第11章不確実性と情報 - waseda university · 第11章不確実性と情報 事前と事後...
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第11章 不確実性と情報
事前と事後
意思決定の時点と状況が判明する時点に差があるケース
情報の非対称性
一部の人々は知っているが他の人々は知らないというケース
期待効用理論
s (< ∞)個の状態が生起しうるくじ=確率のリスト
L=(π1,π2,… ,πs)状態1が確率π1,状態2が確率π2,…,状態sが確率πsで生じることを表す
くじの上での選好≿
L≿L’⇔ LはL’より厳密に望ましいか,無差別
くじ上の選好反射性,完全性,推移性,独立性,連続性を満たすとする
↓
期待効用定理任意のL=(π1,π2,… ,πs), L’=(π1’,π2’,… ,πs’)に対して
となる実数 が存在する.
→ujは状態jの効用,期待効用は効用の確率平均
期待効用
U(x)=π1u(x1)+π2u(x2)+・・・+πsu(xs )
危険回避の測度
金銭くじ結果が金銭表示(状態に金額が対応)
効用関数 u(x) < ∞危険回避度
2状態:確率π1,π2で生起,結果はx1,x2くじL=(π1,π2)の期待効用
x*⇔Uを確実に得るために必要な金額金額の期待値
危険回避的
u’’(x) < 0, 危険中立的
u’’(x) = 0, 危険愛好的
u’’(x) > 0,
=
危険回避的
危険中立的
危険愛好的
リスク・プレミアム
定義:
この金額を支払っても確実に所得が得られ
る方を好む
別の観点から見る
無差別曲線
全微分
限界代替率
MRS=限界代替率逓減の法則が成立
(確実線)
点B:確実線と,点Aを通り傾きが−π1/π2 である直線との交点
MRSB= π1/π2無差別曲線は点Bにおいて,直線ABと接する確実線上では限界代替率は確率の比に等しい
直線ABの方程式
点Bの座標リスク・プレミアム
中古車市場の分析
仮定:レモン(低品質)とプラム(高品質)
情報の非対称性売り手は自分の車の品質を知っている
買い手は車の品質を知らない
レモンが100台,プラムが100台売り手:レモンは50万円,プラムは100万円買い手:レモンは60万円,プラムは120万円レモンの原理
逆選択
需要曲線と供給曲線供給曲線
売り手:レモンは50万円,プラムは100万円階段状の供給曲線
需要曲線
買い手:レモンは60万円,プラムは120万円レモンに対する需要曲線:
60万円で水平のDL曲線
レモンに対する需要曲線:
120万円で水平のDP曲線
確率:πP =1/2, πL =1/2 と予想する平均的な中古車に対する需要曲線:
平均的に支払っていい価格
90万円で水平のD0曲線
12
60 12
120 90× + × =
供給曲線 需要曲線
100
50
100 200
120
90
60
DP
D0
DL
市場均衡
情報の非対称性買い手と売り手の間の情報格差
市場均衡は E0か? → No!E0では,レモンのみが売られている
買い手は90万円払おうとはしない.需要曲線はD1になる
市場均衡は E1レモンのみ:(60万円,100台)
余剰が最大化されている(社会的に望ましい)のは,レモン:(60万円,100台),プラム:(120万円,100台)
市場の失敗
100
50
100 200
120
90
60
DP
D0
DL
E0
E1
E2
保険市場の分析
仮定:事故発生時に保険金1円支払われる証書:p円事故に備えて何単位(枚)の証書を購入すべきか
購入枚数:z状態1=事故が起きない状態, 確率π1,所得ω
状態2=事故が起きる状態, 確率π2 ,所得ωーl
u'>0,u''<0
個人の意思決定
期待効用最大化の条件を満たすz=z*では
そのときの(x1,x2)は点E
個人は保険z*を価格pで購入状態1における所得: x1=ω−pz*状態2における所得: x2=ω−l−pz*+z*事故が発生したとき,pz*の支払いに対して ( 1-p)z*を獲得両者の比率(1-p)/pが予算制約線の傾き
個人の意思決定(再論)
保険料pのときz単位購入する効用最大化問題
max U(x1,x2) =π1u(x1)+π2(x2)s.t. x1=ω-pz
x2=ω-l-(pz-z)予算制約式は
この制約下の最適点では MRS=(1-p)/p最適点の座標
E=( x1*, x2*)=(ω-pz*, ω-l+(1-p) z*)
x pp
xp
l2 11 1
= −−
+ −ω
公正な保険保険会社にとって期待利潤がゼロになる保険
保険会社が特定個人にのみ保険を販売保険料pのときその個人がz単位購入する保険会社の期待利潤は, π1pz+π2( pz-z)公正な保険の価格は,
(π1+π2)pz=π2z ∴ p=π2予算制約式は
x2=-(π1/π2 ) x1+(ω/π2)-l∴π1x1+π2x2=ω-π2l
この制約下の最適点では MRS=π1/π2→ この点は45゜線(確実線)上に位置確実線と予算制約線との交点=最適点の座標
E=(ω-π2 l, ω-π2 l)
ω
ω-l
ω-pz
ω-l-pz+z
π2 −1π2
p −1p
45°
保険市場の均衡
2種類の経済主体(事故に遭う確率に差)高リスク者,低リスク者
事故確率:π2H, π2
L, π2H > π2
Lと仮定
