boletin de trigo.doc

UNIVERSIDAD PERUANA DE INTEGRACIÓN GLOBAL RES. N°099-2007-CONAFU

CENTRO PRE UNIVERSITARIO – “UPIG”

UPIG

Asignatura: Trigonometría

“Excelencia Académica para un Mundo Globalizado” Página 1

Docente: Sarai Lino Quispe

http://www.google.com.mx/imgres?start=108&um=1&hl=es&sa=N&tbo=d&biw=1280&bih=907&tbm=isch&tbnid=fSVr5VXVVK0WuM:&imgrefurl=http://www.kalipedia.com/ciencias-vida/tema/problemas-trigonometria.html?x1%3D20070926klpmatgeo_103.Kes%26x%3D20070926klpmatgeo_107.Kes&docid=mGlN4y1MCNTxEM&imgurl=http://www.kalipedia.com/kalipediamedia/matematicas/media/200709/26/geometria/20070926klpmatgeo_169.Ges.SCO.png&w=555&h=484&ei=EE4JUYiSLofI9QTYtYHQCQ&zoom=1&ved=1t:3588,r:16,s:100,i:52&iact=rc&dur=3279&sig=104293904537967308228&page=5&tbnh=181&tbnw=207&ndsp=29&tx=110&ty=129%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5



Turno: ………………..

2013-II “Excelencia Académica para un Mundo Globalizado”

TEMA 1: SISTEMA DE MEDICION ANGULAR

1. ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOSEn trigonometría se consideran ángulos de cualquier valor, por lo que se hace necesario aplicar el concepto de ángulo, supongamos un rayo AB, con origen en A en la figura siguiente:

Si AB empieza a girar; en el sentido de la flecha curva, hasta la posición AC habremos generado un ángulo trigonométrico tal como se muestra.

En trigonometría, describiremos como se consideran los ángulos de cualquier valor, por lo que se hace aplicar el siguiente concepto.

2. ÁNGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOSLos ángulos generados en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj se consideran en trigonometría positivos y si generamos ángulos en el mismo sentido del movimiento de las agujas del reloj se consideran negativos.

Angulo Positivo

Angulo Negativo




Ejm.: Graficar 120º Ejm.: Graficar –230º

3. SISTEMA DE MEDIDAUn ángulo puede ser medido en diferentes sistemas, los más conocidos son sexagesimales, centesimales y radiales.

Así:

S. Sexagesimal S. Centesimal

S. Radial

Ejm.:

45º 50g rad4

SISTEMA SEXAGESIMAL (S)Llamado Sistema Inglés, es aquel que tiene como unidad a:

Un Grado Sexagesimal 1º

Dicho sistema divide al ángulo de una vuelta (1 v) en 360 partes iguales y a cada parte se le denomina 1º por lo tanto:

1 vuelta = 360º

Sus unidades:

1 minuto sexagesimal 1’

1 segundo sexagesimal 1”

Equivalencia:

SISTEMA CENTESIMAL (C)


1º = 60’

1’ = 60’’1º = 3600”



Llamado también francés, es aquel que tiene como unidad a:

Un Grado Centesimal 1g

Dicho sistema divida al ángulo de una vuelta (1 v) en 400 partes iguales y a cada parte se le denomina 1g por lo tanto:

1 vuelta = 400g

Sus unidades: 1 minuto centesimal 1m

1 segundo centesimal 1s

Equivalencia:

SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (R)

También llamado circular o internacional es aquel que tiene como unidad a un radian (1 rad).1 Radian (1 Rad).- Se define así a la medida del ángulo central que subtiende en cualquier circunferencia un arco de longitud igual al radio.

Luego: 1 vuelta = 2rad

Obs. (Pi) = 3,141592654……


1g = 100m

1m = 100s1g = 10 000s

R

R

O L1 Radian

R = L

Si: L = R = 1 Rad



Pero el valor de se le atribuye valores aproximados como:

= 3,14 ó =

FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN

Es la relación que existe entre los números de grados sexagesimales (S), grados centesimales (C), y el número de radianes (R) que contiene un ángulo trigonométrico. En el gráfico tenemos:

Recordar: 360º = 400 g = 2rad 180º = 200g = rad

Entonces: …………. Fórmula General

De donde podemos establecer las siguientes consideraciones:

Observación:

De

Muchas veces conviene utilizar dicha observación por ejemplo:

Reducir:

APLICACIONES

1. Expresar en Radianes si se cumple: 3S – 2C = 7


Sº

Cg

R rad

1 2 3

1



Reemplazando:

140R = 7 20R = 1 R =

2. Expresar en radianes si se cumple: C – S = 4

R =

Conversión Entre Sistemas: Es el procedimiento por el cual la medida de un ángulo se expresa en otras unidades diferentes a la primera.

