目次

第１章 序論 -1-

１-１ 核融合とプラズマ -1-

１-２ 逆磁場ピンチプラズマ -4-

１-３ 磁場方向分布計測方法 -6-

１-３-１ ピックアップコイルやループを用いた磁場計測 -6-

１-３-２ シュタルク効果分光計測 -6-

１-３-３ 原子ビームを用いた磁場計測 -7-

１-４ 研究目的 -9-

第２章 RFPプラズマの平衡 -10-

２-１ MHD（電磁流体力学）方程式系 -10-

２-２ Grad-Shafranov方程式の導出 -10-

２-３ 数値計算法 -18-

２-３-１ 有限差分法 -18-

２-３-２ SOR法 -20-

２-４ 圧力分布及びポロイダル電流束関数 -23-

２-５ Grad-Shafranov方程式の規格化 -24-

２-６ Grad-Shafranov方程式の差分化 -26-

２-７ 平衡計算モデル -29-

２-８ 装置参考装置 -32-

２-９ RFPプラズマにおける平衡解計算結果 -33-

第３章 電子衝突シミュレーション -37-

３-１ 中性粒子の電離 -37-

３-２ モンテカルロ法 -38-

３-３ ビームの分散 -39-

３-４ 電子衝突シミュレーション結果 -39-

第４章 粒子軌道シミュレーション -42-

４-１ プラズマ中のイオンビームの運動 -42-

４-２ クーロン衝突 -43-

４-２-１ Slowing-Down Collision -43-

４-２-２ ピッチ角散乱 -46-

４-３ 粒子軌道集計法 -48-

４-４ 粒子軌道シミュレーション結果 -50-

第５章 結論 -53-

５-１ まとめ -53-

５-２ 今後の課題 -53-

参考文献 -54-

謝辞 -56-

1

第 1 章 序論

1-1 核融合とプラズマ

現在，我々の生活を担っている発電方式として原子力発電，火力発電，水力

発電，新エネルギー発電（太陽光発電、風力発電など）などが挙げられる。し

かし現在，可動している発電方式は問題を抱えている。たとえば，水力発電，

波力発電などの新エネルギー発電方式に関しては，エネルギー使用の増加に伴

い上に挙げた発電方式のみでは充分なエネルギーを供給できていないのが現状

である。原子力発電，火力発電に関しては，燃料となる資源の枯渇が挙げられ

る。石油で考えると 1 世紀半で約 90 倍も消費量が増加している。現在公表され

ている世界のエネルギー資源確認埋蔵量は、石油が 1 兆 2,378 億バーレルで約

42 年分（BP 統計 2008），原子力発電のウランが 547 万トンで約 100 年分

（OECD/NEA-IAEA URANIUM 2007）であり，今尚，世界のエネルギー消費量

は着実に増えつづけている。また，このエネルギー資源枯渇の問題は電力需要

だけでなく日本を含む国々，特に発展途上国の人口増加と産業の発展によるエ

ネルギー消費量の大幅な増加も後押ししているのが現状である。このエネルギ

ー消費の約 90％が化石燃料を使用しており，それに伴い二酸化炭素の大量排出

による環境問題も深刻化している。二酸化炭素は，地球温暖化の原因とされる

温室効果ガスであり，大量に放出されると地球全体の平均気温が上昇し，海水

の膨張や氷河などの融解により，気候メカニズムに変化が起こり，異常気象が

頻発化する恐れがある。それにより自然生態系や生活環境，農業などへの影響

が懸念されている。

そこで，化石燃料に変わる大規模エネルギー源として注目されているのが，

核融合反応により発生させたエネルギーの利用による発電である。

核融合によるエネルギー利用の利点として，まず無尽蔵なエネルギー資源と

いうことが挙げられる。最終的に核融合反応に使用する資源は主に水素の同位

核種の重水素であり，重水素は海水より容易に入手可能でき，ほぼ無限のエネ

ルギー資源であると言われている。さらに炉心は超高温だが，蓄えられている

エネルギーはわずかであるので暴走の危険が無いこと，化石燃料で問題になっ

ている二酸化炭素を発生しないので地球の温室効果は無く，多少の中性子が放

出されるだけで放射性廃棄物は少ない等の利点がある。そのため、実現すれば

エネルギー問題を解決することができる。

核融合を起こすには比較的に軽い原子を高温･高圧において物質の第四状態

であるプラズマ状態にしなければならない。プラズマ状態となった原子は正の

電荷を持つイオンと負の電荷を持つ電子の 2 つに分かれる。このとき，2 つの正

2

の電荷を持った原子核同士を核力（原子核の間に働く引力）の働く距離まで十

分に近づけクーロン力（静電的な斥力）に打ち勝ち，1 つに融合し別の原子核を

つくり出す。この際，衝突前の総質量よりも衝突後の総質量の方が軽くなる。

これを質量欠損といい，この質量欠損分は，アインシュタインの導き出した式2mcE から生成粒子の運動エネルギーとなる。このエネルギーを電気エネル

ギーとして利用するのが核融合エネルギーである。利用可能な核融合反応とし

て考えられているものは以下の通りである。

)MeV03.3(p)MeV01.1(TDD

)MeV45.2(n)MeV82.0(HeDD 3

)MeV06.14(n)MeV52.3(HeTD 4

)MeV67.14(p)MeV67.3(HeHeD 43

4.8MeVHeTnLi 46

nHeT2.5MeV)n(Li 47

ここで、Dは重水素、Tは三重水素、pは陽子、nは中性子を表す。

Fig. 1-1 核融合反応

以上のことより，核融合反応を定常的に起こすには，プラズマを高温かつ高

圧で，反応が起こるまで閉じ込める必要がある。現在では核融合を実現するた

めに 2 種類の閉じ込め方式が存在する。

1 つは慣性閉じ込め方式（ICF：Inertial Confinement Fusion）である。慣性閉じ

込め方式は主に高出力のレーザーを用いて核融合を起こすレーザー核融合が主

3

流となっている。原理は燃料ペレットという球状の燃料を考える。球の殻部を

重水素や三重水素の固体でつくり，球の内部には重水素や三重水素の気体で満

たしておく。この燃料ペレットに外部より均一に高出力のレーザーを照射する

と，殻部の燃料は高圧のプラズマとなり中心に向けて加速され，燃料は高温高

密度状態となり，核融合が起こる。慣性閉じ込め方式の利点としては，低エネ

ルギーでの発電が可能であり，磁場を発生するための巨大なコイルなどを必要

としないので，施設がコンパクトとなり，低コストであると言うことがいえる。

Fig. 1-2 慣性閉じ込め

2 つ目は磁場閉じ込め方式（MCF：Magnetic Confinement Fusion）である。核

融合を行う際，プラズマ状態にし，核融合を行う。プラズマ状態となった物質

は電荷を帯びているため電磁気学的な作用を受ける。つまり，磁力線の周りを

回転しながら磁力線方向に沿って自由に運動することができる。核融合を実現

するためには，高温プラズマを一定時間閉じ込めておかなければならないが，

プラズマが放電容器に直接触れると，プラズマの温度は急激に下がってしまう。

そこで，プラズマが放電容器に直接触れないようにし，かつ高圧力にプラズマ

を閉じ込めるために，磁場によりプラズマを閉じ込める方式を磁場閉じ込め方

式という。その代表的なものに「ミラー型」「ヘリカル型」「トカマク型」の 3

つのタイプがある。本研究は磁場閉じ込め方式の中でも「トカマク型」に属す

る逆磁場ピンチと呼ばれるプラズマ核融合に関する研究である。

4

Fig. 1-3 磁場閉じ込め

1-2 逆磁場ピンチプラズマ

前節で述べた磁場閉じ込め方式の一つとして，逆磁場ピンチプラズマ（RFP :

