cac bai tap chon loc on tap toan 9 moi doi

8/3/2019 Cac Bai Tap Chon Loc on Tap Toan 9 Moi Doi

1/40

CHUYN I: CN THC BC HAI

B i 1 :

1) n gin biu thc : P = 14 6 5 14 6 5+ + .

2) Cho biu thc : Q =x 2 x 2 x 1

.x 1x 2 x 1 x

+ + + +

a) Rt gn biu thc Q.b) Tm x Q > - Q.c) Tm s nguyn x Q c gi tr nguyn.

H ng dn :1. P = 6

2. a) KX : x > 0 ; x 1. Biu thc rt gn : Q =1

2

x.

b) Q > - Q x > 1.c) x = { }3;2 th Q Z

B i 2 : Cho biu thc P = 1 xx 1 x x++ a) Rt gn biu thc sau P.

b) Tnh gi tr ca biu thc P khi x =1

2.

H ng dn :

a) KX : x > 0 ; x 1. Biu thc rt gn : P =x

x

+

1

1.

b) Vi x =1

2th P = - 3 2 2 .

B i 3 : Cho biu thc : A =1

1

1

1

+

+

x

x

x

xx

a) Rt gn biu thc sau A.

b) Tnh gi tr ca biu thc A khi x =4

1

c) Tm x A < 0.d) Tm x A = A.

H ng dn :

a) KX : x 0, x 1. Biu thc rt gn : A =1x

x.

b) Vi x = 41

th A = - 1.c) Vi 0 x < 1 th A < 0.d) Vi x > 1 th A = A.

Bi 4 : Cho biu thc: A =1 1 3

1a 3 a 3 a

+ +

a) Rt gn biu thc sau A.

Cc bi tp chn lc - n tp ton 9 nm hc 2009 - 2010 -Hy th sc !1


2/40

b) Xc nh a biu thc A >2

1.

H ng dn :

a) KX : a > 0 v a 9. Biu thc rt gn : A =3

2

+a.

b) Vi 0 < a < 1 th biu thc A >2

1.

B i 5 : Cho biu thc: A =2

2

x 1 x 1 x 4x 1 x 2003.

x 1 x 1 x 1 x

+ + + +

.

1) Tm iu kin i vi x biu thc c ngha.2) Rt gn A.3) Vi x Z ? A Z ?

H ng dn :a) KX : x 0 ; x 1.

b) Biu thc rt gn : A =x

x 2003+vi x 0 ; x 1.

c) x = - 2003 ; 2003 th A Z .

B i 6 : Cho biu thc: A = ( )2 x 2 x 1x x 1 x x 1 :x 1x x x x

+ + +

.

a) Rt gn A.b) Tm x A < 0.c) Tm x nguyn A c gi tr nguyn.

H ng dn :

a) KX : x > 0 ; x 1. Biu thc rt gn : A =1

1

+

x

x.

b) Vi 0 < x < 1 th A < 0.c) x = { }9;4 th A Z.

B i 7 : Cho biu thc: A =x 2 x 1 x 1

:2x x 1 x x 1 1 x

+ + + + +

a) Rt gn biu thc A.b) Chng minh rng: 0 < A < 2.

H ng dn :

a) KX : x > 0 ; x 1. Biu thc rt gn : A =1

2

++ xxb) Ta xt hai trng hp :

+) A > 0 1

2++ xx

> 0 lun ng vi x > 0 ; x 1 (1)

+) A < 2 1

2

++ xx< 2 2( 1++ xx ) > 2 xx+ > 0 ng v theo gt th x > 0.

(2)T (1) v (2) suy ra 0 < A < 2(pcm).

B i 8 : Cho biu thc: P =a 3 a 1 4 a 4

4 aa 2 a 2

+ +

+(a 0; a 4)

a) Rt gn P.



3/40

b) Tnh gi tr ca P vi a = 9.

H ng dn :

a) KX : a 0, a 4. Biu thc rt gn : P =2

4

ab) Ta thy a = 9 KX . Suy ra P = 4

Bi 9 : Cho biu thc: N =a a a a

1 1a 1 a 1

+ + +

1) Rt gn biu thc N.2) Tm gi tr ca a N = -2004.

H ng dn :a) KX : a 0, a 1. Biu thc rt gn : N = 1 a .b) Ta thy a = - 2004 KX . Suy ra N = 2005.

B i 10 : Cho biu thc 3x3x

1x

x2

3x2x

19x26xx

P +

+

=

a. Rt gn P.b. Tnh gi tr ca P khi 347x c. Vi gi tr no ca x th P t gi tr nh nht v tnh gi tr nh nht .

H ng dn :

a ) KX : x 0, x 1. Biu thc rt gn :3x

16xP

++=

b) Ta thy 347x KX . Suy ra22

33103P

+=

c) Pmin=4 khi x=4.

B i 11 : Cho biu thc

+

+

++

= 13

22:

9

33

33

2

x

x

x

x

x

x

x

xP

a. Rt gn P. b. Tm x 2

1P c. Tm gi tr nh nht ca P.

H ng dn :

a. ) KX : x 0, x 9. Biu thc rt gn :3x

3P

+=

b. Vi 9x0 < th2

1P

c. Pmin= -1 khi x = 0

Bi 12: Cho A=1 1 1

4 .1 1

a aa a

a a a

+ + + + vi x>0 ,x 1

a. Rt gn A

b. Tnh A vi a = ( ) ( ) ( )4 15 . 10 6 . 4 15+ ( KQ : A= 4a )



4/40

B i 13 : Cho A=3 9 3 2

1 :9 6 2 3

x x x x x

x x x x x

+ + +

vi x 0 , x 9, x 4 .

a. Rt gn A.b. x= ? Th A < 1.c. Tm x Z A Z

(KQ : A=3

2x )

B i 14: Cho A =15 11 3 2 2 3

2 3 1 3

x x x

x x x x

++

+ +vi x 0 , x 1.

a. Rt gn A.b. Tm GTLN ca A.

c. Tm x A =1

2

d. CMR : A2

3 . (KQ: A =

2 5

3

x

x

+

)

B i 15: Cho A = 2 1 11 1 1

x xx x x x x

+ ++ + + +

vi x 0 , x 1.

a . Rt gn A.

b. Tm GTLN ca A . ( KQ : A =1

x

x x+ +)

B i 16: Cho A =1 3 2

1 1 1x x x x x +

+ + +vi x 0 , x 1.

a . Rt gn A.

b. CMR : 0 1A ( KQ : A =

1

x

x x +

)

B i 17: Cho A =5 25 3 5

1 :25 2 15 5 3

x x x x x

x x x x x

+ + + +

a. Rt gn A.b. Tm x Z A Z

( KQ : A =5

3x +)

B i 18: Cho A = 2 9 3 2 15 6 2 3

a a aa a a a

+ + +

vi a 0 , a 9 , a 4.

a. Rt gn A.b. Tm a A < 1

c. Tm a Z A Z ( KQ : A =1

3

a

a

+

)



5/40

B i 19: Cho A=7 1 2 2 2

:4 42 2 2

x x x x x

x xx x x

+ + + +

vi x > 0 , x 4.

a. Rt gn A.

b. So snh A vi1

A( KQ : A =

9

6

x

x

+)

B i20: Cho A = ( )

23 3

: x y xyx yx yy xx y x y

+ + +

vi x 0 , y 0, x y

a. Rt gn A.

b. CMR : A 0 ( KQ : A =xy

x xy y +)

B i 21 : Cho A =1 1 1 1 1

.1 1

x x x x x xx

x x x x x x x

+ + + + + + Vi x > 0 , x 1.

a. Rt gn A.

b. Tm x A = 6 ( KQ : A = ( )2 1x xx

+ +)

B i 22 : Cho A =( )

4 3 2:

2 22

x x x

x x xx x

+ + vi x > 0 , x 4.

a. Rt gn Ab. Tnh A vi x = 6 2 5 (KQ: A = 1 x )

B i 23 : Cho A=1 1 1 1 1

:1 1 1 1 2x x x x x

+ + + + vi x > 0 , x 1.

a. Rt gn A

b. Tnh A vi x = 6 2 5 (KQ: A =3

2 x)

B i 24 : Cho A= 32 1 1 4

: 11 11

x x

x x xx

+ + + + vi x 0 , x 1.

a. Rt gn A.

b. Tm x Z A Z (KQ: A =3

x

x

)

Bi 25: Cho A=1 2 2 1 2

:11 1 1

x

xx x x x x x

+ + vi x 0 , x 1.


c. Tm x A t GTNN . (KQ: A =1

1

x

x

+

)



6/40

B i 26 : Cho A =2 3 3 2 2

: 193 3 3

x x x x

xx x x

+ + +

vi x 0 , x 9

. a. Rt gn A.

b. Tm x A < -1

2

( KQ : A =

3

3a

+ )

B i 27 : Cho A =1 1 8 3 1

:1 11 1 1

x x x x x

x xx x x

+ +

vi x 0 , x 1.

a. Rt gn A

b. Tnh A vi x = 6 2 5 (KQ: A =4

4

x

x +)

c . CMR : A 1

B i 28 : Cho A =

1 1 1:

1 2 1

x

x x x x x

+

+ + vi x > 0 , x 1.

a. Rt gn A (KQ: A =1x

x

)

b.So snh A vi 1

B i 29 : Cho A =1 1 8 3 2

: 19 13 1 3 1 3 1

x x x

xx x x

+ + +

Vi1

0,9

x x

a. Rt gn A.

b. Tm x A =6

5c. Tm x A < 1.

