boolean algebras and logic

7/27/2019 Boolean algebras and logic

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r u t g e r 2 0 0

A M a t h e m a t i c a l A p p r o a c h t o L o g i c

P r e d i c a t e c a l c u l u s c a n b e s e e n a s t h e t h e o r y o f a s p e c i c k i n d o f l a t t i c e s . I t f o l l o w s t h a t

l a t t i c e t h e o r y m a y p r o v i d e a b a s i s f o r t h e a x i o m a t i z a t i o n o f p r e d i c a t e c a l c u l u s . I n t h i s

p a p e r w e e x p l o r e t h a t t r a c k .

W e n o t o n l y w a n t t o c o n s t r u c t t h e p r e d i c a t e c a l c u l u s b u t w e a l s o w a n t t o u s e i t f o r

p r o v i n g t h e o r e m s c o n c e r n i n g t h e c a l c u l u s u n d e r c o n s t r u c t i o n . W e w i l l c a l l t h e p r e d i c a t e

c a l c u l u s t h a t w e u s e ` b o o l e a n a r i t h m e t i c ' . W e w i l l u s e t h e n o t a t i o n a n d a x i o m a t i z a t i o n

f r o m D S 9 0 ] , a l b e i t w i t h o u t t h e e v e r y w h e r e o p e r a t o r . W e h a v e n o u s e f o r t h e e v e r y w h e r e

o p e r a t o r s i n c e a l l o u r b o o l e a n e x p r e s s i o n s a r e s c a l a r .

W e w i l l s t a r t w i t h a c o m p l e t e l a t t i c e a n d , b y a d d i n g p o s t u l a t e s w e w i l l t r a n s f o r m i t i n t o

( s o m e t h i n g i s o m o r p h i c t o ) t h e c l a s s i c a l p r e d i c a t e c a l c u l u s f r o m D S 9 0 ] . E n r o u t e , w e

w i l l h a v e t h e o p p o r t u n i t y t o s t u d y t h e c o n s t r u c t i v e p r e d i c a t e c a l c u l u s .

T h e r e a d e r i s s u p p o s e d t o b e f a m i l i a r w i t h b o t h b o o l e a n a r i t h m e t i c a n d l a t t i c e t h e o r y

( l a t t i c e c a l c u l u s i n f a c t ) .

0 A C o m p l e t e L a t t i c e

I n t h i s p a p e r w e c o n s i d e r a s e t L , t h e e l e m e n t s o f w h i c h w e c a l l ` s p e c k s ' . O n s p e c k s w e

h a v e a p a r t i a l o r d e r , , a n d w e p o s t u l a t e t h a t

( 0 ) ( L , ) i s a c o m p l e t e l a t t i c e .

W e w i l l u s e u a n d t t o d e n o t e i n m a a n d s u p r e m a r e s p e c t i v e l y a n d w e w i l l u s e t h e s e

b o t h i n q u a n t i e r f o r m a t a n d i n i n x n o t a t i o n ( a b i t s m a l l e r i n t h e l a t t e r c a s e ) . W e u s e

> a n d ? t o d e n o t e t h e l a r g e s t a n d s m a l l e s t s p e c k r e s p e c t i v e l y .

T h u s , t h e s e o p e r a t o r s a n d c o n s t a n t s a r e c h a r a c t e r i z e d b y t h e f a c t t h a t w e h a v e , f o r a l l

s p e c k s p a n d f u n t i o n s f t o L

( 1 ) p ( u x : : f . x ) ( 8 x : : p f . x ) ,

( 2 ) ( t x : : f . x ) p ( 8 x : : f . x p ) ,

( 3 ) ? p > .

r e m a r k

W e c o n s i d e r t h e i n x o p e r a t o r s t o b e j u s t s p e c i a l c a s e s o f t h e q u a n t i e r s , i . e . q u a n t i -

c a t i o n w i t h a { s m a l l { n i t e r a n g e . H e n c e , a n y t h i n g t h a t h o l d s f o r a q u a n t i e r h o l d s

{ m u t a t i s m u t a n d i s { f o r t h e c o r r e s p o n d i n g i n x o p e r a t o r a n d w e w i l l , i n g e n e r a l , n o t

m e n t i o n i t s e p a r a t e l y f o r t h a t s p e c i a l c a s e . N o t e t h a t m a k i n g t h e t r a n s l a t i o n o f t e n a l s o

i n v o l v e s r e p l a c i n g u n i v e r s a l q u a n t i c a t i o n s b y c o n j u n c t i o n s .

e n d o f r e m a r k

A s a l r e a d y n o t e d a b o v e , w e h a v e n o u s e f o r t h e e v e r y w h e r e o p e r a t o r i n o u r b o o l e a n a r i t h -

m e t i c s i n c e a l l o u r b o o l e a n e x p r e s s i o n s a r e s c a l a r . W e n o w ( r e - ) i n t r o d u c e t h e e v e r y w h e r e

o p e r a t o r a s a n o p e r a t o r f r o m s p e c k s t o b o o l e a n s :

( 4 ) p ] > p o r e q u i v a l e n t l y

p ] > = p f o r a l l s p e c k s p .



r u t g e r 2 0 1

F r o m ( 1 ) w i t h p = > a n d t h e p r e v i o u s d e n i t i o n w e i m m e d i a t e l y o b t a i n

( 5 ) ( u x : : f . x ) ] ( 8 x : : f . x ] ) .

N o t e t h a t t h e e v e r y w h e r e o p e r a t o r d e s t r o y s t h e s y m m e t r y b e t w e e n i n m a a n d s u p r e m a .

W e c o u l d , o f c o u r s e , r e - e s t a b l i s h t h e s y m m e t r y b y i n t r o d u c i n g a c o r r e s p o n d i n g ` n o w h e r e o p -

e r a t o r ' , b u t w e w o n ' t .

1 A H e y t i n g L a t t i c e

W e a r e n o w g o i n g t o a d d a p o s t u l a t e t o t h e e e c t t h a t ( L , ) i s a ` c o m p l e t e H e y t i n g

l a t t i c e ' . S u c h a l a t t i c e i s t h e c a n o n i c a l m o d e l f o r t h e c o n s t r u c t i v e a n d i n t u i t i o n i s t i c

p r e d i c a t e l o g i c . I t s h o u l d b e n o t e d h o w e v e r , t h a t i n t h e s e l o g i c s t h e f o r m u l a e t h a t m a y

a p p e a r i n t h e t e r m o f a q u a n t i c a t i o n a r e s u b j e c t t o s y n t a c t i c c o n s t r a i n t s . C o n s e q u e n t l y ,

t h e l a t t i c e s t r u c t u r e o f t h e s e l o g i c s i s n o t n e c e s s a r i l y a s c o m p l e t e a s o u r s .

T h e r e a r e m a n y p o s t u l a t e s t h a t c h a r a c t e r i z e a H e y t i n g l a t t i c e a n d e a c h m a y h a v e i t s

o w n m e r i t s . S i n c e w e d o n o t w a n t t o s e l e c t o n e a t t h e e x p e n c e o f t h e o t h e r s , w e w i l l

g i v e s e v e r a l o f t h e m a n d s h o w t h e i r e q u i v a l e n c e . H e r e t h e y a r e :

( 6 ) u i s u n i v e r s a l l y t - j u n c t i v e , i . e .

p u ( t x : : f . x ) = ( t x : : p u f . x ) f o r a l l s p e c k s p a n d f u n c t i o n s f t o L .