Aplicaciones:1. Convertir 15º a radianes.

Observamos que vamos a relaciona el sistema (S) y (R) entonces utilizaremos una equivalencia donde aparezcan ambos sistemas.

2. Convertir 80g a sexagesimales.Utilizaremos la equivalencia.

3. Convertir a sexagesimales.

Ahora utilizaremos 180º = rad


rad = 180º

180º = 200g



TEMA 2: SECTOR CIRCULAR

Es aquella porción de círculo limitado por dos radios y un arco de circunferencia

De la figura se obtiene:

A0B Sector Circular

LONGITUD DE ARCO ( l ) Es aquella en unidades de longitud de un arco de circunferencia, se calcula

mediante el producto del número de radianes del ángulo central y el radio de la circunferencia.

Deducción.– Sea la circunferencia con centro en “0” y radio “r” comparando la longitud de arco y el ángulo central como se muestra en la figura siguiente:

Teniendo en cuenta el significado geométrico de 1rad. se tiene:

Longitud de Arco

Ángulo Central

l rad.r 1 rad.

De donde se obtiene . l = . r .




Donde:l : longitud de arco : número de radianes del ángulo central

r : radio de la circunferencia

Ejemplo:

Del gráfico mostrado, calcular la longitud de arco (l), siendo 0: centro.Solución:

Sabemos que: l = . r = 30º

Convirtiendo =30º en rad

radππrad

.º 6º180

30

l = 6

. 18

l = 3 cm

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR (S)El área de un Sector Circular se calcula mediante el producto del número de

radianes del ángulo con el radio de la circunferencia elevado al cuadrado dividido entre dos.

Deducción.–

Comparando (por regla de tres simple)

Área de un Sector Circular

Ángulo Central

r2 2 rad.S rad.

Resolviendo se obtiene: 2

2rS

también:

2r

Sl

2

2lS

Ejemplo:




Del gráfico mostrado, calcular el área del sector A0B. 0: centro.Solución:

= 60º . º180

rad

rad3

26

.3

2S

S = 6 cm2

TEMA 3: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

TRIÁNGULO RECTÁNGULOSe llama triángulo rectángulo al triángulo donde uno de sus ángulos es recto (90º),

además recuerde que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes catetos.En la figura mostrada:

c : hipotenusaa b : catetos : son ángulos agudos

Además en el triángulo rectángulo se cumple: Los ángulos agudos suman 90º

. + = 90º .

Teorema de Pitágoras

. a2 + b2 = c2 .

La hipotenusa siempre es mayor que los catetos

. c > a b .

RAZÓN TRIGONOMÉTRICALa razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el

cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto del ángulo agudo.




Si el triángulo anterior nos referimos a las longitudes de los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (c) cateto opuesto (b) cateto adyacente (a). Podemos definir las razones trigonométricas de del modo siguiente:

cb

hipotenusa

gulo θesto al ancateto opusenθ

ca

hipotenusa

ángulo θacente al cateto adyθ cos

ab

ángulo θacente al cateto ady

gulo θesto al áncateto oputgθ

ba

gulo θesto al áncateto opu

ngulo θcente al ácatetoadyactgθ

ac

ngulo θacene al ácateto ady

hipotenusaθ sec

bc

gulo θesto al áncateto opu

hipotenusaθ csc

Ejemplo:Calcule los valores de las seis razones trigonométricas del menor ángulo agudo en un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 y 15 unidades.

Resolución

Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:(8)2 + (15)2 = x2

289 = x2

x = 17

Luego

178

sen815ctg

1715

cos 1517

sec

158

tg817

csc




Razones Trigonométricas de los Ángulos Agudos: 30º, 60º, 45º, 37º Y 53ºLas razones trigonométricas de estos ángulos se obtienen a partir de los siguientes triángulos rectángulos.

De los triángulos anteriores se obtiene:

ÁnguloR.T.

30º 37º 45º 53º 60º

sen21

53

22

54

23

cos23

54

22

53

21

tg33

43

134

3

ctg 334

143

33

sec332

45

235

2

csc 235

245

332

OBSERVACIÓN:LOS VALORES DE LAS SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEPENDEN ÚNICAMENTE DE LA MEDIDA DEL ÁNGULO Y NO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCASSiendo un ángulo agudo se cumple:

1csc.1

csc

sensen

1sec.coscos

1sec

1.1

ctgtgtg

ctg




Ejemplo:

Si34

csc43 sen 5sec

51

cos

53

35 tgctg

32

23

csc sen

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su sima es un ángulo recto.