( KQ : A =3 1

x x

x

+

)

B i30 : Cho A =22 2 2 1

.1 22 1

x x x x

x x x

+ + + +

vi x 0 , x 1.

a. Rt gn A.b. CMR nu 0 < x < 1 th A > 0

c. Tnh A khi x =3+2 2

d. Tm GTLN ca A (KQ: A = (1 )x x )

B i 31 : Cho A =2 1 1

:21 1 1

x x x

x x x x x

+ + + + +

vi x 0 , x 1.

a. Rt gn A.

b. CMR nu x 0 , x 1 th A > 0 , (KQ: A =2

1x x+ +)



7/40

B i 32 : Cho A =4 1 2

1 :1 11

x x

x xx

+ + vi x > 0 , x 1, x 4.

a. Rt gn

b. Tm x A =1

2

B i 33 : Cho A = 1 2 3 3 2:1 11 1

x x x xx xx x

+ + + + vi x 0 , x 1.

a. Rt gn A.b. Tnh A khi x= 0,36

c. Tm x Z A Z

B i 34 : Cho A=3 2 2

1 :1 2 3 5 6

x x x x

x x x x x

+ + + + + + +

vi x 0 , x 9 , x 4.


c. Tm x A < 0 (KQ: A = 21

xx

+

)

CHUYN II: HM S BC NHT

Bi 1 :1) Vit phng trnh ng thng i qua hai im (1 ; 2) v (-1 ; -4).2) Tm to giao im ca ng thng trn vi trc tung v trc honh.

H ng dn :1) Gi pt ng thng cn tm c dng : y = ax + b.



8/40

Do ng thng i qua hai im (1 ; 2) v (-1 ; -4) ta c h pt :

+=

+=

ba

ba

4

2

=

=

1

3

b

a

Vy pt ng thng cn tm l y = 3x 12) th ct trc tung ti im c tung bng -1 ; th ct trc honh ti im c honh

bng3

1.

Bi 2 : Cho hm s y = (m 2)x + m + 3.1) Tm iu kin ca m hm s lun nghch bin.2) Tm m th ca hm s ct trc honh ti im c honh bng 3.3) Tm m th ca hm s trn v cc th ca cc hm s y = -x + 2 ; y = 2x 1 ng

quy.H ng dn :

1) Hm s y = (m 2)x + m + 3 m 2 < 0 m < 2.2) Do th ca hm s ct trc honh ti im c honh bng 3. Suy ra: x= 3; y = 0

Thay x= 3; y = 0 vo hm s y = (m 2)x + m + 3, ta c m =4

3.

3) Giao im ca hai th y = -x + 2; y = 2x 1 l nghim ca h pt:

=

+=

12

2

xy

xy

(x;y) = (1;1). 3 th y = (m 2)x + m + 3, y = -x + 2v y = 2x 1 ng quy cn:(x;y) = (1;1) l nghim ca pt : y = (m 2)x + m + 3.

Vi (x;y) = (1;1) m =2

1

B i 3 : Cho hm s y = (m 1)x + m + 3.1) Tm gi tr ca m th ca hm s song song vi th hm s y = -2x + 1.2) Tm gi tr ca m th ca hm s i qua im (1; -4).3) Tm im c nh m th ca hm s lun i qua vi mi m.

H ng dn :1) hai th ca hm s song song vi nhau cn: m 1 = - 2 m = -1.Vy vi m = -1 th ca hm s song song vi th hm s y = -2x + 1.2) Thay (x;y) = (1; -4) vo pt: y = (m 1)x + m + 3. Ta c: m = -3.Vy vi m = -3 th th ca hm s i qua im (1; -4).3) Gi im c nh m th lun i qua l M(x0;y0). Ta c

y0 = (m 1)x0 + m + 3 (x0 1)m - x0 - y0 + 3 = 0

=

=

2

1

0

0

y

x

Vy vi mi m th th lun i qua im c nh (1;2).



9/40

Bi 4 : Cho hai im A(1 ; 1), B(2 ; -1).1) Vit phng trnh ng thng AB.2) Tm cc gi tr ca m ng thng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song vi ng thngAB ng thi i qua im C(0 ; 2).

Hng dn :1) Gi pt ng thng AB c dng : y = ax + b.

Do ng thng i qua hai im (1 ; 1) v (2 ;-1) ta c h pt :

+=

+=

ba

ba

21

1

=

=

3

2

b

a

Vy pt ng thng cn tm l y = - 2x + 3.2) ng thng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song vi ng thng AB ng thi i qua

im C(0 ; 2) ta cn :

=+

=

222

23

2

2

mm

mm m = 2.

Vy m = 2 th ng thng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song vi ng thng AB ngthi i qua im C(0 ; 2)

Bi 5 : Cho hm s y = (2m 1)x + m 3.1) Tm m th ca hm s i qua im (2; 5)2) Chng minh rng th ca hm s lun i qua mt im c nh vimi m. Tm im c nh y.3) Tm m th ca hm s ct trc honh ti im c honh x =

2 1 .

H ng dn :1) m = 2.2) Gi im c nh m th lun i qua l M(x0;y0). Ta c

y0 = (2m 1)x0 + m - 3 (2x0 + 1)m - x0 - y0 - 3 = 0

=

=

2

5

2

1

0

0

y

x

Vy vi mi m th th lun i qua im c nh (2

5;

2

1 ).

B i 6 : Tm gi tr ca k cc ng thng sau:

y =6 x

4

; y =4x 5

3

v y = kx + k + 1 ct nhau ti mt im.

Bi 7 : Gi s ng thng (d) c phng trnh y = ax + b. Xc nh a, b (d) i qua hai imA(1; 3) v B(-3; -1).Bi 8 : Cho hm s: y = x + m (D).



10/40

Tm cc gi tr ca m ng thng (D):1) i qua im A(1; 2003).2) Song song vi ng thng x y + 3 = 0.

CHUYN III:PHNG TRNH BT PHNG TRNH BC NHT MT N

H PHNG TRNH BC NHT 2 N .

A. KIN THC CN NH :1. Phng trnh bc nht : ax + b = 0.Ph ng php gii :

+ Nu a 0 phng trnh c nghim duy nht : x =ba .

+ Nu a = 0 v b 0 phng trnh v nghim.+ Nu a = 0 v b = 0 phng trnh c v s nghim.

2. H phng trnh bc nht hai n :

=+

=+

cyb 'xa '

cb ya x

Ph ng php gii :S dng mt trong cc cch sau :

+) Phng php th : T mt trong hai phng trnh rt ra mt n theo n kia , th vo phngtrnh th 2 ta c phng trnh bc nht 1 n.+) Phng php cng i s :- Quy ng h s mt n no (lm cho mt n no ca h c h s bng nhau hoc inhau).- Tr hoc cng v vi v kh n .- Gii ra mt n, suy ra n th hai.B. V d minh ha :V d 1 : Gii cc phng trnh sau y :

a) 22x

x

1-x

x=

++ S : KX : x 1 ; x - 2. S = { }4 .

b)1xx

1-2x3

3

++= 2

Gii : KX : 1xx3 ++ 0. (*)

Khi :1xx

1-2x3

3

++= 2 2x = - 3 x =

2

3

Vi x =2

3thay vo (* ) ta c (

2

3)3 +

2

3+ 1 0

Vy x =2

3l nghim.

V d 2 : Gii v bin lun phng trnh theo m :



11/40

(m 2)x + m2 4 = 0 (1)+ Nu m 2 th (1) x = - (m + 2).+ Nu m = 2 th (1) v nghim.V d 3 : Tm m Z phng trnh sau y c nghim nguyn .

(2m 3)x + 2m2 + m - 2 = 0.Gi i :

Ta c : vi m Z th 2m 3 0 , vy phng trnh c nghim : x = - (m + 2) -3-m2

4.

pt c nghim nguyn th 4 2m 3 .Gii ra ta c m = 2, m = 1.V d 3 : Tm nghim nguyn dng ca phng trnh : 7x + 4y = 23.Gi i :

a) Ta c : 7x + 4y = 23 y =4

7x-23= 6 2x +

4

1x

V y Z x 1 4.Gii ra ta c x = 1 v y = 4

BI TP PHN H PT

Bi 1 : Gii h phng trnh:

a)2x 3y 5

3x 4y 2

= + =

b)x 4y 6

4x 3y 5

+ = =

c)2x y 3

5 y 4x

= + =

d)x y 1

x y 5

= + =

e)2x 4 0

4x 2y 3

+ = + =

f)

2 52

x x y

3 11,7

x x y

+ = + + = +

Bi 2 : Cho h phng trnh:

mx y 2x my 1 = + =

1) Gii h phng trnh theo tham s m.2) Gi nghim ca h phng trnh l (x, y). Tm cc gi tr ca m x + y = -1.3) Tm ng thc lin h gia x v y khng ph thuc vo m.

Bi 3 : Cho h phng trnh:x 2y 3 m

2x y 3(m 2)

= + = +

1) Gii h phng trnh khi thay m = -1.2) Gi nghim ca h phng trnh l (x, y). Tm m x 2 + y2 t gi trnh nht.

Bi 4 : Cho h phng trnh:(a 1)x y a

x (a 1)y 2

+ = + =

c nghim duy nht l (x; y).

1) Tm ng thc lin h gia x v y khng ph thuc vo a.2) Tm cc gi tr ca a tho mn 6x2 17y = 5.



12/40

3) Tm cc gi tr nguyn ca a biu thc2x 5yx y

+

nhn gi tr nguyn.

B i5 : Cho h phng trnh:x ay 1

(1)ax y 2

+ = + =

1) Gii h (1) khi a = 2.

2) Vi gi tr no ca a th h c nghim duy nht.

Bi 6 : Xc nh cc h s m v n, bit rng h phng trnhmx y n

nx my 1

= + =

c nghim l ( )1; 3 .

Bi 7 : Cho h phng trnh( )a 1 x y 4

ax y 2a

+ + =

+ =(a l tham s).

