoun champ magneacutetique
intense en modifiant les paramegravetres de ses microstructures (taille et orientation des grains)
Parmi les techniques utiliseacutees pour accroicirctre la densiteacute de courant critique intergrain est la
technique drsquoalignement des grains supraconducteurs Ce processus est appeleacute texturation Des
microstructures typiques drsquoeacutechantillons drsquoYBaCuO respectivement textureacutes et non textureacutes
sont preacutesenteacutees sur la figure I8
17
Figure I 8 Microstructure drsquoun mateacuteriau Supraconducteur agrave Haute Tempeacuterature critique
(SHTC) de formule chimique 2 3 7YBa Cu O δminus
Un mateacuteriau non textureacute comprend un grand nombre de grains de tregraves petite taille
(quelques microns) Sa densiteacute de courant critique est de lrsquoordre de 100 Acm2 et deacutecroicirct
rapidement en preacutesence drsquoun faible champ magneacutetique (quelques mT) [39] Par contre les
grains preacutesents dans un eacutechantillon textureacute peuvent ecirctre relativement volumineux Si
lrsquoeacutechantillon est constitueacute drsquoun seul grain de taille importante on parle de STHC mono-
domaine Les densiteacutes de courant critiques associeacutees aux mono-domaines drsquoYBaCuO textureacutes
sont de lrsquoordre de 10 000 Acm2 agrave T=77K et B=1T De telles valeurs sont compatibles avec
les exigences requises pour diffeacuterentes applications industrielles en eacutelectrotechnique
I24 Surface critique
Lrsquoeacutetat supraconducteur eacutetant limiteacute par les trois grandeurs caracteacuteristiques physiques
la tempeacuterature critique (Tc) le champ magneacutetique critique (Hc) et la densiteacute de courant
critique (Jc) Chacun de ces grandeurs deacutepend fortement des deux autres grandeurs Le
maintien de lrsquoeacutetat supraconducteur exige que le champ magneacutetique la densiteacute de courant et la
tempeacuterature demeurent au-dessous des valeurs critiques qui deacutependent du mateacuteriau
En repreacutesentation 3D lrsquoaire deacutelimiteacutee lorsque lrsquoon prend en compte les trois grandeurs
(Tc Hc Tc) est appeleacutee laquo surface critique raquo figure I-7 En partant de cette surface vers
lrsquoorigine le mateacuteriau est supraconducteur Les valeurs les plus eacuteleveacutees pour HC et JC sont
obtenues agrave T = 0K alors que la valeur la plus eacuteleveacutee pour la TC est obtenue quand H et J sont
18
agrave zeacutero Lorsque lrsquoon trouve dans les reacutegions en dehors de cette surface le mateacuteriau est dans
lrsquoeacutetat normal ou mixte
Figure I9 Surface critique et ordre de grandeur des paramegravetres critique de quelques
mateacuteriaux Supraconducteurs [40]
I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
La mise en eacutevidence de la supraconductiviteacute dans les mateacuteriaux SHTC notamment
dans lrsquoYBaCuO par Maw-Kuen Wu et al en 1987 [19] agrave une tempeacuterature critique qui deacutepasse
la tempeacuterature de lrsquoHeacutelium liquide eu un retentissement plus important et rend la recherche
dans le domaine de la supraconductiviteacute agrave haute tempeacuterature critique tregraves attrayante et tregraves
prometteuse pour de nombreuses applications Comprendre les proprieacuteteacutes et les meacutecanismes
de fonctionnement de ces mateacuteriaux qui deacutejouent toute attente est un enjeu majeur des
recherches actuelles Et si la supraconductiviteacute agrave tempeacuterature ambiante reste pour lrsquoinstant un
recircve pour les chercheurs les supraconducteurs nrsquoont pas fini de bousculer la physique
theacuteorique
Trois familles principales de ces ceacuteramiques sont distingueacutees [41]
- Baseacutee sur le Bismuth ceacuteramique de BiSrCaCuO appeleacutee aussi laquo BSCCO raquo
- Baseacutee sur les terres rares Rare Earth (RE) ceacuteramique de RE-BaCuO
communeacutement appeleacutee laquo Re-BCO raquo Lrsquoeacuteleacutement de terre rare utiliseacute peut ecirctre
de lrsquoYttrium du Neacuteodyme du Samarium ou du Gadolinium selon les
proprieacuteteacutes rechercheacutees
- Baseacutee sur le Thallium ceacuteramique de TlBaCaCuO communeacutement appeleacutee laquo
TBCCO raquo avec des tempeacuteratures de fonctionnement supeacuterieures
19
Ces mateacuteriaux sont aujourdrsquohui les plus utiliseacutes pour les applications industrielles et la
recherche en eacutelectrotechnique
I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
Lrsquo2 3 7YBa Cu O δminus
(YBaCuO ou Y-123) le 2 2 2 8 xBi Sr CaCu O + (BSCCO ou Bi-2212) et le
2 2 2 3 10 xBi Sr Ca Cu O + (Bi-2223) repreacutesentent aujourdrsquohui les mateacuteriaux SHTC les plus usiteacutes
pour les applications industrielles et la recherche en eacutelectrotechnique Or avec une
appartenance commune aux ceacuteramiques ces deux mateacuteriaux reposent sur des proceacutedeacutes de
fabrication diffeacuterents Leurs proprieacuteteacutes permettent de les utiliser sous diverses formes
poudres massifs fils et deacutepocircts en monocouche (figure I10) [41]
Figure I10 Diffeacuterentes formes des SHTC a) pastille YBaCuO en massifs b) YBaCuO en
monocouche c) tubes de BSCCO
Certains mateacuteriaux SHTC comme le BiSCCO sont constitueacutes de poudre compresseacutee
On les trouve sous forme de tubes massifs servant drsquoameneacutees de courant ou de blindage
magneacutetique [42] Ces mateacuteriaux permettent aussi la fabrication des cacircbles conducteurs mono
ou multi- filamentaires SHTC Ces cacircbles supraconducteurs ont eacuteteacute exploiteacutes pour la premiegravere
fois aux Etats-Unis agrave partir de 2006 dans le cadre de deacutemonstrateurs subventionneacutes Puis des
liaisons furent inteacutegreacutees agrave des reacuteseaux de distribution et de transport au Japon en Coreacutee en
Chine Et pour la premiegravere fois en Allemagne en 2014 dans le bassin de la Ruhr dans un
environnement 100 public urbain Un cacircble supraconducteur drsquoun kilomegravetre a eacuteteacute reacutealiseacute par
Nexans et lrsquoeacutenergeacuteticien allemand RWE et qui a eacuteteacute mise en service agrave Essen
En 2014 eacutegalement le CERN et dans le but drsquoameacuteliorer lrsquoalimentation de ses
acceacuteleacuterateurs de particules a reacuteussi de transiteacute un courant eacutelectrique de 20000 Ampegraveres par un
cacircble supraconducteur en MgB2
20
Une particulariteacute inteacuteressante des SHTC tels que Y-123 est sa faible reacutesistance de
surface par rapport agrave celle du cuivre il permet drsquoutiliser ce mateacuteriau dans la reacutealisation de
dispositifs micro-onde utiliseacutes dans des applications en micro-eacutelectronique et en technique
micro-onde Deacuteposer sous forme de couches minces il permet la reacutealisation de reacutesonateurs agrave
haute performance de taille plus faible et plus leacutegers que les reacutesonateurs conventionnels Un
champ important drsquoapplications pour ces reacutesonateurs est ouvert pour les filtres utiliseacutes dans
les technologies de la communication notamment pour les satellites
Lrsquoaimantation des mateacuteriaux SHTC massifs trouve reacutecemment son inteacuterecirct dans
lrsquoindustrie Le pheacutenomegravene de leacutevitation magneacutetique dans les bulk SHTC est largement
exploiteacute dans la mise en service des trains Maglev-Cobra [4344] ce sont des veacutehicules
destineacutes au transport urbain des passagers flottant sur des rails sans aucun contact avec le sol
Cette technologie est baseacutee sur la leacutevitation magneacutetique geacuteneacutereacutee par des aimants situeacutes sur les
pistes et des pastilles supraconductrices dans le train dans le cas des trains agrave leacutevitation
supraconductrice
I311 Supraconducteur YBa2Cu3O7-δ
a- Preacutesentation
LrsquoOxyde mixte de Baryum de Cuivre de drsquoYttrium ou ce qui est connu communeacutement
par laquo YBaCuO raquo est un mateacuteriau cristallin supraconducteur de type II de formule chimique
YBa2Cu3O7-δ Il est connu pour avoir eacuteteacute parmi les premiers supraconducteurs qui possegravedent
des tempeacuteratures critiques supeacuterieures agrave celle de lrsquoazote liquide (77 K) et donc classeacute parmi
les mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) Ces tempeacuteratures ont
permis de reacuteduire consideacuterablement le cout de fonctionnement des mateacuteriaux dans lrsquoeacutetat
supraconducteur en utilisant la cryogeacutenie agrave lrsquoazote liquide au lieu de lrsquoheacutelium liquide qui
impose des tempeacuteratures infeacuterieures agrave 5 k
LrsquoYBaCuO est tregraves utiliseacute pour le deacuteveloppement des applications de la
supraconductiviteacute gracircce agrave sa bonne tenue sous un champ magneacutetique Ses applications
industrielles en massif impliquent de controcircler la croissance de larges monodomaines orienteacutes
dans des eacutechantillons de grande taille (plusieurs centimegravetres) Les YBaCuO massifs sont
obtenus par diffeacuterentes techniques drsquoeacutelaborations connus mais complexes dont on peu citeacute la
technique TSMG pour laquo top-seeding melt-texturing Growthraquo [45-53] une pastille fritteacute drsquoune
composition riche de yttrium est utiliseacutee Un germe 2 3 xSmBa Cu O (Sm123) monocristallin est
placeacute sur la pastille avant la texturation Le mateacuteriau Sm123 fait partie de la mecircme famille de
21
lrsquoY123 avec une structure cristalline identique par contre il est caracteacuteriseacute par un de fusion
qui est environ 50 degC plus eacuteleveacutee que celui drsquoY123 Ce qui permet une surchauffe tregraves
importante de la pastille YBaCuO pour une fusion complegravete du mateacuteriau en preacutesence de ce
germe Ensuite le systegraveme (pastille + germe) est refroidie jusqursquoagrave la tempeacuterature peacuteritectique 123Y
pT (~1010 degC) (point drsquoeacutequilibre entre les phases solides et liquides) un refroidissement
tregraves lent de 01 degh agrave 05 degh est reacutealiseacute pour obtenir la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO agrave
partir de germe de 2 3 xSmBa Cu O figure I11
Figure I11 Traitement thermique pour la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO par la
technique TSMG
b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuO
La structure cristalline de lrsquoYBa2Cu3O7-δ deacuterive de la structure tridimensionnelle de la
peacuterovskite ABO3 comme dans tous les meacutetaux de la famille des cuprates figure I12 elle
preacutesente une anisotropie structurale importante entre les deux directions principales du
mateacuteriau (Plan (a b) axe c) Ce composeacute est caracteacuteriseacute par la preacutesence de deux familles de
plans parallegraveles au plan (a b)
1- Plan CuO1- δ qui est constitueacute drsquoun atome de cuivre Cu(1) entoureacutes de 2 agrave 4 atomes
drsquooxygegravene selon la stœchiomeacutetrie Ces plans sont organiseacutes en chaines selon la
direction b du cristal pour δ=1
2- Plan CuO2 ce plan est constitueacute drsquoun atome de cuivre Cu(2) entoureacutes de cinq atomes
drsquooxygegravenes en formant une pyramide
La maille eacuteleacutementaire de lrsquoYBaCuO se compose en six (6) plans parallegraveles qui srsquoempilent
suivant lrsquoaxe (c) par 1CuO δminus BaO 2CuO Y 2CuO BaO figure I13
22
Figure I12 Structure cristalline tridimensionnelle de lrsquoYBa2Cu3O7-δ
Selon la stœchiomeacutetrie en oxygegravene YBaCuO peut se trouver en diffeacuterentes phases il
passe alors drsquoune structure orthorhombique supraconductrice pour δlt065 agrave une structure
teacutetragonale isolante pour 065ltδlt1 par suppression successive des atomes drsquooxygegravene de la
chaine CuO [54 97]
Le composeacute YBa2Cu3O7est la phase la plus oxygeacuteneacutee qui correspond agrave δ=0 ce composeacute
se cristallise dans une structure orthorhombique supraconductrice dont le groupe drsquoespace est
Pmmm et les paramegravetres de mailles sont a= 382 Aring b= 388 Aring et c=1169 Aring figure I13-(a)
Par contre la phase la moins oxygeacuteneacute correspond agrave δ=1 cette structure est
antiferromagneacutetique sa maille eacuteleacutementaire est quadratique de groupe drsquoespace P4mmm avec
des paramegravetres de maille a=b=386Aring et c=1184Aring [55] figure I13-(b)
Les deux structures sont relativement proches La transition
orthorhombiquequadratique a eacuteteacute observeacutee agrave 700 deg C dans une atmosphegravere contenant 100
doxygegravene Lors de cette transition les paramegravetres a et c augmentent et b diminue ce qui
renforce la symeacutetrie de la structure cristalline (Figure I14) et aussi induit des contraintes
atomiques et des deacutefauts comme les plans de macle qui constituent de bons sites drsquoencrages
pour les vortex [55]
23
(a) (b)
Figure I13 Repreacutesentation de structure (a) orthorhombique et (b) quadratique de la maille
eacuteleacutementaire du compos YBa2Cu3O7-δ
(a) (b)
Figure I14 Variation des paramegravetres de reacuteseau a b et c par rapport au deacuteficit en oxygegravene δ
[54]
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuO
Lrsquoanisotropie structurale drsquoYBaCuO conduit agrave lrsquoanisotropie des proprieacuteteacutes
supraconductrices Ces derniegraveres sont confineacutees dans le plan CuO2 Les proprieacuteteacutes eacutelectriques
et magneacutetiques de lrsquoYBaCuO seront diffeacuterentes selon son orientation [58] Le courant
24
eacutelectrique circule plutocirct dans le plan (a b) que suivant lrsquoaxe c [56] Ainsi la densiteacute de
courant eacutelectrique sera tregraves diffeacuterente selon la circulation parallegravele ou perpendiculaire du
courant par rapport au plan (a b) et aussi suivant lrsquoorientation du champ exteacuterieur appliqueacute
elle sera eacuteleveacutee agrave 77k lorsque le courant circule selon le plan (a b) (de lrsquoordre de 4 210 A cm
dans des massifs textureacutes et atteigne 6 210 A cm pour des eacutechantillons sous forme de couches
minces eacutepitaxieacutees [57])
Lrsquoanisotropie des caracteacuteristiques supraconductrices se retrouve aussi sur les valeurs
de champs critiques Hc1 et Hc2 Pour lrsquoYBaCuO massif agrave T=0K on a [55]
( )2
11 02 2 10c cc a b
H T H Tminus= = times
( ) 22 140 29c cc a b
H T H T= =
La tempeacuterature critique de la phase supraconductrice de lrsquoYBaCuO est fortement deacutependante
du taux drsquooxygegravene Lrsquooptimum est de 92 K pour une valeur de δ=008 [54] figure 115
Figure I15 Repreacutesentation de la tempeacuterature critique en fonction du deacuteficit en oxygegravene dans
la structure YBaCuO
I32 Supraconducteur MgB2
a- Preacutesentation
Le diborure de magneacutesium (MgB2) est un mateacuteriau dont les proprieacuteteacutes
supraconductrices ont eacuteteacute deacutecouvertes en 2001 par J Nagamatsu et al [59] Il preacutesente une
tempeacuterature critique de 39K et comme la limite entre la famille des supraconducteurs agrave basse
25
et agrave haute tempeacuterature critique est agrave environ de 30 K le MgB2 est classeacute donc parmi les
supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) Sa deacutecouverte a susciteacute un vif inteacuterecirct
car ses constituants sont bons marcheacutes et son proceacutedeacute de fabrication est semblable agrave celui des
supraconducteurs classiques
Diffeacuterents proceacutedeacutes pour la fabrication de MgB2 massif sont utiliseacutes Un premier
consiste agrave placer du magneacutesium dans un moule en Bore la supraconductiviteacute est obtenue
apregraves traitement thermique Drsquoautre utilisent un preacutecurseur sous forme de poudre de Bore et
de Magneacutesium qursquoil comprime sous haute pression [62] lrsquoensemble subit alors un traitement
thermique
b- Structure cristalline de MgB2
Le MgB2 se cristallise dans une structure Hexagonale de type AlB2 dont le groupe
drsquoespace est P6mmm les paramegravetres de mailles sont a = 308 Adeg et c=352 Adeg [5960] La
figure I16 montre que les atomes de bore sont disposeacutes en des couches similaires agrave celles du
graphite entre lesquels sont intercaleacutes des atomes de magneacutesium chaque atome de bore est agrave
distance eacutegale de trois autres atomes de bore La position drsquoatomes sont donneacutees comme suit
Mg (0 0 0) B (13 2312) (2313 12)
c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2
Une forte anisotropie de la structure cristalline MgB2 est reacutesulteacute des successions de
couches de magneacutesium et de Bore (figure I11) cette anisotropie eacutetait connue depuis pregraves de
50 ans avant la deacutecouverte de la supraconductiviteacute de ce composeacute [61]
La premiegravere mesure directe drsquoune proprieacuteteacute supraconductrice anisotrope a eacuteteacute reacutealiseacutee
pour le champ magneacutetique critique Hc2 du bulk MgB2 un rapport 2 1 17ab cc cH Hγ = asymp avec
2abcH est le champ magneacutetique critique parallegravele au plan (ab) et 1
ccH est le champ magneacutetique
critique parallegravele agrave la direction de lrsquoaxeC
Depuis lors plusieurs chercheurs ont trouveacute des
valeurs de ce rapport comprises entre 11 et 16 pour une tempeacuterature variant de 32 K agrave 26 K
en utilisant diffeacuterents types drsquoeacutechantillons et diffeacuterentes techniques pour caracteacuteriser la
transition de lrsquoeacutetat normal vers lrsquoeacutetat supraconducteur
Lrsquoanisotropie de la densiteacute de courant critique a eacuteteacute eacutegalement eacutevalueacutee agrave lrsquoaide du
modegravele e Bean comme eacutetant 15ab cc cJ J asymp
26
Figure I16 Structure cristalline de MgB2
I4 Modegraveles des supraconducteurs
La connaissance des proprieacuteteacutes caracteacuteristiques drsquoun mateacuteriau supraconducteur joue un
rocircle important dans le dimensionnement drsquoun dispositif et par la suite pour deacutevelopper des
nouvelles applications dans le domaine industriel Diffeacuterentes meacutethodes de caracteacuterisations
sont adopteacutees dans le cas des supraconducteurs afin drsquoeffectuer des mesures des
caracteacuteristiques de ces mateacuteriaux agrave savoir la distribution du courant eacutelectrique densiteacute du
courant critique capaciteacute drsquoavoir un champ magneacutetique pieacutegeacute important hellipetc Les reacutesultats
obtenus peuvent diffeacuterer en fonction de la meacutethode de mesure choisie
Des meacutethodes de caracteacuterisations des pastilles supraconductrices ont eacuteteacute deacuteveloppeacute
dans le laboratoire GREEN qui ont pour but de mesurer la densiteacute du courant critique au
centre et sur la surface drsquoune pastille SHTC de type YBaCuO et cela agrave travers la
deacutetermination du champ magneacutetique de peacuteneacutetration dans la pastille
Avant de preacutesenter ces meacutethodes nous allons rappeler les deux modegraveles de caracteacuteristique
E(J) qui repreacutesente un supraconducteur
I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)
I411 Preacutesentation du modegravele
Le modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (1962) a eacuteteacute introduit par C P Bean (1923-1996)
dans le but drsquoeacutetudier lrsquoaimantation des supraconducteurs massifs [64 65] Il stipule qursquoagrave
tempeacuterature donneacutee la densiteacute de courant dans un supraconducteur est soit nulle soit eacutegale agrave
27
la densiteacute de courant critique Cest-agrave-dire que les supraconducteurs nrsquoexistent que dans les
deux cas suivants
- Une densiteacute de courant nulle pour les reacutegions ougrave le champ ne varie plus
- Une densiteacute de courant cJplusmn dans les reacutegions qui srsquooppose aux variations du champ
magneacutetique
ou 0cJ J J= plusmn =
Ce modegravele ne prend pas en consideacuteration la deacutependance de la densiteacute du courant
critique en champ magneacutetique et en tempeacuterature Aussi la discontinuiteacute de ce modegravele le rend
peu utilisable pour des deacuteveloppements numeacuteriques Par ailleurs gracircce agrave sa simpliciteacute ce
modegravele reste le plus utiliseacute dans les calculs analytiques afin drsquoeacutetudier les pertes en reacutegime
variable (AC) dans les rubans et aussi dans les pheacutenomegravenes de magneacutetisation [66][67]
En effet le modegravele de Bean connait un grand succegraves dans le cas des supraconducteurs
agrave basse tempeacuterature critique et lrsquoon y fait souvent reacutefeacuterence dans la litteacuterature
I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long notion
de peacuteneacutetration complegravete
En considegravere un cylindre supraconducteur infiniment long de rayon R soumis agrave un
champ magneacutetique exteacuterieur variable ( )aH t parallegravele agrave son axe
Nous allons eacutetudier la distribution de champ magneacutetique ( )B la densiteacute de courant eacutelectrique
( )J et le champ eacutelectrique dans ce cylindre supraconducteur
Le milieu supraconducteur de cylindre est repreacutesenteacute par 0micro micro= Les eacutequations neacutecessaires
pour deacuteterminer ces grandeurs se sont les eacutequations de Maxwell simplifieacutees suivantes
( ) I7BrotEt
part= minus
part
( )0 I8rotB Jmicro=
Les coordonneacutees cylindriques sont employeacutees Le champ magneacutetique appliqueacute ( )aB t
est orienteacute suivant lrsquoaxe Oz J et E sont donc orienteacutes suivant θ et variant en fonction de r
et t
Lorsqursquoon augmente la valeur du champ magneacutetique appliqueacute aH lrsquoinduction
magneacutetique B va peacuteneacutetrer progressivement agrave lrsquointeacuterieur de cylindre
28
En utilisant le modegravele de Bean afin de deacuteterminer la distribution de champ
magneacutetique B de la densiteacute de courant eacutelectrique J et de champ eacutelectrique E agrave lrsquointeacuterieur de
cylindre supraconducteur lrsquoeacutequation (18) donne
( )0 o u 0 I9rotB J rotBmicro= plusmn =
Lrsquoinduction agrave la surface de cylindre vaut
( ) ( ) ( )0 0 I10aB R t H tmicro=
Dans le cylindre le champ magneacutetique est orienteacute suivant lrsquoaxe Oz et ne deacutepond que r et t
( ) ( ) I11zB B r t u=
Par contre le champ eacutelectrique E et la densiteacute de courant J sont orienteacute suivant θ et
deacutependent aussi de r et t
( ) ( ) I1 2E E r t uθ=
( ) ( ) I1 3J J r t uθ=
Le champ magneacutetique exteacuterieur augmente agrave partir de zeacutero jusqursquoagrave une valeur
maximale Bmax Drsquoapregraves la loi de Lenz des courants qui srsquoopposent aux variations du champ
magneacutetique se deacuteveloppent agrave partir de lrsquoexteacuterieur du conducteur Drsquoapregraves le modegravele de Bean
ces courant ont une densiteacute de courant J eacutegale agrave (figure I17)
( )1
1
0 00
I14C
C
J ou pour r RJ
J ou pour R r Rminus lt lt
= + lt lt
Les eacutequations (I7) et (I9) deviennent
( ) ( ) I 51 1rE B
r r tpart part
= minuspart part
( )0 116C
B Jr
micropartminus = plusmnpart
Agrave partir des eacutequations (I11) et (I16) pour 1R r Rlt lt
( ) ( ) ( )0 I 1 7C aB r t J r R Bmicro= minus minus +
29
Pour une peacuteneacutetration complegravete le champ de peacuteneacutetration complegravete est donneacute sous la forme