( 7 ) T h e r e e x i s t s a n o p e r a t o r ,

*

)

, f r o m p a i r s o f s p e c k s t o s p e c k s , s u c h t h a t

p u q = p u r p q

*

)

r f o r a l l s p e c k s p , q a n d r .

( 8 ) T h e r e e x i s t s a n o p e r a t o r , ! , f r o m p a i r s o f s p e c k s t o s p e c k s , s u c h t h a t

p u q r p q ! r f o r a l l s p e c k s p , q a n d r .

N o t e t h a t , e v e n i f w e h a d r e s t o r e d t h e s y m m e t r y b e t w e e n i n m a a n d s u p r e m a a t t h e

e n d o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n , i t w o u l d h a v e b e e n s h o r t l i v e d , s i n c e t h e a b o v e p o s t u l a t e s

b r e a k t h e s y m m e t r y a g a i n .

W e c a l l

*

)

` t h e i n t e r n a l e q u i v a l e n c e ' a n d ! ` t h e i n t e r n a l i m p l i c a t i o n ' . N o t e t h a t f o r

e a c h o f t h e s e o p e r a t o r s w e h a v e t h a t , i f e x i s t e n t , i t i s u n i q u e .

T h e o r d e r o f d e c r e a s i n g b i n d i n g p o w e r f o r t h e o p e r a t o r s t h a t w e h a v e n o w i n u s e i s

( u t ) , ! ,

*

)

, ( = )

w h e r e t h e p a i r e d o p e r a t o r s h a v e t h e s a m e b i n d i n g p o w e r .

P r o o f o f t h e e q u i v a l e n c e o f ( 6 ) , ( 7 ) , a n d ( 8 ) .

T h e e q u i v a l e n c e o f ( 6 ) a n d ( 8 ) i s a s t a n d a r d i n g r e d i e n t o f t h e t h e o r y o f G a l o i s c o n n e c -

t i o n s , s o w e c o n s i d e r t h i s d e a l t w i t h .

W e p r o v e t h e e q u i v a l e n c e o f ( 8 ) a n d ( 7 ) b y m u t u a l i m p l i c a t i o n .

( 7 ) ( ( 8 ) : A s s u m i n g ( 8 ) , w e o b s e r v e f o r a n y p , q a n d r

p u q = p u r

= f l a t t i c e c a l c . g

p u q r ̂ p u r q

= f ( 8 ) t w i c e g

p q ! r ̂ p r ! q




r u t g e r 2 0 2

p ( q ! r ) u ( r ! q ) ,

f r o m w h i c h i t f o l l o w s t h a t w e c a n d e n e t h e s o u g h t o p e r a t o r

*

)

b y

( 9 ) q

*

)

r = ( q ! r ) u ( r ! q ) f o r a l l s p e c k s q a n d r .

( 7 ) ) ( 8 ) : A s s u m i n g ( 7 ) , w e o b s e r v e f o r a n y p , q a n d r

p u q r


p u q = p u q u r

= f ( 7 ) g

p q

*

)

q u r ,

f r o m w h i c h i t f o l l o w s t h a t w e c a n d e n e t h e s o u g h t o p e r a t o r ! b y

( 1 0 ) q ! r = q

*

)

q u r f o r a l l s p e c k s q a n d r .

E n d o f p r o o f .

F r o m n o w o n w e c o n s i d e r o n e ( a n d h e n c e a l l ) o f ( 6 ) , ( 7 ) , a n d ( 8 ) t o b e p o s t u l a t e d . N o t e

t h a t , o n a c c o u n t o f t h e u n i q u e n e s s o f t h e o p e r a t o r s ! a n d

*

)

, w e g e t t h e e q u a l i t i e s ( 9 )

a n d ( 1 0 ) a s b o n u s f r o m t h e p r e c e d i n g p r o o f s . W e w i l l n o w p r o c e e d b y e x p l o r i n g t h e

c o n s e q u e n c e s o f t h e p o s t u l a t e s i n t h e o r d e r i n w h i c h t h e s e a r e g i v e n .

A b o u t ( 6 ) w e w i l l b e s h o r t : a s a s p e c i a l c a s e o f ( 6 ) w e h a v e t h a t u d i s t r i b u t e s o v e r t . I t

i s a s t a n d a r d i n g r e d i e n t o f l a t t i c e t h e o r y t h a t w e n o w h a v e t h e r e v e r s e d i s t r i b u t i o n a s

w e l l , i . e .

( 1 1 ) t h e b i n a r y o p e r a t o r s u a n d t d i s t r i b u t e o v e r e a c h o t h e r .

S o m u c h f o r ( 6 ) . W e w i l l d w e l l c o n s i d e r a b l y l o n g e r o n t h e c o n s e q u e n c e s o f ( 7 ) .

I n s t a n t i a t i n g ( 7 ) w i t h p : = > , w e o b t a i n t h a t

( 1 2 ) q = r q

*

)

r ] .

S i n c e e q u a l i t y i s s y m m e t r i c , t h e l e f t h a n d s i d e o f ( 7 ) i s s y m m e t r i c i n q a n d r . I t f o l l o w s

t h a t t h e s a m e h o l d s f o r t h e r i g h t h a n d s i d e :

p q

*

)

r p r

*

)

q f o r a l l s p e c k s p , q a n d r .

W h i c h o b s e r v a t i o n a l l o w s t o c o n c l u d e t h a t

( 1 3 )

*

)

i s s y m m e t r i c .

I n s t a n t i a t i n g ( 7 ) w i t h r : = > w e n d ( a f t e r r e w r i t i n g t h e r e s u l t i n g l e f t h a n d s i d e ) :

p q p q

*

)

> f o r a l l s p e c k s p a n d q .

W h i c h o b s e r v a t i o n a l l o w s t o c o n c l u d e t h a t

( 1 4 ) > i s t h e n e u t r a l e l e m e n t o f

*

)

.

I n s t a n t i a t i n g ( 7 ) w i t h p : = q

*

)

r w e o b t a i n :

( 1 5 ) ( q

*

)

r ) u q = ( q

*

)

r ) u r .

T h e s e w e r e e a s y . W e p r o c e e d w i t h a b a t c h o f t h e o r e m s t h a t r e q u i r e m o r e e x t e n s i v e

p r o o f s .

( 1 6 ) ( u x : : f . x

*

)

g . x ) ( u x : : f . x )

*

)

( u x : : g . x ) .

( 1 7 ) ( u x : : f . x

*

)

g . x ) ( t x : : f . x )

*

)

( t x : : g . x ) .



r u t g e r 2 0 3

( 1 8 ) p

*

)

q p u r

*

)

q u r .

( 1 9 ) p

*

)

q p t r

*

)

q t r .