En la figura se muestra: y : Son ángulos complementarios ( + = 90º)

Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como y al ángulo opuesto al cateto a como en consecuencia:

coscb

sen ; senca cos

ctgab

tg ; tgba

ctg

cscsec ac

; seccsc bc

Debido a estas relaciones las razones: seno y coseno tangente y cotangente secante y cosecante

Se llaman co–razones trigonométricas una de la otraEjemplos: sen40º = cos50º sec20º = csc70º




tg80º = ctg10º ctg3º = tg87º cos62º = sen28º csc24º = sec66º

Ejercicio: si: sen(40º + ) = cos(10º + ); 12º < < 24º, halle

Resolución Por lo anterior se tiene: (40º + ) + (10º + ) = 90º 2 = 40º

= 20º

TEMA 4: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Las aplicaciones de la trigonometría en campos como topografía y navegación requieren resolver triángulos rectángulos. La expresión “Resolver un triángulo” significa encontrar la longitud de cada lado y la medida de cada ángulo del triángulo.

En esta sección veremos que podemos resolver cualquier triángulo rectángulo si se nos da:

I. Las longitudes de dos lados.II. La longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo.




1. Conociendo las longitudes de los lados:Ejemplo:Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos miden 1 y 2 respectivamente.

Resolución Para calcular x, aplicamos el teorema de Pitágoras:

(1)2 + (2)2 = x2 x2 = 5 x = 5

Para determinar la medida del ángulo , calculemos una razón trigonométrica con los catetos de longitudes 1 y 2.

Por decir: tg = 21

= 26º30’ (aproximadamente)

como: + = 90º = 63º30’ Con la cual el triángulo rectángulo queda resuelto.

2.A. Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo

Incógnitas x, y

Cálculo de x:

ax

= cos x = a cos

Cálculo de y:

a

y = sen y = a sen

En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º –.

Conclusión:




B. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ánguloincógnitas x, y

Cálculo de x:

ax

= ctg x = a ctg

Cálculo de y:

a

y = csc y = a csc

En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º – .

C. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ánguloAnálogamente a los triángulos rectángulos anteriores

Ejemplos:




Aplicaciones

1. Un topógrafo puede medir el ancho de un río emplazando su tránsito en un punto C en un borde del río y visualizando un punto A situado en el otro borde. Después de girar un ángulo de 90º en C, se desplaza 200 m hacia el punto B, aquí mide el ángulo y encuentra que es de 20º. ¿Cuál es el ancho del río?

Resolución




Buscamos la longitud del lado b, conocemos a y , por lo que usamos la

relación tg =

Reemplazando:

b = 200tg20ºEl ancho del río es (200 tg20º) m

2. Una cometa se queda atascada en la rama más alta de un árbol, si la cuerda de la cometa mide 12 m y forma un ángulo de 22º con el suelo, estime la altura del árbol encontrando la distancia que hay entre la cometa y el suelo (sen22º = 0,374)

Resolución

Graficando, tenemos por condición al problema

Sea h la altura a la cual se encuentra la cometa, a partir de la figura vemos que:

= sen22º

h = 12 sen 22º h = 12(0,374) = 4,488h = 4,488 m




TEMA 5 : ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES

INTRODUCCIÓNDebido a que en nuestra vida cotidiana indicamos la posición de los objetos dando referencias que

nos permitan la mayor precisión para ubicarlos, en el presente tema definiremos en un mismo plano al observador y al objeto en observación. Así como también ángulos que nos permitan visualizar determinado punto del objeto en consideración.

A continuación enunciaremos algunos puntos que consideramos importantes para el desarrollo del tema:

Línea Vertical: Vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada.

Línea Horizontal: Se denomina así a toda aquella línea perpendicular a la vertical.

Plano Vertical: es el que contiene a toda la línea vertical.

Línea Visual: Llamada también línea de mira, es aquella línea recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto a observarse.ÁNGULOS VERTICALES

Son aquellos ángulos contenidos en un plano vertical formados por la línea de mira (o visual) y la línea horizontal. Que parten de la vista del observador.

Los ángulos verticales pueden ser:

Ángulos de ElevaciónEs el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por

encima de la línea horizontal.