( )0 I18p CB J Rmicro=
Si la valeur du champ externe est infeacuterieure agrave cette valeur la peacuteneacutetration dans ce cas est
incomplegravete et le champ peacutenegravetre jusqursquoagrave PR que lrsquoon peut calculer
( )max
0
I19PC
BR RJmicro
= minus
Le champ eacutelectrique est preacutesent entre ( )1R t et R et il est calculeacute agrave partir de lrsquoeacutequation (I16)
( )( )( ) ( )
2 21 I2
2 0
r R tBE r tt r
minuspart= minus
part
Lrsquoexpression de ( )1R t est donneacutee comme suit
( ) ( ) ( )max 01
0
I 12
2C
B B tR t R
Jmicrominus
= minus
En cas de peacuteneacutetration complegravete PR est eacutegal agrave 0 Quand ( )1R t srsquoannule le champ eacutelectrique
devient
( ) ( ) 22
2 IB rE r tt
part= minus
part
Figure I17 Distribution de B J E dans un cylindre supraconducteur soumis agrave un
champ magneacutetique parallegravele agrave son axe
30
I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)
Pour les supraconducteurs HTC le modegravele de la loi en puissance repreacutesente mieux la
caracteacuteristique E(J) que le modegravele CSM [68-70]
( ) ( )1
I23n n
c cc c
J JJE J E E JJ J J
minus
= =
Avec
cE Champ eacutelectrique critique (Vm) sa valeur est fixeacutee arbitrairement agrave 1 V mmicro pour les
mateacuteriaux SHTC
cJ Densiteacute de courant critique (Am2) elle caracteacuterise les performances du mateacuteriau
supraconducteur
n Exposant de la loi en puissance il deacutefinit la vitesse de transition du mateacuteriau entre les
deux cas limites 1n = correspond agrave une loi drsquoohm lineacuteaire alors que pour n plus grand ( n
gt200) on srsquoapproche du modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean
Figure I18 Comparaison entre la caracteacuteristique E(J) correspond au modegravele de Bean (courbe
rouge) et au modegravele de loi en puissance (courbe verte) avec celle obtenue expeacuterimentalement
(courbe bleu) pour un ruban
Contrairement au modegravele CSM le modegravele PLM est plus commode agrave utiliser dans les
formulations numeacuteriques car sa fonction est continue et possegravede eacutegalement une deacuteriveacutee
continue et crsquoest un modegravele dont leurs paramegravetres se rapprochent le mieux des valeurs
lrsquoexpeacuterimentales (figure I18)
31
Par ailleurs en reacutealiteacute les paramegravetres Jc et n ne sont pas constants ils sont
geacuteneacuteralement deacutependants du champ magneacutetique et de la tempeacuterature
I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et n
Depuis les anneacutees 80 beaucoup de travaux ont eacuteteacute consacreacute agrave eacutetudier la deacutependance en
champ magneacutetique de la densiteacute de courant critique des SHTC Cette deacutependance peut ecirctre
obtenue expeacuterimentalement par des meacutethodes eacutelectriques et magneacutetiques
Dans les mesures eacutelectriques la fiabiliteacute et la reacutepeacutetabiliteacute des valeurs mesureacutees du
courant critique sont reacuteduites en raison des difficulteacutes agrave eacutetablir des contacts dans leacutechantillon
et agrave choisir un critegravere de tension pour deacutefinir Jc De plus en geacuteneacuteral des courants importants
traversent lrsquoeacutechantillon pendant les mesures de sorte qursquoils produisent un champ magneacutetique
qui modifie le champ appliqueacute de maniegravere non homogegravene
Le premier modegravele qui deacutecrive la deacutependance en champ magneacutetique de Jc est proposeacute
par Y Kim [71] pour les mateacuteriaux supraconducteurs agrave basse tempeacuterature critique (SBTC)
( ) 0
01 C
CJJ BB B
=+
Ougrave Jc0 est la densiteacute d courant critique sous champ nul B est lrsquoamplitude de lrsquoinduction
magneacutetique et B0 est une constante caracteacuterisant le mateacuteriau
La formule de Kim deacutecrit un comportement isotrope alors que les supraconducteurs
HTc sont fortement anisotropes lrsquoorientation du champ magneacutetique a une influence
importante sur la densiteacute du courant critique du supraconducteur [66] Une autre forme
geacuteneacuteraliseacutee de la loi de ce modegravele de Kim a eacuteteacute proposeacutee pour prendre en consideacuteration le
pheacutenomegravene drsquoanisotropie des mateacuteriaux SHTC [7273]
( ) ( )0
2 2 2
0
1
I24JcJc B Bk B B
B
βperp
perp
= + +
k Facteur drsquoanisotropie (gt1)
etB Bperp Composantes parallegravele et perpendiculaire du champ magneacutetique
β Constante caracteacuterisant la deacutependance vis-agrave-vis du champ magneacutetique
32
Eacutegalement lrsquoexposant-n de la loi en puissance se comporte de la mecircme maniegravere que Jc vis-agrave-
vis le champ drsquoinduction magneacutetique plusieurs eacutetudes ont montreacute cette deacutependance [74-77] et
la loi du comportement est similaire agrave celle de Kim pour les milieux SHTC anisotropie
( ) ( )0 2 2 2
0
)
1
I25
n
nn B Bk B B
B
perp
perp
=+
+
Avec n0 est une constante qui repreacutesente la valeur de n sous champ nulle et Bn0 est une
constante caracteacuterisant la deacutependance du n vis-agrave-vis le champ magneacutetique
I5 Meacutethodes drsquoaimantation
Les supraconducteurs notamment sous forme massive peuvent ecirctre aimanteacutes et ainsi
reacutealiser ce qursquoon appelle des cryo-aimants qui permettent de geacuteneacuterer des champs magneacutetiques
de plusieurs teslas le record eacutetant agrave de 176 T agrave 26degK [78] Par ailleurs plusieurs axes de
recherches ont eacuteteacute consacreacutes agrave eacutetudier la possibiliteacute de profiter de lrsquoinduction magneacutetique
importante produite par des pastilles aimanteacutees en vue drsquoapplications en geacutenie eacutelectrique Il
existe diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantation des supraconducteurs massifs ces meacutethodes sont
baseacutees sur la variation du champ magneacutetique appliqueacute afin de creacuteer selon la loi de Lenz des
courants induits agrave lrsquointeacuterieur de ces supraconducteurs Ces courants induits geacutenegraverent agrave leur
tour un champ magneacutetique opposeacute au champ appliqueacute Ce principe est utiliseacute pour reacutealiser des
eacutecrans magneacutetiques ou pour pieacuteger du champ magneacutetique avec des aimants
supraconducteurs
I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)
Cette meacutethode consiste agrave appliquer un champ magneacutetique en refroidissant une pastille
supraconductrice agrave une tempeacuterature infeacuterieure agrave sa tempeacuterature critique (TltTC) en preacutesence
du champ magneacutetique appliqueacute [79-81] Ensuite et quand la tempeacuterature de refroidissement
stabilise ce champ magneacutetique appliqueacute est rameneacute tregraves lentement vers le zeacutero ce qui permet
la creacuteation des courants induits agrave lrsquointeacuterieur de la pastille en srsquoopposant agrave la deacutecroissance du
champ magneacutetique appliqueacute afin drsquoavoir un champ magneacutetique pieacutegeacute dans la pastille La
figure I19 illustre les diffeacuterentes eacutetapes drsquoaimantation par la meacutethode FC
33
Figure I19 Aimantation par refroidissement sous champ magneacutetique (Field Cooling FC)
[109]
La meacutethode FC donne des meilleurs reacutesultats en termes de champ pieacutegeacute Par contre ce
dernier ne peut pas ecirctre supeacuterieur au champ appliqueacute
Cependant lrsquoutilisation drsquoun eacutelectro-aimant supraconducteur est primordiale pour obtenir une
forte valeur du champ magneacutetique (gt10T) et permet ensuite de pieacuteger un champ magneacutetique
plus intense
En 2003 et lors de leurs travaux sur lrsquoaimantation de lrsquoYBaCuO massif les japonais
Masaru Tomita et Masato Murakami ont pu pieacuteger un champ magneacutetique eacutegale agrave 17 T agrave 29 K
en appliquant un champ magneacutetique eacutegale agrave 179T [78] et une valeur de 176T a eacuteteacute pieacutegeacutee par
J H Durrell et all agrave 28K en 2014 [82] en utilisant des pastilles supraconductrices de type
GdBCO de 2415 mm de diamegravetre et de 15 mm de hauteur
I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC)
Dans cette meacutethode et contrairement agrave la meacutethode FC lrsquoapplication du champ
magneacutetique se fait apregraves le refroidissement de la pastille agrave la tempeacuterature de fonctionnement
(tltTc) [81] figure I20
Avec cette meacutethode on peut pieacuteger une valeur de champ magneacutetique inferieur
(environ deux fois) agrave celle pieacutegeacute par la meacutethode FC car deux nappes de courant sont induites
lors de lrsquoaimantation par ZFC une correspondant agrave lrsquoapplication du champ magneacutetique et
lrsquoautre agrave la diminution du champ
34
Figure I20 Aimantation par refroidissement hors champ magneacutetique
(Zero Field Cooling ZFC) [109]
En utilisant les meacutethodes drsquoaimantations FC et ZFC un champ magneacutetique appliqueacute
externe important et constant est neacutecessaire pour eacutetablir un champ SHTC pieacutegeacute intense En
geacuteneacuterale cela signifie quun aimant soleacutenoiumlde supraconducteur agrave grande eacutechelle et des
alimentations encombrantes associeacutees sont neacutecessaires Ces exigences limitent souvent
lutilisation de ce type drsquoaimants SHTC pour une utilisation dans la recherche scientifique au
niveau des laboratoires ou dans des applications industrielles comme les machines eacutelectriques
tournantes [83]
I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization
(PFM)
Le processus drsquoaimantation par la meacutethode PFM neacutecessite lrsquoobtention drsquoune impulsion
de courant eacutelectrique intense dans une bobine de petites dimensions ce qui permet de geacuteneacuterer
une impulsion de champ magneacutetique importante pour aimanter la pastille supraconductrice
[84-86]
La meacutethode PFM est une autre forme de la meacutethode ZFC sauf que la dureacutee de
lrsquoimpulsion de champ appliqueacute dans ce cas est tregraves courte (quelques millisecondes)
Lrsquoavantage fondamental de la meacutethode PFM est qursquoelle ne neacutecessite pas un eacutelectro-aimant
supraconducteur une simple bobine de cuivre suffit pour geacuteneacuterer une impulsion de champ
magneacutetique de plusieurs teslas et produit par la suite un champ magneacutetique pieacutegeacute important
(environ 30 agrave 40 du champ appliqueacute)
35
La forme de lrsquoimpulsion du champ magneacutetique appliqueacute le volume et la forme de la
pastille utiliseacutee et sa densiteacute de courant eacutelectrique influent fortement sur la valeur du champ
magneacutetique pieacutegeacute dans la pastille
Figure I21 Aimantation par un champ impulsionnel (pulsed field magnetization PFM)
[109]
Le circuit eacutelectrique de lrsquoaimantation utiliseacute dans ce cas-lagrave est un circuit RLC composeacute drsquoun
circuit de charge de condensateur C et circuit de deacutecharge de ce condensateur dans lrsquoinducteur
Lind (Figure I22)
La forme de lrsquoimpulsion du champ magneacutetique creacuteeacute par lrsquoinducteur est lrsquoimage de la
forme du courant eacutelectrique produit par le circuit de deacutecharge LC Lrsquoamplitude et la constante
du temps caracteacuteristique du courant impulsionnel sont directement lieacutees agrave la valeur de
lrsquoinductance L
Figure I22 Scheacutema eacutelectrique simplifieacute du circuit utiliseacute pour aimanter les supraconducteurs
massifs
36
En reacutegime peacuteriodique lexpression du champ magneacutetique appliqueacute est alors donneacutee par la
solution de leacutequation de deacutecharge du circuit
( ) ( ) ex I26p 1a mt tH t Hτ τ
= minus
Avec
LCτ = Constance du temps du circuit de deacutecharge
( )0 exp(1)mH q τ= Champ maximal donneacutee pour t τ=
0q Charge initiale du condensateur C du circuit
La figure I23 preacutesente leacutevolution temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour
laimantation par la meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
Figure I23 Variation temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour laimantation par la
meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
Eacutetant donneacute que la magneacutetisation par la meacutethode PFM est un proceacutedeacute largement utiliseacute
pour laimantation des cryo-aimants il semble inteacuteressant de deacutevelopper des outils et des
meacutethodes de calcul deacutedieacutees pour ce proceacutedeacute Des travaux anteacuterieurs avaient eacuteteacute meneacutes en vue
du deacuteveloppement des modegraveles analytiques pour calculer la distribution du champ magneacutetique
des bobines circulaires seules avec un noyau de fer ou en preacutesence de noyau supraconducteur
[87-91] ainsi que le cas de bobine circulaire dans un circuit ferromagneacutetique avec entrefer
[92]
37
Dans le chapitre II de cette thegravese nous allons deacutevelopper un modegravele analytique pour
montrer lrsquoeffet de la preacutesence drsquoune pastille supraconductrice sur la valeur de lrsquoinductance
drsquoune bobine circulaire placeacutee dans un circuit ferromagneacutetique avec entrefer
I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTC
La deacutetermination de la densiteacute de courant critique du mateacuteriau supraconducteur peut ecirctre
reacutealiseacutee soit par la meacutethode eacutelectrique (meacutethode directe) soit par la meacutethode magneacutetique
(meacutethode indirecte) Chacune de ces meacutethodes comporte des problegravemes pratiques qui rendent
deacutelicate lrsquoobtention drsquoune mesure preacutecise de CJ
I51 Meacutethode eacutelectrique
La meacutethode eacutelectrique consiste agrave injecter dans lrsquoeacutechantillon des courants croissants
jusqursquoagrave ce que lrsquoeacutetat supraconducteur disparaisse [93] La meacutethode de quatre pointes est ainsi
utiliseacutee dans laquelle le courant I est injecteacute dans lrsquoeacutechantillon et la mesure de la tension U
aux bornes de lrsquoeacutechantillon est faite (figure I24) On considegravere que le courant injecteacute se
reacutepartit uniformeacutement dans tout le mateacuteriau pour obtenir une relation simple entre le courant
et la densiteacute de courant I= JS ougrave S est la section de lrsquoeacutechantillon Aussi on suppose que le
champ eacutelectrique agrave une seule composante suivant lrsquoaxe de lrsquoeacutechantillon pour avoir une
relation simplifieacutee entre le champ eacutelectrique E et la tension U aux bornes de lrsquoeacutechantillon
U=El avec l est la distance entre les prises de potentiel Le champ eacutelectrique critique EC est
souvent choisi de 1 V mmicro A partir de la mesure U(I) en deacuteduit E(J) et par la suite la densiteacute
de courant critique Jc et lrsquoexposant-n de la loi en puissance preacutesenteacutee ci-dessus
Figure 24 Scheacutema repreacutesentatif de la meacutethode eacutelectrique pour deacuteterminer la densiteacute
de courant eacutelectrique Jc drsquoun mateacuteriau supraconducteur
Cette meacutethode de mesure de Jc des SHTC est simple et donne accegraves la vraie valeur de
Jc Cependant [93] elle implique la pose de contact sur lrsquoeacutechantillon qui peut entrainer des
38
problegravemes de dissipation de chaleur aux contacts Cette meacutethode est geacuteneacuteralement tregraves utiliseacutee
surtout pour les rubans
I52 Meacutethode magneacutetique
Les meacutethodes magneacutetiques sont baseacutees sur lrsquoeacutetude des proprieacuteteacutes magneacutetique du
mateacuteriau supraconducteur Lrsquoeacutechantillon est soumis agrave un champ magneacutetique externe H Ce
champ creacutee des boucles de courant induites qui peuvent ecirctre de type intragrain ou intergrain
[39] srsquoopposant au champ appliqueacute Les meacutethodes geacuteneacuteralement utiliseacutees mesurent
lrsquoaimantation M de lrsquoeacutechantillon et permettent alors de calculer la densiteacute de courant critique
Jc agrave lrsquoaide du modegravele de Bean
Les principaux avantages des meacutethodes magneacutetiques sont drsquoune part lrsquoabsence de
contact eacutelectrique avec lrsquoeacutechantillon et donc la possibiliteacute de ne pas amener de chaleur agrave
lrsquoeacutechantillon et drsquoautre part la possibiliteacute drsquoeacutetudier des eacutechantillons de taille tregraves faible voire
mecircme des poudres
Au laboratoire GREEN Bruno DOUINE amp al ont deacuteveloppeacute une nouvelle meacutethode
magneacutetique de caracteacuterisation de pastilles SHTC pour deacuteterminer la densiteacute de courant
critique Jc et lrsquoexposant-n de la loi en puissance du mateacuteriau supraconducteur Le principe est
de mesurer le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP Ce champ magneacutetique
correspond au champ magneacutetique appliqueacute neacutecessaire pour que la diffusion du champ
magneacutetique atteigne le centre de pastille SHTC [77 94 95 96]
I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastille
Un champ magneacutetique est appliqueacute perpendiculairement sur une pastille SHTC de
rayon R et de hauteur L comme crsquoest montreacute sur la figure I25 Ce champ magneacutetique
appliqueacute est consideacutereacute lineacuteairement varie en fonction du temps
( ) ( ) I27a bB t V t=
Avec Vb est la vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacute
Figure I25 Pastille supraconductrice massive de forme cylindrique soumise agrave un champ
magneacutetique appliqueacute axialement
39
Un champ magneacutetique commence agrave apparaitre au centre de la pastille apregraves un certain
temps pt appeleacute temps de peacuteneacutetration le champ magneacutetique appliqueacute neacutecessaire agrave la
peacuteneacutetration complegravete jusqursquoau centre de la pastille est appeleacute champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete et noteacute BP (figure I26) En utilisant le modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean
(CSM) ce champ de peacuteneacutetration appeleacute aussi champ de peacuteneacutetration de Bean BPB peut-ecirctre
analytiquement obtenu agrave partir de la loi de Biot et Savart sous la forme suivante [77]
( )
22
02
2
2ln4
2
I28cPB
LR RJ LB
LR R
micro
+ + = + minus
Le principe de cette meacutethode est de mesurer le champ de peacuteneacutetration BPB et deacuteduire
par la suite la densiteacute de courant critique Jc
Figure I26 Variation du champ magneacutetique en fonction du temps Ba est le champ appliqueacute
sur la pastille et B0 repreacutesente le champ magneacutetique mesureacute au centre de la pastille
En fait lrsquoideacutee principale est de remplacer la pastille SHTC eacutetudieacutee par deux pastilles
SHTC identiques seacutepareacutees par un entrefer drsquoeacutepaisseur laquo e raquo dans lequel est placeacutee une sonde
agrave effet Hall afin de mesurer le champ magneacutetique entre ces deux pastille (figure I27) Le
champ magneacutetique mesureacute possegravede une seule composante crsquoest la composante radiale
40
Figure I27 Position de sonde agrave effet Hall entre deux pastilles SHTC
Theacuteoriquement ces deux pastilles sont consideacutereacutees comme une seule pastille dont
lrsquoinfluence de lrsquoeacutepaisseur de lrsquoentrefer creacuteeacute par la sonde sur la valeur de la densiteacute de courant
Jc doit ecirctre prise en consideacuteration
Lrsquoaimantation de la pastille se fait par la meacutethode PFM le champ appliqueacute est obtenu
par une simple deacutecharge drsquoun condensateur dans une bobine en cuivre Le scheacutema eacutelectrique
du circuit drsquoaimantation est preacutesenteacute sur la figure I22
La figure I28 repreacutesente la variation du champ magneacutetique en fonction du temps pour
deux pastilles SHTC identiques de type YBaCuO caracteacuteriseacutee chacune par un rayon R de
10mm et de longueur L eacutegale agrave 5 mm et seacutepareacutees par une distance de 1mm (repreacutesente
lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall)
Figure I28 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesureacute entre deux pastilles
SHTC
41
Par conseacutequent la deacutetermination du temps de peacuteneacutetration Pt est effectueacutee comme suit
Nous consideacuterons drsquoabord que apregraves peacuteneacutetration complegravete du champ magneacutetique ( )Pt tgt
( )aB t et ( )0B t sont seacutepareacutes par une valeur eacutegale agrave PBB Deuxiegravemement nous modifions ( )0B t
B0(t) autour de tp pour quil soit identique au champ magneacutetique appliqueacute ( )aB t (figue I22)
Ceci permet au final de deacuteduire Pt et PMB
La valeur du champ magneacutetique PMB mesureacute pour des deux pastilles est drsquoenvirons 1
Tesla A partie de cette valeur de PMB cedil qursquoon suppose eacutegale agrave BPB on peut calculer la valeur
de la densiteacute de courant critique Jc agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 Elle est eacutegale agrave 110 Amm2 et
crsquoest une valeur proche des valeurs estimeacutees agrave partir des donneacutees des constructeurs et de la
litteacuterature
I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur le champ
de peacuteneacutetration
En utilisant le modegravele de la loi en puissance (PLM) le champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete noteacute BP peut srsquoexprimer numeacuteriquement en fonction du champ
magneacutetique de peacuteneacutetration ducirc au modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM) (BPB) de la vitesse
de monteacutee du champ appliqueacute Vb et de la puissance n comme [77]
( ) ln I291 bP PB
VB Bn
α β+ = +
Avec 12α = et 34β =
On peut ajouter ici qursquoil nrsquoy a pas drsquoinfluence des paramegravetres geacuteomeacutetrique de la
pastille R et L sur les valeurs de α etβ
La relation I29 saveacuterera expeacuterimentalement utile pour deacuteterminer la valeur n dune
pastille supraconductrice soumise agrave des diffeacuterentes vitesses de monteacute Vb du champ externe
Pour cela deux manipes expeacuterimentales sont installeacutees lrsquoune contient une bobine
supraconductrice afin de geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee du champ appliqueacute Ba (Meacutethode
drsquoaimantation ZFC) et lrsquoautre une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer un champ magneacutetique
agrave vitesse de monteacutee eacuteleveacutee de Ba (Meacutethode PFM) Les reacutesultats de mesure de champ
magneacutetique sont illustreacutes sur la figure I29
Lrsquoinfluence de lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall placeacutee sera prise en consideacuteration
dans les calculs de lrsquoexposant-n et la densiteacute de courant critique du mateacuteriau supraconducteur
42
(a) (b)
Figure I29 Repreacutesentation du champ magneacutetique appliqueacute et le champ magneacutetique mesureacute
entre deux pastilles SHTC en fonction de temps en utilisant a) une bobine supraconductrice
pour geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee b) une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer une
vitesse de monteacutee eacuteleveacutee