( 2 0 ) p

*

)

q ( p

*

)

r )

*

)

( q

*

)

r ) .

p r o o f s

A d ( 1 6 ) : W e o b s e r v e

( u x : : f . x

*

)

g . x ) u ( u x : : f . x )


( u x : : ( f . x

*

)

g . x ) u f . x )

= f ( 1 5 ) g

( u x : : ( f . x

*

)

g . x ) u g . x )


( u x : : f . x

*

)

g . x ) u ( u x : : g . x ) ,

a n d f r o m t h a t ( 1 6 ) f o l l o w s b y ( 7 ) .

A d ( 1 7 ) : W e o b s e r v e f o r a n y p

p ( t x : : f . x )

*

)

( t x : : g . x )

= f ( 7 ) g

p u ( t x : : f . x ) = p u ( t x : : g . x )

= f ( 6 ) g

( t x : : p u f . x ) = ( t x : : p u g . x )

( f l a t t i c e c a l c . g

( 8 x : : p u f . x = p u g . x )

= f ( 7 ) g

( 8 x : : p f . x

*

)

g . x )


p ( u x : : f . x

*

)

g . x ) ,

f r o m w h i c h ( 1 7 ) f o l l o w s .

A d ( 1 8 ) a n d ( 1 9 ) : T h e s e a r e s p e c i a l i n s t a n c e s o f ( 1 6 ) a n d ( 1 7 ) r e s p e c t i v e l y ( n o t e t h a t ,

o n a c c o u n t o f ( 7 ) , r

*

)

r = > ) .

A d ( 2 0 ) : B y ( 7 ) , w e h a v e t o p r o v e

( p

*

)

q ) u ( p

*

)

r ) = ( p

*

)

q ) u ( q

*

)

r ) .

T o t h i s e n d w e o b s e r v e f o r a n y s :

s ( p

*

)

q ) u ( p

*

)

r )

= f l a t t i c e c a l c . a n d ( 7 ) g

s u p = s u q ̂ s u p = s u r

= f L e i b n i z g

s u p = s u q ̂ s u q = s u r

= f ( 7 ) a n d l a t t i c e c a l c . g



r u t g e r 2 0 4

s ( p

*

)

q ) u ( q

*

)

r ) .

e n d o f p r o o f s

T h e l a s t t h r e e t h e o r e m s a l l h a v e t h e s a m e s h a p e , v i z .

p

*

)

q f . p

*

)

f . q f o r a l l s p e c k s p a n d q ,

w h i c h e x p r e s s e s a p r o p e r t y o f t h e f u n c t i o n f . W e c a l l f u n c t i o n s t h a t h a v e t h i s p r o p e r t y

` i n t e r n a l f u n c t i o n s ' , i . e .

( 2 1 ) f i s i n t e r n a l

p

*

)

q f . p

*

)

f . q f o r a l l s p e c k s p a n d q ,

o r e q u i v a l e n t l y

( 2 2 ) f i s i n t e r n a l

( p

*

)

q ) u f . p = ( p

*

)

q ) u f . q f o r a l l s p e c k s p a n d q .

W e n o w t u r n o u r a t t e n t i o n t o f u n c t i o n s w i t h m o r e t h a n o n e a r g u m e n t . F o r s u c c i n c t n e s s

w e w i l l t r e a t b i n a r y o p e r a t o r s a n d w e l e a v e i t t o t h e r e a d e r t o m a k e t h e g e n e r a l i z a t i o n

t o a n y n u m b e r .

F o r a b i n a r y o p e r a t o r , , w e d e n e

( 2 3 ) i s i n t e r n a l i n i t s r s t a r g u m e n t

p

*

)

q p r

*

)

q r f o r a l l s p e c k s p , q , a n d r ,

a n d s i m i l a r l y f o r ` b e i n g i n t e r n a l i n t h e s e c o n d a r g u m e n t ' . O p e r a t o r s t h a t a r e i n t e r n a l

i n a l l t h e i r a r g u m e n t s , w e w i l l c a l l s i m p l y ` i n t e r n a l ' . N o t e t h a t f o r a s y m m e t r i c b i n a r y

o p e r a t o r , ` b e i n g i n t e r n a l i n o n e o f t h e a g u m e n t s ' i s t h e s a m e a s ` b e i n g i n t e r n a l ( i n b o t h

a r g u m e n t s ) ' .

S i n c e u , t , a n d

*

)

a r e s y m m e t r i c a n d , b y ( 1 8 ) , ( 1 9 ) , a n d ( 2 0 ) , i n t e r n a l i n t h e i r r s t

a r g u m e n t , w e c a n n o w s u m m a r i z e t h e s e t h e o r e m s b y

( 2 4 ) u , t , a n d

*

)

a r e i n t e r n a l .

F o r b i n a r y , t h e p r o p e r t y o f b e i n g i n t e r n a l c a n a l s o b e c h a r a c t e r i z e d i n o n e g o ( i n s t e a d

o f s e p e r a t e l y f o r e a c h a r g u m e n t ) :

( 2 5 ) i s i n t e r n a l

( p

*

)

q ) u ( x

*

)

y ) p x

*

)

q y f o r a l l s p e c k s p , q , x a n d y .

p r o o f

B y m u t u a l i m p l i c a t i o n .

( : F r o m t h e s p e c i a l c a s e s x = y a n d p = q r e s p e c t i v e l y .

) : W e o b s e r v e f o r a n y p , q , x a n d y

p x

*

)

q y

f l a t t i c e c a l c . g

( p x

*

)

q x ) u ( p x

*

)

q y )

= f

*

)

i s i n t e r n a l , ( 2 2 ) w i t h f : = ( z : : z

*

)

q y ) g

( p x

*

)

q x ) u ( q x

*

)

q y )

f i s i n t e r n a l , m o n o t o n i c i t y o f u g

( p

*

)

q ) u ( x

*

)

y ) .

e n d o f p r o o f



r u t g e r 2 0 5

W e g e n e r a l i z e ( 2 5 ) t o a d e n i t i o n f o r a f u n c t i o n o f a n a r b i t r a r y n u m b e r o f a r g u m e n t s

a n d r e p l a c i n g t h e i n x u b y t h e q u a n t i e r u . T h u s , ( 1 6 ) a n d ( 1 7 ) c a n n o w b e r e a d a s

s t a t i n g t h a t

( 2 6 ) t h e q u a n t i e r s u a n d t a r e i n t e r n a l .

T h e p r o p e r t y o f ` b e i n g i n t e r n a l ' i s p r e s e r v e d u n d e r u n d e r a l l m a n n e r s o f c o m b i n a t i o n :

( 2 7 ) I f f a n d g a r e i n t e r n a l f u n c t i o n s a n d i s i n t e r n a l i n b o t h i t s a r g u m e n t s , t h e n

i s f . p g . p a n i n t e r n a l f u n c t i o n o f p .

p r o o f

f . p g . p

*

)

f . q g . q

f i s i n t e r n a l i n b o t h a r g u m e n t s , ( 2 5 ) g

( f . p

*

)

f . q ) u ( g . p

*

)

g . q )

f f a n d g a r e i n t e r n a l g

p

*

)

q .

e n d o f p r o o f

O n a c c o u n t o f ( 2 7 ) , i n t e r n a l f u n c t i o n s a n d o p e r a t o r s c a n b e f r e e l y c o m b i n e d t o y i e l d

n e w i n t e r n a l f u n c t i o n s . S i n c e c o n s t a n t f u n c t i o n s a n d t h e i d e n t i t y f u n c t i o n a r e t r i v i a l l y

i n t e r n a l , w e o b t a i n b y i n d u c t i o n o n t h e s y n t a x :

( 2 8 ) A n e x p r e s s i o n b u i l d f r o m c o n s t a n t s , v a r i a b l e s , a n d i n t e r n a l f u n c t i o n a n d o p e r -

a t o r s , i s a n i n t e r n a l f u n c t i o n o f e a c h o f i t s v a r i a b l e s .

