calculo integral y aplicaciones by francisco granero

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INGENIERIA CIVIL

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  • 1. QA603 G69FRANCISCO GRANERO1111111111/1 1/11111111 1/11111111l1li1111/111/1/ 11111111111110233000604CALCULO INTEGRAL YAPLICACIONESfrancisco Granerohttp://gratislibrospdf.com/

2. http://gratislibrospdf.com/ 3. Clculo Integral yAplicacioneshttp://gratislibrospdf.com/ 4. ',' ." " ", I ~ ", . ' i,,:: ,; ". . : ~'. . , . " . "lt ' : : 1 ' .http://gratislibrospdf.com/ 5. Clculo Integral yAplicacionesFrancisco GraneroDoctor Ingeniero IndustrialProfesor Titular de Matemtica AplicadaE.T.S. Ingenieros Industriales y de Telecomunicaciones de BilbaoUniversidad del Pas Vasco - Euskal Herriko UnibertsitateaPrentice----H-al-l Madrid. Mxico. Santaf de Bogot . Buenos Aires. Caracas. Lima . MontevideoSan Juan. San Jos . Santiago. Sao Paulo White Plainshttp://gratislibrospdf.com/ 6. / datos de catalogacin bibliogrficaGRANERO, F.CLCULO INTEGRAL Y APLICACIONESPEARSON EDUCACI N, S. A., Madrid, 2001ISBN: 84-205-3223-1Materia: Clculo integral: 517Formalo 195 X 250 Pginas: 312Todos los derechos reservadosNo est permitida la reproduccin total o parcial de esta obrani su tratamiento o transmisin por cualquier medio o mtodo,sin autorizacin escrita de la Editorial.DERECHOS RESERVADOS 2001 PEARSON EDUCACIN, S. A.Nez de Balboa, 12028006 MADRIDFRANCISCO GRANEROCLCULO INTEGRAL Y APLICACIONESISBN: 84-205-3223-1Depsito legal: TO. 1112- 2001PRENTICE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIN, S. A.Equipo editorial:Editora: Isabel CapellaAsistente editorial: Sonia AyerraEquipo de produccin:Director: Jos Antonio CIaresTcnico: Jos Antonio HernnDiseo de cubierta: Mario Guindel, Yann Boix y La SenzComposicin: COPIBOOKImpreso por: GRAFILLESIMPRESO EN ESPAA - PRINTED IN SPAINEste libro ha sido impreso con papel y tintas ecolgicoshttp://gratislibrospdf.com/ 7. A Alicia, Patxi, Josebay muy especialmente a Arantzahttp://gratislibrospdf.com/ 8. http://gratislibrospdf.com/ 9. eontenidoPRLOGO XI1. INTEGRALES DEFINIDAS SIMPLES ......... . ..... ..... . .. ... ......... ... . .1.1. La integral de Riemann . . . . . ........................................ . .... 1Algunas condiciones suficientes de integrabilidad .. ... .... .......... ....... 4Propiedades de la integral de Riemann ... . ......................... . . .. . ... 5Teoremas fundamentales del Clculo integral . . ..... .. .. ... ................ 8Aplicaciones al clculo de reas planas ............... . . . .......... .. ...... 9Generalizacin de la regla de Barrow .. ..... .. .... .. ..... .. . . .... .. . ... .... 111.2. Integrales impropias . . .. . . .. ... ... ..... . . . .... . ...... .. .. . ........ . . .. . .. 12Carcter de una integral impropia ..... .......... ..... .. .... ..... . ... ... .... 13Caso en el que el intervalo de integracin es infinito ..... . ...... . . . . . .... .. 14Caso en el que la funcin subintegral f(x) no es acotada ..... .. .... ... ... . . 161.3. Integrales eulerianas ............... .. . ...... . .. . . . . .. .. ............ . ..... . 17Convergencia y clculo de la funcin rep) .............. . . ... .. . .. . ... . .... 17Prolongacin de la funcin Gamma .... ......... . ... .. . .... . . .. ...... . .. ... 20La funcin euleriana B(p, q) .. .... ... .. . .. ... .. ..... .. ...... .. . ...... . .. .. . 211.4. Integrales paramtricas .. . ...... .... . . .. .. . ... . . . ...... ... . . ....... . .. . .. 25Propiedades de las integrales paramtricas . .. . ................. .... . .. . .... 26Aplicaciones de la derivacin paramtrica .. .. . . . .. . ...... . .. .. .. . ... ...... . 291.5. Aplicaciones de la integral definida simple .......... . ..... . ...... . . .. .... 29reas planas en coordenadas paramtricas y polares ..... ... .... . . .... .. . .. . 30Longitud de un arco de curva .. .... .... ............... . .. . .. . .. . . . ......... 33http://gratislibrospdf.com/ 10. VIII ContenidoVolumen de un slido de secciones conocidas . .... . .. . . .. .. ... . .... . . .. . .. 38Volumen de un slido de revolucin .... . .......... . . . .. . . . .... . ... .. . . .. . . 40rea lateral de un slido de revolucin ..... .. ...... . .... . .. ....... . ..... . . 41Centros de gravedad o centroides . .. .......... . . . ... . .......... . .... .... . . . 44Momentos de inercia . . .............. . . . ..... .. .. .. . . .............. . ... ... . 50Ejercicios resueltos ....... . . . .. . . ... . . . .. .... . . .... .. ...... . . ...... . . . .. . ... .... 58Ejercicios propuestos ... . . .. . .. . . . ............ . .... . .. . .. .. . . ... . .. . ............ 832. INTEGRALES CURVILNEAS....................... . . . . . ... . .. .. . ... . . .. . ... 992.1. Introduccin... .. .. . . . .. . .. . ... . ... . ..... .. . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.2. Integrales curvilneas en R 2 . . ..... . ........ .... . . ....... .. . .. . . 99Propiedades ................ . .. . .. . . . .. . . .. .... . ........ ....... ... .. . . .. .... 100Resolucin de una integral curvilnea en R2 .. .. . . . . . . . .. . ... ... . . . ... .. .. . . . 1012.3. Integrales curvilneas en R 3. . .. . . . .. . . .... . . . ....... . . . . .. . .... . ... . ... 1052.4. Integral curvilnea de una funcin vectorial en R2.. . ........... . ... .. . . 109Propiedades y clculo .............. . ... .. .......... . .... ... .... ...... .. . .. 109Independencia del camino. Funcin potencial ..... . .. . .. . ...... . .. . .. . .. . . . 111Independencia del camino con puntos singulares . . ... . ... . .. . .. . .. ..... . ... 1152.5. Integral curvilnea de una funcin vectorial en R3.. . . .. .... . . .. .. 117Ejercicios propuestos .. ............ . ..... . ..... . ... .. . .. .... . . . .... . .... .. . ..... 1193. INTEGRALES DOBLES.. ... ............. ... .. . . .. . . . . .... . .. . ...... . . . ... .... 1253.1. La integral doble . .. .. . .. . . .. ..... . ... . .. .. . .. . . ... .. . .. . .. . . ... . .. .. . . . . . 125Clculo de reas planas ... . .. . . ................. . . .. . ... . . . ...... .. . . ...... 125Clculo de volmenes . . .. . . ......................... . ..... . ... . ... . .... . .. 127Cambio de variables en una integral doble ..... . . . ...... . .............. .. . . 131Teorema de Green .. . . . . .. . .... . ... . .................. . ... . . . ........ . .... . 135Simplificaciones en el Clculo de una integral doble . .. . .. . ..... . .. . . . . .. .. 139Clculo de reas de superficies .............. . ................ .. ........... 140Integral de superficie de una funcin escalar .... ... . .. .. ... . . .. ... . .. .. ... . 143Integral de superficie de una funcin vectorial . .. . .. ... . . . ... . ... .. ... . . . . . 146Teorema de Stokes ............. . .. . ...... . . . ...... . ...... .. . . . ....... . ... . 149Ejercicios resueltos .... . .. . .. . ......... . ..... .. . . ......... . . .... .. . . . .. .. .. ... .. 155Ejercicios propuestos ...... . ........ . ... . ......... . ...... ... ........ . ..... . .. . . . 1624. INTEGRALES TRIPLES .. ....... . .. . .. . ...... .. . ... . .... . .. . ........ . .. . ..... 1654.1. La integral triple . .... . .. . . .. .. . .. . . . ...... . ...................... . ... .. . . 165Cambio de variables en una integral triple . .. . .... . .............. .. . ...... . 168Lmites de integracin en cilndricas y esfricas .... ... . .. . . . . .. .. .. .. .... . . 170Simplificaciones en el clculo de una integral triple .. . . ... .. . . . .......... . . 175Teorema de Gauss-Ostrogradski . ... . ........ . .. . .. . .. . ............ .. .. . . . . 176Interpretacin vectorial de los teoremas de Gauss y Stokes . . . .. .. .......... 177Otras aplicaciones de las integrales mltiples . .. .. .. .. .. . . ... . . . .... . ..... . 184Integrales doble y triple de Dirichlet . .. . .... .. . ... . . ... .... .. ...... . . ... . . . 189Ejercicios resueltos ... . ... . . . .. . ......... . ... . ..... . ......... . .. . ... . ...... ... .. 193Ejercicios propuestos . . . .. . . . ... . .. . .. . . .. .. .. .. . .... .. ....... ... .. . ... .. .... . .. 199http://gratislibrospdf.com/ 11. Contenido IXTEMAS DE REPASOTI. MTODOS DE INTEGRACIN ..... .. ...... . ......... . . .. . . ........ .. .. . . .. 207T1.1. La integral indefinida ... . .. ............. .. . ... . .. .. . . . .... . .. . . .. .. .. 207TI.2. Integrales inmediatas ........ .. ... .. ...... . . ... ..... . ... .. . . ...... . ... 209T1.3. Mtodos usuales de integracin .. ..... ............ .... . . ......... . . . . 211Integracin inmediata por simple observacin . . .... ... .. . .. ... . .. ...... 211Integracin por descomposicin o transformacin de la funcin f(x) . . .. 212Integracin por partes ............ . ................ . . .. ... . ............ 213Integracin mediante cambios de variable ....... ... ..... ... . .... . ...... 215Integracin por recurrencia ....... . .... . ..... . . .. ......... . ........ .... 217TI.4. Integrales de funciones racionales ...... ... .... ................ . . .. ... 219Resolucin de integrales racionales por el mtodo de Hermite ..... . .. .. 223T1.5. Transformacin de diversos tipos de integrales en integrales racio-nales. ..... ......... . ... . ...... . ..................... . ......... . ....... 225Integracin de las funciones R (sen x, cos x) .. ...... .... .... . ... .. . .. . .. 225Integracin de las funciones R (x, J ax2 + 2bx + e) .................. . . 232Integracin de las funciones R [x, (ax + b)PI", (ax + b)/"IS, ... ] .... ... .ex + d ex + d234Integracin de las funciones del tipo xlll(a + bx")'J . ... ... .. .... ... .. . . . . 235Integracin de las funciones del tipo R(c{"') .. . .... . . . ............ . ...... 237T1.6. Integracin aproximada .. .... .. ........... . .. ......... .. ... .... ...... 237Introduccin .. . ..... . ..................... .. .. . ...... ... . . . . . .. . ....... 237Aproximacin mediante desarrollo en serie ..... . ... .. ......... . ........ 238Aproximacin mediante el mtodo de Simpson .. . ....... . ... . .. . .. . . . .. 240Ejercicios resueltos .. ... . . . .. .. ..... . .. . .. . .. . .......... . .... ... .. ... ........... 244Ejercicios propuestos .. .... .. . ...... . . .. .. . .. . ... . .. .. .... . . . ......... ........ .. 249T2. CURV AS y SUPERFICIES ... .... .. . ..... ... . .. . . . ....... ... .... . . .. . .. .. ... 255T2.1. Introduccin......... . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255T2.2. Secciones cnicas .. . .... ....... . .. ... .......... . . . .. . . . . .... . . . .. . .. . . 259T2.3. Curvas en R3....... . .... ............. .. ......... .. ............ . .... . 262T2.4. Recta tangente a una curva alabeada en un punto de la misma ..... 264T2.5. Superficies en general .. .... ............. ... ....... .... . . . ...... . ..... 267T2.6. Curvas sobre una superficie ..... . . ..... ....................... . ... . .. 270T2.7. Plano tangente y recta normal a una superficie en un punto de lamisma ... .... .. . . .. . ......... .. ............. ... ............ .. . .. . .. .. . 272T2.8. Superficies de revolucin ............. . .. .. .. . .. . .. . ............ ... . .. 273T2.9. Superficies regladas .. ...... . ........ . ........ ... ... ............ . .. .. . 276Superficies cnicas o conos ... . ........ . ...... ... . .. ... . ... .... . .... .. 276Superficies cilndricas o cilindros .. . .. . .. .. .... . .. . . . .... . ........ .. ... 279Superficies cuadrticas o cudricas .... . ... .... . .. ........ ......... . ... 284REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS 291NDICE .... .. .. . ...... .. . .. ... . . ..... . . . .......... .. . . .. . .. .. . . .... ...... ...... . .... 293http://gratislibrospdf.com/ 12. http://gratislibrospdf.com/ 13. Es al mismo Arqumedes a quien hace 2.200 aos se debe el primerenfoque de la verdadera integracin: obtuvo que el rea de un segmentoparablico es los cuatro tercios de la del tringulo con igualesbase y vrtice, o lo que es lo mismo (cuadratura de la parbola), losdos tercios del paralelogramo circunscrito.Dos son los motivos por los que este libro, Clculo Integral y Aplicaciones, ha sido publicado.El primero resulta evidente, ya que durante un segundo cuatrimestre deber explicarse su contenido,exceptuando algunas aplicaciones de la integral, a nuestros alumnos de primer cursode Ingeniera. stos, conjuntamente con los estudiantes de Ciencias de cualquier Facultad o EscuelaSuperior, constituyen, pues, sus primeros y ms directos destinatarios.Sin embargo, no ha sido escrito pensando nicamente en ellos. Hay un segundo motivo debidoa la existencia de otros destinatarios, a los que me referir despus de comentar la estructurade este libro, en la cual han tenido tanta influencia como los anteriores.Se ha dudado, y mucho, del lugar que debiera ocupar el tema Mtodos de Integracinque, .aunque finalmente ha sido relegado a tema de repaso, lo consideramos el ms necesario detodos y es en el que, conjuntamente con el primer tema Integrales definidas simples, ms noshemos esmerado.Estos dos temas, por el modo en que han sido estructurados, constituyen la herramienta fundamentalque permitir manejar con eficacia los restantes conceptos del texto, o dicho de otraforma, aquellos estudiosos que se enfrenten a ambos temas y salgan con pie firme, poco ha desuponerles vrselas con las integrales curvilneas, dobles, de superficie, triples, campos vectorialesy todas las aplicaciones.De ninguna de las integrales mltiples hemos necesitado sus definiciones, dado que han sidoobtenidas a partir exclusivamente de la integral simple de Riemann, definida y desarrollada deun modo exhaustivo en nuestro primer tema.Por lo que respecta al clculo de las integrales mltiples, recuerdo que en mi poca de estudiantenunca llegu a manejarlas con soltura; ello se debi a los numerosos cambios en el ordende integracin que entonces con tanta frecuencia se nos exiga.Esta experiencia y, claro est, la docente, nos ha guiado en muchos ejemplos del libro; enellos se presentan y discuten las pautas y caminos a segu ir para llevar a buen trmino el clculohttp://gratislibrospdf.com/ 14. XII Prlogode las integrales dobles y triples. Asimismo, se aconseja (en funcin de las superficies que intervienen)el tipo de coordenadas a utilizar y los rdenes ms convenientes de integracin.Las aplicaciones de la integral, los centros de gravedad, momentos de inercia, clculos aproximados,etc., se definen y resuelven utilizando, cuando es posible, las tres integrales: simples,dobles y triples, indicando en cada caso la conveniencia del empleo de una u otra de ellas.En la Teora de Campos (Captulo 4), desde un punto de vista vectorial se definen y demuestranvarios notables teoremas, algunos de los cuales tuvieron su origen en la Fsica: Elteorema de Green (descubierto en 1828) apareci en relacin con la teora de los potencialeselctrico y gravitatorio. El teorema de Gauss (1845) -tambin debe sealarse como autor elmatemtico ruso Ostrogradski- surgi con relacin a la electrosttica. El teorema de Stokesfue sugerido por primera vez al mismo en una carta que le enviara, en 1850, el fsico Lord Kelvin;Stokes 10 utiliz para la concesin de un cierto premio en 1854.Ha llegado el momento de referirnos a los otros destinatarios de este libro. Ellos son antiguosingenieros que por determinadas circunstancias desean recordar algunas materias o aprenderotras. Considero que una buena forma de hacerlo es trayendo aqu varias respuestas de ungran tcnico sobre cuestiones relacionadas con la integral. Las respuestas de Pedro G. S., coincidentescon las de muchos amigos ingenieros, son las siguientes:En mi trabajo nunca he utilizado integrales. En cierta ocasin las necesit para calcularla superficie exacta de una estructura y me lo resolvi otro profesor.Fuera del trabajo las he necesitado en ocasiones y siempre por el mismo motivo. ltimamentecon relativa frecuencia, mi hijo y un compaero suelen exigirme que les resuelvaalgunas integrales, lo cual consigo a veces.Hace unos meses, al entregarle varias integrales resueltas exigidas por algn familiar, leadjunt mis apuntes sobre Mtodos de integracin (prcticamente iguales que los de este libro)e intent convencerlo para que los leyera como una novela, aunque con un bolgrafo enla mano. El resultado fue el siguiente: no recordando inicialmente gran parte de las derivadas,logr resolver en una semana (veinte hora,s) todas las integrales que en el tema mencionado aquse presentan. Actualmente, < O), se tiene:11m(b - a) ~ I mLU ~ I MLU ~ M(b - a)i = 1 = 1Es claro que todos los miembros de las desigualdades, representan reas de valor positivo(producto de factores positivos). En el caso de que f(x) < 0, obviamente dichos productos darnlugar a un valor negativo.Las reas intermedias:11Sl (P]) = I mi~x, SI(P1) = I MLU = 1 = 1reciben respectivamente el nombre de suma inferior y suma superior, correspondientes a la particinP l'Realizando seguidamente otra particin P 2 ms fina que P 1 (P 1 e P 2)' es inmediato que seproducen las desigualdades: --S2(P2) ~ SI(P1) / S2(P2) ~ SI(P l )V Pi' Pj : s(p) ~ S(P)Efectuando indefinidamente particiones P 3' P 4' ... , PI/l' cada vez ms finas, resultarn dossucesiones {Sil'} y {SI/l } cuyos trminos y comportamiento hemos presentado en la Figura l.2,ideada por nosotros con el fin de dejar bien fijado este importantsimo concepto.Al ser la sucesin {sl/l} montona creciente y estando acotada superiormente por todas lassumas superiores, tendr extremo superior (lmite de esta sucesin). El citado extremo que denotaremospor s, se denomina I ntegral por defecto de f(x) en el correspondiente intervalo.Igualmente suceder con la sucesin {S I/l}' cuyo lmite (S) se denomina Integral por exceso de f(x) en el intervalo [a, b].En el caso de que s = S, o sea si:lim sl/l = lim SI/lm- oo m- ooentonces se dice que y = f(x) es integrable segn Riemann en el intervalo [a, b].http://gratislibrospdf.com/ 17. Integrales definidas simples 3A (reas)M(b-a), SI, S21, S3 11II II I SIIII II II , sm 11s3 11 1 + s21 T SI 1m (b - a) I 11 1 I1 1 I1 1 II I IPo P1 P2 P3 ......... ... Pm P (particiones)Figura 1.2Dicho valor comn, recibe el nombre de Integral definida simple de Riemann y se repre-sentapor:s = S = f f(x) dxEs inmediato deducir que la anterior igualdad Iim s", = lim SIIl implica doblemente (vase Fi-gura1.2) que el valor SI11 - s; puede hacerse tan pequeo como se desee, sin ms que elegir unaparticin lo suficientemente fina. Consecuentemente puede darse tambin la siguiente definicinequivalente, relativa a la integracin segn Riemann:Q-La condicin necesaria y suficiente para que y = f(x) acotada en un intervalo finito seaintegrable en el mismo, es que si elegido un 8 E R+ exista una particin P tal que Sp - Sp < 8.EjemploSupongamos una [uncin y = f(x) definida en el intervalo [a = O, b = 3] de la siguiente forma:2X-+ lY =f(x) = 3 2{si x EQsi x r/= Qal Determinar las sumas inferior (SI) y superior (SI) correspondientes a la particin:PI ={a=O, 1,2,b=3}b) Calcular en [O, 3] el valor de s (integral por defecto) y el de S (integral por exceso), deduciendo conello la existencia o no de la integral simple de Riemann.http://gratislibrospdf.com/ 18. 4 Clculo integral y aplicacionesRESOLUCiN5al SI = m1 1 + 111 2 .1 + 1113 .1 = 11 + 3' I + 2]143bl Habida cuenta de quey32o2233/2 2Figura 1.3xs= lim I mi' fui' fui ...... O V iE { I,2, ... ,n}1/ -+ ex) i = 1y observando la Figura 1.3 en donde hemos sombreado dos elementos de rea correspondientes al anteJiorsumatorio (s), resulta inmediato lo siguiente:9 ( _ 3) (3 ) 21 s = 4 rea entre y 2 + 3 de 2 a 3 = 4Asimismo3) 15 ( 3 ) 272 4 2 4S = 3 de O a - + - de - a 3 =- (Consecuentemente al ser s =1= S, se tendr que y = f(x) no es integrable (sentido Riemann) en el intervalo[0, 3], o lo que es lo mismo, que la integral simple! 1) de Riemann f: f(x) dx, no existe.Algunas condiciones suficientes de integrabilidadLa funcin constante y = f(x) = K es integrable en todo intervalo cerrado de R, pues evidentemente(cualquiera que sea la particin), se verifica:11f [a,b]cR,s=S= I Kfu=K(b-a) = 1(1) En lo que sigue de este Captulo, prescindiremos de aadir el adjeti vo simple para referirnos a esta integraldefinida de Riemann.http://gratislibrospdf.com/ 19. Integrales definidas simples 5Si Y = f(x) es una funcin montona (creciente o decreciente) en el intervalo [a, b], entonceses integrable en l. Efectivamente: como ambas demostraciones son anlogas, supongamospor ejemplo, que en [a, b] la funcin es montona creciente (y, por consiguiente, acotada). Elijamosun 81 E R +, y efectuemos una particin P de [a, b] en n partes iguales, de modo que lab - aamplitud de cada parte (subintervalo) -- sea menor que 8 1 , En estas condiciones y apoynndonos en la Figura lA, escribiremos:SI' = f(a) (Xl - a) + f(xI)' (X 2 - XI) + ... + f(xll - )' (b - XIl - )SI' = f(x)' (Xl - a) + f(x2) (x 2 - XI) + ... + f(b) (b - xlI- l )b-aCon lo que restando y al ser X - X_ = --, resulta:nb -aSI' - sI' = [f(x) +f(x2 ) + ... + f(b) - fea) -f(xl ) - ... - f(x ll - )] -- =nb - a= [f(b) - fea)] -- < [f(b) - f(a)]8 n 1Consecuentemente (f acotada) SI' - sI' < B => f(x) es integrable.y'--_---*-_~_-L-___ -L-_ ....... --l~ xo a = xo XI X2' .... 'XII _ I x lI=bFigura 1.4Toda funcin continua o continua a trozos en un intervalo [a, b] es integrable en el mismo.En efecto: elijamos un 8 E R + Y efectuemos una particin P de forma que en cualquier subintervalose verifique (continuidad) M - m < 8 1, En estas condiciones:11 11SI' - s/, = I M/1x - I 111l1x = I (M - m)l1x < /,(b - a) = E= t = t = 1Propiedades de la integral de RiemannPuesto que la mayor parte de las propiedades que aqu presentaremos se desprenden claramentedel concepto y definicin de esta integral, prescindiremos cuando sea posible de las correspondientesdemostraciones.http://gratislibrospdf.com/ 20. 