Soit 1PMB le champ de peacuteneacutetration mesureacute pour une faible vitesse de monteacutee 1bV et 2PMB est le
champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute pour une vitesse de monteacutee eacuteleveacutee 2bV
A partir de lrsquoeacutequation (I22) la valeur de n peut ecirctre deacuteduite agrave partir de
( ) ( )2 1 1 2
1 2
I3l ln
0nPM b PM b
PM PM
B V B Vn
B Bα
βminus
= minusminus
A partir de cette valeur de n et les valeurs de 1PB et 1bV on deacuteduit la valeur de PBB agrave
lrsquoaide de lrsquoeacutequation (I29) Par la suite la valeur de JC sera deacutetermineacutee agrave partir de lrsquoeacutequation
(I28) en fonction des paramegravetres geacuteomeacutetrique R et L
I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de lrsquoexposant-n et Jc
Rappelons que les mesures expeacuterimentales agrave travers la sonde agrave effet Hall placeacutee entre
deux pastilles SHTC donnent le champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute BPM et non pas le
champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP agrave cause de lrsquoentrefer existant entre les deux
pastilles ducirc agrave la sonde
Afin de trouver une relation entre BPM et BP une simulation numeacuterique est effectueacutee
pour les deux cas suivants
43
- Cas drsquoune pastille seule sans sonde agrave effet hall (e=0) pour deacutetermineacute BP au
centre de la pastille agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I8
- cas de deux pastilles identiques seacutepareacutees pour une distance laquo e raquo qui preacutesente
lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall pour deacuteterminer le champ de peacuteneacutetration BPM
La figure I30 repreacutesente la variation de rapport PM PB B en fonction de la longueur L
de la pastille pour e = 05 mm et e = 1 mm Le champ magneacutetique appliqueacute sur les pastilles est
caracteacuteriseacute par une vitesse de monteacutee Vb= 1000 Ts les pastilles utiliseacutees sont modeacuteliseacutees par
une densiteacute de courant critique Jc=100Amm2 un rayon R=10 mm et n = 15
Une relation entre BPM et BP est deacuteduite
( ) ( ) 05 00 I312ln( ) 081 368 1PM
P
B e mm LB
= = +
( ) ( ) 1 00 I3350ln( ) 07233 2PM
P
B e mm LB
= = +
Les expressions I10 et I11 sont indeacutependantes de Vb et n [95] Cependant elles sont valables
uniquement pour R=10 mm Pour drsquoautres valeurs de R des nouvelles relations entre BPM et
BP peuvent ecirctre exprimeacutes avec les mecircmes maniegraveres de calculs
Figure I30 Rapport P
PMBB
en fonction de longueur L de la pastille SHTC
I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille
Une autre meacutethode de calcul de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete a eacuteteacute
proposeacutee en utilisant une seule pastille au lieu deux agrave partir de la mesure de champ
magneacutetique au centre de la surface de la pastille agrave lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet hall placeacutee agrave une
44
distance laquo d raquo au-dessus de la surface de la pastille (figure I31) Cette meacutethode a lrsquointeacuterecirct
drsquoecirctre tregraves simple agrave exeacutecuter et moins couteuse
Figure I31 Position du sonde agrave effet Hall au centre de surface de la pastille
I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et BP
Des simulations numeacuteriques et analytiques ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour deacuteterminer la relation
entre le champ magneacutetique mesureacute agrave lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet Hall et le champ magneacutetique
de peacuteneacutetration complegravete BP
Une pastille SHTC de rayon R et de longueur L est agrave soumise agrave un champ
magneacutetique lineacuteairement variable appliqueacute perpendiculairement sur la surface de la pastille
Cela nous permet de deacuteterminer le champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur et agrave lrsquoexteacuterieur de la
pastille Ainsi de deacuteterminer la densiteacute du courant critique de cette pastille
La figure I32 repreacutesente la distribution de la densiteacute du courant CJ J dans la pastille
SHTC pour trois diffeacuterentes vitesses de monteacutee Vb (01 Ts et 10 Ts et 1000Ts) pour une
mecircme valeur de la densiteacute de flux magneacutetique appliqueacute Dans cette simulation la valeur de
lrsquoexposant-n utiliseacute est 15 ce qui repreacutesente une faible valeur pour un SHTC agrave 77 K et une
densiteacute de courant critique Jc consideacutereacutee constante eacutegale agrave 100 Amm2
On remarque que quels que soient la valeur de Vb les paramegravetres geacuteomeacutetriques de la pastille
SHTC et la valeur de n (gt 10) JJc est presque constante partout dans les reacutegions ougrave la
densiteacute de courant eacutelectrique nrsquoest pas nulle
Quand Ba devient eacutegal agrave BP on dit que la peacuteneacutetration est complegravete et CJ J est consideacutereacute
constant sur toute la pastille comme dans le cas du modegravele de Bean
45
Figure I32 Distribution de la densiteacute de courant JJc dans la pastille SHTC pour trois valeur
de vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacute
On appelle ( )0B t le champ magneacutetique au centre de la pastille SHTC et ( )zB d t le
champ magneacutetique mesureacute par la sonde agrave effet Hall au-dessus du centre de la surface de la
pastille agrave une distance d=05mm
46
( )aB t ( )0B t et ( )05 zB d mm t= sont repreacutesenteacute sur la figure I26 une densiteacute de courant
critique constante Jc=100Amm2 un champ magneacutetique appliqueacute lineacuteairement varie avec une
vitesse de monteacute Vb=1 Ts et une valeur de lrsquoexposant-n=15
La diffeacuterence ( ) ( )a zB t B tminus noteacute ( ) )ZSCB d t repreacutesente la densiteacute de flux magneacutetique
produit par le courant induit agrave lrsquointeacuterieur de la pastille SHTC La figure I33 montre que la
diffeacuterence ( ) ( )05 a zB t B d mm tminus = atteint une valeur maximale noteacute BZSCM avant que
( ) ( )0aB t B tminus atteint BP La relation entre BZSCM et BP est lieacutee aux paramegravetres geacuteomeacutetriques de
la pastille SHTC comme dans le modegravele de lrsquoeacutetat critique (CSM)
Figure I33 Calcul numeacuterique de BP au centre de la pastille et BZSCM au-dessus du centre de
surface de la pastille agrave d = 05mm
Dans le cas du champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete et modegravele de lrsquoeacutetat critique
(CSM) la densiteacute du flux magneacutetique le long de lrsquoaxe drsquoune pastille supraconductrice
cylindrique noteacute BZSCB peut ecirctre donneacute analytiquement en utilisant la loi de Biot et Savart de
la mecircme faccedilon que BPB sous forme
( ) ( ) ( )
( )
( )2 2 2 2
0
2 2 22
1 1 ln l I3n
4 1 13C
ZSCB
R Rd L RJ d RB d R L d L dR R
d Rd L R
micro
+ + + + + = + minus minus minus + + +
47
Une eacutetude comparative a eacuteteacute reacutealiseacutee entre un calcul analytique du rapport ZSCB PBB B
et un calcul numeacuterique du rapport ZSCM PB B en fonction de la distance laquo d raquo Le calcul
numeacuterique est fait pour diffeacuterentes valeurs de n et Vb (figure I34)
Figure I34 comparaison entre le calcul numeacuterique ZSCB PBB B et le calcul analytique
ZSCM PB B
On remarque que quels que soient les valeurs de n et Vb les rapports ( ) ZSCM PB d B et
( ) ZSCB PBB d B sont eacutequivalents Donc agrave partir de la valeur BZSCM(d) mesureacute le champ de
peacuteneacutetration PB peut ecirctre deacuteduit de la faccedilon suivante
( )( )( ) ( )
I34ZSCM mesureacute
PZSCB PB analytiquement
B dB
B d B=
Le rapport ( )( )ZSCB PBB d B est indeacutependant de Jc il deacutepend seulement des paramegravetres
geacuteomeacutetrique R et L de la pastille
48
I6 Objectifs de la thegravese
Apregraves avoir preacutesenteacute un rappel historique sur lrsquoeacutevolution de la supraconductiviteacute
depuis sa deacutecouverte jusqursquoau temps actuel nous avons rappeleacute quelques proprieacuteteacutes
caracteacuteristiques des mateacuteriaux supraconducteurs et leurs grandeurs critique Ensuite nous
avons preacutesenteacute les mateacuteriaux massifs supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
et leurs proprieacuteteacutes en citant deux mateacuteriaux de ce type agrave savoir lrsquoYBaCuO et le MgB2 Nous
avons preacutesenteacute eacutegalement des diffeacuterentes meacutethodes drsquoaimantations des pastilles supraconductrices agrave
savoir les meacutethodes ZFC FC et PFM
Enfin nous avons fait un reacutesumeacute sur une nouvelle meacutethode de caracteacuterisations reacutealiseacutee
au laboratoire GREEN par B DOUINE amp al pour calculer les grandeurs caracteacuteristiques
drsquoune pastille SHTC
Deux axes principaux sont viseacutes par cette thegravese
1 Proposer des modegraveles analytiques de dimensionnement de lrsquoinducteur drsquoun systegraveme
drsquoaimantation drsquoune pastille supraconductrice en preacutesence drsquoun circuit
ferromagneacutetique
2 Ameacuteliorer les meacutethodes de caracteacuterisation existant notamment celles utilisant la
meacutethode PFM afin drsquoeacutetudier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique drsquoune
pastille supraconductrice agrave haute tempeacuterature critique
49
Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de
lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit
ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune
pastille supraconductrice
50
II1 Introduction
La supraconductiviteacute est un domaine tregraves passionnant de la physique appliqueacutee En
geacutenie eacutelectrique comme en physique les supraconducteurs sont largement utiliseacutes pour
obtenir des champs magneacutetiques tregraves eacuteleveacutes On peut obtenir des aimants avec des mateacuteriaux
supraconducteurs massifs de type (RE) BCO agrave lrsquoaide drsquoun champ magneacutetique Ils peuvent
atteindre une densiteacute de flux magneacutetique tregraves eacuteleveacutee En effet il existe diffeacuterentes faccedilons
drsquoaimanter ce type de supraconducteurs massifs Cependant le moyen le plus commode et le
plus courant est drsquoutiliser un champ magneacutetique pulseacute Cette meacutethode est appeleacutee laquo PFM raquo
pour laquo Pulsed Field Magnetization raquo elle est geacuteneacuteralement utiliseacutee pour lrsquoaimantation des
cryo-aimants [84]
Il est tregraves important destimer et deacutevaluer les composantes du champ magneacutetique qui
deacutependent fortement de la geacuteomeacutetrie de linducteur du circuit drsquoaimantation utiliseacute et qui a
pour but final doptimiser la configuration expeacuterimentale Dans leacutetape de conception de
linducteur neacutecessaire pour magneacutetiser les supraconducteurs massifs agrave haute tempeacuterature
critique (SHTC) la modeacutelisation et la simulation sont fortement recommandeacutees pour effectuer
les calculs neacutecessaires des diffeacuterentes caracteacuteristiques eacutelectriques du systegraveme eacutetudieacute agrave savoir
la reacutesistance et linductance de la bobine La deacutetermination de la valeur de la reacutesistance est
assez simple tandis que lrsquoinductance neacutecessite un traitement particulier
De ce fait des modegraveles analytiques ont eacuteteacute proposeacutes depuis longtemps pour calculer la
distribution du champ magneacutetique creacuteeacute par des bobines circulaires sans fer [88 89 98] et plus
reacutecemment pour des bobines avec des noyaux de fer de longueur finie [90] Bien que ces
meacutethodes donnent des reacutesultats preacutecis elles ne sont pas adapteacutees pour leacutetude des bobines
axisymeacutetriques placeacutees dans un circuit ferromagneacutetique contenant un entrefer simple ou un
entrefer contenant une pastille supraconductrice Ces modegraveles sont baseacutes essentiellement sur
la loi de Biot et Savart Des logiciels commerciaux sophistiqueacutes qui donnent des reacutesultats tregraves
preacutecis en consideacuterant la non-lineacuteariteacute des mateacuteriaux impliqueacutes dans le problegraveme eacutetudieacute sont
utiliseacutes
Dans ce chapitre nous proposons drsquoutiliser des meacutethodes analytiques pour reacutealiser
cette tacircche en reacutesolvant les eacutequations de Laplace et de Poisson De telles meacutethodes conduisent
agrave des solutions significatives avec des informations physiques tregraves utiles pour lrsquoeacutetape de la
conception Il srsquoagit de calculer le potentiel vecteur magneacutetique A
dans les diffeacuterentes reacutegions
drsquointeacuterecirct drsquoun circuit ferromagneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer concentrique par rapport agrave la
51
bobine en absence de tout mateacuteriau supraconducteur Le cas de preacutesence drsquoune pastille
supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du circuit deacutecrit preacuteceacutedemment sera eacutegalement
traiteacute Pour montrer lrsquoinfluence de la preacutesence drsquoun mateacuteriau supraconducteur sur la valeur de
lrsquoinductance de la bobine utiliseacutee il sera question de calculer son inductance dans les deux cas
A la fin de ce chapitre et en prenant le problegraveme du circuit magneacutetique sans pastille
nous allons utiliser lrsquoexpression analytique du potentiel vecteur magneacutetique obtenue dans ce
cas pour calculer les courants induits dans une pastille supraconductrice en utilisant laquola
meacutethode de Brandtraquo bien connue deacuteveloppeacutee en 1998 pour les disques et les cylindres dans
un champ magneacutetique axial [100 101]
II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveses
La geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute est repreacutesenteacutee sur la figure II1
Figure II1 Geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute un circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie infeacuterieur de longueur 3 2 e Z Z= minus concentrique avec une bobine de
longueur 4 1L Z Z= minus
Les reacutegions I III et IV correspondent agrave de lrsquoair La reacutegion II correspond agrave une bobine
circulaire en cuivre de section transversale rectangulaire Cette bobine composeacutee de N spires
de rayon interne 2R de rayon externe 3R et de longueur 4 1L Z Z= minus est parcourue par une
densiteacute de courant uniforme J dans le sens uθ
La bobine est concentreacutee autour drsquoun
entrefer de rayon 1R et de longueur 3 2e Z Z= minus situeacute sur la partie infeacuterieure du circuit
ferromagneacutetique (figure II1) Lrsquoensemble du systegraveme est deacutelimiteacute dans la direction axiale par
52
0z = et 5z Z= Les limites exteacuterieures du circuit ferromagneacutetique doivent ecirctre choisies
suffisamment loin de la zone de calcul pour ne pas affecter les reacutesultats obtenus Des
conditions aux limites homogegravenes de type Dirichlet sont consideacutereacutees dans les reacutegions I II et
III agrave 0z = et 5z Z= et de type de Neumann dans la reacutegion IV agrave 2z Z= et 3z Z=
Le problegraveme est traiteacute en axisymeacutetrique la formulation en potentiel vecteur
magneacutetique en coordonneacutees cylindriques est employeacutee Seule la composante suivant θ du
potentiel vecteur magneacutetique est preacutesente et elle ne deacutepend que des coordonneacutees r et z
A partir de lrsquoeacutequation de Maxwell-Ampegravere
( )0 0 0 II1ErotB Jt
micro micro ε part= +
part
Lorsque le champ eacutelectrique est stationnaire le second membre de lrsquoeacutequation (II1) devient
neacutegligeable
Drsquoautre part lrsquoexpression de lrsquoinduction magneacutetique en fonction du potentiel vecteur
magneacutetique est donneacutee comme suit
( ) ( ) II2B rot A=
En remplaccedilant lrsquoeacutequation (II2) dans (II1) on trouve
( ) ( )20 0 ( ( ) ) ( II 3) rot rot A J grad div A A Jmicro micro= rArr minusnabla =
Compte tenu de la jauge de coulomb ( ) 0div A = lrsquoeacutequation (II3) devient
( )20 II4A Jmicronabla = minus
Donc deux cas sont possibles
( )2 0
II0 5J Equation de Poisson
AEquation de Laplace
microminusnabla =
Pour notre problegraveme les expressions du potentiel vecteur magneacutetique pour chaque
reacutegion sont obtenues agrave partir de la reacutesolution de lrsquoeacutequation de poisson dans la reacutegion de la
bobine (reacutegion II) et de Laplace dans les reacutegions I II et III en respectant les conditions de
continuiteacute des composantes tangentielles et normales du champ magneacutetique aux interfaces
entre les reacutegions
53
( ) ( ) ( )( )
( )2
0
2
II6
0
( )II
i
r z
r
A J r z Reacutegion II Bobine
A Reacutegions i i I III IVz
micronabla =minusnabla = =
Avec 0micro et J sont respectivement la permeacuteabiliteacute du vide et la densiteacute de courant dans la bobine
Sachant que la densiteacute de courant J est consideacutereacutee homogegravene dans la bobine elle est
indeacutependante de la composante r et elle ne deacutepend que de z
( )1 4 ( ) II0
7J Z z Z
J zAilleur
lt lt=
Dans la modeacutelisation analytique de ce problegraveme nous avons supposeacute que la
permeacuteabiliteacute magneacutetique du circuit ferromagneacutetique est infinie (micro rarrinfin ) Ceci implique que
le champ magneacutetique nrsquoest pas calculeacute agrave lrsquointeacuterieur du milieu ferromagneacutetique et sa
composante tangentielle est nulle aux interfaces ferromagneacutetiques
II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetique
La reacutesolution de toute eacutequation diffeacuterentielle aux deacuteriveacutes partielles est fortement
deacutependante du domaine dans laquelle la solution est deacutefinie et valable ainsi les conditions
aux limites que cette solution doit remplir La reacutesolution de lrsquoeacutequation (II6) se fait dans les
reacutegions de I agrave IV agrave lrsquoaide de la meacutethode de seacuteparation des variables [90101]
II31 Reacutegion I 3 4 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation consideacutereacutee dans cette reacutegion est une eacutequation de Laplace elle srsquoeacutecrit en
coordonneacutees cylindrique sous la forme
( )2 2
22 2 2
10 0 II8I I I II
A A A AAr r r r z
part part partnabla = rArr + minus + =
part part part
Les conditions agrave limites homogegravenes de Dirichlet sont imposeacutees ici agrave 0Z = et 5Z Z=
( )1 1 5 ( 0 ) ( ) 0 II9A r z A r z Z= = = =
La composante tangentielle du champ magneacutetique est nulle agrave lrsquointerface pour 4r R=
( )4
II1( ) 0 0r R
rAr =
part=
part
En utilisant la meacutethode de seacuteparation de variable le potentiel Vecteur magneacutetique peut
srsquoeacutecrire comme suit
54
( ) ( ) ( ) ( ) II11A r z R r Z z=
A partir des eacutequations (II9) (II10) et (II11) la forme geacuteneacuterale de lrsquoexpression du potentiel
vecteur magneacutetique dans la reacutegion I est donneacutee par (voir deacutetails en annexe I)
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 11 0 4
II12nII n n n n
n n
K RA r z b I r K r sin z
I Rα
α α αα
infin
=
= +
sum
Avec n est un entier positif 5n n Zα π= est la valeur propre du problegraveme I0 et K0 sont
respectivement les fonctions de Bessel modifieacutees du premier et du deuxiegraveme type drsquoordre 0 etI1 et
K1sont respectivement les fonctions de Bessel modifieacutees du premier et du deuxiegraveme type ordre1
[102] Alors que Inb est la constante drsquointeacutegration elle sera deacutetermineacutee par la suite en utilisant
les conditions de passages agrave lrsquointerfaces agrave 3r R= entre les reacutegions I et II
II32 Reacutegion II 2 3 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre dans cette reacutegion est une eacutequation de Poisson En coordonneacutees
cylindriques
( )2 2
02 2 2
1 ( ) II13II II II IIA A A A J zr r r r z
micropart part part+ minus + = minus
part part part
Les conditions aux limites de Dirichlet sont imposeacutees ici agrave 0z = et 5z Z=
( )5 ( 0) ( I 10 4) III IIA r z A r z Z= = = =
Lrsquoeacutequation (II13) est une eacutequation diffeacuterentielle de deuxiegraveme degreacute avec second membre sa
reacutesolution est deacutetailleacutee dans lrsquoannexe I
La solution geacuteneacuterale de (II13) est donneacutee donc par
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 11
II15II IIII n n n n n n n
n
A r z a I r b K r C L r sin zα α α αinfin
=
= + minussum
Avec 022
nn
n
JC micro πα
= et ( ) ( ) ( ) ( )( )5
1 45 0
2 2sin cos cosZ
n n n nJJ J z z dz Z Z
Z nα α α
π= = minusint
L1 est la fonction de Struve modifieacutees ordre 1
Les constantes drsquointeacutegrations IIna et II
nb sont deacutetermineacutees en utilisant les conditions de
passages aux interfaces agrave 3r R= entre les reacutegions I et II et agrave 2r R= entre les reacutegions II et III
55
II33 Reacutegion III 1 2 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Dans cette reacutegion lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre est de type Laplace
( )2 2
2 2 2
1 0 II16III III III IIIA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites imposeacutees ici sont
( )5 ( 0) II1( ) 0 7III IIIA r z A r z Z= = = =
Consideacuterons les conditions aux limites de lrsquoeacutequation (II17) la solution geacuteneacuterale de
lrsquoeacutequation (II16) est donneacutee par
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11
II18III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Les constantes drsquointeacutegrations IIIna et III
nb sont deacutetermineacutees en utilisant les conditions
de passages aux interfaces agrave 2r R= et agrave 1r R= entre les reacutegions II et III et les reacutegions III et IV
successivement
II34 Reacutegion IV 1 2 30 etr R Z z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation (II1) agrave reacutesoudre dans cette reacutegion est une eacutequation de Laplace
( )2 2
2 2 2
1 0 II19IV IV IV IVA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites imposeacutees ici agrave z=Z2 et z=Z3 sont de type de Neumann
( )2 3
II2( ) ( ) 00IV IV
z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
Une condition suppleacutementaire est imposeacutee agrave 0r = (axe de symeacutetrie)
( ) II( 0 2) 10IVA r z= =
Consideacuterons les eacutequations (II20) et (II21) la solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation (II19) est
donneacutee par
( ) ( ) ( )( ) ( )0 1 21
cos II22IVIV k k k
k
A r Z A r a I r z Zβ βinfin
=
= + minussum
56
Avec 5 2
kk
Z Zπβ =minus
0A et IVka sont des constantes drsquointeacutegration k est un entier positif
La constante dinteacutegration 0A est due agrave lrsquoapplication des conditions aux limites de Neumann
dans la reacutegion IV Elle est deacutetermineacutee en appliquant la condition de continuiteacute du potentiel
vecteur magneacutetique agrave linterface agrave 1r R= entre la reacutegion III et la reacutegion IV
II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0
On applique le principe de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique entre la reacutegion III et IV
agrave lrsquointerface agrave r= R1
( ) ( ) [ ] ( )1 1 2 3 pour II23III IVA r R z A r R z z Z Z= = isin=