N o w , a s a d e m o n s t r a t i o n o f t h e u t i l i t y o f t h e c o n c e p t w e s h o w

( 2 9 ) p

*

)

p u q = p t q

*

)

q .

p r o o f

p

*

)

p u q

f t i s i n t e r n a l g

p t q

*

)

( p u q ) t q

= f a b s o r p t i o n g

p t q

*

)

q

f u i s i n t e r n a l g

p u ( p t q )

*

)

p u q

= f a b s o r p t i o n g

p

*

)

p u q

f r o m w h i c h e q u a l i t y f o l l o w s b y a n t i - s y m m e t r y

e n d o f p r o o f

T h e p r i m a r y r e a s o n f o r i n c l u d i n g t h i s i n t e r m e z z o o n i n t e r n a l f u n c t i o n s i s t h a t i t i s t h e

l a t t i c e t h e o r e t i c a l v e r s i o n o f t h e ` p u n c t u a l i t y t h e o r y ' o f D S 9 0 ] . T h i s p u n c t u a l i t y t h e o r y

i s d e v e l o p e d f o r t h e p r e d i c a t e c a l c u l u s , a n d w e t h o u g h t i t n i c e t o s h o w t h a t t h e c o n c e p t

m a k e s p e r f e c t s e n s e i n t h e { f a r m o r e g e n e r a l { c o n t e x t o f H e y t i n g l a t t i c e s .

N o w t h a t w e h a v e a l l t h i s , w e m a y a s w e l l u s e i t . H o w e v e r , w e n e e d t o d o s o m e t h i n g

a b o u t o u r p r o o f f o r m a t r s t . I n p a r t i c u l a r , i n o r d e r t o m e e t a p r o o f o b l i g a t i o n o f t h e f o r m

p q

*

)

r w e h a v e t o s h o w t h a t p u q = p u r . I f w e d o s o b y t r a n s f o r m i n g o n e s i d e



r u t g e r 2 0 6

i n t o t h e o t h e r t h r o u g h a s e r i e s o f v a l u e p r e s e r v i n g s t e p s , t h e c h a n c e s a r e g o o d t h a t w e

w i l l s e e p u : : : a t t h e s t a r t o f e v e r y l i n e . S i n c e { p o s s i b l y n u m e r o u s { r e p e t i t i o n s o f s u c h

a { p o s s i b l y l e n g t h y { s u b e x p r e s s i o n c a n b e v e r y a n n o y i n g , w e a l l o w i t b e l e f t i m p l i c i t .

W e c a l l s u c h a c a l c u l a t i o n a ` c a l c u l a t i o n u n d e r p r o v i s o ' , a n d a p r o o f o f p q

*

)

r

c o u l d n o w r e a d s o m e t h i n g l i k e :

U n d e r t h e p r o v i s o p w e o b s e r v e :

q

= f h i n t w h y q = x g

x

= f h i n t w h y p u x = p u y o r e q u i v a l e n t l y p x

*

)

y g

y

= f h i n t w h y y = r g

r .

P l e a s e t a k e p r o p e r n o t e o f t h e s p e c i a l c a s e t h a t r = > . S i n c e > i s t h e n e u t r a l e l e m e n t

o f t h e i n t e r n a l e q u i v a l e n c e , i t w o u l d n o t a p p e a r e x p l i c i t l y i n t h e p r o o f o b l i g a t i o n , b u t i t

w o u l d p o p u p i n t h e l a s t l i n e o f t h e p r o o f .

N o t e f u r t h e r t h a t i n p r o o f s u n d e r t h e p r o v i s o p

*

)

q , w e c a n n o w h a v e s t e p s l i k e

f . p

= f p r o v i s o , f i s i n t e r n a l g

f . q ,

a n d t h a t , a g a i n , i n t h e s p e c i a l c a s e t h a t q = > , t h e e x p r e s s i o n > i s n o t e x p l i c i t l y p r e s e n t

i n t h e p r o v i s o , b u t m a y a p p e a r i n t h e p r o o f .

T o i l l u s t r a t e h o w t h i s w o r k s w e g i v e t w o p r o o f s o f

( 3 0 ) ( p

*

)

q ) u ( q

*

)

r ) p

*

)

r .

p r o o f s

U n d e r t h e p r o v i s o ( p

*

)

q ) u ( q

*

)

r ) w e o b s e r v e

p

*

)

r

= f p r o v i s o ,

*

)

i s i n t e r n a l g

q

*

)

q

= f ( 1 2 ) g

> .

o r ( u n d e r t h e s a m e p r o v i s o )

p

= f p r o v i s o g

q

= f p r o v i s o g

r .

e n d o f p r o o f



r u t g e r 2 0 7

T h e t i m e h a s c o m e t o h a v e a l o o k a t t h e l a s t p o s t u l a t e t h a t i n t r o d u c e s t h e i n t e r n a l

i m p l i c a t i o n . W e h a v e t w o a n g l e s o n t h i s o p e r a t o r : t h e e q u i v a l e n c e o f ( 8 ) a n d t h e e q u a l i t y

o f ( 1 0 ) . W e b e g i n w i t h s o m e c o n s e q u e n c e s o f t h e r s t .

I n s t a n t i a t i n g ( 8 ) w i t h p : = > w e o b t a i n :

( 3 1 ) q r q ! r ] .

a n d , u s i n g ( 3 1 ) t o r e f o r m u l a t e ( 3 ) , w e g e t :

( 3 2 ) ? ! p ] a n d p ! > ] .

S i n c e ( 8 ) e x p r e s s e s a G a l o i s c o n n e c t i o n , w e h a v e t h a t ! i s u n i v e r s a l l y u - j u n c t i v e i n i t s

s e c o n d a r g u m e n t :

( 3 3 ) p ! ( u x : : f . x ) = ( u x : : p ! f . x ) .

S i n c e u i s s y m m e t r i c , t h e l e f t h a n d s i d e o f ( 8 ) i s s y m m e t r i c i n p a n d q . I t f o l l o w s t h a t

t h e s a m e h o l d s f o r t h e r i g h t h a n d s i d e :

( 3 4 ) p q ! r q p ! r f o r a l l s p e c k s p , q a n d r .

N o w , r e p l a c i n g i n ( 3 4 ) t h e l e f t h a n d s i d e b y q ! r p , w e r e c o g n i z e a n o t h e r G a l o i s

c o n n e c t i o n ( b e t w e e n ( L , ) a n d i t s d u a l ) . S o , w e g e t t h e f o l l o w i n g d i s t r i b u t i v e p r o p e r t y

o f ! i n t h e r s t a r g u m e n t :

( 3 5 ) ( t x : : f . x ) ! p = ( u x : : f . x ! p ) .

( N o t e t h a t t h e s u p r e m a o f ( L , ) a r e t h e i n m a o f i t s d u a l a n d v i c e v e r s a ) .

I m m e d i a t e c o n s e q u e n c e s o f ( 3 3 ) a n d ( 3 5 ) a r e

( 3 6 ) ! i s m o n o t o n i c i n i t s s e c o n d a r g u m e n t a n d a n t i - m o n o t o n i c i n i t s r s t a r g u m e n t .

W e h a v e a l r e a d y i n v e s t i g a t e d t h e i n t e r n a l e q u i v a l e n c e q u i t e e x t e n s i v e l y s o w e m a y e x p e c t

s o m e t h e o r e m s t o b e c h e a p l y o b t a i n a b l e f r o m ( 1 0 ) . W e r s t o b s e r v e t h a t ( 1 0 ) e x p r e s s e s

! i n t e r m s o f t h e i n t e r n a l o p e r a t o r s u a n d

*

)

. T h u s w e h a v e b y ( 2 8 ) t h a t

( 3 7 ) ! i s i n t e r n a l .

S i n c e > i s t h e n e u t r a l e l e m e n t o f b o t h u a n d

*

)

w e g e t f r o m ( 1 0 ) w i t h q : = > t h a t

( 3 8 ) > i s a l e f t - n e u t r a l e l e m e n t o f ! .

W e a l s o e a s i l y o b t a i n t h e f o l l o w i n g

( 3 9 ) ` c o m p l e m e n t r u l e s ' :

( i ) p ! ( p u q ) = p ! q ,

( i i ) p u ( p ! q ) = p u q .

( N o t e t h a t w e a d d e d s o m e r e d u n d a n t b r a c k e t s t o t h e r s t o f t h e s e t o e n h a n c e t h e

s y m m e t r y )

p r o o f

W e p r o v e ( i ) b y o b s e r v i n g

p ! ( p u q ) = p ! q

= f ( 1 0 ) ( t w i c e ) g

p

*

)

p u ( p u q ) = p

*

)

p u q

= f a s s o c i a t i v i t y a n d i d e m p o t e n c e o f u g

t r u e .



r u t g e r 2 0 8

W e p r o v e ( i i ) b y o b s e r v i n g u n d e r p r o v i s o p

p ! q

= f p r o v i s o , ! i s i n t e r n a l { b y ( 3 7 ) { g

> ! q

= f > n e u t r a l { b y ( 3 8 ) { g

q

e n d o f p r o o f

A n d n o w w e ' r e r e a d y f o r t h e b e a u t i f u l

( 4 0 ) ` ! o v e r

*

)

' :

( i ) p u q

*

)

p u r = p ! ( q

*

)

r ) ,

( i i ) p ! q

*

)

p ! r = p ! ( q

*

)

r ) .

p r o o f

W e p r o v e ( i ) b y o b s e r v i n g f o r a n y s

s p ! ( q

*

)

r )

= f ( 8 ) g

s u p q

*

)

r

= f ( 7 ) g

s u p u q = s u p u r

= f ( 7 ) g

s p u q

*

)

p u r .

N o w , s i n c e t h e r i g h t h a n d s i d e s o f ( i ) a n d ( i i ) a r e e q u a l , w e c a n p r o v e ( i i ) b y p r o v i n g

t h e e q u a l i t y o f t h e l e f t h a n d s i d e s .

p u q

*

)

p u r

f ! i s i n t e r n a l g

p ! ( p u q )

*

)

p ! ( p u r )

= f c o m p l e m e n t r u l e ( 3 9 . i ) g

p ! q

*

)

p ! r


p u ( p ! q )

*

)

p u ( p ! r )

= f c o m p l e m e n t r u l e ( 3 9 . i i ) g

p u q

*

)

p u r ,

A n d t h i s p r o v e s e q u a l i t y b y a n t i - s y m m e t r y .

e n d o f p r o o f

N o t e t h e s i m i l a r i t y b e t w e e n ( 7 ) a n d ( 4 0 . i ) . N o t e f u r t h e r t h a t ( 4 0 . i i ) e x p r e s s e s t h a t t h e

i n t e r n a l i m p l i c a t i o n d i s t r i b u t e s f r o m t h e l e f t o v e r t h e i n t e r n a l e q u i v a l e n c e .

I n s t a n t i a t i n g ( 4 0 ) w i t h r : = q u r a n d r e w r i t i n g t h e r e s u l t s u s i n g ( 1 0 ) ( a n d ( 3 3 ) i n t h e

s e c o n d c a s e ) y i e l d s

( 4 1 ) ` ! o v e r ! ' :



r u t g e r 2 0 9

( i ) p u q ! r = p ! ( q ! r ) ,

( i i ) ( p ! q ) ! ( p ! r ) = p ! ( q ! r ) .

N o t e , i n t h i s c a s e , t h e s i m i l a r i t y b e t w e e n ( 8 ) a n d ( 4 1 . i ) a n d t h e f a c t t h a t ( 4 1 . i i ) e x p r e s s e s

t h a t t h e i n t e r n a l i m p l i c a t i o n d i s t r i b u t e s f r o m t h e l e f t o v e r i t s e l f .

I t i s t i m e t o i n t r o d u c e o u r n e x t o p e r a t o r . C o n s i d e r , f o r e a c h o f t h e b i n a r y l a t t i c e

o p e r a t o r s , t h e u n a r y o p e r a t o r o b t a i n e d b y x i n g o n e o f t h e a r g u m e n t s t o e i t h e r > o r ? .

O n e e a s i l y v e r i e s t h a t , w i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e f u n c t i o n s t h a t m a p p t o p

*

)

? a n d

p ! ? r e s p e c t i v e l y , w e o b t a i n e i t h e r a c o n s t a n t f u n c t i o n o r t h e i d e n t i t y . F u r t h e r m o r e , i t

f o l l o w s f r o m ( 1 0 ) t h a t o u r t w o e x c e p t i o n s a r e i n f a c t e q u a l . T h u s w e d e n e t h e o p e r a t o r

b y

( 4 2 )

p = p

*

)

? o r e q u i v a l e n t l y

p = p ! ? .

T h e o p e r a t o r

i s c a l l e d ` t h e p s e u d o - c o m p l e m e n t ' a n d w e g i v e i t a b i n d i n g p o w e r w h i c h

i s h i g h e r t h a n t h a t o f t h e b i n a r y l a t t i c e o p e r a t o r s .

T h e p r o p e r t i e s o f t h e p s e u d o - c o m p l e m e n t o f a H e y t i n g l a t t i c e a r e c o n s i d e r a b l y l e s s

p l e a s a n t t h a n t h o s e o f t h e f u l l c o m p l e m e n t o f a B o o l e a n l a t t i c e . B o o l e a n l a t t i c e s a r e t h e

s u b j e c t o f t h e n e x t s e c t i o n a n d p r e p a r a t i o n o f t h e g r o u n d f o r t h a t s e c t i o n i s o u r o n l y

r e a s o n f o r i n c l u d i n g t h e p s e u d o - c o m p l e m e n t i n o u r i n v e s t i g a t i o n h e r e .

S o m e f a c t s t h a t a r e g o o d t o k n o w a b o u t t h e p s e u d o - c o m p l e m e n t a r e :

( 4 3 )

? = > a n d

> = ? .

( 4 4 )

( t x : : f . x ) = ( u x : :

f . x ) .

( 4 5 )

i s i n t e r n a l a n d a n t i - m o n o t o n i c .

( 4 6 )

( p u q ) = p !

q .

( 4 7 ) p !

q = q !

p .

( 4 8 ) p u q = ? p

q .

( 4 9 ) p

q q

p .

( 5 0 )

q u q = ? .

( 5 1 )

q

*

)

q = ? .

( 5 2 ) p

p .

( 5 3 )

p =

p .

( 5 4 )

( q

*

)

r ) =

q

*

)

r .

( 5 5 )

p

*

)

( q

*

)

r ) = (

p

*

)

q )

*

)

r .

p r o o f s

A d ( 4 3 ) : F r o m ( 1 2 ) a n d ( 1 4 ) .

A d ( 4 4 ) : I n s t a n t i a t e ( 3 5 ) w i t h p : = ? .

A d ( 4 5 ) : I m m e d i a t e , s i n c e ! i s i n t e r n a l a n d a n t i - m o n o t o n i c i n i t s r s t a r g u m e n t .

A d ( 4 6 ) : I n s t a n t i a t e e i t h e r ( 4 0 . i ) o r ( 4 1 . i ) w i t h r : = ? .

A d ( 4 7 ) : F r o m ( 4 6 ) , s i n c e t h e l e f t - h a n d s i d e i s s y m m e t r i c i n p a n d q .

A d ( 4 8 ) : A p p l y t h e e v e r y w h e r e o p e r a t o r t o b o t h s i d e s o f ( 4 6 ) a n d u s e ( 1 2 ) a n d ( 3 1 ) .



r u t g e r 2 0 1 0

A d ( 4 9 ) : F r o m ( 4 8 ) , s i n c e t h e l e f t - h a n d s i d e i s s y m m e t r i c i n p a n d q . A l t e r n a t i v e l y ,

a p p l y t h e e v e r y w h e r e o p e r a t o r t o b o t h s i d e s o f ( 4 7 ) .

A d ( 5 0 ) : I n s t a n t i a t e ( 4 8 ) w i t h p : =

q .

A d ( 5 1 ) :

q

*

)

q

= f ( 9 ) g

( q !

q ) u (

q ! q )

= f ( 4 6 ) , i d e m p o t e n c e o f u g

q u (

q ! q )

= f c o m p l e m e n t r u l e ( 3 9 . i i ) g

q u q

= f ( 5 0 ) g

? .

A d ( 5 2 ) : I n s t a n t i a t e ( 4 9 ) w i t h q : =

p .

A d ( 5 3 ) :

p =

p

= f h o l d s o n a c c o u n t o f ( 5 2 ) w i t h p : =

p g

p

p

( f

i s a n t i - m o n o t o n i c b y ( 4 5 ) g

p

p

= f ( 5 2 ) g

t r u e .

B e f o r e w e p r o v e t h e l a s t t w o t h e o r e m s , n o t e t h a t ( 5 4 ) i s i n f a c t a s p e c i a l c a s e o f ( 5 5 )

( w i t h p : = > ) . T h e r e a s o n f o r p r o v i n g ( 5 4 ) s e p a r a t e l y i s t h a t w e u s e i t i n t h e p r o o f o f

( 5 5 ) .

N o t e f u r t h e r t h a t t h e t h e o r e m s e x p r e s s { r e s t r i c t e d f o r m s o f { t r a n s i t i v i t y . P r o o f s o f

t r a n s i t i v i t y t e n d t o b e m e s s y a n d t h e f o l l o w i n g t w o a r e n o e x c e p t i o n s .

A d ( 5 4 ) : B y p i n g - p o n g a r g u m e n t .

p i n g

( q

*

)

r )

q

*

)

r

= f ( 7 ) g

( q

*

)

r ) u

q =

( q

*

)

r ) u

r

= f

q = q

*

)

? a n d

r =

r

*

)

> , b o t h

a n d

*

)

a r e i n t e r n a l g

( ?

*

)

r ) u

q =

( q

*

)

> ) u

r

= f d e n i t i o n o f

, n e u t r a l i t y o f > g

r u

q =

q u

r

= f s y m m e t r y o f u a n d ( 5 3 ) g

t r u e .

p o n g U n d e r t h e p r o v i s o

q

*

)

r w e o b s e r v e

q

*

)

r



r u t g e r 2 0 1 1

= f p r o v i s o ,

*

)

i s i n t e r n a l g

q

*

)

q

= f ( 5 1 ) g

? .

S i n c e ( q

*

)

r )

*

)

? =

( q

*

)

r ) b y d e n i t i o n , t h i s p r o v e s ` p o n g ' .

A d ( 5 5 ) : B y p i n g - p o n g a r g u m e n t . F o r r e a s o n s o f s y m m e t r y , j u s t ` p i n g ' s u c e s .

p

*

)

( q

*

)

r )

= f ( 9 ) g

(

p ! ( q

*

)

r ) ) u ( ( q

*

)

r ) !

p )

= f ( 4 7 ) , ( 5 4 ) g

(

p ! ( q

*

)

r ) ) u ( p ! (

q

*

)

r ) )

= f ! o v e r

*

)

g

(

p ! q

*

)

p !

r ) u ( p !

q

*

)

p !

r )

= f ( 4 7 ) ( t h r i c e ) g

(

p ! q

*

)

r !

p ) u ( q !

p

*

)

r !

p )


(

p ! q ) u ( q !

p )

*

)

( r !

p ) u ( r !

p )

= f ( 9 ) , ! o v e r u g

(

p

*

)

q )

*

)

r ! (

p u

p )

= f

p u

p = ? b y ( 5 0 ) , d e n i t i o n o f

g

(

p

*

)

q )

*

)

r .


2 A B o o l e a n L a t t i c e

I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n w e h a v e e x p l o r e d t h e c o n s e q u e n c e s o f a d d i n g a s i n g l e p o s t u l a t e

t o a c o m p l e t e l a t t i c e ( a l l o w i n g a c h o i c e f r o m s e v e r a l e q u i v a l e n t o n e s ) . I n t h i s s e c t i o n w e

a d d a s e c o n d p o s t u l a t e . T h e l a t t i c e s t r u c t u r e t h a t w e s o o b t a i n i s ` a c o m p l e t e B o o l e a n

l a t t i c e ' a n d i t i s t h e c a n o n i c a l m o d e l f o r t h e c l a s s i c a l p r e d i c a t e l o g i c . A s b e f o r e , t h e r e

a r e s e v e r a l a l t e r n a t i v e s a n d , s i n c e w e d o n o t w a n t t o d e n y t h e r e a d e r t h e f r e e d o m o f

c h o i c e , w e g i v e t h e m a l l a n d s h o w t h e i r e q u i v a l e n c e .

( 5 6 )

q ! r = q t r .

( 5 7 ) t d i s t r i b u t e s o v e r

*

)

.