1) Gii h khi a = 1.2) Chng minh rng vi mi a h lun c nghim duy nht (x ; y) tho mn x + y 2.

Bi 8 (trang 22): Cho h phng trnh :

=+=+

1-m4 y2 ) x-( m

03 ) y( m-x(m l tham s).

a) Gii h khi m = -1.b) Gii v bin lun pt theo m.

Bi 9 : (trang 24): Cho h phng trnh :

+=

=

1m4 ym x

0ym-x(m l tham s).

a) Gii h khi m = -1.b) Tm gi tr nguyn ca m h c hai nghim nguyn.c) Xc nh mi h c nghim x > 0, y > 0.Bi 10 (trang 23): Mt t v mt xe p chuyn ng i t 2 u mt on ng sau 3 gi thgp nhau. Nu i cng chiu v xut pht ti mt im th sau 1 gi hai xe cch nhau 28 km. Tnhvn tc ca mi xe.HD : Vn tc xe p : 12 km/h . Vn tc t : 40 km/h.Bi 11 : (trang 24): Mt t i t A d nh n B lc 12 gi tra. Nu xe chy vi vn tc 35km/h th s n B lc 2 gi chiu. Nu xe chy vi vn tc 50 km/h th s n B lc 11 gi tra.Tnh qung ng AB v thi dim xut pht ti A.

p s : AB = 350 km, xut pht ti A lc 4gi sng.Bi 12 : (trang 24): Hai vi nc cng chy vo mt ci b nc cn, sau

5

44 gi th y b.

Nu lc u ch m vi th nht, sau 9 gi m vi th hai th sau5

6gi na mi nay b . Nu

mt mnh vi th hai chy bao lu s nay b.p s : 8 gi.Bi 13 : (trang 24): Bit rng m gam kg nc gim t0C th ta nhit lng Q = mt (kcal). Hiphi dng bao nhiu lt 1000C v bao nhiu lt 200C c hn hp 10 lt 400C.Hng dn :



13/40

Ta c h pt :

=+

=+

4 02 0 y1 0 0 x

1 0yx

=

=

7 ,y

2 ,x

Vy cn 2,5 lt nc si v 75 lt nc 200C.Bi 14 : Khi thm 200g axt vo dung dch axt th dung dch mi c nng 50%. Li thm

300g nc vo dung dch mi c dung dch axt c nng 40%. Tnh nng axt trong dungdch ban u.Hng dn :Gi x khi axit ban u, y l khi lng dung dch ban u.

Theo bi ra ta c h pt :

=+

+

=+

+

%4 0%1 0 0.5 0 0y

2 0 0 )(

%5 0%1 0 0.2 0 0y

2 0 0 )(

x

x

=

=

1 0y

4 0x

Vy nng phn trm ca dung dch axt ban u l 40%.

CHUYN IV: PHNG TRNH BC HAINH L VIET V NG DNG

A.Kin thc cn ghi nh

1. bin lun s c nghim ca phng trnh : ax2 + bx + c = 0 (1) trong a,b ,c phthuc tham s m,ta xt 2 trng hpa)Nu a= 0 khi ta tm c mt vi gi tr no ca m ,thay gi tr vo(1).Phng trnh (1) tr thnh phng trnh bc nht nn c th : - C mt nghim duynht

- hoc v nghim

- hoc v s nghimb)Nu a 0Lp bit s = b2 4ac hoc / = b/2 ac* < 0 (/ < 0 ) th phng trnh (1) v nghim

* = 0 (/ = 0 ) : phng trnh (1) c nghim kp x 1,2 = -a

b

2

(hoc x1,2 = -a

b /)

* > 0 ( / > 0 ) : phng trnh (1) c 2 nghim phn bit:

x1 =a

b

2

; x2 =a

b

2

+

(hoc x1 =a

b // ; x2 =a

b // + )

2.nh l Vit.

Nu x1 , x2 l nghim ca phng trnh ax2 + bx + c = 0 (a 0) th

S = x1 + x2 = -a

b

p = x1x2 =a

c



14/40

o li: Nu c hai s x1,x2 m x1 + x2 = S v x1x2 = p th hai s l nghim (nu c )ca phng trnh bc 2:

x2 S x + p = 03. Du ca nghim s ca phng trnh bc hai.

Cho phng trnh bc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) . Gi x1 ,x2 l cc nghim ca phngtrnh .Ta c cc kt qu sau:

x1 v x2 tri du( x1 < 0 < x2 ) p < 0

Hai nghim cng dng( x1 > 0 v x2 > 0 )

>

>

0

0

0

S

p

Hai nghim cng m (x1 < 0 v x2 < 0)

0

0

0

Sp

Mt nghim bng 0 v 1 nghim dng( x2 > x1 = 0)

>

=

>

0

0

0

S

p

Mt nghim bng 0 v 1 nghim m (x1 < x2 = 0)

0

0

0

S

p

4. Vi bi ton ng dng nh l Vit

a)Tnh nhm nghim.

Xt phng trnh bc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0)

Nu a + b + c = 0 th phng trnh c hai nghim x1 = 1 , x2 =ac

Nu a b + c = 0 th phng trnh c hai nghim x1 = -1 , x2 = -a

c

Nu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn v 0 th phng trnh c nghimx1 = m , x2 = n hoc x1 = n , x2 = m

b) Lp phng trnh bc hai khi bit hai nghim x1 ,x2 ca nCch lm : - Lp tng S = x1 + x2

- Lp tch p = x1x2



15/40

- Phng trnh cn tm l : x2 S x + p = 0c)Tm iu kin ca tham s phng trnh bc 2 c nghm x1 , x2 tho mn iu kin chotrc.(Cc iu kin cho trc thng gp v cch bin i):

*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 2x1x2 = S2 2p

*) (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1x2 = S2 4p

*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2) = S3 3Sp

*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 2x12x22

*)21

21

21

11

xx

xx

xx

+=+ =

p

S

*)21

2

2

2

1

1

2

2

1

xx

xx

x

x

x

x +=+ =

p

pS 22

*) (x1 a)( x2 a) = x1x2 a(x1 + x2) + a2 = p aS + a2

*) 221

21

21

2

))((

211

aaSp

aS

axax

axx

axax +

=

+=

+

(Ch : cc gi tr ca tham s rt ra t iu kin cho trc phi tho mn iu kin 0 )d)Tm iu kin ca tham s phng trnh bc hai c mt nghim x = x1 cho trc .Tm

nghim th 2

Cch gii:

Tm iu kin phng trnh c nghim x= x1 cho trc c hai cch lm

+) Cch 1:- Lp iu kin phng trnh bc 2 cho c 2 nghim:

0 (hoc 0/ ) (*)

- Thay x = x1 vo phng trnh cho ,tm c gi tr ca

tham s- i chiu gi tr va tm c ca tham s vi iu kin(*)

kt lun+) Cch 2: - Khng cn lp iu kin 0 (hoc 0/ ) m ta thay lun

x = x1 vo phng trnh cho, tm c gi tr ca tham s- Sau thay gi tr tm c ca tham s vo phng trnh v

gii phng trnhCh : Nu sau khi thay gi tr ca tham s vo phng trnh cho m phng trnh bc hainy c < 0 th kt lun khng c gi tr no ca tham s phng trnh c nghim x1 chotrc.

tm nghim th 2 ta c 3 cch lm+) Cch 1: Thay gi tr ca tham s tm c vo phng trnh ri gii phng trnh (nh cch2 trnh by trn)+) Cch 2 :Thay gi tr ca tham s tm c vo cng thc tng 2 nghim s tm cnghim th 2+) Cch 3: thay gi tr ca tham s tm c vo cng thc tch hai nghim ,t tm cnghim th 2

B . B I TP P DNG



16/40

Bi 1: Gii v bin lun phng trnh : x2 2(m + 1) +2m+10 = 0Gi i.

Ta c / = (m + 1)2 2m + 10 = m2 9+ Nu / > 0 m2 9 > 0 m < - 3 hoc m > 3 .Phng trnh cho c 2 nghim phnbit:x1 = m + 1 - 92 m x2 = m + 1 + 92 m+ Nu / = 0 m = 3

- Vi m =3 th phng trnh c nghim l x1.2 = 4- Vi m = -3 th phng trnh c nghim l x1.2 = -2

+ Nu / < 0 -3 < m < 3 th phng trnh v nghimKt kun:

Vi m = 3 th phng trnh c nghim x = 4 Vi m = - 3 th phng trnh c nghim x = -2 Vi m < - 3 hoc m > 3 th phng trnh c 2 nghim phn bit

x1 = m + 1 - 92 m x2 = m + 1 + 92 m Vi -3< m < 3 th phng trnh v nghim

Bi 2: Gii v bin lun phng trnh: (m- 3) x2 2mx + m 6 = 0Hng dn

Nu m 3 = 0 m = 3 th phng trnh cho c dng

- 6x 3 = 0 x = -2

1

* Nu m 3 0 m 3 .Phng trnh cho l phng trnh bc hai c bit s / = m2 (m 3)(m 6) = 9m 18- Nu / = 0 9m 18 = 0 m = 2 .phng trnh c nghim kp

x1 = x2 = -32

2/

=

a

b = - 2

- Nu / > 0 m >2 .Phng trnh c hai nghim phn bit

x1,2 =3

23

m

mm

- Nu / < 0 m < 2 .Phng trnh v nghimKt lun:

Vi m = 3 phng trnh c nghim x = -2

1

Vi m = 2 phng trnh c nghim x1 = x2 = -2

Vi m > 2 v m 3 phng trnh c nghim x1,2 = 3 23 m mm

Vi m < 2 phng trnh v nghim

B i 3: Gii cc phng trnh sau bng cch nhm nhanh nhta) 2x2 + 2007x 2009 = 0b) 17x2 + 221x + 204 = 0c) x2 + ( 53 )x - 15 = 0d) x2 (3 - 2 7 )x - 6 7 = 0

Gi ia) 2x2 + 2007x 2009 = 0 c a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0



17/40

Vy phng trnh c hai nghim phn bit: x1 = 1 , x2 =2

2009=

a

c

b) 17x2 + 221x + 204 = 0 c a b + c = 17 221 + 204 = 0Vy phng trnh c hai nghim phn bit: x1 = -1 ,

x2 = -17

204=

a

c= - 12

c) x2 + ( 53 )x - 15 = 0 c: ac = - 15 < 0 .