Par inteacutegration par rapport agrave z sur lrsquointervalle[ ]2 3Z Z on trouve
( ) ( ) ( )( ) ( )0 1 1 1 111 3 2
1 II24III IIIn n n n n
nA m a I R b K R
R Z Zα α
infin
=
= +minus sum
Avec ( ) ( )( )2 31 cos cosn nn
n
Z Zm α αα
= minus
II4 Conditions de passages entres interfaces
Les relations entre les constantes drsquointeacutegrations etI II II III III IVn n n n n nb a b a b a sont
deacutetermineacutees en appliquant les conditions de passages aux interfaces entres les diffeacuterentes
reacutegions drsquointeacuterecirct du problegraveme consideacutereacute
Les conditions dinterface doivent satisfaire la continuiteacute des composantes radiale et axiale
de la densiteacute de flux magneacutetique Ces composantes peuvent ecirctre deacuteduites du potentiel vecteur
magneacutetique par
( ) ( ) 1 II25r z
rAAB Bz r r
partpart= =part part
II41 Condition drsquointerface agrave r=R3
En termes de potentiel vecteur magneacutetique deux conditions drsquointerface sont imposeacutees
entre les reacutegions I et II agrave 3r R=
57
( ) ( )( ) ( ) ( )
3 3
3 3
II26I II
I I
r R r R
A r R z A r R z
rA rAr r
= =
= = =part part = part part
On obtient
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 3 1 3 1 3 1 3 1 30 4
II27nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
+ minus minus = minus
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
3 3 0 3 0 3 00 4
0 30 II28nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
minus minus + = minus
II42 Condition drsquointerface agrave r=R2
Les conditions drsquointerface entre les reacutegions II et III agrave 2r R= sont donneacutees par
( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2
2 2
II29
II III
II III
r R r R
A r R z A r R z
rA rAr r
= =
= = =part part = part part
On obtient ainsi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 II30II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus minus + + = minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 II31II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus + + minus = minus
II43 Condition drsquointerface agrave r=R1
Agrave linterface entre les reacutegions III et IV des conditions particuliegraveres deacutefinies par
morceaux concernant la composante axiale du champ magneacutetique agrave r = R1 sont appliqueacutees
autour de cette interface agrave cause de la preacutesence de lentrefer dans le circuit ferromagneacutetique
( ) ( ) ( )1 1
2
2 3
3 5
0 0
II32
0
III IV
r R r R
z ZrA rA
Z z Zr r
Z z Z= =
lt lt
part part= lt ltpart part lt lt
La continuiteacute de la composante radiale de la densiteacute de flux conduit agrave
58
( ) ( ) ( )1 1 2 3 avec II33IV IIIA r R z A r R z Z z Z= = = lt lt
A partir des eacutequations (II32) et (II33) on obtient (voir deacutetail en Annexe II)
( )( )
( )( )
( ) 1 1 1 1 0 1
0 1 0 1
0 (II34)n k n n k nIII III IV
n n k n k kn k n n k n
h I R h K Ra b a g I R
f I R f K R
α αβ
α α
+ + = minus +
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 (II35)2
III III IVn n k n n n k n k k
ka g I R b g K R a I Rβπα α+ minus =
Avec
( )1 3 2
2 n kn k
m mhR Z Z
=minus
( ) ( )2
12 2
1 sin si
2 si
n
n k
n k n kf n kn n k
π
π
+minus ne= minus
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 3
12 2 3
2 2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
k kkk k k k
k
kk k k k k
kn k
Z Z
k Z Zg
Z
α β α α α βα βπ β β β α β
+
+
minus + minus ne= + + minus =
Donc les coefficients etI II II III III IVn n n n n nb a b a b a de lrsquoensemble des harmoniques drsquoespace
sont relieacutes les uns aux autres agrave travers les eacutequations (II27) (II28) (II30) (II31) (II34) et
(II35) Nous devons donc reacutesoudre un systegraveme de six eacutequations lineacuteaires agrave six inconnues en
reacuteeacutecrivant les eacutequations ci-dessus en systegraveme matriciel de taille ( ) ( )6 max 6 maxN Ntimes vu
qursquoil y a six coefficients avec Nmax est le nombre maximal drsquoharmoniques pris en charge
( )( )( )( )
11 12 13 1 3
21 22 23 0 3
32 33 34 35 1 2
42 43 44 45 0 2
54 55 56
64 65 66
0 0 00 0 0
0 00 00 0 0 00 0 0 0
In nn
IIn nn
IIn nn
IIIn nn
IIInIVn
C L RbC L RaC L RbC L Ra
ba
η η η αη η η α
η η η η αη η η η α
η η ηη η η
minus minus minus
= minus
Avec
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
1 3 1 3 1 21 3 1 3 1 30 4
11 nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
αη α η α η αα
+ = minus = minus=
59
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4
21 3 3 22 3 23 30
0 04
0 0 nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
η α α η α η αα
= minus = minus =
( ) ( ) ( ) ( )32 1 2 33 1 2 34 1 2 35 1 2 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = minus = =
( ) ( ) ( ) ( )0 042 2 43 2 44 2 450 0 2 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = = = minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )54 1 1 0 1 55 1 1 0 1 56 0 1 n k n n k n n k n n k n n k kh I R f I R h K R f K R g I Rη α α η α α η β= minus = + =
( ) ( ) ( )64 1 1 65 1 1 66 1 1 2n k n n k n k
kg I R g K R I Rπη α η α η β = = = minus
La solution numeacuterique de ce systegraveme matriciel peut ecirctre obtenue en utilisant un
logiciel de calcul matheacutematique en lrsquooccurrence MATLAB dans le cas de la preacutesente eacutetude
Il convient de noter ici qursquoune inversion numeacuterique de cette matrice est neacutecessaire pour le
calcul des coefficients inconnus Cette inversion peut se faire en une seule fois et en calcul
symbolique
II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobine
Linductance est lune des principales caracteacuteristiques de la bobine Elle se deacutefinit
comme laptitude de celle-ci agrave sopposer agrave la variation de lintensiteacute du courant qui la traverse
Linductance dune bobine est une valeur propre deacutependante de la dimension physique de la
bobine ainsi que du mateacuteriel utiliseacute pour sa fabrication
Lrsquoinductance de la bobine est lieacutee agrave lrsquoeacutenergie magneacutetique stockeacutee par la relation suivante
21 1 (II36)2 2 V
W LI A Jdv= = int
Lrsquointeacutegrale (II36) est limiteacutee au volume de la bobine car la densiteacute de courant est nul ailleurs
Nous avons supposeacute que la densiteacute de courant eacutelectrique est uniformeacutement reacutepartie sur toute
la section de la bobine ce qui conduit agrave
(II37)JSIN
=
Avec ( )( )4 1 3 2S Z Z R R= minus minus
60
N et I sont respectivement le nombre de spires que contient la bobine et lrsquointensiteacute de courant
eacutelectrique qui les travers ( )( )4 1 3 2S Z Z R R= minus minus
Le potentiel de vecteur magneacutetique utiliseacute dans lrsquoeacutequation II36 est celui deacutefini dans la reacutegion
II de la bobine
En remplaccedilant les eacutequations (II15) et (II37) dans (II36) on obtient
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )4 3
1 2
2
2 1 11
0 1 II38II IIn n n n n n n
Z
Zn
R
Ra I r b K r C L rNL rdrsi z d
JSn zd
πα α θα α
infin
=
+= minussumint int int
En inteacutegrant (II38) par rapport aux variables r θ et z lrsquoexpression analytique de lrsquoinductance
est donc donneacutee par
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
3 3 2 2
3 3 2 221
4 40 3
1 4
3 2
2
2
II392
6
2 cos cos
IIn
IIn n n
n nn
n
a R U R R U R
b R V R R V R
J R W R R W R
NL Z ZJS
ππ α αα
αmicroπ
infin
=
minus + minus
minus minus
=
minussum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1n n n nU r I r L r I r L rα α α α= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1( ) n n n nV r K r L r K r L rα α α α= +
Et ( ) 2 23 512 3
2 2 4n rW r F α =
est la fonction hypergeacuteomeacutetrique [90]
II6 Reacutesultats analytiques et discussion
Les valeurs des paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutes dans notre problegraveme sont reacutesumeacutees
sur le tableau II1 Les solutions analytiques dans toutes les reacutegions ont eacuteteacute calculeacutees avec un
nombre fini en termes drsquoharmoniques eacutegal agrave 50 Les limites exteacuterieures du circuit dans la
direction axiale sont choisies de maniegravere agrave ce que leurs valeurs nrsquoaffectent pas les reacutesultats
obtenus
61
Tableau II1 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme sans pastille
Paramegravetre Description valeur
R1 Bord infeacuterieur du domaine dans la direction radial 0030 m
R2 Rayon interne de la bobine 0080 m
R3 Rayon externe de la bobine 0120 m
R4 Bord supeacuterieur du domaine dans la direction radial 0150 m
Z1 Limite inteacuterieure de la bobine 0200 m
Z2 Limite inteacuterieure de lrsquoentrefer 0225 m
Z3 Limite exteacuterieure de lrsquoentrefer 0275 m
Z4 Limite exteacuterieure de la bobine 0300 m
Z5 Limite exteacuterieure du domaine dans la direction axiale 0500 m
N Nombre des spires dans la bobine 1000
J Densiteacute de courant eacutelectrique dans la bobine 5 Amm2
Nmax Nombre drsquoharmoniques utiliseacute dans tout le domaine 50
Afin de valider nos reacutesultats analytiques nous devons les comparer avec ceux obtenus
en utilisant la meacutethode drsquoapproximation par eacuteleacutements finies [103104] (FEA pour Finite
Element Approximation) impleacutementeacutee sous le logiciel COMSOL Multiphysics La taille de
maillage et la preacutecision demandeacutee sont choisies de maniegravere agrave ce que les quantiteacutes deacuteriveacutees du
FEA servent de reacutefeacuterence une densiteacute de maillage drsquoenvirons 1850 triangles a eacuteteacute imposeacutee
dans la reacutegion du fer composant le circuit ferromagneacutetique La densiteacute de maillage consideacutereacutee
dans la reacutegion de lrsquoentrefer et de la bobine est moins eacuteleveacutee pour eacuteviter une augmentation
inutile de temps de calcul (figure II2) En effet les mecircmes paramegravetres geacuteomeacutetriques que ceux
deacutefinis dans le tableau 1 sont utiliseacutes Les conditions aux limites homogegravenes de type Dirichlet
et de Neumann sont eacutegalement prises en compte dans les simulations comme avec le modegravele
analytique
62
Figure II2 Maillages du circuit ferromagneacutetique avec entrefer eacutetudieacute par COMSOL
(a) (b)
Figure II3 Comparaison des distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir
du calcul analytique (a) et du calcul numeacuterique (b) avec le traceacute des lignes de champ
magneacutetique
63
La figure II3 repreacutesente la comparaison des distributions du potentiel vecteur
magneacutetique calculeacutees dans toutes les reacutegions drsquointeacuterecirct par la meacutethode analytique (a) et la
meacutethode numeacuterique (b) Nous avons ainsi repreacutesenteacute les lignes de champ magneacutetique dans
toutes les reacutegions drsquointeacuterecirct en calcul numeacuterique Les composantes radiale Br et axiale Bz de la
densiteacute de flux magneacutetique obtenues analytiquement sont ensuite repreacutesenteacutees et compareacutees agrave
celles obtenues numeacuteriquement dans la figure II4 (figure 4II (a) correspond agrave la reacutegion III et
figure 4II (b) correspond agrave la reacutegion IV)
(a)
(b)
Figure II4 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions
(a) III en ( )1 2 2r R R= + et (b) IV en 1 2r R=
64
Figure II5 Comparaison des valeurs de lrsquoinductance de la bobine en fonction de la longueur
de lrsquoentrefer obtenues numeacuteriquement avec celles obtenues analytiquement pour les
diffeacuterentes valeurs de nombres des harmoniques variant entre 1 et 50
Une comparaison est faite entre les valeurs numeacuteriques obtenues avec COMSOL et les
reacutesultats analytiques pour diffeacuterents nombres dharmoniques allant de 1 agrave 50 De toute
eacutevidence linductance diminue avec laugmentation de la longueur de lentrefer ( figure II5)
plus le nombre de termes harmoniques est eacuteleveacute plus la solution agrave la valeur de reacutefeacuterence
obtenue numeacuteriquement est proche
Lerreur maximale est de 3937 1147 635 292 152 et 075 pour un nombre de
termes harmoniques de 1 5 10 20 30 40 et 50 respectivement Nous pouvons conclure ici
que la formule proposeacutee est correcte et efficace De plus seuls 10 termes suffisent pour
obtenir moins de 10 derreur
Nous allons proceacuteder maintenant au calcul de lrsquoinductance de la bobine en preacutesence
drsquoune pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer
65
II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en
preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
Les mecircmes hypothegraveses consideacutereacutees preacuteceacutedemment dans le cas de circuit seul avec
entrefer seront consideacutereacutees par la suite en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
La figure II6 repreacutesente la geacuteomeacutetrie du problegraveme consideacutereacute
Figure II6 Circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer de longueur e dans lequel se trouve
une pastille supraconductrice
En Introduisant la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer deux reacutegions
suppleacutementaires sont consideacutereacutees en plus dans ce cas la reacutegion V et la reacutegion VI Ces deux
reacutegions correspondent agrave de lrsquoair (figure II6) La pastille supraconductrice est modeacuteliseacutee par
un diamagneacutetique parfait ( 0micro = ) de sorte que le potentiel vecteur magneacutetique est nul dans
toute la pastille y compris ses bords
De ce fait les conditions aux limites consideacutereacutees dans les reacutegions V et VI sont comme suit
( ) ( ) ( )2
3 ( ) 0 II400VV
z Z
A r z A r z Z reacutegionVz =
part= = =
part
( ) ( ) ( )5
4
0 0 ( II4) 1VIVI
z Z
A r zA r z Z reacutegionVI
z=
part= = =
part
Des conditions suppleacutementaires sont imposeacutees agrave en r=0 (lrsquoaxe de symeacutetrie)
66
( ) ( ) ( ) I0 0 et 0 0 I42V VIA r z A r z= = = =
Les expressions analytiques du potentiel vecteur magneacutetique pour les reacutegions I II et III du
problegraveme consideacutereacute dans la figure II6 sont donneacutees de la mecircme faccedilon que le problegraveme
preacuteceacutedent (en absence de la pastille supraconductrice) comme suit
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 5
1 11 0 5
II43nII n n n n
n n
K RA r z b I r K r sin z
I Rα
α α αα
infin
=
= +
sum
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 11
II44II IIII n n n n n n n
n
A r z a I r b K r C L r sin zα α α αinfin
=
= + minussum
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11
II45III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Avec7
nnZπα = 2
0 2n n nC Jπmicro α minus =
et ( )( ) ( )( )( )1 62 cos cosn n n
JJ z Z z Zn
α απ
= minus minus minus
Pour la reacutegion IV les conditions aux limites consideacutereacutees ici sont
2 5
( ) ( )0 et 0z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
Et le potentiel vecteur magneacutetique est donneacute sous forme (en suivant la mecircme meacutethode
deacutetailleacutee dans lrsquoannexe I)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )101 11 1 1 2
1
cos II46IV IVIV n n
nn n nA r Z A r A r a I r b K r z Zβ β β
infinminus
=
= + + + minussum
Avec 5 2
nn
Z Zπβ =minus
Les constantes dinteacutegrations 01A et 02A sont dues agrave lrsquoapplication des conditions aux
limites de Neumann dans la reacutegion IV Elles seront deacutetermineacutees apregraves en appliquant la
condition de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique agrave linterface entre les reacutegions III et IV
agrave 2r R= et agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI agrave r= R1
Pour les reacutegions V et VI en prenant en consideacuterations les conditions aux limites (II40) (II41)
et (II42) les expressions du potentiel vecteurs magneacutetiques sont donneacutees comme suit
( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 2 21
cos II47VV n n
nnA r z a I r z Zβ β
infin
=
= minussum
67
( ) ( )( ) ( )1 3 3 41
II4( ) s 8inVIVI n n n
nA r z a I r z Zβ β
infin
=
= minussum
Avec ( )( )2
3 2
2 1 2n
nZ Z
πβ
minus=
minuset ( )
( )53
4
2 1 2n
nZ Z
πβ
minus=
minus
II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
Agrave partir de la condition de continuiteacute du potentiel vecteur magneacutetique agrave lrsquointerface
entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave r=R2 et agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI
agrave 1r R= on a
( ) ( ) [ ] ( )2 2 2 5 II 49IV IIIA r R z A r R z pour z Z Z= = = isin
Et
( )( ) [ ]
[ ]( ) [ ]
( )1 2 3
1 3 4
1 4 5
0
II50V
IV
VI
A r R z pour z Z Z
A r R z pour z Z Z
A r R z pour z Z Z
= isin
= = isin = isin
On integravegre les deux eacutequations (II49) et (II50) par rapport agrave z sur lrsquointervalle [ ]2 5Z Z on
trouve
( ) ( )( )( ) ( )
( )( )
1 3
1
1 2 12
01 1 2 1
1
21
3
1
1
II51n
VIn n
nV
nIII III nn n
n
n
n n n
a I RA a
a I RI R b K R h q
ββα α
ββ
+
infin
=
minus = + minus +
sum
( ) ( ) ( ) ( )1 3 13
1 2111 1 2 1 01 1
15 2 2
1 1 1 II52VIn n n
n
nVn
n n
RA a I RR Aa RZ Z
I ββ
ββ
infin+
=
= minus + minus minus
sum
Avec
( ) ( )( )2 5cos co1 s n nnn
Z Zmα
α α= minus ( )
22 2
2 1
n nRh m
R R e=
minus
( )1
2 22 1
RqR R e
=minus
et 5 2e Z Z= minus
Les constantes drsquointeacutegrations I II II III III IV IV Vn n n n n n n nb a b a b a b a et VI
na sont deacutetermineacutees agrave
partir des conditions de passages aux interfaces entre les diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecircts du
problegraveme
68
II72 Conditions de passages entres interfaces
Les mecircmes conditions de passages appliqueacutees dans le cas de circuit sans pastille sont
appliqueacutees dans ce cas sauf que des conditions particuliegraveres deacutefinies par morceaux sont
appliqueacutees agrave lrsquointerface entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI en 1r R=
II721 Interface agrave r = R4
A lrsquointerface entre les reacutegions I et II agrave 4r R= on trouve
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
4 4 4 4 41 15
01 1 1
0
II53nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
+ minus minus = minus
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
05
0 00 4 0 4 40
4 45
II54nI II IIn n n n n n n n n
n
K Rb I R K R a I R b K R C L R
I Rα
α α α α αα
minus minus + = minus
II722 Interface agrave r = R3
Pour lrsquointerface agrave 3r R= entre les reacutegions II et III on obtient
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 31 1 1 1 1 II55II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus minus + + = minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 30 0 0 0 03 3 II56II II III IIIn n n n n n n n n na I R b K R a I R b K R C L Rα α α α αminus + + minus = minus
II723 Interface agrave r = R2
Agrave lrsquointerface entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave 2r R= des conditions de passages
particuliegraveres deacutefinies par morceaux sont appliqueacutees ici
( ) ( ) ( )2 2
5
2 5
7
20 0
II57
0
III IV
r R r R
pour z ZrA rA
pour Z z Zr r
pour Z z Z= =
lt lt
part part= lt ltpart part lt lt
( ) ( ) ( )2 22 5 II58IV IIIA r R z A r R z pour Z z Z= = = lt lt
On obtient
69
( )( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
0 2 0 2 0 2
1 2 2 1 2 2
11 1
0 2 1 2 1 11 32 3
0 II59
1 VI
n
n n m n n mIII III IVn n n n n m
n n m n n m
nIV V
n n m n m mn
n n nn
I R f K R fa b a I R g
I R R h m K R R h m
R Rb K R g a I R h RI ha ββ
α αβ
α α
β ββ
+
minus minus minus + =
minus + + +
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 5 2 1 2 5 2 0 II60III III IV IVn n n m n n n m n n n na I R j b K R j a I R Z Z b K R Z Zα α β β+ minus minus minus minus =
Avec
( )( ) 12 22 12 nn R R e mh
minusminus=
( ) ( ) ( )2
1
2
21
2
n n
n m
n mn m
n m
sinf
m si
n si
απ α αα α
π α α
+ minus ne
minus
=
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 5 2 2
21
2 5
1
1 1
2 4
n n mm m m n
m n
n n n mn
n
cos Z cos Z si
g n msin Z cos Z cos sin Z
β αα α α βα β
β β β α βπ +
+ + minus minus= + + minus =
ne
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
12 5
15 2 2 2 5
2 2
2 cos 1 sin
1sin cos 1 cos
2
nm m n m m n
m nn m
n n n m nn
n
Z Z si
Zj
Z Z Z Z si
α α β α α βα β
β β β α ββ
+
+
+ minus ne
minus + +
minus
=
=
minus
II724 Interface agrave r = R1
Ainsi des conditions de passages particuliegraveres sont deacutefinies sur lrsquointerface entre la reacutegion IV
et les reacutegions V et VI agrave 1r R=
( )( )
( )( )
1 2 3
1 3 4
1 4 5
0 II61
V
IV
VI
A r R Z pour Z z ZA r R Z pour Z z Z
A r R Z pour Z z Z
= lt lt= = lt lt = lt lt
( ) ( ) ( )1 1
2 3 II62V IV
r R r R
rA rApour Z z Z
r r= =
part part= lt lt
part part
70
( ) ( ) ( )1 1
4 5 II63VI IV
r R r R
rA rApour Z z Z
r r= =
part part= lt lt
part part
Ainsi agrave partir des eacutequations (II61) (II62) et (II63) on obtient
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2 1 3 0 II64VIV IV Vk k n m k k n m n n m n m
In n na I r l b K r l a a II r O prββ β β+ minus minus =
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )1 2 2 1 2 2
0
11 1
1 2 1 0 2 1 1
0 1 1
21 3
3
0 II65
1 2 1
2
III IIIn n n n n n n n
IV IVn m n n m
n
n
V
n n
VI nn n
nn n n
nn
a I R R S m b K R R S m
a q b K q
R n S Ra I R S I
R R
a R
I
R I
α α
β β
πβ β
ββ
β
+
+ + minus =
+
minus minus
minus minus
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
11 1 2 2 1
1 2 121 2 2 0 1
0
1 31
1 0 3 13
02 1
2
1
II66
1 2
nn
n
VIn n n
nIVIIIn n mn n m n mV
nIII IVnn n m n n
n
n m
m
a I R ta I R R B m B Ra I R
b K R R B m b K
na I R
R
R R I
t
B πβ β
βαβ
βα β
β
+
=minus
minus+ minus + minus
minus +
Avec
( ) ( )
( )
12 2
5 2
1 si 2n
nm
mn
n
mm
m
nn
m si
Z Z il
s
βπ β ββ β
β β
+ minus ne minus
minus =
=
( ) ( )( )
( )
1 23 2 2
2
3
2 2
2 2
21 c
osn
n nm n m
n m
n
m
m
Z Z
Z Z s
siO
i
β β β ββ β
β β
+
minus
minus minus ne
=
= minus
( )( ) ( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( )
13 4 32 2
3
3 4
3 4 313 3
2
5 4 2
5
2
2
2 1 sin
sin
2 1 sin
cos
cos1
nn m m n m
n m
n mn
n n mnn n
Z si
ZZ Z Z si
Z m
ZZ
Z
p
Z
β π ββ
ββ β
β β
β β ββ
β
+
+
minus minus ne minus= minus minus = + minus
minus
minus minus minus
71
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
1 332 2
3
13 4 3 5
4 2
2
3
3
2
4 2
2 11 cos
2
1 s
cos
cos in
in21
s4 1
n mn m n
m n
nn n
m n
n
n
n m
m
Z Z
n Z
Z Z
tZ Z
Z
π β ββ
β β
ββ ββ
ββπ β
+
+
minusminus +
= minus minus minus
minus neminus
+ minus=
minus minus
( ) ( )( )
( )
1 23 2 22
2
3
2
22
21 cos n nn
m n mm
n
m n
m
n
mqZ Z
Z Z
β ββ β ββ β
β β β
+ minus minus ne minus
minus =
=
( )( )( )2 2
1
2 5
1
2 1 2
14m
m
mRS
R R Z Zβ
+minus=
minus minus
( )( )1
2 22 1 5 23
2
mm
RBR R Z Zβ
=minus minus
Au final Les eacutequations (II53) (II54) (II55) (II56) (II59) (II60) (II64) (II65) et
(II66) peuvent se mettre en systegraveme matricielle de taille ( )9 max (9 max)N Ntimes
Les coefficients drsquointeacutegrations de lrsquoensemble des harmoniques drsquoespace
etI II II III III IV IV V VIn n n n n n n n nb a b a b a b a a sont relies les uns aux autres agrave travers ces eacutequations ils
sont obtenus par inversion numeacuterique de ce systegraveme matricielle
11 12 13
21 22 23
32 33 34 35
42 43 44 45
54 55 56 57 58 59
64 65 66 67
76 77 78 79
84 85 86 87 88 89
94 95 96 97 98 99
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0
InIInIIn
bab
η η ηη η η
η η η ηη η η η
η η η η η ηη η η η
η η η ηη η η η η ηη η η η η η
( )( )( )( )
1 4
0 4
1
0
3
3
(II67)00000
n n
n n
n n
n n
IIInIIInIVnIVnVnVIn