: Ángulo de observaciónÁngulos de Depresión

Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.




: Ángulo de depresión

OBSERVACIÓN:AL ÁNGULO FORMADO POR DOS LÍNEAS DE MIRA SE DENOMINA ÁNGULO DE OBSERVACIÓN O DE VISIBILIDAD.

: ÁNGULO DE OBSERVACIÓN




TEMA 6: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL I

NOCIONES PREVIAS .

SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARES

Donde:x : Eje de Abscisasy : Eje de OrdenadasIC : Primer CuadranteIIC : Segundo CuadranteIIIC : Tercer CuadranteIVC : Cuarto CuadranteO : Origen del Sistema

Ubicación de un punto

Donde:P : Punto del Sistema Bidimensionala : Abscisa del Punto Pb : Ordenada del Punto P(a; b):Coordenadas del Punto P

radio vector .

Es el segmento de recta dirigido (flecha) que parte del origen hacia un punto cualquier del sistema; su longitud o módulo está representado por “r”.

Donde: r: Longitud del Radio Vector

r

Ángulo en posición normal .


y

xa

bP(a; b)

r2 = a2 + b2

+

|a|2 = a2

+

+

–

– IVCIIIC

ICIICy

xO

y

x

| b |

| a |

(a; b)

r



Es aquel Ángulo Trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema bidimensional y su lado inicial descansa en el semieje positivo de las abscisas, mientras que su lado final puede encontrarse en cualquiera de los cuadrantes o coincidir con algún semieje en cuyo caso es llamado ángulo cuadrantal.

Donde:, son las medidas de los ángulos en posición normal mostrados.

L.I.: Lado InicialL.F.: Lado Final

Del siguiente gráfico definiremos las Razones Trigonométricas para un ángulo en posición normal los cuales son independientes del sentido de giro o el número de vueltas que pudiera realizar.

REGLA DE SIGNOS .


También son llamados ∢s en

posición canónica o estándar.

y

x

(x; y)

r

C

R.T.IC IIC IIIC IVC

sen + + - -

cos + - - +

tg + - + -

cot + - + -

sec + - - +

csc + + - -

x

y



comprobación .

Utilizamos el siguiente gráfico para un ángulo en posición normal de medida “”.

IC. x; y r son positivos entonces todas las divisiones son positivas.

IIC. cos = +

IIIC. cot = +

IVC. sec = +

Ejemplo 1 Solución 1Del siguiente gráfico calcular: a) Con el par ordenado del dato calculamos “r”:

r2 = r2 + (-3)2 r =

b) Reemplazamos las definiciones:

E = -3 + 4 E = 1

Ejemplo 2 Solución 2Indicar el signo resultante de la siguienteoperación: E = sen130º . cos230º . tg330º E = sen130º . cos230º . tg330º

E = + . - . - E = +

Ejemplo 3 Solución 3Indicar el cuadrante al que pertenece la tg = - { IIC IVC }medida angular “” si: csc = + { IC IIC } tg < 0 csc > 0


x

y

(-; +) (+; +)

(-; -) (+; -)

x

y

(1; -3)

IIC IIIC IVC

IIC



TEMA 7: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL II

Ángulos cuadrantales .

Entenderemos por ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincida con

cualquier semieje del plano cartesiano. La medida de este ángulo siempre tendrá la forma “ ”; n Z

ó “n. 90º”.

Ejemplo:Para diferentes valores enteros de “n” tendríamos: n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; ….

n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º; 360º;

R. T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES

.


El siguiente gráfico muestra algunos Ángulos Cuadrantales y su medida.

x

y

90º180º

-90º

m∢R.T.

0º, 360º

90º 180º270

º0; 2 /2 3/2

sen 0 1 0 -1

cos 1 0 -1 0

tg 0 N 0 N

cot N 0 N 0

sec 1 N -1 N

csc N 1 N -1



COMPROBACIÓN .

1.

2.

3.

r. t. de ángulos coterminales .

Si dos o más ángulos son coterminales entonces las Razones Trigonométricas de sus medidas tienen el mismo valor numérico por ende diremos que son iguales.

COMPROBACIÓN .

1. Por definición:


0 = Cero1 = UnoN = No definido

La división de un número entre 0 (cero) es una operación no

definida.

Son ∢s coterminales los que tienen el

mismo lado inicial y final.

x

y

90º

(0; r)

r

x

y

(a; b)

R.T. = R.T.