無事故確率:π1H =1-π2
H, π1L =1-π2
L
初期状況:(x1 , x2) = (ω, ω-l )効用関数:u(x),仮定:u’> 0,u’’ < 0(危険回避者)保険会社は1社のみ両者に同一の価格pで保険を販売
期待効用最大化の1階の条件高リスク者
低リスク者
最適保険購入量:zH, zL (図のEH, EL点)π2
H > π2Lよりπ1
H/π2H<π1
L/π2Lだから
u’’ < 0を考慮すると, zH > zL
保険会社は低リスク者から正の期待利潤を得て,それで高リスク者による期待損失を埋める
隠された情報(情報の非対称性)リスクが完全にカバーされる公正な保険高リスク者にはp=π2
Hで,低リスク者にはp=π2Lで保険を
販売する → 図のFH, FL点
実現不可能:隠された情報→両者を区別できない
隠された情報の作用高リスク者の割合:α(0<α<1)公正な保険では p=απ2
H + (1-α) π2L
高リスク者は過大保険,低リスク者は過小保険
保険会社は負の期待利潤→保険料の引き上げ
→低リスク者は保険購入量減→さらに赤字が拡大
高リスク者のみが保険を購入する均衡 p=π2H
高リスク者は保険購入,完全にリスクをカバー
低リスク者は保険を全く購入しない
保険市場の均衡(II)
一括均衡と分離均衡
平均期待利潤
一括均衡の非存在
分離均衡の存在可能性
分離均衡の非存在
分離均衡の存在
隠された情報(情報の非対称性1)
公正な保険リスクが完全にカバーされる
実現不可能:隠された情報→タイプを区別できない
隠された情報の作用高リスク者は過大保険,低リスク者は過小保険
保険会社は負の期待利潤→保険料の引き上げ
→低リスク者は保険購入量減→さらに赤字が拡大
高リスク者のみが保険を購入する
高リスク者は保険購入,完全にリスクをカバー
低リスク者は保険を全く購入しない
↓↓
逆選択情報の非対称性が被保険者と保険会社の間に存在 →隠された情報
被保険者に十分な保険を提供することが困難→不確実性下の市場の失敗
低リスク者は保険購入せず,高リスク者のみが残る
保険会社は赤字,保険が販売できない
グレシャムの法則,レモンの原理
隠された行動(情報の非対称性2)
保険購入そのものが事故確率を変化させる
保険会社が認識できない→隠された行動
注意を払って費用を減少させるインセンティブなし
↓↓
モラル・ハザード(道徳的危険)
シグナリング
情報を持つ側が観察可能な他の特質をシグナルとして相手に送信→情報の非対称性を緩和
疾病・生命保険:自己申告(既往歴,食生活,喫煙)
中古車:走行距離・事故歴・修理歴
労働者:学歴・職歴・資格
スクリーニング
一定の品質を保証するための方法
疾病・生命保険:被保険者の健康診断
中古車:車検
労働者:入社試験・資格試験
自己選択:情報を持たない側が相手に複数の契約を提示し,その中から相手に選択させる(保険会社による保険の提示)
不確実性 計算問題 (1)
40%の確率で400万円、60%の確率で900万円が当たるくじがあるとする。
消費者の効用関数が であるとして、
以下の問いに答えよ。
(1) この消費者は危険回避的か、危険中立的か、危険愛好的か。
(2) 期待収入、期待効用を求めよ。(3) リスク・プレミアムはいくらか。
u = x
(1)u x '=
−12
12 u x ' '= − <
−14
032
よって、危険回避的
(2) 期待収入=0.4×4,000,000+0.6×9,000,000
=1,600,000+5,400,000=7,000,000
期待効用=0.4× +0.6×
=2600
これより、
よって、危険回避的である。
4 000 000, , 9 000 000, ,
7 000 000 2600, , >
(3) =2600 より、x=6,760,000.
7,000,000ー6,760,000=240,000
よって、リスク・プレミアムは24万円。
x
計算問題 (2)
ある消費者が8000万円の資産を持っているとする。火事に遭うと7000万円の損害を被るとし、火事に遭う確率を20%とする。消費者の効用関数が であるとして、以下の問いに答えよ。
(1) この消費者は危険回避的か、危険中立的か、危険愛好的か。
(2) 期待資産額、期待効用を求めよ。(3) リスク・プレミアムはいくらか。(4) 公正保険を仮定し、保険購入額を計算せよ。
u x=13
(1)u x '=
−13
23 u x ' '= − <
−29
053
よって、危険回避的
(2) 期待収入=0.2×1000+0.8×8000
=200+6400=6600 (万円)
期待効用=0.2× +0.8×
=180×
これより、
であるから、ここからも危険回避的であることがわかる。
1000000013 80000000
13
66000000 180 10 66000000 5832000013
13> × ⇔ >
1013
(3) =18× より、x=58320000.
6600-5832=768
よって、リスク・プレミアムは768万円。
(4) 公正保険の価格は火事に遭う確率に等しくなるから、1/5 である。均衡においては、
ω-0.2z=ω-l+0.8z
が成り立つので、z=7000、pz=1400.
1400万円の保険料で、7000万円の保険金が入る証書を購入する。
x13 10
13