capitulo 21 sears - carga electrica

5/10/2018 Capitulo 21 Sears - Carga Electrica

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Casi todas las fuerzas que actuan sabre es-te esquiador SOil electricas. Las interaccio-nes electricas entre moleeulas adyacentesdan origen a la fuerza del agua sabre el es-qui, a la tension de la cuerda de remolquey a la resistencia del aire sabre el cuerpodel esquiador. [Las interacciones electricastambien conservan la integridad del cuerpodel esquiador! .8010 una fuerza enteramen-te IlO electrica acnia sabre el esquiador: laf ue rz a d e g ra ve da d.

? E I agua haee posible la vida: lascelula s de n uestro eu erp o no pod rianfun ciona r sin la s m olecule s disue ltas en~I agua del in terio r de las celulas, LQ uepro pied ade s electricas de l ag ua hac en deella un disolve nte tan b uen a?

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CARGA ELECTRICAYCAMpOELECTRICO

E ll el capitulo 5 del volurnen 1 m~llcionamos brevernente los c.uatro tiposfuerzas fundamentales, Hasta aqui la unica de estasfuerzas que hemos eminado con algun detenimiento es la fuerza de gravedad. Ahora que conocemmejor los conceptos basicos de Ia fisiea, entre ellos el cornportamiento de lasdas y las reglas de transferencia de energia, estamos en condiciones de investilas propiedades de otras fuerzas. Con muchc, la m a s comun de estas fuerzasnuestra vida diaria es el electromagnetismo que abarca tanto lafuerza electricamo la fuerza rnagnetica. Nuestra exploracion de los fenomeuos electromagneticocupara nuestra atencion durante la mayor parte delo que testa de este libro.En las interacciones electrornagneticas intervienen particulas que tienen

propiedad conocida como carga electrica, un atributo tan fundamental comomasa. Asi como los objetos can masa son acelerados por las fuerzas gravitatorilos objetos can carga electrica son acelerados por las fuerzas electricas. La mota chispa electrica que sentimos cuando frotamos los zapatos sabre una alfomy luego tornamos Ia perilla metalica de una puerta se debe a que saltan particucan carga entre los dedos y la perilla de la puerta. (Un raYo-es un fenomeno silar en una escala muchisimo mayor). Las corrientes electricas, como las queen una linterna de mane, un reproductor portatil de CD 0 un televisor, son sirnpmente torrentes de particulas con carga que fluyen deritro de alambres en resputa a fuerzas electricas. Tncluso las fuerzas que mantienen unidos los atornos pformar materia salida, y que impiden que los


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21.1 I Carga electrica

Iniciaremos el estudio del electrornagnetismo en.este capitulo examinando lanaturaleza de Ia carga electrica. Descubriremos quela carga electrica esta cuanti-zada y que obedece un principia de conservaoion. Despues analizaremos las inter-acciones de las cargas electricas que se hallan en reposo en nuestro marco de re-ferencia, conocidas como interacciones electrostaticas. Estas interacciones tienenuna irnportancia considerable en quimica y en biologia, asi como numerosasapIi-caciones tecnologicas. Las interacciones electrostaticas estan gobernadas por unasencilla relacion que se conoce como la ley de Coulomb, y se describen del modomas conveniente mediante el concepto de campo electrico, Exploraremos todosestosconceptos en este capitulo, y abundaremos en ellos en los tres capltulos si-guientes. Eri 10 s capitulos subsiguientes ampliaremos nuestro estudio a fin de i 1 1 -cluir las cargas electricas en movimiento, Con .esto podremos comprender eImagnetismo y , sorprendentemente, la 'naturaleza de la luz.

Si bien las ideas fundamentales del electromagnetisrno son conceptualmentesimples, su aplicacion a problemas practices exige recurrir a mucbasde nuestrasdestrezas matematicas, en especial a nuestros conocimientos de geometria y decalculo integral. Por esta razon, es probable que este capitulo, asi como los que si-guen, resulten para usted mas dificiles en terminos matematicos qUE!os anterio-res. La recompensa por el esfuerzo adicional sera una comprension mas profundade los principios que yacen en el corazon de Ia fisica y la tecnologia modernas.21.1 I Carga electricaLosantiguos griegos descubrieron, ya en 600 A.C., que cuando frotabanambarcon lana, el ambar atraia O~TOs objetos: Hoy en dia decimos que el ambar ha adqui-rido una carga electrica neta, esto es, que se ha cargado. La palabra "electrica"se deriva de la palabra griega elektron, que significa ambar, Cuando frotamos loszapatos sobre una alfornbra de nylon, adquirimos unacarga electrica, y tambienpodemos "cargar" un peine haciendolo pasar a traves de cabello seco. .Las barras de plastico y la piel (real 0 sintetica) resultan particularmente eficacespara demostrar algunos fenomenos relacionados con la electrostatica, esto es, las

interacciones entre cargas electricas que estan en reposo (0 casi). La figura .2l.1aI ni ci alm en te , l asb arra s no se atra enIII s e r e pe le n

~~Plastico Piel

Dos barras de plasticofrotadas con p l e l serepelen Il lut l lamente

(b )

Des barras de vidriofrotadas ca n sedase repe len l l1u t. lIamen te

(d ) (e)

21.1 'Experimentcs de electrostaticLas barras de plastico frotadas conquieren carga negativa y se repelem ente. (c, d ) L as b arra s d e vidriocon seda adquieren carga positivapelen mutuamente. (e, f) Los objecarga positiva y los objetos con cagativa se atraen mutuamente,&

~Seda Vidrio

Inicialmenb arr as n on i s e r ep e

(e)

La piel atraela barra deplaslico de (b )


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21.2 Diagrama esquematico delfuncionamiento de una impresoralaser.

C /I . PiT U L 0 21 .1 Carga electrica y campo electrico

muestra dos barras.de plastico y un trozo de piel. Despues de cargar cada barra ftandola contra el trozodepiel, encontramos que las barras se repel en mutuamen(Fig. 21.1 b). Al frotar barras de vidrio (Fig. 21.1c) con seda, las barras de vidtambien adquieren carga electrica y se repelen mutuamente (Fig. 2Lld). Pero ubarra de plastico can carga atrae a una barra de vidrio can carga (Fig. 21.1e). Maun, la barra de plastico y la piel se atraen mutuamente, al igual que la barra dedrio y la seda (Fig. 21.1 f).

E s to s exp er iment os , y muchos otros parecidos a estes, han mostrado que hexactamente dos tipos decarga electrica: la que tiene la barra de plastico que se ft o c on tr a; hi piel y l a ' qu e h ay e li la ob ar ra de vidrio que se frot6 contra la seda, Bejam in Franklin (170& -1790). sugiri6 llam ar a estas dos clases de carga negativapositiva, respectivamente, y estes nombres s e s ig ue n emple ando ho y en dia.La brra de plastico y la seda tienen carga negativa; Ia barra de vidrio y Iapiel tienen cga positive. Doscargas positivas 0 dos cargas negativas.se repelen mutuamenteUna .C2rg3 POSith';l Y nnaea rga negatlva se atraen una a -Ia o tra,

:II C.2 i::5:don 'J t il repulsion de dos objetos con carga se resumeocasiones como "las cargas del misrno tipo se repelen, y las cargas opuestasatrasn". Pero no debemos olvldar que la frase "cargas del' mismo tipo" no snifica cfuelas.dos cargas sonexactamente ldentlcas, sino 5610 que ambas tienee! rnlsrno -signo algebraico (arnbas positivo 0ambas negativo) .. "Cargas opuetas" significa que los dos objetos tienen rarqa electrica, y que sus cargas tienesignos diferentes (uno posltlvo - I o tro negafivo).

Una aplicacion tecnoI6gica de las fuerzasentre cuerpos con carga electricad aen la im preso ra laser (Fig. 2 1.2 ). In ic ia lm en te , se p ro po rc io na c arg a p ositiv atambor formador de imagenes y sensible ala luz de la irnpresora. Conforms gel tambor, un rayo laser ilumina ciertas areas del tambor y las deja can carga n2. El rayo laser "escribe" sabre el tambor

y d eja areas can carg a ne g ati v a


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gativa. Lasparticulas can carga positiva del toner se adhieren solo a las areas deltambor "escritas" por el laser. Cuando se pone una hojade papel en contacto CODel tambor, las particulas de toner se adhieren al papel y forman una imagen.Carga electrica y estructura de fa m ateria -Cuando se carga una barra frotand ola con piel 0con seda, como en la figura 2 I,1, nohay cambio visible alguno en la apariencia de la barra, l,En consecuencia, que es 10que en realidad Ie ocurre ala barra cuando se carga? Para responder a esta pregunta,antes es nec es ar io e xa rn in ar con d et en im i en to 13 e st ru ct ur a y las propiedades electri-cas de los Mamas, los cornponentes basicos de la materia ordinaria de toda clase.La estructura de los atomos se puede describir en terminos de tres particulas: el

electron, con carga negativa (Fig. 2 1.3), el proton, con carga positiva, y el neutronque no tiene carga. El proton y el neutron son cornbinaciones deotras entidades lla-madas quarks, que tienen cargas equivalentes a : : ! : 1 Y ~de la carga del electron.No se han observado quarks aislados, y existen razones teoricas para pensar que,en principia, es imposible observar un quark solo.Los protones y neutrones de un Mama constituyen un centro pequefio y muy den-so I lama do n uc le o, can dimensiones del orden de 10 - 1 5 m. Alrededor del nucleo es-

tan los electrones, que se despliegan hasta distancias del orden de 10-10 illcanrespecto a t nucleo , S i un Morna tuviera un diametro de unos pocos kilom etres, su nu-cleo se n a del tamaiio de una pelota de tenis. Los electrones con carga negativa son re -tenidos dentro del atomo par las fuerzas electricas de atraccion que ejerce sabre ellasel nucleo can carga positiva. (La que rnantiene a los protones y neutrones dentro delos nucleos at6micos estables es una i nt er acc ion de atraceion, denominadajUerza nu-clear f u e r t e , que vence la repulsion electrica de los protones, EI alcance de la fuerzanuclear fuerte es corto y sus efectos no se extienden mucho m as alla del nucleo).Las masas respectivas de las particulas individuales, can la exactitud can la que

se conocen hoy en dia, sonMasa del electron = me = 9.10938188(72) X 10-31 kgMasa del proton = mp = 1.67262158(13) X 10-27 kgMasadelneutron = Inn = 1.67492716(13) X 10-27 kg

Los numeros entre parentesis son las incertidumbres de los ultimos dos digitos.Adviertase que las mas as del proton y del neutron son casi iguales y equivalentesa alrededor de 2000 veces la masa del electr6n. Mas del 99.9% de la masa de cual-q uie r a to mo se concentra en su nucleo.