=



2. Por definición:

3. Concluimos que:

TEMA 8: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

La conservación de una razón trigonométrica (r.t) de un ángulo cualquiera en otra razón equivalente de un

ángulo del primer cuadrante se llama: ”reducción al primer cuadrante”

También reducir al primer cuadrante un ángulo significa encontrar los valores de las RT de cualquier ángulo en

forma directa mediante reglas practicas las cuales mencionaremos a continuación recordando antes que:

- Para el Seno: Su Co-Razón es el Coseno.

- Para la Tangente: Su Co-Razón es la Cotangente.

- Para la secante: Su Co-Razón es la Cosecante.

I Regla: “Para ángulos positivos menores a una vuelta.

¡Importante!

- El signo + ó – del segundo miembro depende del cuadrante al cual pertenece el “ángulo a reducir”.

- se considera un ángulo agudo.

Ejemplos de Aplicación:




1. Reducir al primer cuadrante:

a) Cos 150º b) Tg 200º

c) Sen 320º d) Sec 115º

e) Csc 240º f) Ctg 345º

Resolución:

1a. Cos 150º = Cos (180º - 30º) = -Cos 30º

“El signo (-) se debe a que el ángulo a reducir (150º) pertenece al II C, en el cual el coseno es negativo”

1b. Tg 200º = Tg (180º + 120º) = + Tg 20º.

“El signo (+) se debe a que el ángulo a reducir (200) pertenece al III C, en el cual la tangente es positiva”.

1c. Sen 320º = Sen (270º + 50º) = -Cos 50º

“El signo (-) se debe a que el ángulo a reducir (320º) pertenece al IV C, en donde e seno es negativo y se

cambia a coseno (Co-razón del seno porque se trabajo con 270º”.

1d. Sec 115º = Sec (90º + 25º) = - Csc (25º)

Ojo: También se pudo haber resuelto de la siguiente manera:

Sec 115º = Sec(180º - 65º) = - Sec (25º)

“Ambas respuestas son correctas, por ser éstas equivalentes”

- Csc 25º = - Sec 65º

Csc 25º = Sec 65º

Ya que:

Donde:

y suman 90º

Nota: A éste par de ángulos se les denomina “Ángulo Complementarios”.

e)Csc 240º = Csc (180º + 60º) = - Csc (60º) ó Csc 240º = Csc (270º - 30º) = - Sec (30º)

f) Ctg 345º = Ctg (270º + 75º) = - Tg (75º) ó Ct 345º = Ctg (360º - 15º) = - Ctg 15º

II Regla: “Para ángulos positivos mayores de una vuelta.

Para este caso la medida angular que es mayor a una vuelta () será dividida entre 360º; tomando el resto () de dicha operación como medida angular resultante; manteniéndose la R.T. original, esto es:

360º = 360º . n + R.T. = R.T.




n

También podríamos decir que el #entero (n) de vueltas (360º) se elimina

Ejemplo:Calcular: “tg1223º”

Solución:1. Realizamos la operación mencionada.

1223º 360º 1223º = 360º . 3 + 143º1080º 3 143º

2. tg1223º = tg143º

3. Observamos que 143º es menor a una vuelta pero falta reducir al primer cuadrante.

tg143º = tg(180º - 37º) = - tg37º = -

III Regla: para ángulos negativos:

Para todo ángulo , se cumple:

Nota:

Observamos que para el coseno y secante el signo “desaparece” es decir, solo trabajamos con el valor positivo.

Veamos ejemplos:

Ejemplo de Aplicación

Reducir al primer cuadrante:

A) cos(-30°) B) sec(-274°) C) Ctg(-1120°) D( Csc(-2140°)


supuesto

IIC–



Resolución:

3a) cos(-30°) = cos(30°)

3b) Sec(-274°) = sec(274°) = Sec(270° + 4°) = Csc4° ó

Sec(274°) = sec(360°-86°) = sec86°

3c) Ctg(-1120) = -Ctg(1120°) = -Ctg(3×360° + 40°)

Ctg(-1120°) = -Ctg(40°)

3d) Csc(-2140°) = -Csc(2140°) = -Csc(5×306° + 340°)

Csc(-2140°) = -Csc(340°) = -Csc(270 + 70°) = -[-Sec 70º] = Sec 70º ó

- Csc(340º) = - Csc (360º - 20º) = -[-Csc(20º)]= Csc 20º

TEMA 9: CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I

Llamado también circunferencia unitaria, es una circunferencia cuyo centro coincide con el origen de coordenadas y su radio es igual a la unidad.