C L RC L
C L R
ababaa
RC L R
ααα
α minus =
minusminusminus
Avec
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
1 1 12 1 135
11 4 4 4 45
10
nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
αη α η α η αα
+ = minus = minus=
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
21 22 230
50 4 0 4 0 4 0 4
5
nn n n n
n
K RI R K R I R K R
I Rα
η α α η α η αα
= minus = minus =
72
( ) ( ) ( ) ( )3 3 332 31 33 1 33 1 34 1 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = minus = =
( ) ( ) ( ) ( )0 3 0 3 042 43 44 3 345 0 n n n nI R K R I R K Rη α η α η α η α= minus = = = minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( )54 0 2 1 2 2 55 0 2 1 2 2 n n m n n m n n m n n mI R f I R R h m K R f K R R h mη α α η α α= minus = minus +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 156 0 2 57 0 2 58 1 2 1 59 1
21 3
3
1
n
n n m n n m n m nn
mn
R RI R g K R g I R h hI Rη β η β η β η βββ
+minus= minus = = =
( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2 65 1 2 6664 1 2 5 2 6 7 1 2 5 2 n n m n n m n nI R j K R j I R Z Z K R Z Zα η α η βη η β= = minus minus minus minus= =
( ) ( ) ( ) ( )1 1 77 1 1 78 1 2 79 76 1 3 k n m k n m n n m n mnI r l K r l I Ir prOη ββ η β η β ηminus minus= = = =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 284 0 185 1 2 2 86 7 0 1 8 n n n n n n nn n m n mI R R S m K R R S R Rm I q K qα η α η β η βη = = == minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 18 8 1 2 1 0 2 1 189 1 3
32
1 2 1
2
n
nn
n
nn n n
R n S RI R I R IS Rπ
η β β η βββ
+ + = minus
minus minus= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 95 1 2 2 96 1 97 00 1 94 n m n n m n n n m mn nI R R B m K R R B m I R t K R tα η α η η βη β= = = minus=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 3 0 31 1
98 1 2 1 93
9 12
1
1 1 1
22
2 n n
n
nm m
nn
B R nI IRR RBI Rη β
ββ β
βη
π+ minus
minus= minus = minus +
II72 Expression analytique de lrsquoinductance
De la mecircme faccedilon et agrave partir de lrsquoeacutequation (II36) on obtient
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
4 4 3 3
4 4 3 321
4 40 4 4 3
1 62
3
II2 co 68s2
c
6
os
IIn
IIn n n
n nn
n
a R U R R U R
b R V R R V R
J R W R R
NL Z ZS
W RJ
α αα
αmicroπ
ππinfin
=
minus + minus
minus minus
= minussum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1n n n nU r I r L r I r L rα α α α= minus
( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1( ) n n n nV r K r L r K r L rα α α α= +
Et ( ) 2 23 512 3
2 2 4n rW r F α =
est la fonction hypergeacuteomeacutetrique [90]
73
II73 Reacutesultats et discussion
Entre le cas avec pastille supraconductrice et le cas sans on a gardeacute les mecircmes valeurs
des paramegravetres geacuteomeacutetriques pour montrer lrsquoeffet de la preacutesence de cette derniegravere sur la valeur
de lrsquoinductance de la bobine Ces valeurs des paramegravetres geacuteomeacutetriques sont reacutesumeacutees dans le
tableau 2
Les solutions analytiques dans toutes les reacutegions sont obtenues en utilisant le mecircme
nombre drsquoharmoniques qui est eacutegale agrave 50 Les valeurs du tableau II2 sont eacutegalement utiliseacutees
pour reacutesoudre le mecircme problegraveme avec la meacutethode des eacuteleacutements finis (FEM) sous COMSOL
afin de valider les reacutesultats obtenus analytiquement Des conditions aux limites identiques agrave
celles utiliseacutees lors de calcul analytique sont employeacutees dans la simulation numeacuterique
Tableau II2 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme avec pastille
Paramegravetre Description valeur
R1 Rayon de la pastille supraconductrice 0015 m
R2 Bord infeacuterieur du domaine dans la direction radial 0030 m
R3 Rayon interne de la bobine 0080 m
R4 Rayon externe de la bobine 0120 m
R5 Bord supeacuterieur du domaine dans la direction radial 0150 m
Z1 Limite inteacuterieure de la bobine 0200 m
Z2 Limite inteacuterieure de lrsquoentrefer 0225 m
Z3 Limite inteacuterieure de la pastille supraconductrice 0230 m
Z4 Limite exteacuterieure de la pastille supraconductrice 0270 m
Z5 Limite exteacuterieure de lrsquoentrefer 0275 m
Z6 Limite exteacuterieure de la bobine 0300 m
Z7 Limite exteacuterieure du domaine dans la direction axiale 0500 m
N Nombre des spires dans la bobine 1000
J Densiteacute de courant eacutelectrique dans la bobine 5 Amm2
Nmax Nombre drsquoharmoniques utiliseacute dans tout le domaine 50
74
La distribution du potentiel vecteur magneacutetique dans toutes les reacutegions drsquointeacuterecircts du
problegraveme eacutetudieacute obtenue avec un calcul analytique et un calcul numeacuterique est repreacutesenteacutee sur
la figure II7 Les composantes radiale Br et axiale Bz du la densiteacute de flux magneacutetique est
ainsi repreacutesenteacutees sur la figure II8 (a) dans la reacutegion III en r = 0055 (b) dans la reacutegion IV
en 00225r = (c) dans la reacutegion V en 00075r = et (d) dans la reacutegion VI en 00075r =
Dans ce cas une veacuteritable concordance peut ecirctre constateacutee entre les deux approches en
srsquoeacuteloignant de la reacutegion de lrsquoentrefer (figure II8 (a)) Un leacuteger deacutecalage subsiste
neacuteanmoins entre les reacutesultats analytiques et numeacuteriques (figure II8 (a)) surtout pour la
composante ZB Ce deacutecalage peut sexpliquer par le nombre limiteacute drsquoharmoniques retenus lors
du deacuteveloppement analytique mais aussi par les erreurs numeacuteriques reacutesultantes de
linversion matricielle lors du calcul des coefficients De mecircme que dans la preacuteceacutedente
section on notera que lutilisation de fonctions de Bessel modifieacutees nrsquoarrange rien puisque
qursquoelle conduit agrave une matrice tregraves mal conditionneacutee lorsque le nombre drsquoharmoniques
consideacutereacute augmente
Figure II7 Distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir du (a) calcul
numeacuterique) et du (b) calcul analytique en preacutesence de la pastille supraconductrice
75
(a) (b)
(c) (d)
Figure II8 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions
(a) III agrave ( )2 3 2r R R= + (b) IV agrave 2 2r R= (c) V agrave 1 2r R= et (d) VI agrave 1 2r R= en
preacutesence de la pastille supraconductrice
La valeur de lrsquoinductance de la bobine obtenue analytiquement agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation
(II68) est la mecircme que celle obtenue numeacuteriquement agrave lrsquoaide de la meacutethode FEM sous
COMSOL cette valeur est eacutegale agrave 0247 H Par ailleurs la valeur de lrsquoinductance en absence
de la pastille supraconductrice est de 0253 H ce qui nous amegravene agrave dire que la pastille a tregraves
peu drsquoinfluence sur la valeur de lrsquoinductance pour le problegraveme eacutetudie (une diffeacuterence de 6)
Ceci reacutesulte du fait que le rayon de la pastille consideacutereacutee dans notre calcul est relativement
petit par rapport au rayon du noyau ferromagneacutetique 15 mm pour le rayon de la pastille
contre 30 mm pour le noyau de fer
76
La figure II9 repreacutesente la variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon
r de la pastille supraconductrice avec 20 r Rlt lt Nous constatons que lrsquoinductance de la
bobine diminue en augmentant la taille de la pastille cette faible diminution est due peut-ecirctre
agrave lrsquointervalle de variation de rayon de la pastille consideacutereacutee Pour 2r Rgt deux reacutegions
drsquointeacuterecirct en plus doit ecirctre consideacuterer dans lrsquoeacutetude preacuteceacutedente et les calculs effectueacutes
deviennent tregraves compliqueacute agrave cause des nombres de variables eacuteleveacutes et par la suite des
problegravemes de convergence pour le calcul analytique sont imposeacutes
Figure II9 Variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
Pour reacutesoudre ce problegraveme un calcul numeacuterique agrave lrsquoaide de la meacutethode FEA sous
COMSOL est effectueacute le rayon de la pastille dans ce cas peut prendre des valeurs
supeacuterieures au rayon du noyau de fer ( )30 r Rlt lt La figure II10 repreacutesente la variation de
lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon de la pastille en utilisant deux types de
circuits circuit ouvert et circuit fermeacute Une diminution remarquable dans la valeur de
lrsquoinductance est constateacutee dans ce cas en fonction du rayon de la pastille supraconductrice
Par ailleurs la valeur de lrsquoinductance trouveacutee pour un circuit fermeacute est supeacuterieure agrave celle
trouveacutee dans le cas drsquoun circuit ouvert
77
Figure II10 variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
supraconductrice dans un circuit fermeacute et dans un circuit ouvert
78
II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique
impulsionnel
Nous reprenons le problegraveme de la figure II1 Une pastille supraconductrice de rayon
11R et de hauteur ( )33 22Z Zminus est placeacutee au centre de la reacutegion de lrsquoentrefer Lexpression
analytique du potentiel vecteur magneacutetique ( ) IVA r z t (eacutequation II22) est utiliseacutee pour
calculer les courants induits agrave linteacuterieur de la pastille supraconductrice La reacutegion drsquointeacuterecirct est
preacutesenteacutee sur la figure II11 avec lrsquoaxe (Oz) est en position verticale
Figure II11 Position de la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du problegraveme
de la figure II1 avec [ ]110r Risin et [ ]22 33z Z Zisin
La densiteacute de courant parcourue dans la reacutegion de la bobine est en fonction du temps
Cette densiteacute de courant est supposeacutee produite par la deacutecharge dune batterie de
condensateurs sous forme
( ) ( ) ( )( ) ( )max exp II66aJ t J t tτ τ= minus
Avec 2max 50 J A mm= et 1msτ =
La densiteacute de courant J induite dans la pastille supraconductrice est calculeacutee agrave lrsquoaide
drsquoun code de calcul deacuteveloppeacute sous MATLAB en utilisant la meacutethode de laquo Brandtraquo
deacuteveloppeacutee en 1998 pour les disques et les cylindres en preacutesence drsquoun champ magneacutetique
axial [99 100]
79
En reacutesumeacute leacutequation suivante doit ecirctre satisfaite
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11 33
22
2 21 10 2 20
I I67
R Z IVcylZ
d J r t d A r tQ r r E J dr dz
dt dtmicro minus minus
= times +
int int
( )2 )r r z= Coordonneacutees de la pastille supraconductrice
cylQ Inteacutegral de Kernel
cylQ est obtenue en inteacutegrant la fonction de Green de lrsquoeacutequation de Laplace agrave 3D en
consideacuterant que le milieu ferromagneacutetique est caracteacuteriseacute par une permeacuteabiliteacute infinie
E(J) donne la relation entre le champ eacutelectrique E et la densiteacute de courant critique J qui
deacutecrive le comportement supraconducteur de la Pastille supraconductrice Dans ce cas E(J)
est deacutefini par le modegravele de la loi en puissance
( ) ( )1
II68n
JEcE J JJc Jc
minus =
Avec 1 CE V cmmicro= 30n = et 2100 cJ A mm=
La reacutesolution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle (II67) est effectueacutee en utilisant les solveurs
disponibles dans MATLAB agrave savoir laquo ode15s raquo et laquo ode23t raquo
Figure II12 Variation de champ magneacutetique appliqueacute et du champ magneacutetique pieacutegeacute sur la
surface de la pastille supraconductrice agrave 0r = et 33z Z=
80
Un calcul numeacuterique est eacutegalement effectueacute afin de valider les reacutesultats obtenus
analytiquement Un modegravele de formulation en H impleacutementeacute sous COMSOL est utiliseacute [41]
ougrave lrsquoeacutequation aux deacuteriveacutees partielles (EDP) suivante doit ecirctre reacutesolue temporellement dans la
pastille supraconductrice
( )( ) ( )0 II0 69H J Ht
micro ρpart+nablatimes nablatimes =
part
Les composants du champ magneacutetique ( )r zH H H= sont choisis comme variables drsquoeacutetat
Le mateacuteriau supraconducteur est modeacuteliseacute par une reacutesistiviteacute non lineacuteaire
( ) ( )1
II70n
C
C C
JEJJ J
ρminus
=
La figure II12 preacutesente la variation en fonction de temps de la densiteacute de flux
magneacutetique appliqueacutee aB et la densiteacute de flux magneacutetique pieacutegeacutee pieacutegeacuteB agrave 0r = e 33z Z=
(figure II7) Une correspondance presque parfaite dans les reacutesultats est observeacutee La valeur
maximale de la densiteacute du flux magneacutetique appliqueacute est environ de 75 T et la valeur de la
densiteacute de flux magneacutetique pieacutegeacute est de 209 T agrave t=10 ms Leacutecart entre les reacutesultats
analytiques et numeacuteriques est infeacuterieur agrave 3 tout au long du processus drsquoaimantation par
PFM
Le traceacute en fonction de temps de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc dans le plan
meacutedian de pastille supraconductrice est preacutesenteacute sur la figure II13 pour diffeacuterentes valeurs du
rayon r avec ( )0479515320r mm=
81
Figure II13 Evolution de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc sur le plan meacutedian de la
pastille supraconductrice agrave ( )0479515320r mm=
Les reacutesultats obtenus analytiquement sont proches de ceux obtenus par COMSOL
Une leacutegegravere diffeacuterence est remarqueacutee en particulier pour r = 0 Cette valeur de r est singuliegravere
et on ne peut pas juger est ce que les reacutesultats obtenus pour cette valeur sont corrects ou non
En revanche la densiteacute de courant sur lrsquoaxe ne contribue pas beaucoup en termes de champ
magneacutetique pieacutegeacute A t = 5 ms la densiteacute de courant dans la pastille supraconductrice est
comprise entre 11 et 15 times Jc
82
II9 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons deacuteveloppeacute un modegravele analytique pour calculer
lrsquoinductance drsquoune bobine circulaire en cuivre de section transversale rectangulaire dans un
circuit ferromagneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie inferieure concentrique avec
la bobine Nous avons montreacute que ce modegravele analytique correspond tregraves bien aux meacutethodes
numeacuteriques avec des erreurs infeacuterieures agrave 10 pour 10 termes harmoniques Nous avons
montreacute aussi que la valeur de lrsquoinductance de la bobine diminue avec lrsquoaugmentation de la
longueur de lrsquoentrefer
Ensuite nous avons proceacutedeacute agrave lrsquoeacutetude de ce mecircme problegraveme en ajoutant une pastille
supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer Nous avons constateacute que la preacutesence de la
pastille supraconductrice dans le circuit ferromagneacutetique a tregraves peu drsquoinfluence sur la valeur
de lrsquoinductance Une diminution de 6 de la valeur de cette derniegravere a eacuteteacute trouveacutee en cas de
preacutesence de pastille supraconductrice Ceci est ducirc agrave la taille de la pastille consideacutereacutee dans
notre calcul qui est relativement petite par rapport agrave la taille du noyau ferromagneacutetique En
effet nous avons trouveacute par un calcul numeacuterique que la valeur de lrsquoinductance de la bobine
diminue en augmentant le rayon de la pastille supraconductrice preacutesente dans la reacutegion de
lrsquoentrefer
Pour le processus drsquoaimantation par la meacutethode PFM les expressions analytiques de
potentiel vecteur magneacutetique trouveacutees dans le cas de circuit sans pastille supraconductrice
sont utiliseacutees pour calculer les courants induits agrave lrsquointeacuterieur drsquoune pastille supraconductrice en
utilisant la meacutethode de Brandt Lrsquoeacutevolution temporelle de la densiteacute de flux magneacutetique
pieacutegeacutee et la densiteacute de courant eacutelectrique montre une excellence correspondance entre les
reacutesultats analytiques et numeacuteriques Une diffeacuterence infeacuterieure agrave 3 est obtenue sur la densiteacute
de flux magneacutetique pieacutegeacute
83
Chapitre 3 Prise en compte de
lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de
leur caracteacuterisation
84
III1 Introduction
Les deux paramegravetres importants qui caracteacuterisent un mateacuteriau supraconducteur massif
sont le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete PB et la densiteacute de courant critique Jc Ces
deux paramegravetres sont lieacutes et deacuteterminent les performances des applications utilisant ces
mateacuteriaux Les meacutethodes de caracteacuterisations deacuteveloppeacutees au laboratoire GREEN sont baseacutees
sur la mesure de champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete PB agrave partir de lrsquoaimantation
drsquoune pastille SHTC de type YBCO par champ magneacutetique pulseacute (PFM pour Pulsed Field
Magnetization) La meacutethode PFM consiste agrave appliquer une impulsion de champ magneacutetique
sur cette derniegravere Si ce champ appliqueacute est suivant lrsquoaxe (Oz) (figure III1) des courants
induits vont ecirctre creacuteeacute agrave lrsquointeacuterieur de la pastille et circulent dans le plan (xOy) et par la suite
un champ magneacutetique appeleacute champ magneacutetique pieacutegeacute va ecirctre creacuteeacute suivant lrsquoaxe (Oz) Ce
champ pieacutegeacute est la soustraction du champ magneacutetique mesureacute agrave la surface de la pastille moins
le champ magneacutetique appliqueacute qui est eacutegal au champ magneacutetique en absence de la pastille Le
champ magneacutetique pieacutegeacute ne devrait pas disparaitre apregraves la fin du champ appliqueacute car la
reacutesistiviteacute est nulle dans la pastille supraconductrice Cette meacutethode de caracteacuterisation permet
de deacuteterminer agrave partir de BP la densiteacute de courant critique Jc mais aussi de deacuteterminer la
valeur de lrsquoexposant-n de la loi en puissance
Les meacutethodes de caracteacuterisations preacutesenteacutees au chapitre I utilisent deux pastilles dans
le premier cas et une pastille dans le deuxiegraveme cas La premiegravere meacutethode est plus preacutecise mais
neacutecessite deux pastilles qui sont supposeacutees ecirctre identiques et homogegravenes en termes de Jc Or
linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique Jc est un fait bien connu des experts [53] La
deuxiegraveme meacutethode nrsquoutilise qursquoune pastille et se dispense donc de lrsquoobligation drsquoavoir deux
pastilles identiques Cependant lrsquoinfluence de linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant
critique Jc nrsquoavait pas eacuteteacute prise en compte preacuteceacutedemment Pour prendre en compte
linhomogeacuteneacuteiteacute de la densiteacute de courant critique Jc et donc remeacutedier aux deacutefauts de nos
meacutethodes de caracteacuterisation deux axes de recherche ont eacuteteacute exploreacutes Premiegraverement une
eacutetude baseacutee sur la position de la sonde agrave effet Hall dans la meacutethode agrave une pastille a eacuteteacute
reacutealiseacutee Deuxiegravemement une eacutetude des positions respectives du germe de cristallisation des
pastilles dans la meacutethode agrave deux pastilles a eacuteteacute faite
85
Figure III1 Pastille supraconductrice soumis agrave un champ magneacutetique exteacuterieur
III2 Description du banc expeacuterimental
Nous allons preacutesenter dans cette partie le banc expeacuterimental utiliseacute pour lrsquoaimantation
drsquoune pastille SHTC de type YBaCuO Le banc expeacuterimental sert agrave aimanter une pastille
supraconductrice de type YBaCuO en utilisant la meacutethode drsquoaimantation par champ
magneacutetique pulseacute (PFM) et mesurer le champ magneacutetique au milieu des surfaces planes de
cette pastille
III21 Les pastilles SHTC
Les pastilles supraconductrices utiliseacutees sont cylindriques de type YBaCuO posseacutedant
une tempeacuterature critique de 92 k de diamegravetre 311 mm et de hauteur 176 mm Ce type de
mateacuteriau drsquoYBaCuO possegravede une densiteacute de courant critique eacuteleveacutee (gt100 Ammsup2 agrave 77 K) La
figure III2 repreacutesente les deux surfaces des pastilles YBaCuO utiliseacutees (a) surface
supeacuterieure contenant le germe de cristallisation (seed) (b) surface inferieure de la pastille Ces
pastilles sont par nature inhomogegravenes et anisotropes en termes de Jc
(a) (b)
Figure III2 Les deux surfaces de la Pastille SHTC drsquoYBaCuO utiliseacutee pour lrsquoaimantation
x
y
z
O
( )B t
( )B t
86
En geacuteneacuterale la preacuteparation des supraconducteurs YBCO mono domaine par la
meacutethode (TSMG) exige des preacutecurseurs en poudres contenant une distribution uniforme des
composeacutes constituant les phases 2 3 7YBa Cu O δminus (Y-123) et 2 5Y BaCuO (Y-211)Cependant il a
eacuteteacute observeacute que la concentration de particules de Y-211dans le bulk supraconducteur traiteacutee agrave
leacutetat fondu augmente de maniegravere significative avec la distance agrave partir du germe de
cristallisation ce qui entraicircne une deacutegradation des proprieacuteteacutes supraconductrices vers le fond et
le bord de leacutechantillon supraconducteur [109]
Une technique de fabrication des bulk supraconducteurs en YBCO gradueacute baseacutee sur la
concentration de Y-211 utiliseacutee a eacuteteacute deacuteveloppeacutee par un groupe de chercheurs appeleacute laquo the
Cambridge Bulk Superconductivity Groupraquo [109] Trois types de preacutecurseurs en poudres
contenant diffeacuterentes concentrations drsquoY-211 sont disposeacutes en forme U dans une pastille
YBCO en bulk (figure III3) Le but de cette technique est drsquoameacuteliorer les proprieacuteteacutes
supraconductrices du mateacuteriau fabriqueacute
Pour la modeacutelisation de ces pastilles celles-ci peuvent ecirctre diviseacutees en deux ou trois
reacutegions en forme U chaque reacutegion eacutetant caracteacuteriseacutee par son propre Jc0 [109] (Figure III3)
Figure III3 Modegravele drsquoune pastille SHTC gradueacutee en YBCO proposeacutee pour la modeacutelisation
numeacuterique
III22 Le circuit drsquoaimantation
Lrsquoaimantation des pastilles SHTC neacutecessaire agrave la caracteacuterisation est faite par un
magneacutetiseur agrave impulsion (Impulse Magnetizer k-serie) [105] (figure III4)
Les caracteacuteristiques techniques de ce magneacutetiseur sont
- Puissance de stockage de 10kWs
- Capacitance de 5mF
87
- Tension de charge maximale de 2 kV et un courant de 25 kA
Figure III4 Magneacutetiseur agrave impulsion K-serie utiliseacute pour aimanter la pastille
Lrsquoinducteur produisant le champ magneacutetique pour aimanter la pastille
supraconductrice est une bobine agrave fil de Litz de 127 cm de longueur et de 65 cm de diamegravetre
externe ce type de bobines sont adapteacutees au transport des courants eacutelectrique agrave haute
freacutequence et produit un champ magneacutetique axial plus en moins homogegravene dans son centre
dont lequel on met la pastille pour lrsquoaimantation Un Oscilloscope est utiliseacute pour faire la
mesure du champ magneacutetique et le courant de deacutecharge produit par le magneacutetiseur Une
bobine de Rogowski est employeacutee pour mesurer le courant de deacutecharge Rappelons que la