6 Clculo integra l y aplicaciones f f(x) dX es el valor del rea encerrada por el eje x, la curva y = f(x), y las rectas1. Sea y = f(x) una funcin integrable y con signo constante en [a, b]. En estas condicionesx = a, x = b.2. Si f(x) y g(x) son integrables en [a, b], entonces las funciones:f(x) I K -f(x), f(x) + g(x), f(x) g(x), - g(x) -=1 O 1 x E [a, b]g(x)son tambin integrables en [a, b], verificndose:f Kf(x) dx = K f f(x) dx, f [f(x) + g(x)] dx = f f(x) dx + f g(x) dx3. f f(x) dx = O4. f f(x) dx = f f(t) dt5. f f(x) dx = f f(x) dx + r f(x) dx6. fb f(x) dx = - raf(x) dxa Jb7. Si Ix E [a, b], f(x) ~ O: ff(X)dX ~ O8. Si 1 x E [a, b], f(x) ~ g(x): f f(x) dx ~ f g(x) dx9. f f(x) dX ~ f If(x)1 dx10. Teorema del valor medio integralSea y = f(x) una funcin integrable en el intervalo [a, b] , Y sean m M E R tales que1 x E [a, b], 111 ~ f(x) ~ M. En estas condiciones:Existe un valor j,l E [111, M] tal que fb f(x) dx = j,l(b - a).aEste valor j,l se denomina valor medio o valor medio integral de la funcin y = f(x) enel intervalo [a, b].http://gratislibrospdf.com/ 21. Integrales definidas simples 7Si por aadidura, la funcin y = f(x) es continua en [a, b J, entonces: f f(x)dxExiste al menos un punto e E [a, bJ tal que j-L = f(e) = -,,--=--a --b- a(propiedad evidente puesto que por la continuidad, f alcanza todos los valores entre In y M; Yen particular alcanzar el valor {L.)Probemos pues el primer apartado:Como 'ti x E [a, b J In ~ f(x) ~ M, aplicando la Propiedad 8, se tiene:b fb fb . mdx = m(b - a) ~ f(x)dx ~ Mdx = M(b - a)a a afcon lo que dividiendo por b - a, resulta: f f(x)dxrn. ~ a ~M ~b-aff(X)dXexiste {L E [m, MJ/{L = ,,--,,--a --b-aLa Figura 1.5 muestra, utilizando una funcin y = f(x) continua, la interpretacin geomtricade este teorema. Ntese que en el segundo grfico, existen dos puntos e 1 y e 2 para los que{L = f(e l ) =f(e2).y yMM~ =/(c)m -----m -------OL----a~----~c--------~--~x oFigura 1.5a,, ,,,, , , , ,- -- - - - .,,- - - -- --- -- - - - - -- -- - --r---- ,xGeneralizacin. Consideremos dos funciones f(x), g(x) integrables en el intervalo [a, bJ,teniendo adems g(x) signo constante en dicho intervalo:Siendo In, M E R de modo que m ~f(x) ~ M, existe un valor {L E [m, M] tal que:f b f(x) g(x) dx = j-l fb g(x) dxa aSi por aadidura y = f(x) es continua en [a, b J, entonces existe al menos un punto e E [a, b Jtal que {L = f(e).La demostracin de esta generalizacin es totalmente anloga a la anterior (se parte de ladesigualdad m ~ f ~ M, se multiplican sus trminos por g, oo.).http://gratislibrospdf.com/ 22. 8 Clculo integral y aplicacionesTeoremas fundamentales del clculo integralDefinicinSea y = f(t) una funcin integrable sobre el intervalo [a, b]. Apoyndonos en quef x f(t) dt = fX f(x) dx (x E [a, b])(l IIes evidentemente funcin de x (continua en el citado intervalo, como fcilmente se prueba apartir de la relacin 1), daremos la siguiente definicin:Se denomina funcin primitiva de f a toda funcin F tal que f' f(t) dt = F(x) + e (1)Visto lo anterior, enunciemos y probemos ahora el siguiente teorema:Primer teorema fundamental del clculo integralSi y = f(t) es una funcin continua en el intervalo [a, b], la funcin F(x) definida en (1) esderivable en dicho intervalo, verificndose que F'(x) = f(x).Para probarlo, veamos que existe el lmite que define a la derivada de F(x) y que el citadolmite es f(x) :dF(x) F(x + Lli) - F(x) 1 [fx+l.x (fX )] F'(x) = - - = lim A" = lim A " f(t) dt - e - f(t) dt - e =dx I.x~O Ll I.x~O Ll a a1 fX + I.X (2) 1lim A " f(t) dt = lim - . f(c)Lli = lim f(c) = f(x)I.x~O Ll x I.x~O Lli I.x~O(pues como e E [x, x + Lli], e -+ x cuando Lli -+ O).en cuenta que IX f(t) dt = - I f(t) dt, resultan inmediatas las siguientes relaciones queAcabamos de obtener la derivada de una integral respecto de su extremo superior (x) >>. Te-niendoms adelante se aplicarn:d fX - f(t) dt = f(x)dx ad fa - f(t) dt = - f(x)dx x(2)Segundo teorema fundamental del clculo integralSi f es una funcin continua en el intervalo [a, b] y la funcin F es una de sus primitivas,entonces: f f(x) dx = F(b) - F(a) (regla de Barrow) (3)(2) Dado que f es continu a en [x, x + ~xl e [a, bJ, podr escri birse (T. del valor medio):3 e E [x, x + fu1 j f HX f(t) dI = f(e) fu(3) El Tema de repaso I (Mtodos de integracin) trata con detalle del clculo de primiti vas.http://gratislibrospdf.com/ 23. Integrales definidas simples 9Este resultado se pone rpidamente de manifiesto, particularizando la relacin (1) parax = a y para x = b, es decir:" para x = a: f(t) dt = O = F(a) + e -+ e = - F(a)f"para x = b: fb f(t)dt = F(b) + e = F(b) - F(a)"(3)Aplicaciones al clculo de reas planasTeniendo en cuenta la relacin que existe entre el rea y la integral de Riemann, habiendo probadomediante los anteriores teoremas fundamentales que:A(rea) = fb f(x) dx = F(b) - F(a), siendo P(x) = f(x) (4)"y razonando finalmente con elementos diferenciales (tanto en la variable x como 'en la variabley), son inmediatos los resultados siguientes (Figura 1.6):dA 1 = [f(x) - g(x)] dx -+ Al = f [f(x) - g(x)] dxfddA 2 = [f(y) - g(y)] dy -+ A 2 = e [f(y) - g(y)] dyyL---+----,F----'----'------_ ---_x o .. ","f(y) - g (y)xFigura 1.6(4) Supondremos para todo lo que sigue que se domina el clculo de primitivas.http://gratislibrospdf.com/ 24. 10 Clculo integral y aplicacionesEjemploal Calcular el rea (A) encerrada por el eje x en el intervalo [O, 7[/ 2] y las curvas y = cosx, y = senx.bl Hall ar el rea limitada por las curvas y2 + X - 3 = O, x - y - 1 = O.RESOLUCiNal Una vez dibujada la Figura l.7 (primer grfico), se tiene:y y x =g(y)=y+ I-------:-+-----F---------+-------'~ xL---------~--------~------~xy = cosx (- 1, -2)Figura 1.7A = Al + A2 = f "/4 senxdx + f" /2 cos x dx = -cosx J "/4 + senxJ"/2o "/4 o " /4- j2 = 2 - j2 (calclese nuevamente mediante una nica2integral en la variab le y)Obtengamos asimismo el rea A 3 :3f" /4 [J 1[ /4 j2 j2A3 = (cosx-senx)dx= senx+cosx = -+--0 - 1 =j2 -o o 2 2bl Efectuemos la integracin con relacin a la variable y, que evidentemente es mucho ms simple [cualquierrecta r normal al eje y, corta (en la regin) primero a una curva y luego, siempre a la otra].dA = [f(y) - g(y) ] ely = [3 - y-?- (y + J)] ely --+ A = JI(2 -?y- - y) ely = -9-2 2Para dejar bien fijados estos conceptos, se propone finalmente comprobar que el rea de la regin limitadapor las curvas y = fex) = - X2 + 3x - 1, Y = g(x) = x 3- 2 X2 + X - 1, es A = 37/ 12 (en caso deduda, vase el ejemplo Resuelto 2 al final de la seccin). http://gratislibrospdf.com/ 25. Integrales definidas simples 11RecomendacionesLa aplicacin no controlada de la regla de Barrow (3), puede dar lugar a graves errores. Se hadicho anteriormente, que si la funcin f es integrable en [a, b] entonces su primitiva F es continuaen ese intervalo. Consecuentemente, siempre debe aplicarse (3) a lo largo de una rama continuade la funcin y = F(x). Veamos algunos casos:1. El clculo:JI 1 JI n 3n1 = --2 dx = arctg x = arctg 1 - arctg ( - 1) = - - - =_11+x - 1 4 4n2no es correcto, ya que al ser f(x) > O en [ - 1, 1] debera resultar (Propiedad 7) 1> O. Consecuentementedeber tomarse la rama continua de F(x) = arctg x (Figura 1.8). Con ello, setendra:1 = arctg 1 - arctg ( - 1) = 4n. - ( - 4n. ) = 2n:yyy =:rr/2-~-~~--~~- ~ - ~~~-~~~- ~~ ~ -~~---~~-~-~~-----~x--~---~-_L-_------~x-3Figura 1.82. Ms escandaloso todava, sera el clculo:Ji ~ dx = - ~J 1 = - [~ - (- ~)J =-3X x -3 1 3o4--0)XIIIaT = fb--- dx=fb--- T ' dx2 a (X - a)1II 2 a (b - X)IIIrepresentantes de las tres singularidades a las que ha quedado reducido el estudio de dichas integrales impropias,reciben el nombre de integrales tipo (TI de primera especie, T2 y T~ de segunda) y se suelenutilizar para determinar el carcter de otras integrales por comparacin con ellas.Probar que:RESOLUCiN{convergeTIdivergesi m > 1si m ";; 1 {convergeT, .- dlvergeL1x1 JH, si m = 1joo 1 fH a TI = -;;; e/X = lim X- III dx = limfX H ~ oo H~ oo x-III+ I JH a asi m =1= 1- m+ 1 .'con lo que si m = 1, evidentemente TI' = 00 (divergente).si m =1= 1: TI = -I- ( lim H I - III - al-III) = {finito,l - m H ~oo 00,si 1 - m < Osi 1 - m > OConsecuentemente converge si m > 1 Y diverge en los dems casos.si m < 1si m ~ 1Probemos ahora que con T2 (y T ~ del mismo modo) sucede al revs (hagmoslo con m =1= 1, pues param = 1 claramente tambin es divergente):fb 1 fb (x-a)_III+IJbT = dx = lim (x - a)-lIIdx = lim -----2 a (X - a)11I e-O a +t: l:-+ Q -In + 1 a +e= -1- [ (b - a.) I-1II - lim(;)I - 1II ] = {finito (convergente),1 - In Osi 1 - In < OCaso en el que el intervalo de integracin es infinitoConsideremos una integral 11 = 100 f(x) dx, siendo f(x) acotada y no negativa (por lo ya comentado)en el intervalo [a, 00 ).(5) El motivo de lomar (b - x)'" en lugar de (x - b)'" con lo que T2 := T ~, radica en que por ser b ;:> x (a :s; x :s; b),si sucediera, por ejemplo, que l1l = 1/2, se tendra (x - b)I !2 Y consecuentemente la integral T ~ carecera de sentido.http://gratislibrospdf.com/ 29. Integrales definidas simples 15Para determinar el carcter de esta integral impropia de primera especie, nicamente utilizaremosciertos criterios, anlogos a los que el alumno ya conoce por haberlos estudiado en todotipo de series. De dichos criterios presentamos aqu los siguientes:Criterio del lmite. . f(x) {k finito, siendo m > 1 : /1 convergeSI 11m --=x-+ oo ~ k =f. O (pudiera ser (0), con m ~ 1 : /1 divergex'"Criterio de comparacin (equivalente al anterior)Aplicando la propiedad (8) de la integral de Riemann se tienen los siguientes resultados (k E R+):1Si V x E [a, (0), kf(x) < - con m > 1 : /1 convergexIH1Si V x E [a, (0), kf(x) > - con m ~ 1 : /1 es divergenteXIIICriterio integralSea y = f(x) , como se ha dicho, una funcin acotada y no negativa en el intervalo [a E R, (0):Si f(x) es decreciente en [b ~ O, (0), entonces, la serie f(n) y la integral/ 1 tienen el mismocarcter (6).Ejemplos1. Probar que si lim f(x) =1= O, entonces, la integral impropia de primera especie 11 es divergente.x-+ eoNtese que este enunciado resulta equivalente al siguiente:Es condicin necesaria para la convergencia de 11 quelim f(x) (caso de que este lmite exista) = Ox- 00RESOLUCiNPor la hiptesis, si lim f(x) = k(k E R+ al ser f no negativa) =1= O, entonces podr determinarse un Xo talx- 00que V x > Xo se verifique f(x) > K. Consecuentemente:feo f~ f eo f eo 11 = a f(x)dx = a f(x)dx + Xo f(x)dx > Al (finito) + Xo Kdx = rocon lo que 11 sera divergente. (6) Ntese, con relacin a la convergencia, que si a < b, el intervalo la, b] no influye por corresponderle (funcinacotada en intervalo finito) un rea finita.http://gratislibrospdf.com/ 30. 