cap 5 bases y dimension

5/24/2018 Cap 5 Bases y Dimension

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Escuela Superior Politcnica del Litoral

Algebra Lineal

Prof. Ing. Maria Nela Pastuizaca

Capitulo #4BASE Y DIMENSIN DE UN ESPACIO

VECTORIALBASE DE UN ESPACIO VECTORIALDefinii!n"Un conjunto finitos de vectores v1,v2,...,vn{ es una base para unespacio vectorial si!

a) v1,v2,...,vn{ }eslinealmenteindependient

b) v1

,v2

,...,vn

{ }generaaV.

"odo conjunto de n vectores lineal#ente independiente en nes una base de

n.

E$EMPLOS


2/10

V = 2

x

y

/ x , y

x

y

= x i + y j = x1

0

+ y0

1

= g e n1

0

,0

1

U n a B a s e c a n o n i c a p a r a 2 e s Bc

=1

0

,

0

1


3/10

Sea V= . Encuentre una base para el conjunto de vectores $ue est%n en el plano.


4/10

=

+

=

+

=

+==+

=+

=

'(

)*&

'(

*&

'*

+

'*

('*

('*+

genzxzxx

yx

W

zxy

zyx

zyx

z

yx

W


5/10

=

&

'

(

)

(

*

&

'

wBesparacanonicaBaseUna

TEOREMA

Si v1,v2,...,vn{ es una base para , si v ) entonces e-iste un conjunto nico de

escalares nccc )...)) *& tales $ue!

nnvcvcvcv +++= ...**&&

DEMOSTRACION

v=c1v1+c

2v2+...+c

nvn 1()

v=d1v1+d

2v2+...+d

nvn 2( )

1()= 2( )

c1v1+c

2v2+...+c

nvn=d

1v1+d

2v2+...+d

nvn

c1v1+c

2v2+...+c

nvnd

1v1d

2v2...d

nvn=0

c1d

1( )v1+ c2d2( )v2+...+ cn dn( )vn =0

c1d

1=0 c

1=d

1

c2=d

2

cn =dn

Por tanto para cada vector v ) e-iste un conjunto nico de escalares) tales $ue)cual$uier vector vVse lo puede e-presar co#o una co#binaci/n lineal del conjunto

nico.

TEOREMASea V= , =v1,v2,...,vm{ ) # vectores de . Si m> ) entonces

=v1,v2,...,v

m{ es lineal#ente dependiente.


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S ea v1, v

2, . . . , v

m v ec to re s d e n

c 1v 1 + c 2v 2 + . . . + c mv m = 0 v 1 =

a1 1

a2 1

M

an 1

; v 2 =

a1 2

a2 2

M

an 2

; . . . ; v m =

a1m

a2m

M

an m

c1

a1 1

a2 1

M

a n 1

+ c

2

a1 2

a2 2

M

a n 2

+ . . . + c

m

a1m

a2m

M

a n m

=

0

0

0

a1 1

c1+ a

1 2c

2+ . . . + a

1mc

m= 0

a2 1

c1+ a

2 2c

2+ . . . + a

2mc

m= 0

M M M

an1

c1+ a

n 2c

2+ . . . + a

n mc

m= 0

En un siste#a 0o#ogneo de n ecuaciones con # variables) cuando m> elconjunto tiene infinitas soluciones) por lo tanto es lineal#ente dependiente.

DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIALDefinii!n"Si el espacio vectorial tiene una base finita) entonces la di#ensi/n de es el n#ero de vectores en todas las bases , se lla#a espacio vectorial de di#ensi/n

finita. La di#ensi/n de se la denota co#o! di# .

E1EMPL2S!

SiV=Pn dimP

n= n+1(

SiV=M22 dimM22=4

SiV=M23 dimM23=6

"odo espacio vectorial $ue tenga un subespacio de di#ensi/n infinita es ta#bin

de di#ensi/n infinita.

Si 3 es un subespacio de , dimV=) entonces!


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i) W= 0{}dimW=0

ii)W=genv1{ }dimW=1

iii)W=genv1,v2,v3{ }dimW=

E$ERCICIOS%4eter#ine una base para el espacio generadorS=gen2xy+3z, 4x2y+6x,6x+3y={ . Encuentre su di#ensi/n.


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2x y + 3z = 0

4x 2y + 6z = 0 6x + 3y 9z = 0

2 1 34 2 6

6 3 9

M0M0

M0

2 1 30 0 0

0 0 0

M0M0

M0

2x y + 3z = 0

H =x

y

z

/ 2x y + 3z = 0

=

x

y

z

/ 2x + 3z =y

=

x

y

z

/

x

2x + 3z z

=x

y

z

/x

1

2

0

+z0

3

1

H =1

2

0

,

0

3

1

d i mH = 2


9/10

4eter#ine una base para el espacio generadorS=gen1x+x

2, 2+xx

2,x+x

2, 1xx

2{ . Encuentre su di#ensi/n.

{ } 'di#&))((((

(&((((&(

(((&

((((

(&(((((&

(&&&

((((

(*(((((&

(&&&

(*((

(*(((((&

(&&&

(*((

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(((&

(&&&

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((('

(&&&

(&&&

(&&(

(&&*

(&&&

(&

(

(*

(&

*

*

*

*

*

==

=

=+

=+=+

xxB

xx

xx

xx

xx

s

M

MM

M

M

MM

M

M

MM

M

M

MM

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

E&e'iio(%

&.5 6alifi$ue cada una de las siguientes proposiciones co#o verdaderas o falsas) en caso

de ser verdaderas) de#uestrelas , en el caso de ser falsas de un contraeje#plo.

a7 Sea { }8'*& ))) VVVV un conjunto generador de , { }9:;& ))) VVVV unconjunto lineal#ente dependiente en ) entonces 'DimV

b7 "odo conjunto generador de un espacio vectorial de di#ension n) tiene

e-acta#ente n vectores.

c7 El conjunto { }*& )VV es lineal#ente independiente en si , solo si &V , *V no son #ultiplos escalares

d7 Si { }wvvuvuB += )) es una base de un espacio vectorial ) entonces{ }wvuwvwu +++ *)) es un conjunto generador de .

e7 El conjunto

=

(&

&()

*&

&&)

&'

(&)

:(

&&G es una base del espacio

vectorial **=MV


10/10

f7 Sean { }'*& )) wwwgenW= , { }8'*& ))) uuuugenU= dos subespacios de )entonces UW

g7 Si 'PV= , { }(7( un subespacio del espacio vectorial 'R .Sea!

=

8

&

8

)

*

&

'

)

:

*

&

S

un conjunto generador de >.

a74eter#ine si los vectores son lineal#ente independientes

b7En caso de ser lineal#ente independientes) co#plete un base para 'R

'.5 4eter#ine las di#ensiones de los siguientes espacios vectoriales

a7 El conjunto de vectores en nRb7 El conjunto de las #atrices si#etricas de n por n

c7 El conjunto de las #atrices antisi#etricas de n por n

d7 El conjunto de los nu#eros co#plejos

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