ELEMENTOS

O : Centro u origen de coordenadasR : Radio (R = 1)A : Origen de arcoM : Extremo de arco : Medida del arco Rad : Medida del ángulo MÔAC.T. : Circunferencia Trigonométrica

NOTA

Los arcos pueden ser positivos, si están generados en el sentido antihorario y negativos si están generados en el sentido horario.


A’

B’

B

AO

M

Rad

R = 1

X

Y

C.T.

No olvidar que…

A’

B’

A

B

(+)

(-)

O

C.T.



: Arco positivo : Arco negativo

ARCO EN POSICIÓN NORMAL

Es aquel arco positivo o negativo que se genera a partir del punto “A” y su extremo final, se encuentra en cualquier parte de la C.T.

Ejemplo 1 : Ubicar en una C.T. los siguientes ángulos e indicar el cuadrante al que pertenecen.a) 60º b) 90º c) 150º d) 225º e) -30º

60º IC

90º a ningún cuadrante

150º IIC

225º IIIC

-30º IVC

REPRESENTACIÓN DEL SENO Y COSENO EN UNA C.T.

1. Seno .- El seno de un arco, es la ordenada del extremo del arco y se representa mediante una vertical trazado desde el eje de abscisas hasta el extremo de arco.


Fíjate que con esto se puede graficar una

C.T.

O0º

360º

-30º

60º

90º

150º

180º

225º

270º



Sen Signo

IC Sen 1 (+)

IIC Sen 2 (+)

IIIC Sen 3 (-)

IVC Sen 4 (-)

2. Coseno .- El coseno de un arco, es la abscisa del extremo de arco y se representa mediante una horizontal trazado desde el eje de ordenadas hasta el extremo del arco.

Ejemplo 2 : Representar en la C.T. a) Sen 30º , Cos 53º b) Sen 100º , Cos 200º c) Cos 315º

TEMA 10: ANÁLISIS DE LA VARIACIÓN DEL

SENO Y COSENO EN UNA C.T.


Cos Signo

IC Cos 1 (+)

IIC Cos 2 (-)

IIIC Cos 3 (-)

IVC Cos 4 (+)

Sen 2Sen 1

Sen 3Sen 4

3

21

4

360ºx

0º

90º

180º

270º

C.T.

180º

270º

360º

0º

90º

Cos 22

C.T.

3

Cos 3

Cos 4

4

1Cos 1

Y

X

Cos 53º

Sen 30ºSen 100º

Cos 200º

Cos 315º 315

º

30º

0º

360º

270º

200º

180º

100º

90º53º



VARIACIÓN DEL SENO

SENO

IC 0 Sen 1

IIC

IIIC

IVC

Si:

[0º; 360º] 1 Sen 1 (Sen )mín = 1

(Sen )máx = +1

VARIACIÓN DEL COSENO

COSENO

IC 0 Cos 1

IIC

IIIC


Profesor, hagamos un

ejemplo.

Profesor, hagamos un

ejemplo.

A ver intenta en los demás cuadrantes, tú

puedes.

A ver intenta en los demás cuadrantes, tú

puedes.

Y

X

90º

270º

180º 0º360º

+11

Qué fácil, yo, hago los

tres siguientes

cuadrantes.

Qué fácil, yo, hago los

tres siguientes

cuadrantes.

Y

X

90º

270º

180º 0º360º

+1

1

Hallar la variación del Seno.

Si: [45º; 60º

De la C.T.:

Sen 45º Sen Sen 60º Sen

Sen [;

Hallar la variación del Seno.

Si: [45º; 60º

De la C.T.:

Sen 45º Sen Sen 60º Sen

Sen [;

90º

Sen 60º Sen 45º

60º

45º

0º180º

Y

X



IVC

Si:

[0º; 360º] 1 Cos 1 (Cos )mín = 1

(Cos )máx = +1

NOTA:i. FLECHA :Arriba : : CrecienteAbajo : : Decreciente

ii. DESIGUALDADES :

PROPIEDADES INTERVALOS

Si: a, b, c R 1. I. Abierto a; b ó a x b

2. I. Cerrado [a; b] ó a x b

3. I. Semiabierto a, b] ó a x b[a, b ó a x b

1. a b a c b c

2. a b c > 0 ac bc

3. a2 0


Hallar la variación del Coseno.

Si: 60º; 120º

De la C.T.:

Cos 120º Cos Cos 60º Cos

Cos ;

Hallar la variación del Coseno.

Si: 60º; 120º

De la C.T.:

Cos 120º Cos Cos 60º Cos

Cos ;

Y

X0º

90º

180º

120º

0º

Cos 120º Cos 60º

C.T.