bobine de Rogowski est un systegraveme eacutelectrotechnique servant agrave mesurer le courant alternatif
ou les impulsions de courant agrave grande vitesse [107] Elle se compose
dun enroulement heacutelicoiumldal de fil dont le fil dune extreacutemiteacute revient par le centre de
lenroulement agrave lautre extreacutemiteacute de sorte que les deux bornes sont agrave la mecircme extreacutemiteacute de
lenroulement La bobine est positionneacutee autour du conducteur dont on veut connaicirctre le
courant La figure III3 montre une photo du circuit eacutelectrique utiliseacute pour lrsquoaimantation
Le champ magneacutetique ( )aB t geacuteneacutereacute par la bobine est appliqueacute parallegravelement suivant
lrsquoaxe ( )Oz de la pastille cylindrique Ce champ est caracteacuteriseacute par une vitesse de monteacute bV
drsquoenviron 3125 Ts et une valeur maximale ( )maxaB drsquoenviron 32 Tesla (Figure III7) Une
diffeacuterence de potentiel de 600 V est choisie sur les bornes du magneacutetiseur pour avoir cette
valeur de champ appliqueacute
88
Figure III5 Circuit eacutelectrique de magneacutetisation
Figure III6 Repreacutesentation du dispositif expeacuterimentation du processus drsquoaimantation utiliseacute
89
Figure III7 Impulsion de champ magneacutetique appliqueacute sur la pastille SHTC
III23 Instrumentation
La mesure de champ magneacutetique sur les deux surfaces de la pastille drsquoYBCO se fait agrave
lrsquoaide des deux sondes agrave effet Hall de type HHP-NP adapteacutees aux basses tempeacuteratures
(figure III8) Chaque sonde agrave effet Hall comprend quatre fils deux pour les courants et deux
pour les signaux de tension Les geacuteneacuterateurs de courant illustreacutes sur la figure III5 alimentent
les sondes agrave effet Hall La distance entre la partie active de la sonde et la surface de la pastille
est drsquoenviron 05mm Cette distance est due agrave lrsquoencapsulage de la sonde Ces sondes mesurent
le champ magneacutetique suivant lrsquoaxe (Oz)
Figure III8 Sonde agrave effet Hall de type HHP-NP
90
Les caracteacuteristiques des deux sondes agrave effet Hall utiliseacutees sont donneacutees par le
fabricant (Tableau III1)
Tableau III1 Caracteacuteristiques des sondes agrave effet Hall
Paramegravetre Uniteacute Sonde 2003 (77K) Surface au-dessus
Sonde 468 (77K) Surface su dessous
Courant nominal In mA 20 20
Courant maximum mA 30 20
Sensibiliteacute agrave In TV 1356 946
Tension de deacutecalage agrave In Vmicro 58 lt -40
Reacutesistance drsquoentreacutee Ω 23 41
Reacutesistance de sortie Ω 78 18
Reacutegion de dimension efficace mm 0500 x 01 05 x 01
Dimensions globale mm 5 x 7 x 1 5 x 7 x 1
Les sondes agrave effet Hall sont placeacutees au centre des surfaces planes des pastilles et donc
perpendiculaires au champ magneacutetique appliqueacute (Figure III9)
Lrsquoensemble bobine pastille SHTC et sondes agrave effet Hall sont immergeacutees dans lrsquoazote
liquide agrave une tempeacuterature de 77 K
Lrsquoimpulsion de champ magneacutetique creacuteeacute par la bobine appliqueacutee sur la pastille SHTC
refroidie est lrsquoimage de lrsquoimpulsion de courant eacutelectrique creacuteeacute par le magneacutetiseur Les
mesures de champ magneacutetique et de courant eacutelectrique seront prises agrave lrsquooscilloscope
Figure III9 Positions des sondes agrave effet Hall sur les deux surfaces de la pastille SHTC
91
III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTC
III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hall
Le calcul de la densiteacute de courant critique Jc se fait agrave partir du champ magneacutetique de
peacuteneacutetration complegravete BP Le calcul de BP est fait agrave partir de la mesure du champ magneacutetique agrave
lrsquoaide des sondes agrave effet Hall En fait nous pouvons mesurer le champ magneacutetique sur lrsquoaxe
(Oz) de la pastille uniquement en deux positions
- Position 1 Au centre de la surface de base supeacuterieure (pregraves du germe de cristallisation
(seed))
- Position 2 Au centre de la surface inferieure de la pastille
La figure III10 repreacutesente les reacutesultats de mesure du champ magneacutetique MB au centre
des deux surfaces de la pastille SHTC (a) Position 1 (b) Position 2 Le champ magneacutetique
MB est mesureacute agrave une distance 05d mm= des deux surfaces de la pastille La diffeacuterence
( ) ( ) 05a MB t B t d mmminus = preacutesente le champ magneacutetique produit par le courant eacutelectrique
induit dans la pastille nommeacute ( )ZSCB t d Ce champ atteint une valeur maximum nommeacute
BZSCM
Agrave partir des figures III10a et III10b on constate que le champ magneacutetique mesureacute aux
positions 1 et 2 ne varie pas de la mecircme faccedilon
92
(a)
(b)
Figure III10 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer au
(a) position1 (b) position 2
93
La figure III11 preacutesente les mecircmes mesures de la figure III10 avec une eacutechelle de
temps reacuteduite Nous remarquons que le temps de peacuteneacutetration complegravete de champ magneacutetique
dans le cas de la position 1 est supeacuterieur agrave celui dans le cas de la position 2 Ainsi la reacutegion
laquo seed raquo est caracteacuteriseacutee par un champ magneacutetique induit supeacuterieur agrave celui de la reacutegion de la
surface opposeacutee (position 2)
(a)
(b)
Figure III11 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer avec une
eacutechelle de temps reacuteduite (a) position1 (b) position 2
94
III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de la
pastille
Le champ magneacutetique de peacuteneacutetration complegravete BP peut ecirctre deacuteduit agrave partir de
lrsquoeacutequation I34 en connaissant la valeur de BZSCM Le rapport BZSCBBPB dans lrsquoeacutequation I34
est en fonction seulement des paramegravetres geacuteomeacutetriques R et L de la pastille Ainsi le champ
magneacutetique de peacuteneacutetration de Bean BPB est calculeacute agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I29 en prenant
n=50 Une fois le champ BPB est calculeacute et agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 on peut deacuteterminer la
valeur de la densiteacute de courant critique Jc
Les valeurs de temps de peacuteneacutetration tP de champ magneacutetique de peacuteneacutetration mesureacute
BPM du max de champ magneacutetique produit par le courant eacutelectrique induit dans la pastille
BZSCM ainsi la valeur de la densiteacute de courant critique obtenues au centre des deux surfaces de
la pastille eacutequivalent aux positions 1 et 2 sont reacutesumeacutees dans le tableau III2
Tableau III2 Valeurs de la densiteacute de courant critique calculeacute agrave une distance de 05 mm au-dessus du
centre des deux surfaces de la pastille SHTC
Position 1 Position 2
tP (10-4s) 75 36
BPM(T) 23 13
BZSCM 192 139
Jc (Amm2) 201 145
Drsquoapregraves les reacutesultats de tableau III2 nous constatons que la densiteacute de courant critique
nrsquoest pas constante sur toute la pastille SHTC elle varie drsquoune reacutegion agrave lrsquoautre Cette
inhomogeacuteneacuteiteacute est due agrave la technique de fabrication utiliseacutee pour ce type de pastille SHTC
III33 Simulations numeacuteriques
Pour modeacuteliser le comportement eacutelectromagneacutetique de la pastille SHTC utiliseacutee dans
nos mesures et par la suite valider la meacutethode utiliseacutee pour calculer la densiteacute de courant
critique agrave partir de la mesure de champ magneacutetique une approximation macroscopique est
proposeacutee Le principe expliqueacute preacuteceacutedemment est de diviser la pastille en trois reacutegions
principales reacutegion supeacuterieure reacutegion centrale et reacutegion inferieure (figure III3) Chaque
95
reacutegion est caracteacuteriseacutee par sa propre densiteacute de courant critique Jc0 Lrsquoimpulsion de champ
magneacutetique appliqueacute sur la pastille est la mecircme que dans la figure III7
La simulation numeacuterique srsquoest faite agrave lrsquoaide du logiciel COMSOL Un calcul
numeacuterique en 2D-axisymeacutetrique est utiliseacute ougrave la formulation en H en coordonneacutees
cylindriques est employeacutee Lrsquoeacutequation de Maxwell suivante doit ecirctre reacutesolue en systegraveme de
coordonneacutees cylindrique
( )0 0 1IIHt
IEmicro part+nablatimes =
part
( ) 2E H IIIρ= nablatimes
Les champs magneacutetique et eacutelectrique ont respectivement deux composantes radiale et
longitudinale [ ]0r zH H H et une transversale [ ]0 0E E
( )0 30 rH E It
IIz
micro part partminus =
part part
( )0 4zH E Et r r
IIImicro part part+ = minus
part part
Le champ eacutelectrique E est donneacute en modegravele de la loi en puissance deacutefini en chapitre I
La densiteacute de courant eacutelectrique est donneacutee agrave partir de lrsquoexpression diffeacuterentielle suivante
( ) 5r z IIHz r
IHJ part part= minus
part part
Le milieu supraconducteur est repreacutesenteacute par une modeacutelisation ( )CJ B selon la loi empirique
suivante
( ) ( )0
0
1
6C iC IIIJJ B
BB
β= +
Avec JC0i est la densiteacute de courant critique de la reacutegion i (i=1 2 3) en absence de toute champ
magneacutetique externe et B0 est une constante deacutependante du mateacuteriau On choisit ici de prendre
0 01B = et 05β = pour les trois reacutegions de la pastille [109]
Nous avons fait varier Jc0i pour chaque reacutegion en suivant la mecircme meacutethode expliqueacutee
preacuteceacutedemment dans la partie expeacuterimentale pour calculer la densiteacute de courant critique
96
moyenne sur les deux surfaces des deux pastilles jusqursquoagrave retrouver les reacutesultats proches de
ceux trouveacute expeacuterimentalement (tableau III2)
Puisque la meacutethode PFM est employeacutee dans notre problegraveme ougrave le champ magneacutetique appliqueacute
est fonction de temps donc la simulation est faite en reacutegime temporel
Le temps maximal de lrsquoimpulsion choisie pour cette simulation max 5msτ = afin de minimiser
la dureacutee de calcul
Les valeurs de JC0i optimales trouveacutees sont mentionneacutees dans le tableau III3
Tableau III3 valeurs de JC0i optimiseacutees pour les trois reacutegions de la pastille
Reacutegion I Reacutegion II Reacutegion III
JC0i (Amm2) 680 1400 435
Lrsquoeacutevolution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure de la pastille est preacutesenteacutee sur la
figure III12 avec un pas de temps eacutegale agrave max 6τ Nous remarquons que le champ magneacutetique
peacutenegravetre progressivement agrave partir de la surface lateacuterale vers lrsquointeacuterieure de la pastille Cette
peacuteneacutetration atteint sa valeur maximale agrave la fin de lrsquoaimantation Le champ magneacutetique
peacuteneacutetrant est moins important coteacute seed
97
Figure III12 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur de la
pastille SHTC
98
La figure III13 repreacutesente les reacutesultats des modeacutelisations numeacuteriques de champ
magneacutetique MB au-dessus de centre des deux surfaces de la pastille SHTC agrave une distance
e=05mm (a) Position 1 et (b) position 2
(a)
(b)
Figure III13 Modeacutelisation numeacuterique du champ magneacutetique sur le centre de la surface
drsquoune pastille (a) Position 1 (b) Position 2
99
Figure III14 La phase de monteacute des graphes de mesures numeacuterique et expeacuterimentale de
champ magneacutetique au-dessus des deux surfaces de la pastille
Une premiegravere comparaison entre les graphes obtenus expeacuterimentalement (figure III9)
et par le calcul numeacuterique (figure III13) pour les deux pastilles montrent que ces graphes sont
proches seulement pendant la phase de monteacutee (la phase la plus inteacuteressante pour deacuteterminer
Jc) (figure III14) Cependant durant la phase de descente de ces graphes nous remarquons
que les graphes obtenus expeacuterimentalement sont totalement diffeacuterents de ceux obtenus
numeacuteriquement Cela srsquoexpliquerait par des pheacutenomegravenes thermiques dus aux pertes creacuteeacutees par
les diffeacuterents courants induits pendant la phase de monteacutee et la phase de descente de
lrsquoimpulsion de champ appliqueacute durant lrsquoexpeacuterience que nous nrsquoavons pas pris en
consideacuteration en simulation
III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux
pastilles
Dans cette partie nous allons mesurer la densiteacute de courant critique drsquoun ensemble de
deux pastilles supposeacutees identiques Le point de mesure srsquoeffectuera entre les deux pastilles agrave
lrsquoaide drsquoune sonde agrave effet Hall Les deux pastilles sont seacutepareacutees par une distance laquo e raquo qui
preacutesente lrsquoeacutepaisseur de la sonde Afin drsquoeacutetudier lrsquoinfluence de la position des germes dans
cette meacutethode de caracteacuterisation trois configurations sont prises en consideacuteration en fonction
de la position du germe de cristallisation dans les deux pastilles utiliseacutees (figure III15)
100
(a) (b) (c)
Figure III15 Configurations utiliseacutees pour le calcul de Jc entre les deux pastilles
La figure III16 preacutesente les reacutesultats de mesure de champ magneacutetique prises entre les
deux pastilles SHTC pour les trois configurations illustreacutees dans la figure III15 On constate
ici que le temps de peacuteneacutetration complegravete varie drsquoune configuration agrave lrsquoautre (voir tableau
III4) Le champ magneacutetique prend plus de temps pour peacuteneacutetrer agrave lrsquointeacuterieure et entre les
pastilles agrave travers les seeds
Tableau III4 les valeurs de temps de peacuteneacutetration complegravete et champ magneacutetique de
peacuteneacutetration eacutequivalent mesureacutes pour les trois configurations
Configuration (a) Configuration (b) Configuration (c)
tP (10-3 s) 093 132 14
BPM (T) 257 302 31
101
(a)
(b)
(c)
Figure III16 Mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC pour les
configurations (a) (b) et (c)
102
Pour comprendre les pheacutenomegravenes observeacutes des simulations numegraveriques ont eacuteteacute
reacutealiseacutees Les mecircmes eacutetapes de simulation numeacuterique expliqueacutes preacuteceacutedemment dans le cas
drsquoune seule pastille sont utiliseacutees ici La figure III17 repreacutesente lrsquoeacutevolution de la distribution
du champ magneacutetique agrave lrsquointerieur des deux pastilles SHTC pour les trois configurations
illustreacutees dans la figure III15 Les mecircmes valeurs de Jcoi sont utiliseacutees aussi pour la deuxiegraveme
pastille Lrsquoeacutetude de lrsquoeacutevolution de champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur et entre les deux pastilles
est faite agrave un pas de temps eacutegale agrave max 3t τ=
Nous remarquons que le champ magneacutetique peacutenegravetre progressivement agrave lrsquointeacuterieure des
deux pastilles cette peacuteneacutetration est plus rapide dans le cas de la configuration (a) et moins
rapide dans le cas de la configuration (c)
103
Figure III17 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure des
deux pastilles pour les trois configurations (a) (b) et (c)
104
Afin de prendre en consideacuteration lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall utiliseacutee dans la
mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC utiliseacutees dans notre mesure nous
avons fait appel agrave la relation (I32) pour calculer le champ magneacutetique de peacuteneacutetration
complegravete BP Ce champ est neacutecessaire pour le calcul de la densiteacute de courant critique JC entre
les deux pastilles
Rappelons que la relation I32 est valable seulement pour R=10 mm R eacutetant le rayon
de la pastille utiliseacutee Par contre les deux pastilles que nous avons utiliseacutees ont un rayon
R=156 mm Pour trouver une nouvelle relation entre le champ de peacuteneacutetration mesureacute BPM et
le champ de peacuteneacutetration complegravete BP une simulation numeacuterique similaire agrave celle expliqueacutees
dans le paragraphe I5212 du chapitre I est effectueacutee en utilisant deux pastilles SHTC de
rayon R=1555 mm pour chacune ces deux pastilles sont seacutepareacutees par un entrefer e=1mm Cet
entrefer preacutesente lrsquoeacutepaisseur de la sonde agrave effet Hall Les reacutesultats de mesure sont preacutesenteacutes
sur la figure III18
Figure III18 Rapport BPMBP en fonction de longueur L de la pastille SHTC pour
R=156mm
Donc drsquoapregraves la figure III18 la relation liant BPM et BP pour les deux pastilles utiliseacutees dons
nos mesures deacutepend seulement de la hauteur des deux pastilles et elle est donneacutee par
( ) ( ) ( 156 ) 0031 ln 0 777 PM
P
B R mm ILB
II= = times +
Les valeurs de champ de peacuteneacutetration mesureacute BPM pour les trois configurations eacutetudieacutees sont
mentionneacutees dans le tableau III4 Une fois la valeur de champ de peacuteneacutetration complegravete
deacutetermineacutee agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation III7 et agrave partir de lrsquoeacutequation I29 nous calculons la valeur
105
de champ de peacuteneacutetration de Bean BPB Enfin la densiteacute de courant critique JC entre les deux
pastilles SHTC est calculeacutee agrave lrsquoaide de lrsquoeacutequation I28 Les valeurs de Jc entre les deux
pastilles pour les trois configurations de la figure III15 sont mentionneacutees dans le tableau III5
Tableau III5 Valeur de la densiteacute de courant critique entre les deux pastilles SHTC drsquoYBCO
utiliseacutees dans nos expeacuteriences
Configuration (a) Configuration (b) Configuration (c)
Jc (Amm2) 1317 1548 1589
Drsquoapregraves le tableau III5 nous remarquons que la valeur moyenne de la densiteacute de
courant eacutelectrique critique entre les deux pastilles est infeacuterieure agrave celle drsquoune pastille seule
Cette diminution est due peut-ecirctre agrave la diminution des courants eacutelectriques induits reacutesultants
entre les deux surfaces opposeacutees La configuration (b) est caracteacuteriseacutee par une densiteacute
eacutelectrique critique plus eacuteleveacutee agrave celle de la configuration (a) et moins eacuteleveacutee agrave celle de la
configuration (c) agrave cause de la preacutesence des germes de cristallisations (seed) en face agrave face
pour la configuration (c)
III5 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences pour lrsquoaimantation drsquoune pastille
SHTC de type YBaCuO par la meacutethode PFM dans le but de veacuterifier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute de cette
pastille en termes de densiteacute de courant critique Agrave lrsquoaide des sondes agrave effet Hall nous avons
mesureacute le champ magneacutetique au milieu des deux surfaces planes de la pastille dans le but de
calculer la densiteacute de courant critique agrave ces endroits Dans toutes les mesures il existe une
distance drsquoenviron 05 mm entre la partie active de la sonde et la surface de la pastille ce qui
doit ecirctre pris en compte dans les calculs de Jc Nous avons remarqueacute que la surface qui
contient le germe de cristallisation est caracteacuteriseacutee par une densiteacute de courant plus eacuteleveacutee que
lrsquoautre surface Cette inhomogeacuteneacuteiteacute est due agrave la technique de fabrication utiliseacutee pour ce type
de pastille SHTC Ensuite et sur la base des reacutesultats obtenus expeacuterimentalement nous avons
proposeacute un modegravele numeacuterique pour deacutecrire la morphologie de la pastille SHTC utiliseacute dans
nos mesures en divisant cette pastille en trois reacutegions en forme U concentriques reacutegion
supeacuterieure reacutegion centrale et reacutegion inferieure Chaque reacutegion est caracteacuteriseacutee par sa propre
densiteacute de courant critique JC0
106
Ensuite pour eacutetudier lrsquoinfluence de la position du germe de cristallisation dans la
meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles nous avons calculeacute la densiteacute de courant critique
entre deux pastilles SHTC supposeacutees identiques et seacutepareacutees par une distance e = 1mm agrave lrsquoaide
de la mesure de champ magneacutetique dans cette reacutegion Trois configurations ont eacuteteacute prises en
consideacuteration en fonction de la position du germe de cristallisation Les reacutesultats obtenus
montrent une diminution de la densiteacute de courant critique par rapport agrave une seule pastille agrave
cause de la diminution des courants induits reacutesultants entre les deux surfaces opposeacutees La
configuration qui contient les deux surfaces de laquo seed raquo est toujours caracteacuteriseacutee par une Jc
plus eacuteleveacutee que le reste des configurations eacutetudieacutees Donc nous conseillions que lors de
lrsquointeacutegration des pastilles SHTC pareilles dans des machines eacutelectriques il faut prendre en
consideacuteration la position de ces pastilles par rapport agrave leurs germes de cristallisations
107
Conclusion geacuteneacuterale et perspectives
108
Le travail meneacute dans cette thegravese intituleacutee laquo modeacutelisation et caracteacuterisation des
mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique raquo a eacuteteacute reacutealiseacute en cotutelle dans le
cadre drsquoun projet PHC-Tassili entre le laboratoire GREEN de lrsquouniversiteacute de Lorraine et le
laboratoire LESI de lrsquouniversiteacute Djilali Bounaama de Khemis Miliana
Dans la premiegravere partie de cette recherche nous avons pu deacutevelopper un modegravele
analytique qui a pour but de calculer lrsquoinductance de lrsquoensemble composeacute drsquoune bobine
inductrice circulaire de section transversale rectangulaire dans un circuit ferromagneacutetique
ouvert muni drsquoun entrefer concentrique avec la bobine Ce modegravele est baseacute sur la
deacutetermination de potentiel vecteur magneacutetique agrave partir de la reacutesolution des eacutequations de
Laplace et de Poisson dans les diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecirct du circuit en utilisant la meacutethode
de seacuteparation des variables La reacutesolution analytique srsquoest effectueacutee agrave lrsquoaide drsquoun code de
calcul deacuteveloppeacute sous MATLAB Une simulation numeacuterique est eacutegalement effectueacutee afin de
valider les reacutesultats analytiques Au deacutebut le calcul se fait en absence de tout mateacuteriau
supraconducteur dans le circuit ferromagneacutetique puis nous avons eacutetudieacute le cas de preacutesence
drsquoune pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer pour montrer lrsquoinfluence de cette
derniegravere sur la valeur de lrsquoinductance de lrsquoinducteur Nous avons montreacute pour les deux cas
que les meacutethodes analytiques correspondent tregraves bien avec les meacutethodes numeacuteriques avec des
erreurs inferieures agrave 1 pour un nombre de termes harmonique eacutegale agrave 50 et avec un
avantage aux meacutethodes analytiques en termes de temps de calcul Aussi les meacutethodes