Field Reversed Pinch）[1] がある。逆磁場ピンチでは，ドーナツ状の放電容器（ト

ーラス）の中心を貫く磁束を急激に変化させることによりトーラス内のプラズ

マにトロイダル方向の電流が流れ，ポロイダル磁場（Bp）が作られる。また外

部のポロイダル方向に設置されたコイルに流れる電流によって作られるトロイ

ダル磁場（Bt）が作られ、ポロイダル磁場とトロイダル磁場のらせん状の合成

磁場により，プラズマを閉じ込めている。らせん状の磁場にすることで磁力線

の網目が細かくなり，プラズマを閉じ込めやすくなる。よって逆磁場ピンチで

はトカマクに比べ小さな外部トロイダル磁場で，プラズマを閉じ込めることが

でき，磁場の利用効率が高くなり，弱い磁場で高温，高密度のプラズマを閉じ

込めることが出来るという利点を持っている。

さらに，強力なプラズマ電流の抵抗加熱だけで核融合反応の点火を実現でき

るので，高価で複雑な補助加熱装置が不要となる。また，閉じ込め特性は直接

アスペクト比（トーラスの大半径と小半径の比）に依存しないため，炉の設計

の自由度が増し，エネルギーを取り出しやすくなる。

同じトカマク型に属するトカマクプラズマと大きく異なるところはプラズマ中

のトロイダル磁場分布にある。Figure 1-4 に示す様に，RFP では，トロイダル

磁場の向きがプラズマ中心部と境界部分で逆転しており，プラズマ内部ではト

ロイダル磁場とポロイダル磁場が同程度の大きさを持っている。これが RFP の

由来である。また，このような磁場配位を取ることにより，弱いトロイダル磁

場で大きなプラズマ電流を流すにもかかわらず，プラズマの電磁流体的な安全

性を確保することが可能となっている。これらの点から、逆磁場ピンチは、磁

5

場閉じ込め方式として有効なものであるといえる。

しかし，RFPでは，解決が必要な課題が多く残っている。プラズマの安定性，

閉じ込め性能の大幅な改善や逆磁場ピンチ配位を定常的に維持するための技術

開発等である。特にプラズマの閉じ込め性能においてプラズマ中の磁場配位を

維持するために必要なダイナモ効果により磁場揺動が起こる。このため磁力線

がストキャスティックになり閉じ込めが悪化することが観測されている［2］。

磁力線がストキャスティックになると、そこでの熱や粒子の拡散が異常に大き

くなるという現象が知られている。このことからプラズマ装置内での磁力線の

方向分布を解明することがRFPの実用化を進めるにあたり重要な要素の1つだ

といえる。

Fig. 1-4 磁場の径方向分布

6

1-3 磁場方向分布計測方法

プラズマ実験において強力な磁場とプラズマの両者が存在する装置内の磁場の

空間分布を測定する必要のある分野において用いられる磁場計測方法をいくつ

か紹介する。

1-3-1 ピックアップコイルやループを用いた磁場計測

プラズマ中で磁場を計測する方法として使われているものがいくつかある。

その中でも最も多く使用されている方法が，磁気ピックアップコイルプローブ

を使用した計測方法である[3]。この方法はプラズマ中に挿入し，誘導磁場の変

動を検出し，低温プラズマの測定に広く使用される。そのコイル（またはルー

プ）には，その場所でのコイルを貫く磁束の変化（コイルへの鎖交磁束の変化）

に比例した起電力が生じる。この起電力を計測・解析（積分）することにより，

磁界の時間変化を求めることができる。

しかしこの計測法には欠点がある。RFP のような高温プラズマで使用すると，

プローブ自体とプローブの材料が熔けてプラズマへ混入してしまい，純粋なプ

ラズマを測定できなくなってしまう。また，プラズマの温度が高くなるとプロ

ーブ自体がプラズマ粒子による損傷を受け破壊され計測ができなくなることも

ある。したがって，プローブは通常の磁気閉じ込め実験において高温，高密度

プラズマでの計測には適していないといえる。

1-3-2 シュタルク効果分光計測

他に，運動シュタルク効果（MSE）に基づく計測法が挙げられる[4]。シュタ

ルク効果とは外部電場が発生した場合に原子のエネルギー準位にずれが起こり，

それらが出す光のスペクトルが分裂する現象である。電場のシュタルク効果に

よる波長の変化を計測する。ここで，磁場をB，原子ビームの速度をｖとすると，

運動論的シュタルク効果による電場Eは BvE となり，この電場の強度とシュ

タルク効果による波長変化には一定の関係があることから，波長変化から電場

の強度が求まり、ビーム速度は入射条件で与えられているので電場強度から磁

場を求めることができる。

シュタルク効果は高電子密度が高ければ高いほど効果がある。そのため，高

温プラズマにおけるトカマクやヘリカル装置のような強い磁場を持つ高温プラ

ズマの閉じ込めのシステムで広く使用されている。また，この計測法では高エ

ネルギーの大容量原子ビームを必要とするため，特殊な大型装置でないと利用

7

が難しい。さらに，装置が大掛かりなものとなるため計測装置が非常に高価と

なることが問題である。

1-3-3 原子ビームを用いた磁場計測

この節で紹介する計測方法は，日本大学の平野氏より提案された手法である

[2]。これは，原子ビームを用いた磁場計測であり，高温プラズマ中での局所範

囲における磁場の方向分布を求めることができる。新しい計測方法では高温プ

ラズマにも適応しており，また磁場の強弱に影響されることはない。この計測

法では計測用原子ビームとしてヘリウム(He)を採用する。He を採用した理由と

して，

①長く 1 価のイオンで滞在している。

②水素と比べて 1 価及び 2 価への電離エネルギーが高い。

③低エネルギーで高速のビーム及び浸透距離が得られる。

④低 Z で不純物としての影響が少ない

というような利点が挙げられる。

では計測方法の原理について説明する。システムの概略図を Fig. 1-5 に示す。

He 原子ビームは装置の赤道面に，磁場に垂直に入射する。入射された He ビー

ム原子はプラズマ中の電子との衝突により，He+にイオン化される。その後，

He+イオンは，磁場中で旋回運動をおこし，旋回運動中に励起し基底状態に戻

るとき 468.6 nm の発光スペクトルを放出する。また，He+イオンが完全にイオ

ン化するか，様々なドリフト運動によって検出領域から離れるまで発光スペク

トルを放射する。この発光スペクトルをドップラー計測器で波長幅を計測する

ことで磁場方向分布を求めることができる。

He+は一定の速さ bv で旋回運動をし，その回転軸は磁力線のなす角つまり磁

場の方向に一致する。磁場と回転軸の関係は Fig. 1-6 のように表される。装置

内ではポロイダル磁場のみが存在する場所(A)，トロイダル磁場のみが存在する

場所(C)，及びその両方が存在する場所(B)が存在する。これらにより磁場分布に

よって磁力線の作る角度に変化が起こるのがわかる。磁場の傾き角 は

ptt BB B/ 　　 より求まる。また，ドップラー計測器によりドップラー幅を求

めることでき，それは計測場所による磁場分布(A)，(B)，(C)により異なり，Fig.1-7

のような結果になる。波長の変化幅は磁場の傾き角度が 90°の場合に最も大き

く、角度が小さくなるに従って小さくなり、角度が 0°，即ち観測点から見て回

転面が垂直となる場合には 0 となる。これよりドップラー幅は旋回運動の回転

8

軸の傾きと連動しているのがわかる。また，原子ビームのエネルギー bv はビー

ムの入射時に決めているので、Fig. 1-7 で示した波長の最大変化幅は計算で容易

に求めることができる。ここで， 6.4680 nm，c は光速を表す。この波長の最

大変化幅と計測した波長の変化幅との比の大きさから，発光点における磁力線

の傾斜角度を求めることができる。

そこで，He+イオンからの線スペクトルを計測し，場所によってスペクトル

形状に変化があることから，旋回運動（磁力線の方向）の軸の傾きが決まり，

最終的に磁場の方向分布を計測することができる。

Fig. 1-5 計測原理

9

Fig. 1-6 磁場と回転軸のなす角の関係

Fig. 1-7 ドップラー幅とスペクトル強度の関係図

10

1-4 研究目的

前節で本研究において使用する計測方法を紹介した。この計測方法は理論上

可能であるということだけで，実際のところ正確に計測できるのかはまだ実証

されていない。

そこで本研究ではヘリウム原子ビームを用いた新しい磁場方向計測の実現可

能性をシミュレーションで検討する。実際にヘリウム原子ビームの電離位置シ

ミュレーション，粒子軌道シミュレーションを行い，旋回運動の回転軸のなす

角を求めることで，磁場方向計測の可能性を評価することが本研究の目的であ

る。

11

第 2 章 RFP プラズマの平衡

本章では，プラズマの平衡状態とはプラズマの巨視量が時間と共に変化しな

い状態のことである。ここでは平衡状態にある RFP プラズマを扱う際に用いら

れる方程式について説明する。

平衡状態にある RFP プラズマが圧力，磁場，電流密度などについてどのよう

な値を持つのかを 2 次元円筒座標系 zr 空間で数値計算する。

2-1 MHD（電磁流体力学）方程式系

プラズマの性質を調べるにはプラズマ全体の動きを正確に捉えることが必要

であり，その巨視的な動きを調べるために有効なモデルが MHD（電磁流体力学）

モデルである。このモデルではプラズマを全体で一つの流体と見なしており，

それを取り扱う方程式を MHD 方程式という。本研究では高温プラズマを仮定し

ているため，以下のような電気伝導度を無視した理想 MHD 方程式を用いている。

0

u

t (2.2.1)