(a) Atomo de li tio neutro (Li): elnucleo tiene tres protones (rojos)y cuatro neutrones (purpura); treselectrones (azul) describen orbitasalrededor deln tic!eo

(b) Ion litio positive (Li"): seforma quitando un electron aun atorno de litio neutro

21.1 I Carga electrica

21.3 EI electron, el primer compde l a to rno qu e se a isle , fu e d escu1897 po r el fisico ingles 1. 1. Thote descubrimiento revolucicno nucomprension de la estrucrura dey di0 0rigen a lo s descu brimi entores del proton y del neutron. Thomhizo acreedor al Premio Nobel de1906 y fue nombrado caballero e

21.4 (a) Un atorno neutro tiene enumero de electrones qu e de protUn ion positive tiene un deficit dnes, (c) Un ion negativo tiene unelectrones, (Las "orbitas" de losson una representacion esquernatidistribuci6n electronica real, unafusa much as veces mas grande qunucleo),

(c) Ion litio negative (Li"): seforma agregando un electrona un atomo de Iitio neutro


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796 C l\P f T U L 0 21 I Carga electrica y campo electricoLa carga negativa del electron tiene (dentro de los lirnites de error experimen

tal) exactamente la rnisma rnagni tud que la carga positiva del proton. En un atomneutro el numero de eleetrones es igual al numero de protones del micleo, y la caga electrica neta (la sums algebraic a de todas las cargas) es exactamente cero (Fi21.4a). El numero de protones 0 de electrones de un


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21.2 I Conductores, aisladores y cargas iducidasfuerzas electricas entre las particulas can carga de los MOUlOS de nuestras asentaderasy los atomos de la silla, La fuerza de tension de un.hilo esrirado y la fuerza adhesivadelpegamento se deben igualmente a las interacciones electricas de los atomos,

En terminos estrictos, wesa Intis, menos 0 10mismo la barra de plastieo de la fi-gura 21.1 despues de frotarla con piel? i. .Y la barra de vidrio despues de frotarlacon seda? ;,Y que hay de la piel y la seda?21.2 I Conducto re .s , a is ladores y cargas inducidasCiertos materiales permiten que la carga electrica se desplace can facil idad de unaregion del material a otra, pero otros no. Par ejemplo, Lafjgura "21.5amuestm unalambre de cobre sostenido par una barra de vidrio, Suponga que toea un extremodel alambre con una barra de plastico con carga electrica y sujeta el otro extremo auna esfera metalica inicialmente sin carga, y luego retira la barra con carga y elalambre. AI acercar otro cuerpo con carga a l a e s fe ra (Figs. 21.5 b y 21.5 c), I a e sf e-ra es atraida 0 repelida, 10 que indica que la esfera ha adquirido carga electrica, Lacarga electrica se ha.transferido pormedio del alambre decobre entre la superficiede la barra de plastico y la esfera.

E I a lambr e se describe como un.condactor de electrioidad. Si se repite el experi-mento con un eiastico 0 un hila de nylon en vez del alambre, se observa que no setransfiere carga electrica alguna a la esfera, Estos materiales se llaman aisladores,Los conductores permiten que la carga e1ec"trjJ;a"s~desplace facilmentea 'traves.de,~i losmsladores. Como e : ; e m . p J o , la s f ib ra s de rum alfombra en un dia sewson buenos a isla nte s, A l camin ar s ob re una alfom bra, el roce de los zapatos contra lasfibras produce una acumulac ion de carga errf iues tro cuerpo, y esta carga permaneceen el porque no puede fluir a traves de las fibras aislantes.Si a continuacion tocamosun objeto conductor, como la perilla de una puerta, ocurre una rapida transferencia decarga entre el dedo y la perilla, y sentimos una descarga. Una forma de evitar esto esenrollar algunas fibras de la alfombra en.torno a centros conductores para que cual-quier carga que se acum ule en nuestro cuerpo se transfiera sin causar daiio ala alforn-bra. Otra solucion consiste en.recubrir Jas fibras de la alfcmbra con una eapaantiestatica que no transfiere electrones hacia 0 desde los zapatos con facilidad; enprimer Ingar, esto irnpide que se acumule carga en el cuerpo:

Casi todos los metales son buenos conductores; en cambio,la mayor parte de losno metales son aisladores, Dentro de un metal solido, comoelcobre, per ejemplo;uno 0 mas e1ectrones externos de cada a tomo s e d esp re nd en y piieden moverse li-bremente POt todo el material, del rnisrno modo que las moleculas de un gas semueven a traves de los espacios entre los granos de un cubo de arena. Elrnovimien-to de estes electrcnes con carga negativa transporta carga a traves del metal. Losdemas electrones permanecen ligados a los nucleos Call carga positiva, los que, asu vez, estan sujetos en posiciones practicamente fijas dentro del material. En un.aislador ha y pecos electrones libres (0 ninguno), y Ia carga electrica no se puededesplazar libremente por todo el material. Ciertos rnateriales lIamados semicon-. ductores tienen propiedades que son interrnedias entre las de los buenos conducto-res y las de los buenos aisladores.Be puede cargar unaesfera metalica tocandola con-una barra de plastico con car-

ga electrica, como en la figura 21.5a, En este proceso, algunos de los electrones enexceso de la barra se transfieren de esta.a la esfera, 10que deja a la barra con unacarga negativa mas pequeiia. Existe otra tecnica mediante la cual la barra de plasti-co puede orientar en otro cuerpo una carga de signo opu es to , sin perder algo de supropia carga. Este procedimiento se conoce como carga par induccien.

HilodenylonY.opo

Alambre de vde cobreTEsferarnetalica

~p la stcar

(a)

(b)

Barr~o

(c)

21.5 EI cobre es buen conductorelectricidad; el vidrio y el nylon Snos aisladores. (a) El alambre conga entre la esfera metalica y la haplastico con carga para cargar negmente la esfera, (b) Despues, Ja etalica es repelida por una bam decon carga negativa y (e) atraida 7barra de vidrio can carga pmi:;' L


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Esfera

_Soporteaislante

(a) Inicialrnente, la esferametalica no tiene carga

21,6 Carga de una esfera metalicapor induccion,

"

CAPITULO 21 I Carga electrica y campo electrico

Defieiencia de electrones aquiBarra con ""'"carga negativay Los e lee t rones

se acumulan aquf(b) Se acerca unabarra can carga

(c) El alambre permite que loselectrones acumulados fluyan a tierra

Los e lec trones de la--::--esfera se redistribuyen:

la esfera en conjuntotiene una deficienciade electrones

(d) Se desconecta el al ambrede la esfera (e) Se reti ra la barra con carga

La figura 21.6a muestra un ejemplo de carga por induccion. Se tiene una esfra metalica apoyada en un soporte aislante, Cuando se le acerca una barra con cga negativa, sin llegar a tocarla (Fig, 21.6b), el exceso de electrones de la barrepele los electrones libres de la esfera metalica, los cuales se desplazan haciaderecha, alejandose de la barra, Estos electrones no pueden escapar de Ia esfeporque eI soporte y el aire que la rodea son aisladores, Por consiguiente, se tieun exceso de carga negativa en Ia superficie derecha de la esfera y una deficiencia de carga negativa (es decir, una carga positiva neta) en la superficie izquierdEstas cargas en exceso se conocen como cargas inducidas.No todos los electrones libres se desplazan ha~ia la superficie derecha de la e

fera. Tan pronto como se crea una carga inducida, esta ejerce fuerzas hacia laquierdascote los dermis electrones libres. Estos electrones son repelidos porcarga negativa inducida de la derecha y atraidos hacia la carga positiva inducidala izquierda, EI sistema alcanza un estado de equilibrio en el que la fuerza haciaderecha que se ejerce sobre un electron, debida a la barra con carga, esta balanceda exactamente por la fuerza hacia Ia izquierda debida a la carga inducida, Si se rtira la barra con carga, los electrones libres se desplazan de nuevo a la izquierda,se recupera la condicion neutra original.

LQue ocurre si, mientrasla barra de plastico esta cerca, se pone en contactoextremo de un alambre conductor con la superficie derecha de la esfera, y el otro etremo en contacto con la tierra (Fig. 21.6c)? La tierra es conductora, y es tan grade qu~ acnia como una fuente practicamente infinita de electrones adicionales 0sumidero de electrones no deseados. Parte de la carga negativa fluye pOl' el alamba Ia tierra. Sup6ngase ahora que se desconecta el alambre (Fig. 21.6d) y luego se rtira la barra (Fig. 21.6e); queda entonces una carga negativa neta en la esfera, La cga de la barra con carga negativa no ha cambiado durante este proceso. La tieradquiere una carga negativa de igual magnitud que la carga positiva inducida qpermanooe en la esfera.

La carga por induccion funcionaria de igual manera si las cargas mcviles de lesferas fueran cargas positivas en vez de electrones con-carga negativa, 0 inclussi estuviesen presentes cargas moviles tanto positivas como negativas. En un coductor metalico las cargas moviles son siempre electrones negativos, pero sueser conveniente describir unproceso como si las cargas en movimiento fuesen psitivas. En las soluciones i6nicas y en los gases ionizados, tanto las cargas positvas como las negativas son m6viles.


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21.2 I Conductores, aisladores y cargas inducidas

Par ultimo, advertimos que UlJ cuerpo con carga electrica ejerce fuerzas inclusosobre objetos que no tienen carga en sf. Si se frota un globo sobre el tapete y luegose sostiene el globo contra el techo de la habitacion, permanece adherido, pese a queel techo no tiene una carga electrica neta. Despues de electrificar un peine pasando-1 0 por el cabello, podemos recoger con el pedacitos de papel sin carga. L Como e s po-sible que e st o o cu rr a?

Esta interaction es un efecto de carga inducida. En la figura 21.6b la barra deplastico ejerce una fuerza neta de atraccion sobre la esfera conductora no obstanteque la carga total de la esfera es cero, porque las cargas positivas estan mas proxi-mas a la barra que las cargas negativas. Incluso en un aislador, las cargas electricaspueden desplazarse un poco en lin sentido u otro cuando hay una carga cerca. Estose muestra en la figura 21.7a; el peine de plastico can carganegativa provoca un pe-quefio desplazamiento de carga dentro de las moleculas del aislador neutro, efectoque se conoce como polarizacion. Las cargas positivas y negativas del material es-t a n presentes en cantidades equivalentes, pera las cargas positivas estan mas proxi-mas al peine de plastico y, por tanto, experimentan una atraccion mas intensa que larepulsion experim entada pO I las cargas negativas, 10 que da po r resultado una fuer-za de atracci6n neta. (En la secci6n 21.3 estudiaremos como dependen las fuerzaselectricas de la distancia.) Observe que un aislador neutro tambien es atraido haciaun peine con carga positiva (Fig. 21. 7b). En este caso las cargas del aislador se des-plazan en sentido opuesto; las cargas negativas del aislador estan mas pr6ximas alpeine y experimentan una fuerza de atraccion mas intensa que larepulsion que seejerce sabre las cargas positivas del aislador, Asi pues, un objeta can carga de uno uotro signa ejerce una fuerza de atraccion sabre un a isla dor s in carga.

La atraccion entre un objeto con carga y uno sin cargatiene numerosas aplica-ciones practicas importantes, entre ellas el proceso electrostatico de pintado que seutiliza en la industri a autornovi Iistica (Fig. 21.8). El 0bjeta rnetalico por pintarse conecta a la tierra, y se proporcionauna carga electrica a las gotitas de pintura arnedida queestas salen de la boquilla de la pistola rociadora, Cuando las gotitas seaproximan, en el objeto a~ecen cargas inducidas del signa opuesto, comose muestra en la figura. 21.6b, las wales atraen las gotitas hacia la superficie, Esteprocedimiento reduce al maximo el rociado en exceso debido a nubes de particulasdispersas de pintura, proporciOna!ldo un acabado particulannente lisa.

A partir de la situ acio n que se muestra en la figura 21.6a, describa com o utiliza-_ria una barra can carga para dar una carga positiva a la esfera metalica,

Objetometalico

"=TierraPulverizador depintura

21.8 P ro ce so e le ct ro st at ie o d e p in ta do ( compa re l as .f ig ur as 21.6b y 21.6c)

P ein e CO ilcarganegativa

Aisladorelectronede las rnodesplazande! peine

CalLas cargas pcsitivas de las moe sta n m as ce rca del p ein e n eg ativcargas nega rivas: la fuerza neta e

cargapositiva

. ~ ' " '.~/!F , - - - F _ . _ _~ . . f ? ~ Aislador~ ~ 'M' e lec tro .nes.~,~ . de las mo~u -. desplazan~ _ peineL.....:...(b) Las cargas negatives de las me s ta n ma s cerca del peine posi uvcargas posit ives: la fuerza neta e

21,7 Las cargas que estan denmoleculas de un material aislanden desplazar Ull poco. Ell conun peine COlI carga de cualquiera un aislador neutro. Por la tercNewton, el aislador neutro ejerza de arraccion de igual magnitpeine.