analytiques sont peu exigeantes sur la meacutemoire de calculateur Nous avons montreacute aussi agrave
travers ce modegravele que lrsquoinfluence de la taille de la pastille supraconductrice sur la valeur de
lrsquoinductance obtenue peut servir agrave dimensionner lrsquoinducteur de systegraveme drsquoaimantation par la
meacutethode PFM Ainsi les reacutesultats obtenus montrent que cette eacutetape de modeacutelisation est tregraves
inteacuteressante dans la phase de conception des machines supraconductrices utilisant les
mateacuteriaux supraconducteurs massifs
Dans la partie caracteacuterisation le but eacutetait drsquoeacutetudier lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute drsquoune pastille
supraconductrice agrave haute tempeacuterature critique de type YBaCuO en termes de densiteacute de
courant critique Pour cela et suite aux travaux de caracteacuterisations reacutealiseacutes au niveau du
laboratoire GREEN nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences de lrsquoaimantation des pastilles SHTC
de type YBaCuO par la meacutethode PFM Les reacutesultats obtenus montrent que la surface
contenant le germe de cristallisation de la pastille est caracteacuteriseacutee par une densiteacute de courant
critique plus eacuteleveacutee que lrsquoautre surface et cela ducirc agrave la meacutethode drsquoeacutelaboration de ce genre des
pastilles Ensuite nous avons proceacutedeacute agrave la caracteacuterisation de deux pastilles SHTC identiques
109
seacutepareacutees par une distance de 1mm et calculeacute la densiteacute de courant critique de ces deux
pastilles La position de germe de cristallisation drsquoune pastille par rapport agrave lrsquoautre influence
directement la valeur de Jc
Comme perspective agrave ce travail nous envisageons de confronter le modegravele analytique
deacuteveloppeacute durant de travail sur un systegraveme physique reacuteel contenant un circuit magneacutetique
fermeacute comme par exemple un transformateur avec une bobine contenant une pastille
supraconductrice De plus nous envisageons drsquoeacutetablir un modegravele analytique standard en
prenant en consideacuteration lrsquoinfluence de lrsquoeffet thermique afin de deacuteterminer les proprieacuteteacutes
caracteacuteristiques des pastilles supraconductrices agrave partir des reacutesultats obtenus lors des
expeacuteriences de caracteacuterisations par la meacutethode PFM reacutealiseacutees durant cette thegravese
110
Liste des illustrations graphiques
et tableaux
111
Figure I1 Reacutesistiviteacute eacutelectrique de mercure agrave basse tempeacuteraturehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 8
Figure I2 Historique des deacutecouvertes de la tempeacuterature critiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 11
Figure I3 Etat noraml et supraconducteur drsquoun meacutetal en fonction de la tempeacuteraturehellip 12
Figure I4 Repreacutesentation de champ magneacutetique induit en fonction du champ
magneacutetique appliqueacute pur les supraconducteurs de type Ihelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
13
Figure I5 Repreacutesentation graphique (a) des diffeacuterentes eacutetats des supraconducteurs de
type II et (b) du champ magneacutetique induit en fonction du champ
magneacutetique appliqueacute pour les supraconducteurs de type IIhelliphelliphelliphelliphellip
14
Figure I6 Reacuteseaux vortex dans un mateacuteriau supraconducteur de type IIhelliphelliphelliphelliphellip 15
Figure I7 Densiteacute de courant intergrain et intragrain dans un mateacuteriau
supraconducteur helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
16
Figure I 8 Microstructure drsquoun mateacuteriau Supraconducteur agrave Haute Tempeacuterature
critique (SHTC) de formule chimique 2 3 7YBa Cu O δminus helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
17
Figure I9 Surface critique et ordre de grandeur des paramegravetres critique de quelques
mateacuteriaux Supraconducteurshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
18
Figure I10 Diffeacuterentes formes des SHTC a) pastille YBaCuO en massifs b)
YBaCuO en monocouche c) tubes de BSCCOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
19
Figure I11 Traitement thermique pour la croissance drsquoune pastille drsquoYBaCuO par la
technique TSMGhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
21
Figure I12 Structure cristalline tridimensionnelle de lrsquoYBa2Cu3O7-δ helliphelliphelliphelliphelliphellip 22
Figure I13 Repreacutesentation de structure (a) orthorhombique et (b) quadratique de la
maille eacuteleacutementaire du compos YBa2Cu3O7-δhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
23
Figure I14 Variation des paramegravetres de reacuteseau a b et c par rapport au deacuteficit en
oxygegravene δ helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
23
Figure I15 Repreacutesentation de la tempeacuterature critique en fonction du deacuteficit en
oxygegravene dans la structure YBaCuOhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
24
Figure I16 Structure cristalline de MgB2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 25
Figure I17 Distribution de B J E dans un cylindre supraconducteur soumis agrave un
champ magneacutetique parallegravele agrave son axehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
29
112
Figure I18 Comparaison entre la caracteacuteristique E(J) correspond au modegravele de Bean
(courbe rouge) et au modegravele de loi en puissance (courbe verte) avec celle
obtenue expeacuterimentalement (courbe bleu) pour un rubanhelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
Figure I19 Aimantation par refroidissement sous champ magneacutetique (Field Cooling
FC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
33
Figure I20 Aimantation par refroidissement hors champ magneacutetique (Zero Field
Cooling ZFC)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
34
Figure I21 Aimantation par un champ impulsionnel (pulsed field magnetization
PFM)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
35
Figure I22 Scheacutema eacutelectrique simplifieacute du circuit utiliseacute pour aimanter les
supraconducteurs massifshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
35
Figure I23 Variation temporelle du courant eacutelectrique appliqueacute pour laimantation par
la meacutethode PFM pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoinductance L de la bobine
36
Figure 24 Scheacutema repreacutesentatif de la meacutethode eacutelectrique pour deacuteterminer la densiteacute de
courant eacutelectrique Jc drsquoun mateacuteriau supraconducteurhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
37
Figure I25 Pastille supraconductrice massive de forme cylindrique soumise agrave un
champ magneacutetique appliqueacute axialementhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
38
Figure I26 Variation du champ magneacutetique en fonction du temps Ba est le champ
appliqueacute sur la pastille et B0 repreacutesente le champ magneacutetique mesureacute au
centre de la pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
39
Figure I27 Position de sonde agrave effet Hall entre deux pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphellip 40
Figure I28 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesureacute entre deux
pastilles SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
40
Figure I29 Repreacutesentation du champ magneacutetique appliqueacute et le champ magneacutetique
mesureacute entre deux pastilles SHTC en fonction de temps en utilisant a)
une bobine supraconductrice pour geacuteneacuterer une faible vitesse de monteacutee
b) une simple bobine en cuivre pour geacuteneacuterer une vitesse de monteacutee
eacuteleveacutee
42
Figure I30 Rapport PPMB B en fonction de longueur L de la pastille SHTChelliphelliphellip 43
113
Figure I31 Position de sonde agrave effet Hall au centre de surface de la pastillehelliphelliphelliphellip 44
Figure I32 Distribution de la densiteacute de courant JJc dans la pastille SHTC pour trois
valeur de vitesse de monteacute du champ magneacutetique appliqueacutehelliphelliphelliphelliphelliphellip
45
Figure I33 Calcul numeacuterique de BP au centre de la pastille et BZSCM au-dessus du centre de surface de la pastille agrave d = 05mmhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
46
Figure I34 Comparaison entre le calcul numeacuterique ZSCB PBB B et le calcul analytique
ZSCM PB B helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
47
Figure II1 Geacuteomeacutetrie du problegraveme eacutetudieacute un circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer dans sa partie infeacuterieur de longueur 3 2 e Z Z= minus concentrique
avec une bobine de longueur 4 1L Z Z= minus helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
51
Figure II2 Maillages du circuit ferromagneacutetique avec entrefer eacutetudieacute par COMSOLhellip 62
Figure II3 Comparaison des distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave
partir du calcul analytique (a) et du calcul numeacuterique (b) avec le traceacute
des lignes de champ magneacutetiquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
62
Figure II4 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans les reacutegions (a) III en ( )1 2 2r R R= + et (b) IV en 1 2r R= helliphelliphelliphelliphelliphellip
63
Figure II5 Comparaison des valeurs de lrsquoinductance de la bobine en fonction de la
longueur de lrsquoentrefer obtenues numeacuteriquement avec celles obtenues
analytiquement pour les diffeacuterentes valeurs de nombres des harmoniques
variant entre 1 et 50helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
64
Figure II6 Circuit magneacutetique ouvert muni drsquoun entrefer de longueur e dans lequel se
trouve une pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
65
Figure II7 Distributions du potentiel vecteur magneacutetique obtenues agrave partir du (a)
calcul numeacuterique) et du (b) calcul analytique en preacutesence de la
pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
74
Figure II8 Composantes radiale Br et axiale Bz du champ magneacutetique dans la reacutegion III en ( )2 3 2r R R= + (a) et dans la reacutegion IV en 1 2r R= (b) en
preacutesence de la pastille supraconductricehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
75
Figure II9 Repreacutesentation de lrsquoinductance de la bobine en fonction du rayon de la
pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
76
114
Figure II10 Variation de lrsquoinductance de la bobine en fonction de rayon de la pastille
supraconductrice dans un circuit fermeacute et dans un circuit ouverthelliphelliphelliphellip
77
Figure II11 Position de la pastille supraconductrice dans la reacutegion de lrsquoentrefer du problegraveme de la figure II1 avec [ ]110r Risin et [ ]22 33z Z Zisin helliphelliphelliphelliphelliphellip
78
Figure II12 Variation de champ magneacutetique appliqueacute et du champ magneacutetique pieacutegeacute sur la surface de la pastille supraconductrice agrave 0r = et 33z Z= helliphellip
79
Figure II13 Evolution de la densiteacute de courant normaliseacutee JJc sur le plan meacutedian de la pastille supraconductrice agrave ( )0479515320r mm= helliphelliphelliphelliphelliphellip
81
Figure III1 Pastille supraconductrice soumis agrave un champ magneacutetique exteacuterieurhelliphelliphellip 85
Figure III2 Les deux surfaces de la Pastille SHTC drsquoYBaCuO utiliseacutee pour
lrsquoaimantationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
85
Figure III3 Modegravele drsquoune pastille SHTC gradueacutee en YBCO proposeacutee pour la
modeacutelisation numeacuteriquehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
86
Figure III4 Magneacutetiseur agrave impulsion K-serie utiliseacute pour aimanter la pastillehelliphelliphellip 87
Figure III5 Circuit eacutelectrique de magneacutetisationhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 88
Figure III6 Repreacutesentation du dispositif expeacuterimentation du processus
drsquoaimantation utiliseacutehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
88
Figure III7 Impulsion de champ magneacutetique appliqueacute sur la pastille SHTChelliphelliphelliphellip 89
Figure III8 Sonde agrave effet Hall de type HHP-NPhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 89
Figure III9 Positions des sondes agrave effet Hall sur les deux surfaces de la pastille
SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
90
Figure III10 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer au (a)
position1 (b) position 2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
92
Figure III11 Champ magneacutetique appliqueacute et champ magneacutetique mesurer avec une
eacutechelle de temps reacuteduite (a) position1 (b) position 2helliphelliphelliphelliphelliphellip
93
Figure III12 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur de la
pastille SHTChelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
97
115
Figure III13 Modeacutelisation numeacuterique du champ magneacutetique sur le centre de la
surface drsquoune pastille (a) Position 1 (b) Position 2helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
98
Figure III14 La phase de monteacute des graphes de mesures numeacuterique et expeacuterimentale
de champ magneacutetique au-dessus des deux surfaces de la pastillehelliphelliphellip
99
Figure III15 Configurations utiliseacutees pour le calcul de Jc entre les deux pastilleshelliphellip 100
Figure III16 Mesure du champ magneacutetique entre les deux pastilles SHTC pour les
configurations (a) (b) et (c)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
101
FigIII17 Eacutevolution de la distribution du champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieure des deux
pastilles pour les trois configurations (a) (b) et (c)helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
103
Figure III18 Rapport PM PB B en fonction de longueur L de la pastille SHTC pour R=156mmhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
104
Tableau I1 Tempeacuterature critique de quelques mateacuteriaux supraconducteurshelliphelliphelliphellip 12
Tableau II1 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme sans
pastillehelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
61
Tableau II2 Valeurs des Paramegravetres geacuteomeacutetriques utiliseacutees dans le problegraveme avec
pastillehelliphelliphellip
73
Tableau III1 Caracteacuteristiques des sondes agrave effet Hallhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 90
Tableau III2 Valeurs de la densiteacute de courant critique calculeacute agrave une distance de
05mm au-dessus du centre des deux surfaces de la pastille SHTC helliphellip
94
Tableau III3 Valeurs de JC0i optimiseacutees pour les trois reacutegions de la pastillehelliphelliphelliphellip 96
Tableau III4 Les valeurs de temps de peacuteneacutetration complegravete et champ magneacutetique de
peacuteneacutetration eacutequivalent mesureacutes pour les trois configurationshelliphelliphelliphellip
100
Tableau III5 Valeur de la densiteacute de courant critique entre les deux pastilles SHTC
drsquoYBCO utiliseacutees dans nos expeacuteriences helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
105
116
Reacutefeacuterences
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124
Annexes
125
Annexe I reacutesolution des eacutequations de Laplace et de Poisson
1- Cas drsquoun circuit ouvert avec entrefer sans pastille supraconductrice
1-1 reacutegion I 3 4R r Rlt lt et 50 z Zlt lt
( )2 2
22 2 2
10 0 1I I I II
A A A AAr r r r z
part part partnabla = rArr + minus + =
part part part
En utilisant la meacutethode de seacuteparation des variables on met ( ) ( ) ( )I I IA r z R r Z z=
lrsquoeacutequation (1) srsquoeacutecrit donc sous forme
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 0 1 I I I I I I I II I I I
I I I
R R R Z R RZ Z Rr r r r z R r R r r r Z
Z Zz
λpart part part part part part+ minus + = rArr + minus = minus =
part part part part part part
Il existe donc deux eacutequations lieacutees agrave la constante Iλ
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 2
1 0 3
II I
I II I
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = part
part part + minus + = part part
1-1-1 Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (2) srsquoeacutecrit sous forme 2 0I IZ λ+ =
Le discriminant I∆ de cette eacutequation est donneacute par 4I Iλ∆ =
Trois cas sont possible pour I∆
1er cas 0 0I Iλ∆ = rArr =
Pour ce cas la solution de lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (2) est donneacutee par
( )I I IZ z A z B= +
En tenant en compte les conditions aux limites consideacutereacutees pour cette reacutegion on trouve
( )0 et 0 0I I IA B Z z= = rArr = Cette fonction ne nous inteacuteresse plus et 0Iλ = nrsquoest plus une
valeur propre de notre problegraveme
2egraveme cas 0 0I Iλ∆ gt rArr lt
On pose 2I Iλ β= minus soit 24I Iβ∆ = minus et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) I Iz zI I IZ z A e B eβ βminus= +
En tenant en compte les conditions aux limites
126
( )0 0I I IZ z A B= = rArr = minus
( ) ( ) ( )5 55 50 0 2 sinh 0I IZ Z
I I I IZ z Z A e e A Zβ β βminus= = rArr minus = rArr = Comme 0Iβ ne ceci nrsquoest
possible que pour 0IA = et donc 0IB =
La solution ( ) 0IZ z = ne nous inteacuteresse plus et 0Iλ lt aussi ne sont plus des valeurs propre de
ce problegraveme
3egraveme cas 0 0I Iλ∆ lt rArr gt
On pose 2I Iλ α= soit ( )24I Iiα∆ = et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) ( ) ( )cos sinI I I I IZ z A z B zα α= +
En tenant en compte les conditions aux limites
( )0 0 0I IZ z A= = rArr =
( ) ( )5 50 sin 0I I IZ z Z B Zα= = rArr = Cela nrsquoest possible que si 5
InnZπα = pour 1 0B gt avec
n=1 2 3hellip par conseacutequent 2
5In
nZπλ
=
sont les valeurs propres du problegraveme aux limites
Les fonctions propres associeacutees aux valeurs Inλ sont
( ) ( )sinI In InZ z B zα= Avec5
InnZπα =
112 Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Les valeurs propres Inλ sont maintenant connues Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle agrave reacutesoudre dans ce
cas ( ( )2
2 2 22 1 0I I
I IR Rr r r Rr r
αpart part+ minus + =
part part) est une eacutequation de Bessel modifieacutee
On effectue le changement de variable Inr rα= Lrsquoeacutequation alors srsquoeacutecrit
( )2
2 22 1 0I I
IR Rr r r Rr r
part part+ minus + =
part part
Les solutions de cette eacutequation de Bessel modifieacutees sont alors
( ) ( ) ( )1In In n In I nR r C I r D K rα α= +
La forme du potentiel vecteur magneacutetique dans la reacutegion I est donneacutee par
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 11
I In nI n n n
nIA a I r b K r sin zr z R r Z z α α α
infin
=
= += sum
Utilisant la condition aux limites4
( ) 0r R
rAr =
part=
part le potentiel A srsquoeacutecrit
127
( ) ( )( ) ( ) ( )0
101
nIn n n
n nI
K rb K r sin zA
rr
Iz
αα α
α
infin
=
+ =
sum
5n
nZπα = Avec
1-2 Reacutegion II 2 3 5et 0R r R z Zlt lt lt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre ici est une eacutequation de Laplace
2 2
02 2 2
1 ( ) (4)II II II IIA A A A J zr r r r z
micropart part part+ minus + = minus
part part part
Avec ( ) 1 4
0J pour Z z Z
J zAilleur
lt lt=
1-2-2 Reacutesolution de lrsquoeacutequation de Laplace sans second membre
En utilisant la meacutethode de seacuteparation des variables ( ) ( ) ( )II II IIA r z R r Z z= times deux
eacutequations en r et en z sont agrave reacutesoudre
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 5
1 0 6
IIII II
II IIII II
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = part
part part + minus + = part part
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de (5) srsquoeacutecrit par 2 0II IIZ λ+ = ou le discriminant II∆ de cette
eacutequation est donneacute par 4II IIλ∆ = minus
1er cas 0 0II IIλ∆ = rArr =
En suivant les mecircmes eacutetapes de la reacutesolution deacutecrit preacuteceacutedemment on trouve que
cette valeur de 0IIλ = nrsquoest pas une valeur propre du problegraveme
2egraveme cas 0 0II IIλ∆ gt rArr lt
On trouve aussi que 0IIλ lt ne sont plus aussi des valeurs propres de ce problegraveme
3egraveme cas 0 0II IIλ∆ lt rArr gt On pose 2II IIλ α= soit ( )24II IIiα∆ =
La solution srsquoeacutecrit comme ( ) ( ) ( )cos sinII II II II IIZ z A z B zα α= +
En tenant en compte les conditions aux limites agrave 0z = et 5z Z=
( )0 0 0II IIZ z A= = rArr =
128
( ) ( )5 55
0 sin 0I II II IIn nnZ z Z B ZZπα α α= = rArr = rArr = = Avec n=1 2 3hellip Donc IInλ sont les
valeurs propres du problegraveme Les fonctions propres associeacutees aux valeurs IInλ sont
( ) ( )sinII IIn nZ z B zα= Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Les valeurs propres pour dans cette reacutegion sont maintenant connues donc on peut
reacutesoudre lrsquoeacutequation (6) (eacutequation de Bessel modifieacutee) suivant la variable r
En effectuant changement de variables IInr rα= les fonctions solution de cette eacutequation sont
alors
( ) ( ) ( )1 1IIn IIn n IIn nR r C I r D K rα α= +
Deacutetermination des solutions de lrsquoeacutequation avec second membre
On effectue la transformeacutee de Fourier de la densiteacute de courant eacutelectrique sur la base des
fonctions solutions de lrsquoeacutequation homogegravene en z soit
( ) ( )1
sinIIn nn
J z J zαinfin
=
=sum
Avec
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )25
1
1 25 50
2 2 2sin sin cos cosZ Z
IIn nZ
n n nJ JJ J z z dz z dz Z Z
Z Z nα α α α
π= = = minusint int
A partir de lrsquoeacutequation (4) on peut eacutecrire
( )2 2
2 2 202 2 sin II II II
II II II II II IIn nR A Zr Z rZ R Z r R rr r z
J zαmicropart part part+ minus + = minus
part part part
On remplace ( )IIZ z par son expression dans cette eacutequation (avec nr rα= ) on trouve
( )2
2 2 2 2 02 1 II II IIn
n IIIIn
R Ar r r R rr r
JBmicroαpart part
+ minus + = minuspart part
Cette eacutequation srsquoeacutecrit sous forme
( )( )
1
2 2 2 1 4Γ 1 2
r
r L r L r L
υ
υ υ υ π υ
+ + minus + =
+
Dont les fonctions de Struve sont solutions de cette eacutequation [hellip]
Pour 1ν = les fonctions solutions de cette eacutequation srsquoeacutecrivent sous forme
( ) ( ) ( ) ( )0 21 0 12 2Γ 3 2
2n IIn
II n nn n IIn
J JR r L r L rB B
micro ππ α micro αα α
= minus = minus
Drsquoougrave
129
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11
1 sinII IIII II II n n n I n n n
nnLA r z R r Z z a I r b K r C zrαα α α
infin
=
= = + minussum
Avec 0 22 etII II
n IIn II n IIn IIIIn
nna C B b D B C Jπmicro
α= = =
1-3 Reacutegion III 1 2R r Rlt lt et 50 z Zlt lt
Lrsquoeacutequation agrave reacutesoudre ici est une eacutequation de Poisson
( )2 2
2 2 2
1 0 7III III III IIIA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
La solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation (7) est obtenue en suivant les mecircmes eacutetapes de la
reacutesolution pour la reacutegion I avec des conditions aux limites imposeacutees agrave z=0 et z= Z5 de type
Dirichlet 5( 0 ) 0 et ( ) 0III IIIA r z A r z Z= = = =