Repasemos un poco de

desigualdades.

Repasemos un poco de

desigualdades.



TEMA 11:IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

DEFINICIÓNSon aquellas relaciones que se establecen entre las funciones trigonométricas de una variable. Estas relaciones de igualdad se verifican para todo valor admisible de la variable presente y se clasifican de la siguiente manera:

I. I.T. Recíprocas

II. I.T. por División

III. I.T. Pitagóricas




IV. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARESAdicionalmente a las identidades fundamentales, se establecen una serie de relaciones adicionales que se demuestran a partir de las primeras. Van a destacar las siguientes relaciones:

1. tgx + ctgx = secx cscx

2. sec2x + csc2x = sec2x csc2x

3. sen4x + cos4x = 1 - 2sen2x cos2x

4. sen6x + cos6x = 1 - 3sen2x cos2x

Los ejercicios sobre identidades son de 4 tipos:

a) Demostraciones:

Para demostrar una identidad, implica que el primer miembro o viceversa ó que cada miembro por separado se

pueda reducir a una misma forma.

Ejm:

a. Demostrar que : Csc - Ctg . Cos = Sen




Resolución:

Csc - Ctg . cos = sen

SenCosSen

Cos

Sen

1

1

cos ² ²

sen

sensen

sen∴ Sen = Sen. (Demostrado)

b. Demostrar que:

cos cossec

AsenA

AsenA

A1 1

2

Resolución

Utilizamos artificio:

CosAsenA

senA

senAA

senA

senA

senAA

1

1

1 1

1

12

.cos

. sec

Luego se tendría

cos

²

cos

²sec

A senA

sen A

A senA

sen AA

1

1

1

12

cos

cos ²

cos

cos ²sec

A senA

A

A senA

AA

1 12

1 12

senA senAA

Acos

sec

2

2cos

secA

A

∴2 2sec secA A . (Demostrado)

b) Simplificaciones:

Lo que se busca es una expresión reducida de la planteada con ayuda de las identidades fundamentales y/o

auxiliares. Utilizar transforma-ciones algebraicas.

Ejms.

1) Simplificar:

(2Cos2-1)2 + 4Sen2Cos2

Resolución:

(2Cos2-1)2 + 4Sen2 Cos2

(2cos² - 2(2cos²)(1) + 1 + 4sen² Cos²

4cos²cos² - 4cos² + 1 + 4sen²cos²

4cos² [cos² - 1 + sen²] + 1




4cos² [(cos² + sen²) - 1] + 1

4cos² [1 - 1] + 1∴ 4cos²(0) + 1 = 1

2) Simplificar:

(1 - cosx) (Cscx + Ctgx)

Resolución:

(1-Cosx)

Senx

Cosx

Senx

1

(1-Cosx)

Senx

Cosx1

c) Condicionales:

Si la condición es complicada debemos simplificarla y así llegar a una expresión que pueda ser la pedida o

que nos permita hallar lo que nos piden. Si la condición es sencilla se procede a encontrar la expresión

pedida.

Ejms.

a.Si Sen + Csc = a.

Calcular el valor de

E = Sen2 + Csc2

Resolución

Si: sen + Csc = a (Elevemos al cuadrado)

(Sen + Csc) ²= a²

Sen² + 2(Sen)(Csc) + Csc²= a²

Sen² + 2 + Csc² = a²

Sen² + Csc² = a² - 2

E = a² - 2


SenxSenx

xxSen

Senx

x2Cos1



b. Si: senx - cosx = m .

Hallar el valor de:

D = 1 -2senxcosx

Resolución

senx - cosx = m (elevemos al cuadrado)

(Senx cosx)² = m²

sen²x - 2senx Cosx + Cos²x = m²

Sen²x + Cos²x - 2senxcosx = m²

1 - 2senxcosx = m²

D = m²

d) Eliminación del Ángulo:

Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas relaciones trigonométricas debemos hallar relaciones

algebraicas en la cual no aparezca el ángulo. Nos ayudaremos de identidades como por Ejem.