Bjuuu

p

t (2.2.2)

0

pt

u (2.2.3)

0 BuE (2.2.4)

t

BE (2.2.5)

jB 0 (2.2.6)

0 B (2.2.7)

ここで，E，B，j はそれぞれ電場強度，磁場強度，電流密度を表している。また，

，u ， p ， ， 0 はプラズマの質量密度，速度，圧力，比熱比，真空の透磁

率を表している。

2-2 Grad-Shafranov 方程式の導出

プラズマの平衡は一般的に Grad-Shafranov 方程式を解くことによって求め

12

られる。プラズマは平衡状態にあるとし，時間に関する項は 0となるので 0 t

となる。次に，RFP は軸対称性を持った円筒座標系でモデル化される。

また，この平衡状態は静的であるため流速 0u （CT 全体は移動していない）

とする。さらに，電荷準中性条件が成り立つとする。

プラズマ中のイオン及び電子の運動方程式（流体方程式）は，力学的及び熱

的平衡により圧力テンサを 0（等方的）として，

ieiiiiiii

ii pnqt

nm RBuEuuu

(2.2.1)

eieeeeeee

ee pnqt

nm RBuEuuu

(2.2.2)

先程の熱的平衡より，プラズマ中のイオンはほぼ静止している（ 0iu ）と仮定

し，プラズマ中の電子は質量が小さいので 0 と近似すると，

ieiii pnq RE 0 (2.2.3)

eieeee pnq RBuE 0 (2.3.4)

ここで，プラズマ電流は定義式(1.5)より，

eeeiii nqnq uuj (2.3.5)

eeenq uj (2.3.6)

流体方程式に戻り，式(2.2.3)と(2.2.4)を加算すると，

eiieeieeeeeii ppnqnqnq RRBuE 0 (2.2.7)

ここで，衝突項（摩擦項）は作用反作用による完全弾性衝突より， 0 eiie RR

となり，プラズマ全体の圧力を ppp ei とおくと，

pnqnqnq eeeeeii BuE (2.2.8)

13

最初に電荷準中性条件が成り立つと仮定した事により電場の項は消え，

BuBu eeeeee nqnq であるので，式(2.2.6)より式(2.2.8)は次のように書き換

えられる。

pBj (2.2.9)

これがプラズマ平衡の式である。

次に，式(2.2.9)の両辺にBを内積すると，

0 BBjBp (2.2.10)

同様に，(2.2.9)式の両辺に をj 内積すると，

0 jBjjp (2.2.11)

式(2.2.10)と(2.2.11)より，磁場と電流は にp 対して垂直かつ等圧面上にあるこ

とが分かる。

よって，この磁場による磁気面（磁力線が沿う等圧面）を関数で定義し，

r

zdrBr0

`` (2.2.12)

とする。

円筒断面積 rdrdS 2 を利用して，円筒座標系に書き換えると式(2.2.12)は，

SS

ddS SBnB

2

1

2

1　 (2.2.13)

となる。式(2.2.23)はポロイダル磁束関数と言い，磁気面上の磁束の強さを表す。

ここで，ベクトルポテンシャルAより磁場Bは，

AB (2.2.14)

なので，式(2.2.13)は，

S

dSA

2

1 (2.2.15)

となる。

ストークスの定理より，式(2.2.15)は，

C

dlA

2

1 (2.2.16)

となる。この線積分の積分路は，半径 r の円周に沿った閉曲線である。

14

円の中心は円筒座標系の中心（ 0r ）に相当し，積分路は円の正の 方向であ

るとする。

よって，

rArdAdC

22

0 lA (2.2.17)

であり，

rA (2.2.18)

となる。

また，式(2.2.14)を円筒座標系で計算すると，軸対称性より 0

なので，

zzr

r

zzr

r

rArrr

A

z

A

z

A

r

A

r

A

r

A

z

A

z

A

eee

eee

AB

1　　　

　　　

　　

(2.2.19)

であり，式(2.2.18)より，

zrz

ABr

1 (2.2.20)

rr

rArr

Bz

11 (2.2.21)

となる。

次に，アンペールの式を利用してポロイダル電流関数との関係を求める。

アンペールの式(2.2.23)はマクスウェル方程式の内，アンペール-マクスウェル式

(2.3.22)の電場（電束密度）の時間変化（変位電流）を無視し，磁場を磁束密度

に書き換えたものである。

t

DHj (2.2.22)

Bj 0 (2.2.23)

ここで，アンペールの式(2.2.23)を半径 r の円で面積分すると， S を円の面積と

して，

15

SS

dSdS nBnj0 (2.2.24)

SS

dd SBSj0 (2.2.25)

となり，右辺はストークスの定理より，

C

Sdd lBSB (2.2.26)

となる．この線積分の積分路は，半径 r の円周に沿った閉曲線である。

円の中心は円筒座標系の中心（ 0r ）に相当し，積分路は円の正の 方向であ

るとする。

すると，

2

0rdBd

C

lB (2.2.27)

である．

ここで，式(2.2.25)の左辺を使用して式(2.2.28)を定義する。

S

dF Sj02

1

(2.2.28)

式(2.2.28)はポロイダル電流関数，またはトロイダル磁場関数と言い，

平曲面中にどれだけ電流が流れるのかを表す。

Fig. 2-1 トロイダル方向とポロイダル方向

式(2.2.26)及び(2.2.27)より，

rBrdBdS

22

0 SB (2.2.29)

となり，式(2.2.29)を式(2.2.25)に代入し，定義式(2.2.28)を利用すると，

rBdS

22

12 0

Sj (2.2.30)

16

となり， rBF であるので

r

FB (2.2.31)

ここで，式(2.2.23)中 をの B 円筒座標系で計算すると，

zrzr

rz

zzrrzr

r

BB

rr

B

r

B

z

B

z

BB

r

BBBzrr

eee

eeeeeeB

11

1

　　　

(2.2.32)

となり，軸対称性より 0

なので，

zzr

r

zzr

r

rBrrr

B

z

B

z

B

r

B

r

B

r

B

z

B

z

B

eee

eeeB

1　　　

(2.2.33)

である。

よって，式(2.2.23)より電流の各方向成分を求めると，式(2.2.31)より，

z

F

rz

Bj rr

000

11

B

(2.2.34)

r

B

z

Bj zr

00

1

B (2.2.35)

r

F

rrB

rrj z

z

000

111

B (2.2.36)

となる。

ここで，式(2.2.20)及び(2.2.21)を利用して式(2.2.35)を書き換えると，

17

2

2

0

0

0

11

111

1

zrrrr

r

rrrzzr

r

B

z

Bj zr

(2.2.37)

である。

式(2.2.10)にいったん戻り，右辺を展開すると軸対称性より 0

なので，

z

pB

r

pB

BBBz

pp

r

pp

zr

zzrrzr

　　　

eeeeeeB

(2.2.38)

となり，式(2.2.20)及び(2.2.21)より，

z

p

rrr

p

zr

z

pB

r

pBp zr

11 　　　

B

(2.2.39)

である。

ここで，圧力 pが の , 関数であると仮定すると式(3.39)は，

zrrz

p

r

pzrrzr

z

p

rrr

p

zr

,1

,1

,1,1

(2.2.40)

となり，式(2.2.40)及び(2.2.10)が成り立つためには，

0

,

p (2.2.41)

