ecuaciones diferenciales ordinarias

[ecuaciones diferenciales ordinarias]

ECUACIONES DIFERENCIALES

Introduccin:

Ecuacin diferencial

E.D.Ordinaria E.D Parcial

Mtodo de solucin

GRADO DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL ORDINARIA

Esta dado por el mayor exponente del orden de la derivada

E.D.O

Ejemplo:

1) orden 2, grado 1

2) orden, 3 grado 2

3) orden 3, grado 1

Solucin de una E.D.O

Si: es una funcin y es la derivada de es decir

De donde E.D.O

Es la solucin de (x) consiste en buscar una funcin y= G (x) de tal manera que verifique a la ecuacin (x).

Ejemplo:

1. verifique que las funciones:

Son soluciones de la E.D.O

Sol: ser la solucin de la E.D.O ?

2. Verificar que la funcin:

Una solucin de la E.D.O

3. Verificar que la funcin

Es una solucin de la E.D.O

Solucin:

4. Encontrar la ecuacin diferencial cuya solucin general es:

Familia de curvas

Solucin:

5. Encontrar la ecuacin diferencial cuya solucin diferencial es:

Familia de curvas

Solucin:

6. Encontrar la ecuacin diferencial cuya solucin general es:

Solucin:

Ecuaciones diferenciales

Ejercicios propuestos por los alumnos

1)

Solucin:

2)

Solucin:

E.D.O de primer orden y de primer grado.

Para resolver este tipo de ecuaciones existen diversos mtodos:

E.D.O de variables separables

Es de la forma:

1) Ejemplo:

Resolver:

Solucin:

Dividiendo a toda la ecuacin:

Recordad que:

2) Resolver:

solucion:

Finalmente la solucion es:

E.D.O Reducible a variable separable

Dada la ecuacion:

Para cambiar a variable separable, hacer:

z depende de x ,y

Ejemplo:

Resolver:

Luego remplazando

PRACTICA DIRIGIDA N 01

1) Verifique que la funcion

Satisface la ecuacion diferencial:

Solucion:

2) Comprobar que la funcion

Solucion:

Observamos:

De esta manera

SEPARACION DE VARIABLE

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

1)

Solucion:

2)

Solucin:

E.D.O HOMOGENEAS

Funcion homogenea

Una funicon es homogenea de grado K si cumple los puntos:

Ejemplo:

Compruebe que es homogenea de grado 3.

Solucion:

Comprobar:

E.D.O homogenea

Definicion: diremos que la ecuacion direferencial primaria de primer grado: es homogenea si M y N son funciones homogeneas del mismo grado.

Para ar solucion a una E.D.O homogenea se hacce el cambio de variable y se resuelve hasta llegar a obtener una E.D.Ode variable separable y por consiguiente funcion.

Ejemplo:

Resolver:

Solucion:

Remplazando

Dividiendo a toda la ecuacion por:

E.D.O homogeneas

Resolver: solucion:

Finalmente su solucion es:

E.D.O reducinle a homogeneas:

No son homogeneas debido a la constante Cy C, para eliminar la C y C encontraremos el punto de intercecion de las rectas dado por y luego hacemos el cambio de variable:

Ejemplo: Resolver:

Solucion:

Remplazando:

Luego hacemos cambio de variable:

Haora remplazamos en: ():

Resolver:

Solucion:

Remplazando en la E.D.O original:

3) Resolver: (2x-3y+4)dx+3(x-1)dy=0 ; solucion:

REPASO

E.D.O homognea

Funcin homognea

Si:

Ejemplo:

Comprobar si es una funcin homognea

Solucin:

F es una funcin homognea de grado 4

E.D.O de primer orden y de primer grado

Donde:

Ejemplo:

Resolver la siguiente E.D.O

1)

E.D.O de primer grado y orden 1

Sea y=ux

2) Ejemplos:

Resolver: la siguiente E.D.O

Solucin:

M y N son homogneas de grado 1

E.D.O homognea

Ejemplo:

Resolver la E.D.O

Solucin (h, k)= (1,-5)

E.D.O homognea

E.D.O Exactas

Diferencial total:

Si es una funcin diferencial en entonces la diferencial total de es la funcin , cuyo valor esta dado por:

Diferencial exacta

Una expresin de la forma:

Se denomina exacta si existe una funcin:

Tal que

Es decir, que toda expresin que es la diferencial total de alguna funcin de x e y se llama diferencial exacta.

Definicin: (E.D.O Exacta)

Considerar a la E.D

Si existe tal que:

Diremos que E.D.O es exacta.

Teorema: la condicin necesaria y suficiente para que una E.D:

Sea exacta, es que:

Ejemplo:

La ecuacin diferencial ordinaria:

Es exacta?

Solucin:

Solucin de la E.D.O Exacta

Consideremos la E.D.O Exacta

Entonces si existe una funcin

Remplazando (2) en (1)

Por otra parte, si

Es la solucin de la E. D.O Exactacomo:

Como:

Integramos con respecto a y

Remplazando () en () se tiene la solucin de (1)

En forma anloga se hace para otro caso cuando se toma:

Ejemplo:

Resolver la E.D.O

Solucin:

Integramos con respecto a x:

Integramos con respecto a y:

Ejemplo:

Resolver la E.D.O

Solucin: