bontasii cap1 transformari coordonate (1)
TRANSCRIPT
-
8/16/2019 BontasII Cap1 Transformari Coordonate (1)
1/11
rcu
ssvJV
TDN
IS
ES
1
B
S
-
8/16/2019 BontasII Cap1 Transformari Coordonate (1)
2/11
A
'
O
Jn
'u
I
un
T
oEo
aan
aa
ao
cc
B
S
u
r4a
eu
a
Peq
ad
S
as
a
?eC
Y
J
z
ua
eua
u
€d
a€
B
aa
1
ap
a
Sau
-
s
a
B
s
Da
'C
8?
lo
,
a
Ea
O
M
,
O
a
'g
d
}
B
ao
o
au
us
UY
o
lun
F
Rs
u
u
P
np
in
a
e
u
n
pu
ig
z
3
S
Jg
O
-
3
lB
ae
e
uau
aue
s
B
tS
u
I
Ja
pn
a
up
a
e
pD
o
'gu
a
p
Ja
a
S
p
nno
nq
p
F
np
u
?
3oz
a
e3
a
3
PS
-
c
€
eu
a
uuu
ae
e1o
a
1
eo
?
-
o
au
u
1
aJp
r
u
sa
J
se
eua
o
ta
J
no
au
?
cd
u
es
n
E
S
auo
'aa
S
aJ
aa
p
a
u
p
a
s
JL
.u
I
e
gq
a
sB
au
€
u
o
P€
o
.a
p
aoc
us
u
udS
ra
ud
aa
S
d
a
eu
3
S
,u
u
se
r
cs
uun
u
,
e
a
eaa
9
U
-
g
p
€o
n
RuS
p
-
8/16/2019 BontasII Cap1 Transformari Coordonate (1)
3/11
Darboux
a
sintetizat,
intr-o
lucrare
de
la
sfArqitul
secoluiui
al
XIX-lea,
rezuitatele
generale
ale
geometriei
diferenliale
clasice.
Tot
in
acea perioaclS,
s-a
trecut, prin
iucr5rile
lui
A.
Cayiey
qi
H.
Grassmann)
la
spagiul
euclidian
n-dimensional.
ir,
lara
uoastr6,
contribulii
in
domeniul
geometriei
diferenliale
au
avut
Gh.
Jigeica,
A.
Myller,
O.
Mayer,
Gh. VrAnceanu.
Calculul
i'ntegral
este
un
capitol
al
analizei
matematice
in
care
se
studia,zx
inte-
graiele
functiilor
qi
aplicaliile
1or.
Denumirea
a fost propusS
de
J.
Bernoulli
(1690),
r
iar
simbolul
/,
Provenit
din
alungirea
literei
S
(iniliala
cuvAntului
summa),
a
fost
J
propus
de
G.
Leibniz (1686).
No{iunea
de integral5
s-a
cristalizat
treptat,
in
leg5tur5
cu
probieme
privind
calculul
ariilor
unor
domenii plane
sau
al
volumelor
uoor
clorpuri
de
rotatie.
Bazele
calculului
integral
au fost
puse
de
I. Neu,ton
(166b),
plecdnd
de
la
o
problem5
de
cinematic5
(determinarea
legii
cie
miqcare
rectilinie
a'unui punct
a
cxrui
vitezi
se
cunoagte
in
fiecare
moment)
qi G.
Leibniz
(16T5),
studiind
,,problema
inuersd
a
tangentelol'
(determinarea
unei
curbe
plane
cdnd
se cunoaqte,
in
fiecare
punct
al
ei,
tangenta
curbei).
Definilia
actual6
a integralei
a fost
datx
de
B.
Rie-
mann (1854),
iar
generaliz5ri
ale
acesteia
au fost propuse
de
T.
J.
Stieltjes
(1gg4)
gi
H.
Lebesgue (1902).
Pentru
funcliile
de
mai
multe
variabile,
L.
Euler (fiOO)
a
definit
integrala
dublX,
iar
.I.
Lagrange
(1773)
pe
cea
tripl5.
Dintre
matematicienii
romAni
care
au
avut
contribulii
in
dornenin,
aurintim
pe:
Dimitrie
pompeiu,
Traial
Lalescu,
David
Emmanuel,
Simion
Stoilow,
I\{iron
Nicolescu.
Volumul
de fa 5
se
adreseazd
in
ega15,
mdsurl profesorilor,
cercetdtorilor
qi
studentilor
de
la
facultXlile
tehnice
gi
economice, precum
gi
matematicienilor.
Con-
tinntnl
sdu
este
in
concordanli
cu
programa
analitic5
a
cursului
de
Matemati,ci
(semestrul
al
Il-lea),
dep5qind
intr-o
oarecare
mdsurd
atdt volumul,
cdt
qi
nivelul
cunogtintelor
predate
la
curs,
adres6,ndu-se
celor
care
doresc
s5
aprofundeze
unele
aspecte.
Lucrarea
imbin5
rigoarea gtiin ifici
cu
accesibilitatea,
prezentarea
teoretic5
fiind
insolit5
de numeroase
exemple,
dintre
care
multe
cu
conlinut
aplicativ,
qi
de
proble-
me
propuse.
Bibliografia
conline
trimiteri
la
cXrli
de
referinlX
in
domeniu,
pr"".,-
gi
la
cursuri
universitare
qi
culegeri de
probleme. Volumul
este
rodul
experientrei
dobandite
in
urma unei
activitigi
indelungate
in
inv6 [mantul
superior.
Bucureqti
noiembrie
2009
Autoarea
v1
-
8/16/2019 BontasII Cap1 Transformari Coordonate (1)
4/11
I
sg
1
'
n
M
rne
s
a
.e
p
u
'e
le
n
Fe
aL
z
Z
a
nnJ
6z
c
aB
'n
a
{1
DS
O
d
2
-o
S
"
d1
6
nq
'X
+
-
XO
a
Ru
n
O
n
eo
ns
'e6
1
lp
I
O
T
nc
1
ln
N
N
lc
{
g
'
ea
d
€a
I
a
u
e
e
t
u
3a
g
e
u
n
'co
in
1
E
c
ine
aua
a
1
ln
A
d
u
I
a
I
o
'nque
i
t
q
u
6
n
z
d
's
J
a
g
X
d
?
e
a
oz
auu
s
U
?
R
pS
u
nq
a
g
u
u
I
z3
eu
Jg
O
-
Jsu
a
lne
oe
ue
u
au
a
so
ie
aea
ln
a
ea
S
a
n
RsB
YT
UAOY
-
8/16/2019 BontasII Cap1 Transformari Coordonate (1)
5/11
Co.'pitoLul
1
In acest
caz)
x):T.f
:
przf
se numeqte abscisa
1ui,1f,
l/:
j
'
r-:
prJ-f
se
numegte ortlanata
lui,41,
iar
::
i
t=:
pr;r
se
numcqte
cotalui,4./.
Bijec{ia dintre
-83
gi
R3 se
numegte
s'istern
de
coordonate
cartezian
gi
se
noteazd
prin
M(r,y,z)
Versorilor
7,
7
Ei
A, ce definesc baza reperului cartezian, li se
asociazd arele
de
coordonate
Or,
Oy
qi
Oz,
care
au
sensul
pozitiv
definii
de
sensul
acestol
versori
Ecuadiiie axelor
sunt:
Or:
Cele
trei axe
determind
trei
plane
rOy,
yO
z
qi
rO z,
r,rr,rnite
plane
de coordonate.
trcuatiile
lor sunt:
rOy:
z:0;
yOz;
r:0; rOz'.
y
:Q.
Cele
trei
piane
de coordonate
impart
spaliul
in
opt
regiuni, nurnite
octante.
Un
reper cartezian in spaliu se mai
noteaz[
Oryz,
r.'ersorii
T,
j
qiE
fiind subinleleqi.
Fiind
date douai
puncte
din spaliu /,2[(r1)
qi
1VI2(r2), clin
relalia ft
+
MrMz
12,
rezultl
WM
:
fz
-
ft.
Dac|,
f1
:
rtl*
ytj
+
z1l-:
qi
;
7t
:
rtl
+ bi +
zrk. aturci
L'I1l\,12
:
(r2
-
r)r
+
(az
-
y)j
+
(22
*
z)8,
deci
coordonatele
vectorului
determinat de dou5
puncte
sunt
egaie cu diferenlele
dintre
coordonateie
vArfului
qi
ale originii
vectorului
(figura
2).
Distanta dintre NIy
qi
lv[2
este
Figura
2
d(l/1. Ivtz)
:
ll,ll
rvrll
:
^
(r:a
U;' I
Ig:
u.
or,
{ :o^
Ie:u:
r:a
Ie:o;
DacX
punctul
,\,16
este situat
corespnnde
vectorul de
pozitie
-6
Ia
mijioctti
segmentului
L,11fu[2,
atunci
lui
ii
I
:
-(r,
+
r,>\.
iar
coordonatele
sale
sunt
2'-
'/r
21
+
22\
,)
EliminS,nd
in
reperr.rl
Oryz cea
de-a treia cornponentS, z,
se obqine
reperul
cartezian
in
plan,
notat
rOy,
in
raport
clr
care coorcionatele
unui
punct
,4,1
sunt
@,il.