( 5 8 ) q ! r =

q t r .

( 5 9 ) p u q r p

q t r .

( 6 0 )

q t q ] .

( 6 1 )

i s a n i n v o l u t i o n .

( 6 2 ) p

*

)

( q

*

)

r ) = ( p

*

)

q )

*

)

r i . e .

*

)

i s a s s o c i a t i v e .

( 6 3 )

( q

*

)

r ) =

q

*

)

r .



r u t g e r 2 0 1 2

r e m a r k

A u n a r y o p e r a t o r f o r w h i c h ( 5 9 ) h o l d s i s c a l l e d ` a f u l l c o m p l e m e n t ' . W e w i l l s h o w t h e

e q u i v a l e n c e o f ( 5 6 ) t h r o u g h ( 6 3 ) i n t h e c o n t e x t o f a H e y t i n g l a t t i c e . H o w e v e r , i t s h o u l d

b e n o t e d t h a t t h e e x i s t e n c e o f a f u l l c o m p l e m e n t i m p l i e s t h e e x i s t e n c e o f a n i n t e r n a l

i m p l i c a t i o n ( w e c o u l d d e n e i t b y ( 5 8 ) ) . T h u s , i n c o n t r a s t t o t h e o t h e r s , ( 5 9 ) a l s o

i m p l i e s a l l o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n .

e n d o f r e m a r k

P r o o f o f t h e e q u i v a l e n c e o f ( 5 6 ) t h r o u g h ( 6 3 )

W e p r o v e t h e e q u i v a l e n c e b y m e a n s o f t h e f o l l o w i n g c y c l e o f i m p l i c a t i o n s :

( 5 6 ) ) ( 5 7 ) ) ( 5 8 ) ) ( 5 9 ) ) ( 6 0 ) ) ( 6 1 ) ) ( 6 2 ) ) ( 6 3 ) ) ( 6 1 ) ) ( 5 6 ) .

( N o t e t h a t o u r ` c y c l e ' i s a c t u a l l y a g u r e 8 )

( 5 6 ) ) ( 5 7 ) : I n s t a n t i a t e ( 4 0 . i i ) w i t h p : =

p a n d r e w r i t e u s i n g ( 5 6 ) .

( 5 7 ) ) ( 5 8 ) :

q t r

= f d e n i t i o n o f

g

( q

*

)

? ) t r

= f ( 5 7 ) , ? i s t h e n e u t r a l e l e m e n t o f t g

q t r

*

)

r

= f ( 2 9 ) g

q

*

)

q u r

= f ( 1 0 ) g

q ! r .

( 5 8 ) ) ( 5 9 ) : R e w r i t e ( 8 ) u s i n g ( 5 8 ) .

( 5 9 ) ) ( 6 0 ) : I n s t a n t i a t e ( 5 9 ) w i t h p , r : = > , q .

( 6 0 ) ) ( 6 1 ) :

q

= f ( 6 0 ) g

q u (

q t q )

= f u o v e r t g

(

q u

q ) t (

q u q )

= f

q u

q = ? b y ( 5 0 ) g

(

q u q )

= f q

q b y ( 5 2 ) g

q .

( 6 1 ) ) ( 6 2 ) : I n s t a n t i a t e ( 5 5 ) w i t h p , r : =

p ,

r a n d r e w r i t e u s i n g ( 6 1 ) .

( 6 2 ) ) ( 6 3 ) : I n s t a n t i a t e ( 6 2 ) w i t h p : = ? .

( 6 3 ) ) ( 6 1 ) : I n s t a n t i a t e ( 6 3 ) w i t h q : = ? .

( 6 1 ) ) ( 5 6 ) :

q ! r

= f ( 6 1 ) g

q !

r



r u t g e r 2 0 1 3

= f ( 4 6 ) g

(

q u

r )

= f ( 4 4 ) g

( q t r )

= f ( 6 1 ) g

q t r .


F r o m n o w o n w e c o n s i d e r o n e { a n d h e n c e a l l { o f t h e a s s e r t i o n s ( 5 6 ) t h r o u g h ( 6 3 ) t o

b e p o s t u l a t e d .

A p a r t f r o m g i v i n g t h e r e a d e r t h e f r e e d o m o f c h o i c e , t h e r e i s a n o t h e r a d v a n t a g e o f h a v i n g

e s t a b l i s h e d t h e e q u i v a l e n c e s a b o v e . W h e n p r o v i n g s o m e t h i n g f o r B o o l e a n l a t t i c e s , t h e

q u e s t i o n n a t u r a l l y a r i s e s w h e t h e r i t h o l d s f o r H e y t i n g l a t t i c e s a s w e l l . S i n c e t h e r e a r e

H e y t i n g l a t t i c e s t h a t a r e n o t B o o l e a n { e . g . t h e r e a l i n t e r v a l 0 . . 1 ] w i t h t h e s t a n d a r d

o r d e r i n g o n r e a l n u m b e r s { , w e n o w k n o w t h a t n o n e o f t h e a s s e r t i o n s ( 5 6 ) t h r o u g h ( 6 3 )

h o l d f o r H e y t i n g l a t t i c e s i n g e n e r a l .

O n e r e a s o n f o r w r i t i n g t h i s n o t e w a s t o v e r i f y t h a t t h e p o s t u l a t e s f o r t h e p r e d i c a t e

c a l c u l u s o f D S 9 0 ] d e s c r i b e e x a c t l y a c o m p l e t e B o o l e a n l a t t i c e . ( W e u s e d , f o r t h e l a t t i c e

o p e r t o r s , v e r y t h i n l y d i s g u i s e d l o g i c a l o p e r a t o r s , s o w e t r u s t t h a t t h e r e a d e r c a n m a k e

t h e m a t c h . )

O n e d i r e c t i o n o f t h e v e r i c a t i o n i s e a s y . D e n i n g t h e r e l a t i o n o n p r e d i c a t e s b y

P Q P ) Q ] ,

w e n d t h a t t h i s i s a n o r d e r i n g r e l a t i o n o n p r e d i c a t e s . S i n c e u n i v e r s a l a n d e x i s t e n -

t i a l q u a n t i c a t i o n d e n o t e a r b i t r a r y i n m a a n d s u p r e m a r e s p e c t i v e l y , w e h a v e i n d e e d a

c o m p l e t e l a t t i c e . F i n a l l y , ( 5 9 ) i s s a t i s e d o n a c c o u n t o f ` t h e s h u n t i n g t h e o r e m ' , s o t h i s

c o m p l e t e l a t t i c e i s B o o l e a n ( s e e t h e r e m a r k b e l o w ( 6 3 ) ) .

F o r t h e r e v e r s e d i r e c t i o n , w e h a v e t o c h e c k t h a t a l l t h e p o s t u l a t e s o f D S 9 0 ] h o l d f o r a

c o m p l e t e B o o l e a n l a t t i c e . S i n c e t h e n u m b e r o f p o s t u l a t e s t o c h e c k i s l a r g e , t h i s i s a l o t

o f w o r k . W e h a v e , h o w e v e r , a l r e a d y a l m o s t e v e r y t h i n g w e n e e d . F i r s t r e c a l l t h a t ( 1 2 )

s t a t e s t h a t

p

*

)

q ] p = q ,

w h i c h j u s t i e s t h e v e r s i o n o f t h e r u l e o f L e i b n i z t h a t i s u s e d i n D S 9 0 ] . W e w i l l , h e n c e -

f o r t h , g e n e r a l l y u s e . .