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s o u

Fibra de ~_----+-1torsion

(a )

(b)

(el21.9 Balanza de torsion del tipo que em-plea Coulomb para medir ia fuerza electri-ca. (b) Las cargas electricas del rnismosigno se repelen unas a otras. (c) Las car-gas electricas de signos opuesros se atraenmutuamente. En ambos casos las fuerzasobedecen la tercera Jey de Newton:F[,obrel = -Fsot,"['

CAP f T U L 0 2l I Carga el ectrica y campo electrico

21.3 I Ley d e Cou lombCharles Augustin de Coulomb (l736~ 1806) estudio en detalle, en 1784, las fuezas de interaccion de las particulas con carga electrica. Utilize una balanza de tosion (Fig. 21.9a) similar a la que utilizara Cavendish 13 aiios despues .paestudiar la interacci6n gravitatoria, mucho mas debil, como se explico en la secion 12.1. En el caso de las cargas puntuales, esto es, de cuerpos con carga qson muy pequefios en cornparacioncon la distancia r que los separa, Coulomb econtr6 que la fuerza electrica es proporcional a 1 Ir2 Es decir, cuando se duplicadistancia r, Ja fuerza disminuye a t de su valor inicial; cuando la distancia se redce a la mitad, la fuerza aumenta a cuatro veces su .valor inicial.La fuerza electrica sobre una carga, debida ala interaccion entre dos cargas pu

tuales tambien depende de la cantidad de carga de cada cuerpo, la cual denotaremocomo q 0 Q. Para estudiar esta dependencia, Coulomb dividio una carga en dos pates iguales poniendo un conductor esferico pequefio con carga en contacto can uesfera identica, pero sin carga; por simetria, la carga se distribuye equitativamente etre las dos esferas. (Dese cuenta del papel fundamental del pri.ncipio de conservaciode la carga en este procedimiento.) De este modo, Coulomb podia obtener un mediun cuarto, y asl sucesivameme, de cuaJquier carga inicial. Descubrio que las fuerzque dos cargas puntuales q 1 y q 2 ejercen una sabre la otra son proporcionales a cadcarga y, en consecuencia, proporcionales alproducto q]q2 de las dos cargas. una fuerza F 2 = qaE2 ejercida par la carga Q2,y asi sucesivamente. Por el principia de superposicion de fuerzas analizado en laseccion 21.3, la fuerza total F 0 que la distribucion de carga ejerce sabre q o es la su-rna vectorial de estas fuerzas individuales: .

--T ~ -T ' " " " ' * --T --10 _Fo = F, + F2 + F3 + '" = qaE] + qaEl + QOE3 + ...El efecto cornbinado de todas las cargas de la distribucion queda descrito par elcampo electrico total E en el punto P. Con base en la definicion de campo elec-trico [ecuacion (21.3)], esto es

- F o ~ - ' -E = - = E J + E2 + E) + ...q o

El campo electrico total en P es la suma vectorial de los campos en P debidos acada carga puntual de la distribucion de carga. Este es el principio de superpost-cion de campos electrieos.Cuando la carga esta distribuida a 10 largo de una linea, sabre una superficie a en

un volumen, algunos otros terminos resultan utiles, En el caso de una distribucion de.,' carga lineal (como una barra de plastico larga y delgada can carga), se representa co-. rna A ("lambda") la densidad lineal de carga (carga en cada unidad de longitud, me-dida en C/m). Cuando la carga esta distribuida sabre una superficie (como lasuperficie del tambor formador de imageries de una impresora laser), se representa co-mo a ("sigma") la densidad superficial de carga (carga en cada unidad de area, me-dida en C/m2). Y cuando la carga esta distribuida en un volumen, se representa comop ("ro") la densidad volumetrica de carga (carga en cada unidad de volumen, e/m3).Algunos de los calculos de los ejemplos que siguen pueden parecer muy intrin-

cados; en los calculos de campos electricos es parte integral de su naturaleza uncierto grado de complejidad matematica. Despues de haber resuelto par cuentapropia los ejemplos paso a paso, el procedimiento parecera menos temible. En elcapitulo 28 haremos uso de muchas de las tecnicas de c6mputo de estos ejemplospara calcular los campos magnificos creados por cargas en movimiento.

Calc ulo d el c ampo alectrlcoIDENTIFICAR los conceptos pertinentes: Aplique el principiode superposicion siempre que necesite calcular el campo elec-trico debido a una distribuci6n de carga (dos a mas cargas pun-tuales, uoa distribucion en una linea, superficie 0volumen 0unacombinacion de estes),PLANT EAR el problema siguiendo estos pasos:1. Haga un dibujo que muestre con claridad la ubicacion de

las cargas y de los ejes de coordenadas elegidos,2. En su dibuj 0, indique la posicion del punta del campo (el

puoto en el que s e de-seacalcular el campo electrico ihA

veces el punta del campo estara en alguna posicion arbi-traria a 10largo de una linea. Por ejemplo.jse-nos podriapedir hallar E en cualquier punto sabre el eje de las x.

EJECUTAR la solucion. como sigue:1. Asegurese de emplear un conjunto congruente de unida-

des. Las distancias deben estar en metros, Y1acarga, encoulomb. Silos. datos estan en centimetres 0 en nanocou-lomb, no olvide hacer las conversiones,

2. A1 adicionar los campos electr icos ere-ados por diferentespartes de la distribucicn de carga, reeuerde que el campo


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2 1.5 I C alcu los de cam pos e le ctric o s

Ielectrico es una magnitud vectorial, por 10 que es foizosocalcular la suma vectorial. No adicionede manera simple lasmagnitudes de los campos in di vi du ale s; t am b ie n l as 'd ir ec -ciones son importantes,3. Aproveche toda sirnetria de la distribucion de carga, Por

. ejemplo, si una carga positiva y una carga negativa deigual magnitud se encuentran situadas simetricamente conrespecto al punta del campo, pro dueen campos electricosde igual magnitud pero can direcciones que son comoimagenes en el espejo. EI aprovechamiento de'estassime-t ri as s imp l if ica ra los calculos,

4. La mayoria de las veces uti l iz ar a c ompo ne n te s para calcu-lar sumas vectoriales. Aplique losrnetodos que aprendioen e lca pitu lo 1 ; r ep as elo s, S 1e s necesario. Utilice Ja nota-cion vectorial correcta; distinga minuc io sa rn en te e nt re es-ealares, vectores y componentes de vectores, Cercioresede que las componentes sean congruentes con los ejes deccordenadas elezidos.

5 . A l calcu lar las direcciones de los vectores E , t en ga c ui da -do de distinguir entre el punta de origen y el punta delcampo. EI campo producido por una carga puntual 8 i e 1 1 1 -

21.20 Campo electrico en tres puntas, a, bye, generado por lascargas q. y Q2 ' que forman Ull dipole electrico,

pre apunta del punto de origen hacia el punto del camla carga es positiva, y apunta en e1sentido opuestocarga es negativa.

6. Enciertas situaciones se tiene una distribucion contincarga a 10 largo deuna linea, sabre una superficie 0 e n ulumen. En tales ca so s s e debe d efi ni r u n e lemen to p eqde carga que se pueda considerar como lin punto, 'h alcampo elec tr ico en e1punto P, y encon tr aruna fO rIW1dcionar los campos de todos los elementos de c ar ga , P or~1'Y es m as f aci lhacer es to .con respecto a cada compode.E por separado, y en rm ichos cases sera necesario evuna 0mas integrales. Cerciorese de que los limites de stegrales sean correotos; en especial cuando la si tuacions en te s im e tr ia , a se gu re se d e no c on ta r la carga dos vece

E V A l U A R la o respuesta: C om pruebe que 1a direccion derazonable, Si su resultado-de la magnitud de l campo electres funcion de Ia posicion (par ejemplo, Ia coordenada x) ,p ru eb e s u re su lta do dentro de los limites entre los qu e s~p.Ia magnitud debe estar, Si es posible, compruebe su respcalculandola de otro modo.

Ejemplo21 .9 . Campo de un dipolo electrlco

Las cargas puntuales q. y ql de + 12 r lC -y .:_2 nc, respectivarnente,se encuentran separadas p a r .una' distancia de 0.10 m (Fig. 21.20).Esta combinacion de dos cargas de iguaJ rnagnitud y signo opuestose llama dipolo electrico. (Las combinaciones de este tipo se presen-ta n can frecuencia en la naturaleza. Par ejernplo, en la figura 21. '7cada molecula del aislador neutro es un dipolo electrico. Estudiare-m as los dipoles con mas detenirniento en la seccion 21.7.) Calcule

yCE~-I a B eI a1_

/ E2\I \I \I \I \I \I \I \I \

I \I \, \13.0 em 13.0 emI ,I \IIIIIIE b r, q2b a E- a X

i:--- 4.0 6.0 4.0--71em em em

el campo el ec tr ico produc ido par ql, el campo originado pocampo total a) en el punta a ; b) en el Pllllto_b; y c) en el pu

"NNe t.]~'I D E N T IF IC A R Y P L A N T E A R : La figura 21.20 muestra el sicoordenadas y la ubicacion de los tres puntas del campo aE J E C U T A R : a) En el punto a el campo E Icreado par la cargva q. y el campo 2 creado por la carga negativa q2 estan arigidos hacia la derecha, Las magnitudes respectivas de E l Y

EI =_1_l4! = (9.0 X 109N.m2IC2)12 X 1O4 'iTEo r: (0.060 m= 3.0 X 10 4 NlC

E2 = 1 _ l q 2 1 = (9.0 X 1Q9N.m2/C2)12 X .lO_-47io 1'2. (0.040 m=6.8 X 104 N/C

Las componentes de i:lyE 2 sons;=3.0 X 104 N/C2< =6.8 X 104 N / < ; : :

Ely =0E2 . 1 ' . = 0

Par tanto, en el punto a las cornponentes del campo electrE a = 1 + E z son.(Ea L = :.EI~ + Ev = (3.0 + 6.8) X 104 N/C(Ea)y = Ely + E2y = 0


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814 CAPITULO 21 I C a rg a e le ct ri ca y c ampo e lect ri coEn e1punto a el campo total tiene una magnitud de 9.8 X 104 N/CY esta dirigido hacia la derecha; por tanto

E o = (9.8 X 1 04N/C) ib) En el punto b el campo E I debido a ql esta dirigido hacia la iz-quierda, en tanto que el campo E 2 debido a q2 esta dirigido hacia laderecha. Las magnitudes respectivas de E I y Ezson

s, =-'_1_ ~ =(9.0 X 109N. mIIC!) 12 X 10-9 C41rEo ,z (0.040 ill) 2

= 6.8 X 104 N/C2 =_ 1 _ l q ! 1 = (9.0 X 109N .m2 /C2 ) 12 X 10-9 C

417EO r: (0.140 rn)"= 0.55 X 104 N/C

Las componentes de E I,E 2 y el campo total H b en el punto b sonE 1 , = -6.8 X 104 N/C E ly = 0E 2 > = 0.55 X 104 N/C s; = = 0

(E b), == E lx + E z, =_6.8 + 0.55) x 104N/C(Eb)y: ;= E ly + E2y = Q

Es decir, el campo electrico en b tiene una magnitud de 6.2 X 104N/C y esta dirigido hacia la izquierda; par tanto

Hb = (-6.2 X 104 N/C) ic) En el punto c, tanto H I y H z tienen la mis~a magnitud, porqueeste punta equidista de ambas cargas y.la magnitud de las cargas esI a m i sma :

E1 =E2 = _ 1 _ M = (90 X 109N.m2/C2)12 X 1O-9C4'lTEO r2' (0.13 m)?= 6.39 X 1 0 3N/C

Las direcciones .de ElY E 2 se muestran en la figura 21.20. Lascornponentes x de ambos vectores son iguales:

E lx = Ez, = EI cos a = (6.39 X 103 N/C)U3)= 2.46 X 103 N /C

Por simetria, las componentes y E ly Y E 2y son iguales y opuestas y , portanto,_,susurna es cera. Por consiguiente, las componentes del campototalE, son

( E c ) x = e. ; + e; = 2(2.46 X 103 N IC) =4.9 X 103 NIC(Ec)y = Ely + E 2y = 0

As! pues, en el punto c el campo electrico total tiene una magnitudde 4.9 X 103 IC y esta dirigido hacia la derecha; par tanto

E e = = (4.9 X 103 N/C) il,Le resulta sorprendente que el campo en el punto c sea paralelo aIa recta que un e las dos cargas?EVALUAR: Otra forma de hallar el campo electrico en c consiste enemplear la expresion vectorial del campo de una carga puntual[ecuacion 21.7)]. El vector de desplazamiento r l de q1a\ punto c, auna distancia de r = 13.0 em, es

r l = r cos ~ + r sen a jPor tanto, el vector unitario que apunta de ql a"c es~

A TI A ATl = - = cos a I + sen a]r

y el campo debido a ql en el punta c es_, 1 ql A 1 ql ( A ' )E, =-4-"""2Tl = --"""2 cos IX I + sen a]17EO r 4'lTEO r

Par simetria, el vector unitario ;2 queapunta de q2 al punto c tienela componente x opuesta pero la misma componente y; por tanto, ecampo en c debido a q2 es

; 1 q2 . I q2 ( '.)E2 = = -4-2"T2 = = -4-2" -cosal + sen o j17EO r , . 17EO rPuesto que q2 =-q I,eJ campo total en c es

E c = E I + E 21 ql ( A ')= - - 2" cos a 1 + sen a]417EO'

1 ( -ql) ( :)+ -4---2 - + cos a I + sen a]'lTEO r1 ql ( A )=--- 2cosal41TEO r2

= (9.0 X 1 0 9N .n l IC2) 1 2 X 10-9 C ( 2 ( 2 ) ) i(0.13 m? 13= (4.9 X 103N /C) icomo antes.