とならなければならない。よって， pは に よらないので， pp となる。

18

同様に，式(2.2.11)の右辺を展開すると軸対称性より 0

なので，

z

pj

r

pj

jjjz

pp

r

pp

zr

zzrrzr

　　　

eeeeeej

(2.2.42)

となり，式(2.2.34)及び(2.2.36)より，

z

p

r

F

rr

p

z

F

r

z

pj

r

pjp zr

00

11

j

(2.2.43)

である。

ここで， F が の , 関数であると仮定すると

zr

p

rz

pF

r

Fzr

p

rz

p

r

z

p

r

F

rr

p

z

F

r

,1

,1

,1,1

0

0

00

(2.2.44)

となり，式(2.2.44)及び(2.2.11)が成り立つためには，

0

,

F (2.2.45)

とならなければならない。よって， F も に よらないので， FF となる。

ここで式(2.2.9)に戻り， r 方向成分に注目すると，

BjBjr

pzZ

(2.2.46)

なので，式(2.2.46)に式 (2.2.21) ,(2.2.31), (2.2.35), (2.2.36)を代入すると，

r

F

r

F

rrrzrrrr

rr

p

0

2

2

0

1111

(2.2.47)

となり， pp 及び FF より，

19

rd

dF

r

F

(2.2.48)

rd

dp

r

p

(2.2.49)

なので，式(2.2.47)は，

Frd

dF

rzrrrr

rd

dpr

2

2

0

2 1 (2.2.50)

となり，移項し をてr

取り出すと，

rzrrrr

rd

dFF

rd

dpr

2

2

0

2 1 (2.2.51)

である。

よって，

2

2

0

2 1

zrrrr

d

dFF

d

dpr

(2.2.52)

となり，円筒座標系における Grad-Shafranov 方程式が導出された。

2-3 数値計算法

ここでは本研究で用いた主な計算法について述べる。数値計算で微分量を求

めるのに離散化された値で近似する方法として差分法を用いた。また，RFP プ

ラズマの平衡解を求めるのに SOR 法を用いる。

2-3-1 有限差分法

差分法は，時間や空間などの微分量を離散化された値を用いて近似する方法

である。例えば，xの一次元空間において xの関数 xf があるとする。エラー! 参

照元が見つかりません。2-1 のような，ある任意の点 0x での微分量0xxx

f

を，離

散点 Δxx 0 ， Δxx 0 での値 Δxxf 0 ， Δxxf 0 を用いて近似すると，

20

Δx

ΔxxfΔxxf

x

f

xx 2

00

0

(2.3.1)

と表すことができる。但し， Δxは十分小さいとする。このように，微分量を離

散点で近似することを差分化するという。また，この差分式の真の値との誤差

は 2Δx オーダーなので２次精度の差分式という。また求めたい点を中心に同じ

だけ離れた２点を使った差分を中央差分という。

Fig. 2-2 差分法

(2.3.1)の差分式は Taylor 展開から導くことができる。Taylor 展開を用いると

Δxxf 0 ， Δxxf 0 は，それぞれ，

xfΔxxfΔxxΔxfxfΔxxf 33221

00!3

1

!2

1 (2.3.2)

xfΔxxfΔxxΔxfxfΔxxf 33221

00!3

1

!2

1 (2.3.3)

と表すことができる。 xf n の添え字の n は xのn 階微分を表す。

(2.3.2)式と(2.3.3)式の差をとると，

xfΔxΔx

ΔxxfΔxxfxf 32001

6

1

2 (2.3.4)

となり， Δxが十分小さいという仮定から右辺第二項目は第一項目に比べれば十

分小さいので切り捨てると，まさに(2.3.1)式と等しくなる。

２次精度の中央差分は，２点を使って２次精度の近似を行っているが，使う

点を増やすことによって，精度を上げることが可能である。ただ，単に精度の

上げても解の収束性や計算スキーム全体の安定性によって正しく計算できると

0x

Δx

0xf

Δx

Δxx 0Δxx 0

Δxxf 0 Δxxf 0

x

21

は限らないこともあり，注意が必要となります。また使う点が増えることによ

って計算領域の境界条件が厳しくなるため本研究では，２次精度または４次精

度を用いている。

４次精度の中央差分も同様にして Taylor 展開から導くことができる。

Δx

ΔxxfΔxxfΔxxfΔxxfxf

12

228 00001 (2.3.5)

また二階微分についても本研究ではよく使うので，２次精度，４次精度につい

てそれぞれ示す。

2

0002 2

Δx

ΔxxfxfΔxxfxf

(2.5.6)

2

000002

12

221630

Δx

ΔxxfΔxxfΔxxfΔxxfxfxf

(2.3.7)

2-3-2 SOR 法

次のような n元連立一次方程式を解くとする。

nnnnnn

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

(2.3.8)

もしガウス・ジョルダン法のような直接法を用いた場合，その計算回数は 3n に

比例するため nが大きい程数値計算にかかる時間は大きくなってしまう。しかし

収束法を用いた場合，解の収束条件によっては直接法を用いた場合より格段に

早く計算することが可能である。SOR(Successive Over Relaxation)法は、その

収束法の一つである。

連立方程式

bAx (2.3.9)

を満たすxを数値計算により求めるとする。ここで真の解をxとする。

22

そしてある計算をm 回繰り返し計算した解を mx としたとき、

xx

mmlim (2.3.10)

が成り立つとする。このような計算回数を増やすことで真の解に近づけていく

方法を収束法と言う。

このある計算方法というのは簡単な手順で作ることができる。行列Aを，

TSA (2.3.11)

と分解し，

bTxSx mm 1 (2.3.12)

とすればよい。 mx がαに収束したとすれば(2.3.9)と(2.3.12)から，αとx が等し

いことは自明である。つまり mx が収束すれば真の解 x が求まることに等しいと

いえる。

ここで誤差について考えると，真の解では(2.3.12)式は，

bTxSx (2.3.13)

であるので差をとると，

mm xxTxxS 1 (2.3.14)

ここで 1 mxx と mxx は真の解からの誤差を表す。 mm ε xx とおくと，

mm S

T1 (2.3.14)

最初の計算であらわれた誤差が 1 とすると，

1m

m

S

T (2.3.15)

と表すことができる。

(2.3.11)のSを対角行列とすると， 1mx を求めやすくなる。つまり，行列Aを

次のように分解する。

23

0

0

0

00

00

00

21

221

112

22

11

21

22221

11211

nn

n

n

nnnnnn

n

n

aa

aa

aa

a

a

a

aaa

aaa

aaa

(2.3.16)

右辺の第 1 項がS，第２項が T である．またSの逆行列 1S は，

1

1

22

1

11

1

00

00

00

nna

a

a

S (2.3.17)

である。つまり 1m 回計算したときの近似解は， bTxSx

mm

1

1 なので，

m

nnn

m

n

m

n

m

nnnn

m

n

m

nn

mmmm

m

nn

mmmm

m

nn

mmmm

xaxaxaxabax

xaxaxaxabax

xaxaxaxabax

xaxaxaxabax

443311

11

34343331313

1

33

1

3

24243231212

1

22

1

2

14143132121

1

11

1

1

(2.3.18)

と計算することができる。これをヤコビ法という。

そして計算効率をよくする為に， 1

2

mx を計算するときに mx1 の部分に計算で求

められた 1

1

mx を代入して計算するというように， 1m

nx を計算する時に

m

n

m xx 11 の部分に計算で求められた 1

1

1

1

m

n

m xx を代入する方法をガウス・ザ

イデル法という。(2.3.18)式は，

11

44

1

33

1

11

11

3434

1

333

1

1313

1

33

1

3

2424323

1

1212

1

22

1

2

14143132121

1

11

1

1

m

nnn

m

n

m

n

m

nnnn

m

n

m

nn

mmmm

m

nn

mmmm

m

nn

mmmm

xaxaxaxabax

xaxaxaxabax

xaxaxaxabax

xaxaxaxabax

(2.3.19)