16 C lculo integra l y aplicaciones2. Utilizando los tres criterios estudiados, determnese el carcter de la integral impropia (de primeraespecie):fro X 21 = 2 2 dx (una nica singularidad)- 2 (2x + 3)RESOLUCiN (s iempre debe comprobarse previamente la condicin necesaria de convergencia)al. f(x). X2 1]m - - = 11m 4 2 : -x ~ ro I x ~ ro 4x + 12x + 9 XIIIxm + 2lim 4 2x ~ ro 4x + 12x + 9xl1!XIII + 2 1 XIII 1= Iim -4- = - Iim 2" = - (finito) con m = 2 > 1 = 1 converge.x ~ ro 4x 4 x~ ro X 4X2 1 1 1bl V X E [- 2 00 ) f(x) < - = - -" 4x4 4 X2= 4f(x) < - (m = 2 > 1)XIII= 1 converge.el Puesto que sera muy engorroso precisar todas las exigencias del criterio integral (f decrece a partirde x = ~), con las integrales que generalmente se estudian es suficiente un razonamiento anlogo alsiguiente (~ == tiene igual carcter que):f(x) es acotada y no negativa en [ - 2, 00 ), y necesariamente decrecer en [b ~ O, w ) puesto quelim f(x) = O. En consecuencia:x -tCX)Caso en el que la funcin subintegral ((x) no es acotadaConsideremos la integral 12 = f: f(x) dx, siendo f(x) no acotada (supongamos en su extremoinferior x = a) y no negativa por lo repetidamente mencionado.Sin ms consideraciones, nicamente apoyndonos en los resultados hasta aqu obtenidos ytrasladndolos al criterio del lmite, por ejemplo, el carcter de la integral 12 podr extraerse delsiguiente cuadro:Si lim f(x) = {k fin ito, siendo In < 1 : 12 es convergentex --+a + 1 k =1= O (puede ser (0), con In ~ 1 : 12 diverge- ---(x - a)'"En el caso de que la singularidad tuviera lugar en el extremo superior b, el primer trminode la anterior igualdad sera: lim [f(X) : 1 J. x--+ b - (b - x)'"Si la funcin f(x) integrable en [a, b] no est definida en el punto C E [a, b] pero la discontinuidaden C es evitable, entonces (regla de Barrow generalizada) la correspondiente integral,denominada por tal motivo seudoimpropia, es convergente con relacin a dicho punto c.http://gratislibrospdf.com/ 31. Integrales definidas simples 171.3. INTEGRALES EULERIANASEstas integrales, llamadas tambin funciones eulerianas Gamma y Beta, aparecen muy frecuentementeen todo tipo de clculos, y su concurso da lugar a la resolucin de numerossimas integralesdefinidas.B(p, q) = J: XP- l (1 - X)q- l dx con p, q E R+con pE R+Con frecuencia, se las denomina asimismo, integrales eulerianas de primera y segunda especierespectivamente.Convergencia y clculo de la funcin euleriana r(p)Veamos en primer lugar, que esta integral converge V p > O y diverge en los dems casos.Para ello, descomponemos rep) en dos integrales con una nica singularidad (cuando p < 1,en x = O obviamente existe singularidad):No es difcil observar que la ltima integral (impropia por tener infinito su intervalo deintegracin) siempre converge (cualquiera que sea p). Comprobmoslo mediante el criterio dellmite:1 X",+p-llim (XP-l e-X) : - = lim . = O (siempre) finito, con m = 2 > 1x--+ w x11l x--+oo eXpor lo que concierne a la singularidad debida a x = O, escribiremos:1 x'"lim (xp - 1 e- X) : {e -X --t l ' = lim - -x-+O (X - O)'" f x-+O X 1 - py como la convergencia se da cuando m < 1 y este lmite finito (m ~ 1 - p), resultar paraello que:l-p ~ mOoperando de forma anloga se probara que, cuando p ~ O, la integral r(p) es divergente.Clculo de r(p)Obtendremos su valor a partir de la funcin euleriana r(p + 1) e integrando por partes (recurdeseque p > O) :http://gratislibrospdf.com/ 32. 18 Clculo integral y aplicaciones['(p + 1) = f oo xpe - Xdx{x~ = u ........ du = PXP~ldX} = - xpe-xJooo +o e x dx = dv v = - e xAplicando esta ley de reculTencia (para valores donde la funcin Gamma es convergente) einicindola con ['(p) = (p - 1)[,(p - 1), escribiremos:['(p) = (p - 1)r(p - 1) , ['(p - 1) = (p - 2)r(p - 2)['(p - 3) = (p - 3)[,(p - 3), ...que da lugar a la forma ms conveniente:['(p) = (p - 1)r(p - 1)['(p) = (p - 1)(P - 2)[,(p - 2)['(p) = (p - 1)(P - 2)(P - 3)[,(p - 3)de donde resulta finalmente la relacin:['(p) = (p - 1) (p - 2) (p - 3) ... r1(r) , r(a eleccin) > OCuando p E N, Y puesto que ['(1) = Loo e -x dx = 1, se tiene:['(p) = (p - 1)(P - 2)(P - 3) .. . 321 ['(1) = (p - 1)1lo cual justifica, an cuando p no sea natural, que se escriba frecuentemente:y que sirve para generalizar el concepto factorial de un nmero.Ntese asimismo que ['(1) = 1 = (l - 1) 1 ~ 01 = 1.(4)(5)Cuando p if: N, el clculo de ['(p) suele llevarse a cabo mediante unas tablas (Figura 1.11),con las que, como se ver, pueden obtenerse muy aproximados todos los valores de ['(p) conp E R+. Obsrvese que los valores de estas tablas son las ordenadas ['(P), p E [1 , 2), de unapequea porcin de la curva representada en la Figura 1.12.http://gratislibrospdf.com/ 33. Integrales definidas simples 19I VALORES DE r(p), 1 :S P < 2~~-0----------2-----3------4-----5-----6-----7------8-----9~1,0 1 0,9943 0,9888 0,9835 0,9784 0,9735 0,9687 0,9642 0,9597 0,95551,1 0,9514 0,9474 0,9436 0,9399 0,9364 0,9330 0,9298 0,9267 0,9237 0,92091,2 0,9182 0,9156 0,9131 0,9108 0,9085 0,9064 0,9044 0,9025 0,9007 0,99901,3 0,8975 0,8960 0,8946 0,8934 0,8922 0,8912 0,8902 0,8893 0,8885 0,88791,4 0,8873 0,8868 0,8864 0,8860 0,8858 0,8857 0,8856 0,8856 0,8857 0,88591,5 0,8862 0,8866 0,8870 0,8876 0,8882 0,8889 0,8896 0,8905 0,8914 0,89241,6 0,8935 0,8947 0,8959 0,8972 0,8986 0,9001 0,9017 0,9033 0,9050 0,90681,7 0,9086 0,9106 0,9126 0,9147 0,9168 0,9191 0,9214 0,9238 0,9262 0,92881,8 0,9314 0,9341 0,9368 0,9397 0,9426 0,9456 0,9487 0,9518 0,9551 0,95841,9 0,9618 0,9652 0,9688 0,9724 0,9761 0,9799 0,9837 0,9877 0,9917 0,958Figura 1.11Consecuentemente, para calcular el valor r(p), se har:Cuando p E N -> ro = (p - 1)!r(p) si p E (O, 1) -> r(p + 1) (en tablas) = pr(p){p t/= N {Si P > 1 -> se aplica (5) con r E O, 2) YtablasComplementando lo expuesto con la siguiente frmula, que aqu no demostraremos (mtodode integracin de los residuos):tir(p) .ro - p) = -- , O < p < 1senpn (6)en la mayora de casos no se necesitar recurrir a las tablas.r (P)11 IV::) V ,,, ,,, ,,,~~~~~~~~~-4--+-----~p{ --4 -3 -2 -1 o 1 2 3ffFigura 1.12http://gratislibrospdf.com/ 34. 20 Clculo integral y aplicacionesLa aplicacin de (6) para p = ~ da lugar a [r(~) J = n, y puesto que r(p) es siemprepositivo (xP- e - x> O, 't:j x), resulta el valor r(~) = Jn, con el que se obtienen los r(~)para todo n E N.Ejemplo9Calcular el valor r(p) cuando a) p = 11, b) p = 0,32, e) p = 4,36, d) p = - .2RESOLUCiN (vanse previamente valores aprox imados en la Figura 1.12)al Para un valor de p relativamente grande, el clculo de r(p) ser difcil. Si no se requiere exactitud,puede utili zarse la frmula aproximada (Stirling) p! ~ j2;;;c . pI'. e - P En este caso se tendr:r(l l) = lO! = 3.628.800 (exactamente) , r(ll) ~ 3.598.696 (Stirling)0,8946bl r(0,32 < 1) : r(l ,32) = 0,32r(0,32) => r(0,32) = - - = 2,7956.0,32el r(4,36) = 3,362,36 1,36 r(l,36) = 10,78420,8902 = 9,600l.dI r 29) {tablas} = 27 '25 '23 r (32) = 8105. 0,8862 = 11 ,631375.(r ( - {aplicando r(J /2) = Jn} = -. - . -. - r - = - Jn = 6,5625 1,7724 = II ,6313759) 7 5 3 1 (1) 1052 2 2 2 2 2 16Prolongacin de la funcin GammaEn el caso de que p ~ O, la integral r(p) = LX) XP-l e - Xdx es, como se ha visto, divergente.No obstante, si r(p) se define exclusivamente a partir de la relacin:'t:j P E R : r(p + 1) = pr(p) =*"r(p + 1)r(p) =--p(7)habremos realizado una extrapolacin de la funcin Gamma, dado que si p > O su valor coincidecon el de la integral, y si p < O resulta un valor finito. Vemoslo calculando, por ejemplor( - 5/2).http://gratislibrospdf.com/ 35. Integrales definidas simples 21Mediante la frmula (7) se tiene:1p= -- 23p= - -2Sp= -- 2r(-~) = r(l/2) = -2Jn2 -1/2r(-~) = r(l/2) = ~ Jn2 - 3/2 3r(-~)= n-3/2) = - ~ Jn2 - 5/2 15resultado al que se puede llegar mucho ms rpidamente, escribiendo:r(-~)= - ~ Jn 2 15Este mtodo de obtener el valor de np) para p < 0, recibe el nombre de prolongacin anal-ticade la funcin Gamma. La correspondiente prolongacin grfica puede observarse en la Fi-gural.12.La funcin euleriana B(p, q)Empezaremos, como anteriormente, probando que la integral euleriana de primera especie:converge cuando p y q son mayores que cero, y diverge en los dems casos (ntese que existesingularidad en ambos extremos de integracin: en x = cuando p - 1 < 0, y en x = 1 cuandoq - 1 < O).Nos limitaremos a efectuar dicha demostracin, estudiando nicamente la singularidad enx = 1 utilizando el criterio del lmite, puesto que el proceso correspondiente al extremo inferiorx = es totalmente anlogo:x=l. xP-l(l - X)q-l: 11m 1x--+l-(l - x)". (l - x)"11m 1x->l- (l-X) -qy como la convergencia se da cuando m < 1 Y este lmite finito (m ?= 1 - q), resultar paraello, que:l-q~mOde igual forma se probara la convergencia con p > en el extremo inferior, y asimismo la di-vergenciaen los dems casos.http://gratislibrospdf.com/ 36. 22 Clculo integral y aplicacionesClculo de B(p, q)El valor de B(p, q), suele obtenerse, utilizando su relacin con la funcin r(p) que en estosmomentos tan bien conocemos. Dicha relacin, que se demuestra con rigor (p, q E R+) en elEjercicio resuelto 5 del Tema 3 (Integrales dobles) y que aqu probaremos parcialmente (en latercera de las propiedades que siguen) viene definida por:Ejemplor(p) r(q)B(p, q) = r(p + q)Consideremos la integral impropia convergente:2 1!= f dx -2 .j(2 - x)(2 + X)2(8)Efectuando el cambio de variable x = 4t - 2 (vase propiedad 4) se transforma en una integral eulerianaB(p, q). Hllese su valor.RESOLUCiNHaciendo x = 4t - 2 {x = 2, t = l} el intervalo [ - 2, 2] se transforma en el [O, 1] Y consecuentementex = -2, t = Opodra resultar una integral B(p, q). Vemoslo:Como (2 - x)(2 + X)2{X = 4t - 2} = (4 - 4t)(4t)2 = 43 . tl(l - t), tendremos:con lo que al ser dx = 4 dt, resulta:!=-1 JI t- 2j3 .(I-t)-1/3 4dt= JI t - l /3(l _ t)-1 /3dt {P-1 = = -2/3}4 o o q - 1 = - 1/3= B(~ ~) = r(lj3)r(2/3) = r(~)r(~) {(6)} = _n_ = 2J3n3' 3 reI) 3 3 n 3sen -3Propiedades de la funcin B(p, q)1. Existe la simetra B(p, q) = B(q, p), puesto que:B(p, q) = JI xP - l (1 - X)q-ldX{X = 1 - t} = - IlO (1 - t)p-ltq -l dt = B(q, p) dx = -dthttp://gratislibrospdf.com/ 37. Integrales definidas simples 232. f1< /2Clculo de todas las integrales o sen'" x cos" X dx (m ~ O, n ~ O):B(p, q) = fol xp- l(l - X)q-l dx{x = sen2 t} = fo~ sen2l'-=-2 t cos 2(J - 2 tL2 senLCstdt) ={2P -l=mcon lo que al ser , resulta:2q-l=nf 1 (m 1 n 1)1< /2 + + sen"'xcos"xdx = - B -- - - o 2 2' 2(9)(es conveniente, aplicando la relacin anterior, comprobar las frmulas obtenidas en el Ejemploresuelto 3 que posteriormente aparece en la Seccin La integral de Riemann).3. Relacin entre las funciones B(p, q) Y r(p)En estos momentos, estamos en disposicin de probar la relacin (8) cuando, como se hadicho, uno de los parmetros p o q sea natural y el otro real positivo.Para lograrlo, integraremos por partes B(p, q) rebajando el exponente q - ], y supondremosque q E N, P E R+ (hacemos hincapi en que la demostracin con p, q E R+ se realiza en eltema de Integrales dobles):xl' ] 1 q - 1 f = - (1 - X)q-l + -- 1 xl'(l - x)q- 2 dx{q = 1,2, oo .} = -q --1 B(p + 1, q - 1)p o P o Pcon lo que aplicando esta ley de recurrencia, escribiremos:q - 1B(p, q) = - - B(p + 1, q - 1)Pq - 2B(p + 1, q - 1) = --B(p + 2, q - 2)p + 11B(p + q - 2, 2) = B(p + q - 1, 1) puesto que q E Np+q-2http://gratislibrospdf.com/ 38. 24 Clculo integral y aplicacioneshabida cuenta adems que:B(p + q - 1, 1) = J1 X p + q - 2 dx = __1_ _o p+l-lse tiene:(q - l)(q - 2) 32 1B(p,q) =p-(P--+~1~) -.. -.(p~+-q----2)-(p-+--q---1-)(q - 1)!p(p + 1) .. . (p + q - 1)y multiplicando el numerador y el denominador del cociente anterior por (p - 1)!, resulta finalmente:(P-1)!(q-l)! (P-1)!