E jemplo .21.10 Campo de un an'irI~con carga

Un conductor de forma anular y cuyo radio es a tiene una carga to-tal Q distribuida uniformemeate en toda su circunferencia (Fig.21.21). Encuentre el campo electrico en un punta P situado sabre e1~je del anillo a una distancia x de suoentro.

li,llIA' .I DENT l F ICAR: Y P lANtEAR: EI punto del campo es un punto arbi-trario sabre el eje x en la figura 21.21. La variable que se busca esel campo electrico e n ese punta en funci6n de 1a ccordenada z,


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21.5 I Calculos de campos electricos

ydQ

Q

21.21 Calculo del campo electrico sobre el eje de un anillo concarga, En esta figura se supone que la carga es positiva,

EJECUfAR: Como se rnuestra en la figura 21.21, imaginamos elanillo dividido en,segmentos infinitesimales de Iongitud ds. Cadasegmento tiene una carga dQ y actua como una fuente puntual decampo electrico. Sea it el campo electrico de uno de estos seg-mentes; el campo electrico neto en P '~; entonces la suma de todaslas contribuciones d E de todos los segmentos que constituyen elanillo. (Esta misma tecnica da buen resultado en cualquier situa-cion en que la carga esta distribuida a 10largo de una recta 0curva).

El calculo de jj ; se simplifica considerablemente porqueel puntadel campo Pesta sabre el eje de simetria del anillo. Considerensedos segrnentos situados uno en Ia parte superior yen Ia inferior delanillo: las contribucionesdE al campo en P de estes segmentos tie-ne n Ja rnisma componente x pero componentes y opuestas, Por con-siguiente, la componente y total de' campo debida a este par desegmentos es cera. A1 sumai las contribuciones de tcdos los paresde segmentos de este tipo, el campo total E tendra s610una. compo-nente a 10 largo del eje de simetria del anillo (el eje de las x), sinninguna componente perpendicular a ese eje (esto es, ni componen-te y ni componente z). Por tanto, el campo en P queda descrito en BUtotalidad por su componente x E ".

Para ca1cularE x, adviertase que el cuadrado de la distancia r de unsegmento de anillo al punta P es? =:2 + a" . Por tanto, Ia magnitudde la contribucion de este segmento, d E , al campo electrico en P es

dE =_1_ _ _ _ 5 L _4 1TEO x" + a 2

Dado que cos ex=xlr =xI (:2 + azyn , la componente x dEx de es-Ie campo es

1 dO xdE = = dE cos ex =-- ---- -=c-----o_o"x 41T1':0 x2 + a2y x2 + a2

xdQ

para hallar la componente x total E, del campo en P, se intta expresion COil respecto a todos los segmentos del anillo:

Puesto que x no varia al pasar de un punto a otro alrededorlIo, tcdos los factores dellado derecho, salvo dQ, son consse pueden sacar de la integral. La integral de dQ es simplemcarga total Q, y finalmente se obtieue

& V A L U A R : Nuestro resultado de E muestra que en el centroUo (x = 0) el campo es cera. Esto es de esperar; las cargas s i tulados opuestos del anillo empujarian en di recciones opuestasga de prueba situada en el centro, y la suma de las fuerzas serCuando el punta de campo P esta muy alejado del anilloenracion con el tamafio de este (es decir, x a), el denominala ecuacion (2 L .8 ) se hace aproximadamente igual a ;2 y lasian aproximada es entonces

~ 1 Q AE = ----l47TEO x2

En otras palabras, cuando estamos tan lejos del anillo quea es insignificante en cornparacion con la distancia x, BU caigual al de una carga puntual.Para un observador alejado deeste pareceria un punta, y el campo electrico refleja este he

En este ejemplo empleamos un argumento de simetrla pcluir que E tenia solo-una componentex en un punto desimetria del anillo. Ell muchos cases emplearemos argurde simetria en este y en subsiguientes capitulos. No obstantviene tener en mente que los argumentos de este-tipo se esolo en cases especiales. En un punto del plano xy que nobre el eje de las x en la figurs 21.2J, el argumento de simetriaplicable, y el campo tiene en general componentes tanto x

- E jemplo.-:: 21.11'- -1,

Campo de una linea (on cargaUna carga electrica positiva Q e , s t a distribuida uniformemente a 10largo de una linea de longitud 2 a . ; que yace sobre el eje "y" entre y=-a y y = +a. (Esto pcdria representar una de las barras con car-ga de la fi~ura 21.1). Halle el campo electrico en el punto P situa-do sobre el eje de las x a una distancia x del origen., M l lf 3M1ID SN T IF IC AR Y PLAfHAR~ La figura 21.22 muestra la distribu-cion de carga y el eje de coordenadas, Al igual que en el ejempJo

2 L .l 0, la variable que se busca es el campo electrico en Pcion de la coordenada x.E J i i C U i A R : Se divide la carga lineal en segmentos infinitesicada uno de los cuales aetna como una carga puntual; sea d ygitud de un segmento representative a Ia altura y. Si la cardistribuida de modo uniforme, la densidad lineal de cargcualqnier punta-de ia recta es igual a QI2a (la carga total d.entre Ia longitud total). POI tanto, la carga dQ en un segmelongitud dyes


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816 C A I' f T U L 0 21 I Carga electric a y campo electricoy

ady (~Q'

. . . . . . . ,y

0

Q

-{I

a f " " " " p a s,~-------x--~L_~~~==T===~I----xdE y 1

1_ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 " 'dE

21.22 Determinaciondel campo electrico en el punto P sobre labisectriz perpendicular de una recti COil carga de longitud 2a ycargatotal Q, En esta figura se supone que la carga es positiva.

QdydQ ='Ady =-2a. .La distancia r de este segmento aPes (x2 + 'i)112; par tanto, Iamagnitud del campo,-dE e ll P debido a este segmento es

Q dydE=~-. 417"0 2a(x2 + )'2)Representemos este campo en t~nnipos de -su s c omponen te s x y y:

dE" = 'dE cos a dEy = = -dE sen aSe advier te 'que sen 0'=l(x2 +i)1/2 Y cos ex=x/(x2 + l)112; com-binando estascon [a expresion de dE resulta que

Q xdydEl =. '( '07)11" 47T"o 2a ,r + y - ,.-. Q ydydli; = - ' ( '2 ' ) 3 / 2 417e(l2a x + Y" ,"

Para hallar las componentes E,y Ey del campo total, se integran es-tas expresiones teniendo en cuenta que, para incluir Q en su totali-dad, es preciso integrar de y = -a hasta y = +a. Lo invitamos aresolver los detalles de la integracion; una tabla de integrales le se-ra de uti lidad. Los resultados finales son

1 Q x f a ely Q 1E . , = 417EO 2a _ a ( x " + y 2 ) 31 2 =1T(I xYx] + a2

1 Q f " yd)'E.=----- 0 ?)If'=O.1 41TEO 2a -a (x - + y- .-

0, en forma vectorial,-. 1 Q ~E = . - l

47fEo xYx2 + a2 (21.9)

EVALUAR : Empleando un argurnento de sirnetria como en el ejem-plo 21.10, podriamos haber adivinado que E, seria cero; si se colo-ca una carga positiva de prueba en P, la mitad superior dela rectade carga empuja hacia abajo sobre ella, y la mitad inferior ernpujahacia arriba con igual m agnitud .

Para analizar nuestro resultado, veamos primero q u e . oeurre enel Iimite donde xes mucho mayor que a. Despues, podremos des-preciar a en el denominador de la ecuacion (21.9), y el resultado se-ra entonces

Esto significa qLlesi el punto Pesta. muy lejos de la carga lineal encomparacion con Ill. longitud de larecta, el campo en Pes equrva-lente al de una carga puntual, Encoutramos un resultado semejanteen el caso del anillo con carga del ejernplo 21.10.

Obtendremos un dividendo adicional de nuestro resultado exac-t~ de E : [ecuacion (21,9)J si 1 0 expresamos en terminos de l a d _) ?'-sidad lineal de carga A "" Q12 a . Sustituyendo Q = 2oA . en Iaecuacion (21.9) y simplificando, se obtiene

E = 1 A I (21.10)217oxV(x2 /a 2) + 1Ahora bien, ,',que ocurre si alargamosmas y mas la recta con carga,a gr eg an do c ar ga en proporcion a la longitud total de\modo que A , [a C ! f -ga en cada unidad de longitud, pe rm an ezca co nsta nte? ~Y que es E auna distancia x de sde u na linea mlly larga de carga? Para responder es-til. pregunta, tomamos el l imite de l a eeuacion (21.10) conforme a se ha -ce muy grande. En este limite, el termino :(2/02 del denominador sehace mucho menor que la unidad y s e p ue de d es ec ha r, Lo que queda es

~ A AE=--t217OXLa magnitud del campo depende solo de la distancia del punto Prespecto a la l inea de carga. Por tanto, en cualquier pun to P a unadistancia _perpendicular - de la linea en cualquier direccion, la mag-uitud de E es

AE=---217orAs! pues, el campo electrico debido a una linea con carga infinita-mente larga es proporcional a lIr, no a II? como en el caso de unacarga puntual, La direccion de E es radial hacia afuera con respectoa Ill. recta si A es positiva, y radial hacia dentro S 1 A es negativa, -

Desde luego que ell la naturaleza no existen Jineas de carga in-finitas, Pero euando el punto de .eampo esta suficicntementeproxi-rna a la linea, hay muy poca diferencia entre el resultado de unalinea recta infinita v el del caso finito de Ill. vida real. Por ejernplo,si Ia distancia r del- punto del campo al centro de la recta es el 1%de la longitud de la recta, el valor de E difiere del valor correspon-diente a unalongitud infinita en menos del 0.02%.