La forme geacuteneacuterale du potentiel vecteur magneacutetique obtenue est donc
( ) ( ) ( )( ) ( )1 11
III IIIIII n n n n n
n
A r z a I r b K r sin zα α αinfin
=
= +sum
Avec 5
nnZπα =
1-4 reacutegion IV 10 r Rlt lt et 2 3Z z Zlt lt
( )2 2
2 2 2
1 0 8IV IV IV IVA A A Ar r r r z
part part part+ minus + =
part part part
Les conditions aux limites consideacutereacutees ici sont de types Neumann
2 3
( ) ( )0 et 0IV IV
z Z z Z
A r z A r zz z= =
part part= =
part part
En appliquant la meacutethode de seacuteparation de variables ( ) ( ) ( )IV IV IVA r z R r Z z= times l eacutequation (8) srsquoeacutecrit sous forme
2 2
2 2 2
11 1 1 1IV IV IVIV
IV IV IV
R RR r R r r r
ZZ z
λpart part part+ minus = minus =
part part part
( )
( ) ( )
2
2
22 2
2
0 9
1 0 11
IVIV IV
IV IVIV IV
Z Zz
R Rr r r Rr r
λ
λ
part+ = partrArr
part part + minus + = part part
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en z
130
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation (10) srsquoeacutecrit sous forme 2 0IV IVZ λ+ =
4IV IVλ∆ =
1er cas 0 0IV IVλ∆ = rArr =
La solution est donneacutee sous forme ( )IV IV IVZ z A z B= +
En tenant en compte les conditions aux limites
bull 2 2
( ) ( )0 0 0IV IVIV
z Z z Z
A r z Z r z Az z= =
part part= rArr = rArr =
part part
bull 3 3
( ) ( )0 0IV IV
z Z z Z
A r z Z r zz z= =
part part= rArr =
part part Cette condition ne nous apprend rien sur
Par conseacutequent 0 0IV IVλ λ= = est une valeur propre simple de problegraveme et ( )0 0IVZ z B= est
une fonction propre simple ( 0B est une constante arbitraire)
2egraveme cas 0 0IV IVλ∆ gt rArr lt
Pour ce cas on trouve que les valeurs de 0IVλ lt ne sont pas des valeurs propre de ce
problegraveme
3egraveme cas 0 0IV IVλ∆ lt rArr gt
On pose 2IV IVλ β= soit ( )24IV IViβ∆ = et la solution srsquoeacutecrit comme suit
( ) ( ) ( )cos sinIV IV IV IV IVZ z A z B zβ β= +
En tenant en compte les conditions aux limites
bull ( )( )
2 2
2
2
sin( ) ( )0 0cos
IVIV IVIV IV
z Z z Z IV
ZA r z Z r z B Az z Z
ββ= =
part part= rArr = rArr =
part part
bull ( )( )3 3
3 23 2
( ) ( )0 0 sin 0IV IVIV IV
z Z z Z
A r z Z r z kZ Zz z Z Z
πβ β= =
part part= rArr = rArr minus = rArr =
part part minus
bull Donc 2
3 2IV
kZ Z
πλ
= minus sont des valeurs propres du problegraveme et la fonction associeacutee
aux ces valeurs est
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2
22
sincos sin cos
cosIV
IV IV IV IV k IVIV
ZZ z A z z C z Z
Zβ
β β ββ
= + = minus
IVB
131
Avec ( )2cos
IVk
IV
ACZβ
=
Reacutesolution de lrsquoeacutequation en r
Deux cas sont possibles pour les valeurs de IVkλ 1er cas 0IVλ =
( )2
22 011 IV IV
IVR Rr r Rr r
part part+ minus =
part partrArr Equation drsquoEuler dont la solution est donneacutee sous forme
( ) 10 0IV IV IVR r C r D rminus= +
En appliquant la condition aux limites dans ce cas ( )0 0IVA r z= = on trouve 0 0IVD =
2egraveme cas 0IVλ gt
Lrsquoeacutequation (11) est devenue une eacutequation diffeacuterentielle de Bessel modifieacutee sa solutions est
donneacutee donc par
( ) ( ) ( )1IVk IVk k IVk I kR r C I r D K rβ β= +
En appliquant la condition aux limites ( )0 0IVA r z= = on trouve 0IVkD =
Donc la forme geacuteneacuterale du potentiel vecteur magneacutetique dans cette reacutegion est donneacutee par
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )00 11 21
0 cos IV IV IV IV V k kIV
IVk
A r z R r Z z R A r a Ir Z z z Zrβ βinfin
=
= + + minus= sum
132
Annexe II Condition de passage agrave lrsquointerface entre les reacutegions III et IV agrave r =R1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ] ( )
1 1
2
2 3
3 5
1 1 2 3
0 0
1
0
2
III IV
r R r R
IV III
pour Z ZrA rA
pour Z Z Zr r
pour Z Z Z
A r R Z A r R Z pour Z Z Z
= =
lt lt part part = lt lt part part
lt lt = = = isin
Commenccedilons la premiegravere condition
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
1 2 1
3
0
1 sin sinZ Z
kI
kZ
II IV
r R r R
rA rz
Ar r
dz z dzα α= =
rArrpart
=partpart partint int
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
5
3 3
2 2
0 10
0
0 1
0 2
sin sin
32 sin cos sin
k
k k
ZIII IIIn n n n n n
Z ZIVk k k k
Z Z
a I R b K R z z dz
A z dz a I r Z Z z dz
α α α α α
α β β β α
minus =
+ minus
rArrint
int int
On a
bull ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )5 5
0 0
sin sin cos2
cosZ Z
nn n n nk k kz z dz z z dzαα α α α α α α+= minusminusint int
( )( ) ( )( )5 51 1sin si
2n sin
n nk kk
nn
kkn
Z Zα α α α α α αα α α α
minus + ne minus +minus
=
On remplace α par son expression on trouve
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )5
0
1 1sin sin sin sin si2
Z
n knnz z dz n k n k
n kn k
knα α πα π π π
minus + ne
minus
minus +=int
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 12 2
1 11 sin 1 s s2
in in n n kk k
n nk kn kn n
π π+ + + = ne minus +
=
minusminus
minus
Pour n=m
( ) ( ) ( )( )5 5
05
0
1sin sin co 22 2 2
sZ Z
n nn n nkz z nZz d z dzα αα α α α π
= minus ==int int
133
Donc ( ) ( )( ) ( )5
21
2 2
0
1 sinsin sin
si
si2
k
nZ
n n
n kk
n n
nn
k
kz z dz
π
πα α α
+ neminus
=
minus=
int
bull ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3
2
0 1 1 1 1 2 311 3 2
2 12 sin cos cosZ
III IIIn n n n n
nkZk k kA z dz m a I R b K R Z Z
R Z Zα α α α α
α
infin
=
= + minus minus
sumint
bull ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 2cos sin sin sin2
Z Zk
k k kk k kZ Z
kZ Z z dz z z Z z z Z dzββ β α α β α βminus = + minus + minus minusint int
( )( ) ( )( )3
2
2 2sin sin2 k k
Zk
k k k kZ
z Z z Z dzβ α β β α β β= + minus + minus +int
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
2 2 3 2
2 2 3 2
1 cos cos
12 cos cos
k k k kkk
k
k k k kk
k kk
k
k kk
Z Z Z Zsi
Z Z Z Z
α β β α β βα ββ α β
α β β α β βα β
+ minus minus + minus + = ne + minus + minus minus + minus
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
2 3 3 2
2 3 3 2
1 cos cos
12 cos cos
k kk
k kk
kkk
kk
Z Z Z Z
Z Z Z Z
α α βα ββ
α α βα β
minus + minus + = + minus minus minus minus
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 3 3 2 3 3 2
2 3 3 2 3 3 2
1 cos cos cos sin sin
12 cos cos cos sin sin
k kkk
k kk
k k kk
k k kk
Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z
α α β α βα ββ
α α β α βα β
minus minus minus minus + + minus minus + minus minus
=
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
12 3
12 3
1 cos 1 cos
12 cos 1 cos
kk k
kk
kk
k
kk
k
Z Z
Z Z
α αα ββ
α αα β
+
+
+ minus + + + minus minus
=
( ) ( ) ( )( )2 21
2 3cos 1 cos sikkk
kk k k
kk
Z Zα β α α α βα β
++ minus ne=minus
Pour kkα β=
( )( ) ( ) ( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 2cos sin sin 2 sin2
Z Zk
k k k k kZ Z
kZ Z z dz z Z Z dzββ β α β β βminus = minus +int int
( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 2 2 2 3 3 21sin cos cos
2 2k
k k k kk
Z Z Z Z Z Z Zβ β β β ββ
= minus + minus + minus
134
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )13 2 2 2 3
1sin cos 1 cos2 2
kkk k k
k
Z Z Z Z Zβ β β ββ
+ = minus + minus minus
( ) ( ) ( ) ( )( )12 2 3
1sin cos 1 cos2 4
kk k k
k Z Z Zπ β β β+= + + minus
Donc
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
3
2
2
13
2
2
22 1
3
2
cospour
1 coscos sin
cos1sin pour2 4 1 cos
kkk kkZ
k kk k
Z kk k kk
k
k
k
k
Z
ZZ Z z dz
Zk ZZ
αα β α βα β α
β β αβπ β α β
β
+
+
+ ne
minus minus = +
+ = minus
minus
int
En conclusion
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2 2
0
21
2 2
0 1 0 1
1 1 1 1 2 311 3 2
12 3
2 2
si1 sin
2 1 cos cos
cos 1 cos si
1s
1si
2
in cos 12 4
n
III IIIn n n n
III IIIn n n n n
nk k
k
k
k
kkk k k k
IV kk k
kk k
n kna I R b K R
m a I R b K R Z ZR Z Z
Z Za I
n k
rk Z
kn n
Z
k
πα α
α α α αα
α β α α α βα ββπ β β
π
+
infin
=
+
neminusrArr
=
minus
minusminus
= + minus minus
+ minus ne+
+ + minus
sum
( )( )13cos sik k kZβ α β+
=
On met
( ) ( )( )2 3cos cos1k k k
k
Zm Zα
α αminus=
( )( ) 12 1 32n k n kh m Zm R Z
minusminus=
( ) ( )2
12
2 si
si
1 s n
2
in k
n n kk
kf
n
nn
n k
π
π
+minus
ne
minus==
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
12 3
12 2 3
2 2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
k kkk k k k
k
kk k k k k
kn k
Z Z
k Z Zg
Z
α β α α α βα βπ β β β α β
+
+
minus + minus ne= + + minus =
On trouve
135
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
1 1 0 1 1 1
10
0 1
1
0III IIIn n k n n k n n n k n n k n
IVk n k k
a h I R f I R b h K R f K R
a g I R
α α α α
β
minus + + = +
rArr
Pour la deuxiegraveme condition
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3 3
2 2
1 2 1 2 cos co2 sZ Z
IV k III kZ Z
A r R Z z Z dz A r R Z z Z dzβ β= minus = = minusrArr int int
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
3 3
2 2
3
2
20 1 2 1 1 2
1
1 1 21
cos cos
cos
Z ZIV
k kkZ Z
ZIII IIIn n n n
k k
n kn Z
A R z Z dz a I R z Z dz
a I r b K r sin z z Z dz
β β
α α α β
βinfin
=
infin
=
minus + minus
= +
rArr
minus
sumint int
sum int
On a
bull ( )( ) ( ) ( )( )3
2
2 3 2 2 21cos sin sin 0
Z
k k kkZ
z Z dz Z Z Z Zβ β ββ
minus = minus minus minus =int
bull ( )( ) ( )( )( ) ( )3 3
2 2
22 2 3 2
1 1cos 1 cos 22 2
Z Z
k kZ Z
z Z dz z Z dz Z Zβ βminus = + minus = minusint int
bull ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )3 3
2 2
2 2 21sin cos sin sin2
Z Z
n k n k n kZ Z
z z Z d z z z Z z z Z d zα β α β α βminus = + minus + minus minusint int
( )( ) ( )( )3
2
2 21 sin sin2
Z
n k k n k kZ
z Z z Z dzα β β α β β= + minus + minus +int
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )
2 2 3 2
2 2 3 2
1 cos cos1 si
12 cos cos
n k k n k kn k
n k
n k k n k kn k
Z Z Z Z
Z Z Z Z
α β β α β βα β
α βα β β α β β
α β
+ minus minus + minus + = ne + minus + minus minus + minus
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 3 2 31 1 1cos cos cos cos2 n n n n
n k n k
Z Z k Z Z kα α π α α πα β α β
= minus + + minus minus + minus
( ) ( ) ( )( )12 3
1 1 1cos 1 cos2
kn n
n k n k
Z Zα αα β α β
+ = + minus + + minus
( ) ( ) ( )( )12 3 2 2
21 cos 1 cos si2
k nn n n k
n k
Z Z αα α α βα β
+ = + minus ne minus
Pour n kα β=
136
( ) ( )( ) ( ) ( )3 3
2 2
2 2 21sin cos sin 2 sin2
Z Z
n k k k kZ Z
z z Z dz z Z Z dzα β β β βminus = minus +int int
( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 2 2 2 3 21 1sin cos 2 cos 22 2k k k k k
k
Z Z Z Z Z Z Zβ β β β ββ
= minus + minus minus minus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )13 2 2 2 3
1 1sin cos 1 cos2 4
kk k k
k
Z Z Z Z Zβ β ββ
+= minus + + minus
En conclusion
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 3 2
12 3 2 2
1
113 2 2 2 3
21 cos 1 cos si 21 1sin cos 1
2
co4
1
s2
IV
k nIII n n n kn n n k
IIIkn n
k k k kk
k
n
ka I R Z Z
Z Za I r
b K r Z Z Z Z Z si
αα α α βα α βα
β β β α ββ
β
+
+
minus
+ minus ne minus = + minus + + minus =
rArr
En multipliant les deux coteacute de cette eacutequation par kβ on trouve
( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1
12 32 2
1 11
2 2 3
2
cos 1 cos si
1sin cos 1 cos si2 4
IV
kn kn n n k
III III n kn n n n
kk k k k
k k
n
ka I R
Z Za I r b K r
k Z Z Z
π
α β α α α βα βα απ β β β α
β
β
+
+
+ minus ne minus= +
rArr
+ + minus =
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 02
III III IVn n k n n n k kk n
ka g I r b g K r a I Rπα βαrArr + minus =
137
Annexe III Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
En appliquant les conditions de continuiteacutes du potentiel vecteur magneacutetique aux interfaces
entre la reacutegion III et la reacutegion IV agrave r=R2 et entre la reacutegion IV et les reacutegions V et VI agrave r= R1
( ) ( ) [ ] ( )
( )( ) [ ]
[ ]( ) [ ]
( )
2 2 2 5
1 2 3
1 3 4
1 4 5
Pour 1
Pour
0 Pour 2
Pour
IV III
V
IV
VI
A r R z A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
A r R z z Z Z
= = = isin
= isin
= = isin = isin
Par inteacutegration de ces deux eacutequations par rapport agrave z sur lrsquointervalle [ ]2 5Z Z on trouve
( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
5 5 5
2 2 2
5
2 2
1 2 1 201 221
1 111 2 1 2 1 2
1 101 121
11 1 1 1
cos sin
cos
IV IIIZ Z Zn n n
nIV IIIn nZ Z Zn n n
IVZ Zn
IVZ Zn
nn
n
nn
n
a I R a I RA Rdz z Z dz z dz
A R b K R b K R
a I RA Rdz z Z dz
A R b K R
β αβ α
β α
ββ
β
infin infin
minus= =
minus
+ minus = + + +
+ minus + +
sum sumint int int
int( ) ( )( )
( ) ( )( )4
3
5
52
1 2 1
1 3 1 3 4
1
1
2 2
1
c
s
s
in
on
ZVIn n n
n Z
ZV
n nn Z
n
a I R z
a I R z Z dz
Z dz
β β
β βinfin
infin =
= infin
=
minus
minus
= +
sum
sumint
int
intsum
( )( )( )( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 2101 2 11 2 5 2 2 5
1 1 2
1101 1 11 1 5 2 1 2 1
13
321 1
1 cos cos
1 1 1
IIIn n
n nIIIn nn n
nVn
n n
VIn n n
n
a I RA R A R Z Z Z Z
b K R
A R A R Z Z a RR a II
αα α
α
βββ
β
α
infinminus
=
infin+minus
=
+ minus = minus + rArr
+ minus = minus +
sum
sum
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )1
1 22 201 2 11 2 5
15 2 1 2
12 101 1 11 1 2 3
21
5 31
1 2
1 co
1 1
s cos
1
IIIn n
n nI
VIn
IIn n n n
nVn n
n nn
n
a I
a I RRA R A Z ZZ Z b K R
RA R A a I RZ Z
Rββ
αα α
α α
ββ
infin
=
infin+
=
+ = minus minus + rArr
+ = minus + minus
sum
sum
( ) ( )( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1
1 2 12
0 1 1 2 1 21
1 2111 1 2 1 01
1 3 13
1 3 15 2 3
11 2
1
1 1
1
1
n
VIn n
n
VIn n
nV
nIII III nn n n n n
n
nVn n
n n n
a I R
a I R
a I RA a I R b K R h q
RA a I R A RZ Z
β
ββ
ββ
βα α
ββ
+
infin
=
infin+
=
minus = + minus +rArr = minus + minus minus
sum
sum
138
Avec
( )2
2 22 1
n nRh m
R R e=
minus ( ) ( )( )2 5cos co1 s n nn
n
Z Zmα
α α= minus ( )
12 2
2 1
RqR R e
=minus
et 5 2e Z Z= minus
139
Reacutesumeacute
Lrsquoobjectif de ce travail de thegravese est drsquooptimiser le processus drsquoaimantation des
pastilles supraconductrices agrave haute tempeacuterature critique (SHTC) par un champ magneacutetique
impulsionnel ou PFM (Pulsed Field Magnetization) afin de les mettre en œuvre dans des
applications dans le domaine de lrsquoeacutelectrotechnique Dans lrsquoeacutetape de conception de lrsquoinducteur
neacutecessaire pour magneacutetiser ces pastilles SHTC la modeacutelisation et la simulation sont
fortement recommandeacutees pour effectuer les calculs neacutecessaires des diffeacuterentes caracteacuteristiques
eacutelectriques du systegraveme drsquoaimantation De ce fait nous avons deacuteveloppeacute un modegravele analytique
pour eacutetudier lrsquoinfluence de la preacutesence drsquoune pastille supraconductrice dans un circuit
ferromagneacutetique sur la valeur de lrsquoinductance drsquoune bobine inductrice Il srsquoagit de reacutesoudre les
eacutequations de Laplace et de Poisson dans diffeacuterentes reacutegions drsquointeacuterecirct agrave travers le potentiel
vecteur magneacutetique La reacutesolution analytique a eacuteteacute effectueacutee agrave lrsquoaide drsquoun code de calcul
deacuteveloppeacute sous MATLAB ougrave les reacutesultats obtenus ont eacuteteacute en bonne concordances avec ceux
obtenus par simulation numeacuterique sous COMSOL
Lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC de type YBaCuO en termes de la densiteacute de
courant critique Jc a eacuteteacute eacutegalement eacutetudieacutee Pour cela nous avons reacutealiseacute des expeacuteriences de
lrsquoaimantation des ces pastilles par la meacutethode PFM Nous avons montreacute que la surface plane
contenant le germe de cristallisation (seed) de ces pastilles est caracteacuteriseacutee par une Jc plus
eacuteleveacutee que lrsquoautre surface Ainsi nous avons eacutetudieacute lrsquoinfluence de la position du germe de
cristallisation dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles
Mots cleacutes Supraconducteur modeacutelisation analytique inductance aimantation champ
magneacutetique impulsionnel caracteacuterisation
140
Abstract
The aim of this thesis is to optimize the process of magnetization of superconducting
pellets at high critical temperature (SHTC) by pulsed field magnetization (PFM) in order to
use them in applications in the field of electrical engineering In the design phase of the
inductor necessary to magnetize these SHTC pellets modeling and simulation are strongly
recommended to perform the necessary calculations of the various electrical characteristics of
the magnetization system Therefore we have developed an analytical model to study the
influence of the presence of a superconducting bulk on the value of the inductance of an
induction coil in a ferromagnetic circuit The aim is to solve the Laplace and Poisson
equations in different regions of interest through the magnetic vector potential The analytical
resolution was performed (carried out) using a computer code developed under MATLAB
where the results obtained were in good agreement with those obtained by numerical
simulation under COMSOL
The inhomogeneity of YBaCuO type SHTC pellets in terms of critical current density
Jc was also investigated To do this we carried out experiments on the magnetization of these
bulks by the PFM method We have shown that the flat surface containing the crystallization
germ (seed) of these pellets is characterized by a higher Jc than the other surface Also we
studied the influence of the position of the seed crystallization in the two-pellet
characterization method
Key words Superconductor analytical modeling inductance magnetization pulsed
magnetic field characterization
141
ملخص
عالية حرجة حرارة درجة ذات التوصيل فائقة المواد مغنطة عملية تحسين هو العمل هذه من الهدف )SHTC (نبضي أو ما يعرف بطريقة مغناطيسي حقل طريق عنPFM في تطبيقات في استعمالها أجل من
حرارة درجة ذات التوصيل فائقة الاقراص لمغنطة المطلوب المحث تصميم مرحلة في الكهربائية الهندسة مجال لنظام المختلفة الكهربائية للخصائص اللازمة الحسابات لإجراء والمحاكاة بالنمذجة بشدة يوصى عالية حرجة
لوشيعة الذاتية قيمة على التوصيل فائق قرص وجود تأثير لدراسة تحليلي نموذج بتطوير قمنا لذلك المغنطةداخل الدارة مختلفة مناطق في وبواسون لابلاس معادلات حل هو الهدف حديدية مغناطيسية موجودة داخل دارة
تطويره تم برنامج باستخدام التحليلي الحل إجراء تم الشعاع المغناطيسي كمون خلال حساب من المغناطيسية تم التي تلك مع متوافقة الى حد كبير عليها الحصول تم التي النتائج كانت حيث MATLAB باستعمال الكود
COMSOL بموجب العددية المحاكاة خلال من عليها الحصول
نوع عالية من حرجة حرارة درجة التوصيل ذات فائقة أقرص تجانس عدم دراسة لقد تم أيضا YBaCuO باستخدام الأقراص هاته مغنطة من أجل تجارب أجرينا بذلك للقيام الحرج التيار كثافة حيث من
هاته الأقراص تبلور بذرة على يحتوي الذي المستوي السطح أن بينا من خلال هاته الدراسة لقد PFM طريقة في التبلور بذرة موضع تأثير درسنا وايضا الآخر السطح مرتفعة بالمقارنة مع Jc حرج تيار بكثافة يتميز
باستخدام قرصين متطابقين التوصيف طريقة
فائق الناقلية النمذجة التحليلية الذاتية المغنطة الحقل المغناطيسي النبضي التوصيف الكلمات الدالة
- Caracteacuterisation et modeacutelisation des mateacuteriaux supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
-
- Avant propos
- Table des matiegraveres
-
- Introduction geacuteneacuterale
- Chapitre 1 Eacutetat de lrsquoart
-
- I1 Historique de la supraconductiviteacute
- I2 Grandeurs caracteacuteristiques des Supraconducteurs
-
- I21 Tempeacuterature critique
- I22 Champ magneacutetique critique
-
- I221 Supraconducteurs Type I
- I222 Supraconducteurs Type II
-
- I23 Densiteacute de courant critique JC
- I24 Surface critique
-
- I3 Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique (SHTC)
-
- I31 Types des Supraconducteurs agrave haute tempeacuterature critique
-
- I311Supraconducteur YBa2Cu3O7-δ
-
- a- Preacutesentation
- b- Structure cristalline de lrsquoYBaCuO
- c- Proprieacuteteacutes supraconductrices drsquoYBaCuO
-
- I32 Supraconducteur MgB2
-
- a- Preacutesentation
- b- Structure cristalline de MgB2
- c- Proprieacuteteacutes supraconductrices de MgB2
-
- I4 Modegraveles des supraconducteurs
-
- I41 Modegravele de lrsquoeacutetat critique de Bean (CSM)
-
- I411 Preacutesentation du modegravele
- I412 Exemple Distribution de B J E dans un cylindre infiniment long notion de peacuteneacutetration complegravete
-
- I42 Modegravele de la loi en puissance (PLM pour Power-Law model)
- I43 Deacutependance en champ magneacutetique de Jc et n
-
- I5 Meacutethodes drsquoaimantation
-
- I51 Refroidissement sous champ ou Field Cooling (FC)
- I52 Refroidissement hors champ ou Zero Field Cooling (ZFC)
- I53 Aimantation par champ impulsionnel ou Pulsed Field Magnetization (PFM)
-
- I5 Caracteacuterisation des mateacuteriaux supraconducteurs HTC
-
- I51 Meacutethode eacutelectrique
- I52 Meacutethode magneacutetique
-
- I521 Mesure du champ magneacutetique au centre de la pastille
-
- I5211 Influence de la vitesse de monteacutee du champ magneacutetique appliqueacute sur le champ de peacuteneacutetration
- I5212 Influence de lrsquoeacutepaisseur de sonde agrave effet Hall sur la valeur de lrsquoexposant-n et Jc
-
- I522 Mesure de champ magneacutetique au centre de surface de la Pastille
-
- I5221 Calcul de la relation entre le la densiteacute de flux magneacutetique mesureacute et BP
-
- I6 Objectifs de la thegravese
-
- Chapitre 2 Modeacutelisation analytique de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit ferromagneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
-
- II1 Introduction
- II2 Reformulation du problegraveme et hypothegraveses
- II3 Expressions Analytiques du potentiel vecteur magneacutetique
-
- II31 Reacutegion I R3ltrltR4 et 0ltzltZ5
- II32 Reacutegion II R2ltrltR3 et 0ltzltZ5
- II33 Reacutegion III R1ltrltR2 et 0ltzltZ5
- II34 Reacutegion IV 0ltrltR1 et Z2ltzltZ3
- II35 Calcul de la constante drsquointeacutegration A0
-
- II4 Conditions de passages entres interfaces
-
- II41 Condition drsquointerface agrave r=R3
- II42 Condition drsquointerface agrave r=R2
- II43 Condition drsquointerface agrave r=R1
-
- II5 Expression analytique de lrsquoinductance de la bobine
- II6 Reacutesultats analytiques et discussion
- II7 Calcul de lrsquoinductance drsquoune bobine dans un circuit magneacutetique en preacutesence drsquoune pastille supraconductrice
-
- II71 Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
- II72 Conditions de passages entres interfaces
-
- II721 Interface agrave r = R4
- II722 Interface agrave r = R3
- II723 Interface agrave r = R2
- II724 Interface agrave r = R1
-
- II72 Expression analytique de lrsquoinductance
- II73 Reacutesultats et discussion
-
- II8 Aimantation drsquoune pastille supraconductrice par un champ magneacutetique impulsionnel
- II9 Conclusion
-
- Chapitre 3 Prise en compte de lrsquoinhomogeacuteneacuteiteacute des pastilles SHTC lors de leur caracteacuterisation
-
- III1 Introduction
- III2 Description du banc expeacuterimental
-
- III21 Les pastilles SHTC
- III22 Le circuit drsquoaimantation
- III23 Instrumentation
-
- III3 Caracteacuterisation drsquoune pastille SHTC
-
- III31 Probleacutematique de la position de la sonde de Hall
- III32 Calcul de la densiteacute de courant critique Jc eacutequivalent aux positions 1 et 2 de la pastille
- III33 Simulations numeacuteriques
-
- III4 Influence de la position du germe dans la meacutethode de caracteacuterisation agrave deux pastilles
- III5 Conclusion
-
- Conclusion geacuteneacuterale et perspectives
- Liste des illustrations graphiques et tableaux
- Reacutefeacuterences
- Annexes
-
- Annexe I reacutesolution des eacutequations de Laplace et de Poisson
- Annexe II Condition de passage agrave lrsquointerface entre les reacutegions III et IV agrave r =R1
- Annexe III Deacutetermination des constantes drsquointeacutegrations A01 et A02
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