(q-1)! r(p)T(q)B(p, q) = (p _ 1)![P(P + 1) .. . (p + q - 1)] (p + q - 1)! r(p + q)4. Cambios de variableLas integrales eulerianas, en particular B(p, q), dan lugar al clculo de numerosas integralesdefinidas. Este clculo se basa generalmente en lograr, haciendo un cambio de variable adecuadoen la integral 1, que sta se transforme en una funcin B(p, q), es decir:La transformacin del intervalo de integracin de cualquier integral en el intervalo [0, 1],se lleva a cabo mediante los siguientes cambios de variable, que darn lugar (o no) a una funcinB(p, q):Si el intervalo de 1 es [a, b] : x = (b - a)t + aa aSi es [a, (0) o (- 00, a] : x = -. Tambin x = - -t 1 - taSi [O, (0) o (- 00, O] siendo (a + bxPF divisor en f(x) : a + bxP = -t(lO)A veces, a los cambios anteriores, hay que aadir el cambio tlll = u(m > O), cambio que transformael intervalo [O, 1] en s mismo, y que igualmente puede transformar tambin en funcionesB(p, q) otras integrales enmascaradas cuyo intervalo de integracin sea el [O, 1] (vase el cuartoy quinto de los Ejercicios resueltos correspondientes).Puede tambin suceder, aunque menos frecuentemente, que la integral enmascarada 1 seauna funcin r(p). Si esto ocurre, los correspondientes cambios de variable (que dependern dela apariencia de 1) son muy numerosos, aunque evidentemente todos ellos debern conducir a laobtencin del intervalo [0, (0) asociado a dicha funcin Gamma (vase el primero de los Ejemplosresueltos, y asimismo el primero de los propuestos).http://gratislibrospdf.com/ 39. Integrales definidas simples 251.4. INTEGRALES PARAMTRICASToda aquella integral (simple) que adems de la variable de integracin presente ciertos parmetrossituados en su funcin subintegral o en sus extremos, recibe el nombre de Integral paramtricao Integral dependiente de parmetros.Estas integrales, por tanto, son de la forma:le A) = f (x, A) dx J(A, 11) = f (x, A, 11) dx, .. .donde los citados parmetros se consideran constantes durante el proceso de integracin, pudiendosuceder que los extremos de integracin dependan tambin de estos parmetros.Estudiaremos el caso de la anterior integral leA), es decir, el caso de un solo parmetro. Lageneralizacin (Ejemplo resuelto 6 y propuestos 3 y 4) es inmediata.Previamente, para fijar ideas, resolveremos un ejemplo muy simple, que a parte de justificarla notacin le A) (aunque resulta evidente que la integral l es funcin nicamente de A), presentaun resultado (que inmediatamente probaremos) y que corresponde a la ms notable relacin deesta seccin.EjemploConsideremos la integral leA) = f f(x, A) dx , f(x, A) = 3}.x2 + A 2 + 2al Resolver la integral, obteniendo su valor le}, ). Seguidamente dervese este valor respecto de A, esdl(},)decir, hllese -;- .dl(},) f3bl Comprubese que tambin -;- = 1 f~.(x, },) dx.RESOLUCiNf X + 2x = 2},2 + 26), + 4 ->-- = 4}, + 26. 3 X3 ] 3 dl(A)al IU,) = (3h2 + A2 + 2)dx = 3A - + A21 3 1 dAbl f3 f3 ] 3 dl(A)f~(x, A)dx = (3x2 + 2A)dx = x 3 + 2h = 4), + 26 = - -o1 1 1 dAHacemos hincapi en que se ha realizado la siguiente comprobacin (que como veremos, en ciertascondiciones, y siendo a y b constantes, siempre se verifica):fb dl(A) fbSi IV,) = a f(x, },) dx , entonces -;- = a f~(x, A) dxhttp://gratislibrospdf.com/ 40. 26 Clculo integral y aplicacionesPropiedades de las integrales para mtricas1. ContinuidadConsideremos la integral leA) = f f(x, J,) dx, con a y b independientes, en pnncIpIO, delparmetro A.Si la funcin subintegral f(x, J,) (supuesta como una funcin de dos variables) es continuaen el dominio D = {(x, J,) E R2/ a ~ x ~ b, e ~ A ~ d} (subconjunto rectangular de R2), entonces,elegido un e l E R + podr lograrse (en D) que If(x, A + L1A) - f(x, J,)I < e l' Y por consiguiente:'t/ A E [e, d] : IIU, + L1A) - IU,) 1 = Ir f(x, A + L1 J,) dx - f f(x, A) dxl == Ir [f(x, A + L1 A) - f(x, J,)] dxl ~ f If(x, J, + L1 J,) - f(x, A)I dx < f e l dxde donde resulta que:'t/ A E [e, d] : II(A + L1A) - I(A) 1 < el (b - a) = elo cual implica, en el intervalo [e, d], la continuidad (y continuidad uniforme por ser intervalocerrado) de la funcin lCA).Por otra parte y debido a esta continuidad de leA) podemos escribir:'t/ J,o E [e, d] : lim leA) = IU,o) finito => l-i+n: fb f(x, A) dx = fb f(x, Ao) dxJ. -+ ;'0 ;. "-o a acon lo que aplicando (continuidad) lim f(x, A) = f(x, AO) finito, resulta:), -+;'0lim fb f(x, A) dx = fb lim f(x, A) dxA -+ .lo a a A -+ ;'0(11)(el lmite de la integral es igual a la integral del lmite).Cuando los extremos de integracin dependan del parmetro J" y sean estas funciones a(A) yb(A) continuas 't/ A E [e, d] , de igual forma se probaran la continuidad de la funcin leA) y laanterior igualdad entre el lmite de la integral y la integral del lmite.2. Derivacin bajo el signo integralal Comencemos, como anteriormente, suponiendo que a y b no dependen del parmetro A.Si las funciones f(x, A) y f~(x, A) son continuas en el mencionado dominio D, para todoA E [e, d] podr escribirse:fbdI U,) . I(A + L1J,) - leA) . a [f(x, J, + L1A) - f(x, A)] dx-- = hm = hmdA LH -+ O L1A 6 .. _ _ = 4 b sen t( - a sen t dt) =o Y - b sen t SI X - O, t - n/2 ,,/2f" /2 n= 4ab sen 2 t dt = 4ab . -o 4=> A = nab 2. El grfico de toda curva cuya ecuacin polar es p = k(1 cos e), p = k(1 sen e), tiene forma decorazn y recibe el nombre de cardioide.al Dibjese la curva cardioide de ecuacin p = 4(1 + cos e).bl Calcular el rea interior a esta cardioide y exterior a la circunferencia X2 + y2 = 36.RESOLUCiNal Razonando con la ecuacin p = 4(1 + cos e), se tiene entre otras cosas que:- Cuando e crece de O a n, p decrece de 8 a O.Al crecer e de n a 2n, p tambin lo hace de O a 8 (lo cual se desprende de la simetra existenterespecto del eje polar x, puesto que al cambir e por - e, p no vara -> puntos (p, e) y (p, - e).http://gratislibrospdf.com/ 47. Integrales definidas simples 33- Dando asimismo algunos valores a la coordenada e (e ~ n) resultan los pares de valores:b) Puesto que la ecuacin de la circunferencia en coordenadas polares es p = 6(x2 + y2 = p2 cos2 e ++ p2 sen2 e = p2 = 36), la interseccin de ambas curvas se tendr de la resolucin del sistema:p = 4(1 + cos e)} ( n )-> 6 = 4(1 + cos e) -> (e, p) = -, 6p = 6 3con lo que (segundo grfico de la Figura l.16), escribiremos:A = Al (sector correspondiente a la cardioide) - A2 (sector circular) =1 f"/3 1 f" /3 1 f"/3 f"/3 = - pi d8 - - p~ d8 = - (pi - pD de {simetra} = (pi - p~) de2 - ,,/3 2 - ,,/3 2 - ,,/3 oComo pi - p~ = 16 (1 + cos 8)2 - 36 = 4 (4,cos2 e + 8 cos e - 5), resulta finalmente:f"/3 f" /3A = 4 o (4cos 2 e + 8cos8 - 5)de = 4 o [2(1 + cos2e) + 8cos8 - 5]de = 18)3 - 2nn /22nl3 n l3n l44nl3 5nl33nl2Longitud de un arco de curvax (e = O)Figura 1.16e = ~3e=-~3xSea una curva plana (C) definida en cartesianas, paramtricas y polares respectivamente, por lasecuaciones:y = f(x){X = x(t)y = y(t)p = p(e)Consideremos un arco (porcin de dicha curva) liso, comprendido entre los puntos de abscisax = a, x = b (Figura 1.17), cuya longitud (s) se desea calcular.http://gratislibrospdf.com/ 48. 34 C lculo integral y aplicacionesy e~------~--------------------~--------- x o a bFigura 1.17Para ello, razonaremos de igual modo que anteriormente, es decir, partimos del elementodiferencial de arco (ds), teniendo presente que, si se supone dicho elemento rectilneo, secomete un error despreciable (por ser este error un infinitsimo de orden superior al de ds) .Por todo lo, cual podr escribirse ds = J dX2 + dy 2, Y en consecuencia:Cartesianas: ds = JI + (:y dx --+ s = f JI + [f'(x)] 2dxParamtricas: ds = - dX)+ - ( dt--+2(dy ) 2dt dtPolares:{X = pcos eLa diferenciacin de las frmulas da lugar ay = psen edx = cos e dp - p sen e de}: ds = J dx2 + dy2 = J (dp)2 + (pde)2dy = sen e dp + P cos e dey multiplicando y dividiendo por de, resulta:(18)(19)(20)En el caso de una curva en R3, recordando (repsese si es preciso el Apndice 2) que todacurva del espacio (plana o alabeada) puede venir definida por los sistemas (entre otros):{F(X, y, z) : OG(x, y, z) - O {z = f(x , y)z = g(x, y) {y = f(x)z = g(x) {~ : ~(t)X = x(t)y = y(t). z = z(t)z = g(t) {http://gratislibrospdf.com/ 49. Integrales definidas simples 35y razonando, como anteriormente, a partir de la diferencial de arco ds = J dX2 + dy2 + dz2, escribiremos:Cartesianas: J (dy)2 (dZ)2 fX2 J (dyds = 1 + dx + dx dx )2 (dZ)2 ---7 S = Xl 1 + dx + dx dxParamtricas: ds = (2 1t2 dt + dt + dt dx ---7 s = t JX'(t)2 + y'(t)2 + Z'(t)2 dtdX)2 (dy)2 (dZ)1Ejemplos1. Consideremos una circunferencia de radio r y un punto P(x, y) de la misma. Cuando esta circunferenciarueda sin deslizar sobre una recta, el punto P genera una curva plana denominada cicloide (Figura1.18).al Determinar unas ecuaciones paramtricas de la cicloide y estudiar si es una curva lisa.bl Calcular la longitud de un arco completo de esta curva.y x o fI 2:n:rFigura 1.18RESOLUCiNal Tomaremos como parmetro el ngulo t (en radianes) que en un tiempo (T) ha girado el punto Palrededor del centro de la circunferencia (C).De la observacin de las Figuras 1.18 y l.19, se tiene:x = OH ~ MC = rt + rcos(3n ~ t) = rt + - = p'(e) =de de r/4s = 4 Jo_ sen 2e (dP)2 _ sen2 2e _ sen2 2e - - ----> - - --- ----p @ p2 cmW(d )2 f"/4p2 + d: de = 4 osen 2 2e f"/4 decos2e+--de=4 ~ {2e=t} =cos 2e o y' cos 2e_ f"/2 - .1 /2 {2P -1 = O } _ 1 (1 1) _ - 2 cos (t) dt - 2 . - B - - - -1(1-/2-)10-/4-)o 2q - 1 = - 1/2 2 2' 4 1(3/4)1(p + 1)en donde aplicando que 1(P) = , y tablas (Figura 1.11), resulta:P{1(l/4) = 41(5/4) = 3,62561(3/4) = (4/3)1(7/4) = 1,2254 --> s = Jn . 2,9585 = 5,2438http://gratislibrospdf.com/ 52. 38 Clculo integral y aplicacionesb) Puesto que la recta genrica r barre el rea pedida cuando fJ vara entre (se prueba fcilmente alser r : y = tg P . x) y n/2, tendremos:l= - [1 ,571 J 3,467 + L(l,571 + J 3,467)] = 2,0792Volumen de un slido de secciones conocidas48Consideremos un cuerpo slido del que se conoce el rea de cualquier seccin perpendicular auno de los ejes coordenados. Sup'ongamos que el eje es el z, que dicha rea es una funcin continuade la variable z definida por A = A(z), y finalmente, para centrar ideas, que el slido encuestin es el representado en el primer grfico de la Figura 1.21.Si el elemento (diferencial) de volumen, sombreado en este grfico, tiene adems una alturadz, podr tomarse como valor de su volumen (error despreciable) el valor dV = A(z) dz. Consecuentemente,y razonando como en los casos anteriores, resulta:llZ?dV = A(z) dz --4 V = fo A(z) dz. En general: IV= A(z)dzZ I(21)Las frmulas correspondientes, cuando las secciones conocidas son normales a los otros dosejes coordenados, son evidentes.La relacin (21) se conoce COn el nombre de Regla de Cavalieri.zzA (z)5 Y-/-----..yx xFigura 1.21http://gratislibrospdf.com/ 53. Integrales definidas simples 39Ejemplos1. Consideremos un slido cuya base es la elipse X2 + y2 = 1. Obtener su volumen, sabiendo que toda16 25 .seccin normal al eje y es un tringulo issceles de altura 6 unidades.RESOLUCiNUna vez reflejados los datos (segundo grfico de la Figura 1.21) y teniendo en cuenta que:escribiremos:25 - y2 4x2 = 16 -*x = - J 25 - y2 (cuando x ~ O)25 5, 1A(y) (tringulo ABe) = 2 (Area tringulo sombreado) = 2 - 6x =24= 6 - J 25 - y2524 = A(y) = - J 25 - y25En consecuencia:24 f5 24 f55 - 5 5 odV = A(y) dy -* V = - J 25 - y2 dy {simetra} = 2 - J 25 - y2 dyy = 5, t = n/2} y realizando el cambio y = 5 sen t , resulta:{y = O, t = O48 fn /2 f n/2 n5 o o 4V = - J 25(1 - sen2 t) (5 costtdt) = 240 cos2 tdt = 240 - = 60 nX2 y2 Z22. Determinar el volumen del elipsoide 2: + -; + 2: = l.a b- eRESOLUCiNIntersecando el elipsoide con el plano z = O (por ejemplo), se tiene la elipse x: + y: = 1, cuya rea comoa bsabemos, es naboComo la seccin A(z) del elipsoide por un plano paralelo al z = O, y distante z de l, es una elipse desemiejes (dibjese el grfico correspondiente):se tendr que:a - - - a'=-Jc2 _z2eb -b'= - Jc2 - Z2ehttp://gratislibrospdf.com/ 54. 