(linea infini ta con carga)

Ejemplo~~.~21.12 ""' ....~: C amp o d e u n d is co con ca rg a u niform e

Halle el campo eleenico que produce un disco de radio f. ? can unaden idad superficial de earga (carga en cada unidad de area) positiva CT, en lin punto a lolargo del eje del disco sinlado a una distanciax respecto a su centro, Suponga que x es positiva .. -


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21.5 I Calculos de campos electr icos

p d E "

21.23 Determinacion del campo electrico sabre el"ejede un discocon carga uniform e, E n esta figure se supone que la c arg a e s p cs iti va .Ij.WI;uUIDENT IF ICAR Y PLANTEAR : La situacion y el sistema de coorde-nadas se muestran en la figura 21.23. E ste ej e mp 1 0 se a ser ne j a a losejemplos 21.1 0 Y 21.11 el l cuanto a que la variable que se busca esel campo electrico en funci6n de la coordenada x a 1 0 largo deJejede las x.Pedemes representar Ia distr ibucion de carga como un con-junto de anillos concentricos de carga d Q , como se muestra en Ia fi-gum 21.23. EI ejemplo 21.10 nos ba mostrado el campo de un soloan ilia sobre su eje de simetria, de modo que 1 0 unico que falta porhacer es reunir las contribuciones de los anillos.E JECUTAR : Un anillo representative tiene una carga dQ, un radiointerne r y un radio externo r + dr (Fig. 21.23). Su area dA es apro-xirnadamente igual al producto de su anchura de par su circunferen-cia 2 1 1 " 1 ' ,0 d A = 2 1 1 " 1 'dr. La carga en cada unidad de area es a "=d Q l d A ; po r fa~t;, la ;arga delanillo es'dQ"= a d A = 0" ( 2 1 1" r d r ) , 0I . I 1

dQ =. . z. T. u r d rUsernos esto en vez de Q en la expresion del campo debido a unanillo obtenida en el ejemplo 21.10 [ecuacion (21.8)], y sustituya-mos tarnbien el radio a del anillo par r. La componente del campodE , ell el punta P debida a la carga d Q es

1 (27Turdr)xdE , =-- (? 2)' /247TEO x- + r 0Para hallar el campo total debido a todos los anillos, se integra dE xcon respecto a r de r = 0 a r = R (no de -R aR);

r 1 (27Tur dr )x ax f R r drE,=o 47TEO (x 2 + /.2)312 = 2EoJo (x 2 + (2 ) 3 / 2

Recuerdese que x es una constante durante la integracion, yvariable de integracion es r, La integral se puede evaluar erdo la sustitucion z = : r ? + r', Le dejamos a usted los detaprocedimiento; el resultado es

E x = ; : : J - ~ + ~]= .!!_(1 - 1 ] (2EI) V(R2/X 2) + 1

EVALUAR : .Vimos en el ejemplo 21.10 que, en un punto sobrde sirnetria de un anillo can carga uniforme, el campo electrbig_oal anillo no riene componentes perpendiculares al eje. Pio , en el punta P de la figura 21,23, dE y = dE , = 0 para caday el campo total tiene Ey= E 2 = O .Una vez mas, conviene p{eguntar qu e ocurre si la distribuccarga se hace muy grande. Supongase que continuamos aumeel radio R del disco y agregando carga almismo tiempo de mola densidad superficial-de carga a (carga por unidad de arconstante. En el limire dandeR es mucho mayor ue la distancpunta de campo al disco, el terminol/ "( R 2 / X 2) + 1en la e(21.11) se hace tan pequefio que resulta ~nsignificante, y se o

o:E=-2EoEI resu ltado final no contiene la distancia x re sp ec to a l plansigni fica que el campo electrico producido par una lamina plfinita de carga es independiente de Zadistancia respecto a Lna . La direccion del campo es en todas partes perpendiculalamina, alejandose de ella. Tampoco existen las laminas infincarga, pero si las dimensiones de Ja lamina son mucho mayorI I I distancia x del punto del campo P respecto a la lamina, elesta dado con gran aproximacion par la ecuacion (21.11).

Si Pesta a la izquierda del plano e x < 0) en vez de a la del resultado es el mismo, salvo que la direccion de E es haciquierda en vez de bacia la derecha. Asimismo, si la densidadficial de carga es negativa, las direcciones de los campos al~~s de1 plano son hacia este, en lugar de alejarse de el,

(

Ejemplo_ 21.13 Campo d e dos lam ina s in finita s c on ca rg a o pu es taSe colocan dos laminas planas infinitas paralelas una a la otra, sepa-radas par una distancia i(Fig. 21.24). La lamina inferior tiene unadensidad superficial de carga positiva uniforme eJ, y la lamina supe-rior tiene una densidad superficial de carga negativa uniforme -udelamisma magnitud. Halle el campo e16ctrico entre las dos laminas,arriba-de la lamina superior y abajo de la lamina inferior.lillJl" (el~1I DENT IR CAR Y PLANTEAR : En el e jemp lo 2 1,1 2 h alla mo s e l cam-po electrico debido a una sola lamina plana infinita de carga. Este re-sultado, junto can el principia de superposicion, nos permitira hallarel campo total debido a los dos planos infinitos de la figura 21.24.

y

I E \. tE o E = E j +E2 = 0Lamina 2 -0" I f 'M '" .. ".(,'.~ .. }Ji f'" ; >w '" ..... ' " " ' d flJ .E 2 t E=E j +E 2

Lamina 1+u & 6 , _ . "*.21:" ;:ac:w:aGif4~ , , > . , . : ; : 6 _ # \ " ' # _ i'~.121.24 Determinacion del campo electrico debidoa dos laminfinitas con carga opuesta. Las laminas se muestran vistas del borde; [solo.se.puede mostrar una parte de las laminas inf


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8 18 . CAP f T UL 0 21 I Carga electrica y campo electricoEJECUTAR : Sea la lam in a l la Iainina inferior con carga positiva, y lalamina 2 la lamina superior con carganegativa; los campos debidos ac ad a lam in a son E J Y 2 ' respectivarnente, De I a ecuac ion (21.12) delejempJo 21.12 se deduce que tanto lyE 2 tienen Ia m isrna m agni-tud en todos los puntas, sin importar l a d istancia a una u o tra lamina:

IJEI=2 =-2eoEn todos los puntos.Ta direccion de E 1 es alejandose de la carga po-sitiva de la lamina I, Yla direccion de E 2 es bacia la carga negativade la lamina 2. Estes campos, asi como los ejes de las x y de las y,se muestran en la figura 21.24.

I : C 1 U I i l l A D r u : Oulzale sorprenda que la presencia de la lamina 2no influya en EI y que la presencia de la lamina 1 no influya en B l.De heche, es posible que haya pensado que el campo de una lamina es incapaz de "penetrar" la otra lamina. Se podria concluir estosi se piensa que el campo etectrko esalqun tipo de sustancia ffsicaque "fluye" hacia adentro de las carqas 0 desde elias. Pero en reali-dad no exlste tal sustanda, y los campos slectricos B , y B 2 dependens610 de ias,distribuci(m~s ind ividua Iesde carga que los prod ucen. E Icampo total .:essirnplemente la surna vectorial de B ] y B 2.~. -L

Linea decampoetecmco

21.25 La direeciea del campo electrico enUl1]JUl1ID cualquiera es tangente a la lineade campo que pasa pOI ese punto.

En los puntos entre las laminas, E J y E 2 se refuerzan mutua-mente; en los puntos situados arriba de la lamina superior 0 abaj 0de la lamina inferior, E 1 y E 2 se cancelan uno al otro. Par tanto, elcampo total es ~

arriba de la lamina superiorentre las laminasabaj0 de la lamina inferior

Puesto que hemos considerado las laminas como infinitas, el resul-tado no depende de la separacion d.EVALUAR : Dese cuenta que el campo entre: las laminas call cargaopuesta e s u ni fo rm e, E st o se aplico en los ejemplos 21.7 Y 21.8, enlos que dos placas conductoras grandes paralelas estaban conecta-da s a los barnes de una bateria. Esta proporciona car ga s opue st as alas do s laminas, 10 cual origina un campo entre las placas que espracticamente uniforme si la separacion de las placas es mucho me"nor que las dimensiones de estas, En el capitulo 23 exarninaremoscomo produce una bateria esta separacion de carga positiva y nega-tiva. Un arreglo de dos placas conductoras con cargas opuestas re-cibe el nornbre de capacitor; estos dispositivos son de enormeutil idad practica, y consti tuyen el tema principal del capitulo 24.

Suponga que la linea con carga de la figura 21.22 (Ej. 21.11) tiene una carga +Q. distribuida uniformemente entre y = 0 y y = +a y una carga -Q distribuida unifor-rnemente entre y = 0 y y = -a. i. ,Cual seria 1a direccion del campo electrico en P ?'21.6 I Lineas de cam po electricoEl concepto de campo electric a puede se r u n poco difici1 de aprehender pOl'que nopodemos veruncampo electrico directamente. Las lineas de campo electrico pue-den ser de gran ayuda para visualizar los campos electricos y hacer que parezcanmas reales. Una linea de campo electrico es una recta 0 curva imaginaria trazadaa traves de una region del espacio, de modo tal que su tangente en cualquier pun-to tenga 1a direcci6n del vector de campo electrico en ese punto. En la figura21.25 se muestra 1aidea basica. (Hemos empleado un concepto analogo al anali-zar e1flujo de fluidos en la seccion 14.5. Una linea de corriente es una recta 0 cur-va cuya tangente en cualquier punto tiene la direccion de la velocidad del fluidoen ese punta. Sin embargo, la semejanza entre-las lineas de campo electrico y _ laslineas de corriente de los fluidos es s610 de caracter matematico; nada "fluye" enun campo electrico). El cientifico Ingles Michael Faraday (1791-1867) fue el pri-mero en introducir el concepto de lineas de campo. Las llamo "lineas de fuerza",pero es preferible el tennino "lineas de campo".

Las lineas de campo eleetrico muestran la direcci6n de E en cada punto, y suseparaci6n da una idea general de la magnitud de E en cada punta. Donde i f: es in-tense, S y dibujan lineas estrechamente agrupadas; donde E es mas debil, las lineasestan mas separadas, En cualquier punto en particular, el campo electrico tieneuna direcci6n {mica, per 10que s610una linea de campo puede pasar por cada pun-ta del campo. En otras palabras, las lineas de campo nunca se cruzan.


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21.6 I Lfneas de campo electrico

(a) Carga pcsitiva individual(comparese con la figura 21.16)

(b) Una carga positiva y una negativa, ambasde igual magnitud (dipole electrico)

21.26_ Lineas de campo electrico de tres distribuciones de carga diferentes, En general, lamagnitud de E es d if er en re en puntos d is ti nt os a 1 0 largo de una linea de campo dada.La Figura 21.26 muestra algunas de las lineas de campo de un plano que contie-

ne (a) una sola carga positiva; (b) dos cargas de igual magnitud, una positiva y un anegativa (un dipole); y (c) dos cargas positivas iguales. A los diagramas como es -to s se les llama a veces mapas 0 e sp ec tr os d e c amp o ; son cortes transversales de lasdistribuciones tridimensionales reales, La direccion del campo electrico total en ca-da punta de cada diagrama sigue la tangente de la linea de campo electrico que pa-sa par el punta. Las puntas de las flechas indican la direccion del vector del campoE a 1 0 largo de cada linea de campo. Sehan dibujado l~s vectores de campo realesen varios puntas de cada distribucion, Dese cuenta que, en general, la magnitud delcampo electrico es diferente en los'distintos puntas de una linea de campo dada;ilJllalinea de campo no es una.curva de magnitud de campo electrico constante!La figura 21.26 muestra que las lineas de campo se dirigen alejandose de las car-

gas positivas (puesto que, cerca de una carga puntual positiva, E apunta alejandose dela carga) y hacia las cargas negativas (puesto que, cerca de una carga puntual negati-va, E apunta hacia la carga), En las regiones donde la magnitud del campo es gran-de, como, par ejemplo, entre las cargas positiva y negativa de la figura 21.26b, laslineas de campo se dibujan aproximandose entre si. En las regiones donde la magni-rod del campo es pequefia, como, porejemplo, entre las dos cargas positivas de la fi-gura 21.26c, las lineas estan muy separadas. En un campo uniforme, las lineas decampo son rectas, paralelas y can una separacion uniforme, como en la figura 21,18,La figura 21.27a es una vistadesde arriba de un montaje demostrativo para vi-

sualizar las lineas de campo electrico. En el arreglo que aqui se muestra, las pun-tas de dos alambres con carga positiva se insertan en un recipiente de liquidoaislante y se ponen a flotar las semillas de pasto sabre el Iiquido. Las sernillas depasta son aisladores electricamente neutros, pero el campo.electrico de los dosalambres can carga provoca una polarizacion de la semilla; hay un leve desplaza-miento de las cargas positivas y negativas dentro de las moleculas de cada semi-lla, como en la que se muestra e n la figura 21.7. EI extrema can carga positiva decada semilla es atraido en la direccion de E - - - : y el extremo can carga negativa es atrai-do en direccion opuesta a E . En consecuencia, el.eje longitudinal de cada semilla depaste tiende a orientarse paralelamente al campo electrico, en la direccion de la li -nea de campo que pasa par la posicion que ocupa la semina (Fig. 21.27b).