Do phng trnh c hai nghim phn bit x1 , x2 .p dng h thc Viet ta c :x1 + x2 = -( 53 ) = - 3 + 5x1x2 = - 15 = (- 3 ) 5

Vy phng trnh c 2 nghim l x1 = - 3 , x2= 5 (hoc x1 = 5 , x2 = - 3 )

d ) x2 (3 - 2 7 )x - 6 7 = 0 c : ac = - 6 7 < 0Do phng trnh c hai nghim phn bit x1 , x2 .p dng h thc Vit ,ta c

==

=+

)73 ( - 276-xx

72-3xx

21

21

Vy phng trnh c 2 nghim x1 = 3 , x2 = - 2 7

B i 4 : Gii cc phng trnh sau bng cnh nhm nhanh nht (m l tham s)a) x2 + (3m 5)x 3m + 4 = 0b) (m 3)x2 (m + 1)x 2m + 2 = 0Hng dn :a) x2 + (3m 5)x 3m + 4 = 0 c a + b + c = 1 + 3m 5 3m + 4 = 0

Suy ra : x1 = 2Hoc x2 =

3

1+m

b) (m 3)x2 (m + 1)x 2m + 2 = 0 (*)* m- 3 = 0 m = 3 (*) tr thnh 4x 4 = 0 x = - 1

* m 3 0 m 3 (*)

=

=

3

22

1

2

1

m

mx

x

B i 5: Gi x1 , x2 l cc nghm ca phng trnh : x2 3x 7 = 0a) Tnh:A = x12 + x22 B = 21 xx

C=1

1

1

1

21 +

xx D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

b) lp phng trnh bc 2 c cc nghim l1

1

1x

v1

1

2 x

Gi i ;Phng trnh bc hai x2 3x 7 = 0 c tch ac = - 7 < 0 , suy ra phng trnh c hai nghimphn bit x1 , x2 .



18/40

Theo h thc Vit ,ta c : S = x1 + x2 = 3 v p = x1x2 = -7a)Ta c+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1x2 = S2 2p = 9 2(-7) = 23+ (x1 x2)2 = S2 4p => B = 21 xx = 3742 = pS

+ C =1

1

1

1

21 +

xx = 91

1

2

)1)(1(

2)(

21

21 =+

=

+

Sp

S

xx

xx

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2= 10x1x2 + 3 (x12 + x22)= 10p + 3(S2 2p) = 3S2 + 4p = - 1

b)Ta c :

S =9

1

1

1

1

1

21

=

+ xx (theo cu a)

p =9

1

1

1

)1)(1(

1

21

=+

= Spxx

Vy1

1

1 xv

1

1

2 xl nghim ca hng trnh :

X2

SX + p = 0 X2

+ 91

X - 91

= 0 9X2

+ X - 1 = 0

B i 6 : Cho phng trnh :x2 ( k 1)x - k2 + k 2 = 0 (1) (k l tham s)

1. Chng minh phng trnh (1 ) lun c hai nghim phn bit vi mi gi tr ca k2. Tm nhng gi tr ca k phng trnh (1) c 2 nghim phn bit tri du3. Gi x1 , x2 l nghm ca phng trnh (1) .Tm k : x13 + x23 > 0

Gi i.

1. Phng trnh (1) l phng trnh bc hai c:

= (k -1)2 4(- k2 + k 2) = 5k2 6k + 9 = 5(k2 -5

6 k +5

9 )

= 5(k2 2.5

3k +

25

9+

25

36) = 5(k -

5

3) +

5

36> 0 vi mi gi tr ca k. Vy phng

trnh (1) lun c hai nghim phn bit2. Phng trnh (1) c hai nghim phn bit tri du p < 0

- k2 + k 2 < 0 - ( k2 2.2

1k +

4

1+

4

7) < 0

-(k -2

1)2 -

4

7< 0 lun ng vi mi k.Vy phng trnh (1) c hai nghim phn bit tri

du vi mi k

3. Ta c x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)V phng trnh c nghim vi mi k .Theo h thc vit ta c

x1 + x2 = k 1 v x1x2 = - k2 + k 2 x13 + x23 = (k 1)3 3(- k2 + k 2)( k 1)

= (k 1) [(k 1)2 - 3(- k2 + k 2)]= (k 1) (4k2 5k + 7)

= (k 1)[(2k -4

5)2 +

16

87]

Do x13 + x23 > 0 (k 1)[(2k -4

5)2 +

16

87] > 0



19/40

k 1 > 0 ( v (2k -4

5)2 +

16

87> 0 vi mi k)

k > 1Vy k > 1 l gi tr cn tmB i 7:Cho phng trnh : x2 2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m l tham s)

1. Gii phng trnh (1) vi m = -5

2. Chng minh rng phng trnh (1) lun c hai nghim x1 , x2 phn bit vi mi m3. Tm m 21 xx t gi tr nh nht (x1 , x2 l hao nghim ca phng trnh (1) ni

trong phn 2.)Gi i

1. Vi m = - 5 phng trnh (1) tr thnh x2 + 8x 9 = 0 v c 2 nghim l x1 = 1 , x2 = - 92. C / = (m + 1)2 (m 4) = m2 + 2m + 1 m + 4 = m2 + m + 5

= m2 + 2.m.2

1+

4

1+

4

19= (m +

2

1)2 +

4

19> 0 vi mi m

Vy phng trnh (1) lun c 2 nghim phn bit x1 , x23. V phng trnh c nghim vi mi m ,theo h thc Vit ta c:x1 + x2 = 2( m + 1) v x1x2 = m 4

Ta c (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 4x1x2 = 4( m + 1)2 4 (m 4)

= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m +2

1)2 +

4

19]

=> 21 xx = 24

19)

2

1(

2 ++m 4

192 = 19 khi m +

2

1= 0 m = -

2

1

Vy 21 xx t gi tr nh nht bng 19 khi m = -2

1

B i 8 : Cho phng trnh (m + 2) x2 + (1 2m)x + m 3 = 0 (m l tham s)

1) Gii phng trnh khi m = -2

9

2) Chng minh rng phng trnh cho c nghim vi mi m3) Tm tt c cc gi tr ca m sao cho phng trnh c hai nghim phn bit v

nghim ny gp ba ln nghim kia.Gi i:

1) Thay m = -2

9vo phng trnh cho v thu gn ta c

5x2 - 20 x + 15 = 0phng trnh c hai nghim x1 = 1 , x2= 32) + Nu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi phng trnh cho tr thnh;

5x 5 = 0 x = 1

+ Nu : m + 2

0 => m

- 2 .Khi phng trnh cho l phng trnh bc hai cbit s : = (1 2m)2 - 4(m + 2)( m 3) = 1 4m + 4m2 4(m2- m 6) = 25 > 0Do phng trnh c hai nghim phn bit

x1 =)2(2

512

+

+

m

m= 1

42

42=

++

m

mx2 = 2

3

)2(2

)3(2

)2(2

512

+

=+

=+

m

m

m

m

m

m

Tm li phng trnh cho lun c nghim vi mi m3)Theo cu 2 ta c m - 2 th phng trnh cho c hai nghim phn bit. nghim nygp 3 ln nghim kia ta st 2 trng hp

Trng hp 1 : 3x1 = x2 3 =2

3

+

m

mgii ra ta c m = -

2

9( gii cu 1)



20/40

Trng hp 2: x1 = 3x2 1= 3.2

3

+

m

m m + 2 = 3m 9 m =

2

11(tho mn iu

kin m - 2)

Kim tra li: Thay m =2

11vo phng trnh cho ta c phng trnh :

15x2 20x + 5 = 0 phng trnh ny c hai nghim

x1 = 1 , x2 =15

5=3

1(tho mn u bi)

B i 9: Cho phng trnh : mx2 2(m-2)x + m 3 = 0 (1) vi m l tham s .1. Bin lun theo m s c nghim ca phng trnh (1)2. Tm m (1) c 2 nghim tri du.3. Tm m (1) c mt nghim bng 3. Tm nghim th hai.