Tgx.Ctgx = 1

Senx.Cscx = 1

Cosx.secx = 1

Sen²x + cos²x = 1

Sec²x - Tg²x = 1

Csc²x - Ctg²x = 1

Ejm.:

1. Eliminar “” de:

Csc = m + n …(1)

Ctg = m – n …(2)

Resolución:

Csc = n + n

Ctg = m – n

Csc2 = (m+n)2 = m2+2mn+n2 (-)

Csc2 = (m+n)2 = m2 -2mn+n2


(Elevamos ambas expresiones al

cuadrado)

)2n2mn-2(m - 2n2mn2m 2Ctg-2Csc



1 = 4mn

2. Eliminar “” de:

)2...(KSecbCosaSen

)1...(Ctg.SecbSenaCos

Resolución:

De la expresión 1

Sen

Cos.

Cos

1Ctg.SecbSenaCos

(por Sen)

)Sen(Sen

1)bSenaCos(Sen

aSenCos - bSen2 = 1 …(3)

De la expresión 2

Cos

kkSecbCosaSen

(por Cos)

aSenCos - bCos2 = K …(4)

Restamos (4) menos (3)

1-k )1

2Sen 2Cosb(

b = x - 1

K = b + 1

Recomendación:

Cuando en un problema de identidades trigonométricas estés frente a esta expresión:

E = (senx ± cosx) y se te pide “senx.cosx”, se recomienda que eleves al cuadrado ambos miembros para

obtener:

E² = (senx ± cosx)² = sen² ± 2senxcosx - cos²x

E² = Sen²x + Cos²x ± 2Senx.Cosx

E² = 1 ± 2 SenxCosx


)Cos(Cos

k)bSenaSen(Cos

12bSenCosaSen)(k2bCosCosaSen



(Lo que se pide)

Identidad Importante:

(1 ± sen ± cos)² = 2 (1± sen)(1± cos)

Demostración: Recordemos

(a+b+c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab+bc+ac)

(1± sen ± cos)² = 1² + (±sen)² + (±cos)² + 2[1(±sen) + 1(±cos)+(±sen)(±cos)]

= 1 + sen² + cos² + 2[1(±sen) + 1(±cos) + (±sen)(±cos)

Agrupamos nuevamente

2 + 2[1(±sen)+ 1 (±cos) + (±sen)(±cos)]

= 2[1 + (±sen) + (±cos) + (±sen)(±cos)]

= 2[(1 ± (±sen) + (±cos(1 + (±sen))]

= 2[(1± (±sen)[1 + (± cos)]

(1 ± sen ± cos)² = 2(1± sen)(1 ± cos) ………...(Demostrado)




TEMA12: SUMA Y DIFERENCIA

OBJETIVODesarrollar fórmulas que permitan calcular las funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos; para luego aplicarlos en diversos problemas que no son únicamente para reducir expresiones, sino también para el cálculo de valores numéricos de funciones trigonométricas de ángulos desconocidos, así como también en la solución de problemas geométricos.

FÓRMULAS

A. Para la Suma de dos Ángulos1. sen(x + y) = senx cosy + seny cosx2. cos(x + y) = cosx cosy - senx seny

3. Tg(+) =

B. Para la Diferencia de dos Ángulos1. sen(x - y) = senx cosy - seny cosx2. cos(x - y) = cosx cosy + senx seny

3. Tg(-) =

Tomaremos en cuenta para las demás razones trigonométricas que:

CtgTg

SecCos

CscSen

1

1

1


426



APLICACIONESDesarrollaremos los siguientes ejercicios:

1. Calcular: sen75ºtenemos que:

sen75º = sen(45º + 30º) = sen45º cos30º + sen30º cos45º

reemplazando: sen45º= 22 , cos30º=

23 , sen30º=

21

cos45º=22

operando: 22 .

23 +

21

.22 =

2. Reducir: E = (sena + cosa) (senb + cosb)operando : E = sena senb + sena cosb + cosa senb + cosa cosb

E = sen(a + b) + cos(a - b)

TEMA13: FUNCION TRIGONOMETRICA DE ANGULO DOBLE

OBJETIVODesarrollar fórmulas que permitan calcular las funciones trigonométricas de un ángulo que es el doble del otro.




FORMULAS BÁSICAS (Angulos dobles 2x)

• sen40º =___________ • cos40º = __________ • tg40º = __________

• sen6x = ___________ • cos6x = ___________ • tg6x = ___________

• senx = ____________ • cosx = ____________ • tgx = _____________

m OBSERVACIONES1. 1 - cos2x = 2sen2x

2. 1 + cos2x = 2cos2x

3. 4. (senx + cosx)2 = 1 + sen2x

5. (senx - cosx)2 = 1 - sen2x

* En la medida que apliquemos correctamente las fórmulas, adquiriremos mayores criterios de solución para problemas de este capítulo.


xtgcos2x1cos2x1 2

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