...... .l.Ll.lIUtoMAolU Esun error muy difundido pensar que, si una partlcula con unacarga q esta en movimiento donde 'hay un campo electrlco, Ia partlcule debedesplazarse a 10 largo de una linea de campo electrico, Puesto que en cualquier 'punta jj; es tangente a la linea de campo que pasa par ese punta, esen efecto

(c) Dos cargas positivas iguale

(a)

Linea de campo(b)

21.27 (a) Lineas de campo electricoducidas por dos cargas puntuales iguLa distribucion que se observa ha sidmada pO T s er ni ll as d e pasta qu e flotabre un liquido arriba de dos alambrescarga. Comparese esta distribucion cfigura 21.26c. (b) EI campo electricoriza las semillas, 10 que, a su vez, proque la s semillas se alineen con el cam


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820

I.

(a)

(b)21.28 (a) Una molecula de agua es unejernplo de dipole electrico, Vease en eltexto la definicion del vector de mementodipolar electrico p . (b ) Cada tuba de ensa-ye contiene una solucion de una sustanciadiferente en agua, El momenta dipolarelectrico del agua hace de esta un excel en-te disolvente.

CAP Iru L0 21 I Carga.electrica y campo elecrrico

cierto que la fuerza F = q E sobre la particula y, par tanto, la aceleraci6n delaparticula, son tangentes a la linea de campo. Pero en el capitulo 3 aprendimosque, cuando una particula se desplaza slqulendo una trayectoria curva, su aceleraci6n no puede ser tangente a la trayectoria. Asi pues, en genera I, la trayec-toria de una partfcula can carga no es 10mlsrno que una linea de campo.

Suponga que las lineas de campo electrico ell una region del espacio son line asrectas, Si se libera en esa region una particula con carga inicialmente en repose, latrayectoria de la particula sera una linea recta. Explique por que:21.7 I Dipolos electrlcosUn dipolo electrico es un par de cargas puntuales de igual magnitud y signos opues-to s ( un a c arg a positiva q y una carga negativa --q) separadas por una distancia d. Pre-sentamos los dipoles electricos en el ejernplo 21.9 (seccion 21.5); vale la penaexaminar con m a s detenimiento el concepto porque muchos sistemas fisicos, desdelas moleculas hastalas antenas de television, se pueden describir como dipolos elec-trices, Tamhien haremos- extenso uso de este concepto aI estudiar los dielectricos enelcapitulo 24.La Figura 21.28a muestra una rnolecula de agua (1120)., que en muchos s en ti do sse cornporta como un dipolo electrico, La molecula de agua enconjunto es electri-

camente neutra, pero los enlaces quimicos presentes en su interior provocan un des-plazamiento de la carga; el resultado es una carga negativa neta en el extreme deoxigeno de la molecula y una carga positiva neta en e1 extremo de hidrogeno, las" ' _cuales forman un dipolo electrico, Este efecto es equivalente a desplazar un electrontan solo alrededor de aproximadamente 4 X 10-11 m (aproximadamente casi el radiode un atomo de hidrcgeno), pero las consecuencias de este desplazamiento son muyprofundas, El aguaes un excelente disolvente de sustancias ionicas como la sal co-mun (cloruro de sodio, NaCl), precisamente pOl'quela molecula de agua es un dipo-10 electrico (Fig. 21.28b). Cuando se disuelve en agua, la sal se disocia en un ionsodio positivo (NaT) y un ion cloro negative (en, que tienden a ser atraidos haeialos extremos negativo y positive, respectivamente, de las moleculas de agua; estomantiene los iones en solucion, Si las moleculas de agua no fueran dipolos electri-cos, el agua s eri a u n mal disolvente, y casi toda la quimica que tiene Ingar eo.soIu-ciones acuosas seria imposibte. Esto incluye todas las reacciones bioquirnicas quese llevan a cabo en todos los seres vivos de la tierra. En un sentido Inuy real, inues-tra existencia como seres vivos depende de los dipolos electricosl

Examinarernos dos preguntas acerca de Io s dipolos electricos, Primero, Lquefuerzas y momentos de torsion o torques experirnenta un dipolo electrico cuando sele coloca en un campo electrico extemo (esto es, W1 campo establecido por Q~gasfuera del dipole)? Segundo, Lquecampo electrico produce un dipolo electrico en sf?Fuerza y mom ento d e tor5 ion en u n dipolo electric.oPara comenzar con la primera pregunta, c olo qu ern os _ un dipolo electrico en uncampo electrico externo uniforme E , como se muestra en la figura 21.29. Lasfuerzas F + YF _ sabre las dos cargas tienen ambas la magnitud qE, pero sus di-recciones son opnestas y sum an cero. La fuerza electrica neta sobre un dipoleelectrico en un.campo electrico externo uniforme es cero.

Sin embargo, las dos fuerzas no actuan a 10 largo de I a mis rna recta; por tanto, susmementos de torwionl1o suman cero. Los momentos de.torsion se caiculan con res-pecto al centro del dipol o. Sea elangulo entre el campo electrico E y el eje del di-


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21.7 I Dipolos eleetricos

polo; entonces, el br~zo de palanca tanto de F + cOl!}ode F _ es (dn) sen 1; . El mo-menta de torsi6n de F + Y el memento de torsi6n deF_ tienen ambos lam ism a m ag -nitud de (qE)(dI2) sen 1; , y ambos tienden a hacer girar el dipolo en el sentido de lasmanecillas del reloj (es decir, T se dirige hacia la parte interna de la pagina en la fi-gura 21.29). Por tanto, la magnitud del momento de torsi6n neto es simplemente eldoble de la magnitud de cualquiera. de los mementos de torsi6n individuales:

r= (qE )(dsen1 ;) (2 1 .1 3 )donde d sen 1; es la distancia perpendicular entre las lineas de accion de las dosfuerzas.EI producto de la carga q por la separacion d es la magnitud de una cantidad co-

nocida como momento dipolar electrieo, que se denota mediante p:p = qd (magnitud del rnornento dipol ar electrico ) (21.14)

Las unidades de p son de carga por distancia (C m). Por ejemplo, la magnitud delmomento dipolar electric a de una molecula de agua es p = 6.13 X 10 -13 C m.

~~"'"'""="~ Tenga cuidado de no confundir el momenta dipolar con la cantidadde movimiento momentum 0 la presion. No hay tantas letras en el alfabeto comocantidades fisicas; pOI"esta raz6n, ciertas letras se usan varias veces, Par 10regular,el contexto ambiente deja en claro de que setrata, pero es necesario estar alerta.Definimos, asimismo, el momento dipolar electrico como una cantidad vectorialp . La magnitud de p esta dada por la ecuaci6n (21.14), y su direccion sigue .el eje

del dipolo, de la carga negativa a la positiva, como se muestra en la figura 21.29,En terminos de p, la ecuacion (21.13) que expresa la magnitud "T del rnomento

de torsi6n que ejerce el campo se.convierte enT =pE sen 1; (magnituddel memento de torsion sobre-un dipolo electrico) (21.15)

Puesto que el angulo 1; de 1afigura 21.29 es el angulo entre las direcciones de losvectores p y E , esto nos recuerda la expresion de la magnitud del producto vecto-rial analizado en Ia seccion 1.10. (Conviene repasar ese analisis.) Por consiguien-te, se puede escribir el momenta de torsion sabre el dipolo en forma vectorial comoT =P x E ( rn oment o d e tQrsion sabre u n dipole electrico, e n forma vectorial) (21.16)Se puede aplicar la regIa de la mano derecha para el producto vectorial conel fin deverificar que, en la situacion que se muestra en la figura 21.29, T se dirigJ hacia Iaparte interna de la pagina. El momento de torsi6n es maximo. cuando p y E son per-pendiculares, y es cera cuando son paralelos 0 antiparalelos, EI momento de torsi6nsiempre tiende a hacer girar p a modo de alinearlo con E. La posici6n 1; = 0, con pparalelo a E , es una posici6n de equilibrio estable, y la posici6n 1; = 11, con} y Eantiparalelos, es una posicion de equilibria inestable. La polarizacion de una semi-lla de pasta en el aparato de Ia figura 21.27a le proporciona un memento dipolarelectrico; el momenta de torsi6n ejercido por E pravoca entonces que la semilla sealinee con E y, por tanto, con las lineas de campo.Cuando un dipolo cambia-de direcci6n en un campo electrico; elmomento

de torsi6n del campo electrico realiza trabajo sabre e1, can un cambio correspon-diente de energia potencial. EI trabajo dW rea1izado por un momenta de torsi6n., durante un desplazamiento infinitesimal d1 ; esta dado par la ecuacion (10.22):dW = "T d1 ; .Dado que el momenta de torsion es en la direcci6n en que 1; disminu-ye, es preciso escribir el momento de torsion como -t = -pE sen 1; , ydW = 'Td1; = -pE sen 1 ;d1 ;

21 .29 La funza neta sobre este delectrico es cero, pero bay un memtorsion dirigido hacia la parte intepagina, el cual tiende a hacer gira1 0 en el sentido de las manecil las


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822 CAPITULO 21 I Carga electrica y campo electricoEn un desplazamiento finito de < P I a < P l , el trabajo total realizado sabre el dipolo es

W = r (-E sen < p ) d< / > ,= pE co s 2 - pE co s 0 /[

EI trabajo es el negativo del cambia de energia potencial, precisamente como enel capitulo 7: W = UI-U 2 Asi pues, vemos que una definicion id6nea de la ener-gia potencial V de este sistema es

U(o / ) = -pEcos ( p (21.17)En e sta e xp re sio n reconocemos e1p ro du cto e sc ala r p . E = pE cos < p , por tanto,podemos escribir tambien

V ~ -~. E (energia poteneial de WldipoJo en un campo e ectrico') (21J 8)La energia potencial tiene.su valor minimo U= -pE (es decir, su valor mas nega-tivo) en la posicion de equilibrio estable, donde = 0 y p es paralelo a E . Laenergia potencial esmax im a cu an do r p = = 7T Y P es antiparalelo a E ; en estas con-diciones U = = +pE. En = r./2, donde p es perpendicular a E , U es cero, Desdeluego, podriamos definir U de otra manera, de modo que sea cero en alguna otraorientaci6n de p, pero nuestra definici6n es lamas simple.La ecuacion (21.18) proporciona otra forma de ver el efecto que se muestra en

la figura 21.27a. El campo electrico E confiere a cada semilla de paste un mo-menta dipolar electrico, y la semilla se alinea entonces can E para reducir al rna-ximo la energia potencial,

Ejernplo21.14 Fuerza y momen ta d e to rs io n s ob re u n d ip olo e l.e ctric o

La figma-21.30a muestra LLn dipolo electrico en un campo electricouniforme cuya magnitud es de 5.0 X 10' N/C orientado de maneraparalela al piano de la figura. Las cargas son de 1.6 X 10-19 C;ambas se localizan en el plano y separadas pOI UDa distancia de0.125 nm = 0.125 X 1O-9m. (Tanto la magnitud de la carga comola distancia son representativas de cantidades moleculares). En-cuenrre a) la fuerza neta que ejerce el campo sobre el d ip ole; b ) larnagnitud y la direcei6n del memento dipolar electrico; c) la m ag -nitud y direccion del memento de torsion; d) l a e ne rg ia potencialdel sistema en la posici6n que s e mue st ra .11.1.1(3[1"JD EN TIFICA R Y P LA NTE AR : Se ernplea la relaci6n F = q E co-rrespcndiente a cada carga puntual para hallar la f ue rz a s ob re e l di-polo en conjunto. La ecuaci6n (21.14) indica el momento dipolar.la ecuaci6n (21.16), e l m emen to de torsi6n sobre eI dipolo , y laecuacion (21.18), la energia potencial del sistema.-EJECUTAR: a) Dado que el campo es uniforme, las fuerzas sobrelas dos cargas son iguales y opuestas, y la fuerza total es cere.b) La magnitud p del momenta dipolar p es

p = qd = (1.6 X 1O -19C)(O.125 X 1O-9m)= 2.0 X 10-29 C'I11

La direccion de p va de la carga negativa a la positiva, a 14 5D en elsentido de las manecillas del reloj respecto a la direccion del cam-po electrico (Fig. 21.30b).

