JANV.-FÉVR. 1 9 6 3 - № 1 L A H O U I L L E B L A N C H E 5 9

Notes sur le calcul hydraulique des grilles « par-dessous »

Notes on the hydraulic design of bottom-type intake screens

PAR GEREON D A G A N ( D R I M M E R ) ,

INGÉNIEUR AU LABORATOIRE D'HYDRAULIQUE DU TECHNION,

INSTITUT DE TECHNOLOGIE D'ISRAËL

L'étude théorique du mouvement permanent sur une grille « par-dessous » aboutit à l'établisse­ment d'un système différentiel de quatre équa­tions à cinq fonctions inconnues. A l'aide de ce système, on analyse qualitativement la forme de la nappe. Pour obtenir des résultats quanti­tatifs plus exacts, on ajoute une relation empi­rique basée sur l'étude expérimentale de M. No-seda (1956). On démontre qu'on peut étudier la distribution du débit le long de la grille, sans tenir compte de la forme de la nappe et une relation empirique adimensionnelle est établie dans ce but. A l'aide de cette relation, on peut déterminer la forme de la surface libre et la longueur de la grille. La méthode est illustrée par deux exemples de calcul.

A theoretical study of the steady flow over a bottom-type intake screen leads to a differential system of four equations with floe unknown functions, which is used for a qualitative analysis of the shape of the nappe. An em­pirical relation based on an experimental study by M. Noseda (1956) is then added in order to obtain more exact quantitative results. It is shown that the distribution of the flow rates along the screen can be studied without al­lowing for the shape of the nappe; a dimen-sionless empirical relation is established for the purpose, by means of which both the shape of the free surface and the length of the screen can be determined. Two calculated examples are given to illustrate the method.

I. Le p r o b l è m e h y d r a u l i q u e des gri l les « p a r -dessous » a été é tud ié p a r p l u s i e u r s a u t e u r s [ 1 ] , [ 1 1 ] , [ 1 4 ] , [ 3 ] , [ 9 ] , [ 1 0 ] , [ 8 ] ; u s a n t de diffé­r e n t e s h y p o t h è s e s , o n a dédu i t d iverses f o r m u ­les.

Les e x p é r i e n c e s s y s t é m a t i q u e s effectuées p a r M. Noseda [12] [13] o n t d é m o n t r é que la dé ter ­m i n a t i o n d u profi l de l a n a p p e et du débi t dér ivé p a r la gri l le à l ' a ide des é q u a t i o n s :

— de l'orifice :

dQ = r W 2 ,aH d z

d e l ' énerg ie : d E dx dx y

de c o n t i n u i t é : d Q = d (HU)

gW (1)

n ' abou t i s s en t pas à des r é s u l t a t s s a t i s f a i san t s . P o u r ob ten i r u n e conco rdance e n t r e les f o rmu le s (1) et les expér iences , M. N o s e d a a supposé que le coefficient de débi t y. est va r i ab le et l 'a dé te r ­m i n é à l 'aide des expér iences .

Du po in t de vue de la théor ie c l a s s ique de l'orifice, ce r é su l t a t est p a r a d o x a l , p a r c e q u e (A (coefficient de con t r ac t ion ) es t p l u t ô t u n e c a r a c ­t é r i s t ique g é o m é t r i q u e de l'orifice et m ê m e si on supe rpose u n m o u v e m e n t de t r a n s l a t i o n ho r i ­zonta l à celui ver t ical , }/. r es te cons t an t .

D ' a u t r e p a r t , les obse rva t ions su r l ' écou lement su r une gril le à b a r r e a u x r a r e s , emplacée s u r la c rê te d ' u n b a r r a g e [16] on t d é m o n t r é q u e la n a p p e p e u t ê t re convexe ; u n e telle fo rme ne résu l t e d ' a u c u n e m é t h o d e de ca lcul ex i s t an te .

D a n s les chap i t r e s su ivan t s , on abo rde la q u e s ­t ion à la l umiè re de ces r e m a r q u e s .

Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1963003

CO LA HOUILLE BLANCHE № 1 - JANV. -FÉVR. 1 9 6 3

FIG. 1

2. H y p o t h è s e s ; équat ions f o n d a m e n t a l e s .

On a d m e t géné ra l emen t , et les expér iences on t d é m o n t r é , q u e : (a) les p e r t e s de c h a r g e au long de la gri l le sont négl igeables [17] et le m o u v e m e n t p e u t ê t re cons idéré c o m m e à po t en ­t ie l ; (b) la sur face l ibre supé r i eu re es t cy l indr i ­que et l 'on va suppose r (c) que la conf igura t ion g é o m é t r i q u e d e l a su r face l ibre in fé r i eu re (à l ' issue de la grille) es t i d e n t i q u e à celle d ' u n orifice (ou fente) sous p re s s ion « h y d r o s t a t i q u e », c 'es t -à-dire q u e le coefficient de con t r ac t ion et la d i s t r i bu t i on locale des v i tesses son t s imi la i res à ceux de ce de rn i e r cas .

Us a n t de ces hypo thèses , i so lan t p a r d e u x p l a n s de symét r i e u n e fente ho r i zon ta l e (avec les no t a t i ons de l a fig. 2) , o n p e u t écr i re les équa ­t ions su ivan tes :

2 g 1 2 g

(éq. de l 'énergie à l a sur face l ib re ) .

I V <X) V n

2 ( X ) . 2g + 2g -**

E 0 (2 a)

(2 b)

(éq. de l 'énergie en A, fig. 2) ou

U „ 2 CX) + V 2

W n 2 (X) 2<7 ' ' 2<7

dH (X) _ W r ÇX) (2 c)

(2 d)

dX Ur (X)

(éq. c i n é m a t i q u e de la su r face l i b r e ) .

^Qdérivê = ^Qlongit.

(éq. de con t inu i t é )

Cette de rn i è r e é q u a t i o n p e u t ê t re t r a n s f o r m é e a ins i :

d Q a é r i v 6 = . Ç 6 W n < X ) d X

ou :

r W (X, Y, 0) dY

bWn (X)

SECTION 1

FIG. 2

J A N V . - F É V R . 1963 - № 1 G. D A G A N ( D R I M M E R ) 61

et :

d Q lonKit. dY ' o

'H + « ï U (X + dX, Y, Z) dZ U (X, Y, Z) dZ

m a i s / U (X + dX, Y, Z) dZ — / U (X, Y, Z) dZ 'o Jo

S ( I L H ) dX — 3 2 U

O n ob t i en t f ina lement p o u r (2 d) :

S » W n ( X ) + 9 ( ^ H )

/~ H 3 2 U £ d Y f o

ZlMzdZ = ° (2 d')

Selon l ' h y p o t h è s e (c), v et ? son t des coefficients c o n s t a n t s d é t e r m i n é s p a r la géomét r i e de la fente s e u l e m e n t et son t l iés à p a r la r e l a t ion

E n u s a n t des va r i ab les ad in iens ionne l l e s :

X

Y

u

et en n o t a n t

F =

w

V 2 g Ë 7

V

V 2 ^ E 7

w

h = H E 0

„ Qo — Q ( X ) q Qo

'o Jo 'dxdz

les é q u a t i o n s c i -dessus d e v i e n n e n t :

" i 2 + W = 1 —Ti

" n 2 + V2I»II2 = 1

d/; ro, dx

(3)

Uivu+ -—(uji) — F = 0

On a o b t e n u u n sys t ème différentiel d u p r e ­mie r o r d r e à c inq fonc t ions : U7X, u n , wu, h) i n c o n n u e s .

3 . U n e so lu t ion a p p r o x i m a t i v e d u s y s t è m e (3) .

On s u p p o s e que la p r o j e c t i o n ho r i zon ta l e de la v i tesse est c o n s t a n t e d a n s c h a q u e sect ion, c 'est-à-dire :

u = u (x) et iij = uu — u, 0, F » 0

3X Jo dXdZ

Le sys t ème (3) devient :

u2 (x) + u?!2 (x) = 1 — h (x) )

u2 (x) + v 2 ro„ 2 (x) = 1

dh (x) Wi (x)

d X d Z

dx

UiVn (x) +

" i (x) (4)

d x [h(x) u ( x ) ] = 0

et en é l i m i n a n t wv wa et u on obt ien t

h fi p ' s V i

dh/dx)2 + h + ( d / j / d x ) 2

d dx 1 ( d / i / d x ) 2 = 0

(5)

é q u a t i o n d u d e u x i è m e o rd re , n o n l inéa i re . L ' a l l u r e de la sur face l ibre r é su l t e de :

d2h dx2

n (dh/dx) (2 — 3 h) — 2 JAS (1 —- h) V 1 — u2"

2 / m 2 V I

(dh/dx) (2 — 3 7Q — 2 y.i V I —- h \/h 4 - (dh/dx)* ~ 2 u 2ft V I — A — u 2 U + (dh/dx)2J T = T T

Le s igne de dih/dx2 d é p e n d de celui d u n u m é ­r a t e u r , celui d u d é n o m i n a t e u r é t a n t positif.