Gi i

1.+ Nu m = 0 thay vo (1) ta c : 4x 3 = 0 x =4

3

+ Nu m 0 .Lp bit s /= (m 2)2 m(m-3)= m2- 4m + 4 m2 + 3m

= - m + 4/ < 0 - m + 4 < 0 m > 4 : (1) v nghim

/ = 0 - m + 4 = 0 m = 4 : (1) c nghim kp

x1 = x2 = -2

1

2

242/ ===m

m

a

b

/ > 0 - m + 4 > 0 m < 4: (1) c 2 nghim phn bit

x1 =m

mm 42 + ; x2 =m

mm 42 ++

Vy : m > 4 : phng trnh (1) v nghim

m = 4 : phng trnh (1) C nghim kp x =2

1

0 m < 4 : phng trnh (1) c hai nghim phn bit:

x1 =m

mm 42 + ; x2 =m

mm 42 ++

m = 0 : Phng trnh (1) c nghim n x =4

3

2. (1) c nghim tri du a

c< 0

m

m 3< 0



21/40

>

0

03

0

03

m

m

m

m

>

0 =>

=

=

9

7

3

2

1

x

x

Vy vi m = -4

9th phng trnh (1) c mt nghim x= 3

*) tm nghim th 2 ,ta c 3 cch lm

Cch 1: Thay m = -4

9vo phng trnh cho ri gii phng trnh tm c x2 =

9

7

(Nh phn trn lm)

Cch 2: Thay m = -4

9vo cng thc tnh tng 2 nghim:



22/40

x1 + x2 =9

34

4

9

)24

9(2

)2(2=

=

m

m

x2 =9

34- x1 =

9

34- 3 =

9

7

Cch 3: Thay m = -4

9 vo cng trc tnh tch hai nghim

x1x2 =9

21

4

9

34

9

3 =

=

m

m=> x2 =

9

21: x1 =

9

21: 3 =

9

7

B i 10: Cho phng trnh : x2 + 2kx + 2 5k = 0 (1) vi k l tham s1.Tm k phng trnh (1) c nghim kp2. Tim k phng trnh (1) c 2 nghim x1 , x2 tho mn iu kin :

x12 + x22 = 10Gi i.

1.Phng trnh (1) c nghim kp / = 0 k2 (2 5k) = 0

k2 + 5k 2 = 0 ( c = 25 + 8 = 33 > 0 )

k1 =2

335; k2 =

2

335+

Vy c 2 gi tr k1 =2

335 hoc k2 =2

335+ th phng trnh (1) C nghim kp.

2.C 2 cch gii.Cch 1: Lp iu kin phng trnh (1) c nghim:

/ 0 k2 + 5k 2 0 (*)

Ta c x12

+ x22

= (x1 + x2)2

2x1x2Theo bi ra ta c (x1 + x2)2 2x1x2 = 10

Vi iu kin(*) , p dng h trc vi t: x1 + x2 = - =a

b- 2k v x1x2 = 2 5k

Vy (-2k)2 2(2 5k) = 10 2k2 + 5k 7 = 0

(C a + b + c = 2+ 5 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -2

7

i chiu vi iu kin (*) ta thay ln lt k1 , k2 vo / = k2 + 5k 2+ k1 = 1 => / = 1 + 5 2 = 4 > 0 ; tho mn

+ k2 = -2

7=> /=

8

29

4

870492

2

35

4

49=

= khng tho mn

Vy k = 1 l gi tr cn tm

Cch 2 : Khng cn lp iu kin / 0 .Cch gii l:

T iu kin x12 + x22 = 10 ta tm c k1 = 1 ; k2 = -2

7(cch tm nh trn)

Thay ln lt k1 , k2 vo phng trnh (1)+ Vi k1 = 1 : (1) => x2 + 2x 3 = 0 c x1 = 1 , x2 = 3

+ Vi k2 = -2

7(1) => x2- 7x +

2

39= 0 (c = 49 -78 = - 29 < 0 ) .Phng trnh v nghim

Vy k = 1 l gi tr cn tm



23/40

B I TP V PT BC HAI

B i 1 : Cho phng trnh : x2 6x + 1 = 0, gi x1 v x2 l hai nghim ca phng trnh. Khnggii phng trnh, hy tnh:1) x12 + x22

2) 1 1 2 2x x x x+

3)( )

( ) ( )2 21 2 1 x 1 2

2 2 2 21 1 2 2

x x x x x x

x x 1 x x 1

+ + +

+ .

B i 2 : Cho phng trnh: 2x2 5x + 1 = 0.

Tnh 1 2 2 1x x x x+ (vi x1, x2 l hai nghim ca phng trnh).B i 3 : Cho phng trnh bc hai:

x2 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 01) Tm cc gi tr ca m phng trnh lun c hai nghim phn bit.2) Tm gi tr ca m tho mn x12 + x22 = 12 (trong x1, x2 l hai nghim ca phng trnh).B i 4 : Cho phng trnh:

x2

2mx + 2m 5 = 0.1) Chng minh rng phng trnh lun c hai nghim phn bit vi mi m.2) Tm iu kin ca m phng trnh c hai nghim tri du.3) Gi hai nghim ca phng trnh l x1 v x2, tm cc gi tr ca m :x12(1 x22) + x22(1 x12) = -8.

B i 5 : Cho phng trnh:x2 2(m + 1)x + 2m 15 = 0.

1) Gii phng trnh vi m = 0.2) Gi hai nghim ca phng trnh l x1 v x2. Tm cc gi tr ca m tho mn 5x1 + x2 = 4.B i 6 : Cho phng trnh: x2 + 4x + 1 = 0 (1)1) Gii phng trnh (1).

2) Gi x1, x2 l hai nghim ca phng trnh (1). Tnh B = x13

+ x23

.B i 7 : Cho phng trnh : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m l tham s).a) Xc nh m phng trnh c mt nghim l bng 2. Tm nghim cn li.b) Xc nh m phng trnh c hai nghim x1, x2 tho mn x13 + x23 0.B i 8 : Cho phng trnh:

(m 1)x2 + 2mx + m 2 = 0 (*)1) Gii phng trnh khi m = 1.2) Tm m phng trnh (*) c 2 nghim phn bit.

B i 9. Cho phng trnh (2m-1)x2-2mx+1=0Xc nh m phng trnh trn c nghim thuc khong (-1,0)B i 10: Phng trnh: ( 2m-1)x2-2mx+1=0

Xt 2m-1=0=> m=1/2 pt tr thnh x+1=0=> x=1 Xt 2m-1 0=> m 1/2 khi ta c,= m2-2m+1= (m-1)2 0 mi m=> pt c nghim vi mi m

ta thy nghim x=1 khng thuc (-1,0)

vi m 1/2 pt cn c nghim x=12

1

+

m

mm=

12

1

m

pt c nghim trong khong (-1,0)=> -1

012

012

2

m

m

m

=>m


25/40

B i 11 : Hai a im A, B cch nhau 56km. Lc 6h45' mt ngi i t A vi vn tc 10km/h.Sau 2h , mt ngi i xe p t B ti A vi vn tc 14km/h . Hi n my gi th h gp nhau,ch gp nhau cch A bao nhiu km

B i 12 : Mt ca n xui t A n B vi vn tc 30km/h, sau ngc t B tr v A. Thi gian ixui t hn thi gian i ngc l 40'. Tnh khong cch gia A v B . Bit vn tc ca n khngi, vn tc dng nc l 3km/h.

B i 13 : Mt ngi i xe p t A n B cch nhau 50km. Sau 1h30' mt ngi i xe my cngt A v n B sm hn mt gi. Tnh vn tc ca mi xe, bit rng vn tc xe my gp 2.5 ln xep

B i 14: Mt phng hp c 360 gh ngi c xp thnh tng hng v s gh mi hng bngnhau. Nu s hng tng thm 1 v s gh mi hng tng thm 1 th trong phng c 400 gh. Hic bao nhiu hng, mi hng c bao nhiu gh?

B i 15 : Hai ngi th cng lm mt cng vic trong 16 gi th xong. Nu ngi th nht lm 3gi v ngi th 2 lm 6 gi th h lm c 25% cng vic. Hi mi ngi lm mt mnh cng

vic trong my gii th xong?.

B i 16: Hai vt chuyn ng trn mt ng trn c ng knh 20m , xut pht cng mt nct cng mt im. Nu chng chuyn ng ngc chiu nhauth c 2 giy li gp nhau. Nu chng chuyn ng cng chiu nhauth c sau 10 giy li gpnhua. Tnh vn tc ca mi vt.

B i 17: Thng th nht hai t sn xut c 800 sn phm. Sang thng th hai t 1 vt 15%.t2 vt 20%. Do cui thng c hai t xn xut oc 945 sn phm. Tnh xem trong thng thnht mi t sn xut c bao nhiu sn phm

B i 18 : Mt khi lp t chc i tham quan bng t. Mi xe ch 22 h/s th cn tha 01 h/s. Nubt i 01 t th c th xp u cc h/s trn cc t cn li. Hi lc u c bao nhiu t, baonhiu h/s. Mi xe ch khng qu 32 h/s.B i 19 : Mt nh my d nh sn xut chi tit my trong thi gian nh v d nh s snxut 300 chi tit my trong mt ngy. Nhng thc t mi ngy lm thm c 100 chi tit, nn sn xut thm c tt c l 600 chi tit v hon thnh k hoch trc 1 ngyTnh s chi tit my d nh sn xut.

B i 20: Mt ca n xui dng 42km ri ngc dng tr li l 20km mt tng cng 5gi. Bit vntc ca dng chy l 2km/h. Tm vn tc ca ca n lc dng nc yn lng

B i 21: Mt i xe cn chuyn ch 120 tn hng. Hm lm vic c 2 xe phi iu i ni khc nnmi xe phi ch thm 16 tn. Hi i c bao nhiu xe?

B i 22: Hai t khi hnh cng mt lc t a im A n a im B. Mi gi t th nht chynhanh hn t th hai 12km nn n a im B trc t th hai 100pht. Tnh vn tc ca mi t bit qung ng AB di 240km

B i 23: Nu m c hai vi nc chy vo mt b cn th sau 2 gi 55pht b y b. Nu mring tng vi th vi th nht lm y b nhanh hn vi th hai l hai gi. Hi nu m ring tngvi th mi vi chy bao lu y b?



26/40

B i 24: Hai t hc sinh trng c mt s cy trong sn trng.Nu ly 5 cy ca t 2 chuyn cho t mt th s cy trng c ca c hai t s bng nhau.Nu ly 10 cy ca t mt chuyn cho t hai th s cy trng c ca t hai s gp i s cy cat mt.

Hi mi t trng c bao nhiu cy?