40 Clculo integral y aplicacionesPor consiguiente:nab fe 2nab fC 4dV = A(z) dz ---+ V = -2 (e2 - Z2 ) dz = -2- (e2 - Z2) dz = - nabee - c e o 3 Volumen de un slido de revolucinSupongamos una curva e definida por la funcin y = f(x) continua en un cierto intervalo [a, b].Al girar esta curva alrededor del eje x (por ejemplo) engendra un slido de revolucin (Figura1.22) cuyo volumen, podr calcularse aplicando (21) ya que se conoce el rea de cualquierseccin normal a dicho eje.y yyRy=: g (x)~-""~~----~L------J----~--------~------~ x o a x x + dx b a bFigura 1.22Aplicando pues la frmula de Cavalieri, y como A(x) (rea circular sombreada) es n[y = f(x)] 2,resultar que el volumen del slido en cuestin comprendido entre a y b, vendr dado por:(22)Las frmulas correspondientes en paramtricas (obvias) y en polares por giro alrededor deleje polar (prubese sta), vienen expresadas por las siguientes relaciones:ft2V = n [y'(t)]2X'(t) dttl(23)En caso de que la curva e pueda expresarse por la ecuacin x = g(y), el volumen del cuerpode revolucin engendrado por e al girar alrededor del eje y, resulta (22) evidente (vase Figura1.24 y ejemplo correspondiente).Consideremos ahora la regin R 1 de la Figura 1.22 (rea limitada por la curva y el eje xentre a y b). Evidentemente el volumen engendrado por R 1 al girar alrededor del eje x vendrdado por (22) pues el cuerpo generado es el mismo que cuando gira la curva y = f(x).Hecho este comentario, tratemos ahora de obtener el volumen engendrado por la citada reginR 1 al girar alrededor del eje y, utilizando nicamente la ecuacin y = f(x). Para ello, razonaremos,como siempre, con elementos diferenciales.http://gratislibrospdf.com/ 55. Integrales definidas simples 41El rectngulo sombreado en R 1 de base dx y altura y = f(x), genera, por giro alrededordel eje y, una corona cilndrica (tubo de grosor dx), cuyo volumen diferencial (dV) es:dV = V1 (cilindro de radio x + dx) - V2 (cilindro de radio x) = n(x + dX)2y - nx2y == n[2x dx + (dx)2 ]y '" 2nx -j(x) dxAsimismo, el elemento diferencial de volumen generado por el rectngulo de la regin R 2al girar alrededor del eje y, vendr expresado por dV = 2nx[f(x) - g(x)] dx.Consecuentemente, el giro alrededor del eje y de las secciones R 1 y R2 (segundo grfico dela Figura 1.22), generan slidos de revolucin cuyos volmenes respectivos V(R 1) y V(R 2) son:VeR 1) = 2n f xf(x) dx V(R2) = 2n f x [f(x) - g(x)] dx (24)rea lateral de un slido de revolucinSupongamos que la curva anteriormente definida por la funcin continua y = f(x) (considreseel segundo grfico de la Figura 1.22) gira alrededor del eje x, dando lugar a un cuerpo de revolucincuya rea lateral (A) se desea obtener.Habida cuenta de que el elemento diferencial sombreado engendra un tronco de cono (r 1y r 2 radios de sus bases, y generatriz rectilnea g '" ds), cuya rea lateral es, como sabemos:resulta:dA = 2ny JI + (~~y dx -t A = 2n f f(x) J l + [f'(x) ]2dx (25)Ejemplos1. Consideremos la circunferencia C de centro (O, 2) Y de radio 2.al Determnese el volumen generado por C al girar alrededor del eje x, y comprubese el resultado utilizandocoordenadas polares.bl Traslademos la circunferencia C hasta que su centro sea el punto (O, 5). Calcular el rea del cuerporesultante (toro) al girar esta ltima circunferencia alrededor del eje x.RESOLUCiNal Observando la Figura 1.23, es claro que el volumen (V) pedido ser el generado por la semicircunferenciaC 1 de trazo continuo (y ~ 2) menos el correspondiente a la C2(Y :S 2).http://gratislibrospdf.com/ 56. 42 Clculo integral y aplicacionesyQ (O, 4)-2 Como:., "" ,, " ,,~/,' I()2rToroxFigura 1.23-- {e l : Y = 2 + J 4 - X2, y - 2 = J 4 - X2 ----> J-- e2 : Y = 2 - 4 - X2y operando por la simetra con la regin sombreada, escribiremos:2 f"/2 no o 4= 16n J4 - x2 dx{x = 2sent} = 16n4 cos 2 tdt = 64n - = 16n2 fEn polares: del tringulo rectngulo OPQ se tiene de inmediato que p = 4 sen 8 es la ecuacin de e(comprubese sustituyendo x = p cos 8, y = p sen 8 en su ecuacin cartesiana).nComo para que r barra la zona sombreada, 8 debe variar entre O y - , aplicando la frmula (23), se2tendr:2n f"/2 256n f"/2 {2P - 1 = 4} V=2- (4sen8)3sen 8d8= - - sen4 8de __ =3 o 3 o 2q ] - 0= 256n.~ B(~ ~) = 12Sn 1(52)r(l2) = 64n (~ ~ n) = 16n23 2 2' 2 3 1(3) 3 2 2b) Razonando como anteriormente se tiene que el : 5 + J 4 - x 2, e2 : 5 - J 4 - X2 ; con lo cual,aplicando la frmula (25) resulta (dibjese e y analcese el porqu del signo + que aparece en la relacinque sigue):f2 - - 2dx f2 dxA = 2 2n [5 + J 4 - X2 + (5 - J4 - X2) ] J = SOn J = 40n2o 4 - X2 . o 4 - X2 http://gratislibrospdf.com/ 57. Integrales definidas simples 432. La curva de la Figura 1.24, es parte del grafo de una funcin y = f(x) definida implcitamente por laecuacin x(4 - X)2 - y2 = O.y4 xFigura 1.24Hallar el volumen engendrado por la regin sombreada al girar alrededor del eje y:a) A partir de la frmula (22) dV = rrx2 dy.b) Mediante la relacin (24) dV = 2rrxf(x) dx.RESOLUCiNa) De la ecuacin x 3- 8X2 - y2 + 16x = O dada, difcilmente podra despejarse x = g(y) para con elloaplicar la frmula (22). Sin embargo, como se nos exige aplicar dicha frmul a, consideramos que una so-'lucin es escribir lo siguiente:dV = rrx2 dy {y = f(x) } = rrx 2. f'(x) dxy en consecuencia:V {simetra, y ~ O} = 2 rr f: x 2f'(x) dxdyObtengamos f'(x) = -:dx- dy 1 - 4 - 3xAl ser (y ~ O) Y = J X(4 - x), - = --- (4 - x) - J x = ----dx 2Jx 2 J xcon lo que:IX2 f'(x) dx = - (4X 3 /2 - 3X5 /2) dx . 2En consecuencia:f4 J4 V = 2rr ' -1 (4X3 2 /- 3X5/ 2) dx = rr [8 - X5/6 2.0482 - - X7 /2 = - - rr (valor absoluto)2 o 5 7 o 354 f4 - f4 2.048o o o 35 f 2 )dx=-- rr.b) V{(24)} =22rr xf(x)dx = 4rr x. J x(4 - x)dx=4rr (4x3/2 _x5/http://gratislibrospdf.com/ 58. 44 Clculo integral y aplicacionesTeoremas de PappusEn el segundo grfico de la Figura 1.22, se muestra un elemento diferencial de rea dA = f(x) dx,que por giro alrededor del eje y engendra otro elemento diferencial de volumen dV = 2nxf(x) dx.Si lo anterior se expresa, escribiendo:dV = 2nx dApoda este resultado, enunciarse en los siguientes trminos: el volumen engendrado por la reginsombreada (de rea dA) al dar una vuelta alrededor del eje y, es igual al producto de dA por ladistancia recorrida por dicha regin.Lo anterior justifica los dos siguientes teoremas debidos a Pappus (300 a.e.) y que podrnprobarse con rigor al estudiar centros de gravedad en la siguiente Seccin.Consideremos una regin A del plano situada a un solo lado de una recta (r) de este plano:El volumen del cuerpo engendrado por A al dar una vuelta completa alrededor de r, es igualal producto del rea de la regin A por la distancia que ha reconido su centro de gravedad.El rea de un slido de revolucin, es igual al producto de la longitud del arco que lo generapor la distancia recorrida al dar una vuelta completa el centro de gravedad de dicho arco.Ejemploal Aplquense estos teoremas para comprobar los resultados del primer ejemplo anterior (vase la Figura1.23).bl Obtnganse las frmulas generales del volumen y rea del toro engendrado por una circunferencia decentro (0, a) y radio r (1' < a) que gira alrededor del eje x.RESOLUCiNal La circunferencia de centro C(O, 2) y de radio r = 2, encielTa un rea de 4n 2 (u == unidades). Al daruna vuelta alrededor del eje x, su centro de gravedad C reCOITe una distancia de 4n u. En consecuencia:V(pedido) = 4n . 4n = 16n2En el segundo apartado nos piden un rea: cuando la circunferencia de longitud 2nr = 4n, gira alrededordel eje x, su centro de gravedad C(O, 5) recorre 2n' 5 = IOn. Por tanto:A(pedida) = 4n IOn = 40n2bl Teniendo en cuenta los siguientes datos del toro: rea del Crculo = nr2, longitud de su circunferencia= 2nr, distancia recorrida por su centro de gravedad C(O, a) = 2na, resulta:V(toro) = nr2 2na = 2a(nr)2 A (toro) = 2nr 2na = 4a(n2 r) Centros de gravedad o centroidesSean dos masas In 1 Y 1n2 sobre las que acta el campo gravitacional terrestre (para centrar ideastrataremos con fuerzas gravitatorias). Consideremos asimismo (Figura 1.25) una referencia, enhttp://gratislibrospdf.com/ 59. Integrales definidas simples 45m) dmm (C)9II-x)IXO IIII m)g IIIIItmgm9 C(x,y,Z)I1-IXX OXIIIIIIt mgFigura 1.25la que hemos representado el origen O (punto arbitrario) y nicamente uno de sus ejes (aunquese ha tomado este eje x normal a las fuerzas mig, el resultado que buscamos no depende de ladireccin de dicho eje). .Recordando de mecnica elemental que la fuerza resultante mg, para producir el mismoefecto que las m1g Ym2g, adems de verificar mg = m1g + m2g (m = m1 + m2) deber tener elmismo momento esttico M (respecto de cualquier punto, por ejemplo O) que ellas, tendremos(vase el primer grfico de la Figura 1.25):m1x1 + m2x2=> x=m = m1 + m2siendo en R3 inmediatas las siguientes relaciones (m = L m):_ _ _ LmXiC(x, y, Z) : x = --mz=Lm-iZ-imSupongamos ahora (segundo grfico de la Figura 1.25) un cuerpo de masa m. Razonandocon elementos diferenciales, operando de igual forma que anteriormente, y prescindiendo de loslmites de integracin, escribiremos:d(M) = tdm- g)x ~ M (momento respecto de O) = g f x dmy puesto que el momento de la fuerza mg es M = mg X, resulta:M = g f x dm = mg x => f x dm = m . xEn consecuencia:_ fXdmx=---mfZdmz=--mfYdmy=--mC(x, y, z) :X(26)http://gratislibrospdf.com/ 60. 46 Clculo integral y aplicacionesI Este punto C (donde puede considerarse concentrada toda la masa del cuerpo) se denominacefitroide o centro de gravedad del sistema de partculas o del cuerpo por ellas formado.Si el cuerpo es de densidad constante (p), al ser m = p' V(dm = p' dV) las relaciones (26)darn lugar a las:_ _ _ fXdVC(x, y, Z) : x = -V-fYdVY=-V-_ fZdVz=--V'(27)De igual modo, cuando el cuerpo en cuestin fuese una superficie plana (en este caso p serala masa por unidad de superficie) o una lnea plana o alabeada (p sera la masa por unidad delongitud), se tendran respectivamente para el centroide C las siguientes relaciones:Ejemplos_ _ _ fXdAC(x, y) : x = -A_ _ _ fXdSC(x, y, Z) : x =-sIYdAji = --(A es el rea de la placa)AfYdSy =;= -sfZdS z = - - (s == longitud)s(28)(29)1. Calcular el centroide C(x, ji) de una placa plana homognea (densidad superficial constante) en formade tringulo rectngulo, siendo a y b la dimensin de sus catetos.RESOLUCiNPara hallar la coordenada x operaremos con el primer tringulo de la Figura 1.26, en donde dA = Y dx =1= f(x)dx, A = - ab:2yby -----------------xX = -1 fx dA = -2 fa x[f(x)dx] = -2 fa bx 2a X - dx =-A abo aboa 3bxy= ayb - --- --- --- --- --------------- -- --- -y ---------------~======1a x o x aFigura 1.26xhttp://gratislibrospdf.com/ 61. 'Integrales definidas simples 47asimismo, observando el segundo tringu lo [dA = (a - x) dy], escribiremos:ji = A1 Y dA { dA = ( a - ba yd)y} = a2b fbo (a y - ba yZ) dy = "b3Obtengamos nuevamente el resultado ji = b/3 integrando en la variable x (que en alguna ocasin pudierafacilitar los clculos):ji = -1 y dA y = - , dA = (a - x) dy = (a - x) - dx = - - (a - x) - dx = - f { bx b } 2 fa bx b bA a a ab oa a 3Veamos otra forma de hallar el centroide C(x, ji) de placas planas que suele resultar ms simple quecon las frmulas (28):Consideremos la Figura l.13, y supongamos que la superficie (A) es la limitada por la curva y = f(x),el eje x, y las rectas x = X l ' X = x z.Habida cuenta de que (x, y/2) es el centroide del elemento diferencial (de rea dA) sombreado, setiene:Los momentos de A respecto de los ejes x e y, son:Los momentos de dA = f(x) dx respecto de dichos ejes, son:y f(x) 1 IX2 _ d(M) = (dA)- =f(x)d.x- --+ M _ = - fZ(x)dx = Ayx 2 2" 2 x,d(M) = (dA) . x = xf(x) d.x --+ My = f,2 xf(x) d.x = A . xen consecuencia:IXIXC(x, ji) : x = -1 2 xf(x) dx , )1 = - 1 fZ(x) dx 2(30)A x, 2A x, aApliquemos (30) para obtener de nuevo la ordenada ji = b/3 (Figura 1.26):_ 1 fa (bX) Z _ 1 bZ fa Z _ b a3y- - - dx--'- x dx--'- -_ -b2A O a ab aZ o a3 3 3 2. Consideremos un cuadrante del crculo defi nido por la ecuacin XZ + yZ ~ R2.a) Hallar su centroide aplicando las frm ulas (28), (30) Y el Teorema de Pappus.b) Este cuadrante al girar alrededor de uno de sus ejes, engendra una semiesfera (x2 + y2 + zZ ~ RZ).Obtngase su centro de gravedad.http://gratislibrospdf.com/ 62. 