D a n s l ' hypo thèse où (dh/dx) > 0 ( l a m e des ­c e n d a n t e ) , à l ' ex t rémi té ava l de la n a p p e (h —» 0, n —> 1) (d2h/dx2) s e ra positif, d o n c la l a m e sera concave .

L ' a l l u r e généra le d u profil de la n a p p e d é p e n d du signe de la seconde dér ivée à l 'or ig ine , con­f o r m é m e n t à la figure 3.

Le cas où hx < (2 /3) ( régime to r r en t i e l à l ' amon t ) est le p lus i n t é r e s s a n t (cas c et d ) .

h S — r é g i m e lent 1 3 dans l 'or ig ine

h _ 2_ régime cr i t ique ' ~ 3 dans l ' o r ig ine

, 2 régime rapide 1 ( 3 dans l 'or ig ine

FIG. 3

62 L A H O U I L L E B L A N C H E № 1 - JANV.-FÉVR. 1 9 6 3

Si on a d m e t que la p e n t e de la n a p p e est pe t i te [ ( d f i / d . r ) 2 < < 1 ] , l ' équa t ion ( 5 ) devient :

u« Vh — -4- (h V T ^ S T = 0 (50 dx

c 'es t -à-dire l ' équa t ion b i en connue de Garot-Bouva rd p o u r u n e gril le hor izon ta le .

Les cons idé ra t ions de ce chap i t r e m o n t r e n t tou tes les hypo thèse s q u e l ' équa t ion (5') com­por t e et son ca rac t è re simplifié.

L a p r i s e en cons idé ra t ion de la p r e m i è r e dér i ­vée dh/dx, n o u s a auss i p e r m i s d ' exp l iquer l ' ap ­p a r i t i o n des nappes convexes d a n s le cas où les b a r r e a u x sont r a r e s (|*e —> 1 ; cas d de la fig. 3 ) .

4 . Le d i m e n s i o n n e m e n t h y d r a u l i q u e d e s gr i l l e s « p a r - d e s s o u s ».

D a n s les h y p o t h è s e s d u p a r a g r a p h e 3 , on obt ien t t o u j o u r s u n e c o r r e s p o n d a n c e qua l i t a t ive avec les expér iences . I l es t év ident q u ' e n réa l i t é ( c o m m e conséquence de la c o u r b u r e de la nappe ) H , =f= U n -

Une mei l l eu re c o r r e s p o n d a n c e q u a n t i t a t i v e p e u t ê t re t rouvée si o n a jou te u n e c i n q u i è m e é q u a t i o n a u sys t ème ( 3 ) .

O n t r o u v e r a u n e te l le r e l a t i on à l 'a ide des expér iences . O n va u s e r d u m a t é r i e l publ ié p a r M. Noseda (pour les déta i l s , voir [ 1 2 ] , [ 13 ] ) .

Les données expé r imen ta l e s se r é fè ren t à deux é l émen t s q u i p e u v e n t ê t re d é t e r m i n é s i ndé pe n ­d a m m e n t :

A) L a d i s t r ibu t ion du débit au long de la gri l le Q (X) = Q 0 — Q d « T é ;

B) L a h a u t e u r de la n a p p e H = H (X).

On va associer t o u j o u r s u n e de ces r e l a t i ons (celle du débi t A) au sys t ème ( 3 ) et on t r o u v e r a a ins i la fo rme de la n a p p e . Ce r é su l t a t s e ra con­fronté avec les m e s u r e s B .

a) L A D I S T R I B U T I O N D U D É B I T Q = Q (x) :

P a r l ' é l imina t ion de W n des équa t ions :

lbWndX = dQ

,.2W__2 TT 2 = E 0

o n a :

1

9

Q o 2

2<?

dq y

1.2.2 2 # E 0 3 V dx j

Si en a m o n t il y a u n cana l

Q o 2

(6)

2 0 E O 3 = ft0*(I—/I„)

p o u r u n b a r r a g e 9 ^ m 2 et on a

dq\> dx J = 1 — u n

2 (60

avec la no ta t ion 4* = JASX

j o v ^ - f r . q = J ± = ^ d+ ( 7 )

Notons que le r a p p o r t V ( l — u 2 ) A i v a r i e d a n s la sect ion in i t ia le de la gri l le 1 -1 e n t r e les l imi tes 0 et 1 . O n suppose que le long de la gri l le, l ' in tégra le de ( 7 ) s e r a t o u j o u r s fonc t ion de <b.

E n r e p r é s e n t a n t les d o n n é e s e x p é r i m e n t a l e s [ 1 2 ] , [ 1 3 ] d a n s u n g r a p h i q u e où

[fio V d — A o V V A i ] ?

est r epo r t é c o m m e fonct ion de ex, on ob t i en t u n e courbe u n i q u e , r é s u l t a n t d ' expér iences effec­tuées d a n s des cond i t ions d iverses (fig. 4 ) , ce qu i confirme le ca rac tè re généra l de la r e l a t i on ( 7 ) .

b) L A F O R M E D E LA N A P P E :

Le sys tème différentiel ( 2 ) p e u t ê t re r é d u i t à l ' équa t ion :

fi0 V I — M

= £ [ j x - ( h n / t 1 — / i

+ (dh/dx)2 F \dx ( 8 )

L a l imite infér ieure de l ' in tégra le p e u t ê t re p r i se en amon t , d a n s la zone à p r e s s ion h y d r o ­s ta t ique , a u lieu de la sect ion 1 - 1 , p a r c e que q s 0 en a m o n t de la gril le.

f

On obt ien t a ins i

d y, / 1 — * \ dx \ V 1 -f (dh/dx)2 )

dx

= fi„ V I — fi0 —

L ' in tégra le :

fi V I

L V 1 + (dh/dx)2 Fdx

d2u . z 0 - dz

ozox

p e u t ê t re négligée pa rce q u e la n o n u n i f o r m i t é des vi tesses (de laquel le d2u/dxdz d é p e n d ) est concen t rée à l 'entrée de la gri l le et a u fond.

JANV.-FÉVR. 1 9 6 3 - № 1 G. DAGAN (DRIMMER) 6 3

O.l 0.2 0 .3 0.4 0 .5 <\6 0.7 0 8 0 . 9 I.O

Fio. 4

X

0.5 I.O 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 h.O U.5 5.0

FIG. 5

6 4 L A H O U I L L E B L A N C H E № 1 - JANV.-FÉVR. 1 9 6 3

O n a r r ive a ins i a u x re la t ions :

•?) (80

p o u r les gril les emplacées a u fond des c a n a u x et :

1 (8")

p o u r les gri l les emplacées s u r la crê te d ' u n ba r ­rage .

P o u r les gri l les m o i n s r a r e s (expériences d e Noseda) (dh/dx)2 < < 1 et l ' express ion (80 est p l u s s imple encore :

c idence avec le cas f = 0 ( o n a excepté les expé­r iences à i = 0,2, r ég ime r a p i d e en a m o n t , Q 0 = 155,4 1/s.m et Q 0 = 198,3 1/s.m, où les pe r ­tes de c h a r g e sont p r o b a b l e m e n t sens ib les ) .

0.8

0.6

0.2

COMPARAISON ENTRE EXP. DE (16) ET CALCUL

Mesuré Calculé

/i V I — h = hu V I — h0 (1 — q) (9)

Il es t a d m i s de négliger (dh/dx)2, sauf d a n s le cas où hx = (2/3) u n i q u e m e n t , pu i sque , a u vois inage de cet te va leur , h va r ie fo r t ement , m ê m e p o u r de pe t i tes va r i a t i ons de :

/ № ) = h V l - A f dh \ df

1 3 / ¡ [ ( 2 / 3 ) — h]

Les r é s u l t a t s o b t e n u s à l ' a ide de (9) et (7) con­co rden t t r è s b ien avec les expér iences d e M. Noseda . D a n s la figure 5, on d o n n e deux exemples de c o m p a r a i s o n en t r e les profils ca lcu­lés et m e s u r é s .