B i 25: Hai t A v B khi hnh cng mt lc t hai tnh cch nhau 150km, i ngc chiu v

gp nhau sau 2 gi. Tm vn tc ca mi t, bit rng nu vn tc ca t A tng thm 5km/h vvn tc t B gim 5km/h th vn tc ca t A bng 2 ln vn tc ca t B.

B i 26: Hai hp tc x bn cho nh nc 860 tn thc. Tnh s thc m mi hp tc x bn cho nh nc. Bit rng 3 ln s thc hp tc x th nht bn cho nh nc nhiu hn hai lns thc hp tc x th hai bn l 280 tn

N TP HNH HC 9

Phn 1 : HNH HC PHNG

A. L THUYT :I.ng trn:

1,nh ngha:

Tp hp cc im cch im 0 cho trc mt khong cch R > 0 khng i gi l ng trntm 0 bn knh R . K hiu : ( 0 ; R)

2, V tr tng i:

* Ca mt im vi mt ng trn :

xt (0 ; R ) v im M bt k



27/40

v tr tng i H thc

M nm ngoi ( O ; R ) OM > R

M nm trn ( O ; R ) hay M thuc ( O ;R)

OM = R

M nm trong ( O ; R ) OM < R

* Ca mt ng thng vi mt ng trn :

xt ( O ; R ) v ng thng a bt k ( vi d l khong cch t tm O n ng thng a )

v tr tng i S im chung H thc

a ct ( O ; R ) 2 d < R

a tip xc ( O ; R ) 1 d = R

a v ( O ; R ) khng giaonhau

0 d > R

* Ca hai ng trn :

xt ( O;R) v (O; R) ( vi d = O O )

v tr tng i S im chung H thc

Hai ng trn ct nhau 2 R r < d < R- r

Hai ng trn tip xcnhau :

+ tip xc ngoi :

+ tip xc trong :

1

d = R + r

d = R r

Haing trn khng giaonhau :

+hai ng trn ngoinhau :

+ng trn ln ngng trn nh :

0

d > R + r

d < R -r

3 . Tip tuyn ca ng trn :

a.nh ngha :

ng thng d c gi l tip tuyn ca mt ng trn nu n ch c mt im chung ving .



28/40

b, Tnh cht:

+ T nh cht 1 : Nu mt ng thng l mt tip tuyn ca mt ng trn th n vung gc vibn knh I qua tip im .

+ T nh cht 2 : Nu hai tip tuyn ca mt ng trn ct nhau ti mt im th giao im nycch u hai tip im v tia k t giao im qua tm ng trn l tia phn gic ca gc tobi hai tip tuyn .

c, Cch chng minh : C ch 1 : chng minh ng thng c mt im chung vi ng trn .

C ch 2 : chng minh ng thng vung gc vi bn knh ca ng trn ti mtim v im thuc ng trn .

4 . Quan h gia ng knh v dy cung:

* nh l 1 : ng knh vung gc vi mt dy cung th chia dy cung y ra thnh hai phn bngnhau .

* nh l 2 : ng knh I qua trung im ca mt dy cung khng i qua tm th vung gc vidy cung y.

5 . Quan h gia dy cung v khong cch n tm :

* nh l 1 : Trong mt ng trn hai dy cung bng nhau khi v ch khi chng cch u tm .

* nh l 2 : Trong hai dy cung khng bng nhau ca mt ng trn, dy cung ln hn khi vch khi n gn tm hn .

II. Gc trong ng trn:

1, Cc loi gc trong ng trn:

- Gc tm

- Gc ni tip

- Gc c nh bn trong hay bn ngoi ng trn

- Gc to bi tia tip tuyn v dy cung

2, Mi quan h gia cung v dy cung:

* nh l 1: i vi hai cung nh trong mt ng trn:

a, Hai cung bng nhau cng hai dy bng nhau

b, o li, hai dy bng nhau trng hai cung bng nhau.

* nh l 2: i vi hai cung nh trong mt ng trn:

a, Cung ln hn cng dy ln hnb, Dy ln hn trng cung ln hn.

3, T gic ni tip:

a, nh ngha:

T gic ni tip mt ng trn l t gic c bn nh nm trn mt ng trn . ng trn c gi l ng trn ngoi tip t gic.

b, Cch chng minh :

* Cch 1: chng minh bn nh ca t gic cng thuc mt ng trn



29/40

* C ch 2 : chng minh t gic c tng hai gc i din bng 1800

* C ch 3 : chng minh t gic c hai nh k nhau nhn cnh i din di cng mt gc.

B. BI TP:

B i 1 : Cho tam gic ABC ( = 1v ), ng cao AH. ng trn ng knh AH ct cc cnh AB,AC ln lt ti E v F.

a. CM: t gic AEHF l hnh ch nht.

b. CM: t gic EFCB ni tip.

c. ng thng qua A vung gc vi EF ct BC ti I. Chng minh I l trung im ca BC.

d. CMR: Nu S ABC = 2. S AEHF th tam gic ABC vung cn.

B i 2: Cho tam gic ABC ( AB> AC ) ni tip (O). V ng phn gic ca gc ct (O) ti M.Ni OM ct BC ti I.

1. Chng minh tam gic BMC cn.

2. Chng minh: gc BMA < gc AMC.

3. Chng minh: gc ABC + gc ACB = gc BMC.

4. ng cao AH v BP ca tam gic ABC ct nhau ti Q. Chng minh OH // AH.

5. Trn AH ly im D sao cho AD = MO. T gic OMDA l hnh g?

6. Chng minh AM l phn gic ca gc OAH.

7. OM ko di ct (O) ti N. V OE vung gc vi NC. Chng minh MBOE2

1= .

8. Chng minh t gic OICE ni tip. Xc nh tm ca ng trn ngoi tip t gic OICE.

9. Chng minh cc t gic ABHP v QPCH ni tip.

10. T C v tip tuyn ca (O) ct BM ko di ti K. Chng minh CM l phn gic ca gcBCK.

11. So snh cc gc KMC v KCB vi gc A.

12. T B v ng thng song song vi OM ct CM ti S. Chng minh tam gic BMS cn tiM.

13. 13.Chng minh gc S = gc EOI gc MOC.

14. Chng minh gc SBC = gc NCM.

15. Chng minh gc ABF = gc AON.

16. T A k AF // BC, F thuc (O). Chng minh BF = CA.



30/40

B i 3 : Cho tam gic ABC c ba gc nhn. ng trn tm O ng knh BC ct AB, AC theo tht ti D, E. Gi I l giao im ca BE v CD.

1. Chng minh AI vung gc vi BC.

2. Chng minh gc IDE = gc IAE.

3. Chng minh : AE . EC = BE . EI.

4. Cho gc BAC = 600

. Chng minh tam gic DOE u.B i 4 : Cho tam gic ABC nhn ni tip (O). ng cao AH ca tam gic ABC ct (O) ti D , AOko di ct (O) ti E.

a. Chng minh t gic BDEC l hnh thang cn.

b. Gi M l im chnh gia ca cung DE, OM ct BC ti I. Chng minh I l trung im caBC.

c. Tnh bn knh ca (O) bit BC = 24 cm v IM = 8 cm.

B i 5: Trn na ng trn tm O ng knh AB ly hai im M v N sao cho cc cung AM,

MN, NB bng nhau. Gi P l giao im ca AM v BN, H l giao im ca AN vi BM. CMR:a. T gic AMNB l hnh thang cn.

b. PH AB. T suy ra P, H, O thng hng.

c. ON l tip tuyn ca ng trn nngf knh PH.

B i 6: Cho (O, R) , dy cung AB < 2R. Gi M l im chnh gia ca cung nh AB. K hai dyMC, MD ln lt ct AB ti E v F. CMR:

a. Tam gic MAE v MCA ng dng.

b. ME . MC = MF . MD.

c. T gic CEFD ni tip.

d. Khi 3RAB = th tam gic OAM u.

B i 7: Cho tam gic ABC vung cn ti A ( AB > AC ), ng cao AH. V ng trn tm Ing knh BH ct AB ti E, ng trn tm K ng knh CH ct AC ti F.

a. T gic AEHF l hnh g?

b. Chng minh t gic BEFC ni tip.

c. Chng minh AE . AB = AF . AC.

d. Chmg minh EF l tip tuyn chung ca (O) v (I).

e. Gi Ax l tip tuyn ca ng trn ngoi tip tam gic ABC. Chng minh Ax // EF.

B i 8: Cho tam gic ABC vung cn ti A. im D thuc AB. Qua B v ng thng vung gcvi CD ti H, ng thng BH ct CA ti E.

a. Chng minh t gic AHBC ni tip.



31/40

b. Tnh gc AHE.

c. Chng minh tam gic EAH v EBC ng dng.

d. Chng minh AD = AE.

e. Khi im D di chuyn trn cnh AB th im H di chuyn trn ng no?

B i 9: T gic ABCD ni tip ng trn ng knh AC ( AB > BC ; AD > CD ). Gi E l giao

im ca AB v CD, F l giao im ca AD v BC. Chng minh rng:a. EF AC

b. DA . DF = DC . DE

c. T gic BDFE ni tip.

B i 10: Cho ng trn tm O ng knh BC, im A thuc (O). V bn knh OK // BA ( K v Anm cng pha i vi BC ). Tip tuyn vi ng trn (O) ti C ct OK ti I.

a. Chng minh IA l tip tuyn ca (O).

b. Chng minh CK l tia phn gic ca gc ACI.c. Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm. Tnh OI, CI.

B i 11: Cho on thng AB v O l trung im ca AB. V v cng pha vi AB cc tia Ax, Bycng vung gc vi AB. Cc im M, N theo th t di chuyn trn Ax v By sao cho gc MON =900. Gi I l trung im ca MN. Chng minh rng :

a. AB l tip tuyn ca (I ; IO).

b. MO l tia phn gic ca gc AMN.

c. MN l tip tuyn ca ng trn ng knh AB.

d. Khi cc im M, N di chuyn trn Ax, By th tch AM. BN khng di.