R5.mAn
valabile forniulele
stabilite
anter-ior.
De'plasd,rile snni transformiri
de
axe care
pXstreazi
orientarea
pozitivd
a
noii
baze a
repemlui.
trIe
pot
fr. translali,t, sa:u
rotal'ii.
(rz
-
rt)'t
+
(yz
-
yt)2
+
( 2
-
t)2
M1
-
8/16/2019 BontasII Cap1 Transformari Coordonate (1)
6/11
'ud
BS
hcoo
z
u
ag
Ra
us
'0
c1
o
t
7
ID
nxnu
6
'v
1a+
+
?
+
l
I1
u
a
1
u
000C
'
IV
0O
7O
,
oO
us?
F
n
/V
c
na
oo
z
a
1
]1
aeaqs
'_
ac€o
"
o
su
'
IBu
nn
a
Sa
3
.E
O
o
o3
?g
s
d
DDD
'z
a
u?JEs
(
A
g
aD
pu
(
,
-
8/16/2019 BontasII Cap1 Transformari Coordonate (1)
7/11
Capi,tolul T
3 R,ota{ia
unui reper
cartezian
Fie
reperul
cartezian
Oryz.
Rotali,a
leperului
este depiasarea care pisireazS,
originea, rotind
a-xele
in
ace1a".i sens
cll un annmit
unghi,
numit
unghi, de
rota{,ie,
noiat
0
(figLrra
4).
Prin urmare.
o
translatie
este
perfect
determi-
natX dac5
se cunoaqte
ringhiul
cle
rotaiie.
SX
stabilim
rela{ia
dintre
coorclonatele (r,y,
z)
a,le
unui
punct,4{
in rapcrt
cu
reperul
Ozyz
qi
coor--
Conatele
(r',A',e')
ale aceluiarsi
punct
M in
raport
ctr
reperui
rolit
Ortytzt
.
1[(r,y,z)
(r'
,y'
,r')
Schimbarea
de
reper
din
t3
este
echir,alentti
cu trecerea
de
ia baza
ortonormati
{r,j,E}
Tabaza
ortonormatil
{i'
,.J',4'}
iir
{,23. Avem:
unde
C11:L"l
,r":
I 'l
czl
:
E' 'j
/_
-
\
Prin
urmar",
*
:
[
:]l
Z:;
Ill
)
."rr"zinrr
matricea
de rrecere
cie ta
birz.
\
".rr
c3z c:tl
/
{r,j,E}
Iabaza
{1,
j',k'}.
\fatricea
E este
o rnairice
ortogonald,,
aclicX
,It
:
,I?-1"
Transformarea
este
poziiiv5
ciac[
det l?
:
1.
Observ5m
c[,
in raporL
cu cele
dou5
repere
carteziene
Oryz
qi
Or'y'z',
avem
OII
:
aW,adicd"rr*yj*:,k:
t 7'+ )'1+r'k'.
in]ocuind
pel,,7,
[,
qi
identificdncl
'
-_
_;
clup5, 7,
J,
k, oblinern
relalia
dintre
coordonatele
punctului
/1,1
in raport
cu
cele
clou[
repere:
/"\
_ /,,1\
l'l:Rla'l'
\./ \,' )
Deoarece
-R
este
o malrice
ortogonaiS,
relalia inversX
este
v'
(
i'
:
cn
r
-l-
e:r7-l-
caiA'
{
i'
:
cnr
-
c221
*
ca2l'
l;t
t
l''
:
r'6i -r
cyj
-F ca3l,.,
czt: z'
'E
^at^
L-3',:
* J
n
c:r:
E'k.
-t
C1't
:
X'
l,
I,
Cl. : J
'?,
;,
ct3: k'
't
(;",):'.(i)
Figura
4
-
8/16/2019 BontasII Cap1 Transformari Coordonate (1)
8/11
-as
/
I
d
I
d
1
'J
aaL
g
p
ooau
-o
S
B
'
R
d
o
IN
3
r_u
0
n
ca
'eo
So
as
qoBae
u
p
e
I
I
I
I
I
r
1
o
p
u
7
'6
a
a
lnn
r
ece
d
c
'
a€oo
W
s
d
up
,
n
3
le
u
Ta
s
ao
'o
+
s
g
\
o
-
s
)
:
R
6
q
a
u
€un
a
o
S
s
oDo
e
'g
g
-
T
J
,
ro
s6
1
o
z
s
u
u
-
z
ua
g
a
-
8/16/2019 BontasII Cap1 Transformari Coordonate (1)
9/11
Cayti,tolul
T
Reciproc,
fiincl
dat
punctul
M, coordonatele
sale
polare
nu sunt unice.
intr-adev6r, adS.ugAncl
la
d
orice multiplu de
2r,
coorclonatele
polare
(p,0
+2kr).
k
e
Z, reprezinti
toate
acelagi
punct
,1.{.