と書き直すことができる。

ここで，ガウス・ザイデル法では 1 回の計算に mm xx 1 だけ解を修正する。

これを 1 度に mm xx 1 だけ修正するというのが SOR 法である。は加速係

数を表す。加速係数は 1 だとガウス・ザイデル法に等しくなり，1 以下だと遅く

24

なる。1 以上だとより早く収束するが 2 以上だと発散してしまうため 1～1.9 の

間で選ばれるのが一般的である。SOR 法を用いた場合(2.3.19)は，

m

n

m

n

m

n

m

n

m

nnn

m

n

m

n

m

nnnn

m

n

mmmm

m

nn

mmmm

mmmm

m

nn

mmmm

mmmm

m

nn

mmmm

xxxx

xaxaxaxabax

xxxx

xaxaxaxabax

xxxx

xaxaxaxabax

xxxx

xaxaxaxabax

11

11

44

1

33

1

11

11

3

1

33

1

3

3434

1

333

1

1313

1

33

1

3

2

1

22

1

2

2424323

1

1212

1

22

1

2

1

1

11

1

1

14143132121

1

11

1

1

(2.3.20)

と計算できる。

2-4 圧力分布及びポロイダル電流束関数

(2.2.52)式を磁束関数ψについて解くためには，圧力 ψp 及びポロイダル電流

束関数 ψF の分布を知らなければならない。ここでは，次のように与えて計算

することにする。

圧力 ψp は，

pp

abpp ̂1ψ 0 (2.4.1)

ただし，

0lim0 /ˆ , 0.0lim (2.4.2)

また，ポロイダル電流束関数 ψF は，

2.0ψ

2.0ψ

2

210

10

　　　

　　　　　　

BBB

AAF (2.4.3)

と設定した。ここで，̂ は規格化した磁束関数で， 0 ， lim はそれぞれ磁気軸

及び境界における磁束関数であり， 0p は磁気軸におけるプラズマ圧力値を表す。これ

により各乗数 pp ba ， や定数 21010 ,,,, BBBAA 用いて圧力分布及びポロイダル電

25

流分布を制御することで、様々な平衡配位が得られる。

2-5 Grad-Shafranov 方程式の規格化

数値計算で物理量を含む式を扱う場合，その中に出てくる変数や定数に勝手

な単位を使い，数値の間に成り立つ関係を示しても，単位を変えると意味がな

くなってしまうため，規格化（無次元化）する必要がある。また，規格化を行

うことにより，ある物理量と別の物理量との相対的な大きさなどが明確になる

など利点がある。

ここでは Grad-Shafranov 方程式の規格化を行う。規格化変数は以下の通り

である。

a

rr ，

a

zz ，

maxψ

ψψ ，

maxp

pp ，

maxF

FF (2.5.1)

ここで， a はトーラス小半径， maxψ , maxmax , FP は磁気軸での磁束関数及び圧力関

数を表す。また，

0

22

max

max

//

~

a

p ，

max

max /~

F

aq

(2.5.2)

とおくと，規格化基準量は

IIF tfc

0

max2

， qaF ~maxmax ，

0

2

2

maxmax /

~

ap (2.5.3)

とかける。 tfcI ， I はトロイダル磁場コイル電流，ポロイダル電流を表す。

これに従い，(2.2.52)式は次のように規格化される。

d

d~1

d

d~12

2

2

2 FF

q

pr

zrrrr

(2.5.4)

変数の上についている『－』は規格化された物理量を表し，その次元は無次

元である。

次に規格化した磁場 zr BBB ,, 及び電流密度 zr jjj ,, を求める。

先ほど同様に，以下のように規格化変数を設定する。

26

2

max / a

BB

，

)/( 3

0max a

jj

(2.5.5)

(2.5.5)式を(2.2.20)，(2.2.21)，(2.2.31)の磁場の式へ，また(2.2.34)～(2.2.36)の

電流密度の式へ適応すると，

zrBr

1，

r

F

qB ~

1 ，

rrBz

1， (2.5.6)

z

F

rqjr

1~1

，

d

d~1

d

d~2

F

r

F

q

prj ，

r

F

rqjz

1~1

(2.5.7)

次に，RFP の平衡を考えるうえで重要なパラメータとしてピンチパラメータ

，逆転パラメータ F がある。これらは

断面積ポロイダル磁場

zrr,zBa

Ba

a

zaR

zaRdd

1 22

222

(2.5.8)

表面平均トロイダル磁場

d2

1 2

0r,zBB (2.5.9)

表面平均トロイダル磁場

d2

1 2

0pp r,zBB (2.5.10)

を用いて

B

Bp ，

B

BF (2.5.11)

で表すことができる。各規格化基準量を変更することにより， 05.045.1 ，

05.01.0 F になるよう最適な値を取るパラメータを求める。このパラメータ

の決定はこの章の参考対象装置で行う。

2-6 Grad-Shafranov 方程式の差分化

数値計算するために，Grad-Shafranov 方程式を差分化する。差分精度は 2 次

精度の中央差分を用いた。(2.5.4)の第一項目は次のように差分化できる。

27

2

,1,,,1

2

1

,2

1,

2

1

2

1

,2

1,

2

1

,2

1,

2

1

ψψ

2

1ψψ

2

1

ψψ1

ψψ1

ψψ1ψ1

rΔ

rΔr

rΔr

r

rΔ

rΔrrΔr

r

rΔrrr

rrrr

jijijiji

ii

jiji

ii

jiji

jiji

　

22

ψψ2

ψψ2ψ

2

,1,1,1,,1

rΔr

rΔrrΔ

rΔr

rjijijijiji

(2.6.1)

同様にして第二項目は，

2

1,,1,

2

2 ψψ2ψψ

rΔz

jijiji

(2.6.2)

である。よって ji,ψ についてまとめると，

d

d~1

d

d~ψψ

22

ψψ2

ψψ1

ψ2

2

1,1,

,1,1,1,1

,

FF

q

pr

rΔr

rΔr

rΔr

r jiji

jijijiji

ji

(2.6.3)

となる。ただし，

28

1

22

22

rr

rr

r (2.6.4)

(2.6.4)式を 2 章で説明した SOR 法を用いて数値計算することによって磁束

関数 を求めることができ，磁束関数 から続いて磁場 zr BBB ,, 及び電流密度

を求めることができる。

29

2-7 平衡計算モデル

従来のRFPプラズマにおけるシミュレーションでは円筒近似モデルを用いて

計算していたが，より実験に近い数値計算を行うために，円筒座標系を用いた

トーラス座標で計算を行う。

Figure 2-3 のようにトーラス座標を用いれば装置を円筒近似する必要がない

がトーラス座標を用いると，境界条件の設定が非常に困難になる。また zr ，，

の全成分の数値計算が必要になり，計算式が非常に複雑になってしまい計算時

間が大幅にかかってしまう。

そこで，本研究では Fig. 2-4 の装置を Fig. 2-5 のような円筒座標系に配置す

る。このような円筒座標系を用いたトーラス座標モデルを用いることにより，

以下のような利点が挙げられる。

① 実際のプラズマの駆動に近い分布を再現

② 境界条件を Fig. 2-5 のような簡単な曲線境界に設定できる

③ 軸対称により r , z 成分のみに依存した数値計算が可能

この座標系ではトロイダル磁場，ポロイダル磁場などのプラズマ実験におけ

る物理量は Fig. 2-6 のように表すことができる。また，以前の円筒近似での解

析は r 方向のみの 1 次元の分布を求めれば，対称性より 3 次元の分布を導出で

きたが，トーラス座標では r , z 方向の２次元の分布を求め， 方向の対称性よ

り，３次元の分布を導出することができる。

30

Fig. 2-3 トーラス座標 ),,( b の概念図

Fig. 2-4 トーラス系の装置

31

Fig. 2-5 円筒座標系を用いたトーラス座標

Fig. 2-6 計算断面図

32

2-8 参考対象装置

円筒近似計算での数値解析の参考対象装置としてイタリアにある RFX_mod

装置を計算の際の各パラメータ，初期値等で使用した。主要装置パラメータを

Table 1 に示す。また，平衡計算で使用した計算用パラメータを Table 2 に示す。

Table 1. 装置参考パラメータ

装置パラメータ

トーラス大半径 r 2.00〔m〕

トーラス小半径 a 0.46〔m〕

プラズマ電流 PI 2.0〔MA〕

電子温度 eT 250.0〔eV〕

イオン温度 iT 250.0〔eV〕

電子密度 eN 〕〔 -319 m 100.1

Table 2. 平衡計算パラメータ

平衡計算パラメータ

ピンチパラメータ 1.47

逆転パラメータ F -0.09

圧力乗数 pp ba ， （4 , 2）

ベータ値 0.002

安全係数 q 0.4

全ポロイダル電流 I

11 [MA]