*

)

. . ] t o e x p r e s s e q u a l i t y .

S e c o n d l y , r e c a l l t h a t ( 6 2 ) s t a t e s t h a t

*

)

i s a s s o c i a t i v e ,

w h i c h w e w i l l u s e t o o m i t r e d u n d a n t p a r e n t h e s e s .

P a r t o f t h e p o s t u l a t e s o f D S 9 0 ] c o n s i s t o f t y p i n g : f o r e a c h l o g i c a l o p e r a t o r i t i s p o s t u l a t e d

t h a t t h e s e t o f b o o l e a n s c a l a r s i s c l o s e d u n d e r i t . T h e r e a d e r i s i n v i t e d t o c h e c k t h a t ,

f o r t h e l a t t i c e , w e h a v e :

T h e s e t f > , ? g i s c l o s e d u n d e r a l l l a t t i c e o p e r a t o r s ( i n c l u d i n g t h e q u a n t i e r s ) .

A n d n o w w e g i v e a n a l m o s t e x h a u s t i v e l i s t o f ( t h e l a t t i c e v e r s i o n s o f ) t h e r e m a i n i n g

p o s t u l a t e s o f D S 9 0 ] . E a c h o f t h e m i s f o l l o w e d b y a h i n t w h i c h s h o u l d s u c e f o r i t s

v e r i c a t i o n .



r u t g e r 2 0 1 4

p

*

)

q

*

)

q

*

)

p ] ( 1 3 )

p

*

)

>

*

)

p ] ( 1 4 )

t i s s y m m e t r i c , a s s o c i a t i v e , a n d i d e m p o t e n t . l a t t i c e c a l c .

t d i s t r i b u t e s o v e r

*

)

. ( 5 7 )

p u q

*

)

p

*

)

q

*

)

p t q ] ( 2 9 )

p ! q

*

)

p t q

*

)

q ] ( 1 0 ) , ( 2 9 )

? =

> ( 4 3 )

( p

*

)

q )

*

)

p

*

)

q ] ( 6 3 )

p t

p ] ( 6 0 )

p u q ] p ] ̂ q ] ( 5 )

p t ( u x : : f . x )

*

)

( u x : : p t f . x ) ] ( 5 6 ) , ( 3 3 )

( u x : : f . x u g . x )

*

)

( u x : : f . x ) u ( u x : : g . x ) ] l a t t i c e c a l c .

( u x : : ( u y : : f . ( x , y ) )

*

)

( u y : : ( u x : : f . ( x , y ) ) ] l a t t i c e c a l c .

( u x : : f . x ) ] ( 8 x : : f . x ] ) ( 5 )

( u x : x = y : f . x )

*

)

f . y ] l a t t i c e c a l c .

f = g ) ( u x : : f . x )

*

)

( u x : : g . x ) ] L e i b n i z

( t x : : f . x )

*

)

( u x : :

f . x ) ] ( 6 1 ) , ( 4 4 )

T h e r e a r e t w o p o s t u l a t e s f r o m D S 9 0 ] t h a t w e h a v e n o t a d r e s s e d y e t b e c a u s e t h e y p r e s e n t

a t y p i n g c o n i c t . T h e s e p o s t u l a t e s a r e

t h e e v e r y w h e r e o p e r a t o r i s i d e m p o t e n t .

b _ p ] b _ p ] f o r a l l b o o l e a n s b a n d a l l p r e d i c a t e s p .

O u r p r o b l e m i s t h a t w e d e n e d t h e e v e r y w h e r e o p e r a t o r a s f u n c t i o n f r o m s p e c k s t o

b o o l e a n s a n d t h a t t h e l a t t e r a r e n o t , n e c e s s a r i l y , i n c l u d e d i n t h e l a t t i c e . T h i s i s e a s i l y

r e m e d i e d b y p o s t u l a t i n g t h a t

t r u e = >

f a l s e = ? .

T h e r e a d e r m a y v e r i f y t h a t n o w e a c h o f t h e l o g i c a l o p e r a t o r s i s t h e r e s t r i c t i o n o f t h e

c o r r e s p o n d i n g l a t t i c e o p e r a t o r t o t h e e x t r e m a o f t h e l a t t i c e a n d t h a t w e i n d e e d h a v e

t h a t

t h e e v e r y w h e r e o p e r a t o r i s i d e m p o t e n t , a n d

b t p ]

*

)

b t p ] f o r a l l b o o l e a n s b a n d a l l s p e c k s p .

T h e s e c o n d r e a s o n f o r w r i t i n g t h i s n o t e w a s t h a t , s o m e t i m e a g o , t h e r e a l i z a t i o n d a w n e d

u p o n m e t h a t , s t r i p p i n g f r o m t h e p r e d i c a t e c a l c u l u s o f D S 9 0 ] a l l ` n o n - c o n s t r u c t i v e '

e l e m e n t s , l e f t m e w i t h a s l i g h t l y m o r e g e n e r a l l a t t i c e s t r u c t u r e . T h i s i n s i g h t g a v e m e

a h a n d l e o n t h e c o n s t r u c t i v e l o g i c t h a t w a s v e r y w e l c o m e b e c a u s e I h a v e m o r e a n i t y

w i t h a l g e b r a t h a n w i t h d e d u c t i o n s y s t e m s . S i n c e t h e n , I l e a r n e d f r o m T D 8 8 ] t h a t t h e

l a t t i c e s t r u c t u r e o f c o n s t r u c t i v e l o g i c i s c a l l e d a H e y t i n g l a t t i c e .



r u t g e r 2 0 1 5

R e f e r e n c e s

D S 9 0 ] E d s g e r W . D i j k s t r a a n d C a r e l S . S c h o l t e n

P r e d i c a t e C a l c u l u s a n d P r o g r a m S e m a n t i c s

T e x t s a n d M o n o g r a p h s i n C o m p u t e r S c i e n c e

S p r i n g e r V e r l a g N e w Y o r k I n c . , 1 9 9 0 .

T D 8 8 ] A . S . T r o e l s t r a a n d D . v a n D a l e n

C o n s t r u c t i v i s m i n M a t h e m a t i c s , a n I n t r o d u c t i o n

S t u d i e s i n L o g i c a n d t h e F o u d a t i o n s o f M a t h e m a t i c s

N o r t h H o l l a n d , 1 9 8 8 .

R u t g e r M . D i j k s t r a

D e p a r t m e n t o f C o m p u t i n g S c i e n c e

U n i v e r s i t y o f G r o n i n g e n

P . O . B o x 8 0 0 , 9 7 0 0 A V G r o n i n g e n

t h e N e t h e r l a n d s

t e l e p h o n e : + 3 1 5 0 3 6 3 7 1 2 7

t e l e f a x : + 3 1 5 0 3 6 3 3 8 0 0

e - m a i l : r u t g e r @ c s . r u g . n l

A u g u s t 1 8 , 1 9 9 4

boolean algebras and logic

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