De
asemenea)
fixAnd
pozilia
ini ia15 a axei
polare
printr-o
rota ie
cu
unghiul
n',
punctul
l\,f
la
avea
abscisa
-p,
deci
coordonateie
(-
p,0
+
n'
+
2kr),
k
e
Z, reprezintX tot
punctul
,A,f .
Pentru a asigura
unicitatea
reprezentXrii unui
punct
in
reperul
polar,
se con-
sider6p>0qi0el0,2r).
Lcgd,tura di,ntre
coordonatele cartez'iene
Si
cele
polare
Se
considerS,
un
reper cartezian
Oty
in
plan
qi
un
reper
polar
particular,
av6,nd
polul
in originea reper,.rlui
cartezian
gi
axa
polard
confundat[
cu
sens-.ri
poziti.r
ai
axei Or
(figura
8).
Un
punct
,i,f din
plan
va avea
coordonatele
cartezi-
ene
(r,y)
qi
coordonatele
polare
(p,0).
Din
tliunghiui
dreptunghic
OIUIM'
rezultX
relatiile
care exprimX
legXtura
f
r:
pcos?
de coordonate:
(
I
Y
:
Psin6'
Curbe
de
coordonate:
Figura
8
dintre ceie
dou5,
tipuri
p0
:
ct.
-
cerc
centrat
in
pol,
de raz{"
ps;
0o:
ct. - semidreaptd care
face i.tnghiul
d
cu axa
polerril.
o Coordonate
cilindrice
in
raport
cu
un
reper
cartezian
Ot:yz,
trn
punct
IUI
este
unic
determinat
de coorclonatele sale
carteziene
(,
, ?) ,
,)
,
proiec{iile
ortogonalc
pe axe
ale
punctului
(figura
9).
Dacd.
M
e
Es
-
Oz.
atunci
pozilia
sa mai
poate
Ii caracterizati
qi prin
tripletul
ordonat
(p,0,r),
unde
p
este distanta
de
la
origine
la,
proieclia ,4// a
punctului
,M in
planul
rOy,
iar
0
este
m5sura ungitiului
dintre semidreptele Oz
qi
OM'.
Cu
alte cuvinte,
coordonatele
ci,lirtdrice
(p,0,
r)
ale
lui
,4,f se
obtin
trecinci in
planul
rOg
ia coordonate
polare.
Pentru a asigttra uniciiatea reprezentdrii
cilindrice,
se considerX,.
ca
qi
in cazui coordonatelor
polale,
p
)
o
p:
o0:
Figura
9
lui &1
irr coordonate
01sid€[a,zr).
-
8/16/2019 BontasII Cap1 Transformari Coordonate (1)
10/11
:
s
B
poB
aFu
1
-
o
'D
'C
gus
]
g
:s
a
B
au
upe
'o
t
0
=
g
0
S
a
e
-
_4
gu
Ju
n
1
7
ncn
s
e
-
u
nd
'
N
O
aesp
o
S
7
1
n
r
nd
T
s
n
in
u
z
c
n
C
a
A
:
F
as
{?
0d
7
l
{d1g
u
ln
'O
Pae
cu
0o
lo
d
z
1a
:
i6
aed
a
'
's
us
gg
in
s
p
g
nd
d
u
J
:
<
zd
ln
d
u
?
0
'
S
F
J
u
-
iaD
g
€
aua
s
Jc
a
S
a
uP
e
'
fg
{s
g
}
9
aD
-
8/16/2019 BontasII Cap1 Transformari Coordonate (1)
11/11
Capi,tolul
l
o
p
:90
:
ct.
- semicon de
axX
Oz,
fdrr{.
vdtf;
o
0:00:
ct. -
semiplan
care
face
unghiul
66 cu
semiplanul
rOz
(
>
0).
Curbe
de coorrionate:
o
A:00, g:
go
-
semidreapt5 (o generatoare a semiconului);
a
p: go, r:
T0
-
cerc
centrat
pe
Oz,
de raz[
rn,
situat
intr-un
plan paralel
cu
rOz'.
o
r
:
ro)
0
:0o
-
semicerc
de razd.
z'g,
din
semiplanui
A
:
Aa
Trecerea
de
la reperul cartezian
{O;2,1,[]
]a repe.rrl
sferic
{M;er,ee,ea}
este
descris6
de
relatiile:
{
e,.:
sin;co'6i
r-
sin
;sin07
-P
cosg:i:
I
{
,
:
('.)s
i
cos d7
+
t,os
g
sin
0y
-
sirr.
;l,
[,ro:
-sindi
+
xos01.