-q

'I- +q(a) (b)

21.30 (a) Dipolo electrico. (b) Direeeiones del momenta dipolarelectrico, el campo electrico y .elmomento de torsion.c) La magnitud del momento de torsion esT =p en c p = (2.0 X 10-29 C)(5.0 X 105 NlC)(seo 145)= 5.7, x 10-24 N mDe acuerdo can la regIa de la mana derecha para prcductos vecto-riales (secci6n 1.10), la direccicn del momenta de torsion; : = p x it es haci a a fu e ra de la pagina, Esto co rresp on de a u n m o-mente de torsion en sentido contrario a las manecil las del reioj quetiende a alinear peon E .d) La energia potencial es

U = -pEcos = -(2.0 X 1O-29Cm)(S.0 X 10 5 N/C) (cos 145)= 8.2 x 10-24 J


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21.7.' Dipolos electricos

EVA l UAR : El momento dipolar, el momenta de torsion y Ia energiapotencial son todos extraordinariamente pequefios, Este resultado

no es sorprendente: recuerde que estamos examinandomolecula, [que es un objeto muy pequefio en verdadl

En este analisis hemos supuesto que E es unifonne asi que no hay fuerza netasobre el dipolo. Si E no es uniforme, es posible que las fuerzas en los extremes nose cancelen totalmente, y la fuerza neta puede no ser cero. Por tanto, un cuerpo sincarga net.apero con un momento dipolar electrico puede experimentar una fuerzaneta en un campo electrico no uniforme. Como se rnenciono en la seccion 21.1, uncampo electrico puede polarizar un cuerpo sin carga, 10 que da -origen a una sepa-racion de cargas y a un momenta dipolar electrico. Es asi como los cuerpos sincarga experimentan fuerzas electrostaticas (vease la Fig. 2l.7).Campo de un dipolo electricoPensemos ahora en un dipolo electrico como unafoente de campo electrico. ~Queaspecto tiene el campo? EI espectro del campo de la figura 21.26b muestra la formageneral de este. En cada punto de la distribucion el campo E total es la suma vecto-rial delos campos debidos a las dos cargas individuales, como en el ejempJo 21.9(secci6n 21.5). Intente dibujar diagramas que muestren esta suma vectorial con res-pecto a varios puntos,Para obtener informacion cuantitativa acerca del campo de un dipolo electrico

es preciso hacer algunos calculos, como se ilustra en el ejemplo 21.15. Advierta-se el uso del principio de superposicion de campos electricos para agregar las con-tribuciones de las cargas individuales al campo. Tambien dese cuenta que esnecesario emplear tecnicas de aproximacion incluso en el.caso relativamente sirn-pIe de un campo debido ados cargas. Los calculos de campos suelen llegar a sermuy complicados, y tipicamente se utiliza el analisis par cornputadora para esta-blecer el campo debido a una distribution arbitraria de carga.

Ejemplo21.15 O tro vistazo a l cam po d e un d ip olo electrlce y

En la figura 21.31 un dipolo electrico esta centrado en el origen, canp en 1adirecci6n del eje de las +y. Deduzca una expresi6n aproxi-mada del campo electrico en un punta sobre el eje de las y en el quey sea mucho mas grande que d. Uti lice el desarrollo binomial de(l + x) " , esto es, (1 + x )" = = 1 + I1X + n(l1- I )x 2 /2 + ..., para el ca-so Ix l < L (Este problema ilustra una tecnica de compute util).

Iii]'II;IiaI DENT I F ICAR : Se aplica el principia de superposicion: el campoelectrico total esla suma vectorial del campo producido por 1acar-ga positiva y el campo producido par la carga negativa, y + dl2PLANTEAR : En el punto del campo que se muestra en la f'igura2l.3l, el campo de la carga positiva tiene una cornponente y positi-va (ascendente), y el campo de la carga negativa tiene una compo-nente y negativa (descendente), Se unen estas cornpcuentes.parahallar el campo total y se aplica la aproxirnacion de que yes muchomas grande que d.21.31 Determinacion del campo electrico de un dipolo electricoen un punto situado sobre su eje.

y - d! 2


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824 CAP f T UL 0 21 I Carga electrica y campo electrico

EJECUTAR: La componente y total E y de campo electrico debida alas dos cargas es

q [ 1 1 ]E ; = 4 7 T E O ( y - d1 2 )2 - ( y + dl2)2q [( d ) - 2 ( d ) ~ 2 ]-- 1-- - 1+-4 7T E oY I 2 y 2 y

Se utilize este metoda en el ejernplo 21.9 (seccion 21.5). Ahara vea-mos la aproximacion, Cuando y es mucho mas grande que d, es de-cir, cuando estarnos muy lejos del dipolo en comparacion con sutamafio, la cantidad dl2y es mucho menor que 1. Con n = -2 y dl2ydesempefiando el papel de x ell e1desarrollo binomial, conservamoss610 los dos primeros terrninos, Los terrninos que se desechan sonmucho m a s pequeiios que los que se conservan y se tiene

( d ) - 2 d1-- ""1+- y2 y Y ( d ) - 2 d1+- =1--2y yPor consiguiente, E, esta dada aproximadamente por

E = - q - , [ l + ~ y - ( 1- ~ y ) ]4 1 T E o Yqd----

EVALUAR: Otro camino para llegar a esta expresion consiste en poner las fracciones de h i. expresion de E; sabre un comun denomina-dar y cornhinar, para l uego hace r una ap rox imac ion de l d enom inador(y - dI2 )2 (y + dl2i comol.e dejamos los detalles como problema

Con respecto a los puntos P situados fuera de lo s ejes de coor-denadas, las expresiones son mas complicadas, perc en todos lopuntos muy alejados del dipolo (en cualquier direccion), el campodecae con 1 / 1 . 3 . Se puede comparar esto con el decaimiento con I!?de una carga puntual , el decaimiento con II r de una carga lineal larga, y la independencia con respecto a r de una lamina de cargagrande. Existen distribuciones de carga can respecto a las cuales ecampo decae con rapidez aun mayor. Un cuadrupolo electrico consiste en dos dipolos iguales con orientacion opuesta, separados pOTuna distancia pequefia. El campo de un cuadrupolo a distanciasgrandes decae con 1/r4 .

Can base en la informaci6n que se da en esta secci6n, calcule el momenta dipolarelectrico de una molecula de agua. Si una molecula de agua esta orientada can sumomenta dipolar fonnando un angulo de 90 con respecto a un campo electricocuya magnitud es de 2.5 X 104 N/C, ~cmil es el momenta de torsi6n sabre la me-lecula?


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Resumen

La magnitud fundamental en electrostatica es la carga electrica.Bay dos.clases de carga: positiva y negativa. Las cargas del mismo signa se'repe-len mutuamente; H IS cargas de signa 'opuesto se atraen. La carga se con-serva; la carga total de un sistema aislado es constante,

Toda Ia materia ordinaria se compone de protones, neutrones )' electro-.nes.La fuerza nuclear mantiene unidos los protones positives y los neu-trones electricamente neutros del nuoleo de un atomo: los electronesnegatives rodean el nucleo a distancias mucho mayores que el.tamafionuclear, La estructura de los aromos, moleculas y s6lidos SIl debe princi-palmente a.interacciones, electricas,

Los conductores son inaterialesque permifen que la carga se desplacelibremente en su interior. Los,aisladores permitenque la carga.se desplacecon dificultad mucho mayor. Casi todos los rnetalesson buenos"c'ortchictores;: la mayor parte de.los no metales son aisladores.

~ ;; 8.988 X 10" N m;/C241TEO ,

-La ley de Coulomb es la-ley basica que rigela interaccionde cargas puntuales, En el easo de d o ' s ' cargas ql y q2 sepe-radas por una distancia r, la rriagnitud de.la fuerza sobrecualquiera de la s cargas es proporcional al productOqlQ2 einversamente.proporcional a?-. La fuerza ~6brecada carga

I '. 1 ' 1 ' . ,actuaa 10largo de la recta qu e \tne las doa cargas: es dere-pulsion 5 i . < 7 1 ' Y : Q 2 tienen \ilmismo signo, y de atraccion sitierien 'signos opuestos . .Las fuerzasforman un par de ac-cion/reaccion y obedecen la rercera ley de Newton. Enunidades Sf la unidad de carga electrica esel coulomb,que s: abrevia C. (Veanse los ejemplos 21.1 y~1.2).

F = _1_ Q 1 Q 2 (21.2)4'1TEO 1'2

Elprincipio de superposicion defuerzas establece que; cuando dos 0mas cargas,ejercell c_;.adaual una-fuerza.sobte u u a carga, la fuerza total sobre esa carga es lasuma v ec to ri ald e la s fu erz as q ue .e je rc en firs c a rg as i nd iv id ua le s: (V e an se lo s.ejemplos-Zl .S y 21,4). .

, ~l campo. electrico if, es una magnirud vectorial, e la fuerza encada unidad de cargaquejse-ejerce sabre u;nacarga de prueba

, en cualquierpunto, siemp:e y. cuando Ii carga_~e prueba.sea Ii)--'--t.-suficienjemente peq~efia p a r a no perturbar laS:=carg~sque crean elcampo: EI campo electrico producido par una carga puntnal tieneuna direcci6n radial haciaTi ~arga'o en sentido contrario a esra,(Veanse.los-ejetnplos del 21.SriJ 21~8).. . .- _ - -

F I sobre

- F oE=-9 0

~ '=-""1 q AE,=---~r4 ' i T Eo r2

(21.3)

(21 .7)

EIprincipio de_j_nperposlcion de campos elecfricos estableceque e] campo electrico E de cualquiercombinaci6irde c a r g a s es la suma v~gorialrcte lCiscampos producidos por Iascargas individuales, Paracalcular el campo .eJectrico:producic!o par una distribucion continua de carga, se.divide la distribu-;i6nen elementos pequefios, se calcula el campo originado pot cada elemento, y fuego se Ileva a cabo la.suma vectorial 0 Iii.suma de cada componente, por 1 0 regular integrando. Las distribuciones de cargase describen medianteIa densidad lineal decarga A,Ia densidad superficial de carga cry la densidad "volumetrica de carga p. (Veanse los ejemplos.clef2L9 aI21.13). .;.:. ,. _ .