トロイダルコイル電流 tfcI

-0.3 [MA]

33

2-9 RFP プラズマにおける平衡解計算結果

RFP プラズマの磁束関数の計算結果を Fig. 2-7 に示す。また磁束，磁場，

圧力，密度及び温度の赤道面における分布を，それぞれ Fig. 2-8，Fig. 2-9，

Fig. 2-10，Fig. 2-11 に示した。A とはアスペクト比のことを指し，トーラス大

半径をトーラス小半径で割ったものである。この研究ではアスペクト比を 4.35

に設定している。磁束関数は磁気軸が外側にシフトしているのがわかる。磁場

に関しては，トロイダル磁場 tB が中心と装置壁で反転し、ポロイダル磁場 pB の

分布が第 1章 2節で述べた RFP の磁場分布に近い値となっていることが見て取

れる。電流密度も磁場分布に沿って同様の分布を取っている。また,圧力 pが中

心付近で平らになっており，温度T ，密度 nなどの各種物理量も磁気軸で最大と

なりフラットな値を取っていることがわかる。以上のことから求めた分布は実

験プラズマを再現できていると言える。

Fig. 2-7 プラズマの磁束関数

34

Fig. 2-8 赤道面上における磁束分布

Fig. 2-9 赤道面上におけるトロイダル磁場及びポロイダル磁場分布

35

Fig. 2-10 赤道面上トロイダル電流及びポロイダル電流

Fig. 2-11 赤道面上における圧力分布

36

Fig. 2-12 赤道面上における密度及び温度分布

37

第 3 章 電子衝突シミュレーション

3-1 中性粒子の電離

原子ビームとして He 原子をプラズマに入射する。装置内のプラズマは水素

プラズマを想定する。入射したビームがプラズマに進入し，その中性粒子はプ

ラズマ中の粒子と衝突して電離し，イオンビームに変換される。その際の反応

過程はいくつかあり，主に

①荷電交換反応：He + H+ → He+ + H

②イオン衝撃による電離：He + H+ → He+ + H+ + e-

③電子衝撃による電離：H + e- → H+ + e- + e-

がある。本研究ではこれらの反応のうち，③の電子電離のみを考慮する。また，

He は一価のイオンとしての反応を仮定する。

電離判定の起こりやすさを表すものとして断面積がある。これが大きければ

反応が起こりやすいことを表している。この断面積は実験で調べられており，

Fig. 3-1 が He の電離断面積を示している。

Fig. 3-1 He の電離断面積

38

3-2 モンテカルロ法

モンテカルロ法は,フォン・ノイマンとユラムによって1945 年頃から用いら

れはじめたものであり,当初は「決定論的な数学の問題を乱数を用いて解くこ

と」が目的であった。しかし,最近では精度の高い乱数が得られることにより,

それを用いたシミュレーションが盛んとなり,現在ではその手法をモンテカル

ロ法と呼ぶ。モンテカルロ法は,確率論的モデルに基づいた確率過程を問題とす

るのである。モンテカルロ法では,現象のモデルを構築し,その様子を調べよう

というものである。例としては,形状の複雑な領域の面積の計算などがある。シ

ミュレーションでは,乱数を発生しながら確率過程を計算機上で試行していく。

その最も基本的なアルゴリズムを以下に示す。

Fig. 3-2 モンテカルロ法のアルゴリズム[6]

コンピュータ上で発生させた乱数は先にも述べたように,一様に理想的な乱

数ではなく,疑似乱数と呼ばれるものである。疑似乱数というのは,理想的な一

様乱数を模倣したものであるので,やはり完全に一様なものではない。そこで,

性質の良い乱数をいかに多数発生させることができるかどうかが,モンテカル

ロ・シミュレーションにおいて良質の結果を得るためのポイントとなる。

あるイベントが起こる断面積を とすると,そのイベントが t の間に起こっ

たとする判定方法は, 1~0 までの一様な擬似乱数 を用いて

ξtn vv (3.2.1)

と計算することができる。ここで n はプラズマ密度, vは中性粒子とプラズマの

相対速度である。ここで注意するのは t のとり方である。これを大きくすると

(3.2.1)の左辺は 1 を超えてしまう。このとき t は長く取りすぎており,1 を超え

た分だけ起こる回数を過小評価することになる。そのため, (3.2.1)の左辺は 1よ

39

りも小さくなるように注意しなければならない。

3-3 ビームの分散

RFP へ NB が入射された際に，Fig. 4-2 に示すようなビームの分散が実験に

おいて確認されている。本研究では，より現実的なシミュレーションを行なう

ためにこの分散を考慮し計算している。分散による粒子数の振り分けは正規乱

数によって行っており，ビーム軸でもっとも粒子が多く，そこから離れるにつ

れて粒子が少なくなるようにしている。本研究では原子ビーム入射は垂直方向

入射におけるビーム分散のみ考慮した。

Fig. 3-3 ビーム分散モデル

3-4 電子衝突シミュレーション結果

まず，He 原子ビームを入射による電離シミュレーションを行った。RFP プラ

ズマでのビームエネルギー bE の違いによる電離位置分布を Fig. 3-4 ，Fig. 3-5，

Fig. 3-6 に示す。また，この時ビームの拡がりは 2°に設定し，10000 個の粒子

を入射させた。Fig. 3-4 ，Fig. 3-5，Fig. 3-6 を見ればわかるようにビームエネ

ルギー bE が高くなるにつれ，より装置内部で浸透しているのがわかる。どのグ

ラフも浸透長が 0.2 付近でピークと取っているがこれはプラズマ内の電子密度

勾配に比例しているからである。

また，Fig. 3-7 に bE の変化におけるシャインスルー率と平均浸透長の関係性

1

1tan

2

2

2exp

40

を示した。シャインスルー率とは全粒子数における電離せずに装置壁付近まで

到達した粒子の割合を示したものである。 bE が高くなるにつれ平均浸透長，シ

ャインスルー率ともに上昇することが確認できた。

Fig. 3-4 　100bE [eV] における電離位置

Fig. 3-5 1bE [keV] における電離位置

41

Fig. 3-6 10bE [keV] における電離位置

Fig. 3-7 bE の変化におけるシャインスルー率と浸透長

42

第 4 章 粒子軌道シミュレーション

4-1 プラズマ中のイオンビームの運動

電離後のイオンビームの軌道を計算する。まず電場はないと仮定し，磁場中

の荷電粒子の運動方程式を次のように表す。

)(d

dBv

v q

tm (4.1.1)

この運動方程式の円筒座標系での各成分を考える。 zr ,, 方向の成分はそれぞれ

次のように表せる。

zr Bq

rm

tm

vvv

2

d

d

)(d

dzrrz

r BBqr

mt

m vvvvv

(4.1.2)

rz Bqt

m vv

d

d

ここで，磁場は次のように与えられる。

rrBz

1

zrBr

1

これが無衝突のときの運動方程式である。本研究ではクーロン衝突も考慮する

ので運動方程式の中に衝突項を入れる必要がある。運動方程式に衝突項を入れ

ると次のように表すことができる。

rszr mBq

rm

tm vv

vv

2

d

d

vvvvvv

szrrz

r mBBqr

mt

m )(d

d (4.1.3)

zsrz mBqt

m vvv

d

d

43

4-2 クーロン衝突

プラズマの中の多数の荷電粒子は，お互いに静電的な力（クーロン力）を及ぼ

しあう。ある２つの電荷間距離よりもはるかに長い距離にわたって多数の粒子

が同時にかかわる相互作用はプラズマ波動として，位相のそろった集団運動を

誘起する。位相のそろわない個々の粒子間の相互作用も存在する。この個々の

相互作用により粒子の運動が変更される過程がクーロン衝突である。この過程

の基本は Fig. 4-1 に示すような 2 つの粒子間のクーロン衝突相互作用である。

この作用のうち，摩擦による速度の減少を Slowing-Down Collision，衝突によ

る方向の変化をピッチ角散乱という。

Fig. 4-1 クーロン衝突相互作用

4-2-1 Slowing-Down Collision

温度 sT の Maxwell 分布したプラズマ中の速度 vのテスト粒子は，プラズマと

のクーロン衝突によって摩擦を受け徐々に減速する。この現象を Slowing-Down

Collision という。摩擦によって失われたテスト粒子のエネルギーは熱としてプ

ラズマに付与され，プラズマの温度は上昇する（プラズマは加熱される）。ここ

ではプラズマ運動論を用いて，Slowing-Down Collision の特性について議論す

る。

クーロン衝突を考慮する時，分布関数の時間に関する全微分は，クーロン衝

突項に等しい。衝突項には Landau の対称的衝突積分(Landau’s collision

operator)を用いると，α種の粒子の分布関数の全微分は，β種のバックグラン

ド粒子との衝突を考慮すると，

tftfmmm

Ltf

t,,

11d,

d

d3

/

uvuvg

gg

g

1u

vv

44

ffC ,/

(4.2.1)