On a ob tenu encore u n e b o n n e conco rdance avec l ' expér ience décr i te d a n s [16] auss i , m a i s ce t te fois dh/dx n ' a p l u s été négligée ( formule 8") et le profil a été dédu i t p a r les différences finies (fig. 6 ) .

c) I N F L U E N C E D E LA P E N T E D E LA G R I L L E :

E n a d m e t t a n t les m ê m e s hypo thèse s (qui sont valables p o u r les p e n t e s usuel les (i = 0,2)), il es t poss ible d 'écr i re de n o u v e a u le sys t ème fonda­m e n t a l (avec les no t a t i ons de la fig. 7) .

» I 2 -f- W j 2 = 1 -f- X s i n i — h séc i

"il2 + »2!»n2 = 1 + X S i n i

dh wl

dx u , (10)

U">u + - ( / - ("iW — F = 0 1

L a re la t ion e m p i r i q u e e n t r e q et x recevra la fo rme

fi„ V I >h = {;.£ COS ix (11)

Sur la figure 4 on a r ep ré sen t é les po in t s cor­r e s p o n d a n t a u x expér iences de M . Noseda (i = 0,1 et i = 0,2). On cons ta te u n e b o n n e coïn-

L a fonct ion f{ty) (fig. 8) , va lab le a u m o i n s en t re les l imi tes expé r imen ta l e s de M. Noseda , [« = 0,16 + 0,40; q ^ 0,9; i = 0 -f- 0,2; p = 0,72] a donc u n ca rac tè re t r ès généra l , pu i squ ' e l l e cont ien t d a n s u n e re l a t ion u n i q u e les inf luences de la forme et de l ' épa i sseur des b a r r e a u x , d u rég ime en a m o n t , de la p e n t e et d u débi t .

d) E X E M P L E D E C A L C U L D E LA L O N G U E U R D E LA

G R I L L E :

1 ° Choisir l a l ongueu r d ' u n e gril le « p a r - d e s ­sous » carac té r i sée p a r : — cana l en a m o n t ; — rég ime lent en a m o n t ; — p e n t e de la gril le í = 0,1 ; — b a r r e a u x à a rê tes v ives ; — . = ( 6 / / ) = 0,20; — Q = 0 , 5 m V s . m ; — la grille doit cap te r 80 % du débi t m a x i m a l .

P o u r calculer la longueur , il f au t d é t e r m i n e r les p a r a m è t r e s hi} 7?0, ¡j., q, E 0 : — d 'après Noseda [12] [13] hx = 0,50; — supposons q u ' e n a m o n t le r ég ime soit c r i t i ­

que h0 = 0,67; — p o u r u n e fente à m i n c e pa ro i , d ' a p r è s la

courbe de Mises [15] ,u. = 0,615;

q = Q Qo

= 0,8;

Qo 2

2gh(

2(ï~h0)

0,5 2

2 X 9,81 X 0,667- X 0,33

On a donc :

0,44 m .

hQ V I —ha 0,667 X V W V0.50

X 0,8 = 0,435

JANV.-FÉVR. 1 9 6 3 - № 1 G. D A G A N ( D R I M M E R ) 6 5

Selon le g r a p h i q u e de la figure 8, à cet te va­leur c o r r e s p o n d :

|AsX COS i „ <J/ = ——^ = 0,56

L a l o n g u e u r de la gri l le se ra :

E 0

L = X = 0,56 (AS COS r

0,56 X 0,44 0,615 X 0,25 X0,951

1,70 m

FIG. 7

2° D é t e r m i n e r la l o n g u e u r d ' u n e gril le p a r -dessous :

— emplacée s u r la c rê te d ' u n b a r r a g e à coeffi­c ient de débi t m = 0 , 4 0 ;

— pente i = 0,15; — b a r r e a u x à a r ê t e s a r r o n d i e s ;

— £ = 0,35; -— Q 0 = 0,5 m a / s . m ;

— la gri l le doi t c a p t e r 75 % d u débi t .

D ' a p r è s Mostcoff [17] ht = 0,449;

D ' ap rè s Noseda [12] y. = 0,72 :

3 0,5 a

gm*

mg

2 X 9,81 X 0,402

0,40 X 0,75

== 0,43 m

\/h\ V 0,449

selon la figure 8 :

0,447

L = X =

{AS X COS i _

E 0

0,43 X 0,60

0,60

0,72 X 0,35 X 0,888 = 1,16 m

Le calcul h y d r a u l i q u e de la gril le fou rn i t t o u ­j o u r s les données de b a s e ; d a n s de n o m b r e u x cas, il f au t t en i r c o m p t e de l ' obs t ruc t ion de la grille.

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