B i 12: Cho (O;R) v (O; r)tip xc ngoi ti A. Gi BC l tip tuyn chung ngoi ca hai ngtrn ( B thuc (O); C thuc (O) ). Tip tuyn chung trong ca hai ng trn ti A ct BC ti M.

a. Chng minh A, B, C thuc ng trn tm M.

b. ng thng OO c v tr tng i g vi (M) ni trn?

c. Xc nh tm ng trn i qua ba im O, O , M.

d. Chng minh BC l tip tuyn ca ng trn i qua ba im O, O, M.

B i 13: Cho (O) v (O)tip xcngoi ti A. ng thng ct (O) v (O) theo th t tu B vC ( khc A ). Gi DE l tip tuyn chung ngoi ca hai ng trn ( D thuc (O); E thuc (O)) .M l giao im ca BD v CE. Chng minh rng :

a. Gc DME l gc vung.

b. MA l tip tuyn chung ca hai ng trn.

c. MD . MB = ME . MC.



32/40

B i 14: Cho tam gic ABC c ba gc nhn ni tip (O), ng cao BD, CE , M l trung im caBC.

a. Chng minh t gic BCDE ni tip.

b. Chng minh cc tam gic ADE v ABC ng dng .

c. K tip tuyn Ax vi (O) . Chng minh Ax // DE.d. Chng minh rng nu gc BAC = 600 th tam gic DME l tam gic u.

B i 15: Cho (O) v im A nm bn ngoi (O). V cc tip tuyn AB v AC , ct tuyn ADE. GiH l trung im ca DE.

a. Chng minh t gic BHOC ni tip.

b. Chng minh HA l tia phn gic ca gc BHA.

c. Gi I l giao im ca BC v DE. Chng minh : AB2 = AI . AH.

d. BH ct (O) ti K . Chng minh AE // CK.

B i 16: Cho (O), ng trn AB. V tip tuyn xBy. Gi C,D l hai im di ng trn hai na mtphng b AB i nhau. Tia AC ct Bx ti M, tia AD ct By ti N.

a. Chng minh cc tam gic ACD v AMN ng dng.

b. T gic MNDC ni tip.

c. Chng minh AC . AM = AD . AN v tch ny khng i khi C, D di ng.

B i 17: Xt na ng trn (O), ng knh AB. Trn na mt phng b AB cha na ngtrn. k tip tuyn Ax v dy AC bt k. Tia phn gic ca gc Cax ct na ng trn ti D, cctia AD v BC ct nhau ti E.

a. Chng minh tam gic ABE cn ti B.

b. Cc dy AC v BD ct nhau ti K. Chng minh EK AB.

c. Tia BD ct tia Ax ti F. Chng minh t gic AKEF l hnh thoi.

B i 18: Cho na lc gic u ABCD ni tip trong na ng trn (O ; R).

Hai tip tuyn ti B v D ct nhau ti T.

a. Chng minh rng OT // AB.

b. Chng minh ba im O, C, T thng hng.

c. Tnh chu vi v din tch tam gic TBD theo R.

d. Tnh din tch hnh gii hn bi hai cnh TB, TD v cung BCD theo R.

B i 19: Hai ngtrn (O) v (O) c bn knh R v R ( R > R) tip xc ngoi nhau ti C. GiAC v BC l hai ng knh i qua C ca (O) v (O). DE l dy cung ca (O) vung gc vi ABti trung im ca M ca AB. Gi giao im th hai ca ng thng DC vi (O) l F.



33/40

a. T gic AEBD l hnh g?

b. Chng minh rng ba im B, E, F thng hng.

c. Chng minh t gic MDBF ni tip.

d. DB ct (O) ti G. Chng minh DF, EG, AB ng qui.

e. Chng minh DEMF2

1= v MF l tip tuyn ca (O).

B i 20: Cho ng trn tm O, ng knh AC. Trn on OC ly mt im B v v ng trntm O ng knh BC. Gi M l trung im ca AB. T M k dy cung DE vung gc vi AB,DC ct (O) ti I.

a.T gic ADBE l hnh g ? ti sao?

b.Chng minh BI // AD.

c.Chng minh ba im I, B, E thng hng v MD = MI.

d.Xc nh v gii thch v tr tng i ca ng thng MI vi (O).

B i 21: T mt im A bn ngoi ng trn (O) v hai tip tuyn AB, AC v ct tuyn AMNca ng trn . Gi I l trung im ca dy MN.

a. Chng minh 5 im A,B,I,O,C cng nm trn mt ng trn.

b. Nu AB = OB th t gic ABOC l hnh g ? Ti sao? Tnh din tch hnh trn v ding trn ngoi tip t gic ABOC theo bn knh R ca (O).

B i 22: Cho tam gic ABC ni tip (O). Tia phn gic ca gc A ct BC ti D, ct (O) ti E. Tiptuyn ca ng trn ti A ct ng thng BC ti M.

a. Chng minh MA = MD.b. Gi I l im i xng vi D qua M, gi F l giao im ca IA vi (O).Chng minh E, O,

F thng hng.

B i 23: Cho tam gic ABC vung ti A. Trn cnh AC ly im M, dng (O) ng knh MC.ng thng BM ct (O) ti D. ng thng AD ct ng trn (O) ti S.

a. Chng minh t gic ABCD ni tip. CA l tia phn gic ca gc SCB.

b. Gi E l giao im ca BC vi (O) . Chng minh cc ng thng BA, EM, CD ng qui.

c. Chng minh DM l phn gic ca gc ADE.

d. Chng minh M l tm ng trn ni tip tam gic ADE.

B i 24: Cho tam gic ABC vung ti A.

a. Nu cch dng (O) qua A v tip xc vi BC ti B. Nu cch dng (O) qua tip xc viBC ti C.

b. Hai ng trn (O) v (O) v tr tng i no?

c. Gi M l trung im ca BC. Chng minh AM l tip tuyn chung ca (O) v (O).

d. Cho AB = 36cm, AC = 48 cm. Tnh di BC v cc bn knh ca (O) , (O).



34/40

B i 25: Cho na ng trn (O) ng knh AB, bn knh OC vung gc vi AB. Gi M l mtim di ng trn cung BC ( M B, M C). AM ct OC ti N.

a. Chng minh rng tch AM . AN khng i.

b. V CD AM . Chng minh cc t gic MNOB v AODC ni tip.

c. Xc nh v tr ca im M trn cung BC tam gic COD cn ti D.

B i 26: Cho tam gic ABC nhn ni tip (O), H l trc tm ca tam gic ABC, M l mt imtrn cung BC khng cha im A.

a. Xc nh v tr ca M t gic BHCM l hnh bnh hnh.

b. Gi N v E ln lt l cc im i xng ca M qua AB v AC. Chng minh ba im N. H , Ethng hng.

c. Xc nh v tr ca M NE c di ln nht.

B i 27: Cho (O,R) v (O,r) tip xc ngoi ti M ( R > r ). ng thng OO ct (O) ti C, ct

(O) ti D . Tip tuyn chung ngoi AB ( )'(),( OBOA ) ct ng thng OO ti H. Tiptuyn chung ca hai ng trn M ct AB ti I.

a. Chng minh cc tam gic OIO v AMB l cc tam gic vung.

b. Chng minh rRAB .2= .

c. Tia AM ct (O) ti A, tia BM ct (O) ti B. Chng minh ba im A, O, B v A , O , Bthng hng v CD2 = BB2 + AA2.

d. Gi N v N ln lt l giao im ca AM vi OI v BM vi OI. Tnh di cc onthng MI, AB, OI, OI, OH, OH theo R v r.

B i 28: Cho ng trn (O) ng knh AB, mt im C ( khc A, B ) nm trn ng trn . Tiptuyn Cx ca (O) ct tia AB ti I. Phn gic gc CIA ct OC ti O.

a. Chng minh (O, OC) va tip xc vi (O) va tip xc vi ng thng AB.

b. Gi D,E theo th t l giao im th hai ca CA, CB vi (O). Chng minh D, O, E thnghng .

c. Tm v tr ca C sao cho ng trn ngoi tip tam gic OCI tip xc vi AC.

B i 29: Cho na ng trn ng knh AB = 2R. K tip tuyn Bx vi na ng trn. C v D

l hai im di ng trn na ng trn. Cc tia AC v AD ct Bx ln lt ti E v F ( F nm giaB v E ).

a. Chng minh hai tam gic ABF v BDF ng dng.

b. Chng minh t gic CEFD ni tip.

c. Khi D v C di ng trn na ng trn , chng t rng :

AC. AE = AD . AF = const .



35/40

B i 30: Cho (O). V hai dy AB v CD vung gc ti M bn trong (O). T A v mt ngthng vung gc vi BC ti H, ct CD ti E. F l im i xng ca C qua AB. Tia AF ct tia BDti K. Chng minh rng:

a. Gc MAH = gc MCB.

b. Tam gic ADE cn.

c. T gic AHBK ni tip.

B i 31. Cho on thng AB v C l mt im nm gia A v B. Ngi ta k trn cng mt namt phng b AB hai tia Ax v By vung gc vi AB. Trn tia Ax ly mt im I. Tia Cz vunggc vi tia CI ti C v ct By ti K. ng trn ng knh IC ct IK ti P. Chng minh:

a. T gic CPKB ni tip.b. AI.BK=AC.CB.c. APB vung.d. Gi s A, B, I c nh. Hy xc nh v tr im C sao cho din tch hnh thang vung ABKI

ln nht.B i 32. Cho (O) v mt im A nm ngoi (O). T A k hai tip tuyn AB, AC v ct tuyn AMNvi (O). (B, C, M, N cng thuc (O); AM


36/40

b. CM: t gic MCKH ni tip c. Suy ra KH//AD.c. So snh cc gc CAK vi gc DAK.d. Tm mt h thc gia s o AC, s o AD l iu kin cn v AK//ND.