となる。ここで，

2

0

22

/

8

eeL ，（

min

maxlnk

k ）， uvg ． (4.2.2)

(4.2.1)式は積分を含んでおり，分布関数を決定するためには連立積分方程式を

解かなくてはならず，実際の応用には不便である。ここで有益な Boltzmann の

H 定理からの結論を使い，簡略化した形の衝突項を使う。

Boltzmann の H 定理では，H-関数を

tftftH ,ln,d vvv

(4.2.3)

と定義する。 tf ,v の時間全微分が(4.1)式に従う時，H-関数は常に増加するこ

とはない。Boltzmann の H 定理を使うと，H-関数は衝突による緩和を続けた後，

定常値ゼロに到達することになる。定常値ゼロを満足するのは，

shifted-Maxwellian を含む正規分布型の速度分布関数である。つまり衝突によ

る緩和によって，速度分布は Maxwell 分布になるのである。

H の定理より速度分布は Maxwell 分布から大きくずれていない場合を考え，

(4.2.2)式の衝突項を簡単な形にする。バックグランド粒子の分布関数を

Maxwell 分布とすると次のようになる。

2

2/3

2exp

2, u

kT

m

kT

mntf

u (4.2.4)

(4.2.4)式を(4.2.2)式に代入してu に関して( v方向に極を持つ極座標系に変換し

て)積分すると,

tfkT

m

m

kT

m

kT

m

eentf

t,

2'

8,

d

d332

0

22

vv

vv

vv

v

vv

v

1

vv

22 vv

(4.2.5)

が得られる。これは Linearized collision operator または Linearized Landau

form と呼ばれているものである。ここで，

45

xt ttex

0d

2

，

kT

mx

2

2v ，

xd

d (4.2.6)

である．これらを用いて Slowing-Down Collision について調べる。

今，高速イオンビームが温度 T の Maxwell 分布したプラズマ中をスピード V

で走っているものとする。この高速ビームイオンの分布関数は，

xtVtf evv , (4.2.7)

とする。 tV はテスト粒子の速度であり，その方向に x 軸をとった。これを(4.2.5)

式に代入し，両辺に xv をかけて速度空間で積分すると，

左辺 t

tVtV

tzyxx

d

dd

d

d vvvvv

右辺

22 v

vvvv

vvv

m

kT

m

kT

m

een jxjxxj

xj

x

2'

8 332

0

22

vvv

zyxzyx

j

j

tVkT

mvvvvvv

v

vddd

，（ zyxj ,, ）

tVVm

m

m

een

322

0

22

14

となる。したがって，次式が得られる。

tV

t

tVs

d

d (4.2.8)

ここで，

tVVm

m

m

een

322

0

22

s 14

(4.2.9)

である。この， s は温度 T の Maxwell 分布したプラズマ中を走行するテスト粒

子の速度の e-folding time の逆数を与えるので，Slowing-Down Collision

frequency と呼ぶ。

ここで，関数 の２つの極限について考えてみる。一つは 1x の時 1 で

46

あり， 1x の時， 2/3

3

4x

である。このことから

m

kTV

kT

m

m

m

m

een

VmEm

kTVE

m

m

m

een

2for

21

3

2

1,

2for1

28

2

2/3

22

0

2/3

22

222/3

2

0

22

sl (4.2.10)

となることがわかる。すなわち，プラズマの熱速度より十分大きな速度を持つ

テスト粒子の Slowing-Down Collision frequency はテスト粒子自身の速度の３

乗に逆比例するが，反対に熱速度より十分小さい速度のテスト粒子の

Slowing-Down Collision frequency はプラズマ熱速度の３乗に逆比例する。

4-2-2 ピッチ角散乱

ピッチ角散乱とは，荷電粒子同士の衝突による散乱であり，そのピッチ角は

磁場に対して判定を行う。粒子の速度ベクトルを v，磁場をB とし， 0 を

p0 cos

Bv

Bv 1cos1 p (4.2.11)

と定義する。ピッチ角 p の変化は

21

p2op0n 11 (4.2.12)

で表す [7]。ここで， p はピッチ角散乱するときの衝突周波数， は擬似乱数を

発生させる時間刻みである。 の添え字の n は新しい速度方向を，0 は古い速度

方向を示す。 はモンテカルロ法を用いて決定する。

5.00 R のとき「－」。

15.0 R のとき「＋」。

ここで、 R は 0 から 1 の一様乱数である。ピッチ角散乱を考慮した粒子軌道計

算をするには，この磁場に沿った座標系から円筒座標系に変換させる必要があ

る。以下に円筒座標系（磁場の向きを極にとった場合）に変換した各方向成分

を示す。なお，旋回移送 g は Fig. 4-2 のように，0~2 の間で乱数的に一様に与

えている。また， vは絶対速度である。

47

gp

gp

p

sinsin

cossin

cos

cos0sin

010

sin0cos

100

0cossin

0sincos

v

v

v

v

v

v

r

z

(4.2.13)

sincossinsinsincossincoscoscos

cossinsinsincos

sinsinsinsincoscossincossincos

gpgpp

gpp

gpgpp

vvvv

vvv

vvvv

z

r

(4.2.14)

22sin

zr

r

BB

B

(4.2.15)

22cos

zr

z

BB

B

(4.2.16)

222sin

zr BBB

B

(4.2.17)

222

22

cos

zr

zr

BBB

BB

(4.2.18)

Fig. 4-2 旋回移送角の図．

式(4.2.14)を初期値として扱うことにより，ピッチ角散乱を考慮した粒子軌道

計算を行なうことができる。また，ピッチ角散乱の場合の衝突周波数 p は，

48

2z

22r vvv

v

,2

v

,1

2

11

v

1

8

2

2322

0

22

p

Tk

mx

dx

xdx

xm

een

B

β

β

αα

βαβ

(4.2.18)

であり，衝突相手の粒子のパラメータとして βn は密度， βe は電荷， xβ はエラ

ー関数を表し，衝突元の粒子のパラメータとして， e は電荷， m は質量， v は

相対速度を表す。

また，(4.2.18)式で与えられる衝突周波数は前節の Slowing-Down 周波数と同

様に，衝突元の粒子の速さに対する極限を有する。以下に，特に重要な

m

TkB2v

2 の場合を記す。

Tk

vmxx

m

een

Bαα

βαβ

2,

1

3

4

v

1

8

2

23220

22

p

(4.2.19)

(4.2.14)式を初期値として扱うことによって，ピッチ角散乱を考慮した粒子軌

道計算をすることができる。

4-3 粒子軌道集計法

Heイオンの集計方法について説明する。まず初期配置として赤道面上に 1000

個の He イオンを一様に配置する。これにより，装置内部に生成された He イオ

ンが多数存在していることを再現し，実際の装置における軌道分布を再現する。

配置した He イオンを 3 章の 4 節で紹介した運動方程式を使い軌道計算を行う。

このとき，軌道シミュレーションでは 1 ステップ毎で励起発光が起こると仮定

した。プラズマ内には He イオンが多数存在するため，常に励起反応が起こるこ

とを想定しこのように設定した。また，励起した粒子は基底状態に戻るときに

可視光領域付近の特定波長の線スペクトルを放射する。この放出されたスペク

トルを光学系によりドップラー計測器で検出することで，スペクトルを計測す

る。この場合，粒子を多くカウントすればそれだけ発光が起こり，ドップラー

計測器でスペクトルを計測できたことになる。

では，Fig. 4-4 にある粒子に着目して軌道計算を行った結果を示す。このグラ

フは初期位置が 4.2，4.27，4.34 のものに着目した軌道計算結果を示している。

この結果を見ると，その場で旋回運動をしているわけでなく，タイムステップ

49

とともに装置内を旋回しながら進んでいくのが確認できる。

次に，集計領域の設定を行う。Figure 4-3，Fig. 4-5 のように yx ， と微小

集計領域を指定した。それによりタイムステップとともに粒子が移動した場合

でも次の指定した範囲に粒子を集計することができる。例えば Fig. 4-5 のよう

な粒子軌道（赤線で描いた軌道）を描いた場合では， x の集計範囲が①，②，

③，④，⑤と，軌道に沿って集計範囲が移動していく。

Fig. 4-3 トロイダル断面での集計範囲

Fig. 4-4 粒子軌道 (初期位置 4.2，4.27，4.34)