48 Clculo integral y aplicacionesRESOLUCiNa) (28). Puesto que C(x, ji = x), calculemos x (primer grfico de la Figura 1.27):yR//o//////x_ 1 R3 4 R3 4Rx = --=- - = - =>A 3 nR2 3 3nR xxFigura 1.27C(4R, 4R)3n 3nz(30). Calculemos ji que parece ms sencillo:1 fb 2 iR 2 2R3 4R2A a nR2ji = - f2(X)dx = - (R2 - x2)dx = -.- =-O nR2 3 3ny(Pappus). El cuadrante sombreado al girar alrededor del eje y, genera una semiesfera de volumen~ nR3, el cual deber ser igual al rea de cuadrante (n:2) por el camino recorrido por su centroideC(2nx). En consecuencia:- 4R=> x=-3nb) Puesto que C(O, O, Z), escribiremos (segundo grfico de la Figura 1.27):Al ser dV{ cilindro} = na2 . dz = n(R2 - Z2) dz, aplicando (27), se tiene:3. Consideremos una regin (R) limitada por la curva y = f(x) = 2x - x 2, y el eje x. Dicha regin giraalrededor del eje y.http://gratislibrospdf.com/ 63. Integrales definidas simples 49al Prubese aplicando Pappus y la frmula (24), que el volumen del cuerpo de revolucin engendradoes V = Sn/3.bl Hllese nuevamente V utilizando la frmula usual dV = nxz dy. Ntese ahora que en y = f(x) debernconsiderarse dos ramas, la x = l - ~ a izquierda de x = 1, Y la x = 1 + ~ a derecha. Conello, resultar:JI JI V = n JI( l + ~)Zdy - n (1 - ~fdy = 4n (l - y)l /zdy =- Sno o o 3el Comprubese que los centroides de R y del cuerpo tienen por coordenadas respectivas (1 , 2/5) Y(O, y, O), siendo:1 f 3 JI y = - ydV= - y4n(l-y)l/zdy = -3 B ( 2,-3) = -2 (tambin)V Sn o 2 2 5 4. Reptase el anterior ejemplo con y = f(x) = senx (entre O y n/ 2), comprobando que:JI (n)Z JI n3(nZdV = nxz dy -+ V = n o "2 dy - n o (arc seny)z dy = "4 - n "4 - 2 ) = 2nIntntese asimismo obtener V (entre O y n) = 2nz, utilizando nicamente la relacin dV = nxz dy . Centroides de slidos de revolucinConsideremos nuevamente la Figura 1.13 y supongamos que el rea (A) encenada por la curva y = f(x) , yel eje x entre Xl y xz' gira alrededor de dicho eje.En las condiciones dadas, resulta evidente que C(i, O, O) ser el centroide del cuerpo de revolucinengendrado.Como adems dV (generado por la regin sombreada) = nyz dx, sustituyendo esta relacin en (27), setendr:C(i,O,O):i=1- xdV = - x nyZdx=- xf2(x)dx f 1 f n IXlV V V x ,(31)Ejemploal Suponiendo que un cuadrante de crculo (primer grfico de la Figura 1.27) gira alrededor del eje x,comprubese mediante (31) que el centroide de la semiesfera engendrada es C(i, O, O)/i = 3Rz/ S.bl Aplicando las frmulas (27) y (31) transformada, obtngase el centroide C(O, O, Z) de un cono derevolucin (cuyo eje es el z) de altura h y radio de la base r.RESOLUCiNal_ _ nC(x, O, O) : x = -2 -- nR33http://gratislibrospdf.com/ 64. 50 Clculo integral y aplicacionesb) Habiendo situado el cono en la posicin de la Figura 1.28, y puesto que:1siendo V = - nr2. 11, se tiene:3dV = na2 dz {-r = -a} = n (r-z)2 dzh z 11z hy- rz = OroxFigura 1.28-11yAdecuacin de (31): la curva hy - rz = O (del plano yz) gira alrededor del eje z. El equivalente deXf2(X) dx, ser obviamente:Consecuentemente (31):que coincide con la expresin integral anteriormente obtenida. Momentos de inerciaConsideremos una masa puntual m distante r de un punto o un eje (E) a.lrededor del cual giracon velocidad angular w (Figura 1.29). Su energa cintica (W) vendr expresada, como sabemos,por:http://gratislibrospdf.com/ 65. Integrales definidas simples 51xzInr-----~,, --y --------~ , ,x: r d (y) / z V --------------------------'j----___////EyFigura 1.29Si el cuerpo (de masa m) no es puntual, la igualdad anterior resulta vlida para cada una desus partculas de masa mi (m = L m) puesto que w es la misma para todas. Con ello, podremosescribir:1 1 1W = - (m r2)w2 + - (m r2)w2 + .. . = - (L m.r2)w22 11 2 22 2"Por definicin, los factores mr2, L mir~ se denominan momentos de inercia (de la masa puntualo del cuerpo en cuestin) respecto del elemento (E) alrededor del que giran. Los momentosde inercia suelen representarse por la letra mayscula I.El momento de inercia respecto de un plano se define del mismo modo: producto de m (sies puntual) por el cuadrado de su distancia a dicho plano.Por otra parte, como el cuerpo, en general, estar formado por infinitas partculas, el clculode su momento de inercia deber llevarse a cabo mediante integracin. Razonando con elementosdiferenciales, es decir: momento de inercia diferencial correspondiente a una masa dm quedista r del punto, eje o plano, escribiremos:(32)Ntese que para aplicar correctamente (32), la distancia entre cualquier punto de dm (dmpuede ser un anillo delgado, una placa delgada circular, ... ) y el punto, eje o plano considerado,debe ser constante e igual a r .EjemploHallar en funcin de su masa CM) los momentos de inercia de los siguientes cuerpos:al Un cilindro de masa M y radio R respecto de su eje CE).http://gratislibrospdf.com/ 66. 52 Clculo integral y aplicacionesb) Una varilla muy delgada de masa M y longitud L respecto de un punto (o eje E) que pase por uno desus extremos.RESOLUCiNa) Supongamos que la altura del cilindro es h, y p su densidad (V = nR2h, M = pV):di = r2 dm {dm = pdV, dV = 2nrdr h} = 2nhp r3 dr :iR 1I = 2nhp r3 dr = - nhp R4o 2Como se pide I en funcin de M, multiplicando y dividiendo por M = pV = p ' nR2h, resulta:1 MI = - nhp . R4 . - --2 p nR2h1=> I (cilindro) = - MR22Si el cilindro fuese hueco de radio r (interior) y R (exterior), del mismo modo se probara que:1I(cilindro de radios r y R) = - M(R2 + r2)2y en el caso de ser hueco con pared muy delgada (R ~ r), se tendra:I (cilindro hueco de pared delgada --> tubo o anillo) = MR2b) Aunque se simplificar de igual forma que la h anterior, supongamos que la seccin transversal de lavarilla (Figura 1.30) es A (V = A . L, M = p V):di = r2 dm {dm = p dV = peA dr)} = pA . r2 dr :f fL 1 1 M 1I = r2 dm = pA r2 dr = - pAL 3 = - pAL 3 . - - = - ML 2o 3 3 pAL 3--r--__dm1 _ I~dr LE .~=========::::I:::::I==:=JFigura 1.30 http://gratislibrospdf.com/ 67. Integrales definidas simples 53Relaciones entre momentos de inerciaA continuacin, se presentan ciertas relaciones entre los momentos de inercia de un cuerpo, quefacilitarn en gran medida el clculo de stos. Para fijar ideas, las deduciremos utilizando lamasa puntual m (vase Figura 1.29), pues en el caso de un cuerpo, dichas relaciones, que tambinson vlidas, se obtienen de forma totalmente anloga (operando con dm).Denotemos por lo, Ix, Ixy, ... los momentos de inercia de m (o del cuerpo en cuestin) respectodel origen, del eje x, del plano xy . ... Observando la Figura 1.29, las distancias expresadasen ella, y aplicando las definiciones dadas, escribiremos:de donde son inmediatas, entre otras, las siguientes relaciones:(33)EjemploConsideremos una esfera maciza de radio R y masa M. Calclese:a) El momento de inercia respecto de un eje que pase por su centro.b) El momento de inercia respecto de su centro, aplicando (32).RESOLUCiNa) Tratar de obtener este momento de inercia aplicando la frmula (32) y operando en cartesianas, presentagran dificultad. Mucho ms sencillo resulta hallar el momento de inercia (l x) respecto de un planoque pasa por el centro de la esfera, y aplicar las relaciones (33).Basndonos en el segundo grfico de la Figura l.27 (esfera completa), y t01~ando como dm el cilindro diferencial sombreado (todos los puntos de dm distan un constante r = z del plano horizontal), escribiremos:4multiplicando y dividiendo por M = P V = p."3 nR3, se tiene:Mhttp://gratislibrospdf.com/ 68. 54 Clculo integral y aplicaciones1Y al ser IXY = Ixz = IyZ = "5 MR2, aplicando (33) resulta:=>b) Utilizando (33) es inmediato que:3 ? 1o = 31 = - MR- xy 5Comprobemos este resultado mediante integracin (32): para que la distancia entre cada punto de dm y elcentro O (O, O, O) de la esfera sea constante e igual a r, el elemento dm deber ser la masa de un globoesfrico delgado (radio interior r, y exterior r + dr). Obtengamos pues la masa dm = p dV de dicho globo:444 4dV = - n(r + dr)3 - - nr3 = - n(3r2 + 3r dr + dr2)dr ~ - n(3r2) dr =3 3 3 3= 4nr2 dr (difernciese el volumen de la esfera V = ~ nr3)Con ello se tiene (O ~ r ~ R):Vase tambin el Ejemplo resuelto 6 en donde de nuevo se obtiene el momento Ix de esta esfera de dosformas relativamente simples mediante dos artificios: uno, general para todo tipo de cuerpos, y el otro,particular para cuerpos de revolucin. Teorema de Steiner. Radio de GiroSi se conoce el momento de inercia de un cuerpo respecto de un eje, este teorema permite calcularel momento de inercia respecto de cualquier otro eje paralelo al anterior.La frmula de Steiner viene expresada por la siguiente relacin:siendole :1:Myd:Momento de inercia respecto de un eje (e) que pasa por el centroide (e).Momento de inercia (que se busca) respecto de un eje Ce) paralelo al e.Masa del cuerpo y distancia entre dichos ejes.Probemos esta relacin (34) que se obtuvo por primera vez en 1783:(34)Apoyndonos en que los tres puntos: P (punto cualquiera del cuerpo) e (centro de gravedad)y el punto donde est situada la masa puntual dm, definirn un plano, hemos dibujado plana laFigura 1.31. Se ha elegido una referencia cartesiana cuyo origen coincide con e, por lo cual,como se ha plasmado en dicha Figura, f x dm = O.http://gratislibrospdf.com/ 69. Al ser Ce' = O,y = O):J x dm>' = --= O => J X dll1 = OXyc (O, O)Figura 1.31Integrales definidas simples 55~ a : rax xSin ms consideraciones, y teniendo en cuenta que 1 = f r2 dm, le = f a 2 dm, escribiremos:1 = f r2 dm {teorema del coseno} = f (a 2 + d2- 2adcosrx)dm {ccosrx = x} =Radio de giro: cualquiera que sea la forma de un cuerpo, siempre ser posible encontrar unpunto Q situado a una distancia (k) de un eje (e) dado (puede tratarse tambin de un punto oplano) en el que cabe imaginar concentrada toda la masa (M) del cuerpo, sin modificar el correspondientemomento de inercia l e.Dicha distancia k, recibe el nombre de radio de giro del cuerpo respecto del eje e. En conse-cuencia,le = Me. .As por ejemplo, en una esfera maciza, el radio de giro respecto de su eje de revolucinvendr determinado por:2 2 ? 1 = ~ MR = Mk-SEjemplos1. El momento de inercia de un cuerpo de masa M = 4 kg respecto de un eje (e) situado a 2 m de sucentroide (C) es le = 20 kg m2. Probar que el momento de inercia respecto de otro eje paralelo que dista 3m de C, es 1 = 40 kgm2.2. Consideremos un cuerpo de masa M cuyos momentos de inercia respecto de su centroide (C) y de unplano (n) que pasa por C, se conocen.Probar mediante las relaciones (33) que sus momentos de inercia con relacin a otro punto C' u otroplano n' (paralelo al n) verifican tambin la frmula de Steiner (se prueba de inmediato suponiendo C'situado en la posicin m de la Figura 1.29).http://gratislibrospdf.com/ 70. 