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Estas transparencias han sido preparadas por A. Barrientos como complemento didctico al libro Fundamentos de Robtica 2 edicin (McGraw-Hill 2007)

Robtica Industrial

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ndice

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Objetivos del control cinemtico Establecer cuales son las trayectorias que debe seguir

cada articulacin del robot a lo largo del tiempo para conseguir los objetivos fijados por el usuario: Punto de destino Tipo de trayectoria del extremo Tiempo invertido etc..

Es necesario atender a las restricciones fsicas de los accionamientos y criterios de calidad (suavidad, precisin...)

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Trayectoria en el espacio de la tarea y articular

t

qi

qf

q2 t

qi qf

q1

t

qi qf

q3

Para seguir esta trayectoria en el espacio de la tarea

hacen falta seguir estas trayectorias en el espacio articular

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Limitaciones de los accionamientos

No es posible seguir cualquier trayectoria articular

Saturacin del accionamiento Control cinemtico Fundamentos de Robtica. McGraw-Hill (c) Los autores

Funciones de control cinemtico (I)

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Funciones de control cinemtico (II)

1. Convertir la especificacin del movimiento dada en el programa en una trayectoria analtica en espacio cartesiano (evolucin de cada coordenada cartesiana en funcin del tiempo).

2. Muestrear la trayectoria cartesiana obteniendo un nmero finito de puntos de dicha trayectoria. Cada uno de estos puntos vendr dado por una 6-upla, tpicamente (x,y,z,,,).

3. Utilizando la transformacin de cinemtica inversa, convertir cada uno de estos puntos en sus correspondientes coordenadas articulares (q1,q2,q3,q4,q5,q6). (atencin a soluciones mltiples y puntos)

4. Interpolacin de los puntos articulares obtenidos, generando para cada variable articular una expresin qi(t) que pase o se aproxime a ellos de tal modo que la trayectoria sea realizable por los actuadores,

5. Muestrear la trayectoria articular para generar referencias al control dinmico.

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Etapas del control cinemtico de un robot de 2 GDL

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Tipos de trayectorias

Qu tipo de trayectorias se pueden especificar? Trayectorias punto a punto

Movimiento eje a eje Movimiento simultneo de ejes Trayectorias coordinadas o isocronas

Trayectorias continuas

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Tipos de trayectoria segn norma UNE EN ISO 8373:1998. Robots Manipuladores Industriales. Vocabulario

Control posicin a posicin: Mtodo de control segn el cual el usuario solo puede imponer al robot el paso por las posiciones ordenadas, sin fijar las trayectorias a seguir entre estas posiciones.

Control de trayectoria continua: Modo de control, segn el cual el usuario puede imponer al robot la trayectoria a seguir entre las trayectorias ordenadas con una cierta velocidad programada

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Trayectorias punto a punto

No importa el camino del extremo del robot. Solo importa que alcance el punto final indicado

Tipos: Movimiento eje a eje: slo se mueve un eje cada

vez (aumento del tiempo de ciclo) (Slo en robots muy simples o con unidad de control limitada)

Movimiento simultneo de ejes: los ejes comienzan a la vez. Cada uno acaba cuando puede (altos requerimientos intiles)

Movimiento coordinado: empiezan y acaban a la vez

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Trayectorias punto a punto No importa el camino del extremo del robot. Solo

importa que alcance el punto final indicado Tipos:

Movimiento eje a eje: slo se mueve un eje cada vez (aumento del tiempo de ciclo) (Slo en robots muy simples o con unidad de control limitada)

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Trayectorias punto a punto

Movimiento simultneo de ejes: los ejes comienzan a la vez. Cada uno acaba cuando puede (altos requerimientos intiles)

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Trayectorias punto a punto

Movimiento coordinado: empiezan y acaban a la vez

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Trayectorias coordinadas o isocronas No importa el camino del extremo del robot,

pero los ejes se mueven simultneamente, ralentizando las articulaciones ms rpidas, de forma que todos los ejes acaben a la vez.

Tiempo total = menor posible Se evitan exigencias intiles de velocidad y

aceleracin

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Trayectorias continuas Se pretende que el extremo del robot describa una

trayectoria concreta y conocida. Importa el camino, pues durante el mismo el robot

realiza parte de su cometido (soldadura por arco, corte por lser, etc.)

Trayectorias tpicas: Lnea recta, arco de crculo, otras

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Ejemplos de tipos de trayectorias

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Trayectorias en el espacio de la tareas. Posicin

De un punto a otro (p.e.: Lnea recta) Por varios puntos

Unidos mediante lneas rectas Discontinuidades (paradas) en los puntos de

cambio

Unidos mediante otros interpoladores

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Trayectorias en el espacio de la tareas. Orientacin Interpolador lineal Pero:

No se puede interpolar las matrices MTH

Se pueden interpolar los ngulos de Euler

Se puede interpolar el par de rotacin (y de l los cuaternios)

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No es posible una transformacin analtica desde la trayectoria cartesiana a la articular (j(t) q(t)).

Alternativa: Conversin (mediante MCI) de algunos puntos de j(t) Muestreo

Cuantos puntos tomar para muestrear la trayectoria cartesiana? Muchos puntos: Alta precisin pero precisa de transformada

inversa para cada uno de ellos

Pocos puntos: Mala precisin

Compromiso: Algoritmos que evalan cuntos puntos y dnde (Taylor)

Muestreo cartesiano

En la prctica se toman tantos puntos como la unidad de control permita

Error mximo admitido

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Interpolacin de trayectorias

Unin de una sucesin de puntos en el espacio articular, por los que han de pasar las articulacines del robot en un instante determinado

Necesidad de respetar restricciones (velocidad y par mximo de los actuadores)

Tipos de interpoladores utilizados: Interpoladores lineales Interpoladores a tramos:

Polinomios cbicos y qunticos (splines) Interpoladores cudricos a tramos (trapezoidales o ajuste parablico)

Otros interpoladores Por lo general se utilizan funciones polinmicas cuyos

coeficientes se ajustan segn restricciones Control cinemtico Fundamentos de Robtica. McGraw-Hill (c) Los autores

Interpoladores lineales

Simple Precisa de aceleraciones

de valor infinito Irreal

Se pretende unir una sucesin de puntos qi por los que se debe pasar en ti

Se unen 2 a 2 mediante lneas rectas

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Interpoladores polinmicos Para unir n puntos (ti,qi) se

puede utilizar un polinomio de grado n-1.

En la prctica esto conduce a polinomios en t de grado (n-1) elevado, originndose problemas computacionales.

t

q

Como alternativa se recurre a polinomios de grado bajo (3 a 5) que unen unos pocos puntos consecutivos y a los que se impone adicionalmente la continuidad en las primeras derivadas (posicin, velocidad, etc.)

Los interpoladores lineales, antes planteados, son el caso particular de n=2

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Interpoladores cbicos Se une cada pareja de puntos con un

polinomios de grado 3 (4 parmetros) q(t)=a+b.t+c.t2+d.t3 (para cada tramo)

4 parmetos 4 condiciones de contorno posicin y velocidad al comienzo y fin

Trayectoria = serie de polinomios cbicos concatenados escogidos de forma que exista continuidad en posicin y velocidad, denominados splines

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Seleccin de las velocidades de paso

Para definir las velocidades de paso por los puntos hay diferentes alternativas:

1.- Criterio Heurstico: Dndolas el valor 0 o valor medio de las velocidades lineales

2.- A partir de las velocidades en el espacio de la tarea (mediante la Jacobiana)

3.- Obligando a una continuidad en las aceleraciones, lo que obliga a resolver un sistema de ecuaciones con todas las velocidades de la trayectoria de manera simultnea.

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Interpoladores quntico Permite la continuidad de velocidades y aceleraciones, pudiendo dar a estas los valores que se deseen.

Expresin del polinomio por tramos:

Las condiciones de contorno son:

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Interpoladores trapezoidal. Evitan que la velocidad vare durante la mayor parte de la trayectoria (solo en los cambios de direccin)

Para ello:

Utiliza un inteporlador lineal (velocidad constante) durante todo el trayecto salvo en las cercanas de los cambios de direccin, donde usa un interpolador de segundo grado.

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Interpolador trapezoidal. Caso velocidad inicial y final nula

arranque

mantenimiento

frenado

con

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Interpoladores a tramos. Caso velocidad inicial y final no nula. Ajuste parablico Al tener varios puntos, la velocidad de

paso por los puntos intermedios no debe ser nula, pues dara lugar a movimientos discontinuos.

Se puede conseguir variaciones suaves de una velocidad a otra a costa de no pasar exactamente por los puntos.

El error cometido va en funcin inversa de la aceleracin mxima permitida (a)

Los puntos inicial y final se deben tratar como de velocidad nula

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Ajuste parablico

Tramos rectos:

Tramos parablicos

q(t) = q i t ti1( ) + qi1 ti1 + i1 < t < ti i

con q i =qi qi1ti ti1

i = q i+1 q i

2a

q(t) = 12

a t ti( )2 + q i+1 + q i

at + C ti i < t < ti + i

con C = 12

a i2

q i+1 + q i2

t i( ) + q i ti i ti1( ) + qi1

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Ejercicio

Desarrollar en Matlab, un programa que encuentre los coeficientes del interpolador de n puntos y dibuje la trayectoria resultante, utilizando: Splines cbicos (con velocidades definidas por el criterio

heurstico)