50

Fig. 4-5 ポロイダル断面での集計範囲

4-4 粒子軌道シミュレーション結果

前節で説明した集計法を使用し，軌道計算させた粒子を集計した。それでは

集計結果を Fig. 4-6 に示す。

これは Fig. 4-5 で示したポロイダル断面で見た集計結果を示し，カラーコン

ターの青から赤にいくにつれ，より密に粒子（この場合，励起発光された光子）

を集計できたことを示している。この結果から装置壁の部分かつドップラー幅

が最小ときに光子が多く集計できたのが確認できる，その分発光強度が高くな

る。つまりこれは Fig.1-7 での波長幅が最小のときを示しており， Fig. 1-6 に

おけるポロイダル磁場のみ存在する場所(A)， 0 を示した分布である。

また，この集計結果を反映した旋回運動における磁場のなす角との関係をFig.

4-7 に示す。このグラフでは平衡状態での磁場傾きの結果を太い実線で示してい

る。装置壁において 0 (磁場分布が(A))を，装置中心では 90 (磁場分布が

(C))を示していることから Fig. 4-6 の結果と一致しているのがわかる。また，装

置中心では多少の誤差が確認できたが，ビーム入射を計算した結果と平衡状態

の磁場分布がほぼ一致していることから，この結果より粒子軌道計算から磁場

方向分布を計測できたといえる。

次に 3 章で説明したビームの分散が与えるこの計測法への影響をシミュレー

ションした。その結果を Fig. 4-8 に示す。ビームの分散がない場合，2°の場合，

51

10°の場合で比較を行い，どの場合も bE が 100 [eV]のときでシミュレーション

を行った。結果，ビームの分散があるほど計測誤差が大きくなるのが確認でき

た。しかし，10°のビーム分散は通常におけるビームの分散の 5 倍にあたるも

のであるため，大げさなビーム分散といえるが，それでも磁場計測への影響は

少ないことがわかった。つまり， He 原子ビームを考えた場合ビームの分散が

この計測方法に影響を及ばす可能性が少ないということがいえる。

次にクーロン衝突が与える影響をシミュレーションした。その結果を Fig. 4-7

に示す。 bE が 100 [eV]，300 [eV]，1 [keV]，3 [keV]の場合でのクーロン衝突の

影響を平衡状態での結果で比較を行った。ビームの分散は 2°に固定した。 bE が

高くなるにつれクーロン衝突の影響が大きくなり，計測誤差が激しくなること

が確認できる。また， bE が 300 [eV]のときにも激しい計測誤差が見られた。こ

れはイオン温度を 250 [eV]に設定しているためである。同等のエネルギーをも

ったもの同士がぶつかることで粒子軌道に大きく乱れが生じたためであると考

えられる。

Fig. 4-6 ポロイダル断面での集計範囲

52

Fig. 4-7 クーロン衝突による影響

Fig. 4-8 ビーム分散の影響

53

第 5 章 結論

5-1 まとめ

Grad-Shafranov 方程式から RFP プラズマの平衡状態を求め，磁束関数及び

磁場分布，電流密度分布など平衡状態における物理量分布を実際のプラズマに

近い形で再現した。またこの時逆転パラメータを-0.09，ピンチパラメータを 1.47

になるよう各規格化基準量を設定した。

He 原子ビームを用いて電離シミュレーションを行い，He イオン粒子の軌道

計算を行った。その結果から赤道面上に対応するスペクトルのドップラー幅の

変化から，赤道面上における磁場のなす角を求め，粒子軌道計算から磁場方向

分布を計測できた。

また，He 原子ビームの分散の影響のシミュレーションを行い，結果通常より

大きくビームの分散を想定しても計測への影響は少ないということがわかった。

クーロン衝突による影響を考えた場合では bE が高くなるにつれ計測誤差が激

しくなることがわかった。また， bE が 300 [eV]のとき，つまりイオン温度と同

等の 250eV のときに計測誤差が激しくクーロン衝突の影響を受けることがわか

った。

このことからビームエネルギーを適切な値に設定することで計測誤差が極力

少ない磁場方向分布の計測が可能だということが言える。

5-2 今後の課題

本研究では，He イオン粒子軌道計算を行う過程で励起判定が 1 ステップ毎で

おこるものであると仮定し，シミュレーションを行った。このため，実際のと

ころでは 4 章 4 節で示した Fig. 4-6 の集計結果が実際のドップラー計測器によ

る線発光集計と一致するとは限らない。

そこで，He+イオンの励起判定と He イオン粒子軌道計算を連携して数値シミ

ュレーションを行う必要性がある。これにより，より正確な He イオン粒子（励

起発光による光子）の集計結果を求めることができる。

54

参考文献

[1] 平野洋一，榊田創，小口治久：逆磁場ピンチ研究の歴史，現状，その展望，

プラズマ・核融合学会誌，第 87 巻，pp. 382-411，(2011).

[2] 平野洋一：核融合研究 75，614 (1999).

[3] H,Toyama et al., Review of Scientific Instruments 62, pp.2326-2337

(1991).

[4] S.P. Hirshman, D.K. Lee, F.M. Levinton et al., Phys. Plasmas 1, 2277

(1994).

[5] Y. Hirano et al., Plasma Fusion Res. 3, 015 (2008).

[6] 木村 麻友子：卒業論文「乱数発生法」高知工科大学，2000 年 3 月.

[7] A. H. Boozer and G. K.-Petravic, Phys. Fluids 24, 851 (1981).

[8] 辻敬一郎，プラズマ診断の基礎，名古屋大学出版会(1990).

[9] 核融合科学研究所 DATABASE，http://dbshino.nifs.ac.jp/index-j.html.

[10] アドバンスソフト株式会社，新古典 MHD 平衡解析コードを用いた

定常逆磁場ピンチ型核融合炉の解析作業，報告書，2006 年 6 月.

[11] 大阪大学レーザーエネルギー学研究センター，

http://www.ile.osaka-u.ac.jp/zone3/explanation/what/index.html.

[12] 宮本健郎, プラズマ物理・核融合，東京大学出版(2004).

[13] 岸本孝基：卒業論文「合体生成磁場反転配位プラズマへの中性粒子ビーム

入射高効率化」，群馬大学，2011 年 3 月.

[14] 渡辺隆之：卒業論文「並列演算器による Spheromak プラズマの

ハイブリッド・シミュレーション」，群馬大学，2011 年 3 月.

55

[15] 中島良太：修士論文「二流体モデルによる逆磁場ピンチ核融合プラズマの

動的安定な自己相似進展自己組織化分布」，群馬大学，2009 年 3 月.

56

謝辞

本研究を進めるに当たり，高橋俊樹准教授には深く心から感謝申し上げます。

ミーティングや学会発表など研究面では忙しいときでも私を支えていただき，

大変お世話になりました。また研究のみならず，ご教授いただいた研究者とし

ての考え方や心構えは私個人の人間的成長の励みともなりました。心より感謝

いたします。

主査としてご指導いただきました本島邦行教授，副査としてご指導いただき

ました佐藤守彦准教授に厚く御礼申し上げます。私のために時間を割いて下さ

ったことを心から感謝いたします。

プラズマ研究グループの飯島さんをはじめとした M2，M1，B4の方々とはとも

に学び，議論しあいとても楽しい日々を過ごすことができました。心より感謝

いたします。

最後に多くの出会いと経験を与えてくださった高橋俊樹研究室の皆様には心

より感謝いたします。高橋俊樹研究室での経験を今後の人生の糧にして励みた

いと思います。本当にありがとうございました。