B i 37. Cho (O1) v (O2) tip xc ngoi vi nhau ti im A v tip tuyn chung Ax. Mt ngthng d tip xc vi (O1), (O2) ln lt ti B, C v ct Ax ti im M. K cc ng knh BO 1D,CO2E.

a. Chng minh M l trung im BC.

b. Chng minh O1MO2 vung.c. Chng minh B, A, E thng hng; C, A, D thng hng.d. Gi I l trung im ca DE. Chng minh rng ng trn ngoi tip tam gic IO1O2 tip

xc vi d.

d.

PHN 2: HNH HC KHNG GIAN.

A. L THUYT:

I. Mt s kin thc c bn v hnh hc khng gian:

1. Cc v tr tng i:

a.V tr tng i ca hai ng thng:

* a // b a , b (P), a v b khng c im chung.

* a ct b a , b (P), a v b c mt im chung.

* a v b cho nhau a v b khng cng thuc mt mt phng.

b. V tr tng i ca ng thng a v mt phng (P):

* a // (P) a v (P) khng c im chung.

* a ct (P) a v (P) c mt im chung.* a (P) a v (P) c v s im chung.

c. V tr tng i ca hai mt phng (P) v (Q):

* (P) // (Q) khng c im chung.

* (P) (Q) = a c mt ng thng a chung ( a gi l giao tuyn ca hai mt phng).

* (P) (Q).

2. Mt s cch chng minh:

a. Chng minh hai ng thng song song:

C1: a v b cng thuc mt mt phng.

a v b khng c im chung.

C2: a // c v b // c.

C3 : babRQ

aRP

QP

//

)()(

)()(

)//()(

=

=

b.Chng minh ng thng song song vi mt phng:



37/40

)//()(

//Pa

Pb

ba

c.Chng minh hai mt phng song song:

)//()()//(),//(

),(,QP

PbPa

aXbQba

d.Chng minh hai ng thng vung gc:

baPb

Pa

)(

)(

e.Chng minh ng thng vung gc vi mt phng:

)()(),(,

,Pa

PcPbbXc

caba

g.Chng minh hai mt phng vung gc:

)()()(

)(QP

Qa

Pa

II.Mt s hnh khng gian:

1. H nh lng tr:

Sxq = P . h vi P: chu vi y

V = B . h h : chiu cao

B: din tch y

1. H nh tr:

Sxq = P.h = 2 R.h vi R: bn knh y

V = B.h = R2.h h: chiu cao.

2. H nh chp:

hBV

dPSxq

.3

1

.2

1

=

=

vi d: ng cao mt bn

2. H nh nn:

hRhBV

lRdPSxq

.3

1.

3

1

..2

1

2

==

==

d: ng sinh; h: chiu cao.

3. H nh chp ct:

( )

( )hBBBBV

dPPSxq

.'.'3

1

.'2

1

++=

+=

3. H nh nn ct:

( ) ( )

( ) ( )rRrR

hhBBBBV

drRdPPSxq

.3

..'.'

3

1

.'2

1

22++=++=

+=+=

4. H nh cu:

3

2

3

4

4

RV

RS

=

=

B. BI TP:



38/40

Bi 1: Cho hnh bnh hnh ABCD v im S nm ngoi mp(ABCD). Gi M, N theo th t ltrung im ca SA, SD. T gic MNCB l hnh g?

Bi 2: Cho t din ABCD. Gi G, H theo th t l trung im ca AD, CD. Ly im E AB, F

BC sao cho: CBCFABAE4

1;

4

1== .

a. Chng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH.

b. Gi I l giao im ca EG v (BCD). CMR: F, H, I thng hng.

Bi 3: CMR: Nu mt mt phng song song vi ng thng a ca mp(Q) m (P) v (Q) ct nhauth giao tuyn ca chng song song vi a.

Bi 4: Cho hai mt phng (P) v (Q) ct nhau theo giao tuyn d. Mt mt phng th ba (R) ct(P) , (Q) theo th t l cc giao tuyn a v b. CMR:

a. Nu a x d = M th a, b, d ng qui.

b. Nu a // d th a, b, d i mt song song.

Bi 5: Cho t din S.ABC, im D SA sao cho ABESASD = ,

4

1sao cho BABE

4

1= . Gi

M l trung im ca SC, I l giao im ca DM v AC, N l giao im ca IE v BC. CMR:

a. SB // (IDE).

b. N l trung im ca BC.

Bi 6: Cho tam gic ABC vung ti A, ng cao AH. Mt ng thng d (ABC) ti A. Trn dly im S bt k.

a. Chng minh BC SH.

b. K AI l ng cao ca tam gic SAH. Chng minh AI (SBC).

c. Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm. Tnh BC, SH ri tnh S xq, Stp, V ca hnhchp S . ABC.

Bi 7: Cho tam gic ABC u v trung tuyn AM, im I AM sao cho IA = 2.IM . Qua I vng thng d vung gc vi mp(ABC), trn d ly im S bt k.

a. Chng minh SA = SB = SC.

b. Gi IH l ng cao ca tam gic SIM. CMR: IH (SBC).

c. Tnh Sxq v V ca hnh chp S . ABC bit cmAB 33= ; SA = 5 cm.

Bi 8: Cho t din S . ABC. im E SA, F AB sao cho BABFSASE3

1;

3

1== . Gi G, H

theo th t l trung im ca SC, BC. CMR:a. EF // GH.

b. EG, FH, AC ng qui.

Bi 9: Cho tam gic ABC vung ti A, AB = 8 cm, AC = 6 cm. Mt ng thng d vung gcvi mp(ABC) ti B, trn d ly im S sao cho SA = 10 cm.

a. CMR: SB AC.

b. Tnh SB, BC, SC.

c. CM: Tam gic SAC vung.



39/40

d. Tnh Stp , V.

Bi 10: Cho hnh vung ABCD cnh 3 cm. Trn ng thng d vung gc vi mp(ABCD) ti Aly im S sao cho SA = 4 cm. CMR:

a. (SAB) (SAD).

b. SC BD.

c. Cc tam gic SBC v SDC vung.d. Tnh Sxq , V ca hnh chp S . ABCD.

Bi 11: Cho lng tr ng ABCD . ABCD c y l hnh thoi. Bit ng cao AA = 5 cm,cc ng cho AC = 15 cm , DB = 9 cm.

a. Tnh AB?

b. Tnh Sxq, V ca hnh lng tr ABCD . ABCD.

c. Tnh Sxq, V ca hnh chp B . ABCD.

Bi 12: Cho lng tr tam gic u ABC . ABC c AA = 4 cm , gc BAB = 45 0 . Tnh Sxq vV.

Bi 13: Hnh hp ch nht ABCD . ABCD c AD = 3 cm, AB = 4 cm, BD = 13 cm. Tnh S xqv V ?

Bi 14: Cho hnh hp ch nht ABCD . ABCD c AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA = 25 cm.

a. CM: Cc t gic ACCA, BDDB l hnh ch nht.

b. CM: AC2 = AB2 + AD2 + AA2.

c. Tnh Stp , V ?

Bi 15: Cho hnh hp ch nht ABCD . ABCDc AB = AA = a v gc ACA = 300. Tnh Stpv V ?

Bi 16: Cho hnh lp phng ABCD . ABCD c di cnh l 6 cm .

a. Tnh ng cho BD.

b. Tnh Stp v V ca hnh chp A . ABD.

c. Tnh Stp v V ca hnh chp A.BCD.

Bi 17: Mt thng hnh tr c din tch xung quanh bng tng din tch hai y, ng cao cahnh tr bng 6 dm. Hi thng cha c bao nhiu lt nc ? ( bit rng 1 dm3 = 1 lt ).

Bi 18: Mt mt phng qua trc OO ca mt hnh tr, phn mt phng b gii hn bi hnh tr( cn gi l thit din) l mt hnh ch nht c din tch bng 72 cm2. Tnh bn knh y, ng

cao ca hnh tr bit rng ng knh y bng mt na chiu cao.Bi 19: Mt hnh tr c thit din qua trc l mt hnh ch nht c chiu di 4 cm, chiu rng 3cm. Tnh Sxq v V ca hnh tr .

Bi 20: Cho hnh nn nh A, ng sinh AB = 5 cm, bn knh y OB = 3 cm.

a. Tnh Sxq ca hnh nn.

b. Tnh V ca hnh nn.

c. Gi CD l dy cung ca (O; OB)vung gc vi OB. CMR: CD (AOB).



40/40

Bi 21: Cho tam gic ABC vung ti A quay mt vng quanh AB. Tnh bn knh y, ng caoca hnh nn to thnh. T tnh Sxq , v V ca hnh nn bit rng BC = 6 cm, gc ACB = 600.

Bi 22: Mt hnh nn c thit din qua trc l mt tam gic u cnh bng 4 cm. Tnh Sxq v V .

Bi 23: Mt hnh nn ct c ng cao 12 cm, cc bn knh y l 10 cm v 15 cm.

a. Tnh Sxq ca hnh nn ct.

b. Tnh V ca hnh nn sinh ra hnh nn ct .Bi 24: Mt hnh thang ABCD c gc A v gc D =90 0, AB = BC = a , gc C = 600. Tnh Stp cahnh to thnh khi quay hnh thang vung mt vng xung quanh:

a. Cnh AD.

b. Cnh DC.

cac bai tap chon loc on tap toan 9 moi doi

Documents