, dQ


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826 CAP I T U L 0 21 I Carga eleetrica y cam po electrico

Las lill~as de campo ofrecenuna representacion ~:i.fica de los . ca~l1p6S electricos. En cualquier piin- '-.to de una ItD ;a de campo, la -iangenfe a [ , , ' l i n e a tiene la direccionde E en ese punto. E l m im ero de- :rIineas en la lini'dad de~area (perpendicu[~r a su-dir~cti6n)c'es''Proporcional a la magnifud de E en el- - - ' . . . . . , -

"_Pl1,~~I'

'U n d ip ole elec~~~.~un par.de calg;l electrieas de igualmagnitud_q pejo d e s ig no o pue sro , sepa radas po r una -dis tancia d:L a m ag ni-. tu d d el rrromento dipolarelectrico'ji se define COl11o p =..d. La di -recci6n- de 'p e ' de-la:~;rg~negativa hatia la pos_i tb 'a . TInd i} lo lo ,; r = p x Ee 1'e efrie o e n u n c am po e le ctric o E exper~ nSpia_.u rf111ome~ to de tor- -' 4sl6n.ff:igual al producto vectorial de ji _ por.E. La magriltud.del rna:' U =-p ,Emeiito.de tors iQI1_dep~de d el ~ n gn lo entre py E . L aerrergia -:_ 7_..potencial , ! ( j"e; l ;~dlp610';l i , (: t : : i~o en u~ ca~"po e le c tr ic o d epe li a~_ ~ I _ _ _ : : . c _ .afilruslllo de9a o rien tacron relativa d e py E. (V ea ns e lo s e je rn plo s 1 - = : c _21.14 Y 21,)5 ). -

T =E se n

Terminos clave

(21.15)(, 21 .1 6) ,(21.18)

aislador; 797campo electrico, 806. campo vectorial, 808carga de prueba, 806carga electrica, 793carga inducida, 798carga puntual, 800conductor, 797coulomb, 801densidad lineal de carga, 812densidad superficial de carga, 812

densidad volumetrica de carga, 812dipolo elect rico, 820electron, 795electrostarica, 793, 'induccion, 797ion negativo, 796ion positive, 796ionization, 796ley de Coulomb, 800linea de campo electrico, 818momento dipolar electrice, 821

Notas

neutron, 795nucIeo,795numero animtco, 796principio de conservachin de la carga, 796principlo de superposlckin de campos

eI ectrico s, 812 .principio de superposicion de fuerzas, 802proton, 795punto del campo, 808punto de origen, 0 fuente puntual, 808


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Respues ta a la p re gunta in ic ia ldel capituloLas molecules de agua tienen un momento dipolar electrico perma-n en te : u n extrema de la molecula tiene ca rg a po si ti v a y el otro extremet ie ne c ar ga n eg at iv a. Estos extremos atraen i one s nega t iv e s y positives,respectivarnente, y mantienen separados los lanes en solucion, EI aguaes menos eficaz como disolvente de materiales cuyas molecules no seionizan (llamadas sustancias no ionicas] , como los aceites,R e sp ue sta s a la s p re gu nta s d eEva llie su cemprensienS ec ci on 2 1. 1 La barra de plastico adquiere carga negativa tomandoelectrones de lapiel; por tanto, la barra pesa un poco mas y la piel unpoco menos despues de frotar. En cambia, Ia barra de vidrio adquie-re ca rg a po si ti va cediendo electrones a l a s ed a, Por consiguiente, des-pues de frotarlas, la barra de vidrio pesa un poco menos, y la seda, unpoco mas. EI cambio de peso es muypequefio: el numero de electro-nes que se transfiere es una pequefia fraccicn de mol, y un mol deelectrones tiene una masa de s610 (6.02 X 1023 electTones)(9.1l X10-31 kg/electr6n) =.48 X 10-7 kg=O.548 rniligramos!Saccien 21.2 Segui ri a la r ni sm a s er ie de pasos que se mues tr a en lafigura 21.6, pero acercaria una barra con carga positiva a la esfera (porejernp!o, una barra de vidriofrotada con seda; vease la Fig. 21.1).S ec cio n 2 1.3 La fuerza que q I ejerce sobre Q sigue siendo comoen el ejernplo 21.4. La magnitud de lafuerza que q2 ejerce sobre Qsigue siendo igual a FI sub", Q' pero la dirf.cci?l1 de la fuerza es aho-ra hacia q2 a un angulo a par debajo del eje de las x. POl'tanto, lasdos componentes de esta fuerza, S,01lnegativas:

( F M , o Q ) , = -(F', scbre Q ) co s a = = -0.23 N( F " o b " , Q ) y = ~ ( F ' S O h " ' Q ) sen IX = -0.17 N

En este caso las componentes x de las dos fuerzas se cancelan, entanto que las componentes y se suman; par tanto, las componentesde la fuerza total sabre Q son

F _ , = 0.23 N + (~.23 N) =0F y = (-0.17 N) + (-0.17 N) = -0.34 N

La fuerza total esta en la direccion -y y su magnitud es de 0.34 N.Seccien 21.4 En el ejemplo 21.4 encontramos que la fuerza elec-trica sabre una tercera carga Q =4.0 p,C en este punto esF = (0.46 N )r. Con base en la ecuacion (21.3), en este punto elcampo electrico debido a las des primeras cargas es el cociente dela fuerza sobre Q entre Q misrna, 0 E = F lQ =[(0.46 N)/(4.0 X 10-6 C) J l = (1.2 X 105 N l C ) i .S ec cio n 2 1.5 En este caso E apuntaria en la direccion y negativa.Suponga un par de segmentos de Iongitud dy, uno enla coordenaday > 0 Yel OtTOen la ccordenada -y


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828 CAP f T U L 0 21 Carga eleetrica y campo electrico

r

el material colgante contra los costados. ,;,Que'es lo que hace que seadhiera? (Sugerencia: La respuesta tiene que ver can la fuerza elee-trica.) i.Se adhiere la pelicula de plastico a sl rnisma con la misma te-nacidad? i'por que? i ,Se obtiene el mismo result-ado can recipientesmetalicos? Nuevarnente, LpN que?P21.11 Si uno carnina sabre un tapete de nylon y luego toca un obje-to metalico grande, como la perilla de una puerta, puede reoibir unachispa y una sacudida, i,Por q w e tie nd ee sto a o cu rrir can mas frecuen-.cia en los d ia s s ec os que en log humedos? tPista: V e as e I aF ig . 21.28.),;,Porque es menos probable recibir una sacudida si se toea un objetometalico pequeiia , como un s uj et ad o r de papeles, par ejemplo? -r-P21.12 U sted tiene un obj eta can carga uegativa, i.C6mo puededepositar una carga negativa neta en una esfera rnetalica aislada porrnedio.del cbjeto? bY una carga positiva .neta?P21.13 Si se toea con una barra con carga positiva una esfera me-talica aislada inicialmente sin carga, la esfera adquiere una cargapositiva neta y la barra pierde parte de su carga. i.Significa esto quesetransfirieron protonesde la barra a laesfera?P21.14. Dos cargas puntuales iguales ejercen fuerzas iguales unasobre la.otra, Pero si una carga es el doble de la otra, i,siguen ejer-ciendo fuerzas iguales una scbre laotra, 0 una ejerce dos veces masfuerza quela otra?P21.1S Se c olo ea .n n p ro to n en un campo electrico uniforme y luegose libera. Despues se coloca un electron en el mismo punto y se libe-ra, i.Exp e ri rnen tan est as dos parti c u l as.la m ism a fu erza? 6 Y la m ism aaceleracion? i.Se desplazan en Ia misrna direcci6n al ser liberadas?P21.16 La fuerza electric a entre un electr6n - y un prot6n, 'entre doselectrones 0 entre dos protones es rnucho mas intensa que la fuerzagravitatoria entre cualquiera de estos pares de par ti culas . .S in em-bargo, pese a que el Sol y los planetas coritienen electrones y proto-neaes Iafuerza gravitaroria 1 0 que mantiene a Ios planetas en susorbitas alrededor del Sol. Explique esta.aparente contradiccion.P21.17 ~Que sernejanzas.presentan las fuerzas electricas con lasfuerzas gravitatorias? i,CuaJes so n las diferencias mas significativas?P21.18 Los nucleos atorni cos se componen de protones y neutro-nes, Esto demuestra que debe existir otro tipo de interaccion ade-mas de las fuerzas gravitatorias y electric as. Explique, este heche.P21.19 Los campos e le ct ric os s ufi ci en tem en te .i nt en so s p ue de n pro-vocar que los atomos seionicen positivamente, esto lOS, que pierdanuno a m a s electrones. Explique como ocurre esto, i,Que es 1 0 que decleonina la intensidad que el campo debe tenet para que esto ocurra?P21.20 Cuando uno saca cinta de plastico transparente de un rolloe i nt en ta colo carla can precisionen una hoja de papel , la cintasue le sa lt a r y adherirse donde nose de sea. i.Por que?Pl1..21 Se mantiene fija en elorigen una particula con cargapositive Q. Se dispam una se-gunda. particula con carga positi - Figura: 21.32. Pregunta P2J.21.va q hacia Ia primera particula, ysigue1a t ra y ec to ria q ue se mues-Ira en la figura 21 ..32. i .Es -constante la cantidad de movimiento an-gular de la segunda particula? j,Por que? (Sugerencia ...i,Cuantomomento de torsion


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x 104 N (aproximadamente 1t)? Suponga que lasesferas se puedentratar como cargas puntuales. c) & Que fraccion de cada esfera repre-sentan estos eIectrones? ,21.9 i_.Aque distancia es necesari 0 alejar del nucleo el electron deun atorno de hidrogeno para que la fuerza de atracci6n sea igual alpeso del electron en la superficie terrestre?21.10 a)Al frotar con seda una barra de v idr io , e s ta adqu i er e una car-ga cuya magnitud es de 7.50 nC. lCmil es el cambia de masa de la ba -rra? b)Al frotar con piel una barra de plastico, esta adquiere una cargacuy a m agnitud es de 7.50 nC. i,CmIJes el cambio de rnasa de l a ba rr a ?21.11 'Trescargas puntuales estan dispuestas en linea. La carga q}= + 5.00 nC esta en el on gen. La carga q 2 =- 3.00 nC esra en x =+4.00 ern. La cargaql esta enx = +2.00 em, i,Cual es la rnagnitudy el signo de ql si la fuerza neta sobre q] es cero?21.12 Una carga negativa de -0,550 p..Ce jerce una fuerza baciaarriba de 0.200 N sabre una carga desconocida que esta a 0.300' mdirectamente abajo de ella. a) lCuales son la magnirud y el signo dela carga desconocida? b) i_.CmHesson la magnitud y'direccion de'Iafuerza que la carga desconocida ejerce sobre la carga de -0.550 p . . C ?21.13 Se co lo ca una carga puntual de +3.50 p..C0.800 m a la izquier-da de una segunda carga p un tu al id en ti ca , / ,C u al es son Lasmagnitudesy direcciones de las fuerzas que cada c ar ga e je rc e sabre la otra?21.1.4 Suponga que en eJ ejemplo 21.4 (secci6n2L3) la carga pun-tual que esta sobre el eje de las y eny =-0.30 mtiene una carga ne-gativa de -2,0 p . . C , Y que las otras cargas no han cambiado. Halle larnagnitud y direccion de la fuerza n et a s ob re Q. lCual es la diferen-cia entre su respuesta y la del ejemplo 21.3? Explique las diferencias.21.15 En eI ejemplo 21.3 (seccion 21.3), 'calcule la fuerza neta 50-breIa carga ql'i1.16 En el ejemplo 21.4 (seccion 21.3); i,cuaJ es la fuerza neta(magnitud y direccion) que ejercen las otras cargas sabre la carga ql? .21.17 T r es c ar ga s pun ru ale s e st an o rd en ad as a 10 largo del eje de lasx. La carga q l = + 3.00 p C esta en 1 0 1 origen, y la carga q 2 = -5.00p-C esta en x = 0.200 m. La carga q ] = -8.00 p..c. i,Donde esta si-tuada q J si la fuerza neta sobre ql es 7.00Nen la direccion-?21.18 Repita el ejercicio 2L17 con q 3 = +8.00 p . . C .21.19 Dos cargas puntuales estan situadas sobre el eje de las j co-mo sigue: la carga q] = -J.50 nC eny = -0.600 m, y la carga q2 =+3.20 nC en el origen (y=). i,Cmil es la fuerza total (magnitud y

capitulo 21 sears - carga electrica

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