56 C lculo integra l y aplicacionesX2 y2 Z23. Sea el elipsoide 2: + 2: + 2: = 1, de masa M. Comprubese que sus momentos de inercia respectoa b edel plano z = e/S, y respecto de su centroide, son respectivamente:61= -Me225Momentos de inercia de superficies planasEn resistencia de materiales, cuando se estudia la flexin, aparece frecuentemente un conceptodenominado momento de inercia de una seccin transversal (momento, que resulta ser inversamenteproporcional a la flexin transversal de una viga cargada).Los correspondientes momentos de inercia de dichas secciones vienen definidos (Figura1.32) por:yyhyo x xFigura 1.32. Ejemplopahy = -xa(35)b xLos anteriores momento de inercia lo, Ix, Iy se denominan respectivamente momento de inercia polar (lo) ymomentos de inercia axiales. Determnense estos momentos cuando la superficie en cuestin es la deltringulo escaleno de la Figura 1.32.RESOLUCiNDividiremos este tringulo en dos tringulos rectngulos y obtendremos, en principio el Ix del tringulosombreado (todos los puntos del elemento dA, distan, como siempre, una constante r = y del eje x respectodel cual queremos hallar el momento de inercia):Ix (tringulo sombreado) = - (ahy 2 - ay3)dy = - ah3 - - ah3 = - ah 1 JI! 1 1 1 3h o 3 4 12http://gratislibrospdf.com/ 71. 1 Al 1I, - ah3 - Al h212 1 6 - ah 2Integrales definidas simples1Expresemos este resultado en funcin del rea Al = - ah del citado tringulo:21Resulta inmediato que en el segundo tringulo, L, = - A2 h2. En consecuencia:6Del mismo modo se obtendra que:I 11 = - bhta? + b2 + ab) = - A(a2 + b2 + ab)y 12 6Este resultado puede lograrse muy rpidamente aplicando, adems del resultado anterior, que el Iy de1 1un rectngulo (tal como el de vrtices O, a, P, h) viene dado por Iy = - a3h = - Aa23 3Consecuentemente:11o = 1x + 1y = -6 A(h2 + a2 + b2 + ab) http://gratislibrospdf.com/ 72. 58 Clculo integral y aplicacionesLa integral de Riemann1. al Calcular en el intervalo [ - 1, 1] el rea CA) limitada por el eje de abscisas y la curva y = fCx) = xix!.bl Determinar el valor de la integral 1 = J~ 1 f(x) dx.el Hllese en dicho intervalo, grfica y analticamente, el valor medio integral J1 = f(e) , e igualmente elpunto intermedio e.RESOLUCiNsi x? Oal Al ser y = f(x) = xlxl = - ,{;2- x2,se tiene la curva representada en el primer grfico de lasi x < OFigura 1.33; Y habida cuenta de la simetra existente, escribiremos:JI 2 JI A = rea sombreada = 2 X2 dx = - x 3o 3 oxFigura 1.33bl 1 = JI xlxl dx = JO - X2 dx + JI X2 dx = O (concepto)- 1 -1 o23yI y=g(x)IIxel Por la simetra resulta evidente que el valor medio integral (valor medio de todas las ordenadas) esJ1 = f( e) = O, Y asimismo que e = O. Comprobmoslo mediante la frmula correspondiente:1 fb 1 JI {l = fCe) = - - f(x)dx = - xlxldx = Ob - a {/ 2 - 1= e=Ohttp://gratislibrospdf.com/ 73. Integrales definidas simples 592. Hallar el rea de la regin limitada por las curvas:y = f(x) = - X2 + 3x - 1 , Y = g(x) = X3 - 2x2 + X - 1RESOLUCiNDespus de haber dibujado la frontera de dicha regin y obtenido los resultados plasmados en el segundogrfico de la Figura 1.33, se tiene:A(rea pedida) = fO [g(x) - f(x)] dx + f2 [f(x) - g(x)] dx =-1 = (x3 - f X2 - 2x) dx + ( - x 3 + X2 + 2x) dx = - + - = - o f2 5 8 37-1 12 3 123. Efectuando en las integrales (m, n E N):[(m) = f:'2sen"'xdx J(m, n) = f:'2sen"'xcos"xdxa) una nica integracin por partes (hgase en ambas senl1l-1 x = u), se consigue obtener una senci lla leyde recurrencia.Hallar con ella, el valor de [(5), [(6) y J(4, 5) que justificar n la siguiente frmula:f"O/2 sen"'x cos"x dx =(m - 1)!! (n - l)!! 1t2' m y n pares(m + n)!!(m - l)!!(n - I)!!-'------'--'-------, en los dems casos(m + n)!!b) e igualmente la relacin:f:'2sen"'x dx = f:'2cos"'x dx =(m - 1)!! 1t2' m parm!!(m - 1) !!----, m imparm!!(vase el Ejemplo 4 que sigue).RESOLUCiN[(m) . -> = - sen ,,, - Ix cosx +{sen"' - Ix = u du = (m - I)Senl" - 2x.cOSXdx} J "/2sen x dx = dv v = - cos x . f" /2+ (m - 1) sen"'-2x ' cos2x dx {cos2x = I - sen2x} = O + (m - 1)[/(m - 2) - [(m)')http://gratislibrospdf.com/ 74. 60 Clculo integral y apl icaciones4.de dondem - 1l(m)[1 + (m - 1)] = (m - 1)/(m - 2) = I(m) = - - /(m - 2)mHaciendo igualmente en J(m, n) el cambio sem'" - 1 x = u, y sustituyendo del mjsmo modo cos 2x porm - 11 - sen2x, resulta J(m, n) = --J(m - 2, n).m+nConsecuentemente:al4 4 2 4 . 2 f" /2 4 . 2I(S) = - /(3) = --/(1) = - sen x dx = - 1S S 3 S3 o S3S S 3 S 3 1 S 3 1 f"/2 1(6) = - /(4) = --/(2) = - - - 1(0) = -. - .- dx6 64 642 642 0con lo cual:f " /2 411l(S) = sen5xdx = -.:..:. o S!!, 1(6)= f sen6xdx = - - " /2 S!! no 6!! 2"/2 4 - 1 3 2 - 1 3 . 1 f" /2bl J(4 S)= f sen4 xcos 5 xdx=-- J(2 S)=---J(O S)= - cos 5xdx=, o 4+S ' 92+S' 97 o31421 (4 - 1)!!(S - I)!!=-.--=97 S 3 (4 + S)!!Ntese que f:'2sen2x dx = f:'2cos2x dx = , resultado que es conveniente recordar pues estas dosintegrales aparecen muy frecuentemente.n nal Efectuando los cambios de variable x = - - t, x = - + t, respectivamente, demostrar las siguientes2 2igualdades:f"/2 f "/2 1 f" f(senx)dx = f(cosx)dx = - f(senx)dxo o 2 obl Aplicando lo anterior calcular el valor del rea del recinto limitado por los ejes coordenados y la curvay = L (sen x) en el intervalo [O, n/2]. Hgase para lograrlo el cambio x = 2t en la tercera integral (9).(9) Aunque el estudio en el caso de que la funcin subintegral f(x) no est acotada en algn punto de [a, b 1 (L sen xno lo est en x = O) ya ha sido realizado en la Seccin 1.2, raznese para resolver este ejemplo sin tener en cuenta dichasingularidad.http://gratislibrospdf.com/ 75. Integrales definidas simples 61RESOLUCiNnal Puesto que el cambio x = - - t, transforma el intervalo de integracin [O, n/2] en el [n/2, O] , escri-2biremos:fo" /2 f(se n x)dx = tr o/2 f [ sen ("2n -)t J (- dt) = Jro"/2 f(cost)dtDe igual forma se probara la segunda relacin.bl Como V x E [O, n/2] f(x) = Lsenx ~ O (mismo signo), para hallar el rea pedida deber resolverseuna integral (H) cuyo valor absoluto ser dicha rea (A) . En consecuencia:"/2 i" {x i"/2 H = iLsenxdx {indicacin } =- I Lsenxdx , = _ 2t } = L sen(2t)dt =o 2 o dx - 2dt o= f:/2L(2 sen tcos t) dt = f:/2(L2 + L sen t + Lcost t) dt == L2 f:'2dt + H + H =Integrales impropiasnH = - L2 + 2H2= n H = - - L221. f oo IConsideremos la integral impropia 1 = 2 + dx . 3 X - 4x 3al Calcular su valor. obteniendo para ello una funcin primitiva.bl Comprubese el resultado mediante estudio de la convergencia.RESOLUCiNaln = A = - L22Puesto que 1 ti [3, co ), dos son las singularidades de la integral 1: intervalo infinito y no estar acotadaen x = 3. Para calcular esta integral a partir de su primitiva, podemos escribir:1 = lim fH dx = -I . lim [ LIX--- 3IJH(H"j-(oo . O) 3+, x2 -4x+3 2 (I1. ,j-(oo ,Oj x - I 3+,= -1[ lim L (H- --3) - lim L (- [;-)J = -1[ O - ( -00)] = co2 H -oo H - I ,-o 2 + E 2Consecuentemente / diverge (el rea relativa a x = 3 es infinita).bl Estudiaremos las dos singu laridades.I I- Intervalo infinito (criterio integral): 1 ~ I: ? ~ I: 2' (converge)./1- - 4/1 + 3 nhttp://gratislibrospdf.com/ 76. 62 Clculo integral y aplicaciones- f(3) = 00 (criterio del lmite):(x - l )(x - 3) 1 (x - 3)/11 1lim = - lim = - i= O, con m = 1 = 1 diverge.x~3 + 2 x~3 + X - 3 2(x - 3)/112. Consideremos la integral impropia:al Determinense cuantas singularidades presenta.bl Estudiar su carcter utili zando siempre el criterio del lmite.RESOLUCiNal La primera singularidad es evidente: intervalo infinito.Veamos tambin en qu puntos f(x) no est acotada (supuestamente sern aquellos donde su denominadorse anule):{x 3 + 2x = O =x+5= 0 {X = Ox = - 5 f/; [O, 00)veamos si feO) = 00, pues pudiera existir en x = O discontinuidad evitable, con lo que la integral (por estemotivo) sera seudoimpropia y consecuentemente (1.2) convergente:(arct X)3 /2 X3/2 1 1lim f(x) = lim 6 4 b 2 = lim -?- = - lim - = 00x~o + x~o + (x + 4x + 4x )(x + 5) x~3 + 4r 5 20 x~o + JxDos son, por tanto, las singularidades. Las di scutiremos haciendo 1 = f~ + f X> (e > O) para que resultenintegrales con una singularidad (10)blf(x) x"'(arct X)3 /2 (n)3 /2 x"'Intervalo infinito: lim -- = lim 6 4 b 2 = - . lim 6x~ oo 1 x~ oo (x + 4x + 4x )(x + 5) 2 x ~ oo x xn)3/2 ="2 (finito), si In = 7 > 1 (convergencia).((10) Podemos ahorrarnos este tipo de formalidades, pues el estudio de las singularidades de /, descompongamos o noesta integral, va a ser idntico.http://gratislibrospdf.com/ 77. f(O+) = 00 : lim." - 0 +f(x) X'" ' X 312= lim 2x~O + 4x 5(x - O)'"I 1J x"'- lim -20 x~o + X 112= - (fi nito), si In = - < I (convergencia) .20 2Integrales definidas simples 63Por cons iguiente, al existir convergencia respecto de todas las s ingul aridades, la integral 1 es con vergente(I I) .3. Consideremos la funcin y = f(x) , y la integral 1, definidas por:cuando x ::( If(x) = ( '" 1 , vfx=l si I < x ::( 2 f = r oo f(x)dx4 - x, si 2 < x ::( 4Probar que 1 es convergente y calcul ar su valor.RESOLUCiNUna vez expresada la func in y = f(x) grficamente (Figura 1.34) es obvio que aparecen dos s ingul aridades.Comprobemos que en ambas ex iste convergencia:f. f(x) . l ' O )In tervalo in inito: hm -- = 11m x" e" = (para todo 111 x - - ce 1 x - -::r..XIIIAl ser el lmite 1 siempre nulo V 111, tomando, por ejemplo 111 = 2, podr escribirse:1 = O (finito), con 111 = 2 > (convergencia)f( 1 +) = 00 : limx - l +f(x) (x - 1)'"= Iim Jx ~ l + (x - 1) 11-I(fini to), si m = 2 < 1 (convergenc ia).(x - 1)'"Con lo que 1 es convergente : El rea limitada por la curva y = f(x), y el eje x en el intervalo ( - 00 , 4],es finita. Calcul emos 1 y, por co ns igui ente, di cha rea:l = f 4 f (X) dX = f ' eXdx+ f 2 (X - I) - ,12 .dX+ f 24 (4 - x) dx=- fJ - 00 1lim JI eX dx+ lim f2 (x - I ) - 112dx +2]-1--1:, [J 1;--+ 0 1 +t::(11) Si ex istiera divergencia con re lacin a al menos una singularidad, se dir, en cualqu ier caso. q ue la integral esel i vergen te.http://gratislibrospdf.com/ 78. 64 Clculo integral y aplicacionesyIf( x) = ------; "X -)--------------------~------~------~--------------~------~x o 2 4Figura 1.34Al saber que 1 es convergente, es vlido obtener su valor integrando groseramente (prescindiendo delos lmites). Con ello, se tendr:I= eX]1 +2Jx"=l ]2 +2 =e+2+2=4+e-00 14. Consideremos las dos integrales impropias 1 y J definidas por:1 = f" L(l + cosx) dx , J = f5 ~ dx (p E R)o 3 X - P1Aplicando en la primera (x = n) la equivalencia de infinitsimos 1 + cosx ~ - (n - X)2, estdiese el2carcter de ambas integrales.RESOLUCiN1 presenta singularidad en su extremo superior, dado que f(n) = LO - 1) = - oo . Teniendo presente enf(x) = L(l + cosx), adems de lo indicado, que cuando A ~ B entonces LA ~ LB, escribiremos:L(l + cosx) ~ L[~ (n - X)2 ] = L ~ + 2L(n - x)en consecuencia:L(1 + cosx) - L2 + 2L(n - x)f(n) = - 00 : lim = lim {L' Hopital} =x~" 1 x~" (n - x) - III(n - x)'"-2/(n - x) 2= Iim - 111-1 = - - lim (n - X)III = O (finito) si m = 2 > I (convergencia).x ~ " m(n - x) m x~"http://gratislibrospdf.com/ 79. Integrales definidas simples 65Al ser (en J) el intervalo de integracin [3, 5], la singularidad se presentar si acontece que x - p = Oen dicho intervalo! (para aclarar ideas raznese suponiendo que p sea 3, 4 o 5). Con ello, resultar claroque cuando 3 ~ p ~ 5, la integral J es impropia (y p es la singularidad).Estudiemos